A1.- Solución:
1 2
y
x 1
y
x
2
y x
x
2
0
x 1 x y
x
2
x
1,5
y
0,5
0 2
x x
y y
x
0
y
x 1
x
1
y
0
y
0
y
0
x
0
y
0
Luego el máximo de z se encuentra en el vértice A(1.5 , 0.5) y es max z=2*1.5+0.5=3.5 A2.- Solución: Llamamos c al número de camisetas pedido, b al número de bufandas y g al número de gorras.
27g 20g 10c 5b 7 g 2980 c b g 380 c 2g
2g
5b 7 g b
g
2980
380
27g 3g
5b b
2980 380
b 110 c 180 Aquí están el planteamie nto y la solución
15g
5b 5b
12 g 1080 g 90
2980 1900
A3.- Solución:
f ( 2) x 1 t si x
a) f ( x)
x 5
si x
2 2
2 1 t
3 t
lim f ( x )
lim
x 1 t
x
x
2
2
lim f ( x )
lim x 5
x
x
2
Para continua en x 3 t 3 t 6
3 t
3
2
Si t=2 no es continua y su gráfica es una especie de v y una semirrecta. Ver gráficos t=2
t=6
A4.- Solución: Si en un punto se anula la derivada primera y la segunda es positiva entonces hay un mínimo.
f ( x)
x2
ax b
f ' ( x)
2x a
f ' ' ( x)
2
f ( 2) 1
como por mínimo f ' ( 2) y como f ' ( 2)
0
4 a
a
4 b
4 2a b 1
2a b
3
b
3 2a
5
2
A5.- Solución: Consideremos los sucesos: A elegir al azar y ser del tipo A, B elegir al azar y ser del tipo B y D elegir al azar y ser defectuosa. Sabemos que p(A)=0,2. p(B)=0,8 y también:
a) p( D )
0,02, p( D ) B
A
P( D )
P( D
0,1 Entonces:
A) P ( D P( D A) P( A)
P( D ) A
B)
P ( D ) P( A) P ( D ) P( B ) A B p( nD) 1 p( D ) 0,916
P( D )
b) P( A
nD
P( A) P(nD ) A P(nD)
P( A nD) P(nD)
)
0,02 * 0,2 0,1 * 0,8
0,2 * 0,98 0,916
0,084
0,196 0,916
0,214
A6.- Solución: Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:
P x
z
/2
·
x
n
z
/2
·
n
1
, donde 1-
es el nivel de confianza (0,95 en
nuestro caso). x la media de la muestra, calculamos la media de los 10 datos y es 79; desviación típica, ahora 20; n el tamaño de la muestra, 10.
1
0,95
0,05
/2
0,025
z
/2
la
1,96 ya que (1 0,025 0,975) .Ver
tabla a)Luego el intervalo pedido es:
x
z
/2
·
n
,x
z
/2
·
n
79 1,96
20 20 , 79 1,96 10 10
(66,60 , 91,40)
b) Si queremos obtener un intervalo de anchura menor manteniendo el nivel de confianza podemos aumentar el tamaño de la muestra; esto hace disminuir el radio del intervalo porque hace aumentar el denominador de la fracción que aparece en él.
B1.- Solución:
1 A
2
1 1
a) M
B
3 0
3I
X ·B b)
1 1 1
A
I
1·1 1 1
3 0
1
1 1
4 1
5 2
3 0 0
8 5 ; 3I 1 2
0 3 0 0 0 3
3 0 0
1
4 1
4
4 1
2
0 3 0 0 0 3
5 2
8 5 1 2
5 2
11 5 1 5
X
B 1 , para hallarla usamos la traspue sta de adjuntos por 1/ B
1 0 5 5
1
1 1
1 1
0 1/ 5 1 1/ 5
B2.- Solución: Llamaremos m al número de bicicletas de montaña pedido, p al número de bicicletas de paseo y e al número de bicicletas estáticas. El planteamiento y la solución son los siguientes:
2m 3 p e
9
La 1ª por 6 menos la segunda y la tercera menos la 2ª
la 1ª menos 3 * 2ª
6m 4 p 6e
28
6m 14p 26
8p 8
8m 6 p 6e
34
2m 2p
p 1
m
3
p
m
e
9 4 3
6
2
2
B3.- Solución:
a) f ( x)
b) f ( x )
x t si x
( x 3) 2 1 si x
x 2 si x ( x 3)
2
f ( 2)
2 2
lim f ( x )
lim x t
x
x
2
2 t
2
lim f ( x )
lim ( x 3) 2 1 0
x
x
2
2
Para continua en x 2 t
0
t
2
2
2
El primer trozo es una semirrecta El segundo un trozo de parábola
2
1 si x
2 t
f ' ( x) 2 x 6
f ' ' ( x) 2 0
f ' ( x ) 0 2 x 6 0 x 3, luego en (3, f(3)) (3,-1) hay mínimo c) De 2 a 3 es decreciente y de 3 a infinito es creciente.Ver gráfica.
B4.- Solución: Si la derivada primera es 0 y la segunda negativa hay máximo y si la primera es 0 y la segunda positiva hay mínimo. Hallaremos esos puntos.
f (t )
t3
f ' (t )
0
9t 2
18t
38
3t 2 18t 18
f ' (t )
3t 2 18t 18
0
f ' ' (t )
6t 18
t
1
f ' ' (1)
6 18 0
t
5
f ' ' (5)
30 18 0
máximo(1seg , 45metros) mínimo(5seg , 13metros)
B5.- Solución: Llamemos B al suceso el alumno elegido juega al baloncesto y F al suceso juega al futbol
a ) p( F B )
p( F )
p( B )
p( F B ) p( B )
b) p ( F ) B
P( F
20% 30%
B)
30%
40% 50%
20%
66,66%
B6.- Solución: El intervalo dado corresponde a la fórmula siguiente, donde =10 y n=100, x la media pedida
10 898,04 901,96 898,04 x 900 100 2 10 898,042901,96 x z /2· 901,96 z /2 1,96 2 100 0,05 1 0,95 Intervalo de confianza al 95% x
a) x
b) z
/2
z
/2
·
1,96
n
,x
/2
z
/2
·
n
0,025
z
/2
·