Ponts métalliques a travées continues by FUNDACIÓN JUANELO TURRIANO

~ A T l1-04

CALOUL DES

PONTS MÉTALLIQUES A TRAVÉES CONTINUES

,,,

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' 1

: e'

SOCIÉTÉ DES INGÉNIEURS CIVILS DE FRANGE FONDÉE LE 4

M.ARS 1848

Reconnne d'utilité publique par décret du 22 décembre i8~0 10, Cité Rougemont, 10, PARIS

PONTS MÉTAL11UUES ATRAVÉES CONTINUES METHODE DE CALCUL SATISFAISA T

AUX NOUVELLES PRESCRIPTIONS DU REGLEllENT ~IINISrrÉRIEL 0U 29 AOUT 1891 AYEC

TABLES NUl\IÉRIQUES POUR EN FAGI LITER L' EMPLOI PAR

BERTRAND DE FONTVIOLANT I NGIÍN I BUR A LA CO!II PAGNIB DB FIVBS- LILLE RÉPIÍTITEUR DB IIIÍCAN IOUB APPLIOUBE A L'ECOLE CBNTRALE

Presenté

a l' Académie

des S ciences le 5 décembre ,J892 .

EXTRAIT DES MÉMOIRES DE LA SOCIÉTÉ DES INGÉNIEORS CIVILS DE FRANGE

PARIS 10, cité Rouge:m.ont,

i893

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION N..

Pages.

1 Le nouveau Reglement ministériel du 29 aollt 1891 sur le Cialcul des ponts métalliques substitue aux charges uniformément réparties, fixées ¡iar la Circulaire du 9 juillet 1877, un train mobile, de composition déterminée, dit train-type . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . 2 L'objet de ce Mémoire P,St la recherche d'une solution complete et aussi simple que possible dú -cr probleme des charges mobiles », daos le cas des poutres continues. • . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . • 3 Indications générales sur les diverses queslions lraitées et les méthodes employées : Lignes d'influence; leur utilisation, par deu.'t méthodes, pour la détei·minalion des maximums des moments fléchis8ants, efforts trancbants, réactions des appuis et fleches éla tiques, produits par le passage du traintype. - Condi tions analytiques eles maximums; leur extreme simplicité pour certaines sections particulieres. - Lignes enveloppes des moments fléchissants et des efforts tranchants . . . . . . . . . . • . • . • . . • • . 4 Tracés et propriétés concernant les courbes funiculaires de forces paralléles conlinues dont les intensités sont fonction linéaire de l'abscisse de leurs points d'application. - Convention préliminaire sur les signes. • • . . • 5 Diagramme représentatif de ces forces. - Intensité de leur résultante. . . . 6 Détermination graphique de la position de cette résultan te. - Cette construction donne aussi la parallele aux bases d'un lt·apéze, menée par le centre de gravité. . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . • . . • . . . . . 7 Construction d'une courbe funiculaire de ces forces, passant par deux points donnés B0 et B, : 1• détermination des tangentes en ces deux points; théoréme y relatif; 2° détermination d'un point quelconc¡uc de la courbc et de la tangente en ce point . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . 8 Point d'inflexion; il se trouve sur l'ordonnée du point ou le diagramme représentatif coupe !'axe des- x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Cas particulier ou le diagramme représentatif est paralléle a !'axe des x . . 10 Cas od les deux points donnés B0 et B, sont sur l'axe des a;. - Théoreme.

13 15

15 19 19 20

22 25 25 26

CHAPITRE PREMIER

Notions fondamentales sur les poutres continues. 11 Notations. - Conventions sur les signes . . . • . . . . .- . . . . . . 12 Foyers ou points fixes. - Leur détermination analytique . . . . . . . . . 13 llétermination graphique des foyers. - Verticaies trisectrices. - Contl'e-verticale d'un appui. . • . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . 14 Centre fixe et póle d'une travée. - Leúr construction . . . . . . . . . • . 15 Centre correspondant /J. une section. - Propriétés de la droite joignnnt CP. centre au póle de la travée . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . • 16 Regle simple pour construire, a la fois, le centre fixe et le póle d'une travée, ainsi que le centre correspondant a une section arbitrairement choisie . . 17 Cas d'une travée derive. - La regle précédente devient encore plus simple. 18 Positions corrélatives d'une section et du centre correspondant . • • • . 2

28 28 30 31 33 35 35 3~

-6CHAPITRE II

Lignes d 'influence des-moments fléchissants . 19 Définition de la ligne d'infiuence du moment flécbissant en une section donnée . . . . . . • • . • . . . . . . . . . . . . . . • • . . • . . 20 Définition du diagramme des z correspondant a une sP.Clion quelconque C appartenant a une travée quelconque lk d'une poutre continue AoAn. Théoreme fondamental: La ligne d'infiuence du moment flécbissant dans la section C, se compose de deux brancbes d'une courbe funiculaire de lk . d . 1 fi . • d r d . lk distance po laire , correspon anta es 1orces ctJves vertica es z x: ,

21 22

appliquées achaque élément dx de la poutre. L'une des branches correspond au segment de poutre AoC et passe par les points d'appui de ce segment; l'autre correspond au segment CAn et passe par les points d'appui de ce second segment. Elles ont un point commun sur la verticale de la section C. Remarque sur l'amplification des ordonnées de la Ligne d'influence • . • . . Propriétés relaLives aux deux branches de conrbe funiculaire conslilunnt la . ligQe d'tnf!.u~a~e: -:-- D¡¡.ns e.baque . ti:av_ée, c'est un are de par.abole cubique. Les ares correspondant a deux travées con écutives se raccordent tangentiellement sur l'appui commua il. ces deux lravées . . • . . . . . • • . • . Aut_re propr\é~ \mpo_rt¡mle; -:-- i, da9s la travée lk, on prolonge respectivevement a dro1te et a gaucbe de C, les deux brancbes de courbe funiculaire aJférenles aux segments de poutre AoC et CAn, r.es courbes rencontrent respectivement les verticales des appub Ak et Ak-1 en des points dont les ordoanées sont égales aux distances de la section Ca ces mémes appuis. Si on représente par y= fg (x) ety= {a (x) les équations respectives decés deux braacbes ainsi proloagées, on a, en tout poiat d'abscisse x, de la [favée l1¡, Ja _r¡~la\io_n f g (x,)- fa (x,) 1 . . . . . . . . . . . . . • . Polygone des tangentes sur appuis correspondaat il chacune des deux branche,; de courbe iuniculaire ci-dessus. - Par définition, c'est la ligne poly. gonal~ ~ont le; sommets sont situés sur le verticales trisectrices, dont . l~s cótP.s de rang pair sont compris entre les verticales trisectrices d' une méme travée, et dont les cótés de rang iropairsont les tangentes aux points de la courbe situés sur les verticales des appuis . . . . • . . . . . . . . . l'rop~ié~ du po_lygone des tangentes sur appuis: - 1• Dans la travée lk les ordonnées des sommets de ce po1ygone, mesurées a partir de sa corde, sont égales aux ordonnées correspondantes du diagrarome des z; - 2• Daos toule travée li précédant celle lk, le prolongeroent du cóté de rang pair cs.i~es_pqndant passe par le foy!=)r de gauche de cette méme travée /¡ . . . . Regle pour construire le polygone des tangentes sur appuis, correspondant il. l'une des deux branches de courbe funiculaire • . • . . . • . . . . . . Cette ·régle s'applique, par ·aÓalogie·, a.u polygone des tangentes sur appuis correspondant a l'autre brancbe. . . • . • . . . . . . • . . . . . . . Construction de la ligne d'intluence. - Elle comprend seulement trois opérations : 1 • construction du diagramme des z; 2• construction des deux polygones des tangentes sur appuis; 3• délermination, daos chaque lral'ée, d'uutant de points et de tangentes qu'il est nécessaire pour pouvoir lracer la ligne d'intluence avec l'exactitude voulue. . . . . . . . . . . . . . . Remarques. - Points d'inflexion . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . Échelle de l'épu re. - Amplificalion des ordooaées dans un rappórt q. . . . Propriétés spéciales aux lignes d'iniluence relatives a certaines sectioas remarquables : (1°) Sections d'appui. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;2•) Sections des foyers. . • . • . . ·. . ·. . . . . . . . . . . . . . . . (3°) Section do centre fixe. . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En dehors de la travée lk, les lignesd'influence relativrs aux diverses sectioas · decene trnvée sontdescourbes homologiques.-Construc tion qui en résulte

27 28 29 et 30

31 32 33 34 35 36

41 l

42 43

' 45

45 1

46 47

47 48 49 49 51 ;,3 53

.: '

í CHAPITRE Ill

pour 37 38 39 40 41 42

43. 44 45 46

47 4 49 50 51

Emploi des lignes d'influence : Premiére méthode la détermiuation des moments fléchissants maximums produits par le passage du train-type. r,7 Obscrvation préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le moment lléchi sant, en une section donnée, dépend de denx élémenls: 57 1 • la longueur du train; 2• sa position sur le pont • . . . . . . . . . . PnEMJER CAS. - La section est sitw!e entre les foycrs. - Caracteres de la Jigne 58 d'in!luence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 ~loment flécbissant maximum positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 ~Ioment Jléchissant négatif, maximum en valeur absolue. . . . . . . . . . Droites-limites de premiére e péce. - Elles fournissent le cliagramrñe représentatif des moment fléchissants maximum négatif:· dan toutes le sec60 lions comprises entre les foyer- • . . . . . . . . . . . • . . . . . • . DEuxrEME cAs. - La section est située en deho1·s des foyers. - Caracteres de la ligne d'in0u ence, suivant que la seclion est agauche ou a droite du 64 segmen t focal . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . 65 Moment 0échissant maximum positif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 ~loment 0écbissant négalif, max.imum en valeur absolue . . . . . . . . . Droites-limites de seconde espece.- Elles fourni ent, avec celles de premiere espece, les moments maximums positifs ur les appuis et daos les sections 66 voisines. . . . . . . . . . . • . . . . . . . • . . . . . . . . . . . Les droites-limites de premiére espéce conslituent le diagramme des moments maximums négalifs non eulement entre les foyers, mais enco re sur une 69 certaine zone de part et d'autre desdits foyers. . . . . . . . . . . . . . Résumé et observalions pratiques. - Lignes enveloppes des moments !léchi 69 ants . . . . . • . . . . . . . . . • . . . . . . . . . 71 ~Iélhode abrégée pour la con Lruction des ligues emeloppe . . . . • . . . 72 Remarque relativa au-x travées de rives . . . . . . . . . . . . . . . . Daos la méthode abrégée, il suffit de consl.rUÍJ'e les lignes d'io11uence pour un petit nombre de sections seulement el sur des régions peu étendues do la 73 • . . . . . . . . poutre. . . . . . . . . ·. . ·. . . . . • ·• ·. • . • Jndi cations sur la constrnction des polygones des momenls fléchissants consi73 , • . • ; • • • • . . . . . . . dérés daos la mélhode abrégée

CHAPITRE IV

Seconde méthode pour la détermination des moments fléchissants max.imums. 53 Celle seconde méthode n'exige plus, comme la premiére, que l\m trace la ligne d'influeuce; il suffit, pour une position donoée du train, d'en consLrui1·e un seul poinl et la tangente. . . . . . . . . . . • • . . . . . . 54 Formules nouvelle e:-.primant, daos quatre cas géuéraux, le momeot Jléchissant M en une section donnéc d'uue travée ,quelconque lk, et sa dérivée dM par rapport d). CAS. -

a l'abscisse ·variable). du centre de. gravité dn train:

Le train cbarge simultanémenl les travées lk-t et lk, -RelaPnEmEn lions préliminairtis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . 55 Expressious finales de M et de dM_ d).

ll faut deu~ expressions de chacune .

ele ces quantité , l'uoe pour le cas ou la teto du Lrain fait face a gaucbe, l'autre, pour le cas oú elle fait face a droi.te . . • . . • • . • . , . . • 56 DEuxri:ME cAs. - Le train cbargesimultauémenl les deux Lravées lk et 1141. 57 Tn01s11h1E CAS. - Lq train ne cbarge que la Lravée //, • . • . . . . 58 QuATRIEME CAS. - Le train charge u.o.e seule travée autre que l1< • • • • •

78 81 82 83

-859 Calcul d

valeur numérique des diver es expressions de 111 et de

d~l

d)_. -

Lés quantités entraot daos ces expressioos soot immédiatemcot fournics: les unes, par un eul point d'une des courbe constilutivc de la ligne cl'inOuence; les aulre , par le« Tablean el la Table complémentaire d conatantes du Lrain-type ». - Ca ou la tille du lt·ain fait face it gauche. • 60 Ca ou la tete du t: ain fait face a droite . . . . . . . . . . . . . . . . . (il Description et emploi du Tablean des constantes du lrain-type. . . . . . . 62 D criplion et emploi de la Table complémeotaire. - Exemples: 1° Cas daos legue! le tableau suffit a dooner les quanlilés cherchée . - 2• Cas dan legue! il faut recourir a la Table complémeoLnire. - Intcrpolation. - Remarque I: l\Iotif pour legue! il faut deux éries de formules .

di\I

cxpr1manl l\I e l -. /

el).

83 6 87

Remarque JI: lllot1f pour lequel la Table complé-

mentaire e rapporte seulement aux machioe et aux tender . . . . . . . Recherche de position le plus défavorables du train-type et condition du maximum du moment fléchissant, positif ou négatif, en une section donnée.

Une position éLanlarbilra1rement attribuée au traio, le sigue lle la déri vée di\I d).

indique le sens daos legue} il faut déplacer le train pour le rapprocher de la posilion du maximum. - Daos la position du maximum, la dérivéc 'annule ou bien elle change bru quement de igoe au momentoti une roue passe it l'aplomb de la section considérée. - Valeur du maximum . . . .

CHAPITRE Y

Théoremes particuliers facilitant la détermination des moments fléchissants máxímums dans certaines sections remarquahles. 64 65 66 67

68 69 70 71

i2 73 74 75

Le théorémes élablis daos ce chapitre sont foodés sur les príncipe posé au chapitre lV. . • • . . . • • • . • • • . . . . . . . . . . . Théoreme. - En toute section arbilrairement choisie entre les foyers, le moment fléchissanl maximum positif a toujours lieu lor qu'une roue passe a l'aplomb de celle section . . • . . . • . . . . . . . . . . . . . . • Coodition analytique du maximum des momeots négalifs daos toutes les sections comprises entre les foyers. - Elle ne contieot que quatre termes. . Théoréme lraduisant cette cooditioo. - Daos toutes le seclioos comprises entre les foyer d'uoc travée lk quelcooque, le moment maximum négatif a lieu lor que le train charge, soil la traYée lk-1, soit celle lk+ I, la téte du lraio fai ant face, daos l'un el l'autre ca , a la lravée lk. Dan le premier u; , le cal'!'é du rayon de gyration du train, autour du foyer de gauche de la travée lk-1, est égal a l'excés du liers du carré de la longueur de cetle travée sur le produit des di lance de ce foyer aux appuis de cette mémo travée. Daos le econd cas, la méme relation a lieu relativement au foyer de droite de la travée lk+ t . • . • . • . . . . . . . . . . . . . . . . Remarques ur l'emploi dece lhéoreme. - Droites-limites de premil!re espéce. Ca particuliers de ce méme théoréme. - Travées derives. . . . . • . . . Cooditioo aoalylique du maximum des moments posilif sur les appuis et dan les section avoi ioaote . - Elle e tanalogue a celle du n• 66 et elle _e traduit par un théoréme emblable a celui du n• 67. . . . . . . . . . Coodition aoalytique do maximum des moments négatifs sur les appuis et dan les ections avoi ioante , daos le ponts otl les portée des travées oot supérieurcs a 27,97m. - Iodication prélimioaire. . . . . . . . . . Cette coodilion e Lencore analogue a celle du n• 66. . . . • . . . . . . . Elle e traduit par un théoreme semblable a celui duo• 67 . . . . • . • . Conditioo du maximum du momeot positif en un foyer quelcooque. - Elle ne cootieot que qualre termes • . . · . . . . . . . . . • . . . . • . . • . Théoréme traduisant cette..condition. - Le moment fléchissant maximum

103 103

105

10 109 111 112 112 113 116

117

-9-

76 77 78 79

positif au foyer de droite F1t d'une travée quelconque l1< se produit lorsque le train charge exclusivement cette travée, la tete dudit train faisant face a droite. et a l'instant ou une certaine roue P; franchit ce foyer. De plus, a cet instant, suivant que P; est immédiatement agauche ou immédiatement a droite de Fk, le rappo1·t de la somme des charges situées a droile de Fk, au poids total du train, est plus petit ou plus grand que le rapport du carré du rayon de gyration du train autour de l'appui de gauche A1o-1, au carré d'une certaine longueu r constante 6 . . . . . . . . . . . • . . Condition du maximum du moment positif au centre fixe. - Indication préliminaire • . . • . . . . . . . . . . . . • . Cas ou la téte du train fait face a droite . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas ou la tete du train fait face a gauche. . . . . . . . . . . . • . . , . Cetle eondition ne contient que quatre termes. - Elle se traduit par le théoreme que voici: - Le moment maximum positif au centre fixe o,. d'une travée quelconque lk se produit lorsque le train charge exelusivement cette lravée, et a l'instant otl une certaine roue P; franchit Ük. De plus, a cet instant, suivant que P; est immédiatement agaucbe ou immédiatement a droile de

Ük, le

:EPc1

1·apport I l de la somme des charges situées

a droite

poids total du train, est plus petit ou plus grand que le rapport ~. lk

a gaache

ou immédiatement

somme des charges situées

a droite

de C, le rapport

122 12t 1~6

de Ük, au

dési-

gnant l'ordonnée correspondant au centre de gravité du train, d'une droite fixe facile a tracer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Condition du maximum du moment positif, en une seetion quelconque située dans nne travée de rive, entre l'appui extréme et le foyer opposé . . . . 81 Théoreme traduisant cette condition. - Le moment fléchissant maximum positií, en une section C arbitrairement ehoisie dans une travée de rive l., entre l'appui extréme A0 et le foyer opposé F, se produit lorsque le train charge exclusivement cette travée et a l'instant ou une certaine roae P; franchit cette section. De plus, a cet instant, suivant que P; est immédiatement

121

~~!1

127

de la

gauche de C au poids total du train, est

plus grand ou plus petit que la différence entre le rapport :!:... des distt,

tances de l'appui A0

+1·•

la section C et au foyer F1 , et le rapport - ,E

du carré du rayon de gyration du train autour de A0 au carré de lo. longueur constante

z,J! ~ ~. .. . . . . . . . . . . . 3 v, a

82 Lignes enveloppes des moments fléchissants. - Méthode abrégée.

131 132

CHAPITRE VI Lignes d'influence des efforts tranchants. - ·Efforts tranchants maximums produits par le passage du train-type. 83 84

Définilion des ligues d'in.fluence. - Constante arbitraire A. ·. . • . . . . . Définition et construction du diagramme des :; co rrespondant a un e travée quclconque lk, Théoreme fondamental analogue a celui concernant le moment fléchissant. La li~ne d'influence de l'effort tranchant, relativa a une seetion quelconque C ,Je la travée Z~, se compose de deux brauches d'une courbe funiculaire de distance polaire .

zda; : - ,

z,, 3

appliquées

et correspondant

des forces fictives verticale

a chaque élément da; de la poutre. -

L'une des bran-

134

-10 85 86 87

ches correspond au segment A,C, l'autre correspond a l'autre segmcnt CAn et pas e par les points d'appui de ce second segment. . . . . . • . . . • Pour une lravée de rive, la construction du diagramme des z se sirnplifie . . Propriétés relatives aux lignes d'influence des efTorts tranchants. - Elles sont analogues acelles relatives aux lignes d'influence des moments fléchissants. Dans la travée lk, les prolongernents des deu.x branches de courbe funiculaire afiérentes aux segments de poutre AoC et CA,. (n• 84) reocontrent respectivemeot les verticales deS' appnis Ak et Ak-1, e n des points doot les ordonA et a - A (o• 83) . . . . • . . . . . . . . . . . nées sont égales a Ces deux courbes· sont pa1-alléles entre elles dans ·Ja travée lk et elles constituent toutes· les lrgnes d'influence de l'efio rt lranchant, relatives aux di verses sections 'de cette travée. . . : : . . . . • . • . . . . . • . . • . . . Polygones de tangentes sur appuis. - Leur définition et lenr construction sont les mémes que celles des polygones de méme nom relatifs aux lignes d'influence des moments tléchissants (n• 25). . . . . . . . . • . . . . Coostruction des ligues d'influence des efior ts ti-anchants. - La r egle est la meme que pour les moments tléchissants (n• 30) . . Points d'inflexion . . . . . . . . . . . • . . . . • • . . . . . . . . . Observation sur la valeur it attribuer a la constante arbitraire A . . . . . . EJforts tranchants maximums positifs ou néga tifs en une section donnée, produits par le passage du train-type. - 11 y n quatre cas de surcharge a considérer. - Daos les deux premiers, la position du train-type est connue a prio1i; dans les deux autres, elle ne l'est pas . . . . . . . . . . . . Calcul des valeurs des efforts tranchants correspondant aux deux premiers cas : - Deux méthodes, dont l'une exige seulement la connaissance d'un point unique de la ligne d'inlluence . ·. . . . . .. . . . . . . . . . . . Dans les deux cas de surcbarge otl la position du traiu n'est pas connue a priori, le diagramme des efforts t1·anchants se déduit immédiatemont des droites-limites relatil'es aux moments flécl1i ssa nts (n• 46) . . Lignes enveloppes des efiorts tranchants. - Leur co nslruction. . . . . . .

90 91 92 93

135 136 137

137 138 1::19 140

141 141

Jli1

142

143 145

CHAPITRE VII

Lignes d'influence des fleches et des réactions des appuis. Fleches et réactions maximums _produites par le passage du train-type. Observations p1·éliminaires. - La question de ltt tlé.erminalion des Iignes d'inlluence des réactions des appuis est un imple corollaire de celle de la recherche des Lignes d'iofiuen ce des !leches. . . . . . . . . • . . . . . 98 Rappel préalable de deux constructions connues : - A. Diagramme des momenls de flexion produils par un poids unique, clans une poulre a deux appuis simples. - B. Meme dia gramme dans le cns tle la poutre continue. Valeur de l'ordonnée [ de ce diagramme, au pointd'application dela cbarge. 99 Lignes d'influence des fl eches. - Leur déllnition . . . . . . . • . . . . . 100 Tbéoreme fonclamental : - z désignanl les ordonnées du diagrnmme r epré•entatif des moments_flécbissa nts produits dans uno travée quelconque li. d'une poutre continue, par un poids égal a l'unité, appliqué en un point C arbilrairement choisi (n• 98 - B), la ligne d'iníluence de la fleche au point C 97

147

147 150

esl une courbe funiculaire de distance polair~ ';· passant par les appuis do la travée lk et correspondanL 101

a dos forces

fi ctives veiticdes zda; : ':, appli-

quées achaque élément clx de ladite travée. . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés des lignes d'influence des fleches : (1 º) la ligne d'influence rela-

152

-11tive a un point C arbitrairement choisi daos une travée l1<, se compose de deux ares de paraboles cubiques, situés de part et d'autre de ce point; (2•) ces deux paraboles se raccordent tangentiellement sur la verticale de ce meme point. 102 (3°} La parabole cubique alaquelle appartient l'arc de gaucbe, rencontre l'appui de droile Ak de la travée lk , en un point ak dont l'ordonnée est égale a - -CAf 2

;

l'aulre parabole rencontre l'appui de gauche en un point

a~1

153

don~ l'o~donné~ est é~ale

a (- A1<(t

)·

• •

103 Construction des ligues d'inlluence des fleches. - Comme pour les lignes d'influence des moments fléchissantR et des efforts trancbants, cette consb·uction se raméne fioalement a celle du n• 7 . 104 En ré umé, elle ne comprend, en tout, que quatre opérations, savoir: '1° tracé du diagramme des z relatif au point con idéré; 2• construction des deux points de rencontre ak et ai,-t (o• 102) des deux parabole cubiques, avec les verticales des appuis; 3• détermination des Langent!'s a ces deux parabol~s. aux points c·orrespondantaux nppuis; /i•construction d'autant de points de ces paraboles et d'autant de tangentes qu'il est néce saire pour pouvoir .. les tracer correctement . 105 Fleche maximum produite en un point donné, par le pas age du train-lype. -Premiare métbode. 106 Scconde méthode. - Elle n'exige plus, comme la premiére, que l'on trace la ligne d'inlluence, dont il suffit alors de coostruire quelque poinl seulement. - Elle est fondée sur de expressions nouvelles de la fleche v et de sa dérivée dv par rapport d}.

a I'absci

154

156

158 159

se variable), du centre de gravité du

• train . 107 Calcul de valeurs numériques de ces expres ions. - Le Tableau et la Table complémcntaire des conl!tantes du train-type, ainsi que le point d'abscisse}. de la ligue d'influence, fournissent immédiatement toutes les quantités entrant daos lesdites expressions • 108 Conclition analytique du maximum de la fleche. - Pour une position quel-

160

163

conque attribuée au train, le signe de la dérivée :~ indique le sens daos lequel il faut déplacer le train, pour le rapprocher de la position du maxid"

muro. -Pour cettederniére position, -

d),

··a11nule .

164

109 Autres expressions de la dérivée ~ , permettant de trouver lapo ilion du d).

110

111. 112 113

114

115

maximum ans meme construil'e aucun point de la ligne d'inlluence . • Exprcssion analytique de l'abscis ·e du centre de gravité du train, répondant a la position du maximum. - (Toutes les indications données au préseot chapitre, sur les ligues d'inlluence des fleches et sur le fiéches ma:ximums, dans le cas des poulres continues, s'appliquent également aux poutres a deux appuis simples). Remarque pratique. Lignes d'inlluence de réactions des appuis. - Leur définition. Théoréme fondamental montrant que les méthodes données précédemment pour la détermination des lignes d'inlluence des fleche élastiques et pour la Fecherche des fleches maximums, s'appliquent immédiatement aux recherches similaires relatives aux réactions des appuis. Légéres modi:fications a apporter aux formules concernan t les fleches élastiques, pour passer a celles relatives aux réactions des appuis. Remarque. - On pourrait déduire les ligues d'influence des réactions des appuis, de celles des eO'orts tranchants; mais ce procédé est moins expéditiI • • que la méthode directe.

165

167 170 171

• 17:! 174

174

-UANNEXE I Lignes d'influence du moment fléchissant relatives aux diverses sections d'une méme travée. Étant données les lignes d'influence des moments fléchissants sur appuis, construire les lignes d'influence relatives aux diverses sections d'une travée quelconque lk. Cette construction ne doit etre préférée a la construction directe du o• 29, qu'autant que l'on considere un assez grand nombre de sections dans la travée lk . . • . . . • • . . • • • • . • • ·

176

ANNEXE lI Ponts en poutres droites a une seule travée.

Emploi du Tableau des constantes du train-type pour la détermination des moments fléchissants et des efforls tranchants maximums. • . . . . . .

TABLES NUMÉRIQUES 1• Tableau des constantes du lrain-lype . . • . . . 2• Table complémenlaire des constantes du train-type. Planche 3.

182

. Planche

1 2

PONTS MÉTALLIUUES A-TRAVÉES. CONTINUES . MÉTHODE DE CALCUL SATISFAISANT AUX PRESCRIPTIONS DU REGLEMENT MINISTÉRIEL DU 29 AOUT 1891

INTRODUCTION Le Réglement du 29 aoftt 1891 sur les ponts métalliques. 1. - Un Reglement ministériel, en date du 29 aout 1891, remplagant la Circulaire du 9 juillet 1877, vient de déterminer les condüions auxquelles devront satisfaire désormais les ponts métalliques en France (*). Il contient de nombreuses innovations, dont l'une des principales concerne les surcharges a envisager dans les calculs relatifs a la résistance des poutres des ponts pour chemin de fer. Tandis que la C1rculaire de 1877 autorisait a prendre, comme base de ces calculs, des surcharges uniformément réparties dont elle fixait la valeur, le nouveau Reglement impose l'obligation de cónsidérer le passage, sur le pont, d'un train de surcharge cléterminé, dit train-type, dont « la composition se rapproche, autant que » possible, de celle des trains les plus lourcls formés avec lema(·) Ce Reglement, présenté au Ministre des Travaux publics par le Conseil général des Ponts et Chaus ées, a été préparé par une Commission instituée spé~ialement pour la revi ion de la Circulaire du 9 juillet 1877 et composée comme suit: Président: 1\f. Robaglia 1 Inspecteur général des Ponts et Cbaussées. Afembres: MM. Boutilher. Collignon, Dupay, Guillemain, Jules Martín et Ricow·, lnspecteurs gené1·aux; Considere et Flamant, Ingénieurs en chef. Secl'étaire rapporteur: M. Bricka, 1ngénieur en chef. Secl'étaire adjoint: M. Bresse, lngénieur ordinaire. 3

-H- · » tériel actuellement en service sur les principaux réseaux . ./ » fr anga.1s ». Voici en quels termes cette prescription est formulée (art. 4) : « En ce qui concerne les fermes longitudinales, les auteurs des > projets seront tenus d'examiner l'hypothese du passage, sur » chaque voie, du train-type défini ci-dessous: » Le train-type se composera de deux machines a quatre essieux, » de leurs tenders et de wagons chargés. Les poids et dimensions > des machines, tenders et wagons chargés ·sont donnés par le » tableau et la figure ci-apres ( fig. f) :

2-¡, •

&6:?

•

;

•

14 t 2,60 m 1,20 m 2,60 m 56 t 8,80 m

12t 2,00 m 2,50 m 2,00 m 24 t 6,50 m

Wagons c'hargés

Tender.

Machme.

Tende.r

Machme

1G ~

&G '!'

• :

2 St 1,50 m 3,00 m 1,50 m 16t 6,00 m

Nombre d'essieux Charge par essieu . Distance du tampon d'avant au 1•• essieu Ecartement des essieux entre eux. Distance du dernier essi11u au tampon d'arriere. Poids total Longueur totale .

WAGON CHARGÉ

TENDER

~IA CHIN~!

DÉS IGNATIO N

18 '!°

: · :

1•

;m .lMl!.;12..0!1,Z.!>,:.b6Jl~'ºº-!.. Mº- _:z.oQ,!.Z.S~l JJO;LaJ>¡.1JQ¡t..o!.uo.!-.2~D-..:.Z&o_.;..J,50..,:. a.uo.. .!...1...o...._1, s_o4-a~Q.o_,:. u o.,.: • l I • : l ' : : j ! : : : ,, : : : : •• ~ !' ', j ¡..I .,_! ~ ~ ~ ; :!: ~ ~ ~ : •N ~ 1 -!, ~ ~ : ,¡. 1

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---~

Les machines, avec leurs tenders, seront placées toutes deux » . en tete du train. » L'ensemble du train sera supposé occuper successivement » différentes positions le long de la portée, et ces positions seront » choisies de maniere a réaliser, en chaque point, les plus grands »· efforts tranchants et fléchissants que le passage du train-type ~ pl.lisse déterminer. » » Le Reglement prescrit en outre (art. 7) de « fournir, a l'appui ,, des projets, le calcul des fleches sous l'action de la charge per• " manente et sous l'action de la surcharge. » «

-rnLe probleme des charges mobiles . . . . :. . Objeí de ce Mémoire.

i.-Dans l'étude d'un pont métallique, l'Ingénieur devra done, résoudre la question connue sous la dénomination classique de probleme des charges mobiles (*), y compris la recherche des fleches. En ce qui concerne les ponts en poutres droites a travées indépendantes, ce probleme a fait l'objet de nombreux travaux publiés en France ou a l'éLranger, et il en a été donné, principalement par M. Maurice Lévy, plusienrs solutions remarquables par leur élégante simplicité et s'appllquant aussi bien a la détermination des moments fléchissan ts qu'a celle des efforts tranchants (-**). Mais il n'en est pas de méme pour certains types de ponts, dans lesquels cette détermination ne peut se faire par les procédés de la Statique pure et nécessite l'intervention de ·1a théorie de l'élasticité. Tel est le cas, principalement, des ponts en poutres droites a tra vées continues. Or, ce genre de construction est tres répandu en France, et les nouvelles prescriptions relatives au,x surcharges devront étre observées, non seulement dans l'étude des ponts a exécuter dans l'avenir, mais encore dans la revision des calculs de résistance de tous les ponts existants, - revision ordonnée dari.s la partie du Reglement intitulée: (( Instruction pour la surveillance et l'entretien des ponts métalliques. » Il y aurait done un grand intérét a trouver une solution aussi simple que possible, du probleme des charges mobiles, dans le cas des poutres continues. C'est la recherche d'une telle solution qui fait l'objet du présent Mémoire. Quant a la détermination des effets de la charge permanente; . elle s'effectue par des méthodes trop connues et trop simples pour qu'il y ait lieu de s'y arréter ici (***).

a l'avenir,

3. - De quelque type de poutre qu'il s'agisse, on sait que le probleme des charges mobiles - c'est-a-dire le calcul des valeurs (*) Il ne s'agit; bien entendu, que des efi'ets statiques de ces cbarges. (••) 1\-fourice Lévy. Statique graphique, 1"' parlie et 4• portie, note 11. (• .. } Les tables de Bresse, par exemple, donnent rapidement tous les résultats nécessaires. (Voir Bresse, Mécanique appliquée, 3• partie, et Maurice Lévy; Statique grapllique, 2• pnrtie, § 403.)

-16-

1 1

maximums des moments fléchissants, efforts tranchants, réactions des appuis et fleches élastiques - se ramene, en these générale, a la construction des lignes d'influencé (*). Les méthodes données jusqu'a présent pour la détermination de ces lignes, en ce qui concerne les poutres continues, sont presque exélusivernent analyliques (**), et l'application en est tres laborieuse. La méthode nouvelle que nous exposons dans ce Mémoire est, aü contraire, entiereínent graphique et ne· comporte que des tracés simples et expéditifs. Elle est le développement de divers théoremes que nous avons établis dans un. précédent travail sur les déformations élastiques (***) et dont nous nous bornerons a rappeler ici les énoncésr sans démonstration. L'un des caracteres principaux de cette méthode est de réduire toujours la détermination des lignes d'influence a un probleme unique, qu'il s'agisse des moments fléchissants, des efforts tranchants, des reactions des appuis ou bien méme des fleches élas·tiques. Ce probleme, d'ailleurs élémentaire, . consiste, - · étant donnés, dans un plan, deux points B0 et B1 et un systeme de forces paralleles continues, dont les intensités sont fonction linéaire de l'abscisse variable de leurs points d'application, - a tracer une courbe funi culaire de ces forces, passant par ces deux points et de distance polaire égale au tiers de la projection de B0 Bi sur une direction perpendiculaire a ces mémes forces· La construction de cette courbe funiculaire par points et. tangentes est donnée, des le dé.but, dans la présente Introduction; elle est, pour ainsi dire, aussi simple que celle d'une parabole du second degré . . La. considé:r:ation des diverses ligues d'influence relatives a un (*) La déllnition en est rappelée au n• 19. (*·*) A notre connaissance, il a été donné deux méthodes pour la détermioation de3

lignes d'ioflueoce daos les ¡:>outres cootinues : 1 • Celle exposée , par M. l\1a urice Lévy daos son beau traité de Statique graphique (U• partie), et qui est fondé e sur des expressions rem arquables des moments fléchissants produits sur les appuis d'une travée quelconque, par une charge isolée se dépla~<1nt sur cette travée. 2• Celle indiquée par M, de .Joly, dans le 2° fascicule du tres intéressant Rapport daos lequel MM. Dupuy, Inspecteur géneral des Poots et Chaussées, Cuénot et de Joly, Ingénieurs ordinaires, rendent compte d'une mission spéciale, a eux confiée par le Ministre des Travaux publics, a l'effet " d'examiner comment se sont comportés les ouvrages mélalliques ' » exislants en France et dao s les pays environnants et de rechercher les causes des dé:o térioratioos qui ont pu se produ1re dans ces ouvrages » . Cetle seconde méthode consiste a form er d'abord les équations des ligues d'inlluence des réactions des appuis, et a en déduire, ensui te, calles des lignes d'influence des mom ents fléchissanls et des efl'orts trancl¡ants. ,(.. •) Comptes 1= endus- de l'Académie des Sciences, du 7 janvier 1889, et Bulletin de la Société des ln¡¡énieurs civils de mars 1889. , ,

: :

--17point donné de la poutre, permet, ainsi ·que ·nous l'avons rappelé plus haut, de déterminer les positions du train-type qui correspondent au moment fléchissant, effort tranchant et fleché maximums en ce point, ainsi que les valeurs de ces maximums. Il en est de méme de la réaction ·maximum sur un appui quelconque. Nous donnons, pour cette détermination, deux méthodes générales. La premiere, tout a fait élémentaire et qui se présente d'ailleurs immédiatement a l'esprit, exige que l'on trace la ligne d'ip.fluence afférente a la quantité dont on cherche le maximum. . La seconde, moins élémentaire, mais, par contre, plus expéditive, met a profit les propriétés analytiques spéciales aux.. lignes d'in.fluence dans les poutres continuos. Elle n'exige plus, comme la premiere, que l'on trace la ligne d'influence; un seul point de cette ligne suffit pour chacune des positions que l'on est conduit a attribuer au train. · Cette seconde méthode fait connaitre les conditions générales analytiques, caractérisant les positions du train correspondant aux maximums dont il s'agit. Elle est fondée sur des formules nouvolles exprimant le moment fléchissant, l'effort tranchant, la fleche élastique en un point quelconque et la réaction sur un appui, ainsi que les dérivées correspondantes par rapport a l'abscisse variable du centre de gravité du train mobile. Les quantités entrant dans ces expressions sont de deux especes différentes seulement: Les unes, que nous avons appelées constantes· du train-type, ,n e dépendent que du diagramme de ce train, c'est-a-dire des poids par roue et des écartements des essieux. Ce sont, entre autres, les moments d'inertie principaux et les moments du troisieme ordre des divers groupes de charges que l'ou peut former en composant le train d'un plus ou moins grand nombre de véhicules. Nous avons construit un tableau et une table contenant les valeurs nu_mériques de ces quantités; on n'aura qu'a s'y reporter dans les applications. . Les autres ne dépendent que de la ligne d'influence. Ce ,sont l'ordonnée du point de cette ligne ·situé sur la verticale du centre de gravité du train, ainsi que les dérivées premiere, seconde et troisieme de cette ordonnée, par rapport a l'abscis.se correspondante. Ces quantités sont imm~diatement connues des que, par .notre méthode, on a constmit le point · en question de la ligne d'influence.

-18-

Ces quelques indications sommaires su:ffisent a faire comprendre que le calcul numérique de ces nouvelles formules est des plus faciles. Pour certaines sections remarquables de la poutre (appuis, foyers, etc ... ), les conditions analytiques caractérisant le maximum du moinent fléchissant deviennent extrémement simples et permettent alors de trouver la position du train correspondan t a ce maximum, sans méme construire aucun point de la ligne d'influence. Il en est de méme des conditions similaires relatives aux efforts tranchants, aux fleches et aux réactions des appuis. · Nous avons traduit la plupart de ces conditions sous forme de théoremes, plus expressifs que les formules algébriques. La construction des lignes ep.veloppes des moments fléchissants et des efforts tranchants, produits par le passage du train-type, s'effectue par points, des qu'on connait les valeurs des maximums ·positifs et négatifs de ces quantités, pour un certain nombre de sections su:ffisamment rapprochées. Au point de vue de la rapidité, il importe - surtout en ce qui concerne les moments fléchissants, lesquels sont moins faciles a déterminer que les efforts tranchants - de réduire autant que possible le nombre de ces sections, sans nuire toutefois a l'exactitude de la ligne enveloppe. Cette considération nous a conduit a donner, sous le titre de « Méthode abrégée J?Our la construction des lignes enveloppes des moments fléchissants, » un procédé permettant de borner la recherche des maximums, aux quelques sections remarquables , indiquées précédemment comme se prétant le mieux a cette recherche (appuis, foyers, etc ... ).

: 1

Il nous párait super.flu d'indiquer ici l'ordre dans lequel ont été traitées, dans ce Mémoire, les diverses questions dont nous venons de parler. La table des matieres renseignera completement sur ce point. L'exposé de certaines de nos méthodes semblera peut-étre, au prernier abord, long et compliqué, bien qu'au fond il ne dépasse pas les limites de l'analyse élémentaire. Mais, en pareille matiere, il faut considérer surtout la simplicité du résultat final, qui seul intervient dans les applications. Il n'est pas surprenant, d'ailleurs, qu'il faille passer par une suite de déductions aRsez longues, pour ramener a· des termes

: 1

-19-

simples les problemes complexes posés par le nouveau Reglement. Nous espérons que ce Mémoire pourra rendre service aux Ingénieurs, en leur facilitant l'établissement des calculs relatifs aux ponts en poutres continues qu'ils auront a projeter ou dont ils seront appelés a vérifier les conditions de résistance. Sur quelques tracés et propriétés concernant une certaine classe de courbes funiculaires.

4. - Toutes les fois que, dans ce Mémoire, nous ferons usage d'axes de coordonnées, nous prenclron invariablement l'axe des x horizontal et-dirigé de gauche a droite; l'axe des y vertical et descendant. Tout segment de droite appartenant a l'un quelconque des axes ou parallele a cet axe, sera considéré comme positif ou négatif, suivant qu'on le parcourra dans le sens positif ou négatif de ce méme axe. Ainsi ( fig • .2), les segments A0A 1 et ,q'g seront positifs, landis que ceux AiAo et gg' seront négatifs. ti. - Les considérations sommaires que nous allons exposer ici

se rapportent aux courbes funiculaires correspondant a des forces verticales continues, dont les intensités sont exprimées par une fonction linéaire de l'abscisse variable de leurs points d'application. Soient ( fig . .2 ou fi,g. 3) : cc 0cc 1 un segment d'une droite quelconque, A0 A1 = t la projection de ce segment sur l'axe des a:, z l'ordonnée MN d'un point quelconque N de cette droite. En chaque élément MM'= dx de l'axe des x, supposor;.s appliquée une force verticale, d'intensité égale a (zdx) :

l . MNN'M') : , = (all'e 2

dirigée de haut en bas ou, au contraire, de bas en haut, suivant que z est positif ou négatif; nous dirons que la droite indéfinie passant par eco et ~1 est le diagramme représentatif de ces forces. Parmi ces mémes forces, considérons spécialement celles appli-

-- 20quées_ sur le segrhent A0 A..i de l'axe des x, et aont le -diagramrrie Fíg. 2, L

représentatif est, par conséquent, le segment de droite a 0a 1 • Il est clair que leur résultante est égale, en grandeur et e~ signe, a

et qu'elle passe par le centre de gravité de ce trapeze, a la condition de convenir que l'action de la pesanteur est susceptible d'un double sens : descendant pour les surfaces situées au-dessous de l'axe des x, ascendant pour celles situées au-dessus. 6. - Pour déterminer la position de celte résultante, la constru~tion la plus simple est la suivante ;

-21,' et, étant les points situés au tiers et ·aux

d~x tiérs du .segment '¼ªt-

Fig.3. oc.o

o (

r tirez les clroites A0-y' et A 11 ; le point de ~qncours L de ces droites, prolongées s'il est nécessaire, appartient a la 1·ésultante cherchée.

