Instrucción sobre la estabilidad de las construcciones by FUNDACIÓN JUANELO TURRIANO

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FUND CUJi JU1 l;fUJ TURPJANO BIBLIOTECA

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ESTABILIDAD DE LAS CONSTRUCCIONES.

ÍNDICE. Pá~s.

Prólogó del traduelor. CAPíTULO' 1.-=-Determinaeion gráfi,ca del empuje y la resistencia de lás tierras.•.. : ... .. ......... .. ............. . . .... .. ...•• .. .. , . . 1 C.üíTuLo 11.-Simplificacion de las constrúcciones gráficas dei empuje, la 17 resisten_cia y sus . momentos en cie'rtas hipóttlsis...................·. CAPÍTULO IIl.-De las sobrecargas . ." .•.. : ..•..... .. ..•............. ·.. 21 Cuí'l'ULO IV.-Estabilidad de los cimientos de los muros de sostenimiento. 35 CuíTULO V.-~qdilibrjo de las bóvedas en caiion . •........•... .. . '... i3 CuiTur.o VL-Determinacion gráfica del empuje y resistencia de una · 51··. bóveda." ...... .'. • . . . . . .•.. . ......•....•..•.•........•....• : . . CAPíTULO VIL-Estabilidad de las bóvedas en canon .. ·. . . . . . . . . . . . . . . . 6!) CAPÍTULO VIIl.-Bóvedas compuestas y esféricas. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . • 7!) _N OTAS DEL TRADUCTOR.

81 NoT~ J. -Coeficiente de estabilidad de los muros..... ... . . . . . •• ....• . NpTA 11.-Trasformacion de perfiles .......•......... . • ... .. : . . ....• . 10.1 Nou 111.-Teoría de los contrafuertes ............•.•........... ; • .. 105 NoTA. IV.-PerfiJ de sostenimiento mas económico .. : ..... . ....... ... • 113 Non V.-Centros de gravedad de las bóvedas con, sobrecarga ........ . . 115 Nou V~.-Dete(minacion del espesor de las bóvedas en la clave, ...... . 117 __ T ADLA.S para cal(?ular el empuje y hallar su punto de aplicacion en · los arcos circulares . ... ......•. . . . ....•.. • ........ .... . 131 , TABLA. !.-Valores de A.. . . ...••.....•... , .......... ...... . . 132 TÁBLA. II.-Valores de B. •... .••........... ..••... .••.... lM 1 TABLA Ill.-Valores de C... .......••.•..•...•••...••..••• 136TABLA lV.-Valores de D............... ... ....... : .. .... . 138 TABLA V.-Valores tle a, by c.•....• ; ....•....• _. .•. ....• HO Nou VII.--Dimensiones límites del estribo de una bóveda..... .. ...... . 1U Nou VIII._:_Estabilid ad de las bóvedas por arista................ ·... . Nou IX.-Forma de las bóvedas de máxima estabilidad .. . .. .. , ...... . Ü9 'TABLAS para el trazado de las bóvedas de máxima estabilidad .. . 165

- -· ·T.rnu l.-;-Arc9sescarzanos. Valores aproximados.de

,fABLA. • , IL--A1cos . escarzanos. Valores de o(e o.) e2 -

ef: .. .. .

166

184 TABLA' III.-Arcos carpanelcs. ,. .. . .. .•.. .... .... , .,..• ... . . 186 •••• • • • • •••.

•

T!BLA IV.-Funciones E y F para todos los valores posibles ,. de cp y 0.. .. ..•.•••. . • ..••.••• . ... . ....• • . . .. , . • .• . .. 192

â&#x20AC;¢

INSTRUCCION

SOBRE LA ESTABILIDAD DE LAS CONSrfRUCCIONES ESC lllU E~ rllHCRS

POR M. MICHON, TRADUCIDA AL CASTELLAl\O Y AUMENTADA CON NOTAS

POR DON EDUARDO SAAVEORA, (NGRN,li l\ O JEFE UE

2.:i

GLASK y l'I\OFRSOII UE MECÁ~ ICA ,\1'1.I C,\DA 1m LA liSCU ELA UH CAairnos, CANA i.ES \' l' UlinTOS.

MADRID, IMPRENTA NACIONAL.

1860.

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PRÓLOGO DEL TRADUCTOR.

Los adelantos alcanzados

de algun tiempo á esta parte en la aplicacion de la mecánica á las construcciones han hecho la obra clásica de Navier insuficiente para el curso de que estoy encargado en la Escuela de Ingenieros de caminos. Las importantes teorías de los macizos y de las bóvedas han sido de tal manera simplificadas por Poncelet, generalizando al mismo tiempo su aplicacion á un gran número de casos difíciles de discutir por los antiguos métodos, que es indispensable que las nuevas soluciones tengan cabida en la enseñanza , si los resultados de esta han de ser de tanta utilidad práctica como deben. El objeto especial de este libro es la exposicion de los métodos gráficos de Poncelet para hallar la estabilidad de los muros de sostenimiento y de las bóvedas, que he traducido del tratado litografiado de su colega Michon por ser mas claro y elegante que las Memorias del mismo autor('); pero no he traducido de dicho tratado mas que los capítulos relativos á los procedimientos geométricos y algun otro que no se halla (')

l\Iémoria I de l 'oíficier el u génie, n-úms. i 2 y 13.

suficientemente explanado en las obras de texto, de modo que se debe tener entendido que este libro solo es una parte del curso de Michon, aunque ordenada de manera que forme un Lodo completo por sí sola. A lo dicho he añadido la discusion de varios puntos de la teoría de los muros y de las bóvedas, algunos de ellos muy importantes, que en forma ' de notas hace la segunda parte de este trabajo. Esta forma es ciertamente poco á propósito para un libro de texto, pero no me ha parecido que debia fundir el asunto de las notas junto con la primera parte en un nuevo cuerpo de doctrina hasta que habiendo sufrido la crítica ó la aprobacion de personas competentes, en mayor número de las que hasta ahora las han examinado, pueda confirmarme en la exactitud de su contenido ó recti!lcar los errores en que lw ya podido incurrir. No creo necesario señalar por menor lo que para escribir estas notas he tomado de los autores que tratan de la materia, porque todos son sobrado conocidos. Bastará indicar que la mayor parte ele la nota '.2.ª está Lomada del cuerpo de la misma oLra de l\Jichon, que para la nota 3.ª he aprovechado algo de una memoria de L' Eveillé ('), que la sustancia de la nota 4.ª es del curso litografiado de Persy (.. ), que en la nota 6.ª he introducido algunas ideas de Moseley ("*.) sobre la curva de presiones, y que el método seguido en el desarrollo de los eálculos de la nota 9.ª pertenece á St. Guilhem ('***). (') Aooales des ponts et chaussées, l 844. (") Cours de slabililé des coostruclioos. Metz. l 834. {'") Theoretical and practical papers on bridges. On the theory of U1e arch. London l 839. I" " ) Aun. des p. et ch. 1859.

CAPÍTULO l. Determinacion grafica del empuje y de la resistencia de las tierras.

1. Siempre que un perfil de terraplen pueda reemplazarse sin error sensible, por una línea horizontal inde6nida, que se una con la coronacion del muro por un talud igual al natural de las tierras, suponiendo además que el paramento interior del mu~o es vertical y que se prescin9.e del rozamiento de las tierras contra este paramento, lc1s fórmulas algebráicas, y sobre todo el uso de las tablas de M. Poncelet (•), serán el medio mas corto y seguro para determinar los espesores de los revestimientos. Pero sucede á veces que no se puede reducir la forma del perfil con facilidad, y entonces el mejor medio de determinar el empuje, su momento, y por consiguiente el espesor del muro, es emplear las construcciones geométricas, cuya teoría vamos á exponer. Sea BHIEF ( fig. 1:) un perfil de relleno prismático, cuya longitud se supone igual á la unidad, apoyado contra un muro, cuyo paramento interior, prolongado, si es menester, á través de las tierras, está representado por BH. Tomemos un punto cualquiera b en este paramento y busquemos para este punto, ó para la altura bH, cuál es el prisma de máximo empuje, y por consiguiente (') Estas tablas se hallan insertas en el Aide-rnémoire de Morin, y en el .lllariuat del Ingeniero del Sr. Valdés.

el empuje efectivo que obra sobre esta altura de paramento. Para esto vamos á determinar geométricamente el valor d .•l empuje, ó de una fuerza igual y contraria, para una línea de rotura cualquiera bX y de su expresion deduciremos la posicion de la línea de rotura de empuje máximo, y por consiguiente , este empuje. Solicitado el prisma de tierra, comprendido entre bX y bH, por su propio peso Q, está en equilibrio, 4.0 por las resistencias normales N y N' que le oponen las paredes bH y bX y 2.º por los rozamientos ejercidos en dichas paredes por estas presiones. Si 'l' y <;>' son los ángulos de rozamiento de las tierras sobre sí mismas y con la fábrica del paramento, las resistencias debidas al rozamiento son N tang. r¡>' para bH y N' tang. rp para bX y las resultantes de estas fuerzas con las presiones serán: F

N ✓ 11

F' = N' ✓

N F =--,, cos. 'P

+ tang. 7 , + tang. 2

rp ,

F'=~cos. rp

Estas resultantes harán, pues, con las normales á las paredes, ángulos o/ y rp' que son conocidos. Debiendo equilibrarse las tres fuerzas F, F' y Q, si desde el punto b (fig. 2 ') se trazan perpendiculares ba y ba' á F y F', y una horizontal cualquiera aa', que será perpendicular á la fuerza vertical Q, el triá:ngulo baa' deb~rá quedar en equilibrio por la accion de estas tres fuerzas que son respectivamente perpendiculares á sus lados. Segun un teorema de Estática, para el equilibrio es menester: 4 .º que estas fuerzas estén todas dirigida~ de afuera adentro ó de adentro afuera del triángulo, condicion que no se cumplirá sino cuando la línea bX de rotura haga con el horizonte un ángulo mayor que 'l' , porque si fuese mas· pequeño , haciendo la perpendicular á F' un ángulo 'f' cop bX, caeria por debajo de la horizontal, y ba' quedaría á la izquierda de ba sin que F ni F' cambiasen el signo: 2. 0 Tambien es menester que

las fuerzas F, F' y Q, sean entre sí como los lados á que son respectivamente perpendiculares; de donde se deducirá

F : Q : : ba : aa', F=Q ba aa''

expresion ouyo máximo dará el empuje P. Para hallar este máximo es menester poner Q y ba, en fun-

cion de líneas que varien con el punto X. Supongamos que la posicion de este punto que corresponde al máximo de F caiga en el lado EF del perfil, siempre se encontrará fácilmente en este lado prolongado Ún punto K tal, que el triángulo bKX sea equivalente á la figura bHIEX, y bajando desde el punto b una perpendicular bT sobre dicho lado, que se toma para base del triángulo , y designando por p el peso del metro cúbico de tierra, se tendrá Q

= %. p X bT X KX

en que KX es la única variable. Para trasformar ba, en otras líneas que dependan del punto X,

ªª

hagamos girar al triángulo btta' hasta que ba' caiga sobre bX formando despues del movimiento cada lado un ángulo '!' con su primera direccion: base convertirá en bO, y hará un ángulo fijo '!'+'!'' con BH, y la horizontal aa' se inclinará quedando paralela á bM, línea del talud natural, que hace el ángulo '!' con el horizonte. • Sin trazar aa', si por el punto X se tira una paralela Xx á bM, el triángulo bXx será semejante al baa' y se tendrá

ba aa' =

bx Xx '

de donde sustituyendo ,

1 /2

p X bT X

Xx X bx.

Aun se puede simplificar este valor de F reemplazando la rela. KX por una cant1·ad . c1on Xx a que no contenga mas que una so1a variable; y para esto observaremos que el triángulo ObM es invariable y tomaremos los dos términos de dicha relacion en funcion de sus lados: tirando la recta Ky paralela á bX hasta que encuentre á Ob, tendremos, por la semejanza de los triángulos OKy, ObX,

KX : OX : : by : Ob, y ...... KX = OX

y como Xx es paralela á bM, los triángulos OXx, ObM dan

Xx : OX : : bM : OM, y ...... Xx =ÜX

~~,

luego

KX Xx -

OM Ob X bM X by'

en que solo es variable by. Sustituyendo resulta _

F-

½p

bT X OM · X Ob X bM X bx X by.

El producto bT X OM es el doble de la superficie del triángulo ObM, ó sea la del paralelógramo que tuviera por lados Ob y bM, luego

bT X OM = Ob X bM X sen. ObM, F = 1/ 2 p sen. ObM X bx. by.

Esta es la expresion simplificada de F en la cual bx y by son las únicas var¡'ables, y cuyo máximo vamos á buscar. Para obtenerlo observemos que

bx X by =(Ob-Ox)(Ob-Oy)= Ob 2 -0b (Ox +Oy)+Ox. Oy. Vamos á ver que Ox. Oyes un producto constante, y que por tanto al máximo de bx. by corresponde el mínimo de Ox Oy.

5 Tiremos por el punto K la ltnea KK' paralela á bM ó á X.r.; y se tendrá

Ox : OK' : : OX : OK y por ser paralelas las recias Ky y bX

Ob : Oy : : OX : OK , luego

Ox X Oy = OK' X Ob, y como OIC X Ob es una cantidad constante, lo es tambien el primer miPmbro. En cuanto al mínimo de Ox Oy, puesto que el producto de estas dos cantidades es constante, se verificará para Ox = Oy, porque Ox y Oy pueden considerarse como dos lados de un rectángulo, cuya suma debe ser la menor que contenga el mismo espacio, lo que tiene lugar para el cuadrado en que son los dos ig uales. Además el valor Ox' que satisface á esta condicion es fácil de hallar, porque si trazamos una semicircunferencia sobre K' b corno diámetro y se le tira una tangente Ot, se tendrá

luego

Ot 2 = OK' X Ob . Ox X Oy = Ox '2, Ox ' = Ot .

EJ. punto x· ó el máximo bx"2 del producto bx . by se encuentra rebatiendo Ot sobre Ob y se tiene por fin ,P

= 1/2 p.

sen. ObM. bx ''l.,

Trazando la paralela x'X' á bl\I se hallará el punto X' en que viene á terminar la línea de rotura bX' del prisina de máximo empuje; pero la operacion no estará bien hecha mas que cuando X ' caiga en el lado del perfil en que se ha tornado el punto K: en caso contrario, sería preciso volver á empezar la operacion tornando el punto K en el lado del perfil en que viene á caer X', pero es raro que pueda haber equivocacion. En resúmen : para tener el empvfe co-rrespondiente á una altura bH cualquiera del p aramento interior del muro, prolongarlo hasta el perfil ele las tierras, bastará traz-ar la recta bl\I pcwalela al talud

natural del lado de las tierras, hasta que encuentre en M á la línea EF del perfil en que se presume que habrá de verificarse la rotura; despuJJs se traza la bO que haga con el paramento interior y por el lado opuesto el ángulo 'I' p', hasta que encuentre en O á la misma •linea; por un punto K elegido sobre EF, de modo que forme un triángulo equivalente á Q, se traza KK' paralela á bM; y sobre bK' se describe una semicircnnferencia y se le traza la tangente Ot, que rebatida sob1·e Ob da la línea bx'. cuyo cuadrado es proporcional al empufe máximo.

El punto X' que hemos deducido de a;', tambien se puede encontrar directamente describiendo una semicircunferencia sobre KM, trazando la tangente OT y rebatiéndola en OX'. En efecto, '

OX' : OM : : Ox' : Ob OX': OK :: Ox': OK',

multiplicando estas dos proporciones ÓX'2

_y como

OM X OK :: Ox' 2 Ox'2 =

OX' 2 =

Ob X OK'

Ob X OK',

OK X OM

OT 2 .

Observacion. Para cada posicion del punto b se hallará la del K que corresponde y por consiguiente el valor de P, teniendo cuidado de cambiar la línea del perfil en que se tome este último punto conforme el punto X' vaya recorriendo sus diferentes lados. Pero siempre que un talud exterior sea mas fuerte que el natural de las tierras, no hay en él rotura posible, porque entonces la línea bM vendrá á encontrarla por debajo de Ob, y no se podrá tirar por O una tangente á la circunferencia descrita sobre KM. La verdad de este hecho la demuestra además la experiencia. Llamando e al ángulo de BH con la vertical ó la inclinacion del paramento interior se tiene: á,.ngulo . ObM = 'I' + p' + . + 90° - 'I' =90º + 'f' + •, de donde sen . ObM = sen. (90° p' + e) = cos. ( 'f'' + "),

y por consiguiente

Tomando el signo superior ó el inferior segun que el paramento interior esté inclinado del lado del muro ó del de las tierras. 2. Sea ABCD (fig. 3.') el perfil del revestimiento, y HEF el perfil del terraplen detrás del paramento; se ha encontrado la expresion que antecede para el empuje en una altura bH, y sabemos que este empuje tiene una direccion perpendicular á un paramento ficticio BH1 , que hace con bH el ángulo ,p', ó sea el ,p' + E con la vertical: vamos á buscar la expresion geométrica del momento del empuje que se ejerce en un elemento del paramento interior, y despues deduciremos el del empuje sobre todo ó parte de este paramento. Observemos primero que el empuje P está espresado en kilógramos, y q~e para compararlo mas fácilmente con la resistencia del muro es mejor que esté expresado en metros cúbicos de mampostería lo que da, llamando p' al peso de una de estas unidades, que será entonces la unidad de medida de las fuerzas. p =

/ , cos. ( ,p' + E). ba;2, ... p

Siendo bx la única variable, se puede tomar de una vez una

, · 1'a 1mea 1gua

'.2p' . d perpen( , + ); y s1. se 11 eva esta magmtu

COS.

'f' _

dicularmente á bx, en bv, y se traza la recta x l perpendicular á wv hasta que encuentre á la bv prolongada, se tendrá bx2 hl=-=P, bv y si se hace girar á b l alrededor del punto b hasta que quede perpendicular á ~H1 , se tendrá en magnitud y en direccion el empuje sobre la altura bH: si se hace lo mismo para el punto b1 próximo á b, P - P 1 , ó bl - b1 l1 representará el empuje sobre el elemento, bb 1 y para tener su momento bastará multiplicar esta diferencia por el brazo ~e palanca que es

A'b

+ A'b

cos.

ó la distancia de la recta AA' perpendicular á Ill-I 1 al centro del elemento bb1 , lo que da para el momento m=

(bl -

b1 l1 ) cos.

ATb

+ A'b 9.

1 .

Ahora, si desde los puntos l y l1 se trazan las paralelas ln y l1n1 á BH hasta que encuentren á la AA' prolongada, el momento 1n no será otra cosa que el área del trapecio l l1 n1 n, cuyas unidades superficiales expresan el número de unidades á que equivale el momento del empuje sobre el elemento bb 1 . Se demostraria igualmente que lo mismo sucede para todos los elementos del paramento interior BH, luego para tener el momento

del empuJe sobre una porcion cualquiera del paramento, basta determin'/J,r la sér1:e de los puntos 1, 11 , 12 ...... correspondientes á la porcion que se considera, y trnzar por los extremos de esta curva paralelas al paramento BH hasta la recta A A' perpendicular á BH1 ; el área comprendida entre la curva, las paralelas y la recta AA' representará el momento buscado. Observaciones. El empuje que se ejerce sobre la porcion de paramento situado por debajo del punto A' tiende á producir un movimiento de rotacion opuesto al de la caida del muro, y es menester tener cuidado de Lomar negativamente la superficie comprendida ,entre las' líneas indicadas, cuando se encuentra por debajo de AA'. Si el talud HE es mas fuerte que el natural de las tierras, aun habrá un empuje efectivo en H y la curva no pasará por este punto, corno sucedería para un talud HE igual ó mas suave que el natural. Pudiendo terminar la línea de separacion del prisma de máximo empuje en los diferentes lados del perfil del terraplen, la curva de los puntos x, x 1 , x2 , ó la de los l, l1 , l 2 podrá componerse de varia ramas ó porciones de otras curvas: sus puntos de inlerseccion se determinarán tirando por los vértices de los ángulos del perfil, paralelas al talud natural de las tierras hasta que encuentren á la curva x, x 1 , x 2 • Esta curva, que en general es una hipérbola, difiere muy poco

de una línea recta, de modo que tres puntos bastan para determinar la rama que corresponde á cada cara del perfil. El cálculo de las superficies que 'representan los momentos, se haná por el método de Tomás Simps~rn, cuya fó11mula es : l ' , S = (o' +- 4 o'',rf- 2 o'" . ,! ... i-on on + 1),

' . . do o' , o" , o"' . . . . . ( fi g. /f!,, .•) ot dena das en numero ' . s1,en impar, que divjden á la superficie, distando mutuamente la cantidad l. El mismp resultado se obtiene tirando ordenadas inter-medias o1 entre las precedentes y tomando m 'r

'1/3 r s

y multiplicando la di,stancia constante l por la suma de las ordenadas mtn' ; po11que entre dos ordenadas se tiene , por una parte

! (/+

y por otra

S -= l ( mr

[½( + o'

o")

4 nis + o") ·

+ rm' ) =

+ % ( ms -

= l (o' + 6

l ( mr

¼ ( o'

+ % rs ) + o"))]

,1 L,1ns ) ,

que son expresiones idénticas. 3. Vamos ahora á determinar el espesor de los muros de sostenimiento al nivel del suelo, en el caso mas general. En la hipótesis de la rotacion es preciso que la suma de los momentos alrededor de la arista exterior de la base del muro, de los pesos de este y de las tierras que tiene encima , sea igual al momento de·l empuje respecto de la misma arista multiplicado por un coeficiente de estabilidad u. ( Véase la nota ~ .') Estando dado casi siempre el perfil exte1'. ior ADIEF (fig. 5.") del muro y de las tierras , y suponiendo que tambien esté dada la inclinacion del paramento interior, lo que habrá que determinar será 2

la distancia del punto B al A, ó la base del muro, de modo que se establezca el equilibrio del modo que se desea. A no ser que no haya terraplen sobre el plano horizontal que pasa por la coronacion del muro, el empuje y su momento variarán con la posicion de B ó de la línea BH; por consiguiente, solo se podrá obtener AB por un tanteo, cuya operacion puede hacerse como sigue. Las tablas y las fórmulas ordinarias darán aproximadamente el espesor AB y se empezará por tomar este espesor un poco aumentado, determinando para esta posicion de BH el empuje y su momento multiplicado por u, así como el del muro y las tierras que tiene endma; y se Hevará el exceso de este último sobre la perpendicular Bt debajo de AB· Para un espesor demasiado pequeño se baria lo mismo, y se llevaría el exceso del momento del empuje sobre el del muro segun una pei¡pendicular Bt' por encima de AB. En fin, se hará lo mismo para espesor intermedio, y se determinarán tres puntos de una curva d~ error, cuya interseccion con AB será el punto buscado. Se puede obtener el valor de los momentos del muro y de las tierras que tiene encima por construcciones puramente gráficas, pero casi siempre será mas sencillo limitarse á determinar geométricamente los centros de gravedad y calcular despues los momentos. Designando por g la distancia horizontal del punto A al centro de gravedad del prisma de tierra, cuya superficie es s, y por G la del mismo punto al del perfil del muro, cuya superficie es S, será menester que se tenga, reduciendo la tierra á mampostería

~ sg + SG =

siendo M el momento del empuje. 4. En la hipótesis de la traslacion sobre la base del muro, es menester que el rozamiento ejerc;do sobre esta base por el peso del muro y de las tierras de encima, aumentado ó disminuido de la componente vertical del empuje, haga equilibrio á la componente horizontal de este empuje P, multiplicada por un coeficiente de estabilidad u'. Luego en el caso general, conservando las notaciones

anteriorns y llamando f' al coeficiente de rozamiento de la mampostería sobre sí misrn~ , la ecuacion de equilibrio será: ·

f' [ ps + p' S + P

seµ , (,/ '. º )] =

o-'

P 'cos. ( ,¡/

+ é?

~cuacion que se aplicará como la de la rotacion para determinar una curva de error que corte á la base en el punto que se busca' B; ó bien se ·puede ver si el espesor hallado para el equilibrio estable por rotacion ·da una estabilidad suficiente cuando sé considera la traslacion sobi·e la base <;lel muro. (Véanse las notas 2:, 3." y 4.') 5. Cuando una pared apoyada contra un macizo de tierras está solicitada por una fuerza activa que tiende á levantarlas, el prisma que pone en movimiento se llama de mínima resistencia, y esta fuerza es un mínimo mientras que el empuje es un máximo de la misma especie. Ahora vamos á buscar el valor de la resistencia para añadir su intensidé,ld ó su momento á los de las fuerzas que tiendan, lo mismo que ella, á resistir á lqs esfuerzos opuestos; así, en un revestimieQto pe fortificacion, la resistencia de las tierras del foso contra las fundaciones se añade al peso <;le! muro para oponerse al empuje del terraplen sobre el paramento interior de este, desde la coronaci@n hasta la base de los cimientos. Del mismo modo, la accion del empuje de una bóveda cuyos estribos están enterrados á cierta profundidad, puede ser destruida en parte por la resistencia de las tierras que se opone al movimiento de estos apoyos; y en 'todos casos, si el espesor del muro se ha calculado de modo que haya equilibrio suficiente sobre el plano del suelo, creciendo la resistencia con mayor rapidez que el empuje cuando crece la altura de la pared, siempre se podrá calcular la profundidad de los cimientos de modo que se obtenga el equilibrio sobre su base inferior, sin aumen~ tar el espesor de los muros .de sostenimiento ó de los estribos. Es conveniente observar que no puede contarse con todo el efecto de la resistencia mas que cuando las tierras que la producen están sentadas y poco susceptibles de compresion, porque es claro que si estas tierras están recien removidas, la resistencia en el primer instante será igual al empuje, y la pared podrá avanzar a pre-

tando sucesivamente las molMulas:. al mismo tiempol!a r,esistencia crecerá sin duda alguna ,hasta llegar á su mayor valor; pero• cuando esto suceda, la pared habrá cambiado de posicion, y esto se ha de evitar en la práctica. En todo lo que sigue, supondremos las tierras incompresibles. 6. ,Sea BHJEF~L ( fig. 6 )1un perfil de terraplen prisp'.\ático que se Qpone á un mµro cuyo paralI1ento int~rior, prolongapo ~¡ f}S menester,, es BH; tomemo~ sobre este par,?-ffiento u~ punto cualqui~ra b y busquemos cµal es el prism!l- de QlÍnima resi1>tencia que cori:esponde á este punto Ó, sea á la altura blJ, Sea bX una línea de rotura arbitraria ; conservando las mismas notaciol)es que en el caSO' del ~mpuje, las fuerzas que se equilibran son Q, ~ -=F y ~ .==·F'. ' cos . 'I' cos. 'I' Estas últimas hácen tarribien ángtilds cp' y ·cp con las n rmales N y N' á la pared BH y á la línea de rotura bX, pero por la parte opues:_ ta, es decir, por encima, á causa dé la acéi9n inyersa'· del rozamiento que impide subir al pf ísma , ·y en 'el otro caso ' le' impedía . 1 ' 1 ' ' 11 • , b aJar. Tambien se verá ahora que estásf ,fú erza's han d'e mantene1: eh equilibrio un triángulo baa' ( fig. 7), y que para que ninguna fuerza' es'té dirigida de dentro á fuera es menester que la línéa d~ rotura bX haga con el paramento bH un árlgulo mayor que 'P ,p'; lo que hace que en general caiga por Bebajo· de la línea del talud natural: el triángulo dará d'el mismo modo la siguiente proporcion: 'I

, , , . ,, ' ba F:Q::ba:aa, de donde F = Q-, ·· aa.·

, r

Jrr· ·,

11·

;,o ·)

.• 11,1;

•

expresion que es preciso trasformar para ten~i· k1f illfoimo . ' ' ·.e Bajando la perpendicul ar bT sobre el ládq EF' de\· p'erfil en que se presume que ha de verificarse la rotura , y toman1áo sobre ' este lado un punto K tal, que el tri ángulo bKE sea! equivalente á la su- ' 1 1 11 • bHIE , se ten d ra' : 1 I ' l perfi c1e j¡ l 1')'1{'1 ' ' n Q= % .p X b.T ,X KX''

y si se hace girar al triángalo baa1 hasta que ba' caiga sobre bX, es . decir, una cantidad angular igual á ,p, , ba1oáe.rá sobre bO,y hará un

ángulo igual á cp 'I'' con la pared bH por el lado de las tierras; y si se traza una recta Xx paralela á Ja nueva direccion de aa' ó á bM que hace con el horizonte uQ ángulo 'I' igual al del talud natural de las tierras por el lado del muro, se tendrá: f ·1 .,, ~ . ' ba bx \\' aa• '=xx \ luego . 1 "·! 1 Ol llf:rr ' F = , uL 11 ·¡ i :11 " '1 1 ,

1/2 p ., .

x ~ba;.

X bT X KX ¡ . ,Xx 1

•

¡!)

•

) •¡ 1

:I ·

' f

Tomemos ahora la relacion KXX en funcion de los lados del trián(\

., '

gulo invariable bMO, trazando la recta Ky paralela á bX hasta que encuentre á la bO proloqg~da)o~ m,1atr~1, tdáogµ lq~ 1qu,e tienen los vértjpe~. en¡9 so.r,i, se~ejw tes, de qps en ~?fJ por ser, sus b~S!:)~ · paralelas, y se tendrá : · ,()

ó I

(

i.,

luego p'o r ser t '

,'.I

•

KO:OX::oy:bO, ,,

+ OX:OX::Oy + bO:Ob, . ,,t

1l , • /. rl

,í

KX = KO I{x

' )

, .i , • 1,

! J

f•T)!

•

I' ")

+ OX, y by =

I 1

l r

•'

J 1

• 11 l

+ Oy,

= OX . by _, · Ob

tambi~n S(: tiene

Xx:bM::Q'X:OM de donde 1,

)

Xa; = OX. bM OM 1

y por consiguiente

KX Xx -

OM Ob X úM ..by; '

!11

)

;

bT x bM

1,,,,

p Ob X bM . ,x • V:J

= Ob X bM X sen. Obl\l,

y por ser bT X OM

½ p sen. ObM

X bx . by.

El sen. ObM es constante é igual á sen. ( rp rp' + . 90º - 'l') = cos. (,rp' + e) , tomando el bigno superior ó el inferior segun que el paramento BH esté inclinado del lado del muro ó del de las tierras., y sustituyendo, se tendrá:

u, .

•

½ p ,cos.

( 11'

,. + ,• ) bx . by ,

1,,

y es menef ter buscar e·l rpínimÓ de bx . by,. . • ' r' , · Tomando bx y by en funcion de Ob que es constante , se tiene 1

+ Ox) X ( Ob + Oy ) = + Ob ( Ox + Oy ) + Ox . Oy.

• bx . by= ( Ob 2

Ahora tambien es Ox . Oy una cantidad constante , porque si se traza la recta KK' paralela á la bM ó á la Xx, hasta que encµentre á-la Ob, se tendrá t comparando los triángulos semejantes. que tienen su vértice (;lll' O OK';Ox ::OK:OX '

pe donde.

+Oy

. ..

J."

- •

- Oy:9b :: OK:OX ::Ü Xc. Oy = ,OK.' ~ ,O@ = constan~e;

' '

y para que Ox sea un ~ íni~o será preciso ·, ió mis'mb" q~~ antes , que se tenga Ox = Oy, y por· consiguiente bx = by ; pero si se ·desc.ribe sobre K'b una semicircunferencia y se le traza desde el punto O una tangente Ot, se tendrá de donde

Ot 2 = OK' X Ob = Ox '2 Ot = Ox ' y bx' = Ob

+ bx' =

+ 01,,

luego .para tener el valor .de bm = by que da el mínimo de F basta rebatir Ot sobre la prolongacion de bO ,y se tendrá el valor de bm qué se ·busca.. 1 , , Como Xx es .s iempre parale.la á bM, tal'ud natural de las tierras, sL.se ftrazala •recta ,m'X'; parralela á ,esta, Ja línea de rotura será bX''. Designando la resistencia p_o r1 B h se tendrá

B = 1/.i_ p COS; ( ~· <') bx' 2 , expresion de la misma forma que la del empuje . Se podria obtener el punto X' directamente ~irando desde el punto O una tangente OT á la semicircunferencia descrita sobre MK como diámetro y rebatiendo á OT sobre OM en OX', pór el fado opuesto á M. La demostracion es. la misma que para el empuje. En resúmen , ' para obtener la' resistencia correspondiente á un punto cualquiera b , tomado, sobre el paramento adyacente á las t_ferras que la producen , es menester trazar desde dicho punto b una línea b.M que haga con ·za horizontal tmzada del lado del muro un ángulo cp igual al del talud natural de las tierras, despues otra línea bO que haga con el paramento del rnuro un áng.(i,{o cp cp' del lado de las tierras , hasta que ambas enciientren al lado del perfil sobre que debe hacerse la rotura, desde el punto K, elegido en este lado de manera que ·dé un triangulo equivalente á Q, trazar la recta KK' paí•alela á la b.M y rebatit.· sobre Ob en x', del lado opuesto á b, la tangente Ot trazada á una sem.icircunferenc,:a descrita sobre bK' como diámetro: el cuadrado de la cantidad bx' asi obtenida será proporcional á la resistencia. Esta construbeion es idéntica á la del empuje ., excepto que los cp están en una posicion inversa con relacion á las ángulos 'f' y r¡, ' tierras que tocan á la pared, y que la tangente Ot debe añadirse· á bO en lugar de quitarse; de donde se sigue evidentemente que la resistencia es mucho mayor que el empuje, para una misma altura y en el mismo perfil, lo que debia conocerse desde largo, porque en el primer caso los rozamieptos se añaden á la accion. del peso de los prismas, y en el segundo se restan. La resistencia podria determinarse analíticamente siguiendo en un todo la misma marcha que para el empuje.

16 7. La determinacion del momento de la resistencia respecto de un centro de rotacion dado se hace del mismo modo que para el empuje, y por esto es inútil volver á emprender la demostracion. Se tendrá solamente ctl.idado de dividir B por ' el :peso espeeífico p' si se quiere que todos los esfuerzos estén referidos al peso de un metro cúbico de mampostería como unidad. Observacion . El peso p de las tierras que entra en la resistencia, puede ser, y lo es comunmente , di~tinto del de las tierr¡is que producen el empuje.

•

CAPÍTULO H. Simplificacion de las construcciones gráficas del empuje, la resistencia, y sus momentos en ciertas hipótesis.

8. Terraplen limitado por un solo plano de pendiente menor que la del tal,ud-natural. Sea BHE ( 6g. 8 ) el perfil de un terra plen sostenido por un paramento BH, que representará el interior del muro, prolongado, si es menester, hasta el plano superior: se trata de hallar el empuje ó' la resistencia para una altura bH, y sus momentos. En este caso particular, el punto K se confunde siempre con el H, por lo que está determinado cualquiera que sea la posicion del punto b ; de modo que para tener el empuje ó la resistencia sobre bH bastará trazar por el punto b las líneas bO, bM segun se ha dicho, describir sobre HM una circunferencia y la tangente OT rebatida hácia el lado de M ó hácia el opuesto, dará el punto X respec-: tivamente, y se deducirá la línea de rotura bX, y por una paralela Xm á bM, la línea bx cuyo cuadrado es proporcional á la fuerza que se busca, cuya expresion es P ó B = ½P• bx"' sen. ObM. En cuanto á la investigacion de los momentos, es aun mas sencilla, porque entonces la curva de los puntos a;, x 1 , x 2 , correspon3

18 dientes á los b, b1 , b2 , tomados sobre el paramento se convierte en una línea recta que pasa por el punto H: en efecto, tomemos dos puntos x 1 , x 2 , correspondientes á los b1 y b2 del paramento , siendo paralelas las líneas 0 1 b1 , 0 2 b2 , y estando los puntos K1 , K11 sobre la misma recta HK, se tendrá 0 1 K¡: 0 1 b1 :: 0 2 K 2 : 0 2b2

de donde

0 1 K 1 X 0 1 b1 :01 b¡2 :: 0 2 K2 X 0 2 b2 :02

bl,

pero luego y por consiguiente los puntos x, x 1 , x 2 .••• •• están en línea recta con el punto H y las longitudes b1 x 1 , b2 x 2 •.••• son proporcionales á b1 H1 , b2 H2 •••••• de donde se sigue que el empuje ó la resistencia crecen proporcionalmente al cuadrado de las atturas b1 H1 , b2 H2 •• • ••• del paramento en que se ejercen, y que el pu'11to de aplicaciqri, de la resultante sobre el paramento está situado al tercio de ~u altura á partir del punto inferior b. Se podrá, pues, conocer su brazo de palanca y su momento con relacion á un punto de rotacion exterior cualquiera, porque conocemos los ángulos segun los cuales estas fuerzas obran contra el plano de apoyo DH. Se ve tambien muy fácilmente por la semejanza de los triángulos, que las líneas de rotura correspondientes á distintos puntos b1 , b. 2 •.• . •• son paralelas. 9. Terraplen horizontal con la hipótesis de rp' = o. Cualquiera que sea la pared bH ( fig. !) ) , si el plano superior es horizontal y se desprecia el rozamiento de las tierras con el muro ( lo cual ·es favorable á la estabilidad y se hace comunrnente ) los ángulos 0bH y bMO, igual á KbM, son iguales á /, y los dos triángulos bH0, bMO, que tienen comun el ángulo en O , son semejantes y dan Ob:OM::OH:Ob de donde 0b = ✓OH X OM,

19 pero tomando OT tangente á la semicircunferencia descrita sobre HM para hallar el punto X en que termina la línea de rotura se tiene OT = OX = ✓ OH X OM , 1

luego OX = Ob y basta para tener el punto X y despues el x, rebatir Ob sobre OM, haciendvla girar alrededor del punto O. Si se trata del empuje, designando por y por CI.' los ángulos que hace la línea de rotura bX con bH y bM, por ser Ob = OX; el triángulo ObX es isósceles y se tiene el ángulo A = cp. IX; pero en el t,r iángulo bXM se tiene el ángulo A= rp, CI.', luego(l.

y por esto , en el caso del empuje , la linea de rotura divide al ángulo

del paramento del muro con la línea del talud natural de las tierras en dos partes iguales. Si se trata de la resistencia , designemos por IX y IX, los ángulos· de la línea de rot.u ra bX con la línea bO y con la horizontal bK, y por A el ángulo bXM, y prolonguemos á bM que hará oon bK el ángulo cp. En el tr:· ángulo isósceles bOX tendremos:

y por ser Kb paralela á Xm

rx'

luego

IX=

+ cp,=

IX,+ cp'

y por esto, en el caso de la resistencia la linea de rotura divide en dos partes iguales al ángulo del paramento con la prolongacion de· la . línea de talud natural. 1O. Terraplenes dispuestos de modo que la linea de rotura termine siempre en un lado horizontal del perfil, despreciando el ro!tamiento con el muro, ó haciendo cp' = o. Sea BHEF ( fig. 1O) el perfil del terraplen, en el cual el talud

•

20 HE es mas fuerte que el natural de las tierras '1', y la línea EF horizontal. Prolonguemos la línea BH del paramento del muro hasta EF en el punto G, y determinemos luego el empuje en H, trazando la recta HR que haga el ángulo '1' con HG , la EK' paralela á BM, y tomando Rx' = ✓RK' X RH . Describamos sobre RE una semicircunferencia que corte en h á la perpendicular Gh á RE ó EF: se tendrá, no solo Rh = Rx', sino tambien, para todos los pu.otos b tomados sobre el paramento, Ox = Oh, de modo que el punto h bastará para determinar el valor de ba; ó el empuje correspondiente á una altura cualquiera del paramento BH . La línea Rh es igual á Rx' porque

Rh2 = RG X RE Rx'2 = RK' X RH

y por la semejanza de los triángulos RK'E, RHG , que tienen dos ángulos iguales, se tiene

