Mecánica elástica by FUNDACIÓN JUANELO TURRIANO

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MECANICA ELASTICA

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M ecánica E lástica (SEGUNDA

EDICION)

PO R

ALFONSO PEÑA BCEUF PROFESOR DE LA ESCUELA DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

O C T U B R É -1930

PROLOGO Agotada la primera edición de esta obra, al poco tiempo de pu blicada, debemos testimoniar, en primer lugar, nuestro agradeci miento por tan amable acogida. Por la rapidez con que fué preparada aquella primera edición se deslizaron algunos errores materiales, que, aun fácilmente subsa nables por el lector, convenía corregir; pero, además, aprovechando esta ocasión, hemos ampliado el programa, añadiendo algunas cues tiones de verdadero interés. ■ Siempre con el mismo criterio de hacer una obra concisa, por la aversión que tenemos a la prolijidad de exposición, presentamos esta obra como un extracto de elasticidad aplicada. Materia hay en el texto para hacer un tratado de varios volú menes, pero ese sería, a nuestro juicio, un grave error, pues ya que los cálculos elásticos son en general bastante complicados, la mayor virtud estriba en dar su conocimiento con el estricto desarrollo compatible con su claridad. El programa es casi igual que el de la primera edición, pero hemos variado algunas cosas que han hecho crecer el contenido de la obra. El primer capítulo es casi idéntico, aunque algunas deduc ciones se han modificado, para su mayor generalidad. El capítulo de arcos y el de pórticos se han ampliado con algunos ejemplos nu méricos, de casos concretos, cuyas cifras pueden orientar a los prin cipiantes en el orden de magnitud de los resultados. En las estructuras miíltiples se ha conservado la parte doctrinal de la primera edición, pues su exposición era tan sencillísima que no cabe simplificar, y sus aplicaciones a la viga de varios tramos y pórtico múltiple permite reducir estos problemas a fáciles operacio nes aritméticas, aun dentro del rigor analítico. Recientemente, en

P R O L O G O

algunas revistas técnicas se han publicado artículos «descubriendo» el procedimiento que por primera vez se expuso en nuestra pri mera edición. No obstante, se han incluido algunos ejemplos nu méricos y además un estudio original aproximado para calcular los momentos secundarios en las vigas en celosía. Un capítulo nuevo se ha añadido ahora: el de repartición de car gas y cimentaciones. No es necesario indicar la importancia de esta cuestión en la construcción de edificios, y procurando concretar en fórmulas muy sencillas los resultados, se ha redactado este capítulo, que extracta lo que substancialmente puede interesar en las cuestio nes de cimentación de obras por repartición de cargas. También en el capítulo VII, que trata de placas planas, hemos substituido el tanteo aproximado que en la primera edición publi cábamos referente a las placas rectangulares empotradas por un estudio mucho más completo, que permite encontrar la ecuación general de deformación elástica y las leyes de tensiones interiores en una placa rectangular empotrada con carga uniforme ,y concen trada en su centro. Por último, el capítulo de presas ha sido también redactado de nuevo, haciendo una crítica de los métodos de cálculo en las pre sas de gravedad y exponiendo con más detalle y generalidad las presas bóvedas y las de bóvedas y contrafuertes.

CAPITULO

PRIMERO

Teorías fundamental es 1. Principios de la Elasticidad.— I^a teoría de la Elasticidad, una de las más fecmidas ramas de la Física matemática, plantea el problema general del siguiente modo: determinar la intensidad y orientación de las tensiones y deformaciones que se producen en el interior y en la superficie de un cuerpo, en función del sistema de causas que sobre él actúan. . Este problema tiene inmensa generalidad y en relación con ella está la dificultad de su resolu ción, muchas de las veces insu perable. De varias maneras puede explicarse la teoría de la E las ticidad, variando unas de otras por las hipótesis que se adop tan como punto de partida, desde el c rit er io puramente mecánico de Cauchy, al más general de la energía adoptada por Poincaré, marcando entre ellos el período evolutivo se F ig . 1.» guido por la ciencia. E l más corrientemente explicado en los tratados elementales es el de Dame, cuyas definiciones sirven de base a los cálculos de la Re sistencia de materiales. Descansa este método, o más bien, esta manera de exponer la Elasticidad, en dos hechos experimen• tales: 1.0 Cuando un cuerpo se supone cortado por un plano (fig. 1.»), para separar las dos regiones es necesario desarrollar un esfuerzo.

M ECÁNICA ELÁSTICA

Esta observación permite establecer el siguiente juicio: a cada parte ah área corresponderá un cierto esfuerzo, y si se divide éste por la superficie, al decrecer tendrá un límite la relación

que expre

sará el esfuerzo en el punto considerado y que podrá llamarse tensión o reacción molecular en dicho punto, correspondiente a aquella sección plana. 2.0 Eas tensiones producidas en los distintos puntos dependen de las deformaciones. De la observación en fenómenos simples (un hilo que se estira, un cilindro que se comprime, etc.) nace esta idea, expresada ana líticamente diciendo que los esfuerzos o cargas moleculares en los distintos puntos son función de las deformaciones. Admitidos esos dos hechos experimentales se establece la teoría elástica según el método seguido por Eamé. No entra en el programa de esta obra la exposición de la teoría completa, para la que sería necesario, no sólo mayor espacio, sino criterio distinto del que motivó su redacción. Es nuestro objeto indicar teorías de aplicación para el ingeniero, pero sin pretendor exponer doctrinas con el rigor científico de la especulación. No po demos decir que en este capítulo se desarrolla la teoría de la Elas ticidad (que puede encontrarse en los tratados especiales, como el clásico de I,amé, las conferencias de Echegaray, los tratados de Sarrau, Resal, Mathieu y otros); pero sí deseamos hacer una sín tesis del problema general, indicando sucintamente las ecuaciones generales y la marcha del desarrollo.

2. Referido el cuerpo a tres ejes coordenados rectangulares, se le supone descompuesto en elementos de volumen infinitamente pequeños por planos paralelos a los de referencia, y rmo cualquiera de esos paralelepípedos (fig. 2.») estará en equilibrio por las acciones que sobre él se ejerzan y por sus reacciones producidas en cada cara, sobre el resto del cuerpo. Estas reacciones de cada cara serán, en general, obhcuas a ellas y tendrán tres componentes paralelas a los ejes, de modo que en los tres planos de referencia habrá nueve componentes; pero antes de escribir las ecuaciones de la Estática, para el equihbrio del pa-, ralelepípedo, se puede demostrar que sólo hay seis distintas, con lo que resultarán simplificadas las ecuaciones. Inmediatamente se

TEORIAS f u n d a m e n t a l e s

ve que todas las perpendiculares a un mismo eje son iguales, pues tomando momentos respecto a la paralela al eje de las z que pasa por el centro O' del paralelepípedo, las fuerzas CN^, C T 2, CT^ y sus

homologas de la cara JG, no dan momento; las AN-¡^, sus ho mologas a la cara JL , tampoco, por la misma razón que antes (cortarla o ser paralela), y del mismo modo las BN^, B T ^y sus ho mologas de la cara JE . Las únicas que producen momento son: AT^ con B T ¡ y sus homólogas en las caras paralelas J L y JE. Como estas fuerzas son por unidad de superficie, su valor total es el resultado de multiplicarlas por el área de la cara; así, la primera valdrá [AT^)dydz y su homóloga de la cara J L diferirá de ella en el incremento que corresponda al de la i'ariable x, luego será dJAJTJi dx dydz dx

M FXANICA ELÁSTICA

De idéntico modo, para la BT^, su valor es BT^dxdz, y para su homologa en la cara JE, CQ'T\ \ ^(-^^3) j dxdz 3) -!------j -----dy dy E l brazo de palanca de las primeras es . das

d'\)

dx y el de las según¿i

• Por tanto, despreciando los términos de cuarto orden,

resulta {AT^)dxdydz = {BT^)dxdydz, o sea AT^ = BT^. Y lo mismo las CT-^ y BT-¡^, así como A T ^ y CT^. Para el equilibrio del paralelepípedo, consideremos todas las fuerzas. Das paralelas al eje de las a; son: En la cara O F ..........

— N-^dydz

En su homologa JL . .

N i ------- dx \dydz dx T^dxdy

En la cara O K ........... En su opuesta GJ . . . En la cara OH........... En su opuesta E J . . . .

dTo dz \dxdy dz ' — Todxdz dT ( Yo + — —dy\dxdz dy J

Das causas exteriores producen sobre el cuerpo, en ese punto, rma resultante por unidad de volumen que llamaremos P y sus pro yecciones sobre los ejes se llamarán X , Y, Z; luego sobre el parale lepípedo diferencial las acciones paralelas a los ejes serán Xdxdydz, Ydxdydz, Zdxdydz. Igualando a cero la suma de las proyecciones, resulta Para el eje O Y....................

dNi dx

dT3 E idénticamente para los

dx dT^ dx - V

dT^

dTo ^ dz

d T ,^

dN^ dy

d T ,1

dN^

pY= 0

1 fpY = 0 ^ [a]

pZ = 0 ^

TEORIAS f u n d a m e n t a l e s

E l sistema de fuerzas y el cuerpo le hemos supuesto en equili brio al establecer las ecuaciones anteriores; pero si el cuerpo estu viera en movimiento, es preciso añadir, además, las fuerzas de inercia, pues sabido es, por el principio de D ’Alembert, que el equi libro se establece, en los sistemas en movimiento, entre las fuer zas aplicadas y las de inercia. Si la masa del elemento de volumen que consideramos es dm y la aceleración de su movimieiito la llamamos j, la fuerza de iner cia será — '¡dm = — jpdxdydz, siendo p la densidad. Eas proyecciones de esta fuerza sobre los ejes valdrán — jxpdxdydz

— jypdxdydz

— j^pdxdydz

y las ecuaciones [a] quedarán bajo la fonna dN-,

dTo + ~ +

dTo ' [«']

Siendo xyz las coordenadas del centro del elemento de volu men, si se llaman u, v, w las componentes del movimiento según los ejes, los valores de las aceleraciones son

d^u dt^ d^v

ly — h —

dt^ d^w dt^

has ecuaciones [a] expresan las condiciones necesarias para el equilibrio en los puntos del interior de un cuerpo; pero es necesario deducir otras para los puntos de la superficie que le limita. Además, como por un punto cualquiera del cuerpo pueden pa

M ECÁNICA e l á s t i c a

sar infinitos planos, a cada uno corresponderá una tensión o reac ción molecular, y debe verse si entre ellas existe una relación que pueda expresarse analíticamente. A este doble objeto, en lugar de considerar, como hicimos antes, el equilibrio de un paralelepípedo que envuelve al punto, vamos a considerar ahora un tetraedro, tam bién infinitamente pequeño (fig. 3 .^); es decir, como si a la fi-

Fig. S.*

gura 2.8’ la cortáramos por un plano cualquiera que pasara por el punto. has componentes de la causa exterior son X , Y, Z, por unidad; de modo que para la superficie A B C valdrán X S, YS, ZS, sien do S el área A 5 C. Proyectando, como antes, sobre el eje de las x, y llamando S;^, «2, Sj las áreas triangulares de OAC, O A B j OBC, tenemos XS — o sea

®s

TEORIAS f u n d a m e n t a l e s

y como T ’

-^2 T ’

^3 T ’

son los cosenos de los ángulos que el plano A B C forma con los coordenados, o lo que es igual, su normal con los ejes, llamando a esos cosenos a p y, se tiene X = iVj^a -1- TgP + TaY Y = Yga + iVgP -\-T-¡y Y de igual manera ..

Z = T

[b]

)

Indican esas ecuaciones que las componentes X , Y, Z de la tensión total en un punto de un cuerpo dependen de las re acciones N-JSÍ^Ng, en el paralelepípedo paralelo a los planos coordenados y de los cosenos directores a, p, y, de la normal al plano que se con sidera como secante. Si sobre la normal A B a\ plano en cuestión se proyecta F ig . 4.® la tensión total A P , resulta rá (fig. 4 .®') Ab = Xo^+ y?' + Zy y en virtud de los valores del sistema [&], llamando N este valor, se tiene JV =

+ Ygp2 -P Ygy^ + 2riPy + 2T^ocy + 2rgap [1]

Llevando sobre aquella normal la magnitud

4B=

M ECANICA ELASTICA

las proyecciones de ese punto B serán evidentemente ‘ X = A B •a= — Y ±]s¡

y — AB-<^-~

^___

Z-AB- Y

o sea a = x Y — ^ ’> P = yV^±iV;

Y = 2]/±iV

cuyos valores sustituidos en la ecuación anterior dan =b 1 = NjX^ -(- B¡2y^ d" -^3^^ “1“

>A~ '2‘T^xz -p 2T^xy

ecuación de una cuádrica, en la que, por transformación de coor denadas, se pueden hacer desaparecer los términos rectangulares, reduciéndose a la forma i

1 = N^x^ d-

cuya naturaleza depende del signo de los coeficientes (elipsoide, tanto para las tracciones como para las compresiones e hiperbo loides, conjugados en el caso de existir tracciones y compresiones). Bsto demuestra que en el interior del sólido elástico existen tres planos rectangulares para los que las tensiones se reducen a-fuerzas normales (tracciones o compresiones), pero sin existir esfuerzos tangenciales. •Para los puntos de la superficie, en las ecuaciones [b] debemos poner X q, Y q. en lugar de X , Y , Z, siendo Z q, Y q, Z q las pro yecciones de la fuerza exterior sobre los ejes, actuando sobre la superficie.

3. E l estudio de la Elasticidad comprende tres partes: una, tas relaciones que existen entre las tensiones y las causas sohcitantes; la segunda se refiere a las deformaciones, y, por últhno, la ter cera estudia las relaciones que ligan las tensiones con las deforma ciones. Ea primera parte es la que sucintamente hemos expuesto en ios párrafos anteriores.

TEORIAS FUNDAMENTALES

Para el estudio de las deformaciones consideremos (fig. 5 .a) un punto A del cuerpo y otro B, infinitamente próximo al anterior. A causa de las acciones so bre el cuerpo, el punto A se desplaza, llegando a la posi ción A ', y del mismo modo, el B pasa a ocupar el B '. A las componentes, sobre los ejes del desplazamiento A A ' la s llarnaremos ^í, v, w (no taciones éstas, como las de más, que son generalmente adoptadas). Es evidente que las com ponentes «, V, w ^erán fun ciones de las coordenadas del punto (y, además, del sistema de .fuerzas), de modo que podemos suponer u = f¿x, y, z) V = f^ix, y, z) = faix, y, z) Como el prmto B es infinitamente próximo al A, sus coorde nadas serán a; - f /í, y -f z -j- en las que h, k, l son los elemen tos diferenciales. Para ese punto, las componentes de su deforma ción se expresarán por u v' z'

y + ■2 + i)+ fí. y + ^ + l) fsi^ "b y ~\- k, z ^

Desarrollando éstas por la fórmula de Taylor y despreciando los términos superiores al primer grado, tenemos u

du d'idi -\----;-- h -\dy dx

v ' = V -\w' — W-\-

-| —

- —

dv , dv , h -)- —-— k -|- —:— l dy dx dz dw , dw dw , h -| ;— k -|--- :— / dx dy dz

MECANICA ELASTICA

De modo que los desplazamientos o deformaciones u ', v', w'' dependen de los u, v, w j de nueve cantidades du

dx ’

dy ’

dz '

dx ’

dy ’

dz ’

dx ’

dy ’

dz ’

pero en lugar de considerar estas cantidades en las ecuaciones,, con objeto de abreviar y simplificar los cálculos, se consideran unas combinaciones de ellas, dándole nombres sencillos, en la for ma siguiente: •—- -

26i -

dw dv . , -h ■ dy dz dio

dw dti — • dz

du dw 2b, — -------1" dz dx

2b, •

dv dx

du dy '

Entonces, sacando de estas igualdades los valores de las nue ve derivadas y sustituyendo en el sistema [c] resulta u — u —j— u-^1 — b^k —{— b^ —j— ^2^ —

V = V -j- b^p -j— w' = w

b¿i

—)— b-^ -j-

— P']!^

b-¡k -|- aj, -)- p-¡k— f j i

En virtud de estas ecuaciones, las deformaciones de un punto infinitamente próximo al A, que se considera, se compone de tres elementos: una traslación u, v, w\ una defonnación a-¡h b ji -f bj, y sus bomólogas; y un desplazamiento f j , — p ji, p^h — p-J,, p-Ji —- p^, que representa una rotación de componentes pipipzEsta última es una rotación de todo el sistema y, por tanto, no afecta a la deformación; es decir, representa un desplazamiento geométrico, en tanto que el otro es elástico. Más claro: la rotación pyp^pz hace que varíe el sistema de pun tos, de posición, pero no aumenta su deformación, ni tampoco la traslación u, v, w. E l elemento que produce incremento de defor mación es el a-^h -f b ji + b¿ y sus otras dos componentes. De modo que la deformación total u'v'w', de un punto, de

TEORIAS f u n d a m e n t a l e s

pende de seis cantidades a-¡a^a^b^b^bs, en Ingar de depender de nueve, como parece por las ecuaciones [c]. Vamos a obtener de otro modo las relaciones que Hgan las de formaciones para ver con más claridad aún la interpretación me cánica de los parámetros. Podemos suponer que el punto A llegó al y el S al S ' en virtud del movimiento más general de un cuerpo; traslación, ro tación alrededor de un eje fijo en el espacio y deformación por di latación de aristas y deslizamiento de caras en el paralelepípedo elemental. Por la traslación, todos los puntos tienen recorridos iguales y si u, V, w son los de A , éstos mismos serán los de B. Por la rotación alrededor de un eje fijo, que podemos suponer pasa por A , si las componentes de la rotación son -p^, p¡,, las de la rotación de B las deduciremos por el producto escalar ^0 Vo

Pí

Ps = HÍP^I — PJA -f- yoiPzh- — PJ) -f- Z^{p-Ji — pji)

Por lo que afecta a las deformaciones, distinguiremos los dos elementos: dilatación de aristas y deslizamiento de caras. Pas pri meras, siendo a-¡^, a^, las dilataciones unitarias, las componen tes de dilatación serán a-¡h

flg í

que se deben a la acción de las fuerzas normales a las caras del pa ralelepípedo elemental. Pas segundas (deslizamiento de caras) son debidas a las compo nentes tangenciales que están en el plano y cada cara deslizará sobre sí misma; pero este deslizamiento se puede suponer, con un error de segundo grado, que es un giro alrededor de un eje parale lo a la cara y perpendicular a la dirección del deslizamiento. Plamando by, b^, b^ los giros alrededor de ejes paralelos a x, y, z, la componente del deslizamiento de B, según el eje x, debido a esa causa, será ¿¿2 + ^^3

M ECÁNICA EEÁSTICA

y, según los otros ejes, y, z valdrá, respectivamente, hb^ + ¡'bx kbx

b'b^

Sumando las componentes de desplazamiento de B, por todas las causas, según cada eje, tendremos u' = 11

CLxji ~\~ bjt

b-J-

-p b ji -j- ‘p j' “I" b^

-|“ Pzh

w' = w -}“ ^3^ “j“ bxk -|- b^

Px^

P'i!'

P'¡J^

e identificando estas ecuaciones con las [c] resulta dv ^2 ~ dy

du — dx

dv ^3 + ^3 = dx

du Pz =

dw bz-

bz + p2 =

dx dw

dv bx- Px-

dw «3 = dz

bx + Px =

de cuyo sistema salen los valores de 2hx

2&2

2&3

2fx

2/>2

2^8

que expusimos en la página 10. I,a significación de esos coeficientes axd^a^bxb^bs se puede hacer considerando los dos problemas simples: dilatación lineal y dilatación angular, o también directamente. Para el primero, consideremos un segmento rectilíneo, en el interior de un cuerpo, siendo l su longitud. Cuando, por las cau sas que sobre el cuerpo actúan, éste se deforma, dicha longitud habrá variado, pasando a ser V. V—l Se llama dilatación lineal a la relación---^— , es decir, al alar gamiento relativo.

TEORIAS f u n d a m e n t a l e s

Como las coordenadas del punto A son x, y, z, y las del B, infinitamente próximo, son x + + ^ (fig- S.®*), las com ponentes del segmento A B , serán h, k, l, luego su longitud vendrá dada por A B = V h ^ + k^^f^,

AB^ = h^ + k^ + l^

Iva diferencial de esta expresión es Z S (ífZ B ) = hdh + kdk -1- Idl dh, dk; di son las variaciones o incrementos de longitud de las pro yecciones h, k, l, y, por tanto (en elementos infinitésimos), se podrán reemplazar por u' — u, v' '— v, w' — w. Estos valores, que están dados por las igualdades [¿], sustituidos en la ABd{AB) = hdh -f- kdk 4 - Idl la convierten en + ^3^^ + 26^^/ -|- 2 bjil -f-

ABd(A B ) = a-Ji^

2b^hk

y por ser h AB’

l AB’

los cosenos de los ángulos que A B forma con los ejes, tendremos d{A B) = AB

-j- 2&gaY -f- 2¿gap

en la que d{AB) AB es en el límite la dilatación lineal. Si el segmento 4 B es paralelo al eje ox, será ■ a = 1,

p = 0,

Y = 0,

[2]

M ECANICA EEASTICA

luego d{AB)

y lo mismo, respectivamente, si fuera paralelo al eje oy o al 02. Los coeficientes «1, a^, son, pues, las dilataciones lineales paralelas a los ejes. Directamente se ve, porque dijimos que du

Cl-t —

es decir, la variación de la deformación en relación con la lon gitud. Observando la fórmula [2 ], que da la dilatación lineal, vemos que su forma es análoga a la que daba la tensión normal sobre rm plano perpendicular a la dirección a, p, y. Si sobre la recta A B , a partir de im. punto M, se lleva un vector M N cuyo cuadrado sea el valor absoluto de — ■ ®)_\ coordenadas del extremo del vector venAB drán dadas por las relaciones l^siendo a

X a

]/± ,

Eliminando a, p, y entre estas relaciones y la ecuación [2] se ob tiene la ecuación del lugar del punto N, que será i-^x'^ -f

-f

-b ‘¿hyyz -f ^b^xz -f 2h^xy

± 1

Esta ecuación representa una cuádrica, que será un elipsoide si todo son dilataciones o contracciones; dos hiperboloides conjuga das si hay dilataciones en ciertas direcciones y contracciones en otras. Por cambio de ejes pueden hacerse desaparecer los términos rectangulares, quedando así «1% ^ - b a ^ y ^ - f

b\ —

¿2 —

^3 —

TEORÍAS f u n d a m e n t a l e s

lo cual indica que en todo punto de un sólido que sufre una defor mación existen tres direcciones rectangulares, para las que los ángulos tomados dos a dos permanecen rectos después de la deformación. Esas direcciones se llaman principales. Dilatación angular es la va riación que e x pe rim en ta el ángulo formado por dos seg mentos rectilíneos que parten de un pnnto, cuando el cuer po se deforma (fig. 6.*^). Eos puntos son infinitamente próximos al A. Siendo “iPiYi los cosenos directores de /IBi y «2P2T2 los AB^,, el ángnlo de las dos rectas será eos V = aj^«2 + P1P2 + T1T2 k-^, l-^^son las proyecciones de AB^, j'h^, k^, l-^ las de AB^', de modo que llamando la longitud A B ^ jr ^ la AB^, se tiene f

oos V = h-Ji^ + ^1^2 + h h '

Análogamente a lo -que se hizo en la dilatación lineal, diferenciando esta expresión y poniendo en lugar de rf/íi, dk-¡^, dlj^, dh^, dk^, dl^, los valores dados por las ecuaciones [á] para u' — u, v' — v, w' — w, resulta dV = — „/ „2 -j-

S c ll .

T V/ LI

+ aji-íki +

-|- ¿2^íj) -(-

+ ^i(^i^2 + ¿1^2) + eos Eíí(f]^r2)|

Como caso particular se puede considerar aquél en que los dos segmentos AB^, AB^ formen ángulo recto. En ese caso 7T

M ECÁNICA ÉLÁSTICA

y la deformación sacada de la ecuación anterior, teniendo presen te que K i'i ’

^2 ^2’

’

k. ^'2

son los cosenos directores, será C)

-|- «2Pi P2 + <*3Ti T2 + ^i (!^i T2 + T1P2) + + ^2(Ti “2 + “ i Y2) + &3(“lP2 + Pl“2)

Para mayor simplificación, cuando los dos segmentos, además de formar ángulo recto coincide éste con dos ejes coordenados (por ejemplo, el yz) entonces aj^ = Yi = 0, pj = 1, ag = Pg = 0. Y2 = 1> y la dilatación angular valdrá ¡ — dV = U^ Pos coeficientes b^,. son, pues, la mitad de las dilataciones angulares de los ángulos del cuerpo paralelos a los coordenados. Otro concepto, análogo a los anteriores, es la dilatación cúbica, que es la variación relativa sufrida por un paralelepípedo des pués de la deformación. Tomando un paralelepípedo P, paralelo a los planos coorde nados, cada una de sus aristas se ha aumentado respectivamente en «1, a^, «3. El volumen del paralelepípedo deformado resultará

SP — P(1 -|- ni)(l -|- a,^{\ -|- «3) de donde

-j- «2

“*3

despreciando los términos «j, y sus homólogos, que son de se gundo grado, y con mayor razón el a-¡a.^a^. Y siendo, según se indicó antes. «1 =

du dx

—

dv dy

—

dw dz

t k o r ia s

fundam entales

tenemos para valor de la dilatación cúbica 0 = du ---- p dv _^ p dw dx dy dz

4. Decíamos que el estudio de la Elasticidad se podía dividir en tres partes: en la primera se relacionaban las tensiones entre sí y con las causas exteriores; la segunda estudiaba las relaciones entre las deformaciones, y en la tercera se ligaban las tensiones con las deformaciones. De esta última parte nos vamos a ocupar ahora. Queda demostrado, en los párrafos anteriores, que la tensión en un punto cualquiera de un sólido depende sólo de seis canti dades, N^, N^, T^, Tg, y, del mismo modo, la deformación en ese punto depende de las seis componentes a^, a^, «3, ¿2. K Das relaciones que liguen la tensión con la deformación serán, por tanto, unas ciertas funciones que enlacen las N j T con las a y b. Es decir, que las componentes de la tensión estarán ligadas con las de la deformación por funciones, desconocidas, que repre sentaremos del modo siguiente

Nz = — ‘P3('*l'*2‘*3^1^2^3)

^Z ~ 4'2(<*i ‘^2'*3^1^2^3) ~ ^3('*1<*2®3^!^2^3)

Ante la imposibilidad racional de determinación de estas fun ciones, se admite como aproximación el resultado de su desarro llo por la serie de Mac-Eaurin, prescindiendo de los términos de segundo orden y superiores. Por ejemplo, una de ellas = 9i(0, 0, 0, 0, 0, 0) + <¿9i

dCt-y

í¿9j^ da.^

¿ 9i ■ + dbi h + db. ^ db,

¿ 9j^ ÍI3 - f da. ®

Representando cada uno de los coeficientes por una letra, se pondrá Aí^, bajo la forma ^

+ ^2^2 + ^3% + ^ibi + E262 + E3&3

MECANICA ELASTICA

lyos coeficientes ... . . . son, en general, funciones de las coordenadas del punto y esto complica extraordinariamente el problema. Para hacerle abordable, analíticamente, es preciso hacer alguna hipótesis respecto a la constitución de la materia, supo niendo que el cuerpo es homogéneo, en cuyo caso los coeficientes son constantes para todos los puntos y, si isótropo, son constan tes, además, para cualquier sistema de ejes coordenados que se adopte. Respecto al coeficiente C = 9^(0, 0, 0, 0, 0, 0) que repre senta la tensión cuando son nulas las deformaciones «3 b■^^b^b^, parece a primera vista que debe ser nulo, pues ya dijimos que en la teoría de Elasticidad partíamos del principio experimental de que las tensiones dependen de las deformaciones y parece natural que para deformación nula lo sea también la tensión. Pero no es tan natural al considerar que las deformaciones a-^... ¿^. .. son las que nacen al actuar sobre el cuerpo las causas que consideramos como datos del problema y antes de su actuación puede tener el cuerpo un sistema de tensiones (com patible con sus deformaciones) que se desconoce, a menos de saber la historia del material y su ley de , formación. Varios ejemplos pueden ponerse para aclarar este concepto, y uno de los más sugestivos es el formula do por el eminente profesor de la Universidad de Roma, Sr. Volterra, que consiste en lo siguiente: Supongamos el anillo, representado en la figura 7A, constituido por cualquier materia elástica. Si por un instrumento cortante le damos dos cortes A B j A 'B ', quitando el trozo de materia comprendido entre ellos, y después forzamos lo que sea preciso el anillo para que las secciones A B Y A 'B ' coincidan y se sueldan, al terminar esta operación quedará el anillo con forma muy aproximada a la anterior. Si sobre el anillo se estudiara la elasticidad por una persona que no hubiera presenciado el corte, al seguir el criterio que antes expusimos, de suponer C = 0, cometería un grave error, pues la materia, por efecto del corte, puede tener tensiones muy grandes antes de entrar

TEORIAS f u n d a m e n t a l e s

en juego las deformaciones a y 6 del sistema de fuerzas que pos teriormente actuaran. Otro ejemplo puede también presentarse. Consideremos un te rreno formado por una masa de arcilla. Según se haya formado el terreno, por hiladas horizontales perfectamente apisonadas, o que la masa se haya echado de un modo arbitrario, las tensiones origi nadas varían muchísimo, antes de tener en cuenta las que se pro ducen por un sistema de acciones exteriores. Y a se ve que no es tan lógico admitir como estado previo de la materia el estado neutro, que significa la igualdad C = 0. Ahora bien, en el estudio elástico de un problema concreto po dremos siempre suponer que la constante independiente es cero, porque adoptamos como estado inicial de la materia el anterior al del sistema de causas que para el problema suponemos. Y claro es, que con las tensiones que resulten, se obtendrá úni camente la diferencia de tensiones totales entre las producidas por esas causas y las que había antes de su actuación. Aceptamos, pues, el valor C = 0; pero a sabiendas de que para el conocimiento de las tensiones totales es preciso, además, saber la historia del material, y que el estado de que partimos no es el es tado neutro, en general, si no el que Poincaré llama estado inicial. Vamos a ver cómo pueden reducirse los seis coeficientes A2, Ag, B t, 5 a, Bg, a sólo dos. Y a hemos demostrado que la distribución de tensiones alrede dor de un punto cualquiera, de un medio elástico, está representada por una cuádrica que tiene por centro el punto, y cuya ecuación general es (A) <p(x, y, z) =Nj^x^ + Ngy^ + ^gZ^A- 2T ^ y z 2TgXz + ^Tgxy = 1 También demostramos que las deformaciones concordantes con esas tensiones estaban representadas por otra cuádrica, cuya ecuación es (B) <l>{x,y,z) = a-^x^ -f-

-f- UgZ^ -f

2 h^yz -|- 2 hgXz

2 bgxy=

Si el medio elástico es isótropo, la constitución del sistema es igual alrededor de cualquier eje y, por tanto, no cambia al pasar de unos ejes coordenados a otros.

M ECÁNICA EEÁSTICA

Tomando nuevos ejes tendrán la misma forma algébrica esas cuádricas, y vamos a ver qué enlace existe entre ambas superficies. Como las tensiones y desgarramientos N, T, son funciones de las deformaciones a, b, la cuádrica {B) estará determinada en cuan to lo esté la cuádrica {A), y podemos demostrar quedas dos tienen los mismos planos principales y las mismas secciones cíclicas. Si OX, OY, OZ son las direcciones principales de la cuádrica (B), siendo entonces ésta superficie simétrica respecto a los planos coor denados, las deformaciones alrededor del origen son simétricas respecto a esos planos, y como las tensiones son función de las de formaciones, también resultarán simétricas respecto a los mismos, por lo que la cuádrica de las tensiones tendrá aquellos planos tam bién como principales. Adoptando estos ejes, las cuádricas tendrán la forma {A')

Nj_x^ +

{B’)

«1^2

_|_

+ Nsz^ = 1

^^2

_)_ ^^^2

I^os coeficientes N-¡^, N¿, están enlazados con los a^., a^, «3 ... por las fórmulas que antes indicamos; es decir, ^2^2 d“ Agíig -[- Bj^b^ T B¿b2 -t- Bgbg y sus homólogos; pero como en estos ejes coordenados las b sé han anulado, quedará N i — A iU i

-j-

A ^a^

-j-

^3^3

Al permutar los ejes OY y OZ el coeficiente N i no cambia; pero los «2 ‘^3 se permutan y deberá ocurrir que A^ — A 3 , luego N i = Aiai -f A 2(^2 -j- «3) o lo que es igual

Ni = (Al-

A 2)^1

-f-

A2(ai

-j- «2 + *2^3)

y por ser du dx

CLn —

dv dy

dw dz

TEORIAS FUNDAMENTALES

será + ^2 +

—'

du dx

dv ____L dw dy dz

lílamando 2¡j. al coeficiente A-^ — ■ A2 y Xal^^, tendremos — X0 -)e igualmente

ÍV2

iVg = x0 -|- 2|ia3 ] Teniendo en cuenta estos valores y si multiplicamos la ecua ción de la cuádrica {B') por 2¡x, y restamos de la otra, tendremos X0(a;2 + y2 -f ¿2) _

1 -i- 2(1 =

lo cual nos dice que la intersección de las dos cuádricas es una es fera, o que se cortan según círculos pertenecientes a una misma esfera de centro 0, teniendo, por tanto, los mismos planos cíclicos. Pasando las ecuaciones a los antiguos ejes coordenados, ten dremos <?{x, y, z) = 2iL<l>(x, y, z) + y poniendo en vez de (p{xyz), i/{xyz) sus valores, que son los prime ros miembros de las ecuaciones de las cuádricas generales, te nemos N^x^

2[íaiX^

+ N^z^ -1-

2T ^ z

2T^xz + 2T^xy =

4- 2¡iíi2y^ + + ^h-y\j.yz -b + X0(a;2 + y 3 4- 2:2)

ib^v-xz

-j-

^h^\i-xy

-f

e identificando los dos miembros, resulta: = x0 4" 2\t.ciy iVg

X0 4“ 2(X¿?2

JV3 =

X0 4~

2y*d^

T-y =

2ixby

Tg = 2|X¿)2 i 7^3 = 2y.bg \

[^]

Estas son las relaciones que deben existir entre las tensiones y

M ECANICA ELASTICA,

las deformaciones, en las que ya sabemos que las a son las dilata ciones lineales y b las dilataciones angulares, cuyos valores eran du dx b.

^2 —•

íío --

1 / dw 22 dy

~dT '’

6 ,=

dv dz

du dy

Y como la dilatación cúbica es du dx +'

dv dy

dw ^ dz

las ecuaciones [e] se podrán poner bajo la forma = X0

iVa := X0-b 2ix ÍV3 - X0

2(1 ■

du dx dv dy dw dz

7’i = [I T ^ = ií T’3 = [X

dw dy du dz dv dx

dz + +

dw dx

[/]

du dy

Sumando las tres primeras, se tiene -|- iVg + ÍV3 = (3 x -f- 2(x)0 Se han reducido a dos las constantes (x y tx) llamadas coeficien tes de lyamé y algunas veces se ha propuesto su igualdad X = ¡x.

5. I,as ecuaciones [/] soix las relaciones entre las componentes Ni, N2, ÍV3, Ti, T¡¡, Ya de la tensión, y las de la deformación u, v, w. Las ecuaciones [a] ya dijimos que expresaban el equilibrio de las tensiones y causas exteriores X , Y, Z en un punto del interior del cuerpo.' Y las ecuaciones [6], cuando en el primer miembro se pone, en vez de X , Y , Z, las componentes X q, Y q>^0 za exterior en un punto de la superficie, representan el equilibrio entre esas componentes y las tensiones, en la superficie. De modo que esos tres sistemas de ecuaciones son las condi-

TEORIAS f u n d a m e n t a l e s

C lo n e s a c^ue d e b e n s a tis fa c e r la s te n s io n e s y d e fo rm a c io n e s d es a rro lla d a s e n u n c u e rp o . Para tener las ecuaciones definitivas, derivemos las ecuacio nes [/], sustituyendo en el sistema [«]; la primera da [

du 1

r dv

du "I du

tvyv I

I iA/Ai dx

dy I dy d^

dw 1 [ du ------- 1------+

dz dz dx \

-f p Z = 0

Desarrollando, se tiene / Óí'14/

dQ dx +

ix \ dx

dw ' dz ¡1

1 d^u d^u d hi\ + P^ ==0 \ dx^ ^ dy^ ^ dz^]

y por ser 6=

du dx

dv dw ^ dy + dz

lla m a n d o A e l re su lta d o de d e riv a r dos veces u n a v a ria b le respec to a la s X, y, z, es d e c ir, sim b ó lic a m e n te d^ AlL A l dx‘ + dy‘ + dz^ la anterior ecuación será: ¿6 f X-|- pi.) —-— —j- \L^u dx 0 de

(X -|- (i)

—o

— [- [lA u -|- p Y =

do (X -|- (j.) —- j- y.Aw -|- pZ = az

[g"]

M ECANICA ELASTICA

Diferenciadas estas ecuaciones y sumadas dan (

/72a

/72a dy^

/72a \ ~ d ^ "" (X+ 2[x)A0 = 0 ó sea A6 = 0

dX , dY dZ dx -\— dy -|----^ dz dx dy dz será igual a cero en el caso en que se puedan suponer X , Y, Z des preciables con respecto a las que actúan en la superficie, o cuando sean sensiblemente constantes, que es el caso más frecuente. Sustituyendo también las ecuaciones [/] en las [6], resulta I

I dv du\ I du dw \ + ^2[J. du\ I a 4¡ J , p I—----1 -—1 -f(xy (— ^ + ~—I dy I dx I \ dx dy \ dz dx J

—

dv ^0 = !^( I'

dv X6 4- 2[x dy ) “ + ( --------- iy

dx du

' 0=

-----

■+

dw \

,/ dw ,

dv \

/ dw

dv dz

)

[h1

dw\ dw

Das ecuaciones [g] y [h] resuelven por completo el problema. Es decir, que si se encontrara, para cada caso particular (conoci das como datos las proyecciones X , Y , Z, de las fuerzas que en interior del sólido actúan sobre él y las X q, Y q, Z q), una solución que satisficiera a las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden representadas por el sistema [g], esa solución contendrá seis funciones arbitrarias que deben satisfacerse por el sistema \}i] para el equilibrio en la superficie. El problema es muy difícil en general y, aun suponiendo que se prescinda de las componentes X , Y, Z, de las fuerzas interiores, por ser pequeñas en relación con las exteriores Xg, Yo> -^o> restringidas son las aplicaciones que las ecuaciones generales tienen. Para la mecánica del ingeniero, muy pocas veces tienen que plantearse problemas de elasticidad en tres dimensiones, pero sí es mucho más frecuente, y susceptible de muy interesantes estu dios, la elasticidad plana, caso particular de la anterior.

TEORIAS Fundamentales

6. Si las deformaciones u, v, w, dependieran de una función 9, de tal modo que u= c

d9 dy •

¿9 dx ’

w= c

íf 9 dz

fuera una solución que satisficiera a las anteriores ecuaciones de elasticidad, se ve que 0: será igual a CA9, siendo das segundas. Pero de

díi dx

dv dy

dw dz

A, como hemos dicho, el signo de deriva u■

sale ¡xu = c

¿9 dx

¿(A 9) dx

y, en consecuencia, la primera ecuación del sistema [g] dará c(x-h 2[i)

= 0

o sea dx y, análogamente, tendríamos. d(A(f) '- = 0, dy

íf (A 9) dz

=0.

de m od o que u n a s o lu c ió n de esa fo rm a exig e que A 9 sea co nstan te y , p o r c o n sig u ie n te , 6 = c o n sta n te . 7. En las fórmulas de Elasticidad deducidas anteriormente hemos visto que las tensiones se hallan relacionadas con las de formaciones por unas ecuaciones en las que sólo entran dos coefi cientes constantes X y ¡x. Para ver las relaciones de valores entre éstos y el coeficiente de elasticidad que ordinariamente se adopta eü los sólidos y, ade más, poder indicar la manera de proceder en un caso concreto.

M ECÁNICA EEÁSTICA

vamos a resolver un problema, el más sencillo: cuerpo cilindrico solicitado a tracción o compresión longitndinal por una fuerza uni taria F, y su reacción en la dirección de su eje y actuando en las bases. Decíamos que las ecuaciones [g] y [A] resolvían el problema general. Como en el interior del cilindro no bay fuerzas, las ecua ciones [g] son , dQ —~— dx (X -j- ¡x)

(jtAw = 0

txAi; = 0

dQ (X -|- [x) —----- [- [íAw — 0 az Poniendo u = ax, v = by, w = cz, este sistema se satisface porque A es el signo que indica derivadas segundas, y como du dx

dv dy

dw dz

su derivada también es derivada segunda en m, y y w] y, por con siguiente, con el sistema de valores supuestos las ecuaciones se hacen idénticamente nulas. Para resolver el problema se necesita, no sólo encontrar un sistema de valores que satisfagan a las ecuaciones [g], sino tam bién a las de superficie [A]. Da superficie del cilindro se divide en ^ dos partes: las bases y la snperficie lateral. Dos valores de las tensiones en función de las deformaciones son [/] du X6 -)- 2|x----dx X0 ÍVb = X6 + 2|x

i1 dw [x| + i dy

dz 1

1' du dw ’ ■+ 1 dz dx 1

dy dw dz

dv '

i' dv

^3 =

, dx

du ' dy ,

TEORIAS f u n d a m e n t a l e s

Como la solución adoptada es du dx

= ax, v = by, w = cz, se tiene

dv dy

dw = c 'dz

y, por tanto, poniendo estos valores en las anteriores ecuaciones. xc

T^ =

N ,- = (x 4" 2¡j.)í' + Xa “{“ Xc x& N s - = (x -p 2(i)c + Xa

T^ =

+ xb

N ,-

To =

las bases se tiene o 0, p = '0, Y == 1, de ís de superficie [h] serán Xo = 0 = iVi • 0 + Ts ■ 0 + 1 • 0 ■ 0 + 1

Yo = 0 =

• 0 + Es - 0

Zo = F = No ■ 1 + To • 0 + T ■ 0 es decir, que sólo queda F = N ¿ luego F =

"Fb

[3 ]

En la superficie lateral no actúa ninguna fuerza, luego las ecua ciones [/z] son 0=

-j- 2[x)íZ -|- Fb -|- Xcjoc

0 = [(x +

0 = [(x-|-

+ xc]p

(X + 2(i)a -1- x6 + xc = 0 [4] ^o.sea

(X“|- 2[i^Z} -|- XíZ -f" Xc = 0 [5J

-)- Fb -f- 'kcl'\ • 0

Tenemos el sistema de las tres ecuaciones [3 ], [4 ], [5 ], con las tres incógnitas a, b, c, que resuelto, da a=b = — ■

2 2[i 2 + 3 Xii.

X+ [j. •F 2[i^ -j- 3 X[x

Ea solución del problema es, pues, u= —

Ex 4(i^+6x¡ji

v= —

Ex y; 4[i^ 6x¡x

^ d~ • Fz 2(i.^-]-3 x¡i.

M ECANICA ELASTICA

Para la unidad de altura, la deformación en el sentido de las generatrices es

— = w —— „ ---- F z -i- 3 X[i

El coeficiente

X-f- n es el factor de proporcionalidad entre la fuerza F , por unidad, y la deformación w' por unidad de altura. A este coeficiente 2|x®-)- 3 X[ji,

se le llama coeficiente de elasticidad longitudinal y es el que se considera en la resistencia de materiales, resultando en virtud de la fórmula que acabamos de deducir F = Ew', que generalmenP l te se presenta bajo la forma siguiente = E -j- (ley de Hooke), porque w' es deformación unitaria —^ para un prisma de altura L P y ^

es fuerza mntaria para la sección recta 5 ; cuya expresión

indica la proporcionalidad entre las acciones y deformaciones. Transversalmente, la deformación es

—X 4¡x^ -)- 6X(j. y la relación de ésta a la deformación longitudinal será a c

+ (l)

Este valor es el que se llama coeficiente de Poisson. Si se admitiera que

X = n, el coeficiente r¡valdría r¡ =

= 0 ,25.

Es decir, que la relación entre la deformación transversal y la

TEORÍAS f u n d a m e n t a l e s ,

longitudinal sería 0,25. Los resultados encontrados en metales homogéneos acusan un valor algo mayor (0,28 a 0,30), por lo que no se acepta la hipótesis ¡r = X más que aproximadamente.

8. Elasticidad plana.— Cuando un cuerpo tenga una de sus tres dimensiones constante y las fuerzas que sobre él actúan estén contenidas en planos perpendiculares a esa dimensión, el proble ma se llama de elasticidad plana y se simpHfica, reduciéndose a dos las variables. Los sólidos así considerados son cuerpos prismáticos o cilindricos, rectos, con fuerzas en los planos de su sección recta. Tomando como eje de las z la dimensión constante, de las tres deformaciones u, v, w, la última será cero {w = 0), y de las tres componentes tangenciales T^, Tg sólo ha lugar a considerar una, Tg, porque en las ecuaciones [/] se ve inmediatamente que = = Tg = 0 y además iVg = X 0 ; de modo que de las tres tensiones normales N-^, Aíg, N^, la última es consecuencia de las otras dos, pues en la expresión hallada iV’i-l-iV '2 - t- iV ’3 = (Sx-p 2[r)6 en virtud del valor de N« = X 9 , resulta Ar 1 ^3 -2 X l. y por ser siempre A6 = 0 será N¡. + ^9) = 0, de donde

-|- ¡X (iV ,+ iVg) + .W'2 +

= A 0 = A(iVi

A(Aíi + iVg) = 0 Las ecuaciones para este caso son, por tanto. dN^ dx

dT 4- p Z = 0 dy

dN^ dT + dy dx

[«']

con la condición A(iVi + ATg) = 0. Supongamos en un punto del sólido una sección plana en la que se ejerce una resultante P , cuyas proyecciones sobre los ejes son X , Y (fig. 8 .3'). Por las ecuaciones [6] tendremos j X = iVi eos a.-\-T sen a ( Y = T eos a

N.2sen «

[b']

3ü

M ECANICA EEASTICA

y, por consiguiente, si proyectamos P sobre la normal CN y so bre la sección ' N' = X

eos a -(- Y sen a = N^ cos^ a -j- N2 sen^ a - 1N^ + N2 ,

-b 2T sen a eos a = +

o -b\ T'Ts e n O — ~ ^^2 'eos 2a 2a [c']

T ' = Y eos oí— X sen a = (jVg— N-^ sen a eos a + -b T (cos^ a — sen^ a) = ^2--V— — ^ 1— sen''n2a -b , 'T = — Tcos O 2a

Yas direcciones principales son aquellas para las que N ' es má xima o mínima, siendo T ' = 0 . Igualando a cero el valor de T ' se obtiene tg a =

tg2a =

27 N ,- N 2

según se considere el primero o el segundo valor de 7 ; que se sa7V tisfacen para orientaciones que difieren en de modo que son perpendiculares.

TEORIAS FUNDAMENTAEES

Si en el valor de tg a ponemos, en general, tg a =

se obtiedx ne entonces la ecuación de las llamadas líneas isostáticas, en volventes de las direcciones principales. Sustituyendo ese valor de tg a en la expresión [c'j resulta para N '

El máximo de la carga tangencial resultará derivando la ex presión de T ' e igualando a cero. De ese modo

Este valor y el de la orientación de las cargas principales tg 2a:

2T N ,- N ,

son inversos y, por tanto, sus ángulos 2a y 2a' difieren en -¿p, o Jl sea que a j a .' forman ángulos de 45°. Sustituido el valor de 2 a' en [c'] resulta para máximo de carga tangencial r ' = - lj/ ( íV i- iV 2 ) 2 + 4r 2

9. Piezas prismáticas.— Eos cuerpos que se considerad en las estructuras constructivas son sencillos; constituyen lo que se lla

man piezas prismáticas, definidos de un modo general (fig. 9.^) por una figura plana cuyo centro de gravedad recorre una curva cualquiera, A B C , manteniéndose normal a ella, aunque pudiendo variar su forma y dimensiones.

M ECANICA ELASTICA

Supondremos siempre que la curva directriz A B C es plana, porque al ser alabeada los efectos de torsión a que da lugar no están aún bien estudiados. El plano de la curva directriz es el de simetría del cuerpo, y en ese plano medio se suponen situadas todas las resultantes de las acciones que sobre la pieza actúan; con tales condiciones la pieza prismática está en estado elástico doble (*) y sus tensiones o cargas moleculares, ,por unidad de superficie en el interior de ella, se pueden determinar muy fácilmente cuando son conocidas las acciones y reacciones sobre la pieza. Sea (fig. 10) una pieza prismática cualquiera; en un punto M de una sección A.B, quedará determinado el régimen elástico co

nociendo las componentes N^, T sobre el prisma infinitamente pequeño representado en la figura, cuya dimensión en sentido nor mal al dibujo es h. Ea resultante de todas las acciones y reaccio nes, en la parte de pieza prismática a la izquierda de la sección A B , suponemos que es R. Decimos que es conocido el régimen elástico en el punto cual quiera M, cuando se conocen en él las tres componentes N-^, Aig, T, porque con arreglo a las fórmulas que hemos establecido en el párrafo anterior (estado elástico plano) serán conocidos los va lores N ' del máximo y mínimo de las tensiones (tracciones o com(*) En realidad sólo será estado elástico doble cuando la figura plana sea un rectángulo, o sea, cuando la pieza prismática tenga ancho constante. Unicamente por aproximación a este caso se podrán aplicar.

TEORIAS f u n d a m e n t a l e s

presiones) y el de la carga tangencial, así como las orientaciones de ellos. Pues bien: las componentes N-^, N^, T se deducen rápidamente en función de las causas y reacciones exteriores R. En efecto, si se suprime la parte de pieza prismática situada a la derecha de la sección A B , la parte izquierda estará en equi librio entre la resultante R y las reacciones que en la sección A B se desarrollarían entre la parte derecha y la izquierda. Ea resultante, R, se puede trasladar al punto 0 (centro de la gravedad de la sección); pero habrá que tener en cuenta el par de traslado Ra, que es el momento flector en la sección A B . Ahora, la paralela a R trazada por 0 , la descomponemos en sns dos proyecciones X , Y . De modo que en una pieza prismática cualquiera, los efectos de una resultante a un lado de una sección se descomponen en tres elementos de cálculo: momento flector o par de traslado, componente situada en la sección (Y) y componente normal {X); y en función de ellos salen las cargas moleculares en cualquier punto de la sección, según se yerá a continuación. E l momento flector M, que actúa sobre la sección A B , tiende a hacerla girar alrededor de 0 y tiene que estar equñibrado por las reacciones que buscamos, producidas en esa sección. Pero de las reacciones N^, N^, T en cada punto, sólo las iVi pueden dar mo mento respecto a 0, pnes las otras dos están contenidas en la sec ción, de modo que se verificará M = [N^dw • y siendo ¿u el elemento de superficie. Como se ha admitido la proporcionalidad entre las tensiones y las deformaciones (por la ley de Hooke), llamando la tensión en la fibra superior, se tendrá N\ de modo que

y por ser Jy^da

M ECANICA ELASTICA

el momento de inercia I de la sección A B N' M = ^^I c que multiplicada por y, da N'-,

My =

ly = N^I

o sea N,:

[6]

Esta igualdad da a conocer la carga molecular iV^ en cualquier punto de una sección, producida por el momento; pero a ella hay que sumar la tracción o compresión uniforme que produce la com ponente X , de modo que llamando <o la sección, la carga total por unidad de área será Z

Ai,:

[7]

Ea componente Y (de la resultante R), situada en la sección, es el esfuerzo tangencial o esfuerzo cortante y su valor se puede dedu cir del momento flector, porque tomando un punto 0 ' infinitamen te próximo al 0 (sobre la directriz), en el triángulo rectángulo OO'S, O'S es el incremento del brazo de palanca a, del momento, luego da = eos a. dx

O'S O’ O

Derivando la expresión del momento Ra = M, dM „ da = K dx dx

R eos a

pero R eos a es Y, por lo que

dM dx

[ 8]

M O R IA S FUNDAMENTALES

B1 esfuerzo tangencial es la derivada del momento flector res pecto a la abscisa. Para conocer las cargas moleculares tangenciales que se pro ducen por esa causa, recordaremos que las ecuaciones del estado elástico plano, cuando no actúa sobre el punto ninguna causa ex terior directamente y se suponen despreciables las de la grave dad, son dN^ dT 0 dx ^ dy dT dx

dN^ dy

De la primera sale dT dy

dN^ dx

y como hemos deducido que, en general. Ar

derivando resulta X dN-¡_ dx

M ± y

dT dy

De esta ecuación diferencial se obtiene el valor de T ; pero cuan do las piezas tienen sección constante o poco variable se puede poner (i> dx ~ I

En las piezas rectas, o en las curvas cuyo radio de curvatura sea grande, como ocurre en general, puede hacerse dX dx

porque X = R sen «;

dX „ da. = R eos a dx dx

M ECANICA ELASTICA

y la variación de a con x es despreciable. Entonces dT dy

y dM I dx

y Y -

■ dy

e integrando ydy = -

[9]

ley parabólica cuyo valor máximo en el centro es, en el rectángulo de lados 2c j h

12Y c 2 16¿c3

3Y 4 &c'

Y . 2oc Este es el valor de la carga tangencial unitaria en el caso de pieza prismática de ancho constante (que es cuando pueden apli carse con rigor las ecuaciones del estado elástico plano). Si la sec ción no es rectangular o compuesta de partes rectangulares por tener forma cualquiera, sólo por aproximación se pueden- adoptar y entonces la última expresión, llamando z el ancho variable y b el ancho a la altura y del punto considerado, será que es vez y media el valor medio

Y - / zydy bl J y

/ zydy I J y

[10]

que en todos los casos aplicables da un máximo en la fibra direc triz. El valor medio que, como grosera aproximación, se ha con siderado frecuentemente es T:

2bc

Y área

Cú

No queda por hallar más que la última de las componentes de las reacciones, N^- De la segunda ecuación de Elasticidad sale dT dx

dN^ dy N.

dN^ dy

■ y^ dY 21 dx

TEORÍAS FUNDAMENTALES

Bste valor N¡¡ es muy pequeño en relación con N-^ y general mente se prescinde de él. Para una carga uniformemente repartida a razón de p kilo gramos por metro de abscisa dY dx

= P

í+c

Ba constante C se determina por la condición de carga, y si ésta actúa en el trasdós de la pieza debe ocnrrir que para y = c sea iVa = En este caso C== 2 i,

pc^ 3/

y 3 _ |_ 2 c »

N. = p l ^ -

[ 11]

Eos máximos y mínimos de esta función son para los valores y = ± c, que arrojan las siguientes expresiones y= c

a ^2 =

4 -;

y= —c

2c® \

" » = n T - - 3r ) = “

porque

26c®

10. Hemos determinado los tres valores N-^, N^, T en nna pieza cnalquiera, conociendo solamente la resultante, R, de las acciones y reacciones a un lado de una sección. Esa resultante se compone de las fuerzas exteriores que son siempre datos y de las reacciones con otras piezas, para que la pie za esté en equñibrio. El problema de calcular las tensiones moleculares en una pieza prismática cnalquiera se reduce a calcular las reacciones exteriores,

M E C A N IC A E L A S T IC A

pues una vez conocidas lo será también la resultante R de ellas y de los datos. Entre las estructuras formadas por varias piezas prismáticas debemos distinguir dos grupos: aquellas que pueden calcularse sus reacciones en cada pieza por la aplicación de las ecuaciones de la Estática, y las que resultau indeterminadas por la aplicación de esas ecuaciones. Es decir: las que estáticamente son determina das y las que no lo son. Eas primeras se llaman estructuras isostáticas y las segundas hifer estáticas. Para poder determinar esas reacciones en este último caso es necesario estudiar elásticamente las deformaciones, y a ese fin va mos a demostrar algunos teoremas que, de un modo general, se aplican para hacer isostática una estructura hiperestática. Previamente indicaremos las expresiones que miden el trabajo molecular desarrollado en el sólido, debido a las reacciones molecu lares en él nacidas y a sus deformaciones.

11. Trabajo molecular.— Por la acción de las causas que ac túan sobre un cuerpo elástico, hemos visto que se desarrollan en su interior unas tensiones o cargas moleculares, de las cuales, aproxi madamente, son función lineal las deformaciones. De un modo ge neral podíamos hallar, como hace Parné, la expresión del trabajo partiendo de las ecuaciones generales de las componentes de las tensiones [a] y multiphcarlas por sus respectivos recorridos o deformaciones u, v, w, pero como las aplicaciones que hemos de hacer en adelante se referirán a las piezas prismáticas, en las cuales los elementos de cálculo para determinar las reacciones molecula res y sus deformaciones son el momento flector M, el esfuerzo tan gencial y y el normal X , vamos a calcular el trabajo elástico des arrollado en el sólido, en función de esos elementos. En los párrafos anteriores se ha deducido que, en una pieza prismática, recta o curva, solicitada de cualquier modo por una resultante R, en una sección, los efectos totales se pueden descom poner en una tracción o compresión normal, X] una deformación angular debida a M j una tangencial producida por Y. Calcularemos el trabajo desarrollado por cada uno de estos efectos simples, y admitiendo el principio de superposición de efec^ tos, sumaremos sus resultados.

'gEO R ÍAS F U N D A M E N TA LES

Al estudiar, en el ejemplo de elasticidad triple, las tensiones y deformaciones producidas en un prisma o ciUndro solicitado por una fuerza en cada base, a lo latgo de su eje (pág. 28), hemos visto que el prisma tenía una deformación en el sentido del eje, cuyo valor era w=

y que llamando

el coeficiente constante, siendo P la fuerza h, total en la base, cuya área es co y Z la deformación total para la altura L, esa fórmula es 1=

PL E(£)

Si la carga P es de compresión, todas las generatrices acortan la magnitud l y, por tanto, la fuerza P , que desciende el camino l, desarrolla un trabajo PI-.

Ec,P L

P^L E(x>

Ahora bien, si la fuerza P se coloca de un modo lento, alcanzará PL el equihbrio al final, cuando su deformación sea l = — . Bn un E(ü instante cualquiera, anterior a este equihbrio, para una deforma EtúX ción X la fuerza molecular desarrollada será y el trabajo puesto en juego por estas reacciones moleculares, en un intervalo infinitamente pequeño, valdrá E(x>x ~ lL ~

Su suma E(x> P ío/2 / xdx = T 2P o

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

será el trabajo total desarrollado elásticamente en el sólido. Y como este valor es la mitad del Ev>l^

P¿ =

de la carga exterior, podemos decir que el trabajo elástico molecu lar lento y gradual desarrollado en un sólido es mitad del trabajo de las fuerzas exteriores; la otra mitad del trabajo produce vibra ción, calor y otras formas de energía. Claro es que si la pieza tiene longitud infinitamente pequeña dL, su trabajo molecular valdrá =

1 2

P ío

y el total en una longitud finita PH L

2 J .0

ío

Para el trabajo desarrollado por el momento flector M, en un trozo de pieza de longitud dL, tenemos que la carga molecular unítana, en un punto de ordenada y, es —

la deformación de un

filete paralelo a la directriz, pasando por ese punto (considerado como elemento prisruático) será, por lo dicho antes, My

7 y multiplicando por

“ P~

de la carga molecular

elemental es 1 M^yHi^dL •2 P/2 y como dentro de la sección Jy^dc.

trabajo

T E O R ÍA S EU N D A M EN TALE S

resulta que el trabajo del elemento dL será 1 MHL E f y el trabajo finito de la pieza 1. r 2 Jo

Por lo que afecta al esfuerzo tangencial, vimos que su valor era y (c^ 2/

r =

rigurosamente en las piezas rectangulares, o compuesta de trozos rectangulares, y, aproximadamente, en las de otra forma que no difiera mucho de ella resultaba y

r'>

En las ecuaciones [e] de la Elasticidad están deducidas la rela ción T = ¡xíf, siendo d la deformación angular (en las ecuaciones [e] poníamos

= 2 \xh, porque ya sabemos que ¿i es

de la deforma

ción), por lo cual la carga tangencial es proporcional a la deforma ción. E l coeficiente ¡x de proporcionalidad se llama coeficiente de elasticidad transversal, designándole por la letra E ' o, a veces, E¡, y su valor en relación con el de elasticidad longitudinal E era (página 28) E *

X —j— [X

2[x^ 4 - 3 x¡x

2¡x -|-3 x ’

X -j- ¡X

cuando se suponga X

tx esta relación es E'

2 “5” ’

valor que parece comprobado en los materiales homogéneos.

M E C A N IC A E L A S T IC A

Bstablecemos, pues, que la deformación transversal corresponT diente a la carga T es d = ~^r> por unidad, y para una longitud dL T será -^prr dL. E' B1 trabajo elástico (mitad del producto de la carga por la defor mación) para una fibra de área dm, valdrá

1 l T — Td^ . d = ~ T d c ^ . -4 r r d L = 2 2 E 2E ' dc^dL Y para la sección entera, integrando respecto al área,

resultará.

2B' Para que la forma de esta expresión sea análoga a la PUL

ifdel trabajo longitudinal, podemos hacer, simplificando _ Y^dL 2B'oj

siendo x la función

—

. T^dcü Jí tí

Para la sección rectangular de lados h y 2c

2 bc r 2bc y. = ----- I

Y2 , , 4/2

^bc

T E O R ÍA S

fundam entales

Y por consecuencia, el trabajo finito, por carga tangencial, resulta YHL

Además de estas causas de trabajo molecular por fuerzas ex teriores puede haber otras que muchas veces tienen tanta impor tancia como ellas y que son debidas a variaciones de volumen experimentados en la pieza por causas exteriores, tales como la temperatura y el estado hidrométrico, o interiores, como el fraguado en los sólidos de hormigón. Todas estas causas, que se pueden expresa^ de modo análogo, son generalmente casi uniformes en las piezas de poco volumen; pero refiriéndonos principalmente a causas térmicas, ocurre a ve ces que las fibras longitudinales no tienen todas igual temperatura, conviniendo ver, en general, cuál es el trabajo que se origina en la pieza para una variación de longitud total X, en las fibras de intra dós, y otra en las de trasdós, variando linealmente. Estas dilataciones desiguales en las diferentes fibras hacen que una sección recta pase a otra posición obhcua, a la que puede lle gar por una traslación X (igual para todas las fibras) y una rotación debida a la diferencia de dilataciones Xj^ — X. En un punto cualquie ra de ordenada y, sobre la fibra media, su deformación será ^ ^ (y + c). siendo 2c el canto o altura total. 2c Como la pieza, en una sección cualquiera, está sometida a una fuerza X longitudinal; Y, transversal y un momento M , debidas a las causas exteriores y reacciones (o a éstas solas si no hay otras fuerzas solicitantes), para una fibra de área ¿co y longitud dL, el trabajo elemental desarrollado será A My (A - I

y por ser el origen centro de gravedad, jyd(ú = 0

jyH(n = I

M E C A N IC A E E A S T IC A

de modo que el trabajo total resulta J X ( h +

>■ )

^J . M(Xi — X) 2c

Bu suma, el trabajo molecular desarrollado por una pieza de canto 2c sometida, en cada sección, a una componente ~K. a lo largo de ella, otra Y , transversalmente, un momento ¡lector M y una varia ción térmica de dilatación lineal \ en el trasdós y \ en el intradós, es\ 1 T , +

XHL o Em +' +

1 r MHL 1 r Y 2xL 22 j o E E ll + ' 22 J o B'co M ( \ — \)dL 2c

[12]

en la que los límites de las integrales corresponden, como se ve, a la longitud de fibra.

