1ile 18 integral 2

İNTEGRAL İÇ KAPAK

Bu kitabın bütün yayın hakları saklıdır.

Tüm hakları, yazarlara ve METİN YAYINLARI’na aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metin, biçim ve sorular, yayımlayan şirketin izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılamaz, yayımlanamaz. İSBN 978-605-85523-8-8 METİN YAYINLARI Tel: 0538 395 11 00 – 0533 417 34 86

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları Yazarlar Gökhan METİN gokhan.metin@hotmail.com Müjdat ERCAN mujoloji@hotmail.com Doç. Dr. Ayhan TUTAR Bilimsel İnceleme Ayşen KÜTAHYALIOĞLU Fatih UYANIK Umut KAPCI Hukuk Danışmanı Cihan Koray ÖZAŞAN Grafik Tasarım Merve ÖZBAY merveyildizozbay@hotmail.com Dizgi paletreklam06@gmail.com srkngenc@gmail.com Genel Dağıtım

A KARE BASIM DAĞITIM YAYIN LTD. ŞTİ.

Meşrutiyet Caddesi No: 35/3 Kızılay / ANKARA Tel: 0312 434 24 00 Faks : 0312 434 24 19 demirbogaali@gmail.com Baskı Aydan Yayıncılık A.Ş. www.aydan-ltd.com.tr Ankara

FASİKÜLE VERİMLİ ÇALIŞMA REHBERİ

Sevgili öğrenciler ve değerli meslektaşlarım, Bireysel Matematik Fasikülleri, matematik bilmeyene keyifli bir yolculuk, matematik bilene hatasız soru çözme kabiliyeti kazandıracak şekilde tasarlanmıştır. � Her fasikül, en temelden adım adım matematiğinizi geliştirip güçlendirecek tekniklerle oluşturul-

muştur.

� Sayfa başlıklarıyla, her ünite, anlamayı kolaylaştırıcı alt başlıklara ayrılmıştır. �

�

Konu Özeti

: Konu özetlerinde kavramlar madde madde vurgulanmıştır.

: Uyarı ikonlarıyla hatırlatmalar ve dikkat edilmesi gerekenler belirtilmiştir.

� (*) : Dipnotlarla konu dışı kavramlar açıklanmıştır. �

ÖRNEK

ve

ÇÖZÜM

: Örnekler sayfa başlığını en iyi açıklayacak şekilde özenle kurulmuş ve

çözümleri kolayca anlaşılacak şekilde düzenlenmiştir. �

: Her başlıkla ilgili el alışkanlığı kazanmanızı sağlayacak bolca soru Sıra Sende kısmında, cevaplarınızı kolayca kontrol edebileceğiniz şekilde sorulmuştur.

�

Uygulama Zamanı : Belirli aralıklarla birikimlerinizi değerlendirme uygulamaları konulmuştur.

�

Tekrar Zamanı : Ünite sonlarında öğrendiklerinizi test tekniğiyle pekiştireceğiniz ve çözüm-

leriyle unuttuklarınızı hatırlayacağınız testler sunulmuştur. � Anahtar kavramlar ve çözümler renklendirilerek fark etmeniz sağlanmıştır. � Öğrencilerin sık düştüğü hatalar vurgulanarak belirtilmiştir. � Pratik ve eğlenceli çözümlerle akılda kalıcılık arttırılmıştır. � Her konu, özenle oluşturulan

Konu Testi ile pekiştirilirken, "

" ikonuyla belirtilen soruların

çözümünü "SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ" kısmında bulabilirsiniz.

Sonuç olarak, şunu diyebiliriz ki; matematik ayrıntılarda gizlidir. Bundan dolayı sabırla her fasikülü, üniteyi, başlığı ve maddeyi anlayarak, her örneği ve soruyu çözerek matematiği kolayca öğrenebilir, sınavlardaki matematik korkunuzdan kurtulabilirsiniz.

Başarılı bir gelecek dileğiyle...

METİN YAYINLARI http://www.metinyayinlari.com

İÇİNDEKİLER BELİRSİZ İNTEGRAL Diferansiyel Kavramı.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 İntegral Kavramı (Belirsiz İntegral Alma).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Sabit Fonksiyonun İntegrali / f(x) = xn Fonksiyonunun İntegrali.. . . . . . . . 3 İntegralin Özellikleri.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Temel Trigonometrik İntegraller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Üstel Fonksiyonların İntegralleri.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 İntegrali lnf(x) ve Arcf(x) Olanlar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 İntegral – Diferansiyel İlişkileri.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 İntegralden Fonksiyon Çekme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 C İntegral Sabitini Tespit Etme.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Teğet – İntegral İlişkisi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Uygulama Zamanı – 1................................................................. 12 Uygulama Zamanı – 2................................................................. 14 Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.................................................................... 16 ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.................................................................... 18 İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Değişken Değiştirme Yöntemi – I (Değişken Değiştirme Kavramı / Lineer Dönüşümler).. . . . . . . . . . . . . . . . 22 Değişken Değiştirme Yöntemi – II (Polinomik Dönüşümler / Rasyonel ve Köklü Dönüşümler).. . . . . . . . . . . 23 Değişken Değiştirme Yöntemi – III (Basit Trigonometrik Dönüşümler / Üstel ve Logaritmik Dönüşümler).. . . 24 Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler – I (Arcsinf(x) Dönüşümleri – A).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler – II (Arcsinf(x) Dönüşümleri – B).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler – III (Arctanf(x) Dönüşümleri – A).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler – IV (Arctanf(x) Dönüşümleri – B).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 m ax + b İçeren İntegraller.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

n ax + b yi Birlikte İçeren İntegraller.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Uygulama Zamanı – 3................................................................. 31 Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.................................................................... 33 ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.................................................................... 35 Rasyonel Fonksiyonların İntegrali – I (Polinom Bölmesi).. . . . . . . . . . . . . 39 Rasyonel Fonksiyonların İntegrali – II (1. Tip Basit Kesirlere Ayırma) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Rasyonel Fonksiyonların İntegrali – III (2. Tip Basit Kesirlere Ayırma / 3. Tip Basit Kesirlere Ayırma).. . . . . . . . 41 Rasyonel Fonksiyonların İntegrali – IV (Sadeleştirme + Polinom Bölmesi + Basit Kesirlere Ayırma).. . . . . . . . . . 42 Rasyonel Fonksiyonların İntegrali – V (Rasyonel Fonksiyonlara Dönüşen İntegrantlar).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Uygulama Zamanı – 4................................................................. 44 Trigonometrik Fonksiyonların İntegralleri – I (sin2 x + cos2 x = 1 Özdeşliğinden Faydalanma).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Trigonometrik Fonksiyonların İntegralleri – II (Yarım Açı Formüllerinden Faydalanma /+1 den Kurtarma). . . . . . . . . . . 47 Trigonometrik Fonksiyonların İntegralleri – III (Ters Dönüşüm Formüllerinden Faydalanma).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Trigonometrik Fonksiyonların İntegralleri – IV (Tanjant ve Cotanjant Fonksiyonlarının İntegralleri).. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Trigonometrik Fonksiyonların İntegralleri – V x ( tan = u Dönüşümü / tanx = u Dönüşümü).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2 Trigonometrik Fonksiyonların İntegralleri – VI (Trigonometrik Özdeşliklerden Faydalanma).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 m

ax + b ve

a2 - x2 ,

x2 - a2 ve

a2 + x2 Şeklindeki İfadeleri İçeren İntegraller

(Trigonometrik Değişken Değişimler).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Kısmi İntegral Yöntemi – I (Parçalı İntegrasyon ve LAPTÜ).. . . . . . . . . . 53 Kısmi İntegral Yöntemi – II (Önemli Kısmi İntegraller).. . . . . . . . . . . . . . . . 54 Kısmi İntegral Yöntemi – III (Tablo Yardımıyla Kısmi İntegrasyon / Ardışık Kısmi İntegrasyon).. . . . 55 Uygulama Zamanı – 5................................................................ 56 Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.................................................................... 58 ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.................................................................... 60

BELİRLİ İNTEGRAL Belirli İntegral Kavramı (Bir Eğri Altındaki Alan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Belirli İntegralin Temel Teoremi ve Elemanları (Belirli İntegral Alma).. . 65 Belirli İntegralin Özellikleri.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Belirli İntegralde İntegral Alma Yöntemleri.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Parçalı Fonksiyonunun İntegrali.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Mutlak Değer Fonksiyonunun İntegrali.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Uygulama Zamanı – 6................................................................. 70 Belirli İntegralde Değişken Dönüşümleri – I (İntegral ve Sınır Dönüşümleri).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Belirli İntegralde Değişken Dönüşümleri – II (Fonksiyon Tanımında Dönüşümler).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Belirli İntegralde Değişken Dönüşümleri – III (Dönüşüm ile İntegral Hesaplama).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Trigonometrik Belirli İntegraller.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Belirli İntegralde Kısmi İntegrasyon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Tek ve Çift Fonksiyonların İntegrali.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Ters ve İntegrali Alınamayan Fonksiyonlarda İntegral.. . . . . . . . . . . . . . . . 78 Uygulama Zamanı – 7................................................................. 79 Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.................................................................... 81 ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.................................................................... 83 Belirli İntegral Denklemleri.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Teğet – Türev – İntegral İlişkisi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Belirli İntegral İçin Grafik Okuma – I.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Belirli İntegral İçin Grafik Okuma – II.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 İntegral – Süreklilik İlişkisi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 İntegral – Diferansiyel İlişkileri.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Belirli İntegralin Türevi – I (İntegral Hesabının Temel Teoremi.. . . . . . . . 93 Belirli İntegralin Türevi – II (Ardışık Uygulamalar / L'Hospital).. . . . . . . . 94 Belirli İntegralin Türevi – III (Nokta Değer / Fonksiyon Çekme).. . . . . . . 95 Uygulama Zamanı – 8................................................................. 96 Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.................................................................... 98 İNTEGRAL UYGULAMALARI Riemann Toplamı – I (Riemann Kavramı ve Bölüntü). . . . . . . . . . . . . . . 101 Riemann Toplamı – II (Riemann Alt Toplamı).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Riemann Toplamı – III (Riemann Üst Toplamı).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Riemann Toplamı – IV(Riemann Orta Toplamı).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Riemann Toplamı – V(Riemann Toplamı – İntegral İlişkisi).. . . . . . . . . 105 İntegral ile Alan Hesabı – I (Alan-İntegral İlişkisi).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 İntegral ile Alan Hesabı – II (Geometrik Şekiller Yardımıyla İntegral / Fraktal Fonksiyonların Eğrileri Altındaki Alan).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 İntegral ile Alan Hesabı – III (Sık Karşılaşılan Fonksiyonların Eğrisi Altındaki Alan).. . . . . . . . . . . . . . 108 İntegral ile Alan Hesabı – IV (y Ekseni ile Eğri Arasındaki Alan).. . . . 109 İntegral ile Alan Hesabı – V (Bir Fonksiyon ile Tersinin Alanları Toplamı).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 İntegral ile Alan Hesabı – VI (İki Eğri Arasındaki Alan).. . . . . . . . . . . . . . . 111 İntegral ile Alan Hesabı – VII (Yarım Çember Denklemleriyle İntegral Hesabı). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 İntegral ile Alan Hesabı – VIII (Verilen Alanın İntegral ile İfadesi).. . . . 113 Uygulama Zamanı – 9............................................................... 114 Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.................................................................. 116 İntegral ile Hacim Hesabı – I (x Ekseni Etrafında Döndürme). . . . . . . . 119 İntegral ile Hacim Hesabı – II (y Ekseni Etrafında Döndürme).. . . . . . 120 İntegral ile Hacim Hesabı – III (İki Eğri Arasındaki Bölgenin Döndürülmesi). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 İntegral ile Hacim Hesabı – IV (y = k ve x = m Doğruları Etrafında Döndürme). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 İntegralin Fiziksel Yorumu – I (Doğrusal Hareket Denklemi).. . . . . . . . 123 İntegralin Fiziksel Yorumu – II (Yer Değiştirme ve Toplam Yol). . . . . . 124 İntegralin Ekonomi ve Diğer Alanlara Uygulaması.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Kesit Alan – İntegral Hacim İlişkisi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Uygulama Zamanı – 10............................................................. 127 Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.................................................................. 129 KONU TESTLERİ....................................................................... 132 SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ.................................................... 184

Diferansiyel Kavramı

BELİRSİZ İNTEGRAL (Diferansiyel Alma)

Konu Özeti uu Tanımlı olduğu aralıkta türevlenebilen y = f(x) fonksiyonu için x in değerindeki değişim olan Δx e karşılık gelen y nin değerindeki değişim Δy olsun. x in diferansiyeli dx = Δx iken

Aşağıdaki fonksiyonların diferansiyellerini alınız. a) f(x) = x2

b) g(t) = sint

a) d f(x) = d(x2) = 2xdx

y nin diferansiyeli dy = f'(x)dx olur.

c) y = f2(x)

b) dg(t) = d(sint) = cost dt

2

c) dy = d(f (x)) = 2f(x) • f'(x) dx = 2f(x) df(x) dir.

