Descubriendo números metálicos en la ciudad. Descripción breve del proyecto : Fotografiar esculturas, fachadas de edificios, arte urbano, cercanos a la escuela, en busca de los números metálicos como representación geométrica de los números irracionales.
Descripción completa del proyecto : En un primer paso recordamos la definición de un número racional como la división entre dos enteros, como reseña histórica podría pedirse que uno de los grupos de la escuela estudie la vida de Hipaso y los Pitagóricos, mientras que otro grupo estudiaría la vida de Fidas y Los acusmáticos, en esta etapa los grupos de las distintas escuelas puden crear un custionario acerca de tema a tratar, para luego debatir cada una de las ideas. Para el intercambio de información entre los diferentes grupos de las distintas escuelas se confecciona un blog. La segunda etapa se trata de construir geométricamente, mediante el programa Geogebra diferentes números irracionales y metálicos, también se podría plantear la posibilidad de que investiguen que son los números metálicos. Mediante distintas obras de arte se pide que tracen el rectángulo dorado o rectángulo de plata, cada escuela podría dedicarse a rectángulos metálicos diferentes. Para finalizar cada grupo de cada escuela sacan fotos de diferentes esculturas u obras arquitectónicas del barrio o ciudad, realizando un estudio de la imagen y la obra, dicha localización se puede realizar mediante la caza del tesoro o una trivia en eduloc. En el caso de tratarse de escuelas de diferentes ciudades podría realizarse un mural o collage. Área y contenido curricular: Es un proyecto pensado para el área de matemática cuyos contenidos forman parte del diseño curricular de cuarto año de la escuela secundaria, ya que en programa de contenidos de matemática del Gobierno de la ciudad , en el bloque números y álgebra se toma el tema de números reales, como identificar números que no se pueden expresar como cociente de enteros. La actividad se desarrolla mediante con construcciones geométricas, producciones fotográficas, actividades con papel y lápiz y digitales. Objetivos del proyecto: que los estudiantes construyan geométricamente, calculen e identifiquen algún número metálico, en especial el número de oro y plata. Construir la espiral de Fibonacci. Edad y nivel de los participantes del proyecto: 16 a 17 años, cuarto año de bachiller especializado en física-matemática. Producto y resultados esperados: En la primera etapa deben debatir sobre la diferencia entre los pitagóricos y los acusmáticos, para dicho debate podría confeccionarse un blog, en el cuál un grupo produce una encuesta para ser contestada por el otro grupo.
Con el programa Geogebra y mediante diferentes actividades, construyen diferentes rectángulos que se corresponden con su número metálico y superponen dichas construcciones a alguna obra de arte conocida. Los grupos pueden intercambiar diferentes obras de arte y construir sobre ellas el rectángulo correspondiente al número metálico. Para finalizar deben intercambiar fotografías tomadas por diferentes grupos, ya sea de monumentos, arte urbano, edificios, de barrio o cercanías de la escuela, además de intercambiar las imágenes las escuelas deben averguar dónde se tomó la fotografía, mediante la respuesta de diferentes problemas geométricos mediante el programa eduloc.
Posibles actividades del proyecto Actividad Nº1 Construir con el programa Geogebra un cuadrado ABCD, utilizando el comando ´ polígono regular. Marcar el punto medio M del lado AB del cuadrado. Trazar la circunferencia de centro M y radio igual a la distancia del punto M a alguno de los ´ vértices del lado opuesto. Trazar la recta h que pasa por AB , marcar el punto E intersección de h con la circunferencia trazada. Trazar la recta j que pasa por el lado ´ DC . Trazar la recta i que pasa por E y es perpendicular a h. Finalmente marcar el punto F, intersección de las rectas i y j. Obtenemos el rectángulo AEFD. Si sabemos que el lado del cuadrado con la construcción realizada
´ AM ,
´ AB=1unidad . Calcular en una hoja aparte y ´ MC ,
´ ´ + ME ´ AE= AM
y
´ AE ´ . Al EF
finalizar realizaremos una puesta en común. Es el rectángulo BEFC un rectángulo áureo. Justifica tu respuesta.
Actividad Nº2 Trazar el segmento
´ HI
, como muestra la figura, de manera tal que el rectángulo
IHFC sea un rectángulo dorado.
Luego construir otro rectángulo dorado inscripto en el anterior, a partir de la altura del rectángulo. Así sucesivamente, como muestra la figura.
