Pruebas de Acceso a Ense˜ nanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. E.
´ Materia: MATEMATICAS II Instrucciones: El alumno deber´ a contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo punt´ ua 2,5 puntos.
PROPUESTA A
1A. a) Enuncia el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle. (1 punto) b) Demuestra, usando el Teorema de Bolzano, que existen al menos tres ra´ıces reales distintas de la ecuaci´on x5 − 5x + 3 = 0 (1 punto) c) Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuaci´on anterior no puede tener m´as de tres ra´ıces reales distintas. (0,5 puntos)
2A. Calcula las siguientes integrales: Z
Z 2
sen x cos x dx
3A. Sabiendo que
calcula el valor de los determinantes ¯ ¯ b b + a 2c ¯ ¯ e e + d 2f ¯ ¯ h h + g 2i
√
e x √ dx x
(1,25 puntos por integral)
¯ ¯ ¯ a b c ¯ ¯ ¯ ¯ d e f ¯ = 5, ¯ ¯ ¯ g h i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ a+d+g b+e+h c+f +i ¯ ¯ d+g e+h f +i ¯ ¯ g h i
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta. (1,25 puntos por determinante)
4A. Dado el plano π ≡ x + y + 2z = 7 y el punto P (1, 0, 0): a) Calcula el punto Q de π que hace m´ınima la distancia a P . (1,25 puntos) b) Calcula el punto sim´etrico P 0 de P respecto del plano π. (1,25 puntos)
(sigue a la vuelta)
A1.- Solución: a) Teorema de Bolzano: Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo, sign f(a) ≠ sign f(b); entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a , b) tal que f(c) = 0. Teorema de Rolle: Sea f(x) una función continua en [a , b], derivable en (a , b) y que verifica que f(a) = f(b); entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a , b) tal que f’(c) = 0 b) Sabemos que por ser polinómica, la función es continua en toda la recta real. Calculamos el valor de la función en cuatro puntos sencillos: f(-2)=-19, f(0)=3, f(1)=-1 y f(2)=25, además hemos buscado puntos en los que los valores de la función vayan cambiando de signo; por tanto podemos aplicar el teorema de Bolzano y asegurar que entre -2 y 0 hay al menos un punto donde la función se anula, entre 0 y 1 al menos otro y entre 1 y 2 al menos otro, es decir que hemos determinado 3 intervalos disjuntos (-2,0), (0,1) y (1,2) dentro de cada uno de los cuales hay al menos una raíz. c) El teorema de Rolle nos permite, en este caso, asegurar que sólo hay 3 raíces; para ello supongamos que hay 4, que llamaremos a, b, c, d, ( en orden creciente), estas cuatro raíces determinarían 3 intervalos (a,b), (b,c), (c,d) y como la función f(x) es continua y derivable en todo R ya que es polinómica, tenemos que se podría aplicar el teorema de Rolle y en consecuencia habría al menos 3 puntos distintos, uno en cada intervalo, donde la derivada se anularía, pero eso es imposible porque la derivada es:
f ' ( x ) 5x 4
5
f ' ( x)
0
5( x 4 1)
0
x 1 y sólo se anula en dos puntos x 1
A2.- Solución: Se trata de dos integrales prácticamente inmediatas, que podemos encuadrar en las fórmulas
( f ( x )) n n 1
a( f ( x )) n f ' ( x )dx a
En el primer caso a
1, f ( x)
sen3 x 3
sen2 x cos xdx
k,
sen( x), n
x
dx
a e f ( x ) f ' ( x )dx a e f ( x )
2 y en el segundo a
x
e
k,
1
2
e x dx 2 x
x
2e
k
2, f ( x)
x
k
A3.- Solución:
b b a e e d
2c 2f
b b 2c e e 2f
b a e d
2c 2f
h h g
2i
h h
h
2i
2i
g
0
a d
b 2c e 2f
g h
a 0 2d
2i
b e
c f
g h
i
10
Si una fila o columna se descompone en sumandos el determinante se puede descomponer en suma de determinantes. Si se cambian entre sí dos filas o columnas el determinante cambia de signo. Si hay 2 filas o dos columnas iguales el determinante es 0. Si se multiplica una fila o columna por un número el determinante queda multiplicado por ese número.
a d g b e h e f i d g e h f i g
h
5 . Si a una fila o columna se le suma una
i
combinación lineal de otras paralelas el determinante no varía. En el determinante inicial, hemos sumado a la primera fila la segunda y la tercera, y hemos sumado a la segunda fila la tercera luego el final es 5. A4.- Solución: a)La recta que pasa por P y es perpendicular a
es, en forma continua
x 1 1
y 1
z 2
Porque (1,1,2) es el vector característico del plano. Desdoblamos en dos ecuaciones la forma continua de la recta y con la ecuación del plano formamos un sistema cuya solución será el punto Q de corte
y x
z y 2z
x 1 2x 2 7
y x
Luego Q(2,1,2) es el punto pedido.
z x 1 4x 4
x 1
y
x 1
y
2 1 1
2x 2 7
z 6x
2x 2 12
z x
4 2 2 2
b) El punto P’ lo calculamos teniendo en cuenta que Q es el punto medio de P,P’ y por tanto sus coordenadas son la semisuma de los extremos
2 1 2
a 1 2 b 0 2 c 0 2
a b
3 2 , por tanto P’(3,2,4)
c
4
Pruebas de Acceso a Ense˜ nanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. E.