12. Teoremas de Castigliano.— Primer teorema.— A) Si se expresa el trabajo de deformación, en un sistema elástico, en función de las deformaciones que se producen en él, la derivada parcial de ese trabajo respecto a una deformación cualquiera nos da el valor de la causa que le origina. B) Si se expresa el trabajo en función de las causas que sobre el sistema actúan, la derivada parcial de aquél respecto a una cual quiera de esas causas da el valor de la deformación que producen. Supongamos un sistema elástico en equilibrio; en un punto en que actúa una fuerza R, se habrá realizado una deformación o recorrido r. Dando un incremento a R, el equilibrio se alterará, ori ginándose un nuevo desplazamiento del punto de aplicación, que será dr, produciéndose un incremento de trabajo que podrá expre sarse por {R + QdR)dr en la que 6 es un coeficiente menor que la unidad, porque al incre mentar R en dR se propagará su acción sobre el cuerpo elástico y sólo expresamos lo que corresponde a la dirección de r. Despreciando el infinitamente pequeño de segundo orden, el incremento de trabajo será Rdr.

T E O R IA S

fundam entales

Pero si se llama ^ el trabajo total y suponemos que se ba puesto en función de las deformaciones, el incremento de trabajo por va riación de deformación será, como siempre, la derivada de esa fun ción por la diferencial de la variable, o sea d% = -5— \dr df Igualando las dos expresiones de incremento de trabajo, tenemos Rdr ■

■ dr.

de donde R.

como queríamos demostrar. Para la segunda parte del teorema, considerando, como antes, un sistema en equilibrio y una causa R, con su deformación r, el trabajo molecular o de deformación correspondiente a esta causa es

y por la variación, en este grupo de dos variables, ligadas por una función (como bemos visto en la teoría de la Elasticidad), el incre mento del trabajo vendrá dado por la derivada respecto a ellas,

rdR -f

Rdr

Por otra parte, conforme se dijo antes, el incremento de tra bajo tiene también por expresión Rdr, de modo que, al igualar, queda ^ R d r + ~ r d R = Rdr A

sea Rdr = rdR

M E C A N IC A E L A S T IC A

Es decir, que el incremento de trabajo es lo mismo Rdr que rdR, y como al ser dicho trabajo función de i? y r, considerando a la pri mera como variable, siempre se expresará aquél por la derivada multiplicada por la diferencial de la variable d% =

dR,

resulta rdR =

d% i :r

Esta ultima demuestra la segunda parte del teorema. En las demostraciones anteriores se ha tratado de deforma ciones producidas por fuerzas (o caur sas en que éstas sean su representa i ción); pero para dar completa gene ralidad al teorema, Castigliano con sidera también el caso de un mo 1/ mento M, que produce un giro a. Este momento (fig. 11) se pue /! de suponer originado por dos fuer I / zas iguales F y F ', siendo Fd = = F 'd — M. Sii ahora al hallar la F ig . 11 derivada parcial del trabajo respec to a iW se hace por intermedio de esas dos variables F , F ', liga das por dicha relación, se tendrá d^ d% d F d% d F ' 1 m ~ T f '1 m ^ J W ' l M y como dF iM

1 X

dF' Jm

1 ~d

T E O R IA S

fundam entales

queda l ld% dM ~ T \ 7 f

d^ \

+ Jrj

y son los caminos recorridos por las fuerzas F , F ' (según dF dFla demostración anterior) y por la figura se ve que estos desplaza mientos divididos por d son la tangente del ángulo a de deforma ción, que por ser muy pequeño, puede sustituirse por el ángulo, quedando así demostrado que

dM Segundo teorema.— Cuando un sistema elástico está sometido a la acción de distintas causas, la distribución del trabajo molecular en su interior es tal que da lugar a un trabajo mínimo.

Las condiciones de mínimo en una función son: nulidad de la primera derivada y valor positivo de la segunda, respecto a la va riable independiente. En la figura 12 hemos representado un sólido elástico que, por lo dicho en Elasticidad, al considerar una sección plana se desarro llarán en ella unas reacciones o tensiones moleculares, cuya resul tante de un trozo sobre otro, R ^ j R^, serán iguales y de signo con trario. Considerando la porción A y llamando i a la deformación del

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

punto de aplicación de rema se tendrá dRi

que sobre ella actúa, por el primer teo

d%ji = idR s

= 4

Del mismo modo, en el otro trozo d'^g — idRji E l incremento total del trabajo es, evidentemente. i{dRB "b dR^) y como R a — — R b , será = — dRs, por tanto, d^ — 0. Además, si a las fuerzas que actúan sobre A se les da un incre mento positivo, la reacción R b aumentará y, por consecuencia, la deformación i tendrá un incremento positivo. Quiere decirse que para incrementos positivos de las fuerzas, las derivadas de i que son segundas derivadas de ^ ^ — ■ resultan positivas, realizándose ya las dos condiciones de mínimo del trabajo

13. Interpretación del teorema de Castigliano.— Una de las más interesantes aplicaciones del primer teorema de Castigliano consiste en la determinación de las reacciones én una estructura biperestática. En el estudio que hemos hecho de las piezas prismáticas, en ge neral, se ha visto que cuando se conocen todas las fuerzas que sobre la pieza actúan (acciones y reacciones), por las fórmulas deducidas, se determina el régimen elástico de cualquier sección. Das acciones son siempre datos; pero las reacciones pueden ser conocidas inmediatamente si la estructnra es isostática (con sólo aplicar las ecuaciones de la Estática) o ser éstas insuficientes para hallar las reacciones. Por ejemplo: una pieza curva empotrada en sus extremos es hiperestática, porque es desconocida en cada ex tremo la reacción y no pueden determinarse por las ecuaciones de la Estática, puesto que, para cualquier sistema de ejes coordenados, cada una de esas reacciones necesita tres condiciones (las dos pro yecciones y el punto de aplicación), en total, seis condiciones, cuando sólo tres proporciona la Estática.

T E O R IA S

fundam entales

En estos casos de estructura hiperestática, en general, el teo rema citado permite con facilidad determinar las reacciones. Una de estas estructuras indeterminadas sería isostática — y, por tanto, determinada — si se conocieran sus reacciones. Supongamos que así sea. En cada sección, el momento M , el esfuerzo normal X y el tangencial Y , serán funciones de una de esas reacciones (la que está a la izquierda de la sección considera da). Poniendo estos valores en la expresión deducida para trabajo de la pieza prismática [12] XHL E(n

1 2

MHL El

y.YHL E'tí, M (x,. \)dL 2c

tendremos que el trabajo estará expresado en función de la reac ción incógnita. Por el teorema de Castigliano sabemos que la derivada del tra bajo respecto a una causa mide el recorrido o deformación de ésta. De modo que derivando la anterior expresión, con respecto a la reacción, resulta

d e fo rm a c ió n = S = +

X dX dL -1Eco dR

Yx __ dL -p lE'cj dR

M nE l

dM dL -fdR -X 2c

[13]

dM dL dR

Por las condiciones de sustentación de la estructura se conoce la deformación S y, por consiguiente, esa ecuación en que sólo es incógnita la reacción R, determina el valor de ella. Permite, además, en una estructura ya determinada, bailar la deformación en un punto cualquiera. Si sólo ha lugar a considerar la deformación debida al momento flector, es decir, si no tuviera existencia más que el segundo tér mino de esa expresión, la deformación o giro elemental de la sec ción sería d']> =

M dM E l dM

dL =

M dL, El

M E C Á N IC A E E Á S T IC A

de donde ~IL pero

M El ’

es la curvatura de la directriz deformada — , por ser la p

relación del ángulo de contingencia al arco, de modo qne M El

y como

ÍJyV \ dx I

d^y dx^

la ecuación anterior que expresa la directriz deformada o elástica, será

o aproximadamente para piezas rígidas

= -

[U ]

En general, resulta más sencillo hallar las deformaciones por la ecuación [13], pues con ella no se requiere más que una cuadratura. En los sucesivos ejemplos insistiremos más claramente sobre esta aplicación en los arcos, en los pórticos y en otras varias es tructuras. E l segundo de los teoremas tiene también mucha importancia, pues permite salvar Ig, indeterminación de repartición del trabajo en varias piezas.

14. Teorema de Maxwell.— Si en un sistema elástico actúa una causa, en un punto, al considerar en otro punto la deformación que se

T E O R IA S F U N D AM E N TA EES

produce en él por la causa que actúa en el primero, resulta igual a la que se produciría en aquél por la misma causa, actuando en el segun do punto. En la figura 13 representamos un sistema elástico, en el que con sideramos dos puntos, 1 y 2. Para mayor claridad, lla maremos: «11 la deformación produ cida en el punto 1 por una fuerza igual a la unidad ac tuando en él. «12 la deformación produ cida en 1 por la fuerza unidad actuando en 2. «22 la deformación en 2 por la fuerza unidad en él. «21 la deformación en 2 por la füerza unidad en 1. Considerando las fuerzas P i y Pg actuando sobre los citados puntos, vamos a ver los trabajos desarrollados. Primero sólo actúa P i, en 1, y las deformaciones que producirá en 1 y 2 serán «nPi y «21P1. Como las fuerzas acabamos de decir que son P i en 1 y cero en 2, el trabajo valdrá solamente «nPi®. Si abora suponemos que, además, actúa Pg en 2, las deformacio nes que ella produce serán «12P2 y como las fuerzas aplica das son P i y P2, los trabajos desarrollados valen «12P1P2

En definitiva, el valor del trabajo total es «llP

+ «^12-PI-E2 + «22-^2^

A la inversa, si suponemos que primeramente sólo actúa en 2, las deformaciones^«i2-P2 y a^JP^ dan los trabajos 0

«22-P2^

A continuación actúa también Pj^ en 1 y las deformaciones

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

«11-^1 «21-Pi: con las fuerzas aplicadas dan los trabajos y quedando como trabajo total

^22,Pa ^ "b <*21^xP2 “b

El trabajo debe ser el mismo en ambos casos, por lo cual, igua lando las dos expresiones, queda

que demuestra el teorema.

15. Método abreviado de Müller-Breslau.— E l trabajo elásti co desarrollado en una estructura por la acción de las fuerzas que sobre eUa se ejercen vimos que tenía por expresión [12] 1 r xuL Eco

1 r MHL X 1r ' Y^dL 2 J 0 E l + 2 j o ' E'.O

a la que había de añadirse los términos ■ X^(Xi -f- x)

M { \ — \)dL 2c

en el caso de considerar una variación lineal de volumen que alarga o contrae las fibras desigualmente. Si, por el momento, prescindimos de esta variación de volumen (provocada por la temperatura, estado higrométrico o cualquier causa de desecación o entumecimiento) la expresión del trabajo es la arriba indicada. De sus tres términos ya sabemos que el pri mero representa el trabajo de la componente normal X , el segundo es el trabajo debido al momento flector M y el tercero indica el trabajo tangencial. En muchas estructuras — como ocurre en los pórticos cuya luz y altura sean comparables, en los arcos peraltados, en tubos y

T E O R IA S

fundam entales

otras varias — el trabajo normal y tangencial es muy pequeño com parado con el de flexión, y de los tres términos citados, el primero y tercero tienen muy poca importancia en relación con el segundo. Prescindir de esos dos términos abrevia notablemente el cálcu lo, y fundado en esta simplificación el ilustre Müller-Breslau ideó el método que expondremos a continuación, por el que se llegan a dar ya explícitas y muy sencillamente los valores de las reacciones, en una estructura biperestática, pero entendiéndose que sólo será aplicable en las condiciones indicadas: cuando pueda prescindirse del trabajo normal y tangencial. Sea una estructura cualquiera (fig. 14) empotrada en sus dos extremos A, F , sometida a un sistema de cargas. Si en uno de los empotramientos, por ejemplo, el de la izquier-

F ig . 14

da A, conociéramos la reacción 2?^, el sistema sería isostático, de modo que el problema consiste en determinar para lo cual bas tará determinar sus componentes sobre dos ejes y su mo mento R^d = m^. A fin de simplificar las expresiones, se adoptan como ejes coor denados los de inercia de la estructura. En lugar de considerar como incógnitas las X^, Y que dijimos antes, vamos a tomar las X q, Y q, Wq en el origen, pues como ya sabemos que una fuerza se puede trasladar de un punto a otro teniendo en cuenta el par de traslado, tendremos =

Y„ = Y ,

m, , = mA — XAyo + Y a Xo

M E C Á N IC A E E Á S T IC A

Conocidas X q, Y q- ^ o> serán conocidas X^, Y a > '^ a esas igualdades. Como es muy importante la elección de signos, pues de ellos de pende el sentido de las reacciones, definiremos claramente éstos, adoptando los sentidos ^ue ordinariamente se adoptan en geome tría, es decir, para x, de izquierda a derecha; para y, de abajo a arriba, y para m, el momento de izquierda a derecha, en el sentido de las agujas de un reloj. Aplicando el teorema de Castigliano y suponiendo que por ha ber ep A mx empotramiento perfecto la sección de empotramiento es inconmovible, sus deformaciones en sentido de la Y , de la X y del momento serán cero, y como prescindimos del trabajo nor mal y tangencial, se tendrá [13] M dM ~EI dR que habiendo descompuesto la reacción R en las X ¿, Y ecuación se desdoblará en las tres siguientes: M El

dM dL\ dXA 0

M j 0

dM , , dYA

esa

[15]

M dM dL E l dmA

Esa misma estructura se puede suponer isostática de dos ma neras: habiendo en A un apoyo libre y en E una articulación, o estando suelta, sin apoyo, en A y empotrada en F. En general consideraremos este último, por ser más sencillo. Ea estructura, tal como está, empotrada en A y en F , podemos sustituirla por la misma isostática, estando suelta en A y empo trada en F , teniendo, además, las reacciones desconocidas m^, ^A> Yy¡, que sustituyen al empotramiento en A, o las X q, Y^ en el origen. Elamando el momento isostático en un punto cualquiera, de coordenadas x, y, es decir, el momento flector conocido en fun ción de las fuerzas, datos, cuando la estructura está suelta en A, el valor del momento flector total M, será

TJIORÍAS

fundam entales

I M = M,- + Wo + Yo^ — X^y

dM = 1 dm^

dM dY. \

dM dX.O

-y

Poniendo estos valores en las ecuaciones [15] resulta

{M i +

0 = I "¿T 0= 1^

n io -

X g y +

Y o X )d L

[16]

~ -^«y + '^ox)xdL (^< + «o - ^oy + ^ 0^) ( - y)<^L

£, ya sabemos que es el coeficiente de elasticidad longitudinal del material y, por tanto, en una estructura de un mismo mate rial será constante y se puede sacar fuera de la integral. I es el momento de inercia, que en el caso general será variable en cada sección de la estructura; pero podemos adoptar uno cual quiera If, como patrón y tomar en cada punto la relación variable r = ^

del patrón al de la sección en ese punto. En esa forma,

multiplicando por E I q las ecuaciones anteriores son: 0 = j'^^MfdL

+ «o /

— X qj^ jydL

4- Y qj'rxdL

0 =I^M-i'xdL -f- m ^j\xdL — X ^ j\xydL 4 - Y^^rxHL 0=1 ^ ‘ M¿rydL -f Wq

f/ y

4- Y qJ rxydL

Por ser los ejes coordenados los de inercia. j rxydL,

íjrxdL,

JrydL

)

[17]

M E C Á N IC A E E Á S T IC A

son cero, y el sistema de ecuaciones permite despejar inmediata mente las incógnitas ¡\MiYdL í\ d L

pM irydL [ 18]

j \ y ^dL

I ’^MírxdL i^ o = -

1‘ rx^dL

Estos son los valores explícitos de las reacciones en el arran que A trasladadas al centro. Veamos su significación. Mi es el momento flector en nn punto x, y, suponiendo la es tructura suelta en ^ y empotrada en F. jM id L será el área de momentos, y la jM -rdL es el área de momentos cuando cada ordenada está* multiplicada por r. Generalmente, el momento de inercia de la estructura, aunque variable de una pieza a otra, suele ser constante en cada pieza de las que componen la estructura, y en consecuencia r = ^

considera constante para cada una de esas. E l momento de inercia patrón, I q, es arbitrario y puede tomarse como tal el de una cual quiera de las piezas. No es preciso decir que la estructura puede estar formada por elementos rectos o curvos con directriz de cual quier forma. Eos otros dos numeradores jM irxdL e j'MirydL no son más que la suma de los momentos estáticos, M-rdL ■ x, o M^rdL • y, del área de momentos M (multiplicadas sus ordenadas por r) res pecto a los ejes coordenados. Conocido, como dato, el sistema de fuerzas que actúa sobre la es tructura, si se representa la ley de momentos M,-, suponiendo la es tructura suelta en A Y empotrada en F , y multiplicadas sus orde nadas por r — por ejemplo, el polígono representado de trazos en la figura para la acción de la fuerza P — , los numeradores de las tres

T E O R IA S

fundam entales

reacciones son, respectivamente: el área de momentos, o sea, en este ejemplo, la suma de los dos trapecios y el triángulo; los momen tos de esas áreas respecto a los ejes, que es en realidad la suma de los productos de cada área, por la o por la y, de su centro de gra vedad, proyectado sobre la directriz. Ivos tres denominadores tienen también sencillísima interpreta ción: es el peso que tendría la direotiiz A B C D E F , si cada elemento tuviera una densidad r. Cuando el momento de inercia es constante, r = 1, y entonces la integral es simplemente la longitud de la directriz. Jrx ^dL e jry HL son la suma de los momentos de segundo gra do fdL • X rdL • 3' ^ de cada elemento de directriz por el cuadra" do de sus coordenadas. Cuando la directriz es una curva, o está compuesta de varias curvas, estas integrales se obtienen poniendo díT1 ■— dx de las ecuaciones de las curvas. Si la directriz está compuesta de trozos rectos, como la de la figura, esas integrales son suma de las correspondientes a cada trozo; suponiendo dentro de cada uno mo mentos de inercia constante, para uno cualquiera DE, en que las coordenadas de sus extremos sean x ', y'\ x " , y " , esos denomina dores valen y _rdL = r{L) ^ — r-D E — r^/{x” — x')^ r\- (y' — y y [x"^ ^ x ' \ ^ eos a ry^dL = r j ‘

dy sen a

eos a sen a

siendo l = D E la longitud del trozo. De ser complicada la ecuación de la curva directriz resulta más sencillo y suficientemente aproximado sustituirla (para el cálculo de los denominadores) por un polígono inscrito y aplicar estas úl timas fórmulas para sus lados. Y a se ve que los denominadores son independientes de las cau

M E C Á N IC A E E Á S T IC A

sas solicitantes, y por eso son constantes, cualquiera que sea la carga sobre la estructura. 16. I^a influencia del cambio de volumen por temperatura y causas análogas pueden también calcularse con este método, fá cilmente. En la expresión total del trabajo [1 2 ] bemos prescindido del trabajo de X y de Y , que es la simplificación base del método, considerando sólo el término.

;í E l

pero si, además, actúa la temperatura, hay que añadir los términos x)dL 2c que expresan el trabajo por variación de volumen. De modo que si en la estructura, además de las fuerzas exte riores, actúa la temperatura, con una variación lineal X, por umdad de longitud— y desigualmente, desde el valor X en el intradós a x^ en el trasdós— , a las ecuaciones [17] hay que agregarles los términos siguientes: En la primera ecuación £

^ j ,r' _d_x "./ 7 n o'' dm ^^0

= E(Xj^

r' dM

dL _

V o ^^0

^ X)/g f

dL ”2T o

en la segunda ^ X ,+ x , /•' dX ^ 2 " o dYo ^ = E

Xi -|- X

/■ ' dM dL _ ^^y o 2c

sen a ■¿ L - f - E / q( x^ — x) / -

J n

do 2c

TEORIAS f u n d a m e n t a l e s

en la tercera dM dL o dX^ 2c = £ - “1“ ^ I q / eos a.- dL — E I q{x Por tanto, los valores de las reacciones sacadas de esas ecua ciones [17] con estos términos adicionales, por la temperatura, serán ' MirdL OT„ = — ■

rdL MivydL

rdL

Xo=+-

^1 + ^ / eos (xdL — E I q{ \ — x) 2 . Jo J

ry ‘‘dL

MifxdL

ry‘ dL EL

rx^dL

í ' sen oedL + E L i h - L ) l ‘ ^ d L 2c o '

I rx‘ dL Jo

Po más frecuente es que en la estrnctura, por el espesor relati vamente pequeñó de sus piezas, no haya lugar a considerarse la di ferencia de dilataciones \-¡^ — x, en cuyo caso la influencia de la temperatura se expresa sencillamente por las expresiones E L ^ f eos oídL •) n

E I q>. I sen a-dL, J o

para X q e Y q, respectivamente, con sus denominadores corres pondientes. ' ' , Pa primera expresa el recorrido o dilatación proyectada sobre el eje de abscisas, multiplicada por E L - La segunda, el recorrido proyectado sobre el eje de la y, con el mismo mnltiplicador.

[19]

CAPITULO II

reos 17. Con el nombre de arcos designamos las piezas prismáticas de directriz curva contenida en un plano, en el que también ac túan las fuerzas solicitantes. Puede suponerse que la directriz no esté contenida en un plano, si no que sea una curva alabeada; pero entonces el problema es muebo más complejo y no podrán aplicarse las ecuaciones que hemos deducido, partiendo del es tado elástico plano. Con arreglo a lo indicado en el capítulo anterior para el cálcu lo de un arco, basta, en general, con la determinación de las com suele ser mucho más ponentes N i y T, pues ya hemos visto que pequeña. Y como N i viene dada cuando se conoce el momento flector, según hemos deducido, así como T, en función de la carga tangen cial, resulta, en suma, que la ley de esfuerzos en un arco queda fi jada cuando se conocen los momentos y sus derivadas, que son las cargas tangenciales. Es evidente que si el arco está sustentado en los dos arranques, de tal modo que sus reacciones sean conocidas (arco isostático), el problema es sencillísimo, pues la ley de momentos flectores se ob tiene tomando momentos estáticos de todas las fuerzas a un lado de cada sección que se considera; pero, en general, las reacciones en los arranques no son conocidas, por estar empotrado el arco, o por otro cualquier sistema de sustentación que no sea el apoyo simple, y, por consecuencia, el problema estriba en determinar esas reacciones en la sustentación. Bien se comprende que el valor de estas reacciones es proble ma elástico y no estático (prescindiendo de aquel primer caso de sustentación libre), pues a sentimiento se comprende que de

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

penderán no sólo de la forma del arco si que también de su deformabilidad. Un ejemplo previo aclarará este concepto: supongamos un arco cuya directriz sea dada; pero que primeramente tenga una ley de secciones que sea muy grande en los arranques y muy pe queña en la clave. Este arco resulta así muy flexible en la clave y, por tanto, es casi como si estuviera articulado en este punto, sien do entonces la ley de momentos flectores creciente, con mucba ra pidez, desde ese punto a los arranques, ya que el arco funciona como dos ménsulas unidas por una articulación. Por el contrario, si el mismo arco tiene una ley de secciones que sea muy grande en la clave y muy pequeña en los arranques, el arco tendrá mucha fle xibilidad en estos puntos y su sustentación será muy parecida a la de una biela articulada en los extremos, lo cual da una ley de mo mentos flectores que tienen un máximo en la clave y casi nula en las sustentaciones. Se ve, pues, que sólo por variación de la ley de inercia de las secciones se obtienen leyes de momentos inversa una de otra, para las mismas causas solicitantes. En consecuencia, el estudio de un arco implica dar previamen te la forma de la directriz y la ley de su inercia, pudiendo entonces, por la aplicación de las teorías que a continhación desarrollaremos, determinar las reacciones en los arranques e inmediatamente las léyes de momentos flectores y cargas tangenciales que servirán para calcular las tensiones N-^ y E en todas las secciones. Puede ocurrir que por la naturaleza del problema no se fije de antemano la forma de la directriz, si no que sólo sea dato la luz a salvar, y en este caso debemos elegir la forma de la curva de tal modo que sea la más favorable, es decir, la que dentro de las mis mas tensiones iVj y T, proporcionen el mínimo de masa.

18. Estudio de la directriz.— Desde luego se presiente que la forma más conveniente para los arcos (cuando no tienen otras que cumplir) es aquella que proporciona régimen de compresiones so lamente, con ausencia de tracciones, no sólo por la más homogé nea distribución de cargas moleculares, si que también por la me jor aptitud que para ese género de trabajo presentan la mayor parte de los materiales con que se construyen. En un sistema flexible, sabemos que para una serie de cargas toma una forma de equihbrio, la de su polígono funicular, some tiendo a tracción el hilo. Da inversión de esa figura de equihbrio

ARCOS

^erá la que, en un sistema rígido, produzca compresiones exclusiva mente. Si el sistema de causas que actúan sobre el arco fuera invariable en posición y magnitud, podría decirse de un modo concluyente que la forma más adecuada sería el antifunicular de las cargas; pero, ordinariamente, las fuerzas que solicitan el arco son trenes móviles, y, además, una de las causas de mayores efectos es fre cuentemente la temperatura, que hace nacer empujes horizontales y, en consecuencia, momentos flectores; por cuyas razones, en mu chos arcos, principalmente en los puentes, no puede conseguirse nunca el régimen-de compresiones absolutas. Pero hay otra causa que desvirtúa a veces la adopción del antifunictdar como directriz; entre las fuerzas sohcitantes hay unas cuya magnitud depende sólo de la proyección, del trozo en que ac túan, sobre la cuerda del arco (cargas uniformes o aisladas por uni dad de luz) y otras que dependen de la curvatura del arco (peso propio y cargas normales a él); para las primeras podemos repre sentar el antifunicular ehgiendo arbitrariamente la luz y la flecha, en tanto que para las otras sólo podemos fijar la luz a salvar, pues la flecha es función de ella, cuando es dato la naturaleza del ma terial, restricción que en muchos casos, por las condiciones, de la obra, no convendrá satisfacer. Aclaremos este punto. Cuando sobre un hilo existe sólo la carga uniformemente repartida sobre la cuerda, sabemos que el funicu lar es la parábola z=

P 2T

siendo p la carga por unidad de luz y T la tensión total inferior, T = Toto. Cuando es un hilo pesado, con un peso p ' por unidad de lon gitud de hilo, la figura de equihbrio es una catenaria, de ecuación

“ ( í J. - i ]

cuya coustante es a= •

M E C Á N IC A E E A S X IC A

Es decir, que, en el primer caso, dada la carga {f) y fijada la tensión máxima que puede soportar el material (Eo) queda indeter minada la sección, que puede fijarse dando arbitrariamente la flecha. En el otro caso, al fijar la tensión T q y el peso del material, la constante a queda determinada y, por consecuencia, no se puede adoptar tma flecha cualquiera. No quiere esto decir que el estudio del antifunicular deje de ser interesante; pero la adopción de la curva dependerá mucho de las condiciones en que las cargas han de actuar. En los puentes de arco metálico, cuando la .luz a salvar no es grande, el peso propio es pequeño en relación con la carga, y la for ma de arco que produce menor régimen de flexión será la pará bola. Por el contrario, en los puentes de hormigón armado de gran luz (sobre todo pasando de 70 u 80 metros) el peso propio del arco crece rápidamente, llegando a ser muy superior al de las posibles sobrecargas. Entonces el antifunicular de pesos permanentes es verdaderamente una figura muy aproximada a la de compresión absoluta y se obtiene de este modo gran ventaja económica. En el estudio del autor sobre el puente de Eisboa, la adopciÓQ de arcos parabóUcos conducía a un límite práctico que oscilaba alrededor de 150 metros para luz máxima alcanzable, en condicio nes de trabajo normal del hormigón armado; para forzar (por pres cripciones de orden administrativo) la luz hasta 200 metros, fué preciso el estudio del antifunicular de pesos propios, a fin de hacer posible el trabajo del material. Cuando las cargas son conocidas en magnitud y posición, la determinación del antifunicular se hace muy sencillamente por el polígono de la Estática; pero al intervenir el peso propio del arco es necesario hacer la determinación analítica, por no ser conocido' previamente el desarrollo de la curva. Veamos cómo se hace con facilidad (fig. 15). Calcularemos la figura de la directriz para el peso propio, y como las compresiones serán variables, es interesante ya hacer el cálculo del arco de igual resistencia. Sea A B C un arco de directriz, a partir de la vertical media, (ÚQ la sección necesaria en la clave y w la sección variable, en un punto cualquiera B. En el punto C, infinitamente próximo al B,.

ARCOS

la sección deberá ser <o -)- da] el arco es de un material cuyo peso es f kilogramos por m® y su resistencia práctica R kg por m^. El trozo A B está en equilibrio por las siguientes fuerzas: reac

ción en la clave, R(x>q] reacción en B, Ra, y peso del trozo, que lla maremos P . Supuesto formado el polígono aa'b, de las fuerzas, de A basta E y el aa'c, desde A basta C, tenemos R 2(tú -f- da) ^= R ^o)q^-j- (P

fads) ^

Despreciando infinitésimos de segundo orden,y por ser Râ^ = = Râ^f¡ -(- P^, resulta R'âda = paR\/â^ — coq^ ds

ds ■

Rda = p ) í a^ — tOg^ ds

Rda

[201

p Y a^ -- CJg^

Por el triángulo B M C y el de las fuerzas, resulta dx Ran

■

y como P = i? l/ c o 2 _ U g2 tenemos a “ — COn dy = V■ ds]

[a]

dx — — ds

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

Sustituyendo en la primera el valor [20] dy —

V (ú" — 0>n

Rdí>¡ — C0g2

R p

d(£>

Integrando, queda R ^ y — ^ log nep — o sea

[21] {e, base de log. hiperb.) I^a ecuación d x = — ds O elevada al cuadrado, da dx^ = d x ^ d y ^ ,

dx^{v>^— «úq^) =

en la que sustituyendo el valor dado por [2 1 ] resulta i.p

dx^{(ÚQ^e^ d ^ ^

-- Wfl 2) =

— 1 = dy

o bien dy

dx = l/e«

ARCOS

para integrarla, hagamos el radical igual a z. zd z=

(^2

l)dy,

dy —

z R j 3 , ^ dz z^ + 1 p

Por tanto, dz R _ R r 1 ) " J o z {z ^ -\-l) ■ p ~ ~í %p R = — are tg

._ n

zdz

R = — (a rctg 2) ; =

l+c

y para x = 0 y = 0, será C = 0. En definitiva, la ecuación de la directriz es 2p

x — ~ are tg \!

[22]

’’

que tomando tangentes, resulta 2P

e-^^ =

eos 22

o lo que es igual (tomando logaritmos neperianos) 1 y= — R — log nep eos

[22']

Vemos comprobado lo que dijimos antes: en esta ecuación el único parámetro es

P constante física que sólo depende de la

naturaleza del material (peso y resistencia); por consiguiente, la flecha no es independiente de la luz. En los arcos de hormigón armado el peso corriente por unidad de volumen es de 2 300 kilogramos por m®, y la resistencia que sue le imponerse en las Instrucciones es 45 kg : cm^ = 450 000 kg : m^, para la dosificación de 300 kg de cemento. Con estos números, la ecuación de la directriz queda determinada: y = — 195 log nep • eos

195

[23]

M E C A N IC A E L A S T IC A

Esta curva es muy rebajada, y su aspecto tiene gran parecido con la parábola, en abscisas basta de 100 metros. En la figura 16 la hemos representado en escala

(curva A B ). Para ver la di

ferencia que presenta con la parábola, calculemos la que es oscu— - -t0 .0 0 ~ - ^

--- i0 ,0 0 -

{ 0,0

- 1 0 , 0 0 - ^ —« r - i O ,0 0

ladora con ella en el vértice (clave). Ea derivada de y, de la curva [23], es dy = tg dx 195 y la segunda en el origen será

\ dx^ /o

195

En la parábola

luego la ecuación de la parábola osculadora será x^ = 390y

[24]

Desde la clave hasta la semiluz ;í: = 30 metros, las dos curvas [23] y [24] van tan juntas que en dicha abscisa la diferencia de or denadas es 0,067 metros; a partir de esta abscisa divergen, y su di ferencia ya es apreciable para x = 50 m.

ARCOS

En ios arcos metálicos, a causa de la pequeña sección que re sulta para la resistencia estricta, habrá que asegurarse que no so brevendría el pandeo (véase cap. IV), lo que hace moderar las car gas moleculares admisibles. Suponiendo que fuese adoptada como carga máxima R = 7 kg : mm^ = 7 000 000 kg : m^, contando con un peso unitario, del acero, alrededor de 7 800 kg : m®, la ecua ción de la directriz resulta. y = — 897 log nep eos

897

y su parábola osculadora en el vértice =

= + 1794y

la representación gráfica está hecha en la figura 16 (curva A B '). Estas curvas que hemos deducido, sólo son figuras de compre sión para el peso propio y, por tanto, tienen escasa apHcación. E l caso general en los puentes, para los de grandes luces, es con siderar el peso propio y además la carga del tablero con sobrecarga. Estas últimas actúan sobre el arco por intermedio del tímpano o más frecuentemente por püares o paUzadas y, por consecuencia, es una carga creciente desde la clave a los arranques, que llama remos f{x). E l triángulo de las fuerzas será ahora (fig. 15) aa'h, en el que a i representa el peso del trozo de arco A B , más el P ' (de la sobrecarga P' sobre el tablero su propio peso y el de los pilares) en el mismo trozo. E l lado be será he = pcúds -f- f{x)dx. Del triángulo aa'e se deduce

E2(co + íf<o)2 =

-I- [(P -f P') 4- P<^ds 4- f{x)dxY

que desarrollada y, prescindiendo de infinitésimos de segundo or-

M E C A N IC A E L A S T IC A

den, teniendo además en cuenta + (P + P')^> resulta R^(i>d(i> = P — (Oq^ \^(x>ds -\- fix'jdx'^ ha función y = f{x), ley de variación de la carga uniforme sobre el tablero y de la variable por la palizada del tímpano, es creciente con mucha lentitud desde la clave a los arranques, pues la diferen cia entre ordenadas es sólo el peso del trozo triangular de tímpano B M C , comprendido entre ellas (o de palizada repartida en ese in tervalo); puede, en consecuencia, suponerse proporcional al volu men del trozo de arco correspondiente, que también crece de la clave a los arranques con mucha lentitud. Esta hipótesis, que restdta muy aproximada, abrevia notablemente el cálculo, pues entonces R^cúduí = R Y

^“ o^ {pcsids

p^ads)

o sea Rdc = yco^-coo^ {p + pt)ds No difiere esta ecuación de la [a] más que por ser el vapor p, ahora p p-^. Y como subsisten las demás relaciones, la integral de la directriz, será: P

P + Pi

1 P +-r, Pi x log nep eos • —— R

[25]

Ea ley de variación de las secciones del arco, según la [20], es co = CineT ^ 5'

[26]

que es muy poco variable. Se puede considerar la [25] como ecuación de la directriz, de compresiones absolutas, de un arco sometido a su propio peso y a una carga (de peso propio de piso y sobrecarga) uniforme sobre el tablero, a razón de kg por metro lineal, siendo co la sección del arco, que varía poco de la coq de la clave. Ea curva tiene ahora mayor curvatura que las representadas en la figura 16, aunque no grande para los valores de los materia les y sobrecargas corrientes, y para luces pequeñas y media

ARCOS

nas puede sensiblemente sustituirse por su parábola osculadora 2i?

[27]

En la mayor parte de los casos, tratándose de arcos para puen tes, la sobrecarga no es constante ni uniforme, y si queremos cum plir el máximo de economía haciendo que el sistema tenga el má ximo de compresiones sólo podremos llegar a este resultado adop tando como directriz la curva que más se aproxime al régimen de compresiones absolutas en la carga predominante.

Cálculo de lo s arcos 19. Elegida la forma de la directriz del arco, por las conside raciones que anteceden, o por las necesidades inherentes a la obra, si aquélla fuera la figura del antifunicular del sistema de fuer zas que permanentemente habría de actuar (de un modo inmu table), claro es que no sería preciso calcular más que la com presión para las secciones adoptadas y en las ecuaciones dedu cidas anteriormente, para sistemas de cargas de peso propio y sobrecarga proporcional al volumen de arco, ya está la compresión fijada R, dedüciéndose la ley de secciones por las fórmulas [20] o la [25]. Pero es poco frecuente este régimen; lo corriente es que las cargas sean variables de posición, y entonces puede conseguirse, solamente por el estudio del antifunicular del sistema de cargas permanentes predominantes, determinar una directriz en la que los momentos flectores sean el mínimo posible. Al tener el arco régimen de compresiones solamente, en nada influye su forma de sustentación: lo mismo da que tenga articula ciones que empotramientos en sus arranques; siempre provocarían las reacciones moleculares contracción longitudinal y no habría lugar a giro de las secciones. De no ser así, las sustentaciones influ yen notablemente en la ley de flexiones y pueden dar lugar a in determinación estática. Da forma más sencilla de cálculo es la que se refiere al arco pro visto de tres articulaciones: una en cada arranque y otra interme dia, pues con sólo las ecuaciones de la estática se determina su tra bajo molecular.

M E C A N IC A ■ E L A S T IC A

20. Arco de tres articulaciones.— ^Un arco cualquiera con tres rótulas (fig. 17) A B C está formado por dos bielas, una BC, que pro duce un empuje F sobre * cL' la otra, A B . Para de terminar la magnitud y posición de F basta to mar momentos respecto a A y C. Plamando M el momento, respecto a A, de las fuerzas exteriores que actúan en A B y M ' el momento, de las que respecto a C, ac túan en B C, se tendrá

M=Fy

M '-F y -

de modo que si haciendo centro en 4 y en C, respectivamente, tra zamos en la primera una circunferencia con radio proporcional al momento M y en la segunda otro proporcional a M ', la tangente común será paralela a F. Conocida la resultante de las fuerzas que actúan sobre el arco, su intersección con la línea de acción hallada da a conocer í" y la reacción en A. Ese punto de intersección, y E, da a conocer la otra reacción. Aunque, por ser tan sen cillo, no merezca la pena, vamos a determinar las lí neas dé influencia de las componentes vertical y ho rizontal de esas reacciones, en un arco simétrico, soHcitado por una fuerza móvil, fijada por su abscisa variable a (fig. 18). Tomando momentos en C y en A , resulta

y= “ 4

a -

)

[28]

Al tomar momentos en B, se tiene [ 29]

ARCOS

Esas expresiones, tan sencillas, son las líneas de influencia para las distintas posiciones de P. Por medio de ellas podemos hallar las que corresponden a cualquier género de sobrecarga. Así, para una carga imiforme que se va extendiendo desde el apoyo izquierdo, no hay más que poner -pdx en lugar de P , e in tegrar, resultando entonces 2

ñ X = X' = p j J

xdx _ px'^ 4/

Para la carga extendida sobre todo el arco x — l Y = Y' -

2 '

Z = Z' =

pl^

[30]

21. Arco de dos articulaciones.— E l arco de dos rótulas ya no es isostático; existe una indeterminada estática que se fija ■ única mente por las deformaciones. Sea el arco A C B (fig. 19) con dos rótulas extremas, cuya di rectriz referida a los ejes vertical y horizontal, del arranque izquierdo, tien e por ecuación y = f{x). Sobre él actúa la fuerza P , en la B abscisa a, siendo necesario calcular únicamente el em puje horizontal X , pues el vertical Y es isostático (como en una viga)

Por medio del teorema de Castigliano sale muy rápidamente el valor del empuje X , porque al ser rígidos los estribos, la deforma ción horizontal será cero y, consecuentemente, la derivada del trabajo respecto a X , como variable, lo será también. Ea expresión [13] que dedujimos en el capítulo anterior para de-

M E C A N IC A E L A S T IC A

formación por la causa F , que en este caso es X , da M dM ds + /■o E l dX ■J

N dN r Ty. T. dT d s= Q ds + dX J o E' o E(ü dX

siendo ahora M el momento, N la compresión y T la carga tan gencial, así como ds el elemento de arco. El último término que expresa la deformación por el trabajotangencial es muy pequeño (en relación con los otros es desprecia ble, en general), por lo que puede suprimirse sin error sensible. Para los dos primeros términos, la ley de variación de momentos y compresiones es; dM M = Y x -X y - r dX Desde a: = 0 á ^ dN =COS a N = X eos a -f- Y sen a dX dM M = {Y -P )x ^ P a -X y dX Desde x — a k x = l\ dN = C O Sa. N = X eos a -f- (Y — P) sen < dX Con esos valores, la ecuación anterior será Y x -X y r -^ ^ -^ y . . y d s - p r ^ y d s + Jo ^ J ff ^ +

X eos a -|- Y sen a

eos ads — P

sen a eos a

ds = 0

en la que sustituyendo

yds I COS^a-ds J a J-

J o + P I

sen «eos _ «

^ ^

j-3^

'0 ^ Ú - . C 4 > o L e (¿ .o

-V / le M o C ,

tü

■ v

4 ^

. p

..1

•.<

. . . J

- í-

. . . .

■ -í•

' T----

■

.j :

- ..-U.

'i.....r-

ARCOS

de cuya ecuación hay que sacar el valor de X , una vez integradas las expresiones indicadas, en función de la ecuación de la curva di rectriz y = /(x) y de las leyes de variación que se adopten para el momento de inercia I, y la sección to. Esto, en general, es complicado, o más bien largo de operar; pues las integrales, aunque fáciles de obtener, tienen como denomi nadores I y tí>, respectivamente, que hacen las operaciones un poco laboriosas, por hacerse la integración a lo largo del arco, preci sando además poner ds

si la variable independiente es la abscisa. En los arcos simétricos el penúltimo término de la ecuación se anula, por ser

/: sen a eos a¿s =

y además se hace depender / y to de una sola variable, lo que sim plifica notablemente. Algunos autores estudian el arco de dos rótulas como caso par ticular del empotrado, suponiendo momento cero en los arranques. Puede muy bien hacerse así cuando la sección sea constante; pero si se adopta una ley de variación de / y de <o, en el arco empo trado, no es lógico que se consideren esas mismas para el de dos rótulas. En efecto: los momentos flectores en el arco de dos rótu las son crecientes desde cada uno de los arranques hasta la clave, teniendo en ésta valor máximo para cargas simétricas, en tanto que para el arco empotrado, generalmente, los momentos crecen desde la clave hasta los arranques; por tanto, lógicamente, las le yes de variación de secciones y momentos de inercia debe ser in versa en los arcos empotrados que en los de dos articulaciones. Eas secciones deben variar lentamente y su fórmula de varia ción, como la de sus momentos de inercia, conviene sean sencillas de expresar, para no complicar las integrales que dan las reaccio nes. Ordinariamente, en los arcos empotrados, se supone que las secciones van creciendo desde la clave a los arranques por la ley del coseno del ángulo a que forma la tangente con la horizontal.

M E C A N IC A E L A S T IC A

haciendo co

“o siendo eos a

cúq la

sección de clave. Al momento

de inercia se le supone igual variación I —

, aunque no de eos a biera ser, porque, si como es frecuente, el grueso del arco es varia ble, manteniendo un espesor o ancho constante, la ley de variaT

cióu de I debiera ser I =

eos® a ' En los arcos de dos rótulas no es natural esta ley, resultando más en armonía con el crecimiento de momentos (y de mayor sencillez para la integración) el aceptar la variación proporcional a las ordenadas, haciendo a = ky, I = k'y, siendo k y k' dos constantes que, o bien pueden fijarse de antemano, o mejor, deter minarlas a fosteriori al calcular las secciones para que trabajen con una carga molecular dada. Haremos algunos ejemplos de aplicación: 22. Arco de medio punto de sección constante.— Empleando las coordenadas polares, los valores de las integrales de la ecuación [31] son xyds

r®(l 4- eos 9) sen 9^9 =

yZ ¡

= ~Y

y^ds

I—eos 9 4- sen*^ 9 ')’0 =

] - j4 * s e n * tá ip = 9i

2y® /

sen 9 eos 9

z® sen <fd(p = — (— eos 9)0'?! = ^

C O S® aííS

•

1 — I r sen® 9^9 = j „ .

Tzr^ ') 0■ = ~ w

(1 — eos 9^)

2co

/ ‘ sen a eos a 1 C’fi , r/sen® 9 \‘Pi ----------------- ds = — I r sen 9 eos 9 «9 = — — s— = J a ío j &>\2/„ j

r sen® 9j

ARCOS

ha. ecuación [31], que da el valor del empuje, resulta; 2/3

—

P ~Y~

I—

izY^

i+1 +

(1 - eos 9i) -

2co

sen^ cpi _ 2co

Multiplicando por /, y como la relación de — es el cuadrado del radio de giro (p^) de la sección, despejando X , sale 2|l—

costpi)—/2|l— eos <P1 +

sen^ 9i \ _sena_9^ I 2 / ^ 2 *^ P [32]

Esta es la línea de influencia del empuje horizontal X , en la rótula izquierda, en función de la abscisa a (angular 9i) que defi ne la posición de la fuerza P. Si quisiéramos el empuje para una carga uniformemente repar tida a razón de p kilogramos por unidad de luz, no tendríamos más que suponer que la fuerza P es la infinitesimal pdx = pr sen 9^9 e integrar, poniendo además a = r{l eos 9). De este modo tenemos ( 1— COS9)/®-f ( 1— C0S9) ( 1-P c o s 9 ) / 2 _ | i_ c o S 9 - f -

j >-2

sen2 9

2 •py

A’ =

sen®9íf9 =

ápr

Stí

sen 9^9

[33]

valor sencillísimo, independiente de la rigidez. Para estimar el peso propio, a razón de q kilogramos por uni dad de longitud de arco, bastará hacer en [31] la sustitución qds = qrd(?, en vez de P , e integrar , , , /, sen^9 \ „ senara 1—coS9)/2+(1—cos2(p)y2—ll — COS9H---- ------------- 2~^ ^ X =

qrd(^=

f(»'^+P“) =

.sen2 9¿9 =

[34]

M E C A N IC A E L A S T IC A

Iva influencia de la temperatura afecta solamente al incre mento de reacción X , y su valor ya sabemos [13] que está medido por el término

que en rig o r n o es m ás que la sum a de las d eform aciones X, p ro yectad as sobre e l eje de las x, m u ltip lic a d a s p o r Eo, p orq ue dN -- eos a dX j , por tanto, como a y 9 son complementarios

X eos ixds = Eco I rX s e n cpdcp — 2EcoXr [35]

Ecü I 'k-^^ds = Eu> I

es decir, el empuje de la proyección del arco sobre su cuerda, como se ve directamente, aplicado a toda la sección. 23. Arco de medio punto de sección variable. — Con la ley de variación' de secciones y momentos de inercia antes expuesta [co = ky / = k'y), las integrales de la ecuación [31] serán y2 i'te = , ^ j (1 + eos 9) í¿9 y^ds k' •5

yds

« I ‘ cos^ ocds 0> o

sen 9ÍÍ9 =

r 9i v j .

2/2 k ''

repj^ = ^

( ^ r sen^ cpdcp „ kr sen 9

sen a eos o.ds

1 r*pi

k \

eos cfdcp = 0

ARCOS

E l empuje horizontal será dado por la ecuación

( - t) Í

2r 2

+ Pa

—P ^

+ sen 9)

de donde | l ----— ?'^(9i + sen 9i) + - ^ s e n 9x X = 72

_ f _ .

[36]

Para la carga uniformemente repartida, a razón de p kilogra mos por unidad de luz, haremos como antes la sustitución pdx = = pr sen 9^9, en lugar de P , en la última expresión a = z(l -|- eos 9), resultando así

X =

X i

— eos 9)y27i: + ?'2(l +

eos9)9— »"^(9+

sen 9) + 4 -sen 9

p rs& a .

9i¿9 ■

+ py3

n + TT--- ----------

f 'í '

f ’+ í )

2k '

= pYTZ ■

[37] t + 4 ')

E l empuje debido al peso propio se obtendrá, como en el caso anterior, haciendo P = p'rd<f siendo p ' el peso por tmidad, que ahora es variable y de valor p ' = <üp^ = kyp-^ = kr sen 9 • p-^ ipi es el peso específico); es decir, que sólo difiere del último valor en que ahora se pone p^kr^ en lugar de pr. Tendremos así í'2 _|_ 2 X = kr'^p.^^v:

k' [38]

M E C A N IC A E L A S T I C A

Como

es el cuadrado del radio de giro de las secciones, cuyo

valor es muy pequeño en relación con el cuadrado de radio, las expresiones [37] y [38] difieren muy poco de las Z = X =

priz

[37'] [38']

En este caso el empuje de la temperatura en toda la sección está medido por Xt = E I íoX eos ads = Ek'kr^ I sen^ epíftp = Ek'kr^ Jo Jo

[39]

en la que X es la dilatación por metro de longitud y E el coeficien te de elasticidad. Ea relación entre los valores de las fórmulas [33] y [37'] es ipr _ prn

32 IT T = 1-08 37r'^

Es decir, que en los arcos de dos rótulas de medio punto influ ye en poco para el empuje horizontal la variación de momentos de inercia de la sección, pero disminuye con la sección variable. Evidentemente, para la economía conviene la ley de variación antes expresada. 24. Arcos empotrados.— Así como en los arcos de dos rótulas desaparece la indeterminación, quedando estáticamente determina dos en cuanto se calcula el empuje horizontal en su arranque, en los arcos empo tra dos la indeterminación afecta a las tres reacciones en uno de los empotramien tos, siendo necesario el es tudio elástico para poderlas determinar. E l proceso es el mismo que en el caso anterior aplicamos a la reacción X , pero ahora referido a las tres indeterminadas X , Y , m (figura 20).

ARCOS

Por el teorema de Castigliano, prescindiendo del trabajo trans versal, que en general es muy pequeño en relación con los otros, la expresión conocida [13]

M -d M ds -jE l dF

N dN ds Ea d F

[«]

da la deformación producida por la causa F , en el punto en que actúa. Por consecuencia, en el arco empotrado, si se supone que el empotramiento da rigidez absoluta, la deformación aUí será cero y entonces se verificará que la expresión anterior, poniendo como causas sucesivamente las X , Y , m, será igual a cero, con lo cual tendremos tres ecuaciones, con esas tres incógnitas, que determi narán su valor. Supongamos, en general, un arco con sección variable, «, y, momento de inercia variable, I, cuya directriz tiene por ecuación cartesiana y — f{x) referida a la cuerda como eje de las x yía. ver tical del arranque izquierdo como eje OY. Sea P la fuerza que carga sobre el arco, situada en la abscisa «; el problema estriba en conocer las tres reacciones X , Y , m, qm se producen en el arranque izquierdo. Y si en las expresiones que deduzcamos para éstas se considera a como variable, resrdtarán entonces las líneas de influencia de ellas, en dicho arranque. Suponiéndolas conocidas, las leyes de variación de momentos flectores y cargas normales, en el arco, serán Desde x = 0 hasta

M = m — Xy

= a:

N — X eos a + Y sen a M = m — Xy

Desde x = a hasta x = l\

— P{x — a)

[b]

N = X eos a -|- y sen a — P sen a

Tanto en uno como en otro de esos dos trozos de arco, se verifica dM dm dM dX ~ dM dY

dN dm ^

dN dX dN dY

= eos a ~ = sen a ~

M E C A N IC A E E A S T IC A

I/as tres ecuaciones de las deformaciones, deducidas de la ex presión [a], son „ . x y + y^ js + r El m — Xy El -f

- P,{x — a)

yds

m — Xy -j- Y x xds -\EI

yds -j-

' P sen a eos a í¿s = 0 I Eu>

X eos a d- Y sen a , ---------- =------------eos arfs o

¿s- 0

/:■

P{x — a) xds -|El

X eos a.-\-Y sen a sen a.ds — E(Sí ■ J o

* Psen^a ds = (y E(i>

Sacando fuera de las integrales lo que es constante en ellas, las tres ecuaciones resultan X— a

I’

\ j

yds

^ y^ds

r® xyds

P eos^ c^ds 1 '

I * sen a eos a

X— a

/ * xds

+ y

-p

ds — 0

, | * 1= 0

I í * xyds x^ds

■ M

í * sen « eos a , | ,

*J+

sen^ ads

I Jo “ {x — a) xds i * sen^ a.ds -7— r ------- H

Bste sistema de tres ecuaciones, y las tres incógnitas m, X , Y , da a conocer el valor de éstas, con lo que el problema está resuelto, pues una vez conocidas, se obtiene la ley general de momentos

ARCOS

flectores y cargas normales por las igualdades [&] y las tangencia les, proyectando las fuerzas transversalmente. Pero ese sistema de ecuaciones requiere calcular previamente los coeficientes numéri cos o sea el valor de las integrales ds

~T ’

xds

f yds

~T~ ’ J ~T ’

I xyds J I

sen^ a.ds

x^ds

■ sen a eos a

cos^ ixds

a lo largo de la directriz del arco. Estas integrales, coeficientes de las ecuaciones que determinan las reacciones, se pueden simplificar, según sea la directriz del arco. Si el arco, cualquiera que sea su forma, es muy rebajado, el error que se comete al sustituir dx por ds es muy pequeño, y esta susti tución abrevia notablemente el cálculo de esas integrales. Por el contrario, si el arco es poco rebajado, el trabajo predomi nante es el de flexión, y al despreciar el trabajo de la compresión podemos aplicar el método de Müller-Breslau, que dé inmediata mente despejadas las reacciones aplicadas al centro elástico del arco. Y a insistiremos sobre esta notoria simplificación en el capítulo siguiente, al tratar de los pórticos curvos, que en realidad son arcos; pero que tienen más generalidad porque pueden estar constituidos por trozos rectos, o curvas distintas. Abora bien, cuando se dice que una cosa es pequeña o grande hace falta definir su orden de magnitud, y en ésta, como en todos los casos, procuraremos concretar, evitando mía falsa interpretación. Ea adopción de dx por ds sólo es aplicable, por aproximación, a arcos cuyo rebajamiento (flecha dividida por la luz) sea igual o in ferior a

pues en éstos el error que se comete al calcular las re

acciones no excede, en general, del 5 por 100. Elamamos arcos poco rebajados a los que su rebajamiento sea mayor de — , y para que se pueda prescindir, sin error apreciaO ble, del trabajo de compresión es necesario que aquella relación sea 1 supenor a

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

En este último caso, se puede también hacer gráficamente la determinación de esas integrales del modo siguiente (fig. 21). Si se representan las curvas A B C — A ' B ' C cuyas ordenadas normales sean z =

tomando la mitad a uno y otro lado de la

directriz, la primera integral expresa el área y las otras dos los mo mentos estáticos de esa área respecto a los ejes, así como la cuarta, quinta y sexta los momentos de segundo gra do, todos ellos muy fáciles de conocer cuando se ha de terminado el centro de gra vedad g. La última integral en los arcos simétricos se anula, y las dos anteriores se calculan fácilmente representando la ley de cosenos, aunque en general tienen un valor bastante pe queño para que haya poco error al suprimirlas. Será preciso tener en cuenta que no basta hallar solamente el centro de gravedad g, del área total, sino también el g' del trozo de área comprendido entre la posición de la fuerza y el apoyo de recho, pues en el sistema [c] unas integrales se extienden a toda la directriz, mientras que otras sólo se integran entre a y s. Puede calcularse de este modo un arco de forma cualquiera, cuya directriz sea difícil de expresar o no tenga definición analítica, por ejemplo, los arcos carpaneles (fig. 22). Si la sección es constante, bastará hallar el centro de gravedad g del arco y el g' del trozo com prendido entre la fuerza P y el otro arranque. Siendo yg, las coordenadas del centro de gravedad total y x¿, yg, las del trozo citado, las integrales coeficientes del sistema que da las reacciones son sencillamente: la longitud rectificada; los

ARCOS

productos de ella por

y por y^, los productos por x^y^, por Xg^

yg^, y,

y por finalmente (representadas por puntos las curvas z = sen2 a, z' = cos^ a), los últimos coeficientes son estas áreas, pues si la curva es simétrica no ha lugar a considerar la

sen a eos

ads =

ha influencia de la temperatura sobre el arco se obtiene muy fácilmente, pues por el teorema de Castigliano sabemos que una dilatación o contracción X, por unidad de longitud, produce una deformación expresada por

dN y.ds dF

Y como para las causas sucesivas

F =

m X Y

hemos visto que dN dF

eos a sen a

resrdta que para apreciar conjuntamente con la fuerza P la acción de la temperatura, basta considerar el mismo sistema de ecuacio nes [c] sin añadir nada a la primera ecuación, añadiendo

X / eos ads .! o

a la segunda y

X / sen ocds Jo

a la tercera. Y si sólo es la temperatura la que actúa, supondre mos, en dicho sistema, P = 0 .

M E C A N IC A E L A S T I C A

Gráficamente, estas integrales de la temperatura son sencillí simas: representada en una recta (fig. 23) la rectificación del arco y sobre eUa las ordenadas de las curvas sen a y eos a del ángulo que forma la tangente a la curva con el eje de las %, multiplicadas por X, sus áreas respectivas miden las integra les, pero en los arcos simétricos el seno cambia de signo, con igual valor, de una mitad a la otra, por lo que su integral total es cero. Y a se ve la forma de operar, relativamente expedita, para ob tener las tres reacciones en un arranque de un arco cualquiera; pero como para las aplicaciones prácticas conviene llegar a resul tados que den explícitamente los valores de m, X , Y , haremos dos aplicaciones empleadas con mucha frecuencia: arco de medio pun to y arco parabólico. Antes de concretar en esos ejemplos, diremos dos palabras sobre los arcos en general. lyO que complica la determinación de las integrales, coeficien tes del sistema [c], es que la integración tiene como variable la longitud del arco, ds, y además entran en denominador las leyes de variación del momento de inercia o de la sección. Estudiando, para una misma luz, arcos continuos cuya flecha vaya siendo cada vez mayor, se observa que la influencia de la compresión longitudinal decrece rápidamente, teniendo valores muy pequeños relativamente para flechas mayores de 1/5 de la luz, y, por el con trario, valores muy grandes para flechas pequeñas. Esta consideración permite dos simplificaciones distintas (una para cada caso) que abrevian notablemente el cálculo. Para arcos continuos, de flecha superior a 1/5 de la luz,' se pue de prescindir del término correspondiente a la compresión normal, pero precisamente esta condición es la que se supone realizada para la aplicación del método de MüUer-Breslau y operando en la forma que indicamos en el capítulo siguiente, se determinan las tres reacciones en el arco en muy poco tiempo, cualquiera que sea la sobrecarga. Para arcos bastantes rebajados, cuya flecha sea inferior a 1/5 de la luz, no es aplicable tal simplificación, pero, en cambio, el error que se comete al tomar dx en lugar de ds es insignificante entonces y esto abrevia mucho las integrales.

M ,.-:T Oí -

= T

r TT i ■ d^':.

vj} ‘ t •=. ,'r:,

^ t " - 'f , 0 0 '|>'^T[7 c^|

II I II I II I II II II II

ARCOS

En suma, para los arcos de flecha relativamente grande, pue de prescindirse de la influencia del trabajo normal y con rapidez aplicar el método de los pórticos; y para los muy rebajados operar en la forma que luego desarrollamos para el arco parabólico.

