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Pruebas de Acceso a Ense˜ nanzas Universitarias Oficiales de Grado.

Bachillerato L. O. E.

´ Materia: MATEMATICAS II Instrucciones: El alumno deber´ a contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas.

Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo punt´ ua 2,5 puntos.

PROPUESTA A

1A. Dada la funci´on f (x) = x3 + 3x2 + ax − 6, a ∈ R, se pide: a) Determinar el valor del par´ametro a ∈ R para que la pendiente de la recta tangente a la gr´afica de f (x) en su punto de inflexi´on sea −3. (1,25 puntos) b) Para el valor del par´ametro encontrado, calcular los extremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f (x). (1,25 puntos)

2A. Calcula la integral definida ∫

π2 4

0

√ cos x dx 2

Nota: Puede ayudarte hacer el cambio de variable t = partes.

3A. a) Discute el siguiente sistema de  x − y  4x − 3y  −mx + y

(2,5 puntos) √ x y a continuaci´on aplicar integraci´ on por

ecuaciones lineales en funci´on del par´ametro m ∈ R + mz = 0 + 2z = m − z = 1−m

(1,5 puntos)

b) Calcula la soluci´on cuando el sistema sea compatible indeterminado. (1 punto)

4A. Sea r la recta determinada por el punto P (1, 0, 1) y el vector ⃗v = (1, −1, 0). a) Calcula el punto de r m´as cercano al punto Q(0, 0, 1). (1,5 puntos) b) Calcula el punto sim´etrico de Q respecto a r. (1 punto)

(sigue a la vuelta)

A1.- Solución: a) Donde se anula la derivada segunda están los posibles puntos de inflexión, si además la derivada tercera en ellos es distinta de 0, entonces lo son. Calcularemos las tres primeras derivadas, veremos donde están los puntos de inflexión. b) Donde se anula la derivada primera están los posibles extremos y como la función es derivable en todo R, esos puntos nos determinarán los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

3 6

6 6 6 0 1, 1 6 0 . . 1, 1 1, 4 # 1 3 6

3

, y como queremos 1 3 0

' %

3 6 0 para 3 2 0 +

0 6 , 0 Mínimo en 0, 0 0, 6

0 # 2

& 1 12 6 6 2 0 Máximo en 2, 2 2, 2 % $Luego en ∞, 2 creciente ; en 2,0 decreciente, y en 0, ∞ creciente

A2.- Solución:

∫

π2

cos x dx = 2

[

]

4

4 0

=

π

π

∫ t cos tdt =tsent − ∫ sentdt =tsent + cos t = u = t ⇒ du = dt  dv = cos tdt ⇒ v = ∫ cos tdt = sent

sen

+ cos

π

−1 =

π

−1 2 2 2 2 dx cos x cos t t = x ⇒ dt = ⇒ 2tdt = dx ⇒ dx = 2tdt = t cos tdt 2 2 2 x 0

x sen x + cos x

π2

x sen x + cos x + C

#

A3.- Solución: Cuando el rango de la matriz de coeficientes de las incógnitas sea 3, también lo será el rango de la ampliada y el sistema será compatible determinado. Esto ocurre cuando el detrminante de la matriz de coeficientes es distinto de 0.

Cuando el determinante anterior sea 0 buscaremos un menor de orden 2 distinto de 0 y ampliaremos con la columna de términos independientes. Si el nuevo determinante es distinto de 0, el rango de la ampliada será 3 y el sistema incompatible; si también fueswe 0 el sistema será compatible indeterminado.

1 −1 m Valdrá 0 si m = 1 4 − 3 2 = −3m 2 + 6m − 3 = −3( m − 1) 2 ⇒  Valdrá ≠ 0 si m ≠ 1 ⇒ Sistema Comp.Det. − m 1 −1  1 −1 = 1 ≠ 0 lo ampliamos con la tercera fila y cuarta columna  4 − 3   Si m = 1 1 − 1 0  4 − 3 1 = 0 ⇒ Sistema compatible indeterminado   − 1 1 0 En este último caso el sistema equivale al formado por las dos primeras ecuaciones x = 1 + λ x - y + z = 0 x − y = λ  Restando a la segunda la primera  ⇒ ⇒ ⇒ y =1  4x - 3y + 2z = 1 4 x − 3 y = 1 − 2λ x = 1 + λ z = λ  A4.- Solución: La distancia de un punto Q a una recta r(P,v) viene dada por la fórmula

d (Q, r ) =

PQ x v v

=

( −1,0,0) x (1,−1,0) (1,−1,0)

=

1 2 = 2 2

La ecuaciones paramétricas de la recta son x = 1 + λ , y = −λ , z = 1 El punto M de r más cercano es el que cumpla d ( M , Q ) =

2 2

Pero la distancia también es MQ = ( −1 − λ ,−λ ,0) = (1 + λ ) 2 + λ2 2 1 −1 1 1 ⇒ (1 + λ ) 2 + λ2 = ⇒ 4λ2 + 4λ + 1 = 0 ⇒ λ = ⇒ M = ( , ,1) 2 2 2 2 2 El simétrico Q' de Q lo calculamos teniendo en cuenta que la semisuma de las coordenadas (1 + λ ) 2 + λ2 =

1   x = 0 + 2. 2 x = 1  1   del vector QQ' son las de M ⇒  y = 0 + 2. ⇒ Q '  y = 1 2  z = 1   z = − 1 + 2 .1 

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Bachillerato L. O. E.

