Tablas de los logaritmos vulgares de los números desde 1 hasta 20000 by FUNDACIÓN JUANELO TURRIANO

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LOGARITMOS.

OBRAS DEL AUTOR. Memoria sobre la reforma del sistema monetari o d e la isla de Cuba, escrita en 1839 por orden del Superintendente general de Ha:cienda.-Madrid: imprenta de Alegría, 1844. Informe fiscal s obre el fomento de l a población blanca de la isla de Cuba y abolición gradual de la esclavitud ; obstáculos que á ella se oponen y reforma s que d e ben hacerse e n todos los ramos de su legis lación y a dministración. Escrito de orden ele la Superintendencia.-Madrid: imprenta de Alegría, 1844.-0bra traducida al francés de orden y á

expensas del Gobierno imperial. Proy ecto de ley sobre la uniformidad y reforma del s istema métrico y monetario de E ;paila: redactado en virtud de Real orden de 22 de Abril de 1838; precedida de algunas reflexiones sobre la crisis monetaria de 1847.- Madrid: imprenta de Alegría, 1847. Essai sur les systé mes métriq ues et moné taires des a nciens peuples, depuis l es premiers temps his tori ques jusqu'a. la fin du k alifat d 'Orient.-Trois fort volumes, París, chez Dalmont et Dunocl, libraires-éditeurs, 1859.

Obra que obtuvo en 1860 el primer premio de numismática, adjudicado por el Instituto imperial de Francia, del cual es hoy miembro correspondiente el autor. La cuestión del oro reducida á sus justos límites, y medios de sentar el sistema monetario sobre una sólida é inalterable base.- Madrid: imprenta Nacional, 1861.-Memoria escrita é impresa por orden del Gobierno. La crisis monet aria Española considerada en sus causas, sus efectos y su remedio.-Madrid: imprenta de Cruzado, 1866. La cuádruple alianza monetaria considerada en su origen, objeto, ventajas é inconvenientes, é i mposib ilidad actual de s u adopción en Espafia.-Madrid: imprenta de la Refor ma, 1867. Contestación á la carta de un cubano, escrita por D. José Antonio Saco, contra el informe sobre fomento de población blanca.-Madrid: imprenta ele Alegria, 184 7. Colección de varios artículo s en defensa del Informe fiscal. Cuestión de harinas.-Madrid: imprenta de Alegría, 1848. Discursos académicos. -] .0 La Geodesia nos conduce al conocimiento de la formación de la tierra. -2.o Los jeroglíficos egipcios y l a inscripciones cuneiformes. Cómo se llegó al conocimiento é interpretación de ambas escrituras.

TABLAS DE LOS

LOG tRIT~fOS , ULGARES 1

DE LO

ÚMERO DE DE 1 HA TA 20.000 Y DE LAS

LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS Seguida dt ollas muchas tablas de un uso frecuente en las ciencias, las artes y el comercio¡ con un apl!ndice para determinar casi automáticamente y con suma rapidez el logaritmo de t1n número (y vice·ve,·sa) con 7, 8 y hasta 20 dcclmales exactas POR

D. VICENTE VÁZOUEZ QUEIPO IN DlVTOUO DE NÚMERO 01! LAS REALES ACADEMIAS DE CIENCIAS V DE LA HlSTORIA, J\tlli MBRO

CORRBSPONDIENTE DEL

INSTITUTO

FRANCIA,

Y DE OTRAS SOC:IEDADES CrESTlFICAS EXTRA .JERAS.

OBRA DECLARADA DE TEXTO y premiada en la Exposición Universal de Parls de 1867.

MADRID r:u:rRE!'(TA

VIUDA

IlllRNA:XIJO

calle de Ferraz, núm. 13.

e.a

El autor ,~ resert:a todos lo, derechos . Se considerarán como fraudulentos y se perseguirán como fm;tivo · todos los ejemplares que no lleven la estampilla del autor y las demáq marcas que "!mstan en el titulo de propiedad.

Art. 291 del Código Penal. «La falsüioación de sellos, marcM, billetes ó contraseñas que usen las empreaas ó establecimientos ,industriales ó de comercio será castigada con las penas de presidio corree · cional en sus grados minimo y medio.» Art. 318. «El que con perjuicio de tercero ó con ánimo de causarsele cometiere en documento privado alguna de las falsedades designadas en el art. 814 (contrahaciendo y fingiendo letra, firma ó rúbrica). •erá ca tigado con la pena de presidio correccional en Rus grados mínimo y medio y multa de 250 á 2.500 pesetas. » Art. 319. «El que sin haber tomado parte en la falsificación .•. hi · ciare uso con intención de lucro ó con perj>1icio de tercero y ú. sabien das de un documento falso de los comprendidos en el articulo anterior , .incurrirá en la pena inferior de un grado ñ la señalada á los falsificadores. »

El precio del ejemplar suelto es de 16 rs. en toda la península. T o· mando doce ó más ejemplares será. el de 13 rs. en Madrid y 14 en pro· vincias, franco de porte.

PRÓLOGO DE ESTA NUEVA EDIOION.

Entre las admirables ' invenciones del género humano, pocas acaso han influido más que la fie los logaritmos en los rápidos progresos, que en estos últimos siglos han hecho las ciencias exactas, y en especial la astronomía y la navegacion. Puede asegurarse que así como sin la invencion de los anteojos y de los telescopios jamás hubieran salido estas dos ciencias, en su parte especulativa, del estado en que no[:! las legó él siglo diez Y- seis; así tambien sin los logaritmos hubiera sido imposible llegar á los resultados prácticos, que posteriormente se han obtenido en sus aplicaciones. No se crea, sin embargo, que este maravilloso invento ha sido útil solttmente en los elevados y complicados cálculos de la análisis trascendental; bien al contrario, su benéfica influencia se ha hecho sentir en todos los ramos de las ciencias exacti1s, á proporcion que fué dándose á las tablas logarítmicas una forma más acomodada, por su sencillez y por su precio, á la capacidad y á la fortuna de todas las clases. El célebre astrónomo Lalande, que mejor que otro alguno estaba en el caso de apreciar esta verdad, intentó ponerlas al alcance del pueblo, haciendo lll a edicion cómoda reducida y á un precio excesivamente módico, respecto al qu~ tenian ent6nces las demás obras de esta clase. Faltóle empero lo más esencial para conseguir el fin que se habia propuesto; y fué una instruccion preliminar que, SIN MA.s AUXILIO que el conocimiento de las cuat?·o primeras reglas de la Aritmética y el de los quebrados co?nunes y decimales, pudiese dar á sus lectores una idea clara, precisa y exacta de la naturaleza de los logaritmos, y de sus multiplicadas

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Y útiles aplicaciones. Solo así podrá conseguirse popularizar este precioso inst?·U?1tento aritmético (porque es~o y no otra cosa '3on los logaritmos) entre todas las clases de la sociedad, que tengan por su p1·ofesion que hacer frecuente uso de cálculos aritméticos. Sucedió con los logaritmos lo que con todos los grandes

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mventos humanos: los sabios se contentan con descubrirlos, y :rara vez, en la elevada esfera de sus concepciones, se dignan echar una ojeada compasiva hácia los que, ménos felizmente dotados por la naturaleza, no pueden seguirlos á las encumbradas regiones á que los remonta su génio. Grande es sin duda el mérito de los inventores; pero acaso más que ellos mismos contribuyen á inmortalizarlos y al bien de la humanidad, aquellos que en el modesto retiro de su gabinete trabajan incesantemente por popularizar sus inventos, despojándolos del aparato científico que los hace inaccesibles á la inmensa mayoría de los hombres. Tal era el fin que me propuse cuando, en 18!5 3 , casi i mitad de esÚ siglo, publiqué mi primera edieion de las Tablas de logaritmos, destinadas á los Institutos y ciases elementales de la segunda enseñanza:. La favorable acogida que han merecido de parte de los profesores y del Gobierno me ha convencido de que he acertado á satisfacer una necesidad sentida de cuantos conocen la influencia de las matemáticas en la, educacion de la juventud. La claridad que he procurado dar á mis explicaciones, para ponerlas al alcance basta de los niños que sólo sepan las cuatro reglas fiindatmentales de la Aritmética, y el esmero y baratura de la edicion debian contribuir indudablemente á hacer ménos árido y á generalizar de consiguiente el estudio de este admirable invento, hasta el punto que el Gobierno, imitando lo que se practica en otros países cultos de Europa, no vaciló en declarar obligatorio el estudio de la teoría de los logaritmos y mwnejo de sus tablas, como parte esencial de la a.signatura de álgebra elemental. Secundando por mi parte los ilustrados deseos del Gobierno, he ido mejorando la primera edicion con varias tablas auxiliares, sin aumentar por eso su módico precio. Proponíame, sin embargo, refundir y mejorar notablemente su texto tan pronto como otras atenciones perentorias me lo permitiesen. Difirióse, bien á pesar mio, esta importante mejora, que al fin ofrecí al público en mi décima cuarta edicion, si no tan completa y perfecta como yo hubiera deseado, lo bastante á loménos para que pudiese asegurar, sin temor de ser desmentido, que en su clase, y atendido el pequeño volúmen y módico precio de mis Tablas, no las aventajan ningunas otras publicadas hasta el dia. No cumpliría, sin embargo, con lo que debo a1 Gobierno, á

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los profesores y á. los alumnos de la asignatura de matemáticas, si no procurase introducir en las ediciones sucesivas todas las mejoras, que los adelantos del arte tipográfico y de las ciencias hagan compatibles con el módico precio y tamaño que deben tener unas Tablas, destinadas á los Institutos y Escuelas especiales. Animado de estos deseos y convencido, por el creciente éxito de mis nume:cosas ediciones, de qui,) el estudio de los logaritmos ha adquirido carta de naturaleza entre nos.otros, gracias á mis perseverantes esfuerzos, no he dudado un sólo instante en hacer sacrificios importantes así en la parte tipográfica, como en la esmerada correccion y aumento de un duplo en los logaritmos de los números. Los progresos, que en estos últimos años ha hecho la galvanoplastia, han permitido aplicarla con éxito á la estereotipía en planchas de cobre; pero su elevadísimo precio ha impedido hasta aqlÚ emplearla aun en Inglaterra, y más todavía en Francia, en otras obras, que en las de gran consumo. Yo creo ser el primero que hace uso de ella en los logaritmos, sin parar mientes en las dificultades que su introduccion babia de ofrecer entre nosotros ni en los crecidos gastos que iban á originárseme. La gran ventaja de la electrotipía consiste en la fiel reproduccion del tipo, que nunca se consigue perfecto en la estereotipía ordinaria. Lo primero, pues, que yo necesitaba era procurarme un tipo nuevo y perfecto, y no vacilé en hacer abrir nuevas matrices en Lóndres y traer de allí toda la fundicion inclusos los filetes y barras, que para mayor nitidez mandé fundir en laton. Preferí la antigua forma elzevi?·iana de los números, tan cómoda y segura para la lectura, como monótona, confusa y cansada es la moderna para la vista, por más que su :regularidad parezca agradable al primer aspecto. Ya d~jo indicado que la actual edicion contiene doble número de logaritmos que las anteriores, pues que se extiende hasta el número 20 000; pero no por eso ha resultado más voPuminosa, gracias á la forma prolongada que la he dado, para 1<1ue cada plana comprendiese 50 números: lo cual facilita ex!traordinariamente su manejo, formando séries por decenas y ¡marcando éstas con gruesos caractéres. No bastaba que la pat·te material estuviese á la altura de os últimos adelantos c:J..el arte y que bajo este concepto pudie. ~e rivalizar esta edicion con las mejores extranjei·as, si no reu1,

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nia lo más importante en esta clase d.e obras, que es la correccion absoluta en los números, que es muy difícil, y que sin emba1·go he conseguido, segun los señores Duncan y Kencie, do sabios ingleses, que revisaron mis Tablas y otras mucha ql'lr juzgaron de importancia; testimonio que una larga experiencia aquí y en Francia lia confirmado plenamente. Dicho se está que he conservado la forma de doble ent>·ada de mis primeras ediciones, única admitida casi desde un principio en las grandes Tablas y seguida hoy por todos los hombres prácticos, que tienen necesidad de aplicar con frecuencia los logaritmos en los observatorios astronómicos, en la geodesia, en la navegacion y en las oficinas de la alta banca. No insistiré más en la excelencia de un método que sobre dismimiir considerablemente el volúmen de las tablas es mucho mas expedito en su manejo que el de si1nple entrada, que solo puede hallar apasionados entre las personas que, si bien estarán profundamente versadas en la teoría, carecen por completo de práctica en estas materias. (1) Esto no obstante, deseando satisfacer las exigencias de los partidarios del método de simple enf¡¡·ada, he dispuesto mis tablas de manera que se prestan á seguir aru bos métodos á eleccion de los profesores, á cuyo fin he intercalado las diferencias entre dos logaritmos consecutivos; de modo que pueda emplearse el método de las diferencias, usado en las de simple entrada, ó el de las partes proporcionales, seguido en las de doble entrad11. Mis tablas son las únicas de cuantas hasta hoy se han _publicado, que tengan esta importante ventaja pa.r a la •enseñanza,. Ni en las tablas extraujeras ni en las publicadas basta ah ora, en Esptiñ11 se dá una idea clara. del modo de operar con los logaritmos, cuanao intervienen características negativas. En mis primeras ediciones suplí en parte este vacío; pero en lr1s últimas he creído conveniente generalizar las reglas, paI"a todos los casos posibles en la práctica, sin limitacion alguna. Pm·a conocer la considerable ventaja que esto proporciona, (1) No acertamos á. explicarnos cómo n:úentra.s que en Em·opa todas l11s nueva.s publicaciones de esta clase siguen el sistema de dob/6 ent?-ada. basta tn.l punto que el primer librero ele Francia, Mr. Hnchette, hace dar esta for• mo. á. las pequeñas ti,blas de Lalande, algunos profesores españoles (poquísimos por fortuna), lo abandonan, para 1·etrogradar o.l sistema primitivo de

1i111ple entrada.

IX-

basta saber que el uso de las características negativas ha facilitado, y, puede decirse, hecho necesaria, la introduccíon de los complementos logarítmicos en todos los cálculos; y que los comple1nentos 130n, en cierto modo, á los logaritmos, respecto á la brevedad, lo que éstos á las reglas comunes de la aritmética. En las tablas trigonométricas he conservado la importante mejora introducida en mis últimas ediciones, de emplear las características negativas considerando el rádio igual á la u1iidad, que es como se considera en todas las fórmulas trigonométricas: consiguiendo así poner estas últimas en armonía con las primeras, que hasta ahora se construían en la hipótesis de que el rádio representaba wiez niil millones de unidades: anomalía de que resultaban complicaciones que desaparecen con el uso de las cara.cterísticas negativas. No me he contentado con esta mejora, sino que aprovechando el mayor tamaño de la presente edicion, pero sujetándome á la condicion tipográfica de igualar los clichés de las líneas trigonométricas con los de los números, preferí, en la imposibilidad de comprender en una sola página los 60 minutos de cada grado, distribuirlos en dos, como en las anteriores ediciones; lo que me permitió espaciarlos y subdiyidirlos en séries de cinco en cinco, marcando con barras más gruesas las líneas de los 15 y 45 minutos, que promedian cada página, de suerte que instantáneamente pueda hallarse el logaritmo qu9 se busque. Otra mejora mucho más im_p ortante es la tabla de las partes p1·opol'Cionales de las líneas trigonométricas, con que he enriquecido esta edicion. En lo general no se dan las partes yropoi-cionales de estas líneas sino en las tablas que expresan los logaritmos de diez en diez segundos, porque en este caso su forma no difiere de la que se usa en los logaritmos de los números. Pero cuando las líneas trigonométricas se expresan de minuto en minuto, como sucede en las mias, el método ordinario es impracticable, porque cada minuto exigiríll, tablitas auxiliares con 60 términos cada una, ó sea una totalidad de 162 000 t érminos para los 45º que contienen las tablas trigonométricas. El artificio que he empleado reduce á 3 600 estos términos, sin que en el caso más desfavorable llegue el error á medio segundo: error, como veremos más abajo, de todo punto despreciable. (1) (1) Debemos ad-vertir que en las tablns trigonométricns hemos adoptado como ya lo dejamos dicho para las de los númeuos, la conveniente forma á

-xN ada diré sobre la utilidad y casi necesidad de la mayor parte de las tablas auxiliares que he unido á las de logaritmos, puesto que basta leer el índice para conocer sn importancia. Creo, sin embargo, conveniente llamar la atencion sobre la sencillísima fórmula y reducidísima tabla XVIII, que empleo para la determinacion de las alturas por medio del barómetro, cuyos resultados sin embargo, tomando en cuenta la actual imposibilidad de la ciencia para apreciar las causas de las vicisitudes metereológicas, son tan exactos como los obtenidos con tablas mucho más extensas y con fórmulas infinitamente más complicadas. No bastaba haber mejorado la obra, era indispensable además facilitar su estudio á los ahunnos, que es la dote más estimable en una obra didáctica. En todas las de esta clase hay una parte, y suele ser la más considerable, meramente e:i:positiva, que basta que los alumnos lean con alguna atencion sin mandarla á la memoria; y otra pal'te que yo llamaré preceptiva, porque contiene las reglas y preceptos de la ciencia, los cuales por su importancia deben tener siempre presentes ~os alumnos. Conviene, pues, que éstos sepan distinguir ambas partes sin necesidad de que los profesores se tomen el penoso traba. jo de indicárselas; y al efecto be empleado para la segunda. el carácter grueso ó normando. Harto sé que muchísimas personas de ]as que pueden servirse útilmente de mis tablas, no necesitan estas explicaciones, que doy exclusivamente p:1ra los alumnos de los Institutos: y precisamente por esto he cuidado de imprimir la introduccion en papel de color, á fin de que ni allas ni los alumnos pierdan su tiempo en buscar la parte que les convenga consultar. Con igual obJeto aconsejo que al practicar cualquiera operacion se empiece abriendo la Tabht por el registro, que la J.1nde en do:i ¡.iarte1:1 iguales, á fin de no bojear sino una ae ellas, conforme á las observaciones de los números {iá y áO. Aunque con respeto no puedo dejar de comb~tir la opinion, errónea en mi concepto, que se ve estampada en muchos prograwas ae admision, en los cuales se exige que los alumnos fin de que en ellas pueda. segnirse á. voluntad de los profesores, sea el método de las diferencias, empleado en la.s tablas de simple entrada., sea el ue las partas proporcionales, usado en las de doblo entrada, como puede verse en los números 62 y 63 dd texto.

-::nsepfl,n ~~ar las taulrts con siete decvmales. Supone esto dos cosas: primera que el manejo de las tablas con si~te decimales es diferente del que se emplea con las de seis y de cinco; y segivnda que es conveniente, cuando no necesario, que los logaritmos, en su aplicacion á las ciencias, contengan siete decima-

les. Lo primero es completamente inexacto, ora las tablas ,;ean de simple ó doble entrada; pues que el método seguido en en su manejo es absoliitamente id13ntico, cualquiera que sea el número de decimales: la diferencia consiste únicamente en que cumtos mas decimales contienen, mas larga y penosa es la operacion; pero insisto en r¡ue el alumno, que sabe maneja-r las tablas de doble entrada con seis decimales, manejará con igual facilidad las de siete de la misma cla e. Lo segundo es un error combatido ya por Lalande en el prefacio de sus tablas, y hoy por ]H. Leverrier, los cuales sostienen que es supérfluo en la inmensa mayoría de los cálculos astronómicos el empleo de mas de cinco decimales, pues los errores de observacion son ayores en lo general que la quinta unidad decimal y nunca lega la precision ála sexta (1). ¿A.qué conducen, pues, la exacitucl y prolijidad en los cálculos, si los datos á que se aplican o las consienten? .A. nada absolutamente, á no ser en la anáisis trascendental y en las ciencias, que de ella dependen mediatamente, en las cuales se necesitan siete y á veces hasta ·ez decimales, como e;n la Geodesia. Fuera de estos casos xcepcionales basta y sobra con seis. Convencido de esta verdad el Sr. Bremiker, que en 1857 abia publicado en Berlín ven París una correcta y esmerada clicion estereotípica de las· tablas de Vega con siete decimales, o ha titubeado, aun no corridos tres años, en rehacer enter:1ente sus clichés re.duciéndola en 1860 á sms decimales. Un acri.ficio person:,.l y p cuniario tan considerable, prueba sufi0) El límite má'<:imo de los ángulos de observncion en el en.so mas fa,oo.ble, esto es, cuando el triángulo es equilátero, es de 60°. Ln. frn.ccion meor que puede n.precin.r un instrumento hecho con sumn. perfeccion, y emleando los microscopios micrométricos, excede de m•dio segundo, y aun es _g_enern.l que su vernier no mn.rque sino ele 6 en 5 segundos. Pues bien, e.d1tiendo que marque el modio segundo, el error de unn. 1<11idad produce otra ln. sextn. cifra decimitl del logaritmo. Fuere. de esto ln. ecuncion personal, la diferencin. de n.precin.cion peculin.r ú. cada observn.dor, llegn. á veces n.l nplo 6 á un segundo; ele suerte que e.nn siendo el instrumento tan perfecto mo lo permiten nuestros limitados senti rlos, el error de observn.cion, si se u_mnln.sen e.mbn.s en.usas, puede producir otro de 3 unidn.des en le. 1•:xta ecnn11I tlel lcgnrit-mo.

XII -

cientemente hasta qué punto llevau el Sr. Brem1k r y los demas astrónomos alemanes su opinion acerca de la convenienci:1 de no extender la 11iantisa á mas de 3eis decimales. Solo la personas, que aunque eminentes en las ciencias, no hayan tenido ocasion de hacer un uso frecuente de los logaritmos, pueden desconocer, como dice el mismo Bremiker, el considerable ahorro de las dos terceras partes de tiempo y la mayor seguridad en l:1s operaciones, que procuran las tablas limitadas á seis decimales. ( 1) Persuadido, pues, de que en las ciencias y con mayor razon en las artes y en la industria sobre mil casos habrá wno á lo s umo en que sea necesn.rio llevar la e:: rnctitud mas allá de llilll m illonésima, he procurado hacer mis tablas portátiles, cómodas, correctas y suficientemente exactas para obtener los números con menos de una 11ii llonési11ta de diferencia y los átigulos con un error menor de medio segum,d,o. Deseando sin embargo que mi libro sea tambien útil en los cálculos que se relacionan con el interés compuesto, como las anualidades, la emision de obligaciones y su amortizacion en los empréstitos públicos y de las grandes empresas industriales y mercantiles, y en todos los demas casos en que se necesite emplear logaritmos con 7, 8 ó mas notas decimales exactas, con tal quo no excedan de 20,"he dado en apéndice, la concisa y sencillísima tabla publicada en 1771 por R. Flower, con cuyo auxilio y en brevísimos instantes, se calculan casi automáticamente los logaritmos, y en su caso los números, con toda exactitud hasta la cifra indicada.

(1) Hó aquí este notable párrafo de su prólogo. «Seguramente estarían más en uso, hace tiempo, la.s t:.blas de logaritmos de seis decimales, si se hubiese publicado una edicion, que ofreciera las misma.s ventajas que las mejores existentes de siete ·decimales; puesto que no es de poco precio ln economía de mas de do, te,•cei·as partes de tiempo y la mayor seguridad, como de ello puede hacer por sí propio la experiencio. cada calculador. Pero esto es todavía de mucho. mo.yor importancia para la s,1Se,íanza; porque los alumnos, que gustosos los aplicarían para sacar fruto de sus conocimientos, se aburren, viéndose obligados á. emplear siete decimales, de un lujo innecesnrio do números y se desaminan, mientras que les sucede todo lo contrario con las tablas de seis decimale3. La focilid:MI. en su manejo, y lo. sencilla coJD· binacion por la. suma y la resta para obtener pronto y con segurido.d el re· sultado que se desea, hacen del cálculo un pasatiempo agradable y disponeD eliinimo 1>ara otros trabajos matemáticos mas elevo.dos .,

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Con igual objoto añadí dos tablas mas que contienen con 21 decimales los valores de 7• y 1 +7·, para las cuotas del interés dol dinero de octavo en octavo desde O hasta 12 por 100. Una sola advertencia me permitiré, por conclusion, dirigir á los profesores, como hija de la larga experiencia que la práctica. de la enseñanza me ha. dado en este punto. La teoría de los logaritmos puede explicarse á los alumnos medianamente aplicados en dos 6 tres lecciones. Pero el profesor que se contente con esto puede vivir persuadido de que sus discípulos hanperdiclo lastimosamente el tiempo; y que les sucederá lo que á mí propio me ha sucedido: tener que estudiar prácticamente el manejo de las tablas despues de ser profesor de matemáticas. Esta franca manifestacion, de la que tal vez tengan ejemplo en sí mismos algunos de mis lectores, las convencerá de que el fácil uso de las tablas, qiie es en último resultado el ob;eto del estiidi o de los logaritmos, no se consigue sino con el manejo constante y e:i:clwiivo de las mismas por ocho días seguidos á lo ménos, y la resolucion de uno ó dos ejemplos, por ·da de repaso, en todas las demás lecciones hasta fin de curso. (1) Solo a í podrán adquirir los discípulos la seguridad y ezp edicion convenientes en esta clase de operaciones, sin cuyas dos circUI1Btancias sería más bien perjudicial que ventajoso el uso de los logaritmos. Si así tuviese la fortuna de que lo comprendiesen los profesores, no dudo llegaria á realizarse el fecundo pensamiento de Lalande de aplicar á todos los usos de la nda civil, el admirable invento de N eper. ¡Dichoso yo si pudiese contribuir en parte á tan notable progreso de la enseñanza popular, como fundada.mente lo espero, si los profesores secundan mis perseverantes esfuerzos! (1) A los profesores que duden de esta ,erdnd y desatiendan mi consejo les recordaré lo que sucedió el año de 1871 con los aspirantes com·ocndos por el A.lmirantnzgo á i ngrcsar en el Colegio na,al. Entre los 68 que se presentaron á exámen, babia muchos brillantemente instruidos en la parte t eórica; pero ni uno solo que \Upiese manejar las tablas de logaritmos, ni aun hacer con facilidad las operaciones comunes de la aritmética, hasta tal pun. to que aquel respetable Cuerpo se vió en la dolorosa necesidad de reprobarlos á todos. No era la culpa ciertamente de los nlnmnos, y ménos aun de sus engañados padres, sino de los profesores, que, preocupándose mucho de li. teoría, descuidaron completamente la pr!otica.

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INDICE. •

i ;

. Pág.

Prólogo. . • • • • .

DE LOS LOGARITMOS. C.ll'fTULO 1. N ocionas {16Ueralas. ~ l.<>-OrigQn y forma.cion de los logaritmos. . • . • • • f 2.°-Aplicacion de los logaritmos á los cálculos aritméticos. + S. 0 -Na.ture.leza. y propiedades de los logaritmos. ½ 4. 0 -Adicion de los logaritmos. . . . . . ½ 5.•-Snstraecion 6 resta. de los logaritmos. . . ½ 6. 0 -Complemento logal"ítmico. ½ 7. 0 -Multiplicacion y division de los logaritmos por un número entero 6 fraccionario. . . . . . . . . . . . . . . ½ s.0 -Multiplíca.don y division de lo~ lognl"itmos entre sí 6 por números fraccione.ríos, compuestos de muchas ~ifras. . . . C.ll'fTULo II. Uso d8 las tablas de los logaritmos vul_qares de los nú-

1 S 6 13 H 15

17 10

1nsros.

+ 1. -D.isposicion y 0

explirnrion de la• nuestras.

½ 2.•-D!l.do un número h ,¡,' l ,r su logaritmo.. . +3. 0 -Hallar el logaritmo d9 unn íra.ccion. . . + 4. 0 -Dado un logaritmo b ,ucar el número que le corresponde.

21 22 32 35

TRIGONOMETR1A. C.ll'ÍTULO I.

D e las tablas trigonon•étricas.

l. u,.._Explica.e ion dq la.a to.blns. . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . + 2.0-Del uso y manejo de estas tablas. . . PROBLEMA 1.0 Dado un ángulo hallar el logaritmo de su seno, COS1!• no, tangente 6 contangente. . . . . . . . . . • . . l.•' CASO. Cuando el ángulo está. comprendido entre 4° y 86° nmbos

inclwiivE:. . . . . . . . . . . . . . . . . . • • 2.° CABO. Cuando el ángulo es menor que 4° 6 mayor que 86° • . PROBLEMA 2. 0 D.ido el loga.ritmo <le un seno, coseno, tangente 6 contangente buscar el ángulo á que pertenece. . . . . . . l .•• CA.so. Cuando el loi:aritmo se encuentra en. las cuatro primeras . • • . . . . . . . . . planas. . . . . • • 2.° CA.So. Cuando el logaritmo cae fuera. de las cuatro orimerns ple.nas. . . . . . . . . . . CA.F i•ruLO II. Jlesolucio" de los Triángulos. + !.•-Nociones generales. . . . . . . + 2.0-H,esolucion de los triángulos rectilíneos rectángulos. ½ 3. 0 -Resolucion de los triángulos rectilineoJ oblicuángulos. + 4. 0 -Itesolncion de los t r iángulos osíéricoti 1·ectángulos. •

37 41

41 41

44 45 46 49 51 52 62 53

• !'í .<>-Resolucion de los triángulos esféricos oblicuángulos. . . . . . . \ 7.0 -i\iedicion de las o.lturas con el barómetro. . • • • ½ 8. 0 -EX])licacion de algunns tablas auxiliares. • . . . ILusT&A.CION P&ntE&A.. Sobre la formacion dt1 las primeras tablas de logaritmos. . . . . . . . . . . . . . . ILUST&A.CION Gl!:GUNDA.. Sobre el módulo de los lo¡¡-aritmos. !LUST&A.CION TERCER.A.. Sobre el complemento logarítmico.

+8.•-Medicion de las alturas. .

r.5 /i6

iiS 69 75 78

APJ!lNDIOE. Sobre el modo de calcular rápidamente nn logaritmo nano el número, b '1ice versa dado el logaritmo calcular el número con siete ó mas notas exac-

tas no excendiendo de veinte. Al

final,de la-s tablas.

TABLAS. Logaritmos vulgares de los números naturales hasta 20 000. Factores de M y

ir, para la conversion recíproca d_!l los logaritmos

vulgares é hiperbólicos. Logaritmos de las potencias y raíces cuadradas y cúbicas; igualmente que de las circunferencias y superficies de los círulos correspondientes á los números y ditimeta:os, desde 1 hasta 100. Números recíprocos y fracciones decimales correspondientes á las ordinarias, cuyo numerador es 1 y sus denominadores 2 hasta 200. Coeficientes numéricos para el binomio y otras Eéries. Expresiones numéricas usadas en Mecánica y otros ramos de las ciencias exactas. Superficie de los polígonos y volúmen de los poliedros regulares. Conversion de la esca.la termométrica de Fahrenheit en grados de Reaumur y centígrados. Reduccion de la columna barométrica á OO. Pesos específicos de varias sustancias sólida.a y líquidas usadas en la industria y fórmulas referentes á ellos. Sistemas métricos y monetarios mas usados en el comercio, y su conversion recíproca con las del nuevo sistema. Diferencia del nivel aparente al verdadero hasta un miriámetro de distancia. Mínimos divisores de los números compuestos y determinacion de los números p,·imos. Logaritmos de las líneas trigonométricas. Couversion de los gre,doo en decimo.les del cuadrante, y del rádio: y de los minutos y segundos en decimales de grado. Aualogio.s mas us ... das en la trigonometría plana. Analogías mas usadas en la trigonometría. esféric~ VIlI. Para la medicion de las alturas con el barómetro • X. Conversion de las partes decimales del radio en grados, minutos y segundos. , XXI. 1\Iúltiplos de 6 y de 36, par.. la convers1on recíproca. de grados, minutos y segundos.

XXII. Números ma.s nsna.les en Astronomia. XXIII y XXIV. Fórmulas para la re3olución de los tri'1Jgulos rectilíneo,. XXV y XXVI. Fórmulas para la resolncion de Jo3 tri'1lgnlos esféricos. Al'.ÉNDICE. Tablar. Para. determinar los logs. con 20 decimales. II. Log. de 1 + r para los tipos de interés desde+ hasta 12 O/o Log. de r para los mismos tipos.

Prospecto importante....................................

al final.

ADVERTENCIA. ' ÜoMo no todos los lectores estarán familiarizados con los signos que se einplean en las obras de matemáticas, ponemos aquí la ex1Jlicacion de los pocos que hemos usado en la nuestra. + Se lee mas, y sirve para indicar que han de sumarse las cantidades entre las cuales se interpone. Se lee menos, é indica que ha de restarse de la cantidad que le procede la que le sigue. x Se lee multiplicado por: se coloca entre dos cantidades que se han de multiplicar. ~ ó a: b Se lee a dividido por b: y expresa el cociente de ladib vision de la primera por la segunda cantidad. - Se lee igual á: é indica que dos cantidades son iguales. > Se lee mayor que: sirve para indicar qne la cantidad que le precede es ma or que la que le sigue. 1 < Se lee men01· que: significa lo contrario que el anterior. OTRA.

El rigoroso método analítico seguido en la introduccioli, me ha obligado á hacer frecuentes referencias marcadas entre (),las cuales deben consultar los alumnos para la más fácil inteligencia, si no las recuerdan.

DE LOS LOGARITMOS. CAPITULO PRIMERO. NOCIONES GENERALES.

§ 1.0 Orígen y formacion de los logaritmos.

11. La invencion de los logaritmos, que publicó por primera. vez en 1614 el escocés Juan Nepair ó Neper, baron de J\íerchiston, se funda en la propiedad comun á toda progresion, á saber, q ue dtulo su primer término y la razon ó ley que guarda con el siguiente, puecle hallarse un término cualquiera de la progresion. Se da este nombre á to«la sé1•ie «le ntimeros cuya diferencia, ó bien cuyo cociente, entre do,;; térn1inos conseeuth•os, es constante: en el p1•i111er caso se la lh111aa progresion por diferencias ó arit7nética: en el segundo pr·ogre.!-ÍOII por cocientes ó geométrica; y en ambos se llama 1·azon el miniero que expresa dicho cociente ó diíerencia. 2. En la siguiente progresion aritmética...;- 3. 5 . 7. 9. 11 . etcétera (que se lee así: 3 es aritm,éticamumte á 6, como 5 es · á 7, como 7 es á 9, como 9 es á. 11, etc.) se ve que la diferencia 6 la 1·azon entre dos términos consecutivos es const:J.Ilte é igual á 2: de consiguiente el segundo se compone del primero mas la razon 6 diferencia; el tercero del segundo mas la diferencia, ó del primero mas dos veces la diferencia; el cuarto del primero mas tres veces la diferencia; y en general el término n se compone del primero + (n -1) veces la razon ó diferencia. Este resultado podria aun simplificarse, si el primer término de la progresion fuese el cero : así, restando de cada. uno de los de la primitiva su primer término 8, resultará esta otra progresion + O. 2. 4. 6. 8. etc., cuyo primer término es cero y la razon la misma que en la primitiva. En este caso cada término se enm¡,one de tantas veces la razon como términos hay antes de él; ó bien 1111 término n será Igual a n-1 ,·cees In razon. Así, el cuarto término 6 será igual á la a

-2t'azon 2 multiplicada por 3, que es el número de términos que

le preceden. 3. Del mísmo modo en la progresion geométrica 3 : 6 : 12 : 24: 48 etc. (que se lee: 3 es geornétricamente á 6, 6 suprimiendo el geamétricamumte, porque se entiende, 3 es á 6, como 6 es á 12, como 12 es á 24, como 24 es á 48, etc.), cada término es dos veces mayor que el que le precede, y se compone de consiguiente de éste multiplicado por 2, que es el número qu~ expresa el cociente 6 la razon de la progresion. Así, pues, el segundo será igual al primero multi plicado por la razon; el tercero igual al segundo multiplicado por la razon, 6 bien al primero multiplicado dos ,,eces de seguida por la razon; el cuarto igual al primero multiplicado tres veces de seguida por la razon, y en general el término n igual al primero multiplicado n-1 veces de seguida por la razon. E sta progresion puede simplificarse dividiendo todos sus términos por el primero, y se convertirá en esta otra: 1 : 2 : 4 : 8 : 16 etc., cuyo primer término es la unidad, y la razon la misma que en la primitiva. En este caso eatla término se eompontlrá de la razon tomatln por fae(or tantas veces como términos hay antes de él; esto es: el término n St'rá igunl 1, lo razon tomada por factor n-1 veces. Así, el cuarto término 8 será igual á 2 X 2 X 2 6 á la razon 2 tomada por factor 3 veces, que es el número de términos que le preceden. 4. Si el lector ha seguido atentamente nuestro raciocinio, habrá echado de ver la analogía que existe entre la formacion de los términos de una progresion aritmética, que empieza por cero y otra geométrica, que empieza por la unidad: cada término .ie ambas se compone en efecto de la razon re• petitla por sumando (en la aritméti~a) ó por factor (en )¡¡ geométrica) tantas veces como términos hay antes de él; ó n-1 veces, sin representa el lugar que dicho término ocupa en la progresion. Los matemáticos han dado á esta correlacion el nombre de logaritmo (1) (indicador del núm~ro,) y llaman logaritmo del

(1) Esta. palo.bra está formndo. de otras dos ¡z:riegn.s A6yo,; r i.iptOp.o,;, quo se traducen razon 6 proporcion y número; pero A6yo,;, en su nccpcion r ectn significo. discurso, palabra, leng®j•, todo Jo que sir.e para nombrar 6 indi• car uno. coso.. En este sentido me permito traducir la. po.lo.bro. logaritmo, por indicador del número, porque en efecto, los logaritmos sirven únicamente po.ra. indicar 6 ha.cernos conocer el número que buscamos.

-3térmlno de una progrefilon geométrica que empieza por la wnulad, el correspondiente de etra aritmética, que empieza por cero. En las dos progresiones siguientes: + O . 3 . 6 • 9 . 12 . 15 . etc . .,..;- 1 : 4 : 16 : 64 : 256 : 1024 : etc. el cero es el logaritmo del l; el 3 lo es del 4; el 6 del 16; el del 64 y así por este órden.

§ 2. 0 .Aplicacion de los logaritmos á los cálcitlos aritméticos.

á. Veamos ahora cómo los matemáticos han sabido utilizar esta correlacion ó logaritmo para simplificar notablemente los cálculos aritméticos, convirtiendo en adicion la multiplicacion, en resta ó sustraccion la division de dos cantidades cualesquiera. Examinemos para esto las dos progresiones 6 5 4 +0.1.2.3 ++ 1 : 10 : 100 : 1 000 : 10 000 : 100 000 : 1 000 000

de las cuales la primera ó la aritmética empieza por cero y tiene por razon la unidad, elegida por los matemáticos, como la mas sencilla entre todas las aritméticas; y la segunda, que es geométrica, empiez!I. por la unidad y tiene por mzon 10, que es la base de nuestro sistema de numeracion. Desde luego se ve que cada término de la primera expresa el número de los que le anteceden; y de consiguiente, por lo arriba dicho (2), expresará igualmente el número de veces que está repetida la razon ó -el número de razones de que se compone: por ejemplo, el 4 tiene ántes de sí cuatro términos y está compuesto de cuatro veces la unidad que es la razon ó diferencia de los términos de la progresion aritmética. De aquí se sigue igualmente (il) que cada uno de los términos de ésta, expresa el número de veces que ha de entrar como factor la razon de la geométrica para producir el término correspondiente de la misma. Por ejemplo: 100, que es el tercer término de la geométrica: tiene por correspondiente ó logaritmo el 2 en la arit·

r,.

-4-

mética, y está compuesto do dos veces la razon 10 como factor, ó es igual á 10 X 10. El cuarto término 1 000 tiene tree ántes de sí y se compone de consiguiente de 3 veces el factor 10, 6 de lOXlOXlO, como lo expresa su logaritmo 3 ó,.el término correspondiente de la progresion aritmética. 6. Pues que todos los de ésta expresan las veces que la razon de la geométrica entra como factor en el término correspondiente, es claro que para multiplicar uno por otro dos cualesquiera de estos términos, bastará swmar los respectivos de la aritmética, y buscar en la geométrica el término que corresponde ála suma. Por ejemplo, para hallar el producto de 100 por 1000 sumaré sus logaritmos 2 y 3, y el término de la geométrica que esté en frente de la suma 5 será el producto, que en nuestro caso es 100 000. En efecto; el producto de los términos de la progresion geométrica debe contener la razon como factor tantas veces, cuantas esté contenida en ambos: así el producto de 100 (igual á 10 X 10) por 1 OOÓ (igual á 10 x 10 X 10) será 10 x 10 x 10 x 10 x 10; 6 contendrá cinco veces como factor la razon 10; y de consiguiente será el término sexto de ]¡ progresion (ti) geométrica y tendrá por correspondiente en la aritmética, ó como dicen los matemáticos por logarit?rw, el número 5, suma de 2 y ,3, que lo son respectivamente de 100 y de 1000. '1. Por la inversa, para dividir entre sí dos términos cualesquien, bastará restar sus logaritmos 6 té1:minos respectivos de Li. progresion aritmética, y buscar en la geométrica el término que tenga por logaritmo dicha diferencia. Por ejemplo, para dividir 100 000 por 100 restarémos de 5, logaritmo de 100 000, 2 que lo es de 100: la diferencia 3 expresa el logaritmo del cociente y tiene por correspondiente en la geométrica el número 1000 (ó) que será el cociente que se busca. 8. Por igual razon para elevar un término de] a progresion geomética á una potencia cualquiera (1) bastará sumar su lo(1) Llámase potencia de un número, el producto que resulta de multipli• carlo por sí mismo cierto número de veces. Como todo número es factor de sí propio, se le considera como su primera potencia: la segunda, que tarobien se llamo. cuad,·ado, resulto. de multiplicar una. vez por sí dicho número, 6 de hacerlo dos veces factor; .la tercera 6 el cubo, de multiplicarlo dos veces por sí 6 oonsidern.rlo tres veces como factor; y en general In. potencio. n es el' , producto en qne el número entran veces como factor.

garitmo tantas vece!i consigo mismo, como expresa el grado 6 exponente de la potencia; ó lo que es igual, multiplicar su logaritmo por dicho exponente: el producto expresará el logaritmo de la potencia, cuyo valor se hallará buscando en la progresion primitiva el número correspondiente á dicho logaritmo. En efecto, la elevacion á una potencia no es mas que una multiplicacion en que los factores son iguales, y de consiguiente tambien sus logaritmos; y como por la regla general (6) el logaritmo de un producto se compone de la suma de los lognritmos de los factores, si éstos son iguales, bastará multiplicar su logaritmo por el número que expresa. las veces que está repetido el factor. 9. Finalmente, como la ea:traccion de raíces (1) es la operacion inversa de la elevacion á potencias, bastará dividir el logaritmo del número dado por el grado ó índice de la raíz: el cociente expresará el logaritmo de ésta, cuyo valor se hallará buscando el término correspondiente en la progresion geométrica.. Por ejemplo, para hallar la raíz cuadrada ó segunda de 1000 000, que es el sétimo término de la progresion, dividiré su logaritmo 6 por 2, grado de la raíz que se busca: el cociente 3 será el logaritmo de rucha raíz: y como el número de la progresion geométrica correspondiente al logaritmo 3 es 1000, concluyo que este número es la raíz cuadrada de 1000 000, ó lo que es igual que el producto de 1000 x 1000 es 1000000. 10. Se ve, pues, que las operaciones de la multiplica.cion, division, elevacion á potencias y extraccion de raíces de los t érminos de una progresion geométrica, se simplifican considerablemente por medio de los logaritmos ó de los términos de la progresion aritmética correspondiente. Pero esta ventaja. se limita únicamente á los términos de la' progresion geométrica que se ha elegido como base del sistema logarítmico: así en nuestro caso solo podremos servirnos de los logaritmos, para.multiplicar ó dividir entre sí los números 10,100, lOOOy (l) Se llama. raíz de un número todo fe.ctor que multiplicado por sí cierto número de veces reproduce el primero. Así 2 y 3 son raíces de 8 y 9; porque 2 x 2 x 2 y 3 x 3 dan por producto respectivamente 8 y 9; pero el 2 es ra~ tercera ó cúbica del 8, porque entra tres veces como factor en dicho número; y el 3 es raíz segunda ó cuadrada del 9, porque solo entra dos veces como factor en este número. En general el grado n de una raíz se determina por el número de veces que •mtra como factor en el número primitivo.

-6éu general la unidad acompañada de ceros; pero como estas operaciones pueden hacerse de un modo aun más sencillo que por los logaritmos, siguiendo las reglas comunes de la aritmética, segun las cuales basta para practicar estas operaciones añadir ó quitar ceros á la derecha de dichos números, la in. vencion de los logaritmos hubiera sido casi inútil, si 101:1 matemáticos no hubiesen hallado medio de aplicarlos igualmente á. los números intermedios entre 1 y 10: 10 y 100: 100 y 1 000., y en general á todos los números posibles. 11. Esto se conseguirá formando una progresion geomé. trica en que todos los números naturales desde la wnidad haata el infinito se encuentren entre sus términos, y tengan de consiguiente sus logaritmos correspondientes. Para nuestro intento bastará. saber que el cálculo Ruministra medios fáciles para llegar á este resultado (Véase al final del te0to la nustracion l.º); y que de consiguiente han podido construirse tablas de logaritmos para todos los números: de suerte que para multiplicar ó dividir éstos entre sí, bastará swmar ó i·estar sus logaritmos respectivos; y multiplicarlos ó dividirlos por el exponente de una potencia ó raíz para elevarlos á. aquella ó extraer ésta. '

§ 3. Natwralezu y propiedades de los logwrifnnos. 0

" ,. 1:

12. V amos á indicar el modo de hacer estas operaciones, dando ántes una ligera idea de la naturaleza de los logaritmos. Ll:ímanse como hemos dicho(<&) logaritmos los términos de una progresion aritmética, que empieza por cero, correspondientes á los de otra geométrica que empieza por la wnidad; pero como se pueden formar infini. tas progresiones geométricas que empiecen por la wnidad, variando la razon en cada una de ellas, resulta que un mismo número tiene diferentes logaritmos, segun se le con• sidere en diferentes progresiones, por ejemplo: )

:Cog. +o . 1 . 2 . 3 . 4 1.• 2." 3."

5 . 6 . 7 . etc. .;-;-1 : 2 : 4 : 8 : 16 32 : 64 : 128 : etc. (0) .;-;-1 : 4 : 16 : 64 : 256 : 1024: etc . . . . . . . . (z ) .,..;. 1 : 8 : 64 : 512 : etc. . . . . . . . . . . . . . • (y)

111

1 1

-7(z), (ii), (y), se ve quo el 8 puede progresiones tres En estas tener dos logaritmo.; diferentes 3 y 1, -segun se le tome en la l. 1 progresion (:i:), ó en la 3.' (y): del mismo modo al 16 corr esponde el logaritmo 4 en la l." (:i:), y el 2 en la 2.' (z); y en fin, el 64 tiene 6 por logaritmo en la l.ª (z), 3 en la 2.' (z) y 2 en la 3.' (y). Pues que los logaritmos de un mismo número varían con la razon de la progresion, es evidente que de ella dependen los diferentes sistemas de logaritmos; y hé aquí por qué los matemáticos designan con el nombre de base en cada sistema el número que expresa la razon de la progresion, que han elegido para formar le. Síguese de aquí: l.º, qne la hase de todo sistema tiene por logaritmo In unidad, pues que dicha base es igual á la razon, la cual ocupa siempre el segundo lugar 6 término de la. progresion geométrica (ó), y le 1,orresponde de consiguiente en la aritmética la unidad: 2.•, que los logaritmos de un sistema (y) se convierten en los de otro (z), multi()licándolos por el logaritmo que tenga su base en dicho sistema (:i:), que es lo que se llama M6dulo (1) del sistema (y). En efecto, en todo sistema el logaritmo de un número expresa las veces que la base es factor (ó) de dicho número: así en la primera progresion 6 sistema (ro), el 8 tiene por logaritmo 3, porque su base 2 entra tres veces como factor del 8; esto es 2x2x2=8. En la 3.", 6 sistema (y), el número 64 tiene por logaritmo 2, porque su base B entra solo dos veces como factor; ó bien 8 X 8=64. Luego, si la base 2 del primer sistema (z) 0 es flres veces factor del 8 6 base del 3. (y), y ésta es otras dos veces factor del número 64, es evidente que la base 2 de} sistema (z) será 3 x2 ó seis veces factor del 64; y por consiguiente el logaritmo de 64 en el sistema (ro) será 6 (ó), ó igual al producto del módulo 3 [logru:itmo de la base B en dicho sistema (ro)] por 2 [logaritmo del 64 en el sistema (y), cuya base es 8], segun arriba lo anunciamos; de manera que para convertir el logaritmo del 64 [tomado en el sistema (y)] en el lo. garitmo que correspondería á dicho número en el sistema (z) basta multiplicar su logaritmo 2 por el módulo 6 por el lo~nrltmo 3, que llevn su base 8 en el si .. tema (ro). Síguese de aquí que conocido el Módulo M del sistema (y), (1) Yo tomo aquí la palabra módulo como equivalente de factor; sin embargo tiene otra acepcion diferente, que los alumnos, que sigan el gurso completo de matemáticas, conocerán mn.s tarde. (Y. Du,tracion 2.•.l

-8relativamente al sistema (z), puede hallarse el M6dulo M' del sistema (z) relativamente al sistema (y), dividiendo lo unidad por el Módulo M. En efecto, acabamos de ver que un logaritmo L del sistema (y) se convierte en otro L' del sistema (z), multiplicándolo por el Módulo M: ó que LxM=L':

L' luego -=L: es decir, que dividiendo un logaritmo L' del M

. sistema (z) por M, da por cociente el logaritmo L que corresponde al mismo número en el sistema (y); y como el logaritmo de la base en todo sistema es l; resulta que

~ expresará el

logaritmo L que corresponde á la base (z) en el sistema (y), ó sea el Módulo M' del sistema (z) relativamente al sistema (y). Conocido el Módiuo ó facfor M' bastará mulllpllca1• por él los logaritmos. del sistema (z) para tener los correspondientes del sistema (y). Fijémonos en los dos sistemas mas conocidos y casi exclusivos que emplean los matemáticos, á saber: el de los logaritmos viilgares, ideados por Briggs, y el de los hiperbólicos, inventados por N eper. Se demuestra en las obras de matemáticas que M ó el factor para convertir los logaritmos hiperbólicos en los vulgares es 0,434 294: es decir, que multiplicando por estn fraccion los logaritmos hiperbólicos, se obtienen los vulgares <'01·res11ond1entes. Por el contrario, si queremos convertir los vulgares en los hiperbólicos, hallaremos su factor M' diVIdiendo 1 por M, ó sea por 0,434 294; y i;.u cociente 2,302 585 eApresnrti M' ó sea el factor 11or el cual han de multiplicarse los logaritmos vulgares para convertirlos en hiperbólicos. ( Véanse las nustraciones pri?nera y segundaJ 13. Como el 10 es la base del sistema de numerac1on, los

matemáticos se han convenido en tomarlo igualmente por base del sistema comun de logaritmos, que llaman de Briggs, por ser el primero que los empleó y publicó sus tablas, en lugar de los narurales ó hiperbólicos, que usó su inventor Ncper. Así, pues, han tomado por progresion primitiva la que hemos indicado (á) . ..;-O. 1. 2 . 3 -;-¡.