25. Arco de medio -punto (fig. 24). — Suponiendo la sección constante y empleando coordenadas polares, varias de las inte-

F ig. 24.

grales las tenemos resueltas en la página 76, y las que faltan por resolver son y 2 r?l

r xds 1 fVi i . T = t J ==^(<P + se n 9) í ’ x^ds

Jal

T'Pi f ^(14-eos 9) ^

<Pi

eos

= - ^ (cpi + sen 9i) r^

^ JI 0 (l+COS^ 9 -j-2 cÓS9)¿9 =

—

9 sen 29 \ r» / 9 sen 29 \<Pi =— l'P + Y ' l -------- 1 ------- f - 2 s e n 9 j = ^ ^ 9 + --------4--------2 sen 9) )’ fn sen 9i eos 9^ , . _ l i / 3 9i -I-------^ + 2 sen 9i “ / \2 ' 2 r sen^ ads Ja “

f “Pi cos^ 9 •r • (¿9

9i -|- sen 9i eos 9i 2co \

9 I sen 29 y. i

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

J yds=J^rdcp •r sea (p=

J^sen cpd<p=r^(~cos

=r^(l -j-l) —2r’‘ *

í xds= ir(l-¡-cos<p)rd<p=r^i(l-{-coscp)d^—r^(q>-^sea(p)^ = ■kT^

*/ O

«/O

»/ O

p ds

J'^^rdcp = r<Pi ds a l

^(1 + eos rp)r sen 9 •rd<p Jo

y® r*?! , , >, y®/ , sen^ 9 = ^ - / (sen 9 + sen 9 eos cp)d<p = -^1 — eos 9 H--— I =

= í(x^ds

sen^ 9i ■ COS9i H------ + 1

r‘ -J

/ 39 ~ i '\ 2 sen® ads

/’

■ + 2 sen

í ' eos® cpr■ dtp

Stt '0

/_9_ sen® q> A 2 ^ 4

r-K 2co

Una vez hechas las anteriores integrales, las ecuaciones de de formación serán; m

2 Ttr----^ p 02r® -h1

- ^ / 1 I T2cr® ---- ^2 z®(9i-f sen 91)\ -f— ^9^= AO

sen®9i

^ (1 - eos 9i) -

r sen® 9^ 2<ú ]

1 — eos 9il —

)

m r 2r®] r z® 3ti zit 1 T - ’- - ^ M + ^ U i r + i;r J -P [ ^ ( | n +

+ 2s e „ .) +

(í>i + sen <p, eos <Pi)l = O

( ,. + sen ,.) +

ARCOS

E l sistema de ecuaciones [c] desarrollado y multiplicadas las ecuaciones por I, resulta mr-K — 2,mr^ -

— ^

+ sen

+ Par<fj^ = 0

p^) + 2r®Y - P 73(1 _ eos 9i +

2M ^ ysen^ípi — ar^[l — eos <Pi)-------

mnr^ - 2 r^X + 3/3

p2j _

seu 9 iCOS(pi \ -------- 2------ ^ + 2 sen 9i j — ar2(9j + sen 91) +

9i)

Simplificado se tiene m-n — 2Xr + Y-kt — Pr(9i + sen 9^) + Pa(p^ = 0 2 mr ~ X —— \- 2 Yr^ — P

x¡

1 — eos 9j +

— ar[\ — eos 9i) mnr — 2r^X + — z

_ p

■(4

9i +

sen'" 9i

sen 9;^eos <p-¡^ 2

2 sen 9i) —

— ar(9;i + sen 91) = 0 dividiendo aún por r, resulta m-Tt — 2 Xr + Yv:y — Pr{(pj^ + sen 9^) + Pa<p^ = 0 + 2 Y r - P r| 1 — eos 9i + #í7t — 2r Z + — nyY — P z

j _¿¡:(i_cos 91) = 0

sen 9i eos 9^

íí(9i + sen 9i) = 0

+ 2 sen 9j| —

M E C Á N IC A E E Á S T IC A

Restando de la primera la tercera, resulta urj — P[f(9i + sen 91) —

+ -P 4

, . + i s í i í ^

2 sen <p,| — a(ip, + sen ?,)

de donde Y-kt , . 3 , sen 9, eos 9, _ _ - p p l _ y ( < P i _ p s e n 9 i ) + f l 9i + — r 9 i + r --------- P ------- 3-

+ 2rsen 9^ — a{(?-¡^ + sen 9^)| = 0 Ynr I , ^ 9 1 , rsen9iC0S9i\ . ------^ + P |(> '- a) sen n + ~ d-------- ------- ^ 1 = 0 Yr:r = P{ 2 {r — a) sen 9^ +

+ r sen 9^ eos 9ij

y ^ 2(r — g) sen 9^ + r 9^+ y sen 93 eos 91 p nr Multiplicando la primera por 2, la segunda por

2 KM — 4:Xr + 2 Ynr — 2Pf(9i + sen 9^) + 2 Pa<p-¡^ ~ 0

2m7T

2 Y n r - P n r ( l — eos <Pi+ ^^”o

«(1— eos 9i)

restando X-K^r — iX r -j---- -------P(2f9i + 2f sen 9^ — 2«9;^) + sen^ © \ ( nr — nr eos cpi + nr----— Trg -|- Ttg eos 9^I =' 0 X r \ - - , - p | 2f 9i + 2r sen 9^ — 2g 9^ — -rer + TTf

sen‘“ 9i

eos 9^ •

-{- Tza —■ T^aeos 9j I= 0

Xy{-K^ — 8) — P^2(r— g)(29]^— K-j-7ieos 91)+ 4rsen9^— 71?-sen^9ij= 0 ’

^ 2(r — a)(29i —

tt +

!■: eos 91)+ 4/ sen 9^ — nr sen^ 9^ ^ f (tc^-- 8)

ARCOS

Sustituyendo en la primera, queda „ 2(f — niTz — 2 —

— TC-[-7tco s 9]) d-áí'sen 9] — Ttrsen^ 9, „ , — ------- i------ -¿------------- —------------ — P + 7Z^

---- O

+ 2 (f— a) sen 9 i+ r9 i+ rse n 9iC0S9j P — P 7(91 + sen tf-^— anf-A= 0 2 {r — a) (29]^ — tt -|- 71: eos 9^) + 4rsen 9^ — Tcf sen^ 9^ „

m-K

+ P [2rsen 9j — 2asen 9^ + rsen 9^ eos 9^ + «9^ — r sen 9J = 0

— 8) — | 4 ( r — fl) (2 9 i — 77 -f- 7t eos 91) + 8 r s e n 9;^ —

277f

sen^ <?i~

— (77^ — 8 )[ r s e n 9 ^ — 2a s e n 9;^ + a<f-^ + r s e n 9^ eos 9 J P = 0 de donde 9j(8y— 077“)+4(y— a) (4 sen 91— 77+77 eos 9^)— 7'(77^— 8) sen9i eos 9^— 77^(r— 2 a) sen9i— 2r77 sen^ ¡pj 77(77^ —

Cuando la carga P actúa en la clave, las reacciones en un arranque son: a— r

sen 9i = 1

eos 9i = 0

Y = ^ P = — P = ^ = 0,5P 7T

X =

f (772 —

P = ^ ^ - P = 0 ,459P 77^ —

- ( 8 f — r7 7 ^ ) — 7 7 2 (f — 2 f ) — 2 f7 7

m--

77(77^ — 8)

[43 ].

[4 4 ]

— — f (772—8)+^772— 2771' ----------------------- p = (772 — . 8 ) 7 7

r2 772- 8

"" 2 ■ [45] - P r = ----- 5-----— P r = 0, 1106Pf

' [42 ]

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

P a r a c a rg a u n ifo rm e m e n te r e p a r tid a a ra z ó n d e p k g p o r n n id a d d e lu z , lia re m o s pdx = pr se n <p¿<p e n lu g a r d e P ; a = r ( l + c o s 9 )

T" 2Íf------------------—z(l+cos L---------------------------------/)sen sen i+ r i+rsen iCOStpi 9a 9 =

y _

I Jo

" ■2r sen 9 eos 9 + Z9 + r se n 9 eos 9

——

A ggj^

p sen 9 ¿ 9

(9 — sen 9 eos 9 ) sen 9^9 =

^ J o sen® 9

eos 9 • 9 + se n 9

[46]

- r - ^ w = 'o

'^ 2 (—re o s 9 ) (291 —7t+ o

ticos 9 ) +

# s e n 9 — ttzsen® 9

— 8)

= _É _ _ J*

2 r eos 9 ( 2 9 1 — 71 + TICOS 9 ) + 4 r s e n 9 —

— Ttz sen® 9 ^ sen 9^9 = =

„ I

(— 4 ^ 9 eos 9 se n 9 + 27t r e o s 9 se n 9 — 27rreos® 9 se n 9 +

—8j o

sen® 9 —

ttz sen®

9) í¿9 =

9 eos 9 sen 9 í¿9 + 27tz

eos® 9 se n 9^9 -j- 4 r

f ¡-8

,2 _ 8 \

j ^ sen®

eos 9 se n 9^9 —

9^9—

9 í¿9 j

i TI _ 2 , TT 4 + 4r~--27iz-— + 4 r — -Tir — 4

„

- T

- y

z =

P ttZ 3 ( ti®-

Pnr

^- T [47]

: 0,56 ^?'

l ' í i f 9 i (8>'— r ( l+ c o s 9)772) ^ 4 ^ y _ y (i4 -c o s 9 )) (4 sen 9i — 71+71:00391)-yÍTiS— 8)sen 9iCoS9i—

m=j J

yy^ s)

— 7i 2 (»' — 2r(l + cos9))sen9i— 2>'Tcsen2 91""

71(772— 8)

p r

sen 9^9

ARCOS

o lo que es igual pr ^ 2 , 8 3 j^7r(8r — riz^) — íTzr ■ m■ ^ 7r(7T^— 8) pyi

7.2 _ 8 \ 3

T trj

= 0 ,V)mpr^

[48]

Para estimar el peso propio, a razón de q kg por unidad de longitud de arco, bastará hacer la sustitución de P por qds = = qrdf\ fl = r(l + eos 9). T" 2(r —r{l + eos 9)) sen 9 + Z9 + rsen 9 eos 9 Y = / —^-------------------------------------------------- qd<^ =

’ tc =

2r eos 9 sen 9

J 0

- /

+ r<p

qr — eos 9 sen 9)^9 Pírv 7T J 0 J0 qr 192 sen2 9 Y qr 2 lo 1,2 qrn /T.

;

■ -

qrTz

[49]

=/'

- 2 r eos 9 (29 i — 7. + 7. eos 9^) + 4 r sen 9;^— Ttr sen^ 9^ qdif = (7. 2 - 8 )

(7.2 _ 8)

(—4.9 eos 9 + 2t. eos 9— 2t. cos29 + 4 sen 9— 7. sen2 9) ¿9 = -|T—

eos 9

+ 2 t.

eos 9ÍÍ9

sen 9

16 - - 7. 2 . = ----7Ü^2--«— ---- O

—

— 2 t.

sen2 9 j

— 2 r{l Tz{u^— 8) ( 5 7 .-

[50]

= 0 , 639?r

9 i [8>' — r{\ + eos 9)7.2] — 4 »'eos 9(4»'sen 9 — — y[t:^— 8) sen 9 eos 9 —

cos^9

0039) —

+ eos 9) sen 9 — 2tct sen^ 9J

= 0,1095?r2

- qrd(f =

[51]

M E C A N IC A E L A S T IC A

Para obtener el efecto de la temperatura bay que añadir a las tres ecuaciones del sistema [c] los términos de la dN

/ dF

"xds

que para la primera ecuación es cero y para la segunda y tercera son, respectivamente, xjcos oíds

xjsen ads

(haciendo P = 0 si sólo actúa la temperatura) como el arco es si métrico, la segunda es cero, y la primera será =

x j c o s Oíds

sen<f ■rdí?^ Xr - 2 = 2rX

las ecuaciones del sistema serán m

^■ KY - ^ 2r2-p ^ 7rr2 = 0 2 r^Y

m ■

-J- 2rxE = 0

^+y(l4 +-£)='

Multiplicando por I y siendo — = p^ (y como p2 es pequeño. podemos poner en lugar

d e p2¿

y 2^ g 5iQ

teniendo de este modo)

m-K — 2rX -)- TorY = 0 2w —

miz — 2rX

-f- 2r^Y - f 2xEI — 0

-¡r tzvY = 0 A

ARCOS

de donde y = 0 2 rX

m= 4^2Y’ TT

Z + 2X£/= o 2 \E I

Y = 0

ík iE I r^(K^— 8)

[52]

8xgl m= r(7r^ — 8)

En el capítulo siguiente desarroUamos este problema, deriván dole de otro más complejo; pórtico de cabeza semicircular y con mucha mayor facilidad. 26. Arco parabólico.—Si la directriz del arco es una parábola de segundo grado, su ecuación referida al arranque izquierdo es

en la que / es la flecha y H a luz. Supondremos, como es frecuente para los puentes, que el mo mento de inercia y la sección son variables, y, como es natural que la sección crezca desde la clave a los arranques, se puede adop tar la ley J=

‘o

eos a

lo cual abrevia mucho el cálculo de las expresiones a deducir, pues entonces resulta ds

dx X

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

Ivas integrales del sistema [c], de ecuaciones, son muy sencillas, en esa forma -í

l> . yds

{Ix-

2/¿

i f I x^

xds yHs

16/2

/■ x'^ds

3/n f\y d s

if C n ,

TT, l'lT - t ).= 3L i f l,x ^

x ^y

Ivas integrales de sen^ a, eos 2 a y sen a eos a son un poco más laboriosas, porque hay que poner esas líneas trigonométricas en función de la ecuación de la curva. Bu arcos cuya flecha sea igual o inferior a 1/5 de la luz, la sustitución de ds por dx da error inapre ciable (a lo sumo una centésima), pudiendo entonces adoptarse eos a = 1 , sen a = 0 y con mayor razón sen^ a = 0. Por consecuencia, la única a considerar es

COS2 ads

Bn los coeficientes de P, las integrales están entre los límites a y Z, de modo que una de ellas es p xyds

i f Tí"

/a®

Bsta expresión y sus homólogas se simplifican Ijaciendo que,.

ARCOS

én lugar de donsíderar el valor absoluto a que define la posición de' la fuerza, se considere para esa abscisa una parte alícuota k dé la luz; es decir a — kl, siendo k un número fraccionario, La última integral toma el valor xyds = fl‘ (1 - 4Á3 ^ 3^.) La fracción k es la que el Sr. Zafra llama abscisa unitaria. Con esos valores, y llamando como siempre al cuadrado del radio de giro 2 __

el sistema de ecuaciones [c] es Qm — if X + 2,IY = 3P /(1 -

2 k-\-k'^)

10/w — (8/ 2 + 15p2) Z + 5/ZY = 5/¿P(l — 2^ + 2/^3 —

3w — 2/X + 21Y = P l {2 — 3^ + k^)

La resolución de este sistema da m=

(4A - 18^2

24* *3 _ io*4)^2 ^ 45p2(^ _ 2yfe2q, ^3) , 4/2+45p2 *2 _ 2*3 + 4/2 + 45p2

[54]

Y = P(1 - 3*2 + 2*3)

[55]

Z = IñPlf

27. Estos son los valores de las reacciones en el arranque iz quierdo producidos por la fuerza P actuando en la abscisa a = kl) o de otro modo, considerando distintos valores de « = kl, repre sentan las líneas de influencia. Le ellas puede obtenerse la fórmula para cualquier género de sobrecarga, porque si en lugar de ima fuerza actúa un tren, para cada una tendrán las reacciones el valor co rrespondiente a los de *, que fijan la posición de ellas, y si actuara una carga uniformemente extendida, a razón de p kilogramos por

M E C A N IC A E L A S T IC A

metro de luz, basta hacer la integracióíi poniendo en lugar de P el valor pdx = pldk. Como las integrales son inmediatas, para la carga extendida

desde el arranque izquierdo hasta la abscisa a' = k'l, resulta (figura 25) f(2yfe'2-6^'3+6^'^-2A '-)+45p2(^— m = - p P ------ ^ ^ ^ ^---------— 4/2 + 45p2

[56]

1K A 4/2 + 45p2

X = pfP

= p i{ k '-

k'^ +

[57] k'^

[58]

y para la carga sobre todo el arco se tiene (haciendo ^' = 1) (fr gura 26): 45/>p2¿2 1 [59] m-4/2 + 45 p2 12 X =

pfP 8/2 + 90p2 V -íL

[60] [61]

Al deducir las expresiones generales de las reacciones decíamos que para obtener el efecto de la temperatura había que añadir a las tres ecuaciones del sistema [c] los términos de la

dN 'kds dF

ARCOS

que para la primera ecuación es cero y para la segunda y tercera son, respectivamente, xjcos ads

xjsen oids

(haciendo P = 0 si sólo actúa la temperatura). Con las simplifi

caciones adoptadas, esas integrales son XZ y cero; por tanto, el sistema de ecuaciones será — if X + 3Zy = 0 lOfm — (8/2 + 15p2)Z + 5flY + 15PIoX = 0 3 m — 2fX + 21Y = 0

De la primera y tercera sale Y = 0, y de la primera y segunda se obtiene inmediatamente m

Z =

3 0 P / qX/

4/2 + 45p2 45PIoX 4/2 + 45p2

[62]

Das fórmulas [53], [54] y [55] hemos dicho que representan las líneas de influencia del arco parabólico, de modo que dando valo res a k, desde k = 0 hasta A = 1 se representan las tres curvas que sirven para calcular los efectos de una fuerza en cualquier posición, y al tener un tren de fuerzas sobre el arco, una vez repre sentadas las curvas basta dibujar el tren, y, las ordenadas que aquéllas interceptan sobre las fuerzas del tren, dibujadas con trazo

100

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

grueso en la figura 27, representan las reacciones que cada una produce. En la figura se han desdoblado las ordenadas para mayor cla ridad, pero ya se comprende que las tres ordenadas corres ponden a una misma abscisaPara tener esas líneas precisa conocer el valor cuadrado del radio de giro de la sección en la clave, porque en éste (como en general en todos los problemas hiperestáticos) las reacciones no son geométricas, según ocurre en los isostáticos, sino que dependen de la rigidez. 28. En los puentes de arco, lo más frecuente, tanto en los me tálicos como en los de hormigón armado, es hacer los tímpanos cala dos, y entonces las cargas que han de considerarse sobre el arco son las fuerzas concentradas que transmiten los montantes, siendo para ellas aplicables los valores que dan las fórmulas [53], [54] y [55]. Pero, además, tiene una gran importancia, sobre todo con luces grandes, el peso propio del arco. Si los montantes están muy próximos, puede suponerse que en su línea de acción, además de ' actuar el peso que transmite el montante, actúa también el peso del trozo de arco comprendido en los semivanos contiguos, y de esa manera las mismas líneas de influencia se aphcan para las cargas y peso del arco. Pero en algunos puentes en que el tablero sólo se apoya en la clave y estribos, o cuando, aun habiendo mon tantes no son muy próximos, conviene estimar el efecto del peso propio independientemente. Vamos a calcular unas fórmulas que sean sencillas y que den aproximadamente este efecto. Eos arcos no tienen, generalmente, sección constante; pero aun teniéndola, las cargas por metro lineal de proyección horizontal no son iguales, sino que crecen desde la clave a los arranques. Ea ley no es lineal; sigue una curva parecida a la ahc (fig. 28), pero en los arcos bastante rebajados esta curva es muy tendida y más porque los arriostramientos intermedios arrojan peso apre ciable. Con pequeño error (y por exceso) podemos considerar que

101

ARCOS

el peso del arco se compone de dos sumandos: una carga Uniforme mente repartida, que es la correspondiente al peso por metro en la

clave, y una creciente, según una ley lineal ac, desde cero en aqué lla hasta j)' en los arranques. Para la primera se aplicarán las fórmulas [59], [60], [61] y para la creciente, las que vamos a deducir: Las rectas ac y su simétrica ac' tienen por ecuación, respecti vamente. 2 = p'[l — 2k)

z' = [2k — l)p'

Poniendo en las líneas de influencia [53], [54] y [55], en lugar de la fuerza P, la ^ 7(1 — 2 k)dk e integrando en el intervalo A = 0 a A = J/2 y después p'l{ 2 k — l)dk = — ■^ 7(1 — 2 k)dk e inte grar de k = ^¡2 a k = 1 , se obtienen las reacciones por esa causa. Pero esto es equivalente a integrar las expresiones y restar del doble de su valor, para k = el de ¿ = 1 . Para la primera tenemos 45 p2

-48 ^ +^ —32

480 • ^ 960 y en las otras dos 192 40

1 =

“96'

102

M E C A N IC A E L A S T IC A

I<as fórmulas, para este caso, serán

m■

45p2 + ■ 48 32

4P.+ 45 15^2/ Z = 4/2. 45 p2 Y=

p'l^

p' 96

[63]

P'l

29. Determinadas, por las fórmulas deducidas en los párrafos anteriores, las tres reacciones X , Y , m (o en caso de un arco cual quiera por medio de la cons trucción gráfica de la pági na 84) es conocido entonces el régimen elástico del arco, pues en la sección de arran que izquierdo (fig. 29) la resultante de X , Y , tiene el valor R y sus proyecciones normal y tangencial a la sección son y de suerte que en esa sección las reacciones equivalen a una fuerza normal R¡f, con una

excentricidad e =

'yyi

. Y una tangencial R¡, que permite conocer el

traba] o molecular en la sección por las fórmulas de flexión compuesta. Conocido así el punto de paso de la reacción en .d y la posi ción de esa resultante, por su intersección con P se obtiene el punto c que, unido con el punto de paso de la resultante en el otro arranque (conocido también) puesto que en él se tiene m' = m

■

N ' = X eos a -Y Y sen a — P sen a

que dan a conocer la reacción en B. Cuando la fuerza P es variable de posición, las rectas y CB se mueven en el plano, envolviendo unas curvas que se lla man envolventes de las reacciones, del mismo modo que el punto C dibujará otra curva, lugar geométrico de las intersecciones. Para un arco de forma cualquiera resulta muy complicada la determi nación analítica de esos lugares, por serlo las reacciones X , Y, m, pero siempre es sencülo hacerlo gráficamente tomando varias po

ARCOS

103

siciones de P . En los arcos bastante rebajados, la curva intersec ciones difiere muy poco de una recta horizontal. Ejemplo Como ejemplo interesante de este capítulo, para indicar el modo de operar en la práctica, vamos a exponer un extracto del

cálculo hecho para el puente de 50 metros de luz, para ferrocarril, de la colección de modelos oficiales de hormigón armado, figu ra 30 redactada por el autor con la cooperación de los distinguidos Ingenieros D. Julio González y D. Amallo Hidalgo. El puente está formado por un arco parabólico, de 50 metros

lOí

M E C A N IC A E L A S T IC A

de luz, rebajado a

para vía de ancho normal, con la sección

transversal indicada en la figura 31. El espesor adoptado en la clave, después de algunos tanteos, fué de 130 centímetros, resultando en los arranques 142 cm, porque siguen los gruesos la ley inversa del coseno del ángulo con la horizontal. Eá armadura longitudinal está formada, en cada metro de ancho, por 12 • de 36 mm y 6 • de 36 mm., que da un área vir tual de 122,2 X 15 = 1 833 cm^ y 61,1 X 15 = 916,5 cm^. Total: 2749,5 cm2 = 0,27495 m 2. (El coeficiente 15 es la relación

entre los coeficientes de

•elasticidad del acero y del hormigón, que en el cálculo del hormigón armado se toma como amphficador del área metálica.) La sección.y momento de inercia, en la clave, serán ■o>o = 1,30 - f 0,27495 = 1,5749 m ^ I„ =

1 X 1 X l,3 » -h 0,2749 X 0 , 5 9 2 = 278775 m" 1z /n /2 = 25 = 0,177

Por cada metro de ancho.

El cálculo de momento flector, carga normal y carga tangencial en un arranque se ha hecho descomponiendo los cargas en los ele mentos siguientes: a) Peso propio del arco como si la proyección de su peso fuera constante, con el grueso de la clave. b) Peso propio de la parte triangular por aumento de espesor de la clave a los arranques. c) Efecto del peso propio del tablero y superestructura. d) Efecto del tren en la posición más desfavorable. e) Efecto de la temperatura. El primero viene medido por las fórmulas [59], [60] y [61], y para el peso p =• 3055, que, por metro de ancho, tiene la clave, resulta m, = —

45 X 3055 X 0,177 x 2500 12 X 107,965

3055 X 5 x 2500 215,930

- f 176851 k g

Y j = 3055 X 25 = + 76375 k g

46954 m kg

105

ARCOS

El segundo efecto, para las cargas p ” = 3545 y p' — 3055 = 490 kg, resulta (por las fórmulas [63])

3545-

^ 7,965 X 490 X 2500 = - 8723 m k g

15 X 2500 X 5 490 107,965 ^ 9 6

, ^

^ 2 = 490 X 12,5 = + 6125 k g

Para el tercero, que es la carga transmitida por las montantes, estudiaremos, primero, los coeficientes de las líneas de influencia dados por las expresiones [53], [54] y [55], para los valores que corresponden a los diferentes montantes. De ese modo, respectivamente para las tres líneas de influencia, tenemos los siguientes valores:

«l

—

«3

—

«4

—

(Zg a

ij»

-----

—

«8

«g

«JO

«13

í?14 =

«12

‘^ 1 5 ‘^ 1 6

2,2794 3,3532 3,5229 3,0792 2,2441 1,2252 0,1959 0,7245 1,2245 1,7540 1,9977 1,9557 1,6553 1,2007 0,6582 0,1973

0,1117 0,3876 0,7612 1,1593 1,5399 1,8542 2,0706 2,4967 2,4967 2,0706 1,8542 1,5399 1,1593 0,7612 0,3876 0,1117

0,989 0,960 0,914 0,855 0,784 0,704 0,619 0,530 0,470 0,381 0,295 0,216 0,145 0,085 . 0,040 0 ,0 1 1

106

M B C Á N IC A E L Á S T IC A

Con estos coeficientes y para las cargas de montantes que se citan a continuación, resultan los valores Puntos

Cargas

1 2

9811 9239 8697 8306 7931 8306 7431 5205 5205 7431 8306 7931 8306 8697 9239 9811

3 4 5 6

7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

— — — — — — — + + H+ + + + + +

22363 30980 30664 25575 17797 10176 .1455 3771 6373 13034 16592 15510 13749 10442 6081 1935

1096 3581 6620 9629 12213 15400 15386 12995 12995 15386 15400 12213 9629 6620 3581 1096

9703 8869 7949 7101 6218 5847 4599 2759 2446 2832 2450 1713 1204 738 370 108

Estas cargas, para media bóveda, dan los siguientes resultados; m = — 51523 m kg X = 153840 kg y = 64926 kg Y por metro de ancho de bóveda serán w = — 21467

X = 64100

y = 27052

Ea sobrecarga debe colocarse en la posición más desfavorable, y dado el tren de cargas ya se ve que esta posición es la que da la máxima carga en el punto 5. En esta forma las cargas producidas son

107

ARCOS

1 2 3 4 5

6 7 '

f»

Cargas

P u n tos

10238 14775 14506 15975 21169 14437 4518 300

— — — — — — — +

23336 49543 51358 49190 47505 17688 885 217

1143 . 5726 11087 34494 32598 26769 9355 749

10135 14184 13313 13658 16596 10163 2796 159

Total, para media bóveda, m = — 239288

X = 121921

Y = 81004

y por metro de ajicho m = — 99703

= 50800

Y = 33751

E l efecto de la temperatura se ha exagerado notoriamente al

calcular las bóvedas gruesas, pues la transmisión del calor a través del hormigón, con espesores fuertes, se atenúa enorme mente. Parece comprobado que la propagación del flujo de calor sigue una ley decreciente con el grueso, con arreglo a la loga rítmica. Y si la variación ambiente en nuestros climas es, próximamente, de E 20°, para espesores de más de 50 centímetros, esta variación queda atenuada a menos de la tercera parte. Podemos, prudenciahnente, fijar una variación de ± 8° en el eje medio de la bóveda. Para esta cifra el efecto de la temperatura será m=

Y = i

30 X 15 X 10** X 0,278775 X 8 X 0,000011 X 5 4 X 25 + 45 X 0,177 45 X 15 X 10» X 0,278775 X 8 X 0,000011 4 X 25 + 45 X 0,177

=±51125m kg : ± 15337 kg

108

M E C A N IC A E L A S T IC A

Totalizando los resultados antes calculados, tenemos, por fin:

M = — 227972 m kg X = + 285278 kg y = + 143303 kg Con estos resultados ya no hay más que calcular, a flexión com puesta, el arco, como pieza sometida a la resultante R = V x ^ + Y ^ y con el momento M = — 227972 m kg.

CAPITULO III

P ór

t 1c o s

30. Pórticos rectos.—Con el nombre de pórtico se designa or dinariamente la estructura formada por dos pies derechos enlazados por una pieza superior; pero, de un modo más general, pórtico es el sistema formado por varias piezas rectas o curvas, unas a conti nuación de otras, con dos sustentaciones: en la primera y en la última. Cuando el pórtico está constitm'do por tres piezas, cuyas di rectrices son líneas rectas, se llama pórtico recto, y curvo cuando lo es la directriz de la pieza que enlaza los pies derechos. Llamare mos pórtico poligonal al formado por varias líneas sucesivas, con forme a la definición general. El estudio elástico de estos sistemas es muy sencillo; la aplica ción de los teoremas de Castigliano y de Maxwell, o el método de Müller-Breslau, permiten con gran facilidad determinar las reaccio nes en las dos sustentaciones para cualquier género de acciones so licitantes. Empecemos por el estudio del pórtico recto (fig. 32) empotrado en los arranques, sometido a una fuerza P, en su dintel y conside remos que los momentos de inercia I, de los pies derechos, sean iguales y el / ' del dintel tenga una relación constante con los anteI = r. ñores

Ordinariamente, el valor de / ' es muy superior al I de los pila res, pues por el régimen de mayores flexiones en el dintel, es nece sario dotar a éste de mayor rigidez. Aplicando el método de Müller-Breslau fijaremos la posición de los ejes coordenados qne, por simetría, serán la vertical y horizon tal trazadas por el centro de gravedad del pórtico. Para determinar este punto, considerando para cada línea una

lio

M E C A N IC A E L A S T IC A

densidad representada por la inversa de su momento de inercia y tomando, como siempre, momentos estáticos respecto a la base, resulta „

, la

de donde h-.

I 'r

a{a-\- rl) 2 a + yl

Al explicar este método (pág. 52) vimos que las reacciones en

uno de los arranques, trasladadas al centro, quedaban determinadas explícitamente por las fracciones:

j Mrdl Jydi

JMrydl JryHl

JMrxdl Y = Jrx^dl

El numerador de representa el área de momentos isostáticos producidos por las fuerzas; los numeradores de A” e Y son los mo mentos de esa área, supuesta concentrada en la directriz, respecto a los ejes coordenados, y los denominadores son, respectivamente: la longitud de la directriz y los momentos de segundo grado de ella, asignando a cada elemento una densidad igual a la relación del

111

P O R T I C O S

momento de inercia que se tome como patrón, al del elemento que se considera. En el caso presente, al hacer isostática la estructura, cortándola en el arranque A y dejándola empotrada en 5 , el área de momentos isostáticos de la fuerza P estará formada por el triángulo bcd y el rectángulo cd'B. Tomando como unidad el momento I de inercia de los pilares, el área de momentos isostáticos valdrá jM rd l = —

he X cd X r A- cd' X e s j =

= - ^ P x ‘^ .y + Pxa^ = - P x [ ^ + «I

cuyo signo — depende del sentido adoptado para momentos. Eos momentos de esas áreas, respecto a los ejes, son I Mrydl = —

Px^ra^ + Pxa{^^ —

jy \rx

«2 1 ;

"" “

I Mrxdl = -

+ ««1 - ^

“ 4)

rx = — Px\ — (3/ — 2x) + -

{■I2

]

El denominador de es la rectificación de la directriz, con el peso específico correspondiente jrdl = 2« + y los otros denominadores son sus momentos de segundo grado, que han sido ya calculados (pág. 57). f ryHl =

(«3 -)- 7^3) q. yla],

112

M E C A N IC A E L A S T IC A

En consecuencia, las reacciones hiperestáticas en el arranque izquierdo A , trasladadas al origen, son T^\rx -

+ a Wo= +

«21

X = -

2a + rl

y K +

Y= +

[64]

2 ^ 12

31. Considerando a x como variable, esas expresiones repre sentan la línea de influencia de las reacciones, para una fuerza P que se mueve sobre el dintel. Con igual sencillez resolvemos el problema para cualquier carga; así, para una uniformemente repartida a razón de f kilogra mos por metro lineal, se deducen inmediatamente las tres indeter minadas con sustituir P por pdx en las fórmulas [58] e integrar en tre los límites en que se extiende. De ese modo resultan los valores p

rI rx^

2 a + rl I T

X= -

3^ 2{a¡ + h^) + 3rla

ax^ ax‘‘ I"' + ]

rx'^a^

x =x'

E = + 6aP -[-

X—x"

[65]

n i+

Si la carga se extiende sobre todo el dintel, x " = l, x ' = 0, 3^ entonces p I rP aP "" + 2a + rl X =

2{a] y= +

h^) -)- 3f/a] [ 6«P -h rP I^

[66]

6 3«Z3 = +

113

P Ó R T I C O S

Todos estos valores están referidos al origen; en el arranque iz quierdo la y la Y serán las mismas; pero el momento valdrá: OT — WÍQ+ Xh — Y

En el caso del pórtico equilátero a = l, considerando que la

\m y F ig , 3S.

rigidez sea igual en los pilares que en la viga, tomará r el valor 1 , resultando entonces Wn

9 ^ ’

' 12 ’

cuyo momento trasladado a su arranque es 1 y en los vértices ■ m '=

—

Particularizando aún más, llegamos a la viga empotrada en sus extremos, con sólo hacer a = = A = 0. Así, para una viga con carga concentrada P a la distancia x del arranque derecho (fig. 33), las fórmulas [64] dan «n =

Px2 2/

Y = ^ (3 /-2 x ):

y el momento en el arranque izquierdo _ m = OTg _ Y —- = ----- — {I — x) línea de influencia para ese apoyo.

Z =

M E C A N IC A E L A S T IC A

114

Para el mismo caso de la viga empotrada, con carga uniforme mente repartida, por las fórmulas [6 6 ] se obtiene j)l^ ^0

m = «ÍQ■ Y-

^ ,

El verdadero valor de X en ambos casos es infinito, según pue de comprobarse, como es lógico, por ser precisa esa fuerza para asegurar la inmovilidad del apoyo. Con igual sencillez se resuelve el problema para cualquier gé nero de sobrecarga que sobre el pórtico actúe. Si fuera el empuje horizontal debido al viento (fig. 34), consi-

Fig. 34.

derando su resultante como una fuerza concentrada, el área de momentos isostáticos es un triángulo cuyo valor es -\P x^ y los momentos de esa área respecto a los ejes coordenados val drán, respectivamente. Px^ 2

■

l 2

115

P Ó R T I C O S

Y como los denominadores son siempre los mismos, las reac ciones en el origen serán Wío= +

Px^ + 2rl ’

P x^ \h -^ X = ^ (a® + 3

y= +

+ 2rla\

Plx^ 2aP + ^

Cuando la acción horizontal se suponga uniformemente repar tida en lugar de concentrada, haciendo en esas fórmulas P = pdx e integrando, resulta

m o= +

px^ 12a + &rl ’ Y =

X= +

^phx^ — px^ 16(a“ h^) + \2rla\

plx^ -f- rP

Bstas reacciones son las del arranque izquierdo trasladadas al origen, debidas a la carga horizontal en el püar derecho. Si esa carga actuara sobre el pilar izquierdo, los valores antes calculados corresponderán (prescindiendo del signo) al otro arranque. Por medio de las expresiones deducidas se obtienen los valores de las tres reacciones indeterminadas, para los sistemas de cargas considerados, con lo que el problema queda resuelto, pues con sólo las ecuaciones de la estática se halla entonces el valor o ley de variación de momentos flectores y cargas transversales, para cualquier punto, del mismo modo que en una viga apoyada y con igual sencillez. Así, en el pórtico de la figura 32, una vez calculados los valo res de las reacciones m, X, Y en el arranque izquierdo, las leyes

116

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

generales de momentos flectores y cargas normales y tangenciales serán [ M = m — Xy T)e1í a A ' l N = Y T = X i M = m — Xa + Y% D e^ ' a P

N = X T = Y M — m — Xa A- Y x — P{x — x^)

De P a C i N = X T = Y — P M — m -— X{x — a) ^ Y l — P{1 — x^) Be C a B { N = + Y T = — Z 32. Vamos a hacer aplicación a otra estructnra, que es muy corriente en las cubiertas, formada por dos pares continuos (fi-

■ gura 35) y empotrada en sus arranques, solicitada por dos fuerzas iguales P, en los puntos medios. Dos ejes coordenados serán la horizontal que pasa por los pun tos medios y la vertical de simetría.

k= ^ txn e( (JU

K a * jt ,

i-)= P t

V -.

- - L . . ^

L . ^ , £ L

\T.t>o7ok

^ 3

lZC4^d,

3^0

llh

117

P Ó R T IC O S

Las áreas de momentos isostáticos son: el triángulo trapecios A 2 J A^, que tienen por superficie FV32 eos a

^ A = - J2_ P _4L 4 eos a ^ 2 .—

1 M 2 \ 4

A ,= - 4 -

\4 ^

A^ + A 2 + Ag ■

3PF 32 eos <

p¿\ l 2 / 4 eos a

2 ^

y los

lOPP 32 eos a

l 4 eos a

SPP 16 eos a

Los momentos estáticos de esas áreas, respecto a los ejes, son

sobre el ox

— PP Itgoí 32 eos a 6

3PP Itg a 32 eos a 9 +

iP P 5/tg a ^ p A g \c ^ ^ + 16 eos a 36 96 eos oc

~PP ~ l 32 eos a 12

sobre el oy I

3PP 51 32 eos a 36

dPP n 16 eos a \ 4

_^\ _ _ PP 36 / 12 eos a

Los denominadores de las reacciones valen, respectivamente. l d l = 2 2 eos a

el de Win

el de Y J x^dl = el de X

yHl = :

l (longitud de la directriz) eos a

l 1 P 2 eos a 3 4

P 12 eos a

l l ^ tg a 2 eos a 3 \ 4

P tg^ a 48 eos a

Véase pági na 57.

118

M E C A N IC A E E A S T IC A

Valores de las reacciones en el centro lOP /2 1/ eos a

X--

P P tg a 96 eos a Ptg^a 48 eos a

ón

P 2tg'a

= 0,3125P¿

= 0,5P cotg a

PP y =

1 2 eos <

= p

1 2 eos a

33. Pórticos curvos y poligonales.— E l estudio de estos pórticos puede hacerse por la aplicación del teorema de Castigliano, en for

ma análoga a la desarrollada en el capítulo anterior para los arcos. Si, como es frecuente, el pórtico tiene dimensiones relativas com parables (la luz y la altura), de tal modo que ésta última no sea

^ C K A

')< -

dij^ .

)f^

o(^ ¿?to<^

TR C/Oot í>to(

^ - \f d p ^r d i j ^ ^7T

¿ ti

oL -

- T r ^ IÍmV

«>■'* +

0 ^ ^ i^

¿« < . -

. //I

"fA

119

PÓRTICOS

muy pequeña en relación con la otra, o que los pñares no tengan gran rigidez mecánica, los términos del teorema citado que co rresponden al trabajo normal y tangencial tienen poca importancia, y, por consecuencia, se puede en esos casos prescindir de su influen cia, sin error aparente. E l método de Müller-Breslau, fundado en esa simplificación, con su notable comodidad de cálculo, permite resolver la indeter minación biperestática, bien analíticamente o por medición gráfica de las áreas que sus integrales representa, en forma semejante a la de los pórticos rectos antes explicada. Sea un pórtico con cabeza curva semicircular (fig. 36), en el que el momento de inercia sea constante. Por simetría, los ejes coordenados son la vertical y horizontal pasando por el centro de gravedad, el eual queda determinado to mando momentos estáticos respecto a la horizontal que pasa por el centro del semieírculo — 2a •

tzR

tí

— íí]^(2a -}- tjtR ) . 77

Altura del centro de gravedad, sobre los arranques del arco: Cl-\ —

«2 +

tzR

A fin de simphficar los cálculos, adoptaremos las coordenadas polares para el semicírculo. Eos tres denominadores de las reacciones se obtienen del modo siguiente V : jrdl = 2 a -f ttí? J rx M = 2 a R ^ + R ^

ada

2aR^ + R^ ~ +

= E 2 2 a -b I ry^dl = ~

(7í®— a^) -|- |

■kR

(/í® ^ a f j -|- E® jI sen^ sen^ a d aa. -|-¡-aiR a J Q

= ^ (A» - 4 ) + R R^

(i? sen a — a-^'^dl =

í'Tz

sen a^cos a_ ^

rn da.

riz

— 2 a^R^ I sen ./ 0

ada

■

120

M E C Á N IC A E E Á S T IC A

Estos denominadores son invariantes para todo género de so brecargas, o de acciones en general. Consideremos, primero, una fuerza vertical, que carga sobre el pórtico, definida su posición por el ángulo respecto al eje de las X . Hecha isostática la estructura al cortar en el arranque A, de jándola suelta y empotrada en B, la ley isostática de momentos será la indicada en la figura. Su área estará dada por la expresión:

I*M d l ^ — PR^ p =

—

(eos a

eos aj)íía

PR{1

COS

PR^{setí «1 — aj COS a^) — PRa{l — eos a^)

Eos momentos estáticos de esa ley de momentos, respecto a los ejes, valdrán

j'M x d l= -- \cOS a — eos a j eos aífa — PR^a[l------------ eos aj^) =

a , sen a COS a «1 --------2------'I — cosa^sena^

-P R ^ a (l - eos «i) == - PRs

— s e n a j eos

j'Mydl = — PR^ 1’°^'{eos a — eos

— PR^a{l — eos «i)

(R sen a — «jjíZa -|-

-f PRa{l — eos aj)[ «1 + -^) = = —P

sen®

— «1 sen a^^-f R eos® a j — i? eos — COS aJ a-^ -)-

COS a j 1-|-

121

P O R T I C O S

Por consecuencia, las líneas de inflnencia de las tres reacciones en el arranque A, trasladadas al origen, son Pi? 2(sen

mo= + - - —

eos a,) + P R a { l — eos a j

cos^ oii— «1 sen % + ^ + a¡a^ eos

— R

eos ai|+ P P a(l — eos

.X= + 3

{h^ — a ^ )

+ R

(aj— sen

[67]

—■ 4«jP

eos cci) + P a { l — eosaj

y= + -

TtP

2a +

Si la fuerza cargara en el punto medio,

= — , se deduce

P , que Y = — , como debía ocurrir.

Para estudiar el efecto producido con carga uniformemente repartida por unidad de longitud de arco, basta bacer en esas ex presiones la Hipótesis P = pRda e integrar. Entonces las reacciones son R^p Wo = + 2a -|- '!^R

sen

a —

-- ^ I (1 — eos a)da ; 2a 4 - t7tP AJ ^ == Í ^ P + ' +

Ja eos a\da — ipR^ 4 - pa-izR^ 2a 4- irP

|/a ¿a - / s e n ce eos

pRa -j (1 izR 2a 4- ■

—

eos a ) d a

ada\

Rpn 2

X = I (A^ - «1 ® )+

+ «fir - ia,R

[68]

122

M E C A N IC A E L A S T IC A

Trasladando al arranque, en todos los casos, esas reacciones, sus valores son: para la X e Y los mismos, y para el momento m

fyiQ

-j“ X { u -j“

YR.

Ta ley general de momentos flectores está ya completamente definida, como pieza isostática, con esas reacciones. Si en las expresiones [67] y [6 8 ] se supone a igual a cero, re sultan las reacciones correspondientes al arco de medio punto, con valores muy sencillos: Para una fuerza P: PR , M q ---------(sen ai

— ai eos ai)

R (

cos^ ai — «1 sen ai +

— \-

eos ai — R eos ai

' ' [69 ];

R^ ^ + a \ — áa^R y = -1------(ai — sen ai eos a j

Para carga uniforme, lineal' 2R

m o= +

;pR^ I Z = ----------- ^ P2 + T= +

tcR

— )

[70]'

- 4a^R

Rpn

Estos valores aplicables a los arcos y bóvedas de medio punto, aunque muy aproximados, no son exactos, porque, según explica mos, el método seguido tiene como simplificación la supresión del efecto del trabajo normal y tangencial, que, en los pórticos, en ge neral, son poco apreciables, pero en los arcos tiene importancia, pequeña en los de medio punto y creciente a medida que se dismi nuye la flecha, aumentando el rebajamiento. Para la carga uniforme por unidad de luz no hay más que su-

123

P Ó R T I C O S

poner P — pdx = — pR sen a-da. en las fórmulas [67] e integrar.

(sena—aeos a) sen aífa—

pR^ 2a + '’^R j o

nin =

í-t: pR^a - / (1 — eos a) sen oida. = — 2a ■ 2a -)- kR 0

- ^r o r

— I

¡sen a eos ada. I

— 2apR^a + t^R

(/:

sen a.da. —

pR^ -I- — ) — 2 = 2a + Tti? \ 2 4/ 2a-{- tzR

sen a eos aífa I =

pR^ I Sttí? -}- 2a 2a + -kR \ 4 R

X = R -j- - ^ J

sen ada. + a^a^j

ssen^ ada■

COS^ a sen a ¿ a —

eos a sen ad a — R j

\ eos a sen a d a j

— pR^a j" (1 — eos a) ^a^^ + -|-j sen ada I 4R a^Tc \ pR^ R \ ^ --------+

{h^ - a l ) + R [ R ^ ^ + a l n - ia^R Y =

■ pR^ 4a “{“ TtR

(a — sen a eos a) sen ada ■

^-^ - ^( —cosa)senaii

pRa

2a + sen^ a eos ada] -

—

- p R ^ ¡ ÍTZ asen a da ■ 4a -)- Tti?

pRa / —' ' nR 2a ■

rn — pR^n / sen a eos a d a I = 4a + rzR d0

sen aaa

4pRa 4a + -kR

34. Siendo indicado para algunos casos, en que hay una carga grande, el empleo de arcos o bóvedas ojivales, conviene hacer su

124

M E C A N IC A E L A S T IC A

estudio que, siguiendo el mismo método, resulta fácil de resolver. Sea (fig. 37) un pórtico ojival, solicitado por una carga uniforme por unidad de luz, aunque sería igual con cualquier género de carga.

Para fijar la posición de los ejes coordenados, determinaremos el centro de gravedad, primero de la ojiva y luego del pórtico total. Tomando momentos respecto a la línea de arranques de la ojiva, resulta

- o 2« ^ -

sen aá a = - ^ ó /í = 4zttÍ? Í 3 R \

27t

1 2«

de donde úí'-í

R ^ -a^

3a -|- tzR

2 ti ’ 2 tvR

= - «2 _1_

125

P O R T I C O S

y siendo la luz l = R será 3 —

- «2 2)0, Tzl

Los ejes serán la vertical media y la liorizontal que pasa a la altura sobre los arranques de la ojiva. Los denominadores de las reacciones, obtenidos del mismo modo que en el caso anterior, valdrán ahora

í rdl = frx^d¿ = 2 a ( - f j

2a + —

(3a + id)

R I R eos a --- ^ 1 ¿a :

+ 2

sen a„-------|_ eos a _a _ s e n a +' —a \) 3"= aP + 2 R ^,i ----2 2 '

3 n

+ 2i?3

2 7T

J"ry^dl —

(A®— aj) + ^J

sen a — aj)^da =

- O + E l momento estático, para la carga considerada, en un punto de la rama de la izquierda, es p

^ 2i

— ; en la rama de

7^2 cos^ ce la derecha será p ----- ^----- , luego el área de momentos estáticos A vendrá dada por la expresión 7T

^Mdl = — j

Rd a .-^ {R — R eos a)®— J '

Rda. ^ i ?2 eos®a —

pR^a pR^ ( o I o sen a eos a — = —■ -- 2““ ( “ — 2 sen a + 2 pR^a _

pR^ 12

3 pPa

126

M E C Á N IC A

e l á s t ic a

Ivos momentos, de esta ley de momentos estáticos, respecto a los ejes, son

M x d l= I

R da-^

— eos o.)4 r eos oi— ^ \ ^

Rda.- ™ R^ COS^ a[7? eos a --- ^ 2 \ 2 / 4

pR^ísVd

\ pR^a pl^í^V^ V ~ ~ ~T~ \

"2 i

pl^a

2 ~

I Mydl = — / Rdci[R — R eos a)^ •^ [R sen a — a-^ J Jo ¿ ■ pR^a I a -7C + «1 = '■ 2 +

—I

/:o Rda. • ^ 7?2 COS^ a.{R sen a —flj)

= “ ^1 ' ( í ~ y = - ^ ( 4

|- « i/ ^ ) + ^

(«^ + 2 ««i)

(«2 -l

Las tres reacciones que en el arranque izquierdo del pórtico que se producen por la citada carga uniforme, trasladadas al cen tro de coordenadas, valen

2 , 3 8 + Zpl^a

OTo= -f-

4(3a IS .r -

Y = -

7t/) \

12a pPa 4

4 ^ + -^ (2 , - S Y S )

z = +

(j “ I (A3 - a?) +

iizl

= + il

■ ^

+ |-

) + -^

~ 2^

+ 2 ««i) + I

[

71]

127

P O R T I C O S

Carga aislada en la clave:

7T P\ Reos a —

¡M d l= - j

—PR^ I

= — P7?2|seua— —

Rdcí — a

1 \ PR ( eos oc---- — \da. — a ^

-P R ^

IP 3

PRa

PR = -----^ ( 0 , 6 8 P + a) Ji

j M x d l = — J ^P^RcOSa----^jPí¿a|^PcOS a ---- ---------^

—

PR ^

, 3/

„

,\ ,

/ a , P R \-^ +

sen a eos a

f Mydl = - j'^

+ ■

PR^

sen a

PRH /'O

{ r eos a - -^^Rd<x [R sen a— a^) +

\ R i + ~cT P A = —

PR^a

( COS^a -|-----------eos a) j d i x -----------—

I 1 eos a ---- ^

.a + “¡T

PaP / , a sen a — a-^do. -{-----— («i^ + ---^j =

7T = — P P 2 J" / 1^R P eos eos a se : n a ----- ---------------- «1 eos a +

PaP

, a

jí¿a +

128

M E C A N IC A E L A S T IC A

i?sen^a

Ticosa

------ ------- sen a + = - PRH---- ------- ^

1 ^ 1

+ -^ (« i-h y ) = = - PR^

i/3 + -^ 1 +

PaR + ^2 )

lyas tres reacciones, en este easo, son: Pl

(0,685/ -|(3a -(“ i'^/) l a-^\^ i P/^ ly-

2 / „

«iTC \ ~l

Pal o

h+ ■

[72]

3 \ , .47r - 31/ 3 „„ , 2 , , — a\ 1 H-------- —------ P — 2Pa-, + — -Kla\

Yo =

+ ,

it+ í(2 ,^ 3 |/ 3 )

35. Iva ventaja principal de este método consiste en que con facilidad se obtienen explícitamente los valores de las reacciones in cógnitas, pero cuando la curva que enlaza los pilares tiene ecuación un poco complicada, resultan cálculos demasiado prolijos. En esos casos, y lo mismo cuando la directriz no tiene definición analítica, se puede emplear muy satisfactoriamente la interpretación gráfica del método, en la forma siguiente: Sea tm pórtico compuesto por dos pilares, verticales o inclina dos, coronados por una pieza curva cualquiera (fig. 38). Determinemos el centro de gravedad de. su perímetro total, suponiendo asignado a cada elemento una densidad proporcional a la inversa de su momento de inercia, y tracemos por ese punto los ejes de inercia (horizontal y vertical si el pórtico es simétrico). Supongamos cortado el pórtico en el arranque izquierdo. A, y empotrado en el otro, B. Cualquiera que sea el sistema de car

129

P O R T I C O S

gas que sobre él actúe, se determinará inmediatamente la ley de variación de momentos flectores isostáticos empezando desde A en que por estar suelto será cero y dando la vuelta a todo el pór

tico. Representados los momentos, por ordenadas normales a la directriz, tendremos el área rayada en la figura. Por lo dicho an teriormente, sabemos que los numeradores de las tres reaccio nes son jM rdl,

■ J Mrxdl,

J Mrydl]

la primera integral es el área de momentos flectores isostáticos; la segunda y tercera, los momentos de esa área supuesta concen trada en la directriz respecto al eje de las y o de las a;, asignando a cada elemento de directriz una densidad r, inversamente propor cional a su momento de inercia. Esa superficie rayada no es la de momentos JMrdl; sólo la representa en aquellos elementos rectos; en los curvos es preciso rectificarlos, como fácilmente se ve. Es preciso, por tanto, rectificar las partes curvas, como indica la figura 39, y entonces el área total representa la, primera integral. Tomados los centros de gravedad de cada una de las áreas par ciales {A^A^Ag...), proyectando esos centros sobre la directriz (en

130‘

M E C Á N IC A EL Á S'T IC A

la parte curva/ réfiriendo, ádeinás, este punto a su posición sobre la curva) y 'multiplicando la respectiva Coordenada de cada uno dé esos puntos por su área, la suma (Axi,A 2X2 ,AQXg...,'A^yi,A2y 2 ,^sys---) representará, respectivamente, las integrales jMrxdl, jMrydl, con lo cual tenemos los tres numeradores calculados. Los denominadores ya se sabe calcularlos: el primero es la rec tificación de la directriz, o más bien su peso, asignando a cada

I-'ig. 39.

elemento una densidad r , ' iriversamente proporcional a su mo mento de inercia; el segundo y tercero, sus momentos de inercia, respecto a los ejes coordenados. Siguiendo este procedimiento sé calcula, con gran rapidez y suficiente aproximación, una estructura en forma de pórtico, de cualquier- figura, compuesto de elementos rectos o curvos, por ejemplo la cercha con lucernario (fig. 40), frecuénte en naves para talleres, u ottas análogas.' No tiene' dificultad la aplicación del teorema de Castigliauo, para el cálculo de pórticos; pero si se toman todos los términos resulta bastan-te prolijo en las expresiones que resultan.

311

P Ó R T I C O S

Por ejemplo, en el pórtico de la figura 32, para la determinación de las indeterminadas en el arranque izquierdo, escribiríamos las leyes dé momentos, y cargas transversales y normales En el pilar A:

j M = m — Xy A/- = y I T =X

En el dintel:

j M = m - X a + Y x ; M = = m - X a + Y x '— P (x '— x^') \N = X N=X T =Y t= Y -P M

En el pilar E: /

A- Xy - Y l A - P x = -(Y -P ) T = -X +i 1^

Expresando la nulidad de recorrido de las tres indeterminadas in, X, Y en A , resultan las tres ecuaciones f M dM dP dm f M dM fN di + "=J' E l dX Í E I dM f.N di 4- 1 M dY 1Eco

0= 1 E l

í 1

dN dl + / E'co dX dN fT ^ d Y dl + E'co

dT di dX dT di dY

132

M E C A N IC A E L A S T IC A

De considerar todos los términos, aunque sencillo resulta labo rioso, y al prescindir, como es corriente, de los trabajos de Ai y T representa igual simplificación que la adoptada en el método de Müller-Breslau. El método derivado del teorema de Castigliano es, en cambio, muy expedito cuando en lugar de empotramiento se tienen articu laciones, pues en ese caso sólo ha lugar a considerar la segunda de estas ecuaciones. 36. Influencia de la temperatura.— Al estudiar el fundamento de este método de cálculo vimos que cuando la estructura estaba sometida a variaciones de longitud de sus fibras, dando origen a una variación media, X, en la directriz y a las x " y x', en el in tradós y trasdós, respectivamente, las reacciones hiperestáticas (w X Y) producidas por esa causa tenían el mismo denominador de siempre y sus numeradores eran, respectivamente. El

(X' -

X"'

El Xse n

XCOS •

-f-

/ ( X ' - X "

( X '-

X " ) |- ¿ z jy

)-d l c

(en las que c es el canto total de la sección). E s ta s in te g ra le s C o rresponden a e le m e n to s de m o m e n to de in e rc ia I, y c o eficien te de e la s tic id a d E, c o n s ta n te ; si fu e ra n v a r ia b les, e n tr a r ía n co n s u le y de v a ria c ió n d e n tro d e la in te g ra l.

En los pórticos de poco grueso, como suelen ser por regla gene ral, la diferencia de dilatación de las fibras de intradós y trasdós es bastante pequeña y frecuentemente se prescinde de su influen cia, considerando la acción de la temperatura provocando la dila tación media. Con esa condición, la influencia de la temperatura es muy fá cil de estimar; el numerador del momento es cero (en el centro elástico, que es donde están esas reacciones) y los de A e Y son, respectivamente, las proyecciones sobre los ejes de la dilatación, multiplicados por la rigidez E l. En los pórticos simétricos, cuando la temperatura se ejerza so bre toda su directriz, la. J x sen

= 0 y sólo habrá una ley de

133

P O R T I C O S

momentos producidos por el empuje horizontal, medido, por la otra integral, con su denominador correspondiente, al trasladarle al arranque. 37. Como resumen de todo lo expuesto, para proyectar un pórtico cualquiera empezaremos por representar la sobrecarga y la ley de momentos flectores isostáticos producidos cuando se supo ne cortada la estructura en un arranque y empotrada en el otro. Determinados por un tanteo los gruesos de las diferentes pie zas, se representará de igual modo la ley de momentos flectores isostáticos debidos al peso propio (prescindiendo de los pesos de los pilares, si fueran verticales, porque sólo producirán aumento en la Y , que se tendrá en cuenta al final). Con esas leyes de mo mentos flectores se calculará gráfica o analíticamente su área to tal y los momentos de esa área respecto a los ejes coordenados (que son los de inercia) y de ese modo tenemos los numeradores de los valores del momento y de las reacciones vertical y horizon tal correspondientes al arranque que se supuso suelto, pero tras ladados al centro. Dos denominadores son, respectivamente: el peso de la estructura, supuesta formada por un material cuyo peso es pecífico fuera la inversa de su momento de inercia, y los momentos de inercia de ese peso de la estructura, respecto a los ejes. Por último, la influencia de la temperatura se estimará suman do algébricamente a los numeradores de Y y de Y las respectivas proyecciopes de la dilatación total (^JX eos adl,

J x sen

multiplicadas por E l, si el momento e inercia fuese constante, o la suma de esos productos si fuese variable. 38. Estructuras cerradas.— Hay muchas estructuras cuyo es tudio puede reducirse al del pórtico, sin variación alguna respecto al proceso de cálculo. Entre ellas pueden citarse las cuadernas de un barco de una sola cubierta, los acueductos o canales arriostrados superiormente, los silos cuando se consideran rebanadas alejadas del fondo (cuya influenza veremos más ádelante) y, en general, todas aquellas for madas por mi conjunto de piezas, unas a continuación de otras, que dan una vuelta completa. Después de lo dicho, no es preciso detallar cada una de esas formas, entre las que hay gran variedad.

134

M E C A N IC A E E A S T IC A

Pondremos como ejemplo la cuaderna de un barco, represen tada en la figura 41. Cortando por el plano de simetría MD, se considera el pórtico formado por el medio bao AM, el costado A B y la. media varenga CD, ■ el que se hace isostático suponiéndole suelto en M y empo trado en D. ha suma de las áreas— {A^ ^ 2) ele los momentos que pro-

----j-----

duce el empuje del agua, da el numerador de Wq, y las sumas

+ ^ i y i + ^ 2y2

son los numeradores de X y de Y; cada una de esas áreas multi plicadas por la relación

siendo I el momento de inercia de la

línea directriz a que corresponde. Los denominadores, como siempre: el peso y los momentos de inercia de ese peso, con una densidad para cada línea igual a

39. Pórticos con tirante.— Para atenuar los empujes horizon tales y mejorar la ley general de flexiones, se disponen en algunos pórticos piezas que hacen de tirante, ligando los pies derechos.

P O E T I C O S

135-

Aumenta de este modo la indetermiuación hiperestátiea del pórtico y, aunque el cálculo se complica, sin embargo; no deja de ser fácil la determinación de las reacciones y.la tensión del tirante.. Dos casos debemos distinguir: que .el tirante esté rmido pór ar ticulación con los pies derechos o, por el contrario, que esté em potrado en ellos. ■ , ; Ordinariamente se dispone aquél exclusivamente pata sufrir tensiones y su momento de inercia es muy pequeño: comparado con el de las piezas del pórtico. En este^ supuesto, aunque esté unido rígidamente a los pilares, podemos,prescindir del momento

flector, que absorbe, y considerar su reacción como una fuerza de tensión horizontal, igual que si estuviera articulado. De nó ser así, cuando el tirante tenga una rigidez comparable cpn el pórtico, la reacción en los puntos de unión ya no puede considerarse como una fuerza en la dirección del tirante, sino una inclinada y adéhiás un momento. E l cálculo entonces no puede conducirse con lo'hasta ahora expuesto, siendo preciso acudir al estudio de las estructuras múltiples que desarrollaremos en el capítulo siguiente, mediante las

136

M E C A N IC A E L A S T IC A

cuales es perfectamente abordable y hasta rápido de determinar. Por el momento, consideremos el primer caso, articnlación o momento de inercia del tirante pequeño relativamente. Sea el pórtico cualquiera A C D E B (fig. 42), con el tirante CE. Supongamos suprimido este último, sustituyéndole por su tensión F, desconocida; para un sistema de cargas cualquiera, si no existiera el tirante, sabemos calcular las tres reacciones «o> cen tro, y dé ellas las tres m, X, Y, en el arranque A, con lo que se tie ne determinada por completo la ley general de momentos flectores y cargas tangenciales y normales en el pórtico. Al existir el tirante.

o lo que es igual, -al suponer una fuerza horizontal F, si ésta fuera conocida, podremos determinar igualmente la ley de momentos isostáticGS rayada en la figura y de ella las reacciones m'o, X ', Y', en el origen, o las m', X ', Y ' en el arranque izquierdo. Como F es desconocida, podemos hallar esos valores suponiendo F = 1 y, por tanto, las reacciones m', X ', Y ' verdaderas serían Fm ', F X '. F Y '. Concretando: en un pórtico cualquiera (fig. 43) con un tiran te, empezamos por suprimir éste, y para el sistema de cargas P^, Pg. Ps " que le solicitan, calcularemos por los métodos antes de

P O E T I C O S

137

tallados las reacciones m, X, Y, en el arranque izquierdo, con cuyos valores representamos la ley general de momentos flectores A ' M ' R ' S ' T ' V . Con la fuerza unidad en los puntos de unión del tirante, calculamos igualmente las reacciones m', X ', Y ' que pro duce en el arranque izquierdo, y de ellas deducimos la ley de sus momentos flectores, que representamos en A " M " R " S " T " V " . Ahora bien; sabemos por el teorema de Castigliano, que la de formación o recorrido que experimenta una estructura en un punto en que actúa una fuerza F, está medida por el valor 1 El

dM dL ~dF

si el momento de inercia es constante, o dentro de la integral si es variable. E l pórtico está sometido a una ley total de momentos flecto res que está representada por la suma de las ordenadas de las curvas A 'M 'R ’S 'T 'U ' y A " M " R ' ' S " T " U " , esta última mul tiplicada por F. Es decir, que en un punto cualquiera de la estruc tura, llamando M la ordenada de la primera curva y M ' la de la segunda, el momento en ese punto valdrá M F M ' y la derivada ‘ d M’. de éste con relación a F será dF Ea deformación horizontal en el punto C tendrá por valor 'L 8=

[M -b FM ')M 'dL ■

y como esa deformación provoca el alargamiento del tirante, el cual, para la fuerza F, experimenta, en régimen elástico, un alarFl gamiento (siendo <o su sección y E ' su coeficiente de elasti E'o cidad) igualando esas dos deformaciones, y teniendo presente que F para resistir el tirante habrá de cumplirse — == R^, en la que R^ Cú es la carga práctica de resistencia de su material, tendremos ^

+ FM ')M 'dL

^3 8

M E C A N IC A E L A S T IC A

O sea E' 1 R = ^ ____ I MM'dL + F I M'HL 1 E II •'o o . de doade

F =

R^Eii E'

r MM'dL J

I 'M 'HL

[73]

Esta expresión da, en función de datos todos conocidos, la ten sión del tirante y de ella se deduce iamediatameute el momento M -\- F M ' en cada punto de la estructura.