Pour le démontrer, décomposons le trapeze A0a.0a1A1 en deux triangles A0a 0a 1 et A0A1a 1 lesquels sont de méme signe dans la figure 2 et de signe contraire dans la figure 3. La résultante considérée est aussi celle de deux forces verticales appliquées aux centres de gravité respectifs de ces triangles, c'esta-dire suivant les verticales des points y' et y, et égales, en gran· ~eur ei en sig~e, a (aire triangle A0 a 0 o:1)

~=A

0~ 0 ,

a (aire

triangle A 0 ~

1a 1) :

A._1a 1 •

-22A partir du po_int A0 choisi comme origine, formons le polygone de ces deux forces ;..il suffit, a cet effet, de porter.ix0ix'1 A.1ix1t dans le sens qui résulte de la convention sur les signes; par conséquent, debas en haut dans la figure 2 et de haut en bas dans la figure 3. A 0 ix0ix'1 est le polygone cherché. Considérons maintenant le polygone funiculaire de ces mémes forces, ayant le point y' pour póle. A.0y' et y'y en sont les deux premiers cótés, correspondant aux rayons polaires A 0y' et ix0y'. Quant au troisieme cóté, correspondant au rayon ix'd, il n'est autre que la droite yA.1 ; en effet, dans les deux triangles y' ix 0 ix'1 et y7.1A 0 les cótés y'(J. 0 et yix1 sont égaux et en ligne droite, les cótés ix 0(J.'i et (J.1A1 sont égaux et paralleles par construction, et, par suite, les troisiemes cótés yA. 1 et ix'1 y' sont aussi paralleles entre eux. La figure A 01'yA. 1 étant, des lors, un polygone ·funiculaire des forces A. 0a 0 et A.1 ai, le point d'intersection L de ses cótés extremes Ad et A1 y, prolongés s'il est nécessaire, appartient, d'apres une propriété connue, a la résultante de ces forces; ce qui justi:fie la construction indiquée. ·

Il est évident que cette construction est générale et détermine la verticale du centre de gravité d'un trapeze quelconque a bases verticales (*) : ainsi, par exemple, les droites ep et A 1q ( fig • .2 ou fig. 3 ), menées respectivement par les pointsp et q situés au tiers et aux deux tiers du segment fa. 1 , se coupent en un point n appartenant a la verticale du · centre de gravité du traREMARQUE. -

peze efa.1 Ai, ou, autrement dit,

a la résultante des forces

zdx :

réparties sur le segment eA.1 de l'axe des a:. 7• .- Proposons-nous maintenant de construire, avec une distance polaire ~,

une courbe funiculaire corres~ondant aua; forces :::;da; :

répm'ties sur l' axe des a:, et assujettie a passer par deua: points B0 et B1 donnés arbitrairement sur les verticales de A 0 et de A.1 •

La construction comprend deux parties, savoir : Détermination des tangentes a la courbe aux points B0 et B1 ; Détermination d'un point qµelconque de la courbe et de la tangente en ce point. (*) Cette construction de la porallele aux bases d' un trapeze, menée par son centre de gravité, n'est pas nouvelle; mais nous la croyons assez peu connue. Elle est indiquée dans l'Intégmtion graphique de M. Massau, toutefois avec une démonstration différente de celle ci-dessus.

-231º La regle suivante résout la premiere partie : Sur les verticales des paints y' et y situés au tiers et aux deux tiers de ix0ix1 , partez, a partir de la carde B0B0 en ayant égard a la conveng'y' et GH -= gy; les draites B 0H' tian sur les signes ( nº 4) : G'H' et B1H sant les tangentes aux paints B0 et B1 de la caurbe cherchée.

En effet (nº 6), la figure A0y'yA1 (fig . .2 au 3) est un polygone funiculaire des forces A0ix0 etA1ix1 appliquées respectivement suivant les verticales des points y' et y; et sa distance polaire est égale

a ~,

puisque son póle y' est situé au tiers de

ixoix 1•

La figure

B0H'HB 1 est aussi un polygone funiculaire correspondant

a ce.s

mémes forces et ayant méme distance polaire ~, puisque les o;données des sommets correspondants des deux polygones A01 ' 1A1 et B0H'HBP mesurées respectivement a partir des lignes de fermeture A0A1 et B0B0 sont égales entre elles par construction. L'arc B0dB1 de la courbe funiculaire cherchée et le polygone B0H'HB1 correspondent, des lors, a deux systemes de forces équivalents qui sont, d'une part, les forces zdx : ~ réparties sur 1,

1, I•

A0A1 et, d'autre part, les forces A0ix0 et A1ix1 précitées. En outre, leur distance polaire est la méme et leurs points extremes B0 et B1 sont communs. Done, en ces points, d'apres une propriété connue, les cótés B0H' et B1H du polygone funiculaire sont tangents a la courbe cherchée; ce qu'il fallait établir. Ce résultat peut étre énoncé sous la forme suivante : Les tangentes, aux paints B0 et Bu a la caurbe funiculaire définie ci-dessus, rencantrent respectivement les verticales du tiers et des deux tiers de A0A1 , en des paints H' et H dant les ardannées G'H' et GH, mesurées apartir de la carde B0B1 , sant égales, en grandeur et en signe, aux ardannées c01'f'espandantes g'y' et gy du diagrarnme représenta• tif ix0ixu mesurées a partir de A 0A 1• TrrÉOREME. -

2° Passons maintenant a la seconde partie; c'est-a-dire, connaissant les tangentes en B0 et B0 proposons-nous de construire un point quelconque d de . la courbe et la tangente correspondante tt', étant donné le pied e de l'ordonnée de ce point (fig. 2 au fig. 3 ). A cet effet, considérons les deux trapezes e/ix0A0 et efix1Ai comI', ' 1

-24pris respectivement entre cette ordonnée et celles des points B0 et Bi- En vertu d'une propriété connue des courbes funiculaires, . Je· point de concours f des tangent~s Bl et dt' est situé sur ,la -ré;sultante des forces zdx:

~ réparties

sur. le segment

!,-0e ·de

l'a~~

des x, c'est-a-dire sur la verticale du centre de gravité du tra-peze e/a0A0 • De méme, le point t - intersection des tangentes en d et en Bt :-- se trouve sur la v,erticale du centre de gravité du second trapeze e/a1A.¡. De la résulte immédiatement la-regle suivante,¡ qui est toujours . applicable, que le point d cherché soit situé entre les deux points connus B.o et B1 (fig. 2) ou, aµ contraire, en de4ors de ces points ' (fig.3): M enez l' ordonnée indéfinie dont le pied e est donné et qui coupe en f la droite a 0 a1 · prolongée s'il est nécessaire; cherchez, pa;r le procédé du · n° 6 (Remarque), les verticales des centres de gravité des deux tra.pezes · partiels efa 0A0 et efa1A..¡, .'~ · Fi g. Zt . lesquelles rencontrent respecl!ivement les tangentes connues B0H' et B1.H, aux points t' et t ; la droite tt' coupe l' ordonnée précitée, au point d cherché, et elle e<, est précisément l.a tangente L a la courbe en ce point. o

.. .'

[B .L

On construira ainsi autant de points et autant de tangentes qu'il sera nécessaire pour tracer la courbe avec exactitude.

La regle ci-dessus se préte a une extension. · Apres avoir déterminé un certain nombre de points etde tangentes, on,pourra se servir de deux quelconques de ces points et des tangentes correspondantes, pour construire de nou, veaux points· et de nouvelles tangentes. Ainsi, connaissant par exeJl!.ple

-25les· points· d et d1 (f.g. 4) et les tangentes · dt2 et d/2 , póur· c~nstruire le point d 2 situé sur une ordonnée quelconqu~ ed2 , on menera les verticales des centres de gravité ·des deux trapezes e.J.Je,et e.Jl1eu lesquelles rencontrent les tangentes _e n d et en d1 :. respectivement aux points t2 et t\ . .Ca drnite tl2 coupera l'or-: donnée e.j2 aiu point d2 cherché, et elle sera la tangente .en ce · point.

8. - PorNT o'INFLEXION. - Sur la verticafo du point d'intersection w de cx 0cx1 avec l'axe des x (fig. 2 ou fig. 3), la courbe présente un point d'inflexion O, car en

les forces zdx :

~ s'annulent en

changeant de sigue. Voici la regle pour construire le point .et" la tangente d'inflexion : Mene,;:; les verticales des centres de gravité des deux triangles wcx 0A0 et wcx1A17 lesquelles rencontrent respectiveme.nt en· r' et en r, les tangentes B0H' et B1H prolongées s'il est néce;;saire; llt droite rr' est la tangente d'inflexion et elle coupe la verticale de w au point d'inflexion n. · Cette regle n'est qu'un cas .p articulier de celle du nº 7; les .,. deux trapezes efcx0A0 et r1g. 5. e/a 1A1 sont ici remplaC(, 0(,0 '"( ' 1 'r cés par les deux trian¡ gles wcx 0A0 et wcx1A1 • ! 1 9. - CA

P AR'flCULIER

o OU LE DL\GRA~il'IIE CXoCX1 EST HORIZONTAL. Dans ce cas ( /ig. 5 ), la construction générale d'un point et de sa tangente (nº 7) se simplifie un peu. En effet, les trapezes efcx0A0 et e/alA1 (fig. 2) deviennent des rectangles ( fig. 5), et les verticales n' t' et· nt des centres ·de· gravité de ces figures divisent alors, ·en deux parties égales, les segments A0e et ~A 1 de l'axe des x. Il n'est done plus nécessaire, pour déterminer ce~ v:erticales, . d'employer '' : · la construction du nº 6.

-:- 26Une remarque se présente. Quand l'ordonnée fed se déplace p-arallelement a elle-meme, la distance n'n des verticales des centres de gravité des deux rectangles eft1.0A 0 et ef(:J.1 Ai_ reste constamment égale a la moitié du segment A0A1 de l'axe des x; par conséquent, la courbe funiculaire cherché~ est l'enveloppe d'une droite t't de longueur variable, mais de projection horizontale constante, assujettie a s'appuyer sur deux drnites données B0H' et B1H; c'est. done une parabole du second degré, a axe vertical. Ce résultat pouvait, d'ailleurs, etre prévu; on sait, en effet, qu'une courbe funiculaire µe forces parallel~s uniformément réparties est une parabole du secon.cl degré, dont l'axe est parallele a ces forces.

10. ET

A1 •

CAs ou LES POINTS DONNÉS B0 ET B1 Voici deux remarques utiles :

SE CONFONDENT AVEC

En premier lieu, si (fig. 6) les deux points B0 et Bu par ou la courbe funiculaire B0dB 0 de distanée polaire

j, est

assujettie

passer, se confondent avec A 0 et .A,0 les tangentes en ces points

. Fig. 6. a.

sont précisément les droites A 0y' et A 1y. Ceci résulte immédiatement du théoreme du nº 7. En second lieu, considérons une autre cop.rbe funiculaire A 0d1A 1

-27 -

des mémes forces zdx : {, passant encore par les points A0 et A0 mais de distance polaire quelconque, di.fférente de{. Soient A0H' et A1H ses tangentes en A0 et en A1 • Les figures A0y'1 A1 et A0H'HA 1 sont (nº 7) deux polygones funiculaires qui correspondent aux mémes forces A0a 0 et A1a 1 appliquées suivant les verticales des points y' et y. Or, dans de tels polygones, les points d'intersection des cótés homologues, prolongés s'il est nécessaire, sont en ligne droite. Done, le cóté H'H prolongé passe par le point w, intersection du cóté homologue y'y, avec la corde A0 A1 commune aux deux polygones. D'ou: 'l'HÉORE!IIE. -

Dans toute courbe f'unicidaire des f'orces zdx :

~.. ,'

passant par les points A0 et A1 , quelle qu'en soit d'ailleurs la distance polaire, la droite H'H qui joint les points d'intersection respectifs des tangentes A0H' et A1H avec les verticales du tiers et des deux tiers de la corde A0Ai, coupe cette cor~e, prolongée s'il est nécessaire, au meme point w que la droite représentative a0a 1 des forces considérées.

Cette proposition fournit le moyen de déterminer l'une des tangentes en A0 ou en A0 par exemple celle A0H', connaissant son point de tangence A0 et l'autre tangente AtH. Il suffit, en effet, de tirer la droite wH dont le prolongement rencontre la verticale de y' au point H' appartenant a la tangente cherchée.

CHAPITRE PREMIER

NOTIONS FONDAMENTALES SUR LES POUTRES CONTINUES

Conventions.

11. - Soit ;fig. 1) A0A,. une poutre continue a n travées, dont les appuis A0 ••• Ak • , • A,. sont de niveau. Nous désignerons par l1 ••• lk ••. l,. les longueurs des travées A0Ar ... A,._,,_ Ak ..• A,._1A,.. Tout point situé dans une travée quelconque A~ 1Ak sera rapporté a la droite AHA,., comrne axe. des x positifs, et a la verticale descendante de l'appui de gauche Ak- t de cette travée, comme axe ~es y positifs. Nous attribuerons a tout segment · de droite parallele a l'un Fig.1., '

.A 1

-~-.!---- - --'líe-- --- •

- -- - - - -- \. ----. _:;.

quelconque des axes ou appartenant a cet axe, le signe qui résulte de la convention du nº 4; ainsi A,._1Ak sera positif, tandis que AkA1<-1. sera négatif. Foyers.

12. - On sait qu'il existe dans toute travée lk, deux points F'k et F,. ( fig. 1 ), appelés points fi.rces ou foyers, dont la position ne dépend que des portées des travées ele la poutre et dont les propriétés remarquables sont le fondement des nouvelles méthodes

-29de calcul des poutres continues. Deux de ces points sont connus ci priori : ce sont le foyer de gauche de la travée derive gauche et le foyer de droite de la travée de rive droite, lesquels coYncident respectivement avec les appuis extremes A0 et An. Quant aux autres, ils se déterminent par un calcul ou un tracé tres simples que nous nous bornerons a rappeler succinctement, en renyoyant pour plus de détails aux traités de Statique graphique de MM. Maurice Lévy et Rouché, ou a notre premier )íémoire sur le calcul des poutres continues (*). Désignons par : u',. et v',. les valeurs absolues des distances respectives du foyer de gauche F',. d'uno travóo quelconque l,., aux appuis A,._ 1 et A,. de · cette travée; Fk. droite de foyer au relatives , analogue u" et v" les distances On a, d'une maniere générale, les deux relations (1)

1, 2 ... n - 1 dans la premiére, En faisant successivement k n - 'l , n - 2 ... 1 dans la seconde, on obtient les deux et k groupes d'équation suivant

ts.,

u,.

= 3(Ln + l.,._1) + l\,-1 v,._ 1

(L l2.,-t+ l\._2_ - 3 n-i (1')

(2')

t"'.,-t

, v,,_,

U11-I

+t ) n-2

Vn-2

+/) ¿2,. = 3(/ + u,. ,

n-t

Le foyer de gauche F'1 de la travée derive gauche l1 coYncidant l 1 dan la premiere équation du avec A0 , on doit faire v' 1 groupe (1'), d'ou l'on tire, des lors, la distance u'2 déterminant le foyer de gauche F'2 de la travée t2 • l2 - u' 2 s'ensuit, et la secondo équation du méme groupe v'2 fournit alors la distance u'3 définissant le foyer F'3 de la trayée l3 ; et ainsi de suite pour tous les foyers de gauche.

(•) Bz~/letin de la Sociéte eles Jngenieurs civils de septembre 1885.

-30Les foyers de droite se déterminent de la méme maniere, au moyen du grou.pe (2'), en faisant d'abord u,.= l,. dans la premiere équation de ce groupe, pui que le foyer de droite F,. de la travée de rive droite l,. coincide avec A,..

13. - On peut avantageusement remplacer ce calcul par un tracé. Rappelons d'abord deux définitions. On appelle : Verticales trisectrice d'une travée quelconque lk ( fig. 8 ), les verticales des points g\ et gk qui di visent cette travée en trois parties égale ; Contre-verticale d'un appui quelconque _ k, la verticale du point j,. situé a une distance de Ak égale, fln grandeur et en signe, a lk+I

-1,, 3

de sorte que le point i,, tombe toujours dans la plus grande des deux travée lk et lk-!-1 • Pour obtenir ce point, il suffit évidemment de porter a partir de g," et dans le sens positif, une longueur g,,J°k égale a Akg'1<+1· ~es deux sortes de verticales étant construites, voici la regle Fi9.8. n

:' .'

l----- ------ 1...---! ------

a suivre pour

11t.t (

__ _ __ __ ____ _

déterminer le foyer de gauche F'k+i d une travée quelconque l,;-t-,, connaissant le foyer de gauche F\ de la travée precédente l,,.

-31Par le foyer connu F'k menez une droite quelconque F'kmn qui coupe la vuticale trisectrice (gk) en m et la contre-verticale (jk) en n, pilis tirez la droite mA,, dont le prolongement rencontre en p la verticale trisectrice ( g\+1J. La droite np coupe A1;,Ak+1 au foyer F' k+l cherché.

On effectuera cette construction en partant du foyer de gauche F'1 de la premiere travée, lequel n'est autre que l'appui A0 (nº '12) ; ce qui fera connaitre le foyer de gauche F' de la seconde; puis, au moyen de F'2 , on déterminera de méme le foyer de gauche F'3 de la troisieme; et ainsi de suite. Pour déterminer les foyer de droite on partira du foyer de droite Fn, de la derniere travée, c'est-a-dire de l'appui extreme An (nº 12), en répétant identiquement, de la droite vers la gauche, les constructions faites précédemment, de la gauche vers la droite, relativement aux foyers de gaucb e. Ces constructions sont indiquée , d'une maniere complete, sur la figure 9, pour une poutre a cinq travées; le tracé en traits pleins se rapporte aux foyers de gauche; celui en pointillé, aux foyers de droite. On remarquera que, pour simplifier l'épure, ce second tracé 2

Fig.8 .

utilise certaines droites du premier : ce sont celles passant par les appuis. Si la poutre e t symétrique, ce qui a lieu d'ordinaire, les foyers de droite sont syrnétriques des foyers de gauche, par rapport au milieu de la longueur totale A0A,. de la poutre. Centre fixe et POle.

14. -

rous appellerons

Centre /free d'une travée lk, le point Ü,1: (fig . 10} q\li divise daos le

-32-

méme rapport la longueur de cette travée et la distance focale F'kFk (*), tle sorte que F,.Ak F'kAk-1

(1)

Pole de la tra1Jée l,., le point S,. situé sur la vArticale de Ok et dont l'ordonnée est exprimée, en grandeur et en signe, par la formule (2)

ou bien (2')

_c ar, de l'égalité des deux premiers rapports (1), on déduit, en vertu d'une propriété des fractions, que

o,.A,. l,.

okFk F',,Fk .

Pour construire le pole et le centre fixe de la travée l,., portons, su1· les ve_rticales des appuis de cette travée, A,._if',.=F'kAk-1 et A,.fk = - F kA,.; Fig.)O.

les droites A,.f' k et A,,-lk se couperont précisénient au pole Sk et le pied de l'ordonnée de ce point sera le centre fixe O,..

En effet, dans les deux triangles semblables S,.f,.A,., et S,,A,._if,.', le rapport des hauteurs O,.A,. et O,,A,._ 1 est égal a celui des bases f¡,A,. et Ak-if,.', c'est-a-dire acelui des deux segments F,.A,. et F\A,._1 r espectivement égaux a ces bases par construction; le point O satisfait done bien a la relation (1). (· ) llfémofre sur les Defonnations élastiques, chap. m, § f>2.

-33En outre, la similitucle eles triangles OkS,.Ak et Ak- 1 f'kAk donne l'égalité

qui est précisément la relation (2) définissant le póle Sk, puisqufl Ak_i(',. = F'kA,,_ 1 par construction. Comrne o'n le voit, le centre fixe et le póle de chaque travée ne dépendent, comme les foyers, que des portées de travées de la poutre. Centre correspondant a une section.

H>. - C désignant une section quelconque d'une travée l,. ( fig. ,JO), nous appellerons centre correspondant a cette section, le point O',. de la droite des appuis, défini par la relation anharmonique (3)

On voit que la position de ce point ne dépend que des portées des travées de la poutre, et du rapport des distances de la section consi<lérée aux foyers de la travée lk. Pour le construire, nous déterminerons la droite O'kcx,.Ska:1.-1 qui le joint au póle, et dont le segment cx,._1 cxk, compris entre les verticales des appuis, nous servira d'ailleurs plus tard. Cette droite étant assujeLtie a passer par le póle Sk connu, il suffit d'en chercher un second point, par exemple celui ~'k situé sur la verticale de F',.; déterminons done l'ordonnée F\f,. de ce point. cp',. désignant le point d'intersection de cette méme verticale avec le prolongement de la droite FkSdoignant le foyer de droite Fk a.u póle s~, le triangle F kF',.cp',. cou pé par la transversal e O' ,.Sk~,k donne, en vertu du théoréme de Menelaüs,

(*) .Mémoire sur le& Deformatwns dlastiques, § 52. - La dénomination de centres, donnée aux points 01. et O'k, provient de ce que ces points sont les centres de certams syst~mes de forces fictives paralléles envisagés dans le Mémoire en question

-34ou bien

puisque, d'apres la figure,

De la comparaison avec (3), il résulte que

f,.F',. CA,. --=--, ~'1ccp',. CA,._1 c'est-a-dire que les points f,. et C divisenL respectivement dans le méme rapport, les droites F'kcp',. et AkA,._ 1 = - l"; par suite : ~',.F',.

F',.cp',.

CA,. AkAlc-1

F'kWk

F' k cp' k

CA1c

T .

Mais, dans les triangle semblables F1cF'1cq¡'1c et F1cO,.S1c, on a

ou, a cause de (2') (nº 14),

Par conséquent,

F',.f,.

CAt

F',.A,._1 -

l-,,

D autre part, menons l'ordonnée Cd' de la droite Al<{'-,,; la simii tude des triangles A,.d'C et Al'1,A,._1 donne

CA,.

Cd'

A,._1f'k

= --¡;-·

Si on compare cette relation avec la précédente, en se rappelant que A-i/\ F',.A"_1 par construction, on voit finalement que

F'k~

= Cd'.

Cette égalité exprime que l' ordonnée au foyer de gauche de la droile cherchée O~S,. est égale a l'ordonnée en C de la droite connue Aic(\.

-3oO k k e trou ve maintenant déterminée par le d ux pom et ~ k• On établirait de la méme maniere en considérant le tria.ngle F\ cp"Fk et la transversal e O'k~k "' que 1 ordonnée F "~" de la droite '" " est égale a l'ordonnée Cd de la droile connue k-ifk• 1

Régle pour construire le centre fixe, le pole et le centre correspondant a une section.

16. - Le diver e on truction que nou venon d indiquer e résument dans la re 0 -le uivante (fig. 10) : Pour déterminer le centre fixe O,. et le pote "d'une lravée quelconque l1c, ainsi que la droite O'" " pa anl par ce pole et par le centre O'" corresJJondant a une ection C arbitrairement choi ie dan celle travée, porte::; ur le verticales des appuis : k-l'k F'k k-1, k/k FkAk, et menez le droiles Ak['k, • 1c- ifk•

Le point de concours de ce droit e ·t le pole "; Le pied de l'ordonnée de ce JJOinl e l le centre /ixe O,.; Les ordonnées Cd' et Cd de ce droiles correspondan( a la ectio11 C sont respeclivement égale aux ordonnée ' focal-e. F' "~," et F:~ ,. de fa droite O'" k•

17. - CAS o'u E TRAVÉE DE RIVE. 'il 'agit d'une travée de rive, c lle de gauche l1 par xemple (lig. 11}, le foyer F' 1 e confond Fi~r-11.

------------- ~r, AO F'L

os o• 1 1 L

n° 12) avec l'appui A0 et la con truction ci-de sus, ain i d'ailleur que le relation (1), (2) et (3) des n° 5 '14 et 15, montrent qu'il en e t de méme du centre fix 1 , et du centre O\ 1 , du póle correspondant a toute ction C de cette travée. En effet, la distance F'1 Ao étant nulle, la droite A.J'i e confond ,,

-36avec A1 A0 et coupe, par suite, Aof1 au point A0 qui, p.es lors, e ta la fois le centre fixe 0 1 et le póle S1 de la travée. En outre, en un point quelconque C, l'ordonn · e Cd' de la droiLe Aif'1 confondue a ec 0Au étant nulle, l'ordonnée au foyer de gauche de la droite 0'1 \ est également nulle, et le point 0'1 coincide, par suite, avec ce foyer, c'est-a-dire avec A 0 • O\ et 1 étant confondu , la droite 0'1 1 parait, au premier abord, indéterminée; mais il n'en estríen, car, d'apres la regle qui préede (nº 16), son ordonnée F1 ~ 1 au foyer de droite est égale a l'ordonnée Cd de Aof1 . En résumé: Dans une travé1J de nve, cetle de gauche par exemple, le /'ayer de gauche F'1 , le centre fixe 0 1 , le pole S1 , et le centre 0'1 correspondant a une sectíon quelconque C de celle travée, se confvndent avec l'appui de gauche A 0 • La droite S1 0'1 reste cependant déterminée. Pour la construire, porte::; Ai/1 F 1Ai et menez la droite Aof1 ; l'ordonnée Cd de cetle droilP est égale a l'ordonnée F1 ~ 1 de la droite cherchée 1 0'1 dont on connait, des lors, deux points : A 0 et ~, -

18. - Discu s10 . - En étudiant, au mayen de la regle du nº 16, les valeurs que prennent les ordonnées F',.~\ et F k~,. ( fig. ,f O) éle la droite 0'kS,., lorsque la section C se déplace dans la travée lk, on reconnait que les positions de cette section et du centre 0\ se correspondent comme suit C'') : POSITIONS DONNÉE

DE LA SECTION

Snr l'appui de gauche Ák-1Entre Ak-t et le foyer de gauche F'k• Au foyer de gauche F' k. Entre F' k et le ceo tre fi.xe Ok • Immédiatement a gouche de Ok. a droite de o,.. Entre o,. et le foyer de droite de Fh·. Au foyer de droile Fk. Entre Fk et l'appui de droite A1<. Sur l'appui de droite Ak •

POSITIONS CORRE ' PON DANTES DU CENTRE Ü' /¡

Au foyer de droite F1<. Entre F1< et l'appui de droite Ak. ur l'appui de droite Ak A droile de A11,. A l'infini posi tif sur l'axe des rr . négalif A gaucbe de Ak-1. . Sur l'appui de gaucbe Ak-1. Entre Ak-1 et le foyer de gaucbe F',. . Au foyer de gauche F' k

r •) CP-tte discassion a été faite d'une autre maniere dans notre lt1émoire sur les Déformations élastiques (§ 52).

-37 Des indications de ce tableau, il convient de retenir principalement que: 1. 0 i la section considérée esta gauche du centre fixe Ok de la travée, le centre O',. correspondant est a droite du segment fo cal F\Fk, et inversement; en sorte que O',. ne se trouve jamai sur ce segment. 2° i on considere un des appuis de la travée et le foyer le plus éloigné de cet appui, le centre correspondant a la section d'appui est le foyer, et, réciproquement, le centre correspondant a la section du foyer est le point d'appui. 3° Le centre correspondant a la section du centre fixe est le point a l'infini positif ou négatif de la droite des appui .

CHAPITRE II

LIG:NES D'INFLUENCE DES MOMENT FLÉCHISS

JTS

Définition.

19. - Rappelons d'abord la dé.finition des lignes d'influence. Soient: P une charge isolée, appliquée en un poinL E quelconque ( fig . .f2) de la poutre continue A0A11 ; M le moment fléchissant (~') qu'elle détermine dans une section C donnée.

,, ,,

La quaotité y

= ~ est le

bras de levier par lequel il faut mul-

tiplier la force P pour obtenir le moment M; c'est done une longueur. Portons-la en ordonnée, au point E, au-dessous ou audessus de A0A," suivant que M est positif ou négatif, conformément a la convention du nº 4. Le lieu de l'extrémité e de cette ordonnée, lorsque la charge P parcourt la poutre, est la ligue d'in(luence du moment (léchissant relative a la section C. On congoit irnmédiatement tout le parti qu'on peut tirer d'une

telle ligne. Si, en effet, on donne un systeme de charges quelconques P1 • • • P; ... Pn appliquées en des points E1 • • • E; ... En (*) II convient de spécifier que, dans la déterrnination du moment fléchis an t en une section quelconque, nous considérons les forces situées a gauchP de cette secrion; et que • nous attribuons aux moments de ces forces, le signe + ou le: signe-, suivant qu'elles tendent a faire tourner leurs bras de leviers, dans le sens de la rotation des aiguilles d'une mootre ou, au contraire, en seos inverse.

-39de la poutre, le moment fléchissant M qu'elles déterminent dans la section C, se calcule immédiatement par la formule

• • • yi ... Yn représent'ant, en grandeur et en signe, le ordonnées de la ligne d'influence qui correspondent aux points E 1 • • • E¡ ... En, et qu'il suffit de lire sur l'épure, a l'échelle de longueur ·.

Théorém.e fondam.ental.

20. -

C étant une section quelconque donnée dan 1me travée lk, menons (fig. 'l, Pl. 3) la droite passant par le centre O'" correspondant a cette section et par le póle Sk de la travée lk (nº5 16 et '11), et con en onsen seulement le scgment IX"_1cxk conipri entre les verticales des appu·is A,._1 et A1c. Puis, partant de ª"' tra<,¡0ns la ligne polygonale concave ª"ª"'+1 • . . cx;_1cxi. • • cxn-iAn dont les sommets sont sur les verticales des appuis A1c, Ak+t ... Aj-1, j • •• n-1, n et dont le cotés succes ifs passent par les foyers de droite des travées lk,.J-1 • • • l; ... l,.. Enfin, partant de ªk-t, trarons la ligne polygonale analogue ªk-t"k-2 . . . ªi"i-t . •. cx 1A0 dont le ommet sont sur les verticales des appui Ak-t, ,._2 ••• A., i-t • • • A 10 A 0 et dont les cotés successifs passent par les f oyers de gauche des travées l,.__, . . . l;. . . l 1 • ¿

Représenton par z le ordonnée du diagramme ainsi formé, que nous appellerons diagramme des z. Cela po é, le théoreme fondamental que nou avon en vue et dont on trouvera la démonstration dans notre .1.}Iémoire sur les Dé/'ormations élastiques (§ [$4), est le suivaIJt : La ligne d'infiuence du moment /léchissant relative a la ection C se compose de deux branches d'une courbe funiculaire de distar~e polaire

~ , correspondant a de

forces fictives verticales l,.

zda; : oi'•

appliquées a chaque élément dx de la poutre et descendante ou aseendantes suivant que z est positif ou négatif. L'une des branches correspond au segment de poutre A;,C et passe par les points d' appui de ce segment; l' autre correspond au segment CAn et

-40passe par les points d'appui de ce second segment. Elles ont un point commun sur la verticale de C (*).

Comme on le voit, ce théoreme ramene la recherche de la ligne d'influence relative a une section quelconque donnée, a la construction d'une courbe funiculaire de forces fictives verticales clont le diagramme représentatif s'obtient par un tracé extrémement simple. (º) Cet énoncé difiére légérement de celui de notre Mémoire précité ; il traduit plus complétement, mais pour les poutres a sectioo constante seulement, les équations générales du § 54 de ce Mémoire, et, en méme temp , il tient compte des propriétés qui font l'objet des théoremes I et III du § 55 du méme Mémoire. Ces équations, et, par uite, le théoreme fondamental qui en découle, ont été établies dans l'hypothése que La section C appartient a une travée intermédiaire; mais la proposition que voici les étend immédiatement au cas ou C apparlient a une travée de 1·ive, celle de gauche pour fixer les idées : Une poutre continue A0 An a n travées (6.¡;. 13) pent étre considél'ée comme une poutre

Fi9 .13. A,_ F'1

E' 2

F' '.l H

-F~l¡:·1.______-"!-F-.;,--.-~-JV\. F,;' A

0- - - - --k- -

F' n

_P.--4!!0.,s;:_ ••-------+A..---"-'.....__..._An

];; 1

- - -- -

Fn-1.

I;,.L

F; (

- - - 1ñL___ .,. __ .J,¡_.. ~~

- -~ -- J.

L1An a n 1 l;ravees, do11t lci travée derive gauche A-tAo aurait une longueu1· infinie et ne s·upporterait aucm1e charge, les n autres travées conservant les mémes tongueurs et suppo1·tant les mémes charges que dans la poutre donnee. On sait que, pour un systéme quelconque de cbarges agis ant sur une poutre continue, les moments Oéchissants aux divers points de cette poulre ne dépendent que des longueurs des travées et des posi tions des foyers. Pour démontrer la proposition ci-dessus, il suffit par con équent de faire voir que l'adjonction d'une travée irúinie A-1A 0 il la poutre donnée, ne modifie pas la position desfoyers. C'est évident pour les foyers de droite A,., Fn-1 ... F 11 en raison de leur mode de déterminotion méme (n .. 12 et -13). Quant aux foyers de gaucbe, ils ne changent pas non plus de position, car celui F', de la travée A0 A, reste sur l'appui A0 , ainsi que nous allons le moatrer. A cet effet, appliquons la relation générale (1) du n• 12, aux foyers de gauche F' 0 et F', des deux travée, A-1A 0 = /0 = oo et A0A1 = l,; iL vient 12

..!..

v'o

t• + .....!= 3(1 + t,); u't 0

mais le foyer de gauche de l0 coincide avec l'appni extreme A-1, de sorte que v' 0 par conséquent

d'ou l'on tire, en faisant l 0

= oo,

z•, -=21.+at,· u's ' u',=

F' 1 cotncide done bien avec A,.

;

-4'1 2 l. - REMARQUE. - Pour renclre plu sen ibles 1 s fluctuat10n de la ligne cl'influence, on est généralement conduit a en clilater 113 ordonnées dans un certain rapport q, convenablement choisi. Il su:f:lit, pour cela, ele multiplier par q les forces fictives zdx : idu théoreme fondami:mtal, ans changer la di tance polaire

~·

Cela revient a amplifier dan le rapport q, les ordonnée du diagramme de ;:; autrement clit á aclopter dans le tracés qui fourni ~en Lce diagramme, une · chelle de ordonnées q foi plu grande que celle des abscisse . C'est le eul changement a introduire dans les con truction des n° 5 16, 17 et 20 qui, pour le re te ne sont aucunement modifi ·es. Propriétés relatives aux lignes d'influence.

vant cl'aborder la construction de ligne d influence, 22. il est nécessaire cl'indiquer quelque propriétés qui y rapporLent. Considérons (fig. f, pl. 3) la branche de courbe funiculaire A0 v.. ,-1 ; . • • k-2 k - i c qui constitue la partie de lio-ne dinfluence située a gauche de la ection C, et prolongeons-la jusqu'a son inlersection ak avec la verticale de l'appuiAk, en utili anta cet effet les forces fictives ;:; dx :

réparLies sur le trongon CA,..

Dan chaque travée l1 • •• li .•. tk, le diagramme des ::; est une droite, qui differe d'une travée a l'autre, et dont nous repré enterons l'équation par

:; =

ln;X

+ n.,

pour la travée l, arbitrairement choi ie. Or, d'une maniere générale, on sait que l'équation différentielle du second ordre d'une courbe funiculaire, de distance polaire ti, correspondant a des forces verticales pdx appliquées en chaque élément dx de l'axe eles x, est d~1,

&: = -~

(*).

(•) Voir RoucnÉ: Statique graphique (p. 75). !Jans celle formule, la distance pol.,ire t:,. doit etre afl'ectée du signe + ou du igne su1vont que, daos le polygone des forces, le pdle est situé a droite ou a gauche de la verlicale a !aquella se réduit ce polygone.

-42-

L équation di:fférentielle du seconcl ordre de la courbe funiculaire A0 A1 ••• Ai _1A; ... A1c,-1cak est done, dans une travée queleo.nque li, l,.

(1)

d-J y dx~

:s :

= -

--¡;;- = -

6(111,x

+ ni)

l" k

3 En intégrant, on obtient une équation de la fori;ne y = f;(x),

f;.(x) dé ignant une fonction enLiere et rationnelle clu Lroisieme degré en x.

Done: Dans chaque travée, la courbe funiculaire A0A1 ••• Ai-tAi ... Ak-1ca,. est un are de parabole cubique, dont l'équation clilfere d'une travée a l'autre.

D'autre part, une courbe funiculaire de forces continues ne présente jamais de point anguleux; par conséquent: Les ares de parabole cubique correspondant a deux travées consécutives quelconques l;_, et l; se raccordent tangentiellement sur l' appui A;_1 commun a ces deux travées.

23. - Proposons-nous de déterminer le point ak. ((ig. !, Pl. 3) de l'arc ele parabole cubique Ak_1c ak correspondant a la travée l,.. Rappelons a cet e:ffet que, quand la charge mobile P est appliquée en un point d'abscisse x, compris entre Ak_1 et C, le moment fléchissant en C a pour expression bien connue (2)

= -lb k

Mk-1

+ -ta M,, + p -,b k

Dans cette relation, M1r._1 et Mk désignent les moments fléchissants développés sur les appuis Ak-1 et A1r.; a et b sont les distances, en valeur absolue, de la section C a ces appuis; enfin, l'abscisse x est rapportée a l'appui Ak-t comme origine. L'équation de la partie Ak- 1c de la ligne d'influence peut, des lors, étee écrite sous la forme

-4~1

(3) 11

= .!!_l,,

Mk-1

+ 1~ MkP + !!._l1;, X, 1,

. oü les moments Mk-t et Mk sont des fonctions de l'abscisse x. Mais, comme on le sait, ces fonctions restent .continues tant que la charge mobile ne sort pas de la travée lk; il en est de méme, par suite, de l'équation (3), qui, des lors, représente non seulement la partie Ak_,c de l'arc parabolique Ak_1cak, mai bien cet are entier, quand on :! fait varier a; de O a l,.. Pour a;= tk, Mk-1 et Mk sont nuls puisque la charge P est alors appliquée ur l'appui Ak, et l'équation (3) donne, par suite, pour valeur de l'ordonnée correspondante Aka,,, (4,)

i on prolongeait de méme la branche de courbe funiculaire ªk-1 avec la verticale de Ak-t, en utilisant aceL effet les forces fictives réparties sur CAk-1, on établirait, de la méme maniere, que

An ... A,,+1Akc, jusqu'a son int rsection

(5)

Done: Les prolongements rles deua; branches de coitrbe funiculaire qui constituent la ligne d'influence relative a une section C d'une travée quelcongue l,,,, rencontrent les verticales des appui A."_ 1 et A,. de cette travée, en des points ª"-' et a,. dont les ordonnées sont 'respectivement égale ' aux di~tcinces, en valeur absolue, ele la section C a ces memes appuis. 24. - Représentons par y= /~(x), y= (<l(x),

(1:i)

(7)

les équations respectives des deux ares paraboliques Ak-1c ª" et ak-1cA1;,. (Les indices g et d ont pour but d'indiquer que ce sont seulemenL les trongons d'arcs A"_ 1c et cAk, situés respectivement a gauche et a droit.e de C, qui funt partie de la ligne d'influence, a l'exclu ion des tronc;¡ons complémentaires ca" et a,._1c.) (•) Dans la figure 1, planche 3, les ordonnées de la ligne d'innuence ont été amplifiées dans le rapport q 3 (nº 21), pour les trois travées lk-t, lk et lk,/-t; de sorte que, au lieu de AkCLk b et Ak-tOk-t a, on a, sur cette figure, AHtk 3b et Ák - tOk-t 3a.

-44D'apre l'équation (3) (nº 23), on a .

(6')

y = fg(X)

= l,.b p + 4a pM,. + kb X. Mk-i

En partant de l'expression du mom.ent fléchissant produit en C par une charge isolée P appliquée entre C et A,., on m.ontrerait, de la m.éme maniere qu'au n° 23, que 1 équation de l'arc ªk-1cAk est (7')

a M,. - + -l,,a = {d(x) = -l,.b -1,._ lk p p +1

x ).

(lk -

Pour une valeur x1 aUribuée ax, les fonct~ons Mk-l eL Mk prennent respectivem.ent la méme valeur dans les dell;_x équations (6') et (7'), qui donnent, des lors, par soustraction,

puisque a

+ b = tk.

D'ou, en dérivant par rap_port a x 1 ,

(8)

Par conséquent : Si on mene 1·espectivement aux deux ares Ak_1ca,. et ak_ 1cAk, des tangentes en deux points Nu et d situés sur une merne ordonnée, l'exces du coeffident angulaire de la premiere sur celui de la seconde est égal a t'unité.

Autrement dit, les angles a 9 et ad formés respectivement par ces tangentes avec la partie positive de l'axe des x satisfont a la relation tang

r:,. 9 -

tang

a.d

= 1 (*).

Cette relation a lieu, en particulier, au point deux ares de courbe.

commun aux

(•) Sur la figure 1, planche 3, le, ordonnées ayant été amplifiées daos le rapport q=3, ains1 que nous l'avons dit plus haut, on a évidemment tang

ctg -

tang

ctd

= q = 3.

-45-

Polygones des tangentes sur appuis.

2o. - Considérons la branche de courbe funiculaire A0 A;_1 A; •.. A,.__1c prolongée, comme il a été dit au nº 22, jusqu·au point ak (fig. I, pl. 3). Dans chaque travée, t. par exemple, menons aux points A;_ 1 et A; de cette courbe, les tangentes A¡_ 1H'; et A;H. en les limitant a leurs intersections H'¡ et H. avec les verticales trisectrices de cette travée; puis tirons la droite H'iHi; nous obtenons ainsi, dans chaque travée, une ligne polygonale A;_ 1H';H,A,. Dans la travée lk, cetle ligne polygonale est Ak_1H'kHkak. Les deux tangentes A;_ 1H;-1 et A;_1I-I'i, menées en un point d'appui quelconque AH, dans les travées respectives [¡_1 et l; sont en ligne droite (nº 2~). La ligne polygonale akHkH\Hk-1 H\_1 ... H;H\H;_ 1 ••• A0 est ce que nous appellerons le polygone des tangentes sur appuis, correspondant a la branche de courbe funiculaire considérée. Nous conviendrons de numéroter les cótés successifs de ce polygone a partir de celui a.1:Hk qui recevra le numéro 1. D'apres la co}lstruction méme : Les sommets du polygone des tangentes sur appuis sont situés sitr les verticales trisectrices, et ses cutés de rang impair passent par des points connus, qui sont : celui ak et les appuis success?°fs Ak-t, ..• A,, A,._ 1 ••• A3 •

26. - Les deux propriétés suivantes vont nous permettre de construire tres simplement le polygone des tangeutes : 1° Dans la travée lk, les orrlonnées GkHk et G'kH'k des sonunels du polygone des tcingenles sur appuis, comptées a partir de la carde akAk-i, sont égales aux ordonnées correspondantes gk'Yk et g',.y'1r du diagramme des z.

En effet, d'apres le théoreme fondamental (nº 20), l'arc akcAk-i est une courbe funiculaire de distance polaire forees fictives verticales zdx :

~ • correspondant a des

z désignant les ordonnées de la

droite o:k_1o:k; et nous ~vons établi (nº 7 - Théoreme) que, dans une telle combe, les tangentes ar,x points exteémes A.1:_1 et ak coupent les verticales du tiers e.t des deme tiers de tk, en des points dont 5

. 1

-46les ordonnées comptées a partir de la corde akAk- t sont égales aux ordonnées correspondantes de la ,droite cc,.__1cck comptées a partir de l'axe desx. 2° Dans toute autre travée li, le prolongement du coté de rang pair correspondant H;H'; passe par le foyer de gauche F'. de cette travée.

