Matemáticas Ciencias Sociales Junio 2014 Castilla - La Mancha

Pruebas de Acceso a Ense˜ nanzas Universitarias Oficiales de Grado (2014) ´ Materia: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumno deber´ a contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Se podr´ a utilizar cualquier tipo de calculadora.

Propuesta A 

−2 1. Dadas las matrices: A =  1 0

1 −3 1



0 −1 1 yB= 1 4

−2 0

.

a) Calcula la matriz M = (2 · I + A)2 , donde I es la matriz identidad de orden 3. (0.75 ptos) b) Calcula, si es posible, la matriz X tal que X · B = I, donde I es la matriz identidad de orden 2. (0.75 ptos) 2. Una empresa de seguros tiene tres sucursales, una en Toledo, otra en Albacete y la tercera en Cuenca. En total entre las tres sucursales vendieron 45 p´ olizas de seguro del hogar en el u ´ltimo mes. El n´ umero de p´ olizas vendidas en la sucursal de Cuenca es la media aritm´etica de las vendidas en Toledo y Albacete. Y el n´ umero de p´ olizas vendidas en Toledo es el doble de la cantidad que resulta al restar las vendidas en Albacete menos las vendidas en Cuenca. a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el n´ umero de p´ olizas de seguro del hogar que se han vendido en cada sucursal. (1.5 ptos) b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)

|x − t| si x ≤ 0 3. Se considera la funci´ on f (x) = x2 − 2x si x > 0 a) ¿Para qu´e valor de t la funci´ on f (x) es continua en x = 0? (0.5 ptos) b) Calcula los extremos relativos de la funci´ on f (x) en el intervalo (0, +∞). (0.5 ptos) c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funci´ on f (x) en (0, +∞). (0.5 ptos) 4. Calcula los valores de los par´ ametros a, b y c para que la funci´ on f (x) = ax4 + bx2 + c pase por el pto (0 , 0), tenga un m´ınimo relativo en el pto de abscisa x=1 y el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva y=f(x) en x=2 sea igual a 24. (1.5 ptos) 5. En una poblaci´ on, el 40 % de los habitantes ven habitualmente la televisi´ on, el 10 % leen habitualmente y el 1 % ven la televisi´ on y leen habitualmente a) Se elige un habitante al azar, ¿cu´ al es la probabilidad de que vea la televisi´ on o lea habitualmente o ambas cosas?

(0.75 ptos) b) Si elegimos un habitante al azar y ve la televisi´ on habitualmente, ¿cu´ al es la probabilidad de que lea habitualmente?

(0.75 ptos) 6. Una empresa produce dispositivos electr´ onicos con pantalla HD, la resoluci´ on de estas pantallas sigue una distribuci´ on normal de media desconocida y desviaci´ on t´ıpica σ =20 p´ıxeles. Se tom´ o una muestra aleatoria de 100 dispositivos electr´ onicos y mediante un estudio estad´ıstico se obtuvo el intervalo de confianza (1076.08 , 1083.92) para la resoluci´ on media de las pantallas elegidas al azar. a) Calcula el valor de la resoluci´ on media de las pantallas de los 100 dispositivos electr´ onicos elegidos para la muestra.

(0.25 ptos) b) Calcula el nivel de confianza con el que se ha obtenido dicho intervalo. (0.75 ptos) c) ¿C´ omo podr´ıamos aumentar o disminuir la amplitud del intervalo? Sin calcular el intervalo de confianza, ¿se podr´ıa admitir que la media poblacional sea µ = 1076.08 p´ıxeles con un nivel de confianza del 90 %? Razona tus respuestas. (1 pto)

A1.- Solución: 2   2 0 0  − 2 1 0  0         2  a ) M = ( 2 I + A) =   0 2 0  +  1 − 3 1   =  − 1  0 0 2  0  1 4    0       −1 − 2 =2  B = 1 0 b) XB = I ⇒ X = B −1  ⇒ B −1   1  B −1 = (Trasp. de adjuntos)   B 

1 0  − 1 − 1 1     1 5 − 1 1 =  1 1 6   − 1 5 37  2

=

2  0 1  1 0   =   2  − 1 − 1  − 0'5 − 0'5 

A2.- Solución: Llamemos T, A, C al nº de pólizas que vendieron en cada una de las ciudades

