ARITMETICA -AGOSTOSACO OLIVEROS PRIMARIA LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616
ARITMETICA
4º PRIM.
“LA HONRADEZ” Seamos honrados en cada instante de nuestras vidas.
SACO OLIVEROS
ARITMETICA
4º PRIM.
ARITMÉTICA
TEORÍA DE NÚMEROS (continuación)
F
Mínimo Común Múltiplo
F
Máximo Común Divisor
“NÚMEROS RACIONALES”
FRACCIONES F
Noción
F
Representación
F
Lectura y Escritura
F
Clasificación
F
Números Mixtos: –
F
Conversión de un número mixto a fracción impropia y viceversa
Equivalencia: –
Simplificación
–
Ampliación
F
Comparación
F
Relación de orden
SACO OLIVEROS
ARITMETICA
4º PRIM.
ARITMETICA CARL FRIEDRICH GAUSS La capacidad para efectuar rápidamente operaciones aritméticas mentales parece tener solo una moderada correlación con la inteligencia general y menor aún con la intuición y creatividad matemática. Algunos de los matemáticos más sobresalientes
han
tenido
dificultades
al
operar,
y
muchos
“calculistas
ultrarrápidos” profesionales (aunque no los mejores) han sido torpes en todas las demás capacidades mentales. Sin embargo, algunos grandes matemáticos han sido también diestros calculistas mentales. Carl Friedrich Gauss por ejemplo, podía llevar a cabo prodigiosas hazañas matemáticas en la mente. Le gustaba hacer alarde de que aprendió antes a calcular que a hablar. Se cuenta que en cierta ocasión su padre, de oficio albañil, estaba confeccionando la nómina general de sus empleados, cuando, Friedrich, que entonces tenía 3 años, le interrumpió diciéndole: “Papá, la cuenta está mal…”. Al volver a sumar la larga lista de números se comprobó que la suma correcta era la indicada por el niño. Nadie le había enseñado nada de aritmética. John von Neumann era un genio matemático que también estuvo dotado de ese poder peculiar de computar sin usar lápiz ni papel. Robert Jungk habla en su libro Brighter than a Thousand Suns acerca de una reunión celebrada en Los Álamos, durante la Segunda Guerra Mundial, en la que von Neuman, Enrico Fermi, Edward Teller y Richard Feynman lanzaba continuamente ideas. Siempre que había que efectuar
un cálculo matemático,
Fermi, Feynman y von Neumann se ponían en acción. Fermi empleaba una regla de cálculo, Feynman una calculadora de mesa, y von Neumann su cabeza. “La cabeza”, escribe Jungk (citando a otro físico), “terminaba normalmente la primera, y es notable lo próximas que estaban siempre las tres soluciones”. La capacidad para el cálculo mental de Gauss, von Neumann y otros leones matemáticos como Leonhard Euler y John Wallis puede parecer milagrosa; palidece, sin embargo, ante las hazañas de los calculistas profesionales, una curiosa raza de acróbatas mentales que floreció a lo largo del siglo XIX en Inglaterra, Europa y América. Muchos comenzaron su carrera de niños. Aunque algunos escribieron acerca de sus métodos y fueron examinados por psicólogos, probablemente ocultaron la mayoría de sus secretos, o quizás ni ellos mismos
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ARITMETICA
4º PRIM.
