Apostila de função até função do 1º grau (20 páginas, 111 questões, com gabarito)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR

FUNÇÃO ATÉ FUNÇÃO DO 1º GRAU Resposta: R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}.

SUMÁRIO 1 . PRODUTO CARTESIANO ............................... 1 2 . RELAÇÃO ................................................... 1 2.1 Representação gráfica de relação ................. 1 3 . NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO .................... 3 4 . DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO............................... 3 5 . DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO DE FUNÇÃO ......................................................... 5 6 . ESTUDO DO DOMÍNIO ................................. 5 7 . FUNÇÃO BIJETORA ...................................... 5 7.1 Função sobrejetora..................................... 5 7.2 Função injetora .......................................... 5 7.3 Função bijetora .......................................... 5 8 . GRÁFICO DE FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO ..................................................................... 6 9 . FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU ............... 6 9.1 O gráfico ................................................... 6 9.2 Parte fixa e variável ................................... 7 9.3 Raiz ou zero da função do 1º grau................ 8 9.4 Crescimento e decrescimento ...................... 8 10 . FUNÇÃO INVERSA ................................... 17 10.1 Em diagramas........................................ 17 10.2 Processo para determinar a função inversa 17 10.3 O gráfico de função inversa ..................... 18 Referências ................................................... 20

1 . PRODUTO CARTESIANO Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesiano de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o 1º elemento pertence a A e o 2º elemento pertence a B. simbolicamente,

A  B = {(x, y)/ x ∈ A e y ∈ B}

b) O conjunto R de A  B, tais que x é o dobro de y: Resposta: R = {(2, 1), (4, 2)}. c) O conjunto R de A  B, tais que y é o dobro de x: Resposta: R = {(1, 2), (2, 4)}.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

2) Sejam

A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 6}. Determine: a) A  B = b) a relação R tal que y = x. c) a relação R tal que x é o dobro de y. d) a relação R tal que y é o dobro de x. e) a relação R tal que x é a metade de y. f) a relação R tal que y = x + 1.

3) No

lançamento de dois dados, anotando todas as possibilidades de resultados possíveis em pares ordenados. Determine: a) a quantidade de pares ordenados possíveis; b) o conjunto dos pares ordenados cuja soma dos resultados seja igual a 7; c) o conjunto dos pares ordenados (x, y), tais que x = y; d) o conjunto dos pares ordenados (x, y), tais que y é a metade de x.

2.1 Representação gráfica de relação Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, a relação R tal que y = x + 1, seguem as representações gráficas: a) Por diagramas: R = {(0, 1),(1, 2),(2, 3),(3, 4)}

Exemplo: Sejam A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}. Determine A  B. Resolução: A  B = {(0, 2),(0, 4),(1, 2),(1, 4),(2, 2),(2, 4)}.

EXERCÍCIO PROPOSTO

1) Sejam

A = {0, 1} e B = {1, 3, 5}. Determine o produto cartesiano: a) A  B =

b) B  A =

c) A2 =

2 . RELAÇÃO

É um subconjunto de um produto cartesiano, determinado por uma sentença matemática.

Exemplo: Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3,

4} e A  B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}. a) O conjunto R de A  B, tais que x = y:

D = {0, 1, 2, 3} Im = {1, 2, 3, 4} CD = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

b) No plano cartesiano:

EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

y

9)(Enem-2015)

Devido o aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por P e Q.

5 4 3 2 1 0

1

2

3

x

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

4) Sejam

A = {2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4}. Determine: a) a relação R tal que y = x - 1. b) represente a relação em diagramas. c) represente a relação no plano cartesiano. d) o domínio D. e) a imagem Im. f) o contradomínio CD.

5) Sejam

A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Determine: a) a relação R tal que y = 2x. b) represente a relação em diagramas. c) represente a relação no plano cartesiano. d) o domínio D. e) a imagem Im. f) o contradomínio CD.

6) Sejam

A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Determine: a) a relação R tal que y = 2x + 1. b) represente a relação em diagramas. c) represente a relação no plano cartesiano. d) o domínio D. e) a imagem Im. f) o contradomínio CD.

Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais. De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são (a) (290; 20)

(c) (410; 20)

(b) (410; 0)

(d) (440; 0)

(e) (440; 20) R: (e)

10)(UEPA-2013,

modificada) No Brasil, uma empresa de comércio para internet multiplicou suas vendas nos últimos anos, conforme ilustrado no gráfico abaixo.

7) Localize

no plano cartesiano os pontos: A(1, 2), B(1, -2), C(2, 3), D(-2, 2), E(3, -3), F(5, -1), G(0, 0), H(4, 3), I(1, 0) e J(0, 1).

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

8) Uma

companhia telefônica tem um plano para seus clientes, a tabela abaixo mostra o valor a ser pago pelos seus clientes em função do tempo de ligação:

Em relação às vendas afirma-se que: (a) tiveram um crescimento de 2 milhões de reais de 2008 para 2009. (b) em 2009 cresceram quatro vezes em relação a 2008. (c) triplicaram de 2009 para 2010. (d) em 2010 cresceram 2,4 milhões de reais em relação a 2009. (e) tiveram um crescimento de 4,8 milhões de reais de 2009 para 2011.

Faça o que se pede: a) Represente a tabela em diagramas; b) Represente a tabela em plano cartesiano. 2

3 . NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO

6 7 8 9 10

Observe a tabela abaixo que relaciona o número de litros de gasolina e o preço a pagar. Nº de litros 1 2 3 4 5 ⋮ x

Preço (R$) 2,10 4,20 6,30 8,40 10,50 ⋮ 2,10.x

Observe:  As grandezas “Nº de litros” e “Preço” são variáveis;  Para cada quantidade em litros de gasolina colocada há um único preço;  O preço a ser pago depende do número de litros de gasolina a ser colocado, isto é, o preço está em função do número de litros colocados;  Para x litros de gasolina comprada, o preço a ser pago será 2,10 vezes x, isto é

1,50 1,75 2,00 2,25 2,50

Responda o que se pede: a) O preço a ser pago está em função da quantidade de pães comprados? b) O que depende do quê? c) Qual é a variável dependente? d) Qual é a variável independente? e) Qual é a regra (fórmula) que associa a quantidade de pães e o preço a pagar? f) Qual é preço de 6 pães? g) Qual é preço de 12 pães? h) Se tenho R$ 4,00. Qual é a quantidade de pães que dá para eu comprar?

4 . DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

P = 2,10.x P – preço a ser pago é a variável dependente; x - número de litros de gasolina é a variável independente.

Exemplos:  A população de um determinado país está em função do tempo;  A área de um quadrado está em função de seu lado.

Dados os conjuntos A e B, não vazios, e uma relação R de A em B, quando para todo elemento x ∈ A, existe um único f(x) ∈ B, dizemos que R é uma função f de A em B. Notação: f: A  B.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

11) Na tabela abaixo temos a quantidade de ovos (em dúzias) e o seu respectivo preço. Quantidade (em dúzia) 1 2 3 4 ⋮ x

Preço (em R$) 1,20 2,40 3,60 4,80 ⋮ 1,20.x

Responda o que se pede: a) O preço a ser pago está em função da quantidade de ovos comprados? b) O que depende do quê? c) Qual é a variável dependente? d) Qual é a variável independente? e) Qual é a regra (fórmula) que associa a quantidade de dúzias com o preço a pagar? f) Qual é o preço de 9 dúzias de ovos?

