Sử dụng vi phân trong bài toán tích phân

Page 1

Email: Jackie9x.spb@gmail.com

Sáť­ d᝼ng vi phân hĂła Ä‘áťƒ giải bĂ i toĂĄn tĂ­ch phân A. Giáť›i thiᝇu váť vi phân hĂła: Hiáťƒu 1 cĂĄch Ä‘ĆĄn giản thĂŹ : Vi phân hĂła hay còn cĂł 1 tĂŞn gáť?i khĂĄc lĂ Ä‘áť•i biáşżn ngầm, tᝊc lĂ thay vĂŹ phải Ä‘ạt Ẋn Ä‘áťƒ Ä‘áť•i biáşżn thĂŹ ta sáş˝ ngầm biáşżn Ä‘áť•i biáťƒu thᝊc trong vi phân cho giáť‘ng váť›i biáťƒu thᝊc trong hĂ m gáť‘c vĂ coi Ä‘Ăł lĂ máť™t biáşżn Ä‘áťƒ ĂĄp d᝼ng cĂĄc cĂ´ng thᝊc cĆĄ bản. VĂ­ d᝼: đ?œ‹ 2

âˆŤ đ?‘ đ?‘–đ?‘›2đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘œ

CĂĄch 1: Ä?áť•i biáşżn Ä?ạt đ?‘Ą = 2đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą = 2đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą 2

đ?œ‹

Ä?áť•i cáş­n: đ?‘Ľ = 2 ⇒ đ?‘Ą = đ?œ‹ đ?‘Ľ=0⇒đ?‘Ą = 0

= đ?‘‘đ?‘Ľ đ?œ‹

⇒ đ??ź = âˆŤ đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą = − đ?‘œ

1 đ?œ‹ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą| = 1 2 0

CĂĄch 2: Vi phân hĂła đ?œ‹ đ?œ‹ 1 2 1 đ??ź = âˆŤ đ?‘ đ?‘–đ?‘›2đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘ đ?‘–đ?‘›2đ?‘Ľ đ?‘‘2đ?‘Ľ = − đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2đ?‘Ľ| 2 = 1 2 đ?‘œ 2 0 đ?‘œ đ?œ‹ 2

áťž vĂ­ d᝼ trĂŞn ta cĂł, cĂĄch 1 lĂ lĂ m theo pp Ä‘áť•i biáşżn, cĂĄch hai lĂ vi phân hĂła. NhĂŹn káťš thĂŹ cĂł tháťƒ thẼy váť bản chẼt 2 pp nĂ y giáť‘ng nhau, chᝉ khĂĄc váť cĂĄch trĂŹnh bĂ y. Máť™t cĂĄi chi tiáşżt còn 1 cĂĄi ngắn gáť?n. áťž vi phân hĂła (vph) thay vĂŹ Ä‘áť•i biáşżn x sang biáşżn t, ta sáş˝ coi ngầm trong Ä‘ầu cả cĂĄi 2x lĂ biáşżn. Váş­y muáť‘n tĂ­nh Ä‘ưᝣc tĂ­ch phân váť›i biáşżn 2x thĂŹ sáş˝ phải lĂ m xuẼt hiᝇn d(2x). MĂ theo cĂ´ng thᝊc vi phân cᝧa hĂ m sáť‘ thĂŹ df(x)=f’(x)dx hay dy=y’dx. NĂŞn ta cĂł d(2x)=(2x)’dx = 2dx. đ?œ‹

đ?œ‹

Váş­y ta viáşżt Ä‘ưᝣc tĂ­ch phân theo Ẋn 2x lĂ âˆŤ02 sin 2đ?‘Ľ đ?‘‘2đ?‘Ľ = 2 âˆŤ02 sin 2đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ => đ??ź = 1

đ?œ‹ 2

âˆŤ sin 2đ?‘Ľ đ?‘‘2đ?‘Ľ .