RK':RG::RE:RH de donde

RH X RK' = RG X RE. Ademas Oh= Ox , porque

Ox 2 =0K" X Ob y siendo semejantes los triángulos OK"K, RK'E, se tiene

OK":RK'::OK:RE, ...... OK" = RK' iEOK tambien se tiene

, RH X OG Ob:RH: : OG:RG , o sea . .. . Ob = RG

y por consiguiente , OK" X 0b=Ox2 = :: =

~~~X OG

OG ( OG

(OG

+ GK)

+ GK) ;

ahora, por ser semejantes los triángulos GKH y GEb , GK:GE::GH:Gb::GR:OG, ó ...... -GK =GE~ GR

y como

GE X GR = Gh2,

se tiene dtfinitivamente Ox2 = OG 2

+ Gh = 2

Oh2

Ox=Oh. Así, en este caso, para determinar el emp-ufe, ó los puntos x, x1,

x 2 que lo dan, basta trazar la recta HR que haga el ánJulo rp con la

HB,

describir una semicircunferencia sobre RE, y por el punto G levantar una perpendicular Gh á EF, la que encontrará á la circunferencia en un punto tal que se tenga Oh = Ox. Cuando el paramento interior del muro es vertical y HE paralela al talud natural de las tierras, el ángulo RI-IE es recto, el punto h cae en H y entonces basta trazar bo haciendo el ángulo '!' con la vertical y se tiene Ox=OH y por consiguiente

bx=Ob-OH. 14. Hemos visto que en el caso general, para determinar el es-, pesor de un revestimiento es preciso recurrir á una curva de er...,,_ ror, lo cual exige el trazado de las curvas de empujes ó resistencias, y sus momentos, para tres posiciones á lo menos del paramento :in-. terior. Se concibe, pues, que se acortarían mucho las operaciones. si se conociese el punto de aplicacion del empuj~ ó resistencia to~

22 tal en el paramento del muro, porque para tener los momentos bastaria multiplicar estas fuerzas por la perpendicular bajada desde el centro d_e giro sobre su direccion. 12. Terraplen terminado por un plano menos inclinado que el talud natural de las tierras. Se ha visto que en este caso la série de los puntos a; está en linea recta con el H y que todas las líneas de rotura son paralelas, de modo que los prismas de máximo empuje ó mínima resistencia son semejantes, y los empujes y resistencias proporcionales á los cuadrados de las alturas bH , de donde se sigue que su centro de presion está al tercio de la altura bH, á partir del punto b. Esto se puede demostrar de otro modo, que servirá para apreci'l!r el brazo de palanca en otras hipótesis. Para dos puntos b y b' ( 6g. 41), los empujes son

%. p cos. ( rp' + • ) bx2, %p cos. ( rp' + E) b' a;'2, •

y su diferencia, ó el empuje sobre el elemento bb' es

%, p cos. =

1/ 2

pcos.(rp'

+ E) ( b' a;' 2 -

( rp'

ba;2)

+ E)(b'x'+ bx)(b'x'-bx) ·

El momento con relacional punto Bes p cos. ('I', + _ tomando

) ba;

+ bx' =

X rx ,Bb

2bx,

+ Bb'

rx'

= b'

CJS. '!',

a;' -

y como el empuje es perpendicular al paramento ficticio BH, que hace un ángulo 1' con BH, el brazo de palanca es Bb

-1; Bb' cos. rp'.

Hagamos girar á bx y b' a;' alrededor de los puntos b y b' basta q,uc sean perpendiculares á BH1 , tracemos la recta BA paralela á

esLas nuevas direcciones y por los puntos x1 , x\ paralelas á BH, hasta que encuentren á BA en l y l'; el trapecio x 1 x\ l' l tiene por superficie , , Bb Bb' l l cos. 'P 2

r1 x\

cos. 'P

, Bb

+ Bb' 2

porque l l' = r 1 x '1 . Por otra parte, en el límite, bx1 cos. cp' es la distancia del centro de gravedad del trapecio al paramento BH; de donde se sigue que el momento del empuje elemental sobre bb' es igual á

p cos. ( cp' + E ) bx. cos. 'P , X a rea (x x, ' l' l ) '-----'--.:.._,,-_,_ 1 1 cos. 'P

ó en otros términos, el momento del empuje sobre el elemento bb' . 1 a 1 1ac {.' t or constante p cos. (cp' +, E) . a 1 punto B sera' 1gua con re 1acion ~ cos. 'P multiplicado por el momento del trapecio x 1 x'1 l' l tomado con relacion al paramento BH; y este resultado es exacto cualquiera que sea la disposicion de los puntos x, x', que dan el empuje, y para todos los elementos de la altura BH sobre la que actúen. Luego en todos casos el momento del empuje total sobre ~B con relacion al

•

punto B, es igual a p

COS. (

cp'

+ E)

. .

, mult1phcado por el mocos. 'P mento de la superficie AHB con relacion á BH. (La línea AH puede ser una sola curva ó varias reunidas). Pero en el caso particular que nos ocupa, estando los puntos x, x ' . ..... en línea recta con H, lo estarán tarnbien despues de la rotac1011 y" la superficie se reduce á un triángulo que tiene por base á BH y por altura AB cos. cp', y como el centro de gravedad se halla á . de BH 1gua . 1 a' AB cos . cp' , e 1 momento M d e 1 ' empuJe . una distancia 3 total con relacion á B será

% JJ

cos ( cp'

+ E) AB 2 cos.

cp' X BH;

y siendo el empuje sobre la altura entera

¼p

cos. ( cp'

AB 2

se deduce el brazo de palanca de la division

1/3 BH cos.

cp' :

de aquí se sigue que el empuje medio viene á encontrará BH al tercio de su altura á partir de B, pues que hace con la perpendicular á BH un ángulo igual á cp'. Nota. Lo que acabamos de decir respecto del empuje se aplica tambien á la resistencia, lo mismo que las observaciones siguientes. 4 3. Revestimientos ordinarios de fortificacion . ' Si el paramento interior BH prolongado viene á terminar en un talud cuya inclinacion es la natural de las tierras, y la línea de rotura viene á encontrar siempre al mismo lado del perfil, se halla que la série de los puntos x, x' . ..... antes ó des pues del giro sobre los puntos b, b' . ..... forman una rama de hipérbola que pasa por el punto H, pero esta rama de hipérbola difiere bastante poco de una línea recta, de modo que el punto de aplicacion del empuje no está mucho mas arriba del tercio de BH. Resulta, en efecto, de los cálculos de M. Poncelet, que para muros de paramentos verticales, que soportan un terraplen terminado po·r un talud exterior de tierra suelta, el brazo de palanca Bu del empuje sigue siendo casi igual al tercio de BH, cuando GH es muy pequeño ó muy grande respecto de BH, teniendo lugaíel mayor va lor de Bii cuando GH = 2,50 BH, que es entonces igual á 0,364- BH. Se podría tomar sin inconveniente en todos casos Bu= 0,35 BH. 44-. Si el paramento BH viene á terminar sobre un talud de pendiente mas suave que la de las tierras sueltas, y la línea de rotura cae sucesivamente sobre diferentes lados del perfil, es evidente que entonces la série en los puntos x, x' .. .. .. formará varias líneas que

;

se apartarán unas mas y otras menos de la línea recta , pero en gener&l no &erá difícil determinar por la inspeccion del perfil el brazo de palanca aproximado del empuje total, y este brazo podrá servir sin recurrir á la construccion de la superficie de momentos. Lo mismo sería en el caso en que el talud sobre que venga á caer BH sea mas fuerte que el natural; entonces habria un empuje finito en el punto H, y la superficie cu yo momento respecto de BH se ha de tomar se aproximaría á un trapecio, lo cual haría .aumentar el brazo de palanca Bu haciéndolo mayor que 0,35 H; pero este caso se presenta raras veces en la práctica.

CAPÍTULO III.

De las sobrecargas.

15. Sucede frecuentemente en las aplicaciones que se han de considerar los efectos de sobrecargas extrañas, y cuya presion ·v ertical está distribuida segun una ley determinada á priori. Supondremos primero que se trata de un terraplen de pendiente suave cuya superficie GE esté comprimida por una sobrecarga uniforme y constante terminada por una línea paralela á GE ( fig. 12). Vamos á buscar la accion que producen lás tierras y la sobrecarga en el plano BG que las ha de sostener. Siendo la carga uniforme, su accion será la misma si se considera como compuesta de capas paralelas verticales de tierra de la misma densidad que la del macizo del terraplen , con tal que la altura constante de las capas se aumente ó disminuya en la relacion de la densidad de la carga á .la de las tierras, de modo que para una longitud dada GX de GE la presion debida á la carga estará representada por el peso de un prisma oblícuo GX X' G' de la misma densidad que el macizo que se considera, y limitado por el plano G' X' paralelo al GX, y por las verticales GG', XX' cuya altura es determinada. Sea a esta altura, 7 el ángulo G' GE que forma GE con la vertical y busquemos el empuje que tiene lugar para una altura bG de

28 la pared BG que .sostiene el macizo. Cualquiera que ~ea la línea de . rotura bXX', se hallará como en el capítulo I que el empuje estará dado por el máximo de la expresion

no dependiendo estas dos últimas líneas mas que la ioclinacion de bX. Ahora, Q=sup. bGX + sup. GXX' G' =½p. bT X GX + p. a GXsen.

Q ===;

ósea

½ p. bT (

+ 2b; sen. r ) GX

y por consiguiente F =½p. bT ( 1

+ 2 ª s;;·

)

~! .

expresion cuyo máximo se ha de buscar ; pero si no hubiera sobreéarga, la expresion sería

1 /2

p . bT ; : bx ,

en cuyas dos expresiones la parte variable es idénti a, luego la lí- · nea de r'o tura bX que se deduzca de ellas será la misma en ambos casos ; por consiguiente en el caso, en que haya cargas uniformes so-

bre el terraplen, la direccion de la linea de rotura será la misma que si no hubiera carga. Este resultado es igualmente exacto para la resistencia , de modo que en geneml se tiene

Pó B =

1 /2

p seo. ObM

(1 + 2 ª ;;

0 7 ) ·

bx'l.

La clireccion de estas fuerzas es siempre perpendicular al paramento ficticio BH1 , que hace con el verdadero un ángulo igual al <p' de rozamiento del muro con las tierras, cuyo paramento se trazará por el lado del muro ó de las tierras, segun que se trate del empuje ó de la resistencia. · Estos valores pueden poner3e bajo la forma · P óB =

1/11 p sen. ObM. bx'i + p sen. ObM.

a sen. 1 b:; ,

y se encuentran compuestos de dos partes, la primera que es la misma que si no hubiese carga, y la otra originada por esta. Sea bz la vertical trazada desde desde el punto b ( fig. 13) .hasta que encuentre á GE, se tendrá b'f = bz sen."/

a sen. "/

bx'J.

bx2

bT = a b_z

prolongando á bG hasta que encuentre á G' E' en b',

a b'G b~ = bG

y sustituyendo se tendrá

P ó B =%p. bx 2 sen. ObM ( 1

+ 2 :~G) · .._... ( 1)

expresion fácil de construir determinando primero bx por el procedimiento indicado en el capitulo I y tomandó luego sobre una perp>endicular á esta línea la longitud 2bG bv = p sen. ObM ( bG

+ 2b' G ) '

despues de lo cual se une v con x y se traza la perpendicular x y hasta que encuentre á la bv prolongada, y by serii el valor de P d B. Tambien se podria tomar en la prolongacion de Gb ( fig. 14) una longitud b t igual á bb~ , rebatiendo bx en bx' sobre la perpendicular á bG, uniendo x ' con G y trazando x' t perpendicular á Gx': prolongando á b b' en la cantidad b' b" = b' G y describiendo una semicircunferencia con b" t por diámetro, cortará á bx ' en u y dará

bu2 = bt X bb" = ( bG ~; b' G ) bx2 y por consiguiente

P ó B ~ ½ p sen. ObM . bu2 • Estando los puntos x , x ' . ..... correspondientes á la primer& parte del valor de P ó Ben línea recta con el punto G, la relacion · bx es ,gua . I a, una constante ¡r~; y se tiene bG

bx2 = K2 X bG2•

Sustituyendo bx en la ecuacion ( 1 ) y separando las dos partes, se tendrá P ó B=

½ p sen. ObM. K2 X

bG2

+ p sen. ObM . b' G X K'l . b G :

siendo bG la única cantidad variable, se ve que la primera parte d_el valor de Pes proporcional al cuadrado de dicha cantidad y tiene por tanto su punto de aplicacion al tercio de bG, segun se sabia, y siendo la segunda parte proporcional á .la primera potencia de bG, su de aplicacion estará á la mitad. Se tendrá, pues, el momento - punto ) .

31 total tomando la suma de los dos parciales , lo que dará, designando por cp' el ángulo de rozamiento de las tierras con el muro M -_

11 /3

bGª

COS. 'f'

Tr 2 l\.

p sen. ObM

bG'l cos. 'I'. , b' G .,

+ p K sen.2 ObM

y el brazo de palanca perpendicular á la fuerza se obtendrá dividiendo M por P ó B, lo que da para su valor 11 13

bG ( bG bG

•

+3 b' G) , + 2 b' G . cos. 'l'

que se calculará fácilmente por una cuarta proporcional. Si se hace sucesivamente b' G = , b' G = oo, se obtiene para este brazo de palanca

1/a bG cos. cp'

¼ bG cos . cp',

luego la existencia de una sobrecarga tan grande como se quiera no puede aumentar mas que' en 1/o el brazo de palanca del empuje ó de la resistencia, al paso que estas fuerzas pueden llegará ser infinitas. ~ 6. Supongamos que á poca distancia detrás del muro de sostenimiento haya un macizo de mampostería sometido á la accion de ciertas fuerzas, como puede suceder para una falsa-braga ó barbacana, un caballero revestido, los apoyos de un puente colgado, las paredes de una casa colocada junto á un malecon, etc. Para poder tener en cuenta estas cargas, sería preciso conocer cómo se reparten los esfuerzos exteriores sobre su base; pero admitiremos que la resultante obra en el medio de ella, y que la componente horizontal queda destruida por fos rozamientos y no tiene que tenerse en cuenta mas que la vertical, que equivale á un peso repartido uniformemente sobre la base de la carga, de m?do que será lícito re-

i',;

1,,

emplazar la carga por un prisma de tierra de la misma densidad que la del terraplen inferior, de la misma base que el maciz@, y en el cual los planos hipotéticos de rotura sean verticales . Sea ACDE (fig. 15) el perfil del prisma de tierra que reemplaza con su peso á los esfuerzos que obran sobre la base AC contra el terraplen BHIJFG sostenido por la pared BH , y busquemos cual será en esta hipótesis el empuje producido sobre una altura bH de esta pared. Ahora no se puede hallar inmediatamente el empuje y es menester proceder por tanteo , ó tomar una série de líneas de rotura bX ó bXX' y reconocer cual es la que da el máximo de accion sobre bH ó sea el empuje. El método mas sencilfo para llegar á este resultado consiste en rep~esentar las presiones correspondientes á cada uno de los planos de rotura por ordenadas proporcionales, reunir por una curva sus extremiclades y tirarle una tangente paralela á la línea de las abscisas, que dará la ordenada máxima proporcional al empuje. Para tener la ordenada, ó la línea proporcional á una presion producida por un prisma de rotura cualquiera bHEX ( 6g. 46) recordemos que la presion F hace un ángulo ,p' con la normal á lapared bH y por debajo, ó sea , 90° tp' con Hb , que la presion F' hace tambien un ángulo 'l' con la normal á la línea de rotura bX ó 90º - 'l' con ella, y que el peso Q del prisma es una fuerza vertical; y como estas tres fuerzas deben equilibrarse, la resultante R de Q y F será necesariamente igual y contraria á F' y hará CQn Xb un ángulo igual á 90º - 'l'. Conocemos, pues, la direccion de las dos fuerzas Q y F y la de su resultante R, por consiguiente para hallar F bastará construir el paralelógramo de las fuerzas tomando para Q una línea proporcional á la superficie bHEX que representa esta fuerza. Ahora , si por el punto b se levanta una vertical y se toma sobre ella la longitud bP proporcional á Q, y luego se traza la recta bR que haga con la bX el ángulo 90° - 'l' de la resultante, y la bF que haga el ángulo 90° 'f'' de la presion F con la pared bH, podemos hallar F ó una línea proporcional á ella tirando por P una paralela bF hasta que encuentre á bR. Mas en vez de hacer estas operaciones inmediatamente y con el objeto de obtener todas las

1,¡¡

•

longitudes bP para prismas sucesivos, á contar desde una misma línea de abscisas, hagamos girar al sistema de las tres fuerzas alrededor del punto b en una cantidad angular igual á 90° '!' hácia el lado opuesto á la pared bH; bP caerá en bP1 ( 6g. 17) en la línea que hace el ángulo 'l' con el horizonte, y bR caerá sobre bX y hará con la pared bH el ángulo 90° tp' ( 90° 'l') = '!'' '!'; de modo que la única direccion variable será la de la resultante que cae siempre sobre la línea de rotura hipotética bX, bXX' etc. ( 6g. 4 8), y bastará para tener la linea proporcional á F y las ordenadas que se buscan, tomar sobre la recta bM, que hace un ángulo '!' con el horizonte, y por el lado del terraplen , longitudf!S bP 1 , bP 2 , . • • • • • • bPn proporl!i·onates á Q, y por los puntos P1 , P2 • • • . . • Pn trazar paralelas á la recta bO; que hace el ángulo 'f' tp' con la pared, por el lado del muro , hasta que encuentren á las lineas de rotura correspondientes bX. Los puntos de encuentro determinarán la curva de las presiones, y la tangente á esta curva paralela á bM indicará la ordenada máxima, que da el valor del empuje. Las longitudes proporcionales á Q se obtendrán trasformando la superficie del perfil bHEX,, cualquiera que sea, en un triángulo que tenga bH por base y tomando la altura h variable de este triángulo para las longitudes buscadas, y como se tendrá

Q =¼P. h X bH,

será _preciso tener presente que la línea proporcional al empuje se ha de multiplicar por p · b~ para tener el empuje en kilógramos,

o por

p2p' . bH s1. se qmere . , bº d , tener en metros cu 1cos e mamposteria.

Se hallará el momento del empuje en toda la altura BH respecto de un punto exterior A por el procedimiento general que hemos indicado en el capítulo I, tomando el empuje á diferentes alturas del paramento, para deducir la superficie de los momentos, que se apreciará por el método simplificado de Tomás Simpson. 17. La mínima resistencia y su momento se hallarán por proce5

34 dimientos análogos á los que acabamos de explicar. Unicamente se ha de observar que el giro al rededor del punto b debe hacerse del lado del muro é igual á 90° - 'f, y que despues del movimiento la fuerza Q se halla sobre una línea que hace el ángulo 'f con el horizonte (fig. 4 9) del lado del muro, la fuerza F del mismo lado y sobre l& línea que hace el ángulo rp' 'f con la prolongacion bH' del paramento interior, y por último, la resultante en la prolongacion bX' de la línea hipotética de rotura bX. Los puntos de la curva de resistencias se construyen, pues, del mismo modo que los ' del empuje, y se tendrá su mínimo trazándole una tangente paralela á la líne.a que hace el ángulo 'f con el horizonte. El momento de la resistencia resultará de la superficie de los momentos como para el empuje .

... 11

' •

CAPÍTULO IV. Estabilidad de-los cimientos de los muros de sostenimiento .

: :

: 1

18. Hasta aquí solo hemos considerado la estabilidad de los muros de sostenimiento sobre su plano inferior, lo que equivale á admitir que la base ó cimiento en que se apoyan es enteramente inmutable; pero acontece con frecuencia lo contrario, sea porque el deslizamiento de la hilada inferior de los cimientos sobre el suelo que la sostiene se efectúe con mas facilidad que el de la mampostería sobre sí misma; sea porque ei terreno que sostiene todo el macizo es compresible, y que estando una de las aristas inferiores de la base mas cargada que la otra, tiende á hundirse mas y ocasiona un movimiento de rotacion ; sea en fin porque este suelo incompresible, pero movible, no estando bastante retenido bajo la base del macizo, es rechazado á un lado por el peso que sostiene. Vamos á examinar y resolver el problema para estas diversas hipótesis. 19. Es evidente que se evitará la ·rotacion ó hundimiento desigual de las aristas de la base inferior de los cimientos, si se hace de modo que estas aristas estén cargadas igualmente, ó lo que viene á ser lo mismo, si la resultante de todas las fuerzas que obran sobre el revestimiento viene á encontrar á la base á una distancia igual de estas aristas. Se puede obtener esto de dos maneras: sea dándose de antemano la profundidad del cimiento y calculando el ancho de la base de

36 modo que se satisfaga la condicion enunciada; sea dándose, por el contrario, el ancho de los cimientos, y calculando la profundidad d; modo que se obtenga el mismo resultado. Las fuerzas que obran sobre el cuerpo del muro son : 1. 0 El peso de este muro, el de su cimiento y el del prisma de tierra que soporta. 2.° El empuje de las tierras sobre el paramento interior del muro, contado desde la arista inferior de la base de los cimientos hasta el punto en que este paramento prolongado, si es necesario, vaya á encontrar á la superficie del terraplen. 3.º La resistencia de las tierras ea el paramento exterior del muro, contada desde la base del cimiento hasta el nivel del suelo . Vamos á expresar que la suma de los momentos de estas diferentes fuerzas, tornadas respecto del centro de la base del cimiento, es nula, y la ecuacion que resulte de esto podrá servir para determinar el ancho del cimiento, ó su profundidad. Sean, pues, ABCD el macizo de revestimiento (6g. 20). A' B' C' D' el de su cimiento , g el centro de gravedad de ABCD, g' el del prisma de tierra_ ICH, S, S' , sus proyecciones sobre A' B' , V el medio de la base del cimiento, H la altura vertical del muro, h la del triángulo ICH, P el empuje ejercido en el paramento B' H, U su punto de aplicacion, UT su direccion, que hace el ángulo ,f, con el horizonte, VT su brazo de palanca , B la resistencia en la línea A' D', considerada como paramento anterior del cimiento, U' su punto de aplicacion , U' T' su direccion, que hace el ángulo ,f,' con el horizonte, VT' su brazo de palanca. Observando ahora que el área del trapecio ABCD tiene por medida 1/ 2 (AB CD) H, que el trapecio A' B' C' O' de los cimientos es

37 igual al rectángulo A' B' C' L, cuyo momento es nulo respecto ele V, menos el triáogulo A' D' L, cuyo momento es

½ LD'

X A' L (VA' -

1/a D' L),

se tendrá para la condicion de estabilidad del muro al rededor del punto V,

p X VT-B X VT'-½p'(AB -½ p' X LD' X AL' (VA' -

+en) H X vs

1/3 D' L) - ¼P X: IC X h X VS'=O

Esta ecuacion podrá servir para determinar, bien sea la altura A' L de la fundacion, ó el ancho D' L. Como VS y VS' son !unciones de la anchura, VT y VT' de esta y de la altura, y P y B funciones del cuadrado de la altura, el mejor modo de operar, en este caso general, será por tanteos y por medio de una curva de error, como lo hemos hecho antes para el espesor del revestimiento, sea por cálculo, sea por construccion, dividiendo todos los términos por un cuadrado como¼ p' H2 para hacerlos lineales. Pero para el caso particular en que el fondo del foso es horizontal y A' D' vertical ( lo cual debe hacerse para aumentar la resistencia), suponiendo dada la profundidad de los cimientos, y que se quiere determinar solamente el ancho A' H' de estos, como entonces son calculables inmediatamente P y B y desaparece A' D' L, la ecuacion se simplifica y se puede sacar con bastante facilidad A' B' (*). Para esto será preferible bajar desde B' y A' perpendiculares B' t y A' t' sobre las direcciones de las fuerzas P y B y reemplazar los brazos de palanca VS, VS', VT, VT' por sus valores en funcion de A' B' que son

VB'-B'S; VB'-B' S'; B' t-VB' seo. ,j,; A' t'

+ VA' sen.

,j,'

en los que todo se conoce excepto VB' =VA'=½ A' B'.

(*) Se obtendria una ecuacion de primer grado sin suponer á A' D' vertical , CO[\ tal que conservase la misma ioclinacion. Seria menester bajar desde A' y B' perpendiculares sobre B y P. · ·

38 Haciendo esta sustitucion en la ecuacion anterior y cambiando de signos, se saca 1}

A'B'= P X B't-B X A't+1;2 p'(AB+CD)H X B'S+½p X IC.h X B'S' Bsen.f+Psen.,i,+ 1/ 2 p'(AB+CD) H+½p X íC X h

que da inmediatamente A' B'. 20. El caso del resbalamiento se presenta principalmente cuando los cimientos del muro se apoyan sobre un terreno arcilloso, en el cual el rozamiento puede no ser mas que el tercio del peso del macizo. Sobrevienen con frecuencia accidentes de este género en los muros de sostenimiento, por lo que es importante comprobar de antemano si es posible este movimieuto, y determinar con certeza la pro(imdidad que se ha de dará los cimientos, para que la resistencia de las tierras anteriores, unida al rozamiento, exceda en una cantidad suficiente al empujfl de las tierras posteriores. Conservemos todas las notaciones y convenciones anteriores, llamando además fi' al coeficiente de rozamiento de la mampostería sobre el fondo del cimiento, cuyas tierras se suponen en diferente estado que las del terraplen, y por la misma razon llamaremos f1 al coeficiente· de rozamiento propio que les corresponde y Pi el peso del metro cúbico, en su estado natural. Evidentemente se tendrá para expresar la condicion de estabilidad relativa á este caso la ecuacion r/ P cos . ..¡,-B cos. i/i'=f1'

%.P' (A' B' +

[

P sen. ,/,-B sen.

f +½ p' (AB + CD) H

C' D') B' C'+½p. IC X

h]. ...

(a)

designando aquí por cr' el coeficiente de estabilidad por el cual se quiere asegurar á las resistencias un exceso proporcional y determinado sobre la potencia; coeficiente que sería acaso mas conveniente reemplazar por una sobrecarga de estabilidad de 5 _á 6 metros; sin embargo, si como casi siempre se hace, se desprecia el rozamiento de las tierras con el muro, tanto en el empuje como en la

•

resistencia; si se abre á pico y con escalones por el lado exterior ]a zanja de los cimiento,; , y se desprecia la cohesion de las tierras de este lado, que puede ser muy grande; si por último se supone el triángulo GHE lleno de tierra ( lo que simplifica las aplicaciones) se podrá hacer el coeficiente r/ = ~, porque las fuerzas que se desprecian son todas favorables á la estabilidad. , La manera general y mas expedita casi siempre de obtener la profundidad buscada del cimiento, consistiría en tomar tres posiciones de la base A' B' (fig. 21) arbitrariamente, pero de modo que comprendan la posicion real que se quiere determjnar, encontrar para cada una de ellas, por los procedi mientas geométricos, el, empuje, la resistencia, y las superficies del perfil del muro; despues ver cuál es el miembro de la ecup.cion (a) que supera al otro, y colocar la diferencia horizontalmente en A' B' á contar de B' C', á derecha ó izquierda segun el signo de esta diferencia: la curva que pase por los tres puntos así hallados, cortará á la recta B' C' en el punto que se busca. 21. Los macizos de fábrica colocado5 al nivel del suelo ó á cierta profundidad se hunden algunas veces verticalmente. Se suelen atribuir los movimientos de esta especie á la compresibilidad del terreno, que cede al peso que carga en él. Como este fenómeno de la compresibilidad del terreno juega un gran papel en las construcciones y se emplean muchos medios dispendiosos para disminuir los malos efectos que produce, es muy esencial darse cuenta exacta de él. No hay mas que muy pocas clases de terreno que sean capaces de comprimirse tin la verdadera acepcion de la palabra, es decir, que pueden reducirse á menor volúmen por la accion del peso que se les carga. Esto apenas puede suceder mas que en los terrenos en que hay huecos, como en la turba ó en la tierra recien movida (*). En todos los <lemas terrenos, c~ando se hace un asiento por debajo (') En este caso se debe aumentar la base del cimiento lo necesario para que la presion por unidad de superficie sea menor que el peso que puede sostener el terreno sin deformarse. (N. del T.)

del cimiento de un muro de fábrica, llene lugar al mismo tiempo una intumescencia, es decir, que se verifica una traslacion lateral de las tierras por efecto de los empug"es debidos al peso del macizo, contra los cuales no ofrecen bastante obstáculo las resistencias laterales. Consideremos, en efecto, un muro de sostenimiento M (fig. 22) con su cimiento F, que suponemos calculado de moclo que la resultante de las fuerzas aplicadas venga á pasar por el medio desu base A' B'; esta resultante se podrá descomponer en dos fuerzas, una horizontal que se considera destruida por la resistencia, y la otra vertical que se puede mirar como repartida uniformemente sobre la extension entera de la base A' B' y que se podrá transformar en una sobrecarga uniforme del mjsmo peso específico p' que las tierras inferiores calculando la altura a que le corresponde. Examinemos ahora lo que pasa en el terreno situado debajo de los cimientos, suponiéndolo dividido en capas por planos verticales. Limitándonos á las capas B' S, y A' T que pasan por las aristas posteriores ó anteriores B' y A' del cimiento, vemos desde luego que podrá suceder: ~ .º Que el empuje que actúa en una porcion B' s de B' S y que proviene del macizo Q de las tierras que están detras exceda á la resistencia correspondiente, que está producida por fas tierras de ; debajo del cimiento y la carga equivalen te al muro. 2.0 Que el empuje que se ejerce sobre una porcion A' t de A' T y que proviene de las tierras de debajo del cimiento aumentado por la carga del muro, exceda á la resislencia producida sobré la misma porcion A' t por las tierras de la parte opuesta. Siendo esta última accion casi la única que se presenta en la .mayor parte de los casos de la práctica, nos limitaremos á ella en los pormenores en que vamos á entrar. Para mayor sencillez supondremos que el perfil del terreno está limitado por una línea de nivel EH y haremos A' H = b. Tomando luego un punto t .por debajo de A' á una distancia arbitraria A' t que designaremos por z, vamos á comparar el empuje y la resistencia que tienen lugar en la altura z.

4, 1

Observando que•/ =O, pues no habrá rozamiento en la pared ficticia A' t y que por esto cos. ('1' +e)= 1 tendremos, llamando p1 al ángulo del talud natural de las tierras de la fundacion con la vertical , que el empuje será(') P=

½ p 1 tang. 2 ½ 'Pi

( z 2 +2az)

y la resisteucia B=½Pi cot. 2 ½'fi [ ( z

+b ) -b 2

]

=½ p1 cot. 2 ½ 'l't (z'" + 2 bz )

atendiendo á que se ha de quitar la resistencia que hay en la altura b de la que corresponde á la altura z b, para tener la que se ejerce en z solamente. Cualquiera que sea el valor de z se ha de tener B >P, y además es preciso que en cada elemento de A' t ó z, la resistencia sea mayor que el empuje, y esto equivale á decir que cualquiera que sea el valor de z la diíerencial de B ha de ser mayor que la de P, lo cual exige que se tenga

ó y en el límite

Siendo b en la práctica menor siempre que a, se tendrá evidentemente el mínimo de b para z = o , que es

b = a tang. '

½ cp1

Así, para profundidades menores que a tang. ' (' ) Navier, !!36.

%. 'l't

los ci-

&.2

mientos tendrian tendencia á hundirse repeliendo los terrenos de delante. De aquí resulta que la estabilidad de un revestimiento ó de cualquier otro macizo de fábrica no estará asegurada sino en tanto que ·su base esté introducida en el suelo, y en una cantidad igual á la que acabamos de determinar para b. Esta conclusion , es preciso confesarlo, parece contraria á la experiencia, porque se ven macizos muy pesados levantados sobre terrenos de composicion ordinaria, y que, sin embargo, están á flor de tierra sin profundizar de un modo apreciable. Esta contradiccion aparente puede consistir en que esta teoría no tiene en cuenta la cohesion de las tierras, que se aumenta aun con la presion, y que se opone acaso con mas energía que su peso á la elevacion que el empuje tiende á producir. Tambien se puede buscar la razon de esto en la inexactitud de la hipótesis de que la presion se reparte igualmente bajo la base del cimiento. Es posible, en efecto, que por causa de la cohesion de la fábrica del muro, la presion sobre las partes de la base inmediatas á la arista, léjos de ser iguales al peso de las capas verticales correspondientes, sea menor y aun casi nula, de modo que siga una ley de progresion mas ó menos rápida, á medida que se alejan de ella aproximándose al centro V de la base.

CAPÍTULO V. Equilibrio di? las bóvedas en cañon.

22. Empezaremos por ocuparnos de las bóvedas én cañon de eje horizontal, terminadas por dos planos perpendiculares á él, y luego se verá que es fácil pasar de la consideracion de- estas bóvedas á la de las demas que se usan en la práctica, como las de arista, rincon de claustro, esféricas &c. 23. Estando las bóvedas formadas de materiales pequeños, que no tienen entre sí adherencia , ó tienen muy poca, si se imagina por un momento media bóveda aislada, es eviden~e que no puede permanecer en equilibrio, y que un segmento (*) mayor ó menor se separará del resto y caerá hácia adentro. Este movimiento se puede verificar de dos modos: ó el segmento que se separa gira al rededor de la arista de intrados a (fig. 23) de la junta de rotura, ó bien resbala sobre la superficie de esta junta (fig. 2i); pero por causa de la oblicuidad de la línéa aben aj primer caso , y de la direccion ac t'dmbien oblicua de la junta de rotura en el segundo, ninguno de (') En esta teoría se supone que siempre hay una junta vertical en el vértice de la bóveda, y se designa por segmerito la parte de bóveda comprendida entre la junta del vértice y otra cualquiera.

u estos dos movimientos se podrá efecluar sin que la junta del vértice se adelante respecto del plano vertical AB que pasaba por el eje de la bóveda en su posicion primitiva. Lo que acabamos de decir de una de las mitades de la bóveda, se aplica igualmente á la otra, y se sigue de e:;to que en una bóveda cilíndrica completa cada mitad tiende á marchar hácia la otra, tendencia que en una bóveda simétrica, siendo igual por ambos lados, produce en la junta vertical de la clave dos presiones iguales y contrarias, y por tanto horizontales, que se designan bajo el nombre de empuje de la bóveda. El empuje horizontal de una bóveda proviene , pues , siempre del peso de un segmento comprendido entre la funta del vértice y otra cualquiera, que tiende á caer hácia el interior de la bóveda , sea por rotacion, sea por traslacion. 2,í.. El empuje se compone ordinariamente de una série de fuerzas horizontales aplicadas á la junta de la clave de cierto modo, que varia segun la forma de la bóveda y lo perfecto de su ejecucion; pero se puede concebir que sobre una bóveda de pequeña longitud, de 1 metro, por ejemplo, se equilibren todas estas fuerzas por otra fuerza única, tambien horizontal , igual y contraria á su resultante. El punto en que esta fuerza única encuentra á la junta de la clave, se puede tomar como el punte de aplicacion del empuje, y mas adelante veremos cuál debe ser este punto de aplicacion segun los diversos casos que se presentan en la práctica. 25. En cuanto á la intensidad del empuje, ó de la fuerza que lo equilibra; será igual al máximo del esfuerzo horizontal que se ha de hacer en el punto de aplicacion para sostener un segmento cualqu·íera en equilibrio é impedir que caiga al interior, sea por rotacion sobre la arista de intrados de su junta inferior, sea por traslacion, ó deslizando sobre la misma junta. Esta intensidad depende, en general, del peso del segmento que produce el empuje, y de las posiciones respectivas del centro de gravedad de este segmento, de la arista sobre que se hace el giro, y del punto de aplicacion del empuje: tambien depende, en el caso de la lraslaoion, del rozamiento que se ejerce sobre la junta de rotura.

