Curso de estudios elementales de marina by FUNDACIÓN JUANELO TURRIANO

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CURSO DE ESTUDIOS ELEMENTALES

DE MARINA, ESCRITO DE ORDEN DE S. H.

POR DON GABRIEL CISCAR.

TOMO I. QUE CONTIENE EL TRATADO DE ARIT:METICA.

QUINTA EDJCION.

MADRID EN LA IMPRENTA NACIONAL. A~O DE

1836.

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INTRODUCCION.

E1.

objeto principal de este tratado es facilitar la práctica del Pilota~e, y la inteligéncia de algunas· proposiciones de maniobra y a~tillería. Esta es la razon por que se explican en él e_xtensamente las reglas y· propiedadt:s de que se hará mucho uso en dichos tratados, al paso. que se tocan muy por encima otras utilísimas para las aplicaciones de la aritmética al comercio y a varias ciencias .y artes, de que se prescinde en este curso elemental. · El método que se ha seguido en la ordenacion de materias -y en el modo de operar;, es el resultado de muchas reflexiones fundadas en .la naturaleza y uso de las cosas, y en una larga práctica de enseñar, examinar y dirigir a los maestros. Estamos ¡,ersuadidos en que para los que saben los méto<l:os mas expeditos y seguros suelen ser aquellos á que estan acostumbrados. Los discípulos que entran de nuevo en la carrera de las ciencias se hallan en un caso muy distinto; y los maestros que por flojedad, por ignorancia, ó por un amor propio mal fundado, no se arreglen -al método qne se prescribe, serán responsables de las malas. resultas que debe tener la falta de conformidad de sus explicaciónes coh las del texto, cuya inteligencia deben facilitar por todos los medios imaginables. La primera ocupa-don del maestro que desee enseñar con aprovechamiento , será el hacer un estudio formal de los tratados escritos para servir de texto á s\1 doctrina. A estas advertencias y reflexiones generales, aplicables á la enseñanza de todos los tratados, conviene añadir otras particulares al de aritmética. Para facilitar á los discípulo~ el _estudio de una ciencia tan interesañte, se tendrá p.r-ésente el no señalar de leccion regla alguna que no se haya aclarado con

. IV '

INTRODUCCIO:N,.

ejemplos: y será conveniente el que dichas reglas se aprendan de memoria, respecto á que su texto debe ser el recurso para resolver cualquiera dificultad que se presente en la ejecucion. Tambien deberán aprenderse de memoria las proposiciones teóricas que sirven de base para la buena aplicacion de las reglas, y para la deduccion de algunas consecuen,s::ias interesantes, que facilitarán la inteligencia de los demas tratados. · En cuanto á las demostraciones es muy suficiente el entenderlas y el dar razon de ellas, aunque para esto se haga uso de voces y expresiones diferentes de las que se emplean en el texto. Los que no se hallen en estado de comprender á fondo dichas demostraciones, bastará que tomen alguna idea de ellas; y de los dos extremos, el de pasarlas enteramente por alto es preferible al de aprenderlas materialmente de memoria sin entenderlas. Las explicaciones y ejemplos, que van de letra menor, se han puesto con el objeto de uniformar, en cuanto sea dable, el método de los maestro~ de repaso con el que se sigue en la academia, y para que los discípulos de mejor disposicion para el estudio puedan repasar por sí solos, y aun anticiparse á las lecciones ordinarias. La omision de esta parte interesante dismin uiria considerablemente el volúmen del tratado de aritmética; pero dicha disminucion seria eri perjuicio de la claridad y facilidad que deben constituir el mérito principal de un Tratado de enseñanza. · Cuando _la explicacion caiga al otro lado de la plaha en que se halla el ejemplo á que pertenece, se puede copiar este en un papel suelto , que se tendrá á la vista para facilitar la inteligencia de dicha explicacion. Las materias se han distribuido en XIII capítulos: algunos de los cuales se han subdividido en títulos secundarios,. cuando la naturaleza de las materias lo ha exigido. · i '' El capítuli:i ·I; · bajo el título de nociones genera/u, t omprende las .definiciones de muchos términos facul-

: JNTRODUCCION.

V-

tativ9s, y la enunciacion de algunas verdades, que constituyen la base funda'mental de todas las Ciencias Ma. temáticas. En la primera lectura se pueden pasar •.por alto algunCJs de los artículos comprendidos entre el 7 y 38; y á los Maestros toca el- ir aclarando dicha doctrina con ejemplos, al paso que se vaya presentando la · · ocas ion. En el capítulo II se expone todo lo rélativo al modo de enunciar cualquiera cantidad numérica, y al de .representarla con cifras. Para la práctica ordinaria de la navegacion basta saber enunciar y representar las cantidades simples comprendidas entre los millones y los -milésimos, los quebrados mas sencillos, y los números complexos; y en el taso de que se trate de operar con cantidades· compuestas de muchas cifras, se puede recurrir al arbitrio que se manifiesta en el artículo 56. En el capítulo III se trata de las cantidades positi-vas y negativas; y en el IV se explican las operaciones de sumar y restár los números simples. La materia de estos dos capítulos es m_uy interesante para facilit;ar la solucion <le muchos problemas usuales en la práctica de la na vegacion. En el capítulo V se trata del multiplicar los números simples. El modo de ordenar las cifras y separar los décima.les, que se enseña desde el número 1<? hasta el 6? -del artículo 113 , tiene sobre el método ordinario la ventaja de aplicarse.con suma facilidad á determinar el producto con el grado de aproximacion que permite la naturaleza de los factores, segun se enseña en el Tratado . · -impreso en Murda •para la instruc~ion de los Guardias Marinas, desde el artículo 128 al 138. Sin embargo· de esto, no hay inconveniente en que en la práctica ordinaria se emplee el método que se ha usado generalmente hastá ahora, ejecutando la separacion de decimales se;.. gun se prescribe en el número 7<? del artículo citado. En el capítulo VI se trata del modo de partir los números simples. Los sugetos de poca disposicion para

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INTRODUCCION.

el estudio, pueden contentarse con el método pesado ·y material que se explica en el artículo i40. En tal caso, para tantear las cifras del cuociente pueden escribir en papel separado la cifra que se trata de determinar, y su product_o por todo el divisor. Si dicho producto resulta mayor que 13: porcion correspondiente del dividendo, se rebajará una unidad del cuociente; y luego que se haya obtenido un producto igual ó menor que la cantidad de que se ha de restar, se escribirán en sus lugares correspondientes, la nueva cifra del cuociente y su producto por el divisor; y se continuará la operacion segun se previene en el artículo citado. Para ios sugetos de mediana disposicion, el método del artículo 140 solo debe servir de prelin1inar para facilitar la inteligencia del método mas expedito y elegante que se explica en el artículo 149. En tal caso, deben imponerse muy bien en el modo de tantear las éifras del cuociente, segun se enseña en el artículo 147. A los Maestros toca el facilitar la ejecucion de dicha regla con su · aplicacion á los ejemplos. En el capítulo VII se trata del modo de operar con los gu~brados. Lo mas interesante de este capítulo son los artículos 163, 164, 165, 166, 169, 170 y 177; y lo den:ias tiene poco uso en la práctica ordinaria de la navegac1,on. En el capítulo VIII se explica el modo de operar con los números complexos. Es de mucho uso lo que se enseña en los artículos comprendidos desde el 179 al _192, como tambien la multiplicacion de los números sexagesimales por unidades simples, y el m'odo de sacar sus mitades, terceras y cuartas partes, segun se explica desde el artículo 206 hasta el 208. Pero no hay ·inconveniente en pasar por alto el modo elegante de partir dichos números, que se expone en el artículo 199 y en los siguientes hasta el 205. En el capítulo IX se trata _muy sucintamente de las

INTRODUCCION.

VII

potestades y · raices en general. El contenido de dicho · capí~ulo es interesante para la inteligencia de algunas fórmulas· del Pilotage, y para las aplicaciones de .Ja lioctrina de los sólidos á algunos puntos de maniobra y artillería. En el capítulo X se trata de las razones y ·proporciones. La materia de este capítulo tiene muchas aplicaciones. El contenido de los artículos comprendidos entre el 2 58 y 268 no tiene úso en la práctica· ordinaria del Pilotage; pero es interesante para facilitar la inteligencia de algunas proposiciones de artillería y maniobra. La proposicion final del artículo 269 es una de las que conviene retener en la memoria. En el capítulo Xf se trata de la regla de tres simple y compuesta. De esta última solo se presentan casos semejantes al ejemplo 2? del artículo 282 en la práctica ordinaria de la navegacion. . En el capítulo XIr se da una idea de las progres10nes. En el capítulo XIII se trata de los logaritmos; y la parte mas interesante de dicho capítulo ~s la resolucion de los problemas. Los apéndices I y II contienen una coleccion de ejemplos y reflexiones propias para manifestar la utilidad de la aritmética, y para ejercitarse en el uso de las reglas. Si los ejemplos que proponen los maestros son por el estilo de los que se resuelven en dichos apéndices, se logrará el que sin mas trabajo que el ordinario salgan los discípulos impuestos en el modo de aplicar dicha ciencia á la solucion de los problemas de Cosmografía y Pilotage, para cuya inteligencia tendrán ll)Ucbo adelantado. Los que quieran imponerse en algunas demostraciones y métodos qt1e se han omitido en este tratado, pueden recurrir al impreso en Murcia en 1795, que se halla de venta en las academias de Guardias Marinas; teniendo presente el corregir las erratas que se advier-

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VlII

') INTRODUCCION.

ten en la página 65 línea 22, en el ejemplo de las páginas 125 y 126, y en el ejemplo 1~ de la página 158. ; 1 Será muy conveniente el que los maestros expliquen con- extension el üso de las citas, para que los discípulos se pongan en estado de repasar por sí solos este tratado y -- otros cualesquiera. ·

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,TRATADO DE ARITMETICA. .

·CAPITULO PRIMERO. NOCIONES GENERALES.

+ I Cantidad es todo lo que es capaz de aumento

disminucion. -,, Se conoce que ·una cosa s~ co~sídera como cantidad en que preguntando por ella se puede usar de la palabra cuanto; y en general, siempre que se emplea el comparativo ó superlativo se trata <le una cantidad; v. g., cuando decimos Francisco es mas rico que Pedro, consideramos la riqueza como cantidad. + 2 Matemática es la ciencia que trata de la cantidad, y se subdi-vide en otras ciencias. • _ ....,3 Unidad es la cantidad que se toma por término de compara_cion para dar idea de las demas cantidades de su especie. ,;,--4 Número es la comparacion de la unidad con upa cantidad cualquiera. V. g. cuando se dice la distancia de tal ti tal parte es d~ ocho varas, que equivale á dt>cir que la tal distancia contiene ocho veces á la distancia que llamamos vara; la vara es la unidad, y ocho el número.

5 El número s~ llama concreto ó denominado cuando se expresa la unidad; v. g. cuando se dice ocho real~s, cinco azumbres &c.; y abstracto cuando no _se expresa , la unidad, v. g. cuando decimos ~implemente ocho, cuatro &c. -+- 6 Aritmética es la cienci;i que trata de la cantidad , expresada en núme1ms. + 7 ·Para entender' los tratados de Matemática, y formar alguna idea_de la exactitud, que hace tan recomendable"esta ciencia, conviene teñer presente lo que sigue . ..,- 8 ' Dejinicion nominal es la manifestacion del significado de una voz. · -,t

·1

' 2 -1'

TRATADO

9 D{finicion real es la rnanifestac1on de solo lo pre•

ciso para distinguir la cosa definida de todas las <lemas que existen ó pueden existir. --r I o Deséripcion es 1á rnanifestacion de mas de lo preciso para distinguir la cosa des~rita de todas las <lemas. +11 Hipótesis es una suposicion que se hace. _,... 1..2 Axioma es una verdad tan manifiesta, que no se puede demostrar por su mucha claridad; y resulta de la _. simple contemplacion de las definiciones. ~ 13 Postulado es· U!J axioma que recae sobre la posi·b~lid':1d de ejecutar alguna cosa. .. ·.:...-14 Teorema es una verdad que no nos convence si ' ·no se demuestra, y se deduce de las definiciones, axio·mas , ó de otras verdades- demostradas. El teorema consta de dos partes: es á saber; de la proposicion, en que se enuncia la verdad; y de ·la demostracion, en que se manifiesta su certeza. + 15 .. Proble.ma se llama la propuesta de una cosa que ' "se ha de ejecutar. ·El problema tiene tres partes : es á saber; la proposicion, en que se expone lo que se pretende 'hacer; la resotucion, en que se manifiestá el modo de ejecútarlo; la demostracion, en qt.1e se manifiesta que ,, ejecutado lo que se•previene en la resolucion se obtiene . lo qlle se pretendia. En la Aritmética se suelen llamar reglas las resoluciones de los problemas. '-r 16 · Lema es un teorema que se demuestra solo para ;que sirva de fundamento para deducir consecuencias que · tienen una relacion directa con la materia que se trata. -f 17 Corolario es una consecuencia que resulta de una verdad establecida con tanta claridad , que no necesita ·demostracion en forma, y basta insinuar el modo de deducirla. -· ,+-Í 8 En los escolios se pon_en algunas aclaraciones, que :• facilitan :la inteligencia de lo dicho: se responde á las ·,objeciones que pueden hacerse · á la doctrina .expuesta; -'se manifiestan sus usos; se hacen -adverfencias, y se dan algunas noticias curiosas.

' DE ARIT:MÉTICA. 3 + 19 . Ciencia en . rigor _es el conocimiento que .se tie.ne _ de una cosa cuando dicho conocimiento se .furida solo en definiciones exactas, axiomas, ó verdad e~ que resultan de diéhos principios por una cadeña no interrum-:- . pida de •consecuencias bien deducidas. En este sentido riguroso se ha tomado esta voz cuando se ha dicho que . la Matemática era una ciencia. -+-20 . Casi todas las verd~des matemáticas resultan de las definiciones y.axiomas. siguientes. · .+- 21 D~finicion. Todo es una ~antidad que se c?.nside-,..,· ra como el resultado de la reumon de otras. cantidades, , que se llaman pqr.tes. · _,_ 22 Definicion. Parte es una de aquellas caµtidades de cuya reunion resulta el todo. . 2 Axioma. El todo es igual á todas sus partes jun~. _ 9 tas(*). . . --,..24 Axioma. La parte es menor que el todo. -,.. 2 5 Axioma. Dos cosas iguales á una te~cera son iguales entre sí. . · --,. 26 · Axioma. Si á iguales se añaden ó quhan iguales, los resultados serán iguales. . , . -r 27 Axioma. Si á iguales se añaden ó quitan desigua·les, los resultados seran desiguales; y será mayor el resultado de la cantidad á que se añadió mas, ó de que se quitó menos; y menor el resultado de la cantidad á que se añadió menos, ó de que-se quitó mas. · ~ 28 Axioma. Si añadiendo iguales cantidades á va3:ias can.tidades primitivas son iguales resultados, las cantidades primitivas serán iguales. . 29 · Axioma. Si quitando iguales cantidades de otras prJipitivas s~n iguales los resultados, las cantidades prim1t1 vas son iguales. . 30 . Axioma. Si añadiendo ó quitando iguales cantidade.s á varias cantida~es primitivas son desiguales los r~-. -~ f-

• (•) En to .::o e~te capítulo se presc111de de las cantidades negativas. Esto eqHivale á decir que las cantidades que se tonsiderari so11· de la misma especie;

· y por lo tanto·, cuando se trata de-quitar una can ti dad de otra , se su pone. que la cantidad que se quita és menor que aquella de que se quita.

TRATADO

sultados, la primitiva que da mayor resultado es mayor. 31 Axioma. Dos cantidades, que difieren igualmen. te de una ter~era, las dos por exceso, ó las dos por de-· fecto, son iguales entre sí. 32 A.xioma. Si dos cantidades no difieren igualmen• te de _una tercera, serán desiguales. 33 Axioma. Si una cantidad difiere de una tercera por defecto, y otra difiere de la misma tercera _por exceso, la que difiere por exceso es mayor. Si las dos difie.:. ren· por exceso, será mayor le\ que difiere mas; y si las dos difieren por defecto, la que difiere menos. 34 Axioma. Si á dos cantidades se agregan ó se quitan iguales eantidades, su diferencia, no variará. 35 Axioma. Si añadiendo ó quitando á dos cantidades queda la misma diferencia, es señal de que son igµales las cantidades añadidas ó quitadas. X 36 . D~fin~cion. Absurdo es fo qu~ se opone á una verdad conocida. X 37 AxifJma. Si de una hipótesis se deduce por racio~inios rigurosos una consecuencia absurda, la hipótesis ~erá absurda. ·cAPILULO II. DEL MODO DE ENUNCIAR CUALQUIERA CANTIDAD ' , . · NUMERICA, Y REPRESENTARLA CON CIFRAS •

. y p8

~n~do de enunciar cualquiera cantidad numerica, y el. modo de representarla con cifras, tienen entre .sí tanta conexion, que se comprenderán mas fácilmente tratándolos á un tiempo. -+ Las cifras vulgares, ó caractéres con. que · se representan los números, son como sigue: Cifras. o 1 2 3 4 5 . . ._ Valores. cero ó nada ... uno ... dos... tres ... cüatro}.. cinc'o ... 6 7. 8 9 seis... siete... ocho ... nueve. -t Todas las cifras,. excepto el cero, son significantes;. /

·-

DE ARITMÉTICA.

y aunque el cero por sí solo nada _significa, ~irve para lo que se dirá muy pronto. + Con estas cifras es evidel)te que se representan todos los números menoi:es que diez _(cuando constan de un número exacto de unidades), y á dichos números se les dará el nombre general de unidades simples. , _, 39 · Al diez se le da el nombre de decena, y' en {)delante se cuenta por decenas y \midades simples hasta diez decenas. Para representar un número que consta· de decenas solas, ó de decenas y unidades simples, sin introducir nuevas cifras, se ha establecidQ que siempre que se pongan una al lado de otra dos cifras de las_expresadas, la de la izquierda representa las decenas, y la de la de' recha las unidades simples.

Así, -J 6 representa una decena y seis unidades: esfo es, diez y seis~ representa una decena y ocho unidades:' esto es, diez y ocho: 1 o re• presénta una decena y -ninguna unidad: esto es, diez; con lo que se ve el .. uso de la cifra cero, que aunque equivale á nada.,. sirve para manifestar que la cifra que se le sigue es la Sl'¡?;nnda, contando de derecha á izquierda, y que por lo tanto representa decenas, y no unidades simples. ,. J8

--f 40

Para representar con cifras, y enunciar cualquie,r número que no llega á diez decenas, basta lo dicho, y· el saber los nombres que para abrevia1~ se dan á las decenas y á las decenas y unidades s,i mples hasta diez y seis,. y son como sigue: 1I

once .•. doce ... trece ... catorce... quince ... &c.

veinte... treinta ... cuarenta ..• cincuenta;,. sesenta..• "'

. 70

setenta: .. ochenta ... noventa. _Asi, para representar cincuenta y cuatro, que eqniva1e á decir cioco . decenas y cuatro unidades simples , se escribirá 54 ,y 78 representará siete~· ' decenas y ocho unidades simples, -esto t-s, setenta y ocfw.

d- 41 A diez decenas se les_da el nombre de centena Ó ciento; y para representar y enunciar los núme'ros que _

hay desde ciento ó diez decenas hasta diez centenas con los mismos caractér~s se -ha establecido que siempre que se cQ.loquen tres cifras seguidas represente.la primera de

·~ 6

TRATADO .

- la •izquierda- las centenas, la segunda las decenas, y la . última las unidades simples.·

•

Asi I 23 representa una centena, dos decenas y tres unidades simples: esto, es, el número ciento Veinte y tres: 280 representa dos centenas , ocho decenas y ningtrna unidad simple: esto es ,doscientos ochenta: 307 representará tres centenas , ninguna decena y ¡¡iete nnidades simples: esto es, tres• cientos y siete.

/ Las únicas centenas á que se da un nombre distinto de,,.su -número so;1 500 qtfinient~s, 700 setecientos.. . H2 Por el llllsmo estilo se sigue en adelante cons1de~ rando otras clases superiores, cada una de las cuales se compone de diez de la inferior inmediat~si el millar ó mil consta de diez centenas; la decena de millar de diez millares &c. Los nombres de todas estas clases, em.:. pezando por la de unidades simples,. y los lugares qu~· ocupan las ,cifras que las representan,, se maq.ifiestan en, el .ejemplo siguiente :

o unidad.' o decena. t--- centena. / J · millar. decena de millar. o centen~ de míllar. o millon. oo decena de millon. cen!ena de millo_n. .-e millar de millon. o decena de millar de millon. ~ centena de millar de millon. ~ '~billon: t--- decena de billon. o1 -centena de billon. . ~ millar de billon. ~-'.decena. de 1nillar de billon. ~ -·c~ntena de millar de. billon.

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DE ARITMÉTICA.

-~ 43 ·De la hipótesis que se manifiesta en el ejemplo, se sigue como corolario que para enunciar cualquiera · cantidad, por crecida que sea, basta saber enunciar una ~ compuesta de tres cifras, y observar la siguiente -

Regla. .¡,,1? · Empezando por el signo decimal ( que es una coma invertida colocada entre las cifras), ó por la última .cifra de la derecha si falta dicho sjgno, divídase la cantidad de tres en tres cifras háciª la izquierda, sin reparar en que en la última porcion de la,izquierda queden dos .cifras ó una cifra sola . ....,t---2? Sobre la segunda coma pópgase un punto, sobre la cuarta dos puntos, sobre la sexta tres puntos &c. -1- 3? Léanse cada tres cifras como si estuviesen solas -(art. 41.), con la única adicion de decir mil al llegar á cada coma sola, millon ó cuento al llegar á la coma que tiene encima un punto, billon ó bicuento al-llegará la co,ina que tiene dos puntos, trillan ó tricuento al llegar á la .que tiene tres puntos &c. ; y se tendrá presente- el ~ña.dir -la expresion de unidades ó de enteros .al llegar al signo decimal. • Sirva de ejemplo la expresion del art. 42, que ( colocando la hoja de lado para que queden las cifras en Sll posicion ua.tural) se enunciará doscientos cinco mil, setenta y tres_billones; doscientos y .un mil nuevecientos y _ochenta millones; sesenta y dos mil y setecientos.

-.+-Si en la 9ivision seguida ~e una coma sola no hay cifr_a alguna signific;mte, no se dice mil; y si en las dos divisiones comprendidas entre puntos .no hay cifra .~ignificante, no se dice billon, trillan, &c. · · Ejemplo

I •0

··

se_enunciará asi, 700 mil trillones -, 3o ,hillones

Ejemplo

2.0

700, ooo, ooo, o3o, ooo, ooo, ooo,

032.

y 32.

5o, ooo; o·o o, ooo: 003, ooo •, 005, ooo • .

se enunciará asi, 5o mil trillones , 3 mil millones y 5 mil.

+ 44

TRATADO,

. Es evidente que con este artificio se puede escribir y enunciar cualquier número, por crecido que sea, con tal de que conste .de unidades completas. Pero como un número puede constar de partes de unidad ( esto es, puede estar contenido en la unidad en vez de contenerla), se ha establecido el considerar otras clases que si_guen disminuyendo hácia la derecha de las unidades simples, por el mismo estilo que van disminuyendo las clases ex-' presadas desde la primera de la izquierda. Para saber desde donde empiezan estas clases inferiores á la unidad se suele poner un punto ó coma despues de las unidades simples; y asi, desde el 'p unto ó coma hácia la derecha representarán las cifras dichas clases inferiores á la unidad, que en 'generar se llaman decimales. , · Para no confundir los signos aritméticos con las no.itas de la ortografía, en éste tratado se ~1sará siempre de una coma al revés., colocada en la parté superior, para separar los decimales de los enteros. A dicha coma al revés se le dará el nombre de signo-decimaL Aunque dicho· signo ~e omite cuando no hay decimales, se sobreentiende siempre colocado á la derecha de las unidades. simples, á fin de generalizar mas -las reglas que se darán en lo sucesivo; . , . Asi 38 es lo mismo que 38' , 6 lo mismo que 38'oo : esto es, lo mismo que treinta y ocho enteros, y ninguna decimal. .

. .f-45 A la primera clase decimal se le da el.nombre de décimos; y asi, diez aécimos compondrán una unidad. A la clase siguiente de la derecha se le da el nombre de centésimos; y así, cada d_iez centésimos compondrán un décimo. La clase siguiente es la de los milésimos, diez de los cuales componen un centésimo &c. . 46 Los nombres de las clases decimales, y los lugares de las cifras que las representan, se manifiestan en el ejemplo_sjguiente, desde el signo · decimal háci~ la derecha.-·

DE ÁRITMÉTICA.

cien-mil-billonésimos. o diez-mil-billonésimos. C<"'l mil-billonésimos.

o cien-billonésimos. o diez-billonésimos. o billonésimos.

•

o cien-mil-millonésimos. o diez-mil-millonésimos. o mil-millonésimos. "

cien-millonésimos. diez-millonésimos. o millonésimos. .

cien-milésimos. ""'o"" diez-milésimos. ~ milésimos. centésin-ios. "'I'"" décimos. "o unidad. La inspeccion de dicho ejeniplo manifiesta también, que el.nomb_re de la última clase de la derecha es el mis. mo que, considerando dicha última clase de la derecha como unidades simples, se daría á una cifra puesta en lugar del signo decimal, usando dicho nombre en plural, · y añadiendo la terminacion imos. •'V)

- V. g. si la última clase son los miJésimos, se ve que la cifra puesta en lugar del signo decimal representaTia miles , tomando dicha última clase como unidades (art. 42). Si la última clase es, como en el ejemplo,. ele los cien mil billonésimos, se ve que consiclerlmclo dicha última clase como unid.acles, la cifra puesta en vez del signo decimal reP,res.entaria cien mil billones (art. 43) &c.

Las únicas excepciones á esta observacion son, 1~ primera dase, que, como se ha dicho, se llama de los d.écimos; y la segunda, que es la de los centésimos. . , .2

,,,

TRATADO

-r47 Como cada décimo vale diez centésimos, lo mismo será decir v. g. 23 centésimos que decir dos décimos y tres centésimos(art. 40.) Tambien, porque cada centésimo vale diez milésimos, valdrá cada décimo cien milésimos (art. 41)r y lo mismo Será decir 324 mi- · lésimos, que decir tres décimos , dos centésimos y cuatro milésimos &c. De esta observacion resulta que los decimales se pueden leer separados ·de los enteros, observando la siguiente

Regla. d-·1'! Háganse desde la última decimal de la derecha hasta el signo decimal las mismas divisiones, y pónganse las mismas señales que para l_os enteros (art. 43). ....J··2? Léanse como estos (art. 43), añadiendo al fin el nombre que se daría á la clase á que correspondería una cifra puesta en lugar del signo decimal, usando dicho nombre en plural, y añadiéndole la terminacion en imos (art. 46).

El ejemplo del artícnlo 46 se leerá 45 mil, .204 billones , 5.2 mil millones, ?ío r cien mil billonésimos.

-r 48 Como cada unidad consta tambitn de diez déchi1os, ó cien centésimos, ó de mil milésimos &c., y ca- . da decena de diez unidades, ó cien décimos, ó mil cen- ., tésimos &c. (art. 39 á 46), es evidente que tambien se podrán leer los enteros como si formasen una sola cantid_ad con los decimales, teniendo presente al llegar á la última decimal el pronunciar el nombre de su clase (art. 47; núni. 2?). E;n este caso no se dirá unidades ni enteros al Hegar al signo decimal. •V .. '

g. la cantidad .2 ~ 308, 5'7q;

903,

86 se

leerá uniéndo deci-

males y ente'.os así' .2 billones ; 308 mil; 573 mill~n_l:lS; 903 mil I 86 cien millonésimos; y separándolos, .23 , 085'73; 903, 186 , se leerá s3 mil, 85 enteros; 73 millones; 903 mil, I 86 cien millonésimos.

; 49 • Para convencerse bien- de que leyen_do de cualquiera de estos modos se dice sustancialmente una mis-

DE ARITMÉTICA.

I I

ma cosa, basta atender á. que cuando se lee toda la cantidad seguida, se torna por unMad la última clase decimal de la derecha, la cual es· inferior á las verdaderas unidades en tantas clases cuantas decimales hay; y así es menester aumentar el número en otras tantas clases, para que la ~antidad enunciada quede la .misma. En una palabra, estos diversos modos de enunciar una misma cantidad eqµivalen á otros de que usamos comunmente; v. g. cuando decimos que un peso, 15 reales y 510 maravedís son una misma cosa. -r 50 Para la inteligencia de algunas reglas que se da- · rán en lo sucesivo conviene tener muy presente que el agregar ceros á la izquierda de los en't eros, ó á la derecha de los decimales, no altera el valor efectivo de las cantidades. . .

Así, '32'5 es lo mismo que 0'32'5, y lo mismo que 32'50. En efecto, el decir 32 enteros y 5 décimos; el decir cero ó ninguna centena, 3~ enteros y 5 décimos; y el decir 3z enteros, 5 déciro<fs y cero ó ningun centésimo, es todo una misma cosa. Diciendo 32 enteros y 5o centésimos, se dirá tambien lo mismo; pues aunque 5o es diez veces mayor que 5 , tambien los centésimos son diez veces menores que los décimos; y así , el aumento qne resulta diciendo 5o en vez de 5 , se compensa con la diminucion que proviene de decir cent ésimos en vez de décimos.

S'1 De lo dicho se sigue que una cantidad se puede leer separándola en porciones como se quiera, é interponiendo la palabra mas e1Jtre los nombres de dichas porciones, para manifestar que todas forman un mismo conjunto. V. g. la cantidad z'3o8 5'7'34, leida cifra por cifra será 2 decenas d~ mil1a1·, roas '3 millares , mas 8 decenas, mas 5 unidades, mas 7 décimos, mas '3 centé5imos, m..ts 4 milésimos. Separándola en tres porciones, la primera de tres cifras , la segunda de otras tres , y la tercera de dos, sei·á 2'30 centenas, mas 857 décimo s, roas '34 milésimos,

52 Cuando en adelante se diga el conjunto de cente11,as, el conjunto de millares, el conjunto de centésimos &c., se entiende toda la primera parte de la cantidad hasta dicha clase inclusive. Asi en la cantidad propuesta es 23 el conjunto de m-i.llares, 2'30 conjunto de ceule'nas, 2308573 el conjuuto de centésimos, J

" TRATADO

. 53 Cuando se · diga simplemente los millar.es, las centenas &c., ó para mayor claridad, los millares simples, las centenas simples &c., se entiende que solo se habla del número representado por la cifra que está en dicha clase. En el ejemplo serán las decenas de millar simple 1;les 3, las centenas simple_s o &c .

los millares sim-

.-,.- 54 No es menos evidente que una unid~'d, de cual• quiera clase, vale mas quetodaslasinferioresjuntas;v. g. una decena de millar vale mas que 9999'99 &c. Una decena vale mas que 9'99 &c. Por esta razon, para saber cuál de dos cantidades es mayor no hay mas que ver t:uál es la primera clase de la izquierda cuyas cifras difie• ren; y la cantidad que tendrá en dicha clase una cifra que valga mas será la mayor . . .¡- Este signo > ó este otro< quieren decir que es menor la cantidad hácia la cual se dirige la punta del signo. A si, 352'5>~51'908 c¡niere decir qne 352'5 es mayor que !.,51'998; y 9'87<r2 quiere decir que 9,87 es menor que 12.

5S Conviene advertir, que para mayor elegancia, y para representar desde luego las cantidades en los mismos términos en que se han de emplear en las operaciones, se suele poner el nombre de la unidad despues de los -decimales. Sin embargo de esto, para mayor claridad, • . cu ando se leen dichas cantidades se pronuncia el nombre de ·la unidad al llegar al signo decimal. V. g. la ex presion 53'48 varas, se lee 53 varas y 48 centésimos. La expresion 0'327 varas se puede -leer diciendo cero varas y 327 milési- · • mos, y mejor diciendo 3 27 milésimos de ;ara.

56 Tambien hay que advenir_ que cuando . se trata de dictar cantidades compuestas de muchas cifras, para evitar equivocaciones es lo mas acertaJo el dictarlas se,parándolas en var~.as porciones de tres cifras, ó ·de dos cifras; ó dictarla cifra por cifra. . _ V . g. la cantidad 88 rn42 I , se puede dictar asi, 88 r. ... cero ... , 42 r. L a cantidad 70002::i se pnede dictar asi, 7 .... tres ceros y 23; ó . asi, 7 0 , cero, cero, 23 &c. &c. Conviene tener esto presente para cuando se trate ele dictar los logaritmos , de que se hace mt1cho uso en la nav ega cion , com9 &e manifestará en su lugar,

·••.

DE ARITMÉTICA.

De · los ?Juebrados.

+-·57 Basta lo dicho para representar con cifras, y enunciar cualquiera cantidad, por grande ó pequeña que sea, si no exactamente en ciertos casos que se manifestarán), á lo meno.? con cuant_a 'aproxirnacion se quiera. Sin embargo se usa con frecuencia de otro modo de repre'sentar las cantidades, particularmentG, cuando son menores que la unidad. En este segundo modo de enunciar -las cantidades numéricas se considera la unidad, ú otra cantidad cualquiera, dividida en un cierto número de partes igúales , y se expresa de cuántas de dichas partes consta la cantidad que se quiere representar ó enunciar. Asi se dice, tal distancia es v. g. de fres cuartas partes de vara ·, con lo que se ,manifiesta que dividiendo la vara en cuatro partes iguales, tres de dichas partes componen la tal distancia &c. +- Para representar de este modo las cantidades escribe debajo de una raya un número, que se llama denominador, y manifiesta en cuánt.as partes iguales se considerá dividida la unidad: y encima de 1a misma raya se escribe otro número, que se Ilamanumerador, y expresa cuántas de dichas partes compon~n la cantidad. Al todo de la e:xpresion se da el nombre general de quebrado fraccion ó e:x:presion fr flccionaria; y el m1merador y denominador se llaman términos del quebrado ó fraccion. _.., El quebrado se suele llamar particularmente/1·acciÓn propia', ó quebrado propio, cuando repre~enta una cantidad, menor que la unidad: esto es, cuando se toma un número de partes menor que aquel e'n que se considera dividida la unidad, lo cual se conoce en que el numerador es menor que el denominador; y se llama fraccion impro-. pia ó-quebrado hnpropio, cuando repre~enta una cantidad igual ó mayor que la unidad: esto es, cuando se toma un número de partes igpal ó mayor que aquel en q-u.e se considera dividida la unidad, lo cual se conoce en que el numerador es igual-ó mayor .que el denominador~

TRATADO

~-,.- Tambien se llama la fraccion simple cuando es la unidad la que se considera dividida en partes: y frac_cion compuesta cuando la cantidad que se considera .dividida en partes no es la unidad fundamental; y en tal ·caso se escribe dicha cantidad á la derecha del quebrado, interponiendo entre el quebrado y la cantidad que se ha de dividir eri partes la palabra d! que se omite en las fracciones simples. . . s1. '3 que es 1o mismo A que

!Jde

I ,

.y. es un qne b ra do propio sim-

ple, cuyo denominador 8 manifiesta que la ..midad se considera di~id:ida _e n 8 partes iglrnles, y el numer or 3 ex presa qne de dichas partes con-_ tiene '3 la cantidad que el quebrado representá

que es lo m:ismo que

_· ~' de I , es un quebrado simple impropio, cuyo denominad9r '3 manifi esta que la unidad se considera dividida en tres pal·tes iguales' y el numerador 8 expresa que de dichas partss contiene 8 la cantidad que repl'esenta la expresion fraccionaria. -

Para enunciar los quebrados se expresa primero el va-lor .de su numerador, y cJespues el de su denominador. Si dicho denomiüador es :z , las parces . se llaman medios ó mitades. Si es 3, se llaman t ercios ó terceras partes; · v.

g.-;:, un medio, +• d~s tercios. Si el denominador

-es mayor que 3, y menor que 11, se lee como si fuese , numero or dºma 1; v. g. - I , un cuarto; - 3 , tres quintos; . · 1

4., , .

- -, un sexto;-~·, cuatro septzmos ; - · , cinco octa"Vos;-, dos 6 8 7 · 9 nÓ"Venos; __!_, siete décimos. En adelante, siempre que no • TO . sea decimal., se enuncia simplemente el denominador, añadiendo la terminacion a"VOS; V. g. ~, ocho on cea"Oos;

·4f, nueve diez y seisa"Vos. Pero decimos v. g. tres cen11

',. . e1 qu eb ra do - 3 , que es 1o nusmo . teszmos para enunciar 100 qne 0'03.

DE ARITMETICA.

58 Para determin-ar el valor del quebrado simple.es evidente que no habrá que hacer mas que dividir la unidad en las partes iguales que indica el denominador. y tomar de ellas el número que expresa el numerador. V. g. si se pide el valor de

de vara·, se dividirá la vara en ocho

partes iguales , y tomando cinco de estas pa;rtes, se tendrá el valor del quebrado.

Si el quebrado es compuesto. es menester empezar hallando el valor de la unidad mas remota . y suc~s1vamente el de l~s <lemas que dependen de ella. V.g. si se pide el valor de

J!._ de

3 varas, se toma1·á primero una

extension de 3 varas; esta exte~~on s~ divi~irá en I 9 partes iguales, y de 5 estas partes se tomarán 8. Si se pide el valor de de ~ de libra, se em32 7 pezará dividiendo la libra en 7 part°es iguales, y de estas se tomarán 3 para t~ner el val°r de los

, despues el conjunto de dichas

~ partes

dividirá en :52 parles iguales, y de estas se tomarán 5 para tener el valor de la expresion. .

De los números complexos. ---t 59 Para representar con mas facilidad y sencillez las cantidades de diversos tamaíios, se ha recurrido al arbitrio de establecer diferentes unidades ó denominaciones. -¡- Cuando se trata de distan.das muy crecidas se toma por unidad la legua marina, que consta de unas 3324 brazas. · -1_La legua se considéra dividida en tres millas. Por consiguiente la milla marina constará de unás no8 brazas; y se subdivide en décimos y ·centésimos para los usos ordinarios de la navegacion. A- El cable, de que se hace uso para estimar á ojo las distancias menores. se puede suponer Jgual al décimo de milla ó extension de 110'8 brazas, aunque la longitud efectiva del cable sea de 120 brazas~ ·

• 16 * 60 En 'los cálculos aproximados, de que se hace mucho .uso en la navegacion, no hay inconveniente en su-

TRATADO

poner la legua de

3330

brazas, la milla de

1110

brazas.

y el cable ó décimo de milla de 111 brazas. -, 61 Para representé}.r las es tensiones menores, como la profundidad del mar, se hace uso de la braza, que consta de dos rvaras de Búrgos.

+ La vara .se considera dividida en tres

pulgadas: la pulgada en puntos. 12

pies : el pie en líneas, y la línea en 12

La vara tambien se suele considerar dividida en cuatro cuartas ó palmos , cada uno de los cuales constará de 9 pulgada3. Para la medicion de las maderas se suele hacer uso del codo que consta de dos pies.

.. ,

62--r Cuando en una misma expresion, ó en varias expresiones que se han de comparar, entran diferentes unidades ó denominaciones, ~e dice que los números son coniplexos ó denominados:1-V. g. si se dice que una distancia ~ de 2 pies, 8 pulgadas y 7 líneas, •la expresion de dicha distancia ser{i un número ~op,plexo ó denominado. Los números se llaman simples cuando son abs- tractos (a1·t. 5), ó cuando todós se refieren á una misma unidad, y no tienen forma fraccionaria (art. 57). 63 J>ara las medidas de los líquidos se suele hacer uso de la cdntara ó arroba. La arroba se divide en 8 a.zumbres, el azumbre en 4 cuartillos , y el cuartillo en 4 copas. Para las medidas de grauos se emplea la .fanega, que consta de I .2 celemines, y d celemin se subdivide en 4 cuartiLlaJ,

·-t 64 Para los pesos se us.a el quintal, que consta de 100 libras, y se divide en +ar-robas. La arroba consta de ·25 libras, la libra de 16 onzas, la onza de 16 adarmes, y el adarme de 36 granos. Tambien se suele dividirla libra en 2 marcos, e! marco en 8 onzas, y la onza en 8 ocharvas. Se tendrá p1·esente que las divisiones y los valores absolutos de las nnid:}des expresadas no son los mismos ea todas las provincias; y aun en uu mísmp pueblo snel en varinr segun los g éneros d e que se trata. Asi, la libra de q;ue usan,..lw Ro ticarios solo contiene 1 2 onzas, q ue se subdividen en B dracma s. Y i:ada dracma Sil subdivide en 3 escrúpulos ó en 72 granos. L.(_ librn carnice1·a consta de 36 on,zas en algunos pueblos.

. 17

DE ARITMETICA

En algunos paises se han adoptado ya las unidades naturales:. es •á saber, el metro ó medidera, que es poco menor que una vara y un qmnto: el litro ó unera, que casi equivale á dos cuartillos; y el kiliógrama ó unal, que equivale á poco mas de dos libras, dos onzas y doce adarmes., Las demas unidades mayores y menores de cada clase siguen el orden decimal: esto es, que la medidera se divide en diez décimas, la décima en diez céntimas &c.: la decena consta de diez medideras, la centena de diez decenas &c.

-1-•66 Para medir el movimiento de los cuerpos que giran al rededor de un punto, se hace uso de la circunferencia, que es una vuelta, y consta de 360 grados. El grado consta de 60 minutos: el minuto de 60 segundos: el segundo de 60 terceros &c. -1 Los grados se indican con un cerito puesto á la derecha de la parte superior de las cifras. Los minutos con una rayita como la del_acento agudo. Los segundos con dos rayitas &c. · A si: 80-......• 21 1•••••• 35 11•••••• 54 111 quiere decir, 8 grados,

~5 segundos ,ry 54 terceros.

2 I

minufos,

-r En llegando á los segundos , se suelen expresar las partes inferiores en decimales de segundo; y rara vez se hace uso de los terceros. -¡-Las cifras sin signo particular colocadas á la derecha del signo de grados, minutos &c., representan decimales de la clase correspondiente. V. g. I 6°, 45 quiere decir 16 grados, y 45 centésimos • ..,.¡. 67 Para medir el tiempo se hace uso del dia astronómico, que es el tiempo que pasa de un medio dia á otro. . --<t-El dia consta de 24 horas: la hora de 60 minutos: el minuto de 60 segundos &c. -r·Las horas se indican con una h, y los minutos, segundos &c. de hora se indican como los de grado (art. 66). V.g. 5h ......23 1...... 5411 ,6, quiere decir 5 horas, 23 minutos, 54segundos, y 6 décimos.

68 Los grados, minutos, segundos &c. , y las horas, minutos &c. se llaman en general niímeros sexagesi-

TRATADO

males, porque cada unidad contiene sesenta unidades de la especie inferior inmediata. 69 Para que la comparacion de los n(uneros equivalga á la comparacion de las cantidades, se hace preciso tomar por unidad una cantidad misma. Asi, aunque 3 y .2 son 5, es evidente que 3 millas y 2 toesas no serán ni 5 millas ni 5 toesas. Aunque 7 es 1~ayor que 2, serán 7 reales menos que 2 pesetas &c. 70 En los quebrados simples se pueden considerar ·dos unidades. La remota ó fundamental, que se supone conocida por sí misma sin relacion con otra cantidad, y es la que se divide en las partes que expresa el denomiriador1 y la próxima ó relativa, que lo es una de dichas partes. V. g, cuando se dice esta silla tiene de alto ;

de vara, la vara es la

unidad remota 6 fundamental, y respecto de ella el números es ; ; y un tercio de vara es la unidad próxima, y respecto de ella el mímero es .2. Considerando los quebrados r especto á la unidad próxima , el numerador es el número, y el denominador y las demas expresiones solo sirven para manifestar la cantidad que se toma por unidad.

71 De aquí se sigue, que se debe operar con los numeradores de los qpebrados lo mismo que con los demas números, excepto cuando se trata de compararlos con enteros, ó con otros quebrados cuyos denominadores ó unidades fundamentales sean diferentes .

.2 3 . 5 5 · 2 V. g.-mas-de vara, compondrán-de vara; y -menos-de 12 12 3 12 I6 16 ,libra, equivaldrán á "i6" de libra.

, DE ARITMETICA

CAPITULO III. '

IlE LAS CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS,

_.;- 72

Toda cantldacj se puede tomar en dos sentidos

enteramente opuestos, v. g. 3 pesos pueden ser 3 pesos de pérdida ó 3 pesos de ganancia; 3 pesos· de deuda ó 3 pesos de caudal : 5 pies de distancia a una pared pueden ser 5 pies de distancia hácia mano derecha, ó 5 pies de _ distancia hácia mano izquierda. -r Por esta causa se dividen las cantidades en positi'Vas, y negati'Vas. Es indiferente llamar positivas á cualesqwie ra de ellas; pero establecido una vez cuáles se llaman positivas, en el mismo cálculo se deberán llai;nar negativas las tomadas en sentido opuesto: v. g. si se establece que las distancias contadas hácia arriba sean positivas, deberán llamarse negativas las distancias contadas hácia abajo. -1 El signo para distinguir las cantidades positivas es este+, que se pronuncia mas; y para las negativas este-, que se pronuncia menos. A toda cantidad que no lleva signo se entiende que le corresponde el signo positivo+, que sue1e oml:.irse cuando se escribe una cantidad sola, y en )a primera de varias cantidades escritas las unas á continuacion de otras. · Asi 3-t-5 es lo mismo que si dij éramos-t-3-t-5.

· + Tambien se usará con frecuencia de este signo==,

que se pronuncia es iguq,l á, ó simplemente igual para abreviar. -J-- 73 Es evidente que las cantidades negativas destruyen á las positivas, •y estas á aquellas: puesto que si se caminan primero 8 pies bácia la derecha, y despues 8 pies hácia la izquierda, se volverá al mismo sitio. Si despues de haber . pc;rdido en una .mano I o pesos, se ganan en otra mano 10, el jugador quedará en paz; y lo mismo se entiende de los demas casos.

TRATADO

-/ Tambi'en es evidente que si las cantidades positivas exceden á las negativas, el resulta~o será positivo; y seria el resultado negativo si las n,egativas excediesen á las positivas. • · V. g. llamando positivas á las disfancias caminadas hácia arriba , si despues de haber caminado hácia arriba 5 pies , se caminan hácia abajo 3, será la distancia caminada-t--5-3=-t-.2 pies. Pero si despues de haber caminado hácia la derecha 6 pies , se caminan 8 hácia' la izquierda (suponiendo qne las distancias de la derecha son positivas) , será lo caminado 6-8=-.2: esto es, que realmente se han caminado .2 pies _ hácia la i2,quierda. '

74 Por expresion numéri~a se entenderá en adelante el número que representa una cantidad, prescindiendo de su denominacion -y de su signo : esto es, el número cbnsiderado como si tuvi~se el mismo signo que los demas de que se trata. CAPITULO IV. DEL SUMAR Y RESTAR LOS NUMEROS_ SIMPLES. ·

Del sumar. ---r 7 5 Sumar e~ hallar el resultado de varias cantida-

des llamadas partidas., que se reunen en una sola, llamada suma. -f 76 Por sumar numérico- entenderemos el reunir varias partidas tomadas en un mismo sentido; y para ejecutar esto con facilidad conviene el aprender de piemori-a las sumas de tocias las unidades simples tomadas dos á dos, segun se expresan en la siguiente tabla. ·

. .2 I

DE ARITMETICA

Segundo número.

, 11 .1

1 3l - 4l

.8 1

5 1 .6 1 71 8 1 9 51 .6 1 I 8 1 9 1 IO (Jj 71 8 1 91 10 1 l l

1 31 4 1

1 3

3 1 4

51 6 -5 1 6 l

lO 1

8 1 9 1 lO 1 II 1

61 11

7 l ,8 1

8l 9\

9 1 10 l

II ]

ul 12

l l· 1

l 13 1 14 I 15 ;

1 1

' lI 12

1 13

13 1 14 14 ., 15

1 12 1 13 1 14 J_ 15 12 I 13 j 14 l 15 1· 16 II

16 17

17 1 18

Los n{uneros de la primera columna ( *) de la ¡z. quierda y los de la línea superior son los que se han de sumar, y en la casilla del concurso se expresa la suma corre~pondiente. Asi, por cuanto 9 y 7 son I G, está escrito I 6 e~ la casilla en que concurre la línea del 9 con la colnmna del 7; y porqne tambien 7 y 9, son 1 6 , está tambien escrito 16 en la casilla en que concurre la línea del 7 con la columna del 9. Se leerá esta tablilla muchas veces, diciendo v. g en la línea del 2, 2 y I , 3 : 2 y 2 1 4: 2 y 3 , 5 : 2 y 4 , 6 : 2 J 5, 7 , &c. En la del 8, 8 y 1 , 9 : 8 y 2 , 1 o: 8 y 3, r r : 8 y 4, r 2 , &e, Para ejecutar esto con prontitud se llevará el dedo, ó un puntero,· por la línea del primer número ; y á los Maestros toca el explicar esto prácticamente con toda claridad. . (•) A una fila · de cifras colocadas 1as unas al lado de las otras de denech.a á izquierda se llama lima,

y á una fila de cifras colocadas las unas debajo de las otras séllama co• lumna. ·

TRATADO

Regla para el sumar numérico de los números ' simples.

1<? Escríbanse todas las partidas que se hañ de sut11ar las unas debajo de las otras, de suerte que todas las_cifras de cada columna sean de la misma clase, lo cual se consigue colocando los signos decimales en columna.; y tírese .una raya por debajo de las partidas . .+ 2'! Súmense todas las cifras de la primera columna de la derecha .como si fuesen unidades simples. ./-· 3'! Si dicha suma consta de unidades solas, se escribirán e~tas en dicha columna debajo de la raya; y si de unidades y decenas, se escribirán solas las unidades; y l_;is decenas, consideradas como unidades, se agregarán á la · columna segunda. · .,..,-- 4'? Se practicará lo mismo con dicha segunda columna, escribiendo debajo de ella las unidades que resulten. ·de su suma, y agregando las decenas, consideradas como unidades, á la columna tercera; y asi sucesivamente hasta acabar, colocando tambien el signo decimal debajo de los signos decimales. . -f 5'? P~ra ...evitar los errore~ que pueden provenir .de no colocar las cifras en sus correspondientes columnas, conviene suplir con ceros las clases que faltan en algunas de las partidas ( art. 50 ). 6'! Se repasa la suma para examinar si se ha cometido algun error, sumando las cifras de cada columna en órden inverso: esto es, de abajo hácia arriba si se sumaron de arriba hácia abajo en 1~ primera operacion. d

78 Ejemplo 1. 0 Supóngase que (toma~do por unidad la medidera) desde la lumbre del agua hasta la borda de una embarcacion hay 3'24 medideras: desde la borda hasta la cofa 9'89; y desde la cofa á un observador colocado sobre ella 1'95: y se quiere saber cuál es la elevacion de dicho observador sobre la lumbre del agua. El problema se resolverá sumando las tres partidas. Ejemplo 2.º Supóngase que se han navegado las distancias siguientes. Desde las 2 hasta las 3 -de la tarde J 1 '65 millas; de 3 á 4, 1 o' 8 : do

DE ARITMÉTICA. 23 4 á 5 9'75; y de 5 á 6, 9'9 5; y se quiere saber cufotas millas se han navegado desde las 2 hasta las 6. El problema se resolverá sumando las cuatro partidas. _

Ejemplo

Ejemplo r. 0 r.ª.................... '

Partidas.

l 2

3'24

·ª.................... · 9'89

3.ª...................

1'95

Suma ................................... I :5'o8

2.0

t.ª ..... ,............. .

1·1 1 65-.

2.ª................... .

10'80

Partidas. '3. 3 .......... , ........ .

09'7,5

4.ª..................... 09'95

Suma..................... ............... 42'15 Explicacion del ejemplo 1. Empezando por los centésimos se dirá 4 y 9, I '3, y 5, t 8 : 8 y llevo 1 (sé escribirá el 8, y se pasará á los dé~ cimas diciendo) y .2, '3 , y 8, J t , y 9, 20: o y llevo .2 (escrito el o s~ dirá) y 3, 5, y 9, 14, y t ~ t 5: 5 y llevo I (se escribirá .el 5 bajo las • unidades , y la unidad que se lleva en el lugar de las decenas. Para comprobar se pueden sumar las cifras de abajo hácia arriba diciendo, 5 y 9, 14, y 4, I 8: 8 llevo I &c., y basta el ver si resultan las mismas cifras de la suma, sin necesidad de escribirlas. E:rplicacion del.ejemplo .2.0 Empezando por los éentésimos se dirá 5 y 5 ' IO , :Y 5· ' t 5 : 5 y llevo 1 ...... y 6 , 7 ' y 8 ' I 5' y 7' 2 2, y 9' '3 I : 1·y llevo 3 ..... y 1 , 4, y 9, 13, y 9, .22: 2 y llevo 2 ..... y l, '3, y I, 4. 79 E¡'emplo 3.0 El mes de Enero tiene 3 I dias, Febrero 28, Marzo 3 r , Abril 3o, Mayo 31, Junio 3o, Julio '3 r , Agosto '3 I, Setiembre '3o , Octubre '3 r , Noviembre 3o , y Diciembre 3 r. Con estos datos se pregunta cuántos dias tiene el año. El problema se resuelve sumando las doce partidas; y el resultado son '365 dias. Este es el número de dias del año comun; y por cuanto en los años bisiestos tiene 29 dias el mes de Febrero, _dichos .~ños constarán de '366 dias. · 0

y·

80 Demostraci,on. Como cada diez unidades de una clase compon,en una de la clase inmediata de la izq uierda (art. 39 á 46), es evidente que ejecutando la regla, cada •clase de la suma contendrá las unidades de dicha clase que resultan de la reunion de las que hay en sucolumna, y de las que han producido las unidades de las columnas antecedentes; y por lo tanto, el todo de las clases que componen la suma será el resultado de la reunion 9e todas }as partidas. Es evidente que las clases de la suma son las mismas que las de las partidas que estan en sus columnas ·correspondientes; y por lo tanto, el signo decimal de la suma deberá tambien estar en columna con los de dichas partidas.

TRATADO

Del restar.

-t- 81 Restar es quita_r ó tom~r en sentido contrario (art. 72 y 73) una cantidad que se llama subtraendo. La cantidad de que se ha de quitar el subtraendo se llama minuendo, y al resultado de la operacion se le da el nombre de residuo. -1 82 Como quitando una cantidad de otra resulta la diferencia que babia entre las dos _, es evidente que restar es hallar la diferencia que hay del subtraendo al minuendo. *..J- 83 Por restar numérico entenderemos el restar una cantidad menor de otra mayor tomada en el mismo sentido, v. g. un caudal, de otro caudal; u.na deuda, de otra deuda &c. 84 Para restar con prontitud conviene aprender de memoria las diferencias que hay entre cada una de las nueve unidades simples comparadas con cada una de las mismas unidades, aumentadas en una decena en caso necesario. Esto se manifiesta en la tabla "del artículo 76 leyendo primero el número subtraendo ( que se bus<:: a en fa primera columna), y ·buscando en su línea el minuenao; y en la cabeza de la columna en que se halla este se ve expresado el residuo. V. g. p ara saber la difer encia d e 6 á r 4 , en la l ínea d el 6 se busca el I 4 , y en la cah eza de la columna del I 4 se h alla el r esiduo 8. E sto manifies ta que ele 6 á I 4 , 8 : esto es, que desde el 6 basta el I 4 hay 8 unidades. Por el mismo es tilo se pueden hall.u en dicha tabla todos los i-esid uos posibles , cuando no se tiene prácti ca en el r es tar. Se l eerá muchas veces dicha tabla , enunciando primero el númer o de la primera c~lumna de la izquierda, despnes -cada uno de !-Os interiores que es tan en su línea , y á continuacion su correspondiente superior. · _ V. g. en la línea del 2 se dirá: de 2 á 3, I: de 2 á 4, 2: de 2 á 5, 3 &c. En la rlel 8 se dirá: de 8 d 9, J: de 8 á 10. , 2: de 8 11, 3: de 8 á ,12, 4 &c. Todo esto deh e enseñarse á los discípulos de viva voz.

DE ARITMÉTICA.

Regla para el restar numérico de los m'tmeros .simples. . -+ 1? Escríbase el subtraendff debajo del minuendo, de suerte que cada clase esté debajo de su correspondiente como para sumar (art. 77); y para evitar equivocaciones conviene suplir con ceros las clases que faltan en el · minuendo ó en el subtraendo (art. 50). + 2? Tírese una raya por debajo; y empe~ando por la derecha, véase la diferencia que hay de la primera clase del subtraendo á stf correspoagiente del minuendo; y escríbase esta diferens:ia en la misma cólumna, debajo .. de la raya. + 3? Ejecútese lo mismo con las segundas clases, y asi sucesivamente hasta acabar, colocando t2mbien el .signo decimal debajo de los signos decimales . . 14? Si a!gun número del •minuendo es menor que su correspondiente del subtraendo, se _le agregan diez úni:. dades ( esto es, una unidad de la clase sigúiente); y en tal caso, á la clase siguiente 'del subtraendo se le agrega una unidad. · . -1- 5? Para comprobar la operacion se suma el subtraendo con el residuo, y debe resultar el minuendo. Esto se ejecuta de memoria , viendo si la primera clase de la derecha del subtraendo sum~da con la del residuo da la correspondiente del minu~ndo; y asi sucesivamente, sin escribir dichas sumas. 86 Ejemplo r. 0 Ei mar tiene '32'5'3 pies de profundidad. La parle inferior de una embarcacion está sumergida 12'41 pies, y se quiere saber la distancia desde dicha parte inferior hasta ,el fondo del mar. El problema se resuelve re;tando 12'41 de '32'5'3. Ejemplo 2. 0 Para transferirse de un punto á otl'O deben caminarse 6¡ 53 millas; y des pues de haber .andado 3'28 millas en dicha direc- . cion, se quie rn saber cuánto hay que caminar para llegar á dicho punto. El probl ema se resuelve restando '3' 28 de 6' 53. Ejemplo I . 0 Ejemplo 2 :0 · Minuendo............... '32•53 Mm11endo. ·..... ......... 6 ' 53 Suhtraendo, .... ....... l 2' 4 l Sublraendo.. ............. '3' 28 Residuo, .... ,............

Fl.esiduo ..... . ,........ ,.•. ,

20' l 2

...

3' 2 5

TRATADO Explicacion del ejemplo r .0 Empezando por la primera columna de la derecha se dirá: de I á 3, 2 (se escribirá el 2, y en la segunda columna se di1·á): de 4 á 5, l (se escribirá el I , y en la tercera columna se dirá): de 2 á 2, o (escrito el o se dirá en la columna cuarta) de I á 3, 2. · Escrito el 2 se tiene el residuo 20' I 2 pies. . Para comprobarJ empezando por la derecha, dice ; I y 2, 3; y sin escribir el fres se continúa diciendo: 4 y I , 5 &c.; y c~mo van resul.:. tanda las mismas cifras del minuendo, no hay duda en que la operacion está bien hecha. E:r:plicacion del ejemplo r. 0 Se dirá:· de 8 á 13, 5, y lle')Jo 1 (al decir cinco se escribirá el 5, y pasando á la columna siguiente se dirá): y 2, 3 á 5, 2 (escrito el 2 se dirá en la tercera columna): de 3 á 6, 3; y escritó el 3 se tiene el residuo 3'25 millas.

87 Demostracion. Cuando no se ofrece el caso del número 4~ de la regla, es evidente que cada clase del residuo contiéne la diferencia que hay entre la misma clase del subtraendo y su correspondiente del minuendo; y asi. el total de las clases del residuo expresará el todo de la diferencia que hay entre los dos números dados:. esto es, lo que queda del minuendo despues de quitado el subtraendo. Para el caso del número 4<? basta atender á que aumentado igualmente el minuendo y subtraend<;>, su diferencia no se altera ( art. 34); y como en dicho caso, aunque se aumenta uQa clase del minuendo en diez unidades s cambien se aumenta la siguiente del subtraendo en una unidad, que equivale á diez unidades de la clase anterior (art. 39 á 46), es evidente que la diferencia no se altera. V.g. en el ejemplo 2.°' al decir ds 8 á 13 se aumentan á la clase de _ los centésimos del minuendo diez centésimos, lo que equivale á aumentar la clase de los décimos en un décimo (art. 45); y como al decir en la columna de los décim6s , de 3 á 5 en vez de decir de de 2 á 5 se aumenta un décimo al sühtraendo , está claro que este aumento es igual al que se le consideró al minuendo, y por la tanto no debe alterar el resultado (art. 34).

Minuen •.• 58'236 Subtra •••• 00'987

Ejemplos. Minuen ••• 348'73. Subtr11.... 084' 90

Minuen ... , 5249'000 Subtra •••••• 0000'06.2

Residuo•• 57 1249

Residuo •• 263'83

Residuo.... 5.248' 938

DE ARITMÉTICA.

Regla general para sumar 'Varias partidas aunque tengan _diferentes signos.

..¡,, 1? Súmense aparte las partidas positivas por la regla: _dada (art. 77), y póngase el signo+ á dicha suma. -,..-2.º Súmense aparte la partidas negativas, y póngase á dicha suma el signo-. -l· 3? Réstese el valor numérico de la menor de estas dos sumas del valor numérico de la mayor, por la regla ciada (art. 85). -1·+º Póngase al resultado el signo de la suma mayor. Demostracion. Se ha hecho ver (art. 73~ que el exceso de las cantidades tomadas en un sentido sobre las tomadas eh sentido opuesto es el resultado de todas ellas; y que dicho resultado queda en ·el sentido de la cantidad mayor; y como esto es lo que se halla por la regla, dicha regla será exacta. 89 Ejemplo 1.º Supóngase que se han navegado hácia levante primero 52'35 millas, y despues 41 '5; y hácia poniente primero 3'8, y despues o' I 5; y se quiere.saber lo que se ha adelantado en la navegacion. Por la regla geue1·al del sumar se hallará que se han navegado 89•9 _millas hácia levante , operando como sigue.

5-t-52'35

Partidas positivas.(-t-41'50 Suma positi'1a ........ -1-93'85 Suma negati'1a....... -03'95

Partidas negati'1as ....

,-o'

5-3'80 15

Sun1a ñegati'1a........... -3'95

Result-ado............... -1-89'90

Ejemplo ·2'? Sumar 1'245+13'8-93'5-0'004.

' .Part.. posit . .... {+01'245 +. 13,800

. {-93'500 , P art. negat.... -00004 Suma posit. ... Suma negat ... -93'504 Suma negat . ... -93'504 Resultado ...... -78'459

---+15,045

TRATADO

Ejemplo 5. 0 Sumir 36-15'8-1'75.

5-15'80

Partidas negatiJlas. i-01'75 Suma negativa........ - I 7' 5 5 Partida positi))a ..• •. -1-S6'00 Resultado................ --1-I 8'45 1

Ejemplo 4. 0 Sumar-349-0'73-0'0009.

El resultado seFá .... -349'7309.

Regla para restar un conjunto de cantidades de otro · conjunto atendiendo á los signos. + 1<? Las partidas que componeñ el minuendo se dejan con sus signos. -1- 2<? A las partidas que componen el subtraendo se les cambian los signos: esto es, se pone+á las que tienen-, y se pone-á las que tienen+. ..,- 3<? Considérese el todo como una cantidad, y hállese por la regla anterior el resultado de todas las partidas, que .será el residuo que se pide. .,..Demostracion. Esta regla está fundada en la definicion del restar (art. 81) y en la regla para sumar (art. 88) que queda demostrada. . 91 Siempre que las cantidades estan representadas con letras ó con otros caractéres generales, el signo negativo indica una subtraccion; y por lo tanto, se debe cambiar el signo correspondiente al valor efectivo de dichas cantidades en cada caso particular, para obtener el valor de la expresion correspondiente a dicho caso. Conviene tener muy presente que cuando se trata de expresiones literales, el signo positivo indica que la can tidad se debe tomar con el signo que le corresponde en cada caso particular,. '!iea positivo ó sea negativo; y el signo negativo, antepuesto á una letra ó expresion genernl ,. manifiesta que la~ cantidades representadas deben tomarse con" signo contrario al que les éorresponde en cada caso particular~ 4

DE ARTTMETICA, . 29 V. g. si siendo m = n _ x resultan n=8 y x 3 , será en dicho caso m B _ 3 5. Pero si fuesen n = B y x 3, resultaria. m 8 + 3 I I. Si siendo m .z; + l resultan x = _ 6 y l B, será en este caso m 6 + B 2 ; pero si fuesen x =6 y l 8, será m 6 -+- B I 4.

== = =_ = =

92 Está claro, que el sumar y el restar son dos operaciones inversas, que se destruyen la una á la otra, siempre que sean las mismas las cantidades que se suman y restan: de suerte que, si des pues de haber sumado dos cantidades se resta la una de ellas de la suma, resultará la otra; y si des pues de haber restado una cantidad de un todo se le suma al residuo el subtraendo, resultará el mismo todo. En esto se funda la prueba del restar (art: 85,

, 5º) num. ..

CAPITULO V. DEL MULTIPLICAR.

+ 93 número se llama duplo de ot~o ó d~s 'Veces 'f!tayor que otro > cuando lo contiene dos veces. T riplo ó tres 'Veces mayor, cuando lo contiene tres veces &c. Y en general, se llama un número múltiplo de otro, cuando lo contiene muchas veces exactamente: esto es, cuando dicho número de veces está expresado por un entero. + El número contenido en otro dos veces se llama mitad ó subduplo del que lo contiene, ó dos 'Veces menor que el que lo contiene. El contenido en otro tres veces se llama el tercio ó subtriplo del que lo contiene, ó tres 'Veces menor que el que lo contiene &c. Y en general, el número contenido en otro muchas veces se llama submúltiplo ó parte alicuota del que lo contiene, cuando el número de veces está expresado por un entero. -r- 94 Si el número de veces que un númeFo está cont~ nido en O!ro no se puede expresar por un entero, el número menor se llama parte alicuanta del mayor. 95 De lo dicho se sigue que si un número a es duplo,. triplo, cuádruplo &c. de otro número b; el número b será en el primer caso subduplo, en el segundo

30 TRATADO subtriplo, en el tercero subcuádruplo &c. del número a. En general, si a es múltiplo de b, será b submúltiplo-de a. Tomando para poner ejemplos de todo lo dicho al nú~ero I 2, se dirá que el 1 2 es seis veces mayor que el 2 ; y el 2 seis veces menor que el 12. El mismo 12 es cuatro veces mayor qne el 3, ó cuádruplo del 3; y el 3 es cuatro veces menor que el 1 2 , ó el cuatro de 1.2 ó sub cuádruplo de 1.2. En general el 1 .2 será múltiplo del .2 y el 3 ; y el 2 y el 3 serán submúltiplos de 1 .2, ó partes alícuotas de I 2: y el 5 será parte alicuanta de 1 2, porque del 5 tomado dos veces resulta el número I o , que es menor que 1 2 ; y tomando el 5 una vez mas resulta I 5 , que es mayor que 12.

96 Pai:_a generalizar mas las expresiones , diremos que un número se toma media rvez cuando se toma su mitad. Diremos que se toma un tercio de rvez cuando se toma su tercera parte &c. Diremos v. g. que se toma un

número de vez cuando se toman sus+· Diremos que 2 se toma un número cuatro veces y - cuando se toma ;

cuatro veces , y á mas se toman sus - &c. 7 Por el mismo estilo se dirá que un número b está contenido en otro a media vez, un tercio de vez, tres quintos de vez, cuatro veces y dos séptimos &c. cuando es menester tomar el número b. dicho número de veces para obtener el número a. 97 -f Establecido esto, se puede deéir _en general que multiplicar es tomar un número,,. que se llama multiplicando, tantas veces cuantas unidades contiene otro número, que se llama multiplicador. El resulta4o de la multiplicacion se llama producto; y al multiplicador y multiplicando se les da el nqmbre general de factores del producto. · .+- Para indicar la multiplicacion se usa de este signo x, que quiere decir multiplicado por, ó simplemente por, porque la palabra multiplicado se sobreentiende~ Asi , 3 ·x 8

=.24 , quiere decir 3 por 8 , .24: esto es , 3 multiplica-

do por 8 produce 24.

DE ARITMÉTICA.

En este ejemplo, 3.es el multiplicando, 8 el multiplicador,y 24el producto: ó lo que es lo mismo, 3 y 8 son.dos factores cuyo producto es 24.

Cuando los factores constan de varias partidas, es menester encerrar en un paréntesis las partidas que han de formar el multiplicando, y puesto füera el signo x, se encierran en otro paréntesis las partidas que han de formar _el multiplicador. -1

Asi diremos que (67x34)=(60+7)x(30+4).

:1- 98 De la definicion del multiplicai: se infiere que el multiplicador se debe considerar como un número abstracto, y que el producto es de la especie del multiplicando. r 99 Tambien se deduce que el producto contiene al multiplicando tantas•veces cuantas el multiplicador contiene á la unidad. -J- 100 De aqui se sigue que. si el multiplicador .es mayor 9.ue la unidad, el producto resultará mayor que el multiplicando, puesto que lo contendrá mas de una vez. ~ .1 Si el multiplicador e~ menor que la unidad ( esto es, si el multiplicador es una fraccion propia), el producto resultará menor que el multiplicando, puesto que lo contendrá menos de una vez. ' , Multiplicando un número por la unidad, ó multiplicando la unidad por el número, resultará el mismo número (art. 4). Esto es, que 8 X 1 == 1 x8 :=8. . 101 Si el número que se ha de repetir un determinado número de veces (esto es, el.multiplicando) se -hace duplo, triplo &c., es evidente que el producto resultará duplo, triplo &c: del anterior. Si se toma la mita<l, el tercio &c. del multiplicando, el prod1:1cto resultará la mitad, el tercio &c. del anterior. Tambien -si un mismo número a se repite un .número de veces duplo, triplo &~. , el resultado será duplo, triplo &c. Si el mismo número a se repite la mitad, el tercio &c. del número de veces que repitió antes, el resultado será. fa mitad, , el tercio &c. del anterior.

TRATADO

+ Luego ló mismo será duplar, triplar &c., ó tomarla· mitad., el tercio &c. del producto, que ejecutar dichas , operaciones con el multiplicando ó con el multiplicador. -tf En generai , el producto aumentará ó disminuirá al paso que aumente ó disminuya uno de sus factores . .¡.-102 De lo establecido en el artículo anterior se sigue que cuando hay tres factores, es indiferente el mul. tiplicarlos en el órden que se quiera. V. g. (8 x 3) x2=8 x (2x3)=(8 xz) x3, y lo mismo se verilica con cualquier número de factores. _ Por lo que se acaba de establecer es (1 x 8)x 3 = (r x 3) x 8 , y como I x8 8 y I x3 = 3, es evidente que 8x ?í=3 x 8. .

r- 103 En general, es indiferente tomar cualquiera de los dos factores como multiplicando ó como multiplicador para obtener el valor ·numérico· del producto . .f 104 Pe esto y lo establecido (art. 99) se deduce que el producto contiene á cualquiera de los factores tantas . veces ~uantas unidades tiene el otro factor. 11 o 5 Por ser el todo igual á la suma de todas sus partes, lo mismo ·será multiplicar . todas las partes del multiplicando por cualquier número y reunir los ·productos, gue multiplicar de una vez todo el multiplicando por el ' mismo número. · Esto es, que 67x34= 60 x 34 + 7x34. _,.. Respecto á que el valor numérico del producto no varía tomando el multiplicador por multíplicando y el multiplicando por .multiplicador (art. 103), tambien este se podrá dividir en partes, y reunir la suma de los productos qüe resultarán de multiplicar por cada una de ellas el multiplicando.

V. gr. porque 6ox 34=34 x _60 en vez d~ 60 x 34 se pográ ¡,one1· 60 x 3o -1- 6ox 4· , . .,

__,,_ 106 De todo esto se sigue que se podrá ejecutar la multiplicacion considerando á ambos factores divididos en varias partes, multiplicando por cada una de la_s part_es c;l.el mqltiplicador todas las del multiplicando sucesivamente, y reuniendo los productos. · /

DE ARITMÉTICA.

V.g. 67x34=(60+7 )x_(3o+4)=6ox30+7x30+6ox4 ,+7x4. 107

Regla para multiplicar cualq_uiera cantidad numérica simple por unidades simples. .

•

Escríbanse las · unidades bajo la primera cifra de la derecha del multiplicando, y tírese una r:aya por de...,,.-1~

Répítase el Yalor de la primera cifra de la dere .. cha del multiplicando (considerada como unidades) tantas veces cuantas unidades contiene la del multiplicador. Escríbanse las unidades qu.e rest1ltan en ~icha pdmera columna de la derecha, y consérvense en la memoria -. las decenas. -, 3~ Repítase ep los mismos términos el. valor d~ la cifra siguiente del multiplicando, y despue.s de haber _ ·agregado al resultado las decenas que produjo la .mu.lt_iplicacion primera (considerada~ . como unidades) , _se escribirán las unidades en dicha ·columna segunda, y se conservarán en la memoria las decenas. T 4~ Practíquese lo mismo con ·la tercera cifra, y asi sucesivamente hasta _acabar; y póngase el signo decimal del yroducto debajo del signo dec:in}al dél 1nultiplicando (art. 44). . -¡· 2~

Ejemplo I •0 Supóngase que para <;aminar ·una milla se han em- · pleado 35 124 ,· y se quiere saber cuántos minutos se e mpleqrán en caminar una legua. Por cuanto la distancia de úna legila es Lripla d e la, distancia de una mill~, es evidente que se necesitará tres veces m·as ti~mpo , ' y por lo tanto se resolverá el problema multiplicando como-sigLle. • 108

Multiplicando .......• Multiplicador ..•••..•.

24}

...

35·1 3 factores.

Producto .................. 105 172 .Explicacion. Se dirá: 3 por 4, 12 : 2 y llevo 1 •••••••. 3 po~ .2 , 6 y r , 7......... 3 por 5 r 5 : 5 y llevo I . . .•..•• 3 por 3 , 9 y I ro , o y llevo I •••••••• Se esc,·ibirá el o en las decen:is , y la unidad que se lleva en las centenas; y el producto 105 172 será el tirmpo. que debe emplearse en caminar una legua. . _ .

TRATADO

109 Denrostracion. Es evídente -que multiplicár un número, de cualquier dase, por unidades simples, es ló mismo que sumarlo tantas veces cuantas unidades tiene el' multiplicador, y dejarlo en su misma clase; y como esto es lo que, segun la regla, se practica coQ todas las clases del multiplicando, el rlsultado será el producto. I 10 Cuando un número a se ha de multiplicar por :2 , y el producto se ha de sumar ,eon otro número b , es mas expedito el escribir el número a dos veces debajo ó encima de b, y sumar las tres partidas. Si el mu!Jiplicador de a es 3, se puede escribir el número a tres veces &c. ; pero operando ,de este modo ; la ··operacion se dificulta tanto mas, cuanto mayor .es el mul. tiplicador. .111 Para multiplicar con prontitud es menester sal>er de memoria todos los productos de unidades simples por unidades simples, los cuales se manifiestan enla .si!s'-liente tabla. Segundo nttmero.

