Funçôes
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Com este trabalho vou fazer um breve resumo no que relativamente envolve as funções. Falovos da história da função, o porqué, alguns varios tipos de funções como por ex: função linear, degaru, delta de dirac, nas qudraticas… Com tudo isto é melhor dares uma vista “d´olhos” pelo trabalho. Boa leitura.
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O estudo das funções vem de à muito tempo e pode ter tido sua origem na questão: É possível estar em dois lugares ao mesmo tempo!!?
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E a resposta é não. A idéia de função originouse exatamente na resposta matemática a esta pergunta e desenvolveuse com os estudos do italiano Galileo Galileu, em finais do século XVI. Em qualquer movimento,seja uma pedra que cai, uma nave espacial, um cavalo no campo,ocorre uma relação especial entre dois conjuntos numéricos: tempo e de espaço. A partir desta idéia, o conceito de função foise aplicando a todos os movimentos numéricos em que esta relação especial acontece. Na natureza, muitos movimentos obedecem a uma função ou, encaixamse nela.
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A idéia de função é comum a vários ramos da Matemática e, é fundamental no cálculo e muito importante em transformação, pelas suasaplicações. Reparase que: •
Quando um carro vai a circular longo da estrada, em velocidade constante, a distância que percorre é dada em função do tempo consumido.
•
* A área de um terreno é dada em função das suas dimensões.
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* O preço que se paga para enviar uma carta é dado em função do seu peso, isto é, o valor do selo a ser colocado na carta depende do peso da mesma. * O comprimento de uma barra de ferro, quando aquecida, é dado em função da temperatura, pois o ferro se dilata quando aquecido.
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A distância que a água que sai pelos furos atinge se dá em função da pressão, que por sua vez, se dá em função da altura da coluna de água. As funções podem ser classificadas segundo o “comportamento” de seu movimento.
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Função linear Temos no cotidiano, exemplos de aplicação da função linear como fazem os sapateiros que usam a seguinte fórmula para determinar o número do sapato de uma pessoa: N = 5/4c + 7, onde N é o numero do sapato e c é o comprimento do pé
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Observação: Notase que função linear aparece designando funções em dois momentos. O diagrama a seguir tenta demonstrar, através da teoria dos conjuntos, esta situação.
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A função degrau é definida como:
1, se t > 0 u(t) = 0, se t < 0 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
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Algumas funções são de extrema utilidade na
análise de sinais. Uma delas é o Delta de Dirac, definida como: 0, se t ≠ 0 δ( t ) = ∞, se t = 0
Uma característica importante é que a integral da
função desde ∞ a + ∞, ou seja: ∞
∫ δ(t )dt = 1
−∞
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O Dominio
É o conjunto de todos os valores de onde surgem as flechinhas da função. O Contradominio
É um conjunto que pode ser a própria imagem ou um conjunto maior, que contém o conjunto imagem. A Imagem
É o conjunto de todos os valores para onde apontam as flechinhas da função.
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Como captar o movimento de uma bola de futebol chutada pelo jogador? O jogador coloca a bola em jogo com um remate forte. A bola sobe até um ponto máximo e começa a descer descrevendo, assim, uma curva que recebeu o nome de parábola.
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O físico italiano Galileo Galilei (1564 a 1642), estudou atentamente movimentos como o desta bola e concluiu que, se não fosse a resistência do ar, qualquer corpo solto no campo de gravidade da Terra se movimentaria do mesmo modo. Ou seja, ao fim de um segundo percorreria cerca de 5 x 12 = 5 metros; depois de dois segundos percorreria cerca de 5 x 22 = 20 metros; depois de 3 segundos, 5 x 32 = 45 metros; e assim sucessivamente. 17
O gráfico de uma função quadrática é composto por três partes fundamentais:
01) Zeros da função: é ou são os pontos onde o gráfico corta o eixo das abscissas (eixo x).
02) Vértice: ponto mais alto ou mais baixo do gráfico.