En effet, dans la travée l;, l'arc A;_1mA; est une courbe funiculaire des forces fictives verticales zdx :

z désignant les ordon-

nées de la droite Ct:;_1cc;; et nous avons établi (nº 10 - Théoreme) que, dans une telle courbe, la droite qui joint les points d'intersection respectifs des tangentes aux points extremes A;_1 et A; avec les verticales du tiers et des deux tiers de A;_1A;, coupe la lígne de fermeture A;_1A; au méme -point F'; que la droite cc;_1cc;. 27. - La regle pour construire le polygone des tangentes (fig . f, pl. 3) est maintenant évidente : ak étant le point dont l'ordonnée Akak est égale a b (*) (nº 23), portez a partir de la droite Ak--1ak, sur les verticales trisectrices (.qk) et (g\), deux ordonnées GkHk et G\H'k, respectivement égales aux ordonnées correspondantes g~yk et g',:y'k du diagramme de::;, Les points H'k et Hk ainsi obtenus sont (nº 26; 1 re propriété) les deux premiers sommets du polygone des tangentes, et les droites akHk, HkH'k et H\Ak--1 Hk--1 en sont, des lors, les t1'0is premiers cotés , dont le troisieme est limité a la verticale trisect,·ice (gk--1). Joignez ensuite Hk--1 au foyer de gauche F',.__¡ de la travée lk-t ; le segment H,.__1H'k-t de cette droite, compris entre les ve1'licales trisectrices (gk_1) et (g'k--1) , est le quatrieme coté du polygone des tangentes (nº 26, 2e propriété). Le cinquieme coté est la droite H'k-tAk--2Hk--2 joignant H'k-t a l' appui Fig.1~. A1<-2_(nº 2~) et 1:rolongée jusqu'a la verticale trisectrice (gk_2), etc . .. Continuez ainsi, de proche en proche, en f aisant passer les cotés de rang impair par les appuis (nº 2o), et les prolongenients des cotés de rang pair, par les foyers de gauche des tmvées correspondantes (nº 26; 2c propriété). 0

(•) Rappelons que daos la figure 1, planche 3, les ordonnées de la Ugne d'influence ont tté amplifiées dans le rapport q 3 (nº 21), de sorte que, au lieu de Aka~ b, on a, sur cette figure, A1ca1, = 3b.

-47-

0n remarquera que, dans la travée de rive gauche ( fig. -14 ), le foyer de gauche étant confondu avec l'appui A0 , le cóté de rang pair correspondant H1H'1 et le cóté extreme H'1 A 0 sont en ligne droite. 28. - A la branche de courbe funiculaire cAkAk+, ... AH~ ... An (fig. I, pl. 3) prolongée jusqu'au pointa,._1 situé sur la verticale de Ak, correspond également un polygone des tangentes sur appuis a,._/8\HkH'k+1H1<+1 ... H';H; ... An dont nous numéroterons les cótés successifs a partir de celui ak_1H\.

Ce second polygone joitit des mémes pl'opriétés que le premie1· (n° 5 21'> et 26), a cette seule différence que, dans toute travée l; autre que lk, le coté de rang pair correspondant H'; Hi passe par le f ayer de droite F; de cette travée et non par le foyer de gauche.

On le construira de la meme maniere que le premier (nº 27), en partant du point ªk-t défini par son ordonnée A,._1ak-t = a, et en cheminant, bien entendu, de gauche a droite - les foyers de tlroite remplagant, du reste, les foyers de gauche. De meme que dans la travée de rive gauche, le cóté de rang pair H'"H" et le cóté extreme HnA,. sont en ligne droite dans la travée de rive droite. Construction de la ligne d'influence.

29. - Les deux polygones des tangentes étant tracés, on con• nait dans chaque travée, li par exempl~ (fig. 1, pl. 3). 1° Les deux points extremes ~ - t et~ de l'arc de courbe funiculaire situé da.ns cette travée, et les tangentes A;_ 1H'i et A;H, en ces points; 2° Le diagramme représentatif cc;_1cc; des forces fictives aux..a quelles correspond cette courbe funiculaire. On construira facilement, par le procédé du n° 7, 2°, autant de points de cet are qu'on le désirera, ainsi que les tangentes en ces points. 11 en est exactement de meme pour les ares Ak-1cak et ak_1cAk de la travée l,.j lesquels se construiront done par le meme procédé. On pourra se borner a en tracer les pariies Ak_1c et cAk qui appartiennent seules a la ligne d'influence.

-48-

On remarquera que ces deux ares Ak_ 1cak et a:,- 1cAk correspondant ai.u mémes forces fictives et ayant méme· distance pofaire, leurs ordonnées correspondantes, mesurées a partir de leurs cordes respectives Ak_1ak et ak_1Ak, sont égales entre elll3s, en vertu d'une propriété connue des courbes funiculaires. · .'30. - REGLE. - En résumé, lorsqu'on a déterminé, une fois pour toutes, les verticales trisectrices, les foyers (nº 5 12 et 1_3), le centre fixe et le póle (nº 16). de chaque travée, la construction de la ligne d'influence du moment fléchissant relative a une section quelconque d'une travée tk, comprend seulément. les opérations suivantes, d'ailleurs tres simples : 1° Construction du d-iagrainme des::; (nº 20). 2° Construction du polygone des tangentes sur appuis, pour chacune des deux bra.nches de la ligne d'in(luence (n° 5 27 et 28). 3° Détennination, dans chaque travée, par le procédé du nº 7, 2°, d' aulant de points et de tangentes qu'il est nécessaire pour tracer la courbe avec l' exactitude voulue.

31. - On remarquera qu'en raison de l'allure réguliere de la ~ourbe, i1 suffit d'en construire un petit nombre de points et de. tangentes : cinq ou six généralement par travée, et parmi eux, bien entendu, le point d'inflexion. Dans chaque travée, ce point se trouve sur la verticale de l'intersection du cóté correspondant du diagramme des z, avec l'axe des x (nº 8), c'est-a-dire : 1 º Dans toute travée interroédiaire située a gauche de tk : sur la verticale du foyer de gauche; et da::s Loute travée intermédiaire située a droite : sur la verticale du foyer de droile; 2° Dans la travée l,, : sur la verticale du centre O~ correspondant a la section considérée. Mais si cette section est comprise entre les foyers F'k et Fk, le centre O~ est en dehors de la travée lk (nº '18), de sorte que la ligne d'influence ne présente pas d'inf1exion dans cette travée. Dans les travées u.e rives, il n'y a jamais d'inflexion, puisque les eótés correspondants du diagramme des z coupent l'axe des x précisóment aux points d'appuis extremes A0 et An.

-49-

32. - ÉCHELLES DE L'ÉPURE. - Comrne il est -essentiel de ne pas commettre d'erreur d'échelle clans l'exécution' de l'. épure, nous croyons bon de rappeler (n.0 2'1) que, si l'on veut obten.ir la ligne d'influence avec des ordonnées amplifiées dans un cértain rapport q, comparativement aux abscisses (*), il suffit, dans toutes les constructions, sans exception, relatées aunº 30, d'adopter uniformément une échelle des ordonnées q fois plus grand e que cella des abscisses, absolument comme on a l'habitude de le faire dans le tracé d'un profil en. long de chemin de fer. Ainsi, toutes les fois qu'on aura a porter en ordonnée un segment pris sur l'axe des x, on devra tenir compte de ce changement cl'échelle. Nous conseillons d'adopter le rapport q = 3, qui donne aux épures une physionomie satisfaisante; de la sorte, si, par exemple, l'échelle choisie pour les abscisses est de 0,00t:S m par metre, celle des ordonnées sera de 0,015 m par metre. '

Lignes d'influence relatives a certaines sections remarquables.

33. - Les lignes d.1 influence relatives a certaines sections remarquables présentent quelques particularités qu'il est utile de signaler. '

APPUIS. -Imaginons que la section C de la travée lk (fig. !, pl. 3) se rapproche indéfiniment de l'appui A,._1 • A la limite, le cóté cc,._1etk du diagramme des z passe par le foyer de droite Fk de la travée lk, puisque le centre O'k, correspondant a la section de l'appui A,._1, coi:ncide avec ce foyer (nº 18). D'autre part, de la regle générale donnée aunº 16 pour la construction de la droite cc,._ 1cck, il résulte immédiatement qu'a cette limite, l'ordonnée focale F'k~~ (fig . .f5) de cette droite est égale, en grandeur et en signe, a la distan.ce F'kA,._1 du foyer de gauche a l'appui considéré (**). Le diagramme des z est, des lors, celui de la figure HS. A cette méme limite, les distances respectives a et b de la sec1

(•) Ou , en d'autres termes; si l'on veut construire, non pas la ligne d·influence elle-meme, muis une courbe homologique de cette ligne, en preaant : pour axe d'homologie, l'axe des x , pour pole, le poiat a l'infini _de !'axe de y, et pour rapport d'homologie, le rapport q. . (••¡ Dans lo figure 15, l'échelle des ordonnées est trois fois plus grande que cel\e des absci sses (n• 32), de sorte qu'en íait on y a F'k~'k=3 F'kAk-1, •. ¡, '

- ¡so-

lk . Or, on a tion C aux appui's Ak-t et Ak deviennent a= O et b b (nº 23). Done, ici, a et Akak toujours (fig . .f, pl. 3) Ak-tªk-t

Fig.15 1

• le

--- -- -------1r.:-.1 --- --- ---

le point a,._1 de l'arc a,._1cAk coi'ncide avec A,._1 et le point ak de lk. l'arc· A,._1cak a pour ordonnée Akak En outre, le point de rencontre e de ces deux ares coi'ncide avec A.,._1 •

-51Comme on le sait, d'une maniere générale, les segments respectifs A,._1c et cAk des deux ares Ak_1cak et a,._1cAk appartiennent seuls a la ligne d'influence, a l'exclusion des segments complémentaires. Ici, le segment A,._ 1c se réduit a zéro et, par suite, l'arc entier Ak_1ca,. ne fait pas partie de la ligne d'influence qui, des lors, est constituée, dans la travée lk, par la totalité du second· are a,._1cAk, c'est-a-dire A,._1m k (fig. 15). L'arc ,._1ak, tracé en pointillé dan la figure 1;,s, n'est done pas a construire, mais il est cependant a considérer, puisque ses tangentes en ak et en A,._1 appartiennent au polygone des tangentes akHkH'kH,._ 1H'k-t • . . correspondant a la branche de courbe funiculaire a,.A,._1Ak_2 ••• A0 • Les deux premiers cótés akHk et H;.H'" de ce polygone pourront ne pas étre construits; le troisieme H'kH,._1 , dont dérivent les suivants, est, en effet completement défini par le point A,._1 et par le sommet H',. dont l'ordonnée G',.H'k, mesurée a partir de la corde . ,._1a,., e t égale a l'orclonnée correspondante g',.,'k du diagrarrime des z (nº 26 · 1°). On remarquera que g'kG'k est égal

(*), ce qui permet de

construire le point G'k et, par suite, celui H~, sans mener la droite A,._1ak. En ce qui con cerne la branche de courbe funiculaire Ak_1mAk ..• A,., les trois premiers cótés de son polygone de tangentes sont Ak_,,'k, y'k,k et 1,.AkH'k+1; il résulte, en effet, de la premiare propriété établie au numéro 26 que les deux. premiers sommets df. ce polygone coi'ncident avec les points 1 ',. et 1 ,. du diagramme des z. 34. - FoYERS . - Considérons, par exemple, la section du foyer de ga~che F',.. D'une maniere générale (nº '16), pour une section C quelconquB (fig. 10) de la travée lk, l'ordonnée F'kW" du coté cx,._1cx,. du cliagramme des z correspondant a cette ection, est é?"ale a l'ordonnée Cd' de la droite (,.Ak. Quand la section C coincide avec F'k, ces deu,'r ordonnées coincident également, et le point d' de /',.A,. appartient, par SUÍte, 8, CXk-tCXk. (•) Dans la figure 15, on a, en réalilé g~G,. données :lans le rapport q 3.

= t,.,

par suite d~ l'amplificalion des or-

-t:>2-

D'autre part, le centre O'k correspondantau foyer F\; est l'appui Ak (nº 18). Done: Le coté :xk-tªk du diagramme des z correspondant a la sectt"on du foyer F'k co'incide avec f'kAk.

Des lors, ce diagramme est celui de la figure 16. Dans la parlie de poutre AkAn il se confond a.vec l'axe des x. 11 Fig .lC .

°1.-a - '·-- ------\:.;i:- --- - -

' . ~,

-·--

__, ,,-, G-Jc

: c. !'

- - ~~·---- ~z--~-:...___}E -~ -· - - ..,✓

,. ..

,.-•

J.G'

.. ---- 1r~ ---

en est de méme, par conséquent, de la partie correspondante de la ligne d'influence, puisque dans cette région les forces fictives zdx :

sont nulles.

L'circ de courbe ªk-tcAk est tangent en Ak a t'axe des x.

En effet, en ce point, cet are doit se raccorder tangentiellement avec l'arc afférent a la travée lk-t1 (nº 22), lequel se confond ici avec l'axe des x, comme il vient d'étre dit. La tangente en ak-1 , a la courbe ak-1cAk, coi1pe l'axe des x au piecl g'k de la vert-icale trisectrice de gauche de la travée lk.

En effet, d'apres une propriété des courbes funiculaires, déja plusieurs fois invoquée, la tangente en ak- 1 doit couper cP-lle en Ak, c'est-a-dire l'axe des x, en un point situé sur la verticale du centre de gravité du diagramme triangulaire Ak-tªk-tAk; et cette vertical~ est précisément la verticale trisectrice de gauche de la travée lk.

-o3 Cette proposition résulte également de lá construction méme du polygone des tangentes.

•

On verrait de méme que :

Pour la section du foyer de droile F,.: - 1° le coté a.k_ 1a.k du diagramme des :; correspondant, co'incide avec Ak_if,. (fig. 1O) . - 2° Dans la partie de poulre A 0 A,._1 , la ligne d'in(luence se confond avec l'axe des x, et dans la travée l,. elle est tangente en A,._ 1 avec cet axe. - 3° La tangente en a,. a la courbe A,._1ca,., coupe l'axe des x au pied g,. de la verticale trisectrice de droite de la travée l,..

3o. -

CENTRE FrxE. - Le centre O',. correspondant a la section du centre fixe Ok ( fig. n) est rejeté a l'infini sur l'axe des x (nº -18). fig.17..

~·,e I

--------- 1:it-f'.L-------

-- -- ,:..'__ _lit~\.;·-- --

-- - 'k.-1 ----- - -

\ '\

,' /

::ik-1

•~!

\ '

\/lk,

Le cóté a.,._1a.,. du diagramme _des z correspondant acelte section est done la parallele a l'axe des x menée par le póle S,.. Il en résulte (nº 9) que les deux ares Ak_ 1ca,. et ak_1cA,., qui, en général, sont des ares de parabole cubique (nº 22), se réduisent ici a des arc:3 de parabole du second degré . Lignes d'influence relatives aux diverses sections d'une méme travée.

36. -

Voici une remarque qui permet de simplifier quelque

-54peu la constructiÓn des lignes d'influence relatives aux diverses · sections d'une méme travée (*): IJans les parties de poutre A0 A,._i et AkAn, situées en dehors d'une travée quelconque lk (fig. 18), les lignes d'infiuence respective1nent relatives . a deux sections quelconques C et C' de cette travée, sont deux courbes homologiques ayant l'axe des x pour axe commun d'homologie et dont le centre d'homow.gie est rejeté a l'infini dans la direction de l'axe des y. Dans la partie A0Ak-i, située a gauche de la travée lk, le rapport d'homologie est égal a celui des distances des sections C et- C' au foyer de droite Fk de cette travée. Dans la partie A,.A11 , il est égal a celui des distances de ces mimes sections au foyer de gauche F',. de ladite travée.

En effet, quand une charge mobile P est appliquée en un point quelconque E situé a gauche de la travée l,., le diagramme représentatif des moments de flexion dans cette travée est, comme on le sait, une droite ¡;.-1 passant par le foyer de droite Fk. Par conséquení, si on désigne par M et M' les moments de fle:xion correspondants, en C et en e:, on a, d'apres la figure,

ou bien M p M' p

CFk

= C'F,.'

quelle que soit la position de la charge mobile. (•) Voir aussi l'Annexe I p1'lcée

a la .fin

de ce Mémoire.

-55 C-eci exprime que, daíls toute la partie de poutre A0A.,,_i, le rapport des ordonnées homologues des déux lignes d'influence considérées est constant et égal a celui des distances de ces sections au foyer de droite F ,.,. On montrerait de meme que, dans toute ·1a partie de poutre A,.A,,., le rapport analogue au précé.dent est constant et égal a celu,i des distances des sections C et C' au foyer de gauche F;. La proposition est des lors établie. Cela posé, proposons-nous de construire, dans une travée quelconque li (fig. ~9), autre que l,.,, l'arc ~-tm'~ de la ligne d'in• Fig.19.

fluence relative a une section C' de la travée l1;,, connaissant l'arc homologue Ai-tm~ relatif a une autre seclion C de cette meme travée l,.. Soient: m et m' deux points homologues de ces deux courbes; ~ - 1ntAi_le contour polygonal formé par les tangentes aux trois points Ai-h m·et ~ de 13: courbe donnée; A.¡_1n't'Ai le contour polygonal formé par les tangentes aux trois poin~s A;_1 , m' et Ai de la courbe cherchée. D'apres une propriété connue, ces deux contours polygonaux sont homologiques et ils ont meme centre, meme axe et meme rapport d'homologie que les deux courbes correspondantes. Done, leurs sommets n et n' sont deux points homologues,

- ti6 c'est-a-dire situés sur une méme ordonnée, et il en est de méme de leurs deux autres sommets t et t'. D'ou la construction suivante: Tracez (n? 27) le polygone des tangentes sur appuis correspondant ,'t ta ligne d'infiuence inconnue, lequel fournit les tangentes Ai -1B'"i et A;H"; en A;_1 et en A;,, a la courbe cherchée A;_1m' Ai. Puis, comrne le polygone A;_1nmtA;, circonscrit a la courbe donnée A;_ 1mA;, est connu, menez les ordonnées des trois póints m, n et t ; les deux dernieres rencontreni respectivement les tangentes A;_1H"'; et A;H". ou leurs prolongements, en n' el t'. La droile n't' coupe íordonnée de m au point m' appartenant a la courbe cherchée, et c'est la tangente en ce point.

Les tangentes homologues nt et n't'. doivent se rencontrer sur l'axe d'homologie, c·est-a-dire sur l'axe des x. Au lieu de déterminer la tangente n't' par les deux points n' et t', on peut done aussi la déLerminer au moyen de l'un quelconque de ces deux points et du point u, intersection de la tangente connue nt avec l'axe des a;. REMARQUE. -

CHAPITRE III

EMPLOI DES LIGNES D'INFLUENCE : PREMIERE MÉTHODE POUR LA DÉTERMINATION D,ES MOMENTS FLÉCHISSANTS MAXIMUMS PRODUITS PAR LE PASSAGE DU TRAIN-TYPE'.

Indications préliminaires.

37. - La considération de la ligne d'influence relati ve a une section donnée permet de déterminer. le maximum du moment fléchissant positif et le maximum, en valeur absolue, du moment fléchissant négatif, produits dans cette section par le passage du train-type défini au Reglement ministériel (nº 1) . Nous exposerons, pour cet objet, deux méthodes : La premiere, qui se présente d'ailleurs immédiatement a l'esprit, est indépendante de la nature géométrique de la ligne d'influence, et ne nécessite, dans son emploi, que des connaissances tout a fait élémentaires. La seconde (*) mettant a profit les propriétés analyLiques des lignes d'iniluence dans la poutre continue, conduit plus rapidement au résultat cherché; mais l'application en est, par la méme, un peu plus délicate . Cette seconde méthode met en lumiere les conditions générales caractérisanl les positious du train-type auxquelles correspondent les maximums des moments fléchissants dans les différentes sections de la poutre. Pour certaines sections particulieres, ces co.nditions sont d'une extreme simplicité. 38. -

Le moment fl.échissant daos une section C appartenant travée quelconque lk, dépend de deux éléments que le Reglement •laisse arbitraires, savoir : 1º La longueur du train·; · . 2° Sa position sur le pont.

a une

(•) Chapitre IV.

-58Ces éléments variables sont a déterminer de maniere aréaHser soit le moment maximum positif, soit le moment négatif, maximum en valeur absolue, dans la section 'considér ée (*). Il faut distinguer suivant que la section C est située entre les foyers de la travée lk ou, au contraire, en dehors des foyers.

Iº LA SECTION C EST SITUÉE ENTRE LES FOYERS Caracteres généraux de la ligne d'influence.

39. - Si la section donnée C est située entre les foyers, la ligne d'influence y relati ve ( fig. 20 ou fig. 21) est, tout entiere, située au.,.dessous de l'axe .des x da-ns la travée l,.. Fig.20 , F~ ;e

A1:cu.

1 ----- -··u:r-- - - -

- - - ----- - ]:11;-·-------

rig.21.

-- ----- --1r.c----- -

-- ---- ~ -JI<. ·· ----- -

-------- lk;., ----- -

Dans les autres travées, elle est alternativement soit tout entiere au-dessus, soit tout entiere au-dessous de cet axe. En outre, c'est dans la travée lk que cette ligne présente les plus grandes ordonnées positives. Moment fléchissant maximum positif.

40. - Pour obtenir le moment fléchissant maximum positif, il faut done placer le train sur la travée lkj en· le limitant exclusi<•) On remarquera que le texte du Regiement implique que le train ne pour.ra étre coupé en différents troneons appliqués sur des régions différentes du pont.

/ 1

-o91

vement a cette travée, car toute charge qui serait appliquée, soit sur l,._1, soit sur l,.+1 , produirait en C un moment négatif qui diminuerait d'autant le moment maximum positif cherché. Ainsi, le train étant supposé s'avancer de droite a gauche, par exemple, quarrd son essieu de téte se trouve en D ( fig. 20 ), il doit couvrir la zone DAk, sans empiéter ,sur la travée lk-f-1 • La longueur du train dépend, comme on le voit, de la position attribuée a l'essieu de téte. Cela posé, on commencera par placer le train sur lk, dans la position qui, au jugé, paraitra la plus défavorable, en se guidant pour cela sur cette regle approximative que les plus lourdes charges, c'est-a-dire les machines et les tenders, doivent en général couvrir la région de la travée ou la ligne d'in:fluence présente les plus grandes ordonnées. Puis, on calculera le moment fléchissant en C, correspondant a la position ainsi choisie, par la formule (1)

Dans cette expression, qui résulte de la définition méme des lignes d'influence (nº 19), P.,., P1 et Pw désignent les poids respectifs des roues de machine, de tender et de wagon, lesquels sont fixés par le Reglement, a 7 000\ 6 000k et 4 000k pour la voie a l'écartement normal de 1m ,o00; Ym, y, et Yw sont respectivement les ordonnées de la ligne d'influence mesurées, sur l'épure, a l'aplomb des essieux de ces différentes roues. Ce calcul ne nécessite que trois additions d'ordonnées, suivies de trois multiplications par les nombres simples 7 000\ 6 000k et 4 00Qks_ . Cela fait, on déplacera légerement le train soit vers la droite, soit vers la gauche, et on calculera la valeur du moment correspondant a la nouvelle position; si elle est supérieure a la pre~ miere, on continuera a déplacer le train dans le méme sens jusg qu'a ce qu'on parvienne a une valeur inférieure a celle immédiatement précédente; ces deux dernieres comprendront le maximum cherché qu'on obtiendra alors par quelques tMonnements métho• diquement conduits. Si, apres le premier déplacement, on tombait sur une valeur du moment inférieure a la premiere, il faudrait essayer un déplacement en sens inverse, etc ... Dans ces déplacements, on devra correlativement allonger ou raccourcir le train, comme il a été dit plus haut; c'est-a-dire

-60placer, en queue, de nouveaux essieux'. sur la travée l~ ou, au contraire, en supprimer suivant le cas. Il est clair que le procédé que nous venons d'indiquer pour la recherche de la position la plus défavorable du train est tout a fait général; il est indépendant de la forme de la ligne d'influence et s'applique, des lors, quelle que soit la situation de la section C, dans la travée lk. Dans le cas spécial qui nous occupe, c'est-a-dire lorsqu'on cherche le moment maximum positif en une section comprise entre les foyers de la travée considérée, le nombre de tatonnements que comporte ce procédé se trouve notablement réduit par le théoreme suivant que nous démontrerons plus loin (nº 60). Le moment (léchissant rnaxirnurn positif en une section quelconque, comprise entre les foyers d'une travée quelconque, a toujours lieu lorsqu'im des essieux du train passe a l' aplomb de cette section.

Il suffira done d'essayer les positions du train pour lesquelles cette condition est réalisée. Ajoutons que, suivant que la section C est voisine du foyer de gauche (fig. 20) ou, au contraire, dti foyer de droite (fig. 'fM ), le maximum positif dans cette section a lieu soit lorsque la téte du train fait face a gauche, soit, au contraire, lorsqu'elle fait face a droite. Moment fléchissant négatif, maximum en valeur absolue. 41. - La configuration de la ligne d'ínfluence ( fig. ~O ou fig. 21) indique que, pour réaliser le moment .fléchissant maximum négatif, dans une section C comprise entre les foyers de la travée lk : 1° Il faut placer le train soit sur la travée lk-t soit sur celle lk+i ; 2° Dans chacune de ces deux hypothéses la tete du train doit faire face a la travée lk . Dans l'un et l'autre cas, la position du train correspondant au maxímum, ainsi que la valeur de ce maximum, s'obtiendront par le méme procédé que précédemment (nº 40). ·

42. - LIGNE ENVELOPPE DES l\IOMENTS i\lAXIl\IUl\IS NÉGATIFS. - Telle est , la méthode générale pour déterminer le moment fléchissant

-61négaLif, maximum en valeur absolue, clans une section quelconque située enLre les foyers. On pourrait l'appliquer succes ivement a plusieur sections C1 , C2 • •• , ce qui fournirait autant de points de la ligne enveloppe eles moments maximums négatifs (*). Mais nous allons montrer qu'on peut construire cette ligne beaucoup plus simplement. Considérons d'abord le ca· ou le train charge la travée l,._ 1• Pour une position donnée de ce train, le moments développés dans la travée lk sont représentés par une droite p.Fk,1 (fig. 22) passant par le foyer de droite F~ de cette travée, puisque les travées l", l1,+1 ••• l,. ne supportent aucune charge (~H1'). Quand le train se déplace, cette droite pivote autour ele F,,, de sorLe que les moments aux clivers points de l1;. rest nt constamment proportionnel enLre enx. Ils sont clone maximums simultanément, c'esL-a-clire pour une méme position du train, et. en outre, le diagramme représentatif de ces maximums est une droite passant par F,. Fig. 22. lL\__, (

-- --~c-i ------

------- _

lk ------

---- ---- ~ +.L-

Un seul poinL de ce diageamme - en dehors de celui F" qui est connu d'avap.ce uffit des lors a le déterminer. On se hornera done a chercher, par la méthode générale sus-indiquée, la valeur M' du moment maxirnum en une section quelconque C' ele l,,, dans l'hypothese que le train charge exclu. iY ment la Lravée l"_ 1 ; puis on menera l'orclonnée C'o' représenLant r,e mo(*) On ait qu'on appelle ligne enveloppe de moments fléchi ant , le lie11 de po:nls oblcnus en parlant en or<lonnée, en chaque point de la poutre, lu valeur du moment max1m~1m dévcloppé en ce point par lepa sage du train. Dan une_ pu11tre con_ti_nue il y a deux l1 gnes cnveloppes : 1 une corre pondanl aux mom cnlS ma,1mtims po-,ut-, l'a utrc aux momenlS négatifs ma,¡imt1m en valeur absolue. (.. ) Yoir, a u s t~jet de cet.te propriétó l'ondamenta le des foyers, la Slalique g1•c¿phique de M. Maurice Lévy, TI• partie.

•

-62ment, en grandeur et en signe, a l'échelle choísie pour les moments fléchissants. La droite m,._ 1nk, pa santo' et Fk, era le diagramme des mo1nent maximums cléveloppé dan l,, lorsque le tl'ain chcirge la · travée lk-i. charge la travée lk+i, il Lrain le que l'hypothese clans méme, De suffira ele déterminer, par la méthode générale, le momen,t maximum négatif M", produit en une section C" arbitrairement choisie (mais qui peut d'ailleur co'incider avec celle C'); puis, a la méme échelle que précéclemment, on menera l'ordonnée C"o" = M". La droite pkqk.-1 , passant pal' o" et F',,, sera le diagmmme des moments maximwns développés dan. l" qitand le /rain charge la travée lk+i. Nou appellerons les deux droites m1c- 1 nk et p1¡,q1;_1, droites-limites de premiere espece (*). Elles se coupent en un point r, en sorte que le contour q¡'rq¡ est la ligne enveloppe cherchée: représentant les moments négatifs maximimns maximo1wn dans l'intervalle tles foyers F',. et F k. Quant aux segments mk.- 1 q¡', p1¡,<p, q,._ 1F'k et n."F", on pourrait, au premier abord, penser qu'ils constituent les lignes enveloppes des moments maxirnums négatifs et positifs dans les régions A,,_ 1F',, et F.,A.t extérieures aux foyers. Mais il n'en est rien, car, dans ces deux régions, les moments maximums maximorum ne se protluisent pas généralement quand le train charge exclusivement soit la travée l1;_1 , soit celle lk+1• Cependant, dans le voisinage et a l'extérieur de foyers, les droites mk.-1 q¡' et P"'f appartiennent, sur une certaine longueur, a la ligne enveloppe des moments négatifs; de méme, sur une petite étendue a partir des appuis, les tlroites qk_ 1F'" et nkFk font partie, dans certains cas, de la ligne enveloppe des moments positifs. r ous reprendrons d'ailleurs plus loin cette question. Revenons au procédé indiqué plus haut pour déterminer les droites-limites de prem.iere espece mk-t nk et Jhqk.- 1- Une simplification se présente qui résulte du choix des sections C' et C" donL la position est, avons-nous dit, arbitraire dans la travée l,.. La recherche du moment maximum dans la section C', dans l'hypothese que le train charge la travée l1¡,_1, nécessite le tracé préalabl de la partie ele la ligne d'influence relative a cette section, afférente a la travée lk.-1 ; il est clair qu'il est avantageux ele choisir C' de (') La qualificalion de premiiire espcce a pour but de les di stinguer de cerlaines droites an?Jogues que nous rencontr.erons plus loin (nº 46) et qui recevront le nom de droiteslimites de sec¡¡nde espece.

-63fagon que cette partie de la ligue l'influence puisse étre utilisée non seulement a la recherche actuelle, mais encore a des determinations ultérieures. C'est ce qui a lieu, comme on le comprendra par la suite, si on fait co"incicl.er C' avec l'appui de gauche Ak-1 • Pour le méme motif, il conviendra de placer C" sur l'appui el.e droite Ak.

EN l\Ésu11m, voici la regle suivre pou1· déterminer les droitesliniites de premiere espece m,._1 nk et pqq,._, (fig. 22), dont les deux segments cp'r et rqi constituent la ligne enveloppe des momenls maximwn · négatifs dan l'intervalle des /'oyers F'k et J:i\ d'une tmvée quelconque lk. Trace::;, dans la travée l,,_1 , l'arc de ligne d'in(luence relatif a la ection de l'wppui Ak-t, et, dans la travée l1,+1 , l'arc de ligne d'in/luence relatif a fa section de l'wppui Ak. Placez le train successivement su·1· t,._1 et sur l1.4-1 de far;on que, dans l'un et l' autre ca , sa tete f asse {ace a la travée lk. Cherche::;, par le procédé général du n° 40, la position du train co1·respondant, dans le premier cas, au nwment maximum négatif M' sur l'appui de gauche Ak-i; dans le second cas, au moment maxim,u111 négatif M" sur l'appui de droite Ak. . Détennine;; les valeurs de ces maximwns par la formule (1) (nº 40). Enfin, portez, au-dessus del'axe des a; et a l'échelle choisie pou,r représenter les moments, Ak_1mk-t M' et Akpk M". les droites mk_ 1Fknk et pkl! '1;q,._1 sont les droites-limites cherchées.

On déterminera ainsi les droites-limites de premiere espéce relatives a chaque travée; ces el.roí tes ont été représentées sur la figure 22 pour trois travées consécutives lk-1, l,. et lk+i· 1 º Ces déterminations exigent que l'on trace la ligne d'influence relative achaque appui, seulement dans les deux travées adjacentes a cet appui, et non dans toutes les travées de la poutre. REMARQUE • -

2° .Dans chaque travée de rive, il n'y a qii'une seule droite-limite de premiere espece, et oette droite passe par l' appui extreme correspondant a la travée cqnsidérée. Ceci •résulte immédiatement, d'une part, de .la

regle générale sus-énoncée, et, d'autre part~ de ce que le foyer de gauch ele la travée de rive gauche coincide avec l'appui extreme de gauche A0 , tandis que le foyer de droite de la travée de rive droite co1ncide· avec Fappui extréme de droite An (nº 12).

64 -

11 s'ensuit que, dans l'intervalle conipris entre l' appui extreme de la travée de rive considérée et le {oye,. opposé a cel appui, la ligne enveloppe des moments maximnms négatifs est le segm~nt correspondant de l'u11ique clroile-liniite de prem,iere Fig.23. espece de ladite travée. P_._

A .L-- -º

- - ----<!>-----,~ -

f--,- - - -- ___ __

--1.-- ___ ~- -·-·-~

Ainsi, A0p 1 (fi.g. 23) étant la droite-limite de premiere espece ele la travée de rive gauche /0 le segment A0'f ele cette droite est le diagramme des moments maximumsnégatifs dans toute la partie de pouLre A0F1 •

2º LA SECTION C EST SITUÉE EN DEHORS DES FOYERS Caractéres généraux de la ligne d'influence.

43. - Il faut di tinguer suivant que la section C est comprise entre le foyer de gauche F'k et l'appui de gauche Ak-1, 011 bien entre le foyer de clroite Fk et l'appui de droite Ak. Dans le premier cas (fi.g. 24), la ligne d'influence relative a la section C coupe l'axe des x, entre cette section et l'appui de droite Ak, en un certa~n point .s' qui est d'autant plus rapproché de A1r. que C est plus voisin de F'k• Elle est située au-dessous de cet axe dans la zone Ak- 1s', ainsi que dans les travées lk-l-1, lk-J-3, .• • l,,_2 , li..-, •.. ; au-dessus, dans la zone complémentaire s'Ak et dans les travées l42 ,., lk+i• ... lk-1, lk_3 • - · Fig.2~ .

Fig-.25.

~,~

r _ ~ ~ I-----~K+r-) '\~e ~ "

A., .

L___ -~e ____

'.,~

JkL

Dan s le second cas

(fi.g. 25), la ligne d'in.0.uence coupe ]'axe

- 6 5 -· des x, entre la section C et l'appui de gauche Ak-t, en un certain point s d'autant plus rapproché de A,,,_ 1 que C est plus voisin de F". Elle est située au-dessous de 0et axe dans la zone A~s, ainsi que dans les travées Z,,,_1 , lk_3 ••• l4 2, lk-!-4 ••• ; au-dessus, dans la zone complémentaire sA,/.-1 et dans les travées lk-2, lk-4 ... l4 1, lk,:-a• •• Les sinuosités formées par ces lignes d'influence sont de moins en moins saillantes, au fur et amesure qu'on s'éloigne, soit a droite soit agauche, de la travée lk. Passons maintenant a l'emploi de ces lignes. 11 y a analogie complete entre le cas oü la section C est comprise entre le foyer de gauche F'k et l'appui ele gauche A,,,_1 (fig. 24) et le cas contraire ou elle est comprise entre le foyer de droite F,, et l'appui de droite A,. ( fig. 25 ). Aussi, a.fin d'éviter de répéter deux fois le méme texte, nous allons examiner ces deux cas simultanément (n°8 44et 4!)), en mettant entre parentheses les intlications qui, dans le second cas, doivent étre substituées aux indications analogues relativ~s au premier. Moment fléchissant maximum positif.

44. - Le momenL .iléchissant max.imum positif s'obtiendra encore par le procédé du nº 40, en plaganL le train soiL sur la travée lk_2 [l 4 2], soit sur celle lh·+i [lh·-i], soit sur la zone Ak- is'[Aks]. Dans les deux. premieres hypotbeses, la Léte du train clevra faire face a la travée lk• La contigura.Lion de la ligne cl'influence indique orclinairement, h premiere vue, laquelle ele ces trois hypotheses est la plus d.éfavorable. On peut, du reste, affirmer d'avance que c'est l'une des deux premieres, si la section C est située sur l'appui A,,,_1 [Ak] ou est voisine de cet appui; c'est, au contraire, la troisieme si la section C cóntient le foyer F'k[F,.J ou en est peu éloignée. Pour les settions intermédiaires, on ne peut se prononcer avant d'avoir tracé la ligne d'influence. Moment. fléchissant négatif, maximum en valeur absolue.

45. - Ce maximum s'obtiendra, toujours par le méme procédé, en plagant le train soit sur la travée l,,,_1 [lk+il seulement, soit sur les deux travées lk_ 1 [l 41 ] et lk simultanément. Dans la premiere

-66hypothese, la tete du train devra faire face a la travée lk; dans la seconde, on ne peut rien préciser, quant a l'otientation de la tete du train, avant d'avoir tracé la ligne d'influence. A.joutons que, si la section C passe par le foyer F'kfI<\] ou en est peu éloignée, c'est toujours la premiere hypothese qui est la plus défavorable; si la section C est située sur l'appui Ak_1 [Ak] ou en esL voisine, c'est, au contraire, toujours la seconde. Pour les sections mtermédiaires, on ne peut ríen dire d'avance. Moments maximums positifs sur les appuis et dans les sections voisines.

46. - Les considérations générales que nous venons d'exposer (n°s 44 et 4~) conduisent a deux remarques importantes : l'une, relative aux moments maximums posüifs sur les appuis et dans les sections voisines; l'autre, concernant les momenLs maximums négatifs pres des foyers, en dehors du segment focal. D'apres le nº 44, pour obtenir, dans la travée lk, les moments maximw;ns positifs sur les deux appuis et dans les sections avoisinantes, il faut considérer successivement les quatre hypotheses ue surcharge suivantes : 1º Le train charge la travée l1o-2 , 2º li.+i. 3° lk-t-2, 4° l1o-,, la tete du train faisant face, dans chaque hypothese, a la travée lk. Les deux premieres hypotheses fournissent les maximums positifs sur l'appui A1o-1 et dans les sections voisines; les deux autres, les maximums positifs sur l'appui Ak et dans les sections voisines. Cela posé, considérons, par exemplf, la premiere hypothese. Le train charge alors la travée lk-2; quand il se meut sur cette travée, le diagramme représentatif d~s mÓments fléchissants dans l1r,-1 et dans lk est constamment un contour brisé fl.'-/0' (fig. 26), dont les cótés p.'./ et ./o' pivotent respectivement autour des foyers de droite F1r,-1 et Fk de ces travées, tandis que le sommet ./ se meut sur la verticale de A1o-1 (ceci résulte immédiatement de ce que toutes les travées situées a droite de l1r,-2 sont vides de charges); par suite, les moments aux divers points de l1r,-1 et lk restent constamment proportionnels entre eux; ils sont done maximums

-67simultanémenL, c'e t-a-dire pour une meme position du Lrain sur lk-2; et le tliagramme représentatif de ces maximums est la limite du contour brisé 11.'-/0' lorsque le train passe par ceUe position. ll Fig ,?.G. Pi.,l

-- - -- --- 1:k?.1. --- - -

- ·· -----1i... . --- --- ·. ---- --. --1ii:. . . --- --...;

doiL, u'ailleurs, étre bien entenclu que ces maximums e rapportenL éx.clusivement á l'hypothese consiclérée, c'e t-a-dire seulemenL au cas ou le train charge la travée lk-2• Or, d'apre le nº 42, cette hypothese a déja. éLé envisagée pour la recherche des momenLs maximums négatifs entre les foyers F'k-t et Fk-t de la tra vée l,,_ 1, et on a construit sur la figure 22, que nous reproduisons ci-dessus ( fig. 26 ), la droite-limite de premiere espece mk-2nk-l qui, pottr ce ca.s de surcharge, repré ente les moments maximums clans la travée lk- t· ' Si done on mene, dans lk, la droite nk_,tk passant par le foyer cie droiLe Fk, elle représentera les moments maximurus dans fk pour cetLe méme hypothese. De méme, la troisiome hypothese a déja été env1sagé13 précédemment pour la recherche des moments maximums négatifs entre les foyers de lk-t- 1 (nº 42), et on a Lracé la droite-limite de premiere es pece Pk-f-tqk, ( fig. 2.2 ou 26 ), représentant, dans cette travée, les moments maximums correspondant a cette hypothese. La droite gkuk-1, issue de qk et passant par le foyer de gauche F'k de lk, représente done les moments maximums dans lk, pour cette méme hypothese de surcharge. r ous donneron:5 aux deux droites nk- 111;. et qkttk-i le nom de droiteslim,ites de ·econde espece relatives a la travée lk, par analogie avec celles de premiere espece mk_,nk et pkqk-1· On voit que les droites-limites de premiere espece étant tracées (nº 42) dans Íes différentes travées de la poutre, la regle a suivre

-68pour construire les droites-lirnites de seconde espece d'une travée quelconque l,, est la uivante : Par l' exlrémité de droite nk-l ( fig. 26) de la droite-limite de premiére espece passant par le foyer de droite de la travée lk_ 1 , mene;:; la droite nk_1 tk passant par le foyer de droile de la tmvée lk. JJe meme, par l'extrémilé de gauche qk de la droile-limite de premiere espece passant par le foyer de gauche de la travée ~k+i, mene;:; la d,-oite qkuk_, passant par le foyer de gauche de la travée lk. nk-ilk et qkuk-i sont les droites-limiles de seconde espece cherchées.

On rernarquera, comrne on l'a déjá fait pour les deoites-limites de premiere espece (nº 42), que : JJans les travées de rive il n'y a qi¿'une seiile droite-hmite de seconde espece, et cette droite passe par /, 'appui extreme de la travée considérée. De méme:

JJans la travée adjacente ü celle de rive gauche ( ou droite) it n'y a qu'ime seule droile-limile de seco11cle espece, laquelle pas e pal' le foyer de gauche ( ou de droite) ele celle tmvée.

Résumons-nous : Les droites-hmites de premiere es pece m,.._ 111k et p1cq,,_1de la travée l,, représentent respectivernent les momenLs maximurns développés dans cette travée, quand le train charge successivement les travées lk-t et lk+i, la tete dudit train faisant face, dans l'un et l'autre cas, a la travée {k• Les droites-limites de seconde espece nk_1tk et qkuk- t représentent respectivement les moments rnax.imums dans cette rnéme travée. quand le train charge succes i vement les travées lk_2 et lk+2 , la téte dudit train faisant encore face, dans ces deux cas, a la travée lk. Ces quatre droites correspondent done précisément aux quatre hypotheses de surcharge 1°, 2°, 3° e~ 4°, qu'il faut envisager pour obtenir les rnoments ma,'-.irnums positifs sur les appuis de la travée lk et dans le voi inage de ces appuis. Pour l'appui de gauche A,.._, et les sections voisines, les droites a considérer sont : la droite-limite de premiere espece pkqk-t passant par le foyer voisin F\, et la droite-limite de seconde espece nk_1t1, passant par l'autre foyer Fk. Suivant que le point qk_, sera audessous ou au-dessus du point n1<-,, ce sera la droite pkqk-t ou, au contraire, celle n,._1tk qui représentera les mornents positifs maximums sur l'appui Ak_, et sur une certaine zone de la travée l" a

-69partir de cet appui. L'éte.udue de cette zone dépend des longueurs des travées de la poutre et ne peut étre définie a priori. Pour l'appui de droite A,. et les sections voisines, les droites a considérer sont: la droite-limite de premiare espece mk_1n,. passant par le foyer voisin Fk et la droite-limite de seconde espece q"u,._ 1 passant par l'autre foyer. Suivant 'que n" sera au-dessous óu audessus de qk, ce sera la droite rn"_1n" ou, au contraire, celle qku,._ 1 qui représentera les moments positifs maximums sur l'appui Ak et sur une certaine zone ele la travée l" a partir de cet appui. L'ét~nrlue de cette zone ne peut étre définie a priori. Moments maximums négatifs prés des foyers , en dehors du segment focal.