¡- 3 ] 4] s·l, 6 J 71 81 9 ___:_) 4] 61 '8 1 10 j 12 j 14 i 16 j 18 .21 I 24 ] 27 3 l 61 91 12 \ 15 1 1~ 1 1

12 :I

! .28 l 32 1 36

j :25 f ~o j .35 ·,¡ 4º 18_1 24 1 3º \ 36 r'42·148

10 1 15

61 12 l

16 :I 20 20

13s

] 45· · '

J 54 :

t 14 .t

.21

1 28

,~ J. 16,~

l ~:2 ¡ 4º 1 48 1 56 l 64 1

_'·: 9-l -1•8 1

.1 42 1 49

l 56 1 63 1

1;,~7 ·1-s-6 'l 45 j 54 l 63 1 72 f s

: _

•· _

•

DE ARITMETICA.

35:

· Esta tabla esta dispuesta como 1a que sirve para sumar ( art. 76), con la diferencia .de contener los productos donde aquella las sumas. · · Los números de fa primera columna de la izquierda y los de lá línea superior son los factores ; y en la.casilla del concurso 'se expresa el producto correspondiente. Así, por cuanto 7 x 8 = 56, está escrito el 56 en el concurso de la , línea del 7 y de' la columna del 8. Conviene leer la tabla muchas veces ., diciendo v. g. en la líne¡t del i, 2 por 2, 4: 2 por 3, 6: 2 por 4, 8: 2 por 5, 10 &c. La línea del 6 se leerá asi : 6 por 2 , 1 2 : 6 por 3 , 1 8 : 6 por 4 , 24: 6 por 5 , 3o: 6 por 6, 36 &c. y á los Maestros toca el enseñar el modo de leer esta tabla de viva voz • . r 12 De lo dicho (art. 103) se sigue que basta aprender de memo,ria los productos de cada número por sí mismo y por los mayores , esto es, que basta aprender la línea del 3 empezando 3 por 3, 9. La del 4 empezando 4 por 4, 16. La del 5 empezando 5 por 5, 25 &c.

Regla general para la multiplicacion di las canti, . . dades numéricas simples. .

. 1'? Escríbase el multiplicador de suerte que sus unidades esten como en la regla del art. I 07) debajo de la ultima clase de la derecha del multiplicando, las decenas bajo la penúltima &c. , y tírese la raya por debajo. 2'? Multiplíquese como se prescribe en dicha regla (art. · 107) todo el 1nultiplicando por la primera cifra de la izquierda del multiplicador, empezando á escribir los productos bajo dicha primera cifra de la izquierda del multiplicador. . · 3'? Hágase lo mismo con -la.siguiente cifr~ del multiplicador, empezando á escribir los productos un lugar mas .-hácia la derecha : esto es, bajo dicha cifra del multiplicador. 4'? Practíquese lo mismo con la otra cifra del multi. plicador, empezando á ~scribir los productos bajo de· ella: esto es, otro lugar mas á la derecha; y asi sucesivamente hasta acabar. · 5? Súmense todos los productos_parciales sin alterar

TRATADO

1·

colocacion, y poniendo el signo ·decimal debajo del signo decimal del multiplicando (art. 44), se tendrá el producto total. 6? Para .evitar equivocaciones conviene poner ceros . en muchos lugares en que no hay cifras significantes, y colocar desde luego el signo decimal en la primera línea de productos. . -t 7'! Si se quiere evitar la incomodidad de colocar las unidades del multiplicador bajo la última cifra del multiplicando, para colocar el signo decimal se observará la regla de separar en el producto tantas cifras decima.:. les cuantas hay en el multiplicando y multiplicador. En este · caso, si es menor el número de cifras del producto, se pond_r,án á la izquierda de la última cifra significante de dicho.lado los ceros necesarios para completar el número de decimales. 8<? . Si el multiplicando ó el multiplicador se terminan en ceros á la derecha, se puede ejecutar la multiplicacion como si dichos ceros no existiesen; y des pues se pondrán á la derecha del producto tantos ceros cuantos babia en ambos factores á la derecha de la última'. cifra ~ignificante. En este caso se ejecutará la separacion de decimales (ú los hay) por la regla del número antecedente. -. I r4 Multiplicando.... Multiplicador .... ,

Productos· pares•. ' Prodiicto t; tal....

Ejemplos. Multiplicando............ Multiplicador...........

253~47 36'2 I

¡~

~¿:

~2 5 o' 6 _q4

P_roduclo.s pares .......

2'5347

2 i '54 3' 754

¡ ~f1'0770 ~;8 . 8616

9178' 1487 ' Producto total..........

80'86 I 16

115 Demostracion. Es ·evidente que multiplicando por decenas, los productos deben ser diez veces mayores· que multiplicando por unidades art. IOI ), y por lo tanto deberán colocarse un lugar mas á la izquierda &c. (art. ~9 á 43). Luego multiplicando por cualquier cla•

DE ARITMETICA-.

se de los enteros, deberán colocarse los productos tantos higares mas 4la izquierda que multi-plicando por unidades, cuantos lugares estuviere dicha clase ·mas á la izquierda que las unidades. Por _el mismo estilo se _demuestra qúe multiplicando por cualquiera clase de los decimales, se deberán colocar los productos tantos lugares mas á la derecha que multiplicando por unidades, cuan·tos lugares estuviere dicha clase mas á la derecha que las unidades. Pero esto es lo que se ejecuta colocando las cifras del multiplicador segun· regla, y empezando á escribir cada producto parcial bajo la cifra correspondiente del multiplicador: luego las clases que componen dichos productos pa~ciales . quedarán solócádas en los lugares que les corresponden respecto a los productos pan;iales de todas las clases del multiplicando por las unidades del multiplicador; y por lo tanto, sumándolas en dicha disposicfon, se tendrá el producto total. · · Lo que se previene en los números 7'! y 8? de la r..egla se deduce de lo prescrito en los números 1'! y 6?; y ~e comprende fácilmente con la inspeccion d~ los ejem- ' plos. Otros ejemplos.

---'

35'6 40'6

0'0058 0'39

7'960 3'58.2

14.240'0 . .249'.2 '

_0'001740 · . 5.2.2

1'542

14489'.2

0'00.2.2°6_2

, ,. ·

116 Si en una expresion numérica se pone el signo • decimal un lugar mas á la derecha, qo hay duda en · que los décimos se harán unidades, las unidades decenas &c. (art. 39 á 46), y en general el valor de cada cifra será diez veces mayor de lo qué era antes. Si se pone el signo decimal dos lugares mas á la derecha , los valores de todas las cifras serán cien veces mayores &c. De aqui se ~ deduce que para multiplicar por I o, por 100; &c. no hay mas ' que poner el signo decimal UP lugar. dos lugares &c. mas á la derecha .. l

TRATADO

Regla general para multiplicar cualquier número: por la unidad en cualquiera .clase de los enteros. . . -,

-~ Póngase el ·signo decimal tantos lugares mas hácia la _ derecha cuantos ceros hubiese á la derecha de la unidad hasta el signo decimal, supliendo con ceros las clases que· . · faltasen ( árt. 5 o). V.g. 34'21x1000=34210,y 34'21x10:;:342'r. Tamhien 563xrno=563oo porque (art. s·o) 565=563'000 &c•._

CAPITULO VI. ~

"~...---..,_.,,--,.__DEL PARTIR.,·. .

. ~~,

;

Partir ó dh;idir un nú~'ero por otro es hall~~-· las veces que el segundo está contenido en el primero. El

,J,J\ I i 8

nú1:11ero que se ha d~ pa~ti~ se llama di<videndo; aq~el por.: quien se ha de parur dt'Vtsor, y el resultado cuoczente. , --t: Cuando el dividendo vale mas de lo necesario para· incluir un número de veces justo al divisor~ á die.ha parte exc;::edente del dividendo se le da el° nombre de re- -.. siduo. , . .. -V . g .- partir 8 por 2 ·es ver cuántas veces está incluido el 2 en el 8;

y así será 8 el dividendo, .2 el divisor, 4 el cuociente, y el residuo nin- · guno 6 cero, porque el 2 está incluido cuatro veces justas en el 8:· Si se· parte 17 por 5 , será 17 el dividendo , 5 el divisor , 3· el cuociente en ' enteros , y 2 el residuo , porque el 17 tiene dos unidades mas de las necesarias para incluir tres veces al 5; ó lo q_ne es lo mismo., porque 3x5 - = ·1 5 _, de cuyo número hasta al I 7 hay dos unidades.

u9 ·cuanto en adelante se diga del cuociente, se entiende del cuociente exacto; que en su lugar se_enseñará • á hallar con exactitud, ó con ,:::uanta aproximacion se. juzgue necesaria. . 120 En la tabla del artículo 111 se hallan los cuocJentes para todos los casos en que. el divisor contiene solo unidades simples.

DE ARITMÉTICA.

3'9

V. g. si se quiere saber las veces que el ~-cabe en· 4-2, en la línea 'del 7 se busca el 42 , y en la cribeza de la· columna del 42 se halla el · cuociente .exacto 6.

Si en.la línea del .divisor no se halla el ·dividendo, se busca el número próximo men_or; -en la .cabeza de su columna se hallan las :unidades <lel .cuodente, y el éxcesü ,.cl.el número propuesto sobre el próximo menor .es el re-siduo. · · ,

V. ·g. si se .quiere saber fas vece_s que .el eabe en 2'3, en 1a línéa del 5 no se ihalla .el ·. 23, pero sí el .20 .(que ,es .el próximo menor, respecto á que .el número siguiente .es 25).: 1o tanto el. cuociente será 4 ( qu,e ·está .á la cabeza de la columna de :.20) , y el residuo 3 , q~e es· ti exceso .de .23 sobre ·.20.• . Con:v¡oo.e leer machas veces di.cha tabla, diciendo en la línea del '2, ·i. en 4 , ·.2 : .2 ,en S, ·.3 ; .:a .en .B , 4 fic. , que quiere .decir: el .2 en el 4 cabe en dos 'Jleces &c. ;En la línea del 6 ,se ,dirá : 16 .en .:r 2 , :.2 ! ,6 en 18., :3 .: 6 en .24 , 4 : 6 en 3o , 5; S .en '36., 6 : ~ en 42 , 7 ~ 6 _.en 48 , .8 : 6 en S4 , .9 ; y se tendrá ;presente que ,esta línea .es Ia m.as mter-esmte. · A los '1\Lw.s.tros .toca exp1i.<:ar de iViva \VOZ el ,u-so que puede .hacerse de dicha !tabla ¡para .a pr.e.nder .á p.artir ,con pr.ont:it:ud.

·fº·r

La ,definícíon .del partir maniJiesta~ que d divi~ sor estará incluido ,e n el dividendo tantas veces ,cuantas unidades ,contiene d cuociente. 122 De esto y de fo .dicho (art~ 104) se :Sigue que 7 ·el dividendo es -igual .al .producto del ,divisor por d cl:lo- . ciente ,cuan.do este ,es .exacto_; y ,á .dicho p-mducto mas el residuo .-.cuan:do ,es.:aproximadoA · --,, En ,esto .se funda la pru.eba del partir. -; 121

V. g. _por ,cuanto 4x6=a4-, será .6 el ;erdadero ,cuociente de 24 part~do por 4. Para comprobar .que 3 es .en .enteros ;ell •cuo~iente de 1 par7 tido por .5 ~ .al producto .de .5x5=1.5 .se .a_gregara ,el :residuo.:, y con .esto resultar.á ,el .dividendo 117. .

,, +

123

De aquíse :sigue,quepar.tíendo11.mproducto por

el multiplicando, re~uit~rá al ,cuocíente _el multiplicador; y .c omo ,.cualquiera .de fos fattorces :se puede toma"r · como. multiplicando "?mo multip~icador (art. zo3)~

es evidente ,que part1e11do d producto por uno de sus dos factores, :resultará por ,cuociente el otro factor. ·.

. "'

40 TRATADO · En esto se funda .la prueba del multiplicar: V. g. por cuanto r 2 partido por 3 da 4 por cuociente, ·se1·á I 2 el v erdadero producto de 3x4, ó de 4x3. . ·

.--,., 124 Por esta razon, partiendo el dividendo por el cuociente, resultará como cuociente el divisor primero. .J- 125 De lo dicho resulta ·como corolario que el partir es operacion inversa del multiplicar; de suerte que IJlllltiplicar y partir una cantidad por un mismo número, es dejar la cantidad como estaba. V. g. si despues de haber multiplicado 7 por 6, se parte el prcduclo 42 pór 6 ·, resultará otra vez el 7. ,

.,. 126 De la definicion del partir (art. I I8) se infiere que -si el divisor es la unidac,i, será el cuociente igual al dividendo (art. 4). Si el divisor es mayor que la unidad, el cuociente será menor que el dividendo. Si el diyisor es F?en~r que la uniaad, será!;!} cuociente mayor que el dividendo. . . V. g. 8 partido por I , da 8 poi cuociente: 8 partido por .2, da por cuociente 4 ; y B· partido pqr o' 2 , da por cuociente 40, puesto que ~s o'.2x40=8 (art. 122). .... . . 1

-, 127 En general, el cuociente aumentará al' paso que aumente el dividendo ó disminuya el divisor; y el cuociepte disminuirá al pasd que dis·m inuya el dividendo ó aumente el divisor: · J ., 128 Res·pect_ o á que el dividendo ·es un producto, cuyos factores son el di visor y cuociente ( art. I 2.2 y I 19), la suma del número de decimales de divisor y cuocieme s~rá igual al número de decimales del dividendo (art. ,I 13 1íúm. 7?); y por lo tanto (art . .92) el número de decimales del cuociente deberá ser igual al número de decimales .del dividendo menos el número de decimales del div'isor. · -r 12!;{ Tambien resultará de dicho principio, qu~ con -divid'e ndo, divisor · y cuociente se deberá verificar lo ~nismo que se demostró (art. 101 á 106) del producto-y de sus factores. · -t Síguese de esto, que si_dejando el mismo divisor se

41 multiplica ·e1 dividendo por cualquier·número, resultará el cuociente _p rimitivo multiplicado por dicho número. ·

DE ARITMETICA.

. V. g. el cuociente de 6 partido por 2 es '3; y si se ¡µultiplica el di'Videndo primitivo 6 por el número 7, resultará el nuevo dividendo 42: que partido por el mismo 2 da el nuevo cuocienle 2 I igual al primitivo ('3) multiplicado por 7. · .. Para demos~rar esto con generalidad por medio de las expresiones literales se puede proceder. como sigue. . 1. 0 Sea el dividendo primitivo ·a xb;y no hay duda (art. 12'3) en que si el divisor es b, será_el cubciente a. · ~ 2. 0 Si el dividendo primitivo (axh) se multiplica por n, resultará el prodncto (axb)xn, que po1· lo dicho (art. 102) es=(axn)x b. 3.0 Luego partiendo el nuevo dividendo por b (art. 1.2'3) resuli-ará el nuevo cuociente (axn), que es igual al primitivo (nzím. 1.0 ) multiplicado por n. _ . · '

J 130 De este principio resulta que en vez de multiplicar un cuociente por· cualquiera nútnero, se püede multiplicar el dividendo por el mismo número, y dejar el mismo divisor. -~ 131 Tambien result~ de la propiedad enunciada (art. 123) que multiplicando por un mismo número el dividendo y divisor, no variará el cuociente.

V.g. I o partic1o por a da poi: cuociente 5; y si se multiplican el JO y el 2 por 4, resultará 40 partido por 8, cuyo cuociente es lambien 5. • Se puede demostrar esto por medio de las expresiones literales como sigue. I •0 _Sea axb el divid~ndo primitivo, y b el divisor, y (art. 12'3,) s~r( el cuoc1ente a. · , · 2. 0 Si el dividendo y divisor se multiplican por n, resultará el nuevo dividendo (axb)xn, que por lo dicho (art. 102) es=ax(bxn),y el nuevo divisor será (b x n), , 3. 0 Luego (art 12'3) el cuociente será a como en el mímero 1º. ,

)(132 De esto y de lÓ dicho (art. 125) resulta que. partiendo el dividendo y divisor por un mismo número, tampoco varía el cuociente. . Si se quiere demostrai- esto separadamente por medio de expresiones literales, se supondrá... el dividendo ax (bxn) y el divisor (bxn), y será. e~ c_uociente a. Partiendo por n será el nuevo dividendo axb , el nuevo d¡v1sor b, y el cuociente a, como antes • ..J, 133 De lo dicho (art. 129, 131 y 125) se puede deducir como corolario que la operacion de multiplicar 6

TRATADO

el divisor por cualquiera número. equivale á la de par• tir el cuociente por el mismo número. · V. g. '3o partido· i:io~· 5 da por cuociente 6; y multiplicando el 5 por 5, resulta el nU:ev-o d1v1sor I 5 , por el cual partiendo el 3o ; resulta el nuevo cuociente 2 , que es igual. cuociente prim~tivo 6 _partido por 3. Para demost1:ar esto por medio de las expresiones literales se puede proceder como signe. 1.º Sea (ax.i;i)xb el dividendo , y b el divisor, (art. 123) resultará el cuociente (axn). 2. 0 Multiplicando el dívisor primitivo pqr n, será el nuevo di.visor thxn); y el dividendo primitivo (núm. 1.0 , se puede poner (art. I0.2) }?ajo esta forma ax'( b x n). 3. 0 Luego (art. 123) el nuevo cuociente ser~ a, que es igual al prirrp.tivo (núm. 1.º) partido por n.

134 De la definicion del partir ( art; I I 8) se deduce q_ue suponiendo al _dividendo,_dividido, ei:, tantas par:. tes iguales cuantas umdádes contiene el cuociente, el divisor expresará el valor de cada una de dichas partes. ·

-1

V. g. por cuanto I .2 partido por 4 da por cuociente 3 ~ suponiendo el número 12 dividido en tres partes iguales, cada una de ellas valdrá cuatro unidades. --1 135 De esto y de lo dicho (art. 124) se sigue que suponiendo al dividendo dividido en tantas partes iguales cuantas unidades contiene el divisor, el cuociente expresará el valor de cada una de dichas partes.

V. g. poi: cuanto 12 partido· por 4 da por cuociente 3 ,- suponiend~ 12 dividido en cuatro partes iguales, cada una de ellas v.aldrá tres unidades. ·

el número

136 Para comprender mejor las consecuencias que' se deducen ~e este principio interesante, supongamos que se trata de dividir úna manzana por igual entre cinco sugetos, y no hay duda en ·que para esto se deberá dividir la manzana en cinc~ partes iguales, y una de dichas partes será lo que le toca á-cada uno. Esto ma11ifiesta que

~ partido por 5 es igual á .: . Si lo que se ha de distribuir igualmente entre cinco sugetos son tres manzanas, es evidente que á ;ada uno le tocará

de la yrimera

DE ARITMETICA:

. manz~na,

de la segunda, y

tanto á cada uno le tocarán

de la teréera : por lo

de manzana.. En general '

si el número de sugetos es m y el de manzanas,,. ti , á ca1 da sugeto le tocará - ( que se enuncia un emea'Vo) de. m

cada manzana: esto es, tantos -

de manzana cuan-

tas son las manzanas, ó lo que es ló mismo;.::. de ' m manzana. -r 137 - De esto se deduce con evidencia, que todo quebrado ó expresion fraccionaria expresa el cuociente del numerador partido por el denominador. --f Por esti razon toda division puede expresarse poniendo al dividendo y divisor en forma fraccionaria. 10 . 1 · · que '7..i parll·¿ o por 5 : E sto es , que '3 e~ l o mismo 5 es o mismo que 5 ro partido por 5: y en general ~('Iue se puede enunciar ene emeavos)

m es lo mismo que n partido por m ; y en adelante las expresiones fraccionarias se leerán indistintamente de cualquiera de estos modos.

138 Se comprende fácilmente, que si del dividendo se hacen varias porciones, sumando las. veces que el divisor está contenido en cada una de dichas porciones, se tendrá el totat de veces que está incluido el divisor en el dividendo: esto es, . el cuociente. V.g. si el dividendo es '32'92, se puede separar ante todas cosas en dos ó mas porciones como sigue: '32'92=32'9-t-0'02=32-+-0'9+0'02 3o+ 2-+-0'9-1-0'02; ó bien= 20,+12+0'6 + 0'32, quitando una decena del '3o y 11gregándola al 2: y quitando tres décimos del 9 para agregarlos á los 0'02.,

139 Segun esto, para ·facilitar la division, despues de hechas varias porciones del dividendo, se puede quitar v.g. de la mayor lo necésario _para que en ella esté incluido el divisor un número justo .de decenas. Lo que se ha quitado á dicha mayor porcion se puede agregar á ·1a segunda, y quitar de ella ( si fuese necesario) lo que baste para que en ella esté incluido el divisor un nú'mero

TRATADO

justo de unidades .. Lo que se hubiere quitado de la ·segunda porcion se puede agregar á 1~ tercera, y asi suce=si vamente hasta acabar. . En esto s_e funda la siguiente 140

Regla general para la dh;ision de los números·, simples.

_,__ 1<? Se escribe el divisor á la derecha del dividendo, dejando bastante espacio entre uno y otro, y se tira una raya por debajo del divisor, y otra á su izquierda. x 2'? En los preceptos siguientes se supone que se consideran el dividendo y divisor como si no hubiese signo _decimal; y ante todas cosas se le agregan ( si es necesario) á las clases decimales del dividendo, á lo menos los ce-: ros que basten_ P.ara gue bajo dicha consideracion sea mayor que el d1v1sor (art. 50). ~ ..,¡3'? Si el dividendo tiene meno~ cifras decimales que el di visor, se le agregarán los ceros necesarios para igualar, cuando menos, dicho número de cifras decimales; 4'? Se separarán con un punto las primeras cifras de la izquierda del dividendo que se necesiten para que ( considerándolas como un conjunto de unidades) incluyan al divisor. 5'? Se escribe debajo de la raya del divisor la cifr~ . que expresa las veces q Lle dicho divisor está contenido en la primera porcion del dividendo, considerada como se ha dicho ( *). 6'? Por esta primera cifra del cuociente se multiplica todo el divisor; y el producto se resta de dicha primera porcion del dividendo, considera<la corno antes. 7. 0 A la derecha de este residuo se agrega la cifra si•, (•) Para hallar las veces que el divisor está incluido en el dividendo sirve la regla que se dará mas adelan-. te (art. 14?). Por esta razon, antes de saber practicar lo que se previene en dicha regla, convendrá ejercitarse

poniendo ejemplos en que el divisor solo tenga una cifra. ' Des pues se a prenderá el modo de abreviar esta regla (art. 149); y de él solamente se h¡¡rá uso en adelante.

DF. ARITMÉTICA. 4 5· guiente del dividendo; y el todo, considerado tambien como. .un conjunto de unidades, formará ·1a ~egund? ,por-

·-

CTOO.

8.º Con ésta segunda porcion se ·ejecutará Jo mismo · que con la primera; con la sola difer_e_ncia de .e~cribir la ·cifra, que expresa las veces -que ·en d1~h'a segunda porcion está contenido ·el divisor, ' á la derecha de la .primera cifra del éuociente. 9? Se continuará en los mismos términos, agregan..., do una cifra á cada residuo para formar la siguiente pordon del dividendo, y escribiendo cada nueva 'cifra del cuociente un lugar mas hácia 'la derecha. , 10? Si alguna de las porciones del dividendo es menor que el divisor, se pone en el cuociente cero, y se agrega la otra cifra de la derecha para formar la sigtüen. te porcion; y si esta es todavía meno_r , se pone al . cuo~ ciente otro_cero, y-se agrega otra cifra mas del dividen- , do &c. : 11? . Puesta la cifra del cuocie~te que corresponde á la última porcion del dividendo~se separan con el signo decimal tantas cifras de la der echa cuantas clases decimales tiene el dividendo mas gue el divi sor, stipliendo · si fo ese ne\:eSario) con ceros á la izquierda las cifras que faltaren. _ ; 12? Si se quiere _el cuocie1ate r_epresentad0: con tod~ exactitud, á las cifras halladas por el método expresad<:> se les agrega un queqrado cuyo numerador es el últimó r esiduo, y el denominador el divisor. . ., 13? Si en el curso .de la operacion., resultase el producro:del divisor .por la cifra del cuociente mayor que la porcion del dividendo_de qui~n se ha de restar, es~ñal de que dicha cifra del cuociente es mayor de lo qm . debe ser; y por lo tanto se disminuirá en una unidad, y se repetirá la operacion ( num.- 6?). . 14? Si algun residuo, antes de agregarle la cifra siguiente del dividendo, resulta igual ó niayor que el di_v isor, es señal de que la cifra del cuo•ente es menor de

' 1

- r .

TRATADO

lo que debe ser, y por lo tanto se aumentará en una unidad, y se repetirá la multiplicacion y resta (niím. 6?) · ~41 Ejempfo 1,0 . ai'J)id. '3.2, 9 :¡ 1.2 divisor. 2 :~:_.,

Ejemplo

dMd.

l34 di'))Jsor.

I8 75-+--cuoc.

.238

1646 cuoc.

1.2 12

256.8

.2. 0

018

009

resid..

12 12

Ejemplo '3.0

dMd. 58.'3'48

1o'58 divisor. 1006 cuoo.

O 00

· ·Explicacion del ejemplo I O Escritos el dividendo 3.292 y el divisor en los términos que se previene en el número primero , y separada con un punto la primera cifra de li!. izquierda del dividendo (que es '3), se dice: 2 en '3, 1 ;y se escribe r al cuociente, Se multiplica por I el divisor 2, y su proclucto 2 escritq b ajo· ele la primera porcion del diviclendo ( que es 3), y restado de ella , da el residuo I. Hecho esto, se baja la cifra siguiente del dividendo ( que es 2) á la derecha clel residuo I , y se dice: .2 en 12, 6; 'y se escribe el 6 al cuociente. Se multiplica el divisor 2 por dicha segunda cifra 6, y r estando el producto I 2 de la segunda porcion del dividendo {que es tambieii I 2), resulta el residuo O, Hecho esto, se baJa la cifra siguiente del dividemlo ( q-q.e es 9), y se dice : 2 en 9, 4 &o. Terminada la diyision, resulta el CL1ociente exacto I 646. Si el di vi.do hubiera sido '3'292, y el divisor el' Ínismo 2, seria el verdadero cuo.:. ciente I '646; y si en el mismo caso fuese' el divisor 0'02 , seria el cuociente r 64'6 ; y finalmer¡te, si siendo 32'92 el dividendo, fuese 0'02 el divisor , seria el c110ciente ~ 646. E.xplicacion del ejemplo 2.° Colocados el dividendo 2568 y divisor '34 como se previene (núm. 1.0 ) , se separan con el punto las tres cifras primeras del dividendo (que son 256), p01: cuanto el divisor n? cal5e en la cantidad_~ representan las dos primeras (que es .25), y se 2

. DE ARITMETICA. · 47 dice: ?i4 en .256, 7: se escribe el 7 al cuociente; y restado de .256 el producto de 34 por 7 · (que es .238) se le agreg:i- al resi~u? t 8 la siguiente cifra ( que es 8), y resu~ta la segunda_ porc1on del ~1v.1dendo l 88. Se dice 34 en I 88, 5 : se escribe 5 al cuociente, y multiplicado por el divisor 34, resulta el producto 170, que -restado de la segunda porcion 188, da el residuo 18. Resta pues que dividir 18 por 34(art. 139);

y como esta division equivale al quebrado

(art. 137), dicho que-

brado agregado al cuociente en enteros dará, el c1.10ciente exacto 75 18 9 .

-1--=75-t--. 17 34

•

Explt cacion del ejemplo 3.0 Se trata de dividir 583'48 por o'58; y hallada la primera cifra del cuoci ente (que es 1), y agre~ada la cifra :3 del dívidendo al residuo oo, resulta la segunda porcion del dividendo 3 men0r que 'el divisor 58: por lo tanto puest9 o al cuociente, se agrega la otra cifra ( que es 4) , y, resulta la tercera porcion 34, que todavía es menor que el divisor, Póngase pues otro o al cuociente; y agregada en d dividendo la otra cifra ( que es 8), resulta la cua1 ta y última porcion 348, en la que 58 cabe 6. v eces, y no queda residuo. Por ser en este ej.emplo i&ual el número de decimales de dividendo y divisor , no se separan decimales en el cuociente, que resulta 1006.

142 , Demostracion. Lo que se prescribe en la regla, y se ve ejecutado en los tres ejemplos, es· lo mismo que se estableció (art. 139); y así para demostrar que las cifras que se han hallado representan el verdadero cuociente, basta manifestar que estan colocadas en las clases 9ue les corresponden, Para esto no hay mas que atender a que si el divisor y dividendo sol). ~fectivamente conjunto de unidades ( corno en el ejemplo 1<?), no hay duda en que la última cifra de 1a derecha ( que es 6) deberá representar unidades. Porque en tal caso, al ver las veces que el divisqr ( que es 2) está inclujdo en 1a últit~a porcion del dividendo ( que es 12), se toman uno y otro en su verdadero valor. La penúltima cifra ( que es 4) de- • berá representar decenas; porque la penúltima porciorl del dividendo ( en rigor 90 ), que al ejecutar la division se ha considerado como unidades, es en realidad decenas, esto es, diez veces ir.ayer; y por lo tanto deberá el cuodente diez veces mayor de lo que rernlta por la consideracion falsa que 6e hace (arh ·129). Por igual

ser

· 48 TRATADO ·razon la cifra antepenúltima del cuociente ( que es 6) deberá representar centenas &c. Pero esto es lo que se ejecuta colocando las cifras del cuociente segun la regla: luego no hay duda en que dicha regla es exacta en ' ~ste caso. .. La regla para la separacion de los decimales en los demas casos queda demostrada (art. 128). . 143 Como á la derecha del dividendo se pueden añadir en clase de decimales todos los ceros qQe se quie-· ra sin alterar su valor (art. 50), se podrá continuar la division cuanto se quiera, aproximando de este modo mas y mas el cuociente, cuando despues de haber llegado á la última cifra significante del dividendo queda residuo. 144

Ejemplos.

0'0032.000 .28

17 0'0004571

040

35 o 5o 49 or o 0'7

'2'0000

&c.

19 0'2222

1'8

&c.

· O 20 18 020 18 020 18

o3 02 El prim er ejemplo está ap1·oximado· hasta los diez mil19nésimos , y el segundo hasta los diez milesimos,

145 Siempre que se halle un residuo igual á otro que haya resultado despues de haber llegado á la última ci- . fra significante del dividendo, en adelante las cifras del c;uociente y los residuos volverán á n!sultar en el mismo órden , como se ve desde luego en el ejemplo segundo. 146 En los cuocientes aproximados se examinará si el divisor es mayor ó menor que el duplo del último residuo considerados uno y otro como conjuntos de uní-· dades; y si fuese menor, ~e aumentará una unidad á la última cifra de dicho cuociente. En t:fecto, en tal caso el.

, DE ARITMÉTICA. 49 quebrado,, que se debia agregar, valdrá mas de media unidad de dicha clase última, y por lo tanto es mas exacto aumentarle una unidad que despreciar el quebrado enteramente. 147 Cuando el divisor tiene muchas cifras significantes, es muy dificil hallar á ·la sola inspeccion de las cantidades las veces que está incluido. en la porcion correspondiente del dividendo; y para evitar este inconveniente y las equivocaciones que resultarían de poner al cuociente cifras que se hubiesen de borrar para substitu.irles otras"(art. 140 n(un. 13 y 14), se .r ecurrirá á la siguiente

Regla p,zra tantear las cifras que se han de escribir al cuociente. 1? Véase las veces que la primera cifra de la izquierda del di visor está incluida en la primera, ó ( si fuese necesario) en las dos primeras cifras de la izquierda de la · porcion correspondiente del dividendo (art. I.20). 2'! Sin escribir al cuociente la cifra que expresa dicho número de veces, multiplíquese por ella la primera cifra del divisor, y el producto ( que tampoco se escribe) réstese mentalmente de dicha primera ó dos primeras cifras de la porcion. · • 3'! Al residuo, que se conserva en la memoria, se le considera á la derecha la cifra siguiente de la porcion ( considerada como unidades); y si la segunda cifra de la izquierda 'del divisor no cabe en este conjunto tantas veces como expresa el cuociente imaginario, es señal cierta de que dicho cuociente debe disminuirse. 4'! Se disminuirá en este caso dicha cifra imaginaria del cuociente de una unidad, y se repetirá e] tanteo en los mi~mos términos. 5~ Si se ve que multiplicando la segunda cifra del divisor por el cuociente-imaginario, y restando el producto del primer :i:esiduo imaginario y la cifra de la de7

J 50

TRATADO

recha (núm. f') resulta mucho residuo, desde luego se puede escribir y efectuar la division. 6<? Pero si el residuo fuese muy pequeño, se le puede considerar á la derecha la cifra siguiente del dividen~ do, y ver si la tercera cifra del cuociente cabe el expresado número de veces en este conjunto. Si no cabe, desde luego es menester rebajar el cuociente imaginario, &c. . L~8 Todo esto se comprenderá mejor con la explicacion del ejemplos1gmente. 1 298 E.rplicacion. Separadas con el punto las tres 902.3'00 primeras cifi·as del dividendo ( qtte son 902) se 3°' 2 7 ve que el 2 (primera cifra del divisor) cabe cuatro veces en el 9 ( primera cifra del dividendo). 008 3 o Se dirá pues (sin. escribir el 4) : 2 por 4, 8: 5 9 6 á 9 , I , que- agregáa.dole el o que sigue resulta ro. Como la segunda cifra del divisor ( que 2 3 40 es 9 ) no cabe cuatro veces en el I o , desde 2 o 86 l L1.eg_o está claro qne no puede ser el cuocien0 ·2 54 te 4. SL1.póngase pues eT cuociente 3, (y sin escribirlo) dígase por el mismo estilo : 2 por '3 , 6: á 9 , '3, que con el o que sigue compone 3o. Como la segunda cifra del divisor (que es 9) cabe ll"es veces en '3o, y todavía queda el resttltio '3 (que se halla diciendo '3x9, 27, á 3o, 3), se puede· escrlliir- el '3 ·al cuociente, &c. La scguntla porcion del dividendo (que es 8'3) es menor que el divisor; y por lo tanto, puesto el o al cuocienle, se bajará la otra c"ifra del dividendo, y ,resnllará la tercera porcion 830. Se dirá , pues , para hallar la tercera cifra del CL1.0ciente ,. 2 en 8 , 4;y diciendo (sin escribir el 4): 2 por 4} 8: á 8 , o, que agregada la otra cifra del' dividendo ( que es '3o), solo compone '3. Se ve al instante que la segunda cifra del divisor (que es 9) no cabe en 3, y asi no puedeser la tercera cifra del cuociente 4. Para probar E>l 3, se dice, 2 por 3, 6: d 8' , 2, que agregándole· eI '3 (crue signe-) compone 2'3. Se ve que tampoco cahe el 9 tres veces en 23, y que por lo tanto tampoco puede ser la tercera cifra del cuociente 3; pero como se ve que no eslá muy distante ele poderlo ser, desde luego se puede escribir el 2 , &c. La cuarta porcion del dividendo es 2340; y así, para hallar la cuarta cifra del cuocieute , se dirá (tomando sus dos primeras cifras 2'3, por cuanto dicha porcion tiene una cifra mas que- el divisor): 2 en 2'3 , 9 (porque< nunca puede ser el cuociente I o) ; y para probar se aiíade, :¡ por 9, I 8, d 2'3, 5. Ub.ido el 5 al 4 que sigue forma 54; y como la segunda cifra del divisor (que es 9 no cabe nueve veces en 54, desda luégo está claro que no puede ser .9 el cuociente.

. DE ARITlvlÉTICA. 5I Fara tanteai· el 8 , se dirá 2 por 8 , I 6: d 2'3, 7, que con el 4 qne sigue compone 74. La segunda cifra del divisor (que es 9) cabe ochoveces en 74; pero como 8x9=72, el r~siduo es solo 2, qne agregada á la derecha la otra cifra del dividendo ( que es o) , resulta 20 ; y como la tercera cifra del divisor (que es 8) no cabe ocho veces en 20, no hay duda en qne tampoco puede ser 8 la cuarta cifra del cuociente. Pero como el tanteo manifiesta qne no está muy distante de poderlo ser, desde luego se puede poner el 7.

149

Entendida la regla para ejecutar la division (art. 140), para ejecutarla con mas prontitud no se escribe el producto del di visor por el cuocien_te, y se halla el residuo por partes segun se enseña en la siguiente

Regla para partir con prontitud. 1'? El producto de la primera cifra de la derecha del di visor por el cuociente se conserva en la memoria; y se resta de la cifra primera de la derecha de la porcion correspondiente del dividendo, agregándole á dicha cifra las decenas que fuese necesario para ejecutar la resta. El residuo se escribe debajo de dicha primera cifra de la derecha de la porcion. 2'? Al producto de la segunda cifra de la derecha del divisor por el cuociente· se le suman ( como unidades) las mismas decenas que se le consideraron de mas á la primera cifra de la porcion, y el conjunto ( que se conserva en la memoria) se resta en los mismos términos de la segunda cifra de la derecha de la porcion. El residuo se escribe debajo de dicha segu~da cifra. 3'? Se continúa asi hasta llegar á la última cifra de la izquierda de la porcion expresada; y si al llegar á dicha última cifra no se pudiese ejecutar la resta (por ser el subtraendo mayor que el minuendo), esto seria señal de que el cuociente tiene alguna unidad de mas. 4'? Hallado ya de esta suerte el residuo correspondiente á la primera porcion, para obtener la segunda no se baja la cifra inmediata de la derecha; y lo único que

TRATADO

se hace es ponerle un punto á su derecha para manifestar que dicha cifra pertenece á la segunda porcion. 5<? Con esta segunda porcion se procede como con la primera; y así sucesivamente, poniepdo puntos á la derecha de las cifras del dividendo, al paso que se van considerando agregadas al residuo de la porcion anterior. 1 5o Para la mejor +nteligencia de todo esto, se aplicará la regla al ejemplo precedente (art. I 48). · 902. 3 'o •. o. 1 298 E.rplicacion. Puesto el punto á la de'. ~---rech~ del 2 en el dividendo, y escrito e1 • 008 '3 4 4 3o'.27 cuoc1ente '3, como antes, se dirá: '3x8 2 4 2 2 5 mas hirn ( que se considerará bajo el .2 del divide~do• y se añadirá) á '32 (agregando tres decena; o. '3o'.28 al .2) , 8 , y llevo '3; y se escribi1·á el 8 debal jo del· .2. Despues ( volviendo al divisor se dirá '3x9, 27; y '3 ( que se llevaban), '3o (que se considerará bajo el o; y se añadirá) á '3o (añalliendo tres decenas al o), cero, y lle,10 '3; y se escribirá el cero debajo del cero. Despues ( vol vi;ndo a} diyisor se dice):. 2_x'3, 6; y '3 ( que se llevaban) , 9 ( que se considerara ha¡o del 9 del d1v1dendo; y se-añadirá) : á 9 , cero , que se escribe baje de dicho 9 del dividendo; y con esto se tiene el primer residuo 8. · Hecho esto , al residuo 8 se le considera agregada la cifra de la derecha ( qur, es '3), indicando es:a _agrc•gacion con el punto pues~o á la de-\ _, 1·echa del '3; y por cuanto el cliv1sur 289 no cabe en dicha segunda porciun 8'3, se escribe cero al cuociente, y se considera agrrgada la otra cifra del dividendo ( que es o), poniéndole un punto á su clered1a. Despues, rsrrito el cuociente 2, se dice: 2x8, I 6; d 20 (agregándole al cero dos decenas), 4, y llei 10 .2. Escrito el 4 debajo del cer~ del dividendo, se continúa diciendo: 2x_q, I 8; y .2 ('Ille se llevaban), 20; á 2'3 ( agre~ánclole dos decenas al '3), '3, y lieJJo 2. E s,TÍto el '3 debajo del 3 del diviclendo, se dicP-: 2x2, 4; y 2 (qne se llevaban), 6; á 8, ~;. y se escribe el 2 debajo de la última cifra de la izquierda de fo segunda porcion del dividendo (qne es 8). Con cs!o se tiene todo el segundo rcsidno 2'34. Puesto el punto detrás de L. última cifi·a del dividrndo, resulta h enarta porcion 2'340, con la cual se opera de un modo s.eir.ejante, para. obtener el residno final 254. El divisor 298 es mucho menor que el dn¡1!0 del r•: si.duo 254, y por lo fant0 estará inclniclu en él mas de media 254 . vez: esto es, que será > -1, y por I o tanto, el cnoc1ente con dife.2 :;8 2 rem:ia ele 111c110s ele medí.o cenLJsimo, por exceso, secá '30'28.

15 r Demostracion. Lo que se prescribe en esta regl~ no es mas que un modo de restar abreviado, fundado en

DE ARITMÉTICA.

los mismos principios del restar ordinario (art. 85), que quedan demostrados (art. 87); con la sola diferencia, de que en el caso propuesto en dicho método (art. 85 · núm. 4<?) bastaba agregar una decena á la clase menor del minuendo; y en este pueden ser muchas las decenas que han de agregarse para poder efectuar la resta. 152 De lo establecido (art. u7 lJ 125) resulta como corolario la siguiente Regla para ditvidir por la unidad con ceros á la derecha. • Trasládese el signo decimal (arf. 50) tantas clases mas hácia la izquierda, cuantos ceros hay á la derecha de la unidad hasta dicho signo. .

As1

, 342 IO 342' 1 342'1 sera--=34'210=34'21: - - =34'21 ·y--= 1000

10000

De los dirvisores de los números.

lj. I 53

Se dice que un número es dirviJor de otro cuando está incluido en él un número .de veces justo: esto es, cuando es su parte alicuota (art . 93). Todo número se divide exactamente por sí mismo y por la unidad; y por lo tanto se dice que ·un número es primo cuando no tiene mas divisores que estos, y ccmpuesto cuando tiene otros divisores.

Asi, I 3 ser!t número primo , porque solo contiene un mí.mero de veces justo á la unidad y á sí mismo; .Y 6 será número cornpLte,lo, porque contiene un número de veces jnsto al 2 y el 3, CJLle serán sus divisores •

.,....154 Se llama dirvisor comun de varios números al que es divisor de todos ellos; y los números se llaman rntre sí compu'!Stos cuanlb tienen un divisor comun; y entre sí twimos cuaudo no tienen mas divisor comun que la unidad. •

Asi, los nlÍ.meros 3, 9 y I 2 serán entre sí compuestos, porqne lienei:. al 3 por cli visor; y los números 4, J 8 y 25 se1·áu entre sí primo~.

•

54 TRATADO ... +- 15 5 Está claro que. si uno de los números es primo, dicho número será el comun divisor, ó los n(uneros se-. rán entre sí primos. -~ 156 Si las unidades simples de cualquier número sc'fn cero ó divisibles por 2, el 2 será divisor de dicho número . ..¡ 15 7 Númiro par es el que tiene por di visor al 2, é inipar el que no lo tiene. ,.¡- 158 Tendrá al 5 por divisor todo número que se termine en cero ó f _, 159 Son divisibles por 1 o, por rno &c. todos los números terminados en un cero, en dos ceros &--c. -r 160 Si todas las clases de un número, sumadas como unidades simples, dan un resultado divisible por 3; el 3 será divisor de dicl 10 número. V.g. 162 será divisible por 3, porque la suma de sus cifras (consid eradas como unidades simples) es 9 , que es divisi~le por 3. 16 r Las reglas dadas para conocer si un número es divisible por 2, 3, 5 y 10, sirven 'para hallar los divisores de dicho número, menores que 1 I , excepto el 7.

Porque si un 'mí.mero es divisible por 4, será divisible por 2 , dos v eces sucesivas. Si es divisibl~ por 8, lo será tambien por '2 tres veces susivas, respecto á que es 8=2x2x2. Si es divisible por 6, lo será por 2 y '3, respecto á que es 6='3x2. Si es divisible por 9 , lo será por 3, dos veces sucesivas, respecto á qae es 9='3x3•

.-r 162

El mayor divisor comun de varios números se llama su magor medida coniun.

CAPITULO VII. DEL MODO DE OPERAR CON LOS QUEBRADOS.

demostró (art. 137) que :todo quebrado se puede considerar como el cuociente de la di vision del numerador por el denominador; y por lo tanto, las consecuencias ( art. 130 á I 34) se aplicarán tambien á los quebrados. Esto_es, que

_,,.- 163

DE ARITMETICA.

1? La operacion de multiplicar ejecutada con el numerador equivale á ejecutar'la 'misma con el quebrado (art: 130). "4 2? La operacion de multiplicar el denominador P<f cualquier número. equivaldrá á partir el quebrado por . dicho número ( art. 133). ..., 3? Las operaciones de multiplicar por un mismo número ejecutadas con los dos términos del quebrado no alteran su valor; y lo mismo sucede con las de partir ( art. I 3 I 'J} I 3 2 ). -..- 4'? Tambien se sigue que todo entero se podrá expresar en forma fraccionaria, poniéndole la unidad por denominador ( art. 126); .ó poniéndole un denominador dado. y por numerador el producto de dicho denominador por el entero (ni'tm. 3'?). • ..

Será pues 7= -

=-3- , &c. 21

164 Si el quebrado ·es impropio (art. 57), se puede redudr á enteros, ó á entero y quebrado, ó á entero y decimales (art. 140, 143 y 149); y aunque sea propio, se puede reducir ·á decimal (art~ 143 y 144) con cuanta aproximacion se juzgu~ necesaria.

-r

Pueden 'servir de ejemplos los propuestos (art. 141, 144 y 150); y se tendrá presente el ej·e cntar esta rednccion, siempre qne el resultado ~ sea un quebrado impropio.

165 Es un corolario de lo dicho (art. 163 núm. 3.? ) la siguiente

Regla para simpl[ftcar los quebrados.

Para .simplificar un quebrado, esto es, para reducirlo á términos menores. se partirán el numerador y denominador por cualquiera de los divisores comunes á uno y otro. . V. g.

4 2 I • 8 = 4 ==;;-, part-1endo dos veces por z. Y

partiendo primero por

y despues por 3.

12 4 = ¡5= 30

TRATADO

166

Regla para reducir dos ó mas fracciones á comun denominador. ·

i 1<? Multiplíquese cada numerador por el producto de los denominadores de los demas, y resultarán los nu- . meradores correspondientes. ,... · 2<? Multiplíquense todos los denominadores, y el producto será el denominador comun. V.g. reduciendo 21

~ y_±_á comun denominador, resultaránlosque7

y - , cada uno igual á s~ correspondiente de los propues35 35 2 tos. Los quebrados - - , reducidos á comun denominador, serán

brados

to8 72 135

±..,~,

9~ 6

162'162'162

enteros, se reducen tambien multiplicánJ dolos167 por_Si elhaydenominador comun ( art. 163, niím. -4<?). I

A si. 5 ,.__7

3 reduc1'dos a, comun denomma . dor, serán I 60 , 28 , 24 a•

32 32

168 Demostracion. Gom multiplicar todos los denominadores es lo mismo que multiplicar el denominador de cada uno de los quebrados por el producto d~ los denominadores de los demas (art. 102), es evidente que ejecutando lo que se prescribe en la regla, resultan multiplicados por una misma cantidad el ~umerador y denominador de cada quebrado; y por lo tanto, quedará el mismo su valor (art. 163, núm. 3<?). 169 El reducir los quebrados á comun denominador sirve para comparar fácilmente sus valores, pues teniendo todos un mismo denominador, sus valores respectivos depend~rán solo de los numeradores (art. 71). Esto es, que dichos numeradores serán los mismos si los quebrados son iguales; el un numerador será duplo del otro si el un quebrado es duplo del otro, &c. En el casQ \<,

57 de ser el único objeto la comparacion de los. quebrados, importa saber el valor del denominador comun, y bastará conocer los numera~ores de los quebrados redu• ciclos. Esto es, que , .; Para comparar los quebrados bac;ta ümltiplicar, sus términos en cruz: esto es, el numerador del prime_ro por el denominador del segundo, y el numerador del segundo por el denomió.ador del primero, y comparar dichos' productos. +170 · Los productos de la multi-plicacioil en cru21 serán iguales siempre que lo sean los quebrados; é inversamente los quebrados ~erán iguales siem,pre que resulten -Iguales los productos. DE ARITMETICA.

. 1·1cando sus lt-rrmnos en cruz, resu~, porque mn1l~p s= '36 60

V. g, 3

ta 60 X '3;::: 36

-:- IJI ·

•-

5 :=! I 80,

, Regla para sumar los quebradps.

~ 1? Redúzcanse ·á comun denominador (art. 166).. .! --,,. 2? Súmense los numeradores de los quebrados _redu'."' ciclos, y se tendrá el numerador de la suma , á la cual se le pondrá el' comlm denominador. · -+ 3? Los enteros se suelen sumar aparte, á no s.er qüe con los quebrados hayan de formar el dividendo, di vi-sor; rírnltiplicador ó multiplicando; en ctiyo caso se re:clucen, como se ha dicho ( art. 167), · al mismo denominador, y se suman sus numeradores con~los de ·10s quebrados. · ,. d . 1 b d 2 4 ·5 ( As1, la suma e os que ra os , ·art~ 166)

9 ,6

tendrá -por numerador 108+72-t-135 ::::;:::3;r5, y · por • 6 / .2 4 5 315 r,-enommador 1 2 : ~sto es , q qe sera 7 + -. +- -"--_,-1

9 ·

' · ·Í

:; (a~t, ~164, 1,6.s__Y 160).

La suma de 8

, J6ll,

~L;,

58 3

TRATADO

sumando el entero con los 4 (art. 167), 53 .

quebrados se-

212

rá 3 2 == 8 ( art. I 65 y I 56).

Demostracion. Esta regla es un corolario de lo dicho

(art. 71).

· Regla para restar los quebrados.

172

1? Se reducen los quebrados á comun denominador• .; 2? Se restan los numeradores, y se tiene el numerador del residuo, cuyo denominador es el comun. · -1' 3? Si háy enteros, se suelen restar aparte; y si en dtcho caso es mayor el numerador del subtraendo, se le, -agrega al del minuendo el denominador, y despues se agrega una unidad á los enteros del subtraendo. 1 , 8 6 104-90 I4 ; y para restar J 29 y Sera pues - - - = 1 1 5 3 5 3 I J 9 95 de I 43 y , se reducirán los quebrados á comun denominador , y

6 5 3o

6 7

re-

•

sultará,y , que es menor que el subtraendo; y as1 35 5 35 7 56 1 ' d o1e e1 denomma . d or 35 , se restara' '3o d e agregan , o que d a 26 ; y .al restar los enteros •I ,

I 29

35 35

de J 43 , ·se dir~ :

&c. y será el residuo total

y 9 , I o ~ á 1 '3 , '3 y lle'1o

'3 -f- ; : •

Demostracion. La demostraciones la misma del su: -mar; y lo que se prescribeen el núm. 3? es lomismoque se practicó en el restar·simple (art. 85, núm. 4. 0 ) ; res• pecto á que, agregarle á un numerador su denominador. equivale· á agregarle al quebrado una unidad. De la multiplicacion y particion dé los quebrados• .-,.. 173 Un quebrado se multiplica por un entero, ó •un entero por un quebrado (art. 103) multiplicando por el entero el numerador (art. 16.3, núm. 1~).

DE ARITMETICA.

V.g.8x3=7r=

S.9 6

-+-a; Y.9x6=9=4~=4-+-y •

.,. 174 Un quebrado se parte por un entero, multiplicando el denominador por el entero (art. 163. núm. 2'?). I 5 ·-. I 5 5 2 • 2 V. g. - - partido por 3 es=- = - ; y - partido por 5 = : -. 8 8 24 3 I5

175 Regla para multiplicar los quebrados entre sí. \

d,... 1<?

Súmense los que9rados. ó enteros y quebrados que forman el multiplicanc!o, y hágase aparte lo mismo coñ los que forman el multiplicador (art. 171). t-· 2': Multiplíquens~ los numeradores, y resultará el numerador del producto. -l3<? Multiplíquense los denominadores, y resultará el denominador.

I 2) x cr -+-a3) =12 7t I x a

3 4 v.g.s x-;¡ =3s; y es -+--¡-+-3 781

= g6 = 8 -+- 96 • Demostracio-n. Sea : ~1 quebrado multiplicando y : el multiplicador; y re:,pecto á que el primero es el cnodente .de a par~ido por b (art. 137), para obtener et resultado se deberá multiplicar el dividendo ·a por.;:_, y m

partir el producto p_o r el divisor b (art. 130). Luego por lo dicho ( art. 173 y 174) será dicho resultado axn

axn

•

== bxm:

esto es, que el re·~uhado de la ipul~1plicacion de los quebrados será otro qu~brad?, cuyos :

mxb

!é:rminos so·n los productos de los términos correspoitdientes del multiplicando y multiplicador.

TRATADO

Regla para partir un quebrado.

~ 1? Redúzca~se á ~os quebrados el dividendo y di~ visor, como se dijo (art. 175, núm. 1?). -.¡,. 2? ' In viértanse los términos del divisior, poniendo el denominador encima, y el numerador de:bajo de la raya. < 3? Multiplí9-uense el_ divicl.endo por el divisor in_v~rt1do, y r~sultara el cuoc1ente. · 12

•

V.g. 35 partido por

84 42, !!. T 3 = l4o = = 35 = 5 70 2 5 = 4 = 7 x'3 -1- 2-.

será '3'5 x

6 partido por .±será=-' x ~ . 9 l 4

; y;

Demostracion. Sea : el dividendo, y : el divisor. . axm E s ev1'd ente que e l cuoc1ente sera/ - , puesto que esta 1;

· ·

•

bxn

~xpresi~n multiplicada'p~r :ei~i~ísor: (art. axmxn

•

>zs ..,

lf 192~ •

~s == hxmxn, 1ue p~r lo dicho (art._ 163, num. 3<?) es jgual al dividendoh; y esta es la , prueba del partir

(art. 122). Luego el cuociente de la division de los quehrados es el nuevo quebrad~ que resulta de la mµltiplicaci~n ·de los términos del dividendo : por los térmi.:: nos·correspondientes del divisor~ invertido, m

Regla para reducir los quebrados compuestos á simple_s; .,

:,- 177 _Multiplíquense entt:e sí toda~ las cal?-tidades separadas con la p~r~b1:a. de, y quedara reducido el que-> brado compuesto a supple. . ·

DE ARITMÉTICA.

-Y.g. 3 x -2 •-

de3=

x - 6 --

x'3=

· 3

(art. 165).

36 9 (art. 165). - -- 6O 40

De1nostracion. Queda demostrado (art. 135) quepara hallar el valor de una de las partes de una cantidad dividida en cierto número de partes i_guales, se debe partir dicha cantidad por el número que expresa el de las partes en que se considera dividida. No es menos evidente, que tomar una parte determinada un cierto número de veces, es ~ mismo que multiplicar el valor de la parte por dicho número (art. 97). Es asi que expre~ando todas las cantidades en forma fraccionaria (art. 137), d quebrado último de la derecha se ha de dividir en las partes que· expresa el denominador del penúltimo; y el numerador del mismo quebrado penúltimo manifiesta las veces que dicha parte se ha de tomar (art. 58); luego partiendo el último quebrado de la derecha por el denominador del penúltimo, y multiplicando por el numerador, los dos últimos quebrados quedará,n reducidos á uno solo. Pero la operacion expresada equivale á multiplicarlos dos quebrados últiino y penúltimo (art. 174, 173 iJ 175): luego multiplicando dichos dos quebrados, quedarán reducidos á uno solo. Por una razon semejante, este quebrado, multiplicado por el de su izquierda, dará un resultado igual á los tres quebrados úlúmos; y lo mis• mo se demuestra de todos los <lemas. -

. ' r

... ,

CAPITULO VIII.

· DEL MODO DE OPERAR CON l.OS NUMEROS COMPLEXOS.

178 Es evidente que si una cantidaa representada por unidades de cualquiera denominacion se quiere representar por unidades menores, no habrá que hacer mas que poner en vez de cada unidad mayor el número de Qnidades menores de que ~e compone; esto _ es, repetir

TRATADO

cada unidad tantas veces cuantas unidades menores componen una unidad mayor. De esta consideracion se deduce la siguiente

Regla par(l,..reducir un número á otro de menor denominacion. _,_ 179 Mnltiplíquese el número propuesto por el número de uni<lades menores que contiene cada unidad suya, y el _producto será el número reducido á menor denommac10n. V.g. para reducir 8 pies á pulgadas, se multiplicará 8 por

I 2

(ar(.

6 I), y el producto 96 será el número de pulgadas que equivalen á 8 pies.

--r Como el partir es operacion inversa de la de multi-. plicar (art. 125), 5e infiere de lo dicho la siguiente

Regla para reducir un número á otro de mayor denominacion. 180 Pártase el número propuesto por el número de unidades menores que .contiene cada unidad mayor, y el cuociente sérá el número reducido á mayor denominacion. -1 Siempre se puede poner en práctica esta re_gla, ya sea expresanJo la dívision en forma de quebrado (art. 137), - ya efectuándola por decimales (art. 143) con la aproximacion necesaria.

-r-

Así pai-a reducir 96 pulgadasá pies, se partirá 96 por

I2,

y el cuo-

ciente 8 serán los pies. Por igual razon serán 5 pulgadas lo mismo que~ pies , 6 bien o' 41 66, &c. pies. u.

Aplicacion de las reglas para reducir las cantidades de u1ia especie á otra. ' 181 La reduccion de los números sexagesimales á la espe~ie inmediata inferjor se ejecuta multiplicando por 611

,,,_-

DE ARITMÉTICA. 63 Y. colocando. el ~igno decimal un lugar mas hácia la derecha: esto es, que el producto de las unidades represen• ta decenas, el de los décimos representa unidades, el de los centésimos representa décimos &c.

.• g. 5'76'3='345 11 78, 6='3,v.5 11 8, omitiendo los centésimos, y aumentando los decimos en una uni&ad :· porque la e::ifra omitida es mayor que 5: esto es, mayor que medio décimo. Se halla este resultado tlic1endo 6 por 3 18: y lleJJo 2 (porqne 18 se acerca mas á 20 que á 10, y no se escribe nada): 6 por 6, 36, y 2, 38 , 8 v llevo 3 (se escribe el 8 y se continúa dici endo) , 6 por 7 , 42 , y '3, 45; 5 y Zle1,o 4, &c. Se comprende sin dificultad que este modo de operar equivale á multiplicar por 6 y_ .Pºr IO (art.117); y esto es lo mismo que multiplicar por 60 (art. 102),

U+182 La reduccion de los sexagesimales de especie inferior á su inmediata superior se ejecuta partiendo por 6 ( esto es , tomando el sexto), 'y colocando el signo deci• mal un lu-gar mas hácia la izquierda. Por consiguiente, el sexto del conjunto de decenas representa unidades: el del conjunto de unidades representa décimos: el del conjunto de décimos representa centésimos &c. Se tendrá presente que cuando no hay cifras decimales, se deben suplir con ceros. á la derecha de la última cifra significante·· de la cantidad que se trata de reducir (art. s·o). V. g. 34511 8, reducidos á minutos y aproximados hasta los milésimos, serán 51763 : esto es, que 345 11 8=5 176'3 con diferencia de menos de un milésimo. Se halla este resultado diciendo, '34; su sexto 5 (se e~cri. he el 5 en las unidades y se añade), por 6, So; d '34, 4 (y considerando~ su derecha 1as un~dades de segundo se añade) , 45; su, sexto 7 (se escnbe el 7 en los décimos y se añade) , por 6 , 42 ; á 45 , '3 , (_y considerando á su derecha los 8 décimos se añade), '38 ; su sexto 6 (se escri, he el 6 y se añade), por 6, 36; á 38, 2 (se considera un o á la derecha del 2 y se añade), 20 , su sexto 3. Se ~scribe el 3 y no se continúa l.t operacion , respecto á que solo se quieren los milésimos. Este modo de operar equivale á partir primero por 6 y despues por l .O (art. I 52), q-..ie es lo mismo que partir inmediatamente por 60.

-.t- 183

Cuando hay varias denominaciones intermedias~ y dos extremas que llamaremos máxima y mínima~ para reducir toda la cantidad á la mínima deqomi-' nacion ~ -se ·s uele redu~ir el núinero <le la máxim~ deno- •

64 TRATADO rninacion á su inmediata, y se le agrega al resultado el número d~ unidades _de dicha denominacion inmediata. Por el mismo estilo se reduce este conjunto á la denominacion que sigue; .y asi sucesiv~nte ba~ta llegar á la mínima denominacion; • V. g. si '3°-1- r 4 1-1-25" se CflU<!ren reducirá segundos, los '3° multiplicaclos por 60 dan I 80 1 , que agregando los I 41 , componen el total de 1941. E stos 194 multiplicados por 60 dan l 1640 11 , que agregándoles los 25 11 _, componen l I 665 11 • Serfo pues '3º-'r-141-1-25'1=1 r 665/t_. '

-,.. 184

Para re:lucir un todo que contiene varias denominaciones á una fraccion de la denominacion máxima, lo mas breve es reducirlo todo á la denorninacion mínima, como se ha enseñado (art, 183), y se tendrá el mi-• merador del quebrado, cuyo denominador será el númerc? de unidades mínimas que contiene cada unidad máxima. •

Asi para reducir los '3°-1-r 41-1-2511 á una sola fraccion de grado, se._ reducirá el todo á segundos, que serán r r 6 6 511 ; y como el grado conlie- \ .. ne 60 minutos, y el minúlo 60 segundos, constará un grado de 6ox6o l l 665 11 2'3'3311 '3600 11 ; y por lo tanto será '3°-+ 141 + 25 11 ::: - - (art 165). '36oo 72

•

=--'º-

-fu . 18$, Si ~e trata de redu:i~ -el todo á <:ntei:o y qut:_bra~

do, o a decimales de la max1ma denomrnac1on, s-e procederá por un mérodo inverso del indicado (art. 183): esto es, que se reducirá el número de la mínima denominacion á su inmediata superior ( art. 180): se agregará el -resLÍltado al número de unidades de dicha denominacion penúltima, y se reducirá el conjunt11•.:í la denominacion antepenúltima (art. 180): se agregará el resultado al número de unidades de dicha denominacion antepenúltima; y se seguirá operando por el ·mismo estil<? hasta llegar á l~s unidades de la máxima denominacion: V.g. si la expresiones 3°...• 14' ..!.2511 se tendrán primero 141417 1

y despnes 3° 240'3.

DE ARITMÉTICA.

186 Regla para sumar los núm~ros complexos. ·•

1<? , Escríbase cadatJnominacion debajo de su correspondiente, y súmense los números de la menor deno• minacion (que son los últimos de la derecha) como simples. -.¡ 2'? Póngase debajo el exceso solo de dicha suma á un número exacto de unidades inmediatas; y consérvese en la memoria dicho número exacto de unidades, para agregarlo á la denominacion que sigue. , 3'? Súme~se por el mismo estilo los números de la segunda denominacion de la derecha, agregando ante todas cosas las unidades que se llevaban de la denominacion anterior; y continúese por el mismo estilo basta ,u • acabar. / 4'? Cuando las sumas son algo crecidas, para evitar / ~quivocaciones es lo mejor el escribir en un papel suelto la suma de las unidades de la especie inferior, y hallar por regla general (art. 180) el número de unidades de la especie inmediata superior, y las unidades sobrantes de especie inferior, que son las que .se han de escribir en h primera columna de•la derecha; y lo mismo se va eje- \ curando con todas las demas. 1 87 Cuando se trata de los números sexagesimales, / se hallan desde luego las sumas efectivas de cada clase, como se explicará en el ejemplo 3'?; y tanto para . esto ~ como para lüllticho ( art. 181 á 186) , y para otras operaciones, de que se tratará mas adelante, conviene tener muy presentes los números múltiplos de 6, que se hallan en la línea del 6 de la tabla ( art. 1 II), como se advirtió ya en el artículo 120. e

V . g. si r esulta el número 52, conviene que se presente inmediatamente á la imaginacion el 4 8, del cual al 52 v an 4 ; y 1ambien conviene el que se presente á la imaginaciop. (sin discurrir) que el 4 8 contiene '8 veces al 6. De este modo, si resulla un conjunto de 52 decenas se nú mero) 4 y llevo 8., esto ' es, dice inmediatamente (sin escribír

di.

•

G )

TRATADO

que si se trata de segundos se debe poner un 4 en el lugar de las decenas de segundo, y sobran 8 minutos, que se sumarán con las unidades de dicha clase. · Esta es la razon por que en la explicacion del ejemplo 3.0 siendo t 5 la suma de .decenas de segundo, se dirá ~ llePo .2 : puesto que de I .2 á I 5 van 3, y qne el e .2 incluye dos vece 6. Por igual razon, hallada la snma de las decenas de minnto .20 , se rá .2 y llevo 3 ; puesto que de I 8 á .20 van .2; y el I 8 incluye tres veces al 6. r 88 Ejemplo I . 0 Supóngase que un sugeto que solo tenia 7 pesos, 9 reales y .26 maravedís, ha recibido primero 4 pesos, I .2 reales y J 9 roa; ravedís; despnes 8 pesos , I o reales y 3.2 maravedís; y últimamente 13 reales .V '3 ~ maravedís ; y se quiere saber á cuánto ascenderá su caudal. El problema se resuelve sumando las cuatro partidas , y resulta el caudal = .22 pesos, .2 reales y 6 maravedís. Ejemplo .2.º De una viga se cortó primero un trozo de t 8 pies, 9 pulgadas y T J líneas; despues otro de 1 '3 P ..... 10 P···•·· 8 l.; úl- ' timamente otro de 9 P ... : t I p .... 7 l .•.. , y ha sobrado nn trozo de I P •..• 6 p .... 9 l. ; y se pide cuál era la longitud de la viga. El problema ee resuelve snmando las cuatro partidas, y resulta la longitud =44 P .... 2'

p .... I I J. Ejemplo '3.0

Hallándose á '34°...... 541 ...... 35 11.2 de una línea, se han caminado separándose de ella primero 7°.-..•. '381. ...•. 57 11 6, despues I 3°.•.• 59' .... ,. 48 11 ; y últimame_ute 5'31...... 10117 ; y se pide la distancia que habrá desde dicha linea hasta el pi.mio á que se ha llegado. El problemll\ se resuelve sutnando las cuatro partidas, y 1·esulta qne dicha distancia será:;;5t!..... .261...... '31 11 5.

Ejemplo B.s.

Ps. 7

'·ºMrs.

.... 26 19 4 .... I .2 8 .... 10 .... '3.2 13 .... '3. [ o 09

- .... ---...• 06 •-t••

.2.2.

0.2

Ejemplo '3. 0

Ejemp.'o .2.º P. 18 l '3

.... 09 .... I 1 10 .... 08 09 .... 11 .... 07 01 .... 06 .... 09

- ....-

.... 02.

'34º ..•• 541 •••• '35"2 '38 5r6

. ..

·••111

....

59 .... 4 'o

-57 •..•.... -.26 .... -31' 00

53 .... 10' 7

E.rplicacion del ejemplo '3. 0 Empezando por los lécimos de segundo, se suman estos y las unidades de segundo como los números simJ;>les. Al lle¡;ar á las decenas se dice: 2 ( que se llevaban de la suma de umdades) y 3 5,y 5 i-o, y 4 T4 ,y I I 5: '3ylle.vo 2; y se escribe el 3.A las unidades de minuto se agregan las 2 que se llevaban? y sum~~as como los números simples, se pasan á ~umar las decenas de m1n~to diciendo: 2 (que se llevaban de la suma de unidades) y 5 7, y '3 I o, y ::i I 5, :y 5 .20; 2 Y lle'JJO '3 ; y se escribe d .2. A las u~idades de gr~do se agre~an las '3. que se llevaban, y se termina la operac1on por el estilo_de los numeros simples.

189

Demostracion. L~ demostracion de la regla es la

DE ARITMÉTICA,

misn:.a del sumar los números simples (art. 80), con la sola diferencia de ejecutarse en la suma de los complexos con las denominaciones lo que en la de los simples con los dieces. El modo abreviado de reducir los números sexagesimales, se funda en que cuando se trata de dichos números, cada seis decenas de una clase componen una unidad de la clase superior inmediata. 190 1

Regla para restar los ni'tmeros complexos.

1<? Se escriben los números de cada denominacion debajo de sus correspondientes; y se ejecuta la resta como en los números simples (nrt. 85). 1 2<? Si algun subtraendo excede al minuendo de su denominacion, se le agrega á este el nú111e~o de unidades de su denominacion, que componen una unidad de la inmediata superior. , 3'? En este caso, ejecutada la resta de los números de dicha denominacion, se le agregará una unidad á la denominacion siguiente del subtraendo. 191 Ejemplo 1.0 Un sugeto tiene 3 pesos, 7 reales y 26 maravedís; y se pide cuánto le quedará des pues de haber gastado t peso, J 2 reales y 9 maravedís. El problema se resuelve restando esta última cantidad de la primera , y el resultado so¡_¡ I peso , I o reales y 1 7 maravedís.

l!,)"emplo 2.º

Se quiere saber el tiempo que ha mediado desde las 2h••.•

28 1..... 531,5 de la larde de un dia hasta las 9h ..... 47 1••••• 36 del mismo dia. Desde luego se ve que el problema se resuelve restando la primera cantidad de la segunda, y el resultado son 7h..... 18 1..... 32" 5. Ejemplo 3.0 Entre dos cantidade~ a y e valen 90°, y sabiendo que a vale 38° ... .. I 2 1••••. 57 11 , se pide el valor de c. El problema se resuelve restando la segunda cantidad de la primera, y el 1·esultado. son 51

º·····

47'·•·· 03 11• Ejemplo 1. 0 Ps. Rs. Ms. 3 .. ;. 07 .... 26

Ejemplo

Ejemplo 3. 0

2. 0

9h .... 47 1 •••• 36 11 0 2 •••• 28 •••• 53, 5

38 ....

I .... 10 · .... 17

7 .... 18 .... 42' 5

•••• 12 , ....

QOº •••. 001 ·••• 0011

57 -.... 47 .... o3 12 ••••

TRATADO

Explicacion del ejemplo 2.0 Emprzando por los décimos se dirá: de 5 á ,10, 5 y lle~o I (se esc_ri~irá el 5 , y se conlinuarÍi diciendo; y 3, 4: a 6, 2 (escnto el 2 se dua): de 5 d 9, 4 y llevo I (escrito el 4 se pasará á los minutos diciendo): y 8 , 9 : á I 7, 8 y llevo 1 (y escrito el 8 se dirá): y 2,, 3: á 4, I (se escribirá el I , y pasando á las horas se dirá): de 2 á 9, 7 (y se escribirá el 7 en su lugar). E.rplicacion del ejemplo 3. 0 Se dice : de 7 á 1 o , 3 y llevo J ..... y 5, 6: á 6 , cero y llevo I , ...: y 2 , 3 : á I o , 7 y llevo , ...•. y r , 2 : d 6, 4 y llevo I ..... y B , 9 : á I o , I y llevo I ..... y 3 , 4 : á 9 , 5.

192 Demostracion. Esta regla se funda en los mismos principios que la del restar los números simples (art. 85 y 87), con la sola diferencia que se advirtió (art. 189). 193

Regla para la multiplicacion de los números complexos por un multiplicador s.imjie.

.,.. 1'! Se empieza multiplicando el número de la menor denominación por el multiplicador en un papel suelto; y si dicho producto contiene una ó mas unidades de la especie mayor .inmediata, se halla el número de unidades justas de dicha especie mayor,. y las sobrantes de la menor (art. 180). Estas se escriben en su clase, y las otras se separan para agregarlas al producto de la especie próxima mayor, segun se e-xpresa en el número siguiente. ¡J-.;. 2.º Despues se multiplica el número de la denominacion siguiente por el mismo multiplicador, y agregadas las unidades que se llevaban de la anterior, se opern con este conjunto por el mis~o e~tilo que con el primero; y se continúa asi hasta acabar. · 1,94 E¡emplo I •0 Supongamos que se han vrndido 26 arrobas de un géne ro á razon de 7 pesos, 5 reales y 32 maravedís por arroba; y se quiere saber el importe del género vendido, El problema se resolverá multi-pl-icando , y el resultado. son r 9.-2· pesos , 4 reales y I 6 maravedís. Ejemplo 2.º De una pieza de género se han cortado I 3 pedazos de 8 pies , I o pulgadas y 9 líneas cada uno; y se qtúcre saber cuál era la extrnsion d e la pieza. El problema se resolverá multiplicando, y el re. s.ultado son I I 5 P ...... 7 p ...... 9 l. Ejemplo 3.0 Su.poniendo que la luna camina u 0 ~.... 59 1..... 38'1 5 cada

DE ARITMÉTICA. . 69 dia ;. se pide cu'-nto habrá caminado al cabo de 4 días • .El -problema se resuelve multiplicando, y el resultado son 58' ..... 34". '

?lº,....

Ejemplo 1.0 Rs. Mrs. 7 .... o5 .... 32

Ps.

Ejemplo

8 ....

192 .... 04 .... 16

I I

2.0

p. 10 ....

9 13

5 ,.,, 07 .... 09

,, I 2. 0 _,...;..

; Ejempl9 3.0

,_.

, .. ,

•

--1-.. . 59 1 .... 98 11 5 ,, _,! ~

51 .... 58 .... 34'0

E:r-plicacion del ejemplo 3.0 EmpezaEdo por los décjmos de segundo • se dirá: 4 por 5 , 20: o .Y lle"º 2 ••..• 4 por 8, 32, y 2 34., 4 y lle'Jlo 3 ..... 3 por 4, J 2, y 3 I 5, 3 y lle"o 2 ..... '(Pasando á los minutos se dice): 4 por 9, 36, y 2, 38: 8 y lle"º 3 .. ~. 4 por 5, 20, .'Y ?í, 23: 5 y lle"o 3 .... (Pasando á los grados se dice): 2 por 4, 8, y 3, I 1 : 1 y lle"º 1 ..... 1 por 4 , 4 , y 1 , 5.

195 Demostracion. Es la misma de multiP,licar los números simples (árt. 109 y__ 115), con la sola diferencia que se advirtió (art. 189). •· .•-.. , 196 Ad'Vertencia. El multiplicador es siempre abstracto; y cuando el multiplicando se ha de tomar tantas veces cuantas unidades de una cierta denominacion hay en otro nú'mero, se reduce este á dícha denominadon (art. 179 ,í 186); y se opera como se ha dicho (art. 193). , _ 197 Cuando se trate .de las proporciones se enseñará á resolver con la mayox. generalidad, ¡ar .diferentes métodos,- los pFoblemas-que· se reducen a la multiplicadon ~ de los números complexos. 1

1 '

I 98 Conviene el ejercitarse. mucho en mulrtplicar las expresiones sexagesimales por los núme1·os 4 y 8 , que son los multiplicadores de que se hace. mas uso en la práctica del pilotage. ·

199

~1~

Regla para partir los nitmeros complexos pdr· un di'Visor. simple. : ,

Se parte .por -el divisor simple ~l número de la mayor denomi_n~ción; y este primer cuociente es de dicha denominacion may,or. · -r- 2'! El residuo se reduce á la denominacion segunda,

.•

TRATADO

y despues de agreg~1·~e las u11idades que- hubiese de dicha denominacion segunda, se parte el conjunto por el mismo divisor; y este segundo cuociente será de dicha denominacion segund~. . ·, 3?- El ·residuo se ·reduce á la denominadon tercera1_y se 5:.qntin4ª patti~ndo _por el mismo .estilo hast;i acabar .. 200 Ejemplo I. 0 60 p~sos, I I reales y 13 maravedís se han de repartir por igual entre 21 sugetos ; y se quiere saber lo que le 1ocará á• cada nno. • t{ • Ejemplo 2. 0 Una extension de 506 .pies 1 10 ,pulgadas y 9 líneas se ha de dividir e1r 36 partes iguales; y se quiere saber el valor de cada parte. Ejemplo. 1.0 I • "1 0

R~.