Ej empl o: Un ejemplo numérico interesante de este género de estruc turas podemos indicar en este capítulo. Se trata del gran cobertizo de hormigón armado proyectado por el autor para el Aeropuerto

139

P O R T I C O S

de Sevilla, en cuyo proyecto tuvo la colaboración de los distin guidos compañeros Sres. González e Hidalgo. No sería posible exponer en este tratado un extracto del pro yecto, pues su gran extensión haría impropia la publicación en este lugar; pero sí daremos un esquema del proceso seguido para que sirva de ejemplo. Se trataba de hacer un cobertizo con Inz libre de 126 metros y altura de 58 metros, sin apoyos intermedios (fig. 44). Y a se comprende que el peso propio había de tener gran influen cia, tratándose de una construcción de tan grandes dimensiones, y para conseguir el máximo de economía, y, por tanto, el mínimo de flexiones, pensamos elegir la directriz en forma de catenaria, de igual resistencia, con sección creciente desde la clave a los arranques. % Esta curva, cuya ecuación es — y = K log nep eos no re sulta la más conveniente, pues hecho el cálculo con ella y con la catenaria normal, de sección constante, se vió qne para esta iiltima

la ley general de flexiones era mucho más pequeña, en sus máximos, que la otra, según puede apreciarse en las figuras 45 y 46 hechas a la misma escala. Aceptada, en cálculo definitivo, la catenaria normal con la ecuación y = 20,70 _

41,40

-1 41 -,40

140

M E C A N IC A E E A S T IC A

cuyo parámetro ha sido fijado por la luz y la flecha que sirvieron de datos, las acciones que deben considerarse para el cálculo son; peso propio, efecto del viento y acción térmica. ha primera es inmediata, pues en cada plano horizontal el peso es la parte que tiene encima, siendo el máximo en los arranques, que

para cada uno es la mitad de ps, siendo s la longitud de la hnea y ^ el peso por metro lineal. Por las grandes dimensiones de esta bóveda era indispensable aligerar todo lo posible su masa, 5^para ser construida de hormigón armado consideramos como solución más favorable la de formar la sección con un perfil lobulado, representado en la figura 47, cuyo

141

P O R T I C O S

perfil proporciona con pequeñísimo espesor un gran momento de inercia. Bn virtud de esta forma de sección, la acción del viento, esti mada en 20 0 kg por metro cuadrado sobre superficie plana normal, queda reducida a 124 kg por metro cuadrado de proyección normal de bóveda, estimando esta cifra por la ley del coseno en el perfil lobulado. Dos hipótesis hemos hecho para la influencia del viento: la pri mera, soplando en un faldón, con dirección horizontal, a razón de 124 kg por m^de proyección, y la segunda, considerando que, ade más de la anterior, existe empuje del viento en el faldón opuesto, por estar la puerta abierta. Bn cada una de esas dos hipótesis hemos dividido la bóveda en 18 dovelas virtuales, de 1 0 metros de longitud cada una, a ex cepción de las de arranques, que tienen 10,36. Aplicahdo a cada dovela la fuerza correspondiente a la resul tante del viento en ella, tenemos las siguientes fuerzas: PRIMERA HIPOTESIS Al = = A3 = F, = F, = As = F-, = As = As =

8378 kg 7661 7113 6390 5406 4188 2678 1151 141

SEGUNDA HIPÓTESIS Las a n te rio re s y además las que siguen: Fio = 141 kg A ii = 1151 , B i 2 = 2678 B i 3 = 4188 B i 4 = 5406 Bis = 6390 Ble = 7113 = 7661 B j8 = 8378

Supuesta suelta la estructura en el arranque izquierdo y empo trada en el derecho, las leyes de momentos isostáticos son:

142

M E C A N IC A E L A S T IC A

SEGUNDA HIPÓTESIS Momento en: A y en 1 M==0 85,45 m 2 . ,. . M = 3. . .. M = - 246,23 4 ........ M = - 476,17 5. . .. M = - 768,03 6 . .. . M = -1099,99 7 . . . . M = — 1473,03 8 . .. . M = — 1804,17 9. .. . M = -2162,82 la clave M = -2297,67 1 0 .. . M = — 2416,63 1 1 . . . M = — 2583,40 1 2 .. . M = -2657,97 13.. . M = -2625,57 14. .. M = -2493,26 15. . . -2268,86 16. .. M = — 1942,10 17. .. M = -15 2 2 ,11 18. .. M = — 986,31 B = — 712,77

PRIMERA HIPÓTESIS Hasta el punto 10 los mismos momentos en las dos hipó tesis, y a partir de este pun to, los siguientes: M i,= — 2584,80 m-tons. -2672,08 — -2678,85 -2626,09 -2533,22 — M x5= -2398,88 — -2240,07 -2050,01 — M b = - 1 9 5 1 ,1 7

Desarrollando sobre una recta la directriz de la bóveda y to mando en escala como ordenadas de los puntos de división adop tados los valores antes citados, resultan las curvas dé momentos isostáticos. E l área de momentos flectores isostáticos así representadas tiene por valor (en las dos hipótesis) 1 .a)

jM rd l = — 303761,5

2 al

l'Mrdl = — 279729,78

Calculado el centro de gravedad de la bóveda, que está en la ordenada media a la altura de 35,30 metros sobre los arranques, los ejes coordenados son la citada vertical y la horizontal que pasa por ese punto.

143

P O R T I C O S

Descompuestas las áreas de momentos flectores isostáticos en áreas parciales y una vez proyectados los centros de gravedad so bre la base y referidos esos puntos a la directriz que motivó esa base, los momentos estáticos de esas áreas parciales, con respecto a los ejes coordenados, dan los siguientes valores: ■ PRIMERA HIPOTESIS

SEGUNDA .HIPÓTESIS

j'M rxd l= - 6159047

jM rx d l = — 4916824

1‘Mrydl = - 1390888

fM r y d l= : - 1818270

L,os denominadores son, como siempre, una invariante geomé trica, y sus valores, que se calculan directamente con la ecuación de la directriz, son frdl = 180,72 m

f-,rx'^dl = 299241 ni^

j ry

= 57861 nD

En consecuencia, con los cálculos anteriores las reacciones, en el centro de inercia, valen: PRIMERA HIPÓTESIS = 1680,8 m-ton. = — 24,03 ton. = -f- 20,58 ton.

SEGUNDA HIPÓTESIS « „ = - [ - 1547,8 m-ton. = — 31,42 ton. = + 16,43 ton.

Para la temperatura suponemos, por exceso, una oscilación térmica de ± 30®, que es enorme; pero que no resulta muy excesi va en el clima de Sevilla, pues dado el pequeñísimo espesor que damos a la bóveda, todo su espesor tomará la temperatura má xima. Además, suponemos que un faldón puede estar dilatado sola mente, por estar en posición normal a Norte-Sur. De este modo resulta = 0,000011 X 30 = 0,00033 X'f¡ — 4,47 ton.

I"* eos a.dl = 126 Y ' q = 0,397 ton.

|sen ^dl = 58

144

M E C A N IC A E L A S T I C A

Con los cálculos anteriores se hallan inmediatamente las leyes de momentos flectores y su envolvente, que está representada en la figura 46. De modo análogo se ha procedido en el cálculo cuando se adop tó por direetriz la catenaria de igual resistencia, y por el examen de la figura 45, hecho a la misma escala de la figura 46, se puede apre ciar la enorme ventaja económica que resulta al tomar la segunda ley en lugar de la primera.

CAPITULO IV

Fo r ma s

: utul a r e s

40. Tracción o compresión.— El género más sencillo de solici tación de un tubo circular es el producido por una presión interior que, de un modo uniforme, actúe sobre todo el cilindro. Suponiendo que el grueso del tubo es pequeño, en relación con su radio, para bañar la tensión media producida basta proyectar las fuerzas sobre

un diámetro cualquiera, obteniéndose así inmediatamente (fig. 48) t = fr, que da la tensión uniforme en una rebanada cilindrica de longitud unidad. Y claro es que el espesor necesario para resistir esta tracción se conseguirá dividiendo por el coeficiente de resis tencia del material. Cuando la forma de solicitación, en lugar de ser una presión interior, fuera exterior, apretando el tubo normalmente, la mis ma fórmula anterior será cierta, pudiendo ponerse c = f r para valor de la compresión media. Pero existe una limitación más 10

146

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

restringida en este caso que en el anterior, pues cuando se trata de tracción por presión interior, el límite de aplicación es el que co rresponde a la resistencia del material, mientras que, cuando el ré gimen es de compresión, precisa, además, un cierto momento de inercia de la sección para -que no sobrevenga el pandeo, de un modo análogo a lo que ocurre en las piezas rectas sometidas a compresión. E l fenómeno es el mismo, cuando para un momento de inercia de terminado la compresión pasa de un valor crítico. Se admite en las piezas rectas la certeza de la fórmula de Euler, que establece como presión crítica P^, en una pieza de longitud l, el valor

P en la que el coeficiente k expresa el grado de libertad de las seccio nes extremas, con valores que oscilan desde 1/4 a 4, siendo ^ = 4 para empotramiento absoluto de las dos secciones, j k = 2 para empotramiento en uno y articulación en otro, que parece haberse comprobado suficientemente. Aplicando esta fórmula en cada me dio cilindro, a los que corresponde la longitud l = ■ n:?', sus condicio nes no son, evidentemente, de empotramiento absoluto en los ex tremos del diámetro, pero más se acerca a esta disposición que a la de articulación en dichos puntos, y como solamente de fijar irn lí mite se trata, podrá fijarse el valor intermedio k = 3, resultando la fórmula

Pc =

3EI

o bien, la presión exterior tendrá el límite 3P/

Para una longitud de generatriz igual a la unidad, siendo

T — ——

^“

12 " ’

[74]

147

FO R M AS T U B U L A R E S

la expresión anterior que da el límite de compresión aceptable se pondrá bajo la forma ^ Ee^ A estas mismas fórmulas se llega, considerando una sección elíptica, y expresando el momento en un punto en función del momento en tma sección de arranque, establecer que la suma de las variaciones angulares en un cuadrante es cero. 41. Hemos supuesto, en todo lo que antecede, un espesor muy pequeño en el cñindro para que pueda tomarse como valor de la tensión, o presión, el medio de los producidos en el grueso del mismo, tomando, por decirlo así, la resultante concentrada en la superficie media entre la de intradós y trasdós; p e r o ____ cuando el grueso o di ferencia de radios interior y ex terior es grande, interesa ver la ley de variación de las ten siones originadas, para poder apreciar el máximo, que pue de exceder mucho del valor medio calculado de ese modo. F ig . 49 Abordando el problema de un modo general, supongamos un cilindro grueso (fig. 49), cún radios r' y r " , sometido a una presión interior f , y otra exterior p " , además de una tracción F a lo largo de las generatrices. Es un problema clásico de la teoría de la Elas ticidad, que se resuelve con las fórmulas generales que expusimos en el capítulo primero. Ensayando una solución de la forma U

aX,

V =

tt.y ,

en la que a es una función del radio. u

—

d —}—

■

w = cz,

148

M K C Á N IC A E L Á S T I C A

y c una constante. Se ve que la dilatación cúbica es constante, porque du dx

ac -4- X -

dv dy

da. dx

a -\- X

da dy

da dr dr dx

2by^ ^

dw = c dz por tanto, sumando dti dx

dv dy

dw dz

2h ”

+ c = 2a + c

Además, /

2 __

2 + y 2,

rdr = xdx + ydy,

luego se tendrá udx + vdy + wdz = axdx + aydy + czdz o sea udx + vdy + wdz = ardr + czdz E l segundo miembro es la diferencial de la función / = j (ardr + c -^ de modo que u, v, w, son las derivadas parciales de la función /. Eas dos condiciones, 0 = constante y esta última referente a las derivadas, son las recjueridas [6 ] para que las expresiones en sayadas satisfagan a las ecuaciones generales de Elasticidad ([g], capítulo I). Como dw ~dy’

dv dz ’

dw dx

149

FO R M AS T U B U L A R E S

son cero, los valores de las tangenciales serán rj,

dv dz

I „

I du

T ,= dv dx

„

du dz

dw dx

xy da. r dr

Para que también sea igual a cero basta que lo sea x o y, de modo que los dos planos coordenados, el de las xz y el de las yz, son las direcciones principales. Para la primera dirección {x = r, y = 0) las tensiones princi pales son iV-j^- - X0 -|—2^ —j— — x(2íí -|—c) -j—2[x i c i ----- ^ Id2

^0 “b 2[x — = X[2í3^-j- cj -(- 2(/ -|------

AÍ3 = X0 + 2 [x

= x(2 a -fe)-)- 2 (xc

Pos valores de las constantes a, h, c bay que determinarlos por los límites, es decir, por las superficies en que actúan las fuerzas exteriores. Para la superficie interior, en la que actúa una presión p ', las ecuaciones ( [A], cap. I) se reducen o. p ' = — A^'^, por ser

a = — 1,

r = 0

o sea y.{p2iCí

“b c) “b

------ 7

= -p '

[«]

Para la superficie exterior, en la que se ejerce una presión p " , las mismas ecuaciones dan a = l ,

p" = —

|5 =

x(2 a -b c) -b 2 [j.

Y = = 0

[b]

150

M E C A N IC A E L A S T IC A

Si además suponemos que el cilindro está estirado por una fuerza P , por unidad de superficie, como a = p = 0, y = 1 ‘ será Aij = P , o lo que es igual \{2a + c) + 2[xc = P.

[c]

Tenemos tres ecuaciones de condición [a], [&}, [c], con las tres incógnitas, a, b, c. Resuelto ese sistema, y puestos los valores de a, b, c, en las anteriores ecuaciones que dan N 2 , Ng, resulta

fVi =

p 'r'2 ^ p "r "2

p '+ p " y'¿

p'r'^ + p "r '

p' + p "

y"2

r 'h ' y^^2 __ Y^2

r"2. _ ,/'2

y'2

[75]

N 2 es la tensión o compresión a lo largo de la circunferencia de radio r, intermedio entre los r' y r". iVi es siempre una compresión entre las sucesivas capas cilin dricas. y" , . . . I/lamando k la relación —7- entre los radios exterior e interior rcuando sólo actúa sobre el cilindro una presión interior p' o una presión exterior p ", el valor respectivo de iVg será p' —

/ 1

^ r

[76]

k^valores idénticos para los máximos r = r' el primero y r = r " é\ segundo, cuando p " = p'\ pero tracción en el primer caso y en el segundo compresión. Para espesores e = r " — r' inferiores a

del radio interior,

la'diferencia entre las N 2 de la superficie interior y exterior no llega

151

FO RM AS T U B U L A R E S

de iVg, y, por tanto, en espesores que no lleguen a ese valor

se puede aceptar como constante a iVg, con el valor

= py.

42. Flexión transversal.— En las numerosas aplicaciones de los sistemas tubulares a la Ingeniería, el género de trabajo más frecuente es el de flexión transversal. En este caso se encuentran las galerías subterráneas para alcantarillado, túneles, etc., y las de canalización de flúidos, por efecto de su peso y de sobrecargas, que, además, pueden estar sometidas a régimen de tracción o compre sión del modo indicado en el párrafo anterior.

F ig. 50

Consideremos primero el caso general de un tubo circular apo yado en la generatriz inferior y con una carga P en un punto cual quiera M (fig. 50). Vamos a bacer isostático el sistema cortando por la sección D y para mayor sencillez empezaremos a contar los ángulos a partir de ella. Empleando el mismo método que en los pórticos, los ejes coordenados que pasan por el centro de inercia serán la vertical y horizontal que pasan por 0. Eos denominadores de las tresi reaccio nes, prescindiendo de la y = ^ , pues las./ es constante P dl= 2-K r

y^dl = j

x^dl=r^J^

cos^ 9 / 9 =;r®7r

M E C Á N IC A E L Á S T I C A

152

El momento en un punto N de coordenada <p será, de 0 a a, M = — P{r sen 9 — r sen a) E l área de los momentos isostáticos es P^M dl

—

Pr^J'^ (sencp—

s e n a )¿ 9 = —

Pr^(— COS9 —

9 sena)^ =

= — Pr^(— eos a — a sen a + 1 ) = — Pr'^{\ — eos a — asen a) y sus momentos respecto a los ejes

X = r sen 9 f * Mxdl = ¡ ^ — P(r s e n 9 — f s e n Jo Jo

(s e n 9 — s e n a ) s e n 9 ¿ 9 = —

-P r^ J^

a) y s e n

9 • rd<? =

( s en^9 — s e n a s e n 9 )¿ 9 =

sen 9 eos 9 , --------- 2 --------^

^ -P f

-¡r

sen a eos a ----------^-------- h sen a eos a — sen a j =

-Pr^\

_ a , sen a eos a -P r3 (- -j-------- ---------- sen a

y como y = — r eos 9

M y d l=

— P?'(sen 9 — sen a) (— reos 9 )f¿ 9 =

' / (sen. 9 eos 9 —sen a eos J o

_ sen®al =

PyO

sen®9

sen a sen 9

153

FO R M AS T U B U L A R E S

I^as reacciones en el origen de coordenadas, valdrán ■ Pr^(l — c o sa — asen a) _ 2-ky Py = —— (1

—

Pr^

eos

a■

a sen aj

„ P sen'^2 :— ~

[77]

¿ t:

sen a eos a

_ Py 3

sen a

y = 27T

: + sen a eos a — 2 sen a)

De estas tres fórmulas generales que dan las reacciones produ cidas en el tubo por una fuerza P actuando en el punto a, pode mos deducir inmediatamente las que se producen cuando la carga es el peso propio o es una que esté uniformemente extendida. Para el propio peso, a razón de p kg. por metro lineal de des arrollo de tubo, no hay más que hacer P = prdtx. en las fórmtdas anteriores, resultando así Pri

27T

(1 — eos a — a sen a)ífa =

p.y'^ ■ (a — sen a “2 [T

sen a +

eos a)^ =

- (2 ti: + 27t) = 2pr^ 271 2K / ■27t pr ¡ pr seiP teda. = 2 n: o pr 27t \ _ ~ 2 t: pr pr 2v:

sen a eos a

2 pr 2

(a -|- sen a eos a — 2 sen a ) d a ZK

2 + pr ¡ 2tv '

sen^ a -h 2 eos a I 2 I) -h' 2 — 2 = prtt

[78]

M E C Á N IC A E E Á S T IC A

154

Con estos valores la ley de momentos flectores en el tubo, por su propio peso, será M

-{-X r =

2 p r'^ —

M ^ = M ^ - Y r - X r + M = m„ - Yr + M = 2pr^ — pr^iz

= - 0,57^f2

pr‘^\-^ — l] = pr‘^ \l — ^

[79] M ^ = M j^ -X 2 r -M

?>pr^

. „

-\- Yr — Xr — M = +

_ pr^

+ 1 j= p J 1

p r^

-\- Yr — M = ipr^ + j = __ o,57/>r2

que está representada en la figura 51 B

Cuando la carga es uniformemente extendida a razón de p kg por unidad de proyección horizontal, las mismas fórmulas [77] dan las reacciones, sin más que hacer p = p ix

X = r sen a

dx — r eos ada

p = pr eos adot.

yv/S|j_«J_e JUL (ÁrfíM

«yV^ >1 0^ l o

O^ i-^Afr.

/jAU^hMid-

k . i 0. -

Lf e^ < K

—

<^= t > C f ' ' - | j = = pi t

? l *

II 2 =. .

.1 1

re f 'W

-TT T

t '

| , p e '' - ¿ í_ x '■‘ i

J Ce

€ i

■ r i ' i L

K }■ £ Z.--------------

á<T

. -

ÍA ^ L

J ^

C/.

0 0 7 o<

j . " fe

0< í

• M M o(

155

PO R M AS TUBUI^ARES

7T 3k Como eos a es negativo entre — y — , tenemos que afectarle de signo menos, pues si no la dirección de las fuerzas P sería la contraria a la que tenemos Pfi f~ir

— I Jjv: ,/

(1 — eos a — a sen a) eos adoL ■-

37T

Pf% í ^ / ^ (e o s a — COS^ a — a s e il a COS a)ia =

a "

[

sen a COS a 2

pyí

3tT 1. 2 2 +

2 tt

37T sen a COS a \ ^ ^ 4: j

a COS 2a 4

3tT 1 2 4

TI 1 \ _ TT/ “

Í2 + - ^ l = + 0,693/>f2

37T sen^ a eos a ia = +

3TC pr I sen® “ \ ^ _ —— , ---- fT 2ti: \ 3 / V

27t \ 3 37T Y = - ^ r 2-k J

[oí

sen a eos

oí — 2

sen a) eos a¿a =

j a sen a -j- C O S

OC +

COS®a \

2 sen'‘‘ a 37T

2?!

csen Oí-j- eos 1

eos® a o \^ — íí> ;-------sen® a I n= ■ /

M E C A N IC A E E A S T IC A

156

L a ley de momentos será (fig. 52) = Wq+ X r = + 0,587 M¿ — M d — Yr — X r = mg — Yr = — 0,307 pr"^ [80]

M b = M d — X2r — M = mQ — X r — M = - [ - 0,299 pr^ M e — M d -\- Yr — X r — M = p

Yr — M = — 0,307 pr^

kg p o r

m.l.

- 2 pr F ig . 52

43. Para ver la ley de flexiones que produce una carga de lí quido sin presión llenando el tubo (fig. 53) con un peso específico 8 kg por metro cúbico (1 000 en el caso del agua), operaremos de un modo completamente igual al aplicado antes. La carga de agua es S(r.— y); obra sobre ds = rd<f; el brazo de palanca es M P = r sen (9 — a), como x = r sen 9 , y = — eos 9 . El momento isostático en un punto M será

2‘n:

^{r — y)MPrd(^ = /

2TC

+ reos 9 ) ^ 9 ;'sen( 9 — a) =

/ 2TC

o r 27T

(1 + eos 9 ) sen (9 — a) ¿ 9 = 8r®/

J íx

(1 + eos 9 )

157

FO R M A S T U B U L A R E S

(sen 9 eos a — eos <psen a)í¿9 = /•2TT

J/ a (sen <peos a — eos 9 sen a +

sen 9 eos 9 eos a -

— eos^ 9 sen a)d<^ =

= Sf ® — eos 9 eos a — sen 9 sen a + eos «

sen® 9

, 9 , sen 9 eos 9 . 2TT s e n a ( - + ---------2-------eos a ■ sen al

2iz

eos® a + sen® a •

eos a sen*" a

a , sen'^ a eos a + ^ s e n a H -------- 2 ------

M = 8r®l

eos a — 7ir sen a + 1 + — sen a

área de m o m e n to s v a le ZU

í Mdl=f

Mrdoc = Sr*f

1 — eos a — iz sen “ +

sen a )¿a

M E C A N IC A E L A S T IC A

158

= Sr"*! a —sen a + =

Sf*( 277 -|-

271:

tteos “

77 -|--- —(--

(sen a —aeos a) 1 = ^ o

77 I =

27t)--

Sf^77

Y los otros dos numeradores valdrán x = r sen a /•2-n:

y-21

Mr sen a.rd(x = / Mxdl = Jo Jo — I Sf 1 — eos a — Tcsen a J 0 r 2K o sen a — eos a sen a — 77 sen^ “

s^n ceda — ~

a sen a eos a , , 771-t;----------- 77------ +

Sr“| — eos oc

asen aeos a

I 1 ( T \T

2 2 t7

sen a

—

^ sen^ a ^

477^

+ ¥ ”V

. 2t: o

y eomo y = — f eos a ^277 /^2 Mr eos arda = / Myá/ = •lo Jo rz-K 1 — eos a — 77 sen “ + sen a | eos ada = = — Sr” / •1 o T277 = — Sf“ I eos a — cos^ a — 77 sen a eos a + — sen a eos a jdee — •' o sen^ a a sen a eos a = — Sr'i sen a 2 2 +

= — Sr'*

a sen^ a 1 sen a eos a

"2 2 t7

“2

2 t7 ~T

4 ' 5 , , — Sr''77.

i V ”

'/o

159

FO RM AS T U B U L A R E S

las reacciones en el origen son, sencillamente, = —

íTzr

X = ---- 5

^ Sr^

r^K

8r“7T^ Sr^Tt

lya ley de momentos será la siguiente Sj/3 =

Mq4 - X r =

------ -—

Q = — Sf®

M a = M o ~ X r - Yr ^ M = Mo ~ Yr ^ M = - -------------- ^ 2¡

Y ~

M b = M b —X •‘2¡r ^ M =

~ 0,2854 Sr®

— X r Y XL = -

8f® T ”

_ y 8f®+ 28r®= 4 4 §4'3 Mc = M b + Yf* - Zr + M = «o + ^^ + -^ = ----- ¿a1- +

+ S r ® | l - - ^ ' j = — 0,28548r® Esta ley de momentos está representada en la figura 53. Cuando existan simultáneamente, como es frecuente, los efec tos de peso propio apreciable, carga de agua y sobrecarga de una fuerza o de otra extendida uniformemente, se sumarán las leyes de momentos que acabamos de expresar. 44. En las galerías subterráneas, el primer problema estriba en determinar las presiones que las tierras producen. No sólo dependen los empujes de la naturaleza del terreno y de su cohesión y coefi-

160

M E C Á N IC A E I-Á S T IC A

cíente de rozamiento, sino también, y muy principalmente, de su forma de sedimentación. Un macizo compuesto de partículas ma teriales puede tener multitud de estados de equilibrio que depen den de las condiciones en que se realizó su constitución, variando entre límites muy extensos los empujes que produce. Suponiendo construida la galería a cielo abierto, llenando después con tierras basta la rasante, la condición más previsora es suponer que carga sobre la galería el peso de las tierras como si fuera un flúido. Pero cuando la construcción se bace en túnel, atravesando un macizo de mucba altura, tal hipótesis sería absurda. En este caso pueden variar tanto las presiones y su dirección, según la historia geoló gica del macizo, que todas las fórmulas que pudieran darse serían igualmente engañosas; sólo la experimentación en una galería de avance previa puede dar idea del orden de magnitud en determi nada zona. Supongamos, primero, una galería circular. En cada punto del medio cibndro superior habrá un empuje vertical y otro horizon-

tal. Cortando por el plano horizontal de simetría, podemos suponer que se establece el equilibrio entre esas acciones y las reaccio nes del medio cilindro inferior. Eos empujes horizontales son mu cho más pequeños e imprecisos que los verticales, y como además favorecen la resistencia, prescindiremos de su influencia, que en los tubos es poco apreciable, de modo que supondremos, se han.

161

3?0RMAS T U B U L A R E S

determiriado las presiones verticales sobre él medio cilindro supe rior, y, en consecuencia, sus reacciones inferiores. E l terreno en ge neral es relativamente plástico y no se opondrá elásticamente a las deformaciones; por tanto, habremos de suponer el medio tubo de arriba sustentado al de abajo de modo que la deformación angular en el plano de simetría sea cero, pero sin reacción horizontal y con una reacción vertical que por simetría será fr, siendo f la presión vertical considerada uniforme. E l momento isostático, en un punto M cualquiera (fig. 54), valdrá i W < = - ^ ( l + COSa)2 y el momento total en ese punto, llamando w el de ernpotramiento en A, será M — m —

- f eos a) - f (1

eos a)^=m-\-

= m -\-

A z

= w -f

eos a) —

(1 -f eos a) (2 — 1 — eos a) = (1 — COS^ a)

Aplicando el teorema dg Castigliano, por . ser la deformación angular cero, resultará

I mrda. -)I (1 — cos^ oc)dcc — 0 Jo J J o o sea mr-K +

■ pr^ Tz

= 0

de donde « = ■

[81]

Este es el momento en los puntos del plano horizontal. 11

MECÁNICA ELÁSTICA

162

I/a ley de momentos será M = m-\-

(1 — cos^ a) — — = —

pyi 4

(2eos® a — 1 ):

eos 2a

que da M= +

pyí

[82]

para los puntos del plano vertieal. Oseñan las flexiones entre

^ P^^-

45. El eáletüo de resisteneia de los revestimientos o galerías de túneles eomo el indieado en la figura 55, u otros análogos, es muy , seneillo euando se han determinado o supuesto los empu I jes del terreno. (Véase para esto el núm. 35, pág. 128.) Como el perfil obedece a razo nes del servicio que ba de pres tar, en general está compuesto de varias curvas y rectas, cuya definición anab'tica de conjun to sería complicada, por cuya razón es más cómodo emplear en estos casos el método gráfi co en la forma que expusimos al tratar de los pórticos en el capítulo III. Puede suponerse que hay un empotramiento en rí y B, F ig . 65 pues aunque exista zampea do, el asiento previo hecho por los muros laterales hace in variables, para las causas siempre permanentes, las deformacio nes en esos puntos. Y , por consiguiente, para las acciones que han de considerarse: empujes sobre la bóveda y laterales, el caso es exactamente el de un pórtico, cuyo cálculo gráfico en

FORMAS TUBULARES

163

general detallamos en aquel capítulo, sin que sea preciso insis tir más. Cuando los muros sean verticales o difieran poco de la vertical y la bóveda sea de medio punto, son aplicables las fór mulas explícitas que dedujimos (pág. 1 2 1 ) para un pórtico con carga uniforme, y el empuje lateral de las tierras representa el mismo efecto que el del viento en el pórtico. 46. En aquel capítulo dijimos que había un gran número de estructuras que podían asimilarse a pórticos, para los efectos del cálctdo. Entre ellas los silos o tubos poligonales son muy frecuen

tes y aunque por ser idéntica la aplicación no sería necesario in sistir, vamos a expresar explícitamente los momentos producidos en un silo rectangular sometido a una presión interior p (fig. 56). Como, por simetría, las deformaciones angulares en rí y E son cero, resulta muy sencillo aplicar el teorema de Castigliano, según hicimos en el tubo circular enterrado, prescindiendo del trabajo tangencial y normal, que son muy pequeños en este caso, en re lación con el de flexión. En virtud de dicho teorema, llamando el momento incóg nito en A, tenemos ■M

~ET

dM J M

d l= o

M:EGANICA ELASTICA

164

I^as leyes de momeiitos son: En el lado AC: py'^

M = Ma+ En el lado CB\

en la que Y , por simetría será igual a ---- - pa, dándole signo — porque evidentemente es una tensión. Siendo I e / ' los momentos de inercia de los lados A C y CB , respectivamente, la anterior ecuación se expresará del siguiente modo

a ph‘‘‘ ~2 +

1 , 48

“ “2

pa'

de la que sale 2 ra®— Zrb^a — b^ ,

iib+ U m

[83]

siendo

Sustituyendo en la ley indicada antes

+ -^Py‘^

tenemos el momento en C 26®+ 2 ra® ^ 6 ®+ ra® 246 + 24fíT^"" 12(6+ rfl) ^

[84]

I; JJ

tt i

El[

á J i i

^ ^

l ( " .* ? » '* * * T > -

L t=

J. £r

■ i

^ t>

w^.«í-W

’

FORMAS TUBULARES

165

y del mismo modo, 2&3 _

— ra^

24 &4- 24ra

[85]

Cuando los dos lados a, h son iguales, y su momento de iner cia también, resultan sencillamente Ma =

■ Té — 24 = MR-

[86]

es decir, como si los lados estuvieran empotrados en los vértices; pero fuera de este caso de igualdad de los lados, en los demás, las flexiones pueden diferir mucho del empotramiento. Si la presión fuera exterior, basta hacer cambio de signo en p para tener las fórmulas correspondientes. 47. En el cálculo de los silos se presenta una dificultad análoga a la de las galerías subterráneas, en lo que se refiere a la determina ción de la presión p, pues una vez conocida ésta la cuestión se ha resuelto, porque ya hemos deducido la ley de momentos. E l caso es, sin embargo, más sencülo que en los túneles, porque el proble ma está más localizado y perfectamente posible de resolver para los casos prácticos. Definamos previamente lo que ocurre en un süo vertical, si su sección es muy grande en relación con la altura. Al echar un árido en su interior, el rozamiento de las paredes influirá muy poco y las presiones verticales en los distintos planos horizontales serán como en un flúido Ny = 8y, siendo S el peso específico aparente del árido; las presiones horizontales, por igual consideración que en los terrenos desprovistos de cohesión, serán Nx = Sytg2^45°— |en la que

es el ángulo de rozamiento del árido, cuya tg2 45«-

para abreviar, llamaremos

de modo que iV, = k^Ny.

168

MECÁNICA

e l á s t ic a

Pero si el silo es, por el contrario, muy profundo y de poca sección, el rozamiento lateral, que en rigor es una fuerza que se opone al peso, podrá tener mucha importancia y se comprende que'exagerando la altura y la pequeñez de la base llegaría casi a sostenerse el prisma de árido sólo por su rozamiento. lyos casos de la práctica no corresponden a ninguno de estos dos límites; la base, en relación con la altura general, no es tan

grande que se pueda prescindir del rozamiento, ni tan pequeña, que sólo ella teuga importancia. ha cuestión es sencilla: basta establecer el equilibrio en un pla no horizontal, como hace Zafra, siguiendo el método de Janssen (figura 57). En una sección horizontal, a la profundidad y, a partir de la superficie libre, llamando 5 la sección, C el contorno del süo y p el coeficiente de rozamiento del árido con las paredes, resultará que la fuerza vertical es Ny ■ S. Tomando otro plano infinitamente próximo a la distancia dy, el prisma de árido de sección S y al tura dy, está en equilibrio por la acción de las siguientes fuerzas: Ny' S en la base de arriba, — {Ny -|- dNy)S como reacción en la de abajo, su peso SSdy, y el rozamiento lateral N^pCdy. Ea ecuación de igualdad será NyS

+ SSdy

—

{Ny

dNy)S

— N.pCdy = 0

FORMAS TUBULARES

167

de donde dN, C .r

dy =

dN^

P^2 (;

P 5

P^ ^

Integrando, queda

iVyj+Ci

cnya constante se determina por la condición de que en la su perficie del árido, y = 0 , la presión A^y es cero; resultando así C ,=

pk^C

l -s

Entonces y=

pk^C

/ .Íi-í£ « iv , SS

y tomando antilogaritmos N. ^

Ss ( _P^y \—e s pk'^C

[87]

Por ser N^>= Nyk^, la presión horizontal será AT

Ss . ^ pC * ^ ~ ^

pk‘ C

[88]

Calculado el silo con arreglo a esta presión horizontal, median te las fórmulas [83], [84], [85], en caso del silo rectangular, o las de los cilindros, en caso de tener esta forma, en las que ahora p es el valor N^, puede ocurrir que resistiendo las paredes a esas flexio nes, estén, sin embargo, en malas condiciones elásticas, porque además de ellas, el silo debe resistir a la compresión que resulta de estar suspendido, por decirlo así, parte del árido cargando so bre las paredes, en virtud del rozamiento. Cortando por un plano a la profundidad y, el peso total por encima de ese plano es S Sy, y la presión vertical sobre el árido in

168

MECANICA ELASTICA

ferior es la Ny calculada; luego lo que carga sobre las paredes será SSy — NyS, y la media SBy — NyS Cb siendo e el espesor. Bs, pues, necesario, no sólo que las paredes re sistan las flexiones [83], si que también puedan sufrir sin pandeo la compresión {SBy — SN^), además del peso propio del silo. Ba exponencial pA"C

para valores crecientes de y, va decreciendo, tendiendo hacia cero, lo cual hace ver que, en los silos, a partir de una cierta altura, la presión horizontal y la vertical pueden tomarse como constantes, en lugar de crecer linealmente. Esos valores dependen del coefi ciente de rozamiento, p entre el árido y las paredes, del parámeC tro k correspondiente al árido y de la relación entre el conO tomo y la sección. Eos efectos de temperatura en los tubos producen efecto trans versal análogo a los arcos, midiéndose sus flexiones debidas a esta causa, por la expresión M = -E I

X — X'

en la que 2 c es el grueso. Las fórmulas [87] y [8 8 ] son muy interesantes, pues pueden dar las presiones que actúan sobre el revestimiento de un túnel, cuando se conozcan las constantes del terreno, pues en ese caso p es el coeficiente de rozamiento del terreno entre sí y ^ la relación de transmisión de presiones, determinable por un ensayo.

48. Flexión longitudinal.— Puede producirse la flexión longi tudinal en los tubos por dos causas: 1.^ Por estar sustentado, del mismo modo que tma viga, en dos o más apoyos transversales, y

FORMAS TUBULARES

169

2.® Por haber un flúido o árido en su interior que provoque presiones desiguales en las distintas secciones del tubo. Por la primera causa no es preciso decir nada; el tubo apoyado en varios puntos de una generatriz se comporta como una viga y es aplicable para su resistencia longitudinal la expresión de siem pre,

. La única diferencia con respecto a las vigas es que, ade

más de calcularse esa resistencia longitudinal, precisa también hacer la comprobación elástica en la flexión transversal, cuya ley de momentos es análoga a la expresada en el párrafo 42 de este capítulo, para carga propia del tubo, o se calcularía de idéntico modo para cualquier carga. La segunda causa de flexión longitudinal es debida a que en lugar de tener el tubo una presión constante en toda su longitud, esa presión puede ser variable, y claro está que entonces las dife-

■ P F ig . 58

rentes secciones experimentarán distintos alargamientos y conse cuentemente las generatrices tendrán flexiones. Este mismo fenómeno se produce en un cñindro cuando tiene tapa uno de sus extremos y esa tapa está unida al cilindro por em potramiento o soldadura, porque eu dicha base la sección no pue de expansionarse libremente, en tanto que su efecto irá atenuán dose a medida que se aleja uno de ella. Y a se comprende que las dos causas de flexión longitudinal que acabamos de indicar (además de la transversal) pueden ser

170

MECÁNICA ELÁSTICA

simultáneas; por ejemplo, en las canalizaciones tubulares de agua es frecuente que la tubería vaya sustentada en distintos macizos de fábrica, en alguno de los cuales puede tener anclajes que formen empotramiento. Entonces, además de la flexión debida al vano que salva, tiene la flexión producida por estar coartada la sección de amarre no dejándole expansionarse elásticamente como las otras. Vamos a calcular esta flexión, ya que la primera es conocidaSupongamos un tubo, de longitud l, que en una sección cualquie ra tiene una tapa o compuerta (fig. 58). El efecto es el mismo que si suprimimos esa compuerta y la sustituimos por la fuerza anu lar f que produzca el mismo empotramiento. Descompongamos el tubo en duelas diferenciales de ángulo íf<p, con el espesor c, y, para

F ig . 69

mayor generalidad, supondremos que la presión del flúido que llena el tubo sea variable. Cada una de esas duelas A B (fig. 59), está en equñibrio por la presión que directamente recibe y por las reacciones F que pro ducen las contiguas. Para una longitud dx de tubo, llamando S la deformación la teral que experimenta por unidad de desarrollo, las fuerzas F de reacción con las duelas contiguas, valdrán d F = EScdx. La longitud de la circunferencia, después de la deformación, es 2nr -f 2 nzS =

27tz(l -j- 8)

FORMAS TUBULARES

171

que debe ser igual a 2 k (f +

8,)

llamando 8 al incremento de radio; de donde 8r = rS

lo cual quiere decir que el alargamiento por unidad de desarrollo es igual al alargamiento de radio por unidad. La fuerza d F será, por tanto, d F = E — cdx r y proyectando sobre la normal media d F ' = 2 s e n ^ d F = d<?-E — cdx 2 r al sustituir el arco por el seno. Esa presión infinitamente pequeña d F ' corresponde, según hemos dicho, a la longitud dx de trozo de tubo; de modo que a la longitud unidad corresponderá el valor , -p dF ' d F \ = d<fE ~~c =■ ' equivalente a las reacciones aplicadas al elemento dxrdn^. Pues bien: en el tubo, al considerar una sección que tiene una tapa o compuerta, coarta la deformación S, de los radios y su efec to se puede asimilar a una fuerza desconocida, p, por unidad de circunferencia. Tomando esa sección como origen, una duela cuyo ancho es rdtf, con la longitud total del tubo, está en equilibrio por la acción de una fuerza concentrada prd<f en el origen y una serie de reac ciones dF'-, = d^E—- c r

172

MECANICA ELASTICA

por unidad de longitud; de modo que el problema está reducido al de una viga cargada en un punto por una fuerza aislada j>rd,v¡ y sustentada por unas reacciones continuas, a razón de d F ' kilo gramos por cada elemento dx p rc t (f (figura 60). Este es im problema clá sico en la Resistencia de ma teriales (prisma so b re base comprensible o problema de la ir viga flotante, del que trata F ig . 60 remos también en el capítu lo V II). Para su resolución. basta partir de la ecuación de la elástica.

TTTTTTTT

d^y = -M dx^

y como la derivada del momento flector es la carga tangencial Y, derivando dos veces esa ecuación, resulta

dm dx^

dx^

dY dx

En el presente caso, la carga tangencial es F ', o sea dY dx y la deformación y es

d^{Br) dx^

dF' dx

-■ dF\

de modo que la ecuación anterior es

■ dtpE — c — — d F \ r ^

El momento de inercia, I, vale

I = - - - rd<f ■ c3

FORMAS TÜBULARES

Sustituyendo este valor y despejando Sr:

173

tenemos

d^(Sr) dx^

Considerando que sobre el tubo actúa, además de la acción lo calizada y desconocida p (equivalente a la compuerta), una presión interior, p^ variable con la abscisa, para cada fibra o duela elemen tal hay que agregaí a la F \ el valor de presión directa p^rdif. Así, pues, tratando el problema en general, la ecuación anterior será El

d*{Sr) ^ _ dx^

E —- c -j- piT

que con el valor antes expresado de J, despejando S„ resulta Sr:

#(S,) 12 dx*

r^pi Ec

Esta ecuación diferencial se simplifica haciendo el cambio de variable independiente V:re 1/3 con cuyo cambio queda

_ J _ d^r] 4 dx^

r^i Ec

Si la presión p^ es una función lineal de la abscisa, para integrar esta ecuación se puede emplear la ecuación característica, y — e“’‘, o en este caso 8, = por ser una ecuación con coeficientes constantes. Y ya se sabe que en estas ecuaciones la integral general tiene la forma Sr =

cos% + (Cae*' +

sen%

r'^pi Ec

[89]

174

MECÁNICA ELÁSTICA

Esta es la ecuación de la elástica o línea de deformación del meridiano del cilindro. En los depósitos de agua, la presión ■ p^es variable con la altu ra, dando el mayor valor, en la base; su ley de variación es

'Pi —fo

---

por el cambio de variable que bemos hecho para integrar la ecua ción, las abscisas verdaderas son re X = ----4---- XK3 o sea que tomando re

]/3 como unidad de longitud, x■^^es la abscisa. Ea longitud l del cilindro será un múltiplo entero o fracciona rio de la unidad Y:re

1/3 y, como en la ecuación de la elástica entran funciones circulares, es cómodo para el cálculo dar a las longitudes forma circular, po niendo l = . 2 n-n:

X la unidad'=

2 n-K

1/ re 4

/3 Suponemos n entero, que es como suponerle una longitud múl tiple de re 2 tt V4 VY

FORMAS TUBULARES

175

I^a ley de presio^es interiores será entonces

2%7T I/as constantes C^, C^, Cg, C^, que determinan la ecuación de la deformación meridiana [8 6 ] se fijan, como siempre, por las condiciones físicas del problema. Si la compuerta o fondo que he mos considerado está unida rígidamente al cilindro, la elástica será tangente a la generatriz en ese punto y, por consiguiente, d{8r)

dx^ Además, el esfuerzo tangencial en esa sección % = 0 , deberá ser igual a la presión desconocida -p que sustituye elásticamente al fondo y por ser el esfuerzo tangeucial.

T--

dM dx

resultará

d\8r) = - r dx-^

2h7i;

= +P

Por otra parte, si el otro extremo del cüindro está libre, para su abscisa l = 2 « 7t unidades = 2 «tt i

1/3“ el momento y la carga tangencial serán cero. De estas cuatro condiciones salen las cuatro ecuaciones entre las constantes

MECANICA EEASTICA

176

Cl -- C2 + Cg + C4 = --

Q + C'2 + Cg -}- C 4 = + Cge^”’" -

2n-r:Ec 2pr^ Ecu

[90]

€ 45 - " ”^ = O

Cge^”"' +

= O

Antes de despejar las constantes de estas ecuaciones podemos calcular el valor p de la tensión a que está sometido el fondo o compuerta, que es la compresión ficticia que hemos sustituido a la acción de ese fondo. En efecto, en dicha sección = 0 , la de formación S,. es nula, y por la ecuación [80] tendremos Ci~j- C 2 —

C ,=

Como la longitud del cihndro es re l = 2nn V: 4 /3" por ser y re K— Vs

Y 're 1,316

0,761/:re

en general muy pequeña, pues c es el grueso, el factor 2 ^í 7t suele ser muy grande y el valor e

— 2«7T

resulta inapreciable; entonces, de la tercera ecuación sale Cg = 0 y de las dos primeras y la última Ci = 0

r = 1^ 1 ^ É c \ u '^ iuK

FORMAS .TUBULARES

177

que identificada con la antes hallada

- r -

"^0 Ec

1“

da a conocer pQ

■ m

4íí7t

4w7t

y por último.

C _ ^

^0 ] ^

E c\u

^^^0 ( 1 _____^

4nn I

Ec \

\ _

2nrz j

2 w7t — 1

2n-K

Con estos valores de las constantes, la ecuación de la deforma ción es cv

—

2 fll^

*’ = “ F r u

2» .

‘

\ r mn

i s r l P 'i

La función. e

—

2717T

1 — *1

—

eos X, -f------------ e 2 wtt

sen x-, '■

se anula para las abscisas 2M7T — 1

tg T i = -

2 wtt

que corresponde a valores muy próximos a 3

y sus máximos están definidos por el valor

que difieren muy poco de (1 + K)iz.

178

MECANICA EEASTICA

De modo que sumando esos valores a los de la recta y= - 1

2«7T

resulta para deformación la representada en la figura. E l mayor de los máximos ('x^ = n) será: — 7T

. ,

e J-

que difiere poquísimo del

Ec \ 2n ----^

corresponde a la

recta (fig. 61). 49.

Do más interesante, para estimar la resistencia longitudi

nal, es la ley de momentos flectores a lo largo de las generatrices, por unidad de desarrollo y la ley de tensiones transversales. Por lo dicho antes,

179

FORMAS TUBULARES

En esta expresión hay que poner el valor de d^Sr) dx^ que da la ecuación [91]; pero como en ésta la abscisa es

en lugar de

re ---- %

X =

tendremos que multiplicar la v por este valor, quedando así d^Yr) dx-^

1/^ re

Ec^ 2r^pQ e 4rl/3“ Ec

‘ sen

M = -

E 12

Ec^ é fl/ X —

d^Yr) dx-^

2W7T -- 1 -------- e 2 n.T:

‘ eos

X-,

En definitiva M -

2»7r — 1 eos % — sen x-¡_ 2-nv: '

3'F3

E l máximo del momento corresponde a la base valor es

rePo

2n- - 1

2 y r

2nK

[92] = 0 y su

[93]

Se anula para la serie de valores que verifiquen la igualdad

2mtl — 1 , eos x^ = sen x,^ o tg 2nn ^ ^

— 1 2mz

2mv

^-------= 1 —

valores que difieren muy poco de los tg Vi -

TC T

5 tT

’

IT ’

= 1 , que dan 97t

1 2nv:

180

MECANICA ELASTICA

Los máximos y mínimos salen de la ecuación derivada e

^ x .l 2w7t— 1

’(—

2mtt— 1

-------eos % — sen % -|------ — ----- sen x-^ + eos % 2nK

= 0

o lo que es igual eotg Xi

I iniz — 1

que es muy próximamente igual a eotg % = 0 a la que correspon den valores 7T

Para el Xi =

S tT

-T'--

el valor del momento es repn 21/3

. 1 que comparado con el de fondo, M q, la relación es casi

lo cual

hace ver la rapidez con que se amortiguan las flexiones. En la figura 62 se ha representado esa ley de momentos para un depósito de agua.

Í81

FORMAS TUBULARES

Y a hemos repetido varias veces que esas abscisas lativas; las verdaderas abscisas, en metros, serán

son las re

*_ Vs

Para la ley de tensiones transversales, ya dijimos que la tensión diferencial era d F — E —

cd%, y, por tanto, la tensión por

unidad de generatriz, será ^^

—

2^ T C --- 1 —

co s» , + - g ^

s e n - 1+ —

\ Trt .

1[94] ■ TZ

Los máximos de esta tensión son para las mismas abscisas de la deformación, es decir; para (1 + K)-k. Y el mayor de los má ximos es dF dx^ Si en lugar de tratarse de un tubo vertical, en el que las pre siones son crecientes linealmente con la profundidad, se tratara de tm cilindro horizontal, en el que las presiones fueran constantes, la cuestión sería más sencilla, pues en el sistema de ecuaciones de las constantes la primera ecuación sería — Cg + Cg + C 4 = 0 y las demás quedarían lo mismo que antes. Algunos depósitos de agua tienen cubierta que, en general, está empotrada al cilindro. E l régimen de flexiones se altera entonces; pero el problema es el mismo con sólo sustituir la ecuación ter cera y cuarta del sistema [90] por las ecuaciones - Cgg-"’”" + Cge"”’" +

^¥0

2nv:Ec

que expresa la tangencia de la generatriz en la sección superior.

MECANICA ELASTICA

182

y que el esfuerzo tangencial es igual al empuje j> de la bóveda persistiendo las demás ecuaciones. Todo esto que parece complicado es, sin embargo, muy fácil de aplicar en cada caso concreto. E je m p lo Sea un depósito de agua vertical, en forma de cuba cilindrica.

-— i '

U =^

F ig . 6.3

de 3 metros de diámetro y 4 de altura. Pongamos un grueso de 15 centímetros, para hacerla con hormigón armado (fig. 63). Con estos datos, es l= 4

pQ = 4: 000 kg : m ^

y = 1,5

c = 0,15

Coeficiente de elasticidad del hormigón = 15 X 10*^ kg : m^ ha unidad de longitud será Y ye "T

|/3

=0,356 metros

18 »

FORMAS TUBULARES

Como la altura es ¿ = 4, tendremos 4 = 2nn

Vre 4

/3 de donde

2nn =

|/rc"

11^23

1/9. ley de momentos flectores está dada por la ecuación [92], que será ahora M = 260 e

“ í 0,91 eos — sen — \ M M

Esta es la ley de momentos en abscisas x verdaderas, es decir, en metros, y por metro de ancho de desarrollo. E l momento máximo, en el fondo, es

21/3

2niz

l =-236mkg,

por metro de desarrollo. E l primer punto de momento nulo está a la altura de x==

0,28 metros,

a partir del fondo. E l momento M q es negativo y el primer máximo positivo ya dijimos que valía próximamente

M q, de modo que tendrá por

valor M=

~ M q = 47,3 m kg O

Ea ley de tensiones horizontales está dada por la expresión ¿ = 6 000 e

“ eos---- |-0,91e ti

“ sen------1 — 2nizu u

184

MECÁNICA EEÁSTICA

y el mayor valor de esa tensión, que corresponde a la altura X — Ttu = 1 , 1 2 metros, será

<=600o(i--|-)=4320kg por un metro de altura. Si hubiera sido calculada la tensión sin tener en cuenta la defor mación elástica, es decir, por la fórmula fr, la tensión máxima que hubiera resultado sería pr — ^ 000 kg.

CAPI TULO V

Estructuras

múltiples

50. Bn las construcciones continuas es muy frecuente el cruza miento de varias piezas en un mismo nudo, con empotramiento elás tico, dando lugar a un grado de indeterminación superior al terce ro, que se estudia en los pórticos. Bn este caso se encuentran los en tramados de las edificaciones urbanas, los pórticos de varios tramos, los sencillos, cuando tienen piezas de arriostramiento, las vigas ca ladas y tantos otros géneros de construcción de mayor compleji dad. B1 cálculo de cada elemento considerado aisladamente, aun te-, niendo en cuenta prudencialmente el grado de empotramiento, puede producir errores de importancia, pues las acciones transmi tidas a él, por su solidaridad, en virtud de cargas en los otros ele mentos concurrentes, proporciona régimen de trabajo distinto del apreciado directamente y a veces con inversión en el sentido del momento flector, que precisa estimar y precaver. B1 problema general, de inabordable complicación, si se em plean las ecuaciones clásicas de deformación angular y lineal de las coordenadas de un punto, puede, sin embargo, simplificarse mediante reducciones lógicas, haciendo un estudio de suficiente aproximación que permite las más fecundas aplicaciones prácti cas. A Ritter se debe el fundamento de este método, que, de un modo general, expondremos con gran sencülez. Bn el estudio de este método suponemos que los nudos se con servan en posición invariable] no sufren, pues, recorridos lineales, horizontales o verticales, pero sí recorridos angulares. ^ Vamos a empezar por uno de los problemas más fáciles de la Mecánica; una pieza recta apoyada, solicitada por un momento en un extremo (fig. 64).

186

MECANICA EEASTICA

El momento en un punto de abscisa a será M = m

[94]

y como suponemos que en el otro extremo, B, está simplemente apoyada, resultará m + YZ = 0, de cuya ecuación deducimos la reacción Y = ----- producida por el momento m. Sustituyendo / en [94] se tiene m M — m ----— a = m \l

: m{l — x)

representado por la recta A 'B .

A fin de evitar fracciones, se simplifican los cálculos poniendo ^ = X, es decir, la abscisa por unidad. El ángulo de giro que se produce en cada una de las secciones, por ese régimen de flexión, se deduce inmediatamente del teorema de Castigliano. En la reacción A, como la derivada del momento flector res pecto a la acción es dM = l —X dni el ángulo de giro valdrá r M dM d l= l “ j o E l ~dfn^

m (1 — x)^dx w

[95]

ESTRUCTUjRAS

m ú l t ip l e s

187

En la sección B (y en cualquiera otra), como no hay acción directa, para hallar la derivada supondremos una causa infinita mente pequeña, dm, que después se hará tender a cero. Por la ecuación [94] tenemos dm = m -|- Yl,

Y =

dm — m l

Ea lejr de momentos en la pieza será ,, , dm — m M = m -\------ j---- a =

— xj-^ xdm

Derivando con relación a la acción, dm, dM ~ d {^

^T ^

de modo que el giro en B estará medido por la

oE l

dM dx d{dm)

En el límite dm = 0

m{l — x)

xdm xdx

Prescindiendo del factor

[96]

(1 — x)xdx

pieza sea. el coefi

ciente de elasticidad y de inercia constantes, los valores P m (l — x)^dx

j" m{l — x)xdx

representan los momentos estáticos del área triangular de momen tos, respecto al ap03m B el primero y al 4 el segundo, e incluido ese factor dentro de la integral si fuese variable. Luego, el giro producido, en cada extremo por flexión, en una pieza recta solicitada por un momento en uno de ellos, está medido

188

MECANICA ELASTICA

por el momento estático del área de momentos flectores respecto al apoyo opuesto. Supongamos ahora que en la misma pieza se consideran dos momentos; uno m, a la izquierda, y otro m', a la derecha (fig. 65). ha ley de momentos será, análogamente, M = m aY, pero en el punto B deberá verificarse m' = m Yl, de donde m —m l y, sustituyendo, queda /yy^

/yy^

M = m-\------------ a — m{l — x)

[97J

F ig . 65

siendo, como antes,

l ■ hos ángulos girados por las secciones A y B, con igual razona miento que en el caso anterior, resultarán CPl =

m[l — x)-\- '^n'x (1 — x)dx

[98]

m{l — x) -\-m'x xdx

[99]

Haciendo las integrales inmediatas [95], [96], [98], [99], consi derando en la pieza constantes el momento de inercia y el módulo de elasticidad, tenemos 9n

lE I

1 ,

2 ,

Im iE I [95']

ESTRUCTUKAS MÚETIPEES

6EI

189

{m + 2m') [96']

92-

6EI

{m + 2 w')

51 . Entremos ya en el estudio general. Una estructura formada por un conjunto de piezas rectas, de un modo cualquiera, recibe cargas en varias de ellas. Aislando una de sus piezas, en los extre mos concurrirán otras, que le transmitirán deformaciones, consis tiendo el problema en determinar cómo se propagan las flexiones dé unas piezas a las demás. Admitamos la simplificación de pres cindir del trabajo normal y tangencial, pues de otro modo se com

plican extraordinariamente los cálculos, siendo su importancia, en general, suficientemente pequeña. Al considerar una de las piezas (fig. 6 6 ) podemos suponerla aislada del resto de la construcción siempre que se tenga en cuen ta las acciones que las piezas concurrentes en A le transmiten y lo mismo las situadas en E. lylamando m el momento total transmitido por las piezas en A y w ' las de B (*), estamos en el caso estudiado anteriormente y, por tanto, la ley de momentos en la pieza A 15 es M = m[l — x) + fn'x. Esta recta cortará a la pieza en un punto, de momento nulo, cuya abscisa, llamándola S (como se designa ordinariamente), el (*) En general, m y m ' serán de signos contrarios para el equilibrio de la pieza, y por esa causa se representa en la forma indicada en la figura.

190

MECANXCA ELASTICA

punto que representa se puede llamar foco de influencia y se de ducirá inmediatamente de la igualdad 0 = m { \ — S) -|- w'8 8=

---------^

— m

que por estar el momento expresado en longitudes de unidad l, esa abscisa será también unitaria, o bien en magnitud absoluta, U. Se puede despejar m' en función de w y de 8 , ni

= m -

8 -1

Y al sustituir en la ley de momentos, queda M = m

8—% ^ s— 1 — x ) -\ --------- ^ X = m

Podía haberse puesto en función de « ' y de 8 , en la forma M — m' { l - x ) -

= m

8 -1

8— X 8 -1

El ángulo de giro de la sección A será [98]

- ‘. Í J

m {l — x)

S— 1 — ^

— x )d x

Como m es constante en la integración y, generalmente, el coeficiente de elasticidad también lo es, podrán sacarse fuera del signo en esta forma 9i

Im 1 I ^ ~ ^J o T

8 —

— x)d x

[100 ]

En ese nudo A concurren varias piezas, de longitudes 1^, l^, ... y con momentos m \, m\, m\, ...; al suponer enlace elástico en todas ellas, deberá verificarse áng. giro ? = constante y m \

- f w 'a

ESTRUCTURAS MUUTIPEES

191

Ahora bien: sabemos que en una pieza solicitada a flexión la carga molecular en un punto de una sección que dista v de la fibra neutra es t =

- , y siendo las deformaciones proporciona

les alas cargas (ley de Hooke), para la deformación d, tendremos d =

llamando K el coeficiente de proporcionalidad. B1 án

gulo de giro estará definido por d

= 7iT

y, por ser ángulos muj^ pequeños, al sustituir la tangente por el arco resulta ij; = Para un momento M, determinado, el denominador I K mide la facultad de girar la sección, pues es la relación del momento al ángulo o, de otro modo, es el momento capaz de producir un ángulo de giro unidad. Para abreviar, ese producto IK , que en realidad es homólogo del E l, le llamó Ritter medida elástica y se designa ordinaria mente por la letra e. Zafra y otros autores le llaman masa elástica. Pe llamaremos así por la moderna costumbre establecida, aun que es más propia la denominación de Ritter. Cada pieza, si es de sección variable, tendrá un valor de la masa elástica en cada punto, y fijándose en los extremos, para dis tinguirlos, se adopta la letra e para el extremo de la izquierda y e' para el de la derecha. En la pieza A B que estamos estudiando, cada una de las que concurren en A tendrán masas elásticas, respectivas, e\, e\, e\, ... y las concurrentes en B, e^, e^, ... En el extremo A, por definición, el ángulo de giro de esas pie zas será m

m2 e\

MECÁNICA EEÁSTICA

192

y como este ángulo está definido en la pieza A B por la [100], te niendo en cuenta el equilibrio, resultará m

9i ^ 3

mi ~E j . i

8 —^

{\—x)dx=

-’Zm' e 'i+ e 'i+ e ' 3 -f-. • • = S e'

Siendo la abscisa, 8 , independiente de x (pues sólo depende de la luz y de los momentos extremos) podemos sacarla fuera de la integral, y, haciendo la integración, sale el valor de 8 mi 1 — xjxax \ j = --^r ^1 / (1 E8_I „ I^ ^ ' Ee'

mi P 1 T (1 -

Por regla general, el momento de inercia I, de la pieza, o bien es constante en toda ella, o su ley de variación es muy lenta, causa por la que puede tomarse I constante, con su valor, o con uno medio. . La ecuación anterior resulta así mi

1 ^ mi

m Ze'

de donde %EI /se'

[101]

Operando en el nudo B de idéntico modo que con el .4, en re lación con las piezas que en él concurren, evidentemente resulta 8'

6£7 3-h I s T

[ 101']

en cuya expresión Se es la suma de las masas elásticas -h £3 -|,de las piezas que a él afluyen y 8 ' la abscisa del foco tomada des'de B, en unidades de longitud l. Tanto en el valor de 8 como en el de 8 ', los términos Se' y Se,

193

ESTRUCTURAS MUETIPEES

que expresan la suma izquierda de ^ y a la la masa elástica de la pectivamente, puesto ep(e']^ +

de las masas elásticas respectivamente a la derecha de B, son precisamente el valor de pieza ^ 5 en el extremo ^ y en el B, res que m'-y m + m \ + ... = ■ m, o sea + ^'3 + •••) — —

m «'x + «'2 + e'3 = ------ = — ^ 9 llamando e la masa elástica de la pieza en su extremo. Y a se ve que la masa elástica de una pieza no es cualidad geo métrica de ella, sino que depende de la naturaleza de las susten taciones en los extremos respectivos. Y que el conjunto de las piezas concurrentes equivale a otra cuya masa elástica sea la suma de las otras, con signo cambiado. has abscisas derecha e izquierda del foco son funciones de las masas elásticas de las piezas concurrentes y, recíprocamente, las masas elásticas se pueden escribir en función de la abscisa del foco. Porque sustituyendo el valor e\ e\ ... = I,e\ = — ^c y su homólogo 6^ + 6^ + ... = Sej = — e' en las [1 0 1 ] y [1 0 1 '], resulta S= 3—

6h /

de donde 6EI S ... í 3S — I

&EI r

—

2 - 38'

[ 102]

y del mismo modo 8' =

QEI Iz'

de donde 8' 6EI l ' "38' — 1

QEI 1 - 8 l 2— 38

[103] 13

194

MECANICA ELASTICA

52. I^as fórmulas anteriores establecen relaciones que ligan las masas elásticas con las abscisas del foco y a su vez entre éste y los momentos en los extremos de la pieza. En consecuencia, por ellas tenemos relaciones entre las flexiones producidas a uno y otro lado de un nudo, permitiendo estudiar las propagaciones a través de la estructura. Para tener datos suficientes en la resolución del problema es necesario estimar el grado de rigidez de las sustentaciones. Los dos casos límites son el empotramiento y la articulación; un nudo en el que concurren varias piezas estará en estas condiciones o en una serie de grados intermedios, dependientes de la flexibilidad que en él resulte. Cuando el conjunto de las piezas en un nudo es un empotramiento perfecto, la deformación angular 9 en él es cero, y, por definición, la masa elástica de todas las piezas (que en la que estudiamos concurren) será infinita. Por el contrario, cuando la pieza considerada está unida a otras en uno de sus extremos, de tal forma que constituya rótula, el momento de reacción m es cero; la masa elástica en el nudo será nula. Prescindiendo del efecto de temperatura por desigual dilatación o contracción de las fibras, la abscisa del punto de inflexión, que nos daría un cálculo riguroso en una pieza empotrada vertical, es m

ge /

P contándose las abscisas a partir del empotramiento, y siendo F una fuerza normal a la pieza que actúa en la abscisa zp, p, I son, res pectivamente, la altura y momento de inercia de la pieza; h el reco rrido horizontal de la coronación y M el momento en la coronación medido a la izquierda. Cuando sobre el pilar no actúen fuerzas ex teriores y el recorrido horizontal de su coronación es despreciable S=

E = /í = 0

Cuando E = 0

M = - 6E /4t

S= 0

ESTRUCTURAS MULTIPLES

195

puede el foco de influencia existir de un modo virtual por bajo de la basa, cuando el pilar es muy flexible, sea por gran longitud, sea por escaso momento de inercia. Si h es del mismo signo que M, el punto de inflexión sube del tercio tanto más cuanto más rígido sea el pilar, bien por corta longitud, bien por mucho momento de inercia. En el primer caso, empotramiento, la abscisa del foco, por la fórmula [1 0 1 ], al ser Se' = oc , valdrá 8 = -^ y la masa elástica del otro nudo, por la [103] resulta 6E I ^ ~ r ■ 3

4EI i:

[104]

Para el segundo caso, articulación, la abscisa del foco es 8 = 0 y la masa elástica en el otro extremo se reduce a a>EI ~

1 ‘

3E/

[105]

Todo esto en el caso supuesto de que las deformaciones de los nudos de la estructura son tan sólo giratorias, sin componentes de traslación vertical ni horizon tal. La influencia de estas com ponentes se deja sentir en la variación de la masa elástica de los nudos, como podrá com probarse en un estudio rigu roso; como consecuencia de él es interesante recordar que sal vo casos especiales en que des de luego se aprecie la deformabüidad muy sensible de un nudo, la estimación prudencial de las masas elásticas entre 3 y 4,5 veces El — si corresponden a barras empotradas, y entre 2,5 y 3,25 si l se refieren a barras articuladas, es racionalmente satisfactoria. Conocidas las masas elásticas en los nudos, quedan determi nados los momentos flectores, porque en un nudo cualquiera (fi gura 67), siendo e\, e\, e\, ... las masas elásticas, en el nudo, de

196

MECANICA ELASTICA

cada una de las piezas concurrentes y m\, m'^, ... los respecti vos momentos flectores, como por lo dicho antes, el conjunto de esas piezas equivale mecánicamente a otra, de masa elástica, suma de ellas, con sentido contrario, entre los momentos de esa pieza virtual y los de los concurrentes se verificará M m

E= ne

Es decir, que el momento de cada pieza será: m\ = _

M '

[106]

m „=

-M

lo cual quiere decir: que el momento en un nudo se reparte entre las distintas piezas que afluyen a él en razón directa de la masa elástica. Cada una de estas piezas transmitirá ese momento a su otro ex tremo y el valor en el último es m:

S- 1

■m

o sea, para cada una. m

m„ —

§2 - 1

-m 2 ■ •

y con estos valores el régimen de flexión en cada pieza, en virtud de la fórmula [94], tendrá por expresión S'W' M = m(l — x)-\- m 'x— - — - (1 — x) -f- m’x O ---- i

[107]

ESTRUCTURAS MULTIPLES

197

Mediante estas fórmulas se ve la manera de ir calculando de nudo en nudo la distribución de flexiones. 53. En el-estudio anterior hemos supuesto que, sobre las respec tivas piezas cuyas leyes de flexiones se consideran, no actúan cau sas directas, sino que únicamente se producen momentos en los nu dos. Esto equivale a suponer que las flexiones en ellas son debi das a las cargas en las otras piezas; pero el caso general se debe referir al estudio de elementos de la estructura, que, además de recibir las acciones que las otras piezas le transmiten, sufren flexio nes por cargas directas sobre ellos. Hemos demostrado al principio de este capítulo que cuando una pieza A B tenía un momento m en su extremo A , el giro angu

lar que se producía en el otro extremo, B, estaba medido por el momento estático del área triangular de momentos respecto al apoyo opuesto, multiplicado por el

Vamos a generalizar este

teorema, demostrando de un modo general; el ángulo de giro que se produce en uno de los extremos de una pieza recta, solicitada a flexión, por un sistema cualquiera de cargas, es proporcional al mo mento estático del área de momentos ¡lectores isostáticos respecto al extremo opuesto (fig. 6 8 ). Por el teorema de Castigliano, para una causa C en un punto, la deformación es , = /-

M dM di W lC

Como en los extremos, al ser una pieza apoyada, el momento es cero, podemos suponer un momento dm infinitamente peque ño, que se hace tender al límite.

