Matemáticas II Septiembre 2012 Castilla-La Mancha

Pruebas de Acceso a Ense˜ nanzas Universitarias Oficiales de Grado.

Bachillerato L. O. E.

´ Materia: MATEMATICAS II Instrucciones: El alumno deber´ a contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas.

Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo punt´ ua 2,5 puntos.

PROPUESTA A

1A. a) Enuncia el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle. (1 punto) b) Demuestra, usando el Teorema de Bolzano, que existen al menos tres ra´ıces reales distintas de la ecuaci´on x5 − 5x + 3 = 0 (1 punto) c) Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuaci´on anterior no puede tener m´as de tres ra´ıces reales distintas. (0,5 puntos)

2A. Calcula las siguientes integrales: Z

Z 2

sen x cos x dx

3A. Sabiendo que

calcula el valor de los determinantes ¯ ¯ b b + a 2c ¯ ¯ e e + d 2f ¯ ¯ h h + g 2i

√

e x √ dx x

(1,25 puntos por integral)

¯ ¯ ¯ a b c ¯ ¯ ¯ ¯ d e f ¯ = 5, ¯ ¯ ¯ g h i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯ ¯ a+d+g b+e+h c+f +i ¯ ¯ d+g e+h f +i ¯ ¯ g h i

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta.

(1,25 puntos por determinante)

4A. Dado el plano π ≡ x + y + 2z = 7 y el punto P (1, 0, 0): a) Calcula el punto Q de π que hace m´ınima la distancia a P . (1,25 puntos) b) Calcula el punto sim´etrico P 0 de P respecto del plano π. (1,25 puntos)

(sigue a la vuelta)

A1.- Solución: a) Teorema de Bolzano: Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo, sign f(a) ≠ sign f(b); entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a , b) tal que f(c) = 0.

Teorema de Rolle: Sea f(x) una función continua en [a , b], derivable en (a , b) y que verifica que f(a) = f(b); entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a , b) tal que f’(c) = 0 b) Sabemos que por ser polinómica, la función es continua en toda la recta real.

Calculamos el valor de la función en cuatro puntos sencillos: f(-2)=-19, f(0)=3, f(1)=-1 y f(2)=25, además hemos buscado puntos en los que los valores de la función vayan cambiando de signo; por tanto podemos aplicar el teorema de Bolzano y asegurar que entre -2 y 0 hay al menos un punto donde la función se anula, entre 0 y 1 al menos otro y entre 1 y 2 al menos otro, es decir que hemos determinado 3 intervalos disjuntos (-2,0), (0,1) y (1,2) dentro de cada uno de los cuales hay al menos una raíz. c) El teorema de Rolle nos permite, en este caso, asegurar que sólo hay 3 raíces; para ello supongamos que hay 4, que llamaremos a, b, c, d, ( en orden creciente), estas cuatro raíces determinarían 3 intervalos (a,b), (b,c), (c,d) y como la función f(x) es continua y derivable en todo R ya que es polinómica, tenemos que se podría aplicar el teorema de Rolle y en consecuencia habría al menos 3 puntos distintos, uno en cada intervalo, donde la derivada se anularía, pero eso es imposible porque la derivada es:

f ' ( x ) 5x 4

5

f ' ( x)

0

5( x 4 1)

0

x 1 y sólo se anula en dos puntos x 1

A2.- Solución: Se trata de dos integrales prácticamente inmediatas, que podemos encuadrar en las fórmulas

( f ( x )) n n 1

a( f ( x )) n f ' ( x )dx a

En el primer caso a

1, f ( x)

sen3 x 3

sen2 x cos xdx

k,

sen( x), n

x

dx

a e f ( x ) f ' ( x )dx a e f ( x )

2 y en el segundo a

x

e

k,

1

2

e x dx 2 x

x

2e

k

2, f ( x)

x

k

A3.- Solución:

b b a e e d

2c 2f

b b 2c e e 2f

b a e d

2c 2f

h h g

2i

h h

h

2i

2i

g

0

a d

b 2c e 2f

g h

a 0 2d

2i

b e

c f

g h

i

10

Si una fila o columna se descompone en sumandos el determinante se puede descomponer en suma de determinantes.

Si se cambian entre sí dos filas o columnas el determinante cambia de signo.

Si hay 2 filas o dos columnas iguales el determinante es 0.

Si se multiplica una fila o columna por un número el determinante queda multiplicado por ese número.

a d g b e h e f i d g e h f i g

h

5 . Si a una fila o columna se le suma una

i

combinación lineal de otras paralelas el determinante no varía. En el determinante inicial, hemos sumado a la primera fila la segunda y la tercera, y hemos sumado a la segunda fila la tercera luego el final es 5.

