PROBLEMA DE CORRIENTE ALTERNA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA ELECTROTECNIA IES BACHILLER SABUCO PROBLEMA DE CORRIENTE ALTERNA En el circuito de la figura V1= 220V , Ԅ=0º , f= 50Hz
XC1= XL1=3Ω
XL2=5Ω , R1= R2=8 Ω R3=5 Ω , calcular :
a) Impedancia equivalente vista por el generador. b) Intensidad que circula por R1, R2 y R3. c) Tensión en bornes de L1, L2 y C1. d) Potencias activas y reactivas totales. RESOLUCIÓN Vamos a resolver un problema de corriente alterna, en el que algunos alumnos cometen errores de concepto básicos. Fundamentalmente, el mayor error cometido es considerar que las impedancias que se encuentran en paralelo están a la tensión del generador de corriente alterna V1. Nada más lejos de la realidad, ya que, sin necesidad de hacer ningún cálculo, en la impedancia de la rama del generador necesariamente debe haber caído “algo” de tensión, y por tanto las impedancias en paralelo, sí estarán a la misma tensión pero esta debe ser menor que la que proporciona el generador de corriente alterna. Este mismo concepto de “caída de tensión” se ve en los circuitos de corriente continua y el procedimiento de calculo tanto en este tipo de circuitos (los de continua) como en los que nos ocupan, los de corriente alterna, es igual, salvo en el pequeño detalle matemático, que implica trabajar con números reales en los circuitos de cc y con números complejos en los circuitos de ca. @JUAN LOPEZ CURSO 09‐10 1
PROBLEMA DE CORRIENTE ALTERNA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA ELECTROTECNIA IES BACHILLER SABUCO El procedimiento es el siguiente: 1º) Debes dibujar tres circuitos: a) Circuito original, el que te han dado. En este circuito debemos expresarlo en forma de impedancias, ya que es probable que nos lo den con los valores de R, L o C o bien con los valores (como es el problema que nos ocupa) de R, XL o Xc. Es conveniente especificar claramente en que rama estamos trabajando: ‐
Rama del generador: o Resistencia: 8 Ω o Reactancia inductiva: j3 Ω o Impedancia de la rama Z 1 = 8 + j 3 = 8,54⎣20,56º ⎦ Ω
‐
Rama 2 (paralela) o Resistencia: 8 Ω o Reactancia capacitiva: ‐j3 Ω o Impedancia de la rama 2 Z 2 = 8 − j 3 = 8,54⎣− 20,56º ⎦ Ω
‐
Rama 3 (paralela)
@JUAN LOPEZ CURSO 09‐10 2
PROBLEMA DE CORRIENTE ALTERNA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA ELECTROTECNIA IES BACHILLER SABUCO o Resistencia: 5 Ω o Reactancia inductiva: j5 Ω o Impedancia de la rama 3 Z 3 = 5 + j 5 = 7,07 ⎣45º ⎦ Ω b) Circuito equivalente en el que tendremos la impedancia en la rama del generador de ca y la impedancia equivalente de las dos impedancias que estaban en paralelo. La impedancia equivalente entre dos impedancias en paralelo se puede calcular por la formula general o bien aplicando la abreviada de Producto/Suma. Por tanto:
Z ' equiv =
Z 2 ·Z 3 Z2 + Z3
=
8,54 ⎣− 20,56º ⎦·7,07 ⎣45º ⎦ = 4,59 ⎣15,70⎦ Ω = 4,42 + j1,24 Ω 8 − j3 + 5 + j5
Circuito elemental , en el que tendremos el generador de corriente alterna y la impedancia equivalente total (que será la suma compleja de la impedancia de la rama del generador y la impedancia equivalente de las ramas en paralelo. @JUAN LOPEZ CURSO 09‐10 3
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Z equiv = Z 1 + Z ' equiv = 8 + j 3 + 4,42 + j1,24 = 12,42 + J 4,24 = 13,13⎣18,86º ⎦ Ω Como observas, cuando llegas aquí ya has contestado al apartado a) del problema. Recuadra la solución de este apartado. Procura que se vea y no sea el examinador el que tenga que buscar la respuesta como un “Sherlock Holmes”.
Z equiv = 12,42 + J 4,24 = 13,13⎣18,86º ⎦ Ω La importancia de dibujar los circuitos, para mi, radica en que en cada circuito debes calcular algunas magnitudes y siempre deberías tener el circuito dibujado donde estas calculando dichas magnitudes. 1. Calculo de la intensidad total compleja en el circuito elemental.
I=
V Z equiv
=
220⎣0º ⎦ = 16,76 ⎣− 18,86⎦ A = 15,86 − j 5,42 A 13,13⎣18,86⎦
2. Reparto de tensiones en el circuito equivalente (el segundo dibujado)
V Z 1 = I · Z 1 = 16,76⎣− 18,86º ⎦·8,54⎣20,56º ⎦ = 143,20⎣1,70º ⎦ = 143,13 + j 4,24 V
V Z 'equi = I · Z ' equiv = 16,76⎣− 18,86º ⎦· 4,59⎣15,70º ⎦ = 76,98⎣− 3,16º ⎦ = 76,87 − j 4,24 V @JUAN LOPEZ CURSO 09‐10 4
PROBLEMA DE CORRIENTE ALTERNA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA ELECTROTECNIA IES BACHILLER SABUCO Además, aunque el problema no lo pide, si vamos a ir comprobando nuestros resultados, para en cualquier momento que detectemos un error significativo, podamos revisar donde nos hemos equivocado. Bien este reparto de tensiones complejas debe ser igual a la tensión compleja del generador de corriente alterna. Un consejo: como veras, cuando calculo un valor en forma polar, también lo expreso en forma rectangular y al revés. Cuando se necesitan hacer comprobaciones nos viene muy bien tener ambas formas de expresar un complejo.