198

MECÁNICA ELÁSTICA

La ley de momentos, para un sistema cualquierafde cargas, sera M = dm + Ya — y como en el otro apoyo, para la abscisa a = l, debe ser M = 0 „ _

0 = dm + yZ —

dm l

i:pa-¡^ l

y, sustituyendo, queda M = dm

—

= dm\ 1 — |-j +

)a —

—

a — 'Zpoí\

Siendo dm la acción en el apoyo al tomar la derivada, será dM _ dC

dM d[dm)

a l

Por tanto, la expresión del giro valdrá

-4

E l dC

M í E ir

fM El

La cantidad contenida dentro del signo integral, prescindiendo del factor

E l

expresa el momento del área de momentos Mdx

respecto al apoyó opuesto, lo cual demuestra el teorema. Consideremos una pieza perteneciente a una estructura que re cibe un sistema de cargas y además sus enlaces en los extremos con el resto de la construcción equivalen a un momento m en'el nudo de la izquierda y w ' en el de la derecha, incógnitos. La pieza A B (fig. 69) puede considerarse aislada del resto, como una viga apoyada, sometida a las flexiones del sistema de sus cargas directas y de los momentos de reacción m y m'. Por el teorema anterior, el giro angular que experimentará cada una de las secciones extremas está valorado por el momento

199

ESTRUCTÜEAS MULTIPLES

del área, ley de momentos isostáticos, respecto al extremo opuesto, multiplicado por

tomando como unidad la luz.

E l área de momentos se compone de la correspondiente a las cargas directas, que vale

Mdx, perfectamente conocida, y de

las dos áreas triangulares debidas a los momentos de reacción cuyo

valor respectivo es

tomando la luz como unidad de

medida. Eos momentos de esas áreas respecto a los apoyos A j B son

Mxdx,

m ^

71.T/T M [l — x)dx,

y y

m ~Q

Por tanto, los giros angulares que se producirán en las seccio nes B j A, resultan l ~ eT i El

: 1

Mxdx +

M[\ — x)dx — 5— I— ^ o b

Si la pieza A B tuviera momento de inercia variable, entraría con su ley de variación dentro de la integral.

200

MECÁNICA ELÁSTICA

Como por lo dicho anteriormente los ángulos de giro 9 y 9 ', de una pieza por flexión, son iguales al cociente de los momentos por las masas elásticas, siendo Se' la suma de las masas elásticas de las piezas que con la A B concurren en ¿4 y Se las que van a B, tenemos m — se

m Se

9 =

lílamando P j Q, respectivamente, a los valores numéricos de las integrales J^Mxdx

J M { l— x)dx

las dos ecuaciones últimas son m-

P ‘- .

I /

m Se'

m , _1 _ I m ~‘T + E l ^ E l \3“

[108]

Si se toman abscisas absolutas, los valores de P y Q expresan los momentos del área de momentos divididos por P. Mediante este sistema de ecuaciones se obtienen los valores de los momentos m y m ', equivalentes a la reacción del resto de la estructura sobre la pieza A B, después de sustituir en ella los valo res numéricos de las masas elásticas Se' y Se, de las piezas concu rrentes, que son conocidas, y los valores de P y Q\ que también se conocen en función de las cargas solicitantes. Estos últimos son muy fácñes de calcular conociendo las cargas que sobre la pieza actúan. Eos casos corrientes son los producidos por carga uniforme o por carga concentrada de una o varias fuerzas. Para carga uniforme, tomando como unidad la luz, la ley de momentos flectores es la parábola M = ~ fx{\ — x)E

ESTRUCTURAS MUETIPLES

y los valores de P y

201

son

P = / Mxdx = ^ = Q Jo 24 ^

[109]

Con carga de una fuerza F en un punto de abscisa a (fig. 70), la ley de momentos isostáticos son las dos rectas A R B cuya área es M = ^ F a { l - a);

F ig . 70

y los momentos de esa área ’

72 - pP = -^ Fr an{ l ~ F =

^ a)\i a +I - -^ - -----—

— “)(^ + “) = “g- Pa(P — a^)

lP Q = ^ F a { l - ^ ) ^ l - a -

2 l - 2a

F a(l — a'){2l —

luego

Q = ~ F a { l ~ a ) { 2 l - a) y si la fuerza estuviera en el punto medio P^Q =

Fl 16

[110]

202

MECÁNICA ELÁSTICA

54. L,a exposición anterior proporciona todos los elementos para calcular una estructura cualquiera, con la suficiente aproxi mación, en la mayor parte de los casos, y con notable sencillez, a pesar de la complicación de elementos de que se componga. Aunque hemos tratado el problema del modo más elemental, conviene insistir en la forma de aplicar las ecuaciones deducidas, es decir, el modo de operar, a cuyo fin expondremos varios ejem

plos de aplicación. Veamos con qué sencillez sale el pórtico equi látero, con carga uniforme en el dintel (fig. 71). En A y B hay empotramiento; luego (según lo dicho en la pá gina 195) las masas en ellos son infinitas y el foco en A A ' y B B ' está a la distancia 8 =

En consecuencia, fórmula [104], las ó masas elásticas de los püares, en las cabezas A ' y B[ valen 4EJ

= Se = Se'

Eas dos ecuaciones [108], teniendo en cuenta que la carga es uniforme pi^ P = Q

203

e str u c tu r a s m ú l t ip l e s

serán m'l , l 1m 4:EI "" 2 iE I ^ . E í

, m' ,

mi pl^ , l / m , m' iE I ^ lA E I + E l T o sea — 14m' = pl^ + — lá w = pl^ + de donde m= m = —

pi^ l 8“

que es precisamente el valor del momento en los vértices, idén tico al deducido en el capítulo anterior por otro medio. Cuando la carga sea una fuerza F en el punto medio del dintel, las ecuaciones anteriores •

P = Q

El 16

son ahora m'l iE I ~

FE fm ^ 1 16EI ' E l

FE mi ^ I( m Í E I ~■ 16£/ ' E l ' 3

m m' “6

o sea — 28»í' == 2>Fl -|- 8 ot — 28w = i F l -f 8 ot (figura 72), de donde m—m =

Fl 12

idéntico al que se obtiene por las fórmulas de la página 1 1 2 .

204

MECANICA EEASTICA

55. Vigas de varios tramos.— Ktitre las fecundas aplicaciones del método expuesto, la determinación de los momentos flectores

en la viga continua sobre varios apoyos, es una de las más sen cillas. Sea una viga de « tramos, con íí + 1 apoyos (fig. 73), y supon gamos uno cualquiera de ellos cargado, bien con una carga unifor me o serie de fuerzas concentradas; ese tramo ocupa el lugar K y queremos determinar la ley de momentos flectores producidos en todos los tramos por la citada carga. Determinemos las masas elás ticas de los dos apoyos que limitan el tramo cargado.

de la siguiente manera: en A ^ por ser apoyo libre la masa elástica «1 = 0 y en A^, fórmula [105], será

‘

ESTRUCTURAS MUETIPEES

En el tramo ^ 2^3

205

abscisa del foco valdrá §2 =

3 _^.6 E /2

X la masa elástica de

quedará QEI, 2—

2 — 38,

por la [103], Conocida ésta, se determinará la abscisa del foco del tramo A 4 aplicando la misma expresión [1 0 1 ] y la masa elástica en ^44, siem pre por la [103]. Y así sucesivamente hasta llegar al apoyo A¡^. Empezando por la derecha, de igual modo, se determinará la masa elástica en A, ' - K + 1Esos dos números e' a la izquierda de A¡^, y % + 1 , a la derecha de A¡^ j, son los que han de ponerse en las ecuaciones [108] en vez de Se' y Se, respectivamente, habiendo previamente sus tituido los valores óe P y Q según el género de sobrecarga que sea [109] o [110], y, sin más que resolver el sistema de esas dos ecua ciones lineales, tenemos los valores ni y m' de los momentos flecto res en los apoyos Ai^, A¡^ Ea ley de momentos en el tramo citado se obtendrá sumando las ordenadas de la recta que une los extremos de los momentos en los apoyos A¡^, ú[a' + i > con la curva ley de momentos isostátjcos debidos a las cargas, suponiendo cortada la pieza en A¡^ y Aj^ 4. Ea ley de momentos producidos en los demás tramos, por la carga en el tramo considerado Aj^, + se.deduce inmediata mente uniendo los puntos, extremos del momento en esos apoyos con los focos respectivos en los tramos adyacentes y obtenien do así rectas que interceptan en las ordenadas de los apoyos Aj^_-^ Aj^r ^ 2 los momentos en ellos, los cuales, unidos con los focos de los otros tramos qué les son adyacentes, determinan esa ley de momentos, y así sucesivamente. De las cargas tangenciales no es preciso hablar, pues ya se sabe que una vez determinada la ley de momentos, la derivada, con respecto a la abscisa, fiia la carga

206

MECANICA ELASTICA

Aun siendo todo esto muy fácil, haremos una aplicación con creta para ver la manera de operar en una viga de tres tramos con carga uniforme. Supongamos cargados cada uno de los tramos sucesivamente. Para el primer tramo cargado solamente (fig. 74), tenemos: masa

elástica,

= 0 , y, empezando por la derecha, la masa en A ¿ es SEI = 0 , por lo cual en será = . Pa abscisa del foco

en A 2^ 3 valdrá S'2 = 3+

6EI

34-2

y, en consecuencia, la masa elástica en Ag es 6A / l

1-8 '2 2 — 3S' 2 ,

&EI l

24 E l l

Teniendo ya las masas elásticas

= 0

e, =

24 E l

en los extremos cargados, como una de ellas es cero, basta una sola de las ecuaciones [108] m ^ E I_ ‘ 7 ~l o

2 iE I

l / m' ' El \ 3

sea ■— 7m' ----

ESTRUCTURAS MÚLTIPEES

207

de donde m' = —

éP’ 15 ^

La ley de momentos en todos los tramos, por esa carga uniforme en el primero, es la representada en la figura. Cuando es el segundo tramo el que está cargado (fig. 75), la masa elástica en ^4^ es siempre = 0 , y en será ?,EI

De igual modo, empezando por la derecha, se obtienen los mismos ■ R’

valores. En los apoyos del tramo cargado, las masas elásticas son, ^EI por tanto, iguales a — -— . b :s [108] dan m'l ZEI ^

pP m' , 1 1f m U E I + E l *iir +

mi SEI ~

pP fm m' 24EJ ^ E l ^ + “ 6 “

o sea 8 m' = pP +

m= m

-|- 8 ot' m = m' = - ^ p P ¿Sj

Con estos valores resulta la ley representada en la figura 75. Cuando el tramo cargado es el tercero, su ley de variación es la simétrica de la estudiada en el primer caso. Y , para toda la viga

208

MECÁNICA ELÁSTICA

cargada en sus tres tramos, basta sumar los tres diagramas antes deducidos (fig. 76). Las cargas tangenciales, o esfnerzos cortantes, se deducen ind/TH mediatamente. En rm punto cualquiera es T = de suerte que tomando los coeficientes angulares de las tangentes se obtie nen las cargas tangenciales. En el primer tramo cargado, como la parábola de momentos totales es suma algebraica de las ordenadas de la parábola AN^A^ de ecuación

= — px{l — x) 2

que representa los momentos

isostáticos:y la recta A^R, tendremos

M - M i -b M^;

¿M dx

dM-^ ^ dM dx dx

Carga tangencial, o reacción en A-¡^,

-o,4E F ig. 76

En A^lSi tangente tendrá por coeficiente angular „

dM^ , dM^ dx

d- Ao = .— dx 17.------------ T

para x — l, o bien

^ ^2

' 15

209

ESTRUCTURAS MUETIPEES

B1 coeficiente angular de la recta RS es

1 15

I L p i = T'A^ = T , ^ ■

^ 1 2

j , por consecuencia, los esfuerzos o cargas transversales constan tes en el tramo serán representados por la paralela a la viga a la distancia

pl.

\ . ¡

ha. carga tangencial en A^A^ será constante e igual al coefi ciente angular de SA^

E l conjtmto de cargas tangenciales será representado en la forma indicada en la figura 77. pV n-

■R

o ,65 p U

H J= 0,0 96 p L

"R.¿^=o,oi3pl.

Fig. 77

Cuando se carga el segundo tramo (fig. 75), los coeficientes angulares de las rectas A^R' j A^S' son, respectivamente.

T a, - + ^ p l

que representan los esfuerzos cortantes en los tramos A^A^y A^A¿. En el tramo .¿42^ 3, el coeficiente angular de la parábola de momentos flectores totales es el mismo que el de la parábola de isostáticos (puesto que son paralelas) y su valor es y ---- -- pl, en A^, representados todos en la figura 78. Z

pl, en

210

MECANICA ELASTICA

Cuando se cargue el tercer tramo, los valores son simétricos de los del primero. Al cargar todos los tramos, se sumarán algebraicamente los resultados antes expuestos, representando la figura 79. Si en lugar de ser carga uniformemente extendida, fuese una o varias cargas aisladas las que actuaran sobre la viga continua.

B.^=o,o5pl

ílj'o.SSpU

'Rj-o.SSpL

R¿j=o,o5'pV

F ig . 78

el problema es igualmente fácü. Conviene entonces, para apreciar los máximos efectos producidos por un tren, calcular las líneas de influencia para una Carga que corre sobre la viga. No existe variación en la manera de operar; se calculan previa mente las masas elásticas en los apoyos del tramo, en el que se considera la carga, y esas masas elásticas son invariantes para cualquier sistema de acciones. I^a única diferencia es que en la aplicación de las ecuaciones [108] para determinar los momentos

H^=o,A-opL

B.2=1,10 p t •

l,io pb-

■ R.¿^=o,4opN

F ig . 79

m y m' en. los apoyos, se pondrá en P y Q los valores [110] en vez éP de que da la [109]. Ejemplo: En la viga continua del caso anterior supongamos que actúa una fuerza F, moviéndose en el primer tramo.

211

ES'l'RUCTÜRAS MUETIPEES

En este tramo, suponiendo que t a y apoyo libre en A^, no ba lugar a considerar más que una de las ecuaciones [108], que será: m 24 E l l

QEIl

r - , 72 2^ I Fa[P-c.^ ) +

de donde m

'15/2

Fa[E - a2)

Esta es la ecuación de la línea de influencia del momento m ', en el apoyo A^, en la que la variable a fija la posición de la fuer za F. De igual manera se obtiene la línea de influencia de cual quier apoyo, y de ellas se deduce la influencia en cualquier punto. Por sus derivadas salen las líneas de influencia de las cargas tan genciales y reacciones. Véase la sencillez con que resultan todos los elementos (mo mentos y carga transversal) en las vigas continuas, precisando sólo la resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales, cualquiera que sea el número de tramos, en lugar de tener un sistema de tantas ecuaciones como vanos, por el método clásico. Además, en esta forma de conducir el problema, la hipótesis de empotramiento de la viga continua en sus extremos + 1 , no aumenta en nada la ÍE I , , 3EI en lugar de en la dificultad, pues sólo varía en,poner l l estimación de las masas elásticas de los apoyos A 2 J A 55. Pórtico múltiple.— Con tanta facüidad como en las vigas de varios tramos podemos resolver el pórtico múltiple, determinando rápidamente la ley de momentos flectores, líneas de influencia y cargas tangenciales, para cualquier sobrecarga, en uno o en varios de los tramos cargados. En la figura 80 representamos un pórtico de n tramos. Empe zando por la izquierda y suponiendo que el tramo cargado es el de lugar K , determinaremos las masas elásticas en los nudos. Do mismo da suponer que en los pies de los pilares existe empotramiento que articulación, pues ya sabemos que de uno a otro caso sólo hay que El Para fijar variar el número 4 en vez del 3, en la expresión de l

212

MECANICA ELASTICA

las ideas, y por ser lo más frecuente, supondremos que existe em potramiento. I^as abscisas de los focos en los püares estarán a un tercio de su altura y las masas elásticas de ellos en su parte superior valdrá —

jSn. Xa / (

Ajx+í

En el primer nudo A \ la masa elástica es también iE I y, por consecuencia, la abscisa del foco en el tramo A \A \ será 1 ‘ “ 1 7

1 2> a 3-b 2

Ea masa elástica del tramo A \A e 9. =

. 6 E /i

1-^ I

en A \ resultará 1 - §1

Como las acciones se transmiten desde el tramo cargado, habrán venido las flexiones al nudo A \ por la viga ^ ' 2-4 '3 y, por consi guiente, es su momento el que se bifurca entre el püar A'^A^y la otra viga A \A de modo que la masa elástica de A \ A '3 en A \ es suma (con signo — ) de las otras. Ea masa elástica a la izquierda de A \ será Se'o =

4EI

6 i7 i k

3Sj^

y a su derecha, la misma con signo cambiado.

ESTRUCTURAS MULTIPLES

213

Mediante ese valor se conocerá la abscisa 83 del foco en el tra mo A'^A's [ 1 0 1 ] y una vez conocido, se determina la masa del tramo A '¿A '3 en A '3 (fórmula [103]), que, sumada a la

del pilar, tene

mos la Se '3 a la izquierda de A ' 3 . Sucesivamente, con sólo esas ope raciones aritméticas, se llega a la masa elástica del apoyo A¡^ del tramo cargado; y empezando por la derecha, de idéntico modo, se calcula la Se^j. ^ ^ del apoyo + iE l sencillo sistema de las dos ecuaciones lineales [108] da en tonces, al poner en S e ' y Se los números acabados de calcular, por su resolución, los valores de m y m ', momentos flectores en los ci tados nudos A 'j^A ' k como pertenecientes a la viga compren dida entre ellos. E l momento m se bifurca entre las dos piezas A'^A¡^ (pñar) y ■ ^'k-^'k — 1 (viga anterior), correspondiendo a cada uno un mo mento respectivo. m-, = — m ni, = — m

&p e'v Se'

sie n d o S e ' = e'p -|- e'„.

Es decir, que el momento m se descompone aritméticamente en dos: uno para el pilar y otro para la viga anterior, de tal forma que a cada uno corresponde la relación de su masa elástica a la suma. Para tener la ley de momentos en la viga y en el pilar bastará unir los puntos de esos momentos y con los focos respectivos. Y sin más que ir uniendo los extremos de las ordenadas que resul tan con los focos, tenemos para todos los tramos la representación de los momentos flectores producidos en vigas y pilares por la carga en un tramo cualquiera. Eas cargas tangenciales son, como siempre, las derivadas con respecto a la abscisa. Ejemplo Para concretar, vamos a hacer el desarrollo de cálculo para un pórtico de tres tramos, empotrados los pilares y con una carga uni forme que se va extendiendo sucesivamente (fig. 81).

MECÁNICA EEÁSTICÁ

214

Sea con valores numéricos ¿ = 1 2 metros y a = 6 metros. Pongamos primero la carga en el primer tramo y sean l e í ' los momentos de inercia respectivos, de los püares y de las vigas, con nna relación 1'

= 14

Pas masas elásticas en las coronaciones de los pilares son

4E I

y las abscisas de sus focos 8 —

O Pa masa elástica en A \ del primer tramo es, por tanto, iE I

y para ver la del otro apoyo A'^ empecemos a calcular por la derecha. En A '4 es áEI a

E l' 21

Pa abscisa del foco en el tramo 3 será

S'3 =

6£ / '

le A

6EI' iE I '

(relativa a la luz).

ESTRUCTURAS MUETIPLES

215

L,a masa elástica en A'g (por la viga) valdrá

6EI' 1 l 2 - 3S'

6F I'

2 ■ -

27 ■ y sumando a ella la del pilar correspondiente, resulta para masa elástica a la derecha de A'g el valor 25

E l '^ '

E l' = 0,307£/' 21

La abscisa del foco en el tramo 2 será 1

8 ',

12-0,307L/'

La masa elástica en A 6£ I '

0,216 (relativa a la luz).

1-8 '2 2 — 3S'2

(por la viga) será 6L / '

1-0,216 2 — 3-0,216

E E 0,784 2 1,352

0,29£/'

iE I que sumada con la del pilar — — , resulta para masa elástica, a la derecha de e, = 0,047£'I' + 0,29£'/' = 0,337£J' Resumiendo: en el primer tramo cargado, la masa elástica, a la izquierda de A'-¡^, es 4£I

iE I ' 6-14

E l' - = 0 ,0 4 7 L /' = Se' 21

y a la derecha de A Se =

0,S2,7Er

216

MECÁNICA ELÁSTICA

I/OS ecuaciones [108] del tramo serán m 0,337£:J'

pP 24£/'

~ET

pP U E I’

l I m , m' ^ \ “3“ + T

(m ^ m

\T + ~3“

Simplificando, resulta 72p + 2ot + 6,967w' = 0 72^ + 25w + 2m'

= 0

m = — 36j& — 3,4835 w ' m' = — 9JSp m = — 2,105^ Si la carga p expresa kilogramos por metro, esos valores serán kilogramos metros. I^os momentos calculados m y m' son los correspondientes a la viga A \ A ' 2, el primero, a la derecha de A y el segundo a la iz quierda de A Cada uno se descompone o bifurca en los elementos concurrentes con él; así, el m se propaga al püar, puesto que sólo él es concurrente, y la ley de variación en ese pilar se obtendrá unien do el momento m, en su coronación, con el foco, correspondiendo al pie o empotramiento el valor m mA^ = — - ^ = 1,05/) El otro momento m' se descompondrá entre la viga A'¡A'g y el pilar 4 ' 2^2 proporcionalmente a sus masas elásticas [103]; co rresponde a la primera el momento 2v

m , 29 niA' = m -----33,7

0,29EI' o.zm E i' - 8,373^

217

ESTRUCTURAS MULTIPLES

y al pilar en su coronación la diferencia m' — { — 8,373?!)) = — 1,357^ en la base del pilar

^ = -

-1,357

Con estos valores las leyes de momentos en viga y pilar son las rectas de unión con los focos. Al nudo A '3 llegamos con un momen to propagado por la viga, cuyo valor, deducido por el triángulo, será niAS'2

niA'

2í) 1 - S'a

el cual se bifurca entre la viga A ' 3A '4 y el pilar A ' 3A 3. A la primera corresponde Ma’Sv Ma'.

V30TB7'

liW “

y al pilar m^, — 1,95?!> = 0,356?!) Seguimos con el momento m^,

l,95p en la viga A'^A'

variando según la ley triangular, dando el valor en A '4 M a' 3u

M a'

se de donde 8C

1,95?!)-

27 1 --

— 0,156?!)

MECANICA ELASTICA

218

propagándose a lo largo del pilar según su triángulo de unión en el foco, resultando en el pie

0,156

+ 0,078p.

Vamos a poner las expresiones analíticas de las leyes de mo mentos flectores para deducir por derivación las de los esfuerzos cortantes. Consideramos los orígenes siempre a la izquierda. Pilar A^A\. La ley de momentos flectores será a T

1,05^

M= -

1,05^

La. ley de esfuerzos cortantes será

3,15

p = — 0,525^.

Vig3.A\A'^. La ley de momentos flectores será M =

12p x { l

— x) -\-

M = — \ f x ^ A-

— w) + wí ■ — 2, l p

I<a ley de esfuerzos cortantes Y = — px A 5,363^ Pilar A^A'2 : Ley de momentos flectores a M

a ■y 0,%18p

M = ~ 0,339/)%0,678^

Ley de esfuerzos cortantes Y = _

0,339/)

219

ESTRUCTURAS MUETIPEES

Viga A'^A'g-. l,ey de momentos flectores

1 - 8 ', 2v

m'A-

i - s '.- T M

;M =

2t/'

1 — 8'

- 8',

M = 0,889^;t: — 8,373j{. L,a ley de esfuerzos cortantes será y = 0,889^ Pilar/4 3^ 'g! I,ey de momentos flectores a T - 0,178^

—X M

: A í = + 0,089jÍ)a;-0 ,1 7 8 íÍ)

Pa ley de esfuerzos cortantes y =

0,089/>

Viga A \ A \ \ Pey de momentos flectores

1 — 8'3

1,95/)

1,95/.-^

l- S '3 -^ M

; M =l,95/>-

M = — 0,175/)% + 1,95/) Pa ley de esfuerzos cortantes y = _ 0,175/) Pilar A^A'^: Pey de momentos flectores M = — 0,039px + 0,078/)

1 - SP

220

MECANICA ELASTICA

Iva ley de esfuerzos cortantes F = — 0,039/) Nos interesan las reacciones en las bases. Estas son las siguien tes: Momentos, los hallados antes en estos puntos 1,05/. ; M a^= 0,678/. ;

- 0,178/. ; M a^= 0,078

Reacciones horizontales, los esfuerzos cortantes en estos puntos. 0,525/.

= - 0,339/.

0,089/.

Ras reacciones verticales serán: En la basa del primer pilar, el esfuerzo cortante en su corona ción, debido a la ley de momentos flectores de la viga A \ A ' 2 , Y a^= 5,363/. En el segundo, la suma en valor absoluto de los esfuerzos cor tantes que se producen en su coronación según las leyes de esfuer zos cortantes de las dos vigas que con él concurren y = _ /ia; + 5,363^^ para:r = 12

Y = — 6,637/>

Y = 0,889/.

Y a^= 6,637/. + 0,889/. = 7,526/. De igual forma Y a, = - l,064p

Y a, = 0,175p

Dos signos se pueden apreciar viendo cómo, aproximadamente, se deforma el pórtico. Y a se ve la extraordinaria facñidad con que hemos determina do la ley de momentos flectores, esfuerzos cortantes y reacciones con sólo sencülas operaciones aritméticas, pudiendo igualmente hacerse con cualquier otro sistema de cargas y de tramos, cual quiera que sea el cargado. 57. Entramados continuos.— ^En las edificaciones modernas, la resistencia de la construcción está fiada principalmente al entra

ESTEUC'I'URAS MÚETIPEES

221

mado, constituido por una serie de soportes o pies derechos, enla zados por carreras horizontales que sustentan los pisos, formando en conjunto una estructura continua por la rigidez 'de los enlaces. Una sobrecarga actuando sobre un elemento de la construcción interesa por sus nudos a las otras piezas, y las flexiones directas van irradiando a toda la estructura. Por la teoría antes expuesta se deduce que los momentos Héc tores en los nudos extremos del elemento cargado se propagan a las

F ig . 82

piezas que concurren en ehos, según leyes triangulares, dando en general valores más reducidos en los otros nudos y que, además, en ellos se hace otra descomposición en sus piezas concurrentes, por cuya causa, desde el elemento cargado decrecen muy rápida mente los momentos, lo que. permite prescindir de su influencia en aquellos tramos que están alejados del solicitado. Pero es preciso saber hasta dónde se extiende prácticamente su acción, y dentro de esa zona, por provocarse, según la posición, momentos de signo distintos, es conveniente determinar las leyes de propagación, que

222

MECANICA ELÁSTICA

pueden dar sobre los tramos momentos de acumulación -superiores a los de la carga directa considerada sobre eUos y a veces de sentido contrario a ésta. El problema general, de inabordable complicación si se pretende resolver por la teoría de las deformaciones, sin embargo, mediante las simplificaciones de que es susceptible este estudio, puede prác ticamente solucionarse, dentro de una admirable aproximación, de un modo tan claro como fácü. Sea el tipo de estructura representado en la figura 82 y conside remos cargado uno cualquiera de los tramos. Ea cuestión estriba en determinar las masas elásticas de los nudos y, consiguientemente, los focos respectivos. Para esto bay que partir de aquellos nudos cuya rigidez se conozca. Partiendo de los pies 1, 2, 3, ..., que por estar generalmente anclados en los macizos de cimentación pueden considerarse como empotrados, podemos determinar la masa elásAiEI tica en las cabezas de esos pilares, cuyo valor sabemos e s ------, siendo a la altura de esa primera planta, además de la abscisa — O del foco en ellos; pero en los nudos 1', 2', 3', ... concurren 4 piezas (excepto en 1' y 5') y sólo tenemos una ecuación para las masas elás ticas, la que expresa que su suma es cero en cada nudo, y el valor iE I de una de eUas — ^— . Estudiando todos los nudos, el problema es determinado, enlazando las masas de unos a otros por las ecuacio nes deducidas en la teoría general expuesta; pero presenta una gran prolijidad el establecimiento del equilibrio en todos. No es preciso tal complicación, si, como es nuestro objeto, ba de resolverse el pro blema dentro de una práctica utilización. Y a bemos visto que cuando una pieza está empotrada en un ex4E/ tremo, la masa elástica es en el otro, y cuando, en vez de l 3EI estar empotrada, tiene articulación, el valor es . Ea masa elásE1 l ’ según baya rótula o empotramiento perfecto, presentando valores intermedios para enlaces semirrígidos. Un tramo cualquiera A B , cargado, queda determinado si se conoce la rigidez del enlace de las piezas que con él concurren, es decir; si se conocieran las condiciones tica del extremo está, pues, comprendida entre 3 y 4 veces

ESTRUCTURAS MULTIPLES

223

de los nudos 2', 3', 2 "', 3 "', 1 " , 4". En los cuatro primeros y en 4 " «e cruzan 4 piezas, con una simetría que permite con gran aproxi mación considerar como empotramiento. En 1 ” la flexibilidad es mayor, aunque por la unión de las piezas diste en general bastante más de la articulación que del empotramiento, razón por la que pue 11 de adoptarse el coeficiente = 3,66, comprendido entre-los lí mites 3 y 4. Con esas condiciones, las masas elásticas de las piezas concurren tes, en los nudos A B , podrán ser: 11 E l ' 3

fil-

De 1 " 2"

4EI

De 2' 2" De 2” 2"'

«3==

iE I £Í2

Designamos por I el momen to de inercia de los pilares y por /' el de las vigas, que podía ser variable de unas a otras.

ÍE I

De 3' 3" De 3" 3"'

^5 =

De 3" 4"

fio =

iE I iE I ' V"

Da irradiación del momento, desde A B, se hace en la dirección de las flechas, sentido que es uecesario para los signos en los nudos. Das masas elásticas, en A j B, para el tramo cargado, tendrán por expresión

e-A—

, e-i +

, ¿2 T

11 E l ' ^3 — “ g

— ^ 4 + ^ 5 + ^ 6

—~y

4.EI , —

, 4EI , iE I I--- ---- r Q>-\ íEF

, 4:EI

“ I -------- 1------- J T ñ -------1------- --—

Suponiendo sobre el tramo cargado una sobrecarga uniforme, a razón de f kilogramos por metro lineal, hemos deducido los valo-

224

MECÁNICA ELÁSTICA

j)P‘

res P = Q =

(y si la carga fuera de una fuerza aislada, de F

kilogramos),

; Foí{P - a2)

Fa.[l —■ a) (2 / — a) 6F

6/2

valores que, sustituidos en las consabidas ecuaciones [105], dan m 3

m 8EI

l / m , m' E F ( t + -3“

pF íe f

^ í

EF \

^ 6 )

de las que, como siempre, se determinan los valores de y w '. I.OS focos en 2 ' 2 ” — 2” 2 '" — 3 ' 3 " — 3" 3 " ' — 3" 4" estarán a ~ de sus longitudes, a partir de las supuestas sustentaciones, O y en 1 " 2 ” está a la distancia 11

S':

3—

6 £ /' 11 E F V

de la longitud /', a partir de 2 ” . De este modo quedan determinadas las leyes de flexiones en las piezas que concurren con el tramo, y de ellas, por análogas conside raciones, se conocerá la propagación por toda la estructura. Es de cir: Determinados por las ecuaciones últimas los dos momentos m y m', la ley de momentos en el tramo cargado, A B, es la parábola trazada con línea llena; los citados momentos se dividen entre las piezas concurrentes, el m, entre las 2 " 1 " —- 2 " 2 ' — 2 ” 2 " '; el m' entre las 3 " 4” — 3” 3' — 3” 3 "'. Da fracción que corresponde a cada una es la relación de su masa elástica a la total (suma de las

225

ESTRUCTURAS MULTIPLES.

tres), de modo que la parte correspondiente a cada pieza será: 11 2" 1"

ni ■

= m■

+ ^2 + ^3

11 3

2 ” 2'

m■

........................ ==

L'i + ^2 + ^3

£ i'

37' /'

4£7

iE l

flj

«2

4:EI a. 4£7 (i.-^

11 £ 7 ' 3 I

4£7 City

4£7 2 ” 2 '”

VI ■

= ;«

+ ^2 + ^3

11 £ 7 ’ 3

4£7 -- - + flj

■

4£7 «2

Análogamente, el momento m' se descompone en las fracciones m'

í"4 + «5 + «c

tn -

--4 ■■f

+ ^6

^4 + ^5 + ^6

Como son conocidos los focos S en esas piezas, tenemos ya la ley de momentos, triangulares, en ellas, y así llegamos a los nudos 1 ” — 2 '" — 2' — 3' — 3 " ' — 4". B1 momento que resulta en ellos hay que volverle a descomponer en sus piezas concurrentes, siem pre proporcionalmente a sus masas elásticas, que, como los focos son conocidos, determinan la ley triangular de propagación. Viendo las fórmulas anteriores y su representación en la fi gura 82, se aprecia que los mayores efectos en las vigas correspon den a los tramos alternativamente cargados, pues, por ejemplo, el, tramo A B , cuando, además está cargado el 4" 5", por el efecto de éste tiene una lej^ de momentos triangular, del mismo signo (en to tal) que los de su parábola, y, consecuentemente, le aumentan. El problema en sí es muy complicado; pero, sin embargo, con valores numéricos se hace rápidamente, pues al saltar en dos nudos sucesivos, se disminuye de tal modo el momento propagado que prácticamente, en los segundos elementos, o todo lo más los terce ros a partir del cargado, su iufluencia es despreciable. Por este método pueden calcularse con aproximación suficiente

226

MECANICA ELASTICA

formas múy complejas de sistemas, que, de otro modo, serían im posibles de apreciar. Así, en la estructura en forma de basílica (fi

gura 83), que es bastante corriente en construcciones industriales, la cuestión es mny sencilla. I^as masas elásticas en C' y A ' (de los pilares) son 4£I ----a

4EJ' - --

El foco izquierdp en C 'A ' tiene por abscisa 1 ' S =í 6E1” ■ ^.:3-f4EI

3 a 2

1 1

Ea masa elástica en A ' (de C 'A ') será .

, ^

6E7" l "

1 -S 2 - 3'S

y como para cargas sobre la pieza C ' A ' el momento en A ' (de la pie

227

E S T R U C T U R A S M U L T IP L E S

za) se bifurca en A 'A j A 'A ” , la masa elástica acabada de calcular será suma de las otras; luego e c'A’

iE I '

Sa’A"

de donde ^A'A"

e C’A'

iE I

Para carga en C 'A ' tenemos ya las masas elásticas que son

iE I

en C y en A '. Pero para carga en A " V , o su homologa, entoces hay que calcular el pórtico A " A 'V A '" A " considerando las masas elásticas iE I ' en sus pies que valdrán H---- — . Para este pórtico podemos aplicar el teorema de Castigliano con ’í'ií' la condición de que la deformación en los pies sea---4£'/' 'C 'A ' +

siendo m el momento incógnito de empotramiento parcial, es decir, el que se va a determina". 58. Vigas Vierendeel.— has vigas formadas por cabezas en lazadas por medio de montantes verticales se denominan así por el nombre de su autor. Y a se comprende, en virtud de lo dicho en este capítulo, que en esas vigas se puede conocer la transmi sión de flexiones siguiendo la marcha que hemos indicado en ge neral para las estructuras en que hay cruzamiento de varias piezas en cada nudo. Us, de todos modos, muy interesante determinar una fórmula general, como hace Vierendeel, que permite calcular con gran sencillez estas vigas. A ese efecto, Vierendeel empieza por demostrar que en cada montante existe una inflexión, es decir, un punto de momento nulo, que adoptando el criterio de igualdad de momento de inercia en cabezas y montantes está situado en el punto medio de éstos. Cor tando después por el plano medio que contiene dichos puntos (fi gura 84), se establece el equilibrio de cada media viga considerando en cada montante la reacción de un trozo sobre otro, que por no haber momento se podrá descomponer en la compresión (o trac ción) longitudinal q y una horizontal tt, desconocidas estática mente. Para determinarlas, aplica su autor las expresiones de de

228

M E C A N IC A E L A S T IC A

formación lineal 3’- angular de un punto en función de esas fuerzas, y estableciendo la igualdad en los puntos medios dedos montantes, entre la mitad superior y la inferior, se obtienen las ecuaciones nece sarias para determinar las 7t y El proceso de cálculo, aunque sen cillo, resulta un poco laborioso, si bien la expresión final es muy fácil de aplicar a la práctica; pero a ella puede llegarse más rápida mente aplicando el teorema de Castigliano, en vez de las ecuacio nes generales de la deformación, y operando en la forma que expon dremos a continuación. No es preciso demostrar que el punto medio de los montantes tiene momento nulo de reacción, pues si los momentos de inercia Pk

! \n’ y

J 1J\K" BV

son iguales, la masa elástica de cada nudo inferior será igual a la superior y, por consiguiente, la abscisa de momento nulo será simé trica. Prescindiendo del trabajo normal y tangencial, que es muy pe queño en relación con el de flexión, según hemos visto en otros ca pítulos, para expresar por el teorema de Castigliano la deformación de q, tendremos 1 ÉT

dM dq

y para la deformación o variación de

M-

dM d-

será

ESTRUCTURAS

m ú l t ip l e s

2 2 !)

Sobre la viga insisten, de un modo general, una serie de cargas que referidas a los nudos son unas fuerzas Pj, Pg, ... en los inferio res y P \ , P'g, ... en los superiores. Esta simplificación con la de considerar la misma sección y momento de inercia en los montantes que en la cabeza entraña un error que no llega nunca a ser del 5 por 100, según Vierendeel. Cortando por un plano vertical cualquiera a la derecha del mon tante de orden K para separar la parte de la derecha habrá que considerar las reacciones en las dos cabezas, que se reducirán a un par M ' y carga tangencial t', para la de arriba, y otro, M " con t " , para la de abajo; además, de las C y — C, que serán iguales y de signo contrario, por tenerse que equilibrar por sí, ya que todas las cargas son verticales. Necesitamos, antes de entrar de lleno en la deducción de las fórmulas que nos permiten conocer el régimen de trabajo de estas vigas, demostrar que M ' = M " J t' = t " . Ea deformación angular de la directriz de la viga en la sección que antes consideramos en función de la deformación angular en el origen, sabemos es

./rs®

Mds El

= Sa„ la de la cabeza superior será ,

/■ *' M ' ds ET~

8 a^= S«o-h I ^

la de la inferior ,, , S aj — 8 a„

M " ds

—^

Como son iguales e iguales a la de la directriz

(M' - M")ds El

como la integral no pasa por cero, M ' = M " . Si no tuviesen las dos cabezas el mismo momento de inercia, ni

230

M E C A N IC A E L A S T IC A

fuesen de la misma longitud, encontraríamos la ley general de re lación entre los momentos M "ds" M'ds' E l ” ~ E l'

E'ds' IW ^

que indica que los momentos se reparten proporcionalmente a las flexibilidades relativas. También t' = t” , pues al tener las secciones la misma abscisa 3^ser M ' = M ” , como t' =

' serán iguales.

Demostrado esto, vamos a encontrar las relaciones que ligan las q y las -k con las fuerzas exteriores. E l momento en cada punto del panel yfe -b 1 , A es

+ {Pk +1 -

+ 1) (D - .r)

la derivada con relación a 5'^ ^ es — {D — %); luego la deformación relativa, debida a. valdrá

ir./" ^

~ -

- t” { D - x Y - { P H + i - q n + i)(D - xY]dx = = ^

- M ” f ^ { D - x ) d x + n, + , ~ j ^ { D - x ) d x M ” p^_ Epr

— ¿ " I (E> — x)^dx — [Pk +1 '— qk + 1) / {D — xydx Jo Jo +

El ^4

' El

3 El

Da deformación relativa debida a la misma q¡^ ^ ^ en la parte superior de la viga, será

, m ,+ i

E l '4 ^

£J

HD‘^ 4

t' E7

■

1 3 E/

231

E S T R U C T U R A S M U E T IP U E S

Igualando ambas y teniendo en cuenta que d i' = M " , t' = t" en vigas de cabezas rectas e igual momento de inercia, según de mostramos antes,

(¡k

+ i — -y

{Pk

+ i — p ' k + l)

[111]

De modo que las compresiones de los montantes'son la seniidiferencia de las cargas en los nudos extremos. Para las deformaciones horizontales consideremos el incremento de trabajo debido al momento en el trozo A B C D , cuya derivada expresará la deformación de ^ En BC: . . v: M = M"

H ■ k+i 2 +

cuya derivada, respecto a

+ i~'9k + i)i^ ~ ^ )

En A B : -

H k+l\ O - y ■

cuva derivada es H -b: - 3^ En CD-. M=

H - y

cuya derivada es i H

T~y Al apreciar las deformaciones parciales hemos de considerar su signo, suponiendo positivas las que se verifiquen de izquierda a derecha; así, en la cabeza inferior, serán positivas las debidas a M ", t " , y negativas la debida a

232

M E C A N IC A E L A S T IC A

Deformación relativa +1

—

4■

E l

^A+ l + ( í

+-^^A+]

'/a+ i )

HD^

^ fP

^4 ir ''■ *

24 *

En la mitad superior, se obtiene una expresión idéntica con sólo cambiar M " por M ', t " por t' y P \ ^ ^en vez de ^ con signos cambiados, ya que producen deformaciones de signo contrario; luego “A+ 1

„_

HD^

tP D

M'+ — —

E l

’^A + 1 — (^' +

^-"'k

+ 1 + '/a + i)

1 + 24.

{^ k

Igualando los segundos miembros resulta (M

)

-|-

1”

Pk +-Í p P'k + 1) —j-------

HD , -

j +

En la sección vertical que consideramos, tomando momentos se tiene evidentemente M — CH + M ' + M " = 0;

M = C H — M' — M "

y como por la igualdad de fuerzas horizontales se verifica C

ITj +

^2 +

• • • ’^A +

'’^A + l =

^A ^l +

t:a

+ 1

tendremos M' + M " = — M P CH = — M -¡r iíSÍir -P Sustituyendo este valor de M ' + M ” en la última ecuación, 12 después de multiplicar por resulta a*7r +

6DM

7tA+ l

A+1 + E ' a + i) —

+ TC/, = o

+ 1— " a )J

233

E S T R U C T U R A S M U L T IP E E S

Pero llamando el momento flector total de la viga en el plano vertical medio del panel k a. k 1 , se tiene = M - i t ' -p t" + P ,+ i + P',+i)

Por tanto, la anterior ecuación será '’^k+i —

[ 112 ]

Esta es la ecuación de Vierendeel, deducida muy rápidamente por el método que hemos seguido. Mediante esa ecuación y la [111] se hace isostática la viga y puede ya calcularse tan sencillamente como una pieza apoyada. Pues, en efecto, todas las compresiones o tracciones de los mon tantes quedan halladas por la fórmula [1 1 1 ] y para las reacciones horizontales, n, en ellos se va aplicando sucesivamente la ecua ción [1 1 2 ]. Si la viga es simétrica y la carga también^ basta apli car esta última ecuación a la mitad de los montantes, y en caso de que haya uno solo en el centro de la viga, la n correspondiente será evidentemente cero. Con los valores q y r:, para cada montante, la ley de momentos flectores, en la viga, será: Montantes: M m=

Cabeza inferior: M , = (P — q^)x — (P i — qj){x — D ) — (P^ — q^){x — 2P)

+ ■ '^2 P • • •)

Cabeza superior: — ?i(^ —■ -D) — — (^"0 p

— 2 P)

p ^2 p • •.)

234

M E C Á N IC A E E Á S T IC A

En la figura 85 hemos representado estas leyes de variación en una viga simétrica, para que se vea el aspecto que tienen las de formaciones. 59. Muchas son las aplicaciones de las vigas Vierendeel, que presentan ventaja sobre las de celosía triangulada, no sólo por ser más económicas en algunos casos, si que también por cono cerse en ellas la distribución del trabajo elástico con mayor precisión. Pero ocurre a veces que los momentos de inercia no son iguales en las dos cabezas, ni de éstas con los montantes, en cuyo caso los pun tos neutros de ellos no corresponden al punto medio. Muy fácil mente puede calcularse su posición, pues conocidos los momentos de inercia y las longitudes, es dato la flexibilidad de las piezas con currentes en los nudos, y, en consecuencia, se conocerá la masa

elástica, que permite conocer, según hemos dicho en los párrafos anteriores, la abscisa del foco. Es más racional y riguroso este cálculo que el reahzado por Vierendeel, que supone la cabeza superior de igual sección, pero de inercia despreciable, en cuyo caso tiene en la unión de la cabeza con el montante el foco de influencia y calcula las n por la fórmula fácilmente deducible, partiendo de estas hipótesis ~k j- 1 —

-|-

3D H

con lo cual facilita el cálculo, obteniendo las abscisas de los focos de influencia de los montantes por la fórmula aproximada H a —|—I

h= 1 +

235

E S T R U C T U R A S M U E T IP U E S

siendo a =

I'a

en el vano anterior al montante y

~ en I p H el vano posterior al montante. En el primer montante h = ------- , l + fli las /' se refieren a las cabezas superiores y las I " a las inferiores. Cuando los paneles no tengan igual longitud, D, sino distin tas, D^, Z>2, ..., puede, sin embargo, aproximadamente, aplicarse la fórmula de Vierendeel en la forma siguiente: Esos vanos D^, D^, ... tendrán, en general, un divisor común, D, que puede considerarse como entrepaño de otra viga que coinci dirá con la propuesta en los montantes de ella. Con este valor se aplicará la ecuación [1 1 2 ] para los puntos que corresponden a los montantes virtuales, y los valores de k que resultan se distribuirán según su vano en los montantes reales. Puede hacerse idénticamente el estudio de la viga cuando la cabeza superior sea poligonal en vez de paralela a la inferior, pues la determinación de los puntos neutros sobre los montantes no di fiere de la indicada antes para el caso de momentos de inercia des iguales, y la aplicación del teorema de Castigliano es igualmente fácil.

j- a

Vigas en celosía Sabido es que los sistemas triangulados, en general, se conside ran como isostáticos haciendo la hipótesis de que las barras que se cruzan en un nudo están articuladas en él, resistiendo el sistema por sólo las acciones longitudinales. Si, como se ha hecho en algunos puentes americanos, las barras estuvieran provistas de verdaderas articulaciones en los nudos, que permitieran en ellos el libre giro en la deformación, la teoría sería correcta y nada podría objetarse. Pero es lo cierto que en casi todos los sistemas triangulados el cálculo se hace con tal hipótesis y, sin embargo, cada nudo es una zona de enorme rigidez en la que las piezas se cruzan remachadas con roblones y reforzadas, en muchos casos, por cartelas que aumentan el grado de sustentación. De suponer un eje de cruzamiento, con un punto matemático de giro, a realizar una unión con 40 ó 50 roblones y chapas cruzadas en un espacio de cerca de un metro (para algunos puentes metálicos), la diferencia es fundamental.

23fi

M E C A N IC A E L A S T IC A

Basta observar un poco atentamente la cuestión para compren der que no sólo son las tensiones longitudinales las que entran en juego en los trabajos de las piezas, sino que, además, .deben tener un papel muy importante los verdaderos empotramientos que, en lugar de articulaciones, se producen en los nudos, formando los lla mados esfuerzos secundarios. El problema, en rigor de cálculo, es muy complicado, pues la forma de resolverle es acudir a la teoría de las deformaciones, esta bleciendo en cada panel triangular el equilibrio elástico de un modo análogo al de las estructuras trapeciales estudiadas por Ritter; pero este proceso lleva tal prolijidad de cálculo que se hace suma mente penoso en los casos corrientes en que, por la premura de tiempo para proyectar, se requiere el empleo de métodos expeditos. Vamos a indicar un método original de cálculo, realmente muy sencillo, que da suficiente aproximación para estimar los empotra mientos y leyes de momentos secundarios. Sea una viga en celosía, del tipo de montantes comprimidos y

diagonales estiradas (fig. 8 6 ), y lo que digamos de ésta podría igualmente aplicarse a cualquier otro sistema reticular. En primer lugar, debemos ver que el sistema de tensiones y compresiones longitudinales, que resulta al calcular el sistema como articulado, es cierto, o lo que es igual, que los trabajos de las barras son las flexiones parciales y, además, esas tensiones. Efectivamente, observando en un paño las tres barras: cabeza superior, inferior y diagonal, las leyes de momentos en ellas eviden temente serán líneas rectas (pues suponemos las cargas en los. nudos), y, por tanto, tendrán un valor cero en algún punto de ellas. Pues cortando el paño por la línea que une los tres ceros indicados, podemos suponer siempre cortada la viga por esa línea, sustituyen do por las reacciones a un lado de ella, y claro es que para hallar éstas se podrán tomar momentos con relación al encuentro de las

237

E S T R U C T U R A S M U L T IP L E S

otras dos, con lo cual resulta que es lo que se hace en el método ana lítico corriente de cálculo de las tensiones articuladas. Empecemos, pues, por calcular las tensiones longitudinales por cualquiera de los procedimientos conocidos (Cullman, Ritter, fi guras recíprocas, etc.), como si la viga fuera articulada. * Podemos suponer cortadas las diagonales, sustituyéndolas por sus tensiones. Claro es que, en general, estas tensiones serán excéntricas; pero como sus flexiones son relativamente pequeñas comparadas con las de las cabezas, las excentricidades no son grandes y se puede suponer que pasan por el nudo, en una primera aproximación. Si mayor rigor quisiera obtenerse se operará en esta forma, y con la flexión que después resulte se hará la rectificación por reduc ciones sucesivas. Una vez hecho esto consideramos la viga formada por las cabe zas y los montantes — que es una viga del tipo Vierendeel — y a la que puede aplicarse el cálculo de momentos y compresiones de la teoría antes expuesta, suponiendo que está cargada con las car gas directas que tienen los nudos, y, además, con las tensiones de las diagonales suprimidas. De este modo obtendremos la ley general de flexiones en las cabezas y en los montantes. Pero como en cada nudo concurren tres piezas, el momento que resulta se distribuirá proporciónalniente a la rigidez elástica ^ de cada una, de modo que serán ya perfec tamente conocidos los momentos en todas las piezas. Un ejemplo numérico aclarará la cuestión. Supongamos una viga para puente de 20 metros de luz, con dos metros de altura y cargada con 5 toneladas por nudo, estando com puesta por paños o mallas cuadradas. Por el método de las figuras recíprocas de Cremona, hemos ob tenido las siguientes valores para esfuerzos de las barras. Montantes; 25 ton ; m., = 22,5 ; m.^ = 17,5

;

12,5

;

— 7,5 ; »/,j

Cabezas superiores a compresión: Sj = 22,5 ton

s., = 40

s,, = 52,5

iq == GO

s- -- G2,5

238

M E C A N IC A E L A S T IC A

diagonales a tracción: = 31,75

(¿2 = 24,75

= 15,625

d^ = 10,75

dr^ = 3,5

cabezas inferiores a tracción: í'j = 0

¿2 = 22,5

¿3 = 40

¿4 = 52,5

fg = 60

Conforme dijimos, snpondremos cortadas las diagonales, susti tuyéndolas por las tensiones que tienen. Como su inercia es pequeña, en relación con la rigidez de las cabezas, el error que se comete al 7 7

7 7 %

____A F ig . 87

poner esas tensiones en el eje de las diagonales, es pequeño. Y es la única petición de principio que hacemos. Descomponiendo las tensiones de las diagonales en la vertical y horizontal, qneda la viga en las condiciones indicadas en la fi gura 87. Aplicando el cálculo de las vigas Vierendeel, las compresiones verticales, al cortar por el plano medio, serán:

^A + 1

^ Á+ i)

Primer montante

?i = -2 ( - 2 5 - 1 2 , 1 - 2 , 5 ) =

Segundo Tercero Cuarto Quinto Sexto

= - 22,5 ?3 = — 17,5 9.1= - 12,5

— — — — —

En cuanto a las

9 ..= -

tt debemos

25 ton

7,5

modificar la ecuación de Vierendeel,

239

E S T R U C T U R A S M U L T IP L E S

en vista de las tensiones horizontales que resultan al proyectar las diagonales, y llamando a a estas tensiones proyectadas, al estable cer el equilibrio, en la. misma forma que empleamos al tratar de estas vigas, resultará: 6D

7T¿ _|_ 1 ---- 7T

En el caso presente H — D = 2 metros, y de este modo tenemos el sistema

^^2 = ^1 +

6 135 + ^ - iO -----^

"3 — '^2 +

+ ^ 2) + “2

-4

= 7T3 4 +

6(714

-r

6(71:4

-b 1^2 +

^^2

2”

“b 1^3 ) “h

+ ■^r)

(45 - f 35 -j- 25) +

6 -y

o55

(45 + 35 -b 25 -b 15) —

^g= ’' 5 + 6 (’^i + ’^2 + ^ 3 + ^ 4 + " 5) + -y (45-b35-b25-bl5-b5)

675 73o ¡r-

I,a TTg = 0 ; pero, además, podemos completar el sistema con la igualdad = Ttg, y como comprobación resulta Kg = 0 . Resolviendo el sistema anterior, resulta; 714 = — 9,5 ton TTg = 1 ,0 ton 7tg = 2,3 ton 7T4 = 2,45 ton

Ttg = 2,40 ton 77g = 0 Con estos valores ya es inmediata la ley de momentos flectores en todas las piezas, pues ya dijimos que en cada nudo el momento

241)

M E C A N IC A E L A S T IC A

se descomponía proporcioiialmente a las flexibilidades relativas en la forma siguiente: {M-c -{“ Md)dl I l + Fa nr

a de donde

Md =

{Me “ h Md)ñ rl-\- ^

En el primer cuadro hay una disimetría (por haber arriba tres piezas y abajo sólo dos), por lo cual en el primer montante la ir no

F ig. 88

está aplicada en el punto medio, sino con un pequeño descentramiento que podemos calcular igualando los momentos A y A ' en la siguiente forma: 19

l^xa'

/ = 2]/ 2 = 2,83

a = 2 metros luego

X = 1,023

Con estos valores, y como ya se sabe que con las q y calculadas tenemos ya isostático el sistema, resulta la ley de momentos flec tores representada en la figura 8 8 . Ea ley de momentos calculada es la que da los momentos se cundarios, y, como puede verse, tiene bastante importancia para ser despreciada. Para persuadirnos de su influencia vamos a tomar el tipo de puente metálico de esta luz de la Instrucción vigente, y puesto que

estru ctu ras

241

m u e t ip e e s

el primer paño está muy reforzado por el apoyo, nos fijaremos en el más cargado (a estos efectos es el segundo). Se compone la cabeza de unos perfiles formando una T en la si guiente forma 350 X 7 100 X 7

12 — 400 X 12

Tomando momentos de este perfil, con respecto al punto inferior, llamando % la profundidad de la fibra neutra, resulta. 48

20 + 40,35 x 24,5 + 33,28

38,34 = 110,84%

% = 29,091 Momento de inercia / = 24,5x 11,26 + ~ 35,07 -t- 38,34 \.¿á + 48

9,09 + 1,24 = 14507,7 cm^ ’ ' 12 '

4,19"-f 181

2 -f

— = 1250 cm® V

Como el momento máximo secundario en ese paño de la cabe za es M = 8,305 ton-m, la carga de trabajo será , ^ M 830500 , 2 P c. 1 2 t = -y - = = 664 kg : cm^ = 6,64 kg : mm^ 1 i^Ou

Y a se ve que el aumento de trabajo molecular es grande por este efecto y que se incurre en gran error al prescindir de su in fluencia.

C APÍTULO

Cúpulas 60. Con el nombre genérico de cúpulas designaremos las estruc turas formadas por la revolución ^ de una curva meridiana girando alrededor de un eje. De este modo se genera la superficie media de la cúpula, que tiene un espesor constante o variable en sentido normal a ella, pero que por ser pe queño en relación con las dimen siones de la superficie supondre mos concentrada en ella la masa del cuerpo, del mismo modo que en los arcos y piezas prismáticas, en general, se supone concentrada en su directriz la materia. En la práctica de la construc ción las cúpulas pueden estar cons tituidas de dos modos distintos: por ley de continuidad, con arreglo a la definición antes expresada, es decir, por una superficie media continua con una ley de espesores, o bien por una serie de arcos me ridianos que forman el esqueleto resistente. Empezaremos por estudiar la primera forma de constitución, la más frecuente en cúpulas de fá brica y de hormigón armado, trap¡g gg

244

M E C A N IC A E L A S T IC A

tando después de este último caso, que se presenta en las cúpulas metálicas y en algunas de fábrica también. Sea una cúpula engendrada por la rotación del arco meridiano A B áe forma cualquiera, girando alrededor del eje OZ (fig. 89). Bn un punto cualquiera A, de coordenadas x, z, tracemos la normal y llamaremos ¡3 el ángulo con el eje. Cortando por el plano horizontal del paralelo de A, sobre el casquete de cúpula por en cima de él, actuará un sistema de causas (sobrecarga y peso pro pio), cuya resultante designaremos por P. Bas reacciones de la parte inferior a ese paralelo producirán car gas, por unidad de paralelo, que valdrán

■Pi-

'jTZX

Ba compresión unitaria en el sentido de la tangente al meri diano será, por consiguiente. C„

se n (3

[113]

27ta; s e n |3

d a n d o o rig e n a u n a c o m p o n e n te , o e m p u je h o r iz o n ta l. E = C,„ eos (3 =

P eos (3 sen p

2 -k

P " 2-

ctg p

[114]

k x

Bsta carga centrífuga provoca una tracción a lo largo del para lelo que, evidentemente, será T = Ex, al sustituir el paralelo de altura infinitesimal por un cilindro. Bs decir, que si consideramos un elemento de cúpula compren dido entre un paralelo y su infinitamente próximo, en el paralelo de arriba habrá una tracción Ex, y en el inferior la reacción capaz de producir equilibrio dará una compresión [E -|- dE){x -f dx) o sea, que el incremento de tracción o compresión será {E

-t-

dE){x

dx) — Ex = Edx

xdE = d{Ex)

245

C U P U L A S

Este incremento de compresión, a lo largo del paralelo, corres ponde al trozo de cúpula de altura dz, en el que la longitud de meI

ridiano es di; luego el incremento de compresión por unidad de lon gitud de meridiano será (fig. 90) d{Ex) di

d[P ctg p] “¿■ Kdl

[115]

Las expresiones [113], [114:], [115] son generales, cualquiera que sea la forma del meridiano, expresando la primera el valor de la compresión en el sentido del meridiano; la fórmula [114:] da el

246

M E C Á N IC A E E Á S T IC A

empuje horizontal, y, por la [115] se indica la compresión (o trac ción) a lo largo del paralelo; todas ellas por unidad de longitud. En la deducción de esas expresiones hemos supuesto que las cargas eran verticales, como ocurre en las sobrecargas corrientes y peso propio de las cúpulas, pero pueden generalizarse para el caso de que tengan componente horizontal, con tal de ser simétricas. En nada habrá que variar la C„, y E; pero por lo que afecta a las compresiones paralelas, Cp, habrá que aumentar al valor de ducido d{Ex) di la presión directa horizontal en el trozo de altura dz, que valdrá fpxdz y por unidad de desarrollo de meridiano será fhXdz di luego para este caso se tendrá C*

d{Ex) di

pj^dz di

[115']

Es muy interesante y sencillo desarrollar estas expresiones en los casos corrientes de cúpulas esféricas, cónicas y parabólicas, so metidas a su peso propio y a sobrecargas simétricas. 61. Cúpulas esféricas.— Consideremos primero el efecto del peso propio, a razón de p kilogramos por metro cuadrado de su perficie. r{l — eos p)

X = r sen p

di — rd^

Ea carga por encima de ese paralelo, de coordenadas ;r, z, es P = área del casquete X p — ‘litrzp = 2izr'^p{\ — eos p)

247

P U I , A 'S

I/as expresiones generales [113], [114], [115] valdrán ahora; Compresión meridiana: ^

^ m

— eos p) 271/sen^

---- ------ -------------------- IT T ---------- -----

1 — eos p .

p y ---------~— 7TZ -----

sen^ p

—

■ pr -----:---------

1 + eos p

[116]

Empuje horizontal: E -

P co tgp

eosi

2-kx

1 + eos í

[117]

Compresión paralela: „ _ d(Ex) _ d\2-Kpr'^{l — eos p) etg p] “ di ~ W p ^ = pr eos p

I — eos p sen^ p

eos p — sen^ p 1 + eos p

[118]

Ea ley de variaeión de las eompresiones meridianas es ereeiente desde el valor pr C„ ~¥ en el vértiee (p = 0 ) hasta el valor = pr, en los arranques, si fuera hemiesfériea. Los empujes horizontales van deereeiendo desde

en el vértiee, a £ = 0, en los arranques. Las eompresiones parale las son positivas (eompresiones) en la parte superior y negativas (traeeiones) en la inferior. Los puntos en que eambian de signo son las rafees de la eeuaeión eos p — sen^ p = 0 o sea eos^ p -b eos

248

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

de la que eos p

1 r, _ 1

que corresponde al ángulo P = 51» 50' y a las coordenadas ( X = 0,382r ) 2 = 0,786r por encima de este paralelo hay compresiones hasta el valor má ximo, en el vértice, r _py

por debajo hay tracciones, cuyo valor máximo, en la hemiesférica, es — pr. En la figura 91 hemos representado esas tres leyes de variación que determinan el régimen elástico de la cúpula esférica.