entendían del todo como hacían lo que hacían. Zerah Colburn, nacido en Cabot, Vt., en 1804, fue el primero de los
calculistas profesionales. Tenía seis dedos en cada mano y en cada pie, al igual que su padre, su bisabuela y al menos uno de sus hermanos. (Se le amputaron los dedos de sobra cuando tenía alrededor de 10 años. Nos preguntamos si acaso fue eso lo que le alentó en sus primeros esfuerzos por contar y calcular). El niño aprendió la tabla de multiplicar hasta el 100 antes de que pudiese leer o escribir. Su padre, un pobre granjero, se dio cuenta rápidamente de sus posibilidades comerciales, y cuando el rapaz tenía solamente seis años le llevó de gira por primera vez. Sus actuaciones en Inglaterra, cuando tenía ocho años, están bien documentadas. Podía multiplicar cualquier número de cuatro dígitos casi instantáneamente, pero dudaba un momento ante los de cinco. Cuando se le pedía multiplicar 21,734 por 543, decía inmediatamente 11801,562. Al preguntarle cómo lo había hecho, explicó que 543 es igual a 181 veces 3. Y como era más fácil multiplicar por 181 que por 543, había multiplicado primero 21,734 por 3 y luego el resultado por 181. Washington Irving y otros admiradores del niño recaudaron dinero suficiente para enviarlo a la escuela, primero en París y luego en Londres. No se sabe si sus poderes de cálculo decrecieron con la edad o si perdió el interés por actuar. Lo cierto es que volvió a América cuando tenía 20 años, ejerciendo luego otros diez como misionero metodista. En 1833 publicó en Springfield, Mass, su pintoresca autobiografía titulada A Memoir of Zerah Colburn: written by himself… with his peculiar methods of calculation. En el momento de su muerte, a los 35 años, enseñaba lenguas extranjeras en la Universidad de Norwich en Northfield, Vt.
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4º PRIM.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Es el menor múltiplo en común de los números dados, excepto el 0. Se representa por M.C.M. Ejm.: Calcula el m.c.m. de 16 y 28. M16 = {0; 16; 32; 48; 64; 80; 96; 112; 128; 144 ...} M28 = {0; 28; 56; 84; 112; 140; 168; 196; 224 ...} Entonces el M.C.M.
=
112
Pero nosotros trabajaremos con otro método:
M.C.M. =
24 7
M.C.M. =
16 7
M.C.M. = 112 Veamos otro ejemplo: Halla el M.C.M. de 20, 12 y 16
S i e l m a y o r d e lo s n ú m e r o s d a d o s e s m ú l t i p l o d e l o s d e m á s e n to n c e s e l M í n i m o C o m ú n M ú lt i p l o d e to d o s e ll o s e s e l n ú m e r o m a y o r
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I.
1.
4º PRIM. M.C.M. =
24 3 5
M.C.M. =
16 3 5
M.C.M. =
240
Hallar el M.C.M. de cada terna de números:
2 - 16 - 8
2.
12 - 6 - 24
3.
28 - 14 - 7
1 1 -
1
- 1
1 -
M .C .M (2 ; 1 6 ; 8 ) =
1
5.
- 1
- 1
M .C .M (1 2 ; 6 ; 2 4 ) =
4. 18 - 30
1
M .C .M (2 8 ; 1 4 ; 7 ) =
72 - 84
6.
25 - 50
1 1 -
1
1 1 -
M .C .M (1 8 ; 3 0 ) =
7.
1
M .C .M (7 2 ; 8 4 ) =
6
1 -
- 8
1
20
-
8.
M .C .M (2 5 ; 5 0 ) =
26 - 34 - 56
1 1 -
M .C .M (6 ; 8 ; 2 0 ) =
1 -
1
M .C .M (2 6 ; 3 4 ; 5 6 ) =
SACO OLIVEROS
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4º PRIM.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Es el mayor divisor en común de los números dados. Se representa por M.C.D. Ej.: Calcula el M.C.D. de 36 y 48.
D
36
= 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9; 12 ; 18 ; 3 6
D
48
= 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9; 12 ; 16 ; 2 4 ; 4 8
Observamos que el mayor divisor es 12, entonces: el M.C.D. es 12 Nosotros utilizaremos otro método para trabajar sólo que ahora debemos tener mucho cuidado. Hallar el M.C.D. de 36, 48:
M.C.D.(36; 48)
=
22 3
M.C.D.(36; 48)= 4 3 M.C.D.(36; 48) = 12 Ejm.: Hallar el M.C.D. de 12, 20 y 30 S i e l m e n o r d e lo s n ú m e r o s d a d o s e s d i v i s o r d e lo s d e m á s e n t o n c e s e l M á x im o C o m ú n D iv is o r d e to d o s e l lo s e s e l n ú m e r o m e n o r.