Trazar con la función “arco de circunferencia con centro entre dos puntos”, el arco de circunferencia con centro en C y extremos en D y B. Luego el arco de circunferencia con centro en I y extremos en By H y así sucesivamente. Comparar dicha figura con la que buscaste, son iguales? Actividades complementarias 2 1 3 4 5 6 7 8 Si ∅ =∅+1 hallar ∅ , ∅ , ∅ , ∅ , ∅ , ∅ , ∅ ………
Encuentra alguna relación. En el cuadro de Mondrian traza el rectángulo áureo a partir de cuadrado rojo.
Desarrollo Didáctico Se separa el curso de en grupos de dos a cuatro integrantes, dependiendo del curso. Los estudiantes comienzan a hacer la actividad. Los alumnos deben traer de su casa imágenes del Partenón, cuadros de Mondrian y referencias o investigaciones acerca de la espiral de Fibonacci. Cuando comienzan a realizar la actividad pueden tener problemas en el manejo del programa, ya sea con los comandos, renombrando los puntos, rectas y con la consigna. Se puede guiar en el uso de los comando pasando por los grupos mientras realizan la actividad. Es conveniente que trabajen con un archivo sin ejes, ni cuadrícula. También algunos alumnos remarcan el rectángulo. Pasando por los grupos podemos observar la siguiente resolución en la pantalla. Compruebo la construcción deslizando desde uno de los vértices.
Cuando comienzan a realizar el ejercicio se les recuerda que deben hacerlo en sus cuadernos; puede aparecer la dificultad que no comprendan la consigna entonces se ´ explica que el gráfico realizado es a modo de ejemplo y señalo que AB=1unidad . Al finalizar todos los grupos realizamos una puesta en común. La respuesta de los grupos pueden ser las siguientes: ´ |= 1 unidad , por construcción | AM 2
El triángulo MBC es rectángulo por construcción, entonces entonces
√ √
´ |= √ (| MB ´ |) 2+ (|BC ´ |)2 = 1 + 1= 5 = √ 5 |MC 4 4 2 unidades. ´ |= √ 5 unidades |MC 2
1 √ 5 1+ √ 5 ´ = AM ´ + ME= ´ AE + = 2 2 2 Ya que
´ ´ ME= MC , por construcción. Y calculan
´ AE = ´ EF
1+ √ 5 2 1+ √ 5 = 1 2
Entonces escribo nuevamente la fórmula en el pizarrón y digo que ϕ=
´ 1+ √5 AE = ´ 2 EF
2
2
2
´ |) =(|MB ´ |) + (|BC ´ |) (|MC
Donde “phi” es la proporción áurea, denominada así por los griegos, en esta etapa se puede hacer una referencia histórica del tema. Se pide que realicen el cálculo con calculadora, ya sea con la notebook o propia. Luego pueden marcar los segmentos y cotejar en geogebra. Al finalizar pueden deslizar la construcción y cotejar que dicho valor queda constante, verificando la proporción entre segmentos. Justifican que BEFC es un rectángulo áureo de trazando los segmentos y verificando el valor de phi, Y nuevamente deslizan la construcción. Aquí puede aparecer la dificultad del redondeo del número Phi, truncando el valor por el programa geogebra. Al finalizar comienzan a realizar la actividad Nº2, la primera dificultad con la que se encuentran es la compresión de la consigna entonces se le señala que deben construir otro rectángulo áureo dentro del último rectángulo construido. Pasando por los grupos se observa que algunos grupos comienzan a construir el nuevo rectángulo apartir del ´ lado EF del rectángulo BEFC, siguiendo los mismos pasos que en la actividad anterior, luego verifican trazando los nuevos segmentos. Al trazar el segundo rectángulo sólo trazan la circunferencia de radio igual al altura del rectángulo y centro en uno de los vértices de dicho lado, la intersección de dicha circunferencia con la base del rectángulo determina un punto K, luego se traza la recta perpendicular a la base que pasa por dicho lado y la intersección con el lado paralelo a la base determina el otro punto J. Así sucesivamente construyen el lado pedido. Otro grupo mediante proporciones construye el lado pedido en geogebra. Ya que ´ ´ IH 1+ √ 5 ´ = 2∗IH ´ IH ´ = FH BE= y FH entonces ´ 