Email:Jackie9x.spb@gmail.com
PHƯƠNG PHÁP DỰNG TRỤC TỌA ĐỘ I. Lý thuyết Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD. A' B' C' D' z
Với hình lập phương . Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
A’
D’
B’
A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C(a; a;0) ; D(0;a;0) A '(0;0; a) ; B '(a;0; a) ; C '(a; a; a) ; D'(0;a;a)
C’
Với hình hộp chữ nhật. Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
A
D y
A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C(a; b;0) ; D(0;b;0)
x
C
B
A '(0;0; c) ; B '(a;0; c) ; C '(a; b; c) ; D'(0;b;c)
Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD. A' B' C' D' Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
z
A’
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD
D’ O’
B’ A
- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy
y
C D O
B
C
x
Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD z
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao SO h Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông a 2 a 2 ;0;0 ; C ;0;0 2 2
D
A
Khi đó : A
a 2 a 2 B 0; ;0 ; D 0; ;0 ; S (0;0; h) 2 2
S
B
O C
x
y
Email:Jackie9x.spb@gmail.com
Với hình chóp tam giác đều S.ABC z
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng h . Gọi I là trung điểm của BC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0)
S
y
C
A
Khi đó : A ;0;0 ; B ;0;0
a a 2 2 a 3 a 3 C 0; ;0 ; S 0; ; h 2 6
I
H
B
x
Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD) z
ABCD là hình chữ nhật AB a; AD b chiều cao bằng h
S
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) A
Khi đó : B a;0;0 ; C a; b;0 D 0; b;0 ; S (0;0; h)
D
y
D
y
O
B
C
x
Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA (ABCD) z
S
ABCD là hình thoi cạnh a chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0)
A
B
O C
x
Email:Jackie9x.spb@gmail.com
Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại A z
Tam giác ABC vuông tại A có AB a; AC b đường cao bằng h .
S
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đó : B a;0;0 ; C 0; b;0 S 0;0; h
y
C
A B
x
Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại B Tam giác ABC vuông tại B có BA a; BC b đường cao bằng h . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B(0;0;0) Khi đó : A a;0;0 ; C 0; b;0
S
z
y
x
S a;0; h
C
A B
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông tại C
H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho C(0;0;0) Khi đó : A a;0;0 ; B 0; b;0
z
S
ABC vuông tại C CA a; CB b chiều cao bằng h
y
x A
B
H
C
a b S ( ; ; h) 2 2
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông tại A
Email:Jackie9x.spb@gmail.com
z
ABC vuông tại A AB a; AC b chiều cao bằng h
S
H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0)
C
A
y
Khi đó : B a;0;0 ; C 0; b;0
H B
a S (0; ; h) 2
x
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông cân tại C Tam giác ABC vuông cân tại C có CA CB a đường cao bằng h .
z
S
H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0) a a ;0;0 ; A 0; ;0 2 2 a B 0; ;0 ; S 0;0; h 2
Khi đó : C
y
H
A
B C
x
II. Bài tập áp dụng Bài toán 1. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi , , lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh rằng : cos 2 cos 2 cos 2 1 ( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
Hướng dẫn Dựng hình :
Bài giải z
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : O(0;0;0) ; A(a;0;0) ; B(0; b;0) C (0;0; c) ;
C
AB (a ; b ; 0)
y
O
AC (a ; 0 ; c)
x
A
C’
B
Email:Jackie9x.spb@gmail.com