Ui De que los empujes horizontales de las dos semibóvedas opuestas sean iguales y contrarios, y aplicados á un mismo punto, no se sigue que se destruyan y que la bóveda deba estar en equilibrio; esto sucedería si el segmento que produce el empuje fuese de una sola pieza , y si la porcion inferior de la bóveda, en la que se apoya, fuese rígida é invariable; pero como esto no sucede así, se concebirá fácilmente que es posible qué el empuje ejercido en un punto de la junta vertica l de la clave sea capaz de arrojar hácia afuera un segmento mayor ó menor que el que produce el empuje, venciendo su resistencia, y haci éndole girar al rededor de la arista de trasdos de su junta infe rior, ó haciéndole deslizar sobre esta junta. Este movimiento hácia afuera de una parte de la bóveda, si tiene lugar, permitirá que el seg mento que produce el empuje caiga hácia adentro, girando ó resbalando, sin que pase de la vertical trazada por e l vértice de la bóveda, por consiguiente la bóveda se romperá; y como este movimiento hácia afuera se puede efectuar por cuatro segmentos diferentes; se sigue que, teóricamente, para cada una de las dos maneras de empuje hay cuatro modos de resistencia, y por consiguiente ocho modos de rotura para una bóveda cilíndrica cualquiera, con estribos ó sin ellos (fig. 25). 27. En la cuestion general de la estabilidad de una bóveda, puede haber que considerar las condiciones de estabilidad sobre los arranques, sobre la base de los estribos, ó sobr2 la de los cimientos. Para mayor sencillez, nos concretaremos por ahora á buscar las ' condiciones de estabilidad de una bóveda sobre sus arranques, observando solo, que estando producido el empuje por un segmento que tiende á caer hácia adentro, es siempre ind epend iente de lo apoyos y de los cimientos, de modo que teniendo una bóveda estable sobre los arranques, será muy fácil pasar á las dimensiones de estribos y de los cimientos para que la bóveda tenga tambien suficiente estabilidad sobre sus bases respectiva!:. 28. Hemos dicho antes que podia haber teóricamente ocho modos de rotura para una bóveda, y vamos á examinarlos, indicando para cada uno de ellos el punto-de aplicacion del empuje, y los casos prácticos en que habrá que considerarlos.

2?-

Para señalar con claridad los empujes y las resistencias marcaremos en los perfiles con la letra A el segmento que produce el empuje por un lado de la junta"' del vértice, y por B el que resiste por el lado opuesto, y las juntas de rotura de estos segmentos serán de trazo continuo; pero es menester tener muy presente que la accion inversa rn produce al mismo tiempo en cada mitad; y con este objeto indicaremos con líneas de puntos las juntas de rotura correspondientes á ella en cada modo de rotura. 29. Admitamos primero que el empuje se produce por la rotacion de un segmento, y veamos los cuatro modos de rotura que le corresponden, ~ .º Empuje-por rotacion. Resistencia por rotacion. (fig. 26). Segmento A que produce el empuje menor que el B que resiste. El segmento A cae hácia adentro girando al rededor de la arista de intrados de la junta inferior. El segmento B es repelido al exterior girando al rededor de la arista de trasdos de su junta inferior. La junta del vértice se abre por el interior, los segmentos se contraponen por la arista e.xterior, y sobre esta se encuentra el punto de aplicacion del empuje señalado por rr en la figura. Este modo de rotura se presenta con mucha frecuencia, y es el que se ha .de temer en todas las bóvedas de medio punto ó poco rebajadas, cuyo espesor no es muy grande, y tambien para las bóvedas ojivales que tienen poco espesor en los riñones. En estos casos, la junta de rotura j j' del segmento que resiste se confunde casi siempre con la de arranques. 30. 2. 0 Empuje por rotacion. Resistencia por rotacion (6g. 27). Segmento A que produce el empuje mayor que el B que resiste. El segmento A cae hácia adentro girando al rededor de la arista de intrados. El segmento B es arrojado hácia afuera girando al rededor de la arista de trasdos j'. La contraposicion de los segmentos se hace por la arista de inlrados de la junta superior, y en ella se encontrará el punto de aplicacion del empuje rr. Este modo de rotura' se presenta en las bóveda~ ojivales muy cargadas en los riñones y débiles en la clave. Nota. Es conveniente observar aquí que la contraposicion de

á.7

los .segmentos por la arista de intrados de la junta superior no tendrá lugar inmediatamente despues del descimbramiento en una bóveda que suponemos en equilibrio, sino cuando la construccion esté bien hecha y no quede hueco ninguno cerca de la clave por el lado del intrados, y como esta parte es poco aparente y no puede examinarse con facilidad, se concibe que puede no suceder .así, y en tal caso, la contraposicion se verificaría al principio por la arista de trasdos ( fig. 28), y estando la junta jj' siempre muy cerca del vértice, el brazo de palanca del empuje que se aplica á la arista de trasdos estaría muy aumentado y la bóveda empezaria á romperse, aun cuanrlo tuviese dimensiones suficientes para ser estable. Es verdad que al mismo tiempo la junta a se cerrará y entónces el empuje cambiará de punto de aplicacion, pero se hallará favorecido por la fuerza viva de la masa en movimiento y la deformacion de la bóveda; y se ve por esto cuán esencial es ajustar bien la clave en la& bóvedas ojivales. Un movimiento del mismo género puede producirse -en el primer modo de rotura, cuando la clave no está bien ajustada en el trasdos, pero como la junta j j' está muy léjos del vértice, el brazo de palanca y el empuje varían poco y dicho movimiento no ocasiona inconvenientes de gravedad, sobre todo si se tiene cuidado de descimbrar poco á poco. 31. 3. 0 Empufe por rotacion. Resistencia por traslacion. (fig. 29). Segmento A que produce el empuje menor que el B que resiste. El segmento A cae hácia adentro girando al rededor de la arista de intrados. El segmento B resbala. sobre la junta j j' hácia afuera. El punto de contraposicion de los segmentos y de aplicacion del empuje n está sobre la arista de trasdos. La junta de rotura jj' se confunde siempre con la de arranques. Este modo de rotura puede tener lugar en las bóvedas rebajadas cuyo espesor no·es muy grande. 312. !-.º Empufepor rotacion . Resistencia por traslacion. (fig. 30) Segmento A que produce el empuje mayor que el B que resiste. El segmento A cae siempre hácia adentro girando al rededor de la arista de intrados. El segmento B desliza hácia afuera sobre la

18 arista de trasdos j' ue la junta de rotura iJ'. La junta del vértice permanece cerrada de modo que no se advierte al pronto el punto de aplicacion del empuje, pero sería fácil determinarlo observando que el empuje debe mantener al rngmento B en equilibrio sobre la arista j' de la junta de rotura y al mismo tiempo hacerle resbalar sobre esta arista. Como este modo de rotura no se presenta en la práctica, no insistiremos sobre esta determinacion. 33. Supongamos ahora que el empuje se produce por un segmento que desliza sobre su junta inferior; tendremos los cuatro modos de rotura que siguen. 5. 0 Empuje por traslacion. Resistencia por traslacion. (fig. 3~ ). Segmento A que produce el empuje menor que el B que resiste. El segmento A resbala bácia adentro. El segmento B resbala hácia afuera por su junta de rotura ;j'. No hay desunion en la junta del \·értice y el punto de aplicacion del empuje queda indeterminado, pero como ahora la potencia y la resistencia provienen de segmentos que deslizan, sus acciones son independientes del punto de aplicacion, y se podrá conocer muy b:en su intensidad y compararlas entre sí. Este modo de rotura suele presentarse en la práctica en bóvedas de medio punto ó poco rebajadas, de grande espesor. La junta jj' de rotura se confunde siempre con la de arranques. 34-. 6.° Empuje por traslacion. Resistencia por traslacion (fig. 32). Segmento A que produce el empuje mayor que el n que resiste. El segmento A resbala hácia adentro, el segmento B resbala hácia afuera. Este modo de rotura no se presenta en la práctica. 35. 7.° Empuje por traslacion. Resistencia por rotacion (fig. 33). Segmento A que produce el empuje menor que el B que resiste. El segmento A desliza bácia adentro; el segmento B gira hácia afuera al rededor de la arista de trasdosj', y la junta JJ' se abre por fuera. o hay desunion en la junta del vértice, pero es fácil determinar el punto de aplicacion del empuje; en efecto, el segmento A, al de~lizar sobre la arista J, debe mantenerse en equilibrio de giro

: i

sobre ella, bajo la accion de la fuerzan, y si se llama P al peso del segmento A, G á la distancia horizontal de su centro de gravedad á la arista J, é Y :í la distancia vertical clel· punto de aplicacion del empuje sobre J, será preciso tener ny = PG,

óY =

PG n

ecuacion que da á conocer Y, ó el punto de aplica_cion, pues que proviniendo n de un segmento que resbala, se conoce y se determina perfectamente el segmento A, lo que da P, G y la posicion de .l. Este modo de rotura se puede presentar en las bóvedas fuertes de medio punto ó peraltadas , que tienen poco espesor en los arranques. La junta jj' se confuncle con estos. 36. 8. 0 Empuje por traslacion. Resistencia por rotacion. (fig. 34 ). Segmento A que produce el empuje mayor que el B que resiste . El segmento A resbala hácia adentro: el segmento B gira hácia afuera al rededor de la arista f de la junta de rotura jj'; los dos se contraponen por la arista de intrados de la junta ,del vértice, y por consiguiente en este punto está aplicado el empuje rr. Este modo de rotura apenas se puede presentar mas que en una bóveda ojival cuyas juntas, en vez de ser normales al intrados, se acercasen á la vertical. Se puede, pues , prescindir de él. 37. Acabamos de ver que e ntre los ocho modos de rotura dados por la teoría, ~olo pueden presentarse en la práctica cinco, que son los 1.0 , 2.º, 3. 0 , 5.° y 7.': para asegurarse de que una bóveda dada será estable sobre sus arranqu es , será menester suponer la bóveda en equilibrio en cada uno de estos modos de rotura, y despues buscar para cada uno de _ellos el valor del empuje y de la resistencia , y si en todos es superior la resistencia del empuje, se podrá ded~cir que la estabilidad es posible. Sin embargo, por causa de los defectos de construccion , de los choques accidentales y de las sobrecargas ' que lé! bóveda puede 7

!iO

recibir, es menester que haya cierta preponderancia de la resistencia sobre el empuje, pero des pues vol veremos á esta cuestion. La hipótesis que hacemos al admitir apriori la bóveda en equilibrio, tiene por objeto fijar el punto de aplicacion del empuje, segun se ha dado en el exámen de los modos de rotura; y aunque esta posicion no sea exacta en el caso de una bóveda estable, se pued~, sin embargo, admitir sin inconveniente, porque la bóveda no puede romperse sin que el empuje esté realmente aplicado al punto en que lo suponemos. 38. En tésis general, para determinar el empuje y la resistencia de una bóveda en los cinco modos de rotura posibles en la prác-,,. tica, no habrá que determinar cinco empujes y cinco resistencias, porque para una misma bóveda, muchos de estos valores son i<lén ticos. Así, en el caso del empuje por rotacion, hallándose siempre el punto de aplicacion en 'la arista de intrados ó de trasdos de la junta del vértice, no habrá mas que Jos expresiones, y para el empuje por traslacion, que es independiente de la posicion de dicho punto, no hay mas que una. Lo mismo sucederá para las resistencias, prescindiendo del 7 .º modo, que se presenta muy raras veces, y para el cual se puede suponer sin grande error aplicado el empuje á la arista de trasdo5 de la junta del vértice; de suerte que en el caso mas general será menester encontrar solo tres empujes y tres resistoocias ('). 39. Hallemos ahora las expresiones de estos empujes y resistencias. Siendo idénticas todas las secciones perpendiculares al eje en las bóvedas cilíndricas, los fesultados serán los mismos cualquiera que sea la longitud de la bóveda, y se podrá siempre suponer que se opera con una cuya longitud es la unidad de medida, ó sea un me-

n En la práctica, para examinar la estabilidad de una bóveda dada, basta por lo regular hallar dos empujes y dos resislenr.ias, y aun muchas veces un solo empuje y una sola resistencia, cuando se sabe de cierto el modo de rotura que se ha de temer en el caso propuesto.

tro . .Esta hipótesis permite reemplazar los volúmenes de la bóveda que son proporcionales á los pesos, por las superficies correspondientes de sus perfiles, y solo se ha de tener presente que las áreas representan un número igual de metros cúbicos de fábrica ó mampostería, que será de este modo la unidad de fuerza. 40. Hemos dicho ya que el empuje por rotacion es la mayor presion horizontal que se ha de ejercer en el punto de aplicacion de este empuje para mantener en equilibrio un segmento cualquiera de bóveda que tienda á girar al rededor de la arista de intrados de su junta inferior. Si se designa por S la superficie de la seccion de dicho segmento, por G la distancia horizontal de su centro de gravedad á la arista j de intrados, ó de rotacion (fig. 35), y por Y la altura vertical sobre la arista de rotacion del punto de aplicacion del empuje que obra, segun el modo de rotura, en el punto inferior ó en el superior de la junta del vértice, el empuje P que se ha de ejercer en el punto de aplicacion para sostener un segmento cualquiera estará dado evidentemente por la ecuacion

. ;

PY =SG , de donde se saca

P --

SG y·

Debiendo ser el empuje rr igual al mayor valor de P, se tendrá

SG) . n = max. (P)· = rnax. ( -=y Esta expresiones la misma cualquiera que sea el punto de aplicacion, solo los valores de S, G é Y se modifican si se pasa de a á a', porque el segmento que da el máximo varia con este punto de aplicacion. 41. La resistencia por rotacion será evidentemente igual á la menor fuerza horizontal necesaria en el punto de aplicacion del empuje, es decir, en a ó a', para equilibrar á un segmento cualquiera al rededor de la arista de trasdos de la junta inferior. Luego

IS2

si se designa por S' la superficie de este segmento, por G' la distancia horizontal del centro de gravedad de esta superficie á la arislaj' de trasdos, ó de rotacion; y en fin, por Y' la altura vertical desde el punto de aplicacion del empuje á esta arista de rotacion, la fuerza P' necesaria para tener en equilibrio á este segmento, estará dada por la ecuacion

P'=

~· G' ~ u

y la resistencia R de la bóveda por el mínimo de P', de donde R

. ( P') 'min.

. ( -y-, S' G'- ) , 1nin.

expresion ele la misma forma que la del empuje, excepto que la arista de rotacion está en el trasdosen lugar de estar en el intrados, y que se toma el mínimo en vez del° máximo. 42. Sea S la superficie de un segmento cualquiera, P el esfuerzo horizontal necesario para impedir que resbale al interior, tang. o el oocficicnte de rozamiento de las mamposterías sobre sí mismas, y (l. el ángulo que forma la junta j/ con la vertical (.fig. 36 ). Si se descompone cada una de las fuerzas S y P en otras dos, una normal y otra paralela á la junta jf, se tendrá para la cü'ndicion de equilibrio

S cos. (l. = P sen.

+ (S sen. (l. + P cos. (l.)

taog. 0 ,

de donde

S cos. (l. - sen. sen. (l.+ cos.

a a

taog. o tang. 0 '

y dividiendo arriba y abajo por cos. (l. P = S~ -

tang. (l. tang. ú S tang. (l. tang. o = tan. ((l. + O) = S cot. ((l.+ O) ·

!ia

Siendo igual á P la presion debida al peso de un segmento cualquiera S, se sigue que el empuje n, que debe ser el máximo de P estará dado por la expresion

n = máx. ( P ) = máx . ( S cot. ( "-

+ 01)

4,3. La resistencia por traslacion será igual al esfuerzo horizontal mínimo que se ha de producir en la.junta de la clave para hacer mai¡char á un segmento hácia el exterior de la bóveda, deslizando sobre su junta inferior. Si se designa por S' la superficie de un segmento cualquiera, por P' el esfuerzo que se ha de hacer para vencer las resistencias, y por u.' el ángulo de la junta .TJ' con la vertical, siendo tang. siempre el coeficiente de rozamiento, se hallará, por una descomposicion análoga al caso del empuje, P'

= S' cot. ( u. '

0) ,

y por consiguie nte , la resistencia por traslacion R

= min. (P') = m'in. [

S' cot. ( ~• -

O)] .

La expresion de la resistencia R tiene mucha analogía con la del empuje, y difiere de ella en que se ha cambiado el signo de o , ó sea la direccio~ relativa del rozamiento, y además en que es un mínimo el que se ha de ha11ar en lugar de un máximo. 44 . Para determinar por el análisis los valores de los empujes y resistencias, es preciso poner en las expresiones generales SG, y S cot. ("- _+ º) y los valores de S, G é Y en funcion del ángulo

que hace · con la

5&.

vertical la junta inferior del segmento variable S , Jo que trasforma estas expresiones en dos funciones de u f ( (.();

despues, para obtener los máximos ó los ,mínimos, segun que se busque un empuje ó una resistencia r será menester establecer las ecuaciones

d.F(u) - -d "-

d. f (u)

=O·

(J,

(.(

=O ,

de las cuales se sacarán los valores de "- que correspondan al máximo ó al mínimo, despues de haberse cerciorado de qua quedan satisfechas las condiciones

d2 .F (v. ) dv.2

d2 F ( " ) d cc2

< o,

d2f(u_) < o d (/.2

o '

~ ((l.) >

"-2

para el máximo para el mínimo.

Desgraciadamente, aun para las bóvedas mas sencillas, las expresiones F ( "), f ( "-) son ya muy complicadas, de modo que es imposible hacer las diferenciaciones, ó l..lay precision de reducirse á operar por tanteos, dando á cc varios valores próximos al de la junta de rotura que se presume , determinando para cada uno de ellos los valores de F ( cc) ó f ( u. ) , y tomando el mayor ó el menor de todos, segun que se trate de un máxirrío ó de un mínimo. · , Este método largo, sujeto á muchos errores de cálculo é ina plicable á formas de bóveda un poco complicadas, era el único que se usaba hasta que M. Poncelet ha dado un método geométrico de ejecucion bastante fácil para determinar con exactitud suficiente para la práctica los empujes y las resistencias de una bóveda cual-

¡;5

quiera, ó lo que es lo mismo, los máximos y mínimos de las expresiones generules ' SG

y .,

S cot. ( GI.

+ e) .

Este método, que aun ha podido simplificar el autor, será ahora adoptado y puesto eu práctica por todos los constructores con preferencia al analítico , por lo largo de los cálculos que este trae consigo. Seria de desear, sin embargo, que este último método pudiese red ucirse á forma mas sencilla, porque tiene sobre el método geométrico la ventaja de presentar resultados generales muy interesantes para- todas las bóvedas que pueden estar representadas por una ·misma funcion.

' ./

1.1

CAPITULO VI.

Determinacion gráfica del empuje y resistencia de una bóveda.

4-3. Empezaremos ahora por la determinacion del empuje y la resistencia por rotacion, y recordaremos que uno y otra están dados siempre por el máximo ó el mínimo de una expresion de la forma

ySG

en la que representan

S la superficie ó volúmen de un segmento cualquiera, G la distancia horizontal del centro de gravedad de este segmento á la arista de rotacion, la cual está siempre en el intrados para el empuje; y en el trasdos para la resistencia, Y la altura sobre la arista de rotacion del punto de aplicacion del empuje, que hemos colocado en la arista superior ó inferior de la junta de la clave segun el modo de rotura. Designaremos además por s1 , s2 , s3 .••••• sn etc. las superficies de cada una de las dovelas que componen la semibóveda ó un segmento de ella. U. El método geométrico tiene por objeto determinar para una série de segmentos, comprendidos siempre entre la junta de la clave y otra cualquiera, es decir, para

~ .º La vertical que pasa por el centro de gravedad, por medio de la cual se obtiene fácilmente G; 8

Líneas proporcionales á las superficies s1 , s1

2.º

+.s

3 • • • ••

11 ,

ó sea iguales á

~ (¿

( siendo a la cantidad por la

que han de multiplicarse dichas líneas para obtener las supetficies) y lue~o, como Y está dada directamente por el dibujo, obtener la série de c uartas proporcionales

relativas á cada uno de dichos s~m-~n-tos, de donde se deduce una línea que es máxima ó mínima, proporcional al empuje ó á la

resistencia, e ,gua por cons1gu1enLe a -

. ,

, o-

R . a,

Para aclarar esto, supongamos que se busca un empuje cuyo punto de aplicacion esté en la arista C ( fig _37); sean g1 , g2 , g3 •• rJn los puntos de interseccion de la horizontal trazada por C con las verticales que pasan por los centros de gra vedad de los segmentos s1 , .s1 +.s2 , s1 s 3 , s1 y sean tam2 2 3 •••••• bien l~~i~udes CS1 , CS 2 ••••.• CSn proporcionales á las superfrcres-.d& los"segmentos., ó iguales respectiva mente á

+s+

.•1 ~"S1 ...,"'--'--, 1 ( S1· a a f•

:1, • f

1 r"

+s+s

+ )

S2 , -

1 ( S1 a

+sn,

• • • • • •

+ ) S0

;

•

es cl¡¡ro 1 que siJ,bse.• considera un segmento cualquiera ( s1 s'l-" .., Sn ) , trazando por C la recta Cpn paralela á la dn g0 hasta que encuentre á la horiz,ontal que pasa por S0 , se tendrá

+ ......

~ Jj;

•

J-..•

'-' CSn X Gn un o/11 = Yn =

+( + s'1, + -... s1

sn ) X Gn

-½-snGn Yn

y haciendo lo mismo con los demas segmentos se tendrán los puntos cp 1 , '1' 2

••.• •• r¡>n •

Reuniel'!~º entonces estos puntos con una

curva, sus ordenadas representarán todos los valores de

ySG ,

59 y tirándole una tangente vertical, el punto de contacto dará la ordenada máxima, que multiplicada por a expresará el empuje en metros cúbicos de mampostería. 45. Si se tratase de hallar una resistencia en lugar de un empuje, p ermaneciendo en C el punto de contraposicion, para un segmento cualquiera ( s1 s2 Sn ) bastará tirar por el punto C una paralela á la ·recta en gn que une la arista de rotacion con la proyeccion del centro de gravedad del segmento, hasta que encuentre .á la horizontal que pasa por Sn ; y se tendrá tambien una curva cuya ordenada mínima dará la resistencia buscada. Este mínimo, cuando la conlraposicion tiene lugar en C, corresponde siempre á la junta de arranques. 46 . En fin, si la contra_posicion ó el punto de aplicacion del em·puje e stá en el intrados en C', se operaria lo mismo, pero tomando las proyecciones de los centros c!e gravedad sobre la horizontal que pasa por dicho punto, en lugar deJa que pasa por C. En todos casos, si en.la especie de rotura considerada, el segment.o que resiste es mayor que el que empuja, no habrá que busca r el mínimo de resistencia mas que entre segme_ntos mayores que este último, cuya junta de rotura es fácii determinar aproximada_mente, lo que es bastante. Si, por el contrario, en la especie.de -Fotura ensayada, la resistencia se debe á un segmento menor que el que produce el empuje, no será menester h~Jlar el mj_Qir:µo de tesistencia sino entre segmentos menores que este. ·· De la reseña presentada resulta que para obtener tanto los empujes como las resistencias por rotacion de una bóveda: b·asla hallar para la série en sus segmentos;' .. · 11.º Líneas proporcionales al área de sus 'r>'er"fi le's; r 2 º Las verticales que pasan por sus centros de gravedad. 4-7. Para lo primero supongamos, por ahora, que se trate de una bóveda trasdosada en arco, sin vertientés ni sobrecarga, qu e de estas últimas trataremos luego. Se dividirá la curva de lrasdos en cierto número de partes iguales (<l e 7 á 9 suelen basta·r), y por los puntos de division se trazarán líneas de junta normales á la curva <le inlrados; estas juntas

+ + ......

60 descompondrán la semibóveda, ó un segmento cualquiera de e!Ja, en cierto número de dovelas ( fig. 38) bastante pequeñas para.l poder considerar sin error sensible á cada una de ellas como un cuadr.ilátero rectilíneo: teniendo todos estos cuadriláteros un lad0 igual, será muy fácil trasformarlos en triángulos respectivamehte equivalentes, que tengan dicho lado igual por base•; de modo • qu~ . si se designa este por a, y por l2 ; • •••••• ln,las alturas de los¡itrián...gulos equivalentes, se .tendrá ' , . 1 .,.,,~

z¡,

al1

= 2 '

. ,.

S2 (

al 2

= 2

, ......

•

aln ,

•

= T '

U<'-

J 1 ,1 l !

, •, 0 ¡ , n.l )

•

y por consiguiente, para la superficie de ·un segmento comprendido desde la junta del vértice hasta la que ocupa el lugar n, ·

Sn=a ( 27¡2••····

+2 l ' 0

)

luego

es una línea proporcional al área del segmento Su . Para trasformar el cuadrilátero -sn , por ejemplo , en un triángulo cuya base sea a, basta trazar la rectad' f paralela á la diagonal e' d hasta que encuentre á la junta ed prolongada; los dos triángulos e'df, e'dd', que tienen la misma base y sus vértices opuestos en una paralela á ella, son equivalentes, luego el triángulo e'ef es equivalente al cuadrilátero ee'd'd, ó s 0 • En cuanto á la altura el del triángulo se obtendrá tirando la perpendicular em á la cuerda ee', y la fl perpendicular á em Si el trasdos es un arco de círculo descrito desde el punto o' como centro, la perpendicular á ee', será tangente al circulo descóto desde el mismo punto o' con un radio igual á ½ a. 4-8. Cuando una bóveda se ha de trasdosar en vertiente, ( figura 39) se suele empezar haciendo una bóveda trasdosada en arco, rr ue designamos con el nombre de bóveda primitiva,, con las juntas

nor,males· al intracfos , y despúes se completa el perfil con mampostería de relleno colocada por h)ladas ,horizontales; y por este modo de' construir se admite, y cási lo confirma la experiencia, que las juntas de rotura en.,este relleno·· son verticales, y como la mampostehía e9looa·cla sobre la clave' no •tiene fuerza y no podría sufrir el empuje , sin deslizar sobre fos· lados, se su pone tambien que la ,eontraposicion· no. puede hacerse por ,mas arriba de la arista de trasdos C de la bóveda primitiva. Sin embargo, es evidente que . la parte superior alguna resistencia opone que no se tiene en cuenta, lo cual es_favorable á la esta_bilidad . . Cuando la bóveda, con vertientes ó sin ellas, tiene una sobrecarga, se admite tambien la misma hipótesi~ para las líneas de rotura en la sobreca~ga y para ~l punto de la contraposicion ; pero si esta sobrecarga se compone ele materiales de peso específico diferente del de la mampostería que entra en la bóveda propiamente dicha, se empieza por reducir todas las vel'.ticales que indican las juntas de rotura ( fig. 40) en razon inversa del peso específico de la fábrica de la bóveda al de la sobrecarga, y se opera luego como si la bóveda y la 5iobrecarga así reducida fuesen del mismo peso específico. 49. En el caso en que hay vertientes ó sobrecargas se divide . tambien el trasdos de la bóveda primitiva en partes iguales a, por los puntos de division se trazan normales ed, e'd', etc. al intrados, y verticales ed1 , e'd'¡, etc. que formarán las juntas de rotura en la bóveda y en el relleno ó la sobrecarga; si esta no tiene el mismo peso específico que la bóveda ( si es de tierra por ejemplo) se reducirán las verticales en la relacion de estos pesos específicos y se reemplazará la superficie AB de la sobrecarga por la A'B' ; despues se trasformarán los dos cuadriláteros adyacentes e e' d' d, e e' d¡' d1 , que componen una dovela sn, en dos triángulos que tengan por base a, y por vértices opuestos f y {1 , que se proyectarán en l y l1 , sobre la perpendicular em á la cuerda del trasdos, de modo que se tendrá

Sn= Ct

1 X T,

l; 1 es, pues, la linea proporcional pedida para

y lo mismo se

encontrarían las líneas proporcionales para las demas dovelas que componen el segmento representado por S en la expresion

T ll

s; .

Es claro que para la facilidad del trazado se podrá tomar Zl1 , ó ll a eLc. en lugar de pero entonces el factor comun será T

ó 2a, etc., y se habrá de tener presente que por este factor a í modificado se habrán de multiplicar los resultados obtenidos, es decir, las líneas máximas ó mínimas que dan los empujes y las resistencias. 50. Las verticales que pasan por los centros de gravedad de los segmentos se obtienen por medio de los centros de gravedad de las dovelas, que supondremos ahora conocidos, trazando por estos centros verticales, y tomándolas como otras tantas fuerzas paralelas contenidas en un mismo plano y de intensidad igual al peso de cada dovela , cuyas resultantes sucesivas se buscan, es decir, de 2, de 3 ..... de n dovelas á contar desde la del vértice de la bóveda. Este problema se resuelve con mucha facilidad por medio de algunas propiedades que resultan del equilibrio de los polígonos funiculares sometidos á fuerzas paralelas en un mismo plano. La primera de que nos serviremos consiste en que si se prolongan en los polígonos funiculares dos lados cualesquiera, su interseccion caerá sobre la resultante de las fuerzas intermedias, así, prolongando los lados e y e' (fig. 41), el punto i de in ter eccion e encontrará sobre la resultante R de las fuerzas Pi, p 2 , p 3 , p,,_ intermedias, y como esta resultante ha de ser paralela á las fuerzas, queda completamente determinada su direccion. Si conseguimos, pues, reunir todas las fuerzas paralelas que representan los peso de las dovelas por · un polígono funicular que esté en equilibrio bajo la accion de estas fuerzas, bastará para tener las resultantes, tomar las intersecciones de todos los lados con el primero á contar desde el vértice de la bóveda, y trazar por estos puntos de interseccion verticales que serán las direcciones de las resultantes buscadas.

63 _Nada es mas fácil que reunir fuerzas paralel as en un mismo plario por un polígono funicular en equilibrio; basta para esto ( y es oLra propiedad •de estos polígonos) llevar una despues de otra, sobre una vertical ( 6g. 42) longitudes proporcionales á las fuerzas, y en el mismo órden que estas, tomar luego un punto A exterior cualquiera, y trazar entre las posiciones dadas de las fuerzas rectas paralelas á las que unen el punto A con los extremos de las longitudes proporcionales á dichas fuerzas; cuidando de que en el polígono trazado , los dos lados adyacentes á una fuerza sean paralelos á las dos direcciones que unen el punto exterior A con las dos extremidades de la parte de línea vertical que es proporcional á esta fuerza. Se ve por es to que hay una infinidad de .polígonos que satisfacen á la condicion de estar en equilibrio con las mismas fuerzas ; observacion•que facilita la.construccion de un segundo polígono que confirme los resultados del primero . En la práctica conviene hacer de modo que las intersecciones de todos los lados con el primero no sean muy oblicua;;: esto se obtiene tomando el punto exterior á la altura de unos % de la vertical que lleva las longitudes propor:cionales á las superficies de las dovelas. á contar de la del .vértice, y en una recta que partiendo de este punto baga con la vertical un ángulo de 35º á 40°. En fin , si se quiere mas exactitud aun, se podrán obtener las verticales buscadas por medio de muchos polígonos funiculares en lugar de uno solo , combinando la resultante de tres ó cuatro fuerzas con las siguientes en un nuevo polígono en que · esta resultante entre como fuerza, y así sucesivamente. Un poco de hábito basta para ver todo el partido que se puede sacar de este método ( • ).

(' } El polígono funicular se puede construir tambien tomando las lon gitudes pr oporcionales en uná horizontal en vez de la vertical, pero entonces los lados del po lígono han de ser respectivamente perpendiculares á las rectas qu e uoeo el punto exterior con los extremos de aquellas longitudes. Aquí es preferible toma r las longitudes en la vertical porque es mas fácil trazar paralelas qu e perpendicul ar es.

6t 51. Cuando cada dovela no se compone mas que de un cuadrilátero, se tendrá el centro de gravedad trazando las dos diagonales e' d, ed' ( fig 43), dividiendo una de ellas, la primera por ejemplo, en dos partes iguales en m, llevando la parte id' de la otra desde e á n, y uniendo los puntos m y n, de cuya distancia se tomará el tercio á partir de m: el punto ,9 así determinado será el centro de gravedad; lo que es muy fácil de demostrar. Cuando la dovela se componga de dos cuadriláteros, se hallarán por el método anterior los centros de gravedad 9 y 91 ( fig. 44) de los dos, y luego no habrá mas que dividir la línea 99 1 en razon inversa de los pesos de las partes de la dovela, ó·de fas Hneas proporcionales á ellos el, e l1 • M. Poncelet hace la division en razon directa trazando por el punto e una paralela á 991 que corta á f l, y {1 t1 ~n h Y,,h1,, tomando la interseccion k de las líneas hg, _h1 .g1 , unien.do e~te punto con el e con una recta lee que corta á fa 9g' en k'; despues ,- para tener la division en razon inversa toma gk' desde 91 á k". Tambien se podría efectuar directamente la division de gg' ·en razon in versa de el, el1 ( flg. 45) por el método de los polígo~i s funiculares considerando á las fuerzas que se ejercen en g y g1 como perpendiculares ó paralelas á ll1 segun que g91 se aproxim,e i;nas á ser paralela ó perpendicular á ella, y construyendo un polígono funicular sometido á estos dos esfuerz9s, y que pase por 9 y 91 : trazando por el punto k de in\erí'eccion de 1os lados extremos una perpendicular ó paralela á l l1 , se encu~ntra el punto k". ( Véq,~e la no/a 5.3) · · 52. Cualquiera que sea el método que se em~lee, es preciso. cuidar de no trazar mas que la parte indispérisable de cada lín~a, y usar lápices bien afilados, para cons~guir exapÍ.i tud clariqad en l?s resultados. Tambien es esencial acotar con lo~ mismos números las a;istas de intrados de las dovelas, los extrem_Q~ de las alturas de los trián'' ... . gulos equivalentes á estas dovelas, tas verticales que pasan por sus centros de grav~dacl y laf loqgitudes_que les son proporcionales, y que se torhan en una vertical para la 900.struccion del polígono fu-

I•

61:i

nicular y de las curvas de empujes y resistencias, y finalmente, las proyecciones de los centros de gravedad sobre la horizontal que pasa por la arista de contraposicion. En resúmen, para hallar geométricamente el empuje y la resistencia por rotacion de una bóveda con sobrecarga ó con vertientes, eE. menester dividir la curva de trasdos de la semibóveda primitiva en partes iguales a, trazar las juntas por estos puntos de division hallar las alturas de los triángulos que tengan por base a y equivalgan á cada uno de los cuadriláteros que componen cada dovela, y determinar los centros de gravedad de ellas; des pues tomar sobre una vertical y á continuacion unas de otras, las longitudes proporcionales á las areas de las dovelas, construir por medio de estas longitudes y de las verticales que pasan por lo5 centros de gravedad de las dovelas correspondientes un polígono funicular que determine la posicion de las vertica les que pasan por los centros de gravedad de los segmentos respectivos, y proyectar estos centros de graved:-id sobre la horizontal que pasa por la arista de aplicacion del empuje, en la especie de rotura que se considera; y por fin , construir por una série de cuartas proporcionales la curva de los empujes ó de las resistencias, á la que se trazará una tangente vertical para obtener la ordenada mayor ó la menor, y esta, multiplicada por cierto factor conocido, dará en metros cúbicos de mampostería el empuje ó la resistencia buscados. 53. El empuje por traslacion está dado por el máximo de la expresion S cot. (o:+ 0)

