02 de thi minh hoa dac biet

Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

SÔÛ GD & ÑT QUAÛNG BÌNH TRÖÔØNG THPT ÑAØO DUY TÖØ

Facebook: LyHung95

KYØ THI THÖÛ THPT QUOÁC GIA LAÀN 2 NAÊM 2016 Moân thi: TOAÙN Thôøi gian laøm baøi: 180 phuùt, khoâng keå thôøi gian giao ñeà

Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y =

2x − 3 . x−2

Câu 2 (1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x − 2 tại điểm có hoành độ bằng x0 thỏa mãn phương trình y '' ( x0 ) = −12.

Câu 3 (1,0 điểm). a) Cho số phức z thỏa mãn (1 − i ) z + 2iz = 5 + 3i. Tìm môđun của số phức w = 2 ( z + 1) − z. b) Giải phương trình log 3 ( 9 x + 18 ) = x + 2.

2

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫ 0

(

)

2 x 2 + 1 − 3 x xdx.

Câu 5 (1,0 điểm).

4 3π tan α − 1 và < α < 2π . Tính giá trị của biểu thức A = .

5 2 2 − cos 2α b) Trường THPT X tổ chức hội thảo GDQP – AN. Trung đội 10A chọn một tiểu đội, trong đó có 6 chiến sĩ nam và 5 chiến sĩ nữ tham gia các nội dung: hiểu biết chung về GDQP – AN, điều lệnh từng người không có súng, băng bó cứu thương và đội ngũ đơn vị. Tiểu đội trưởng chọn ngẫu nhiên 3 chiến sĩ tham gia nội dung băng bó cứu thương. Tính xác suất để 3 chiến sĩ được chọn có cả nam và nữ. x y −1 z − 2 Câu 6 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng 1 2 3

a) Cho góc α thỏa mãn cos α =

( P ) : x + 2 y − 2 z + 3 = 0.

Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với d . Tìm

tọa độ điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến ( P ) bằng 3.

Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với cạnh AB = 2a 3, BC = 2a.

Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trung điểm H của đoạn thẳng OD. Góc hợp bởi đường thẳng SB và mặt phẳng đáy ( ABCD ) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC. Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm A thuộc đường thẳng d1 : 2 x − y + 2 = 0, điểm D thuộc đường thẳng d 2 : x − y − 5 = 0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của

9 2 A trên BD. Điểm M  ;  , N ( 9; 2 ) lần lượt là trung điểm của BH và CD. Xác định tọa độ các đỉnh của 5 5 hình chữ nhật ABCD, biết điểm D có tung độ dương.

4 1 + 2 x 2 y − 1 = 3 x + 2 1 − 2 x 2 y + 1 − x 2 Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình  2 x 3 y − x 2 = x 4 + x 2 − 2 x3 y 4 y 2 + 1

( x, y ∈ ℝ).

Câu 10 (1,0 điểm). Xét x, y, z là các số thực dương thỏa mãn y + z = x ( y 2 + z 2 ) .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1

(1 + x )

2

+

1

(1 + y )

2

+

1

(1 + z )

2

+

4 .

(1 + x )(1 + y )(1 + z )

Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc

Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

SÔÛ GD & ÑT QUAÛNG BÌNH

HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI MOÄT SOÁ CAÂU

TRÖÔØNG THPT ÑAØO DUY TÖØ

KYØ THI THÖÛ THPT QUOÁC GIA LAÀN 2 NAÊM 2016 Thöïc hieän Anh Vuõ Vaên Baéc

Câu 2 (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x − 2 tại điểm có hoành độ bằng x0 thỏa mãn phương trình y '' ( x0 ) = −12.

Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc Ta có y ' = 3x 2 − 12 x + 9 ⇒ y '' = 6 x − 12 ⇒ y '' ( x0 ) = 6 x0 − 12.

Bài ra y '' ( x0 ) = −12 ⇒ 6 x0 − 12 = −12 ⇔ x0 = 0 ⇒ y0 = −2.