12) Uma

panificadora vende o pão francês de 50 gramas, mais conhecido como “pão careca”, ao preço de R$ 0,25 cada. Para não ter que fazer conta a toda hora, os funcionários da panificadora montaram a seguinte tabela: Quantidade de pães 1 2 3 4 5

Preço (R$) 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

13) Quais das seguintes relações são funções? a)

c)

b)

14) Marque os diagramas representam função: (a)( 0 1 2

)

(b)( -1 0 1

(c)(

)

)

-1

-1

-1

0

0

0

0

1

1

1

1

2

2

A

B

-1

2 2

A

B

A

B

3

(d)(

(e)(

)

)

0

1

1 2

2

A

-1

-1

0

0

1

1

2

3

B

A

)

(h)( -1 0

1

A

(d)

-1

-1

0

0

1

1

2

3 2

(b)

(e)

A B

)

-1 0 1

1

1

2

2

B

(a) -2

2

B

(g)(

)

-2

-1

0

(f)(

A

(c)

B

15) Verifique se é função ou apenas relação: a) Dado A = {0, 5, 15} e B = {0, 5, 10, 15, 20, 25}, seja a relação de A em B. Expressa pela lei y = x + 5, com x ∈ A e y ∈ B. b) Dado A = {-2, 0, 2, 5} e B = {0, 2, 5, 10, 20}, seja a relação de A em B expressa pela lei y = x, com x ∈ A e x ∈ B. c) Dado A = {-3, -1, 1, 3} e B = {1, 3, 6, 9}, seja a relação de A em B. Expressa pela lei y = x2, com x ∈ A e y ∈ B.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

16) Uma

companhia telefônica tem um plano para seus clientes, a tabela abaixo mostra o valor a ser pago pelos seus clientes em função do tempo de ligação:

Faça o que se pede: a) Represente a tabela em diagramas; b) Sendo o conjunto A, a variável “Tempo de ligações”; e o conjunto B, a variável “Valor em reais”, a tabela representa uma função de A em B?

EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

17)(UF-MG)

Das figuras abaixo, a única que representa o gráfico de uma função real y = f(x), x [a, b], é:

R: (c)

18)(UEPA-2003) Dentre os romeiros, há aqueles

que acompanham o círio carregando miniaturas de casa, barcos, parte do corpo humano em cera, velas, etc. Por considerarem atendidas por nossa senhora de Nazaré as suas súplicas. Estes objetos são tantos que existem carros especiais para recolhê-los. Considerando a existência de um conjunto A, formado pelos romeiros do círio, e um conjunto B formado pelos objetos ofertados/recolhidos durante a procissão, é correto afirmar que: (a) Todos os elementos de A estão associados a elementos de B, o que caracteriza uma função de A em B. (b) Alguns elementos de A estão associados a elementos de B, que caracteriza uma relação de A em B. (c) Nenhum elemento de A está associado a elementos de B. (d) Existem elementos de B que não estão associados a elementos de A. (e) Todas as alternativas acima estão corretas. R: (b)

19)(UFF-RJ)

Em certo dia, três mães deram à luz em uma maternidade. A primeira teve gêmeos, a segunda, trigêmeos e a terceira, um único filho. Considere, para aquele dia, o conjunto das 3 mães, o conjunto das 6 crianças e as seguintes relações: I . A que associa cada mãe ao seu filho. II . A que associa cada filho à sua mãe. III . A que associa cada criança ao seu irmão. São funções: (a) somente a I

(d) todas

(b) somente a II

(e) nenhuma

(c) somente a III

R: (b)

4

5 . DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO DE FUNÇÃO O conjunto A chama-se Domínio da função (Df), o conjunto B contradomínio da função (CDf) e o elemento f(x) ∈ B chamase imagem de x pela função. O conjunto imagem da função é Imf = {f(x) ∈ B/ x ∈ A}. Os diagramas ao lado serão simbolizados, a partir de agora, simplesmente, assim f: A → B.

B A

EXERCÍCIOS PROPOSTOS x

22) Determine o domínio da função

f

f(x)

0 1

1

4

2 5

3

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

20) Dados

A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e a relação R tal que y = 2x + 1: a) Construa a relação R em diagramas; b) Verifique se essa relação é uma função. Em caso afirmativo determine o Df, Imf e CDf.

21) O

diagrama de flechas representa uma função f de A em B. Determine: a) D(f) = {2,3,5} {0,2,4,6,8,10}

f(x) =

10

f) x tal que f(x) = 4

x-4 +

1

x-2

.

S = {x ∈ ℝ/ x ≥ 4}

Quando uma função f tem a sua imagem igual a seu contradomínio, isto é, Imf = CDf .

7.2 Função injetora Quando f: A → B transforma elementos

diferentes de A em elementos diferentes de B, isto é, x1 ≠ x2 em A ⟹ f(x1) ≠ f(x2) em B.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

25) Verifique se f é sobrejetora:

Seja A = {-2, -1, 0, 1}, B = {0, 1, 4}, f : A → B, definida f(x) = x2. f é sobrejetora.

26) Seja

A = {-3, -2, 0, 1}, B = {2, 3, 5, 6}, f: A  B, tal que f(x) = x + 5. Verifique se f é sobrejetora ou não. f é sobrejetora.

27) Verifique se f é injetora: a) A = {0, 1, 2, 3} B = {1, 3, 5, 7} f: A  B, f(x) = 2x + 1

f é injetora.

b) A = {2, 5, 10} B = {10, 23} f não é injetora. f: A → B, definida por x é divisor de y.

7.3 Função bijetora Uma função f é dita bijetora quando é sobrejetora e injetora.

{4,6,10}

e) f(5) =

S = {x ∈ ℝ/ x ≤ 5/3}

7 . FUNÇÃO BIJETORA 7.1 Função sobrejetora

0

 O domínio 0 tem imagem 1, simbolicamente f(0) = 1;  O domínio 1 tem imagem 2, simbolicamente f(1) = 2;  O domínio 2 tem imagem 3, simbolicamente f(2) = 3.

6

5 - 3x .

B A

Observações:

d) f(3) =

S = {x ∈ ℝ/ x ≠ 16}

24) Determine o domínio da função

6

c) lm(f) =

5x  3 . x - 16

f(x) =

2

b) CD(f) =

f(x) =

23) Determine o domínio da função

Exemplo: Sejam A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, f: A → B, definida por f(x) = x + 1. Df = {0, 1, 2} Imf = {1, 2, 3} CDf = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Resposta: x pode ser qualquer número real, com exceção do 2, pois se x = 2, o denominador será 0 (zero) e não existe fração com denominador zero. Logo o Df = ℝ – {2}.

EXERCÍCIO PROPOSTO

28) Verifique se f é bijetora: 2

A = {0, 2, 3} B = {1, 5, 7} f: A → B, f(x) = 2x + 1

6 . ESTUDO DO DOMÍNIO É o conjunto com todos os possíveis valores de x.

Exemplo: Calcule o domínio da função: a) f(x) = 2x – 5 Resposta: fica implícito que x pode ser qualquer número real, logo, Df = ℝ. 2x  3 b) f(x) = x 2

f é bijetora.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

29) Os

alunos Bruno, Jéssica e Paulo, do 1° ano, estavam estudando matemática e perceberam a formação de dois conjuntos. O conjunto A formado pelas disciplinas estudadas por eles e um conjunto B formado pelos professores dessas disciplinas. É correto afirmar que a relação de A em B: (a) Não representa uma função. (b) representa uma função somente injetora. (c) representa uma função somente sobrejetora. 5

(d) representa uma função bijetora. (e) representa uma função não injetora e nem sobrejetora. R: (d)

30) Estudando a teoria das funçþes alguns alunos

propuseram a seguinte questĂŁo: De todas as mulheres, algumas sĂŁo mĂŁes, porĂŠm, todo filho obrigatoriamente apresenta uma mĂŁe e uma mulher ĂŠ mĂŁe se apresenta pelo menos um filho. Chamando o conjunto das mulheres de A e o conjunto dos filhos de B. É correto afirmar que a relação de B em A: (a) NĂŁo representa uma função. (b) representa uma função somente injetora. (c) representa uma função somente sobrejetora. (d) representa uma função bijetora. (e) representa uma função nĂŁo injetora e nem sobrejetora. R: (e)

EXERCĂ?CIOS DE VESTIBULARES

31)(UEPA-2005)

Patrícia estå paquerando três colegas: Ricardo, Paulo e Maurício. Para conhecer um pouco sobre suas personalidades recorreu ao zodíaco. Ficou sabendo que Ricardo Ê do signo de à ries, Paulo Ê de Leão e Maurício, de Virgem. Considerando A o conjunto formado por esses colegas de Patrícia e B o conjunto dos 12 signos do zodíaco, Ê correto afirmar que a relação de A em B: (a) não representa uma função. (b) representa uma função somente injetora. (c) representa uma função somente sobrejetora. (d) representa uma função bijetora. (e) representa uma função não injetora e nem sobrejetora. R: (b)

32)(UFF-RJ)

Sendo â„? o conjunto dos nĂşmeros reais e a aplicação đ?‘“: â„? → â„? definida por đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 , podemos afirmar que đ?‘“ : (a) ĂŠ sobrejetora e nĂŁo injetora (b) ĂŠ bijetora (c) ĂŠ sobrejetora (d) ĂŠ injetora (e) nĂŁo ĂŠ sobrejetora nem injetora

o grĂĄfico da função f: â„? → â„? dada por f(x) = 2x + 1.