y la resistencia por el mínimo de Scot.(o:-B).

Basta, pues, como para el empuje por rotacion, saber construir para un segmento cualquiera dichas cantidades , ó líneas que les sean proporcionales. Recordaremos que representan S la superficie del segmento 9

. 66 u el ángulo que hace la junta inferior con la vertical, y 0 el ángulo de rozamiento de la mampostería, y cuyo mínimo ( en el caso mas desfavorable) se lia encontrado de 30°. Dividido el trasdos de la bóveda en partes iguales a, se hallarán , conforme antes hemos indicado, las alturas l 1 , l 2 , l 3 , •••••• ln de los triángulos equivalentes á las dovelas s1 , s1 • . • • • • Sn que componen el segmento S ,. de modo que la línea que se ha de construir es

(-} +

...... li ) cot. ( " + 0)

para el empuje. 54. Para encontrarlo, no ha y mas que trazar por el centro O de la bóveda ( fig. 46) ( si el intrados es circular) una línea OF que haga un ángulo e ó de 30° con la horizontal y por encima de ella; sobre esta línea se tomarán á contar desde O y unas á conti-

l2 ln 2 ,2 , ...... 2 , y

. de otras, Ias long1tu . des l1 nuac10n

se le-

vantará en la extremidad Sn una perpendicular á esta línea hasta que encuentre en '!'n á la prolongacion de la junta inferior en du del segmento S. La línea Sn 'f'n es la línea proporcional buscada. En efecto , el ángulo FOdn es igual á 90° - ( a. e), luego

ósea Sn 'f'n == (

i- +

.... .. + li ) X cot. ( + e). a.

Haciendo la misma construccion para todos los segmentos de la semibóveda se obtendrá una série de puntos '1'1, q,2 , •••••• 'f'n que formarán una curva , á la cual se trazará una tangente paralela á la , .ecta FO que dará la ordenada máxima, y por consiguiente una

67 línea proporcional al empuje, que bastará multiplicar por a paratener el empuje efectivo en metros cúbicos de mampostería. Nota. Si las juntas no pasasen por el punto O , sería menester. tirar por él paralelas á ellás, y los puntos 'i' serian los de encuentro de estas con las perpendiculares á OF. 55. Para hallar la resistencia por traslacion, la línea que se ha de construir para un segmento cualquiera S sería

(2l - +l2 + . . . . . . 2lo) cot. (" - e)·. 1

la operacion es exactamente la misma que para el empuje, excepto que la línea

OF', sobre la que se toman las longitudes ~ , ~ etc.

hará el ángulo 0 con la horizontal por debajo de ella, en lugar de hacerlo por encima. Es fácil, en efecto, observar, que para la junta em dm se tendrá el ángulo F' Oclm = 90º 0 = 90° - (" - 0), y por consiguiente

Sm rpm=

l1 (- 2

Sm 'fm

= (

l2 2

-j- +

+ l; ) tang. ( 90º - (" ...... + l2) c~t. (" - e).

e) ) ,

La resistencia mínima tiene siempre lugar en los arranques. Ya se ha dicho que en lugar de

· 1es como l l ner otros vaiores p1. oporc10na 1 , 2,

, etc. se pueden po......

o,l1 T, l2- , etc.,

con tal que al mismo tiempo se modifique en sentido inverso el factor a por el cual se ha de multiplicar el resultado definitivo. La figura 4 7 muestra reunidas todas las contrucciones necesarias para el exámen de la estabilidad de una bóveda sobre sus arranques en todos los modos de rotura. En ella se representan por ,j(-

68 Il1 el empuje por rotacion, R, la resistencia por rotacion , rr, el empuje por traslacion , Âˇ R1 la resistencia por traslacion , a la longitud de las cuerdas iguales , A es el punto que ha servido para construir el polĂgono funicular, sobre la misma vertical C7 y o' son los centros del trasdo~.

CAPfTULO VH.

Estabilidad de las bóvedas en cañon.

1: 1

1>6. Calculados el empuje y la resistencia por el análisis ó por los métodos gráficos , se podrá reconocer si una bóveda dada por su intrados y su trasdos será estable, y en este caso cuál es la especie de rotura que presenta mas tendencia á producirrn, que será la que dé menos diferencia entre el empuje y la resistencia. Se comprende que para prevenir los efectos de la fuerza viva en el momento del descimbramiento, de la imperfeccion de la fábrica, de las sobrecargas accesorias etc., es necesario que la diferencia entre el empuje y la resistencia aumente con los riesgos ó causas de rotura, como la magnitud de la luz, lo rebajado de la sagita, las cargas accesorias etc. : el empuje de una bóveda varía poco mas ó menos corno estas causas de rotura , por consiguiente, se puede tomar el exceso de la resistencia sobre el empuje proporcional _á este último; y la relacion mínima necesaria entre estas fuerzas para asegurar la estabilidad de la bóveda se llama coeficiente de estabilidad y se señala ordinariamente con la letra cr. 57. Los constructores acostumbran á tomar el coeficiente cr igual á ~ ,80 para las bóvedas ordinarias, é igual á' 2 para bóvedas á prueba de bomba, consideradas sobre la base de sus apoyos: discutiremos el valor de esta coeficiente cuando tratemos del espesor de

70 los estribos. Observaremos ~olo, que estando casi siempre el estribo comprendido entre dos paramentos verticales A B, A' B', (fig. 48) y aumentándose el espesor de la bóveda primitiva en los arranques con la adicion ,del macizo B' be', ó del B' bcd si hay una vertiente, para hacer la union con el paramento exterior A' B', el coeficiente de estabilidad sobre los arranques es casi siempre mayor que 1,80 ó 2, á menos que en la especie de rotura que se presume la resistencia sea por traslacion, ó que la bóveda sea ojival ; de modo que casi nunca habrá que ocuparse del coeficiente de estabilidad de la bóveda sobre sus arranques. En el caso en que se tema el resbalamiento sobre la coronacion del estribo, bastaría inclinar las hiladas que lo componen , á contar desde cierta altura, de modo que tengan una inclinacion hácia adentro, aumentando ligeramente esta inclinacion á medida que se acer _ quen á los arranques, que no siendo entonces horizontales, - opondrían una resistencia mucho mayor al resbalamiento. Sucede, sin embargo, que se construye la bóveda trasdosada en arco, y que se descimbra antes• de haber hecho los macizos B' be' ó B' bcd, y conviene que esta bóveda tenga suficiente estabilidad: Nos parece qué con un coeficiente de 1,30 á ~ ,40 para las bóvedas medianas y fuertes es bastante, y que para las bóvedas ligeras se puede reducir á ~ ,115, atendiendo á que en estas se debe tener en cuenta la cohesion de los morteros. Por otra parte está fuera de duda, que existen muchas bóvedas, principalmente ojivales, que se sostienen hace siglos con un coeficiente de estabilidad menor. ( Véase· la nota 6:). 58. El modo de llegar con mas rapidez á determinar la forma de una bóveda que sea estable sobre sus arranques, es proceder por tanteos y por trazados1geométricos. En general, el perfil de intrados es dado, y debe satisfacer á determinadas conveniencias; los constructores tambien acostumbran á arreglar el espesor de la bóveda en la clave segun su naturaleza y su intrados, de tal modo que, llamando e á este espesor y D el diámetro del círculo que pasa por los arranques y el vértice del intrados se toma

.para las bóvedas ligeras e=0m,rn + 0,01 D para las bóvedas medias e=0m, 20 + 0,02D p3ra las bóvedas fuertes e=0m,40 + 0,04D á lo que se puede añadir para las bóvedas ápruebade bomba c=0m,50+0,05D que conviene con lo que se hace en la práctica. Estando dados casi siempre el intrados y el espesor de la bóveda, no se puede disponer mas que del trasdos para obtener un coeficiente de estabilidad dado. 59. Nos ha parecido que sería útil para los constructores conocer sin necesidad de tanteos el trasdos de las bóvedas estables sobre sus arranques, y por esto hemos formado unas tablas que dan la forma de este trasdos. Si se designa por r el radio del círculo que pasa por los arranqui:is y el vértice del intrados, y por e el espesor en la clave, es fácil observar, por las fórmulas anteriores, que la relacionr

+e está r

comprendida siempre entre 1 y 2, de modo que si para una misma forma de bóveda se hace variar sucesiva mente dicha relacion desde 2 hasta 1, y se deduce el trazado del trasdos, el cuadro que resulte será general y dará el trasdos de todas las bóvedas de la forma considerada. En las bóvedas de medio punto hemos admitido para forma del trasdos un arco de círculo que tenga su centro en la vertical que pasa por el eje, y esté determinado por el espesor e en la clave y el e' en los riñones, es decir en el radio que hace un ángulo de 30° con el horizonte: e' es, pues, la sola variable que se ha tomado aquí en funcion de e.

r:--,

1,88 1,48 1 ,40 1, 22 1,20 1, 18 1, 16 1,H 1, 12 1, 10 1,08 1,06 1, 04 1,02

•·+e

Coeficiente

2,30

2,0 e 3,0 e

1,14

1, 44 1,47 1 1, 43 1,40 1, 38 1, 26 1,14 1, 14

1, 42

2,10 1,40

3, ñ0

e e

de estabilidad.

1, ·1 e 1, 2 e 1, 3 e 1, 4 e 1, 5 e 1, 6 e 1, 7 e 1, 8 e

<losar la bóveda paralelamente. El coeficiente de esLabilidad es mayor que 1,iO, que es el que hemos dado como límite superior aproximado. Cuaudo dicha relacion varia de 1, 22 á 1, 06, es necesario aumentar el espesor e en O, 1 e para cada dos décimos de disminucion en ella ; en fin, desde 1, 06 hasta 1, 02, se ha conservado el límite inferior de estabilidad, á fin de que se pueda adoptar este límite, si se quieren construir bóvedas muy ligeras, además de que nada impedirá aumentar la estabilidad aumenLantlo e', si parece conveniente. Si se conLioúa trasdosando paralelamente, para el valor r;. e=1 ,1U se encontraria que la bóveda estaba en equilibrio estricto, de modo que necesariamente habria de caerse para valores mas pequeños de dicha relacioo.

Mientras que la relacion r·+ ! no es menor que 1,22, se pued; tras-

Aquí r es el radio del intrados.

OBSERVACIONES.

TABLA que da el espesor en jlos riñones de una bóveda de medio punto, trasdosada en arco .

1, 2 e

1, 3 e

1, 5 e 4, 7 e 2, 0 e 2,4 e 2, 9 e 3,5 e 4,0 e

4, 18

1, 16 1,14 ~ 11 1, 12 1, 10 4,08 1,06 4,04

e e e 1, 1 e

1,80 1, 50 1, 25 1, 22 1,20

- - •·'

,. +

1, 4 1 1,{3 1,37 1,38 1,38 1, 37 1,39 1,39 4,35 1, 18

1, 47

2, 47 2,00

Resisiencia por rolacion.

1,32 1,30 ,1, 26 1,26 11, 27 1,29 11, 33 1,32 1, 34

1, 30

11, 87 1, 37

. A,90 i

' islencia Res por traslacion.

COBPICIBNTK DR ESTllll LID!D. ,

.... ...: )

OBSERVACIONES.

El radio medio , ó del círculo que pasa por los arranques y el vértice del intrados es r. El lrasdos puede ser paralelo hasta el valor de l., 2 5. 1 Se ha indicado el coeficiente de estabilidad para el caso en que la resistencia es de traslacion, porque es el género de rotura que mas tendencia tiene á producirse; y nos hemos detenido en el límite 1, 26 para su coeficiente, porque es fácil aumentar la resistencia al resbalamiento dando un poco de inclinacion bácia adentro á las hiladas inferiores á los arranques.

TABLA que da los espesores en los arranques de las bóvedas carpaneles de tres centros, rebajadas al tercio.

11 ~

En los arcos carpaneles de tres centros rebajados al tercio , la forma de trasdos adoptada es otro arco de: la misma clase determinado por el espesor e en la clave y el espesor en los arranques e', tomado eh funcion de e.

71¡,

Falta hacer tablas análogas para otras bóvedas que se encuentran eo la práctica; pero mientras tanto, las dos que preceden podrán servir de guia para todas las bóvedas circulares y carpaneles. (•) 60. Acabamos de examinar las condiciones de equilibrio de una bóveda sobre sus arranques, y hemos visto cómo se puede asegurar su estabilidad variando el trasdos. Supongamos ahora que una bóveda estable sobre sus arranques se apoye en unos estribos y veamos las condiciones de estabilidad que esta disposicion introduce en el sistema · general, admitiendo como invariables los cimientos sobre que insisten estos estribos. En esta hipótesis, una bóveda no puede romperse mas que de dos modos, segun que el máximo empuje que se origina en la junta del vértice provenga de la rotacion ó de la traslacion de un segmento, pero en ambos casos la resistencia proviene de la rotacion de la semi-bóveda y del estribo juntos al rededor de la arista exterior de la base de este último. Como la segunda especie de rotura se presenta muy ra.ras veces, no nos ocuparemos aquí mas que de la primera. Para que la bóveda sea estable sobre la base de los apoyos, es menester que haya equilibrio, alrededor de la arista exterior de la base, entre el momento del empuje multiplicado por el coeficiente de estabilidad, que es la única fuerza que tiende á derribar la bóveda, y los momentos de los pesos de la semibóveda, del estribo, y de la sobrecarga, que obran en sentido contrario. , Si se designa (fig. 40) por x el espesor que se busca del estribo, H en altura, M la montea de la bóveda, e su espesor en la clave, S la superficie de la semibóveda, que representa su peso.

(')

El autor ha publicado tablas muy completas para toda clase de arcos en el

Memorial de l 'o{{icier du génie, núm. • 5, que por su grande extension no insertamos. (N. del T. )

75 G la distancia horizontal de su centro de gravedad á la arista de intrados de los arranques, ' E el ancho de la sobrecarga, cuyo paramento interior se supone el mismo que el del estribo, h su altura, n el empuje, y a el coeficiente de estabilidad , la ecuacion de momentos dará

+ x) + -x 2- H +-E2-h, 2

n (H-t M +e )= S (G

de donde se saca

los valores de S, SG y n están dados por tablas ó por el dibujo que se ha tenido que hacer para determinar el empuje, porque en él se encuentra G directamente, y longitudes proporcionales á n y S y

aun será fácil obtener allí mismo la cantidad

61. El espesor del estribo aumenta con ]a altura, pero la variaciones tanto menor cuanto mas elevado es. Si se hace H infinito ~n la última ecuacion, se saca para x el valor finito

X=V

'.:,?all I

que es el limite del espesot· del estribo, y se ve que es igual á la raíz cuadrada del doble del empuje multiplicado por el coeficiente de estabil-idad. Este espesor límite difiere poco del que se hallaría para una altura igual al radio de la bóveda, de modo que en los anteproyectos se puede tomar con bastante aproximacion este espesor, rectificándolo cuando el proyecto se haya de dar completo. (Véase la nota 7.') 62. La sobrecarga del estribo puede ser un muro á plomo sobre

su borde exterior, ó. una masa de mampostería colocada encima para prolongar, por ejemplo, una vertieríte d·e sde la vertiéal levantada en la extremidad del trasdos de la bóveda p11imitiva basta el para-mento exterior del estribo. En el primer caso las cantidades E y h son conocidas, y la ecuacion (a) da inmediatamente el valor de x; pero en la otra hipótesis E y h son funciones de x , y entonces se saca 2

. . tener en cuenta eltermmo ' · E·H h, seob' primero e1 va 1or d e x sm ,t1en~ así un valor aproximado, que permite calcular con poco error dicho término ; este se introduce bajo el radical para extraer de nuevo la raíz cuadrada y se obtiene por este procedimiento un valor de x tan exacto como se pueda deseai·. 63. Para hallar el espesor del estribo por un método gráfico, basta tomar tres posi9iones del paramento exterior que comprendan la que se busca y componer para cada posicion las tres fuerzas v II, S y P (peso del estribo) ó líneas proporcionales á ellas, cuya direccion se conoce y hallar los puntos de interseccion ·de los paramentos con las resultantes respectivas. Estos tres puntos formarán una curva que cortará á la horizontal de la base del estribo en el puntó que se busca. El cálculo suele ser mas breve que el método grafico, pero conviene comprobar el espesor hallado por el primer medio trazando la resultante de todas las fuerzas para el paramento que se ha encontrado. Esta resultante ha de cortar al paramento en la base misma del apoyo. 6t. Hemos supuesto que los cimientos de los apoyos eran invariables y fijos completamente , pero no sucede así por lo comun: si el suelo en que se apoyan es compresible , será preciso que la resultante de las fuerzas que actuan sobre la base de los cimientos pase por el centro de esta base; pero es menester observar qu_e si el terreno contra el que venga á apoyarse el paramento de la fundacion tiende á hundirse por la parte exterior, opondrá una resistencia tanto mas enérgica, cuanto mas compacto sea; y será preciso tener , en cuenta esta fuerza, que es la resistencia de las tierras. Se puede llegar á este resultado de dos maneras ; "bien fijando

77 la pr!)fundidad de los cimientos, y alargando lo necesario el ensanche exterior, bien aprovechando la r~sistencia de las tierras para dejar el ancho constante y profundizar el cimiento rle 'modo que se obtenga el mismo resultado. Los métodos para hacer esto son los mismos que se han expuesto en el capítulo IV. Solo observaremos que es menest~r que el retallo del ensanche tenga cierta relacion con la profundidad del cimiento, sin lo que se podría ocasionar una rotura en la prolongacion del paramento exterior, que haria nulo el efecto de dicho ensanche. Esta r;elacion depende de la calidad de la fábrica: para l::Js mamposterías Q9munes no debe ser mayor que la unidad, y se deberá construir siempre la fundacion un año antes que la bóveda, para que el macizo haya tenido tiempo suficiente de hacerse firme, con lo que serán masdifíciles las roturas.

CAPÍTULO VIII. Bóvedas compuestas y esféricas.

65. Se ha supuesto hasta aquí que se podian reemplazar los volúmenes que entran en los cálculos de la estabilidad de una bóveda por la superficie de la seccion causada por un plano perpendicular al eje; pero esta hipótesis, que es completamente admisible para una bóveda cilíndrica, tiene que modificarse cuando se trata de una bóveda por arista ó en rincon de claustro, ó de una bóveda esférica. Veamos ahora cómo se pueden aplicará cada una de estas bóvedas las construcciones geométricas que hemos ex'puesto en el capítulo VI. 66 . Consideremos primero las bóvedas por arista, y supongamos que se trate de una galería indefinida compuesta de una série_de bóveda's de esta clase. Equilibránqose mutuamente las bóvedas en el sentido de la longitud, la rotura no podria hacerse mas que en direccion longitudinal. Admitiendo la rotura por rotacion en la clave y en los arrranques, habrá una línea de contraposicion en el trasdos segun AB, (fig. 50.) y una rotacion al rededor de las aristas discontinuas FG, F' G' .... F 1 G1 , F\ G'1 . Si examinamos lo que sucede en la porcion de bóveda IOO'l' que se apoya en un pilar, veremos que la rotura, segun la junta que pasa por F' G', no podrá verificarse sin que baya desarticulacion de las bóvedas perpendiculares á la direccion de la galería, de modo que una parte de estas bóvedas ha seguir el movimiento de rotacion alrededor de la arista F' G';

80 luego el segmento que pioduce el empuje se compondrá, no solo de la parte proyectada en F' G' O' O, sino tambien de la mitad de las partes proyectadas en G O F', y G' O' F" que se apoyan en la anterior; es, pues, el peso y el centro de gravedad de esta masa la que se had -:i conocer para determinar

y su máximo. Pero se puede

admitir sin error sensible que el peso de las partes proyectadas en G O F' y G' O' F" es el mismo que tendrian las mismas proyecciones si perteneciesen á una bóveda que tuviese su eje en el sentido A B del de la ga lería; de donde se sigue que el empuje será próximamente el mismo en una bóveda por arista que en otra cilíndrica dé la misma luz y el mismo perfil: se podía determinar por consiguiente como en una bóveda cilíndrica. Se probaria fáci lmente que sucede lo mismo· con las resistencias deb idas al peso de toda la semib óveda girando al rededor de la a rista de trasdos de los arranque~. Luego para determinar la estabilidad de una bóveda por arista sobre los arranques, se la puede considerar como una bóveda cilíndrica y operar absolu tam_ente del mismo modo que en el capítulo VI para determinar n, S, y S G; y como lo que hemos dicho para esta especie particular de rotura, podría demostrarse tambien para las demas, la operacion podrá hacerse en todos casos como para una bóveda cilíndrica. 67. Suponiendo la bóveda por arista estable sobre sus arra nques, es preciso determinar tambien el espesor del pilar, que dependerá eviden temente de su longitud en sentido ele la galería, y se comprende desde luego que teniendo esta bóveda sensiblemente el mismo momento y el mismo empuje que una bóveda cilíndri ca de la misma luz , el apoyo que está interrumpido en una parte de su longitud deberá ser mas grueso. Regularmente se le da en el sentido de la galería una longitud igual a l espesor hallado para el estribo de una bóveda cilíndrica de igual luz y forma, y despues se calcula el espesor con mucha facil idad en una segunda operacion. En efecto, sea l la longitud del pi lar, L la lon gitud de la bóveda que se apoya en el pi lar que se considera; bastará multiplicar rr, S,

y SG por la relacion

ó introducir los valores así modificados en

la ecuacion general del equilibrio de una bóveda sobre sus estribos para alcanzal.' el valor buscado . Se tendrá así

x - - lH +

✓S2 1 2 l 2 H2 -

2 SGL lH

E2 Lh lH

crrrL , + 2 lH (M +H-r e).

El pilar saliente de dos galerías que se cortan en ángulo recto podria ser en rigor menos grueso que los demas, atendiendo á que por cualquier lado que se considere el empuje, siendo menor la longitud L en la bóveda que le empuja, la relacion-}- será menor y dará para x un valor mas pequeño tambien, pero se acostumbra á reforzarlo hasta las dimensiones de los dernas en las dos caras anteriores que se cortan, y esta costumbre se apoya en la regularidad de las formas y tambien en el temor de los choques, que son mas fáciles en él por su posicion avanzada, y que hacen necesaria para este pilar una estabilidad mayor que para los demas. (Véase la nota 8:) 68. Empleándose comunmente las bóvedas en rincon de claustro para cubrir un espacio aislado, admitimos que se trate de una bó veda d e esta especie sosten ida por cuatro muros continuos que forman un rectángulo. Es evidente que la rotura de semejante bóveda no puede efectuarse mas que en tanto que se hagan h endiduras á lo largo de los aristeros de union, y que así se puede suponer que en el momento de la rotura, las dos partes opuestas que pertenecen á un mismo cañon obrarán una sobre otra absolutamente lo mismo que si estuviesen aisladas de las otras d os partes interpuestas, y apoyándose solo por la arista vertical de la clave. Sean, pues, ABC, A'B'C (fig. 51 ) las proyecciones horizontales de las dos partes opuestas que se contraponen segun la vertical proyectada en C; hagamos un corte perpendicular á las generatrices por DD' y tratando esta seccion como si fuese de un cañon seguido, dividárnosla en dovelas que tengan una cuerda de trasdos igual á a y superficies s 1 , s2 . . . • . s 0 y de terminemos sus centros de gravedad g1 , g2 • • • • • g0 ; si por estos centros de gravedad, trazamos ordenadas perpendiculares á D D', y tornamos las longitudes l1 ) 2 •••• [0 11

82 interceptadas ·entre AB y · B C, el volúmen de cada dovela será igual á &1 l1 , s2 l~ . .... s n ln , porque cada una de ellas tiene la forma de u ñ prisma truncado. Además se pueden tomar los puntos g1 , g2 . . . g11 como los centros de gravedad aproximados de las dovelas, hipótesis que es ev ideo temen te favorable á la estabilidad, pues aumenta la distancia G del centro de gravedad del segmento tanto mas cuanto mas cerca se halla de la clave, y tiende así á aumentar el momento del empuje: por otra parte si se quiere se puede corregir este error retirando un poco el centro de gravedad hácia afuera. A fin de hacer mas fáciles las construcciones de los volúmenes s 1 / 1 , s2 l2 &c. de las dovelas, las dividiremos por la longitud ABdel muro, lo que procurará luego la ventaja de poder calcular el espesor de este, prescindiendo de dicha dimension, pues la division que hacemos equivale al producto que despues sería necesario hacer del ancho del estribo por su longitud para determinar dicho ancho. Falta solo construir las cantidades So

AB' lo que es sumamente fácil. Se podrán tomar, por ejemplo, las longitudes s 1 , s 2 ••.•• sn sobre A B, cada una desde el punto A, unir s us extremos S 1 , S2 , . . . . . S11 co n el punto C, y las parles de l1 , Z2 • . . • . Z0 , interceptadas respectivamente entre A C y las líneas CS 1 , CS 2 . • . • CSo serán las longitudes buscadas, que reemplazarán á s 1 , s 2 • • . . • Sn en el dibujo ordinario haciéndose todo lo demas exactamente del mismo modo. La ecuacion general del equi librio de la bóveda sobre su estribo servirá aquí sin modificacion por haber dividido antes por A B los volúmenes de las dovelas; y bastará introducir rr, S y S G como en el método ordinario. Es evidente que estando disminuidas las superficies s1 , s2 . . . • . s 11 y principalmente las que mas cerca están del vértice de la bóveda, el _e mpuje será mucho menor que en las bóvedas en cañon seguido y que se tendrá un espesor de estribo m ucho menor.

68. Para que pueda arruinarse una - bóveda esférica es indispensable que empiece por henderse segun cierto número de planos meridianos, lo cual ha justificado la experiencia: si la bóveda es simétrica por todas partes, se podrá admitir que en el momento de la rotura, se divide en un número par de husos esféricos, y que los que están comprendidos entre dos planos meridianos inmediatos se equilibran mutuamente apoyándose por la arista vertical superior. Se comprende además, que si el número de husos és bastante grande ( fig. 52 ) se podrá admitir que los arcos que pertenecen á paralelos de intrados ó de trasdos sean líneas rectas, ó que el círculo máximo de la base quede reemplazado por un polígono inscrito y de un número par de lados sobre los que se han levantado bóvedas cilíndricas. Es evidente que todas estas hipótesis son favorab les á la estabilidad, porque no se tiene en cuenta el rozamiento que se produce en las secciones meridianas, y se aproximan los centros de gravedad al eje de la bóveda. La cuestion está así reducida al caso de una bóveda en rincon de cláustro, y aun para mayor facilidad se podrá tomar para arco medio de la base del huso una longitud igual á la unidad. En lo demás se procederá segun acabamos de explicar, y se deducirá lo mismo el espesor del muro cilíndrico que sirve de apoyoá la cüpula . Si hubiese grandes van'os en el cuerpo del tambor, de modo que la bóveda se pudiese considerar como apoyada en pilares, bastaría tornar la relacion de la suma de las longitudes de los pilares al desarrollo total del contorno, y dividir S, rr, SG y E por esta relacion antes de introducirlos en la ecuacion de equilibrio que da el espesor delos estribos; lo que equivale á suponer que hay tantos pilares como husos y que el ancho de aquellos es al ancho de los que existen en la misma relacion que el número de pilares reales al de husos, lo cual parece admisible y será en todos casos favorable á la estabilidad.

NOTAS DEL TRADUCTOR.

NOTA l. Coeficiente de estabilidad de los muros.

~. Se sabe por las reglas de Estática, que la condicion general de equilibrio de un macizo ABE D (6g. 53) apoyado en un plano invariable AB, es que la resultante R de todas las fuerzas que actúan en él pase por un punto d interior de la base, y que su tendencia sea á comprimirla. Si el ángulo que forma la direccion Rdcon la perpendicular á la base es menor que el de rozamiento entre el macizo y el plano de apoyo, la componente Q paralela queclará destruida por este rozamiento, y solo habrá que considerar el efecto que produce en los materiales de la obra la otra componente perpendicular P, que es la presion resultante que sufre la base del macizo. 2. Si para producir la tendencia al giro del macizo A BE D se le aplica un par que junto con el peso de este macizo dé una resultante que pase por un punto A del contorno de la bac;;e, es evidente que acumulada toda la presion en un solo punto, destruiría el material por grande que fuese su resistencia, y por esto al establecer el equilibrio alrededor del punto A, se multiplica el momento de las fuerzas aplicadas al macizo por un coeficiente rr, que se llama coeficiente de estabilidad , determinado prácticamente por la comparacion con las construcciones existentes, y cuyo efecto es simplemente retirar el

punto de aplicacion de la resultante una cierta distancia hácia el interior de la base. Se trata ahora de determinar, por consideraciones teóricas, los límites del coeficiente de estabilidad que conviene á cada obra. 3. Siendo en realidad elástico el material de que se compone el macizo, aµnque para mas facilidad del cálculo se le suponga rígido, la fuerza P producirá una compresion en la base AB, que será uniforme si esta fuerza se halla aplicada al centro de gravedad, y variable si se encuentra fuera de este centro, pudiendo en algun caso convertirse en extension en una porcion de la base, que se reducirá á una simple separacion ó desunion entre el macizo y su cimiento, porque se supone que no hay adherencia entre ellos. Las condiciones de completa estabilidad en el macizo son: 1 .' que en ningun punto de la base haya tendencia á la desunion, porque entonces si el macizo está compuesto de sillares ó piezas diferentes, la tendencia á desunirse en la base producirá grietas efectivas en las juntas verticales, que impidiendo la trasmision de las fuerzas á la masa entera del macizo, pueden ser ocasion de su ruina , como no se cuente con la adherencia y cohesion del mortero, que por lo comun es pequeña; y 2: que la compresion variable no llegue al límite de . las cargas permanentes que corresponde al material en el punto en que mayor intensidad alcance; porque si se aplasta ó destruye por un accidente el trozo de material en que se halla ese punto, faltará el apoyo necesario á los materiales superiores, y la obra se arruinará. 4. Para determinar la intensidad de las fuerzas elásticas originadas por la compresion de la base del macizo y cuya resultante es igual á la fuerza P, se observará que siendo planas las superficies de contacto del macizo y su cimiento antes de la compresion, tendrán que seguir siendo planas despues, bien se considere como invariable y rígido el plano de apoyo, en cuyo caso es evidente, bien se considere como elástico, porque aun entonces la igualdad de las reacciones en cada punto de los dos planos en contacto les haría tomar formas simétricas, que no podrian coincidir, ni por consiguiente producirse si no son planas: siendo plana antes y despues de la accion de las fuerzas la seccion A B, se podrán aplicar á su defor-

89 macion las fórmulas de los cu0rpos elásticos que se usan comunmente en la resistencia de materiales. Sea A BE D la seccion del macizo por un plano vertical que contenga la resultante R y uno de los ejes principales de la base que pasa por el centro de gravedad C de esta. Trasladada la fuerza P á este punto C, producirá una compresion CC' uniforme en toda la base, cuyo efecto será equivalente á haber trasportado el plano A B á la posicion paralela A' B'; y el par ( P, d C) que proviene de esta traslaccion hará girar á este plano al rededor del punto C' hasta una nueva posicion inclinada a b que será la definitiva, resultando el sólido A BE D comprimido en el punto A en la cantidad A a= CC' A' a y en el punto opuesto B en la cantidad Bb = CC' - B' b. Haciendo P X CB =dC = 1\1, v 1 , C A = v2 , y llamando ~) al área de la base é I á su momento de inercia respecto del eje perpendicular al plano de la figura que pasa por C, se sabe por la resistencia de materiales (*) que la compresion uniforme CC' está representada, relativamente á la unidad de longitud y de superficie por la espresion

p ~ w

y que las variaciones A' a, B' b, están representadas respectivamente por Mv2 - 1-,

1 -1-,

y por consiguiente, que la mayor y la menor desviacion del plano de la base respecto de su posicion primitiva están representadas por las expresiones

(')

Mv!! I '

7 - --1-1

Resi stencia de mal.eriales.

90 5. La primera condiciop de estabiliclad exige que al girar el plano A' B' y tomar la posicion a b, el punto b no baje de B, ó sea que BB' - B'b >0, lo que se expresa por la fórmula P

~ - -11

> 0 ..... (1 )

La segunda condicion de estabilidad exige que la mayor compresion Aa no llegue al límite que para la unidad de longitud y de superficie se expresa por R. Pueden suceder dos casos: ó que juntamente con esta condicion se verifique la anterior, y la base entera esté comprimida, como se representa en la figura 53, ó que no se verifique dicha condicion, segun se representa en la figura 54 y entonces solo se halla .comprimida la parte A b de la base,. tendiendo la parte B b á desunirse levantándose. En el primer caso, la condicion de estabilidad está expresada por la fórmula

----;-P + -M1v~ < R; ..... (2) y el segundo, llamando w' al área de la porcion Ab de la base, I' á su momento de inercia respecto del eje que pasa por su centro de gravedad C', v'¡? á la distancia A C' y Mal momento P X d C', la condicion es 1\1' v'., -p"', +,- ~ < R ..... (3) 1

6. Llamando m al momento de las fuerzas horizontales respecto del plano de la base, n al de las verticales respecto del punto C, y r,,' , al de las mismas respecto del punto C', se tendrá M = 1n -

M'=m-n',

valores que se habrán de sustituir en las tres últimas fórmulas. La

91 ecuacion ordinaria de equilibrio de rotacion del macizo al rededor de la arista A es rr

m = P v2

+- n. . . . . (4)

que es idéntica á esta otra

= Pv'2

rr 1n

+ n' .

Combinando sucesivamente la ecuacion (4) con cada una de las Lres anteriores para eliminar m y llamando a-1 , a-2 , a-' , los valores que resultan para rr respectivamente, se tendrá ,,-1

Pv" pj

+ n · ....... (5)

-+ n v1 w

a-2

Pv + n -(H-_-~ P-=-)--'-_ ~1-+-n ....... (6) 2

rr '

p v' + (7) 1 ', + n·· · · · · · · n-J:--) ( 2

ri'

V 2

En obras en que se requiere gran solidez es inexcusable la condicion primera y por consiguiente, el menor coeficiente de estabilidad que se podrá aplicar es el de la fórmula (5). En obras de menos importancia puede atenderse solo á la condicion de resistencia, y entonces si el coeficiente a-2 es mas pequeño que el rr1 , se · podrá adoptar el ,,-', poniendo en la fórmula (7 ) los valores que corresponden á la parte de base que se quiere que se comprima; pero si a-2 es mayor que rr1 deberá tomarse como límite absoluto la fór ..... mula (6), tanto en obras importantes como en construcciones ligeras . De modo que .-. si

> rr 1 , ª 2 < ,, 1 ,

rr 2

el coeficiente será

,,- 2 ,

• . • • . • . • •• • •••• \ rr rr

f en

obbras d_e gran solidez . en o ras 11geras.

92 7. Por una construcion gráfica se puede examinar si una fuerza ó un sistema de fuerzas aplicadas á un macizo satisfacen á la condicion primera de estabilidad. Haciendo d C = b, la condicion (1) se puede poner bajo la forma P w

_ Pb v1

O l

de donde se deduce

El segundo miembro es una cantidad constante que depende exclusivamente de la forma y dimensiones de la base, y llamándola ci, se tiene por condicion indispensable que b sea menor que c1 . Toman1 do, pues, en la línea AB las distancias C e1 = c1 y C e2 = - - = c2 , e,)