Phương trình tiếp tuyến có dạng d : y = y ' ( 0 ) . ( x − 0 ) − 2 = 9 x − 2. Đ/s: d : y = 9 x − 2 Câu 3 (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn (1 − i ) z + 2iz = 5 + 3i. Tìm môđun của số phức w = 2 ( z + 1) − z. b) Giải phương trình log 3 ( 9 x + 18 ) = x + 2.

Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc a) Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) ⇒ z = a − bi.

Bài ra có (1 − i ) z + 2i.z = 5 + 3i nên (1 − i )( a + bi ) + 2i ( a − bi ) = 5 + 3i

⇔ a + bi − ai + b + 2ai + 2b = 5 + 3i ⇔ a + 3b + ( a + b ) i = 5 + 3i a + 3b = 5 a = 2 ⇔ ⇔ ⇒ z = 2+i ⇒ z = 2−i a + b = 3 b = 1

⇒ w = 2 ( z + 1) − z = 2 ( 3 + i ) − ( 2 − i ) = 4 + 3i ⇒ w = 42 + 32 = 5. Đ/s: w = 5 b) ĐK: 9 x + 18 > 0 ⇔ x ∈ ℝ (*)

Khi đó log 3 ( 9 x + 18 ) = x + 2 ⇔ 9 x + 18 = 3x + 2 = 9.3x

⇔ (3

)

x 2

3 x = 3 x = 1 thỏa mãn (*) − 9.3 + 18 = 0 ⇔  x ⇔ 6  x = log 3 3 = 6 x

x = 1 Đ/s:  6  x = log 3 2

Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ 0

(

)

2 x 2 + 1 − 3 x xdx.

Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 2

2

0

0

Ta có I = ∫ x 2 x 2 + 1dx − ∫ 3 x 2 dx = A − B.

Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc

Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 2

•

B = ∫ 3x dx = x 2

0

Facebook: LyHung95

2

= 8.

3 0

3

2 1 1 ( 2 x + 1) 2 2 2 2 • A = ∫ x 2 x + 1dx = ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1) = .

3 4 4 0 0 2 13 11 Do đó I = A − B = − 8 = − .

3 3 11 Đ/s: I = − 3 2

2

1 2

2

0

=

13 .

3

Câu 5 (1,0 điểm) 4 3π tan α − 1 và < α < 2π . Tính giá trị của biểu thức A = .

5 2 2 − cos 2α b) Trường THPT X tổ chức hội thảo GDQP – AN. Trung đội 10A chọn một tiểu đội, trong đó có 6 chiến sĩ nam và 5 chiến sĩ nữ tham gia các nội dung: hiểu biết chung về GDQP – AN, điều lệnh từng người không có súng, băng bó cứu thương và đội ngũ đơn vị. Tiểu đội trưởng chọn ngẫu nhiên 3 chiến sĩ tham gia nội dung băng bó cứu thương. Tính xác suất để 3 chiến sĩ được chọn có cả nam và nữ. a) Cho góc α thỏa mãn cos α =

Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 2

7 4 a) Ta có cos 2α = 2 cos 2 α − 1 = 2.   − 1 = .

25 5 1 1 25 9 3 tan 2 α + 1 = = = ⇔ tan 2 α = ⇔ tan α = ± .

2 2 cos α  4  16 16 4   5 3π 3 Bài ra < α < 2π ⇒ tan α < 0 ⇒ tan α = − .

2 4 3 − −1 tan α − 1 175 Do đó A = = 4 =− .

2 − cos 2α 2 − 7 172 25 175 Đ/s: A = − 172 b) Chọn 3 chiến sĩ từ 11 chiến sĩ của tiểu đội có C113 = 165 cách chọn ⇒ Ω = 165.

Gọi K là biến cố: “ 3 chiến sĩ được chọn có cả nam và nữ ”.

