Pruebas de Acceso a Ense˜ nanzas Universitarias Oficiales de Grado (2013) Materia: ´ MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumno deber´ a contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Se podr´ a utilizar cualquier tipo de calculadora.
Propuesta A 1. Considera el siguiente problema de programaci´ on lineal: Maximiza la funci´ on z = x + 3y sujeta a las siguientes restricciones: −x + y x+y x≥0 y≥0
≤ 2 ≤ 4
a) Dibuja la regi´ on factible. (1 punto) b) Determina los v´ertices de la regi´ on factible. (0.25 puntos) c) Indica la soluci´ on ´ optima del problema dado y su valor. (0.25 puntos) 2. En un departamento de una empresa internacional trabajan 18 personas de tres nacionalidades: franceses, ingleses y alemanes. El n´ umero de empleados franceses es igual al doble del n´ umero que resulta al sumar el n´ umero de ingleses y alemanes. Y el n´ umero de alemanes es el doble del n´ umero de ingleses. a) Plantea el sistema que permita obtener el n´ umero de trabajadores de cada nacionalidad. (1.5 puntos) b) Resuelve el problema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos) x+t si x ≤ 2 3. Se considera la funci´ on f (x) = (x − 4)2 + 1 si x > 2 a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0.5 ptos) b) Para t = 0, representa gr´ aficamente la funci´ on f. (1 pto) 4. a) Calcula el valor del par´ ametro a para que la funci´ on f (x) = ax3 + 3x2 − 12x + 5 tenga un m´ınimo en el punto de abscisa x=1.(0.75 puntos). b) Para el valor de a calculado en el apartado anterior, halla el m´ aximo relativo de la funci´ on anterior. (0.75 puntos) 5. Una empresa sabe que la probabilidad de que un ordenador tenga virus es 0.9. Dicha empresa tiene tres ordenadores independientes. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que los tres ordenadores tengan virus? (0.5 puntos) b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que ninguno de los tres ordenadores tenga virus? (0.5 puntos) c) ¿Cu´ al es la probabilidad de que al menos uno de los tres ordenadores tenga virus? (0.5 puntos) 6. La concentraci´ on de ´ acido u ´rico en sangre, en mujeres sanas, se distribuye seg´ un una normal de media desconocida y desviaci´ on t´ıpica 1 mg/dl. Se seleccionan al azar 100 mujeres y, mediante un an´ alisis, se observa que la concentraci´ on media de ´ acido u ´rico en la muestra estudiada es de 3.5 mg/dl. a) Halla un intervalo de confianza para la media de la concentraci´ on de ´ acido u ´rico en las mujeres con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto) b) Explica razonadamente, c´ omo podr´ıamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (1 punto)
A1.- Solución:
y
x 2
y x
y
y x
2 4
x 2
x 4
x y
z (0,2)
x 4 x 2 0
x
y
x
0
y
y
0
y
0
x
0
y
0
x 4
0 2 x
4
y
0
x 1
z (1,3) 1 9 10
y
Solución óptima
3
0 6
z ( 4,0)
6
4 0
4
A2.- Solución Llamemos F al nº de franceses, I al nº de ingleses y A al nº de alemanes
F F A
18 3I
I A 18 2( I A) 2I
F
18 ( I
18 ( I
A)
A) 2( I
A)
18 ( I
2I )
2( I
2I )
I
2
A F
4 12
6I
A3.- Solución:
a) f ( x)
b) f ( x )
x (x
t si x 4)
2
x si x ( x 4) 2
2 1 si x
2
f ( 2) 2 t lim f ( x ) lim x t x
2
x
2 t
2
lim f ( x )
lim ( x 4) 2
x
x
2
1 5
2
2 es una recta 1 si x
2 es una parábola de vértice (4,1)
Para continua en x 2 t 5 t 3
2
Gráfica de f(x) cuando t=0
t=3 para continua en x=2
A4.- Solución: Si en un punto se anula la derivada primera y la segunda es positiva entonces hay un mínimo.
