3.Bipoliadinamiciecircuitielementari
Figura3.2:Connessioneinseriediduebipoli.
soli costituisconountaglionodale(⇒ sonopercorsidallastessacorrente). Esempio:
IduebipoliAeBcostituisconountagliononnodale,ma`epossibilericondursi aunaconfigurazioneequivalentetenendocontocheiquattrobipoliformano unamaglia ⇒ sonoattraversatidallastessacorrente(ciclica):
L’estensionealcasodipi`udiduebipoli`eimmediata.
Laconnessioneinseriediduebipoliadinamicidefinitisubasecorrente `emostratainfigura3.3(a).IlmodelloequivalentediTh´evenindel bipolo`e rappresentatoinfigura3.3(b),dove:
ic ia ib va vb vc va vb vc ia ib ic Latiorientati comeletensioni taglinodali ⇒ ia = ib = ic maglia ⇒ vc = va + vb
Bipolo composito 1 A B Bipolo composito 2 ia ib va vb v1 v2
Bipolo composito 1 A B Bipolo composito 2 ia ib va vb v1 v2
RTHc = RTHa + RTHb eTHc = eTHa + eTHb
Efacileverificarequesteespressioni,tenendopresenteche: 52 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
`
Figura3.3:(b)ModelloequivalentediTh´evenindelbipolocomplessivo (a)costituitodallaconnessioneinserietraduebipolicheammettono base corrente(equindiammettonoilmodelloequivalentediTh´evenin).
va = RTH ia + eTHa
vb = RTH ib + eTHb
Esempiconbipolinotevoli. Esistonotrepossibilit`a: a)entrambiibipoliconnessiinserieammettonolabasecorrente ⇒ la connessione`epienamentesensata.
TH
a
THb eTH
a ib ic va vb vc (a) RTHc eTHc + ic vc (b)
3.Bipoliadinamiciecircuitielementari R
a eTH
+ R
b + i
(Th´evenin)
(serie)
c
va + vb = RTHa ia + eTHa + RTHb ib + eTHb ⇔ vc =(RTHa + RTHb) RTHc ic + eTHa + eTHb eTHc
vc = va + vb ic = ia = ib
Verifica. v
=
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 53
3.Bipoliadinamiciecircuitielementari
b)Unosolodeiduecomponentiammettelabasecorrente ⇒ ilbipolo complessivocoincideconl’altro,datochelatensionecomplessivanon`evincolata(infattiquelladelcomponentenondefinitosubasecorrente`elibera), mentrelacorrente ic `eimpostadalcomponentestesso.Gliunicibipolinotial momentonondefinitisubasecorrentesonoilcircuitoapertoeilgeneratore dicorrente.
Inentrambigliesempiriportatiquialato va non `evincolata ⇒ nemmeno vc lo`e.
Leequivalenzevalgono purch´enoninteressideterminare va o vb nota:ilgenericobipoloindicatonellefiguresovrastanti`eunbipolo notevolediversodaungeneratoredicorrenteedauncircuitoaperto.
c)Senessunodeiduecomponentiammettelabasecorrente ⇒ o nonpossono essereconnessiinserie(generanosituazioniassurde) o generanosituazioni nondeterminate.
Ra Rb ⇔ Ra + Rb ea(t) + eb(t) + ⇔ ea(t)+ eb(t) +
ic va vb vc ⇔ vc = va + vb ic =0 I a → ic va vb vc ⇔ I vc = va + vb ic = a
54 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
3.Bipoliadinamiciecircuitielementari
Nell’ultimodegliesempi,sihanno ia =0e ib =0comeequazionicostitutive, mentre va e vb nonsonovincolate.Dunque,supponendodipoterdeterminare vc sullabasedicollegamenticonilrestodelcircuito,sipu`osolodireche vc = va + vb ⇒ cisonoinfinitecoppie va,vb chesoddisfanolarelazione.
Casoparticolare:
3.6.2Connessioneinparallelo
Questa`eunaregoladeltuttogenerale(facilmenteestendibilealcasodipi`u bipoliinparallelo).
Connessioneparallelodiduebipoliadinamicidefinitisubasetensione:entrambiammettonoilmodelloequivalentediNorton.
I
I
v
aa ← I ab ← assurdo (nonammissibile)perKCL
a ← assurdo (nonammissibile)perKCL va vb
c ⇔ vc nondeterminata (nonsiriesconoadeterminare va e vb)
i
v
v
i
v
c
a =0 vb
c ≡
c
c = vb
i
i
v
c
a ib
c va vb va ic ia ib vc vb taglinodali ⇒ ic = ia + ib maglia ⇒ vc = va = vb
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 55
equivalentidiNorton,che:
3.Bipoliadinamiciecircuitielementari
a)Quandoentrambiibipoliammettonobasetensione,nonesistonoproblemi:
b)Quandosolounodeiduebipolinonammettebasetensione(gliunicibipoli finoraintrodottiaventiquestacaratteristicasonoilgeneratoreditensionee ilcortocircuito)allorailbipoloequivalentecoincideconesso(lacorrente complessivanon`evincolata,mentrelatensione`eimpostadatalebipolo):
Ra - aa Rb - ab ic va vb vc ⇔ Rc - ac vc ic Verificare,tenendocontodelleregolediconnessioneinparalleloedeimodelli
Rc = RaRb Ra + Rb ⇔ Gc = Ga + Gb e ac = aa + ab Esempinelcasodibipolinotevoli.
Rb Ra ≡ RaRb Ra+Rb I aa ← I ab ← ≡ I aa+ab ←
R + e(t) ib = e R ia ≡ + e(t) ≡ - ↑ a(t) + e(t) ib = a ia Questeequivalenzevalgonosoltantosenoninteressadeterminare ia o ib. 56 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
3.Bipoliadinamiciecircuitielementari
Quest’ultimo`euncasomenoovvio;quellocheconta`echelatensione aicapi delbipoloparallelo`enulla ⇒ iltuttoequivaleauncortocircuito(ameno chenonsidebbadeterminare icc)
c)Quandoentrambiibipolinonammettonobasetensione ⇒ laconnessione parallelonon`eammissibileocreasituazioninondeterminate.
(nonsisanno determinare
3.6.3Partitoriresistivi
• Partitore(semplice)ditensione.
R 0 i 0 ≡ i ≡ - ↑ a(t) icc = i + a i 0
i + e(t) → incompatibili ← + eb(t) + ea(t) ia ib
ia 0 ic vc ≡ ic = ia vc
nondeterminata
ia e ib). Casoparticolare:
Ra va Rb vb i v v = i (Ra + Rb)& va = Raia vb = Rbib ⇒ va = v · Ra Ra+Rb & vb = v · Rb Ra+Rb MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 57
3.Bipoliadinamiciecircuitielementari
Latensionevieneripartitatrairesistoriinproporzioneaivaloridelle loro resistenze
• Partitore(semplice)dicorrente.
Latensionevieneripartitatrairesistoriinproporzioneaivaloridelle loro conduttanze,ossiainmanierainversamenteproporzionaleaivalori dellelororesistenze.