M.C.D. (12; 20; 30)
=
2 SACO OLIVEROS
ARITMETICA
4ยบ PRIM.
P R A C T IQ U E M O S
I.
Hallar el M.C.D. de:
1. 20 - 30
2. 18 - 30
M .C .D (2 0 ; 3 0 ) =
4. 25 - 50
M .C .D (2 5 ; 5 0 ) =
7.
14 - 28 - 56
M .C .D . (1 4 ; 2 8 ; 5 6 ) =
3.
60 - 45
M .C .D . (1 8 ; 3 0 ) =
M .C .D (6 0 ; 4 5 ) =
5. 40 - 16
6.
M .C .D (4 0 ; 1 6 ) =
M .C .D (4 4 ; 8 8 ) =
8.
44 - 88
40 - 60 - 20 - 80
M .C .M (4 0 ; 6 0 ; 2 0 ; 8 0 ) = SACO OLIVEROS
ARITMETICA
4º PRIM.
B
Hallar el M.C.M. y M.C.D. de las siguientes ternas de números: 1.
60; 9 y 30
2.
30, 40 y 50
3.
54, 80 y 64
4.
18, 64 y 72
5.
12, 60 y 72
6.
25, 40 y 15
7.
16, 30 y 34
8.
30, 36 y 48
9.
20, 30 y 40
10.
30, 60 y 90
SACO OLIVEROS
ARITMETICA
4º PRIM. NÚMEROS RACIONALES
I.
FRACCIONES
1.
DEFINICIÓN.- Es el cociente entre dos números. Sus términos son:
a b 2.
N u m e ra d o r D e n o m in a d o r
b =
0
REPRESENTACIÓN GRÁFICA.- El denominador indica en cuantas partes se divide la unidad y el numerador cuantas partes se consideran del total.
3.
3 5
T r e s q u i n t o s
LECTURA DE UNA FRACCIÓN Para leer una fracción se menciona primero el numerador y luego el denominador
SACO OLIVEROS
ARITMETICA E jm s .:
4.
F ra c c ió n
4º PRIM. s e le e :
F ra c c ió n
s e le e :
3 2
T re s m e d io s
7 10
S i e te d é c im o s
8 5
O c h o q u in to s
4 12
C u a tr o d o c e a v o s
CLASIFICACIÓN Las fracciones se clasifican en: A)
Propias
Cuando el numerador es MENOR que el denominador, es decir, son menores que la unidad.
1 3 7 ; ; Ejemplos: 2 5 11 B)
Impropias
Ejemplos: C)
D)
3 5 9 ; ; 5 4 7
Decimales
5 1 4 Cuando tienen el mismo denominador.
7 4 1 5 ; ; ; 11 11 11 11
Heterogéneas
Ejemplos: E)
Cuando el numerador es MAYOR que el denominador, es decir, son mayores que la unidad.
Homogéneas
Ejemplos:
3 1 5
Cuando tienen distinto denominador.
3 5 7 8 ; ; ; 4 6 10 13 Cuando el denominador es una potencia de base 10.
7 4 6 ; ; Ejemplos: 10 100 1000
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ARITMETICA F)
4º PRIM.
Iguales a la unidad
Ejemplos:
Cuando el numerador y denominador son iguales.
8 12 17 ; ; 8 12 17
EJERCICIOS 1.
Escribe la fracción correspondiente a:
2.
Convertir cada fracción impropia a número entero:
A)
3.
....... .......
15 3
144 C) 12
40 B) 5
Gráfica las siguientes fracciones:
3 8
1 5
NÚMEROS MIXTOS SACO OLIVEROS
ARITMETICA
4º PRIM.
5. Son aquellos que tienen una parte entera y otra fraccionaria
5 p a r te e n te r a
3 7
p a r te fra c c io n a ria S e le e : c i n c o e n te r o s , tr e s s é p ti m o s
53 7 Podemos graficar así: 7 = 7
1
7 = 7
1
7 = 7
1
7 = 7
1
7 = 7
1
3 7
5
3 7
5.1. Conversión de un número mixto a fracción impropia Para convertir un número mixto a fracción impropia debemos multiplicar el denominador con la parte entera y sumarle el numerador. El denominador es el mismo. Ejm.: convertir:
A)
4
1 5 4 1 21 5 5 5
B)
3
6 7 3 6 27 7 7 7
5.2 Conversión de una fracción impropia a número mixto Para convertir una fracción impropia a número mixto debemos dividir el numerador entre el denominador el resultado será:
SACO OLIVEROS
ARITMETICA
A)
45 7
A)
74 5
B)
I.
