Pruebas de Acceso a Ense˜ nanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. E.
´ Materia: MATEMATICAS II Instrucciones: El alumno deber´ a contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo punt´ ua 2,5 puntos.
PROPUESTA A
1A. a) Enuncia el Teorema del valor medio de Lagrange y da su interpretaci´ on geom´etrica. (1 punto) b) Calcula un punto del intervalo [0, 2] en el que la recta tangente a la gr´afica de f (x) = 3x2 + 2x + 1 sea paralela a la cuerda (o segmento) que une los puntos de la gr´afica de f (x) en x = 0 y x = 2. (1,5 puntos)
2A. Calcula la integral
Z
x+2 dx x3 + x2
(2,5 puntos)
3A. Dadas las matrices
0 0 1 A= 0 1 0 1 0 0
3 0 0 B= 0 3 0 0 0 3
y
se pide: a) Calcula An cuando n ∈ N es par. (0,75 puntos) b) Resuelve la ecuaci´on matricial 6A20 X = B − 3AX, donde X es una matrix cuadrada de orden 3. (Indicaci´on: Sustituye de inicio el valor de A20 para facilitar los c´alculos) (1,75 puntos)
4A. Dadas las rectas x+1 z−1 r≡ =y= , 2 3
x=λ y =a+λ s≡ z = −λ
λ∈R
a) Calcula el valor del par´ametro a ∈ R para que r y s se corten en un punto. Da dicho punto de corte. (1,25 puntos) b) Para el valor de a obtenido, calcula la ecuaci´on general del plano π que contiene a r y s. (1,25 puntos)
(sigue a la vuelta)
A1.- Solución: a)
Teorema del valor medio o de Lagrange Si f(x) es continua en [a , b] y derivable en (a , b), entonces existe, al menos, un punto c∈(a,b) tal que: f (b)
f (a )
f ' (c)(b a)
geométricamente: existe, al menos, un punto de (a , b) en el cual la recta tangente es paralela a la cuerda limitada por los puntos [a , f(a)] y [b , f(b)]
b) La función es derivable en todo R
f (0) 1 f ( 2) 12 4 1 17 f ' ( x)
6x 2
6x 2 8
f (2) f (0) 2 0
x 1 el punto es x 1
17 1 8 2
A2.- Solución: Se trata de una integral racional. El numerador tiene menor grado que el denominador. Descomponemos en fracciones, teniendo en cuenta que el denominador tiene una raíz doble x=0 y una simple x=-1
x 2 x 2 dx dx 3 2 2 x x x ( x 1) x 2 A B C 2 2 x x 1 x ( x 1) x para x 1, 1 C para x 0, 2 A para x 1, 3 4 2 B 1 I
(
2 x2
1 x
1 x 1
)dx
(
A x2
B x
2 x
x 1
)dx
I
A( x 1) Bx ( x 1) Cx 2
x 2
2B
C
2
B
1
L( x ) L( x 1) k
2 x
L
x 1 k x
A3.- Solución: a)
A
0 0 1 0 0 1 0 1 0 · 0 1 0 1 0 0 1 0 0
2
An A
1 0 0 0 1 0 0 0 1
I
A3
A2 · A
I ·A
A
A4
A3 · A
A· A
I
A si n impar
n
I si n par
luego A20
I
b)
6 A20 X X
B 3 AX
(6 I
(6 I
3 A)
6 IX
6 IX
3 AX
B
(6 I
3 A) X
0 27
27 0
0
54
2 0 27 0 1 243 1 0
B
3 A) B 6 0 3 0 9 0
1
3 0 6 2 0 1 0 1 9 1 0
luego X
B 3 AX
1
1
1 243
54 0
1 6 0 3 0 porque 0 9 0 2
27
1 0 2
243 y utilizando la transpu esta de adjuntos
3 0 6
2 0 1 0 1 9 1 0
1 3 0 0 0 0 3 0 2 0 0 3
1 9
6 0 0 3 3 0
3 0 6
2 3
0
1 3
0
1 3
0
1 3
0
2 3
A4.- Solución: Sustituimos un punto genérico de s en la forma continua de r y la desdoblamos en un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas que al resolverlo nos proporcionará el valor de a y el de
1 2
1
a
3
a 1 1 2
1
1 2a 2 3a 3 1
2a 3a 4
1
el punto de corte es, sustituyendo en s
1
8a 4 4 3a 4 1
x
1
y 0 z 1
( 1,0,1)
Este punto y los vectores directoresde las rectas nos proporcionan la ecuación del plano x 1 1 y 1 z-1
2 1
-1 3
0
4x 5y z 5 0