2 0

Máť™t sáť‘ vĂ­ d᝼ khĂĄc:

Email: Jackie9x.spb@gmail.com

Sau đây là các biểu thức vi phân quan trọng cần nhớ khi sử dụng phương pháp vi phân hóa:

Email: Jackie9x.spb@gmail.com

B. Nguyên hàm, tích phân từng phần có sử dụng vi phân hóa ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 1. Từng phần loại 1: Xen lẫn bình thường và sin, cos. Dạng ∫ 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 ; ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 Ta sẽ đưa lượng giác vào trong vi phân rồi thực hiện từng phần. Quá trình này có thể thực hiện nhiều lần cho đến khi hết bình thường thì thôi. Ví dụ: 𝜋 2

𝜋 2

2

∫0 (√3𝑐𝑜𝑠𝑥+1 + 𝑥) . 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑜 = −∫

𝜋 2

𝑜

2 √ 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1

𝜋 2

2𝑠𝑖𝑛𝑥 √3𝑐𝑜𝑠𝑥+1

𝜋 2

𝑑𝑥 + ∫𝑜 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑐𝑜𝑠𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑜

𝜋 𝜋 2 − (𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 | 2 − ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 ) 0 𝑜 𝜋 𝜋 𝜋 4 7 = − √3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 | 2 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥| 2 + 𝑠𝑖𝑛𝑥| 2 = 3 3 0 0 0 𝜋 2

2 = − ∫ (3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3 𝑜

1 1)−2 𝑑3𝑐𝑜𝑠𝑥

Bài tập tự luyện : 𝜋

2. ∫𝑜 (𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 )𝑥𝑑𝑥

𝜋

5. ∫𝑜 (𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 )𝑑𝑥

𝜋

8. ∫𝑜3 𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑥)𝑑𝑥

1. ∫𝑜 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 4. ∫𝑜 (𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2𝑥 )𝑥𝑑𝑥 7. ∫𝑜 𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥 𝜋

10. ∫𝑜2 (2𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥

𝜋

3. ∫𝑜 (2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 )𝑥𝑑𝑥

𝜋

6. ∫𝑜 2𝑥𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑑𝑥

𝜋

𝜋

11. ∫𝑜 (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 )𝑥𝑑𝑥

𝜋

𝜋

𝜋

9. ∫𝑜2 (𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 )𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝜋

12. ∫𝑜4

𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥

𝑑𝑥

2. Từng phần loại 2: Xen lẫn bình thường và siêu việt ∫ 𝑓(𝑥 ). 𝑎𝑥 𝑑𝑥 Ta đưa siêu việt vào trong vi phân rồi thực hiện từng phần cho tới khi nào hết bình thường thì thôi. 2 2 1 2 1 2 ∫ 𝑥 2 . 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑒 3𝑥 = (𝑥 2 . 𝑒 3𝑥 | − ∫ 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 2 ) 0 3 0 3 0 0 2 2 1 2 3𝑥 2 2 4 2 = 𝑥 . 𝑒 | − ∫ 𝑥𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 6 − ∫ 𝑥 𝑑𝑒 3𝑥 0 3 0 3 3 9 0 2 4 2 4 2 2 2 2 2 = 𝑒 6 − (𝑥. 𝑒 3𝑥 | − ∫ 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥) = 𝑒 6 − 𝑥. 𝑒 3𝑥 | + 𝑒 3𝑥 | 0 0 0 3 9 3 9 27 0 4 4 2 6 2 26 6 2 = 𝑒6 − 𝑒6 + 𝑒 − = 𝑒 − 3 9 27 9 27 9

Email: Jackie9x.spb@gmail.com

Bài tập tự luyện : 0

1

1. ∫−1 (1 − 𝑒 𝑥 )𝑥𝑑𝑥

2

2. ∫0 (𝑥 + 𝑒𝑥 ) 𝑥𝑑𝑥

3. Từng phần loại 3: Xen lẫn bình thường và logarit Dạng ∫ 𝑓(𝑥 ). 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 𝑑𝑥 Ta đưa bình thường vào vi phân rồi thực hiện từng phần 𝑒 1 𝑒 1 4 𝑒 1 𝑒 4 3 4 ∫ 𝑥 . 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛𝑥| − ∫ 𝑥 𝑑𝑙𝑛𝑥 1 4 1 4 1 4 1 𝑒 1 1 3 4 1 𝑒 1 𝑒 1 4 𝑒 = 𝑥 4 𝑙𝑛𝑥| − ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝑥 4 𝑙𝑛𝑥| − 𝑥 | = 𝑒 + 1 4 1 1 16 1 4 4 16 16 4. Từng phần loại 4: Xen lẫn siêu việt và sinx, cosx Dạng ∫ 𝑎𝑥 . 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 ; ∫ 𝑎𝑥 . 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 Chọn siêu việt hoặc lượng giác đưa vào trong vi phân và thực hiện từng phần 2 lần. Khi đã chọn loại nào để đưa vào vi phân thì loại đó sẽ luôn được chọn cho bước kế tiếp. Sau khi đã xuất hiện biểu thức đầu tiên sau khi từng phần 2 lần thì thực hiện chuyển vế là ra kết quả. Ví dụ: + Cách 1: Đưa siêu việt vào trong vi phân