Tìm vectơ pháp tuyến của : Mặt phẳng (ABC) Mặt phẳng (OBC) Mặt phẳng (OCA) Mặt phẳng (OAB) Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng: cos cos(OBC), ( ABC ) cos cos(OBC), ( ABC ) cos cos(OBC), ( ABC )
Kết luận
n AB, AC (bc ; ac ; ab) i ( 1, 0, 0)
vì : Ox (OBC)
j ( 0, 1, 0)
vì : Oy (OCA)
k ( 0, 0, 1)
vì : Oz (OAB)
b.c
cos
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2 c.a
cos
cos
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2 a.b b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
cos 2 cos 2 cos 2
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2 1 b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
Bài toán 2. Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau : Cho hình lập phương ABCD. A' B' C' D' có cạnh bằng a. a.Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng ( AB' D' ) b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A' C và mặt phẳng ( AB' D' ) là trọng tâm của tam giác AB' D' . c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( AB' D' ) và (C ' BD) d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( DA' C ) và ( ABB ' A' ) ( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : z
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : O A(0;0;0) ;
A’ B’
A' (0;0; a) B(a;0;0) ; B' (a;0; a) C (a; a;0) ; C ' (a; a; a) D(0; a;0) ; D' (0; a; a)
G
x A' C AB ' A' C ( AB ' D' ) A' C AD '
Nếu
C’ D
A B
a. Chứng minh : A' C ( AB' D' )
D’
A' C (a; a;a) Ta có : AB ' (a;0; a) AD ' (0; a; a)
C
y
Email:Jackie9x.spb@gmail.com 2 2 A' C AB ' A' C. AB ' a 0 a 0 Vì 2 2 A' C AD ' A' C. AD ' 0 a a 0 Nên A' C mp( AB' D' )
b. Chứng minh : G là trọng tâm của tam giác AB' D' Phương trình tham số của đường thẳng A' C
Gọi G A' C ( AB' D' ) Toạ độ giao điểm G
x t A' C : y t (t R) z a t
a x 3 a a a 2a G ; ; (1) y 3 3 3 3 2a z 3 x A xB ' xD ' a xG 3 3 y yB ' yD ' a Mặt khác : yG A (2) 3 3 z A z B ' z D ' 2a zG 3 3
Phương trình tổng quát của mặt phẳng ( AB' D' ) ( AB' D' ) : x y z 0
Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( AB' D' )
n1 AB', AD' (a 2 ;a 2 ; a 2 )
của đường thẳng A' C và mặt phẳng ( AB' D' ) là nghiệm của hệ : x t y t z a t x y z 0
So sánh (1) và (2), kết luận
Vậy giao điểm G của đường chéo A' C và mặt phẳng ( AB' D' ) là trọng tâm của tam giác AB' D'
c. Tính d ( AB' D' ), (C ' BD) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (C ' BD) (C' BD) : x y z a 0 Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Ta có :
(C ' BD)
n2 C ' B, C ' D (a 2 ; a 2 ;a 2 )
d. Tính cos( DA' C ), ( ABB ' A' ) Oy ( ABB ' A' ) Vec tơ pháp tuyến của ( ABB ' A' ) là j (0 ; 1 ; 0) Vectơ pháp tuyến của ( DA' C ) :
n3 DA', DC (0; a 2 ;a 2 ) a 2 (0;1;1)
( AB' D' ) : x y z 0 (C ' BD) : x y z a 0 ( AB' D' ) // (C ' BD)
d ( AB ' D' ), (C ' BD ) d B, ( AB ' D' )
a 3
Vec tơ pháp tuyến của ( ABB ' A' ) là j (0 ; 1 ; 0) Vectơ pháp tuyến của ( DA' C ) : n3 (0;1;1)
cos( DA' C ), ( ABB ' A' )
1 2
( DA' C ), ( ABB ' A' ) 45
o
Bài toán 3. Cho hình lập phương ABCD. A' B' C' D' có cạnh bằng a. Chứng minh hai đường chéo B' D' và A' B của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B' D' và A' B
Email:Jackie9x.spb@gmail.com
Hướng dẫn Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau :
Bài giải z
A’
D’
B’
O A(0;0;0) ; A' (0;0; a) ; B(0; a;0) ; B' (0; a; a) C (a; a;0) ; C ' (a; a; a) D(a;0;0) ; D' (a;0; a)
C’ y
A
D
B
C
x
Chứng minh B' D' và A' B chéo nhau, ta chứng minh ba vectơ
Ta có : B' D' (a;a;0) A' B (0; a;a) ;
B' D', A' B.BB' a
B' D'; A' B, BB ' không đồng
2 2 2 B' D', A' B (a ; a ; a )
phẳng. Cần chứng minh tích hỗn hợp của ba vectơ
3
0
ba vectơ B' D'; A' B, BB ' không đồng phẳng. hay B' D' và A' B chéo nhau.
