corso di teoria dei circuiti prof. Marco Storace Tracce delle lezioni del corso

3.Bipoliadinamiciecircuitielementari

Figura3.2:Connessioneinseriediduebipoli.

soli costituisconountaglionodale(⇒ sonopercorsidallastessacorrente). Esempio:

IduebipoliAeBcostituisconountagliononnodale,ma`epossibilericondursi aunaconfigurazioneequivalentetenendocontocheiquattrobipoliformano unamaglia ⇒ sonoattraversatidallastessacorrente(ciclica):

L’estensionealcasodipi`udiduebipoli`eimmediata.

Laconnessioneinseriediduebipoliadinamicidefinitisubasecorrente `emostratainfigura3.3(a).IlmodelloequivalentediTh´evenindel bipolo`e rappresentatoinfigura3.3(b),dove:

Figura3.3:(b)ModelloequivalentediTh´evenindelbipolocomplessivo (a)costituitodallaconnessioneinserietraduebipolicheammettono base corrente(equindiammettonoilmodelloequivalentediTh´evenin).

va = RTH ia + eTHa

vb = RTH ib + eTHb

Esempiconbipolinotevoli. Esistonotrepossibilit`a: a)entrambiibipoliconnessiinserieammettonolabasecorrente ⇒ la connessione`epienamentesensata.

3.Bipoliadinamiciecircuitielementari

b)Unosolodeiduecomponentiammettelabasecorrente ⇒ ilbipolo complessivocoincideconl’altro,datochelatensionecomplessivanon`evincolata(infattiquelladelcomponentenondefinitosubasecorrente`elibera), mentrelacorrente ic `eimpostadalcomponentestesso.Gliunicibipolinotial momentonondefinitisubasecorrentesonoilcircuitoapertoeilgeneratore dicorrente.

Inentrambigliesempiriportatiquialato va non `evincolata ⇒ nemmeno vc lo`e.

Leequivalenzevalgono purch´enoninteressideterminare va o vb nota:ilgenericobipoloindicatonellefiguresovrastanti`eunbipolo notevolediversodaungeneratoredicorrenteedauncircuitoaperto.

c)Senessunodeiduecomponentiammettelabasecorrente ⇒ o nonpossono essereconnessiinserie(generanosituazioniassurde) o generanosituazioni nondeterminate.

3.Bipoliadinamiciecircuitielementari

Nell’ultimodegliesempi,sihanno ia =0e ib =0comeequazionicostitutive, mentre va e vb nonsonovincolate.Dunque,supponendodipoterdeterminare vc sullabasedicollegamenticonilrestodelcircuito,sipu`osolodireche vc = va + vb ⇒ cisonoinfinitecoppie va,vb chesoddisfanolarelazione.

Casoparticolare:

3.6.2Connessioneinparallelo

Questa`eunaregoladeltuttogenerale(facilmenteestendibilealcasodipi`u bipoliinparallelo).

Connessioneparallelodiduebipoliadinamicidefinitisubasetensione:entrambiammettonoilmodelloequivalentediNorton.

equivalentidiNorton,che:

3.Bipoliadinamiciecircuitielementari

a)Quandoentrambiibipoliammettonobasetensione,nonesistonoproblemi:

b)Quandosolounodeiduebipolinonammettebasetensione(gliunicibipoli finoraintrodottiaventiquestacaratteristicasonoilgeneratoreditensionee ilcortocircuito)allorailbipoloequivalentecoincideconesso(lacorrente complessivanon`evincolata,mentrelatensione`eimpostadatalebipolo):

3.Bipoliadinamiciecircuitielementari

Quest’ultimo`euncasomenoovvio;quellocheconta`echelatensione aicapi delbipoloparallelo`enulla ⇒ iltuttoequivaleauncortocircuito(ameno chenonsidebbadeterminare icc)

c)Quandoentrambiibipolinonammettonobasetensione ⇒ laconnessione parallelonon`eammissibileocreasituazioninondeterminate.

(nonsisanno determinare

3.6.3Partitoriresistivi

• Partitore(semplice)ditensione.

3.Bipoliadinamiciecircuitielementari

Latensionevieneripartitatrairesistoriinproporzioneaivaloridelle loro resistenze

• Partitore(semplice)dicorrente.