 Planteamiento T + A + C = 45  Re solución Sust. C en la 3ª y en la 2ª T + A + C = 45   La 1ª menos la segunda   ⇒ ⇒ ⇒ T - 2A = -30 T + A 3C = 45 ⇒ C = 15  2 =C T + A − 2C = 0 T + A = 30   T − 2 A + 2C = 0 T = 2( A − C )  Restandolas ⇒ ⇒ Sust. en la 1ª , T = 10 - 3A = -60 ⇒ A = 20

A3.- Solución:

  f ( 0) = 0 − t = − t = t  x − t si x ≤ 0  Para continua en x = 0  a) f ( x) =  2 ⇒  lim− f ( x ) = lim− x − t = t ⇒  x →0  x − 2 x si x > 0  x →0 t = 0 ⇒ t = 0 2  lim+ f ( x ) = lim+ x − 2 x = 0 x →0  x →0 Para (0,+∞ )  f ' ( x ) = 2 x − 2 ⇒ f ' ( x ) = 0 cuando x = 1 b) f ( x ) = x 2 − 2 x ⇒   f ' ' ( x ) = 2 ⇒ f ' ' (1) = 2 > 0 ⇒ Mínimo en (1, f(1)) = (1,-1) c)Luego es decreciente de (0 a 1) y creciente de (1 a + ∞ )

A4.- Solución:

f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c pase por (0,0) ⇒ f (0) = 0 ⇒ a 0 4 + b0 2 + c = 0 ⇒ c = 0  f ' (1) = 0 f ' ( x ) = 4ax 3 + 2bx mímo para x = 1 ⇒  3  f ' (1) = 4a1 + 2b1 = 0 ⇒ 2a + b = 0 Pendiente en x = 2 sea 24 ⇒ f'( 2 ) = 24 Luego 4a2 3 + 2b2 = 24 ⇒ 32a + 4b = 24 ⇒ 8a + b = 6 2 a + b = 0  8a + b = 3 ⇒ 6a = 6 ⇒ a = 1 ⇒ b = −2 sust. en la 1ª restando 

A5.- Solución: Llamaremos T al suceso “elegido un habitante al azar resulta que ve televisión habitualmente”.

De forma análoga definimos el suceso L

a ) P (T ∪ L) = P ((T ) + P ( L) − P (T ∩ L)) = 40% + 10% − 1% = 49% P(T ∩ L) 1% 1 b) P( L ) = = = = 0,025 = 2'5% T P(T) 40% 40 A6.- Solución: Para obtener el intervalo de confianza ( que ahora sabemos) debemos tener en cuenta que:

σ σ   P  x − zα / 2 · < µ < x + zα / 2 ·  = 1 − α , donde 1-α es el nivel de confianza. x la media n n  de la muestra, en nuestro caso nos la piden, pero observamos que es el centro del intervalo. O sea la semisuma de los extremos x = 20; n el tamaño de la muestra, 100.

1076'08 + 1083'92 = 1080 ; σ la desviación típica, ahora 2

El radio del intervalo es la semidiferencia de los extremos

r=

10 1076'08 − 1083'92 n σ = 3,92 = zα / 2 · ⇒ zα / 2 = 3,92 = 3,92 = 1,96 Y con ayuda 2 σ 20 n

de la tabla obtenemos que el nivel de confianza es el 95%

1 − α = 0,95 ⇒ α = 0,05 ⇒ α / 2 = 0,025 ⇒ zα / 2 = 1,96 ya que (1 − 0,025 = 0,975) .Ver tabla c) Podemos ampliar o reducir la amplitud del intervalo reduciendo o aumentando el tamaño de la muestra (al mismo nivel de confianza), pero si disminuimos el nivel de confianza también disminuye zα / 2 y por tanto la amplitud del intervalo, de forma que al 90% NO podemos admitir que la media poblacional sea 1076.08 ya que al 95% está en el borde y al reducirse se quedaría fuera.