B' D'; A' B, BB ' khác 0
Tính d B' D' , A' B d B' D' , A' B
BB' (0;0; a)
d B' D' , A' B
[ B' D', A' B].BB '
a3 a a a 4
4
a3
4
a
2
3
a 3 3
[ B' D', A' B]
Bài toán 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 2 ) . Gọi M là trung điểm của SC 1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM 2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 ) Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : z
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : O(0;0;0) ;
S
A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 2 )
Ta có : C (2;0;0) ; D(0;1;0) ; M (1;0; 2 )
M
N
SA 2;0;2 2 ; BM 1;1; 2
C
D
x
A
O B
y
Email:Jackie9x.spb@gmail.com
1a.Tính góc giữa SA và BM Gọi là góc giữa SA và BM Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng.
Ta có :
SA.BM
cos cos SA, BM
SA BM
3 2
30o
1b. Tính khoảng cách giữa SA và BM
[SA, BM ] (2 2 ;0;2) ; AB (2;1;0)
Chứng minh SA và BM chéo nhau Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
[SA, BM ]. AB 4 2 0 d ( SA, BM )
[ SA, BM ]. AB
[ SA, AB ]
2. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. Dễ dàng nhận thấy : MN ( ABM ) (SCD) VS . ABMN VS . ABM VS . AMN
Trong đó : 1 [ SA, SM ].SB 6 1 [ SA, SM ].SN 6
VS . ABM VS . AMN
MN // AB // CD N là trung điểm của SD 1 Toạ độ trung điểm N 0; ; 2 2 SA (2;0;2 2 ) ;
SM (1;0; 2 )
SB (0;1;2 2 ) ;
SM (1;0; 2 )
[ SA, SM ] (0;4 2 ;0) 1 4 2 2 2 [ SA, SM ].SB 6 6 3 1 2 2 2 [ SA, SM ].SN 6 6 3
VS . ABM VS . AMN
Kết luận
4 2 2 6 3 84
Vậy VS . ABMN VS . ABM VS . AMN 2 (đvtt)
Bài toán 5 . Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC . A1B1C1 với A(0;3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4) . Tìm toạ độ các đỉnh A1 ; C1 . Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng ( BCC1B1 ) . Gọi M là trung điểm của A1B1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1 . ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2005 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : O(0;0;0) ; Với : A(0;3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4)
B1
C1
A1 (0;3;4) C1 (0;3;4)
A
Toạ độ trung điểm M của A1B1 3 M 2; ;4) 2
M
z
A1
x
B
O
C y
Email:Jackie9x.spb@gmail.com
Toạ độ hai đỉnh A1 ; C1 . Phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng ( BCC1B1 ) Viết phương trình mp ( BCC1B1 ) Tìm bán kính của mặt cầu (S) R d A, ( BCC1B1 ) Phương trình mặt cầu (S) : Phương trình mặt phẳng (P) : Tìm vectơ pháp tuyến của (P) AM ( P) nP [ AM , BC1 ] BC1 // ( P) 3 AM 2; ;4 ; BC1 (4;3;4) 2
Ta có : A1 (0;3;4) mp(Oyz) C1 (0;3;4) mp(Oyz) Vectơ pháp tuyến của mp ( BCC1B1 ) n [ BC , BB1 ] (12; 16; 0)
Phương trình tổng quát của mp ( BCC1B1 ) : ( BCC1B1 ) : 3x 4 y 12 0 Bán kính của mặt cầu (S) : R (S) : x 2 ( y 3) 2 z 2
24 5
576 25
Vectơ pháp tuyến của (P) : nP [ AM , BC1 ] (6;24;12)
Phương trình mặt phẳng (P) : ( P) : x 4 y 2 z 12 0
Bài toán 6 . Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); AC AD 4cm ; AB 3cm ; BC 5cm . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 ) Hướng dẫn
Bài giải z
Dựng hình :
D
ABC có : AB 2 AC 2 BC 2 25 nên vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau O A(0;0;0) ; B(3;0;0) ; C (0;4;0) D(0;0;4) ; Tính : AH d A, ( BCD)
A B
H
C
y
I
x