En las cúpulas despiezadas, hechas con piedra sillería, cuando son pequeñas, las tracciones paralelas por debajo del paralelo p = 510 50' pueden ser neutralizadas por el rozamiento, pero en las cúpulas de grandes luces es preciso resistir esas tensiones por medio de grapas o zunchos. Así, en la gran cúpula de San Pedro, de

249

C U P U L A S

Roma, cuya luz interior es de 42 metros, se han colocado seis zunchos o círculos metálicos de afianzamiento que resisten las trac ciones. En las de hormigón armado, esos valores sirven para calcular las armaduras horizontales. Cuando el espesor no sea constante, el peso por metro superfi

cial será siendo el peso específico y /(p) la ley de gruesos que se adopte; por tanto, las compresiones meridianas, paralelas y de empuje, serán el resultado de poner este valor én lugar de p en las fórmulas generales primeramente deducidas y operar del mismo modo. Si sobre la cúpula esférica actúa una sobrecarga extendida a razón de s kilogramos por metro superficial, su efecto será idéntico al estimado antes para el peso propio; pero si esta sobrecarga está extendida de un modo uniforme por unidad superficial de proyec ción, entonces las reacciones producidas serán P

C,n = E= „

k X^ s

TVX^S 2 tzx sen |3 7ta;^scos |3 2-r:x sen ¡3

d\Ex'] 1 ^“ ~ h T ~ "" J

" ~Y sr eos p d (sen |3eos p) ¿p

[119]

2 cos^ P — 1

■ sr

250

M E C Á N IC A E E Á S T IC A

I,a compresión meridiana es constante, el empuje horizontal ST

. •

decrece de — hasta cero y la compresión paralela es positiva con A SY

valor máximo — en la clave y negativa con máximo de igual valor absoluto en los arranques, anulándose en el ángulo

eos ^ |3— ^1 = 0 p = 450

según la ley indicada en la figura 92. Para las cúpulas que tienen cupulín, el problema es el mismo:

una vez calculado el cupulín por las fórmulas anteriores, estimando el peso suyo y el del tambor cilindrico (fig. 93), llamando P este peso total sobre la cúpula, las reacciones moleculares en ella.

251

C U P U L A S

por esta causa, serán las generales [113], [114], [115], y para la estimación de su peso propio las fórmulas correspondientes son C,n = pr

eos p' — eos p sen^ P

„ , eos p' — eos p ^ = ----- s^E^P—

[ 120]

¿p

' senp

sen^py

que habrán de sumarse a las producidas por el peso P del cupulín.

62. Cúpulas cónicas.— ^Muy sencñlo es el estudio de estas cú pulas, en las que z = xtg^ (fig. 94) es la ecuación que define el me ridiano. Para el efecto del peso propio, a razón de p kg por m^ superfi cial, el valor de P, sobre un paralelo x, es

Tcz^eos p , P = -Kxlp = ----- 5—— p ^ sen^ p ^

252

M E C A N IC A E E A S T IC A

y las reacciones, en este caso, valdrán C„, =

P _ pz ^■ KXsen p 2 sen^ [3 f z eos p 2 sen^ p

E — Cm eos p =

C* =

[121]

pz eos P d 2 sen^ p- tg p dz sen p

d{Ex) di

= pz ctg 2 p

cuyas leyes están representadas en la figura 94. Si, la carga es uniforme en la proyección, con s kg por m^ de la planta, resultará P = r.xH =

tg^p

sz eos P

2 sen^ p

E = — ctg2p C* =

[ 122]

sz eos®p sen^ p

63. Cúpulas parabólicas.— ^I^a ecuación de la meridiana, para la flecha /, correspondiente a la luz 2r, es

* —

- j- z

Siendo p el peso propio por m^ superficial, el peso, sobre el pa ralelo X , es P = 2 kP épTzf 3r2

I xdl ■J o

3)* 2/

iiZpf ipTzf 3r2

4/2

8/3

C U P U L A S

253

y como ,

2fx

4/* 2

eos P =

’ 4/2 las compresiones y empujes serán 2

C,n =

27T.i;sen|3

,.0

8/3

3;'2

[123] E = C„i eos p =

4/2

+ .X'2 3.^2

4/2 + * 7 Cp =

8/3

/ r* + x'^dx 4/^ ^4

4 f + " ^ ' - 8/3 X

. dx

= P\ 1 -

\'2'

y» ~ w

En el vértice {x — 0 ) esas expresiones toman el valor indetermi nado ——; pero hallando sus verd 3,deros valores resulta C in — — E — —^ . ¥ C, = 4

[124]

254

M E C Á N IC A E E Á S T IC A

En los arranques {z = f, x = r) toman el valor „2

c„ E

4/2 +

8/3 U /2 + ^

4/2

8/3

[125]

4/2 + 7

Cp = P\ 1

8/3

Cuando la flecha sea igual al radio, esas reacciones valen C.. =

= 0,948/>r;

= 0,424/>r; [126]

Cp = en los arranques; y

C,n=E:

pr ~T

Cp =

en la clave. Comparando estos valores con los obtenidos antes para la cú pula hemiesférica se ve que en la parabólica, para cubrir la misma luz 2 r, las compresiones meridianas y paralelas son bastantes más pequeñas, por lo que resulta más económica. 64. Decíamos al principiar este capítulo que las cúpulas podían considerarse constituidas bien de un modo continuo, por rotación de un meridiano alrededor de la vertical media, o de un modo dis continuo por medio de arcos meridianos que forman la estructura resistente, los cuales sostienen la cubierta. Hemos estudiado de un modo general las cúpulas continuas, haciendo aplicación a las esféricas, cónicas y parabólicas. Para las otras, nada nuevo tendre mos que decir. Sea una cúpula (fig. 95) formada por varios arcos meridianos, y supongamos, como caso más general, que tenga cu-

C U P U L A S

255

pulín; cada arco A B con su prolongación A 'B ' si estuviera com pletado por el trozo A A ' formaría un arco elástico (empotrado o apoyado en los arranques, según se quiera hacerla sustentación), y por las fórmulas que hemos hallado en el capítulo segundo po dríamos determinar la ley de momentos flectores y compresiones, en virtud de la carga sobre ellos. Ahora bien, el trozo A A ' no existe, pero si como apoyo del cupulín hacemos un anillo A A ', para ob tener el equilibrio, es necesario que este anillo produzca sobre los

F ig. 95

arcos A A ', B B ' j todos los demás, una reacción igual a la que se obtendría al considerar los elementos suprimidos. Así, pues, el estu dio de la cúpula formada de este modo se reduce a determinar la ley de momentos flectores en un arco continuo B A A 'B ' y calcu lar un anülo que resista por torsión los momentos que le transmiten los arcos. 65. ha aplicación de las fórmulas antes establecidas permiten construir cúpulas, para cubrir espacios circulares, con muy poca masa, pues realmente trabajan éstas en condiciones las más favora bles. No se puede, sin embargo, la mayor parte de las veces, apurar la resistencia del material llegando a imponerle la presión que co rresponde a la carga práctica por compresión (además de ser re sistidas convenientemente las tracciones cuando las haya), pues po dría sobrevenir antes el fenómeno de pandeo. Del mismo modo que

M E C A N IC A E L A S T IC A

256

en un tubo sometido a presión exterior vimos (pág. 146) que 2>EI debía cumplirse la condición , para límite de la compresión, o

ZEI — para presión límite exterior, deducida de la fórmula de

Euler, en las cúpulas esféricas la condición límite será: compre sión =

doble de la anterior, porque para una misma presión

exterior la resistencia en una esfera es doble de la del cñindro de igual radio, según puede comprobarse por la fórmula bailada C„i —

2 TCA;sen p

que para carga de agua, la presión en los arranques es 7T

=J ^pdl2-KX eos p = C,„ =

2-Kr^f pizr^ 2nr

^ sen p eos p ííp = p-r^ pr

en tanto que en el cilindro es sabido que vale pr. También se puede obtener este resultado aplicando las ecuaciones de elasticidad, de un modo completamente análogo al empleado para el cilindro en la página 145.

66. Cúpulas para fondos de depósitos.— Tas buenas condiciones de las cúpulas para resistir cargas verticales y mejor aún normales sobre ellas, bace pensar en adoptarlas para constituir los fondos de depósitos pafa líquidos, bien en forma de cúpulas directas em pleando materiales como las fábricas, o el bormigón armado, en ré gimen de compresión, o de cúpulas invertidas, cuando, como ocurre con el material metálico de chapas de palastro, tiene éste mejor aptitud para el trabajo por tracciónTas fórmulas [113], [114], [115] del principio de este capítulo, son generales; pero vamos, además, a deducir otras para el caso de cargas normales, que son las que ordinariamente figuran en los ma nuales, y después comprobaremos que con las generales se llega a igual resultado. E a p re sió n Sa, sien d o S el p eso específico del líq u id o (fig. 96) q u e

257

C U P U L A S

actúa sobre el elemento de área ah, está equilibrada por las tensiones superficiales c, en sentido del meridiano y t en el del paralelo, las cuales, proyectadas sobre la normal a la superficie, darán, res pectivamente, f y p ” , verificándose f

+ p " = 8«

En el cuadrilátero de área infinitésima, ab — a'b', que estamos considerando, puede suponerse que los lados ab y a'b' pertenecen

a secciones rectas del cilindro osculador cuyo radio es el de, cur vatura, p, del meridiano y en el cual, según sabemos, la presión interior p' da lugar a una tensión p'p que habrá de ser igual a a; luego í' = 7 De igual modo los lados aa' y bb' se pueden suponer pertenecientes a las secciones rectas del cñindro osculador, de generatrices tangen tes al meridiano, cuyo radio de curvatura, v), es el trozo de normal hasta el eje, en el cual, para la presión interior la tensión es p

Ti =

258

M E C A N IC A E L A S T IC A

de la que J~.ll

Sustituyendo esos valores en la ecuación última, tenemos C

[127]

---- 1---- = Sa

ecuación que enlaza las tensiones paralelas y meridianas produci das en ima superficie de revolución con carga normal. Cortando la superficie por el cñindro vertical, cuyo eje es el de eUa, y cuyo radio es el del elemento de área, podemos suponer su primida la parte de superficie exterior al cilindro, con tal de tener en cuenta las tensiones que esa parte ejerce sobre la que queda. Como el peso de ese cilindro de líquido es P = F • S, siendo F el volumen, para el equilibrio vertical deberá tenerse FS = 27T:rcr sen p de donde F8 2 n;x sen p

[128]

Fas dos expresiones [127] y [128] determinan las tensiones o compresiones de la cúpula en los sentidos meridiano y paralelo, en cada punto, para carga normal.

67. Aplicación a los fondos esféricos. — Puede ocurrir que sean cóncavos o convexos (figuras 97 y 98). En el primer caso, para un paralelo cualquiera, de radio %, F = Tzx^a -f- — z^{3r — z) — n x^[H _ 2 ) - f — ó

(3r - 2 )

En el segundo caso, , F = Tzx^a ■

-z^{3r — 2 ) = TC x^{H + z) — — sen • p :

{3r — z)

259

CUPUI,AS

Las tensiones (— ) o compresiones (+) meridianas, dadas por la expresión [128] valdrán, respectivamente.

x \ H -z )+ ^

[ir~z) T

a=+

Sr ‘¿■ K

x'^ {H + z)-^ i^y-z) =+■

{H -z) +

z Zr—z 3 2 r-z

[H + z ) -

z Zr—z 3 ‘¿.Y— Z

Fig. 97

que pueden expresarse por la fórmula común rr_

1 3 r-2 z\l — ^ 3 2r — z,

y sustituyendo en [127], que para la cúpula esférica es cj + T = Sra =

^ z)

[129]

260

M E C A N :C A E L A S T IC A

resulta para las tensiones o compresiones paralelas: I

T = -l- Sf

z 2>r — z 6 2r — z

[130]

¡ ----- 1

F i g . 98

En ambos casos, la compresión o tracción en el anillo, producida por el empuje

£ = =h c eos (3 será

i 68.

e os P

Aplicación a los fondos cónicos.— ^Considerando los dos

261

C U P U L A S

casos análogos a los anteriores, según sea el fondo cóncavo o con vexo (figuras 99 y 10 0 ), el volumen V será

■kx-

2 3"

I/as tracciones o compresiones meridianas valdrán, respecti vamente.

2 sen p

[131]'

y las desarrolladas en el sentido de los paralelos, por ser en la su perficie cónica p = oc, dará T = 7¡Sa =

-t- z)

262

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

O sea

a: sen p

ctg p sen p

_ SctgP z{H-^z) sen p

[132]

El empuje sobre el anillo es, como siempre, E = cr eos p, que pro duce compresiones o tracciones medidas por Er. 69. Depósitos Intze. — Con el fin de tener únicamente reaccio nes verticales sobre el aniUo de apoyo, de tal modo que las traccio-

F ig . 101

nes originadas por empuje horizontal sean compensadas por las compresiones, s,e han ideado los depósitos que üevan el nombre de su autor, formando el fondo con una superficie esférica convexa que produce extensión, por empuje' sobre el anillo, equilibrándose por la compresión que le transmite el fondo tronco-cónico exterior (figura 1 0 1 ). Estudiadas en los párrafos anteriores las reacciones que se pro ducen en cada uno de esos casos, para establecer el equilibrio de empujes horizontales, deberá verificarse FS

271/ sen p

eos p'

F 'S

y eos P' 27T/sen p

263

C U P U L A S

de donde V' tg p'

V tg P

igualdad que se satisface para V = F ' y p = p', que fija las pro porciones entre ambas partes, para cada altura.

70. Fas fórmulas últimamente establecidas para los fondos de depósitos sólo son aplicables para el caso de cargas normales a la su perficie, como ocurre en ellos. En caínbio, las que hemos deducido para las cúpulas, en el párrafo 60, son generales y aplicables en to dos los casos, incluso en éste de carga normal. De la compresión o tracción meridiana C,„, no es preciso hablar, pues en ambos casos se ha planteado de igual modo; pero no así de la paralela Cp, para la que se ha seguido método distinto. Tomemos, por ejemplo, la su perficie o cúpula cónica sometida a una carga de agua, de altura H sobre el vértice. Da fórmula [132] deducida para este caso concreto decía -—

Sctgp , S(Hz + ^ z(H + z) = sen‘‘ sen p

eos p

Pues bien: la fórmula general d{Ex) ^

phxdz dl~~

da C .= ^

8z{H -f 2 ) 3„ , eos® p sen^ p

+ z)xdz _ Sz{H + z) sen p + tg® p dz sen p

sen p S{H + 2)2 sen p = 8{Hz + z^) tg® p eos® p tgP

8{Hz + z'

sen® p

idéntica a la anterior. Debemos recordar que cuando se trata de las cúpulas para fon dos de depósitos de agua, no sólo deben resistir éstos aquellas ten siones o compresiones antes calculadas, con la Hmitación más res

264

M E C A N IC A E L A S T IC A

tringida de satisfacer, para las zonas comprimidas, a la condición expresada en las páginas 225 y 256, pues, además, la parte cilin drica que forman las paredes laterales de la cuba sufren, por efecto de su enlace con el fondo, una ley de flexiones longitudinales estudiada en el capítulo IV, cuyo máximo en la unión con la cúpula hace transmitir a ella sus efectos, que precisa tener en cuenta -para el trabajo totalmente desarrollado.

CAPITULO VII

P 1a c a s

1a n a s

71. El estudio elástico de las placas planas es de los más inte resantes de la teoría de la Elasticidad. No sólo desde el punto de vista teórico, sino también por sus aplicaciones prácticas, tiene gran interés el cálculo de las placas, aunque en rigor no son muchos los casos en que puede resolverse el problema, a pesar de dedicar su esfuerzo investigadores tan emi nentes como Bemouilli, Navier, Boussinesq, Saint-Venant, Clesbch y otros. El estudio general de las placas planas es realmente difícil y complicado; pero resumiremos todo lo posible la exposición hacien do un extracto en el que se adopte para cada caso la teoría que más sencillez presenta en su deducción; Además, una vez expuestas las fórmulas generales, procuraremos simplificarlas, a fin de encon trar expresiones que, siendo aproximadas, sean de muy fácil ma nejo.

Placas circulares 72. Para la determinación de las tensiones desarrolladas y en contrar la superficie de deformación, es necesario admitir algunas hipótesis, de naturaleza análoga a la de las vigas. Elamando plano medio de la placa al paralelo a las bases trazado por el punto me dio de su altura o grueso, se supone que los puntos situados en una recta perpendicular al plano medio se deforman situándose en otra recta, que por simetría cortará el eje normal; de modo que la sec ción por una superficie cilindrica, cuyo eje es el de simetría, se trans forma en una cónica después de la deformación. Y se prescinde de las reacciones normales al plano medio. Siguiendo un método análogo al de Eóppl, consideremos un

266

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

elemento de placa comprendido entre dos planos meridianos y dos cñindros coáxicos (fig. 1 0 2 ). llamando la tensión en sentido radial y N¡ la tangencial, así como S,., S¡ las dilataciones en esos dos sentidos, esas N „ serán cada una de sentido contrario en las dos zonas de placa, por encima y por debajo del plano medio, como

en las piezas prismáticas, formando pares que son los que resisten a las flexiones resultantes. Por el estudio de elasticidad sobre un prisma o cilindro solici tado por fuerzas normales a sus bases, cada deformación a lo largo del eje da origen a otra de signo contrario en sentido transversal, relacionada con la longitudinal por el coeficiente de Poisson v) (pá gina 28).

PLACAS

PLAN A S

2a7

En consecuencia, tendremos Sr

{Nr - r)Nt);

S, = ^

{N, - y¡N.)

y despejando en ésta N^, N¡, se tiene Nr =

E 1 -V

(S,

'¡'iS¡)

( 8í + riS,)

[a]

Con arreglo a las hipótesis admitidas, un punto A, de ordena da z, con respecto al plano medio, pasa a la posición ^ ' y su radio x habrá sufrido un alargamiento z tg 9 , que por ser 9 pequeño se puede poner ^9 . Ea circunferencia 2nx, que pasa por él, habrá te nido un alargamiento relativo 2

tzZ({ i

2nX

Z(fi X

que es el que hemos llamado S¡. Ea fibra de placa que pasa por el punto considerado, compren dida entre dos radios x j x A r tendrá un incremento r:Í9 y su de formación relativa será —^— , cuyo valor es la dilatación S,. dx Estos valores zd(f dx

Z(f

puestos en las expresiones antes halladas para N,, N¡, dan Nr--

d(f , dx

9 1

2 1 -a; + ’! dx

[b]

El equilibrio del elemento de placa A B C D se establece entre las fuerzas siguientes: 1.0 Eas N¡, en las caras A B y CD, formando una resultante en el plano bisector, que en un punto de ordenada z sobre el plano medio, produce un momento 2Ntdxdz s e n ■ z = Nizdxdzda. = 2

1 — 7)2\ a;

. 7)

Idxdadz

268

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

Y el momento finito de todas las de la sección será

I (p

1 -u

dtp dx

Edoídx 1 - r)2

z^dxdz = dtp ^ dx / 12

que es momento negativo y por eso debe expresarse con signo — . 2.0 l,as fuerzas N^, en la cara BD, que para el punto de orde nada z tiene por valor N^xdcudz y la suma de sus momentos para to dos los puntos z será

Nrxdadz • z =

d(Q

’n2 \

1 2 (1 - 1,2)

dotdz •z^ —

Y las fuerzas iV, -|- dN^, en la cara AC , darán un momento, re sultado del incremento diferencial en el anterior. Luego el momento resultante de esos dos será la diferencial de la última expresión, o sea Ec^ 1 2 ( 1 - -^2)

í¿2 (p dx^

dtp

dtp \ , ,

[d]

3.0 Por último, las fuerzas tangenciales en las caras A C y BD, que depende de la naturaleza de la carga. Si ésta es uniforme, a razón de p kg por m 2, el esfuerzo tangencial en la sección cilindrica de radio x, para el trozo dtx., es

pTzX^da.

2tt:

y &ÍÍ la X

pX^dot

dx vale px'^da: I ^ px^da. o rd jr

PLACAS

PLAN A S

269

y como el brazo de palanca es dx, el momento valdrá -px^doí éx^dcí , — 7T— dx-\- d — dx que despreciando este ultimo término por ser infinitamente pe queño respecto al otro, se podrá poner px^da

■ dx

[^]

Y si la carga es de una resultante P, haciendo el mismo razo namiento resulta -^—doídx

[/]

¿7Z

Vamos a desarrollar las anteriores expresiones, expresando la igualdad de momentos para producir el equilibrio en el trozo de placa considerado, aplicándolo a los casos corrientes. 73. Placa empotrada en el borde con carga uniformemente re partida. — Bstableciendo el equilibrio entre las iV„ iV¡ y cargas tangenciales, cuyos momentos están calculados por las expresiones [c], [i] y [e], con sus signos correspondientes, resulta Edadx

d<? \ dx I +

1 2 ( 1 - 7)2) " \ :r

Ec^ ( d^(f (¿9 + 12(1-7)2) +

px‘^ j j

dcf>\ +

o sea 9 dx^

í¿9 Ec^

Integrando por el procedimiento general esta ecuación, se ob tiene 'P =

3(1 - ^^)p . S ^ + í E c^

------- A T T

„ C j V

‘

Q X

H --------- --

270

M E C A N IC A E L A S T IC A

con las dos constantes C^, Cg que se fijan por las condiciones de la sustentación. Por simetría, en el centro x = 0, debe ser 9 = 0, y por estar la placa empotrada en el borde, para x — r sérá también 9 = 0 . Pa primera condición da Cg = 0 y la segunda

4Pc3

luego

( 1 4£c

...2 _ (y

Sustituyendo ese valor de 9 en las fórmulas 8í =

se obtienen las deformaciones definitivas radiales y tangenciales, respectivamente, 8, =

(.“ - * « );

8, = .f f lg 5 ,f c ( 8 8 - 3 * « )

[e]

Pa superficie elástica resulta ya inmediatamente haciendo — tg9 =

dy dx

reemplazando tg 9 por 9 , a causa de la pequeñez de las deformacio nes. En virtud del valor de 9 , se tiene dy dx

3(1 — •íf)^ (v®— í E c^

de donde y=

3(1 — 7]®)^ / x^ 4£c® \4

que por ser y = 0 para x = r, debe ser C:

3(1 _ 16£c®

+ C

271

PI<ACAS PLAN A S

luego y=

16£c3 -

2 ^^^^ + n =

flecha en el centro /=

3(1 - r)2)^r« r6£ c3~

74. Placa empotrada en el borde, con carga concentrada. — Sien do P la resultante de las fuerzas, supuesta concentrada en el centro de la placa, ya hemos visto que el momento del par tangencial era

da.dx

y, en consecuencia, la ecuación de equihbrio del trozo de placa será Ec^dadx I <f

d(f>

1 2 ( 1 - r ¡ 2)

-|-

Ec^doídx I d^cf ¿9 ^ I^ ' 1 2 ( 1 — 7)2) \ dx^ . dx

da> \

—j"“ 7) —= — 1 -4dx /

¿-K

d‘cx,ctx —

o lo que es igual. 2

¿ 2(p ^ ¿cp dx^^^dx

^ 0 (X — y]2) Px — o rzEc^

Del mismo modo que en el caso anterior, la integral general será de la forma 9=

3(1-7)2)P , , , C" -xlx C V -|------■kE c^

Y determinando las constantes C , C " con las siguientes condi■ ciones: para x = 0, debe ser 9 = 0 ; para x — r, debe ser 9 = 0 ; luego se tendrá C" = 0

272

M E C Á N IC A E E Á S T IC A

De modo que 3(1 — 'if)P

, y

y en los valores ¡¡<9 S( = — X

» d<9 Sr = z - j— dx

las tensiones paralela y meridiana resultan 3(1 Tthc^

_ -i

7t£c3

[*■ ]

Estas tensiones se hacen infinitas para el centro x = 0. Y a se sabe que las fuerzas concentradas son en rigor resultantes que ac túan en una zona, que podrá ser pequeña, pero siempre finita, pues de no ser así desgarrarían la materia destruyendo su cohesión. En el estudio elástico de los puntos que no están próximos al de la re sultante puede suponerse aquélla concentrada en un punto, y, por consiguiente, las expresiones [í ] miden las dilataciones; pero para los contiguos a él precisa saber su zona de aplicación. Siendo la zona de actuación un círculo de radio pequeño a, en esa área se podrá considerar uniforme la distribución de P, y entonces la meri diana de la superficie de deformación se compondrá de dos partes: una, que es la establecida últimamente.

3 (l--o 2 )P _

------^ —xlx

-{-

, C”

aplicable a los puntos fuera de la zona de repartición, y otra, que es la del caso anterior.

aplicable a la zona iza en la que

7za^

PLACAS

273

PL A N A S

para la que vamos a determinar C^. Ambas ramas habrán de ser tangentes en los puntos de la circunferencia común, x = a\ por tanto, para esta abscisa habrán de ser iguales la y y la

o lo dx que es igual, han de verificarse, entre las constantes, las relaciones 3(1-T)2)P , _ ^ Ua?Ec‘ “ +

3 (l-r¡2 )P , , , C" -----------S í » — íi'» + C o + — ■kE c^

3(1 -

rj‘^ ) P

C -

tzE c^

que resueltas en C' y C " dan

izzEc^

ttA c®

y como en la parte exterior al círculo de apoyo, para x = r debe re sultar 9 = 0 , se tendrá

3 (1- r ¡ 2)P , , , C" —— — nr -f C V H------ttP c® r

que con los valores de C ' y C ", resulta 3 (1 -,» )P /

4 S c»

,■

»»\

Determinada así la constante, la línea meridiana en la zona de la resultante (desde x = 0 , a x = «) será 3(1 -7 ) 2 ) P

47tP c3

de la que salen las tensiones Oj =

-----

hr =

d<sj dx IS

274

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

cuyo valor es igual para arabas, en el centro, St=Sr

íEc^n

y que por ser a muy pequeño comparado con r, puede ponerse muy aproximadamente, para tensiones en el centro.

■kE c^

valor que crece con la disminución de la zona de contacto, a, sin que pueda llegarse nunca al límite n = 0 . Fuera de la pequeña zona de repartición la deformación se expresa por la fórmula

7t£ c3

de modo que la ecuación de la meridiana elástica, haciendo como antes dy

resultará dy dx

3(1 — if)P rzEc^

r X

e integrando y=

3(l-n^ )P;.^ -^z _ 3 2tzE c^ para x = r, ¡

( 1 - ^ ítvE c^

y= 0

3 (1^ ^ ík E c^

luego y:

3 (l-v i^ )P ík E c^ ^

’

3 P ( 1 - ,V ^ 2-kE c^

z X

275

P I.A C A S t-LAN A S

ha fleclia en el centro, x — 0, hallando el verdadero valor de la expresión del último término (valor cero), resulta 3(1 - Y¡2)Pr2

que es cuatro veces la obtenida en el caso anterior, para la misma carga total P = 75. Placa apoyada en el borde, con carga uniforme. — I^a ecua ción de equilibrio del trozo de placa, bailada de un modo general en el párrafo 73, era 3(1 í E c^

x^ -f- C^x -)-

ba constante será ahora también Cj = 0 , porque lo mismo que en aquel caso, para x = 0 debe resultar 9 = 0 . Pero así como entonces se determinaba la otra constante, C^, con la condición de empotramiento, que equivalía a poner 9 = 0 para x — r, ahora se determinará esa constante expresando que la tensión N , será cero para el borde x = r, puesto que en el contorno está la placa libre mente. Como el valor de iV, [«] es Nr-

Ez í í¿9 \ — -i\^\dx

^ a;

se tiene I

_ o

Sustituyendo en esta ecuación los valores de

primera, resulta ^ ^

3(l-v¡)(3 + vi)/>r2 í E c^

— dados por la Q/X

276

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

, el valor de 9 , será 3(1 - 7)2)^ AEc^

3+ ^ [ l + r,

Ivas dilataciones

sOf —■ Z df dx

valdrán St =

3(1 -7,2)^ . [ 3 + 11 4£c3 ~ [ l + rt

[k]

3(1 - 7,2)^ _Í'3+ 7) j-2 — 3x^ 8, = ~ \ 1 + 7) Y haciendo, como siempre, dy dx

—9

se obtiene para ecuación diferencial de la elástica meridiana _ 3(1 dx ~ éEc^

f s _ . 3 + 7) [ l + r¡

de donde 3(1 — 7¡^)p / X* 4£c3 \4

3 + 7) r^x^ \ 1 + 7) ■ 2

„

en la que para x = r debe ser y — 0. De ese modo el valor de la constante, que es la flecha, será

3(1 - -+)pr^ 5 + 7) 16£c® ■ 1 + ^

76. Placa apoyada en el borde con carga concentrada en el cen tro. — Cuando la placa estaba empotrada, la ecuación meridiana

PL A CA S

PLAN A S

277

Vimos que era

<P =

—

3(1-7)2)P xlx -f- C'x tzE c^

y esa misma se aplicará en el caso de estar apoyada, determinando la constante C con la condición análoga a la del caso anterior (nu lidad de tensión en el apoyo libre) que se expresa por la igualdad

para x = r. Con el valor de 9 , que acabamos de indicar, la última ecuación será ,, , . 3 (l-r¡2 )P , , ,, , - ( l + -> f a + ( l + .)C -

3(1-7)2)P

^ =0

de donde 3 ( 1 - , ^ ) P ^^. ^ 3 ( 1 - ,^ ) P 7tP c3(1 + Y¡) ttP c» y en consecuencia, 3 (1-r¡2 )P

3 ( l- v ) ) P nEc^ ^

Poniendo, como en todos los casos anteriores. dy dx

= —9

e integrando, resulta para ecuación de la elástica

y =

3(1 - 7)2)P nEc^

x^ , T

r ^ x^ ^ x^ V + T + 2 (1 + r¡)

+ C

278

M E C A N IC A E L A S T IC A

cuya constante debe dar para a; = r, y = 0 ; o sea 3 ( 1 - vi)(3 + 7,)Pí'2

c = = f-

{m\

y las dilataciones, como siempre, Sí =

2:9

Sr=Z

¿9 dx

Las observaciones hechas en el párrafo 74 son igualmente apli cables en lo que respecta a las tensiones desarrolladas en el centro, para el que sería infinito su valor si la fuerza P actuara en un punto. Es preciso suponer que actúa P en una zona finita, atmque peque ña, y la ecuación hallada de la elástica será aplicable para la placa, fuera de la zona de carga. Eos valores de las tensiones para todos los puntos de la placa, exceptuando los de la pequeña zona de con centración, son S ,=

Sf = z

¿9 dx

3(1 — ■ rf‘)P 3(1 - v,)P z l --------1■kE c^ X =

3(1 nEc^

\ X

[«]

3(1 -Y))Pz 1 + ttP cS

Eo mismo que ya observamos en el párrafo 74, en el estudio elástico de los puntos que no están próximos al de la resultante, puede suponerse aquélla concentrada en un punto, y, por consi guiente, las expresiones [n] miden las dilataciones; pero para los contiguos a él precisa saber su zona de aplicación. Siendo la zona de actuación un círculo de radio pequeño, a, en esa área se podrá considerar uniforme la distribución de P, y entonces la meridiana de la superficie de deformación se compondrá de dos partes: una, que es la establecida últimamente, 3(l_„2)p

•x l x

C" o X ~{~--------

aplicable a los puntos fuera de la zona de repartición, y otra, que es la del caso anterior. 3(1 -71^)P 4Pc®

V® - | -

C^x

PLACAS

aplicable a la zona

PLAN A S

279

en la que

P= para la que vamos a determinar C^. Ambas ramas serán tangentes en los puntos de la circunferencia común x = a, y para esta abscisa dv habrán de ser iguales la y y la expresando estas dos condi ciones como se indica en la página 273, resulta.

C'= Q+

3(1 - v)2)Pa 2 4,nEc^

C" =

nEc^

y como la placa está apoyada Ai-, = 0 , o sea d<f + 7,-^=0 dx X 3(1

para

x= r

’>^)^,(¿,+ i ) + C ' ( l + , ) - ^ ( l - , ) 3-q(1 — -n^)P Ir = 0 izEc^

de donde 3(l-r¡2)p/

TtPc®

\lpY)

1 - Y]

1+ ^

y la línea meridiana en la zona x = 0, a x = a, será

3(1 — Y)2)PJ 47r£c8

""[ t

4 + ^

, f , 7) — 1 «2 + V +

Xi“

de la que salen las tensiones

Sí =

Z(p X

3(1 - r)2)P2 / 4 7)-'l r + U- + a 4 ti:£c® \. 1 + ^ Vl+ 1

Sr=Z

d^ dx

7] — 1 f 3(1 - -n^)Pz 1 í 1 +^ ^ + 4Í a - + Vl+ 1 47tPc3 '1

a^j Zx^

280

M E C A N IC A E L A S T IC A

cuyo valor es igual para ambas en el centro 8, = Sr =

3(1 — V)2)P2

(t ~-f- V)

f + 4Z — a

■»]— 1 i¡ + 1

y como a es muy pequeño comparado con r

_4 _

S( = 8, =

)

valor que crece cuando a disminuye Fórmulas de aplicación 77. En el estudio anterior se ban deducido todos los elemen tos que definen el régimen elástico de las placas circulares, de tm modo satisfactorio, pues para cada caso se ba determinado la ley de deformación (S„ radial, y 8¿, circular), además de la ecuación de la elástica para la línea meridiana. Pero vamos a deducir de ellas otras de carácter más práctico todavía, que permitan calcular inme diatamente la resistencia de las placas. A este fin, lo que interesa en general, cuando las placas son de un material homogéneo, es ver cuáles son las mayores cargas moleculares producidas y comparar las con las resistencia del material. Y también resulta muy intere sante, sobre todo para placas de bormigón armado, calcular cuál es la ley de mornentos flectores radial y circular capaces de produ cir esas cargas moleculares, pues de este modo bastará apbcar las fórmulas de las piezas prismáticas. Siendo 8 la deformación lineal, la carga molecular unitaria será E 8 , Uamando E al coeficiente de elasticidad. Por tanto, para baUar las cargas moleculares que se producen en las placas, bastará mul tiplicar por E las expresiones que dan las dilataciones 8, y 8¿, igualando el máximo valor al coeficiente R, de resistencia del ma terial. Para determinar los momentos flectores que producirían los mismos efectos, tendremos la igualdad R = ES

Mv I

Me 2/

Me 12

PLACAS

281

PLAN A S

de donde M =

ESc^

siendo c el grueso de la placa. Por consiguiente, llamando el momento a lo largo del radio, por unidad de ancho, y M , el momento a lo largo de la circunfe rencia, por unidad de ancho radial, esos valores se obtendrán de las expresiones de S, y 8^ multiphcándolas por Ec^

De esta manera tenemos las siguientes fórmulas. 78. Placa empotrada con carga uniforme. — -Bn virtud de las expresiones [g] tenemos que el mayor valor de las dña-

taciones corresponde al borde, x = r, siendo la máxima carga mo/ c lecular z = -^

ESr = R =

—

3(1 4c^

-pr^

[133]

282

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

I^eyes de momentos;

Mr =

(1 - ■ n^)f

[r^-x^] [134]

Estas leyes están representadas en la figura 103. 79. Placa empotrada con carga concentrada. — Eas expresiones [^] y [?] dacen ver que cuando el radio a del círculo en que se y concentra la carga P es menor que — {e es la base de logaritmos hiperbólicos que vale 2,72) las dilataciones en el centro son ma yores que en el borde, y su valor será R.

3(l--o^)P , r 2 ttC^

[1351

Eas leyes de momentos tienen dos ramas; una correspondiente a las dilataciones [í], entre x = a y x = r, mientras que la otra

sólo es aplicable al círculo de concentración x = a. Por la pequeñez de éste, en general, podemos tomar como leyes de variación de momentos las primeras.

Mr:

1 —

/J ^ 47T \ X

1 ;

Mt = P

cuyas leyes se representan en la figura 104.

1 — r¡^

I tt

[136]

PLACAS

283

PICANAS

En el centro resulta

M = p ~ ^ U i— + 16 k \ a

4)I

que difiere muy poco del momento para x = a, cuando éste sea pequeño. 80. Placa apoyada con carga uniforme. — Eas dilataciones [k], dan el mayor valor en el centro, x = 0 , en el cual

3(1 -

t))(3 +

-nffr^

[137]

8 c2

M W ./M

Eas leyes de momentos son

\ 1 + V)

(1 — 1]^)p / 3 + Mt = 16

[138]

que se representan en la figura 105. 81. Placa apoyada con carga concentrada. — Las expresio nes [-w] dan las dilataciones en los puntos de la placa exteriores a la

284

M E C A N IC A E L A S T IC A

pequeña zona en la que P está concentrada. Como el círculo de apli cación es muy pequeño generalmente, el máximo de las tensiones que corresponde al centro difiere muy poco del valor

3(l-vi^)P/ •

27tc2

t7r

^ I

1 \

a ^

1 + ti)

L,os momentos serán

Mr =

Mt =

_____^ \ X

r¡j

[139] I tT

1 +

- T il

cuya ley de variación se indica en la figura 106. En el centro re sulta M=

(1 - -r,^)P I 4 I 1/ ^ I ^ 1 + Y] + 1 f 2 16 k \ 1 -f- V) +

82. En todas las expresiones anteriores entra el coeficiente de Poisson, Y), cuyo valor depende de la constitución del material que forma la placa. Para materiales homogéneos el valor generalmente encontrado es

PLACAS

PL A N A S

285

En los hormigones este coeficiente de contracción transversal no está tan experimentado como en los materiales homogéneos (metálicos, principalmente); pero del resultado de varios ensayos, para hormigones de 300 a 400 kg de cemento, por metro cúbico, oscüa entre los valores

I pudiendo adoptarse el promedio

cuando son hormigones bien apisonados y dosificados, cifra que concuerda bastante con el coeficiente de elasticidad E = 150 000 kg : cm^.

Placas rectangulares apoyadas 83. Mucha más dificultad presenta el estudio de las placas rectangulares que el de las circulares. No obstante, para las placas apoyadas en los cuatro lados puede considerarse resuelto el pro blema elástico merced a la notable teoría de Navier, que permite calcular las tensiones y deformaciones para cualquier sistema de cargas. E l método de Navier, sumamente ingenioso y de gran genera lidad, no ha sido simplificado posteriormente, a pesar de hacer más de cien años que su autor le redactó; pero, indudablemente, presenta dificultades de desarrollo que le hacen caer fuera del pro grama de las obras elementales. Dg,remos, sin embargo, una idea del método, para que pueda comprenderse el modo de llegar a la solución general, procurando extractar todo lo posible tan interesante teoría, que tiene gran pro

286

M E C A N IC A E L A S T IC A

lijidad, pero sacando consecuencias de los resultados obtenidos para expresar la.forma de cálculo en las aplicaciones. Sea una placa rectangular, apoyada en su contorno, cuyos la dos son a y h, siendo c el grueso. Sobre ella actúa una carga cual quiera que, para darla completa generalidad, estará expresada por una función f = f{x, y) referida a los lados a, b, como ejes coor denados (fig. 107). Esta función de dos variables puede ser siempre representada.

en el intervalo a, b, por el desarrollo en serie de Eourier, del modo siguiente ,, , „ . niTzx nny f(x, y) = SS4 „„ sen------ sen -—¡f-

Con esta representación basta considerar aisladamente las di ferentes cargas simples correspondientes a los términos de la serie y sumar los resultados obtenidos. Cuando la serie sea muy conver gente, bastará tomar pocos términos para tener un valor muy apro ximado. Eos casos considerados ordinariamente corresponden a carga uniformemente extendida sobre la placa, a razón de -p kg por m^, o a carga concentrada, entendiéndose que ésta es resultante de

PLACAS

287

PLANAS

n-na carga que actúa en una zona, pequeña pero finita, situada en un rectángulo paralelo al de referencia cuyo punto medio tiene por coordeñadas x ' e y'. Si multiplicamos los dos miembros de la expresión anterior 'yyiizx por sen -------sen — ^ dxdy e integramos entre 0 y «, 0 y &, tenemos

I í{^y) sen

sen

dxdy =

m-KX sen'^-------sen^ n-Ky a o J oJ 0

= A ...rr +

ce ss

ni'KX

i>v:x

, n-!zy

sen-------sen ---- sen — ^ sen ApJ = lm = l J 0J 0 j:

dxdy

pero ■

o m iv x

„ nny .

a •h

Amn I '■ II":sen^------- sen‘“—j— dxdy = A,, o jo

. , , mnx é-KX mzy q-Ky , ^ Apq I I sen— -— sen •••— - sen—^ ® e n —^ d x d y — 0 Jí o Jí o luego A, '■ =

—aábr- JII o

m-KX

n-Ky

fi^y) sen-------sen

En los casos que consideramos, de carga uniformemente repar tid a de f kg/m^, y de carga concentrada P, f{xy) = p; f{xy) = P y entonces el valor del término general será

Ar I=

MKX ,, (/ ■ nny , f m,KX I sen sen-------dx — ^— dx I| sen — dy = ab j o a Jo 4p

mnK“

(1 — eos mK){l — eos nu)

nny 4P V IK X Amn = — T- sen-------sen ab

288

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

Ivas ecuaciones de equilibrio del paralelepípedo elemental son, según dedujimos en la página i del capítulo I, dN^ dx

dTg dy

dT^ dz

dT^ dx

dN¿ dy

dT^ dz

+ y=o

dT^ dT^ dNs dx + dy ■ + dz

+z=o

^ Q

En nuestro caso X = Y = 0. Si las integramos con respecto a E en toda la altura de la placa, que es como expresar las condicio nes de equilibrio del prisma de base dx, dy y de altura la de la placa, la integración de la tercera columna nos da y T^, definidos para las superficies de la placa, en la cual son = 0 , y, C

A además, en la expresión N g +

~2 ^ zdz, Ng es la carga en la base ~ "2

superior e l

r ’’” ! ^zdz el peso del prisma de base unidad y altura la de 2

la placa; esta suma dijimos venía representada por f{xy), luego dNj^ dT. ^ dz = ' dx + dy

dx +

dN.

[a']

Vamos a transformar esta última ecuación de modo que no intervenga ni T-¡^ ni Tg. Si diferenciamos con respecto a. x la. primera de las ecuaciones de equilibrio del paralelepípedo elemental d^Ni d^Tg d^Tg dx^ + dxdy + ■ dzdx

PLACAS

289

PLANAS

Si mtiltiplicamos por z e integramos con respecto a z en toda la altura

pero .integrando por partes el segundo término

dx pues en la superficie para z = ±

se tiene Tg = 0 , lo mismo que

sus derivadas; luego

fd' dTn T„ ^ J

f Idm^ , d^TA.

d x '^ ^ '^ J A d x ^

dxdy]^^

de la misma forma ^ + ^ ] dz Jí ^dyd z = Jí z \,ldxdy dy^ dy^‘- I luego la ecuación tercera de las [«'] quedará de la forma

d^N, dx^

2 ^'^3

dxdy

d^No d z = — f{xy) dy^

[“1

Las fórmulas [«] que dedujimos para las placas circulares, nos interesan ahora; pero 8, es la deformación unitaria, según el eje x; ^ du ^ dv , dx y *■ = - ¿ 7 ' E

1 — 7)3 \ ¿y

A estas mismas expresiones hubiésemos llegado al suponer en las ecuaciones [/], (pág. 2 2 ), que nos dan iV^, N^jN ^ iVg = 0 dw sacar de esta ecuación el valor de - 3 — y sustituirlo en las dos dz 19

290

M E C A N IC A E L A S T IC A

anteriores, teniendo en cuenta los valores de it y •/) dados en la pá gina 28. El valor de T^, como sabemos, es r ,3 ==

dv dx

du dy

Siendo Uq, Vq, los desplazamientos o deformaciones del punto y, 0 del plano medio de la placa, j u ,v ,w los del punto y, z, si suponemos que al deformarse las rectas normales al plano me dio quedan normales a la superficie deformada dw^ dx

U = Uq — Ztg a = y en la dirección del otro eje V= Vn — z-

dWf) dy

Sustituyendo en la ecuación [a], los valores anteriores de N^, ■ ^2. ^ 3. y poniendo como expresión del momento de inercia, /, de c® la placa, por unidad de longitud, I = — (c es el grueso total de la placa), resulta la llamada ecuación de Eagrange. El 1-7)2

dx^

dx^dy^ '

d^Wn dy^

- f{^, y)

que simbólicamente se representa en la siguiente forma El 1-7)2

= - f{x, y)

Ib']

por ser A el signo de derivadas segundas con respecto a las varia bles. Esta ecuación determina la deformación independientemen te de las Mfl, Vq. De las dos primeras ecuaciones de las [«'] podíamos deducir una ecuación diferencial de segundo orden en Uq y al sustituir N^,

PLACAS

291

PI.A N AS

^ 2 y ^3

sus valores, lo que nos indicaría que los desplaza mientos horizontales son independientes de los verticales. En la práctica, lo mismo que hicimos en las placas circulares, se supone ’Uq = Vq = 0 , por cuya simplificación el valor de Tg se puede expre sar por la fórmula

3 =

dv dx

d^t, dy ■) =

2 [x

d'^Wf^ dxdy

Como ya sabemos (pág. 28) que el coeficiente de elasticidad, E y de Poisson, tj, tienen por valor _ -f- 3[xX h = — — -----X -|-

-n= -

2(x -)- ¡x)

y sacando de éstas el coeficiente (x eu función de E y

tj,

resulta

E 2{l + yif en consecuencia. Ts = -

Ez d^Wf. 1 -|- 'n dxdy

84. En virtud de esto podemos decir; sobre una placa rectan gular, apoyada en el borde, cuyos lados son a, & y c el espesor, ac túa una carga cualquiera, representada por f[x, y), que puede sus tituirse por la suma de cargas resultado de desarrollar f{x, y) por la serie de Fourier, o sea por una serie de términos de la forma . m-KX n-ny A ,„n sen-------sen — ^— Para cada uno se podrá aplicar la ecuación de Eagrange, que sera AAzeJn

1-7) 2 A El

sen

mnx

■ sen

nizy

292

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

Está ecuación diferencial puede comprobarse que se satisface para expresiones del tipo „ m-KX n-KV w ■ C sen -------sen — que diferenciando cuatro veces y sustituyendo en la anterior, re sulta para valor de la constante C

2 \2

Considerando los dos casos más corrientes de sobrecarga, es de cir, sobrecarga uniformemente extendida a razón de p kg por m^, o una concentrada de P kg en el punto x' y ', los valores respecti vos del término general para cada uno de esos casos vimos que eran A mtt —

ip (1 — eos mv:) (1 — eos n-n:) mn-K^

A,.

iP mnx' nny' — rr sen -------sen — — ao a b

Para valores pares de m, n, se hacen cero, de modo que sólo ha lugar a considerar los valores impares, y, por eso, el valor de A,„„ cuando hay carga uniforme o cuando está concentrada en el centro de la placa

2 ' serán, respectivamente.

mnn‘^

A ”m=

ATD , (

m— 1 1)

(

«— 1 2

En consecuencia, la ecuación [¿'] que resuelve el problema en

PLACAS

293

PL A N A S

estos dos casos, de carga uniforme o carga concentrada en el cen tro, será w= —

mnx n-KV sen -----sen — —

16jí> El

I m— 1

w =

r¡^ Elab

n— 1

m-r:X (— 1 ) ^ ~ — sen----- sen 2 \2 a IV

4 P ( - 1)“ ^

«2 + &2

Estas expresiones son las ecuaciones de la superficie de defor mación del plano medio de la placa para cada uno de los térmi nos m, n, que definen la carga. De modo que para toda la carga p extendida sobre la placa entera, o P en el centro,, bay que hacer la suma de esos términos para los sucesivos valores impares de m j n , desde 1 hasta infinito. Afortunadamente, las series que re sultan para los sucesivos valores de m, n, son tan rápidamente convergentes, que basta considerar con gran aproximación, cuan do más, las dos primeras combinaciones m = 1 con n = 3 m — \\ n = 1

n = \ con OT = 3

y aun sólo la primera de éstas. 85. Mediante esas ecuaciones [e'] se determinan las leyes de tensiones, la flecha, las reacciones en el marco de apoyo; es decir, todos los elementos mecánicos. En efecto, las tensiones en los diferentes puntos de la placa, según las direcciones del eje de las x y del eje de las y, se obtienen de las fórmulas antes escritas E

¡ du

du dx

—

dv dy ¡ ‘

iV,=

dv 1 — r)2 \dy

que, siendo d^w dx^

dv dy

—z

d^w dy^

294

M E C A N IC A E I-A S T IC A

según las fórmulas establecidas dw^ dx

——z

V — Vn

—z

dw^ dy

resulta Ez

i d?w

d^w Ez ( d^w l _ v ) 2 \¿y 2 +'^ dx^

d^w \ +

1 — 7)2

y poniendo en éstas los valores de d^w dx^

d^w dy^

sacados de las ecuaciones de deformación halladas [e'], y hadendo z = — , tendremos

Carga uniforme:

8ch

N-, = ----- --- S I iV,=

8cp — ^

oTir sen-----

_[_fEaPf

sen

fiT^y h

nny n^a'E^ 4 - r¡m^a^b'^ m-nix 9 I— s en------sen ,

Carga concentrada: N\

7¡n^a*b^

2cP , la b

2cP TV' = ____ ^ lab

7c2 ( o t 2 ¿ 2 _ p 7í2fl2^2

—1) ^

m+ n—2 2

m nx

fln y

sen------sen — j— a b

m+ i!— 2 micx n-Ky n^a^b^r¡7n^a^b^ (— 1 ) 2 sen----- sen T?‘[nEb‘^+ lEa^Y

La gran convergencia de las series hace que con bastante apro ximación se pueda tomar sólo el primer término m = 1, n = 1 . E l máximo de esas expresiones se presenta en el centro de la placa X

y= -

= 2

PLACAS

295

PLANAS

de modo que poniendo estos valores en las fórmulas anteriores, y siendo el momento de inercia

12 tendremos, sencillamente, para valores de las máximas reacciones moleculares en el centro de la placa, los siguientes

Carga p kg : m^: ^

[140] ■ ^2 - “

i iV ' ,=

+ ¿2)2 («+■ ') ) 2iPab 71;2c2(íi2 _|_ ¿2^^{b^+yia^)

Carga total P:

[U l]

24Pfl6 {a^ + -nb^) + b‘^y

iV '= -

Si se divide N-¡^ por N \ y tienen por valor

por N'^ se ve que esas relaciones

-ápab ^Plz^'^ y si la carga concentrada, P, es equivalente a la uniforme pab, entonces la relación vale - i = 0.4 lo cual quiere decir que cuando dos placas de iguales dimensiones se cargan con el mismo peso, pero en una de ellas se extiende uni formemente y en la otra se concentra, las cargas moleculares o tensiones máximas en la placa son, en el primer caso, cuatro de cimas de las que se producen en el segundo. Si la placa es cuadrada, a = b, del examen de esas fórmulas

296

M E C A N IC A E E A S T IC A

se saca otra consecuencia interesante: para carga uniforme, las ten siones principales máximas son

de modo que pa.ra dos placas cuadradas que tengan lados distin tos, pero igual carga total pa^, las tensiones son iguales. Y de igual manera, cuando la carga es concentrada 6P

que resulta también independiente de sus dimensiones. Este teore ma fué demostrado por Mariotte siguiendo distinto método, ante riormente a esta teoría. 86.

Ea flecha que toma la placa se deduce inmediatamente de las ecuaciones de deformación [e'], sin más que hacer en ellas

Tomando, como hicimos antes, el primer término de la serie, los valores que resultan para la flecha, en ambos casos de carga, son

/ = -

16^(1 EIiz\a^+b^)^

/' = -

4P(1 — Eln^ia^ + ¿2)2

[142]

Ea relación r

4:pab ~Pt^

que vale —^cuando pab = P resulta la misma que la de las ten siones.

PLACAS

PL A N A S

297

87. Hemos hallado las tensiones N-¡, paralelamente al eje de las y N^, paralelamente al de las y; pero, además, podemos hallar las tangenciales Tg, T^, que completan el problema, pues de iVj se prescinde, según dijimos, por ser nulo o despreciable en general en la placa. Respecto a Tg, está deducida ya su expresión [c'] Ez d^w j" — ___________ ® 1 + ^7 dxdy en la que, sustituyendo el valor de d^w dxdy obtenido al derivar la [e'], se obtiene „

_ 16(1 — ■ f\)pz ® lu^ah

T' —

1 n2 \2 + ¿2 ^

mizx nizy eos ----- eos---

m+ n— 2 ^mn(— 1 )~ -eos n2 \ 2

m tz x

cos-

fi T z y

y tomando sólo el primer término de la serie, para los puntos de la superficie z —

¿i

resulta

■k X titV eos 62)2 eos — a b

8 ( 1 — rj)pca^b‘

2 Pc(l — V))fl2 J2 3

T 2/

j,o \ o

ny eos

eos

hos máximos corresponden a los vértices de la placa x = 0, y = 0 , con el valor r, =

96(1 — r¡)pa^b^ 7t*c3(a2 + ¿2)2

T'3 — —

24P(1 — r¡)aWTc^c^[a^ b^Y

[ 143]

298

PLACAS

PLAN A S

Para resulta más interesante totalizar sus efectos en el grueso de la placa, es decir, calcular J T^dz e j T^dz, porque estos valores son, respectivamente, el esfuerzo cortante o tangencial pa ralelamente al lado a, o al b, de la placa. Para esto podemos partir de la segunda de las ecuaciones ge nerales de Elasticidad

d^ +

■ dN^ dT^ + dy dz

Y= 0

y como ya dijimos que Y = 0, en este caso, multiplicando por zdz e integrando, queda

fl:

IdT^ dN^ dz '( dx + dy

J\dz =

T-^dz.

de modo que sustituyendo en el primer miembro los valores de dT, dx

dN, dy

sacados de las expresiones antes hadadas de Tg y N^, tenemos

dz-

EI 1—

I d^w ^ d^w \ dx^dy dy^

Este es el esfuerzo cortante por unidad de longitud, paralela mente al lado a y del mismo modo, el paralelo al b será El

I d^w

1 — 7)2 \ dx^

d^w dxdy"^

Hallando los valores de las derivadas terceras de la ecuación de deformación [e'], para los dos casos: placa con carga uniforme, y

PLACAS

299

PLANAS

concentrada, resulta, esfuerzo cortante por unidad de longitud pa ralelamente al lado a J Tj^dz = —

nt-KX fiizy ■ sen------ eos — ^—

16p ■ K^h

m m+ n—

I T-idz =

w(— 1)

mv:x fiTcy sen-------eos — j—

+ 62 De estos valores del esfuerzo tangencial se deduce inmediata mente la carga que la placa produce sobre el marco de apoyo, toda vez que esa acción para el lado a no es más que el esfuerzo tangen cial en la línea y = 0 . Fijándonos en el caso de carga uniforme sobre la placa, la reac ción, sobre el lado a, valdrá 16p m

sen-

m-KX

Indica esta ley de variación de las reacciones, que en los vér tices X = 0, X = a, la. reacción es nula y que el máximo corres ponde al punto medio % =

Como para la derivada, en los ver-

tices, cesa de ser convergente la serie, la tangente a la ley de va riación es infinita, o sea perpendicular al lado, de modo que la ley de reacciones es una curva 0 ^ 5 — (fig. 108) cuya tangente en los vértices es vertical y máximo en el punto medio. K 1 máximo resulta haciendo x —

^ > en

última expresión,

obteniéndose así )«— 1

16p ■kH

!)■ m

[ 144]

300

M E C A N IC A E L A S T IC A

Iva serie es convergente, pero no tanto como todas las que se obtienen anteriormente, por lo que resulta poco aproximado to mar sólo el primer término m = l , n = 1. Depende esta aproxima ción de la relación

de los lados, tomando varios valores, según el

que tiene esta relación. Cuando a = b resulta R = Si a = 2b, entonces R „

9,87fb

13,9pb

, y para « = 3b,R

[145] 'U .lp b

A medida que a crece, se aproxima indefinidamente al valor IQpb = — ^ = 0,51/)6 — pb, que es el valor límite cuan-

á.0 a = oc. Y a se comprende que, siendo todas las expresiones simétricas

F ig . 108

respecto a. a y b, todo lo que hemos dicho respecto a la reacción en el primero se aplica igualmente al segundo, cambiando b por a. Das leyes de variación de las reacciones en los lados, por lo dicho antes, tiene aspecto parecido a media elipse. Veamos si adoptado este género de curva se obtiene aproximadamente la re presentación de las reacciones. Es evidente que la suma de las reacciones en los cuatro lados debe ser igual a la carga total pab, y hemos visto que el máximo, en los lados a, para placas que di fieran poco de la cuadrada, es

R = 9,87pb

PLACAS

301

PLANAS

Con la ley elíptica antes indicada, la suma de las reacciones es „

9,87íí>& h TtS ■ 2 “

19,74jí>62 27t2 -

19,74

que es casi idéntica a pb^. En el caso de carga concentrada la reacción en el lado a valdrá • m+n— 2 4P n{— 1) 2 mizx S ------í ------ .— sen------Txab^ m“ a b^ el máximo resulta para

y tiene por valor

¿i

2 w + M— 3

n{— 1 )

a f + 'Su poniendo

= cp, tenemos 2»t +

P =

4 P<p^

n( — 1 )

n— 3

_j_ ^2(p2

7ta

Vamos a hallar el valor de este término para distintas relacionesSiendo « = S, 9 = 1, 2w + « — 3

n { - !)■

= 0 ,5 2 3

y P = 2,1 — . 7TÍÍ

Si a = 25 O sea 9 = 2 R==

4P 7ra

y para « = 35 o 9 = 3 P = 5,4-

Tza

302

M E C A N IC A E L A S T IC A

Fórmulas de aplicación 88. I,a discusión anterior nos ha proporcionado elementos de juicio que permiten establecer el cálculo de las placas rectan gulares, apoyadas sobre un marco rígido en todo el contorno, de un modo tan satisfactorio como para las placas circulares. Resumiendo lo expuesto en los párrafos anteriores, para placas con carga uniformemente extendida a razón de p kg por m^, las máximas cargas moleculares desarrolladas en el centro de la placa están dadas por las fórmulas [140], y los momentos máximos, pa ralelamente al lado a y al 6 por unidad de longitud, serán, respec tivamente.

IQpa^b^ Mb = — ^4(^2 ¿2)2

Paralelamente a a.'

+ -na^) [146]

Paralelamente a b:

Ma == —

l&paP'b'^

(a^ -)- r¡&^)

Cuando la carga es concentrada, con P kg en el centro, las car gas máximas son [141] y los momentos capaces de producirlas M'a =

¿2)2

I [147]

4Pab (a^ + v¡b^) \ ^2(^2 ¿2)2

M\ =

Para la mayor parte de los materiales homogéneos basta calcu lar el grueso c con arreglo a estas fórmulas o las [140] y [141], porque en general el valor de la carga tangencial Tg, calculado ya por las expresiones [143], es bastante inferior a Ng', la relación entre ambas vale Tg iV,

(l~ 7,)ab ■ + r¡b^

cuyo máximo para la placa cuadrada es Tg Ng

l + r¡

Cuando el material tiene un coeficiente, r¡, que sea muy pequeño,

PI^ACAS

P IA Ñ A S

303

como ocurre en los hormigones, sobre todo si están mal ejecutados, el valor de Tg, máximo en los vértices y orientado según la bisec triz, tiene mucha importancia. I^as reacciones en los lados pueden representarse, para carga uniforme, por semielipses, cuyo eje mayor es el lado respectivo y el semieje transverso tiene por valor aproximado el de la expre sión [144] o su simétrica. Y para la carga concentrada, el máximo de la reacción vale

2,1

TZCl

O su simétrica 2,1

7t6

por unidad de longitud.

Placas rectangulares empotradas

89.