Ps. 60 18

Mrs.

270 ...... 27a

ill

28,t -- 078

1 1.

I J

, \2

Lin. 1

L, 2

34 •

417 o5r 1

1'3 ,...... 13 -

4 7 -

2.0

'Punt. ' _-;. .'3,_6____________ ..... oo Pies. •Pulg. Lin. Punt. '

· 506 •.•.• lo ..... OQ 142 ..... 24 ••••• 403 , ..... i52 00

esto es

Ejemplo

Pulg.

13 ...... 13

072 ~

Pies.

Mrs.

Ps. · Rs.

I I • , :•• , . 1-'3 •

14 ...... 00

I l

......

000

E:r:plicacion del ejemplo I. 0 1 Los peses partidos por 21 dan.por cuociente 2 pesos, y sobran I 8 pesos, que son 270 reales. Agregados estos á los 1 I rea,~s, r~sulta el segu,odo dividendo 28 I, que partido por 2 I d a:por cuociente J 3 reales, y sobran 8. Estos componen 272 maravedises, que agregados á los r 3 d-an 28'5 ma ravedises por último dividendo &c. E.:rplicacion del ejemplo 2.0 Los 506 pies partidos por 36 dan J 4 pies por cuociente, y ~qb1:an 2 p~es, crue sl>n 24_pulgadas. Sumadas estas con las ro dan 34 pulgadas por segundo dividendo, que es menor que el divisor. Por esta razon se poiie cero pulgadas al cuociente, se reducen las 34 p_ulgadas á líneas, se suma el resultado -4·08 con las 9 líneas; y •se continúa la _di vision. •

7I Demostracion. Esta· '[eg~a ·se funaa en los mis• mos principios q:ue :la de partir,·los-nún:ierossirnple~(w-t. 13 9 y I 4o ) . . L.;, L.,. , • . l~ 11 ) '( ., . . ' ~ 202 Se ve que esta reg-Já .. solo sirve para 11esolvedos problemas, que_ s~ reducen. á. h_allar, el va~or. crleuna ·de las partes del d1v1dendo, d1_v1~1do en JI num~ro "4~·_partes iguales que expr'esa··eI d1v1sor. . ;.· ... 1 203 Cuando' se ha de averiguar veces q'ue él di~ videhdo induye al divisor, es preciso reducfrlbs·ai-hbos á la misma denomjnacion, .ya s.ea d divisor simple, ya complexo. · 204 Si se trata de averiguar el valo'r -de una de las partes del dividendo, div,idido en ta~tas partes iguales cuantas unidades de una -denominaci0n determinada contiene el divisor,, se hace .preciso reducir este á dicha denominacion. ' · . 205 Todos.los problel\laS en que se trata de la division de los números complexos, se resuelven con mas generalidad por las proporcione.s; y por esta razon conviene dejar para UQ. segundo ,repaso la solucion de los problemas de esta clase. 206 Se ofrece con frecuencia el partir por 2 ó sacar la mitad de una cantidad propue:ta. ·P ara ejecutar esto con prontitud sir.ve la -sig1;1iente DE A,MTM.ETICA.

201

las

•

1 ;[

t ~

· Regla para sacar la mttaa de un_número propu;sto. 1'? Empezando por la m,ayor denominacions· se saca la mitad de su primera 'cifra de la ,izquierda; y debajo de ella se escribe el resultado . .¡. 2. Siempre.·que el número es impar sobra una unidad, que se une como decena á la cifra siguiente, y la mitad del resultado se escribe bajo de dicha- segunda cifra. º ..¡ ~'? Se continúa del mismo modo hasta llegar á las unidades simples de ditha mayor" denominacion; y si

-;I-

72 . TRATADO \por ser el niímero,lmpar) sobre una unidad, se reduce a, la , denom.inacion inmediata, se agrega el resultado á los números de dicha denominacion inmediata, y se opera ·con ella como con la primera; y asi sucesivamente hasta acabar. Suponga':11º!\ por via de ejempla que se ha de tomar la cuarta parte de 173°..... 55 1.....~49 11 2; y se resolverá el problema tomando dos mitades suc~iv_as como sigue. · Captidad· propuesta ..... ,................... 173° ...... 5 5r ••...• 491! 2

Su~ es •...: ........•........•..............••.. 086 ...... 57 ...... 54' 6

r) es..

I L aI - de la-(que es e l -

43 ., .•.• 28 ...... 57' 3

Explicacion. Se dirá, I 7 : su mitad 8 , y llevo 1 (y co~siderando el 3 á la derecha de la unidad que sobra se añadirá) 13: su mitad 6, y sobra 1 , que son .6 (y pasando á los minutos se añade) y 5 , I I : su mitad 5 , y lleJJo I (y considerando el 5 á la derecha del I se anad,) I 5 : su mitad 7 , y sobra I , que son 6 (y pasando á los segundos se añade) y 4, I o: sa mitad 5 (.y se continúa diciendo) 9: su mitad 4, y llevo I (y por último) I 2 : su mitad 6. Por el mismo estilo se saca la segunda mitad. 207 Se podrá sacar desde luego la cuarta parte operando como si\. gue. 17, su cuarto 4, y llevo I, .... 13: su cuarto 3, y sobra I , que son 6 ...... y 5, 1 I , su cuarto 2,, y l/eJJo 3 .....• ::55: su cuarto 8, y sobran 3, que son 18 ...... y 4, 22: su cuarto 5, y 1/eJJo 2 ...... 29: sze quarto ·7 , y llevo I ...... 1 2 : su cuarto 3.

208 Este modo de operar es semejante al que se manifestó (art. 182); y por el mismo estilo se puede tomar el tercio. el q mnto &c. de una cantidad sexagesimal. Para evitar equivocaciones, en vez de sacar la cuarta parte directa.m ente, se suele preferir el tomar la mitad de la mitad. • -;.,l,

{:APITULO IX.

DE LAS POTESTADES Y RAICES EN GEN ERAL.

209 Se Jiama potestad ó potencia primera, segunda, tercera, cuarta &c. de- un mismo número al producto que resulta tomando dicho número una vez, dos veces, tres veces, cu¡:itro veces ~c., pbr factor; y al número

DE ARITMÉTICA.

que se toma1 dicho ,;iúme,r o de, veces' por; ~factor se· le da' el nombre de r-aiz .- de la potestad primera, segunda &c. del resultado. Al operar con dicho número para formar C,ualquiera de las _potestades expresadas, se llama ele'Varlo á dichas potestades; y si dado un uú1:nei:o _se palla el que le produce tomándole una vez, qos veces, tres veces &c. por factor, se dice que se ha extraído la raiz de la potestad primera, segúnda, tercera &c. del número propuesto. -4--210 Todo número entra en sí mismo una vez por factor; y asi todo núrnero será al mismo tiempo la po-: testad y la raiz primera de sí mismo. _ ;-1-- _2 I I - La unidad tomada cualq.t;1ier número de veces, por factor da la unidad; y asi la unidad será al mismo tiempo· la raíz y la potestad que se quiera de sí misma. -, 2I2 La segunda potestad se llama cuadrado; y por1 lo tanto, cuadrar, ele'Var al éuadrado ó ele'Var. á la segunda potestnd será multiplicar un número por sí mismo. 2 I3 Raíz cuadrada de un numero será el número #de cuyo producto por sí mismo resulta aquel de quier:t, se llama raíz. Y fxtr,aer ó sacar la. raíz cuadrada será, hallar dicho número, que multiplicado por sí mismo produce el otro. Los cuadrados de las unidades simples son los siguientes. ~ Raíces . ...... I .••• 2 .... 3.... 4 .... S•n• 6.... 7 .... 8.... 9 Cuqdrados .. I. ... 4.... 9 .... 16.... 25 .... 36.... 49.... 64-... 81 Asi 9 es el cuadrado de 3; y 3 la raiz cuadrada de 9. Multiplicar 3 por 3 será cuadrar el 3; y hallar el 3, que multiplicado por sí mismo produce el núruel'O propuesto Q , será extraer la raiz cuadrada de 9 .

..¡- 214 La tercera potestad se llama cubo; y por consigúiente el cubo será el producto que resulta tomando un número tres :veces por factor; esto 'es, el producto del cuadrado por su raiz. ,¡--2 I 5 Raíz cúbica de un número será el número que . .multiplicado por su cuadrado produce aquel de quien se llama raiz. 10.

TRATADO

1.¡- '.i o Cúbicar, eler:vcrrrat cubo, ó elerr;ar a lá tercera ¡o.testad. un número, será _ejecutar las operaciones necesa' ' rias para1,0btener' sú cu 69 &c. -=+ ~ós. cubos de_las un-ida1e-s. simples son los siguientes. '°,S .I ' 1 3 · ; ···1 .J-r···· Al · s· .... 6.... 7.... 8.... ., 9 R a;C ,. t:· •• l ••••í 2. •••• Cii/Jo_~:.~I..:. 8 ..,.. 27.. ~ 64-: .. 1~:S·; · :216....,343 .... 512!... 729

A si-27 "

=3 x 3 x 3 será el cuho de 3 ; y 3 la r aíz cúbica de .27 &c. ,)

;

No cabe duda en qu~ un mismo número puede ser ;il mismo tiempo · cuadrado y raiz cuadrada, cubo y raíz cúbica, &c. ,de distintos números. _. 217

V. g. 64 es cuadrado .de a·, es ·cubo de- 4, es sexta potestad de 2, es,· r'áiz"c't1adrada de 4096 '.._ 64 x 64, y raiz cúbica de 26.2144 64 x 64x 64 &c. · ·

•.

U_n_a_cifra pequeña pues~a mas arriba y á la derecha.de un'a- cantidad se llama so exponente, y manifiesta que dichá cantidad se considera elevada á la potestad indiéaa.a por el núméro que representa. AsL 4 2 quiere decir que el 4 se considera elevado al cuadrado ó segunda pot~stad; -esto es, ·qbe, f 16: y 4 3 =64; esto es, igual á 4 elevado al cubo .ó tercera potestad; Para mayor brevedad , cuando ocurre alguna expresion de esta clase, se suele leer asi: 3 tr.es cuadr.ado; 4 3 cuatro, cubo &c. Cuando está represeni:ada 2 pór rúas 'de una cifra la cantidad que se ha de considerar eJevada al cuadrado, cubo &c., se e pone encima una ray.a que ·córresponda al centro del'exponente·; ó bien· se enti~rra toda la cantidad en ·un paré,n~es:is, y .se coloca el exponente fuera; ' ~, 21'$

--!2

-----3

·- ·V.g. 348=(348)' sipnj,fica ,el cuadradp de 348; y 31+8=(31+8) 3 ináica el cubo de la cantidad 31 -+- 8 = ·39. J ¡'

r r¡

+ l 2í9 J

•

Par a indicar la-ra,iz de eualquier potestad sirve _este signo, v', colocando ~ntre sus piernas el exp~n~nte de1la potestad, que se oniite_en la cuadrada, y escribiendo en seguida debajo de una raya ó encerrada en üñ paréntesis la cantjdad.

¿5

DE ARI:r:MÉ;ncA. A.si 25~ v". (25) imlica. Ía raiz cu1t'dr-atl:i. · d:e 25 ;:cle isu.er.te que },¡- . ' - ·¡ ' . .v ( 25 ) ·= 5. Y _3¡ V { 64 ) ú 64 i n8.ica la rai.z. '.C fabiéa de 64, y 'lasi

_3¡

se rá V (64}= 4-

•

Tambien se indican las raíces eofocando, ~n los. mis- ' mós términos _que el exponente de la potéstad\ 'un expo/ nente fracdof.lario, que ,tiene ·á la unidad po,r numerador, y pot denominad0r'. á.dkli.o eXiponeme: i . _1 e.', · r -

I''

., . . á

( 64 ): jndi9,a 1~ r,ai.z ct~a,dradJ 1e 6f ; Y;C?1)3 f!]qi~a la ra1z cubica e 64. . . A ~i ?4td

Son muy pocos los mí-meros que ,tiétien 1 raiz cuadrada ó raíz cúbica exactas,;, y los mas no Jas tienen:: ni en _e nteros ni en er:presí.ohé.s .f:ra·ce.ionarfas. 1En gene.: ral todo número entero que no,i tiene por •raíiz un ente-: ro ta-1.npoco puede tener Pº; raíz un ,eJJier,o -aco_m paña.do de un qu.e brado; pero' se pued.eh expr~s-ar la raiz 1<:uadrada .Xla ·. raiz cú]:>~c.a 9~ cu31l.qui~r número ~on C;_uanta aproxunac10n se qd1era"pnr --1!1~dio de lí¿s d~c1males: - t 2 :i 1 Se enseñará el modo• de ex't raet)las ráicés, de'". las r . cantidades cuando se expliqu.e .el uso de fos logaritmos;1 y por ahora. bastara _advei:tir q·u~ á ~a <:;xpresion radical de u ria cantidad que no 1:1ene ra1z exacta se 1 el.a el nombre de cantidad inconmensurable ó sorda. · ·· - ,_.: - · 220

. ¡-},¡-

•

V. g. V 5, V 9 ," 5on cantidades mconmensurables, porqne no hay mí.mero alguno que multiplicado por sí mismo dé exactamehte el 5; ni é:xiste número que tomado tres veces por factor•d'J exactamente l.él 9.

CAPITULO X. DE LAS RAZO:NES Y PROPORCIONES EN GENERAL ;

. .

c.,

9,<le dos cantidades. R azon enLasla cantidades 111atemática es la .cO:mpar~cio~ que se, comparan •se 222

es,

llaman términos de la razon. p.l primer término, esro la cantidad que se compara, se llaina antecedente·; y el segundo término, esto es ., la cant.idad con quien se é:0m• para, ~e H~ma co~se,cuenfe. ...

76· -+

-f-

TRATADO

Razo'n aritmética es la comparacion de-. dos cantiqades, atendiendo á la diferencia absoluta entre una y otra. Al número que expresa dicha ·"diferencia se le suel~ dar ,el nombre de exponente de la razon, porque 223

mamfiesta su valor. , V. g. si se di,c e que el largo de una pizarra excede al ancho en d0s pies, se forma una razon aritmét~ca, cuyos términos son el largo y ancho de la pizarra , y su exponente 2 pies. El largo es el primer térmi,no éÍ antecedent~ , y el ancho el segundo término ó consecuente.

•

+ 224 Para indicar que ~e considera la razon aritmética de' dos cantidades, se pondrá -primero la abreviatura ar.it., y luego las d0s cantidades separadas con dos puntos c0locados uno sobre otro. Asi (lrit. I I : 8 = 3 quiere de~ir , la raz~n aritmética de i . 3; esto es, ignal 3. .

22 5

á 8 es

Razon.geométrica es la comparacion de dos can.tidades aten:éliendo á las veces' que la· una contiene ó está contenida em la ,otra. Por . esto el valor ó exponente

--f:

de la razon geométrica es el ñúmero que expresa las ve ~es que el un término contiel}e ó está cpntenido en el otro término. . 4

. :Asi c;mando.se dice que la elevacion de la puerta es tres veces mayor que su anchura , se forma una razon geométrica, cuyo antecedente ó primer térm~n0 es la elev<!cion de la. puerta; y el consecuente ó segun~l<:> término es la anchura de la mismá puerta; y el exponen-te es 3. -1 Cuando se dice -simplemente raz@n, sin expresar de cuál de eilas se trata, se· entiende q-ue se habla de la razon geométrica. · - ' . -t 226 Se indica la ra.zon geométrica interponiendo dos pqntos entre el antecedente y consecuente.

V.g. 8: .2 =4 equivale á decit que: la' razon g':~métr~ca de 8: 2."es :f· Se debe tener presente, que cuando la ,d1fereucia de dos cantidades no es absohtta, sino relativa ii las mismas canticlades: estp es, cmmcl~ sé expresa en partes de cualquiera de ellas , la razon. es en rigor geo' ~ ,m~trica . .Porque el deci1· v. g. el oro pe~a -½-mas que el ,azogue eqni:'

2ri,7 , ·

vale á decir que el peso del oro contiene una vez

un tercio el del azo-

DE ARITMETICA.

gue, ó lo que es lo mismo , r¡ue el peso del oro es al del azogue como 1

-+-

o como

4 3 : I.

228 En general la razon se suele llamar de ma¡¡or desigualdad cuando el antecedente es mayor que el consecuente, de igualdad cuando los dos términos son iguales~ y de menor desigualdad cuando es menor el antecedente. · -t- 229 Para generalizar mas las reglas se hallará siempre el ex2onente de la razon arümética restando del an_tecedente el consecuente; y de la geométrica, partiendo el primer término por el segundo. : En este caso se _ indica el exponente de toda razon aritmética mudando el signo del segundo término ( art. 90); y el exponente ó valor de toda razon geomé•trica se indicará poniendo el antecedente por numerador de un quebrado, c~1yo denominador será el consecuente. (art. 137). ' De esto se sigue que, siempre que - los dos términ,os sean positivos será positivo el exponente de la razon aritmética de mayor desigualdad; y el de la de menor desigualdad será negativo. El exponente de la razon geométrica de mayor desigualdad será un entero ó un quebra_do impropio~ y un quebrado propio el exponente de· la razon de menor desigualdad. •

V.g. arit. 6: 2=4; arit. .

6=-4; y 6:

_i=3; y 2

[

,=6=3· ~ · 230 · Entendido esto, será fácil el comparar dos ;~.. zones·, ó hallar la razon de una á otra; lo cual se practi, ca comparando sus exponentes. 231 Tambien sera fácil ' el sumar, restar, multiplicar, partir, y elevar á potestades las razones; lo cual sé . practica ejecutando con los exponentes las operaciones C expresadas. . V 232 .Proporcion es la comparacion de dos razones

., .

TRATADO

iguales; y se llama aritmética ó geométrica, segun son aritméticas ó geométricas las razones que se comparan. Segun esto toda proporcion constará de cuatro términos, que son, primero el antecedente de la primera razon; segundo su consecuente; tercero el antecedente de la segunda razon, y cuarto su consecuente. Tambien se les da el nombre general de medios al segundo y tercerd, y el de extremos al primero y cuarto. . f 233 Para indicar una proporcion se ponen cuatro puntos ó el signo de igualdad entre las dos razones que se comparan; y si la proporcion es aritmética, se antepondrá la abreviatura arit. A si, aril . 8 : 5 : : I o ; 7, ó bien aril. 8 : 5 =ro: 7 indica una proporcion aritmética; y 5: I 5 : : 2 : 6, ó bien 5 : I 5 = 2: 6 indica una prop orcioa geom étrica. P ara enuncia r la proporcion, se dice d en lugar de l os dos p unt os, y como en vez de los c uatro p untos ó signo de igualdad. A si, la 11ltima proporcion se expresa diciendo 5 á I 5 como 2 á 6".

2 '.'., 4 La proporcion se llama discreta cuando el consecuente de la p rimera razon y el antecedente de la segunda son distintos, y con"tinua cuando el consecuente . de la primera razon sirve de antecedente á la segunda.

,f-

V. g . arit . 6: 5' 5:: 5, 5: 5, y 4 : 8:: 8: 16, son dos proporcio-• nes conlinuas : l a primera aritmética, y la segunda geométrica . •1- 235 Aunque en rigor toda proporcion consta de cuatro términos~ y la continua solo se diferencia de la discreta en tener iguales sus dos medios, en la proporcion c(;)ntÍnua se suele llamar simplemente término medio al que sirve de consecuente ~e!ª pri1:1er~ razon y antecedente de la segunda, y al ultimo termmo , que es el consecuente de la seg4nda razón, se le da el nombre de tercero. _,,_ Para indicar una proporcion aritmética continua se pone esta señal -:- , y seguidamente se escriben los tres tér-• - minos separados con dos puntos. Para indicar la proporcion geométrica continua se antepone esta otra señal~, y se escriben los tres términos del mismo modo.

Las proporciones conlinuas que se pusieron antes se pueden indicar .asi -:- G: 5' 5 : 5 la aritmética ; y ,:: 4: 8 : I 6 la geomélrica. •

DE ARITMÉTICA. .

236 Se dice que una ra?on . es .inrversa de ofra cuando resulta iguat á ella mudando el antecedente en consecuente. ;J.

V. g. la razon ele 3·: : 2 : 6 , ó bien 3: 0

I : I ::

3 es inversa de la razon de 6: 6 : 2.

porque

De las raz_ones y proporciones aritméticas.

· 2 37 En _toda proporcion aritmétic_a la suma c;le lo~ ~xtremos es igual a la suma de los medios. · .

•

. V. g. si arit. 7 : 3: : 9 : 5 , será 7 -+- 5 = 3-+- 9 .

..,_ Para demostrar esto quítese del primer término (7) su exceso sobre el segundo (3), q_ue es el _exponente (4); . y quírese tambien qel tercero (9) _el mismo exponente; y no hay duda en que resultarán dos razones de igualdad (3 : 3 : : 5 : 5), en las cuales está claro que las sumas de medios y extremos son iguales (art. 26): luego tambien.. eran iguales dichas sumas antes de haber quitado el mismo exponente (4) de las dos · primeras partidas (7 y- 9) (art. 29). + 238 Tambien, siempre que la suma de los medios sea igual á la de los extremos, estarán los cuatro términos en proporcion aritmética. Sean v. g. las razones 8: 3 y 9: 4, y no hay duda en .9-ue si se halla un término cuya razon ·con el 9 sea igual -~ a la del 3 con el_~ , s_erá la suma del 3 -y 9 igual á la de dicho término · ñu evo con 8 ( art. 2 37); pero se ha supuesto que es 3--1-9==4-1-8: luego el mismo 4 será el cuarto término de la proporcion ( art. 28). -1-- 2 39 De la propiedad .enunc_iada y de lo dicho ( art. 92 se siguen como corolarios que · , , + 1? Si se suman los dos medios de · una proporcion1 aritmética, y de esta suma se resta uno de los extremos, \ el résiduo será el otro extremo. t

V.g. si es arit. 8: 3 :: 9 : 4, será (3+9) - 8 =4; y (3+9)-4=8. ,t--

Si se suman -dos extremos de ,una proporcion

TRATADO

aritmética , y de esta suma se resta uno de los medios, el residuo será el otro medio. · V.g. si es arit. 8: 3:: 9: 4, será (8 + 4) -3=9; y (8-t-4)

-·

-,..,

9=3..

3? En la proporcion aritmética continua será la su-· ma de e~tremos igual al duplo del término medio.

Si es -:- 5 : 7 : 9 será 5 -+- 9 7x2 ; porque -:- 5 : 7 ~ 9 es Ío mismo que aril. 5 : 7 : :_7.: 9, y por lo tanto debe ser 5-+- 9=7-+-7=7 x 2.

De esto se sigue que Si se suman los dos extremos de una proporcion aritmética continua, y de esta suma se toma la mitad, resultará el término medio. . • 5 . , 5-t-9 V.g. s1 es-:- : 1: 9, sera - 7. 2 ~ 5? Si en una proporcion ª!itmética continua se dupla el término medio, y del resultado se resta uno de los_ extremos, el residuo será el otro extremo.

-t 4?

V.g. si es~ 5: 7: 9, será 7x2 -5=9, y 7 x .2-9 = 5.

240 De lo establecido (art. 237 y 238) se sigue tambien que de ,cualquier modo que se dispongan los cuatro términos de una proporcion aritmética , con tal de que los que eran extremos queden extremos ó pa'sen á ser medios, y los que eran medios queden medios ó pasen á ser extremos, dichos términos formarán una pro..: porcion . . ~ 24 r Se~un ~sto, si cuatro términos estan en propor¿/ ~ion aritmetica, tambien lo estarán 1? lwvirtiendo : esto es, poniendo los consecuentes en lugar de los antecedentes de sus respectivas razones, y los antecedentes ~n lugar de los consecuentes. V. g. si es arit. 7: 3: : 9 : 5, será arit. 3 : 7 : : 5 : 9.

2? Cambiando las razones: esto es, poniendo la primera en lugar de la segunda , y esta en lu~ar de aquella. V. g. si es arit. 7: 3 : : 9 : 5, será arit. 9: 5 : : 7 : 3,

, , 3? Alternando: esto es, cambiando los lugares del segunqo y tercer término. V. g. si es arit. 7 : 3 : : 9: 5 , será arit. 7 i 9 : : 3 : 5.

DE ARITMÉTICA. 8I -t 242 Con solo invertir y cambiar las razones, se pue-· den disponer los términos de cuatr<;> modos, y por con: siguiente se puede hacer que resulte por cuarto término el que se quiera. Cada una de estas cuatro proporciones se puede alternar; y por lo tanto se podrán disponer los cuatro términos de una propordon de ocho modos diferentes.

Prop. prim. arit. 7 : 3 : : 9 : 5. Alt. arit, 7 : Inv. la prim.arit.3: 7:: 5 : 9. Alt. arit. 3: Camb. razon.arit. 9 : 5 : : 7: 3. Alt. aril. 9 : Inv.y camb. arit. 5 : 9 : .: 3 : 7. .l\lt. arit. 5 :

9 : : 3 : 5. 5:: 7: 9. 7 : : 5 : 3.

3 : ·: 9. : 7.

-Para ejecutar esto con una proporcion continua se escribirá antes á lo largo, como si fuera discreta. 243 Supuestos positivos los cqatros términos de una proporcion aritmética, no qbe duda en que, si el cuarto término es menor de lo que debía ser para que hubiese proporcion aritmética, será la sum:;i de extremos menor · que la 'de medios (art. 237); y lo contrario sucederá si dicho cuart-o término es mayor de lo que debia ser pa~a qµe la proporcion se verificase, Esto es, que · 244 En las razones aritméticas de mayor :desigualdad, si la-segunda razon es mayor que la primera, resultará la suma de extremos -menor que la de ,m edios; y si la segunda razon es menor, resultará mayor la suma 9-e los extremos. 245 Lo contrario sucede en las razones aritxn:éticas de menor desigualdad. V. g. porque de las dos razones de mayor desigual arit. 8 : 6, y arit. 7: 4, es mayor la segunda, será (8+4) < (6+7). . ·

De las razones y proporciones geométricas.

, 246 En toda proporcion geométrica debe ser el producto de los medios igual al producto de los extremos. ..;- En efecto , para que se verifique la proporcion S : 8 : : 1 S : 24, deben ser iguales los exponentes de las dos II

TRATADO

razones' esto es art. 229)

15'

a=24 ;

y por lo tanto . ( art. 170) deberá ser 5x24=:8x 1.5. Esto se ~ebe ve-• rificar en cualquiera proporcion, y por consiguiente la demostr~cion es general. -, 247 Tambien, siempre que el producto dé los medios sea igual al de los extremos , los cuat_ro términos estarán en proporcion ge0métrica. . , . En efecto' si es v. g. 5 X 24 ==8 XI 5, será art. 170) 5 ,5 , . 1 1 . d - =- esto es, que seran 1gua es os exponentes e 8 24 ' las razones 5 : 8 y 15 : 24; y por lo tanto se verificará · la porcion f: 8 :-: 15 : 24248 Cuando dos cantidades , que tienen alguna cosa comun, forman los medios de una proporcion geométrica, Y. las otras dos, que tienen otra cosa c.:omun, form_an los e_:(tremos, se dice que dichas cantidades estan en _ razon reczproc'a. ....,_. Del uso de es~a expresion pueden resultan :equivocá> cioµes, siempre que no se manifieste, ó se vea clarame{l- \ te la cosa comun, respecto de la cu 4l se dice que las cantidades estan en razon recíproca. : --¡- 249 La propiedad demostrada (art. 247) se enuncia diciendo, que_los factores de dos productos iguales estan en razon recíproca. · . . + La cosa comun á los dos primeros factores es el serlo del primer producto; y á los dos segundos, el serlo del segundo producto. · · + 2:50 \ De esto y de lo establ~cido en los artículos 246 y 247 se sigue, que si los medios ó los extremos de una proporcion geométrica son iguales, ya sea á los medios, ya á lós extremos de otra, los otros dos términos de la primera proporcion serán recíprocamente proporcionales con los otr.os dos de la segunda.

·· V. g. si es 4 : 8 : : 3 : 6, y 4 : I 2 : : 2 : 6, será 8 : I 2 : : 2 : 3:' 6 3· :·. 12 : : 2 : 8 &c. Lo mismo se verificará si las proporciones son 8; 4 : : 6 : 3 , y 4 : I z : : 2 : 6.; ó bien 8 : 4 : : 6 : 3 , y I 2 : 6 : : 4 : 2 &c.

DE ARITMÉTICA. 83 25r. De la propiedad enunciada (art. 247) se deducen como corolarios que , . .....- r? Sl en uha p.roporcion geométrica' se multiplican los dos medios, y el producto se parte por uno de los extremos, resultará· por cuocienre el otro extremo (art. 123).. _ :¡,

· V. g.

s1 es

5 : 8 : : I 5 : 24, será -

15x8 t5x8 -=24, y - - = 5. 5 24

+ 2? Si en una proporcion geométrica se multiplican los dos extremos, y el producto ~e parte por uno de los medios, resultará por cuociente el otro 1ñedio (art. 123). . . · · · , 24:,.:5 . V. g. s1 es 5 : 8 : : I 5 : 24 , sera - 8

24x5 5; Y 1

= 8.

+ 3<? En la proporcion geométrica continua será el producto · de los extremos igual al cuadro del, término m~~ Si es -:: 4: 8: r6, será 16x4=8 2 , porqne ~ 4 ': 8: 16 cqnivale á 4 : 8 : : 8 :

6 , y por lo tanto será I 6x4=8x8=8 •.

. (t- De esto se sigue que

· _ _ ti- 4? Si en una proporcion geométrica continua se mtiltiplican los dos e:&:rremos, y se extrae la raiz cuadrada del producto, resultará el tétmino, medio. . V.g. si es :: 4: 8; 16, será Y (t6x4)=8.

+ 5? Si en un~ proporciori geométdca continua se cuadra el término medio, · y este cuadrado se parte por uno de los extremos, resultará por cuociente el otro extremo. V. g.

s1 es : :-

4 : 8 : r 6 , será

=4 ; y 432 =I 6•

.J- 6? · El cuarto término de una proporcion ( que es el cuocient_e) aumentará al paso que aumenten los medios; que son los factores del producto que forma el dividendo, y al paso que di~minuya el primero, que es ~l divisor '(art. 127). · : , · f- 7<? El cuarto término de una proporcion ( que es el cuociente) disminuirá al paso que disminuyan los medios, que son los factores del pro~ucto que forma el di-

.·

./ 84 TRATADO videndo, y al paso que aumente el primero, que es el divisor (art. 127). . -f 252 ·rambien se deduce de lo establecido (art. 246 y 2.47) que alternando. invirtiendo, y cambiando lasrazones que forman una proporcion geométrica,. dichos términos estarán en proporcion, puesto que en todos estos casos resultan medios _y extremos los factores que dan· igual producto. 253 ·De aqui se sigue que todo lo que se dijo d~ las' proporciones aritméticas (art. 241 y 242) se aplica á las geométricas. Proporcion primera ........ 5: 8:: 15: Invirtiendo la primera .... 8 : 5 : : .24 : Cambiando razones ......... •1 5 : .24 : : 5 Invirtiendo y cambiando • .24 : 1 5 : : 8

24. 5. : 8. : 5. I

Alt. 5: 15 : : 8: 24. ' Alt. 8 : .24 : : ·5 : J 5. Alt. 1 5 : 5 : : 24 : 8. ·. Alt . .24 : 8 : : I 5 : 5.

Se tendrá presente que para aplicar á las proporcioQes continuas lo que se dice en este artículo y en los siguientes, se deben escribir á lo largo expresando sus cuatro términos , como si fueran discretas. ~ 254 Comparar componiendo es comparar la suma que resulta de cada antecedente y consecuente, con el mismo antecedente ó consecuente. V. g. si la proporcion primitiva.. es 5 : 8 :·: I 5 : 24, será {el antecedente 5 -1- 8 : 5 : : I 5-t- 24 : I 5. _componiendo comparando..... con el antecedente 5 -t-8 : 8 : : I 5 -t- 24 : .24.

255 Comparar dividiendo, es comparar la diferencia entre el antecedente y consecuente de cada una de las razon_es iguales, con sus mismos antecedentes ó consecuentes.

. V. g. si es la p~opor~on _primitiva 5 : 8 : : 15 : 24 resultarán divitliendo las proporciones s1gmentes 5-8 ; 5 : : 1 5 : -24 ; I 5 ...... 5-8 : 8 : : I 5-24 : 24 . . 3_·5; 5:: .24: -15: 15 ...... 8-5: 8:: 24-15: 24.

2·56 Para demostrar con euma facilidad lo que ~e .establece· en los artículos 253, 254 y 255 llámense a y b los antecedentes de las dos razones iguales, y e el expo-

DE ARITMÉTICA.

. . a:-:: ª b : -b , puesto que nente, y resu l tara'1 a proporc10n '

b _e

el producto 9e los extremos~ ( art. 173) es igual al e

·producto de los medios, que es tambien •

~xb e

(art.- 247 ).

· Como a , b y e pueden representar cuantos valores numéricos se quiera (independientemente los unos de los otros), dicha proporcion expresada. con letras puede representar cuantas proporciones geométricas pueden formarse . con números; y por lo tanto, lo que convenga á . general a: - ª : :_b : h- conven d ra' a' to. h a proporc1on d 1c e

das las derñas. 1? Comparando- las sumas· de antecedente y cons~ cuente con sus correspondientes antecedentes, resultarán ,, · ª :a:~ b + ----b : b . E s as1. que ·e1 pro d ucto a +l os. termmos e · e . axb • - extremos ax b +-, es exactamente e1 mismo de 1os e

que el de los medios: luego los términos a+__:_: a:: ~b b

•

+: b estan en proporcion. Con esto queda demostra. e do que si cuatro términos estan en proporcion, componiendo y comparando con los antecedent€s , resultará una nueva propordon. 2? Componiendo y comparando con los consecuen. l a a· b b b . ' , tes, resu ta a+-: - : : + --: - , y respecto a que e

axb

el prod ucto de l os extremos - e

axb ·

•

+ -exe- es tamb1en

exactamente el mismo de los medios, -no hay duda en que componiendo y comparando con los consecuentes resulta-una nueva proporcion. 3? Por el mismo estilo se demuestra, que alternando, invirtiendo, dividiendo &c. los términos de una prop_orcioÍl geométrica cualquiera resulta una nueva proporc10n.

86 4?

TRATADO

Si la proporcion es coi:itinua, estará representad_a

en términos generales por la próporcion literal a:~ : : a a -.-e exe

257 De lo dicho (art. 229) se sigue que con las razones geométricas se podrán ejecutar las mismas opera.. ciones que cqn los quebrados: esto es, que {),¡. 1? Una razon geométrica se puede reducir á una expresion mas sencilla partiendo su antecedente y conse- ~ cue"ríte por un divisor comun á ambos{art. 165). -1- 2? Una razon se puede expresar en términos mayo.- res, multiplicando su antecedente y consecuente por un mismo número. _· · :, 3? Una proporcion geométrica subsiste multiplicando ó partiendo por un mismo número un extremo y , cualquiera de los medios: puesto que (art~ 253) cualquiera de dichos medios se puede tomar -como consecuente de la razon primera, ó como antecedente de la segunda. ' ...- 258 Tambien se sigue que una razon se multiplica multiplicando su antecedente (art. 173). • · , ·t 259 Una razon se párte multiplicando su consecuente (art. -l74) . .., 26? •Las razones se multiplican 1;or otras. razones, multiplicando los antecedentes entre s1; y practicando lo mismo con los consecuentes (art. 175). · . ~ 26 t A.: la razon que resulta de la inultiplicacion-de otras se llama compuesta de dichas razones; y estas sellaman subcompuestas de la resultante. -:f

V. g. · 1a compuesta de las razones 2 : 3 y 5 : 7, será 2x5: 3x7; esto es, 10: .zr. La compuesta de las razones 2: 4, 3: 5 y 6: 8, será 2x3x6: 4x5x8; esto es, 36: 160, ó lo que es lo mismo (art. 257, núm. 1.0 ) 9 : 40.

No hay dLtda en que las razones compuestas de _otras iguales tendrán i uales quebrados por exponentes, 9 y por consiguiente -seran tambien iguales. -t 262

DE ARITMÉTICA.

-r

263 De aquí se sigue que multiplicando los términos correspondientes de dos proporciones geométricas, resultará una nueva proporcion , cuyas razones serán compuestas 9e las razones de dichas proporcion~s. V. g. si es •..•..•••• 4 : 7 : : I 2 : 2 I y tambien.. .............. 3 : 5 : : 6 : I o

. será 4><3: 7x5:: 12x6: 21x10: esto es; 12: 35:: 72: 210, por ·ser las dos razones componentes de la primera) 4: 7 y 3 : 5 , iguales cada unaásucorrespondiente, de las componentes dela segunda :¡_2:: 2 I y 6: 10.

264 Sé llama razon duplicada á Ja que resulta de la multiplicacion de dos razones iguales entre sí: ó lo que es"lo mismo, á la que resulta de multiplicar por sí misma, ó elevar al cuadrado una razon (art. 260) (-'lf). La razon ó razones iguales, de cuya l'Ilt1ltiplicacion resulta la duplicada, se llaman subduplicadas; y son igua- , les á la raiz cuadrada de la duplicada . .

V -g. de las razones iguales 2 : 6 y 4: I2, resulta la duplicada 8: 72, que es igual á la de 4 : 36, que resulta elevando al cuadrado la de 2 : 6.; á la de I 6 : 144 ,. que resulta elevando al cuadrado la de 4: 12; I á la de I : 9 , que resulta reduciendo á expresion mas sencilla la duplicada representada bajo cualquiera de dichas tres formas ( art. 2 57 ): 6 elevando al cuadrado (art. 260) la razon de I : 3, que es la misma, de 2 : 6 simplificada (art • .257). •

ti 265

Se llama razon triplicada la que resulta de la• multiplicacion de tres razones iguales: ó lo que es lo mismo, la que resulta de tomar una razon misma tres , veces por factor , ó de elevarla al cubo. En este caso, la razon ó razones iguales componentes se llaman subtriplicadas; y son iguales á la raiz cúbi-, 1 ca de la triplicada.

. v.

g. de las tres razones iguales 2 : I o' 3 : 1 5 ' 4 : 20' resolla la triplicada 24 : 3000, que es igual á la de 8 : I ooo , que resulta eleV ando al cubo la razon de 2 : to &c. , y á la de J : I 2 5 , que resulta reduciendo á expresion mas sencilla la triplicada, bajo cualquiera de dichas formas, ó elevando al cubo (art. 260) la razon de I : 5, que es la misma de 2 : IO simplificada (art. 257). (•) Porque multiplicando un quebrado por otro igual, resultará una exj:,resion que será igual, aunque no idéntica, á la que resultada multipli- . cando cualquiera de los quebrados _por

sí mismos. Esto es, que dichas expresiones serán iguales:, aunque tendrán distinta forma; y lo propio sucederá en l¡¡s razones.

TRATADO

266 En general, se llama razon multiplicada á la que es el productó de muchas razones iguales entre sí: esto es, á la que es una potestad cualquiera de otra razon; y las razones iguales componentes se llaman en general submultiplicadas de la resultante. Para obtener la razon h1ultiplicada bajo la forma mas sencilla, lo mejor es reducir la mas simple de las razones p~opuestas á la forma mas sencilla (art. 257); y hecho esto, elevarla a la potestad correspondiente, c~ mo se ha manifestado en los ejemplos anteriores (art. 264 y 265). . 267 Se debe· tener mucho cuidado en no confundir la razon múltipla con la razon múltipla de otra raz!J,z, y con la mutti plicada. La submú1tipla con la submúltipla de otra razon, y la submultiplicada. 1? Razon múltipla es aq_ueila cuyo antecedente es múltiplo del consecuente. V. g. la de

2 : I ,

que es dupla: la de 3 :

I ,

que ~s tripla &c.

2? Razon múltipla de otra razon·es aquella cuyo ex., ponente es múltiplo del-exponente de la otra razon. I

V. g. la de 4 : 9 es dupla de la de de 6 : 4 es tripla de la de 2 : 4 &c.

2 :

9 , ó de la de 6 :

&c. la. •

Razon multiplicada de otra razones aquell_a cuyo exponente es una potestad justa del exponente de la otra. J 3?

V. ·g. la de 9 :,25 es duplicada Jie la de 3: 5, porque su exponen.. te es el cuadrado del exponente de la razon de 3 : 5 &c.

•J

I 4? Razon submúltipla es aq_uella cuyo antecedente es submúltiplo del consecuente. Razon submúltipla de otra es aquella cuyo exponente es submúltiplo del exponente de la otra. Razon submultiplicada de la otra es aquella cuyo exponente es una raiz justa del exponente de la otra. .h . . . 1 a b b e . 2 68 S1 ay vanas razones 1gua es a:-.- , :-,c: - , d

d : -&c., la suma de antecedentes será =a+ b + e

+ 4..:._&c.; y la suma de consecuentes será_= =>-;-++

89 +~+~+&c., que por lo dicho (art. 1.38 ·y 139) e e · a + h -+- e -1- d -+- &c. • • es ...;....______ : por consiguiente sera, a + b + c DE- ARITMÉTICA.

a-+-h-+-c-+-d+&c.

+d+&c.: . : : a : -: : b : -e : : &c., pues. e e to que en cualquiera de estos casos es el producto de medios igu~l al de extremos.

V.g. en el primer caso los productos de medios y extremos son ambos

(a-+-h+c-+-d-+--&c.)xa

- ' - - - - - - - - ----"--· . por lo establecido (art. I 73). e

t .269 De aqui resulta que siempre que hay mut;has razone~ geométricas iguales, la sum~ c,ie antecedentes

á la suma de consecuentes como un solo antecedente es á su consecuente ; y mas generalmente, la suma de un número cualquie_ra de antecedentes es á la suma de sus correspondientes consecuentes, como la suma de otro cualquier número de antecedentes es á la suma de ~u~ consecuentes, a b a h e d V.g. a-+-h: --+--:: a+b+c+d: --+--..;.¡_--+--, qu~ e

•

· 1e a, a-+-b : a....¡....b a-+-h-+-c.-+-d eqwva - : : a+h -+-e+ d: _;__ _ _ __. o

· t

CAPITULO XI. -1

./ •

DE LA REGLA DE TRES. .

· ±" ·2 70 e llama regla de tres simple a aquella por medio de 1a cual, conocidos tres términos de una j>roporcion, se av~rigua el valor del cuarto. -+-- 271 Ya se· enseñó. á hallar en todos casos un término cualquiera de una proporcion (art . .251), y el modo de hacer que resulte por cuarto término cualquiera de -los tres {art. 253). Conviene sin embargo hacer algunas reflexiones para . fac ili ·ar la soludoo de fos problemas, 12

90 .

TRATADO

y evitar las equivocaciones que podrian resultar de una mala aplicacion de los principios expresados. -t- 272 En Jos problemas que se reducen á la regla de tres se suele considerar una cantidad en dos estados distintos ; y otra, que depende de ella, en lbs do~ estados ·correspondientes. A los dos estados de una misma cantidad se llamarán cantidades homólogas, y para mayor facilidad se llamarán datos las dos cantidades homólogas conocidas, y resultados las otras dos. Se llamará przmer dato al correspondiente al resultado conocido, y segundo ,dato al correspondiente al resultado que se va á buscar. Dicho segundo resultado se designa coh una x, ó coq. su nombre, ó bien dejando en blanco el lugar donde de..:. be colocarse su valor. V. g. 4 hombres hacen I o pies de obra en un número de dias cualquiera: y se pide la obra que harian en el mismo número de dias 3o hoinbres. En este ejemplo 4 hombres será el primer dato , 3o hombres el se• gundo, I o pies de obra el primer resultado, y el segundo resultado x pies, esto es , la obra que harian los 3o hombres, que es el término que se busca. -

273 Se tendrá muy presente que para que el problema se ·pueda ·resolver l'ºr la regla de tres no basta que aumentando ó disminuyendo los datos deban aumentar. ó disminuir los resultados; y es preciso examinar si dichos aumentos ó diminuciones deben ó no deben ser proporcionales. · -f" V. g. si duplanJo, triplando &c. los datos deben ó no duplarse, triplarse &c. los resultados correspondientes. Para este 'exámen no hay mas reglas que las que enseña la misma razon_natural, y el conocimiento de la ciencia . á que pertenece el problema de que se trata: Y de los mismos prip.cipios se deduce si es directa ó inversa la razon. -t 274 Se dice que las cantidades estan en razon direc-, • ta ·cua'ndo aumentando los ·datos deben aumentar los resuÚádos; y en razon inrverra cuando aumentando los datos los resultadós deben disminuir, esto es, cuando los' datos estan en razort recíproca de los resultados ... --t

l ,~ .

V.,g: en el e:je~plo propuesto (art • .272) está claro: qi+e. du_'

DE ARITMÉTICA. 9I piando , triplanclo &c. el número de hombres, se duplará, triplará &c. Ja cantidad de obra: y por consiguienle el proble?Ja pertenece á la regla 'de tres, y la razon de los datos y resultados es directa. . , 2.0 Suponiendo que 9 hombres se mantienen 13 días con una determinada cantidad de víveres , se pide cuántos dias podrán mantenerse 1 6 hombres con los mismos víveres. Está claro que cuan:o mayor sea el número de hombres , tanto menor será el número de d1as que tardarán cen c-,oasumir los víve1·es; esto es, que un doble número de hombi:es coll5umirán los víveres en la mitad del tiempo &c. Segun esto , el problema -pertenece á la regla de tres , y la razon de las cantidades es inversa ,. porque aumentando los datos, que son los hombres , disminayen los resul- ' 'tados , que son los dias. · 3.0 Supuesto que ua cuerpo emplea un segundo en bajar ele la altura de J 7' 5 pies de Bt'.irgos en virtud de la gravedad , se pide el tiempo ·que empleará en descender de la altura de 40 pies. La Mecánica enseiia que, aunque el Clterpo empleará mas tiempo en caer de una altura mayor, no es doble el tiempo. que necesita para descender de una altura dupla ; porque el cuerpo qtte desciende va aumentando de velocidad continuamente; y por lo tanto para caminar un espacio duplo no necesita. doble tiempo. Segun esto, el prphlema no pertenece á la regla de tres.

275 Se dijo (art. 69) que para que la comparadon de los números equivalga ·á la comparacion de las cantidades deben reducirse estas á la misma denominacion. 276 Tambien conviene advertir que cuando ~e com.: p·a ran entre sí cantidades de distinta naturaleza, v. g. hombres con dias, se entiende que la comparac;:ion recae sobre los números con que dichas cantidades se representan; y por lo tanto será la razon mayor~ó me11:or-, _segun los cantidades que se tomen por unidades en la otra especie. ' 277 De estos principios y de lo dicho (art . .251) se1 deduce la siguiente

Regla para la resolucion de los p1·oblemas que depen"lun de la regla de tres simple. 1

f- / :

· -¡-

' 1 '? Redú_zcanse los datos á una mis~a denominacion (art. 179 á 186). , !2'? Redúzcase, si se quiere, el resultado conocido á

una denominacion sola, que será .la misma en que se obtendrá el- resultado que se busca. ,..,

TRATADO

3? Examínese st los datos y restilt:,idos· son· propoi-i.. eionales, y si estan en razon directa ó en razon inversa (art. 27~ y 274). , 4.º Si estan en ·razon directa se dirá: el primer dato es al segundo como el primer resultado al segundo ; ó , bien (art. 253) el primer dato es á su resultado corresp.ondiente como -e1 segundo dato es á su resultado. 5? Si estan, en ra~on inversa se dirá: el regundo dato 'es al primero como el primer resultado al que se busca: ó bien el segundo dato es al primer resultado como el · priq1.er dato al resultado que se busca. . , 6'? Se multiplica el segundo término por el tercero; se·,parte el resultado por el primero, y se tiene con esto el' cuarto término . ,

· Ejemplos. . El caso que se propuso (art • .27.2) se resuelve diciendo homb. homb. pies. pies. 3ox10 4: 30:: 10: X 75 pies. .278 J. 0

_ hom. pies. hom pies. • Lo mismo resulta ria diciendo 4 : I o : : 3o : :r.• .2.º En este caso propuesto (art • .274, núm • .2.0 ) la razon es inversa ; y por lo tanto se dirá . hom. hom. dias. días. 13x9

•

16: 9:: 1'3: .x==- =7+ d1as. 16 16 Esto es, que los I 6 hombres ~onsum~rfo los víveres en 7 dios y

ele dia, c¡ue en rigor quiere decir que se mantendrán 7 dias, y todavía 5 sobrarán los de los víveres que consumen en un dia. 16 0 , 3. ·Si se supone la cuestion siguiente, 8 hombres hacen un trabajo en 5 días y 4 horas, y ~e pregunta cuántos hombres se necesitarán para hacer el mismo trabajo en 3 dias. . Está claro que 5 dias y 4 horas es el primer dato , 3 dias el segundo, 8 hombres eI p1·imer resullado, y :r: hombres el segundo, Seg1n¡. esto , se deberáo reducir lr s 5 dias y 4 horas y los tres dias á horas. Per.o tomo lo.s hombres ·no trabaj~n d.uraote las 24 horas, por dia de trab.ij¡_ts~ debe eqteader las ho1·as durante las cual:s trabajan, q1~e su-, p ondremos se1rn 13 horas, y por lo tanto los 5 d1as. 4 horas seran 69 .

hora~, ¡ los 3 dias .serán 39 horas.

· ·

_ DE .ARITMÉTICA. 93 Hecho esto, ae ve que au:11entando Jos hombres disminuirán ]_os dia~ empleados en la obra, y que con un ,numero de hombres duplo se bara la obra en la mitad del tiempo, Estas reflexiones manifiestan que hay proporcion entre las cantidades , y que la razon es inversa. Se dirá pues

lwr.

hor.

hom.

fzom.

hom

3~-= 14-;:- 39 = 14 + "i3· . .. necesitan pues 14 hombres y I3 de hombre. Pero com_o .este que,

69 : : 8 : .x·=

brado de. hombre no puede existir, y los hombres se introducen aqui co- ' 2

mo trabajadores, los

de hombre equivaldrán

~ un hombre que trapa.

2 J•e los 3 de lo que trabajen los demas, 6 que trabaje durante solo los 1 ' ' · ' 13 del tiempo. En este último caso el hombre deh~rá trabajar durante

"i3 de 39 horas ="i3 = 6 horas. 4•º Se han de pagar 5 varas, 2 pies, 8 pulgadas de un género á razon .de 13 reales y 24 maravedís el pie , y se pide lo que se ha de pagar. En este ejemplo será el primer dato I pie, y el" segundo las 5 vara~, pies, 8 . pulgadas. El primer resultado serán 13 reales y 24 maravedís, y x el segundo, · Reduciendo las cantidades de género á pies, serán 5 varas, 2 pies , 8 pulJ!;adas = 17'6666 pies; y reduciendo, si se quiere, el dinero á maravadís, serán I 3 r eales, 24 maravedís=4'66 maravedís. A una cantidad de género dupla le corresponde un valor duplo, y por lo tanto el problema pertenece á la regla de tres, y la razon .de las cantidad~s es directa. Se dirá pues pie. pies. mar. mar.

··2

r·

17'6666

dís = 0

6 pesos-,

466 reales, 5 maravedís.

•

·r

5. Si suponiendo 'que se han pagado I 6 pesos, 2 reales, 5 mara,vedís' por .5 varas, 2 pies , 8 pulgadas de género, se pide el valor de r pie de dicho gé.nero, está claro qne las 5 varas &c. son el pr.imer dato, 1 pie el segundo, I 6 pe~os &c. el primer resultado y x el segundo. La razon es , como en el Pjemplo anterior , directa ; y hecna la rednccioa - de la éantidad de género á pies , y la del iinporle á maravedís se dirá

pie,

17'6966 .:

pie. I

mar. :

mar.

8233 : .x_

8233 17

6666

=466 maraved.is= 13 rea-

les, 24 maravedís. · _ ; . '·. 1 0 ·.6.. Suponiendo que cada zl de erro-r en la distancia de la luoa al.sol

,·

TRATADO

prodn-ce 2. 1 -+- I ó 11 de error en la hora que se deduce de dicha di3tancia se quiere averiguar el error que producirá en la hora el error de 1°+8I , -+- 1 311 en la distancia. ~st, claro que 1' será el primer dato, 1° &c. el segundo, 2. 1 + 10" el primer resultado, y :z; el segundo. Lo mas breve será reducir los da1os á segundos , y reducir tambien á segundos el primer resultado para obtener en segundos el qne se _busca. La razon de las cantidades es directa, y asi se dirá

60 11 :

130 = 409'3x 60

409311 :: 13011 :.-r:11

8868 11 .2=2 horas+27'-+-

. 4811~. Esta reduccion se hace casi de memoria por lo dicho (art. 182). 279 Escolio. Los tres ejemplos últimos se han puesto para hacer· Yer con cuánta facilidad se resuelven por las proporciones los problemas de multiplicar y parti1· los números complexos, como se advirtió

(art. 197·y 205). El ejemplo último puede servir tambien para manifestar los errores que resultarian de seguir materialmente la regla que dan algunos de que en la multiplicacion de los números comflexos los minutos por minutos _dan segundos &c,: pues multiplicando 1 +o8 1+1a" por .2 1-+-1011 seg.un dicha regla, no se obtendria el resultado que se acaba de hallar. " 280 Estos problemas se pueden resolver de tantos modos cuantas wn las denominaciones á que se pueden reducir las cantidades, y á mas ae puede usar eu muchos casos de los decimales ó de los quebrados ordinarios. 1.0 V. g. en el ejemplo 4.0 , haciendo las reducciones á pulgadas, ff diria , pulg. pulg. mar. mar. I 2 : .21.2 : : 466 : :Z:. Si se quiere ha~er la reduccion d" la cantidad de género á pi<!s, y la del dinero á reales, y usar de los quebrados, será pie. pies. rs. rs. 212 466 212 466 98792 . 1 : - - : : - - : :e=-- x -e:--=---reales=&e. 12 34 12 34 408 . . 3.0 Tambien se podían haber reducido las cantidades de género á· yaras: las de dinero á pesos ; ó se pueden dejar sin reducir , y hallar el enarto término multiplicando y partiendo por las reglas dadas (art. 193} 5. 0

0 4.99· De toclos modos se hallar 5. el mismo resultado , .y por lo regular

118

lo mas sencillo el hacer la reduccion :í las denominaciones menores.

De la regla de tres compuesta. 28i La regla de tres compuesta, que algunos llaman regla de cinco·, de siete &c. segun los casos,' es aquella en que los resultados dependen ·de muchos datos; y iC puede recurrir á la siguiente

DE ARITMÉTICA.

Rrgla

para la resolucion de los prQblemas que depen_den de la regla de tres compuesta.

1 ~ Redúzcanse las cantidades homólogas á la misma denominacion. · ..... 2. 0 Redúzcase el resultado conocido á una denominacion cualquiera, que será 1a del resultado que se busca. ~- 3? De las cantidades hom.,ólogas que_ estan en razon directa con los resultados escnbase el primer dato en el primer término, y el segundo dato en el segundo término. , ...,. 4? De las cantidades homólogas que estan en razon inversa con los resultados escríbase el segundo dato e~ el _primer término, y el primer dato en el segundo tér;. mmo . ....- 5? Dígase. el p_roducto de los datos del primer término es al producto de los datos del segundo término como el resultado conocido al que se busca, ó bien alternando; el producto de los datos del primer término es al resultado conocido como ~l producto de los datos del segundo término al resultado que se busca. Esto se compreñderá mejo~ con los ,,

___,

O:(/

2.82 0

Ejemplos.

Suponiendo que 5 hombres, trabajando 8 horas al día, han hecho 3o varas de obra en 4 días , se pregunta cuántos hombres se necesitai;án para que , trabajando I o horas al dia, hag.¡n 2.0 varas de obra en 7 clias. En este ejempló 8 horas es dato homólogo pe ro horas, lo mismo que 3o varas de 2.0 varas, y 4 dias· de 7 días; ;y 5 hombres es el ;pri-. mer resultado, .V x hombres el segundo que se bus-ea. 1 Las cantidades homólogas sou de la misma denomioacion; y comparando los datos con los 1·esultados, se observa que cuantas mas horas trabajen al dia, tanto menor será el número de hombres que se necesitan• esto es, que las horas diarias de trabajo estaar en razon inversa con el nú~ . mero de hombres , y por lo tanto se escribirá el segundo dato I o horas u el primer término , y el primer dato 8 horas en el segundo término. J•

TRATADO

Cuantas mas varas de obra se hayan de hacer, tanto mayor número de hqmhres-se necesitará; esto es , que las varas de obra estarán en razon directa con el número de hombres, y por lo tanto se escribirán las var,.rs del primer dato- 3o en el primer término, las del segLmdo dato 20 en el seg1111do término. Cuantos mas dias trabajen, tanto menor será el número de hombres que se necesitan; esto es , que los días estan en razon inversa con el número de hombres, y por lo tanto se escribirán en el primer término los dias del segundo dalo 7 , y en el segundo término los días del primer d,4 1 to 4. Establecido esto , se dirá I o x 3o x 7 : 8 x 20 x 4 : : 5 : :e hombres

_ 8x2ox4x57 =--=-32 = 3200

I O X '30 X

2 I 00

+11 -· 2 I '

ta.rá un hombre , y otro que trahaj" solo los

esto es 1 que ae neces1-

~ de lo que se supone gnb 21 ·

trabajan los demas: ó lo que ea lo mismo, un hombre que trabaje solo do.~ rante los

~ de los 7 dias , 21

que á razon de

o horas de t;abajo

al día ion

3 dias -t- 6 horas -f- 40'. •

0 Se supone que cuando una emharcacion camina 55'4 piea en 3o11 2 • anda una milla por hora , y se pregunta cuántas millas por hora andará cnaodo camine 60 pies en 20". Está claro qne 55'4 pies es el dato homól_o go de 60 pies: 3o" el dato homólogo de 20" ; I milla el primer resultado , y x millas el segundo. . . . • . Si la nave camina en el hempo prefipldo un espac10 doble, cammará una distancia dupla en una hora; esto es, qne las distancias 55'4 pies y 60 pies estau en razon direct~ con los resu!tados. . . Si la nav e emplea doble tiempo en camrnar la distancia, su andar se- , r!i la mitad; y si empl~a solo la mitad del tiempo_ en caminar la. misma distancia, su andar sera duplo. Esto es , que los tiempos 3o11 y 20 11 estan en razon inversa con los resultados.

Será segun E'slo ......... 55'4x 20

1800 . =- = 1 '62 millas. 110 8

60 x 3o : : r : x millas

6ox3o 55 ,4>< 20

.283 Demostracion. La razon de este modo de operar es que si quedando constantes los dema_s datos se hace duplo uno de los que e5tan _en razon directa, el resultado se duplará; y si despues se tripla otro de los datos ( quedando los demas constantes), el nuevo resulta.do será igual al primiti~o multiplicado por 2 X .3 &c•

DE ARITMÉTICA.

(art. 101); lo cual manifiesta qlie cuando los datos estan en razon directa, los i:esultados aumentan como los productos de dichós datos. Si los datos estan en razon inversa, ·como esta se convierte en· directa cambiando los lugares del primero y segundo _término (art. 236); este principio se aplicará á dicho caso, siempre que se coloquen los datos como se previene. en el núm. 4<:> de la regla. Se omite la resolucion de muchos problemas interesa_ntes que dependen de la regla de tres , porque se puede .prescindir de ellos e.n la práctica ordinaria de la navegacion. ' ·

CAPITULO XII. DE LAS FROGR.ESIO!fES•

).. 284 J?ogresiort ·es una serie de razones condnuas, "' de suerte que el consecuente de la primera razon sirve de antecedente á la segunda: el consecuente de la segunda sirve de antecedente á la tercera,-y asi sucesivamente. 'f:" 28 5 En las progresiones aritméticas se tomará por exponente la diferencia positiva entre el antecedente y consecuente, y en la geométrica el cuociente que resulta de la division del mayor de dichos términos por el menor. ·

· Asi--:- .2 : 5 : 8 : ·11 : I 4 &c. sérá una progresion aritmética cuyo. exponente es 3; y ~ 4 : 8 : I 6 : 3.2 : 64 : &c. será una progresion geométrica cuyo exponente es .2.

286 Las progresiones cuyos términos van aumentando se llaman ascendentes; y descendentes aquellas cuyos términos van disminuyendo. Las progre~iones del ejemplo anterior son ascendentes; y -o-:- 5 : 2 :

--f

1 : -

4 : & c. y -.. 4 : ..

I 2 : I : -· : 2

I ·

& c. son descendentes. .

..,- 287 Se llama primer término ·c,e una progresion al de mas á la izquierda, y último al de mas á la derecha . .J,-· .288 Pero esto no se opone á que toda progresjon_

/~ ,., . /

98 TRATADO se pueda continuar sin límite hácia adelante y hácia atrás; ascendiendo en la geométrica hasta una cantidad sumamente grande, y descendiendo pasta una fraccion sumamente pequeñ~, esto es, hasta cero; y en la aritmética ascendiendo hasta una cantidad sumamente grande positiva, y descendiendo hasta una cantidad sumamente grande negativa. -t· 289- Toda progresion puesta al revés se muda de as~endente en des~endente, y al contrario. Por esto basta !=O~siderar las ascendentes, y cuanto se diga de ellas se debe verificar en las descendentes, con solo mudar el primer término en último, y el último en prímero. ,.

290 Los problemas relativos á las progresiones se resuelven con suma facil~dad por los métodos que se ensenan en el Algebra; y se puede prescindir de ellas para- la práctica ordinaria de la uavegaciou.

CAPITULO XIII. . DE LOS LOGARITMOS.

-.-

una porcion de números ~n progresion geo- r métrica se escriben de suerte que correspondan á otros números en progresion aritmética, los- términos de 1~ progresion aritmética se llaman logaritmos de sus cor~ respondientes en la geométrica, y á estos _se les da el noinbre de números. ' _,. Para indicar el logaritmo de un número, se le antepondrá al núrpero una L. . ,.¡ 292 Como son_infinitas las progresiones geométricas y aritméticas que pueden compararse, tambien·serán in~~1i_tos los logaritmos correspondientes á un mismo número. ·Por esto se hace preciso advertir, que cuando se determinan las pf·opiedades de los 1ogariuúos · se entien-de que se trata de los correspondientes á un mismo sistema, sea _el que quiera, esto es, de los que resultan de dosJ · p,ogresion~s determinadas; · ' ·: ·· f 291

99 ..;-- 293 El s-istema de logaritmos de que se hace uso en la práctica de la navegacion es el siguiente. Números ................. 1 ............ 10.......... 100......... 100.0.. Logaritmos ........ 0'00000 : . 1'00000 : 2'00000 : 3'00000. I 0000 .... l 00000. 4'00000 : 5'00000. --1- Entre los términos de la progresion geométrica supe_rior y los correspondientes de la aritmética inferior se interpolan muchísimos términos medios; y con esto s.e tienen los logarítmos de los números intermedios con mucha aproximacion. DE ARTTMETICA.

. V. g. el logaritmo de 3 aproximado hasta la quinta decimal es 0'47712, y aproximado hasta la séptima decimal es 0'4771213. ·'

· +294 Tambien se imaginan las progresiones continuadas hácia atrás ; y por lo tanto son tambien . ' · Números ................................... 0'1; .................. 0'01. Logaritmos................. - 1 + 0'00000 : - 2 + .0'00000: 0'001 ............... o'ooor. 1 ---:-.3 +0'00000: -r-4+0'00000. I 295 A los ~nteros de los Ibg_aritmos s_e da el no~ bre de caracterzsticas, y las fracc10nes decimales se llaman mantisas. -¡- C~aó.do fa ~aracterística es positiva, ·s: pone in~edia'\:a al signo _decimal; pero cuando es negativa es me¡or el ponerla antes, y escribir des pues la mantisa con cero de : característica , como se ve ejecutado ( art. 294). ,.,- 296 Pesde luego se ve que- ,1 +0'00000 es .lo mismo que-3+ 2'00000, puesto que dichas transformadones no alteran la expresion de la diferencia que haf. entre las dos partes, positiva y negativa (art. 34); y se . -tendrá presente que dichas transformaciones son de mu~ cho uso, cuando se frata de extraer las raices de los · nú-. -meros por medio de sus logaritmos. . f- 297 Tambien es evidente que,-10+8'36475 se ~reduce ~ á - 2 + 0'36475; y-, 10-h12'36475,. se : reduce á 2'36475 (art. · 73); y estas ..reducciones ~elDe,n

•

100

TRATADO

ejecutarse siempre que se ha acabado de operar con los logaritmos. 298 La mantisa solo manifiesta el valor y órden de las cifras de los números, independientemente del signo decimal; esto es, que_la mantisa de 32500, de 325, de 32'5, de 3'.25, de 0'325 &c. es la misma. 299 La característica manifiesta el número de cifras que debe haber en los enteros . .,,. 300 El número de cifras, desde la primera signifi. cante de la izquierda basta el signo decimal, es -igual á la característica positiva aumentada de una unidad; é in~ versamente, la característica es igual al número de cifras de los enteros menos una. · -t-. 301 Cuando la caracterfstica es negativa, el número de ceros interpuestos entre el signo decimal y la ,rimera decimal significante es igual á la característica disminuida de una unidad:· é inversamente, la caract.\rística negativa es igual al número de ceros inmediatos al signo mas una unidad. 302 En esto se funda la resolucion de los problemas siguientes. \

Problema 1 '? 303 Dada una cantidad cuyo número de cifras (desde la primera hasta la última sign[ficante) está comprendido en los límites de la tabla, hallar su logaritmo;) Resolucion. 1'? Si el número tiene enteros, póngas~ 1una característica que contenga tantas unidaq.es menos .,

•

una, cuantas cifras hay en los e_n teros ( desde la primera ! cifra significante hasta el signo decimal), y póngase á la derecha de dicha característica el signo decimal. l 2'? Léase el número como si no tuviera s·i gno deci~ mal, considerando ( en caso necesario) á su derecha tantos ceros como cifras falten para encontrar dicho número en la tabla. , 3'? Búsquese en la tabla la mantisa de dicho núme• ro , ,y escríbase á la derecha del signo ~ecimal.

DE ARITMÉTICA. ror Si el número no tiene enteros, póngase una característica negativa que contenga tantas unidades mas una cuantos ceros hay entre el signo y la primera decimal significante. 4- 1 5'! Póngase á la derecha de dicha característica el signo+, un cero, y el signo decimal; y ejecútese despues lo mismo que se ha dicho en los números 2'! y 3'!

1 4~

304 Ejemplos. El logaritmo de 7835, que es el mismo de 7 83 5'0, será 3' 89404. El de 78 ' 35 será 1'89404. El de 7'835 es 0' 89404-~ El de 0'7835 es-1--1--0'89404, y el de 0'07835 es-2+0'89404.

305 Adrvertencia 1.ª Siempre que se omfre alguna cifra de la tabla de logáritmos, si la cifra omitida es mayor ·que 5, se aumenta una unidad á fa -última cifra que se escrihe. ,,, _

Por« sta razon se ha dicho que el logaritmo de 7835 con cinco decimales es 3'89404, siendo asi que dicho logaritmo con siete decimales es 3• 940 390. '

Adrvertencia 2~ Se tendrá muy presente (art. 293 y 294) que todo número compuesto de la unidad con ~eros tiene cero por mantisa, y que el logaritmo de la unidad es cero.

-t '306

V. g. si se pide el lcgaritmo de IOO, se dir~ desde luego que es 2'00000, sin necesidad de abrir la. tablas; y el logaritmo de 0'01 es 2. + 0'0.0 000. '

Problema

I I~

3?~ Conocido i;n logarit'f'!1'o, hallar su n_úmero corres~ -pondzente con el numero de cifras que contiene la tabld. , Resolucion. 1'! Búsquese en las tablas la mantisa propuesta; y si no se halla exactamente, véase entre qu_é..

mantisas está comprendida. , 2'! Escríbase el número correspondiente á la manti-. sa propuesta, ó á la mantisa de las tablas que difiere menos de ella. . _, 3'? Si el logaritmo tiene varias cifras á los enteros re• dúzcanse á una sola, positiva ó negativa, segun resulte (art. 297).

102

TRATADO

, 4':' Si la característica que resulta es positiva, sepárense del número tantas cifras de enteros mas una, cuan~ tas unidades tiene la característica; y póngase el signo decimal á la derecha de dichas cifras. f 5? Si la caracterísr¡ca_es negativa, póngase á la izquierda de la primera cifra significante del número tantos ceros menos uno, como unidades contiene la carac..: terística negativa; y póngase el signo decimal, y un cero á los enteros. 308 Ejemplos. Si el logaritmo es 2'38707, será el número 243'82. Si el logaritmo es - 3 -t- 7'67306 ==4'67306, será el n(unero 47104. Si el logaritmo es - 10 + 8'89417 == - 2 + 0'89417, será el número 0'07837. 309 Ad<Vertencia. Si el logaritmo tiene cer-0 por mantisa, su núniero correspondiente será la unidad con . . ceros art. 293, 294 y 306).

Problema r r r?

J}de 3;0 . Hállar ;o;m,dio de los logarit;.os ,; producto la multiplicacion de dos ó mas factores simples. ~

1? BúsquenseJos logaritmos áe los facto• res por lo dicho (art .. 303), y escríbanse en columna . .;, 2? Súmense; y ~l resultado será el logaritmo del pro-dueto. . 11-· 3? Búsq_uese e1;1 las t:blas el nú!11ero correspondien; te (art. 307); y dicho numero sera el ·producto que se "trate-de determinar. _ . 31 r Ad<Verten~itz. Si resulta q~e se han, de separar ··para entero~ mas cifras de las que tiene el numero halla:. -do, se suplirán dichas cifras con ceros :i la derecha, y e;1 tal caso no se puede saber el verdadero valor de las cifras que se han suplido con ceros.

...,.. · Resolucion.

•

· 312 Ejemplo t:0 Hallar el prodL1cto de 3·2 5'7 °por .28'3. Pa~a esto , si las tablas tienen cinco cifras , se leerán dichos nú.~e;-Qs• como _si

DE ARITMÍTICA.

.YO 3

fueran 33570 y 28300; y en todos casos se operará como sigue, en el caso dti tomar solo cinco cifras de mantisa.

325'7 .......... L .......... 2'51282 28'3 .......... L .......... 1'45179 Producto ....... .9217'4 ......:... L .......... 3'96461 Si las tablas solo dan los números con cnatro cifras , únicamente se sabrá que el prod11cto está comprendido entre 9217 y 9218 ; pero tomando los logaritmos con siete cifras de mantisa, y usando de tabla que dé los números con cinco cifras , serán,

325'7 .......... L .......... 2'5128178 28•3 .......... L .......... 1'4517864 . Producto •.•• 9217'3 .......... L ........... 3'9646042 Ejemplo 2. 0 Supongamos que _se pide el producto de los tres factores 0'475xo'o289x35'86,y que se hace uso de las tablas que expre$an los números con cinco cifras; y que se toman los logaritmos con siete decimales.

0'475 .......... L .......... -r-+-0'6766936 0'0289 .......... L .......... -2+0'4608978 35·86 .......... L .......... 1'5546103 Producto. 0'49227 .......... L .......... -3+2'6922017 Para colocar el signo decimal se atiende á que las características - 3 + 2 equivalen á la característica única-Y ; y p0r cuanto no se puede responder ele la última cifra del producto , se dirá que el resultado, aproximado hasta los diez milésimos, es 0'4923.

Del complemento aritmético.

, 3 I 3 Las operaciones en que hay que sumar y restar varios logaritmos se facilitan · mucho por medio de los complementos aritméticos, que se designan con las iniciales· c. a. _ · t Por complemento aritmético de un número se entiende su diferencia á 1 o. Asi se dirá que c. a. 7'= 3; c. a. 4'3827 5·6173; c. a. 6'.28520 =3'71480; c. a, 2'83000=7'I7000. . 314 Reflexionando sobre estos ejemplos se ve que para sacar el comi'.; .p}emento aritmético se restan de ro todas las cifras, desde la primera signi."' · 1ic;ante dela derecha; y como siempre se lleva una unidad, es evide.p.te que

104 ~

TRATADO

, 315 Para sacar el complemento aritmético de un número, empezando por la izquierda, basta ir restando cada una de sus cifras de 9, y la última significante de 10• . V. g. para hallar el complemento aritmético de 6'28520, en vez de decir ( empezando por la derecha) de o á o, o ....••.• de 2 á I o, 8 y /le'J/o I •.•••.• y 5, 6: á lo , 4 y lleYo I •.•.•• y 8, 9 : d 1 o, I y lleJJo 1 .•• , .• y 2 , 3 : á I o , 7 y lle Po r. ....... y 6, 7 : á 1 o , 3 y llevo x. ....•.. de I á I , o ....•.•. Se dirá empezando por la izquierda de 6 á 9, 3 ......... de 2 á9,7 ........ de8á9,r ........ de5á9,4 ........ de.2 á 10,8 ........ y despues se escribe el cero. 31 6 Cuando uno dicta las cantidades con que se ha de operar y otro las escribe, para escribir el complemento aritmético, el que dicta 'va nom- ; hrando una por una las cifras desde la izquierda, diciendo v. g. de 6 á 9 , y el que esci-ibe dice tres, y escribe el 3; y asi sucesivamente. De e3ta suerte se toma el complemento aritmético de un número, casi sin em_...., plear mas tiempo que el C{Lie se necesitaría para cop~ar el mismo número. '

, 317 Siempre que se_trata de restar un logaritmo, en.vez del subtraendo se· puede poner - 10 +el complemento aritmético de dicho logaritmo. Esta es la razon por que todo complemento aritmético se supondrá precedido de la característica negativa - 1 o, á menos que no se advierta lo contrario. . -t- 3 18 Cuando se trata de sumar y restar varios logaritmos, se facilita mucho la operacion empleando los complementos aritméticos de los logaritmos subtraendos, como se manifiesta en el ejemplo siguiente.: Snpongamos que se han de sumar 3•2745681 y 5'4699000; y de la suma se han de rest~r 2'5438200 y 4'080'3950 ; empleando los complementos aritméticos , casi quedan reducidas á una sola suma las • tres opera ciones c1ue debían ejecutarse para 9htener el resultado por el método ordinario. -t-3'2745681=1.ª partida del minuendo. -+- 5•4699000=2.ª partida del minuendo. - 1 o-t- 7' 456 J 800=- r o+c. a. I. ª partida del subtraendo. - r o-t- 5'9196050=-ro+c.a. 2.ª partida del sub~raendo. Resultado.---20-t- 2.2..' 1202531=2' I 2025'31.

Y" 319 El ejemplo manifiesta que para tener el verda-dero resultado en casos semejantes, basta sumar las cantidades positivas, y quitar (ó mejor dejar de escribir)

DB ARITMÉTICA.

105

tantas decenas como complementos aritméticos se hubiesen introducido. .) 320 Adrvertencia. Si la característica del logaritmo vale una decena, _ó una decena de algunas unidades ( que es lo mas que puede Yaler en los casos que se ofrecen en la práctica de la navegacion) , se saca el complemento aritmético como si no existiese dicha decena; y se antepone la característica negativa-20. V.g. el complemento aritmético de

I I

'4569 I 6:,. será-20+8' 5430838.