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD) ( BCD ) :
x y z 1 4 x 3 y 3z 12 0 3 4 4
d A, ( BCD )
12 16 9 9
12 6 34 17 34
Email:Jackie9x.spb@gmail.com
Bài toán 7 . Cho hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận AB a (a 0) là đoạn vuông góc chung. Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho AM BN 2a . Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : z
B
Dựng Ay ' // By Ax Ay ' Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Axy' z như sau : A(0;0;0) ; B(0;0; a) ; M (2a;0;0)
N A
N (0;2a; a)
1a. Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Chú ý :
Ax By Ax Ay '
1b.Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN
I
M
Toạ độ trung điểm I của MN a Ia ; a ; 2
y
y'
x
Hai tam giác AMN và BMN là hai tam giác vuông nhận MN là cạnh huyền nên
a 2
trung điểm I a ; a ; của MN là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Ta có : MN a(2 ; 2 ; 1) Bán kính mặt cầu : R
MN 3a 2 2
Ta có : AM (2a;0;0) ; 2. Tính d ( AM , BI ) Chứng minh AM và BI chéo nhau Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a BI a; a; ; AB (0;0; a) 2
[ AM , BI ] (0; a 2 ;2a 2 ) d ( AM , BI )
[ AM , BI ]. AB [ AM , BI ]
2a 5 5
Bài toán 8 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )
Email:Jackie9x.spb@gmail.com
Hướng dẫn
Bài giải z
Dựng hình : Gọi O là tâm của hình vuông ABCD SO (ABCD ) Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : O(0;0;0) ; S 0;0; h ;
a 2 a 2 a 2 h P ; E ; 0 ; ; ; h 4 2 2 2 a 2 a 2 h a 2 a 2 M ; ; N ; ;0 2 4 2 4 4
Tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Chứng minh MN và AC chéo nhau Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
P
M
y
A
a 2 a 2 A ; C ;0;0 ;0;0 2 2 a 2 a 2 ; B 0; D 0; ; 0 ;0 2 2
Toạ độ trung điểm P của SA
S
E
D O
B
N
C
x
3a 2 h MN ;0; ; BD (0; a 2;0) 2 4
Vì : MN.BD 0 MN BD
ah 2 Ta có : MN , AC 0; ;0 2 a 2 h AM 0; ; 4 2 a2h 0 Vì : MN , AC . AM 4 MN và AC chéo nhau a 2h [ MN , AC ]. AM a 2 d MN , AC 4 4 a 2h2 [ MN , AC ] 2
Bài toán 9 . Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A; AD a, AC b, AB c . a. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c b. Chứng minh rằng : 2S abc a b c
Email:Jackie9x.spb@gmail.com
Hướng dẫn
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0)
z
D
Khi đó : B c;0;0 ; C 0; b;0 D 0;0; a
Ta có : BC c; b;0 BD c;0; a
y
C
A
x
B
BC, BD ac; ac; bc
a. Tính diện tích S của tam giác BCD 1 1 2 2 S BC , BD a b a 2c 2 b 2c 2 2 2 b. Chứng minh : 2S abc a b c
Áp dụng bất đẳng thức Côsi : a2b2 b2c2 2ab2c b2c2 c2 a 2 2abc2 c2 a 2 a 2b2 2a 2bc
Ta có : abc a b c a 2bc b2 ac c 2 ab
b2 c 2 2 a 2 c 2 2 a 2 b2 a b c 2 2 2 2
a 2b2 a 2c 2 b2c 2 2SBCD
Bài toán 10 . Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S độ dài các cạnh đáy bằng a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN. Biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Gọi I là trung điểm của BC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0)
a 3
a
Bài giải z
M
Khi đó : A 0; ;0 ; B ;0;0 2 2 a a 3 a 3 C ;0;0 ; S 0; ; h ; H 0; ;0 6 6 2 a a 3 h a a 3 h M ; ; ; N ; ; 4 12 2 4 12 2 a 5a 3 h AM ; ; 12 2 4 a 5a 3 h AN ; ; 4 12 2
S
N
B I
y
A
H
C
+ Pháp vectơ của mp (AMN) : ah 5a 2 3 n1 AM , AN 0; ; 24 4
x