1 : 10 : 100 : 1 000 : 10 000 : 100 000 : 1 000 000.

Resulta de aquí: l.º Que la unidad llene por logaritmo el cero.

-92.º Que la unidad acompañada de ceros tiene siempre por logaritmo un número entero. · 3.0 Que los números comprendidos ontre I y 10 tienen un log. mayor que cero y menor que 1, esto es, una íraeclon; los comprendidos entre 10 y 100 un logaritmo mayor que I y menor que 2, ó I y una íraecion; los números desde 100 á ·I 000 tienen por logaritmo 2 y una íraeeion, y en general tantas unidades, mas una írae('ion, como notas ó cifras menos una tiene el número dado. l4. Cada log. está compuesto, pues, de dos partes muy clistintas, á saber: del entero, que se llama caracter·í:stica, y de la lfraccion decimal á que se da- el nombre de mantisa. (1) La primera es igual, ('01110 acabamos de ver (13), al número de notas enteras menos una contenidas en el n,imea·o á que pe,·teneee; de modo, que si el número cuyo log. se busca [tiene dos notas enteras, la característica será l; si tres será 2; si cuatro 3, y así sucesivamente . Por lo tanto, aunque se suprima In característica de un log. puede restablecerse sabiendo las notas que eonllene su número. La mantisa, por el contrario, es eoni-tante 11ara todos ilos logs. perteneeientes á mimeros enteros ó fraceloarios que están en progrei-lon décupla; ó que son 10, 00, 1000, etc., veces mayores ó menores. En efecto, para allar el log. de un número 10, 100, 1000, etc., veces mayor ' menor que otro dado; esto es, para multiplicarle ó divi. le por 10, 100, etc., basta sumar (G y '7) con su log. en el rimer caso, ó restar del mismo, en el segundo, los números , 2, 3, etc., que son los logs. de 10, 100, 1 000, etc.; ó lo que es gua!, basta aumentar ó disminuir 1, 2, 3, etc., unidades á su aracterística, dejando intacta la mantisa. Así; los logs. de 6, de 45,6 y de 4,56 se diferencian solo en la caracterís.ticn, ue será 2 para el primero, 1 para el segundo y O para el terero: pero todos tendrán la misma mantisa ó fraccion decial. Esta propiedad, que es una de las mas importantes de os logs. consiste, como ya habrá adivinado el lector, en que iendo el 10 á un mismo tiempo base del sistema numérico y el logarítmico, todas sus po~ncias 100, 1000, 10 000, y en (1) Este nombre que vino del latin 6 mas bien de los etruscos significa icwn, au.m11nto, y se ha adoptado pnra expresar Jo, frnccion que se nñade la oa.racterísticn.

- 10 general la. unidad acompañada de ceros, tienen por log. un número entero, ó solo la característica sin mantisa; de suerte que su suma ó rest:i. con los demás logs. aumenta ó disminuye la primera sin alterar la segunda. Tal fué la razon por qué :Briggs tomó el 10 como base del sistema de los logs. vulgares en lugar de la admitida por su inventor N eper, correspondiente al sistema de logs. que hoy se conocen con el nombre de hiperbólicos ó naturales. Ui, Acabamos de ver (t 3) que el log. de 1 es cero: de donde se deduce que todos los números menores que la unidad, es decir, las fracciones ó quebrados , ,erdade• ros, tienen por log. un nú01e1•0 menor que cero ó, lo que es igual, un núme1·0 sustractivo ó negativo, 'Esto mismo hubiera poili- Números. Logaritm. do concluirse de la progre- 100 000. 5.000000 sion primitiva continuada en 10 O!J0. . 4.000 000 sentido inverso, como se ob1000. . :1.000 000 serva en la presente tabla, 100. . 2.000 000 donde se ve que todos los lo10. . l.000 000 garitmos forman una progrel. . 0.000 000 sion aritmética, cuya razon ó 0,1. . 1.000 000 <iiferencia es la unidad, y los 0,01. . :f.000 000 números otra geométrica que 0,001. . ~.000 000 tiene por cociente 6 razon el 0,0001. . 4.000 000 número 10. 0,00001. . . 5.000 000 IG. Los ceros que están á la derecha de los logs. represen• tan la mantisa, que, como ya hemos dicho (13 y lit), es nula para todos los números expresados por la unidad precedidaó seguida de ceros. En todos los d1!1n:ís casos en que exls• te la mantisa, debe tcoca·se presente que el signo nega• tivo-(que se lee menos) puesto encima de In earneteristiea, afecta solo á ésta, conservando la primera su va• lor positivo. De suerte que el log. 2.301 030 es lo mismo que si estuviese escrito-2+0.301 030. Esta es una consecuencia de lo que hemos dicho (14) acerca de las mantisas, que son siempre las mismas para todos los números que están en razon décupla. Porque, en efecto, una fraccion cualquiera decimal (á cuya forma pueden reducirse todos los quebrados comunes) representa la division del número, que expresan las notas que Ja componen, por 10, 100, 1000, y, en general, por la unidad seguí• da de tantos ceros como notas contiene aquella. Así 0,3 es lo

-11 • trusmo que

10 y 0,03 = ii

3 100

1uego e11og. de esta fr aec1on · será

igual (7 y 14) al. . . . . . . . . log. de 3 = . . . +0.477 121 menos. . . . . . . . . . . • . . . . log. de 100= .. -2.000 000 y.. . . . . . . . . . . • . • . . . . log. de 0,03=-2+0.477 121 ó bien escribiendo como dijimos antes. . . 2.477 121; donde se vé que basta sustraer de la característica. del logaritmo de 3 la del log. de 100, dejando intacta la mantisa. (1) Resulta de aquí que el log. de uan frnccion decimal tiene In misma mantisa que si la frnccion representase un número entero; y una característica negativa compuesta de tantas unidades como ceros, mas uno, tenga despues de la coma. Luego, todos los logs. de los números comprendidos entre 1 y 0,1 tienen por característica l; los comprendidos entre 0,1 y 0,01 tienen 2 por característica.; y

así sucesivamente, aumentando una unidad negativa por cada cero que se añada despues de la coma. (1 á) 17. Este modo de escribir el log. de una. fraccion decimal tiene además de su sencillez para los cálculos la ventaja de darnos á conocer inmediatamente el lugar que ha de ocupar despues de la coma la primera nota significativa. de la fraccion; ó, lo que es igual, los ceros que han de ponerse despues de la coma. Así, en el log. 2.477 121 la característica 2 indica que el número que le corresponde pertenece á una fraccion decimal, cuya primera nota significativa ha de ocupar el segundo lugar despues de la coma; ó que entre ésta. y dicho número ha de ponerse un cero. Del mismo modo si se nos pidiese el log. de la fraccion 0,00036, escribiríamos inmediatamente su característica 4, porque su primera nota significativa 3 'llcupa el cuarto lugar despues de la coma, y añadiríamos á ella la mantisa que se encuentra en las tablas enfrente del 36; y ,u log. completo seria 4.556 303. El log. de las fracciones ordinarias puede tomar la misma forma, sea trasformándola.a desde luego en fracciones decimales y buscando su log. (IG): sea trasformando su log. ne!ativo en positivo, excepto la característica. En efecto, el log. (1) La. forma. de expresar estoa loga.ritmos es mera.mente convencional, 1n. característica. sola es negativa y la mantisa positiva. Hay en efecto gra.n difrencia entre 2.477121 y-2.477 121. La primera expresion es, segun dijimos en el texto, el log. de 0,00, y la segunda el de t'ul! = 0,00333¼, cociente de 1 dividido por 300 (t7). f significa. que

- 12 de una fraccion ordinaria se determina restando del log. del numerador el del denominador (7): pero como eÚog. dél último es mayor que el del numerador, la sustraccion no puede hacerse sino invirtiendo los términos y poniendo á la diferencia ó al resíduo el signo negativo - menos. Supongamos que se pide el log. de la fraccion ~- Tendría-

mos log. de 37.. -. . . . . . . . . . . 1.568 202 menos log. de 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1.763428 ó sea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -0.195 226 Como el log. de 37 es el mas pequeño, lo restaremos del de 58, y pondremos al residuo el s~gno - que lleva el mayor. El log. de esta fraccion sería enteramente negativo é igual á - 0,195 226.

Hubiera. podido procederse de otro modo, añadiendo á la característica. del numerador 10 unidades. Entónces tendríamos log. de 37 = . . . . . . . 11.568 202 menos log. de 58 =. . . . . . .-1.763 428 El log. de la fraccion seria. . 9'804 774; pero como la característica. de este log. tiene 10 unidades de exceso, se han convenido los calculadores, para evitar equivocaciones, en señalar la característica con una coma invertida. Finalmente, en lugar de añadir 10 unidades á la característica del numerador, hubiera. bastado añadirle tantas unidades mas una, como expresa la diferencia. entre su característica. y la del denominador. Mas para que el resultado no se alterase hubiera sido preciso sustraer del minuendo el mismo número de unidades aumentadas á su característica. ~ el caso precedente, la diferencia. entre las características del numerador y denominador es cero: babia, pues, que añadir 1 á la característica del numerador, y restar al mismo tiempo 1 para que su valor no se alterase. Escribiriamos este log. como lo hemos hecho arriba (IG) para las fracciones decimales. log. de 37 = . . 1 + 1 + 1.568 202=1+2.568202 menos log. de 58 =. . -1.763 428 Luego log. de

37 68

=. . . . . . .

ó bien.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . en el cual solo hay negativa la característica..

l+0.804774 1.804 774

-13-

El log. de la. fraccion

i puede, pues, escribirse de tres

m.t!.-

ncras diferentes á saber: -0.195 226

ó. . . . . 9'804774 ó. . . . . 1.804 774 (1) Nosotros preferiremos siempre la última expres10n como la mas sencilla y la mas cómoda para el cálculo.

§ 4. 0 Adicion de los logaritmos.

18, Aunque los logs. pueden, como cantidades, someterse á todas las operaciones del cálculo, para el uso de las tablas, que es el objeto que nos proponemos, basta sumarlos ó restarlos entre sí, y multiplicarlos ó dividirlos por un número cualquiera. 19. La adielon de los lags. no se diferencia de la que se practica con los decimales, sino en razon de las caracteríslicas negativas, cuando exli.len éstns. En tal cai.o, se hace la suma sht contar con ellai.. Se toma en i;;cgulda In diferencia entre la carneterislica ludiada y In suma de las negath·ns, cuidando de dar 11 diebn diferencia el signo que lleve el número mayor.

Para sumar por ejemplo los logs. 2.404063 1.572092 3.612111 3.745 252 3.333 518

se hará la. adicion de las mantisas como si fueran enteros, y al llegar á la columna de las características, se dirá: 2 que (1) Estas tres formas guardnn entre sí una relacion muy notable. La•~ ounda y la tsr= tienen la misma mantisa, mientras que las notas que forman la P,rimera., expresan la diferencia de ca.da una de las anteriores á

nueve, excepto la último. que expresa la diferencio. á din, 6 en otros términos estas mantil!l18 son recíprocamente complementariaa. Es decir, que se trasforma 111 unii en la otra tomando su complemento (V. núm. 21 y siguientes.\

- 14 llevo y 2 son 4, y 3 son 7, menos 1, son 6,_ menos 3 son 3: es decir, se suman sucesivamente todas las características.positivas y se restan luego por el mismo 6rden todas las negativas. Del mismo modo se- hallaria que la suma de estos logs. 3.574652 2.342123 1.946 874

es ... , .. .

1.863649

porque 1 que llevo de las mantisas, y 2 son 3, menos 3 es O, y O menos 1, es menos 1: la característica de la suma será. l.

§ 5. 0 De la 8U8traccion 6 resta de los logaritmo,. 20. Esto operoelon se ltoee restando los mantisas como i.i fuesen enteros, y sumando luego los coroeterístiens, segun oeobnmos de decir (19), pero teniendo presentes las dos regios siguiente"': l.ª Que si para hacer la resta de la mantisa, se tomo alguno unidad de la característica del minuendo, esto equivale á sumar Í con dicha característico. 2.ª Que la característica del sustraendo se ha de to., mar con signo contrario al que tenga.

Para restar del log. 2.529 214 el log. . . . . . . . . . 3.837 402 2.691812

haré la resta de la mantisa por las reglas comunes, y luego diré: 2 menos 1 (que se ha tomado para hacer la resta de la mantisa) es 1, menos 3 (cambiando el signo de la caracteríeti• ca del sustraendo) es menos 2; la característica de la dife• rencia será 2. ·

En este otro ejemplo: des0.432 569 pues de restar la mantisa, di3 .642 317 ria: cero menos 1 (que hetoma2.790 252 do para. la mantisa), es menos 1, mas 3 (cambiado el signo de.

15 -

la característica del sustraendo) es 2; y la característica stiria 2.

§ 6. 0 Del complemento logarítmico.

21. La operacion precedente puede simplificarse toda.vía. y convertirse en la. de sumar por meclio del complemento logaritmico. Se llama en general complemento aritmético de un número, con rei;.pecto á otro, la cantidad que debe añadirse al primero para Igualar al segundo . .A.sí, 3 es

complemento aritmético de 5 con respecto á 8 y 4 lo es de 6 con respecto á 10. 22. Aplicando esta denominacion á los logs. llamaremow

complemento aritmético de 110 log., o ,-lm11lemente complemento logarítmico, otro logarlfmo, que adicionado cou el pl'imero, dé una suma igual á cero. ( V. nustrac. 3.ª}

-23. El complemento logarítmico se puede escribir con la misma facilidad que su log. respectivo, observando las reglas siguientes: l." Cápililese el i.igno de In carncterísticn de éste, y añádasele i i.i hnbiei.e mantisa, y se tendr1i la característica correspondiente ni complemento. 2.ª Eserlbase el complemento á 9 de todas los notas de la mantisa, excepto de la última de la derecha, para la cual se tomará el complemento 11 IO. Pero si In mantisa terminase por uno 3 mas ceros~ se conservar1ín éstos en el complemento y se considerará como última nota, pnrn In aplicaciou de la regla segunda, la qne esté inmediatamente ántef? de los cero~.

Sea el log. cuyo complemento se pide . . . . . . . . • 4.754 242 Su característica. será 4+1=5. Cada nota de la mantisa será la diferencia de la respectiva á 9, · menos la última que 19 será á 10. El complemento que se busca será..••.••... 5.245 758 cuyo. suma con el log. dado es. . . . . . . . . . . . . . 0.000 000 Fúndanse estas reglas en que para buscar directamente el complemento del log. 4.754 242 habría que restarle del logaritmo 0.000 000 (22); pero como esto no puede hacerse sin añadir á la característica del minuendo 5 unidades 6 wna mas de las

-16 -

que tiene la del sustraendo, es necesario para que el minuendo sea siempre cero, quita.rl1:, las mismas 5 unidades. Escribiremos, pues, el minuendo en esta forma: (IG) 5+5.000 ono y restando de éste el log.. . . . . . . . . . . . . 4.754 242 quedará por resta..... , . . . . . . . . . . . . 5+0.245 758 ó bien 5.245 758 (IG), es decir, que tendremos para característica del complemento la del log. dado, con signo contrario, aumentada de 1, y una mantisa positiva formada por el complemento á 9 de todas las cifras de la mantisa. dada, menos la última que se resta de 10. El complemento del log. . 3.000 000 que no tiene mantisa. será. . :rnoo ooo su suma es 1gu:al á. . . . . . 0.000 000 Si se nos pidiese el complemento del log. . ~.4.08 749 diríamos: 2 (cambiando el signo de. la, característica) menos 1 (que debe dismmuirse) es 1, que escribí riamos como característica del complemento, y sentando la mantisa conforme con la rngla dada, tendnamos para el complemento. . . . . 1.591 251 el cual, sumado con su log., daria. . . . . . . . . . . 0.000 000 Supongamos por últuno que se pide el complemento de log. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.301 030 como la caracte1·ística de este log. es cero 6 nula, no hay para qué cambiar el signo, supuesto que cero ó menos cero es siempre cero. Ea.atará, pues, añadir ó escribir 1 y tomar el complemento á 9 de todas las nótas de la maJJ.tisa, menos de 111. penúltima cuyo complemento se tomará á 10, puesto que el log. termina por un cero, que hay que conservar en el complemento. Este seria.. . . . . . . . . . . . ].698 970 qi,ie sumado con su log. dar1a .. . ... . . .. . . . . 0.000 000 211. El complemento logarítmico sirve, como hemos dicho ('!I ), para convertir la sustraccion en adicion, ó bien par& comprobar la exactitud de aquella. Así, en el primer ejemplo del núm. 2U, en lugar de restar del log, . . 2.529 21' el log. 3.837 402, escribiré su complemento. . . . . . 4.162 598 y la suma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.691 812 cerá igual á la diferencia. hallad.a. anteriormente (l!O ).

§ 7. 0 De la mulUplicacian y division de los logarit1nos por un rvúnnero entero 6 fraccionario.

2ó, Aunque acontece raras veces haber de multiplicar 6 tlividir un log. por un número mayor de una nota, vamos á tratar la cuestion en general, para obviar las dificultades que pudieran presentarse en los casos que ocurran de esta naturaleza.

26. Cuando la característica e!ól po!ólitiva, estai;. operaeione!ii se practican conforme á las reglas comunei;. de la a1•itméllca.

El producto del log. • • . . • . . por . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.564872 12,5 44.560 900

es. . . . · . . • . . . . . • .. . . . . .

teniendo presente que la mantisa 6 fraccion decimal del logaritmo no ha de contener mas de seis no1;as, y que deben de consiguiente suprimirse las que excedan de este número. Del mismo modo el último log., dividido por 12,5. . • . . • • • • • • • • • • • . . 44.560 900,12,5 dá. de coGiente. . . . . . . . . . . . • . . . -3--'_-5_6_4_8_7_2 21. Si la característica es negativa se baee primero :la mulliplieacion de la mantl!óla, cuyo producto es'i;.iem-

'pre positivo; se multiplica en seguida la característica, cuyo producto (que es negativo) se suma con el anterior (UJ); y se tendrá el producto tofal.

Sea el log. . . . . . . . . . . . . . . . multiplicado por. . . . . . . . . . . . . . El producto parcial de la mantisa es. Y el de la característica. . . . . . . .

2.468 534 20 9.370 680 . 40.000000

cuya suma (19) da el producto total.

. 31.370680

28. Si el multiplieadorfue¡;¡c fra(•cio1mrio re,;ultaria nna cnracteríslica negativa fraccionaria. Para convertirla en mimero en.tero se escribirti. el complemento de ia fraccion en forma de mantii;.a, cuidando d e lllumentar i á la característica negath·a. b

1.978 8Íl Si hubiésemos de multiplicar. por.. . . . . . . . . . . . . . . . . 20,4 tendríamos: 1. 0 , producto de la mantisa. . . . . 19.967 744 2. 0 , producto de 1~ característica 20,4, que escribíe riamos segun la regla precedente . . . . . . . . . . . 21.600 000 cuya suma daria para el producto total. • . . . . . 1.567 744 Fúndase esta regla en que la adicion del complemento de una fraccion negativa, equivale á aumentar 1 al log., y de consiguiente para no alterarle de-be sustraerse 1 de la caracterÍB• tica ó añadirle i

29. Para hacer la division, si la característica es negativa hoy que distlnguir dos ca!loos: l.º Cuando el divisor está contenido exactamente en la caracterís tica; 2.° Cuando no lo está. En el t.º se hace la divlsion por l:u; reglai. comnne11, cuidando de dai• el signo negativo ul cociente de la ca• raclerística:

Por ejemplo. . . . . . . • • . • . . . . . . . 4.347 642\2____ su cociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.173 821 será el mismo que si fuese positivo el log. menos la característica, que es negativa por serlo la del dividendo. 30. En el segundo caso se aiiade á In caraeteristi• ca ·nn número negativo, que sumado con ella dé un múltiplo del divisor, y ti. la mantisa un número 11osith·o igual á fin de no alterar el logaritmo.

Esto supuesto, si hubiésemos de dividir el log. 7.468 942 por 3, como la característica 7 no es múltiplo del divisor 3 le añadiremos 2 para que resulte el múltiplo 9; pero al mism¿ tiempo añadiremos otras dos unidades á su mantisa, y el logaritmo se· escribiria, 9+2.468 942; y procederíamos á su divi• sion en los términos ordinarios, cuidando de unir la carácterística positiva á la primera nota de la mantisa: Tendríamos pues.. . . . . . . . . . 9+2.468 942 13 '------' cuyo cociente es. . . . , . . . . . . 3.822 980 31. Lo mismo !loe proce1le CD el caso de UD divlsof fraecion ario. Si nos propusiéramos dividir 1.567 744 por 20,4, añadirÍll· mos UJ,4 á la característica para que resultase igual á ·20,4; Y agregaríamos á la mantisa el mismo número positivo 19,4, á

- 19 fin de que el log. no sufra alteracion, y escribirirunoe el dividendo en esta forma:

Ó Se:!.

20,4+ 19.400 000 + 0.567 74i ~0,4+19.967 744

~ 20.,1,

11.978 811 Ha.riamos primero la division de la característica negativa, que da 1 al cociente; y continuaríamos la division por las reglas comunes diciendo: 204 en 1996,cabe 9 veces, que escribiríamos en el cociente como primera nota de la mantisa; y así sucesivamente hasta deducir las seis notas. § 8. 0 De la f111UltipUcacion y division de los logarifnnos entre sí, ó por números fraccionarios compuestos de muchas cifras.

32. Ocurre frecuentemente haber de multiplicar 6 dividir los logs. unos por otros 6 por un número compuesto de muchas cifras, especialmente en los problemas en que hay que determinar las cantidades e:i:pcmenciales, como sucede en las cuestiones de interés compuesto, cuando se trata de averiguar el tiempo que un capital ha de permanecer á interés para que dé el resultado que se desea, 6 cuando se quiere hallar uua potencia ó exi-raer una raíz cuyo exponente conste de muchas cifras. 33. Regla general. Se lancen las operaciones por ln1t reglas ordinnrlns, eonsidernndo los logaritmos como números fraccionarios, cuidando de sustiluir los logaritmos qne lle,·nn cnracteristicn negath·a, con sus complementos, y de poner al resultado el signo negativo - menos si el nti.mero de términos con característica negall11n es impar. (1)

El producto de los logs. 1.135 H6 x 1.953436 será 2,217 limitando á tres el número de cifras decimales. Si se nos pidiese el producto del log. 2.864854 por 2.046 564, sustituiría( li La. SUBtitucion del complemento equivale nconvcrtir el logaritmo con caractertstica negativa en logaritmo enteramente negnti\'O (página J 3, nota), que es Fn ver¡Jadcrn forma; puos la crirnotorlstica' nrgntivn ya dijimos (página 11, nota) que ern mernmeute couveucional.

,·

- 20 mos este último log. con su complemento 1.953 436, que daría por producto 5,596; pero pondríamos á este resultado el signo negativo -5,596, porque el número de términos con característica negativa es impar. Si se tratase del producto de los logs. 3.437 642 y 1.228342 los reemplazariamos con sus complementos 2.562 358 x 0.771658, 'cuyo producto 1,977 tendrá el signo positivo, porque el número de términos con característica negativa es par. Lo mismo sucede en la division. Para hallar el cociente del log. 2.837 642 dividido por el log. 1.342 654, sustituiríamos el primero con su complemento 1.162 358 y se dispondria así la operacion. . . . . . . . . . . 1.162 358 11.342 654 cuyo cociente es. . . . . . . . . 0,866 Pero como el número de términos con característica nega. tiva es impar, pondríamos á este cociente el signo negativo y tendríamos -0,866. Si por el contrario, ambos términos tuviesen la característica negativa, por ejemplo . . . . 3.468 532 3 .678 544

los reemplazaríamos con sus complementos. . . . . . 2.531 468 2.321 456 cuyo cociente. . . . 1.090 llevará el signo p.ositivo, porque el número de términos cor: característica negativa es par. Del mismo modo se praetiean estas operacione s cuando hay que nntltipliear ó dividir un log. por un número fraccionario, solo que debiendo ser el resulta• do un logaritmo, hay qne trasformarlo, si es negativo, en log. con característica neg~tiva, tomando su eom• 11lemento. Supongamos que se nos pidiese extraer la raíz 7,001 705 del número 0,791. Seria necesario dividir el log. de este número, que es 1.898176 p-or el exponente dado (9) 7,001705: y obten dríamos por resultado final el cociente negativo -0.014 543, por háber una sola característica negativa en los términos de la division. Este log. negativo se convierte en og. con carac· terística " negativa escribiendo su complemento 1.985 457 {17 nota.) Este será el log. de la raiz que se busca. 34. Unas y otras operaciones pueden simplicarse no•

21 -

tablemente haciendo uso de los logar:tmos; es decir, lomando los logs. de los logaritznos. En la operacion precedente despues de convertir el logaritmo 1.898 176 en su complemento (33) 0.101 824 escribiriamos su log. . . . . . . . . . . . 1.007 850 restariamos de éste el log. del divisor 7,001 705, 1ó lo que es igual lo sumariamos con su compleento (2i&) que es . . . . . . . . . . . i.154 796 2.162 645 Su suma . . xpresará el log. del cociente, ó sea el log. del logaritmo de la raíz. El número 0.014 543 correspondiente á dicho log. será el ogcwitmo de la raíz; pero como en los datos primitivos hay uua. característica negativa, el resultado debe ser negativo (33) y tendríamos -0.014 543, cuyo complemento seria como nrriba 1.985 457. _ Si se nos pidiese la potencia 2,304 572 del número 3,405, cudriamos que multiplicar el log. de este número por el ex¡,onente de la potencia; el prod11cto expresa.ria el log. de dicha 11otencia (8 ). Escribiríamos, pues, log. de 3,405. . . . . 0.532117 multiplicado por el exponente de la potencia. 2,304 572 cuyo producto (33). . . . . . . . . . 1.226 302 xpresaria el log. de la. potencia, y se hallaría de consiguiente 1valor de esta por medio de las tablas. Pero esta misma operacion puede hacerse much::> más fáilmente empleando los logs. de ambos factores, considerá.nolos como números fraccionarios . Así diríamos log. de 0.532117. i.726 007 log. de 2,304 572. . . . . • • . . . 0.362 590 cuya suma. . . . . . . . . . . . 0.088 597 xpresará el log. del producto, ó sea el log. del fogwritmo de la potencia que se busca; y en efecto el log. 0.088 597 corresoude en las tablas de los números á 1,226 302, ó sea el logaritmo de la potencia que se busca, como lo acabamos de hallar rriba directamente. Del mismo modo se procede en las divisiones. Si tuviésemo3 que dividir, como propusimos en otro lugar (33), el logaritmo 3.468 532 por el log. 3.678 544, empezaríamos por tomar los complementos 2.531468 y 2.321 456 ¡de ambos logaritmos, por tener sus ~ra~terísticas negativas, y escribiria,nos

22 -

=. .

0.408 372 fog. de 2·.031 468 l.6S424-0 mas compl. log. de 2.321 456 = . . cuya suma. . . . . . . . . . 0.087 612 expresará el log. del cociente pedido; puesto que el número de características negativas en los datos primitivos es 'pnr. El resultado final seria por consiguiente l.O'JO, tal como lo hemos hallado por .la division directa (33).

CAPITULO II. USO DE L.AS T.ABL.AS DE LOS LOG.ARITMOS COMUNES DE LO S NÚMEROS ENTEROS.

§ l.º E;¡;_plicacion y disposicicm de las nuestras. 35. Las 11resentes tablas s@o de las que los mate• n1iatieos Haomn de doble entrada, 11orque en ella!o hay que atender para bu!ica1· los logs. IDO solo á In eolunrnn verlieul, sino tambien :, la horizontal que se halla 1í la cabeza y pié de cada plana. Este método, adoptado generalmente por todos los autores modernos, reune á la sencillez y facilidad para buscar los logs. por los números, ó

viceversa, la apreciable circunstancia de r educirá un pequeño vol úmen las tablas, que por este medio se hacen portátiles Y cómodas para todos lo~ usos de la vida civil. Las dos primeras llanas de nuestms tablas contienen por el órden natural ó de simple en&rada los logs. de los números des• de el 1 al 399. Esta tabla no era necesaria, porque todos esto; logaritmos se hallan repetidos en las siguientes; pero la hemos puesto para completar éstas, y porque ocurre con frecuencia buscar los logs. de los números menores de 400, y hemos querido, por lo mismo, presentarlos reunidos para mayor comodidad de los calculadores. 3G. Nuestras tablas empiezan propiamente desde la segunda plana, comprendiendo ba,jo esta denominacion las dos llanas que están enfrente, y deben considerarse como una · sola y única ta,b b, distribuida· en ambas, para acomodarse nl tamaño de la ediciou. Cada una de el}~s Vll clivididn en sjete

-23columna s prmcipa les y en otras cinco intermed ias, que se llaman de las diferencias, y llevan á su cabeza las iniciales dif. y sirven, como mas ade~ante veremos , para hallar los logaritde las prinlllOS no compren didos en estas tablas. La primera compren de núnnero, de inicial N, cipáles, precedid a de la letra en amésta á Sigue 1999. hasta 100 desde s naturale todos los bas llanas una columna de dos guarism os, precedid a de las letras Log., iniciales de Zogaritrno; porque, en efecto, contiene las dos prímeras notas de la mantisa, que por ser comunes {1 varios logs. se sobreen tienden en todas las demás líneas horizontales en que no van expresad as; ámenos que el número de las columna s siguient es, que encierra n el re!:!to de la mantisa, no vaya precedid o de un asterisco *, en cuyo caso se toman para. complet ar aquella las dos notas inferiore s que siguen inmediata mente en la columna Log. como luego diremos. Yan á. continua cion de esta columna otras cinco en cada llana. precedid as de los números digito11 desde el cero hasta el 4 en la primera y del 6 al 9 en la. segunda , y compren de cada. una las otras cuatro notas restante s de la mautisa, correspo ndient.'lc; al log. del número que se busca, segun que éste se termina por una de las notas expresad as. 31. Por este artificio y suprimie ndo las caracter isticas, cuyo valor es perfecta mente conocido (ltI), nuestras tabla~ contiene n directam ente todos los log-s. de los números comprendido s entre 100 y 20 000. Por de contado los de 100 hasta 11. 999 se encoen truo escritos íntegro s al lado de los respect h·os número s en las colum11a!ii Log. y O de la 11rimer a llana, te11iend o present e como hemos dicho (3G), que las notas de la column a Log. se entienden repetid as en todas ¡as lineas que est:ín en blanco. 38. Para hallar los logs. de los dem1is número s desde 1 999 hasta 2000Cl >, se separa co11 una coma la 1íltima nota; se buscan las restant es en la column a N de la primer a llana, cuando la nota sepai•a da es menor que á, y en la se~und a ,;;i C!ii á ó mayor que á (3G ); y las dos cifras que est:in enfrent e ó á In parte superio r, en la column a Log. ¡,¡on la.,;; primer as de la mantisa : las cuatro ultimas se hallan en la misma linea del mimero en la column a á euya cabeza se encuen tra la nota i.eparad a. Debe tener,;;e pre!-ent P que si estas Últimas van precedi das de un asterlst ico •, !as dos primera s utt-

- 24 -las de la mantisa serán, como dijimos (36), las que en la.columna Log. preceden la lanea Inferior Inmediata. Si se nos pidiese, por ejemplo, el log. del número 12 606, empezaríamos escribiendo su característica 4 (111); buscaríamos, en la columna N de la se~unda llana, sus cuatro primeras notas 1260, y como enfrente de ellas en la columna Log. están las cifras 10, éstas serian las dos primeras de la mantisa: liw cuatro restantes 0577, las hallariamos en la misma línea y en la columna que tiene á su cabeza la nota 6, que es la separa. da ó la última del número dado. De suerte que el log. completo seria 4.100 577. Aunque á primera vista parezca. complicada esta marcha, es por el contrario tan sencilla y expedita, que bastan tres ó cuatro ~jemplos para familiarizarse con ella hasta el punto de escribir el log. de un solo golpe de vista. :J9. Para conseguirlo debe tenerse presente que los logaritmos de los números terminados por una nota menor que á, se hallan en la llana izquierda; y los que lo están por á hasta el 9 inclusive en la derecha. Así, si me propusiese hallar el log. de 2247, sé desde luego que he de buscarlo en la. llana de la derecha: separo pues el 7 y tomo en la columna. Log. de dicha llana las dos nota 35 que están enfrente del número 224, y busco en ella las cuatro restantes 1603 que están en la misma línea del número 224 en la columna del 7: el logaritmo completo seria de consiguiente 3.351603. '10. Para evitar equivocaciones conviene que los principiantes lean y escriban las mantisas por periodos de dos cifras: así, en el caso precedente dlriamos; wevnta y cinco, diez y_ seis, cero tres (1). (1) Esta advertencia, que algunos considerarán ridícula, es de la mayor ¡mportanoia, porque los logaritmos no tienen por objeto inmediato la expresion de una cantidad, sino que son nn signo, como si dijéramos, el traje, que sirve para darnos á conocer el número á que se refieren. Importe. pues mu· chísimo adoptar, para escribirlos y leerlos, el método que mas fácilmente nos haga reconocer este traje; esto es, el método menos expuesto á equiTOcacione••

..:.. 25 -

§ 2.0 Diuio un número haJ,lar su logatriúno. 41. Esta. cuestion comprende tres casos segun que el número dado es menor de 2 000, ó está comprendido entre éste y 20 000, ó finalmente excede este límite, que es el de laa tablas.

1.•r

CA.SO.

Hallar el log. de wn número menor de 2 000.

U. Búsquese este número directamente en la columna N de la llana izquierd11, y sentada su caracteristica (lil) se escriben á la derecha las dos notas, que están enfrente ó en la pnrte superior de la columna Log. y se añaden las cuatro restantes de la columna O (ce¡,o) que están enfrente del número dado. El log. de 489 se hallaría buscando en la columna N este número; escribiendo su característica 2- con un punto á su ~erecha; sentando el número 68, que es el más inmediato por la parte superior de la columna Log.; y añadiendo finalmente á estas dos cifras las cuatro 9309, que están bajo la columna O (cero) en la misma línea que el número 489: el log. buscado seria 2.689309. Del mismo modo hallaríamos que el log. de 1864 es 3.270 446. En efecto, empezaríamos buscando este número en la columna N; sentaríamos su característica 3 (lil) con un punto á su derecha; escribirí.amos á continuacion las dos notas 27, que se encuentran en la columna Log. á la parte superior del número dado; y, por último, añadiríamos á la derecha de éstas las otras cuatro 0446, que en la columna O(cero) están enfren . te del 1864. Si se pidiere el log. de 1088, buscaríamos este número y hallaríamos 3.036629. La repeticion de dos ó tres ejemplos bastará para poner á los alumnos al corriente de esta sencilla operacion. 2.º O.A.SO . Hallar el logaritmo de un nwmero conip1·endido entre 2000 y 20000.

it3. Sepárese su ,iltimn nota; bú,;quense las restantei; en la columna N; eiicribase la caracteristica (lil) r

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á .su derec.-hn lat1 notai;; correspondien tes de la colom• na Log., á las cuales se añaden las cuatro, que, eo la misma linea del número dado, se encuentran en la columna corres11011dien le á la nota separatln. Propongámonos buscar el log. del número 6 228. Empezaremos buscando en la columna N de la llana derecha (39) las tres primeras notas 622; escribiremo.s la característica 3, y á su continuacion, separadas por un punto, las dos notas 79, que son las más próximas superiores de la columna Log.; y finalmente añadiremos las cuatro 4349 que se hallan enfrente del número 622 y bajo la nota 8 que fué la separada: el logaritmo buscado será 3.794349. Otro ejemplo . Sea el número 7 586, cuyo log. se pide: escríbase su característica 3; búsquense en la columna N de la llana derecha (39) las tres primeras notas 758: las dos primeras de la mantisa serán por la regla.general 87; pero como el número 758 se halla precisamente en la línea próxima inmediata al 88 de la columna Log., es muy posible que sean estas las verdaderas notas que le correspondan (3G ): para cerciorarse basta correr la vista por la misma línea hasta la columna de la última nota 6, y si el guarismo correspondiente está precedido, como en efecto lo está, de un asterisco • , es prueba de que ha de escribirse el 88 (3G) y no el 87: las otras cuatro últimas notas se buscan en la misma línea bajo la nota G y el log. completo será 3.880 013. Los casos, como el actual en que, deben tomarse las notas inferiores y no las superiores de la columna Log., no ofrecen jamás la menor duda, puesto que no pudiendo suceder sino en la línea inmediata á la variacion de las notas de dicha coluro·'ª• es fácil á primera vista observar si precede ó no el asterisco • á. la columna correspondiente á la última nota del número dado, como acabamos de ver. 44. Los logs. de los números mayores de 20 000 no se encuentran en la tabla; pero pueden buscarse por medio de ésta, aunque solo por aproximacion. Para esto sirven las colu.m nas auxiliares de las diferencias, como vamos á ver. Estas diferencias, que expresan la que existe entre dos logs. consecutivos ile las tablas, , ,an mareadas en lai. nuestras al Indo de cada log. en las columnas au• xiliares, que llevan ií. su cabeza las iniciales dij. Si se nos pidiese la diferencia del log. de 1292, halla.riamos 1

¡ ¡

1,.

- 27 este log. enfrente del 129 (39) y debajo de la columna ~- Su diferencia con el que corresponde al número 1293, que es el que sigue á. su derecha en la misma linea. horizontal del 129, es 336, como lo expresa. la. columna. auxiliar dij. que media entre ambos. Del mismo modo hallaríamos que la diferencia del log. de i 896 era 149; que la. del log. de 9 344 era 46; y que la del de 18646 es 24. 3. •• CABO. Hallar el logaritmo de un número no comprenclido

en Zas tablas .

.fó. REGLA GENERA.L. Sep11rense las cuatro prlmeras nota!ii del numero dado, y b1isquese su log. como en el caso precedente (43), cuidando de escribir la carade~ ristlea que corresponda ni mimero dado (14): mnllipliquense las notas restante!'. eoni,iderndas como un quebrado deeimal, por la diferencia del log. hallado; i.tiwese el producto, de!iieelmda 1,u parte decimal, eoo la mantisa; y se tendrá el log. que i.e busca. Supongamos que se pide el log. de 854684: escribiré desde luego su característica 6 (ltl): separaré con una coma sus cuatro primeras notas 8 546 y buscaré por las reglas anteriores ( 13) su mantisa que será 931712: multiplicaré en seguida las notas restantes, escritas como decimales (0,84), por la diferencia 51 (ff) que está á la derecha de la mantisa hallada: su producto 42,8 ó 43, descartada la parte decimal, se añade á la. mantisa hallada.. . 931 712 43 su suma. . . . . . • . • • • . . . . . 931755 expresa la mantisa del nÚJ.l;lero dado 854584, cuyo log. será de consiguiente 5.931 755. Fúndase esta regla en que las diferencias de los logs. de tres n{uneros consectivos y mayores de cuatro notas, se suponen, aunque en rigor no lo sean, iguales; y proporcionales de consiguiente los aumentos intermedios al número de uni<lades decimales de que crezcan estos números. Las columnas dif. indican la diferencia ó la parte que debe aumentarse, por cada unidad, á la mantisa de los logs. tabulares, r¡ue están en la misma linea; y por esta razon para hallar la que

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corresponde á las notas restantes, se multiplica la diferencia por dichas notas, consideradas como decimales, supuesto que las mantisas son las mismas para todos los números que están e n progresion décupla (14). Observacion vmportante. Siempre que los números de más de cuatro cifrai. empiecen por la unidad, ltay que 1oeparar sus cinco priru~ras cifras y buscaa· sus logs. en la cohmma N . del 1000 para ara•iba. Así, si se nos pi. diese el log. de 194 386, es necesario separar las cinco primeras cifras 19 438 y buscar su log. en la segunda mitad de la tabla. El log. tabular será de consiguiente 5.288 652, cuya diferencia 22 debe multiplicarse por 6, última cifra del número dado, convertida en decimal 0,6. Su producto 13,2 6 13 {despreciando la nota decimal) debe sumarse con el log. hallado; y tendríamos por resultado final 5.286 665. Para buscar el log. de 1843 463 empezaré por escribir la característica 6, seguida de un punto. Separo con una coma las cinco primeras cifras, Ybusco en la 2.• mitad de la tabla la mantisa que les corresponde, que es (43) 265 620. Finalmente, multiplico la diferencia 23 (44) por 0,63, que son las cifras segregadas á la derecha de la coma y añado el producto 14 á la mantisa tabular. El log. definitivo será, 6.265 634. 46, Este es el método seguido en las tablas de sÍllrple en. trada, en las cuales van marcadas las diferencias al lado de cada log., como se vé igualmente en las nuestras, aunque de d oble entrada. Esta marcha es tambien la más expedita cuando las diferencias no exceden, como en las presentes tablas, <le tres notas, pues que las operaciones son en este caso muy sencillas. No sucede así cuando las diferencias contienen más de tres notas, como en las tablas cuyas mantisas tienen 7 6 mas decimales. En estos casos, para evitar la molestia de mult iplicaciones y divisiones largas y enojosas, se sustüuyen á las diferencias las tablas auxiliares, que se llaman de las partes pi·oporcionales, las cuales contienen el producto de cada diferencia por los nueve números dígitos: de modo que estando hechos estos productos, basta adicionarlos para obtener el producto total, que se ha de añadir á la mantisa del log. Generalmente se colocan estas tablas auxiliares al lado de los logs. en el márgen de cada plana: lo cual dá lugar á confusiones en las primeras páginas por lo apiñadas que se encuentran:. y aun se comete generalmente el error de tomar los

- 29mismos valores ó productos para logs. cuyas diferencias v&rian en u:a.a y á veces en dos unidades: á menos de hacer roen-talmente la sustraccion de los dos logaritmos consecutivos. Nos otros hemos evitado estos inconvenientes marcando al lado de cada logaritmo su diferencia, y suprimiendo las tablitas de las partes proporcionales en las dos primeras planas del 100 al 200, porquo estos lqgaritmos se encuentran repetidos en la segunda parte de las tablas desde el número 1 000 al 2 000 donde deben buscarse. Las tablitas auxiliares que van al margen llevan á su cabeza en números egipcios la parte proporcional ó diferencia á que se refieren, de modo, que conocida ésta, por estar escrita al lado de cada logaritmo, es muy fácil buscarla en el margen y conocer su producto por cada una de las nueve notas, que van á la izquierda de cada tablita. mu,iliar. Si tuviésemos que operar sobre el logaritmo del número 3642, buscaríamos en el margen de la plana, donde se encuentra este número , la diferencia 119 , que está al lado de su logaritmo (44), y hallaríamos que su producto por 2 es 23,8, que es el número que está enfrente ds la cifra 2 en la tablita · auxili ar. Dicho producto está escrito así 23,8, porque considerándose las notas separadas á la derecha de la coma como decimales (~5), hay que hacer el producto JO veces menor, separando su última nota con un punto 6 una coma. -17. Esto supueeto veamos cómo se procede para buscar con el auxilio de las partes proporcionales (1) el logaritmo de un número no contenido en las tablas. REGLA. GENERAL. Sepárense lni. cuatro ó cinco primeras notas, (si el número empieza por la unidad), y escríbase su log. (43). Tómese la diferencia tab~la" que e stá escrita á la derecha (-14); búsque!iie dicha diferencia en las tabillas marginales y escríbanse por su órden, debajo de la mantisa del log. hallado, los productos correspondientes á las notas segregadas al Goal del núnaero, cuidando de correr cada producto un lugar mas á la derecha: súmense estos proauetos Y se tendrá el log. que se pide. (1) Como se vé nuestras tablas ofrecen la nnto.ja, que no presentan nin• !rUDas de las conocidas hasta hoy, de poder seguir el método directo de l::.!! dif,ran cias, (415) ó el de las partes prop orcionales, á voluntad del calcnle.dcr.

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Propongámonos hallar con el auxilio' de las partea proporcionales el log. del mismo número 854584, que ya conocemos por el método directo (-15): separemos, como allí dijimos, lM cuatro primeras notas 8 545, cuyo log. es 5.931712: búsquese su diferencia tabular ól (-1'1) en las tablttas que ,an al mar ceo, y escríbase debajo de la mantisa el producto 4.0.8, correspondiente á la nota 8, que es la primera de las segregada& al final del número: escríbase debajo de éste el producto 20. correspondiente á la nota 4, que es la segunda de las seg~ gadas, cuidando de correrlo un lugar mas hácia la derecha, 6 lo que es igual, corriendo el punto un 1ugar á la i zquierda: hágase la suma de estos productos con la mantisa y se tendrá el logaritmo que se pide. La operacion se plantea así: ó.931712 Logaritmo de las cuatro primeras notas. 40.8 producto correspondiente á la l.ª nota 8 . . . , producto de la 2.ª nota, corriendo el punto un 2.0i. lugar á la izquierda.. . . . . . . . su suma. . . . . . . • . . . ó.931754 . 84 será el log. que se busc!t; pero como la m,antisa contiene ocho notas decimales y solo debe contener seis, se suprimenJas dos últimas, separadas á la derecha; cuidando de aumentar un a unidad á la última nota 4, por ser la primera nota suprimid:1 mayor que 4. Será pues el logaritmo definitivo ó.931 'toa, el mismo que hallamos anteriormente por el m6todo dkecto (il.5). Otro ejemplo. Búsquese el log. de 1462 859. Sent.al-6 la mantisa de 14628, precedida de la característica 6, correspondiente al número dado (1-1), y tendremos. . . . . 6.165186 Buscaré su diferencia tabular 30 (44) en las tablitas auxiliares marginales y sentaré debajo de la mantisa el producto 15.0, correspon:.iente á la nota 5, primera de las segregadas .., . 15.0 escribiré debajo el producto 27.0, de la nota 9, que es _la última, corriendo el punto un lugar más á la izquierda, esto es, lo escribiré así. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.76 La suma. . . .' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.165 202.70 (que despreciando las dos últimas notas, queda reducida á 6.165 203) será el log. que se buaca.

31-

§ 3.0 Hallar el logaritmo de

wna fracoi1m.

il8. Debe tenerse presente, como ya insinuamos en otro lugar (lá), que el log. de una fraccion es por su naturaleza negativo, ó menor que cero, que es el log. de la unidad. En efecto, todo quebrado expresa el cociente de la divisiou del numerador por el denominador; y como el log. de un cociente 'se halla restando entre sí los del dividendo y divisor (7) se hallará el de un quebrado restando del log. del numerador el del denominador (U'). REGLA. GENERA.L. Para hallar el log. de unn fracelon, se e!icl'ibim el log. del numerador, y !ie sumará con él el eomplem (2il) logar1t01ico del denominador. Apliquemos esta regla á la fraccion g y escribamos el logaritmo del numerador 2. . . . . . . . . . . . . . . . 0.301030 añadamos áéste el complemento logarítmico del denominador 3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.522 870 Yla suma dará el log. que se pide. . . . . . . . . . . 1.823 90[1 il9. Esta regla puede todavía simplificarse para las fracciones decimales. Como éstas tienen la misma mantisa que si fueran enteros (IG) todo el problema está reducido á conocer la característica negativa que les corresponde; que por regla general es igual á i aumentado eon tantas unidades negativas como ceros haya enlre la co,~a y la primero notn signlflcativa. 'El quebrado decimal 0.48 tiene por característica 1, porque despues de la coma no hay ningun cero: y el quebrado 0,0037 tiene por característica 3 porque despues de la coma so hallan 2 ceros. Esto sn1mei,;to, el log. de un quel11•ado decimal se halln buse1tndo la manti!m, como .,¡ fuera un entero, y escribiendo la característica por la i-cgla preccdenlt'. El log. de 0,03465 se tendrá escribiendo desde . luego la caraeterísti.ca 2, porque la primera nota significativa ocupa el segundo lugar ó hay un cero despues de la coma, y buscando en las tablas la mantisa del número 3 465 que es 539 703 (ii3): el log. completo seria :i539 703.

§ 4. 0

S2-

Dado un logaritmo hallar el númi;ro que le corresponde.