47. - Si on rapproche les indications eles numéros 45 et 41, on reconnait que les moments maximums négatifs dans les sections extérieures aux foyers, mais voisines de ces foyers (nº 45), ont lieu exactement dans les rnémes hypotheses de surcharge que les moments maximums négatifs elans les sections comprises entre les foyers (nº 4'1), c'est-a-dire lorsque le train charge exclusivement soit la travée Z,. _1 soit celle lk+i, la tete dudit train faisant face a la travée l,... 11 en résulte qu'ainsi qu nous l'avons annoncé (n°42), les droi teslimites de premiere espece constituent le diagramme des mornents maxi mums négatifs, non seulement J.ans l'intervalle des foyers (contour cp'rcp de la .figure 26), rnais aussi sur une certaine zone <le la poutre immédiatement a droite et immédiatement agauche du segment focal F',.F,.. L'étendue de cette zone varie, d'ailleurs, avec les dimensions des travée de la poutre et ne peut étre définie a p1·iori. Résumé et ohservations pratiques . Lignes enveloppes des moments fléchissants .

48. - Les procédés eL indications elonnés aux numéros 40, 41, 44 et 45 permettent de déterminer le moment fléchissant maxirnum positif et le rnoment fléchissant n · gatif, rnaximum en valeur absolue, dans une section quelconque de la poutre et, par suite, dans autant de sections qu'on le désirera. Ainsi que nous l'avons fait remarquer, la considération des

-70droites-limites de premiere espece (nº 42) et de secoude espece (uº 46) abrege uotablemeut ces recl:.terches en faisant connaHre, a la fois, dans chaque travée : 1° La ligne enveloppe des moments maximums négatifs dans l'intervalle compris entre ~esfoyers (nº 42) et rriéme sur une certain e zone a droite et a gauche de cet intervalle (nº 47) ; 2° La ligne P-nveloppe de moments maxim:ums positifs sur les appuis et sur une certaine zone adjacente a chacun de ces appuis (nº 46). Dans l'étude d'une poutre continue, . c'est par la construction des droites-limites qu'il conviendra de débuter; cette premiere opération nécessite seulement que l'on trace, au préalable, la ligne d'influence relative a chaque appui dans les deux travées adjacentes a cet appui (nº 42). Cela fait, pour pouvoir achever le tracé de la ligne enveloppe des moments positifs et de la ligne enveloppe des moments négatifs daus tonte la poutre, il restera a déterminer, pour un certain nombre de sections convenablement choisies : 1° Les ínoments maximums positifs daus le cours de chaque travée (n°5 40 et 44) ; 2° Les moments maximums négatifs entre c.;haque appui et le foyer voisin (nº 4!:>). En portant ces moments en ordonnée, a l'aplomb des sections correspondantes, on obtiendra un nombre égal -de points appartenant aux ligues enveloppes. Eufin, on réunira par un trait continu, d'une part, les points situés au-dessou~ de l'axe de x, d'autre part, ceux situés au-dessus; ces courbes constitueront, avec les parties utiles des droiteslimites, les deux ligues enveloppes cherchées. On se hornera, bien entendu, a un petit nombre de sections, ce qui donnera, du reste, les ligues enveloppes avec une exactitude bien su:ffisante. Il serait illusoire, en effet, de chercher a atteindre, dans la déte:i:mination de ces ligues, un degré d'approximation que ne comportent pas les hypotheses fondamentales de la. Résistance des rnatériaux et encore moins les hypotheses subséqueutes qu'entraine l'application de cette branche de la Mécanique, au calcul des constructions métalliques. Les deux lignes enveloppes des moments .flécbissants étant tracées, aux. ordonnées de chacuue de ces lignes on ajoutera algé]?riquement les ordonnées correspoudantes de la courbe représentative des moments fléchissants dús a la cb.arge permanente

-7'1 -

seule. On obtiendra ainsi deux nouvelies courbes qui représenteront les limites extremes en:Lre lesquelles pourront varier les moments fléchissants ,e n tous les points de la poutre. On pourra, alors, au moyen de ces limites, déterminer les dimensions a donner aux membrures de laclite poutre, en leurs · divers points, en se servant, si on le juge nécessaire, suivant les cas, des formules déduites des lois de Woehler, dont l'emploi est conseillé dans les Instruct·ions rninistérielles pour l' application du Reglem.ent (Art. 2). Méthode abrégée pour la construction des lignes enveloppes.

¡, 11

li 1,

49. - Voici une remarque fort simple, qui permet de réduire au minimum strictement nécessaire en pratique, le nombre des sections a considérer pour la détermination des ligne enveloppes. Considérons une section quelconque de la travée lk, celle du centre fixe Ok par exemple. Il est clair que la position tlu train qui correspond au moment fléchissant maximum positif dans une section voisine de Ok, di:ffere peu de celle qui correspond au moment fléchissant maximum positif dans la section Ok elle-méme. Si done on détermine cette derniere position et si l'on trace le polygone représentatif des moments correspondants dans ,la travée lk, non seulement le point de ce polygone, situé sur l'ordonnée de Ok, appartiendra rigoureusement a la ligne enveloppe des moments fléchissants maximums positifs, mais encore la partie avoisinante de ce m.éme polygone s'éloignera peu de cette enveloppe. La méme remarque s'applique aux moments maximun¿s positifs dans le voisinage de chacun des foyers F'k et Fk de la travée lk, ainsi qu'aux moments maximums négatifs dans les sections voisines des appuis A1v- 1 et Ak. On congoit des lors que, pratiquement, apres avoir consl?·uit les droites-limites, il suffit : A. De déterminer les positions du train qui correspondent : ./0 aua;

moments fléchissants maximums positi(s au centre (ixe Ok et aux (oyers F'k et Fk de chaque travée lk ; 2° aux moments rnaximunis négati(s sur les appuis de cette travée (*). (•) Le choix que nous faisons, du centre fi1e et des foyers, pour y délermine1· les moments ma1imums positifs, s'explique de lui-méme : les lignes d'inílueoce y relotives (o°' 35 el 36) sont parlicnlierement faciles il Lmcer; de plus, ces poim~ divisent la travée

-72-

B. IJe tracer, pour chacime de ces positions, le polygone représentatif des moments fléchissants da11s cette mhne travée (nº o2 ci-apres). Les deux contours exlérieurs de l'ensemble de ces polygones et des droites-lirnites, situés: l'un ait-des us de l'axe des x, l'autre au-dessous, · peuvent, avec ime approximation suffisante, étre con idérés comm,e étant respectivement les lignes enveloppes des moments maxim,ums négatifs et des moments maxirnums po itifs. En effet, le premier de ces contours co'incide rigoureusement avec la ligne enveloppe des moments négatifs, dans tout l'intervalle compris entre le foyers de chaque travée [propriété des droites-limites de premiere espece (nº 42)] et méme sur une certaine zone a droite et agauche de cet intervalle (nº 47); de plu , par construction, il a en commun, ave e cette enveloppe, les poinLs correspondant aux appuis; enfin, dans la zone complémentaire, entre chaque appui et le foyer voisin, il s'éloigne peu de l'enveloppe. . Le second de ces contours co'incide rigoureusement avec la ligne enveloppe des moments positifs sur une certaine zone a droite et a gauche de chaque appui [propriété des droites-limites de premiere et de seconde espece (nº 46)] ; en outre, par construction, il a en commun, avec cette enveloppe, le points correspondant aux foyers et au centre flxe de chaque travée; enfin dans le voisinage de ces points, il s'éloigne peu de l'enveloppe. Une observaLion doit étre faiLe relativemenL aux Lravées derives. Considérons, par exflmple, celle derive gauche 11 • Comme, dans cette travée, le foyer de gauche F'1 et le centre fixe 0 1 co'incident l'un et l'autre avec l'appui extreme A0 (nº 5 12 et 17), la méthode abrégée, telle que nous venons de l'indiquer (nº 49), ne donnerait, pour déterminer la ligne en veloppe des moments positifs dans cette travée de rive, que : 1° l'unique (nº 46) droite-limite de seconde espece appartern:.nL a ladite travée; 2° le polygone des moments :0.échissants correspondant a la position du train,rendant maximum positif le moment au foyer de droite F1 • 11 est clair, des lors, que dans l'intervalle A0F1 on n'obtiendrait _pas ainsi l'enveloppe des moments positifs, avec une exactitude 50. -

en quatre parties á peu pres égales, ce qui est une .condition favorable au point de vue de l'approximation á oblenir dnos la déterminntion de la ligoe enveloppe. Quant au choix des .appuis pour y déterminer les mnximums négatifs, il s'impo e pa1· la raisoo que c'est en ces points qu'ont lieu les plus graods, en valeur absolue, de tous les moments fléchissants maximums.

-13su:ffisante. 11 conviendra done, pour chacune des travées de rives, de compléter l'épure comme suit :

Dans chaque travée ele rive l¡ ou l", choisissez deux nouvelles sections e1 et e2 , dans l'intervalle compris entre l'appui extreme A0 ou A,. et le foyer opposé F1 ou F',. (pcir exemple celtes situées au quart et a la moilié de la longueur ele cetle travée a partil' de l'appili extreme correspondan/). Cherche;; les position elu train rendant maximum pofitifs les momenls dan ces sections (nº 40) et tmce;:,, pour chacune de ces position , le polygone représenlatif eles momenl fl,échissant · cléveloppés dans la travée de rive considérée. eomme on le voit, les deux sections el et e 2 remplacent, dans chaque travée de rive, la section du centre fixe et celle du foyer co:incidant avec l'appui extreme ; on obtient done ainsi la ligne enveloppe du moment positif clans les travées de ri ve, avec la méme approximation que dans les travées intermédiaires.

M. - REMARQUE. -

Dans la méthocle abrégée que nous venons d'indiquer, les seules ligue d'iníl.uence a construire sont celles relatives aux appuis, aux centres :fixes et aux foyers des clifférentes travées, ainsi qu'aux sections el et C2 des travées de rives. De plus, il est inutile de tracer ces ligues dans toute la longueur de la poutre; Il su:ffit, en effet, ele conuaitre : Pour chaque séction d'appui, les deux branche de la ligne d'iniluence y relative, situées dans les deux travées adjacenLes a et appui; Pour les sections des foyers et des centres :fixes, ainsi que pour celles e 1 et e 2 , la partie de ligne d'influence si tuée dans la méme travée que la section considérée.

o2. - eoNSTRUCTION DES POLYGONES REPRÉSENTATlFS DES ltlOMENT FLÉCHISSANTS. - Pour compléter l'exposé de cette méthode abrégée, il reste a donner quelques indications sur la construction des polygones représentatifs eles moments fléchissants, dont il a été question aux numéros 49 et oO. eonsidérons, pour fixer les iclées, celui de ces polygones (fig. 27) qui correspond a la positiou clu train -rendant maximum

-74-

positif le moment fléchissant au foyer de gauche F\ de la travée t,. . Les deux ligne d'influence relatives a ce foyer et a l'un des appuis de lk, celui Ak-t par exemple, feront connaitre, par la formule (1) du nº 40, les moments en ce méme foyer et en cet appui, pour la position conFig.2'.Z. sidérée du train. On porni..• tera ces moments, en ordonnée, aux points cor/ / ! respondants F'k et Ak-1, a l'échelle adoptée pour / \ les quantités de cette na_A~k~-'.---+-----crr''~~-----ecr,._,,_:_-r;A~],:~ ture,cequidonneradeux · / . \_ points m' et m," apparte// nant au polygone repré,,,__, sentatif cherché. -------- --- ----lic --- -------- ---On construira alors facilement ce· polygone, puisque, d'apres une propriété bien connue, c'est un polygone funiculaire des charges appliquées sur la travée l,., dont la distance polaire ~ est donnée. par la formule

t::..

i, T

¾i

= tl'

sont les échelles respectives des longueur , des

forceE et des moments; ce qui signifie qu'une longueur de L metres, une force de F kilogrammes et un moment de M kilogrammetres sont repré entés, sur l'épure, par des longueurs de M . L F - , - et - metres. l

~ est également exprimé en metres, longueur portée sur l'épure, indépendamment de toute échelle.

CHAPITRE IV

SECO DE MÉTHODE POUR L DÉTER 1INATION DES MOMENTS FLÉCHISSA TS MAXI rnMS

Observations préliminaires.

53. - La rnéthode indiquée précédemrnent pour la détermination des moments fléchissauts maximums, dans une section arbitrairement cboisie, exige que l'on trace la ligne d'influence relative a cette section. Dans la seconde méthode que nous allons exposer, il suffi.L, au contraire, de construire quelques points seulement de cette ligne : ceux qui correspondent au centre de gravité du train occupant les diverses positions qu'on est conduit a lui attribuer. En se reportant aux n°s 40, 41, 44 et 45, on reconnait que les dif:férentes hypotheses de urcharge a envisager dans la recherche de moments fléchissants maxiomms, positifs ou négatifs, dans les dif:férentes sections d'une travée quelconque lk, peuvent se clas er en quatre catégories, comme suit : 1° Le train-type charge simultanément les travées lk et lk-t; 2° Il charge simultanément les travées l,, et lk+1; 3° Il charge la travée lk seulement. 4° Il charge une seule travée, autre que lk. · La méthode que nous avons en vue est fondée sur de nouvelles formules générales exprimant, dans chacun de ces quatre cas, le mom en t fléchissan t prod ui t dans une secti on ar bi trairemen t choi si e de la travée lk, ainsi que la dérivée de ce moment par rapport a l'ab cis e variable du centre de gravité du train mobile. Nou établirons d'abord les formnles applicables aux deux premiers cas qui sont les plus complexes; les autres s'ensuivront · immédiatement.

76 -

Expressions nouvelles du moment fléchissant. PREMIER GAS : LE TR.AIN CI:IARGE

LTANÉME T LES TR.AVÉES

tk-1 et tk.

54. - Soient (fig . 28) : C la section considérée que, pour fixer les idées, nous supposerons compris3 entre l'appui de gauche Ak-t etle foyer de gauche F'k ele la travée lk, •.. C(k-2cck-1cck •.. le diagramme des ::; correspondant, ••. Ak-2Ak-1cAk ... la ligne d'influence y relative. Fig-.28.

___ _ __ Ji -

- - · ----- _____ l1c ··----- ·- -

Il est nécessaire d'établir d'abord certaines relaLions analytiques auxquelles satisfont les courbes paraboliques du troisieme ordre constituant cette ligne ct'influence. L'origine des coordonnées étant en Ak - t et les conventions sur les signes restant Loujours les mémes que précédemment, représentons par ('l)

Y= (k-11,a;),

y= ( lx),

y= fd(x ),

-77les équations des trois courbes paraboliques auxquelles appartiennent respectivement .les trois ares Ak_ 2Ak_ 1 , Ak_ 1c et cAk. Soient, en outre,

(2) les équations respectives des deux cótés cck_ 2cck-t et ªk-tªk du diagramme des z, équations dans lesquelles le terme indépendant n est le méme, puisque ces deux droites ont méme ordonnée a !'origine : n = Ak-tªk-1• La courbe parabolique a laquelle appartient l'arc Ak_ 2Ak-i, a pour équation différentielle du second ordre (nº 22) (3)

et les deux courbes auxquelles appartiennent respectivement les deux ares Ak_ 1c et cAk ont méme équation différentielle, savoir : d'l.y ,, dx 2 = fu(x)

(4)

= f á(x) =

- f.;-;!.?nkX

+ n) .

On en tire (5) (6)

D'ou

,,, 7 ( )

Ak-tªk-1

{k-t(X) r;'(x) .

-Ak-1F'k-i

Ak-Lªk-1

Ak-tO'k

= Ak-1F'k-l '

-Ak - tO'k

d'apres figure ; ou bien, par une transformation évidente,

t k-1 x

(7')

(

)

F'k-1 O' k "' , F,k - 1O' k ¡'"( ) _ r'"( -- ¡•'"( u x ) -F, A !I x á x)-F' A (á(x 1 • 1 1 k-1

k-1

Cela posé, les valeurs que prennent les_trois fonctions (1) et leurs dérivées successives, pour x---: O, sont liées entre elles par les relations: (8) /i.-1(0) = { 9 (o) = fá(o) - a= O. (9)

(1.0)

(H)

f~-1(0)

= f~(o) = f~(o) + 1.

f~-1(0) = r;(o) = ( ~(o). , O' ,,, (O) -- r'"( ) - F'F k-1A k r'"( ) f k-1 g O !1 ,o. k-1

k--1

-78La premiare équation ( ) ré ulte de ce que le deux are . Ak_ 2 Ak_ 1 et Ak_ 1 c sont, tous cleux, issus de l'origine des coordonnées; la seconde, de ce que l'ordonnée a l'origine Ak-1ª1<-i de l'arc Akc prolongé e t égale a l'abscisse a de la section C (nº 23) (*). La premiere équation (9) exprime que les deux ares A1<-2Ak-t et Ak-t e se raccordent tangentiellement en Ak-1 (nº 22); la seconde s'obtient en faisant a: 1 = O dans l'équation (8) du nº 24. Les équations (10) ré ultent immédiatement de (3) et (4). Enfin, les équations (H) ne ont autre cho e que celles (í') et (6).

ms. - Ces relations préliminaires établies, plagons le train da.ns une position quelconque sur les deu."\: travées lk-t et l,. ( fig. 28 ). Soient P l'une quelconque des charges de ,ce train, h son abscisse rapportée a l'origine Ak-1• Quand nous voudron distinguer, les unes des autres, les charges appliquées respectivement sur la través lk-t et sur les segments A,._ 1 C et CA,. de la travée lk, nous affecterons la lettre P des indices k-1, g et d. Dans la position cons.i dérée du train, le moment fléchissant en Ca évidemment pour expression (nº 19) . M

= "'2.Pk-1f,,-1(h) + "'2.Pg/o(h) + "'2.Pdfa(h).

Mais les fonctions f(h) étant du troisieme degré (nº 22), la formule de Maclaurin donne

= f(o) +

f(h)

hª ,,, h2 ( ' , (o)+ hf (o)+ 2 6 f (o).

Par suite (12)

= f~-1(0)"'2.Pk-t + (,._1(0)"'2.P,._1h + ~f~-1(0)"'2.P,._1h + ~ t:-1(0) "E,p,._.h + fy(o)"'2.P + fu, (o)"'2.P h + 12{,,(o)"'2.Pgh + 61. f ,,,g (o)"'J:.P/i 1 ,,, ,, , + / (o)"'J:.Pdh + 12 /d(o)'EiPdh + fa(o)"'J:.Pd + fa(o)"'J:.Pdh 6 2

•

llemplagant /1r.-1(0); fu(o) et les dérivée successives correspon-

(") Daos la figure 281 ainsi d'ailleur3 que daos toutes celles du p1'ésent chapitre les 3 (n• 32). Daos ordoanées des lignes d inOuence sont amplifiées daos le rapport q calle 28 oil a done, en réalité, .i\1<,-1 a1r.-1= 3 a.

-79, -

dantes, en fonction de fh) et de ses dérivées, au moyen des formules (8), (9), (10) et (11), il vient, en groupant convenablement les termes, . t2 ')

() M = ,/.'ao~P

"( ) h + 1 tao~Ph ( + f'aO)~P 2

3 1 ,,, +(/a(o)~Ph

les quatre sommes ~P, . .~Ph3 étant étendues a .tout le train, c'esta-dire a toutes les charges Pk-t. P0 et P4 , indistinctement. Soient maintenant : A l'abscisse du centre de gravité G du train, c'est-a-dire du systeme des charges P, rapportée a l'origine A,. _ 1 ·des coordonnées; h' l'abscisse d'une quelconque de ces charges, rapportée au centre de gravité du train, en sorte que h = h'+A.

On a des lors :

= ~Ph'ª + 3A~Ph' + 3A ~Ph'+ A l:P, = ~Ph' + 2A~Ph' + :>. ~P, ~Ph = ~Ph' + :>.!.P.

~Ph 3 ~Ph 2

Ou bien (13)

l:Ph 3

(14) (15)

l:Ph

1:Ph

= K + an + TI),

= I + Il:>.2,

= n:;,,,

en remarquant que ~Ph' est nul, puisque c'est le moment statique du train par rapport a son centre de gravité, et en posant l16)

~Ph'ª

= K,

l:Ph' 2 = I,

= n.

On observera que K et I sont respectivement le moment du troisieme ordre et le moment d'inertie du train par rapport a son centre de gravité, Effectuant dans l'expression (12') de M, les substitutions autorisées par les formules (13) (14) et (Hí), il vient M

= n[fd(o) + ).{~(o)+

ir~

(o)+~ f~' (o)]+~ [f~(o)

+ )f~' (oJ]

-80Mais la formule de Maclaurin donne fri(o)

Aa "'( 0 ) / (>.) A , + Vh)+ 2 td(o)+ 6 f~ = d , 2

et Par conséquent M = IIfd().)

+ lJPk_ (h 1

,, + 6K {d,,, (o) + 2I {d().)

+ lJPg(h -

a) -

,,, 3 BF'k-~Ak-l {d (o)"E,P1<-1h •

1 F'k 10'k

Pour la syrnétrie· on peut remplacer f~'(o) par /~'(,._), puisque cette dérivée troisieme est une constante. En outre, la somme des deux premiers termes de la seconde ligne de l'expression ci-dessus représente la somme des moments des charges Pk-i et P9 par rapport au point C, et p.ous poserons en conséquence (17)

"E,P1<-1(h - a)+ "I:,Pg(h - a)= "E,'llt~(P1<-1, P 9 ).

Donc, finalement, ~

(A)

= II{d().) + I2f d,, ().) + 6( K -

) F'k-tÜ\ , F'k-!Ak-! ~Pk-lh 3

f "'d ().)

'E,

"lyls 1 Le (Pk-1, P 9).

Si, au lieu d'éliminer dans (12), {1<- 1(0), fa(o) et les dérivées correspondantes, au moyen des relations (8) .. (11), on élimine au contraire fu(o), fio) et les dérivées correspondantes, on trouve, par la méme marche que précédemment, (A')

,, + 61 [ K = Ilfk-t(A) + I2f 11,-1(A) •

F'k-1 O' k

]

,,,

•

Ak-l O'k ~Pkh 3 /k-t(),) -

Cl'\ Ls

~ 11'CcPd,

en convenan't de représenter par Pk l'une quelconque des charges P9 et Pd appliquées sur la travée li;.. du Nous au-rons besoin, dans la suite, de connaitre' la dérivée ddM ), moment flé~hissant, par rapport a l'abscisse ), du centre de gravité du train. C'est en effet cette dérivée qui nous permettra de déterminer les positions du train auxquelles · correspondent les moments maximums. dM est la variation du moment fléchissant en C, correspondant a un déplacement infiniment petit d')... du centre ele gravité du

-8'1train, dans le sens des x positifs, c'est-a-dire de gauche a droite. Le déplacement de chacune des charges étant le méme que celui du centre de gravité, on doit observer que dh d)... D'autre part, ainsi qu'il a déja été dit, f"'{A) est une constante. Des lors, de (A) et (A') on tire:

(a)

' 1. [ F'1<-10'k ] "' d' =Ilf,,(A)+~ I-F, A ~Pk~1h 2 /d(A)+~(Pk-1,Pg),

dM /\

(a')

"-'

k-1

' -¡¡¡:= Il(1<-1(A) + 2 I-

k-1

F'1<-1Ü'k ] "' 2 Ak-tO',, ~Pkh (k-1(A) -

~pd•

Nous venons d'établir ainsi deux expressions distinctes, mais º'M et dMO ana1ogues, de ch acune des quantites d), · n peut se demander pourquoi deux, au lieu d'une seule; la raison en est qu'ainsi que nous le verrons plus loin (nº 52, Remarque I): 1° Si le train est engagé sur le pont, machines en tete, dans le sens de droite a gauche, c'est-a-dire si la tete dudit train fait face agauche (fig. 28), ce sont les formules (A) et (a) qu'il est le plus commode d'employer; 2° Si le train est engagé dans le sens de gauche a droite, c'esta-dire si sa téte fait face a droite, ce sont au contraire les for~ules (A') et (a'). · On pourrait également former une troisieme expression de ces memes quantités, en éliminant, dans (12), /k-1(0), fio) et les dérivées correspondantes, de maniere ane conserver, dans la formule finale, que fg(o) et ses dérivées. Mais cette formule ne nous est pas nécessaire. SECOND CAS: LE TRAIN CHARGE SIMULTANÉ?tiENT LES TRAVÉES

lk+t•

ñ6. - Par une analyse identique a celle qui vient d'etre exposée, on trouve que, dans le cas ou le train charge simultanément les travées l1; et l1;+1 , le moment fléchissant en une section C de la travée lk est donné par l'une ou l'autre des formules ci-dessous:

-82Les notations sont les mémes que précédemment, mais il importe de signaler que l'abscisse). du centre de gravité du train et les abscisses h des charges sont rapportées, non plus a l'appui de gauche A k- i de la travée lk, mais bien a l'appui de droite Ak de cette meme travée. De ces formules on tire respectivement (b) I

(b')

d;-.

] "' = Il/.,,,1<+1(11)+ 21 [ I - OkF4-1 OkAk :EPkh { 4-1().) + :EP

= II { ,g(A) + 21 [ I -

d).

OkF 4-1

] ,,,

AkFk+1~P4-1h2 f g ().) - ~ (Pd , P k+1).

Les formules (B) et (b) serviront dans le cas 011 le train sera engagé sur le pont, machines en tete, dans le sens de droite a gauche; celles (B') et (b'), dans le cas 011 il sera engagé en sens inverse.

TROISIEME CAS : LE TRAIN NE CHARGE QUE LA TRAVÉE

lk.

57. - Les formules qui conviennent dans ce cas se déduisent imrnédiatement de celles (A) (nº 55) et (B') (nº 56), en y faisant respectivement Pk-1 O et Pk+1 O, puisque, par hypothese, il n'y a pas de charges sur les travées l,.___1 et lk+1 • On obtient ainsi

1)'011 l'on tire respectivement (e)

dM d).. dM

I ,,,

= ITfa(A) + ~.fa().)+ :EP ,

I ,,,

df = II/g{).) + 2 fa ().) - ~Pa. Nous nous servirons das formules (C) et (e), lorsque le train sera engagé, machines en tete, dans le sens de droite a gauche; des formules (C') et (e'), dans le cas contraire.

- 83 -

QUATRJEME CAS: LE TRAIN CHARGE UNE SEULE TRAVÉE AUTRE QUE

lk.

58. - Pour :fixer les idées, supposons que la travée chargée soit celle l1o_1 • Nous obtiendrons immédiatement la formule convenant a ce cas en fai ant Pk = O et Pd = O dan (A') (nº 55), puisque, par hypothese, la travée lk ne supporte aucune charge; il vient (D)

d'ou l'on déduit (d)

Pour passer, de cecas, au cas général ou le train charge une travée quelconque li autre que lk, il suffit de remplacer l'indice k- 1 par i. Ces deux formules nous erviront quel que soit le ens daus lequel le train sera engagé ur le pont . Calcul des valeurs numériques de M et de : - • Tableau et Table complément~ire des constantes du train-type .

59. ele

Avant d'appliquer les diverses expressions de M et

que nous venons d'établir,

a la déterminaLion du moment

fléchissant maximum produit en une section quelconque, il convient d'indiquer comment e calculent les valeurs numériques de ces expressions. A premiere vue, ces formules peuvent paraitre compliquées ; mais, en réalité, il n'en est rien, car elles ne contiennent que des termes connus d'avance ou qui sont immédiatement fournis par l'épure de la ligne d'influence. Pour fixer les idées, soit adéterminer les valeurs numériques de M et de

~ relatives a

une section C arbitrairement

hois1e,

dans le cas de surcharge assez complexe indiqué par la figure 29. Le train chargeant les deux travées l"_ 1 et lk, et sa tete faisant

-84face a gauche, les formules á appliquer sont celles (A) et (a) du (nº 5o): (A)

,, +: 1 ( K = Il/a(A) + 2r / d(A) 6

(a)

dM -d A

. , + = rrrd<)..)

,,, ) ) F'k I O' k F' k-~Ak - t :EPk-th 8 {a (A

1(r -

F',._10'k

-2

k- 1

k-i

1:Pk-1h

+ :E~nrt"(P e

k-t,

2 rd (A) +1:<Pk-1,Pa. )

,,,

)

),.. _Fig. 29. 'r

1 •••• •• a. . k-:t. 1 1 1

f1Hd"9

2i~ - --- _6_ - ~-----.:!-~-~ J~- t:~flS--!-• ~-~¡' , 1 1 ! 1 r

-- - _ tz. __ 1

~-- _1?'•

,,e .,,,

,1 ªk:.1

·/

1 ,

--------------- \ ,, ·----------- --- . ___________ Jk ____ _________ .

Ce que nous allons dire_du calcul de ces formules est, du

a toutes les données aux numéros oo a 58. reste, applicable

autres expressions de M et de

En dehors des deux longueurs F'k_10',, et F',,_ 1A,._1 que l'on n'a qu'á relever sur l'épure. les quantités entrant dans (A) et (a) sont de deux especes bien distmctes. Les premiares, II, I, K, :EP,._1h 8 , .SPk- 1h 2 , 1:'lrc~·(Pk-1, Pg) et :E(Pk-1, Pd),

dépendent exclusivement du train-type; on peut done les calculer d'avance, une fois pour toutes. Aussi les avons-nous groupées

Pg),

-85dans un Tableau et une Table numériques sur lesquels nous reviendrons plus loin Nous les appellerons les constantes du train-type. Les secondes, fd(A),

f~(A),

f~(A)

f~'('A)

dépendent exqlusivement de la courbe parabolique (1)

y = fd(x)

et de l'abscisse).. du centre de gravité du train (*). Elles sont tres simplement fournies par l'épure de la ligne d'infl.uence relative a la section C considérée En effet, considérons le cóté er:k-1er:,. du diagramme des z correspondant a la section C, et l'arc Akc de ligne d'influence également relatif a cette section; supposons ce cóté et cet are de courbe prolongés indéfiniment. D'apres nos conventions (nº M), l'équation (1) est celle de la courbe indéfinie Akcak-1. . . . . Cela posé, soient : y l'ordonnée GM du point de cette courbe, situé sur la verticale du centre de gravité du ,train, c'est-a-dire l'ordonnée du point d'abscisse ). ; o le coefficient angulaire de la tangente en M a cette combe, c'est-a-dire la tangente trigonométrique de l'angle formé par cette tangente, avec la partie positive de l'axe des x; z l'ordonnée GN correspondant au centre de gravité du train, de la droite· indéfinie er:k-1er:k; m le coefficient angulaire de cette droite. On a (ex)

(~) (r)

(o)

= y, 1:('A) = o, ,, fd('A) = ,,, fa ('>-) = -

/d('A)

6 -t2 :::;, k

~ m.

Les deux relations (ce) et (~) sont évidentes ; quant aux deux autres, elles sont la reproduction, ous une autre forme, de celles (4) et (6) du nº M. On voit done que l'épure fait connaitre rapidement, au moyen (*) Le Tableau précilé des constantes du train-type contient, comme on le verra plus loin, pour des trairís composés d'un nombre quelconque de cbarges, les valeurs numériques des distances des centres de gravité de res trai.ns aux churges de téte et de queue correspondontes. Si done on se donne la position du train-type sur le pontl ainsi que le nombre de charges qu'il comprend, l'abscisse ,- de son centre de gravité s ensuit immédiatement.

-86de ces quatre relations tres simples, les quantités que nous a vions en vue. 11 importe de remarquer qu'on devra bien se garder de tracer la colU'be A1;ca,,_1 ... , ce qui serait une perte de temps; on se hornera a faire les constructions strictement nécessaires pour déterminer le point M et la tangente en ce point (nº 30). On remarquera également que si, dans cette épure, on a adopté une échelle des ordonnées plus grande que celle des abscisses, on devra tenir compte de ce fait, dans la lecture des quantités y, e, z et m; si, par exemple, l'échelle des ordonnées est trois fois plus grande que celle des abscisses, - comme cela a lieu dans la figure 29, -les vraies valeurs de y, e, z et m ne seront que le tiers des valeurs ·correspondantes lues, sur l'épure, en supposant que celle-ci ait été tracée avec u.o.e eule échelle, celle des abscisses. 60. - Si, le train chargeant comme précédemment les travées ' Fig.30. ,/

/ Í:Ñ /\

~la

i 1

-- - ·· ----·•--·- 1ic., --- ·· -· - ---- . l~1 et lk, sa tete fai L face non plus agauche, mais

a clroite ( fig. 30 ),

-87dM M et d). doivent alors étre calculés par les formules (A') et (a')

(nº ño). Les termes entrant dans ces formules se déduisent encore immédiatement de l'épure, par les relations (a)(~)(,) (o), a la condition d'y changer l'indice den celui k - 1 et de faire les conventions suivantes : y représente l'ordonnée GM, correspondant au centre de gravité du train, de la courbe Ak_2mAk-t prolongée s'il est nécessaire en dehors de la travée lk-1, courbe dont l'équation est y ::;= f,._1(x), d'apres nos notations (nº M); 8 est le coefficient angulaire de la tangente en M a cette courbe; z est l'ordonnée GN, correspondant au centre de gravité du train, de la droite indéfinie ak-2ªk-t ; m est le coefficient angulaire de cette droite. Les termes en )., contenus dans les autres expressions de M et

~~ données aux nº ñ6, 5

o7 et 08, sous les lettres (B) (b) ... (D) (d),

s'obtiennent de la méme maniere que nous venons d'indiquer pour les termes en ). des expressions (A) (a) (A') (a'). Nous n'y insisterons pas. 61. - Passons maintenant aux constantes du train-type. Ces quantités sont contenues dans le Tableau de la planche 1 et dans la Table complémentaire de la planche 2. Disons de suite, et c'est la une observation importante, que, dans le calcul des constantes du train-type, nous avons adopté invariablement, comme unités de longuei,ir et de poids, le metre et la tonne. D'autre part, nous avons vu (n° 5 o9 et 60) que les autres quan-

tités entrant dans les expressions de M et de :

se déterminent au

¡,

11 11

moyen de longueurs relevées sur l'épure. On aura soin de toujours exprimer ces longuenrs en metres. De la sorte, M qui est un mo' . d)., qm. est- 1e rape tdM sera ob tenu en metres-tonnes ment statique, port de l'accroissement de ce momenta l'accroissement correspondant de la longueur )., sera obtenu en tonnes.

I•

-88Le Tableau précité ( Pl. 1) reproduit le diagramme du train-type tel qu'il est donné dans le Reglement ministériel, avec l'indication des poids par roue des d.ifférents véhicules (ligne 5), des écartements des essieux (ligne 7) et des distances de chaque essieu a celui de tete du train (ligne 6). Les rob.es y sont numérotées 1, 2, 3 .... a partir de la roue de tete du train (ligne 8). Au-dessous du diagramme du train-type, c'est-a-dire au-dessous -de l'axe horizontal x' x, sont tracé es des verticales portant également les numéros 1, 2, 3 ... , (ligne 9) ; ce sont les verticales des centres de gravité des groupes de charges formés respectiveme nt, d'abord par la roue nº 1 seule, puis par les deux: roues 1 et 2, puis ensuite par les trois roues 1, 2 et 3, etc ... Ainsi, la verticale nº '16 est celle du centre de gravité du groupe de charges formé par les seize premieres roues de tete du train, abstraction faite des suivantes. Sur ces verticales sont inscrites les distances de chacune d'elles a l'essieu de tete (ligne ·10) et a l'essieu de queue (ligne 11) du groupe correspondan t; ainsi se trouve définie la position du centre de gravité de chaque groupe. On y voit, par exemple, que le centre de gravité du groupe formé par les seize premieres roues est a une 'distance de 1om,4o4 de l'essieu de tete n° 1 et a une distance de 23m,046 de l'essieu n° 16 qui est le dernier de ce groupe. Sur chacune de ces memes verticales on trouve ensuite (lignes 12 a 16) les valeurs numériques des quantités Il

= :EP,

I, K,

?' 2

1·

afférentes au groupe de charges dont la verticale considérée contient le centre de gravité. Ainsi sur la verticale nº 16, on lit : TI

= :EP = + 96 tonnes, + 12 580,10 =. 16

K=.

+ 46 027,4

r2 -

"'.=·

131,0428 Hm,447_

Ce sont respectiveme nt : le poids total du groupe de charges formé par les séize premieres roues de téte du train, le moment d'inertie et le mornent du troisieme ordre de ce groupe par rapport a son centre de gravité, en.fin le carré de son rayon de gyration et son rayon de gyration au tour de ce méme centre de gravité. Dans la partie supérieure du Tableau (lignes 4 a 1), on trouve,

-89sur la verticale de chaque essieu, les valeurs numériques des quantités ~P, ~Ph = ~m:18P, ~Ph 2 et ~Ph3 , i

l'indice i désignant le numéro de l'essieu considéré. Ces quantités sont les sommes respectives des poids des i premieres roues de téte du train, de leurs moments statiques, de leurs moments d'inertie et de leurs moments du troisieme ordre, par rapport au point d'application du poids Pi de la i~me roue sur l'axe xx'. · Par exemple, sur la verticale de l'essieu nº 6, c'est-a-dire pour i 6, on lit: ~p = . . . . 40 tonnes

~Ph 6

~Ph

~Ph 3 6

~9Wsp = + 6

=. =.

264,2

2 30o,78

+ 21 178,562.

On remarquera que les quantités K, ~Ph et ~Ph 3 portent un i

double signe, indiqué en téte des ligues du Tableau; le signe supérieur correspond au cas ou la tete el.u train fait face a gauche, comme cela a.lieu sur le diagramme du Tableau; le signe inférieur correspond au cas ou le train ~erait re.t ourné bout pour bout, sa tete faisant alors face a droite. Toutes les autres quantités sont positives, quel que soit le sens dans lequel le train esL placé sur le pont. 62. - Ici intervient la Table complémentaire ( Pl . .2). Pour pouvoir calculer, dans tous les cas, les valeurs numériques des diverses express;ions de M et de

(n° 5

of:S a 58), on a besoin

de connaitre les valeurs des moments~Ph, ~Ph2 et ~Ph3, non seui

. i '

-i

lement par rapport au point d'application du poids Pi de la i 1"''ª roue, mais encore par rapport aux divers points de l'axe xx' compris entre les verticales des poids P, et Pi+t; les chiffres des ligues 3, 2 et 1 du Tableau sont done insu:ffisants. La Table compléme·ntaire est destinée a combler cette lacune. Elle contient, acet effet, (colonnes 2, 4 et 6) les valeurs de ces divers moments, par rapport a des points de l'axe xx', distants entre eux de 0m,20 en 0m,20. Ces points pris ainsi comme centres successifs des moments, c'est-

-90-

a-dire pour origines des abscisses h des 'charges, sont définis de position, par leurs distances respectives a l'essieu de tete du train, distances qui sont inscrites dans la colonne 1 de la Table. Cela posé, il faut distinguer suivant que le centre des moments cherchés ~p h, ~p h2 et ~p h3 est ou n'est pas l'un des points consii i i. dérés dans la Table. Dans le premier cas, une simple lecture donne immédiatement les résultats demandés. Ainsi, veut-on avoir les moments en question par rapport au point de l'axe des x, situé a une distance de l'essieu de tete égale a 13m, 70? On cb,erche ce chiffre 13m, 7O dans la colonne 1 de la Table et on y lit, sur la meme ligne, dans les colonnes a, 4 et 6 : ~Ph = + 384,2 6

~Ph 2 6

~Ph

= + 4 250,98 = + oO 143,982;

l'indice général i prend ici la valeur particuliere (j; en effet, d'apres le Tableau ( Pl . .f ), on voit que le point considéré sur l'axe des x est compris entre la sixieme et la septieme roue, et, par conséquent, les . sommes ci-dessus s'étendent aux six premieres charges de tete du train, a l'exclusion eles suivantes. Dans le second cas, c'est-a-dire si le centre des moments cherchés n'est pas l'un des points considérés dans la Table, il faut opérer par interpolation. Voici comment : Il est facile de vérifier que, si le centre des moments se déplace dans l'intervalle compris entre deux essieux consécutifs, les moments correspondants ~p h, ~p h2 et 2)p h3 varient, 1~ premier linéaii

rement, le second paraboliquement et le troisiemB" suivant le~ ordonnées d'une parabole du troisieme degré. ~Ph s'obtiendra done rigoureusement par interpolation lin.éaire J i

et on reconnaitrait aisément que ~Ph 2 et ~Ph3 sont donnés avec i i une approximation tres suffi.sante, l'un; par interpolation linéaire 1 l'autre pal' interpolation parabolique du second degré. Poul' cet objet, la Table complémentaire contient, dans les colonnes 3 et o, les différences premieres respectives des quantités ~Ph et ~Ph 2 et, dans les colonnes 7 et 8; les différences premieres i i et secondes~ afférentes a ~Ph 3 • Ges différences éorrespondent a

-91l'intervalle constant de Om,20 compris entre les points considérés successivement, dans la Table, comme centres des moments. Rappelons les formules d'interpolation a employer. Soient d'une maniere générale : Yo, y1 et y2 les valeurs que prend une fonction donnée, quand on attribue snccessivement a sa variable, trois valeurs x 0 , x 0 k et x 0 2k en progression arithmétique; A1 et A2 les différences premiere et seconde correspondantes, afférentes a y0 • Proposons-nous de trouver, par interpolation, la valeur y de la fonction, répondant aune valeur x x 0 é. de la variable, é. étant une quantité comprise entre O et 2k.

= +

Si l'on pose {

(rapport qui est compris entre O et 2), la

formule générale d'interpolation dé 1 ewton se réduit, dans le cas de l'interpolation parabolique du second degré, a (1)

Y = Yo

1JU~-1

1n(ni -

et, dans le cas de l'interpolation linéaire, (2)

Y= Yo+

1) Á2,

11tÁ1·

Nous avons dit que, dans la Table complémentaire, les di.lférences respectives des quantités 1}Ph, 1}Ph2 et 1}Ph3 correspondent i

a un intervalle de om,'!W. On devra done,

dans les calculs d'inter-

polation relatifs a ces quantités, faire k = Om,20.

C'est la une donnée qu'il importe de ne pas perdre de vue. ExEMPLES. Voici deux exemples destinés a éclaircir ce qui vient d'étre dit sur l'emploi clu Tableau et de la Table complémentaire des constantes du train-type.

Le train occupe su1· les travées lk-i et lk la position indiquée par la figure 29, et dans laquelle : · 1º Ledit train comprend, en totalité; vingt charges; 2° Sa téte fait face agauche; · 3° L'essieu nº 11 est a l'aplomb de l'appui Ak-1; 4° L'essieu nº 12 est a on1 ,80 a gauche d'une certaine section d donnée dans la travée l1,.. A. -

-92Dans ces conditions, le moment fléchissant M dans cette section

et la dérivée correspondante

doivent étre calculés par les for-

mules (A) et (a) du n° 5o. On demande de déterminer, au moyen du Tableau des constantes du train-type, les quantités

n, r, K,

ZPk-ihª,

I:Pk-ih2.