O halde, f(x) fonksiyonunun diferansiyeli,

d f(x)

df(x) = f'(x) dx dir.

Aşağıda verilen fonksiyonların diferansiyellerini bulunuz.

7. y = f(t2)

1. y = x3

8. u = ln(x2 + 2)

2

2. y = x + 4x

3

9. z = eu

2

3. y = t + 3t + 2

10. y =

4. u = sin2x

2

+ 3u

1 f ( x)

11. y = f (x) + g (x)

5. y = et

12. u = f(x) ve v = g(x) olmak üzere d(u · v) diferansiyelinin u ve v cinsinden eşiti nedir?

6. v = u3 – 3u2 + 4u

7) dy = 2t · f'(t2) · dt 2

1) dy = 3x dx 4) du = 2cos2x dx

2) dy = (2x + 4)dx t

5) dy = e · dt

2

3) dy = (3t + 6t)dt 2

6) dv = (3u – 6u + 4)du

10) dy = –

df (x) f2 (x)

8) du =

2x x2 + 2

dx

11) dy = df(x) + dg(x)

9) dz = ^ 2u + 3 h · eu

2

+ 3u

·du

12) u · dv + v · du

1

İntegral Kavramı

BELİRSİZ İNTEGRAL Konu Özeti

(Belirsiz İntegral Alma)

(Belirsiz İntegral Alma)

uu Belirsiz İntegral Alma: Türevi ya da diferansiyeli verilmiş bir fonksiyonun kendisini bulma işlemidir. uu f(x) fonksiyonunun türevi t(x) olsun, C ∈ R iken, f'(x) = t(x) ⇒

# t (x) dx = f (x) + C

# : İntegral işareti

vv

vv dx: integral diferansiyeli, x: integral değişkeni vv t(x): İntegral altındaki fonksiyon (integrant) vv f(x): t(x) in anti-türevi (ilkeli) vv C: İntegrasyon sabiti

f(x) + C 4 t(x) in tüm anti-türevleridir.

İntegral alma, türev almanın tersi olduğu için türev alma kuralları iyi bilinmelidir.(*)

Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz.

1.

# 3x dx =

2.

#

3.

# e dx =

4.

# ^1 + tan xhdx =

2

2 cos 2x dx =

Aşağıdaki integralleri hesaplayınız. a)

# 2x dx

c)

# 6f'^xhg^xh + g'^xhf^xh@dx

b)

# cos x dx

İntegral ile bir fonksiyonun ilkeli, bu ilkele C sabitinin eklenmesi ile tüm ilkeleri belirlenir. d 2 ^x h = 2x olduğundan 2x dx = x2 + C dir. a) dx

#

b)

d ^sin xh = cos x olduğundan dx

c)

d ^f (x)· g (x)h = f' (x)· g (x) + g' (x)· f (x) olduğundan dx

# cos x dx = sin x + C dir.

# 6f' (x) · g (x) + g' (x) · f (x)@dx = f (x) · g (x) + C dir.

6.

# uu'((xx)) · dx =

7.

# 2f' (x) f (x) dx =

8.

# g' (x)· f' (g (x)) dx =

9.

# 7f' (x) + f'' (x) - f''' (x)Adx =

x

2

Ç-1

5.

2

#

10.

1 dx = 1 + x2

1) x3 + C

2) sin2x + C

3) ex + C

4) tanx + C

(*) "Türev-I" fasikülü "Türev Alma" kurallarını tekrarlayınız.

5) arctanx + C

# > f' (x)· g (xg) -(xg)' (x)· f (x) Hdx = 2

6) ln u (x) + C 7) f2(x) + C

8) (fog)(x) + C

9) f(x) + f'(x) – f''(x) + C

10)

f (x) g (x)

+C

Sabit Fonksiyonun İntegrali / f(x) = xn Fonksiyonunun İntegrali (Sabit Fonksiyonun İntegrali)

Konu Özeti

uu a, C ∈ R iken,

# a dx = ax + C dir.

# a dx ifadesinde dx in değişkeni x e göre

integral alındığından a sabit terimdir.

Aşağıdaki integralleri hesaplayınız. a)

# 2dt

b)

# 0dx c) # 5t dx 2

İntegrasyon değişkenlerine dikkat ediniz.

# b) # 0dx = 0 · x + C = C dir. c) # 5t dx = 5t x + C dir.

2

#

"

2

1.

# 3dx =

7.

# e dy =

2.

# 34 dx =

8.

# y · dx =

# dx =

9.

3 – dt = 2

2

# r · dx =

11.

#x

#

12.

x n dx = # d 2ln+xcos +1

5.

6.

2 · du =

1) 3x + C 7) e2 · y + C

2)

3 x +C 4

3) x + C

8) xy + C

9) yx + C

4) –

dx " İntegrasyonunda kuvvet arttırımı

Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.

1 xdx dx c) b) a) x2

#

x dx

Kuvvetleri düzenleyip kuvvet arttırımı uygulayınız. x1 + 1 x2 xdx = x1 dx = +C = + C dir.

1+1 2

a)

#

b)

# x1 dx = # x

#

2

#

#

#

x dx =

#

–2

dx =

1 x –2 + 1 x –1 +C = = – + C dir. x –1 –2 + 1 1

1 2

+1

3

x2 2 x dx = + C = x 2 + C dir.

1 3 +1 2

1.

# x dx =

6.

#

2.

# u du =

7.

#

3.

#x

dx =

8.

# x1 dx =

4.

#x

dx =

9.

#x

5.

# x1 dx =

10.

# x dx =

2

4

3

x2 dx =

1

u

du =

# x · dy = # 3a · du =

#

–1

Aşağıda verilen integralllerin eşitini bulunuz.

10.

4.

#x

uygulanamaz. Bu integrantın anti-türevi logaritma fonksiyonudur. İleride değinilecektir.

c)

Aşağıda verilen integralllerin eşitini bulunuz.

3.

uu C ∈ R ve n ∈ R – {–1} iken, xn + 1 xn dx = + C dir. n+1

2dt = 2t + C dir.

a)

( f(x) = xn Fonksiyonunun İntegrali)

Konu Özeti

İntegrasyonun diferansiyeli altındaki değişken dışındaki diğer değişkenler sabit kabul edilir. Örneğin,

BELİRSİZ İNTEGRAL

2

3t +C 2

10) 3a2u + C

–1

dy =

0

5) px + C 11)

y x

+C

6)

2u + C 12) x + C

–2

1 2

3

1)

x3 +C 3 5

6)

3 3 x +C 5

2)

u5 +C 5

7) 2 u + C

3) – 8)

1 +C x

x2 +C 2

–1

2

dx =

π

3

2 2 1 +C · x + C 5) – 3 2x 2 xπ + 1 x 2 +1 +C 9) 10) +C r+1 2 +1 4)

3

İntegralin Özellikleri

BELİRSİZ İNTEGRAL Konu Özeti uu İntegralin temel özellikleri ile düzenlemeler yapılarak integrali alınabilecek ifadeler elde edilir.

# af (x) dx = a # f (x) dx vv # 6f (x) " g (x) dx@ = # f (x) dx " # vv

_ b Eşitliklerini iki yönlü b ` uygulayabileceğinizi g (x) dx bb UNUTMAYINIZ! a

İntegral toplam-farka dağılabilir ancak çarpım-bölüme DAĞILMAZ! Çarpım-bölüm için farklı uygulamalar yapılır. İleride ayrıntılı değineceğiz.

(Temel Özellikler) Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz. a)

# cos t dx

b)

# ^2x + 1hdx c) # ^3x - x hdx 3

Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz.

1.

2.

3.

4.

5.

# ^3x + 2xhdx =

2

3

# ^4x + 6x + 3hdx =

# ^x + 3hdx - # ^x - 1hdx = x

#

6.

# ^2x + 3h dx =

Çarpımın ve bölümün dağılımı yapılarak oluşan her terime kuvvet arttırımı uygulanır. x3 x2 ^x2 + xh dx = x ^x + 1h dx = + +C a) 3 2

# # x -x x x x m dx = # c - m dx = # ^x - 1h dx = - x + C b) # c x x x 2 2

7.

# ^x +

x h dx =

2

1) x + x + C 5) –

3 4 + +C x x2

4

2

2) x + 3x + 3x + C 6)

3

2

3) x + 2x + C

4x 3 + 6x 2 + 9x + C 3

7)

2

# c x1 + x1 + x1 mdx =

9.

# xy dx + # yx dy =

10.

# c x -x x mdx =

11.

# f x - 6xx - 5 pdx =

12.

# c x -x

13.

# f 2 1 x - 3 1x

14.

# f' (x) g (x) dx + # g' (x) f (x) dx

2

3

11)

3

4

2

3

2

2

2

x

m dx =

3

8) –

4) 4x + C

x3 2 3 + x +C 3 3

2

8.

2

2

#

#

x

3 8 c 2 - 3 m dx = x x

4

Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz. x2 - x c m dx x ^x + 1h dx b) a) x

3

# x · ^3x + 4hdx =

2

3

(Düzenlemeler)

2

3

4

# cos t dx = cos t # dx = x cos t + C 2x b) # ^2x + 1h dx = # 2x dx + # 1dx = + 1·x + C 2 3x x c) # ^3x - x h dx = # 3xdx - # x dx = +C 2 4 a)

2

p dx =

1 1 1 +C x 2 x 2 3x 3

5 x2 - 6x + + C x 2

12)

9)

x2 y + xy2

x2 -2 x +C 2

2

+C

13)

10)

x -3 x +C

x3 x2 +C 3 2 14) f(x) · g(x) + C

Temel Trigonometrik İntegraller Konu Özeti uu Her trigonometrik ifadenin integrali kolayca alınamaz.

Aşağıda anti türevi belli temel trigonometrik integraller verilmiştir. İşaretlerine DİKKAT EDİNİZ! 1 cos ^ax + bh dx = sin ^ax + bh + C vv a

#

vv

# sin ^ax + bhdx = – a1 cos ^ax + bh + C dx = cos2 x

vv

#

# sec x dx # ^1 + tan xhdx = tan x + C

vv

# sindx x = # cosec x dx = # ^1 + cot xhdx = – cot x + C

2

2

2

2

2

Trigonometrik integraller alınırken trigonometrik özdeşlikler, yarım açı ve dönüşümlerden faydalanılır. Bunlar ileride ayrıntılı anlatılacaktır. Örneğin, 1 "1 + tan2 a = = sec2 a" ve cos2 a 1 "1 + cot2 a = = cosec2 a" olduğunu hatırlayınız. sin2 a

Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz.

1.

# cos x dx =

2.

# cos 2x dx =

3.

# cos ^4x + 1h dx =

4.

# sin x dx =

5.

# sin 3x dx =

6.

# sin ^5x + 4h dx =

7.

#

8.

9.

^sin 2x + cos 2xh dx =

# ^cos 3x - sin xh dx =

1 5) – cos 3x + C 3 8)

2)

1 sin 2x + C 2

3)

1 sin 3x + cos x + C 3

9) –

a)

# sin x dx

b)

# cos ^3x + 2hdx

c)

# sindx x

d)

# _2 + 2 tan xidx

2

2

İşaretlere dikkat ediniz. Gerekirse trigonometrik düzenlemeler yapınız. a)

# sin x dx = – cos x + C

b)

# cos ^3x + 2hdx = 13 sin ^3x + 2h + C

c)

# sindx x = - cot x + C

d)

# _2 + 2 tan xidx = 2 # _1 + tan xidx = 2 tan x + C

2

2

2

10.

# cos1 x dx =

11.

# ^1 + tan xh dx =

12.

# sec x dx =

13.

# coscosx +x 1 dx =

14.

# ^1 + cot xh dx =

15.

# ^– cosec x + sec xh dx =

16.

# c cos2 x - cos 2x m dx =

17.

# f sinsinx +x 3 p dx =

18.