60. Dos casos pueden ocurrir: á saber, 1.0 , que IA mantisa del log. dado se halle en las tablas: 2.0 , que esté comprendida entre las de dos logs. consecutivos. 1.er CASO, Para averiguarlo búsquese la mantisa en las tablas, cuidando de tomar sus dos primeras notas sobre la columna Lag., donde se encontrarán con sumn facilidad (1): recórranse con la vista de izquierda á derecha las demós columnas intermedias basta las dos notas siguientes de la columna Lag.; advirtiendo, para mayor expediclon, que el valor de sus cuatro notas vti aumentando progresivamente desde cero, ó una cantidad que se le aproxima, hasta 9999 ó muy cerca. Si en alguna de estas columnas se hallasen exactamente la11 cuatro notas restantes de la mantisa, en este caso el número buscado sería el que estuviese enfrente en la columna N, añadiendo á su derecha la nota que est:.í :i la cabeza de la columna, donde se encuentren las cuatro últimas notas de la mantisa. Por lo que hace á la característica, solo sirve para indicarnos las notas enteras de que consta el guarismo (l,IJ; y de consiguiente si faltasen, se aumentarán los ceros necesarios ii laderecha; ó si por el contrario ¡¡obrasen, se separarán ii. In derecha con una coma las notas excedentes. Ejemplos. Sea el log. 4.655 523 cuyo número se pide: prescíndase de la característica y búsquenseenlacolumna Log. las dos primeras notas 65 de la mantisa: búsquese en la colun1na O (cero) la línea que empieza por 5, que es la primera de lus cuatro notas restantes, y sígase la misma línea hasta encontrar, si es posible, toda In. mantisa; y en efecto, la encontremos en la columna á cuya cabeza se halla el 4. Las tres pri-

(1) En efecto, las dos primeras cifras de la mantisa, que se hallan aisl::.das en la columna Log. se destacan inmediatamente á In. vista; y como las cllll.lil'O restantes de In. columna cm·o siguen nn órden progresivo de menor 11 mayor, se encuentro. facilmente toda la mantisa; mientras que en las te.blns de Lalande y en todas lns de simp le entrada, confundidas las mantisas, lmY que recorrer varias páginus y columnas para hallar la mantisa que se bnsC3•

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meras notas del número que se busca, serán por lo dicho las que están enfrente en la columna N, esto es 452; y la última el 4 que está en la cabeza de la columna, donde se encontró ;ta mantisa: el número completo será, 4 524: pero como la característica 4 indica que debe tener cinco notas, es necesario añadirle un cero; y tendríamos definitivamente 45 240 para 1el valor del número buscado. Para familiarizar á los principiantes con esta operacion, que la práctica hace en sumo grado sencilla, propongámonos buscar el número correspondiente al logaritmo 0.088 490: buscaré en la columna Log. las dos primeras notas 08 de la mantisa: las dos notas siguientes 84 deben hallarse entre 63 y 99 con que empiezan las dos lineas inmediatas de la columna O (cero). ;Estarán, pues, en la linea que empieza por el 63; y, en efeclto, recorriéndola se encuentra todo el resto de la mantisa 18490 bajo la columna 6. Añadiendo esta nota al númelro 122, que se encuentra enÍreilte en la co1umna N, será ei nú¡mero buscado 1,226, cuyas tres últimas notas se han separado con una coma, porque la característica O (cero) indica que no id.ebe tener mas que una nota entera. Observacion illnpo1·tante. Como nuestras tablas llegan hasIta 20 000 debe tenerse presente que las mantisas, á partir del lllúmero 10 000, empiezan de nuevo por cero y va;n aumentanklohasta la de 20 000, que es 301030. Por consiguiente, siemllre que las mantisas no lleguen á este valor, es mucho mas J!eguro y mas cómodo buscar los logaritmos en las mantisas ¡posteriores al número 1000 de la columna N,, ó sea en la 2.ª niitad de la tabla. Así, en el caso precedente, hubiéramos halla~º el logaritmo entero en la columna cero enfrente del núme•o 1226 en vez de buscarle, como hemos hecho, sobre dos columnas. 51 . 2.º a.A.so. Si las cuatro notas últimas de le manti~ !,a no se hallasen exactamente contenidas en alguna de las columnas de las tablas, necesariamente han de !caer entre dos eonseeutivas: tómese en este easo la inenor y b1isq11ese el nú.me1•0 que la corresponde, como hemos dicho en el caso 1•rececle11le: para hallar las no~ns decimales, que deben agregarse á la derecha de ~ste número, correspondientes al exceso que lleva la lhlnntisa del log. dado á la de las tablas, tc•rnese la di:rerencia entre ambas; y divídase 1wr la dife1·encia tac

I:11 1,

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hnlar de la menor: el cociente expresará las decimaleg c¡ue deben añadirse. Averigüemos el número correspondiente al log. 2.542 400. Buscarémos como dijimos ántes el 54 en la columna Log.; las Jos notas siguientes 24 deben hallarse entre las 15 y 28 con

que empiezan las dos líneas inmediatas de la columna O (cero); búscolas, pues, en la línea que empieza por 15 y las hallo en 111 columna 7: pero como las dos últimas 52 de esta columna son mayores que las 09 de la mantisa dada, síguese necesariamente de aquí que la mantisa se encuentra entre las columnas 6 y 7: tomo el número correspondiente á la menor, que es la do la columna 6, y encuentro por las reglas anteriores (á ) que es 348,6: para hallar las decimales, que se han de añadir, tomo la diferencia entre la mantisa dada. . . . . 542 409 y la del log. de la tabla, correspondiente á la columna 6. . . . • . . . . • • . . . . . . . . . . • • . . 542 327 cuya diferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 dividida por 125 que es la diferencia tabular (U) correspon• diente á la mantisa de la columna 6, da de cociente 0,65, que son las decimales que deberán añadirse á continuacion del número hallado; de suerte que el número verdadero será 348,665. Otro eje-rnplo. Hallar el número correspondiente al logaritmo 5.445 566. Búsquense en la columna Log. las dos primeras notas 44; las dos siguientes 55 deben hallarse en la J.í. nea de la columna O (cero), que empieza por 40, puesto que In inmediata empieza con el 56: recórrase con la vista dicha línea 40 en toda la extension de la plana, hasta hallar ,3} 55 ó el número menor, que mas se le aproxime, que aquí es 54; y de consiguiente la mantisa menor de las tablas, que roa! se aproxima al log. dado será 445 449; y como el número que le corresponde es el 2 789 (áO), y el que se busca debe tener 6 notas por ser su característica 5 (14), averiguaré las notas que deben añadírsela, dividiendo la diferencia 117, que hay entre ambas mantisas, por 155, diferencia tabular de la, man· tisa hallada (M): su cociente 0,7548 expresa las notas, qu~ deben añadirse á la derecha del primer número; de modo que el número completo será 27 897 548; pero como no debe con• tener mas de seis notas enteras, separo con una coma dichas notas, y el número que se pide será 278 975,48. á,!. Taro.bien podemos servirnos para el mismo objeto d~

3b -

las tablas O" las partes propo,•cionales. (1) Para ello, conocida que sea la diferenciaentrelamantisa tabular y la del log. dado, que como acabamos de ver es 117, b1'tsq11ese en la¡¡ tablitas au:r:ilian-es del márgen la diferencia tabular 155, correspon iliente á la mantisa h11llacla: reeórrase de arriba abajo toda la columna en que ésta se encuentra y b1isquesc el número menor que mas se aproxime al 117, que es el IOS.5; la nota 7 que está enfrente á la izquierda de la columna, es In primera que debe escribirse á la derecha del mimero rabular 2789. Para hallar la segunda, tómese la diferencia entre el 117 y el 108.5, que es 8.5: multiplíquese por 10, ó lo que es 1.;ual, suprímase el punto, y resultará 85; b,isquese en la m is ma eolumua el número qne mns se aproxime al 85, que es el 77 .5 y aiiádase á la derecha de la nota anterior 7 la nota 5, que está á la izquierda tic la columna: tómese ele nueve la diferencia entre 85 y 77.5,, lque e s 7.5, es decir 75, suprimiendo el punto ó 111ulti¡pllc1indola por 10: b1isquese de nuevo en la misma co1lumna el n,imcro que mas se aproxime al 75, que es el G2, y escríbase á la derecha del á la nota 1.1, que está á su izqnierda: tómese la diferencia 1:1 entre 75 y G2, y aaiádase un cero ó multiplíquese por 10, y véase 1el mimero que en la misma columna se nproxlma n1as lal 130, •11rn es el 124, y eserÍb3se la nota 8, que está 1á la izquierda de la columna. Las notas que deben añadirse á la derecha del número tabular 2789 serán 7648, y el

número completo seria, como anteriormente, 278976,48, que puede aproximarse al verdadero cuanto se qlil.Íera, continuando la operacion en el mismo órden, hasta obtener el número de notas decimales, que nos hayamos propuesto.

53. Cuando la enraetcrístiea es negativa ó eorres(IOn1liente a nnafraeeion, las reglas son las mismas,advirti emlo que la caraeteris tien indica entónccs el lugar <111c lm de ocupnr des pnes de la coma In 1,rimera nota 1signilleativa de la fral!~ion decimal (17). (1) Téngo.se muy pre, ente que nuestro.s tablas se prestan iiruo.lmente á seguir el método directo de las diferencias, emplea.do en las to.bias de Bimplo entro.da, 6 el de las v artBs p roporcionales, usudo en !ns de doblo entro.da., á linde familia.rizará los alumnos con ambos métodoij.

li 11

36-

Propongámonos buscar la fraccion corre pondiente al logaritmo 3.467 586. Tomaremos como ántes las dos primeras notas 46 en la columna Log.; buscaremos en la columna O (cero) la línea, que empiece por las dos notas inferiores, que mas se aproximen á las dos siguientes 75 de la mantisa; que en nuestro caso es la que empieza por 68; y veremos que las cuatro últimas notas de la mantisa caen entre las columnas 4 y 5: con¡;ideraremos al log. de la columna 4 como el verdadero, y hallaremos que su número es 2 934 (50); mas como la característica 3 indica que este número debe ser una fraccion, cuya primera nota ha de ocupar el tercer lugar despues de la co11.u1; escribiremos la fraccion así 0,002934. Esta fraccion corresponde á un log. menor que el dado; para hallar la verdadera restaremos, como ántes, de la mantisa dada. . . . . 467 586 la del log. tabular que tomamos por el verd1tdero: . 467 460: <livídase la diferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . • ll:!6 por 148, difer-mcia tabular correspondiente al último, y el cociente 0,85 expres:i.rá las decimale,- que han de añadirse á la. derecha de la fraccion: la cual será definitivamente 0,00293485. 54. Al mismo resultado llegaríamos empleando las tablas de las partes proporcionales. Bu;;cariamos en ellas la diferencia tabular 148 (<l<I) correspondiente al log. que dan las tablas como mas aproximado al verdadero, y, siguiendo la columna vertical de arriba abajo, ballariamos que el número menor que mas se aproxima al 126, diferencia entre el log. que dan las tablas y el verdadero, era el llBA,, á cuya izquierda está el 8: escribiríamos esta nota á continuacion de la. fraccion 0,002!J34 y tendríamos para la primera aproximacion O.00:!9348. Si queremos continuar tomaremos la diferencia entre el 126 y el 118.4, que es 7.6; y suprimiendo el punto ó multiplicando por 1n, buscaremos en la misma columna de las partes p1·oporcio• nales el número 76 ó el me1101· que mas se aproxime: y hallaremos que lo es el 74, á cuya izquierda está el 5. E sta será, pues, la segunda nota que hemos de añadir, y la fra.ccion seria, como ántes 0,00293485.

TRIGONOMETRI.A.. O.A.PITULO PRIMERO. DE LAS TAJ3LA.S TRIGONOMtTRICA.S.

§ l.º Ea:plicacion de las tablas. :;5; Estas tablas se relleren á la antigua y generalmente seguida division de la circunferencia en 3GO grados, y no comprenden directamente sino los logaritmos de

los senos, cosenos, tangentes y cotangentes naturales, de minuto en minuto, suponiendo el rádio igual á 1; pero pueden determinarse facilmente los de los segundos y medios seg1mdos. Como las secantes y cosecantes, de que tambien se hace uso en la trigonometría, son los números recíprocos de los cosenos y senos respectivos, basta tomar el complemento de estos logaritmos para tener los correspondientes á dichas líneas.

an. Siendo el seno y la tangente de un ángulo los mismos que los de su suplemento, é iguales al coseno y cotangente de sp. complemento, las tablas trigonométri-

cas nunca se extienden mas allá de los 45°, continuándolas en un sentido in verso hasta los 90°. Para esto debe tenerse presente, que cada dos llanas forman una sola plana, que abraza un grado . .A. la derecha é iz_ quierda de cada llana hay dos columnas señaladas 1 , que quiere decir minutos; la de la izquierda empieza por cero, y termi[na en la segunda llana por 60, que es el número de minutos que tiene un grado. Sirve esta columna para buscar los logalritmos de los senos, tangentes, etc., de los grados y minutos del arco marcado á la parte superior de cada plana. La de la derecha, que sigue un órden inverso, esto es, que se lee de abajo arriba, sirve para el mismo objeto respecto de los arcos mayores de 45°, que van marcados en la parte inferior de cada plana. 67. Téngase muy presente, para el mas fácil manejo de las tablas, que los :lngulos expresados por estas column:1 o; "'Ohre In 111i¡;¡n1a linea ho1•izontul, son reciprocaweu,e complementarios. Así se vé que al ángulo de 7º 4.1

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leido en la columna izquierda de los 1ninutos, corresponde en la columna derecha de los mismos-el ángulo de 82° 56' que son recíprocamente complemento el uno del otro. Con"l'iene ad"l'ertir igualmente que los logs. de los Renos y tangentes "ªn siempre aumentando desde 0 ° hastn 90°, y que al contrario disu1inu:,-en sucesi"l'amente los de los cosenos y cotangentes. 58. Los logs. de los senos, tangentes, cotangentes y cose-

nos, se encuentran enfrente de cada minuto, en las columnas, que van precedidas del nombre de aquellas líneas. Así, por ejemplo, el log. del seno 16° 10' se encuentra en la plana en cuya parte superior va marcado el 16° enfrente del núme, ro de minutos 10, en la columna encabezadu seno ; y será 1.444 720. Del mismo modo hallaríamos que la cotangente de 76° 51 se encuentra en la plana en cuya parte inferior va mar• cado el 76°, y enfrente del 5' en la columna que en su parto inferior lleva las iniciales cotang.; cuyo logaritmo es 1.394 ()73. Con el fin de evitar la confusion que resulta de cuajal' to, das las tablas con números, sin dejar algun blanco en que se repose la vista, hemos expresado solamente la. característica de 5 en 5 minutos, cuando es constante para cada período; de modo, que debe entenderse repetida aquella para todos ellos. 59. Nuestras tablas, como casi todas l4s que se destinaná los usos comunes, no contienen directamente sino los logs. de los arcos expresados en grados y 'l7Zlinutos. Para obtener los de los segundos, se emplean generalmente las diferencias de los logaritmos consecutivos, que se colocan en columnas al lado de éstos. Nosotros hemos preferido otra disposicion mas exacta para los cuatro primeros y últimos grados; reemplazando dichas diferencias por las iios columnitas que se hallan entre las de los senos y tangentes, cuyo uso explicaremos en el pá.r• rafo siguiente. En los demás grados hemos sustituido á las diferencias su parte proporcional, por ser este método suficientemente exacto y mucho mas expedito que el seguido en casi todas las demás tablas. Hemos colocado, pues, tres columnas señalndas 111 , que es el signo de los segundos: la primera á la derecha de los senos, y sirve para estos: la segunda entre las tangentes y cotangentes, comun á ambas líneas; porque siendo BUS logs. recfprocannente complementarios, las diferencias entre dos consecutivos de cada columna son iguales: la tercera. :il

39 -

lado de los cosenos, y sirve para éstos, como veremos en el . párrafo sigui~nte. Estas partes pr·o porcionales son comunes á todos los logs. comprendidos entre O' y 5'-5' y 10'-10' y 15' ... en el órden descendente de la plana. Así, por ejemplo, la parte proporcional del cos. de 19° hasta 19° 14' es 0.73, y esta misma tambien para el sen. de su complemento 70° 46', hasta 71°. 60. Ocurre frecuentemente en los cálculos trigonométricos convertir los grados y winutos en segundos y vice-versa: lo cual se consigue muy fácilmente por medio de las tablas XX y XXI que llevan los epígrafes lllúltiplos de G y lllÚltlplos de 36. Sirve la segunda para la reduccion de los grados á segundos; y la otra para la reduccion de los minutos tambien á segundos y vice-versa. En ambas hay una columna vertical que se llama de las decenas, y otra horizontal, que se denomina de las unidades. Supongamos que se haya de reducir á segundos un arco de 2° 27' 15". Empezaría reduciendo los grados á segundos (tabla XXI) y para ello buscaría en la línea de las unidades el 2 Ylas notas 72 que se hallan inmediatamente debajo de la misma columna, aumentadas de dos ceros, expresarán el número de segundos que contiene 2° y tendremos. . 7 200" Para la reduccion de los 27' buscaré en la columna de las decenas (tabla XX) el 2 y el número 162 que se encuentra en la misma línea debajo del 7 de las unidades, aumentado de un cero, expresará los segundos á que equivalen los 27' y serán. . . . . . . . 1 620 15 Yañadiendo á estos números los 15" del arco. . • • . tendremos por final resultado.. . . . . . . . . . . • . . 8 835"' Si el número de grados contuviese decenas, procederíamos del mismo modo, buscando en la columna de las decena~ el número de ésta~ y sentando el que en la misma línea se encuentre debado de la nota que expresa las unidades. Para reducir 32º 6' 8" á segundos, buscaré ln. línea del 3 en las decenas (tabla XXI) y el número 1152 que en dicha línea está debajo del 2 de las unidades, aumentado de dos ceros, ex115 200" presará los segundos que contienen 32°. . . . . . . 360"' Y añadiendo por los 6' (tabla XX). . . . . . . . . . f5' mas los 8" del arco. . . . . . . . . 568" 115 ha.ll.11oremo11 por resultado final. . . .

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Finalmente, si el arco contiene centenas, se procede siempre del mismo modo, solo que las centenas se consideran como decenas, y éstas como unidades, prescindiendo ae éstas y de los minutos y segundos, que se determinan por separado. Desde luego se comprende, que, tratándose de centenas, el número de ceros, que han de añadirse al número de la tabla, serán tres ó uno mas que si fuesen decenas. Supongamos que se me pide reducir á segundos un arco de 234° 42' 1511 • Reduciré primero los 230° sin tomar en cuenta los 4° 42' 15", que reduciré, por separado, conforme á Jus r eglas dadas. Procedo como si se tratase de 23º, solo que al producto 828, que dá la tabla XXI, añadiré tres ceros y t endremos. • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828 000": sumo con este resultado el producto correspondiente á los 4° 42' 15", que, segun las reglas anteriores, es 16 935'' y hallaré como resultado final. . . . . . . . . . . . . . 844 935" GI. Si por eí contrario quisiésemos averiguará cuantos grados, minutos y segundos equivale un arco de 5 612", separa• riamos las dos últimas notas, y buscariamos en la tabla XXI el número menor que más se aproxime al 56 que es el 36. Como este número se halla en la linea O de las decenas y debajo del I de las unidades, inferimos que el arco comprende solo 1º. Para hallar los minutos se toma la diferencia entre el 56 y el 36 que es 20, y se añade á su derecha la primera de las notas separadas que es 1, y se busca en la t abla XX el número menor que mas se aproxime al 201, que es el 198. La nota 3, que está á su izquierda en la columna de las decenas, unida al 3, que está á su cabeza en la línea de las unidades, expresa los minutos que contiene el ángulo, que son 33. F inalmente, la diferencia 3 entre 201 y 198, unida á la última de las notas separadas, expresa los segundos que completan el arco, el cual será 1 ° 33' 32''. Del mismo modo hallariamos qut> 3 452" equivalen á 57' 32"; porque separando las dos últimas notas 52 y buscando en la tabla XXI el 34, hallaremos que el número menor contenido en ella es el 36, mayor que el 34, de donde inferimos que el arco no contiene sino minutos. Buscaremos, pues, en la tabla XX las tres primeras notas 345, y veremos que corresponden á los 57' 32", que hemos dicho. Si se nos pidiese la reduccion de un número de segundos

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ma.yor c;ue 360 000", ó sea de un arco mayor que 100°, se sepa.rarian, no las dos, sino las tres últimas notas, y se procederia en lo demás como en el caso anterior. Supongamos que se nos pide la reduccion de 798 544"; número mayor que 360000". Empezariamos separando las tres últimas notas 544 y buscariamos en la tabla XXI el número 798 6 el que mas se le aproxime que es 792; el cual corresponde á 22°: pero como se trata de centenas, pues que el arco es mayor que 360 000", escribiremos 220°. Añadiremos en seguida á la derecha de la diferencia 6 (entre 792 y 798) las tres notas separadas y tendremos 6 54411, cuyo valor, seg-un las r eo-las arriba dadas, seria. 1° 49' 4:': el resultado final seria, pues, 221° 491 411 • § 2. 0 Del uso y manejo de estas tablas.

Dado wn ángulo, hallar por medi o de las tabla.3 el logaritmo de su seno, coseno, tangente 6 cotangente.

iPROBLEMA 1. 0

G2. (;unmlo el :ingulo dado no comprende sino gra110s y minutos, el log. buscado se halla directamente en la tnbln (á8). Basta, pues, considerar el caso en que el ángulo contiene segundos. D ny que dh,tinguir dos casos: ó el ángulo dado está comprendido entre 4° y 86° ambos inclusive ; ó corresponde á Itas cuatro primeras planas, por ser menor que 4° ó superior á 86º. l."' CA.SO. Cuando el ángulo está comprendido entre 4° y 86°, ambos inclusive.

P ropongámonos hallar el log. del seno 12º 281 34:'. Búsquese en In tabla el log. del seno 12º 28' (68) que ~s i .334196: multiplíquese el ntimc1•0 de !<('gundos 34 por la parte pro¡•orcional 9.53, que está enfrente en la columna de los I" cor1•ei-pondiente á los senos (69); y añádase su producto 3'!tl (despreciando las dos notas de~unales) ni log. anterior: su suma 1.334519 expresará el que se busca. Fúndase esta regla en que las diferencias de los logs. de los senos, tangentes, etc., comprendidos entre los arcos 4° y 86º, se consideran como proporcionales á los segundos que aumenta cada uno. Para hallar de consiguiente el aumento del log. cor-

-'1,2 -

respondiente al de segundo::1, ha.y que hacer esta. proporcion: <i0'', que es el valor de un minuto; es á D, diferencia entre dos logaritmos consecutivos; como n, número de segundos dados, es á x ó á ia parte que ha de añadirse allog. de los grado!! y minutos, que contiene el ángulo. E ste es el método ordinario se~uido en las mas de las tablas, que por esta razon colocan las diferencias al lado de los logs . Nos otros hemos preferido simplificar este trabajo, dando la parte proporcional, que debe c.ñadirse para cada l", tomando el término medio entre cinco logs. consecutivos; lo cual ningun error sensible ocasiona entre los limites indicados. E ste error no pasa de medio segundo en el caso menos favorable. Si quisiéramos saber cuál es el log. de la cotangente de 76' 5' 24",5 buscaríamos, como ántes dijimos (58), el log. de la cotangente de 76º 5', que es 1 .394 073; multiplicaríamos 24'',ó por 8.99l, y su producto 220 (descartada la parte decimal) lo restaríamos del anterior para tener el que se busca, que seria 1.393 853. La 1·azon de restar el pro1lncto y no sumarlo, como en el ca!io antc1·ior, es porque los cotangentes y cosenos van disminuyendo segun que aumenta el ángulo (á1); y de consiguiente el log. de la cotagente de 76º 5' 24", 5 es menor que el de 76º 5' en la parte que corresponde á los 2,1·',ó, que por lo mismo se rebaja. Hubiéramos podido, para evitar todo error, reducir el caso de las cotangentes y de los cosenos al de las tangentes Y de los senos, puesto que las dos primeras lineas son iguales á ]115 tlegundas del complemento del ángulo dado (5G). Así, es igual buscar la cotangente de 76º 5' 24", 5 ó la tangente de su com• plemento 13° 54' 35'',5 y entónces basta sumar y no restar la parte proporcional que corresponde á los segundos. 63. Con el objeto de facilitar las operaciones cuando hay segundos, hemos colocado al margen de las planas respectivas los productos de cada parte proporcional por los números desde l" hasta 60'' empleando un artificio muy simple para reducirlas á la forma que tienen las de los números, á fin de que puedan colocar15e sin confusion en el margen. Con este objeto sentamos en números egipcios á la cabeza de cada tablita margi:c.al la parte P"·oporcional á que se refiere y á su izquierda, formando columna vertical, los números G"- 7"s~-9''-10''-20"-30''-40''-50'', y enfrente los productos de

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la parte proporcional correspondiente ó. dichos números. En cuan.to á los productos de los números l''-2"-3''- "-5'' son los mismos que los de 10-20-30-40-60, sin mas iliferenc1a que la. última nota, la cual debe separarse, como >cimal, con una coma. Por este mecanismo se obtienen todos los productos de las pa:rtes proporcionales por el número de segundos desde 1 hasta GO. Hé aquí ahora la manera de emplearlos. Determinemos por este medio el log. seno 12º 28' ¡¡4f', que ya conocemos.Búsquese el log. seno 12° 28' que es 1.334195 Búsquese igualmente en las tablas marginu.lcs la parte proporcional correspondiente á este arco (a9), que es 9.53, 6 si ésta no se encuentra, la que mas se aproxime, á dicho arco. (1) Para hallar el producto de ésta por 34" escribiré el producto correspondiente á 30''. . . • . . . . • 286 y añadiré el producto de 4". • • • • • • • • • . • • 38 1.334519 la suma. . . . • . . . . . .• . • • . . . ·. • . • reproduce el log. hallado directamente (62) Repitamos todavía el 2.º ejemplo; log. cotangente 76° 6' 24'',5 cuyo log. limitado I.394073 á los grados y minutos es . . . . . . . . . • del cual restaré el producto de 24'',5 por su parte pt·oporcional 8.99. Buscaré en las tablas marginales la parte proporcional 8.!l9 ó en su defecto la mas próxima, Y esc t·ibiré el producto de 20". • • • • . . 179,80} Añadiré el producto de 4''. . . . . . . . • 35,96 220. lhnalmente adicionaré el producto de 0,5, 'lUe es el mismo que el de 50, separando 4,49 su.s dos últimas notas . • • . . • • . . . . . 220,25

La diferencia. . . . . . • . . . . • . reproduce el log. hallado (62). (2)

- ---

•.•• :i.3ü3 863

(1) Las partes proporcionalt1s estan combinadas de manera que la diferencia que resulta de tom"r una ú otra de éstas no llega á. nuidio segundo. (2) Como se ve en nuestras tablas puedo seguirse indistintamente sea el método directo ((H) ó el de las parttJa proporcio11ales, pu.ra el que lo pre1i81'8, Ventaja que ningunas otras tablas presentan.

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2. 0 o.A.so. C=do el ángulo

e, menor

que 4. 0 6 mayor que 861,

61.. Se pide el seno de 2° 6' 15~. Reduciremos este arco á ,egwndos (GO) lo que hace 7 575", cuyo log. buscado en la tabla de los números, es 3.879 383: sumaremos este log. con el 6.685 478, cuyas tres últimas cifras se encuentran enfrenta de 2° 61 en la columnita que está á su derecha, y las cuatro primeras en la cabeza de la misma columna: su suma 2.564 861 expresa el log. buscado. Fúndase este método en que los logs. comprendidos en las dos columnitas, que hay entre las de los senos y tangentes, expresan respectivamente á unas y otras lineas, la diferencia entre sus logs. y el que corresponde al mismo ángulo expresado en segundos: de suerte que miadiendo dicha diferencia :i este último, que se e n• euentra fácilmente en las tablas de los números (i13J, se tendrá el log. del seno del ángulo dado. ÜTRO EJBMPLO.

Se pide el log. de la tangente 1° 161 1811,

G5. Recurriré, como en el ejemplo precedente, á las tablas XX y XXI (GO) para r educir este ángulo á segundos Y hallar su log., el cual será 3.660676. Sumaré con este el logaritmo 6.685 646; cuyas cuatro primeras notas se encuen• tran en la cabeza de la columna, y la~ tres últimas frente de 1º 16', á la izquierda de la columna de las tangentes (1) . La suma 2.346 322 dará el log. que se busca. GG. Como las dos tablas accesorias álos senosytangentes no pueden aplicarse sino á estas líneas y á lircos menores que 4°, es evidente que para ballar los logs. de las cotangentes de estos mismos arcos, y de todas las demás líneas de los arcos mayores que 86°, hay que r educir todos los problemas al caso de buscar el log. de wn seno 6 de una tangente de wn arco menor

(1) Cuando estas notas van seguidas de un asterisco•, ~ste indica que e.! necesario aumentar en una unidad la última nota de las cuatro que se ha.,!!an en la cabeza de la columna: es decir, que debe escribirse 6,686 en vez de 6,685.

-~-

4,0. Esto se consigue fácilmente teniendo presenie "ºe los logs. de las tangentes y cotangentes son recíprocannente complementarios (á9), y que el seno y la tangenle de un arco son iguales al coseno y cotangente de su complemento (áG). 67. .A.sí, pues, si se nos pidiese el log. de la cotangente de nn arco menor que 4°, buscaríamos el de su tangente, y to·niaríamos el complemento del resultado. Si, por el contrario, ~e pidiese el log. de la tangente de un arco mayor que 86°, bus~aríamos el de la tangente de su complemento, que será un arco menor que 4°, y tomaríamos el complemento del resulado . Del mismo modo si se pidiese el log. de la cotangente de Jlll arco mayor que 86°, se buscaria el de la tangente de su t omplemento, que le es igual. Finalmente, si se quisiese averiguar el log. de un seno 6 coseno de un arco mayor que 86° se bperaria sobre las líneas contrarias de sus complementos que es son iguales. 68. Los logs. de los cosenos de los arcos menores que 4° y os senos de los ángulos comprendidos entre 86° y 90° difieren ~an poco entre sí que puede suprimirse sin inconveniente la ~olumna de las partes proporcionales, pues que la mayor di'erencia no excede 9 unidades por 60'', de suerte que á la simple vista puede conocerse el aumento, que corresponde á los segundos del ángulo, haciendo la proporcion indicada en otro lugar (62). GO. Cuandp los ángulos son o!ltur;.os, ó exceden de UOº, sus linea;;- tri~onoméh-icas i.on numé1·icamente la!J idc su suplemento; y bastn operar sobre éste, conforme á las reglas, que acabamos de exponer, para los ángulos n¡;11dos.

~ue

Pnol!LEMA. 2.º Dado el logaritmo de un seno, coseno, t(JITl,gente ó cotangente, hallar el ángulo á que pertenece.

70. Cuando el log. se encuentra en las tablas, éstas dan directamente el ángulo que se busca en grados y minutos. Conviene recordar, para mayor facilidad (le 1,los alumnos, que los logs. de los senos y tangentes van aulllentando tlescle Oº :i 90º. y al contrario los de los cosenos y cotamgentes (á1), y que cuando el log. dado no se

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encuentra en las columnas descendentes, hay que bus. cario en las ascendentes; cuyo valor en grados está mareado al pié de la plana, y los minutos en la última columna de la derecha. Supongamos que se nos pide Hallar el ángulo del logaritmo seno 1.891013.

Buscaremos este log. en la columna de los senos, empezan. do por las columnas descendentes: pero como el mayor contenido en éstas, que es el de 44º 60' ósea 45º, es 1.8,:1,9485, menor que el dado, es preciso recorrer las columnas ascendentes de los senos, marcados á la parte inferior de cáda llana; y siguiéndola.s encontramos en efecto el log. dado en la plana que tiene á su pié 51º y enfrente del 5 en la columna de los minutos, que está á su derecha. El ángulo buscado será, pues, 51° 5'. Del mismo modo se procederá en los demás casos, cuando los lo, garitmos se encuentren en las tablas. 71. Resta examinar cómo ha de 1•roeederse cuando el log. dado no se encuentra contenido exactamen, te en las tablas; sino entre dos consecutivos de lalJ mismas. Hay que distinguir entt;nees dos casos, segun que el log. dado eorres¡tonde á las cuatro primeras plaan§I 9 á las siguientes. 1.•r O.A.SO. Cuando el log. se encuentra en las cun.tro primeras planas; esto es, cuando corresponde a un no. gulo menor que 4º ó mayor que 86º, que son los que se bailan :i la cabeza y pié de las cuatro primeras planas, el problem:, se resuelve sirdéntlose de las tablas accesorias, eoloeadas entre las eohnnnas descendentes de los senos y t(JJYl,ljentes (63); esto es, entre los senos y tangen, tes de los ángulos menores que 4º. Preciso es de consiguiente reducir todos los casos al de bu.scOJI· en las tablas el log. ds UII seno 6 de una tangente menor que 4°, como se hace en 108

ejemplos que siguen. P,·opongánnonos b'U8car el ángulo, cwyo seno tiene pO'I logaritmo 2.129 606.

7~. Buscaré en la columna de los senos el log. menor qUG mas se le aproxime, que es 2.126471, y como é~t.e cae dentrc

__ __, .

- 4,7 ije las cuatro primeras planas, buscaré el log. 6.685 562 que le corresponde en la columna awi:iliar inmediata de la derecha, ¡y lo restaré del log. dado 2.129 606: su diferencia 3.444 044 ex)'resará el log. del número de segundos contenidos en el ángulo buscado, cuyo valor hallaremos por medio de la tabla de los númeroi:1. En efecto, encontraremos por lo dicho anteriormente (ál) que el log. 3.444044 corresponde al número 2780' ó, reduciendo por medio de la tabla XX (GI ), á 46' 20''. 73. J,a operacion e;. la misma cuando i.e trata de lns tangentes; solo que d ebe emplearse la tabla auxiliar que está á la izquierda de éstas.

Si se nos pidiese el ángulo cuya tangente tuviese por logaritmo 2 .746722, buscaríamos en l:i columna de la.s tangentes el log. 2 .745207, menor y mas próximo al dado: tomaríamos en la.tabla auxiliar que está á su izquierda el log. 6.686022 (1) y llo restaríamos del log. dado. La diferencia 4.060700 expresa lel log. del número de segundos 11500 del ángulo buscado, el lcual corresponde á 3° 11' 40'' (61). Buscar el ingulo que cor1·esponde al logaritmo de wn coseno q,u caiga en las cuatro prim,eras pl(J/11,as. 7-I. Si el coseno pertenece 1Í un ángulo menor que 4lº. el ('ai.o se resuelve muy fá('ilmeute por la simple in11. peeeion de la tabla, supue;.to que la mayor diferencia entre dos logs. con;.ecutivo"' no excede de 9 untdades, Ypu e de de con;.igniente calcnlar;.e el mimero de se¡;nndos que corre;.ponde á c-ada una, teniendo presente lo que hemos dicho anteriormente (Gil), esto ei;1, dlvl. dlenclo mentalmente lo!- 60'' por el mímero de unidade!il que expresa la diferencia. R e;.ta !-olo el caso en que el coseno corresponde IÍ un nngulo mayor de Sf.º, ci.to e!-, c-mmdo tiene un logarit. 1110 menor que 2.811:JáSá: p e ro como 108 cosenos son Iguales :i los seno!- de !in;. c-omple m e ntos (56) y el complemento de un 1ingulo maior que 841>º corre!óiponde á no ángulo menor que 4°, el problema se reduce á ope.. (1) Hemos escrito 6.680 y no 6.685, porque la.e tres notas 022 vo.n seiruid11,11 ele un o.sterisco •.

-48 rar sobre el log. dado, como si íuera el log. de no seno menor que ,&º (72), y se toma el complemento del an. gnlo hallado. Propongámonos hallar el ángulo del log. coseno 2.686 408.

76. Buscaré en la columna a .. ccndente de los cose• nos ósea la descendente de los senos el log. menor que mas se aproxime al dado, y opei·a1•é como si se tratase

de un seno (71) y hallaré que el log.4.001004 expresará el del número de segundos, que tiene el compl. del ángulo que se busca. Este log. corresponde en la tabla de los números á 10 023" ó sea á 2 ' 47' 3" (GI), cuyo compl. 87° 12' 57" (á7) es el ángulo que se busca. ÜTRO EJEMPLO.

Hallar el ángulo del logaritmo cotangente á, un ángulq menor que 4°.

1.532976, p erteneciente

7G. Reduciremos esta cuestion á la de buscar el ángulo por medio de la tangente, t eniendo presente que el log. de ést a es complemento del log. de la cotangente (á9) . Tomaremo ,, pues, el complemento del log. 1.532976, que es 2.467 024, y operaremos sobre este log. como si se tratase del de la tan• gente del ángulo dado, y hallaríamos que el ángulo buscado seria 1º 40' 44". Si en vez del log. cotangente 1.536 ·976, se nos hubiese pedido el ángulo del log. tangente 1.536976 de un arco mayor que 86°, oper!),ríamos exactamente del mismo modo, es decir, sobre su complemento, que es el log. de una tangente menor que 4º, á la cual se refiere la tablita auxiliar que se halla á su izquier. da; y el ángulo hallado 1º 40' 44'' seria de consiguiente el com• plemento del que se busca, es decir, 88° 19' 16" (á7). Finalmente, si se pidiese el ángulo del log. cotangente 2.620304, que corresponde á un ángulo mayor que 86°, se ope• raria sobre este log. como si correspondiese á una tangente menor que 4° (72) (teniendo presente que los cotangentes son iguales á las tangentes de los compl ementos) y tornaríamos el complemento del ángulo hallado, el cual serÍll 87° 36' 4íi', 4 (á7).

-49 Hallan- el á,ngulo del logaritmo seno Í.485 879, cz,u cae fuera de las cuatro primeras planas, ó lo que es igual, que corresponde á wn á,ngulo comprendido entre 4° y 86° ambo, inclmive.

.~ CABO.

77. Búsquese en la. columna de los senos el log. 1.485 682 erior y mas próximo al log. dado, el cual corresponde á 1~ '. Para hallar los segundos que deben añadirse, se toma la · erencia 197 entre ambos logs., y se divide por 6.56, parte roporcional que le corresponde en la columna de los segun. os, marcada l'': el cociente 30 expresará los segundos que deen añadirse al ángulo hallado para obtener el que se busc&. te seria, pues, 17• 49' 30". Se pide el ángulo del logaritmo

ÜTRO E.TEMPLO.

COl!IODO

.638 294.

Como los cosenos decrecen cuando aumenta el arco, busaré en la tabla el coseno mayor que mas se aproxime al dado ue será 1.638 458, que corresponde á 64° 13', arco menor que 1que se pide, puesto que su coseno es mayor. Para hallar el úmero de segundos que deben añadirse al arco hallado se oma la diferencia 164 entre ambos logaritmos y se divide por a parte proporcional 4.36, que corresponde al logaritmo hallao: Bu cociente 37,6 será el número de segundos que deben umentarse al arco hallado, y tendriamos por final resultado 4º 13' 37",6. ÜTRO E.TEMPLO. P ropongámonos buscar el ám,gulo del loga.''mo cotangente 1.965 985.

Como las cotangentes van disminuyendo de o• á 90" (57), y l log. de la de 45º es 0.000 000 ó mayor que el dado, buscaré n las columnas ascendentes, que llevan á su pié la inicial cong., el log. 1.965 855, menor y mas próximo al dado, que orreBponde á 47º 15', tomando los minutos en la columna de derecha. Para averiguar el número de segundos, que debe ilta.rse de este ángulo (que es mayor que el pedido, puesto ue Bu cotangente es menor), se tomará la diferencia. 130 ene ambos logs., y se dividirá por la parte proporcional 4.22 ue le corresponde y su cociente 30,8 expresará los segundos '

-50que deben rebajarse del ángulo anterior, que quedará reducido á 47º 14' 29'', 2. Tambien puede tomarse en las tablns el log. cotang. inme.

diatamente mayor, en cuyo caso en lugar de restar se añadi. rian los segundos al ángulo hallado en las tablas. En el mismo ejemplo tomaríamos el log. 1.966109, que corresponde á 47°, 14': su diferencia 124 dividida por la parte proporcional 4.22, dará por cociente 29,3 que son los segundos que deben añadir• se al ángulo hallado, y tendriamos como ántes 47° 14' 29'' .3. 7S. Tambien podemos servirnos de las tablas marginales (que contienen los productos de las pwrtes proporcionales) para determinar el número de segundos que deben añadirse 6 restarse segun los casos. (1) Volvamos sobre el primer ej emplo, Despues de haber hallado el número de grados y minutos, {¡ saber, 17º 49', se busca en las tablas marginales la parte pro• porcional 6.56, 6 la que mas se le aproxime, si ésta no se encuentra en ella; se r ecorren sus productos en el órden , erti• cal y se busca en ellos la diferen cia 197 entre el log. tabular y el dado, 6 el número menor que mas se le aproxime; y, en efecto, se encuentra el 197 en la línea marcada 30": este será ~l número de segundos que es n ecesario añadir al ángulo hallado; y el resultado final seria como anteriormente (77) 17' 49' 30''.

Vengamos ahora al segundo ej emplo. Despues de haber hallado los grados y minutos, á saber, 64° 13', y la diferencia 164 entre el log. dado y el tabular, búsquese en las t ablas marginales la parte proporcional 4.36 6 si esta no se encuen• tra, la que mas se le aproxime, que es 4.34, y recorriéndola se vé que el menor producto que mas se aproxima á la dif(i)ren• cia 164, es el 130, que está enfrente del número 30", que ex• presa los segundos que deben añadirse; pero como sobran 34, diferencia entre 164 y 130, se busca de nuevo, entre los pro• duetos de la misma pwrte proporcional 4.34, el que mas se le aproxime, y hallaremos que es el 30 que está enfrente de 7'¡ luego hay que añadir á los 30 otros 7 6 en todo 37". F inal• mente, quedan aun 4 unidades, número menor que 4.34, pro•

(1) Insistimos en que nuestras tablas se prestan á seguir sea el método -lireoto (""l de las de simpls entrada 6 el de las partes propo1·cionale1, elP' pleadas en las de doble entrada.

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ucto de la parte proporcional por l". El resíduo 4 no con. ·ene ya de consiguiente segundos, sino unafraccion de sedo. Para determinarla se multiplica por 10 el resíduo; lo ue da 40, que corresponde al producto de 9 unidades: luego eben añadirse 9 décimas al ángulo hallado; el cual seria 4° 13' 37",9 tal como lo habiamos determinado directaraen(77) con la diferencia de 0'',3. F utalmente en el tercer ejemplo, hallada la diferencia 130 ntre ambos logs. y la parte proporcional 4.22. que le corresonde, buscaríamos en las tablas marginales este número 6 1 que mas se le aproxime, y recorriendo 1:1us productos halla. emos que el menor mas próximo á la diferencia 130 es el 27, que corresponde á 30'': y como sobran 3, busco de nuevo ste producto, teniendo presente que los de 1-2-3-4- y 5'' son os mismos que los de 10-20-30-40 y 50'' separando la última ota con una coma; y encuentro, que el mas próximo al 3 es ,2 que corresponde á 1", y como éste es mayor que elresíduo : infiero que no contiene sino una fraccion: para determinar sta fraccion de segundo, multiplico el resíduo 3 por 10, y usco el producto 30, ó el menor que mas se le aproxime, que s 29.5, equivalente á 7 unidades, ó sean en nuestro caso 7 écimas. La suma total de segundos será 30'',7, que restados e los 47º 15' dan por final resultado 47° 14.' 29~,3, como haamos por el método directo (77).

CAPITULO II. UESOLUCION DE LOS TRIÁNGULOS,

§ 1.0 Nocio'R,es generales.

79. Ln trigonometrin tiene por objeto In re~oloelon e los triángulos; y como éstos, se divide tambien quella en rectilín ea, cuando los tri:inguloJ. están formaos por 1'. neas rectas, y en esférica, si lo están por arcos e eí1·culo uuixinao, fraznclos sobre unn esíern. NO, En todo fri1íngulo laay seis co¡;¡n,; que eoosidear, á saber, los ti•e!i :io;qlos y los tres lados opue1ilo11

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a ellos. La resolncion de los triángulos consiste en determinar tres de cstns cosas. cuando son conocidas las otras tres, que se llaman datos, siempre que entre ello.; hnya un lado, si son rectilíneos. l"ara e!óito hay que distinguir· los h-i:ingulos rectámgulos, ó los que tienen uno de sus ángulos A recto (fig. l.' y :l.ª) de los oblicuángulos, que son los que carecen de esta circunstancia (fig. 2: y 4.").

§ 2.º Resolucion de los triángulos rectilineos rectángulos:

811. Enel triángulo rectángulo (fig. l.')los ángulos están representados por las letras.A, B, C y los lados opuestos á ellos por las a, b., c. Los lados menores b y c se llaman ca teto1 y el lado mayor a hipotenusa. La TAllL! XXIII contiene las fórmulas ordinarias . logarítmicas para los cuatro casos que pueden ocurrir, ' saber: l.º Conociclos los dos cate- determi-na1· los dos :ingu:c agudos B, O, y la hipolc• tos by c nusaa. 2.° Conocidos un cateto by la deterniinar los dos nngulos B, C y el otro cateto c. hipotenusa a 3.° Conociclos un cateto c y determinar el otro ángulo C, la hipotenus.a a y el otro un iingulo agudo B cateto b. 4.° Conociclos 1111 ángulo agu- deterniinar el otro :ingulo do B y la hipotenusa a y los entetos b, c. § 3. 0 Resolucion de los kiángiilos rectilíneos obliciiángulos.

82. En los triánglos rectilíneosobli cuángulos los ángulos están tambie representados por las mayúsculas A, ll C, y los lados opuestos por las minú~ culas a, b, c. En ellos pueden oclll'l' igualmente cuatro casos diferente (cuyas fórmulas contiene la T.A.BL.A. XXIV), á saber:

-53.• Conocidos los lados a, b y determinar los otros dos ánel ángulo comprendido O gulos .A., B y el tercer lado c (1). .º Conocidos un lado a y dos determinar el tercer án-gulo .A. y los otros dos lados ángulos B, O b, c. .º Conocidos los lados a, b y determinar los otros dos ángulos .A., O y el tercer lael ángulo B opuesto á uno de ellos do c. .' Conocidos los tres lados determinar los tres ángulos a, b, e

.A., B, O.

§ 4.º Resolucion de los triángulos esféricos rectángulos. 83. Los ángulos en los triángulos esféricos son diedros;

decir, están formados por los planos de dos círculos máxios, que se cortan siempre segun un diámetro, y cuyo ángulo edro , formado por 111. interseccion de los tres planos ó círos máximos, tiene su vértice en el centro de la esfera. Los dos están formados por los arcos de circunferencia, interptados sobre la superficie de la esfera por los círculos máxios, que sobre ella se cortan. 84. Dado un ángulo tiedro, ó sea el triángulo esférico que puede convertirse, siempre es posible construir otro yos elementos invertidos (es decir, los ángulos diedros en nos y los planos en diedros) sean recíprocamente supleenta.rios; esto es, que los ángulos planos Y. diedros del pri' tivo sean respectivamente suplemento de los ángulos dieos y de los planos del segundo. Estos triángulos se llaman suplementarios J sirven á veces ra.facili.tar la resolucion de los triángulos esféricos. Los lados ó arcos de círculo interceptados sobre la esfera designan, como en los triángulos rectilíneos, por las letras · úsculas a b e y los ángulos diedros opuestos, por las corspondientes mayúsculas .A. B O. En los triángulos esféricos, rectángulos en .A., figura 3.", es

' l) Aunque lo. sumo. de los ángulos A y B es constante á iguo.l 18&>-C, Valor relativo va.río. y puede ser A> 6 <B. Lo. fórmulo. primero. de lo. ta.XXIV supone A.> B; es decir, que en ella represento. siempre A el .áno mayor.

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decir, cuyo ángulo diedro A es recto, el lado opuesto a se ma hipotenusa, como en los rectilíneos; y los otros dos lad b, c los catetos. 85. Un triángulo esférico puede tener sus tres ángul diedros rectos; pero entónces sus tres lados son conocido pues son cuadrantes de círculo. Puede tener solo dos ' los diedros rectos; pero tambien en este caso son conocid todos sus elementos, pues los lados opuestos á los ángulos r tos son cuadrantes de circunferencia, y el tercer lado es ig á la medida del ángulo diedro opuesto. El problema de la solucion no tiene, de consiguiente, lugar sino cuando el tri' i;ulo esférico es unirectángulo. En este caso hay que tener presente, 1.0 , que los lados d tri:in~ulo e;.íérico unirect:in¡;ulo ó ;.on todos mcn res que un cuadrante, ó bien uno solo e!'l 1nenor y lo ntro;. dos u1ayores; 2. 0 , que e:ula cateto y su :ingul opuesto son de la misma especie, esto es, ó los do agudos, ó :ambos obtusos. 8G. Eliminando de l

110

20 combinaciones que s pueden hacer con los se· elementos de un triángul , tomados tres á tres, 1 que dan soluciones icr les, quedan reducidas á s -las sei que son las siguie tes, cuyas fórmulas contiene la tabla XXV. l.º Conocidos la hi1,otenusa Determina1· el otro entelo a y uno de lo;. catetos b l los dos :ingulos B y' 2.º Conocidos In hipolenu;.n y Determinar el otro :ingnlo uno de los ángulo~ tulya.y los dos catetos b y a. centes B S.º Conocidos los do;. catetos Determinar lo;. dos 1i11gul byc 01111eslos B y O y In hip tenusn a. 4,,° Conocidos los ángulos B Determinar los tres lados yC by c. 5.° Conocidos 1m cateto b y el Deterniinar el olro ángulo áu::;ulo ad:,-accnte C. y In hipotenusit a Y otro cateto c.

6.° Co1tocidos un cateto b y e l

angulo opuesto B

55 Determinar e l otro áng ulo C~ la hi¡,oten usa a y e l otro cateto c.

§ 5. 0 Resolucion ele los triángulos esféricos oblicuángitlos.

8 7. L lámanse oblicuángulos enla trigonometría es1 férica, como en la rectilínea, , los triángulos que no tienen 1 ninguno de su ángulo rectos . En ello lo ángulo y lo lado e tán representado por las mi mas letras que en los rectángulos. Así como en la trigonometría rectilínea no es posible la formacion de un triángulo con elementos dados, si estos no obedecen á ciertas condiciones, como la de que la suma de los tres ángulos equivalga á dos rectos, y la de que al lado mayor se oponga mayor ángulo; del mismo modo no se puede formar uu trüíngulo e férico sino obedecen sus datos á las cuatro condiciones siguientes: l.' Que á los lados mayores se opongan los mayores ángulos y recíprocamente. 2.ª Que un lado cualquiera sea menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. 3." Que la suma de sus lados sea menor que una circunferencia. 4.ª Que l a suma de sus ángulos sea menor qu e seis rectos Ymayor que dos . Con estas condiciones pueden resolverse los seis casos, á que quedan reducidas las 20 combinaciones, que pueden fortnarse con sus seis elementos, tomados de tres en tres, elitninando todas aquellas cuya resoluciones análoga. Estos seis casos son los siguientes, cuyas fórmulas se hallan en la tabla XXVI. l.º Conocidos los tres lados D etenninar los tres ,,ngulos a, b y c 2.º Conocidos los tres ó.ngulos A, B y C

A, B y C. D ete1·mina1· los a, b y c.

tres lados

-56S." Co11,ocidos dos lados a y b Determinar los otros doi. ángulos .A. y B y el lado o y el ángulo C comprenadyacente á ellos. dido entre ellos 4.° Conocidos los fodos a y b Determinar los otros dos ángulos B y C y el lado o y el ó.ngulo .A. opuesto :i opuesto á uno de ellos. uno de ellos ó.° Conocidos los ángulos .A. Determinan· los otros dos lados a y b y eJ ángnlo O y B y el lado adyacente c comprendido entre ellos (1).