Problema

IV.

321 Hacer desaparecer los decimales de los términos de cualquiera e:x:presion fraccionaria. -¡- Resolucion. 1 '? Iguálese el número total de decimales del numerador Y. denominador, agregando ceros al factor ó factores del término qu~' tenga menos decimales. -r 2'? Hecho esto; bórrense los signos decimales, y resultará la nueva expresion igual á la primitiva. Demostracion. Es evidente que la nueva expresion será igual á la primitiva, respecto á que lo que se previene en el número 1'? no altera el valor de los factores (art. 50); y lo que se previene en el núme~o 2'? equivale á multiplicar los dos términos- del quebrado por, la unidad acompañada "d e igual número de ceros (art. 117 y 102), lo que no altera sn valor (art. 163, núm. 3'?) 322 Esto se comprenderá mejor con los ejemplos siguientes: 3'54x41'8 3' 54><41'8 354x418 . ~ , • Lo que se eJecnta en .2 3 X 5 '~~ .2 3 X 5 200 23 X 5 .200 el numeraclor equivale á multiplicar por 1oox10=1000; y lo que se eje-

cuta con el denominador equivale tamhien á multiplicar por dicho número.

.24 .24'00 .2400 35'.23x51 - 35'23x51 - 35.23x51 • . 1m o'o3x4.2' 1 o,o3x4.2' 1 F ma ente - - -- , 1.2x5 1.2x5'ooo o'o3x42' 1 3x4.2 I - 12'ox5 100 1.2ox5oo ·

3x421 1.2.X 5000

. : 6 bien

{

106

TRATADO ,

Problema v<?

323 · Hallar por ·medio de los logaritmos el resultado de cualquiera expresion fraccionaria, aunque tenga muchos factores simples en el numerador y denominador. ~ Resolucion. 1? Redúzcanse dichos factores á enteros, por lo que se acaba de decir-(art. 321 ): · •f 2? . .B'úsquense en las tablas los logaritmos de los factores del numerador ( art. 303 ), y los complementos aritméticos de los logaritmos de los factores del denomi- ·, na9or, (arf. 315 á 32 I ) . ..¡- 3? Súmense todos los logaritmos y complementos :uitméticos, y el resultado será ,el logaritmo de la expresion. · ..¡..-4?. Búsquese en las tablas el número correspondien:. te (art. 307); y dicho número será el valor de laexpresion fraccirn;i~ria. 324 Ad'Vertencia. Como ,toda division se puede indicar colocandq el divisor y dividendo en forma frac:. ·cionaria (ar't. 137), es evidente que el problema genet ral comprende el caso particular de pedirse el cuociente de la division de dos cai;itidades. En este caso, y en todos ~quellos · en que solo hay dos lógaritmos con manti·sasr eompuestas de c¡fras significantes, se puede excusar el I tomar el ,c;omplemento ar.itmético, restando el logaritmo del divisor -del logaritmo del dividendo. El residuo será el logaritmo del cuociente que se trata de de ... terminar. · · 325 Ejemplo. r. 0 8235x?í9u ;:: . 4?i9¡x8'3.

823' 5xo'o39 4~397xo'83.

Sea la ex:presion frac;cionaria. - - - - 10 'i>-:::

_8235 ············,· L 3'91 566'36 390 ............ , L 2' 59 10646 4?iq7 ..e.a .... , L-10.,+-6';1°'68435 · 8'3 .. e.a ..... , L -· 10+8'0809219 R~sultado.... ,

8'8 .•.... ~.... , L. · .......... 0'9444936

DE ARITMÉTICA, 107 Se ha puesto desde luego la caracteiistica: cero, porque la suma de las ,característi(;as positivas 20, es igual á la suma de las negativa~. · • ¡ • • • I 10 E¡emplo 2 •,º Sea la expres1on fracc1onana '3 ·

42xo' 5

TO ..................

L .......... ·····

342 •. c. a .......... L ..... :.......... 5 .. c. a .......... L ................ -

'342x5

1'0000000 10-+- 7'46597'39 10-+- 9''3010'300

Resultado ... 0'005848 ................... 1... : '3-+- 0'76700'39 · Se ha puesto desde luego la característica-'3, porque se ve que la d,iforencia de características es-20-+-17=-'3, sin necesidad de escribir dichas cantidades.

Problema

VI?

3·26 Hallar las potestades segunda /o tercera de cualquiera expresion por medio de los loff aritmos. __,. . Resolucion. 1'? Búsquese el logaritmo de la expresion por lo dicho (art. 303, 31-o·ó 323). .,- 2? Multi plíg uese por el expopente de !a potestad, y el resultádo sera el logaritmo de la expresion elevada á dicha potestad. _ ' t 3? Búsq_uese en las tablas el número correspondiente (a_rt. 307), y dicho, número será la potestad de la ex-. pres10n. 327 Ad'Vertencia. Esta regla es un co'rolario de lo dicho (art. 209y ·310); y desde luego_se advifrte, que si se trata de elevar al cuadrado , el escribir el logaritmo dos veces y sumar las dos partidas equivale á mutiplicar por 2. ~s excu'sado el poner .ejemplos de una operacion tan sencilla. Problema VII'!

328 ·Ex~raer la raiz de cualquiera expresion por medio de los '/oga1"itmos. • . . -· ,. , ,, f . Resolucion. r? Determínese el logaritmo de la expre-,, . siotLpropuesta por Jo dicho (art. 303, 310 ó 323). • ··· r 2~ · Si la 'característica es negativa y no es divisible

TRATADO

108

sin residuo por el exponente de la potestad cuya raíz se ha de extraer, se le agregarán las unidades necesarias para q_ue lo sea, y se pondrá igual número de unidades positivas á la izquierda de la mantisa (art. 296). -1 3C? Se partirá el logaritmo de lá expresion por el exponente de fa potestad cuya raiz se trata de extraer, y el cuocrente será el logaritmo de la raiz . ./· 4C? Se buscará en la tabla su número correspondiente (arf. 307); y dicho número será la r;:Jiz que se trata de extraer. . . (823'5xo'o39)½ E¡emplo I •0 Sea la exp1-es1on x= ~ 4' 397xo' 8 3 · El logaritmo de la expresiou fr,aocionaria se halló (art. 325). Partiéndolo por 2 : esto es, tomando su mitad, se tendrá el logaritmo de .Ti y su número correspondiente será el valor de .r. Logaritmo de la expresion ........... 0'9444936 x= 2'967 ................. L .............. 0'47.22468 329

Eiemplo

2. Sea la expresion x= ( ·.. -., ..'.>42X0 1 5 • En el artículo 325 se halló ............ L .....•...... -3-+-0'7670039.

Para que la característica negativa sea divisible por 2 (que es el exponente) se transformará en ......... L ......... -4-+- 1 '7670039.

x:0'07647 ...................... L ......... -2-+-0'8835019 Ejemplo 3.0 Extraer la raiz cúbica de la expresion 0'473. Desde luego se ve que para que la característica negativa sea divisible por 3 (que es el exponente) se debe escribir el logaritmo asi

La raiz

0'473

······"·· L .......... -3-1-2'674861 I I -+-0'8916204

cúbica ...... -0'7791 .......... L ......... -

APENDICE PRIMERO,. QUE CONTIENE ALGUNAS APLICACIONES DE LA REGLA DE TRES AL USO DE LAS TABLAS.

330 Sea J, L, N, P &c. una serie ó continuadon de cantidades correspondientes á otra serie j, l,.n, p &c.; y suponga1Ílos que las diferencias entre los términos de la serie primera sean iguales ó casi igualesi ,y que les suceda lo mismo á lo~ términos correspondient_es. de la serie se• ·

DE ARITMÉTICA. I 09 gunda. Esto equivale á" suponer que tres ó cuatro términos sucesivos .de cada serie no distan mucho de estar en progresion aritmética. _

331 En tal caso, la diferencia entre los términos L y P será dupla ó casi dupla de la que hay entre los tél'minos L y N, y lo mismo le sucederá á la diferencia entre l y p 1·especto á la diferencia entre l y n. La di• ferencia entre J y P será tripla ó casi tripla de la que hay entre L y N; y lo mismo le sucederá á la diferencia entrej, y p respecto á la diferencia entre l y n. De estas consideraciones resulta (art. 225, 230 y 232; que será N-L : P-L : : n-1: p - l ; y N-L : P - J- : : n-1: p-j &c. ; y en general.

332 Las diferencias entre los términos de la primera serie se podr_án suponer proporcionales con las diferencias de los términos correspondientes de la segunda sene. 333 De este principio resulta el método general para determinar el valor de término intermedio m de la se• gunda serie j, l, n &c. correspondiente al interm'e dio M de la primera serie J, L, N &c. comprendido en la· siguiente regla. . i <? Hállese la diferencia entre los dos términos L y N de la prin_iera serie, y se tendrá el primer término de una proporc10n. 2? Hállese la diferen.cia entre el medio conocido M y el antecedente ó siguiente L ó N, y se tendrá el segundo término qe la propordon, homólogo del primeroL 3? Hállese la diferencia entre los dos términos l y n de la segunda serie, y se tendrá el tercer término de la proporcion, que es el resultado conocido. 4? Redúzcanse las cantidades homólogas á una misma denominacion , y el resultado conocido á una denominacion cualquiera, y esta será la del cuarto término, que se halla por la regla dada (art. 251, núm. 1?). 5? Dése al cuarto término el nombre de correccion, y con ella determínese el término intermedio m segun se manifiesta en los. dos námeros siguientes. 6? Si se ha hallado el segundo término ó segundo dato (núm. .2'?.) tomando la diferencia entre el foterme-

110

TRATADO

dio M y el antecedente L, súmese. la correccion con el primer término l de la serie segunda si la progresion l, n, &c. es ascendente, y réstese la correccion. de dicho primer término l •si la pt0porcíon es descendente. 7'! Si se ha hallado el segundo término ó ségondo dato (núm. 2<?) tomando 1~ diferencia en.tre el intermed}o ~ y el siguiente~, réstese la. correcdon _del segundo termmo n de la sene segunda si la progres10n l, n &c. es ascendente; y súmese la correcdon con dicho segundo término n si la progresion es descendente. 334 Ad,vertencia. Siempre que los dos términos l y n son de distinta especie, el tercer término de la proporcion (núm. 3<?) es . la suma de los valores numéricos de l y n, porque el segundo término n es negativo (art. 72 y 9 r ). La progresion se considera en dicho caso como descendent~; y si m result~ nei-ativo. es señal de q4é es de la especie del segundo termrno n. . .., ' E :

Ejemplos. _.

r' r'

,1-,!;. - 1

·¡

r. .

Jr1:..d,.. •

. ~35 En los libros intittifados Almanaques náuticos, EJtmérides astronómicas ó Conocimientos de tiempos se halla lo que los Astrónomos llaman la declinacion de-l sol correspondiente al tiempo de se'r medio µia enJel lugar para que est~ construido ef almanaque. ~o me1ios días forman la sene J. L, N, P &c., cuyas diferencias exactamente 'iguales son, un día, 24 horas, ó 1440' :· y las declinaciones forman la segunda _seriej, Z, n, p &c., cuyas diferencias corrtspondiei;ites á tres o cual.ro medios días consecutivos son casi ighales ··entre sí. 'Bajo de este supuesto ser~ muy f~cil el hállar la dec}inacion m correspondiente a cualq_u1era hora M del dia por la regla dada• y se tendrá presente que en este caso el primer· término de la propordoi:, (ar;- 3-~ 3, núm. 1<?~ e? igual á ~1: dia ó 24 horas reduc1~as a mtnuro_s~1440·. sierppre gue se quiera expi:esat el tiempo en mmutos y de91::1~les de minuto.

DE ARITMÉTICA. I I1 Ejemplo, r .0 Hallar la declinacion del sol para cuando son en Paris las 3h ....... 1 6' ......... I 4 11 de la ta,1,·de del dia 8 de Abril de 'i: 803.

a·

· ec1··· · · e1 8 'á me 10 a·1a 6º s 7 , . ................. 02 11 .'n 1nac1on •Declinacion el 9 á medio dia r,¡, ==. 7 .•.. ......... 1 9 ................... 2 8

.......,. ....

Diferencia ..•....•.•........ n,--l= o ................ 22 ............... 26, que es= 134611 ~Este'.será:e1 tercer término delaproporcion (art. 3'3'3, núm. 3.0 ) . En cuant.o al segundo (art. 3'33, núm. 2. 0 ) será igual á los minutos que han mediado desde las cero horas , ó medio dia, hasta la hora propuesta: esto es, que dicho segundo término es M-L=3h ..... , I 61..... 1411=19612 •. Por consiguiente se dirá. 1

1440 1 : 196 1

2 : :

1346 11

: :r:

= 183 = 0°........ o3 11

1......... o3"

El término antecedente es ........ l = 6 ........ 57 ......... 02 t•

El que se busca es .................. m= 7° ........ oo 1......... o5 11

Éjemplo 2. 0 Hallar la declinacion correspondiente á las 3h .... 16 1.. ,.. t 4' 1 de la noche siguiente al medio dia del 8 de Abril. Tomando por se• gundo término de la proporcion (art. 333, núm. 2. 0 ) la diferencia entre el medio ·conocido y el antecedente , todas las cantidades serán las ~smas del ejemplo 1.º, excepto dicho segando término l\'l:-L, que es igual á 3h ........ 16 1........ 1411_. mas las 12 horas que van desd.e el medio día á la media noche: esto es, que dicho segundo término. se1·á. I 5h ....... 1 I 6 ........ I 4 11 =916' 2; y por consiguiente se dirá.

=0°........ 14 El término antecedente es ...... != 6 ........ 57

14401 : 916'2:: 134611 : :r= 85611

1 .......... 16·/L

.......... 02

El que se busca es .......... , .... , m==. 70..:..... 1811 0 Ejemplo 3. Supongamos que se quiere resolver el ejemplo 2° tomando la diferencia entre el término intermedio M y el siguiente N. En tal caso serán las mismas las cantidades. de la proporcion, excepto el segundo término N-M que representará las horas que van desde las 3h ..... 16' ..... r 411 de la mañana hasta el medio dia siguiente. Dicho valor se obtendr~ restando la hora pronuesta de 1 2 horas, y resultará N-M =8h..:... ,.431.......46 11:=523'8. Por consig_uiente se dirá. I 1, 1 ..........

14401 : 52318 : : 134611 :x.=489 11 6 -- oº; ...... , 08 1 ......... 10 11 El término siguiente es ........... 7 ....... 19 ......... 2& El que se busca mes ............. 7° ...... 11 1 ......... 18'' Ejemplo 4. Hallar la declinacion d el sol para cuando son en Parí, las 5h ....... 2'3'........ 3511 de la tarde del 26 de .Julio de 1803. 0

,Declinacion el 26 á medio dia 1=19°............ 371.... , ..... 52 11 Declinacion el 27 í medio dia n= I 9 :........... 24 .......... 4t: Diferencia ................................ 1 - n ......... , .. 13 .........

1I ,

que

112

TRATADO

es= 791 11 , ! este será ~l v~lor del tercer término de _la proporcion. El segundo sera 5h ..... 23 ..•••• 35 11 =3231 6; y se dirá 1440 1 : 323'6:: 791 11 : x=177"7=-oº ........... 02' ............. 58" El término antecedente es •.• l = 19 .............. 37 .•....•......• 52

E-1 que se busca es •.••...•.... m = 19º........... 34' ............ 5411 Ejemplo 5.0 Hallar la declinacion del sol para las 5h •••... 23' .•.. 35" de la mañana 5igniente al dia 26 de Julio de l 803. Todos los términos serán lo~ .mism.os del ejemplo anter,ior ! ex~ept~ el segundo, que tomando la d1ferenc1a N-M con el termmo siguiente de la progresion es= 11 ' I 2h -(~h........ 231...... 35 11 )=6h ....... 361 ........ 25 =39614, y por lo tanto se d1ra 144o': 39614:: 791 11 : x= 217 11 8=0°........... 03 1............ 38" El término siguiente es.......... n = 19 ........... 24 .....•...... 41 El que se busca es ................ m = 19°.........•. 28 1............ 19 11 Ejemplo 6. 0 Hallar la declinacion del sol para cuando son en París las 6h ..•. 5o 1 de la tarde del 21 de Marzo de I 803. Declinacion el 21 á mediodia l= 0°........... 01 1............. 28 11 Declinacion , . 11 del 2:,. á t medio dia} = - o .......... 2:,.- ............. i3 h ac1a e a o opues o n .......... .

--------------

Suma de los valores numéricos} 31 11 ·f ) . 1 = - o0 ••••·•·••• 2 ............. 4 I que ( a, • 90 es-n- ....... Segun esto se dirá 1440: 4ro':: 1421 11 :,: =40411 5 =-0° .......... 06 1 ........... 4511 El térmi110 antecedente •.•.... l = o ........... o 1 ........... 28

· El que se busca (art. 88) es m = - o º .....••...• 05 1••••••••••• 17 11 esto es, de la misma especie que la del medio dia del 22 de Marzo. Por el mismo estilo se hallará que la declinacion correspondiente~ la una de la tarde del 21 de Marzo es (1 1...... 28 11 )-59 11 .=oº ....... oo' .•••.. 29 11 , de la misma especie que la del medio dia del dia :,. l ; y que la correspondiente á las T I horas de la mañana siguiente al medio dia del 2 1 ·es=-(22 1......... 1311 )-+-59 11 =-oº....... 21 1........ 1411 : esto es, de la misma especie que la correspondie11te al medio dia del 22.

336 Si se quiere hacer uso de los logaritmos para hallar el cuarto término de la proporcion , bastará tomarlos con cuatro ó cinco cifras de mantisa; y el problema se- resolverá sumando el 'complemento aritmético del primer término con los logaritmos del segundo y tercero, y buscando en las tablas el número correspondiente al logaritmo de la suma, que será el valor de x. 3'37 Para mayor foci1idad conviene tener presenté, que cuando el primer término de la proporcion es 24 horas reducidas á minutos, se ha• ce mucho uso del complemento aritmético de 1440, que es 6'84164.

; '338 mucho

- 339 mucho

DE ARITMETICA. 'll>2 • ,· . es I .2 h oras re d uc1.d as a' mmntos, . . . . se h ace :J termrno S1. e1 primer uso del complemento aritmético de 7.20 , que es 7' I 4267. Si el primer téi-mino es 6 horas reducidas á minutos, se hace uso del C'Jmplemento aritmético del loga1·itmo de 360, que es

7'4437o. · 340 Si el tercer término fuese 3 horas reducidas á segundos, se haria mucho uso del loga_ritmo de 10800, que es 4'0334.2. _ 341 La regla general (art. 333) se aplica á las tablas de logarit.:mos, cuando el número propuesto ó que se va á bu~car lil'ne mas cifras que el mayor número ele las tablas de que se Ji.ace uso. Para esto con.:. viene tener presente que el agrl'gar ceros á la derecha de · los númerós no altera las mantisas de sus logaritmos: esto es, que la mantisa de 4-356 es la misma de 43560, de 435600 &c. Por consiguiente , cualqujera que sea el número propuesto M, ó que se va á buscar m, se puede conaidera1· que su mantisa está comprendida en la tabla, considerando á la ,derecha de los números de dicha tabla los cel'os necesarios para que e&.to ae verifique. · . . 34.2 V. g. para hallar el logaritmo de ·.287537 M en la tabla que tolo alcanza al número i cooo, se escribirán desde luego las 5 unidades de ca1·acterística : y considerando dos ceros á la derecha de los números de la tabla , serán L=.287 500, N::.287600: l será la mantisa de ,:¿87500, que es la rnism.1 de .2875: n la de .287600, que es la misma de .2876: el primer término de la proporcion será N-L= 100, el 't egui¡do ·M -:-'L-= 37., el tercero n-1 , y el cuarto x manifostar;í las •cifras que deben a_gregarse á la mantisa l para obtener la que se trar:a de· determinar. . 343 Si dada la mantisa M se pide el número m con mas cifras de las .que contienen los números de la tabla, L y N serán las mantisas enlr~ ,que está comprendida la propuesta M, y los números l y fl _serán los correspondientes á las m~ntisas L y N, con los ceros necesarios para .cómpletar e·l número de cifras del número m que se trata de determinar. 344 Como en estos casos uno de los té-rminos de la proporcion es l~ ,unidad con ceros, el problema se resuelve con mucha facilidad; y se omite el aclarar con ejemplos la solucion ele estos problemas_, resp«1clo á que puede prescindirse de ellos en la práctica ordinaria de la navcgacion. I.

APENDICE II.

QUE CONTIENE ALGUNAS APLICACIONES DE LAS REGLAS DE SUMAR, RESTAR, Y SACAR LA MITAD DE UN NUMERO ::. PROPUESTO.

345

Un ,navío que tiene !l.6-;- pies bajo del agua se ba de ~oioca~1

ií:t un ~itio en c¡ue la p-rofundi<l~d del mar son 5 - -hrazas ; y se preguata, L

II4

TRATADO

cuánto le faltad para tocar en el fondo. Ante todas cosas se' reducirán 1as dos cauti~ades á pies y décimos; y se dirá que el calado del navío son -26'5 pies, y el fondo '33 pies. Restando la primera cantidad de la segunda, resultará que la quilla ( que es la parle mas baja del navío) dis~ lará del fondo 6' 5 pies: esto es, seis pies y medio. 1

' '346

Un navío que tiene 28 - -pies bajo del agua ha' de pasar por 2 1 nn sitio en que la profundidad del mar es de 4 - - brazas; y se pregtm2

ta á qué distancia del fondo quedará su quilla,. Reducidas ambas canti~ da des á pies y décimos, 1·esultará el calado del navío= 28' 5 pies y el ,fondo=27 pies. Restando la primera cantidad de -la segunda, resultará _la distancia de la quilla al fondo-1'5 pies. Esto es, qt1e el navío pro-. 1 fundizará I - -pies mas que el fondo; y por lo tanto, no podrá pasar, 2

á menos que no se le quite peso , en términos que su calado disminuya de un pie y medio.

· 347 Un navío que se hallaba ayer á medio dia á 26°.••• '38 1...... '35 11 de una linea, se halla hoy á 29 .. ... '32 1 •••••• 5oll de dicha línea; y se pide lo que ha navegado sepa1·áudose de ella. El problema se resuelve restando la primera cantidad de la segunda, y resulta que la distancia nav.rgada, separándose de la línea son 2°...•. 541••••• I 511 , que reducidos á minutos (art. 181 y Jll.2) son 174125. 348 Un navío que se hallaba ayer á medio dia á 1°....• 161..... 45 11 de distancia de una línea hácia un lado, se halla hoy á. 2°..•.. 28 1..... 4011 de_distancia de dicha línea hácia el lado opuesto, y se pide la distancia navegada. Es evidente que el navío ha atravesado la línea, y ladistaz:cia navegada será igual á la suma de las dos distancias: esto es, '3°..... 45 1••••• 2511 , que reducidos á minutos (art. 181 y I 82) son 225 142. .. • '349 Un navío que se hallaba ayer á 4'3º.•..•• 261•••••• '35 11 de una línea, ha navegado 4°•..... 121. ..... 5o11 acercándose á ella, y se quiere saber á qué distancia se hallará de dicha línea. El problema se resolve• rá restando la segunda cantidad de la primera, y resultará dicha distan• cia = '39°... ...• I '3 1...... 45 11 • 350 Un navío que se hallaba ayer, 4º··•·•· .28 1 •••••• 4o'1 de una línea , ha navegado 5°...... oo' ....•• 5o" acercándose á ella, y se quiere saber á qué distancia se hallará de dicha línea. El problema se resolveré, r,eslru:ido la segunda cantidad de la primera (art. 90), y el resulta_d_9 ierán-'32' ...... 10"=-'32 1 í7. El signo negativo manifiesta que el na.:. vío ha pasado al lado opuesto de la línea. 35 r Un relox está atrasado J h ...... 261••.••• 4'3 11 , y se quiere saber la hora que es cuando dicho relox señala las 7h ...... '36 1•••••• 29 11 • Es evidente qqe el problema se resolverá sumándole á dicha hora el atraso d~l ,relax; 'y resultará que en realidad son las 9h ...••. 031. • : : •• I .2 11• ' · ;.35.2, Se quiere saber la hora que es cuando ,~! relox del artículo an. terior señala las I 1h ...... 58' ...... 46". El problema se resuelve como el

DE ARITMÉlJOA.

I IS

de ·d icho art/c;ulb ,:Y eb·est\.ltado _son. 13h..:, .... 25':;.... '29 1( ., P.ero como ale llegará las doce se cuentan las horas de nuevo: se deberán rest¡¡r, I~ horns ie :esta. c,anlidZ1.d , y í·esu}Japi,que. en . reali.d'ad es la 1 h.. ,.•. 25 1, .....

29".

}

•..

• 353 Un relox está adelanta¡:lo 2h.,..,. 031....... 15 1 ; y . se quiere saber la hora qué es cu.indo dicho relox señala las 5h ...... '38 1•.• . •• 1 '3 11 • El problema se resolverá restándole á la rhora del relox la cantidad en que ·está adelantado, y, resultará que en realidad es las '3h....... 34' ...... 58'1 354 .Se quiere sabe¡, la hora qúe es cuand·o el mismo relox del artíeulo anterior señalac la ,rh, .. ;.. 08 1• .-.;••• -10 11 • El ,pr0blema •se •resulve,r,á., como d de dicho artículo; pero como el subtraendo es mayor que el minuendo, resultará una cantidad negativa (art. 90): esto es, una, ho1:a. contada desde las doce hácia atrás. Por ·esta razon, el problema se resuelve con mas facilidad contando la hora del relox, no desde las doce, inmediafas, sino desde las doce anteriores , lo que SP. consi~ue agregán,- _ dole· 12 horas. Se dirá pues que la hora del relox son las 1 '3h ...... 08 1.... . . J.o'/J,, y restándole el adelanto, resulta' que en realidad son las I ¡h,,. ... . 04 1...... 55" •. 1 . . . • j 355 Un rel~x está adelantado lb .... , 37 1...... 4'3 11 , y se quiere saber la ho1:a qu.e. señalará cuando 'sean en xe.alidad las . r 1 h,.,. .. 28' ...... 5611, Es evidenle que el relox señalará una, hora .ma:ror que la verdadera en todo su adelanto, P.or consiguiente se le deberá s11mar dicho adelanto, y resultará-- que el relox señalará las I 3h...... ob 1...... '39 11 : esto_es, la I h ......

06 1: ••: .. ·39 11 . '

••

.. •

356 ·tTn relax esfá atrasado 1h • .-.... 47 1...... 59 11 , y se ·quiere saber la hor,a que señalará cuando en .reali.dad sea la I h...... I 41, ..... 48" ~e la Iioche. Es 'evidente que el 'relo~ señalará ' una hora rnerior que la veri:la.,. dera en 'todo •Ja atraso: Pot consiguiente, se resolverá el problema ri:s---i fando el atraso •de lá. hoi·a verdadera ·; y como esta· es menor que dicho ' atraso, para evitar el que resulte una hora negativa se le añadirán: 12· horas, y se dirá que la hora ve1·dadera es 1'3h...... 141 ...... 48", contados desde medio dia. Hecha la resta, resulta que el relox señalará las 11h ......

26 1...... 49 11 • •

~57· Se quiere saber el tiempo que ha pasado desde el 1 2 de Marzo á las 3h ...... 48 1...... 5o 11 de la tarde, hasta el 7 de Julio á las 2,h ...... 131••••.• 20" de la tarde. Ante todas cosas se deberán contar los dias desde el mismo orígen: esto es, desde principio de Marzo , lo que se consigue sumando los 31 de Marzo, 3o de Abril, '3 r _de Mayo y 3o de Junio con los 7 dias .••.• 2h...... J 31.. .... 20 11 de Julio , y resultarán J 29 dias ...... 2,h ...... 13'...... 20 11 • Restando el primer número de días del segundo, resultará que han pasado I 16 días ..... 2,2h ...... 241 ...... 30 11 • 358 Suponiendo que se cuentan los días desde medio dia, se pide el tiempo que ha mediado desde el J 6 de Agosto á las 3h ..•.. 28 1...... J 611 despues de media noche, ha3ta el 25 de Octubreá las 4h ...... 38 1...... 56" de la tarde. Para contar los días desde el mismo origen, se deberán añadir I 2 horas á la hora de Agosto ; y los 3 r di.as de Agosto y 3o de Setiembre se deberá.u agregará loi 25 de Octubre. Hecho esto, restando

j , 16

e'i primer mí'i:neró' tle to 1 ••••••

40 11 •

·' :' T:R.::ATXDO

·, 'T

dias del segundo, resultar1n- 69 dtas- ..... 151í:: .. .:

•

•, 35 9~ Se sabe que •al ser medio clia , -un•relox seiíalaba uua hol'a 'tDe·dia entre ~as 8h ......, ?9 1•••••• 40 11 de _la mañan:i y l~s 3?•··•·· I 6_1•••••• •• 19" de la tarde; ':{ sé quiere saber la hora que señalaba dicho relox al ·heml'º de ser" medio dia. -Ante' todas cosas será menester · contar las dos hoJ Ilas desde nn mismo orígen ; esto es, desde la media noche anterior; Y· .p ara e'~to se afíadirá_n . r 2 horas á -la hora ele la tarde. Hecho. esto, se re-sol verá el problema , snmando• las dos horas , y sacan·d o la mitad de la shmal (ar.t. ,, 239,, núm. 4. 0 y 'art. 2,06.) •; y resulta1iá que al s·e r medid dia se.ñ alaba él r elox las 'nh, ..... 42 1... ::; 59 11 5. El atraso del relox se,.a J.l'á ,lo va de -esta hora hasta las doce: :bto ,es, 17' ...... 00 11 5. , ·· 360 Se sabe .qne al ser medio· dia señalah'a el relox una hora media' c!ntre 1as ,r, th ......: 47 1••• . •• 35 11 y las 4h, ..... 12'1•. . ..• · 54 11 ; y se• quiero: saber la ·hora que señalaba dicho relox al tiempo de ser medio dia. Como. para· resolver el problema se .han de agregar J2 horas •á la hora de la1 ta1·d.e y •despt1es se han de sumar ,las dos horas, y se. ha de tomar la :&i,.;'. tad d e 1~ suma , se facilita la solucion o¡ierando como sig ue.. · .', )

qw,

Horas que se han de sumar.... 1 2h.......... 00 1 .......... 00 11 Hora de la mañana .............. ti .:....... 47 .......... 35 Hora de la tarde...... .......... 4 ·1 2 r •• .-....... 54

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St1ma ............................... : ...• 28 ......... oo .......... 29 .. Semi~uma que es la hora del relox. 14 .~....... op : ........ 14'5 -

•

Como las horas solo se cuentan hasta .J 2 , tomando el exceso de di-, cha hora sobre 12 horas, se dirá que el relox sejjalába ·1as .zh ... :••.: 14 11 5 en el momento de ser wedio dia; y e~ta cantidad será.,1.1, adelanto. .

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CURSO DE

ESTUDIOS

ELEMENTALE -S

· . .ll.-DE MARINA, •

ESCRITO DE ORDEN DE·s. M~

POR

no-N

GABRIEL

CISCAR,

DIR.ECTOR QUE FUE DE L..4. ACADEMIA DE GUARDIAS MARINAS DE CARTAGE!{A,

TOMO U. QUE CONTIENE EL TRATADO DE GEOMETRÍA.

CUARTA EDICION.

MADRID EN LA IMPRENTA REAL ANO DE I 832.

INTRODUCCION.

Áunque las proposiciones ·de Geometría de que se hace uso en la práctica ordinaria de la N avegacion son en corto número, no se puede demostrar su certeza sin establecer muchos principios, que sirven de base para -la deduccion de las proposiciones usuales. Estos mismos principios son de la mayor utilidad, en cuanto preparan el entendimiento para discurrir con acierto sobre las materias facultativas; en términos, que aquellos que hayan aprovechado en su estudio, se hallarán en estado de re'!" solver por sí mismos las dificultades que se les presenten, y podrán tomar el mejor partido en algunos casos que no se especifican en los Tratados, en 'atencion á que en - todas las Artes y Ciencias es preciso contar con el buen juicio y discernimiento de los que las profesan. Se han puesto de letra menor los ejemplos, algun_as aclaraciones menos esenciales, y los conocimientos nece-sarios para la forrríacion de los planos de puertos y costas, respecto á que no es preciso que se exijao. de todos los que se dediquen ~ la práctica del Pilota ge, sin embargo de su _mucha utilidad. , . Se han distribuido las materias de este Tratado en diez y nueve capítulos, cuyos títulos manifiestan la clase de conocimientos contenidos en cada uno de ellos. Pero como el objeto primario d_e todo método es la claridad, en beneficio de esta se han establecido y demost-rado tal cual vez como lemas algunas verdades, que ,wnsideradas aisladamente debían ocupar un lugar distinto de aquel en que se han puesto por razoñ de sus aplicaciones. En el capítulo I, bajo el título de nociones generales, se manifiesta el modo de concebir, representar y com_parar las cantidades que forman el objeto de la Geometría.

I:NTRODVCCIO~ ..

En el c_a pítulo. II se _trata de las lineas, distingtúéndolas en. rectas, angulosas,, curvas y m.fatas;_ y se dan las. ideas legítimas de las tangentes. En el capítulo III' se. trata de 1-as figuras en general, con: e-1 objeto. de anticipar sobre esta· materia los cono.c imientos que facilitan la inteligencia- de los capítulos siguientes, y evitar las circunlocuciones. E.n el capítulo IV se tr.ata del ángulo y de 1a circunferencia,, en atencioo. á que estas dos cantidades de clases tan distintas,, tienen una dependencia recípr.oca, gue. obliga á tratar. promiscuamente de u.n a. }\ otra, para. fa:-· , c.ilirar su conocimiento_._. En el capítulo. V se trata de fas líneas perpendiculares; y se manifiesta el uso gue puede hacerse de sus propiedad.es para dividir. por mitad una recta y un arco de círculo; y para determinar. el centro.de una circunferen~ cia gue debe pasar por tres puntos.dadbs. Verdad es gue· este problema no tiene una aplicacion directa á la prác.:tica ordinaria de la navegacion; pero los corolarios que. se deducen de su r.esolucion son de mucha utilidad para demostrar algunas propiedades de_los círculos. de la esfera, de que.se tratará en la Cosmografía. Esta reflexi8n se extiende· á otras proposiciones, que puede parecer que estan de mas, cuando no se tenga presente el encadenamiento. de los principios. en.que se funda.la teoría de.las , operaciones mas comuries de la Navegacion~ En. el capítulo VI se trata de las líneas paralelas. Se: demuestran. las propiedades mas esenciales de dichas-lÍ:neas; y de ellas se deduce la, relacion gue tienen los ángulbs formados_. por dos rectas, . con los .formados por sus. perpendiculares, y la igualdad de los arcos de un mismoJ cír.culo mterceptados por dos cuerdas-paralelas. En el capítulo VII s~ trata de los ángulos inscritos. Se demuestra· gue la medida· de dichos ángulos es la mitad del arco comprendido entre los lados que los forman; y · se. deducen de este principio algunas cons.ecuen:cias _que tienen: aplicaciones.a! Pilota ge.

JNTRODUCeION.

En et capítulo VHI se tt:ata de los triáhgulbs en general. Se demuestra que StlS tres ángulos junt0s valen 180°; se explican las denominaciones con que se distinguen lGs triángulos,. y se. demuestra fo dependenci;i que hay entre los valores de los lados y los de sus ángulos opu~stos. De estos prihdpios · se deduc~ que la cuerda del arco c;Je 6uº es igual al radio del -círculo. Se demuestra la relacion entre e1 ángulo externo y sus dos internos opuestos., y, se manifiestan todos los casos en que se verifica Ja igualclad de los triángulos. - En el capítulo lX se trata de las figuras semejantes. Se ma-ni'fiestan las circunstancias que deben concurrir indispensablemente para que se verifique la semejanza de dos cantidades geométricas-;. y se explica con extension el modo de comparar entre si las Líneas co,rrespondientes de las figuras semejantes. Se establece un principio general,. del cual se deducen todGs los. casos cm que se veri:mca fa semejanza cle las figuras y sólidos de cualquiera clase; y se hace fa aplicacion de dicho principio á los triángulos. Se demuestra- la proporcionalidad entre -las po.r.ciones cwrresporn.dientes de los dos lados de un triángulo,- interceptadas por varias rectas ·paralelas a-1 tercer lado; y. la- relacion que hay entre el cuadrado de la hipotenusa y los cuadrados de. los catetos 9.ue forman el. triángulo rectángulo~. En el capítulo X se trata de fos cuadrilateros y· po:.. lígonos, Se manifiesta, la: clasificacion de todas las figuras planas que constan de cuatro lados, se demuestran1 las propiedades mas esenciales de 10s paraleló gramos, se da una idea general de.. los polígonos,-y·se. expresan sus _denominaciones.. En· la· letra· mep:or se manifiesta que el círculo, es. un infinitángulo regular, se explica el modo de. det~r-minar la relacion del, diámetro con· la circunféren-' da, . y se füdican- las aplicaciones que pueden hacer-se de ella para la solucion de muchos problemas. Eh el. caP.Ít::~lo XI se trata de las, superficies planas. Se manifiesta_. la reladí:m que hay entre l~s superficies de

INTRODUCCION'.

los rectángulos, y sus bases y alturas: se explica lo que se entiende por unidad .superficial; y se demuestra el mo• do de determinar las_superficies de los paralelógramos, de. los triángulos, del -c írculo, ·y de toda figura plana rectilínea. Se deduce la expresion de la superficie de un trapecio, se explica la dt:terminacion aproximada del area de cualquiera figura plana curvilÍI).ea, y- se ·expone un método -sencillo para determinar, al poco mas ó menos; el area de la seccion horizontal de un navít> por la lumbre del agua. Por últiíno se demuestra, que las super• ficies de todas l?s figuras y sólidos semejantes, estan entre sí como los cµadrados de sus dimensiones homólo• gas; y se indican las aplicaciones que pueden hacerse de este principio interesante. Los que quieran ceñirse únicamente al estudio del Pilotage, pueden pasar este capítulo por alto. En el capítulo Xl-l se trata de las líneas que se hallan en diferentes planos. Esta doctrina es muy interesante para facilitar la inteligencia de la Cosmografía, y no puede entenderse bien sin algunas nociones de perspectiva, que los Maestros pueden exponer de viva voz, p~ra que los discípulos se impongan en el modo de representar sobre un plano los puntos, líneas y figuras que se hallan en planos diferentes. Es muy suficiente lo que sobre este particular se advierte en el artículo 15 del Tra• tado de Trigonometría esférica, escrito para la instruc.. cion de los Guardias Marinas, é impreso en Cartagena en 1796. Se tendrá presente el substituir la expresion de ojo det obser'Vador á la de punto de distancia, como se ad·vierte en el artículo 218 de dicho Tratado. En 'el capítulo XIII se trata de los sólidos en general. Se dan las definiciones de los sólidos mas usuales, se explica. su forinacion, y se demuestran algunas propiedades de la esfera, muy interesantes para facilitú la inteligencia de fa Cosmografía. En el capítulo XIV se trata de las solideces. Se explica lo que se entiende por unidad de solidez, y el mo•

· INTRODUCCION.

VII

do de reducir de una especie á otra las cantid~des de esta clase. Se. demuestra et moda, de: determinar las. solicideces · de ~s. prismas,. se ~stablece que las. soli9eces, de; todos, los. ·cuerpos semej,antes, estan entre. sí como. los. cubos. de_sus. dimensiones, homófogas ;. y se manifiestan con urn ejemplo fa5; aplicaciones que pueden hacerse: d~ este principio, interesante á la práctica de la Navegación. Se expone _el modo, de determinar~con aproximacion la soli~ez. _de un.· cuerpo irregular;, y se indican las· áplicaciones de este mé. todo á la. determinacion de fa solidez: de una seccion del navío·, comprendida entre fa, lumbre· def agua y un pla-· no horizontal,. distante de ella menos de: clos •pies y me-· dio háda la parte superior ó hácia -la inferior.. Pueden pasar enteramente por alto este capítulo los que se dedi~uen úñicamente á la práctica del ·Pilotage.. El- capítulo, XV contiene las :nociones· generales· efe· Trigonometría plana· logarítmica .. Se definen. con preci-sion las líneas. trigonométricas, se demuestran. sus propiedades mas esenciales, ·y se explican la disp osicion y uso de las tablas, que contienen los. logaritmos. de. sus valores en partes del radio:. · ·, · En el capítulo XVI se trata de fa resolucion de los·. triángulos rectilíneos réctángulos por medio de los loga-· ritmos. Se. tendrá presente que toda la doctrina· de este capítulo- es muy interesante;,, y los Maestros deben -poner á los ·discípulos. err estado ·de aplicarla, faciijtándo-- les su inteligencia pot medio de los ejemplos. En el capítulo XVII se. enseña la resolucion de los triángulos. rectilíneos obliéuángu-los·, empleando los logaritm0~.. El primer teorema de este capítulo es el. único que tiene alguna aplicacion á la práctica -ordinaria del Pi.Jota ge; y pl.led-e ofrecevse el tener que• teourrir á los <lema~ cuando se tra'te de ºformar eV plano de un puerto 6 de una. costa. La· resólu.cion del 11íltiu¡o _problema es de . poco: uso;. y su demostra:cion- se ·pu'ede deducir de· fa Trig0nometría · esférica~,-_.segun se· manifiesta en el artículo 212: del Tratado,, ,impres9. _en Car--

VLH

INTRODUCCTON. ·

tagena en 179.6., para .la instr.uccion de los Guardias Marinas. · . -E l capítulo XVIII contiene .algunas nociones sobtae la Geometría práctica. El objeto es .e xponer las reglas mas precisas. para la exacta determinacion de los puntos y líneas o_blicuas., .Perpendiculares y paralelas .sobre el papel. Despu_es de los preceptos generales se hacen alg11mas advertencias sobre el buen uso de la regla. Se· demuestra el medo de comprobar este ·-instrumento, y las l:íneas tr.azad.as segun la direccion de su cant0; y se da 1:ma .idea del modo de representar .las lineas rectas sobre el terreno por medio de •piquetes. Seguidamente se :p0nen algunas reflexiones sobre los compases. · • Se dan reglas para tirar una recta perpendicular á otra con fa mayor precisioll' pqsible. Se trata de la escuadra, y se demuestra el modo de comprobar dicho instrumento , y las líneas trazadas con él. · Se exponen varios modos de tirar una recta paralela á otra de mucha exte.nsion sin emplear la secante. Se manifiestan los principios en que se funda la teoríá del instrumento que suele .Hacerse uso para tirar paralelas, y ·se explica·el modo de comprobarlo. · . Se expone con extension el modo de construir las esca.fas de partes iguales; y se demuestra la resolucion delos dos problemas á que se reduce su uso. Se explica el modo de dividir un semicírculo en grados, con diferencia de menos de medio segundo, por los métodos sencillísimos de Mascheroni, cuya demostracion, se oi:nite en atencion á exigir varios principios que abultarian mucho este Tratado. Se da una idea de los trasporta dores circulares de alidada, de que suele hacerse uso en las operaciones delicadas de levantar planos y oonstruir cartas. Se explica el modo de contar en dichos instrumentos (y en cualesquiera arcos graduados) las subdivisiones de los grados por el artificio de las diagonales y por medio de los no~ios.

INTRODUCCION.

Se ha omitido expresamente el tratar del cuartier, ó cuadrante de reduccion, en atencion á que este instrumento interesante merece expUcarse separadamente, por el mucho uso que se hace de él en la práctica del Pilotage. El capítulo XIX ·contiene las nociones sobre el modo de levantar un plano. Casi todo lo relativo á esta materia va de letra menor; y se reduce á la solucion de los · problemas particulares de que puede hacerse uso para re:.. solver el problema general que constituye el objeto de dicho capítulo. . _ La operacion del artículo 66 5 es de mucho uso en la práctica ordinaria del Pilotage. Se ha puesto en este lu.,gar para que se vea que es .un caso particular de un problema muy general; _y la cita puesta al fin manifiesta ·qu<: dicho caso particular puede demostr~rse con separac10n. Se termina el capítulo manifestando el modo de for:mar la escala de un plano que se ha construido sin ella; y se advierte que al fin del tratado del Pilotage se reunirá la exposicion de otras atencionés necesarias para le·vantar los planos con exactitud. · Seria muy conveniente el que los Maestros de dibujo se dedicasen especialmente á ejercitar á los Discfpuios en el uso de los instrumentos matemáticos, y en la resolucion de los problemas, que se explican en los dos últimos capítulos de la Geometría. Para que los Discí~ pulos se acostumbren á las aplic_aciones, y reconozcan prácticamente su utilidad, convendrá el que desde dos puntes distantes de la Academia observen los ángulos formadQ.s por las visuales que se terminan en los objetos mas notables, colocados fuera ó dentro de, la habitacion; y que sitúen los puntos expresados en un plano, segun los métodos -que se exponen en el capítulo XIX. Bastará que dichas operaciones se ejecuten al poco mas ó menos, observando los ángulos con un trasportador, ó con el cuadrante de reduccion, colocando dichos instrumentos á ojo en la posicion horizontal. 2

INTRODUCCION.

Sobre las citas hay que advertir.,. que la. abreviatu·ra Arit puesta entre paréntesis. y seguida de un ·n úmero es una cita al Tratado de Aritmética;_ y la· abreviatu~ ra art., colocada en los mismos términos i es una e.ita á la Geometría .. Las. citas. mani_fiestan los artículos, en que se haUan expuestos. los principios que sirven de. base á lo que se establece; y es inútil el recurrir á ellos. siempre que dichos ·principios se presentan á la jmaginacion. Por . esta ·razon se puede decir,. que sin embargo de haberse ~mit!do las citas á algunos principios que se han supuesto muy conocidos, ent~e las que ·se han puesto no deja de haber muchas que estan de mas. Pero ·esta· redundancia náda perjudica en un Tratado de Manemática por lo que se acaba de manifestar.. · _ Cuando se pregunte por el fundamento: de alguna proposicion, se debe satisfacer enunciando el principio, de que se deriva,. y demóstrándoló. si fuese necesario,. y no citando. los. números de los.artículosi que no c;onyie~c:: que se :aprendan de memoria.. · · · En .algunas, demostracforres ·se ha hecho uso de axfo.-. mas y corolarios. _n;my sencillos, que. no estan expresados. á continuacion de los principios de que se derivan, tanto para evitar_- repeticiones,_. como para. .manifestar prácticam~nte que los. principios establecidos. son útiles. por -: sí mismos,. y por- las, consecuendas que pueden deducirse de ellos en ·caso, necesario.. Los. tratados. de Geometría resultarian de un volumen excesivo,. y la. ciencia ,mas propia par.a formar el discurso, quedada reducida_á u1:1 ejercicio pesado y material de la memoria, si en _p~chos Tratados se expresasen extensamente todas las ·proposi-, dones de que puede hacerse uso.

TRATADO. DE GEOMETRÍA .. CA,PITU-LO PRIME RO. . ,NOCIONES GENERALES.

Geomef:,í~ es]a denda <le la ~x_tension. . .Todos d1st1~guen en una tahla o en un Iadnllo lo. larg@, lo ancho y lo grueso. A ,estas tres dimensiones llaman los G,eómetras longitud, .la.tUud >, y profundidad. La proft~ndidad ·suele Hamarse altura ó espesor_. , + ..3 Cuerpo ó sólido ó geométrico es todo lo que tiene las_ tres dimensiones de.longitud, latitud y profundidad.. -,+--

-1 2

Toa'as las cosas materiales tienen dichas tres dimelllliones; y aunque generalmente se da el nombre de longitud á la mayor de ellas, y el de profunctidi!d á la mep.or; los Geómetras rusan indistintamente de dichas qenominaciones.

4 - L~s c~ras.que terminan los cuerpos se llaman supetji'cies. La superficie es una .extension que solo tiene las dimensiones de longitud y latitud. ....t 5 . Los extremos ó bordes de las superficies se llaman lineas .. La línea es una extension que solo tiehe longitud.. -t 6 A la extremidad ó remate de una línea se . da el nombre de púnto. Er punto se ·considera sin latitud, longitud , ni profundidad; y es el principi9 .ó elemento-de la extension. -J...

7 Cuando se trata de determinar las losas que se necesitarán para enlosar un salon, 11nicamente se atiende á la superficie del salon, y se pres-· _ cinde absolutamente de la profundidad. Cuando se trata del ,camino · que hace la nave en una hora, se atiende únicamente á la longitud ó distancia, ain hacer la menor atencioa á la latitud ni á la 'profuodidad. Cuando se dice que en la cara superior de un ladrillo (fig. 1) abcd solo hay un puñ• to o que diste igualmente de las cuatro esquinas ·a, b, e, d; á lo que lfamamos punto no se le considera extension alguna. Esto hasta para que se conciba sin dificultad que la superficie, la lím~a y el punto, tales cuales ac han definido, pueden ser el objeto de la Geometría.

-r 8 Las líneas que se. señalan con tinta tienen mucha anchura ó latitud, y las líneas geométricas se consideran

TRATADO

en la mis!na division de lo, negro la línea material COfi --t-lo blanco del papel; y mas comunmente se consideran las líneas georoétricas en la medianía de las materiales: ~bien se pueden representar las. líneas con un hilo" en cuyo centro se imagina la verdadera línea geométrica de que se trata. Los puntos que se señalan con tinta tienen mucha longitud y latitud, y los puntos geométricos se consideran en el mismo. centro, de dichos puntos materiales. -t 9 Para designar, los puntos se ponen letras en sus in. mediaciones, y al tiempo de indicarlos con el dedo ó puntero, se deben seáalar los verdaderos puntos ,. y no las letras con que se denominan. + 10, Dos ó mas cantidades geométricas se dice que soll' totalmente iguales cuando t:ienen absolutamente el mismo tamaño y figura. 'j 1 x Se prescinde de la posicion de las partes iguales, con tal que, sin alterar su figura, se puedan colocar ambas cosas en la misma posicion : y tambien.. se prescinde de las propiedades fisicas, como el color, la dmeza &c. . 1 .2 Dos ó mas cantidades geométricas se .d ice que son sen-iejantes cuando tienen ·absolutamen~e la misma figura, aunque difieran en el tamaño . ...;-.13 Se tendrá presente lo dicho (art. u); y tambien conviene advertir que dos cosas pueden parecer perfecta-mente semejantes y aun ig~ales estando muy distantes.• de serlo en la i:ealidad.

: Tales son los. dibujos y estampas á que se da el nombre de 'Jli-stas· que parecen semejantes á los objetos que representan, cuando se ven de un modo· determinado. I.a semejanza aparente d~sapareee luego que los d9s objetos se comparan viéndolos por distintos lad0s-,

f 14. Do~ ó ma~ <::~ntidades geo~étri~as se di'ce 9ue son iguales ó simplemente. iguales cuando ttenen el m1smo tamaño, annque sea su figuFa -n:rny diversa-. r

•

· V. g. los huecos .,de.. un vaso y ·de ·una copa, capace-s de coutener la misma cantidad de ag~.r, ·se dice que son iguales. ·. · · ~

._,¡.;

' DE G'EOMETR.'IA. . -S If , ~-5se ,poeden ·Uamar iguales 1'.' semejantes dos ó mas

cantidades. que.- son , perfectamente iguales (art . .10, .r 12). + ,16 , Si dos líneas •ó dps superficies pueden colocait:se de modo que todos los pu11tos de la una coincidan eón _ los de.la otra, dichas líneas ó superficies serán totalmente iguales, Ta1ñbie11', si se supone que él lugar ocupado por un cuerpo queda vacío, y en di~ho lugar' ·se, pu ~de acomodar otro cuerpo que lo llene ex~ctamente , sin S!)brarle ni faltarfe nada-;los dos sólidos-de que se trata se-rán totalmente iguales. · . . + ,17 <Cuando·~ se prueba la -igualdad de,dos c0sás imaginándolas colocadas 'como se acaba de de<;:ir, dicen 19s _G'eómetras que ·s.e · prueba dicha igua,l dad •por superposicion;· ' ' ., .. ,,, r •t ' 1·¡· 1 -;.¡... i-8 'f 'Si dos lín~as·,. súperficies ó so-fidos· son t?ta~mente; i,gual€s, es evidente qúe se podrári sébreponet_.en los ité~minos que se ha €ípHcad6 eh el arfi~ulo -(6.: . "'. ': ;.¡:.. 19 Es e'vidente ·que·dos-ó mas "cdsas semejantes á una tercera serán semejantes entre sí. · 20 Para la inteligencia de muchas expresiones con. viene dar alguna ~d~a de l9 que entie~~en los Geómetras por irifinito. · · · ., Una cantidad se llama fini,ta cuando se puede expre- , sar en números su relación con las cantidades qµe son el objeto de nuestros se.µtidos; infinita cuando e~ tan grande; qµe por muchas que sean las o-ifras ' que se empleen, no se puede expresar•-su relacion con las cantidades fini.;. tas; é· ir.ifinitesz'mal .ó infinitamente :pequeña cuando no hay número con que expresar la relacion que tiene con• las cantidad~s finitas por su mucha pequeñez:· · ·· "~.; 1

.2r V.g. la extension de una pulgada se puede dividir .e n dos partes 6 mitades: Cad~ una de es!as mitades se pnede imaginar dividida e!'.! o,tra~dos , y as1 sucesivamente sm fin, de suerte que no hay núme!'o, por gran•_ d? que sea, qne pueda expresar el número de partes en qne se pueae 1ma- : gmar dividid.a dicha extension de una pulgada. S:e dirá pues que dicho" .. . , , número de partes es infinito. Al pas0 que se hagan .mas divisiones~ mas ·pequeñas serán Jas par_te_s, d_e ,s.uerte que si imaginamos dicha extension dividida en un infinito n\ímei:o de partes, estas serán i,ifiñitament-e peque'ñás:· · · ': ·

, TRAí:At>O ~, • ..¡,- 22 ... Se. tendrá presenté que las expresiones granfie y prqueno ,son puramente relativas, de .suene que una mis~ ma--_cosa , se ,puede llamar grande ~y p:queña, segun sea mucho menor ó mucho mayor-que ella la cantidad-con que se compara. • 2.3 Conviene distinguir una ~antidad infinitamente pe.q~1eña de la nada; esto es, de un nada absoluto. - U na cantidad infinitamente p~queña re.sulta de la di:- _ lllinucion pr<:>gresiva de una,-.cantidad .finita, y se puede decir que es algo; pero un algo tan pequeño, -que se pue-. de .y debeJ tratar· .co1-po nada· r,especto de las cantidades finita,s. , · , r • • ~4 Por ·esta razon una cantidad ipfiniresimal se puede duplar, triplar, &c. multiplicándola por dos, por tres &c.; y .asi una _caqticlad infimitamente pequeña puede ser múltipla de ,otra; ¡pero por mas -veces que· se repita;" siempre es infinitamente pequeña; y para ,q ue pase á for- .µiar- una cantidad finita, es menester repetirla un n(lllle-:_ __ ro infinito de veces. J G

.CAPITULO .JJ. ' DE LAS I.INEAS.

l .

,. 25 Línea recta ~~s la que ,es~á colocada entre dos, puntos, sin desviarse hácia un lado ni otro. V.g. ,l a a_b '(fig: 2) ~ituada ;ent~e. los puntos a y b_, de modo que n~ •1e

desvía .hác,1a ,m ni hác1a n , hácia la posterior.

hacia la parte anterior del papel , m

, 26 Color.ario. La línea recta es la que determina la 1 menor distancia ,que hay de un punto á otro. Esto es , que por cualquier camino que se vaya de a á b, se andari mas 411e si camina siguiendo siempre la linea recta. .

-• 27 Si un hilo muy delgado y flexible. ab (fig._ 3) se sujeta por los extremos a y b, y se pone ttrante {sm que actúe sobre él poteQ~ia alguna ext!a~a en los. puntos m-

DE GEOMETRIA,

· te-rmeclfos"ffl ;l"' ' r 1

.;},;~ . ea

f' ,.,

n·& v)i•..'SlÍS pulltO'S'J centrales formáfár(una . .•, . --~{ ~ 't 1

rectª·~u (

'.!

_'h!J'-,m ... ·"'·

·11,ft

... ,..

i:) ~,., JI ........ , S-e comprende que debe suceder' asi,- puesto que no. ~ahlendo-1,poten-·cia que tire á desviarlo, sus puntos. d'eb.en. colocarse. exactamente entre lis, Jdos po.tencias· ay,!J•. ; -1· ;.Í. ru •.•,'.,:; -l' ~· lr, L::J · , .1, \C·

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J..tlJU.a.

-fe · .2 8c Pa.ra..a-brev. iar se. dice 1muchas veces. unaz·recta;,, en -vez. de decir u.na:línei,: réc:ta.i , f' ,w n't \( ; - ,.. 1, , . • >f- ,,2.9-1 "~ Corolario~ Dos.. puntos: -<tnáfesquierw ·detenninan la ,posidon de una recta,, esto es, que. solrn,se. puede tiraruna -línea-recta. emttre clos puntos..~. . , · •;1• ,. ~

Haci~ud'o. g~rar; el rhil.P.. ¡(art., 21y¡)¡ sob1:e· ,s_usc txt emo.s· fijos a y b 1 (jig. · 3) como quiep lo tuerce ( p~ro ,Ji>11i' amlJ , extremo~ ~cia,,el mismo lado) por· mas ~ueltas qfie!df' no vahai·a· ' la_p_osi~ion :d~ 'ninguño de sus · púntos.ceiltrales., De ·esté ~odo se'vé i>ráctíca!'nente la:ve:rdatl del corolario. -. · '· r , :anter-ioh' , '•• r .. _

+ 30. Corolario .. Dosí•réctas; que se•errcuentran sofo pue-

den tener un ·punto. ·comtm~ En' efecto,, si iuv.:iesen do$ punt~s.conrnnes,, se éónfundfpian una: con otra,· (art. 29). + 31 Cor.otario~ Si dos; rectas de. igual fongitud-, ,se co~ locan·· de· suert<f que: concurran en tino_de .sus .extremos y en otro .pu.nt'o ,. concurrirán, ,tambien en el otro ex-

tremo..

r· ... ,

-+ · En efecto,. si las. rectas . ah, AB1(ftg. 4) sonrde igual longitud,.· y se coloca-_~l éxtremo 4 sobre· A ;. de: suerte que otro. punto: de) · ab caiga tambi~n sobre lai A ·B , tooa la ·recta,a/i ·c~erá. sobre la 1A.R ' artL 29) ;, y si el exi:,r emo b, no, cayese sobre ,B ,,, <:aeria ·s u derecha m.,: ó á. su izquierda n .. En el primer caso; la ab·serfa mayoi;- que la AB -en la porcion Bm, •y en.el segundo. seria:· menor en J'a P?rcion- Bn,, lo. que es. c0ntra. -lo supuesto~ úuego (Arzt 87} d ·extremu ·b cae exactamente sobre B.. . -t .32, ·Corolario~ Si _un ,cl!lerpo, superficie: ó. línea· giran sobre· dos. : puntos, fiJos, . todos los puntGS. que · no esten en línea -recta con ,i}os ·fijes, i·mudarán c.ontinuamente de lugar.. , . , , . :.

un¡'

. • Par.a convencerse d'€.- ~~o· b~stá--0bserv~r·, que p~r delgado que 1ea · b1lo,. ~1spuesto como. s!" d1Jf> ('a rt•. :1.7 y :1.,.), !odos 1111 punto1 ell.terior Yau mudaudo de pos1c1ou1al paso

que,el hilo gua.·

·6

TRATADO cr _33 ~De ,4qui· res 1.ta.., q!le, los gc,iznes ó_qi~agi:_11s ·sobre que gira un cperpo ?eben estar ex~ct~mente, en línea recta: S10· esta circunst~mcia no pqdrá verificarse e! mov1m1euto, a menos que dichos goznes ó bisagras nó tengan mucho 'Juego. ' ' " " r -, J !i

•

..J

+ 34 En el caso de girar una lí~ea, superficie ó sólido .sobre' ~dos ,puntos, Jijos, .ó -que se. consideran como fijos, los puntos que no mudan de posidon durante dicho m(lv.im!ei:to giratorio - forman una Eecta, que se denomine. -e;e o .eje de rotacion. L +- 35 Por direccion se .-entiende. la ..Jínea recta: esto es, ·q u.e se dicr,qae un r~:merpo . S€ niuéve ·v. ·g. en la direc(?ÍOp Am (fig. '4Y ctfan\:19 .camina sin separarse de la li-" nea recta An:Bm; ,r-.se.,dJce qu.e !os ~puntAs m ,, B &c. están en la direccion Am cuando estan en la línea recta que .va de A á m , ó en,sti concinuacion. ·..J + 36 Prolongar una línea es haceli1a mas larga: esto. es, continuaj-la; y es~evidente que toda línea recta se puede .. , "' . ; .,., prolong.ar sin lí.m[te.r 37 Clfand0 -se dice que se.tire.una .línea recta ,indefinida1, ó que se·· pi:-olongue ,una recta indefinidamente, s~ entiende que se prolongue lo que se quiera, sin determinar. cuánto ~Se st1pq1i1é que 'a lo.menos 'se le ,ha-"'de d.ar-la extension necesaria para ,poder .ejecutar con ·el)a Jó que se ,e¡uiére; pero ne irriport.a qije·.se alatguetJDucho. mas~\·• ~ 38 Corolq,rió. Se coi:nprend.e qm.; ~caéia·1.porcion _de la linea .recta (por· pequeñai; qu~ sea) res semejante al •\t:odo de 'elta, G> de otra cualqáiei:a·.: esto es, que toda's lás líneas rectas son semejantes centre•sí: · ' ,., 1.

,J;sta pr9piedaq pert_enece exd1,1siv~l!\lenllcl ' l~Jín~a r~cta. •

..,.. 39 Corolariq. -~ ·dos -~:eqrciones ~e- una rect~, o· d~ dos rectas cualesqmera, tienen .,la mrsma extens1on; serán •iguales y. semejantes~ es.w.. es, tocilmente ig1:1ales-. ',_ J..

Esto misqi.o s1H;\ educe de· lp.:, eJt~l:ilec;iflo anterior}l'.!~te (P.rt. '3 I y

6).,

·, 40 Línea angulosa es la que sin ser recta se puede dividir tqda ella ~n dos ó ]Il;tS ..porciones q_µe lo ~~an. ~

Y. g. la adb. ,(jig. 5) qu~ se co~p.one de dos i:ectas ad db; y la aueb'

( fig. 6) que se compone de tr.es rectas, au, !'e., eb. ~

•

D~GOOMITTRU.

-.J.

r 4 r Línea cur'Va es la que por mas que· se divida en vanas partes, ninguna. de- ellas es línea recta, ó lo que es lo mismo , la que se puede considerar descrita por el movimiento de - un punto, que continuamente muda de ··J direccion.

V. g. las acb, amo (fig 7).

-k

, 42 Línea mixta es la que se compone de dos ó mas porciones· entre las cuales hay á lo menos una recta y otra curva. Tal es la abcd (fig. 8) que se compone de la recta ab y la cur-".

va bd.

cJ-t: 43

Corolario. Entre dos puntos a y b (fig 7) se pueden tirar Ún sinnúmero de líneas angulosas, curvas y mixtas; y cualquiera de ellas será mayor que la recta ab. 44 ::,upetjicie plana·ó plann es una superficie sobre la cual se puede traz.ar una línea recta en cualquier sen,tido. . · -4- La superficie plana m tiene curvidad., ni hoyos, ni eminencias. Si nñ pedazo de p apel , cortado de mqdo que solo tenga tres puntas 6 esquinas, se pone tirante sujetándolo por dichas puntas, toma la posicion de un plano. •

45 En adelante, siempre que no se advierta otra cosa, se supondrá que todas las líneas y puntos de que se 1 habla estan en un mismo plano. .

·. ..¡-

46 Si se dobla el papel de la estampa I de suerte que e y n (fig. 4) caigan en el doblez, la linea Anm, que era recta cuando el papel estaba extendido, se convertirá en línea angulosa, compuesta de las recias An,nm.

Si el p apel se rolla, de suert~ que no form~ dobleces ó esquinas, la. Anm se convertirá en linea curva. •

47 Se dice que dos líneas se encuentran en un punto cuand_o dicho punto es comun á ambas; y se dice que se confunden cuando hay una porcion finita de la una comun á la otra. · ' -+48 Cuando la extremidad e (fig. 9) de una línea ec que encuentra á otra ab es el · punfo comun á las dos, se dice <¡ue la ec sale de la ab, ó que se termina en e,lla. 3

-,=-

✓

TRATADO.

~ 49

Cuando. desp11:es. de. haberse encontrado dos Hneai en un punto, caen. sus, d.os porciones. á. distintos lados ( esto _es, cuando se cruzan) sé dice que. se. cortan .. V : g .. las ab y cm (jig.

o) qne se corlan en e •.

, 50

Cuando una línea corta_á oira_se dice. que. es ~u secante. V. g. la ab (.fig. IO) es secante-d~ cm, y la cm es.secante -de ab.

, 5 r A una porcion. mtn (ftg. 1 r) de una_línea curva:. se da el nombre de arco. · , 52 Cuerda de un arco es_la_recta cuyos. dos. ex,tremos, coinciden con los. del arco. . · V. g. la ces (fig. .

de mtn..

.'.--l

cuerda del arco c_ls, y_ la. mn· es. cuerda. ·

-r La cuerda se llama tambien subtensa,. y se dice que la cuerda subtende al arco, ó que el arco. está. subtendido; por la cuerda. · _ ~ 53 Corolario. Toda cuerda· es menor· que su arco; (art. 43); ó lo ~e es lo. mismo, todo arco es.mayor qge. su cuerda. . +-5 4 Al paso que una cuerda es: menor,. s~· acerca mas. al arco, como se ve en la figura 11. Por esta. razon la. cuerda de un arco infinitamente pequeño. se puede. consi~derar eonfundida con dicho arco. · _.¡... 55 Corolario. Toda línea curva se · puede . imaginar: que es una línea angulosa, compuesta: de. un. infinito. nú- mero de rectas infinitesimales. , 56 A la prolongacion de- una cuerda infinitamente_: pequeña se da el nombre de tangente de la curva.. 57 Corolario. Ltrego la tangente solo .to'ca al arco en ~n punto:. esto es, en_dos puntos cµya distancia es ·infi-. nitesimal. · · 58 Al punto en que la- tangente toca á: la curva -sellama punto de contacto .. . ..,. 59. Corolario. Si. la curva se iinagi'na: engendrada· por-. un punto que. va caminando (art; 41 ),.la_tang~nte ma• nifestará la verdadera direccion en que se ·movia el punto generador al hallarse en el punto de contacto. ·

+- • •

I I )_ es

' ,.

DE GEOMETRJA, 9 -'Corolario. La verdadera direccion de una curva _ en cada ·punto es la de su tangente en dicho punto. --f 61 Corolario. Dos . rectas no pueden ser tangentes entre sí, porgue en tal caso se confondiri~n en una sola -recta (art. _35). ·· . · -1- 62 Corolario.. A un punto de una curva solo se puede tirar una tangente. · . ..._ 63 Cor.o/ario. La indinacfon ,con-que se eg.cuentran ó se cruzan dos "'curvas es la m'isma ·que tienen las tangentes que -salen del punto comHn á ambos. . +- 64 Corolario.- La verdadera tangente está toda ell~ en el planq ,de fa ·curva. r 65 El ·arco visto .desde la parte hácia que queda la tangente se 'llama :conrve:xo; y se llama cóncarvo cuando se consídera vista :desde 1a parte opuesta. · +- 60

Asi mtn (jig.

I I)

·es •convexo vist~ desde u, y cóncavo visto desde e,

CAPITULO III. DE LAS FIGU,.RAS _ EN GENERAL •

..l -,... 66 Rgura plana es el , espacio cerrado por una ó mas líneas, que estan en un mismo plano. -+ 67 ,Perímetro de la figura es toda la línea ó conjunto de líneas que cierran el espacio de la figura: esto es, su contorno. · -1- 68 Es evidente ·q ue para que haya figura es menester qQe, suponiendo que un punto recorre el perí1netro, vuelva al mismo · punto de donde salió, sin desandar lo andado. · · . •69 Corolario. Una curva puede cerrar espacio. V.g. la behmb (jig . .23).

, 7~ La figura se. llama rectilínea cuando ·está terminada por líneas rectas: esto es cuando su perímetro es una línea angulosa. · V. g: la abe (fig. 19).

TRATADO

-t- 7 r La figura se llama cur"Vifü1ea cuando est~ terminada por una ó mas curvas: esto es, cuando -en su perimetro no hay ninguna líriea recta. _

V. g. behmb (.'fig. 2'3).

· -,. 7 2 La figura se l.lama mixtilínea cuando su perímetro es una línea mixta. · V. g. la , abe (_fig •. 12) term1nada por el arco abe y por su cuerda ae. I

•

+: 73 La figura mixtilínea formada por· el arco y su E:uerda se llama segmento (jig. 1 2 ). De lo establecido .(art 68 y 30) se sigue, que para formar una figura rectilínea se necesitan á lo menos tres líneas rectas. ,

+ 74

V. g. ab, be, ca ( fi.g,

9) qne forma:n 18; figura abea.

7 5 - Triángulo es una figura t_erminada por tres líneas rectas ( fig. 19). -\ , 76 _Se llama lado de ta· figura rectilínea á cada una de las rectas-que forman su perímetro, y' por esta razon se . dice que el triángulo es una figura rectilínea de tres lado~ . -.r_ 77., Corolario. Se sigue d~ •Jo dicho ( art. 7 4) que el tnangulo es la figura reculmea que consta de menos lados. + 78 Corolario. El perímetro de una figura es igual á la suma de todos sus lados. -r 79 Corolario. Dos lados cu::ilesquiera de un· triángulo v. g. ab ! be· (fig. 19) forman una suma mayor que el tercero ac. -1

En efecto, los lados ab, be 1 forman una línea angulo~a, 'comprendida entre los mismos puntos que la ac qu~ es recta, por consiguiente seráa mayores que ella (art. 4'3).

GEOMETRIA.

CA·P ITULO IV¿ DEL ANGULO Y DE LA CIRCUNFERENCIA.

8~ Ángulo es la abert~ra ó inclinacion de dos líneas . ae, ze (fig. 13) que se terminan ó se suponen terminadas en un mismo punto e. ..J 81 Se llama rvértice del ángulo al punto e en que se termir,ian, ó se su ponen terminadas, las líneas que lo forman. "'- 82 Se puede decir que el ángulo (visto desde su parte exterior e) es la punta de una .superficie. ...83 Se llaman lado del ángulo · las líneas que . lo furm~ · V. g. ea, ez (fig. 1'3) son los lados del án-gulo e.

...f--.·:

84 El ángulo se llama rectilíneo cuando sus lados son líneas rectas: currvilíneo cuando sus lados son líneas curvas; y mixtilíneo cuando el uno de sus lados es línea· recta, y el otro línea curva. + Asi ( fig. I '3) aez es rectilíneo ; (fig. I 5) bq fes curvilíneo -; y l'lf~ • mixtilíneo (fig

6).

-r 8 5 Cuando no se advierta otra cosa, se entiende que '

se habla del ángulo rectilíneo ; y mas adelante se tratará de otr~ espe~ie de ángulos. . -f- 86 Cuando un ángulo está solo, para designarlo bast~' r nombrar la letra que está inmediata á su vertice, hácia su parte exterior, ó hácia la interior. · -+· Cuando en un punto concurren muc~as líneas, se suelen designar los ángulos con tres letras , colocando la de su vértice en el medio, y las de sus ·lados en los extremos. A los Maestros toca el aclarar esto con ejemplos.

-1- 87 Se dice que un ángulo es muy pequeño cuando es muy .corta la abertura de sus lados: esto es, cuando su punta es muy aguda. Tal ~-s el ángulo e (fig. 1'3}.

- 12

TRATADO.

:+-88 Se dice que un .ángulo es muy grande cuando es mucha la abertura: de .sus Jaélos; .esto ~s cuando su punta es poco ::iguda. Tal ~s-,el.á.ugulo u (fig.. 1í_4).

,X 89 -Corolario. El menor de todos los angulos será el que se considera formado ·por dos rectas 'que casi se con.funden ·en ·una sola, cayendo la una . sobre la otra; y· el 11:ªY2r será el que se consi~_era formado por dos rectas, dispuestas ·de suerte qu·e cas1 forman una sola, siendo la .una ,piolongacion ~e la otra. . + 90 Corolario. La magnitud de un ángulo ninguna de• .pendencia tiene con la longitud de sus lados. ,- ·En ·efecto, 'por mas que ·se ·prolonguen las .ea, ez (fig. 13), el angulo en e ( esto es la ~gudeza de la punq e) no variará. -1-' 91 Corolario. Si una recta ph (fig. 17) está ,entre las p_d, pt, que concurren en el propio punto· p, d .ángulo formado por las dos líneas extremas pa, pt será igual .á la suma de los formados por cada una de las ,extremas .con la intermedia ph: esto es, que será ¡jpt== dpli

+l~pt. . ._ . . 91-92 Corolario. De .esta ,cons1derac10n -resu1ta, ·que el angalo formado .por una Jínea 'intermedia con -cualqufora de las dos ,extremas, es m~por que el que esps dos líneas forman entre sí ( Arit. 24). ·

Setendrá presente g:ue se supone que las tres línea_s ·estan en un mismo pl_a no (art: 45). .

.,¡.,93 Corolario. Si los ángulos o y .s ( fig. 17) sori iguales , cada uno de ellos será mitad del total dpt; é · inversamente, dpt será duplo de cualquiera de ~ _ ellos. • + ~4 .Corolario. Si del ángulo total dpt se resta el ángulo o , resultará el ángulo s ( Arit. 92 ). · 9 5 Corolario. De- estas consideraciones y otras semejantes, que_ puede_p hacerse sobre tres ó mas ángulos, se deduce que los ángulos se pueden sumar;· restar~ multi- . plicar, partir &e; : esto es, qui! con los ángulos se- pue-

3 den nacer Jas~mismas operaciones que · con cualesquie~~ otras cantidades.. , .=+-96 Teorema .. Si" dos ángulos sort. igualés·, se· podi:~n'. sobr.epone.r eLuno a.Lqtro ,. de suerte, q~e sus. lados se aj,us-ten. hasta-cierto punto.. · 1 • +--'Demostracfon. Sean bac y mnu ( fig 18) fos· ángulos; iguales. Supongamos que se pone n sobre a de sue;;te que el lado mn caiga sobre ?1,b y nu. á la derecha de ab .. Será preciso que suceda una de tres cosas :: esto es,. que nu caerá, ó. á.la!izquierda de ac como as-,, ó á la_der.echa-como at, ó sobre ac;. En ~l. primer caso resultaria has ( que s~ ~upone que es el mismo mnu) menor que bac ( art 92 ) .. En el segundo. caso resultaría bat ( que se supone. que ss, e~ mismo mnu) mayor que bac. Es asi que. uno. z o.tro, es · c:ontra lo· supuesto: , luego caerá nu. sobre· (le .. Luego los lados nm ,. nu. se aj_ustarán con los ab, ac hasta donde al;_ caneen:. d~ suerte que lós. extremos no coincidirán si no son. iguales .dichos lados~. --1 97 · Lema. Si dos triá'ngulos tienen un ángulo del uno igual á un ángulo del otro, y los lados que forman dicho ángulo del uno iguales á los que forman su igual en el. otro-, , serán tOtéllmente iguales... · -t Demostrac{on. Sean bae y BAC (fig. ·19) los trián-• gulos propuestos; y- en ellos · a=A, ab AB, y ae · AC.. Por el teorema anterior se podrá sobreponer· A sobr~ a,. de suerte que los lados AB, AC caigan ~obre ab y ae; y por ser dichos lados iguales, caerán tambien los extrn~os B sobre b, y C sobre e (.art •. 3 1 ). Luego ( art~. 29) la BC caerá sobre la be -exactamente, y por lo tanto los triángulos bac, . BAC serán totalmente iguales . (art. 16).. Esto es, qt1e serán iguales los; la-dos BC, be, opuestos á los ángulos iguales; como tamb,ien. leos ángulos opue,stos. á. los . lados . iguales b B,, DE GEOMETRIA.