Resumiendo si reducimos el nivel de confianza obtenemos un intervalo más estrecho, una zona más pequeña, pero claro, con poca confianza de que esté allí la media poblacional

Propuesta B 1. Considera el siguiente problema de programaci´ on lineal: Minimiza la funci´ on z = −2x − 3y sujeta a las siguientes restricciones: −x + 3y 2x + y x≥0 y≥0

≤ 5 ≤ 4

a) Dibuja la regi´ on factible. (1 pto) b) Determina los v´ertices de la regi´ on factible. (0.25 ptos) c) Indica la soluci´ on ´ optima del problema dado y su valor. (0.25 ptos) 2. Una empresa gasta un total de 1250 euros para que sus 10 empleados realicen un curso de formaci´ on. Establece tres cuant´ıas seg´ un los niveles de formaci´ on: grado 1, grado 2 y grado 3. La empresa concede 80 euros a cada empleado que realice el de grado 1, 150 euros a cada empleado del grado 2 y 200 euros a cada empleado del grado 3. La cantidad total que la empresa gasta en el curso de formaci´ on de grado 1 es igual a la que invierte en el curso de formaci´ on de grado 3. a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cu´ antos empleados van a realizar el curso de formaci´ on de grado 1, cu´ antos el de grado 2 y cu´ antos el de grado 3. (1.5 ptos) b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)

|x| − t si x ≤ 2 3. Se considera la funci´ on f (x) = x2 − 6x + 8 si x > 2 a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0.5 ptos) b) Para t = 1, representa gr´ aficamente la funci´ on f. (1 pto) 4. En una ciudad, el registro durante cinco horas de la humedad relativa del aire, medida en %, se ajusta a la funci´ on f (t) = 2t3 − 15t2 + 24t + 75, 0<t<5 ,siendo t el tiempo medido en horas. a) ¿A qu´e hora se registr´ o la m´ axima cantidad de humedad relativa del aire y cu´ al fue dicha cantidad? (0.75 ptos) b) ¿A qu´e hora se registr´ o la m´ınima cantidad de humedad relativa del aire y cu´ al fue dicha cantidad? (0.75 ptos) 5. En una empresa hay tres robots A, B y C dedicados a soldar productos. El 15 % de los productos son soldados por el robot A, el 20 % por el B y el 65 % por el C. Se sabe que la probabilidad de que un producto tenga un defecto de soldadura es de 0.02 si ha sido soldado por el robot A, 0.03 por el robot B y 0.01 por el robot C. a) Elegido un producto al azar, ¿cu´ al es la probabilidad de que tenga un defecto de soldadura?(0.75 ptos) b) Se escoge al azar un producto y resulta tener un defecto de soldadura, ¿cu´ al es la probabilidad de que haya sido soldado por el robot A? (0.75 ptos) 6. En un aeropuerto, el tiempo de espera de un viajero frente a la cinta transportadora hasta que sale su maleta sigue una distribuci´ on normal de media desconocida y desviaci´ on t´ıpica σ=3 minutos. Se tom´ o una muestra aleatoria de 50 viajeros, y se observ´ o que el tiempo medio de espera era de 17 minutos. a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de espera de la maleta en ese aeropuerto con un nivel de confianza del 95 %. (1 pto) b) ¿Se puede admitir que la media poblacional sea µ = 16 con un nivel de confianza del 95 %? ¿C´ omo podr´ıamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza sin variar el nivel de confianza? Razona tus respuestas. (1 pto)

B1.- Solución:

 3 y = x + 5 x = 1 ⇒ x + 5 = −6 x + 12 ⇒   y = 2   y = −2 x + 4 (1,2)  x = 0   5 x = 3 y − 5 − x + 3 y ≤ 5    ⇒ (0, 3 )   2 x + y ≤ 4 5  y = x = 0     3 ⇒ ⇒ (0,0)  x ≥ 0   y = −2 x + 4  x = 2 ( 2,0) ⇒  y ≥ 0  y = 0  y = 0  Son los vértices   x = 0    y = 0 z (1,2) = −2 − 6 = −8; z (0, 5 ) = 0 − 5 = −5; z (0,0) = 0; z ( 2,0) = 0 3 Luego la solución óptima se alcanza en (1,2) y vale - 8 La región factible está formada por el polígono rojo (interior y bordes)