~-º

Conocidos los ángulos .A. y By el lado a opuesto á uno de ellos

Determinar los otros lndos b y c y el ángulo C epues• te á uno de ellos (2):

88. Las :fórmulas trigonométricas pueden variar nota. blemente en los triángulos esféricos, es decir, que una mismo linea trigonométrica puede expresarse de diferentes modos. Nosotros hemos preferido en las tablas XXV y XXVI las fórmulas que hemos creído mas sencillas y cómodas para el uso de los logs., á fin de convertir la resolucion de los triángulos esféricos, en operaciones puramente automáticas, y por lo tanto al alcance de todos los alumnos, aunque ignoren la trigonométrica esférica. § 6. 0 Medicion de las alturas. 89. llledir una altura es averiguar la diferencia de nivel entre dos puntos. La trigonometría nos focilUa ,medios pa1·a esta determinaciou. Hay que considerar dos casos, á saber: 1.0 cuando el ,punto Inferior está en la misma vertical que el supe• rior y es accesible, esto es, cuando el observador pue• -de medir la distancia horizontal, que media entre él Y el 1mnto inferior, como sucede generalmente cuando se quiere averiguar la altura de una torreó ediftcio, Y

(1) Este caso es el recíproco del S. 0 y podria. en todo rigor BUprimirse 1 re110lverlo por el triángulo suplementario. ' (2) Este caso es el recíproco del 4. 0 y podria en todo rigor enprimirSB flaOhiéndolo por el triángulo suplementario.

-57hay obstáculo que impida aproximarse á su hase . 5.'): 2.0 cuando el punto inferior, que tambien se nia estacion inferior, eo está en la misma vertical ó linaccesiblc, eo1110 sucede cuanclo se quiere n,•erir la altura de uni~ 111ontaiia, á cuyo centro no puellegar!-e sin h01•adar el monte en su base (fi.g. 6."). 90. En el l.º de estos dos casos la operacion se reduce á formar un

triángulo rectángulo en el punto inferior A, cuyos catetos e y b los forman la distancia horizontal B A entre el observador y la estacion inferior A; y la vertical 6 la altura O A que desea dirse . En est~ triángulo, rectángulo en A, son conocidos el ulo B, que se mide directamente con un grafümetro (insento que sirve para medir los ángulos), y el cateto e, que a distancia horizontal que media entre el ob ervador y la, acion inferior, la cual puede medirse directamente con una rda'.ó cadena de agrimensor. Este caso es, pues, el 3. 0 de abla· de los triángulos rectángulos y de consiguiente el cU:o b se dete rmina por la fórmula de la T.A.DL.A. XXIII á sa' log. b =log. e+ log. tang. B. 91. Si el punto inferior no fuere accesible ó no estuYiere en la misma vertical, se mide una base cualquiera B B' y con ella y las visuales B O) B' Ose forma el triángulo oblicuángulo B O B', en el cual son conocidos el lado B B' y los ános adyacentes, medidos con el grafómetro; que es el 2.º caso la TADLA. XXIV para los oblicuángulos. El lado B O se ermiuará, pues, por la fórmula log. de B O= log. B B, log. sen. O B B' + comp. log. sen. B O B'. Conocido el lado C que es la hipotenusa del triángulo rectángulo B A O, lo ará el cateto ó altura b por la fórmula del 4. 0 caso de la BLA. XXIII para los triángulos rectángulos, pues que cocemos la hipotenusa B O y el ángulo B que puede medirse ·ectamente: será de consiguiente log. b = l. B O + l. sen. B.

ó8-

§ 7.º Medicion de las altwras por el barómetro y e:i:pUcacion

las fórrwulas y tablas que se emplean.

92-. .A.un que la trigonometría es exactísima en sus resul dos, cuando los datos lo son, esto es, cuando los ángulos y lad conocidos están bien determinados, como esta determinacio ofrece en la práctica grandes dificultades, y requiere obse1 vadores muy experimentados en este género de operacione se prefiere generalmente otro medio mas expedito, que n ofrece la física, para averiguar la diferencia .de nivel en dos puntos, cuando ésta es de alguna consideracion. Tal es uso del barómetro, cuya columna de mercurio guarda cie relacion con la altura de la columna atmosférica, y como és disminuye á proporcion que nos elevamos, la altura de la ce lumna barométrica disminuye tambien en iguales circuru tancias . 93. La relacion entre la altura. ó diferencia de nivel dos estaciones y la columna barométrica se determina por fórmula siguiente: 1

2a+rx:

w=rx:' ( l+ - - - + 400 r y .•••. re'= 18336 m (1 + 0,00265 COB. 2 l) [l+ 0,002 (t0 + t) [log. H 0 - log. H -1,m2g43 (T0 - T)]; en cuya fórmula r

presenta. re la diferencia de nivel entre ambas estaciones. H0 la altura del barómetro en la estacion inferior, corregid! del efecto de la capilaridad ( 1 ) . . H idem ..... idem ..... en la superior. T 0 la temperatura señalada por el termómetro centígrado, do al barómetro, en la estacion inferior. T idem ... .. idem ..... en la estacion superior. t 0 la temperatura de la atmósfera marcada por el termóme libre en la estacion inferior. t idem .. ... idem .. ... en la superior. a la elevacion de la estacion inferior sobre el nivel del mar. Z la latitud del lugar. (1) Esta. correcion es siempre aditiva. y casi insignificante, cuando diámetro interior del tubo de cristal no baja de un centímetro, que es lo g neral.

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r el rádio terrestre á 45° de latitud. Tal es la fórmula general dada por Laplace en la Mecán.fca. celeste; modificada ligeramente conforme á. las últimas obser1vaciones. 94. En la práctica podemos emplear otra mucho mas sencilla y que es suficientemente exacta para las mayores altufras á que puede subir el hombre. Esta fórmula deducida por1Daubuisson de las de L aplace y Ramond, es la siguiente: z= [.A-.A 0 -1,50 ( T 0 -T)] [l + 0,002 ( t 0 + t)] Los 'valores de .A y Á. 0 expresan en metros las alturas cor[respondientes i las columnas barométricas H y H 0 , y se hallan indicados en la tabla XVIII, que he deducido de la de Lit'trow, aumentándola con la cona tan te 181,6 para evitar las can tidades negativas. En ella hay tres columnas: la primera expresa. en centímetros las alturas H y Ho de la columna barométrica: la segunda los valores correspondientes .A y Á. 0 en metros: y la tercera la diferencia entre dos valores consecutivos de .A ó .A 0 ,._ y sirve, como en las tablas de logaritmos, para hallar la parteproporcional que dt1be sustraerse de .A ó .A0 , cuando los valores de H ó H 0 caen entre dos términos de la primera columna~ Esta tabla, modificada en los t érminos que acabo de indicar. da necesaria y exactamente los mismos resultados que las tablas de Littrow, de donde la he tomado; solo que para hacerla mas sencilla la limité á los centímetros, supuesto que por medio de las tablas de las partes proporci onales, que van en el margen de los logaritmos de los números, se deducen con suma facilidad los valores correspondientes á los milímetros. y sus fracciones. 95. Propongámonos hallar la diferencia de nivel entre dos estaciones en las cuales se han recogido los datos si• guientes: Estacion inferior H 0 =70,258 cent.; T0 =18°,2; t 0 =20º,6. H =52,476 cent.; T =13º,7; t =15º,4. Idem superior El valor de .A0 correspondiente á H 0 (tomando éste en la. primera columna) lo encontraremos en la segunda enfrente del 70, número de centímetros que expresa H., Y será 864. metros. De este valor hay que restar el que corresponde á la fraccion decimal 0,258 en que H 0 excede de los 70 céntima. tros. Para determinarlo se multiplica dicha fraccion por la di.. ferencia 113 que está en la tercera columna enfrente del ZOt

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producto (1) 29,15 restado de 864, da para el valor defini. tivo de Á. 0 834,85. Del mismo modo, buscando en la primera columna el valor de H hallariamos el de A enfrente del 52 centímetros, que seria 3 239 metros, y restando de este número el producto de la fraccion 0,476 por la diferencia 152, que está enfrente, y da 72,35, resultará para el valor final de A 3 166,65 metros. D e, terminados lon valores de A y Á.0 se dispone así el cálculo:

13U

Á.

= · • · • • • • • • • • • • • • • • • . . . 3 166m65 834,85

=.. . . . . . . . . . . . . . . =.. ........ .

A-A 0 1,5 (T0 -T)=l,5 X 4,5= . . • .

2 331,80 6,75

A-A 0 -l,5 (T0 -T)=. . . . . . 2 325,05 +2325 X0,002(t0 +t)=2325 X0,072=+ 167,40

_y ai=A -A.-1,5 (T0 -T) [l +0,002 (t.+t)J=2492,45 metros.

El valor obtenido por la fórmula y tablas de Littrow (2) es 2 492m,67 que solo difiere del anterior en la despreciable cantidad de 22 centímetros. Las fórmulas de Laplace, y la de Ramond, que la simplificó, dan respectivamente 2 492,69 y 2 492,71, que como se vé se confunden con las anteriores. Mas para que no se crea que esta eoincidencia es efecto de alguna casualidad, vamos á aplicarla á los otros dos ejemplos que trae el Anuario_ (2), y que se refieren á alturas, la una tan insignificante como la de 46,m60 que -expresa la diferencia de nivel entre Madrid y Madridejos; y la otra de 649m,4 que expresa la altura media de Madrid so• bre el nivel del mar. Los datos del segundo ejemplo son: H 0 =70,63 cent.; T 0 =0º; t 0 =21º,4 H =70,25 - ; T =Oº; t = 19º,2

(1) Como se vá, esta. opere.oion es la. misma. que se pra.ctioa. con la.s diferencias de los logs. pe.re. ha.llar los logs. de los números no comprendidos en las ta.bias. Podemos, pues, determinar este producto por medio de la.a ta.bli• tas de las partas proporcionalss busca.ndo en ellas la. diferencia. 113, en la forma. que en su lugar (<17) indicamos. (2) Véase Anua..,-io astronómico de 1860, pág. 240.

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Hecho el cálculo por nuestra tabla relBUlta.. • • • • . . . . . • • • • • • • . • . • :D=46,m42 Y por la de Littrow. . . . . • • . . . . :i,=46, 60 Cuya diferenciaes. . . • . . . . . . . • 18 cént~: Finalmente, los datos del tercer ejemplo del Anuario, son: H 0 =76,2 cént.; T0 =0º; t 0 =21º,l H =70,69 - ; 'l.' =Oº; t =20°,2 Y el resultado. . . . . . . . . a: = 649m,37 Por la fórmula de Littrow. • • . . . . a:= 649, 40 Diferencia.. . . . . . . . . . . . . . . . 3 cénts. Podemos, pues, da.r con toda confianza la sencillísima y reducidísima fórmula de Daubuisson, sin necesidad de las tablas :mxiliares, que exigen la de Littrow, y cuantas hasta aquí se han publicado sobre este punto. En los dos últimos ~iemplos los valores de T 0 y T se hallan !reducidos á Oº. Como esto simplifica muchísimo la fórmula, y ¡puede hacerse muy brevemente por medio de la tabla IX, relcomendamos á los alumnos que hagan siempre esta operacion preliminar ántes de aplicar la fórmula, la cual, en este caso, queda reducida á la sencillísima expresion :i,

= (A-A 0 ) (1 + 0,002) (t 0 + t)

Esta fórmula dá tambien la altitud aproximada de cada estacion como la de Littrow. (1) Basta para ello restar de los valores A y .A 0 la constante 18lm,60, y añadir al resíduo su producto por el factor 0,002 (t 0 + t) de la fórmula. Así en el primer ejemplo reducidas las alturas H 0 y H á la temperatura de o• con auxilio de la tabla IX, hallaríamos H 0 = 70,052 cénts. Y H = 52,36 cénts., cuyos valores correspondientes de A 0 y A son 858,13 metros y 3184,28 metros. Restando de ambos valores la constante 181,60 metros, quedan reducidos á 676,53 y 3002,68, que sumados con su respectivo producto por el factor 0,002 (t 0 + t) = 0,072, dan por final resultando las altitudes aproximadas 725,34 y 3218,87 metros de las estaciones H 0 y H. Las tablas y fórmulas de Littrow dan respectivamente (1) Esta sencillísima fórmula podria emplearse con grande éxito pa= determinar la altitud de la.s poblaciones más importantes de Espn.ña, si en all&e hubiese a.lgun aficiona.do, que observa.se con cuida.do ,lia.rimuentr, la ~ a.rcha. del barómetro durante un llño.

- 62 725,45 y 3 218 metros, que se confunden sensiblemente con los resultados de nuestra tabla. La diferencia proviene de ,que en ésta, con el objeto de hacer mas expedita su aplicacion, suprimimos las fracciones decimales en los valores de .A0 y .A, aumentándolos ó disminuyéndolos de una unidad, segun que 11.quellas eran mayores ó m_enores que 0,5. Puede y debe hacerse esta supresion con tanta mas razon, ·cuanto que los resultados de la nivelacion barométricano son sino simples aproximaciones, pues que varían notablemente segun las horas del dia y el estado de la atmósfera en que se hacen las observaciones; y solo se llega á un promedio r aza. nable cuando se multiplican éstas considerablemente. Por eso nos parece cuando ménos inútil apreciar hasta las decimales en los valores de .A y de .A 0 • De aquí se infiere tambien que las correcciones de la fórmula de Laplace por razon de latitud y altitud de la estacion inferior, son mas teóricas que efectivas, supuesto que los re, sultados de las observaciones barométricas en distintos din~y horas diversas, difieren á veces en centenares de metros, y saiempre en mucho mas que las expresadas correcciones (l). l'or eso la fórmula de Daubuisson puede usarse con toda seguridad, no solo en las latitudes medias, como hemos visto en les trés ejemplos anteriores, sino tambien en las extremas, segun vamos á verlo aplicando dicha fórmula á las obser-vaciones de Humboldt para determinar la altitud de Guanajato á los 21' -0.e latitud N . En ellas tenemos: H 0 al nivel del mar= 76,311 cénts.; T 0 = 25",3; t 0 = 25°,3 y H en Guanajato=60,095--; T =21º,3; t =21°,3.

Reduciendo los valores H 0 y H á la temperatura de Oº (ta, bla IX) tendremos H.= 76.005 y H= 59,89, cuyos datos cor•

(1) Ara.go (Astron. popnl. tom. III pag. 206) sostiene esta misma opinioD respecto de los pequeños errores del coeficiente 18 336m, que indudable. mente afectan mucho mas los resultados, que las correcciones de latitud 1 altitud de la estacion inferior á. que se refiere la fórmula de Laplace. Hé a.qui sus palabras: "Los pequeños errores de que puede hallarse afectado este coeficiente, son inferiores á. los que las modificaciones atmosféricas, cuya .influencia no ha sido posible aun calcular; ocasionan en los resultados de !al · observaciones mas exacta.s," 11,un

- r,3~sponden en nuestra tabla para .A. 0 y A á los valores 206,50 y !l.10,74 metros, que dispondremos en la f()¿'ma siguiente: Á - Á. = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+(.A-A0 ) X 0,002(t0 +t)=l904,24X0,0932=

1904,24 mets. 177,47

z ó sea la altitud de Guanajato =. . • • • 2081,71 mets. La. fórmula de Ramond. 2080,86 La. de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2084,37

Pa.r écenos, pues, que no pecamos de confiados asegurando, In.e aplicando la sencillísima fórmula de Daubuisson á la tr.la que hemos deducido por las de Littrow, se obtienen resul1tdos casi idénticos á los que ofrecen las fórmulas de Laplace Ramond, sin necesidad de tener en cuenta la latitud ni la µtitud de la estacion inferior. No podríamos terminar mejor esta interesante materia que srascribiendo h1s acertadas advertencias hechas en el acreditado Anuario astronónii co del Real Observatorio de M adr id ~orrespondiente al año de 1860. «En la nivelacion barométrica, como en toda operacion ~ráctica, se presentan al observador anomalías imprevistas y lificultades que el tiempo y la experiencia le enseñan sola111ente á superar. Por resultado de sus innumerables trabajos l)eluc, Saussure y Ramond, han conseguido deducir en e ta tnat~ ia algunas reglas prácticas, de las que nin~ observaRor celoso debe prescindir, por cuyo motivo juzgamos del caoresumirlas brevemente en este lugar. l.ª Cuando se trate de hallar la lliferencia. de nivel entre aos puntos, deben emplearse dos barómetros tan iguales en su ' orma y construccion como sea posible, y comparados con nn~rioridad ya entre sí, ya con un tercer barómetro-tipo. En !:aso de que hubiere alguna diferencia entre las indicaciones ~e aquellos instrumentos, deberá siempre, con su signo, tener~e en consideracion, para no mcw-rir en un grave error, de !otra manera. inevitable. 2.ª Si se emplea un solo barómetro, el observador, en tanto que las circunstancias lo consientan, deberá estacionarse en el punto mas bajo, en el mas elevado despues, y volver con la rapidez posible al primer punto. Por este medio cont.Jcerá si en el intervalo de tiempo trascurrido han sobrevenido gmndes perturbaciones atmosféricas, ha ta qué punto merecen

- 64-· ~onfianza las observaciones hechas, y además recogerá. IO! elementos necesarios para hallar dos valores de la altura buscada, cuyo término.medio le suministrará, en general, un resultado mas próximo á la verdad que cualquiera de los com, ponentes. 3.ª En ninguno de los dos casos precedentes es indistinto hacer las observaciones á cualquiera hora del dia, ni sea el que quiera el estado de la atmósfera. Ramond asegura que los números por él deducidos de observaci~nes verificadas en las primeras horas de la mañana ó cerca del crepúsculo de la tarde, le han parecido siempre un poco pequeños; grandes, por el contrario, los correspondiente s á las horas de mayor calor, y preferibles á todos los que provenian de observaciones hechas hácia la mitad del dia, ó seii entre diez y una de la t arda Otros observadores, y entre ellos Saussure, no son tan es• crupulosos en este punto, y prefieren hacer muchas observa, cienes á todas horas, para hallar despues un término medio, en el cual los errores se compensan mútuamente, á no tomar alturas barométricas mas que en cortos y determinados momentos, que, si de ordinario y en ciertas localidades son lo, mas convenientes, pueden en algunos casos conducir á resuJ. tados erróneos. Lo que no parece -que admite duda es el hecho, notado tambien por Ramond, de que en dias tormentoso! ó muy húmedos, ó cuando los vientos, sean del N. ó del S, soplan con gran fuerza, las determina9ione s barométriéas resultan equivocadas en muchos metros, debiéndose por lo tan• to huir de tales extremos y escoger, para operar, aquellos mo• mentes en que la atmósfera se halla reposada y en un estado de homogeneidad tal cual la fórmula barométrica supone. Esta precaucion merecerá observarse con tanto mayor cuidado, cuanto mas distantes de la misma vertical se hallen los do, puntos cuyo desnivel se busca, pues entónces es cuando las perturbaciones atmosféricas pueden influir sobre uno de los barómetros, sin que apenas se conozca su influencia sobre las indicaciones del otro. 4.ª La eleccion de sitio para la colocacion de los instrn· mentos es tambien de la mayor importancia. Son para tal objeto convenientes los lugares altos y despejados, y malos las gargantas ó desfiladeros donde de contínuo se notan corrien· -tes de aire, que agitan la atmósfera y perturban á cada mornen· to la temperatw·a, así como aquellos valles profundos dond@

65 -

reina una temperatura casi artificial, y por los que trabajosa,.. mente puede solo circular el aire. 5.' Con el barómetro provisto de su termómetro debe usarse otro termómetro suelto para determinar la temperatura del aire. Esta temperatura mfluye en los resultados finales tanto como la del mercurio, y por lo mismo conviene observarla con gran cuidado, en un ambiente libre, á la sombra y con las precauciones necesarias, para que no resulte adulterada por cualquiera circunstancia accidental. En asunto tal son reglas admitidas que, colocados en sitio conveniente el barómetro y el termómetro, no se ha de procede-r hasta 20 ó 30 minutos despues á la lectura de sus indicaciones, para que en este iutervalo adquieran aquellos m trumentos un equilibrio completo de temperatura con los demás objetos que les rodean, y que ántes de anotar las temperaturas definitivas de :ios termómetros, deben hacerse con rapidez suma algunas lecturas preliminares, con el fin de averiguar si se hallan, como es indispensable, estacionarias, ó si aun experimentan algunas oscilaciones sus columnas. En algunos casos el observador o poReerá mas que un solo termómetro, y es claro que entónes se verá obligado á suponer iguales las dos temperaturas el aire y del mercurio, aunque sean en realidad distintas, y unque provenga de aqtú un error en el resultado final, mas ó enos sensible segun las circunstancias, pero nunca muy coniderable. Sobre la forma de los barómetros, que conviene emplear en a medicion de alturas, se han emitido tambien diversas opi·ones que pueden en breves líneas resumirse. Si el barómeo de sifon, que durante algun tiempo ha gozado de gran faor, no se hallara ya poco menos que del todo abandonado en as estaciones meteorológicas fijas, para via,jes largos por terenos quebrados, seria menester abandonarle por su gran fra. ·dad, y adoptar en lugar suyo un sencillo barómetro. de cueta, cuyo fondo movible, como en el sistema Fortin, permi·era llenar de mercurio todo el tubo, y evitar" los choques mibles de aquel cúerpo contra el cristal. Como instrumens de viaje, no podemos menos de recomendar por su senciez, poco peso y fortaleza, los que en la actualidad construye casa de N ewman en Lóndres, aunque los primeros que han egado á España no hayan producido los buenos resultados Ue se esperaban, sin duda por circunstancias accidentales.>> e

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§ 8.º Explicacion d,e algwnas de las tablas a,'IJIQ)ilill'l-e8.

Muchas de ellas llevan en sí mismas su explicacion ó se da ésta en el texto; y en otras basta la simple inspeccion para comprenderlas; nos concretaremos, por lo tanto, á las pocas que requieren alguna aclaracion. Debe tenerse presente en todas ellas que no pudiendo expresarse en b mayor parte de los casos las relaciones numéricas si.no por aproximacion, las hemos limitado generalmente á la tercera decimal; pero los logs. se refieren muchas veces á la quinta y hasta á la sexta decimal, de suerte que no corresponden exactamente al número á que se refieren, si.no á otro mas aproximado al verdadero. Por eso en tales casos hay que preferir el empleo del log. al del número,

TABLA VI. Esta tabla no necesita explicacion: pero indicaremos algu• nas de las aplicaciones mas frecuentes ·que pueden tener las

fórmulas en que entra el valor de 'lt. l.º La circunferencia puede expresarse con relacional r ád.io 6 al diámetro. En el primer caso C=2'1tR; y en el 2.° C= 1iD. De consiguiente, para hallar la circunferencia correspondien• te á un rádio conoc;ido, basta sumar el log. de 21t con el de dicho rádio y se tendrá el log. de la circunferencia; ó bien si se diese el diámetro, sumar su log. con el de TC. 2. 0 La superficie ó área de un círculo expresada en funcion del rádio es igual á

R 2 y en funcion del diámetro

=~4 D':

luego, dados el diámetro ó el rádio, se obtendrá el log. del área correspondiente, sumando el duplo dellog.del rádio dado con el ·de TC¡ ó el duplo del log. del diámetro dado con el logaritmo de 2:..: 4

3.º La superficie de una esferaenfuncion delrádio es= 4~B' y en funcion del diámetro= 11: D': luego su.mando el log. de 4, eón el duplo del log. del rádio; ó el log. de TC con el duplo del log. del diámetro, se tendrá el log. de la superficie de la esfe ra. respectiva.

67-

4.º El volúmen de una esfera en funcion del rádio es 4 1t Rª 3

y en funcion del diámetro= :!.. D 3 : luego para obtener el loga... 6

ritmo de la solidez de una esfera, cuyo rádio ó diámetro sean conocidos, basta sumar el log. de 4 '1t con el triplo del log. del 3

rádio; ó el log. ;

con el triplo del log. del diámetro.

5. 0 Si por el contrario, conocida la circunferencia se nos pidiese el rádio, basta sumar el log. de la circunferencia con el complemento del log. de 2n:; ó con el de n: si se nos pidiese el diámetro. 6. º Si conocida el área de un círculo se n~s pidiese su rádio, sumaríamos

.1-

log. del área con el log. de y ~ y tendriamos el

logaritmo del rádio. 7. 0 Si conocida la scperficie de una esfera se nos pidiese el diámetro. nmaríamos ritmo S.º

V~ .

log. de la superficie con el loga-

Igualmente si conocido el volúmen de una esfera se nos

pidiesen su rádio ó su diámetro, sumariamos del volúmen dado con el log.

,s¡-. de y~ y 4'1t

rádio: 6 bien

del logaritmo

tendríamos el log. del

log. del volúmen con log.

ytenclriamos

el del diámetro. 9. 0 Para obtener la rectificacion de un arco den grados en funcion del diámetro, basta sumar el log. de~ con el loga.

360

ritmo de n y tendríamos el log. de la recta equivalente. 10. Y si por el contrario, conocida la longitud de un arco en funcion del diámetro se nos pidiese el número de grados equivalente á la recta, sumariamos el log. de la recta con el complemento del log. de ~360

68-

TABLA IX. En esta tabla van expresadas en milímetros las alturas barométricas desde 550 á 770, que comprenden desde - 78 metros hasta 2 600 met. de elevacion sobre el nivel del mar, (1) y es suficiente para las mayores altitudes que pueden ocurrir en la Península. En esta tabla se marca de 5 en 5 milímetros la parte, que ha de sustraerse, para reducir la columna barométrica á la temperatura de Oº por cada grado del termómetro, (que vá unido al barómetro,) desde 1° hasta 9°. Paral0º-20°- 30°, etc., basta correr la coma un lugar hácia la derecha ó multiplicar por 10 los valores respectivos de 1°, 2°, 3°, etc. Los valores intermedios entre 550 y 555 milímetros, 560 y 565 etc., se determinan por aproxi.macion. Si se nos diese la altura barométrica de 708 milímetros á la temperatura de 30°, buscariamos en la tabla la que corresponde á 705; que seria 3,41 milímetros, y como á 710 le corresponden 3,43, tomariamos 3,42. TABLA XI. Contiene esta tabla los sistemas métricos y monetarios mas usados en el comercio y su equivalencia en unidades del nuevo si tema métrico francés, que dentro de pocos años será general en todas las naciones civilizadas-, segun el acuerdo de la Comision internacional, reunida en París en Setiembre ·d e 1872. Sirve, pues, esta tabla, no solo para conocer los diferentes sistemas :r;nétricos mas usuales, sino tambien para la conversion recíproca de sus unidades en las del nuevo sistema métrico francés y vice-versa. Supongamos que queremos averi(1) Cuando lá column:i barométrico. es menor que 550 mm. y no se en cnentra de consiguiente en lo. tablo., se pnede emplear paro. lo. reduccion á lo. tempero.tura de ()o, lo. fórmulo. que bo. servido paro. lo. formo.cion de lo. tablo., qne es esto.: 1

Hº = H(l- 6~ ) H es lo. altura de la columna barométrico. é. lo. tempera.tura. observo.do. T, Y

lo. o.ltura. de lo. columno. reducido. é. OO.

-69 guar cuántos hectólitros hacen 25 cántaras antiguas de Castilla. Buscaré en el antiguo sistema español la cántara y sumaré el log. que le corresponde,1..207715 con el log. de 25, número de cántaras dadas, y su suma 0.605 655 expresará el logaritmo del número de hectólitros que se buscan; el cual será de consiguiente 4,h•0 ·033. Por el contrario, si se quieren reducir unidades métricas á unidades de otro sistema conocido, se busca en la columna de las correspondencias métricas de dicho sistema la unidad métrica que se trata de reducir; se toma el complemento del log . que está enfrente y se suma con el log. del número dado de unidades métricas; la suma expresará el log. del resultado que se busca en unidades de la especie á que corresponde, en la misma línea horizontal, la unidad métrica dada. Su;_)ongamos que nos• proponemos averiguar ¿á cuánto equivalen 30 hectólitros de vino en ~nidadas análogas españolas? Buscaríamos en el sistema español, (medidas para líquidos, columna de las correspondencias métricas), el hectólitro y sumariamos el complemento de su log. 1.207715 que es 0.792285 con el log. de 30, (número. de hectólitros). 1.477121

la suma. . 2.269406 expresará el log. del número de cántaras á que corresponden los 30 hectólitros, porque h cánitara es la unidad española que está en la misma línea que el hectólitro. Buscando en las tablas el log. indicado, hallaremos que corresponde al número 185,95 cánitaras. Si lo que se nos hubiese pedido fuese reducir los hectólitros . á azwmbres, procederiamos como en el caso anterior, y convertiriamos en seguida las 185,95 cántaras en azumbres, multiplicándolas por 8 que contiene la cánitara. Otro ejemplo. Se nos pide reducir 20 metros cúbicos á piés eúbicos ingleses. Buscaremos en el sistema inglés (unidades .de vol'Wlnen columna de las correspondencias m étricas) el metro cúbico, y sumaremos el complemento de su log. 1.883385 que '88 . • • 0.116615 con el log. de 20. . • • • • • 1.301030 su suma.. 1.417645 expresará el log. de yardas cúbicas (que es la medida que está en la misma línea que el metro cúbico) equivalente á 20 metros cúbicos; cuyo log. corresponde á 26,16 yardas cúbicas,

- 70 y como cada yarda cúbica contiene 27 piés cúbicos, tendria.mos que los 20 metros cúbicos equivalen á 706,32 piés cúbicos. Si las unidades á que se refiere la cuestion no estuviesen expresadas en la tabla XI, se convertirán 6 reducirán á otra. de las unidades contenidas en la misma, y se procederá como queda dicho en los ejemplos precedentes. Si quiero convertir 500 centímetros cúbicos en pulgadas. •cúbicas inglesas, buscaré en el sistema inglés (unidades de i•olúrmen y columna de las correspondencias métricas) el centimetro cúbico, y como en la tabla XI no se encuentran sino el decimetro y el metro cúbicos, reduzco los 500 centímetros cúbicos á decímetros cúbicos. Cada uno de estos contiene 1 000 centímetros cúbicos, y de consiguiente los 500 equiva500 dec1me ' tr os cu'b'1cos, 6 sea 0,5 d ec1metros ' cu'b'1cos. 1en a, 1 000 Tomo pues el complemento del log. del decímetro cúbico que es. . . 2.547979 y lo sumo con el log. de 0,5 decímetros cúbicos.. 1.698970

cuya suma.. 2.24694~ expresa el log. de los piés cúbicos in°-leses, que hacen 5 centímetros cúbicos, que son 0,017658 de pié cúbico, porque el pié cúbico es la unidad que está en la misma línea horizonta~ que el decímetro cúbico. Pero como lo que se pedía no eran ]os piés cúbicos sino las pulgadas cúbicas á que equivalían los 500 centímetros cúbico , multiplicaré la fraccion 0,01765 por 1 728, que es el número de pulgadas cúbicas que contiene un pié cúbico, y tendremos por final resultado 30,51 pulgadas cúbicas. Del mismo modo hubiéramos hallado que 545 francos hacen libs. ests. 21,6184 ó sean 21 libs. ests . 12 schil. y 4,42 peniq. moneda inglesa; ó 441 marcos, 9 silbergros del nuevo sistema del imperio aleman. TABLA XII. Llámase línea de nivel á toda perpendicular á la línea vertical; pero se dá mas especiaJmente este nombre áJa tangente del esferoide terrestre en un punto cualquiera de su superficie. Esta línea se confunde, cuando es de corta extension, con la circunferencia terrestre, y suponiendo que el centro de ¡rra-

- · 71vedad de la tierra coincida con el de su figura, los cuerpos que se pongan sobre un plano de nivel permanecerán en quiet ud, porque la fuerza de la gravedad, que los solicita, queda destruida por la resistencia del plano. Por eso los líquidos, cuando están estancados, tienen su superficie de nivel; es decir, en un plano tangente á la superficie del esferoide terrestre, si la extension es pequeña; pero si la superficie es muy extensa, entónces forman una curva concéntrica, como sucede en la mar, con el esferoide terrestre, porque sus moléculas moviéndose libremente, se colocan todas á igual distancia del centro de la tierra, hácia el cual la solicita la gravedad. E sta línea curva constituye lo que se llama el nivel verdadero; mientras que el plano tangencial á dicha curva, que es el quo dan los instrumentos geodésicos, se llama nivel aparente. L a tabla XII indica lo que se ha de sustraer, segun la extension ó longitud de la línea del nivel aparente, para conocer el verdadero.

TABLA XIII.

I: Esta tabla es una de las mas útiles con que hemos enriqueciJo las últimas ediciones, pues que con su auxilio pueden hallar se los números prim-0s, menores de 11323; y tambien los divisores simples (y de consiguiente los compuestos) de cualquiera número por crecido que sea, siempre que despues de dividirlo por 2, 3, 5 y 11, resulte un cociente menor que 11323, que es el número mas alto contenido en esta tabla. Un ejemplo aclarará su uso mejor que una extensa explicacion. Supongamos que se nos pregunta si el número 9671, menor que el mas alto contenido en esta tabla, es número prim-0. Lo primero que debe hacerse es averiguar si es divisible por 2, 3, 5 ú 11, para lo cual hay reglas sencillísimas que todos conocen. Aplicándolas se vé que no es divisible por 2, porque su última cifra no es par; tampoco es divisible por 3, porque sumadas sus notas como unidades simples, no dan un múltiplo de 3; ni lo es por 5 porque no termina por esta nota; ni finalmente es divisible por 11, porque sumadas las notas, que ocupan lugar impar, 9 y 7 hacen 16, y la suma de los pa,.. res 6 y 1 hacen 7, y como éstas sumas ni son iguales, ni (ya quesean desiguales) su diferencia es divisible por 11, concluyo que el número propuesto no es divisible por 2, 3, 5 ni 11: lo¡r

i: ::

-72buscaré en la tabla XIII, y si no se halla en ella, como en efecto no se halla, es prueba de que es número prilmo. Luego el número 9671 es número primo, es decir, que no tiene mas divisores exactos que la unidad y el mismo número. Propongámonos ahora hallar los divisores simples de un número cualquiera 714 714. Como su última cifra es par, concluyo que es divisible por 2, 6 lo que es igual que 2 es su primer divisor simple. Divídolo por 2, y como su cociente 357 357 n o t ermina en nota par, concluyo que ya no puede repetirse la division por 2. Examino si es divisible por 3; y en efecto, encuenho que lo es, porque sumadas sus notas como unidades simples hacen 30, que es un múltiplo de :l: divido por este número, y como su cociente 119119 no es ya divisible por 3, ni tampoco por 5, porque no termina en 5, examino si es dividible por 11, y para ello tomo la suma de sus notas pares y la de sus notas impares, y si estas sumas son iguales, 6 caso de no serlo, si á lo menos su diferencia es divisible por 11, el número lo será tambien. Sumo pues las notas impares 1, 9 y 1, y las notas pares 1, 1 y 9; como ambas sumas son iguales, concluyo que el número es divisible por 11; y efectuada la division encuentro que su cociente 10 829 no es ya divisible por 11; pero puede serlo por otros números primos que no conocemos á primera vista; y para ello sirve la presente tabla, siempre que el cociente que resulte, despues de dividir por 2, 3, 5 y 11, sea menor que el número mas alto contenido en ella, como sucede en este caso. Busco, pues, en la tabla el cociente 10829, y lo hallo en efecto; y á su lado el divisor 7. Divido por éste, y busco de nuevo en la tabla su cociente 1547 y hallo á su lado el divisor 7; practico la division y busco de nuevo su cociente 221 en la tabla, y á su lado encuentro el divisor 13; efectúo la division, busco en la tabla su cociente 17, y como no lo encuentro, concluyo que éste es el último divisor simple del número dado. Ordenando los divisores simples hallados, encuentro que son el 2, 3, 7, 7, 11, 13 y 17; y como conocidos los divisores simples, la aritmética nos dá reglas muy sencillas para hallar los divisores compuestos, nuestra tabla sirve para hallar facilisimamente todos los divisores de un número cualquiera, siempre que su cociente, despues de dividirlo sucesivamente por 2, 3, 5 y 11, sea menor que 11323, que es el número mas alto contenido en nuestra tabla.

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iene ésta una aplicacion sencillísima. y muy frecuente pa.. hallar el máximo comun divisor, y el mínimo comun ?wúltiplo dos, tres ó mas números. n ambos casos se buscan, por medio de la tabla, los divies simples de los números dados; y si se trata del máximo tm divisor, se multiplican entre sí todos los factores eones; advirtiendo que si alguno está repetido dos, tres 6 veces en todos ellos, se ha de repetir igualmente en la tiplicacion, tantas veces cuantas lo esté en el que menos. upongamos que se nos pide el máximo comun divisor de números 17 493 y 3 822. Resolveremos ambos números en factores simples por meéiio de esta tabla, y hallaremos los del primero son 3, 7, 7, 7 y 17, y los del segundo , 7, 7 y 13. Los factores comunes á ambos son el 3 y el 7 etido en el que menos dos veces: luego el ·máximo comun ·so1· lo será el producto de 3 x 7 x 7 = 147. ara hallar el ?ninimo comun múltipzo·se·resuelven tambien números en sus factores simples, supritniéndo por el conio en cada número, todos los faétot·es qtle se hallen re'dos en los siguientes; y se multiplican lo demás entre sí. i se nos pidiese el mínimo comiin 'mdCltiplo · de los números 1, 2793 y 9009, hallaríamos qu<:l los factores simples dd ero eran 7, 11 y 13: los del segundo 3, 7, 7 y 19; y los del ero 3, 3, 7, 11 y 13. Como los del primero están todos re'dos en el segundo y tercero, los suprimo 6 no cuento con s. Suprimo en el segundo el 3 y un 7 que se hallan repetien el tercero. Suprimidos pues-todos los del·primero y el un 7 del segundo, quedan de éste otro 7-y el 19, mas tolos del tercero 3, 3, 7, 11 y 13, y multiplico entre sí los res no suprimidos, 7 x 19 x 3 x 3 x 7 X 11 X 13= 1198197; ncluyo que este número es el mínimo comun ?rvúltiplo de los eros dados.

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TABLA XV.

Aunque esta tabla no necesita explicacion, diremos, p evitar dudas, que en las dos primeras tablitas de las cua que contiene las columnas de las unidades se refieren á 1 grados, min utos y segundos. ¿A qué parte dei 1·adio equivale un arco de G" 8' 7"? ó loq c., igual, ¿á qué linea recta, expresada en partes del radi e,¡uivale el arco indicado? 0,10 471976 0 ,00232 711 0,00 003 394 7"= á. 0,10 708 081 D el mismo modo hallariamos que 10º 24' 14" hacen en d 6º=

males del cuadrante 0,1111111111 10° = 0,0 037 037 037 20' 0,0 007 407 407 4'= 0,0 000 308 640 10''= O.O 000123 457 4''= 10º 24' 14'' = . 0,1 155 987 652 del cuadrante sean 11° 55' 98",7652 de la division centesimal. En la tablita 3." las unidaclea se refieren á los minutos Y1 giindos. ¿Cuántas decimales de grado hacen 8' 7"? 8' = o, 133 333 7"= . . o. 001 944 hacen . . 0º,135 277 En la 4." las unidades se refieren á las decimales del e drante. ¿Cuántos grados, minutos y segmidos sexagesimal hacen 43° ó7' 80'' centesimales ó sean o,,t35 780 del cuadran! 4 décimas . . 36°

3 centésimas . 5 milésimas. 7 diez milésimas . 8 cien miléaimas . 0,43 578=

2 42' 27 3 46", 8 25, 92 39° 13' 12'', 72.

ILUSTRA.CION PRIMERA..

Sobre la formacion de las Tablas de logaritinos.

expusimos en el texto (1 al ti) la idea fundamental quejo á eper á la invencion de los logaritmos, que es loasta á la gran mayoría de los lectore á quienes se desnue tro libro. Pero aquí vamos á ampliarla, respecto á nstruccion de las tablas de logaritmos, ciñéndonos en. to sea posible al modo de ver de su ilustre inventor ydo las consideraciones matemáticas de un órden eleá que generalmente apelan otros autores. _muy poco ó nada hubiera servido la invencion de los 1tmos limitados á ciertos múltiplos (que los matemáticos nan con el nombre de potenci as) de la ra7lon, si ésta fuese úmero entero; porque en este caso todos los demás nú-s enteros, no comprendidos en la progresion, carecerian garitmos ó lo que es igual, no podrian aplicarse á aque1 las ventaJaS que ofrece el uso de éstos (10). Para quetengan lugar, es necesario que todos los números natudesde la wnidad hasta el número más alto, que contenga ;hla (10000, 20000, 100000, etc.) formen parte de la proon geométrica, y ten~an de consiguiente sus logaritmos. enge que la razon ae la progresion difiera poquísimo a unidad, á fin de que sus términos crezcan tan lene1?-te ó por grados tan insensibles, que dos de ellos contivos no difieran entre sí sino en cantidad tan pequeña o nos hayamos propuesto; ó lo que es igual, que la rade la progresion geométrica sea 1 +e, siendo e una cand extremadamente mín.ima. En este caso, extendiendo stra progresion geométrica hasta el número de términos crecido que sea) que nos conven~a, para que el último mayor que el número entero mas alto á que alcance tra t abla, estamos seg1ll'OS de que todos los números ens inferiores estarán comprendidos forzosamente entretérminos consecutiYos de la progresion1 y que diferirán ellos en una cantidacl más pequeña todavia que la que baya e dichos términos; de suerte que si esta la hubiésemos d?, á n ne tra vohmtad, aun para los dos últimos de la proion, en una cienmilésima de unidad, el error que cometeos considerando á un número natural como t érmino de ella seria menor que una cie1miilésima . .A.sí pues, está en estra mano atenuar este error, cuanto nos convenga, tondo para razon de la progresion geométrica un valor l+e, exceda tan poco de la unidad como nosotros queramos. J~ basta sin cmbaro-o haber formado la progresion geotr1ca, que contenga todos los números naturales, ó cu11,ndo nos valores tan aproximados á ellos, que se confundan sen-

7o -

siblemente; e;i nece;iario además formar la progresion a.rit tica, que ha de corresponder término por término con "'eométrica, ó que ha de contener los logaritmos de fos términos de la progresion geométrica. (U!) Para for esta última podemos elegir para razon el número ente fraccionario que nos agrade. Sin embargo, si eligi~semos número entero algo crecido, siendo numerosísimos los té nos de la progresron geométrica, como acabamos de ver, sultaría que los de la aritmética, ó sean los lo~aritmos, e, rían expresados por números enteros tan crecidos, que, I' de facilitar, complicarian extraordinariamente los cál los. Para evitarlo, y poner en armonía el crecimiento latino de los términos de la progresion geométrica con <le sus lo~aritmos, hay que tomar para razon de la progresi aritmética una fraccio~ r muy pegueña, i~ual ó aproxima. la _gue se añade a la umdad para formar 1a razon geométr1 Es evidente que segun varíe la fraccion ,., que tomemos ~-azon en la progresion aritmética, variará el sistema de ~aritmos, ó lo que es igual, el valor de los términos de la p gresion aritmética correspondientes á los de la geométri La relacion que guarda la razon r de la progt·esion aritmJti •con la fraccion e que se añade á la unidad para formar la zon de la geométrica, es constante para cada sistema de., garitmos, y se llama módiulo, porque en efecto dicha r elnm ó módulo no puede variar sin que varíe igualmente la razon la progresion aritmética, y con ella de consiguiente el eiste -de logaritmos. N eper, el inventor de los logaritmos, eligió para m ódulo unidad por parecerle el más sencillo; es decir, que tom ó p~ ,·azon de la progresion aritmética la misma fraccion q_ue aD <lió á la unidad para formar la razon de la geométrica. P ejemplo, si tomó para razon de la progresion geométrical+ hizo la razon de la aritmética igual á e, y de consiguiente 'módulo igual á ~=l. Si hacemos e =0,00001, resultará. q e para llegar á un logaritmo ó término de la progresion arit_m tica, que tenga por expresion la unidad se necesitará mult1p -car por 100000 la razon 0,00001, ósea subir hasta el t érm 100001 (2), y tendrémos que el correspondiente de la P gresion geométrica será un número, que tendrá la razon. petida por factor 100000 veces ó n-1 veces (4). (a). H acie do el calculo se encuentra que dicho término 100001 dá. resultado el número 2,71828 ... ; es decir, que al logaritmo -corresponde en la progresion geométrica el número inco. mensurable 2, 71828 ... ; y como en todo sistema de logar1 (a) Neper siguió el método de las construcciones geométricas por º~o ,mdas y abscisn.s, y sus logaritmos eran el complemento de los que . llevan su nombre: pero, traducido su método al lenguaje analítico, 1n -oide con el que acabamos de exponer, que es el mismo adopta.do en las 0 de matemáticas, aunque sirviéndose de consideraciones mn.s eleva.das qu fas empleadas en esta IlU11tracion.

- 77 l número que tiene por logaritmo 1, constituye lo que se su base (12), resulta que la base del sistema neperiano número fraccionario sin relacion conmensurable con o sistema de numeracion decimal. fué la razon que movió á Brig~s á propuuer la formael sistema de logaritmos que ileva su nombre, y tiene se el número 10, que lo es tambien de nuestro sistenumeracion. Estos logaritmos son los que hoy se emgeneralmente, y por eso se llaman vulgares. o es gue variada la base varió el módulo, y de consie el sistema de logaritmos. Hubo, pues, que calcularlos ovo, y este fué el traba:jo en que se ocupó Briggs, porgo del mismo N eper, logrando publicar en 1617 la pritabla de logaritmos vulgares, limitada al primer millar, cho decimales. Para ello no era necesario en rigoruder otra vez el ímprobo trabajo hecho por Ncper, astaba conocer el mócliilo del nuevo sistema. y multipor él todos los logaritmos del sistema neperiano. mos dicho, en efecto, y lo demostraremos con toda eria en la Ilustracion segiinda, que el 1nódiilo era constante os logaritmos de un mismo sistema, y, de con iguiente, ido el módulo para un logaritmo, lo está para todos ellos. bien; las tablas de N eper daban fara el número 10denuestro sistema de numeracion) e logaritmo 2.302585, as que en el sistema de logaritmos de Briggs le cornd.ia l; luego la relacion entre ambos lo~aritmos de 10, y siguiente enfa:e todos los demás logaritmos de un mis1 úmero, seria - -- = 0,434294. Tal es el ?nódiilo del 2,302685 a de Briggs, que, una vez conocido, bastaba para contodos los logs. del sistema de Neper en logs. vulgares. o éste temiendo (como él dice en su primera obra), la; "dad d.e los envi'diosos, no publicó sino las Tablas loga~s de las líneas trigonométricas, callando el método que· 1a conducido á aquel maravilloso resultado, como él lo ba con razon. Br1ggs tuvo, pues, que calcular directatoda la tabla de los logaritmos de los números, cuya; decimal ó mantisa extendió hasta 14 notas, comprenº en ella· desde el 1 hasta 20 000, y desde 90 000 basta O¡ Y empleando diferentes métodos y fórmulas, que los aticos de los siglos posteriores han perfeccionado en grado. No es necesario advertir que, paTa formar las de logaútmos de un sistema cualquiera, no se calculan amente sino los de los números p?·imos, pues que los da ' meros compuestos se obtienen sumando los de sus fac; de consigmente, en los 10000 primeros números no hay lcular sino 1 230 loo-aritmos de los números primos conos en los diez prime~os millares. es la historia y la teoría explicadas bre1Te y sencilla. de la invencion de los logaritmos y de la formacion de, blas,

78 -

ILUSTRACION SEGUNDA.

Sobro ol módulo da los logaritmos.

Dijimos en la l.ª que los logaritmos de diferentes sisl ,correspondientes á un mismo número ó término de la p~ sion geométrica guardan entre sí una relacion constan! decir, que si los logaritmos del número 10, por ejemplo -dos diferentes sistemas están en la razon de 1 á 2, en la ma estarán los de 12, 14 ó de cualquiera otro número. Y es evidente por la naturaleza de la formacion de los lo~ mos ó sea de los términos de una progresion aritmética, -empieza por cero. En ella cada término está compuesto1 razon, repetida tantas veces como términos le preceden luego si la razon en una de las proo-resiones (Ó sistemi logaritmos), es doble que en otra, todos sus términos ó tiplos correspondientes lo serán igualmente. Esto mismo tiene lugar sí, permaneciendo constante la _gresion aritmética, vanase la razon de la geométrica; po esto equivale á cambiar la progresion antmética dejan misma geométrica, como vamos á ver. Supon~amos las 1)rogresiones (re), (z), (y), que ya conocemos (12), á saber: Log. + O . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . etc "Progrs.) ~ 1 : 2 : 4 : 8 : 1_6, : 32 : 64 : 128 : e'.o ge_omé-( .. 1 . 4 . 16 . 64 . 2t>6 . 1024 . etc . . . . . . -tricas. 77 1 : 8 : 64 : 512 : 4096 : etc. . . . . . . . , , · La razon ó base de estas progresiones es 2 para (re), 4. (z) y 8 para (y); y de consiguiente todos estos números ti por logaritmo la unidad en su respectivo sistema ('12); pe ,quiero averiguar los logaritmos que corresponden al 2Y en el sistema (y), es evidente desde lue&o que han de ser nores que 1, pues han de estar comprenctidos entre O y 1: -determinarlos hay que buscar una progresion geomét~ir que entren como términos los númeroa 2. 4 y 8; tal seria, ejemplo, la (re), y quedaría convertida la (y) en estaotral log. + O 1 2 3 etc. 77 1 : 2: 4: S : 16: 32: G'.I: 128: 256: 512: etc., Pues que entre 1 y la base 8 hay intercalados dos térro ·(ó medios geométricos, como dicen los matemáticos) i$ual mero hay que intercalar entre el O y 1 de la progres10n mética. Tendremos, pnes, que tomar para razon, de_ es tercera parte del l log. del 8, pues que hay i-res terroUl05 tes de éste y formar las siguientes: Jog. +O. ¼. i . 1 . l ! . 11 . 2 . 2 ~ . 2J . 3 . etc . .¡..¡. 1 : 2 : 4 : 8 : 16 : 32 : 64 : 128 : 256 : 512 : etc.· Luego el log. de 2 sería!; el de 4 serí!l' i; el de 8, l; e 1

'19 -

,-}; el de 32,-!: el de61,2; ect. Como se vé los logaritmos todos los términos de la _progresion (y') son :\ de los que los ·smos números tienen en la progresion (a:). Así al 2 que te·a. por logaritmo 1 en la (a:), le corresponde.' en la (y'); al 4 e tenia 2 en la l.\ le corresponde en la última§" al 8 que nia 3, 1 y así de los demás. Luego la variacion de Ía base en progresion geométrica cambiando la (a:) en (y') da el mismo sultado que si conservásemos intacta la progresion (a:), y va"ásemos sus logaritmos haciéndolos tantas veces menores antas la base 2 de la (a:) es factor de la base 8 de la (y'). Se ve, pues, que ora varíe la razon de la progres10n aritmé·ca, quedando la misma la progresion geométrica· ora la raon de ésta, permaneciendo rn.variable la primera, Íos logaritos de un mismo número en los diferente sistemas que retan, guardan entre sí una relacion constante. E ta relacion e designó por ~L Cotes, con el nombre de relacion modular, rque así como el módulo sirve para fijar las proporciones en os órdenes arquitectónicos, así tambien depende de aquella elacion el sistema de logaritmos; pues que, como dijimos al rincipio de esta flustracion, dicha relac1on es la misma que uardan entre sí las razones de las diferentes progresione ritméticas. Si designamos por e y r dos de estas razones suamente pequeñas, (véase Ilustracion l.ª), tendi·emos que~ e xpresará la relacion de sus logaritmos, ó el módulo del sistea r relativamente al sistema e. Preciso es, pues, fijar el si·ema lo&arítmico que tiene e por razon, para deducir de él el ódulo a.e los demas. Ya dijimos que el inventor N eper babia ornado para la razon de la progresion aritmética la misma antidad e que añadia á la u,nidad para formar la razon l+e e la geométrica, de modo que ~ = l; es decir, que la razon e ritmética e de este sistema representa la unidad modulará ue se refieren los demás, ó lo que es igual, los logaritmos bierbólicos guardan con.si&º mismos la relacion de la unidad, sirven de comparacion a todos los demás. Síguese de aquí ue los módulos de los demás sistemas de logaritmos expresan la. relacion que guardaa sus logaritmos con los hiperbólicos, Y que de con, iguiente basta multiplicar éstos por dichos módulos para convertirlos en logaritmos de otros sistemas; y al contrario, que los logaritmos de estos sistemas se convierten en logaritmos hiperbólicos, dividiéndolos por los respectivos módulos, ó lo que es igual, multiplicándolos por el recípro-

co de dichos módulos, esto es, por ~ . Podemos, pues, definir el módulo, diciendo: que es la relacion que guardan los logarit711,os de un sistema con los logaritmos hiperbólicos correspondientes a los nii811ws números.