9 . FUNĂ‡ĂƒO POLINOMIAL DO 1Âş GRAU

Chama-se função polinomial do 1Âş grau, ou função afim, a qualquer função f: â„? → â„? dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b sĂŁo nĂşmeros reais fixos, com a ≠0; x e f(x) sĂŁo variĂĄveis. O nĂşmero a ĂŠ chamado de coeficiente de x e o nĂşmero b ĂŠ chamado termo constante.

Exemplos: a) f(x) = 5x – 3, no qual a = 5 e b = -3 b) f(x) = -2x + 7, no qual a = -2 e b = 7 c) f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

9.1 O grĂĄfico Construir o grĂĄfico da função f(x) = 2x - 1.  Para x = 1, f(x) = 2 ¡ 1 - 1 = 1; portanto, um ponto ĂŠ (1, 1);  Para x = 2, f(x) = 2 ¡ 2 - 1 = 3; portanto, outro ponto ĂŠ (2, 3);  Marcamos os pontos (1, 1) e (2, 3) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

Exemplo:

y

x 1 2

f(x) 1 3

3 1 1 2

x

EXERCĂ?CIOS PROPOSTOS R: (e)

8 . GRĂ FICO DE FUNĂ‡ĂƒO NO PLANO CARTESIANO  Construir uma tabela com os valores de x escolhidos convenientemente e calcular os respectivos valores de f(x);  A cada par ordenado (x, f(x)) associar um ponto no plano cartesiano;  Marcar o nĂşmero suficiente de pontos, atĂŠ que seja possĂ­vel esboçar o grĂĄfico.

EXERCĂ?CIOS PROPOSTOS

33) Construa

o gråfico da função f(x) = 2x + 1, sendo o domínio D = {0, 1, 2, 3}.

34) Construa

35) Construa

o grĂĄfico da função f(x) = 2x + 1, sendo o domĂ­nio D = {x ∈ â„?/ 0 < x < 3}.

36) Construa,

no plano cartesiano, o grĂĄfico das seguintes funçþes, definidas de â„? em â„?: a) đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ + 1

d) đ?‘“(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ + 1

b) đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ + 2

e) đ?‘“(đ?‘Ľ) = −2đ?‘Ľ + 1

c) đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ + 4

37) Um

corpo se movimenta em velocidade constante de acordo com a fĂłrmula matemĂĄtica s = 2t – 3, em que s indica a posição do corpo (em metros) no instante t (em segundos). Construa o grĂĄfico de s em função de t.

38) Uma

mĂĄquina, ao sair da fĂĄbrica, sofre uma desvalorização constante pelo seu uso, representada pela função P(t) = 50 – 5t, em que P ĂŠ o preço da mĂĄquina (em reais) e t ĂŠ o tempo de uso (em anos). Determine: a) o grĂĄfico dessa função; 6

b) o custo da máquina ao sair da fábrica; R$ 50,00 c) o custo da máquina após 5 anos de uso; R$ 25,00 d) o tempo para que a máquina se desvalorize totalmente. 10 anos

39) Um

móvel em movimento retilíneo uniforme obedece à função s = 5t + 15, em que s é o espaço percorrido pelo móvel (em metros) e t é o tempo gasto em percorrê-lo (em segundos). Determine: a) construa o gráfico s(t) da função. b) a posição do móvel no instante t = 0 s; 15 m c) a posição do móvel no instante t = 5 s; 40 m d) a posição do móvel no instante t = 10 s; 65 m e) o instante em que o móvel se encontra a 35 m da origem. 4 s

9.2 Parte variável e parte fixa A função do 1º grau f(x) = ax + b tem uma parte variável (ax) e uma parte fixa (ax). f(x) = parte variável + parte fixa f(x)

=

ax

+

será dado em função das x unidades vendidas. Responda: a) Qual é a lei dessa função f? L(x) = 5x – 230 b) Para que valores de x temos f(x) = 0? Como pode ser interpretado esse caso? R: x = 46 unidades c) Para que o valor de x haverá lucro de R$ 315,00? R: x = 109 unidades d) Para que valores de x o lucro será maior que R$ 280,00? R: x maior que 102 e) Para que valores de x o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00? R: x maior que 66 e menor que 82

43) Um

fabricante vende um produto por R$ 0,80 a unidade. O custo total do produto consiste numa taxa fixa de R$ 40,00 mais o custo de produção de R$ 0,30 por unidade. a) Qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem prejuízo? R: 80 unidades

b) Se vender 200 unidades desse produto, o comerciante terá lucro ou prejuízo? R: lucro (lucro de R$ 60,00)

b

Observação: Lucro = venda - custo

Exemplo: Uma revendedora de cosméticos vende um perfume por R$ 100,00, que custou 70,00. Qual é o lucro da vendedora? Resolução: L = 100 – 70 L = 30

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

44) Uma

companhia telefônica tem um plano para seus clientes, a tabela abaixo mostra o valor a ser pago pelos seus clientes em função do tempo de ligação:

Resposta: O lucro da vendedora é de R$ 30,00.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

40) Na produção de peças, uma indústria tem um

custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: a) Escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças; C(x) = 0,50x + 8,00 b) Calcule o preço de 100 peças. R$ 58,00

41) Um

comerciante comprou uma caixa de um determinado produto, teve um custo fixo com transporte de R$ 230,00. Venderá cada unidade por R$ 5,00, o lucro final será dado em função das x unidades vendidas. Sabendo que Lucro = venda - custo Responda: a) Qual é a lei dessa função f? b) Se o comerciante vender 1 unidade desse produto terá lucro ou prejuízo? c) Se o comerciante vender 10 unidades desse produto terá lucro ou prejuízo? d) Se o comerciante vender 40 unidades desse produto terá lucro ou prejuízo? e) Se o comerciante vender 50 unidades desse produto terá lucro ou prejuízo?

42) Um

comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ 5,00, o lucro final

Considere x ∈ ℝ, y ∈ ℝ. Construa o gráfico da função.

EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

45)(Unicamp-SP,

modificada) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,50 e cada quilômetro rodado custa R$ 1,20. a) Escreva a lei da função que fornece o preço a ser pago pela corrida em função da distância x percorrida; P(x) = 1,20x + 3,5 b) o preço de uma corrida de 10 km; R: R$ 15,50 c) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 27,50 pela corrida. R: 20 km

46)(UEPA-2002)

Um pequeno comerciante investiu R$ 300,00 na produção de bandeiras do seu time favorito, para venda em um estádio de futebol. Foram vendidas x bandeiras ao preço de R$ 8,00 cada uma. Então o lucro L(x) obtido na venda de x bandeiras é dado por: (a) L(x) = 300 - 8x

(d) L(x) = 8x

(b) L(x) = 8x + 300

(e) L(x) = - 8x - 300

(c) L(x) = 8x - 300

R: (c)

7

y

47)(UEPA-2006, modificada) [...] Em relação a

pesca artesanal, estima-se que existam hoje 200 mil pescadores artesanais no Estado do Pará, que sustentam as suas famílias com essa atividade. O volume médio mensal de produção por cada pescador é aproximadamente igual a 120 quilos de peixe. A função que representa o lucro de um pescador durante um mês, sabendo que x representa o preço de um quilo de peixe e c representa o custo fixo mensal existente na produção, é: (a) L (x) = 120x + c

(d) L (x) = 120c + x

(b) L (x) = 120x – c

(e) L (x) = 120x

(c) L (x) = 120c - x

R: (b)

Uma função de custo linear é da forma C(x) = Ax + B, onde B representa a parte fixa desse custo total. Suponha que uma indústria ao produzir 150 unidades de um produto, gasta R$ 525,00 e quando produz 400 unidades seus gastos são de R$ 700,00, então podemos afirmar que os custos fixos dessa indústria são, em reais, (b) 225

2

1 2

x

Agora, consideremos f(x) = -3x - 1, x aumenta

x

-2

-1

0

1

2

3

4

f(x)

5

2

-1

-4

-7

-10

-13

f(x) diminui

48)(UFRA-2004)

(a) 175

5

(c) 375

(d) 420

quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de f(x) diminuem. Dizemos que a função f(x) = -3x - 1 é decrescente. Observamos o seu gráfico: y

2

(e) 475 R: (d)

1

9.3 Raiz ou zero da função do 1º grau

-1

x

É o valor de x para f(x) = 0

Exemplo: Obtenha o zero da função de f(x) = 2x -

-4

6: f(x) = 0 ⇒ 2x - 6 = 0 ⇒ x =

6

⇒ x = 3.

