Pruebas de Acceso a Ense˜ nanzas Universitarias Oficiales de Grado (2013) Materia: ´ MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumno deber´ a contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Se podr´ a utilizar cualquier tipo de calculadora.
Propuesta A 1. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuaci´ on matricial: 3 · I − 2 · X + X · A = B, suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad). (0.75 ptos) 2 0 b) Si A = , calcula la matriz X que cumple A · X = I, donde I es la matriz identidad de orden −5 −3 2. (0.75 ptos) 2. Una empresa tiene delegaciones en Albacete, Cuenca y Toledo. La empresa tiene 24 empleados en total. El n´ umero de empleados en la delegaci´ on de Albacete es igual a la suma de los empleados en Cuenca y Toledo. Y el n´ umero de empleados en Cuenca es el triple del n´ umero de empleados en Toledo. a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita calcular el n´ umero de empleados en cada delegaci´ on. (1.5 puntos) b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos) (x + 2)2 si x < 0 0 si x = 0 3. Se considera la funci´ on f (x) = (x − 2)2 si x > 0 a) Estudia su continuidad en x = 0. (0.5 ptos) b) Calcula los extremos relativos de la funci´ on f (x) en el intervalo (0, +∞). (0.5 ptos) c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funci´ on f (x) en (0, +∞). (0.5 ptos) 4. Calcula el valor de los par´ ametros a y b para que la funci´ on f (x) = x3 + ax2 + bx tenga un m´ınimo relativo en el punto de abscisa x = 2. Y tenga un punto de inflexi´ on en el punto de abscisa x = 1. (1.5 puntos) 5. Se piensa que un estudiante de universidad que estudie normal, sobre 15 horas aparte de las clases, tiene una probabilidad de 0.9 de aprobar una materia. Suponiendo que la probabilidad de aprobar cada materia es independiente. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que apruebe dos materias de dos que ha estudiado normal? (0.5 puntos) b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que no apruebe ninguna materia de tres que ha estudiado normal? (0.5 puntos) c) ¿Cu´ al es la probabilidad de que apruebe al menos una materia de dos que ha estudiado normal? (0.5 puntos) 6. En un tramo peligroso de una carretera, se sabe que la velocidad a la que circulan los veh´ıculos sigue una distribuci´ on normal de media desconocida y desviaci´ on t´ıpica σ = 15 Km/h. Se tom´ o una muestra aleatoria de 400 veh´ıculos que circulaban por dicho punto peligroso, y se comprob´ o que la velocidad media de los veh´ıculos de dicha muestra era de 110 Km/h. a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional de la velocidad de circulaci´ on en el tramo peligroso, con un nivel de confianza del 95 %. (1.25 puntos) b) Explica razonadamente el efecto que tendr´ıa sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminuci´ on del nivel de confianza. (0.75 puntos)
A1.- Solución
3·I
2· X
X ·A
X ·( 2·I b) A
X
A)
B
2· X
B 3·I
X
2 5
0 ; 3
1
0 1
5
2 6
A· X
X ·A
B 3·I
X ·( 2·I )
( B 3·I )·( A 2·I ) I
X
A1
X ·A
B 3·I
1
1 transpuesta de adjuntos A
3 0 5 2
1 6
3
A2.- Solución Llamaremos A al nº de empleados en la delegación de Albacete, C al nº de empleados en la delegación de Cuenca y T al nº de empleados en la delegación de Toledo
A C T A C T C 3T