ILUSTR.A.OION TEROER.A.,

Sobre el complemento logarítmico,

La casi totalidad de los autores de obras de matemática definen el complemento aritmético de un número diciend qU6 es la diferencia entre dicho número y la unidad acompañad de tantos ceros como cifras tiene el número; y aplican esta defi nicion al complemento logarítmico. Este modo de considerar el complemento logarítmico causa de anomalías y dificultades parecidas á las que result de hacer el radio de diez mil millones de partes en vez d considerarle igual á la un·l dad; como que en ambos casos s aumenta la característica del logaritmo en diez unidades, qu luego hay necesidad de tener presentes en todas las dem operaciones. Si por esta regla tomamos el complemento de logaritmo de 9, que es 0.954 243, tendremos 9.04ó 757, cuy característica excede á la verdadera en diez unidades. Hay pues, que escribir el complemento así; 9,04ó 757-10. Si ah ra se nos pidiese el logaritmo de la raíz cuadrada del núme ó fraccion á que corresponde este logaritmo, habría que divi' dirlo por 2, y resultaría 4.522 878-5: y si se nos pidiese el 1 garitmo de la raíz cúbica del mismo número, tendríam~ S.015 252-3¼, y así por este órden; notaciones complicadíBl mas, molestas y ocasionadas á errores por las característica fraccionarias, que dificultan ademas el empleo de los com plementos logarítmicos, que tanto abrevian las operaciones. Todo esto se simplifica tomando el complemento á cero, por que entónces no se introduce unidad alguna auxiliar en e cálculo y el complemento resulta sin adulteracion p.e nin género. Ya M. Taylor, en el prefacio de sus excelentes Ta blas, publicadas en Lóndres en 1792 distingue el cornpl mento á diez, que llama aritmético, deÍ complemento á ce~ que denomina nwmérico. A esta autoridad podríamos añadi aun otras mas decü1ivas, á saber, la de Prony, de quien h moa tomado nuestra definicion y la de Callet, pag. 10 r 11 d su introduccion. Pero los hechos, que están por encuna d todas las autoridades, bastan para demostrar las ventajas de complemento á cero. No hay sino ver lo embarazados que 8 encuentran auto11es tan claros y apreciables como M. Oirodd (Aritm., edic. 22, pág. 229), para explicar y hacer cálculo~ t sencillos como extraer la raíz cúbica de la quinta potenciad un quebrado, y las consideraciones en que tiene que entra con este motivo, de todo punto inútiles, adoptando el colll plemento á cero; lo cual facilitai como dejamos dicho, la ven tajosa introduccion de los comp ementos en los cálculos 1 garítmicos.

TABLA l.

LOGARITMOS VULGARES O DE BRIGGS DE LOS

NÚMEROS E TEROS D.E SDE UNO HASTA VEINTE MIL;

DISPUESTOS Á DOBLE ENTRADA

POR UN NUEVO MÉTODO.

Primera edicion estereotípica en cobre.

•

Log.

0.000000 301030 2 477121 3 602060 4 698970 5 6 778151 845098 7 8 903090 954243 9 10 1.000000 11 041393 12 029181 13 113943 146128 14 176091 15 16 204120 17 230449 18 255 2 73 278754 19 20 1.301030 21 322219 22 342423 361728 23 380211 24 25 397940 26 414973 27 431364 28 447158 29 462398 30 l .477121 31 49 1362 32 505 150 518514 33 34 531479 544068 35 36 556303 568202 37 38 579784 591 065 39 40 1.602060 612784 41 q23249 42 633468 43 643453 44 6532 13 45 46 662758 672098 47 681241 48 6go196 49 1

Log.

1N.

Log.

1.698970 707570 716oo3 724276 732394 740363 748188 755875 763428 770852 1.778151 785330 792392 799341 806180 812913 819544 826075 832509 838849 â&#x20AC;¢ l .845098 851258 857332 863323 869232 875061 880814 886491 892095 897627 1.903090 908485 9138 14 919078 924279 929419 934498 9395 19 944483 949390 l .954243 959041 963788 968483 973 128 977724 g82271 986772 991226 995635

51 52 53 54

55 56 57 58

60 61 62 63 6~

65 66 67 68 69

70 71 72 73 74

78 79

80 81 82 83 84

86 87 88 89

90 91 92 93 94

96 97 98 99

1N.

Log.

1 N. 1 Log. 1 N. 1 Log. 100 2.000000 150 2.176o91 004321 178977 101 102 103 104 105 106 107 108 109

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N. 1Log.

5 1 clif. 1 6

1 dif . 1

1 dif. l

1dif. l 9

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3 4 5 6 7 8 9

13.z 19.S 26.4 33.0 39 . 6 46.2 52.8 59-+

64 2 3 4 5 6 7

8 9

6.4 12.8 19 2 25 . 6 32 .0 38 4 44.8 51 . 2 57.6

62 2 3 4 5 6 7

8 9

6.2 12 .4 18.6 24.8 31 .o 37 2 43 4 49.6 55.8

700

84 5098 62 5718 62 6337 62 6955 62 7573 61 8189 62 05 8S05 61 06 9419 62 07 85 0033 62 08 0646 61 09 710 85 1258 62 1870 61 11 2480 61 12 3090 60 13 3698 61 l.j 15 4306 61 16 4913 61 I" 5519 61 18 6124 61 19 6729 60

5160 5780 6399 7017 7634 8251 8866 9481 0095 0707

62 62 62 62 62 61 62 61 61 62

5222 5842 646 1 7079 7696 8312 8928 9542 0156 0769

62 62 62 62 62 62 61 62 61 6i

5284 62 5346 5904 62 5966 6523 62 6585 7141 61 7202 7758 61 7819 8374 61 8435 8989 62 9051 9604 61 9665 0217 62 0279 0830 61 0891

1320 1931 2541 3150 3759 4367 4974 5580 6185 6789

61 61 61 61 61

1381 1992 26o2 3211 3820 4428 5034 5640 6245 6850

61 6i 61 61 61

1442 2053 2663 3272 3881 .¡488 5095 5701 6306 6910

61 61 61 61 60 61 61 60 60 60

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720

85 7332 61 7935 60 8537 60 9138 60 9739 60 86 0338 6o 0937 59 1534 6o 2131 60 2728 59

7393 7995 8597 9198 9799 0398 0996 1594 2191 2787

7453 8056 8657 9258 9859 0458 1056 165.¡ 2251 2847

-6o

61 60 60 60 60 60 60 60 60

60 61 60 59 60 60 60 59 59

7513 8116 8718 9318 9918 0518 1116 1714 2310 2906

61 60 60 61 60 60 60 59 60 60

86 3323 3917 4511 5 104 5696 6287 6 878 7467 8o56 8644 se 9 2 3 2 9 81 8 87 0404 0989 1573 21 56 2 739 33 21 3902 44'3 2

3382 3977 4570 5163 5755 6346 6937 7526 8115 8703 9290 9877 0462 1047 1631

60 59 60 59 59 59 59 59 59 59 59 58 59 59 59

3442 4036 4630 5222 58 t.¡ 6405 6996 7585 8174 8762 9349 9935 052 l 1106 1690

59 60 59 60 60 60 59 59 59 59 59 59 58 58 58

3501 4096 4689 5282 5874 6465 7055 7644 8233 882 1 9408 9994 0579 1164 1748

60 59 59 59 59 59 59 59 59 58 58 59 59 59 58

7574 8176 8778 9379 9978 0578 1176 1773 2370 2966 356 1 4155 4748 5341 5933 6524 7 11 4 7703 829 2 8879 9466 *ºº53 0638 1223 1806

º'

62 1:

3 4 5

7 8

6.2 12 . 4 18.6 24.8 31 ·º 37.2 43-4 49.6 55.8

02 03 04

21 22 23 24 25 26 27 28 29

6 2

3 4 5 6 7 S 9

12 18 24 30 36 42

48 54

730 31 32 33 34 35 36 37 38 39

58 t 2

5 6 7 8 9

5.8 11 .6 17.4 23.2 29.0 34.8 40.6 46.4 52 . 2

7-10 42 43 44

45 46 47 48 49

59 60 59 59 59 59 59 59 59 59 58 59 58 58 58

59 58 58 58 58

2215 2 797 3379 3960 4540

~ 60 60 60 61

sB 58 58 58 58

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2273 2855 3437 4018 4598

60 61 6i 61 6o

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2331 2913 ~495 4076 4656

1dif. 1 3

s8 59 58 58 58

2389 297 2 3553 4134 4714

\ dif. \ 4

62 62 61 62 62

62 61 61 61 61 61 61 61 61 61

61 60 6i 61 61 60 6o 60 60 60 59 6o 60 60 ~

59 59 60 59 ~

59 59 59 58

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5S 5S 58 5~

j clif.j

N. 1Lorr.

700 01 02 03 04 05 06 07 08 09

710 11 12 13 14 15 16 17 18 19

720

21 22 2J 24 25 26 27 28 29

730

31 32 33 34 35 36 37 38 39

740

41 42 43 44 45 46 47 48 49

51dif. l 6

84 5408 6028 6646 7264 7881 8497 9112 9726 85 0340 0952 85 1564 2175 2785 3394 4002 4610 5216 5 22 6427 7031 85 7634 8236 8838 9439 86 0038 0637 1236 1833 2430 3025 86 3620 4214 4808 5400 5992 6583 7173 7762 8350 8938 86 9525 87 0111 0696 1281

1865 2448 3030 3611 4192 4772

62 62 62 62 62 62 62 62 61 62 61 61 61 61 61 60 61 60 60 60 60 61 60 60 60 60

59 60 59 60 60 60 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 58 58 58 58 58 58 58

N. I Log. &ldir.

1dif. l

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¡6

1dif.

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5532 62 5594 6z 6151 Ó2 6213 62 6770 62 6832 62 61 7388 7-1--1-9 62 8004 62 8066 6z -8620 62 8682 61 9235 62 9297 61 9849 62 9911 61 0462 62 0524 61 1136 61 1075 61 1686 61 1747 62 2358 6I 2297 61 2968 61 2907 61 3516 61 3577 6o 4124 61 4185 60 -4731 6I 4792 60 5398 61 5337 6I 5943 60 6003 61 6548 6o 660S 60 7152 60 7212 60 --7755 60 7815 60 8357 60 8.p7 60 8958 60 9018 60 9559 60 9619 60 0158 60 0218 60 -0757 60 0817 60 1415 60 1355 6o 1952 60 2012 60 2549 59 2608 60 6o 3204 59 - --3144 3739 6o 3799 59 4333 59 4392 60 4926 59 49 5 60 55 19 59 5578 59 6110 59 6169 59 6701 59 6760 59 7291 59 7350 59 7880 59 7939 59 8468 59 8527 59 9056 58 9114 59 9642 59 9701 59 0228 59 0287 58 0813 59 0872 58 1456 59 1398 58 1981 59 2040 58 2564 58 2622 59 3146 58 3204 58 3727 58 3785 59 4308 58 4366 58 4888 57 494'5 58

1dif. l

1dif.1

5656 6z 6275 62 6894 61 7511 6z 8128 61 - -6z-8743 9358 61 9972 61 0585 61 61 ~ 1809 61 2419 61 3029 61 3637 61 4245 61 4852 61 5459 60 6064 60 6668 61 7272 60 -7875 60 8477 60 9078 60 9679 60 0278 60 0877 60 1475 59 2072 59 2668 60 3263 60 3858 59 4452 59 5045 59 5637 59 6228 59 6819 59 7409 58 7998 58 8586 58 9 1 73 59 9760 58 0345 59 0930 59 1515 58 2098 58 2681 sS 3262 59 3844 58 4424 58 5003 58

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1dif.

1 2 3 4

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8 9

18 . 3 24.4 30 5 36.6 42.7 48.8 54.9

2 3 4 5 6 7 8 9

5.9 11.8 17-7 23.6 29.5 35.4 41.3 47.2 53.1

6 7

58 2 3 4 5

6 7 8 9

5.8 JI .6 17.4 23.2 29.n 34.8 40.6 46.4 5z .. z

N. 1Log.

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4 5 6 7 8 9

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56 I 2

4 5 6 7

8 9

87 51 52 53 54 55 56 57 58 59 88 760 88 61 6z

63 64 65 66. 67 68 69

770

780

71 72 73 74 75 76

5.6 1 I, 2

16.8 22.4 28.0 33.6 39.2 44.8 50.4

78 79 81 82 83 84 85 86 87 88 89

54 J

2 3 4 5 6 7 8 9

5.4 ro.8 16.2 21.6 27 .0 32.4 37.8 43.2 48.6

790

89 91 92 93 94 95 90 96 97 98 99

o¡dif. 1 • 1dif. ,

5061 5640 6218 6795 7371 7947 8522 9096 9669 0242 oSq 1385 1955 2525 3093 3661 4229 4795 5361 5926 6491 7054 7617 8179 8741 9302 9862 0421 0980 1537 2095 2651 3207 3762 43 16 4870 5423 5975 6526 7077 7627 8176 8725 9 273 9821 0367 0913 1458 2003 2547 .

1L-og . º

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'1 1dif. l 0057 22 0280 22 0502 22 0724 23 0947 22 -1169 22 1391 22 1613 22 1835 22 2057 22 2278 22 2500 22 272 1 22 2942 23 3164 22 3385 22 36o6 22 3826 23 4047 22 4268 22 4488 22 4709 22 4929 22 5149 22 5369 22 5589 22 5809 22 6o29 22 6248 22 6468 22 6687 22 6906 22 7 126 21 7345 22 7564 21 7782 22 8001 22 8220 22 8438 22 8657 21 8875 22 9093 22 9311 22 9529 22 9747 22 9965 21 0182 22 0400 22 0617 22 0835 21

N. 1Log . O dir. \ 'l. 1 dif. ¡

\clif 22 22 23 22 22 -22 · 22 22 22 22

0079 0302 0524 0747 0969 1191 1413 1635 1857 2079 2300 2522 2743 2965 3186 3407 3628 3849 4069 4290 4510 4731 4951 5171 5391 5611 5831 6051 6270 6490

6709 6928 7 147 7367 7585 7804 8023 8242 8460 8678 8897 9 11 5 9333 9551

9769 9986 0204 0422 0639 0856 ~

23 2:f 22 22. 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 21 22 22 22 21 22 22 22 ' 22 22 22 21 22 22 21 22 22

1 3

1dif. l 4

0101 23 0324 22 0547 22 0769 22 0991 22 -1213 23 1435 23 1657 23 1879" 22 22 - --2101 2323 22 2544 22 2765 23 . 2987 22 3208 22 3429 22 3650 2:.1 3871 22 -4091 22 43l2 22 4532 22 4753 22 4973 22 5193 22 5413 22 5633 22 5853 22 6073 .,~ 6292 22 6512 22 6731 22 6950 ;z2 7169 22 7388 22 7607 22 7826 22 8045 22 8263 22 8482 22 8700 22 8919 21 9 137 22 9355 22 9573 21 9790 22 •0008 22 0226 22 0443 22 0661 21 0878 22

1dif. l 3

\ dif.

\uir.

0124 0346 0569 0791 1013 1236 1458 1680 1901 2123 2;¡45 2566 2788 3009 3230 3451 3672 3893 4113 4334 4554 4775 4995 5215 5435

22 23 22 1

23 22

22 22 23

22 22

22 22 22 22 22 22 22

22 22 22 22

22 5655 22

5875 22 6095 21 6314 22 6534 22 6753 22 6972 22 7191 22 7410 22 7629 22 7848 22 8067 22 8285 • 22 8504 22 8722 22 8940 22 9159 21 9377 21 ! 9594 22 9812 22 il'0030 22 0248 21 0465 22 0682 22 0900 21 \

¡4

1uir. l

·-

11 I•

1Log. 5 1dif.

1950 51 52 53 54 55 56 57 58 59

1960 61

(Í2

63 64 65 66 67 68 69

uno71

72 73 74 75 76 77 78 79

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81 82 83 84 85 86 87

SS 89

1990

-N.

91 92 93 94 95 96 97 98 99

29 0146 22 0369 22 0591 22 0813 23 1036 22 -1258 22 1480 22 1702 22 1924 22 2145 22 -29 2367 ·22 2588 22 28io 22 3031 22 3252 22 3473 22 3694 22 39 15 '22 4135 22 4356 22 -29 4576 22 4797 22 5017 22 5237 22 5457 22 -5677 22 5897 22 61I6 22 6336 22 6556 21 29 6775 22 6994 22 7213 22 7432 22 7651 22 -7870 22 8089 21 8307 22 8526 2.1 8744 22 29 8962 22 9180 22 9398 22 96 16 22 9834 22 -30 0052 21 0269 22 0487 22 0704 22 0921 22

1Log.

1 dif. 1

0 168 22 0391 22 , 0613 23 0836 22 1058 22 · -1280 22 , 1502 22 1724 22 .'1,946 22 2167 ~ 2389 22 2610 23 2832 22 '3053 22 3274 22 3495 22 3716 22 3937 22 4157 23 4378 22 -4598 23 4819 22 5039 22 5259 22 5479 22 -5699 22 5919 22 6 138 22 6358 22 6577 22 6797 22 7016 22 7235 22 7454 22 7673 22 -7892 22 8 II O 22 8329 22 8547 22 8766 22 8984 22 9202 22 9420 22 9638 22 9856 22 -0073 22 0291 22 0509 21 0726 22 0943 22

51 dif. ¡ 6

.1 dif. 1 0

1 dif.

0190 23 '0413 22 063($ 22 0858 22 1080 22 l302 22 1524 22 1746 22 i968 22 2190 22 24Il 22 2633 22 2854 22 3075 22 3296 22 3517 22 3738 22 3959 22 4180 22 4400 22 4621 22 4841 22 5061 22 5281 22 5501 22 -5721 22 5941 22 6 160 22 6380 22 6599, 22 6819 22 7038 22 7257 22 7476 22 7695 22 -7914 22 8132 22 '835 1 22 8569 22 8788 2 1 9006 22 9224 22 9442 22 9660 22 9878 21 -0095 22 03 13 22 0530 22 0748 21 0965 22

¡s

ldif. ¡

0213 22 0435 23 o658 22 0880 22 l 102 23 -1324 23 1546 23 1768 23 1990 22 2212 22 -2433 - 22 2655 22 2876 22 3097 22 33 18 22 3539 22 3760 22 3981 22 4202 22 4422 22 - - -4643 22 4863 22 5083 22 5303 22 5523 22 5743 22 5963 22 6182 22 6402 22 662 1 22 684 1 22 7060 22 72 79 22 7498 22 77 17 -227936 2 1 8154 22 8373 22 859 1 22 8809 22 9028 21 9246 22 9464 22 9682 2 1 9899 22 0117 22 0335 21 055;z 22 0769 22 0987 21

1 dif. l

1dif,

22 22 22 23 22 22 22 22 2012 22' 2234 22 -2455 23 2677 22 2898 22 3"9 22 3340 23 3561 23 3782 22 4003 22 4224 22 4444 22 -4665 - -224885 22 5105 22 5325 22 5545 22 -5765 22 5985 22 6204 22 6424 22 6643 22 6863 21 7082 22 7301 22 7520 22 7739 22 -7957 22 8176 22 8395 21 8613 22 8831 22 9049 22 9268 21 9486 2 1 9703 22 9921 22 -0139 22 0356 22 0574 21 0791 22 1008" 22

1 dif. l

0235 0458 0680 0902 II25 1347 1569 1791

t 2

3 4

6 7 8

1 dif.

!, [i [:

21 2. I 4.2 6.3 8.4 io.-5 12.6 14 . 7 16.8 18 . 9

TABLA II. -

Factores de M para convertir los log. hiperb. en vnlgares.

o t

•

2 3 4

5 6

8 9

10 JI

12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34

35 36 37 · 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

0,000000 0,434294 0,868589 1,302883 1,737178 2,171472 .2,605767 3,040061 3,474356 3,90¡;650

4,342945 4,777239 5,211534 5,645828 6,080123

6,514417 6,948712 7,383006 7,817301 8,251595 8,685890 9, 120184 9,554479 9,988773 10,423068

65 66

ID,857362 n ,29 1657 Jt,7 25951 12, 160245 12,594540 13,028834 13,463129 13,897423 14,331718 14,766012 15,200307 15 ,634601 16,068896 16,503190 16,937485 17,37 1779 17,8060 74 18,240368 18,674663 19,1D8957 19,543252 19,977546 20,411841 20,846135 2 1,280430 21,714724

51 52 53 54

55 56 57 58

59 61 62 63 64

67 68 69

70 71 72 73 74

76 77 78

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94

95 96 97 98 99

100

21,714724 22, 149019 22,583313 23 ,017608 23 ,451902 23,886197 24,320491 24,754785 25,189080 25,623374 26,057669 26,491963 26,926258 27,360552 27,794847 28,229141 28,663436 29,097730 29,532025 29,966319 30,400614 30,834908 31,269203 31,703497 32, 137792 32,572086 33,006381 33,440675 33,874970 34,309264

Factores de ti para convertir loe log. vulgares en hiper.b.

o t

2 3

6,907755

9,210340 l 1,512925 13,81551 t 16,n8096 18,420681 20,723266

6 7 8 9

10 Ir

12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

34,743559 35,177853 35,612148 36,046442 36,480736

36,915031 37,349325 37,783620 38,217914 38,652209 39,086503 39,520798 39,955092 40,389387 40,823681

35 36 37 38 39

41,257976 41 ,692270 42,126565 42,560859 42,995154 43,429448

0,000000 2,302585 4,605170

52,959457 55,262042 57,.564627 59,867212 62,169798 64,472383 66,774968

115 ,129255

126,6421 801 128,944765 131,2473501 133,549935 135,852520

34,538776 36,84_1361 39,143947 41,446532 43,749117 46,051702 48 ,354287 50,656872

41 42 43 44 45

55 56 57

47 48 49

t 15, 129255 117,431 840 119,734425 122,03701 0 124,339595

51 52 53 54

23,025851 25,328436 27,631021 29,9336o6 32,236191

69,0 77553 71,380138 73,682723 75,985308 78,287893 80,590478 82,893063 85,195648 87,498234 89,800819 92,103404 94,405989 96,708574 99,011159 1D1,313744 rn3,616329 rn5,918914 1D8,221499 110,524084 112, 826670

31 32 33 34

50·

62 63 64 66

67 68 69

70 71 72 73 74

75 76 77 78

80" 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94

95 96 97 98 99

100·

138,1551 o61 140,4576g1 142,760276 145,002861 147,3654461 149,66803 1 151 ,9706161 154,273201 156,5757861 158,878371 161,1 80957 163,483542 165,7861 27 168,0887 12 170,391 297 172,693882 174,99646¡ 177,29905 7 l 79, 601 637 181 ,904221 184,206807 186,509393 188,8 11 978 191,11 4563 193,41 7 148 195,71 9733 198,022318 200,324903 202,627488 204,930073 207,23 2658 209 ,535243 211,837829 214,1404 14 216,442999 2 18,7455S4 221,0.¡8 169 223,350754 225,653339 227,95~ 230,258~

TABLA III. PGARI TIIOS DE LAS POTENCIAS CUADRADA Y CÚBICA Y DE LAS RAICES RES• PECTIVAS, ASÍ COMO DE LAS CIRCUNFERENCIAS Y SUPERFICIES DE LOS CÍR• CULOS, CORRESPONDIENTES Á LOS NÚMEROS Y DIÁMETROS DESDE 1 .{ iQO. ·' 1 Cuadrados. 1

º·ººº

1 000 2 0 .602 060 3 0.954 243 4 1. 204 120 5 1.397 940 6 1.556 303 7 1.690 196 8 1.806 180 _2 1.908 485

Raíces d d

CUO. rll 0.5.

Cubos.

r·•

Raíces 1Circunf•reo-1 S . cias. opcr fi c1es. J.s cúbicas .

º·ººº 000 º·ººº ººº º·ººº 000 0.497 150 T.895 090 o. 150 515 0.903 090 o. 100 343 0.798 180 0.238 561 0.391030 0.349 485 0 . 389 076 0.422 549 0.451 545 0.477 121

,431 ,806 2.096 2 .334 2.535 2 . 709 2.862 l l

364 180 9IO 454 294 270 728

o. 159 040 0.974 271 o. 200 687 l .099 210 0.232 0.259 0.281 0.301 0.318

99!) l. 196 120 384 l ,275 301 699 l ,342 248 030 1.400 240 081 l .451 392

2 ·ººº 000 0.500 000 3 .ooci ooo 0.333 333 -1011 2.082 - ---785 0.520 696 3. 124 12 2. 158 363 13 2.22 7 887 14 2 .292 256 15 2.352 183 16 2.408 240 17 2.460 898 ~8 2 •5 10 545 _2 2 -557 507 O2.602 060 1 2 .644 439 ~2 2.684 845 32.723 456 42,760 423 5 2 .795 880 6 2 .829 947 7 2. 862 728 8 2 .894316 9~

0.539 591 0.556 972 0.573 064 o .588 046 0 . 602 060 0.615 224 0.627636 0.639377

178 3.237 544 3.341 830 3 .438 384 3 .528 274 3 .612 360 3 , 691347 3.765 818 3 . 836 261

0.650 515 0.661 110 0.671 211 0.680 864 0.690 106 0.698 970 o . 707 486 0.715 682 0.723 579 0.731 199

3.966 658 4 . 027 268 4.085 184 4. 140 634 4. 193 820 4. 244 920 4.294091 4.341474 4.387 194

o ~ 0 . 738 1 2 .982 723 o. 745 2 3.010 300 o. 752 33 .03 7028 o . 759 4 3 .062 53.088 6 3, II2 73.136 8 3, 159 93,182

958 136 605 403 567 129

0 . 765 0 . 772 0 . 778 0.784 o. 789 0 . 795 3,204 120 0.801

·~ 0

131 727 314 043 030 373 150 424 251

---

1.974 271 1.988512 2,002 300 2.015 664 2 . 028 629 2.041218 2 . 053 452 2.065 352 2 . 076 934 2 . 088 2 15

561 4 . 431 364 0.492 374 681 4.474 085 0.497 121 575 4.515 450 0.501 717 257 4.555 542 0.506 171 739 4.594 437 0 .510 493 034 4.632 204 0.514 689 151 4.668 908 0 .518 768 101 4. 704 605 0 . 522 734 892 4.739 351 6 . 526 595 532 4. 773 194 0.530 355 030 4.806 180 0.534 020

2 .099 2 IO

0 . 537 595 0.541 083 0.544 490 0.547 818 0 . 551 071 0.554 253 0.557 366 0.560 414 0.563 399

2. I09 934 2. 120 399 2. 130 618 2. 140 603 2.150362 2. 159 908 2. 169 248 2.178391 2 . 187 346

0 . 806 392 0.811 625 0.816 734 0 . 821 726 0.826 606 0.831 379 0.836 049 0.840 621 0.845 098 ~ 97_940 0.849 485 3.246 499 3 3.266937 4 3.286 905 5 3,306 425 6 3.325 516 7 3.344 196 8 3,362 483 93 ,380 392

3.903 090

1 .497 150

1 .538 543 1 .576331 l. 611 093 1 .643 278 1 .673 241 1.701 270 l .727 599 1. 752 422 1.775 904 0.433 677 1.798 180 0 . 440 740 1 .819 369 0 . 447 474 l ,839 573 0 . 453 909 l .858 878 0 . 460 070 l .877 361 0.465 980 1.895 090 0 . 471 658 l .912 123 0.477 121 l .928 514 0.482 386 l •944 308 0.487 466 l ,959 548 0.347 0.359 0.371 0.382 0.392 0.401 0.410 0.418 0.426

4 . 838 352 4.869 748 4.900 405 4. 930 358 4.959 638 4.988 274 5.016 294 5.043 724 5 .070 588 5 .096 _910

1.977 2. 053 2. 122 2. 187 2.247 2.303 2.355 2 .405 2 .452 2 .497

150 33·2 210 030 392 286 270

575 090 875 452 977 346 272 330 988 635

597 150

2.539 529 2.579 935 2.618546 2.655512 2.690 970 2 . 725 037 2.757 817 2. 789 406 2.819 886 2.849 332 2.877 813 2.905 390 2.932118 2.958 048 2 .983 226 3 .007 695 3.031 493 3 .054 657 3.077 219 ----3.099 210 3. 120 658 3 . 141 589 3. 162 027 3. 181 995 3.201 515 3.220 606 3.239 286 3.257 572 3.275 482

-----

0.566 323 2._196 120 3 • 293 03~ 6

0.497 0.849 l .099 l .293 1 . 451 1 .585 1 . 701 1.803 1 .895

il~ ,

~, 8¡ 9

-;-;;I

121 13 14, 151 16 1

171 18, 19 -1

::¡

22 23 24 25 ' 26 27 28 29

-30, 31 32 33 34 35 36 37 38, 39 40 -1 41 421 43 1 44 1 45 46 47 48 49

- ,

TABLA III. N.• y

D• s

51 52 53 54 55 56 57 58 ' 59

1Cuadrados. 1 Raíces cua d d

ra as .

3.415140 3.432 007 3 . 448 552 3.464788 3.480 725 3.496 376 3 .511 750 3 .526 856 3.541 704

0.853785 0.858 002 o.862 138 0.866197 0.870 181 0.874 094 0 .877 937 o. 881 714 0 . 885 426

Cub os.

(CONTINUACJONJ.

Ralees

cúbic.as.

5.122 7110.569190 5.148 010 0 . 572 001 5. 172 828 0.574 759 5.197 181 0.577465 5.221 088 0.580 121 5 .244 564 0 . 582 729 5.267 624 0.585 292 5 .290 284 0.587 809 5.312 556 0 . 590 284

ICircuoforou-1 S . IN.• cia&. uper 6 caes . J., 2.204720 2.213 153 2. 221 426 2.229544 2.237 513 2 245 338 2.253 025 2. 260 578 2.268 002

60 3 .556 303 o . 889 076 5 .334 454 0.592 717 2 .275 301 61 3 .570 660 0.892 665 5 .355 990 0.595 110 2 282 480 62 3.584 783 0.896 196 5 .377 175 0.597 464 2 289 542 63 3. 598 681 o .899 670 5 .398 022 0.599 780 2. 296 490 64 3 .612 360 0.903 070 5 .418 540 0 . 602 060 2 .303 330 65 3 .625 827 0.906 457 5.438 740 0.604 304 2.310 063 66 3.639 088 0.909 772 5.458 632 o 606 515 2.316 694 67 3.652 150 0.913 037 5 . 478 224 0.608 692 2.323 225 68 3.665 018 0.916 254 5.497 527 0.610 836 2.329 659 69 3 .677 698 0.919 425 5 .516 547 o. 612 950 2. 335 999 70 3.690 196 5.535 294 0.615 033 2.342 248 71 3.702 517 0.925 629 5.553 775 0.617 086 2.348 408 72 3 • 7 l 4 66 5 j O • 928 666 5 •5 7 1 998 O. 6¡ 9 1 1 1 2 •354 482 73 3 · 726 646 10 ,931 661 5 . 589 969 0.62 l 108 2 . 360 473 74 3 . 738 463 ,0.934 616 5.607 695 0.623 077 2.366 382 75 3. 750 123 0.937 531 5 .625 18.¡ 0.625 020 2. 372 211 76 3 761 627 0.940 407 5.642 441 o.626 738 2 377 964 773.772982 ¡0.9432455.6594720.6288302 . 383641 78 3 . 784 189 0.946 047 5.676 284 0.630 698 2.389 245 79 3 · 795 254 o. 948 814 5. 692 88 1 o. 632 542 2 394 777 8o 3 .806 180 0.951 54'5 5.7092700 .634363 2.400240 813.8 169 700.9542435-:¡254550.6361622.4;5635 82 3. 827 628 0.956 907 5. 741 442 0.637 938 2 410 964 83 3.838 156 0.9595395.7572340 . 639693 2.416228 84 3 .848 559 10.962 140 5. 772 838 o . 641 426 2 . 421 429 85 3.858 838 ¡0.964 709 5.788 257 0.643 140 2.426 569 86 3 .868 997 ,0.967 249 5 .803 495 o. 644 833 2.431 648 87 3.879 039 0.969 760 5.818 558 0.646506 2.436 669 88 3. 888 965 o. 972 241 5 .833 448 o .648 161 2 .441 633 89 3.898 780 0.974 695 5.848 170 0.649 797 2 446 540 90 3.908 485 0.977 121 ¡s-6~ 0.651 414 2.45 1 392 91 3.918 083 0.979 521 5.877 12.¡ 0.653 014 2.456-;91 9 2 3.927 576 0.981 894 5.891 364 0.654 596 2.460 938 93 3.936 966 0.984 241 5.905 449 0 . 656 161 2.465 633 94 3.946 256 0.986 564 5 . 919 384 0.657 709 2 . 470 278 95 3 .955447 0.988862 5.933 171 0.659241 2 .47-1874 96 3 .964 543 o . 991 136 5 .946 814 o .660 757 2 .479 421 97 3 .973 544 0.993 386 5. 960 315 o. 662 257 2 .483 922 Q8 3 .982 452 0.995 613 5 .973 678 o. 663 742 2 .488 376 99 3 991 270 0.997 818 5 .986 906 0.665 212 2.492 785 100 4.000 ooo 1. ooo ooo 6. ooo ooo o.666 6uú 2 .497 150

~ns49

3 . 310230 3.327 097 3 . 343 642 3 . 359877 3 . 375 815 3 . 391 466 3 .406 840 3 421 946 3.436 794

51 51 5l 54 Si 51 57 58 59

3 .451 392 ~ 3 .465 750 fü 3 .479 873 fu 3 493 771 6J 3 .507 450 6¡ 3.520 917 6· 3.534 178 66 3.547 240 (r¡ 3.560 I08 6S 3 .572 788 li9 ~ 6 71 3 597 607 71 3 . 609 755 J 3.621 736 1 3 . 633 553 11: 3 .6.¡5 212 ,,¡, 3.656 71 7 ¡e 3 66807 1 7Í 3.679 279 7 3 . 690 34-1 .!. 3.701 27o~ 3 . 7 12°6°: 3. 722 1 18 3.733 246: 3.743 649 S 3.753 928 S 3 · 764 ° 87 :' 3.774 128 ! 3. 784 055 ¡ 3 793 87°1~'~, 9 3.8 13 1763 9 3 8 22 66 3.83 2 05~ : 3.84I 34 S 3 85o5372 3 · 859 63 3 868 6332 g 3 .877 54

ol~ 3, 895~_,;,.;

TABLA IV. ÚMEROB RECÍPltOCOS CUYO PRODUC'l'O ES IGUAL A l; 6 ~•RACCIONES DECIMALES CORRESPONDIENTES A LAS COMUNES QUE TIENEN POR NUJIIERADOR LA UNIDAD Y POR DENOMINADOR 1, 2, 3 .... 200.

......

Decim . correap. 6 111.iu• rt:d proco del de•

do,11.

2 3

4 5

6 7

9 lo 11

12 13 14 15

17 18

nominador.

1.000000 0.5 0 . 333333 0.25 0 .2 o . 166667 o. 142857 o. 125 O. l I ! l l l O. l 0.090909 0.083333 0.076923 0.071429 0.066667 0.0625 0.058824 0.055556 0.052632 0.05 0.047619 0.045455 0.043478 0.04 1667 0 .04 0.038462 o 037037 0.035714 0.034483 o.O33333 0.032258 0.031250 0.030303 0.029412 0.028571 0.027778 o 027027 O 026316 0.025641 0.025 o.O2439O 0 .023810 0.023256 0.022727

' Deno•

Decim. eorreap , d

min&• r.edproco del de• do.rea. nominador.

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 6t

62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77

78 79

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 0.0222 22 95 0.021739 96 0.021277 97 0.020833 98 49 0.020408 99 s0_ O.O2_ _ _100

0.019608 0 . 019231 0.018868 0 . 018519 0 . 018182 0.017857 0.017544 0.017241 0.016949 0.016667 0 . 016393 0 . 016129 0 . 015873 0.015625 0 .015385 0.015152 o 014925 0.014706 0 . 014493 0 . 014286 0.014085 0.013889 0.013699 0 . 013514 0.013333 0.013158 0.012987 0.012821 0 . 012658 0.0125 0.012346 0.012195 0 . 012048 o.OI19O5 O.OI1765 O.OI1628 O.Oil494 O.OII364 o . 011236 O.OIIIII 0 .010989 0.010870 0.010753 0.010638 0.010526 0 .010417 0 . 010309 0.010204 0.010101 0.01 ·

Deno• Decim. corrdp. ó 11 Den.o .. Jncim. conHp. d mina• reciproco del d•· mina• reciproco del de• nociaador. dores. nominador.

dore•.

101 102 103 104 105 106 107 108 109 IIO II 1 112 II3 II4 II5 It6 1t7 It8 1t9 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

(!.009901 0.009804 0.009709 0.009615 0.009524 0.009434 0.009346 0.009259 0.009174 O 009091 0.009009 0.008929 0.008850 0 . 008772 0.008696 0.008621 0.008547 0.008475 0.008403 0.008333 0.008264 0.008197 0.008130 0.008065 0.008 0.007937 0.007&74 0.007813 0.007752 O.OOJ692 0 .007634 0.007576 0.007519 0.007463 0.007407 0.007353 0.007299 0 . 007246 0.007194 0 .007143 0.007092 0 .007042 0.006993 0.006944 0.006897 0.006849 o.0068o3 0.006757 0.006711 0.006667

151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191

192 193 194 195 196 197 198

199 200

0.006623 0.006579 0 .006536 0 . 006494 0.006452 0.006410 0 . 006369 0.006329 0 . 006289 0 .006250 0.006211 0 . 006173 0.006135 0.006098 0 . 006061 0 . 006024 0.005988 0.005952 0 . 005917 0.005882 0.005848 0.005814 o 005780 0.005747 0.005714 0 .005682 0.005650 0 . 005618 0.005587 0.005556 0 .005525 0.005495 0.005464 0.005435 0.005405 0 . 005376 0 . 005348 0.005319 0 . 005291 o 005263 0.005236 0 . 005208 0.005181 0.005155 0.005128 0 .005102 0.005076 0 . 005051 0.005025 o 005 __ -

TABLA

COBFICIEIITBS NUIIÉRICOS PARA EL BINO!IIO Y OTRAS MUCHAS SÉBIBS

1du~... ;~.. .. ,.. ''"" Locaritmos de los pro- ..,.. ;•m•• ......."I eto~ de lo s números du etos de Jo s números tencio-1 de 2. naturales consecuti, os.

impares consecutivos.

•

l.2 .5.4 ... n. 1

2 3 4 5

6 7 8 9 10

12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25

z6 ZJ

28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

39 40 41

42 43 44

46 47 48

49 50

0.000000 0.301030 0.778151 1.380211 2.079181 2.857332 3.702431 4.605521 5.559763 6 559763 7.601156 8.680337 9.794280 10.9404o8 12. n6500 13.32o620 14 .651069 15. So6341 17 .085095 18.386125 19 .7o83 44 21 .050767 22 . 412494 23.792706 25. 19o646 26 . 605619 28.036983 29.484141 30.946539 32.42366o 33.915022 35 .420172 36 .938686 38.470165 40 .014233 41.570535 43. 138737 44.718520 46 .309585 47 .911645 49. 524429 51 .147678 52 . 781147 54.424600 56.077812 57.740570 59.412668 61 .093909 62.784105 64.483075

5.5 ... (2n- •

0.000000 0.477121 1.1 7609 1 ' 2.02) 189 2.975432 4.016824 5. 130768 6.306859 7.5373o8 8.816062 10 . 138281 11.500009 12.897949 14.329313 15 . 791711 17 .283072 18.801586 20.345654 21.913856 23.504921 25.117704 26 . 751173 28.404385 30.076483 31 .766679 33 . 474249 35. 1g8525 36.938888 38.694763 40.465615 42. 250945 44.050285 45.863199 47.689273 49.528123 51.379381 53.242704 55• n7765 57 .004256 58.901883 60.810368 62 .729446 64 .658865 66.598384 68.547774 70 .506816 72.475298 74.453022 76.439794 78.435429

)

2ª

0.301030 0.602060 0.903090 1 .204120 1 .505150 1 .806180 2.107210 2.408240 2.709270 3.010300 3 .311330 3.612360 3.913390 4.214420 4.515450 4.816480 5.117510 5.418540 5.719570 6 . 020600 6.321630 6.622660 6.923690 7.224720 7.525750 7.826780 8. 1278 JO 8.428840 8.729870 9.030900 9.331930 9.632960 9.93399o 10.235020 10 .536050 10.837080 11 . 138110 11 .439 140 11.740170 12.041200 12.342230 12.643 260 12.944290 13 .245320 13 .546350 13. 847380 14 . 148410 14.449440 14.750470 15 . 051500

1 2

4 5 6 7 8 9 JO JI

12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 41 48 49 50_

TABLA V

(CONTINU A.CION).

Logat'ilmos de los pro- Lo~aritmos de los pro-

n. 51 52 53 54 55 56 57

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

76 77 78 79 So 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

duetos de los números du elos de los nUm eros natura l es conseculivo1 , imparos consecutivos. t .2.5.4 ... n. l.5.5 ... (2u-L)

66. 190645 67.906648 69 . 6309:i4 71.363318 73. 103681 74.851869 76.607744 78.371172 So. 142024 81 .920175 83.705505 85.497896 87.297237 89 .1 03417 go.916330 92.735874 94.561949 96.394458 98 .233307 100.078405 101 .929663 103 786g96 105.650319 107.519550 109.394612 111.275425 113.161916 115 .054011 116.951638 118. 854728 120.763213 122. 677027 124.596105 126 .520384 128.449803 130.384301 132.323821 134. 268303 136.217693 138. 171936

80.439750 82.452588 84.473777 86.503161 88.540587 90.585910 92.638989 94.6g9686 96.767872 98.843419 100.926205 103.0161IO 105. I 13020 107.216823 I09.327413 JJJ .444684 113.568536 I 15 .698870 117.835590 JJ 9.978605 122, 127824 124.283160 126 .444528 128.6u846 130.785032 132.964009 135. 1487or 137.3390:;:: 139.534932 141. 736329 143.943155 146. 155342 148.372826 150.595543 152. 823429 155.056426 157.294472 159.537510 161.785483 164.038336

...,.,;,..... ,.. ·•-1 teaciu Je 2 .

2ª.

15.352530 15.653560

15.954590 16.255620 16.556650 16 . 857680 17. ,58710 17 . 459740 17.760770 18.061800 18.362830 18.663800 18.964890 19.265920 19.566950 19.867980 20. 169010 20.470040 20.771070 21.072100 21 . 373130 21 .674160 21 .975190 22.276220 22.577250 22.87828o 23. 1793ro 23.480340 23.781370 24.082400 24.383430 24.684460 24.985490 25.286520

25.587550 25.888580 26. 189610 26 .490640 26.791670 27.092700

51 52 53 54

55 . 56 57 58 6o

61 62

63 64

65 66 67 68 69 70 71 72

73 74

76 77 78 79 So 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

Los productos cuyos logaritmos anteceden son de un uso muy frecuente en muchas s&ies y en las combinaciones que tanto juegan en el cálculo de las probabilidades. El producto de un11. série de números pares, empezando por el 2, puede expresarse por el producto de una série ele los números naturales hasta la mitad del último mímero : r, multiplicado por una potencia _del 2 de igual grado. El prod~cde 2.4.6 .... :'16 es 1gual á lo. potelima 2 18 X 1.2.3 .... 18, y su logar1tmo 5.41854.0+15.806341=21.224881. El logaritmo del producto desde n_á " ' factores se determina en todos estos casos, restando del loga.• ritmo de m factores el de n-1 factores.

TABLA VI. EXPRESIONES NUMÉRICAS USADAS FRECUENTEMENTE EN LA MECÁNIC A Y 0TB RAMOS DE LAS CIENCIAS EXACTAS.

Su equivalencia.

Expresion.

Locnritmos .

Expresion.

v: .. *

1.849487

v:f

1 0,57735 (

V¾

ví y;VJ

0,44721

1.650512 1.610926

1,41421 1,73205

v.'s \16

1.761439

2,23607 2,44949

2"lt

6,283 19

o. 798 180

0,78540

1 .895091

0.349485 0.389076

,..

0,52360

860

3,16228

0.500000 1)

VIS

º. 588045

v;-

0,92388

t\12- ✓2 0,80902

¼Vs-"i

0,30902

l .9O7959 1.489987

tV w+2 ✓5

o,95rn6

1.978208

tv~✓s

0,58779

1.769222

1~25992

o. 100343

Vz Vs V6

1\1

1,44225 1,81712

0.259384

1,79370

1.899656

•

0,00873

3 .940845

9,S6960

0. 994300

1,77245

0. 248575

0,80600

1.906333

1,61199

0. 207362

0,62035

1. 792638

2,718281 0,4342 9 4 2,302585

1. 637784

0.434294

o. 3622 15

llunn <lo ln cinmnfcr cnoin ni dii-

molru.

1.840959

Dnso do los locn1·ilmos hiperb 6·

licl)S ,

TABLA VII. SUPERFICIES Y VOLÚMENES llACI i,;NDO EL LADO DBL POLIGONO

Superfi cie.

Lo¡J nr ilmo s

Triángulo .... Cuadrado.•... Pentágono ... Exágono .•.... Octógo110 .... . Decágono .... . Dodecágono . .

0.433013 I. 1 . 720477 2.598076 4 .828427 7.694209 11.196152

1.636498 0.000000 0.235649 0.414653 0.683806 0.886166 1.049069

== f.

POLIEDROS REGULAR ES,

POLiGONOS REGULARES. Nombre& .

719000

0,69336

0 .4971501

o. 622o8g

3,87298

t ocoritmo1,

1. 740615 ¡

¾V5+I

Jc.ncia.

0,55032 3, 14159

o. 150514 0.238560

½\/2+V2

Su cquiva-

NomLres.

------1

Volñmcn.

Tetraedro .... 0.117851 r.071 334 o .o()()()OQ Exa edro *· ··· 1. Octaedro ..... 0.471404 r.6733912 Dodecaedro .. 7 .663119 o. 8844° Icosaedro .. . 2.181695 o ~ •

Vulgarmcnlo Couo.

¡,

TABLA VIII. COl'IVBRSION DB LA. BSCALA T R RIIIOIIIÉ rRI CA DR FAORRl'IDRIT Bl'I GBADO:l DF. REAUnIUn y CEIIT ÍGBAD OS .

-14,2 o -13, 7 1

2 3 4 5 6 7 8 9

-13,3 -1 6,6 -12,8 - 16,1 -12,4 - 15,5 --- - --12,0 - 15,0 -11,5 -14,4 -11,1 - 13,8 -10,6 - 13,3 -10,2 - 12,7

- --

- 9,7 - 9,3 12 - 8,8 13 - 8,4 14 - 8,o --15 7,5 16 7, l 17 - 6,6 18 - 6,2 19 - 5,7 20 - 5,3 21 - 4,8 22 - 4,4 23 - 4,0 24 - 3,5 25 -3,1 26 2,6 27 - 2,2 28 - 1,7 29 ~ 30 - o,8 31 - 0,4 o,o 32 33 + 0 ,4 o,8 34 35 1,3 36 1,7 2,2 37 38 2,6 39 ~ 11

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

3,5 4,0 4,4 4,8

--- 1 2,2 -11,6 -

11 , 1

-1 0 ,5 -

10,0

9,5 8,8 8,3 7 ,7 7,2 6,6 6,1 5 ,5 5,0 4,4 3 ,8 3,3 2,7 2,2 1,6

---

--+

l ,l

0 ,5

º•º

0 ,5 l ,l

1,6 2,2 2,7 3 ,3 3,8 4,4 5 ,0 5 ,5 6, 1 6,6

51 8,8 11, 1 52 9,3 11,6 53 1 2,2 54 -9,7 55 10,2 12,7 56 10,6 13,3 57 11,1 13,8 58 11,5 14,4 59 1 2 ,0 15 ,0 12,4 15 ,5 61 12,8 16,1 62 13,3 16,6 63 13 , 7 17,2 64 14,2 17,7 65 14,6 18,3 66 15,1 18,8 67 15,5 19,4 68 16,0 20 ,0 69 16,4 20,5 16,8 2 1 ,1 71 17,3 2 1,6 72 17,7 22,2 73 18,2 22,7 74 18,6 23,3 -75 19, 1 23,8 76 19,5 24,4 77 20,0 25,0 78 20 ,4 25,5 79 20,8 26,1 2 1,3 26,6 81 21,7 27,2 82 22,2 27,7 83 22 ,6 28,3 84 23, 1 28,8

7 ,7 8,3 8,8 9 ,4

- -

85 86 87 88 89

--- 90

_ g - -5,7 7,2 6,2 6,6 7, 1 7,5

IFalir.¡ Reau. , Cenl. Fahr. l n e.u.,Cenl , Fahr. lneau . ¡ Cent . - 17 ,7 50 8,o 10,0 100 30,2 37,7 150 5 2 ,4 65,5 -1 7,2 8 ,4 10 ,5 10 1 30,6 38,3 52,8 66,1

F,hr. 1 Reaom , I Cent.

