Email: Jackie9x.spb@gmail.com
Bảng công thức nguyên hàm cơ bản ∫
∫
0 1
| | |
√
|
√ √
√ |
√ √
( √
√
| |
√
Một số dạng nguyên hàm, tích phân cơ bản I. Dạng ∫ Phân thức này có tử là đa thức bậc n, mẫu là đa thức bậc m. Cách làm: 1. Nếu
thì thực hiện chia đa thức tử cho đa thức mẫu để đưa về dạng
2. Nếu -
Mẫu phân tích được thành tích: Sử dụng phương pháp hệ số bất định.
|)
Email: Jackie9x.spb@gmail.com
+ B1: Phân tích mẫu thành nhân tử
+ B2: Dùng phương pháp hệ số bất định đưa phân thức về dạng :
+ B3: Tách phân thức đã cho thành tổng các phân thức thành phần -
Mẫu ko phân tích được thành tích: thường thì sẽ gặp mẫu có dạng là đa thức bậc 2 không phân tích được thành tích. Bây giờ ta chú ý đến tử + Nếu tử là bậc 1, ta viết phân số về dạng (sử dụng đồng nhất hệ số để tìm A, B) sau đó tách phân số ra. + Nếu tử đã là bậc 0 rồi ta sẽ đưa mẫu về dạng
và
3. Chú ý: Trong trường hợp mà , là các hàm bậc nhất theo ta có thể dùng phương pháp đồng nhất hệ số:
II. Dạng
∫
+ Nếu hàm
lẻ với
(tức
)
+ Nếu hàm
lẻ với
(tức
)
+ Nếu hàm
chẵn với cả
sinx
và
cosx (tức
+ Nếu hàm f không có tính chẵn, lẻ với sinx và
Khi đó :
;
;
và
)
cosx
;
thì
Email: Jackie9x.spb@gmail.com
III. Nguyên hàm, tích phân từng phần ∫
∫
Sử dụng khi biểu thức trong nguyên hàm, tích phân là tích của hai hàm khác nhau 1. Từng phần loại 1: Xen lẫn bình thường và sin, cos. Dạng ∫
;∫
+ Vi phân hóa: Ta sẽ đẩy lượng giác vào trong vi phân rồi thực hiện từng phần. Quá trình này có thể thực hiện nhiều lần cho đến khi hết bình thường thì thôi. + Thông thường : 2. Từng phần loại 2: Xen lẫn bình thường và siêu việt ∫ + Vi phân hóa: Ta đẩy siêu việt vào trong vi phân rồi thực hiện từng phần cho tới khi nào hết bình thường thì thôi. + Thông thường : 3. Từng phần loại 3: Xen lẫn bình thường và logarit Dạng ∫ + Vi phân hóa: Ta đẩy bình thường vào vi phân rồi thực hiện từng phần + Thông thường : 4. Từng phần loại 4: Xen lẫn siêu việt và sinx, cosx Dạng ∫
;∫
+ Vi phân hóa: Chọn siêu việt hoặc lượng giác đẩy vào trong vi phân và thực hiện từng phần 2 lần. Khi đã chọn loại nào để đẩy vào vi phân thì loại đó sẽ luôn được chọn cho bược kế tiếp. Sau khi đã xuất hiện biểu thức đầu tiên sau khi từng phần 2 lần thì thực hiện chuyển vế là ra. + Thông thường : Đặt tùy ý * Lưu ý: Trên đây chỉ là 4 loại từng phần cơ bản thường gặp, trong các trường hợp khác ta vẫn có thể thực hiện phép từng phần bình thường sao cho việc tính nguyên hàm, tích phân trở nên đơn giản nhất. VD: ∫
∫
∫
∫
Email: Jackie9x.spb@gmail.com
Một số dạng nguyên hàm, tích phân đặc biệt 1. Nếu trong nguyên hàm, tích phân có xuất hiện +√ +√ +√ + Khi đó :
;
;
;
Lưu ý :+ Chỉ sử dụng các cách làm trên (lượng giác hóa) k hi k hông còn cách biến đổi nào k hác. + Sau k hi đặt ta phải có điều k iện của t để biểu thức dưới dấu nguyên hàm, tích phân có nghĩa.
+√
√
=[
} Phép biến đổi Ơle
√
2. Dạng ∫ Đặt
, ∫ (√
3. Dạng
khi đó
)
Đặt
∫ (√
4. Dạng
Đặt
√
5. Dạng ∫
√
)
, Với k là bội chung nhỏ nhất (BCNN) của n và m
√
Tách nguyên hàm thành 2 nguyên hàm thành phần, trong đó có 1 nguyên hàm có tử chứa (là đạo hàm của biểu thức trong căn), cái còn lại tử là hằng số. 6. Dạng ∫ Đặt
√
Email: Jackie9x.spb@gmail.com
7. Dạng ∫
√
(
Đặt 8. Dạng ∫
)
√
Tách nguyên hàm thành 2 nguyên hàm thành phần, trong đó có 1 nguyên hàm có tử chứa , cái còn lại tử là hằng số. 9. Dạng ∫
, với
√
Đặt 10. Dạng
∫
Với m, n và p là các số hữu tỷ. + Nếu p nguyên: Đặt + Nếu
với N là mẫu số chung của m và n với N là mẫu số của p
nguyên: Đặt
+ Nếu
nguyên: Đặt
11. Dạng
∫
với N là mẫu số của p
+ Với f(x) là hàm số lẻ tức f(-x) = -f(x) => + Với f(x) là hàm số chẵn tức f(-x) = f(x) =>
∫
Kết quả trên được rút ra từ việc biến đổi ∫ Sau đó tính
12. Dạng Nếu
(hoặc
∫
∫
) bằng cách
và sử dụng định nghĩa
(Hàm số =>
liên tục trên đoạn [
])
Đặt
Chú ý: Dạng này tổng quát luôn cho cả dạng 10 nên có sử dụng định nghĩa tích phân ở dạng 10
Email: Jackie9x.spb@gmail.com
13. Dạng: Tích phân hàm tuần hoàn chu kỳ T ( ∫
∫
* Ứng dụng tính giới hạn của tích phân xác định
[ ∑
( )]
∫
Bảng công thức đạo hàm cơ bản
√
√
√ √
√
√
√ √