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´ Materia: MATEMATICAS II
PROPUESTA B
1B. Sabiendo que la funci´on f (x) =
ax + b , x2 + 1
a, b ∈ R,
tiene un punto cr´ıtico en (1, 1), calcula a y b y demuestra que el punto cr´ıtico es un m´aximo. (2,5 puntos)
2B. a) Esboza la regi´on encerrada entre el eje de abscisas y las par´abolas f (x) = x2 y g(x) = x2 − 4x + 4. (0,5 puntos) b) Calcula el ´area de la regi´on anterior. (2 puntos)
3B. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en funci´on del par´ametro m ∈ R + z = 1 mx my + z = m (1,5 puntos) −mx − my + (m + 1)z = −m − 1 b) Calcula la soluci´on cuando el sistema sea compatible indeterminado. (1 punto)
4B. Dados el plano π ≡ y − z = 3 y la recta x = 2λ y =1+λ r≡ z = −1 + λ
λ∈R
a) Estudia la posici´on relativa de π y r. (1,25 puntos) b) Da unas ecuaciones param´etricas de la recta s paralela a π que corta a r perpendicularmente en el punto P (0, 1, −1). (1,25 puntos)
B1.- Solución: Por tener un punto crítico en (1,1) sabemos que la derivada es 0 en ese punto. Comprobaremos después que la derivada segunda es menor que 0 en ese punto para confirmar que es un máximo.
a ( x 2 1) (x2 a b f (1) 1 2 4 x( x 2 f ' ' ( x) f ' ( x)
ax 2 2bx a ; f ' (1) ( x 2 1) 2
2 x( ax b) 1) 2 1 y como b 1) 2
0, resulta a
4 x ( x 2 1)( 2 x 2) ( x 2 1) 4
0
a 2b a 4
16 16
1 0
1
2
Luego el área pedida es 2 x dx 0
y
f ' ' (1)
x 2 y la desplazada y
el punto de corte x 2 x3 2 3
1
2 0
b
0
2
B2.- Solución: Se trata de la parábola elemental
0
1 0 3
x2 2 3
( x 2) 2 4x 4
x 1
máximo en (1,1)
B3.- Solución: Sabemos que todo depende del número de incógnitas, del rango de la matriz C de coeficientes de las incógnitas y del rango de la matriz A ampliada. En nuestro caso el número de incógnitas es 3,
m 0
C
0 m
m m 0 m
1 1
m 0
,A
m m 1
0 1 m 1 m m 1
0 m
m
m3
3m 2 ; C
1 1
1 m
m m 1
0
m 1
m 2 ( m 3)
0
m
0
m
Rang(C ) 3
m
3
0, 3
Pero cuando Rango(C) 3 también Rango(A) 3, porque C A y A tiene 3 filas, por lo tanto m 0, 3 el sistema es Compatible Determinado, solución única.
Si m
0 0 1 0 0 1 ,A 0 0 1
0, C
0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1
Rang(C ) 1, dos columnas de ceros Rang( A)
2 porque
1 1 1 0
1 0
y el sistema es Incompatible
3 C Si m
3, A
0
0
3
3
3
3 0
0 3
3
3
1 1
Rang(C )
2 1 1 2
1 3
2, porque
3 0 3
Rang( A)
2 porque 0 3
2
0 3 0 3 3
9 1 3 2
y el sistema es Compatible Indeterminado con grado de indeterminación 3 - 2 1 b) Para resolver este último caso elegimos las dos primeras ecuaciones
1 1 3 3 1 y 1 3 z x
3x z 1 3y z 3
3x 1 3y 3 z
0
0
B4.- Solución: a)Sustituimos un punto genérico de la recta en la ecuación del plano y resolvemos
1 1 0 2 0 no tiene soloución.La recta y el plano son paralelos. Si la solución hubiese sido única se cortarían en un punto, y si hubiese infinitas soluciones la recta estaría contenida en el plano. b)
El punto P(0,1,-1) no pertenece a porque 1 1 3 no satisface la ecuación del plano Buscamos un vector (s1 , s 2 , s3 ) perpendicular a r por tanto a (2,1,1) y a (0,1,-1) para que sea paralelo a , luego
Por lo tanto s
2s1 1s 2 1s3 s2 s 3 0
x 0 y 1 z
s2
0
2 s1 s3
es la recta pedida.
1
s2
2 s3 s3
s1 s2 s3
cualquier vector (- , , ) vale