91 92 93 94 95 96 97 98 99

102 103 104 105 106 107 108 109

110 111 112 113 114 115 116 11 7 11 8 119

120 121 122 123 124 125 12G 127 128 129

-- -- 130

--23,5 29 ,4

24,0 24,4 24,8 25,3 -25,7 26,2 26,6 27,1 27,5 28,0 28,4 28 ,8 29,3 29,7

30,0 30,5 3 1, 1 3 1,6 32,2 32, 7 33,3 33,8 34,4 35,0 35,5 36, l 36,6 37, 2

13 1 132 133 134 135 136 137 138 139

-- 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149

31,1 3 1,5 32,0 32,4 32,8 33,3 33,7 34,2 34,6 35,! 35,5 36,0 36,4 36,8 37,3 3 7,7 38,2 38,6 39, 1 39,5 40, 0 40,4 40,8

- -

4 1,3 4 1,7 42 , 2 42,6 43, 1

- -

43,5 44,0 44,4 44,8 45,3 45,7 46,2 46,6 47,1 47,5 48,0 48,4 48,8 49,3 49,7 50,2 50,6 5 1,1 5 1,5 52,0

15 1 38, 8 152 53,3 66,6 39,4 153 53,7 67,2 40,0 154 54,2 67,7 -40,5 155 54,6 68,3 41,1 156 55,1 68,8 41,6 157 55,5 6g,4 42,2 158 56,0 70,0 42, 7 159 56,4 70,5 56,8 7 1,1 43,3 43,8 161 57,3 71,6 44,4 162 57,7 72,2 45,0 163 58,2 7 2 ,7 45,5 164 58,6 73,3 -46,1 165 . 59,1 73,8 166 46,6 59,5 74,4 47,2 167 60,0 75,o 47, 7 168 60,4 75 ,5 48,3 169 60,8 76, 1 61,3 76,6 48,8 49,4 171 61,7 77,2 50,0 172 62,2 77, 7 50,5 173 62,6 78,3 5 1,1 174 63,1 78,8 5 1,6 175 63,5 79,4 52,2 176 64,0 80 ,0 52,7 177 64,4 80 ,5 53,3 178 64,8 8 1,1 53,8 179 65,3 81,6 65 ,7 82,2 54,4 55,0 18 1 66, 2 82,7 55 ,5 182 66,6 83,3 56, 1 183 67,1 83 ,8 56,6 184 67,5 l'4,4 57, 2 185 68 ,o 85,0 57,7 186 68,4 85,5 58,3 187 68,8 86,1 58,8 188 69,3 86,6 59,4 189 69,7 87, 2 70,2 87,7 60,0 60,5 191 70,6 88,3 6 1, 1 192 71, l 88,8 6 1,6 193 7 1,5 89 ,4 62,2 194 72,0 90,0 62,7 195 72,4 90,5 63,3 196 72,8 9 1, 1 63,8 197 73 ,3 9 1,6 64,4 198 73 , 7 92, 2 65,0 199 74 ,2 92, 7

160

170

180

- -

190

TABLA IX. REDUCCION DE LA COLUMNA BAROMÉTRICA Á

Alluras. ¡ 1.º mm.

mm. - mm.

550

0,089 089 090 091 092

65 70

o93 o93 o94

096 0,097 o97 _o98 o99 100 -101 1b1 102 103 104 - -o, I05 I05 106 107 108

80 85 90

600 05

10 15 20

25 39 35 40 45

650 55

65 70

80 85

o95

-I09 -

I09 I 10 II l 112 --700 o, 113 05 114 10 114 15 Il5 20 116 -25 117 118 30 II8 35 40 ll9 120 45 750 o, 121 122 55 60 122 65 123 70 124

90 95

2.º 1

o, 177 179 180 182 184 -185 187 1S8 190 192 - -o, 193 195 196 198 200 201 203 204 206 208 - -0,209 2ll 213 214 216 -217 219 221 222 224 0,225 227 229 230 232 - 233 235 237 238 240 0,242 243 245 246 248

3.º mm.

,Lº mm.

5.º ¡ 6.º

0. 0

7 .º ¡ s.º 1 9.º

mm.¡ mm. mm. mm.

0,266 0,354 0,443 0,531 0,620 0,708 268 536 625 7 15 357 447 721 361 631 270 451 541 728 364 455 546 273 637 642 367 551 275 734 459 -648 278 370 463 74 1 555 280 560 654 747 374 467 283 471 565 659 753 377 760 285 380 570 665 475 766 671 287 383 479 575 0,290 0,386 0,483 0,580 0,676 0,773 292 584 6S2 487 390 779 786 589 ' 687 491 295 393 792 396 297 495 594 ¡ 693 299 599 , 699 799 499 - 399 805 302 604 403 503 7b4 811 406 609 710 304 507 818 511 613 716 409 307 618 824 412 721 309 515 831 312 623 415 519 - -- - -727 0,314 0,419 0,523 0,628 0,733 0,837 844 316 422 633 527 739 638 850 425 531 744 3 19 321 428 642 857 535 749 863 647 43 1 539 - - 755 -324 869 326 652 761 543 435 876 328 766 438 657 547 882 662 441 331 551 772 889 667 778 333 444 555 895 336 448 783 559 671 -0,338 0,451 0,564 0,676 0,789 0,902 681 908 568 341 795 454 686 800 914 572 343 457 806 921 460 576 691 345 8II 696 348 464 580 9 27 -817 700 350 467 584 934 823 940 588 470 705 353 828 356 947 7IO 473 59 2 834 953 596 715 357 477 960 360 600 480 840 720 0,362 0,483 0,604 0,724 0,845 0,966 608 851 486 365 97 2 7 29 612 367 857 979 489 734 616 862 985 369 493 739 868 620 992 372 496 744

- ---

- -

mm.l o, 797 804 811 819 826

-S33

840 848 855 862 o, 86g 877 884 891 S98 9o6 913 920 927

0, 942 949 956 964 97 1 978 985 993 1, 000 007 1,014 022 029 036 043 051 058

065

072 080

~1 094

'º'1

10a

nli

TABLA X. ESO ESPEClFlCO

DE VARI.A.S SUSTANCIAS EM:PLEA.DA.8 EN LA.S ARTES Y EN LA. INDUSTRIA.

Nombres de las sustancias.

Peso especifico.

Logaritmo.

7,84 7,82

19,36 19,26 10,51 10,47 10,12 21,4-0 23,00 11,:35 7,19

0.894316 0.893207 0.887617 0.408240 U.S-27:169 0.926342 0.965202 0.963788 0.892651 0.951823 0.9l694S 0.862728 0.897077 0.886491 0.807077 0.877947 0.866287 0.857332 0.832509 0.931458 0.92376:! 0.935003 1.133,539 0.937518 1.286005 1.284656 ] .021603 1.010947 l.00518 l 1,330414, 1,861728 1.054996 0,856729

2,65 3,92 2,68 3,55 8,95 2,73

0.423246 0.593286 0.428135 0.550228 0.596597 0.486163

Observaciones.

Metala8. cero forjado. . • templado .•• • recocido •• uminio fundido. timonio •••.••••• _ de •• ronce de canon á. • •

antiguo• . . . • • . balto fundido. obre laminado 6 forjado. fundido. staño fundido. • • • • . • ·erro forjado. • laminado (palastro) blAn• j grano fino. ndtcA 1 • ordin.º n do atruchada. . .•. •rro. gris ordinaria. negruzca.. lon laminado. • . . . fundido . . • . • . . allechort (metal blanco) ercurio á Oº. ikel forjado. o forjado. . • fun dido .••••.••. lata forjada .••••••. fundida. • aleacion monetaria latino fundido.. • • . . . • pasado por hilera. 1 _omo fundido ..••••.. tnc fundido. . • • • •

7,72 2,56 6,72 8,44 9,23 9,20 7,Sl 8,95 8,85 7,29 7,89 7,70 7,89 7,55

7,35 7,20 6,80 8,54 8,39 8,61 13,60

8,66

Piedraa preciosas.

gata oníx . . . . . • • . atista oriental. • • :rilo ó agua marina. 1 amante . . • . • . . • meralda oriental .•• del Perú

t.• La unidad se roüero al peso de un Igual vol11men de agua des. tt1ada o.1 máximo do concentracfon 11. la te~peratura de+ , 0 • centf•

grado. !. •

El peso espeotfloo e.xpresa

igualmente et peso en ki.log. de un decfmetro ct1blco de la sustancia. respectiva.. ~-• Parn haHar ol peso de un pié odbtco do

UUI\

auetanoia. en

libras del sist~ma rospootlvo hay qUo su.mar el logaritmo del peso espeotflco con el logaritmo corres• pondtente de los quo etguen: la suma oxpres" el logn.ritwo del ml• moro do libra.a. Austria .. . • . . . . . • • • . ·1.nus11 Espafta (o.nt. sist.l . . . . . t.6i22M

Franela (n.nt. stst.) .. . . . 1.845:!41 Inglaterra. y Est. Unidos. 1,70,\SS! Prueto. (n.nt. stst.). 1

••••

1.~1

l!.usta •••••••••••.•• 1.SSWól

Suert1>•••••••••••• , t.781l358 EJEl!PLO.

¿Oudutas

ltbrns

aooirdttf)oia

posn. un pi~ ctl.btco inglés do hler• ro torJndo? Log. do! hierro Corlado o.SW077 Log. conat. parn. Ingl. t.705352 Lo. suma . .••• 2.00:?t:m oxpresa el logaritmo del ullmero do libras ar,oirdupoil que se buecn ; y que corresponde á 402 Ubrns, Oonzaa. 5 draomns.

TABLA X. (OONTINU A. CION.)

Nombres de las sustancias. Granate (promedio) .•••• Rubí oriental. •• , •••• • espinela. • •••••. Topacio ..•••••••••• Turquesa .• •••••••.• Záfiro oriental•.• , •••• Zircon .•. . . . • • . • • . .

Peso I Loga:í'lfce~. ritmo. S,64 S,91 S,55 8,50 2,84 3,98 4.,50

0.561101 0.692177 0.550228 0.544068 0.453318 0.599883 0.658213

2,76 2,50 2,65 2,70 1,56 2,17 2,52 2,65 2,80 2,72 2,84

0.440909 0.397940 0.428246 0.4:il864 0.198125 0.336460 0.401401 0.42924.6 0.447158 0.434569 0.453818

Materialu de con,truociott, Alabastro calcáreo.. , •• Asperon (promedio) .. , •• Basalto (promedio) .•••• Granito (promedio) ..••• Ladrillo duro y recocho .. • prensado encarnado. Mármol florentino .•••. "

j á..• •.

veteado de. • • •

de Carrara.. • • • " de Paros ..••.. • Piedra de Colmenar (calcárea compacta) ..•... Piedr!I, calcárea porosa. . . de yeso .. .•••.. • Pizarra ...• • ••••••. Pórfido de. • • • • • • • •

Iá.•••••••••

2,H 1,80 2,20 2,11 2,67 2,75

l á. . . . . . . . .

j á..••.•••.

Azabache de. • • · • • • • Cerámica. Porcelana de Sevres .••. Porcel. china. . • Talo.vera ordin. • Alfareríacomun • Cristal de espejos St. Gobain . . ••.••• de flint-glass ..•. Hornaguera (car- de ..• bon de piedra) á. . • • Vidrio comun ...••.•.

4. •

Si por el contrario, se 00·

nociese en libraa el pe• o de 111 pié cllbico do una auatanola m

uni\iai;lea de oul\lquicra de estos sistcq1a.s; so ballarl& • u peto e1· pecUlco, ó lo que es igual, el Pel en Jdlóg. de un dectmetro c'dbft(I sumando el complemento del~ garitmo constnnte con el Iogr.ril mo del nt1mero de librn s que pu el pté· ct1bico; la auma expreut el logaritmo del peoo e1pecJ1!0,, ll.TBHPLO.

Un pié cdblco de Oastlll• (IDI sts't.) de nccro rorJaclo peaa36! b

braa, 2 onzas, 8 ndnrmea. tCUil•

su peso especrncoP Log. do 808, lib. 203 .••• , t.lO!l,"'

1 Comp. log. const. ( Ea• _ 0.381290 pafia .) . . . . . . . . . • ••• • ~ Log. del peso espcclftco. o.;11: 0.255273 0.342423 Y el peso esp. - 7,Sl. 324282 6.ª El poso espoclftco de 11 426511 piedras, aunque s1mn d o la 1!11•• 0.4 39333 forD1Acion, varia segun Ju 1°"

º· º•

lidn.dea, y do consiguiente ausfl

Otra,s ,mtanciaa. Antracita de. • • • • • · •

Observaciones,

1,84

lores no son md.8 quo un3 aproJi

1,82

0.127105 0.164359 mn.oion. 0.113943 o.• Las mo.doras eatlin en 1 0.120574 mismo en.so, pues varf!I. el pel0 1

2,24 2,38 2,34 2,03

0.350248 que se aorta, el terreno on4U 11 0.376577 orla, y 111- parte del árbol do qoe 1 0.369216 toma. Va.ria tnmbien segunªª' 0.807496

2,49 8,33 1,28 l,8tl 2,52

0.396199 0.522444 0.107210 0.133539 0.401401

1,46 1,30

clld.o. auatancta segun el mes 1

tado t:1Ude1 es decir, reotenoori' 1 da, 6 ,eco, ouando ha pasado afio despuea do su corte: por e

loe o.noto.moa ambos, :En nn, rtan con el catado lltgrométrli

de la atmósfera, y do ftQ UI la~

11 1

I' TABLA X. (CONTTNTT ACION.)

Nombres de las sustancias.

Pe&o especí.fico .

Logaritmo.

Observaciones.

-1.963788

absoluta- de uniformida.d en los resultados de diferentes observa•

0.264818 0.086360 0.082785 0.029384 0.012837 0.000000 1.897627 I.857332 0.012837 Í.903090 1.095635

dores.

Líquidos.

Aceite de olivas. , ••.•. Acido sulfur. concentr••• azótico del com 0 • • clorohid. concenh-. • acético (vinag. puro) Agua de mar ...••••.. destilada . . . . • • . Alcohol absoluto . ••••. l!lter sulfúrico .•.••••. Leche.•.....•••• •• Petróleo . ••••.•.••. . Vino comun .••••••••

.. •

Maderas.

Verd8 --

Acacia blanc. (fa.Is. acacia) Acebo. .••••••••. •• Alamo ble.neo .••••••. de Italia (chopo) .• • negro.•.•••.•• temblon. Aliso comun. . • . • • • • . Arce campestre 6 comun. • ble.neo (falso platano) Box, •• • •••••..••. Caoba de Cuba. • • • . • • do la Península.•• Castaño ..•••• , ••••• Cédro del Líbano. • • • • • Corcho •••••••••• •• 11lbano ••••.•.•••• •• Fresno. Haya • • : : : : : : : : : : : Nogal comun •••••••• Olivo•••••••• , •••• Olmo .• , ••.••••••• Picea. com. 6 abeto rojo.. • Pina.vete comun 6 abeto ble.neo. Pino silve:ti'.0 : : : : : : : : Roble comun.. • • • • • • • hembra .• , ••.•• de 100 años de corte. Tila, tilo silvestre ... _ .

. .

0,92 1,84 1,22 1,21 1,07 l,03 1,00 0,79 0,72 1,03 0,80 0,9ll

Logarit.

0,89 1,15 0,91 0,85 0,87 0,71 0,95 0,88 0,92 1,18

I .949390 0.060698 1.950041 l.929419 !.9311519 1,851258 1.977724 1.944483 1.963788 0.071882

0,95

1.977724

0,92 1,15 0,95

1.963788 0.060698 1 .977724

1,00 0,82

0.000000 1.913814

0,87 0,93 1,18 1,11

1.939519 1 .908483 0.071882 0.0453'23

0,76

1.880814

1.• La gravedad especiftoa del aire seco en la latitud y altitud de Madrid sobre el nivel del mar 4 Oº y bn.Jo la. prestan bo.rométrl• ca. de 700 mllfmetros es 0.00120100 y su logaritmo i.111240.

El litro ctlbico de aire en las otrcunetanclas indicadas pesa., pues, 1"',202 Y BU log. 0.111240.

Seca.

Logarit.

0,73 I.863323 0,77 1,886491 0,54 i'.732394 0,40 1.602060 0,41 1·612784 0,53 1.724276 0,65 1.740363 0,73 1.863323 0,75 i.875061 0,95 1.977724 0,56 I.748188 0,85 I.929419 0,60 i.778151 0,51 1.707570 0,24 1.380211 1,10 0.041393 0,75 1 .876061 0,75 1 .875061 0,66 1.823474 0,99 1.905686 0,69 I.825426 0,49 I.690196 0,53 0,52 O,S-2 0,75 0,69 0,51

T.724276 1.716005 I.913814 1.875061 1.838840 1.707570

;

TABLA XI. ~ISTEM..A.S METRICOS Y MO~ET.A.RIOS M.A.S US.A.DOS EN EL 0 0• MERCIO DE EUROP.A., Y SU EQUIV.A.LENCI.A. CON EL N U:EV0 SISTE~ METRICO DECIMAL.

¡ 1

P AISES.

EQUIVALENCIA EN

UNIDADES.

1UNIDADES METRIC.

LOGARIT•I MOS.

& leD1a- 1 Por la. ley de! !leichsta,ges de 24 de nia (Im- Noviembre de 1871 se adoptó para.

perio de.) todo el imperio el sistema. métrico francés, sin otra. modüicacion que la. milla, que será igual á 7,6 kilóm. y la de conservará. muchas de las nuevas medidas el nombre de las antiguas, que. mas se les aproximan; así, el metro se llama stab (vara); el centímetro z oll (pulg.); el litro kanne; el medio litro schop e; el medio hectólitro para áridos scheffel (fanega); el hectólit. para líquidosfass (barrica); el medio kilóg. pfu n d (l ibra); el decágramo lotl,. MILLA unidad itineraria . • • . • • .

7,6 kilóm.

0.875001

Monedas.

La moneda. de oro es el tipo legal, cu1 ya. unidad es el lllARCO de . l 13D5 libre. 6 2700 de kilóg. de oro fino. La menor pieza que se acuña es de 10 lllARCOS á la ley de 0,000 y pesa. 3,ll82 gra.m . . . . . . . . . . • . . • • l!J,35 fra. DC 24,69 El duplo 6 pieza. de 20 MARCOS PLATA: El MARCO 10 SILBERGROS, á. la. ley de 0,000: pesa tl,173 gramos . . . . . . . . . . . . . • . . . 1,24 El ½, ¼, t, y ,¾,, en proporcion. . • El THALER 3 MARCOS Ó 30 SGRO. 3,71 El SILBERGRO (vellon) 10 pfennig 0,123 El PFENNIG (cobre) . • . . • . • . . . 0,012 La relacion del oro á. la. plata de 16,5 á l. 1 4 marc. = 6 fra.nc. con impercep1tible diferencia..

,l.utilria.

1.0915.56 1.392586

0.0922á,1 I

0.660074 f.0922~

2.0022ó-1

Li.nealelf.

LINIE (línea.). • . • • . • . . • • . . ZOLL (pulgada.) 12 líneas. . . . Fuss (pié) 12 pulga.das ..•••.• KLAFTER (toesa) 6 piés ....•• l?.UTHl>. (pot,,.,ln.l) = 10 nié• . .. 1

= = =

2,195 2,634 3,161 1,897 !1 .1111

milím. centím. decím. metros.

0.341462 o.42()643 0.4-

o.277rfl6 0. 4 ~

TABLA XI. (CONTINU ,ACION .)

PAISES,

EQUlVAL'ENClA EN 1 UNIDADES METRIC. LOGARlT.

Ul'flDADBS.

lustria. MEILE (milla.)= 24.000 piés•••••. -

de 15 en el grado.. • • . . • • • S1'perft,ciales.

PIE O·· ................ KLAFTEE Ágrarias. JocH (Yugada.)= 576 ruthen O

• .............. .

7,5é6 kilom. 7,408 -

9,991 decím. O 0,99!llJ49 3,597 met. O 0,555952 0,576 hectár.

i,760072

De voMnie,,. PI.l! cúbico ..•. ..•.•• .• • •• KLAFTER cúbico••••••••••. Ponderales. PFENNIG (tomin). . • . . • . • . . . QUENTEL (dracma.) = 4 pfennig. • LoTH=4 quentel.. • . • . . . . . 1 • UNZE (onza)= 2 lotb.. . . . . . . . PFUND (libra.)= 32 loth. . . . • • • . STEIN (arroba.)= 20 pfund. . . . . . 100 pfund. . ZENTENER (quintal) ScHIFFLAST (tonelada.)= 20 zen t .

31,684 deo. cúb. 1,499474 6,822 met. cúb. 0,833927 1,094 gra.m. 4,375 17,50 35,00 0,560 kilóg. 11,200 , 56,00 1120,00 -

Monedas. KRONE (oro) no tiene curso forzoso. 34,4, fra.nc. DUCADO ad l•gem imp81';;. • . . . . ; 11, 83 GULDEN (florín corriente) plata. .•. 2,60 (florín de 1857). . . . . • . . • . 2,468 Kn.EUTZER (cobre) .lo florín ..••.• 0,041 •, • •el¡;1ca. Véase FRANCIA. ~ S(lnlia. Véase FRANCIA.

Sistema "1[tiguo.)

0,880036 0,861i703

Lineales. 1,935 milím. LINEA= -h, pulga.da. .. '• . • • • 2,322 centím. PULIJ,ADA = 12 lin, = f.r. pié ..•.• PI.l! = 12 pulg. =½vara. .•• , ••.. 2,786 decím. Cono marítimo 6 de ribera . • . . . . 0,575 met. V ARA = 3 piés.•..••••..•••. 0,836 EBTADAL = 4 va.ras= 12 piés. . • • . 3,344 LEGUA= 20.000 piés. , •• • •••. 5,5i3 kilóm. S1'perficiales. PIE O· . . . . . . . . . . . . • • . . . 7,764 dec. O V ARA O = 9 piés O... . . . . . . . 0,699 met. O LEGUA O .. .............. 31,055kilom.D .d.orarias. EBTADAL O = 144 piés O . .... . °FANEGA 6 fa.nni:r11.1fa- 576 estad 0

0,112 áreas. 0,644 hect.

0,038918 0,640978 1,243038 1.544068 1,7481& 1,0492] 8 1,748188 3,049218 1,537156 , 1,072985

0,414973 0,392345 2,614194

0,286tl8l 0,365856 0,4450311 1,769~0 f,92"2157 0,524217 0,746066 0,890071 1,844314 1.492132 l.04843~ l ,80~856

TABLA XI. (CONTINUA.CION.) 1

PAISES.

f'.QUIVAI.l!NCIA E!\

O NI DA DES.

· s1DADES hlETlll C..:

.OGARIT.

Ds -voZúmen. Espaiía. (sistema Pill cúbico . . • • . . • . . • 21,633 dec. cúb. 11.835107 antiguo.) V ARA cúbico.. . . . . . . . . . . • . . . 0,584 met. cúb. l .700¼íl

TONELADA de arquéo = doble codo de ribera cúbico . . . . . . . . . • • . Ds capacidad (líqtiidos.) CUARTILLO = ¼ azumb. = j 2 cánt. AzuMBRE=4 cuartillos=¼ cá ntara. CÁNTARA= 8 azumb. = 31 cuart. D a capacidad (áridos.) CELEMIN = -h fanega . . . . • • • . FANEGA= 12 celem. = cahiz.. CAHlZ = 12 fau. = 144 celem ..•. PondsralBS.

I•

GRANO = +,,¡ adarme = -.ti, onza. ADARME = 36 gran .= "t'ü onza. ONZA= 16 adarm. = 576 gran. . • • LIBRA = 16 onzas = 9216 gran.. . . ARROBA = 25 libras. . . • . . . . . . QUINTAL = 4 arrobas= 100 libras. TONELADA= 20 quint. = 80 arrob. Monsdas. CENTEN (oro) = 10 ese.= 100 reales. ESCUDO (plata) = 10 reales . . . . . . REAL = 1 décima = 10 cent.= 100 milésimas de escudo. . . . . . . . . PIEZA de 25 mil. (cobre) = ¼real.. . Estados Siguen el sistema de su antigua Unidos Metrópoli la Ing laterra, anterior á de la reforma que esta hizo en 17 de '"mérica .Junio de 1824. Difieren pues sus medidas de las inglesas en las siguientes: De capacidad (líquidos.} PINTA= t gallon ..••.•••• , •. GALLON = 8 pintas-. •, .••••••. De cap acidad (áridos.) GALLON = t l¡u~heJ . . .•••.•••. PECK = 2 galloi:¡ . . . • , .. • . • . • • . BusHEL (el antiguo_dfl Winchester.) QUARTER = 8 bushels ..•••• . •• Ponderales. La lihrn. n11nfrñ11nn;.. rinA Re ha

1,518 -

0J 81379

0,504 litro. 2,017 0,161 hecto!. 4,625 litros. 0,555 hecto!. 6,66 -

0.66511! l.744~ O.S-2347

0,050 gramos. 2 6!.SJJ'l 0~5la:6 1,797 1.4557¡¡ 28,756 1.66251: 0,460 kilóg. 11,502 -

1.0007S'

40,009 920,18 -

1.66281,; 2.9638ii l .4Ui0JQ

20,00 franc. 2,00 -

0,41001(

0,26 0,005 cent.

2.Sli:'91

¡_4¡r,o!G

0,473 litro. 3,785 4,405 8,81 0,352 hecto!. 2,819 -

f_u7411't 0.578(1!:

o.e~ o.944!8i

1-~ 9.4(,0'.8;

TABLA XI. ( O ONTINUAOION .)

PilS•S.

UNlDA.DBS.

EQUIV A.LBNCU.. EN UNlDÁ.DBS ~TRIC .

LOG.A.lll T

Estnclos fijado por el acta de 17 de Junio de Unidos L824 en 7 000 granos Troy era antes

lde &.mérica,

y es hoy eu los EsTA.DOB-UNIDOB de 7000,68, y vale .. -. • • • • • • • • •

0,453M kilóg. 1.65670;

M onedas. 1.714497 AGUU.A (oro) = 10 dollars •••••• , 51,S-2 frano. de Aguila en proDoble, ½• ¼• y porcion •... •..•••.•..•••• DoLLAR (plata) el antiguo peso es0.727541 pañol. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5,34 El½• ¾• 1.'u y ~1¡¡- dollar en proporcion. 2.727541 CENT (cobre) centésima. de dollar. 0,053 Francia El m•tro 6 la. diezmillonésima par(sistema · te del cu ..dra.nte del meridia.no ternoderno) restre, es In. base de todo el sistema. Se divide en 10 decím., 100 centím, y 1000 milim. Un O de 10 metros de lado se llama área: 100áren.s =una. hectárea.El lit.-o, unidad de cabida, = l decim. cúbicó: 10 lit. = 1 decalit.: 10 decalit.=l hectólit. El peso de un litro de agua destila.da.= 1 k:ilóg.: un kilóg. = 10 hectóg. = 100 decág. = 1000 gram. l tonelada= 1000 kilóg. ¡ = 1 metro cúbico de a.gua destila.da. El fra.nco pesa 5 gram. de plata á la ley de 0,000. Lineales. LÍNEA= h pulga.da..•••• , •••• 2,256 milim. 0.353301,(sistema PULGADA = 12 linea.s ..••••••. 2,707 centím. 0.432488 antiguo.) PIE= 12 pulgada.a= 144 líneas .... 3,248 decím. 0.511669 0.288821 TOESA = 6 piés .•••••••••••• l,94Q met. 0.766942 PERCHA= 18 piés. • , , , , , , , •• 5,847 Supe?:ftcia"l~s. Pié O, •........••.•••.• 10,552decím,0 l.023SRQ 0.570011 TOESA O = 36 piés O. , , , , , , , . 3,7W met. Á.gra1-ia-S. 34,18Q met. O 1.533884 PERCHA ARPENT de París. • . • • • • • • , •• 0,342 hectár. Í.533884 Í.708184 ARPENT des eaw,,. et forets. , • , •• 0,511 -

-ro·

•

• ............... .

Ponderales. GRANO .••••••••••••••••• Gaos -72 grnnos . . . . . . . . . .

5,312 centíg. 3,824 lfl'am.

0.725215 0.582!\48

TABLA XI. ( OONTI NU A.C ION. ) P AISES.

UNLDADBS.

EQUIVALE:SC lA t,)r,. U NlD.UH~S METR l C.

Francia. ONZA= s gros.. . . • . • • • • • • • • 80,59 gram. (sistema MAB.co = 8 onzas. . . • . • . • •• • • 0,245 kilóg. antiguo.) LIBRA= 2 marcos= 16 onzas.. • •

0,490 . . . . . . • 48,051 TONELADA.= 20 quinta.les . •••.• 979,02 QUINTAL

Inglatea·ra.

= 100 libras. .

LOG\IU 1 ·

lf.

1.4856&!! ,28 l.6807i,8 l.68!l7i,8 2.9'..()iQJ

Lineale1. YNCH {pulgada).. . • . • • • • • • • •

FooT {pié) = 12 pu]gadas .• , • • • • YABD imperial= 3 piés .•••••f. . FATHOM (braza)= 2 yardas. • • • • PoLE (estada!) = 5-; yardas. • . • • (estadio)= 220 yardas . . MILE (milla)= 8 furlong. • . • . . • MILLA marina de 60 en grado. • . • Superflciale,.

Fu&LONG.

PIE

O· ................ . D . .............. .

YARDA

2,540 centím. 0.40-J826 3,048 decím. 0.48l00i 0,914 met. 1.061121 1,829 0.262100 5,029 0.701491 2.8()35.íl 201,164 1,609 kilóm. 0.206611 1,852 0.267611

•

9,200decím. O.OOSOll 0,836 met. O T.922'1..ói

Agrarias.

RoD (pole O)· . . . . . . . • • • • . • 25,292 met. O l.40Jll8! RooD = 40 rod. • • • • • • • • • • • • 10,117 áreas. 1.00504! ACRE = 4 rood •..••••• • • • • •

0,405 hectár. Í.607]0! Do vol-úmen. PIE cúbico. • • • • • • • • • • • • • • • 28,315 dec. cúb. 1.4520"!.l YARDA cúbica. • . . . • • • • • • • . 0,765 met. cúb. l.~ De capacidad {líquidoa.} Í .7542!11 PINT =½ gallon . . • . • • • . • • • . 0,568 litro. 0.0553"21 QuABT = ¼gallon . . • • • . . . • • • . 1,136 4,543 0.657381 GALLON imperial. .•••....••. De capacidad (áridos.} o.058417 PEcK = 2 gallons. • . . • • • • • • . 9,087 litro. 1.6004i7 BUSHEL = 8 gallons ..•••••••. 36,348 SACK = 3 bushels .••.•••••••. 1,000 hectól. 0.0376115 0.4~ 2,008 QUARTER = 8 bushels .••• , •••. l.1167i! CHALDRON 12 saoks . . • • • • • . 13,085

Ponderale, (,istlJ17la Tro11.} 6,480 centíg. 1,555 gram. ÜUNCE (onza) = 20 penny weights. 31,103 PouND (libra) 12 onzas . . . • • . . 0,3711 kilóg.

GRANO • • • • • • • • • • • • • • • • • • P.ENNY weight = 24 granos.. • • • •

0.8116611 0.191779 l .492~ Í.571900

Po11-derale1 (sist=a comercial.}

, DRAM (dracma) 437,5 gran Troy. ÜUNCE J6 drflmA . . . . . . . . . . .

1,772 gramo. 28.350

0.248426 l.452~

TABLA X!.

(CONTINTTACION.) PAISES.

ln¡;lnlerra.

. .

; '

1UNIDADES ~QUIVALENCIA EN ILOGARJT METRlC. .

UNID.A.DSS.

POUND avoirdupois = 16 onzas . . . 0,454 kilóg. QUINTAL= 112 libras ..•.••••. 50,802 TON (tonelada)= 20 quintales .••. i016,048 Monedas . SOVEREIGN (pound sterling) libra esterlina, moneda de Ot"O, unidad monetaria a que se refieren· todas le.s cuentas= 20 otbillings . . • . . . . 25,21 franc. SHILLING (plata.)= +., lih. est . . . . 1,16 PENNY, dinero, (cobre)= ,1,shilling. 0,0116 -

1.656666 1.705884 3.006914

1.401573 0.06H58 2.98227)

2,615 centím. 3,139 decím. 1,883 metro. 3,766 7,532 kilóm .

0.41754] 0.40672:. 0.2748i:~ 0.5751)():l 0.876Q38

Italia. Sigue el sistema decimal. •rusia. V óe.se Alemania. Lineales. pié.. • • • . • . (pié del RhiII.) KLAFTER (toesa)= 6 piés .•••••. RuTHE (este.de.!) = 12 piJs. MILLA del Rhin.. . . . .• . . .

¡sistema ZOLL (pulgada.) = 1\ ntiguo.) Fusa (pié)= Jl! pulg.

.....

. ..

S"p•rficiales.

PIE D· TOESA

'·

i i

..... .. ......

....

• ........ ... .. ....

9,850 decím . O 0.99344~ 0.549747 3,629 metro

•

Á¡J1·a1-i.as.

RUTHE

0·. . . . . . . . . . . . . . .

MORGEN (acre) = 180 ruthen Det1olúmen.

O ...

0,142 área . 0,265 hect.

... ...

¡ •.

PIE cúbico . . . . . . . . . . 30,915 deo. cúb . De capacidad (lf.q1'idos.) ÜEBBEL (cuartillo) = ¼o eimer...• 0,573 litro. QUART = 2 oessels ...•.•••••• 1,145 ANKER = 30 quarts. • •••••••• 0,:144 hectól. EIMER = 2 ankers .•...•••••• 0,687 ÜHM (pipa) = 2 eimers ...•••••• 1,374 ÜXHOST (barrica) = 3 eimers. . • . • 2,061 De capacidad (áridos.) 0,859 litro. MAESSCHE . . • • • . . . • • . . • . METZEN = 4 maesschen -lo anker. 3,435 SCHEFFEL = 16 metzen ....•••• 0,550 hectól. WISPEL = 24 scheffels ..••••••• 13,100 Ponderales. PFENNIG . . . . . . . • • . • • • • • • • 0,914 gramo. QUENTCHE = 4 pfennigs •••••••• 3,654 LOTH 4 quentchen ... ....... 14,616

1.151807 1.40707P 1.490166 I.767775 0.058805 !-535927 1.836057 0.137987 0.31407E

i.933867 0.6:l5927 1.740047 1.120258

1.960707 0.562767 1.164827

·6'1,

TABLA XI. ( C ONTINU .A.CION.

PA.lSES.

1 UN ,.QUI VALENCIA EN IDADES METRlC

UNIOAUKS.

Prn!iila. IUNzE = 2 loths . . . . . . . . ..... 29,232 gre.m.

(sistema antiguo.)

MARK = 16 loths .. . . . . . . . .•. PFuND (libra) :::;:: 16 onzas .. ... .. ZENTENER (quintal) = 100 libras .. BcRIFFPFUND = 3 quinte.les..•. . SCHIFFST,.\.ST (toneln.iln) = 40 qq. • Monedas. FRIEDERICH (oro) = 5 the.ler . . Doble y medio en proporcion. THALER (plata) 30 groschen ...• Doble tha.ler Y½ the.ler en prop. GBOBCHE (vellon) = 12 pfennigs .•• PFENNIG (cobre) . .••.••••••• Lineales.

. .

Rusia. (Imperio de)

.. . . . . . . . .

...... . LINEA .. Pur.GADA = 12 líneas . . . . • • • • • PIE inglés (nnidad legal.) ..•.••• ARcHINA (ana comercio.1)=2½ piés. SACHINA (toesai = 7 piés ingleses .. WERBT (medida itiner.) = 500 sachinas . . . . . . . . . . . . . . . . . 81'perflcialu. PIE (inglés) D. . . . . . . . .. . . . . .A.gra1•ias. SACHINA DEBEATIN A. 2 400 se.chinas O . D6 capacidad (liquidos.)

• -.............. =

. .

0,234 kilóg. 0,408 46,771 140,314 1870,840 -

20,78 francos.

1l,OGARIT. 1 1.4658.\1

l.3681Hs' 1.6699'171 l.661l97i 1 2.1470:~ 3.27203i

1.31761

3,71

0.560071

0,124 0,01

1.002"..á.' 2.0IOOi. 0.32ólW 0.4048~0.48400i

2,117 millm. 2,54 centlm. 3,048 decím. 0,711 met. 2,134

0.3.9111'

1,067 kilóm.

o.02so;;

l .BiiJ!lS

9,200 declm. O O.oo&lH 4,552 met. O 0.6/i82H l, 093 hectár. o.03Sl!

....

12,299 litro .

.... .

26,216 2,622 hectól.

1.4¡851l' O 4l851l'

4,442 centíg. 4,265 gram. 25,588 0,409 kilóg. 16,376 163,76

Cl.647721 0.6~ ).~146

. . .. .. .. . WEDRO. De capacidad (áridoa.) TBCHETWERICK = 8 g1n:netz .•• KULL = 10 tschetwerick. . P01iderale1. DoLis (gro.no) . . . . . . • • • • • • • • SOLOTNICK (dracma) = 00 dolis ..• ONZA. = 6 solotnicks = 576 dolía ... FuNTA (libra) = 16 onzas ..••.•• PuD = 40 libras . . . . . . . . . . . .. BERKOWIT = l~ pude .. . • . • . . . Monedas. { IMPERIA.L (oro) .= 5 rublos (1849.) RUBLO (plata) (184!l.\ . . . . ..... ... KoPF.CK (cohre) - r' rrrn hln

20,66 fro.nc. 4,00 0,04 -

1.0808ª

'i.O1.214Sill

a.2~ 1.Sl61~ 0,60"2()(11

2.r~

TABLA XII. IFERENCIA DEL NIVEL APARENTE AL VERDADERO CORREGIDA DEL EFECTO DE LA REFRACCION. 1

Conec• ' Di,,.n-1 Dut.,..I don au•• t1&I

tra.ctiYa.

csu.

_Conec-

tu• · tracti'f'a.

non

llDl,~Cl

-- --- - - - - metr, metros.

20 0,0000 40 0,0001 60 0,0002 So 0,0004 100 0,0007 120 0,0009 140 0,0013 16o 0,0017 180 0,002 1 200 0,0026 220 0,0032 240 0,0038 260 0,0045 280 0,0052 300 0,0059 320 0,0067 340 0,0076 360 0,0085 380 0,0095 .¡oo 0,0106 420 0,0116 440 0,0128 460 0,0140 480 0,0152 500 0,0165 520 0,0178 540 0,0192 560 0,0207 580 0,0222 600 0,0237 620 0,0254 640 0,0270 660 0,0287 680 0,0305 700 0,0323 720 0,0342 740 0,0361 760 0,0381 780 0,0401 800 0,0422 820 0,0444 840 0,0465 86o 0,0488 880 0,0511 900 o,o534 920 0,0558

matr. metros.

940 960 980 1000 1020 1040 1060 1080 1100 II20 1140 II60 II80 1200 1220 1240 1260 1280 1300 1320 1340 1360 1380 1400 1420 1440 1460 1480 1500 1520 1540 1560 1580 1600 1620 1640 1660 1680 1700 1720 1740 1760 1780 1800 1820 1840

0,0583 0,0608 0,0634 0,0660 0,0686 0,0714 0,0741 0,0769 0,0798 0,0828 0,0857 0,0888 0,0919 0,0950 0,0982 0,1014 0,1047 0,1081 0,1115 0,1150 o,u85 0,1220

0,1256 0,1273 0,1330 0,1368 0,1406 0,1445 0,1484 0,1524 0,1565 0,1605 0,1647 0,1689 0,1731 0,1774 0,1818 0,1862 0,1907 0,1952 0,1997 0,2044 0,2090 0,2137 0,2185 0,2234

,- Corrocc1on

1u1•

tracliva.

llDlotan• ClU

CorTec-1 CIOD

1\tl•

tractin,. ,

---

Duta•-1 ·:-::.,,:::.-,

....

Conee• '

_ _ ¡___

metr.

metros.

metr.

metros.

1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650 2700 2 750 2800 2850 2900 2950 3000 3050 3100 3150 3200 3250 3300 3350 3400 3450 3500 3550 36oo 3650 3700 3750 3800 3850 3900

0,2282 0,2332 0,2382 0,2432 0,2483 0,2534

3950 4000 4050 4100 4150 4200 4250 4300 4350 4400 4450 4500 4550 4600 4650 4700 4750 4800 4850 4900 4950 5000 5050 5100 5150 5200 5250 5300 5350 5400 5450 5500

1,0294 6250 2,5771 1,0556 6300 2,6185 ¡ 1,0821 6350 2,6602 1,1090 6400 2,7023 1 1,1362 6450 2,7447 1,1638 6500 2,7874 1,1916 6550 2,8304 1,2198 6600 2,8738 1,2483 6650 2,9175 1,2772 6700 2,9615 1,3064 6750 3,0059 ' 1,3360 6800 3,0506 1,3658 6850 3,0956 1,3960 6900 3,1410 1,4265 6950 3,1867 1,4573 7000 3,2327 1,4885 7100 3,3257 1,5200 7200 3,4201 1,5518 7300 3,51571 1,5840 7400 3,6127 1,6165 7500 3,7110 1,6493 7600 3,8106 1,6825 7700 3,9116 1,7160 7800 4,0138 1,7498 7900 4,II74 1,7839 8000 4,2223 1,8183 8100 4,3285 1,8532 8200 4,4360 1,8883 8300 4,S449 1,9238 8400 4,6551 ¡ 1,9596 8500 4,7666 , 1,9957 8600 4,8794 2,032 1 8700 4,9935 2,0689 8800 5,1090 2,1060 8900 5,2258 2,1435 9000 _5,3438 2,1812 9100 5,4123 2,2193 9200 5,5840 2,2577 9300 5,7060 2,2965 9400 5,8294 2,3356 9500 5,9541 2,3750 9600 6,0801 2,4148 9700 6,2074 2,4549 9800 6,336! 2,4953 9900 6,4661 2,5360 10000 6,5973

0,2586 0,2639 0,2773 0,2909 0,3049 0,3193 0,3340 0,3490 0,3643 0,3800 0,3960 0,4123 0,4290 0,4460 0,4633 0,4809 0,4989 0,5172 0,5358 0,5548 0,5746 0,5938 0,6137 0,6340 0,6546 0,6756 0,6968 0,7184 0,7404 0,7626 0,7852 0,8082 0,8314 0,8550 0,8789 0,9032 0,9278 0,9527 0,9779 1,0035

5550 5600 5650 5700

5750 5800 5850 5900

5950

6000 6o50 6100 6150 6200

metr. , metros ¡

TABLA XIII. Mínimos divisores de los números compuestos, menores de \ t3'!3, no divisil,/es por ~ . 3 , fi, y 'l. D. . NUm.

49 91 u9 133 161 169 203 217 221

247 259 287 289 299 301 323 329 343 36 1 371 377 391 403 4 13 427 437 469 481 493 497 511 527 5 29 533 551 553 559 581 589 611 623 629 63 7 667 679 689 697 703 707 7 13 721 731

Div.

7 7 7 7 7 13 7 7 13 13 7 7 17 13 7 17 7 7 19 7 13 17 13 7 7 19 7 13 17 7 7 17 23 13 19 7 13 7 19 13 7 17 7 23 7 13 17 19 7 23 7 17

1 Núm. 1 Di,•. 1 Núm. 749 763 767 779 791 793 799 817 833 841 85 1 871 889 893 899 901 917 923 93 1 943 949 959 961 973 989 1003 1007 1027 1037 1043 1657 1073 1079 108 1 t099 I 121

11 27 11 39 1141 1147 11 57 1159 11 69 11 83 1189 1207 12 11 12 19 1241 1247 1253 126 1

7 7 13 19 7 13 17 19 7 29 23 13 7 19 29 17 í

13 7 23 13 7 31 7 23 17 19 13 17 7 7 29 13 23 7 19 7 17 7 31 13 19 7 7 29 17 7 23 17 29 7 13

1267 127 1 1273 1313 1333 1337 1339 1343 1349 1351 1357 1363 1369 1379 1387 139 1 1393 1403 1411 1417 L.J.2 1

1457 1469 1477 1501 1513 1517 15 19 1537 1541 1547 1561 1577 1589 159 1 1603 1631 1633 1643 1649 1651 1673 1679 1681 1687 1691 1703 1711 17 17 1729 1739 175 1

Oiv.

7 31 19 13 31 7 13 17 19 7 23 29 37 7 19 13 7 23 17 13 7 31 13 7 19 17 37 7 29 23 7 7 19 7 37 7 7 23 31 17 13 7 23 41 7 19 13 29 17 7 37 17

úto.

1757 1763 1769 17S1 1799 1307 1813 1S17 1819 1S29 1841 1843 1849 1S53 1S83 1S91 1897 1909 1919 1921 1927 1937 1939 1943 1957 1961 1963 1967 198 1 2009 2021

2023 2033 2041 2047 2051 2059 207 1 2077 2093 2107 21 17 21 19 2147 2149 2159 2 17 1 2 173 2177 2183 2 19 1 2 19 7

Dh.

7 4r 29 13 7 13 7 23 17 31 7 19 43 17 7 31 7 23 19 17 4i 13 7 29 19 37 13 7 7 7 43 7 19 13 23

29 19 31 7 7 29 13 19 7 17 13 41 7 37 7 13

"llln. :?201

2209 2219 2227

2231 2249 2257 2261 2263 2279 2291 2303 2317 2323 2327 2329 2353 2359 2363 2369 2401 2407 2413 2419 2429 2443 2449 2461 2471 2479 2483 2489 2491 2501 2507 2509 2513 2527 2533 2537 2561 2567 2569 2573 2581 2587 2597 2599 2603 26J1 2623 2627

o,,. 31 47 7 17 23 13 1 37 7 31 .¡3 29 7 7 23 13 17 13 7 17 23 7 29 19 41 7 7 31 23 7 37 13 19 47 41 23 13 7 7 11

43 13 17

1 31 29 13 7 23 19 7 43

TABLA XIII.-( CON'.:."'INUACION .)

1~- 1Div.¡ 2639 2641 2653 2669 268 1 270 1 2723 2737 2743 2747 2759 277 1 2773 2779 2807 2809 2813 2821 2831 2839 2863 2867 2869 2873 2881 289 1 2899 2911 2921 2923 2929 2933 2941 2947 295 1 2977 2983 2987 2989 2993 3007 301 3 3017 3029 303 1 3043 3053 3o59 307 1 3o73 3077 3o97 3101 3103 3107 3127

7 19 7 17 7 37 7 7 13 41 31 17 47 7 7 53 29 7 19 17 7 47 19 13 43 7 13 41 23 37 29 7 17 7 13 13 19 29 7 41 31 23 7 13 7 17 43 7 37 7 17 19 7 29 13 53

Núm.

3131 3133 3139 3143 3149 3151 3161 3173 3193 3197 3199 J2I I

3227 3233 32-39 3241 3247 3263 3269 3277 3281 3283 3287 3293 3317 3337. 3341 3349 3353 3367 3379 3383 3397 3401 3403 3409 3419 3427 3431 3437 3439 3451 3473 3479 3481 3493 3497 3503 3521 3523 3551 3563 3569 3577 3587 3589

1Div. ¡ 31 13 43 7 47 23 29 19 31 23 7 13 7 53 41 7 17 13 7 29 17 7 19 37 31 47 13 17 7 7 31 17 43 19 41 7 13 23 47 7 19 7 23 7

59 7 13 31 7 13 53 7 43 7 17 37

Núm.

3599 3601 361 l 3629 3647 3649 3653 3661 3667 3679 3683 36S9 3703 3713 3721 3731 3737 3743 3749 3757 3763 37S1 3787 3791 3799 3809 38u 3827 3829 3841 3857 3859 3869 3871 3887 3893 3899 3901 3913 3937 3941 3953 3959 3961 3973 3977 3979 3983 3991 3997 4009 4031 4033 4039 4043 4061

1Oi•· 1 59 13 23 19 7 41 13 7 19 13 29 7 7 47 6!

7 37 19 23 13 53 19 7 17 29 13 37 43 7 23 7 17 53 7 13 17 7 47 7 31 7 59 37 17 29 41 23 7 13 7 19 29 37 7 13 31

N,ím.

4063 4067 4069 4087 4097 4109 4117 4121 4123 4141 4151 4163 4171 4181 4183 4187 .p89 4193 4199 4207 4223 4237 4247 4249 4267 4277 4291 4303 4307 4309 4313 4319 4321 4331 4333 4343 4351 436, 4369 4379 4381 4387 4393 4399 4403 4417 4427 4429 4439 4453 4459 4469 4471 4487 4489 4501

1Div . 1 17 7 13 61 17 7 23 13 7 41 7 23 43 37 47 53

59 7 13 7 41 19 31 7 17 7 7 13

31 19 7 29 61 7 43 19 7 17 29 13 41 23 53 7 7 19 43 23 61 7 41 17 7 67 7

Ntim.

Div .