• Partitorimultipli.
i
Ra ia Rb ib i v
= v (Ga + Gb)= v 1 Ra + 1 Rb & ia = vGa ib = vGb ⇒ ia = i Ga Ga+Gb = i Rb Ra+Rb ib = i Gb Ga+Gb = i Ra Ra+Rb
Laregolasiestendefacilmente: RN R4 R3 R2 R1 v1 i v vk = v Rk N j=1 Rj ,k =1, ··· ,N RN R4 R3 R2 R1 i1 i v ik = i Gk N j=1 Gj ,k =1, ,N Esempio: 58 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
R1 R2 R2 + V - R2 R2 E +
R1 affinch´el’indicazionedelvoltmetro sia E 4 Neiramiinparallelopassalastessacorrente(iresistorisonotuttiuguali). R1 v1 2R2 2R2 v2 E + Maperilpartitoreditensionesiha: v2 = E Req R1 + Req Req = 4R2 2 2R2 +2R2 = 4R2 2 4R2 = R2 ⇒ E 2 = E R2 R1 + R2 ⇔ R1 + R2 =2R2 ⇔ R1 = R2 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 59
3.Bipoliadinamiciecircuitielementari
Determinareilvalorechedeveavere
3.Bipoliadinamiciecircuitielementari 60 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
Capitolo4 Doppibipoliadinamicie circuitielementari
Diuncircuitoelettricopu`oessereutileavererappresentazioniditipodiverso, asecondadeltipodianalisichesiintendeeffettuare.Tralealtre, esistono descrizionicheriguardanola capacit`adiunapartedelcircuitodiinteragirecol resto:intalcaso,nonoccorredescrivereneldettagliolastrutturainternadi taleparte,mabastacaratterizzarneilcomportamento interminideipossibili collegamenticonaltreparti.
DefinizionediN-porte PerN-portesiintendeunaretenellaqualesiano messeinevidenzaNcoppiediterminali(detteporte), destinatealcollegamentoconaltrettantibipolioretiditipobipolare (→ lacorrenteentrantein unterminaledellaportadevecoincidereconquellauscentedall’altro).
NN N1 N2 Nk N-porte i2 (i2) v2 (i1) i1 v1 iN (iN ) vN ik (ik) vk 61
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
Aglieffettidelcollegamentoconaltrereti,l’N-porte`edescrittodalleN tensionidiportaedaaltrettantecorrentidiporta.Siesamina orailcasodei 2-porte.
4.12-porteodoppibipoli
Un2-portesirappresenta(conlaconvenzionedegliutilizzatori)in questo modo(configurazionepropria):
Comesi`evisto,unbipolopu`oammetterebasecorrentee/obase tensione. Il2-porte,nelsuocomplesso,pu`oammettere:
• base corrente (→ date(i1,i2)qualsiasi ⇒ sideterminanounivocamente(v1,v2));
• base tensione (→ date(v1,v2)qualsiasi ⇒ sideterminanounivocamente(i1,i2));
• base mista (→ date(i1,v2)[o(v1,i2)]qualsiasi ⇒ sideterminano univocamente(v1,i2)[o(i1,v2)]);
• nessunabase.
N.B.(i1,v1)e(i2,v2) non sonobasiperch`enon`epossibileimporrecontemporaneamentetensioneecorrentearbitrariesullastessaporta.
Chedifferenzac’`etraun2-porteeun4-terminali?
i1 (i1) (i2) i2 v1 v2
v1 v2 i1 i2
Esisteanchela configurazionetripolare,inalcunicasi:
62 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
nota: Leequazionicostitutivedipendonodallevariabilidescrittivedi entrambeleporte,ingenerale.Lasituazioneraffigurataquisotto`esolo uncasolimitedi2-porte.
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari 4-term. 12 3 0 v1 v2 v3 i1 i2 i3 i1 + i2 + i3 2-porte i1 (i1) (i2) i2 v1 v2 Il4-terminaliha6variabilidescrittive,mentreil2-portenehasolo 4(c’`eun vincolosuogniporta:correnteiningresso=correnteinuscita). Grafodiun2-porte: i1 i2 v1 v2 1 2 3 4 → 1 2 3 4 Grafo sconnesso DB T B Esempio: → vDB1 vT 2 vB vDB2 vT 1 Grafosconnesso
v1 v2 i1 i2 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 63
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
4.2Rappresentazionedei2-porte
Siconsideranocircuiti,accessibilidadueporte,chesianolinearietempoinvarianti(→ prividigeneratoriindipendenti).
Essendolineare,ogni2-portepu`oesseredescrittoattraversodueequazioni lineariomogeneenellequattrovariabilidescrittive ⇒ `epossibileesplicitare duevariabiliinfunzionedellealtredue ⇒ ledueequazionirisultantisono caratterizzatedaquattrocoefficienti,checostituisconoi parametri (costanti, perch`eil2-porte`etempo-invariante)dellarappresentazione. Ciascuninsiemediparametrihacaratteristicheproprie,chelorendonomiglioredialtri perspecificheconfigurazioni,anchesetutti(purch´eesistano)caratterizzano completamentelarete.Interminigenerici,leequazionirisultantisono:
dove a,b,c e d sonoiparametri,mentre u1,u2,w1 e w2 sonolaquaternadi variabilidescrittivedel2-porte.
Cisonoseipossibiliscelteperlacoppiadivariabiliindipendenti ⇒ seidiverse matrici:
• Matricediresistenza[R]
Esistepurch´eil2-porteammetta almeno labasecorrente. Comesiricavanoiparametri,datouncircuito?Direttamentedalle equazionicostitutive,senote,oppureinbaseallarappresentazione:
Nelcasodi r11,adesempio,siimpone i1
(⇒ i2 =0).
Lineare
i
v
v
& t.-inv.
1 i2
1
2
u1 u2 = ab cd w1 w2
v1 v2 = r11 r12 r21 r22 i1 i2
r11 = v1 i1 i2=0 r12 = v1 i2 i1=0 r21 = v2 i1 i2=0 r22 = v2 i2 i1=0
lasciandolaporta2aperta
i2 =0 v1 v2 - i1 64 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
• Matricediconduttanza[G]
Esistepurch´eil2-porteammetta almeno labasetensione. Comesiricavanoiparametri,datouncircuito?
Esistepurch´eil2-porteammetta almeno labasemista(i1,v2).
Comesiricavanoiparametri,datouncircuito?
Esistepurch´eil2-porteammetta almeno labasemista(v1,i2).
Questeprimequattrorappresentazionisidicono cardinali esono legateaunabasedidefinizione.
