Capítulo 4: Aplicaciones de la integral definida ⎡c ⎛c 1 c2 1 1 c2 ⎞ 1 1 ⎤ ⎥ ⎜ ⎟− = 2Q ⎢ + + ln + + ln 2 2 2 2 ⎜2 4 4Q 4Q 4 ⎟⎠ 4Q 2Q ⎥ ⎢⎣ 2 4Q ⎝ ⎦ = Qc
1 c2 1 ⎛c 1 c2 ⎞ 1 1 + + ln ⎜ + + ⎟− ln . 2 2 4Q 4 2Q ⎜⎝ 2 4Q 4 ⎟⎠ 2Q 2Q
Si se sustituye Q =
s =
Como n =
s=
4f se obtiene luego de las simplificaciones necesarias: c2
4cf + c c 2 + 16 f 2 1 2 c2 c + 16 f 2 + ln . 2 8f c2
f es la relación de flecha, y por tanto f = nc, se tiene que c
⎡ 4c( nc) + c c 2 + 16n 2 c 2 1 2 c2 c + 16n 2 c 2 + ln ⎢ 2 8(nc) c2 ⎢⎣
⎤ ⎥, ⎥⎦
esto es, s=
c c 1 + 16n 2 + ln ⎡ 4n + 1 + 16n 2 ⎤ , ⎦ 2 8n ⎣
y se tiene así que s = f (c, n). Es decir, la longitud s es una función de c y n. En particular, al sustituir los valores de c y n que aparecen en (5) se obtiene el valor de s: s ≈ 960 pies.
Observación Existe otro procedimiento de cálculo para encontrar la longitud de cada cable usando la serie binomial que aparece en el módulo 31 (vea el ejemplo 13 del módulo 31).
21.3 Área de superficie de revolución En esta sección se presentarán fórmulas para expresar el área de la superficie de un sólido de revolución en forma de integrales definidas. El área de superficie puede interpretarse intuitivamente como la cantidad (en unidades de área) necesaria para «envolver» el sólido. En particular, se mostrará que el área de superficie de una esfera de radio a es cuatro veces el área del círculo que la genera. Éste fue uno de los grandes descubrimientos de Arquímedes en el siglo III a.C.
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