Ye --

...

9 8' sí:una· reCt? .eb (jig. 2 I) da una vuelta entera so.:; bre ·el extremo e inmóvil ( sin salir del plano del papel), todos sus puntos d, b &c. describirán unas curvas ' ter--

14 . . TRATADO, minadas e sí misrµas behmb; dtpqd &c. que llaman circunferencias. , ~ Á 99 La figura terminada por la circunferencia se llama círculo, y á veces se súele dar este mismo nombre. á la circunferencia. )(_ i oo El punto e, alrededor del cual gira la línea que describe la circunferencia, se llama centro del círculo. · ..,,,. 101 Las _circunferencias behmb, dtpqd, que tienen un mismo centro c, se llaman _concéntricas (.ftg. 21 ). -1- 102 Las circunferencias que tienen diferentes centros se llaman excéntricas: tales-son (fig. 2.2) BEHMB, behmb, cuyos centros sonC y c. -l 103 La· recta comprendida entre el centro y la cir• cunferencia del circulo se llama radio. Asi cb (.fig. lo dtpqd.

2 I)

es 1·adio del círculo behm, y cd es radio del cfrc~- · ·.-

)( 104 Corolario. De la descripcion del círculo (art. 98) _ se sigue que todos los radios de un mismo ~írculo son iguales. · 105 El radio es la línea rect~ cuya rotacion ha pro. <lucido la · circunferencia ( art. 98) ; y por esto se dirá en adelante v. g. dcScríbase una circunferencia con tal radfo y tal -centro. · 106 Para describir la circunferencia se hace uso deunos instrumentos llamados compases, cuyo manejo de• ben explicar los Maestros. · · . Las dos puntas del compas determinan los extremos del radio; y por esta razon se dirá en adelante v. g. descríbase una circunferencia, ó un arco de círculo, desde tal punto con tal abertura de compas. · ~ _,.._ 107 Corolarios. To!io punto a (fig. 23), colocado dentro del círculo, se hallará á una distancia del centro C menor que el radio CE; y todo puntos, colocado fu era del círculo, se hallará á una distancia del centro C mayor que el radio CE. _.\--108 . Corolarios. No son menos evid_ entes las propo--. siciones. inversas: esto es, que todo punto colocado en

DE GEOMETRIA.

el plano del círculo se hallará d-entro ó fuera de la drcunferencia, segun que su distancia al centro sea menor ó mayor que el radio. ,-t<--"'109 Corolario. Los círculos descritos con iguales ra .. dios ó aberturas de compas serán totalmente iguales. · . Si se quiere demostrar esto con extension, imagínese que los dos círculos se ponen uno sobre otro en un mismo plano, de suerte que sus centros coincidan; y no hay , duda en que sus circunfer~ncias se confundirán. En efecto, si dichos círculos (fig. 23) son behmb y BEHMB, y se imagina e sobre C, si algun punto de la primera circunferencia cayese dentro de la segunda, v. g. en a, se seguiría que su radio Ca seria menor que CE; y si cayese fo.era como en s, se seguida que el radio Cs seria -mayor que CE. X -'' 11 o Se puede defirrir el círculo diciendo, que es una :figura plana terminada por una línea curva, cuyos puntos distan igualmente de un punto colocado en su mis-mo plano. Este es el centro. ;--;._\/111 La circunferencia es .el perímetro del círculo; y tambien suele llamarse periferia. -IAI 12 Cuando se dice simplemente arco ( sin expresar de qué curva), s.e entiende que se trata de un arco de círculo; y cuando se dice un arco descrito desde e (ftg. 24), se entiende un arco de círculo cuyo centro es el punto c. 'I J II3 Teorema. Los arcos -de igual extension pertenecientes á un mismo círculo ó á círculos iguales son totalmente iguales. >,. Demostracion. Imagínese un círculo puesto sobre otro, como se dijo (art. 109 ), de suerte que el principio de un arco coincida con el principio de su igual, y no hayduda en que coincidirán los extremos de dichos arcos. · Se demuestra esta con extension por el mismo estilo que la proposicion del artículo citado y la del artículo 31 en la figura .24. -

-r I 14

Lema. Si dos triángulos tienen los tres lados del uno iguales á los del otro, dichos triángulos serán totalmente iguales. _ -4

16 TRATADO J -+ Demostracion. Sean lostriáog.t1Ios.ABE, ábe.(fig. io), en lo~ cuale:s· se suponeQ. igúales. los ladas designados con las mismas letras. Desde E , como centro,, y ·con el radio ~B, descríbase. el arco HT;, y desde. A coma cemro descríbase el arco DM con el radio: AB. En el otro trián- gulo describans.e tambien lo.s. arco5: ht y~dm con los ra• dios eb y ab. Hecho. es~o ,_ imagínese la AE. puesta ·sobre. 1a ae ,, de suerte. que. se ·confundan sus extremos,_en lo que no. hay dificultad ( art~ 31). Es ev.idente. que el radio. AM caerá sobre su igual -am -(art. 31), y porconsiguiente el arco, MD caerá. sobre. md· (art~ 109). Por se-"mejante razon caerái. TH sobre th. Luego.-~Lpunto_B (comun á los arcos MD y T H): caerá sobre b· ( comun á los. arcos md.y t h): esto es, que los , triángulos se ajustarán - exactamente (art. 29); y por lo tanto. serán totalrnent~. iguales (art. 16).. •, . ;,e u5 . En el círculo. toda cuerda su (flg. 25) subtende: dos arcos . seu,, smu; y cada uno de. ellos· es igu'al á lo que le falta al otro para completar · la circunferencia~ Cuando.. no. se advierte otra_ cosa,_se entiende que se habla del arco, menor• .c.rI 16 · T eorema.. En un. mismo drculoi, ó en. círculos: iguales,. á iguales: cuerdas. corresponden:. iguales.. arcos. +- D em.ostrac..ión .. Si. las. cuerdas. ah y e.m . (fig .. 24) san. iguales,. los. triángulos. acb ,. ecm: serán totalmente., .iguales. (ar.t. 104 y- u4) ;_ y por· consiguiente. podrán so.brepo-- nerse. de suerte. que. e caiga sobre a y m. sobre ,b- (árt:.,;118).; Es, evidente· que en tal caso caerá todo el arco, esm sobr.e. aub, .puesto, que .si algun punto,del primero.eayese·hácia la parte. exterior ó interio-r del.segundo·,, resultada· que el radio, correspondiente. á dicb0;. puntar sería:. mayor ó me-: · nor que_ et radio , del arco"auh;. ;ln··que · nq_- puede. ·sen(art. 104 y 109).. Luego. .esm se a¡usta exactamente con aub, y por lo, tanto dichos ·an:os serán totª.lmente igu'ales. + 117 T eorema~ En. un. mismo-, círculo,, ó , en círculos iguales , á iguales arcos corr~sponden iguales cuerda~. .:+-D emostracion. Si los arcos esm, aub (jig. 2>4) son 1gua.;¡

DE GEOMETRIA. 17 les poniendo el pri_mero sobre el segundo, se ajustar~n sus extremos (art. 113 j 18); y por consiguiente se ajustarán las cuerdas (art . ..t9)~Luego dichas cuerdas em, ab ,serán iguales. --h 1 1 8 Se llamá diámetro de .un círculo la cu~rda que pasa por ·su centro.

V. g. bh (.ftg .

+ . · 1 19

·2

r) -es diámetro cfel clrcu1o belim f .

Coro/arlo. Todos los -diámetros de un mismo círculo, ó de círculos iguales, -serán igrn1Ies; porque se com-; ponen de dos ra<;Uos (art. 104) v.g. (jig. 21-) cb, ch. 120 .Corolario. El diámetro de un círt ulo es duplo del radio~·ó io que es lo m1smo, -el radio es mitad del diámetro. . .:+-_. 121 . T-eorema. El ·diámetro es la mayor cuerda: esto es, la mayor línea recta que se puede tirar dentro del drculo, ...J.- Dt!mostracion. Sea su (/ig. 25) una _cuerda cualquier~; y tirando á sus extremos los radios cs, cu, resulta la cueraa su menor que sc+cu (art. 79). Es asi que la suma de los radios sc+cu es igual al diámétro bh (art. 120) : lue~ go cualquier cuer da es menor.que el diámetro. ~ 122 Teorem_a. El diámetro divitje al círculo y á la circunferencia en dos partes total_mente iguales. ,-:+ De11J,ostracion., Imagínese la parte adb (fig. 26) dobl_ada hácia abajo, de suerte que el doblez sea el mismo, diámetro acb; y resultará que dicha porcion adb se ajustará exactamente con la aub. Lueg9 dichas porciones son totalmente iguales. -+ Si se q_uiere demostrar con extension que- adb cae exactamente sobre aub , bastará advertir que si cayese hácia adentro; como aeb, resultaria el radio -ee menor que cu; y si cayese hácia afuera , como apb., re- . sultana el radio cp mayor que· cu; lo que puede ser (art. 104.) _ +- 123 Corolario.. J:?e .l_:1s do~ porcione~ élesigua}es e~ que _un~ cuerda d1v1de a la c1rcunferenc1a y al circulo, la mayor será aquella en que se h~lla el centro.

' TRATADO . +- . 124 · Se da él nombre de se1:11.icircunferencia á la mitad , de la circunferencia;, y el de semicí·r.culo á la mitad del círculo. l 12 5 A la mitad de la s.e micircunferencia > ó cuarta parte de la circunferencia, se da el n0mbre de cuadrante; y á la mitad del semicírculo, ó cuarta parte del círculo, se da el no.1;;nbre de cuarto de. círculo. -¡.. 1;26 Se llama se.c-tor la porcion de círculo comprendido entre dos rac:li:os; y eorona la porcion de círculo comprendida entre· dos circunferencias concéntricas que · estan en un mismo. plano. 1

Véanse-las figucas 24 y 2 I ..

. I 27 Hipótesis. oda circunfere~cfa se imagina divi• d1d'a ·en 36~ partes _1g:1~Ies, que se llaman iradoo. El grado. se considera d1v1d1do en 60. partes 1-guales, que se llaman minutos; y as_,i suc.esi_vame.nte / como se dijo

(Arit-,. 66). . + 1.28 CoroÚrio... Cada .grado será.

;

de su corres~-

póndíent-e circunferencia;_ y c.ada minuto ~

21'600

de la

misma.

,,.-

-/-129 Corolarío. Los grados y minutos serán tanto ma• yores ó menores, cuantq mayores ó menores sean la~ drcunferencias á que pertenecen: esto· es,. que en gene~ ral,. las extensiones absqluta_s de los arcos de igua\ número· de· grados, estarán entre sí en ra-z on directa de las circunferencias á que pertenecen: ' 1.30 La" semicircunferencia val~rá 180°'; el cuadrant~ 90º; y

Sll

.mitad ( que es. _e í ; de la circunferencia) -

· valdrá 45º. · · 13 1 Teorema. Si desde el -centro de varias citcu~erencias concéntricas se imagina)) 360 rectas que formen entre sí 360 án'gul0s iguales, los arcos de todas las ci~- -... cunferendas comprendidos· entre· cada dos lados de d1:.., chos ángulos; valdrán un grado~ /

DE GEOMETRIA. 19 · Demostraclon. Por ser iguales lós ángulos; sobreponiéndolos como se dijo ( art. 96), se ajustarán; y por consiguiente coincidirán los extremos ·d~ los arcos correspondientes á cada circunferencia (art. 3 1). Luego los 360 arcos de cada circunferencia, ·comprendidos entre los lados de los ángulos, serán iguales entre sí ( art. 116); y por lo tanto (art. 1281cada uno de ellos valdrá un grado. Corolario. Luego todo ángulo, que -teniendo sú vértice en el centro de cualquiera circunferencia, com- prenda entre sus lados un arco de m grados de dkha -circunferencia, contendrá m veces al ángulo q1c1e abrace · entre sus lados el arco de un grado de cualquiera circunferern;ia descrita desde· su vértice.; y ·lo mismo· se verifica ~on los minutos, segundos &c. , I 33 Corolario. De lo que se acaba de decir ry de lo -dicho (Ari1t. 3 y 4) se sigue que los verdaderos valores de los ángulos se pueden expresar por los grados del arco. de cualquiera circµnf~rencia descrita desde su vértiée que interceptan ó comprenden sus lados. · 134 Corolario. Medir un ángulo será contar el núme~ ro de grados y minutos del arco descrito desde su vérti·ee y comprendido entre sus lados. · ..J 135 Angulo recta es el que tiene por medida el cua. drante ó arco de 90º~ -1.... 136 Angulo agudo es el que vale menos d~ 90°. 137 Angulo obtuso es el que vale mas de 90°. 13~ En general se llama~ ángulos oblícuos todos los 1 que vª1en mas ó menos de 90° ~ esto es, todos los que no son. rectós. · '.> . r · .. 139 Línea ohlicua es. la que forma. coa -otra úno ó dos ángulos ob1icuos. . ,~ • -1._ • 140 Corolario. Todos los ángulos· rectos son iguales, . · · puesto que tienen..el mismo yalor. 14r .Teorema. La sumá de todos los ángulos sucesivos formado~ alrededor de un punt? ;,de. suerte 9ue el ~ltini© -tenga urr lado co:mun con el pr~mero, valdra _,60º Justos.

;

132

¡,

TRAT:áDO

--,.. Demostracion. Es ev,idenre (jig. 27) q~e aclír+-bcd +dce+ecm+m:cn+.nc~ valen '36c>' grados,. puesto _que .fa suma de sus_ medidas c¡,b+hd ,&c: .es toda 1a drcunferencia.

· .· ., ·. , · ·, · : -r 142. Corolario. Se .podrá d.ecir' q~e la strma :de todos los. ángu!os sucesivos for'mados alrededor de un pm1to . . es 1gual a cuatro rectos ( art. 135). ~ 143 Corolario. La suma de todos los ángulos :;ucesivos formados. hácia un lado de una recta· ,q,e (fig. 27) vale I 80°, ó dos rectos; puesto que la. sum<!_ de ~us· .qiedi. . das es la semicircunferencia -abde. -1- · r44 Suplemento de ,un ,arco, ó ángulo es ·10 q_u e· le fa!-. ta para valer 180º, ó, dós rectos. . · V. g. (fig. 9) ttec e~ ('; u-pl~me,rHo de ceb. . ' ... ~- ... f- 145 Corolario. Si el ángqlp A ~s spple!J?.ento ~de! ángulo B, .eJ, á_ngµlo,•P _ser,á~sug\~rµ~nto d~· A. , ;f 146 Corolario, Si,dos. -ángu:los A7 B ,.so.n, ~uplemento~ el uno del otro, ó, serán los dps rectos,~<:51 el üno . se_ri •9guclo y el ~Jro obtuso. ·; . _·_ . , •.. I 47 Si una rect~ ec (fig. 9) sale de otra ab! Iq,s dos .ángulos que forman con ella, aec, ceb, se Ha~an áng!,!los n

...J

contig14os.. _ •;· ._ · · ·148 C~rolario. Los JnguJos contiguos son suplemen;tos tino de otro,, y juntos valen 18q~, ó dos rect,os. 149 .Corolario. El menor ángulQ' posib,le .es .el de cero grados; y el mayor posible e~Je:t.,de i8o0 (art. ~9). 150 .r Corolario. El suplen;ieQt.o ,de Ufl_'~ngulo strhalla restando sµ valor de 180?. ~,, . ¡: ~" ; _ , " ~ ~ e: 151 Se llama comple?fiento ·p~,JJB ~rco-ó ftngulo a su diferencia con el cuadranté ó ángulo recto , p9r d;fecto o, por exc~so. . , · , r·.. '-.j ~.,.. . 1 • • , • • , -,

V. g, Si ame (fig. 28) es un cuadrante, él complP.mento de acm (por 1i;!efepto) será mce;; y ~l compl~mento de acn (por exceso) se-. . rá ecn.

•

15 2"I Corólario. El C@rnpiemen'.t o de' un- _ángl_!lo ~gudó~ se halla restando su valor, de 90º. · - . . • - 1_ ... 15 3 C~rolario. Si ,el i9iuio aguqq .4~~s co~pJe~ep.;-

1 ·

DE GEOMETlÜA.

2 I

-to ' del agud·o B, ei ángulo ,B sérá c:b~pleménto _ele A. ·+J 5if :. Cor.olarib, Si · dado tin áhgu'lo obtt.ts0'' s.e· piaé su comptemento !l se baltará este restándole 90º; y si dado . un e:omplem~nto, por-, excesp, se; pide,el. ~ngpl0:,ob~t1_so á que cotresponde.,..se _h allará .este- sumáH.dote,90?'. , , ..... ..t,-1 55: 'Él compl'emento. por- exceso- se: halla fadlmenl~:".9-el ineinori~ '. cdl. mo. sl~t1:e•. - 'f: , . ,Si

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n~_y 9, eJi

;

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fas deéeqas. <le1gya~~? ña~ta: ·supriD?irfo_,P~~ oñt.e;¼1er sl · .. . r corñpiemento.. ....;-· Si no. hay 9 en las decenas. ae grado, se aiíade u»a n.nidad·á la_s ·debe1 - - 1as.centenas• •·'• I ' ' ,' t nas,. y se-om\teo .'l ,' ! ' - ' •·,.- • º' ,, 0 Ejemplo I • · Sii se- pide el, corµpl é~ento' ele 98°.. ,. :.... 22 1 ....... r. J 311, con solo, quitar· el •9. d'e- las. decenas: se:halla rrne &>, •••í ,;.,,, 22 1 .... ; .~·· •1311 es '"L • el complemc,nto por exceS!), . . . , . , , ~, . , 'Ejemplo '2,º Si se pide e'l compleo:iénto ·de ro'.3°; .......; ·1'511 ......-:.1 11~ agt·egand'o una unidad á las deceBas ( que· soñ ·cero), y suprimiéndolas cr.11tenas'., s~ ha11a qu~ ·I°Q.0 .;.,, : ••• r 5/ .:.... .'.: 2,0 11 - es• el comple_m,ento. . Ejemplo 3,0 El complerrieuto de 147°........ 381·: • .-....... 2.6 11 es 57°.: .. .. 38" ....... 2611~. . . ' • (' 156 Conociendo' el' compl'emeritbf po1~· exceso " es ~uy'fácil el hal-la-r el valor del áógulo de meínóri"á 6omo ~igue.. . . : ' ".: .Si no hay decenas en el compl'ementq•por exceso" hasta poner ~l -9 eq el'. lugar de- las dc,cenas para o~tener 1el áng.ul9. · · Si hay decenas. e~ el complemento poi:· exces<?, 'se _dismi~uyen,' ~s~as de una, unidad, y se- pone la. unidad e~ el' lgg_ar de las centenas. :para obtener el ángúl'o!., l'. · ' ;_ , • ¡; . , 1 ,. .1 .t · : · · , " Efemp~q :i.~ •Si,el' complell).eµ.to, poi:,g~Ce$O•~s a·,y~ .....;.. ;22".... , .. ~ 'J.3'1<,, . • • ') &erá, el•ángµfo qbtuso::-9 8. 0 : .. , ••• 22 1 ,.,.,:.. \ 'f>".. ,r1 , ; 1 O ·s· ' E. l 1 l " • \ J 51' u ''11 . :JemP, O 2,. l e ~omp emefltO .:e?r fXCesp n•es 1·30-""'"' I .. " , "" . ~O 1. será el ángulo• 103°; ...... t5' "";··.· ·2d"~- ( ,.· · i , - • • •1 , • - J ,E jémpZo·, 3.º S:iJ'e'l .compleníento-par éxcé~oh on..5'7P, ... i.. 38!'....... será el ángulo 147°..... :. 38.' _,, ... 26 11 • ~ ~ t

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2-q"i

l 157 Dos áng11Ios: er IIama.rr ropuest'os: por el 'Vértice cuando cada• uno· de ellos. está formado por la prolongadon de los. dos lados. del otro:..

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V; g: aec

f ~e~ (°.fi'g:' ?;j_ ~óá, ~~1.1e;t'o~. pot ei' v-éfti~e. Tambi'en son

Ji,t1estos. por el vértice aem , bec.

1 ,

-}--15 s· r: íIeorema;;, •Lus.t,ángol0s~. opueSt!OS,r por', el vértice . . - , · , r ,, . , , Son..:1~0-;ual"'S ty. ~••· • ' ,·, ,,,,,,,., • ;4- Demastracion. Supongamos que se, 'quiere,: demostrar lfüJguaJd~d de aec ,r'/Jo/flZ , (.jig. 1.0) .. Se~di_i;á -aec+ce.b . valen 180° por_contiguos ,··~ar-'t. :· 1-48'0; ·,y ·ceb'+.b.er.n valen· 4>

•• • ••• J.

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J.il

••

:r~iI{

TRATAD6

tamoien 180°, por lo mismo. Luego quitando de ambas sumas el_ ángulo comun ceb, resultará '( Arit. .26) tU&=bem. , .r

Si se trata de demost1.-~il que es ceb==.rnea, se dirá, bem+ceb=bem -t-mea, por ser_ambas sumas iguales á 180°~(art~ 148); :y quitando de pichas sumas el ,ángulo, comun bem, resultarán iguales los residuos- ceh, m8a

(Arit. 26).

·.:+-- 159 ' Problema'. Hacer un· ángulo -igual á otro ángu-1o dado. ·. _

~ Resolucion. Sea el ángulo dadÓ A (jig. 29) • Tírese la recta indefinida am. · .A- 2.º Haciendo centro en el -vértice A del ángulo dado descrí-base entre sus laqos el arco EuB, con cualguiera abertura de compas AE. ,, _;.,-- 3. º . Con ' esta misma abertura y centro a descríbase un arco indefinido eot. 1 4-º Tómese con el compás 1:,i dist~ncia EB. -1- $- ° Con dicha · abertura y .,centro e descríbas~ el ar-:qmto ls, que cortará al eot. en· b. t 6. º Por los puntos a y b tírese la recta ab ; y result~· _. rá el ángulo maf?=MAB. . · -f- Demostracion. EuB, eob son arcos de-círculos iguales ( ar-t. I 09)'; y · sus cuer~as EB, eb son tambien iguales por construccion. Luego ·los arcos EuB, eob serán de .....+-I. º ·

J-

igual ri'úmei-o''de gradof-Cart:_. ~ 16): por lo tanto., será~ . iguales.lbs angalós A y a medidos- por ellos (art 1 ~34) •

., . C A'P I TUL 0 ° li-,i:

V: ...,

1' , > • --

DE - LAS LINEAS PERl'ENDICULARES. ¡

., l ~

incli-

Cuando una recta e~cuentrd á otra sin narse mas hácia un lado que hácia otro, se dice que ,es perpendicular á ella. ~ ~-

_.,_ ·160

v.g. la eu (fig. 3o) s~á pepend-icular á la _ab, si la encuentra sin inclinarse ~as hácia la ~erecha que ~ác~a la izquierda. • - , ~

DE GEOMETÍlIA.

'2S

.Corolario; Si una línea 'eSa perpendicular á otr3-, formará con ella d0s ángulos iguales ( art. 80). :.,,... 162 Corolario. Si una línea encuentra á otra· formando eon ella dos ángulos _iguales, sará perpendicular. ' .-16.3 ~ Teorema. Toda recta que es perpendicular á otra forma ·c on ella cuatro ángulos rectos. · ·· + D_emostracion. Si la eu (jig .. 30) es perperidiC1:Jlar á la ab, los ángulos aue, bue debep ser iguales (art. 161); y . como entre los dos valen dos rectos, -por contigu~s (ar,!· _148) cada uno de ellos será . recto. L_uego ta~1bien· seran rectos los bum, aum, que. deben .ser iguales a ellos por opuestos al véiati.ce (art. 158). 'l · • . , .J y:..164 Corolario. Si una _línea 4 es perpendicular á .otra líne~ B, tambien la línea B será perpendicular á A. · •X En efecto, si la eu es perpendicµlar á la ab (fig. 30)t formará, con ella cuatro ángL~los. rectos (a_rt. '163). Luego: -los dos angulas aue, aum seran iguales ( art. I 40); ·y pq.r: lo~tarito, la au será perpendicular á eu (art. 16 2 ) . ' · , ·xi 65 Cor9lario. Si una recta es perpendicular á otrá,. s'u pr.olongacion tambien será perpendicular. , _: ,-x-'En efecto, puesto que la pérpendicular eu (jig. ·30} forma con la ab los ~ngulos bum, 'f!T,Ua rectos (art. 163); e.stos será~ iguales ~ art. 140) ;: .'y p0r consiguiente la prolongac1on .um sera perpendicular a ab ( art. 1;62.) :. . + 166 Teorema. Si una.-recta forma con otra. un áriguloJ recto, será perpendicular á ella. . . _. 1 + Demostracion. Si'la eu (.ftg. 130) forma con fa ab ,el án• g.ulo que ..,recto, s_u suplemento • eub tambian será ,recta (art. 148). Luego los ángulos aue, eub _serán iguales; ~ . por l<? tanto, será la eu perpendicular.á la· ab (art. 162)~ - :.J- 167 . Corolario. Toda línea-que forma CO!) :Otra un á1h. . . gulo oblicuo no pu.ede ser perpend_icula_r á ella. ...; En efect<:>, si la SU· (fig. 31) fo rma -con la ab el án~. gul9 aus agudo, su suplymento .sub será obtuso.(art. 146). Luego dichos ángulos -serán de,sig1;1ales; . y por lo tantq la su se inclinará mas háci -;-. un lado que hácia otro, y no ser, perpendi,s:ular (arJ.; 16o~j, _,. :.: ; .-,. . ,., . ,S 161

!24

TRATADO

--"' 168 Teorema. · Por · un punto de una reéta solo 91'!· puede hacer pasar una perpendicular á ella. + Demostracion. Si la eu (ftg. 3 1) es perpendicular-a Ic1 ab, los ángulos eua, eub serán rectos (art. 163). Cualquiera otra recta que pase por u v. g. la su, formará éOD la ab el ángulo aus, que es parte de aue: ·luego aus es, agudo (art. 135 y 136): y por lo tanto, la su no puede ser perpendicular á la ab (art. 167). 4- 169 Teorema. Desde cualquier punto, fuera de un:i recta, no se puede tirar á ella línea alguna que no sea mas larga que la perp·e ndicular: esto es, que la perpen.. dicular es la menor distancia de un punto á una recta. ~ Demostracion. Sea (jig. 3 1) e el punto, 'db la recta de que ·se trata, y eum la perpendicular. Tómese la pordon um igual á la ue y tírense desde e y m dos rectas eb, mb á cual9uier punto b de la ab. Em los triángulos eub,. mub, los angulos en u son ig'uales ( art. 163) : el lado ub es comun á los dos, y ue se ha tomado igual á um: luego dichos triángulos ser~n totalmente iguales ( art. 97'); y por consiguiente será eb=mb: Esto es, que eb será mitad de ebm, asi como eu es mitad de eum por construcdon, Es asi que ebm es mayor que eum ( art. 43): luego eb. mitad de ebm será mayor que eu, mitad _de eum. -r 170 Cuando se trata de la distancia· de un punto ' una línea ( sin especificar otra cosa) se entiende que se habla de 1a mas corta: esto es, de la perpendicular. · J--- 17 1 Teorema. De un punto cualquiera, fuera de una recta, no se puede tirar á, ella ma~ que una perpendicular. -t-· Demostracion. Si se dijese (fig. 31) que dos líneas eu, eb son perpendiculares á la ab, por ser perpendicular la eu, seria eb mayor que eu (art. 169); y por ser perpendicular la eb, seria eu mayor que eb, lo que es abs.urdo: luego tambien lo es el que puedan tirarse dos per~ pendiculares eu, eb á una recta ab desde un mismo pun.. to e (Arit. 37). . ~ 172 Teorema. Si una recta tiene dos. puntos a y U'

DE GEOMETRIA.

ó a y e (jig. 32), cada uno de los cua_ s dista igualmen~ por ambos lados de dos puntos s y t de otra recta, las dos lineas .serán perpendiculares. • -:,<f Demostracion. Si el uno de los puntos u está sobre la bd,_de suerte que son us=ut Y· es=et, los triángulos eus eut serát1 totalment~ iguales, por tener los tres lados del uno iguales á los del otro ( art. I 14): luego los ángulos eus , eut, opuestos á los lados iguales, serán iguales; y por lo tanto 1 será eu perpendicular á bd (art. 162). ¡<-.Si los dos puntos que distan igualmente de s y t son a y e: esto es, si se supone as=at, es=e...t, los triángulos aet, aes tendrán los tres lados del unó iguales·¡a los del otro, y por lo tanto (art. u4), resultarán iguales los ángulos sae, tae, opuestos á iguales lados. De aqui se sigue que los triángulos sau, t ait tienen iguales lo~ ángulos en a, el lado as=at y au comun: luego dichos triángulos sau, tau son totalmente iguales (art. 97); y por consiguiente será ~l ángulo aub==.aud: esto es, será la au perpendicular á la bd (art. 162). _ --f 173 Cuando un punto está á iguales distancias dé dos ó mas puntos, se dice que está equidistante de dichos puntos. ; 174 Teorema. Si una recta eu (ftg. 32) tiene un pun, ,to e equidistante de dos puntos s y t de otra á que e ' perpendicular, no puede haber fuera de la eu ( prolongada al infi~ito) punto alguno equidistante de dichos puntos s y t. · +. Demostracion. Si hubiese otro punto z. equidistante de s y t, tirando por e y z. una recta, dicha recta seriaperpendicular á la bd (art. 172). Se seguiria de aquí que por un punto e pasarian dos perpendiculares á la bd: este es, la eu y la ez.; pero esto es imposible ( ctrt. 171 ), luego tambie.ó. lo es el que pueda haber fuera de la eu punto alguno eguidista~_te de _s y t (Ar'it. 37). X 1~5 Teorema. Si una recta eu (fig. 3.2) tiene un pun•· to e igualmente distante de dos puntos, s y t de otra rec-

f-._,

26 TRATADO · t.a f?d ·á que es· perpendicular, no_puede -haoer' en -la ltt punto alguno que no este equidistante de s y t. -t-- Demostracion. Se ha demostradó q_ ue no puede haber -fuera de la eu punto alguno eq4idi.stante de s y t ,(art. 174); pero sobre la st debe hab~r ,un punto equi-,: distante de s y t: luego dicho punto será u: esto es, q.w.e us ut. Demostrado esto, si de cualquier punto . de la .eu, v , g. d~~de a se tinin las obli~u~s as·, at, los triángulos -sua l tua, que tienen -el lado ua coro.un us _:.ut y aus==.aut serán totalmente tguales (art. 97); y por consiguiente será as=at; esto es, ,que el punto-a estará ·e quídistante de s y t. . , , . . · ::- . + ,176 Problema. ~or- un p.uqtQ dado, deQtro ó ·.fu'era de una recta, tirar una perpendicular á ella. ' ...;- - Resolucion_. 1.º Tanto en el caso de estar tt en.la recta ab (ftg, 33),. como en el estar fuera d.e ella (jig. 34),: fijese una punta del compas en el punto, dado u. · . · . --1'- 2. º Con cualquier abertura háganse en la ab las dos iqterseccion,es s y t con fa otrá punta. · . · · --1- 3. º Hecho estQ, desde t, con cualquier·abertura (ma; yor que la mitad de st) , ·deséríbase u-n· arqµiro mo. · · ~ 4. º Desde. s descrí~ase con la misn);t abertura otro arquito ex, que cortará el primero en c. . ~ . ·: 4,-; 5. º Tí-re·se una · tecla cu· per .-los püntos e y u, ·y·esta . · · ' ~~rá la perpendicu~ar .que se pide. ' ..f- Demostracion. El punto iJ, -_dista , igualmente· de ,fos, punto~ s y t ,_y lo prop¡o le sucede ~l punto e :.ltiego la CU'. será perpendicular á la ab (art. 172). ' : 177 · Pr-oblema. Dividir una récl'.a-, .ó una porcion de r:ecta, en dos partes iguales por -medio de uná perpendi;.. cular. . . .!. :. . . , + Resolr1cion. Sea st (fig. 35) la porcion de recta que se quiere dividir en dos partes iguales. . • · · - · . ·-· ¿- I •.º l)esde t ; co~110 centro, con ,cualquiera , abertura, de c<;>inpas ( rn_ay9r que la mitad de t s) ,. descríbanse 1~~ arqmtos-om,~dJ.· , · · . ',~•• .¿._.:i.rº Pe.sc;leJ , como centro, -c.on la misma abertu_~a-.de;

,..

DE ~GE'OMETRIA.

eompas, descríbanse los arquitos _ ex; ú'z :·qué t:Ót~eif á .los anteriores. · · ' ..¿. 3. º , Por los 1puhtos ·de · interseccimi e·y p liagase pasat un~ rect.a, que ser~ ·perpendkular á la s.f.,• y fa dívidi~á por mitad en h. _ .:..,.. Demostracion. ·Por tener-.la cp' lós r puntos e FP eq.ui"" distantes, de s y:t. ( por construcci.on), setá ~perptmdicu~' lar' á _st ( art. I 7 2); y no habrá én elta·pu.n to alEuno ,queno-esté,:eguidistan.te de s·y t (art. 175), hrego hs-_hfr y por · lo · tanto la - pbrcion s,t quedará dividid~ ·en dos · ', ,· ~ · · , partes iguales .e n h.:. t+f,178 ., Generalmente ~e··di"oe le':Vantar·un.a perpe11dicu i.ar á la ab (jig. 33) desde el punto u, cuando u está eff 1a mis1ña ab., auhque·f-a perpenaicular .caiga ·hácia abajo)· Cuando eLpt.mto u de ':que ,se ·trata (ftg. 1H)· está iuerá•.. de ,lá ab; .se •suele decir' b.ajár -:i;¡na perpendicular á.' }a ab; desde u ..Lo mejor es decir., cen., todos casos , tirar una per. pendicular á la ab desde tal punto, ó ha.ce{ pasar una perpendicular á la ab pol-, :tal punto. -1 ;._ , """-179· Teorema: Toda ··r ectá que pasando por· el .centro':. de ,un cfrculo es perpendicular .á una cuerda., dividirá ~t_ la cuetda y á s-Niárco en dos partes lg,uales. . · · '.· -~De_mostrácion. Si.la cm (fig. :36) que"pasa por el 'c en. ~ro e es· perpendicular á fa cuera.a ae~ tendrá el punto e;, equidistante de a y e (art. 110).; y (art. 175) 1.10 habrá. en: ella punto aligun0. ,que no este equidistante de ,a y ~ , luego_f U :estará equidistante de a y e' y por -c onsiguiente la:,Guerpa estará. dividida pqr nlitad en u. Tambieil m esa:tará equidistante de a y e. De agui se deduce la igualBad~ de fas cuerdas 'niá, me; y: por ..consig11iehte (arl 11'6) la igualdad ide , los arcos I ma >·me : esto es , -q ue el arco ame estará divididp por mitad enm~ _., · 1 + ·i -r?a ¡ Tearéma., li:.a- riera que siendo perpendicular_ á una cÚetda la divide por rnitád, pasa por el centrn del aic:o. · ',< r·· . . . ' . ~•V Demortracion. Si la recta 111.b (fig .. ~36)', que es perpen~ dicuiar ·.á fa ~cúerda.ae, :.la ·divide ; por.,nütad en u,, el 'pµn ,ii<-- ._ .

••

TRATADO

to r¡ estará equidista11te ,cie á y e·; y' por lo tanto no po• drá haber fuera de la mb punto alguno equidistante .de a y, e (art. · 174). Es asi gue el centro del . arcores un punt9 e9uidistante ~e a y e (_art. ·110): luego la mb ·pasa por dicho centro. . · 181 CoroJario. J?e los dos te_or_ema~ anteriores se sigue que ta perpendicular que divide ·a una cuerda pormitad dividirá por mitad á- su arco. · t'il 182 Corolari?· _Toda .rect~ _cm ,Cftg., .36) que pasando por el ce,ntro e dr~1de Pº! mitad a la cuerda a~ ó al are~ ame, sera perpendicular a la cuerda, r.e·spe<1:to a que tendrá dos puntos e y u ,. ó e- y m / equidistantes de sus extre~ ., ·2 mos a y e (art. 11oy 172.) · +. 183 Corolario.. El radio cm (jig; 36) tirado al punto de contacto será perpendÍcular· á. la tangente / h,. respecto á qm;, esta ~s prolongacion de la cuerda de un arco infinitesimal, cuya medianía está en e1 punto de contacto

- -¡v

-~rt.56 .á61)~- ., t,..

-k!_ 184 Corolario. -De:

_·

fo, establecído (art. 181) resulta que un arco se puede dividir por mitad por el método · del artfoulo 177; y cuando se conoce el centro e (fig. 37) ,. basta hallar el punto t en que se córtan:J G.S' arcos descritos desde a y b con iguale~ aberturas de compas , y tir--ar una recta por los puntos t y C', para que resulte el arco ab'. i - _ dividido por mitad en s (art. 110.) _ ~ 18 5 Problema. Dados tr.es·. puntos, que· no· esten en línea recta , hacer pasar por ellos una circunferencia. -.¡. Resolu'cibn. Sean (ftg. 37) a, b y e· los tres puntos: dados. · ·-t 1.º Unapse (ó írµagínense unidos) dichos tres puntos. con· las rectas ·ab ,. be , que· serán cuer.das de . la circunfe-. renda qu~ ~e ha de desGríbír.. ' . •.' . ...,-- 2.º Div1dase 1a ab por, mitad,- por medio de la per- ., pendicular t¡ (art. 17~)· · • , • -r-3.º Di-y1dase tamb1en l,a be por mitad, por medio d.e. la perpendicular _mq. · . · ,. ,. -,- 4.º El punto,, .en que se ·! ncue_ntran d1chai perpen-.1

DE GEOMETRIA. . _ . 29 dicu'lares fp, mq , será el centro del círculo ; y su radio · será ~la distancia desde e á.cualquiera de dichos tres pun... tos, v. g.. á a. , . . . .. -t Demostracion. Respecto á quelápeipendicular •tp divide por mitad á 1á .cuerda a.b, el centro del cfrculo de.J?erá hallarse .en dkh~ perpendiculár (art. _180). Por seIÍiejal\te razon debe estar .el -c entro en la otra pe.r pendicular mq: luego el .centro .es el punto .e, comun á dichas: clos perpendiculares tp, 111-q. · '. f-.,,,1/ No puede estar .el centro -en otra parte, respectó á · ,que las dos rectas tp, .mq, -.~olo .se -.cortan _-e n un pm;it~ (art. 30). _ . -f ',J¡_ 86 Coral.arios. Luego por tres puntos no puede pasar mas que una circunferencia: esto es : que dados tres pun.:-. tos está determinada la circunferencia que debe pasar por , ellos ; y dos circunferencias que se cortan s0lo podrán te ner dos puntos comunes.

,.,

CAPITULO VI. .

DE LAS LI.NE.AS PAR.ALELAS.

dice-que ~os rectas cd; ab (jig. 38) son par alelas, cuando todos los puntos de la cd es_tán á igual distancia de fa otra ab. · fr(. 188 · Corolario. Si ,dos rectas. son paralelas, las perpenqiculares bajadas .de (odos los puntos de 1a una .á 1a otrat serán iguales entre .sí ·respecto á que -d khas perpendicu- · tares miden las distancias que hay de los puntos de la!una á la otra (art. 170)', y dichas distanda.s .son iguales (art. 187). · -. .>- 189 Teorema: Si dos r.ectas son paralelas, todas las ·... _-perpendiculares á la .una, de ellas cSerán perpendiculares á la otra. -f- DemtJstracion. Supóngase que siet:ido fa- .6d (ftg. 39) paralela á·la ab, J.a.s :perpendiculares á esta no-'lo sean á•.

+- ·187

•'

TRAT APC:>

aquella. Supcfogarrs:e perp,endiculares 1a em -á ah, · la -mn '. á cd ,·y la no á ,ao. -· . _ ... _ . , _ . . , , +19 Por ser em perpenaicular á ab: y mn.obli.cua.á ah, será mn>em ( art., 169). ,~1 ', · . ;_ _;,-:, . · · ..J--29 Por. ser mn· perpendic1,.1lar á cd, y JU> oblicua ' d, será no>mn (art. _169). . · ~ . _. : . ;.--39 Puesto -que:.(num. 19) es mn>_em ,-,- Y (núm. z9) 1J.o>mn , ~s evic,-iepte_q1,1e resulta.rá no>.em ~ esto es, que la perpendicular no bajada de_l punto _o á- la ab- será ma-., yor que fa perpendicular ·e.m,bajaJa~del puntom á la n1~~na_ab: 1,uego las· dista_nGias. de .los P,t:tntos m y 0 á 1a ,ab, no serán· iguales, y por lo tanto las e~, ab no serán para:-r l~las (art. 187); luego dos rectas no· ptfed~n ser parale-\._ · las si toda recta perpendicular ~ la una de ellas no es per.~ _i,endicular á la otra. 1 ; • • _ -t--Jf~ 19.0 Cor.olatip. Sj u11a. recta A _(!S paralela á otra _B,. ' la recta B ·será paralela á A; pue~tQ qlle. las. mismas per~. pendiculares miden Jas distancias iguales de A á B y de

B á A.

·+ 191

. . . . -. · Teorema. Por ·u n ·punto solo puede pasar una pa-

ralela á una recta.

-t- Demostraci'on. Sea ab la·-recrá (ftg; · 3-87 y m el punto. Bájese la me perpendicular á ab; J. todas las p~ralelas á

la. ab que: pasen por m··deberán set- pei:p~n'di<;u1ares- á .me.(art. 1,89 y 164). Es _asi que, por m solo ;puede,· pas,lr una ~ perpendicular á la me ( art. 108): . lu.ego _tarnpoc;o pojrá pasar mas que üna paralela á la qb. ,~ , . ., - . : +., •192 . '·Teorema._Si una mi.sina. recta ,e_s perpendicufar 'á1 otras dos, ,estas será11 par~ldas . , _. . ·. . , .: Demost.racion. Sea la me. (fig; 38) perp~.ndicular álas, q,fa., cd. Si por . r.n ~e , haf;e pasar ! una pai:alela á_la ab, _di~r cha paralela será pe~pendiculár á em (art. 1S9 _y "1.64)~ _ Es asi•que pdr el punto m solo p1,1~de pasar una perpen- ' gigular _á ,m~~(art. 1.68): lut;go,la c.4, _qu~ ~e. supohe·_ pe.';•t pendicular á la rñe, se confunde con la ,paralela á . ab Jtl:".< r~da -porm_:, es,to es, que :cd es. par_a lelª ~ ab. , .... .

r -1_9,3_ . G.9r.olqrio.,_l.)í:! a.qt1i: -~~ d!dµ~e , •qµ~ . d.o~ ~r~-~t.:.J;

DE GEOMETRIA. 31 -perpendiculares á una misma recta serán paralelas 'e,ntre sí (art. 1-64).. '"' ~.0194 Teorema. Si dos re,c~as- son par~lelas á una -f!er• cera, seran paralelas entre s1. · . ..,nemostracion. Si las· ab, fl ( fig. 38) son paralelas á la'cd, tirando una perpendicular á la cd, dicha línea será tambien perpendicular á sus paralelas fl, ab ( art. 189): . luego una misma línea será perpendicular á las jl, ab; y por consiguiente serán estas paralelas (art. 192.) . -1-v_· 195 Teorema. • Dos . puntos ·igttalmente distantes de una recta· bácia el mismo lado, determinan la posicion de la paralela á dicha recta tirada por uno de ellos. -1- Demostracion. Supóngase (fig. 40) que los puntos o y u se hallan á iguales distancias de la fp. Tírese por u la zut Pt:rpendi~ular ~fp; y resultará_ que la paralela .~e sale de o debe cruzar a dicha perpendicular por m~s arfi;: • ha ó por mas abajo del punto u, ó por el mismo punto u. En los dos primero's casos resultaria que la paralela tendria un punto que distada de la fp mas o menos que u: esto es, mafi ó menqs que o, lo que no puede s~r . (art. 187); luego fa par~lela á lafp, que pasa por o, debe •pasar por u; y su posicion quedará determinada ,por la de estos dos puntos (art. 29). , · ·· ~ 196 T éorema. Si á dos .paralelas ·1as cortan ó eilcuen- tran dos perpendiculares á ellas, las cuatro ¡,orciones in. terceptadas -se•r án iguales cada .una á su opuesta. + Demostracio71:. Sean (jig. 38) ab fd las paralelas, y ém, no las perpendiculares. Esta_s serán ·paralelas ent'fé_ sí (art. 193); y las db, cd serán perpendiculares á ellas ( art. L64), luego em ; no serán iguales entre SÍ, por medir ·tas distancias entt<:> las paralelas, -ab, cd; y mo, en se.:. rán' iguales_entre sí, por medir las distancias entre las paralelas em, no. · · _,_ 197 Si á dos paralefas· bd,fp las corta un secante hi:J (jig. 41), esta formará con ellas ocho ángulos, á los cuales se les aplican vari~s denominaciones relativa·s cuan• · · do se comparan entre sí dós á· dos.

, .

. 6

TRATADO

_,., .1.º - Los ángulos formados á un mistno lago · de ·ta se-

, .cante, cada uno con su paralela, el uno en fa parte exterior y el 0tro en la interior, se llaman• correspondientes, ó e:x:terno é interno de un mismo lado. · ·•

, ey

V. g. u y t son correspo~dientes. Tambien son correspondient~s s Y!IJij

m•

•

Los ángulos formados háda distintos lados de ia. , secante, cada uno con su paralela, se llaman alternos internos cuando ambos esta·n dentro; y alternos e:x:tcrnos cuando ambos estan fuera. ,. ,

..;- · 2. º

-f V. g. a y t son alternos ~nternos; y u y o son .alternos externos.. . 3. 0 Tambien se usan las denominaciones de ángulos internos 9puestol · r qe un mism o lado , y e.xternos opuesl0s de un mismo lq,do, que til el explicar, porque no se hará ~1so de ellos en este tratado.

e.s inú-

198 Teorema. Si una se.cante corta. á dos paralelás · l~s ángulos alternos internos serán _iguales entre sí. --,. D emd'Stracion. Sean bd y fp (jig. 42) las paralelas, y h-~.-,;la secante. Tírense las cm, on perpendiculares á las parale:las. Los .triángulos emo, eno tienen ~l lad_o eo comun; y los en, no iguales á sus correspondienres om, me, por porciones opuestas interceptadas.entre las paralelas y sus per·pendiculares ( art. 196): luego .dichos triángulos serán totalmente iguales ( art. ,I 14); ·y por consiguiente serán :iguales los ángulos moe, neo, opuestos á iguales lados; esto es, que los ángulos alternos : inte!nos agud9s son iguales. · · ..:,_. En cuanto á los .obtusos doc, feo tambien serán iguales, por,suplementos de los agudos iguales ·moe, neo, que · . son sus ,contiguos (árt. 148). ~ ,199 Corolario .. Los ángulos alternos externos tambien serán iguales, por opuestos al v_értice (art. ¡_58) de los alternos interno~. . - , 200 Luego se puede decir en general, que los ángu-•· !os alternos son iguales entre sí. · . -+- 20 l' , Teorema. Los ángulos -correspondientes soJ:it igualé. . _,¡.,. Dcmostracion. Sean (ftg. 41) bd,, fp las paralelas, Y hq·. -+'

'i·

DE GEOMETRIA.

la ~ecante. El ángulo u es igeal á a por opuestos á v er~ tic~ ( art. 158.) El ángulo t es igual á a por alternos internos (art. 198): luego los ángulos u y t, por ser iguales á un tercero a, serán iguales entre sí: i:, Por, el mi_smo estilo s~ demuestra la igualdad de los drmas angulas correspondientes. . · t-J 202 Corolario. Se sigue de lo dicho (art. 197 á 20.2-.. y art. 148) que _de los ocho ángulos que una secante oblicua forma con dos paralelas, los cuatro son agudos é iguales entre sí; y los otros cµatro son obtusos, tambien iguales entre sí. +ti .203 En general se podrá decir, que todos los ángulos de una misma especie que una secante óblicua forma con dos ó mas líneas paralelas en:tre sí, son iguales;y los de distinta, especie son suplementos los unos de lo.s otros. ~ .204 Teorema. Si una secante corta á dos rectas fo1.-t- mando con ellas los ángulos alternos internos iguales, dichas rectas serán paralelas. · -tt!_-.:+-D emostracion. Sea (fig. 40) hq la secante, fp, bd las líneas cortadas, y los ángulos- hep, qob iguales. Tírese por o· la mn ·paralela á la fp; y por · lo demostrado ( art• .200) formará el ángulo qom igual á su alterno hep. Pero se ha supuesto quob=hep: luego los ángulos qom, qob serán iguales entre sí, por ser iguales á un tercero hep : luego la bd se confunde con la paralela mn; pues de otro modo resultaria la parte igual al todo: esto es, qob=qom, lo que es absurdo (Arit. 24 y 37). f.. 205 Por el mismo estilo se demuestra que dos rectas serán paralelas, siempre que una secante las corte for.., . mando con ellas iguales los á_ngulos correspondientes, ó los- alternos externos. -t-- 206 Proble~ná. Tirar una recta_parelela á otra por, , · . ~ un punto dado. -+- Resolucion. Sea (fig. 43) ab la recta dada, y o el punto por donde debe pasar la paralela. ~ I . º Hágase pasar por o la secante ht. --· •• '." i

~84

TRATADO

Fórmese el ángulo tod=ath (art. ·159), y la recta cd, que forma dicho ángulo,. ser~ la paralela que se pide. _ ..+ Demostracion. El ángulo tod es igual á su alterno ath, y por lo tanto las rectas ab,, cd serán par-alelas ( ar(. 20~. 2

207 Siempre que para la con.strnccion del ángulo igual á alh se puede describi1· el arco ou con el radio to, se 1'.esuelve el problema con suma facilidad sin tirar lá. secante ht. En lal caso, desde el punto dado o se des,criba con cualquiera abertura de campas el arco et; y fijando la punta en t se describe el arco ou. Se toma la distancia ou, se traslada de t á m, y con esto queda determinaJa la paralela om. · 208 Tambien se puede resolver el problema haciendo el ángulo hoc J_gual á su con·espondiente hta (art. 205)•

Teorema. Los ángulos formados _por das rectas son iguales, á los ángulos de la misma especie formados por sus paralelas, y suplementos de los ángulos de con- - ~·traria especie formados por las mismas paralelas. ,...¡... Dempstracion. Si se trata de los ángulos agudos dem, b{)c (jig. 44) cuyos · lados no se_cortan, prolongado el lado me, resulta que dichos .ángulos son iguales á un ter• cero bom por corr(!spondieQt~s ( art. 201); y por lo tanto ser~n iguales entre sí. El ángulo obtuso sed es suplemento de su contiguo dem (art. 148); y por lo tanto . será_suplemento de su igual bfl,c. -+- Si se trata de !os ángulos obtusos' sed, tab, cuyos lados se cortan; se ve desde luego que dichos ángulos son iguales entre sí, por ser iguales á su correspondiente sob; y por ser s.ed supleµiento de dem, será tambien tad suplemento de dem. --h 210 Teorema. Los ,ngulos formados por dos rectas son iguales á los ángulos de la misma especie formados por. sus perpendiculares, y suplementos de los ángulos de contraria especie formados por las mismas perpenai! ·culares. · ,· . . , + Demostracion. Sean dp, bq (fig. 45) las líneas propuestas. Levantadas las perpendiculares ar, ac desde -.el punto de interseccion, resultarán los ángulos bac, dae , iguales por rectps; y qu~tanto de ellos _la par~e comun ..Jo-209

DE GEOMETRIA.

dae, , quedará bad-cae. Por consiguiente bap, . suplei I mento de bad, será suplementó de cae. Establecido esto, comó todas fas perpendiculares ~ dp son paralelas á ae (art. 193), y todas las perpendiculares á bq son paralel-G$. á ac; es evidente que los lados de los ángulos formados

p~r cualesq1;1iera perpeRdiculares á las dp y bq serán paralelos á los lados del ,ángulo cae; y por lo tanto serán iguales á bad si son de su especie, y suplementos si son de especie opuesta. (art . .209). te 2 1I Corolario. El ángulo formado por dos arcos de círculo será igµal al formado por los radios de ambos arcos tirados al punto de interseccion. ,, _ · . 1 .En efecto (fig . 109) el ángulo for[)1ado por los arcos upe, qel es igual al formado por sus tangentes te, he 1,_art. 63 y 80); y el forma~& -por-dichas tangentes es igual al formado .por los radi~ se, ec, que les son perpendiculares (art. 183). . • ·

212 Teorema. Los arcos de un mismo círculo ·inte-r'.;. éeptados por dos cuerdas· paralelas son iguales. · i ·· ~ Demostracion. Sean (.ftg. 3.p) as, ae las cuerdas; y por ser paralelas se podrá hacer . pasar por el centro la em ·perpéndicular -á ambas (art. 189). Dicha perpendicular (art. 179) dividirá por mitad los arcos oms / ame: esto es, que serán mo=ms y ma=me: luego ' si" de los arcos iguales ·mo, ms se quitan los iguales ma, me , quedarán · iguales los residuos ao, es, que ~ori. los.. arcos intercepti-· . dos por las cuerdaS"-paralelas.

-,;-

CAPITULO VI!. DE LOS ANGULOS lNSCRIPTQS. .

~r~

(

Tod.o ángulo que tiene su vértice en Ja •circu~f erencia, y está . formado por dos cuerdas , se llama án--~ "gulo inscripto. -f-- 2 14 Al ángulo que tiéne su vértice en el centro del círculo -lo llamaremos ángúlo central. -/- .2 l Se dice que un- ángulo insiste [sobre arco' ó

36 . . ',l'~ATADO . . sobre, upa cuerda ; cuando sus lados se _terminan ó pasan por ,los extremos ~,e dicho arco ó cuerda. ' . · · · --+. 216 .T_eorema. Todo ángulo ~ns~r,ipto, tiene por m~dida la mitad del arco ·sobre que msis~e. ·· ,- · + Demostracion. Los ángulos de que se trata· pueden estar formados de tres modos diferent~s. , • +1.º Por uria cuerda ba (fig. 46)., y el diámetro bco, como abo. . / -r 2. 0 Por dos cuerdas que no .comprenden _al centro (jig. 47), como abe. + 3. 0 Por dos cuerdas que comprenden al centró (jig. 47), como abu. .· ,. -4' Cc¡,so 1. 0 En' el caso 1. 0 (fig. 46) tírese el diámetro uce paralelo á la c1:1erda · bd, que formará en el centro c el angulo eco igual al propuesto b por correspondientes ( art. 201 ). Los arcos eo·, bu son iguales, por medidas dy • los ángulos centrales opuestos al vértke eco, bcu ( art. 134) "'tlle son iguales (art. · 158): luego lo mismo es el arco eo que la(mitad de la suma de ·los arcos eo, bu. Por lo tan- -to, se puede decir qt1e el ángulo central eco tiene por medida;· la . semi~uma de los arcos, eo, · bu , comprendí~ .dos entre . sus lados y sus prolongaciones. Es asi que by es igual_á.•·ae ,por arcos comprendidos • entre dos. cuer'd~s _paralelas ( art{ 21 :2) .: Juet o se puede decir que el ángulo eco tien~ por medida la 1;11itad de la _sm:na de l<?s arcos ·eo, ae: o lo que es lo mismo, la mitad del arco aó. De aqui se sigue que el á-ng1,1lo b., que es su igual, tendrá 1 tambien por -medid~ la mitad de'! arco ao sobre que in"!

ili~ . . -t--Caso 2. º En el caso 2 :Q (fig. 47) tírese por b el diámetro bo. Por lo denio~trado en el caso I. º, el ángulo abo Efon11ad,o ,por .la ·cuerda y :el diámetro) tiene _por medi-d<l _la, m_itg.d del arco ao; y el ángul9 _ebo tiene tambien por medida la mitad del arco eo. Es asi que ,el ángulo abe · es i.gl!~l ~bo 1!nenbs :ebo: luegó su •·medida' será tambien la mitad de ao men,os la mitad .de eo ;, ó lo- que es lo mismo, ·la Mittas:l ~e ae. ·Esto es, que ~1 . á1:1gcilo. abe, que. no'"

. DE GEOMETRIA. 87 comprende al centro, tiene · tambien · por medida la ~itad del arco ae sobre que insiste. · ,; . + Caso 3.º Para el cáso 3.º (fig. ·47) basta advertir que el ángulo propuest() abu es igual á la sama de lqs for.mados con el diámetro abo, obu, cuyas medidas son las mitades de ao y ou: luego la medida de ,abu será la suma de las medidas de abo y obu: esto· es: la mitad del arco aÓ mas la mitad de ou, que es lo mismo que la mitad de au: luego el ángulo abu, que comP.rende. al centro; tiene tambien por medida la mitad del arco aou so.-: bre que insiste. · ' + 2 17 Corolario. Todos los ángulos inserí ptos (fig ., 48). iJ, e, d, n, que insisten sobre una misma cüerda ae, serán iguales, puesto que cada uno de ellos tiene por me..; dida la mitad del arco aue subtendido por la cuerda. -1- 218 Corolario. Todos los ángulos inscriptos que insisten sobre el diámetro (jig. 49), como e, b, d, s, son rectos, puesto que su medida es la mitad de la semicircunferencia, esto es, el cuadrante ó arco de 90º. -+ 219 Problema. Levantar una perpendicular en la extremidad de una recta que no puede prolongarse. ' + Resolucion: Si cb (jig. 50) es la recta, y e el extremo sobre que s·e ha de levantar la perpendicular, póngase la una punta _del compas en el extremo e, y la otra en cualquier punto e; y con dicha abertura·arbitraria descríbase desde e el arco indefinido aeum, tírese el diámetro acu, y la ue será la perpendículár. + D .emostracion. El ángulo inscripto uea insiste sóbre el diámetro, y por consiguiente será trecto (art• .218) , a.y la ue será perpendicular á eb~ + El punto e debe estar •mas cerca de e que de b, para que se verifique la interseccion a. 220 Tambien pudiera resolverse el problema levantando la perpen•aicular id desde cualquier punto .de eb ( art. I 76) , y formando despues ,el ángulo beu igual á bsd 6 .á esd (art. I 59): esto es, recto.

+ 221

Teorema. Con respecto á los arcos menores que el semicírculo ( art, 1 15 ) , á menor arco corresponde

TRATADO

menor cuerqa, y ( art. 117) por consiguie,nte á. menor cuerda corresponderá menor arco. , .,-, Demostracion. Sean (jig. 5 1) ase, asm los arcos de que se trata. Tó_mese el arco atp igual á fa semicircunferencia, y tírense desde b las cuerdas que manifiesta la figura. El ángulo bea tendrá por medida la mitad de la semicircunf-erencía atb (art. 216) y por lo tanto será recta (art. 1_._,o y 135); y la ae será perpendicufar á la eb (art. 166): luego (art. 169) ae<au; y con mayor razon será_ ae<am, que es igual á au+um, que es lo que se trataba de demostrar. ·· Es evidente que la línea bm, que 'se· termina en el extremo del arco mayor, no puede caer entre las ba, be, p9rque en tal caso seria abm<ab~ y por lo tanto ~ el arco am (cuya mitad es medida de abm) seria menor que el arco ae (cuya mitad es medida de abe.)

222 Corolario. Con respecto á los arcos mayores que el s~micírculo (art. 115), á mayor .arco corresponderá menor cuerda, y á menor cuerda mayor arco.

CAPITULO VIII. DE LOS TRIANGULOS EN GENERAL.

Res~ecto á que los vértices d~ todo trián~;los son tres puntos que no pueden estar en línea recta (art. 7 4 y 7 5.), se podrá hacer pasar por ellos una circunferencia (art. 185). · ' :-i-224 Teorema. Los tres ángulos de todo triángulo juntos valen exactamente dos ángulos rectos ó 180º. ~~ Demostracion. Sea(jig. 52) abe el triángulo propuesto. . Hágase pasar- por sus tres vértices la circunferencia---abea (art. 185). Por estar los tres ángulos inscriptos en la circunferencia art. 2 I 6), la medida de a será la mitad de bue, la de b será la mitad de esa, y la de e será la mitad de amb: luego la suma de las medidas de los tres án. gulos de todo tri~,?gulo es la mitad de toda la circunfe-r 223

DE . GEOMETRIA. ~9 rencia: esto es, 180º, ó dos ángulos rectos (art. 130 y

13 S ). ' 1o de un . triangulo .' 1 ...,.. :.225 Corolario. T o do angu es supe~ mento de la suma de los otros dos. + .226 Corolario. Conocidos dos ángulos de un triángulo, se halla el tercero sumándolos y restando la suma de -180º. ;¡.,. .227 Corolario. Conocido un ángulo de un triángulo, se halla el valor de la suma de los otros dos restando el ángulo conocido de 180°. +- 228 Se dice que dos triángulos son equiángulos cuando los tres ángulos del uno son iguales á los del otro. _ -t .229 Corolario. Si dos triángulos tienen dos ángulos del uno iguales á dos del otro, tendrán tambien iguales los terceros, que son suplementos de los otros dos: por consiguiente serán equiángulos• ..- .230 El triángulo, con respecto á los lados, se llama . +- 1<? Equiláter'o, cuando sus tres lados son iguales entre st -t- .2? Isósceles, cuando tiene dos lados iguales entre sí. ...;- 3? Escaleno, cuando tiene sus tres lados desiguales. 4- 23 I El triángulo, con -respecto á los ángulos se llama .f--J<! Rectángulo, cuando tiene un ángulo recto• .+-2? · Obtusángulo, cuando tiene un ángulo obtuso. -;-S<! Acutángulo, cuando tiene los trés ángulos agudos. -,.. 4? . El triángulo que tiene sus tres ángulos oblicuos (esto es, todo triángulo que no es rectángulo), se llam~ , oblicuángulo; .y puede ser obtusángulo ó acutángulo. + 232 En el triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa, y los otros. dos Iadq~ que forman el ángulo rectq se llaman cp,tetos . ..¡,.. .2 33 Descrita la circunferencia por los tres vértices oel triángulo ( art. .22 3) , los lados son cuerdas -~e los arcos éuyas mitades miden los ángulos opuestos (arf . .216). + 1 ~ De aqui ¡e sigue que á mayor ángulo correspon7

TRATADO

-de mayor lado opuesto; •é inversa:mente, á mayor lado . , .corresponderá mayor ángulo (art. 221). ~ <;:uando el triáng~lo es obtusángulo, como aue (jig. '48), la cuerda ae, opuesta al ángulo obtuso, subtende un arco menor que el.semicírcul9 igual á la suma de los arcos subtendidos por las cuerdas au, ue .opuestas á·los án. gulos agudos; y por lo tanto, la proposidon es genera,! .. Jj/1,,i,2'? .Tamh>ien se sigue que á iguales fados correspon1:lerán iguales ángulos opuestos ( art. II6); y : á iguales ángulo_s corresponderán iguales .lados opuestos ( art.-_1I 7). -+ Todo esto "se entiende en un mismo triángulo, y no en tr.iángulos diferentes. 1 • • , ;f- 234 Cor-olar.io: El triángulo equílát~to. tendrá su~ tres. ángulos iguales; · y cada uno de ellos valdrá 60° ,. que es la tercera· parte de 180° (art. 224). . t , • ' 2 35 Corolario. Si los . tres ángulos de un triángulo son iguales, cada t1no de ello~ valdrá. 60°, que es el tercio de 180º· (art. 224); 'y el triángu}o será equilátero (art. 117). · · · : f +236 Corolario. En el triángulo· isósceles' serán iguales · - los ángulos opuestos á los lados iguales. : .~ _;,l237 Corolario. Si un triing~lo .tiene_dos_ángu.Jo~igu~~ les, los dos lados opuestos seran ta.mb1en iguales; y por . lo tanto s~rá isósceles. 'f-· . .· ·

_T* +

2'38. Teorema. En el triángulo is6sceles ace (.fig. '36) la: perpendicu• calar CTIJ,, ~jada desda el concurso ele los lados iguales al lado opuesto-ae, ~ dividirá por mitad á dicho lado, y al ángqlo ace, . · ... ' D emos'tracion. La circunferencia descrita desde e con el radio ca debe pasa-r por e ( 0:rt. r I o) ; y por, lo tanto ( art. I 79), la perpend~ular cm dividirá por mitad á la cuerda ae y á sti arco: por consi.guiente ,- los án• galos acm, ecm, que tienen por medidas l?s ar~os am ~ ·11Je, mitadés _ de ama, serán mitades del ángulo ace , que tiene por medida el todo d~ dicho arco, ' , · 239 Corolario. Por el mismo estilo se ~emuestra que lá perpendiéular mo (fig, 36) , qLte divid'e por' mitad al lado oe, que forma los •ángulos iguales del triángulo isósceles ace', pasa p!Jr el ·vértice G del ángulo •opues• to, y lo di vide por mitad, . ·

+< .240 Cor~lario. En todn triángulo reci:ilíneó solo pus; d.e haber un ángulo ~ecto ú ~btus~·; y á 9icho 'ángulo , . ..., 1•

DE GEOM·E TRI~. 41 recto. ú obtuso debe oponerse el mayor. lado (art . .233. núm. 1. 0 ). En efecto, si un triángulo tuviese dos ángulos rectos, el .tercero no valdria nada (art. 225), y pdf consiguiente no habría triángulo; y si tuviese un ángulo recto y otro obtuso, ó dos obtusos, entre los dos valdrían mas de dos rectos, lo que es imposible ( ar,t. 2:24). +.241 · Corolario. En todo triángulo rectángulo, los_ ángulos agtJdos serán complem;emos el una del otip ,._ puesto qt.ie entre los dos deben valer 90° (art. 227), . +- .242 Teorema. La cuerda del arco de 60º es igual al radio. · · · · · · · .. +--Demostracion. Sea mp (ftg. 62) la cuerda dei arco .de '60°; y tirados los rádios- cm,. cp, resultará el triáng~ la mcp, cuyos ángulos en m y p serán iguales, por oponerse á iguales lados. Es asi que la suma de dichos dos ángúlos "(art• .2.27) e~=180º--6 0º-i20°: .luego ca- : da uno de ellos valdrá ·la mitad de 120°, que son 60°: esto es; que cada uno de los. tres ángulos del triángu:Io 7?1cj valdrá 60°: por consiguiente el triángulo _s~rá eqmlatero ( art. .235), y mp=cm: esto es, la cuerda + de 60° igual al radio. · ·· ' + .243 Se llama ángulo externo de un triái:igufo al fc:k• ~ mado por un lado y por la prolongacion de su inmediato, como beh (fig. 53); y se lfa~an internos opuestos los' dos ángulqs del triángulo adyacebtes~aJ-tér-cer lado, como a y b. . . · + .244 ·reoréma. En cualquier triángulo rectiJíneo, el ángulo exter~o es igual á- la suma de sus dos internos opuestos. · · ' · -1-- Demostracion. El ángulo 'externo e (fig.- .f3), juntamente con su cqntiguo e, vale 180° ( art. _148); y tambien la suma de los dos intérnos opuestos a y b, juntamente con e, vale 180° (art . .224): luego (Arit . .25) el ángulo exter_n o e es igual á la suma de los dos internos opuestos a y b. ~ _..... 245 Corolario. El ángulo externo será mayor que úno dé los internos opuestos en el valor del otro inter-

-42

TRATADO

no: esto es, (!Ue e será mayor que a (fig. 53) en -el án• gulo b; y e será mayor que b en el ángulo a. .• -t 246 Corolario. Uno de los ángulos internos opuestos será menor que el externo en el valor del otro interno: - esto es, que a ·será menor que e (ftg. 53) en el ángulo b; y b será menor que e en el ángulo a. ',l -k 247 Teorema general. Dos triángulos son totalmente iguales en los casos siguientes. v --f 1? Cuando tienen los .tres lados del uno iguales á los tres del otro. ·,, 1 2~ Cuando tienen iguales dos lados y el ángulo comprendidos: esto es, el formado por dichos lados. ,,, ..¡-- 3~ Cuando tienen iguales un lado y los dos ángulos adyacentes: esto es, los dos ángulos.formados por dicho ~~

V :-1 4? Cuando tienen iguales uq lado, un ángulo adyacente, y otro- opuesto a dicho lado, con tal que el án-gulo · adyacente sea igual al adyacente, y el opuesto al opuesto. . ; , 5.° Cuando tienen iguales dos lados y el ángulo 9puesto al mayor de dichos lados. . • v 6.° Coando tienen iguales dos lados y el 'ángulo opuesto al menor de dichos lados , con tal qu-e en ambos tri ángulos sea de la misma espe• cie el ángulo opuesto al mayor lado;· esto es, eu ámbos agudo, 6 en ambot obtuso.

~ ,Demostracion. L~s casos 1? ·y 2 '? quedan ya- demos,. trados como lemas (q,rt: 114 y 97 ). -j- Caso 3'? Sean (fig. ·19) abe, ABClos triángulos propuestos, y en ,,ellos ac=AC, a=A y c=C.. Sobrepóngase la AC a la ac, de suerte que A y C caigan sobre a y e, · en lo que no hay dificultad, por ser ig{jales dichos lados ( art. 31 ). •Por ser el ángulo 4=a, ·caerá · el lado AB sobre ab ( art. 96) ; y por ser C-c, caerá el lado CB sobre cb; luego el punto B, comun á AB, CB, caerá sobre . el punto ·b, comun á ab y: cb; y porconsiguiente se ajustarán perfectamente ambos triángulos (art. 29), y serán totalmente iguales (art. f6). ~.¡.. . Caso 4? Sean. en los mismos triángulos (ftg. 19) ,.

.. DE GEOMETRIA. '

"fa

·A C=ac, A=a, y B=b. Por )o demostrado (art. 229) resulta ,á Q_c: esto es, que los triángulos tendrán iguales un lado y los dos ángulos adyacentes, que es el Cf.• so 3'?: luego por lo demostrado en dicho taso serán totalmente iguales. . , Se omite el demostrar la igualdad de los triángulos en los casos Ji,P y 6. 0 , Eorque solo tienen uso. en la práctica ordinaria d~ la N avegacio1;1_, cuando los ángulos iguales son re.etas; y entonces, de la igualdad de la ~-1p_ot enusa y un catr. to se -deduce la igualdad del otro cateto, y por consigiuei:,ite la. de lo& triángulos, como se d~mostrnrá en el artículo 270 • .

CAPITULO IX. · -· DE LAS FIG-URAS SÉMEJ ANTES.

48 Para que dos ~guras sean semejantes {art. ~2) es preciso que sas pumas- tef1Vrt-lá---m-isma-a.gudez_a, esto · es, que sus ángulos han de se-r igúales. ~:, -1-- A mas., es preciso que consten de igual número -de lados, y que los dispuestos del mismo modo en ambas figuras esten entre sí en la misma razon en una y en otra: esto es , que dichos lados han de ser proporcionales: . •

Sean ,por ejemplo ABE, abe (fig. 54) dos triángnios semejantes.Para esto, á -mas de tener los áng_ulos_ A-a, B=h, E-_e, es menester que si EB es· duplo de AE, sea tambien eb duplo de ae; y si AB es i~ual á· una vez y media AE, ha de ser.,ab igual á una vez y _media ae: esto es, que han de ser (Arit. 225 a 23'3) AE ·: AB: : ea : ab, y AE : EB : : ae : eb. •

Pára convencerse de que dos figuras ó ,-.sóÍidos no pueden ser semejantes si no tienen sus 1líneas correspondientes proporcionales, bast~ advertir, que si despues de haber contemplado dos rectas de una figura que es.. tan entre sí v. g. en la razon ·de 1 á 2, consideraQ10s las cor!espondientes de otra figura, que estan entre sí v. g. ·como 'l á 3 , desde luego diremos que el conjunto de las dos líneas de la segunda figura no se parece al conjunto de las dos líneas corr.espondiente de l:i primera : esto es, que notaremos en dicha~ figuras una diferencia independiente de su tamaño absoluto, y de sus propiedades. fisi-

TRATADO .

cas. Por consiguiente dichas figuras ó- sólidos no serán . semejantes (art. 12). ,¡... 249 .Las líneas dispuestas del mismo modo en dos liguras semejantes: esto es, las líneas correspondientes, se llaman homólogas. • , · i- En los triángulos y en general en todas las figuras que constan de un número de lados impar, serán homólogos los lados opuestos á los ángulos iguales. V. g. en el ejemplo ~nterior (art. 248) AB, opuesto al ángulo E, será homólogo de ab, opuesto al ángulo e, qlle es igual á E &c.

25 0 f Teorema. Determinadas las dimension~s A, B C &c. de una figura ó sólido F,. y una dime!lsion a de su semejante ~orrespondiente á A, qtrédan :determinada.s todas las dimensiones correspondientes b, c &c. de la fi .. gura ó sólido f semejante á F. . f-. Demostracion. Por lQ establecido ( art.- 248) debe ser A : B : : a : b; A : C : : a : e &c. : es asi que determil)a. dos los tres primeros términos de una proporcion queda determinado el cuarto (Arit. 251): luego las extensio:. 11-es b , c &c. de la figura ó sólido f estan determinadas. -¡... 2 5 I Para representar una figura grande por medio _ de otra pequeña semejante á ella, que se llama plano, se suele hacer uso de la escala. La escala es una recta dividida en partes pequeñ,as, ca_da una de las cua\es correspqnde á -un _pie, á · una vara, ·á una braza, á una milla &c. de la figura grande, segug la r-elacion :que · tieJ:?-e el tamaño del plano con el tamaño de la figura que re;;_:s;~ta.E~ vi?en~e que. si c~da partecilla de la esca!; representa un pie, cada d1mens10n de~ plano debe conte• ner -tantas partecillas de la escala cuantos _pies efectivos -. tiene en la figura grande la dimension homólo'ga. 'f.. Para demostrar que ejeeutando esto se verifkará la proporcionalidad de las dimensiones homólogas del pla, po y de la figur~, represente _P el tamaño de un pie natu.. ral , p el tamaño de la partec1ta de la escala que represen-. · · ta un pie. Sean A, J3, E &c. varias dimensiones de ~~ ,

DE GEOMETRIA. 45figura, correspondientes á las··a, b, .e, &c. del plano.; y· como se supone qHe A contiene á P el mismo número. de veces- que a conti.ene á p &c., es evidente (Arit. 2:2s: á 234) que serán .