Esistonopoialtreduerappresentazioni(noncardinali):
• Matricetrasmissionediretta[T ]
Inquestocaso nonsiparladibasedidefinizione (non`epossibileimporretensioneecorrenteallastessaporta).Bisognasolovedere se,da unpuntodivistaalgebrico,assegnate v2 e i2 sipossonodeterminare univocamente v1 e i1.Questarappresentazione`eusatasoventeperdescriverela“connessioneincascata”(sivedr`amegliopi`uavanti) con altri2-porte:
i1 i2 = g11 g12 g21 g22 v1 v2
g11 = i1 v1 v2=0 g12 = i1 v2 v1=0 g21 = i2 v1 v2=0 g22 = i2 v2 v1=0
] v1 i2 = h11 h12 h21 h22 i1 v2
• MatriceibridaI[H
h11 = v1 i1 v2=0 h12 = v1 v2 i1=0 h21 = i2 i1 v2=0 h22 = i2 v2 i1=0
i1 v2 = h′ 11 h′ 12 h′ 21 h′ 22 v1 i2
• MatriceibridaII[H ′]
v1 i1 = t11 t12 t21 t22 v2 i2
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 65
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari i1 v1 i2 v2 Comesiricavanoiparametri,datouncircuito? 1 t11 = v2 v1 i2=0 1 t12 = i2 v1 v2=0 1 t21 = v2 i1 i2=0 1 t22 = i2 i1 v2=0 N.B.:Siricavanogliinversideiparametri (perch´enonsi possonoimporretensioneecorrenteallastessaporta). • Matriceditrasmissioneinversa[T ′] v2 i2 = t′ 11 t′ 12 t′ 21 t′ 22 v1 i1 Rappresentazionepocousata(sidefiniscesolopercompletezza). Esempio. i1 → R1 R3 R2 i2 ← v1 v2 Siricavanoleequazionicostitutive: i1 → R1 R3 R2 i2 ← v1 v2 Ri1 R2i2 v1 R1i1 ⇒ v1 R1i1 = v2 R2i2 i1 + i2 = v2 R2i2 R3 Dueequazioninellequattroincognite ⇒ bastariordinare.Peresempio,si ricavano(v1,v2)infunzionedi(i1,i2)peraverelamatrice[R]: v2 = R3i1 +(R2 + R3)i2 v1 = R1i1 R2i2 + R3i1 +(R2 + R3)i2 =(R1 + R3)i1 + R3i2 66 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
4.2.1Casononomogeneo
Inizialmentesonostaticonsideratisoltanto2-portelinearietempoinvarianti,escludendocos`ılapresenzainternadigeneratori. ` Epossibilegeneralizzareirisultatiottenuti,tenendocontoche,interminigenerici,le equazioni descrittivedi2-portecontenentigeneratorisarebberodeltipo:
⇒ ` Epossibileusarerappresentazioniequivalentiriportandosiaconsiderare 2-portelineari:
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari v1 v2 = R1 + R3 R3 R3 R2 + R3 i1 i2 Unaltromododiricavarelamatrice[R]`eilseguente: r11 = v1 i1 |i2=0 ⇒ i1 → R1 R3 R2 i2=0 ← v1 v2 ≡ i1 → R1 R3 v1 v2 ⇒ v1 =(R1 + R3)i1 ⇒ r11 = R1 + R3 r12 = v1 i2 |i1=0 ⇒ i1=0 → R1 R3 R2 i2 ← v1 v2 ≡ R2 i2 ← R3 v1 v2 ⇒ v1 = R3i2 ⇒ r12 = R3 ecc. Provareperesercizioaricavarelealtrematrici.
u1 u2 = ab cd w1 w2 + x1 x2
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 67
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari • v1 v2 =[R] i1 i2 v′ 1 v′ 2 + e1 e2 + e1 doppiobipolo lineare(et.inv.) associato e2 + v1 v′ 1 v′ 2 v2 i1 i2 • i1 i2 =[G] v1 v2 i′ 1 i′ 2 + a1 a2 a1 doppiobipolo lineare(et.inv.) associato a2 v1 v2 i1 i′ 1 i2 i′ 2 • v1 i2 =[H] i1 v2 v′ 1 i′ 2 + e a 68 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
4.3Potenzainun2-porte
Lapotenzaassorbita(conlaconvenzionedegliutilizzatori)daun2-porte`e pariallasommadellepotenzeassorbitedaciascunaporta:
Inanalogiaaquantovistoperibipoli,`epossibileclassificareanchei2-porte inbaseacriterienergetici:
• inerte → p(t) ≡ 0 ∀t (einognisituazioneelettrica)
=0 ∀t)
+ e doppiobipolo lineare(et.inv.) associato a v1 v′ 1 v2 i1 i2 i′ 2 • v1 i1 =[T ] v2 i2 v′ 1 i′ 1 + e a + e a doppiobipolo lineare(et.inv.) associato v1 v′ 1 v2 i1 i′ 1 i2
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
p(t)= v1(t)i1(t)+ v2(t)i2(t)
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 69
( t −∞ p(τ )dτ
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
• passivo(odissipativo) → p(t) ≥ 0 ∀t (einognisituazione) ( t −∞ p(τ )dτ ≥ 0 ∀t)
• strettamenteattivo → p(t) ≤ 0 ∀t (einognisituazione)
( t −∞ p(τ )dτ ≤ 0 ∀t)
• attivo → p(t)pu`oesseresiapositivasianegativa
( t −∞ p(τ )dτ pu`oesseresiapositivasianegativa)
DiscorsodeltuttoanalogovaleperunN-porte:
4.4Simmetria
Un2-portesidicesimmetricoseledueequazionicostitutiverimangonoimmutatescambiandoleduecorrentitraloroeleduetensionitraloro.Altrimentivienedettononsimmetrico.Daunpuntodivistacircuitale,questa definizionesignificachesesiscambianoleporte,leequazionicostitutivedel 2-portenoncambiano ⇒ inuncircuito`epossibilecollegarlosenzapreoccuparsidisaperelanumerazionedelleporte.Sivedeoraqualisonoivincoli impostidallasimmetriaallematricicherappresentanoun2-porte.
p(t)= N k=1 vk(t)ik(t)
4.4.1Matrici [R] e [G] A : v1 v2 = r11 r12 r21 r22 i1 i2 [R] 12 v1 v2 i1 i2 Scambiandoleporte,leequazionicostitutivenondevonocambiare ⇒ resta [R]: v2 v1 = r11 r12 r21 r22 i2 i1 70 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
Riordinandol’ultimaespressionescritta,inmododapoterlaconfrontarecon la A,siha: B : v1 v2 = r22 r21 r12 r11
i1 i2
Confrontandoleduerappresentazioni A e B,sideducecheil2-porte`esimmetricoseesolose r11 = r22 & r12 = r21 ⇒ nonbastalasimmetriadi [R]!! Perlamatrice[G]siricavanocondizionianaloghe(verificareperesercizio).