si la r~sultante corta á la base entre los puntos e1 y e2 , no habrá desunion en ningun punto de ella ; si pasa por uno de estos puntos, la presion será nula en B ó en A, y si cae entre e1 y A ó entre e2 y B, habrá desunion en B (figura M ) ó en A. En un rectángulo de altura a se tiene c 1 = c 2 = 1/0 a, y e1 e 2 = 1/a a; en un círculo de radio r, c1 = c2 = 1/,,, r , y e1 e2 = ½ r. 8. Haciendo b = ic1 , la máxima presion por unidad superficial, representada en el caso de la figura 53 por el primer miembro de la fórmula (<z) será

El número i no puede ser mayor que la unidad, porque si la resultante cae mas allá del punto e la parte comprimida de la base se reduce á Ab (6g. 54), de modo qu e la distancia dC' sea igual á ) :. 1

y entonces tambien i= 1, siendo la máxima compresion la que dé la fórmula anterior, en que se sustituyan los valores de

v 1 y v2

que corresponden á la nueva base Ab. Como las,figuras de la base suelen ser simétricas, casi siempre se tendrá v1 = v2 , y la fórmula anterior será

~ (1 úJ

+ i) ·•

.. 'h, ac1en " do"i = ·•,--para A2-P cuyo max1mo sera, e l caso d e l af i gura 53 (,J

2P y -,- para el de la figura 54 .. <,.)

9. Para hallar la posicion de la línea b T (figurn 55) que divide la parte comprimida de la base de la que no lo está, se traza por el punto de aplicacion d de la resultante una línea d X perpendicular á A B, y dividiendo el momento de inercia de la superficie A Z U b T X respecto del eje X Z, por el momento de su área respecto del mismo eje, deberá resultar la distancia db, porque bd --

bC'

+ C' d -

' V1

+ b' -

1 w'b'

+ b' = I' +w' ,,,b''b"'~

que es la relacion enunciada, porque b' es la distancia de la línea X Z al centro de gravedad. Esta investigacion se puede hacer en general por tanteos y con una curva de error; pero en el caso de ser la figura un rectángulo, haciendo Ad= z, db = x, resulta b'=¼(m-z)yx , 2zóseabA=3 -dA. ' 1 O. Las consideraciones que preceden pueder servir para dar formas mas sencillas á los valores de los coeficientes de estabilidad. gi es g ( figs. 53 y 54,) el punto de aplicacion de la resultante de todas las fuerzas verticales, se tendrá P X g C _ n, y las fórmulas (o, 6 y 7) se convierten en estas

Üq,

, rr

g A

rr.,

ge2 + -p- X e2 C

g A R , gd' + -w p X C' d'

y si se ha aplicado al macizo un par m que produzca la resultante R, la estabilidad efectiva está representada por g A

r;=gd' cuyo valor debe ser mayor que el que se deba adoptar de los tres anteriores. ·14. El último coeficiente rr' tiene diferentes valores segun la magnitud B b de la parte desunida (fig. 54-) y el menor será cuando la longitud A b sea tal que la presion en el punto A sea igual al limite R. Como dicha presion (8) equivale á

el valor mínimo del coeficiente será ~· v

n' , g A { ) , o sea ,, = gr1 · . . . . 8 p ; 1 - ,- , +n' w v1

P v ,.'

que debe ir unido á la condicion P

('t -\- : :: ) =

para determinar

w',

I', v2',

ó sea P ~.

v/ y n'.

= R &>' ••••• (9)

Cuanto mas se aleje el coeficiente

95 de estabilidad de este valor mínimo, y se acerque mas á cr 1 , será la obra mas firme y mas capaz de resistir á un accidente. 12. Para aplicar estas fórmulas á los muros, basta suponer que la base es un rectángulo de una longitud igual á la unidad y de altura a, en cuyo caso se tiene

y los coeficientes son, por las fórmulas(5) y (6), repr~sentando por d ]a distancia g C ,

cr1

cr2

11 10

1/., Pa 11; Pa

+ n,n o, sea +

+ + , o, sea

1j., Pa n (R. -P)

cr 2

cr 1

¼a+d

> %a + d . . . . .

¼a

(A ) •1

1fo /-1)a +d

.. . . .

(AA) •1 ·1

y por las fórmulas (8) y (9) se obtiene, haciendo A b = a' y teniendo presente que AC'

= C' b = ¼ a' , C' d = C' el' = 1/6 a', Ad = % a'

, cr

1/2 P a'+ n'

> % P a'+ n' 2 P=Ra',

de las que se deduce, eliminando a' y observando que = P X gC' = P (1/ 2 a+ d-%0-' )

2 1

- 3 R ( ¼ a+d)

..... (12)

96 13. Si el muro es de paramentos verticales, n y d son cero, y llamando h á su áltura y 7'C á su peso especifico, haciendo al mismó tiempo R = r. h', se tendrá

cr2

h' -

cr'

-----c--4. h

3 h'

Para un muro de 1O metros de altura, suponiendo h' metros, se tendrá "1

ª2

0,333

,,.·

= 100

1,4 54, 1

de modo que se habrán de usar los coeficientes cr1 ó ,,.·, ú otro cuyo valor esté comprendido entre ambos. Si el giro está producido por una fuerza horizontal Q aplicada á una altura H, el espesor estará comprendido entre los valores

lL¡

✓ - QH = 2 , iu liJ /TC /,

a•-A52 - ·•, ~ H l¡ ' TC

y suponiendo que el empuje Q provenga de un macizo de tierra, de la misma altura que el muro, cuya densidad sea% de la de este, y el talud natural de 45°, Íos dos límites del espesor práctico serán: 01

= 3m, 38

a'= 2m, 40

El primer espesor será próximamente el que convenga al muro si se hiciese en seco: si se adopta el segundo, la faja comprimida se reduce á om , 55. U. El perfil tipo de revestimiento de Vauban, para la altura de 4O metros, tiene el paramento interior vertical, el exterior con un talud de %, y la base es de 3m, 6. Despreciando el peso del

!J7

triángulo de tierra que pueda cubrir la coronacion, porque inOuyc poco en estos resultados, se tendrá a=0,36h,

10 y h' = a-1

= 0,0436 h,

2236 h 8J'1 h' - '164 h'

a-2

y para h =

= 0,26r. h2

P u'

> 1 -

h . 0,778 -y-'

100 ,

u'>

2,15

1,08 :

para el caso de una sobrecarga de 2 metros de tierra de la misma especie que en el ejemplo anterior, Mr. Poncelet ha encontrado a-= 1 ,92; y para la sobrecarga de 1 metro se encolltraria próximamente a-= a-1 , 15. Para las torres de los faros no tiene aplicacion el límite a-' y se ha de adoptar el mayor de los otros dos, que suele ser siempre el primero. En estas se tiene n = O y d = O; si !a planta se compone de círculos concéntricos

r,,=r.(r2 - r ' 2 +r" 2 -1·"• 2+ . .. . . )

v1 =v2 =r, I

= 1/r,

(rt -

r'"

+ r" " -

r"' r,

+ ..... )

y si se compone de cuadrados v1 = v2 I

1/2 a,

1/ 9. 1

+ .. .. .) a"'" + ... .. )

"' = (a2 -a' 2+a"2

(a'< - a' r,.

+ a"" -

a"' 2

El siguiente cuadro contiene los elementos calculados para seis faros, cuyas dimensiones se hallan en una memoria de M. L. Fresnel ('), así como los valores de a- 1 y ,,- 2 , suponiendo n = 250000.

(")

Anuales des ponts et cbaussées, 1. séric, t. 2, 183 t.

!J8

La columna penúlLíma contiene el valor del coeficiente efectivo para un viento equivalente á 275 kilógramos por metro cuadrado, y la última la relacion de este coeficiente con el límite a- 1 , que es en realidad la medida de la solidez del faro en el caso dado, porque el coeilciente a por sí solo puede ser muy grande y no llegar sin embargo al límite necesario. Así se ve que mientras que el autor de la memoria considera al faro de Lorient cDmo la obra mas sólida, en realidad lo es el de Génova, que teniendo mayor altura que los otros, necesita un coeficiente menor.

TORRES.

ª2

-- -

-1 Lorient.. 2 Génova .... 3 Bclle-lle ... 4 Plpnier .... 5 Pilier..... 6 Columna de Boulogne.

16.

1717600 6613880 2403384 535200 568451

3,57 4,50 3,49 2,60 2,30

851040 2,02

35,53 56,00 28,62 16,22 13,56

ª1

126,35 49,i,,67 110,i.,87 33,66 2 1,98 1

0,85 2,08 1,69 0,50 0,66

3,58 2,29 3,33 3,25 3,26

7/1, 6,2 5,8 4,6 4,4

-ª1

-2,07 2,71 1,74 1 ,41 1,35

9,65 H,99 1,75 3,28 3,5 1,07

En cuanto al equilibrio de traslacion, la ecuacion

Q=fP, en que fes el coeficiente de rozamiento del macizo con su base, es suficiente para asegurar la estabilidad sin afectar sus términos de coeficiente alguno, y si de la comparacion con las obras existentes se deduce un coeficiente de estabilidad algo crecido, consiste en que estas obras están calculadas para resistir por rotacion, y tienen por esto dimensiones muy superiores á las que necesitarian para oponerse á la traslacion . Y si se trata <le que el macizo pueda resistir

99 á una carga accidental , que procfozca un choque ( cuyo efecto sería mayor que el que se calcula por la ecuacion anterior), la estabilidad se obtiene tomando el coeficiente de rozamiento f tanto mas pequeño cuanto mayor deba ser la solidez de la obra, bajo los mismos principios que se disminuye el coeficiente R en el equilibrio de rotacion ( • ). (') Resistencia de materiales, leccion 2.ª

NOTA II. Trasformacion de perfiles.

1. La investigacion del espesor de los muros de sostenimiento se simplifica mucho cuando sus dos paramentos son verticales,1 ya se calcule directamente, ya se usen las tablas dispuestas al efecto, por lo cual es muy conveniente poder pasar de un muro con para.!.. mento exterior vertical á otro con el mismo paramento inclinado y que tenga el .mismo momento respecto de la arista exterior de rotacion. Es evidente desde luego que si no se considerase mas que la estabilidad del muro de fábrica y se limitase el cambio al perfil de este, dándole una resistencia igual, pero conservando el mismo el ancho de la berma, la estabilidad se modificaria, porque cambiando de lugar el talud exterior GF (fig. 56) se halla colocado de distinto modo con relacion á la arista A del pié del muro y se alteran necesariamente la carga de este, el empuje y su momento. La primera condicion para hacer una buena trasformacion es, pues, que el paramento interior del muro quede ca.si en la misma situacion con relacion á las tierras que cuhr~n la coronacion, y por consiguiente tomar la berma del muro recto bastante ancha para poder tener la suficiente en el perfil trasformado. Se dice casi, porque cambiando tambien de lugar el pie A del muro, modifica lapo-

102

sicion de las tierras con relacion á esta arista; pero la diferencia que resulta de esto puede despreciarse. 2. Es inútil detenerse en la trasformacion del perfil en el equilibrio por traslacion, porque es claro que entonces su superficie debe quedar constante, y bastará hacer girar el paramento anterior al rededor del punto medio de la altura. 3. En el caso de la rotacion, que es el que mas interesa á la práctica , se determina fácilmente el espesor E en la base Ail del muro ABCD, de altura H, y en que la tangente de la inclinacion de AD con la vertical es n, de modo que su momento sea, equiv·a lente al del muro vertical A'BCD', de la misma altura y cuyo espesor constante es e. Prescindiendo para mayor sencillez del peso del triángulo de tierra, cuya influencia es _pequeñísima en la trasformacion , el momento del primer muro es

E2 H n 2 II3 -2- - -6cl del segundo es e2 H

2' y la igualdad de estos dos momentos da

de donde

ve2 + %

n2.

4. Esta ecuacion, aunque muy sencilla de resolver por el cátculo ó por un procedimiento gráfico se puede simplificar aun poniéndola bajo la forma

103 que se puede reducir á

E=e+k . nH, . de -e~ nH , cuyo va 1or aproximado . en que ,.,i es una f uncion es 1/10' En efecto, mientras n sea menor de

1/5 , nH e

es menor que la unidad v• la fórmula anterior será una série convergente en que el error que s_e cometa será tanto mas pequeño cuanto menor sea la fraccion nH . Despejando de esta fórmula el valor de k, se tiene e

E --1 e k=--=c-nH

e y sustituyendo el valor de E

+ H2) ½ n2

(1 3 e2 -1 k=---cc=--nH e

En las circunstancias ordinarias H nunca escede de 4e, ni n es riH mayor que%, por lo que el mayor valor de es "/5 , y el de k es e

le= 0,127. El error que se comete tomando k (le -

0,1) nI-I

0,1 es

104,

que puesto bajo la forma le- 0,1 e 1c+nH

resulta 1/51 • Si H = 3e, el error sería solo de siguiente establecerse la fórmula

1/u88 •

Puede por con-

E=e+l/io nH e=E-1/i 0 nH

que es exacta suficientemente en los casos mas usuales de la práctica, cuando el talud del muro no pasa de 1fs. De aquí se deduce que para cambiar un paramento exterior vertical en uno inclinado á menos de 1/5 , ó recíprocamente, basta tomar sobre este paramento ·rm punto situado al 1/10 de la altura y tra.zar por este punto el paramento inclinado 6 el vertical, si fuere el inclinado el que se diera. Es evidente que se haria lo mismo si se tratase de cambiar un paramento inclinado en otro de talud diferente .

NOTA III. Teoría de los contrafuertes.

~. Los contrafuertes son macizos salientes que se colocan en uno de los paramentos de un muro desLinado á sostener empujes con el objeto de aumentar su resistencia por rotacion, proporcionando al mismo tiempo economía de material. Los contrafuertes son exteriores ó interiores, segun el paramento en que se colocan, pueden aplicarse á toda clase de muros, y para ejemplo se tomarán los de sostenimiento. 2. Pudiendo considerarse como invariables las partes salientes, AEGH ( :fig. 57 ) que forman todo el cuerpo de los contrafuertes, se supondrá al muro dividido en tramos ABCD, independientes unos de otros, que se sostienen por su propio peso y por la adherencia con los dos contrafuertes inmediatos. El empuje que se ejerce en la longitud AD tenderá á desprender toda la masa del tramo rompiendo su union con el contrafuerte en los planos AB y CD, y este movimiento se puede verificar trasladándose todo el tramo paralelamente .á sí mismo, ó girando sobre su base. Llamando h á la altura del muro , e á su espesor AB , D á la longitud AD del tramo rr al peso de la unidad de volúmen de la fábrica f' al coeficiente de rozamiento del muro sobre su base

·tOú

á la col)esion del ·[)1Uro pa~4leJarnent~ ~ Ja ~UP!'!r~cie de rplura, P ,al empuje por unidad 1de 1µ Jongi~ud, 1, , ,

•1

•

el ec¡uilibrio de traslacion de la masa !,BCI;), estará¡ expre,sado por 1~ ecuacion l

"'1

= f r.Dhe

+ 2,he .

'll•

, 1

,~b

que ' se deduce de la· igualdad del empuje con el 1,ozamiento i-obre la base y la cohesion en toda la altura de los dos planos AB' y DC . Be, aquí se saca el valor de e que es

11 '?I

= f.rDh

+ 2,h

..... 1.

(

4,).

3. El equilibrio de rotacion~al rededor de la línea BC de la base tendrá lugar cuando el momento del empuje disminuido del momento de rotura de las superficies AB y CD sea mayor que el 'momento deJ ·peso del tramo. El momento de rotm'a del rectángulo alJed (1figura 58) girando al 11ededor de un punto de la base ab se puede considerar representado por la fórmula 1/a • 1 eh'I., si se supone. q:u~ la ,, l cohesión de cada elemento mn se encuentra en su punto medio conservando la direccion horizontal. Llamando entonces M al momento del empuje por unidad de longitud, y a' al menor coeficiente de estabilidad que se puede ad1:fiitir ( Nota 4 :, 6 ), la ecuacion de equilibrio será la siguiente: J [.

I' 1 ( 6

a' [

~D -

'% , eh2 ] = %

-;r

Dhe11 ,

de la que se deduce para el espesor del muro , haciendo para simp1.I fi car -M- = r.1l

~ 1

11i ,

1)1

= -

, h -l-

a' ·1

3 r. D

,¡,

c; '2

r,-'I.

h'l

D'I.

, v 1J1

• , • , • • (

2 ).

1107

4. ' Si la 'adherencia con los refuerzos en' -AB y C:D ( fig. 57 ) no permite que el tramo ceda al empuje en un·a sola pieza, este tender'á á 'a brÍrse por el med'io' U girando cada mitad al rededor de los puntos B y C, y si no se rompe será porque cada una de las mita...:. des ejercerá sobre la otra en la extension IJ una presion Q que corrípuesta con el empuje S que corresponde á la longitud Al produzca una-resultan,te R que impida que el ouerpo, ,!IJI:s se separe del pl<!nO .(\B, sin que se altere el m9-tei;ial en , el punto B por la presion , además la pres ion Q ha de ser suficiente p~ra que no ha y,a ~bert.m:íl en el punto J, ni aplastamiento en el punto J. Para :¡ue no haya abertura en el punto A se necesita que KB = 1/3 e, y para que no la haya en I se necesita que IL = 1/3 e, de modo que el valor de Q deberá satisfacer á lá condiciori ·

)

,._)

Q X

1 /~

AB=S X %. Al.

Tomando los valores de las fuerzas ,para una faja mn ( fig. 58) infinitamente delgada, cuya altt.¡ra sea dh, si Q representa la presism1por unidad -de altura 1 )o que <;:orresponda, á ,e sta faja será Qdh,

- . , sera' S =. y e l e~puJe

11 D 21

.dP, d7i, supo?,1ei1 . do que P sea f unc1on ' dh-

de-la altura variable lh_y entonces la.. ecuaoion anterior da

1 .,

') r,,!i D2

dP . Q =%- e dh

b uq )'

e d,d ,,

"ii

' .1 ..,, '

)lifí

Para que la presion en B y en I no exceda del límite R que se puede adoptar pai:a las qargas permanentes en el material de la obra se ha de verificar ( Nota ~ :, 8 )

,2Qdh

•- ,

,-; ¡

•J'l[

l.••l .,;, 9,

-eJh - = R'

p ., l

J .

{/1 ,\-

f,')1/1 '

y eliminando entre las dos {ti timas ec uaciones la pres1on Q, resulta C3

3 .. ---d,P D ✓ --=Ml . dh

( l t:

108

. 1 ,1 dP . , , , -en don de d e1Jera poner e11 mayor va1or de dl . , que siempre corresi

,¡

ponde á,la base. •• , 11, 5. El espesor qu~ se adopte para el muro sená el mayor que resulte de Jas, fórmulas ( 1 ) ( 2 ) y ( 3 ),· que por lo oomumserá el dela fórmula ( 2 ). Apli,cándolas á un muro de 1O metros de altura, como el de la nota 1.' ( ·13 ) en que se tenga además, r. = ,2500,, resulta 1

½ r.' h2 t2 =

= ht = 2833,33 en su valor . ' máximo, y como segun los experimentos de Iloistard · ( *) se puede

1,8888, ::

-;r'

tomar el valor de 7 = 700 kilógramos por metro cuadrado y el de f =- 0,6, resultarán para los espesores las fórmulas siguientef¡ ~, e 1

= 11

1,012 D = _ 2, 154 1,071 D ' e2 D 1

+V 1

4,640 D2

+ 4, 36 '

= 0,092 D.

Haciendo la separacion de los contrttfuertes igual á 5, 7 metros sucesivamente, resulta para estos espesores ,

y rn

D = 5 . . . . . . e1 = o,m8o ..... e2 = 1t Q1 76 ...... . e3 = D = 7 .... .. el = o,m 84 .... . e., = 1m80 ... .. . , e3 = D = 10 ..... :,el= O,n, 85 ..... e2 = 1mss ... . .. ,e3 =

0 01 46 om54_. om92

(

en donde se ve que siempre e2 es el mayor. Se puede observar que desde D = 7 en adelante el v~lor de.e2 es casi constante y difiere poco del que se encontraría por la ecuacion sencilla del equilibrio estricto m = ½e'!. (

que es e = '1 m 9i-, y que se puede adoptar siempre que no se necesite una grande exactitud. Se notará igualmente que e2 no puede llegar nunca á valer 2,01 08.

- - - -- - -- - - -~---'e---- - -- -----''--' y sigui en les, ( • ) Nav icr, 285

109 6. Para hallar las dimem,iones de los contrafuertes se conside' rará el equilibrio de la parte MNIJ comprendida entre el centro de dos tramos inmediatos y solicitada por el empuje que se ejerce en la longihud IM. (Domo los contrafuertes ,son las partes principales de la obra y requieren •gran solidez, , se adoptará en la ecuacion de equilibrio el coeficiente de estabilidad a-1 y haciendo GE = D', BE e', se tendrá :,o::

a- 1

M (D

+ D') =-.. h [(D + D') e+n· e'] v

y para el valor de

a-1 (

v1 v2 a-1

•¡

Nota citada) [

(

+ D' ) e + D' e' ]

quedando la ecuacion de equilibri0 bajo la forma m (D

+ D') =

_I . . . . . . ( -i- ). V¡

Descomponiendo la figura IJBEGTNMI en los dos rectángulos IJNM y BEGT se encontrará para la distancia del centro de gravedad á la arista MI D' ee'

+ 1/

2 (

+ D' ) e + %, D' e' 2

+ D' ) e + D' e'

para la distancia del mismo punto á la arista GE

y para el momento de inercia

/12

(

__1 ,) 3 D7- D e

+ 1/

D' ·a e

+ lj,~ ( O( D-\-+D')D')e +D' D'ee'e' (e + e')2 •

110

Haciendo para simplificare .,

, '

+ n:) " 'D'

= JJ I

fo;.

·1 ~LI

'¡

. ~ I! ' J • ,:3b t?3',0?.fW c¡f} np ¿.n

'1f; lJII') · oll OffiG"!

{

e ,,, · ~,w,b P.Bl e = 1~ 1' · 13,')'ilU .S •

·,(1,

·1

fJ.

03 f

•·o ·¡ol .v

las tres úl~ir11as fónn.ul¡1s se pu~den escribir d~ ~ te rnod9 , • mí ,a

7. En el caso en que los eón trafuerles sean exteriores, es decir, que el muro de las figuras 57 y 58 reciba la presion por la cara MD, el giro tiende á hacerse al rededor de la arista GE, y la ecua--:cion ( 4 ) tal como está escrita será la de equilibrio, en la que se sustituirán los valores de ' I y v1 últiméime'nte' hállados, resultando en 1 la siguiente forma : ' 1p1

2m -e2 -

% qr. + l/ a pq3 + 2 pq2 + % pq + 1/a p'!. ·J .

1 •

p q(

+ 2 cj + p )

. , ..

...., ... .. (5 ). .

• Si los contrafuertes son interiores, es decir, .que el muro recibe _la presion de las tierras por la cara CN y el giro tiende á efectuarse por la arista IM, habrá que poner en la ecuacion ( 4) v2 en lugar de v1 y resultará

. . . . .f .•. . (·6 ). 8. Los seg undos miembros de las ecuaciones ( 5) y ( 6) son enterament,e independientes de las dimensiones absolutas de la obra,

pues en ellos entran solo las relaciones entre las longitudes y los espesores del tramo y del contrafuerte. El primer miembro oo depende mas que de las dimensiones de la _seccion vertical del muro y difiere poco de la unidad cuando D > 0,7 de la altura y se toma para e el valor menor posible, que se halla po~ la ecuacion (2). De todos modos, hallado lsl'I va1lot 'se púéde enbontrar -q haciendo algunos tanteos en la ecuacion correspondiente, en que se haya despejado ZJ, que está solo eievada á la segunda potencia. Es fácil observar que á igualdad • de valores ele m, e y p , la ecuacion1( 6 ) los da para q mayores que la ( 5 ) , y por copsiguie·nte que los contra fuertes interiores han de ser mas salientes que los exteriores. 9. El valor de D' es arbitrario y se fija en 1/ 8 ó 11t 0 de la altura para que el macizo saliente tenga suficiente estabilidad lateral. El valor de D no se hace menor que la mitad de la altura de modo que suele ser p = 5 y q = 1,5 en los contrafuertes exteriores, y para un mui·o de 1 O metros de altura se tendrá ...... •

.., , •

' 10 •

•

;. •

✓•

;

= 1,m76, e'= 2, m64: .

{)

f •

•

en los contrafuertes interiores se hallaria un valor casi doble.

"' - Es tas.dirn~qsiones son próxi~amente las que· producen. el menor valo/ absoluto de . e para un' mismo muro, á igualdai qe( valor de D', propiedad que se ha encontrado por medio de tanteos · gráficos. ~ O. El empleo de los contrafuertes, especialmente los exteriores, puede proporcionar algm;ia economía de material en la construccion ó en el refuerzo de un muro. Para hacer la comparacion se t.omar~ el volúrnen ·de la parte 1\11 oomprendida entre los centros de dos tramos, que es ' { M f> <'l 6 í,'. IO! /i ( D

+ D' ) e ('t + ; )

1,1bJIUc9'{ '{ ¡ J

y se dividirá por la longitud MI, lo que , dará para el volúmen por unidad de longitud

V = .he ( 1

+L) · ' p ,'

brmc:;'l ..,.,, l !l'Jr¡ ,Lm ., ·

112

Haciendo variar correlativamente las cantidades e, p y q se verá -que el volúmen necesario para obtener la misma estabilidad disminuye rápidamente á medida que p aumenta ó sea- que se separan mas los contrafuertes, pero antes de que D llegue á ser la mitad de la altura este voh'tmen queda casi constante y próximamente igual á los dos tercios del de un muro recto de igual estabilidad, ó á 0,86 de uno con la estabilidad ot'dinaria.

NOTA IV.

Perfil de sostenimiento mas económico.

1. Suponiendo que el muro se rompe por el plano de la base, la ecuacion que da el espesor en dicho punto en funcion de la altura y de los taludes interior-y exterior se halla en el tratado de Navier ( 243 ), cuyo espesor deberá multiplicarse por la raiz cuadrada del coeficiente de estabilidad que le corresponda segun la nota 1 ~ Conservando las notaciones allí establecidas, y llamando por esto m al talud exterior y tang. e al interior, a á la base y h á la altura , la superficie de, la seccion trasversal del muro será

(

½m

2tang . E)

y sustituyendo el valor de a, haciendo al mismo tiempo h' = o para simplificar, resulta

+. ✓

1 2 / 3 (m -

h2 [

tg2

½m

t 2 cos. : sen .

+ 1/a nt +¼(tang. . -rr

• •)

½ ~

-rr E-

ñ t2 ~en . E cos. e )2J 15

114.

2. En esta ecuacion se observa que para un mismo valor de ., el segundo m_iembro disminuye cuando aumentá m, porque el L6rmino de mas valor en que entra esta cantidad es el que está fuera del radical, y es negat ivo; por consiguiente, debe tenerse por regla general que el talud exterior de un muro debe ser lo mas grande c¡ue permitan hacerlo las condiciones prácticas de la construccion. 3. Si conservando constante el valor de rn se hace disminuir el de. hasta cero, y luego se le hace aumentar negativamente, haciendo variar al mismo ti em po el valor de t2 que dep~nde de este ángulo, se observará tambien que el área disminuye indefinidamente, y por consiguiente es mas económico hacer el paramento interior vertical ó algo vencido sobre las tierras, que inclinarlo sobre el mismo muro, y que si esto es indispensable, la inclinacion debe ser lo menor posible, y mas peque ña siempre que la del talud exterior. t. De esto se deduée que de los muros representados en las figu -• ras 50 y 60, el último es el mas económico, y que en los de las Gg uras 60, GI y 6'2, el segundo necesita mas volúmen y el tercero menos que el primero. Mas como la forma de la fig. 62 es de difícil ejecucion se emplea pocas veces, y se debe fijar como la mas económica la <le la 6g. 60. 5. Para la mayo r facilid ad de la construccion y enlace de la fábrica y las ti erras se suele disponer por escalones el paramento interior de los muros ( fig. 63), pero á igualdad de volúrnen del muro conviene que estos escalones sean lo roas pequeños que se puedan hacer en sus dimensiones , porque comparando el muro ABCDEFGH con el AMIH en que los escalones están reemplazad os por el talud medio l\1G, se ve que el momento del primero respecto del punto H es menor que el del segundo, pues el peso de los triángulos l\IBR, NDP, QFJ que pertenecen á aquel se halla mas cerca del centfo de momentos que el peso e n los triángulos RCN, PEQ, JGI, equivalentes á los anteriores y que pertenecen á este. Además de qu~ los escalones sean pequeños, conviene que la relacion de la altura á su base sea grande, para que el talud medio se aproxime cuanto se pueda á la vertical.

NOTA V. Centros de gravedad de las bóvedas con sobrecarga.

1 . La embarazosa construccion para ballar el centro de gravedad de una dovela con su sobrecarga correspondiente es innecesaria, puesto que lo que se quiere hallar ~o es la posicion de este punt-o, sino una vertical que pase por él. Para obtenerla, en lugar de llevar sobre · una vertical ( fig. 64) las longitudes Pp, pp¡, JJt p 2 equivalentes á la superficie total de cada dovel'a con su sobrecarga, se llevarán sucesivamente las longitudes Pq y qp equivalentes respectivamente al área de la primera dovela y de la primera sobrecarga, pq1 y q1 p1 correspondientes á la segunda dov-ela y á la segunda sobrecarga, y así las demas. Cada uno de estos puntos de division se unirá con el O para obtener los elementos del polígono funicular, · que tendrá a3Í doble número de lados , y se hará su trazaclo tirándo líneas verticales por los centros de gravedad g, g1 g2 , particulares á cada dovela, y lm, g', g'¡ g' 2 particulares á cada sobrecarga, y teniendo cuidado de no prolongar mas que los lados que ocupan un lugar impar. Así se obtendrá la vertical nv para_la primera dovela y su sobrecarga , la 8 1 V1 para las dos primeras dovelas y sus sobrecargas, la R2 V2 para las 'tres primeras y sus sobrecargas, y así sucesivamente. 2. En las bóvedas que se aproximan al medio punto puede suceder que los lados del polígono se crucen, pero tenie ndo cuidado Je llevar bien numeradas las verticales y los lados que van resultando, sin interrumpir nunca ~I órdcn establecido, no habrá conf usion ni error de ninguna especie .

NOTA VI. Determinacion del éspeso~ de las bóvedas en la clave.

4 . La indeterminacion del punto á que se halla aplicado el empuje en la clave de una bóveda que tiende á romperse por rotacion, obliga á investigar las dimensiones convenientes para las dovelas y la estabilidad del conjunto por medio de un coeficiente calculado empíricamente por la comparacion con las construcciones existentes. Esta indeterminacion proviene de la infinidad de maneras posibles para descomponer una fuerza R (fig. 65) aplicada á un cuerpo sólido A completamente rígido en dos presiones P y P' que lo mantengan apoyado en dos planos invariables M , M' por dos caras de contacto de alguna extension superficial finita. Para que este problema se haga determinado es preciso tener en cuenta la elasticidad de sólido A , y solo entonces se podrá averiguar el punto de aplicacion de las presiones en las juntas respectivas, y tener un conocim iento exacto del estado de equilibrio de la obra, prescindiendo por completo de coeficientes determinados siempre con alguna incertidumbre y arbitrariedad para hallar sus dimensiones. 2 . Como las bóvedas son construcciones de importancia, i,e supondrá en lo que sigue que han de satisfacer á las dos condiciones expresadas en la Nota 1 _a (3), lo que simplificará la aplicacion de las fórmulas . En este caso, no desuniéndose las dovelas por ninguna de sus juntas, todo el arco se podrá considerar como un solo cuerpo

118

elástico I y se le podrán aplicar las fórmulas de la resistencia de materiales relativas á la flexi.on de piezt1s curvas, debiendo desecharse desde luego como no eslables en el sentido indicado aquellas bóvedas para las cuales el resultado del cálculo indique que alguna junta no está comprimida en toda su longitud. 3. Sea oc (fig. 66) la línea de , los centros de gravedad de las secciones trasversales del arco, considerado como pieza curva , que se supone apoyado en el plano de· arranques A A' y en el plano vertical B B' que pasa por el medio de la clave, pues por la simetría de la figura los puntos situados en ese plano no se podrían mover sino permaneciendo siempre en él. Se supondrá qtie el plano B B' se reemplaza por su reaccion Q, aplicada á un punto a, cuya intensidad y posicion se d_eterminarán por las condiciones de que el punto c no tenga ninguna desviacion horizontal, y la junta ó seccion á que pertenece no se separe de su primili va direccion v.ertical. Iguales consideraciones se aplicarán al plano A A' en eJ cual se tomarán el origen de coordenadas y el de los ángulos . Finalmente, se supondrá aplicada á u!l punto n del eje una fuerza P, cuya traslacion á dicho punto habrá originado en general un par de momento 11.• 4. Las fórmulas generales de la flexion de piezas curvas son (•)

d p' -dp =

M ds .·....... , .... . E

• • • • ( 1)

dx'-dx=- ('1' -

'I')

d y + -T-dx E~)

en las cuales representan: x é y las coordenadas de un punto cualquiera m del _e je oc. x' la abscisa del mismo punto de pues de la flexion. s la longitud de un arco de esta curva contado desde u. 'I' y 'I', los ángulos que la normal á un punto m forma con el plano A A' antes y despues de la .Oexion.

(') Resistencia de los materiales. 2.ª cd. , pá gi nas 62 y 132.

ll!J

E, ~, y. el coeficiente de elasticidad , el área y el momento de llexion que corresponden á una seccion normal cualquiera . M el momento de todas las fuerza s aplicadas desde m basta e, tomado respecto del punto m. T la componente ortogonal de estas fuerzas en sentido de la tangente la curva oc en m. Considerando la fuerza Q trasladada al punto e en la posicion Q', despues de haber añadido el par formado por Q y Q", cuyo momento se representará por N, y designando tambien por L el momento de la fuerza P y del par ¡,. respecto del punto m, S la componente de esta fuerza paralela á la tangente en m h _y fla abscisa y la ordenada del punto e a y b las del punto n, <1> el ángulo que forman los dos planos A A' y D B' se tendrá para el trozo de curva on

M=L-Q(f-y)+N T = S -t- Q cos. ( <1> - f)

y para el trozo n e

1\1=-(d/-y )+N ( T = Q co~. ( <I• - 'l') \ Las ecuaciones ( 1) dan para los puntos del trozo o n

. J-

1• f-y

'í'· - 7 =

-E-

ds -

-E-ds

x·-x=-

+ Nf

j • "J• X

I -f-ds+Q

dy ¡•f-y - E - ds o

-Nfdif~+J'¡j~ax+ Qf Y Ew E

ds --;o

,. o

cos. (~ - 7 ) dx E·,,

120 y para los puntos del trozo ne, teniendo en cuenta que los valores iniciales de (,p' - 'P ) y (x' - x) que corresponden al punto n han de ser los mismos qutJ resulten de las dos últimas ecuaciones, haciendo en ellas x= a, se obtiene despues de reducir,

Jª

L -,cl-s-

J-

x f-y -

ds + N

x ds - 0 -.

Por lo que se ha dicho antes ,. estas fórmulas deben dar para el punto e, (x' - x) = O y (r¡,' - r¡,) =O.Haciendo pues X = h, resultarán las dos ecuaciones de condicion

-;•ay ;•+ds-(f-b)J+ds+JE~ dx a

[ Jav

~ , j j h

-N

=Ü

cos. ( <1> - -

E6)

'P ) dx ]

121

cuyas ecuaciones, efectuando con los datos las integraciones indicad:.1s, se pueden retlucir á la forma l -

l' -

Qq Qq'

=O/

+ Nn' =

O \ · . · · ('2 )

Los seis factores conslante3 que entl'an en e3tas dos ecuaciones se calculan fácilmente cuando los arcos son circulares y en algunos otros casos, y entonces una sencilla eliminacion-entre estas dos últimas ecuaciones da á conocer los valores de Q y N. El primero es la in_tensidad del empuje, y la relacion -~

entre ambos es la dis-

tancia ac del punto de aplicacion al medio de la clave. 5. Si en lugar de una sola fuerza P, como se ha supuesto, actuasen varias en otros puntos del sólido, los valores de Q y N serian la suma de los que correspondieran á ·1a accion de cada fuerza por separado_, porque tanto estas fuerzas como las reacciones y momentos de los pares entran en las ecuaciones (2) en la primera potencia, y los factores que multiplican á Q y dependen solo de la figura en la curva o c . (') Si las fuerzas y pares dados val'iasen de una manera continua se integl'arian los términos l d s y l' d s, siendo las variables a y b. 6. Tomando como ejemplo mas sencillo el arco circular de espesor constante (f:ig. 67 ) con una sobrecarga que obra en sentiqo vertical, se calcularán los térmiqos l y l' para cada dove·a, suponiendo aplicado á su centro de gravedad gel peso P de ella misma y de su sobrecarga y un par 1-'- igual al producto del peso de la sobrecarga sola por su distancia al centro g: el error que se comete tomando el c.írcuÍo qe los centros de gravedad en lugar del que pasa por los puntos medios de las juntas es muy pequeño en la _práctica. Las sumas respectivas que resulten se sustituirán en lugar del y l' en las ecuaciones ( 2), y calculando luego los valores de q, q', n y n' para el arco o e rn

(·¡ Resistencia ele materiales, pág. 135. Hi

122

podrán deducir fácilm~nte ae' las ecuaciones citadas los valores de Q y N, y por consiguiente la distancia e a.. Llamando _e ála amplitud del arco ne y p á su radio,.los va1ores generales del y l' pai·µ la E

C( y dividiendo por

dovela g son, haciendo - - - E w P2 3

todos fos términos de l y por _P_ los de l', E

= - P.[(,¡, -

+P [

sen.

,i,

sen.

e) sen. ·e+ cos. 2

sen.

cos.

sen.

cos.

,¡, -

sen.

1 /2

<1>

cos.

<1> -

<1>

o]+ ·-¡- ('1> -

+- (,¡,

e ) sen.

e+ ½C( (sen.! c¡,-=- son._ e)] 2

+ sen.

y los de los dernas términos, para la ampl itud o e= <1> son, di vid idos

rª

tambien por -,- y por -,- 'respectivamente, q = - sen .

q'= 2 sen.

<1>

<l>- 1/~

sen.

tl=

sen.

-

<1>

cos.

<1> -

3/ 2

½ v.

(

,f!

+ sen .

<I•

cos.

<1>)

123

7. A

Efectmindo la eliminacion en las ecuaciones (2) y haciendo

½ ( sen. 2 ~ - sen. 2 0) - sen. { sen. 4 + cos. <I• - e sen. 0 - cos. ½ 1' sen: cos. + ½ 42 - sen. 2 et,

· sen. 0 - 0 san. B=--------=----½ ,¡, sen. ,¡, cos. + ¾ 2 - señ._2 ,¡,

e D

½ (sen. -<1>) (sen. <!>-sen. 0)2-(sen. -½ -½ sen. cos. ) [ (-0) sen. 0+cos. <!>-{:os. 0) ½ sen <I• co:l. + ½ 2 - sen. 2 <1>