P:A::pa} · {P:p::A:a P : "B : : p b y alternando P : p : : B : b { P:E::pe P:p::E:e &c. &c. Por la igualdad d~ las primeras razones ( Arit. 2 s y 2 53) serán A : B : : a : b.. ... . A : E : : a : e , y asi de las de~as: esto es, que las · dimensiones del plano ..estarán eritre sí en la misma razon que sus correspondientes de la. figura grande. · -}2 53 Con el plano, acompañado de escala, no sólo se_puede formar una idea exacta de la disposicion y proporciones de la figura representada, sí que tambien se concibe su tamaño natur-al. En efecto, viendo cuántas partecillas de.:Ja escala contiene una abertura de compas igual á la dimension a del plano, se sabe de cuántos pies consta la dimension A correspondiente de: la figura ' grande. - · · + 254 La representado~? plano se dice que es de pún. to mayor, cuando las partec1llas de la escala que representan.los piés son grandes, y se dice que es. de punto menor cuando dichas partecillas son peq·ueñas, 1; . Y i-2-55 Para acostumbrarse á comparar baff\ las figuras . semejantes, conviene que al formar las· proporciones se distingan con los nombres de·_priinera y segunda ·, ú otros equivalentes; y tambien debe tenerse presente que la ª?ªl<;>gía ~olo se puede dispo'ner de los dos modos que siguen. · ~ l '?. · Tornando los dos an~ecedentes en la primera figura ; y los dos consecuentes en la segunda; y entonces se dirá. · '(.:Y U~a dimen~!on_ ~uaJqt1iera de J a P,rime~a figura e.s j

- 46 TRATADO su homóloga en su segund"a, como otra ·cualquiera dimension de la primera iigui;a es á ·su homóloga en la $egunqa. · '"'f.. Cambiando los números de. las figuras: esto es, em.. pezando por la que antes se llamó segunda, y llamándola primera, se invierte la proporcion. 'f:f 2<? Tomando los dos términos de 1~ primera razon en la figura primera, y los de la segunda razon en la segunda ; y entonces se dirá f-11 UJ?-a di~ension cu_alquiera . de. la primera figur:1 es á otra d1mens1on cualquiera de la rfl1sma, como la d1mension de la segunda figura homóloga al antecedente dela primera razon, es á la dimension de la segunda figura homóloga al co~secuen_te ?e la prime~a razon. ">'... La proporc10n se mv1erte del mismo mocfo que la del número 1<? •

256 Para aclarar esto con un ejemplo, sean (.fig. 54) los trián~u1os semejantes ABE,, abe, en los cuales se suponen señalados con las mismas letras los puntos correspondientes. t . 0 Se dirá comparando segun el primer modo, ab (lado del primer triángulo) es á A.B ( su hom6logo en el segundo) , como be ( otro lado del primer triángulo) es á BE ( su homólogo ea el segundo): esto es, ab : AB : : be : BE. • 2.0 Si se dijera ab : BE &c., esto seria empezar mal, porque dichos lados ab, BE no son homólogos. 3.0 Si se dijera ab : AB : : BE &c., tampoco se compararía bien, por tomarse el antecedente de la segunda razon •BE en el segundo triángulo. ' _ · 4.° Comparando_segun el segundo modo, se dirá ab (lado del primer triángulo l ~s á be ( otro lad~ del mismo) :como .A.B (lado del segundo triángulo homólogo :tl antecedente de la primera razon, que ~s ab) á JJE ( lado d~f segundo triángulo homólogo al consecuente de la primera razon, que~ be): ·esto es, ab: bq,; :; AB: BE. · 5.0 - Si se dijera v. g. -ab : be : : BE &c., se compararia mal, porque el antecedente de la segunda razon (BE) no seria homólogo al antecedeDte de la primera (ab). · 2 57 Para no cargar la memoria en acordarse de los ángulos~ iguales de los triángulos semejant~s, convi~ne el irlos senalando ( al paso que se va deduciendo su 1gual-dad), v. g. los dos primeros con un arquito, como se ve en b y B (fig. 54); lo~ dos ,egundos con una rayita.

•t

~7 como se ve en a y A; y con esto se sabe ,que son iguales los terceros que quedan sin señalar e y E. Acabado de nombrar el lado que es término de la proporcion, conviene añadir opuesto á tal ángulo, pu~s estando estos señalados, como se acaba de decir, se ve si san homólogos ó _!lo. 258 Tambien se puede recurrir en muchos casos a'1.- -t arbitrio de señalar los puntos de una figura con. las letras' may1ísculas iguales á, las minúsculas con qu.~ se hubiesen , señalado sus correspondientes en la otra. 2 59 Si los triángulos estao construidos con propie~~-( dad , y las diferencias entre ~us lados son considera,ble~ se pueden tambien_distinguir con las denominaciones de -lado mJJ:or, mediano y menor; y con las de hipotenusa, cateto mayor y menor, si los triángulos son rectángulos. Todo esto se comprendení m.ejor con las aplicaciones á los casos que vayan ocurriendo. · 260 Axioma. Se puede concebir una figura semejanté á otra, de cualquier tamaño que. sea; y }o propio se en,'tiende de los sólidos. · Esto es, que si una figura tiene un lado A, de cual,quier tamaño que sea , puede· existir otra figura semejante á ella, en la cua! el lado correspondient~ á A tenga otro 1 -valor a, cualqmera que sea. • 261 Corolario. Si una figura f tiene una pane p se~ ·mejante á la parte P de otra figura F; dichas figuras se~ ráp semejantes, siempre que dichas partes p y P sean ta.:. )es, gue determinadas ellas queden determina.das. las figu,' ras f y F: esto es, que serán semejantes dos figuras f y F, · siempre que resulten iguales en el caso de supon:er-se igua:• ·: les la partes que tienen semejantes en.tre sí'; y 1o mismo s_e entiende de dos sólidos. . . En efecto, para construir m1a figtfra ó sólido f se,. mejante á otra figura ó sólido F, se empezará haciendo ,.;v. · g: un lado ó elemento• del ta.maño dado a. La ex-tensi;.o.n . de otro lado ó elemento b se hallará diciendo A: a: : B: b, la de~ lado. ó ~l~m~ntQ e ,se h~llará dicie~:. .' 8 . DE GEOME.TRIA.

48 I

•

TRATADO

do A: a: : C: e, y asi de los demas; y disponiendo estos elemel)tos del mismo modo que los correspondientes de la figura o sólido F, se irá formando la figura o sólido f, semejante á la figura o solido propuesto (art. 248). ' Cuando el número de partes menores, ó elementos a, b &c. sea tal que la parte p que resulta de su conjunto determina la figura ó sólido f, ya no estan en el ar.bitrio del que la construye los tamanos y disposicion de los elementos restantes: luego estos resultarán por preci.sion semej:rntes á los de la figura ó sólido F; pues de otro modo no seria posible el hacer una figura ó solido semejanr e á F, con el lado a seKiejante á A. 2ñ2 Todo esto se comprenderá mejor con las dos aplicaciones siguientes. L.ª Si dos lrián~nlos ABE, a"he ( fig. 54) tienen dos áagu!os iguales, v. g. a= 1. y e=E, le,,clrán semt>jantes las partes P y p compuestas de los la:los AE, ae ( art. 3R) y de los á • , ;t1!Js adyacentes ( art. 248 ); y como estas partes deft>rmiuan los triángu'.os (art. 247 núm 3."), dichü!i tr.i,iúg;ulos serán pr<"cisamente Sf'mejanles. En eFeclo, para formar sobre l.1 ae uu triángulo semejante al ABE, se deberá hacer i,l ángulo a= .4 ., y t>l ángulo e=E. E; asi, qL1e construidos dichos ,íngnlos, q 1eda determinado el triáugulo, c¡mi debe ser precisámeale el a/Je (art. 247 núm. 3 º): lut>go el triángulo al>e es semt>jante á ABE , pu~ de otro modo no se pod1·ia construir un triángulo semejante ~A-BE, qne ttiviese u11 lado d.-1 tamaiio ae. 2.ª Si un triáugLtlo a/Je (qne llamart>mos /) tit>ne el ángulo b igual al áoa-ulo B del triángulo A BE (que llamaremos F) .Y los lados ha, he, qne for~an dicho án~nlo del trián¡?;ulo f, son proporcionales con los correspondientes del tr,án~ulo F: dichos triángulos serán St'_IDt>jantes, r ..specto -p. que tienen semejantes las parles P y p qt11! los determmau (art. 97) . En efecto, para formar un triángulo sem .. jaute al A]lE sobre _un lado ab, se debe formar l'l ángulo h=B, y el lado he deb~ hacerse 1gt1al al enarto término de la proporcion AB : ab .= a- (art. 24~); y co~o be .se supone que es igua~ al .cuarto término de dicha proporcwn, es ev1denfe que el triángulo st>mt>janle al ABE debe l_ener 1~ .~arte compuesta de los lados ab, be, y el ángulo/, enleramt>nle igual a chcha parte P. del triána-ulo ahe: luego (art. 97) dicho triángulo semt>jante á Fes el mismo abe ,ºpues de otro ~odo no se podria construir un triángulo semejante á Ji' sobre un lado de la extension ah •

.BJ: : :

..f-263 Corolario. De esto y de lo establecido sobre la igualdad de los triángulos ( art 247) resulta que dos· triángulos serán semejantes en los. casos· siguientes.

DE GEOMETRTA,

-# 1?

Si tienen los. tres ladQs del uno proporcionales á los del orro . .;,- 2? ·Si tienen dos lados del uno proporcionales á los ' dos del otro, y los ángulos formados por dichos fados iguales. -,f 3? Si tienen dos ángulos del uno iguales á los dos del otro. . 4. 0 Si tienen dos lados del uno propnr ~innales á los del otro, y los á ngulos opues tos al rna_ynr de dichos lado~ i~nal,•s. 0 5. Si rieuen dos. la los. dd trno proporcion al,,s :í los ri el otro , y los án-. gnlos opuestos al menor de dichos lados. iguales, con tal que seau de la misma espPcie los ángulos opnesfos al lado m;,¡yor.

°j- 264 En el caso 3<? las partes sen\e¡~nt~s P y p, que determinan los triángulos F y J, son los, de~ ángulos igual~s y el lado que los forma, porque todas las rectas son _ semejantes (art. 38). Los demas casos nQ necesitan de aclaracion. -1-26 5 Teorem,a. Si eqtre Jos dos lados de un. triángulo se tira una recta paralela al tercer lado~ resultará un triár. .. gulo parcial semejante al rotal, . . + Demostracion. Sea (fig. 54) ABE . el triángulo de que se trata, y ms la parakla á AE,-Los triángulos ABE, mBs, tendrán el ángulo B comun; y los en E y s iguales por correspondientes, resp~cto de la secante BE (art. 201) : por consiguiente serán se1-11,ejantes ( art. 2-63.

.../

, 3º) num. . . _;;:,¿ . * 265 Teorema. Si entre dos líneas 1B, EB (jig. 54),, que prolongadas concurren en un punto B, se tiran va- }iias rectas paralelas entre ~í, las porciones correspondientes de una y otra línea interceptadas entr;e las paralelas, ó entre una paralela y el punto B, serán propor<;ionales. _ -;- Demostracion. Sean ms, nt, AE las paralelas i y por lo que sé acaba de demostrar, los triángulos mBs, nBt, 4.BE serán semejantes entre sí; y tendrán sus lados homólogos proporcionales: esto es, que será BE : Bt : : BA; Bn. Dividiendo y comparando con los consecuen• tes (Arit, 255), ser~ BB-Bt: B t : : BA-l3n ; Bn :' es•

TRATADO

to es, tE; Bt:: nA : Bn, .alternando -(Arit. 253.) tE:

nA:: Bt: Bn.

· -r Tambien será Bt : Bs : : Bn : Bm; que dividiendo. y comparando corí los antecedentes es Bt-Bs : Bt : : Bn -Bm: Bn : esto es, st: Bt:: mn: Bn, y alternando-si-: mn: :-Bt: Bn. Se dedujo que es tE: nA':: Bt: Bn: luego por ser iguales las segundas razones de ambas proporcio-· Hes, lo serán también las primeras : esto es, si ; mn : : · tE: nA, que es lo que se trataba de demostrar. -f., -l-/ 26.7 T eorema. En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual á la suma de los cuadrados de los dos catetos. -:f- Demostracion. Sea (jig. 55) abe el triángulo rectán-gulo en b, y bajada la perpendicular be desde · el ángulo r-ectG> sobre la hipotenusa, quedará diyidido t::n dos triángulos aeb, eeb, que llarnaréroos triángulos parciales de la izquierda y de la derecha. El de la izquierda tiene el án--, gulo aeb igual al abe del total, por ser di~hos ángulos rectos, y el ángulo a es comun á los dos triángulos. Por consiguiente serán .semejantes ( art. 263 núm. 3? ). El triángulo de la derecha es tambien semejante al total, por tener el ángulo e comun, y los eeb, eba iguales por rec-· tos. De aqui resulta que los triángulos abe, aeb, eeb son _ semejantes entre si; y por lo tanto tendrán sus lados homólogos proporcionales ( art. 248 ). Por consiguiente ser.á ab ( hipotenusa del triángulo de la izquierda) á ac ( hipotenusa del total); como ae ( cateto mayor del trián-4., . gulo de la izquierda) á ab ( cateto mayor del total): esto es, ab : ae : : ae : ab. --r- Es asi que en toda proporcion son iguales los produ~ de medios y extremos ( Arit. .246): luego será ábxab=aexae. ,__¡-- De la semejanza del triángulo de la derecha con el total se deduce por el mismo estilo que es bcxhe=ac xe·e. :¡-..: Sumando las cantidades de uno y otro lado (Arit 26), .ser.á :abx.ab+bcxbcc.twxae+ac x.ec, y por ló -demos•

✓

DE GEOMETRIA.

trado en la Aritm.étka ( Arit. I o 5 y 1.0 6) será ab x ab + 1bcxbc_= ac x (.ae+ec) e6to es~ ab x _ {)b + bt x be= ac , xac; y lo que .es lo mismo ( Arit. 209 á 2 1 9) 1Ser;á ( ahY +(bc)•==sact~ que es lo .que ,Se .tr~t~ba .d e de~os~rar.

-f. _

· Esta prop1etilad -interesante, -cuyo descn·l;ll'lm1enl0 se debe a P1tágoras, es de muchísimo uso en todas las matern;íticas ~ y por fo tanto conviene ten~rJa muy presente.

...,_. 268 Corolario. Si conociendo · los valores de los dos catetos se- qufore hallar el de la hipote-a usa, no habrá que , hacer mas ,que cuadrar los valores de .tos ..catetos ( ex pre-, sados en las mismas unidades), ·s umar dichos cuadrados, y extraer la ,raiz cuadrada de la suma. V. g. Si un cateto es= 3 y otro= 4, será la suma de cuadrados 9+ 1 6=25, cuya ra.iz cuadrada 5 ser.á la hipotenusa. ., · · Si la suma de cuadrados no ti ene ra.iz cundrada exacta (que es lo .que sucede las mas veces) se puede halla1· la miz aproximada :Pºr el metodó sáls-ido. {Af'it. °32i8.) · .

Corolari-0. Si conocie-ndo los valor.es -cle 1a hipotenusa y de uno de los .catetos, se qui~re -hallar el v.aior dd otro, se cuadrarán separadamente los valores de la · hipotenusa y del cateto conocido, se hallará la ,diferen. cia ,de dichos cuadrados.; y Ja raiz -cuadrada del residuo sera el valor del ,c ateto ,que se trata -de determinar. -+- .269

V. g. Si la hipotenusa es

.5., .Y el ·cateto 4, -iterá el otro cateto=

(' 25 - I 6) t = 9½=3. Aunque e1 residuo no tenga r;iz cuadrada exacta, se puede_· hallar sn valor, .con c~ianta aproximacion se guiera) por el método sah1d0. (Arit. 328.)

-k1 ·270 Corolario. Todos fos triángulos rectángufos que tengan iguales las hipotenusas y uno de los catetos, tendr-án el otro cateto igual, y por l.o tan.to serán totalmente i_guales (art. u4).

CAPITU-LO X. '-

+·

271 -

·'--

DE LOS CUADRILATEROS Y l'OLIGON-0S.

-Se dijo (art. '77) qHe la ñgura ~rectil.ínea mas.

·s encilla es el triánguloA

TRATADO

_.,. Despues del tr i~ r:gulo, la figura mas sencilla es el cuadrilátern o figura de cuatro lados (fig~ 56, 57, 58, 59, 60y61 ). -t- 272 El cuadriLi tero se lfama --1- 1? Trapezoide j, cuando no tiene lado · alguno paralelo á otro (jig . 5 ~,) . ....J-2? Trapecio, cuando solo tiene un lado paralelo á su opuesto (jig. s7). +3? Paralefógramo, cuando tiene cada uno de los lados paralelo á su ,opuesto (_fig. 58, 59, 60 y 61) . .-J-2 13 El para_ldogramo se subdivide en __,,.. 1? Ob!icucíngulo, cuando sus ángulos son oblicuos (fig. 58 y· 59). ·· ~ _. :J.'? Rectángulo, cuando sus ángulos son rectos (fig. 60 y 61) ...;-27 4 El paralelógramo oblicuángulo se subdivide en ...rl? Rumboides' cuando los lados que forman un mismo ángulo son desiguales (fig~ 58). ...-- 2? Rombo, cuando los cuatro lados son iguales

(jig. 59).

-f

. .

El rectángulo se subd1v1de en + 1? Cuadrilongo, cuando los lados que forman un mismo ángulo. son desiguales ( jig. 60). -¡- 2'? Cuadrado, cuando los cuatro lados son iguale~ 27

(jig. 61).

+2 ·-6

Por esta razon se puede decir, que el cuadrado 1 es una figura plana terminada por cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos. + 2 77 Se llama base de una figura el lado sobre que se considera formada. -,-~8 Eo los rriánguios se llama altura á la perpendicular á la base, ó ~ su prolongacion, bajada desde eLángulo opuesto. . f 279 En los paralelógramos se llama altura á la perpendicular comprendida entre dos lados, que se suelen llamar bases, y se distinguen con las denominaci9nes de: infet°ior y szperior.

DE GEOMETRIA. 53 En los trapecios se sude entender por altura la perpendicular comprendida entre los dos lados paralelos, que se dt'.'nominan base mayor .Y base menor. -+ 28 r En toda figura rectjlínea, se llama diagonal á 1a recta tirada de un ángulo á otro, que no sea el inme• diato.

..J- 280

282 V.g. en la figura 55, si se consirlera e:l tri~ngnlo ª"l?.formado sobre ,.} lacio ne, será ac la base, y he la ali ura. S1 en el triangulo abm (.fig. _69) $e con<Í:-l;ra am corno hase.' la altma será _h.z. , S1 eu el paralelo~ramo _asuma (fig. 68) se cou;1dera am como hase, la a·ltm:a será uz, ó em, ó ha. L:1 e.z ( fig. 70) es la altura _del trapecio ahe_u; ea es diagonal; be base ment,1, ; y au base mayor.

~v 283

Cornlariu. En los rectángulos, la altura es el lado adyacente á la base -; y en los cuadrados, la base y altura son iguales. -t-284 Teorema. La diagonal divide á todo paralelógramo en dos tri~'.ingulos totalmenre íguaks. -+- Demostracion. Sea ( fig. 63) aebm el paralelógrarno. Ti-rada la diagonal ab, resultan los triángulos aeb, abm, qu~ tienen el l,1do ab comun. El ángulo abm es igual al bae, por alternos respecto de la secante ab ( art. 200); y lo propio les sucede á' los abe, bam: luego los triángµs· los son totalmente iguales (art. 247 núm . .,3<:); y lo mis_mo se demuestra tirando lf! diagonal de e a m. :_ -¡, f .28 5 . Corolario. En todo paralelógrarno, serán iguales entre sí los lados opuestos; y lo propio les sucede á los ,vi ,,. ángulos. -1-286 Teore'nfa. Todo cuadrilátero, que tiene los lados ·, opuestos iguales, es paralel-ógramo. A- Demostracion. Sea (jig. 63) aebm el cuadrilátero, cuyos lados opuestos se suponen iguales .. Tirada la diagGnal ae, resultarán los triángulos aib, amb, que tienen sus, ·tres 1lados iguales; y por lo tanto serán totalmente iguales (art. 114): luego los ángulos ahnz,, bae serán iguak,s; y como estos ángulos son alternos, las ae, bm serán paralelas (art. 204): luego los ángulos abe, bam tambien serán iguales; <y por lo tanto serán tambien paralelas las

TRATADO

eb, am: luego el cuadrilátero aebm tiene sus lados opuestos paralelos, y por consiguiente es paralelógramo. l, 1'_287 Corolario. Los rectángulos de igual base y altura son totalmente iguales, puesto que tienen todos sus lados y ángulos iguales. . X Dicha igualdad se puede demostrar por superposicion, por el mismo estilo que la de los triángulos ( art. 247 ca,so 3'?). _ jJ'- 288 A las figuras de, mas de cuatro lados se da el nombre general de polígonos~ y en rigor tambien puede~ llamarse polígonos. el triángulo y cuadrilátero. -r El polígono de cinco lados se llama pentágono, el de seis exágono, el de siete eptágono, el de ocho octágono, el de nueve eneágono, el de diez decágono &c. ; pero no hay inconvenien_te en decir un polígono de seis lados en vez de decir un e:r:agono; y lo mismo se entiende de los <lemas. _ -f- 289 Los polígonos en general se subdividen en regulares, cuando tienen iguales todos sus lados y ángu.los; é irregulares, cuando les falta alguna de estas cir... cunstancias. + 290 A mas, se llaman simétricos los polígonos que tienen sus lados opuestos paralelos. , ..29 r . La circuofereuci~ ~e puede considerar ~omp1;1esta de un número iofimto de puuto3 e.qu1d1stautes; y se puede 1mag10ar (art. 54 y 55) que 'cada dos :pnutos inmediatos componen una recta1 fofinitesimal. Dichas rectas infinitesimales seráu iguales, y los ángulos formados por cada dos ,de dLp se puede decit· que tendrán por medida la mitad de la cirCL{ufe.reucia, menos los arqnitos diferenciales subtendidos por ·dichos lados ( art. 2 1 6).

De estas consideraciones resulta que el círcul~ se puede considerar <,orno tin in/iriitár~gulo regular: esto es como un pohgono 1·egnlar de un .n,{\inero de lados _infinito. , · , 292

~e dice ·qt_Ie un po~ígo:10 está_ i!Zscripto ~n un , círcuto, o que el circulo esta czrcunscrzpto al p.oligono, -cuando los vértices de todos los ángulos están en la cir' 'c unferenoia. · . . ~ •Se dice:que un polígono está circun~C~Jrt-o á un drcu-

----+--293

DE G.EOM~TRIA, . 5S l'O, ·ó que el cfrcufo está inscripto.en el polígono.,. c_qa_ndo

todos. los la.dos son tangentes. á la drc;unfei:e·ncia . .A.si,. el exágono .zmprs.r_z_ (.fig.. 6:ü esta.rá i,asci:ipto en. ei cfocufo '"mn &c.; y el exágono haq/ogh e~lará circunscript.o á dich.o círculo. 2.9 4 La recta cm, ri.rnda desde el cen.fro al \'.érti¡:e d.(' un ángulo del polígono regular, se l}ama r:adiq_ mayor, y es el ra_djo det círeulo cii:c11~~ cripto.

295 La perpendicular cb, tirada desd.e. el cen.tro al la.do del polígo• no reg,ula.i: ,. se llama. radi,o menor ó apotema; y es, eL ra,dio, del círculo inserí p.to.. . • 2.06 EJJten.di'd'o ~sto,. es fac-il de comprendei:-coroo, se lia podido, de ... t.ermiaa.r la relacioo en.tt·e. el diámetro. de un. circml9 y la circunf.erencia, con mu.chísima aproxi.rua.ci.o n, por el m.~t-odo siguiente. · 1. 0 Sea· ( fig. 62), e el cen.rro el.el circulo, et perpendiculai; á ~m, y cu perpendicular á tm. Si .zm es el lado del exá¡?;ono regu a1:, el arco .ztm, · será igual á. '36.oº· parti.rlo,'l por 6, que es igu.il á 60°,: esto es,. que. .zm será cuerda del arco de 60°, que por lo dicho (art .. 242) ser~ igual al ra•. dfo mayor em, ~. 0 La perpend-i<mlar cbt divide por m,i lad- á la-enerda .zm. y á su ar.. co .ztm (art. 179) :· por cousi¡?;niente, si se s11pone el radio del cí.rculo cm:=zm=c 000000, será bm=5ooooo. E,tableci'do esto, por s.-r e1 tri~ggulo chm rectáognlo eo h, con los valol'<!s de bm· y cm se podrá hallar ·· el del radio recto ch, con cuanta, aproxim11_!':ioa se qui.era (art. 269); y .cb, restado de et, dará el valor de la p.irte ht. · 3. 0 Por ser .zl~m , lil cueccla tm será lado del poVgono. inscripto de doce lados. En el" triángulo rec-rángnlo mht se conocen lo~ ca~etos ~m y .bt, y por lo tanto se ·pO!lrá• det-erminar- el v¡¡-lor d'e la h1·potennsa )119 (art. 268) , y el de su mitad em. 4.0 C.on este valor aproximado., y el del radio cm, se podr.á detem1i11a:r ce en et triángulo rectángulo cem. La perpendicular' ce es radio recto. del polígono de doce lados. y restándolo de- cu r'ernlrará conocido eu. 5. 0 «:;on eu y _efT! se _hallará por el mismo e =rilo el la~o del polígon~ de .2-4 ladbs; .Y as1 s~1ces1Vamenre"liasta hallar el valor del lado el.e 110 po... ligona inscripJo <;le un ¡?;ran número de lados. 6.C> El valor del lado, multip\.ic-aclo p01·- el númer·o de lados, maní._ festará el valor del perímetro del polígono correspondiente al radio mayor 1000000. Si el número de bdos es- mu_y crecido, el perlmeh·o del polígono no diferirá sensiblemente de la circunfer.-ncia; y por 1o tanto, se _t~ndrá por esl·e- método. el valor de la circunferencia correspondiente al rad10= 1 oooooo, con tanta mas aproximacion cuanto ma_yor fuese el n.1i-. ~ero de l_:1dos del polígono cuyo perím.e.tro se su.pone igual. al del círcule> ~ircunscr1 pta. 297 Con la inspeccion de la- figura, y los principios establecidos, 1e. ~emprende q,ne si hay un polígono inscripto y otro circunscripto de 1gual número de lados, será cb (radio racto del imcripto) á et (~adio del círculo) como bm ( mitad del lado del polígono inscripto) á ta (mi-

-56

' TRATAD-O tad <del lado del circn-nscripto ). Multiplicando á bm y 'ta pou un mismo número ( qne es el duplo del número de lados) resultarán los valores de lrs períi;netros de dichos :pol~gonos. Por lo tanto (Arit. 257 núm. 2.0 ) se- . rá en general, el rad10 1·ecto .del polígono 1nsc;r1pto al radio del cíi:cuÍt" como el pel'Ímetro del polígono inscripto al ,p erímetrn ,del ;polígono circnnscri pto del mismo númer-o de lados.. Po.r este método se ·pnede hallar el perímetr9 del polígouo circnnscripto, correspondiente al ins.cr,i pto ,que se sup_one igual -:;i la ,cil·cunfc-r encia con mucha aproximacion. • .29·8 Como la circunferencia es mayor qu~ el perímetro del poHgo!.' no inscr"ipto, y menor que- el perímetro del circuuscripto: si estos· dos difiel.'en 'entre sí , v.g. en una millonésima, -es evidente que el valo1· hallado de la circunferencia debe diferir del verdadero en menos de una millonés~ma, luego no solo se .puede ha1lar por- -este método la 1:elacioa aproximada del radio con la circunferencia, sí qL1e se puede asegurar que el _error ~o ll!!ga á una cantidad determinada:, v. _g • .á un milésimo, á .tl~U m1llonés-mfa &c. Por este m.etotlo y por otros mas ,exped~~s se ha hallado que ,' 299 'Suponiendo que el diámetro ,es la unidad .., ·fa circunferencia vale 3'1415926536; y basta tornar las tres primeras cifras 3'14 para obtener los resultados -con menos de un milésimo de error. Haciendo uso de cinco cifras, será 1a- circunferencia _3 '1416, ieon menos de tres millonésimos de error. .+JI Conviene ~prender de memoria d número 3'_r.~p6, por el mucho uso que se ·hace de la relacJon del diámetro con la circunferencia.

·z oo ,Como el radio .es mitad .del diám~t¡,,o, ·se -deberá suponer ~1 a-a-

dio = 2-.cuando .se ·suponga ~a ~ircunferencia=3'1416; .Y por lo tan.z to, ,p ara determinar el número ,de grados de un arco :igual al radio, se·di¡•{i 3'1416 : 360°

;

~ x= 57~3 -coll' :corta .diferencia~ ,esto es, ,que

,. ' El'-arco <le 57º3 es "igual alradio del .círculo con ,corta .diferencia. ' -f.-· 301 Teorema. ·r ,odos los drculos ":son -figuras -seme,1antes.. .. -\- Demostr.acion. Los radios ·son líneas rectas, y por con·sigtfiente semejantes ,(art. -3 8), ·es .asi ,que .de .la ·igualdad · de los radios ·se ·sigue la igual,.d'ad •de ;os d-r.cu1o~ { ~rt ~ 09): !luego ,todos Jos drcul9s -seran :seme,1antes entr-e,s1, puesto

57 que tienen semejantes las partes p y P que los determi• nan (art. 261 ). ~ 02 Corolario. De aqui resulta. que los círculos. ten9 sus dimensiones. homólogas. proporcionales:. esto es, . dran los radíos, diámetros, circunferendas• , cuerdas y arcos de igual número de grados (art. 248). · ..,- 303 . Corolario. Siempre g1Je se conoz.ca el diáme-. tro D de un círculo, expresapo ep cualesquiera unida-, des, se podrá hallar el valor de la circunferencia C en las mismas unidades, diciendo r : 3'1416 :.: D :_C~D x.3,1 4 16,. --4..,;f/ 5~4 Si lo-_ qne se con:oce es el radio R, por cuanto. _es, 2R = D; ,

DE ·G.li:OMETRIA. ·

se dirá: I : '3'1416:: 2R: C=Rx6'28'32. . '3o5 Si se trata de determihar la extension E de un, arco. de un, deter"!'

' d e grª d os G, se. d'ira' 07v 6oº· : G : :, -C· : E :::::: G:xC ,, Y su~ · . minado. numero

360

DxGx'3' 141 6 tituyendo el valor hallado de C (art. '3o'3) • sel'iÍ, E=. C!l . 36 =o,008727xDx<3:- (Arit. 14'3).

ao6 Corolario. Siempre qne se conozca la circnaferen.cia C- de un círculo, se pnede determina-i' el diámet1·0 D diciendo, '3' 1416.: l. : : C;iJ? 1xC I ooooxC . · = - - '3'1416 ::::::o''318'31xC (Arit .. '321 y 14'3)., '3'141 6 Tomando la ~itad del yalol' de D, se te~drá, ~onoci?o el ra~io R. , '307 Corolario. Conocido el arco E de un dete1:1mna.do numero de grados G, se puede determinar el radio. diciendo , G ·: 57º 3 :, : E : R

=- · .

,f-' ---r

Ex57°3 =---(art '300). G . -\- '3.o~ Si lo que se conoce es la ci.rcunfe1·encia • será,. G='36o; y si lo que se conoce es. la extension del arco de qn graclo, será B-= I, y · R= Ex 57°3 • con. diferencia de un diez mil ésimo. Por consignie1c!_te1 si un grado tiene la., extension de--20 leguas, el radi·o tendrá I I 46, y ..el diámetro 2292. La primera de estas dos. cantidades es la distancia' qne hay desde la supel'Íicie hasta el centro \.de la tierra; y la ,segunda es.Ja longitud de la recta qué atraviesa á la tierra de parte á parte, pasando poi: ¡llu centro. ·

lrRAT.ADó

\.CAPJTULO XI. . "DE LAS SUl'ER:FICrES _PLANAS.

-superficie de ,una figura plana se ~,ent,i ende el . .espacio comprendido entre .las Jí.n.e~s que la ternuna.n . ..:¡.. .3:r.o Co:rolari0. Todas fas figuras totahnente iguales esto 'es, todas fas figuras iguales y semejantes ( art. H) se,rá:n J_guales en superficie.: esr:o es, serán iguales. Pero dos .figu~as_pueden ,ser iguales ,'y tener .u.na forma enteramente disrmra. · · · ~.E 1 1 Corolario. Si la ,base FB (fig~ 64) de un rectá1igulo FD se divide en un nt.Ímero cualquiera· de partes iguales, Fe, .es·, su &c., y por .las divi5icm.es· se levantan las pcl'pendiculares ci ; s.l, .uz &c. .'4 rectángulo total quedará dividido -eFl tantos rectángulos iguales Fi, ch sz &c. , cuan.tas son las partes iguales en ,9.u.e se ha dividido la base {art. 28¡-). . ·._ .µt- -s -1 2 Cor.otario Cons.íderand0 el -lado _F H como bas~. y él FB como altura~ se ve cambien que si 1a altura se divíde en un número cua'lquiera de :'partes iguales, y por · las. di.visi-oqes .se tiran ,pMalelas ,á Ja .base,; .el :rectángulo total gúedará dividido ·en tantos rectángulos iguales cuantas divisiones se hayan hecho en la altura. 3 13 Teorema. Los rectángulos de ~ual altura .estanJ,.. entr.e -~í 1c0mo sus ,bases; y los _<le igua-1 bas~ iestan com_o , las ·al tu ras. Demostracion. Es evidente ique 1a srper1icie •oel rectángtilo FD (fig. 64 y ,65) ~stará con la .super.ficie de otro c~alqwJer rectángulo fd, como -e1 númt r.o :d~ ~ectáng~- !Ios sumamente pequeños en que se puede d1v1du- el pl'1:mero a:l :número ·.de los m'ismos rectá-qgulos en que se ¡puede dividir el_·segunde. Es asi que ?ichos n~meros es- ~. . .tan entre sí como las bases de los .rectan_gulo E'D-,jd, de ~'!)

• I

DE GEOMETRIA.

·ig.ual altuira (ari. 3 11}): luego. las •superficies de dos rectángulos de igual altura estará:n entre sí Gomo las bases. . Supo~gasc: aho.ra .que las HF, .hj sori las bases iguales, y las FB ., Jb las almras; y -se ,demDstrar.á del mismo modo {art. 3 1·2 ) que -los rt!ctángul-os -de i,gual :base estan -entre -s.í como ·sus alturas. · 31.4 Corolario. ·Si FD .es .an .cuadrado ó cu-afüi'Ion.:,go,, y Fe es los dos décim0s· de FB, el rectángulo Fi será los dos décimos· del rectángulo FD. En ,general. -si Fe r

•.

es ;-de FB, la su_perficie .de FHic :.( que llamaremos s),

será 2.. de· la ·st1p.e dicie de FHDB que liamaremos S); .m

puesto que .débe ser FB: Fe:: S .: s: esto es., m .: I .:.: S: s .

=~-!..de S -(Arit. :.269 .f 17i\ m

..._

f31-5 'Corolario. Tamb'ien 'Se deduce (art. 3T3,, .r Arit. 281 .) · .2 83) gue las superficies de los rectágulos . - estan entre sí como los _productos .de •sus .bases .por las

· alturas. 'f.- . -f_ 3·1,'6 · '.As-i c0mo ,para re.presentar coa números 'las lon- -·... • güudes de las li:neas se wma como unidad una Hnea ,recta de 'Una extension 0ete-rminada, v. -g. ,d~ ,un pie .( Arit. 59 á 162): para expresar -con ,númews las -extensiones ,de las superficies -, será menester -tomar por ·unidad una ,st~perficie de una ex-tension .deter-minada. ~ A 'la línea qt!e se t0ma ·por u·nid~d ·para •expresar .e n numeras •las fon,gttudes de las dem¡s ,!meas se da el ·nombre de unidad line&l; y á la superficie que se toma ·como unidad, para expresar la ext:~sion -de las demas superficies, se dará ,el nombre de .tmidad superficial. . + .íf:31'7 Los Geómetr.as dhan -convenido en tomar por unidad superficial la de un cuadrado .cuyo lado ,es la unidad lineal. . · · y. .3.1~ El pie cua1r.a1o •Ó supe,;ficial ,es un ,c~iadrad? cuyo 1ado -.es de un p1e ·Imeal. La pu!gada cuadrada o sµ-

TRATADO

perficial es un cuadrado cuyo lado es de una pulgada ff. . neal; y asi de las de mas unidades., 3 ! 9 Por _esta razon, la magn~tud de las su~erficies se expresa por medidas ó umdades CLLadradas. A s1, cuando se dice que la superfiqie de un triángulo es de 20 pies, se entiende que son 20 pies cuadrados:Esto e9:nivale á de~ir, q L1e dicho triáng ulo _contiene ve~nte_ veces ~ la superfi-. ere d<i un cuadrado cuyo lado es un pie. PoL· cons1gmeute, s1 el h'iángLl• lo es un piso que se ha d e enladrill ar con ladrillos cuadrados cuyo ladó es de un pie lineal, se necesitarán veinte ladrillos justos, aunque sea menester romper alguno de ellos, y acomodar sus pedazos, por la diversidad de la figura.

--i- Se suele dar el nombre de área á la extension de una ,

superficie; y asi en el ejemplo anterior se dirá que el área del triángulo es ~ 20 pies. t- 320 El pie lineal y el pie cuadrado son cantidades de distinta espe-d e. Por consiguiente no se pueden comparar, y se deben distinguir mucho uno de otro. El pie lineal es una longitud, y el cuadrado es una superficie. Preguntar v. g. cuántos pies ó pulgadas lineales tiene ql} pie cuadrado, seria un despropósito tan grande éomó preguntar .cuántas varas tiene una libra. f 1 32 r Es evidente que sobre la base de un rectángIJ.~Q se puede formar una fila de tantos pies cuadrados cuan'-. tos son los pies lineales de dicha base: y en el rectángli.lo. habrá tantas filas de cuadrados iguales á la formada sobr.e la base, cuantos pies lineales tiene la altura. Es asi que el númeró total de pies cuadrados es igual al número de los conteniJos en una fila multiplicado por el número de filas: luego el ,número de pies cuadrados que contendrá m1 rectáneylo, será igual al- producto de los pies-lineales que contiene la base por el número de pie~ lineales que contiene la altura. V. g. si la base d e el rectángulo es de 6 pies y la altura de '7 pies ha-brá 7 filas . de á 6 pies ~uadrados cada una; y el rectángulo contendrá 42. pies cnadrndos (ftg. 66).

3 22

De lo establecido ( art. 314) se sigue, que si la ,

base del rectángulo contiene b pies mas-de pie, cada .

DE GEOMETRIA,

füá

conr-endrá b cuadrado~ de tín pie y~de dicho cua-

drado; y :SÍ la altura :eontiene d número de pies a mas~ .

de pie, -el número de filas ·será a mas~: esto. es 1 {l mas . n una •fila igual á,2-del tamaño de cada .fila .(Arit. 96): [l

luego el número de unidades ~uadradas y partes de uni.dad :ser á(6+:)x(a+ :} -esto _es, :iguaI ·a1 número de cuadrados y partes -d e .cuadrado de ,cada fila, . mÜltj.. plicado por el número .d e filas y partes de .fila. -,.. ;323 L1,1ego .e n general, la :superficie de todo rectángulo es igual al -producto de las unidades lineales de cualquiera clas,e contenidas -eq la base, por el número de unidades lineales de la misma clase .conteni~as en la .al:t ura. t,. 324 "Esta proposkion se abrevia diciendp, gue 1a ·superficie de up_rectángulo es igual al producto de la ba.se por la .altura~ ~25 Corolario. La superficie de todo cuadrado, será 1_g ual al cuadrado de su lado. 326 Corolario. Las ,superficies de varios cuadrados· ,estarán entre .sí .como fos ,.cna'drad.os d e'sus lados: esto es, como los números que resultan -elevando al cuadrado (Arit. :212) los valores .d e .sus lados .expresados en las 1nismas llln'idades. '327 Cor.olario. Por ,consiguiente, si dos dimensiones lineales estan ,entre :sí como L .: .l, las ,coi-respondientes ·.dimensiones ,cuadradas ( esto ,es, las superfides de los cua-drados ,cuyos lados .sean dichas ,dimensiones) estaráµ entre sí .como L"], :: l"-.. . : ·: 328

g. ·por -cuanto e1 'pie 1inea1 de Par'is es a1 de 'Bt'irgos como

7 : 6, los ,correspondientes ;pies .superficiales estilrán entre sí c_omo 49 : 36. Por cuanto el pie lineal es cá Ja pulgada como I 2 : r , el riúmero de pulgadas super6cia3.es ,contenidas -eµ el pie superficial será ( I2 )' I 44. Por cuanto ~a ·braza ,contiene ,-seis pies, la braza superficial.constará de 36 ·_pies su perfic1ales.

62_

TRATADO

Se debe tener- esto mt;y presente , para no equiv:ocarse en. las ·reducciG• nes da las unidades supf' rfici ale~ de especit's mayores á menores, ó de es-~as á aqtiella s. (Arit. 178 d l 86).

-f-3.29 Teorema. Un rectángulo y un paralelógrama oblicuángulo, de igual base y altura, son iguales. ..J- Demastracio.n. Imagínese la base inferior del paralelógramo oblicuángulo colocada sobre la del rectángulo (Jig. 6¡- y 6b) como abem, asum; y la base superior su. del p.tralelbgramo oblicufogulo formará una misma recta con la base sup =rior del rectángulo be; pues á no ser asi, la altura uz. no seria_ igual á la altura ab. Estableciqo esto, ó el laJo as del paraldógramo oblicuángulo caerá dentro d .! la bise su.pé!rior del rectángulo,. ·como en la figura 61,, ó fuera, com::> en la figura 6~. En ambos C1'; sos ( fi( 61 .Y 68) los triángulos retángulos bas, emu tendrán iguates las hipotenusas as, mu., y los cateto_s ab, me, por laJos opuestos de unos mismos paralelógramoi (art. 28 5). Por consiguiente dichos triángulos son totalmente iguales. (art. 270). ~ +.\'- -D ~mostraJo esto, en el_ caso de la figura 67, agréguese á ambos tri~fogulos el trapecio asem, y ~as sumas, que son el rectángulo ae y el paralelógramo obicuángulo -.iu serán iguales ( Arit. 26). · +..Jt- En el caso de la figura 68, quítese de ambos triángu• los has, emu el triángulo ecs, y los resultados, que son los trapecios beca, uscm será!-1 iguales (Arit. 2_6 ). Agréguese á ambos trapecios el triángulo acm, y las sumas, que son el rectángulo ae y el paralelógramo oblicuán·gulo au, serán iguales (Arit. 26). X _ +~3-~º Corolario. De esto resulta (art.- ;324) q_ue_ la su~ perficie de todo paralelógramo se hallara mulnpbcando ' la base por la altura. - . ~ 3 1 Corolario. Todos los paralelógramos de igual - . óase y altura son iguales. + 332- 'Teorema. Si un triángulo y un paralelógramo· tienen igLial base y altura, el triángulo será mitad del paraleló gramo.

/.¡_

DE GEOMETRIA,. ·63 Demostracion. Sea ( fig·. 69) el tdá.ngulo abm, cuya

has~ es am, y la altura bz .. .Tírese por b la rect~ be paralela á la base am, y por m la me paralela al lado ab; y r~sultará formado el paral~lógramo abem. Dicho paralel6gramo se compone de los triángulos iguales amb, e·~m (art. 284). Por consiguiente el triángulo propuesto afflb será mitad del paralelogramo a.hem de igual pase y altura. De esto y de lo establecido (art. 33 1) resulta que el triángulo será mitaq. de to~s 10'~. paralelógramos de igual. · base y altura. · . ' . __:,-333 · Corolario. De aquí se sjgue (art. 330) que ·la SU• perficie del triángulo se hallará multip!icando la base por la altura, y tomando la mitad del producto. -t- ~ 334 Corolario. Respecto á que lo mismo es tomar la · mitad del producto que multiplic~r el uno de los fractQ• res por la mirad derotro (Arit. 101), tambien se hallará la superficie del triángulo n;rnltiplicando la base por la mitad de la altura, ó la altura por la m.itad de l,a base. + 335 Corolario. Todos los tdángulos de igual base y altura son iguales. · _. 336 Corolario. La superficie de los triángulos estarán entre -sí corno las mitades de los próductós de sus ba.. .ses por sus alturas; y como las mitades estan entre sí como los todos-(Arit 257.); estarán tambien entre sí las superficies de los triápgulos corno los productos de sus bases por sus alturas. 'f.. 337 Teorema. La superficie del círculo · es igual á la circunferencia EJ,ultiplicada por la ~itad. l!el radio.X l}u/ Demostrac.ion. El cíi:ctílo se puede imaginar como un polígono regular de un número d~ la?os infinito ( art: 292); é_ imáginan~o que desd,e el centrn salen radios a todos los puntos. de la c1rcnnferenc1a , quedara dividido el cfrculo en un sinnúmero de triáao-ulos que tienen su vértice en el centro. La superficie de cada uno de esfos' triángulos diferenciales será ignal al producto de la µiitad del radio ( que es la altura de t~ dos ellos) por el arqnito diferencial ( que es la base ) y' por lo tanto ( Arit. 1_05), la su~erficie de !odos los triángulos será igual al pródu~,o de la mitad del radio por la circunferencia, que es la suma de todas las ~~

'f.. 338

Corolario, Tambien se hallará la supedicie del cír~ulo multipli• 10

:6~

...

TRATAD'Q . r

!Cand? I~ ·chcnnferen~ia · por el r~dio, y to0ando ' I~•m~ta:d·(lel prod·u!;:to i~ _mnlt,1phcando el rad10 por la mllad de la 01rcunferenc1a (4.rit. 101.), ' • · 339 Problema. Conociendo el .r adio R de u_n cfrcLtlu : hallar -su su:. · perficie. . Resolucioñ. Se halló (ar.t: 304) 'que la -circunferencia: con·espon'aiente •al.radio Res C=6'2832xR, y su mitad será 3'1416xR, que mult~ phcada por el radio , dará la superficie 8=3' 141 6xR' : esto_ es , igual la razon del diámetw á la circunferencia (arl . .299) multiplicada por (l •cuadr'ado del radio. · • · • V. g. si el ;radio es de 5 pies, la superficie de círculo será S = 3.' 141 6 x25=78'54 ,pies cuadrados, que son.78 pies, 77 pnlgadas, y. 109 líneas. , _5-40 Si se.- qniere usar de los logaritmos, se sumará el logaritmo dé 'S'1416, que es 0'4971499, con el logaritmo del ·radio escrito dos vecesf y el número correspondiente al logaritmo qne ·resulte, se1'á el valor de-la sup•erficie del cfr~ulo (Arit. 3 lo y 327 )· · ..

....f- 341

Problema. Hallar la superficie de cualquiera figura plana rectilínea. • .....¡- Resolucion. Divídase kt figura propuesta en triángulos .por medio de las diagonales tiradas de un ángulo á los demas. Hállese la superficie de cada triánguk> ( art. 333 Y.. 334); y sumando las superficies de· todos-ellos, se tendrá la superficie de la figura. _ . ' ~ 342 Teorema. La superficie de un ·trapecio es igual al ·producto de la altura por la semisuma de sus bases. ,.. .:¡- Denwstracion. Sea (fig. 70) abeu el trapecio; y. tirada -la diagonal ae, quedará dividido en. los dQs triángulos ,abe, eau, cuya altura es igual á ez (art. 188 y 189). La sup~rficie S del trapecio será igual á la .sürna de las su .. ¡erfi.des .de. l_os_,triángulos de que _se compone: esto

- be. x ez + es, S = . · .2 I

, . bex--an ,= -;-x ez (Arit.

I -I.2 au X ez ::::: ( -.2I be + :-au ) !A

106)- _ f.., ~343 Problema. Hallar la superficie de cualquiera ñ~ '. gura plana curvilínea, con aproxirnacion. . • -1-ResoJucion. Sea (jig. 71) hpqsb la figura curvilíne~ · . i; :de_que se 'trata. ' -ri<.> Tírese la recta bq, que atraviese á la figura .por u mayor largo ,,y lláme~e eg.e de las abscisas. . ,

DE GEo'M'ETRIA. ~- 6·· -:r-2?.:. 1Div1dásé el e.ge· de las abscisas bq en. un númert crecido de partes iguales b'a, ae,. ec_&c. ; de suene que las propot:ci ones correspondientes_de las curvas bd y bf, 4lr, y f f- k-p y ls &c. sean sensiblemente rectas. · =,. 3<? H4llense }as longitudes de las daf hel, pes &c •. perpendiculares a la-bq, que llamaremos ordenadas. . 1

--i-4?

Súmense· tod:.as ·la? ordenadas,_multipliquese dicha suma por la distan_cia ae de una á otra ( esto\ es, por el• valor de una de las porciones iguales del ege de las abs-· cisas); y resultará la superficie que se trata de determinar. 't!344 I)emostracion. Llamando d á .las distancias iguales ba, ar ec &c., tendremos que la superficie del. ....•.• •.• .

friáng~lo ·bdf es................................... .:_ df x d 2

. -

•

fa del trapedo hf es.............. .:.:........... (_:_ df+~hl) xd 2

2 •

1a· de.l trapecio pl es. ::.......... :............... (_:_ 'h 1+!.. ps) .

x·d

l'él del tr-apecfo us es............................. (_:_ ps+2-J.Im) xd ·

la del triángul~ 1,Jqm................. :...... :.: . !...umxd. Por lq .'.,

•

c}i'cho en la A,tito:iética ( Ari-t. 105) será_ la supe11fici~I

\otal S~ I

(

-' -

r·

-;:-df-t-;-df +--; hl+-;-hl _+ -;-Ps +-; ps+

~ um +-;- um)

x d = (.df +

hl + ps + úJ?) x d ~ que es lo que',se trataba de demostrar. . . . _345 .Si la figura está termin_ada-en la recta um, la mitad de la última ordenada um solo entnará" una vez en el mllltiplicando, y .en tal ca·so·, se de,beJá smn~r la mitad' de la última ordenada con todas- Las <lemas. · _ 346 . ·Si las distancia~ entre las ~.rdenadas son desigua!.· les, se multiplica la semisuma de cada .,d. os ordenadas ,p~~ la distancia de tina á otra: y con-.esto se 'halla la superfide del trapecio, cuyas bases son . diehas orde'nadas;_y se practka lo mismo con todas. las•démas, S1 la ~µrva _t~nj~ . -

Ó6

TRATADO

ta en· punta, se hallan también las superficies de ' los~dos triángulos extremos, ~ulti plicando la mitad de cadá una de las 4ltimas ordenadas de uno y otro extremo,, por su distancia al extremo correspemdiente. Se suman ·todas las superficies parciales, y el resultado es el todo d~ la superficie comprendida por la curva. _Este últi no método es preferible, cuando-hay dificultad en medir muchas ordenadas; y mas si la curva se· aleja en unas partes mucho mas que en otras de la línea_ recta. En tal caso, se tiran las ordenadas mas espesas en los para ges en que es mucha la curvidad, y mas claras en los parages en que la curvidad es menos sensible. 347 El error de este método aproximado es la suma de los s~~mentos comprendidos ent~e las cuerdas bd (jig. 71), bj, dh, f t &c., 'y" los arcos de c~rva que subtenden. · 348 Cuando la convexidad de la curva cae hácia la parte exterior, como en la figura 71, el ~rror del método es siempre por-defecto: esto es que resulta <5Íempre una superficie algo menor que la verdadera. · 349 Cuando la .éoncavidad cae hácia la parte exte:rior, como en la figura 7 .z , el ~rror es por exceso : esto es, que resulta siempre una superficie .algo mayor que la verdadera. 350 Si la convexidad de la curva cae ea unas partes hácia lo exteriQr, y en otras háda -lo interior d~ 1a figur~, el errór absolufo será igual á la diferencia de los errores p<;>r..d~fecto y por exceso. J:?icho error absoluto será, de la especie del mayor de los errores expresados; y sera cero ~¡ son los dos iguales. • 351 Si ias dos curvas son iguales y semejantes, como en las figuras 7 I y 7 2 , se puede hallar el área comprendida entre fa curva y el eje qe las abscisas bq / y -su duplo será la .superficie t-0taL 35.2 Si (ftg. 73) biltqrheb_es la curva que resulta de la.seccion -de un navío por la lumbre del agua, se puede .supon~r '(sin -coqsiderable error) que la. -superficie de la

_ . DE GEOMETRIA. . 67 figura curvilínea es un medio entr.e las superficies del rectángulo uf, y cuadrilátero blqhb.

Llalllando m á la anchu':'a hl, y e á la longitud bq , 1a superficie del

. ,

•

r~Qtángulo será m xe; y la del cuaalrilátero (art. 333) será I·-

+hlxcq)= -

(hlx he

hlx'(pc+c:q)=-(mxe). Tomando un medio en-

tre las superficies de las figuras rectilíneas,- r.esultará la c.ur•vilínea S = t 3 I ~ (mxe) + - (m.xe) = -{Jn><e)=(mxe)- -(mxe).

4 4 4 • 353 Por ·consiguiente, se obtendrá el área dé la seccion _d el navío por la lumbre del agua, sin considerable error, _multiplicando el largo por el ancho, y disminu- , yendo el producto en una cuarta parte. ·354 V. g. s1 la mayor anchura, ó manga del navío , es m:4·2 pies,

y .la-:longitud, ó eslora., .es e= 148 pies, será mxe=······~··········· 6216 I

El ...:_es •••••.•••••••"!................. .._ ........................... - .................._,,,,_.. I 554 .. 4 -, . E;! ,.áre~ de~Ja secciom S (*) ................................ _, .........r,,,................... 4662

- 355 Teorema. Lás superficies de los triángulos seme,jantes estan entre sí como los cuadrados ·de sus dimensiones homólogas. · _ Demostr.acion. Sea A la altura, .B la base, S la superficie, y L una djmension cualquiera del uno de los triángulos; y a, b, s., l las dimensiones correspondientes del otro triángulo, ~ a: :L : _ Por .a seme1anza de os tnangulos seran B : b : : L : 1 ; y multiplicando los términos correspondientes de · ambas proporciones (Arit. 263). . será..................... A X B : a X b : : L ~ : rs. Esasi (art. 336)que....... AxB~axb::S:s: Luego(Arit. 25) será....•. S;s; : L~ ;r, .q ue .es lo que s~ trataba de .demostrar. ·

·1 .- ·

1 ·,

, {A :

OH •• ; . . . . . . . .

.("'"j Este resultado ,es ½ menor que el verdadero -en el navío que toma por ejemplo el Ex¡:mo. Sr. D. Jorge Juan .en el 2. 0 toino det Examen Ma-

dtimo ; y se acercará mas á 1a verdad en los navíos que tienen sus extr.emldades ma_s deliadas~

68 . TRATAPO . _ 356· T eórema. Las superficies de cualesquiera figuras semejantes estan entre sí como l<;>s cuadrados de sus di, mensiones hpmólogas. D emostracion. Si dos figuras son s~mejantes, tirando en -una y otra diagonales entre los ángulos· correspondientes, quedarán ambas divididas en triángulos; y ~os_ lados de los triángµlos de la una serán propordonales c.ón · los lados de los triángulos de la otra ( art. 248 ). Por consiguiente los .triingulos .A., B, C &c. , . en que resulta dividida la primera figura, se,án semejantes á los a, b·, e &c., eh qu.e resultá dividida la segurida (art. 26-3 núm. 1?). Por lo .que se ac:aba de demostrar (art. S55 ), es L" : l2 : : A : a, representando L y l dos dimens10nes homólogas de los triángulos A y a. _ _ t.. : . Si H y h so.n _otras dos dimensiones homólog~s- de·' las figuras deberá ser (art. 248)............. L : 1 : : H : h.~{ J>or co9siguiente (Arit. 212 y 263). ...... L '1 : l2 : : H": h". · Se halló ari'tes ............ .... :.. :........... :.... .... L".: 1" : :· A : a. Lueg0-(Ar-it: 25) será ...............·.......·....... H ·:h":: A : a. _,·, ~- Esta· misma demostracion se aplica á todos los trián- . _.., : gulos; y por lo ta1~to. H":h"::A:a. I\-.. será ......................... 'H'l : h B : b·. :. H" : h" : : C :. c. ·_. _ . Luégo por la igualdad de razones (Arit .. 269J - será H" : ·h" : : (A+ B + C +&c.) : (a+ b + c + &é.) : esto · es, M: -á hl ,: como la su,ma de triángulos de que se compone la pdmera figura, á la suma de triáng'ulos de qué se compone la segunda. ' Aunque las figuras sean curvilín.ea_s, se pueden im:a~ ginar divididas en infinitos trapecios ( art. 343); y cada trapecio se . puede imaginar divididq en dos triángulos: luego-las superficies de las figuras semejantes, aunque sean curvilíneas, estarán entre sí como los cuadrados de sus dimen,siones homólogas. · . _ ·. . . .' 357 Esta proposicion, que se extien~e_á las 5uperfi.':" des de los sólidos, es sumameI?,te inte~esante. · 2

1 ••••••••• :

•

• •

'J· · : :

· DE G.EOMETR_TA, ·69 si dos n~1ques Ji y b son semejantes, el mímero de · plan·cbas de pobre que se necesitan pará aforrar el pnmero, es al número de pluncha.s que· se necesitan para el segundo, como el cuaarado de cualquier dimension del ~uque B, al cua_d rado de la dimension correspondiente de b. • ' :358 Si los perímetros de dos maromas .están entre sí como P á p, el · Dl).mero de hilos que contendrán, y por consigu_iente sus resistencias, es;tarán entre sí como P' ·á p': esto es, que siendo iguales todas las dema·s circunstancias, la resistencia de . un cablé de 20 pulgadas es á la de un 1 cable de 26pulgadas como(20) : (26)': esto es, como 400: 676,6 éomo 100 á I 69 (Arit. 257). ;

; -: · V.- g.

CAPITULO. XII. DE LAS LINEAS QUE SE HALLAN EN .DISTINTOS PLANOSi

359 .. Cuando se trata de las prnpiedades de.los rlano;, se suponen· estos prolongados indefinidamente. · • ·i tJ,-360 De la definicion de los planos (art. 44) se sigue·, que si una recta tiene 90s puntos en un plano, estará toda · · , ella t:n dicho plano. ~ 361 Teorema. Tres puntos, qué no estan eri. línea . , recta, determinan la posicion de on plano. --:1-:- Demostracion. Supóngase que dos planos (jig. 7 4) tieí. nen_comunes los tres puotos a, b, e; y tfradas las rectas ab, ce, que se cort~n en m, toda la ab estará en dichós dos ºplanos, y tambien la ce, que •tiene en ellos los puntos m y e (art. 360). Sentado esto, sea t un punto cual:qui~ra del uno de los plano_s. En .dicho plaño tírese por t la hg oblicua á las ab, ce; y por tener esta lfoea los puntÓs'n y i en· elotro plano, estará toda ella en él (art. 360), y por consiguiente en ambos planos: luego si dos planos - · tienen comunes trés puntos, que no estan ,en línea recta, todos los puntos del un plano serán comune~ al · otro, y por lo.tanto se confundirán; luego por tres puntos, que no estan en línea ·recta, solo puede pasar un plano, q1ya ., posicion está determinada ,por dichos tres puntos. 362 Corolario. De esto se sigu~ que· una recta y un punto fuera de ella, ó dos rectas que se cortan , deter-m:i-: nan la posicion de _im plano. ·

+ 363

ª TRATAQO

Corolario. El plano puede girar sobre una r.ecta;

y por lo tanto, un 'número cualquiera de puntos en línea recta no bastan para determinar su posicion. · + 364 Corolario. La comun seccion de dos planos debe ser una línea recta: pues á 110 ser asi, tendrían comunes tres ó mas puntos 9l:e no estarian en línea re~ta; y por Jo tanto se confundman en un solo plano (art. 36.r). ": 7365 Corolario. La comun seccion de dos círculos con• centricos debe pasar por el centro c9mun;_y por lo tanto será un diámetro. ~ ""'-366 Se dice que una recta es perpendicY-tar á un pla- · no cuando cae sobre él sin inclinarse á un lado mas que á otro _cualquiera. , --¡...367. ·_Para convencerse -de que esta d-cfinicion .no e~ cierra imposibilidad, imagínese que el plano del trián~ culo isósceles abe ( jig. 7 5) g-ira sobre la base ab; y se ,concibe facilmento que las oblicuas iguales eb, ca ( gue caen á la derecha é izquierda qe la perpendicular ce) des• cribirán unas superficies cuyas convexidades éaerán á . derecha é izquierda de dicha perpendicular. Lo mismo le sucederá á las oblicuas iguales en, cm &c.; y la perpendicular ce será la únic~ línea que describirá la superficie de un círculo perpendicular á la ab. -+·368 Corolario. De lo dicho (art. 366 y 367) se sigue que la recta perpéridicular á un plano, lo será á todas las rectas tiradas en dicho plano. por el punto en que la pºe rpendicular lo encuentra. · ~ _+ 369 Teorema. De un punto tomado en el plano solo se puede levantar una perpendicular. -f , Demos trae.ion. Sea la ea ( fig. 76) perpendicular al ·plano ft; y si se dice que tambien puede serlo la eh, ti.:. rada la pq en el plano aeh, se seguirá que de· un punto e se_podrán levantar dos perpendiculares á una recta pq en un mismo plano aeh_, lo cual es ~bsurdo (art-: 168): lue.go t;unbien lo es el que de un mismo punto puedan sahr dos perpendiculares al plano. .JIC:¡..- 370 . Teorema. De un punto a (fig. 76) fuera de un /

·a

DE GEOMETRIA. ' 7-x plano ft, no se le puede bajar mas que una perpendic•lar ae. .. + Demostracion. Si la ap fuese tambien perpendicular, tirada la pe, resultaria que de un punto a se po_drian bajar dos perpendiculares á la pe ( art. 3 68) en un mismo plano ape, lo cual es absurdo (art. 171). + 37 1 Por distancia de un punto á un plano se entiende.. la mas corta; }tes evidente que esta esla perpendicular, p)rque (fig. 76) 'la oblicua ap es hipotenusa del triángulo aep, y por consiguiente mayor que ae (art. 233 núm. 1?). 1-1 · -f 372 E;e de un círculo es la ·perpendicular · que lo atraviesa por el centro. +373 Teorema. El eje de un círculo tiene cada mw de sus puntos igualmente dístante de todos los puntos de la circunferencia. -,-Demostracion. Sea (fig. 77) ca. el eje un círculo esmne; y _tiradas las oblicuas an, am &c. desde· cual,. quier punto del eje á todos los de la circunferencia , resultari los triángulos acn, aém &c. , que por tener el la- ' do ac comun, los lados en, cm &c. , iguales por radios, y los ángulos en_e rectos (art. 368), serán totalmente iguales ( art. 97): luego las distancias an, am &c., que· son las hipotenusas, tambien serán ig1iales. -1-374 Teorema. Si una perpendicular á un plano tiene un punto igualmente distante de tres del plano, será eje · del círculo que pasa por dichos tres puntos. . +- Dem.ostracion. Sea (fig. •77) ac la perpendicular al plano del círculo nmen, y a· el punto que dista igual,. mente de los tres puntos n, m, e; y tiradas las an, am y ae, como tambien las en, cm, ce, _los triángulos rectángu-los acn_, acm, ace, que tienen las hipotenusas an, am,-ae iguales, y el cateto ac comun, serán totalmente iguales (art. 270): luego serán iguales las en, cm, ce; y por consiguiente será e el centro del círculo emn, y ac su eje. ,(,87 5 Teorema. Si una recta tiene dos puntos, cada uno de los .cuales dista igualmente de· los mismos tres

(

TRATADO

-puntos tomados en -un plano, será· eje· del círculo que pasa por dichos tres puntos. . . , . ~ Demostracion. Su.póngase (jig. 77) que el punto a de -la recta auc .dista igualmente de los tres puntos e, m, 11, y gue le sucede lo . misino al punto u, y por el· teorema antecedente la .perpendicular bajada desde a pasará- por el centro del círculo emn. Por eI mismo teorema pasará por dicho centro la perpendicular ha.jada desde u. Pero de un punto· e solo puede salir una perp~ndicular .rl pla,. no ( q,rt. 3 69): fo ego las perpendiculares bajadas al pla- · no de a y u formarán una sola ·recta2 gue pasa_rá por el centro del círculo, y por consiguiente. sera su eje. X . _.;.- 376 Teorema. Si una recta es perpendicular á otras dos que se cortan, será perpendicular al plano gue di· · chas dos rectas determinan. -1- Demostracion. Sea (fig. 77) ae perpendicular á 1:is ns, bm; ' y tomados fos ·puí1to n, in, s·, equidistantes de e, . resultan iguales los triángulos rectángulos acn, acm, ·aes (art. 97); y por _consiguiente el punto a distará igúal..., mente de dichos trés puntos n, m, s, como tambien el ·punto e; y por el teorema antecedente será la ac perpendicular al plano. · -1-' 377 Teorema. U na recta no puede ser perpendicular. á dos ptanos que se cortan. . -1-Demostracion. Si la recta me (fig. 78) fuese perpendicular á los planos mt, et ( cuya comun seccion es at), dicha recta me seria perpendicular á las ma, ca (.art. 368), ·q ue determinan el plano mac (art. 362); y estas rectas -serian perpendiculares á la me (art. 164): luego de un punto a se · podrían bajar dos perpendiculares á la me en un mismo plano mae, lo que es imposible (art. 171 ). -J-"378 Angulo plano es la abertura de dos planos que se t~rminan, ó se suponen terminados, en su coinun secc1on. -r-379 El vértice del ángulo plano, visto por la parte exterior, se· llama arista. La arista ·es lo que en términos vulgares se ·llama esquina.

DE _G EOMET~IA. -,

+g.So

Teorema. El áng1:1lo •de, la -mcHnacion de dos p,lan15 es igual al ángulo rectilíne_o que forman dos perpendiculares á la comun seccion., ~iradas cada una el\,Sl,l plano. . · ---+- Demostrac.ion. Imagínese Cfig. 79) que el nlano 'abec, compuesto de ill,finitas perpend}culares á la ab, se confunde con otr9 plano, el cual gira sobre la línea ab; y no hay duda en que, al paso -qu~ v:aya aumentando la abertura de dichos planos, las perpendiculares ( *) ac', mn', be' &c. del plano ,movible, describirán los arcos de círculo ce', mm', ee' &c , cuyos centros estarán en los punt~ a, n, b &c. , en que dichas · perpendiculares en. cu entran ·á la comun seccion ab ( art. 3 67 ). Dichos a!cos ( fig. 8D) etc', msm', eue' serán de...180° cuando el plano J)lovible haxa dado 1,ma media vuelta, romaneo la · posicion· ahe' e'; y serán de 360° cuando vuelva -á confundirse con el plano_fijo, dan1o la-vuelta entera. Luego por unas r.azones semejantes á las que se dieron (art. 96 á 134) sobr~. la. medida de fos . áhgulos rec~ilíneos, dichos arcos medirán la _inclinacion de los planos. Pero los mismos .amos miden (jig. 79) los ángulos cae',· mnm'; ebe' &c. formados en sus centr9s por las perpendkulares á la comun seccion: luego el ángulo formado ppr diéhas perpendiculares es d de la ii1clin~cion de lbs planos. · . ..f-381 • Corolario . . Como los círculos que describen Cfig., 79 y 80) lás perpendiculares ca, mn-; eb &c. tienen por eje· la cornun seccion ab, la 111edida del ángulo de la inclinacion de dos planos será el arcq del círculq que está. comprendido entre ellos,. y tiene por eje la comun secc10n. + 382 Corolario. La· suma de todos los ángulos forfr:\::¡-' dos por'varios planos que tienen una comun se-ccion será d~ 360° -(art. 141;. (•) Se dan las denominaciones de primera , segunda. &c. á las letras que llev~n á su derecha una, dos &c. rayitas al modo · .$le las de los_minu-

tos , segundos &c. V. gr. ac' se enuncia ac primúa, a' c" se enuncia a primera, 'e segunda &c. ~

1- -383 Coro{ario. Los

TRATADO

ángulos -formados sobre· un plano , por varios planos que tienen una comun seccion, . Vi}ldrán 180º art. I 43). -¡:__ 384 Corolario. El ángulo que un plano forma con· ótro hácia un lado será suplemento del ,qüe forma hácia el otro lado (art. 148). 'j.. 3 8 5 Corolario. Los ángulos planos opuestos por el . vértice serán iguales ( art. 15 8). 1--- 386 Dos planos se dice que son perpendiculares cuando1 se encuentran sin inclinarse á un lado mas que á otro. \ · 7-387 Corolario. Todo planq perpendicular á otro for1 él cuatro ángulos rectos (art. 163). mará co.q_ 388 ~~rolario. Si un plano forma con otra un ánguiWCo, ~ será perpendicular (art. 166). .., ~ <3 9 , Corolario. Si un plano A es perpendicular- á un -plano B, el plano B será tambien perpendicular al plano A (art. 164). · 390 rodo plano que pasa por la perpendicular á otro, le -será perpendicular. . Demostracion. Supóngase (jig. 81) que el plano hfpa-: sa por la ab perpendicular al plaJ?,o tn. Tírese en dicho plano tn la atn perpendicular á la comun seccion ec; y el ángulo ba11i será recto ( art. 3-6-8); pero .el ángulo bam . es el de la inclinacion de los planos ( art. 380): luego dichos planos serán perpendic_µfares (art. 38b). >< 39 I Teorema. Si ·dos planos (fig. 81) hf; tn, son per• ' pendicul~res, y en el segundo de ellos tn se tira la ma perpendicular á la comun seccion ec, dicha ma será perpendicular al. primer plano hf, y á todas las rectás tira- · das en dicho primer plano por el punto a en que lo encuentra. . . : Demostracion. Levántese en el. pri~r plano hf 1a ab perpendicular á la comun seccion ec; y por ser los~planos perpendiculares, será recto el ángulo bam ~art. 387 y 380); y lama (perpendicular á las ec, ab) sera perpendkular al plano 1íf (art• .376); y por consiguiente á to-

_ DE GEOMETIUA. 75 das .las rectas tiradas en dicho plano por el· punto a)r (art. 368). . 392 Teorema. Si dos planos (fig. 78) mt, an_, que se cortan son perpendiculares á un tercero lif, su comun · seccion ta será tambien perpendicular. Demostracion. Desde cualquier punto u de .la comun,. seccion ta se puede tirar en el plano an una perpendicu-. lar al plano hf ( art. 39,1); y desde el mismo punto se podrá tirar otra perpendicular á hf en el plano mt; pe.. ro dichas perpendiculares se confunden en una sola ( art. 370): luego esta será la comun seccion. · 393 Teorema. Si un primer plano mt, que es perpen~ dicular al segundo lif (fig. 78), tiene un punto t en la ta ·pe~pendicular al segundo plano, toda la ta estará en el ,. primero, · • . Demostracion. Des<Je cualquier punto t se puede tirar en el plano mt una perpendicular al hj (art. 39J ); _pero dicha perpendicular no puede ser distinta"de la ta (art . .370): luego toda la ta está en el plano mt. 394 Por ángulo de una recta con un plano se entiende el que dicha recta forma con la comun seccion · del plano de que se trata, y del plano perpendicular que pasa'. por ella. ·

V. g. si el plano es fi (fig. 76), y ap la recta, bajada la perpendicular ae, será sptq la comun seccion del plano fi con el plano perpendicular que pasa por la ap (art. 393 y 360); y apq será el ángulo qne la recta forma con el plano_. __ · ·

39 S De lo que se acaba de decir se deducen los co• rolarios siguientes:. · · · I. 0 Toda récta he (fig. 76) que encuentra á un plano ft, forma con él dos ángulos heq, hes, cada uno de los cuales ~s suplem~to del otro; y cuando no se ad~ vierte otra cosa, se entiende que se trata del agudo. .2. 0 El ángulo heq (fig. 76), que forma una recta he'• con un plano ft, es complemento del hea que forma di- º' cha recta con la ae perpendicular--al plano; respecto á ' _que el ángulo aeq .es recto (art. 368), y á que las eq, NI ·

76 . TRATADO se hallan en el plano perpendicular que pasa por la' eh · (art. 393 Y 394). ' · -J.--396 . Teorema. Siempre que las perpendiculares á dos planos se encuentran ó cruzari en un punto, el ángu_lo que forman es igual al de la inclinacion de dichos planos. ~ Demostracion. Sean pd, bq (jig. 45) dos planos visJos de canto, cuya comun secciona es perpendicular _al ' ~lano,del papel. ~ean ls, hf las dos perpendiculares qull tienen el punt.o u en el- plano del papel; y por lo establecido (art. 393) ~starán -ambas en dicho plano, y serán, perpendiculares a las pd, bq ( art. 3 68): luego por lo demostrado ( art. 2 ro) será el ángulo luh igual á bad¡, p ero el ángulo bad es el de la inclinacion de los planos, respecto á que las ba, da son perp(mdiculares á la comun seccion a ( art. 3 68), y se hallan cada una en su plano (art.~ 80): luego el ángulo de las perpendiculares es igual al de los planos. '/- . . +397 Teorema. Si dos planos A y B se cortan, fos ángulos agudos que las perpendiculares al uno forman con el otro serán complemento de _los ángulos formados por dichos planos. · -f Demostracion. Heéhas las mismas suposiciones dd artículo anterior de la figura 45, si las perpendiculares ac, ae salen de la comun_seccion de los planos, _es evidente que por ser bac recto, será dac ·complemento de bad; y _por ser recto pae, será ·qae cornpfemento de paq. Es asi que dac es igual á su correspóndiente dol, y qae es igual á su correspondiente qih: luego todos los ángulos. agu- . dos que las perpendiculares -al un plano forman con el otro pla·no son complementos del ángu~o de la inclinadon de dichos planos. 398 Corolario. De lo que se ac-aba de demostrar resulta, que los ángulos agudos que las perpendiculares á un plano A forman con otro plano B, son iguales á .los ángulos agudos que las perpe·ndiculares al plano B forman con el plano A (Arit. 25); y lo mismo_ se ver~.- ;

DE GEOMETRIA. 77 -ñca ·eón ·los árigulos obtusos, que son suplementos de

los agudos: 0

'399 Estas ·dos proposiciones (art.- '397 y '398) se ; plican igualme; 1. te á las líneas; y de la primera y de lo establecido (art. 60 y i 83) resulta que el ángulo mixtilíneo sae (fig. 5o) es complemento del recti.. líneo sac.. . 400 En general, el ángulo mixtilíneo, 6 curvilíneo, formado por un arco d!3 -círculo y por una línea (recta 6 curva), será cpmplemento del qüi· dicha línea 'forma con el radio tirado al punto de interseccion. •

x 401 Se dice que una línea es paralela á un plano cuando todos sus puntos se hallan á igual distancia de -dicho plano: esto . es, cuando todas las perpendiculares bajadas desde la línea al plano son iguales. x 402 Se dice que dos planos A y B son paralelos cuando todos los puntos del uno se hallan á la misma distancia del otro: esto es, cuando son iguales todas las perpendiculares bajadas del plano A al plano B. J( Sean ab, cd (.fig. 82) dos rectas paralelas, y la on perpendicular á ellas. Imagfnes~ que el conjunt'o de estas líneas gira sobre la on inmóvil, y no hay duda en que las ab, cd describirán dos círculos. paralelos, cuyo eje · comun será la on_. 403 · Corolario. Por el mismo método que se siguió tratando de las líneas (art. 188 á í95) se deduce gu.e si dos planos A y B son paralelos, todas las perpendiculares al plano A serán perpendiculares. al plano B: que si una misma recta es perpendicular á <los planos, dichos planos serán paralelos: que si dos planos son paralelos á un tercero, ser:ín paralelos entre sí: que por. un mismo punto solo puede pasar un plano paraldo á otro &c. , · · 404 Corolario. Las comunes secciones de un plano cuá1quiera A, con dos planos paralelos By C, serán paralelas, pues de 1~ contrario dichas comunes secciones, _ que estan ambas en el plano A, se encontrarian; y por lo tanto, se_ encontrarían los planos B y C en que se hallan. · -JI- ,<4º5 Teorema. Los -árigulos de -la misma especie que

_TRATADO

una recta forma con dos planos paralelos s6n iguales. ~-4l--Demostracion. Sean (fig. 82.) ab, cd los planos vistos 'de canto, J; eo la,_ oblicua. Imagínese p~r la eo UQ. pl~no perpe1:1d1cular .a los ab, cd, y resultara que oed, _eoa son los ángulos que fa recta forma con dichos planos (art. 394); y como estos son alternos respecto de las paralelas ab, ~d (art. 404), serán iguales (art. 200); y lo mismo se demuestra de los ángulos obtusos; que son suplementos de los agudos. )( CAPITULO XIII. DE LOS· SÓLIDOS -EN GENERAL.

