JUAN LÓPEZ DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA IES BACHILLER SABUCO
PROBLEMA TIPO 1 A una línea trifásica de 220/380 V y f=50 Hz, está conectado un receptor trifásico, formado en cada fase por una resistencia de 6 Ω y una inductancia en serie de 8 Ω. Supuesta la alimentación equilibrada del receptor y conectado en estrella, calcular: a) Corriente de línea y de fase, tensión de fase y de línea y potencia total activa. b) Corriente de línea y de fase, tensión de fase y de línea y potencia total activa en el caso de que conectemos en triangulo. RESOLUCIÓN Datos: Tensión de línea: 380 V Tensión de fase: 220 V Frecuencia : 50 Hz. Receptor trifásico equilibrado (impedancia de las tres fases igual) y conectado en estrella. Impedancia de cada fase: Resistencia 6 Ω Inductancia en serie : 8 Ω. El receptor es alimentado también por un sistema equilibrado de tensiones. Consideraciones previas: Denotaremos con la letra U la tensión de línea (también llamada compuesta) y por V la tensión de fase (también llamada tensión simple). Asimismo , denotaremos por I la corriente de línea ( la absorbida de la línea por el receptor) y por J la corriente de fase (es decir, la que circula por la impedancia de cada fase del receptor). También se tomará en los cálculos una aproximación con dos decimales. Al ser la conexión en estrella, tal como puede observarse en la siguiente figura: se tiene que:
U = 3 ·V I=J Por otra parte por ser el receptor equilibrado se cumplirá:
Z 1 = Z 2 = Z 3 = Z = Z ⎣ϕ ⎦ Ω Debemos tener claro que en cada fase se cumplirá la siguiente expresión :
V = J ·Z Y
en mod ulos
V = J ·Z
Además también debemos entender que el ángulo de la impedancia es el ángulo que forman la tensión de fase con la intensidad de fase, es decir:
} ϕ = V ·J RESOLUCION DEL PROBLEMA De los datos del problema se desprende que conocemos tanto la tensión de línea como la tensión de fase. Así que: Tensión de línea: 380 V Tensión de fase: 220 V Por tanto, en primer lugar calcularé la impedancia de una fase (las otras son iguales como ya se ha comentado). Z = R + jX L = 6 + j 8 = 10⎣53,13º ⎦ Ω V 220 = = 22 A J= 10 Z Corriente de fase J=22 A (en modulo). Por ser un receptor en estrella, la corriente de fase coincide con la corriente de línea: I=J=22 A Corriente de línea I=22 A (en modulo) Para el calculo de la potencia activa, recordaremos que los triángulos de impedancias, de tensiones y de potencias son semejantes, y por tanto el ángulo N es el mismo para los tres triángulos. Por tanto de la expresión de la potencia activa en una fase será
P = V ·J ·cosϕ = 220·22·cos 53,13º = 2904 W
y la potencia activa total (consumida por las tres fases) será:
PT = 3· P fase = 3·V ·J ·cosϕ = 3·220·22·cos 53,13º = 8712 W
CONEXIÓN TRIÁNGULO En la conexión triangulo, se cumplirá, tal como puede observarse en la siguiente figura:
I = 3 ·J U =V En la conexión triángulo se observa que la tensión de fase coincide con la tensión de línea, por tanto: Tensión de línea: 380 V Tensión de fase: 380 V Por otra parte, el valor de la impedancia de cada fase no cambia (pues lo único que se ha hecho es conectar de modo diferente estas impedancias). O sea que: Z = R + jX L = 6 + j 8 = 10⎣53,13º ⎦ Ω y por tanto aplicando la ley de Ohm a cualquiera de las fases, se tendrá: J=
V 380 = = 38 Z 10
A
La corriente de línea es raíz de tres veces la corriente de fase, por tanto:
I = 3 ·J = 3 ·38 = 65,82 A
Por tanto: Corriente de fase: J=38 A Corriente de línea I=65,82 A Para calcular la potencia activa de una fase, se tendrá:
P = V ·J ·cosϕ = 380·38·cos 53,13º = 8664,02 W
NOTA: De los cálculos tanto en el conexionado estrella como en el conexionado triángulo se desprenden varios consecuencias:
• • •
La corriente de línea en estrella es raíz de tres veces menor que en triangulo. La potencia activa (y por tanto útil) que se obtiene en triángulo es raíz de tres veces mayor que en estrella. Por ello observarás mas adelante en motores eléctricos de corriente alterna, una de los sistemas de arranque, consiste en el estrella-triangulo, ya que inicialmente arranca en estrella (para que el pico de corriente en el arranque no sea tan elevado) y después cambia a triángulo pues la potencia activa (útil) que podemos obtener es mayor en esta conexión.