sen. 0 - O sen. + sen. ,¡, (sen. - sen. 0) - ½ ( -0) (+ sen. ½ sen. cos. + ¼ ,¡,~ - sen. 2 <1•

cos. )

¾ 1'1>2 - 02 ) (sen. 2 <1>- sen. 2 0) a=-;--;----:-;;---,--"ñ""~--'-i--'-;;-;----:--'-'-;-,"7---=----:'--::---.,,-----,-,,-½ <1>2 (s~n. 2 ,¡, - sen , 2 0) - sen. ( sen. + ces. - e sen. e- cos. 0) -

½ <l>{<l>+sen. cos. )

, ½ sen. cos. <I• + ½ ,r,'2 - sen.2 e

,¡,2 (sen. ,¡, -sen. 0) {½ <I• ·sen. +½,¡;-sen. e- sen.,¡, sen. 0) ( - e) 2 {½ <1 sen. cos. <1> + ½ ,r, 2 - sen. 2 ) 1

()

r=<I•

los valores de Q y N se pueden expresar por las fórmulas siguientes : ··

A ( ~ ..=_ -ªt-r ' ") · p --'---,-~--'-,1 b u-,

+ _ · C+(C-A-(1-r) N -- Pp 1+b " Q

B + - . --' 4 +b " e)" D-(1-r) b" ' 1+b ¡.t

_l_

:;r f'·

en las cuales p es el radio del círculo medio y

= 1;

P·2

siendo e el

espesor de las dovelas: ., Las tablas I, 11, lII y IV que se insertan al fin de esta nota dan los valores numéricos de las funciones A, rr, C y D, y la tabla V da los de la funcion by un término medio de los ·que para cada amplitud <1> corresponden á a y e,· porque la variacion que ocasiona e en estas dos \

12í

funcio nes no tieo en influencia apréciaLJe én los resultados {'). Con estas tabL1s será muy fácil hacer las operaciones antes indicadas (45) á fin de cleterminar el empuje y su punto de aplicacion, para lo cual convendrá dividir la m~dia bóveda en 20, 11O, 5 ó 2 dovelas, segun su amplitud y dimensiones absolutas. 8 . S!•a por ejemplo un arco circular de 60º de amplitud total con 1O metros de radio de intrados y 0",80 de espesor en sus dovelaio, suponiendo para mayor sencillez que no tienen mas carga que su propjo peso. Entonces son p=

.30º,

<1> ; -

a= 42,7,

e = 0,8, "- =0,0005

40,4 ,

b= 589,2,

e= 15'1 ,7.1

+ b (/. =

4 ,~95

y dividiendo el medio arco en cinco dovelas serán en cada una P

= 0,87 ,

I'·

= O (.. )

Para sustituir ahora en las fórmulas últimas se formará el siguiente cálculo :

UO VBt. ,\ S.

-1 2 3

4 5

3,4196 2 ,861,6 ·1, 9 ·1 31, 0,8625 O, 11 56

C- 1-c(I-,·),

Sumandos de Q.

Suman dos de N.

-- -0 ,1 O 0,30 0,50 0,70 0,90

ª"-

1-r'

0,0528 0,0063 + 0,0249 + O,O •Vi4 + 0,0029

0,022 0,023 0,028 0,042 0,·1•I 2

-1 26,85 77,18 39,82 - , ., 4,49 1,64

2,583 P -0,090 P p 2,161 P .::.._0,0-2/; P p 1,', 36 P +o ,o íl'4 P p 0,638 P +o ,oos P p 0,079 P +0,00 2 P p

Las dos últimas columnas dan los valores siguientes: Q = 6,00

N= -

0,087

(') Para la f'or rn acioo de estas Labias rn ban reemplazado las lio eas trigonom étricas por su desarro ll o en func ioñ del arco , y no en tro en el porn:ieoor de es tas opera ciones pvr oo alargar d emasiado esta nota. Eo los largos cálculos numéricos que ba i;ido ueces~rio hacer me hao au."-ili ado mis di stingu idos discípulos D.. Migu el Marlinez Campos y D. Aotooio del So lar, Asp irao tes seg uodos del Cuerpo de In genieros. t") P se expresa en metros cúbicos y para la unidad de loogilud. Si hubiese sobrecarga, su m" me nlo ¡,. respecto del ccnl10 cte·1a dovela seria negaliv.o.

125

y dividienJo -el segundo por el primero se obtiene para la distancia del punto de apfü:acion 'del empuje al medio. de la clave

- - o·, u distancia que se toma desde el punto medio bácia arriba por ser neg~tiva y se tom¡iria bácia abajo si fuese positiva. Si actuarn un peso ó un par en un solo lado de la bóveda y no en el simétrico, ·se tomaria la mitad de lo_s valores correspondientes de Q y de N que señalan las tablas y las fórmulas. (') 9. En un arco ojival, cuya junta de arranques sea horizontal, su amplitud <1>, y 0 la distancia angul3:r de la junta de arranques al punto de aplicacion del peso P ó del par 1-'- , se obtendrán los siguientes valores para los coeficientes de las ecuaciones (2): l = .P (se~. 0 - ecos.&) +

+½ asen. 2 0) ,¡,

P (½ sen. 2 0 +½- cos. 0 -

(= -

r¡ =

-f-

7( -

sen. <J> senJJ

+ 0 seo. <I• cos. e

0sen.<I•

sen•. <1> + cos.

+cos. 0-1 )

q'=2sen.•1>-% se~.<1>cos .'l>-<1> sen. 2 <1>-½<t• - ½ a(sen.•I•cos.<l>-<t•) e¡,

n,=·-P,n '

cos.

<I• _:

,1,sen.

<l>

= - - - - - - -- - - p

1 O. Para aplicar las rórmulas generales á las bóvedas esféricas se ha de consid~rar el equilibrio de un huso esférico (68) comprendido entre dos planos me,:idianos que forman un ángulo sumamente (')

Rcsislettcia de materia /es 2.• ed. pág. 14 t ,

126 pequeño 8. En este caso el ancho ·de las dovelas varia en proporcion · de la abertura de este á_ngulo , y se puede considerar que la sec~ion del arco es un rectángulo _con su altura constante e y su ancho medio que es p8 seo. (<t> -

cp),

resultando de esto ~

1 / 12

E e3 p 8 sen. ( <t> -

,¡;),

e p 8 sen .

,¡,) ,

(<t> -

u =

,¡ 2 ('2

Se supondrá ahora que el huso esférico no llega 'mas que á una distancia angular B de la vertical, como sucede con frecuencia en muchas bóvedas ele esta clase que están abiertas por la parte superior. El ángulo que forma la junta de arranques con la vertical es <1>, y el que forma con la misma línea el radio del punto de aplicacion de la fuerza ó del par es 0 y teniendo presente que

dx sen. x

1 tang. ½ x ,

dx • tang. ·

l. sen.a;,

los coeficientes de las ecuaciones (2) son los siguientes:

l = P (1, :- 0

= -

+ sen. 01.

('l>- 0) cos. B

+ cos. ~ seo. 0 l.

11-_ f'

tang. tang.

tang. ~ 2 tang. 2

½0 %. <t>

+ sen. 0 -

0 <t>

tang. ½ 0 (cos . e l. ----"'--''--"---tang. 1/ 2 <J•

_!:_

) -_

sen.

(sen.

<t> -

1 ·

-

tang. %.O tang. ½ <t>

s~n. 0) ]

l. _s_en_.0_ ) sen. <l>

sen. 0. sen.

sen. 01.

127

-l. sen. 6 - -· q- -sen. <1> ,

cos.

=COS.<l>-COS,tJ-. 1

rJ.

( cos.

<l> -

cos

(í

n =

tang. tang.

1¡26 ½

--=--'-.:!'---

<1>

½ 6 1/

tan~. tang.

1 2 • tang. 1~ 6 )

+ l. tang.. 1/ 2

tang. 1 n=- -1. ,

o I•

sen . 6 2 cos.6 1. - sen . <1>

<1,

½g

tang. %.<1>

- . tang. 1/ 2 (í 6 - P cos. 1· -tan°o· 11/ 2~"· 4 (

l. sen. 6 ) sen ..~,,

Si la bóveda es completa, se sustituirá en lugar de 6 el ángulo que forma la junta de 1~ contraclave con la vertical, con lo que sé . p_odrá obtener la presion que la clave recibe e:i toda su circunferencia. Cuando la bóveda es abierta, si es Q el empuje que corresponde al huso de abertura 8, á la · unidad de longitud 'de circ~nferencia de la úhima hilada corresponderá •

p 8 sen . 6

, y la presion lateral

que ejercer~n los dovelas de esa hilada una contra otra, s~rá

411. Conocida la fuerza Q y su punto de aplicacion a (fig. 67) se puede encontrar con mucha facilidad la presion en una junta cualquiera mn y el punto á que se halla realmente aplicada. Para esto se tomará desda el punto a hácia abajo en la direccion vertical una longitud a Pn proporcional al peso de todo el segmento m ne corí su sobrecarga (49) y la longitud Q Pn representai:á en magnitud y _direccion la resultante de todas lasfuerzas que actuan sobre mn. Para hallar su posioion se trawrá la vertical Sn que pasa por el centro de gravedad del citad~ segmento (50), y por el punto bn en que corta á ,la -h orizontal Q a prolongada se tirará la recta bn án paralela á Q Pn, que ·representa,la verdadera posicion de la resultante hallada, y el punto

128

d 11 será su punto de aplicacion en la junta mn. Repiliendo la misma

operacion para todas las juntas se obtendrán las respectivas presiones Q p 1 Qp 2 &c., y los puntos de aplicacion d1 d2 • •••• d9 en ' cada uno. ~ 2 . . Uniendo todos estos puntos re!'lulta la curva a d1 d1 d9 , que se llama curva de presi·ones y que sirve para dar á conocer de una manera sensible el estado de equilibrio en que se encuentra la bóveda. Esta curva es del género de las funiculares, y se pueden aplicar :í su lrazado y discusion todas las propiedades de estas. Si las fuerzas eslán repartidas de una manera continua, la curva es tambien continua, la mayor curvatura corresponde á los trozos en que obran fuerzas de mayor i'ntensidad, y si hay una fuerza aislada en un punto, allí se quiebra la curva formando un ángulo. Si hay un gran peso colocado en el vértice, la curva formará el ángulo en. el punto a, lo que demuestra que las bóvedas ojivales son las mas convenientes en este caso. ' ~ 3. El trazado de la curva de presiones hará conocer si es posible la desunion ó abertma en alguna junta de la bóveda, lo cual se conocerá en que la curva sale fuera del tercio intermedi'> del 85- · pesor del perfil, y en este caso la hipótesis sobre que !"e han l1echo los cálculos es inadmisible, y se debe aumentar el espesor del arco hasta. que el resultado concuerde con la suposicion, ó sea que la curva caiga dentro de los límites indicados. Obtenida la primera condicion de estabilidad, se comprobará si se verifica la segunda en los puntos én que la curva se aproxima mas al trasdos y al intrados, (que es lo que señala las juntas de rotura) con arreglo á los principios expuestos en la nota I (8). Con el auxilio de las tablas estos tanteos son tan sencillos como todos los que ordinariamente se hacen, y bastará traza,r la curva de presiones en tres juntas inmediatas á la que forma el ángulo de GO• con la vertical, ó en las dos inmediatas á los arranque3 para hacer estas comprobaciones. -14-. El equilibrio de traslacion tambien- se puede comprobar por medio de la figura 67, porque representancio la recta b0 dn la dirccr.ion de la fuerza resultante que actúa en la junta 1n n, será preciso que el ángulo que forme dicha recta con la perpendicular á la

129

junla sea menor que el ángulo de rozamiento que corresponde á la piedra. Esta condicion se habrá de verificar en todas las juntas, y aquellas en que la presion se desvie mas de la perpendicular á uno {1 otro lado serán las juntas de rotura por traslacion. 4 5. Tambien sirve la curva de presiones para indicar la mas ventajosa aplicacion de un perfil determinado para sostener ciertos esfuerzos. En efecto, cuanto mas se aparte la curva del eje o e, tanto mas desigualmente se repartirá la presion en las juntas y mas expuestas estarán á abrirse por un pequeño exceso de carga, necesitando el arco mayor espesor para resistir las mismas fuerzas. Por el contrario, cuando la forma del perfil sea tal que la curva de presiones se confunda con la curva de los puntos medios de las juntas, el material necesario para la bóveda será un mínimo y su estabilidad la mayor posible.

TABLAS l',\l\A

CALCULAR EL EMPUJE Y HALLAR SU PUNTO DE APLICACION

EN LOS ARCOS CIRCULARES .

132

TABLA I. VAL OR E S DE A.

<1>=5º

¡'1•=·10° cI,==15° <1•=20" <11=25° <!•=30° <1•=35° <1=40° <1>=115º

-- --- - - - -

--- - -- - - - --- ---

7,117 5 5, 2998 4,2230 3,4998 2,9582 2,56011 7,08 ·1 5 5,2850 4,20 •1·1 3,4-735 2,91,9 1, 2,5525 2 ·1,0433 10,'1990 6,971.-1 5,201, 2 4,1360 3,ld96 2,902 ·1 2}5107 20,5 1 45 1 O,!l34 ·1 6,7970 5,07 06 ,,,0286 3,3287 2,8242 2,"4 ·19 19 ,7856 9,8690 6,5529 4,88 68 3,8808 3,20117 2, 7171 2,3473 1 8·,8678 9,40911 6,2457 4,6657 3,69 50 3,0491 2,:í829 2,2290 ·17,7758 8,8628 5,8807 4,38H 3,1,7116 2,S646 2,4239 , 2,0 89 ·1 16,5272 8,2380 !.i,'1635 1,,0677 3,2233 2,6546 2,24 33 1,9306 ·15,1432 7, 5458 5,0018 3,7211 2,94U7 2,1.. 2,,.0 2,041,5 1,7 563 •I 3,61,80 6,7983 1,,5036 3,31,76 2,6472 2,1743 1,83 ·1 5 1,5701 12,069 ·1 6,01 61, 3,9783 2,95113 2,333 •1 1,9 ·1 311 1,60 87 1,37 58 10,4370 5,1911/1 3,4 362 2,51191 2,0 •10/¡ 1 ,61159 •I ,3807 1,171,8 8 ,7857 1,,3705 2,8888 2, 1 405 1, 6855 1, 3772 1,1 526 0,9 805 7,1523 3, 556 ·1 2,34811 1 ,73 78 1,3632 1,1139 0,9297 0,7 885 5,5770 2,77 •13 1,8233 ·1,3512 1,0603 0,8625 0,7 •180 0,6068 4,1032 2,0 377 1 ,34 30 0,9] ·1O 0,7761 0,6298 0,5227 O,V,04

º·ºº 21,47 ·11 10,7 ·13 3 0,05 2 1,3637 1 0,6595 0,1 O 0, ,11; 0,20 0, 25 0,30 0,35 0 ,4-0 0,45 0, 50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,7 5 0, 80 0,85 i,!lO 0,95

2 ,7777 1,650 ·1 0,7731. 0,2036

1, 3785 0,8183 0,3832 0, •I 008

0,9071, 0,6686 0,538 ·1 0,3958 0,2i:H 7 0, •1841 0,066 ·1 0,01,31,

0,5225 0,4229 0,3498 0,3086 0 ,249 •1 0,2053 0,1 1,37 0,1 ·I 56 0,0950 0,0376 o,o 30 ·1 0,02116

2,2530 2,2 4 O4 2,2027 2,11,0!J

2,0 560 ·1,9500 ·1,8248 ·1,6832 1,52S0 1,3627 •I ,1909 1 ,0 ·1 64 O,8 4 32 0,67 56 0, 5177 0,3738 0, 2933 0,2479 0,171/i 0,1 1, 41 0 ,0789 0,0 660 0,0201, 0,01 69

133

TABLA I. VALORES DE A.

r ,---

º·ºº

0,05 0,-1 O 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 O,G5 0,70 0,7 5 0,80 0,85 0,90 0,95

<1>=50° <1>=55° º <1•=60° <l>=G)•l>=70° <],=75° cJ.•=80° <1•=85

- - -~ - - -

---

1,9990 ·1,7884 1 ,610 2 1,7778 1,60 O3 1, 7 4 61 1 ,57 O8 1,6942 •I ,5225 1,6232 1 ,t, 565

1,987 5 1,9532 1,8969 1,8 •197 1,7233 1,6098 1,4917 1, 3418

1,1936 1,0 395 0 ,8839 0,7301, 0,5825 0,41,42

_ I_

-----1 ,t,570 1,3233 ·1 ,2052 1,314 5 1,1968 1,2883 ·l,'1718 •I ,21, 54 •I ,1 3-11 ·1,187 •1 1,0757 1,114 9 1,007 3 1 ,o 30 8 0,9279

1, 447 7 1,4200 1,3747 ·1,3 ·128 1 ,534 6 1,3744 1,236 •1 1,4306 1,27 8 2 ·l , l l,64 1, 3135 1,160 3 1,0462 1 , 1861 1,0532 0,9'3 78 1,0513 0,9299 0,8242 0,9123 0,8031, 0,7092 0 ,7725 0,6768 0,5932 0,6352 0,5 .534 0,1,818 O,50 4 2 0,li363 0,3769 0,3821 0, 3281, 0,2816 0,2725 0,2321, 0,1970 0,1 784 0,1507 0,1264 0 , 1022 0,0854 0, 0707 0,0460 O,o 381 0,03-10

0,937 S 0,8362 0, 7 3 1O 0,621, 1,

.1<1•=90 .

0,8398 0,7 4 54 0, 6477 0, 5492

0,5 •192 0,4528 0,4183 0, 36 •11 0,3242 0,2767 0,2393 0,2014 0,1656 0,1372 0,101,7 0,085 •1

·1,0997 ·1 ,00 47 0,9171 1,09-17 0, 9969 ¡0,9107 1, 0678 0,97 39 0,8885 1,0388 0,9364 0,8523 0, 9760 0,8930 O 8033 0,9·1 os 0,8234 0,7431, 0,84 55 0,7 512 0,663G 0,5723 o, 48 ,1o

0,75 •16 0,6725 0,5889 0,5034 0, 4-186

0,6747 0,5991, 0 ,52 03 0,1,399

0, 3609 0,3925 0,3372 0,2S6 1 0,3092 0,26 •15 0,2 ·17 4 ' 0,2331, 0,1927 0,1569 0,1 G70 0,1353 0,1061 0,1H3 0,0875 0,0656

O,31 90 0,0672 0,0509 0, 0357 0,2103 0,0576 O,o 4 57 O,o 350 0,0251 0, 0·1 60 0,12H o,o 552 0, 0248 0,0191 139 0, 0093 o, o O50 0,0 •11,0 0,0116 0,0094 0,0075 O,OOiiS 0,0043 0,0028 0,0016 0,0001,

º·º

13i

TABLA 11.

VA LOR ES D-E B.

<1>=5º

- - - - - - :,

1---

0,05 0,10 0,15 0,20 0,26 0,30 0,35 0,4 O 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

'1>=10º <l.>= 15º •1•=20º '1>=25° <1>=30º •1==35º '1>=4 0° <1>= &-5º

49,1537 97 ,5679 144 , 5034 189,2205 230,9801 269,01, 28 302,6694 33 ·1,1208 353,6578 369,54r8 378,033 7 378,39/i9 369,8870 35·1,7716 323,3031 283,7 659 232,1,000

1 2,3 ·14 5 24,4425 36,2016 47,4034 57 ,8636 67, 3966 75,817 4 82,9409 88,5817 92,5552 94,6764 94,7607 92,6234 88,0803 80,9454 71,0402

5, 4925 ·1 0,9021

3,1049 6,1627 16,147 0 1 IJ,1267 2 1,14 1211,9498 25,804 7 1 4,585 1 30,055·1 16,9859 33,8082 19,1053 36,9820 20,8967 39,4940 22,3·1 36 Id ,2618 28,3095 4'.!,203 •1 23,8379 42,2361 23,8528 41,2786 23,3028 3 9,2489 22, ·1 581 36,0645 20,3564 3·1,6456 17 ,8590 ~8,17 53 25,9116 14,6194 •l 68,li75 ·1 4 2,1692 23,6242 10,5928 91,2533 22,8384 10,1688 5,7345

--- - - - - - - - - - 1 ,9998 3,9692 5,8913 7,6 9 57 9,3922 10,9371 12,3004 13,4520 14,3620 15,0006 15,33 78 15,3444 1 4,9894 14,2477 1 3,0860 11,4775 9,3928 6,8037 3,6821

1,3995 2, 777 9 4, H 35 5,3852 6,5717 7,6518 8,6044 9,4085 10,0431 •10,48 7 5 10,7209 10,7229 ·1 0,4734 9,9512 9,1368 8,01 11 6,5537 4,7455 2,56 7 2

1,0378 2,0597 3,0498 3,9924 4,8714 5,6713 6,3763 6,9709 7 ,4395 7,766S 7,937 6 7,9367 7,7493 7 , 3606 6,7 559 5,9212 li,8420 3,504 5 1,891, 9

0,803 1 1,5938 2,3598 3, 0887 S,7 683 ,,,3863

0,6422 1,2746 1,8870 2,4695 3,0125 3,50 59 4,9307 3,9401 5,3893 4,3055 5,750 1 ,,,5925 6,0015 4,7917 6,1 315 4,8938 6,1288 ,,,8898 5,9819 5,6796 5,21 O8 4,564 9 3,7 311 2,6991 1,458 7

4,7706 4,527 5 4,1 517 3,6353 2,9696 2,1470 1,1596

135

T \.BLA II.

VALORES nE n.

r 0, 05 0,1 O 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0, 40 0,45 0,5 0 0,55 0, 60 0,65 0,70 0,7 5 0,8 0 0,85 0,90 0, 95

•1>=50º <1>=55° <1>=6 0º <1>=65° •1>=70~ 4=75º <1>=80º •1>=85º <1>=90º

---

--- - - -

--- - - - - -

0,4 424 0,37 79 0,8778 0,7498 •I ,2992 1,1 ().97 1,7000 1,45 •17 2,0630 1,773 5 2,4115 2,058.3 2,7088 2,3113 2,9576 2,5233 3,1532 2,6886 3,2876 2,80 ·19 3,351,8 2,8579 3,a 4 90 2,8511, 3,2642 2,777 5 3,094 5 2,6315 2,834 4 2,4087 2,4 787 2,1O49 2,4250 2,0222 1,7160 1, 7 521 1, 4 6 00 1 ,2378 0,9456 0,7874 0,667 0

0,32 7 8 0,650 4 0,9623 1,2587 1,5344 1,78'39 2, 0 026 2,1854 2,3276 2, 424 5 2,461 6 2,4646 2,3992 2,2715 2,0777 1 ,8 1 1,2 1,4777 1 ,0 650 o,5733

0,2882 0,5 717 O,8 4 59 1,1 062 1,3 480 1,5668 1,7582 1,9180 2,0418 2,121 3 2,1657 2,1582 2,1038 1,98 62 1,8053 1 ,58 38 1,2889

0,2301, 0,4570 O,67 60 0,8836 1, 0761 1,2 489 1,4015 1,5~7 4 1,6243 1 ,6890 1,7186 1,709 1 1,66·1 O

- -0,527 3 1,0 463 1,5490 2,0270 2,4722 2,87 66 3,2321 3,5308 3,7650 3,9279 4,0090 4, 0040 3,9045 3,7037 3,394 4 2,9701,

- --

0,2564 0,5085 0,7523 0,9835 1,1982 1, 3822 1,5617 1,7028 1,8118 1,8852 ·1,9195 1,9 11 5 1,8581 1,7564 1,6039 1,3980 1,1365 0,9280 0,81 7 5 0,4990 0,4391

1,,!í 688 1,43H 1,21162 1,0120 0,7270 0,3901

0,2 090 0,4146 0,6 1 31 0,8012 0,97 55 ·1,1326 1,2694 1,3777 1,4 695 1,5271 1,552 6 1,5437 1,4981 1,4136 1,2882 1,120 5 0,9089 0,6522 0,3 494

0,1913 0, 3793 0,5598 0,7 326 0,8 91 7 1,0349 1,1593 1,2621 1,3405 1,3920 ·1, H42 1,4049 1 , 3621 1,2839 1 ,1688 1,01 54 0,8226 0,5895 0,3 154

13G

TABLA III. VALORES DE C.

( Los números superiores á la mya en cada columna son negativos.)

<1>=5º <1>=10º <1>=15° <1>=20" <1'=25º <1>=30° <1>=35° <1>=40° <1>=45°

--- --- --- --- --- --- --- --- --0,00 0,0 ·1 61¡ O,O!í 0,0122 0,1 O 0,0086 0,15 0,0055

0,0327 0,0491 0,0650 0,0 8tO 0,021,5 0,0368 o,o 491 0,06 •14 0,0 ·172 0,0259 0,034 6 0,0433 O,OH O 0,01 6/.i 0,0220 0,0276 0,20 0,002S 0,0056 0,0085 0,01 ,1 3 0,0 ,14 3 0,25 0,0006 0,0012 0,0018 O 0025 0,0033

--- ---

0,30 0,0012 0,0024 0,0035 0,35 0,0026 0,0051 0,0075 0,4 O O,o O3 5 0,0070 0,0104 0,45 0,001,1 0,0082 0,0122 0,50 0,00 4 4 0,0088 0,0 ·1 3·1 O,!.i5 0,0044 0, 0088 0,01 31

- --

0,0045 0,0055 0,0099 0,012 ·1 0,01 37 0,01 69 0,016 •1 0,0 ,1 98

0,0172 0,0212 0,0172 0,02 ·12 0,60 0,0042 0,0083 0,0123 0,0162 0,0199 0,65 0,0038 0,0074 0,011 O 0,011,5 0,0177 0,10 0,0032 0,0063 0,0,093 0,012·2 0,0149 0,7 5 0,0025 0,001,9 0,0073 0,0096 O,OH7 0,80 0,00 ·18 0,0035 0,0052 0,0068 0,0083 0,85 0,0011 0,002'.2 0,0032 0,001¡3 0,0052 0,90 0,0005 0,0011 0,0016 0,0021 0,0025 0,95 0,0001 0,0003 0,0001, 0,0006 0,0007

0,0991, 0,1 ·I 50 0,131 6 0,0738 0,0862 0,0987 0,0528 0,0609 O,o 681 0,0333 0,0390 O,o 4 4 S

0,11,82 0,1H2 O,07 87

0,0506 0,0 ·1 7 3 0,0205 0,0237 0,0270 0,004•2 0,0052 0,0063 0,0076

--- ---

0,0063 0,0069 0,0074 0,0077 0,01 42 0,0 ·16•1 0,0178 o,o 1 92 0,01 98 0,0226 0,02i.í0 0,0272 0,0233 0,0265 0,0295 0,032 ·1

0,0249 0,0283 0,031 4 0,021¡9 0,028 •1 0,0313 0,0233 0,0264 0,0292 0,0207 0,0231, 0,0258

0,0342 0,0339

0,0316 0,0279 0,0 •171, 0,0 ·1 9 6 0,02 ·1 5 0,0232 O 0136 O,Of53 0,0 •167 0,0179 0, 0097 0,01 os 0,0 ·11 8 0,0126 0,0060 0,0067 0,0073 0,0077 0,0029 0,0032 0,0035 0,0037 0,0008 0,0009 0,00 ,1 O 0,001 O

137

TABLA III. VALORES DE C.

( Los mí,meros superiores á la raya en cada columna son negiltims.)

' r

<1>=50° <1>=55 ' <1•=60" <Ii=65° <1•=70° <1•=75° <1•=80° <1•=85" <1,=9J

,__ - -

--- - - - - --- --- --- - - -

0,161, 8 0 ,·1815 0,19 8 ·1 0,2 ·1 48 0 ,05 0 ,1237 0,1363 0,1489 0,16 ·1 3 O, • O 0,0 8 77 0 ,0967 0 ,1 05 8 0,1 ·1 49 0,1 5 0 ,0 566 O,o 627 0,0688 0,07 50 0,20 0 ,0 3 0 5 0,034 ,1 0,0378 o,or.1 6 0 ,00

0,25 0 ,30 0,35

o,t, o 0 , 45 0,50 0, 55

0 ,6 0 0·, 65 0,70 0 ,75

o,so 0 ,85 0,90 n,95

---

0,23 1 5 0,2480· 0,261,6' 0,281 O· 0,2973 0,'174'1 0, ·1867 0,1993 0,2 ,117 0,2241 0 ,1241 0 ,•1332 0,1 421, 0 ,,1 515 O, •I 60.6 0,0813 0,0876 O,o 9,\ O 0,.1 002 0; 1 O68.

0,0456 0 ,0497 0 ,0:;39 0,0582 O, OG2ü 0 ,0·1 07 0,0125 0,011, 5 ·0 ,0 ,1 67 0,01 9 ·1 0 ,0217 0,024 1, 0,0274 - -- O,o O21 0,0077 0 ,0076 0,0072 0,0065 0,0051, 0,0043 0,00~8 0 ,00 ·1 O O,o2 0 4 0 ,02 ,1 2 0,02 ,18 0,0220 0,02 ,19 0,02 ·11, 0,0205 0,0,t 93 0 ,01 76 0,029 ,1 0 ,0 3 08 0,0318 0,0/!25 .o,o 328 o,o327 0,0322 0,0312 0,0297 0 ,0 3'43 0 ,0362 0,0376 0,0386 o,o391 0,0391 0,0386 0 ,03,75 0,0360

o ,·0091

0 ,036-5 0,0 384 0,0399 0, 0408 o,o 1, .1 3 0,01112 0,0406 0,0~94 o,o 377 0,0361 0,0379 0,0392 0,01,00 0,0403 0 ,0400 0,0392 0,0 3 7 S o,_o 3:;3 0 ,0 336 0,0351 0,0363 0, 0368 O,o3 68 0,0.363 O,o 3 53 0 ,0337 0,0 316 0 ,0295 0 ,030 8 0 ,0315 0,03 •18 0,0 3 •16 0, 0_309 0, 02 98 0,0 2S1 0,0260 1 0,0244 0,0253 0,0257 0,0258 0 ,0251, O,O !U6 0,02 3 1, o ,0·2 -13 o ,o 198 i

o,o17 -1 0 ,0•1 :i6 o.o 139 1 O,012 . •1 0 ,0 11 2 0 ,0 ,100 0 ,0087 ¡ 0,0070 0,0063 0,00 5 5 0 ,0 01,G ¡

0,0 ·18 8 0 ,0·1 9 3 0,0 ·1 96 0,0 ·1 91, o,o 1 9d 0 ,01 31 0 ,0 •1 31, 0,0135 0, 0 -1 33 0,0 ·1 28 o ,003p 0,0081 0,00 8-1 0,0079 0,0075 0,0038 0,0038 0,0038 0,0036 0,00 31,

0,0182

º·º º·ºº 19 º·ºº 0 1,

0,0031 0 ,0028 024 0,001 O 0,001 O 0,001 O 0,0009 0,0009 0,0008 0 ,0007 0,0004

138

TABLA IV. VALORES DE D.

( Los número! superio1·es á la mya en cada colwmw son negativos.)

. r

<11=

5º <1>= 10º <l> = l oº <l>= ?úº <1>==125º '~= 30º <1>=~5º '~= 4-0º <1>= 4oº¡

- - - - -0,00 0 ,0 5 0,10 0,1 5 0,20 0, 25 0,30 0, 35 0, 4 O 0 , 45 0, 50

0,60 0,65 0,70 0,7 5 0,80 0,85 0,90 0 ,95

--- ---

1,0000 1,0000 1,0 OOO 0,8876 O,88 7 6 0,887 5 0,7762 0,776 •1 0,7759 0,6667 0,6665 0 ,6662 0, 5599 0, 5597 0, 5593 0, .\ 569 0, 1,557 0,4 562 0,3 587 0, 3584 0 , 3579 0,2660 0,2657 0,26,H

0,0296 0, 0299 0,0801 0, 080.\ O,H9 3 0,1195 0,1463 0,146 5 0 , 1602 0,1603 0,1600 0,1601 O,14 4 9 0 ,1449 0,1 ·1 38 0,113 8 0,0658 0,0658

---

1,0 OOO ·1,0000 0,8 8 7 3 0,8871 0,77/;6 0,77 52 0,6658 0, 6653 0, 5588 0, 558 ·1 0,',556 0, 45118

0, 3572 0,2641, 0,1799 0,1796 0,1790 0 ,1782 0,1013 0,10 ·1 O 0,1 OO.\ 0,0996 0,0311 0,0308 0, 0303 0 ,029 5

--- - -0 , 55

0,3563 0,263.\ 0,1772 0,0986 0, 0285

--- --- ---

---

·1,0000 0,88 66 0,77 43 0, 6638

1,0000 O,88 6 3 0,7737 O,6629 0, 555 ·1 0,45 ·1 3 0,3 523 0,2591 0,1728 0,0941 0,0242

1 ,0000 0, 8860 0,7729 0,66 ·1 9

o,o 361

0,0378

·1,0000 0,8869 0,77 48 0,6646 0,/;573 0, 4 538 0,3 5 5 ·1 0,2622 0,1760 0, 0973 0,0273

O,5563 0, 4 526 0 ,3 538 0,2608 0,1745 0,0959 0,0259

--- --- - - - --- - -- --0,0301, O,o 31 2 0,0321 0,08 08 0, 0815 0,0823 0,1199 0,1205 0,12 1 2 0 ,14 68 0,1472 0,1 478 0,1606 0,1609 0,1613 0,1603 0,160ü 0,1 607 0,·1 450 0,1451 0,1452 0,11 38 0,1138 0,1 1 38 0,0658 0,0658 0, 0657

0,0332 0,0345 0,0833 0 ,0845 0,1220 0 ,1230 0,1485 0 ,1493 0,1 618 0,1624 0,1611 0,161 4 0,11, 54 0,14 56 0,1139 O,H 39 0, 0657 O,o6 57

0, 5538 0, 4497 O,3 50 5 0,2572 0,1 7 08 0,0922 0,0223 ~

0,085 9 0 ,0874 0,1 242 0 ,1255 0,1502 0,1 !;1 3 0,1630 0,1619 0,1458 O,H 40 0,06 56

0 ,1639 0,161!4 0,1 l,60 0,111, O O,o 6 56

139

TÁBLA IV. VALOfiES DE D.

( Los mimaros sr,periores ci la raya en cada columna s011 negativos.)

1•=50" <1•=55º <l>=60º <1>=65º ,¡, 10· <1>=75º <l>=80º <l>=85º <1>=90'

- - --- --- --- --o,oo 0,05 0,1 O 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

·t ,0000 1,0000 1,0 OOO 0,8S52 0,88/16 0,884-1 0,7713 0,7703 O, 7 690 O,G595 0,6580 0,6564 0,5507 0,5488 0,5468 0,4460 O,4 4 38 0,4414 0,34611 0,3439 0,3412 0,2527 0,2501 0,,2472 0,1 661 0,1634 0,1601, 0,0900 0,0876 0,0849 0,0819 0, 0202 0,0179 0,01 53 0,0 ·124

1,0000 0,8856 0,7722 O,660 7 0,5523 0,4480 0,3486 0,2551 0,H86

O,o 398 0,0892 0,1270 0,·1 525 0,4 647 0,1629

0,0420 0,09 ·12 0,1287 0,153 8 0,·1 6 57 0 ,163 5 0,1 463 0,1466 O,H 41 O,H 41 0,0655 0,0655

0,0444 0,0933 0 ,130 5 0,1552 0,1667 0,1642 0,-1469 0,1 ·1112 0,0651,

o,o 471 O,o 9 57 0,1325 0,1568 0,1678 0,1648 0,11172

---

1,0000 ·1 ,0000 O,S835 0,8828 0,7678 0,7665 0,6547 0,6529 0,5446 0,54 22 0, 4388 0, 4359 0,3383 0,3352 0,211/1'1 0,24 07 0,1572 0,1 537 0,0786 0,07 51 0,0093 0,0059 ~

0,0499 0,0982 0,1346 0,1585 0,1690 0, 1656 0,·147 5 O, •t,tt,2

0,0531 0,1009 0,1370 0,160 3 0,1704 0, 1 664 0,1479 0,111,2

0,114 2 0,0653 0,0 652 0, 0651

--- --1 ,0000 O,S821 0,7652 0,6508 0,5396 0,4329 0,3317 O,237 O 011 ,, 99

---

1,0000 0,880 4 0,765!1 0,61162 0, 5337 0,4259 0, 3339 0,2381 0,1 Id 3 0,0673 0,0629

1,0000 O,S813 0,7638 O,64 86 O 5368 0,4 295 0,3380 0,2330 0,11158

0,07 •13 0,0023 - -- 0,0016 0,0564 O,o 60 O 0,1 039 0,1071 0,1395 0,1 421 0,1623 0,164 5

--- ---

O,00 58 0,0639 O,H05 0,1449 0,1665 0,17 • 7 0,17 32 0,1747 0,1 672 0,168 ·1 0,1690 0,1482 0,1486 0,11,89 O,H 42 0,111,2 0,1-11,2 0 ,061,9 0, 0648 0,061,6 1

TABLA V. VALOilES DE a , b Y c.

cJ,

5º 10º 15º 20º 25° 30º 35° 40° 45° 50°

1574,7

55º

23,6 18,4 H,7

60º

12,0 9,9

65° 70° 75°

8,3 7,0 5,9

80° 1

80º 90º

5,1 4•,4 3,8

774806,5 48'.2-15,6 9455,7 2962,0 111197,8 568,8 301,5 1173,2 105,7 67,7

392,9 174,0 97,4 62,0 42,7 3,1,1 1,

. ' 1,

11.

4216,1 1243,9 521,6 265,9 1154,7 94,2 62,1 · 4'.2,8 30,4

15,8 41,7 8,8 6,7

22,2 16,5 12,5 9,5 7,3 5,6 4.3

5,3

3,2

45,0 30,9 21,8

338 113,1

NOTA VII. Dimensiones límites del estribo de una bóveda.

1. Si el coeficiente a es constante, el espesor del muro tiene indudablemente un límite fijo dado por la fórmula del núm. 61 , pero como para obtener una estabilidad constante, el coeficiente a tiene que variar con la altura, segun se ha dicho en la nota 1.•, el espesor del estribo irá aumentando con mas rapidez que lo que indica la fórmula (a) del núm. 60, y cuando la altura sea infinita será tambien infinito el espesor que se busca. Esto se comprenderá fácilmente que debe suceder si se considera que la presion sobre la arista exterior del estribo no puede pasar de cierto límite, y que es proporcional al peso de la misma obra. 2. En las alturas ordinarias de los estribos, que distan mucho de la que representa la resistencia del material, el espesor en la base tiene un mínimo que depende del talud exterior del macizo . En el caso en que se le quiera dar una estabilidad completa, como debe hacerse siempre, se establecerá el equilibrio de rotacion respecto del punto a (fig. 49) que está al tercio del espesor, que es lo mismo que baber adoptado el coeficiente a 1 de la nota 1 .ª y conservando las denominaciones del núm . 60 , llamando además mal talud exterior, y suponiendo que se comprende en el peso S

14.2

el de toda la parte de fábrica que hay sobre el plano horizontal de arranque , se tendrá:

de cuya ecuacion se deduce

X= -½ ( mH + n.i-S )·

3. El valor de m que hace á x un mínimo está dado por 1a condicion

2 mI-I +% (mH + 84S).

-. ✓,:/,

( I-I + m

1 1

;; ) 2 + 6 r. (1 + Mt)

t +ii~H =0,

de la que se deduce, llarnaqdo x 1 al valor mínimo que se busca,

x 1 =2mH,

de modo que la figura de estribo que da una , base mínima es un trapecio cuyo lado inferior es doble del superior. Pero esta figura no es la de área mínima, pues para esto sería menester que el talud fuese: lo mas tendido posible, hasta don.de !o permita la resistencia por t,raslacion de las hiladas del muro.

NOTA VIII. Estabilidad de las bóvedas por arista .

1. El método indicado por el autor para hallar la estabilidad de las bóvedas por arista no es suficiente para llegar á conocer las condiciones en que se encuentra cada una de las pártes de una construccion tan complicada, por cuyo motivo en' esta nota se hará un análisis mas detenido del equilibrio de esta clase de bóvedas, procurando aprovechar en lo posible las construcciones gráficas que se ejecutan para las bóvedas cilíndricas componentes, y apoyándose en la teoría expuesta en el texto. 2. Sea A I F H (6g. 68) la cuar~a parte de una bóveda por arista de planta rectangular, comprendida entre dos frentes contíguos F H , F I, y dos planos paralelos á ellos, AH, A I , que pasan por el centro de la bóveda; A D es el medio aristero correspondiente, I' E' G' es la proyeccion del arco de frente I E, y H' D' F' es la del arco H G: el pilar ó estribo es D G F E, y no se han representado en la planta mas que las líneas visibles por el intrados conforme se acostumbra muchas veces. El equilibrio del conjunto debe resultar del de cada una da las partes, solicitada por su propio peso y por las reacciones de los demas, y así, la primera condicion es qu~ la media bóveda A Il H G D esté equilibrada por el empuje que ejerce

1/íA

la otra media simétrica sobre la linea A II de la clave, y por la resistencia que opone el aristero AD; lo mismo ha de suceder con la A I E D; el aristero AD se ha de equilibrar con el empuje del otro medio aristero simétrico y la resistencia que le opone el apoyo D F, y este último ha de resistir el empuje que el c uarto de bóveda le trasmit e por medio d~l aristero, además de los que ejercen Jas fajas RHG D y C I E D. E,;to equivale á considerar la obra como compuesta de un armazon formado por los cuatro pilares y los dos aristeros, los cuales sirven de punto de apoyo al resto de las bóvedas. 3. Descomponiendo ·uno de los cañones, el Al E, l' E' por ejemplo en anillos infinitamente estrechos e d, l' b', ~i cada uno <le estos anillos es estable sobre sus arranques, con mayor razon lo será su conjunto, en la suposicion de que el aristero AD tenga la resist encia necesaria, porque estos anillos están ligados entre sí por trabazones que no se han tenido en cuenta. Esta investigacion se reduce á la de la estabilidad del arco I' E' G', porque si este la tiene suficiente, con mayor razon la tendria una cualquiera de sus parles l' b' pues el equilibrio del sistema no se altera porque se fijen los puntos de todo el trozo b' E' y á esto equivale suponer fijo el plano b' g'. 4. Si los arcos de frente tienen bastante estabilidad, solo se necesita que la tenga el aristero. Este sé podrá considerar comoterminado en la proyeccion horizontal por dos rectas paralelas formando un pequeño cañon A' D' sujeto en cada elemento m' al peso própio de este, · el peso de los anillos b a, cd, de los dos cañones adyacentes y á la resultan le del empuje de estos mismos anillos. La primera condici.on de estabilidad es que la resultante de todas estas fuerzas se halle en el plano vertical que pasa por AD ó se aparte muy poco de él,,para lo cual es suficiente que lo esté la resultante de los dos empujes de b a, (d, pues de no ser así el a'ristero no sería estable en sentido perpendicular á su plano y obraría por su defor.macion co ntrn los cañones laterales, disminuyendo su resistencia. ·La segunda condicion es la estabilidad del aristero e n su plano, para lo cual es precis0 como siempre que la resistencia sea mayor e n cierta ca ntidad que el em puje, cuya diferencia está dada por el

145 coeficiente de estabilidad, que en este caso debe tomarse mas crecido. Para calcular los empujes y resistencias se harán entrar tanto las fuerzas horizontales como las verticales, pudiendo hallar por separado los que se deben á cada una de estas dos clases de fuerzas en cada junta, y sumándolos despues para encontrar el máximo ó el mínimo. 5. Para ejecutar estas operaciones es menester conocer el empuje que produce un anillo infinitamente pequeño e d ó uno finito e d s t. Si el anillo cd tuviera una longitud igual á la unidad, su empuje sería proporcional á la línea 4 4-' (•) que representa el que corresponde al segmento I' b' por lo cual su magnitud efectiva será proporcional al producto de dicha línea por la longitud ó grueso infinitamente pequeño del anillo, ó sea por el área de la faja e 4 , obtenida proyectando el punto 4' sobre la prolongacion de e d. ' Proyectando los demas puntos de la curva de empujes sobre las prolongaciones de los anillos correspondientes, se tendrá la curva A K para el cañon CD , y la AL para el D B, cuyas áreas parciales represeñtan el empuje producido por una porcion cualquiera de ca ñon comprendida entre dos planos perpendiculares á su eje. Se notará que desde la junta de rotura en adelante la curva se reemplaza por una recta paralela al eje, porque para los segmentos . mayores el empuje es constante é igual al máximo. Haciendo centro en Z y por medio de cuadrantes de circulo se pueden referir las longitudes Z 1, Z 2 &c ., á la proyeccion horizontal por el mismo órden que fos empujes, y_ 1 resultarán las curv as A M, A N, que representarán respectivamente por sus áreas los pesos de los trozos de ca ñon de CD ó B D. 6. Por el métódo del polígono funicular se puede encontrar la posicion de la resultante O P de las fuerzas verticales que están actuando en e!' segmento A' m' y por el mismo método se podrá hallar la posicion de la resultante OQ de las fu~rzas horizontales. El punto de aplicacion 91 , 92 , &c., de la presion que proviene de (') Para evitar que las ílguras oc11pasen demasiada extension se han hecho las construcciones para hallar los empujes desde los puntos Z , T y R c> n luga r de liacerlas desde la arista de tr~sdos de la clave.

•19

U6 cada anillo en el aristero no se conocerá exactamente por punto general, pero se puede suponer sin error sensible que se halla en el medio de la clave, en el tercio exterior de la dovela de arranqdes y que varía gradua-lmente entre estos límites en las juntas intermedias, con -arreglo á lo expuesto en la nota 6: (~ 2). El empuje que producen en cada segmento las fuerzas verticales se hallará por, el método explicado en el capítulo 6.°, y vendrá dado por las ordenadas de la curva RS: el empuje producido por la fuerza OQ que corresponde al segmentoA'm' estará dado por la fórmula

en OQ X R' n que se reduce á una cuarta proporcional y se construye fácilmente tomando la magnitud O Q desde R' hasta ·h en la horizontal R'U, y uniendb el punto h con _el n, la longitud e q representa el empuje buscado, que se puede referir por una perpendicular á la horizontal del punto i correspondiente á este segmento y entonces la longitud l f representará el empuje resultante que ocásiona el segmento A' m', puesto que los momentos de O P y OQ son de signo contrario. Lle' vando sóbre la recta R' U y una despues de otra las magnitudes de las fuerzas horizontales que corresponden á cada dovela en que se haya dividido eí aristero, y repi!iendo la misma construccion, se tendrá la curva· de empujes R V, y las ordenadas ·comprendidas entre esta curva y la RS representarán el éÍnpuje efectivo cuyo máximo será la presion que ejerce cada médio aristeto sobre el opuestó. 7. Compuesto este empuje y el peso de la parte CD·B A con los pesos y empujes -de los cañonesIEDC,HGDB, resultará el esfuerzo que se ejerce sobre el estribo DE F G. Como la direcdon de este esfuerzo se hallará en el plano vertical que contiene el ~ristéro DA, es menester que la diagonal FD del rectángulo DEfG se halle en el mismo plano, ó sea la prolongacion de la recta D A, por que sino las direcc;ones de este esfuerzo y del peso del estribo se cruzarían y no se podrian resolver en una resultante única que se destruyese contra la resistencia del suelo, dando origen á ~n par