Latensionevieneripartitatrairesistoriinproporzioneaivaloridelle loro conduttanze,ossiainmanierainversamenteproporzionaleaivalori dellelororesistenze.

• Partitorimultipli.

Capitolo4 Doppibipoliadinamicie circuitielementari

Diuncircuitoelettricopu`oessereutileavererappresentazioniditipodiverso, asecondadeltipodianalisichesiintendeeffettuare.Tralealtre, esistono descrizionicheriguardanola capacit`adiunapartedelcircuitodiinteragirecol resto:intalcaso,nonoccorredescrivereneldettagliolastrutturainternadi taleparte,mabastacaratterizzarneilcomportamento interminideipossibili collegamenticonaltreparti.

DefinizionediN-porte PerN-portesiintendeunaretenellaqualesiano messeinevidenzaNcoppiediterminali(detteporte), destinatealcollegamentoconaltrettantibipolioretiditipobipolare (→ lacorrenteentrantein unterminaledellaportadevecoincidereconquellauscentedall’altro).

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

Aglieffettidelcollegamentoconaltrereti,l’N-porte`edescrittodalleN tensionidiportaedaaltrettantecorrentidiporta.Siesamina orailcasodei 2-porte.

4.12-porteodoppibipoli

Un2-portesirappresenta(conlaconvenzionedegliutilizzatori)in questo modo(configurazionepropria):

Comesi`evisto,unbipolopu`oammetterebasecorrentee/obase tensione. Il2-porte,nelsuocomplesso,pu`oammettere:

• base corrente (→ date(i1,i2)qualsiasi ⇒ sideterminanounivocamente(v1,v2));

• base tensione (→ date(v1,v2)qualsiasi ⇒ sideterminanounivocamente(i1,i2));

• base mista (→ date(i1,v2)[o(v1,i2)]qualsiasi ⇒ sideterminano univocamente(v1,i2)[o(i1,v2)]);

• nessunabase.

N.B.(i1,v1)e(i2,v2) non sonobasiperch`enon`epossibileimporrecontemporaneamentetensioneecorrentearbitrariesullastessaporta.

Chedifferenzac’`etraun2-porteeun4-terminali?

nota: Leequazionicostitutivedipendonodallevariabilidescrittivedi entrambeleporte,ingenerale.Lasituazioneraffigurataquisotto`esolo uncasolimitedi2-porte.

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

4.2Rappresentazionedei2-porte

Siconsideranocircuiti,accessibilidadueporte,chesianolinearietempoinvarianti(→ prividigeneratoriindipendenti).

Essendolineare,ogni2-portepu`oesseredescrittoattraversodueequazioni lineariomogeneenellequattrovariabilidescrittive ⇒ `epossibileesplicitare duevariabiliinfunzionedellealtredue ⇒ ledueequazionirisultantisono caratterizzatedaquattrocoefficienti,checostituisconoi parametri (costanti, perch`eil2-porte`etempo-invariante)dellarappresentazione. Ciascuninsiemediparametrihacaratteristicheproprie,chelorendonomiglioredialtri perspecificheconfigurazioni,anchesetutti(purch´eesistano)caratterizzano completamentelarete.Interminigenerici,leequazionirisultantisono:

dove a,b,c e d sonoiparametri,mentre u1,u2,w1 e w2 sonolaquaternadi variabilidescrittivedel2-porte.

Cisonoseipossibiliscelteperlacoppiadivariabiliindipendenti ⇒ seidiverse matrici:

• Matricediresistenza[R]

Esistepurch´eil2-porteammetta almeno labasecorrente. Comesiricavanoiparametri,datouncircuito?Direttamentedalle equazionicostitutive,senote,oppureinbaseallarappresentazione:

Nelcasodi r11,adesempio,siimpone i1

(⇒ i2 =0).

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

• Matricediconduttanza[G]

Esistepurch´eil2-porteammetta almeno labasetensione. Comesiricavanoiparametri,datouncircuito?

Esistepurch´eil2-porteammetta almeno labasemista(i1,v2).

Comesiricavanoiparametri,datouncircuito?

Esistepurch´eil2-porteammetta almeno labasemista(v1,i2).

Questeprimequattrorappresentazionisidicono cardinali esono legateaunabasedidefinizione.