03) Termo independente: ponto que o gráfico corta o eixo das ordenadas (eixo y). Obs: x = 0
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Vamos construir o gráfico da função y =x2 – 2x – 3 calculando os pontos citados anteriormente: y
01) Zeros da função
5 4 3
y =0 x2 – 2x – 3 =0 x =– 1
2 1 2
1
0
1
2
3
4
x
1 2
x =3
3 4
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Vértice da função: 02)
−b xv = 2a
−∆ yv = 4a
− ( − 2) xv = 2 ⋅1 2 xv = 2
−16 yv = 4 ⋅1 −16 yv = 4
xv = 1
yv = − 4
V (1, − 4)
y = x2 – 2x – 3 y 5 4 3 2 1 2
1
0
1
2
3
4
x
1 2 3 4
V 20
02) Termo Independente:
y = x2 – 2x – 3 y
x =0
5 4
y =x2 – 2x – 3
3
y =(0)2 – 2(0) – 3
2 1
y =0 – 0 – 3 2
y =– 3
1
0
1
2
3
4
x
1
(0, – 3)
2 3 4
V 21
Observações: y
I: Perceba que o gráfico possui uma
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eixo de simetria vertical, que passa exatamente pelo vértice.
4 3
II: Pelo eixo de simetria percebemos
que o xv é o ponto médio entre os zeros da função, podendo ser calculado pela média aritmética dos zeros!
xv =
−1 + 3 2
xv = 1
2 1 2
1
0
1
2
3
4
x
1 2 3 4
V 22
Vamos construir agora o gráfico da função y = –x2 + 2x + 8: y 01) Zeros da função: y =– x2 +2x +8
– x2 +2x +8 =0 02) Vértice:
−b 2a −∆ yv = 4a
xv =
9
x =– 2
8 7
x =4
6
−2 2(−1) − 36 yv = 4(−1) xv =
5
xv = 1
4
yv = 9
3 2
03) Termo independente: y =– x2 +2x +8 +8
1
(0, )
2
1
0
1
2
3
4
x
1 23
Observações: I: Na função y = ax2 + bx +c, a concavidade da parábola depende do valor de a: a >0
a <0
II: A coordenada y do vértice pode ser chamado de valor da função, podendo ser mínimo ou máximo: a >0
a <0
máximo
mínimo 24
Observações: III: Nem sempre o gráfico corta o eixo x em dois pontos, tendo em vista
que nem todas as funções quadráticas possuem duas raízes reais diferentes: ∆ >0
∆ =0
∆ <0
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O gráfico, de uma função quadrática é uma curva
denominada parábola. O sinal do coeficiente “a” determina a concavidade dessa parábola Assim:
Se a > 0, a concavidade é voltada para cima: ∪. Se a < 0, a concavidade é voltada para baixo: ∩
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Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais e distintas. Se ∆ = 0, a função tem duas raízes reais e iguais. Se ∆ < 0 , não existe raiz real.
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Exemplos: 1. Determine os zeros das funções
reais a seguir
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Função exponencial Como apreender movimentos quantitativos muito rápidos e com números bem altos?
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Ângela resolveu criar coelhos e comprou 4 casais. Na primeira gestação, cada um dos 4 casais gerou outros 4 casais, totalizando 4 x 4 = 42 = 16. A segunda gestação repetiu o número de filhotes, totalizando 4 x 4 x 4 = 43 = 64 casais.
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Nas gestações seguintes os números vão crescendo: 44, 45, 46, 47.... A Multiplicação cresce rapidamente e logo atinge números muito altos. Esta rapidez e estes valores são registrados de um modo mais simples por potências, em que é o expoente que varia.
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O casalinho responsável… lol
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Seja f uma função definida sobre um conjunto S. O valor máximo (máximo global) para f sobre o conjunto S, é um número real M, denotado por
M = max { f(x): x em S }
Isto é, para todo x em S, temos que f(x) < M e além disso,
existe um ponto c em S tal que f(c)=M. O ponto x=c é o ponto de máximo (global) e M é o valor máximo para f sobre o conjunto S.
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Exemplo: A parábola definida por f(x)=1x² sobre o intervalo S=[1,1], possui um ponto de máximo global em x=0 e o valor máximo de f sobre S é f(0)=1.
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Seja f uma função definida sobre um conjunto S. Uma função f possui um ponto de máximo local (relativo) sobre o conjunto S, se existe um ponto c em S, existe uma vizinhança aberta Vc contida em S e existe um número real Mc tal que M = max { f(x): x em V } c c
Isto significa que, para todo x na vizinhança Vc, temos que f(x)<Mc. Um máximo local para uma função f definida sobre um conjunto S, poderá ser também um máximo global para f sobre S. Dentre todos os pontos de máximo local, um ou mais, poderão ser pontos de máximo (global).