E l cálculo de las placas rectangulares empotradas es más di fícil que el de las apojmdas, y, desde luego, no puede aplicarse la in teresante teoría de Navier, que con tanta elegancia y sencillez re suelve el de las apoyadas, porque la doble serie trigonométrica no satisface las condiciones de los límites para el empotramiento. Hay otros métodos que, con relativa facilidad, permiten encon trar soluciones aproximadas, y entre ellos expondremos el de Ritz, que conduce a resultados sencillos de expresar en algunos casos concretos. Consiste este método en encontrar una función que enlace la deformación del plano medio de la placa con las coordenadas, en función de la deformación máxima, y determinar ésta por la con dición de mínimo trabajo. E l problema, en general, es de bastante complicación de cálcu lo; pero se abrevia notablemente cuando la carga es uniformemente repartida y para carga central concentrada. Sea una placa (fig. 108 bis) de lados a, h, empotrada en todo el borde y sometida a la carga uniforme de p kg por m^, y, además, a la concentrada de P kg, actuando en su centro. Tomemos este punto como origen de coordenadas y sea c el espesor de la placa. Ensayando una forma de función que enlace las coordenadas

304

M E C A N IC A E L A S T IC A

con la máxima deformación tar la función

(flecha en el centro), vamos a adop

2 tz x \ (

2^\

[148]

en cuya función, w es la deformación en el punto x, y. ha condición de mínimo trabajo es más sencilla de expresar, sustituyéndola por la igualdad que debe existir entre el trabajo interno y el de las fuerzas exteriores, para determinar de este modo la máxima deformación w^.

F ig. 108 bis.

Y a sabemos (páginas 38 y siguientes) que el trabajo interno en un sólido elástico viene dado por la expresión ~

(Y? + N I - 2r,N,N,) + ^ { l + -n) dxdydz

En este caso de placas planas, los valores de N^, N¿, han sido deducidos en las placas apoyadas y tienen aquí igual expre sión, por ser generales, cualquiera que sea su sustentación. Y ya vimos que sus formas eran d'^w dx'^

d'^w \

^3 =

N ,= Ez

' d^w

d^w \

d^w

1 — |—7] dxdy

Sustituyendo estos valores en la anterior expresión del tra bajo y poniendo en lugar de las derivadas segundas sus valores, en

P tA C A S

PLANAS

305

virtud de la función [148], tenemos (después de integrar respecto a z) Ec^ r+ Y r+24(1 - r,2) j j _

■ cos‘

o-CO S'" "

7^2 TZ4*W 2nx 2-Ky + 2 v) — eos-----eos , a^b^ a b

1 -|- eos —5^ I -ja \ b I

(1 + eos

( l +

2-n:xY

c „ s í ^ ) ( l

c o s - ? f - )

H-

47/?|2 27t;r TZ *W 2izy + 2 ( 1 - ri) 1 ^ 2 “ sen2 -sen' fl b ííc V zc’q 24(1 - 7)2]

36 3a 4a® . 46®

2a6

Por otra parte, el trabajo de las fuerzas exteriores será J l P w, +

pw^ / /

1 + eos

wdxdy■

PWn

27TX

-) (l + eos ^I^L^dxdy = a /\ ' 6 Z™"-"

P wq

pWf¡ab

Igualando esta expresión a la anterior, tendremos E c^-k'^W^^ 24(1 - 7,2)

36 4a®

1 46®

Pw,

2a6

pw^ab

de donde w,, =

3 (1 -7 )2 ) (4P + ?ia6) E c^-k^

[ 36 4a®

3a 46®

1 ] 2a6

o lo que es igual 12(1 — 7)2) (4P + pab)(Pb^ Pc®7T^(3a* + 36^ P 2a®62)

[149]

Este valor de la flecha resuelve el problema y debe asignársele signo — si el eje de las z se supone positivo por encima de la placa. 20

306

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

Calculado ya el valor de la deformación máxima, tenemos la deformación general de la placa por la siguiente expresión ‘l-KX 3(1 — 7)2) (4P + <pah) w = — PcV(3fl^ + 3&^+ 2 a2 &2-y 1 + eos

l + c o s^ )[1 5 0 ]

Veamos si esta superficie de deformación satisface las condicio nes del contorno. Desde luego, para x — ± — , y = ±

, resulta 5®= 0; de modo , que en todo el contorno la deformación es nula, como es natural. 2

Además, a lo largo de los lados B C y AD

resrdta

= 0 , así como = 0 a lo largo de los lados = ± — , condx dy 2 dición también necesaria. Aún más: para que exista empotramiento debe ocurrir que para dw b dw Y 0 para x 0 , como también y = ± — sea — — dx 2 2 dy así ocurre, efectivamente, según se ve por las derivadas primeras. WnT^^ 2-kx 2ny resulta que en 'todo el d^w Como —”, - sen ----- sen — ab a o dxdy contorno d^w - = 0 , o sea que = 0 , cosa que también debe dxdy ocurrir. En suma, la superficie de deformación [148] satisface todas las condiciones del contorno. Por consecuencia, los valores generales de las tensiones elás ticas en toda la placa serán

[151]

T = -

Éz 1-7)2

1 &2

E z W r j^ ‘ ‘

2-k x

eos-----II -h eos

I -H 62 eos

2 iz X \ , 7) 2ny I ^ 1 -)eos----1 -1 ---2" b ct f ^

2 tzx

2 it y

■ sen -----sen —1—

(1 4 “ 7))íz6

2 -K y \

2 Tcy /, . 2,nx \ 1 -1- eos-----

a I

. 21 1 " [ a \ ■

2 nkx X ,i ^

27ty

PLACAS

307

PLANAS

90. Con estas expresiones tenemos conocido el régirnen elás tico en toda la placa empotrada. Y a se ve que los mayores valores de las tensiones y desgarra-

mientos corresponden a las bases de la placa

y vamos

a calcular los correspondientes a distintos puntos para comparar los con los deducidos en la placa apoyada. En primer lugar, comparando el valor deducido para flecha en el centro [149] con el de las placas apoyadas [142], la relación en los dos casos de carga uniforme y concentrada, resulta uniforme . . . . concentrada. .

16(3fl^ + 3¿^-f 2«2¿2)

/ Wq

(«2+62)2 3«4 + 36^ + 2 «2¿2

[152] [153]

Estas relaciones para la placa cuadrada valen, respectivamen te, 0,308 y 0,5. Es decir: que una placa empotrada con carga uniforme toma una flecha algo inferior a la tercera parte de la que tomaría si es tuviese apoyada, y con carga concentrada, la mitad. Vamos a dar valores a las coordenadas en las expresiones [151] para determinar las diferentes tensiones en la placa. En el centro, ;t: A.

Ec i ^^w^l l

0 , y = 0 , ^: = ± — , resulta

VI \

Ec i ^ ' ^ w j l

J L )-r _ 0

Comparadas estas tensiones con las de la placa apoyada, en Iqs dos casos de carga uniforme y concentrada, tenemos uniforme . . . . concentrada. .

+ (íf2+ 6 2)2

N ',

8(3«^ + 36'“ + 2«262)

N, N\

N ',

2( « 2 + "

¿2)2

3«^ + 36“1 + 2«2¿2

Estas relaciones son dobles de las relaciones de las flechas. De modo que las tensiones principales en el centro para la placa cua-

308

M E C Á N IC A E E Á S T IC A

drada valen 0,617, y 1 de las mismas tensiones en la placa apoyada, en el mismo punto, en los dos casos respectivos de carga uniforme y concentrada. En los vértices de la placa empotrada x = -^ ,y = z = Z Á ¿i resultan ^3=0 iV2 = 0 iVi = 0 En los puntos medios del marco de empotramiento tenemos las siguientes tensiones: punto medio de ^45 y de CD

Ecn^Wo ^2/1 2^ ^

^2 punto medio á& AD y B C ( .= 0

y=±-

EcK^W(,-r¡ 6"(1 - 1)2)

z= ■ N ,=

E cvP'Wq 62(1 _ ,¡2)

Si se comparan estos valores con los obtenidos en el centro de la misma placa, se observa, en primer lugar, que son de signo con trario, y, además, la relación entre estas tensiones y las del centro valen para N-, . .

1 11 + _i- -n-^

punto medio de para No ■ .

para N , . . .

■n

para No - . ■

1 + r¡-

punto medio de y = ± 62

PLACAS

PL A N A S

309

91. Y a se comprende que siendo las tensiones en el centro de distinto signo de las de los puntos del marco de apoyo, existirá una línea en el interior de la placa que será el lugar geométrico de las tensiones nulas. Esta línea estará definida por las ecuaciones siguientes: Nulidad de 2 -k x Í

o^cos—

27r y \

2Í tt tu3; V /

2 t: x \

1 + eos—^ 1 + v¡a^cos—^ cos_ ( lll + cos—

J= 0

nulidad de iV»

c o s -^ ~

|l +

c o s ^ ^ l +

7)62 e

c o s -? ^ | =

nulidad de T , 2-k x

2 7 ty

sen -----sen — = 0 a o Esta última se satisface para la serie de valores

x= 0

Ea primera de esas líneas corta a las medianas en los puntos que distan del centro las cantidades a: =

are. eos ¡

¿2

1 + 27 ,

y a las diagonales corta en los puntos x =

x =

310

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

La segunda línea corta a las medianas en los puntos que dis tan del centro las cantidades 3: =

¿TZ

are. eos / — 1 + 2^ ^

^7Z

are. eos ,

y a la diagonal en los mismos puntos de antes.

y ---------------------a y - \ ________

En la figura 109 representamos estas líneas para indicar su as pecto en una placa rectangular. Si la plafca es cuadrada y el material es de hormigón, el valor de V) es, próximamente,

y entonces las distancias de los prmtos

de tensiones nulas al centro serán para N^¡^. . . . para N¡.. ■ . ■

X = 0,261a % = 0,267a

y = 0,267a y = 0,261a

PLACAS

311

plan as

Por lo que antecede, ya se ve que los mayores valores de las tensiones corresponden al centro de la placa, análogamente a lo que sucede en la placa apoyada, aunque la diferencia es notable en la forma de distribución de esas tensiones en el resto de la placa. Respecto a las cargas tangenciales, los mayores valores corres ponden a las diagonales, y en eüas, como su ecuación es y = ~ x , la carga tangencial tiene por expresión r= -

E cW^tz'^ sen^ 2ab[l -|- r¡)

2 tzX

en la que el máximo valor es ECW^IZ^ 2ab(l -b 7])

[154]

Este valor de carga tangencial es grande y, generalmente, es el que provoca la rotura de las placas empotradas.

Placas continuas 92. El desarrollo de las obras de hormigón armado ha hecho adoptar para pisos, en algunos casos en que se requiera una gran diafanidad de espacios, la solución de placa continua, en forma de una hoja, de espesor uniforme, sustentada por columnas del mis mo material. ' En general, la construcción tiene simetría, porque los espacios entre columnas son cuadrados o rectangulares; pero en este último caso difieren poco las dimensiones de sus lados. Aun así, el problema elástico es absolutamente inabordable, desde el punto de vista analítico, por la gran complicación que tie ne la deformación de la hoja media, incluso en el caso de cargas simétricas. Ninguna solución, hasta el presente, puede considerarse como satisfactoria, considerada como teoría elástica, y por la gran difi cultad de su análisis, los americanos, que principalmente han des arrollado estos pisos, dictan reglas de carácter práctico y empírico

312

M E C A N IC A E E A S T IC A

que parecen tener cierta concordancia en los experimentos hechos sobre ellos, en virtud de deformaciones medidas. A falta de mayor conocimiento, daremos a conocer algunas de

'A - p

■

• ------- O-— ------ —

las reglas dictadas a este efecto que pueden dar idea de las tensio nes desarrolladas en el caso de carga uniforme. Sea una placa (fig. 1 1 0 ) constituida por una hoja, de espesor constante, sostenida por columnas, que forman cuadrados de luz L. Tomando un ancho unidad, el momento en la sección de los lados del cuadro que une los vértices, se puede considerar como una parábola en la que las ordenadas varían desde centro, hasta

1 10

pl^, en los vértices.

pl^, en el

PLACAS

PL A N A S

313

Para el mismo ancho unidad, en la sección por los planos me dios M N , la ley de variación de momentos puede considerarse como una parábola más rebajada que la anterior, con las ordena das -t-

^ pl en el centro, y — ^ p l’^, en los extremos. 40 ‘ 20 Y a se comprende que existe en cada punto, para los efectos del cálculo, un régimen de flexiones en los dos sentidos, que dan origen a tensiones calculables en virtud de la fórmula de siem pre, N =

, siendo c el grueso total de la placa y M la ley indiJíl cada de momentos, por esas parábolas. Podría ensaj^arse una solución análoga a la expresión [148] utilizando el método de Ritz, pero es muy difícil hacer que cumpla todas las condiciones que se requieren para los vértices de apoyo. En consecuencia; y no encontrándose una función que satis faga totalmente, es preferible utilizar el método de primera apro ximación antes indicado.

,Y "

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i'.v;' i' •‘íC-v^.'v^.áí^a

CAPITULO VIII R e p a r tic ió n

93.

cargas.^----C im e n ta c io n e s

Repartición de una carga concentrada sobre un sólido indefini do.— É l primer problema que se ofrece a nuestra consideración al tratar de la repartición de cargas, es el efecto que produce una fuer za aislada sobre un sólido. É l problema en su generalidad es de gran complicación, y a Boussinesq se debe su resolución analí tica en varios casos distintos. Aunque parezca que el problema de Boussinesq tiene sólo in terés teórico, sin embargo, es de gran utilidad, pues permite cono cer la forma en que se disipa en el interior del sólido la fuerza que actúa en un punto de su superficie. Sea un cuerpo (fig. 111) en cuya superficie terminal actúa una fuerza, P , que tiene por-proyecciones P.^, Py, P^ sobre los tres ejes coordenados que pasan por el punto, eligiendo el eje OZ en la nor mal a la superficie. Boussinesq ha encontrado que una solución de la forma 3z - — 3 P , sen 9 , satisface a la componente vertical Ag y a los dos des-

316

M E C A N IC A E L A S T I C A

De modo que explícitamente, y asignándoles el signo corres pondiente a su sentido, serán X

Zz 2izr^ T^=-

— -I P 2ivr^ \ * y + P y ^ + P^ 3z

P.~

El caso más sencillo y que más interesa, en general, es el de una fuerza P actuando verticalmente. Entonces = 0, Pj, = 0, P^ = P y la tensión iVg y los desgarramientos, serán, sencillamente. 2,z^P 2-Kr’

Ti =

iz^yP 2-Kr'

T .= -

Sz^Px 2-ky^

[155]

Con estas expresiones se pueden ya calcular las otras tres ten siones, Pg, iVi, iVg, por las ecuaciones generales del equilibrio elás tico, resultando sencidamente iVi =

iz{r^ — z^) 2tc

+ ■

[i.

r^-\-rz

[156]

P 2

r^-\-rz / X-f ¡J.

Pg = 0 Esta admirable solución permite ver con gran facilidad la dis tribución de cargas en el interior del sólido. En primer lugar es notable observar que las tensiones son independientes de la natura leza del sólido, pues en iVg y P^, Pg no intervienen coeficientes elásticos, pero en N-¡^,

sólo entra su relación ^

-, que es sensible-

mente constante en la mayor parte de los materiales homogéneos (A no Y a dijimos que X y ¡x no eran iguales, si bien la relación X + [X

difiere casi de

y esta cifra puede adoptarse como primera apro-

ximación. En los puntos de la vertical de la fuerza, la ley de variación de • nT A7 6P las compresiones iVg es Yg = ---- 2 ñ ^ '

R E P A R T IC IO N DE CARGAS

317

Como el área de la semiesfera, que tiene por radio z, vale 2nz^, resulta que la compresión en un punto, de profundidad z, se obtie ne repartiendo la fuerza P en la tercera parte de la superficie semiesíérica que pasa por el punto. En estos puntos, de la vertical de P , los desgarramientos T-^^, Pvson nulos, lo mismo que Eg, y las tensiones N-i=N^ valen 4tc(X -|que próximamente son

de iV«. 12 Todas esas leyes de variación son asintóticas a z = 0 porque, efec tivamente, del mismo modo que indicamos en las placas planas, la fuerza P no debe nunca suponerse concentrada en su punto matemá tico, sino ser resultante de cargas en una zona, muy pequeña, pero fi nita, que rodea al punto. De otro modo, la materia se desgarraría. Para apreciar claramente las cargas en los distintos puntos del sólido, vamos a tomar para una profundidad cualquiera, z, los dife rentes puntos de ese plano, definidos por los radios vectores que parz ten del origen. Entonces r = — y las leyes de las tensiones serán eos 9 AI

eos ^<p Ai, N^:

P 2v:z^

3P eos ^9 — eos ®9 + 2tzz'^ T^=T^ = -

COS®9

3(x -|- [x)

eos ^9 1 -)- eos 9

eos ^9 1 + eos <

[157]

3P sen 9 eos'* 9

En la figura 1 1 2 bemos representado estas leyes de tensiones, que dan clara idea de las variaciones de dichas cargas.

318

M E C A N IC A E L A S T IC A

De la curva vectorial de Ng, tomando en normales al plano de profundidad z los diferentes radios, resulta lá curva de repartición expresada en la figura 113. Con las figuras 1 1 2 y 113, obtenidas de las expresiones [157], se ve la gran utilidad del problema de Boussinesq, que permite medir las cargas en el interior de un sólido sobre el que actúa una fuerza concentrada .en su superficie. 94. Elasticidad del terreno.— Da idea de la elasticidad de un cuer po y su definición llevan consigo la consideración de que un sólido es elástico cuando vuelve a su posición primitiva, después de cesar las causas que provocaron su deformación. Parece natural que las fuerzas interiores de cohesión, que han sido alteradas en el trabajo producido por las fuerzas exteriores, son las que entran en juego para devolver la deformación sufrida, una vez que cesan esas cau sas externas, y casi resulta absurdo hablar de elasticidad en los sólidos desprovistos de cohesión, como ocurre con las arenas, en grandes masas. Sin embargo, no es así; los sólidos formados por partículas aisladas tienen un régimen de elasticidad muy parecido al de los sólidos homogéneos y sus leyes son tan precisas como en éstos. ■ Al observar una vía de ferrocarril, sustentada por las traviesas sobre una masa de piedra suelta (balasto), que a su vez descansa sobre el terreno natural, cuando pasa un vehículo se aprecia un descenso en la vía, que, después de varias reiteraciones, es elástico casi absolutamente, sin que se pueda apreciar deformación perma nente sensible, cuando la vía lleva algún tiempo establecida. En todos los terrenos, al poner por primera vez una carga se produce una deformación muy plástica, que dista mucho de ser devuelta al cesar aquélla; pero cuando el fenómeno se repite varias veces, se llega a un régimen de verdadera elasticidad. Al fin y al cabo lo mismo ocurre (aunque en menor grado) en los sólidos, pues en una madera o en un hierro en el que a la primera carga se mida el coeficiente de elasticidad, el valor encontrado difiere bastante del que resulta en carga de régimen. Claro es que en estos cuerpos (sobre todo los metálicos) los límites son poco extensos, pero el hecho es análogo. Foppl hizo una serie de experimentos muy notables sobre esta cuestión de elasticidad del terreno, y utilizando un pilote hincado a

319

R E P A R T IC IO N DE CARGAS

Trastante profundidad, sobre el que producía vibraciones por gol pes sucesivos, observó el efecto producido sobre otros pilotes me tidos en el terreno a distintas distancias, poniendo en estos últi mos unos espejos que le permitían apreciar las desviaciones, con un error de una milésima de milímetro. E l resultado obtenido fué tan concordante como si el terreno fuera un sólido homogéneo. Eos experimentos de Zimmermann son igualmente concluyentes; pero, sin embargo, hay algunas aclaraciones que hacer. Eos terrenos, en general, se comportan como elásticos no sólo para las acciones verticales si que también para las vibraciones hori zontales; pero los valores no son concordantes en uno y otro caso con los de un sólido que tuviera igual constante elástica. Por ejem plo: hemos estudiado el problema de Boussinesq para un só lido isótropo, llegando a determinar las tensiones en cualquier punto. Para distintos puntos de la vertical de la fuerza, la fórmula de Boussinesq es análoga en los terrenos; pero los valores de y N2 resultan en el terreno mucho más pequeños que los de aquellas fórmulas. De todos modos, en las aplicaciones a la cimentación sobre te rrenos, el valor de Ng (reacción vertical) es perfectamente com probado y su régimen de elasticidad debe considerarse aceptable. Ahora bien, el coeficiente que mide la elasticidad, sin variar el con cepto de los sólidos isótropos, tiene distinta fórmula de dimensio nes, porque al definir el coeficiente de elasticidad de un prisma de cíamos que era este coeficiente la relación entre la carga por unidad de superficie y la deformación por unidad de altura. Es decir, que la fórmula de dimensiones será P ¿2 • L

En los terrenos, la deformación es independiente (partiendo de un límite inferior) de la altura, de modo que la constante que mida la deformación vendrá dada por la siguiente fórmula presión superficie

: deformación =

P u

Esta constante, que impropiamente ha sido llamada coeficien

320

M E C A N IC A E L A S T IC A

te de balasto por algunos autores, la llamaremos constante elás tica del terreno. Muy variable es el valor numérico de la constante elástica, como también lo es el coeficiente de elasticidad de un sólido. En terrenos formados por masas de piedras sueltas, análogas al balasto, según el asiento previo que tengan las masas de piedra, oscila el coeficiente entre los valores 3 a 7 kgcm®. Para terrenos de arena algo comprimida, la constante vale 15 a 20 kg : cm®, y para las hojas de arcilla, algo compacta, sube al valor 40 a 60 kg : cm^. En los terrenos de fango el valor de la constante es muy pe queño, pues, según el grado de fluidez, alcanza valores de 0 , 1 a 1 kg : cm®. En cualquier caso es bien fácil encontrar el valor de esa cons tante, pues basta hacer repetidamente el experimento de cargar

F ig. IW

una pequeña superficie y medir su deformación para tener, por relación entre ambas, el coeficiente citado. Pero, para no tener re sultados engañosos, conviene repetir la operación y medir con exac titud la deformación provocada, referida a un punto fijo, suficien temente alejado. 95. Repartición de cargas en el terreno. — Sea una viga A B (fi gura 114) apoyada sobre el suelo y que reciba una carga concen trada P. Esta carga se reparte sobre el terreno por intermedio de la viga y es evidente que la ley de repartición depende de la rigidez de la pieza y de la elasticidad del terreno. Sea E el coeficiente de elasticidad de la viga, 7, su momento de inercia y a el ancho, en sentido normal a la figura. Suponemos que a

R E P A R T IC IÓ N DE CARGAS

321

es relativamente pequeño con relación a la longitud para que la pieza sea rígida en el sentido transversal. Tampoco importaría que a fuera grande; pero entonces habría también repartición trans versal, análoga a la longitudinal — que vamos a deducir — y el valor que obtuviéramos para ésta sería la media de las reparticio nes transversales. Llamando C la constante elástica del terreno y ^ la deformación en un punto cualquiera, tendremos que el valor de la reacción del terreno en ese punto será r = Cza L a elástica de la deformación vendrá, como siempre, por la ecuación diferencial E l — - = M, y como el esfuerzo cortante dx^ , r dT en el punto citado es T = rdx, o se a ----- = r, derivando dos veJ dx ces Iq ecuación diferencial, tendremos El

— dx^ ~

Cza

L a ecuación diferencial resuelve este problema llamado de la viga flotante, pues, en efecto, la viga flota en la elasticidad del terreno. No es nuevo para nosotros el problema, pues en el estudio de la flexión longitudinal de los tubos le resolvimos también y de modo análogo. Hagamos, como allí, para simplificar, un cambio de la varia ble independiente, tomando como unidad de longitud la mag nitud 4

/4L/ Ca

Sustituyendo en la ecuación diferencial, resulta z=

d'^z 4 dx'^ 1

y ya se sabe que x ' = u

322

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

La integral general de este tipo de ecuaciones es de la forma

(cj+ .

Cge

) eos

+ [c^e +C^e

) sen X

[158]

y las constantes hay que determinarlas, como siempre, por las condiciones límites del problema. Supongamos, primeramente, que la viga tiene una longitud 21 y que tomamos como origen el punto de actuación de la fuerza P en su punto medio. Entonces, para :r' = 0 la tangente a de elásti = o| y el esfuerzo tangencial en ese

ca debe ser horizontal

p punto debe ser igual a — . Por tanto, tendremos: 2

+ ^3 H- C, = o /ij

Ca—

X 2 (— Cj -|- Cg 4- ^3 + ^ 4) = ---- 7T

De estas dos ecuaciones se deduce

ó-i — ^2 + C'3 -h C4 — 0

C, — C 2 — (C 3 -|- C 4 ) =

Cau

o lo que es igual. C2 = C i +

2 Cau [159]

. P Q m 2Cau Además, para los extremos de la vigav = ± deben ser nulos el momento flector M = I tangencial E = — El

dH dx^

o sea x ' =

u dH' y la carga dx^

De modo que deben ser cero la

323

R E P A R T IC IO N DE CARG AS

derivada segunda y la tercera, obteniendo así las igualdades » —e

¡i j sen

----L^\e u

p „ „ e 2Lau

l « j eos — = ■ u

« eos------ sen — \ u u

( ± . -± \ I « I eos----- \e \e n e «I sen — Ci íle ”if — e--'l u \ J u I í -« -\ - e «I sen — c ew — le eos u u “) P __L „ -e u eos — Cau u

De estas ecuaciones se deduce

2 C,:

2Cau

, 21 21 « + eo s------ sen u u 21 Pl ^ 2 sen — + 5 “ — eu e

[160] C

21 cosu ® 2 Cau

21 sen •

21 Pl 2 sen----- \- e « — e u

Da ecuación [158] y sus constantes dadas perlas expresiones [159] y [160], resuelven por completo el problema de la viga flotante de longitud 21 y ancho a, descansando sobre un terreno de constante elástica C. Para aclarar la cuestión y sacar resultados aplicables directa mente en la práctica, vamos a dar distintos valores a la longitud l. Por facilitar los cálculos numéricos conviene poner la longitud en forma trigonométrica, para que sea sencillo aplicar valores. Así, al valor l se le dará la forma l = knu, y en cada caso, conocido l, se determina k para esa forma. Sea, en primer lugar, la viga indefinida en los dos sentidos. Bn este caso I = cc -y los valores de las constantes son — C'a — í*

C .=

2Cau

M E C A N IC A E L A S T IC A

324

Iva elástica de deformación será z=

P 2Cau

[161]

(cos:r' + sen 4;')

I,a ley de presiones sobre el terreno tiene por expresión [162]

r = C a z = ~^— e *^(cos4:'+ sena:') y la ley de momentos flectores será M=

Cau^

d^z dx'^

Pue

[163]

cosa; — sena;

Con objeto de tener en la práctica las líneas representativas de estas curvas, hemos calculado los valores de las funciones (eos x ' + sen x') y (eos x ' — • sen x'), y en el cuadro que sigue están los valores de ellas para distintos y muy próximos valores de la abscisa unitaria

0,0 0 ,2 0,4 0 ,6 0,8 1,0 1,2 1,5 1,8 2,1 2 ,4 2,8 3,2 3 ,6 4 ,0 4 ,4 4 ,8 5,2 5,6 6,0

(cos;tr'-[-senA;')

1 ,000 0 ,9 6 5 0 ,8 7 8 0 ,7 6 3 0 ,6 3 5 0 ,5 0 8 0 ,3 9 0 0 ,2 3 8 0 ,1 2 3 0 ,0 4 4 — 0 ,0 0 6 — 0 ,0 3 7 — 0 ,0 4 3 — 0,036 — 0 ,0 2 6 — 0,015 — 0 ,0 0 7 — 0 ,0 0 2 -1 - 0 ,0 0 0 4 -0 ,0 0 2

= —. u

(eos x ' — s e n x ‘ )

■

1,000 0 ,6 4 0 0 ,3 5 6 0,1 43 — 0 ,0 0 9 — 0,1 11 — 0 ,1 7 2 — 0 ,2 0 7 — 0 ,1 9 8 — 0 ,1 6 7 — 0 ,1 2 8 — 0 ,0 7 7 — 0,038 — 0 ,0 1 2 + 0 ,0 0 2 + 0 ,0 0 8 + 0 ,0 0 9 - 4 0 ,0 0 7 + 0,005 + 0 ,0 0 3

--- yf

— — — — — — — — + + + +

C03

1,0 00 0 ,8 0 2 0 ,6 1 7 0 ,4 5 3 0 ,3 1 3 0 ,1 9 8 0 ,1 1 0 0 ,0 1 6 0 ,0 3 8 0 ,0 6 2 0,066 0 ,0 5 7 0 ,0 4 1 0,024 0 ,0 1 2 0,004 0 ,0 0 1 0 ,0 0 3 0 ,0 0 3 0 ,0 0 3

325

R E P A R T IC IÓ N DE CARG AS

En la figura 115 se representan estas l'byes de variación de las reacciones del terreno y de los momentos, para una pieza indefinida.

96. Si la longitud 21 de la viga flotante no fuese infinita, sino que tuviera un valor determinado, el problema está igualmente re

suelto, pues basta calcular las constantes para el valor que tenga la longitud l, mediante las expresiones [159] y [160], y sustituidos sus valores en las [158] y en z = Cza, se obtienen las reacciones y los momentos flectores. En este caso, de longitud finita, conviene, como Hemos dicho, dar a esta magnitud la forma 21 = k-KU, para calcular con más facilidad las constantes. Debemos observar que para la longitud 21 = tzu, el valor de las constantes es C ,=

p 1 + eX — p: 2Cau

Cg —

P . 2Cau

1 + e-^ — e~'^

- c .

-C ,

y las leyes de reacciones del terreno y momentos flectores serán

-------------------------- [ ( 1 +

—e ^ L

¿ ~ " ) e * '( c o s : v ' — s e n v ') +

(1 +

e ^ ) e ~ * '( c o s ^ ' +

s e n ^ ') l

326

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

O lo que es igual, r= M .

Pu 4(e^ —

P 46m

5*'(cosa;' — sen a:') + 24e‘~'*^(cos a;' + senít;')

(1 + e ’^)e*'(cos3:' + sena:') + (1 -f- e’^)e~*'(cosx' — sen%')

Puede observarse que para 3;' = — el valor de r = 0, de modo A que la ley de presiones sobre el terreno se anula precisamente en los extremos, por lo que se aprecia que cuando la longitud de la pieza es mayor de 2Z = -ku, el resto de esa longitud es inútil, pues no re parte sobre el terreno. E l máximo de las expresiones r y M, que corresponden al pun to de actuación de la fuerza, serán P 2 + 6^ + 6--^ 2u ^ e ^ - e —^

a.09

Mo = 0,273P m y como ya vimos que en la viga indefinida esos valores eran Zq= y ilfo = 0,25Pu, resulta que es casi igual la repartición en ambos casos, por lo que no resulta conveniente que la pieza tenga mayor longitud. Claro es que a medida que la longitud se va haciendo más pe queña, las deformaciones y acciones sobre el terreno serán mayores e igualándose los valores de las ordenadas, basta que al Uegar a la longitud 2 Z= í í =

y ca

puede considerarse que la repartición es sensiblemente uniforme, P con el valor unitario z = — . Ea rigidez elástica que deberá tener una pieza para repartir uniformemente en una longitud L la carga, deberá ser, por tanto, la deducida de la igualdad E l = U^Ca.

R E P A R T IC IO N DE CA R G AS

327

97. Queda una cuestión todavía muy interesante: hasta ahora hemos estudiado la deformación y reacciones elásticas para una viga que sustente una fuerza P , en su punto medio, y que reparte este peso en la longitud 21] pero hay veces que en el estudio de las cimenta ciones se presenta el caso de tener que repartir una carga P por una viga flotante en el terreno, de tal modo, que no está centrada, si no que a'uno de los lados hay que darle menor longitud que en el otro. Vamos a examinar el problema en esta forma. E l planteo analítico es el mismo y la única diferencia estriba en determinar las constantes de la función [158] con las condicio nes del problema en forma que explicaremos. Sea l la longitud de la rama izquierda y l' la de la derecha (fi gura 116). Ea parte izquierda tendrá por ecuación de deformación

F ig . 116

y la de la derecha será g,

= [C\e^' + C V “ "') cos^c' + (CV*' + C \ e - ’^) sQnx'

Para determinar las ocho constantes tenemos las consideracio nes que siguen: Para el extremo izquierdo {%' = — l) debe ser M=-- — Ca -,---- 5- 7^ = 0 4 dx'^

T = — Ca ------ 0 4 dx'^

Del mismo modo deben ser nulas M y T para el otro extre mo x ' = V. Así, tenemos cuatro condiciones.

M E C A N IC A E L A S T IC A

328

Además, para el punto de actuación de la fuerza {%' = 0) deben ser iguales z,- y z¿, así como también Pero también en ese punto deben ser iguales los valores de M en las dos ramas, y los de T, de una rama y otra, deben diferir en el valor P de la fuerza. En total tenemos ocho condiciones para determinar las ocho incógnitas. Esto, en general, es fatigoso, pues siempre resulta largo operar con ocho ecuaciones; pero se simplifica mucho el problema hacien do un lado indefinido y asignando a la longitud del otro la forma I

kTZU.

A continuación expresamos los resultados que de este modo se obtienen para valores de la máxima reacción r del terreno y máximo momento para distintas posiciones de la fuerza, sobre una viga flotante, caminando la fuerza desde un extremo hasta el punto medio de eUa. Elamamos l la distancia de la fuerza al extremo, y tomamos, 4 _________

como siempre, por unidad de magnitud u

iE I Ca

Para 1 = 0 (extremo)

M = — 0,822Pu

¿ = 0,392m

p r = 1,18 — u

M = 4 - 0,044Pm

l = 0,785u

r = 0,645 — u

M = -t- 0,198P m

1 = 1 ,000 m

f = 0,610— u

M = 4 - 0,218Pm

Z= l,570íí

r = 0,022— u

M = 4 - 0,261Pm

3,141íí

Y — 0 ,50 0 ^ u

M = 4 - 0,250Pm

Ea curva A i? (fig. 117) representa la ley de variación de reaccio nes máximas y momentos para las distintas posiciones de la fuer za, o, lo que es lo mismo, para distintos vuelos de una de las ramas.

R E P A R T IC IO N DE CARG AS

329

Y a se ve que en el caso, muy frecuente en las construcciones internas, en que la fuerza sólo se puede repartir en un sentido (postes de medianería) la reacción máxima o carga máxima sobre el terreno es cuatro veces mayor que la correspondiente al vuelo en los dos sentidos, y el momento es algo mayor y de sentido con trario. Con los valores antes citados puede calcrdarse, en cualquier caso, la repartición y flexiones de un modo bien sencillo.

98. Refarticiónpor placa circular.— Fata. cimentaciones de chi meneas, depósitos y de un gran número de obras, es muy interesante estudiar la repartición de cargas por una placa circular, pues in dudablemente en la mayor parte de estos casos es solución la más favorable la que resulta al cimentar por una chapa de hormigón armado que cargue directamente sobre el terreno. El problema tiene, como en todos los casos, dos partes: el cálculo de la ley de presiones transmitidas al terreno y el cálculo elástico de la placa repartidora. Tan interesante cuestión tiene realmente alguna dificultad que, afortunadamente, hemos resuelto y que expusimos en nuestra con ferencia antes citada, por lo que substancialmente indicaremos al presente sus resultados. Hertz resolvió este problema, cuando la placa es indefinida, y además, para evitar quizá la incertidumbre del terreno, enunció la cuestión como un prisma sólido de radio infinito, flotando en

330

M E C A N IC A E L A S T IC A

un líquido y cargado en su centro. Para la resolución, planteó la ecuación de equñibrio de un elemento infinitesimal de volumen limitado por dos cilindros cuyo eje es la vertical de la carga, y dos planos que pasan por diclio eje, de tm modo análogo al consi derado en las placas circulares, llegando de ese modo a una ecua ción diferencial de cuarto orden, cuya integración es bastante complicada, a pesar de que se simplifica mucho el problema consi derando la placa indefinida. Vamos actualmente a tratar de resolver tan interesante cues tión, planteándola de distinto modo y con mayor generalidad, es decir, para tma placa de radio finito sobre el terreno, pretendien do conseguir la deducción de fórmulas que sean sencillas para las aplicaciones prácticas. Consideremos una placa circular, de radio r, cargada en su

T B

-_ l^ i

T B

•C

-H F ig . 118

centro con una fuerza concentrada P y apoyada en su borde ex terior (fig. 118). Sabemos que este problema está perfectamente resuelto y que la ecuación diferencial de la deformación meri diana es d<f

6(1 - ■ n^)Px

dx^ siendo su integral

_S(¿_pZxlx+.C'x para cuya deducción puede verse el tratado de Fóppl o la teo

331

R K P A R T IC IO N DE CARGAS

ría de placas circulares que expusimos en este tratado en la pá gina 265. No es preciso insistir en que la fuerza P es resultante de accio nes en una zona de actuación y que las ecuaciones de deformación no son aplicables a la proximidad de ese punto, pero sí a todos los demás. Generalicemos este problema, para lo cual supongamos que en lugar de estar apoyada la placa en el borde exterior, C, lo está en tma circtmferencia, B, de radio r-^. Entonces la deformación meridiana tiene dos ramas distintas: una, correspondiente a la zona A B, que tiene por ecuación la antes indicada, y otra, B C, cuya ecuación diferencial, deducida de idén tico modo, será d\ d(f ^ dx^ '^ ^ d%

^~ ®

puesto que en esa zona no existe esfuerzo cortante. L a integral de esta última es de la forma

<p =

- |-

como puede comprobarse. Ahora bien, las dos ramas, por ser una placa continua, tendrán que cumplir las siguientes condiciones: para a: =

las 9 y

Q/OC serán iguales y, además, la reacción, R, en el borde x — r, será nula, por estar libre ese extremo. Como esta reacción radial, R, en las placas circulares tiene por valor

Ez l —

I d(f dx

deberá tenerse en el borde

-^ + , i

= 0 ( p a ia * = r)

332

M E C Á N IC A E E Á S T IC A

Esas tres condiciones, desarrolladas por los valores antes indi cados, son: Cr

C --C .

3(1 - ,»)P

tf,

3(1 - if)P Ir^ [tzE c^

3(1 - 1)2)P

+ C

C - - ^ + Cv, + - % ’ = 0 f, í-2 Este sistema de ecuaciones con las tres constantes, C, Cj y C', como incógnitas, se resuelve muy fácilmente, sumando la primera con la segunda, multiplicada por y teniendo en cuenta la prime ra y tercera. De ese modo obtenemos: í 3 fi^ (l-7 i^ )P . 2nr^Ec^ ’

3P(1 - v)^) ^ (1 427Tr2£c3 ■

_ 3 r /(l-v ia )P . ^ 2-kE c^ - v¡) , 3(1 - v)2)P¿fi +

1+ ^

En consecuencia, las ecuaciones de las dos ramas de la defor mación, una aplicable de ^ a P y la otra de P a C, son, respecti vamente, 3 P ^ ( l- ,2 ) /

iiPc®

1 ^ 2

1-V) -f I] V] 1 -f-

V \ 2/2 I 2r^

SPxjl - Vj2)ri2 3P(1 - 7i2)r^2 9= + ■ 2izr^Ec^ 2-kE c^x Dos valores de ambas, para el punto = a;, son iguales, puesto que con esa condición se Han determinado las constantes, y para dicho pimto es W x{l — 7)2) / 2-kE c^ \

1 — T] ^

1 -|- II

333

R E P A R T IC IO N DE CARGAS

Este es el ángulo de deformación (en los puntos x) que experi menta la placa cargada en el centro, con una carga P y apoyada en una circunferencia de dicho radio x. E l ángulo, sustituido por su tangente (que por ser muy peque ño dicha sustitución es lícita), viene medido por — 3P(1 - r)2) 2nEc^

dy dx

luego

1 + ^

e integrando, resulta 1 - y ) X* 1 + ^ 4^2

y = — 3P(1

2 tzE c^

Podemos determinar la constante, porque lo que expresa esta ecuación es la ordenada del plano medio de la placa para el punto a:, o sea la diferencia de nivel de ese plano medio deformado, con res pecto al original, y claro es qué para apoyo en el centro x — 0, dicho plano medio no se deforma, débiendo ser y = 0 ; luego C debe ser cero. Si ahora, en lugar de ser la fuerza P constante, fuera la variable infinitamente pequeña rfP, el valor de y sería dy, resultado de dife renciar la ecuación anterior. Pero para que exista equilibrio es nece sario que esa fuerza dP sea igual a la reacción en el apoyo, y como éste puede suponerse formado por la circunferencia de radio v, con un ancho dx se tendrá siempre 2nxpdx = dP, siendo p la presión por unidad de área de apoyo. Estando la placa apoyada sobre el terreno, cuya constante es K , por lo dicho anteriormente resulta que esta constante es la relación entre la carga y la deformación y;

luego K — — ó p — Ky. Por tanto, la última ecuación diferenciada será dy =

3(1 — r¡^)Kyxdx

1 -^ 1 + ^

Integrando, y poniendo para comodidad la constante de inte gración en forma logarítmica, tenemos: ICy = -

3(1 - rt^)K Ec^

(

1 ^_^_ X" ' 1 + V 2ir^

[164]

334

M E C A N IC A E L A S T IC A

Esta ecuación resuelve, de un modo general, el problema. En efecto, expresa la deformación producida en una placa, de radio finito, r, apoyada totalmente sobre un terreno cuya constante es K . Ea constante C será preciso determinarla con la condición de que la reacción total sea igual a la fuerza P , o sea, haciendo í -kK

/ xydx — P J0

Ahora puede saberse la influencia que el radio tiene en la de formación de la placa. Si se supone la placa indefinida, basta hacer en [1 ] z = ex, resultando sencillamente: 3(1 8Ec^

ICy o sea I y = -^ e

3g--n‘)K 8£c“

[165]

Como el valor de 3(1 - 7)2)A 8 Ec® es conocido, en cada caso concreto, llamándole m, resulta senciUamente; Placa de radio r . :.

y = - L ,— ‘ x e -" ‘T + T ^

Placa indefinida......... y =

e "**

[166] [167]

Ea relación entre ambas ordenadas, correspondientes a la pla ca finita y a la infinita, es la función 1—7) *•

1 + 7) "sf»

en que para cada placa de radio r el mínimo valor (máximo error)

R E P A R T IC IO N DE CARG AS

335

corresponde 2. x — r, resultando — V] I*

e —m 1 + 1

En los materiales homogéneos se acepta para coeficiente de Poisson 7] = 0,3, y entonces la máxima diferencia entre ambas ordenadas es Según hemos dicho antes, es preciso hallar el valor de la cons tante C para que las expresiones [164] y [165] o [166] y [167] den explícitamente, en función de los datos, las deformaciones, y ese valor se obtiene por la condición citada 27tÍÚ / xydx = P JO Para la placa indefinida resulta 2t,K “ “C “

cuya integral es difícil de hacer exactamente, y más aún la de la placa finita. Claro que eso no es obstáculo, porque esas integrales pueden

hacerse desarrollándolas con cuanta aproximación se puede de sear, y el problema de todos modos está resuelto; pero para las mu chas aplicaciones prácticas de que es susceptible esta cuestión no es preciso hacer ese desarrollo. En efecto, si para un caso concreto cualquiera representamos la curva cuya ecuación es y = (fig. 119), representada con x*X e — 0,18í«*‘ , representada de trazos. trazo lleno, y la y = e m

—

336

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

se ve que ambas tienen los mismos valores para x = 0 y . r = ocy la misma asíntota y = 0 (como que una es el límite al que tiende la otra), siendo la diferencia de sus ordenadas relativamente pe queña. Para demostrar esto prácticamente, representamos en las figu ras 119 y 120 esas funciones correspondientes a dos casos muy dis tintos: la primera corresponde a una placa de hormigón de 2 0 cm de

grueso, y la segunda a una placa de acero de 2 cm de espesor, apo yadas sobre un mismo terreno, cuya constante sea i í = 50 kg : cm® Bn el primer caso m=

3(1 - -ri^)K 8Ec^

64 000 000

{E = 150 000 kg : cm®, c = 20 cm y i)®es despreciable en el hor migón, por ser menor de Bn el segundo caso m '=

941 000

(B = 2 000 000 kg ; cm®, c = 2, v) = 0,3). Bas dos curvas de cada figura están dibujadas' a escala y dan idea de los errores debidos al radio finito. B1 punto de inflexión en la curva y — e e s muy fácil de

R E P A R T IC IÓ N DE CA R G AS

337

hallar, pues basta, como siempre, hacer d^y dx^

restdtando -

+ 1 6 m V e ~ ’”*‘ = 0 ;

de donde X

\ 4tm

E l valor de y que corresponde a esta inflexión será: y= e

im := e

4 = 0,472

constante, cualquiera que sea la naturaleza y grueso de la flaca. Trazando la recta A C , que une el vértice con el punto de in flexión calculado, esa línea se aproxima mucho a la curva, com pensándose además el área de tal modo que, casi idénticamente, se puede sustituir el área curva A B CDE por la del triángulo OAE, y podría calcularse el centro de gravedad para que los volúmenes de esas áreas, girando alrededor de OA, fueran equivalentes; pero no merece la pena hacerlo, pues con suficiente aproximación se puede adoptar el del triángulo. Por tanto, muy aproximadamente en los casos de la práctica, puede tomarse como valor de la integral 2-kK /

yxdx

el volumen del cono, multiplicado por K . Siendo

la abscisa del punto de inflexión, se deduce que la base OE del 22

338

M E C A N IC A E L A S T IC A

triángulo vale 2,492 4 ^ ]/'^4ot

0£ =

y, por consiguiente, el volumen citado será 1 2,492 , 1 2,492 V = — ----- X 1 X 2tt X -s- —7^-----2 . y 4m y im

6,5 y 4m

lya constante tendrá, pues, el valor

6,5Z PV4-m

[168]

Esta expresión de la constante es para placas indefinidas, o también para placas finitas cuyo radio sea igual o superior al valor 2,492

y 4ot resultando entonces para deformación de la placa la ecuación ex plícita sencillísima y=

p y im 6,5Z

[169]

Para placas de radio menor de 2,492 y 4m el valor de la constante hay que deducirle representando la curva y= e

— vix*

X e

—0,18—

R E P A R T IC IO N DE CARGAS

339

hallando su área A y centro de gravedad x, con lo cual el pro ducto 2nAXg K , dividido por la fuerza P , da el valor de la cons tante, de un modo general. Y sustituyendo en la expresión [!'] se tiene la ecuación de la deformación, con cuanto rigor de exactitud se desee. Desde luego, la ley de presiones sobre el terreno es el produc to K y de la constante del terreno K , por la ordenada y de las cur vas deducidas; de modo que en el caso de placa indefinida será explícitamente PY -im

— r

[170]

99. Hemos hecho el estudio anterior de un modo racional, sin auxilio de ninguna hipótesis, llegando a solución realmente muy sen cilla, en relación con la dificultad del problema. Pero en todos estos casos, en que sólo por desarrollo analítico se soluciona, con viene entrar en contacto con la realidad, comparando los resulta dos con observaciones prácticas. Y a dijimos que recientemente en América del Norte se habían realizado algunos experimentos sobre esta materia, y por tal causa vamos a coger uno de los casos de ducido prácticamente por la Comisión de vialidad de aquel país y publicado en Proceedings of the American Society of civil Engineers. Se refiere a una losa de hormigón de 8 pulgadas de grueso y car gada en su centro con 4 000 libras, asentada sobre un terreno de arcilla humedecida. Claro es que diciendo sólo que el suelo es de esa calidad no es bastante para deducir su constante; pero pode mos determinar este coeficiente tomando un punto de la curva práctica, por ejemplo, el vértice, y viendo si los demás puntos de la ley experimental obedecen a la ley anahtica deducida anterior mente. Da carga observada en el vértice es 0,05 kg : cm^, que, igualada a PY

de la fórmula [170] sacamos m =

1 129 276 900

340

M E C A N IC A E L A S T IC A

y como hemos visto que m=

3 ( 1 - t;^)X 8Ec^

resulta que la constante del terreno del experimento debe valer ÜT = 33 kg : cm^. Calculando, por la fórmula [170], deducida, la ley de presiones, y poniendo al lado la ley experimental, encontramos lo siguiente: V alores ex p erim en ta les

V alores calculados

para x = 0 » x = 40 » a: = 60 » x = 100

f = 0,05 k g : cm^ ^ = 0,049 » -p = 0,045 » p = 0,023 »

0,05 kg:cm2 0,047 » 0,044 » 0,025 »

Como puede observarse, existe extraordinaria concordancia en tre ambos resultados. * Hí H í Para terminar de desarrollar el problema queda todavía una cuestión: calcular las tensiones elásticas en la placa. De un modo general sabemos que en las placas circulares la expresión de las tensiones radial y tangencial, en función de las deformaciones angulares, 9 , están dadas por las fórmulas, ya cita das antes, Ez

(d<? ^

( cf,

Para las placas de radio finito, aunque no tiene dificultad, re sulta muy complicado el desarrollo de estas expresiones; pero como hemos visto que la diferencia de ordenadas de las deformaciones de la placa indefinida y la finita es muy pequeña, variando única mente en el valor de la constante, una vez calculada ésta (bien aproximadamente, en la forma indicada en el capítulo anterior, o exactamente si se quiere), no hay dificultad en tomar como ley de deformación angular para ambos casos el valor dy 9 = — dx

imx^ C

R E P A R T IC IÓ N D E CA R G AS

341

resultando entonces para expresión general de las tensiones en la placa NrN t=

im Ez

(3 + 7) — imx^)x^

C (l — 7)2)

[171]

(1 + 3t)—

En la placa indefinida, y en las finitas cuyo radio sea igual o mayor que

1,5

4m'

la constante C tiene por valor, antes deducido, C=

6,5K 2PV-.m

Fijándose en las expresiones [6 ], se observa que las tensiones Nr y N i, en cada punto, están formadas de un coeficiente cosntante im Ez C(1-7,2) que multiplica el producto de dos funciones, que son a;2(3 + r¡ — imx^) y x ^ { l — A:mr¡x'^) y

para Nr ’”** para iV<

Ea curva y == e*”** es la de la deformación; luego basta represen tar las parábolas %2(3 -j- K) — 4mA:^)

x^{l + 37 ) — ímy\x^)

para que por su producto de ordenadas con la primera dé las fun ciones Nr y N i. Pero también es muy sencillo representarlas directamente, pues

342

M E C A N IC A E L A S T IC A

se ve, desde luego, que pasan por el origen y se anulan para el va lor de la abscisa 3 -i- vj

Xt =

1 + 37)

4w 7)

presentando puntos máximos, obtenidos, como siempre, por dNr = 0 dx

¿7^ dx

en las abscisas 1 ^i _________ Y 18,6 ± 15,49 a;:b=

—J---

^ _______

--------- i ----- ■ ' K 1 4 , 8 ± 1 2 , 1

2~Y‘fn

1,1 ^Ym

En la figura 1 2 1 hemos representado de trazos la función de la deformación y las dos parábolas, y con trazo lleno las expresio nes de Nr y Nt.

F!g. 121

Como puede verse, existe en ambas un cambio de signo, siendo, para Nr, tracciones en la parte inferior, desde el origen hasta Xr, y compresiones desde esta abscisa en adelante; del mismo modo que para Nt hay tracciones inferiores hasta la abscisa Xt y compresiones después. Y a se comprende lo interesante que es todo este estudio, princi palmente para las placas de cimentación de hormigón armado, a fin de saber disponer sus armaduras convenientemente y la cuantía de ellas.

CAPITULO IX

r esas PRESAS DE GRAVEDAD.— PRESAS BÓVEDAS.— PRESAS DE c o n t r a f u e r t e s y PANTADLA

100. I^a gran importancia que tienen los embalses, retenien do el agua que, como elemento de riqueza, ba de emplearse en la agricultura o en las instalaciones industriales, bace crecér el interés que debe concederse a las presas, a cuya resistencia fía la energía almacenada, y, a medida que aquéllos crecen en altura, aumentan su volumen notablemente, alcanzando en algunos casos cifras colosales. Corresponde a nuestra patria un lugar preferente en esta clase de obras; en el orden bistórico, en España, se hicieron las primeras presas de fábrica, allá por el siglo xiv, y en la época moderna, las de Camarasa y de Tremp, con 90 y 82 m de altura, respectiva mente, son dignas de figurar en la estadística que encabezan los americanos con sus notables presas de Arrowrock, Sbosbone, New Crotora, Roosevelt y otras, comprendidas entre 85 y Í05 m. L a condición de seguridad es en estas obras, si cabe, mayor que en cualquier otra, por las consecuencias que su ruina ocasiona, ver daderas catástrofes de valor incalculable; pero, por otra parte, su enorme coste en las grandes presas obliga a pensar en la posible reducción de masa, en todo lo que pueda ser compatible con la tranquilidad. Es, pues, interesante bacer el estudio de las presas de forma que se aproxime, en cuanto sea posible, a las condicio nes del trabajo que ba de realizar, a fin de saber basta qué grado puede estimarse la prudencia en los cálculos. Refiriéndonos principalmente a las presas importantes por su altura, tres son los tipos que en general se adoptan: presas de gra

344

M E C A N IC A E L A S T IC A

vedad o de estabilidad propia, presas de contrafuertes con bóvedas y presas bóvedas.

Presas de gravedad 10 1. llamaremos así las presas constituidas por un macizo de fábrica que debe tener estabilidad propia por su peso, a cuyo tipo pertenecen la mayor parte de las construidas. E l cálculo de las antiguas presas se bacía sencillamente divi diendo la obra virtualmente por hiladas horizontales, estimando el peso de la parte superior y el empuje del agua sobre esa zona para determinar la resultante, y, por la ley de Hooke, se hallaba la dis tribución de presiones producidas sobre la sección, acabando por determinar el esfuerzo cortante total sobre ella.' No puede ser satisfactorio tal procedimiento de cálculo, que no da idea de la distribución de tensiones en secciones oblicuas ni re laciona esas cargas con las tangenciales capaces de producirse. E l estudio racional del problema se debe a Eévy, que aplicó las leyes de Elasticidad, imponiijndo las tres condiciones fundamenta les: ausencia de tracciones, carga máxima de compresión igual a la que prácticamente puede asignarse al material y combatir las subpresiones, que se pueden originar por fisuras en el paramento de aguas arriba, haciendo que la carga molecular en él, por com presión, sea superior a la presión hidrostática. Eas dos primeras es natural que se impongan siempre; la ter cera es muy restrictiva y obliga, para satisfacerla, a aumentar mu cho el volumen de .fábrica en la presa. En las Instrucciones oficiales de Francia, Italia y América no se impone de un modo preceptivo la tercera condición de Eévy, recomendando únicamente, con interés, adoptar las precauciones necesarias para que la subpresión no se produzca ni en la presa ni en la cimentación. De varias maneras puede conseguirse: 1.0 Por la pantalla de guarda preconizada por Eévy, consis tente en unos muretes de 2 metros, adosados al paramento de aguas arriba, espaciados igual cantidad y enlazados delante por otro muro, dejando una serie de pozos de unos 2 m, que recogen el agua de las filtraciones. 2.0 Estableciendo en el interior de la presa, y próximo al pa

PRESAS

345

ramento citado, una serie de drenes y galerías que conduzcan al exterior las fugas de agua. 3.0 Por enlucidos bien ejecutados, después de terminada la presa, que garanticen su impermeabilidad. 4.0 Por una cuidadosa dosificación mejorada en la zona pró xima a dicho paramento e inyectando mortero de cemento a pre sión en las fisuras. La disposición adoptada, con éxito, en algunas de las grandes presas americanas (Arrowrock, Eléphant-Butte, etc.), consiste en un drenaje, simple, o mejor doble, formado por pozos visitables y, delante de ellos, drenes pequeños (de 25 a 35 cm), que desaguan en aquéllos; además se protege la superficie de aguas arriba con mortero rico y, más eficaz aún, con el cemento proyectado (cement gun), evitando de ese modo hacer pantalla, que encarece mucho la obra. En la cimentación es indispensable combatir las subpresiones inyectando mortero. de cemento en el terreno a 8 ó 1 0 atmósferas, por lo menos, y colocando una o dos filas de drenes. Siguiendo la enumeración de las condiciones que han de ser cono cidas para el cálculo de las presas, hay otra cuestión que no está suficientemente aclarada ni resuelta en las Instrucciones, refe rente a si en planta debe ser recta o curva la directriz de la presa. Ordinariamente se calcula como recta, de tal modo que, tomando dos secciones transversales, el trozo de presa resista por sí solo, dando después forma arqueada a la directriz, señalándose como ventaja el aumento de resistencia que producen las reaqciones late rales y la ma5mr flexibilidad que así resulta para la acción de la temperatura. Evidente no es; es una pieza recta que se calcula como viga; claro es que se mejora mucho si se le da flecha, contan do siempre con la fijeza de las sustentaciones] pero la presa recta no se calcula como viga, sino por trozos independientes en secciones verticales, y cuando la temperatura actúa haciendo variar el vo lumen y, además, por la presión misma del agua, se introducen reacciones laterales, desconocidas, que desvirtúan el método de cálculo y que sólo por presentimiento se puede suponer que mejo ran sus cargas. Más lógico es procurar neutralizar o atenuar las variaciones de volumen y dar a la presa forma recta, prescindiendo de ayudas que no se pueden estimar (caso de serlo) y que, además, aumentan el presupuesto. La temperatura no afecta mucho a estas presas macizas; des

340

M E C A N IC A E E A S T IC A

de luego las variaciones diurnas no son sensibles, por el gran re traso en la propagación de la onda térmica a través de la masa; las variaciones anuales sí afectan, pero casi exclusivamente a la zona próxima al paramento de aguas abajo, quedando muy ate nuadas a partir de los 4 ó 5 m de profundidad, pues que parece comprobado decrecen en razón inversa de la raíz cúbica del grue so. En cambio, las que tienen gran importancia son las debidas al fraguado, pues, hormigonando en grandes volúmenes, las retrac ciones (que pueden ser del orden de 0 ,00 0 2 ) dan cargas molecula res grandes. Para evitar éstas, tiene gran eficacia la construcción por rebanadas verticales, ejecutando cada dos contiguas en épocas diferentes y tomando la junta escalonada con mortero o asfalto, colocando, por lo menos, un dren aguas arriba de ella. Para nuestras latitudes es raro tener que precaver el empuje producido por helarse la capa superficial del embalse, presión que se ha citado en América del Norte como equivalente a más de 60 toneladas por metro lineal de coronación, pero que este enor me valor sólo puede ser alcanzable para un espesor de más de 2 m de la capa helada; con espesores de 10 ó 15 cm Sólo po drían dar empujes de 1,5 a 2,toneladas, aun con formas muy ce rradas del valle, y este empuje puede considerarse en general des preciable. Por lo que afecta a la naturaleza del material, estas presas se suelen hacer de mampostería o de hormigón en masa. Para el cálculo de comprobación mecánica, todas las instrucciones se pro nuncian en el sentido de emplear métodos elásticos, pero las ecua ciones de Elasticidad suponen, como hemos visto, para su aplica ción, no sólo la homogeneidad, sino la isotropía, único caso en que con rigor pueden desarrollarse los valores de las tensiones, y la primera duda surge en la licitud de aplicación de tales teorías a sólidos tan distantes del isotropismo. En ese sentido, es la tenden cia más natural tratar de sustituir la mampostería por el hormi gón, dando a éste la mayor homogeneidad y compacidad posibles, para aproximarse en lo que cabe a condiciones imposibles de al canzar, además de que su empleo permite conseguir mayor rapidez en la ejecución. Ea dosificación y constitución del hormigón es de la mayor importancia, y sus propiedades dependen tanto de la dosificación granulométrica del árido, que sólo por este concepto, y siendo

PR E SA S

347

constantes la proporción de cemento, agua y apisonado, podemos hacer hormigones con resistencia por compresión de 80 kg : cm^ o de 170 kg ; cm^, y con coeficientes de elasticidad que varían aun en mayor proporción, cifras que hemos obtenido experimental mente. Se requiere una serie muy prolongada de ensayos para de terminar, con una naturaleza de materiales, cuál ha de ser la do sificación más conveniente. Mr. Billings, ilustre ingeniero que tan activa parte tomó en la construcción de la presa de Camarasa, indica en su Memoria, que presentó en el Congreso de Ingeniería de 1919, además de la im portancia de la composición grairulométrica, una preferencia gran de por los cementos de extremada finura de molido, diciendo que las partículas gruesas se hidratan sólo superficialmente, sin que tengan importancia en relación con las de polvo impalpable, que son las verdaderamente activas en el proceso de fraguado, afir mando que el verdadero valor del cemento en el porvenir se ba sará en alcanzar tamizados mucho mayores de los hasta ahora con seguidos por el tamiz de 4 900 mallas. Al cemento pueden incorporarse otras sustancias, con varios fines; aumentar la compacidad, rebajar el precio, tener mucho peso específico, etc., consiguiéndose la ma^mr uniformidad tritu rando y mezclando estas sustancias con el clinker. En la construcción de la presa de Camarasa se hizo esta mez cla moliendo clinker con rocas silíceas y calizas, formando el lla mado sand-cement, que, entre otras ventajas, tiene la de reducir las partículas de cemento a tamaño menor del que por el mismo procedimiento podría obtenerse sólo con el clinker. En los numerosos experimentos realizados con los bloques y materiales procedentes de esa presa, durante su construcción, en el Eaboratorio de la Escuela de Ingenieros de Caminos, se obtu vieron cifras muy satisfactorias para compacidad, resistencia y, sobre todo, peso específico, con proporciones relativamente pe queñas de cemento. Citaremos, como ejemplo, una de las dosifica ciones más empleadas: clinker, 55 por 100, y piedra arenisca, 45 por 100, molturados para pasar por el tamiz de 4 900 mallas y dosificados en la proporción de 275 kg por cada m® de hormigón resultante. E l peso específico osciló entre 2,44 y 2,53, y la resis tencia a la compresión (en bloque de 41 cm de arista) entre 140 y 170 kg : cm®, a los noventa días de fabricado. Con otras dosifica

348

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

ciones pasó la resistencia de 20 0 kg proporción de clinker.

cm®, aumentando algo la

102. Cálculo de las fresas de gravedad. Método de Pigeaud.— Apuntados en los párrafos anteriores los puntos esenciales que ha brán de servir de base para el estudio de las presas, el cálculo habrá de conducirse por métodos elásticos, aun con la reserva que antes indicábamos. Sea recta o curva la directriz de la presa, como recta se calcula, suponiendo aislado del resto de la construcción el trozo comprendido entre dos planos normales a la directriz. En el plano medio están contenidas las resultantes de las acciones solicitantes:

empuje del agua y peso, pudiendo, en consecuencia, considerarse como problema del estado elástico plano. M. Pigeaud, miembro de la Comisión francesa nombrada para el estudio de la Instrucción, ha desarrollado esta aplicación de la Elasticidad, redactando el método que resumimos a continuación. Partiendo del criterio, ya establecido por Lévjq de que el per fil triangular es el más conveniente y económico, tomando como ejes coordenados la horizontal y vertical que pasan por el vértice de los dos paramentos, quedan éstos determinados por los ángu los a y p que forman con el eje OY, cuyas tangentes trigonomé tricas se llaman n y m, para abreviar (fig. 1 2 2 ). Siendo P el peso específico de la fábrica, las dos ecuaciones del estado elástico plano (capítulo I) serán

PR E SA S

dN^

349

dT dx

dN^ - P = 0' dy

[«]

Se demuestra que N-^, N ^ , T tienen que ser funciones homogé neas lineales de las coordenadas x, y, porque las expresiones de la forma iVi = C^x -I- C\y 1 iV^ = + C '^ 1 [b] T

CgX +

C'sy

puede comprobarse que verifican la condición que indicamos en elasticidad plana A(7Vj^ + N^) = 0 y además a las ecuaciones ge nerales [a] y de superficie, siempre que entre las constantes se veri fiquen las condiciones

+ C'3 C 3 + C ’, = P

[c]

resultado de sustituir las [6 ] en [a]. También podría verse directamente por la homotecia de la figu ra y sus cargas respecto al vértice. Para determinar esas constantes aplicaremos, como siempre, las condiciones de la superficie. En virtud de las igualdades [c] se tiene C '3 = — C^ y C 3 = P ■— C 'j, luego P = (P ■— C'a)^ — ■ Cyy, de modo que sólo ha lugar a determinar las cuatro constantes C^, C \, Cg, C ' 2. En la página 7 vimos las ecuaciones generales de superficie que en la elasticidad plana son

X q= iVj^a Y q = Ttx.