Esistonopoialtreduerappresentazioni(noncardinali):

• Matricetrasmissionediretta[T ]

Inquestocaso nonsiparladibasedidefinizione (non`epossibileimporretensioneecorrenteallastessaporta).Bisognasolovedere se,da unpuntodivistaalgebrico,assegnate v2 e i2 sipossonodeterminare univocamente v1 e i1.Questarappresentazione`eusatasoventeperdescriverela“connessioneincascata”(sivedr`amegliopi`uavanti) con altri2-porte:

4.2.1Casononomogeneo

Inizialmentesonostaticonsideratisoltanto2-portelinearietempoinvarianti,escludendocos`ılapresenzainternadigeneratori. ` Epossibilegeneralizzareirisultatiottenuti,tenendocontoche,interminigenerici,le equazioni descrittivedi2-portecontenentigeneratorisarebberodeltipo:

⇒ ` Epossibileusarerappresentazioniequivalentiriportandosiaconsiderare 2-portelineari:

4.3Potenzainun2-porte

Lapotenzaassorbita(conlaconvenzionedegliutilizzatori)daun2-porte`e pariallasommadellepotenzeassorbitedaciascunaporta:

Inanalogiaaquantovistoperibipoli,`epossibileclassificareanchei2-porte inbaseacriterienergetici:

• inerte → p(t) ≡ 0 ∀t (einognisituazioneelettrica)

=0 ∀t)

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

• passivo(odissipativo) → p(t) ≥ 0 ∀t (einognisituazione) ( t −∞ p(τ )dτ ≥ 0 ∀t)

• strettamenteattivo → p(t) ≤ 0 ∀t (einognisituazione)

( t −∞ p(τ )dτ ≤ 0 ∀t)

• attivo → p(t)pu`oesseresiapositivasianegativa

( t −∞ p(τ )dτ pu`oesseresiapositivasianegativa)

DiscorsodeltuttoanalogovaleperunN-porte:

4.4Simmetria

Un2-portesidicesimmetricoseledueequazionicostitutiverimangonoimmutatescambiandoleduecorrentitraloroeleduetensionitraloro.Altrimentivienedettononsimmetrico.Daunpuntodivistacircuitale,questa definizionesignificachesesiscambianoleporte,leequazionicostitutivedel 2-portenoncambiano ⇒ inuncircuito`epossibilecollegarlosenzapreoccuparsidisaperelanumerazionedelleporte.Sivedeoraqualisonoivincoli impostidallasimmetriaallematricicherappresentanoun2-porte.

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

Riordinandol’ultimaespressionescritta,inmododapoterlaconfrontarecon la A,siha: B : v1 v2 = r22 r21 r12 r11

i1 i2

Confrontandoleduerappresentazioni A e B,sideducecheil2-porte`esimmetricoseesolose r11 = r22 & r12 = r21 ⇒ nonbastalasimmetriadi [R]!! Perlamatrice[G]siricavanocondizionianaloghe(verificareperesercizio).

4.4.2Matrice [H]

Riordinando,peresempioconilmetododiKramer,siottiene:

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

4.4.3Matrice [T ]

Lecondizionidisimmetriasono(verificareperesercizio):

4.5Reciprocit`a

Lareciprocit`a`eunadellepropriet`amoltogeneraliutiliacaratterizzareun componente(oltrealinearit`a,tempoinvarianza,passivit`aebase didefinizione).SiconsideriungenericocomponenteaNterminalielevariabili descrittiveinduepossibilisituazionielettriche[

linearietempoinvariantipi`ugeneratoriindipendenti`edetto reciproco se leduepotenzeincrociatecoincidonoperqualsiasicoppiadisituazioni,ossia

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

⇒ p′ ≡ p′′ inqualsiasisituazione ⇒ ilresistore`ereciproco.Cortocircuito ecircuitoapertosonocomponentireciproci,mentrei generatoriindipendenti nonlosono(verificareperesercizio),cos`ıcomenonsonolinearin´e,in generale,tempoinvarianti.

4.5.1Teoremadireciprocit`a

Uncomponentecompositoicuicostituentielementarisianoreciproci`easua voltareciproco.

Dunque,uncircuitocostituitodasoliresistori,corticircuitiecircuiti aperti`esicuramentereciproco.