4º PRIM.
74 5 24 20 4
5 14
45 42 3
14
7 6
D e n o m in a d o r P a r te e n te r a N u m e ra d o r
6
3 7
4 5
Escribe las fracciones que representan las regiones sombreadas de cada dibujo y completa:
1 S e le e : _________________________________
2 S e le e : _________________________________
SACO OLIVEROS
ARITMETICA
4ยบ PRIM.
3 S e le e : _________________________________
4 S e le e : _________________________________
5 S e le e : _________________________________
6 S e le e : _________________________________
7 S e le e : _________________________________
8 S e le e : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ SACO _ _ _ _ _ OLIVEROS __
ARITMETICA
4ยบ PRIM.
1
4 8
4
5 14
2
3 8
5
2 4
3
2 6
6
1 3
1 3
III. Escribe la fracciรณn que corresponde:
SACO OLIVEROS
ARITMETICA
4º PRIM.
1
s ie te o c ta v o s
:
_______
6
u n tre c e a v o
:
_______
2
n u eve o n cea vo s
:
_______
7
d ie c in u e v e n o v e n o s
:
_______
3
d o c e q u in to s
_______
8
c a to r c e m e d io s
:
_______
4
c u a tro q u in c e a v o s
:
_______
9
v e in tisé is c e n té sim o s
5
d ie z v e in te a v o s
:
_______
10
vt er ei nc et i so éc i tsa vc oa sn t é s i m o s
:
:
_______
:
_______
IV. Escribe el nombre de las siguientes fracciones:
5 9
1
3
2
11
5
15 14
6
21 100
1 47 3 1 5 23
67
7 33 4 13 5
4 5
7
13 19 15
17 100
8
1 ;3 ;5 4 4 4
V. Clasifica fracciones según corresponda: 8 ; 9 ; las 1
1 ;1 ;2 2 3 5
4
2 7
10 3
4
11 11 11
8
9
7
SACO OLIVEROS
5
5 ;3 ;4 7 5 3
10
5 10
ARITMETICA
4º PRIM.
VI. Convierte cada fracción impropia en número entero:
1
2
1
=
5
=
2
20 = 4
6
72 = 9
10
35 = 5
3
25 = 5
7
27 = 9
11
90 = 10
4
14 = 2
8
60 = 3
=
30 = 9
5
6
=
28 = 9
68 = VII. a números mixtos 7las fracciones impropias: = 3 Convierte 10
4
19 = 6
8
43 = 8
9
9 12
=
81 = 3
=
10
23 = 2
11
75 = 9
12
63 = 11
SACO OLIVEROS
ARITMETICA
4º PRIM.
VIII. Convierte los números mixtos en fracciones impropias:
1
2
=
5
4
2
1
=
6
10
3
3
=
7
11
4
6
=
8
8
2
=
=
10 3
=
=
11 5
=
=
=
9
12
11
=
B SACO OLIVEROS
ARITMETICA 1 .
2.
4º PRIM.
Convierte a número mixto:
A)
=
B)
=
C )
=
D )
36 = 5
E)
27 = 5
F)
42 = 12
G )
=
H )
31 = 6
I)
45 = 8
Convierte a fracción impropia:
A) 8
=
B) 4
=
C ) 9
=
D ) 6
=
E) 8
=
F) 4
=
G ) 7
=
H ) 1
=
I) 6
=
6.
FRACCIONES EQUIVALENTES
Dos o más fracciones son equivalentes si
representan la misma cantidad.
SACO OLIVEROS
ARITMETICA
4º PRIM.