4.4.2Matrice [H]
Riordinando,peresempioconilmetododiKramer,siottiene:
[R] 21 v2 v1 i2 i1
v1 i2 = h11 h12 h21 h22 i1 v2
v2 i1 = h11 h12 h21 h22 i2 v1
Ribaltandoleportesiha:
i2 v1 = v2 h12 i1 h22 |H| h11 v2 h21 i1 |H| = 1 |H| h22 h12 h21 h11 v2 i1 ⇔ v1 i2 = 1 |H| h11 h21 h12 h22 i1 v2 Lecondizionidisimmetriasonodunque: h11 = h11 |H| h12 = h21 |H| h21 = h12 |H| h22 = h22 |H| Unapossibilesoluzione`e |H| =1& h12 = h21 ,manon`el’unica! MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 71
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
4.4.3Matrice [T ]
Lecondizionidisimmetriasono(verificareperesercizio):
4.5Reciprocit`a
Lareciprocit`a`eunadellepropriet`amoltogeneraliutiliacaratterizzareun componente(oltrealinearit`a,tempoinvarianza,passivit`aebase didefinizione).SiconsideriungenericocomponenteaNterminalielevariabili descrittiveinduepossibilisituazionielettriche[
linearietempoinvariantipi`ugeneratoriindipendenti`edetto reciproco se leduepotenzeincrociatecoincidonoperqualsiasicoppiadisituazioni,ossia
t11 = t22 |T | t12 = t12 |T | t21 = t21 |T | t22 = t11 |T |
v′T i′T ]T &[v′′T i′′T ]T N-terminale 1 2 N 1 0 v′ 1 v′ N 1 v′ 2 i′ 1 i′ 2 i′ N 1 N-terminale 1 2 N 1 0 v′′ 1 v′′ N 1 v′′ 2 i′′ 1 i′′ 2 i′′ N 1
p′ e p′′: p′ =[v′′]T i′ =[i′]T v′′ p′′ =[v′]T i′′ =[i′′]T v′
se p ′ = p ′′ ∀ [v ′T i′T ]T &[v ′′T i′′T ]T Altrimentiilcomponentesidicenonreciproco. Esempio:resistore. R i′ v′ R i′′ v′′ p′ = v′i′′ = Ri′i′′ p′′ = v′′i′ = Ri′′i′ 72 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
Orasiintroduconolepotenze(virtuali)incrociate
Definizione:uncomponenteadinamicocontenenteasuavoltacomponenti
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
⇒ p′ ≡ p′′ inqualsiasisituazione ⇒ ilresistore`ereciproco.Cortocircuito ecircuitoapertosonocomponentireciproci,mentrei generatoriindipendenti nonlosono(verificareperesercizio),cos`ıcomenonsonolinearin´e,in generale,tempoinvarianti.
4.5.1Teoremadireciprocit`a
Uncomponentecompositoicuicostituentielementarisianoreciproci`easua voltareciproco.
Dunque,uncircuitocostituitodasoliresistori,corticircuitiecircuiti aperti`esicuramentereciproco.
N.B. :uncomponentecompositochecontengaalmenouncomponente non reciproco ingenere `easuavolta non reciproco,manonlo`enecessariamente.
4.6Reciprocit`anei2-porte
Siricavanoivincoliimpostidallareciprocit`aallevariematricidirappresentazionediun2-porte.
4.6.1Matrici [R] e [G]
un2-portecheammetta basecorrente(ossiaperilqualeesistalamatrice[R])`ereciprocopurch´ela matrice[R]siasimmetrica(⇒ seil2-porte`esimmetrico,`eanchereciproco). Stessodiscorsovaleperun2-portecheammettabasetensione(ossia,peril qualeesistalamatrice[G]):il2-porte`ereciproco
[G]`esimmetrica.
Esempiodiapplicazionedelteoremadireciprocit`a. Il2-porteinfigura:
v =[R]i p′ =[v′′]T i′ =([R]i′′)T i′ =[i′′]T [R]T i′ p′′ =[v′]T i′′ =[i′′]T v′ =[i′′]T [R]i′ ⇒ p′ = p′′ ⇔
⇔ r
[R]`esimmetrica(
12 = r21) ⇒
⇔
[R] i1 i2 v1 v2 [R]= r 5r r 4r MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 73
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari `erealizzabileconsoliresistorilineariadueterminali?
Siccome[R]non`esimmetrica,il2-portenon`ereciproco ⇒ non pu`oessere realizzatoconsoliresistorilineari(componentireciproci).
4.6.2Matrice [H]
v1 i2 =[H] i1 v2 p ′ =[v ′′]T i′ =[v ′′ 1 v ′′ 2 ] i′ 1 i′ 2 = v ′′ 1 i′ 1 + v ′′ 2 i′ 2 p ′′ =[v ′]T i′′ =[v ′ 1 v ′ 2] i′′ 1 i′′ 2 = v ′ 1i′′ 1 + v ′ 2i′′ 2 p ′ = p ′′ ⇔ h11i′ 1i′′ 1 +h12v ′′ 2 i′ 1+h21v ′′ 2 i′ 1+h22v ′ 2v ′′ 2 = h11i′ 1i′′ 1 +h12v ′ 2i′′ 1 +h21v ′ 2i′′ 1 +h22v ′ 2v ′′ 2 ⇔ (h12 + h21)v ′′ 2 i′ 1 =(h12 + h21)v ′ 2i′′ 1 perqualunquecoppiadisituazionielettriche(v′′ 2 , v′ 2, i′ 1, i′′ 2 devonoessere arbitrarie) ⇔ h12 = h21 ⇔ [H]`e antisimmetrica Stessacondizionesiricavaperlamatrice[H ′]. 4.6.3Matrice [T ] v1 i1 =[T ] v2 i2 p ′ = v ′′ 1 i′ 1 + v ′′ 2 i′ 2 =(t11v ′′ 2 t12i′′ 2 )(t21v ′ 2 t22i′ 2)+ v ′′ 2 i′ 2 p ′′ = v ′ 1i′′ 1 + v ′ 2i′′ 2 =(t11v ′ 2 t12i′ 2)(t21v ′′ 2 t22i′′ 2 )+ v ′ 2i′′ 2 p ′ p ′′ = t11t22v ′′ 2 i′ 2 t12t21v ′ 2i′′ 2 + v ′′ 2 i′ 2 ( t11t22v ′ 2i′′ 2 t12t21i′ 2v ′′ 2 + v ′ 2i′′ 2 )= =(1 t11t22 + t12t21)(v ′′ 2 i′ 2 v ′ 2i′′ 2 )=0 ⇔ t11t22 t12t21 =1 ⇔|T | =1 perognicoppiadisituazionielettriche(v′′ 2 , v′ 2, i′ 1, i′′ 2 devonoessere arbitrarie). Stessacondizionesiricavaperlamatrice[T ′]. 74 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
4.6.4Riepilogo
Condizionisufficientiperlasimmetriaolareciprocit`adi2-porteadinamici tempoinvariantielineari: simmetrico reciproco
[R] r12 = r21 r11 = r22
[G] g12 = g21 g11 = g22
[T ] |T | =1 t11 = t22
[T ′] |T ′| =1 t′ 11 = t′ 22
[H] h12 = h21 |H| =1
[H ′] h′ 12 = h′ 21 |H ′| =1
Lequattrocondizionirelativeallasimmetriadel2-porteespressatramitele matriciditrasmissioneoibridesonomenogeneralirispettoaquellericavate apagina71,mavanno quasisempre bene(→ esercizio3foglio3eserciziper altracondizione).
4.7Lequattrosorgentipilotate
Sonotrai2-portepi`uimportanti.
4.7.1Generatoreditensionepilotatoincorrente(CCVS –CurrentControlledVoltageSource)
Portapilotante (portadiingresso) Portapilotata (portadiuscita)
Equazionidescrittive:
v1 =0
v2 = ri1
dove r `eilparametrodelcomponente(guadagno)[Ω].