V = V Z 1 + V Z 'equiv = 143,13 + j 4,24 + 76,87 − j 4,24 = 200 + j 0 = 220⎣0º ⎦ V 3. Reparto de intensidades en el circuito original. Efectivamente como ya sabemos a que tensión se encuentran las ramas en paralelo (igual tensión en ambas ramas por estar en paralelo), podremos calcular la intensidad que circula por cada rama, aplicando la ley de Ohm en corriente alterna. @JUAN LOPEZ CURSO 09‐10 5
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I2 =
V Z 'equiv Z2
=
16,76⎣− 18,86º ⎦ = 9,01⎣17,40⎦ A = 8,60 + j 2,69 A 8,54⎣− 20,56⎦
=
16,76⎣− 18,86º ⎦ = 10,89⎣− 48,16º ⎦ A = 7,26 − j 8,11 A 7,07 ⎣45º ⎦
I3 =
V Z 'equiv Z3
Además, aunque el problema no lo pide, volveremos a comprobar nuestros resultados, para en cualquier momento que detectemos un error significativo, podamos revisar donde nos hemos equivocado. Por tanto la suma de las intensidades de las ramas en paralelo debe ser igual a la intensidad total proporcionada por el generador de corriente alterna.
I = I 2 + I 3 = 8,60 + j 2,69 + 7,26 − j 8,11 = 15,86 − j 5,42 A = 16,76 ⎣− 18,86⎦ A Como vemos se cumple. Como también habrás observado aunque no hemos ido directamente a contestar lo que nos pedía el apartado b, lo hemos calculado indirectamente. No obstante y por las razones que hemos dado antes, vamos a dejar claro los resultados: ‐
Intensidad que circula por la R1 (la intensidad de la rama del generador), I
I = 15,86 − j 5,42 A = 16,76 ⎣− 18,86 ⎦ A ‐
Intensidad que circula por la R2 (la intensidad de la rama 2), I2
I 2 = 9,01⎣17 ,40 ⎦ A = 8,60 + j 2,69 A ‐
Intensidad que circula por la R3 (la intensidad de la rama 3), I3
I 3 = 10,89⎣− 48,16º ⎦ A = 7,26 − j 8,11 A c) En este apartado se pide específicamente las tensiones de los elementos que componen las impedancias. Solo hay que aplicar la ley de Ohm a ese elemento, es decir, la tensión compleja que “cae” en ese elemento será la intensidad compleja que pasa por él multiplicado por el valor en ohmios de ese elemento, pero expresado en forma compleja. Por tanto: @JUAN LOPEZ CURSO 09‐10 6
PROBLEMA DE CORRIENTE ALTERNA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA ELECTROTECNIA IES BACHILLER SABUCO ‐
Tensión en la bobina L1 (corriente que pasa por ella, I) o
‐
V L1 = I · X L1 = 16,76⎣− 18,86º ⎦· 3⎣90º ⎦ = 50,28⎣71,14⎦ V
Tensión en la bobina L2 (corriente que pasa por ella, I3) o
‐
V L 2 = I 3 · X L 2 = 10,89⎣− 48,16º ⎦· 5⎣90º ⎦ = 54,44⎣41,84⎦ V
Tensión en el condensador C1 (corriente que pasa por el, I2) o
VC 1 = I 2 · X C 1 = 9,01⎣17,40º ⎦· 3⎣− 90º ⎦ = 27,03 ⎣− 72,60º ⎦ V
c) En el tema del calculo de las potencias totales tanto activas como reactivas, podemos hacerlo por varios caminos. Para mí, el más rápido es el siguiente: • Dado que conocemos la tensión compleja del generador y la intensidad total que nos proporciona el mismo al resto del circuito, podemos calcular directamente la potencia aparente total del circuito en notación compleja polar, y tras pasarla a notación rectangular ya tendremos la correspondiente potencia activa total (la parte real de dicha notación) y la potencia reactiva total (la parte imaginaria de la misma notación rectangular). Expresado matemáticamente: o
S = V · I * = P + jQ
VA
donde I* significa I conjugada, es decir un complejo con el mismo modulo que I pero con el ángulo cambiado de signo.
S = V · I * = 220⎣0º ⎦· 16,76 ⎣18,86º ⎦ = 3687,18⎣18,86º ⎦ = 3489,27 + j1191,77 VA Por tanto los valores pedidos son:
P = 3489 ,27 W Q = 1191,77 VAr •
A través de las expresiones de la potencia activa y reactiva:
P = V · I ·cos ϕ = 220·16,76·cos 18,86º = 3489,24 W @JUAN LOPEZ CURSO 09‐10 7
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Q = V · I ·sen ϕ = 220·16,76·sen 18,86º = 1191,91 VAr Como se observa existe una pequeña diferencia con los valores anteriores, debidas a los errores cometidos en las aproximaciones con los decimales.
@JUAN LOPEZ CURSO 09‐10 8