:E~lt~(Pk-1, P 9),

:E(Pk-1, P 9),

entrant dans ces formules. Les trois premieres sont afférentes au groupe de vmgt charges composant le train. Elles sont inscrites dans les lignes 12, 13 et 14 du Tableau, sur la verticale nº 20 du centre de gravité de ce groupe. On y releve II

= + 112 tonnes,

= + 25 563,66,

= + 174 889,0

en remarquant, conformément a la légende dudit Tableau, que K est positif, puisque la téte du train fait face agauche. Les deux suivantes, ~pk_ih3 et Pk-ih2, se rapportent au groupe de onze charges situées sur.la travée lk-i; ce sont le moment du troisieme ordre et le moment d'inertie de ce groupe par rapport a l'appui Ak-i, c'est-a-dire, ici, par rapport au point d'application de la onzieme charge. Ces quantités se trouvent dans les lignes 1 et 2 du Tableau, sur la verticale du centre de la onzieme roue. On y lit :EPk-ihª

331 773,890

:EPk-ih2

= + 16 820,18,

en observant que ~pk_ih3 est négatif, attendu que la téte du train fait face a gauche. Les deux dernieres, ~~lt~(Pk_ 1 , P 9 ) et ~(Pk-i, Py), sont relatives au groupe de douze charges situées sur la travée lk-i et sur celle tk, agauche de la section C. · ~(Pk-t; P~) se lit immédiatement dans la ligne 4 du Tableau, sur la verticale de l'essieu nº 12, savoir :E(Pk-1, P 9)

= :EP = + 80 tonnes. , 12

Quant a ~~•(Pk-i, P9), sa déterm.ination exige un petit cafoul. C'est la S0IIlme des moments par rapport a C des douze charges situées a gauche de ce point. Or, le Tableau nous fait savoir (ligne 3, vertica~e de l'essieu 12) que la somme des moments de ces douze charges, par rapport au point d'application de la douzieme, a pour valeur -1140,4.

-93La section C étant a 0m,80 a droite de ce pornt, la somme de moments cherchée est ~9IT~"(Pk -i, Py)

(1140,4

+ 80L X 0,80) = -

'l 204,4

en vertu d'une propriété bien connue des moments statiques. B. - Le train occupe sur les travées l,._ 1 et lk la position définie par la figure 3 ,/, et dans laque lle : 1° Ledit train comprend, en toLalité, dix-neuf charges ("'); 2° Sa tete fait face a droite ; 3° L'essieu nº 10 esta 3m,0o a droite de l'c1,ppui Ak-1; 4° L'essieu nº 7 esta l'aplomb d'une certaine section C donnée dans la travée lk. T:ig.31. ~:"&r&r2.ug~ _ 1s_ __ ,~ -~ __ 1s_ -lf:

;

_1_,_-l - _-'f- -J/- -- - JQ..U ~-- -- ~- -~- ___ :

•

1 1

,_p 1

:¡1

-- -- -- · ------- -.iú. ----- -- - - --

Dans ces conditions, le moment de flexion M dan cette section et la dérivée correspondante

se calculent par les formules (A')

et (a') du n° o~. On demande de rechercher, a l'aide du Tableau eL de la Table com1 lémentaire des constantes du Lrain .. type, les valeurs numériques des quantités

n, · r,

~Pkhª,

~Pkh 2 ,

~91t~sPd,

:EPd,

enLrant dans ces formules. Les trois premiares se rapporLent au groupe de dix-neuf charges composant le train et se li sent immédiatement, comrne précédemment, dans les ligues 12, 13 et 14 du Tableau, sur la verticale nº 19 du centre de gravité de ce geoupe, savoir

n = + '108 tonnes,

= + 21 6~6,62,

133 380,9

(•) La dix-neuvieme chargc ne pouvant, en fait, exister sans la vingtieme, puisqu'elle apparlient au méme wagon que cellc-ci, on pourrait ne pas la considérer et admettre que le lrain comprend s1::ulement dix-huit charges. lllais, peu importe, puisque, d'unr part, l'etTet de cette dix-neuvieme charge est presque insignifiant, en raiso n de sa proximité ele l'appui J\¡,, _z, el que, d'aulre part, lo diagrammc du train-type no correspond rigoureusement a aucun train réel. 8

-94en remarquant que, d'apres la légende dudit Tablean, K est négatif, la téte du train faisant face a droite. ~Pkh3 et ~Pkh2 ont le moment du troisieme ordre et le moment d'inertie des dix charges situées sur la travéc lk, par rapport a l'appui Ak-t· Ces quantités e trouveraient dans le Tableau, comme clans l'exemple précédent, i la cbarge nº 10 était a l'aplomb de Ak-t· Cette condition n'ayant pas lieu, il faut recourir a la Table complémentaire. Voici comment: La distance de Ak-t a l'es ieu de téte du train est 3w,0a

+ 18w,90 = 21m,95

puisque, d'une part, sa distance a l'essieu '10 est de 3111 1 05, d'apres les données, et que, d'autre part, la distance cludit essieu nº 10 a celui de téte est de 18m,90, d'apres le Tableau (ligne 6, verLicale nº 10). En nous reportant a la premiere colonne de la Table complémentaire, nous constatons que cetLe distance de 21 m,9o n'y figure pas, de sorte qu'il faut interpoler. Or, le chi:ffre de la table immédiatement inférieur a 21,95 m est 21 m, 90 ; et, en regard de ce chilfre, on lit : :EPh2

= + 13 936,98,

:EPh3

= + 258 095,970

= + 341,36 = + 8 464,324

= + 206,448

en ayant égard a l'annotation concernant les signes, placée en · téte de la table. D'autre part, d'apres les indications générale données plus haut sur l'interpolation, on a ici

= om,05; puisque la Table est construite pour k = 0 é

d'ou,

= 21m,9¡,s é.

21m,90 0,05

= Te = 0,20 =

,20,

Les formules d'interpolation (2) et ('1) clonnent rlonc, pour les valeurs cherchées de ~Pkh2 et ~Pkh3, les résultats suivants: :EPkh1 =

,;p,1,•

+ 13 936,98 + { X 341,36 = + 14 022,32

= + 258 090,970 + ~ X 846<1,324 +½(~ ~

1 ) X 206,448 =

+ 260 192,691.

-9o-

n reste maintenant a chercher

les valeurs des deux. sommes ~•llt:~•p d et ~p d • Ici une remarque se présente : Suivant qu·on considere la charge nº 7 comme étant immédialement a droite ou immédjatement a gauche de C, ces deux sommes s'étendent aux sept charges de tete du train, ou bien comprennent seulement les six premieres. Dans l'une ou l'autre hypothese, ~'llt~Pd a la méme valeur. En effet, le moment de la septieme charge par rapport a son point d'application C est nul ; peu importe done que ce moment entre ou non dans la somme. Dans ces conrutions, ~"llt~Pª se lit directement dans le Tableau des constantes du train-type, ligue 3, sur la verticale de l'essieu nº 7, savoir:

~""Jit~•pd =

+ 448,2

en ayant égard a la note du Tableau relative aux. signes. Quant au terme ~p d , il a deux valeurs di:fférentes suivant que la charge nº 7 est supposée immédiatement a droite ou immédiatement a gauche de C. Dans le premier cas, il représente la somme des sept charges de tete du train; sa valeur inscrite, dans le Tableau, sur la vertícale de l' ssieu nº 7, ligne 4, est :EPd

= + 47 tonnes.

Dans le second cas, il désigne seulement la somme des s1x premieres charges de tete; sa valeur, qui figure alor sur la verlicale de l'essieu nº 6, ligne 4, devient 40 tonnes. ~pd =

REMARQUE l. - Il est facile de voir maintenant pour quel motif nous avons établi 1 .aux n°s oo a o7, deux séries de formules, a appliquer, les unes ou les autres, suivant que la tete du train fait face a gauche ou a droite. Si, en effet, dans le cas de surcharge de la figure 29, par exemple, on voulait, au lieu des formules (A) et (a) (nº oo), employer celles (A') et (a'), les sommes ~Pkh3, ~Pkh2, ~'llt:~Pd et ~p" ne seraient plus données ni par le Tableau ni par la Table complémentaire des constantes du train-type, puisqu'elle comprendraient non plus les charges de tete clu train - nº 9 1, 2, 3 ... , mais, au contraire, les charges de queue - n° 9 20, 19, '18 .. . Il en serait de merne si, dans le cas de urcharge de la figure

-9631, on voulait se servir des formules (A) et (a) au lieu de celles (A') et (a'). La nécessité de disposer de deux séries de formules est done éviclente. REMARQUE II. La Table complémentaire se rapporte seulement aux machines et tenders. Nous allons montrer qu'il n'est pas nécessaire, en effet, de lui donner plus d'étendue. En nous reportant aux n°s tm a 08, observons d'aborcl que les quantités ~Ph3 et SPh2 n'enteent dans les expressions de M

et de

~~' que dans le

cas ou le train charge simultanément deux

travées consécutives. Pour :fixer les idées, supposons que les travées chargées soient celles l,,_ 1 et l,., et que la tete du train fasse face a droite (fig. 30 ou fig. 31 ). Les expressions de M et de!~, a employer dans cecas,

sont celles (A') et (a') (nº fü:i). Cela posé, de deux cho~es l'une : ou bien, dans la position occupée par le train, l'ensemble des deux machines et de leurs tenders se trouve, partie sur lk-i et partie sur tk (fig. 31) ou, au contraire, ces véhicules sont tous les quatre sur lk ( fig. 30 ). Dans la premiere hypothese, la Table complémentaire fournit les quantités SPkh3 et SPkh2 contenues dans les formules (A') et (a'). Dans la seconde, elle ne les donne plus; mais on peut alors se passer de ces quantités en opérant comme nouf3 allons l'indiquer. Dans cette seconde hypothese, la travée l,,_ 1 est exclusivement chargée de wagons (fi,g. 30) . Il est clair qu'on peut, avec une approximation bien suffisante, considérer cette surcharge de wagons comme équivalente a un poids par metre courant p

- = 1 333 kilos, = -4QQQk 3

uniformément réparti sur toute la longueur ele la travée lk_ 1, puisque le poids des wagons est, par roue, de 4 000 kilos et que l'écartement constant des essieux est de 3 metres. Des lors, le moment de flexion M, dans une section C arbitrairement choisie dans la Lravée 11., peut étre consicléré comme la somme : 1° du moment de ílexion lVI' clu a cette surcharge uní-

-97-

forme ; 2° du moment de flexion M" du aux machines, tenders . et wagons s il y a lieu - chargeant la travée lk ; en sorte que (1)

M = M'+M"

et (2)

car M' est constant, quelle que soit la po ition de la téte du train clans la travée lk. dM" M" et d), se calculeront par les formules (C') et (e') clu nº o7, lesquelles ne contiennent pas ~Pkh3 et SPkh2 • Quant a M', on l'obtiendra par la formule (D) du .n° 58, transformée ele la maniere iudiquée plus loin. Comme on le voit, la Table complémentaire n'a pasa intervenir dans ces déterminations. Ainsi se trouve justifié ce que nous avons dit ele l'étendue de cette Table. Voici, pour terminer, la transformation que subit la formule (D) du nº 08, dans l'hypothese _que la travée Zk-1 est chargée, sur toute sa longueur, cl'un poids uniforme p par metre courant. On a alors

= ptk-1, _ pl 3k-l

- 72 '

K = O;

et, en substituant dans (D), on obtient la formule simplifiée suivante (D1)

M' = pl,,-{/,,-i(\- + 12~;:1f~-t (lkt)] · 1

)

Tout ce qui précecle reste vrai .quand la téte du train fait face a gauche. Dans cette hypothese, si les cleux machines et leurs tenders sont, en entier, sur la travéo l,,_ 1, tandis que la travée lk est exclusivement chargée de wagons, le moment de flexion M dans la sectio~ C de la travé~ lk et la dérivée correspondante encore donnés par les formules (1) et (2) ci-dessus.

seront

-98Le terme M', qui représente alors le moment 'de flexion dti aux wagons cbargeant l,., se calculera par la formule (C,)

laquelle se déduit aisément de celle (C) du n° t:>7; a y désigne la .-distance de la section Ca l'appui de gauche Ak-i de la travée lk. Enfin, M", qui représente le moment de flexion du aux machines, tenders - et wagons s'il y a lieu - chargeant lk_ 1 , et sa dérivée

ª!''

se détermineront. au moyen des formules (D) et (d)

du n° 08. Recherche des positions les plus défavorables du traintype. - Conditions du maximum du moment fléchissant. - Valeur de ce maximum.

63. - Proposons-nous maintenant de déterminer la positiondu _train-type a laquelle correspond le moment fléchissant maximum dans une section C arbitrairement choisie dans une travée lk. Afin de laisser toute leur généralité aux. explications qui suivent, nous ne ferons aucune hypothese sur la situation de la section C par rapport aµx foyers de lk. On commencera par placer le train sur le pont en lui attribuant la position, la longueur et le sens de marche qu'on jugera devoir étre les plus défavorables, d'apres l'idée plus ou moins exacte qu'on se fera, de la forme de la ligne d'influence relative a la section considérée, et en se guidant d'ailleurs sur les indications fournies a ce sujet, au chapitre III. (Il va sans dire qu'on ne tracera pas la ligne d'influence, le but de la présente méthode étant principalement d'éviter cette construction.) . . m . d"1que. aux . on ca1cu1era 1a quantite . . dM Pms d'J.- comme 1·1 a ete

nº' t:>9 et 60, en se servant de celle des formules a, a', b, b', e, e' ou d (nº' oo at:>8), qui convient au cas de surcharge considéré et au sens dans lequel le train est supposé étre engagé sur le pont. On se rappelle que~~ est la dérivée du moment fléchissant en C, par rapport a l'abscisse ), du centre de _gravité du train; dM est done l'accroissement positif ou négati_f de M, correspondant a un

-99déplacement infiniment petit d,, du Lrain dans le sens des x positifs, c'est-a-dire de gauche a droite. Cela posé, il faut distinguer suivant que l'on cherche un moment maximum positif ou, au contraire, un moment négatif, maximum en Yaleur absolue. JO MoME

T MAxmuM PO ITIF. -

considérée du train, la déri vée :

Dans ce cas, si, pour la position est positive, M croit lorsque l'ab-

sciss.e ), augmente; d'ou il suit qu'il faut déplacer le train vers les x positifs, c'est-a-dire vers la dtoite, pour le rapprocher de la position correspondant au maximum cherché. Si

est négatif, c'est au contraire vers la gauche, qu'il faut dé-

placer le train. On effectuera done un petiL déplacement, clans le sens ainsi

· c1·1que· par 1e signe · de d.M . d' a1·11 eurs du sens m d).., sans se preoccuper réel de la marche du train sur le pont, et on calculera la valeur de

correspondant a cette nouvelle position ; si elle est de méme

signe que la premiere, on continuera a déplacer le train dans le méme sens, jusqu'a ce qu'il y ait un changement de signe de

~~;

les deux dernieres position considérées comprendront celle du maximum. Deux cas s1;1 présentent alors : a) Si, dans le dernier déplacefig.32 . ment, aucune charge n'a franchi la section C, le maximum cherl. o ché est un maximum analytique; en d'autres termes, si on tragait (fig. 32) une courbe ayant pour abscisses les valeurs de ),, et pour N ordonnées les valeurs prises par M pendant ce déplacement, cette courbe présenterait un maximum avec tangente parallele a l'axe des x. Y En effet, les formules a, a', b, b', e, e', d (n(/A tití a 58) montren t

-100. . . . dM tant qu ' aucune eh arge ne fran. d1. reste contmue que 1a d erivee

chit la section C; en changeant de signe, cette dérivée traverse done nécessairernent la valeur zéro . Par interpolation, on déterminera avec suffisamment d'exacti. tude la position pour laquelle !~=O, c'est-a-dire celle du maximum. Soient, en e.ffet, (fig. 33) ,,'et,," les abscisses du centre de gravité du train occupant les deux dernieres positions considérées, dM cp' et cp" les valeurs absolues correspondantes de d), · dans la position du maximum, l'abscisse ),,,, ele ce méme centre de gravité sera donnée approximativement par la relatiou Am - ).' )." - Am

qi'

= <D"' '

qui est celle de l'interpolation linéaire et d'ou l'on tire

),,. -_ ),'cp"cp'++cp),"cp' 11

•

Fig-.33.

Fig.3~.

o o

:X:, . 1

__ );_ __

1 1

1 1'

, ___ --- -.\r -- __ ,. .;

1 1 1 1 1 1 1

X' ---- -------- -- - - - --- -

' - >o-l

b) Si, au contraire, dans le dernier déplacement, une certaine charge P; a franchi la section C et si, en outre, les valeurs que .di ate. . d.iatement a. gauch e ou 1mme . dM 1orsque P; est 1mme pren d --¡¡:¡, menta droite de C, sont respectivement positive et négative, le maximum de M a lieu précisément lorsque P; est appliqué en C. Ce maximum n'est pas un maximum analytique, c'est-a-dire que la oourbe représentant, comme précédemment, les valeurs de ), et

1( -

'10'1 -

de M offre, non ]Jlus un ommet avec tangente horizonlale, mais un point anguleux N (fig. 34 ) . En effet, si on se reporte aux expressions

ele!~ (nºs 015 a o7), on voit qu'au moment ou P passe d'un cóté a l'autre de C, leur dernier terme varie brusquement d'une quantité

· dM , coeffi cient · de-d. · . 1e a. P; et qu •·1 anpar suite, 1 en estei e mcme, ega gulaire de la tangente en r

a la courbe précitée. "

En résumé, d'une maniere générale, le maximum du moment · 1orsque clM · solt . que1conque se pro d mt, . ·r en une sect10n el,, sanposit1

··r

'·r

·1orsque dM d,, passe b rusquement du positi au negati , au nu1e; soit momenL ou l'une des charges du train passe de la gauche de la section considérée.

a. la droite

VALEUR ABSOLUE. - La méthode reste exactement la méme que précédemmem, sauf que ce qui a . . E•n effet, 1e max1mum, . · . etre de dM · · · c1·lt des signes mverse. d), ei olt ete

2° MoMENT

'ÉGATIF MAxrnu11c EN

en valeur absolue, d'une quantité négative n'est autre chose que son mínimum en valeur relative, et l'on sait que les signes pris par la dérivée d'une fonctión, dans le voisinage d'un minimum, sont respectivement les inver. es ele ceux correspondant au voisina.ge tl'un maximum. . ·t, c,est . dM . au tram, . . S1. d onc, pour 1a poslt10n d).. est po iti attn.b uee

vers les x négatifs, c'est-a-dire vers la gauche, qu'il faut déplacer ce train pour le rapprocher de la position du maximum cherché. Si

est négatif, c'est au contraire vers la droite qu'il faut dé-

placer le Lrain. On verraiL, de móme que préc~clemment, que, d'une maniere générale, le rnaximum en valeur absolue du moment négatif en · . l orsque dM . olt . que1conque se proci mt, d).. s ' annu l e, soit une sect10n

·r

. ·r

dM passe b rusquement d un égati auposi/1 , au mornent ou l orsque -d ),

-102l'une des charge du train passe de la gauche ection.

a la

droile de cette

VALEUR nu 111AxrnuM. - Quand on aura trouvé la position du train correspondant au maximum cherché, soit positif soit négatif, on déterminera la valeur de ce maximum, au mayen de celle des formules (A), (A') ... (D) (nº 5 55 a 58) qui convient aucas de surcharge considéré, en procédant comme il a été dit aux nº 59 et 60.

CHAPITRE V

THÉOREMES PARTICULIERS FACILITAl~T LA DÉTERMI ATIO DES MOMENTS FLÉCHISSA TS MAXIM M DANS CERTAir ES SECTIO S REMARQUABLE

Objet de ce chapitre.

64. - rous venons de donner, dans les chapitres III et IV, deux méLhodes générales, pour la détermination des moments de flexion maximums, positifs ou négatifs, produits dans une section quelconque par le passage du train-type. En nous appuyant sur les principes exposés au chapitre IV, nous allons établir plusieurs théoremes particuliers qui facilitent et simplifient cette détermination pour certaines sections remar· quables de la poutre. Moments maximums positifs dans les sections comprises entre les foyers.

60. - Voici une premiare proposition, déja signalée au numéro 40, qui réduit le nombre des tiltonnements qu'entrainela recherche d1ts positions du train, correspondant aux maximums des moments positifs dans une section arbitrairement choisie entre les foyers d'une travée quelconque. En toute section C arbitrail'em,ent choisie entre les f'oyers d'une travée lk guelconque, le moment fléchissant maximum positif a lieu lorsque le train chm·ge cette travée a l'exclusion des aittres, et a l'instant oü une ri:iue pa se a l'aplomb de la section considérée.

La premiere partie de cette proposition a déja été démontrée précédemment (nº 40). Pour établir la seconde, il suffit de faire voir que, tant qu'au-

¡,

-104cune charge ne fran hit la section donnée C, il ne peut y avoir ele maximum du mornent fléchissant. La travée l" étant seule chargée, la dérivée sion (nº 57, formule e) dM -¡¡¡:

a pour expres,

If"' , )+ = IT/d(A 2 (A)+ ~Pg. d

Tant qu'aucune charge ne passe d'un cóté a l'autre de la section C, ette dérivée reste continue et on en tire i

puisque f;' ().) est, commc on lo sait, une constante. ~fais (nº 59, formule 1) "( . f <#A)=

z2,6k :;,

étant l'ordonnée correspondant au centre de gravité du train, du cóté C("-1ª" du diagramme des -z relatif a la section considérée. Par conséquent,

d2 M clA 2

6II l2,. z.

Or, pour toute section comprise entre les foyers, le cóté ª"-tªk est, tout entier., situé au -dessus de l'axe des .x, puisque le centre O'" correspondant a cette section est en dehors de la travée lk (nº '18) et que le póle S" est lui-méme au-dessus de l'axe des .x (nº 14). D'autre part, le train n~ chargeant, par hypothese, que la travée l", son centre de gravité est situé dans cette travée. 1'ordonnée ::; correspondant a ce point est done toujours négative. Par suite, tant qu'aucune charge ne franchit la section C, la dérivée seconde

~~ reste toujours positive, et il s'ensuit que la fonc-

tion M ne peut passer par un maximum ('*). i

(*) Si, au conLraire, une ccrLaine charge Pj franchit la section C, la dérivée pre-

miere dM change brusqnement de valenr, puisqne le lerme 1:Pg augmente ou diminue d1.

d'nne quantilé précisément égale a P; ; a cetinstant, cette dérivée peut done passer du positif au négatif, et la fonction M, atteindre son maximum.

10~ -

Moments maximums négatifs d ans les sections compri ses entr e les foyers. - D r oi tes-limites de premiére espéce. ·

Jous avons vu précédemment (n° 5 41 et 42) que, pom réaliser les moments négatifs, maximums en valeur absolue, dans toutes les secLions compri es entre les foyers d'une· travée quelconque lk, il faut placer le train soit sur la travée lk- t, soit sur celle lk+1, de fagon que la téte dudit train fasse face a la travée lk; qu'en outre les maximums correspondant a chacun de ces deux cas successifs, ont lieu pour une méme position du train, soit sur lk- 1 soit sur l''+ 1 ; qu'enfin, les diagrammes représentatifs de ces max.imums sont deux droites, auxquelles nous avon donné le nom de droites-limites de premiere es pece ; l'une mk-1nk ( fig. 22) passe par le foyer de droite et correspond au cas oú le train charge lk_1, l'autre pkqk-t passe par le foyeL· de gauche et correspond aucas ou le train charge lk+t· Proposons-nous de déterminer la position a donner au train pour réaliser les maximum en que tion, par exemple clans le cas oú ledit train est placé ur la travée lk-t ( fig. 35 ) . 66. -

Fig.35. cx,k_,

•

~.-- A.1 --1

A --- ----,

,. ---------- lic-.L -- ----------

-------------lir -----

Soit Cune section arbitrairement choisie entre les foyers, M le moment llóchissanL développé dans cette section quand le train occupe, sur lk_ 1, une position définie par l'abscisse ). de son centre ele gravité G, rapporLée a l'appui de gauche Ak-2 ele cette Lravée. On a (nº 58, formule d) d.M

c5: =

, TI/ k-t(),)

+ 2I (k-"' t(A),

·106 -

Il étant le poids total du train, I son moment d'inertie autour de son centre de gravité, et y = f1;,.... 1(x) l'équation de la branche de ligne d'influence Ak_2nAk-t relative a la section C et située dans la travée lk-1 · . par cette formu 1e, que 1a d.enyee . . dM . On volt, d), reste contmue tant qu'aucune charge ne sort ele la travée l,._ 1 • La condition du maximum de M est done ' Il/k-1(1)

I ,,, + ,;j/1;,--1()-) = O;

ou, en remar(J:uant que~ est le carré r2 du rayon de gyration du train autour de son centre de gravité, (1)

/i,-1 (1)

+ 2 {1,-1(A) = O· 7112

,,,

Cela posé, on pourrait, conformément a la méthode générale, déterminer f'k- 1(),) et f"k- 1(),) par les formules (~) et (;) du numéro ñ9

ou. e et m clésignent, ici, respectivement les coefficients angulaires: 1° de la tangente menée au pointn, d'abscisse °A, a la ligne d'influence relative a la section C considérée ; 2° du cóté cxk_2cxk-1 du diagramme des ,:; relatif a cette méme section. La condition du maximum prendrait alors la forme déjit simple 1·2

0 = 3ni-•

Mais une autre transformation de la condition (1) conduit a un résultat encore plus facile a appliquer, en ce sens qu'il permet de trouver la position cherchée du train, sans tracer ni la tangente précitée ni la droite cxk_2cxk-t. Voici cette transformation : Remarquons que la relation (1) doit rester satisfaite quelle que soit l'origine des axes de coordonnées auxquels on rapporte la ligne d'influence, pourvu que l'abscisse du yentre de gravité du train soit rapportée a la méme origine. Prenons done, comme origine, le foyer de gauche F'k-1 de la travée lk-t. et soit °A 1 l'abs~

-107 cisse correspondante du centre de gravité du train; la condition (·l) devient alors

Or, d'apres la formule de Maclaurin, .,

/ k-1(),1)

, . ·" = (k-1(0) + A¡/k-1(0) + A2 /1.-1 (0). 21

,,,

D'ou, en substituant et en remarquant que ,:'.:. .1('A1)

= 1:1(0) = constante,

puisque la fonction f est du troisieme degré (nº 22) : (2)

Cela posé, puisque le cóté a1.-2ak_1 du diagramme des:;; passe par le foyer F'k- t, origine des coordonnées, son équation est de la forme ~ = mx,

et l'équation différentielle du second ordre de la ligne d'influence est des lors (nº 22), dans la travée lk- 1, d2y - 2

(3)

. ,, = (k-1(X) =-

-2X •

D'oü, en désignant par C et D deux constantes d'intégration, (4) (5)

Ces constantes se déterminent par la condition que y s'annule sur les appuis, c'est-a-dire pour x u'k- i et pour x = v\ _1; on obtient ainsi pour la constante C qui, seule, ríous est néces~ saire 'ª V 13 k-1 7n ( , (6) e = l•7n U ,k-1 = -l2 U k- 1 - U k-iV k-1 V ºk-1 ,

Uk-1

+ +,

V k-1

D'autre part (3) donne, par différentiation, (7)

/ k-1(X)

6m = -v;; •

)

--108-

Si, maintenant, on fait x -. o dans (4) (:3) el (7) il vient, en tenant compte J.e (6), , -F. ( ) / k-1 0

11i

= -t• /L1(0) = o,

(

,,, U "k-1 -

U k-lV k-1

,,, ( ) / k-1 O -

V -k-1

)

•

: 6,n

--• { 2k

En substituant dans (2), on obtient 2

= 31

, .,

(u k-1 -uk-1Vk-1+ v-,.-1)-

ou, en remarquant que u'k-1

)' 21

(8)

v'k-1 -

= ([2k-l 3 -

lk-1 ,

u' k-lv ' k-t )

r 2.

'l'elle est la condition que nous avions en vue. Elle est indépendante de la situation d.e la section C considérée. Celrt devait étre, car, ainsi que nous l'avons déja dit, quand le train charge la travée lk_1 , les moments fléchissants négatifs. dans toutes les sections comprises entre les foyers de la travée lk, sont maximums, en valeur absolue, pour une méme position du train. On trouverait de méme que, dans le cas ou le train charge la travée l~ 1 , la condition du rnaximum du moment négatif, dans tontes les sections comprises entre les foyers de lk, est alors ,2

(9)

= (l3

2 k+I

Uk+tVk+ I

)

1-.

dans laquelle A2 désigne la distanGe du centre de gravité du train au foyer de droite Fk+1 de la travée chargée. 67. - On peut résumer en un théoreme, les ctifférentes circonstances dans lesquelles ont lieu les maximums considérés . A cet effet, observons que, d'apres une propriélé connue, r2 2 et r sont les carrés des rayons de gyration du train, pris respectivement par rapport aux foyers F'k-i et F,..11; done :

A~+

),~+

THÉORÉME.

Dans toutes les sections comp1·ises entre les foyers

-109d"une travée lk quelconque, le moment fléchissant négatif, maximum en valeur absolue, a lieu lorsque le train charge, soit la travée précédente l¡¡_ 1, soit la travée suivante lk-/- 1, la tete du train faisant face, dans l'un et r: autre cas, a la travée lk. Dans le premier cas, le carré du rayan de gyration du train par rwpport au foym· de gauche F'¡¡_ 1 de la travée chargée lk-t, est égal a l'e:r:ces du tiers du carré de la longueur de cetle trqvée, sur le produit des distances du foyer F'k-t aux wppuis de cette meme travée, c'est-a-dire que • • A¡+ r-

(8')

= Tl'f._1 -

uk_¡V¡¡_ 1•

Dans le second cas, le carré du rayan de gyration du train par rapport au f ayer de droite Fk+ 1 de la travée chargée lk-/-t, est égal a l' exces du tiers du carré de la longueur de cette travée, sur le produ-it des distances de ce foyer aux appui.~ de cette meme travée, c'est-a-dire que (9')

68. - Il reste a donner quelques indications sur la maniere de se servir des relations (8) et (9). Pour fixer les idées, considérons la formule (8) qui répond au cas ou le train charge la travée lk-t. On calculera d'abord la parenthese du second membre (*): (*) Au lieu de calculer la valeur de cette -parenthese, il est facile de la conslruire. Remarquon , en effel, qu'en tenant comptc de ce que lk- 1 u k- t + v'k-1, on peut écrire 2 J , )' , 1 [(Vk-1 , , l 1<-t - Uk(1) t¿k-tVk- 1. -Uk-1 !Vk-1 = -

+ , ,

Puis, décrivons un demi-cercle (fig. 36) sur

.../·/:·\ .. Fk--,

Ak-2.\ k- t

Fig-.36

../~--\~~.j

ll.

- ------- ~=.i- - - - - -

comme diametre, et oit T' le point

.¡. . . -----\e ---- -·- --- -

l'k+i

- ~_r - - - - -

ele ce cercle, tlont la projection sur Ak-2A1<-1 est le point R' symétrique clu fu} 01· rapport au centre ele ce meme cercle. ll est clair que Ak-2R' = F'k-JÁk-1 = V'k-t U'k- 1 R'Ak-1 = A¡¡_2F'k-l et que, par suite,

F:k-1

F'1<-1R'

ll'T'~

= V'k- 1 - ti'k-1, = u' k- tV' k-t.

pa1·

-HOquantité constante, ne dépendant que des dimensions de la poutre. Puis on placera le train sur la travée l1v-1 (fig. 35), dans la position jugée a priori la plus défavorable, en le limitant, en queue, a l'appui de gauche Ak_2 de cette travée, de fagon qu'aucune charge ne se trouve sur la travée lk_2 • Le train comprendra ainsi un certain nombre m de cbarges. On lira alors, dans le Tableau des constantes·du train-type (nº 61 et Pl. 1), la valeur du carré r2 du rayon de gyration de ces m charges. Enfin, par la formule (8) on calculera l'abscisse ). 0 définissant la position exacte du centre de gravité du train, correspondant aux maximums cherchés. La position du train lui-méme sera alors connue, puisque le Tableau des constantes indique les distances de ce centre de gravité au premie.r et au mieme essieu. Ici, une observation e t nécessaire. En .faisant passer le train de la position approximative qu'on lui a attribuée au début, a celle définie par l'abscisse ).1 calculée, il pourra arriver soit qu'une ou plusieurs charges de queue Pm, P,,._1 .... sortent de la travée lk-1. en franchissant l'appui A,._2 , soit, au contraire, que l'intervalle initial entre la queue du train et l'appui A,._2 s'augmente a tel point qu'il soit possible d'y placer de nouvelles charges P,,,-H, P,,i-¡-2 ... Dans l'un et l'autre cas, la position trouvée ne sera pas celle répondant au maximum. Dans le premier cas, en partant d'un nombre on devra recommencer le calcul de de charges inférieur a m; dans le second, d'un nombre supérieur. En un mot, pour que la valeur de ),1' calculée par la formule (8), corresponde bien au maximum cherché, il faut que cette valeur soit compatible avec celle de -m adoptée comme point ele départ de ce calcul. Une fois trouvée la position adonner au train sur la travée lk_ 1,

''t

Par conséquent, en sub~tituant dans (1), .

l'k 1

;

-U'k-1V' 1<-1=

1 ( - -2

8 F'k- 1R'

-) 2

+ n'T'

-i '',,_11" =i

•

Done ¡ la parenthese de l'éguation (8) est égale au tiers du cal'l'é de la distancc du foyer de gauche F'k-i de la travée A1.-2Ak-1, au point T' du deml-cercle décrit sur cette travée comme diametre, dont la projection sur ce diametre est le point R' symétrique du foyer F'k- t par rapport au centre de ce cercle. On verrait, de méme, que la parenthese de (9) est égale au tiers du cané de la distance du foyer de droile Fk+t de la travée AkÁk+t , au point T du demi-cercle décrit sur cette lravéP. comme diametre, dont la projection sur ce diametre est le point ll symétrique du foyer F1.:+ 1 par rapport au centre de ce méme cercle; c'e t-a-dire que 1 -, - 2 l'k+l 3 h -H T . -3- - 1/k+l Vk+t

( -H1 _:_

on déterminera, au moyen de la formule (D) (nº 08), par le procédé des numéros o9 et 60, la valeur M' du moment fléchissant corresponclant, développé dans la section de l'appui A,.,_i, puis on portera (fig . .2.2) sur l'ordonnée de cet appui, une longueur A,.,_1m1o-1 représentant M', en grandeur et en signe, a l'échelle adoptée pour les moments; enfin, on tirera la droite mk-1Fknk; ce sera l'une des deux droites-limites de premiere espece de la travée l1c (nº 42). Par la méme méthode, on cherchera la position a donner au train sur la travée l~1 , et on déterminera la valeur M11 du moment fléchissant correspondant sur l'appui At; enfin, on portera en ordonnée, a l'échelle choisie, Akpk M11 , et on tirera pkF~qt-t; cette droite sera l'autre droite-limite de premiere espece de la travée lk. Le contour q,'1·q¡. sera (nº 42) la ligne enveloppe des moments maximums négatifs, pr:oduits dans l'intorvalle compris entre les foyers F'k et Fk.

69. - CAs PARTICULIERS. - Il convient de signaler les deLL'I: cas particuliers suivants, dans lesquels les conditions (8) et (9) (nº 66) se simplifient. Pour déterminer les moments maximums négatifo, dans les seotions comprises entre les foyers F'2 et F2 de la seconde travée l2 , on doit (nº 67) placer le train, soit sur la travée de rive gauche l0 soit sur la troisieme travée l 3 • Dans le premier cas, la condition (8) clu maximum se réduit a (8'1)

puisque le foyer de gauche de la travée de rive gauche coincicle avec l'appui extreme A0 (nº 12) et que, par suite, u'1 O. En outre, et pour le méme motif, l'abscisse ), 1 doit alors étre comptée a partir de ce méme appui. De méme, si l'on cherche les moments maximums négatifs dans les sections comprises entre les foyers F',._1 et F,,_ 1 del'avant-dei'niere travée l,._1 , on cloit (nº 67) placer le train, soit sur la tra.:. vée l,._2 , soit sur la travée de rive droite l,.. Dans cette derniere hypothese, la condition (9) du ma.\'.imum devient simplement ·

(9") 1~

l'abscisse ). 2 étant comptée

a partir de l'appui extreme A,.,

H2 ~oments maximums positifs sur les appuis et dans les sections avoisinantes .

70. - Nous avons vu (nº 46) que les moments inaximums positifs sur les appuis et dans le sections avoisinantes sont fournis par les droites-limite de premiere et de seconde espece, et que ces dernieres se décluisent immédiateme nt des premieres. Il n'y a done pas lieu, d'insister sur la cléter_mination de ces maximums. Cependant, il n'est peut-étre pas inutile de résumer, dans le théoreme suivant, les di verses circonstances dans lesquelles ils se produisent; ce théoreme, analogue a celui du nº 67, résulte d.u rapprocheme nt des nºs 42, 46 et 67. THÉOREME. - Sur un appui quelconque Ak et dans les sections avoisinantes, adroite et a gauche de cet appui, le moment fiéchissant maximum positif a lieu lorsque le train charge soit la travée lk-i, soit celle lk.¡.2 , la tete du train /'aisant face, dans l'un et l'autre cas, a l'appui Ak. Dans le premier cas, le carré du rayon de gyration du train par rappo1·t au foyer de gat{,Che F',,_1 de la travée chargée l1v- 1, est égal a l'exces du tiers du carré de la longueur de cette travée, sur le produü des distances de ce foyer aux appuis de cette méme travée. Dans te second cas, le carré du rayon de gyration du train pa1· rap_port oo foyer de droite F"+2 de la travée chargée lk+2 , est égal a l'exces du liers d·u carré de la longueur de cette travée, sur le produit des distances de ce foyer aux appuis de cette méme travée.

Moments maximums négatifs sur les appuis et dans les sections avoisinante s , dans le cas ou les portées des travées de rives et des travées intermédiai res sont respectivement supérieures a 27"' ,97 et a 27 ,32. 111

71. - Le moment fléchissant négatif, maximum en valeur absolue, sur un appui quelconque Ak, a lieu (nº 4o) lorsque le train charge les deux travées lk et l"+1 • On ne sait pas d'avance si la téte du train doit faire face a gauche ou a droite, c'est-a-dire se trouver dans la-travée l" ou, au contraire, dans celle l"+ 1 ; il faut done chercher successivement le maximmri correspondant achacune de ces deux hypotheses, com-

•

-H3-

parer les deux résultats obtenus et conserver le plus grand en valeur absolue . . 72. - Considérons d'abord la premie re hypothese ( fig. 37). Admettons que, dans la positión clu train correspondant au moment maximum, il y ait, sur la travée tk, au moins les deux machines et leurs Eig .31. ~6.'l'OOO _ _ • . ~ . • • 1 6 :1.10 _ .• Jl

tZ ___ l.\.

J~ _

•• 16__ J;l . lll

A .i,.. ____ JS-'!'tn

...i.

•··· · · __ _lk

Y:k _ _ __ · ·- · ·-

--.--.. --. --\ +1 -

tendm·s, c'est-a-dire douze essieux ciu moins, de sorte que la travée lk+i· est exclusivement chargéc de wagons. On congoit que cette circonstance se produira toutes les fois que la travée lk sera suffisamment

grande; nous détermin~rons plus loin quel est le mínimum de longueur de la travée tk, au-dessus duquel il en sera toujours ain i. Auparavant, cherchons la condition analytique caractéri anL le . maximum qui nous occupe. , Remarquons, a cet effet, que le moment de flexion M, en Ak, esL la somme: 1 º Du momeni M' produit par les wagons chargeant la travée /k.,_ 11 , . ur la totalité de sa longueur ; 2° Du moment M" produit par les machines, tenders- et wagons s'il y a lieu - chargeant la travée lk. Pour déterminer M', on peut - ans erreur sensible - rempla- , cer les charges is9lée des rones de wagons, par une charge uni. . . . d e 4~ 1 333· par metre . . de f ormement repartie courant 00 poutre, puisque ces charges sont toutes de 4 000k par roue eL que leur écartement est constant et égal a 3m ,OO. Le moment M' ainsi Óbtenu est constant; il est indépendant de la position de la téle du train sur la travée lk, et du nombre do roues de wagons engagées sur cette travée. Par ~onséquent, le maximum de M' a lieu en ~eme temps que celui de M". Or, ainsi que nous l'avons dit au ujet de la recherche des droites-limites (nº 42), _si un systeme de charges agit exclusivement

ºººk = · 111

-114sur une seule travée lk de la poutre, les moments fléchi::;sants aux divers points de la travée lk-t-1 , et en particulier sur l'appui Ak, sont maximums simultanément, c'est-a-dire pour une méme positibn de ce systeme de charges. De plus, la condition définissant cette · position a été établie au nº 66 (équation 8) lorsque nous avons cherché les moments maximums négatifs entre les foyers ; elle est (i)

),2

.2 -

3[2k _

' ' ukv.-.

Dans cette relation, r est le rayon de gyration du systeme de charges autour de son centre de gravité G, systéme formé, ici, par les machines, tenders et wagons chargeant la travée lk; 11. 1 est la distance de ce centre de gravité au foyer de gauche F'k de la travée lk; enfin, u\ et v'k sont les distances de ce foyer aux appuis A,,_1 et Ak de cette méme travée. Telle est la condition caractérisant le maximum de M" et, par suite, celui de M. D'apres ce qui a été dit plus haut, elle n'est applicable qu'autant que la travée lk est suffisamment grande pour que, dans la position_ du maximum de M, il y ait sur ladite travée au moins les douze essieux des deux machines et des deux tenders. Déterminons done la valeur minimum que doit avoir lk pour qu'il en s_oit ainsi. Le Tableau des constantes du train-type (nº 61 et Pl.1) indique que, pour ce groupe de douze essieux, on a r2

= 72,541 O;

que, de plus, la zone qu'ils occupent est de 26m,000, d'axe en axe des essieux extremes; qu'enfin, la distance du centre rle gravité G de ce groupe, au premier essieu, est de 14m,2otL Pour que ·ces douze charges se trouvent toutes engagées sur la travée lk, il faut et il suffit, d'apres la figure, que les cleux inégalités suivantes soient satisfaites : (2) • {3)

> 26m ,000, A1 + 14m,2tm < v'k• lk

En éliminant i, 1 entre cette seconde inégalité et la condition (1) du maximum de M, et en remplagant r 2 par sa valeur numérique, il vien\

-110Posons

et, par suiLe, v',. - = 1-a.. lk

L'inégalité précédente devient alors, toutes réductions faites,

(;-(X)z

(4)

k -

x 14,255(1 -

a.¼+ 2í5,746

> o.

et a' désignant les valeur de lk qui annulent ce trinóme du second degré en lk, on a a

ª ¡' _ 14,255(1 -

Gt)

✓ 14,255 (1 2

Gt)2 -

270,746(;-- Gt) '

--o:

le signe+ du radical, correspondant a a et le sigue-, a a'. En mettant la quantité sous le radical, sous la forme d'un produit de deux facteurs binómes, il vient : a a'

= 14,255 X

oc ± ✓(0,411 - Gt)(0,232 .2 --Gt 3

oc) .

Or, pour des ponts d'un nombre quelconque de travée , dans lesquels le rapport de l'ouverture des travées intermédiaires á celle des travées derives est compris entre O, 7 et 1,3, c'est-a-dire dans tous les cas ordinaires de la pratique, les valeurs numériques du rapport a sont toujours comprises entre O et0,220. (Voir: Maurice Lévy. Statique graphique, 2° partie, tableau de la page 2o9.) Elles sont done toujours inférieures a 0,232; et la formule ci-d~ssus montre, des lors, que, dans ces conditions, a et a' sont toujours réels et positifs et, de plus, que a est plus grand que a'. Cela posé, on voit immédiatement que l'inégalité (4) est satisfaite, soit pour , soit pour

-116-

puisque, dans les limites O et 0,220, entre lesquelles a peut varier, le coefficient du premier terme de (4) est toujours positif. Mais la premiere de ces deux solutions est la seule a considérer, puisque, d'apres la nature méme de la question posée, c'est une limite inférieure de lk que nous devons trouver et non une limite supérieure. Finalement, l'inégalité a satisfaire est (5)

> 14,255 X

+ / (0,411 2

cz)(0,232 - cz)

3-oc Il faut maintenant distinguer, suivant qne lk est la travée de rive gauche ou bien une travée intermédiaire. Dans le premier cas, a est toujours nul, puisque u\ = O (nº 12); il vient, des lors, en effectuant et en faisant k = 1, puisqu'il s'agit de la travée de rive gauche, l1

> 27°1,97.