f ' (1)
0
f ' ( x)
3ax 2
f ' ( x) f ( x)
ax 3
3x 2 12 x 5
6x2
6 x 12 6 x 12
f ' ' ( x ) 12 x 6 f (1)
2
f ( 2)
25
3a 6 12 f ' ( x) x
2
0
0 para
x 2
0
a
2
x 1 x
2
f ' ' (1) 18 0 Mínimo en ( 1,f( 1 )) f ' ' ( 2)
18 0 Máximo en (- 2 ,f(- 2 ))
Mínimo en (1,-2) Máximo en (-2,25)
A5.- Solución Consideremos los tres sucesos siguientes: A, el primer ordenador tiene virus, B, el segundo ordenador tiene virus, C, el tercer ordenador tiene virus
a ) P( A B C ) P ( A)·P( B )·P(C ) 0,9 3 b) 1 P( A B C ) 1 0,729 0,271 c) P( A
B
C)
3·0,9 3·0,9 2
P( A) 0,9 3
P( B )
0,729
P (C ) P ( A
B ) P( A
C ) P( B
C)
P( A
B
0,561
A6.- Solución: Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que: , donde 1- es el nivel de confianza (0,97 en x z /2· 1 n n nuestro caso). x la media de la muestra, ahora 3,5; la desviación típica, ahora 1; n el tamaño
P x
z
/2
·
de la muestra, 100.
1
0,97
0,03
/2
0,015
z
/2
2,17 ya que (1 0,015 0,985) .Ver
tabla a)Luego el intervalo pedido es:
x
z
/2
·
n
,x
z
/2
·
n
3,5 2,17
1 1 , 3,5 2,17 100 100
(3,28 , 3,72)
b) Si queremos obtener un intervalo de anchura menor manteniendo el nivel de confianza podemos aumentar el tamaño de la muestra; esto hace disminuir el radio del intervalo porque hace aumentar el denominador de la fracción que aparece en él.
C)
Propuesta B 1. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuaci´ on matricial: −7 · I − 5 · X + A · X = B, suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad). (0.75 ptos) 3 0 b) Si A = , calcula la matriz X que cumple X · A = I, donde I es la matriz identidad de orden −3 −1 2. (0.75 ptos) 2. Una florister´ıa elabora, para el d´ıa de la madre, tres tipos de centros florales: tipo I, tipo II y tipo III, que llevan margaritas, gerberas y liliums, en las siguientes cantidades: Margaritas Gerberas Liliums
Tipo I 12 10 3
Tipo II 4 15 6
Tipo III 8 5 12
Si se dispone de 100 margaritas, 125 gerberas y 75 liliums: a) Plantea el sistema que permita averiguar cu´ antos centros florales de cada tipo se podr´ an elaborar utilizando todas las flores disponibles. (1.5 puntos) b) Resuelve el sistema planteado en el apartado 2 x +x+1 0 3. Se considera la funci´ on f (x) = (x − 2)2 + 2
anterior. (0.5 puntos) si x < 1 si x = 1 si x > 1
a) Estudia su continuidad en x = 1. (0.5 ptos) b) Calcula los extremos relativos de la funci´ on f (x) en el intervalo (−∞, 1). (0.5 ptos) c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funci´ on f (x) en (−∞, 1). (0.5 ptos) 4. El ruido, medido en decibelios, producido por la m´ usica y los clientes en un local nocturno, se ajusta a la funci´ on: R(t) = −4t2 + 24t + 54, siendo t el tiempo medido en horas, 0 ≤ t ≤ 6. a) En la primera hora (t = 1), ¿cu´ antos decibelios se registraron? (0.25 puntos) b) ¿En qu´e momento se produce mayor ruido y a cu´ antos decibelios asciende? (1.25 puntos) 5. En un temario para la oposici´ on a una plaza, hay 25 temas de los cu´ ales 5 son de legislaci´ on y el resto del contenido propio de la plaza. Cada opositor elige al azar dos temas. Obviamente el mismo tema no puede salir dos veces. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que de los dos temas elegidos ninguno sea de legislaci´ on? (0.75 ptos) b) Si un opositor ha estudiado 10 temas de los 25, ¿cu´ al es la probabilidad de que de los dos temas escogidos al menos uno sea de los que ha estudiado ? (0.75 ptos) 6. En un centro de investigaci´ on, se est´ a estudiando el tiempo de eliminaci´ on de una toxina en la sangre mediante un f´ armaco. Se sabe que el tiempo de eliminaci´ on de esta toxina sigue una distribuci´ on normal de media desconocida y desviaci´ on t´ıpica 6 horas. Se toma una muestra aleatoria de 10 pacientes y se concluye que el tiempo que tardan en eliminar dicha toxina es: 39, 41, 42, 44, 48, 50, 53, 54, 59 y 60 horas respectivamente. a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de eliminaci´ on de dicha toxina con un nivel de confianza del 97 %. (1.25 puntos) b) ¿Cu´ al deber´ıa ser como m´ınimo el tama˜ no de la muestra, para que el error m´ aximo admisible de estimaci´ on de la media sea inferior a 2 horas, con un nivel de confianza del 97 %? (0.75 puntos)
B1.- Solución
7·I b) A X
5· X 3
A· X 0
3 1
B ;
1
( 5·I
X ·A
I
A) X X
B 7·I A
X
( 5·I
A)·( B 7·I ) 1 0 1 3 3 3
1 transpuesta de adjuntos A
1
0 1
3 1
B2.- Solución Llamaremos x al nº de centros de tipo I, y al nº de centros de tipo II y z al nº de centros tipo III
12 x 4 y 8 z 100
1ª por - 1 mas 3ª por4
10x 15 y 5z 125 3x 6 y 12z 75
12 x 4 y 8 z 12 x 24 y 48z
1ª dividida por 4, 2ª dividida por 5 3x y 2z 2x 3y z 7y
z
7(10 2 z ) 25
y 10 6
20 y 40z
6 x 2 y 4 z 50 6 x 9 y 3z 75
25 25
y 2 z 10
100 300
z
25
z
3
4
200
7y
y 2 z 10
z
25 12 3 2
x
25
5
B3.- Solución
x2 f ( x)
0 si x (x
En (
,1)
f (1)
x 1 si x 1 1
2) 2
f ' ( x)
2
si x
2x 1
1
lim f ( x )
lim x 2
x 1
x 1
lim f ( x )
lim ( x
x 1
x 1
f ' ( x) f ' ' ( x)
Luego decreciente de (
,
0
No es continua en x
x 1 3 2)
0 cuando x 2
1 1 ) y creciente de ( , 1) 2 2
2
1 2
2
0
1
3
3
Mínimo en (
1 1 , f( ) 2 2
(
1 3 , ) 2 4
B4.- Solución
a ) R (1)( R(t ) 0
4t
t
2
24t
54 b)
6
4 24 54
R ' (t )
8t
R ' ' (t )
8
24
74 decibelios R ' (t )
0
8t
24
R' ' (3)
8
0
0
t
3
Máximo en (3 , R(3))
B5.- Solución Llamemos 1nL al suceso “el primer tema elegido al azar no es de legislación” y 2nL al suceso “el segundo tema elegido al azar no es de legislación”. 110 “el primer tema elegido al azar es de los 10 estudiados”, 210 “el segundo tema elegido al azar es de los 10 estudiados”
a ) P(1nL
2nL)
b) P(110
210 )
P(1nL)·P( 2nL P(110 )
P( 210 )
) 1nL
20 19 · 25 24
P (110
210 )
19 0,63... 30 10 9 10 9 25 24 25 24
5 8
0,625
B6.- Solución: Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que: , donde 1- es el nivel de confianza (0,97 en x z /2· 1 n n nuestro caso). x la media de la muestra, ahora 49 horas; la desviación típica, ahora 6; n el
P x
z
/2
·
tamaño de la muestra, 10.
1
0,97
0,03
/2
0,015
z
/2
2,17 ya que (1 0,015 0,985) .Ver
tabla a) Luego el intervalo pedido es:
x
z
/2
·
n
,x
z
/2
·
n
49 2,17
6 6 , 49 2,17 10 10
b) El error viene dado por el radio del intervalo de confianza
z
/2
·
n
2
2,17·
6 n
2
n
(2,17 * 3) 2
n
43
(44,88 , 53,12)
(3,90)