1 sin ^ 4x + 1 h + C 4

1 6) – cos ^ 5x + 4 h + C 5

Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

Ç-2

# 6sin ^2x + 1h + cos 4x@ dx = 1) sinx + C

BELİRSİZ İNTEGRAL

4) – cos x + C

1 1 7) – cos 2x + sin 2x + C 2 2

1 1 cos ^ 2x + 1 h + sin 4x + C 2 4

2

x+x # 2 sin x sin x 2

2

10) tanx + C

2

dx =

11) tanx + C

14) –cotx + C

12) tanx + C

15) cotx + tanx + C

17) x – 3cotx + C

18) –

13) sinx + tanx + C

16) 2 tan x 2 - cot x + C x

1 sin 2x + C 2

5

Tekrar Zamanı Test Çözümü - 1 # (4x - 6x + 3) dx = 44x

1.

3

4

-

6x 2 + 3x + C 3

= x4 – 2x2 + 3x + C bulunur.

d dx

11.

Cevap: D

# (3x - 2x - 5x + 3) dx = 3x - 2x - 5x + 2 bulunur.

4

2

4

2

Cevap: B

3

# fx

2.

1

- 2x p dx =

2

2x 2 -

3

2x 2 2 3 +C = x - x2 + C bulunur.

2 3

# c x +1 3 - x +1 1 m dx = # x +1 3 dx - # x +1 1 dx

12.

Cevap: A

= ln x + 3 - ln x + 1 + C = ln

x+3 + C bulunur. x+1

Cevap: E

# (2u + 1) dx = (2u + 1) x + C bulunur.

3.

2

2

Cevap: B

# 5xdx+ 3 = 15 # 55x dx+ 3 = 15 ln 5x + 3 + C bulunur.

13.

# f 3xx

4.

6

2

=

4x 4

-

x2

+

x3 x2

p dx =

# (3x - 4x + x) dx 4

2

3 5 4 3 1 2 x - x + x + C bulunur.

5 3 2

Cevap: C

14.

# cx

5.

=-

-3

1 2x 2

- x-2 + +

1 x-2 x-1 m dx = + ln x + C x -2 -1

1 + ln x + C bulunur. x

15.

Cevap: C

# (x - 3x) (x + 1) dx = # (x - 2x - 3x) dx

6.

2

=

Cevap: C

3

# ; 1 +1 x

16. f (x) =

2

1 4 2 3 3 2 x - x - x + C bulunur.

4 3 2

# c 1 +2 x

Cevap: B

2

2

+ 2x m dx = 2 arctan x +

2x + C bulunur. ln 2 Cevap: E

+

1 1 E dx = arctan x + ln 2x + 1 + C bulunur.

2x + 1 2 Cevap: D

# f' (x) dx = # (4x - 6x + 1) dx & f (x) = x - 2x + x + C 3

2

4

3

f(1) = –3 ise f(1) = 1 – 2 + 1 + C = –3 ⇒ c = –3 tür.

O halde f(2) = 24 – 2 · 23 + 2 – 3 = 16 - 16 + 2 - 3 f(2) = –1 bulunur.

#

7.

#

8.

1 (e + x ) dx = e + x3 + C bulunur.

3 x

2

x

9.

Cevap: A

1 1 (cos 3x - sin 4x) dx = sin 3x + cos 4x + C bulunur.

3 4

Cevap: A

# (e

2x

- 23x + 1) dx =

1 2x 1 23x + 1 e - · +C 2 3 ln 2

1 23x + 1 = e2x + C bulunur.

2 ln 8

Cevap: B

Cevap: D

17. f

›

# xf (+x)2 dx p = (4x - 2x + C) ' (Her iki tarafın türevi alınırsa) 2

&

f ( x) x+2

= 8x–2 & f (x) = (x + 2)·(8x - 2) dir.

f(1) = (1 + 2) · (8 – 2) = 18 bulunur.

18. f

Cevap: B

I

# f (x)·(2x + 2) dx p = (x - 3x + 5) ' (Her iki tarafın türevi alınırsa) 3

⇒ f(x) (2x + 2) = 3x2 – 3 & f (x)· 2 (x + 1) = 3 (x - 1) (x + 1) & f ( x) =

20

10.

#

^x2 h x2 dc e m = e + C bulunur.

Cevap: E

3 3x 3 - olduğundan sabit terim - bulunur.

2 2 2 Cevap: A

Tekrar Zamanı Test Çözümü - 2 # c 8x + x1 m dx = 84x

1.

3

4

2

# f 3x

2.

=2x

2

1

- 4x 3 p dx = 3 ·

#f

11.

1 + C bulunur. x

& 2x 4 -

1

x-1 +C -1

+

Cevap: C

3

3 2 2 x - 4 · x3 + C 3 4

3

x - 3x x + C bulunur.

# c - x1 + 1x + e + 1 +1 x x

2

=

2

# f sin1 x -

Cevap: C

#

4.

#

5

1

1 - ( 2 x) 2

1 arcsin 2x + C bulunur.

2

2

2

2

2

2

7.

x2 1 cos 3x + cot x + + C bulunur.

3 2

# f cos1 x +

1 1-x

Cevap: A

p dx = tan x + arcsin x + C bulunur.

2

# 1· dx = x + C bulunur.

15. f

# (2ax + a · sin ax) dx =

2 = ax2 – cos ax + C bulunur.

Cevap:A

I

# x · f' (x) dx p = (2x + 3x + x) ' & x · fx' (x) = 6x +x6x + 1 3

16. f

1 & x

2

2

# f' (x) dx = # c 6x + 6 + 1x m dx

'

2

x 2 · f (2x - 5) x2

Cevap: A

=

2

2

182 + 8x + 4 x2

18x2 + 8x + 4

& f (2x - 5) =

x2

2 · f' (2x - 5) =

1 - a · cos ax + C a

Cevap: C

# x · f (2x - 5) dx p = ^6x + 4x + 4x + Ch'

& Cevap: E

2 ax2

2

& f (x) = 3x2 + 6x + ln x + C bulunur.

2

6.

2

1

3

Cevap: D

Cevap: B

x) dx # sin x dx + # cos x dx = # (1sin444x 2+ cos 444 3

14.

f x 2 + 2x 2 p dx = 2 x 2 + 4 x 2 + C bulunur.

5 3

# (sin 3x - cosec x + x) dx =-

Cevap: D

# f xsin+21x p dx = xsin+21x dx bulunur.

& f' (x) = 6x + 6 +

5.

p dx

+ sin x + 1 m dx

3

1

2

= - cot x -

Cevap: A

1 + ln x + ex - arc cot x - cos x + X + C bulunur. x

J x 2 2x N K + O dx = 1O K 1 K x2 x2 O L P

1 2x e + C bulunur.

2 Cevap: B

13. d 3.

+ e2x p dx = 2 arcsin x +

12.

4

2 1 - x2

dir. Her iki tarafın türevi alınırsa

(36x + 8) · x2 - 2x (18x2 + 8x + 4) x4

x = –2 için 2 f'(–1) = –3 ⇒ f'(–1) = -

3 bulunur.

2

8.

# f 2 (1 1+ x ) + e 2

3x

p dx =

1 1 arctan x + e3x + C bulunur.

2 3

Cevap: E

17. 3dx = xdy &

Cevap: C

dy dx

=

3 3 tir. Yani f' (x) = & x x

# f' (x) dx = # 3x dx

& f (x) = 3 ln x + C & f (1) = 3 ln 1 + C = 1 & C = 1 dir.

8 0

O halde f (x) = 3 ln x + 1 & f (e-2) = 3 ln e-2 + 1 d dx

9.

# (3x + 4x - 2x + 1) dx = 3x + 4x - 2x + 1 bulunur.

4

2

4

2

& f (e-2) = - 6 + 1 = - 5 bulunur.

Cevap: A

Cevap: D

18. f(x) in x = –1 deki teğetinin eğimi f'(-1) = 2 dir. f'' (x) = 4x3 - 4x + 3 &

10.

# x · d (x ) = # x · 2x dx = # 2x dx 2

=

2 3 x + C bulunur.

3

2

& f' (x) = Cevap: A

# f'' (x) dx = # (4x - 4x + 3) dx 3

4x 4 4x 2 + 3x + C & f' (x) = x4 - 2x2 + 3x + C 4 2

& f' (- 1) = 1 - 2 - 3 + C = 2 & C = 6 & f' (0) = 6 bulunur.

Cevap: C

21

Değişken Değiştirme Yöntemi – I

İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Konu Özeti

(Değişken Değiştirme Kavramı)

İntegrali alınan ifade bir fonksiyon ile birlikte bu fonksiyonun diferansiyelini içeriyorsa değişken değiştirme yapılarak anti – türevi tanıdık bir integral elde edilir. Matematik diliyle, 2

f ( x) u f (x) f' (x) dx = # udu = +c = +C # 9> 2 2 2

f(x) = ax + b şeklindeki 1. derece (lineer) fonksiyonlara dönüşüm uygulandığında diferansiyel dönüşümü yapılırken; du ax + b = u ⇒ a dx = du & dx = olur. a ÖRNEK

u

1 44 2du 44 3 Yani, f(x) = u dönüşümü yapılırsa f'(x) dx = du olur.

(Temel Değişken Değiştirmeler)

ÖRNEK

Aşağıdaki integralleri alınız. a)

a)

#

# f (x) f' (x) dx c) # (fog) (x) g' (x) dx 5

# (2x + 3) dx b) # 5

a) 2x + 3 = u ⇒ 2 dx = du ⇒ dx = 2x + 3) dx = # u # (> 5

5

u

du 1 = 2 2

# ff'((xx)) dx = # u1 du = ln u + C = ln f (x) + C

#

3x + 1 dx =

1 44 2 44 3 u

#

u

du 1 = 3 3

du ise 2

6

5

b) 3x + 1 = u ⇒ 3dx = du ⇒ dx =

a) f(x) = u ⇒ f'(x) dx = du dur.

2

# u du = 12 · u6 + C

(2x + 3) 6 = +C 12

ÇÖZÜM

# sec (5x) dx

3x + 1 dx c)

ÇÖZÜM

Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz. f ' (x) dx b) f (x)

(Lineer Dönüşümler)

Konu Özeti

#

du ise 3 1

u 2 du

3

b) f(x) = u ⇒ f'(x) dx = du dur.

6

5

6

c) (fog)(x) = f(g(x)) dir. g(x) = u ⇒ g'(x) dx = du dur.

# (fog) (x)· g' (x) dx = # f (g (x)) g' (x) dx = # f (u) du

Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz.

du 1 (5x) dx = # sec u = # sec u du # sec 9 5 5 2

2

=

1 1 · tan u + C = tan (5x) + C 5 5

Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz.

# f (x)· f' (x)· dx =

1.

# (x + 1)

2.

# ff' ((xx)) dx =

2.

#

3.

#e

3.

# ^e h · dx =

2

f (x)

f' (x) dx =

f2 (x) 2

+C

2) -

1 f (x)

+C

3) ef (x) + C

2

u

1.

1)

22

3

2 1 · + C = · (3x + 1) 2 + C 9 3 3 2 du c) 5x = u ⇒ 5 dx = du ⇒ ise 5 =

# f (x) f' (x) dx = # u du = u6 + C = f 6(x) + C 5

u2

4

dx =

2x + 1 dx =

x 2

1)

1 ( x + 1) 5 + C 5

2)

1 ( 2x + 1) 3 + C 3

3)

1 2x e +C 2

Değişken Değiştirme Yöntemi – II

İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ

(Polinomik Dönüşümler)

Konu Özeti

(Rasyonel ve Köklü Dönüşümler)

Konu Özeti

# f (P (x)) P' (x) dx = # f (u) du olur.

g(x) = u ⇒ g'(x) dx = du Paydanın çarpanlarına ayrıldığı durumlarda ileride değineceğimiz basit kesirlere ayırma kurallarından faydalanılır.

P(x) = u ⇒ P'(x) dx = du

# 6x (x + 1) dx 2

3

x

dx =

dx 2 x

# 2 f (u) du olur.

= du &

du x

= 2 du

ÖRNEK

Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.

2 dx 2x - 1 dx c) a) b) (2x + 1) 2 x2 - x + 1

#

# 3x cos (x ) dx 2

x + ah

x +a = 4 &

Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.

b)

# f^

x > 0 olmak üzere,

ÖRNEK

a)

# f (gg' ((xx))) dx = # fdu(u) olur.

f(g(x)) ≠ 0 olmak üzere,

P(x) bir polinom olmak üzere,

3

#

#^

x + 2h

4

x

dx

ÇÖZÜM

a) 2x + 1 = u ⇒ 2 dx = du ise du 2 dx u-1 -2 = = = +C u du -1 (2x + 1) 2 u2 > u

ÇÖZÜM

a) x2 + 1 = u ⇒ 2x dx = du ⇒ x dx =

# =

6x (x2 + 1) 3 dx = 6 > u

#

u3

#

du ise 2

du 1 u4 = 6· · +C 2 4 2

=-

1 44 2 44 3 u

c)

3

3

u

Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz.