N.B. :uncomponentecompositochecontengaalmenouncomponente non reciproco ingenere `easuavolta non reciproco,manonlo`enecessariamente.

4.6Reciprocit`anei2-porte

Siricavanoivincoliimpostidallareciprocit`aallevariematricidirappresentazionediun2-porte.

4.6.1Matrici [R] e [G]

un2-portecheammetta basecorrente(ossiaperilqualeesistalamatrice[R])`ereciprocopurch´ela matrice[R]siasimmetrica(⇒ seil2-porte`esimmetrico,`eanchereciproco). Stessodiscorsovaleperun2-portecheammettabasetensione(ossia,peril qualeesistalamatrice[G]):il2-porte`ereciproco

[G]`esimmetrica.

Esempiodiapplicazionedelteoremadireciprocit`a. Il2-porteinfigura:

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari `erealizzabileconsoliresistorilineariadueterminali?

Siccome[R]non`esimmetrica,il2-portenon`ereciproco ⇒ non pu`oessere realizzatoconsoliresistorilineari(componentireciproci).

4.6.2Matrice [H]

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

4.6.4Riepilogo

Condizionisufficientiperlasimmetriaolareciprocit`adi2-porteadinamici tempoinvariantielineari: simmetrico reciproco

[R] r12 = r21 r11 = r22

[G] g12 = g21 g11 = g22

[T ] |T | =1 t11 = t22

[T ′] |T ′| =1 t′ 11 = t′ 22

[H] h12 = h21 |H| =1

[H ′] h′ 12 = h′ 21 |H ′| =1

Lequattrocondizionirelativeallasimmetriadel2-porteespressatramitele matriciditrasmissioneoibridesonomenogeneralirispettoaquellericavate apagina71,mavanno quasisempre bene(→ esercizio3foglio3eserciziper altracondizione).

4.7Lequattrosorgentipilotate

Sonotrai2-portepi`uimportanti.

4.7.1Generatoreditensionepilotatoincorrente(CCVS –CurrentControlledVoltageSource)

Portapilotante (portadiingresso) Portapilotata (portadiuscita)

Equazionidescrittive:

v1 =0

v2 = ri1

dove r `eilparametrodelcomponente(guadagno)[Ω].

Basididefinizione? ` Eammessasololabasecorrente ⇒ esiste(tralerap-

MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari presentazionicardinali)sololamatrice[R]:dalleequazionidescrittivesi ottiene:

R]= 00

0

Matricenonsimmetrica ⇒ 2-porte non reciproco(enonsimmetrico).

Esisteanchelarappresentazione(noncardinale)tramitematrice[T ]:

Configurazionetripolare(seilriferimentoperletensionidiporta`elostesso):

Comportamentoenergetico?

⇒ p(t)pu`oesserepositiva,negativaonulla,istanteperistanteeperogni situazioneelettrica(noncisonovincoli) ⇒ 2-porte attivo

4.7.2Generatoredicorrentepilotatoincorrente(CCCS

Portapilotante (portadiingresso)

Portapilotata (portadiuscita)

–CurrentControlledCurrentSource)

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

Equazionidescrittive:

v1 =0 i2 = βi1

dove β `eilparametrodelcomponente(guadagno)[adimensionale].

Basididefinizione? ` Eammessasololabase(i1,v2) ⇒ esiste(tralerappresentazionicardinali)sololamatriceibridaI[H];dalleequazionidescrittive siottiene:

[H]= 00 β 0

Esisteanchelarappresentazione(noncardinale)tramitematrice[T ]: [T ]= 00 0 1/β

Anchequestocomponente`eattivoenonreciproco(n´esimmetrico).

4.7.3Generatoreditensionepilotatointensione(VCVS –VoltageControlledVoltageSource)

Portapilotante (portadiingresso)

Portapilotata (portadiuscita)

Equazionidescrittive: i1 =0 v2 = αv1

dove α `eilparametrodelcomponente(guadagno)[adimensionale]. Basididefinizione? ` Eammessasololabase(v1,i2) ⇒ esiste(tralerappresentazionicardinali)sololamatriceibridaII[H ′];dalleequazionidescrittive siottiene:

[H ′]= 00 α 0

Esisteanchelarappresentazione(noncardinale)tramitematrice[T ].La corrente i2 non`evincolata ⇒ anchequestocomponente`eattivo.