=
=
=
F R A C C IO N E S E Q U IV A L E N T E S
Las fracciones equivalentes se pueden dar de 2 formas P O R S IM P L IF IC A C IÓ N :
6.1
2 3
A) 4 5 4 8
=
B) 4 5 4 8
12 24
6
=
3 3 6
=
12
2
3
6.2
2
1 2
=
F ra c c ió n ir re d u c tib le
3
2
P O R A M P L IA C IÓ N :
2
A) 3 5
3 6 10
= 2
B) 2
18 30
=
4 7
3
=
4
3 8 14
2
=
12 21
3
=
16 28
4
Ejemplos: 1. Halla 3 fracciones equivalentes a:
4 8 12 16 ; ; ; 5 10 15 20
6 12 18 ; ; ; 10 20 30
24 40
SACO OLIVEROS
ARITMETICA
4º PRIM.
2. Simplifica y halla la fracción irreductible A) 40 50
7.
B) 100
20 4 25 5
200
1 2
COMPARACIÓN DE FRACCIONES Comparar fracciones significa determinar si una de ellas es < ; > ó = Las fracciones se pueden comparar de dos formas: A)
Cuando son fracciones homogéneas: Será mayor la que tenga mayor numerador y será menor la que tenga menor numerador. Ejm.: Determinar < ; > ó =
3 > 5
1 5
9 4
< 12 4
6 > 10
3 >
1
9
<
6
12
>
4 10
5 7
=
5 7
4
5 =
5
B)Cuando son fracciones heterogéneas: Se multiplica en aspa y se determina cuál es menor (< ), mayor (>) o igual ( = )
4 7 4 8 32 8.
<
6 8
7 5 6 7 42
710 70
>
4 10 54 20
20 = 8
5 2
2 02 85 40 = 40
Relación de Orden Es ordenar las fracciones homogéneas de dos formas: Crecientes: De menor a mayor Decrecientes: De mayor a menor
Ejemplos:
1.
Ordena en forma creciente:
1 4 3 10 7 , , , , 5 5 5 5 5 SACO OLIVEROS
ARITMETICA
4º PRIM.
1 3 4 7 10 5 5 5 5 5 2.
Ordena en forma decreciente:
8 12 11 1 9 ; ; ; ; 10 10 10 10 10
12 11 9 8 1 ; ; ; ; 10 10 10 10 10
I.
Escribe tres fracciones equivalentes a:
1
2 = 3
=
=
5
2 = 5
=
=
2
1 = 4
=
=
6
1 = 3
=
=
3
5 = 6
=
=
7
3 = 4
=
=
4
1 = 5
=
=
8
5 = 7
=
=
II.
Coloca > ; < o = según corresponda:
SACO OLIVEROS
ARITMETICA
4ยบ PRIM.
III. Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
IV. Ordena las siguientes fracciones de mayor a menor :
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
B I. Encierra la fracciรณn menor en cada una de las listas siguientes:
;
;
;
;
;
;
SACO OLIVEROS
;
;
;
;
;
;
ARITMETICA
II.
a
4º PRIM.
Encierra en un círculo la letra que contiene fracciones equivalentes:
y
b
y
c
y
III. Coloca > ; < o = según corresponda:
IV. Escribe 3 fracciones equivalentes a:
SACO OLIVEROS
ARITMETICA
4ยบ PRIM.
V. Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor: 1.
3 5 7 9 11 ; ; ; ; 35 35 35 35 35
2.
4 6 8 10 12 ; ; ; ; 40 40 40 40 40
3.
40 38 36 34 32 ; ; ; ; 2 2 2 2 2
4.
8 9 10 11 12 ; ; ; ; 5 5 5 5 5
VI. Ordena las siguientes fracciones de mayor a menor. 5 6 1 ; ; ; 20 20 1. 20
9 13 ; 20 20
SACO OLIVEROS
ARITMETICA
4ยบ PRIM.
4 8 2 15 20 ; ; ; ; 15 15 15 15 2. 15
7 1 5 17 11 ; ; ; ; 8 8 8 8 3. 8
2 6 15 3 24 ; ; ; ; 9 9 9 9 4. 9
SACO OLIVEROS