𝜋 𝜋 2 𝐼 = ∫ 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑒 = 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥| 2 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 0 𝑜 𝑜 𝑜 𝜋 2

𝜋 2

𝑥

𝑥

𝑥

𝜋 𝜋 𝜋 2 ⇔ 𝐼 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 |2 − 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥| 2 + ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑐𝑜𝑠𝑥 0 0 𝑜 𝜋 𝜋 2 ⇔ 𝐼 = (𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 )| 2 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 0 𝑜

𝜋 ⇔ 𝐼 = (𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 )| 2 − 𝐼 0 𝜋 ⇔ 2𝐼 = (𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑥 )| 2 0 𝑥

𝑥

𝜋 1 𝑥 𝑥 ( ) ⇔ 𝐼 = 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑥 | 2 2 0

Email: Jackie9x.spb@gmail.com

+ Cách 2: Đưa sinx, cosx vào trong vi phân 𝜋 𝜋 2 𝐼 = ∫ 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑑𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥| 2 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 0 𝑜 𝑜 𝑜 𝜋 2

𝜋 2

𝑥

𝑥

𝑥

𝜋 𝜋 2 ⇔ 𝐼 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥| 2 + ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑐𝑜𝑠𝑥 0 𝑜 𝜋 𝜋 𝜋 2 𝑥 ⇔ 𝐼 = 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 |2 + 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑥| 2 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑠𝑖𝑛𝑥 0 0 𝑜 𝑥

𝜋 𝜋 2 ⇔ 𝐼 = (𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑥 )| 2 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 0 𝑜 𝑥

𝑥

𝜋 ⇔ 𝐼 = (𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑥 )| 2 − 𝐼 0 𝑥

𝑥

𝜋 ⇔ 2𝐼 = (𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 )| 2 0 𝜋 1 𝑥 𝑥 ⇔ 𝐼 = (𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑥 )| 2 2 0

Một số dạng nguyên hàm, tích phân cơ bản I. Dạng

∫

𝑃𝑛 (𝑥) 𝑄𝑚 (𝑥)

𝑑𝑥

Phân thức này có tử là đa thức bậc n, mẫu là đa thức bậc m. Cách làm: 1. Nếu 𝑛 ≥ 𝑚 thì thực hiện chia đa thức tử cho đa thức mẫu để đưa về dạng 𝑃𝑛 (𝑥) 𝑠ố 𝑑ư = 𝑡ℎươ𝑛𝑔 + 𝑚ẫ𝑢 𝑏𝑎𝑛 đầ𝑢 𝑄 (𝑥) 𝑚

2. Nếu 𝑛 < 𝑚 - Mẫu phân tích được thành tích: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. + B1: Phân tích mẫu thành nhân tử 𝑄𝑛 (𝑥 ) = (𝑥 − 𝑎)𝛼 . (𝑥 − 𝑏)𝛽 … … … … … (𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞)𝛾 + B2: Dùng phương pháp hệ số bất định đưa phân thức về dạng : 𝑃𝑛 (𝑥 ) 𝐴1 𝐴2 𝐴𝛼 𝐵 𝐵2 = + + …… . . + + + 2 𝛼 ( 𝑥 − 𝑎) 𝑄𝑚 (𝑥 ) 𝑥 − 𝑎 (𝑥 − 𝑎) 𝑥 − 𝑏 (𝑥 − 𝑏)2

Email: Jackie9x.spb@gmail.com

+ ‌‌ . . +

đ??ľđ?›˝ (đ?‘Ľ

− đ?‘?)đ?›˝

+

đ??ś1 đ?‘Ľ + đ??ˇ1 đ??śđ?›ž đ?‘Ľ + đ??ˇđ?›ž + ‌‌..+ 2 2 (đ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘ž) (đ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘ž)đ?›ž

+ B3: TĂĄch phân thᝊc Ä‘ĂŁ cho thĂ nh táť•ng cĂĄc phân thᝊc thĂ nh phần -

Mẍu ko phân tĂ­ch Ä‘ưᝣc thĂ nh tĂ­ch: thĆ°áť?ng thĂŹ sáş˝ gạp mẍu cĂł dấng lĂ Ä‘a thᝊc báş­c 2 khĂ´ng phân tĂ­ch Ä‘ưᝣc thĂ nh tĂ­ch. Bây giáť? ta chĂş Ă˝ Ä‘áşżn táť­ + Náşżu táť­ lĂ báş­c 1, ta viáşżt phân sáť‘ váť dấng đ?‘ƒđ?‘› (đ?‘Ľ) đ?‘„đ?‘š (đ?‘Ľ)

=

đ??´ (đ?‘šẍđ?‘˘ ) ′ +đ??ľ đ?‘šẍđ?‘˘

(sáť­ d᝼ng Ä‘áť“ng nhẼt hᝇ sáť‘ Ä‘áťƒ tĂŹm A, B) sau Ä‘Ăł tĂĄch phân sáť‘ ra.