Basididefinizione? ` Eammessasololabasecorrente ⇒ esiste(tralerap-
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
+ ri1 v1 v2 i1 i2
75
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari presentazionicardinali)sololamatrice[R]:dalleequazionidescrittivesi ottiene:
R]= 00
0
Matricenonsimmetrica ⇒ 2-porte non reciproco(enonsimmetrico).
Esisteanchelarappresentazione(noncardinale)tramitematrice[T ]:
Configurazionetripolare(seilriferimentoperletensionidiporta`elostesso):
Comportamentoenergetico?
⇒ p(t)pu`oesserepositiva,negativaonulla,istanteperistanteeperogni situazioneelettrica(noncisonovincoli) ⇒ 2-porte attivo
4.7.2Generatoredicorrentepilotatoincorrente(CCCS
Portapilotante (portadiingresso)
Portapilotata (portadiuscita)
[
r
[
T ]= 00 1/r 0
+ ri1 v1 v2 i1 i2 ⇔ ri1 + v1 v2 i1 i2
p = v1i1 + v2i2 = ri1i2 ⋚ 0 ∀t
βi1 v1 v2 i1 i2
–CurrentControlledCurrentSource)
76 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
Equazionidescrittive:
v1 =0 i2 = βi1
dove β `eilparametrodelcomponente(guadagno)[adimensionale].
Basididefinizione? ` Eammessasololabase(i1,v2) ⇒ esiste(tralerappresentazionicardinali)sololamatriceibridaI[H];dalleequazionidescrittive siottiene:
[H]= 00 β 0
Esisteanchelarappresentazione(noncardinale)tramitematrice[T ]: [T ]= 00 0 1/β
Anchequestocomponente`eattivoenonreciproco(n´esimmetrico).
4.7.3Generatoreditensionepilotatointensione(VCVS –VoltageControlledVoltageSource)
Portapilotante (portadiingresso)
Portapilotata (portadiuscita)
Equazionidescrittive: i1 =0 v2 = αv1
dove α `eilparametrodelcomponente(guadagno)[adimensionale]. Basididefinizione? ` Eammessasololabase(v1,i2) ⇒ esiste(tralerappresentazionicardinali)sololamatriceibridaII[H ′];dalleequazionidescrittive siottiene:
[H ′]= 00 α 0
Esisteanchelarappresentazione(noncardinale)tramitematrice[T ].La corrente i2 non`evincolata ⇒ anchequestocomponente`eattivo.
+ αv1 v1 v2 i1 i2
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 77
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
4.7.4Generatoredicorrentepilotatointensione(VCCS –VoltageControlledCurrentSource)
i1 i2
gv1 v1 v2
Portapilotante (portadiingresso) Portapilotata (portadiuscita)
Equazionidescrittive: i1 =0 i2 = gv1
dove g `eilparametrodelcomponente(guadagno)[Ω 1]. Basididefinizione? ` Eammessasololabasetensione ⇒ esiste(tralerappresentazionicardinali)sololamatrice[G];dalleequazionidescrittivesi ottiene:
[G]= 00 g 0
Esisteanchelarappresentazione(noncardinale)tramitematrice[T ].La tensione v2 non`evincolata ⇒ anchequestocomponente`eattivo.
4.7.5Note
• L’importanzadeigeneratoripilotati`edovutaallasemplicit`adelloro modellopi`ucheall’aderenzaacomponentifisici.Sonoutilissimiper costruire(assiemeadaltricomponenti)modelli(sivedrannoalcuniesempi).Inparticolarevannocitatiimodellidei transistori (non sarannoconsideratinell’ambitodiquestocorso).
• Occorresemprefaremoltaattenzioneallevariabilipilotanti,chein generenonvengonoevidenziatesuunaporta:
78 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
Neiduecasi,laportapilotanteresta“nascosta”
• Altrepossibilinotazioni: Generatoredi correntepilotato (intens.ocorr.) + Generatoredi tensionepilotato (intens.ocorr.)
gv v (a) i + ri (b) i v ⇔ v Caso(a). i v ⇔ v =0 i Caso(b).
Esempiocircuitale: E + R1 i2 R2 i3 R3 αi2 v Supponendo α< 1,sivuoledeterminarelatensione v.Siconsidera: MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 79
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
4.8Nullore(amplificatoreoperazionaleideale)
Ilnullore`eun2-porteche(sottoopportuneipotesi)costituisce ilmodello idealediuncomponentefisicomoltodiffuso:l’amplificatoreoperazionale. Ilnulloresipu`oottenerefacendoriferimentoaduebipoli“patologici”:il nullatoreeilnoratore.
Nullatore:
E + R1 R2//R3 v αi2 = α v R2 Req = R2//R3 = R2R3 R2 + R3 ⇔ E + R1 Req v R2 α ⇔ E + R1 Req ( R2/α) Req R2/α = RTOT v ⇒ v = E RTOT RTOT + R1 RTOT = R2 α R2R3 R2 + R3 1 R2R3 R2+R3 R2 α = R2 α R2R3 R2 + R3 α(R2 + R3) R2(αR3 R2 R3) = R2R3 R2 + R3(1 α) ⇒ v = E R2R3 R2R3 + R1R2 + R1R3(1 α)
80 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
Equazionidescrittive(sonodueperdescrivereunbipolo ⇒ sitrattadiun caso“patologico”):
=0
Noratore:
Equazionidescrittive(nessunvincolotralevariabilidescrittivedel bipolo ⇒ sitrattadiuncaso“patologico”):
i qualsiasi
v qualsiasi MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
v i
i
v
v i
=0
v i
81
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
Ilnullorehasuunadelledueporteunnullatoreesull’altraunnoratore ⇒ leduepatologiesicompensano:
Equazionidescrittive(`eun2-portedescrittodadueequazioni ⇒ non`e patologico!):
v1 =0 i1 =0
Basididefinizione?Nessuna. ` Eammessasololarappresentazione(non cardinale)tramitematrice[T ]: [T ]= 00 00
Lapotenzaassorbita`e p(t)= v1i1 + v2i2 = v2i2∀⇒ componente attivo Vediamosottoqualiipotesiilnullorepu`ocostituireunmodelloequivalente dell’amplificatoreoperazionale:
v i
v1 v2 i1 i2 ⇔ v1 v2 i1 i2 0 ∞
82 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
L’equivalenzavalesottoleseguentiipotesi(relativeall’amplificatore operazionale):
-massavirtuale(⇒ v1 =0);
-impedenzadiingressoinfinita(⇒ i1 =0);
-funzionamentoinzonalineare.
Rappresentazioniequivalentidiunnulloretramitegeneratoripilotati:
(VCVScon guadagnounitario) (CCCScon guadagnounitario)
(CCCScon guadagnounitario) (VCVScon guadagnounitario)
Esempio.
