Pruebas de Acceso a Estudios Universitarios. Bachillerato L. O. G. S. E.
´ Materia: MATEMATICAS II La prueba consta de cuatro bloques con dos opciones cada uno. Debes contestar una u ´nica opci´ on de cada bloque. Todas las opciones punt´ uan igual (2’5 puntos). Puedes usar cualquier tipo de calculadora.
PRIMER BLOQUE A. Seg´ un el art´ıculo “The design of honeycombs” de A. L. Peressini, el ´ area de la superficie de una celda de un panal de abejas est´ a determinada por la funci´ on √ 3 − cos θ A(θ) = p + q sen θ donde p y q son dos constantes reales positivas, y θ ∈ 0, π un cierto ´ angulo. Calcula con qu´e ´ angulo 2 θ construyen las abejas las celdas de un panal sabiendo que minimizan dicha ´ area. B. Se sabe que la recta recta x = −3 es una as´ıntota vertical de la funci´ on f (x) =
x2
. Calcula el x−a valor del par´ ametro a ∈ R. Estudia si para dicho valor del par´ ametro la funci´ on f (x) tiene as´ıntotas horizontales u oblicuas. SEGUNDO BLOQUE A. Enuncia la f´ ormula de integraci´ on por partes. Apl´ıcala para hallar
Z
1−
1 x2
ln(x) dx.
B. Determina una funci´ on f : R −→ R sabiendo que cumple que f ′′′(x) = 3ex + 2, f ′′(0) = 7, f ′(0) = 3 y f (1) = 3(e + 1).
TERCER BLOQUE 1 2 0 −1 2 A. Determina, en funci´ on del par´ ametro a ∈ R, el rango de la matriz A = 2 −1 a 1 −a a a x + 2y + z = 1 2x − y + z = 4 B. a) Clasifica, en funci´ on del par´ ametro k ∈ R, el sistema de ecuaciones 3x + y − z = k y + z = −2 b) Resu´elvelo cuando sea compatible determinado.
CUARTO BLOQUE A. Consideramos los planos π1 ≡ x − 2y + z = 0 y π2 ≡ 2x + ay + bz = 24 a) Calcula a, b ∈ R para que los planos π1 y π2 sean paralelos. ¿Son coincidentes en dicho caso? b) Calcula la ecuaci´ on general de un plano π3 que equidiste de π1 y π2 para los valores de a y b antes obtenidos. x= 1 y= 2 + t , t∈R B. Dado el punto P (0, −1, 0) y la recta r ≡ z= − t
a) Determina la ecuaci´ on general del plano perpendicular a r que pasa por el punto P . b) Halla las coordenadas de un punto Q de la recta r de modo que la distancia de P a r sea igual a la distancia de P a Q. Calcula dicha distancia.
B1-A Solución: La función área tendrá un mínimo cuando la derivada primera se anule y la segunda sea 1 − 3 cosθ ) que se anula para positiva. La derivada primera es q ( sen 2θ ª 3 1 2( 3 − 1) cosθ º θ = arccos( ) = 54,730 . La derivada segunda es q « + » que 3 θ sen θ sen 3 ¬ ¼ 0 evidentemente es positiva para el valor de θ = 54,73 . Si no queremos emplear la derivada segunda podemos observar que antes de θ = 54,730 la derivada primera es negativa y después de θ = 54,730 la derivada primera es positiva, con lo cual la función área decrece antes de θ = 54,730 y crece después de θ = 54,730 . En la gráfica vemos la función y la derivada. El eje X está en radianes.