Dms le second, si 011 se reporte au tableau précité de l'ouvrage de M. Maurü~e Lévy, on voit que a est toujours compris entre 0,170 et 0,220. Or, il e1=.t facile de vérifier qu'entre ces limites, le second membre de (D) augmente quand a diminue; il atteint done sa plus grande vaJeur pour a= O, 170; en faisant cette substitution dans l'inégalité (o), il vient h

> 27m,32.

De l'analyse qui pré~ede, il résulte que, si ces deux dernieres inégalités ont lieu, il en est de méme de celle (3); et on voit immédiatement que celle (2) est également satisfaite. Par conséquent, la téte du train faisant face agauche, pour que, dans la position du maximum du moment fléchissant sur un appui quelconque Ak, il y ait, sur la travée lk, au moins les douze essieux des machines et tenders, il faut et il suffit que les ouvertures de la travée derive gauche et des travées intermédiaires soient i·espectivement supérieures a 27m,97 et a 27m,32. Si ces deux conditions sont remplies, la position du train correspondant au maximum est défiriie par la relation ('1).

73. - On arriverait a des conclusions en tout semblables, dans le cas ou la téte du train fait face a droite. Done finalement :

-117Dans les ponls oii, les portées des travées de rives et THÉOREME. des travées intermédiaires sont respeylivement supérieures a 27m,97 et a 27m,32, le moment fléchissant maximum négatif sur itn appui quelconque Ak, ainsi que dans les sections avoisinantes, a lieu dans l'un ou f'autre des deux cas suivants : 1° La tete du train-type f aisant face ii gauche, la travée lk supporte au moins les dou:::;e essieux des machines et tenders, tandis que la travée fk+t est exclusivement chargée de wagons. De plus, la posilion correspondan{ au maximum est définie par la relation

ou r désigne fe rayon de gyration du gro-upe de charges supporté par la travée lk, autour de son centre de gravité , et ). 1 la distance de ce centre de gravité au foyer de gauche de cette meme travée. 2° La tete du train-type faisant f ace ii droite, la travée lk+1 supporte au moins les dou::;e essieux des machines et tenders, tandis que la travée lk est exclusivement chargée de wagons. Deplus , la position correspondant au maximum est définie par la relation

ou r désigne le rayan de gyration du groupe de charges situé sur la travée lk+1 , autour de son centre d¿ gravité, et ).2 la distance de ce centre de gravité au foyer de droite de cette meme travée.

Pour des raisons d'ordre pratique, on est presque REMARQUE. toujours conduit a adopter, dans les ponts a poutres continues, des portées supérieures a 30 metres; le théoreme précédent est done d'une application tres générale.

Moments maximums positifs aux foyers .

74. - Considérons, par exemple, le foyer de droite Fk de la travée lk (fig. 38). Pour obtenir le moment maximum positif en ce point, il faut (nº 40) placer le train sur la travée lk exclusivement, de fagon que sa téte fasse face a l'appui de droite Ak; de plus (nº 65), ce maximum a lieu au moment ou une certaine roue P; du train se trouve

a l'aplomb de Fk;

enfin (nº 63) la -dérivée: ~oit

-118passer brusquement du positif au négatif, quand la charge P; passe de la gauche a la droite de F,,.

Fig.38 .

r.le

:X:.

-- - -- ---- ').. ___ _____ __

~-- --'4r ---

------------\------:--\,-j e '\\

'' \ª~

Calculons cette dérivée. Le train ne chargeant que la travée tk et sa tete faisant face droite, on a (formule (e') du nº 57) ,

(1)

Dans cette formule, II est le poids total du train, I son moment d'inertie par rapporta son centre de gravité G, et), l'abscisse de ce centre de gravité, rapportée- a l'appui Ak-t; ~p ª désigne la somme des charges appliquées a droite de Fk, somme qui change brusquement de valeur quand la charge P;franchit Fk; en.fin, y= fg(x) est l'équation de la courbe A,._1cak, dont le segment Ak,---1c appartient a la ligne d'influence relative a la section du foyer Fk. Or (nº 34), le cóté ªk-tª"' du diagramme des z correspondant a cette

-119section co1ncide avec la droite A1t-tfk, dont l'ordonnée Akfk est égale a AkF,. (*), c'est-a-dire a - v,.; son équation est, par suite, Vk ~==--:-X {A.

L'équation différentielle du second ordre de l'arc A,.__1cak e:;t, des lors (nº 22), (2)

d2 y ,1_2

u,;,;

6 l-;- z

= fa(x) = -

6v,.

= -za X. k

D'ou, en intégrant et en se rappelant (nº :)4) que l'arc A,.__1c de la ligne d'influence est tangent a l'axe des x au point Ak_1 , ,

(3)

fg(x)

= 3v,. l\ x2.

, D'autre part, de (2) on tire, en dérivant,

= 6vk.

¡;'(x)

(4)

l 3k

Remplagant x par ). dans ces deux dernieres relations et substituant dans (1), il vient dM d)..

= 3vk (In l

+ I) -

:EP . d '

ou, puisque I = Ilr2, dM

d)..

= 3v,. ()..2 + .2)rr /3,, ?

:EP

d•

.. l\ . ..2 La quantrte - est une constante que nous representerons par o ; 3Vk il vienL done, finalement, en divisant les deux membres de la relation précé~ente par II, (o)

1 dM IT

)._ 2

1· _

:EPd • I1

Cela posé, pour que le maximum de M ait bien lieu a l'instant ou c'est la charge P; considérée qui passe a l'aplomb du foyer F,., il faut (nº 63) que les deux inégalités dM > o d).

soient satisfaites : la premiere, lorsque la charge P1 est immédia(•> Dans la figure 38, ainsi d'ailleurs que dans toutes celles du présent chapitre, l'échelle des ordonnées est trois fois plus grande que calle des abscisses.

-120tement a gauche de Fk; la seconde, lorsqu'elle est immédiatement a droite. Ou bien, a cause de (5), (6)

~P,1

< A +r > o 2

quaud P; e1!t immédiatcmcnt a gaucbe de Fk, droile de Fk, )) P; ))

Telle est la double condition caractérisantle maximum positif du moment flécbissant au foyer de droite Fk d'une travée quelconque. On remarquera que, quand la roue P; passe de la gauche a la droite de Fk, la somme ~p d augmente brusquement d'une qoantité égale a P;; tous les autres termes des inégalités (6) restent, au contraire, constants. Si l'une de ces deux inégalités n'est pas satisfaite, la position considérée n'est pas celle du maximum, et il faut, des lors, déplacer le train. Dans quel sens? En d'autres termes, est- ce la roue P;- i ou, au contraire, celle P;+i qu'il faut amener a l'aplomb de Fk? Si c'est la premiere inégalité qui n'est pas réalisée, c'est la roue P;_1 qu'il faut amener en Fk. En effet, la formule tt5) montre immédiatement que, dans cette bypothese,

est négatif, ce qui

indique (nº 63) qu'il faut déplacer le train vers la gauche pour le rapprocher de la position du maximum positif cherché. Si c'est la seconde inégalité qui n'a pas lieu, c' est, au contraire, la roue P;+1 qu'il faut amener en Fk. Dans la nouvelle position donnée au train, si les deux inégalités (6) sont satisfaites, cette position est celle du maximum. Sinon, on devra continuer a déplacer le train dans le méme sens, jusqu'a ce qu'une autre roue soit parvenue en Fk, etc ..... ; corrélativement, on ajoutera ou retranchera, s'il y a lieu, des charges en queue du train (nº 40). Si, au lieu du foyer de droite, il s'agit du foyer de gauche F',,, le train doit encore cbarger exclusivement la travée lk, mais sa téte doit alors faire face a l'appui de gauche Ak-t ( fig. 39) ; le máximum se produit toujours lorsqu'une certaine charge P; passe a l'aplomb de Fio; et l'on établirait, comme précédemment, qu'il est caractérisé par la doubte condition . (7)

11P ~ Il

dans laquélle :'

> A' <

+r 0 12

•

quaud P; est immédiatemenl a·gauche de F~, droite de F~. >) » Pi

-121-

~p O est la somme des charges situées a gauche de F~, somme qui change brusquement de valeur quand P; passe d'un cóté a l'autre de F'k; ).' est la distaace du centre de gravité G du train a l'appui de droite Ak de la travée lk; lª .

.., ; · a'2 représente la quantité ,,u,k

- _)..'_ --- - --- - .

,,,-' e

----/~ , - ---- ------ . ..l¡¡ , ,,

,,,/

13 k-1

r 2 sont les carrés des r 2 et ).'2 Remarquons que ). 2 rayo ns de gyration du train, pris respecti vement par rapport al' appui de gauche Ak-t t3t par rapport a l'appui de droite A,. de la travée lk. D'auLre part, les quantités constantes o et o', données par les formules 7u. -

(8)

za = ___!i. 3Vk

8'2 -

l 3k

- 3u',:

sont des longueurs. Nous pouvons, des lors, énoncer sous la forme suivante, les diverses conditions dans lesquelles a lieu le moment maximum positif, soit au foyer de droite, soit au foyer de gauche.

-122Le moment fléchissant maximwn positif au foyer de THÉOREl'llE. droite Fk d'une travée quelconque l1t se produit lorsque le train charge exclusivement cette travée, la tete dudit train faisant face a l'appui de droite Ak, et a l'instant ou une certaine roue P; franchit le foyer Fk. De plus, a ce meme instant, SU1°Vant que P; est immédiatement agauche ou immédiatement a droite de Fk, le rapport de la somme des charges situées a droite de Fk au poids total du train est plus petit ou plus grand que le ra;pport du carré du rayon de gyration du train, autour de l'a;ppui de gauche Ak-1 , au carré de la longueur constante o. Le moment fléchissant maximum positif au foyer de gauche F'1t d'une travée quelconque lk se produit lorsque le train charge exclusivement cette travée, la téte dudit train f aisant face a l' appui de gauche A,._1, eta t'instant ouunecertaine roue P;{ranchit le foyer F'". De plus, a ce meme instant, suivant que P; est immédiatement a droite ou immédiatement a gauche de F'k, le rapport de la somme des chwl'ges situées agauche de F~ au poids total du train est plus petit ou plw; grand que le rapport du car.ré du rayon de gyration du train, autour de l' a;ppui de droite Ak, au carré de la longueu1· constante a'.

Moment fléchissant maximum positif au centre fixe.

76. - Le moment max.imum positif au centre fixe Ok de la iravée

t,. (fig. 40) se produit lorsque le train charge exclusivement cette travée, et

a l'instant ou

une certaine roue P; se trouve

de Ok (nº 65); de plus (nº 63) la dérivée

a l'aplomb

doit passer brusque-

ment du positif au négatif quand P; passe de la gauche a la droite de Ok. Enfin, on ne peut pas dire d'avance si la tete du train doit faire face a droite ou a gauche; en sorte qu'il faut déterminer le moment maximum dans chacune_de ces deux hypotheses, comparer les deux résultats ainsi obtenus et conserver le plus grand · des deux. 77. - Considél'ons d'abol'd le cas ou la tete du train /ait / ace droite ( fi,g. 40 ). On a (formule e· du nº 57) (1)

I ,,,

= IlfuCA) + 2 fo CA) -

~p ,1,

en désignant pal' "h l'abscisse du centre de gravité G du train, rap-

-123portée a l'appui de gauche A,._t comme origine des coordonnées, et en convenant de représenter par l'équation y = !~(x),

c:x,,.:JS.:;L__ _ _ _ _ __.,..__ _ _ _ __

0t,k

\ \

\ \ \

\ \ \ \ \

\ \ \ \

'l:l'k..l

f - - - - - - - - - - , ! ' f : - - - - - - -\ ' r - , - - - Zi'k \ \

\ \

\1 1

\ l'arc A,._tca" dont le segment A,._ 1c appartient a la ligne d'influence relative a la section du centre fixe Or (nº 35), le cóté ªk-tª" du diagramme des z correspondant a cette section passe par le póle S" et il est parallele a l'axe des x; son équation est par conséquent

º"·

= o~sk = -

skok;

-,- 124 -

et l'équation di:fférentielle du seconcl ordre de l'arc Ak-lc;ak est, des lors (nº 22), (2)

D'oú

=o;

r;'(x)

et la formule (1) se réduit, par suite, (1')

_! dM l1 d)...

= ( (),) _ 9

a ~pd lI '

en divisant les deU:x membres par rr. Cherchons, a présent, une expression simple de ('y(),) . L'équa-tion (2) donne, en intégrant deux fois, (3)

Les constantes d'intégration C et D se déterminent par la condition que l'arc Ak_1cak est issu de l'origine Ak-1 des coordonnées et que (nº 23) son ordonnée Ak_1ak est égale, en grandeur et en signe, a OkAk; on trouve ainsi : D= O

OkAk -

3Sk0k

Par suite, (3 ')

dy ¡-'( ) 6 SO dx= gx=p.· kk.x k

+ OkAk-l 3Skü,,' k

(4) en posant

(o) Cette expression de /\(),) est celle que nous avions en vue ; en la portant dans (1') il vient finalement · · (6)

1 dM

IT dA = lk -

~Pr.1

IT .

Cela posé, pour que le maximum de M ait bien lieu

a l'instant

-12,'.;-

oú c'esL la charge P; considérée qui passe faut (nº 63) que les deux inégaliLés

a l'aplomb

de Ok, il

dM>o

ci>: < ' soientsatisfaites: la premiere, lor queP; estimmédiatementagauche de Ok; la econde, lor que P; esL immédiatement a droite de Ok. Ou bien, a cau e de (6), ~P,1

(i )

rr > r,.

c¡uaud PJ t•~l immédialemcnl ¡, gauchc ele Ok, it droilc d )) P; J)

ºk·

Telle est la double condition, cl'ailleur tre simple, caraclériant le maximum du moment positif au centre fixe d'une travé quelconque. La longueur lk qui y figure e t une donnée, et les valeur de deux termes .SPa et I1 se lisent immédiatement dan le Tableau de constantes du train-t pe (nº 61 eL Pl. 1). Quant a la quantité ~, voici une on truction géométrique qui la détermine tres rapidement. Remarquons, a ~et effet, que i l'on considere), et~ comme de coordonnées courantes, l' équation ( ñ) représente une droite wk_,wk ( fig. 4 O) dont les ordonnée A1,:- 1wk- 1 et A,.w,., corre ponclant O et),= lk, ont pour expressions re pectivement aux abscisses

k-lwk-l

= o,.Ak - 3Skok

Akwk = 01tAk

+ 3Sk0k (*) ·

il esL done bien aisé de déterminer ce deux ordonnées au moyen du compa , et la droite wk_1wk ' nsuit. L'ordonnée Gn de cette droite, correspondant a 1 absci se), du centre de gravité G du train, est précisément la quantité ~ cherchée. Il y a lieu d'observer que la droite wk- 1w,. esL indépendante de 1s, c'est-a-dire de la po ition du train. Quand P; passe de la gauche it la J.roite de O,., la somme ~p augmente brusquement d'une quantité précisément égale a P;, tandis que les autres termes el s inégalités (7\ re Lent con tant . i l'une ele ce deux inégaliLé, n'e t pas atisfaite, la position con,idérée n'est pa celle du maximum et il fauL, des lors, déplacer le train. On verrait, comme au nº 74, qu si e est la premiére inégalité qui na pa li u, il faut déplacer le trai:c. vers (•) Dan la figure 40, les ordonnées du diagramme des .::; ont étó amplifié dan le rapport <¡ -:- 8; au contraire, cclle tle la d1·oite wA·-twk ne l'ont pa été; par uite dans ÜkAk + ,kÜk, ÜkAk - S¡.Ük l Akwk cetle figu1· 1 un a, en réalité, Ak-lW/,- 1

-126la gauche, de fagon a amener la roue Pi-t a l'aplomb de O,.,; si, au GOntraire, c'est la seconde inégalité qui n'est pas réalisée, c'est vers la droite qu'i) faut déplacer le train, jusqu'a ce que la roue Pi+L soit parvenue· en Ok. Si, pour la nouvelle position donnée au train, les deÚx inégalités (7) sont sati faite , cette position estcelle du maximum. Sinon, on continuera a déplacer le train, dans le méme sens, jusqu'a ce qu une autre roue parvienne en Ok, etc ... ; corrélativement on ajout.era ou on retranchera des charges en queue du train (nº 40).

78. -

I1 nous reste a dire quelques mots, du cas ou la tete du

train fait face

a gauche.

La double inégalité (7) caractérise encore le maximum du moment fléchissant en O,,. Mais, ici, la omme "'-'pd s'applique, non plus aux chnrges de téte du train, mais bien aux charges de queue; en sorte qu'elle n'est pas donnée directement par le Tableau des constantes du train-type (nº 61 et Pl. 1 ), et il faut la calculer par la formule }:;P<L

(8)

=U-

~P 9 ,

dont les deux termes du second membre figurent dans le Tableau en question. On peut éviter ce petit calcul entran formant, comme suit, les inégalités (7) : 1

a cause

(7'1

f <¡naud

SP,1 '> -1 _ 11 <

Pi cst immédiatc111e11l ;"i gaucbc de O,., Pi ,, i1 droilc de o,.,

de (8), et en posant l,, í:P r, > l[ <

~' <¡uand

= f,

P, cst immédiatcmenl ii gauchc de 0 1., P; » i1 droitc de Ok.

Daos cette inégalité, ~Pa et 11 sont donnés par une simvle lecture dans le Tableau des constantes du train-type et l,, est connu. Quantalaquantité r, pour la déterminer, il suffit de mener (fi,g.40) la parallale 'GS1;,- 1'GSk a l'axe des· x , a une distance de cet axe égale a l~ ; l'ordonnée nq de cette droite, correspondant au centre· de gravité G du train et mesurée a partir de wk_ 1t% est précisément égale ar; eneffet Gq=lk par construction, Gn= ~ d'apres ce qui a été dit pius haut; par suite, nq= Gq - Gn = l,. - ~. On verrait, comme précédemment, que si la premiere des

-127deux inégalités (7') n'est pas satisfaite quand la charge considérée P; passe au centre fixe, il faut déplacer le train vers la gauche; si, au contraire, c'est la secan.ele inégalité (7') qui n'a pas lieu, il faut déplacer le lrain vers la droite . Dans l'un et l'autre cas, on poursuivra ce déplacement jusqu'a ce qu'une nouvelle charge arrive en Ok et on vérifiera, encare au mayen du C'ritériun,,' (7'), si cette seconde position est, ou non, celle du maximum, etc . .. 79. - Il n'e l pas inutile, pour fixer le idées, de résumer dans un seul théoreme, les diverses conditions caractérisant le maximum du moment .fléchissant positif au centre fixe : THÉOREME. Le moment (léchissant maximum positif au centre fixe Ok d'une travée quelconque lk se produit lorsque le train charge exclusivement cette travée et a l'instant oú une certaine roue P; fran chit Ok. De plus, a cet instant , suivant que P; est immédiatement a . ¿)p d gauche ou immédiatement a droite de Ok• le rapport IT de la somme

des charges situées

a droite

de Ok, au poids total du train, e t plu petit

ou p lus grand que le rapport {,

désignant l'ordonnée corre :pondant

au centre de gravité du train, de la d ro1·te wk_ 1w,. (fig. 40) définie par ses ordo11nées Ak- iwk-t et Akw,, respectivement égales a OkAk - 3S,.Ok et a OkAk 3Skºk· Ce maximwn doit et re recherché dans les deux cas ou la tete du train fait face, soit al'appiú de droile k, soit a t'appui de gauche A,._,. le plus grand des deux résultats esl, bien entendu, le seul a conserver.

Moment maximum positif en une section quelconque, située dans une travée de rive, entre l'appui extreme et le foyer opposé.

80. -

Con idérons, pal' exemple, la travée de rive gauche l1

( fig. 4-1 ), et soit C la section considérée, iLu ée entre A0 et FP

Le moment fléchissanL maximum po iLif en C a lieu lorsque le Lrain charge exclusivement la trav ·e l1 et a l'insLanL ou une certaine roue P; trouve a l'aplomb de C (nº 60). De plu (nº 63), la · · · -d dM d oit · passer b rusquement d u po it1 . ·r au negaL1 ' ·r 1orsque d er1vee

P; passe de la gauche double inégalité (l)

dM d).

a la

'128 -

droite de C, ce qui s'exprime par la

quand Pi es! immédialcmeol agauche de C. a droite de C. » n P;

•------------ - 1\--------- -- ---ª ---- - - --- -l, .

'' --- V- 1. ----- >+-

- - -

_____ b _ --- - -

,e '' '

\,\ ''

'' '\

\ \

ª,

En:fin, en général, on ne peut pas dire d'avance si ia téte du train doit faire face a droite ou a gauche ; en sorte qu'il faut déterminer le moment maximum correspondant a chacune de ces deux h rpoilieses, comparer le.s résultats ainsi obtenus et conserver le plus grand. Cependant (nº 40) si la secLion C est voisine de Fu le maximum cherché a toujonrs lieu dans le cas ou la téte du train

-129 -

fait face a <lroite; au contraire, i elle est voisine de A 1 , il a lieu dans le cas inverse. Cela posé, que la tete du train fasse face a droite, comme dans la figure 41, ou, au contraire, a gauche, on a toujours (nº oí, formule e') (*) : (2)

en convenant de représenter par y= f'a(x),

l'équation de la courbe A 0cau a laquelle appartient le egment A 0c de la ligne d'influence relative a C, et par) l'abscisse du centre de gravité du train, rapporLée a l'origine A 0 des coordonnées. Proposons-nous de transfonner cette ex.pres ion, de maniere a la rendre indé.pendante de la ligne d'influence. Le cóté du diagramme de :; correspondant, dans la travée l1 a la ·ection C, e t (nº 17) une droite A 0 a. 1 dont l'ordonnée focale F 1~ 1 est égale ü - -V1a · I1

son équation est, par conséquent,

et l'équation di.fférentielle du econd ordre de la conrbe A0cal est, eles lor (nº 22), (3)

D'ou, (" (x)

( 4)

= _i

vL a .

l\ u1 l,

L'intégrat10n de (3) donne successivement dy

:i v

= fg(x)=2~-x 2 l 1 u, l 1 dx -

et y

Vi !!... x + Cx + D. = fix) = ~ l, l 3

1 iil

(•) Le formule (e) et (e') (nº 57 ) sont vraies, !'une et l'autre, quel que oit le ens dans lequel le train est ens-agé sur le ponl. C'est eulement pour la commodité des calculs numériques qu'il convient, comroe nous l'avons dit (n• 57), d'employer (e) quand la tete du train f it face a gauche et (e') quand elle foit f'ace a droilf? .

-130Les i;:onstantes d'intégration C et D se déterminent par la condi-tion que la courbe A 0 ca1 est issue de l'origine A 0 des coordonnées et que (nº 23) son ordonnée A1 a1 est égale a b. On trouve ainsi :

D= O et

ou, en remplagant

par on égal 1 - !::. ,

_lb

puisque u 1 Done,

+v = l 1

1•

a 2 ., ( ) _ 3 v-1 X / 9 X - -z21-u1 l1

(o)

La relation (2) peut maintenant s'écrire,

En remc1.rquanL que I

= IIr

1 -

--•

a cause de

(4) et

(ti) :

et en posant

(6) on a finalement

C'est l'expression que nous avions en vue. La double condition (1), caractérisant le maximum de M, devient, eles lors, (7'' :EPd < II . > J

U1 -

+A +

U¡

1·

[ 1

quand P; esl immédialemenl )) P; ))

Si on observe que :EPd II

=1_

:EPg, II

a gaucbe de e' a 4roile de c.

-131on peut aussi l'écrire sous la forme \7)

.;..¡p 9

n < U¡

_ ),• + 1 •2 {

quand P; esl immédiatrmenl a gaucbc de C, )) pj )) it droile de c.

Telles sont les condition que nous nous proposions d'établir. A.fin que les quantités ~pv et .:...Pd soient toujours données par une imple lecture dans le Tableau eles con tantes du train-type, on se servira de (7) quand la tete du train fera fare a gau~he el de í7') quand elle fera face a droite . Lorsque P; passe de la gauche a la droite de C, ~P 0 diminue brusquement d'une quantité précisément égale a P;, tandis qu'au contraire __.pd augmente de la méme quantité; quant aux autres termes de (7) et (1'), ils restent constants. Si l'une des deux inégalités exprimées, soit p::tr (7), soit par (7'), u'esL pas satisfaite, cela veut dirc que le maximum ne e produit pas quand Pi esL appliquée en C. On verrait, comme au nº 74, que, si c'est l'inégalité supérieure qui n'a pas lieu, il faut déplacer le train vers la gauche; si, au contraire, c'est l'inéo·alité inférieure qui n'est pas réalisée, il faut déplacer le Lrain ver· la clroite. On effectuera done un déplacement, dans le sens ain i indiqué, jusqu'a ce qu'une autre charge arrive a l'aplomb de C. On reconnaitra encore, soit au moyen des conditions (7), soit au moJ en de celles (7'), si cette nouvelle position corre pon d ou non au maximum, et 81 . - Les diverses circonstances caractérisant le maximum peuvent se résumer comme suit : THÉOREME. - Le moment (léchis ant rnaximwrn positir en une sectiun C arbitrairement choisie dans une travée derive l, (fig. 4'1), entre l'appui extreme A0 et le foyer opposé F,, se produit lorsgue le train charge exdusivement cette travée et a l'instant oit une certaine 1'0ue Pi fl'anehit cette section. De plus, a ce/ instant, suivant que P; est 'Ímmédiatement a gauche

ou immédiatement situées

a gauche

a droite de C, le rapport

~ii_

de la somme des charges

de C, au poids total du train, e t plus grand ou plus

petit que la di!férence entre le rapport ~ des distances de l'appui A0 ut

la se,;tion C et au foyer F 1 , et le rapport

).2

+{.•

,,.2

du carré du rayan de

- 132 gyration du train , aulour de A0 , au carré de la longueur constante

• lt j_ {= t V .; j v, ª U¡

Ce rnaximum doit, en général, étre recherché dans les deux cas oit la tete di¿ train fait face, soit a droite, soit agauche. Le plus grand des deux résultats est, bien entend11, le seul a conserver.

Le second paragraphe de cet énoncé traduit la double condition (7). On peut le remplacer par le suivant, qui traduit celle (7') : .De plits,

a cet

ou immédiatement situées

a droite

instant, suivanl que P; est immédiatement

a droite

de C, le rapport

de la somme des charges

de C, ai¿ poids total du train, est plus petit ou plus

ª des distances

grand que la somme du rapport u 1 t¿ 1

section C et

a gauche

a l'appui A0 ,

et du rapport ),

du foyer F1 a la

r du carré du rayon de

gyration du train autonr de A. 0 , au carré de la longueur constante { .

Tracé des lignes enveloppe~ des moments fléchissants . Méthode abrégée.

82. - Nous avons résumé au nº 48 la marche a: suivre pour la détermination des lignes enveloppes des moments fléchissants, et nous avons indiqué au nº 49 une méthode approximative, qui abrege notablement cette détermination, tout en présentant un degré d'exactitude largement suffisant pour le.s besoins de la pratique. La série des opérations a effectuer pour cet objet reste exactement la méme, quel que soit le procédé employé dans la recherche des moments maximums. La maniere de réaliser chacune d'ell es, seule, differe suivant qu'on utilise les moyens presque entierement graphiques du chapitre IU ou, au contraire, ceux semi-analytiques du chapitre IV. Il n'y a done pas lieu de revenir sur cette question. Nous nous bornerons a faire remarquer que l'application de la méthode abrégée du nº 49 est beaucoup facüitée par l'emploi des théoremes du présent chapitre. Comme on vient de le voir, ces théoremes permettent, en effet, de déterminer rapidement et

·!33 -

sans recourir aux Hgnes d'influence, les positions du train-type qui correspondent précisément aux divers moments maximums envisagés dans cette méthode, savoir : 1 º Moments maximums négatifs entre les foyers (nº 66), et momenls maximums positifs sur les appui et dans les sections avoisinantes (nº 70), moments dont les cliagrammes représentatifs sont les clroites-limites de premiere et de seconde espece; 2° Moments maximums positifs aux foyers (nº 74) et aux centres .fixes (nº 76) · 3° Moments maximums négatifs sur les appuis, pour les ponts dans lesquels les portées des travées ele rives et des travées intermédiaires sont respectivement supérieures a 27m ,97 et a 27 \32 (nº 71). 4° Moments maximums positifs dan deux sections G1 et C2 convenablement choisies dans chaque travée de rive, entre l'appui extreme et le foyer opposé (nº 80). __ rous pensons que, dans ces condüions, cette méthode abrégée résout, aussi simplement que pos ible et avec toute l'exactitude nécessaire, le probleme complexe posé par le Reglement ministériel du 29 aout 1891, en ce qui concerne les moments .fléchissants produits par le passage du Lrain-type sur les ponts en poutres continues. 1

CHAPITRE VI

LIGNES D'INFLUENCE DES EFFORTS TBANCHAl~TS. EFFORTS TRANCHANTS MAXIM MS PRODUITS PAR LE PAS AGE DU TRAIN-TYPE

Définition.

83. - La définition des ligues d'in.fluence des efforts tranchanLs est analogue a celle des ligues d'influence des moments fléchissants (nº 19). Soient: P une cbarge appliquée en un point E quelconque de la poutre continue A0A,. ((ig. 2; Pl. 3); T l'effort tranchanL qu'elle détermine dans une section C donnée (st:·) ; A une longueur consLante, arbitrairement choisie. Considérons la quan~ité

y=;

A; c'e t une lougueur. Portons-

la, en ordonnée, au point E, au-des ous ou au-des us de A0An, suivant que T est positif ou négatif. Le lieu de l'extrémité e de cette ordonnée, quand la charge P parcourt la poutre, e t la ligne d'influence de l'effort tranchant relative a la section C. Il est clair que T=P

en sorte que

f est le rapport purement numérique par lequel il

faut multiplier le poids mobile P, pour obtenir la valeur de l'effort tranchant produit par ce poids clans la section C, lorsque celui-ci est arrivé au pied de l'ordonnée y. (•) De méme que pour le moment íléchissant, daos l'évaluation de l'effort trancbant dans une section donnée, nous envisageoos les forces agissant a gauche de cette sectioo; de plus, oous coosidérons comme posilives les forces descendantes et comme négatives celles asceodan tes.

-13~ -

Des lors, si des charge quelconques P1 • • • P; ... Pn sont appliquées en des points Et ... E, ... En de la poutre, et si y 1 • • • y• ... y,. sont les ordonnées correspondantes de la ligne d'influence , l'effort tranchant T produit dans la section C, par ce sy teme de charges, est donné par la formule (1)

= A1 (P1Y1 ... + P;y; . . . + P,,yn) Théoréme iondamental.

84. - Considérons une travée l,. arbitrairement choisie. Sur l'ordonnée du foyer de gauche F\, portons (fig . .2, Pl. 3 ) , en grandeur et en signe, F ,kr ' k

(2)

AÍ Ak-f F' k Y,.

et, sur l'ordonnée du foyer de droite , (3)

F kr k

A = + F,.A,. -, t,.

Pou,· déterminer géom étriquem enl les deum points r\ et r,. ainsi définis, A il suffit évidemment de porter sur le verticales des appuis A kq1; A; puis, de tirer les droiles A1;_1qk et A"q"_1 , lesquelles et A,._iqk-i coupent respect1·vement les ordonnées de foy ers F' k, el F. . aua: points cherchés.

Des deux égalités ci-dessus, on déduit Fkrk

F',.r'k

FkAk F'kA,._,

Or, la relation de définition du centre fixe Ok est (nº 14, formule 1). O,.F,. F,.A,. Done

O,.F',.

F'.1:A1c-1

F..,r,.

O,.F,. º"F'k.

F',.r',.

Par conséquent, la droite r'"r" passe par le centre fixe 0.1:. Cela posé, soient 0:1;_1 et ª" les points ou ce/te droite prolongée rencontre le!.i verticales des appuis A1c-1 et A". Partant deª"' tra<¡0ns la ligne polygonale concave ª"ªk+t ... a:n_ 1A,. dont les so-mmets sont sur les verti-

-136 cales des appuis Ak, Ak+i ... A.,._i, A,., et dont les cotés successi/s passent par les foyers de droite eles travées lk+t ... l,.. Puis, partant de ªk-i, tracons la Ugne polygonale analogue a,,_1ak_2 ••. a 1A0 , dont les sornmets sont sur les ve,rticales eles appuis Ak-t, Ak_2 ••• Ai, A0 et dont les cótés successifs pas ent par les foyer de gauche des travées lk-i ... l1 •

Représentons par::;, les ordonnées du diagramme A0a, ... ª"--'ªk ainsi formé, que nous appellerons diagramme des::;. Le théoreme fondamental que nous avons en vue et dont on trouvera la démonstration dans notre Mémoire sur les Dé/ormations élastiques (§ 54) est le suivant : •.• cx,._1A,,

1, 11

la ligne d'in(luence ele l' effort tranchant, relative a une section C a1·bitrairement choisi·e dans lci travée lk, se cornpose dP- deux branches d'une courbe funi:culaire de distance polaire ~, et correspondant ii des (orces fictives verticales ;;dx:

appliquées a chaque élément dx de la poutre, et descendantes ou aseendantes suivant que z est positif ou négatif. L'une des branches CO?TPSpond ait segment de pouf.re A0C et passe par les points d'appui de ce segment; l'autre correspónd au segment CA,. et passe par les points d'appui de ce second segme11t (*).

Ce théoreme présente une analogie complete avec celui concernant les lignes d'influence des momenLs .tléchissants (nº 20). 11 est clair que cette analogie se poursuivra dans les procédé a employer pour con truire ces ligne . 80. - REMARQUE. - Si la section e, considérée est située dans une travée de rive, la construction du diagramme des ::; y relatif se simplifie légerement. Par exemple, s'il s'agit de la travée derive gauche l1 ( fig. 3; Pl. 3 ), le pointr\ se confond avec l'appui de gauche A 0 ; en effet, le (*) Cet énoncé différe légérement de celui de notre Mémoire précité. 11 traduit plus complétement, mais pour les poutres a section constante seulem ent, les équ~tions générsles du § 54 de ce Mémoire, et. f'n méme temps, il tient compte des propriétés qui font l'objet des théorémes II et lll du 55 de ce méme Mémoire. Ce théoréme fondamental a été étahli daos l'hypothése que la section C ronsidérée appartient a une travée intermédiaire; mais la proposiLion démooLrée, en renvoi, au n• 20 du présent l\1éµioire, l'étend immédiatement au cas ou ceLte section est si tuée dans une travée derive.

·J37 -

foyer de gauche F't se confond lui-méme avec cet appui, de sorte que dans ce cas, en vertu de la relation (2) du nº 84. Le point r'1 étant ainsi connu d'avance, on n'a a construire que le point r 1 ; ce qui se fait comme il a été dit plus haut (nº 84), d'une maniere générale, pour le point rk. De méme, s'il s'agit de la travée de rive droite ln, le poinL ,." se confond avec l'appui extreme A,., de sorte qu'on n'a á construire que le point r'n· Propriétés relatives aux lignes d'influence des efforts tranchants.

86. -

Consiclérons la branche de courbe funiculaire A0A1

•••

Ai+l, ... Ak_2 Ak_1c (fig.2; Pt. 3) qui consLitue la partie de laligne

d'influence située a gauche de la section C donnée, et prolongeons-la jusqu'a sa rencontre, en ak, avec la verticale de l'appui Ak, en utilisant

a cet effet

les forces fictives :::;dx :

i répartie

ur le

trongon CA~. On établirait, comme pour la ligne d'influence du moment fiéchissant (nº 22), que : Dans chaque travée, la co·urbe funiculaire précitée est un are de parabale cubique dont l'équation di/fere d'une travée a t'autre. les ares de paraboles cubiques correspondant a deux travées con éculi'l:es l¡_1 et l; se raccordent tangentiellement sur t'appui ; comm11n a ces deux travées.

87. - Proposons-nous de déterminer le point ak de l'arc de parabole cubique k_,cak correspondant a la travée /1;. On sait que, quand la charge mobile P est appliquée en un point quelconque d'abscisse x compri entre ,,_, et C, l'effort tranchant en C a ponr expr ssion 'f _ -

Mk-1 -

Mk lk

+ Px ,

Mk désignant les moments fléchissants corre pondant sur les appuis A,._1 et Ak, et l'abscisse x élant rapportée a l'appui A1;,- 1 comm origine.

Mk-t et

-138 -

L'équation de la partie Ak_1c de la ligue d'influence est done, en vertu de a définition méme (nº 83), M k-t -

Mk lk

A + Px X p'

ou M,._ 1 et M,. ont de fonctions de l'abscisse x. On démontrerait, comme au nº 23, que cette équation représente, non seulement la partie A,._ 1c de l'arc parabolique A.,._ 1ca,., mais bien cet are entier, quand on -y fait varier x de O al,.. Or, pour x = lk, les moments Mk-t et Mk sont évidemment nuls, puisque P est alors appliquée sur l'appui Ak. L'équation ci-dessus donne alors Si on prolongeait, de méme, la branche de courbe funiculairn A,. .•. A41 Akc', jusqu'a son intersection ªk-i avec la verticale de Ak-1, en utilisant a cet effet les forces ficti ves réparties sur le seg-

ment CA,._ 1, on établirait, de la méme maniere, que Ak- lªk-1

Par conséquent : Les protongements des deux branches de courbe (unicuiaire A0 ••• Ak_1c et A,,, . •. Akc', qui constituent la ligne d'in(luence de l'effort tranchant relative a une sectfon C d'une travée quelconque lk, rencontrent les verticales des lll[Jpuis Ak et A,.__1 , en des points a,. et a,._ 1 situés respectivement au-dessous et au-dessus de ces appuis, a une distance A .

Les deux courbes funiculaires Ak_1cak et Akc'a1r,-1 correspondenL aux mémes forces fictives, et elles ont méme distance polaire ~De plus, nous venons de voir que les distances verticales . ,._ 1a,._ 1 eL a1r,Ak de leurs extrémité homologues sont toute les deux égales aA. Il s'ensuit que ces deux courbes sont paralleles entre elles. 88 . - De la construction méme des courbe Ak_ 1cak et a,._1c'Ak, il résulte, en vertu du théoreme fondamental (nº 84), que si C1 (fig . 2, Pl. 3) désigne une section ai'bitrairement choisie dans la travée lk, et si c1 et e\ sont leB points desdites courbes situés sur l'ordonnée ' de C1 , la ligne d'influence de l'effort trancha11t relutive a cette section esl constituée par les deux courbes A0 • • • A,.__2Ak_ 1c1 et c' 1AkA4-1 ... A,, .

-1390n voiL, des lors, que les deux courbes A0 ••• Ak_2A1t-1ca1t eL ak_1c'AkA1<+1 ... A" fournissent les diverses lignes d'influence relati ves a, Loutes les sections ele la travée lk. Polygones des tangentes sur appuis.

89. - Aux deux courbes A0 ••• A;_1A; . .. A1<+2 k-1cak t a1<-1c'Ak Ak+t ... A" (fig . .2; Pl. 3) correspondent deux polygones de tangentes sur appuis, qui répondent a la m éme définition eL jouis ent des mémes propriétés que les polygones de méme nom considérés dans la détermination de lignes d influence des moments fléchissants (nºs M a 28). Nous nous bornerons done a énoncer les regles qui en découlent pour construire ces polygones. En ce qui concerne le polygone des tangentes sur appuis correspondant a la courbe Ao ... A,_¡A; ..• Ak-2 Ak-1Cak, cette regle esL la suivante : ak étant le pnint dont l'ordonnée Akcik est égale a A (nº 87), porte;;, a 7;artir de la droite A.k_ 1ak, sur les verticales tri.sectrices (gk) et (g' k), deux ordonnées GkHk et G' kH' k, respectivement égales aux ordonnées cor, respondantes gkyk et g',.y\ du diagramme des ;;;. Les points Hk et H',. a·insi obtenus sont les deux premiers sornmets du polygone des tangentes, et les droites akHk, HkH'ii, I-I'kAk- tHk- 1 rn sont des lors les trois premiers cotés, dont le trois ieme est limité a la verticale trisectrice (gk_1). Joignez ensuite Hk-t au (oyer de gauche F\_1 de la travée lk- 1· le segmenl H1t_J-I\_ 1 ele cette droite, compris entre les verticales tri ectrices (gk_ 1) et (g'k- 1), est le quatrieme coté du polygone des tangentes. Le cinquieme coté est la droite H\_ 1A,,_ 2Hk_2 joignant H'k-i a l'appui Ak_2 et prolongée j usqu' á la verticale lrisectrice (g "_2) . Continuez ainsi, de proche en proche, en faisant passer les cotés de 1·ang impair par les appuis et les prolongements des cotés de rang pair par les /'oyers de gauche des travées correspondan/es. Dans la travée derive gauche, le cóté de rang pair H1H' 1 et le cóté de rang impair H\A0 sonL en ligue droite, parce que le foyer de gauche esL confondu avec l'appui de gauche A. 0 •

Le polygone des langentes ak- 1H~HkH~+1Hk+i ... An corre pondant

a la. courbe ªk-lc' AkAk+t ... An se consLruira ele la méme maniere, en parlant du point défini par son ordonnée k- tªk-1 = - A et en cheminan t de gauche a droiLe, le foyers de clroite rempla~ant, ªk - l

du resLe, les foyers de gauche.

• ,,

- 140 Construction de la ligne d 'influence.

90. - Les deux pol gones des tangentes ur appuis étant tracés, la construction de la ligne d'influence de l'effort tranchant s'achevera de la méme maniere que s'il s'agissait de la ligne d'influence du moment fléchi ant (nº 29). En effet, dan chaque travée, l; par exernple, on con.nait (fig . 2 ; Pl . 3) : ·1º Le deu.'\. point extreme A;_ 1 et

; de l'arc de courbe funiculaire itué dan cette travée, et les tangentes A;_ 1H'; et A;H; en ces point ; 2° Le diagramme repr ·sentatif a ¡_ 1a ; des force fictives auxquelles correspond cette courbe funi culaire. On déterminera, des lors, par le procédé du nº 7 - 2°, autant de point ele cet are qu'on le désirera, ainsi que les tangente en ces point Il en e t exactement de méme pour le deux ares Ak_ 1cak et ak_11./ k situés dans la travée lk lesquels se construiront par le rnéme procédé. On remarquera que, d'ailleurs, ces deux ares étant paralleles (nº 87), apres avoir déterminé l'un d'eux, Ak_1ca,. par exernple, il su:ffira de le déplacer parallelement a l'axe des y, d'une quantité égale a - A, pour obtenir l'autre ak_1c'Ak. REGLE. En ré umé, les opération a effectuer pour con trnire les lignes d'intluence de l'effort tranchant, relatives aux diverses sections cl'une travée quelconque lk, sont le uivantes :

1° Tracé du diagramme des :; (nº 84) ; 2° Trar,é, du polygone des tangentes sur appu.is, pour cha.cune des deux branches de courbe A0 • • • A;_ 1A;... 1<.- 2Ak,-1cak et ak--1c'AkAlv-f--1• • • An (nº 89); 3° .Détermination dans chaque travée, par le procédé du nº 7 - 2°, d'autant de points de ce courbes et de tangentes qu'il est nécessaire pour les tracer aver. l' exactitude voulue. La ligne d'inlluence relative a une ection C1 quelconque <le la travée l,. se composera alors des d~ux courbes ain i contruites, limitées re pecti vement aux points c1 eL c'1 situés sur la verticale de cette section (nº 88) . La figure 3 de la planche 3 donne, a titre de renseignement, la ligne d'influence relative a nne section quelconque C situ ·e

--141dans la travée de rive gauche , ainsi que les deux polygones des tangentes sur appuis correspondant a cette ligne. 91. - PoINTS n'INFLEXION . - Les courbes A0 ••• A;_ 1A, ... Ak---2Ak-1cak et ak_1c'AkA k-f-1 • • • A" (fig. 2; Pl. 3) présentent un point d'inflexion dans chaque travée, sauf dans les tra ées derives. Ces point sont situés sur les verticales des points d'iutersection du diagrarnme des::; avec l'axe des x (nº 8). Ils sont ·donc : dans la travée lk, sur la verticale du centre .fixe; dans les travées précédcntes, sur les verticales des foyers de gauche; enfin, dans les travées suivantes, sur les verticales des foyers de droite. La construction de ces point d inflexion s'e:ffectuera comme il a été dit aunº 8 .