Determinarel’equazionedescrittivadelbipolocompositosottostante:
+ +Vcc Vcc GND v1 v2 i1 i2 ⇔ v1 v2 i1 i2 0 ∞
i v ⇔ v1 + v v1 i ⇔ i1 i1 v i
v i ⇔ i i v ⇔ + v v i
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 83
4.9Trasferitoriidealidipotenza
Inquestoparagrafosicercadicapirese`epossibiledefinire2-porteinerti (→ p(t) ≡ 0 ∀ t),maingradodiassorbireoerogarepotenzanonnullada ciascunaporta(⇒ perch´esianoinertioccorrechelapotenzaassorbitadauna portacoincidaistanteperistanteconquellaerogatadall’altra).Seesistono, sarannodefinititrasferitoriidealidipotenza.
Descrivendoil2-portetramitelamatriceditrasmissionediretta(vistoche
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari R1 R2 A R0 i0 ∞ 0 i∞ v0 v i v∞ i0 =0 ⇒ su R1 cadeunatensione R1i i R1 R1i v0 =0 ⇒ su R0 siha: v R0 R0 v Inoltre: R1i v0 =0 Grafoorientato comeletensioni ⇒ su R2 cade R1 i epassaunacorrente R1 R2 i. PerlaKCLalnodoAsiha R1 R2 i A i0 =0 v R0 ⇒ v R0 = R1 R2 i ⇔ v = R0 R1 R2 i ⇒ ilbipolocomposito`eunresistorea resitenzanegativa(paria R0R1 R2 ).
84 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
dobbiamotrasferirepotenzadaunaportaall’altra`eragionevolesupporreche esista)
Si`eottenutounsistemanonlinearedi3equazionie4incogniteper ilquale esistedunqueungradodilibert`a.Lasoluzionepu`oesseresolodi duetipi:
Diquesteduesoluzioni,solounadefinisceun2-portereciproco(|T | =1), cio`elaseconda:
Questo2-porte`edetto trasformatoreideale eilparametro n `edetto rapportoditrasformazione
Equazionidescrittive:
Sinoticheil2-porte`ereciproco(|T | =1),ma`enonsimmetrico(t11 = t22). Simboloalternativo(chehaalcunecontroindicazioni): MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
v1 i1 = t11 t12 t21 t22 v2 i2 sihachelapotenzaassorbitadal2-porte`e: p(t)= i1v1 + i2v2 = t11t21v 2 2 (t12t21 + t11t22)v2i2 + t12t22i2 2 + i2v2 = = t11t21v 2 2 +(1 t12t21 t11t22)v2i2 + t12t22i2 2 Pertanto p ≡ 0 ⇔ t11t21 =0 t11t22 + t12t21 =1 t12t22 =0
t11 =0 t22 =0 t12t21 =1 t12 =0 t21 =0 t11t22 =1
[T ]= n 0 0 1 n
v1 v2 n :1 i1 i2
v1 = nv2 i2 = ni1
85
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
Iltrasformatoreideale`einerteperdefinizione.Qualisonolesuebasidi definizione?(v1,i2)(⇒ [H ′])e(i1,v2)(⇒ [H]).Altrerappresentazioni ammesse(noncardinali):[T ]e[T ′].
Modelliequivalenticonigeneratoripilotati:
Sesiribaltauntrasformatoreideale,siottieneancorauntrasformatoreideale conrapportoditrasformazioneinverso(infatti`eun2-portenonsimmetrico!).
Se n =1(esiusala configurazionetripolare)siottieneun connettoreideale:
v1 v2 i1 i2
+ nv2 ni1 v1 v2 i1 i2 oppure i2 n + v1 n v1 v2 i1 i2
v1 v2 n :1 i1 i2 v1 v2 i1 i2 configurazione tripolare connettore ideale 86 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
v
i1 i2 i b v
Esempio:resistore.
4.10Connessionedi2-porte
= nv
Presuppostonecessarioallaconnessione`echeleportechesicolleganoabbianobasididefinizionecompatibili(perevitaresituazioniassurde).
[T1] [T2] v2 v1 v3 i1 i2 i2 i3 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 87
1) v1 = nv2
2) i1 = i2
Iltrasformatoreideale`eun’idealizzazionediuncomponentefisico (trasformatorereale) dinamico e passivo Collegamentoconbipoli: =
1 v2 n :1
n
i n
v
⇒ seilbipolo b `edescrittodallagenericaequazione(informaimplicita) f (i,v)=0,l’equazionedescrittivadelbipolocompositorisultante`e f (ni1, v1 n )=0.
1 v2 n :1 i1 i2 i R v
L’equazionedelbipolocomposito`e v1 = nv = nRi = n2Ri1 ⇒ `eancoraun resistore,maconresistenzascalata.
4.10.1Connessioneincascata
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
Quandosiconnettono2-porteincascataconvienedescriverlimediantela matriceditrasmissione(purch´eesistasiaperi2-portedaconnetteresiaper il2-portecomplessivo).
⇒ il2-porteottenutomettendoincascataiduedipartenza`edescrittoda unamatriceditrasmissione[T ]=[
1][T2](purch´eesista).Lestrutturein cascatasonopiuttostofrequenti,specialmenteinambitoelettronico(p.es., stadidiamplificazione).
4.10.2Connessioneinparallelo
Seidue2-porte(attenzione:`efondamentalecheAeBsiano2-porte,per poteraffermarecheanchelaloroconnessionedefinisceun2-porte)ammettonoentrambilamatricediconduttanza,alloralamatrice[G]del2-porte risultante,purch´eesista,`e[G]=[GA]+[GB ].Infatti:
v1 i1 =[T1] v2 i2 ; v2 i2 =[T2] v3 i3 ⇒ v1 i1 =[T1][T2] v3 i3
T
A i1A i2A B i1B i2B v1 v2 i1 i2 i1A i1B i2A i2B
i1 i2 = i1A + i1B i2A + i2B = i1A i2A + i1B i2B = =[GA] v1 v2 +[GB ] v1 v2 =[[GA]+[GB ]] v1 v2 88 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari
4.10.3Connessioneinserie(oserie-serie)
Seentrambii2-porteammettonolamatrice[R] ⇒ lamatrice[R]del2-porte risultante,purch´eesista,`e[R]=[RA]+[RB ].
Considerazionideltuttoanaloghevalgonoperleconnessioniserie -parallelo(sisommanolematrici[H])eparallelo-serie(sisommanolematrici [H ′]).
Esempi:
Poich´eilnullorehamatriceditrasmissionetuttanulla,siha
[T ]= 00 00 (siottieneancoraunnullore).
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
A i1 i2 v2A v1A B i1 i2 i1 i2 v2B v1B v1 v2 i1 i2
[T2] 0 ∞ v1 v3 i1 i2 [T ]
89
4.Doppibipoliadinamiciecircuitielementari v1 n1 :1 i1 v2 n2 :1 i2 [T ] Complessivamentesiottieneancorauntrasformatore: [T ]= n1 0 0 1 n1 n2 0 0 1 n2 = n1n2 0 0 1 n1n2 (ilrapportoditrasformazionediventa n1n2). 90 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
Circuitiadinamicigenerici
Unprimometododitipo“forzabruta”peranalizzareuncircuitoconsistenel risolvereilsistemadi2l equazionichesiottienetenendocontodelleequazioni topologiche(l n +1KVLindipendenti& n 1KCLindipendenti,perun totaledi l equazioniindipendenti)edelleequazionidescrittivedeicomponenti (altre l equazioniindipendentitraloroedalleequazionitopologiche).