B2.- Solución: Llamemos “x” al número de empleados que cursan el grado 1, “y” al número de empleados que cursan el grado 2 y “z” al número de empleados que cursan el grado 3

  Planteamiento 160 x + 150 y = 1250 80 x + 150 y + 200 z = 1250  Re solución    ⇒ 80 x + 150 y + 80 x = 1250 ⇒  280 ⇒  x + y = 10  x + y + z = 10   80  200 80 x = 200 z x + y + x = 10  200 16 x + 15 y = 125 x = 5 160 x + 150 y = 1250 − 16 x − 15 y = −125   ⇒ 7 x + 5 y = 50 ⇒ y = 3   280 x + 200 y = 2000  21x + 15 y = 150 z = 2  Dividiendo la 1ª por 10 y la 2ª por40 

B3.- Solución:

  f ( 2) = 2 − t = 2 − t  x − t si x ≤ 2  Para continua en x = 2  a) f ( x) =  2 ⇒  lim− f ( x ) = lim− x − t = 2 − t ⇒  x →2  x − 6 x + 8 si x > 2  x →2 2 − t = 0 ⇒ t = 2 2  lim+ f ( x ) = lim+ x − 6 x + 8 = 0  x→2 x→2 Para t = 1 − x − 1 si x < 0  x − 1si x ≤ 2  f ( x) =  2 ⇒ f ( x ) =  x − 1 si 0 ≤ x ≤ 2  x − 6 x + 8 si x > 2  x 2 − 6 x + 8 si x > 2  Se trata de dos trozos de recta y uno de parábola A la izquierda la gráfica cuando t=1, a la derecha cuando t=2

B4.- Solución: Usaremos las derivadas primera y segunda. Donde se anule la primera y sea positiva la segunda habrá mínimo y donde se anule la primera y sea negativa la segunda habrá máximo.

 f ' (t ) = 0  f ' (t ) = 6t − 30t + 24 ⇒  2 t = 4 2 6 t − 30 t + 24 = 0 ⇒ t − 5 t + 4 = 0 ⇒   t = 1   f ' ' ( 4) = 48 − 30 > 0 ⇒ Mínimo ( 4, f (4)) = ( 4horas , 59%) f ' ' (t ) = 12t − 30 ⇒   f ' ' (1) = 12 − 30 < 0 ⇒ Máaximo (1, f (1)) = (1hora , 86%) 2

B5.- Solución: Llamaremos A al suceso “elegido un producto al azar resulta que ha sido soldado por el robot A”. De forma análoga definimos los sucesos B y C. D será el suceso “elegido un producto al azar tiene un defecto de soldadura” Sabemos que

a ) P ( D ) = P (( D ∩ A) ∪ ( D ∩ B ) ∪ ( D ∩ C )) = P ( D ∩ A) + P ( D ∩ B ) + P ( D ∩ C ) = = P ( A) P ( D ) + P ( B ) P ( D ) + P (C ) P ( D ) = 0'02.0'15 + 0'03.0'20 + 0'01.0'65 = 0,0155 A B C P(A ∩ D) 0'02.0'15 b) P( A ) = = = 0,19 D P(D) 0,0155 B6.- Solución: Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:

 σ σ  P  x − zα / 2 · < µ < x + zα / 2 ·  = 1 − α , donde 1-α es el nivel de confianza (0,95 en n n  nuestro caso). x la media de la muestra, en nuestro caso 17; σ la desviación típica, ahora 3; n el tamaño de la muestra, 50.

1 − α = 0,95 ⇒ α = 0,05 ⇒ α / 2 = 0,025 ⇒ zα / 2 = 1,96 ya que (1 − 0,025 = 0,975) .Ver tabla a) Luego el intervalo pedido es:

3 3  σ σ    , x + zα / 2 · , 17 + 1'96  x − zα / 2 ·  = 17 − 1'96  = (16'19 , 17'83) n n  50 50   b) En este caso NO se puede admitir que la media poblacional sea 16 con un nivel de confianza del 95%. Si queremos obtener un intervalo de anchura menor manteniendo el nivel de confianza podemos aumentar el tamaño de la muestra; esto hace disminuir el radio del intervalo porque hace aumentar el denominador de la fracción que aparece en él.