Email:Jackie9x.spb@gmail.com
a a 3 SB ; ; h 6 4 a a 3 SC ; ; h 6 2 AMN SBC n1 n2 n1.n2 0
a 2 h 15a 4 a 2 h 15a 4 0 4 24.6 16 242
+ Pháp vectơ của mp (SBC) : a2 3 n2 SB, SC 0; ah; 6
Diện tích tam giác AMN : SAMN
2 2 4 1 1 a h 75a2 AM , AN 2 16 2 24
1 15a 4 75a 4 1 a 2 10 4 90 a đvdt 2 242 242 48 16
Bài toán 11 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ; SA a ; SB a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 ) Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
z
S
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên AB SH (ABCD) Ta có : SA2 SB2 a 2 3a 2 AB2 SAB vuông tại S SM a a 3 Do đó : SAM đều SH 2
A
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : H (0;0;0) ; a 3 a S 0;0; ; A ;0;0 ; 2 2 3a a B ;0;0 ; D ; 2a;0 ; 2 2 3a a M ;0;0 ; N ; a;0 2 2 a a 3 SM ;0; 2 2 3a a 3 SN ; a; 2 2 3a a 3 SB ;0; 2 2 a a 3 SD ; 2a; 2 2
DN 2a; a;0
D K
H B
x
y
M
N
C
+ Thể tích khối chóp S.BMDN VS .BMDN VSMNB VSMND a2 3 a2 3 a2 SM , SN 2 ; 2 ; 2 3 3 SM , SN SB a 3 ; SM , SN SD 3a 3 2 2 3 1 a 3 VSMNB SM , SN SB 6 12 1 a3 3 VSMND SM , SN SD 6 4
VS .BMDN VSMNB VSMND
a3 3 a3 3 a3 3 12 4 3
Email:Jackie9x.spb@gmail.com
+ Công thức tính góc giữa SM, DN
cos SM , DN
+ Tính cosin của góc giữa SM, DN a2 1 cos SM , DN 5 a 2 3a 2 4a 2 a 2 4 4
SM .DN SM . DN
Bài toán 12 . Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a , cạnh bên AA ' a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 )
Hướng dẫn
Bài giải z
Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : B(0;0;0)
A 0; a;0 ; C a;0;0 ; B’ 0;0; a 2
AB ' 0; a; a 2
C’
Chứng minh AM và B’C chéo nhau a2 2 AM , B ' C a 2 2; ;a 2
A’
a M ;0;0 2 a AM ; a;0 ; B ' C a;0; a 2 2
B’
y
A
B M
C
x
+ Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ VABC . A ' B 'C ' AA '.SABC
1 3 a 2 2
đvtt
+ Khoảng cách giữa AM và B’C a3
Vì : AM , B ' C AB ' 2 AM và B’C chéo nhau AM , B ' C AB ' d AM , B ' C AM , B ' C 3 a a 7 2 7 1 2a 4 a 4 a 4 2
Email:Jackie9x.spb@gmail.com
Bài toán 13 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , BAD ABC 900 AB BC a , AD 2a , SA vuông góc với đáy và SA 2a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a ( trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 )
Hướng dẫn
Bài giải z
Dựng hình :
S
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : A(0;0;0) ; B a;0;0 ; C a; a;0 ;
N
M
D 0; 2a;0 ; S 0;0; 2a M 0;0; a ; N 0; a; a
D
A
B
y
C
x MN 0; a;0 ; BC 0; a;0 MB a;0; a
MN BC BCNM là hình chữ nhật MN .MB 0
SM 0;0; a ; SC a; a; a SB a;0; 2a ; SN 0; a; a
SM , SC a ; a ;0 2
+ Chứng minh BCNM là hình chữ nhật
2
SM , SC SB a3 SM , SC SN a3
+ Tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a VS .BCNM VSMCB VSMCN
VSMCB
3 1 SB a SM , SC 6 6
VSMCN
3 1 SN a SM , SC 6 6
VS .BCNM VSMCB VSMCN
a3 3
đvtt
Email:Jackie9x.spb@gmail.com
Bài toán 14 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ( ABCD ); SA 2a . Mặt phẳng qua BC hợp với AC một góc 30 0 , cắt SA, SD lần lượt tại M, N. Tính diện tích thiết diện BCNM
Hướng dẫn
Bài giải z
Dựng hình :
S
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau :
N
M
A(0;0;0) ; B a;0;0 ; C a; a;0 ;
D 0; 2a;0 ; S 0;0; 2a
D
A
Đặt AM h 0 h 2a
y
M 0;0; h
Xác định vị trí điểm M
B
C
x