de eje vertical cuya tendencia sería á hacer dar vuelta al apoyo sobre su eje. Cumplida, esta condicion, es menester que la resultante no corte á la base mas allá de un ponto r que diste del centro 1/a de F D, para que el punto D no tiend:1 á elevarse separándose del suelo, y el pilar satisfaga á las condiciones de una completa estabilidad (Nota .~.") . En efecto, descomponiendo la presion total que acttÍa en r en dos paralelas, una en 1.1c y otra en v, sobre los ejes de simetría de la figura, para que la presion aplicada en u no haga desunir la arista E D, es menester que su distancia al centro sea menor que % G D, y para que la presion aplicada ~n v no haga desunir la arista G D, es menester que la distancia de v al centro sea menor que 1/o E D, luego para que el punto D que pertenece á ambas aristas no se puepa levantar es preciso qú"e la presion total se halle aplicada dentro de la recta tlV que une los tercios de los radios rectos, con el objeto de que se pued1 descomponer con arreglo á dichas condiciones; y esta recta corta· á la diagonal F D en un punto que dista del centro el ½2 de su longitud. Con estas condiciones la presion por unidad en el punto F será ~ lo · mas el doble de la presion total dividida por toda la superficie D E F G, y es menester que sea menor que el límite de la resistencia permanente del material. 8. Si en lugar de una bóveda aislada se tratase de una galería formada de bóvedas por arista, no habría dificultad en compinar los empujes de 'las bóvedas adyacentes sobre un mismo estribo.

NOTA IX. Forma de las bóvedas de l!láxima estabilidad.

1. Es evidente que una bóveda en cañon tendrá su máxima estabilidad de rotacion si la curva de presiones (Nota 6:, 15) pasa por los puntos medios de . todas las do-velas , en cuyo caso estas necesitarán la menor extension superficial posible por la perfecta uniformidad con que se repartirán las presiones. La máxima estabilidad por traslacion la tendrá si todas las presiones son normales á las juntas respectivas , porque entonces la bóveda se mantendrá en equilibrio aun cuando no haya rozamiento ni cohesion. Estas dos condiciones no pueden verificarse sino dando ~ la bóveda una figura determinada que dependa de la clase y disposicion de las fuerzas que actuan en ella, problema que forma el objeto de un excelente trabajo de Mr. Yvon Villarceau (') y del que se dará aquí un li gero ~xtracto. 2. Lo .que mas importa para entrar en este asunto es determinar la accion que un macizo de sobrecarga ejerce sobre el arco Je una bóveda. Suponiendo esta trasdosada por nna superficie curva : ) Sur l' établissement des arches de po11t , envisagé au poit,t de v-ue de la plus grande stabililé. París l 85~.

150 continua, como suele hacerse en todas las obras de importancia, y que la sobrecarga se divide por planos verticales (fig. 69) conforme se ha admitido en todo el discurso de esta obra, sin que haya adherencia alguna entre la rosca del arco y la sobrecarga•, lo cual favorece la .estabilidad, cada prisma a b de tiene tendencia á resbalar sobre la superficie e d, y se apoya en el resto de la sobrecarga que termina en el plano bd°, de modo que el peso del prisma produce una presiou normal ~obre c d y otra sobre b d _e ntre las cuales debe quedar equilibrado. Sµponiendo que la extension cd és bastante -pequeña para confundirse con una línea recta y tirando la línea e e horizontal, el peso y las dos presiones que lo equilibran deben ser proporciorulles á Jos lados del triángulo ee d á que son respectivamente perpendiculares y llamando. P al peso del prisma abe d, N á la presion por unidad de longitud de e d y B á la presion por unidad de longitud de de , se tendrá,

N X cd cd p = ~'

H X ed p

ed ce

y representando por h la altura media del pri~ma ab cd cuya Ioñgitud es igual á la unidad , y por p su peso específico, resultará

P=p X "li X ce. y

N =H=p X h.

De aquí se deduce que en esta hipótesis la sobrecarga produce en la bóveda el mismo efecto que un líquido de igual densidad y· forma, y que el empuje horizontal H X de está aplicado al ptínto medio de de, proyeccion vertical de e d , porque para que el equilibrio exista es menester que su direccion pase por e-1 punto de interseccion de las fuerzas P y N X d e, aplicadas á los puntos medios de ce y cd respectivamente. 3. Para facilitar fa resolucion de este problema, en lugar de hacer coincidir la curva de presiones con la línea media del espesor

151 de las dovelas, se hace coincidir con la línea fo de los centros de gravedad, lo cual por la pequeñísima distancia que hay entre ambas líneas producirá una diferencia de presiones despreciable en la práctica entre ]as aristas m y e de intrados y trasdos de cada junta (Nota 1:, 8). Como la curva de trasdos es casi paralela á la de intrados segun despues se verá, no habrá error en suponer que la presion N X cd pasa por el centro de gravedad g de la dovela in6nitamente pequeña mncd, punto de aplicacion de su propio peso, y · entonces la curva de presiones se reduce á la funicular que se mantendria en equilibrio bajo la accion de las fuerzas que solicitan la bóveda, resulta[\do la presion T en cada junta tangente á la curva de presiones fo. 4. La condicion de máxima estabilidad por Lraslacion, exigiendo que la presion T sea perpendicular á la junta me, se reduce á que la curva de presiones fo sea normal á todas las juntas, y como para mayor sencillez se considera en esta teoría que estas lo son al trasdos, equivale á decir que las curvas fo y A B sean equidistantes en toda su extension. Llamando 1j2 e á la distancia ch, dicba condicion .. de estabilidad se reduce á

e= constante. 5. Esta condicion determina inmediatamente la longitud de ias dovelas en cada punto de la bóveda. Efectivamente, tomando el momento del área infinitamente estrecha mndc respecto de la línea e d, y dividiéndolo por esta área, resultará la- distancia del centro g á dicha línea cd, que es -½ e. Llamando O á la longitud media entre y nd, p ar radio de curvatura O' m del intrados, y du. al ángulo m O' n, resulta, considerando al cuadrilátero mn de como diferencia entre los triángulos cO'd y m O'n,

11 _ 12 e -

1/o ( p

+ º )3do: -

½ p2 (½p e) d"1/2( r +s)2d"-- 1/2r2d",

y desarrollando y reduciendo p B=

+ 1/3

• - +

11 / 'J. .

vq 1::)_

füta expresion se puede poner bFijO la forma

y como -E-es una fraccion pequeña cuyo cuadrado es despreciable p

comparado con la unidad, se puede reemplazar el segundo miembro por su valor aproximado basta el cuadrado solamente <le dicha fraccion, desa~rollando el denominador elevado á - ~ y queda

En lugar de despejar , de las fórmulas exactas anteriores, se puede despejar de esta última, tomando la misma aproximacion, y resulta por fin · !=C

(1 +11o f )-

El espesor .no puede ser constante mientras no resulte el intrados circular, pero siempre difiere muy poco de serlo por la pequeñez de la fraccion-~ . p

6. La condicion de estabilidad por rotacion se obtendrá expresando el equilibrio de todas las fuerzas que actúan en ]a dovela infinitamente pequeña mndc, que son la presion T en la cara me, la presion que recibe por la cara nd que es T dT, e] peso d P de la dovela, que está aplicauo al punto g, y la presion normal N X cd aplicada al mismo punto, que está en su prolongacion. Por ser funic ular la curva bastará expresar que el equilibrio se verifica paralemente á dos ejes cualesquiera, para los que se tomará ahora la tangente h T y )a normal O' h, cuyo ángulo con la vertical se designará

153

por Siendo nula la proyeccion de N sobre la tangente, así como la de T sobre la normal, las ecuaciones de equilibrio son (l..

dT=sen.(/.dP ............ ¡ (1) N X e d \ .... T d = cos. u d. P (l.

7. Las expresiones de d P y de N X e d se obtienen fácilmente. Llamando s á la longitud del arco Cm, el elemento m n tendrá por expresion ds, y el elemento e d correspondiente al trasdos será igual á ( ·1

+--¡-) d s, por lo que la expresion de la fuerza normal,

po-

niendo por ij su valor (2) es

El peso de la dovela m nd e es igual á su área multiplicada por el peso ~e la unidad de volúmen. Suponiendo que sea este el mismo que el de la sobrecarga, e; cuyo caso se facilita la resolucion del problema se tendrá

cuya exp;esion se obtiene considerando á la seccion recta de la doela como un trapecio. 8. Para simplificar con estas expresiones las ecuaciones (1), se representará por f'- la altura de ·un prisma de material igual .al de la bóveda, capaz de producir por su peso ,una presion

_!_ por unidad E

de base en cuyo caso se tendrá

La sobrecarga se considerará terminada por una línea horizontal (que es e1 caso ordinario de los puentes) la cual se tomará por eje 20

154 de abscisas, y la vertical OY que pasa por el medio de la clave por eje de ordenadas, designando por m é y las coordenadas de un punto m del intrados. Entonces la altura media del prisma a b de será h

= y-

Ecos. "'

y la presion normal se reduce á N X de =

p(y -

cos . " ) ( 1

+ -¡-)el s.

Sustituyendo el valor de E en funcion de e (5) y despreciando el cuadrado de.!.. al lado de la unidad queda p

N X el e = p ( y - e cos. " ) ( 1

+ 7 ) d s.

y haciendo igual sustitucion en el valor de d P, dP=pe(1 +% -e )d s, \

resultando la siguiente forma para las ecuaciones (4-)

+ % +) sen. "d s . ...................... . ,,.d.~,( l + '!,f)cos. •· ds +( y-,cos. ")(1 +--';-) ds. d I'- = ( 1

Las variables s, x é y tienen las relaciones siguientes con el radio p y el ángulo "

d s·= p da . ... ·

d x = p cos. a d " d y= p sen . " d"

. . . . (2)

155

en virtud de las cuales las dos ecuaciopes últimas se reducen á estas

d I'· = d y e p. = p y

+ '%e sPn. d + e y - %e'J. cos. a

a . . .

a \·

9. Llamando p. 0 é y0 á los valores de I'· é y para a = O, la integral de la primera ecuacion, tom ada desde O hasta a es fl·

P. 0

+Y -

+ '1/a e ( 1 -

cos. a),

cuyo valor de p. sustituido en la ecuacion siguiente da py

= e ( a - 1/3 e cos. a ),

en la cual se designa por a el valor constante

a = /l·o - '!lo

y despreciando la fraccion

p·

' p y=

+ % e'

respecto de ..]!_ (5) queda p

ea . .. (3)

Esta ecuaciones la de la curva de intrados, en la cual se elimina el radio de curvatura por medio de la tercera ecuacion (2), de lo qu61 resulta

y d y = ea sen. ada é integrando desde O hasta y2

= Yo 2

+ 2 ea (1 -

cos. a ).

ósea

y = ✓ Yo 2

ea ( 1 •-

= ✓ Yo 2

cos: a ) = ✓ y0 2

,í.

ea -

í- ea cos. 'l.

/'I. a

ea se n.

/'!. a

2 1

156

de la cual se eliminan p é y por medio de la segunda ecuacion (2)

y la ecuacion (3) y se obtiene la diferencial de la absci&a ea cos. ad a

V Yo

+ 4 ea -

4 ea cos .

½a

Esta ecuacion puede ponerse bajo la forma

¼. COS. • / 4-

y0 2

a da

4 ea

+ i ea

cos. 2

%. a

y haciendo -

4 ea - 9 Yo -

., ,,

= tang. -

½a = ½r. - p,

v ,

se convierte en la siguiente

dx = y0 tang. e sen.

¼-

sen. 'P sen. 2 0 sen.

2 'f

Esta ecm~cion _se trasforma fácilmente en esta otra dx -= y0 tang.

e sen. e [

sen. 2 e sen. 2 sen .2 e

y [ -ºcos. e

_( / 2

sen 2 e- 1 •

d 'P

'!'

cuya integral , tomada desde O ha~ta a; ac:z

¡/ ~- sen.2 0 sen. 2 '!'

)

a ,

ó sea desde % r. hasta

'!'

d 'I' i/1 -sen. 2 Bsen. 2 cp

%-rr 'P

+ ,f v 4 1/'.I

sen . 2 e sen . 2

d '!' ]

'1', es

11,7

invirtiendo los límites de las integrales, despues de cambiar el signo, se pueden descomponer del modo siguiente: '

1¡.2 7<

X=~

cos. o

[ (1-1 1 sen l <t

2 0)

u·---,--:==d==' P===== ====✓ 11 - sen. 2 e sen . 2 e¡, o

•

'l'

-j ¡/ •

d 'P.,

1-sen.• 0 sen .

)-U

'¡

¡/1 -sen.2

sen. 2 d

"' -

·~¡/ 11 -

;

sen. 2

sen. 2 'P d

'I' ) ]

Las integrales del segundo miembro son funciones trascendentes de las llamadas·elípticas, y sus valores para cada ángulo 0 y 'P se hallan en la tabla IV, sacada de las calculadas por Legendre. Haciendo

.¡"'

-F

¡/ 1-sen.2 0 sen. 2 'P o

queda por fin X=

cJ;

[ ( 4_

r¡ 2 sen. 2 0) (F 1 -F¡- (E1- E) ]

Poniendo en la ecuacion anterior de la ordenada 1¡.1. lugar de 11 2 "- se reduce á esta yt

y02

4.-

ea cos.'!

:p • • • •

(5)

(4) 1< -

'P en

158 rn. Con la-s ecuaciones (4-) y (5) se calculan los valores de las coordenadas de los puntos de la curva de intrados par~a un mismo valor Je la variable intermedia '!' , ·y el ángulo que forma la normal con la vertical en el mismo punto se determina por medio' de la relacion .

En estas ecuaciones entran tres constantes, ¡,.0 , y0 y e que ser.in arbitrarias mientras no se sujete la curva á ninguna condicion mas que las contenidas en las integraciones que preceden, reducidas á qué se tenga á un mismo tiempo en la clave de la bóveda

x = O,

y= y0 ,

(l.=

pero en las aplicaciQnes á los puentes siempre entran como datos la luz y la flecha de la bóveda, y á veces entra tambien la inclinacion de la junta ae arranques, de modo que llamando g á la semi luz, f á la flecha y (/.1 á la inclinacion de la junta de arranques con la vertical se ha de verificar en la extremidad del intra_dos,

x= g, y algunas veces, además

En el primer caso las dos constantes g é y1 determinan una ecuacion de condicion entre las (t ) y (5) , imaginando eliminada la variable intermedia '!' , y por consiguiente quedan arbitrª rias dos de las tres constantes y0, roy e; pero en el segundo caso, además de la misma ecuacion de condicion, la ecuacion (o) da otra entre y1 y (/. 1, y no queda mas que una sola constante arbitraria de las tres primeras. 11. Cuando se deja indeterminado el valor de en los arranques (l.

159

resulta en general un arco escarzano para la ftgura de la bóveda, y como y 0 es siempre un dato del proyecto, quedan disponibles tan solo los valores de ¡,-0 y e para satisfacer á la ecuacion de condicion. De estos dos valores conviene tomar á l'·o lo mayor posible para obtener la mayor economía de material (•), de modo que e es la constante que debe determinarse por la condicion espresada. Como esta deter_ minacion sería sumamente embarazosa, M. Yvon-Villarceau ha calculado la ~abla I de doble entrada que da los valores de la· expresion -;~ para todos los de _

aproximados hasta los términos

de primer grado en e; y la tabla I I da el valor correspondiente á la c~rreecion

iJ~L que e

aproxima la cifra de la primera tabla hasta

los términos de segundo grado. Con estas dos tablas y la IV no puede ofrecer dificultad el trazado en •rn arco escarzano de máxima estabi:. lidad. En efecto sea

CE = {

OC = Yo,

ED =.'7,

con estos ~atos se buscará en la tabla I un valor de ;~ , que se representará ahora por q, del cual se deducirá, teniendo presente el valor de a, e

q/"2

- l'·o-vo +% e

Se empezará despreciando en el segundo miembro el término % e, y el valor de e que resulte se sustituirá en el denominador, con Jo cual se obtendrá un nuevo valor de e suficientemente exacto. Ohtenido este valor de e se buscará en la tabla segunda el valor de

(~a) e-

(') La mayor altura que puede alcaozar·uo prisma de piedra, sin producir una presion peligrosa en su base, se áprecia en unos ~ oo metros por término medio.

160

con los datos y0 , g y {, y se multiplicará por el valor antes hallado para e2 : llamando q' al producto se tendrá la ecuacion corregida

de la que s.e deducirá e con la aproximacion que se desee. El valor de e que resulte ha de ser menor que Yo en una cantidad algo mayor que la altura de sobrecarga que debe quedar sobre el trasdos de la clave. ~ 2. La constante arbitraria p. 0 se puede tomar de manera que produzca una presion p. 1 determinada en la junta de arranques, para lo cual servirá la ecuacion 11·1 =

f'·o

+ !/1 -

Yo +% e ( 1 .:._ cos . cr. 1 )

deducida del valor de f'· (9) de la cual se saca

El valor de y'2 da

próximamente, y despreciando en la ecuacion anterior el término {1ltimo resulta para estfi

e ( ,t - cos . "·J ) =

f'<i)(f( + 2 Yof" ) ,;.J

f'·, -

)

y por consiguiente u.

.º

¡·_ f' (/' + 2 Yo )

a (11-, -

()

161

Con esta ecuacion se puede elegir un valor para ¡,.6 tal que la presion máxima l'·t no pase de un límite fijo . ~ 3. Con los valores de y0 , ¡,.0 y e ya conocidos de modo que satisfagan á las condiciones impuestas, se calcula el ángulo epot· med io de su seno, el cual dará á conocer la columna de la tabla IV en la que seiian de buscar los valores de E, F, Et y F1. Estos últimos son constantes y corresponden á '!' = 90. 0 y sustituyéndolos junto con Yo , e y a en las ecuaciones (i ) y (5) quedan estas preparadas para hacer el cálculo de las coordenadas del intrados. Para esto se irán dando á '!' diferentes valores, que varíen de grado en grado ó de dos en dos gn:idos desde '!' = 90° hasta el valor 'ft dado por la ecuacion

= are. cos . ✓" Y1" - Yo" , 4 ea

y para todos estos valores se buscarán en la columna correspondiente de la tabla IV los de E y F y en una tabla trigonométrica el de cos. '1', con los cuales será mu y fácil calcular las coordenadas de tantos puntos del intrados como se qu iera. En cualquiera de los puntos bailados se obtendrá la direccion de la normal al trasdos por la ecuacion «

='Ir -

2 'l',

y el espesor de la bóveda, ó longitud de la junta correspondiente lo dará la ecuacion 1

e (1

+ +) 1 /6

en la cual sustituyendo el valor aproximado de p sacado de la ecuacion (3) queda

r=e(1 +% ~) Con este valor de E se irán hallando puntos del trasdos , y por 21

162

la forma del segundo miembro se ve que la bóveda irá aumentando ligeramente de espesor desd e la clave basta los arranques. 114": El segundo caso ( 1O) de la determinacion de las constantes no tiene lugar mas que cuando se --quiere que la bóveda afecte la forma de un arco carpanel, para lo c¡ue se introducirá la condicion « 1 = 1/2 .,. y i¡, 1 = % . .,. , que da orígen á la ecuacion deducida de In (5) 1

Y12 = Yo'J.

+ 2 ea ..... (G)

Sería natural dejar para la constante arbitraria única la y0 , pero como esto baria los cálculos sumamente em barazosos, se deja la 1-'-o calculada. si se quiere conforme se ha dicho anle,s (12), y en lugar de y0 se introduce en la pr,imera ecuacion de condicion y1 , cantidades ligadas por la igualdad

f=Y1 -

de modo que en dicha condicion, despreciados los términos de segundo grado en e, entran solo las tres constantes g, f é y1 y dadas dos cualesquiera de ellas se puede determinar la tercera . M. Yvon-Villarceau ba calculado la tabla III de simple entrada que da los valores de _[_ , _Jf._ y _gf_ que se corresponden, y cualquÍera .de ellos Y1 Yo que sea conocido indica inmediatam ente por uno de los otros dos el valor de la terc~ra constante. 15. El valor de e se saca de la tercera ecuacion (6) que da

11~ Yi 2 -

1/ q . o·

que se' irá aproximando conforme se dijo (~ 1) para los arcos escarzanos, y las magnitudes Yo y e deben ~atisíacer á las mis~as condici9nes . El cálculo de las coordenadas y de los espesores se hace lo mismo que se ha explicado para los otros arcos. ~ 6. No tiene inconveniente alguno en la práctica esta manera

16:l de determinar las constantes en los arcos carpaneles, porque la mayor parte de las veces, lo que es un dato invariable no es la distancia O C de la rasante que termina la sobrecarga al inLrados de la clave, sino la distancia O E desde el plano de rasante al nivel de los arranques, que son los primeros datos para proyectar un puente; pero siempre hay menos laLitud para resolver el problema, y se ve que el arco carpanel de máxima estabilidad ha de tener una cierta sobrecarga en la clave que no necesita el escarzano. 17. Una discusion numérica hace ver que para que los arcos carpaneles de puentes reunap las mejores circunstancias de resistencia y economía deben estar rebajados entre el tercio y el cuarto, sin llegará estos límites, y que deben estarlo tanto mas cuanto mayor sea la luz. Estas consecuencias convienen con lo que se hace generalmente en la práctica. ~ 8. Si la sobrecarga es tan considerable que sea despreciable la diferencia entre y0 é y1 , se puede considerará y como constánte, y entonces la ecu_!lcio~ (3) indica que el radio de curvatura es constante, y que por consiguiente la curva debe er circular. Este caso tiene lugar en los revestimientos ele los túneles. Y en el caso en que y se considere como ,variable, segun se ha hecho en los ejemplos que preceden, la forma de la misma ecuacion (3) indica que la curva cie intrados difiere muy poco de la elástica producida en una pieza recta por una fuerza paralela á su eje (•). ~ 9. El estribo recibe en el punto o una presion T = p s p. 1 que forma el ángulo v. 1 con la lforizontal, y una presion en la longitud A F=11i-Yo, que proviene de la suma de las fuerzas H X ed (z) correspondientes á toda la longitud B A del trasdos. Esta fuerza y la componente horizontal de T1 form :m el empuje horizontal del arco contra el estribo, que se puede calcular directamente, pero que no es necesario. toda vez que su suma debe ser igual á la fuerza psp. 0 que actúa en el punto f. La componente vertical de 1\ debe ser ignal al pesg. total del arco y su sobrecarga, y como el peso es igual al

¡-)

ncsistc11cia de materiales , leccion 7.ª

164

producto del volúmen por el peso específico, se tendrá para la expresian del volúmen O X AD C

l't

sen.

"t·

El estribo tiene que subir basta la altura A F para contener" al macizo O B A X que tiende á resbalar sobre el trasdos, ó por lo menos hasta una altura suficiente para contrarestar est& tendencia.

TABLAS PARA EL TRAZADO DE LAS BÓVEDAS Dll MÁXLMA ESTABILIDAD .

166

TABLA I. ARCOS

ESCAllZANOS.

Valores aproximados de ea. ,

Yo o 7=,4

y! = 0,5 y; =0,6

3,55 3,56 3, 57 3,58 3,5 9

- -

3,60 3,61 3,62 3,63 3,64

3,65 3, 66 3,67 3,68 3,69 '----

3,7 0 3,7 1 3,7 ~ 3,7 3 a , 14

- -

3,7 5 3,76 3,77 3,78 3,79

y;- = 0,8

Dií.

Oif.

3, 50 3,5 1 3, 52 3,53 3, .'14

Yo = o,,... 1·-

1S9 4,3019 226 190 4, 324 5 226 4, 347 ·I 190 1,,36 98 227 1 90 4,392 5 227 - -- 192 - - - 22 8 3,709 5 19,f 4,'1'1 53 229 3,728 6 193 1, , 43 8 2 22 9 4, 46 11 3,7479 1!J2 4, 4811'1 230 3,7671 3,7865 19 4 4,5071 230 - - - 194 - - 232 3,8 0 59 19 5 4, 530 3 232 3,8254 194 4,5535 233 4, 57 68 3,8 44 8 196 4,6001 233 S,8 644 3,8 840 1 96 4,62 35 234 - -- 197 234 3,9037 •I 97 4 ,6 4 69 2 35 4 ,67 O4 3,923 4 236 198 4,6940 3,9432 236 198 4,7 • 176 3,9630 199 4,741 4 23 8 3,9829 - - - 199 - - - 237 4,0028 2 00 4,765 1 2~8 4,7889 4,0228 20 0 4,8·128 239 4 , o 4 28 24 0 4,0630 202 4 ,8 368 4 ,08 31 201 4, 8609 2!,1 !Vil 202 1, ,8 8 50 . 241 1, ,1 O33 20 3 4,9091 4,1 236 242 4,1 439 203 4,9333 4,1643 204 4,9 57 6 2 43 4,1 8 47 20 4 4,982~ 244 !H4 5!011 5,0064 4,'!051 3,614 4 3,6333 3,6523 3,67 ,f 3 3,6903

- --

- -

- --

5,9830 5,0092 5,0 354 5,0 617 5,088 1

---

5,1 •I 46 5,1 411 5,1677 5,194 3 5,2 21 •I

- - -

5,24 79 5, 2 7 49 5,30 •18 5,3 28 9 5,3 560

- --

5,3832 5,41 O5 5, 43 78 5, 4652 5,49 27

--5,520 3 5,54 8 0 .'í,57 57 5, 60 35 5,63 14

5,659 3 5,687 3 5,7 ~ 5 4 5, 743 6 5, 7718

- -

5,8001

Dií.

2 62 5,6 60 0 2 62 5,6 89 7 5,719 5 26 3 5, 749 4 264 5, 7794 26 5 - 26 5 5,80 9 5 5,83 96 266 5,8 699 266 5,9002 268 5,9307 268 - 270 5,9611 5, 991 7 269 6,0 224 271 6, 053 2 27 1 6,0840 272 - - 27 3 6,1149 6,1 45 9 273 6, 177'1 27 4 6.2082 27 5 6,23 95 276 - 6.270 8 277 6, 30 2 3 277 6, 3l! 38 278 6.3 65 4 279 6.3 971 279 - 6,4 28 9 280 6 ,4 607 28 1 6, 4 92 6 282 6,52 47 28 2 6,55 68 - 28 3 6,5890

2 97 298 299 300 301 301 303 303 30 5 301, 306 307 308 308 309 31 O 3-12 3H 3·13 313 315 31 5 31 6 3-17 3·18 3-18 3 19

Dií.

6,33 40 6, 3673 6, 40 O6 6. 4344 6, 4677

333 333 335 336 337 6, 501 4 338 6,5352 3 39 6,569,f 6,6030 339 6,6371 3 4•I 342 6, 671 3 343 6,70 56 343 6, 7399 6,7 7 43 344 6,80 89 346 3 116 6,84 3 5 34 7 6,8782 349 6,9 1 31 6, 94 80 3 49 6.9 83 0 35 0 - - - 352 7,01 8 2 35 •1 7,0533 7,088 6 a 53 7. •12 4 O 354 7, 159 5 355 - - 356 7, 195 •1 7,2308 357 7,2 666 358 3t l 7 ,30 2 5 359 a2 1 7,33 8 4 359 360 322 7. 3744

---

- --

1&7

TABLA J. ARCOS ESCA RZANOS.

Valores aproximados de eci.

J/..Q.__=09

Dií.

3,50 3,51 3,52 3,53 3,54

7 ,o o59 7,0427 7,0797 7,1168 7,151,0

3,55 3,56 3,57 3,58 3,59

8,1 575

39918,938'1

- - --3;60 7,3792 3,6 1 7,4"71 3,62 7,455{ 3,63 7,i,933 3,64 7,531 5

3, 65 3,66 3,67 3,68 3,69 t----

3,70 3,71 3,72 3,73 3,7 4

--7 ,56 98 7,6083 7,6468 7,6855 7,7242

--7,7631 7,802 0 7,8411 7,880 3 7,9196

- - --3,75 3,76 3,77 3,78 3,79

7,6761 7,7-166 7,7571 7,7978 7 ,8 386

7,9590 7,9985 8,0 381 8,0778 S,H76

7, ·1 912 7,2286 7,2662 7,3037 7,3/d 11

---

Dií.

368 370 371 372 372 374 376 375 377 378, 379 380 382 382 383 385 385 387 387 389 389 39 ·1 392 393 394 395 396 397 398

-- ---

-1 2 y/ =1 ,1 Yor-,

Yo =1 O

--7,8794 7,9204 7,9615 8,0027 8,0"40

-8,0855 8,1270 8,1687 8,2105 8,2524

--8,294 4 8,3366 8,3788 8,4212 8,4637

- -8,5063 8,54 go 8,59 19 8,6348 8,6779

--8,72 1 O 8,764 3 8,8078 8,8513 8,8949

405 405 407 t, 08

408 4-10 4H 412 413 415 415 417 418 419 420 422 422 424 425 426 427 429 429 43 ·1 4 31 433 435 435 436 /137

8,3454 8,3893 8,4 334 8,1,776 8,5219

--8,5664 8,6109 8,6556 8, 7 OO5 8,7454

--8,7905 8,8357 ·8,8811 8,9265 8, 9721

--9,0178 9,06 37 9: 1096 9,1557 9,20 19

--9,2482 9,2 947 9,3413 9,3880 9,4 348

--9,4818 9,5288 -9,57 60 9,6234 9,6709

- -9,7 4 85

J/..9....=13 f ,

, Dií.

439 441 1,4 2 1,43 445 445 4 47 449 449 /15·1 452 454 454 456 /157 459 459 i, 61 462 463 465 /166 467 /168 470 470 472 474 1,75 476

Dif.

9,0136 9,06 ·1·1 9,·10 87 9, ·1 564 9,204 3

---

9,2523 9,30 O5 9,3488 9,397 3 9,41,58

--9,4945 9,5434 9,5924 !J,611'15 9,6907

--9,11,0 ,1 9,7896 9,8393 9,8891 9,9390

9,9890 10,0392 10,0896 10 ,1.40 1 10,1907

---

1 0,2H 4 1 0,29~2 10 ,3432 i0,3944 i 0,4457

--1 0,4971

475 476 477 479 480 482 483 485 485 487 489 490 49 1 492 494 495 497 498 499 500 502 504 505 506 507 508 51 O 512 513 Si 4

Dií.

9,681 O 9,7320 9,7832 9,8345 9,8860

--9,9376 9,9894 10., 0412 1 0,0932 10 ,H54

---

10,1978 1 0,2502 10 , 3028 10,3556 10,1,085

--·10 ,46 16 ·10,5 1 48 ·10 ,568 1 10 ,62 16 10,67 5 3

---

10 ,729 1 10,7830 1 0,8371 10 ,8 913 10,9457

--11,0002 11 , 0548 11 ,i096 H ,1645 11,2196

--H ,274g

51 O 5 12 5'13 515 516 518 518 520 522 524 5'z/1 526 528 529 531 532 533 535 537 538 539 541 542 544 545 546 5118 549 551 55 3

168

TABLA l. A

' neos

ESCA RZ ANOS .

Valores aproximados de ea.

Yo l =0 ,t

Yo =0 5

5,0064 5,0309 5,0554 5,0800 5, 1 047

245 2 45 246 24 7 2 48 2 48 249 249 250 250 251 252 253 253 25 1, 255 255 256 256 257 258 258 25 9 25 9 2 61 26 1 26 ·1 26 2 263 264

Di í.

3,80 3,81 3,82 3,8 3 3,84

4,20 51 4,2257 4,2462 4,2669 4,28'76

206 205 207 20 7 208 1, ,3 08 11 20 7 4,32 91 20 9 4,3 500 4,3709 209 4,3919 210 210 4,4 1 29 210 4,4339 212 4,4 55 1 1, ,4762 211 4, 497 4 21 2 214 4,5 188 21 3 4,540 1 4,5615 214 4, 58 30 2·1 5 4,60 44 214 2-16 4,6260 2·1 6 4,6476 4,6693 217 4,69 1 O 217 4,7128 2·18 218 4,7 346 4,7 565 219 4,7784 21 9 4,8004 220 4,822 4 220 221 4,8 445

---

- - ---

--5,2541

3,90 3,9·1 3,92 3,93 3,94

3,9 5 . 3,96 1 3,97 3,98 3,99 4,00 4, 01 4,02 4,03 4,04

---

-1,,0- 5 --4,06 4,07 4,08 4,09

- -

4,-1..0

---

Dir.

---

3,85 3,86 3,S7 3, 88 3,8 9

Yo =0 6

5,1 29 5 5,15 43 5,1 792 5,204-1 5,22 91

5,27 92 5,304 4 5,32 97 5,355 0

--5,38 O4 5,4 0 59 5,4314 5,4570 5, 4826

- -5,5 083 5,53 41 5,55 99 5,585 8 5,6117

--5,6 37S 5,6639 5,6900 5, 7162 5,7425

--5,768 9

Yo =0 7

Yo =0 8

Dif.

Dií.

5,8001 5,828 6 5,857 O 5,885 6 5,9142

6,5 890 6,6213 6,6537 6,686 1 6, 71 87

323 7,37 44 285 284 32, 7, 4106 7, 4469 286 324 7,4832 28 6 326 7,51 97 28 7 326 5,94 2 9 287 6,7 513 327 7 ,55 62 6,7840 · 5,971 6 7 ,5929 28 9 328 6,816 8 6,0005 7,6 2 96 6,0 2 94 28 9 6,8 4 97 329 7,666 5 6,0 58 4 290 6,8826 329 7,7034 331 291 6,91 57 6,087 5 331 7,7404 291 6,9488 7,777 5 6,1 1 66 6,1459 293 6,9 820 332 7,81 1,6 6,1751 2 92 7, 01 53 a33 7,8 519 6, 20 45 2 94 7, 0 48 7 331, 7,88 9 3 29 5 335 7,0822 7 ,9268 6,234 0 295 336 7, 9 61¡4 7, H 58 6,2 6 35 6,293 1 2 96 7,1494 336 8,0021 6, 3227 296 7,1832 338 8,0399 6,3 525 298 7,2170 338 8,0777 339 298 6,3 823 7,2509 8,11 57 339 299 6,4122 7,2 8 48 8,·I 538 6, 44 21 2 99 7, 31 89 341 8, 1 919 6,1, 722 301 , 7,353 1 3 42 8,23 01 6,5 023 301 7,38 73 3 42 8,2 685 30 2 344 6,5325 8,3070 7 ,4217 303 6,5 628 7,4561 344 8,34 55 6,593 1 303 7,4906 345 8, 3842 6,62 35 304 7, 5251 345 8,4229 6,6 540 305 7 ,55 98 3 47 8,4617 305 348 8 ,5 006 6,6845 7,594 6

---

362 3 63 363 365 365 367 367 369 369 370 371 371 373 37 4 375 376 377 37 8 378 380 381 381. 382 38 4 38 5 385 387 387 38S 389

16!1

TABLA I. ..\. ll COS ESC.\llZA~OS.

Va lores aproximados de Pu.

J/o l =0 '9

f _ .,, o

8,·1 575 8,·1975 8,2376 8,2778 8,3 ·1 82

400 40 ·1 ,,02 404 401,

3,85 3,86 3,87 3,88 3,89

8,3586 8,3992 8,4398 S,1,806 8,521 4

l,06

,____

---

3,90 3,91 3,92 3,93 3,94

8,5624 8,6035 8,6447 8,6860 8,7273

3,95 3,96 3,97 3,98 ~

8,7688 8,8104 8,8521 8,8939 8,9358

4,00 4,01 4,02 4,03 4,04

8,9778 9,0200 9,0622 · 9,1046 9 ,1 t, 70

4,0 5 4,06 4,07 4,08 4,09

9,1895 9,2322 9,27 50 9 ,3 178 9,3608

---4,1 O 9,4038

40 6 408 fo08 4 1O 4H 412 413 41 3 41 ¡; 416 417

4 18 4-19 420 422

"22 ,,24 421, 425 1127 428 428 430 1,30

8,9386 8,9825 9,0265 9,0706 9, H 48

439 440 441 442

44t,

9,1 592 1¡4/¡ 9,20 36 446 9,2482 9,2928 446 9,3376 448 449 9, 3S25 4 51 9,1,276 451 9, 4727 9,1H80 453 9,5 63~ 453 455 9,6088 lo56 9,654 4 458 9,7002 9,7461) 458 9,7919 459 - - - 461 9,S380 9,8842 462 9,93 0 4 46 2 9,9768 464 10 ,0234 466 466 1 0,0700 10,1-168 45 s-

---

10,·163 6 ·1 0,2 ·10 6 ·1 0,2578 '0 ,3050 ·•

468 470 472 472

,. . .Jj¿_=1 r ,3

~ = ')' 9.

Dir.

Oií.

3,80 3,8 ·1 3,82 3,83 3,84

-A

Dií.

9,7185 9,7662 9,81 40 9,8620 9 ,9101

477 478 480 ..48 ·1 482 9,9583 483 • 0,0066 484 10 ,0550 10 ,·1036 4S6 1 0-.1524 488 488 10,2012 490 1 Q,2502 ·I 0,2993 4 9·1 ·10 ,3485 492 10 ,3978 493 495 10 ,41.73 1 o,t,969 496 1 0,5466 497 1 0,5965 1,99 10 ,646!; 500 - - - :;01 10,6966 ·10 ,7468 502 10 ,7971 :;03 10 ,8476 505 ·10 ,8982 506 1 O 9489 5 7 10'.9998 509 H,0508 510 H,1019 5-11 H,153 ·1 512 - - - 513 H ,5!014

Dií.

·1 0,49H _·1 0,5487 ·I 0,600 4 10 ,6522 10,704-1 ·10 ,7562 1 0,8084 1 0,860S ·10,9133 ·1 O 9659 ·11 ,0 ·1 87 11 ,07 7 H ,1247 1 ·I ,177 9 ·11 ,23 12 1 ·1,2S1, o H,3382 ·11 ,39 19 H , 4foj8 11 ,4 99S ·11 ,5539 1 ·1, 6082 H ,6626 11 ,7 •17·1 H ,7718 --H ,8266 11,8815 11 ,9366 H,9918 12,047 •

--·12 , 1 026

5 16 51 7 51 8 5-19 521 522 524 525 526 528 530 530 532 533 534 536 537 :;39 i.i4 0

il4 ·1 543

544 545 547 548 549 /;51 552 553 555

Dií.

H ,2749 H ,3303 H ,38 58 H,4415 11,t,973 11 ,5 533 H ,6 094 H ,6 657 • ·I ,7221 H ,7786 1 ·1,8353 11,8922 H,9492 12,0063 ·I 2,0 636 12,H10 12,1786 1 2,2363 12,2942 12,3522

554

~5¡; 557 5/J8 560 561 563 564 56(; 567 56 9 570 57 1 ¡;73 574 576 577 579 580 58,t

-12,41 03 1 2,4686 583 12,527 O 584 ·12,5856 S86 12,6444 588 - - - 589 12,7033 59 12,7623 12 8215 592 12'.88os • 593 12,9403 , 595 59 12 ,9999 G

---

170

TABLA l. ARCOS

ESCA RZ ANOS .

Valores aproximados de ea .

r ,

Yo = O ,i.

Yo o~ 7= ,v

v; =0,6 Yor =0 ,7 }° =0 ,8,,

-4,H 4,H 4,1 2 4,13 4,H

4,844 5 4,8667 4,8889 4,91 1 2 4,9335

222 222 223 223 22 4 4,i5 4,9559 22 4 4,16 4,9 7 83 225 4,17 5,00 0 8 225 4,1 8 5,0233 4,19 5,0 4 59 226 - - - 226 4,20 5, 0685 227 4,2 1 5,09 ·1 2 228 4,!! 2 5,11 40 228 4,23 5, 1368 228 5, 1 596 4,2 4 229 4,25 5,1825 230 4,2 6 5,2055 230 4,27 5,2285 4,28 5,25 1 6 23 1 4,2 9 5/t?t. 7 23 1 - - - 232 4,3 0 5,29 79 232 4,31 5,3211 233 4,3 2 5,341.4 233 5, 3677 4,33 4,34 5,39 11 234 235 4,35 5, 41 46 23 1, 4,36 5,438 0 23 6 4,37 5, 4616 4, 38 5,4852 236 4,39 ! 5,5089 237 2 37 5,5326

D,f.

Dií.

5,708 9 5,7953 5,821 8 5,8481, 5,87 :SO

- - - --

- - -

---

-- ---

- --

---

- --

4,401

---

5,9016 5,9281, 5,9552 5,9821 6, 0 09 0

6,0 36 0 6,0 630 6,0901 6,1173 6, 1 44 6 6,1 719 6,1 993 6,226 7 6,25 42 6,28 ·18

6,3094 6,3372 6,3 64 9 6,392 7 6,4206

6,448 6 6,47 66 6,5 0 47 6,5328 6,56 1 O 6,ri8 93

264 265 266 266 266 268 268 269 26 9 27 0 '270 27 1 272 273 273 274 274 275 276 276 278 277 278 279 280 28 0 28 1 281 282 283

6,6845 6,7 ·1 52 6,7 4 59 6,7767 6,8076

- -6,8385 6,8695 6,90 O6 6,9317 6,9630

- --

6,991,3 7,0257 7 ,o 571 7,0886 7,1202

--7,15 1 9 7,1837 7 ,21 55 7 ,2 471, 7,2794

- - -

7,3115 7,3436 7,37 58 7,4081 7,4405

--7,4729 7,5 0 54 7,5380 7,5706 7,6033

--7,6361

307 307 308 309 309 310 3H 3·1 ·I 313 31 3 314 314 3-15 316 317 3·18 3-1 8 319 32 0 32 1 321 322 323 324 324 325 326 326 327 328

Di!.

7 ,5 91, 6 1,629 4 7,664 3 7,6993 7,7344

- -7 ,769 5 7,8 0 48 7,8 4 0·1 7,87 56 7,9 H 1

- -7,9467 7,9825 8,01 82 8,0540 8, 0899

--8,1259 8,1620 8 '1983 8,2345 8,27 O9

- - -

8,3073 8,3 4 39 8,38 0 5 8,4172 8,4 540

--8,4908 8,527 8 8,5648 8,602 0 8,6392

- -8,6 7 65

348 3 49 350 351 351 a53 353 355 355 356 358 357 358 359 360 361 363 ~62 364 364 366 366 367 368 368 370 37 0 372 372 37 3

8,5006 8,5396 8,5787 8,6179 8,6572 ·

390 391 392 393 394 8,6966 39 5 8,736 1 396 8,7757 397 8,8154 8,8552 398 39 8 8,895 0 40 0 8,9350 1, 00 8,97 50 9,0152 402 9, 0 554 40 2 404 9,0958 40 4 9;1362 9,1 767 40 5 9,2173 40 6 9,258 0 407 40 9 9,2989 9,3 398 409 9,3808 410 9, 4219 4H 9,463 1 4•12 - - - 413 9,50H 411. 9,5 4 58 9,3873 41 5 9,6289 41 6 9,67ú5 416 HS 9,712 3

- --

---

171

TABLA ARCOS

ESCARZANOS.

Valores aproximados de ea.

)LQ_=0,9

1&_=,1 O

10,3050 10 ,3523 ·I 0,3997 10,4472 10,4949

473 47 4 475 477 478 1,7 9 481 48 •1 483 483 485 1, 86 487

Dií.

4,·1O 4,11 4,12 4,13 4,14

9,4038 432 9,1,1,70 433 9,4903 9,5337 434 9,5772 435 r-436 1, ,·I 5 9,6208 437 4,16 9,6 64 5 438 4,17 9,7083 4,1-8 9,7522 439 4,19 9,7 962 440 r-4 41 4,20 9,81,03 443 4,21 9,881,6 1,,22 9,9289 41.3 4,23 9,9733 41.4 4, 24 10,0178 41.5 447 4,25 10 , 0625 4,26 10,1073 t.48 4,27 10, ·1522 449 1,,28 10,1971 41,9 4,29 1 0,2 422 451 - - - 4 ü·I 4,30 1 0,2973 4 ,31 10,3326 453 4,32 10, 3780 454 4,33 ·10 ,1, 235 455 4,34 0,469 1 456 457 4,35 ·I 0,51 48 4,36 ·10 ,5606 458 4,37 10,6061i 459 1,,38 1 0,6526 461 4,39 1 0,6987 4 6 1 -4,40 10 ,7449 462

---

- --

---

Yo _¡ 1

llií.

---

•I 0,51,27 10,5906 1 0,6387 10,6868 10,7351

---

•I 0,7834 10,8319 ·I 0,8805 10 ,9292 1, 89 1 0,978 1 489 1 ·I ,0270 491 H,0761 492 H,1253 493 11 ,1746 H ,22 40 494 495 H,2735 496 11 ,3231 H ,3729 498 ·11 ,4228 499 J 1,4727 499 50 1 •I 1,5228 502 11 ,5730 •I 1 ,6234 504 11,6738 504 ·11 ,7241, 506 507 11 ,775 1

---

]LQ__=l '2

Dií.;

Dil.

H,2044 •I 1,2559 H,3075 11,3.,592 1 1,l,1 -11

12, 1026 ·I 2,1582 ·1 2,214 O 12,2699 12,3259

---

- --

---

515 5·1 6 5·17 5•19 520 H ,463·1 52 1 ·12,3821 ·11 ,iH 52 12,4384 1-1 ,5674 522 12,4948 11 ,6 • 98 524 12,5514 11 ,6723 525 ·12,608 1 526 1 •I ,7249 527 1 2,6650 11 ,7776 -029 12, 72 • 9 11 ,8305 12,7790 H ,8834 ü29 12,8363 53 1 11,9 365 12,89 37 533 ·1·1,9898 533 ·12,9512 12,01, 31 ·I 3,0088 535 12,0966 ·13,0666 536 ·12,1502 ·1 3, 1 21, 5 12,201,0 538 13,1 826 538 ·12,2578 540 13,2 408 12,3H 8 13,2991 ji 41 d 2,3659 •13,3576 543 12,4 202 •I 3,4162 12 ,4745 543 13,4749 51,5 ·I 2,5290 51, 6 13,5338 •I 2,5836 13,5928 12,6384 548 -13,6519 12,6932 548 •I 3,7112 12,74 2 550 13,7706 55 1 f 2,80 33 1 3,8302

---

.Jb_=I 3

12,9999 13,0 596 13,H 95 13,1795 13,2397

Dir.

556 597 558 59 9 559 600 560 602 562 60 4 563 13,300 ·1 605 564 13,3 606 606 1 3,4212 566 13,482 0 608 567 1 3,5429 609 56 9 610 56 9 13,6039 612 57 •1 13,6651 614 13, 7265 573 ·13,7880 615 574 13 ,849 7 617 575 618 576 13,9115 61 9 ·1 3,9734 578 14 ,0355 621 579 14,0 977 622 581 1 4, •1 601 624 582 625 1 4,2226 583 1 4,2853 627 585 1 1,,3481 628 586 14,4Hj) 62 9 587 1(,4741 631 589 633 1 4,5a?4 590 14,6008 63 .4 59 1 14,6643 635 593 14 ,728 0 637 591, 14 ,7 919 639 596 14,8559 64 0

---

- --

---

•

l í'.!

TARL.-\ J. .lRCO

ESC.\RZANO

Valores aprox imados de ea.

,-,

Yo -O i,

r ,6 Yor --07, r , Jl!!.._=0

Yo =0 5