´ Materia: MATEMATICAS II
PROPUESTA B
1B. Dada la funci´on f (x) =
ax2 + b , 2x + 6
calcula los par´ametros a, b ∈ R sabiendo que: f (x) tiene una as´ıntota oblicua de pendiente 2 f (x) tiene un m´ınimo relativo en el punto de abscisa x = 0. (2,5 puntos)
2B. Calcula el ´area encerrada entre las gr´aficas de las funciones f (x) = x3 − 3x2 + 2x + 1
y
g(x) = 1
(2,5 puntos)
3B. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en funci´on del par´ametro a ∈ R x + y + 2z = 0 ax − 3z = a (1,5 puntos) 2x + ay − z = a b) Resu´elvelo para el valor a = 1. (1 punto)
4B. Dado el punto P (1, 0, 0) y la recta x = 2λ y =3+λ r≡ z = −1
λ∈R
a) Da unas ecuaciones param´etricas de la recta s que pasa por P y corta perpendicularmente a r. (1,25 puntos) b) Calcula la distancia de P a r. (1,25 puntos)
B1.- Solución: La pendiente de la asíntota es 2, que también es:
ax 2 b lim 2 x 6 x x
f ( x) lim x x
ax 2 b lim 2 x 2x 6x
a a luego 2 2
2
a
4 . Si sustituimos en la
función y hacemos la derivada:
8 x ( 2 x 6) 2( 4 x 2 b) 8 x 2 48x 2b 2b b f ' ( x) f ' ( 0) 2 2 36 18 ( 2 x 6) ( 2 x 6) y como la función tiene un mínimo relativo en x 0, f ' (0) 0. luego b 0
B2.- Solución: Primero calculamos los puntos de corte de las dos curvas:
x x
3
3x
2
2x 1 1
x
3
3x
2
2x
0
x( x
2
3 x 2)
0
x2
0 3x 2
x 2 x 1
0
Luego el área pedida es 1 0
(x
3
3x
2
2 x )dx
2 1
(x
3
3x
2
2 x )dx
x4 4
1
x
3
x
2 0
x4 4
2
x
3
x
2 1
1 4
1 4
1 2
B3.- Solución: a)Cuando el determinante de la matriz de coeficientes de las incógnitas sea distinto de cero el sistema será compatible determinado, porque el rango de la matriz de coeficientes será igual a 3 e igual que el de la ampliada (que no puede ser mayor en este caso ya que tiene 3 filas), coincidiendo con el número de incógnitas. Por eso calculamos este determinante:
1 1
2
a 0
3
2 a
1
a2
0 6 2a 2
a 3a
2a 2
4a 6
2( a 2
2a 3)
a 1
2a 3 0
a
3
Total que salvo en dos casos, a=1 y a=-3 el sistema es compatible determinado (solución única)
1 1 0
1 1 1 0 Cuando a=1
1, pero 1 0 1 2 1 1
1 1
0
rango de la ampliada es 2
2
1 0 2 1
3 1
0
rango de la matriz de coeficientes 2
El sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1 puesto que el número de incógnitas es 3
Cuando a=-3
1 3
1 0
2
0 3
3
24 0
rango de la ampliada es 3
3
y como el de la de coeficientes es 2 el sistema es incompatible b) Cuando a=1, sustituimos este valor en el sistema, elegimos las dos primeras ecuaciones y resolvemos, ( ya sabemos que es compatible indeterminado):
x
y 2z
0
x
3z
1
x y 2 x 1 3
x 1 3 y 1 5
z
z
B4.- Solución: Consideremos un vector con origen en P y extremo en la recta r. este vector será:
( 2 λ-1,3 λ- 0,-1-0) ( -1 2 λ,3 λ,-1) este vector genérico y el vector ( 2,1,0) director de la recta, deben ser perpendiculares, su producto escalar 0 1 2 4 3 0 con este valor obtenemos el punto de la recta " enfrente" del punto P 5 - 2 14 - 7 14 Resulta Q( , , 1) y también el vector director de s, que resulta ( , , 1) o también (7,-14,5) 5 5 5 5 x 1 7 y -14 son unas ecuaciones de la recta s pedida z 5 y PQ
7 5
2
14 5
2
12
3
30 la distancia pedida 5