2 1+ √ 5 y construyen dicho segmento con el comando segmento dada su longitud, en el vértice F. Después trazan la circunferencia de centro F y radio el segmento hallado, cuya intersección con la base del rectángulo BEFC determina un punto H. Luego se traza la recta perpendicular a la base de dicho rectángulo que pasa por H, determinando así el otro vértice del rectángulo FHIC. Y así sucesivamente van construyendo los rectángulos. Luego trazan los arcos de circunferencia pedidos y se explica que dicha espiral es la espiral de Fibonacci y que la comparen con lo que trajeron como trabajo de investigación. Si se realiza una posible solución a las actividades complementarias puede ser la siguiente: 2 Si ϕ =ϕ+ 1 entonces
ϕ 3=ϕ 2∗ϕ=( ϕ+1 )∗ϕ=ϕ 2+ ϕ=ϕ+1+ ϕ=2 ϕ+1 ϕ 4=ϕ3∗ϕ=( ϕ 2+ ϕ )∗ϕ=ϕ3 +ϕ 2=2 ϕ+ 1+ ϕ+1=3 ϕ+2
ϕ 5=ϕ 4∗ϕ=( ϕ 3 +ϕ 2)∗ϕ=ϕ4 + ϕ3 =3 ϕ+2+2 ϕ +1=5 ϕ +3 ϕ 6=ϕ 5∗ϕ= ( ϕ 4 +ϕ 3 )∗ϕ=ϕ5 + ϕ4 =5 ϕ+3+ 3 ϕ+2=8 ϕ+5 ϕ 7=ϕ 6∗ϕ=( ϕ 5+ ϕ 4 )∗ϕ=ϕ6 + ϕ5=8 ϕ+5+5 ϕ+3=13 ϕ+8 ϕ 8=ϕ 7∗ϕ= ( ϕ 6+ ϕ5 )∗ϕ=ϕ 7 +ϕ 6=13 ϕ +8+8 ϕ +5=21ϕ+13 Se les pregunta si encuentran alguna relación y llegan a la conclusión que es similar a la secuencia de Fibonacci en cada término. Mientras que en el cuadro de Mondrian se podrían observar la siguiente solución
Aclaraciones y observaciones La actividad complementaria puede ser realizada en otro módulo de ser necesario. Los alumnos podrán generar diferentes rectángulos metálicos y de esta manera generar un collage con sus propios rectángulos. Otra opción para el comienzo de la clase sería que compartir fotografías u obras de arte diferentes rectángulos y lo comparen con el rectángulo áureo. Se puede explicar también la diferencia entre la espiral de Durero y la de Fibonacci. Se debe tener en cuenta que en geogebra podemos construir infinitos rectángulos de la misma manera, por ello debemos construir una determinada cantidad de ellos. También el mismo cuadro de Mondrian podrían determinar cuáles son rectángulos áureos y cuáles no. Roles y dinámicas de colaboración Son diferentes los roles que toman los estudiantes en el transcurso del proyecto, en la primera parte del proyecto, más orientado hacia el descubrimiento histórico de los números irracionales y la justificación de poder escribirlo como la razón entre dos números enteros, se puede llevar a cabo en la página de blog, dónde los estudiantes elaboran una encuesta para que los estudiantes de la otra escuela contenten, este tipo de dinámica de espejo, refleja el trabajo de los dos equipos que realizan el trabajo de
investigación en simultáneo y luego cada una produce un cuestionario para que el otro grupo lo conteste. En la segunda etapa las diferentes Escuelas comparten la imagen de un pintor y trazan los rectángulos metálicos correspondientes, la dinámica es de espejo, el rol del docente es gestionar la actividad con el cuadro o fotografía elegida. Para finalizar pueden realizar una actividad en eduloc, la cual es una actividad secuenciada en eduloc, dónde deben encontrar diferentes rectángulos metálicos en toda la ciudad o barrio de la escuela, también se podría proponer pintar un mural. El cuadro de Mondrian es el que resulta de la última fotografía.
Recursos (software, materiales de investigación, de apoyo, tutoriales, espacios de colaboración) Confección de una actividad en edulog: “Números metálicos en la ciudad”
http://www.eduloc.net/es/escenari/6935/preview-iframe Envío como archivos adjuntos las construcciones realizadas en Geogebra
Pasos para la construcción sobre la tarjeta sube Circulos dentro del cuadrado naranja igual a 12
Pasos para la construcciรณn de la espiral sobre el plano Av.66 Y calle116
Contribuciรณn del proyecto para el contexto El proyecto puede articularse con el รกrea de artes e historia, los estudiantes pueden utilizar otro trayecto mรกs conveniente.