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Exemplo: A função parabólica definida por f(x)=x² sobre o intervalo [1,2], possui dois pontos de máximo local, que ocorrem quando x=1 e x=2, mas o ponto em que x=2 é um ponto de máximo para f.
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Seja f uma função definida sobre um conjunto S. O valor mínimo (mínimo global) para f sobre o conjunto S, é um número real m, denotado por m = min { f(x): x em S }
significando que, para todo x em S, temos que m < f(x) e
além disso, existe um ponto d em S tal que f(d)=m. O ponto x=d é ponto de mínimo (global) e m é o valor mínimo para f sobre o conjunto S.
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Exemplo: A função real definida por f(x)=1x² sobre o intervalo fechado S=[1,1] possui dois pontos de mínimo global, que ocorrem em x=1 e x=1 e o valor mínimo global de f sobre S é f(1)=f(1)=0.
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Seja f uma função definida sobre um conjunto S. Uma função f possui um ponto de mínimo local (relativo) sobre o conjunto S, se existe um ponto d em S, existe uma vizinhança aberta Vd contida em S e existe um número real md tal que
md = min { f(x): x em Vd }
Para todo x na vizinhança Vd, temos que f(x)>md. Um mínimo local para uma função f definida sobre um conjunto S, poderá ser também um mínimo global para f sobre S. Dentre os pontos de mínimo local, um ou mais, poderão ser pontos de mínimo.
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Exemplo: f(x)=1x², definida sobre [1,2] possui dois pontos de mínimo local, em x=1 e x=2, mas o ponto cuja abscisa é x=2, é também um ponto de mínimo global para f.
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Os valores máximo e mínimo de uma função, são denominados extremos da função e os pontos de máximo e de mínimo da função, são denominados pontos de extremos da função. Exemplo: Seja uma função f=f(x), cujo gráfico está apresentado na figura. Os valores extremos são f(a), f(b), f(c), f(d) e f(e). Os pontos extremos são os pares ordenados (a,f(a)), (b,f(b)), (c,f(c)), (d,f(d)) e (e,f(e)).
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Uma função poderá ter vários pontos de máximo e vários pontos de mínimo sobre o seu domínio, como é o caso de f(x)=sen(x) definida sobre [4 ,4 ].
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Uma função poderá não ter pontos de máximo nem pontos de mínimo sobre o seu domínio. Um exemplo, é a função identidade f(x)=x definida sobre (1,2). Os extremos só poderiam ocorrer nas extremidades do intervalo (1,2), x=1 ou x=2, mas tais pontos não pertencem ao domínio de f.
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Uma função poderá ter infinitos pontos de máximo e também infinitos pontos de mínimo sobre o seu domínio. Por exemplo, f(x)=3 definida sobre o intervalo [1,1]. Outro exemplo é a função f(x)=cos(x) definida sobre toda a reta real.
Não confundir extremo da função com extremidade do intervalo de definição da função. 51
Parábola 52
1ª) A parábola é obtida seccionandose obliquamente um cone circular reto com um plano paralelo à geratriz oposta:
2ª) Os telescópios refletores mais simples
têm espelhos com secções planas parabólicas. 3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o
Sol ocupa o foco.
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em
torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.
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a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal
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b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal
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c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical
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d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical
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Definição :
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Concluimos com este trabalho as todas a funções tem
muita utilidade no nosso diaádia.
Sem as funções o mundo não teria ainda chagado a
concluões para a fisica, ciencia, juros, … enfim coisas obvias que as proprias funções nos mostram.
Pouco mais tenho acrescentar pois, elas falam por si.
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http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/maxmin/mm01 .htm
https://mailattachment.googleusercontent.com/attachment? ui=2&ik=6badeb175c&view=att&th=12ec36a45969ae72&attid=0.1&disp=inline& safe=1&zw&saduie=AG9B_P vlmbvdzJ87cJarshYz6c3&sadet=1304370749702&sads=yLjRBFfdeeDcliTYlSn VgBj8q0E
http://miltonborba.org/Geo_Ana/Conicas.htm
https://mailattachment.googleusercontent.com/attachment? ui=2&ik=6badeb175c&view=att&th=12ec34041da10c6c&attid=0.1&disp=inline& safe=1&zw&saduie=AG9B_P vlmbvdzJ87cJarshYz6c3&sadet=1304370595763&sads=1RgnU6bM5NtVl1wgV 1t1DA5ZcOQ
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