Pruebas de Acceso a Ense˜ nanzas Universitarias Oficiales de Grado (2013) Materia: ´ MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumno deber´ a contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Se podr´ a utilizar cualquier tipo de calculadora.
Propuesta A
−1 1. Dadas las matrices: A = 1 0
0 −3 1
2 −3 1 yB= 1 4
1 0
.
a) Calcula la matriz M = (3 · I + A2 ), donde I es la matriz identidad de orden 3. (0.75 ptos) b) Calcula la matriz X tal que X · B = I, donde I es la matriz identidad de orden 2. (0.75 ptos) 2. Tres amigos van juntos a una papeler´ıa. Luis compra 3 cuadernos, 2 carpetas y 4 bol´ıgrafos y paga 29 euros. Carmen compra 4 carpetas y 6 bol´ıgrafos y tiene que pagar 38 euros. Pedro gasta 39 euros en comprar 5 cuadernos y 3 carpetas. a) Plantea el sistema que permita averiguar el precio de cada cuaderno, carpeta y bol´ıgrafo. (1.5 puntos) b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos) x+1−t si x ≤ 0 3. Se considera la funci´ on f (x) = |x − 2| − 3 si x > 0 a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 0. (0.5 ptos) b) Para t = 3, representa gr´ aficamente la funci´ on f. (1 pto) 4. La velocidad del viento, medida en Km/h, durante una traves´ıa mar´ıtima de 5 d´ıas de duraci´ on, viene dada por la funci´ on v(t)= 2t3 − 15t2 + 24t + 26, siendo t el tiempo medido en d´ıas, 0 ≤ t ≤ 5. a) ¿Qu´e d´ıa el viento alcanz´ o su velocidad m´ axima y cu´ al fue su valor? (1 punto) b) ¿Cu´ ando el viento alcanz´ o su velocidad m´ınima y cu´ al fue este valor m´ınimo? (0.5 puntos) 5. El 15 % de los estudiantes matriculados en una determinada asignatura de un instituto de educaci´ on secundaria practican alg´ un deporte. El 10 % de los alumnos que practican alg´ un deporte obtienen una calificaci´ on de sobresaliente en dicha asignatura. Mientras que el 5 % de los alumnos que no practican ning´ un deporte obtienen el sobresaliente. a) Elegido un alumno al azar, ¿cu´ al es la probabilidad de que haya obtenido un sobresaliente en la citada asignatura? (0.75 puntos) b) Sabiendo que un alumno elegido al azar ha obtenido un sobresaliente, ¿cu´ al es la probabilidad de que practique alg´ un deporte? (0.75 puntos) 6. Una empresa sabe que el tiempo que tardan sus empleados en realizar un test psicot´ecnico sigue una distribuci´ on normal de media desconocida y desviaci´ on t´ıpica σ = 4 minutos. Se eligen al azar 10 empleados y se contabiliza el tiempo que tardan en realizar dicho test, siendo estos tiempos: 40, 42, 48, 51, 52, 54, 59, 61, 63 y 70 minutos respectivamente. a) Halla un intervalo de confianza para la duraci´ on media poblacional en realizar dicho test psicot´ecnico, con un nivel de confianza del 95 %. (1.25 puntos) b) ¿Cu´ al deber´ a ser el tama˜ no m´ınimo de la muestra para que, con un nivel de confianza del 95 %, el error m´ aximo admisible sea menor que 1 minuto? (0.75 puntos)
A1.- Solución
a) A
2
b) X ·B
1 1 0
0 2 3 1 1 4
I
X
B
2
1 2 6 4 10 3 1 1 17
1
B
M
3·I
A
3 2 6 4 13 3 1 1 20
2
1 (transpuesta de adjuntos de B ) B
1
0 1 1 3
A2.- Solución Llamaremos x al precio de un cuaderno, y al de una carpeta y z al de un bolígrafo
1ª menos 2 ª dividida por 2 3x
2y
4z
4y
6z
38
5x
3y
39
9( 3 x
3x 2 y 4 z 29 2 y 3z 19
29
3x
3 ( 4 y 6 z 38) 2 2(5 x 3 y 39)
z
10)
27 x
9z
90
10 x 9 z
21
10 x 9 z
21
6y 10 x
37 x
z
9z 6y
10
57 78
10 x 9 z
21
x 3 y 8 z 1
111
A3.- Solución
a) f ( x)
x 1 t si x x 2
3 si x
x 1 si x b) f ( x )
x 2
f ( 0) 1 t
0 0
lim f ( x )
lim x 1 t
x
x
0
0
lim f ( x )
lim x 2
x
x
0
1 t 3
1
0
0 es una recta
3 si x
0 es una especie de v
- x - 1 si x 2 x - 5 si x 2
Para continua en x 1 t
1
t
2
0
A4.- Solución Empleamos el teorema que dice: si v(t) es tal que en t=a la derivada primera es 0, v’(a)=0, y la segunda es positiva, v’’(a)>0, hay mínimo en (a,v(a)), y si la primera es 0 y la segunda negativa hay máximo en (a,v(a))
6t 2
v ' (t )
30t
v ' (t )
24
t2
0
5t
4
t t
0
4 1
v' ' (4) 18 0 v' ' (1) 18 0
v' ' (t ) 12t 30
Minimo(4,10) Máximo(1,37)
A5.- Solución Consideremos los sucesos: D elegir un alumno al azar y resulte que practica deporte, S elegir un alumno al azar y resulte que tiene sobresaliente. Sabemos que p(D)=0,15.