92. - VALEOR A ATTRIBUEll A LA CO;'\STANTE ARBITRAIRE A. - Par dé.finition (nº 83), les ordonnées de la ligne d'influence sont proportionnelles a la constante arbitraire \.. On devra choisir la valeur de cette constante de maniere que l'épure se présente bien. Une valeur exagérée de A donnerait eles courbes trop allongées en hauteur; une valeur trop faible conduirait a des courbes trop aplaties. En général, on obLiendra une épure satisfaisante en attribuant a la longueur A une valeur voisine de la moyenne des portées des travées . Dans les ponts a travées intermédiaires égales qui sont, du reste, les plus répandus, on ponrra faire \. égal a la portée comrnune de ces travées. Efforts tranchants maximums produits par le passage du train-type.

93 . - Un co up d'reil jeté su r la ligne d'influence de l'e:ffort tranchant, relative a une section C arbitrairement choisie dans une travée lk quelconque ((ig . .2; Pl . 3), nous montre que: 1° A droite de C, la ligne d'influence est située au-dessus de l'axe des x dans la zone CAk de la travée lk, puis alternativernent au-dessous et au-dessus de cet axe dans les travées suivantes lk-f-1, lk-t-2 • •• ;

2° gauche de C, la ligne d'influence est située au-des ous de l'axe des x clans la zone C k-t de la travée lk, puis alternativement au-clP-RRus et au-clessous clans les travées précédentes lk--i, •k-2 •• • ; 11

-142-

3• Enfi.n, les sinuo ités ainsi formée par la ligne d'influence, dans les travées autres que lk, sont de moins en moins accentuées, au fur et a me ure qu'on 'éloigne de la travée l,., oit vers la droite, soit vers la gauche. Dans ces condition on reconnait facilement que : A. - Pour produire l'effort tranchant négatif, ma.ximum en valeur absolue, dans la section C, il faut placer le train, soit sur le segment CA,. de la travée l,. soit sur la travée t,._ 1 • Dans le premier cas, la tete du train doit faire face a gauche et la queue etre limitée a l'appui A"· de plus, l'essieu de téte doit etre placé immédiatement a droite de C (*). La longueur et la position a donner au train sont done connues a pr_iori. Dans le second cas, la tete du train doit, au contraire, faire face 3, drmte et la queue etre limitée 3, l'appui Ak-2• La longueur et la position a donner au train ne sont pas connues a priori. Si la section C est voisine de l'appui A,._1, c'est le premier cas qui est le plus défavorable ; si, au contraire, elle est voisine de l'appui Ak, c'est le second. B. - Pour produire l'effort tranchant maximu,n positif dans la section C, il faut placer le train soit sur le segment Ak_1 C de la travée l,., soit sur la travée lk+i · Dans le premier cas, la tete du train doit faire face a droite et la queue etre limitée a l'appui Ak-i; de plus, l'essieu de tete doit etre placé immédiatement a gauche de C. La longueur et la position a donner au train sont done connues a priori. Dans le second cas, la tete du train doit faire face a gauche et la queue etre limitée a l'appui A 1vt-i• La longueur et la position du train ne sont pas connues a priori. Si la section C est voisine de l'appui Ak, e est le premier cas qui est le plus défavorable; si, au contraire, elle est voisine de A,._1, c'est le second. 94. - Nous venons de voir que la position du train est connue a priori, dans les deux cas ou celui-ci charge soit le segment CAk,

soit celui A1t_/..:. On a done alors seulement adéterminer la valeur de l'effort tranchant correspondant, au moyen de la formule (i)

1 T = A(P.,.:Eym+ Pt:Ey,+ Pw:EYw),

laquelle n'est qu'une autre forme de celle (1) du nº 83. (•) Ceci résulte de ce que les plus lourdes charges se trouvent en téte du train-type.

-143-

Pm, P, et P w désignent les poids respectifs des roues de machines, de tenders et de vagons, poids qui sont fixés a 7 000 k, 6 000 k et 4 000 k, pour la voie a l'écartement normal de 1m·,oo; '!:!m, y, et Yw sont les ordonnées de la ligne d'influence, mesurées sur l'épure, a l'aplomb des centres de ces différentes roues. Dans le but d'éviter d'avoir a lire sur l'épure toutes les ordonnées Ym, y, et Yw, lesquelles peuvent étre tres nombreuses, on peut aussi se servir de la formule

(2) II, I et K sont respectivement le poids total, le moment d'inertie et le moment du troisieme ordre du groupe de charges appliqué soit sur Ak_1C, soit sur CAk, par rapport a son centre de gravité; ces quantités s'obtiennent, en grancleur et en signe, par une simple lecture dans le Tableau des constantes du train-type (nº 6-1 et Pl. !). y est l'ordonnée GM (-fig. 2; Pl. 3) du point M de la ligne d'influence, situé sur la verticale du centre de gravité G du train. z est l'ordonnée GN de la droite ªk-tªk appartenant au diagramme des z. m est le coefficient angulaire de cette méme droite. Comme on le· voit, ces trois quantités y, ::; et m sont données immédiatement, en grandeur et en igne, par l'épure de la ligne d'influence. La formule (2) s'établit de la méme maniere que celle (C) du n° o7, dans laquelle on aurait remplacé la fonction f(">-) et ses dérivées, par leurs expressions (o:), (y) et (o) du nº o9; nous nous bornerons a cette indication sommaire pour ne pas répéter ici des caleuls semblables a ceux des n°s o4 et suivants.

9o. -Il nous reste a examiner les deux cas ou le train est placé sur l'une ou l'autre des tra vées l,._1 et lk+i. La position dudit train n' est plus connu a priori. Mais voici un théoreme qui dispense de la rechercher et permet, dans chacun de ces deux cas, d'obtenir immédiatement les efforts tranchants rnaximums correspondants, au rnoyen de certains moments fléchissants déterminés précédemment. THÉOREME. Si le train cha1·ge exclusivement soit la travée lk-t , soit celle lk+t, le moment {ldchissant et l' eff<Yrt tranchant dans toutes les sec-'

·144 -

tions de la travée lk sont maa:i'.munis simullanérnent, c'est-a-dire pour une rneme position du train. De plus, clans chacun de ces deux cas, l'effort tranchant maa:irnurn est constant dans toule ta. travée lk, et il a pour expression Mk-i..:....

T=----,

ou Mk-I et Mk désignent les moments fléchissants maa:imurns correspondants, sur les appitis Ak-I et Ak.

Pour une position quelconque du train, soit sur la travée l,._1, soit sur celle lk+i, l'effort tranchant dans toutes les sections de la travée lk a pour expression bien connue (1)

Mk-1-

T=----, lk

oú M,._1 et Mk désignent les moments fléchissants correspondants sur les appuis Ak-l et Ak. Si c'est' la travée lk-i qui est chargée, M,._1 est négatif et Mk positif. Si c'est la travée /1<+1, c'est l'inverse qui a lieu. Par suite, au signe pres, le numérateur de l'expression ('1) de T représente, dans l'un et l'autre de ces deux cas, la sornme des valeurs absohtes de M,._1 et de M,,. Si done ces valeurs absolues sont maximums simultanément, pour une certaine positión du train, soit sur lk_1 , soit sur lk+i, l'effort ' tranchant ·T sera également maximum, en valeur absolue , pour cette méme position du train. Or, c'est précisément ce qni a lieu. Nous avons vu, en effet, au nº 42, que si le train charge exclusivement, soit la travée lk- 1, soit e-elle l1<+ 1, les moments fléchissants aux divers points de la travée lk sont maximums en valeur absolue, pour une méme position du train. La premiere partie q.e la proposition est done établie. La seconde résulte immédiatement de la formule (1). Les valeurs des moments maximums sur appuis, correspondant aux deU,'{ cas de surcharge envisagés dans ce théoreme, sont connues. En effet (nº 4~), quand le train charge la travée l,._1 , ces ir.oments sont représentés ((ig . .2.2) par les ordonnées extremes Ak-tmk-I et A~nk de la droite-limite- de premiere espece mk-~n,,. Qnand il cha·rge la travée lk+ 1, ils sont représentés par les ordon-

- 140 nées extremes A,._1q,._1 et Akpk de l'autre droite-limite de premiere espece q,._tPk• Les valeurs T et T' des efforts tranchants maximums, correspondant respectivement a ces deux cas, s'ensuivent done par la formule (1). Celle T est négative et celle T' positivo, ainsi que cela ré ulte des signes de Mk-t ·et de ík. ~

-i

Fig. M!.

1i.-l 1-----+--__:~'"'"'""'"""'5.k_

'\....

- - -- - . -~1 - - - - -

------ - -1i,:;;-- -- - -.,

Si les ordonnées Ak-trk-t et Ak_1t"- 1 ( fig . 42) représentent re pectivement ces quantité , a une échelle convenablement choisie, les deux droi tes rk_1sk et tk_ 1uk, parallele a l'axe des x, sont les diagrammes repré entatifs des effort tranchants maximums, correspondant re pectivement a ces deux mémes cas. rous le~ appellerons droites-limite.s des efforts tranchants , par analogie avec les droites de méme nom, relatives aux moment fléchissant . Lignes enveloppes des efforts tranchants.

96 . -De ce qui précede résulle la regle uivante, pour la détermination des lignes enveloppe des efforts trancbants daos une travée quelconque lk : · ,/° Con truisez (fig. 42) les deux droites-limites rk- tsk et tk-tuk (nº 9o) . 2° Pour un certain no1nbre de seclions telles que C, déterminez, comme il est dit au nº 94, l effort tranchant négatif, maximum en valeur absolue, correspondant aii cas ou le train charge le segment CAk (nº 93, A), et l'ef!ort tranchant maan"mum positif', correspondant au cas oii le lrain charge le segment k-,C (nº 93, B). Por tez ces deux valeur , en ordonnées, suivant Co et Co', respectivement au-dessus et au-des ous de laxe des a;. Enfin, joignez par un trait continu, cl'une part, tous les points

-146tets' que 6, ce qui donne la courbe A,.661<-1 , et, d'autre part, tous les points tels que 6', ce qui donne la courbe Ak- t 6'd". Ces courbes coivpent respectivement les droites-limites rk-lsk et tk-tuk, en o~ et en Ek. Les deux contours mixtilignes bk_ 1oksk et tk-tEkdk sont les deux lignes enveloppes des efforts tranchants négatifs et positifs dans la travée lk. REMARQUES. -1 °Dans la détermination des lignes enveloppes des efforts tranchants dans une travée quelconque lk, on se sert seulement des deux ares de parabole cubique A1<-1ca,. et ak_1c' Ak ( fig. 2; Pl. 3) situés dans cette travée. On n'a done pas aconstruire les parties de ligne d'influence situées en dehors de cette méme travée. 2° Les deux courbes Ak6bk-t et Ak_1 6' dk ( fig. 42) ont généralement une allure réguliere; il suffit done, pour pouvoir les tracer avec une exactitude suffisante, d'en déterminer un petit nombre de points seulement. 3° Dans les travées de rives il n'y a qu'une seule droite-limite, savoir : t0u1 dans la travée de rive gauche l 0 et rn-1s,. dans celle de rive droite l". Ceci résulte immédiatement de la définition des droites-limites (nº 9D). Les deux lignes enveloppes des efforts tranchants étant tracées, aux ordonnées de chacune de ces lignes on ajoutera algébriquement les ordonnées correspondantes de la droite représentative des· efforts tranchants dus a la charge permanente seule. On obtiendra ainsi deux nouveaux polygones mixtilignes qui représenteront les limites extremes entre lesquelles pourront varier les efforts tranchants aux divers points de la travée lk. On pourra alors, au moyen de ces limites, déterminer les dimensions des barres de treillis de cette travée, en se servant, si on le juge nécessaire, des formules déduites des lois de Wcehler, dont l'emploi est conseillé dans les lnstructions ministérielles pour l'application du Reglement (article 2).

CHAPITRE VII

LIGNES D'INFLUE rcE DES FLECHES ET DES RÉACTIO rs DES APPUJS. FLECHES ET RÉACTIONS MAXIMUMS PRODUJTES ,PAR LE PASSAGE DU TRAI r-TYPE.

Indications préliminaires.

97. - Le Reglement du 29 aout ·1891 (article 7), prescrit de fournir a l'appui des projets, le calcul des fleches sous l'action » de la charge permanente et sous l'action de la surcharge )) . D'autre part, l'étude d'un pont métallique exige, comme. on le sait, la connaissance eles réactions maximurns exercées par le tablier sur ses appuis. Ces deux questions, au premier abord éLrangeres l'une a l'autre, sont, en réalité, étroitement liées entre elles au point ele vue théorique, et la seconde peut étre coosidérée comme nD corollaire de la prerniere. C'est ce rnotif qui nous a conduit a les réunir dans uD rnérne chapitre et a commencer l'exposé qui va suivre, par l'étude des fleches. Rien ne s'oppose, d'ailleurs, a ce que, dans les applications, on débute au contraire par la recherche des réactions des appuis. La détermination des fleches et des réactions produites par la charge permanente seule s'effectue par des procédés trop connus pour qu'il y ait lieu d'y revenir ici. ous ne nous occuperons done que de celles produites par le pas age du train-type. «

98. - Avant d'entrer dans le sujet, rappelons deux coDstructions connues : (A) Étant donnée une pnutre reposant sur deux appuis simples A. et

-148B (fig. 43), construire le · dfogramme représentati¡ des moments de (1,exion ¡i. développés dans cette poutre parfJtme charge P appliquée en un fig . ft.3 . point quelconque C, ·ou, plus exactement, le diagramme représentatif des A';;.-- -- - - - '1'-C_ __

_ _ _ _----:::-i

quantités ; ·

,.//\.

La regle est la suivante: ' ,c::::::::::::>''/---b·--\,'-'.::------Sur les vert1·cales descendantes des appuis, por·-. ~·::-.,. e tez Ac 1 = A C et Bc2 = CB. ~ Les droites Ac.¿ et Bc 1 se coupent en un point D, sur la verticale de C, et le contour ADB est le diagramme cherché. L

f de ce diagramme sont de ~

On remarquera que les ordonnées

longueurs et doivent con équemment étre lues a la méme échelle que les autres longueur entrant dans l'épure.

On peut, sj on le désire, amplifier l'échelle des

V. Veut-on,

par exemple, la tripler, il suffira, dans la construction précédente, de portú Ac 1 = 3 C et B~ 3GB , sans autre changement.

(B) il1eme problP-me, AB étant alors une travée quelconque A,,,_,Ak lk d'une poutre continue A A,. (fig. 44). 0

Yoici, dans ce cas la regle

a suivre (

1° Construisez, comrne il vient a etre dit, le diagramme représentati( A,._1DAk des moments (1,échisscints µ. que produirait la charge P, si la travée lk était indépendante d•¿ reste de la poutre et rep'Jsait librement sur ses appuis ; 2° Par le SJmmet D df'. ce diagramme, mene.:; une paraltele et A1;,-1 k' de maniere et fvrmer le rectangle Ak_,Akhkh,._,; 3° Par c.:e méme sommet, mene.:; des paralteles aux diagmales de ce reclangle jusqu'a leur rencontre, en sk-t et sk, avec les vel'ticales des appuis; 4° Tirez les droites A1c-,sk et Aks,._, qui coapent les verticales des oyers aux deua; points f' k et fk .

(•) ~fons reproduisrms ici. a pcu pres textuellement, l'énoncé donné por i\'I. Maurice Lévy, dans rnn traité de tatique grctphique, l[• partie, page 181.

-1495° Enfin, par ces deux points, menez la droite A'k- 1A:_1;.. Le contour A1;._1DA1;. rapporté a cette droite A'.k- 1A'k comme a;:ce des x , ( l' axe des y, restant toujours dirigé suivant la V€1'ticale descendan~e ), est le diagi-amme reJ!résentatif des moments fléchissants M produits par, la charge P daris la travée lk, ou, plus exactement, des quantités

~•

-------· _--. ck. /

.. ·í

Cit-, ----- - - - - - - - . -- -- -Q - - - - -

-- - ---- --ª - - - - ----- -

~-~->-'-.

·· Cic

Des lors, posant M -

~:;,

nous appellerons diagramme des::; le diagramme représenlatif qui vient d'étre dé.fini. On peut d.ire que les ::; sont les moments de flexion produits,' dans la travée lk de la poutre continue, par une charge égale a l'unité de poids, appliquée en C. 1° Aux poinLsJ'k eLJk situés sur le yerLicales des REMARQUES. intersections j',, et jk de A\_1A~ n.vec le diagramme des .::;, le moment de flexion est nul. Ce sont clone les points cl'inflexion de la

-H>O-

fibre moyenne de la travée lk, fléchie par un poids d'ailleurs quelconque appliqué en C. ~ les 2° Représentons, en grandeur et en signe, par - ~, et distances CJ'k et CJ" de ces points d'inflexion, au point C, et par{. l'ordonnée C'D du diagramme des z, correspondant au point C. Il est facile de vérifier que

~~,

l=~+f·

(1)

En effet, par D menons DL parallele a A',._1A~. La similitude des deux triangles C'Dj". et Lc1<_1D donne la relation Lc,._ {. - = - - 1, ~

.h,._1D

qui exprime que les bases {. et Lc"_ 1 de ces triangles sont proportionnelles aux hauteurs correspondantes ~ et h,._1D. De méme, dan les deux triangles semblables C'DJ\ et LAHD, on a {.

Ai.--1L

¡ = hk-tD_· En ajoutant ces deux relations membre quant que Ak- tL

a membre

et en remar-

+ Lck-1 = A,._1c~ = Ai.--1C = hk-1D,

par construction, il vient

{.(~ + i,) = 1 qui n'est qu'une autre forme de la proposée .

. Lighes d'influence des iléches.

99. - DÉFINITION. - Soient: P une charge agissant en un point E quelconque de la travée lk ( fig. 45); v la fleche qu'elle produit en un point C donné; I le momen,t d'inertie de la section de la poutre, par rapport a un axe horizontal situé dans le plan de cette section et passant par son centre de gravité ; E le coe:fficient d'élasticité longitudinale de la matiere consti' tuant l'arc.

-HH-

Considérons la quantité (:1)

C'est une longueur. En effet, le coefficient d'élasticité E peut étre considéré comme une force rapportée a l'unité ele surface (*); il est, par suite, du degré 1 par rapport aux forces et du degré - 2 par rapport aux longueurs; I est du degré 4 par rapport aux longueurs. Le numérateur 6EI est done d.u degré 1 par rapport Fig-.Tf.5

- ------ --- -- - 1ic- --- ------ aux forces et du degré 2 par rapport aux longueurs. Il en est évidemment de méme du dénominateur Pl\. La fraction ;~: est, conséquemment, un rapport purement numérique; y est done bien, comme v, une longueur. Portons ( fig. 45) y, en ordonnée, au point E, au-dessous de A1<-1A,,_, puisque v est évidemment toujours positif. Le lieu de l'extr-émité e de cette ordonnée, quand la charge P parcourt la travée l", est la ligne d'influence de la fleche au point C. De (1) il résulte que le _produit d'une ordonnée quelconque y

= Ee de la ligne d'influence,

par le coefficient numérique

!ir•

représente la valeur de la fleche produite au point C quand la charge mobile P passe au pied E de cette ordonnée. Des lors, si des charges quelconques P1 ••• Pi ... P,. sont appliquées en des points EJ ... E; ... E,.-de la travée l,,_, et si y1 ••• yi •.. y sont les orclonnées correspondantes de la ligne d'influence, la fleche v déterminée au point C, par ce systeme de charges, a pour · expression 11

(2)

¿2,,_

6EI (P1Y1 ..•

+ P¡yi .•. + PnYn) ~

(•) E[eclivement, E est, conventionnellement, l'effo1·t en kilogrammes qn'il faudrait exercer sur une barre d'un metre carré de section, pour en doubler la longueur, la matiere étant supposée indéfiniment élastique.

. -HS2Dans la définition, que nous ve.nons de 1donner, de la ligne d 1influence de la fleche en un point C arbitrairement choisi dans une travée quelconque lk, nous avons admis que le poids mobile P parcourt exclusivement cette travée l,,. Pour plus de généraliLé on pourrait supposer, comme nous l'avons fait pour les m,oments fl'échissants et les efforts tranchants, que ce poids se déplace sur toute l'étendue de la poutre. Mais ce serait sans utilité ponr la recherche de la fleche maximum produite en C par le passage du train..:.type, ce maximum ayant toujours lieu lorsque le train charge exclusivement la travée lk,.

Théoréme fondamental.

100.- Voici le théoreme fondamerrtal d'ou découleimmédiatement la construction de la ligne d'influence de la fleche : z désignant les ordonnées du diagramme représenlatif des moments flAchissanls produits dans une travée quelconque lk, d'une poutre continue, par un poids égal a l'unité, appliqué en un point C arbitrairement choisi (nº 9.8 - B): La ligne d'influence de la fleche au point C est une courbe funiculaire, de distance polaire ~' passant par les appuis de la travée lk et correspondant a des forces fictivPs verticales zd.,e:

appl-iquées achaque élément dx de ladite travée et descendantes ou aseendantes suivant que z rst pos?°tif ou négatif.

Pour établir cette proposition, remarquons qu'en vertu du príncipe de la réciprocité des dép\acements élastiques (*), la fleche v, produite au point C, par la charge mobile P parvenue en un point quelconque E de la travée lk, est égale a la fleche v1 que produirait, au point E, µn poi ds fixe égal a P et appliqué en C. E;n d'autres termes, si on consider~ la fibre moyenne de la travée lk, fléchie par. ce poids fixe auxiliaire, une ordonnée quelconque v1 de cette fibre fléchie est égale a la fleche v que lacharge mobile P produit au point C a l'instant º½ elle passe au pied i;J.e cette ordonnée. • ' ·

(*J Mémoir,e

les Déformat·ions élastiqiies, 1' partie. (Bulletin de la Société des Ingt\nieurs civils de Mars 1889.) ' '. ', 1 S'U,'T'

11 -153Conséquemment (nº 99), si on dilate dans le rapport

!!~ les

ordonnées de cette méme fibre fléchie, la courbe ainsi obtenue est précisément la ligne d'influence cherchée. Or, l'équation différentielle u.u second ordre de la fibre en question est, d'apres la théorie ele l'élasticité, d 2v 1 dx2

Pz M EI - - EI.

Celle de la ligne d'influénce est, par ·suite, (nº 09)

a cause

de (1)

(3)

C'esl précisément (nº 22) l'équation différentielle du second ordre d'une courbe funiculaire de distance polaire dant

a des forces fi~tives

J, correspon-

verticales ;:;dx : ~-

. La ligne d'influence cherchée et la · courbe funiculaire définie dans l'énoncé ont, des lors, méme équation différentielle du second ordre. De plus, elles ont en commun les cleux points d'appui Ak-t et Ak. · Ellés coi:ncident clone clans tou te leur étend ue ( ') ; ce qui dérnontre la proposition. Propriétés relatives aux lig-nes d'influence des fléches. 10'l. - Prenons comme axes de coordonnées l'horizontale Cx et la verticale Cy du point C (fig. 44). Les ordonnées z de la droite Ak_1 Dck, ,nesurées apartir de A'k_ 1A'k, ont pour expression

les notations étant celles du nº 98 (Remarque 2). Et l'on a, de méme, pour les ordonnées analogues de la droi.te AkDc,._1,

(•) On sait, en effet, qu'une courbe quelcooquc est complétemcnt définie par deux quelconques de ses points et par son équation dilférentielle du second ordre.

-i54Par conséquent, d'apres l'équation (3) du nº 100, l'équation différentielle du second ordre de la ligne d'influence est : Dans la partie de travée A,._1 C, 2

dy_ dx2 - -

(4)

6é'

z2,. if +1

) .'

et, dans la partie de travée CA,., (5)

Les seconds membres de ces équations différentielles sont linéaires. Done : Les deux ares A,._1c et cA,. de la ligne d'influence appartiennent a deux paraboles cubiques. Ces deux paraboles sont distinctes l'une de l'autre. Nous en représenterons respectivement les équatio-ns- par y

= fg{x)

= {d(x).

(Les indices g et d ont pour but d'indiquer que ces équations conviennent respectivement aux ares Ak_1c et cAk situés respecti- . vement a gauche et a droite de C.) La ligne d'influence Ak_1cAk, étant une courbe funiculaire de forces continues, ne présente aucun point anguleux. Par conséquent: Les deux ares de paraboles cubiques Ak_1c et cAk se raccordent tangentiellement en e sur la verticale de C. 102. - Au lieu de tracer seulement la partie A,._1c de la courbe y= fu(x), prolongeons cette courbe dans toute l'étendue de la travée lk1jusqu'a sa rencontre enakavec la verticale de l'appuiA,.. L'arc A,._1cak est une courbe funiculaire, de distance polaire ~, de forces

fictives zdx : ~, z désignant ici les ordonnées de la droite Ak-tc,., mesurées a partir de A',._1A'k• De méme, prolongeons l'arc Akc de la courbe y = /ix), jusqu'a sa rencontre en a,._1 avec la verticale de l'appui Ak-t• C'est une courbe funiculaire, de distance polaire ~, de forces .fictives zdx :

z dé-

signant ici les ordonnées de la droite Akc,._1 , mesurées a partir de A',._1A\ ..

,..

l i ¡

•

-155Cela fait, proposons-nous de former les expressions anal-ytiques des ordonnées Akak et Ak_1ak_1 , en vue d'en déduire une construction géométrique des points a,. et ªk-i• C et D désignant deux constantes d'intégration, les équations différentielles (4) et (o) donnent : Pour la courbe y = fy(x), :

(6)

(7)

= {o(x) = - ~~ (;;, + x + e),

= fg{x) = - ~2~

( :;,

+ ~ + Cx + D);

Et pour la courbe y = f/x), ( , -x• + X+ C) , - 2~ = - -6l = {d(X) -dy l dx

(8)

~2~ (-:;+~ +cx+n)2

y = fd(x)=-

(9)

Les constantes C et D sont les mémes dans les deux courbes, attendu qu'au point e, c'est-a-dire pour a:= O, ces deux courbes ont méme orclonnée et méme tangente (nº 101 ). Ces constantes se déterminent par les deux conditions que la courbe y= fg{x) passe en Ak-i et que celle y = f/x) passa en Ak; c'est-a-dire que et fd(b) = O f~(- a)= O

b désignant, en grandeur et en signe, les abscisses des - a et appuis A,._ 1 et A,. rapportées a l'origine C. On trouve ainsi : (10) (H)

D= ª:[3~/;: + b;)- t].

Les équations (7) et (9) des deux courbes y = fg{x) et y =fix) sont rnaintenant completement connues. a, et en tenant b et x En y faisant respectivement x compte, a la fin du calcul, de ce que (nº 98. Remarque 2)

~~,

{. = ~ + r'

156 -

on arriv'e, ñnalement, aux expres ion cberchée

suivantes de

ordonuée

(12) (13)

k-lªk-1

aª

t• . k

De l'expression (12) on déduit la regle que voici : Pour construire le point ak (fig. 44), ou la courbe k- 1cak rencontre la verticale de l'appui k, porte;:; ur cette verticale Akc'k = kC; par C, m,en&z une parallele a la droite Ak_1c'k, jusqu'a sa renconlre en dk avec la vertfrale de Ak; porte;:;, sur l'axe des x, Akcl\ Akdk; en/in, par d\, mene;:; une parallele a Ak_ 1c\. Cette parallel,e rencontre la verticale de Ak au point ak cherché.

La justification de cette regle résulte irp.médiatement d/3 la considération des triangles emblables A,._1Akc'k, CAkdk et d'kAkak. La constru'c tion anaiogue du point ªk-i, ou la courbe Akcak_4 rencontre la verticale de 1 appui Ak_ 1, est évidente; nous croyons done inutile Je l'énoncer.

Construction des lignes d 'influence des fleches.

103. - Considéron d'abord ( fig. 44) l'arc Ak_1cak de la courbe 1J fa(x), dont le segment Ak_ 1c appartient a la ligne d'influence de la fleche en C. _-ous en connais ons le points extremes A,._1 et ak (ce dernier, par la construction qui vient d'étre indiquée au nº 102) . De plus, nous savons (nº 100) que c'est une courbe funiculaire, de dis. lk , orrespon dant a. des forces :fictives verticales tance po1aire

_,_ : lk app . 1·1quees . tout 1e 1ong de 1a travée lk, z désignaut zu;,¡¡ les 2 ordonnées de la droite A,._ 1ck, mesurées a pn.etir de A\_1• \ . Le tracé de l'arc Ak_ 1cak est done ramené au probleme traité au nº 7; d'ou la regle suivante : Pour construire l'arc k- 1cak (fig. 46) C'') de la courbe y = . f 9(x) dont le segmmt Ak_ 1c appartient a la ligne d'influence: (•) Sur cette figu re, les ordonnées du diogramme des :; et de la ligue d'influence on t ampliliées daos le rapport q 4 (nº 104. - Remarque).

-H>7/º Portez sur les verticales trisectrices de la travée lk,

a partir de li

carde A,._1ak, et

GH=gy

G'H'=g'y',

G ,·

' '

E ' '

' '

,:-'\

'' .

'' '' ' '

r\ '. \ :

'' '

i •C.k.

gy et g'y' étant les ordonnées trisectrices de la droite Ak_1ck 1 mesurées 12

-H>8partir de A' ,._1A~. Les droites Ak-ta' et akH sont les tangentes a la courbe cherchée, en Ak-t et ak (nº 7 - 1º) . .2° Puis, pour obtenir un point quelconque d de la courbe A,._1cak, étant donné le pied E de l' ordonnée de ce point, menez cette ordonnée indéfinie, laquelle coupe en e la droite A\_1A\ et en f la droite A,._1ck; cherche::; (nº 6) les verticales des centres de gravité des deux trapezes convexe et concave efckA\ et efA,._ 1A',._1 , lesquelles rencontrent respectivement les tangentes extremes akH et A,._1H', en t et en t'. La droite tt' coupe l' ordonnée précitée au point d cherché, et elle est la tangente en ce point (nº 7 - 2°). La meme regle s'applique a la construction de l'arc ak_1cAk de la courbe y= fa.(x) dont le segment cAk appartient a la ligne if influence, en y remplacant, toutefois, les droites Ak_1ak et A,._1c¡. respectivement par Aka,._1 et Akck-1 • RE111ARQUE. 1° On pourra se borner a tracer les segments utiles A,._1 c et cAk des courbes Ak_1cak et ak-1cAk. ' 2° Ces deux ares présentent, respectivement, un point d'in.l:lexion · situé sur les verticales de j' k et de j,. (nº 8). 3° lis se raccordent tangentiellement en c (nº 101 ). !

104. - REGLE. - En résumé, la construction de la ligne d'influence Ak_1cAk de la fleche en un pojnt C d'une travée quelconque, comprend les opérations suivantes: / 0 Tracé du diagramme des z correspondant a ce point (nº 98 B). 2° Construction des points ak et a,._1 wppartenant aux deux courbes A,._1cak et a,._1cAk (n.0 102). 3° Détermination des tangentes a ces courbes en leurs poirJ,tS extremes A,._1 et ak, d'une part, a,._1 et Ak, d'autre part (nº 1.03 - 1º). 4° Construction d'autant de points des segments A,,_1c et cAk de la ligne d'influence et d'autant de tangentes qu'il est nécessaire pou,· pouvoir tracer cette ligne avec l'exactitude voulue (nº 103 - 2°).

Rm1ARQuE. Si l'on veut oblenir la ligne d'influence avec des ordonnées amplifiées dans un certain rapport q comparativement aux abscisses, il suffit d'apporter a la construction qui vient d'étre indiquée, les deux seules modifications suivantes : 1º Dans le tracé du diagramme des z (nº 98 - B), au lieu de porter A,._1c,._1 A'k--1C et Akck CAk; portez A1<-1ck-1 q X A,._1C et Akck = q X CAk ; 2° Dans la construction de~ points ak et a,._ 1 (nº 102), au .lieu de

-159-

porter Akc·k AkC et Ak_,.c·1.-1 CAk-1, portez Akc~ Vq X AkC et A,.c',._1= vq X CA,.___,.. Rien n'est changé dans les autres opérations. Le rapport q ~ 4 donne une amplification satisfaisante; de plus, il est d'un emploi facile, car alors ,J"q 2, nombre entier simple.

Fléches maximums produites par le passage du train-type.

105. - Soit a déterminer la fle che max.imum produite en un point C arbitrairement choi i dan la travée lk. Ce maximum a toujours lieu lorsque le train-type charge exclusivement la travée lk, car toute charge appliquée, soit sur lk-i, soit sur lk+i, déterminerait évidemment une diminution de la fleche. On ne sait pas d'avance si c'est a gauche ou a droite que la tete du train doit faire face, pour produire la plus g~ande fleche en C. 11 faudra done déterminer la fleche maximum correspondant a chacune de ces deux hypothe es ; le plus grand des deux résultats sera définitivement la fleche cherchée. Cette détermination pourra étre faite par le procédé général, indiqué au n° 40 relativement au moment fléchissant maximum produit, en une section donnée, par le passage du train-type. 11 n'y a pas lieu d'y insister. Ajoutons seulement que, dans ce procédé~ la formule a employer pour calculer les fleches corre pondant a\U diverses positions uccessives que l'on sera conduit a attribuei: a.u train (y compris, bien entendu, la position finale qui répond au max.imum cherché), est, en vertu de l'expres ion (2) du numéro 99,. (1)

P.,., P, et Pw désignent les poids respectifs des roues de machines, de tenders et de wagons ; Ym, y, et Yw sont les ordonnées de la ligne d'in.fluence, me urées sur l'épure, a l'aplomb des centre de ces différente roues. Ce procédé exige que l'on trace, en entier, la ligne d in:d.uence de la fleche au point C considéré et, ensuite, qu'on rele e sur l'épure toutes les ordonnées y.,., y, et Yw, lesquelles peuvent étre tres nombreuses. ous allons exposer une seconde méthode plus expéditive, qui nécessite seulement la construction de quelques

-160 -

point~,- ou mé1.rre d'.un seul point, des deux courbes y = /9 (x) et{ y= {a (x), et qui, en outre, supprime la ~ecture des ordonnée~ Yw, Yi et Yw· Autre méthode pour la détermination des fléches maximums.

106. - EXPRESSIONS NOUVELLES DE LA FLECHE. - Le train-type occu pant une position qqelconque sur la travée lk ( fig. 47), soient, d'une maniere générale, P l'une quelconque des charges de ce train et h son abscisse rapportée au point C pris pour origine des coordonnées. Afin de distinguer entre elles les charges appliquées a gauche €L a droite de C, nous affecterons la lettrc P, de !'indice g pour celles de gauche· et de !'indice d pour celles de droite. Les équations des ares Ak_1c·et cAk de la ligne d'influence de la fleche en C, rapportés aux axes de coordonnées Cx et Cy, étant respectivement (nº 101) y= (g(a:)

y= (a,(a:),

la fleche· produite par le train, en ce point d'é!.pres la formule (2) (nº 99),

e; a pour expression, ·

ou, en développant par la formule de Maclaurin les fonctions f(h) qui .sont du troisieme <legré (nº 101), (1)

l2 k

[

v= El f 9 (o)"r.P!!+f9 (o)"í:.Pgh + 6 . ' ' . +{a(~) "í:.Pa, ·+ ,~ (~) ~Pa,_h

2 fg(o)"í:.Pyli

,,,

+¡/g (o)"r.Pyli 3

+ ~ r: (o) "í:.Pdh + ~ r;' (o) "í:.Pdhª] • 2

Mais, entre {g (o), fd (o) et les dérivées correspondantes, il existe les relations suivantes : (2)

{d (o)

(3)

f~ (o) f~ (o)

(4) (5)

= fo (o) = f~ (o)

= r; (o) f~' (o) = f;' (o)+ l~

-161Les de"ux premieres expriment que les cieux ares .Á1v-1C et cA,. se raccordent tangentiellement en e, sur la verticale de C (nº 10i). La troisieme résulte de ce qu'en faisant x = O daos les seI

' ,

Fig .4-7

I I

I I I I

I I

,ª1t1

' '

A'lt

~. \ ,,·

\. 1

·~ . \

'· S.

conds membres des équations différentielles du second ordre (4) et (5) (nº 101) des ares Ak_1c et _cA..k, . on obtient et

,, 6é fd(o) = - - · /21<

-162. La•quatrieme se vérifie en différentiant ces mémes équations (4) et (5), puis en retranchant membre a membre les expressions ainsi obtenues de f"'g{x) et f'~(x) qui sont des constantes, et en tenant compte finalement de ce que, d'apres la formule 1 du nº 98 (Remarque 2),

Substituant ces valeurs de /io) ... /~'(o) dans l'expression (1) de v, il vient, en groupant convenablement les termes,

· Les quatr.e premieres sommes ~p ..• ~Ph 3 sont étendues a toutes les charges du train. ZP0 h3 ne comprend, comme précédemment, que les charges appliquées a droite de C. Soient maintenant : \ l'abscisse du centre de gravité G du train, rapportée a !'origine C des coordonnées; II la somme des charges du train ; I et K le moment d'inertie et le moment du troisieme ordre de ce systeme de charges, par rapport a son centre de gravité G. Par une transformation identique a celle effectuée sur la formule 12' du nº 55, l'expression précédente de v devient (A)

l 2k

[

r ,,

K ,,,

EI llfg(),)+ 2 f 9 (A)+ f 9 ().)+z2,.1lPah 3 6

]

•

Si, au lieu d'éliminer, dans (1), / 0(0) et les dérivées correspondantes, au moyen des relations (2) a (5), on élimine au contraire /g{o) et ses dérivées, on arrive, par la méme marche que précédemment, a une autre expression de v que voici :

De ces formules on déduit respectivement, par différentiation, (a) (a')

. -163¡

en remarquant, d'une part, que 'f"'(X) est une constante et, d'autre part, que dh rl°A, puisque, dans le mouvement du train, le déplacement de l'une quelconque de ses charges est le méme que celui de son centre de gravité .

107. - Telles sont les quatre formules que nous avions en vue. On se servira, soit de celles (A) et (a), soit, au contraire, de celles (A') et (a'), suivant que la téte du train fera face a droite ou agauche. Avant d'arriver a l'emplo1 de ces formules pour la recherche de la fleche maximum, indiquons comment se déterminent les valeurs numériques de leurs différents termes. Les quantités II, I, K, ~P,N, }JP,N, }JP9 h3 et }]Pgh2 sont immédiatement cl.onnées par le Tableau et la Table complémentaire des constantes du train-type tnºª 6'1 et 62 et Pl. 82 et 83). Ouant aux termes fa(,,) ... r;C>-) on montrerait, comme aunº 59, qu'ils ont pour expressions (a) fo(';,) = y,

(y)

/,;e>-) = a, ,, 6 f g(A)=- l-.z 2k '

(8)

,,, 6 fa (A) = -l-m. 2k

(~)

y est l'ordonnée GM du point de la courbe y - fg{°A), c'est-a-dire A,._1cak ( fig. 41), situé sur la verticale du centre de gravité G du train. o est le coefficient angulaire de la tangente a cette courbe, au méme point M. z est l'ordonnée du point N de la droite Ak-tck, situé sur la verticale du centre de gravité clu train, cette ordonnée étant mesurée a partir de A',,_1A\. m représente la valeur qu'aurait le coefficient angulaire de cette méme droite Ak__1ck rapportée a la droite A',._1A'k comme axe des x, si celle-ci était horizontale ; autrement dit, c'est, en grandeur et . A'kc,. en signe, le rapport J' A · k

Enfin les termes f,l>-) ... {;' (°A) sont aussi exprimés par les formules (a) ... (a), a la condition de remplacer dans ces formules, l'indice g par celui d et de convenir que y et o se rapportent a la

-164courbe y= (,1, (:.u), -c'est-a-dire ak-1cA,., -et que z etmsontrelatifs a la droite c,._1A,.. Dans cecas m est done égal, en grandeur et en •

•

signe, a -108 .. -

A',._ 1Ck- t

J ·

k-1 k

CoNDITION ANALYTIQUE DU MAXIMUM DE LA FLECHE. -

considération de la dérivée: permet de déterminer 1~ position du train-type, correspondant au maximum de la fleche au point C. La méthode a suivre est exactement celle que nous avons exposée au chapitre IV (nº 63) relativement au moment fléchissant maximum. Nous allons la rappeler brievement. Remarquons d'abord qu'ici le maximl].m cherché est toujours un maximum analytique (casa du nº 63), attendu que la dérivée ~~ reste toujoms co_ntinue', lors méme qu'une charge du train franchit le point C, ainsi que le montrent les expressions (a) et (a') du nº 106. Le maximum cherché est done caractérisé par la nullité de cette dérivée. Cela posé, on placera le tr<!,in sur la travée lk clans la position qui, au jugé, paraitra devoir répondre a ce maximum ; puis on ,

déterminera ,la valeur correspondante de d)-.' au moyen soit de la formule (a) soit de celle (a'), suivant que la tete du train fera face a droite - comme dans la figure 47 - ou, au contraire, a gauche . Si!~ est nul, c'est qu'on sera tombé fortuiteme~t sur_la position du maximum. Si~~ est positif, cela signifiera qu'il faudra dép_lacer le train dans le sens des :.u positifs, c'est-a-dire vers la droite, pour le rapprocher de la position du maximum. Si, en.fin;~~ est négatif, il faudra au contraire le déplacer vers la gauche. On effectuera, des lors, un petit déplacement du train, dans le . sens ainsi indiqué par le signe de

!~ •.

Puis, pour la nouvene· position choisie, .on déterminera encore lf valeur de!~, et ainsi de suitejusqu'a :ce qu'on c~tistate un chan-

-16~ gement de signe de cette dérivée. Les deux dernieres positions · considérées comprendront alors celle du maximurr¡.. Remarquons qu'afin de simplifier le calcul des valeurs succ.es~

de~~; recourir a la sives

c'est-a-dire ?ans le but d'éviter la nécessité

ci~

Table complémentaire des constantes du train-type pour l'obtention des quantités _,Pdh2 et ""'Puh2, entrant dans (a) et dans (a'), il conviendra d'envisager seulement les positions du train dans lesquelles . une charge se trouve précisément appliq_uée au point C. Dans ces conditions on arrivera toujours, sans difficulté, a constater que~~ changa de signe quand on place successiveme~t deux charges consécutives Pi et P1+1 a l'aplomb de C. Si, des lors, on . d ant a. ces deux pos1. dv repon · · d es1gne par lfi et ip1+1 les va1eurs d e d">tions, la regle de l'interpolation linéaire montre que cette dérivée sera sensiblement nulle, pour la position intermédiaire du train dans laquelle le point C divise la distance constante des deux charges Pi et P;+1 , daas le rapport de ip, aip1+1 • Cette position intermédiaire pourra étre considérée, avec une approximation bien suffisante, c·omme celle du máximum de .la fleche en C. On déterminera alors la valeur de ce maximum, par l'une ou l'autre des formules (A) et (A') suivant que la tete du train fera face a droite ou a gauche.