2.

# (3x - 6x)

3.

# (2x - 5) sin (x - 5x) dx =

2

2

3

x +2 = u &

H ( x + 2) 4

1 2 x

#

x

dx =

1.

# x x+ 1 dx =

5

2.

# (x -x 1)

1 2 (x + 3x) 4 + C 4

2)

1 (3x2 - 6x) 6 + C 36

dx x

= 2 du ise

# u 2 du = 2· u5 + C = 25 · ( 5

4

x + 2) 5 + C

Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz.

·(2x + 3) dx =

·(x - 1) dx =

dx = du &

u

2

2

4

dx =

Ç-6

2

1)

2

2

(x ) dx = # cos u · du = sin u + C = sin (x ) + C # 3x cos 9

# (x + 3x)

1 1 + C =+C u 2x + 1

# x 2-x x-+1 1 dx = # duu = ln u + C = ln x - x + 1 + C

b) x3 = u ⇒ 3x2 dx = du ise

1.

#

b) x2 – x + 1 = u ⇒ (2x – 1) dx = du ise

3 2 · (x + 1) 4 + C bulunur.

4

2

#

3.

3) - cos (x2 - 5x) + C

# 1)

x +1 x

1 ln x2 + 1 + C 2

dx =

2) -

1 6 ( x 2 - 1) 3

+C

3)

4 ( x + 1) 3 + C 3

23

Değişken Değiştirme Yöntemi – III

İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Konu Özeti

(Basit Trigonometrik Dönüşümler)

Trigonometrik ifadelerin integrasyonunda

sin x = u ⇒ cos x dx = du veya

cos x = u ⇒ –sin x dx = du diferansiyel dönüşümlerden faydalanılır.

Trigonometrik integrallere ayrıntılı değinilecektir.

(Üstel ve Logaritmik Dönüşümler)

Konu Özeti

# f' (x)·f (lnx)f (x) dx = # u · du olur.

f(x) > 0 olmak üzere,

ln f (x) = u &

f ' ( x) dx = du f ( x)

a ∈ R+ – {1} olmak üzere,

#a

f (x)

· f' (x) dx =

# a du olur. u

f(x) = u ⇒ f'(x) dx = du Çözümde ya da cevapta üstel ya da logaritmik düzenlemeler yapılabilir.

ÖRNEK

Aşağıdaki integralleri inceleyiniz. a)

b)

# sin x cos x dx

ÖRNEK

Aşağıdaki integralleri inceleyiniz.

# tan x dx

a)

# lnxx dx b) # 2

sinx

cos x dx c)

#e

2 x + ln x

ÇÖZÜM ÇÖZÜM

a) ln x = u &

a) sin x = u ⇒ cos x dx = du ise sin x cos x dx = # #: u

#

#2

cos x = u & - sin x dx = du & sin x dx = - du ise, sin x dx # tan x dx = # cos x

< u

c) ex

# -udu = - ln u + C = - ln cos x + C bulunur.

2

D sin x u

=

dx =

# e · x dx = # e (x )

u

du 2

1 u 1 (x2) · e + C = e + C bulunur.

2 2

Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.

# (lnxx)

2.

sin x dx = # cos x

2.

#3

3.

# cot x dx = 1 sin3 x + C 3

2

2

2

x + ln x

1.

1)

sin x

u

u

2

+ ln x

# sin x · cos x dx = 3

2

# 2 du = ln2 2 + C = 2ln 2 + C

cos x dx =

1.

2

2

= e(x ) · eln x = e(x ) · x iken du x2 = u & 2x dx = du & x · dx = ise 2

#e

Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.

# u du = u2 + C = ln2 x + C bulunur.

b) sin x = u ⇒ cos x dx = du ise

sin x b) tan x = olduğu için, cos x

24

B ln x dx = x u

u2 sin2 x u du = +c = + C dir.

2 2

1 dx = du ise x

sinx

2

dx =

· cos x dx =

Ç-7

3.

2)

1 2 cos2 x

+C

3) ln sin x + C

# e2

x +3

1)

x

dx =

1 (ln x) 3 + C 3

2)

3sinx ln 3

+C

3) e

x +3

+C

dx

Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler - I Konu Özeti f' (x) dx

#

uu

(Arcsin f(x) Dönüşümleri - A)

a 2 - f 2 (x)

nır.

f'(x) dx

#

I. Adım:

ifadesinde aşağıdaki adımlar uygula-

a2 f 1 -

2

f (x) a2

p

=

#

_ "a2 paranb tezine" alıp f (x) ` E b "tam kare" 1 -; a a düzenleme

_ b du b ` 1 - u2 bb a

#

"

dx

#

1– ^axh

2

=

Aşağıdaki integralleri hesaplayınız. dx xdx b) c) a) 1 - 9x2 1 - x4

#

a

2

değişken değiştirmeyi 4 yerine yazıp tanıdık 2 1 - u2 ifadeyi elde etme _ f (x) = arcsin u + C = arcsin ; E + C bb eşitliklerina ` den birisi f (x) = – arccos u + C = – arccos ; E + C bb kullanılır. a a

# a a1du- u = #

(f(x) = u ⇒ f'(x) dx = du Dönüşümü)

#

f'(x) dx

f ( x) değişken II. Adım: = u & f (x) = au & f' (x) dx = adu } değiştirme a III. Adım:

İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ

a)

=

du

1 arcsin ^axh + C" bağıntısını a

b)

=

c)

dx

# 1 3

1 - 9x2

# 1 2

1.

2.

3.

#

#

#

dx

#

du

dx

1 - 25x2

dx 1-

9x 4

2

x dx # arcsin 1-x 2

1 - ^x2 h

2

=

3x = u 3dx = du

=

x2 = u 2x dx = du

#

1 - u2

du 2

1 - u2

1 1 arcsin u + C = arcsin ^x2h + C 2 2 =

arcsinx = u 1 dx = du 1 - x2

x dx = # arccos 1-x

6.

#

x2 dx

7.

#

ex dx

=

=

#

=

1 - u2

xdx

5.

=

1 - 4x2

1 1 arcsin u + C = arcsin ^3xh + C 3 3

=

1 - x4

bilmeniz işlem hızınızı arttıracaktır.

Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.

=

1 - u2 xdx

du 3

#

1 - ^3xh2

#

2

=

du

#

dx

x dx # arcsin 1-x

2

2

# udu = u2 + C = arcsin2 x + C

2

1 - x6

=

1 - e 2x

=

Ç-8

4.

1)

#

xdx

1 - 4x

1 arcsin 2x + C 2

4

2)

8.

=

1 arcsin 5x + C 5

3)

3x 2 arcsin d n + C 3 2

4)

1 arcsin _ 2x2 i + C 4

#x

dx

1 - ln2 x

1 5) – _ arccos x i2 + C 2

6)

=

1 arcsin _ x3 i + C 3

7) arcsin _ ex i + C 8) arcsin _ ln x i + C

25

İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Konu Özeti

(Arcsin f(x) Dönüşümleri - B) a)

uu Bir önceki sayfada bahsedildiği üzere; f' (x) dx

#

dx şeklindeki ifadeler a2 parantezine a 2 - f 2 (x) alınıp tam kare düzenleyerek, değişken değiştirme ile du

#

1 - u2

dx

#

(a2 Parantezine Alma ve Tam Kare Düzenleme) Aşağıdaki integralleri hesaplayınız. dx dx

b) a) 4 - x2 2x - x2

#

#

2.

3.

#

#

#

9 - x2

16 - x2

9 - 4x2

dx

#

=

4 - x2

x2 4c 1 - m 4

# 2 21d-u u = #

du

2

1 - u2

#

=

dx

x 2 2 c 1 - c m m x = u & x = 2u 2 2 & dx = 2du

x = arcsin u + C = arcsin c m + C 2

b) Paydadaki kökün içindeki ifadeyi tam kareli olarak düzenleyelim;

2x–x2 = 1 - 1 + 2x - x2 = 1 - ^x2 - 2x + 1h = 1 - ^x - 1h2 1 4 44 2 42 44 3 ^x - 1h

(terim ekleyip çıkaralım)

O halde,

5.

#

6.

#

7.

#

=

dx

dx

dx

#

dx

#

2x - x

2

=

#

dx

=

=u 1 - ^x - 1h2 xdx-=1 du

= arcsin u + C = arcsin(x – 1) + C bulunur.

Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz. dx

=

= arcsin u + C eşitliği elde edilir.

x = arcsin d n + C" bağıntısını a a2 - x2 bilmeniz işlem hızınızı arttıracaktır. "

1.

Ters Trigonometrik Değişken Değiştirmeler - II

dx

=

3 - 2x2

dx

–x2 - 2x

=

=

2

dx

–x + 4x - 3

=

=

Ç-9

8.

4.

#

dx

4 - 25x2

#

dx

12x - 4x2

=

5)

26

1) arcsin

x +C 3

=

2) arcsin

x +C 4

3)

1 2x arcsin d n + C 2 3

4)

5x 1 arcsin d n + C 5 2

2

2

arcsin f

6x 3

7) arcsin _ x - 2 i + C

p+ C

6) arcsin _ x + 1 i + C 8)

2x - 3 1 arcsin d n+ C 2 3

#

du

1 - u2

Belirli İntegral Kavramı

BELİRLİ İNTEGRAL Konu Özeti

(Bir Eğri Altındaki Alan)

uu Bir fonksiyonun tanımlı ve sürekli olduğu bir alt aralığı ile fonksiyon eğrisi arasında kalan bölgenin alanı belirli integral ile gösterilir. y

vv

v

f(x)

y

B

A a

O

b

g(x)

x

x

Taralı alan A ise

Taralı Alan B ise

b

c

Eğri altındaki alanın integral ile nasıl ifade edildiği ileride "Riemann Toplamı" ile ayrıntılı gösterilecektir.

1.

y

S1

–4

f(x) 3

S3

5

a)

#

c)

–4

a)

4

# f (x) dx

b)

–3

# f (x) dx

1

a)

#

–3

c)

# f (x) dx =

b)

1

# f (x) dx = 7 + _–3i = 4 bulunur.

–3

2.

y S1

–4

1

d)

#

a)

1

f (x) dx =

# f (x) dx =

d)

–6

–6

# f (x) dx =

a) –6

# f (x) dx =

e)

–4

# f (x) dx =

–4

b) 4

4

–4

4

# f (x) dx =

1

1)

x

Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun integrali verilmiştir. S1, S2 ve S3 bulundukları bölgenin alanını göstermektedir. Buna göre aşağıdaki belirli integrallerin S1, S2 ve S3 cinsinden eşitini bulunuz.

c)

64

4

f(x)

5

# f (x) dx =

S3

S2

b)

–1

# f (x) dx

–3

# f (x) dx = –3 dir.

1

b)

c)

4

f (x) dx = 7 dir.

4

–1

3

4

1

–4

5

f (x) dx =

4 x

S2

x

Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. S1, S2 ve S3 bulundukları bölgenin alanını göstermektedir. S1 = 6 br2, S2 = 4 br2 ve S3 = 2 br2 olduğuna göre aşağıdaki belirli integrallerin değerlerini bulunuz.

–1

1

1

–6

S2

–1

O

Şekildeki y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. S1 ve S2 bulundukları bölgelerin alanlarını göstermektedir.

y = f(x)

S1 = 7 br2 , S2 = 3 br2 olduğuna göre aşağıdaki belirli integral değerlerini bulunuz.

# f (x) dx = –B

a

S1

–3

d

# f (x) dx = A

d

c

O

y

c) 2

d) –4

2) a) S1

b) –S2

c) S3

4

f)

# f (x) dx =

–6

d) S1 – S2

e) –S2 + S3

f) S1 – S2 + S3

Belirli İntegralin Temel Teoremi ve Elemanları Konu Özeti

(Belirli İntegralin Değeri)

(Belirli İntegral Alma)

uu y = f(x) fonksiyonu [a, b] aralığında integrali alınabilen bir fonksiyon ve f(x) fonksiyonunun anti türevi F(x) iken; yani ∀ x ∈ (a, b) için F'(x) = f(x) ise b

# f (x) dx = F (x)

a

b a

BELİRLİ İNTEGRAL

Aşağıdaki integrallerin değerini bulunuz.

5

# dx

a)

vv "a" integralin alt sınırıdır.

# dx = x

3

vv "b" integralin üst sınırıdır. vv "dx" integralin hangi değişkene göre alınacağını belirten diferansiyel ifadesidir. b

# f (x) dx belirli integralinin değeri x den

a

1

c)

3

2

2 2

1

# e du = e u

Aşağıda verilen integrallerin değerini bulunuz.