p( S ) D a)
0,1 , p( S
) nD
a ) p( S )
P(( D
S)
P( S
)·P( D )
P( S
D
0,05 ( nD nD
P( D S ) P( S )
b) P( D ) S
S ))
)·P( nD)
0,1 * 0,15 0,0575
P( D
S)
P( nD
S)
0,1 * 0,15 0,05 * 0,85 0,0575
0,26 26%
A6.- Solución: Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:
P x
z
/2
·
n
x
z
/2
·
n
1
, donde 1-
es el nivel de confianza (0,95 en
nuestro caso). x la media de la muestra, calculamos la media de los 10 datos y es 54; desviación típica, ahora 4; n el tamaño de la muestra, 10.
1 tabla
0,95
0,05
/2
0,025
z
/2
1,96 ya que (1 0,025 0,975) .Ver
la
a)Luego el intervalo pedido es:
x
z
/2
路
n
,x
z
/2
路
n
54 1,96
4 4 , 54 1,96 10 10
b) El error viene dado por el radio del intervalo de confianza
z
/2
路
n
1
1,96路
4 n
1
n
(1,96 * 4) 2
61,46
n
62
(51,52 , 56,48)
Propuesta B 1. Una empresa tiene 160 kilos de arroz de Calasparra y 60 tarros de 2 gramos de azafr´ an de La Mancha. Desea elaborar dos tipos de lotes para regalo con dichos productos: lotes de tipo A formados por tres kilos de arroz y dos tarros de azafr´ an, que vender´ a a 50 euros; lotes de tipo B formados por 5 kilos de arroz y un tarro de azafr´ an que vender´ a a 30 euros. a) Plantea el problema de programaci´ on lineal que permita averiguar cu´ antos lotes de cada tipo deber´ a preparar la empresa para obtener la mayor cantidad de dinero posible. (0.75 puntos) b) Dibuja la regi´ on factible y determina los v´ertices. (0.5 puntos) c) Calcula la soluci´ on ´ optima del problema. (0.25 puntos) 2. En un hogar se gast´ o al mes en agua, luz y tel´efono, un total de 180 euros. La suma de los recibos del agua y del tel´efono coincidi´ o con la factura de la luz. Y la factura de la luz fue el triple que la del agua. a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que nos permita obtener el gasto de agua, luz y tel´efono respectivamente en dicho hogar. (1.5 puntos) b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos) (x + t)2 + 2 si x ≤ 0 3. Se considera la funci´ on f (x) = (x − t)2 + 2t − 4 si x > 0 a) ¿Para qu´e valor de t la funci´ on f (x) es continua en x = 0? (0.5 ptos) b) Para t = 2, calcula los extremos relativos de la funci´ on f (x) en el intervalo (0, +∞). (0.5 ptos) c) Para t = 2, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funci´ on f (x) en (0, +∞). (0.5 ptos) 4. Calcula los valores de los par´ ametros a y b para que la funci´ on f (x) = ax2 + 2x + b tenga un m´ aximo en el punto (1, 3). (1.5 puntos) 5. En una empresa se producen dos modelos de un determinado producto: A y B. El 10 % de los productos son del modelo A y el 90 % del modelo B. La probabilidad de que un producto del modelo A sea defectuoso es 0.02 y de que un producto del modelo B sea defectuoso es 0.01. a) Elegido un producto al azar, ¿cu´ al es la probabilidad de que sea defectuoso? (0.75 puntos) b) Se escoge al azar un producto y resulta no defectuoso, ¿cu´ al es la probabilidad de que sea del modelo A? (0.75 puntos) 6. En una poblaci´ on, se sabe que el consumo