2

Regra Geral: A função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando a > 0 e decrescente quando a < 0. O a é também chamado de coeficiente angular e o b de coeficiente linear.

EXERCÍCIO PROPOSTO

49) Calcule a raiz da função: a) f(x) = 3x – 6

c) h(x) = -2x + 10

R: 2

b) g(x) = 2x + 10

d) g(x) = x + 1

R: -5

R: 5

R: -1

Observação: No plano cartesiano o zero ou raiz da

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

50) Construa

o gráfico de cada uma das seguintes funções e diga se é função é crescente, decrescente ou constante; linear ou afim:

função é a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo x.

a) f(x) = x + 5

d) f(x) = 5

g) f(x) = x

R: crescentes e afim

R: constante

R: crescente e linear (essa chamada identidade)

9.4 Crescimento e decrescimento

b) f(x) = 5x

e) f(x) = -5x

h) f(x) = -3

R: crescente e linear

R: decrescente e linear

R: constante

c) y = 5x + 1

f) f(x) = -5

R: crescente e afim

R: constante

Consideremos a função f(x) = 3x - 1, x aumenta

x

-1

0

1

2

3

4

5

f(x)

-4

-1

2

5

8

11

14

f(x) aumenta

quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de f(x) também aumentam. Dizemos que a função f(x) = 3x - 1 é crescente. Observamos o seu gráfico: 8

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

51) Observe o gráfico abaixo:

Em qual intervalo de tempo, em minuto, o reservatório tem vazão constante de enchimento?

Responda: a) De que trata o gráfico? Identifique as variáveis envolvidas. R: menor crescimento da população e tempo (em anos) b) Qual o período em que a taxa de fecundidade se manteve praticamente constante? R: 1940 à 1960 c) A partir de que data a função é decrescente?

(a) De 0 a 10.

(c) De 5 a 15.

(b) De 5 a 10.

(d) De 15 a 25.

(e) De 0 a 25. R: (b)

55)(Enem-2012)

O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011.

R: 1960

d) Entre que período a taxa de fecundidade reduziu em 50%? R: 1960 à 1991

52) Um

botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Ligando-se os pontos colocados por ele num gráfico, resulta a figura seguinte. Se for mantida sempre esta relação entre tempo e altura, determine a altura que a planta terá no 30º dia. R: 6 cm

De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absolutas em 2011 foram (a) março e abril

(d) junho e setembro

(b) março e agosto

(e) junho e agosto

(c) agosto e setembro

R: (e)

56)(Enem-2012) O gráfico mostra a variação da

EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

53)(Enem-2017)

Os congestionamentos de trânsito constituem um problema que aflige, todos os dias, milhares de motoristas brasileiros. O gráfico ilustra a situação, representando, ao longo de um intervalo definido de tempo, a variação da velocidade de um veículo durante um congestionamento.

extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo.

Quantos minutos o veículo permaneceu imóvel ao longo do intervalo total analisado? R: (c) (a) 4

(b) 3

54)(Enem-2016)

(c) 2

(d) 1

(e) 0

Um reservatório com água por uma torneira e um ralo faz a drenagem da água desse reservatório. Os gráficos representam as vazões Q, em litros por minuto, do volume de água que entra no reservatório pela torneira e do volume que sai pelo ralo, em função do tempo t, em minutos.

Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global em (a) 1995

(c) 2000

(b) 1998

(d) 2005

(e) 2007 R: (e)

9

57)(Enem-MEC) Um estudo sobre o problema do

desemprego na Grande São Paulo, no período 1985-1996, realizado pelo SEADE-DIEESE, apresentou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego.

(b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II Incorreto. (c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o I incorreto. (d) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas. (e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas diferentes.

59)(Enem-2016)

Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período considerado, (a) a maior taxa de desemprego foi de 14%. (b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período. (c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente. (d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%. (e) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e 1991. R: (d)

O cultivo de uma planta rara só é viável se do mês do plantio para o mês subsequente o clima da região possuir as seguintes peculiaridades:  A variação do nível de chuva (pluviosidade), nesses meses não for superior a 50 mm;  A temperatura mínima, nesses meses, for superior a 15 °C;  Ocorrer, nesse período, um leve aumento não superior a 5 °C na temperatura máxima. Um floricultor, pretendendo investir no plantio dessa flor em sua região, fez uma consulta a um meteorologista que lhe apresentou o gráfico com as condições previstas para os 12 meses seguintes nessa região.

58)(Enem-MEC)

Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão da oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, representado a seguir. A Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o gráfico II, através do qual pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. O fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente, 2OO novas linhas telefônicas. Analisando os gráficos, pode-se concluir que: R: (d) Com base nas informações dos gráficos, o floricultor verificou que poderia plantar essa planta rara. O mês escolhido para o plantio foi (a) janeiro

(c) agosto

(b) fevereiro

(d) novembro

(e) dezembro R: (a)

60)(Enem-2009)

(a) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I.

Uma empresa produz jogos pedagógicos para computadores, com custo fixo de R$ 1.000,00 e custos variáveis de R$ 100,00 por unidade de jogo produzida. Desse modo, o custo total x jogos produzido é dado por C(x) = 1 + 0,1x (em R$ 1.000,00). A gerência da empresa determina que o preço de venda do produto seja de R$ 700,00. Com isso a receita bruta para x jogos é dada por R(x) = 0,7x (em R$ 1.000,00). O lucro líquido, obtido pela venda de x unidades de jogos, é calculado pela diferença entre a receita bruta e os custos totais. O gráfico que modela corretamente o lucro líquido dessa empresa, quando são produzidos x jogos, é 10

(a)

(d)

(fonte: Cálculo Ciências Médicas e Biológicas, Editora Harbra Ltda, São Paulo,1988 – Texto Adaptado)

(b)

(e)

(a) y = 0,91.x – 585

(d) y = - 0,94.x + 585

(b) y = 0,92.x + 585

(e) y = 0,95.x – 585

(c) y = - 0,93.x – 585

R: (b)

62)(UEPA-2011)

(c) O Produto Interno Bruto (PIB) representa a soma de todas as riquezas produzidas em um país. O crescimento do PIB é uma forma de garantir a melhoria da qualidade de vida da população. O gráfico acima mostra a variação anual do PIB no Brasil. O crescimento do PIB de 2005 para 2007, em porcentagem foi de:

61)(UEPA-2012)

O treinamento físico, na dependência da qualidade e da quantidade de esforço realizado, provoca, ao longo do tempo, aumento do peso do fígado e do volume do coração. De acordo com especialistas, o fígado de uma pessoa treinada tem maior capacidade de armazenar glicogênio, substância utilizada no metabolismo energético durante esforços de longa duração. De acordo com dados experimentais realizados por Thörner e Dümmler (1996), existe uma relação linear entre a massa hepática e o volume cardíaco de um indivíduo fisicamente treinado. Nesse sentido, essa relação linear pode ser expressa por y = ax +b, onde “y” representa o volume cardíaco em mililitros (ml) e “x” representa a massa do fígado em gramas (g). A partir da leitura do gráfico abaixo, afirma-se que a lei de formação linear que descreve a relação entre o volume cardíaco e a massa do fígado de uma pessoa treinada é:

(a) 15,5

(c) 47,6

(b) 20,8

(d) 65,4

(e) 87,5 R: (e)

63)(UEPA-2011)

Uma fábrica apresenta um gasto fixo de R$ 11 000 na produção de papel reciclado e R$ 0,06 na produção de cada folha. O gráfico que representa o custo total que a fábrica tem por mês na produção de folha de papel reciclado será: (a) Uma curva que passa pela origem do sistema de coordenadas. (b) Uma reta de origem no ponto (0, 11 000). (c) Uma reta de origem no ponto (6 600, 11 000). (d) Uma reta de origem no ponto (11 000, 327). (e) Uma reta de origem no ponto (6, 11 000). R: (b)

64)(UEPA-2010)

O gráfico abaixo representa o número de notificações relacionadas a fraudes, invasões e tentativas de invasão sofridas por usuários de computador.