P[3

iVaP

En el paramento de aguas abajo X q = Y q = Y como a, (J son los cosenos de los ángulos que la normal al plano forma con los ejes coordenados, esas ecuaciones serán 0— — •Tm 0 = T ■— •N^m

350

M E C A N IC A E L A S T IC A

O sea

= N^m

Poniendo los valores de sacados de la [&] y el hallado últimamente T = [P — C'^x — C-¡y, con el = my, que define el paramento, resulta Q

= Pm

[d]

C-jM + C 'j — {C^m + C'^m^ = 0 , En el paramento de aguas arriba actúa la presión hidrostática cuyo valor es ky, siendo k el peso específico del agua (/^ = 1 000 ); luego las ecuaciones de superficie en dicho plano serán ky eos Oí = N-¡^ eos a + T sen a ky sen a = T eos

oí

sen a

o lo que es igual, por ser tg a = « T = {ky ■— A^a)^ ky + (iVg — ky)n^ Puestos en éstas' los valores de N-^^, N^, T, y siendo ahora = — «y la ecuación que define el paramento, resulta Ci + — Cyn + C \ +

— 2C'aíí = — ■ {Pn + kn) — ■ C'^n^ = ^ (1 — ’n^)

[^]

El sistema de las cuatro ecuaciones [d~] y [e], con las cuatro incógnitas C^, C \, C^, C \, permite hallar éstas. Resuelto ese sis tema, se tiene

351

P R E S A S

C',=

Pmn{m — n)

kmn{mn —

— 2)

{m n)^ [m- i - n)^ km^{2 nin^ — Sn — m) 2 Pm^n^ C ',: ' ( w -\ -n)^ {m- p n Y k{n^ -|- 3 mn —2) P{m -j- ny {m4- n) ® [m P{m^ - f n^) k{m — n — 2 mh'i) C O o— [m-(- m) ® {m n Y

[/]

que con las relaciones antes halladas = P — C'¡.y C'g = — quedan perfectamente conocidas las seis constantes, y, poniendo es tos valores en las expresiones [&], resuelven por completo el pro blema elástico en todos los puntos de la presa. hos valores N^, N¿, T dan, respectivamente, las cargas molecu lares unitarias en el sentido de los ejes OX, OY y la tangencial, para las sucesivas secciones horizontales; pero ya vimos en el ca pítulo primero que resulta interesante determinar en función de ellas las cargas originadas en una orientación cualquiera, existien do dos direcciones principales, en las que las cargas son máxima y mínima, respectivamente. Bn este estado elástico plano, esos valores están desarrollados en la página 30, en la que dedujimos las expresiones

tg 2o N' =

+ L

¡ máximo -j-

^ 1 -)/ (iv^ _

minnno —

El ángulo de orientación de las máximas cargas tangenciales (a') está dado (pág. 30) por t g 2 a '= O

iVo - A\ ^ 2T

sea tg a '= -

2 E+

+ N ,- N ,

352

M E C Á N IC A E E Á S T IC A

a 45° de a, en cuya dirección el valor de T ', máximo, es

v w ; ^ N , r ‘ + iT ^ De modo que conocidos N^, N^, T, lo interesante es ver la má xima y mínima compresión y la máxima carga tangencial T ' deducidas de esas expresiones. Debe siempre cumplirse la condición de no haber tracciones en ningún punto de la masa y que la máxima carga de compresión no exceda de la carga práctica que se imponga al material de la presa, pues la tercera condición de Dévy no es indispensable y se puede prescindir de ella en las grandes presas, siempre que se to men las precauciones que anteriormente indicamos. En general, basta considerar a estos efectos los puntos situa dos en los. paramentos de aguas arriba y aguas abajo, respectiva mente. El primero está definido por la ecuación x = — «y y el segun do por la ^ = my, de modo que las tensiones en ellos son Aguas arriba; i N^ = y [ C \ - C ^ n )

I N^ = y(C\— C^n) Aguas abajo; = y{C'i + C tm)

= y{C'^ + c¿m) que deben ser siempre positivas. Y los máximos y mínimos de ellos serán, como se ha dicho antes. N ': 103. Para el conocimiento completo del régimen elástico en la presa, conviene representar unas curvas que den idea de las com presiones producidas y de la orientación de ellas, así como de las cargas tangenciales.

PR E SA S

353

Si en la fórmula que da la compresión máxima igualamos ésta a una constante, C, tendremos + 4T¿ = C

[g]

y como A/'i, N 2 , T son funciones de las coordenadas, según las ex presiones [6 ], resultará que esta última ecuación representará el lugar geométrico de los puntos de igual compresión C. Para dibujarla basta dar valores a las coordenadas, x, y, para un valor fijado a C, y representar la curva por puntos. Para otro valor de la constante se podrá dibujar, por puntos, la curva correspondiente; pero representada una curva para un va lor cualquiera, C, no es preciso calcular los valores para otro va lor C , porque toda esa familia de curvas son homotéticas respec to al vértice de la presa, como puede verse directamente, pero que además es fácil demostrarlo del modo siguiente: Para una curva cualquiera C, considerando un radio vector X = ry, se tiene iV i =

yÁC,y + c\)

^ 2 = JÁC^r + C'a)

+ C ' 3)

y para otra curva C será JVi = y¿C^r + C\)

y^iCsy

-1- C'3)

de modo que sustituyendo en la [g], resulta

3^2

_C C'~

C c ■ En esta forma, dando a C los sucesivos valores 2 , 4, 6 ... se

es decir, que las curvas son bomotéticas y su relación es

354

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

obtienen las curvas que representan en la presa los respectivos puntos cuya carga de compresión máxima es 2 kg : cm^, i, 6 , etc., cuyo aspecto es el representado en la figura 123. Cuando el embalse está vacío, se obtienen de idéntico modo

estas curvas de igual compresión máxima, con sólo poner k — 0 en vez de >%= 1 000 en los valores de C^, C \, Cg, C \, que fijan los de Ny, N^, T, resultando curvas también bomotéticas, de aspec to análogo al de la figura 124. También resulta interesante determinar las curvas de carga tangencial constante, que estarán dadas por la ecuación ~ y { N ^ - N ,) ^ + iT ^ = C

[h]

Pero, en realidad, los puntos así obtenidos no tendrían carga de deslizamiento' C^, sino menor que esta cifra, a causa de que el

p r e s a s

355

rozamiento de la masa es una fuerza que se opone a aquélla y que no ha sido tenida en cuenta. Es- natural que poniendo un coefi ciente de seguridad prudente para el deslizamiento se tenga pre sente lo que puede favorecer el rozamiento, que no es desprecia

ble. Llamando <p el ángulo de rozamiento, del material de la pre sa, deberá verificarse T — ■ N tg = C, es decir, que la carga tangencia] de trabajo esté neutralizada por la tangencial teórica y por la de rozamiento que nace por la presión. Si en las expresiones generales de N ', T ' (pág. 29) tomamos como ejes coordenados los paralelos a las direcciones principales, entonces, como para estas direcciones se tiene T = 0 y las son las máxima y mínima que llamaremos N ' y N " , resultará ,, N' + N " , N '- N " N = ----- 2 ------- ^ ------- 2 ----- eos 2a ^ N '- N " 1 = ----- ------ sen 2 a

356

M E C A N IC A E L A S T IC A

de modo que „

,, ,

N '- N " ,

o ^

N' + N " ^

1 — iv tg <p= ----- ------ (sen ¿a. — eos 2a tg 9) --------- ------ tg 9 = 2 N '- N " N' + N "^ sen (2a — 9) -------- ------ tg 9 2 eos 9 2

Bsta expresión es máxima para el ángulo 2a — 9 = o sea 7T 9 “- X + T

lo eual quiere deeir que las orientaeiones en las euales el desliza miento efeetivo es máximo eorresponden a los ángulos 450 + - ^

eon respeeto al de la direeeión de eompresión máxima. Sustituyendo ese valor angular en la expresión anterior, te nemos /'T

AI.

N '- N "

N '+ N " ^

------------ 2----- t g , =

N ' - N " - { N ' + N")sen<? 2 eos 9

■

Como los valores de Al' y iV" son los antes eitados N' =

Al" =

l/(iV, _ N,)^ + 4T2

_ _ L |/ ( iV i- A i2 ) 2 + 4r^

357

PR E SA S

resulta que el valor del deslizamiento máximo será (r-ivtgcp)

máx'

V (iVi -

+ 4T^ - (iVi + iVa) sen c 2 eos cp

En consecuencia, los puntos de deslizamiento efectivo de valor C, estarán dados por la curva cuya ecuación es K (Ni - N y + áT^ - (iVi + ÍV2) sen . 2 eos 9

-C

[í]

Se podrán representar estas curvas a embalse lleno o vacío con sólo hacer ^ = 1 000 o ¿ = 0 en los valores de y iVa, resultando una serie de líneas análogas a las representadas en las figuras 123 y 124.

104. En elasticidad plana hemos indicado que se llaman curvas isostáticas las envolventes de las direcciones principales, y, aunque no tenga una gran importancia en las presas su conocimiento, de todos modos es muy interesante representarlas para poder saber cómo está orientada en cada punto la elipse de elasticidad. Siendo determinado el ángulo que las direcciones principales forman con los ejes coordenados, por la fórmula deducida en la página 30

tga=

N , - N ,^ V ( N ^ - N ,) ^ + áT^ 2T

para hallar su envolvente, bastará poner

en lugar de tg a, e

integrar; pero no es necesario, en general, hacerlo así, pues va liéndose de esa ecuación derivada se puede representar fácilmen te las curvas isostáticas. En efecto, para un radio vector cualquie ra que pase por el vértice, definido por la ecuación x = ry, po niendo este valor en la expresión anterior de tg a, tendremos dos valores numéricos de esta tangente, uno correspondiente al sig no — y otro al -|-, que expresarán la orientación de la tangente a la isostática, de Compresión máxima la primera y mínima la se gunda, para ese radio vector; de modo que, si representamos dis tintos radios vectores VA, VA^^, VA^, VAg ... (fig. 125), que co-

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M E C A N IC A E L A S T I C A

rresponden a distintos valores de r, en la x = ry, y calculamos la tg a (por ejemplo, con el signo + ) que corresponde a cada uno de esos valores de ^ = ry, tendremos una serie de números tg a^, tg a.¿, tg ttg ... que pueden representarse tomando como base V B y llevando una serie de puntos ®2> ■■■ tales que BB^ BB^ = tgai; VB

“2’

BB, VB ~

que definen los radios vectores VBj^, VB^, VB^ . . .

PR E SA S

359

Marcando un punto cualquiera, M, del primer radio vector VA, y trazando por él una recta M N paralela a hasta cortar el radio medio entre ^ y y después desde ese prmto N de encuen tro otro trozo N P paralelo a FBg y a continuación PQ paralelo a VB^, el conjunto de esos trozos marca un polígono circunscripto a la isostática de compresión mínima, que pasa por el punto ele gido M. Y siendo también homotéticas, respecto al vértice, todas las curvas de la misma familia, bastará dibujar una para poder representar cualquiera de ellas. Si en lugar de haber tomado el signo + se hubiera adoptado el — en el cálculo de tg a, se tendría la serie de valores que defi nen los radios vectores para las isostáticas de compresión máxi ma; pero no precisa repetir el cálculo porque ambas han de ser or togonales y, por consecuencia, se pueden representar gráficamen te con facilidad conocidas las primeras y recíprocamente, cuyas asíntotas respectivas son los dos paramentos, como puede verse por la fórmula.

105. Resuíniendo lo expuesto, para proyectar una presa de gra vedad que ha de tener como dato una altura a, se empezará por fijar la carga máximt? de compresión admisible según la naturaleza de la fábrica, adoptando un coeficiente de seguridad para trabajo del material (según la Instrucción frcncesa debe ser —- a ^ de la * 8 10 carga de rotura experimentada). Billings hace notar razonable mente que este coeficiente no debe ser el mismo a embalse lleno que a embalse vacío, pudiendo ser más elevado

en este úl (i) timo caso. Además se fijará el peso específico, P , de la fábrica y provisionalmente se adoptarán los ángulos a y p de los dos para mentos, dando un valor a las tangentes tg a = w,

tg p:

;

E l valor de tg ^ = w suele ser como mínimo 0,66, que corres ponde a jf) = 33° y un valor medio es el de w = 0,7, p — 35° que hacen corrientemente elevar los centros oficiales por encima de m = 0,8, lo que corresponde a ángulos alrededor de 40°. En general, el primero de estos ángulos es muy pequeño o riguro-

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M E C Á N IC A E L Á S T IC A

sámente cero, y el total, a + (3, no llega a 45° en la mayor parte de las presas modernas. Con estos datos se pueden calcular los valo res de las constantes [/], quedando fijada así la le5’' de variación de las cargas N^, N^, T por las fórmulas [&]. Ensayando primera mente el valor TV':

N^ + N^

+ — Y { Ñ ^ N ,) ^ + iT^

con y := H X = Hm que corresponde al pie del paramento aguas abajo, se verá la mayor carga de compresión, que habrá de ser igual o inferior a la carga práctica adoptada, y, de no ser así, habrá que modificar los valores m y n para que se satisfaga, así como la ausencia de tensio nes en total. Be verificarse estas dos condiciones y la de resul tar una ligera compresión aguas arriba (caso de adoptar las pre cauciones que pueden sustituir a la condición de Eévy), se podrá aceptar el perfil y calcular entonces- las líneas de igual compresión para distintos valores y de deslizamiento, así como las curvas isostáticas. Respecto a la estimación de la carga práctica máxima para trabajo de compresión, no sólo depende del material que ha de emplearse en la presa, sino también del que el terreno de cimenta ción puede resistir, con el mismo margen de seguridad. Por último, como el perfil triangular estudiado es el teórico de la presa, que habrá de recrecerse en la parte superior para formar el camino de coronación, hay que tener en cuenta la influencia que este peso de fábrica adicional produce en las cargas molecu lares calculadas. Desde luego su acción apreciable sólo afecta a la parte superior, pues a partir de una cierta altura se disipa su in fluencia. Para calcular este efecto (fig. 126), llamemos P el peso de la parte adicional, por metro lineal de presa; en una sección hori zontal a la profundidad, y, el momento flector será M:

361

PR E SA S

y las cargas moleculares en esta sección estarán dadas por la fór mula de siempre Mv

{m -\- n)y

S m—n 1 ^ — [m -\- nYy^

cuya carga habrá de sumarse algébricamente a la obtenida antes para el perfil teórico.

106. En los párrafos anteriores hemos desarrollado el método de cálculo para las presas de gravedad que permite determinar las

tensiones y régimen de trabajo en todos los puntos del macizo. Pero para que pueda aplicarse de un modo satisfactorio, es preciso que se cumplan las condiciones previamente impuestas, y sobre ese punto es preciso hacer algunas aclaraciones. Prescindiendo de la isotropía del sólido, pues si bien es imposi ble de realizar, sin embargo, puede en la práctica aceptarse como aproximado cuando el hormigón está bien ejecutado; hay otros casos que todavía afectan más profundamente las bases del cálculo. Dijimos al principio del capítulo que las presas de gravedad se hacían generalmente con forma curva en planta, y esto es, induda

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M E C A N IC A E L A S T IC A

blemente, el mayor error que se comete. Bien se ha visto que las ecuaciones empleadas en el cálculo son las del estado elástico pla no, y sólo se pueden aceptar éstas cuando las rebanadas transversa les comprendidas entre planos verticales sean independientes; pero en el momento en que se hace curva la directriz en planta nacen reacciones laterales de empotramiento en las márgenes que alteran por completo el régimen elástico calculado. Y tomar tanto rigor analítico para calcular tensiones interiores, haciendo, además, multitud de ensayos previos a fin de determinar pesos específicos y capacidades para falsear de un golpe toda la distribución de es fuerzos, con sólo cambiar la directriz, es realmente absurdo. Pero no basta con hacer recta la presa en planta, pues aunque de este modo se atenúa el error, de todos modos los enlaces late rales modifican profundamente las tensiones no sólo para el régimen de carga de agua, sí que también, y más principalmente, por la acción térmica. Bo peor del caso es que ui aproximadamente se sabe lo que pasa, y así se comprende que después de gastar millones en hacer una verdadera cordillera de hormigón, hay presas que se agrietan, y cuyo estado elástico probablemente sería pavoroso ¡si se supieran calcular con rigor! A nuestro juicio, las presas de gravedad para grandes embalses están llamadas a desaparecer, pues la enorme cantidad de masa hace crecer mucho los presupuestos de estas obras, con menor tranquilidad que en cualquier otra , y ya actualmente pueden en contrarse otras soluciones más ventajosas.

Presas bóvedas 107. Cuando se trata de cerrar un valle en el que la distancia en tre las laderas no sea muy grande, en relación con la altura, la solución más lógica es construir una bóveda que salve el vano entre laderas, refiriendo a éstas los empujes del embalse. De este modo surge la presa bóveda con un concepto totalmente distinto del tipo de gravedad; en este último es la masa de la presa la que neutraliza el empuje del agua, mientras que en la primera la bóveda transmite a los lados ese empuje, mediante el trabajo elástico de ella. Calcular una presa con rigor científico, es decir, encontrar las leyes de tensiones en el interior y en la superficie del sólido por las

P RE S A S

363

leyes generales de la Elasticidad, ni se sabe hacer hasta el presente, ni se hará nunca, por la enorme dificultad que el problema tiene, pues aun suponiendo que las laderas se sustituyeran por planos — y que el fondo, también lo sea — el problema elástico de un só lido de grueso variable, y sustentado de ese modo, es inabordable por el cálculo. Quedamos, pues, en que las presas que están formadas por un sólido continuo no se saben calcular, ni aproximadamente. Para eludir la dificultad se hacen distintas simplificaciones de cálculo, según el tipo de presa; pero lo difícil entonces es que la rea lidad sea concordante con la simplificación adoptada. Poco importaría que el método simplificado diera únicamen te grosera aproximación en los resultados, pues ya es sabido que los cálculos de ingeniería sólo pueden satisfacer desde el punto de vista del orden de magnitud de las tensiones, por el desconocimiento elástico que de la materia se tiene; pero lo grave es que las simpli ficaciones pueden dar errores mucho mayores que el orden de mag nitud de las cifras, resultando una distribución de esfuerzos que en nada se parezca a la realidad de los hechos. No vamos a insistir más sobre este punto en lo que a las presas de gravedad afecta, pues ya en los párrafos anteriores, que tratamos de ellas, hicimos su análisis. Ahora vamos a tratar de las presas bóvedas. El problema elástico es el siguiente: un sólido continuo en forma de trozo de cilindro vertical, de grueso variable, sustentado por una parte en su fondo y en una superficie irregular por los lados. No hay manera de calcular este sólido por la elasticidad triple, ni aun regularizando las sustentaciones. Eos métodos simplificados de cálculo, para este tipo de presas, se reducen err realidad a dos distintos. El primero — comúnmente relatado en los tratados america nos — consiste en suponer que la bóveda se divide virtualmcnte en rebanadas horizontales, de una altura dada, y a cada rebanada se le aplica el cálculo, como si fuera un arco empotrado en sus arran ques, sometido al empuje del agua que directamente soporta. Basta fijarse ligeramente para comprender qne este método de cálenlo es absnrdo y no tiene ni el menor parecido con la verdad, porque cada rebanada virtual tiene distinta luz, distinta carga y distinto grueso que las dos contiguas, por lo que necesariamente

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M E C A N IC A E L A S T IC A

(al ser el sólido continuo) nacen flexiones y torsiones verticales que alteran totalmente las tensiones encontradas. Y a vimos, en el capítulo dedicado a tubos, que en un tubo per fectamente cüíndrico y de espesor uniforme nacían flexiones longitu dinales muy importantes, por el solo Hecho de la sustentación en una sección y por carga uniforme o variable de agua, pues ahora podrá juzgarse de la complicación que se producirá si el tubo es incompleto, si la sustentación es también lateral y si el espesor es variable. El segundo método de cálculo, empleado modernamente para las presas bóvedas, es más sugestivo que el anterior, parece más preciso y lleva el aval de ilustres ingenieros europeos; pero es igual mente engañoso, o si se quiere, un poco menos engañoso. Consiste en lo siguiente: Se supone dividida la presa virtualmente por una serie de rebana das horizontales, de un metro de altnra, y, además, por otra serie de rebanadas verticales, de un metro de ancho. Ea presa resiste de las dos maneras, por los dos sistemas de re banadas, y por consecuencia, la presión en nn punto cualquiera es tará resistida por dos sumandos: uno, resistido por la rebanada arco, y otro, resistido por la rebanada muro. Para encontrar estas presiones parciales se calcula el arco elás ticamente en función de su presión y, además, se calcula la de formación que tiene en nn punto cualquiera. Por otra parte, se pue de calcular el muro en función de su carga p^ y encontrar en cada punto sn deformación. Tomando un mismo punto del sólido, por el cnal pase un ele mento de rebanada vertical y otro horizontal, e igualando las de formaciones en ambos sistemas, se obtiene la condición para encon trar la relación entre p,^ y p^, de la que se deduce el valor de ellas, toda vez que, además, pu p^ = pEste es en esencia el fundamento de este método, muy en boga actualmente, cuyo enunciado le hemos dicho en dos palabras; pero su ejecución es de pavorosa complicación anahtica. No hay más que observar las ecuaciones elásticas de los arcos empotrados para comprender la enorme laboriosidad de este mé todo ¡para una sola hilada!; pero luego hay que repetirle varias veces en la altura de la presa, y todo esto lleva consigo que sea preciso emplear varios días dedicados solamente al desarrollo ana lítico de ecuaciones, con términos complicadísimos.

P R E SA S

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Si, al fin, se tuviera la satisfacción del resultado, podrían dar se por relativamente bien empleados los laboriosos días; pero lo triste es que una crítica un poco atenta da al traste con el proce dimiento. Bn efecto; para calcular cada deformación se supone que la bilada arco está aislada de las otras, y sólo enlazada con la rebanada ver

tical muro. Del mismo modo, esta rebanada vertical está también supuesta aislada de sus bomólogas. Pues sólo tal hipótesis es sufi ciente para-falsear el método. Pero no se crea que al suprimir tales enlaces se pone uno en condiciones de mayor seguridad, aumentan do así la resistencia, pues lo que ocurre es que por la hipótesis ad mitida las tensiones se distribuyen de otro modo distinto, y no se sabe si le beneficia o le perjudica. Para percatarse de que este método no es aceptable, vamos a poner un ejemplo que aclare la cuestión:

366

M E C A N IC A E L A S T IC A

Apliquemos este criterio de cálculo al caso de un cilindro com pleto empotrado en su base y cargado de agua (dentro o fuera, que para el caso es igual, salvo el signo). Y una vez calculado el cilindro de ese modo, le calcularemos por la teoría general de los tubos, expuesta en el capítulo IV, y com pararemos los resultados. Sea, figura 127, un cilindro recto, de espesor constante, c, de altura, a, lleno de agua y empotrado en su base. E l empuje del agua sigue una ley lineal y en un punto cualquie ra, situado a la altura y (a partir del fondo) valdrá p = 1 000 {a — y), expresada en kilogramos. Esta presión unitaria, siguiendo el procedimiento que estamos discutiendo, se descompone en dos partes: una, p^, resistida por la fibra vertical, y otra, p¡^, que la resiste la fibra de arco horizontal, resultando así p = pk p^Ea fibra vertical tiene en cada punto una presión variable p^, y para un elemento dy valdrá p^dy. Ea fecha o deformación que toma esta fibra por dicha carga en el punto y (considerando como muro empotrado en el fondo), será df ■

SEI

y^pvdy

De este modo, la flecha finita que tomará esa fibra, en el punto y por todas las cargas p^, tendrá por valor

y^pvdy

pues, por el teorema de Maxwell, las deformaciones en los distintos puntos por cargas en los otros son iguales. Como el espesor del cilindro le suponemos constante, podemos sacar fuera de la integral el valor E L Por otra parte, la deformación de la fibra horizontal (arco), debida a la carga p,^, ya se sabe que para una circunferencia es

—, /h, Y

porque la deformación longitudinal unitaria de arco circular es -yL, E(ú y la radial es r veces la longitudinal.

367

PR E SA S

Igualando las dos flechas encontradas, tenemos ^ jf,y U y = t ^ y como

1 X c _ 1

siendo c el grueso, resultará

J pvy^dy = fu

Ahora b ien fya dijimos que p — 1 000 [a — y) p¡^ + Pv> go pj, = 1 000 {a — y ) — p. Poniendo este valor en la anterior ecuación, tenemos

pvy^dy = 1 000 (a — y) — pv

Diferenciándola, resrdta

c‘‘r‘

-pvy^dy + 1 000 dy + dp^ = 0

o lo que es igual

Esta es la ecuación diferencial de la ley de variación de las pre siones /)„. Para encontrar la ley finita no hay más que integrarla, cosa fácil por ser una ecuación lineal de primer orden. Así, pues,

-/ * " [L C —■lOOOjí e/ * "

pv = e

1 dy\

368

M E C A N IC A E L A S T IC A

O sea y‘

c^r cVA C — 1 000j e""' dy

Esta última integral no puede integrarse en forma finita, pues es del tipo de las enlerianas, que hay que desarrollar en serie. Por la serie de Euler, se puede obtener el desarrollo. e

¿y = y -|-

y,13 5 ! cV“

1 + 5 3!

1 13

pero este desarrollo no es conveniente para espesores pequeños, porque pqra ellos la serie no. es convergente. Eo más sencillo y suficientemente aproximado es sustituir la curva por una parábola de segundo o de tercer grado, que tenga tres o cuatro puntos comunes con la curva, por ejemplo, a las alturas y.

y= 0

y= a

Sea de uno o de otro modo (o aplicando la integración gráfica) la ecuación anterior da la ley de variación de y como ya dijimos que p,^ = 1 000 {a — y) — ■ p,, y que la deformación horizontal era ~ — , podemos ya establecer para ley de deformaciones la si guiente 1000 (a -

'El

y )?'2 Ec

_ h— e '

1000j

Como la deformación debe ser nula en el empotramiento, el va lor de la constante será c = 1 000a, resultando como ecuación de deformación

.1000 Ec

a—y

ÍA]

Esta ecuación es la que da la deformación elástica de la gene ratriz de un cilindro sometido a una carga de agua, empleando para

369

P R E SA S

SU deducción el mismo método que se indicó antes para las presas

han adoptado. Y sigmendo exactamente ese criterio, heñios deducido esta ley de deformación para un cñindro. Pues bien; sin hacer hipótesis de descomposición de la carga en fibras horizontal y vertical, sino invocando la teoría general de Elasticidad, el problema está perfectamente resuelto, y sabido es que la ecuación de deformación, que dedujimos en la pág. 1,77, es

curvas, ta l como le indican los ingenieros que le

1 OOQar^ e ~Ec~~

^'‘ cosyi'

,2n-x — 1 2nu

_ Vi

senyi'

1 + vr-- [5J

Eas dos ecuaciones [A'] y [S] debían ser idénticas, o, en todo caso, muy aproximadas, pues es la resolución de un mismo problema por dos caminos distintos. Pero no es así; las dos curvas [.d] y [5] no se parecen y sus discrepancias son bastante grandes. Para percatamos de esto haremos una apHcación numé rica. Sea un cilindro de radio y altura iguales a 40 metros y el es pesor que sea c =

r = 4 metros.

En la ecuación [^] podemos sustituir la función bajo el signo integral por una parábola de segundo grado que tenga con ella tres puntos comunes

y = 0,

—,

y = — , que da mucha

aproximación con la exponencial. Eos parámetros se sacarán del sistema y* e

= 1 + wiy -}- wy2

6 0.3 ■ 9 = 11 e

6,25

= 1 A-m

r + n -^ r Z

n —— 4

que, resuelto, da m=

1032

= 25,8

n—

4136

2,58 24

370

M E C A N IC A E L A S T IC A

De este modo tenemos / e

y* dy = y — 12,9y^ + 0,86y^

Da ecuación [¿4] da la siguiente serie de valores de las deforma ciones en las distintas alturas: para y — 5 metros 1 OOOr® 40 — 5 — e Ec

100

« “ (40-f210)

para y = 10 metros .

1000^2 40 — 10— e Ec

100

256 (40 + 420)

10001-2

(277)

para y = 15 metros S=

10001-2 4 0 -15 — e Ec

1,97

’ (40 -17)

= + i^0i-2(2^^gg^

para y = 20 metros S=

10001-2 iO — 2 0 - e Ec

(4 0 -17 4 0 )

-^ ^ ^ (2 3 ,2 7 )

para y = 30 metros .

10001-2 40 — 3 0 - e Ec

3 1 ,6 4

’ (40 — 11640) = + i | ^ ( 1 0 )

para y = 40 8=0 Veamos ahora los valores que para las mismas ordenadas da la ecuación [ jB]. Da variable, y en esta ecuación es la altura unitaria, en la que la unidad elástica ya sabemos que vale V:re 1/3

9,65

371

PR E SA S

Como la altura total es « = 40, resulta íí = 40 = ^n-rzu, de donde — —

n — --— = 0,66

2w7t = 4 ,1 4

2 tzu

P a ra

1000^2

— 0,518

— 0,618

X 0,869 + 0,7 5 8 x 0,495e

1 000^2

X 40 X 0,137 =

ta s = —

P a ra y =

— - 1,036

1000^2

1 000^2

~Ec

10 m e tr o s =

lOOOfly^

— 1,036

1000f2

-l-b 0 ,2 5

X 40 X 0,3 3 4 e n u n id a d e s a b s o lu ta s =

(129)

1,554 u n id a d e s .

I — 1,554

X 5,48 e n u n id a d e s a b s o lu

x .0 ,5 1 - b 0,7 5 8 X 0,86e

15 m e tro s =

1 000/71-2

1 + 0,125

1,036 u n id a d e s , ■

Ec P a ra y =

152,88 j e n m e tro s.

1000^2

27tM

y = 5 m e tro s = 0,518, e n u n id a d e s a b s o lu ta s , re s u lta

1 000 ar^

— ------- = 0,758

— 1.654

X 0,0 1 5 + 0,7 5 8 X 0,999e

1 + 0,375 =

X 40 X 0,466 e n u n id a d e s a b s o lu ta s =

1 000^2

(I80) e n m e tro s.

372

M E C A N IC A E L A S T IC A

Para y = 20 metros = 2,072 unidades, -2,072

1 0 0 0 a ^ 2 r -2,072

X — 0,482 + 0,758 X 0,876e

1 +0

1 OOOr^ X 40 X 0,4 7 7 e n u n id a d e s a b s o lu ta s Ec 1 000/2 (184) Ec

Para y = 30 metros = 3,108 unidades, =

— 0,999 + 0,7 58 X 0,032e

- l + 0 ,7 5 j:

1000/2 X 40 X 0,293 en unidades absolutas = Ec 1000/2 '( 113) Ec

PR E SA S

373

Para y = 40 metros, 8

Comparando los valores antes calculados, se ve claramente que las deformaciones dadas por las ecuaciones [^] y [B] no se parecen en nada. En la fig. 128 las Hemos representado en la misma escala, y como puede apreciarse la discrepancia entre ellas es enorme. Bastaría este examen para afirmar que el procedimiento de igua lación de flechas — que es seguido con gran entusiasmo por la ma yor parte de los ingenieros especialistas — es inexacto, y eso que el problema lo hemos reducido'al caso más sencillo, de carga está tica; pero aún más se falsean los resultados al considerar, además, la acción de la temperatura (sobre la que sólo pueden hacerse con jeturas de propagación) y la irregularidad de las márgenes y de los empotramientos. Sistema del autor

108. En los párrafos anteriores hemos apreciado la inexactitud que tienen los métodos de cálculo de las presas bóvedas, por la razón, claramente expuesta, de que el problema elástico es de tal comphcación que no cabe estimar sus resultados ni con grosera aproxi mación. Pues ya que el cálculo no sea abordable en las condiciones de contracción en que las presas se hacen, se nos ocurre, como la mejor solución, variar la construcción de forma que desaparezca la com plicación de cálculo llevando el problema a otro que sea perfecta mente conocido y comprobado. Si la presa bóveda se divide en hiladas horizontales no virtual mente sino de un modo real, de tal modo que cada uno de sus ani llos sea independiente elásticamente del resto de los demás, entonces sí que tendremos seguridad en el método de cálculo, pues cada anillo, aislado elásticamente, es un arco que trabaja por la presión del agua como pieza curva cargada normalmente a su directriz, es decir, en forma clara y perfectamente calculable, en las norma les condiciones de las piezas constructivas. Pero es más: si a la curva directriz le damos la forma del anti funicular de la carga, haremos entonces que el arco trabaje sólo

374

M E C A N IC A E L A S T IC A

por compresión absoluta, realizando el mínimo de trabajo, y, por tanto, el máximo de economía. Más aún: lo único que puede perturbar este régimen de presio nes absolutas es el efecto térmico y de fraguado; pero si cada ani ño — que suponemos aislado elásticamente de los demás — le hacemos isostático, quitándole el empotramiento en las márge nes, y le sustentamos por apoyo directo en eUas, habremos supri mido de un golpe la acción de la temperatura y del fraguado. ¿Cómo se pueden reahzar condiciones tan claras en la práctica? Pues del modo siguiente: En primer lugar, la forma que debe tener la directriz de los ani llos será el arco de circunferencia, pues efectivamente esta curva es el antifunicular de un sistema de cargas uniformes, como puede demostrarse al integrar las dos ecuaciones siguientes, que son las del equilibrio de un funicular dx ds ds

dy ds ds

■ j-X = 0

+ Y = 0

en las que X = — pa

dy ds

de modo que dx ds

= pady

dy ds

= — padx

o sea dx dy

y + C' x^C"

375

P R E SA S

de donde C " x + C " ' ==

- C 'y

dy = O, resultará dx C '" = O, de modo que la curva tendrá por ecuación

y como para x = 0 debe ser y = 0 y, además, C" = O

_j_ y 2 _j_ 2C'y = 0 que es la ecuación de la circunferencia en la que queda una cons tante C para determinarla, según se quiera hacer mayores o me nores las compresiones. Claro es que el mínimo de compresiones corresponderá a la semicircunferencia entre los puntos de apoyo. 109. Una vez deducida la forma de la directriz vamos a ver cómo habrán de disponerse los anillos para que sean independientes elásticamente. A este efecto se dispondrá la construcción moldeando cada ani llo sobre el inferior aislándolos por una capa delgada de material asfáltico para que los anillos puedan deformarse horizontalmente sin más que vencer el rozamiento. Es evidente que de este modo (o interponiendo en lugar de as falto una sustancia plástica cualquiera) se logra que los anillos sean independientes unos de otros, pues el rozamiento, por duro que fuera, con una sustancia plástica, o su viscosidad, es realmen te insignificante en relación con las cargas elásticas que producen la deformación. No es problema encontrar un betún asfáltico que sea plástico relativamente y que resista la compresión de 14 ó 15 kg : cm^ que se le va a imponer por el peso de los anillos, aun en una presa gran de y para las hiladas inferiores. Podría decirse que con juntas de este estilo el agua pasará a través de ellas; pero para evitarla •radicalmente disponemos una chapa cubrejunta, en la forma indicada en la figura 129 y heeha con material inoxidable, que puede ser de plomo, o, si se quiere, de cobre. Ua sustentación en las márgenes de cada anillo puede hacerse con empotramiento o con apoyo directo. Si no fuera por la tempera tura y el fraguado, lo mismo daría uno que otro, pues siendo la di

376

M E C A N IC A E E A S T IC A

rectriz el antifunicular de la carga sólo compresiones produce en ambos casos. Cuando por el pequeño desarrollo que tenga la presa y por su orientación sea poco de apreciar la acción térmica y se tome precaución para evitar la retracción del fraguado, lo más sencüló es disponer empotramiento en los anillos, formando sencilla mente cajas labradas en la roca de las márgenes. Pero ninguna difi cultad hay en hacer apoyo directo metiendo el anillo en la caja la brada en cada margen (en forma radial) y aislando el arco de la roca por junta plástica lo mismo que la de las hiladas y con su cu brejuntas. Muy sencillo es también a este efecto apoyar el anillo

F ig . 129

en esa caja, rodeándole de una capa de arcilla que le haga isostático y evite la cubrejunta. Y , en último caso, si se quiere, por fa cilidad, hacer el empotramiento real en las márgenes, nada com plica la cuestión, pues sólo se reduce a estudiar el anillo calculado, las presiones producidas por el régimen de carga de agua (por las fórmulas de los cilindros gruesos que hemos deducido en el capí tulo IV), y, además, las flexiones que resultan por la temperatura y fraguado, con arreglo a teoría de los arcos. En ambos casos hay que qstimar también la compresión vertical y el aumento de cargas de. compresión horizontal que se produce por éstas, según el coefi ciente de Poisson. Este sistema de concepción de presas bóvedas permite encajar la en el valle, cuando las márgenes de éste son desiguales, de un modo mucho más bonito y económico (en cuanto al desarrollo) que

P R E SA S

377

con la presa continua, pues no poca dificultad tiene en muclios casos la elección de radio y situación cuando el paramento ha de ser continuo, en tanto que con este método se pueden encajar los sucesivos anillos, como indican las figuras 130 y 131, teniendo lige ros desplomes, unos respecto de otros, para que se sitúen casi normalmente a las sustentaciones. Al idear este sistema de presas bóvedas nos ha guiado única mente el deseo de hacer concordante la forma de trabajo del ma terial con la teoría del cálculo. Es innegable que formando la presa de este modo se sabe calcular y se sabe, por tanto, el coeficiente de fatiga y el de seguridad, cuestiones ambas completamente desco nocidas en la presa continua. Pero lo extraordinario del caso es que alcanzamos con nuestro tipo de presa bóveda una economía tan grande que el 'presupuesto puede reducirse a bastante menos de la mitad. Aclaremos esta importante cuestión. Supongamos un vahe en el que se vaya a hacer una presa bó-

378

M E C Á N IC A E l á s t i c a

veda. Calculando ésta por el procedimiento de igualación de fibras vertical y horizontal (que es modernamente el más acreditado, se gún dijimos), resulta que, para una altura de 50 metros de presa, en un radio inferior de 10 a 15 metros, el grueso en la base necesita

ser de 14 metros. Pues bien, para ese mismo caso, con nuestro sis tema, bastardar un grueso inferior ¡de tres metros! (fig. 132). Para demostrarlo podemos examinar cualquiera de las presas bóvedas construidas modernamente, y ninguna tiene menor espe sor de la cuarta parte de la altura, a pesar de que se llega, en la me moria de cálculo, a cifras de trabajos que exceden de 40 kg : cm^ para el hormigón. En cambio, en nuestro caso, para el anillo infe

P R E S A S

379

rior, con carga de 50 metros de agua y radio medio de 10 metros, con grueso de tres metros, la carga máxima de compresión será N ,= -

•

. 3,66 = 220482 k:m 2: U,oo = 22 k g : cm^

¿Es concebible que en rm mismo caso resulten por un lado es

pesores de 14 metros, con cargas de trabajo de 40 k g ; cm^, y por otro, 3 metros, con trabajo de 22 kg : cm^? En la crítica que hemos hecho de la teoría de estas presas ya vimos que el procedimiento es totalmente inexacto, pero más aún se pone de manifiesto con esta última consideración. No insistiremos más sobre tan trascendental problema, pues

380

M E C A N IC A E L A S T IC A

aunque seguramente habrá impugnadores, la cuestión está expues ta con suficiente claridad para juzgar rápidamente.

Presas de contrafuertes y bóvedas

lio.

Este tipo de presas consiste en una serie de contrafuertes, situados en el sentido del valle, que forman el elemento resistente, y los espacios entre ellos se cierran por medio de bóvedas. Desde luego resulta de este modo una clase de presas mucho más lógica que las de gravedad, y aplicable en los mismos casos que ellas. La dificultad estriba en que el cálculo sea asimilable a la reali-

F ig . 133

dad y a este efecto creemos que la mejor solución consiste en apli car a las bóvedas el mismo criterio que hemos expuesto en las pre sas bóvedas. Efectivamente; una presa de contrafuertes puede — y debe, a nuestro juicio — constituirse por una serie de contrafuertes sobre los que apoyen o se empotren las bóvedas; pero éstas no deben ser continuas si no cortadas por hiladas horizontales con junta plás tica intermedia y cubrejunta de plomo, lo mismo que en aquellas y para subsanar los errores explicados en los párrafos anteriores. Las bóvedas pueden ser verticales o inclinadas (fig. 133). En el primer caso nada tenemos que añadir a lo dicho en el ca-

P K E SA S

381

pitido de presas bóvedas; pero en el segundo conviene que, con igual criterio, estudiemos cuál debe ser la directriz para formar el antifu nicular de las cargas.

111. Bóvedas de la fresa.— Siendo el empuje del agua la princi pal causa que sobre las bóvedas carga, se comprende que la forma más conveniente para directriz de ellas es el funicular de compresión, para esas acciones, pues, además de la gran ventaja que presenta el régimen de presión absoluta, se tiene de este modo la máxima

Fig. 134

garantía por lo que a las filtraciones afecta, que, aun sin ser ne cesario para la estabilidad, siempre es conveniente. E l funicular de compresión debe estudiarse en el plano normal a la inclinación, es decir, en su sección recta, que es donde se halla rán las reacciones. Para determinar analíticamente la curva, plantearemos el pro blema en general. Sea OC un segmento de curva (fig. 134) que en un punto cualquiera tiene una fuerza de proyecciones X , Y; es

382

M E C A N IC A E L A S T IC A

tableciendo que el incremento de compresión proyectado es igual a las componentes de la fuerza, tendremos

+ Z = 0

+ Y = 0

Bn el caso presente, las fuerzas son los empujes del agua, nor males a la curva, de modo que, adoptando para las bóvedas la in

clinación de 45°, por las razones aducidas en los párrafos anterio res, llamando pa la presión correspondiente al vértice de la curv 9 , en una sección normal cualquiera (fig. 135), los valores de las com ponentes valdrán Y = — /’l®+

Y~^

\ dy ds

Y^pu

dx ds

383

PR E SA S

lyas ecuaciones anteriores serán ¿I d\C

dy ds

= -p \a

y \dx

Integrando los dos miembros, y dividiendo una por otra, re sulta 1/T I I a _i_ . y\dy dx, f dy a + ^ ^ ^ y jd x .f o sea 1/2 y 2 + C '

ay ■

dx dy

ax -|-

J ydx

quitando denominadores y derivando, se tiene

2 y= “I”

) + y (\ A dx I

1^ y

~\riy

d’‘-y

‘l a

dx^

y~2

Esta es la ecuación diferencial de la directriz de compresión, que puede simplificarse algo haciendo dy dx - P o sea d'^y dx^

dj) ^ dy

y después de dividir por

«+ y 2

384

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

toma la forma 2C' dp f^ + py dy

ia V2

+ 2y

1/T 2a -y j y +

1= 0

En esta ecuación se pueden separar las variables del modo si guiente: pdp

— dy yV2 4a -f 2y

■+

2C' 2ay + y^}/~2

que puede integrarse fácilmente, en- esta forma ic y i+ p ^ = - J

4a-i~ 2y y 2 - dy = 4ay -f -|_ 4.C'

= — l(4C' + 4ay + y ^ y j ) Y tomando antüogaritmos, resulta C J/T+ ^ = 1 + p^ =

p^ =

^ 4 C -|- 4ay

__________ 1___________ C^(4C' -|- 4ay +

1 - C^(4C' -1- 4ay - f y^ + Y 2 Y C2(4C'-^-4ay-l-y2j/2

dy Y l - r j 4 C '^ 4 a y y ^ V Y Y dx~ C {4 C 4ay + y ^ yy ) de donde V + Cj = C

4 C ' + 4ay-f-y^K2

V1-

-dy

C2(4C'H-4ay-f y2]/^)^

No merece la pena hacer esta integración, que resulta muy complicada, pues si el problema mecánico está resuelto por esa.

385

P RE S A S

ecuación, y mediante ella se puede representar la curva por pun tos y tangentes, para las aplicaciones podemos hacer un trazado gráfico que interprete el resultado en la forma que exponemos a continuación. Observando la ecuación de la curva, últimamente hallada, se ve que contiene tres constantes C^, C, C . I^as dos primeras podrían hallarse mediante la condición de simetría, por la que debe tenerse dy para x = 0, ser y = 0 y, además, = 0-1^3- última constante, C , recordemos que representa la compresión en el origen, que al ser

arbitraria, quedaría determinada fijando un punto de la curva, y esto equivale a fijar la flecha y la semiluz, como es natural. Sea A B = / la flecha adoptada, y A C = ~

la semiluz (figu-

ra 136). En B la presión es ^ = 1 OOOíZ, siendo a la profundidad en la clave de la sección que estudiamos, y en C será ^

/ eos 45° X 1 000 = ^ -h 707/

conocidas ambas. Elevando estos valores en B B ' y CC', respecti vamente, la ley de presiones en el trozo de curva B N C , cuya cuer da es B C, estará representada por la línea B 'C y su resultante 25

386

M E C A N IC A E L A S T IC A

será la perpendicular a. BC, pasando por el centro de gravedad del trapecio B C B 'C , en la que el valor numérico es R = t ± í - . BC Como, por simetría, la tangente en B es horizontal, trazando desde el punto M de intersección de R con esa horizontal, la rec ta ikíC y descomponiendo R en esas dos direcciones, tendremos los valores de las compresiones en la clave y en los arranques. Pero de todos los valores arbitrarios que podemos dar a la fle cha, el más conveniente es, indudablemente, el que corresponde a la curva en la cual la tangente en el arranque es perpendicular a la luz, pues de ese modo resultará que la curva funicular dará sólo compresión sobre los contrafuertes sin empuje horizontal. Va mos a calcular cuál debe ser esa flecha, representada por B-¡^A en la figura. Plamando V la longitud desconocida la distancia N 'C de la proyección del centro de empuje, como centro de un trapecio es iV'C =

P' + 2/)

P' + P

En el triángulo N 'M 'C se tiene sen a :

N’C

p '+ 2 p r p' + p ■ J f

y como sen a =

B ,A _ f B^C l'

resulta P' + ^ P' + p '

Estamos calculando la flecha para una sección en la que los arranques están a una altura dada, luego será dato p' y entonces ■p ^ f

— 707/

387

PR E SA S

Sustituyendo en la igualdad anterior resulta ( 3 ^ '_

1 414/)^ 2 =

( 2 ; ^ '— 7 0 7 / ) . 3/2

o sea ( 3 / > '- 1 4 1 4 / ) ( -- ^

2 8 2 8 /3

—

+ /2) = 3 (2 / .'- 707/)/2 1 414/2/ + 3/)7=

12 /> 72

La raíz positiva de esta ecuación es el valor / de la flecha. Una vez hallada esa flecha se conoce, no sólo las tangentes B jM ' y M 'C en la clave y los arranques, además de las compre siones en dichas líneas, sino que también el círculo osculador en y C. En efecto, siendo, como hemos dicho, -p la presión en la clave y en los arranques, ya conocidas ambas en cuanto lo sea la flecha, sustituyendo en esos puntos la curva por su círculo oscu lador y llamando p, p' esos radios de curvatura, deberá tenerse: Compresión en la clave; C = R' sen a =

P+P--------f sen « = — P+P — 4 / 2

sen a

y, por tanto, como C = /> . p, según dedujimos al estudiar los tu bos de débil espesor con relación al radio

P + P'

f==p9

de donde

‘

De igual modo, para compresión en los arranques, C = R ' eos a = ^

. ~

^----- -— eos a = ^ sen a 2 %

P + P' 4 í 2 ' 2f P+P’

P+P' I

l = P'9

/ Ctg a =

388

M E C A N IC A E L A S T IC A

de donde

P+P' ip '

Iva curva está ya definida por la cuerda, la flecha y los radios de curvatura en los arranques y en la clave. Podría, además, hallar se cualquier punto; pero, en general, no es necesario, pues con esos elementos queda bastante bien definida gráficamente. 112. Por el estudio anterior hemos determinado la forma por excelencia que debe tenerla directriz de las bóvedas, y como ya se ve que los radios de curvatura dependen (como es lógico) de las pre siones, o sea de la altura a que esté la sección, será necesario di bujar varias de esas secciones rectas para que la bóveda quede de terminada. En reahdad, basta con dos de ellas, una la inferior y otra para la parte próxima a la superficie líquida, pues la ley de varia ción es tan lenta que puede considerarse como lineal. Hecho el estudio en esta forma, obtenemos para la bóveda la notable propiedad de estar sometida sólo a compresión, sin flexio nes, cualidad la más favorable; pero, además, su carga sobre los contrafuertes no da empuje horizontal, resultando así independien tes unas de otras. Claro es que por la acción de la temperatura se altera este ré gimen de presiones solas, naciendo flexiones; pero éstas sólo se producirán sensiblemente a embalse vacío y su valor es muy pe queño comparado con la flexión que tendría por la carga de agua si la directriz no fuera el funicular de compresión. Si, como creemos más indicado, la bóveda sólo se apoya en los contrafuertes siguiendo el criterio de nuestro sistema de presas bóvedas, ninguna flexión existe entonces. Fáciles son de estimar las flexiones debidas a la temperatura, cuando hay empotramiento, pues hallado el centro de gravedad G del arco y el momento de inercia, con respecto al eje GG', que lla maremos I^, por lo dicho en el capítulo III, la reacción X , debida al empuje producido por la temperatura será Elgl f'^COSocdl ^ ^ I ry^dl Jo en la que c es el grueso.

^ ^ ^ Ec^xl 1277

PR E SA S

389

Este empuje iiorizontal en el centro de gravedad, al trasladarle al arranque dará un momento m — Xd y con éste, además de la X en dicho punto, se obtiene la ley de momentos. Como la variación lineal X, debida a la temperatura, es X = ¿ 0,000011 X t (por ser 0,000011 el coeficiente de dilatación del hormigón) será preciso que la armadura de la bóveda, que sólo ha de resistir es tos momentos, sea simétrica, para neutralizar el doble signo de X , debido a contracción o a dilatación. Hay también una pequeña perturbación, producida por la in fluencia del empotramiento de la bóveda en el rastrillo del fondo, y ya sabemos [48] que esto se traduce en tma flexión longitudinal casi localizada en su proximidad, que produce un momento má ximo rcpQ 2n-r: ■ 2|/3 cuya influencia se extiende sólo hasta la longitud 77

en la que r representa el radio medio de curvatura y c el grueso de la bóveda. 113. En virtud de lo dicho, la disposición que podrá darse a la parte inferior de la bóveda es la representada en la figura 137. Concretando lo antes explicado, para proyectar las bóvedas de una presa de este tipo empezaremos por'fijar la distancia entre contrafuertes y se representará la sección normal de la bóveda por el trazado que hemos estudiado en los párrafos anteriores, adop tando un coeficiente de resistencia del material, y calculadas por las fórmulas de la página 387 las compresiones en la clave y los arranques, se deduce el grueso c=

Compresión

390

M E C Á N IC A E E Á S T IC A

pero teniendo presente que, para evitar el pandeo, deberá ser la compresión inferior a la que dedujimos en la página 146. comp <

Ec^

Representada la bóveda por dos o más secciones rectas, se calcularán las armaduras de la sección para que resistan al mo mento de temperatura antes indicado y, además de una armadura

longitudinal para dar cohesión, se calculará en la parte inferior la que resista al momento de empotramiento. 114. Contrafuertes.— ^E1 estudio quese ha hecho en la mayor par te de los proyectos de contrafuertes de estas presas consiste en ir tomando sucesivas secciones horizontales y determinar para cada una las fuerzas que actúan por encima de la sección, con su resul tante, hallando luego las presiones por la ley de Hooke o por las fónnulas de flexión compuesta. Este método es análogo al empleado antiguamente para las presas de gravedad y, además de no tener rigor, presenta el incon veniente de no relacionar las cargas normales con las tangenciales.

PR E SA S

391

No debe diferir el estudio racional de estos contrafuertes del método elástico que para las presas de gravedad hemos indicado, pudiendo aplicarse las fórmulas a que se llega con el método de Pigeaud, pero modificadas en la forma que detallaremos a conti nuación. has tensiones normales y tangenciales serán también de la forma N-¡_=

-b C\y

N z = C^x -b C 'ay

T = C s % + C'sy por idéntico razonamiento al qne se hizo en las presas de grave dad, y las constantes pueden ser determinadas de igual modo que entonces; pero ahora n = tg a. = 1, y si estudiamos el contrafuer te de paramentos aguas abajo vertical, w = tg p = 0. E l valor P sigue siendo el peso específico del material del con trafuerte; pero k representará ahora, no el peso del metro cúbico de agua para que la presión sea ky en cada punto del paramento, sino el que resulte para dicha presión arrojada por las bóvedas. Este empuje se compone de dos partes: el debido al agua en el en trepaño entre dos contrafuertes, que podrá tomarse por exceso igual kly, llamando l la distancia entre ejes de contrafuertes, o luz kly siendo a de las bóvedas, el cual provoca una carga unitaria el grueso del contrafuerte, y el producido por la componente nor mal del peso de la bóveda, que es conocido por haberse calculado previamente aquélla. Elamando y respectivamente, los empu jes normales que produce la bóveda en la parte superior y en la inferior, la ley de empujes será

que como p^ es muy pequeño en relación con p^ y, sobre todo, com parado con el del agua, podrá ponerse

392

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

y el empuje por unidad de ancho de contrafuerte valdrá esa misma cantidad dividida por el ancho a. En consecuencia, los valores de las constantes C^, C^', Cg, C^', Cg, Cg', serán los expresados en la página 351, pero poniendo en ellos M = 1, wí = 0, y en lugar de k el valor klH + 2^2 Ha en la que H es la altura total de la presa. Por tanto, tendremos =0 C 'i = 0 Cg = P +

klH + 2P-2 Ha

C'g = P +

klH + 2p2 Ha

Cg =

klH + 2^2 Ha

C'g=0 Eas cargas moleculares en el contrafuerte serán exphcitamente ATi = 0 ^ 2 = IP^ ^ -

klH + 2^2 Ha

{x + y)

klH + 2 f, Wa ^

E l régimen elástico del contrafuerte está, pues, perfectamente definido, y con estos valores de iV^, N^, T, podrá hallarse, como siempre, las máximas cargas y las isostáticas. Estas últimas sabemos que son las trayectorias definidas por la expresión _dy_ _ N , - N ^ ^ V J Ñ , - N ^ r + i T ^

PR E SA S

393

que en este caso serán dy _ N ^ ^ Y + 4T2 dx 2T Ivas compresiones máxima y mínima valen

y ya se ve que la mínima es negativa (carga de tracción), por ser

el radical mayor siempre que N^. Por consecuencia, es conveniente armar los contrafuertes para que la armadura resista esas traccio nes. Pa situación de esa armadura de tracción deberá ser, eviden temente, la que corresponda a la isostática, de modo que, repre sentando una serie de isostáticas de tracción, por el mismo trazado

394

M E C Á N IC A E L Á S T IC A

que indicamos en el párrafo 112, para el cálculo de las varillas bas tará ver las tensiones N,

+ 4:T^

producidas en cada dos isostáticas dibujadas (es decir, en los in tervalos A B , BC, CD, fig. 138), y dividiendo esa tensión, en cada intérvalo, por el coeficiente de resistencia del acero se tendrá la sección total, que podrá distribuirse en el número de varillas que se desee.

115. Bn lugar de poner vertical el paramento de aguas abajo, con lo cual resulta una ley de compresiones en la base dada por la klH -\- 2p2 {x + H) lü creciente desde rr = — H (paramento aguas arriba), basta x = 0, podría hacerse que esta ley de compresiones fuese constante, es decir, que la resultante total cayera en el centro de la base, y en tonces tendríamos la mayor regularidad sobre el terreno. Vamos a calcular cuál debe ser el ángulo del paramento aguas abajo para que se verifique esta condición. De las constantes CgCg' que determinan iVg, si se quiere que ésta sea constante en v se necesita que Cg = 0 y como ahora el valor de ella es

{m -\- 1)^

(w — 1) —

klH + 2^2 Ha

3w (m -t- 1)‘

se podrá hallar la tangente m del ángulo que debe formar el para mento aguas abajo, por la ecuación de segundo grado p{m^ — 1)

klH -h Ha

(3w — 1) = 0

116. Arriostramientas.— Pudiera temerse que por el efecto de compresiones originadas en el contrafuerte, según las isostáticas de

P RE S A S

395

compresión, y por el relativamente pequeño grueso, se produjera el pandeo. Considerar las fibras comprendidas entre dos isostáticas (fig. 139) aplicando a cada una, por ejemplo, A B , la fórmula del pandeo, es incurrir, evidentemente, en exageración, puesto que dicha fibra no está libre lateralmente, ni sus extremos tampoco, has máximas cargas de compresión en la base no se harán subir más de 40 ó 45 kg : cm ^y, por consiguiente, las del resto de la isostática serán mucho menores. Sabido es que para esas cargas mo

deradas no se produce pandeo cuando la esbeltez máxima (rela ción entre el mínimo lado a la longitud) es inferior a 12 ó 14, de modo que para presas de este tipo cuya altura no exceda de 30 ó 35 m no sería preciso hacer arriostramiento (aunque siempre sea conveniente). Para presas de gran altura (80 ó 90 m), con las dimensiones que en grueso hay que dar a los contrafuertes y para cargas má ximas de compresión que no excedan de 40 kg : cm^, basta con tres riostras intermedias en el paramento aguas abajo y una línea de ellas intermedia, en la forma indicada en la figura 139.

Í N D I C E

CAPITULO

PRIMERO

T E O R IA S E U N D A M E N T A E E S

Principios de la Elasticidad............................................................ Relaciones entre las tensiones.............................. Relaciones entre las deformaciones................................................. Enlace de las tensiones con las deformaciones . . .......................... Estadio del cilindro comprimido.................................................... Elasticidad p la n a ............................................................................ Piezas prismáticas............................................................................. Trabajo molecular............................................................................. Teoremas de Castigliano.............................. Teorema de M axw ell....................................................................... Método de Müller Breslau .............................................................

P áginas

1 5 9 17 26 29 31 38 44 50 32

CAPITULO II ARCOS

Estadio de la directriz................................................................... Arco de tres articulaciones .............................................................. Arco de dos articulaciones............................................................... Arcos articiilados de sección constante y sección variable.......... Arcos empotrados.................................................■.......................... Arco empotrado de medio p u n to ................................................... Arco empotrado parabólico.............................................................. Ejemplo de un puente de arco de 50 metros...............................

62 72 73 76 80 87 95 103

CAPITULO III P Ó R T IC O S

Pórticos rectos................................................................................. Cubierta a dos aguas............... Pórticos curvos y poligonales.......................................................... Estructuras cerradas........................................................................ Pórticos con tirante........................................................................ Ejemplo del hangar parazeppelines en Sevilla...............................

109 116 118 133 134 i38

398

INDICE CAPITULO IV EO R M A S T U B D E A E E S

Páginus

Cilindro sometido a tracción o compresión.................................... Cüindro grueso................................................................................. Flexión transversal en los cilindros............................................... Silos................................................................................................. Flexión longitudinal en los tubos.................................................. Fjemplo de un depósito de agua....................................................

145 147 151 163 168 182

CAPITULO V

ESTRUCTURAS MÚETIPEES Teoremas fundamentales................................................................. Aplicación a los pórticos................................................................. Vigas de varios tramos................................................................... Pórtico m últiple............................................................................. Fjemplo de un pórtico de tres tramos........................................... Entramados continuos.................................................................... Vigas Vierendeel................................................. Vigas en celosía.— Cálculo de momentos secundarios ....................

185 202 204 211 213 220 227 235

CAPITULO VI

CÚPUEAS Expresiones fundamentales............................................................. Cúpulas esféricas....................................... Cúpulas cónicas............................................................................... Cúpulas parabólicas........................................................................ Cúpulas para fondos de depósitos.................................................. Fondos esféricos...........■ ................................................................. Fondos cónicos............................................................................... Depósitos In tz e ....................'..........................................................

243 246 251 252 256 258 260 262

CAPITULO V II

PEACAS PEANAS Placas circulares............................................................................. Aplicación a las placas empotradas................................................ Aplicación a las placas apoyadas.................................................... Formulas de aplicación de placas circulares.................................. Placas rectangulares apoyadas.— Estudiocompleto......................... Placas rectangulares empotradas.— Solución general....................... Placas contmuas...............................................................................

265 269 275 280 285 303 311

CAPITULO V III R E P A R T IC IÓ N D E C A R G A S Y C IM E N T A C IO N E S

Repartición de una carga concentrada sobre un sólido................ Repartición de cargas sobre el terreno ......................................... Repartición sobre el terreno con placa circular...........................

315 320 329

I N D I C E

399

CAPITUI/0 IX PRESAS

Páginas

Presas de gravedad........................................................................ 344 Cálculo de las presas de gravedad................................................. 348 Influencia de la coronación............................................................ 361 Presas bóvedas.— Discusión del problema..................................... 362 Sistema del autor en las presas bóvedas .................................... 373 Presas de contrafuertes y bóvedas................................................ 380 Bstudio de lás bóvedas inclinadas..................................................... 381 Contrafuertes................................................................................... 390 Árriostramieñtos.............................................................................. 394

Esta obra se terminó de imprimir en los Talleres tipográficos Voluntad, sitos en esta Corte, en la calle de Serra no, núm. 48, en el mes de octu bre de 1Q30, constando esta segunda edición de 2 .0 0 0 ejemplares.

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