anual de electricidad sigue una distribuci´ on normal de media desconocida y desviaci´ on t´ıpica σ = 650 KW h. Se tom´ o una muestra aleatoria de 100 viviendas y se obtuvo que el consumo medio anual de electricidad, para la muestra estudiada, fue de 3670 KWh. a) Calcula el intervalo de confianza para el consumo medio anual de electricidad en dicha poblaci´ on, con un nivel de confianza del 95 %. (1 punto) b) Explica razonadamente el efecto que tendr´ıa sobre el intervalo de confianza, el aumento o la disminuci´ on del nivel de confianza. (1 punto)
B1.- Solución Llamaremos x al nº de lotes tipo A, y llamaremos y al nº de lotes de tipo B
3x 5 y 10 x 5 y 3x 5 y 2x y x 0 y
160
3x 5 y x 0
60
2x
0
G ( x, y )
50 x
30 y
y
y
0
x
0
y
0
160
7x
300 160 60
G (0,0)
x y
0 32
x
30
y
0
140
x
20
G ( 20,20) 1600
y
20
Solución óptima
G (0,32) G (30,0)
50 * 0 30 * 32
960
50 * 30 30 * 0 1500
0
B2.- Solución Llamaremos A al gasto en euros de agua, L al gasto en euros de luz y T al gasto en euros de teléfono
A L T 180 A T L L 3A A 30 L 3 A 90 T L A 60
Sustituimos la 3ª en las dos primeras 4 A T 180 2A T 0
Restandolas 6A 180 180 A 30 6
B3.- Soluci贸n
t)
2
2 si x
( x t)
2
2t
(x
a) f ( x)
Para continua en x
b) c)
t2
2
si t
2
x
0
si t x
2 0
t2
2t f ( x)
f ( 0)
0
4 si x
0
t2
2 t)2
2
t2
lim f ( x )
lim ( x t ) 2
2t
4 t2
x
x
lim f ( x )
lim ( x
x
x
0
0
2
0
2t
4
0
0
4
2t
(x
2) 2
6
t
3
f ' ( x)
2x
f ' ' ( x)
2
4
f ' ( x)
0 para x
f ' ' ( 2)
2
f ( x ) es decreciente en (0 , 2) y creciente en (2 ,
2
M铆nimo ( 2 , 0)
0 )
B4.- Soluci贸n La funci贸n debe pasar por el punto (1 , 3), la derivada primera debe anularse para x=1 y la derivada segunda debe ser negativa para x=1
f (1) f ' (1)
3 0
2
a *1
2 *1 b
2a * 1 2
0
3
a
a
1
b 1
a b
1 2
f ( x)
x2
f ' ( x) f ' ' ( x)
2x 2
2x 2
2
B5.- Solución Consideremos los sucesos: A elegir un producto al azar y resulte del modelo A, elegir un producto al azar y resulte del modelo B y C elegir un producto al azar y resulte defectuoso.
Sabemos que:
p ( A)
0,1
p( B )
0,9
p( D ) A p( D ) B
p ( nD ) 1 p( D ) A A
0,02
0,98
0,01
p( D ) p(( D A) ( D B )) p( D A) p( D B ) a) p( D )· p( A) p( D )· p( B ) 0,02 * 0,1 0,01 * 0,9 0,011 A B
b) p ( A
nD
)
p( A)· p( nD ) A p( nD)
p( A nD) P( nD)
0,1 * 0,98 0,989
p( nD)
0,989
0,099
B6.- Solución: Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:
P x
z
/2
·
x
n
z
/2
·
n
1
, donde 1-
nuestro caso). x la media de la muestra, ahora 3670; tamaño de la muestra, 100.
1
0,95
0,05
/2
0,025
z
/2
es el nivel de confianza (0,95 en la desviación típica, ahora 650; n el
1,96 ya que (1 0,025 0,975) .Ver
tabla a)Luego el intervalo pedido es:
x
z
/2
·
,x
z
/2
·
n n (3542,6KWh , 3797,4KWh)
3670 1,96
650 650 , 3670 1,96 100 100
b) Si aumentamos el nivel de confianza entonces
(3542,6 , 3797,4)
disminuye, /2 disminuye y z
/2
aumenta
con lo que el radio del intervalo de confianza aumenta y por tanto el intervalo también. Si disminuimos el nivel de confianza ocurre lo contrario el intervalo disminuye.