Poich`eperognilatodelgrafoassociatoalcircuitohoduevariabili descrittive(correnteetensione),ilsistemaha2l equazioniin2l incogniteed`e completamentedeterminato.
Questometodo(metododeltableauometodototale,chesar`aformalizzatonelparagrafo5.1)valesempre,perqualsiasitipodicircuito(contenente componentilineariononlineari,tempovariantiotempo-invarianti, dinamici oadinamici,ecc.).Percircuitichesoddisfinodeterminatecaratteristiche, esistonometodidianalisisemplificati.
5.1Metododeltableau(ometodototale)
Ingenerale,senonsifannoipotesisulcircuito,`esemprepossibilecostruire unsistemadiequazionimettendoinsiemeleequazionitopologiche(KCL& KVL)elerelazionicostitutivedeicomponenti.Nelcasodicomponentiadinamicilinearietempo-invariantipi`ugeneratoriassortiti,questeultimepossonosempreessereespressecos`ı(equazionideicomponenti informaimplicita, lapi`ugeneralepossibile):
dove H v e H i sonomatricidicoefficientirealiecostantididimensioni fisicheopportune(miste).Basandosisullamatricediincidenza M,ilsistema
H vv(t)+ H ii(t)=ˆ u(t)
91
5.Circuitiadinamicigenerici completodiequazionidiventa:KVL(l equazioniridondanti):
Leincognitediquestosistemasonoivettori e, v e i.Selamatrice Q `einvertibile,allorailsistemaammetteun’unicasoluzione.Incasocontrario(matricesingolare),siusadirecheilcircuito`epatologico,poich´enon ammettesoluzionioneammetteinfinite.Inentrambiicasivuoldireche c’`estataqualchecattivacombinazioneditopologia&equazionicostitutive (collegamentinonortodossidicomponenti).
5.1.1Esempi
esempioa)Magliedisoligeneratoriditensione(maglieE):
.Seper casolasommafosseproprio0allorale correntisarebberoindeterminate.
esempiob)Tagli(cocicli)disoligeneratoridicorrente(cocicliA):
v = M T e KCL(
Mi =0n 1
H vv + H ii =ˆ u ⇒ M T Il×l 0l×l 0(n 1)×(n 1) 0(n 1)×l M 0l×(n 1) H v H i Q e v i = 0l 0n 1 ˆ u
n 1equazioni):
equazionideicomponenti(l equazioni):
ˆ v2 + + ˆ v1 ˆ v3 + KVL:ˆ v1 ˆ v2 ˆ v3 =0
assurdo
92 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
5.Circuitiadinamicigenerici
KCL:ˆ ı1 ˆ ı2 +ˆ ı3 =0 assurdo.Se percasolasommafosseproprio0,allora letensionidiramodeltagliosarebbero indeterminate.
esempioc)Connessionitrabipolioportechenonammettonolastessabase didefinizione(generatoriditensioneinparalleloageneratoridi tensione;generatoridicorrenteinserieageneratoridicorrente; trasformatoreidealechiusosuduegeneratoriditensioneosudue generatoridicorrente;ecc.).
5.2Principiodisovrapposizione(deglieffet-
Teorema2. Datouncircuito nonpatologico contenentecomponentiadinamici,linearietempo-invariantie N generatoriindipendenti,`epossibile costruire N circuitiausiliari:ognunodiessi`eottenutodaquellooriginario azzerando(passivando)tuttiigeneratoriindipendentitranneuno.
Sottoquesteipotesi,lasoluzionedelcircuitooriginario`eugualealla sommadelle N soluzionidegli N circuitiausiliari.
Dimostrazione. Scomponiamoilvettoredeitermininoti(grandezzeimpresse)
ˆ u(t)cos`ı:
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
ˆ ı2 ˆ ı1 ˆ ı3
ti).
+
e(t) lopassivo v =0 a(t) lopassivo i =0
93
5.Circuitiadinamicigenerici
Applicandoquestascomposizioneallamatrice Q (invertibile,perch´eper ipotesiilcircuitonon`epatologico)ottenutaconilmetodototalesiha:
⇒ ilvettoresoluzione`edatodallasommadi N vettori,chesonoalorovolta ciascunosoluzionediunodegli N circuitiausiliari.
Ipotesisoddisfatte ⇒ sipu`oapplicareil principiodisovrapposizione: i =?
a)Passiviamo E2 e I (lasciamoattivosolo E1):
b)Passiviamo E1 e I (lasciamoattivosolo E2):
ˆ u = ˆ u1 ˆ u2 . ˆ uN = ˆ u1 0 . 0 + 0 ˆ u2 . 0 + + 0 0 . ˆ uN :=ˆ u(1) +ˆ u(2) + +ˆ u(N )
e v i = Q 1 0l 0n 1 N k=1 ˆ u(k) = N k=1 Q 1 0l 0n 1 ˆ u(k)
Esempio5.2.1. i R1 + E1 E2 + R2 I
E1 + R1 ia R2 ⇐⇒ E1 + ia v1 R1 R2 v1 = E1 r1 R1 + R2 ⇒ ia = v1 R1 = E1 R1 + R2
E2 + R2 ib R1 ⇐⇒ E2 + R1 ib v1 R2 94 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
5.Circuitiadinamicigenerici
ib = v1 R1 = E2 R1 + R2
c)Passiviamo E1 e E2 (lasciamoattivosolo I):
R1 ic
R2 I
ic = I R2 R1 + R2
Applicandoilprincipiodisovrapposizione:
i = ia + ib + ic = E1 E2 R2I R1 + R2
nota:ilprincipiodisovrapposizionesibasasulla linearit`a ⇒ nonvale perleretinonlineari.
5.3Principiodisostituzione
Teorema3. Siconsideriunareteadinamica N chesipossadecomporrein duesottoreticomplementari S1 e S2 (lineariononlineari,tempo-varianti otempo-invarianti)interpretabilicomebipoliconnessiinparallelo. N S1
i S2 v
i v
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
Siano v e i latensioneelacorrenteaimorsettidi S1 e S2.Se N ammette un’unicasoluzione(v,i)ese S1 `edefinitosubasecorrente(tensione),allora S2 pu`oesseresostituitodaungeneratoreidealedicorrente(tensione)con correnteimpressa i (tensioneimpressa v): S1 i v oppure S1 95
5.Circuitiadinamicigenerici
Dimostrazione. Peripotesiesisteun’unicasoluzione(v,i).Talesoluzione esisteancheperlaretemodificata,perch`e
• se S1 `edefinitosubasecorrente,allora`epossibileassegnareliberamente i ericavare univocamente v.Inoltreilgeneratoredicorrente`edefinito subasetensione ⇒ ammettequalsiasi v.
• se S1 `edefinitosubasetensione,alloravaleildiscorsoduale.
5.4Rappresentazioneequivalentedicircuiti
Ilprincipiodisovrapposizioneequellodisostituzionepossonoessereutilizzati perricavarerappresentazioniequivalentidicircuiti.