4,40 4,H 4,42 4,43 4,4 4

5,5326 5,5564 5,5 02 5,60 41 5,6280

--5, 6520 5,6760 5,7001 5,7243 5,74 5

4,45 4,46 4,4 7 4, 48 4, 49 -4,50 4,51 4,52 4,53 4,54

---

4,55 4,56 4,57 4,58 4,59

5,8948 5,9194 5,94 41 5,9688 5,9935

4,60 4,61 4,6'! 4,63 4,64

6,0183 6, 0432 6,068·1 6,0931 6,H80

4,66 4,67 4,68 4,69

6, 1682 6,1934 6,2187 6,24 40

, 4,70

1 ll ,2693

5,7728 5,797 •1 5,821 5 5,8459 5,8703

---

-- ---

-1,,65 - -6,143 -•

23 238 239 239 240 240 241 24 2 242 243 243 244 244 244 245 246 247 247 247 248 249 249 250 249 25·1 2;;1 252 253 253 253

Dil.

DH.

Dií.

6,5 93 284 6,6177 284 6,6461 2 5 6,6746 6,703 ·1 285 286 6,73 17 287 6,760 4 28 6 7 92 2 7 6, 179 6, 46S 289 289 6,8757 290 6,9047 291 6,9338 29 ·1 6,9629 292 6,992 1 - - - 292 7,0213 293 7,0506 294 7,0 00 295 7,·1 095 7,1390 295 - - - 295 7 ,1685 297 7,1982 297 7 ,2279 7,2577 298 7,287 5 298 298 7,347 3 300 7,347 3 7,3773 300 7,4074 301 7,4376 302 - - - 302 7,1,678'

- --

---

7,6361 7 6690 7 ,7 O19 7,7350 7,7681

---

- --

374 374 376 376 377 378 3 O 379 3 • 381 382 383 384 3S5 386 386 38 388 389 390 391 392 392 393 395 395 396 397 397 398

Di í.

Dií.

329 8,6765 329 8,7139 ,7513 331 8,7889 33 1 8,8265 - - - 332 7, O13 333 8,8642 7,8346 333 ,9020 ( , 679 8 ,9400 334 7,9013 ,9779 7,931,8 335 9,0160 - - - 335 - - 7,9683 336 9,0541 8,0019 337 9,0923 8,0 356 9,1306 8,0694 338 9, 1 690 8,1033 339 9,207 5 339 8,1372 340 9 ,2461 8, 4712 9,2 47 ,2053 341 9,3235 8,2394 341 9,3623 8,2736 342 9,40 ·12 344 8,3080 9,4 40:t 343 8,3423 9, 4 793 8,37 68 345 9,5i85 8,4 • 1 3 345 9,5577 8,4 4 59 346 9, 5970 - - - 346 - - 8,4805 9,636 5 347 9,6760 8,5 • 52 8,5501 349 9,7 • 56 8,5850 349 9,75:i3 8,6200 3:iO 9,7950 3:;o 8,65:;o 9, 34S

---

Yo -O 8

9,7·123 9,7542 9,796 ·1 9,8382 9,8803

---

9,9226 9,9649 10,0073 10 ,0499 10,0925

---

10,·1 352 •I 0,1781 ·10,221 O -10,21340 10,3070

---

H9 4• 9 421 41!·1 423 423 424 426 426 427 429 429 430 430 432 433 434 1,35

10, 3502 1o,ll935 10 , 4369 10,4804 ·10 , 5240 436 436 10,5676 438 10,6114 10,6553 439 10,6993 440 10,7433 1,40 44 1 10,7874 10,8317 443 10,8760 443 H,9204 444 10,9649 445 447 t 1,0096

---

1.7:l

TABLA l. A. I\ COS

E CA I\ZA. NOS.

Va lores aprox imados de ea. ,

Yo =0 9

1,,45 4, 46 4,4 7 4,48 4,49

10 ,977 6 11 ,0245 ·1 1,0715 H,H8 5 H,1657

---

- --

4,50 4,51 4,52 4, 53 4,5 4

H,2130 H,2604 1-1 ,3078 H,3 554 11 ,4031

4,55 4,5 6 4, 57 4,58 ,,,59

H,t, 509 11 , 4988 H , 5468 ·11 ,5950 11 ,64 32

-- ---

4,65 1, ,66 4,67 4,68 4,69 - 4,70

~? =1,4

Yo =1 '.2

Ji.!_= 1 3

;

10 ,7449 10~7913 10,8377 10,8842 10 ,9309

4,60 4,61 4,62 4,63 1, ,64

Yo = 'I O

Dií.

4,40 4, 41 4,42 4,43 4,4 4

--1-1,6916 11 ,7400 1-1 ,7 886 11,8372 H ,8859

--11,9347 11,9837 12,0328 12,0820 12,13 ·1 3

--12, 1807

464 464 465 467 467 469 470 470 472 473 474 474 476 4'17 478 479 480 482 482 484 484 486 486 487 488 490 49,¡ 49 2 493 494

Di!.

H,77 5 1 11 ,825 9 11,8767 11 ,9277 H,9789

--•I 2,0302 12,08 15 12,1330 •I 2,1846 ,1.2;2353

--12,288 ·1 12, 3401 12,3922 12,4443 12, 4966

- - -

12, 5490 12 ,6016 12,6 51,2 12,7069 ·12,7598

- --

·12,8128 ·12,86 59 12,9192 12,972j 1 3,02:;g

--·13,0791, 13 ,1331 13, 1869 13,2 40 8 13,2948

--13, 3489

508 508 5'10 512 5·1 3 5'13 5 15 516 50 51 8 520 52 •1 521 523 52 4 526 526 527 529 530 531 533 533 534 535 537 53 539 540 541

Dif.

1 Dif.

12,8033 1 12,8 586 12,91 39 12,9694 13 ,0251

---

1 3,0808 13 ,1367 13,1927 13,2488 13,3050

---

13 ,36 ·1 4 13 ,4179 13,4745 1 3, 53~ 3 1 3,5882

--·13 ,64 51 13 ,7022 13,7 595 13 ,S169 '!3,8744

---

13,9320 13,9898 14 ,0476 14,1056 14,1637

---

14,2220 14,2804 14 ,3389 14,397 5 14,4562

--14 ,5 151

5 53 5 53 555 55 7 557 559 560 561 562 564 565 566 568 569 569 571 573 574 575 576 578 578 580 581 58 3 581,

585 586 587 !i8 9

·1 3,8302

597 13,8 99 598 13 ,949í 599 1 4,0096 •I 4,0697 601 - - - 602 ·I 4,{299 604 14 ,'1903 605 1 4,2 508 607 14 ,3115 ·1 4,37 22 607 609 1 4,4331 6H ·I 4,4942 6·12 14 , 5554 ·14 ,6·167 6·13 14,678 1 614 616 ·14,7397 617 14,8014 619 14,8633 14,9252 6 19 11, ,9873 621 623 ·I 5,0496 624 15, 1-120 62 6 15, 1746 ·1 5, 2372 626 15, 3000 628 - - - 629 15, 3629 631 l 5, t,260 1 5, 4892 6 32 15,5 526 63 4 15.616 1 63 5 636 1 5.6797

---

llií.

14,85 59 1 4,9200 14, 9843 15 ,0487 1 5,1132

- --

1.5,1779 15,2 428 15, 3078 ·I 5,3729 15, 43 2

- -15 ,5036 15, 5692 15, 631,9 ·15,700 8 1 5,7668

---

15,8330 15,8993 15,9658 -16 ,0324 16, 099 ·1

16,1660 16,2330 16,3002 16,367 5 16 ,43:i0

- --

16,5026 16, 570 4 16,6 38 3 16,7 0 64 16,771,6

--16. 429

64 ·1 6 43 644 645 647 649 6 50 651 65 3 654 656 657 659 660 662 663 66 5 666 667 669 670 672 673 675 676 678 679 68 1 682 68 3

l i-i

TABLA J. .rn cos

ESCA H ZA NOS.

Valores aproximados de w.

Yo = 0 ,i. /' ,

}º = 0, 5

Yo = 0 6

Yo = 0 7

Yo = 0 8

llií.

Dif

· - - - ---

o;r. 4 ,70 4,7 ·1 1,,72 4, 7 3 4,71,

6,2693 6,2947 6,3201 6,3456 6,37 •12

4,7 !)

6,3968 6,4224 6,4 48 ·1 li,4739 6,'199 7

- - - -4,76 4,77 4,78 4, 79

-- -

6,5256 6,5516 6,5776 4, 3 1 G,6036 6,6297 1, ,81, 4,8 0 4,8 1 4,8~

---

1,,85 4,S6 4,87 4,88 1, ,8 9

6,6558 6,6820 6,7 O8 3 6,7346 6,76 1 O

---

4,90 1 6,7874 4 .91 6,8139 1,,92 6,8 4 O4 ,, 93 6,867 O 6,8936 \ ú4 4,95 4,96 11,97 11,98 4 ,99

6,920 3 6,91,71 6,9738 7,0007 7,027 6

¡ s,ou-1\

7,0546

254 254 255 256 256 256 257 258 258 25 9 260 260 260 26 1 26 1 262 ~63 263 264 264 265 265 266 266 267 268 267 269 269 270

Di!.

Dif.

7,46T8 7,4981 7,52 84 7,5588 7 ,5893

--7,6198 7,650 4 7,68 11 7,7H8 7,7426

- -7,7735 7,8011/1 7,8 3511 7,S664 7,S975

---

7,9287 7,9600 7,99 ·13 8,0 227 8,051.1

--8,0856 8,1 •172 8,1488 8, 1 805 8 ,2 122

--S,241,0 8 ,27 59 8,3079 8,3399 S,3720

- - -

8 , 4042

303 303 304 305 305 306 307 307 308 309 309 3 1O 3-1O 3H 3·1 2 31 3 3·13 3-14 3•1 1, 3•15 3 16 316 3·17 3•17 31S 319 320 320 32 1 322

8,6550 8,690 ·1 8,7253 8,7606 S,7 9 59

---

8,83 1 3 8,8668 8,9024 8,9380 8,9737

- --

9,0096 9,01154 9 ,08 1 3 9,-1173 9, 1 535

--9, 1896 9,2259 9,2622 9,2986 9. ,3350

---

9,371 6 9,4082 9, 41, 1,9 9,11816 9,5 1 85

---

9,55¡j/, 9,5924 9,6294 9, 6666 9,7038

- --

9,7111 1

35 1 352 353 353 351, 355 356 356 357 359 35S 359 360 362 36 1 363 363 361, 36 4 366 366 367 367 369 369 370 370 372 372 373

9,8348 9,87 48 9,9148 9,9550 9,995·1

--10,0353 1 0,07 57 10,1162 1_0,1 566 10,1972

--10 ,2379 10,2787 ·1 O,~ ·I 96 ·10,3605 1 0, 401 6

--1 0,41,27 1 0,4839 1 0,5252 1 0,5 665 ·1 0,6 080

--·10,6495 ·10,6912 10,7328 1 0,7746 1 0,8 •165

--1 0,8585 10 ,9006 ·10,9427 ·10,981,!) 11 ,02 72

- --

11,06·96

400 .f ,1,00 9 6 H ,0543 400 •I 1,0 991 402 1 ·1,1440 40 ·1 ·1·1 ,1890 1, 02 - -404 H ,2341 405 ·H,2793 H,3246 404 11,369 9 406 H ,4154 407 408 H ,46 1 0 ·11,5067 409 11, 5525 409 H ,5 983 411 H ,6 11113 4H - - H,6904 4·12 H,7365 413 H ,782 7 4·1 3 H ,8290 1,1 5 H ,8 7 55

447 448 449 450 4 51 452 453 453 455 456 457 458 458 460 1 461 461 462 463 465

415 4 17 416 ld8 41 9 1120 421 421 4~2 · 423

465 466 1,67 468 469 1,70

- --

424

- --

1 ·1,9220 11 ,9686 12,0153 •I 2,062 1 1 2, 1090

--·12,·1560 1 2,203 1 12,2503 12,2976 12,3450

---

12 ,3925

1 1 1 I 1

1, 71 1 472 1 1, 7 3 I 474 1 475 1

17:i

TABLA .rncus

f.. L\ RZA liO ~.

Va lores ap roximados ele ea. 1

.1!.rr__{ = 0 ,,\)

Yo = '1 'o

Yo = 'I i¡ { '

= ·1,2

Yo = 1,3 -{ -

. 11,70 4,7 ·1 4,72 4,7 3 4,7 4

12,1807 12,2302 1 2,2798 12,3294 ·1 2,3792

---

4,7 5 4,76 4,77 4,78 4, 79

12,4291 12,479 •1 12 ,529 3 ·12,5795 12,6298

4,80 4 ,81 4,82 4,83 4,84

12,680 3 12,7308 12,7814 12,8322 12,883 ·1

-- ---

4,85 4,8 6 4,87 4,88 .4,89

--12,9340 12,9851 13,_0363 13 ,0876 1 3,1 390

- --

1 4,90 13,1905

11,91 1 4,92 1 1, ,93 4,94

13,2420 1 3,2937 13,3455 1 3,3975

1,,95 4,96 / 4,97 1 4,98 4,99

·1 3, 4495 13 ,5016 1 3,5538 13,6062 1 3,6586

-- ---

- -

---

5,00 13 ,71 11 1

495 1196 496 498 499 500 502 502 503 505 505 506 508 509 509 5H 512 513 514 !H5 515 517 5·18 520 520 52 1 522 5211 524 525

13,3489 13 ,11032 13, 4576 1 3,5121 13,5667

---

1 3,6214 13,67 62 ~ 3,73 •12 13,7862 13 ,8414

--13,8967 13,9521 14 ,0076 14,0632 111,1190

---

14,1748 ·1 4,2308 ·14 ,28 69 14,343 1 14,3995

--1 4,4559 14 , 5125 1 4, 5691 1 4,6259 11, ,6828

--44 ,7399 14,7970 f 4,8542 11,,9116 ·1 4,9691

--15,0267

543 544 51, 5 546 !ll,7 51, s 550 550 552 553

l)jf.

Dif.

14,5 •1 51 14 ,5742 1 4,6333 14 ,69 26 14,7519

---

11, ,81 ·1 4 14,871 •1 14 ,9309 ·1 4,9907 15,0507

- --

554 1 5,1 ·109

15,1711 55 5 15 ,2315 556 15,2920 558 1 5,3527 558 560 15,4131. 15,4743 561 15,5353 562 15,5964 561, ·1 5,6577 564 ·15,719 ·1 566 15,7806 566 15,8422 568 ·1 5,9040 569 ·15,96!59 57 1 ·1 6,0279 57-1 ~ 6,0900 572 ·16 ,1 523 571, J 6,214 7 575 16,2772 576 ·16,3398

---

- --

-----

591 591 593 593 595 597 598 598 6011 602 602 604 605 607 607 609 610 6H 613 614 615 616 618 6•19 620 62 1 623 624 625 626

15 ,6797 15,7435 ·1 5,8074 1 5,8714 ·1 5,9355

--1 5,9998 16 ,0642 ·16,1288 16, ·1 935 16.2 583

---

·1 6,3233 16 ,388 4 16,4536 16,5190 16,5846

--16,6502 16,7 160 ·1 6,7819 16,81,79 ·16,91 4·1

---16,9804 17,0469 17,1135 17, 1802 '17,21171

--17 3;1 Id 17,38 ·1 3 ·17,4485 17 ,5·1 59 ·17,5835

---

1 7,65 12

638 639 640 641 6113 644 646 647 648 650 65 1 652 6j'i 656 656 658 659 ' 660 662 663 665 666 667 669 670 672 672 674 676 677

Dií.

16,8429 16,9 ·114 16 ,9800 17 , 0488 17,1177

---

·17 ,1868 17,2560 17 ,3'254 17,3949 17 ,4646

- --

1 7,5344 ·17 ,6043 17 ,6741, 17,7 446 17, 8150

---

1 7,8856 17,9563 18,0271 18,0980 1 8,·1 69 1

- --

18/N04 •I 8,31 ·18 18 ,3833 18 ,4550 18,5269

---

18,5989 ·18,671 O 18 ,7433 1 8,81 57 18,8883

---

18,96 1O

685 686 688 689 691 692 694 695 697 698 699 701 702 7011 706 707 708 709 7H 713 714 715 717 719 720 721 723 724 726 H-7

TABLA l. AIICOS

ESCAIIZAl'iOS.

Valores aproximados de ea.

~=0 4

Yo -O 5

f - '

...__ Di!.

5,0 O 5,01 5,02 5,03 5,o,,

7,0546 7,0816 7,1086 7,1358 7,·I 629

270 270 272 27 ·1 273 5,0 5 7 ,1902 272 7,2 17 4 5,06 271, 5, 07 7,2448 274 5,08 7 ,2722 7,2997 275 5,0 9 ...__ - - - 2 74 5,10 7,3271 276 5,1 ·1 7,3547 276 5,12 7,3823 5,13 7,4-100 277 5,11, 7,4377 277 1- --2 77 5,15 7,',654 278 5,l6 7, 4932 5,17 7,52H 279 5,18 7,5490 279 5,19 7 ,577 O 280 28 ·1 5,20 7 ,60 51 28 ·1 5,21 7, 6332 5,22 7,6614 282 5,23 7,6896 282 5,21, 7,7178 332 o---283 5,25 7 ,7 4 61 5,26 7 ,774', 2S3 5,27 7,8028 284 5,28 7,83 ·13 285 5,29 1 7,8598 285 286 5,30 7 ,8884 ~

- --

---

_1&_=0,6

Dií.

8,4 042 8, 4364 8,4 6S7 8, 50 ·1O 8,5334

322 323 323 324 - - - 324 S,5658 326 8,598/, 326 8,631 O 327 8, 6637 8,6961, 327 328 8 ,12n 328 8,7620 329 8,7949 330 8,8279 8,86 1 O 33 ·1 33 ·1 8,8941 332 8,9273 332 8,9605 8,9938 31t3 9,0272 334 - - - 334 9,0606 335 9,0941 9,1277 336 9,16 ·1 3 336 9,1950 337 :ras 9,2288 ;13 8 9,2626 9,296~ 338 9,330/, 31, O 9,3644 31.0 - - - 34 1 9,3985

---

- --

---

Dif.

9,74H 9,7784 9,8158 9,8533 9,8909

--9,9286 9, 9663 ·10,004'1 ·10 ,0420 ·1 0,0800

---

10 ,1180 i0 ,1561 10,1943 1 0,2325 10,2708

---

1 0,3092 10 ,3477 1 0,3863 10,4249 •I 0,4636

- - -

10 , 50~4 10 , 5/d 3 1 0,5802 ·1 0,6 ·1 92 10,6583

- --

10 ,697 4 ·10 ,7366 ·1 0,7760 ·10 ,8153 ·1 0,8548

- --

10 ,8 91,3

373 374 375 376 377 377 378 379 380 380 38 1 382 382 383 381, 385 386 386 387 388 389 389 390 39 1 39 1 39 2 394 393 395 395

Yo =0 8

l)jf,

H,0696 ·1·1,1 ·1 21 H,1546 H,1973 11,2400

---

1·1,2828 1 ·1,3257 H ,3687 11 , 4H 8 H , 4 549

--H,4982 H ,cí415 11,5849 1 •I ,6285 11 ,6720

---

H ,7157 11 ,7594 H ,8033 ·I 1,8472 ·1·1,89 1 2

---

H ,9352 11 ,9794 ·12,0237 1 2,0680 12,1125

- --

12,1570 12 ,20 16 12,2463 ·12,2 91 O 12,3'3,58 12, 3808

,,25 425 427 427 428 429 430 431 4 31 433 433 434 436 435 ,, 37 437 439 439 440 440 41.2 ,,43 443 445 44!; 446 447 447 448 ,,50

Dif.

1 2,392S ·1 2,4400 12,4877 12,5354 ·I 2,5833

---

1 2,63 1 2 12, 6793 12,7274 ·I 2,77 56 12,8240

---

12,8724 ·I 2,9209 12,969 5 13,0182 13 ,0670

---

·I 3,1159 ·1 3,1649 13,2140 13,2632 ·13 ,3124

--13,3618 13,4H 3 13 , 4609 1 3,5·10 6 ·1 3,5603

---

·1 3,6102 ·1 3,6601 •13,71 oi 13,7603 ·I 3,81 05

--1 3,8609

475 477 477 479 ,,79 48 ·1 48 1 482 484 4 s ,, 485 486 ,,87 l..88 \89 490 '•9 ·1 492 i,92 494 495 t,9 6 497 497 499 499 501 50 ·1 502 . 504

177

TABLA I . .rncos

ES CA nur.os .

.a 1ores aproxima · dos de

eª· y

?=0,0 J/.L_ r-,¡ o

Yo = 1 4

_yºf - -- 1,2· -V; -= 1,3

'--

Oií.

:s,oo

13,7 H1 :S, 01 13,76 38 5,02 -13,8165 5,0 3 13,8694 5,04 13,9223 '----

---

5 ,0 5 5,06 5,07 5,08 :S, 09 ,___

13, 9 754 14, 0 286 14,08 18 1 4,1 352 ·1 4, 1 887

5,iO 5, 11 5,1 '! 5, 13 5, 14

14,'!H3 14,2960 1 4,3498 1 4,4037 14, 4577

---

'----

:S,iS 5, 16 5,0 5, 18 5, 1 9 ,____

14,5118 14,5660 14,620 4 14,6748 14 .7 294

5,20 5,2 1 5,1!2 11,23 ó,!U, ..__

14, 7840 • 4,8 388 14,8936 1 •l ,9486 15,0036

5,25 5,26 5, 2 7 5 ,28

- --

---

• 5,0588 4 5, H 41 l 5,i 695 1 5,2250 15,28 0 6

5,30 1 5,3363 1

527 527 529 5'!9 53 1 532 532 534 535 536 537 538 539 540 541

542 544 544 546 546 548 548 550 550 552 55 3 554 555 556 537

Dií.

1 5,0267 15,0844 15,4422 1 5,2002 15,258'!

- --

1 5,3164 ·1 5, 37 47 15,4331 15,49 16 1 5,5503

---

15,6090 15,6679 15,7268 15,7859 15,8451

- --

15,9044 15,9639 16,0235 16,083 -1 16,1429

---

4 6,2028 • 6,2629 1 6, 3230 1 6,3832 1º6,4436

---

16,504 1 16 564 7 .f 6,6254 f 6,6862 l 6,7472

- - -

l 6,8082

577 578 580 580 582 583 584 585 587 587 589 589 591 592 593 595 596 596 598 599 601 601 602 601, 605 606 607 608 6• 0 610

D.f.

·1 6,3398' 16,4026 16,4656 1 6,5286 1 6,5917

- - -

16,6549 16,7'183 16,78-19 ·1 6,8455 ·16,9093

---

16,9732 17 ,0372 17,1 O14 l 7,·1 656 17 ,2300

---

17,'!945 17 ,3592 17,4240 17 ,4889 '17 ,55 39

--f 7 ,6191

17 ,6844 17 ,7498 1 7,8 ·1 53 17 .8809

- --

17 ,9467 1 S,01 26 18,0786 18,1448 1 8,211 1

- --

• 8. 2 7 5

628 630 630 631 632 634 636 636 638 639 640 642 642 644 645 647 648 649 650 652 653 654 655 656 658 659 660 662 663 664

Oir.

0 , 65 •12 '17,7-190 17 ,7870 17,8550 17 ,9232

---

17,9916 ·I 8,0601 1 8,1287 18,1975 ·18 2664

---

18,3354 ·18.4046 1 .4 739 1 ,543 4 18,6130

---

1 ,6S27 1 ,7525 ·1 8,8225 ·18 ,8926 18 ,9629

--19,0333 19.4 039 19 ,-f 7-\5 ·19,21,53 19 ,3 162

- --

678 680 680 682 684 685 686 688 689 690 692 698 695 696 697 698 700 70 -1 703 704 706 706 708 709 7f 1 712

19 ,3873 19 ,4585 19 ,5298 713 l 9,(i013 715 19,6729 7 16 717 19 ,706

- - -

Dil.

18,96 10 19,0338 19,1068 19 ,1800 19 ,2533

- --

19,3:t67 19,4003 19,4741 19, 54íi0 19.6220

7'!8 7 30 73\! 733 734 736 738 739 740

- --

---

743 744 746 748 749

19, 6962 19 ,7705 19 ,8449 19 ,9 195 •19 ,994a

20 ,0692 no 20,f !i 42 20,2194 752 20 ,291,8 7S4 20,370H 755 756 20 ,4 4 59. 7 57 20,52 1 6 20,59 75 759 20,6736 76 1 20 .7 498 762 764 20 , 262 2 0.90:!7 765 20 ,9793 766 21,0561 768 21,1330 769 77 • ':!t .~ 1 01

- --

---

liS

TABLA l. A

Yalorc

Yo = 0 4-

5,30 5 ,31 5,32 5,33 5,34

5 ,35 !i , 36 5,37 5 ,38 5 .39 1--

5,40 5 41 ' 5,42 5,43

---

8,0 32 1 8, 061 O 8,0900 8 ,• 190 8,1 48 1

--8,1 772 8,2 0G4 8 ,2356 8,2649 8 ,291¡2

---5,44 8 ,3236 5,45 1

5,4 6 5, 4 7 5,4S 5,49

8 ,3530 8 ,3825 8,4 1 21 8 ,4 4 17

---

5,50 5,5-t 5 ,5 2 5, 53 5 .S4

8 ,1,7 11, 8 ,50 11 8,53 0 9 8,5607 8, 59Ó5

5,55 5,56 5,57 5,58 5,5 9

8,620 1, 8,650 5 8 ,6 05 8,7106 S,7 4 08

- - ---

- -

.; ,Go

--8,77 09

287 2 87 287 2S8 288 28 9 290 290 29 1 291 292 292 293 293 294 291, 29 5 296 29G 297 297 2 98 298 298 299 30 1 300 30 1 302 30 1

ESCAn✓lA NOS .

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9 ,5 69 8 9 ,6043 9 ,6388 9 ,6734 9,7081

- -9, 7 4 28 9,7776 9,8 124 9,8473 9,8823

- --

9 ,9 t 74 9,9525 9, 9877 t 0,0229 1 0,058:!

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t 0 ,2714 t 0,307 1 10,34 29 10,37 88 ·10 .1.1 47

--10, 4507

3 H 10,891, 3 342 1 0,9339 1 0,9736 343 1 1,0433 343 11 , 053 1 344 345 1 ·1, 093 1 11 ,·1 330 345 1 1,-1730 346 11 ,2 132 347 11 ,2 5 :Ho 31, 7 3 1,5 11 ,2937 1 1, 334 O 348 11 , 371, 4 3 1,9 H , 4 149 350 t ·1 / 15S5 35 1 1-1 .496 2 35 1 H ,5369 359 ·1 l ,5777 352 1·1,6185 353 11,659 5 351. H ,7005 354 1 1,7 ,. ., 6 355 H ,7827 355 11 ,8239 357 1 1,86 53 357 1 1,9067 357 11 ,9482 358 1 1,9897 359 1 2,0313 359 i 2,0730 360 12 ,1 11, s

---

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396 397 397 398 4 00 39 9 400 402 402 403 403 li O4 405 1¡06 1¡07 407 408 1¡ 08 HO 4 1O H I 1, 11 H2 4 11, ,. 11,

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---

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456 457 458 459 459 46 1 !, 61 1,62 1, 63 1, 64 4 65 465 467 467 46 8 1,69 470 I¡ 70 1,72 472 1, 73 ·1¡71,

13,8609 1 3,9 -1-1 3 t 3,96 ·18 H,0 1:H 14,0631

--14,2158 t 4/ rn69 ·14,3 18 1

---

504 505 506 507 50S 509 5 1O 5 11 5 12 51 2 5·1 4

14 ,3693 14, 4207 !H 5 14.4722 1 4,5237 5 15 1 4,5 7 ~;,, 50 5 17 13 ,0 650 14,6271 519 13,-11 ·13 14,f,790 5·19 •I 3,·1577 14,73 09 ·I 3,201, 2 1 ,. ,7829 !i20 13,2507 l 1¡ ,835 1 !i22 522 13,2971, l 1¡ ,8873 :;23 13,3"4 1 i ,. ,939 6 t t, ,992 -1 fi25 1 3,3 90 9 1 3, 4 378 1 5 ,0 446 525 13,4848 15, 0972 526 5 27 13 , 53 1 8 15,-1499 1 3, 5790 ·15,2026 527 t 3,6262 l ü,2:H;fi 529 13.673:'í ·I 5, 3086 53 1 1 3.7209 1 5, 36 16 53 0 1,75 ~32 1 3,7681¡ 15, Ht¡S

- - -

---

- --

---

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1 5,3363 ·15,392 1 15,44 so 15,5040 15,560 1

- - -

5,35 5,36 ¡;,37 5, 38 5,39

15,6 163 15,6727 ·1 5,729 1 15,78 5 6 15, 42~

5,1,0 5,4 ·1 5, 42 5,4 3 5,4'•

·I 5,8990 •I 5,9559 16, 0 128 16,0699 1 ·16, •1 270

5, 45 5, 46 n, 47 5,48 5,49

16,1 43 ·1 6,2417 ·I 6,2992 ·16,3568 •I 6,4 145

-- ---

5,50 5,5 ·1 5,52 5, 53 5,54

---

-16,4 723 ·1 6,5302 116,5882 116,6463 ¡-16,7046

,- - -

5, 55 116,7629 5,56 6,82 13 5, J7 ·1 6,8799 a,5s 116,938:i J,59 1s 9979

:i, 60 ¡11,0;;6 1

558 559 560 56 1 562 564 564 565 567 567 569 569 571 57 •1

573 57 4 575 576 577 578 579 580 58 1 583 583 581, 586 586 5 7 589

---

17, 1153 0 , l7 70 17,2389 17,3008 17 ,3629

---

-17,li25 1 17,487-1 17. 549!1 17, 6124 Vi,6751

- --

17,7379 17,8008 17,8638 ·17,9269 17,9902

---

6 12 6 12 6·14 616 617 6 17 6 19 6 19 621 622 623 62 5 625 627 628 629 630 63 1 633 634

•

, JJ~-= l I,3

Yo_=l 1 _'!Jo_= 1 '2

18,2775 18,3440 18,4 1 07 18,4-774 18, 5443

66j 667 667 669 670 672 673 674 67 5 677 678 679 681 682 68 3 6 4 6 5 686 688 689 690 692 693

Dif.

16,8082 16, 8694 ·16,9306 1 6,9920 17,0536

· ea,

Dif.

--18 ,6 11 3 18 ,6785 18,7it5S 18, 132 18,8807

--18,9484 19, 0 1 62 19 ,0 4 1 19, 1522 19,2201,

---

19 ,2 7 19 , 3:l7 I ·19,4256 l 9,', 91i2 19, 5630

- - -

19,63 19 18, 0 536 631, 18, 1-170 19,7009 •I 8,1806 636 19,7701 18,2443 637 19, 8394 1 ,3082 639 19.9088 639 ·18,372 1 19 ,9784 18, 4 362 64 1 20,048 1 18,5004 642 20 , 11 78 l 8, 564 6 642 20 . 1877 t ,6290 6 ~ 1. 20,j578 61¡5 1 ' ,693:i 20 , 3280

---

·19 ,7446 19 ,8 165 19,8885 19,9607 20 , 0330

--20,·I 055 20 , 1780 20 ,2 ,i 07 20 , 323 5 20 ,3964

---

20,t, 695 20 ,5428 20,6162 2 0,6 97 20 ,7633

--20 , 371 20,911 O 20,985 1 2 1, 0593 2 1,-1336

---

2 1,20 o 2 1,2826 2 1,3573 2 1, 432 1 69~ 2 1,5072 696 2 1,582!, 697 2 1, 6576 697 2 1,7330 699 2 1 80 5 70 1 21 ,8 4'2 702 2 1,960 1

---

- --

719 720 722 723 725 725 72 7 728 729 73 1 733 73!.. 735 736 738 73!) 7"1 742 743 744 746 7 47 748 ¡j.¡

752 752 754 755 757 75 9

llif.

2 1,2 1 O1 2 1,287:l 2 1,3647 2 1,4422 2t, :H99

- --

2 1,5 977 2·1,67 57 2 1,7538 2 1, 320 2 1,9104

---

2 1,9890 22 ,0677 .!2 .l465 22 ,H55 22,3046

77 4 i75 777 778 780 78 1 782 784 786 787 7 8 790 79 1

- - - 1n 22 .3838 22 , 4 632 22 , 5428 22,622 5 22,7024

- --

22,7824 22 ,8625 22,9428 23,023z 23 ,1038

---

23 , 181,5 23 ,2651, 23, 3464 23,427 6 23, 50 !J

- --

23 ,:l!lo 3

794 796 797 799 800 80 ·1 803 804 06 807 09 8 10 8 12 13 1\

180

TABLA 1. ARCOS lsSCAIIZANOS.

Valores aproximados de

Yo =0 4

~?- =0,5

DiL

Dif.

5,60 5,61 5,62 5,63 5,64

8,7709 8,80 ·12 8,831 5 8,86 1 8 8,8923

5,65 5,66 5,67 5,68

8 ,9227 8,9533 ~ ,98 38 9,01 45 9,045 2

-- ---

~ --5,7 ~

5,72 5,73 5,7 4

- -

5,75 5,76 5,77 5,78 ,_5,79

Yo =07

15,H 48 15,4681 45,5214 ·1 5,57 49 1 5,~2S 5

533 533

Yo =08

---

'--

5,70

Yo 7=0,6

ea y·

9,07 59 9, 1 067 9,·137!j 9 , 1684 9,·1994

--9,230 4 9,2615 9,2926 9,3238 9,3 5 50

---

5,80 5,81 5,82 6,83 5,84

9,3863 9 ,417 6 9,4490 9,480 4 9,5 •119

5,85 5,86 5,87 5,88 5,89

9,54 34 9, 57 50 9, 6067 9,6384 9,67 02

5,90

9,70~0

-- ---

808 808 303 30 5 304 306 30 5. 307 307 307 308 308 309 31 O 310 a 1•1 3H 3·12 312 3 13 31 3 3-14 314 3·1 5 3 ·15 316 3·17 317 318 318

·10 , 4507 '1 0, 4868 '1 O,523 0 1O,5592 10 , 5955, •I 0,6 3 18 10,-6682 10,7046 10 ,741 •I ·10,777 8

---

·10 ,8•11,4 ·10 ,85 ·11 1 0,88 79 10,9 2 48 •I 0,96 ·17

- -10 ,99 8 6 H ,03:;? H,0728 H,1100 11,1472

---

H,181,5 1 •I ,22 19 11 ,2593 1 ·I ,2968 H,3343

---

41,3720 H,4096 H ,4 4 7 4 1 ·1, 4851 11 ,5230

--11 ,~6 1 O

361 362 862 363 363 364 361, · 3 65 367 366 367 368 369 369 369 371 37 ·1 372 372 373 374 374 375 375 377 376 378 377 379 380

Dif.

12,1148 ·12,·1566 12,1985 •12,2405 •I 2,2826

---

1 2 , 321,7 12 , 3669 1.2 ,',092 1 2, 4516 '12 , 4940

---

12 ,5365 ·1 2, ~791 12 ,62 17 ·1 2,664 5 12,7073

---

idS 419 420 ,, 21 /,21 42 2 42 3 ,,21, 4!U 4] 5 426 426 428 428 ,, 29 429 4 31 ,, 3,1

12 ,7502 12 ,7931 •I 2,8362 12,879~ •I 2 ,9225 432 432 12,9657 434 13,0091 13,0525 431, ·1 3,0960 435 ·1 3,1395 435 436 13,1831 437 13,2268 ·13 ,2706 438 13 ,3145 439 ~ 439 4 -1O 1a,402 1,

---

- -

Di!.

Dif.

13,7684 13,8159 ·1 3,8636 13 ,91 •I 4 13,9592

- --

1 4,0071 ·1 4,0550 1 4 ,1 031 14 ,1 5•1'3 14, 1995

--14,2"79 •I ,, ,2963 1 4, 344ll 14 ,3934 •1 4,1,420

--14 , 4908 14 ,5396 ·1 4,5886 14 ,6376 1 4, 6867

---

14,7359 •I 4,7852 14,8345 14 ,8839 14,9334

---

·14,9830 ·1 5,0328 15,082tí 15,1324 15, 1823

- --

1 5,'l323

475 477 478 478 479 479 481 482 482 484 484 485 486 486 488 488 490 1,90 4 91 492 493 493 494 495 496 498 497 499 499 500

15,6821 15,7359 15,7897 15,8436 ·1 5,8977

---

535 536 536 538 538 539 544 544 542 543

15 ,9518 16 ,0060 16,0603 16,H 47 544 16,1 693 546 - - - 546 16,2239 547 16,2786 548 16 ,3334 4 6,3883 549 16,4433 550 - - - 550 16,4983 552 ·16,55 35 16,6088 553

1 6,6642 554 16,7 196 554 - - - 556 16 ,775 2 16,8308 556 16 ,8865 557 16 ,9U4 559 16,9983 559 - - 560 Vi,0543

J/8 l

TABLA l. A.RCOS

ESCA IIZ AN OS.

Valores aprox imados de

ea r·

Yo = 0 9

Yo = I o _yº- = I 1 Jf.J__= I 9 l ,

Di!.

Oif.

Di!.

~ = 13

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56 57 58 59 60

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1,16468 1,19438 1,22475 1,'t5583 1,28764

1,02680 1,05378 1,08129 •l, •I 0937 1,138ll3 1,16732 1,19726 1,22789 1,25925 1,29138

61 62 63 64 65

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66 67 68 69 70

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1,49645 1,531170 1,57409 1,61 /167 1,65651

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1,68905 1,73256 1,7771,3 1.82371 1,871/,5

77 78 79

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86 87 88 89 90

2,50129 2.56703 2,63357 2, 7006S 2, 76806

- -51- --

- --

---

- -1

- -76so - -81 -

- --

0=79º

. 0,87270 0,89678 0,92 121, 0,91,61 O 0,97 •139 0,99711

'•5º

0=78 11

0,87478 0,89905 0,92372 0,94881 0,97/134 1.00033

0,87572 O 90008 0,92485 0,95005 0.97569 1,00 ·1so

0,87660 0,901 Ot, 0,92ij90 0,95119 0.97694 1,00317

1,02841 1,05553 •1,0S321 1,11146 1,•I 4031

1,0299·1 -l.05717 1,08499 1.1 •13,i4 ·l .1 li24i1 1,172 -11, 1,20252 1.23364 ·I ,26554 1,29825

•1,16981 1,19998 1.23086 ·1 ,26250 1,29492 1,32819 1,36236 1,3971,6 1,1,3357 •lJ,7 073

·1,33184 1,36635 1,40184 '1.43838 1,47602

1,5090,3 1.511852 1. 58928 -1,63140 1,67496

•I ,51485 ·l ,55493 •I .59636 1, 63922 1,68362

1, 72005 ·1,76678 ·1,8·1523 1,865511 1.917S0

1, 72965 ·1,7771¡/1 •1,8271 O 1 .87876 ·1.93258

1.9:152·1 2,00977 2,06638 2, 1251 O 2,1 8600

•I ,Y7'213 2,02865 2,0871,S 2,1 i,871 2,2121,4

2;2 1994 2,282 00 2,31,59 ·1 2,41159 2,4 7893

2,24912 2,31446 2,3S200 2,45166 2,52331

2 ,5117H 2,61780 2,68885 2. 76059 2,83267

1,59676 2,67175 2,74798 2,825 05 2,90256

2,27875 2,34767 2,!'1920 2,49 329 2.56980 2,61,8 54 2,72921 2.81142 2,S91172 2,97857

•I ,98867 2,04721 2,1 0833 ~.17219 2 .23893 'a!, 30866 2,3811,7 2 .45741 2,5 361,5 2 .6 1848

'2,70328 2,79053 2,87976 2,97038 3,0617 3

194

TABLA IV. FUNCIONES

PAIIA TODOS LOS VALORES POSIBLES DE 'f T

E. 'f

0=80º

0=81º

0=82°

0=83º

0=84º

0,70879 0,7í!H5 0,73329 0,74521 O, 75692 0,76841 0,77966 0,79069 0.80149 0,81206 0,82238 0,83247 0.84231 0,85191 0,86126 0,87036 0,87921 0,88781 0,89615 0;90424 0,9•1207 0,91963 0,92694 0,93399 0,94077 0,94729 0,95355 0,95955 0,96529 0,97076 0,97598 0,98095 0,98 566 0,99012 0,99433 0,9983·1 1,0 0206 1,00558 1,00890 1,M202 1, 01496 1,01774 1,02039 1,02294 1,02541 1,02784

0,70840 0,72073 o, 711284 0,74473 0,75641 0,76786 0,77908 0,79007 o, 0083 0,81-135 0.82•163 0.83167 0,84147 0.85101 0.86031 0.86936 0,87815 0,88668 0,89496 0.90298 0,9•1073

0.70806 0,72036 0,73245 o, 7 4431 o, 75596 o,76738 0,77857 o, 78953 0,80025 0,81073 0,82098 0,83098 o, 4073 0,8 5023 0,8594 0.86, 48 0,87122 0,88570 0,89392 0,90·188 0.90957 0,91699 0,92415 0,9lH04 0,93766 0.94401 0,950Ó8 0,95588 0,96141 0,96667 0.97165 0,97637 0,980 1 0,98499 0,98890 0.99255 0,99595 0,9991 O 1,00200 1,00469 1,00716 1,00943 1,01155 1,0•1352 1,01540 1,017~4

--45° 46 47 48 49 50 51 62 53 54 55 56 57 58

---

59 60 61 62 63 64 65 --66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

---

- -8182 83 84 85 86 87 88 89 90

0.70972 0.72215 0,734136 0,74636 0,75815 0.76971 0,78106 0,79218 0,80307 0,81384 0,82417 Ó,83436 0,8"432 0,854Q4 0,86352 0,87276 0,!!8175 0,89049 0,89898 0.9.0723 0,91523 0,92297 0,93047 0,93771 0,941170 0,95144 0,!15793 0,96447 0,970•16 0,97590 0,981 /,1 0,98667 0,99170 0,09650 1,00·107 1 ,00543 1,00958 1,01354 1,01731 . 1,0209•1 1.02436 1,02768 1,03089 1,03401, 1,03708 1, 04011

0,70923 0,72162 0,73380 0,71,576 o, 75750 0.76902 0,78032 0,79140 0,80224 0,81285 0,82323 0,83337 0,84326 0,85292 0,86233 0,87150 0,88041 0,88908 0,89750 0,90566 0,91357 0,92122 0,92861 0,93575 0,94264 0,94926 0,95563 0,96174 0.96760 0,97321 0.97856 0,98367 0,98853 0,99316 0,99755 1.00171 1,00 565 1,00939 1,01293 1,01628 1.01948 1,02252 1,02545 1,02828 1.03105 1,03379

0,91822 0,92545 0,93241 0,93911 0.911554 0,95'170 0.95759 0,96322 0,96858 0,97368 0,97851 0,98308 0,98739 0,99144 0.99525 0,99881 1,00214 1,00525 1,008,ti, 1.01084 1 ,01337

1,01574 1,01800 1,0201 8 1,02231

195 TABLA IV . FUNCIONES

PARA TODOS LOS VALORES POSIBLES DR

'f Y /J.

F. rp.

0=80º

0=81º

0=82º

0=83º

--45° 46 47 48 49 50 51 52 53 54

--55

---

56 57 58 59 60 --61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 --71 72 73 74 75 --76 77 78 79 80

--81

82 83 84 85 86 87 88 89 90

0=8iº 1

0.87741 0,90193 0,92687 0,95226 0,9781 O ·1,00444 1,ll3429 1,05868 1,08665 1,1rn21 1,l4442 1,17430 1,20488 1,23623 1,2683 7 1,30135 1,33524 1,37 00 8 1 .1,0594 1,44288 1,48098 1,5203 1 1,56096 1,6 0303 1,6/,661 1,69181 1,73877 1,78759 1,83844 1,89146 4,94682 2,00470 2,06529 2,42878 2,19538 2,26527 2.33866 2,/,1 561, 2,1,961,8 2,5810 5 2,66935 2,76116 2,856·12 2,95366 3,05304 3, 15339

0,878•15 0,90274 0,92776 0,95322 0,97916 1,00560 1,03256 1,06007 1,08816 1,11687 1,14 623 1,1762f< 1,20705 1,2386 0 1 ,2709 7 1,30421 1,33837 1,37352 1,40973 1,1,/,705 1,48558 1,52539 1.56658 1,60925 1,65351 4,69949 4.74733 4 ,79716 1.84916 1,90351 1.9601,0 2,02006 2,08271 2,l4860 2,21802 2.2912·1 2,36848 2,45005 2.53616 2,62693 2.72237 2,8'1233 2,9264 1 3,03393 3.14396 3,25530

0,8788·1 0.9034-7 0,92856 0,9541 O 0,98012 1,00665 •I ,oa37o 1,06132 1,08953 1,11837 1, 14787 1,17808 ·1,20902 1 .24076 1.27334 1,30680 ·I ,34123 4,37666 1 413·18 1,45086 1.48!l78 1,53004 4,57173 1,6-1497 1,65 \J87 1,706 58 4 ,75525 1,80605 1.85916 •1,91478 1,97317 2,03456 2,09926 2,16757 2,23984 2.3 1644 2.39776 2,4 8419 2,57609 2, 67376 2,77737 2,88685 3,00184 3,12156 3,24478 3,36987

0,8794•1 0,90412 0,92927 0,95488 0,98097 1,00758 1,03472 1,062 44 1,09076 1,11971 1,14934 ·1,47968 1.21 078 1,24269 1,27545 1 ,30913 1,34378 1,37947 1,41628 1,451,28 1,49356 1 ,53423 1,57638 1,62014 1,66564 1, 71303 ·1,76248 1,814l7 1,86832

·1,92526 ·1,98496 2,04803 2,11471 2,18540 2.26052 2,34•)56 . 2,4-2607 2,51760 2,615 75 2,72106 2.83396 2.95463 3,08284 3,21772 3,35769 3,50042

0,87992 0,90469 0,92989 0,95556 0,98172 1.00839 •1,03562 1,06342 1,09183 •I ,12088 1,15062 1,18109 ·1,21232 ·I ,24438 1,27731 1,SHH 1:34603 1,38195 ·1,111901 1,45730 ·1.49690 1,53793 1,58049 •I ,62472 1.67076 •l,74876 1,76892 4 .82143 ·1,87653 1,93449 1,99562 2,060 27 2,12883 2.20 479 ~.27969 2,363·14 2,45286 2,54966 2.65442 2,76806 2.8914 7 3,02528 3,4 6963 3.32376 3,48564 3,65186

1U6

TABLA IY. l'UNCIO:-lllS

l'A IIA TODOS LOS V!WllES l'OSIBLES DE

'f Y 0•

0=85º

'f.

--45° 46 47 48 /19 50 --5·1 52 53 51, 55

---

56 57 58 59 60 --61 62 63 64 65

- -6667

68 69 70

--71 72 73

74 75 76 77 78 79 80 --81

- --

82 83 84 85

86 7 8

89 90

(/=87°

0=86º

o, 70777 0,72005 0,73211 o, 74 396 0,75558 · 0.76697 0,77814 0,78907 79976 0,81021 0,82042

0,70753 0,74 979 0,73 184 0.74367 0,75527 0,76661,

º·

0,77778 0,78869 0.79936 0,8 0978 0,81997

0,83039 o.s1101 o 0,84957 0,85878 0,86773 0,87643 0,884S6 0.89303 0,9009/, 0,90858

0,82990 0,839 59 0,811902 0,85820 0,867 12 0,87578 0,884·18 0,89231 0,90017 0,90776

0,91595 0,92305 0,92987 0,93642 0.94270 0.91/870 0,951,42 0,95987 0,96503 0,96992 0,97453 0,97 87 0,9829 3 0,98671 0,99023

O,\H 509 0,92213 0,92891 0,93540 0,94162 0,9 4756 0,95322 0,9 5859 0,9636 0.96849 ,

0,99348 0,99646 0,99920 1.00168 1.00394

0,99142 0,99427 0,99685 0.99916 1.00123 •I ,00 306 1,00468 1,00612 1,007112 1 00865

1,00598 ·1 ,007811 1,0095 4 ·1,01113 1 01~66

0=88°

0=89°

0.97302 0,97726 0,98122 0,981190 0,98830

o, 70735 0,71960 0.73163 0,711344 0,75502 o, 76638 0,77750 0,78839 0,79904: 0,8 0945 0,8•1961 0,82952 0,83 9·19 0,84860 0,8 5775 0,866 64 0,87527 0,88364 0,89174 0,89957 0.907 • 3 O.~ •l /1/f'I 0.92142 0,928 •16 0,931161 0,911078 0,911667 0.95227 0, 957:_¡9 0.96263 0,96738

0,7072·1 0,719116 0,73148 0,711328 0,75485 0 .76619 0,77730 0,78818 0,79882 O, 0921 0,81936 0,82925 0,83890 0.84829 0,857113 0.8663 0

0,97183 0.97600 0,97989 0,9S34 8 0.98678 0,98980 0.99253 0.99499 0.99716 0,99907 •I ,00 071 1,002H 1,00330 1.001133 1 09526

0,97098 O 975-10 0,9 7892 0.9821,5 0,98569

0.70713 0,71937 0,73l38 0,711318 0,75474 0,76608 0,777 •19 0,78805 0,79868 0,80906 0.81920 0,82909 0,83873 0,84811 0,85723 0,86609 0,87469 0,8830 2 0,89109 0.89888 0.90640 _ 0,91364 0,92061 0.92729 0,93369 0.93981 0,94565 0,95119 0,95645 0.9614 •1 0,966 09 0,970',7 0,971155 0,97831, 0,98183 0.98503

0,98863 0,99128 0.99364 0,9 9570 0,99748 0,99898 1,00021 1,00119 1,00195 1 0025

0,98792 0,99052 0,99282 0,99 /182 0.99652 0,99792 0,99903 0,99985 1,0004 O 1,00075

0, 87491 0.88326 0.89133 0,89914 0,90667 0.9 1393 0.92091 0.92762 0.93404 0,94018 0,U4603 0,95160 0,9568S 0,9 6187 0.96657

1 1

197

TABLA lV . FONCIONES

l'A IIA TODOS LOS VALO II ES POSIBLES DE

'f Y fJ.

6=85°

'f.

- -li5º 46 117 48 49 50

0,88073 0.90557 0,930S5 0,9566·1 0,982S7 1,00966

52 53 54 55

57 58 59 60

1.18229 1.21361, 1,2 4582 1,27890 1,31292

- - 56-

~ ,03700 1,064-93 1,0931,9 1,12270 1,15262

61 62 63 61,

1,34795 1,384 07 1,42135 1,45989 •I .49977

06 67 68 69 70

•1,5 4112 ·1,58404 1,62868 1.67518 1,72372

1,1$32~ 1.2-1472 •I ,24702 1,28021 1,31436 1,34954 1,38582 1,42329 1,46203 1,50215 1,511376 1,58698 1.63197 1,67887 1,72787

71 72 73 71, 75

1,7 7450 1,S2771. 1,88370 1,94267 2,00499

•I ,779 ·18 1.83303 1,88 972 1,94955 2,01290

76 77 78 79 80

2,07 •106 2,1id36 2,216H 2,29694 2,38365

2,08023 2,15205 2,22900 2,31185 2,40153

81 82 83 84 85

2,117748 2,57954 2,69•109 2,81362 2,91, 869

2,49920 2,60627 2.72452 2,85612 3,0037 •1

86 87

3,09782 3,26·198 3.41d16 3:63279 a,83 • 74

3.172011 3,35887 3,5711 O 3,8050 8 !1,05276

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--SS 89

0=88º

0=89º

0,88037 0,90517 0.93042 0,95614 0,98235 1,00909 1,03638 1,06425 1,0927 4 1,-12•188 1,1517 •1

- -5·1-

0=87°

0=86°

0,88•101 0,905S8 0,93 11 9 0.95699 0,9823S 1.0•1011 1,037 49 1,06547 1,09407 1,12335 -1.15332

0,88121 0,9061 O 0,93 144 0,95725 0,983b7 1,0101,3 1,03784 1,0 6585 1,091150 1,12381 1.15383

0,88133 0,90623 0.93158 0,9574 ·1 0,98375 1.01062 - -1.03805 - -1,06608 1, 091, 75 •I ,12408 1,15/,13

-1.18405 1.21557 1,24795 1 .28124 1,31549

-1.18460 ·1,21618 1,211862 •I ,28197 1,3-163·1

•I ,18494 1,2161\5 •I ,24908 •I .28242 ·1,31679

1,35079 1,38720 1.112'>81 1,1, 6372 1,5 0402

1,35168 1,388·19 1.4259•1 1 ,1,6493 1,50537

1,511584 1,58930 ·1 ,63456 1,68177 1,73114 1 ,78287 1,83723 1,89 450 1.95503 2,01923

1,5 4734 1,59098 1,6364 3 •I ,68387 1,73350

2,08758 2,1 6065 2.23917 2 32400 2,111622 2,51722 2.6287 6 2,7531 /1 2.89341 3.05363 3,:i,3915 3,45645 3,71311 11,0·I 09~ /1,33865

1 1

1,35222 1,38879 1 .112657 1,46566 1,50R18 1

1,54tli!.4 1,59199 1,63756 1.661H I, 1,731194

1, 78555 ·1,8 4027 1,89797 4,95902 2.02381,

1,78717 1,s1,211 1,90008 1.96144 . 2,02665

2,09295 2,16697 2,21i666 2,33300 2.1,2718

2,09622 2.17082 2,25126 2,33853 2,113395

2,53079 2,611589 2,77530 2.92295 3,09449

2,53922 2,65661, 2,78938 2.91,206 3:12170

3, 29837 3.54748 3,86•108 11 ,26 •139 4,74272

3.33964 3,61613 3,9911 O 1, ,55347 5,4349·1

1:18

TABLA IV. FUNCIONES

PAIIA TODOS LOS VAL OII ES l'OSIBLES DE

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45° 46 47 48 1,9

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61º 62 63 64 65

0,871,62 0,88295 0,8910·1 0,89879 0,90631

0=90º

--- 0,707H 0.71934 0,73135 0,71,314 75471 O, 76604 --0,77715 0.78801 79864 0.80902 0,8·1915 0,82904 0,83867 0,84805 0,85717 0,86603

º·

66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

0,91355 0,92050 0,92718 0,93358 0.93969 - -0,94552 0,95·106 0,956 30 0,96126 0,96593

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0=90º 'l' ---

0=90º 'l'

- - - --

0,97030 45° 0,88137 61° 0,97437 46 0,90628 62 0,9 7815 47 0.93163 63 0,9 8163 48 0,95747 64 0,981,81 49 0.98381 65 50 t.Ol068 --- 81 0,98769 51 1 ,03812 66 82 0,99027 52 ·1,06616 67 83 0,99255 53 1,09483 68 8t.. 0,99452 54 1,1 21.18 69 85 0,996·19 55 1.15423 70 86 0,99756 56 •I ,18505 71 87 0.99863 57 1,21667 72 88 0,99939 58 1.24916 73 89 0,99985 59 1,28257 74 90 1,00000 60 1,31696 75 76º 77 78 79 80

0=90º

0=90º 'l' -- -

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1,35240 76° 1,38899 77 U2679 78 1,46591 79 1,5 0645 so

2,09732 2,1721 2 2,25280 2.34040 2,43625

---- -- 1,54855 1,592 32 1,63791, 1, 68557 1,73542 1,7 877•1 1, 84273 1,90079 1,96226 2,02759

61 82 83 84 85 86 87 !,8 89 iJO

-2.54209 2 ,66031 2. 7·91,22 z.94870 3,13130 --3.35467 3,64253 4.04813 4,74135 In!. log.

ERRATAS MAS NOTABLES.

Lám . 3.', fig. 11 , !'alta una u y añadir un I á cuatro letras. Pi,g. 89, nota., falla afi'adir, .2 :' ed ., pág. 6t. 12~, linea 11 , 589,2, debe decir 568,8. id. ºid: . 1,295 1,284c. 166 y siguientes, linea 3.', ea

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