Substituyendo la2ª en la primera y después la 3ª
24
C T C T C 3T
24
3T
T
3T
8T
24
T
24
T 3 C 9 A 12
A3.- Solución
2) 2 si x
(x a) f ( x)
0 si
x
0
2) 2 si x
(x
0 0 (x
f ( 0)
0
lim f ( x )
lim ( x
x
x
0
lim ( x
x
x
2) 2
4
2) 2
4
0
lim f ( x ) 0
2) 2
Para continua en x 0 0 4 No es continua
0
f ' ( x)
2x
f ' ' ( x)
2
4
f ' ( x)
0 para x
f ' ' ( 2)
2
b) si x
(0,
)
f ( x)
c ) si x
(0,
)
f ( x ) es decreciente en (0 , 2) y creciente en (2 ,
)
0
2
Mínimo ( 2 , 0)
A4.- Solución Si la derivada primera se anulase para x=2 y la derivada segunda fuese positiva para x=2 La función f(x) tendría un mínimo para x=2. Si además la derivada segunda se anulase para x=1 y la tercera fuese distinta de 0 para x=1, entonces la función tendría un punto de inflexión para x=1. Por tanto:
x3
f ( x)
ax 2
bx
f ´( 2) 0 f ' ' (1) 0
f ' ( x ) 3x 2 2ax b f ' ' ( x ) 6 x 2a x3
Luego f ( x )
3 * 4 2a * 2 b 6 * 1 2a 0
0
4a 2a
b
12 6
a b
3x 2 y tiene un mínimo en (2 , - 4) y un PI en (1 , - 2)
A5.- Solucion Llamemos AM1 al suceso elegir un estudiante normal al azar y que apruebe la materia1
a ) p( AM 1
AM 2)
b) p( AM 1)
0,9
c) p( AM 1
AM 2) 1
0,9 2
p( AM 1)· p( AM 2) p(nAM 1)
0,1
p(nAM 1
p( nAM 1
0,81 nAM 2
nAM 2) 1 0,12
nAM 3)
0,13
0,001
0,99
A6.- Solución: Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:
P x
z
/2
·
x
n
z
/2
·
n
1
, donde 1-
nuestro caso). x la media de la muestra, ahora 110; tamaño de la muestra, 400.
1
0,95
0,05
/2
0,025
z
/2
es el nivel de confianza (0,95 en la desviación típica, ahora 15; n el
1,96 ya que (1 0,025 0,975) .Ver
tabla a) Luego el intervalo pedido es:
x
z
/2
·
n
,x
z
/2
·
n
110 1,96
15 15 , 110 1,96 400 400
(108,53 , 111,47)
3 0
b) Si aumentamos el nivel de confianza entonces
disminuye, /2 disminuye y z
/2
aumenta
con lo que el radio del intervalo de confianza aumenta y por tanto el intervalo tambiĂŠn. Si disminuimos el nivel de confianza ocurre lo contrario el intervalo disminuye.
Propuesta B 1. Considera el siguiente problema de programaci´ on lineal: Maximiza la funci´ on z = 4x + y sujeta a las siguientes restricciones: x−y x+y x≥0 y≥0
≤ ≤
2 4
a) Dibuja la regi´ on factible. (1 punto) b) Determina los v´ertices de la regi´ on factible. (0.25 puntos) c) Indica la soluci´ on ´ optima del problema dado y su valor. (0.25 puntos) 2. Una ONG solicita un m´edico, un enfermero y un maestro como voluntarios en un campo de trabajo. En total se presentan 200 voluntarios. Se sabe que el n´ umero de maestros que se presentan es igual a la suma del n´ umero de m´edicos m´ as el doble del n´ umero de enfermeros voluntarios. Y el n´ umero de m´edicos voluntarios es la quinta parte del n´ umero de maestros. a) Plantea el sistema que permita averiguar el n´ umero de m´edicos, enfermeros y maestros que se presentan como voluntarios. (1.5 puntos) b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos) (−x − 5)2 si x ≤ −1 t, si −1 < x ≤ 1 3. Se considera la funci´ on f (x) = (x − 5)2 si x > 1 a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 1. (0.5 ptos) b) Para t = 3, representa gr´ aficamente la funci´ on f. (1 pto) 4. La funci´ on f (t) = t3 − 15t2 + 48t + 292, representa la altura, medida en metros, alcanzada por un globo aerost´ atico, durante un trayecto de 10 horas, siendo t el tiempo medido en horas, 0 ≤ t ≤ 10. a) ¿Cu´ ando