10

#

4

7.

# x dx = 2

5.

#

x

# 3 4

0

= 2x2

2 1

= 2 · 22 - 2 · 12 = 6 dır.

= (– cos π ) - (– cos 0) = – (–1) – (–1) = 2 dir. < < –1

1

= e1 - e0 = e - 1 dir.

0

dx

1 - 4x2

=

3

9.

cos 2xdx =

# 9 dx+ x

2

=

0

0

5x

0

# sin u du =

8.

ex dx =

π 4

#

u

1 dx = cos2 x

1 2

0

4.

# e du

0

ln 2

#

0

d)

π 2

3

3.

#

0

0

2.

π 4

6.

2 dx = 3

π

1

u

0

1.

1

π

0

# sin tdt

1

= 5 - 3 = 2 dir.

# sin tdt = – cos t

d)

bağımsız sabit bir reel sayıdır.

5

# 4xdx = 42x

b)

c)

1

5

a)

# 4xdx

b)

3

= F (b) - F (a) dır.

π

2

1

10.

3 dt = x

1) 4

# 2xdx- 1 =

5

2) –9

3) 1

4)

1 2

5) 12

6) 1

7) 1

8)

π 12

9)

π 12

10) –ln3

65

Belirli İntegralin Özellikleri

BELİRLİ İNTEGRAL Konu Özeti uu f(x) ve g(x), [a, b] aralığında integrallenebilen iki fonksiyon olmak üzere, b

b

# kf (x) dx = k # f (x) dx tir.

vv k ∈ R iken

a

a

b

b

10

#

a

10

a)

#

1

a

5

72f (x) + 3g (x)A dx

#

7

g (x) dx

5

72f (x) + 3g (x)A dx = 2

b

b

1

10

10

#

#

f (x) dx + 3

1

1 44 2 44 3

10

c)

5

1

c

a

#

a

1

11 44 2 44 3 5

b

#

f (x) dx + 10

1 44 2 44 3

10

f (x) dx = 6 ,

&5=

# f (x) dx = –3 ve #

17 44 27 44 3 10

7

# f (x) dx + _–2i & # f (x) = 5 + 2 = 7 bulunur.

1

10

2

g (x) dx = 8 olduğu-

f (x) dx

7

10

10

#

7

c

6

# 2 g (x) dx - #

3.

2

10

4 f (x) dx =

2

na göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

#

2

6

7f (x) + g (x)A dx =

4.

# f (x) dx =

6

6

5.

10

2.

#

2

# f (x) dx =

2

72 f (x) - 3 g (x)A dx =

15

6.

#

2

66

4

# f (x) dx = – # f (x) dx = –2

1

1.

g (x) dx

10

7

f (x) dx =

# f (x) dx = # f (x) dx + # f (x) dx tir.

10

# f (x) dx

c)

#

# f (x) dx tir.

vv a < c < b ise

#

#

b)

= 2 · 5 + 3 · 4 = 10 + 12 = 22 _ 5 b Alt sıınır ve üst sınır g (x) dx = 0 ` aynı olduğu için eğri b) b altında alan oluşamaz.

5 a

a

f (x) dx = –

a

2

g (x) dx = 4

1

b

vv

10

a)

# f (x) dx = 0 dır.

vv

#

1

a

a

10

olduğuna göre aşağıdaki belirli integrallerin değerlerini bulunuz.

b

a

# f (x) dx = 2 ve #

f (x) dx = 5 ,

1

# 7f (x) " g (x)Adx = # f (x) dx " # g (x) dx tir.

vv

10

7

1) 14

2) –12

4

f (x) dx +

4

# f (x) dx - # f (x) dx =

15

3) –40

6

4) 0

5) 3

6) 3

Belirli İntegralde İntegral Alma Yöntemleri

BELİRLİ İNTEGRAL

Konu Özeti

1

uu Belirsiz integral alınırken kullanılan temel türev-anti türev kuralları, değişken değiştirme, basit kesirlerine ayırma, trigonometrik integraller ve kısmi integrasyon yöntemleri belirli integralin değerini tespit ederken kullanılacağından iyi bilinmelidir.

# _2x + e idx = f 22x x

a)

0

1

# _2x + e

a)

0

xi

1

dx

b)

2

# x x+ 1 dx 2

0

4

#

0

x2 = 1 + x2

7.

# _3x + 4xidx = 2

0

# 1 +1 x dx 2

0

# _sec x - 2xidx = 2

#

5

xdx = x2 + 1

# _sin 2x - cos xidx =

0

0

0

#

1

1dx -

π 2

3

#

1

1

1

–4

4.

0

1 F dx = 1 + x2

π 4

6.

# _x - 2idx =

1

#

<1 -

0

4

3.

1

1

2

2.

0

= x - arctan x = _ 1 - 0 i - (arctan 1 - arctan 0) > > 0 0 π 0 4 π = 1 - bulunur.

4

5.

# _2x - 4idx =

1

b) Öncelikle integranta polinom bölmesi uygulayalım: _ x2 x2 + 1 b x 2 1 = 1` 2 x2 + 1 1 1 + x2 olur. bx +1 –1 a

Aşağıda verilen integrallerin eşitini bulunuz.

1.

+ ex p

= (12 + e1) – (02 + e0) = e bulunur.

1

Aşağıdaki integrallerin değerlerini bulunuz.

2

4

8.

_ 4x - ex i dx =

1) 4

2

# xx +- 11 dx = 2

2

2) –16

3) 45

4) 3 – e

5)

16 - π2 16

6) ln 3

7) 0

8) 2 + ln

9 5

67

Parçalı Fonksiyonunun İntegrali

BELİRLİ İNTEGRAL Konu Özeti

3

uu Parçalı fonksiyonların integrali, kritik noktalarına göre parçalı integrallerin toplamı şeklinde yazılarak alınır.

Kritik nokta integralin sınırları arasında değil ise parçalı integrale ayırmadan sınırların olduğu bölgede fonksiyonun eşiti kullanılır.

2, x<1 f ( x) = * olduğuna göre aşağıdaki integral2x - 4, x H 1

a)

a)

# f (x) dx

0

1. f (x) = *

#

= 2 dx +

x H 0 iken f (x + 1) = 2x - 2

# _2x - 2idx = _x - 2xi 2

0

# f (x) dx =

0

3

b)

f (x) dx =

# f (x) dx =

2

3

# f (x) dx =

c)

1

4

# f (x) dx =

1) a) –12

# f (x - 1) dx =

0

d)

–3

# x · f (x) dx =

2

b) 4

c) –6

d) –18

3 0

3x2 + 1 , x < 1 fonksiyonu veriliyor.

2x + 2 , x ≥ 1

1

a)

f (x) dx =

–2

68

f (x + 1) dx = >

Buna göre aşağıdaki integral değerlerini bulunuz.

0

d)

3

2. f (x) = *

0

c)

2 , x+1 < 1 2 , x<0 =* 2 _ x + 1 i - 4, x + 1 H 1 2x - 2, x H 0

= (9 – 6) – (0 – 0) = 3 bulunur.

2

#

1

b) f (x + 1) = *

–3

b)

0

= 2 bulunur.

–2

#

3

Buna göre aşağıdaki integral değerlerini bulunuz. a)

1

2x + _ x2 - 4x i = _ 2 - 0 i + _ 9 - 12 i - _ 1 - 4 i =

0

4x - 2 , x < –1 fonksiyonu veriliyor.

3x2 - 2x , x ≥ –1

# _2x - 4idx

#

0

f (x) dx 9

2x - 4

1

3

# f (x + 1) dx

1

3

0

3

b)

2

0

1

lerin değerini hesaplayınız.

3

f (x) dx + # # f (x) dx = # 9

0

3

1

2) a) 2

b) 7

c) 9

d)

148 3

Mutlak Değer Fonksiyonunun İntegrali

BELİRLİ İNTEGRAL

Konu Özeti uu Mutlak değer fonksiyonunun integrali, kritik (mutlak değerin içini sıfır yapan) noktalarına göre parçalı integrallerin toplamı şeklinde yazılarak alınır. İntegrallerin sınırları arasında kritik nokta yok ise parçalı integrale ayırmadan o bölgedeki fonksiyonun eşiti kullanılır.

#

a)

b)

#

c)

0

0

#

c) x2 – 2x = 0 ise

x2 - 2x dx

#

3

-

3

2

=

2

# _2 - xidx + # _x - 2idx = d 2x - x2 n

0

2

2 0

+d

x2 - 2x n 2

9 5 = 7_ 4 - 2 i - 0A + <d - 6 n - _ 2 - 4 iF = bulunur.

2 2

Aşağıda verilen integrallerin değerini bulunuz.

2

#

1.

2

+

0

–

+∞ +

3

# 1x4 2- 24x3 dx + # 1x4 2- 24x3 dx + # 1x4 2- 24x3 dx

_ x2 - 2x i dx +

3

2

+

–1

#

3

2

2

x - 2x dx =

–1

+

2

x – 2x

2

0

=

x - 2 | dx + # | x - 2 | dx # | x - 2 | dx = # | < < 0

x –∞ 0 2

3

a) x – 2 = 0 ⇒ x = 2 kritik noktadır

0

0

x = 0 ve x = 2 kritik noktalardır. Yukarıdaki işaret tablosuna göre integrali parçalayalım.

–1

2

2

0

–1 3

2

# _2 - xidx = d 2x - x2 n

x - 2 dx =

= (4 – 2) – (0 – 0) = 2 bulunur.

3

x - 2 dx

#

2

x(x – 2 ) = 0 ⇒

2

x - 2 dx

2

0

Aşağıdaki integrallerin değerini bulunuz.

3

b) x – 2 = 0 ⇒ x = 2 kritik noktası (0, 2) sınırlarıyla belirlenen bölgenin elemanı değildir. x ∈ (0, 2) iken | x - 2 | = 2 - x dir. < -

2

-

0

2

3

2

+

# _2x - x idx + # _x - 2xidx 2

2

0

2

3

3

3 x x x - x2 n + d x2 - n + d - x2 n 3 3 3 –1 0 2 1 4 4 2 4 4 3 1 44 2 44 3 1 44 2 44 3

=d

2

0

–

=

4 3

2

4 3

+

+

4 4 d – n = – bulunur.

3 3

0

#

4.

x - 1 dx =

x2 + 2x dx =

–2

–2

π 6

5.

2

#

2.

x + 1 dx =

#

cos x -

0

1 = 2

–3

Ç - 21 π 2

6.

3

3.

# _ x + 1 + x - 2 idx =

#

cos x - sin x dx =

0

0

1) 5

2)

13 2

3) 10

4)

4 3

5)

6-π 12

6) 2 2 - 2

69

Riemann Toplamı - I

İNTEGRAL UYGULAMALARI Konu Özeti

(Bölüntü)

(Riemann Kavramı ve Bölüntü)

uu Riemann Toplamı; bir eğrinin altındaki bölgeyi, eş tabanlı "dikdörtgenlere ayırarak" bu eğri altındaki alanın yaklaşık değerini tespit etmedir. Bu dikdörtgenlerin sayısı artıkça gerçek alana daha çok yaklaşılır. uu Riemann toplamı için oluşturulan dikdörtgenlerin eşit uzunluktaki taban aralıklarına alt aralıklar bu aralıkların sınırlarının kümesine düzgün bölüntü (parçalanma) denir. y

x0 = a

y

f

x b = x1 x0 = a

1 tane

Alt aralıklar:

[x0, x1]

Bölüntü (P):

{x0, x1}

∆x, aralık b-a ∆x = 1 genişliği:

f

x1

2 tane

y

n tane

x b = xn

[x0, x1],[x1, x2] [x0, x1], ... [xn-1, xn]

∆x =

{x0, x1, ... , xn}

b-a 2

vv n → ∞ iken ∆x → 0 olduğundan; Riemann Toplamı = Eğri Altındaki Alan =

a) Aralık genişliğini bulunuz.

b) Alt aralıkları bulunuz.

c) Bölüntüyü belirtiniz. ∆x aralık genişliği, P bölüntü olmak üzere

C C C 7-1 6 = = 2 dir. b) [ 1, 3 ], [ 3, 5 ], [ 5, 7 ] 3 3 Tx = 2

a) ∆x =

Tx = 2

Tx = 2

c) P = {1, 3, 5, 7}

f

x b = x2 x0 = a

{x0, x1, x2}

[1, 7] aralığında y = f(x) eğrisinin altında kalan alanın yaklaşık değerinin düzgün parçalanmış 3 alt aralıklı Riemann Toplamı ile bulunabilmesi için;

∆x =

b-a n

b

# f (x) dx

a

Alt aralık sayısı arttıkça dikdörtgenlerin alanları toplamı eğrinin altındaki alana yaklaşır.