+ Náşżu táť­ Ä‘ĂŁ lĂ báş­c 0 ráť“i ta sáş˝ Ä‘Ć°a mẍu váť dấng đ?‘‹ 2 + đ?‘Ž2 vĂ Ä‘ạt X= a.tant II. Dấng đ??ź = âˆŤ đ?‘“(đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ, đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ + Náşżu hĂ m đ?‘“ láşť váť›i đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ (tᝊc đ?‘“ (−đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ, đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ ) = −đ?‘“(đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ, đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ))

⇒ Ä?ạđ?‘Ą đ?‘Ą = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ + Náşżu hĂ m đ?‘“ láşť váť›i đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ (tᝊc đ?‘“ (đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ, −đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ ) = −đ?‘“(đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ, đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ))

⇒ Ä?ạđ?‘Ą đ?‘Ą = đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ + Náşżu hĂ m đ?‘“ cháşľn váť›i cả sinx vĂ cosx (tᝊc đ?‘“ (−đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ, −đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ ) = đ?‘“(đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ, đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ))

⇒ Ä?ạđ?‘Ą đ?‘Ą = đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ľ + Náşżu hĂ m f khĂ´ng cĂł tĂ­nh cháşľn, láşť váť›i sinx vĂ cosx

⇒ Ä?ạđ?‘Ą đ?‘Ą = đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›

đ?‘Ľ 2

1−đ?‘Ą2

2đ?‘Ą

Khi Ä‘Ăł : đ?‘†đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ = 1+đ?‘Ą2 ; đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ = 1+đ?‘Ą2

2

; đ?‘Ľ = 2đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›1 ; đ?‘‘đ?‘Ľ = 1+đ?‘Ą2 đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘Ž

III. Dấng đ??ź = âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ −đ?‘Ž + Váť›i f(x) lĂ hĂ m sáť‘ láşť tᝊc f(-x) = -f(x) => đ??ź = 0 đ?‘Ž

+ Váť›i f(x) lĂ hĂ m sáť‘ cháşľn tᝊc f(-x) = f(x) => đ??ź = 2 âˆŤ0 đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ Káşżt quả trĂŞn Ä‘ưᝣc rĂşt ra tᝍ viᝇc biáşżn Ä‘áť•i đ?‘Ž

0

đ??ź = âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ 0

−đ?‘Ž

Email: Jackie9x.spb@gmail.com

IV. Nếu trong tích phân có xuất hiện + √𝑎2 − 𝑥 2

Đặ𝑡 𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡

+ √𝑎2 + 𝑥 2 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑎2 + 𝑥 2 + √𝑥 2 − 𝑎2 +

Đặ𝑡 𝑥 =

1

Đặ𝑡 𝑥 = 𝑎𝑡𝑎𝑛𝑡 (ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑡) 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑡

Đặ𝑡 𝑡 = 𝑡𝑎𝑛

𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑡+𝑐

2𝑡

ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 =

𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑡

𝑥 2 1−𝑡2

Khi đó : 𝑆𝑖𝑛𝑥 = 1+𝑡2 ; 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1+𝑡2

2

; 𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛1 ; 𝑑𝑥 = 1+𝑡2 𝑑𝑡

Lưu ý : Chỉ sử dụng các cách làm trên (lượng giác hóa) khi không còn cách biến đổi nào khác.

Bảng công thức nguyên hàm 𝒇(𝒙)

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

𝒇(𝒙)

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

0

𝐶

𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 +𝐶 𝑘

1

𝑥 +𝐶

𝑒𝑘𝑥

𝑥𝛼

𝑥 𝛼+1 +𝐶 𝛼+1

𝑎𝑥 (0 < 𝛼 ≠ 1)

(𝛼 ≠ −1) 1 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥

𝑙𝑛|𝑥 | + 𝐶 −

𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 +𝐶 𝑘

1 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

𝑒 𝑘𝑥 +𝐶 𝑘 𝑎𝑥 +𝐶 𝑙𝑛𝑎 −𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝐶 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐶

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.