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

4.7.4Generatoredicorrentepilotatointensione(VCCS –VoltageControlledCurrentSource)

i1 i2

gv1 v1 v2

Portapilotante (portadiingresso) Portapilotata (portadiuscita)

Equazionidescrittive: i1 =0 i2 = gv1

dove g `eilparametrodelcomponente(guadagno)[Ω 1]. Basididefinizione? ` Eammessasololabasetensione ⇒ esiste(tralerappresentazionicardinali)sololamatrice[G];dalleequazionidescrittivesi ottiene:

[G]= 00 g 0

Esisteanchelarappresentazione(noncardinale)tramitematrice[T ].La tensione v2 non`evincolata ⇒ anchequestocomponente`eattivo.

4.7.5Note

• L’importanzadeigeneratoripilotati`edovutaallasemplicit`adelloro modellopi`ucheall’aderenzaacomponentifisici.Sonoutilissimiper costruire(assiemeadaltricomponenti)modelli(sivedrannoalcuniesempi).Inparticolarevannocitatiimodellidei transistori (non sarannoconsideratinell’ambitodiquestocorso).

• Occorresemprefaremoltaattenzioneallevariabilipilotanti,chein generenonvengonoevidenziatesuunaporta:

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

Neiduecasi,laportapilotanteresta“nascosta”

• Altrepossibilinotazioni: Generatoredi correntepilotato (intens.ocorr.) + Generatoredi tensionepilotato (intens.ocorr.)

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

4.8Nullore(amplificatoreoperazionaleideale)

Ilnullore`eun2-porteche(sottoopportuneipotesi)costituisce ilmodello idealediuncomponentefisicomoltodiffuso:l’amplificatoreoperazionale. Ilnulloresipu`oottenerefacendoriferimentoaduebipoli“patologici”:il nullatoreeilnoratore.

Nullatore:

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

Equazionidescrittive(sonodueperdescrivereunbipolo ⇒ sitrattadiun caso“patologico”):

=0

Noratore:

Equazionidescrittive(nessunvincolotralevariabilidescrittivedel bipolo ⇒ sitrattadiuncaso“patologico”):

i qualsiasi

v qualsiasi MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

Ilnullorehasuunadelledueporteunnullatoreesull’altraunnoratore ⇒ leduepatologiesicompensano:

Equazionidescrittive(`eun2-portedescrittodadueequazioni ⇒ non`e patologico!):

v1 =0 i1 =0

Basididefinizione?Nessuna. ` Eammessasololarappresentazione(non cardinale)tramitematrice[T ]: [T ]= 00 00

Lapotenzaassorbita`e p(t)= v1i1 + v2i2 = v2i2∀⇒ componente attivo Vediamosottoqualiipotesiilnullorepu`ocostituireunmodelloequivalente dell’amplificatoreoperazionale:

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

L’equivalenzavalesottoleseguentiipotesi(relativeall’amplificatore operazionale):

-massavirtuale(⇒ v1 =0);

-impedenzadiingressoinfinita(⇒ i1 =0);

-funzionamentoinzonalineare.

Rappresentazioniequivalentidiunnulloretramitegeneratoripilotati:

(VCVScon guadagnounitario) (CCCScon guadagnounitario)

(CCCScon guadagnounitario) (VCVScon guadagnounitario)

Esempio.

Determinarel’equazionedescrittivadelbipolocompositosottostante:

4.9Trasferitoriidealidipotenza

Inquestoparagrafosicercadicapirese`epossibiledefinire2-porteinerti (→ p(t) ≡ 0 ∀ t),maingradodiassorbireoerogarepotenzanonnullada ciascunaporta(⇒ perch´esianoinertioccorrechelapotenzaassorbitadauna portacoincidaistanteperistanteconquellaerogatadall’altra).Seesistono, sarannodefinititrasferitoriidealidipotenza.