1. [–1, 3] aralığında y = f(x) fonksiyonunun eğrisi altında kalan alanın yaklaşık değeri için [–1, 3] kapalı aralığı eşit uzunlukta 5 alt aralığa bölünüp Riemann toplamı uygulanacaktır. Bunun için oluşacak, a) Aralık genişliğini bulunuz.

π 2π , , π 2 bölüntüsüne 3 3 göre Riemann Toplamı uygulanacak alan y = f(x) fonksiyonu için oluşturulan alt aralıkları, aralık genişliğini ve alt aralık adetini belirtiniz.

[0, π] kapalı aralığında P = ( 0,

[0, π] aralığındaki alt aralıklar

π Tx = 3

Tx =

π 3

Tx =

π 3

E H H π π 2π 2π [ 0, ], [ , ], [ , π] dir. Oluşturulan bu 3 aralığın 3 3 3 3 herbirinin ortak aralık genişliği; π 2π π 2π π - = π= dür. ∆x = - 0 = 3 3 3 3 3

2. [a, b] aralığında giderek incelen parçalanmalardan oluşan (Pn) = (P1, P2, ... Pn –1, Pn, Pn+1, ...) dizisine incelme dizisi denir. (Lim(Pn) = 0 dır) Buna göre aşağıdaki dizilerden incelme olanları "İ", olmayanları "X" ile belirtiniz. a) [0, 1] nı n eşit parçaya ayıran düzgün parçalanmalar ( ) dan oluşan (Pn) dizisi.

b) Parçalanmayı belirtiniz.

c) Alt aralıkları belirtiniz.

1) a) Dx =

4 5

1 3 7 11 , 32 b) P = ( –1, – , , , 5 5 5 5

3 7 7 11 11 1 1 3 c) <–1, – F, <– , F, < , F, < , F, < , 3F 5 5 5 5 5 5 5 5

b) [2, 4] nı n! eşit parçaya ayıran düzgün parçalanmalardan oluşan (Pn) dizisi. ( ) c) [2, 3] nı 100 eşit parçaya ayıran düzgün parçalanmalardan oluşan (Pn) dizisi. ( ) d) [3, 4] nı 2n – 1 eşit parçaya ayıran düzgün parçalan( ) malardan oluşan (Pn) dizisi.

a) İ

b) İ

c) X

d) İ

101

Riemann Toplamı - II Konu Özeti

İNTEGRAL UYGULAMALARI

(Riemann Alt Toplamı)

uu [a, b] aralığında tanımlı y = f(x) foksiyonu için y

f

...

f(xn–1) f(x1) f(x0)

...

x

x0 = a x1 x2 ... xn–1 b = xn

Alt aralıkların uç noktalarından eğrinin altında kalacak şekilde yükseklikleri belirlenen dikdörtgenlerin alanları toplamı Riemann Alt Toplamını verir.

vv P = {x0, x1, ... xn} bölüntü

vv Aralık genişliği ∆x dikdörtgenlerin tabanları

vv f(x0), f(x1), ..., f(xn–1) dikdörtgenlerin yükseklikleri olmak üzere, dikdörtgenlerin alanları toplamı n

/ f (x

k=1

...... y

k-1

) Dx

f fonksiyonunun P bölüntüsüne göre (Riemann) alt toplamıdır.

1. y = x doğrusu, x ekseni ve x = 6 doğrusu arasında kalan bölgenin; a) Alanı nedir?

[1, 3] aralığı eşit uzunlukta 2 alt aralığa bölünürse aralık 3-1 = 1 br genişliği Dx = 2 dikdörtgenlerin taban uzunluklarıdır.

f(x) = x2

9 4 1 O

vv [x0, x1], [x1, x2], ... [xn–1, xn] alt aralıklar

f(x0) · ∆x + f(x1) · ∆x + ... + f(xn–1) · ∆x =

f: [1, 3] → [1, 9] olmak üzere f(x) = x2 fonksiyonunun ...... tanım aralığını eşit uzunlukta iki alt aralığa bölerek Riemann alt toplamını bulunuz.

1

2

3

x

f(1) = 1 ve f(2) = 4 ise dikdörtgenlerin yükseklikleridir.

O halde, dikdörtgenlerin alanları toplamı; f (1) · 1 + f (2) · 1 = 1 + 4 = 5 br2 f fonksiyonunun 9 9 1

4

P = {1, 2, 3} bölüntüsüne göre alt toplamıdır.

2. f: [0, 4] → [16, 0] f(x) = 16 – x2 fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.

16

b) P = {0, 2, 4, 6} bölüntüsüne göre Riemann alt toplamı nedir?

y f O

x

4

[0, 4] aralığının eşit uzunluktaki, a) İki alt aralığına göre Riemann alt toplamı nedir?

c) ∆x = 1 alt aralık genişliğine göre Riemann alt toplamı nedir? b) Dört alt aralığına göre Riemann alt toplamı nedir? d) [0, 6] aralığı 12 alt kapalı aralığı ayrılırsa Riemann alt toplamı ne olur?

c) n alt aralığına göre n → ∞ Riemann alt toplamı nedir? e) [0, 6] aralığı n alt aralığa ayrıldığında n → ∞ Riemann alt toplamı ne olur?

102

1) a) 18

b) 12

c) 15

d) 16,5

e) 18

2) a) 24

b) 34

c)

128 3

Riemann Toplamı - III

İNTEGRAL UYGULAMALARI Konu Özeti

(Riemann Üst Toplamı)

uu [a, b] aralığında tanımlı y = f(x) foksiyonu için y f(xn)

...

f

f(x2) f(x0)

...

x

x0 = a x1 x2 ... xn–1 b = xn

Alt aralıkların uç noktalarından eğrinin üstünde kalacak şekilde yükseklikleri belirlenen dikdörtgenlerin alanları toplamı Riemann Üst Toplamını verir.

f: [1, 3] → [1, 9] olmak üzere f(x) = x2 fonksiyonunun ...... tanım aralığını eşit uzunlukta iki alt aralığa bölerek Riemann üst toplamını bulunuz. ...... y 4 1

vv P = {x0, x1, ... xn} bölüntü

O

vv [x0, x1], [x1, x2], ... [xn–1, xn] alt aralıklar

vv Aralık genişliği ∆x dikdörtgenlerin tabanları vv f(x0), f(x1), ... f(xn) dikdörtgenlerin yükseklikleri olmak üzere, dikdörtgenlerin alanları toplamı

f(x1) · ∆x + f(x2) · ∆x + ... + f(xn) · ∆x =

n

/ f (x ) Dx

k=1

k

f fonksiyonunun P bölüntüsüne göre (Riemann) üst toplamıdır.

1. y = x doğrusu, x ekseni ve x = 6 doğrusu arasında kalan bölgenin; a) Alanı nedir?

1

2

3

x

dikdörtgenlerin taban uzunluklarıdır.

f(2) = 4 ve f(3) = 9 ise dikdörtgenlerin yükseklikleridir. O halde, dikdörtgenlerin alanları toplamı; f (2) · 1 + f (3) · 1 = 4 + 9 = 13 br2 f fonksiyonunun 9 9 4

9

P = {1, 2, 3} bölüntüsüne göre üst toplamıdır.

2. f: [0, 4] → [16, 0] f(x) = 16 – x2 fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.

16

b) P = {0, 2, 4, 6} bölüntüsüne göre Riemann üst toplamı nedir?

[1, 3] aralığı eşit uzunlukta 2 alt aralığa bölünürse aralık 3-1 = 1 br genişliği Dx = 2

f(x) = x2

9

y f O

x

4

[0, 4] aralığının eşit uzunluktaki, a) İki alt aralığına göre Riemann üst toplamı nedir?

c) ∆x = 1 alt aralık genişliğine göre Riemann üst toplamı nedir?

b) Dört alt aralığına göre Riemann üst toplamı nedir? d) [0, 6] aralığı 12 alt kapalı aralığa ayrılırsa Riemann üst toplamı ne olur?

e) [0, 6] aralığı n alt aralığa ayrıldığında n → ∞ Riemann üst toplamı ne olur?

1) a) 18

b) 24

c) 21

d) 19,5

e) 18

c) n alt aralığına göre n → ∞ Riemann üst toplamı nedir?

2) a) 56

b) 50

c)

128 3

103

Riemann Toplamı - IV Konu Özeti

İNTEGRAL UYGULAMALARI

(Riemann Orta Toplamı)

uu [a, b] aralığında tanımlı y = f(x) foksiyonu için y

f

...

f(rn) f(r2) f(r1)

...

x

x0 = a r1 x1 r2 ... xn–1rn b = xn

Alt aralıkların orta noktalarına göre yükseklikleri belirlenen dikdörtgenlerin alanları toplamı Riemann Orta Toplamını (Riemann Toplamını) verir.

f: [1, 3] → [1, 9] olmak üzere f(x) = x2 fonksiyonunun tanım aralığını eşit uzunlukta iki alt aralığa bölerek Riemann orta toplamını bulunuz.

y

f(x) = x2

9 25/4 9/4 1

vv P = {x0, x1, ... xn} bölüntü

O

vv [x0, x1], [x1, x2], ... [xn–1, xn] alt aralıklar vv r1, r2, ..., rn, bulundukları aralıkların orta noktaları vv Aralık genişliği ∆x dikdörtgenlerin tabanları vv f(r1), f(r2), ... f(rn) dikdörtgenlerin yükseklikleri olmak üzere, dikdörtgenlerin alanları toplamı f(r1) · ∆x + f(r2) · ∆x + ... f(rn) · ∆x =

n

/ f ( r ) Dx

k=1

k

f fonksiyonunun P bölüntüsüne göre Riemann toplamıdır.

1. y = x doğrusu, x ekseni ve x = 6 doğrusu arasında kalan bölgenin; a) P = {0, 2, 4, 6} bölüntüsüne göre Riemann alt toplamı ile Riemann üst toplamının ortalaması nedir?

1 3 –2 5 – 3 2 2

x

[1, 3] aralığı eşit uzunlukta 2 alt aralığa bölünürse aralık 3-1 = 1 br genişliği Dx = 2

dikdörtgenlerin taban uzunluklarıdır.

Aralıkların orta noktalarına göre çizilen dikdörtgenlerin 3 9 5 25 yükseklikleri f d n = ve f d n = tür.

2 2 4 4

O halde, dikdörtgenlerin alanları toplamı; 3 5 9 25 17 2 fd n · 1 + fd n · 1 = + = br f fonksiyonunun 2 2 2 4 4 ; ; 9 4

25 4

P = {1, 2, 3} bölüntüsüne göre Riemann orta toplamıdır.

2. f: [0, 4] → [16, 0] f(x) = 16 – x2 parabolünün [0, 4] aralığının eşit uzunluktaki, a) İki alt aralığına göre Riemann orta toplamı nedir?

b) P = {0, 2, 4, 6} bölüntüsüne göre Riemann toplamı(*) nedir?

b) n sayıdaki alt aralığına göre n → ∞ Riemann toplamı nedir? c) [0, 6] aralığı n alt aralığı ayrıldığında n → ∞ Riemann alt toplamı ne olur?

104

1) a) 18

b) 18

c) 18

(*) "Rieman Toplamı" ifadesi ile "Rieman Orta Toplamı" anlaşılmalıdır.

2) a) 44

b)

128 3

Riemann Toplamı - V

İNTEGRAL UYGULAMALARI Konu Özeti

(Riemann Toplamı - İntegral İlişkisi)

uu Bir fonksiyon Riemann toplamındaki dikdörtgen sayıları arttıkça eğri altındaki alana yaklaşılacağı için alt aralık sayısı n → ∞ iken aralık genişliği ∆x → 0 ile eğri altındaki alana ulaşılır. Eğri altındaki alan ise belirli integral ile tespit edilir. y

y

f

b

x

a

n tane alt aralık

Dikdörtgenlerin alanları toplamı n

/ f (r ) Dx

k=1

k

f y

... a

f: [1, 3] → [1, 9] olmak üzere f(x) = x2 fonksiyonunun eşit uzunlukta iki alt aralığına göre Reimann alt toplamı A, fonksiyon ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı B ise B – A yı bulunuz.

x

b

n → ∞ iken Δx → 0

9 4 1

Eğri altındaki alan n→∞ ∆x → 0

lim

n"∞

n

/

k=1

A = 1 · 1 + 4 · 1 = 5 br2 3

B=

1

2

x

3

3 3

# x dx = x3 2

1

O

b

f (rk) Dx =

f(x) = x2

1

=

27 1 26 2 - = br 3 3 3

26 11 2 -5 = br dir.