4511 4529 4531 4537 4541 4553 4559 4571 4573 4577 4579 4589 4601 4607 4613 4619 4627 4633 4661 4667 4669 4681 4687 4693 4699 4709 4711 4717 4727 4739 4747 4753 4757 4769 4771 4777 4781 4811 4819 4823 4837 4S41 4843 4847 4849 4853 4859 4867 4879 4883 4891 4897 4901 4907 4913 4921

13 7 23 13 19 29 47 7 17 23 19 13 43 17 7 31 7

13 7 31 43 13 37 17 7 53 29 7 47 7 67 19 13 17 7 17 61 7 7 47 29 37 13 23 43 31 7 19 . 67

13 7 17 7

[

TABLA XIII.-(coNTJNUAc10N .) 1 Núm. 1 Div,

4927 4949 4963 4979 4981 4991 4997 5017 5029 5033 5041 5047 5053 5057 5063 5069 5083 5089 5111 5117 5123 5129 5131 5141 5143 5149 5161 5173 5177 5183 5191 5201 5207 5213 5219 5221 5239 5243 5249 5251 5257 5263 5267 5287 5293 5299 53 11 5317 5321 5327 5329 5339 534 1 5353 5359 5363

13 7 7 13 17 7 19 29 47 7 71 7 31 13 61 37 13 7 19 7 47 23 7 53 37 19 13 7 31 71

29 7

41 13 17

23 13 7 29 59 7 19 23 17 67 7 47 13 17 7 73 19 7. 53 23 31

1 ~úm. 5369 5371 5377 5383 5389 5411 5429 5447 5453 5459 5461 5473 5491 5497 5509 5513 5537 5539 5543 5549 555 1 5561 5567 5579 5587 , 5593 5597 5603 5609 5611 5617 5627 5629 5633 5663 5671 5677 5681 5699 5707 5713 5719 5723 5729 5747 5759 5761 5767 577 1 5773 5777 5789 5803 5809 583 1 5833

1 Div,

19 7 17 7 61 13 7 53 43 13 17 23 7 37 7 29 23 31 7 67 19 7 37 7 29 13 71 31 41 17 13 . 43 7 53 7 13 41 13 29 7 59 17 7 13 7 73

29 23 53 7 7 37 7 19

1 Núm. 5837 5873 5887 5891 5893 5899 5909 591 l 5917 5921 5933 594 1 5947 5957 5959 5963 5969 597 1 5977 5983 5989 5993 5999 6001 6013 6019 6023 6031 6041 6049 6059 6071 6077 6097 6I03 6107 6w9 6119 6137 6139 6157 6161 6167 6169 6179 6181 6187 6191 6209 6223 6227 6233 6239 6241 6251 6253

1 Div,

7 7 43 71 17

19 23 61 31 17

13 19 7 59 67 47 7 43 31 53 13

19 37 7 23 73 13 59 7 17 31 41 29 17 7 47 61 7 31 37 7 23 41 7 7 13 23 17 79 7

1 N,im. 6283 6::189 6293 6307 6313 6319 6331 6341 6349 6371 6377 6383 6401 6403 6407 6409 6419 6431 6433 6437 6439 6443 6461 6463 6467 6487 6493 6497 6499 6503 6509 6511 6517 6527 6533 6539 6541 6557 6559 6583 6587 6593 6601 6613 6617 6623 6629 6631 6641 6643 6647 6649 6667 6671 6683 6697

1 Div.

61 19 7 7 59 71 13 17 7 23 7 13 37 19 43 13

7 59 7

47 17

7 23 29 13 43 73 67 7 23 17 7 61 47 13 31 79 7 29 7 19 7 17

13 37 7 19 29 7 17 61 59 7 41 37

1 Núm. 6707 6713 6727 6731 6739 6749 6751 6757 6767 6769 6773 6797 6799 6811 6817 6821 6839 6847 6851 6859 6877 6881 6887 6889 6893 6901 6913 6923 6929 693 1 6937 6943 6953 6973 6979 6989 7003 7009 7021 7031 7033 7037 7049 7061 7063 7067 7081 7087 709 1 7093 7097 7099 7111 7123 7133 7141

Di,. Hj 7 7 53

23 17

67 7

13 7 13 7 17 19 7 41 13 19 13 7 71 83 61 67

31 7 13 29 7 53 17 19 7 29 47 43 7 79 13 31 7 23 7

37 73 19 7 41 47 31 13 17 1

TABLA 1

Núm. 1 Div.

7147 7153 7157 7163 7169 717 1 7181 7189 7199

7201 7217 7223 723 1 724r 7259 726r 7267 7273 7277 7279 7289 7291 730 1 7303 7313 7319 7327 7339 7343 7357 7361 7363 7367 7373 7379 -7387 739t 7397 7399 7409 7421 7423 7427 7429 7439 7441 7453 7463 7471 7483 7493 750 ,

75 11 7519 753 1 7543

7 23 17 13 67 71 43 7 23 19 7 3t 7 13 7 53 13 7 19 29 37 23 7 67 71 13 17 41 7 7 17 37 53 73 47 83 19 13 7 3r 41 13 7 17 43 7 29 17 31 7 59 13 7 73 17 19

j Núm. 7553 7567 757t 7597 7609 7613 7619 7627 7631 7633 7637 7651 7657 7661 7663 7679 7693 7697 7709 7721 77 29 7739 7747 775 1 7763 7769 77 71 778 t 7783 7787 78or 7807 78r 1 7813 7819 7831 7837 7847 7849 7S59 7861 7871 7889 789 1 7S97 7903 79 13 79 21 7939 7943 7957 7961 7967 7969 7973 7979

XIII. -

1 Div.

7 7 67 71 . 7 23 19 29 13 17 7 7 13 47 79 7 7 43 13 7 59 71 61 . 23 7 17 19 3t 43 13 29 37 73 13 7 4t 17 7 47 29 7 17 7 13 53 7 41 89 17 13 73 19 31 13 7 79 •

(coNT J NUACION •.

Núm.

7981 7987 7991 7999 8003 8021 8023 8027 8029 8033 8047 8051 8057 8071 S077 S083 8099 Sn3 8II9 8131 8137 8 141 8143 8 149 8 153 8 159 Sr77 8183 8189 81 97 82or 8203 8207 8213 8227 8249 8251 8257 8267 8279 8281 8299 8303 8309 8321 8323 8333 8339 8341 8347 8351 8357 8359 838 1 8383 8399

Div.

23 7

19 53 13 71 23 7 29 t3 83 7 7 41 59 7 7 23 47 79 7

17 29 31 41 t3 7 19 7 59 13 29 43 19 73 37 23 7 17 7 43 19 7 53 7 13 31 19 17 7 61 13 17 83 37

1 Num. 84<>1 8407 8411 8413 8417 8441 8449 8453 8471 8473 8477 8479 8483 8489 8491 8497 8507 8509 8519 8531 8533 8549 8551 8557 856 t 8567 8579 8587 8593 8603 86II 8617 862t 8633 8639 8651 8653 8659 8671 86S3 8687 87II 8717 8729 8743 8749 8759 8771 8773 8777 8791 8797 aso, 8309 8313 8327

1 Oiv.

1 Núm .

8843 31 8S51 7 13 8857 47 · S869 19 8873 8S79 23 888t 7 8891 79 8897 43 37 8903 8909 7 6I 89II 17 8917 13 8927 7 8939 29 8947 47 8953 67 8957 7 8959 19 8977 8981 7 8983 83 17 8989 8993 43 7 9017 13 9019 23 9023 3t 9037 13 9047 9061 7 907r 79 9º73 7 37 9077 89 9079 9083 53 9089 41 17 9101 7 9107 13 9113 19 9r21 7 9131 31 9139 9143 23 7 9149 9167 7 13 9169 19 9179 9191 7 9193 31 67 9197 92II 59 19 9217 13 9223 23 9233 7 9247 9253 7

1 Div .

37 53 17 7 19 13 83 17 7 29 59 7 1 37 79 7 23 7 13 17 47 7 13 89 17 1 71 1 29 7 7 83 13 47 43 29 7 31 61 19 7 13

7 23 13 41

7 89 53 67 7 29 17 61 13 23 7 7 19

TABLA XIII.-,coNT 1N0Ac10N .) Núm.

Div,

9259

9263 926g 9271 9287 9289 9299 9301 9307 9313 9329 9331 9347 9353 9359 9367 9373 9379 9389 9401 9407 9409 9443 945 1 9457 9469 9481 9487 9499 9503 9509 9517 9523 9527 95 29 9541 9553

9557 9563 9569 957 1 9577 9583 9589 9593

9599 9607 9611 9617 9637 9641 9653

13 73 37 7 17 71 41 67 19 7 13 47 7 17 7 83 41 7 23 97 7 13 7 17 19 53 7 13 37 31 89 7 13 7 41 19 73 7 17 61

7 43 53 29 13

7 59 23 31

9659

9667 9671 9673

19 17

Núm.

9683 9701 9703 9707 9709 9727 9731 9737

975 1

9761 9763 9773 9793 9797 9799 9809 9821 9827 9841 9847 9853 9863 9869 9877 9881 9893 9899 99 13 99 17 9919 9937 9943 9947 9953

9959 9961 9971 9979 9983 9989 9991

9997

10001 10003 10013 10019 10027 10031 10033 10049 10051

10057 10063 10073 10081 10097

Div.

23 89 31 17 7 71 37 7 7 43 13 29 7 97 41 17 7 31 13 43

59 7 71 7 41 13 19 23 47 7 19 61

7 37 23 7 13 17 67 7 97 13 73

17 43 37

7 79 13 19 89 29

17 23

1 Núm.

1 Di,. 1 Núm . 1 Div.

10117 10121 10123 10127 10129 10147 10157 10171 10183 101S7 10189 10199 10201 10207 10213 10217 10229 10231 10237 10249 10261 10277 10279 10283 1 10291 10297 10309 10319 10327 10339 10349 1036! 10363 10367 10379 1038 1 10387 10393 10397 10403 10409 10411 10421 10423 10441 10447 10451 10469 10471 10481 10489 10493 10507 10511 !05 17 10519

67 29 53 '13 7 73 7 7 17 6J

23 7 101

59 7 17 53 13 29 37 31 43 19 7 41 7 13 17 23 7 79 13 43 7 97 7 13 19 37 101 7 29 17

7 53 31

7 19 37 47 17

7 7

23 13 67

10523 10537 10541 10543 10547 10553 10561 10573

10577 10579 105S3 10591 10603 10609 10619 10621 10633 10643 10649 10661 10669 10673 10679 10693 10697 10699 10717 10721 10727 10741 10751

10757 10759 10763 10777 10783 10787 10793 10801 10807 10811 10817 10819 10823 10829 !0841 10843 10849 10871 !0873 10877 10897 10907 10913 10919 10921

17 41 83 13 53 61

59 97 7 71 19 7 23 103 7 13 7 29 23 7 47 13

17 19 13 7 71 17 23 13 31

7 47 13 41 7 43 7 101 19 29 31 79

7 37 7 19

83 73 17 13

61 67

1 Núm.

Oi,.

10927 1 17 10931 10933 13 10943 31 10951 47 10961 91 10963 19 10969 1 10981 79 10991 29 10997 1 10999 17 11009 101 1 11017 23 11021 103 11023 73 11029 41 11039 7 11041 61 11051 43 11053 7 11063 13 11081 7 11089 13 11101 17 11107 29 11111

1 11123 11129 31 7 11137 11141 13 11147 71 11153 19 11167 13 7 11179 11183 53 11189 67 11191 19 11201 23 11203 17 1 11207 11219 13 1 11221 11227 103 11233 41 11237 11 1 11249 1 11263 19 11267 11269 59 11281 29 1 11291 11293 23 11303 89 11309 43 11323 13

TAB1A XIV. --

LOGARITMOS DE LOS li

SENOS, COSENOS, TANG&'lTE

Y COTANGENTES

,, DE MI N-UTO EN MINUTO

: .i

PARA TODOS LOS GRADOS !í

DEL CUA Dll .\ NTE DE CÍRC ULO .

: lt

1, 1,

i 11

o~ I

Seno.

inf. neg.

7,.463726 4.764756 :¡.9408.u 3.0657S6

-2 3 4

-5

-6

000000 0.000000 O 000000 0.000000

59 58

0.000000

in{. po.

;.463726 :<.764756 ~.940847 ~ .065786

3 536274 3 235244 3 .059153 2.934214

575 3 . 162696

2.837304

575 575 575 575

-. 241877 .30S824 .366S16 .417968 3.463726

.241878 . 308825 . 366S17 .417970

.758 122 .691175 .633183 .582030

576 3 463727 -- - ---

2 .536273

575 575

575 575 576 576

574

574 574

999999 .999999 .9999,,, .999999

.494880 .45709 1 .42232S .390 143

.999998 .999997 .999997 .999996

-- 3 .6,.19316 573 578 ~I -- - -

3.639820

2.360180

i.999996

57-1-

574

.667845 1 573

16 17 18 19

.69.p73 .71 8997 .7.p47

20 1 3. 764754 -21 22 23 24

-25

.785943 .806146 .825451 .843934

573

~I 44 4J 42

580 3.76476 1

2.235239

1 .999993

--!O

. 78595 1 .806155 .825460 .843944

.214049 · 193845 . 174540 . 156056

.99999 2 -99999 1 .99999o .9999S9

-- 583 -

3.S61674

2. 138326

1 . 999989

583 584 584 585

.87870S .895099 .910894 .926134

. 10490 1 .089 106 .073866

.99998S .999987 .999986 .999985

3 940858

2.059 142

1.999983

Seno.

571 570 570 570

3.94084:z.

569

Coseno.

586

. 121292

6.685 .

Cot.ang . 1Tangent. \

. S9º

. .

39 3 37 36

580 581 58 1 582

572 572 572 571

.878695 .S950S5 .910879 .926119

.999995 .999995 .999994 -999993

- -

48 47

.332151 .305821 .2S0997 .257516

3. 861662 1 571

26 27 23 29

572

.667849 .69.p79 .719003 .7.p484

57S 578 579 579

573

54 53 52 51

-¡

.505120 . 542909 .577672 .609S57

574 57-1-

57 56

l.999998

576 577 577 577

.50511 8 .5.p90" .577668 .609S53

12 13 14

0.000000

575 '575 inf. neg.

- - --

3. 162696 1 575

7 8 9

-10 - -

T ngent. '\ Cotang. 1 Coseno. 1

6.085

35 34

®º

1 Seno.

3.940842

31 32 33 34

. 955082 .968870 .982233 . 995 198

6.685

569

Tnnge nt.

¡ Cota11g. 1Coseno.

586 3 . 940858

2.059 142

1 . 999983

.955 100 .968889 .982253 . 9952 19

.044900 ,031 111 .0 17747 .00478 1

.999982 .9999S1 .999980 .999979

29 2S 27 26

59º 2.007809

1 . 99219 1

. 0200.¡.4 . 0319.¡.5 .043527 . 054809

. 979956 .96S055 . 956473 .94519 1

- 569 569 56S 56S '.

587 587 58S 589

-35

2.007787

567

36 37 38 39

.020021

. 03 19 19 o.¡.3501 . 05.i7S 1

567 566 566 566

59 1 59 2 593 593

2.065806

1 . 934194

.07653 1 .086997 . 0972 17 . !07203

.923469 .9 13003 .902783 .892797

2.065776

565

-594 --

41 42 43

.076500 . 0S6965 .097 183 . 107 167

565 564 564 563

595 596 59S 599

-44

1 .883037

. 126510 . 135S5 1 . 144996 . 153952

. 873490 .864149 .855004 . 8460.¡.S

562

46 47 48 49

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-56

1 .837273

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- -

559 558 558 557

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- -

155

25 24 23 22 21

.999976 .999975 .999973 . 999972

- -

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20,

- 19

. 999969 . 999968 . 999966 . 99996.¡.

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14 13 12

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. 171328 • 179763 . 188036 . 196 156

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2.204070

556

6 12 2.204 126

1 .795874

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556 555 554 554

6 13 6 15 6 16 618

. 21 1953 . 2 1964 1 . 237 195 .,z3462 1

.788047 . 7S0359 .772S05 .765379

2.241 855

553

- - 6 19 2.24 1921

1.758079

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2. 116926

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6.685

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.750898 . 743835 .736885 . 730044

.999932 .999929 .999927 .999925

59 58

3 4

.249033 .256094 .263042 .269881

2.276614

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2.27669 1

1.723309

1 .999922

.283243 .289773 .296207 .302546

628 630 632 633

.283323 .289856 .296292 .302634

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.99992° .999918 .999915 .999913

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7 8

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49 48 47 46

2.338856

1.661144

1 .999897

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.344610 .3502S9 .355895 .361430

.655390 .649711 . 644105 .638570

.999894 .999891 .999888 .999885

43 42 41

2.366895

1.633105

1 .999S82

.372292 .377622 .382889 .388092

.627708 . 6"22378 . 617111 .6 11908

.999879 .999876 .999873 .999870

39 38 37 36

2. 393234

1.606766

1.999S67

.398315 .403338 .408304 .413213

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.999864 .99986 1 .999858 .999854

34 33 32 31

637 638 640 642

-- - 540 644 - - -

.321122

2 .338753

.344504 .350181 .355783 .361315

2.366777

21 22 23 24

.372171 .377499 .382762 .3S7962

2.39310 1

26 27 28 29

.398 179 .403 199 .40816 1 .413068

2.417919

525 674

2 . 418068

Coseno.

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17 18

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-- - 535 534 533 532

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665 668 670 672 .

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Coseno.

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1.999851

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1.999S34

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518 517 516 515

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.553890 . 5493S7 .544930 .5405 19

.999S31 .999S27 . 999824 .999820

2.463S49

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1.999S16

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4.0 -

2 .463665

514 697

.4679S5 .472263 .476498 .480693

5 12 700 5 11 702 510 705 509 707

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710

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1.5¡.¡950

46 47 4S 49

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713 715 7 18 720

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.510S30 .506750 .502707 .49S702

.999794 .999790 .999786 .9997S2

723

2.505267

1 ·494733

1.99977$

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.490S00 .486902 .483039 . 479210

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-50 -

2.505045

51 52 53 54

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-55 -

2 .524343

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Coseno.

29 28 27 26

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1 .999797

6.685

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36 37 38 39

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Seno.

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Seno.

2.542819

487

6.685

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.546691 .550268 . 553817 .557336

.453309 .449732 .446183 .442664

766

2.560828

1.439172

.564291 .567727 .571137 .574520

.435709 .432273 .428863 .4;?5480

.999708 .999704 .999699 .999694

54 53 52 51

2.577877

1.422123

1 .999689

.999685 .999680 .999675 .999670

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485 484 482 48 1

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6 7 8 9

.563999 .567431 .570836 .574214

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769 773 776 779

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471

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.58 1208 .5845 14 .587795 .591051

.418792 .4 15486 .412205 .408949

593948 463

798

2.594283

1 .405717

12 13 14

-2.

999735

-59 58 57 56

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1.999713

-55

---

-- --

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462 460 458 457

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.597492 .600677 .603839 .606978

.402508 .399323 .396161 .393022

.999660 .999655 .99965o .999645

2.60,734

455

815

2.6 10094

1.389906

1 .999640

-40

21 22 23 24

.612823 .615891 .618937 .621962

453 451 450 448

818 822 825 829

.6 13 189 .616262 .619313 .622343

. 3868 11 .383738 .380687 .377657

.999635 .9996 29 .999624 .9996 19

39 38 37 36

16 17 18 19

25 --

---

-2 . 624965

446 833

2.625352

1.374648

1.999614

.627948 .63091 1 .633854 .636776

444 836 443 840 44 1 843 439 847

.628340 . 631308 .634256 .637 184

.371660 .368692 .365744 .362816

.999608 .999603 .999597 -99959 2

2.639680

437 851

2 640093

359907

1.999586

Coseno.

26 27 28 29

-1

2. 543084

.546422 .549995 .553539 .557054

, 1

751

1 2 3 4

10 2

Co~enn.

6.685

Cota ng . 1 Tange1, t. , si:, o

Seno.

44 43 .ÂĄ2

-35 34 33 32 31

-30 l

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2.639680

31 32 33 34

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¡35

2.653911

li 39

.656702 .659475 .662230 .664968

140

2.667689

41 42 1 43 44

.670393 .673080 .675751 .67 405

145

2,681043

¡-;38

.683665 .6 6272 .688863 .691438

2.693998

.696543 .699073 .701589 .704090

2.706577

1 52 53

56 57

.709049 .7 11 507 .713952 .716383

,~ 58 59

2.7 18800

1 /

437 851

2.640093

1.359907

1.9995 6

854 858 862 866

.642982 .645853 .648704 .651537

.357018 .35.p47 .351296 .348463

.999581 .999575 .999570 .999564

2 .654352

1 .345648

1.999558

. 657149 .659928 .662689 .665433

.342851 .340072 .33731 l .334567

8 9

2.668 160

1.331840

893 897 900 905

.670870 .673563 .676239 .678900

.329130 .326437 .323761 .321100

435 433 43 1 430

-- - 428 869 -- -426 873 424 877 422 881 420 885 418 416 414 412 410

46 .¡7 48 149

Cotan". 1 Coseno. 1

1 Coseno:

---

408 909

2.68 1544

30 29 28 27 26

-24

.999553 . 999547 .999541 .999535

23 .,.,

1. 9995 29

.999524 .999518 .9995 12 .999506

19 18 17 16

.318456

1.999500

-15

913 917 921 925

.684172 .686784 .689381 .69 1963

.315828 .313216 .310619 .30S037

.999493 .999487 .99948 1 .999475

14 13 12

398 929

2.694529

1.305471

1.999469

. 697081 . 699617 .702139 .704646

.302919 . 3003 3 .297861 .295354

.999463 .999456 .999450 .999443

9 8

2.707140

1.292860

-999437

5 --

.709618 .712083 .714534 .716972

.290382 .287917 .285466 .28302S

.999431 .999424 .99941S .999411

376 972

2.719396

1. 280604

6.685

Cotang. \ Tangcnt. \ Seno.

406 404 402 400

396 ~94 39 2 389

933 937 942 946

---

387 950 3S5 383 381 379

955 959 963 968

-- - -

Si:Jº

·-

-50

6_685 ·1 Tangent. j

Seno.

3 2 1

1 .999404

I•

ªº I

6.685

2. 718800

376 972

2. 719396

1.280604

977 981 985 990

.721806 .724204 .726588 .728959

.278194 .275796 .273412 .27 I04l

2.73 13 17

1 . 268683

.733663 .735996 . 73S3 17 .740626

. 266337 .26.¡004 .26 1683 . 259374

.999364 -999357 .999350 -999343

354 017*

2.742922

1. 257078

1.999336

35 1 022* 349 027* 347 031* 344 036*

.745207 -747479 . 749740 .7519S9

.254793 .252521 ."250260 . 2480 11

.999329 .999322 . 999315 . 999308

04H!! 2.754227

1 · 245773

.756453 .758668 .760872 .763065

1 2 3 4

.721204 -72 3595 .725972 .7 28337

2.730688

. 733027 -735354 .737667 .739969

8 9

2 742259

-12 13 14

. 744536 .746802 .749055 .75 1297

2.753528

16 17 18 19

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.854973 . 854850 .854727 .854603

44 43 42 41

1.844372

1.989893

0.010107

1 .854480

.990145 .990398 . 990651 .990903

.009855 .009602 .009349 .009097

. 854356 .854233 .854109 .853986

1 .845018

1 .99n56

0.008844

1 . 853862

.845147 .845276 .845405 .845533

.991409 .991662 .99 1914 . 992r67

. 008591 .008338 .008086 .007833

.853738 .853614 .853490 .853366

1.992420

0 . 007580

1 .853242

!" o

-20 -21 22 23 24

- 25 -26 27 28 29

-30 I

. 844502 .844631 . 844760 .844889

.:;;

1.845662

1Coseno. 1"I j

Co tang.

1i"I Tangent. ¡ 4&º

Seno.

49 48 47 46

-40 " g

...,o

39 38 37 36

-35 34 33 32 31

-30 li"1

4,&º

1 Seno. j 1"1 Tangent. \ 1"1

1.84566:?

•

0.007580

1.992420

31 32 33 34

Cotang.

Coseno.

1.853242

.007328 .007075 .006822 .óo6569

.853118 .852994 .852869 .852745

1.993683

0.006317

1.852620

.993936 .994189 .994441 .994694

.006064 .00581 I .005559 .005306

.852496 .852371 .852247 .852122

.992672 . 992925 .993178 ·99343 1

. 845790 .845919 _¡;: .846047 .846175

-1>,

l "I_:_ 1

, o

-29 28 27 26

1.846304

36 37 38 39

.846432 !" .846560 ,;: .846688 .846816

1.S46944

- ·994947

0.005053

1.851997

41 42 43 44

.847071 .847199 .847327 .847454

.995199 .995452 .995705 .995957

.004801 .004548 .004295 .004043

.85 1872 .851747 .851622 .85 1497

1.847582

i .9962rn

0.003790

1.851372

.996463 .9967 15 .996968 .997221

.003537 .003285 .003032 .002779

.851246 .851121 .850996 .850870

1.997473

0.002527

1.850745

.997726 .997979 .998231 .998484

.002274 .002021 .001 769 .001516

.8506 19 .850493 .850368 . 850242

1 .-g98737

0.001263

1.850116

-45 46 47 48 49

.847709 .847836 .847964 .848091

1.848218

51 52 53 54

.848345 .848472 . 848599 .848726

;:;

-55 '

:::

1.848852

56 57 58 59

.998989 . 9.99242 .999495 .999747

.848979 .849106 .849232 .849359

-60

.00!011 .000758 .000505 .000253

-1>,

!" o

24 23 22 21

-20 -19 18 17 16

Coseno. \ 1

Cotang.

11 \

45º

Tangent.

,, o

Seno.

2. ll

14 13 12

6" ~ 7 11 8 -- 109 10 20 - - 30 9 40 !" o 8 50

13 15 17 19 21

42 63 84 106

7 6

-5 -4 :;

2 I

1.849485

2 13 13 15 17 19 2t 43 64 85 107

.S49990 .849864 .849738 .84!)611

0.000000

6" 7 8 9 10 20 30 40 50

-.849485

4.21 6" 25 29 7 8 34 38 9 10 42 20 84 126 30 168 40 50 211

\1"1

2 09 6" 7 8 9 10 20 30 40 50

12.54 14.63 16.72 18 .81 20.90 41.80 62.70 83.60 104.50

✓

---

TABLA XV. 1 CúNVl> llSIOll

D E GllADOS , MINU T OS Y

CONVE RS. DE' GRADOS, Ml llUTOS, ETC,

•

EN DECIMA L ES DEL CUADRANTE,

SEGUNOOS EN DECIMA L ES DE L RA l.> JO.

1 1

Decimale, del cuadranlo para

Decimal es de l ndio para

ÍI J/

·¡¡ ;:,

Grados.

l\linulos .

Secundo,.

0 , 0000

o,oo

0,0000

S0511 n1lus

Minutos.

o,oo

l 0 1745329 029089 2 03490659 0581 78 3 05235988 087266

0485 0970 1454

(1) (2) o (3)

4 0698 1317 116355 145444 6 10471976 174533

1939 2424 2909

o (4)

1221730,5 203622 13962934 23271 1 15707963 26 1799

3394 3879 4363

5 08726646

8 9

ll<

o (185 ) o (370) o (555)

030864 061 728 092593

o (740} o (925)

4 5 7 8

( 11 1)

123457 154321 185185

o (7 ) o (8)

(296) (481) (666)

216049 246914 277778

o (5) o •6)

Decimales de erado

CONVl!RSION PE LAS PARTES DEL CUADRANTE EN GRA IJOS, SEGUNDúS.

DECnlALES MI NUTOS Y

pllrct

I'tlin nlos.

Sccuo dos .

o ,oo

1 2 3

01 (6)* 03 (3) 05

05 (5)

06 (6) 08 (3) 1

11 (1) 13 (8) 16 (6)

11 (6) 13 (3) 15

19 (4) 22 (2)

6 7

8 9

9 1

D,lci -

Ccnlé-

Mi lési-

Ul !lS ,

simns.

ma s.

Diez mil ó- Cioo mi-

Los puénlosis cxpnsau el periodo de la troc.cion dccímol.

CONVERS ION DE MINUTOS T SEGUNDOS EN UECIMALES DE GRADO.

1 "'

1 2

s imas .

--- - - 02 (7 ) 08 (3)

."'1

lósimas.

---

3",24 6 ,48 9 ,72

9º 18 27

oº.54' s' .24" o' .32",4 1 . 48 10 .48 1 .4 ,s 2 .42 16 . 1-2 1 -37 ,2

36 45

3 .36 4 . 30 5 .24

63 72 81

6 . 18 37 .48 3 . 46 ,8 122 ,68 7 .12 43 , 12 4 . 19 ,2 25 ,92 8 . 6 48 . 36 4 .51 ,6 29 ,16

21 . 36 2 . 9 ,6 12 ,96 27 - o 2 .42 ,o 16 ,20 32 .24 3 . 14 ,4 19 ,44

1 3 4 5

6. 7 8 9.

l o, p11 rén lcsis c1pr c11tu1 el per iod1J dq la froccion decimal.

TABLA X-D. ANALOGÍAS MA, ~SAD S l':N LA. TRIGONOMETRÍA PT,A.NA..

Sen. 2 a+ cos. 2 a= R 2 S en. ( a ±b)_Sen. a cos. b ± sen. b cos. a -----R

Cos. ( a±b)=cos. a cos.

a cos. b = ½R [ sen. ( a + a sen. b = ~ R [ sen. ( a + a cos. b = ~ R [ cos. (a+ a sen. b = - ! R [ cos. (a+

Sen. Cos. Oos. 1 Sen. 1

b) b) b) b)

Sen. a -

sen. b =

Cos. a+ cos. b =

R cos. ! 2

-Rcos.

:::¡:: sPn. a sen.

+ sen. (~ - sen. ( a + cos. (a - cos. (a -

en. a+ sen. b = Rsen. ½(a+ b) cos. 2

Oos. 2a=

cos.!! a - sen. 2 a

=~ V ,

½(a - b)

Oos. b - cos. a= R sen. ~ (a+ b) sen. ½ (ci a cos. a 11 e, Sen. 2 a = 2 sen. R ._,en.

J J J b) J

b) b) b)

(a- b)

(a+ b) sen. ½ (a -

~ (a+ b) cos.

2 Rº- -

b) 2 R cos. a

2 cos. 2 a -R 2

Sen. a=½ R (R - cos. 2 a) 11 Cos. 2 a=½ R (R + cos. 2 a) Sen. 2 a-sen. 2 b= cos. 2 b-cos.2 a=sen. (ct+b) sen. (a-b) Oos. 2 a - sen. 2 b = cos. (a+b) cos. (a-!J) T R se». t R2 R CM. a ang. a = ~ o. a=tang.a=~ Rº Rº Sec. a = --- ¡¡ Cosec. a = --cos. a sen. a R son. (a± b) .R 2 (tn.ng. a± tang. b) Tang. ( a±b) co,. (a±b) = R 2:::¡::tang. a tnng b T R 2 sen. (a+b)II R2 sen. (a-b) ang. a+tang. b= cos. a cos. b Tan. a-tang. b= cos. a cos. b Oot. a + cot. b =R 2 sen. (a+b) Cot. a-cot . b=-R 2 sen. (a- b) sen. a sen. b sen. a sen. b Tan 2 a-tan 2 b = R 4 ,en. (a+b) sen. (a-b) g. g. cos.• « cos.2 b • t b R• sen. (a+b) sen. (a-b) 2 Oo.· t a- co. =sen.2 a sen.2 b 2

ª/J e

l l ,,

TABLA XVI. (CONTINlíA.CION.)

tang. ½a R

sen a Sen. a + sen. b _ tang. ½ (a + b) 11 Sen. a - sen. b - tang. ½(a - b) R + cos. a

_ cot. ~_en. a+ sen. b = tang. ½_(a+ b) ~ Sen. a R R - cos. a R Cos a + cos. b

t~.

cot. ! (a-b) Sen. a + sen. b =R Cos. a - co . b tang. ~ (a - b}" en. a - sen. b Cos. a + cos. b = R Sen. a - sen. 7, Cos. a - cos. u

Cos. a + cos. b _ Uos. a - cos. b S

en. a=

Sen. Sen. Sen. Sen.

(F ± (2c ± (3c ± (4c ±

cot. ½ (a + b) R

- -

cot. i (a - b) tang. ½(a+ b)

R tang. a

VR• +

tung.

Cos. a= a.

b) = + cos. b b) = =f sen. b cos. o b) b) = ± sen. b

Cos. Cos. Cos. Cos.

Sec. a + sec. b Sec. a - sec. b R

VR' + tang. • a (le± b) = =f sen. b (2c ± b) = - cos. b (3c ± b) =±sen. b (4c ± b) = + cos. b

TABLA XVII. .A.NALOGU.S

L\.

Tang. ½A=

"GSADAS E::'.i LA TRIGONOMETRÍA ESFERICA

:<c>n. A (a + b - e) sen½ (a+ e - b) sen. ~ (b + e - a) sen. ½(a + b + e)

Tang. ½B = \ / Tang. ½C = T ang. ½ a=

en. ½ (b + e - a) sen. ~ (a + b - e) sen. k (a+ e - b) sen. k (a+ b + e)

se;;-:-½ (a + e - b) sen. ½ (b + e - a) sen. ½ (a + b - e) sen. ~ (a + b + e)

cos.

COti.

(B + C - A) cos. ~ <A + B + C) H - l)J COo:!. h lA + l) - .J:SJ

½l.A. +

TABLA XVII.

(e ONTI~u á.CI ON .)

•

Tll.D,.,.

-v-,os.!IA+C-B)cos.!(A·+B+C) co . A (B + C -A) cos. ½ (A + B - C)

V_,__ cos. ½(A+ B -

U) COfl. ½!A+ B + U) cos. ½(A+ U - BJ cos. ½ (H + U - A)

Tang. lle= a - b

Tang. - 2 - = tang.

sen. ½(A - B)

e sen. ½ (A + B)

cos. ~ (A a + b Tang. -2- = tang. ½e cos . k . (A+ sen. ½ (C e- b Tang. - 2 - = taug. ½a sen. ½ (C +

B) B)

cos. ½(C - B) e+ b Tang. - 2 - = tang. ½a cos. ½(C + B) sen. ½ (A - C) a - e Tang. - 2 - = tang. ½b sen. ½ (A + C) cos. ½ (A - C) a + e Tang. - 2 - = tang. ½ b cos. ½(A + U) sen. ½( a A - B Tang · -2- = cot. ½C sen. ½ ( a + cos. i (a A + B Tang · -2- = cot. ½C cos. !_ ( a + '

sen. ~ ( e - b ) sen. ½( e + b ) cos. A ( e - b) cos. ½( e + b ) sen. ½ ( a - e ) sen. ½( a + e) cos.·,/,(a-c) A+C _ +--e) · Tang. -2- = cot. ½B cos . ~. (a sen.½ (C + B) Tang. ½a= tang. ½(e - b) sen. 6 (C - B) cos. l (0 + B) Tang. ½a= tang. ½(e+ b) cos. ½(C - B) C- B cot. ½A Tanrr o· -2- = . C+ B Tang · - 2- = cot. ½A. A - C = cot. ! B Tan"' 2 o· - ~

sen.¼(A +B) • Tang. ½e= tang. ½(a - b) sen. (A - B)

cos. ½(A+ B) Tang. ½e-= tang. ½(a+ b) cos. ½(A - B) \

TABL.A. XYII-

•

(CONTIN"C; ACION .)

Tang. ½b = tang. ½(et - e)

sen. i (A + C) sen. ½ (A ~ C)

Tang. ½b = tang. ½(a+ e)

cos. ½(A + C) co::;. ½(.A. - C)

Cot. ½.A. = tang. ½(C - B)

sen.½ (e + b ) sen.½ ( e - b)

+ B)

cos. ! ( e + b) cos. ! ( e - b)

Cot. ½C = tang. ½ (A - B)

sen. ~ ( a + b) sen.½ (a - b)

Cot. ½A = tang. ½ (

C = tang. ½ (A + B)

cos. ! (a+ b) co . ½( a - b)

Cot. ½B = tang. ½(A - C)

sen.½ (a+ e) sen.½ ( a - e)

Cot.

Cot. ½B = tang. ½ (A +

)

~OS~¡¡ (

cos. ½ ( a - e)

TABLA XVIII. 1

1\IEDICION DE LAS ALTURAS POR EL DARÓMETRO .

H y H0

A Y A0

Dif.

In y

1-1 0 I A y A 0 1 Dif.

=-111 y Hol A y Ao I Di!.

Met.

Cenlím

Metros.

~Jet .

Ce nlím

102

103 207 3 13 420 529 639 z51 S64 979 1096 12 14 1334 1456

103 104 106 107 109 110 112 113 115 117 11 8 120 122

64 63

1580 1706 1834 1964 2096 2230 2367 2506 2647 279 1 2937 3087 3239 3394

124 126 128 130 132 134 137 139 142 144 146 150 152 155

50 49 48 47 46 45

Ceolim

76 75 74 73 7:z.

71 70 69 68 67 66 65

Metros.

61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51

43 42 41 40 39 38 37

Metros.

.MeL

15! 3552 162 37 13 16j 3878 169 4046 1721 4218 176 4394 179 4573 184 4757 1~ 4945 193 5 138 197 5335 202 5537 2oS 5745 , 5958__!~3

TABLA XIX. CONVERSION DE LAS l'ARTES DECIMALES DEL RADIO EN GRADOS 1 MINUTOS Y SEGUNDOS.

.,,

CeoltSti ma.s

5º43'46"48 ll.27.32,96 17.11. 19,44 22.55. 5,92 28 . 38.52,40 34.22.38,88 40. 6.25,36 45 50. 11,84 51.33.58,33 57. 17 .44, 81

0°34 1 22"65 I. 8 .45, 30 1.43. 7, 94 2.17.30,59 2.51 .53, 24 3.26.15,89 4. 0.38,54 4.35. 1, 18 5. 9.23,38

-"' 1

2 3 4

6 7 8 9

Rad.

Diez-

1 Milésimas.

Décima, .

·¡¡

milésimas.

3 1 26"26 6.52.53 10. 18, 79 13 .45,06 17. 11, 32 20.37,59 24. 3.85 27.30.12 30.56,38

0'20"63 0.41.25 l . 1,88 1 .22,51 1 -43 , 13 2 . 3,76 2.24, 39 2.45,01 3. 5,64

Cíenmil ési mas

.,, e

"' --- -2"06

4, 13 6, 19 8,25 10,31 12.38

2 3 4

14.44

7 8

5 6

16.50 18,56

TABLA XX. .,;

UNIDADES.

.,"'u

MÚLTIPLOS

o 1 2 3 4 5

o 60 120 180 240 300

'l.

18 78 138 198 258 318

12 72 132 192 252 312

6 66 126 186 246 306

24 84 144 204 264 324

, 1

48 108 168 228 288 348

42 102 162 222 282 342

36 96 156 216 276 336

30 90 150 210 270 330

9 54 114 174 234 294 354

TABLA XXI. MÚLTIPLOS DE

.,; ~

"'o

o"' o 1 2 3

4 5 6 7

8 9

·I

UNIDADES.

o 360 720 1080 1440

756 1116 1476

108 72 432 468 79 2 828 1152 1188 1512 1548

1800 2160 2520 2880 3240

1836 2196 2556 2916 3276

1872 2232 2592 2952 3317

36 396

36.

1908 2268 2628 2988 3348

l l

180 216 252 288 144 504 540 576 612 648 864 900 936 97 2 1008 1224 1260 1296 1332 1368 1584 1620 1656 1692 17=28 1944 2304 2664 3024 3384

1980 2340 2700 3060 3420

9 324 684

1044 1404 1764

2052 2088 2124 2412 2448 2484 2772 2808 2844 3132 3168 3204 3492 3528 3-564

2016 2376 2736 3096 3456 ,3

TABLA XXII. NúM:EBOB USADOS FEECUENTEME!ITE EN AsTRONOMÍA, 1 GEODESIA Y JIIECANICA.

OGAlllnlOS

360º. . . . . • . La circunferencia se divide en... 21 600'. . . . . . . · 1296 000". • • • 57°,29578. . . . El radio equivale á un arco de... [ 3 437' ,7468. • . 206 264'',8. . . . 24 horas.. . . . El dia solar medio se divide en... 1440 minutos. . 86 400 segund.. Dia sider. en dias sol.• med.=23b 56m 4',l=Od,997. Día sol. med. en dias sids.=24f3m 56",6=1\0027. Año sideral en días solares medios=365d,25637. - Trópico =365 ,24222 . ecuatorial. • • • • . ..6 377 397 metros. Radio polar. . . • • • . . . .6 356 079 terreS tr . á 45º de lat. . • • . . .6 366 786 (Bessel.) di} la esf."=esfer.d• t. 6 370 284 -

2.556 303 4.334 454 6.112 605 1.758123 3.536 274 5.314 425 1.380 211 3.158 362 4.936 514 1.998 813 0.001187 2.562 598 2.562 581 6.804 643 6.803 189 6.803 920 6.804159

. de l a tierra . a-b 1 c atam1ento - a = ---.Ah 2QQ, 1528

. • • • •

3.524 107

Excentr.d de la elipse merid.• /a'-b' = 0,081697 2.912 205

V a•

Cuadrante~ del ecuador .••. 10 017 592 metros. 7.000 763 (Bessel.) 1del meridiano . . 10 000 856 7 .000 037 _g medio del meridiano ter. 111121 5.04.-5 795 ~ de longit. sobre el ecuad. 111307 5.046 522 c!:5 - sobre el paral. de 46°. 78 837 4.896 730

en el ecuador. • . • • • • • • • Grave- á 45º d e 1atitu . d. • . • • • • . • d ad =g { en Madnd . ( B arraquer). • • . Longitud.del péndulo en el Observatorio.

\I_; g . . . . . . . . . . . • . • .• • • • •

9m,781104. 9m,808 926. 9m,800 156. om,992 963.

0.990 388 0.991 62 11 0.991 23º'a 0.966 ~33

4m,427 205. 0.64.6 131

j\/ g . . . . . . . . . • . . • • • • • • • . lm,003 538. 0.001 53 1

\!2 g . .

• . . . . . • • • • . • • • • • • • om,225 875. T.353 869

Longit. del pén-{ en el ecuador. . . • • . • duloenel · d •• • • . • • • y al nivelvaclo del á 450 ¡at1tu mnr. en Madrid (Barraquer).

om,991 053. 1.996 08!

Om, 9 93 8 52. - l. 997 322

Om,993 168. 1.984 395¡

TABLA XXIII. P ARA LA. RESOL'IYCION DE LOS TRIÁNGULO!! RECTILfNEOS RBCT11'<JULO9.

Oasos.

Dato,.

Re~ml·

tados.

- - - - -o

l.º e

-- -a

2.º

e e -- -- -b e

3.º

P6rmulaa trigonométricas.

l. a=l. b +comp. l. sen. B

sen. B=~ a

l. sen. B=l. b + comp. l. a

=90°-B l. c=l.a.+l.cos. B

=a xcos. B

=90°-B

cos. B

l. a=l. e +comp. l. cos. B l. b=l. e+ l. tang. B

=e xtang. B =a X sen. B

b e

4.º

l. tang. B=l. b + comp. l. e

tang. B=e =90°-B -bsen. B

-- - - - a e

P6rmulas logat'.ltmlcas.

=90º-B =rr

l.b=l.a+l.sen. B l. c=l.a+l.cos. B

cos. B

TABLA XXIV. PARA. LA BESOLUOION DE LOS TRIÁNGULOS RECTXLíNEOS OBLICUÁNGULOS •

('a ;os.

Dato1.

Ree,ü• tadua.

Fórmulas trigonométricas,

Pórmu.laa logarítmicas.

A-B 1 A-B tang.-- =cot. Cx l. tang.-2 -=

a-b -a+b

l. cot.

2 O+1. (a-b)

+ comp. l.

(a+b)

