Solución al 1-A
3X
AX
B 2 AX
3X
AX
2 AX
B
3X
AX
B
(3 A) X
B
X
(3 A) 1 B
Cuando exista la inversa de 3+A la ecuación tiene solución. En el caso particular pedido:
3
2 1
5 1
5 1
2 1
1 5
1 5
X
5 1
1
1 5
3 9
4 5 4
1
1
1 5 24 1 1 2
1 5
. Luego hay inversa y por tanto solución:
1 1 1
0
Solución al 2-A
Cuando la derivada es positiva la función es creciente, cuando negativa decreciente. Si la derivada primera es nula y en ese punto la segunda es positiva, la función tiene un mínimo y si es negativa un máximo.
f ' ( x) 3x 2 12x 9 3( x 1)( x 3)
En (0 , 1) y (3 , 5) crece.En (1 , 3) decrece.
f ' ' ( x) 6 x 12 f ' ' (1) 6 0 Máximo relativo en (1, f(1)) (1,6) f ' ' (3) 6 0 Mínimo relativo en (3, 2)A los 3 segundos 2 m f (0) 2m Altura en el instante cero.Comienzo del vuelo f (5)
22m Altura en el instante 5, altura máxima absoluta
Solución al 3-A
Tipo
Básico
Lujo
Número
Y
X
Precio unidad
300
1000
Restricciones
0<=Y<=50
x>=10
y>=2x
x e y enteros
300y+1000x<=28000
Maximizar y+x
Coste
La región factible es la sombreada. El número de ordenadores básicos que debemos fabricar es 35 y el de ordenadores de lujo 17. Con ello no agotamos el presupuesto, nos sobran 500 € Para encontrar este punto desplazamos la recta y+x=k sin que se salga de la región factible (aumentamos k). Cuando k=52 está dentro. Cuando k=53 está fuera
Solución al 4-A Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:
P x
z
/2
·
x
n
z
/2
·
n
1
caso). x la media de la muestra, ahora 40; 36.
1
0,97
0,03
/2
0,015
, donde 1-
es el nivel de confianza (0,97 en nuestro
la desviación típica, ahora 10; n el tamaño de la muestra,
z
/2
2,17 ya que (1 0,015 0,985) .Ver tabla
Luego el intervalo pedido es:
x z
/2
·
n
,x
z
/2
·
n
40 2,17
10 10 , 40 2,17 6 6
36,38 , 43,62
Podemos asegurar, con un nivel de confianza del 97 % que la duración media de uno cualquiera de esos componentes electrónicos estará entre 36,38 y 43,62 horas. Si quisiéramos un intervalo de confianza más estrecho manteniendo el nivel de confianza deberíamos aumentar el tamaño de la muestra, porque el radio del intervalo es menor cuanto mayor sea n, ya que n figura en el denominador. Cuando
z
/2
sea más grande (el nivel de confianza más pequeño) también disminuye el intervalo, porque
es más pequeño
Solución al 1-B El planteamiento y resolución del sistema sería como sigue (tenemos en cuenta que en toda división, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto):
x 2x x r
y r
3y r 7y r 1 17
19 13 1 ; x 17 6 6
6 y 2r
7y r 1
y r
1
4 y 2r
17
4 y 2r
17
19 13 6 6
17
32 6
6 y 19
y
19 6
35 . La pega es que las soluciones no son números 3
enteros y en la definición de fracción el numerador y denominador son números enteros. Solución al 2-B La función se compone de tres trozos de parábolas sencillas. Su gráfica es como sigue:
A la vista de la gráfica, podemos asegurar que no es continua en -1 y tampoco en 1. En -1 el límite por la izquierda es 1 y el límite por la derecha 3. En 1 el límite por la izquierda es 3 y el límite por la derecha 1. No coinciden los límites luego no es continua En cuanto a extremos relativos, tiene un mínimo en x=0 que vale 2, ya que en un entorno de 0 vale más de 2 a ambos lados. También tiene un máximo absoluto en x=1 que vale 3 y un mínimo absoluto en x=-1 que vale 1 (para calcular el valor en x=-1 se emplea el primer tramo)
Solución al 3-B Llamemos P al suceso “elegir un paquete pequeño” y G al suceso “elegir un paquete grande”. Entonces, el suceso R “que se rompa un paquete” es R
(P
R)
y (G
R) son incompatibles p( R)
(P
p( P
R)
R)
(G
p(G
R) . Como los sucesos R) . Si tenemos en cuenta la
probabilidad condicionada y los datos:
p ( R)
p( P
R)
p(G
R)
p( R / P)· p( P)
p( R / G) p(G)
2 60 1 40 160 · · 0,016 100 100 100 100 10000
El 1,6% de los paquetes se romperán. También nos piden p(G / R) .
p(G R) p ( R)
Volvemos a la probabilidad condicionada p(G / R)
40 160
1 4
0,25 .
La probabilidad de que no se rompa un paquete pequeño es 1 menos la de que sí se rompa:
p ( R / P) 1 p ( R / P) 1
2 98 0,98 . 100 100
Si queremos saber la probabilidad de que enviando dos no se rompa ninguno, se trata de sucesos repetidos y la probabilidad es el producto: 0,982 = 0,9604 Solución al 4-B Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:
P x
z
/2
·
x
n
z
/2
·
n
, donde 1- es el nivel de confianza (0,978 en nuestro
1
caso). x la media de la muestra, ahora 7,5; 100.
1
0,978
0,022
/2
la desviación típica, ahora 1; n el tamaño de la muestra,
0,011
z
/2
2,29 ya que (1 0,011 0,989) .
Ver tabla de la normal tipificada más arriba. Luego el intervalo pedido es:
x
z
/2
·
n
,x
z
/2
·
n
7,5 2,29
1 1 , 7,5 2,29 10 10
7,271 , 7,729
Podemos asegurar, con un nivel de confianza del 97,8 % que la puntuación media estará entre 7,271 y 7,729.
Si los vecinos encuestados hubiesen sido elegidos en el horario 10 a 14 el intervalo no sería válido porque la elección no es aleatoria en el tiempo. Esta forma de hacer la encuesta excluiría a cierto tipo de vecinos y no representaría bien a la comunidad vecinal.