406 general se llama poliedro el sólido t~rmina: do por muchas caras planas. ~ Las denominaciones particulares de los poliedros son semejantes á las de Jos polígonos ( art. 288). Asi, se llama tetraedro al sólido que se compone de cuatro caras, exaedro al sólido de . seis caras, octaedro al de ocho. &c. · . · -1--407 Se llama ángulo sólido al que resulta del concurso de las aristas de varios planos que concurren en un punto y cierran espacio. Para que resulte ángulo sólido deben concurrir tres plauo"s CJ.Iando menos. .f( 408 El valor del ángulo sólido es la suma de los án::. gulos rectilíneos sucesivos formados por cada arista y su inmediata. · t--4º9 Las puntas de los cuerpos son ios· vértices de sus ángulos sólidos. _ · ;+- 410 Los sólidos se llaman regulares cuando son total!Ilente iguales sus caras, y sus . ángulos planos y sólidos; é irregulares cuando les fa.Ita alguna de estas cit:. cunstancias. . + 411 .Por base de un sólido se entiende aquella de sµs · · caras sobre que se imagina formado. Cuando el sólido ~iene dos . caras -iguales y paralelas,.se suelen comprehen-

DE GEOMETRIA.

· 79

der con ·~1 nombre de bases una y o·tra~ distinguiéndo·las con los epítetos de superior é inferior. . .,,; -1-412 Por altura de un sólido de bases paralelas se ·entiende la distancia de l-1- una·á la otra: esto es, la perp~ndic?lar baj_ada de la un~ base á la otra, ó á su pro. longac10n; · · · · · . . t.-4l-413 Si el -sólido remata en punta, se entiénde por ·al-_ 1 tura la perpendicular bajada desde la punta ó cúspide del sólido á la base opuesta; ó á' su· prolongacion. • ..:l--414 Prisma es un sólido que se puede dividir todo · él en infinitas secciones iguales y paralelas á sus dos .bases (Jig. 83, 84, 85, 86 y '87).+i 41 El prisma se puede imaginar engendrado por ·c,,d movim~ento progresivo de una figura plana, que cam_ina manteniéndose siempre paralela á sí misma, y (dé modo que todos sus puntos describen línea~ rectas.

Si el triángulo (.fig. 83) abe camina en estos términos hasta pasai•~e

la oposicion aeb á la sud, engendrará un prisma, cuyas bases serán dichos triángulos aeb, sub.

-t~

416

T~mbie_n , si se imagina que de todos los puri- · tos del penmetro de una figura plana se elevan rectas pa>-ralelas de igual extensiofl, resultará un prisma, en el cud queda determinado ~1 perímetro de la base superior por el conjunto de las extremidades de todas las paralelas. +.V 417 El prisma se llama recto cuando las rectas tiradas por los puntos correspondientes de las bases superior é in~ ferior son perpendiculares á ellas, y se llama oblicuó cuando dichas rectas son oblicuas-.á las bases. ~• Esto , es·, que si el prisma es recto, la . recta tirada, v. g. désde --~ vértice del ángulo u _(.fig. 84), al vértice del ángnlo correspondiente e será perpendicular á las bases, y será oblicua si el prisma es obliCllO

(fig. 85). .

, ·

:..¡._.418· Los prismas toman su nombre de las figuras que les sirven de bases. -r Cu.ando la base es un triángulo se llama triangular (jig. 83), cuando es un cuadrilátero se llama cuadraf¡·g ular &c. . • ' 12

TRATADO

f=v-419

Cuando la base del prisma es un paralelógramo se llama parr;llelepípedo, rectángulo ú oblicuángulo, segun el paraleló gramo, de su base (fig. ·84 y 8 5). -\'._¿t. 420 Cuando. la base_del prisma es. un círculo se lla~ . · ma_cilindra (jig. 86).. + 421 Cor.otario•. Todo. prisma· se· termina por sus dos. bases. paralelas,. y por· t~ntos. paralelóg_ra1:10~. cuantos so~ · los. lados de estas.. , + 4.2.2-. Cor.ol!arto .. Si el prisma es· recto· se compondrá. de las bases, y- de tantos. rectángulos,.cuanto·s. son los la.. do.s ..de estas.. · + 42'.3¡ C0.rola,rio .._La altura· del prisma· recto será cual,.. . · quiera· de los lados sa ,, ue &c.. (fik 84) de lo_s' paraleló-gramos que la, terminan.. · , 1 :¡ -t- 4,.24. ~ CoroJ-a.rio .. ~n el par.alelepíp.edo; s~- puede. tomar· cualqme.ra de· sus; s.eis. caras. como. base.. ·+ 4+42 s. Un par~letepípedo recto. de seis caras· totalmente: iguales. se ·llama cubo. ó e.x.aedr:o, regular Cfig. 87). X t-!f 426. El c;ubo. estará". termin~_d o. por· seis. cuadrad~s. 1g_µales:, , que se.: cortan. formando, angplos. rectos. '\· · +:J Cu~lquiera. de. ellos·. se puedé tomár· como base ·, c.ualqu1era de sus¡ lados; como•altura (art. 423)..

Un. dado, es . un: cub.o.·,., ó. e:x;aedro.x:eg~1lar..

f-V-427' Se. llama eje 'del prisma á la recta que se termi;.. na en ·los. centros. de. sus dos bases. opuestas,, como zc.: (fig;_83 ,. 84,, 85); 86)~- , '

Pot· centro.se entiende el'. de gra"edad ,. cuya, defii:ücioIL é'. investigacion, perten.ecen, á la. Mecáni.<>.a. i.Q, En. los. :políg!Jnos. reg_!llares ..es. dicho, centro. el. del círculo circuns-, cripta. · . 2.Q, En los- p.ol'ígonos. simétricos, es el punto.en que· Se! cor.tan. las.diago-nales terminadas en los ángulos o:puestos •. 3.0 , En: lbs. triángµlbs . .es el punto en- que· se· cortan las; Netas.tiradas; desde el vértice de-cada. ángulo á la, mitad, del lado opuesto•. 4_28: Como,el!cilindro.ti.ene-por base-un.infü1ilángulo (ar.t. 292), se com•- ' pondtá su. super.fii:lie de·Ull• número,in.finito, de · paralel6gramos (art .. 421),, q!,le· senánt reetángµlbs si: el: cilindro, es. r.ecto.. +

4,291 Et cilindro, recto, se· puede· i'maginar· -formado, porr- fa r~ol'ucion: de: un. re~táng_ulo; alreded~r de. unai

'·

DE G EOMETRIA.

de los lados. El lado inmóvil ser-á el eje; su paralelo en-.1 gendrará la superficie convexa del cilindro, y sus perpendiculares las de las bases. , · ...¡.- 430 Pirámide es µn '.sólido cuya superficie lateral ~e . compone de infinitas rectas, . que saliendo de todos los ,.. puntos del perímetro de 1a base, se .t erminan :en un pun_to (jig. 88). . -,.. 43 r Se llama rvértice de la pirámide :al punto z _en que concurren todas las rectas que la forman. . -1-432 Se llama .eje de la pirámide á la ·recta zc que va desde su vértice al -c entro de la base ( art. 427). ,r- 433 La pirámide se llama ·recta ú oblicua, ·segun.qtJF. el eje es perpendicular ,ú ,oblicuo á la base. '· +-V-·434 Corolario. En la pirámide recta el ·eje y la altura son una misma línea. . 1 " t-Y-43.5 Las pirámides ~ornan el nom~r~ ~e la fi~ura que _ les sirve de base; y as1 se llama la p1ram1de triangular..~. cuadrangular &c, :segun que su base ·es ún triángulo; un -cuadrilátero &c. ·\ · , +436 Cuando la base es un círculo, la pirámide llama cono (.ftg. 89). 'f... 1,. + 437 La superficie lateral de la pirámide se ·compondrá de tantos triángulos, cuanto es el número de lados de la base. ··... .

se -

4'38 Como el cono tiene por base un infinitfogulo regular, su super- , · ficie lateral se compondrá de infinitos triángulos.

+ 439 El cono recto se puede imaginar engendi;¡do por la revolucion de un triángulo rectángulo', que gira sobre uno de sus catetos. Dicho cateto será el eje del cono, el otro cateto engendrará la base, y la hipotenusa producirá la superficie convexa. Esta se compondrá de un número infinito de triángulos cuya altura es la hipotenusa, y ·cuyas bases componen la circunferencia descri1 ta por su extremo. + 440 En las pirámides triangulares ( que tambien. se llaman tetraedros) se puede tomar como base cualquiera de los cuatro triángulos que las terminan.

82 . TRATADO -r Por esta ,r ªzon; la pirámide triangular puede· ser

ree- ~ · ta .respecto de tina base, y oblicua respecto de.otra. · :'. f44:r Se llama P,irámide tru_ncada áJa_que le falta una_, porc10n en q,u"e esta ·c omprendido el. vert1ce. · .. ~ JI .Cuando no se advierte otra cosa., se entiende que lJ seccion d~ la pirámide es· paralela á la base; esto es, que · lo qüe le falta es otra pirámide cuya base. es la misma . . . qase menor de la pirámide truncada. , . ...y.y442 Si larpirámide truncada es un cono, se llama co· no truncaef,o (fig. 90 ). x -V-443 - Corolarip. La superficie Iatéral de la pirámide.... trurn;:ad~ constará de tantos trapecios cuantos lados tiene su base. , _ :-,., t 4 44 En el cono truncad? será. el_~11mero de trapecios infinito• .. +445 Esfera ó · globo es el sólido engendrado .por fa " , revolucion de ún semicírculo alrededor d_e -un diámetro (jig. 91). , ,

•

li,a esfer{l en térmi.no vulgar se llama bola. Las bolas de trucos y .v illar . son esfer.ts.

-t'_ 446 .. Como ·e1 centro a del_ círculo que gira sobre el diámetrq mp se mantiene skn:ipr~ igual distancia de to~. dos los puntos de la circunfer~ncia mbp, y esta es la quer describe la superficie convexa de la esfera, es evidente . que todbs los puntos de la superficie de la esfera estaráñ ~Ligua!. distancia de. su centro c. . • + 447 Por esta razon se puede decir, que_la esfera es 1un 'l,ólido terminado por una superficie curva, cuyos. puntos se hallan á igual distancia de un punto llamado: '. centro. + 448 La rect~ cb, terminada en el centro y superficie-· · de la esfera, se llama radio; ·Y la recta -d~, que pasando por "el centro se termina por ambos lados en la superficie, se llama .diámetr.o. . . . --tr 449 Corolario. T oclos los radios de una misma- esfe- • ra son iguales entre sí, y á los del círculo generador; lo, propio les sucederá á los diámetros, que constan de .. . . -- . -.. ~ " dos radios.

DE ·GEOMETRIA.

83 '. '

-,- · 450 Teor-ema. Si un plano corta á la esfera, la s~ccioni será un -círculo, cuyo eje pasa por el centro de la esfera. • -1- Demostracion. Sea (fig._92)esmnr la seccion de la es- · fera; y como toqos los puntos de su su_p~rficie distan igualmente de su centro a (art. 447), tirada ) a perpent dicular ac, resultarán iguales los triángulos rectángulos·, ace, aes &c., que tienen el cateto ac comun, y las hi- · poten.usas ae, as &c. iguales (art. 270): luego serán iguales las ce, , s &c.; y por consiguiente será la seccion esmrze , un círculo, y ac su eje ( art. 372). . ~ 451 Cuando la seccion es un círculo infinitesimat · · el plano tmu (jig. 91) será tangente á la esfera. -1-- 452 · Teorema. El círculo mayor resulta cuando el plano p~sa por el centro de la esfera. ""'f. Demostracion. Sea (ftg. 91) ae ·el diámetro de cua~ , quier otro circulo, y haciendo pasar un plano por dicha ae y el centrp é será db el diámetro del círculo que -tiene su- centro . en el de la esfera , y ae su cuerda: luego db es mayor que ae; y por consiguiente, el círculo cuyo · diámetro es el de la esfera es mayor. _ -tr 453 Por esta razon se llaman círculos máximos los que , tienen su centro en ·el de la esfera; y los demas se llaman -

•

círculos menores. · __¡.. 454 Corolario. Todos los círculos máximos son con- · céntricos.

__,_. 455

Corolario. Todos los círculos máximos tienen por.·. -- radio el de la esfera, y __ por con~ig_1:1iente_ S<:m iguales. X i -r-456 Teorema. El circulo max1mo d1v1de la esfera en · dos partes-iguales. · + Demostracion. De la rotacion del cuarto de círculo mb...; sobre el radio 'me (ftg. 91), resultará la mitaq de la es- · f~ra que_está teq:ninada por: la superficie del círculo cuyo radio es cb; y de la rotacion del cuarto de círculo bp re- • sulta la otra mitad, terminada por el mismo círculo; pero el círculo cuyo ·radio es _cb es máximo : luego el círculo. .máximo divide á la esfera en dos mitades. -r--- 457 · A fa mitad de una. esfera se le. da con .mucha ~

TRATAbO

propiedad el nombre de semiesfera ó hemisferio. -r 458 Eje de la esfera se llama el eje de cualquiera de sus círculos; y por consiguiente .pasa por el centro (art. 450) (*). · . , _,... 459 Los ·dos puntos m y p (fig. 91), en que el eje mcp de un .círculo db corta á la esfera·, se llaman polos de dicho círculo. · -,.. 460 Los dos extremos de cualquier diámetro de la esfera se llaman puntos di'íl-metralmente opuestos. + 46 I Corolario. El plano· tu (ftg. 91) ,· tangente á la esfera, . se puede considerar como la prolongaciori de un , círculo infinitesimal, cuyo centro y polo se hallan en. el • ll).Ísmb punto de contacto m, -y cuyo eje es el radio cm tirado á dicho punto (art. 4;1). -4-- 462 Se llama casquete a la porcion de la superficie ~e esfera. comprendida entre un círculo y su polo ma!i, inm.edfato.. -1- 463 _Se, ll~m~ zona ~-la po~cion de la _superficie de la_ esfer::J. c01uptendida entre dos c1rculos paralelos. -r 464 Se llama segmento esférico á la porcion ~de esfera . comprendida entre el plano de un cít-culo y su polo . mas inmediato. t tJ 465 Es evidente que todas las esferas de igual radio _ son totalm~nte iguales, puesto · que .suponiendo que sus centros coinciden, sus superficies deberán ajustarse exactamente (art, 447). . · +\) 4(i.6 De esto y de lo dicho anteriormente (art. 261) resut'ta que todas las esferas son semejantes; y por lo tanto tendrán todas las lín~as homólogas proporcioRales. ·

467 El determinar las superficies de los s6lidos no tiene uso en la práctica ordinaria de la Navegacion; y ya se advirti6 (art.' '357) qu·e las su• perficies de los s6lidos semejantes estan entre sí como los cuadrados de 'susdimensiones homólogas. ...

(•) Eje • y di,ámetro de la esfera son una misma cosa, con la sola diferencia de que el nombre de eje hace relacion á los círculos á que es perpendicular el_diámetro de que se tra-

'"1'··

ta; y lo mas co.nun es el llamar ej~ al diámetro sobre que gira la esfera, ó al . diámetro sobre que se imagina · que ha girado el semicirculo gene- . rador. • ·

- DE GEOMETRIA.

CAPITULO XIV. DE. LAS: SOLIDECES•.

. . ·v· · 468 Bra representar: en números las solideces de tos cuerpos, se hace preciso escoger por unidad ó término de comparacion. la solidez. de un cuerpo determi-· nado.. · . . 469 Los. Geómetras- han convenido en tomar por ~ unidad de solidez. la-de. un cubo cuyo-lado es la unidad Jineal. 470 Cada una de las seis caras de dicho cubo es un cuadrado que representa la unidad superficial.. ( art. 426 J' 3 1 7).. .. ~ 47 r El pie· cúbico· es; un cubo; cuyo lado. es. de· un pie: lineal.. · ... ::V-- La pulgada cfbfc[l es· un cubo; cuyoilado: es una·.puI:.. ' .. gada lineal ;. y as11 de: los; demas:. · . 47 2 Por .est.r razon se miden. los:sólidos· por· pies cú:.:·· bicos, por pulgadas; cúbicas: &e:. • Asi, cuando, se· dice·v. g; que la solidez· de un cilindro es de ro pulga1 d'as , se entiende que contiene I o pulgadas cúbicas ; de suerte que si dicho.' • · cilindro foese ·hueco ,. se llena ria echando-en él diez .veces.elagµa.contenida l en un cubo, lí.ueco; de· una pulg¡tdih de larg?·· · • .

473 Sobre los pi'es linear,, cuadrado y cúbico, corr-t viene advertir lo. mismo, que se dijo de los. dos primeros: •(art .. 3 20) ::esto; es ,1 que: son tres·. cantidades: de: distinta· naturaleza-,, entre: fas. cuales; no, cabe: comparmdon.. 474 Te01:ema .. Si n· es; el:. .núméro, de: veces: que· una· unidad lirteat de la. deno_m h:iadon D , incluye:á; otra uni-• dad lineal de fa denominacfon d ,, será n 3 · el. nú'mero de· V.!!Ces que la: unidad: cúbicat de la. derrominacfon D in-oluye· á la unidad cúbica: de:fa denominacfon d.. · _ Dem.ostr.ac.ton: Supongamos: (jig~87) que ad'es el CU• · bo. cuyo, lado; es fa unidad: dt:: especie superior- D (v.. g~. la .v ara)..

TRATADO

Si n representa el número de veces que la dimension lineal de especie "inferior d (v. g. el pie) está incluida en la de especie superior D=bo=ae=oe=od=&c., serán el número de cubos de la denominacion inferior contenidos en la.fila bo (v. g. 3). · _. ~ El mismo húmero n será el de las filas de cubos me· nores que se terminan en el lado od. - Será pues nxn (v.g. 3x3) el número ·de cubos menores que contiene la primera tongada comprendida entre los planos bod, pcq, distantes un-a unidad menor·d. EFnúínero de tongadas iguales á esta, contenidas' en la altura oe, será tambien n '(v. g. 3). Por lo tanto, el cubo mayor ad contendrá _n tongadas de nxn, cubos menores cada una. Luego el número de cubos menores contenidos en _ el _cubo mayor dd, ~erá nxnxn=n 3•• 47 5 Síguese de esto que la vara cúbica contenclrá el número de pies cúbicos 3 3 =27; y el número de pal- . mos cúbicos 4 3 64. - 476 El núm.ero de pulgadas ct'Íbicas contenidas en cada pie cúbico será 12 3 = 1728. Este mismo será el número de líneas cúbicas que contie'!le la pulgada, y el de puntos cúbicos contenidos én la línea cúbica. . · Se debe tener esto muy presente para reducir las me- . didas cúbicas de espedes superiores á. inferiores, y estas á aquellas (Arit. 178 á 186). · ' . 477 Corolario. De aquí resulta que si dos cubos tienen por lados las dimensiones L y I sus solideces _estarán entre sí ·como L 3 á l3 :· esto es, como los valores de sus lados elevados al cqbo, ó lo que es "lo mismo (Arit. 265) én razon triplicada de sus lados. :

478 V. ·g. si un pie lineal de Búrgos es al d~ Paris como 6 á 7'1 "los correspondientes pies cúbicos estarán entre si como 2 I 6 á 343; y por lo tanto , aunque el pie lineal de Paris solo excede al de Búrgo~ en~, 6 el p:ie oiíbico de l'aris excederá al de Blirgos en mas de una mitad~ ..•'

. DE GEOMETRIA.

. ,,,

87 .

479 Teorema. La solidez de un prispia recto es igual 'al producto de la superficie de la base multiplicada por $U

altura.

Demostracion. De lo dicho sobre las superficies ( art. 3 21) se sigue que sobre la base del prisma se podrán colocar tantos cubos iguales á la unidad, cuantas unidades cua. dradas tiene dicha base. No es menos evidente que el número de tongadas de cubos iguales á .la unida.d, que se puedé arreglar en la capacidad del _prisma, es igual al número de unidades lineales que tiene la altura : luego el número de unidades cúbicas contenidas en el prisma será igual al producto de la superficie de la base por la altura del cuerpo: esto es, igual al número de cubos de cada tongada, multiplicado . por el número de_tongadas. 480 Teorema. Un prisma recto y otro oblicúo de igual base y altura , son iguales. Demostracion .. Si los dos prismas se imaginan divididos en un infinito número. de secciones, por planos equidistantes y paralelos á, sus bases, el número de secciones de uno y .otro , y el tamaño de cada seccion , serán los mismos. Por consiguiente serán iguales· las solideces . de los prismas _rec;to y oblicuo que resultan _del conjunto de dichas secciones. , 481 Corolario. De aquí resulta que en general (art. 479) fa solidez de cualquiera prisma (recto ú oblicuó) es igual al producto de la s perficie de su base por la altura del cuerpo. ' 482 Se ·tendrá muy presente que todas las dimensio- • nes lineales de que se hace uso -para hallar la solidez de un prisma, ó de otro cualquier cuerpo, deben ser de la misma especie; y el resultado manifestará las unidades cúbicas de dicha especie, contenidas en la capacidad del cuerpo: esto' es, que si las dimensiones lineales son pies y_fracciones. de pi~, el resultado serán pies cúbicos y fracc10nes de pte cúbico. . · 48 3 L~s unidades cúbicas de una especie cualquiera , se reducirán -á otra especi~ d~termipacJa , teniendo . pre'· 13

:~8 . TR'A T ADO' " sent'e lo ad~~r,rid? (at?· ·47:4 .á-477).':. y. ·g. los piet ct;í.~. <;:os se reduc1ran a pul.gaa:as mult1p:hcarn,,olos por ¡:7 28 ., y !as pulp~Ja~ c~ú,bkas :St: :rt:ducir~n a :pic:s_ partiendoLas por este nusmo nttruc'ro. ( art. 41<>). · , · 4),/ 4- [e.or·ema. Las · 5011dóces -<il'.e. fos pris11ras semej:m.tes es-tan entre ·sí •.c omo, los cubu'i: de' :sus ,1.ÜmensioI'le-s •ho-mui-oga:s. · : . Demos.t.raifon. Sean S la sw perficie :de la base, A la alt~u:ra; y L una dime.nsioi:i lineal cuakjilllit>r.a del priiner .prr-sma,,; r .s., .a ., t, fas ,ca:nndades cor.rcspondie.nres •del sé,g. unJo., y r:eswltará......~•·•..-·~········· .. ··· ................... .......................... (art . .356). ...... ~.:. . .. u.~~ 5 ; s : : -L'2 ,; r·

.y (ar,t,.

::.Lf 8) ..,.. ............

A : a : ; , L .: l

y (Arit. :263).. .... .'....... SxA :_sxa : : L .x1. :' l xl. Esto 2

(Arit~

i.1:1.) SxA .: sxa ·:; L" : P.

es,

. . ·Es :así ·qae S x A es la ·solidez del primer prisma (art . .481 ) , y :sxa la de,l .se.gunclo : I u ego fas· so1ideces de

·sí

did11.95 pr.ismas esta'fiin :et1t-re !C.omo .sus -.dirnensiones homól©gas e .kvadas _al cubo, , : 4~:5 Conotario. Si dos sólidos cualesquiera -son ·serne:-jantes;, 'se ;podr:án ,c,msjderar ·divididos .en un .irntiniro númerq 'de ·prismas ·st'méja-ntes-, ·por medio ·d e un .s'in0;úmer0 ·de·pfanos- paralelos; ·q ue 1cortefl semejantemente :al uno y: a,l otro. Establecido est-o, de ]o ·que se :acaba ,~e: de,• mO's'tit,a't ·se ·sü~l1e •, que ·e a secoi0n •del ,pr-i.mer :s6liido es-it,má 'C@n '.s u ·tont.e.s:p-ondiente del ·s('.gundo·, ·c omo ,el cub@ ·de "tUna- 'dllnebsidn Cl:Illlquier.a del ·, primer sólido ·ál ,cub0 !de la ,d'.imc"n¿jon .homólqga ·de:I 'S"7gundo: luego.( Arit. 269) ~fa '.s ofidez del ·primer ,cuer-po ·será ·á 'la 'Solidez del ·se.gun-: (dú·, como d :cubo .de una .dimension ·€oalq.u.iera cle dicho ·p111n1-e~ ,.d.1ét;po ·.es ,.a l ,cubo :de .la dimension .homólo_ga · d.eil

~g:s~do. Cotolar'io. 1?or ·consigu'ie~1ite,

'fas solideces de. todos los cuerpos semeja·mes estarán entre .sí, ,como los cu-'bPs cle sus dimensiones homólO'ga-s . .~1}7

Por via de ejemplo , supongamos dos enibar.caoicmes ,entera-

í>E GEO'MEll'RIA. . · . 89 fa p nime~a {-l'Jli;j, ~ietr pie~ el~ profondidad bajo d't!l agua _, y !,. se~unda ocho;. y r-esulta~a q~e. la.s :e;, pa,c;i.d.¡d ..s de di-

,ll)j!Q\e ~<'Wdil.tJ.t~$ ~ q~ Ja~ ~u;,1l!'s

:chos · b11ques), ó lo q,ue es lo roismo las cargas·. gue- pod• án lra.nsporta¡ ) estarán entre sí como 7l :. 8 1 =?í43 ~ 512, qu~ · es. inuy ·proxim~.rlieríte como 2 : 3 . De esla cousi.dt!racion rt'st1lt<J que si ~~- ~.umenl_a. un pie .-1 lo~do de 11n pllertu en que- antes solo pi>dian entrar . euil1arca.c\on~s que r.¡laseQ. .siete ·pies ~ eh d_id10 puerto· mt'jprado pa·dran, !!.hrii:sar~ eml;>¡m;ácj<>n.e~ capaces de una mitad mas de carga.

488

Problema. determinar con. aprq_xim_agion_ la. soli-.

:dez de un cuerpo irregular.. - · . · : - Resotucicn. · 1<? 1magín~!¡<.¿ el c~erpo, di_v'idido en varias •Secciones, por medio de. pl.a.nm. ·paralelos equidi:stanres, -tan proximos, que las.-d.ifl;!rencias, enmr las. dqs bases_d~ -cada seccion sean. pequ.eiias. · . .. .2~ Hálle.se, sep.ara.<ta-m.ente la. superficie d.~· qd~: base superior é inferior pur el meto,do. sabido (lltt. 3·_43 4 3 55). · .' 3~ · Súmense. todas, las base~ intern~~jas, <;;on ·la. mitad.· ·de las qos extremas.. , 4~ M_ultiplfque,s.e dkh~. suma. por la d}standa: <k un ·.p lano á su inmediat.o , y el resultad.o será. la. sol_i~~z. que. se trata de determinar.. · ;_ s'? . ~i el só.li..to termina· por- alg1s1n .ladu el'_l•punta.,. ó en una recta. paralela á los plaéos, la .su p.erfici~ de 4 sec" :don· extrema c.orres.pondiente á dic.ho lado seuá cero. . · De1110 ,t.va·fiotz.~. Sea (Jig~ 93) bqzc el cue1rpp, iri:eguihit: · · .de que se. trata.. Sup.ringase d:idio, cu~11.po div.i:ciildo: ,err tres :secciones.; comprendidas. entre lo.s planos paraklos. equi" distant~S b.c. 1) .iJ-, f)/1, qz. Seai n-La distalil<;í.- dk:, (ada lilll!IQ q.e dichos planos . á su. inruediato : .esto es ~ D mn 'ns=st; y_sean B, P, G, l1 las. s1.1p,erficie,s; qu.e resuJta,n de las ~don~& ~tri sólid_o, p,or fos. pia~os.;. y ser,án ~ ~o.n -corta difereac:i a, ·

,.l 7 11, l.a, so1:...l ~e ¡Je. 1a • -,

1.a

• ................... ~..... . (.',,_ r E.+...,._ t F) s..ecc1on , ' .~D ··_ . ' 2 .2

+·: G )xD

la solid~z d~ la .2! secc_ion•• '. ....... _. ........ :.(;

~l_a soUdez:de la:3~ seccion:.~· ~··::·~; •.•...'. •.. (:

G+.:.H~xl!)

•

•. 90

.T RATADO

. Por consiguiente la solid.ez ·total será.•• ~•. :..... ;.,;.,, •. ;•• ~ ••• ;; • . (

r·

. -E+..,....F+-F+-G+-,-!G+.!... H) x D= , 2 · 2 2 2 2. 2 .( : - ~ + F + G + : H) X D.

489 Se pueden imaginar los planos mas inmediato's en los parages en _q ue el sóijdo propuesto difiere mas de ,iJ.n prisma , y mas distantes en los parages en que difiere menos .. En tal caso, se debe multiplicar la semisuma de .las dos bases de cada seccion , por la distancia entre los dos plaños paralelos que la determ_inan; y la sum-a de t<r ·dos estos productos dará la solidez del cuerpo. Si la seccion t'iltima se acerca mucho á ser una pirámide , lo mas ·aproximado es multiplicare e1 tercio de la superficie de su base por su altura. · .. :. 490 .- Convien.e advertir, que muftiplicando ,la semi- · suma de las dos bases paralelas de un conó truncado por su altura, el 'resultado es mayor· que la solidez de di_c ho ·coho truncado. El error será de mucha considerácion si las dos bases paralelas del cono trunc~do se diferencian mucho; y será despreciable si Ja diferencia entre dichas s.uperficies es niuy pequeña. . _ . 491 Cuando la diferencia entre las superficies de las ·dos bases paralelas de una seccion es muy pequeña, basta ·el: multiplicar la superficie de una de dichas bases por el espesor de la ~eccion, para obtener su solide_z con toda la :aproximacion que se necesita en muchos casos. · '

V. g. si S representa la superficie ~e la seccion de un navío cortado 'por la lumbre del agua, y D ta disfancia á otro plano que no diste mu-chó mas de dos pies de la. Jumke del,agna (hácia arriba ó hácia abajo),- •

la ·solidez de la seccion comprendida entre dichos planos será Sx D · ' con mt~ cprta difereqcia: esto es, qne si ~e_llam;t V el volumen, 6 soli- . -'.dez de die'¡l~ secciim, será V =S x D, ·y por consiguiente ( .dnc, 123.)

será-;-,=D. ~ . ,. _ , . I ·S . ' .. ',. ' ' . . •. . . : . . - ., ' . '-;_- . . .,. Esto tiene uso cu.ando se trata de determinar las variaciones del calado de ,u_~ n1,1 v(o , cor r-e$~o~~ient~s. á lqs . aun_1rntos ctdrmimrcioQe~.e ~u. 9arg~. ·•~492 . Se han om1Vdo las re~las para detel'mmar' con toda exactitud la

•

. DE GEOMETRIA. . :91 solidez de nna pirámide , de un cono , de · un cono truncado ; y de una e~fera, porque no tienen uso en la practica ordinaria de la N avegacion; y aunque dichas reglas son bastante breves , su demostracion exige yarjlls proposiciones , que abultarian mucho este tratado,

CAPITULO XV. NOCIONES GENERALES DE TRJGONOMETRIA PLANA .' LOG.ARITMICA.

+' ' 493 Trigonometría pla~a logorítmica es 1a ciencia que enseña á resolver los triángulos rectilíneos, emplean:do los logaritmos de los valores de sus ladós y _de una~ líneas que tie11eri refacion con los ángulos, y se designañ con el nonibre de líneas trigonométricas. -r 494 ~ Se dice que se resuelve un triángulo cuando del ' conocimiento de los lados ó ángulos que lo determinan ( art. 247) se deducen los valores de los lados y ángulos ' º desconocidos. . -J- 49 5 Aunqúe en 1a explicacion de las líneas trigonométricas solo se tratará de arcos, se supone que las mis:~as líneas pertenece~ á los ángulos medidos por dichos arcos. · + 496 Los diámetros perpendiculares ha, mf (.fig. 94) se toman por términos de comparacion para determinar los valores de las líneas trigonométricas de los arcos, contados desde a en ,la direccion ajh si son positivos, y en la amh si son negativos. Las direcciones ea, ef se to_. man como positivas , y como negativas sus· opuestas eh,

am (Arit.· 72).

497 Esto , supuesto, seno de un arco es la perpendi- · cular bajada desde el_· fin del arco sobre .el diámetro qu.e pasa por su principio.

'f V.

g: el ~e,no del a~cci ab · (fig. 94) es qb.

de 90º es es pg. X

er radio ef.

;El seno del arco aj Ef_seno del arco efg, major que i, cuadra~te,

, .. ·, • -1' . 498 : Corolario. · El seno de un arco es mitad de ·.¡~ cuerda · del arco duplo: puesto que bq es mitad de bn ~

TRATADO -

(art. 179), que _es la cuerda dd arco han, ?uplo de_b~• .:J.f'4i)9 Corota,no. De esto y de lo establecido antenor'"llnence .(art. , 16 y 117) se sigue que en un mismo círculq, ó en círculos iguales á iguales arcos corrresporidi:rán igualeS- senos, y á iguales. sen0s C:Orresponderán igual.es arcos menores '-lue el cuadrante. +- 500 Corotario. El se~o de un arco es igual al ~~ :.Sl! suplem.!nto: pu;!Sto que s1 afg es suplemento de ab, ser¡i el ar-:o gh igual al arco ab, y por consiguiente serán jguílkS ~us senos pg , qb. . -t" 501 Corolario_ Los senos de los arcos se aumentan des~ d~ d de o\ que es cero, hasta el de 90", que es igual al r, J.ic;>.;, y <;iisuiinu yen desJ~ el de 90~, que es igual al raoio , hasta el de i 80º, que es cero. . . _ -4- 56 2 Corolario. Como la cuerda de 60° es igua~- al radio (art. 24·2),, su mitad, que es el seno de 30º (art. 4981, ~ ~ será mitad dd radi'o: esto es, que el seno de 30º es_ mir.- . __ ~taJ del radio o seno de 9 rjº. - ., •-1-SQ'!; Esto basta para convencerse de que los se~os ~u:11e'nta.n en una razon muy distinta de la d~ los arcos: pues-tQ q4e el arco. de 90º es triplo del arco de 3oó, y ~l seno de 90º solo es duplo del seno· de ~oº. ., .J. v +5º4 Cos.eno cle un areo es el s~no del compleI\~º 9el ar<;o de que se trata. X .. , V. g. el coseno de ah ( /ig. 94) SPrá <!h,. i¡eg.o dPl cq.wp\ei;ne_J;l_tQ .lf. llJ cos~i;i.o ~el arcQ af d~ 90° es cero. El _coseno del arco (!,}g, m,ayor c¡lfe ~l cuadl'ante ,es la linea negativa dg, seno de J/J· -_,

_,,,.. 5 o 5 Corolario. De ·esro y de lo dicho (C}rt. s0.1) ~ si- . gue que los cosenos disminuyen desde el de <??, .q~e.- e;~ igual al radio, hasta el de 90°, que es cero ; y a,umen~an, sieQ.do negativos., désde el de 90°, que es cero; hast~ ~l de 180º, que es igual al radio negativo. + 506 Corolario. Las ef, qb spu paralelas, por perpen:. . dic:ulai-es á la ea (art .. 198): por co·n siguieate ·serán 'ig_Uilles las t/8, eq que miden sus distancias (art. 188): e~to es, que el coseno de un arco es igual á la distancia del centro al serio.

DÉ GFOMETRIA. .

507 Corolario~ Todo ano rn~yor que el ci."-aarante . tiene el mismo coseno que rn suplemento., con la sola d}; - ferencia de ser negarivo '(art . .49 •"J · ·+ 508 Corolario. ·Conoddos los v alores ·de 'los senos de '4--

, ,t odos los_arc0S" desde :óº has_ta ocº, se c<.\no~er~'.i r.i ·r n s co~e• ·I!los·: puesto ·que ·el seno de 30° es coseno de 60º ; el seno de ..6 .:.;º .es coseno de 30° &c.. ·• 0 --1--- 't' 309. 'Corolario. El coseno de 6c será m'itad del radio

. ,(art... 502). . · Tangente tr~{[onométrica es la--q.ue tocando ~i'l ar•

+- ~ 11 ::>

co en su -principio se termina en la prulongaciurt d€l diá.! metro que pasa por su fin. -~ · · - ,- V. g. la as ( /ig. 94) l! ~ ,t,iQgent P del arco ah. La t.a a g Pnte· diil arco q/ de 90º sná i11fi,uta, •r e~p .'clo a ·qu~. por mas q ue se pn~lon~ne la aJ, nunca en11on1rar.á á sn par:al <'la 1ff. La ,tan.g ente ,del .al'.CO ,afg ., mayor q~e .el cuatlrante., ,la ·Jiu~a negalii.va ,at . . '. . -

-1

Corolario. Es evidente que las tan ~ rJt€s··au'lrie-Ii~ tan desde la d.e oº, .que es cero ha..,ta la de yeº, que €S ir~;finita; y dismi.n~Jen, si.en-lo OL,ga tivas, desde la de ·90°,• que :es itr.finfra, :hasta 1a -ele ·18c'º, ,que es,cero. · .:.,_. p -i Teorema. -La tang<.nte tk un arco mayor que el ·c uadr:ante ·es igual á la d~ su )SUJ?lem_t:nto., con la diteren511

·cia \de ser negativa. , · .. .· .+- .Dd:nostr.·a-dion :Si .áfg ( fig. ~ 4) es suplemento -de ab, - ·será d :ar.c0_gh 'igual' al ar~o a'b; y por lo tanto ser ~n iguales :los ·ángulos aeb, he/[, que tienen iguales· arcos por m.e didas. Es asi ,que aen ·es :igual á su opuesro por eL ver.tice hég (art. 1_.5 ~): 'luego será aen==. aeb (A1'it. 25)':1a igualdad -de los ángulos aeb, aen re_s ulta la ;~gual-dad de Jo.s ,tii'á11gulos rectángulos ea-s, eat, que tienen el lado ea ·comun ( art. 247 num; 3'~); y cle la ·igualdad de d-ichos,t:riángulos, resulta fa ·i-gualdad de l os cate.tos .as, at., · •.que .es Jlo~we se trataba ,.de ·demostrar. · ,t-fI'3 'TP..orema. La -rangente de 4 5 es igual al radio. :.r- -lS)e;mtJs.trac.fon. Si el ángulo sea (fig. 94) vale 45°, ~tambien :valdrá 4 el ángulo esa, que es su c0mplemen.to. ( art. 241 ). Por consiguiente .e l triá~gulo eas- será

·ne ·

°.

TRATADO . ' 94 isósceles (art. 237); y la ~angente as ·será igual. al radio ea. ~ --ru 514 . Cotangente. de un arco es la tangente del- COJl!• plemento del arco de que se trata. ){ - - · ·- · · · ,

---f V. g. la f l ( fig. 94 ), es la cotangente del arco ab. La cotangente ·del

arco ef de 90º es cero. La' cotangente del arco afg, mayor que el cuadrante, es la línea negativa fu. ·

5 r 5 Corolario. De esto y de 1o dicho ( art. 5 I 1 ) se sigue que las cotangent~s disminuyen desde la de oº, que es infinita, hasta la de ' 90°, que es cero, y aumentan, siendo negativas, de~de la de 90°, que es cero, hasta la de 180°, que es infinita negativa. · . + 5 I 6 Corolario.. Tambien resulta ( art. 513) que la cotangente de 45° es igual al radio. ..¡_ 517 Secante trigonométrica es la recta que sale del centro, pasa por el fin del arco, y se termina en la tan,gente que pasa por el principio. y__ · V. g. la es es secante del árco ab. La secante del arco ef de 90º es Úl•

finita. La secante del arco efg mayor qne el cuadrante, es la et.

518 CorQlario. Las secantes aumentan desde la de o0 , que es igual al radio, hasta la de 90°, que es infinita; y disminuyen desde la de 90°, que es infinita, hasta la da_ 180°, que es igual al radio. + 519 Corolario. La secante et (ftg. 94) del arco ma.. yor que el cuadrante es igual á la secante es de su suplemento por la igualdad de los triángulos rectángulos eas, eat, que se demostró anteriorme_nte (art. 512). +- 5 20 Cosecante de un arco es la secante del complemento de dicho a.reo. '· + 52 1 Corolario. De esto y de 1o dicho ( art. 518 ) ~ sigue que las cosecantes disminuyen desde la de oº, que es infinita, hasta la de 90°. que es igual al radio; y awmehtan desde la de 90°, que es igual al radio, hast~ la de 180°, que es infinita. _,_, 5 2 2 Seno rverso de un arco és la porcio.n de diámetrb comprendida entre el seno y el principio de dicho ar~o. :'·· ; ·

-+-

. I d") {. ,/)V[¼

I ~)l1

. DE GEOMETRIA.

( .fig. 94} es el sen.o vei:so cM arco ab. El i¡eno verso de~ arco 4f de- 901:>. es el ra.dio eai, El seno verso del _ar<¡o efg,. m.ay.or que el cuadrante es pa. , ..

--f V. g. la qa 4

r 523 Coseno 'V'irSf/.. de un arco ~s el seno verso del complemento de dicho arco.

~ V. g. la <!f (.fig. 94} será e1 coseno verso del arco <1b,

+;~~~ 24 _Teorema. El coseno" de un_"ar_co es al se.no com~ ~~Í radio es á la tangente. · . · + Demostr:acion. Las perpendiculares qb, as (jig. 94) son paralelas entre sí (art. 193.); y por lo tanto, los triángulos eqb, eas serán semejantes (art. 265), y teI?,drán sus lados bomólogos propor~ionales ( ar_t. 248): esto .es, 9ue será eq : qb : : ea : as; y por set eq igual al coseno db. ( art. 5 06) , será db, coseno de ab, á su s~n() qb ; como ea, radio, es á as, tangente del mismo arco. · :. 4.. __ 525 Teorema. El co~eno de un arco. es al radio, cGmo el radio es á la secante de dicho arco. + Demostracio1' Por la semejanza de los triángulos eqb, .. eas (jig. 94) será e-q : eb : : ea : es; y sustituyendo á db en vez de su igual eq, resultará db : qb : : ae : es, que es lo que se trataba de -demostrar. -1--- 526 Te.orema: La tangente de un arco es al radio co. mo el radio es á la cotangente del mismo arco. -J-- Demostracion. Los triángulos rectángulos eas, efl! (fig. 94) denen los ángulos esa, sef iguales por alternos. Por consiguiente dichos triángulos serán semejantes (art. 263 núm. 3.º); y tendrán sus lados homólogos proporcionales: .esto es, que será as : ef: : ae : fl, que· es lo que se trataba de demostrar.· "'f... · · , :¡J.. 527 En las tablas de las líneas trigonómetricas se su~ pone el radio igual á la unidad con ceros,·y en las que sirven para determinar los logaritmos . de dichas líneas, es diez el número de ceros: esto es, que el ra~io se supone= 1 o ooo ooo 000; y por lo tanto (Arit. 303 y 306) su logaritmo será diez de característica, con ceros en la mantisa. · · Supuesto eL radio igual á aiez mil millones, la Geo.14

·~ '

9~ TRATADO ·metrfa summistra métodos para -determinar los va{ores ,de las lineas trigonométrfoa.s <le t.odos los arcos, eh par ... tes del radio. Por dichos métodos se obtienen los való... res de .las líneas expresadas., coñ toda fa. ·.a.proximadon que se quiere; y se omiten por no abultar este Tratado., _ y en atenci0n á que las tablas estan ya :construidas , y lo que importa es el sahe·r servirse de ellas. · De los valores de las líneas trigonometricas en partes del radio se deducen fos logaritmos correspondientes.. . · V. g. por cuanto el seno de 90° es . 5 000 .000 ooo, si.1 logaritmo será 1

~1 de dicho número,· gu.e es 9'6989700.

+. Lás tablas que contienen los valores de las líneas trig~nométricas en partes del radio -se suelen denominar tab.la s de _las láneas trigonométricas naturales. En este Tra-:tado solo se hará uso de las tablas que contienen los logarit!,llos de los senos, cosenos, tangentes y cotangentes. + 5 2 8 De lo dicho ( art. 5II , 5 13 , SI 5 , 5 16 y 5 27 ). se sigue que· los logaritmos de las tangentes de los arcos menores que el cuadrante ;-q.ue pasan de 45º, y los de las cotangentes de . los arcos que.no llegan á dicha cantidad,1 deben tener 1 o ú I:l de cara.cterística. En las tablas suele omitirse la decena, ,que es facil de suplir. -r 5 29 - Aunque en la forma de dichas tablas cabe alguna variedad, por lo regular s~ áisponell' en términos que en las cabezas de las hoj_as, y en la primera columna de la izquierda se expresan los valores de los .árcos ó ángulos~ desde oº hasta 45º; y en el pie de las hojas .Y €n la última, columna de la derecha se .expresan los valores de los, ar-· cos ó ángulos desde 45º hasta ')Oº. Con esto se logra el ex.presar los logaritmos de los ,s enos,- .cosenos, tangente~ y cotangentes de todos los arcos ó ángulos,-desde oº hasta 90°, sin repetir mas logaritmos que los <le las · líneascorrespondientes á los 45º; y á mas cuando :Se trata de. hallar ~os logaritmos de varjas líneas trigonométricas per• tenecientes á un mismo arco ó ángulo, dichos logarit-:mos se encuentran en una misma línea. Para hacerse car.g.o_ de esto, basta el observar ( ~eniendo las tablas á la

DE GEOMETllIA.

vista) que el logaritmo del seno de un arco segm~ la numeracion · superior y la de la izquierda es logaritmo del coseno, correspondiente á la numeradon mferior y la de la derecha. , +- 530 Por consiguiente, si se pide et' logaritmo de 1a línea trigonométrica de un arco. ó ángulo menor que 45º, se buscará se.gµn la numeracion superior y la de ta izquierda; y si el arco ó ángulo pasa de . 4 5.º, se buscará en la num,eracion inferior y la d~ Ia derecha. ·. 53x Si dado el logaritmo de una línea. trigonométrica se quiere saber el arco ó ángulo, c.:orrespondiente,, s·e busca en las tablas. dicho logaritmo, ó los dos logaritmos próximos, mayor y menor., ei:itre que está comprendido. El ángulo correspondiente será el que está escrito enfrente de dicho· logaritmo, si se halla e:xiactamente en la tabla; y si no, dicho ángulo es_tará comprendido entre los ángulos de las tablas c0rrespondientes á los logaritmos que cdmprenden al propuesto. . · 532 Se podrá suponer en los. mas casos que dicho ángulo es el corresponcliente al lqgaritmo de las tablas que se diferencia menos del· logai:itmo dado. -533 Se tendr.á presente, que si el logaritmo dado es de seno, y la columna en qme sv: halla tienei eli nítu:lb de senos arriba y eJ de cosemDs abajo,, se· debe: buscar el ángulo segun la numeracion superior y fa de lai izquierda; pero si fa columna•en que se halla eI, tal logaritmo tiene el' título de senos, abajo y el de cosen@s ar.r.iiba._, se debe buscar-el, ángulo. segun la numerad@rr. infe"Fior y la de la derecha. L9. contrario se eject1tar.ia si el logariitmo. perteneciese á un .coseno. Esto mismo S€'. r~ndrá presente por lo que respecta, á los Jogarirmos, de las: tangentes y cotangemtes~ · . 534 Para las operaciones r.elativ:as á los triángulos rectilíneos y á los curvilíneos, que forma la lfaea de la derrota que sigue.-la nave, bastai hailfar l0s1 valores ·de los ángulos con diferencia de un minuto ; y esto se ejecuta fácilmente por medio de las tablas. que: se expresan

en.

T~ATADO

los logaritmos de fas líne~ trigonométricas de minuto en minuto . . 535 Hay otros cálculos que exigen mayor .exactitud; y con este motivo se han construido tablas quemanifiestan 'los logaritmos . de las líneas -trigonométricas ~orrespondientes á los 90° del cuadrante~de 1o'' en 1o'', y aun de 1" en 111• , . 536 Aunq1,1e s~ haga uso de las tablas que solo manifiestan lo~ logaritmos de las líneas trigométricas correspcmdientes ~ los arcos de 1' en '1 1, es facil el hallar los logaritmos correspondientes á los ángulos intermedios, ;y los ángulos correspondientes á los logarit~os compretididos efltre los de las tablas, ,por el método general indicado en la Aritmética. · Sin embargo ·se tendrá presente que dicho método es erróneo cuando se trata de senos y tangentes de arcos qué no llegan á 2º, ó de cosenos y cotangentes de arco~ que no distan 2° del ·cuadrante, porque en tal caso las diferencias correspondientes á ·tres logaritmos sué_esi-vos son muy desiguales, lo .que es cbntr;irio á la suposicion en que se fonda el .IJ1étod9 expresado ( Arif 330): Por esta razon se suelen poner en las tablas de 1" en 1" los logaritmos d~ senos y tangentes de los primeros grados, que corresponden á los _cosenos y cotangentes de los últimos grados del cuadrante. , · Para facilitar los cálculos se suelen expresar en las mismas tablas las diferencias de los logaritmos de las Iíneas trigonométricas correspondientes á cada 1o'', ó cada· 100" de dif~rencia en los ~reos ó ángulos. · 537 En las tablas solo se escriben los.valores de los arcos menores que el cuadrante; y por lo tanto, si se pide la línea trigononíétrica de un ángulo obtuso, se buscará la de su suplemento.· · " V. g. si s~ pide el logaritmo. del seno de I 20°, se tomará el suplemento 6a°, se buscará en las tablas el seno correspondiente, que sei-á el mismo de 120". ·

+ sa8 Si ' ._conociendo

el logaritmo de una línea trigo-

99 nométrica se .q uiere -.sab.er el walor del ángulo obtuso á que pertenece-., se .determinad por las tablas d ángulo agudo correspondiente á dich_o logaritmo y 6U ,s.u plemento será el _ángulo ohtüso que~ trata de determinar. DE --GEOMETRIA.

V. g. si el ángnlo agndo á qne corresponde la línea tr\go.nométrica es el obtuso g:ne se :lrata de determinar valdrá I 20°, . 539 El seno de1 arco mayor que el cnadrante afg (.fig.. 94) es :pg-; y esta línea es coseno de su exceso sobre el cuadraute.fg. El coseno del mismo arco q,fg es gd, que es seno de su exceso sobre el cuadrante.fg. Tambieo , la taugente de afg es at, que es cotangente de mn ifg (árt. I -58 y 134). La cotangente de efg e~fu, gue es tan_genle .dej'g. De estas observaciones resulta que · ·540 En vez del .seno y tangente de ·un ángu1o -0bluso se pueden buscar el coseno y <:ota,n gente de -su exeeso sobre 90º, y al contrario. Dicho exceso se halla facilmeete de memor.ia por lo di.cho .(art. 155). 54 r' Si dado el logarit-m o de un se.no .ó tan.gente .correspondiente .á ángulo ,obtuso., se busca en las tablas como si fuera coseno ó ,cot-a.ng.e nte y al oo.n kario-; resultará el exceso del ángufo que se busca sobre -9'(!°; y será muy facil el determinar diohe .ángufo obtuso de .memoria por lo .di-

· 60°,

dio ,(art. :156).

i. 542 Respecto á que el radio ,es ·seno de 9d', coseno ,de oº, y tangent~ y cotangente de 45°, nunca -hay necesidad de buscar en la-s tablas el logaritmo de d.ichas líneas trigo-nomér.dcas., qiae es diez de -caract-erística con un número .de .ce-ros igual al .de las cifras -que tienen las man_tisas de los otJros logaritmos. 543 _P or consiguiente, si el -primer término _de una proporcion -e s el .radio., bastará sumar los logaritm.os de los términos segundo y tercero, y quitar <liez unidades de la caracte.rís.tica., para ~btener el 1ogaritmo.rorrespondiente -al .cuartó término. · )I 544 Si el radí(? es uno de los medios de 1a propor-. · don, .el complemento aritmético del logaritmo del primero -sumado ,con el log.aritino del otro medio, da~á el loga~itm.o correspondiente .al .c.u arto término de la proporc1011-

100

·. ·

TRATADO

CAP!TULO XVI. . DE LA RESOLUCION DE LOS TRIANGULOS RECTILINEOS RECTANGULO~¡;- POR MEDIO DE LOS LOGARITMOS. '

, . 54 S Lorema. En todo triángulo r~ctángulo el

;a~

dio" es. al senq ·de . un ingulo como la hipotenusa es al ca-t-eto. opuesto á dicho ángufo. . +. D emostracion. Sea el tri~ngulo propuesto eqb (fig. 95); y despues de haper descrito el arco ba _con el radío eb, ~~t_;á bq set1O, de di.cho arco~ que es medida del ángulo e. Por ~onsíguiente,, el núm~ro de partes del radio eb será al'' número de partes del seno bq, c;omo e! valor absolu-. to de eb valo.r <lbsoluto -de bq. - , . . Por d mismo, esrifo se demuestra que es el . radio al seno de b, como. la hipot~nqsa be al cateto eq. + 54<5, •Teor,em_a. Efr cqa_lqqieF triáng1do · re1,:tángulo el raoio ~ -.al c..oseno, d~. l!ln 4mgulo, como -,la hipotenusa es ah cate.to, ady.a.cen,te á cjkho ángulo,. .· · . · . . ---1- Demost-1"4.cJon. Se;a eql? (.fig. 9-5c) ~I triángulo de que se tirana, y por· lo que se aq_apa, cd_e d~mo~trar será el radio al seno de b como be es á eq,•. ·Es a•s i qu.e el ángulo ·b es . co·m·¡¡>.leia;l~ht-o de- ·f. (art,. 2.4i): lqego l<>r mismQ será decir· sel'lo, de: b1qu~ cosenq de e=~ego¡ e~, que será; e:kradio .al' cos~lil.O de e, com.0 la hjpo.,t~:1Ju.sa1be es al catet.<i> adya-: .c~_Jlte. eq.. · · . ' 1 547 Teorema. En todo triángud:<i>• nectángulo es. eL ra_.. cli.o1á hi.tangente, de, un ánguloi, c0mo ,el, cateto ady,acen., . -tle e5;. ail, e.aneto opl!lesto á, did.ílo ~:1gulo.. D:cm.osJma.don. Sea sae (fjg·..96} elt tniánguloJ de;- q,me . se tra:ta-. Con. el radio ea describase. el arco, ab, y será a.r tangelilte del ángulo e respecto del radio ea. Por consi-: guiente será el numero de partes ds!l radio ea al núm~ro de partes de la tangente as,, como el valor absoluto del c~t~to adyacente ea es al valor absoluto del cateto opuesto as.

., DE GHOMETRIA.

I OI

548 - Estas propesiciones son suficientes para la resolucion de los tri... án~ulos rectángul?s, ~o~o: s~· comprenderá á' vista de las aplicaciones ~ígmentes. • . ; Ejemplo r.0 S.ea la.h1po.tennsa eh (.fig. 95) de '38•4 m1ll<;1s, y el án.. gulo e de .2-3 °•.••• 481, y se hallarán los valores de los dos catetos disponiendo el cálculo como sigue, · .• e •••••• : •••••••• 2"3°............... 48 1..................... Log ....... 9'nb·!$89 : : eb ..........:............ 38' 4 ..................... :................. l.og....... I •:5B433

R: sen.

' : bq .. :...................... 15'5................... .'.......:............ Log ....... 1<·t9t>2.2 R : cos. e .........•.•.•• 2'3°................481•••••••.•••••••••.•• Log....... 9'9614ó : : eb ....................... 38'4....................................... L og ....... 1'58433

: eq ........................ 35'13..................................... Log....... 1'54573 La resolucion ~ muy sencilla , teniendo presente. el buscar el logarit• mo del coseno de e. que se emp\ea en lá segunda parte, al mismo tiem.,. po de buscar el del seno de e, que se emplea en la primera. En cuanto al logaritmo de la hipotenusa eb, se escribe en la primera propor cion y en la seg1mda sucesivamente; y despues se ejecutan las sumas, y se buscan los valores correspondientes en las tablas de los logaritmos de los mí~ meros~ ·, -Ejemplo .2.0 Sea- el cateto eq=35' I 3 millas., y bq=I 5' 5; y se -resolverá el triángulo disponiendo el cálculo como sigue. · ·...

eq ........................... :35'r'3................... compl. arit. log ......... 8'4543.2 :J:iq ........................ 15'5....................................... log ..•...... 1'19033

: : R : -tan. e .......... 23° .......... 481 .......................... log.•....... 9'64465 sen. e ...................... 23°.......... 48'....... compL arit. log......... 0'3941 I : R : : bq ••... •..•...... I 5' 5....................................... log......... 1' 19033

:eh ........................ 38'4r ..................................... log ......... 1,58444

Se advertirá que el logaritmo del -cateto bq, que se empl~a en la primera parte, es el mismo que se emplea en la segunda; y despues de ha~: her hallado que. el logaritmo 9'64465 corresponde á la tangente de .23°................. 48f se b11SCará el seno de dicho ángulo e, y se escribirá su complemento aritmético en la -segunda parte del cálculo. · . En cuanto al ángulo b, si importase el conocerlo, basta tomar el complemento de e (art 241) 1 y resultará b=66° .......... r 2 1• Ejemplo 3.0 Sea el .ángulo e=23° ................ 48 1, y el cateto adyacente eq:=35'13 millas. iPua resolver el triángulo se dispondrá el cálculo como sigue. ·

., -

10.2

TRATADO.

B. : tang. e .............. 23°............ 48'-···-- ................ Iog......... 9,'64449 : : eq .......... - ....... _ 35'r3..................................... log .•- .... 1'54568 : bq ........................ JJ5'49 ..................................... log......... 1'19or

cos. e ....................... 23° ........... 48 1...... compl. arit. log ......... 0•03860 : R: : eq .............. .. 35'13..................................... log.. - ..... 1•54568 ~ eb ..........................

38'40..................................... log........• 1'58:428

Se tendrá presente el buscar el logaritmo del coseno de e, cuyo complem~nto aritmético se emplea en la se~;1nda.parte al t!empo de buscar el logaritmo de la tangente de e, que 5e emplea en la primera. El logaritmo de eq se emplea en ambas partes. 549 Lo ~icho es mas que suficiente para que se resuelvan CJn facilid:rél todos lós casos que se presenten, ordenando las prop.o'rciones demostradas. (art. 545, 546 y 547) de modo que resulte por ouarto término el que &e busca. ·

CAPITULO XVII. DE LA RESOLUCióN DE LOS TRIANGULOS RECTILINEOS OBLICUANGULOS EMPLEAND_O LOS LOGARITMOS •

s50 Teorema. En todo triángulo oblicuángulo los · · senos de os ángulos son proporcionales con los lados opuestos á dichos ángulos. Demastraeion. Sean ( jig. 97 y 98) abe los triángulos' .· de que se trata, y despues de haber bajado la perpendi~. · cular be desde el ángulo b al lado opuesto ó á su prolop~ gacion, resultarán en amb31 ~figuras los triángulos rectángulos abe, ebe, y en ellos serán (art. 545). 1. º........ ab : be : : R : sen. a 0 2. •••••••• eb: be: : R: sen. e (•); . y por lo demostrado en la Aritmética ( Arit. 2 50) será ab : eb : : s:n· e: sen. a, que es lo que se trataba de demostrar.

(") se te{ldrá presente que en la figura 98 el seno del ángulo obtu-

so bea es igual al de su suplemento beG.

DE GEOMETRIA.

103

-+ ,55 I

En las aplicaciones del ~eorema se tendrá presente que cuandp se , trata de determinar el ángulo opuesto al mayor lado, es menester saber-si _dicho ángulo es agudo t'í obtuso, respecto á que sin este conocimiento el triángulo queda indeterminado, como se advirtió ·(art . .247 núm. 6. 0 ) , y se manifiesta en la figura 99. Si el ángulo opuesto al mayor lado ae es obtuso, el triángulo que se tr::i..t a de res(llv:er ~s abe; y si dicho áng~,lo es agudo, será ac(e el triángulo propuesto. -f- Los ángulos u· y d tienen un mismo seno, que es el cuarto término de las proporciones eh : ea : : sen a : sen. u, y ed : ea : : sen. a : sen. d, cuyos tres primeros términos son iguales, y por lo tanto será u snplem-,uto de d. . . . -f" De la inspeccion de la figura se deduce esto mismo, porqn.e '1J es suplemento de m (ar·t. 148), y m es igual á d (0:rt. 2.36). O ~ 55.2 . Teorema. Si en un triángulo abe (fig. 97 y 98) se baja- la perpendicular be desde un ángnlo b al lado opuesto ae, ó á su prol.o ngacion: Jas distancias ac, ec de los extremos de dicho lado. á la perpendicula1· (que llamaremos primero y segundo segmer,i~o) serán recíp1;oc¡¡mente proporcionales con. las tangentes de sns ángulos adyacentes: esto. es., que sel'á ec : ac : : tan. a : tan. e. -r Demostracion. Por lo establecido (art. 547) serán ..............., .• ,., •.,, ..... · 1.Q..........ec ) ch : : R : tan. e(*). 2. 0 •••••••••• ac : ch: : R : tan. a. y por lo estableoi en la Aritmética (Arit . .250) resultará ec :- ac :- : tan. a : tan. e. -t: 5 53 Esto, y lo dicho sobre los triángulos rectángulos (art. 5'4.5' y ·546) hasta para re~olver los triángulos oblicuángulos en que se conocen. dos lados y el ángulo comprendido • ...,_.. !·º Para esto ~e dirií,, R: cos. a;: ah.: ac. Si ac rest}Jta I;l).enqr qui: ae, el angulo e del triángulo será agudo; y s1 ac resulta. ma-yol.l que ae , dicho ángulo será obtuso. En todos casos la diferencia enti:~ 4.e y ac da el se+-- gundo segmento ec. ' .2.0 Despues se dice, ec : ac : : tan a : tan. e. ~. 5.° Finalmente se dice, cos. e : R : : ec : eb. ~ 5 4 Este método no es tan largo como. aparee.e , siempre que se plantee antes el cálculo, y que ·se tomen al 111isn,o tiempo los logaritmos de las líneas trigonométricas correspopdientes á los mismos ángulos. Tal~s son el coseno y tangente de a, _la !ª.ng-ente y cos:mo de e-,.. y el logaritmo de .ec y su complemento aritmeti.co. El loga111tmo. de ac, que resulta eu la primera parte, es el mismo que se emplea en la segunda. Cuando no interesa el conocer el ángulo e, basta buscar en las tablas el logaritmo mas próximo al que resulta en la segunda parte entre las tangentes; y el logaritmo que se halla en la mism!1 línea , en la columna de ~ cosenos, será el del primer término de la tercera parte . y por lo tanto

(*) Se tendrá prsente que en la figura 98 la tangente del ángulo obtuso

bea es igual á la de su suplemento bec, con la sola diferencia de ser negativa.

TRATADO

104,

se escribirá su complemento aritmético en el lugar correspondiente. · "' Ejemplo 1.º En el triángulo cibe (fig 100) sup6ngase 555 421, b = I I 2°..... 3 51, ae= 82 '3 brazas, y se trata de det~r..... 35° a= minar el lado be. Par_!l esto se dispondrá el cálculo como sigue. sen. h ....................... I t 2° ....... 351...... ..compl. arit. log .......... 0'03465 : sen a ...................... '35 .......... 42 ............................. log ...... :•.• 9'766-07 ; : ae ......................... 82''3 ....................................... log•.••.•.•.• r'91540 : he'., ......................... 52'01 ...................................... log.•.••••••. 1'71612 El seno de o- se halla buscando el de su sup!emento 67°................. 25' (art. 5'3'7); y mas facilmente buscando el coseno de su exceso sobre 9oii, · t . que es 22°............. '35 1 (art. '340). Si se tratase de determinar el lado ab, se hallaria primero el ángulo opuesto e , que es stlplemento de la suma de los ángulos conocidos a y b. Dicho ángulo valdra '3 I O ................... 43 1, y el lado opuesto ab resultará , =-46'86. Ejemplo 2.0 En el tr1ángnlo abe ( fig·. 97) sup6ngase ae::82''3 ab= 46'8 6, y el ángulo a= '3 5°............... 42 1, Se resuelve el triángulo por lo establecido (art. 55'3 y 554), disponieno el cálculo como sigue. R: cos a .................. '35" ............42 1 ...................... log .......... 9'90960 .:_: ah ....................... 46•86 ............._. ..................... log••..•••••• 1'67080

: ac .......................... 38'o5 ...... .....,.,....................... log; ......... I '58040 ac ............................. 82''30 .

ec ........................... 1 44•25 ..................compl. arit. -log .......... 8'35409 - : ac ............................................... :......... •·•·•····••·•'• log.......... 1'5804t> : : tan a ........................ ........................ ................. _log.••_. ...... 9'85647 · :-tan, e..................... '31º ...... '. .... 4'31............. :....•...• log.•. ~...... 9'79096 , cos. e ........................ .......... ;.•. compl. arit.............. log.......... 0'07024 : 'R : : ec........................ ;........................ .............. log .......... 1''64591

;. eh ..........................

52'02 .•........••........•... ...•...... •.

log......•... 1'71615

Para mayor facilidad se ha omitido el repetir los valores de los términos del triángulo que entran dos veces en la resolucion. 't- 556 Esto basta para qne no haya dificultad en resolver p~r los dos teoremas (art. 550 y 552) todos los casos que pueden ofrecerse sobre los t riángulos oblim1ángnlos, excepto cuar¡.do solo se conocen los tres lados • . Dicho caso no tiene mucho uso, y en ateacion á-esto se pondrá sin demos• t racion el modo mas exp edito _de resolverlo en el siguiente. t: 557 Problema. Conociendo los tres lados de un triángulo rectilíneo, hallar el "Valor de uno _de sns áng ulos . .¡- Resolucion. 1.0 Súmense los valores de los tres lados, y sáquese la mitad de la suma.

I O5,. .

DE G EOMETRIA.

rdeterminar De esta semisuma réstese el lado opuesto al ángulo que se trata· áe , y el residuo llámese diferencia. 2.. 0

3.0 En las tablas de lós logaritmos de los m1meros t6mense los comple-

mentos al"Ítmétiaos de los logaritmos de los lados que comprenden al ángulo que, se busca; y los logaritmos_ de la sem,isuma y di'.erencia. 4.0 Súu::¡eose estos CL1at110 logaritmos, y tomese la mitad de la suma. + 5.0 Dicha· semisuIIJa de logaritmos búsquese en las tablas de los loga:.. ritmos de los cosenos., y el 4ngulo correspondiente será mitad del que. se busca. Dúplese, ·y resultará el áogulq qqe se tra,ta tle determinar. ,1- 6.° Conocidi> qg. ápg!llo, se haJ.la fucilmaqte el otro por lo dicho (art. 550), . y 558 Ejemplo. Snpongamos que en el :triángulo abe (.fig. roo) se trata de det~Fminar 'el ángulo b, y que lqs valores de los-lados son ae~8:,¡f3 brazas, eb:;52.'o~, y ab:::;46'86; y se dispondrá el cálculo . "' como sigue.

-r

ae,., ............ ,......... eh........ ,, .•. ,...........

ah.........................

82.'30 52.'92 compl. aFit. log. 46•86 compl. apt. log.

-----------------------------

Suma .................... 18{'18 i suma .... ,.~n••••u•• 9°· ,59 ....... ,.. ,.. ,.,... I~g. ae,,,, .......... ,.....•....

82.'30

Diferencia ........ ,...

08'2.9,., ....,.. ,......... ,Iog. ,,.

0'91855

(éo~. . t b) ••••••••••••••••••••••••••••••••••• , ••••••••••••• , •••••• 19,48866....... suma de log. Cos f b .... ,........... 56'- •..•... 171 , • .,.,. log. 9'74433 ... f suma de log. 1

b .,.,.,................,...

I I 2°

....... 341

Para no equivocarse en la suma conviene el escribir los cuatro logaritmos qno debajo de otro, sin espacio intermedio, · aunque no resulten colo~dos enfrente de los números correspondientes, La diferencia de 1 1, que hay entre el valor hallado del ángulo b y el supuesto anteriormente ( art. 555 n~m. I •0 ) , proviene de haber despreciado en los cálculos los u:ülésiwos de braza.

CAPITULO XVIII.

NOCIONES DE GEOMETRIA PRACTICA.

559 1a Geometria éspeculativa se supone _que las operaciones se ejecutan sin el mas leve error. Esto es imposible en · la práctica; porque no hay modo de éonstrµir una superficie perfe~tament~ plana, de~trazar una li-· nea ex~ctamente recta, m d~ describir un circul<;> perfec•

106 ·

TRATADO

to. Las líneas físicas (art. 8) de que se· hace uso en la Geometría práctica, tienen una latitud sensible, y las mas veces desigual. Por consiguiente, es imposible el ·determinar con precision geométrica los puntos matemáticos (art .. 8) que resultan_de sus intersecciones. La misma •imposibilidad hay en medir la extension de una línea recta, y en deten,ninar el valor de un ángulo con rigurosa exactitud. . 560 El e~ror indispensable ~n las operaciones influye mas ó menos en los res.ultádos que se trata de .determinar; y uno de los objetos esenciales de la Geometría. práctica es la deterrpihacion de dicho influjo. •De aqui ·r esulta, que de dos operaciones geométrica~ exac.tas puede suc<!der que en la práctica sea la una muy errónea y fa otra muy aproximada. _ 561 Todavía hay mas: y es, que una"operadop que segun la geometría especulativa fio es ni.as que aproximada, en la práctica puede ser mucho mas aproximada que otra operacion cara.eterizada de rigurosamente exacta segun las suposiciones de la Geometría especulativa. Para comprender esto , supónga'sF que ,la· operacion aproximada sea por su naturaleza susceptible de un.c·eniésimo de línea de error en el resultado final ( aunque se ejecute con toda precision) y de o~ro centésimo por la imposibilidad de. operar con exactitud. En tal caso, se puede decir que en· el resultado práctico de la ·~peracion aproximada cabe mi error de dos centé.simos. Segun esto, siempre que en el' método rigoroso pueda llegar á cuatro centésimos de lín~ el ii;iflujo que tienen en el resultado . práctico los errores inevitables en la operacion, no hay · duda en que se dirá c0n fundamento, que por medio de la resolucion aproximada se puede obtener el valor del . resultado final .con doble mas precision que por la caracte1=izada de exacta, segun las· suposiciones de la Georne..: tría especulativa. • · · 562 . En la Geometría práctica se prefieren fas soluciones mas· sencillas de los problemas _, siempre q,ue. por

DE GEOMETRIA.

107

medio de ellas se pueden obtener los resultados con toda la aproximacion que se necesita, y cuando el error anejo al método es pequeño, respecto _del que puede producir la incertidumbre de los datos. Por esta razon algunas resoluciones, muy buenas para el caso de conocerse los ángulos de un triángulo con diferencia de medio grado, <leben desecharse como defectuosas, en el caso de conocerse los valores de los ángulos con diferencia de medio minuto. 563 Establecido esto, supongamos qúe dado el punto a (fig. 101) se trata .de determinar otro pnnto para tirar una recta de la extension am. Imagínese otra recta ad, y desde ella bájense á la au las perpendículares be, 'em, du. La inspeccfon de la figura manifiesta que si en la posicion del punto se comete un enor igual á la distancia cb, resultará la recta · ad en vez de la au; y el error en m será me, 'que es mucho mayor que cb. Si el punto ,que se señala para la \1eter1IJ,inacion de 1,a recta es u, del e1:i;or ud en su posi.cion resultará en m up. err.or f!lf: ~ )Jlem>r que ud• .De .es.t a ohservacio11 re.sulta ';{t~fl ..

·564 Cuando · se trata ·de determinar una recta por la ' posicion qe dos puntos, dicha recta resultará determinada. con tanta m~s exactitud c_u antq mayor sea la distancia de los dos puntos que ·1a determinan, y cuanto mayor sea la precision cqn quf se .háyan determ;nado dichos puntos. · 565 Supongamos que se trata de determinar un punto a (fig. 102) por la intersecciou d-e _h1s rect,as bm , .eu; y no hay dnda. en que si eñ. vez de l,a eu se tir'.-1 !a !n, ~l punto de interseccion será e; y el error que resul- : rara en su pos1mon sera ac. · . , Si las rectas eu, tn son paralelas, 6 salen de un · punto e formando un ángulo mny pequefío, el ángulo bce será igual 6 casi igual al bae, respecto á que este es exter~o .del tri,ángulo eac, y por lo tanto solo exceder.á al interno .bce en el ángulo e (art. 245,). qne se supone muy pequeño. Establecido esto, tírese la iro perpendicular á tn, y resultará el triángulo aoc, rect~ngnlo en o; y ( arl. 545) serán sen. e : R : : ao : ac. · Llamando .él. .al 'ángulo e- (sensiblemente igual á a); S á la separacion ar;, de las .líneas eu, tn; y E al error ac, que resulta en la posicion del

a,- será

RxS

segun esto seno A : R : : S : E..:.--· sen. A - Esta expresion manifiesta ·que el error E aumenta al paso que aumenta la' separacion S ( que· es factor del dividendo), y al paso que disminuye sea: A (que es divisor (.él.rit. 127): esto es, al paso que el ángulo A se: '!}~):! mas de ser recto (art.-501). 566 Si las líneJS que se cortan en á (fig. 102) son dos arcos de punto

TRATAD© círculo, 6 de otra cnrva , las pqrcio.nes de curvas inmediatas al punto de interseccion s~ c;onfondirán- sensible.mente con las tangentes correspoodien~ tes á élicho punto , cuya 'cteterminacioq dependerá del ángulo que formen las tangentes, esto es, de1 que formen las curvas en el punto en que se cortan (art. 63 y -80). Por consiguieate se podrá decir en general que

567 El error en la posicion de un punto determinado por la interseccion de <lbs líneas ( rectas ó curvas) es tanto mayor, cuanto mayor es el err~r que se cometé en la posicion de las líneas, y cuanto mas se aleja de- ser Tecto el ángulo que resulta de su interseccion; de suerte, que si dicho ángulo· A es muy agudo ó muy óbtuso, por pequeño que sea el error que se cometa en la posicion de la$ líneas, resultará un error considerable en la posicion del punto que se trata de determinar. 5 68 'En el caso de salir las recta~ eu, en (.fig. I 02) del Blltifo e sí•se'tlltt~a e el ángulo' e· ( qúé és el error que se comete en la direccion de la recta que sale de dicho punto); D 'á la distancia ea del punto dad9 al que se ha de determinar , y S á la separacion ao entre la recta que• se t~r~ y 1~ que.1deberia Jirar,e, será (wt 545) lt. : sen. e ¡ ¡ e1:n 4A: est~ es, . sen. exD • R: sen. e:: D : S=r. •

.•

•

Este valor de S, sustituido en la eJEpresion ~qterior ( art. 565)

569

RxS

E=--sen. A

sen.A sen. exD

da el error en la posicioq d~l punto

Rxsen. exD sen. e~D .- -...--.X .. - - - - - - : : : : : - - - - • sen.A R Rxsen. A sen. A l'or unas cosideraciones semejantes á las que se hicieron al fin del ártl• culo 5 65 resulta que

Cuando se trata de determinar el punto a por la inter,seccion de un~ rec;ta dada bm con otra recta eu, que sale del punto determinado e, el' error que resulta en la posic;ion d~I punto a es tanto mayor, cuanto mayor es el error e que se· comete en la direccion de la recta que se h~ de trazar, cuanto mayor es su extension ea, y cuanto mas se aleja de s.er recto el ángulo a que for,man las líneas en el punt? _que se ha de determinar. 571 Muchas veces sucede que la condicion de _q ue 570

(fig.