3 3

B–A=

# f (x) dx

a

1. f: [0, 2] → [1, 5] f(x) = 1 + x2 fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir. f foksiyonunun P = {0, 1, 2} düzgün bölüntüsüne göre

2. [0, 4] kapalı aralığında tanımlı f(x) = 16 – x2 fonksiyonunun eşit uzunlukta 2 alt aralığına göre Riemann toplamı A, fonksiyon eğrisi ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı B ise A – B farkı kaç br2 dir?

a) Alt toplamı ile üst toplamının ortalaması kaçtır?

b) Riemann toplamı kaçtır? Ç - 30 6

3.

# xdx integral ifadesinin Riemann toplam formülü ile

0

ifadesi nedir?

c) f ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaçtır?

1) a) 5

b) 4,5

14 c) 3

2)

4 3

n

3) lim

n"∞

/ 18n _2k - 1i

k=1

2

105

İntegral ile Alan Hesabı - I Konu Özeti

İNTEGRAL UYGULAMALARI (Alan ile İntegralin Farkı)

(Alan-İntegral İlişkisi)

y

y

uu S1

a

f

b

O

a

c x

S2

b

# f (x) dx

(i) ∀x ∈ [a, b] için f(x) ≥ 0 olduğundan S1 =

a

(ii) ∀x ∈ [b, c] için f(x) ≤ 0 olduğundan S2 = –

c

#

f (x) dx

A1

c

d

A2

1

2

#

f (x) dx a)

a

b) f(x) eğrisi x = a ve x = b arasında kalan alan

b

a)

dir.

vv f fonksiyonunun a ile c arasındaki alanlar toplamı _ c b Mutlak değeri S1 + S2 = f (x) dx dir. ` b unutmayınız! a a

#

1.

B A

2

d

c

b

C

d

–3

a

c

d

= 2 + (–3) + 5 = 4 bulunur. b

b)

#

f (x) dx = 2 + 3 + 5 = 10 br2 bulunur.

a

y B

x

–4

A

–2

x

3 y = f(x)

y = f(x)

y = f(x) in grafiğinde A ve B bulundukları bölgenin alanını

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

A = 4 br2, B = 7 br2 ve C = 5 br2 dir.

3

2

belirtmektedir. A + B = 14 br ve

Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız. b

a)

# f (x) dx =

# f (x) dx =

e)

b

# f (x) dx =

f)

# f (x) dx =

# f (x) dx =

g)

y = f(x) B

# f (x) dx + # f (x) dx =

Şekildeki f(x) fonksiyonunun grafiğinde A ve B bulunduk5

b

ları bölgenin alanlarını göstermektedir. d) y = f(x) eğrisi, x = a, x = c ve x ekseni arasında kalan bölgenin alanı =

106

1) a) –4

b) 7

c) 3

d) 11

h) y = f(x) eğrisi, x = a, x = d ve x ekseni arasında kalan bölgenin alanı =

e) 2

x

5

d

a

a

–1 A

c

c

y –4

a

b

c)

3.

d

c

b)

# f (x) dx = 6 olduğuna

–4

göre A kaç br2 dir?

d

a

5

b

# f (x) dx = # f (x) dx + # f (x) dx + # f (x) dx

2.

y

a

c

a

a

b x

b

vv f fonksiyonunun a ile c arasındaki integrali

# f (x) dx = S - S

A3

A1 = 2 br2, A2 = 3 br2, A3 = 5 br2 olduğuna göre aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz.

b c

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

f

f) –2

g) 5

h) 16

A = 4 br2 olduğuna göre B kaç br2 dir?

2) 4

3) 16

# f (x) dx = 12 ve

–4

İntegral ile Alan Hesabı - II

İNTEGRAL UYGULAMALARI Konu Özeti

(Geometrik Şekiller Yardımıyla İntegral)

Konu Özeti (Fraktal Fonksiyonların Eğrileri Altındaki Alanı)

uu Bir fonksiyonun grafiği altındaki alanlar, mümkünse geometrik şekillere ayrılarak bu alanlar yardımıyla fonksiyonun belirli integral değeri tespit edilebilir. Örnekle açıklayalım.

uu Fraktal fonksiyon sisteminin(*) eğrileri altındaki alan tespit edilirken sonsuz geometrik dizi toplamından faydalanılır. ∞ 1 r < 1 için a1 _ 1 + r1 + r2 + ... i = a1 r k = a1 dir.

1-r

y

4 –3

–1

5

2 –2

/

k=1

n ∈ N olmak üzere [n, n + 1) aralıklarında tanımlı x-n fn (x) = fonksiyon sisteminin x ekseni ile arasında 3n kalan bölgenin alanları toplamını bulunuz.

x

y = f(x)

Grafiği şekideki gibi olan y = f(x) fonksiyonu için verilen-

y

5

# f (x) dx in değerini bulunuz.

lere göre

–3

4 –3

2+3 n · 2 = 5 br2 S1 = d 2 (yamuğun alanı)

y S2

–1

S1

O

2 –2

5

x

5

5·4 = 10 br2 2 (üçgenin alanı) S2 =

D T.A. =

2

x-1 , 31 x-2 x-3 f2 (x) = , f3 (x) = ,...

32 33

f0(x) = x, f1 (x) =

f2 3

... x

1

2

# xdx + #

0

1

x-1 dx + 3

1 /2

2.

O 1

–2 –1

2

3

5

6

y

f0

f1

Şekilde y = f(x) fonksiyonu grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız. a)

...

O

1

2

3

x

n ∈ N için [n, n + 1) aralıklarında tanımlı fn (x) =

_x - ni

3

2n

biçiminde tanımlanan fonksiyonlar ile x ekseni arasında kalan bölgeler şekilde taralı olarak verilmiştir.

# f (x) dx =

–3

Buna göre tüm taralı bölgenin alanları toplamı kaçtır?

3

b)

f2

x

–1

0

2

2

1 /2

1 4

# x 3- 2 dx + ...

2 2 x2 1 1 _ x - 1 i 2 1 _ x - 2 i 3 + · + 2· + ...

2 2 0 3 2 3 1 2 144 244 3 > 144 244 3 1 /2

y

–3

3

1 1 1 1 1 3 = d 1 + + 2 + ... n = · = bulunur.

1 2 1 2 3 3 4 r= 13 3

–3

1.

f1

1

Taralı Alan

=

# f (x) dx = –5 + 10 = 5 bulunur.

O halde

f0

# f (x) dx =

–3

6

c)

# f (x) dx =

–3

6

d)

#

f (x) dx =

–3

1) a) 1

b)

7 2

c) 3

d) 6

(*) Belirli bir kurala göre küçülen ya da büyüyen grafiklerden oluşan fonksiyon sistemine fraktal geometri ile tekrarlayan fonksiyonlar denir.

2)

1 2

107

İntegral ile Alan Hesabı - III

İNTEGRAL UYGULAMALARI

Konu Özeti (Sık Karşılaşılan Fonksiyonların Eğrisi Altındaki Alan) uu Fonksiyon grafikleri bilinmelidir. y

v

y=x

(*)

y=x v

x

y = lnx x

y = –x3

y

y

k (k < 0) y =– x

x

y

y

v

x = –y

Ayrıca grafiği verilen fonksiyonun (doğrusal, parabolik, polinomik, ...) denklemini oluşturmayı iyi biliniz.(*)

1.

–2

y = x2

O

2

2

Şekilde y = x parabolünün grafiği verilmiştir.

O

2 Şekilde y = eğrisinin x grafiği verilmiştir.

1

e3

1)

16 3

# e dx = e

x ! R iken ex > 0 dır.

x

0

x

1 0

= e1 - e0 = e - 1 br2

y f(x) = x3 – x

–1

O

1 x 0

1

TA =

#

3

x - x dx =

–1

=d

4

1

# _x - xidx + # _x - x idx bulunur.

3

–1 2

2

3

0

4

x x x x 1 1 1 - n + d - n = <0 - d – nF + < - 0F = br2 2 –1 2 2 4 4 0 4 4 0

1

3. y = x2 – x – 2 parabolü ile x = –2, x = 2 doğruları ve x ekseni ile sınırlanan bölgenin alanı kaç br2 dir?

Buna göre taralı alan kaç br2 dir?

x

y

2.

108

y

e dx = 7

f(x) = x3 – x fonksiyonu x = –1 ve x = 1 doğruları ve x ekseni arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.

y = –� x

x=y

#

y=�x x

x

TA =

1

x

k (k > 0) y =– x

x y = sinx

v

x

1

1

0

v

y = cosx

O

y = ex

x

y = –x2

v

y

3

Şekildeki taralı bölgenin alanını bulunuz.

y = ex

integral ile alan hesabı için iyi y

v

2

y

4. y = x3 – 4x eğrisi x = –2, x = 2 doğruları ve x ekseni ile sınırlanan bölgenin alanı kaç br2 dir?

Buna göre taralı alan kaç br2 dir?

2 y =– x x

2) 6

(*) "Türev II" fasikülü "Grafikler" ünitesini tekrarlayınız.

3)

19 3

4) 8

İntegral ile Hacim Hesabı – II

İNTEGRAL UYGULAMALARI

b

Vy = π

elde edileceği için y ye göre fonksiyon elde edilip dy ile integral alınır.

y

y = f(x) fonksiyonu y = a, y = b ve y ekseni arasında kalan bölgenin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi Vy olsun; öncelikle fonksiyon x = f(y) olarak düzenlenmelidir.

x = f(y) b

x2 + 4y2 = 4 & x =

a o

x

# x dy = π # [f (y)]

dy dir.

360° den küçük a kadar döndürmelerde hacim α " oranı ile çarpmayı unutmayıifadesini " 360° nız. ÖRNEK

y 1 x

2

Birinci bölgede, y ekseni, x ekseni ve x2 + 4y2 = 4 elipsi arasında kalan bölge y ekseni etrafında, a) 360° b) 180° döndürülmesi ile oluşan cisimlerin hacimlerini bulunuz.

Aşağıdaki grafiklerde verilen taralı bölgelerin oy ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cisimlerin hacmini bulunuz.

1.

y

#

a) Vy = π

0 2

x = f(y) a

a

o

1

b

2

Cisim y ekseni etrafında döndürülerek

ÇÖZÜM

(y Ekseni Etrafında Döndürme)

Konu Özeti

= π f 4y -

1

b) Vy =

4 - 4y2 dir.

^ 4 - 4y2 h dy = π

1

# ^4 - 4y h dy

2

2

0

4y3 1 4 8π 3 p = π ;c 4 - m - ^0hE = br bulunur.

3 0 3 3

180°

360° 2

1

·π

#6

4 - 4y2 @ dy 2

10 4 44 2 4 44 3 8π

3

1 8π 4π 3 = · = br bulunur.

2 3 3

3. Analitik düzlemin birinci bölgesinde 2y = 4 – x2 eğrisi ve koordinat eksenleri ile sınırlı bölgenin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?

y= x y=2 x

o

Ç - 36

4. y = ln x eğrisi y = 1, y = 3 doğruları ve y ekseni ile sınırlı bölgenin y ekseni etrafında 180° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?

2.

y

y = ex y = e2 y=e o

1)

120

32π 5

5. x = 4 - y2 eğrisinin y ekseni etrafında 180° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?

x

2) π (2e2 - e)

3) 4π

4)

π (e6 - e2) 4

5)

16π 3

İntegral ile Hacim Hesabı – III

İNTEGRAL UYGULAMALARI ÇÖZÜM

(İki Eğri Arasındaki Bölgenin Döndürülmesi)

Konu Özeti

y

y = f(x) ve y = g(x) fonk siyonları, x = a ve x = b doğruları arasında kao lan bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi Vx olsun, f(x) ≥ g(x) iken;

Sınırlı bölge y ekseni etrafında döndürü-

leceği için fonksiyonlar dy ile integral alınacak şekilde düzenlenir.

y = f(x)

y

y = g(x) a

b

y = x2 ⇒ x = bölgede)

2

x –2

y = x2 o

2 1

y (birinci

x+y=2⇒x=2–y

x

x+y=2

b

Vx = π

# [f (x) - g (x)] dx tir.

2

2

a

İki eğri arasındaki bölgenin y ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi için fonksiyonlar y eksenine göre integral alınacak şekilde düzenlenip yukarıdaki mantık çerçevesinde yorumlanır.

Fonksiyonların kesim noktalarının bulunması gereken durumlarda ortak çözüm yapılır.

Ortak çözüm ile kesişim noktasını bulalım;

y = 2 - y & ^ y h = (2 - y) 2 & y = 4 - 4y + y2 2

& y2 - 5y + 4 = 0 & y = 1 ve y = 5 dir.