A4.- Solución: a)La recta que pasa por P y es perpendicular a

es, en forma continua

x 1 1

y 1

z 2

Porque (1,1,2) es el vector característico del plano. Desdoblamos en dos ecuaciones la forma continua de la recta y con la ecuación del plano formamos un sistema cuya solución será el punto Q de corte

y x

z y 2z

x 1 2x 2 7

y x

Luego Q(2,1,2) es el punto pedido.

z x 1 4x 4

x 1

y

x 1

y

2 1 1

2x 2 7

z 6x

2x 2 12

z x

4 2 2 2

b) El punto P’ lo calculamos teniendo en cuenta que Q es el punto medio de P,P’ y por tanto sus coordenadas son la semisuma de los extremos

2 1 2

a 1 2 b 0 2 c 0 2

a b

3 2 , por tanto P’(3,2,4)

c

4

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Bachillerato L. O. E.

´ Materia: MATEMATICAS II

PROPUESTA B

1B. Dada la funci´on f (x) =

ax2 + b , 2x + 6

calcula los par´ametros a, b ∈ R sabiendo que: f (x) tiene una as´ıntota oblicua de pendiente 2 f (x) tiene un m´ınimo relativo en el punto de abscisa x = 0. (2,5 puntos)

2B. Calcula el ´area encerrada entre las gr´aficas de las funciones f (x) = x3 − 3x2 + 2x + 1

y

g(x) = 1

(2,5 puntos)

3B. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en funci´on del par´ametro a ∈ R   x + y + 2z = 0 ax − 3z = a (1,5 puntos)  2x + ay − z = a b) Resu´elvelo para el valor a = 1. (1 punto)

4B. Dado el punto P (1, 0, 0) y la recta   x = 2λ y =3+λ r≡  z = −1

λ∈R

a) Da unas ecuaciones param´etricas de la recta s que pasa por P y corta perpendicularmente a r.

(1,25 puntos) b) Calcula la distancia de P a r. (1,25 puntos)

B1.- Solución: La pendiente de la asíntota es 2, que también es:

ax 2 b lim 2 x 6 x x

f ( x) lim x x

ax 2 b lim 2 x 2x 6x

a a luego 2 2

2

a

4 . Si sustituimos en la

función y hacemos la derivada:

8 x ( 2 x 6) 2( 4 x 2 b) 8 x 2 48x 2b 2b b f ' ( x) f ' ( 0) 2 2 36 18 ( 2 x 6) ( 2 x 6) y como la función tiene un mínimo relativo en x 0, f ' (0) 0. luego b 0

B2.- Solución: Primero calculamos los puntos de corte de las dos curvas:

x x

3

3x

2

2x 1 1

x

3

3x

2

2x

0

x( x

2

3 x 2)

0

x2

0 3x 2

x 2 x 1

0

Luego el área pedida es 1 0

(x

3

3x

2

2 x )dx

2 1

(x

3

3x

2

2 x )dx

x4 4

1

x

3

x

2 0

x4 4

2

x

3

x

2 1

1 4

1 4

1 2

B3.- Solución: a)Cuando el determinante de la matriz de coeficientes de las incógnitas sea distinto de cero el sistema será compatible determinado, porque el rango de la matriz de coeficientes será igual a 3 e igual que el de la ampliada (que no puede ser mayor en este caso ya que tiene 3 filas), coincidiendo con el número de incógnitas. Por eso calculamos este determinante:

1 1

2

a 0

3

2 a

1

a2

0 6 2a 2

a 3a

2a 2

4a 6

2( a 2

2a 3)

a 1

2a 3 0

a

3

Total que salvo en dos casos, a=1 y a=-3 el sistema es compatible determinado (solución única)

1 1 0

1 1 1 0 Cuando a=1

1, pero 1 0 1 2 1 1

1 1

0

rango de la ampliada es 2

2

1 0 2 1

3 1

0

rango de la matriz de coeficientes 2

El sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1 puesto que el número de incógnitas es 3

Cuando a=-3

1 3

1 0

2

0 3

3

24 0

rango de la ampliada es 3

3

y como el de la de coeficientes es 2 el sistema es incompatible b) Cuando a=1, sustituimos este valor en el sistema, elegimos las dos primeras ecuaciones y resolvemos, ( ya sabemos que es compatible indeterminado):

x

y 2z

0

x

3z

1

x y 2 x 1 3

x 1 3 y 1 5

z

z

B4.- Solución: Consideremos un vector con origen en P y extremo en la recta r. este vector será:

( 2 λ-1,3 λ- 0,-1-0) ( -1 2 λ,3 λ,-1) este vector genérico y el vector ( 2,1,0) director de la recta, deben ser perpendiculares, su producto escalar 0 1 2 4 3 0 con este valor obtenemos el punto de la recta " enfrente" del punto P 5 - 2 14 - 7 14 Resulta Q( , , 1) y también el vector director de s, que resulta ( , , 1) o también (7,-14,5) 5 5 5 5 x 1 7 y -14 son unas ecuaciones de la recta s pedida z 5 y PQ

7 5

2

14 5

2

12

3

30 la distancia pedida 5