109, • -

AUTRES

dv , d)..

EXPRE SIONS DE LA DE~IVEE

L' emp101. de&

expressions (a) et (a') (nº 106) exige que, pour chacune des positions que l'on est coriduit a attribuer au train, on construise le point de l'une des deux courbes Ak_1cak ou ak_ 1cAk (fig. 41) situé , ' sur la verticale ·du centre de gravité dudit train. On peut éviter cette construction, en mettant les expressions clont il s'agit, sous une autre forme qui en abrege ainsi le calcul numérique. Voici comment: , . Commengon~ par celle (a). du G gravité de centre du l'abscisse ">), 41 fig. ( Soit, a cet e:ffet 1 train, rapportée, non plus au point C, mais bien au point J;,, t' comme origine, ,en sorte que 1

A= A1 .-W,

-166~· représentant la distance J~C conformément aux notations du nº 98, Rem. 2. Substituons dans (a) cette valeur de)... et développons la fonction {', du second degré, par la formule de Taylor; il vient, en remarquant que f"' est une constante :

Or, l'équation (6) du nº 102 donne

r;cw> = ,

r + e) =

- 6[ (z2,. 2

- 6[[ª - b t\

w_ i_(ª:- ~)], 6lk ~

en remplaQant la constante C par son expression (10) (nº 102). Les dérivées de cette équation (6) donnent, de méme,

r;c- ~') = rf

,,, g (-

, ~)

o, 6l'

= - zi

Si on s_u bstitue dans l'expression ci-dessus de

et si on y rem-

place I par sa valeur Ilr 2 , r 2 désignant le carré du rayon de gyration du train autour de son centre de gravité, on obtient

2El!~

= -f, II

~A\+ r

2- w[3~k(;:- ¡)-a+ b+ ~•]~+}JPdh2;

ou enfin . (a1)

en posant (b)

a l'expression (a') du nº 406

La méme transformation appliquée donne dv

2EIdA

en posant (b')

l' = + -II(A +r ~ 2

· 2 8 2)

:EPg h2 '

-167A2 désignant l'abscisse du centre de gravité du train rapportée, non plus au point J'k, mais bien au point Jk, comme origine.

Telles sont les nouvelles expressions de

~~ que

nous nous pro•

posions d'étab'lir. Elles paraitront, sans doute, d'une application plus simple que celles (a) et (a'). On remarquera que les quantités o\ et 022 ne dépendent que de la poutre et nullement du train ; elles ne seront done a calcular qu'une seule fois, quel que soit le nombre des positions qu'on sera conduit a donner successivement au train, avant de parvenir a celle du maximum.

110. - PosITION RIGOUREUSE DU TRAIN CORRESPONDANT AU MAXIMUM DE LA FLECHE. - L'interpolation finale, indiquée au nº '108, ne fait pas connaitre rigoureusement la position du train correspondant au maximum de la fleche; mais, avons-nous dit, l'approximation ainsi obtenue est bien suffisante pour les besoms de la pratique. Toutefois, on peut facilement, si on le désire, déterminer cette position en toute exactitude. Ce probleme se pose'ainsi: sachant que la dérivée

~~ prenddes

valeurs de signes contraires, suivant que c'est une certaine charge Pi ou bien la suivante P;+1 qui se trouve a l'aplomb du point C, déterminer la position intermédi3Jire du train. dans ladv quelle d). est nul (fiíJ. 48).

-------- - - ---- ,--- lk -- -----------------

Pour fixer les idées, supposons d'abord que la tete du train fasse face a droite, et soíent : · Ilc1 la somme 'des charges qui, dans la position du maximum,

-168-

·SO.rit situées 'a droite de e, c'est-a-dire la somníe de toutes les charges de téte du train jusques et ·,j compris celle Pi; . rd le rayon de gyration de ce systeme de charges autour de son centre de gravité Gd; • · . yla· distance de ce centre de gravité au centre de gravité G de !'ensemble du train. ' · · ' Ces trois ·quantités IId, ' rd et y sont immédiatement fournies par 'le' Tableau des constantes du train'-type. ' · .. D'apres la figure 48, la distance de Gd a C est CGd

= A1 + '{ - w. .

Par conséquent, d'apres une propriété bien connue eles moments d'inertie,

= IlttÍ?' d + (A1 + '{ -

~Pdh 2

W>2] • . •

. Substituant dans (a1) (nº 109) et ~nnÜlant

~~' on obtient l'équ~-

tion . {

-; II(:X\ + ~

o\)+ IIdlr 2d·+ (),1 .

+1 -

~') 2]

= o, ,

gui est la condition du maximum de v et ne contient, comme inconnue, que l'abscisse correspondan.te ).1 du c~ntre de gravité G du train. · La résolution de cette équation donne

✓o\ + w -

(1)

y)cr1 Il d

+ ?'d IIrf X ·W [ w

1-- x -

en posant

= W[31 lk (ª¡r -

bª)

(b)

cornme aunº 109, et, en outrn, (e)

= w-

]

(3 - a + ú + W , Ild W -xn é

Ild

1--x-

Ainsi, pour déterminer la position exacte :du ºtrain-ty'pe, corres..: pondant au 1maxiinum de la fleche au point C arbitrairement

-169choisi, dans le cas· ou la téte du train fait face a droite, · 011 calculera d'abord les valeurs de a1 et de 021 , par les formules (e) et (b); puis la formule (1) fera connaitre Í'abscisse ">- 1 du centre de gravité du train, rapportée au point J\ comme origine. Cette derniere formule donnera deux valeurs de ">- 1 ; qn verra immédiatement laquelle des deux convient a la question. Dans le cas ou la téte du train fait face a gauche (fig. 49) oh fj~(~9.

: lf

-~.~-

' '

.• C; 1

,.__. - -~ .. -

L,. _y .:. l. ... ... i ... .. _. . ·- ------ ·---- ··-" -1r--- ·- -----

'¡

. y

arrive, de la méme maniere que précédemment, mais en partant de l'expression (a' 1) (nº '109) de~~, a la formule suivante:

en posant ( &') '1

comme au n° 109, et, en outre, (e') •

•

est l'abscisse dÚ. centre de gravité G du train, corr_espondant a la position du maximum. Elle est rapportée au point Jt com~e origine, de sorte qu'elle est toujours négative. 11 0 est la somme des charges situées agauche de C, c'est-a-dire de toutes les ·charges de téte du train jusques et y compris celle P;\ ),

- 170 _;_

r9 est le rayon de gyration de ce systeme de charges par rapport a son centre de gravité G9 • y représente la distan.ce, en valeur absolue, de ce centre de gravité a celui G de !'ensemble du train (*). 111. - REMARQUE' - Voici,_ pour terminer, une remarque pratique . Nous pensons qu'on restera dans !'esprit du Reglement ministériel, en se bornant a déterminer la. fleche maximum pour un seul point convenablement choisi dans chaque travée, - celui du milieu par exemple. Les résultats qu'on obtiendra ainsi seront en nombre suffifisant, d'une part, pour donner une idée assez precise du degré de rigidité de la construction projetée, et, d'autre pai:t, pour permettre des comparaisons intéressantes avec les fleches qui seront constatées ultérieurement dans les épreuves.

On observera que si le point choisi pour la détermination de la fleche est le milieu de la travée, les formules (b) et (b') (nºs 109 et 11 O) se simplifient, car on a alors lk

a = b= •

Une seconde simplification a lieu dans ce cas, pour la travée centrale, dans les ponts symétriques a un nombre impair de travées. Effectivement, en méme temps que a = b, on a alors ~

= ~'.

I1 s'ensuit, d'abord, que les formules (b) et (b') (nºs 109 et 110) se réduisent a 8\

822 =

~'2

~2.

En outre, dans celles (1), (e), (1') et (e') du n° 110, on a simplement

(º ) Les mélhodes que nou s venons d'exposer, en ce qui concerne les poutres continues, poui: la construction des lig ues d'infiuence des Oeches el la détermination des fleches max1mums produites par le passage du train-type, s'appliquent imméd.iatement aux poutres ace une seule travée, reposant libreme.nt sur deux appuis simples. 11 suffit d'observer, daos cas : . 1• Que les ordonnées du diagramme des z doivent alors etre mesuréos a partir de l'hor1zontale des a pJ?uis et non plus a partir de la droite A'k- 1A'1< (no 98 et fig. 44). 2•. Que les J?Olnts J'k et Jk ((ig. 48 et 49), origines des abcisses :>., et ).2 du cent1•e rle .gl'avllé du tr~m, se confqndent avec les appuis el que, par suite, il fuut faire ~1 a et ~- b, dans les ~uations des n" 109 et 1101 ce qui les simplüie d'ailleurs. Rien n est change quant au reste.

-171-

ainsi qu'il résulte de l'expression (1) de é, donnée au nº 98 (Remarque 2). Lignes d'influence des réactions des appuis. 112. - DÉFINITION. - Considérons un appui arbitrairement choisi Ak ( fig. 50 ). Soient: P une charge appliquée en un point quelconque E de l'une ou l'autre des deux travées lk et lk-t1 contigues a l'appui considéré; - Vk la réaction correspondante de cet appui. Tant que le point d'application E de la charge P ne sort pas des travées lk et lk+t, cette réaction est toujours ascendante, c'est-adire négative d'apres nos conventions. Vk est done positif; _c'est la pression exercée sur l'appui Ak. Portons en ordonnée, au point E, au-dessous de l'axe des x, une longueur y= Ee représentant Vk a une échelle convenablement choisie. Le lieu du point e, quand la charge P parcourt les deux travées lk et lk+i, est la ligne d'influence de la réaction de l'appui Ak. Fig-.50. A

+·

........__.Ba!:'...L--10

____ l~i ___

_____ _lll:

__ -- \, .,.- ______ 1k!-, __

Remarquons qu'a l'instant ou P passe a l'aplomb de l'appui Ak, la réaction de cet appui est, en valeur absolue, précisément égale a P. Par conséquent, l'ordonnée correspondante AkB de la ligne d'influence, que nous désignerons par A, représente P a l'échelle adoptée. 11 s'ensuit que ou (1)

y vk = P-, A

quelle que soit d'ailleurs la position de la charge P dans l'une ou l'autre des travées lk et lk+t· '

-172-

On voit, des lors, que le quotient

i d'une ordonnée quelconque

y de la ligne d'influence, par celle A correspondant

a l'appui A,.,

est le rapport purement numérique par lequel il faut multi.plier le poids P, pour obtenir la valeur absolue de la réaction produite en Ak lorsque ce·poids arrive a l'aplomb de l'ordonnée y. Il s'ensuit que, pour une position quelconque du train-type sur les travées lk et lk-\-1 , la réaction - Vk en A,. est exprimée par la formule (2)

dans laquelle Pm, Pi, Pw sont les poids respectifs des roues de machines, de tenders et de wagons, et Ym, y,, Yw les ordonnées de la ligne d'influence situées sur -les verticales des centres de -ces roues. 113. - Voici une proposition tres simple qui résout immédiatement la question de la détermination des lignes d'influence des réactions· des appuis, ainsi que celle de la recherche des réactions maxirri.ums produites par le passage du train-type. La ligne d'infiuence de la réaction sur un appui quelconque Ak d'une poutre continue a n tra.vées ..• lk- i, lk, lk-1-1, lk-1-2 ••• (fig. oO), se confond avec la ligne d'in(luence de la fleche au point Ak de lk-1-1), lk-1-2 .. • ( fig. 51), la pou tre continue a (n - 1) travées .. . l1v-=-1 , ( lk obtenue m supprimant l'appui Ak de la poutre donnée. Considérons d'abord ( fig. 51) la ligne d'influence de la fleche au point Ak de la poutre a (n -1) travées ainsi définie, et soient : y l'ordonnée Ee de cette ligne, correspondant a un point E quelZk,f-,1), conque de la travée (lk : A l'ordonnée correspondant au point Ak de cette méme travée. D'apres ·la formule (1) du n.0 99, quand une charge P est appliquée au point E de la poutre a (n -1) travées considérée, la fleche v produite en Ak est lk-1-1) 2 P( lk THÉOREME. -

(3)

+ 6EI

De méme, quand P st appliquée au point Ak, la fleche v' produite en ce méme point est •4) '

. .

, ~ P(l,, v -

+ lk+i) oEC

•

-173Cela posé, revenons a la poutre donnée a n travées et supposons-la chargée par le méme poids P appliqué au méme point E que précédemment. On peut, sans changer l'état d'équilibre de cette poutre, supprimer l'appui A,, a condition d'y appliquer: une force -- V,. égale a la réaction dudit appui. La poutre ne comprend plus, des lors, que (n -1) travées; et, sous l'action simultanée des deux forces P appliquée en E et - Vk appliquée en A,., le point A,. ne prend aucun déplacement élastique. Par suite, en vertu du principe de la superposition des fig-.51.

-'i A_1i

A:i.n.

n! / -- - --~ ____ .ll{Ty

.._ ____ lk--c --- -- - --- ---<.li._-<: ~I )._

-- .

effets élastiques des forces, la somme algébrique des fleches que ces deux forces produiraient en ~ k , si elles agissaient isolément, est nulle. Or, d'une part, d'apres les notations adoptées précédemment, la fleche produite en A,. par la charge P appliquée en E est v. D'autre part, nous avons appelé v' la fleche que produit au point Ak un poids P appliqué en ce point; de sorte que la fleche produite par la force - V,., également appliquée en ce méme , point, est v'

-pvk. -On a done v' v-PV,. = 0.

D'ou V

V,.=P,, V

ou enfin,

a cause de

(3) et (4), y

V,,,=P-x.• 13 le

l,c

Ce qui signifie que le quotient

Ád'une ordonnée quelconque y

de la ljgne d influence de la fleche au point Ak de la poutre continue a (n - 1) travées ... lk-t, (l,. lk+t), lk+ 2 ••• , par l'ordonnée A de cette méme ligne, correspondant au point Ak, e t le rapport purement numérique par lequel il faut multiplier le poids P, pour obten.ir la valeur de la réaction Vk procluite sur l'appui A.,. de la poutre donnée u n trayée ... l,._1 , l", lk+i, l"+2 ••• , au moment ou la charge P pa se a l'aplomb de l'ordonnée y. La propo ition se trouve par la démontrée.

H4. - Cette proposition montre que les méthocles indiquées précédemment pour la construction de la ligne d'influence de la fleche et pour la détermination de la flech,e maxinlllm, s'appliquent immédiatement a la construction de la ligue d'inlluence de la réaction sur un appui quelconque, et a la détermination de la réaction max.imum sur cet appui. Pour passer des diver es formules données pour la recherche de la fleche maximum, a celles relatives a la détermination de la réaction maximum, il suffit de remplacer v par Vk, lk par (lk l.t+1) et, en outre, le terme

par

ainsi qu'il résulle de la com1Jaraison de la formule (1) du n.0 10~ et de la formule (2) du nº 112. 11~. - RmrA.RQUE. - On voit qu'ainsi que nous l'avions annoncé, la que tion de la détermination des réaction des appui n'est qu'un corollaire de celle de la détermination des fleches. 1 ous devons ajouter, toutefois, qu'on pourrait également déduire les lignes d'influence des réactions de appuis, de celles des efforts tranchants. oici comment : Soient, pour une position quelconque de la charge mobile P, - Vk la réaction de l'a.ppui A.,., Tk l'effort tranchant dans la section située immédiat.ement a -gauche de Ak, et T\ l'effort tranchant dans la section située immé<liatement a droite. On a T\=T,.-Vk

cJ'ou

-175 -

et, par suiLe,

Done: Les ordonnées de la ligne d'in(luence de la réaction sur · un appui quelconque A,., s'obtiennent par di!férence entre les ordonnées correspondantes des lignes d'infiuence des elforts tranchants Tk et T',. développés dans les sections situées respectivement agauche et a droite de cet appui.

Ce second procédé serait plus expéditif que la méthode directe, indiquée précédemment, si l'on avait du préalablement construire chacune des deux lignes d'influence des efforts tranchants T" et T\, dans toute l'étendue des deux travées lk et lkH• Or, il n'en est rien, puisque, pour déterminer les valeurs maximums prises par ces efforts tranchants au passage du train-type, il nous a suffi de construire la ligne d'influence de Tk, dans la travée lk, et celle de T'¡,, dans la travée lk+t (nº 96, Remarque 1°).

EXE I

LIGNES D'INFLUE CE DU MOMErT FLÉCHISSANT, RELATIVES AUX DIVERSES SECTIONS D'UNE MEME TRAVÉE

Nous allons montrer comment, apres avoir construit les lignes d'influence du moment fléchissant, relati;ves a1Lx appuis Ak-{ et Ak d'une travée quelconque lk, on peut en déduire assez facilement la ligne d'influence relative a une section quelconque C de cette travée. Cette maniere de procéder e t plus expéditive que la construction directe du nº 30, dans le ca ou l'on se propose de tracer les lignes d'influence pour un grand nombre de sections de la travée lk, et, surtout, i ce sections sont équidistante . Pour les parties de ligne d'influence situées en dehors de la tra ée lk, la q:uestion posée a déja été résolue au nº 36. rous n'y reviendrons pas. Occupons-nous done seulemenL de la partie de ligne d'influence Ak_1cA,. ( fig. 52) ituée daos la travée l,.; et considéron d'abord la courbe Ak_1cak a laquelle appartient le segment A,._1c de ceLte ligne. Soient: y l'ordonnée D d'un point quelconque d'abscisse x de la courbe A,._1cak ; yi;-1 et yk les ordonnées correspondantes DNk-t et D k des deux ligne d'influence Ak-11 k- tAk et kNkAk- •, respectivement relatives a.ux appuis A,._1 et Ak. En vertu de l'équation (3) du nº 23, on a Y

posons (f)

= -l Y1.-1 + -l Yk + -l a; ; Yk.-1

+ = X

'"'lk.-i ,

-177-

puis chassons le dénominateur commun lk et remplagons-le par son égal a b; il vient

(a+ b)y

ou a(]!k -

= b·'lk-t + ayk,

+ b(-r¡.1,H -

= O;

ou, en.fin, (2)

b Yk-y - y ==--· a

·'l.t-1

Cela posé, portons Akbk = lk et menons la droite A,._1bk inclinée, pa:r uite, a 45° sur l'axe de x. Puis, tragoru; la courbe A,._ 1vk-1b1c dont les ordonnées, mesurées a partir de A,._1bk, sont égales aux Fig. 52.

ordonnée correspondan.tes de la ligne d influence A,._1 1c-1 k relative a l'appui k-t; cette courbe k-t"k-tbk peut étre con idérée comme étant elle-méme la ligne d'influence relative a l'appui Ak-17 a la condition de la rapporter a la droite inclinée k-tbk comme axe des x, l'axe de,s y restant d'ailleurs vertical.

-178On a ainsi, par construction, D8k-t

et, par suite, en ajoutant terme Dvk-1 = x

a terme,

+ Y1v-1 =

'/Jk-1,

en vertu de (1). nen résulte, d'apres la figure, que ·t¡1v-1 - y

= Dvk-t -

= Nvk-!•

D'autre part, la figure donne également Yk - y

= DNk -

= DNk + ND = NNk,

La relation (2) peut done s'écrire NN1c Nv,._,

(3)

b a

' ce qui exprime que tout segment de verticale Nk'h-i, compris entre les courbes A,._,NkAk et A,._,..,k-ibk, est divisé par la courbe A1c_1ea1c en parties proportionnelles aux distances CAk et CA,._1 • Done : I. - La courbe parabolique A,._1ca,., dont le segment A,._1c appartient a la ligne d'infiuence relative a une section C arbitrairement choisie dans la travée l," est le lien des points dont les distances verticales a la ligne d'infiuence relative a l'appui Ak et a la ligne d'infiuence relative a l' appui Ak-t (cette derniere étant rappor tée a la droite A,._1b,. inclinée a 45° ), spnt entre elles comme les distances respectives de la section C aux appuis Ak et Ak-1• Une proposition semblable s'applique a la courbe Akca,._1 dont le segment Akc appartient a la ligne d'influence. Portons A,._1b1v-1 lk et menons la droite Akb,._t inclinée, par suite, a - M>º sur l'horizontale. Puis, rapportons a cette droite, comme nouvel axe des x, la ligne d'influence AkNkA,._ 1 re1ative a l'appui Ak, ce qui donne la courbe Akvkbk-t • On établirait, comme précédemment, que tout segment de verticale N,._1,,k, compris entre les deux courbes A,.N,._1A1v-1 et A,.,1kb1c-1, est divisé par la courbe Akca,._1 en deux parties proportionnel1es aux distances CA,._ 1 et CAk; c'est-a-dire que PN,._1 a -p b-. Done : Vk

II. -

La courb.e paraboliqiw A,.ca,._i, dont le segment Akc appar-

--179tient a la ligne~d'infl,uence relative a la sect·ion C, est le Ueu des points d<mt les distances verticales a la ligne d'infl,uence relative a l'appui A,._1 et a la ligne d'infl,uence relative a l'appui Ak (cette derniere étant rapportée a la droite Akbk-t inclinée a- 45°), sont entre elles comme les distances respectives de la section C aux appuis A,._1 et Ak.

Enfin, nous allons montrer que : III. - Les tangentes en trois points correspondants des trois courbes mentionnées dans l'une ou l'autre des propositions ci-dessus, se coupent en un meme point.

Ainsi, les tangentes aux points Nk, v,._1 et N concourent en un méme point (*). Pour l'établir, considérons les sécantes NkN\, vk_1,1' ,._ 1 et N' joignant trois couples de points correspondants. On a, en vertu de la relation générale (3), NN" N",._1

N'N'k N'"',._1

L'égalité des deux premiers rapports prouve que les trois sécantes considérées sont concourantes. Il en est de méme, par suite, des tangentes en Nk, vk-t et N, qui sont les limites de ces sécantes. Ces trois théoremes donnent immédiatement le :moyen de construire, dans la travée lk, par points et tangentes, la ligne d'influence relative a une section C quelconque de cette travée, connaissant les lignes d'influence relatives aux appuis Ak-t et Ak. Nous n'y insisterons pas. Voici toutefois une remarque utile. Supposons qu'on veuille tracer les ligues d'in.fluence relatives a n sections équidistantes 1, 2, 3 .. '., divisantla travée lk, enn 1 parties égales(fi.g. 53). Le théoreme I montre que, dan.s ce cas, les courbes analogues a A,._1cak, correspondant a ces sections, forment, avec les deux courbes Ak-1NkAk et Ak_1v,<-1bk, un faisceau de n 2 lignes équidistantes, l'équidistance étant mesurée verticalement. De méme le théoréme. II montre que les courbes anaiogues aAkca,._i, correspondant a ces mémes sections, for:ment aussi, avec les deux courbes A"N,._1Ak-t et Akvkb,._1, un faisceau de n 2 lignes équidistantes. Cette remarque facilite singulierement la construction des lignes d'influence relaíives aux n sections équidistantes considérées. C'est

(*) Pour ne pas compliquer la figure 52, ces tangentes n'ont pas été tracéei.

-180dans ce cas surtout que ce mode de détermination indirect des lignes d'influence est plus expéditif que la méthode directe du nº 30. fig.53. ·:)

·1

CAs n'uNE TRA VÉE DE RIVE. - Considérons, par exemple, la travée derive gauche l1 (fig 54) . La ligne d'influence dumoment fléchissant, relative a l'appui A 0 , se confond avec la droite des appuis, puisqu'en cet appui le moment fléchissant est toujours nul. Il en résulte que les propositions précédP.ntes se simpli.fient comme suit : I. -

La courbe parabolique A 0cai, dont le segment A 0c appartient ligne d'infiuence relative a une section C arbitrairement choisie dans la travée de rive l1 , est le lieu des points dont les distances verticales a la ligne d'influence A0N1Au relative al'appui A0 et a la droite 45°, sont entre elles comme les distances respectives A 0b1 inclinée a de la section C aw:r; appuis A1 et A0 (*). De plus, les tangentes en deux

a la

e•) En d'autres termes, les courbes A0ca1 et A0N1A, sont deux courbes bomologiques. L'axe commun d'bomologie est la droite A0 b,; Je centre d'homologie est a l'infini dans la direction de l'axe des y; enfin, le rapport d'homologie est égal ~ ~l,

-181-

points correspondants N et t des courbes A0ca1 et A0N1 A11 se cowpent sur la droite A0b1 ou sur son prolongement. Fig.5It. N

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II. - La courbe parabolique A1ca0 , dont le segment A1c appartierit ir la ligne d'influence relative a la section C, est le lieu des points dont les distances verticales a la droite des appuis A0A1 et a la ligne d'in-

fluence A 1'1 1 b0 relative a l' appui A 1 ( cette derniere élant rapportée a la droite A1b0 inclinée a - 45° ), sont entre elles comme les distances respectives de la section C aux appuis A0 et ~ (*). De plus, les tangentes en deux points correspondants P et '1 1 des deux courbes A1ca0 et A1'1 1 b0 se cowpent sur la droite des appuis.

Si l'on véut que les ordonnées des lignes d'inREMARQUE. fluence relatives aux di verses sections d'une travée quelconque lk, (•) Autrement dit, les courbes A,ca, et A,v,b, sont deux courbes homologi~ues. Leur axe commun d'homologie est la droite A,A,; leur centre d'homologie est il 1 inlini sur !'axe des y; enfin, leur rapport d'homologie est aussi égal

a ¡' 1

-182soient amplifiées dans un certain rapport q, il suffit évidemment d'amplifier, dans le meme rapport, les ordonnées des lignes d'influence relatives aux appuisAk-i etAk (fig. 52), ainsi que celles des A,.__1b,._1 lk, on droites A,.__1bk et Akb,._1; au lieu de porter Akbk Ak_1bk_1 q X lk. Ríen ne sera changé portera done A,.bk quant au reste.

ANNEXE II

PONTS EN POUTRES DROITES A UNE SEULE TRAVÉE

Emploi du Tableau des constantes du train-type, pour la détermination des moments fléchissants et des efforts tranchants maximums.

Le train-type franchissant le pont, machines en tete, dans le sens de gauche a droite ( fig. 55 ), MoMENTS FLÉCHISSANTS MAXIMUJ\1S. -

fig-.55.

:G-

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- - - - - - - - - - - - - - _ .R,_ _ - - - - - - - - ____ ..;_ __ - - - - - __

"b_ ____ - - - - . .

--------- -- --- ____________ l._ __ ·~-- - --- - ---·. -- ---- --

proposons-nous de déterminer la position de ce train qui correspond au moment fléchissant maximum dans une section C arbitrairement choisie, ainsi que la .valeur de ce maximum.

1'1

-183-

Soient: l la portée du pont, a et bles distances, en valeur absolue, de la section C aux appuis A et B. De plus, pour une position quelconque du train, désignons par P l'une quelconque des charges qui le composent; h son abscisse rapportée a l'appui de gauche A comme origine; et par Pa l'une quelconque des charges situées a droite de la section C. A cette position du train, correspond, au point C, un moment fléchissant M exprimé par la formule connue (1)

¡ ~Ph - };Pd(h - a).

Cela posé, si on représente par). l'abscissed'un point quelconque invariablement lié au train - son centre de gravité G par exemple - on a évidemment, pour un déplacement infiniment petit du train d). = dh.

Par cons.équent, en différentiant (1) par rapport a A, il vient dM

d'J..

= ¡; ~p -

~pd.

Cette formule montre : ~pd t . . ' .. ' . . dM 1º Que l a d envee d).. est posit1ve ou negat1ve smvan que ~p est plus petit ou plus grand que ~ ; et que, hormis le cas fortuit ou ~pd

b :EP =¿'

elle n'est jamais nulle 2° Que, tant qu'aucune charge ne franchit la section C, cette dérivée reste constante et que si, au contraire, une charge quelconque passe de la gauche a la droite de cette section, cette méme dérivée diminue brusquement d'une quantité précisément égale a cette charge. En se reportant a la discussion générale du numéro 63, on voit, des lors, que : (A). -

(2)

Si, pour une position arbitrairement attribuée au train, on a

-18til faut déplacer le train vers la droite, pour le rapprocher de la position du maximum. Si au contraire on a (3)

! 1

:EPª > ~. :EP

il faut le déplacer vers la gauche.

( B). - Le moment fiéchissant maa:imum dans la section C a lieu a l'instant ou. une certaine charge P; franchit cette section. De plus, a cet instant, suivant que Pi est immédiatement agauche ou immédiatement a droite de C, le rapport ';~ de la somme des charges situées a droite

de C, au poids total du train, est plus petit ou plus grand que le rapport

~ des

distances de l'appui de droite B a la section C et

a l'appui de

gauche A; c'est-a-dire qu'on a la double inégalité. :EPd < b quand p i est a gauche de e, :EP > f quand P; esta droile de C.

Ces deux propositions fournissent immédiatement le moyen de déterminer la position du train-type, correspondant au moment fléchissant maximum dans une section arbitrairement choisie. On opérera comme il a été dit au numéro 77 pour le moment fléchissant maximum au centre :fixe d'une travée quelconque d'une poutre continue (*). Les valeurs numériques de ~p d et de ·¿;p, répondant aux diverses positions successives que l'on sera conduit a attribuer au train, s'obtiendront par une simple lecture dans le Tableau des constantes du train-type (nº 6í et Pl. 1). La position du maximum une fois trouvée, la valeur de ce maxímum se calculera par la formule (1). On rremarquera que, dans cette formule, les · termes ~Ph et ~p a(h ....::... a) représentent respectivement: la somme des moments de toutes les charges du train, par ·rapport a l'appui A, et la somme des moments, par rapport a la section C, des charges situées a clroite de cette section; les valeurs numériques de ces deux termes seront done encore données par le Tableau des constantes clu train-type (n° 5 .61 et 62, exemple A). (*) On pourrait aussi employer le remarquabl e procédé grapbique déduit par Weyraucb, du tbéoreme B ci-dessus (Maurice Lévy, Statique gmphique, l" parlie). Mais il nous _parait plus simple d'opérer par le calcul, en. se servant du Tableau des constantes du lra.J.n-type.

1 1

-180Il n'y a pas lieu de s'arreter au cas ou la tete du train fait face a gauche. En effet, par raison de symétrie, le moment maximum produit dans une section quelconque C, par le trainfai·sant face a gauche, est égal au moment maximum produit dans la section e' symétrique de e, par le train faisant face a droite. Il s'ensuit que les deux courbes enveloppes des moments maximums produits successivement par le passage du train, sur le pont, dans le sens de gauche adroite, puis dans le sens de droite a gauche, sont symétriques l'une de l'autre par rapport a l'axe de la travée. On déduira done aisément la seconde de la premiere.

11.

1 1

: 1

EFFORTS TRANCH.A.NTS .MAXIMUMS. - Les positions du train-type, correspondant aux maximums positif et négatif de l'e:ffort tranchant en une section e 1 arbilrairement choisie, sont connues a priori. Le maximum positif a lieu lorsque, la tete du train faisant face a droite, l'e5sieu ele tete va arriver a l'aplomb de e 1 ((ig. 55). Le maximum, en valeur absolue, de l'effort tranchant négatif a lieu lorsque, la tete du train faisant face a gauche, l'essieu de tete va arriver a l'aplomb de eJ. eeci résulte, d'une parL, de ce que touLe charge appliquée sur la zone Ae 1 produit, en e 1 , un effort Lranchant positif, tandis que toute charge appliquée sur e 1B procluit, en Cu un effort tranchant négatif; et, d'autre part, ele ce que les plus lo urdes charges sont groupées en téte du train (*). Il suffit de rechercher les maximums positifs. En effet, par raison de symétrie, l'effort tranchant négatif, maximum en valeur absolue, produit en une section e, quelconque, est égal, au signe pres, a l'effort tranchant maximum positif produit dans la section e'1 symétrique de e 1 . Il s'ensuit que la courbe enveloppe des efforts tranchants négatifs est symétrique de celle de~ efforts tranchants positifs, par rapport au point milieu de la travée. eette seconde courbe se décluit done facilemenL de la premiere. Les notations restant les memes que précédemment, l'effort tranchant maximum positif dans la section e 1 ( fig. 55) a pour expression connue T - ~Ph_

(•) Pour plus de détails il ce sujet, voir notre Note su1· les ef{o1·ts tmnchants maa;imums produits par le passage du t1·ain-type, insérée 11u Bulletin de la Sociéte des lngénieurs civils de février 1892.

·186 -

Le numérateur de cette formule est encare donné par le Tableau des constantes du train-type. On voit, en résumé, cambien ce Tableau facilite la détermination des moments fléchissants et efforts tranchants maximums, produits dans une travée indépendante, par le passage du traintype .

........___..~ ~----------------------~ UlrRllilBRIB CHAIX, RUB UBROBRB, 20, VARIS. -

lo640-3-U3. -

(bm Lerlijeu1).

Pl·.1.

CALCUL DES PONTS ntETALLIOUES A TRAVEES CONTINUES

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EPh_ ª i

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J. •sdcs YMJi:ales des cenl.rcs de.,qraYJti de c!iayue¡roupe

10 ! fJist=descentzes de yav1te'ii. lbs1eu de tete __ 'º a_

,J a'º _¡¡u uern1er eSS1cu

Tableau des constantes du Lrain-type.

du9roupc

~2JTI=.!: P (,<;o:ne des poids dugroupe). _ 1

13 1

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l,es unite's adoplécs sonl le met.r. el la lonne

l \.- 1{

=±

4-P=I1, ~Ph..2e1, sn! tmvours pns1t1ves,c¡uelr¡ue s01t le sel!s dans leprnl le train e5t place sur le pon . 1 Au conlraire E Ph., E Ph3 et sonl suscepllbles du do uble si9ne zndu¡ué en lete des hgnes du lableau

tJs ¡r

!,es auanllles 7

le s19ne su_perreur

appfl(¡ue au ·as

_ dº mfeÍ'leur _ __

OIJ

la lote du lra/ll Íifl l Face

a. sa.uch.e

_ _ droile

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Echélle de q,m/m par metre

Soc1éLé des Ingénieurs Civtls.

A o-I:nr. L. corR ilER, 43. ,,:e ee Da~ite,:;ae, rans.

CALCUL DES PONTS METAL IQUES A TRAVEES CONl'INUES

Pl. 2 . 1

Dislmts it'mcoiotHe d,s poinll pris suecessin~-

TABLE COMPLÉMENTAIRE

pourongine

STA JTES DU TRAIN-TYPE

d,s

il ' placé sur le pont. lequel le train est Au conlraire, les quantités :EPh, :EPh' et leurs différences sont : i

négatives, lorsqoe la !lile du train fait face il gauche .. et, positives, lorsqoe la téte du train fait face a droite •

,rJl~;;~;~~~;~~¡~~~Í~~;tn~fu:-~ ~

;

Les chiffres soulignés se rapportent aux points d' pplica!ion des charges et fi gurent déja daos le tablean des constantes du train-type.

d,s

l:Ph

(i)

0,00 0,20 0,4-0 0,60 0,80 1,00 1.20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,20 4-,40 4,60

OIFFWNCES

t., :¡:

ahscisse& h (2)

º·º

1,42,8 4,2 5, 6 7,8 8,4 11 ,2

l:Ph' i

(3)

1,4

0,00 0,28 1,12 2,52 4,48 7,00 10 ,08 lt.,00 19,0., 25,20 32,48 40,88 50,40 61,3-2 73,9-2 88,20 104, lG 121,80 W , 12 162,40 185 ,92 211 ,68 239,68 269,92

2,8

4,2

5,6

DLFFÉRENCES

DIFF!RiXCJ

l:Ph' i

.ó. ,

:¡:

11,,0

16,8 19,6 22,4 25 2 29,4 33,6 37,8 42,0 &.6,2 50,4 56,0 61,6 67,2 72,8 78,4

.ó.,

-------------PRl!MIERES SECONDES

:¡:

(G)

(5 )

0,00 0,8.\. 1,1,0 1,96 2,52 3, 08 3, 92 5,0.\. 6, 16 7,28 8,40 1 9,52 J0,92 12,60 H ,28 15,96 17,6.\. 19, 32 21,28 23,52 2.>, i6 28,00 30,2t 1 32,48

:¡:

:¡: (3) ,_

(11

(2 )

4,80 5,00 5,20 5,40 5,60 5,80 6,00 6,20 6,40 6,60 6,80 .7,00 7.20 7,40 7,60 7,80 8,00 8,20 8, 40 8,60

8~,o 80,6 95, 2 101,8 107,4113,0 118,6 12,.,2 129,8 135,-" 141 ,0 H6,6 152,2 157,8 163,4 169,0 m,6 179 ,2 186, 0 192, 100 ,6 2()(i ,4 213,2 220,0 226, 233,6 2.\.0,,. 2,.7,2 2:'>,.,o 260, 26.\.,2 272 ,2 280 ,2 C) ,2 296,2 30.\., 2 312, 2 320, 2

de o m, 20 en o m,20

Les unités adoptées sont le metre et la tonne. La quantité :EPh2 et ses clifférences sont toujour, positives, quel que soit le sens daos

Dislaoc.e.s il'essieudelele despolo!J pris sneu:ssi,&menl ponrorigine

0,000 0,056 0,4-48 1,512 3,58,. 7,000 12,006 1!J, 264 29, 120 ,1.2 ,336 59,58',. 1,536 108,86.\. 1.\.2,206 1 2, 78.1. 231,336 288,960 3j6,66,. 4.'35,456 526,4-00 630,78,. 711),952 - ,248 1 038,016

.ó.,

:¡:

(7 )

(8)

0,000 0,392 1,061, 2,0i2 3,416 6,006 7, 168 9,856 13,216 17,248 21,952 2i,3-28 33,&32 40,488 48,552 57,62.1. 67, 70.\. 78,792 00,9.\.,. 10,.,38,. 119,168 135,206 152,768 171,58.I.

:EPh2 i

0,000 0,672 1,008 1,344 1,680

2,016 2,688 3,360 4,032 4-,70.\. 5,3i6 6,048 7,056 8,0{¼. 9,072 10,080 11 , 088 12, 006 13 ,UO 14-,78.1. 16, 128 17,472 18,816 20,160

8,80

9,00 9,.0 9, ,.0 9,60 9, O 10, 00 10, 20 J0, 4-0 10,60 10 ,70 10, 90 11 ,JO 11 ,30 11,50 11 , 70 11 ,90 12, 10 12, 30 12,50 12,70 12,90 ·13, 10 13,30 13,50 13,70 13,00 14, 10

14,ao

H,50 14-,70 14,90 15, 10 15,30

;) •1

5,6

6,8

, C)~

33ü,2 34', ,2 352,2 360,2 368,2 3i6,2 38.1.,2 392,2 400,2 408,2 416,2 42,.,2 432,2 4!,0,2 ll-8, 2

9,4-

FJl&REXCES

.ó.,

(4)

(5)

111,duts h

, donnant les valeurs de ~Ph, ~Ph et ~Ph i i i et les tenmachines les par sur la longueur occupée ders. 11 3

:EPh

ment

DES

DIFJ1f.REXC~

302,40 337, 12 3i4-,08 413,28 45,.,72 498,40 W.,32 50-2, -1-8 6!..2,88 695,52 750,io 807,52 66, !J-28, 1-8 992,32 1 058 ,IO 1 12{), 72 1 197,28 1 2i0 ,32 t 3W,08 1 ,2,.,56 1 505, 76 1 589,68 1 676,32 l 76.>,68 L 857,76 1 952,56 2 050,08 2 150,32 2 253,28 2 305,78 2 4-13 ,06 -2 523,6,. 2 637,22 2 75~, LO 2 874,1 2 907,W 3 123,0,. 3 25-3,62 3 386,50 3 :i22,58 3 GGl,86 3 0,,3,. a 950,02 ',. 098,90 4 250,98 4- 406,26 4 56.,.,74t, 726,t,2 1. 891,30 5 059,38 5 230,66 5 !05,H 5 582,82

3.1.,72 36,06 39,20 41,4-4 43,68 45,92 48, 16 50,,.0 52,6,. 5,.,88 57, 12 59,36 61,60 63, ,..

66,08 68,3-2 70,56 73,0l75,76 78, "8 1,20 83,02 86,6,. 80,36 92,08 9.\.,80 97,52 '100,2', 102,96 52,50 IOi ,28 110, IB 113 ,(iS

l lG, 120,0 123,28 126, 1 129,68 132, 136,08 •J39,28 14-2,48 H5,68 148, 152,08 155,28 lf>S,48 161,68

m,ss 168,08 171,28 J7t,48 17i,68 181,16

-----------DIFFÉRENCES

:EPh• i

PREMIERP.S SECONDES

:¡: (6)

1 209,600 1 401,3',,4 1 614,592 1 850,tiSS 2 ub,9i6 2 306,800 2 709,50.',. 3 050,432 3 420,928 3 822,336 4- 256,000 '.. 723,26'.

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2 239,700 2 326,148 2 41/,, 516 2 504,80.I. 2 59¡ ,012 2 691, 1-tO 2 787, 1 2 885, 156 2 985,0.\.~ 3 086,852 3 190,580 3 296,228 3 t.03,852

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15,50 15, 70 15,00 16, 10 16,30 16,50 16, 70 lG, 90 17,LO 17,30 17,50 17 ,iO 17, 90

l , 10 18,30 18,50

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DIFFÉRENCES

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DIJFÍ.RUCES

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Distanca tl'wico dettt, d,spoio!J pris sucusshe-

( 6)

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5 763 ,98 5 918 ,00 6 13i , 58 6 330,02 6 526,22 6 i26, 18 6 o;l{) , 18 7 1 , 50 7 351, 1.;. 7 568, 10 7 789 ,38 8 01,.,!)8 215, 18 , 26 8 720, 22 8 9(',5,06 9 21,.,78 9 «i9,38 O 729 , 1,. 9 O!l.', ,3,. 10 2 ~. 98 10 f»l ,06 10 822, f>S 11 109 ,5,. ll 401,9', 11 609 , i8 12 003,06 12 311, 7 12 6:!.'i,Ot. 12 9~. 5.~ 13 2;0,13 6()1 ,06 13 936,9 H 27 ,3',. H 6t;, 14 1,. 977 ,~ 15 335.06 15 6 , ( 16 006 , 7,. 16 .U0 ,7.\. 1G R20 , IS 17 205, 30 17 5!16 ,3, 17 9P3 ,30 1 300 , 1 1 S(l~.98 19 :H9, iO 19 6 ,0,3,. 20 {)(i6,90 20 ..\.09 ,38 20 9:17,7 21 382, 10 21 J2 ,3,. 22 Oó9 ,68

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112,080 114,336 116 ,592 118, 1-8 121 , 10,. 123, 696 126,288 128,880 131 , ,.72 131, ,061, 136,656 139, 58', 142,512 145,I-IO

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Société des lngénieurs Civils.

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CALCUL DES PONTS MtTALLIOUES A TRAVtES CONTINUES --,

Fig.1. (Les ordonnees sont a p11fiéesJ dans Je rapport, 3,pour ]es tra:vees lk.)ket 11m · l dº d~ lZ1-pour les autres travées.) et.,•

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ordonnées sont amplifiées dans l réIJlport3 )

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Soc1élé des lngénieurs C1vils.

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