1

Vy = π

#(

2

2

y ) dy + π

0

=π

Analitik düzlemin I. bölgesinde; x + y = 2 doğrusu ve y = x2 eğrisi arasında kalan sonlu bölgenin(*) y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.

1.

#

2

(y - 2) 2

1

1

ÖRNEK

(2 - y) dy #>

1

y dy + π

0

2 1

# (y - 2) dy = π · y2 2

; π

1

0

+π

2

(y - 1) 3 2 3 1 1 44 2 44 3 π 3

π π 5π 3 = + = br bulunur.

2 3 6

3. y = x2 parabolü ile y = x doğrusu arasında kalan bölgenin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşuan cismin hacmi nedir?

y y = 2x2

x

o

y = –2x + 4

Şekilde taralı bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?

2.

y

Ç - 37

y = x2

4. y = x2 ve 8x = y2 eğrileri arasında kalan bölgenin x ekseni etrafında 180° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?

y2 = x x

o

Şekilde taralı bölgenin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?

1)

( )

*

32π 15

"Sonlu Bölge" sınırlandırılmış bölge demektir.

2)

3π 10

3)

π 6

4)

24π 5

121

İntegral ile Hacim Hesabı – IV

İNTEGRAL UYGULAMALARI (y = k ve x = m Doğruları Etrafında Döndürme)

Konu Özeti

y = f(x) fonksiyonu x = a, x = b ve y = k doğrusu arasında kalan bölgenin x eksenine paralel olan y = k doğrusu etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi V ise,

y

k a

b

y=k x

ÖRNEK

Analitik düzlemde y = x2 + 2 parabolü ile y ekseni, x = 1 ve y = 1 doğruları arasında kalan sınırlı bölgenin y = 1 doğrusu etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz. ÇÖZÜM

Grafiği çizerek yorumlayalım, 1

y y = x2 + 2

b

V=π

# 6f (x) - k@ dx

o

a

2

x

1

y=1

1

# 1(x44 2+ 144) 3 dx 2

V=π

0

Aynı yorum y eksenine paralel x = m doğrusu etrafında döndürme ve iki eğri arasındaki bölgeyi, y = k veya x = m etrafında döndürme için de uygulanır.

1.

y

2

4

2

x + 2x + 1

1

=π

# (x + 2x + 1) dx 4

2

0

x5 2x3 1 1 2 28π bulunur. = πc + + x m = πc + + 1 m = 5 5 3 15 3 0

Ç - 38

y = x2 + 4

3. y = x2 – 4 parabolü ile y = –3 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin y = –1 doğrusu etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?

y=1 x

o

2

0

1

2

# (x + 2 - 1) dx

V=π

x=2

Şekildeki taralı bölgenin y = 1 doğrusu etrafında 360° döndürülmesi ile elde edilen dönel cismin hacmi nedir?

2.

y

y = x2 y=4 x

o x=1

Şekildeki taralı bölgenin x = 1 doğrusu etrafında 60° döndürülmesi ile elde edilen dönel cismin hacmini veren integral ifadesi nedir?

1)

122

202π 5

2)

π 6

4

#^ 1

y - 1 h dy 2

4. y = ln x eğrisi ile x = 1 ve y = 1 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin x = 1 doğrusu etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini veren integral ifadesi nedir?

3)

32π 5

1

4) π

# ^e - 1h dy y

0

2

İntegralin Fiziksel Yorumu – I Konu Özeti

İNTEGRAL UYGULAMALARI

(Doğrusal Hareket Denklemi)

S(t) yolun zamana, V(t) hızın zamana ve a(t) ivmenin zamana göre fonksiyonları iken "yolun türevi hızı (S'(t) = V(t)" ve "hızın türevi ivmeyi (V'(x) = a(t)" verdiğine göre, vv İvmenin integrali hızı verir: V (t) = vv Hızın integrali yolu verir: S (t) =

# a (t) dt

# V (t) dt

Belirsiz integral hesabındaki C integrasyon sabiti, hız için ilk hız V0 ve yol için ilk konum S0 dır.

İlk konum S0 = 120 m ve ilk

hız V0 = 50 m/sn olmak üzere yukarı doğru hareketi "+" aşağı doğru hareketi "–" alalım.

50 m/sn 120 m



S yol, V hız, a ivme ve t zaman olmak üzere,

ÇÖZÜM

a) Cisme etkiyen yer çekimi ivmesi zaman ile değişmeyeceğinden, (i) a(t) = –10 m/sn2 dir. (ii) V (t) =

# a (t) dt & V (t) = # (- 10) dt

⇒ V(t) = –10t +

C = 50 – 10t bulunur.

9

Vo = 50

(iii) S (t) =

# V (t) dt & S (t) = # (50 - 10t) dt

⇒ S(t) = 50t – 5t2 +

C = –5t2 + 50t + 120 bulunur.

9

So = 120

b) Cismin maksimum yükseklikteki hızı 0 dır.

ÖRNEK

Yerden 120 m yükseklikte bulunan bir cisim 50 m/sn hızla yukarı doğru düşey olarak fırlatılıyor. Yer çekimi ivmesi 10 m/sn2 olarak alındığında, t saniye sonraki zamana göre aşağıdaki istenilenleri bulunuz. a) Cismin a(t) ivmesini, V(t) hızını, S(t) konumunu b) Cismin çıkabileceği maksimum yüksekliği c) Cismin yere çarptığı ana kadar geçen süreyi

1.

V = 30 m/sn 

80 m

Yerden yüksekliği 80 m olan bir cisim 30 m/sn hızla düşey olarak fırlatılıyor. Yer çekimi ivmesi 10 m/sn2 olarak alındığında t saniye sonraki zamana göre aşağıdakileri bulunuz.

V(t) = 0 ⇒ 50 – 10t = 0 ⇒ t = 5. sn de cisim maksimum yüksekliğe ulaşır. O halde, t = 5 için S(5) = –5 · 52 + 50 · 5 + 120 = 245 m dir. c) Cismin yere çarptığı anda konumu 0 dır.

S(t) = 0 ⇒ 0 = –5t2 + 50t + 120 ⇒ t2 – 10t – 24 = 0 ⇒ (t – 12)(t + 2) = 0 ⇒ t = 12. sn de cisim yere çarpar.

c) Cismin S(t) konum fonksiyonu nedir?

a) Cismin a(t) ivme fonksiyonu nedir?

d) Cismin çıkabileceği maksimum yükseklik kaç metredir?

b) Cismin V(t) hız fonksiyonu nedir?

e) Cisim fırlatıldıktan kaç saniye sonra yere çarpar?

1)

a) –10

b) 30 – 10t

c) –5t2 + 30t + 80

d) 125

e) 8

123

İntegralin Fiziksel Yorumu – II

İNTEGRAL UYGULAMALARI Konu Özeti

S ( t ) =

ÇÖZÜM

(Yer Değiştirme ve Toplam Yol)

S ( t) =

# V (t) dt iken,

vv t1 ve t2 anları arasındaki yer değişim;

# V (t) dt olmak üzere,

a) Yer değişimi: 3

# (t - 2t) dt = c t3 - t m 3

2

t2

t2

# V (t) dt = S (t)

t1

t1

= S (t2) - S (t1) dir.

vv t1 ve t2 onları arasında alınan toplam yol; t2

#

V (t) dt dir.

2

1

3

=1

2 tür.

3

2 Cisim 3. saniyede 1. saniyede bulunduğu noktanın 3 metre ilerisini gitmiştir.

2 O halde bu noktalar arası uzaklık metredir.

3

#

b) Toplam yol:

t2 - 2t dt dir.

t1

Mutlak değer fonksiyonunun integralinin kritik noktalarına göre parçalanıp alınacağını hatırlayınız.

t2 – 2t = 0 ⇒ t(t – 2) = 0 ⇒ t = 0 ve t = 2 kritik noktalardır.

O halde, 3

#

ÖRNEK

1

Doğrusal bir yol boyunca hareket eden bir cismin hız fonksiyonu V(t) = t2 – 2t m/sn olduğuna göre, cismin t = 1 ve t = 3 saniye anlarında bulunduğu noktalar arasındaki, a) Uzaklığı bulunuz

#

t2 - 2t dt + 14 243 -

1

=

# 2

t2 - 2t dt 14 243 +

3

2

# (2t - t ) dt + # (t - 2t) dt 2

1

2

2

3 t3 2 t3 2 4 = c t2 - m + c - t2 m = + = 2 bulunur.

3 3 1 3 3 2 1 44 2 44 3 1 44 2 44 3

2

b) Aldığı toplam yolu bulunuz

3

2

t2 - 2t dt =

3

4

3

O halde, cisim toplam 2 metre yol almıştır.

1. Doğrusal bir yol boyunca hareket eden bir cismin hız fonksiyonu V(t) = (t2 – t) m/sn olduğuna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

2. Herhangi bir t anındaki hızı V(t) = 3t2 + 6t m/sn olan bir hareketlinin harerekete başladığı andan itibaren 3 saniyede aldığı yol kaç m dir?

a) t = 0 ve t = 3 saniye anlarında bulunduğu noktalar arasındaki uzaklık kaç m dir?

b) t = 0 ve t = 3 saniye anları arasında aldığı toplam yol kaç m dir.

1) a)

124

9 2

b)

29 6

3. Doğrusal bir yolda 30 m/sn hızla giden bir araç aniden frene bastığında 6 m/sn2 ivme ile yavaşlayarak durmuştur. Bu araç frene basıldığı andan duruncaya kadar geçen sürede kaç metre yol almıştır?

2) 54

3) 75

İntegralin Ekonomi ve Diğer Alanlara Uygulaması

ÇÖZÜM

Konu Özeti

Toplam basılan kitap sayısı, basım hızının

belirli integrali alınarak bulunur.

İntegralin fiziksel uygulamasında kullanılan ilişkiler, ekonomik ve diğer alanlarda karşımıza çıkan değişim hızı (oranı) ve bu hıza (orana) bağlı değişen miktar arasında kullanılır. t zamanına bağlı miktar fonksiyonu F(t) ve hız fonksiyonu V(t) ise, F ( t) =

# V (t) dt dir. t2

# V (t) dt ,

t1 ile t2 arasındaki net iş

t1 t2

toplam iş

#

V (t) dt dir.

t1

ÖRNEK

İNTEGRAL UYGULAMALARI

3

# (10000 + 4000 t) dt

Toplam basım =

1

= (10000t + 2000t2)

ÖRNEK

3 1

= 48000 - 12000 = 36000 adettir

(Nüfus Uygulaması)

2014 yılında nüfusu 50000 olan bir şehrin bu yıldan itibaren nüfusunun 1000 + 1000t (kişi/yıl) oranı ile değişeceği tahmin ediliyor. t zaman değişkeni, 2014 yılından sonra geçen yılı belirtmek üzere 2018 yılında bu şehrin tahmini nüfusunu bulunuz. ÇÖZÜM

2014 yılı t = 0 ise 2018 yılı t = 4 deki nüfus,

nüfus değişim oranının (hızının) belirli integrali alınarak bulunur.

(Üretim Uygulaması)

4

# (1000 + 1000t) dt

Bir yayınevinin kitap basma hızı 10000 + 4000 t (adet/yıl) olarak belirlenmiştir. Bu yayın evinin 1. ve 3. yıllar arasında basacağı toplam kitap sayısını bulunuz.

Nüfus = 50000 +

(t yıl olarak zamanı belirtmektedir)

= 50000 + (12000 – 0) = 62000 kişidir.

1. Yeni açılan bir otomobil fabrikasının ilk 4 aylık üretim bilgilerine göre üretim hızı A'(t) = 50 + 2t (adet / ay) olarak belirlenmiştir. t fabrikanın açılışından itibaren geçen zamanı, A(t) ise fabrikanın açılışından t ay sonra adet olarak üretilen otomobil miktarını göstermektedir.

a) Fabrikanın ilk 4 ayda ürettiği toplam otomobil sayısı kaçtır?

b) Fabrikanın 9. ve 10. aylar arasında üreteceği toplam otomobil sayısı kaçtır?

1) a) 216

b) 69

0

= 50000 + (1000t + 500t2)

4 0

2. M(x) bir telin sol ucundan itibaren x noktasına kadar kütlesini, M'(x) ise yoğunluğunu belirtmektedir. Buna göre sol ucundan itibaren x cm uzaklığa kadar yoğunluğu M'(x) = 3x2 + 2x (gr/cm) olan bir telin;

a) İlk 3 cm sindeki kütlesi kaç gramdır?

b) 2. ve 4. santimetreleri arasındaki kütlesi kaç gramdır?

2) a) 36

b) 68

125