alcanza el globo la altura m´ axima y cu´ al es este valor? (1 punto) b) ¿Cu´ al es la altura m´ınima a la que baja el globo, y en qu´e momento (t) se produce? (0.5 puntos) 5. En un municipio el 40 % de los habitantes son aficionados a la lectura, el 50 % al cine, y al 60 % les gusta el cine o la lectura o ambas cosas. a) Se elige un habitante al azar, ¿cu´ al es la probabilidad de que le guste la lectura y el cine? (0.75 puntos) b) Si elegimos un habitante al azar y le gusta el cine, ¿cu´ al es la probabilidad de que le guste la lectura? (0.75 puntos) 6. Una empresa, dedicada a la cr´ıa de gusanos de la harina como cebo de pesca, sabe que la duraci´ on en estado larvario de este insecto se distribuye seg´ un una normal de media desconocida y desviaci´ on t´ıpica σ = 4 d´ıas. Se tom´ o una muestra aleatoria de 10 huevos y se comprob´ o que la duraci´ on en estado larvario de estos gusanos fue de 50, 58, 59, 60, 62, 63, 64, 65, 68 y 71 d´ıas respectivamente. a) Halla el intervalo de confianza para la duraci´ on media poblacional en estado larvario de estos insectos, con un nivel de confianza del 95 %. (1.25 puntos) b) Explica razonadamente, c´ omo podr´ıamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza, con el mismo nivel de confianza. (0.75 puntos)
B1.- Solución
x
y
2
x x
y 0
4
y
0
z ( x, y )
4x
y
x
y
2
x
y
4
x x
y 0
x
y
y
0
x
0
y
0
2x
6
4
x y
0 4
2
x
2
y
0
z (0,0)
0
x
3
z (3,1)
4 * 3 1 13
y
1
Solución óptima
z (0,4)
4*0 4
4
z ( 2,0)
4*2 0 8
B2.- Solución Llamaremos x al nº de médicos que se presentan, y al nº de maestros y z al nº de enfermeros
x
y
z
200
y
x
2z
x
y 5
x
y
z
y
x
2z
y
5x
8x
200
x 5x
z
5x
2z
x
200
6x
z
4x 2z
200 0
x z
2x
200 25
z 50 y 125
B3.- Solución
( x 5) 2 si x 1 t si 1 x 1
a) f ( x)
( x 5) 2 si x 1
f (1) t lim f ( x )
lim t
x 1
x 1
lim f ( x )
lim( x 5) 2
x 1
x 1
( x 5) 2 si x b) si t
3
f ( x)
3 si
1
( x 5) 2 si x 1
16
( x 5) 2 si x
1
x 1
Para continua en x 1 t 16
t
f ( x)
3 si
1
1 x 1
( x 5) 2 si x 1
Dos trozos de parábola y un segmento a 3 de altura sobre X
B4.- Solución Emplearemos el teorema que dice: donde se anula la primera derivada y la segunda es negativa hay máximo y donde se anula la primera y la segunda es positiva hay mínimo
f ' (t )
3t 2
f ' ' (t )
6t
30t 30
48
f ' (t ) 3t
2
0 30t
48
0
t t
2 8
f ' ' ( 2)
18 0
f ' ' (8) 18 0
( 2 , 336) Máx (8 , 228) Mín
B5.- Solución Llamaremos L al suceso elegir un habitante al azar y le gusta la lectura, C elegir un habitante al azar y le gusta el cine
a ) p( L
C)
b) p ( L ) C
p( L) p(C ) p( L C ) 0,40 0,50 0,60 0,30 30% p( L C ) 0,30 0,60 60% p(C ) 0,50
B6.- Solución: Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:
P x
z
/2
·
x
n
z
/2
·
n
1
, donde 1-
es el nivel de confianza (0,95 en
nuestro caso). x la media de la muestra, calculamos la media de los 10 datos y es 62; desviación típica, ahora 4; n el tamaño de la muestra, 10.
1
0,95
0,05
/2
0,025
z
/2
la
1,96 ya que (1 0,025 0,975) .Ver
tabla a)Luego el intervalo pedido es:
x
z
/2
·
n
,x
z
/2
·
n
62 1,96
4 4 , 62 1,96 10 10
(59,52 , 64,48)
b) Si queremos obtener un intervalo de anchura menor manteniendo el nivel de confianza podemos aumentar el tamaño de la muestra; esto hace disminuir el radio del intervalo porque hace aumentar el denominador de la fracción que aparece en él.