Siconsideriuncircuitocostituitodallaconnessionediunareteadinamicaa N portecon N retiaunaporta(bipolicompositi):
L’N -portecontienecomponentiadinamici lineari e tempo-invarianti pi`u generatoriindipendenti ditensioneecorrente.Sisupponechenonvisiano interazionidinessuntipo(escluseleporte)tra N elereti Ni.Siesclude (almenoperilmomento)lapresenzadigeneratoripilotati.
5.4.1TeoremadiTh´eveningeneralizzato
Se N `edefinitaalleportesubasecorrente ⇒ siapplicailteoremadi sostituzione:
NN vN iN N v1 i1 N1 vi ii Ni
96
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
Orasiapplicailprincipiodisovrapposizioneesiesprimonoletensioni di porta vi comesommadi N +1contributi:
• uncontributo vCA i dovutoaigeneratoriinternia N quandosipassivano tuttiigeneratoridicorrentealleporte(vCA i `eunatensionedi C ircuito Aperto);
• N contributi,ciascunodovutoalsingologeneratore ik quandosipassivano N etuttiglialtrigeneratoridiporta.
Ciascuncontributointensione`e:
Per i = k sihalaresistenza rii chesimisuraallaporta i quandole altresonoapertee N `epassivata.
Intotalesiha:
dove v `eilvettoredelletensionidiporta,[R] ` lamatricediresistenzadella retepassivatae i `eilvettoredellecorrentidiporta.
Dunquelarappresentazioneequivalente(allaTh´evenin)delcircuitodipartenza`e:
iN vN iN N v1 i1 i1 vi ii ii
5.Circuitiadinamicigenerici
vi N passivata ij =0, ∀j=k = ik vi ik N passivata ij =0, ∀j=k rikik dove rik vi ik N passivata ij =0, ∀j=k
k=1 rik
k,i =1,...,N
R]
vi = v CA i + N
i
⇒ v = v CA +[
i
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 97
Cosacambiasein N sonopresentigeneratoripilotati?Selagrandezza pilotante`e esterna a N (`einunadelleretibipolari Ni,peresempio),allora tuttovacomeseigeneratorifosseroindipendenti ⇒ sipassivanopassivando N .Incasocontrario,silascianostare.
5.Circuitiadinamicigenerici NN vN + vca N iN N passivata (descrittatramite[R]) vca 1 + v1 i1 N1 vca i + vi ii Ni
Esempio5.4.1. R1 R2 vCA 1 R2 vca 1 A + E R3 vca 2 R3 vca 2 v CA 1 = E + v CA 2 A = vCA 2 R3 + vCA 1 R2 = vCA 2 R3 + E R2 + vCA 2 R2 ⇔ v CA 2 = R2R3 R2 + R3 (A E R2 )= R3 R2 + R3 (R2A E) ⇒ v CA 1 = E + R3 R2 + R3 (R2A E)= R2 R2 + R3 (R3A + E) Orasipassivalareteinternaesicalcolanoglielementidi[R]: v1 i1 R1 R2 R3 v2 i2 ⇐⇒ v1 i1 R1 R2R3 R2+R3 v2 i2 98 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
5.Circuitiadinamicigenerici
Nelcasoparticolareincui N =1(larete N `eunbipolo),siottieneil teoremadiTh´eveninnellasuaformulazioneclassica.
TeoremadiTh´evenin(1883)
LaresistenzaelatensioneimpressadelmodellodiTh´evenin(esiste perch`esi sonosupposteportedefinitesubasecorrente)delbipolo N coincidonoconla resistenza RTH = v i dellaretepassivataeconlatensioneavuoto eTH = vCA delbipolo N ,rispettivamente.
⇒ r11 = v1 i1 i2=0 = R1 + R2R3 R2 + R3 r11 `elaresistenzavistadallaporta1quandola2`eaperta. r12 = v1 i2 i1=0 = R2R3 R2 + R3 (R1 `eappeso,quindi v1 ≡ v2). r21 = v2 i1 i2=0 = R2R3 R2 + R3 r22 = v2 i2 i1=0 = R2R3 R2 + R3 ⇒ v1 v2 = R2 R2+R3 (R3A + E) R3 R2+R3 (R2A E) + R1 + R2R3 R2+R3 R2R3 R2+R3 R2R3 R2+R3 R2R3 R2+R3 i1 i2 ⇒ Reteequivalente(rappresentazione“allaTh´evenin”): v1 i1 + vca 1 R1 R2 R3 D.B.passivato vca 2 + v2 i2
eTH + N RTH i v N1 ⇐⇒RTH N passivata eTH + i v N1 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 99
5.Circuitiadinamicigenerici
5.4.2TeoremadiNortongeneralizzato
Se N `edefinitaalleportesubasetensione,sipossonofareconsiderazioni analogheaquelleespostenelparagrafo5.4.1 ⇒ siapplicailteoremadi sostituzione.
Innanzituttosiapplicailprincipiodisovrapposizioneesiesprimono lecorrentidiporta ii comesommadi N +1contributi:
• uncontributo icc i dovutoaigeneratoriinternia N quandosicortocircuitano(passivano)tuttiigeneratori vk (k =1,...,N )
• Ncontributi,ciascunodovutoalsingologeneratore vk quandosipassivano N etuttiglialtrigeneratoridiporta.
Ciascuncontributoincorrente`e:
Per i = k sihalaconduttanzachesimisuraallaporta i quandotutte lealtresonopassivate.
vN + iN N i1 + v1 ii + vi
ii N passivata vj =0, ∀j=k = vk ii vk N passivata vj =0, ∀j=k gikvk dove gik = ii vk N passivata vj =0, ∀j=k
Intotalesiha: ii = icc i + N k=1 gikvk i =1,...,N (5.1) i = icc +[G]v (5.2) Dunquelarappresentazioneequivalentedelcircuitodipartenza` e 100 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
5.Circuitiadinamicigenerici
Nelcasoincuisianopresentigeneratoripilotati,cisicomporta comedescritto apagina96nelparagrafo5.4.1.
PerN=1,siottieneilteoremadiNorton.
TeoremadiNorton(1926)
Notastorica:ilritardorispettoalteoremadiTh´evenin`edovutoalfattoche bipoliilcuimodellofosseungeneratorequasiidealedicorrentefuronoscopertipi`utardi.Laresistenzaelacorrenteimpressadelmodellodi Norton(ho suppostoportedefinitesubasetensione ⇒ esiste)delbipolo N coincidono conlaresistenza RNR = 1 gNR dellaretepassivataeconlacorrentedicorto circuito aNR = icc delbipolo N ,rispettivamente.
5.4.3Rappresentazioniibride
Se N `edefinitoalleporteinbasemista ⇒ siapplicaadogniportala sostituzioneopportuna ⇒ siprocedeanalogamente(laretepassivatasar`a descrittatramiteunamatriceibrida).
NN vN iN icc N N passivata (descrittatramite[G]) icc 1 v1 i1 N1 icc i vi ii Ni
aNR N RNR i N1 ⇔ RNR N passivata aNR i N1
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 101