11

dados do Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais:

Analisando o gráfico, observa-se que: (a) as notificações foram decrescentes entre 2006 e 2008. (b) em 2006 aconteceu o maior número de notificações. (c) a razão de notificações entre 2004 e 2005 é 37863/34000. (d) em 2008 houve o maior número de notificações. (e) em 2006 as notificações duplicaram em relação às notificações de 2005. R: (d)

65)(UEPA-2010) No

processo de geração de um sinal de vídeo por meio dos sensores CCD/CMOS, quanto maior a quantidade de luz recebida por um determinado pixel, mais intensa a corrente elétrica gerada (efeito fotoelétrico na superfície fotosensível do pixel) e, portanto, maior a carga concentrada nos acumuladores individuais associados a cada pixel. Em outras palavras, quanto maior a luminosidade maior será a corrente gerada. Essa relação no sensor é sempre diretamente proporcional. O gráfico abaixo que melhor representa a relação da luminosidade com a voltagem é:

Sobre o gráfico acima, é correto afirmar que: (a) o período de agosto a novembro de 2007 representa uma função sempre crescente. (b) no período de abril a julho de 2008 houve apenas tendência de queda na área desmatada. (c) no período de março a abril de 2008 houve uma tendência de crescimento de 67,45 %. (d) no segundo semestre de 2007 houve apenas tendência de queda na área desmatada. (e) o período de janeiro a março de 2008 representa uma função sempre decrescente. R: (b)

67)(UEPA-2009)

O gráfico abaixo mostra a variação do consumo de gasolina em função da cilindrada do motor.

Fonte: Texto adaptado de www.fazendovideo.com.br/vtsin3.asp

(a)

(d)

Fonte: Veja, 20/08/08

(b)

Sobre o gráfico acima, é correto afirmar que: (a) é gráfico de uma função linear crescente. (b) é gráfico de uma função linear decrescente. (c) quanto maior a cilindrada maior o consumo de gasolina. (d) é gráfico de uma função quadrática com concavidade voltada para cima. (e) quanto maior a cilindrada menor o consumo de gasolina. R: (e)

(e)

(c)

68)(UEPA-2006)

R: (c)

66)(UEPA-2009)

O gráfico abaixo ilustra a área desmatada na Amazônia, mês a mês, conforme

A aquicultura e a pesca artesanal Em 2001, a aquicultura (criação de animais e plantas aquáticas) nacional produziu, aproximadamente, 210.000 toneladas/ano, incluindo peixes, moluscos e crustáceos, valor extremamente baixo quando comparado ao real potencial do setor. De acordo com as previsões feitas em 2001 pelo Departamento de Pesca e Aquicultura – DPA do Ministério da Agricultura, Pecuária e Abasteci12

mento, caso sejam mantidas as taxas atuais de crescimento da aquicultura de 15% ao ano, é possível que o Brasil, em poucos anos, alcance uma boa produção. Dessa produção, os peixes de água doce – concentrados em carpas, tilápias e bagres – contribuem com aproximadamente 85% do total cultivado. Os restantes correspondem basicamente a camarões marinhos e mexilhões. Contudo, há uma tendência de aumento do consumo, principalmente, através de produtos beneficiados/industrializados, tais como filés e empanados. De todos os setores de produção animal, a aquicultura é a atividade que cresce mais rapidamente. Desde 1970 a aquicultura cresceu a taxas médias de 9,2 % ao ano. Em relação à pesca artesanal, estima-se que existam hoje 200 mil pescadores artesanais no Estado do Pará, que sustentam as suas famílias com essa atividade. O volume médio mensal de produção por cada pescador é aproximadamente igual a 120 quilos de peixe. O Estado do Pará possui 100 embarcações para a captura de camarão, 48 barcos para a pesca da piramutaba e para o pargo. Supondo que as embarcações de camarão capturam x toneladas de camarão ao ano, as de piramutaba pescam y toneladas de piramutaba ao ano e as de pargo z toneladas de pargo ao ano, sendo x > y > z > 0. O gráfico que melhor representa o número de embarcações (linhas de 34 a 36), em função das toneladas/ano, é: (a)

(d)

69)(UEPA-2005)

Para produzir colares feitos com sementes de açaí, uma artesã teve uma despesa de R$ 24,00 na aquisição de matéria prima. Sabendo que o preço de custo por unidade produzida é de R$ 2,00 e que a artesã pretende vender cada colar por R$ 5,00, analise as afirmativas abaixo: I . A lei matemática que permite calcular a receita bruta R, a ser obtida com a venda desses colares, em função da quantidade x de unidades vendidas, é R(x) = 5,00x. II . A lei matemática que permite calcular o custo total C decorrente dessa produção, em função da quantidade x de colares produzidos é C(x) = 24,00 + 2,00x. III . A venda desses produtos só dará lucro se a quantidade de colares vendidos for superior a 8. É correto afirmar que: (a) todas as afirmativas são verdadeiras (b) todas as afirmativas são falsas (c) somente as afirmativas II e III são falsas (d) somente as afirmativas I e II são verdadeiras (e) somente as afirmativas I e III são verdadeiras R: (a)

70)(UEPA-2005, modificada) AÇAÍ (...) Hoje já existem projetos que pagam aos ribeirinhos R$ 10,00 a lata rasa de 14kg, para uma produção de até 20 latas diárias. Para produção acima de 20 latas se paga 10% a mais por lata. A expressão matemática que representa a receita R do ribeirinho, em reais, em função do número x de latas vendidas diariamente, é: (a)

(b)

(e)

(b)

(c)

(d)

(c)

(e)

R: (c)

71)(UEPA-2004)

Nas feiras de artesanato de Belém do Pará, é comum, no período natalino, a venda de árvores de natal feitas com raiz de patchouli. Um artesão paraense resolve incrementar sua produção, investindo R$ 300,00 na compra de matéria prima para confecciona-las ao preço de custo de R$ 10,00 a unidade. Com a intenção de vender cada árvore ao preço de R$ 25,00, quantas deverá vender para obter lucro? 13

(a) mais de 8 e menos de 12 árvores. (b) mais de 12 e menos de 15 árvores. (c) mais de 15 e menos de 18 árvores. (d) mais de 18 e menos de 20 árvores. (e) mais de 20 árvores.

R: (e)

72)(UEPA-2003)

Durante as festividades do Círio, são vendidos tradicionalmente os brinquedos de miriti vindos, em sua maioria, do município de Abaetetuba. Um produtor destes brinquedos fabrica canoas ao custo de R$ 2,00 a unidade, vendendo por R$ 5,00 cada uma. Sabendo que ele gasta com transporte R$ 20,00, quantas canoas terá que vender para lucrar R$ 100,00? (a) 40

(b) 50

(c) 60

(d) 70

(e) 80 R: (a)

73)(UFPA–2010)

Em uma viagem terrestre, um motorista verifica que, ao passar pelo quilômetro 300 da rodovia, o tanque de seu carro contém 45 litros de combustível e que, ao passar pelo quilômetro 396, o marcador de combustível assinala 37 litros. Como o motorista realiza o trajeto em velocidade aproximadamente constante, o nível de combustível varia linearmente em função da sua localização na rodovia, podendo portanto ser modelado por uma função do tipo C(x) = a.x + b, sendo C(x) o nível de combustível quando o automóvel se encontra no quilômetro x da rodovia. Baseado nessas informações, é correto afirmar que, com o combustível que possui, o automóvel chegará, no máximo, até o quilômetro: (a) 800

(c) 890

(b) 840

(d) 950

(e) 990

(c) Nos últimos três anos do levantamento, de 2004 a 2006, Brasil e Portugal apresentaram diminuição da incidência relativa de casos de tuberculose, enquanto Angola e Moçambique apresentaram crescimento do índice. (d) No início do período estudado, dos quatro países, Angola era o país que apresentava maior índice de incidência, mas foi largamente ultrapassado por Moçambique, cujo índice aproximadamente dobrou na década de 90. (e) Em 2006, o índice de incidência de tuberculose em Angola era superior ao quíntuplo do índice brasileiro, enquanto o índice de Moçambique era superior a oito vezes o índice do Brasil.