Ta có số kết quả thuận lợi cho K là Ω K = C51.C62 + C52 .C61 = 135.

Do đó P ( K ) =

Đ/s: P ( K ) =

ΩK Ω

=

135 9 = .

165 11

9 11

Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc

Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

( P ) : x + 2 y − 2 z + 3 = 0.

Facebook: LyHung95

x y −1 z − 2 = = và mặt phẳng 1 2 3

Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với d . Tìm

tọa độ điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến ( P ) bằng 3.

Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc

Đường thẳng d co một VTCP là u = (1; 2;3) .

Bài ra ( Q ) ⊥ d ⇒ ( Q ) sẽ nhận u = (1; 2;3) là một VTPT. Mà ( Q ) qua O ( 0; 0; 0 ) ⇒ ( Q ) :1. ( x − 0 ) + 2. ( y − 0 ) + 3. ( y − 0 ) = 0 ⇒ ( Q ) : x + 2 y + 3z = 0.

x = t  Phương trình tham số của d là d :  y = 1 + 2t  z = 2 + 3t 

(t ∈ ℝ).

Mà M ∈ d ⇒ M ( t ;1 + 2t ; 2 + 3t ) .

Ta có d ( M ; ( P ) ) =

t + 2 (1 + 2t ) − 2 ( 2 + 3t ) + 3 12 + 22 + ( −2 )

2

=

−t + 1 =3 3

t = −8 ⇒ M ( −8; −15; −22 ) 1 − t = 9 ⇔ ⇔ 1 − t = −9 t = 10 ⇒ M (10; 21;32 )  M ( −8; −15; −22 ) Đ/s: ( Q ) : x + 2 y + 3z = 0 và   M (10; 21;32 ) Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với cạnh AB = 2a 3, BC = 2a.

Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trung điểm H của đoạn thẳng OD. Góc hợp bởi đường thẳng SB và mặt phẳng đáy ( ABCD ) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc •

Ta có SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( SB; ( ABCD ) ) = SBH = 600.

HB =

3 3 BD = AB 2 + AD 2 = 3a ⇒ SH = HB.tan 600 = 3 3a.

4 4

⇒ S ABCD = AB.BC = 2a 3.2a = 4 3a 2 1 1 ⇒ VS . ABCD = SH .S ABCD = 3a 3.4 3a 2 = 12a 3 (đvtt) 3 3

•

Do AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD; SC ) = d ( AD; ( SBC ) )

= d ( D; ( SBC ) ) =

4 d ( H ; ( SBC ) ) .

3

Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc

Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Kẻ HM ⊥ BC ( M ∈ BC ) , HK ⊥ SM Ta có

Facebook: LyHung95

( K ∈ SM ) ⇒ d ( H ; ( SBC ) ) = HK .

1 1 1 5 3 3 4 4 3 3 3 = + = a ⇒ d ( AD; SC ) = HK = . a = 4a . ⇒ HK = 2 2 2 2 HK SH HM 27 a 3 3 5 5 5

Đ/s: VS . ABCD = 12a 3 (đvtt) và d ( AD; SC ) = 4a

3 5

Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm A thuộc đường thẳng d1 : 2 x − y + 2 = 0, điểm D thuộc đường thẳng d 2 : x − y − 5 = 0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của 9 2 A trên BD. Điểm M  ;  , N ( 9; 2 ) lần lượt là trung điểm của BH và CD. Xác định tọa độ các đỉnh của 5 5 hình chữ nhật ABCD, biết điểm D có tung độ dương.

Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc +) Gọi E là trung điểm của AH , ta có ME ⊥ AD ⇒ E là trực tâm của tam giác ∆ADM ⇒ DE ⊥ AM . +) Tứ giác EMND là hình bình hành ⇒ DE / / MN ⇒ AM ⊥ MN Đường thẳng AM qua M và vuông góc với MN ⇒ AM : 9 x + 2 y − 17 = 0.