BM a;0; h ; BC 0; a;0
BM , BC ah;0; a 2 a h;0; a
AC a; a;0 a 1;1;0
Ta có :
MN ( SAD) MN / / BC / / AD BC / / AD BC (SAB) BC BM
Pháp vectơ của mặt phẳng : n BM , BC n h;0; a
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC : AC a; a;0 a 1;1;0 u 1;1;0
mặt phẳng hợp với AC một góc 30 0 sin 300
n .u n u
h
1.h 1.0 0.a 1 1 0 h2 0 a 2
1 h 2 h2 a 2 2
2 h2 a 2 h a M là trung điểm của SA
MN / / BC BCNM là hình thang vuông BM BC
+ ABM vuông cân tại A BM a 2 1 a MN AD 2 2
+ Diện tích thiết diện BCNM : S BCNM
1 3a 2 2 BM MN BC 2 4
Email:Jackie9x.spb@gmail.com
Bài toán 15 . Cho hình chóp O.ABC có OA a; OB b; OC c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB) lá 1; 2; 3. Tính a; b; c để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Bài giải z
Dựng hình :
C
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : O(0;0;0) A a;0;0 ; B 0; b;0 ; C 0;0;c
M
d M ,(OBC ) 1 xM 1 d M ,(OCA) 2 yM 2
H
d M ,(OAB) 3 zM 3 M 1; 2;3 A a;0;0 OA (a;0;0)
y
O E
A
x
B 0; b;0 OB (0; b;0)
+Thể tích khối chóp O.ABC
C 0;0; c OC (0;0; c)
VO. ABC
1 2 3 a 3 a b c b 6 Giải hệ : 1 2 3 1 c 9 a b c
B
1 1 OA, OB OC abc 6 6
+ Phương trình mặt phẳng (ABC) : x y z 1 a b c 1 2 3 M ( ABC ) 1 a b c
(ABC) :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi : 1 2 3 1 2 3 6 33 . . 33 a b c a b c abc 1 abc 27 6 a 3 1 2 3 MinVO. ABC 27 b 6 a b c c 9
1
Email:Jackie9x.spb@gmail.com
Bài toán 16 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a . a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) c. Tính góc giữa SB và mặt phẳng (SCD)
Hướng dẫn
Bài giải z
Dựng hình : Gọi O AC BD
S
SO (ABCD )
SO SC 2 OC 2 a 2
a2 a 2 2 2
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : a 2 O(0;0;0) ; S 0;0; ; 2 a 2 a 2 A ;0;0 ; C ;0;0 2 2 a 2 a 2 D 0; ;0 ; B 0; ;0 2 2
Phương trình mặt phẳng (SCD) x
z
1 a 2 a 2 2 2 a 2 x yz 0 2
(SCD):
a 2 2
y
y
A
D O
B
C
x
a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD 1 1 a 2 a3 2 VS . ABCD SO.S ABCD . .a 3 3 2 6
b.Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD) a 2 0 2 a 2 a 2 2 2
(SCD): x y z
d A, ( SCD)
3
a 2 a 6 3 3
Email:Jackie9x.spb@gmail.com
Bài toán 17 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang , ABC BAD 900 AB BC a , AD 2a , SA vuông góc với đáy và SA a 2 . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 ) Hướng dẫn
Bài giải z
Dựng hình :
S
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : A(0;0;0) ; B a;0;0 ; C a; a;0 ;
D 0; 2a;0 ; S 0;0; 2a
H
A
SC a; a; a 2 SD 0; 2a; a 2 SC, SD a 2; a 2; 2a a 2 1;1; 2
D
I
y
SB a;0; a 2
2
2
2
2
+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Phương trình tham số của SB : x a at SB : y 0 z a 2t
(tR)
B
C
x
+ Chứng minh tam giác SCD vuông SC a; a; 2a ; CD a; a;0 SC.CD 0 SC CD Tam giác SCD vuông tại C
+ Tính ( theo a ) khoảng cách từ H đến (SCD) Tọa độ điểm H :
H ( x; y; z ) SB H a at ;0; a 2t
AH (a at;0; a 2t )
AH SB AH .SB 0
+ Viết phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) đi qua điểm S và nhận vectơ n 1;1; 2 làm pháp vectơ
(SCD) : 1( x 0) 1( y 0) 2( z a 2) 0
3a 2t a 2 0 t
2a a 2 H ;0; 3 3
+ Khoảng cách từ H đến (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) : x y 2 z 2a 0 2a 2a 2a a 3 3 d H , ( SCD) 2 3
1 3