75)(UFPA-2009)

Na semana de 15 a 21 de setembro de 2008 o governo dos Estados Unidos da América divulgou um plano de socorro às instituições financeiras em crise. O Índice da Bolsa de Valores de São Paulo (IBOVESPA) teve forte variação e obteve, no fechamento de cada dia da semana, os seguintes valores: Dia

15

16

17

18

19

Índice

48909

48989

47348

48484

52718

O gráfico que representa essa variação é: (a)

(d)

(b)

(e)

R: (b)

74)(UFPA–2010)

O gráfico abaixo apresenta a incidência de tuberculose, de 1990 a 2006, em quatro países lusófonos, Angola, Brasil, Moçambique e Portugal, segundo dados da Organização Mundial de Saúde.

(c)

R: (c)

76)(UFPA–2008) Um fornecedor A oferece a um

Com base neste gráfico, é INCORRETO afirmar: (a) Brasil e Portugal apresentaram comportamentos parecidos, com queda aproximadamente linear em seus índices. (b) No período de 1990 a 2006, dos quatro países, Moçambique foi o que apresentou maior crescimento de incidência relativa de tuberculose.

supermercado, um certo produto com os seguintes custos: RS 210,00 de frete mais R$ 2,90 por cada kilograma. Um fornecedor B oferece o mesmo produto, cobrando R$ 200,00 de frete mais R$ 3,00 por cada kilograma. O gráfico que representa os custos do supermercado com os fornecedores, em função da quantidade de kilogramas é: (a)

(d)

14

78)(UFPA-2006)

Uma locadora de veículos apresenta, para aluguel de certo tipo de carro, a seguinte tabela:

(b)

(e)

Em uma diária, com percurso não superior a 100km, para que a 2ª opção seja menor em reais, é necessário que o número de quilômetros percorridos pelo locatário pertença ao intervalo (a) [60,100]

(c) ]60,100]

(b) ]60,100[

(d) [0,60]

(e) [0,60[ R: (e)

79)(UFPA–2004)

Texto para questões 79 e 80 Um professor estava assistindo ao programa Zorra Total e ao ouvir a frase “VOU BEIJAR MUUUUIIITO”, no quadro da Tália, teve a ideia de fazer uma pesquisa nas escolas onde leciona, relacionando idade dos alunos com média de beijos/dia. O professor apresentou aos seus alunos os dados obtidos na pesquisa, na forma do gráfico abaixo,

(c)

R: (a)

77)(UFPA–2007)

Em um jornal de circulação nacional foi publicada uma pesquisa, realizada no Brasil, com os percentuais, em função do ano, de famílias compostas por pai, mãe e filhos, chamadas famílias nucleares, e de famílias resultantes de processos de separação ou divórcio, chamadas novas famílias. Sabendo-se que os gráficos abaixo representam, a partir de 1987, a variação percentual desses dois tipos de família, com suas respectivas projeções para anos futuros,

Analizando o gráfico, a alternativa que corresponde, respectivamente, ao intervalo da idade utilizada na pesquisa e ao da média de beijos/dia encontrados é a: (a) [0, 12] ; [0, 4]

(d) [0, 18] ; [0, 16]

(b) [12, 18] ; [4, 16]

(e) [4, 18] ; [12, 16]

(c) [4, 12] ; [16, 18]

R: (b)

80) O resultado da pesquisa pode ser representaé correto afirmar: (a) No ano 2030, o número de novas famílias será igual ao de famílias nucleares. (b) No ano 2030, o número de novas famílias será menor do que o de famílias nucleares. (c) No ano 2030, o número de novas famílias será maior do que o de famílias nucleares. (d) No ano 2015, o número de novas famílias será igual ao de famílias nucleares. (e) No ano 2012, o número de famílias nucleares será menor do que a de novas famílias. R: (c)

do por uma função matemática. Essa função e a média de beijos/dia dos alunos de 15 anos são, respectivamente, (a) y =

2 x + 2 e 12 3

(b) y = x2 – 16x + 23 e 8 (c) y = 2x - 12 e 8

(d) y = 2x – 20 e 10 (e) y = x – 5 e 10 R: (d)

81)(UFPA-00) Uma loja

no centro de Belém aluga microcomputadores para usuários que desejam navegar pela Internet. Para utilizar esse serviço, o usuário paga uma taxa de R$ 2,00 acrescida de R$ 3,00 por hora de utilização da máquina. O 15

gráfico que melhor representa o preço desse serviço é: (a)

(d)

(b)

(e)

84)(CEFET–2008)

Segundo fonte da Embrapa Amazônia Oriental, a produção de frutos do açaizeiro no Estado do Pará cresceu de cerca de 90 mil toneladas, em 1994, para cerca de 150 mil em 2000.

Se essa tendência de crescimento, mostrada no gráfico, se manteve até 2004, a produção nesse ano teve um aumento, em relação a 1994, de aproximadamente:

(c)

(a) 100%

(c) 111%

(b) 200%

(d) 211%

(e) 98% R: (c)

85)(UNAMA-2009/1)

O gráfico abaixo representa o custo (C), em reais, na fabricação de X unidades de um produto. Nessas condições, para se produzir 25 unidades desse produto serão gastos: R: (c)

82)(UFPA) Mensalmente, pago pela prestação de

minha casa 1/5 do meu salário; metade do resta gasto em alimentação e 1/3 do que sobra coloco na poupança, restando-me ainda R$ 800,00 para gastos diversos. O valor colocado na poupança é de: (a) R$ 800,00

(c) R$ 400,00

(b) R$ 650,00

(d) R$ 250,00

(e) R$ 100,00 R: (c)

83)(UFRA-2003)

Numa feira livre, o dono de uma barraca de verduras verificou que, quando o preço da couve é R$ 1,00 o maço, são vendidos 20 maços, porém, quando o preço cai R$ 0,50 são vendidos 30 maços. Considerando essa demanda linear e supondo serem vendidos x maços a um preço y, a função que melhor descreve essa situação é: (a) y = -20x + 40

(d) y = -20x

(b) y = -0,05x + 2

(e) y = -2x + 4

(c) y = 0,05x

(a) R$ 60,00

(c) R$ 75,00

(b) R$ 72,00

(d) R$ 80,00 R: (d)

86)(UEL-PR)

O custo C, em reais, da produção de x exemplares de um livro é dado por C(x) = 2000 + 3,5x. Se cada exemplar é vendido por 8 reais, quantos exemplares, no mínimo, devem ser vendidos para que a editora não tenha prejuízo? (a) 438

(c) R$ 27,50

(b) 442

(d) 445

(e) 450 R: (d)

87)(UFPE) R: (b)

Um provedor de acesso a internet oferece dois planos para seus assinantes: plano A – Assinatura mensal de R$ 8,00 mais R$ 0,03 por cada minuto de conexão durante o mês. Plano B – Assinatura mensal de R$ 10,00 mais R$ 0,02 por cada minuto de conexão durante o mês. Acima de quantos minutos de conexão por mês é mais econômico optar pelo plano B? (a) 160

(b) 180

(c) 200

(d) 220

(e) 240 R: (c)

88)(CESGRANRIO)

O valor de um carro novo é de R$ 9.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$ 4.000,00. Supondo que o preço caia com o tem16

po, segundo uma linha reta, o valor de um carro com 1 ano de uso ĂŠ: (a) R$ 8.250,00

(d) R$ 7.500,00

(b) R$ 8.000,00

(e) R$ 7.000,00

(c) R$ 7.750,00

R: (c)

89)(Furb-SC)

O grĂĄfico abaixo ĂŠ formado por segmentos de reta e relaciona o valor de uma conta de ĂĄgua e o correspondente volume consumido.