Descrivendoil2-portetramitelamatriceditrasmissionediretta(vistoche

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

dobbiamotrasferirepotenzadaunaportaall’altra`eragionevolesupporreche esista)

Si`eottenutounsistemanonlinearedi3equazionie4incogniteper ilquale esistedunqueungradodilibert`a.Lasoluzionepu`oesseresolodi duetipi:

Diquesteduesoluzioni,solounadefinisceun2-portereciproco(|T | =1), cio`elaseconda:

Questo2-porte`edetto trasformatoreideale eilparametro n `edetto rapportoditrasformazione

Equazionidescrittive:

Sinoticheil2-porte`ereciproco(|T | =1),ma`enonsimmetrico(t11 = t22). Simboloalternativo(chehaalcunecontroindicazioni): MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

Iltrasformatoreideale`einerteperdefinizione.Qualisonolesuebasidi definizione?(v1,i2)(⇒ [H ′])e(i1,v2)(⇒ [H]).Altrerappresentazioni ammesse(noncardinali):[T ]e[T ′].

Modelliequivalenticonigeneratoripilotati:

Sesiribaltauntrasformatoreideale,siottieneancorauntrasformatoreideale conrapportoditrasformazioneinverso(infatti`eun2-portenonsimmetrico!).

Se n =1(esiusala configurazionetripolare)siottieneun connettoreideale:

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

v

i1 i2 i b v

Esempio:resistore.

4.10Connessionedi2-porte

= nv

Presuppostonecessarioallaconnessione`echeleportechesicolleganoabbianobasididefinizionecompatibili(perevitaresituazioniassurde).

[T1] [T2] v2 v1 v3 i1 i2 i2 i3 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 87

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

Quandosiconnettono2-porteincascataconvienedescriverlimediantela matriceditrasmissione(purch´eesistasiaperi2-portedaconnetteresiaper il2-portecomplessivo).

⇒ il2-porteottenutomettendoincascataiduedipartenza`edescrittoda unamatriceditrasmissione[T ]=[

1][T2](purch´eesista).Lestrutturein cascatasonopiuttostofrequenti,specialmenteinambitoelettronico(p.es., stadidiamplificazione).

4.10.2Connessioneinparallelo

Seidue2-porte(attenzione:`efondamentalecheAeBsiano2-porte,per poteraffermarecheanchelaloroconnessionedefinisceun2-porte)ammettonoentrambilamatricediconduttanza,alloralamatrice[G]del2-porte risultante,purch´eesista,`e[G]=[GA]+[GB ].Infatti:

4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari

4.10.3Connessioneinserie(oserie-serie)

Seentrambii2-porteammettonolamatrice[R] ⇒ lamatrice[R]del2-porte risultante,purch´eesista,`e[R]=[RA]+[RB ].

Considerazionideltuttoanaloghevalgonoperleconnessioniserie -parallelo(sisommanolematrici[H])eparallelo-serie(sisommanolematrici [H ′]).

Esempi:

Poich´eilnullorehamatriceditrasmissionetuttanulla,siha

[T ]= 00 00 (siottieneancoraunnullore).

MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

Capitolo5

Circuitiadinamicigenerici

Unprimometododitipo“forzabruta”peranalizzareuncircuitoconsistenel risolvereilsistemadi2l equazionichesiottienetenendocontodelleequazioni topologiche(l n +1KVLindipendenti& n 1KCLindipendenti,perun totaledi l equazioniindipendenti)edelleequazionidescrittivedeicomponenti (altre l equazioniindipendentitraloroedalleequazionitopologiche).

Poich`eperognilatodelgrafoassociatoalcircuitohoduevariabili descrittive(correnteetensione),ilsistemaha2l equazioniin2l incogniteed`e completamentedeterminato.

Questometodo(metododeltableauometodototale,chesar`aformalizzatonelparagrafo5.1)valesempre,perqualsiasitipodicircuito(contenente componentilineariononlineari,tempovariantiotempo-invarianti, dinamici oadinamici,ecc.).Percircuitichesoddisfinodeterminatecaratteristiche, esistonometodidianalisisemplificati.