PROBLEMA TIPO 2
A una línea trifásica de tensión de línea 380 V f=50 Hz, se le conecta un receptor en estrella formado cada rama por una resistencia y una bobina en serie (iguales las tres ramas). La potencia del conjunto de las tres ramas es de 1200 W (activa) y 1.200 VAr (reactiva). Calcular: a) El valor de R y XL b) Intensidad de línea c) Factor de potencia de la carga Datos: Tensión de línea: 380 V Frecuencia : 50 Hz. Receptor trifásico equilibrado (impedancia de las tres fases igual) y conectado en estrella. Potencia activa total: 1200 W Potencia reactiva total: 1200 VAr El receptor es alimentado también por un sistema equilibrado de tensiones. Consideraciones previas: Denotaremos con la letra U la tensión de línea (también llamada compuesta) y por V la tensión de fase (también llamada tensión simple). Asimismo , denotaremos por I la corriente de línea ( la absorbida de la línea por el receptor) y por J la corriente de fase (es decir, la que circula por la impedancia de cada fase del receptor). También se tomará en los cálculos una aproximación con dos decimales. Al ser la conexión en estrella, tal como puede observarse en la siguiente figura: se tiene que:
U = 3 ·V I=J Por otra parte por ser el receptor equilibrado se cumplirá:
Z 1 = Z 2 = Z 3 = Z = Z ⎣ϕ ⎦ Ω RESOLUCIÓN Podemos obtener el ángulo de fase ya que es el mismo que el del triángulo de potencias: tan ϕ =
QT 1200 = =1 PT 1200
ϕ = 45º
De la expresión :
PT = 3 ·U · I ·cos ϕ
ó
QT = 3 ·U · I ·sen ϕ
podemos obtener el valor de la intensidad de línea I=
PT
3 ·U ·cos ϕ
1200
=
3 ·380·cos 45º
=
1200 = 2,58 A 465,40
Como el receptor esta conectado en estrella se cumplirá que:
I = J = 2,58 A
U = 3 ·V
⇒V =
U 3
=
380 3
= 220 V
Y por tanto en cada fase podemos plantear la ley de Ohm en módulos:
V = J ·Z
⇒Z=
V 220 = = 85,27 Ω J 2,58
Por otra parte y teniendo en cuenta que el triangulo de impedancias es semejante al triangulo de potencias, tendremos que el ángulo de la impedancia será el mismo que el ángulo del triangulo de potencias. Es decir:
Z = Z ⎣ϕ ⎦ = 85,27 ⎣45º ⎦ = 60,29 + j 60,29 = R + jX L de donde se desprende que el valor de la resistencia y de la reactancia inductiva será: Resistencia: 60,29 Ω Reactancia: 60,29 Ω
Al ser la conexión de estrella la corriente de fase coincide con la corriente de línea: Corriente de línea: I=J=2,58 A El factor de potencia es el coseno del ángulo de la impedancia (y como se comentó también el del triangulo de tensiones y de potencias) cos ϕ = cos 45º = 0,707 PROBLEMA TIPO 3
A una línea trifásica de tensión de línea de 380 V y f=50 Hz se conecta un receptor que consume una potencia de 8 KW con un cos ϕ=0.83 inductivo. a) Realizar el esquema y calcular el triangulo de potencias b) Capacidad de cada condensador de la batería de condensadores a conectar en triangulo, necesario para elevar el cos ϕ=0.95 Datos: Tensión de línea: 380 V Frecuencia : 50 Hz. Potencia activa (total) : 8 KW=8000 W cos N=0.83 inductivo Receptor trifásico equilibrado (impedancia de las tres fases igual) y conectado en estrella. El receptor es alimentado también por un sistema equilibrado de tensiones.