10 . FUNĂ‡ĂƒO INVERSA Dada uma função đ?‘“: đ??´ → đ??ľ, bijetora, denominase função inversa de đ?‘“ a função đ?‘”: đ??ľ → đ??´ tal que ∀ đ?‘Ž ∈ đ??´ e ∀ đ?‘? ∈ đ??ľ , se đ?‘“(đ?‘Ž) = đ?‘?, entĂŁo đ?‘”(đ?‘?) = đ?‘Ž.

10.1 Em diagramas

Exemplo 1: đ?‘“: đ??´ → đ??ľ

đ?‘”: đ??ľ → đ??´

Valor da Conta (R$)

40

15

30

50

volume 3 consumido(m )

O valor da conta, quando o consumo for de 40 m serĂĄ de: (a) R$ 50,00

(c) R$ 27,50

(b) R$ 28,00

(d) R$ 26,00

3

(e) R$ 26,50 R: (c)

90)(Unificado-RJ)

Uma barra de ferro com temperatura inicial de 10 ºC foi aquecida atÊ 30 ºC. O gråfico representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiência. Calcule em quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0 ºC.

(a) 1 min

(c) 1 min 10 s

(b) 1 min 5 s

(d) 1 min 15 s

(e) 1 min 20 s R: (d)

91)(FETEC)

Na figura a seguir tem se o gråfico da função f, onde f(x) representa o preço pago em reais por x cópias de um mesmo original, na Copiadora Reprodux. De acordo com o gråfico, Ê verdade que o preço pago nessa copiadora por: f(x)

ĂŠ função inversa de đ?‘”, pois

e đ?‘”(6) = 1 e đ?‘”(8) = 3 e đ?‘”(9) = 4

Observação: đ?‘“ e đ?‘” sĂŁo bijetoras.

Exemplo 2: Sejam os conjuntos đ??´ = {1, 2, 3, 7} e đ??ľ = {4, 8, 12, 28}, đ?‘“: đ??´ → đ??ľ , đ?‘”: đ??ľ → đ??´, definidas đ?‘Ľ por đ?‘“(đ?‘Ľ) = 4đ?‘Ľ e đ?‘”(đ?‘Ľ) = . 4

đ?‘“: đ??´ → đ??ľ

đ?‘”: đ??ľ → đ??´

đ?‘“(đ?‘Ľ) = 4đ?‘Ľ

đ?‘”(đ?‘Ľ) =

đ?‘Ľ 4

đ??ˇđ?‘“ = {1, 2, 3, 7}

đ??ˇđ?‘” = {4, 8, 12, 28}

đ??źđ?‘šđ?‘“ = {4, 8, 12, 28}

đ??źđ?‘šđ?‘” = {1, 2, 3, 7}

đ?‘“ ĂŠ função inversa de đ?‘”. Observação: đ?‘“ e đ?‘” sĂŁo bijetoras. 10.2 Processo para determinar a função inversa Na situação que acabamos de ver (Exemplo 2 do TĂłpico 10.1), dada a função bijetora cuja lei ĂŠ đ?‘“(đ?‘Ľ) = 4đ?‘Ľ , a função đ?‘“ −1 inversa de đ?‘“ , tem como lei đ?‘Ľ đ?‘“ −1 = .

10

4

5

0

đ?‘“ đ?‘“(1) = 6 đ?‘“(3) = 8 đ?‘“(4) = 9

100

x

(a) 228 cĂłpias de um mesmo original ĂŠ R$ 22,50. (b) 193 cĂłpias de um mesmo original ĂŠ R$ 9,65. (c) 120 cĂłpias de um mesmo original ĂŠ R$ 7,50. (d) 100 cĂłpias de um mesmo original ĂŠ R$ 5,00. (e) 75 cĂłpias de um mesmo original ĂŠ R$ 8,00. R: (b)

Vejamos como a partir de đ?‘“ chegar a đ?‘“ −1 :  Escrevemos a đ?‘“(đ?‘Ľ) = 4đ?‘Ľ na forma đ?‘Ś = 4đ?‘Ľ ;  Em đ?‘Ś = 4đ?‘Ľ trocamos đ?‘Ś por đ?‘Ľ e đ?‘Ľ por đ?‘Ś,obtendo

� = 4�; �  Em � = 4� , isolamos �, obtendo � = ;  Escrevemos � =

đ?‘Ľ 4

4

na forma

função inversa de đ?‘“. Veja o esquema abaixo:

đ?‘“(đ?‘Ľ)−1

đ?‘Ľ 4

= , que ĂŠ a

17

đ?‘Ś = 4đ?‘Ľ

EXERCĂ?CIOS DE VESTIBULARES

97)(UFPA-2008) O

custo C de produção de uma peça em função do nĂşmero n de produtos ĂŠ dado đ?&#x;? pela fĂłrmula đ?‘Ş(đ?’?) = . A função inversa desta đ?&#x;?+đ?’?đ?&#x;? fĂłrmula ĂŠ

� = 4� ⇕ �=

đ?‘Ľ 4

, que escrevemos na forma đ?‘“(đ?‘Ľ)−1 =

đ?‘Ľ 4

Observação:

(a) đ?‘› = 1/√1 + đ??ś 2

(d) đ?‘› = 1/√(1 + đ??ś)/đ??ś

(b) đ?‘› = 1/(1 − đ??ś 2 )

(e) đ?‘› = 1/√(1 + đ??ś 2 )/đ??ś

Uma função đ?‘“ ĂŠ invertĂ­vel se, e somente se, đ?‘“ ĂŠ bijetora.

(c) đ?‘› = 1/√(1 − đ??ś)/đ??ś

EXERCĂ?CIOS PROPOSTOS

98)(Mackenzie-SP)

92) Determine

a função inversa das seguintes funçþes bijetoras de â„? em â„?: (a) f(x) = x - 6

definida por đ?‘“(đ?‘Ľ) = ĂŠ definida por: 3

đ?‘Ľ3

(a) đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) = √đ?‘Ľ 3 + 1

(b) f(x) = 1 – 2x

1

R: (c)

Dada a função đ?‘“: â„? → â„?,

+ 1, sua inversa đ?‘“ −1 : â„? → â„? (d) đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) =

1 3

√đ?‘Ľ 3 +1

(c) f(x) = 3x + 4

(b) đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) =

(d) f(x) = 3x

(c) đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) = √đ?‘Ľ − 1

93) Determine a função inversa de cada função:

10.3 O gråfico de função inversa

(a) y = x – 3

Vamos observar, atravĂŠs de exemplos, como ficam dispostos os grĂĄficos de uma função đ?‘“ e da sua inversa đ?‘“ −1 em um mesmo sistema de eixos. a) Seja a função đ?‘“ dada por đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ + 2 e a sua inversa dada por đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ − 2.

R: y = x + 3

x2 4

(c) y =

3ďƒś 3x  2 ďƒŚ , ďƒ§x ď‚š ďƒˇ 4x - 3 ďƒ¨ 4ďƒ¸

R: y =

3x+5 2x−1

(e) n.d.a.

3

(b) y =

(d) g(x) =

đ?‘Ľ 3 +1

R: y = 4x − 2

R: y =

3x−2 4x−3

3

(� ≠) 4

R: (c)

ďƒŹ3 ďƒź x5 , cujo domĂ­nio ĂŠ D = â„? - ďƒ­ ďƒ˝ . 2x - 3 ďƒŽ2 ďƒž

1

(� ≠) 2

94) Sejam

os conjuntos A = {-2, -1, 1, 2, 3} e B = {2, 5, 10} e a função đ?‘“ : A → B tal que đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 + 1. a) Construa o diagrama de flechas representando a função đ?‘“ . b) Construa o diagrama de flechas representando a função đ?‘“ −1 . c) A relação đ?‘“ −1 ĂŠ função? d) A função đ?‘“ ĂŠ invertĂ­vel?