5.1Metododeltableau(ometodototale)

Ingenerale,senonsifannoipotesisulcircuito,`esemprepossibilecostruire unsistemadiequazionimettendoinsiemeleequazionitopologiche(KCL& KVL)elerelazionicostitutivedeicomponenti.Nelcasodicomponentiadinamicilinearietempo-invariantipi`ugeneratoriassortiti,questeultimepossonosempreessereespressecos`ı(equazionideicomponenti informaimplicita, lapi`ugeneralepossibile):

dove H v e H i sonomatricidicoefficientirealiecostantididimensioni fisicheopportune(miste).Basandosisullamatricediincidenza M,ilsistema

5.Circuitiadinamicigenerici completodiequazionidiventa:KVL(l equazioniridondanti):

Leincognitediquestosistemasonoivettori e, v e i.Selamatrice Q `einvertibile,allorailsistemaammetteun’unicasoluzione.Incasocontrario(matricesingolare),siusadirecheilcircuito`epatologico,poich´enon ammettesoluzionioneammetteinfinite.Inentrambiicasivuoldireche c’`estataqualchecattivacombinazioneditopologia&equazionicostitutive (collegamentinonortodossidicomponenti).

5.1.1Esempi

esempioa)Magliedisoligeneratoriditensione(maglieE):

.Seper casolasommafosseproprio0allorale correntisarebberoindeterminate.

esempiob)Tagli(cocicli)disoligeneratoridicorrente(cocicliA):

5.Circuitiadinamicigenerici

KCL:ˆ ı1 ˆ ı2 +ˆ ı3 =0 assurdo.Se percasolasommafosseproprio0,allora letensionidiramodeltagliosarebbero indeterminate.

esempioc)Connessionitrabipolioportechenonammettonolastessabase didefinizione(generatoriditensioneinparalleloageneratoridi tensione;generatoridicorrenteinserieageneratoridicorrente; trasformatoreidealechiusosuduegeneratoriditensioneosudue generatoridicorrente;ecc.).

5.2Principiodisovrapposizione(deglieffet-

Teorema2. Datouncircuito nonpatologico contenentecomponentiadinamici,linearietempo-invariantie N generatoriindipendenti,`epossibile costruire N circuitiausiliari:ognunodiessi`eottenutodaquellooriginario azzerando(passivando)tuttiigeneratoriindipendentitranneuno.

Sottoquesteipotesi,lasoluzionedelcircuitooriginario`eugualealla sommadelle N soluzionidegli N circuitiausiliari.

Dimostrazione. Scomponiamoilvettoredeitermininoti(grandezzeimpresse)

ˆ u(t)cos`ı:

MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

ti).

5.Circuitiadinamicigenerici

Applicandoquestascomposizioneallamatrice Q (invertibile,perch´eper ipotesiilcircuitonon`epatologico)ottenutaconilmetodototalesiha:

⇒ ilvettoresoluzione`edatodallasommadi N vettori,chesonoalorovolta ciascunosoluzionediunodegli N circuitiausiliari.

Ipotesisoddisfatte ⇒ sipu`oapplicareil principiodisovrapposizione: i =?

a)Passiviamo E2 e I (lasciamoattivosolo E1):

b)Passiviamo E1 e I (lasciamoattivosolo E2):

5.Circuitiadinamicigenerici

ib = v1 R1 = E2 R1 + R2

c)Passiviamo E1 e E2 (lasciamoattivosolo I):

R1 ic

R2 I

ic = I R2 R1 + R2

Applicandoilprincipiodisovrapposizione:

i = ia + ib + ic = E1 E2 R2I R1 + R2

nota:ilprincipiodisovrapposizionesibasasulla linearit`a ⇒ nonvale perleretinonlineari.

5.3Principiodisostituzione

Teorema3. Siconsideriunareteadinamica N chesipossadecomporrein duesottoreticomplementari S1 e S2 (lineariononlineari,tempo-varianti otempo-invarianti)interpretabilicomebipoliconnessiinparallelo. N S1

i S2 v

i v

MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

5.Circuitiadinamicigenerici

Dimostrazione. Peripotesiesisteun’unicasoluzione(v,i).Talesoluzione esisteancheperlaretemodificata,perch`e

• se S1 `edefinitosubasecorrente,allora`epossibileassegnareliberamente i ericavare univocamente v.Inoltreilgeneratoredicorrente`edefinito subasetensione ⇒ ammettequalsiasi v.

• se S1 `edefinitosubasetensione,alloravaleildiscorsoduale.

5.4Rappresentazioneequivalentedicircuiti

Ilprincipiodisovrapposizioneequellodisostituzionepossonoessereutilizzati perricavarerappresentazioniequivalentidicircuiti.