´ Materia: MATEMATICAS II

PROPUESTA B

1B. a) Enuncia los Teoremas de Bolzano y de Rolle. (1 punto) b) Razona que la ecuaci´on 2ex + x5 = 0 tiene al menos una soluci´on real. (0,75 puntos) c) Razona que, de hecho, dicha soluci´on es u ´nica. (0,75 puntos)

2B. a) Calcula el ´area de la regi´on acotada por las gr´aficas de las par´abolas f (x) = x2 − 4x + 3 y g(x) = −x2 + 2x + 11. (1,5 puntos) b) Calcula c ∈ R para que las rectas tangentes a las gr´aficas de f (x) y g(x) en el punto de abscisa x = c tengan la misma pendiente. (1 punto)

3B. Sabiendo que

2 2 3

x y z

a 2b 3c

= 10

donde x, y, z, a, b, c ∈ R, calcula los determinantes

14 14 21

x+4 y+4 z+6

a 2b 3c

5 5 5

y

0 3x y z

0 3a 2b 3c

0 6 2 3

5 0 0 0

indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta. (1,25 puntos por determinante)

4B. Dados los planos π1 ≡ ax + y + 2z = 2,

π2 ≡ x + y + z = 0

y

π3 ≡ x + ay + z = a,

donde a ∈ R, se pide: a) Estudiar la posici´on relativa de los planos anteriores en funci´on del par´ametro a ∈ R. (1,5 puntos) b) Para el valor a = 1, calcular la distancia entre π2 y π3 . (1 punto)

B1.- Solución: T. Bolzano Si f es una función real continua en un intervalo cerrado [a,b] con f(a) y f(b) de signos contrarios. Entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) con f(c) = 0.

T. Rolle Si una función f es: continua en [a, b], derivable en (a, b) y además f(a) = f(b). Entonces, existe algún punto c (a, b) en el que f'(c) = 0. f ( x ) = 2e x + x 5 es una función no solo continua, también derivable, además 2 − 1 < 0, y f (0) = 2 > 0. Luego se le puede aplicar el T. de Bolzano y asegurar e que al menos tiene una raíz en ( −1,0)

f(-1 ) =

f ' ( x ) = 2e x + 5 x 4 . Esta función es positiva para todo valor de x. Luego f es creciente y por tanto sólo puede haber una raíz (que está en el intervalo (-1,0))

B2.- Solución: El área encerrada viene dada por el valor absoluto de la integral definida de la función diferencia en el intervalo determinado por los puntos de corte de ambas parábolas. Como la función diferencia es otra parábola y en los puntos de corte de las parábolas dadas vale 0, podemos asegurar que el área pedida es el valor absoluto de la integral definida de esa parábola diferencia entre los puntos de corte con el eje X.

 x = −1 ( f − g )( x ) = 2 x 2 − 6 x − 8 ⇒ 2 x 2 − 6 x − 8 = 0 ⇒  x = 4 4

 2x3  125 Luego : Area = ∫ ( 2 x − 6 x − 8)dx =  − 3x 2 − 8 x  = −1 3  3  −1 4

2

b) El punto c pedido es aquél en que las derivadas de las parábolas dadas coinciden:

 f ' ( x) = 2 x − 4 3 3 ⇒ 2 x − 4 = −2 x + 2 ⇒ x = , luego c =  2 2  g ' ( x ) = −2 x + 2

B3.- Solución: Utilizaré cuatro propiedades: Si una fila o columna está multiplicada por un número puedo sacar como factor a ese número, si una cada elemento de un fila es suma de otros dos podemos descomponer el determinante como suma de dos determinantes, si una fila es igual a otra o combinación lineal de otras el determinante es nulo, si cambio entre sí dos filas o columnas el determinante cambia de signo.

Un determinante se puede desarrollar por cualquier fila

2

2

A= x

y

0 0 0 5

3

14

14

21

2 2 3 1 1 1 1 y + 4 z + 4 = 7. . A + 7. . 4 4 4 = 7. .10 + 7. .0 = 14 5 5 5 5 2b 3c a 2b 3c 5 5

z = 10; x + 4 a a 2b 3c 5 3x y z 3x y z 6 2 3 2 2 3 3a 2b 3c = −5 3a 2b 3c = −5 3 x y z = −5.3. x y z = −5.3.10 = −150 6 2 3 6 2 3 3a 2b 3c a 2b 3c 0 0 0

B4.- Solución: Cuando el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de 0 el sistema formado por los tres planos tiene solución única, se cortan en un punto.

Cuando los coeficientes de las incógnitas de 2 planos son proporcionales los planos son paralelos, si además los términos independientes mantienen la proporcionalidad se trata del mismo plano.

a 1 2

a = 1 1 1 1 = − a 2 + 3a − 2 ⇒ Se anula para  ⇒ ∀a ≠ 1,2 los planos se cortan en un punto a = 2 1 a 1

Si a = 1 los planos π 2 y π 3 son paralelos porque los coef. de las incognitas son iguales pero no el término independiente.

Si a = 2 los planos se cortan 2 a 2 ( no hay proporcionalidad entre os coef de las incógnitas) La distancia de un punto P(a,b,c) a un plano π ≡ Ax + By + Cz = D viene dada por d(P,π( =

Aa + Bb + Cc − D

=

0 + 0 + 0 −1

=

1 es la distancia entre los planos π 2 y π 3 porque 3

3 A + B +C es la distancia del punto (0,0,0) ∈ π 2 al plano π 3 2

2

2