102)

DE GEOMETRIA.

, ,.109

las línea~ (rectas _Ó curvas~ -se -• córten ,formancto á~gillos - rectos, es incompadble -c;on•-lá-> conclieion de que los puntos que determinan la 'pqsicibn~-~Un a• rect~ que se ·ha de tirat esten muy separa~ ( drt. 564)f· En ~ste caso, y en otros que resultan de ·1a:'natutalé-za de los instrumen: • tos que se em•plean, se -debe. tó1riar ún partido medio para obten!'!r los resultados con la rhlyor aproximacion . · . posible. 572 Cuando varias líneas Goncurren, ó se crúzan en un punto, se trazan . én toda su extension las dos que se cruzan bajo un ángulo que mas se acerca á recto, y las <lemas se interrumpen antes 4e llegar ~1 punto 'dé' con,,). curso para no confundirló. .· 573 Para trazar las líneas rectás con fa'• n;iayor ¡,er.:. Jeccioh posible, se hace usd de un instru!nento lfamádo regla, cuyó manejo 'debe aprenderse con··fa práctica. Pa.! ra el buen uso de la regla .conviene tener presentes las adver.tencias que siguen. · · · · · 1.º La superficie sobre_que se ha de trazar fa línea debe s~r perfectamente plana y tersa; y tainbie.{l \ lebe ser tersa la cara · de,la regla en que apoya el é.t:1erpo.. que tra:ia' dicha línea. · • ·' '. r ' ., ·1 • , 0 .2. L'..a regla- debe estar muy sujeta, en fas inm'edi;cfones ele ·st1s·cabez-as. . ' ,· · ' · • S-~ .?. ~-1 instrumento que traza la recta debe · apbyar sobre el plano y contra 1.a regla, con aqueIIa suaviéfad y finqra que solo se ~dgüiere con fa práctica. ' .. · +~ Conviene· que Ia parre de d~cho cuerpo que apoya contta li :-teglá sea pfana. · 'Fámbien puede' ·set' dP dio cuerpo· dle tfigi1·rn cµínd,)ca ~ con · tal que 1a punta que traza ·la- -línea correspqnda exacta:mel}te al ~¡e del cilindro. -~ r • ' • ·S·º Es· muy dificil el trazar la r.ecta éon ·perfeccfon cuando el 'éuerpo de que se hace uso ni, es· cilíndrico ;' ni: dene .plana la ca~a que apoya contra 1a· regla, ni tiene fa punta que traza la línea en su centro. ' · - '· ¡•. ·' 1 0 6. Las plumas ordinarias tienea· todos' estos de.fec-'

I 10

T!J,,A.T'IADO · t

tos; y en tal caso, ~,pc1-ra trazar bien 1a recta se debe po_ner mucho cujqasJo, en no dat, á la pluma movimiento alguno giratorio:. este>,. es, que la pluma se debe llevar sief11pre paralela ~. sL mi.sm~, sii;i, mas movimiento qt!e, el progresivo á lo largq de la regla. ~ 57 4 Se puede¡ e;xamina.r la regla arrimando su canto á un ,pelo ó hilo delgado tirante. 575 Tambien se examinan la regla y la línea .trazada con ella , operando como sigµe. :r/? .El canto ae (fig. 103) de la regla ad se pone sobre fa l.íne_a ·trazada; y se confundirá con ella siempre .que la línea se haya trazado con perfección. 2~ Se hace girar la regla so.b re la ae, de sue rte que el pinto bd tome la posicion ~D; y si estando la regla en esta posicion se verifica la ~oincitlencia, no queda duda . en que la regla es buena, ni en que la-_recta está bien .trazada. s? Si se nota alguna diferencia entre el canto. de la regla y la línea, la mitad de 9-icha diferencia será el defecto comun á la línea y á la regla. 576 La comprobacion de la recta se ejecuta . con ma·s facilida~ y precision colocando so}?re ella un pedazo· pe papel , ú otro cuerpo delgado y trasparente; trazandó sobre dicho cuerpo la línea que se trasluce, ó se• ñalando alguno de sus puntos; y dando despues á dicho cuerpo una media vue~ta, en los mismos términos· que , se ha dicho en el artículo- anterior núm. 2? · · 577 ¡ Demostracion. S~a (jig. _104) aeg 1a verdadera recta, y apoqemeg fa línea que· se trata de comprobar. La operacion del artícul<_> 57 5.númerp 2. 0 equivale á dar medfa vu~lta _ á dicha Itneá ó á tu _igual, que es ef canto de . la regla ó la línea trazada. solsre el ·cuerpo trasparen~e. E11 dicho -caso, todos .los P,UI,1tos de la linea describirán unas semicircunferencias, cuyos centros e, u, t &c. · estarán en la verdadera reéta . .La línea propu€sta ( ó su igual que es lo piismo) toma_rá lo pos~don afnl¡ekg, y Ias ,p/1 on, qh &c. serán duplas de las d1ferenc1as pe, ou,

DE GEOMETRIA,

I II

qt ·&c. (art. 110) entre la línea propuesta y la yerdade'1:i

ra línea recta. · · 578 Para señalar la direccion de las rec.tas muy lar-: gas que se imaginen sobre el terreno, se indican algunos puntos de dichas líneas por médio de unos palos cilín~ricos, llamados piquetes, cúyas puntas se hincan en la tierra. Los chuzos son muy á propósito para este obj.eto. · Se supone tambien que el rayo de luz, en su paso desde un punto cualquiera hasta . el ~jo del observador, describe una línea recta. En dicho caso no hay duda en que' si puesto el ojo del observador en a (ftg. 105) se ven confundidos los puntos b, e, d de los piquetes, el ojo del observador y dichos puntos estarán en línea recta. 579 Hay varios casos en que el rayo de luz camina por una línea angulosa ó curva, segun se manifestará en la Cosmografía , y por ahora se prescindirá de dichos casos. 580 Uno de los instrumentos mas usados en la Geometría práctica es 'el compas ame (ftg. 106), cuyo manejo se enseñará prácticamente. 1. ° Conviene que el compas pueda abrirse ó <:errarse con suavidad, girando sobre el eje u. . 2.-0 Si las puntas a y e son obtusas, es dificil el colocarlas exactamente sobre los puntos que se desea ; y si son muy agudas, se introducen en el papel; y por lo tanto no corresponden á los puntos sobre que se trata de fijarlas. 3. º Si el ángulo aue es muy agudo, es dificil el describir una circunferencia con perfeccion. Por lo tanto, cuando se trata de describir circunferencias, conviene que dichQ ángulo no baje de 5. 0 +0 Mayores inconvenientes resultan de ser el ángulo a1r1e muy crecido; y por esta razon conviene qqe dicho ángulo no pase de 90º. · . 5_~ Muchas c9n§trucciones geométricas resultan de ·

;

JI2

TRATADO

fectuosas cuando .se hace tJSO de los compases· ordinarios armados con lapicero ó pluma, á menos que el l.apiz ó pluma no sean perpendiculares al plano del papet Para conseguir esto se suelen construir dichas armazones en términos que puedan girar sobre una bisagra, con la friccion necesaria para no mudar de posicion sin la vo• lyntad del que las maneja. · . 58i A igual distancia ae (jig. 107) entre las puntas corresponden unos ángulos ane,, a Ne, tanto mas pe:. queños cuanto mayor es la .longitud ,de las piernas del compas. · 582 De esto y de lo .dicho anteriormente resulta que conviene servirse .de ,compases ·d e .diferentes :tamaños para operar con precis:ion en todos casos. 583 . EÍ compas Hamado de ')Jara es muy preferible :á los compases-or• dina]'.Íos. Dicho •Compas se ,com;pone de una 1·egla .c.d (fig . .108) con dos correderas e y :n ,á que estan sujetas las puntas a y e._La corredera e est á unida á la regla por medio del torníllo t, y puede moverse algunas líneas hácia adelante y hácia .atras con · mucha suavidad haci ~ndo girar la cabeza · del tornillo. La corredera n ·camina libremente á 1o largo de la regla, !/ se sujeta donde .se -quiere por medio .del tornillo u. Este compas #ene las grandes ventajas -de que sus puntas son siempre perpendiculares al papel, y se ajustan ·con cuanta exactitud se quiere por .medio del tornillo t. Apretando los tornillos que -hay-sobre las -correderas en s y u, no hay riesgo .d e que las puntas tlel .compas muden de posic'ion. . . · . Alg~nos •compases - de vara tienen sena.lada en ·la regla .una .esca1a, que manifiesta fa distancia de sus puntas; y en las correderas ,e y ~ suelen Hevar dos mici-oscopios, que sirven para colocar dichas ¡puntas con suma· exactitud sobré los puntos finísimos señalados en_el ,plano sobre quf· se trabaja. ,.

· ,584 Conviene no apoyar las ·punta~ del compas so• - bre• una 1ínea ó punto ·;acabado de señalar con tinta ; pbr 110 agujerear el papel, · t . . . 58 5 Por esta misma razon, 'Siempre ·que se ,ofrezca d tener 'que ·a.J?oyar much? .ra pupta :del ·c0mpas so·~re un· punto, conviene -el ·colocar ~obre el papel ;una .ho1a,del-. gada de talco; ó de otra materia dura y- tras,parente ,. y · afirmar fa ,punta ·e n un punto sefralado-sobre..Ja hoja, des• pues de hª-berla colocado •c onvenientemente. Si en el punto de que se trata se 'cruzan élos perpendiculares , se pue-

DE GEOMETRIA. · I 13 de emplear con el mismo objeto una hoja de acero 6 de laton, sobre la cual haya señaladas dos pe_rpendiculares, cuyos extremos se ajustarán con las trazadas sobre el papel; y en tal caso las intersecciones de unas y otras se confundirán. · _ · · 586 Hay otros compases -que sirven para facilitar-la solucion de algunos problemas de la Geometría práctica. . .

587 . Sobre el modo de tirar una. perpendicular (art. 176), ó de dividir una.. línea por mitad (art. 177) .hay que advertir,. que conviene que los arcos se corte11 casi en ángulos. rt;ctos, (art. 567); siempre que de esto no resulte alguno de los. inconvenientes indicados (a_rt. 564 .r 580, núm. 3"·º .Y :1-º); y para este.objeto conviene ten_er· presente lo. que sigue. . ; . - , 1. 0 -S1 se· hace de modo, ·q ue ut (fig. 33) sea con corta diferencia igual á uc, el ángulo. de la interseccion , de los arcos en e será-de.90°, c¡ue es lo mas ventajoso. La razon de esto es, que si es ut=uc, el triángulo cut será is6sceles, y el ángulo .tcu valdrá 45°"(art, .2'36 y 241)•. Lo, propio le sucederá á scu. Por consiguiente la suma tes. valdrá 90º; y tambien valdrá_90º el _4ngul9 ecm formado por los arcos que ~-e c~·uzan eil. e (art. 2 1 1 ). -

Si se hace tc=ts (jig .. 33) el ángulo de la .interseccion de los arcos en· e,, será. de 60°, lo que es muy su2. 0

ficiente; y á mas la distancfa u~ excederá en ~os_a d~ :

á la ut. La. razon de esto es, que en tal caso· será equilátero,-1:l triángulo tes y por lo tanto el.ángulo set ( igual al formado por los. arcos.) será de 60°

(art. 234) .. El ángulo tcu valdrá 3o0 ~ y (art. 547) será R : tan. '3o 0

: :

cu : ut , que· es próximamente· como ~ á 3.

. 3-.0 - Si el punto u (jig. 34) desde el cual se ha de bajar la perpendicular está fuera de la recta, conviene que sean crecidos los radios con que se hacen las intersecciones en s y-t, para que. los ángulos que los arcos forman con la ab no. difieran mucho de. ser rectos. La razon de esto es, que uta es. complemento del angulo que el arco descrito con e' radio ut forma con_la ab· (art. 400); y dicho ángulo uta disminuye al paso que aumenta el radio- ut~ En todos casos sera el ángulo tuc igual á los formados ·p or las intersecciones dé los arcos t y s.

4. 0 Si la recta ab (fig. 35), que se ha de dividir po.r .,

' 114

...

TRATADO

mitad es demasiado larga, se toman las porciones igua:. les as, bt; y dividiendo por mitad la porcion st , que~ará tambien dividida por mitad la ab. 5:0 Si la porcio1.1 st (fig. ·35), que se ha de dividir por mitad, es demasiado pequeña,, se le agregan las porciones iguales sa, tb, y. se divide por mitad fa ab. · • 6. 0 Toda~ estas advertenci~s se aplican á las divisio:. nes de los arcos por mitad. · · 588 Cu anti o el punto u (fig. 1.09), desde el cual se ha de bajar una perpendicular á la ba, cae hácia el extremo a de dicha línea, conviene resolyer el problema como sigue: . · • x.. 0 · Desde un ·punto, s, muy distante de u, descrí-base · el arco upf 2. 0 Desde otro punto e descríbase el arco uql, que corte al primern en ·c. . .3~ 0 Hágase pasar u,na recta por u y e; y dicha recta umc será la perpendicular que se pide. La razon de ·esto e~, que la recta ab tiene los puntos s y· e equidistantes de u y t (art. 104) ;· y por lo tanto, las líneas ab, uc serán perpendiculares (art. 17.2} . 5,89 Para que la inters~ccion e resultase en .ángulos rectos, deberia tomarse por centro del segundo arco el punto ten que la tangente al primero corta á la b·a; pe,ro, aun cuando sea mu igual á ms, y se describa .el segundo arco desde m, · el ángulo de fos . arcos resultará de 45º; lo que' es müy suficiente para que restJlte bien determinado el punto c. . · En todos casos el ángulo formado por los arcos en e es igual al ecs formado por los radios (art. 211) y ecs es igual á eus, por la ignalcfad de r los triángulos ecs ,.eszi (art. I 14).

590 Des<;ie luego se comprende, que basta 'determinar la interseccion e; aunque los <lemas puntos de los arcos no sé sefialen, por resultar fuera del plan.o sobre gue se trabaja) y no conviene señalar los arcos desde u, por río confünrur dicho ·p unto. , .59 I · El modo de levantar_ una perpendicular eo el ...

(

DE GEOMETRIA.

ú5

extremo de una reda, que se enseñó en el artículo 219, es muy bueno y adaptable á la práctica, teniendo pre- _ sente (jig. 50)- el tomar una abertura ~e compas suficientemente grande, y el escoger el punto e de mod? que· resulten casi isósceles los triángulos imaginarios ese, esa. En este caso, la interseccion a, del arco con la recta·, formará el ángulo de 45°, y la eu resultará ig ual á la ea. Al paso que el centro e se aproxime á la eb, se aproximará mas á recto el ángulo formado por la , interseccion del arco y de la recta, que es igual á aue ( art. 241 y 400); pero la distancia eu disminuirá., lo que no conviene, por lo establecido

(art. 564).

· 592 Basta que se describan las porciones de arco inmediatas á a y u, y de ningun modo se describirá la porcion inmediata al extremo e , por no confundir este punto interesante. 593 Cuando la perpendicular ha de cruzar á la eb, conviene el ejecutar la misma construccion hácia la par- ·. te inferior de eb, con lo que resultará determinada dicha -línea por la poskion de dos puntos muy distantes, que ~tarán en línea recta con el punto e. 594 Es evidente que el método se aplica con igual ventaja á todos _los casos en que está inmediato al extremo el punto de.la recta, desde el cual se ha de elevar la perpendicular. -. 59 5 Para tirar las perpendiculares con mas facilidad se hace uso de un instrumento llamaeo escuadra, cuyo . ~so debé aprenderse C(Sm la práctica{*). Empleando los cantos interiores de las reglas que componen la escuadra, se tiran fas perpendjculares .con mas seguridad. 596 examinar la escuadra se puede proeeder poF el método siguiente. . 1~ Tfr~se una recta _ab (fig. 31) cnya longitud sea doble ó casi doble de la longitud del brazo de la_escuadra.

Para·

• ("')

~n el instrumento llamado

t1'a,portador , de que se tratará mas ádelante ( art. 618 fig. 115 ) el radio

de cero grados es per¡rendicular al de 90". Por c1rnsiguieate, dichos ra-

dios equiva1en á l os brazos de la e¡¡cuadra ; l/ po r m edio de ellos se pueden 'hal1ar los pun tos q ue dete rmina n la posicion de ·una reeta perpendicul Ú á ot ra rec ta dada.

116

TRATADO

2? Por medio de fa e_$cua.dra levántese la perpendicular ue en su medianía, ·colocando el uno de sus brazos sobre:la ua; y despues de tirada la perpendicular, se arrimará la escuadra á ella para ver si . coincide con su c-antoJ 3-<?' Hecho estq se colocará -el brazo de la ·escuadra sobre la porcion ub; y- si el brazo perpendicular se ajus.ta con la ue, es señal de que la escuadra es buena , y que la recta t1,e . es perpendicular á la ab. Si se nota alguna diferencia, la mitad de dicha q.iferencia será el defecto de la escuadra y de la perpendicular tirada con ella. .. La razon de esto es; que si el ángulo aus (jig. 3 1) formado con la escuadra le falta para ser recto la canti.:. dad sue, que llamaremos d, el ángulo contigúo bus excederá á un ángu'lo recto en dicha cantidad sue d, de suerte que serán aus=90º:-d, y bus=90~.:.¡.. d (art. 148); y su diferencia será.igual á dos veces la can. tidad d. 597 Para que la perpendicular resulte bien ·deterini.:. nada, conviene que sea menor que la porcion de rect~ sobr~ que se ajusta el brazo de la escuadra. 598 En general, no se puede tirar con precision una peq,endicular que exceda en mucho al mayor segmento de la recta á que debe ser perpendicular. ·. · 599 Pará determinar la posicion de una recta para. lela á otra por medio de dos ó mas puntos muy distantes, se puede recurrir á los métodos siguientes.

•

.METODO I.

Si la recta es ab ( jig. I ro) y el punto dado m, haciendo centro en cualquier punto e de la recta dada, descríbase el arco me. 2.° Con el mismo radio, y haciendo centro en otro cualquier punto u de la ab , descríbase otro arco il. · · · 3. 0 Tómese con el campas la distancia em, trasládese de i á h, y la recta hm será la paralela que se pide. . . · • La razon de esto es, qne los arcos em., ih son perfectamente iguales, por estar descritos con los mismos 'radios y tener iguales cuerdas. De la jg ualdad de los arcos y radio~ se sigue la igualdad de ~us senos mt , hs (.art. 4 9.9), qtie so1: perpendicul~r~s á la ab; y de -la igualdad de estas , _perpendiculares se sigue el_paralehsmo de las rectas aq, ~m (art. }_9_5)~. I .0

DE GEOMETRIA.

IIJ

METODO II.

1? Haciendo centro en el punto · dado m-(fig. II 1) ciérrese ó ábrase el compas., 'hasta que el arquito descri- . to con la otra punta sea tangente á la ab ;-y la abertura de compas que resulte será la menor distancia del punto á la ab.2': Hágase centro en cualquier ptJnto -a de · la ab , y con dicha abertura descríbase el arquito -uzp. · . · 3? Tírese una recta que pase por m y que toque :al arquito uzp; y · dicha recta zrn será la paralela que se pide. , Este método se funda , en que· los radios iguales mt, az, tirados á los puntos de~contacto, son perpendiculares á las tangentes (art. 183). Por consiguiente, tirada la oblicua am, resultar~n dos trián,gulos rectángulos igua;;. les atm, azm (art. 27s): luego el án_g ulo •m,a,t será- igual á amz; y por .ser .estos an_gulos alternos., las rectas .at., .zm., que los forman :serán ¡ar..alelas .(art. 204)-. . En .uno y -otro metodo s~ pueden describir arcos ·des-· de difer.entes ,centros tornados en .ab, y ,de este modo se pueden detenninar ·m uchos _p untos de su ;paralela; fo que ,es. preciso cuando la longitud de· la regla es menor que, la paralela que ·se .t rata de trazar; y en todos casos · pueden ,servir dichos puntos patá 1a .com.probacion. · - 600 Ninguno .de .estos .métodos., .ni el del ·artícu.J lo 207, :isirven :cu.ando Ja perpendicular. bajada desde m (fig. 112) ..cae fuera _de .la flb. ·E n dicho ._caso se pued.e excusar ~a· secante operan0.o .como sigue. - ~ . · 1?' Desde",t t-( con .un.a .abertura de .com_p.as .crecicJa) hágase .e n 1a ·ab_ 1a iqter'5eccion $. . . , . " . 2~· - Con .esta misma .abertura y -centro m ilescdbasé ·.e l arco ei. . , .: :.3? ' Tómes_e la .distancia ma, y ,t9n ,esta :abertura_·y centro s déscríbas~ .el arco .ut, que ,corte .al ei eh c. , · 4? · El punto ,e de 'lnterseccion ,de Jps :ar,cos .determina, la posicion de1a par.alela me. · · Este método se funda (en que las ,as., .me -son igual~s 1

118

TRATADO

por radios de círculos iguales; y lo mismo les sucede á las am, se. Por lo tanto las rectas as, me serán lados opuestos de un paralelógramo (art. 286). 601 Determinado el punto e (fig. 1 12) se pueden determinar otros puntos de la paralela por los _métodos del artículo 599; y se tendrá presente que los métodos expuestos son preferibles los unos á los otros segun las circunstancias, sin exceptuar aquellos en que se hace uso de la secante (art. 206 y 208} que son los mas adecuados para operar sobre el terreno, haciendo uso de los instrumentos que sirven para medir los ángulos forma~ dos por las visuales. 602 Si despues de haber trazado una ó mas perpen.. diculares á la ab (fig. 38) se quiere tirar una paralela á dicha línea por un punto dado o, se tomará con el compas la· menor distancia de o á la ab (art. 599) método I I núm. 1 C?); y trasladando dicha abertura sobre cualquiera de las perpendiculares de s á t, ó de e á m, se · tendrán uno ó mas puntos de la paralela que pasa por o, y podrá trazarse dicha paralela cd con mucha precision. 603 El instrumento mas comun para tirar líneas pa., ralelas es el que se ve representado en la figura 113. Su uso debe aprenderse con la práctica; y su teórica se funda en que siendo siempre iguales las líneas ac, bd, y las ' ab, cd, la figura acdba será en todo caso un paralelógramo (art. 286); y pqr consiguiente las ab, cd serán siempre paralelas; como tambien los cantos de las reglas, que se construyen paralelas á sus respectivas líneas ab, cd (art. 194). 604 Este instrumento pnede comprobarse como sigue.

., Puesto el canto hi (fig. n3) sobre una recta, tírese otra recta siguiendo el canto st. , , 2. 0 Hecho esto, cámbiese el il!strume.nto, colocando sobre el papel el mismo plano de las reglas que en la operacion anterior, pero haciendo que el canto hi coincida con la recta tirada con el st. 3.0 Si en este 'caso sé puede hacer coincidir el canto st con la recta tirada con el ht, el instrumento será exacto, y las líneas .tiradas con él sei-án paralelas. 4.0 Pero si se advierte alguna diferencia, su níit ad será al erro_r del 1.º

llj

DE GEOMETRIA,

instrumento, y el 'dé las supuestas paralelas tiradas por sus cantos.• La razon de esto es facil de comprender. .. 605 Problema. Dada la extension ab (fig. r J 4) construir una ·~scalá; en la cual dicha extension valga 500 ó I ooo partes. "Resolucion. 1.0 En los exfremós de la línea propuesta levántense las pt!rpendiculares indefinidas G F., KL. · · ·, .2,.° Con una abertura de campas cualquiera tómense sobre ellas cin~ co distancias iguales hácia las partes superior é inferior de la ab , y ti- , 1·ense por los puntos correspondientes las paralelas qt1e manifiesta la fiPL , 3.0 Tírese la oblicua indeterminada fT, y con cualciuiera abertura de .. compas tómense sobre ella las cinco distancias igLtales fm' mn &c: . 4.0 Determínese el punto r 1 en que corta á la G-F el arco descnto cbn e~ radio_fr; y tírese la rectafr'. Por el mismo estilo se tirará la recta {ir"• s1 se quiere. · 5.0 Tra.sl~dense á lasfr', liir 11 ( ó solo á la primera) las _distanciásfm, fn,fp&c. · • ! 6.0 Las perpendiculares á la ab, bajadas desde los puntos m', n1 &c., · la dividirán en cinco partes iguales f M 1 MN &c., eada una de las cL1ale~ valdrá I oo partes. 7. 0 Los puntos M, N, f &c. se pueden señalar de vários modos. V.g. í(!mando con el campas las menores distancias de los puntos m 1 n 1 &c. á la hL, ó a la gF (art. 599 m étodo 11 num. 1.º), y trasladanao dichas · aberturas de campas ~esde las mismas perpendiculares sohre las fe, hg; ó bien tirando con,la regla varias rectas que pasen po; los puntos corres¡iondiehtes m 1, m 11 , n 1, n/1 &c. de l-asJrl, hr11• • . 8. 0 Por el mismo estilo se dividirá en diez partes· iguales la porcion f M hM1 por-medio de las oblieuas fV,, lw ,,que eonviene que sean dos· 6 tres veces mayores que la extension f M. . . 9. 0 Tambien se puede ejecutar dicha division tirando en el rectángulo, Mh una diagonal, como la que se ve tirada en el rectáúgulo P N 1 y trasladando las distáncias st, x,z &c. sobre la,s porciones f M, hM1 desd'e , la/h, ó desde la MM'. I oº Ejecutado esto, tfrense las oblicuas que manifiesta la :6gura,. desde las divisiones señaladas sobre l~ Mf á las señaladas sobre la M'h; y con esto quedará concluida la escala, que se m1merará como manifiesta la figura. · , • ' Ir:° Si la .e~t~nsion dada ha de ser igual á mil par~es: se puede tomar su mitad, y d1v1d1rla en 500 partes, como se acaba de enseñaí·. . I .2. 0 Por el mismo estilo se constrnye una escala en qu.e la extension · dada val¡sa I o partes, I oo partes &c. .(J

· 606 Demostracion. L.º Por la- semejanza de los triángulos Jm'M,jn'N &c. resulta fin' ·:fr' :·:f M :fe; y co-ID:~ fm' .es ~a .ir,1a pai;te de .fr' ~ ra~bien. será f M .fa· qumta parte &c. . . .. 17

.•

12(!)

TRATADO . '

Por ·una ·razoa semejante nes.u4ia ·s t ºiguál ·al •<:Jécimo de PN &c. . · 3. 0 · Entendido _esto, ~s fad-1 de .dedudr., qu; el pun~.1~

to de inte.rse{lcion de la .ol~li.cua qwe. sa>le de M con la primc:ra paralela á fe dist-a Je >la MM·' una oécima parte ele la distanc'ia que hay de M á la segunda obii-_ Cl,la &c. - +º En estos misrn~s principios se funda 'el uso de la escala, que p!.!iedé comprernderse' en dos problemas: 607 Conviene ;td,v erlir que los bu,!!,nos artistas tieo<>n inslrumenlos 6 máquinas á propósito para dividir las lmeas en parles i~ual.-s con .mucha facilidad .Y prec-ision, y t'slá tenida por una de las mejores la iuveulada p1>r el céli•bre J uau Ramsd,•n.• 608 El mét , do exp L1t'slo ( ar!. 005) es muy exacto, siempre q.ue se h{lga uso de él sobre Lu1a gran planéha dt> cobre ; .Y las compasadas deben compr,oharse trasladando la aberlura .fiz (.fig . 1 I 4) de m a p, de n á q . &c.... ... ;,. ••.•. la /p de 111 á q &c ............ y fiu.ilmenle, la}'c¡ de m á r.

609

Problema. Tomar una abertura de compas igual

á un número cualquiera Je partes de la escala. Resofucion.

1.º

Para abreviar la explkac•ion ~e Jlama-

rán simplemente -paralelas las rectas pairalelas á ef; per-

pendiculares las que lo sun á dichas rec.ras; y oblicuas las tiradas de la porcion Mf á la M' h. f?.. º Establecido esto, afírmese la punta de la izquierda dd compas en la interseccion de la perpendicular cor# respondieme á las centenas con la paralela corre~pondiente á las unidades; ábrase o ciérrese el imtrumento has-ta que la punta .de la derecha caiga sobre la intersec~ don de la paralela de las unidades con la oblicua de las decenas. · _ 3. º sr en la , e~presion e~tra alguna. frac~ion de unidad, v. g. un medio, un tercio &c., se 1magma la paralela correspondiente á dicha fraccion , y se colocan las puntas del <::ompas sobre dicha paralela imaginaria. · 6 ro EjPmpln;

1 ; 0 Tomar una ¡¡bert ura d<' c-ompas i~ua 1 á 8 partes. J>or ruan.to las c,•nlenas ~on ,cf!ro, se pondrá la punta de la. izquierda en ,la inJerseccion ele b p·Prpt>nQic-ular de' cero con la paralela qe 8, y sobre dicha -paral,.Ja sé abririí l"l compas hasta la oblicua de o, respecto á que --tambien son cero las decenas. •

_ DE GEOMETRIA. . --1.21 Ejrmpla 2. 0 Tomar una abertura de <·ompas igual á 36415; Se imagina una pat·alela enlre las de 4 y 5 uuidad<'s, .Y se pone la punta de la izquierda ,en fa io1ePsecciou, ele di<"ha paralela con la pe1ie-11di,: cu:larde 300. En est~ disposiciou se abre el c0111pas ha,la que la lHJnta,de la derecha corresponda á la iotersecciou de clicha paralela imaginaria, coa la oblicua de 60. . 611 ProbÚma. Dada un;¡ abertura de compas, hallar su valor en partes de la escala. Resolucion. 1. ° Colocadas las dos puntas sobre las e],, véase en cual' de las perpendiculares se ha· de poner lade la izquierda, para , que la de la ,,lerecha caiga entre

Myf.

.•

2.º Hágase correr la punta de I~ izquierda sobre dicha perpendicular, manteniendo las dos pu•ritas en la; di ... recciun de las paralelas, hasta que la punta de la deredia1 corte á una de las oblicuas. 3 ° Para verificar esto bien, se afir.ma. fa ptm'tla cl~ la derecha en la oblicua, y se ve si el arquito descrito con la de la izquierda es tangente á la p.erpc:ndicular. · 4.º La perpendicular manifesrar.á l'as centenas, la . oblicua las decenas, y la parale_la las unidades. El uso de. la Pscala debe aprenderse 1•00 el ej.,•rcicio. Puede ofrecérse el tt'ner qne hacer una escala sobre la cu_al la extension fe ( fig. 114) valga un m·•mt>ro de pa1•les compuesio-de ·decenas y unidades, v. g. 57 partes. En tal caso se ope1·ará por el método aigu,iente. . 1.º Llevaqas las cinco compasadas sobre la oblicua /T; se tendrá· la porcion.fr de dicha oblicua corresponclieo!e á 5o p.i1•res. . , .. 2. 0 Una de las porciones, v. g. la.fin., se dividirá en diez partes iguales por medio de otra oblicua , que_puede tirarse enl re la / 7; y la J L; y trasladando siete de estas partes de r hasla D, resnlrará• la porciou f D igual á 57 partes, para el caso de valer diez parles la p'orcion .Jm y SLtS ·~u~. 3. 0 Se descri]Jirá nn arco con el radio .fD, y "sn inlerseccioº con ]~ GF dará el punlo d adonde debe tirnrse la oblicna dPscfo ¡; 4. 0 Trasladando á dicha oblicua lás divisiones de b .fD, y bajando perpendiculares á lafe, ó por cnalquiel'a ·de lbs méló'doS" a;plicados (ar/. 605, núm. 7. 0 ) se tendrán las porciones ele Ja. fe iguales á diez, veinle, trein• ta &c. parles para el caso de yale1· la fe -5Tparle~. , 613 Tambien se puede empezar llevando sobre, la {T diez compasada, pt:,qneñas, que llPgUen v. g. dt>sde.J hasla m, y lraslacfan!lo lajm ein~ ~o nées de./ hilsta r, l'esultará la.porcionJr igual a 5o,Fartu, yse agrc- ' 612

'lt~2

TRATADO

g~rá la porcion rD ig~l á siete de las diez partes ignales de qne se com•pone laJm• • ·- 614 Se comprende desde luego, qne si la abertura -pequefia de com--pas se llevase 57 veces sobre lafT, resultaría el punto D mal determi. nado ·, P':t·. la gran dificultad de trasladar las 57 compasadas igµ.ales con toda_prec1s10n. . .

· ·615 Cuando no se quiere una gran -precision, se tira la ef, y una paralela inmediata á ella, se divide en diez partes iguales la extension Mf, y se omite el subdi'vidir cada una de dichas partes en otras diez. · ~ 6 r 6 Si la escala ha de ser de pies, pulgaElas X líneas, y la extension Mf ha de representar un pie, se suele sub• dividir dicha extension en doce partes iguales, que representarán las pulgadas, y si se quiere se puede subdividir cada una de las partes menores. en otras doce, por medio de las oblicuas y de· doce paralelas á la ej. 617 Problema. Dividir una l'eeta, 6 un arco de cír~ulo, i:n n partes iguales por tanteo. Resolucion. I . 0 Tómese una abertura de co:mpas que no difiera mucho '

de ser igual á - de la línea que se trata de dividir. n 2. 0 Llévese dicha abertura n veces sobre la línea, véase la diferencia d entre la punta .del co~pas y el extremo de .la línea, y ábrase 6 I

· c~érrese el instru,mell.to en unii &:.antidad igual á -

de d, al poco ~as 6

tnenos. ·3. 0 Rep/tase la operacion con esta segunda abertura; y asi sucesivamente hasta que á lá n compasada caiga exactamente sobre· el extremo d~ la línea la punta del compas. Con un •poco de practica se dividen las líneas en partes iguales' por este método con suma facilidad y precision; y siempre conviene el comprobar las di visione~ por el método indicado (art. 608). ,

618 En las operaciones de la Geometría práctica _y del Pilota ge se•hace mucho uso del instrumento llamado transportador, que se reduce á un círculo, semicírculo ó , cuadrante' dividido en grados.

619 , Suponiendo que se trata de un semicírc11!0 ~- se puede ejecutar di.cha d1vision con mucha facilidad por el método s1gmente. 1 .0 E·l compas con que se ha , desc_rito el semicírculo bge (_fig. I I 5) se , conservará eu fa abertura igual al rad_10 ab, y para las operacLOnes _en que ._: se emplean otras _a berturas se qsai:4 de otro conipas¡

DE GEOMETRIA. '·2."

123

La abertura de compl\S igual al r.adio se llevará trés veces sohi·e

el arco, desde b ' hácia la derecha; y con esto se obtendrán ·los areos be; cd, de de' 6a°. · 3.0 Se tomará una ahertu¡•a de compas igual á bd; y haciendo centro en loo extremos ,del diámetro b y e se describirán dos arqnitos , que se ¡cortarán enf. . ·• 4.0 Tómese la abertura igual á fa; y haciendo .centro en b ,descríbase un arco, que cortará al semicírculo en el punto g, y ~:es.ultará bg•= eg. Para compropar conviene ejecutar la misma operacion desde e, y partir á ojo la diferencia que se eneuentr.e , que será cero si se ha operado con· exactitud. ·, 5·.0 La abertu1·a igual al radio se trasladará desde g hácia uno y otrn 'lado , con lo que se obtendrán los puntos h é i, y resultará el semicírculo dividido en arcos -de 3o0 • -· : ó. 0 C.on la .abertura igual al radio -se describirá desde f un arco que corte al semicírculo en los puntos l y m, que corresponderán ,á la medianía de su-s cuad,r antes -respectivos; y por lo tanto ser.án de I 5° los arcos le, lh, md, mi. 7. 0 ·Con fa cuerda de 15° se_diviclarán por mitad los otros arcos; y 1resultar.á d semicírculo dividido en doce arcos iguales , cada uno de los · .cuales valdrá r 5°. 8.° Con el ra<lio fa (de que· se hizo uso en el• mÍ.mP,1.·o 4. 0 , y que es -igual j. la cuerda de 90º) descríbanse desde h é i dos ,arcos que se crucen en s, y la aberlu.r a de compas sb=se será la cuerda de 72°. 9. 0 La abertura igual' á la cuerda de 72º se trasladará désde cada uno ce los puntos b, 11,, l,, &c. hácia uno y -otro lado~ y con es·oo resultará la· semicircunferencia dividida en arcos de 12º, 6° y 3°. , r o. 0 La abertura de comF_as sa será fa cuerda de 36°; y trasladándola hácia ambos lados desde los puntos b , n., h &c. , ~esnltará la semicircunferencia· di'Vidida en arcos de 6° y de '3°; y por medio de la cuerda de este arco se dividirá en sesenta arcos de 3°. r I . 0 , Cuando el pfano no tiene la extension necesaria para determinar sobre él la in't-erseccion s, con 'el radio Já (igual á la cuerd.t de 90), se describe desde e un arco, que cortará al diámetro en t; y en tal caso tg será la cuerda ·de 72º, y ta la de ~6~. P~ra el mismo efect11 se puede eµi.-:plear el punto u que resulta descnb1endo el arco desde d. r 2!' Los arcos de 3° se pueden dividir geométricamente por mitad (art. 1 84); y con esto quedará la semicircunferencia dividida en aroo; de un grado y medio. i 3. 0 Si. u es el punto correspoodiente á I 0° .••.••••.•••• '3o 1 -contados desde, h y .x el correspondiepte á los mismos roº ..... ,....... 3o 1 contados desrle g, se ·puede tomar la abertura s1J , ó su igual tx, y describiendo con .ella un a1;co d.esde f, se obtendrá el punto z , correspondientfl á 29º contados desde b; y como h corresponde á 3o 0 , resultará la cuerda de 1 °, .q~e servirá para acabar de dividir el semicírculo de medio en medio grarlo; ó de grado en grado si solo se han dividido por mitad los a1·cos de 3°,

124 TRATAO-(!) á ,cuyas medi111Hiu cnrrl"Spondeo los .puuios JJ y z, 6 sus corresponcñentea \iel en:tdrant<' de h der.. eha. · , 14.0 S1 debe le11(•r especial cuidado en no ejecutar operac-ion algn~a sia hah·r verifi'cado la pn•c,•deute , enmendando la posicion de los punto¡ qae result:1n mal d~term.iuadus por el defecto de los instrumentos, ó por la pera des! r,•z,1 del c¡ue los rnan<'ja. I 5. 0 El merodo se i plica fiicilmente ál cáso de no tener el arco propuesto 1h-a~ de 1 20°. 620 Casi todo lo c¡ue se acirha de decir lo debernos al sabio Masche.ron-i, autor ele un:i obr.1 ovigimcl iu~itulada la Gr:omelr-ia del compa$;es• crita en idioma italiauo,,y tr,!duc-ida al frances. 62 t L ·1 operacion dél uum ·ro 13° no es mas que aproximada; pero au diferencia ele la verdad,~ra no llega á medio segnudo, y dicha cantidad eo imp~rcepl ible en los mi>jores arcos graduados.

Para subJividir los ar~os e1~ mi'nutos se suele emp!ear ua artiticio semejante al de la escala de partes iguales (art. 605): esto es, que siendo ab, ec &c. ( fig; 11 'i) varios arcos concéntricos equidistantes, se tiran oblicuas como la aq, desde cada div.ision del ar- . co ab á fa siguiente del arco pq. De esto resulta, que si fos, arcos• ab, pq &c. valen 1º~ y los- arcos concóuri~ cos son siete, la proporcion ap : ae : : pq : eu, equi'valdrá a, 6: .1 : : pq: eu= "" : esto es_, que eu sera, ' de pq, y s1-. · • 622

fa diferencia entr~ eq y pq es• nrny corta, sé podrá su:poner. que eu .es ; d~ ec; d lo que es lo ~ismo, _~_de 60', -que- s0n lo'~ · For igtrat razon, la interseccion de la oblicua aq con el ar.có sigpíente á ec valdrá 20 1 mas qoe el punto a. La interseccioh ..S: vardrá, 3o' mas que a; y asi' de las <lemas. . Q{a~ Como l'as: 11ect·as ap, bq se unen en el centro ( que se supone ée,loca<lo• á' la izr1uierda), las extensiones, absolntas en los sjete arcos ab, _ ec, il &c. aumentarán con mucha rapidez, si la distancia ap está conte~idia pocas v>eces· eR. las ,distarr~i;as· de á a~ centro _comun. De esta considet"a:cion resulta qutlll6l• la ,ex;tens1on ap esta contemda pocas veces en el ra,. dio del! arco ah, la dilereocia ent1·e las extensiones absolutas de los ar...

COi

.ec y pq será considerable. En tal caso, eu que es

C'4 en . wucho á

(

. 6 '.

~e pq , excede-

de oc; y por lo tanto nldrá mucho· mu de

I o1•

1~$

DE GE~METBJA,

Por la misma razon valdrá ih. nnwho mas de 201, &c. El maJOl' er-rer -eJ el que resulta en el arco ts, equidi slante dt" ah .Y pq. . Llamando m al mimt"ro dP minutos de Jo;; arcos al,, ec &e, , l á '1a distancia ap enh-e los arcos i>xtremos, y r al radio del arco ab, Teffl"'kaT4 mx]

el máximo error e= - - - - 4 x r ;- 2 x l 624 V.g. ~i se sopone m=3o', l=rpulgada, y r=7 pulgadu, 3o1 ?io 1 resltará e

= ---

2~;-2 .

= 1 '• ·

Este error pn;,de despreciarse en los instrumi>ntos construidos pa.ra medir y formar ángulos sobre t'l papel;· pero seria de consitler:1cion eu un instrumento destinado par,1 las observaciones de la Astrouomra aáuticc1. 625 Se pué'de evita1· el error disminuyendo la distan< ia entre los ar• cos ab, ec en la caolidad necesaria para que resulte eu igual á

de ec; y

lo mismo se ejecuta con los di>mas arcos, que por esla razoo no esJaráo equidistantes. Se omite la regla para estas deti>rminacio1ws .-a atencion á que el método expresado de subdividir los .rrco~ tiene otros inconverrientes, por los cuales solo se usa en los iasrrumeatos Je papel,y en estos se puede despreciar el error que resulta de la .-qnidi~raucia de ·los arros.

-626 Nuñez y Vernier son los Geomerras que han dado mejores ideas sobre el modo de su bdh idir los ar.. cosen minutos; y en atencion § es10 se dan los r.ombres de nonio y de 'Vernier á un arqúito o reglita movibles, de que se hace uso para subdividir lós arcos de circulo y las líneas rectas en partes iguales sumamente pequeñas con mucha facilidad y exactitud. 627 Para 1a inreligencia de este método sea AB (jig. 1 17) el arco del instrumento dividido en grados; y supongamos que la extension ae del nonio, igual á cinco divisiones del arco, se divide en seis parres iguales. No hay duda en que en tal caso las divisiones del nqnio valdrán ; menos que las del arco; y como estas

valen ( e/, las ~el nonio serán menores que ellas en~ de

60'=: =10_' (Adt. Ó /

t_j

1.7¡). Por consiguiente, si la lí-

nea cero del nonio, que llamaremos magistral, ajusta con la b del arco, á la línea siguiente del nonio u le fal•

' 126

TRATADO

tarán 10' para ajustar con la division e; á la líneas le,,faltarán 2</ para ajustar eón la d &c.: luego si sé adelanta .e,l nonio, de suerte que su division u ajüste con la _division e del arco, la i:nagistra~ a se habrá adelanta!io 1 o'. Si la que ajusta es las con la d, la magistral a habrá ca. · · minado 2q' &c. - 628 De lo dicho resulta, que en este caso, para saber á qué graduacion del arco eorresponde la magistral a del nonio, se deberá ver cual es el valor de · la division que se halla á la ,izquierda de dicha magistral; y agregarle 10', 2o' &c., segun que la division del.nonio que ajusta con una del arco es la u, s &c. 629 Si las divisiones del nonio.u y s (.ftg. n8), se hallan entre las e y d del arco, y la distancia de la division u á la precedente e es igual á la que_hay de la divi.sion s d~l nonio á la siguiente d del arco, es evidente que la magistral a del nonio se habrá adelantado 1o' m·as la mitad de 1o': esto es, 1-5'. Por este estilo se determinan á ojo las fracciones de subdivision en todos los casos en que no hay division alguna , del nonio que coincida con la del arco graduado. 6.30 Si la extension total del nonio se hubiera hecho igual á siete divisiones del arco graduf1dO, las divisiones del nonio excederían á las del a'rco en 1o'. Entonces la magistral ó línea de o seria e; y cuando ajustase dicha línea con una division del arco, á la línea q le faltarian -10' para ajustar con la correspondiente del arc<1 &c.: .esto es, que los minutos se contarian en el nonio qescle el extremo e hácia la izquierda. . 6.3 r Otras vece.s se pone la magistral a en el medio 'del nonio; y entonces si sus divisiones son menores que las del arco, cuando ajListe ·1a u (fig. 119) se habrá adelantado I o' la magistral a: 20' cuando ajuste s; 3o' cuando ajusten las extremas t y p; 4o' cuando ajuste q; y ' 50' cuando ajuste e~ . . 632 . Si en el caso d~ ~star en el centro la magistral a

~.27

DE GEOMETltU.~

{jig. .120) se hacen- las divisioneS; deVnQniór mªy~es que ..las del arco, el ajuste ,de-Ja-·.cHvisionie. indi.<ará, H:>~; el de q indicará 20' i .eL cle p y t 3<D', cmno a.ot~s.;~~l_~~·~ indicará 4d; y 50 1 el de u. .LL · :., . , _0 6.3~ _ Todo .esto debe aprendersé .explicándolo~obre los rr{ismos instrumentos; y para .mayor facilidad._ se ·ª ñadirá que todo· el artificio se :reduce á dividir·• sqb11e- el nonio en n partes, una extension igual al •nlím,er0 de pi visiones del arco n + 1 ó n~-- 1.~ Con es,to s~ logra- q_ue las divisiones del nonio resulten may.ores .ó met1ores que ~

las del arco gradúado. en~. "í>ol;'· consigu_iente, si m re-

presenta el número de minutos que vale -qada division

~m:=:

del até:o, ~a éxpresián-;de representará _en ·_todos casos su diferencia con las del nonio. 634 V, g. si el grado es.tá dividido sohre el arco en tres parles , cada· una de ~llas. valdt·-á

201; 1

•

• ysi el nonio tiene 20 divisiones. (iguales a 19 20 1·

6 á 21 del arco), la diferencia sei;á -

:::: I

Si el' gradQ est~ diyidid~

~(')

en cuatro partes, cada division del arco valdrá i 51 ; y si el nonio ceas'" ta de 3 Q divisíones ( iguales. á 29 6- á 3 l del a No) la. diferencia será -

=3o

11 •

S.i el grado está di vidido en dos' pArtes., qne val,.;

3o 2 , ddn 3o', y el nonio tiene seis divisiones ( iguales á ·· 30 1 dif~rencia será = 5'. _

5ó á 7

••

del arco),. fa :

6.35

Esta misma teoría se aplica á fas 1íne~s rectas:

esto es, que si una recta está _d ividida en décimos' de pulgada, y el nonio tiene diez divisiones (iguales á 9 ó á .

divisiones de la recta) la diferencia entre fas divisiones _del nonio y las de la 1 :;::::--

100

reda

será_:_ de ~ de pulgadá 10

de pulgada ·&:e.

f·

r, •.r

1.28

·TR.ATAl>O "1·I

• 63€> '· -:Para-- ~de.term_in.ar. 1 c0n pr--e.cisiorr l~ coincidencia

d-e -las·.di,v;isi<lines..,eonviene· adver.irr :qae fa .&stancia det

nonfo'.;r.¡l ,.aroo debe ser ~um:amenté pequefia.,. y .el ~jo <1el observador de:~e .colocalfse ..en u.n ·.piano.> q~e siendo. per~ p~ndka1ar r.al c~w clel•' non1q·., páse por la•dhdsion· _q ue aJusr.a!-con la J.el arco. La r~on <le est.o se v.e ·.en la- figu..:. ra 1.z.1; -paes .es .evidente que .el ·punto a dd nonio cor:-, responderá •al punto e .del arco. si .se coloca el ojo:en m; y corr.espoJ;ideria á u si se pusiese el .o jo .en .d. Se llama par.ataje la <liferenc4l tu qué 1"esuli:a de no poner el ojo ~n la situacion..correspondi~l'lte; y , -se !:;Omprende, ,desde lue,&o :qu~· la :paral~j~ aumenta' ál paso· qu.e :Son mayores la d1stanc1a .ae y. el an.g ulo uae == mad~ ·. 0 r · ·, , Es .d e mucha consideracion el erroi: ~ue . pued\;! re:s ultar .en .algunos .casos .si no se tiene ,Presente esta .ad- . vertencia. · 637 Para averiguar el ·valor de un :ángulo por medio .de un trasportador de los ordi,narios, .se coloca su centro .en .e l vértice,, de modo :que uno <le los lados corresponda ·al ,c ero -del trasporiador; y· el ·grado · corres, pondiente .a l punto en que ·el otro lado corta al are~ manifestará el.valor del ángulo. . . .. ,6.38 Pa.r a formar en un punto un ángulo de un determinado número -.de -grados se :coloca .el centro en el vértiq:" de suerte qu.e la línea propuesta pase por ~1 cero. Se hace una :señal en d punto del papel .correspondiente al punto del arco que -vale ,dicho número de gr.ados; y se .acaba de res_o lver d problema paciendo pasar una .rec- , Í:a pbr ,dicho pú'nto y por .el vértice. · · , 639 ~I:,os :tras.portadores,, de que -se. ha-ce 111so en las .ópera-ciones de1ica-das ., tienen una regla que -se -denomina alid_ada., movib1e ·sobre -e1 ,centr01 y dicho ,1pugto •está indicado -con ,dos hilos mu_y ·.d elgaaos ,que se •cruzan ; y mejor por la iinterseccion di' -dos rectas muy sútiles., t_:ra~adas sobre ~na ,hojita •~e ta'lco •en 1a cara •que :apo_ya :sobre ~ papel La .aT1da da 11:Y ª.teon~1go .un .nomo,., y ,en •s u-extremo hay una ,pl!-nta ,mny aguda .p erpenilicular .a ·su ,pllá'n:_<j .Y •en ,dispesicion :que 1e' falte :POCO íPara llE:gar .a1 platl'o ,sobre ·que .se pone ·e1 'instrumen'to. . 640 Para formar ángulos ·c on ·este instrumento ·se pone 1a magistral del nonio en cero, y se coloca el trasportador de suerte que su centro

DE GEOMETRIA.

1i9

caiga exactamente. sobre •el yértice, y la punta. sobre la Hnea. propuesta. Hecho esto,. se mueve la alidada. hasta que• seiíale la gradu,_aci"on coirespondiente al ángulo que se ha de fo~ma1· ,, y apoy-~d~, la. punta sol;i.re el . papel, ~e seiíala. el .punto q_ue. de.termina el lado~ d.e l an~t¡t.].q, qne- se, trata. d-e construu:. . ' · •, 64 -r C-onyiene, que- en el traspo~ador naya. un punto sutit , muy- dis,tante del cenJro, y .senalando, sobr? el pa_Pel ~tro punto que coinc~di;l c:01;1_ ~~ del trasportador-, se, podrá e~amlllar si.. el 1,nstrum.ento ha. part101pad.Q. Q íÍo del movimiento. de la. alidada, , 642 Cua11do se han de formal" varios, ángnloS: en un. m1s¡:no punté>,. se ejecuta esto con suma facilidad, manteniendo el trasp.ertador ~o.móvil_,, girando la alidada,, J senala,n_do los. p1;1ntos. co.nespoumentes á.-10;',¡ lados. <l'e. di~ · chos ángulos sucesivamente desda.el menor- hasta el mayor,

~JTULO XIX, NOCIONES SOBRE EL MODO DE LEVANTAR UN PLANO.

643 Se llama línea ,'"Vertical á la direccion ~e los graves: esto es, á la recta que indica un hilo que está sujeto por un,o de sus extremos, y lleva un peso en el otro extremo. 644 Se llama plano horizontal al que es perpendicu• lar á la línea vertical; y se llaman horizontales las rectas -que se imaginan en dicho plano horizontal. 645 Para representar sobre un papel la posicion respectiva de varios puntos del terreno se imaginan colocados dichos puntos en las intersecciones de sus vertica• les con el plano horizontal. V. g. sifabch (.fig. I 22) es un plano vertical, y fh una horizontal 1 los puntos a, b, e se rep1·esentan sobre el pape como si estuviesen en u, m, s.

646 De aquí resulta, que cuando dos puntos a y b no se halla~ en una línea hori-zontal, su distancia um en el plano es menor que la distancia efectiva ab. Por igual razon, aunque la djstancia efectiva ac es menor que la suma de las distancias efectivas ab, be ( art. 79); en el plano resulta la distancia us=um+ms, siempre que los puntos de que se trata estan en el mismo plano vertical.

~,30

TRAT.!:DO .,. _,

• 6.i-:J.7 •. .P~r '~sta1 fé!1Zbn' -cuando , Se' tt:ata de lev,antar' ei pláho de un '1:erreno ( esto es· de reph~sentar los puntos :4c1 t<rr~eoo spbre él papel,. segun sus posi,d ones respectivas) conviene conocer los ángulos que forman entre si las hm·:izontales tiradas desde la ·vertical :de •u-n punto á las v~nícales de los de mas puntos, y las di'.citancias que hay de la vertical dé un punto . á las verticáles de los de: mas ·puntos que se han.de representar en el plano. 648 lara ejeclÍtar e'sto ~on pe¼:f'ecciori se oecesitin rn~h:ume~tó~ .J instrn.cciones, -cuyo manejo é i11t¡Hgencia exige mü.chós · ~onocimientos propios de la Cosmografia y Pilotage; y pol· ahora nos cer!Íl·emos- á las consideraciones que resultan únicamente de los principios establecidos en la Geometría. . "'Eí ,,. 649 Se empieza la o-peracion colocando"a b'rtt-ariamente sobre el papel dos puntos a y b ( Jig. l 23), desde los cuales se han observado muchos ángufas; Lo~ demas puntos sn colocan segun su posiJ;ion respectiva con los a y b, que llamaremos puntosfundamentales, operando segun se manifestará: en los problemas. ~jg;uie,ntes. . t, 650 Problema I. Coqociendo los :fngu1os que forman con la horizontal ab fas horizcm-tales corresp@dientes á varios puntos, situar dichos puntos sobre el plano (f&• 1_2 3). Resolucion. En el extrem0 b fórmese el ángulo ahl ignal al observado desde dicho _punto; .Y ejecutando lo miµno en a, la i'n terseccion de las rectas bl , am, que forman dichos án_gulos ~ <lefermj11ad el •pnnto ~ que se trata de situar. 65 e Si se quiere determicar el error que cabe ,e n la colocacion de dicho p1mt0', se formará el_ángulo lbu iglilal al erro1· que pnede haberse cometido en ila observacion y formacion del ángulo b ~.Y el áugulo mau igual ~l error que puede hah~rse cometido en la observae1on y formacion del ángulo a; y con esto resultará el nuevo pu!rlo u. La diS'tancia eu manifestará ,el error que puede haberse cometido en la situacio.n .del punto e, y lo mis;mo se puede ejecntar con. tod0s ios derrutJ, ~ 652 Este error será tanto mas considerable, cuanto mayores sean las distancias be, ae, y l errores cometidos en la observacion .Y formacion de los án ocrnlos ,• y cuanto mas distante. esté de ser recto el ángulo aeb· formado en el punto qlle se trata de deter.m mar (ar(. 570). 653 Esla es la razon por que no conviene el situar inmediatamente respecto de a y b los puntos elÍ que las rectas que salen d~ a y b forma11 ángulos mu_y agudos 6 muy obtusos. Est.o ~s , que p ara ~ntuar el, punto f conviene colocar antes el punto d.; y habiendo obser,vado los angulos dbf y bdf, se situará dicho punto respecto de by d con mucha exactitud. 654 Tambieu, despnes de cotocados los puntos e Y, d , se pt!ede co:.. local" eLp~mto e, siempre que se hayan observado .los angulos fo_rmad~s

DE G.BOMETR.IA. ilj I por las hoi·izontales tiradas -de e Y- d .á la vértical <le .dicho punto, , 655 Es evidente que por un encadenamient-o;de trián-.gulos bien formados se pueden colocar en el pla,no puntes sumamente di.s tantes de los fundamentales a y b; pero al paso que se van formando nuevos triángulos , se v.a aume¡¡ta.ad<il el ciror que resulta de los errores ·que p!].eden haberse cometido en la observacion y formacion de los ángulos; y por esta ra.zo.n mereqe mas confianza la determinacion tle los punlos que c;l.epenpen inmediata::. mente de los Ít!ndamentales, siempre que los án,gu.los forµi_ados e.o elhis sean de competente magnitud. · - 656 Problema IL Conociendo los ápgulos abt:i j kd<i 0 .situar ,e.o el pla·no e,} punto d ;(.fig. t 23J. · Res,(j)lucion. La .suma ,de los dos .&ngu!os ce,nocidos se ,r esta .de ;¡ 80°; y con eslo resuka el valor del ángulo h.ad (ar.t. 2.26); 'y se .r esuelve el-prohlema -~omo antes {art. ·?5-o). El iunto resulta-com,o antes (art. 652) .mal determrnado cuándo el angulo adó .es muy agudo o Illi!Y o:btuso. , 657 P110Trlema I:u. Conociendo -el ,án.guio .abe .Y la distancia.be., situar en el plano el punto e {fig. 123); • Resolucion. Se forma el ángulo abe igual al propuesto. Se toma la :porcion be igual al número de pai-tes de la escala correspondiente á 1a distancia; y con esto resulta determinada la posicion de dicho punto. 658 En P.sta delerminacion, d .error es tanto mayor cuando -mayores son los erwres cometidos ,en las Ci>bseryaciones ·y determinaciones .del ángulo y ik3a distaneia , y ,cuanto mayor es clieha ,distancia •; y ninguna dependencia tiene de 'los ·valores a'bsolutos de los ángulos (art. 568). 659 Problema zr. Conocil!Ildo las distancias ae., be, situar el punto e sobre el plano (fig. t 23). · Resolucion. Con .una aber-tnra de -compas ~gua1 al número de ,p artes de la escaia -aorres.pondientes al ,v alor de be, .se describe un a1,co desde b. Lo proio se ejecuta desde a con 'la abertura igual al número de pa1•tes corres¡fóndientes á la distancia de; y con .esto resulta de.terminado dicho punto poi: la intersecoion aie l0s arnas. 660 El ingU:lo de fos aroos es igual al .aeb formado por los radios (art. ·2·1 r); y por lo tanto resultará el punto mal determinado, siempre que el án~ulo formado en él sea muy agudo ó muy obtuso (art. .567), que es lo mi~mo qne Tesulta cua1llalo' el pnnto .se sitúa por los métodos de los ma~ '.I J II {,_art. ·65o y 656}. 66·r El método del problema rv es prefel·i]Jle á todos los demas cuando se hace uso de una esca.Ja muy buena y de compases proporcionados., .Y sé_carece .de ,un huen :tra~partador, ó de una 1·egla de confianzL • 66.2 Para forma-r e1 plano, na<:iendo única-mente uso del compas, es preciso determinar los valores de los ·lados de los triángulos por los m étodos que se enseñan en la Trigonometría logar.ít,mica, y para esto basta cpnocer cel ,vafoi· de fa hase ab ; •ó -s.uponedo igmd .á un número arbitrario de .partes ·de la escala '(.Jig. 12'3).. . 1." Con .el va;lor de ab y de los .ángulos .abe, bae se determinará n

132 TRATADO los valores ele las distancias. be,. ae .i y por el mismo estilo se determinarán las ad, bd (art. 226 y 550 ). 0 2. · Conocida bd,. es. facil de determinar las. bf, 4f por el mismo métod'o-. 3. 0 La: eá se determina con el conocimiento de los. lados be , bd, y del ángulo comprendido ebd (art. '553). Dicho ángulo eúd es igual á aba-abe; y por lo tanto no hay necesidad: de observarlo directamente; · ' · 663 Problema v. Conociendo la distancia ae y el ángulq. e,. situar dicho punfo en el 'plano (jig. 1 23). · Reso[ucion 1 .a Como se supone tambien conocida la distancia ab,. Yo mejores determinar por cáTculo el ángt1,lo abe (art. 550} con,· to que secono'cerá óae (art. 226); y si se quieres.e puede averignar tamhien por cálculo. la: :clisraocia be. Con estos datos se puede situar el punto e: segun cualqmera de los. problemas antecedentes. 66+ Resoluci9n .2."' r •0 Tómese eF comptemento del ángulo aeb (ftg. u4);y si es agudo fórmense los ángulos abe, bac iguales á dicho complemento,. al lado de la alr.hácia c¡ue se hallai. el p11nto qcre se trata dedetermÍnal". :,..o- Desde el punto, de Ínterseccíon e descríbase- un círculo con el :radio 1 cb=ca (art. 237). 3.0 Tómese una abertura: de campas igual al mÍmero de partes de la escala ccrrrespondíente á la distancia ae, y trasladando dicha abertura sobre el arco mayor aeb ,. desde a hasta _donde alcance ~ resultará el ·punto t,. ·· . 4. 0 Si el ángulo- a 1efá es obtuso, y la base es a 1á y se forman los ángulos da 1u ,. a 1du,. Í¡?;.nales- á su exceso sobre 9oºy hácia el lado de la base a 1á opuesto á aquel en que se halia el punto d; y la abertura de campas, íg:ua:I á la d-istancia, se traslada sobre el arco menor a 1e1d ~ desde al· -hasta donde alcance-. · · 5. 0 Siempre que el ángulo e es, agudo, y ae es mayor qne ab,. la dis..: tancia ae se puede trasladar á dos puntos diferentes. del arco mayor aeb; y rara determinar muH de ·ellos es eI verdadero punto e, es menester saoer ii es agudo ú obtuso el ángulo abe. 6.º Tarubren se puede determina!" el centra e dividiendo la base ab por mitad, por medio de la perpendicular me (art. 177), ccrya interseccion, con cualquiera de lás dos líneas he, ac,. corr~ponderá á dicho pllllto (arl. 239). 1• 0 Siempre que el ángulo dado no llega á 60°, 6 pasa de 120, conviene determinar el centro e por la interseccion de las oblicuas; y es mas exacta la determinaciou que resulta de la interseccion de una de las oblicuas con la perpendicular, siempre que el valor de dicho ángulo está comprendido entre los 60° y 120° (art. 567). 8. 0 El centro e resulta determinado con poca precision cuando el ángulo propuesto e es menor que 1 5°, ó mayor que 165°; y ·resulta mal determinado e siempre que el á':1gulo formado por la cuerda aé y el ra-

DE GEOMETRIA.

133

dio tJ.rado al punto i, es niuy ·agudo ó muy obtuso·v.. g, menbr «JUe 3o0 _, ó mayor . que 1 5o0 ( art. 2 11 y :5B 7). 9•º Cuando se ,q_uier.a resoi,ver ~l problema .sin hace.r ,uso .d el -:tr.asportad~r, se tomará la mitad .del-wa:for ,de Ja hase .ab, ;y .con esto .r.e&Ultará..co,. noc1do .el ..cateto mb .del .triángulo :recláQ_gu:lo bmc, ,Y .se hallará ,él otro cateto :me por fa .tri_gnnometr.ía.logaritmica, diciendo R : -.coi. .e: ; hm : ipc; y tomando ia abex.h1ra ,de ,compas •corresp.o.n.diente :á i!icbo valor, ,se podrá .deter.m:inar fa posicion .del .centro .e .con =u.cha precisiori ,en .todos lo~ casos ;en 4u.e .e p~Sa d~ .2if' !f no llega á 16.0-0. . a: o;º E{llpleando ,dos compases, .se lija 1a pnnta, del primero ,en e, y 1a del ,segu,nd-0 en a, con sus .ab.e r.turas .co.r.respondiezrtes., y la ,concurren:C~a ,de qas .puntas movibles petermina .el -pimto e .sin necesidad de descri, h1r ,el ,cíl'Culo; y ,cuando mas .se ,des.c úhe la porcion .de .arco :inmediata , ,dicho punto. , ~· I 1. 0 'Cuanao .el ángulo e •es ,recto., -su_co.mp1emento -9 o'~ e es cero ,y _¡por 'lo :tanto ( fig. I 24) las be_., .ae ,se (:onfundeo con la ab, y se cortan á la .me en m : . esto es, que m es .ei ,centro ,del círculo.. ., D.e lo gue se .aca:h.a de ..decir .r~su:lta gue

'665 'Si :se ,quier.e ,construir un triángulo rectángulo·, :del cual se .aonocen 1-a hipotenusa y un .cateto., se debei:.á prooooer ;p.or .ei método -s~guiente. · · La ·extension am (fig. 49) ·~gual .ala hipotenusa, di~ vídase _p or mitad en e ( art. i77.); _y .des.de .dicho punto -descríbase ,ma :senikircrmferencia ,con .el radio .ca= em. "Tómes.e .u na .aher.tura. de .compas i_gual al cateto eonoci-do, y :tr.a.sla.dándola -sobre 1a ,circunfer.enda, -des9-e -m has·.ta dDude :alcance., resulta.r.á ,el vértice ,del ,ángul9 recto en :s., d, b ó e, .segun .que .dicho ~cateto :sea ms, md, mb ó -me ( art. .218). ·'666 Demostraclon _general. Elevese ,desde b ·(Jig. 124) la bh perpendictr1ar á ab·: y ,desde .d la ,dt -p er,pendicular á á 1d. El .áng_ulo mbe será=90º-, ebh., .Y ,como ·se ha hecho mbe=_90º-e es ev·i dente ( Arit. 28,) qne ,el :áng.u'lo ~bh ,es igual á e; y tamhlen .será ~gual .á e su altero<?. hcm •(art. 19-3_y 200). Por ser .'bcm.=acm{ar.t• .238), el.ángu;. 1~ total bca_,será ffegna1 á e -+-·e. 'E_s asi que ,el ·arco apb es ,medida de dicho ~gulo •_(art. •J 34) lu1;go ~l a~co .apb . e~ :igual á ,e-+- e, .Y e~ .ángu!o aeb , :gue .tiene por medida 'la mitad .ae dicho ·arco :( art. •.21 6') será igual á e. !Lue~o: en ,el ltr.iá~gufo .aeh ,se :;ve1;6can )as .condióiones ,del problema (art. 663). . . • Cua~do ,e1 ,es -obtuso., ,s~ .h ace.a'du :igual .á,e'-90°, y como .ª'du, es igual a tdu--90º, -es ,ev,1dente '(Arít. 29) que el ángulo tdu es igual á e1 ; y .zdu será= 180°-,/. El ángulo dus, alternó de ,zdu, será por ,;

134 · TRATADO dicha raZ0n•-igual á ·t8oa___.e>., .Y ]o . mismo le-sucecleri ¡{ alus. Luego a 1ud'-;-r8oo--<i+ 180º-e'::::::.?60°-el-e' ;.y lo propio l~ snc·ederá ~l arco a1e"d, ,qn:e es sn medida: esto es, qnll sel'á 'd1etq=36o0 - e l ' - e1• E's. asi qne es ahe' d =at,ef.'dqa1, dqal 36@~- dqa 1-:- Juego ( Á.rit. ·2:8) resultará dqa 1 :::;e 1-tr,é ;· y el ánglllo de 1a", que' -~iene por i:nedida _la mitad de dicho arcó,, seni ignal al ánguJn .. propl1es~o e 1', que es lo qne se dehia demostrnr >·respecto á que lo <lemas es evidente por sí mismo. 667 Todo lo dicho (art. 664) es muy intel"esante para la resolucioa del problema siguiente. 668 Problema vr. Conociendo los ángulos formados en un pnnto o (ftg. I 25) por las horizontales correspondientes á tres puntos bien cleter-minados, situar en- el plauo el pnnto e. · Resolucion. Por el problema anterior ( art. (¡64) descríbase el arco de circulo en qn~ debe halla-rse el punto e según el ángulo fo1-mado por las horizont<\l'es gtte se terminan en by a; y po, el mismo problema descrfbas.e el arco de círculo en qlte debe hallarse e segun el áogtilo fonriado por las horizontales qne se terminan en a y d. Dichos arcos concurrirán en a, y en otl'O punto e, que será el que se trata de determinar. 669 El punto e se puede determinar con dos compases, c~yas abertu• ras· sean iguales á los respectivos radios ca, uq; y haciendo girar dichos compases sobre e y u; el concurso de sus puntas determinará ~l punto e~ sin necesidad de rilesc1·ibir las circunferencias; y cnando mas se describirá con 11no de ellos el arquito inmediato á dicbo punto. · 670 Como lu am, as se snponen conocidas, se pueden calcular la ac=bc y la au=:;;:.du, y dete1•minar los puntos~ yu con el_ compas (art. 659). Para dicho cálculo se tendrá presente que el ángulo acm es igual á aeb, y el aus ·es suplemento del obtuso aed (art. 666). · · 67 r Hecha la constmccion , se examinará con el traspórtador si los ángulos formados en e satisfacen á las condiciones del problema. 67-2 La posicion de e 1·esuJta tanfo_mas e::x:acta cuanto mejor determinados resulten· los centros e y u ( art. 664 núm. B. 11 ) ; y cuanto mas se acerque á recto el ánguló formado por los radios tirados desde dichos centros al punto e (art. 2 I I y 567). 673 Lsi posioion de (J ¡•esqlta absolntamente indeterminada en el caso _ . de concurrir los centros o y u en un mismo punto. 674 Las resoluciones de tiste problema y del siguiente por cálculo son muy engorl:osas, aun. cuaudo se haga uso de Jas fórmulas menos complicadas; que se deducen por los métodos que se enseñan en el Algebra: 675 Problsma rrr. Habiendo situado en el plano cuatro puntos bien determinados, que llamaremos a, b, d, t, y ~onociendo los ángulos formados en e por las horizontales de a y b, y por las horizontales de d y t, situar en el plano el punto o, Resolrtcion. Se resuelve el problema por el mismo método qne el anterior (qrt. 668·), con la sola diferencia de que como en este caso los

,DE GEOMETRIA. 135 áag~1los formadps en e no tienen lado algnno comun , los arcos de .c írculo se cortarán en dos puntos diferentes; y para saber cual de ello.s .es el verd~dero punto é, es necesario conocer, aunque sea al poco masó menos, algun otro dato·, y aquel de los' dos punto,.5 .que .satisfaga á dicho rlato ~erá H que .se trata de determinar. _ 676 El punto e i-esnltar.á muy mal determinado cuando_.sei corta. la distancia <le las do.s intersecciones. 677 Si desde el punto e se han observado muchos ángu1os , .se pueden descríbir los ,arcos en que .debe hallarse dicho punto segun el valor de cada uno de los ángulos observad?s; y en.tre dicnos· _arc~s se es:. cogerán los dos q11e parezcan mas prop10s para la determmac1on de e (art. 211 y 567). · · ·· 678 V.. g. en .el .caso de la .figura 1 2'!5 se puede tirar una i:ecta de b á d; y sobre..ella, .como cuerda, se puede describir el arco de círcJlo correspondiente al ángulo obtuso bed; y su interseccion, con cualquiera de los ,dos .aeb, aed, dará el punto e. · 679 Coviene tene1· mu_y presente que para la formacion de1 plano no hasta el conocimiento de los ángulos y lados de los triángulos, y es indis-. pensable el saber hácía .qué parte de las rectas tiradas .á los puntos que sir·ven de términos de .comparacíon caeó los puntos que se han de .situar. Para .convencerse de esto basta atenderá .que-si los ángulo.s bam, ahl (fig. 123) .se p.ubiesen formado hácia la parte -inferior de la ab ., la pósicion del punto e resultaría .en .e 1 ; y 1o mismo se verifica formando el plano segun los métodos ·expuestos en .cualquiera de los pr.oblern.as. , 680 Esta es ·una de las ra~o.µes p.o r .q ue ante tod.as .cosas conviene fqr.mar á ojo un bosquejo del planó .que se ha de ievantar. ~8 I Se puede formar .el plano .con solo .el conocimiento de los ángulos, .Y s1 en ,este ,caso .s"e ,quiere .emplear el método del problema 1v:, se ve el número .de partes de una ,escala cualquier.a .que vale la extension arbitra, ria db .(.fig. I 23); y tomando por hase dicho número de partes, se calculan las .demas distancias en par.tes de dicha escala arbitt·ari.a. 682 Por un plano de esta naturaleza no .se podría venir .en .c onoci·miento .de la.s -efectivas .distancias horizontales. Para .este .efecto basta qu~ ' se haya medido .sobre ,el terreno 1a distan<?ia ho;rÍzontal .entre .dos cual.quiei:a puntns bien .situados , y dicha .op-eraci.on es indiferente .que se haga antes ó .desp.nes de la fonnacion del , plano. Se construirá una .escala en que fa línea .del plano .correspondirn.te .á la medida .sobre el terreno, valga 11n número de partes igual al de los pies, var.as, .brazas, .cables 6 millas que vale· la distancia medida (art. 61 -2 y 617); y 4icba .escala servirá par.a .averi_g uar Jas .e fectivas distancias horizontales que hay -entre to.dos lo.s puntos, '

683 Siempr:e que ·se .conozca la distancia efectiva entre dos puntos .a y b (jig. 123) aungue no :se haya construido .la ese.ala propia .del plano, se pueden determinar .las distancias horizontales .entre dos .cualesquiera de sus · 19

136 TRATADO DE GEOMETRIA. puntos· d y f, diciendo-!. el número de partes de la escala arbitraria qúe vale la ,ab, es al número de dichas partes que vale la df;. como el valor efectivo de la distancia horizontal ab medida sobre el terreno al valor efectivo dela .distancia horizontal df. Esto se funda en la perfecta semejanza que se supone entre la situacion res:. pectiva de todos los puntos en el terreno y en el plano

(art. 248). 684 Para la exacta formacion de los planos de los puertos; y para calcular las elevaciones de algnnos punt~s sohre el nivel del mar, es preciso tener presentes varias. atenciones , c¡ue se reuuirán al fin del Tratado de- Pilotagti!, ,

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