Consideraciones previas: Denotaremos con la letra U la tensión de línea (también llamada compuesta) y por V la tensión de fase (también llamada tensión simple). Asimismo , denotaremos por I la corriente de línea ( la absorbida de la línea por el receptor) y por J la corriente de fase (es decir, la que circula por la impedancia de cada fase del receptor). También se tomará en los cálculos una aproximación con dos decimales. Al ser la conexión en estrella, tal como puede observarse en la siguiente figura: se tiene que:
U = 3 ·V I=J Por otra parte por ser el receptor equilibrado se cumplirá:
Z 1 = Z 2 = Z 3 = Z = Z ⎣ϕ ⎦ Ω RESOLUCION a) De la expresión de la potencia activa podemos obtener la potencia reactiva total, ya que conocemos el coseno del angulo del triangulo de potencias( y que es igual al angulo de la impedancia). Por tanto: PT = 3·V ·J ·cos ϕ
QT = 3·V ·J · sen ϕ tan ϕ =
QT PT
cos ϕ = 0.83 ⇒ ϕ = arc cos 0.83 = 33,90º sen ϕ = sen 33,90 = 0.56 QT = PT ·tan ϕ = 8000 * tan 33,90 = 5375,78VAr Ahora podemos calcular el valor de la potencia aparente a través de la expresión compleja: S = PT + jQT = 8000 + j 5375,78 = 9638,41[33,90º ] VA Por tanto ya tenemos definido nuestro triangulo de potencias con : P=8000 W Q=11.905,26 Var S=14.343,47 VA b) Nos piden que el nuevo triangulo de potencias tenga un factor de potencia igual a 0.95. Por tanto: ϕ ' = arc cos 0.95 = 18,20º
De la figura del nuevo triangulo se desprende que la nueva potencia reactiva Q’ será (obviamente manteniendo la misma potencia activa, es decir, útil): Q ' = P ' ·tan ϕ ' = 8000·tan 0.95 = 8000·0.33 = 2629,47 VAr La potencia reactiva de tipo capacitivo que tendremos que meter en este circuito vendrá dada por la diferencia entre la potencia reactiva antes de conectar los condensadores y la potencia reactiva una vez conectados, es decir: QC = Q − Q ' = 11.905,26 − 2629,47 VAr = 9275,29 VAr Esta es la potencia reactiva consumida por el receptor. Ahora bien la potencia reactiva que consume una fase (e igual a la consumida por cada una de las otras dos fases) será la potencia reactiva total dividido por 3. Q 9275,29 QC fase = C = = 3091,76 VAr 3 3 Por otra parte, la potencia reactiva de una fase es igual a la tensión al cuadrado aplicada a esa fase dividida entre la reactancia capacitiva. U2 U2 380 2 QC fase = XC = = = 46,71 Ω XC QC fase 3091,76 Y recordando la expresión de la reactancia capacitiva, se tendrá: 1 1 1 XC = C= = = 6,82· 10 − 5 μF w ·C w· X C 2·π ·50·46,71
PROBLEMA TIPO 4 A una línea trifásica de 220/380 V y f=50 Hz están conectados tres receptores iguales, de resistencia 6 Ω e inductancia en serie 8 Ω (con un desfase inductivo). Conectados los tres receptores en estrella, calcular: a) Corriente de línea y de fase, tensión de fase y de línea y potencia total activa. b) Corriente de línea y de fase, tensión de fase y de línea y potencia total activa en el caso de que conectemos los tres receptores en triangulo.
RESOLUCION Datos: Tensión de línea: 380 V Tensión de fase: 220 V Frecuencia : 50 Hz. Tres receptores monofásicos equilibrados (impedancia de las tres fases igual) y conectados en estrella. El valor de la impedancia de cada receptor (o de cada fase) será:
El receptor es alimentado también por un sistema equilibrado de tensiones.
PROBLEMA TIPO 5 A una línea trifásica de tensión de línea 380 V, f=50 Hz se conectan tres receptores: • • •
el primero consume 5 KW con cos ϕ=1 el segundo consume 5 KW con cos ϕ=0.8 capacitivo el tercero consume 25 KW con cos ϕ=0.9 inductivo
a) Realizar el esquema y calcular el triangulo de potencias b) Capacidad de cada condensador de la batería de condensadores a conectar en triangulo para mejorar el factor de potencia a 1. PROBLEMA TIPO 6
A una línea trifásica de tensión de línea 400V y f=50Hz, se conecta un receptor en estrella formado cada rama por una resistencia y una bobina en serie. La potencia en cada una de las tres ramas es de 4kW (activa) y 3kVAr (reactiva). Calcular: a) Intensidades de línea e intensidades de fase, indicando módulo y argumento. (1.5 puntos) b) Valor de R y XL. (1 punto)