Conocido el valor deA~ By sabie~do que - -- es 90°- ~ C,setiene e lde A+B 2

l.º

A+B A-B =-+2

A+B

A-B

- -2- - - 2-

TABLA XXIV Caso••

Datos.

~~~--

l.º

(CONTINUACIO:N'.)

Fórmulas trigonométricas.

l'órmulas loga.rltmioas.

=Va•+b 2 -2abcos.0

ó si se hubiese determinado ya uno de los otros ángulos A e - a sen. e l. e= l. a + l. sen. - sen. A + comp. l. sen. A

- - ,- - ; - - ; : =180-(B+C) 2.º

l. b=l. a+l.sen. B +comp. l. sen. A 1. º = 1. ci+ 1. sen. e + comp. l. sen. A

asen. B

= sen.A ---

a sen.

sen. A

- - - - - --- - - - - - - - - - - -!---------3.º

4.º

l. sen. A=l. a+ l. sen.B+comp. l. b

asen.E

sen.

=1800-(A.+B)

= -

b--

l. c=l. b +l. sen. C + comp. l. sen. B

b sen. C

sen. B

(*)

sen. A=•

l /(p-h~

cos.~=•

,/(p-a)(p-b) tang. e =y

I V

be p(p-b) ac

P (p-c)

p=·~(a+b+c) 2

(")

l.sen.2=½J.'p -b) +1.(,:, - c)+comp. l. b + comp. l. e] B l. cos.-:;-- = ½[l.p+ l.(p- b) + comp.l.a +comp. l. e] l. tang. 2e = ~ [l. (p-a) +l. (p- b) +comf. l. p + comp. . (p-c) ]

(•) Como A se determina. por el 8tm0 y este es el mismo _para el án• gulo agudo A (flo. 2.ª) que para su suplemento A', la resolucion con• viene igualmente a.l triángulo acutángulo B A C que a.l obtusángulo B A 1 C cuando es a>b, y el problema queda inde~rminado ó dudoso entre ambos casos: pero si fuese a=ó <b, entonces A es necesariamente a_gudo y la solucion se refiere solo al primero. (..) Cada una de estas fórmulas es a.plica.ble á los tres ánR'Ulos ha• ciando las sustituciones correspondientes; es decir, que caáa ángulo puede determinarse de tres modos diferentes, ó por su seno si se em• plea la primera fórmula; ó por su coaeno, si la segada; ó por la tangente. si In. tercera

, 1

TABLA XXV. R"FJSOLUOION DE LOS TRIANGULOS ESFERIOOS RECT.A.NGULO!l.

Oaaoa.

Datos.

Reaul• tados.

Fdrmulas trigonométricas.

-- -- -e

Fórmulas logarltmlca•.

cos. a cos. b sen. b (•) sen. a tang b to.ng a

l. cos. e = l. cos. a + cpl. l. cos. b lº B l. sen. B = l. sen. Sen. B = b b -+- Cl. l. en. a l. cos. = l. tang. e Cos. C = b + cpl. l. tang. a -- - - ( J cos. a i l. cot. e= l. cos. a Cot. C = cot. B + cpl. l. cot. B a 2.º Sen. b =sen.a sen.. B l. sen. b = l. sen. a b + l. sen. B B Tang. e = tang. a X l. tang. e= l. tang. e a+ l. cos. B cos. B - - -- - - Cos. a = cos. b coa. e t cos. a= l:Cos. u a + l. cos. e b 3.º l. tang. T anu B - -tang. B= l. tang. b B -.,. sen. e b + cpl. l. sen. e e l. tang. e = l. tang e Tan C - ta.ng. 0 g. - sen. b e + cpl. l. sen. b -- -a Cos. a= cot. B cot. C l. coa. a - l. cot. B + l. cot. C B cos. B 4.º l. cos. b = l. cos. B b Cos. b - sen. e + cpl. l. sen. e o cos. e l. cos. e = l. cos. e e Cos. e - sen. B + cpl. l. sen. B -ta.ng. b l. tang. a= l. tang. a Tang. a = cos.C b b + cpl. l. cos. C 6.º Tang. e= sen. b X l. tan~ e = l. sen. e b + . tan O e tan:if e Cos. = cos. b sen. C l. cos. B = . cos. B b + l. sen. C. - - -asen. h l. sen. a= l. sen. b Sen. a - sen. B b + cpl. l. sen. B tang. b 6.º e l. sen. e = l. tanii Sen. e (u) to.ng. B b + cpl. l. tang. B cos. B l. sen. e = l. COB. e Sen. e - ~ B + cpl. l. cos. b a

Coa. e=

(•) Aunque este ángulo se determina por el seno, el caso no es dudoso, po_rque debe ser de ,la misma. especie que su lado opuesto b, que es conocido. (••) Como este caso se resuelve determinando los senos de las cantid_ades desconocidas, y cada seno corresponde á dos ángulos suplementatr1<_>s, el problema admite dos soluciones, como en el ca.so dudoso de la r1g_onometría rectilínea. La figura. 3." representa los dos triángulos CAB y CAB•, que satisfacen á la cuestion, pu1:s que el lado bes comun, Ylos án~los B y B · son i~ales por estar formados por la intercesion de los mismos círculos máximos B Ca By Be A B'.

.,;

l.º

! a=

l /

~ - - - - - ·--~

l. tang. ½e=½ [l. sen. E+ l. sen. (O- E) + cpl. l. sen. (A-E)+ cpl. l. sen. (B-E)J

l. tang. ½b =½[l. sen. E+ l. sen. (B- E) + cpl.l.sen.(A-E) + cpl.l.sen..(0-E)]

sen. E sen. (B ---: E)

Vsen. (A-E) sen. (C-E) I

l /

+cpY.l.sen.(B-E) + cpl.l.sen. (0-E)J

sen. (B-E) sen. (0-E)

--=---,------=--1 l. tanu. ½a= A[l. sen. E+ l. sen. (A-E) sen. E sen. (A - E)

sen. E sen. (O - E) sen. (A- E) sen. (B- E) A + H + C - 180º

Tang. ½ e =

Tang. ½ b =

Tang.

1--- ______________

2p=a+b+c

j_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

l. tang. ½C =½[l. sen. (p-b) + l. sen. (p-a) + cpl.1.sen. p + cpl.l.sen. {p-c)]

/sen. {p - b) sen. (p-a) sen. p sen.. (p - e)

Tang. ½O=

l. tang. ½ B =~[l. sen. (E - a)+ l. sen. (p-c) + cpl.I.sen.p+cpl.l.sen. (p-b)]

Tang. ½B = l /sen. (p - a) sen. (p - e) sen. p sen. (p - b)

Fórmulas logarítmicas.

l. tang. ~ A=½ [l. sen. (p - b) + l. sen. (p-c)+cp.l sen. p + epi. l. sen. (p-a)]

Tang. ½A=

Fórmulas trigonomtltricas.

/sen. (p-b) sen. (p - c) sen.p sen. (p - a)

Resultados .

·-

...,o

.; o

~ q

!XI t'

~ -1 ¡g.... t-' Q

t,:j

~ H H

!~ 8~

Id !:<j tll

.A.

a b

(•) .A.

cos.

(a - b)

= =

1 sen. B = l. sen. b + l. sen . .A. + cpl. l. sen. a l. cot. ½O l. tang. ½(.A. '- B) + l. sen. ½ (a + b) + cpl. l. sen. ½(a - b) l. tang. ½e l. tang. ½(a - b) + l. sen . ½(.A. + B) + cpl. l. sen. ½ (Á - B)

1 2 e-

Sen. B -

T ang.

sen. b sen . .A. e••¡ sen. a - tang.J (.A.- B) sen.½ (a+ b) Cot. O sen. ½(a - b) tang. ½(a - b) sen.~ (A+ B) Tang. ½e= sen. 1 (.A. - B)

l. tang. ½e = l. tang. ½(a - b) + l. sen. ½(.A. + B) + cpl. l. sen. ½(Á - B)

½ (.A. - B) B) - ½(.A. - B)

= cot. ½e cos. l2 ( a+ b)

l. tang. ~ (.A. - B) l. cot. ½O + l. sen. ½(a - b) + cpl. l. sen. ½(a + b) l. tang. ½(.A. + B) l. cot. ½O + l. cos. ½(a - b) + cpl. l. COB. ½(a + b)

F6rmnlas logarítmicas.

_tang.A(a-b)sen.½(A+B) sen. ½ (.A. - B)

= ½ (A +

= ~ (.A. + B) +

HA.+ B) Tang. ½(.A.+ B)

(a - b) = cot. ½O sen.½ sen. t( a+ b)

F6rmnlas trigonométricas.

HA.-B) Tang. A (.A. - B) -

Resaltados.

(•) Se supone A> B; es decir qne A representa siempre el áugnlo mayor de los dos que se buscan. (..) Como estos valores se d.iterminan ¡>or el seno arlmitPn rlos valorPR suplementar1oe 6·sea.n dos soluciones en ciertos ca.sos, Laftg, 4 ª represent.a los dos triángulos A U By A C B ', á que pueden satisfacer algunas veces los problemas de los casos 4,º y 6,º, don~e se vé que el ángulo busca.do puede recibir los valores By B' suplementarios (caso 4. 0 ), y el lado b otros dos valores (caso 6, 0 ) con los mismos datos A, By a,

4.º

3.º

.,;

~ A

...

cos. ½(A-B) Ta.ng. ½ (a+ b) = tang. ½ecos. ½(A+ B)

½(a+ b)

cos. ¼(a+ b) Cot. ½C = tang. ½(A + B) cos. ½(a_ b)

••)

V-ón.se la notn. j •~

cn.ao \..º

'.>

.e-

c,n r~c,(t?

ni{).

cos. ~ (A+B) Tang. ½e= tang. ½(a + b) cos. ½(A- B)

sen. B sen. ·a (..) A Sen. b = sen.

l. sen. b = l. sen. B + l. sen. a + cpl. l. sen. A. l. cot. ~ C l. tang. ½ (A + B) + l. coa. ½ (a+ b) + cpl. l. cos. ½(a - b) l. tang. ½e= l. ta.ng. ½(a + b) + l. cos. ½ (A + B) + cpl. l. coa. ½(A - B)

l. cot. ½C = l. tang. ½ (A + B) + l. cos. ½(a+ b) + cpl. l. cos. ½(-a - b)

cos. ½(a+ b) Cot. ½ C = ta.ng. ½(A+ B) cos. ½(a- b)

l. tang. e + l. sen. l. sen. ~ (A +B) l. tang. ½e + .l. cos. l. cos. ½ (A + B)

Fórmulas logarítmicas.

(a - b) = ½(A - B) + cpl. l. tang. ½(a + b) = ½(A - B) + cpl.

l 1. tang. ½

= ½ (a + b) + ½(a - b) = ½ (a + b) - ½ (a - b)

( •) a

sen.½ (A-B) Tang. ½(a - b) = tang. ½e sen.½ (A+ B)

Fórmulas trigonométricas .

½(a-b)

.Resultados.

~• ) Se supone siempre a

6.º

]

A B

- -

5.º

t:x:J

p,,-

.....,

'"'<j

ºp,,-

o 1-3

,-...

APENDIOE Sobre el modo de calcular rápidamente el logaritmo cor,•e., pondients á un núm,rro dado y VIOE·VERSA, con las notas ex'lctas q11e 11os convengan, no s:x:cediendo de 20 ,in el empleo de f6rmulas algebráicas, ni otros conocim.iento• que el de las cvatr~ operaciones fundamentales de la Aritmética.

· Débese este método al inglés R. Flower, q_ue lo publicó en 1771. Ignoramos las·razones que hayan tenido todos los que posteriormente han publicado Tablas extensas de logaritmos para hacer caso omiso de este elegantisimo y expedito método; sustituvéndolo Oallet con fórmulas y Tablas largas y complicadas~ copiadas de Gardiner, cuyo menor inconveniente es la pérdida a.e tiempo y la exposicion á equivocaciones. Todo el artificio del método de Flower consiste en someter el número dado, considerado como una fraccion decimal, (puesto que la mantisa es la misma) á una série de multiplicaciones, cuyos factores son conocidos, hasta reducirlo á la unidad ó á una fraccion decimal compuesta de tantos 9 ·como notas exactas nos hayamos propuesto obtener en la mantisa. En este caso, llamando N al númei·o dado y P al producto de los diferentes factores tendremos N x P=l, ménos una unidad del último órden, que despreciamOBJ de consiguiente Log. N + log. P=0. Luego log. N=cpl. log . .r (22) Log. Pes igual á la suma de los logaritmos de los factores parciales p~ p,' p'' etc. (G): luego sumando los logaritmos de estos factores, que se encuentran en la tabla, y tomando su complemento tendremos el log. de N, que buscamos. Nuestra tabla no se extiende sino basta 21 notas decimales; pero aunque se extendiera á 100 el método es el mismo, sólo que las operaciones son tanto más rápidas, cuanto menor es el número de notas. El cálculo con 7, 8, 9 y 10 notas exactas es de uno á tres minutes el más largo. Los factores comprendidos en la tabla son los nueve números díjitos con IJUB recíprocos, y la unidad seguida de ce,·os con una sola nota significativa. La rnultiplicacion por estos últimos factores es rápida y facilísima, puesto que el producto del multiplicando por l lo reproduce, y basta de consiguiente ·rnultiplicar la nota que sigue á los ceros, y sentar su producto debajo del multiplicando cuidando de correrle tantas notas á la derecha corno cifras decimales haya desput>s de la unidad. Pa,r a conseguirlo se separan con una coma á la derecha del multiplwaudo tantas notas como decimales contenga el factor, y se multiJ)lica la nota, que sigue á los ceros, por las restantes que quedan a la izquierda de la coma, tomando luego la suma. S uri_ongamos que se nos pide el producto de 9 435 67 8 965 por 1,004. Dispondremos así el cálculo. · 9 435 678,955 X 1,004

37 742 716 Prod~cto ..... 9473421 G81 Separo con una coma las tres últimas notas del multiplica'!ldo: tnu1tiplico luego el 4 por el 8, primera cifra á la izquierda de la

~oma, a su producto 32 añado 4 unidades, que llevo del produc. to de las notas que están á la derecha de la coma; continúo la multiplicacion por todas las demás notas que están á la izquierda del 8, y sumo su producto 37742716 con el multiplicando y obtengo por producto final 9 473421681. .Para aprovechar el r educido tamaño de mi edicion he usado la. not11,cion aconsejada por -4fr. Komlek3 de indicar la. repeticion de los ceros con un exponente. Así 1,0 5 es lo mismo que si estuviese escrito 1,0005; y 1,0 54 lo mismo que 1,000004. La tabla1 1,0 ' no alcanza 1:1ino basta 1,0131: los logaritmos de los factores y siguientes hasta 1,0" son los mismos que los de 1,0 13 , corriendo los productos hária la derecha tantos lugares como ceros haya mas qu~ lof! 13. El log. del factor 1,0133 es 00000 00000 00013 02883 4 y el de 1,ou :L. 00000 00000 00001 30288 3 y el de 1,0153 .... 00000 00000 0000013028 8 Entendido esto hé aquí como se procede á determinar el logaritmo de un. número con las decimales exactas que nos hayamos propuesto. Se empieza sentando el número con tantas notas y una 1nás de las que deseemos obtener; supliendo las que falten con nueves disminuyendo de 1 la últi ma nota del número dado. Si el número no empieza por un 9 se divide mentalmente por su primera nota aumentada de 1, y se sienta el cociente debajo. Si todavía éste no empezase por 9 se repite la misma operacion basta llegar á un cociente que empiece por 9, lo cual se consi~ue casi siempre á la segunda, y cua1,do más á la tercera division \1). Cuando se ha llegado á un cociente que empieza por uno ó mas 9 se multiplica dicho cociente por la unidad seguida de tantos ceros como 9 haya al principio, mas el complemento á 9 de la primera ,iota que si ga á éstos. El producto que resulte de esta multiplicacion, que en lo general tendrá un 9 más, se multiplica á su vez por el factor correspondiente, conforme á la regla sentada; y así se continúa hasta obtener un producto compuesto de tantos 9 como nota¡¡ exactas se desean. Cuando esto ae ha conseguido se buscau en la tabla y sientan por su órden los logaritmos correspondien: tes á los di Vl!:lores •Y á los demás factores: se suman y se toma e. complemento de la suma, que el:l el logaritmo que se busca. Ejemplo. Supongamos que se pide con diez decimales exactas l el logaritmo del número 3,14159 26535 9=-rt que es la razon del diámetro á la circunferencia. Como el objeto es conseguir un número q_:ie empiece por 9, y aquí se obtiene esto más fácilm~nte multiplicando el número dado por 3, dispongo así la operac1on, prescindiendo de la coma. (1) Ha.y casos, ~in embnrgo, en qu e no se consi gn a a.un prolongando_in~efini• da.mente In opernc1on, como sucede con e l núm~ro 400 ... que dá una sér1e mdefinidn ce tJOciantes que empiPznn por 8. ~~ n tu.les cw:os. se multi pli ca. el número por O, y se divid e el producto por lu. primera ci fra il e aquel. E st o. e~ la. r eg\a ¡¡ene•i ral, yero en muchas ocns ion eH se cou, igue P.I objeto mHs fácilmente multiphcnn·l do e número por uno de los dígitos. S1el ntiiu ero Pm pieza. por 8 seguido de c~r03 6 de la. m,i,lart basta multiplicarle por 3 para obtener un producto que empiec_a por O; y si es 1 seguido de ceros, bnst1m\ multiplicnrlo por O. Esto qued& ni cri• lorio del calcult1dor.

Número 31415 92653 59 x 3 factor 1. 0 3 su log. : .. 4771212547 20 Prod. l.º 94247 77960 77 x 1, O 5 ..... 2. " 1,05 _ ..... 211 92990 70

4712 3 898 03 1,01 _ - - 2. 0 9896016 58 80 X 1, O 1.. ... 3.º 10:5 989 60168 59 l,v l "' 0 9949 770'17 39 1 3 4 ° l ,oº.j - - ;,. 9 49 97 488 ~ .51 X ,0 5 ·· ··· · l ' O' J, 1 1,0 8 _ 0 .- - 4. 99999 74515 90 1,09 ~ _ 1.00000 254841. 5.0 hasta el 10 1,01ºl _

...... 43213737 83 ........ 21 70929 72 .............. 8685 88 ........ .... .. 217147 . .. . .. . ... . .. . .. 173 7"-"' ················ .. 34 74 .................... 174 ........................ 4

Suma...... 50285 01273 04 Su compl... ... 497H 98726 96 dá la mantisa del log. que se pide. La característica se determina por la regla. general ( li&), y el log. completo será 0.49714 98726 96. Debe advertirse que cuando se ha obtenido un producto que empieza por tantos 9 como la mitad de las notas que desean obtenerse, no es necesario continuar la operacion, pues los demás factores son iguales al comple1nento de la-s notas que siguen á los 9, precedidas del nú1nero de ceros qué cori-esponden al lugar g1ie ocupan; cuyos valores represento por el emblema 1.00000 254841. Para proceder del logar.itmo al número se sigue la operacion inversa, esto es, se resta de la mantisa del logaritmo dado la menor que mas se le a.proxime de las contenidas en la tabla I, y se sienta á su derecha el factor á que corresponde. Con el resíduo se practica la misma operacion, y así se continúa hasta obtener una resta igual á cero. Se multiplican en seguida los factores entre sí, y el producto es el número pedido. Hallar el número que corresponde al log. 0.48429 44819 O. Hé aquí la oporacion: Lo¡¡;. 43!29 44819 O factores. 1,00000 640200 x 1,0•5 -39,94 000 6 7 ¼ timos fac. 6 00003 8 0 Resid. l. 3635 4-J,7 32 ¡:¡ tores. -3:1,j.2 37554 9 1,0 8 1,00006 64.023 8 X 1,037 70 Q0.1,648 0 » 2. • t9i.l 07177 4 1,00076 64488 6 X 1,026 -259 79 07 ~ 600 45986 9 » 3. 0 ••• 3i.l 27::170 :::! 1,00677 10475 5 X 1,0 8 -30 38997 8 8054168380 » 4. 0 ••••• 2 372 4 1,08731 273145 X ,l 1,046 -2 6056 9 Níim~ro quo 1 27182 81828 4 » 5.º ....... "/,7Ui.l5 se pide ... .. . -260576 1,05 6 » 6. 0 ......... 1745 9 -1737 2 1,084 0 » 7. •••••••••••••• 8 7 _ _ _-_8_7_ 1,012 0 » 8. .. .. ..... . ... . . . . O

:t~i~~!°fi~;

Debe tenerse presente que cuo.ndo hau desaparecido la mit&d de las notas que componen la mantisa., el producto de los :factores que siguen es igual á 1, con tantos ceros como notas han desaparecido, seguidos de las notas finales de los factores. As~ en el caso actual, el producto de los tres últimos factores es 1.00000 ll402. Como el último factor 1,082 contiene dos notas más que el precedente 1,0~4 es necesario poner un cero delante de la cifra 2. Se añaden además dos cei·os al final para tener once notas 6 una más que el número de notas exactas que se desea. . El número obtenido es 27 182 81828 4 <Jue por ser O la característica1 escribo así: 2.7182818284=e 6 sea ia base de los logagaritmos hiperbólicos. Lo.;i números deben escribirse por periodos de 5 cifras, como están en la tabla, para evitar equivocaciones. Otro ejemplo . Hallar el número que corresponde al log. l. 63~7~ 43113 factores. ~.~~ª~i!ir~e }1,00000 97490 x 1,0ª3 -60,,0v 99913

últimos factores.

1,0 8

l,OOOilO 97519 X 1,0'5 500 15•i88 1,0053) l;:1()()7 X 1,0 [J 8042 29041 1,08573 62048 X 4 N úm_ero que 34294 48192

Resíd. l.º . 3572 43200 1)

" D

., "

-3342 3755l> 2. 0 ••• 2il0 05645 -2lfl 60618 3. 0 ••••• 13 45027 -13 02688 4. 42339 -39086 5. 3253 -3040 6.º•·•••••••••·•• 213 -1'."4 7.º ............... 39 -39 8. o -• ••- .•- ••- ..- ••- ..- ••- .. 0

1,015

se pule ...... .

.. . . . . . . . .

30 00029

............

1,067

-----

1,0 74

-º

1,039

El número que se busca será de consiguiente 43429 44819 9 Pero como la caraterística 1 indica que es una fraccion decimaL la escribiremos así: 0,43429 44819, que es el M6dulo de los logari~mos de Briggs.. Fracciones decimales correspondientes á las comunes desde 1,18 = 0,125 2/s=0,250 3/s = 0,375 l/g=0,500 5/g=0,625 6/s= 0,750 ~/3 = 0,875

1/s á 1/~ :

TABLA I. PARA CALCOLIR LOS f.Ot,Alllntos CON 20 llt::C1'HLES EUCTAS .

I Faclors.)

Din ors ., COMPl.t;MEi\TO LOGARITM I CO. -~

LOGARITMOS.

1•,

9 1095424 8 90308 7 84509 6 77815 5 69897 4 6o205 31 477 12 2 30102

F1clurs.,

1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1.4

1,3 1,2 1, 1

1,og 8

7 6 5 4 3 2 1 1,0•9 8 7 6 5 4 3 2

1 1,0 3 9

s 7 6 5

4 3 2 1 l

i( -,.

25094 99869 80400 12503 00043 999 13 12547 99956

39324 91943 14256 S3643 36018 27962 19662 6398 1

87459 58564 83071 63250 S0478 39042 43729 19521

o 1 2 9 6 7 5 4

LOG \ RITMOS .

27875 36009 52828 25527 2505 1 03306 23044 89213 7S273 20.p 1 99826 55924 176o9 12590 55681 14612 80356 78238 11 394 33523 06836 79 18 12460 47624 4 139 26851 58225 03742 64979 40623 3342 37554 86949 2938 37776 85209 2530 58652 64770 2118 92990 69938 1703 33392 98780 1283 7z247 05172 86o 01717 6 1917 432 13737 82642 00389 11662 36910 346 0532 1 09506 302 94705 53618 259 79807 19908 216 606 17 56507 173 37128 09000 130 09330 20418 86 772 15 31226 43 40774 79318 00039 06892 49910 34 72966 85363 30 38997 84812 26 04985 47390 21 70929 72230 17 36830 58464 13 02688 05227 8 68502 11648 4 34272 76862

96153 6 06980 4 92854 o 78085 5 24208 1 02592 6 76920 7 82772 3 04075 o 63520 l 70231 3 64083 5 24084 7 07279 4 35484 8 20517 l 56 104 9 57427 5 52 171 5 48615 7 00716 9 5923 1 2 67623 o 52976 8 11880 1 91249 3 64066 9 13102 9 54068 8 49181 1 3468 1 8 20828 2 91882 3 06 100 4 95722 9 66963 7

9 8 7 6 5 4 3 2

04575 09691 15490 221 4 30102 39794 52287 69897

foclors. ,

74905 00 130 19599 874g6 99g56 00086 87452 00043

60675 12540 0S056 41435 S5743 16g28 16356 36749 639S1 19521 72037 6o957 80337 56270 36018 80478

9 8 7 o 3 2 4 5

LOG.\IUTllOS.

1,0•9 00003 90847 44584 16739 2 8 3 47421 68884 03320 o 3 03995 49761 39869 4 7 6 2 6o568 87215 39547 9 2 17141 81245 15513 7 5 1 73714 31849 80922 2 4 1 30286 39028 48926 1 3 2 86858 02780 32675 7 1 43429 23104 45318 7 1 0•9 00000 39086 32748 3o828 2 8 34743 41957 87671 3 30400 50733 15761 o 7 6 26057 59074 15010 6 21714 66g8o 85333 1 5 17371 74453 26641 7 4 13028 81491 38849 6 3 2 8685 88095 21869 8 1 4342 94264 75615 6 1,069 00000 03908 64857 82376 7 8 3474 35446 54844 1 3040 06030 93017 8 7 6 2605 76610 96897 6 2 171 47186 66483 4 5 ~737 17758 01775 1 4 1302 88325 02772 8 3 2 868 58887 6947~2 1 434 29446 01885 3 1, 0'9 00000 00390 8650 1 61240 o 8 347 43557 16251 8 304 00612 66920 6 7 6 260 57668 13246 5 217 14723 55229 5 5 173 71778 92869 4 4 130 28834 26166 5 3 86 85889 55 120 6 2 1 43 42944 7973 1 8

CO,'\TI ' DACIO ' DE l, \ T\BU l.

'. Paclon , I

I.OGARITMOS.

Faclors .

1, 0 • 9

00000 00039 08650 31954 O 34 74355 84132 9 30 40061 36268 3 26 05766 8836o 2 21 71472 40408 8 17 37177 924 13 9 13 02883 44375 5 8 68588 96293 8 4 34294 48168 6 00000 00003 90865 03353 7 3 47435 58538 4 3 04006 13722 6 2 60576 68906 4 2 17147 24089 7 1 73717 79272 7 1 30288 34455 1 86858 89637 2 43429 44818 8

1,0119

1,0' º9 00000 00000 39086 50337 O 8 34743 55855 1 30400 61373 2 7 26057 66891 3 6 21714 72409 5 5 17371 77927 6 4 13028 83445 7 3 8685 88963 8 2 1 4342 94481 9

1,0 13 9

7 6 5 4 3 2 1 1,0•9 8 7 6 5 4 3 2 l

8 7 6 5 4 3 2 1

1,0 129

8 7 6 5 4

3 2 1

7 6 5 4 3 2 1

1.oGA urrnos.

00000 00000 03908 65033 7 3474 35585 5 3040 06137 3 2605 76689 1 2171 47241 O 1737 17792 8 1302 88344 6 868 58896 4 434 29448 2 00000 00000 00390 86503 4 347 43558 6 304 00613 7 260 57668 9 1 217 14724 1 173 71779 3 130 28834 5 86 85889 6 43 4294 ~ 00000 00000 00039 08~50 3 34 74355 9 30 40061 4 26 05766 9 Zl 71472 4 17 37177 9 13 02883 4 8 68589 o 4 34294 5

Base de los IC'gs. hipb. e= 2,71828 18284 59045 23536 o

= 0,3678 7 94411 71442 32159 6 =log . e = 0,43429 448 19 03251 82765 1 :l = Jog. hipb 10 = 2,30258 50929 94045 68401 8 , Log. M = T, 63778 431 13 00536 78912 3 Log . 2M = T,93881 43069 64517 98433 7 = 3,14159 26535 89793 23846 3 l.

{

ñ -n 1

= 0,31830 98861

= 9,86960 44010 89358 61883 4

vs: = Log.

83790 67153 8

1,71245 38509 05516 02729 8 0,49714 98726 94 133 85435 1

. e

TABLA II. I.OGA.RITi\lOS DE l

l+r-1

+,-

CON 2 1 0ECli\l!LE . PAII.\ El. INTERÉS COMPUESTO DESDE CUOTA. DE l/8 HA.STA 12 ron rno.

LOG AIUTi\1O

l + r.

1,00

l + r .1

o 1,06 l /8 l /8 00054 25290 92294 07367 2 1/ 4 108 438 12 92219 916 11 7 1/4 3 S 162 55582 86737 35618 3 3/8 1/ 2 216 60617 56507 67623 o l /z 5 /S 270 58933 75924 92872 5 5 /S 3 4 324 5054S 13147 05844 6 3 /4 71S 378 35477 30126 83 174 1 7 S 1,0 1 00432 13737 S2642 57427 5 1, 07 1 /8 485 S5346 20328 7 1868 2 1/ S l '4 539 50318 86706 16353 9 1/4 3 s 593 08672 19212 44504 9 3 /8 1 2 646 60422 49231 722S3 1 1 /2 5/8 700 055S6 02124 58117 5 5 18 3/4 753 44178 97257 64713 1 3 4 7/ S 806 76217 48033 02678 5 7 /8 1,02 00S60 01717 6 1917 56104 9 1,08 118 0913 20695 40471 90230 o 1/ 8 114 0966 33 166 79379 4 1318 2 14 3/8 1019 39147 63474 83886 S 3/8 1 /2 1072 38653 9 1773 10408 2 1/ 2 5 18 1125 3 170 1 27497 18616 3 5 /8 3/4 1178 18305 48 106 8 1543 o 3 /4 7/8 1230 98482 20326 25412 6 7, 8 - 1,03 01283 72247 05172 20517 l 1,09 l /8 1336 39615 57981 50197 7 1 ·s r3 9 00603 2S438 63054 5 r 4 1 4 1441 55225 60603 08507 O 3 s 3 /8 1' 2 1494 03497 92936 55824 4 1 2 5 /8 1546 45435 58329 96747 4 5 8 1598 81053 84130 3 1819 2 3 4 3 /4 718 165r 10367 92 167 40543.2 7/8 1,04 0 1703 33392 98780 35484 8 1, 10 1 IS 1755 50 144 14844 00432 3 1/ 8 1807 60636 45795 12732 4 l 4 1/4 1859 64884 9 1658 499 12 9 3 ' 1' 3 /8 1 2 19 11 6:::904 47072 S0707 3 1/ 2 1963 547 10 01316 40591 1 5 8 5 IS 3 '4 2015 40316 38332 91942 3 3 /4 7 8 2067 19738 36756 68935 7 7 '8 1, 05 0211S 92990 69938 07279 4 t, 11 2170 6008S 0596S 5S902 4 l 8 1 8 1 4 2222 2 1045 07705 9 170 1 7 1/4 , 3 /S 2273 75876 32798 74451 S 3 /8 1 2 2325 24596 337 11 46986 8 1, 2 5 ' 8 2376 672 19 5774S 75755 S 5/ 8 3 /4 2428 03760 47079 94857 7 3 /4 2479 34233 38763 32657 1 7 /8 l, o6 02530 58652 64770 24084 7 1 , 1 2 7 / 8

- ----

I.0GA lllTi\10

1+ r.

02530 58652 64770 24084 7 2581 77032 52009 0S721 3 2632 89387 22349 14768 5 2683 95730 92644 29003 5 2734 96077 74756 52S17 4 2785 90441 75579 44435 7 2836 78836 97061 47417 o 2887 61277 36229 05527 1 02938 37776 S5209 64083 5 2989 08349 31254 57865 1 3039 73008 56761 85682 4 3090 3176S 3929S 71698 7 3140 S4642 51624 13597 8 3191 31644 61711 176S7 5 3241 72788 32769 21032 3 3292 08087 23266 00702 2 03342 37554 86949 70231 3 3392 61204 72S70 63370 6 3442 79050 25403 05227 1 3492 9 1 J04 84266 70873 4 3542 97381 84548 31516 5 3592 97894 56722 883 1o 4 3642 92656 26674 93898 7 3692 8 1680 15719 61771 4 03742 64979 40623 63520 1 3792 42567 13626 14073 3 3 42 14456 42459 44997 7 3S9r 8o66o 3036g 65943 o 39.p 41191 76137 14315 6 3990 96063 74096 93258 7 4040 452, 9 14158 98020 6 4089 8 880 S 1828 30789 8 04 139 26851 58225 04075 o 4188 592 14 20104 327 10 l 4237 85981 39876 14558 7 4287 07 165 85624 99997 5 4336 22780 2 I129 50253 3 4385 32837 05881 84670 l 4434 37348 95107 16980 3 4483 3632S 39782 80655 5 04532 29787 86657 43410 3 4581 17739 78270 10931 8 4630 00196 52969 19908 2 4678 77170 4493 1 2042S 9 4727 48673 84179 47826 1 4776 147 18 96602 84030 9 4824 75318 03974 08512 5 4873 304 3 23968 38871 5 0492 1 80226 70181 6 11 56 7

----

TABLA III. LOGAllllMOS DE r CON 2 1 DEC IMHt:S, PARA. EL l NTERilS COMl'UllSTO DESDE U, CUOTA DE l /8 ll ASTA. 12 l'Oll 100.

f.=1

LOGARITMOS 'r. 1

0, 06

2.77815 12503 83643 63250 9 1/ 8 78710 60930 36570 07578 2 1/8 3.09691 00130 08056 41435 s 1/ 4 79588 00 173 44075 21914 4 1/ 4 39794 00086 72037 60957 2 3/ S 80448 01891 05992 7S0 19 3 3/ 8 57403 12677 277 18 85165 3 r/ 2 8129 r 33566 42S55 57399 31 1/ 2 69897 00043 360 1S 80478 6 5/ 8 S21 18 58826 0S845 45999 1 5/8 79588 00173 44075 21914 4 3/ 4 S2930 37728 31024 92145 7 3/ 4 87506 12633 91700 04686 7 7i8 _ 83727 27025 02300 25989 4ยก 7/ S 94200 80530 22313 24507 O -2 . 0 2.84509 80400 14256 83071 2 0,07 0,01 1/ 8 85278 48686 80547 81318 9 1/8 05115 25224 47381 28894 8 1/ 4 S6033 80065 70993 69690 5 1/4 09691 00130 08056 41435 8 13830 26981 66281 45510 8 3/ 8 86776 20246 50200 60461 9 3/ 8 1/ 2 87506 12633 9 1700 04686 7 17609 12590 55681 24208 I 1/ 2 88223 98480 18823 44824 4 5ยก 8 5/ 8 21085 33653 14893 18356 5 4 44028 86294 3/ 4 8S930 17025 06310 28923 9 3/ 4 24303 80486 7ยก 8 89625 05624 61638 11966 o 7/ 8 27300 12720 63737 65643 9 - ----z 90308 99869 91943 58564 r 2.30102 99956 63981 19521 4 o, os o,oz 1/ 8 90982 33696 50911 98S35 1 1/ S 32735 89343 S6330 34289 8 1/ 4 9 1645 39485 49925 08761 7 1' 4 35218 25181 11362 4S416 2 3/8 92298 48157 08882 84850 7 3/_ 8 37566 36139 60S85 37589 4 1/ 2 92941 89257 14292 73332 6 1 2 39794 00086 72037 60957 2 5/ 8 93575 9 1037 453 11 7305:i 1 5/ 8 41912 93077 41975 68236 5 3/4 94200 80530 223 13 24507 O 3/ 4 43933 26938 30262 65032 2 7/ 8 948 16 83617 27131 70045 I 7/ 8 45863 78490 25649 29322 6 2. 95424 25094 39324 87459 o 5 43729 19662 12547 47712 2. 0,09 0, 03 1/ 8 96023 28731 28512 31543 2 1/ 8 49485 00216 80094 02393 O 1/ 4 96614 17327 39032 60638 O 1/ 4 51188 33609 78874 37877 9 3.18 97197 12763 99756 461 :iz 5 3/ 8 52827 37771 67043 72624 3 1/ 2 97772 36052 8884 7 76632 2 1/ 2 54406 80443 50275 63549 8 5/8 98340 07381 80538 28582 O 5/ S 55930 80109 07012 50169 1 3/ 4 98900 46 156 98536 81607 4 3/ 4 57403 12677 27718 85165 3 7/ 8 99453 71042 98497 84235 3 7/ 8 5S827 17068 42329 09402 5 1 l. o 2.60205 999 13 27962 39042 7 O, JO 0,04 8 16353 86706 18 503 00539 1/ S 6 1542 39528 85943 S9240 3 i/s 1 1/ 4 62838 89300 50311 53S11 2 1/ 4 01072 3S653 91773 10408 1 3/S 64097 80573 58332 04985 6 3/ 8 01598 81053 84130 31 819 1/ 2 65321 25137 75343 67937 6 1/ 2 021 18 92990 69938 07279 3 5/8 66511 17370 75051 41116 6 5/8 02632 89387 22349 1476S 4 3/ 4 67669 36o96 24866 57110 8 3 14 03 140 84642 5 1624 13597 67 03642 92656 26674 93898 7/ 8 6S797 46200 34555 62086 o 7/ S -04139 2685 1 5S225 0407.5 o 1 2.69897 00043 360 18 80478 6 O, I J 0,05 00 196 52969 19908 2 04630 7 90886 70969 38697 27791 1/ 8 1/ 8 25224 47381 28894 S 5 t 1 05 1/ 4 \ 72015 93034 05956 87757 9 1/ 4 2 3/ 8 73037 84685 87642 94076 3 3/ 8 05595 14053 29150 014 7 7 4 112 74036 26894 94243 84553 6 1/ 2 06o69 78403 53611 68365 2 1 5/8 750 12 25267 83400 09373 4 5/ 8 06539 29615 61991 53 3 ~ 07755 07 39~ 3/ 4 75966 78446 89630 48844 o 3/ 4 07003 78666 7/ 8 _ 76900 78709 43773 87877 2 7/ 8 07463 36182 96904 1So6S o3 60 12 07918 1. 4 41624 82772 ยก2.77815 12503 8364~ 63250 9 0 ,1 2 0, 06

o,oo

LOGARITMOS 'r.

TABLAS DE LOS

LOGARITMOS VULGARES CON SEIS DECIMALES DE LOS NUMERO$ DESDE I HASTA 20 000 Y DB LAS

LÍ... JEAS TRIGO OMÉTRICA POR

D. VICENTE VAZQUEZ QUEIPO Individuo de número de las Reales Academias de Ciencia· y de l,1 Historia, lliembro corresponsal d el Institut o de Francia y de otras Soci edades científicas extranj eras, y

ARITMÉTICA SUPERIOR MERCANTIL DEL MISMO AUTOR

La admirable invención de los logaritmos, publicada en 16,1.4 por J ohn Neper, barón de Merchiston, ha marchado muy lentamente en sus aplicaciones vulgares, y aun en 1834 se quejaba el ilustre barón de Prouy de que en Francia apenas se usaban más que para la resolucióu ele cuestiones de Geodesia y Astronomía; y si esto sucedía en Francia, dej o á la consideración de mis lectores lo que pasaria en España; pudiendo asegurar que no se despachaban al afio 200 ejemplares de tablas de logaritmos . Movido yo de esta consideración publiqué en 1853 mis primeras y reducidas tablas , que no dejé de per feccionar, h asta q ue en 1875 adopté, e~ la décimaoctava

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' I•

edición, la forma definitiva qne hoy conservan. No descansé en todo este tiempo hasta darles las ventajas que , puedo decir con segura confianza, no reunen ninguna de las publicadas en España y en el Extranjero atendido el módico precio y tamaño de las mías; teniendo la satisfacción de decir que han sido recibidas con tal aceptación que llevo ya vendidos más de 100.000 volúmenes, consiguiendo así que el estudio de los logaritmos tomase carta de naturaleza en España. Pero esto, que ha sido una ventaja para el público, ha redundado en perjuicio de mis intereses; porque, excitados otros por la codicia, los han copiádo y publicado otras tablas, sin más variación que vol ver á la antigua explicación algebraica, no para mejorar las mias ¡mal pecado!, sino por la razón que dice Cervantes: «que la peor tentación que el diablo puede poner en la cabeza de un hombre es hacerle creer que puede escribir un libro que le dé tanto dinero como fama y tanta fama como dinero». No les importa á ellos lo primero, sino lo segundo, y acaso lo consigan mientras dure la empresa de segu1·os mutuos entre algunos catetlráticos (poquísimos por fortuna y honra del Profesorado español); pero el día que por cualquier motivo venga abajo esta empresa, todas las , coronas de olivo, con todos sus Ramos y Gavilanes, se vendrán al suelo y ocuparán el puesto que les corresponde en el panteón de los libros inútiles. La teoría de los logaritmos es conocida de todos los alumnos de Algebra elemental, y por eso en ninguna de las obras publicadas recientemente en el Extranjero se habla de esta teoría, limitándose á explicar el modo de hacer uso de las tablas, y aun algunas de las más recien•

-3t e. ni e to siquiera hacen, como sucede con las tablas del g eneral Perrier para uso de los geodestas de la carta general franca a. Lo que sí han hecho hombres eminentes en la ciencia, como el ilustre barón de Prouy, ha sido dar instrucciones sencillísimas para poner al alcance de las masas populares el ventajoso uso de los logaritmos. Siguiendo yo, an~que muy de lejos, á i¡an esclarecido autor, procuré poner la teoría de los logaritmos al alcance, no sólo de los jóvenes de segunda enseñanza, sino de to dos los que conozcan las cuatro reglas fundamentales de la aritm ética, y para ello me propuse llenar las condiciones siguientes: l. n Hacer preceder mis Tablas de una introducción en que los alumnos puedan adquirir una idea clara y precisa de la naturaleza, de la teoría, de las aplicaciones y del cálculo de los logaritmos sin el auxilio de otros conocimientos que el de las cuatro reglas fundamentales de la Aritmética y de los quebrados comunes y decimales. 2. n Encerrar las tablas en un pequeño volumen, de un tamaño cómodo, disponiéndolas de modo que los alumnos no pierdan tiempo ni padezcan errores al buscar los logaritmos. 3.ª Obtener en su impresión una corrección completa y una exactitud tal en sus resultados que el mayor error no llegue á una millonésima. 4. ª Facilitar á los alumnos, que más tarde se dediquen al estudio de las ciencias, el fácil manejo de las grandes Tablas con siete y ocho cifras decimales. 5. n Poner en harmonía los logaritmos de las líneas trigonométricas con las fórmulas matemáticas, estable-

-4cidas casi siempre en la hipótesis del ser el radio igual á la unidad. 6. ª Obtener en los cuatro primeros y en los cuatro últimos grados del cuadrante de la circunferencia la precisión de un décimo de segundo, y la de un medio segundo en todos los demás grados. 7. ª Poner al alcance de los alumnos la resolución casi instantánea de los triángulos rectilíneos y esféricos. 8. ª Hacer útiles á los banqueros, y á cuantos se ocupen en negocios mercantiles, las tablas de seis cifra decimales con el auxilio de la pequeñísima tabla d

Robe1·to Flower, que da rápidamente los logaritmos y sus números hasta con veinte cifras exac;tas . 9. ª ]facilitar al comercio, á la industria y á otras muchas profesiones datos importantísimos que necesitan muy frecuentemente. 10. ª Dar á las Tablas de los números y á las de Ja,., líneas trigonométricas una disposición que agrade á la vista sin fatigarla. Para satisfacer la primera condición me ha parecido indispensable exponer la teoría de los logaritmos despo jándola de todo cálculo algebraico; cosa difícil, pero sin embargo posible, cuando la práctica de la enseñanza ha acostumbrado al profesor á colocarse al nivel de los alumnos. Había además necesidad de enseñar á éstos el modo de operar con los logaritmos para sumarlos, res-

y dividirlos entre sí, sobre todo cuando intervienen características negativas, tan útiles tarlos, multiplicarlo

como poco conocidas todavía en la actualidad. Gracias á mi esmero en esta parte veo que en algunas

-5 obras publicadas recientemente en España se han copiado mis reglas, aunque sin haber dicho de quién las tomaban, bien seguro de que no citarán ningún autor

en que se encuentren . Para llenar la segunda condición tuve que adoptar varias disposiciones. l.ª Separar las diferentes partes de la obra empleando papel de color, de modo que sea imposible confundirlas á la vista y pueda hallarse inmediatamente la tabla que se necesite, y no se pierda el tiempo, como sucede con las once ~ablas de Callet, y todos los demás autores, sin otra excepción que las publicadas recientemente por el general Perrier, que imprimió en papel azul la tabla -de las líneas trigonométricas sexagesimales; pero dejando en una espantosa confusión todas las demás que contiene. 2 . ª Reemplazar por una pequeña tabla de quince líneas las dos columnas, que las Tablas de Callet y de todos los demás autores anteriores á éste colocan al lado de los números, embarazando así notablemente la busca de los logaritmos. 3. ª He colocado cincuenta números en cada plana, marcando con gruesos caracteres las decenas, que caen siempre á la misma altura de la página y se encuentran con la mayor facilidad. 4. n. He puesto un registro en la mitad de la tabla de los números, que ahorra á los alumnos un tiempo precioso, buscando en la parte que está á la derecha del registro los números cuya primera cifra es la ullidad, y á la izquierda del registro todos los demás que empiezan por cualquiera otra cifra. 5. ª Sin dejar de adoptar la disposición de doble entrada h allé' el medio de colocar en mis tablas las diferencias al lado de cada logaritmo; ventaja

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que no tiene ninguna de cuantas tablas de doble entrada se han publicado hasta hoy . El manejo de las tablitas auxiliares, que van al margen, se hace mucho más sencillo y exacto por este medio, evitando á los alumnos el trabajo de hacer mentalmente l a sustracción entre dos logaritmos consecutivos para conocer la verdadera diferencia entre ambos . 6. ª En las tablas de las líneas trigonométricas, aprovechando la necesidad tipográfica de hacer iguales los clichés con la de los números, espacié las líneas; separando cada cinco por filetes, y marcando los minutos 15 y 45 con filetes más. fuertes, de manera que pueda hallarse inmediatamente el minuto que se busque. La tercera, ósea la corrección de las _tablas, que es el punto capital, me ha costado infinito trabajo y no pocos gastos; pero tengo la satisfacción de decir que examinadas por los Sres. I)ucan y Kenzie, que se han dedicado al ímprobo y enojoso trabajo de revisar todas las tabla s que les han parecido de algún porvenir, no han hallado corrección alguna que hacer en las mías, á no ser dos en la penúltima plana, que contiene los logaritmos ele 1+1· , con 21 decimales, cuyas erratas están ya corregidas . Para llenar la cuarta condición no he titu beaclo en dar la preferencia á la disposición llamada ele doble ent?-ada, no sólo por la mayor facilidad que ofrece para buscar los logaritmos y por lo que disminuye el volumen, sino principalmente porque prepara á los alumnos ciue más tarde han de dedicarse á las carreras científicas al manejo de las grandes Tablas, que sin excepción son todas <le doble ·ent?-ada. He satisfech o á la quinta condición introclucienclo por

primera vez el uso de las características negativas en las líneas trigonométricas, ejemplo que han.seguido casi todas las Tablas publicadas posteriormente á mi edición de 1865, en que las introduje, como digo, por primera vez en las tablas trigonométricas, facilitando así e¡ uso de las fórmulas; innovación que considero importantísima. Para conseguir la sexta he empleado un método conocido ya de antiguo, pero que he hecho mucho más fácil por medio de una tablita de quince líneas para la conversión recíproca de grados, minutos y segundos de un arco cualquiera de la circunferencia. Por este medio se obtiene una precisión que llega hasta un décimo de segundo en los cuatro primeros y últimos grados del cuadrante de la circunferencia sin perder un tiempo precioso, como sucede en todas las grandes Tablas, en las cuales es necesario recorrer á veces 200 páginas para hallar la conversión. En los demás grados se puede obtener una precisión de medio segundo por un método muy cómodo y muy sencillo, que me ha permitido colocar al margen las partes proporcionales, no obstante que mis '11ablas no dan directamente sino los minutos . Esto no se hace generalmente sino en las grandes Tablas, que dan directamente los senos de 10 en 10 segundos, y aun las hay en este caso, como las de Callet, en las que no se colocan en la margen las partes proporcionales, sino que hay que buscarlas en una tabla especial, lo cual es muy molesto, y sobre todo engorroso cuando hay que repetir estos cálculos con frecuencia. Para conformarme con la séptima condición he presentado la resolución de los triángulos rectilíneos y esféricos en cuadros sinópticos, que ofrecen simultáneamente las

-8fórmulas algebraicas y su transcripción en fórmulas logarítmicas. Las operaciones mercantiles y bancarias que se refieren á la condición octava son de un uso muy frecuen te. Apenas hay hoy persona.., por módica que sea su for tuna, que deje de tener empleados algunos intereses en los fondos públicos ó en obligaciones de Empresas particulares. Los banqueros, los altos funcionarios de la Administración y aun los Diputados á Cortes, los provinciales y hasta los individuos de los Municipios , tienen frecuentemente que entender en empréstitos y otras operaciones bancarias que, aunque en general no necesitan una precisión que exceda de µna millonésima, exigen alguna veces la determinación de números con ocho, diez y hasta veinte cifras exactas, y necesitarían Tablas con veinte cifras decimales que n o se encuentran. Las grandes Tablas suplen esta falta por medio de tablas auxiliares y fórmulas harto complicadas. Yo he reemplazado dichas fórmulas y tablas por la pe queñísima taj:>la del maestro de escuela Robm·to Flowe,· , publicada en Londr es en 1771, bien que despojándola de su complicada teoría y reduciéndola á dos páginas de mi obra, y que sirve para hallar inmediatamente, y sin auxilio de fórmulas, el logaritmo de un número , y viceversa el número de un logaritmo ·con las cifras decimales exactas que se quiera hasta veinte, tabla mucho más sencilla que las dadas por mi ·amigo Fedor Tomán, co piada en una obra reciente. Además he añadido, para facilitar estas operaciones , los logaritmos con veinte cifras decimales exactas de los valores 1 + r y de 1· (r expresa la cuota del interés

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en -

desde un octavo hasta 12 por 100). Creo ha-

her hecho por este medio un importante servicio en los cálculos mercantiles. Para conformarme con la novena condición he añadido muchas Tablas auxiliares muy útiles, como, por ejemplo, las de las potencias cuadrada y cúbica, y las raíces respectivas de los mismos grados, así como la circunferencia y superficie de los círculos, cuyos diámetros están representados por los números de 1 á 100. Por supuesto que no hemos insertado los números reales de estos valores, sino sus logaritmos, porque sólo á. personas que carezcan de sentido común ó que intenten disfrazar algún plagio puede ocurrirles insertar en las tablas de logaritmos números reales, que n o pueden jugar con aquéllas . Porque una de dos: 6 las operaciones han de ser logarítmicas, en cuyo caso lo que se necesita es el logaritmo de los números reales, como hice en mis tablas de la Aritmética superior mercantil, ó bieu hay que hacer las operaciones aritméticamente , Yen este caso es un absurdo poner las tablas de números reales unidas á las de los logaritmos, que no han de entrar para nada en la operación aritmética. Otra tabla también importante es la de los números ~ecíprocos de 1 á 200, ó sea la fracción decimal que exnresa la equivalencia de los quebrados comunes que engan por numerador la unidad y por denominador los Mmeros de 1 á 200. No es de menor interés la tabla que llos da los coeficientes numéricos del binomio de N ewon, de que tan frecuentemente se hace uso. No es meos útil la tabla de los· pesos específicos, no sólo de los

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metales, sino de las substancias y líquidos que se ero plean más comúnmente en la industria. En el mism ca~o está la de los sistemas métricos de todas las nacio nes de Europa y América, y la conversión facilísima d unos sistemas en otros, y especialmente en el métric decimal, y otras muchas cuya explicación se encuentr desde la página 69 á la 75. Y, :finalmente, llamo la atención sobre la tabla de lo minimos divisores de los números menores de 11.3 -cuyo dato es tan útil, como puede verse en su explic ción (página 71) , y la pequeñísima tabla XVIII para m dición de alturas p·or el barómetro, cuya explicación s encuentra en la página 58. Para llenar la última condición hice fundir en L o dres los números y regletas, empleando la forma elze ?·iana en los números, como más clara y menos confus para la vista, que las nuevas cifras, iguales y monótona que la destruyen y fatig::i,n en sumo grado. Finalment el empleo de pequeños asteriscos me ha evitado quebr las líneas y destruir la harmonía de las páginas. Tales y tan importantes son las mejoras que he · troducido en mis Tablas, que por esta razón y su r ed cido tamaño, que permite llevarlas en el bolsillo , 1 constituyen el vademecum de los ingenieros de puent y calzadas, de los ingenieros industriales y agrícola de los arquitectos, de los agrimensores y de los topógr fos en sus frecuentes y molestos viajes.

ARITMÉTICA SUPERIOR MERCANTIL DEL ?.USllíO AUTOR

Seg·umla edición, 188,-. Aunque los logaritmos no pudiesen aplicarse sino á los cálculos científicos, siempre serían de grandísima utilidad por el tiempo que ahorran y la seguridad que dan en sus operaciones á los que se dedican al estudio de las ciencias especulativas, y más aún á las de aplicación, como la náutica, la agrimensura,la arquitectura, y sobre todo á la profesión de los ingenieros civiles y militares . ¿Cuánto mayores no serían, sin embargo, sus ventajas si pudiesen aplicarse con facilidad á los negocios de la vida civil, especialmente al comercio, que abraza casi á todas las clases? Pues bien, esto es precisamente lo que me he propuesto en la publicación de mis Tablas, poniéndolas al alcance de todos cuantos conozcan las cuatro primeras y fundamentales operaciones de la Aritmética. Sin embargo, esto no era suficiente si no se les facilitase el camino para su aplicación á las operaciones mercantiles por medio de fórmulas logarítmicas fáciles y sencillas que i·edujesen su tra,bajo á un mero

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mecanismo, ahorrándoles tiempo y evitándoles operaciones mentales, siempre difíciles para los que no están versados en las ciencias especula ti vas. Con este objeto, y como complemento á mis Tablas de logaritmos, publiqué hace cuatro años mi Aritméticc1 Superior Mercantil, cuya segunda edición, muy mej ora da y aumentada, hice en fines de 1887. Dile este nombre porque en ella me propuse tratar no los cálculos mercant iles más comunes, á los cuales pue den aplicarse también con grandes ventajas los log arit mos, sino ciertos cálculos bancarios que hoy están á la or den del día, y-por decirlo así sobre el tapete, para t oda las personas que tengan empleado su capital ó parte de é en empréstitos públicos ó particulares , y en acciones d Empresas anónimas y de ferrocarriles, en general en t od clase de papel circulante conocido con el nombre de obli gaciones. Sobre es ta materia nada ha y escrito en Espafü y aun lo poco que se ha publicado en Francia está mu distante de ofrecer la claridad y sencillez que se naces· tan para ponerse al nivel de la clase media, respecto 1 cual son letra muerta las fórmulas algebraicas y aun la aritméticas complicadas. Por eso he tratado estas cue: tiones sustituyendo dichas fórmulas por otras logarí micas, que pueden resolverse automáticamente por lo calculadores. Esto es lo que no se ha. hecho en Francil ni aun en Inglaterra, en donde tan adelantado está ramo de los cálculos mercantiles. Para dar una idea de mi obra me ceñiré á propone cuatro ó cinco problemas de los casos que ocurren mu frecuentemente, y tengo la seguridad de que no podrá resolverlos sino matemáticos de profesión que los haya

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estudiado en obras extranjeras; que prueben si no sns fuerzas, y así conocerán las ventajas de esta obra.

Un propietario ha redimido un ·censo anual de 1 500 pesetas1 que pesaba sobre su casa 1 ent1·egando al censualista 32 240 pesetas, con la condición que éste ha de cobra1· la pensión1 que vence dent1·0 de un mes; y se p1·egunta: ¿qué inte1·és anual 1·epo1·ta al propietm·io esta ope1·ación'! RESPUESTA: 0,046635 para la unidad, ó sea 4,6635 por lOOJ ó muy cerca de 4

9./3 •

Un capitalista interesado en la renta perpetua francesa vendió el,. 5 de Mayo una renta trimestral de 675 francos en 44 000 f1·ancos; como el cupón ó el pago de la renta no vence hasta el 20 de dicho mes1 se desea sabe1·: 7;á qiié intm·és anual sale esta ope1·ación pa1·a el comp1·ado1·'! RESPUESTA: á 0,0636211 la unidad, ó sea á 6,36211 por 100.

Un Municipio ha contratado un empréstito de 1000 000 de pesetas con la obligación de paga1· durante

doce arios una pensión de 120 000 pesetas, ent?·egando á, los 6 t¡2 m_eses; ¿á qué inte1·és anual sale el empréstito al Municipio'! RESPUESTA: á 0,066549 la unidad, ó á 6 '/ 3 por 100 al

la p1·imera

año muy próximamente. Una obligación de 1000 pesetas nominales, que p1·0-

duce 20 pesetas cada semest1·e 1 costó en Bolsa 960 pesetas, y fué amortizada á los veintiún semestres de adqui1·ida; se desea sabe1·: ¿qué inte1·és ha 1·epo?"tado por semesti-e al comp·ado1· diwante los veintiiín semestres que la poseyó?

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0,0224089launidad, ósea 2 mente por 100 cada semestre. R:¡¡:SPUESTA:

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próxima-

Finalmente, una Compa?iía de un f e1·roca1·il se p1·0pone cont?'aer un emp1·éstito emitiendo acciones de 500 pesetas nominales, a11io1·tizables en noventa a1ios, con interés de 15 pesetas anuales, vendiéndolas en Bolsa á 275 pesetas, y desea saber: ,qué interés semestral tiene que paga1· po1· esta pperación, RESPUESTA: 0,029113 la unidad, ó sean 2,9113 por 100 al semestre, 6 muy cerca del 3 por 100. Como éstas, y variadas al infinito, hay miles de cuestiones que se presentan todos los días, y que no pueden resolverse sin el auxilio de obra especiales, muchí imo más complicadas que la que ofrezco por primera vez en l España.

Véndense ambas obras en la librería de la viuda de Hernando, calle del Arenal, núm. 111 Madrid.

MADRID: 1890.-IMPRENTA DE D. LUIS AGUADO, PONTEJOS,

Tele"fono 69'7

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