95) Sejam

os conjuntos A = {9, 4, 1, 0} e B = {3, 2, 1, 0} e a função đ?‘“ : A → B tal que

đ?‘“(đ?‘Ľ) = √đ?‘Ľ . a) Construa o diagrama de flechas representando a função đ?‘“ . b) Construa o diagrama de flechas representando a função đ?‘“ −1 .

b) Seja a função bijetora đ?‘“: â„?+ → â„?+ dada por đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 e a sua função inversa đ?‘“ −1 : â„?+ → â„?+ , dada por đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) = √đ?‘Ľ.

c) A relação đ?‘“ −1 ĂŠ função? d) A função đ?‘“ ĂŠ invertĂ­vel? Por quĂŞ?

96) Seja đ?‘“(đ?‘Ľ) =

đ?‘Ľ3.

a função invertĂ­vel đ?‘“: â„? → â„? dada por Determine đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ). R: y = √đ?‘Ľ 3

18

que o lucro em relação ao produto represente 20% do total das vendas, qual deve ser, em reais, o volume de vendas e de quanto serå o lucro? R: venda R$ 180,00; lucro R$ 16,00.

102)(UEPA-00)

O empregado de uma empresa ganha mensalmente x reais. Sabe-se que ele paga de aluguel R$ 120,00 e gasta ž de seu salĂĄrio em sua manutenção, poupando o restante. EntĂŁo: a) Encontre uma expressĂŁo matemĂĄtica que defina a poupança p em função do salĂĄrio x. b) Para poupar R$ 240,00, qual deverĂĄ ser o seu salĂĄrio mensal? R: a) x/4 – 120; b) R$ 1 440,00

103)(UEPA-98)

Um marreteiro compra diariamente objetos por R$ 3,00 e os revende por R$ 5,00, gastando R$ 100,00 com transporte. Se x ĂŠ a quantidade vendida e y o lucro diĂĄrio do marreteiro, entĂŁo escreva a lei que determina este lucro. R: L = 2,00x – 100 Os exemplos dados mostram que o grĂĄfico de uma função đ?‘“ e o grĂĄfico da sua função inversa đ?‘“ 1 sĂŁo simĂŠtricos em relação Ă reta đ?‘Ś = đ?‘Ľ que representa a bissetriz do 1Âş e 3Âş quadrantes. Isso ocorre em todos os casos de função inversa. Veja que a função exponencial ĂŠ a função inversa da função logarĂ­tmica na Apostila de Função LogarĂ­tmica.

EXERCĂ?CIOS EXTRAS

104) Os

grĂĄficos abaixo mostram como tem aumentado a expectativa de vida do brasileiro, desde a dĂŠcada de 50, e como tem caĂ­do a taxa de mortalidade infantil.

EXERCĂ?CIO PROPOSTO

99) Seja �: � → �

a função definida por đ?‘“(đ?‘Ľ) =

−6đ?‘Ľ + 2. a) Determine đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ). b) Construa os grĂĄficos de đ?‘“ e đ?‘“ −1 no mesmo sistema de eixos.

EXERCĂ?CIOS ANALĂ?TICOS-DISCURSIVOS DE VESTIBULARES

100)(UEPA-2004)

Foi criado pelo Estado o tributo Pessoa Natural para facilitar a legalização de algumas empresas, desde que seu faturamento anual esteja dentro de determinada faixa. Com esse imposto, o beneficiado passa a usar notas fiscais padronizadas pela Secretaria de Fazenda, sem a necessidade do Cadastro Nacional da Pessoa JurĂ­dica (CNPJ), tendo apenas que recolher mensalmente a importância de R$ 10,00 aos cofres pĂşblicos. O proprietĂĄrio de uma fabrica de vassouras de piaçava, incluĂ­do no programa Pessoa Natural, gasta R$ 0,60 por vassoura produzida. Pede–se: (a) A expressĂŁo que fornece o custo mensal C, tomando como dados, o imposto e o custo por x vassouras produzidas. R: C = 0,60.x + 10,00 (b) O nĂşmero de vassouras produzidas no mĂŞs em que o custo mensal foi de R$ 1 090,00. R: 1 800 vassouras

101)(UEPA-2001)

Para produzir um determinado artigo, uma indústria tem dois tipos de despesas: uma fixa e uma variåvel. A despesa fixa foi estima em R$ 90,00 (noventa reais), e a variåvel deverå corresponder a 30% do total das vendas. Se, para o mês de março de 2001, pretende-se

a) De 1950 a 1980, qual foi o período em que houve um aumento maior na expectativa de vida do brasileiro? b) Qual Ê o aumento percentual esperado, na expectativa de vida, de 1998 para 2020? c) Qual o período em que a mortalidade infantil teve uma diminuição maior: de 1950 a 1970 ou de 1970 a 1991? d) Pense e discuta com os colegas na classe se hå alguma relação entre aumento da expectativa de vida e queda da mortalidade infantil.

105) Uma

barra de ferro aquecida atÊ uma temperatura de 30ºC e a seguir resfriada atÊ uma temperatura de 6ºC no intervalo de tempo de 0 a 6 min. a) Esboce o gråfico da temperatura em função do tempo. b) Em que intervalo de tempo a temperatura esteve negativa?

19

106) O

gráfico mostra a temperatura de uma região do Rio Grande do Sul desde 5h até 11h. temperatura(°c)

10

111) Uma

companhia de telefones celulares oferece a seus clientes duas opções: na 1ª opção, cobra R$ 38,00 pela assinatura mensal e mais R$ 0,60 por minuto de conversação; na 2ª opção não há taxa de assinatura, mais o minuto de conversação custa R$ 1,10. a) Qual é a opção mais vantajosa para 1 hora de conversação mensal? b) A partir de quanto tempo deve-se optar pela 1ª opção?

5 -2

6

11

tempo(h)

a) Em que horário desse período a temperatura atingiu 0ºC? R: 6h b) Entre que horas desse período a temperatura esteve negativa? R: [5 h, 6 h) c) Entre que horas desse período a temperatura esteve positiva? R: (6 h, 11 h]

107) O

valor de um determinado carro decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ele vale dez mil dólares e, daqui a cinco anos, quatro mil dólares, qual será o seu valor daqui a três anos? R: R$ 6 400,00

108) Seu

Joaquim comprou, em 1988, uma casa no valor de R$ 2 000,00. Após dois anos, um corretor avaliou a casa em R$ 24 000,00. Supondo que o valor da casa em função do tempo seja descrito por uma função do 1º grau e que o tempo 0 seja o ano de compra da casa: a) Determine a expressão do valor da casa em função do tempo; b) Determine o valor mínimo da venda da casa; c) Cite o ano de construção da casa, sabendo que o terreno onde ela foi construída tem o valor fixo de R$ 8 000,00.

109) O

salário fixo mensal de um segurança é de R$ 560,00. Para aumentar sua receita, ele faz plantões noturnos em boate, onde recebe R$ 60,00 por noite de trabalho. a) Se em um mês o segurança fizer 3 plantões, que salário receberá? b) Qual é o salário final y quando ele realiza x plantões? c) Qual é o número mínimo de plantões necessários para gerar uma receita superior a R$ 850,00?

110) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 900,00, e uma variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Expresse a lei da função que representa seu salário mensal. b) Calcule o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 50 000,00 em produtos.

“Você constrói a sua vitória.” “A perseverança alimenta a esperança.” Nunca deixe que lhe digam: Que não vale a pena Acreditar no sonho que se tem Ou que seus planos Nunca vão dar certo Ou que você nunca Vai ser alguém... Renato Russo

Atualizada em 24/3/2018 Gostou da Apostila? Você a encontra no site: http://gilsilva10.wixsite.com/inicio/apostilasde-matematica

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Referências DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. São Paulo: Ática, 2000, v.1. GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J.R. Matemática 1: Uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2000, v.1. Lima, E.L. Curso de Análise. 11. Ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2004, v.1. (Projeto Euclides). PAIVA, M. Matemática. 1. Ed. São Paulo: Moderna, 1999, v.único. (Coleção base). 20

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