B1-B Solución: Si hay asíntota vertical es porque el denominador se anula para x=-3, con lo cual resulta x2 . El límite cuando x tienda a infinito es que a=-3. Por tanto la función es f ( x) = x+3 infinito y por tanto no hay asíntota horizontal. El límite cuando x tiende a infinito de la función dividida entre x es 1 y lim f ( x) − x = −3 . Luego y=x-3 es asíntota oblicua x →∞
B2-A Solución:
1 ° u ( x) = ln( x) du ( x) = x dx Por tanto la ³ udv = uv − ³ vdu Consideramos que ® 1 1 °dv( x) = (1 − 2 )dx v( x) = x + x x ¯ 1· 1 1 1· 1 § § integral pedida es igual a ¨ x + ¸ ln( x) − ³ ( x + ) dx = ¨ x + ¸ ln( x) − x + + k x¹ x x x¹ x © ©
B2-B Solución: Como la derivada segunda es una primitiva de la derivada tercera, será de la forma f ' ' ( x) = 3e x + 2 x + k y como también f ' ' (0) = 7 , entonces 3e 0 + 0 + k = 7 k = 4 De la misma forma
f ' ( x) = 3e x + x 2 + 4 x + h y como
f ' (0) = 3 , tenemos que
3e 0 + 0 + 0 + h = 3 h = 0 . Procediendo de forma análoga, f ( x) = 3e x +
x3 x2 +4 +m y 3 2
1 1 2 como f(1)=3(e+1), resulta 3e + + 2 + m = 3e + 3 m = 1 − = En resumen 3 3 3 3 x 2 f ( x) = 3e x + + 2 x 2 + 3 3 B3-A Solución: Como la matriz A dada es de 3x4 el rango será como máximo 3. Esto ocurrirá cuando 2 0 −1 el determinante de las tres últimas columnas sea distinto de cero − 1 a
−a a
2 = a 2 − 3a a
Esto ocurre para todo a distinto de 0 y de 3. 2 −1 Para 0 podemos considerar el menor = 3 ≠ 0 , obtenido de la primera y tercera −1 2 columnas de la matriz anterior. Si le ampliamos con la primera columna de la matriz A 1 2 −1
2 −1 1 0
2 = 3 que nos asegura que también para a=0 el rango de la matriz A es 3 0 1
Cuando a= 3 consideramos el mismo menor y ampliamos igual 2
2
−1
− 1 2 = 0 Luego 1 −3 3 el rango es 2. En resumen el rango de A es 3 para todos los valores excepto para 3 que es 2.
B3-B Solución: Cuando la matriz ampliada tenga rango 4 el sistema será incompatible puesto que tiene 1 · 1 3 · §1 2 1 §1 1 ¨ ¸ ¨ ¸ 4 ¸ 6 ¸ ¨ 2 −1 1 ¨2 − 2 1 = rango¨ porque hemos tres incógnitas rango¨ 3 1 −1 k ¸ 3 2 −1 k − 2 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 1 1 − 2¸ ¨0 0 ¸ 1 0 © ¹ © ¹ restado la tercera columna a la segunda y se la hemos sumado multiplicada por dos a la cuarta. Desarrollando el determinante por la cuarta fila resulta 4k-44 que sólo se anula para k=11, luego para todo valor distinto de 11 el sistema es incompatible. Para 11 el 1 2 1 rango de la matriz de coeficientes es 3 porque 2 − 1
1 = 15 ≠ 0 y el de la ampliada 3 1 −1 también tres porque hemos visto que no puede ser 4. El sistema es en este caso x + 2 y + z = 1 ° compatible determinado y equivalente al sistema ®2 x − y + z = 4 que podemos °3x + y − z = 11 ¯ resolver por Cramer y cuya solución es x=3, y=0, z=-2. Usando la cuarta ecuación puede obtenerse la solución mediante cálculos más elementales.
B4-A Solución: Para que los planos sean paralelos los coeficientes de las incógnitas deben ser proporcionales (los vectores perpendiculares a los planos deben ser proporcionales) 2 a b = = a = −4, b = 2 . Para estos valores los planos no son coincidentes porque 1 −2 1 no se mantiene la proporción con los términos independientes. Los planos pueden x − 2 y + z = 0 escribirse en la forma ® . Observamos que uno de ellos pasa por el ¯ x − 2 y + z = 12 12 Luego el plano equidistante de ambos es x-2y+z=6 origen y el otro dista de él 1+ 4 +1
B4-B solución: Como el vector director de la recta es (0,1,-1), la ecuación del plano es 0( x − 0) + 1( y + 1) − 2( z − 0) = 0 y − 2 z = −1 Si ponemos la recta como intersección de planos (eliminando el parámetro t), podemos y − z = −1 ° determinar el punto de corte de la recta y el plano resolviendo ® x = 1 ° y+z = 2 ¯ § 1 3· Luego el punto de corte es ¨1, , ¸ . La distancia de P a la recta es la distancia de P a © 2 2¹ este punto de la recta porque P está en el plano perpendicular. La distancia entre estos 145 2 1 dos puntos es (1 − 0) 2 + ( − 1) 2 + ( + 1) 2 = ≈ 2,007 6 3 2