Siconsideriuncircuitocostituitodallaconnessionediunareteadinamicaa N portecon N retiaunaporta(bipolicompositi):

L’N -portecontienecomponentiadinamici lineari e tempo-invarianti pi`u generatoriindipendenti ditensioneecorrente.Sisupponechenonvisiano interazionidinessuntipo(escluseleporte)tra N elereti Ni.Siesclude (almenoperilmomento)lapresenzadigeneratoripilotati.

5.4.1TeoremadiTh´eveningeneralizzato

Se N `edefinitaalleportesubasecorrente ⇒ siapplicailteoremadi sostituzione:

Orasiapplicailprincipiodisovrapposizioneesiesprimonoletensioni di porta vi comesommadi N +1contributi:

• uncontributo vCA i dovutoaigeneratoriinternia N quandosipassivano tuttiigeneratoridicorrentealleporte(vCA i `eunatensionedi C ircuito Aperto);

• N contributi,ciascunodovutoalsingologeneratore ik quandosipassivano N etuttiglialtrigeneratoridiporta.

Ciascuncontributointensione`e:

Per i = k sihalaresistenza rii chesimisuraallaporta i quandole altresonoapertee N `epassivata.

Intotalesiha:

dove v `eilvettoredelletensionidiporta,[R] ` lamatricediresistenzadella retepassivatae i `eilvettoredellecorrentidiporta.

Dunquelarappresentazioneequivalente(allaTh´evenin)delcircuitodipartenza`e:

Cosacambiasein N sonopresentigeneratoripilotati?Selagrandezza pilotante`e esterna a N (`einunadelleretibipolari Ni,peresempio),allora tuttovacomeseigeneratorifosseroindipendenti ⇒ sipassivanopassivando N .Incasocontrario,silascianostare.

5.Circuitiadinamicigenerici

Nelcasoparticolareincui N =1(larete N `eunbipolo),siottieneil teoremadiTh´eveninnellasuaformulazioneclassica.

TeoremadiTh´evenin(1883)

LaresistenzaelatensioneimpressadelmodellodiTh´evenin(esiste perch`esi sonosupposteportedefinitesubasecorrente)delbipolo N coincidonoconla resistenza RTH = v i dellaretepassivataeconlatensioneavuoto eTH = vCA delbipolo N ,rispettivamente.

5.Circuitiadinamicigenerici

5.4.2TeoremadiNortongeneralizzato

Se N `edefinitaalleportesubasetensione,sipossonofareconsiderazioni analogheaquelleespostenelparagrafo5.4.1 ⇒ siapplicailteoremadi sostituzione.

Innanzituttosiapplicailprincipiodisovrapposizioneesiesprimono lecorrentidiporta ii comesommadi N +1contributi:

• uncontributo icc i dovutoaigeneratoriinternia N quandosicortocircuitano(passivano)tuttiigeneratori vk (k =1,...,N )

• Ncontributi,ciascunodovutoalsingologeneratore vk quandosipassivano N etuttiglialtrigeneratoridiporta.

Ciascuncontributoincorrente`e:

Per i = k sihalaconduttanzachesimisuraallaporta i quandotutte lealtresonopassivate.

5.Circuitiadinamicigenerici

Nelcasoincuisianopresentigeneratoripilotati,cisicomporta comedescritto apagina96nelparagrafo5.4.1.

PerN=1,siottieneilteoremadiNorton.

TeoremadiNorton(1926)

Notastorica:ilritardorispettoalteoremadiTh´evenin`edovutoalfattoche bipoliilcuimodellofosseungeneratorequasiidealedicorrentefuronoscopertipi`utardi.Laresistenzaelacorrenteimpressadelmodellodi Norton(ho suppostoportedefinitesubasetensione ⇒ esiste)delbipolo N coincidono conlaresistenza RNR = 1 gNR dellaretepassivataeconlacorrentedicorto circuito aNR = icc delbipolo N ,rispettivamente.

5.4.3Rappresentazioniibride

Se N `edefinitoalleporteinbasemista ⇒ siapplicaadogniportala sostituzioneopportuna ⇒ siprocedeanalogamente(laretepassivatasar`a descrittatramiteunamatriceibrida).