+) A = d1 ∩ AM ⇒ A (1; 4 ) . +) D ∈ d 2 ⇒ d ( d ; d − 5 ) .

 d = 9 ⇒ D ( 9; 4 ) Do AD ⊥ DN ⇒ DA.DN = 0 ⇒   d = 4 ⇒ D ( 4; −1) Mà yD > 0 ⇒ D ( 9; 4 ) ⇒ C ( 9;0 ) . +) Phương trình AH : 2 x + y − 6 = 0; DM : x − 2 y − 1 = 0.  13 4  Do H = AH ∩ DM ⇒ H  ;  ⇒ B (1; 0 ) .  5 5

Đ/s: A (1; 4 ) , B (1;0 ) , C ( 9;0 ) , D ( 9; 4 ) 4 1 + 2 x 2 y − 1 = 3 x + 2 1 − 2 x 2 y + 1 − x 2 Câu 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  2 x 3 y − x 2 = x 4 + x 2 − 2 x3 y 4 y 2 + 1

( x, y ∈ ℝ).

Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc  −1 ≤ x ≤ 1  ĐK: 1 + 2 x 2 y ≥ 0 (*)  2 1 − 2 x y ≥ 0 Với x = 0 thì ta dễ dàng thấy được hệ có nghiệm với mọi y ∈ ℝ.

2

1 1 1 1 1 Với x ≠ 0 có ( 2 ) ⇔ 2 y + 2 y ( 2 y ) + 1 = +   +1 ⇔ f (2 y ) = f   → 2 y = . x x x x x 2

Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc

Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Thế vào (1) ta được 4 1 + x − 1 = 3x + 2 1 − x + 1 − x 2 . a = 1 + x ≥ 0 2a 2 = 2 + 2 x Đặt  ⇒ 2 ⇒ 1 + 3 x = 2a 2 − b 2 b = 1 − x ≥ 0 b = 1 − x a + b = 2 ⇒ 4a − 1 = 2a − b − 1 + 2b + ab ⇔ 2a + ( b − 4 ) a + 2b − b = 0 ⇔  a = b 2  b 3 5 Mà a, b ≥ 0 nên a = ⇒ 2 1 + x = 1 − x ⇔ x = − ⇒ y = − thỏa mãn hệ đã cho.

2 5 6 2

2

2

2

  3 5  Đ/s: ( x; y ) = ( 0; y ) ,  − ; −   ( ∀y ∈ ℝ )  5 6  

Câu 10 (1,0 điểm) Xét x, y, z là các số thực dương thỏa mãn y + z = x ( y 2 + z 2 ) .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1

(1 + x )

+

2

1

(1 + y )

2

+

1

(1 + z )

2

+

4 .

(1 + x )(1 + y )(1 + z )

Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 2 2 Ta có 2 ( y + z ) = 2 x ( y 2 + z 2 ) ≥ x ( y + z ) ⇒ y + z ≤ . x Lại có P ≥

1

(1 + x )

Mà (1 + y )(1 + z )

2

+

2

(1 + y )(1 + z )

(1 + y + 1 + z ) ≤ 4

⇒P≤

Xét hàm số

+

2 x3 + 6 x 2 + x + 1

(1 + x )

3

f '( x) =

2

4 .

(1 + x )(1 + y )(1 + z )

1 2  (1 + x ) ≤ 2+  = 4 x x2 2

1

(1 + x )

2

+

2 x2

(1 + x )

2

+

2

4 x2

(1 + x )

3

=

2 x3 + 6 x 2 + x + 1

(1 + x )

3

.

với x ∈ ( 0; +∞ ) có

10 x − 2 = 0; (1 + x)4

1  x ∈ ( 0; +∞ )  1  91 ⇔ x = ⇒ P ≥ f ( x) ≥ f   = .  5  5  108  f ' ( x ) = 0

1  x = Dấu " = " xảy ra ⇔  5  y = z = 5 Vậy Pmin =

91 108

Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc