Hoja de actividades de Ecuaciones y sistemas Curso 4º ESO Opción B Ejercicio nº1 Re suelve la ecuación : 2x + 10 − 3 x = 3x Solución: Ecuación : 2 x + 10 − 3 x = 3x
Se aísla el radical : − 3 x = x − 10 Se eleva al cuadrado : 9x = x 2 − 20x + 100 ⇒ x 2 − 29x + 100 = 0 Soluciones : x = 4, x = 25 Comprobación : 8 + 10 − 3 4 = 12 50 + 10 − 3 25 = 45 ≠ 12 La solución válida es : x = 4
Ejercicio nº2 Re suelve la ecuación : 5x + 1 + x = 7 Solución: Ecuación : 5x + 1 + x = 7
Se aísla el radical : 5x + 1 = 7 − x Se eleva al cuadrado : 5x + 1 = x 2 − 14x + 49 ⇒ x 2 − 19x + 48 = 0 Soluciones : x = 16, x = 3 Comprobación : 80 + 1 + 16 = 25 ≠ 7 15 + 1 + 3 = 7 La solución válida es : x = 3 Ejercicio nº3 Eleva al cuadrado los dos miembros de las siguientes ecuaciones, según se dan: a) x + 5 = 0 b) 2x − 3 = x + 3 c) 7x − 4 = 5x d) x − 3 = 0 ¿En cuáles de ellas se han introducido soluciones nuevas? Solución: a) Ecuación: x + 5 = 0 Solución: x = − 5 Elevamosalcuadrado : x 2 + 10x + 25 = 0 Solución : x = −5 (doble) b) Ecuación: 2x − 3 = x + 3 Solución: x = 6 Elevamosalcuadrado : x 2 − 6x = 0 Soluciones : x = 0 y x = 6 Se introduce una solución nueva el 0 c) Ecuación: 7x − 4 = 5x Solución: x = 2 1
Elevamos alcuadrado : 3x 2 − 7x + 2 = 0 Soluciones : x = 2 y x =
1 3
Se introduce una solución nueva: 1/3 d) Ecuación: x − 3 = 0 Solución: x = 3 Elevamos alcuadrado : x 2 − 6x + 9 = 0 Solución : x = 3(doble)
Ejercicio nº4 Re suelve la ecuación : x + 40 − x 2 = 4
Solución Ecuación : x + 40 − x 2 = 4
Se aísla el radical : 40 − x 2 = 4 − x Se eleva al cuadrado : 40 − x 2 = 16 − 8x + x 2 ⇒ 2x 2 − 8x − 24 = 0 x 2 − 4x − 12 = 0 Soluciones : x = −2, x = 6 Comprobación : − 2 + 40 − 4 = 4 6 + 40 − 36 = 8 ≠ 4 La solución válida es : x = −2 Ejercicio nº5 Re suelve la ecuación : 2x + 4x + 5 = 15 Solución: Ecuación : 2x + 4x + 5 = 15
Se aísla el radical : 4x + 5 = 15 − 2x Se eleva al cuadrado : 4x + 5 = 225 − 60x + 4x 2 ⇒ 4x 2 − 64x + 220 = 0 x 2 − 16x + 55 = 0 Soluciones : x = 5, x = 11 Comprobación : 10 + 20 + 5 = 15 22 + 44 + 5 = 29 ≠ 15 La solución válida es : x = 5
2
Ejercicio nº6 Re suelve la ecuación : 3x − 5 + 2 5x + 1 = 10 Solución: Ecuación : 3x - 5 + 2 5x + 1 = 10 Se aíslaun radical : 3x − 5 = 10 − 2 5x + 1 Se eleva al cuadrado : 3x - 5 = 100 + 4(5x + 1) − 40 5x + 1 Repetimos el proceso con el radical :40 5x + 1 = 17x + 109 Elevamos al cuadrado :1600(5x + 1) = 289x 2 + 3706x + 11881 ⇒ 289x 2 − 4294x + 10281 = 0 Soluciones : x = 3, x = 11,86 Comprobación : 9 − 5 + 2 15 + 1 = 10 35,58 − 5 + 2 59,3 + 1 = 21,06 ≠ 10 La solución válida es : x = 3
Ejercicio nº7 Re suelve la ecuación :
x 2 + 5x − 2 2x + 1 = 0
Solución: Ecuación : x 2 + 5x − 2 2x + 1 = 0
Se aísla el radical : x 2 + 5x = 2 2x + 1 Elevamos al cuadrado : x 2 + 5x = 4(2x + 1) ⇒ x 2 − 3x - 4 = 0 Soluciones : x = 4, x = −1 Comprobación : 16 + 20 − 2 8 + 1 = 0 1 − 5 − 2 −2 + 1 ≠ 0 La solución válida es : x = 4 Ejercicio nº8 Re suelve la ecuación :
x − x + 21 = 3
Solución: Ecuación : x - x + 21 = 3 Se eleva al cuadrado : x - x + 21 = 9 Se aísla el radical : x − 9 = x + 21 Elevamos al cuadrado : x 2 − 18x + 81 = x + 21 ⇒ x 2 − 19x + 60 = 0 Soluciones : x = 15, x = 4 Comprobación : 15 − 15 + 21 = 3 4 − 4 + 21 = −1 ≠ 3 La solución válida es : x = 15
3
Ejercicio nº9 Re suelve la ecuación : 3 (x + 1)(x − 4) + 1 = 2x + 3 Solución: Ecuación : 3 (x + 1)(x − 4) + 1 = 2x + 3
Se aísla el radical :3 (x + 1)(x − 4) = 2x + 2 Elevamos al cuadrado :9(x + 1)(x − 4) = 4x 2 + 8x + 4 ⇒ 5x 2 − 35x − 40 = 0 Soluciones : x = 8, x = −1 Comprobación :3 (8 + 1)(8 − 4) + 1 = 16 + 3 = 19 3 ( −1 + 1)( −1 − 4) + 1 = −2 + 3 = 1 Las dos soluciones son válidas Ejercicio nº10 Re suelve la ecuación :
2x + 3 − x + 1 = 1
Solución: Ecuación : 2x + 3 − x + 1 = 1
Se aísla el radical : 2x + 3 = 1 + x + 1 Elevamos al cuadrado :2x + 3 = 1 + x + 1 + 2 x + 1 Repetimos el proceso : 2 x + 1 = x + 1 Elevamos al cuadrado : 4(x + 1) = x 2 + 2x + 1 ⇒ x 2 − 2x − 3 = 0 Soluciones : x = 3, x = −1 Comprobación : 6 + 3 − 3 + 1 = 1 -2 + 3 − −1 + 1 = 1 Las dos soluciones son válidas Ejercicio nº11 Resuelve la siguiente ecuación: x3 + 5x2 − 6x = 0 Solución: Ecuación: Se factoriza Igualando a 0 cada factor: Soluciones:
x3 + 5x2 − 6x = 0 x(x2 + 5x − 6) = 0 x =0; x2 + 5x − 6 = 0 x = 0; x = 1; x = −6
Ejercicio nº12 Resuelve la siguiente ecuación: x3 − 8x2 + 13x − 2= 0 Solución: Las posibles raíces enteras son los divisores del término independiente: ± 1, ± 2 Se comprueba que 2 es raíz Se factoriza (x − 2)(x2 − 6x + 1) = 0 Igualando a 0 cada factor: x – 2 = 0; x2 − 6x + 1 = 0 4
Ejercicio nº13 Resuelve la siguiente ecuación: x3 − 7x − 6= 0 Solución: Las posibles raíces enteras son los divisores del término independiente: ±1, ± 2, ± 3, ± 6 Se comprueba que −1 es raíz Se factoriza: (x + 1)(x2 − x − 6) = 0 Igualando a 0 cada factor: x + 1=0; x2 − x − 6 = 0 Soluciones: x = −1; x = −2; x = 3 Ejercicio nº14 Resuelve la siguiente ecuación: x4 + 2x3 − 3x2 = 0 Solución: Ecuación: x4 + 2x3 − 3x2 = 0 Se factoriza x2 (x2 + 2x − 3) = 0 Igualando a 0 cada factor: x2 =0; x2 + 2x − 3 = 0 Soluciones: x = 0; x = −3; x = 1
Ejercicio nº15 Resuelve la siguiente ecuación: x3 − x2 − 4x +4= 0 Solución: Las posibles raíces enteras son los divisores del término independiente: ± 1, ± 2, ± 4 Se comprueba que 1 es raíz Se factoriza (x − 1)(x2 − 4) = 0 Igualando a 0 cada factor: x − 1=0; x2 − 4 = 0 Soluciones: x = 1; x = −2; x = 2 Ejercicio nº16 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x 2 + 2xy = 8 y 2 + xy = 3
Solución: Despejando y en la primera ecuación:
y=
8 − x2 2x 2
Sustituyendo en la segunda: Operando:
Resolviendo:
8 − x2 8 − x2 + x ⋅ =3 2x 2x 64 + x 4 − 16x 2 8 − x 2 + =3 4x 2 2 x4 +12x2 – 64= 0 x = 2, x = −2
8 − x2 y = 1, y = −1 2x Soluciones: x = 2 e y = 1 ó x = − 2 e y = −1 Sustituyendo x en
y=
5
Ejercicio nº17 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x+y=3 x 2 + y 2 + xy = 7 Solución: Despejando x en la primera ecuación: Sustituyendo en la segunda: Operando:
x=3–y (3 – y)2 + y2 + (3 – y)y = 7 9 + y2 − 6y + y2 + 3y – y2 = 7 y2 − 3y + 2 = 0 Resolviendo: y = 2, y = 1 Sustituyendo y en x = 3 – y x = 1, x = 2 Soluciones: x = 1 e y = 2 ó x = 2 e y = 1.
Ejercicio nº18 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: xy = 28 x 2 − y 2 = 33 Solución:
Despejando x en la primera ecuación:
x=
10 y 2
Sustituyendo en la segunda: Operando: y4 + 33y2 – 784 = 0
28 2 − y = 33 y 784 − y4 = 33y2 y = 4, y = −4
Resolviendo: 28 Sustituyendo y en x = x = 7, x = −7 y Soluciones: x = 7 e y = 4 ó x = −7 e y = −4.
Ejercicio nº19 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: xy = 10 2 2 x + y = 29 Solución:
Despejando x en la primera ecuación:
x=
10 y 2
Sustituyendo en la segunda: Operando: Resolviendo: Sustituyendo y en Soluciones:
10 2 + y = 29 y 100 + y4 = 29y2 y4 − 29y2 + 100 = 0 y = 5, y = −5, y = 2, y = −2
10 x = 2, x = −2, x = 5, x = −5 y x = 2 e y = 5 ó x = −2 e y = −5. x=
6
Ejercicio nº20 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x+y=5 x 2 + y 2 = 13 Solución: Despejando x en la primera ecuación: x = 5 – y Sustituyendo en la segunda: (5 – y)2 + y2 = 13 Operando: 25 + y2 – 10y + y2 = 13 y2 – 5y + 6 = 0 Resolviendo: y = 2, y = 3 Sustituyendo y en x = 5 – y x = 3, x = 2 Soluciones: x = 3 e y = 2 ó x = 2 e y = 3. Ejercicio nº21 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 2x − 3y = 5 x 2 + y 2 = 58 Solución:
Despejando x en la primera ecuación:
x=
5 + 3y 2 2
Sustituyendo en la segunda:
Operando: Resolviendo: Sustituyendo y en x =
5 + 3y 2
Soluciones: x = 7 e y = 3 ó x = −
5 + 3y 2 + y = 58 2 25 + 9y2 + 30y + 4y2 = 232 13y2 + 30y – 207 = 0 y = 3, y = − 69/13 x = 7, x = − 71/13 69 71 e y=− 13 13
Ejercicio nº22 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 2x + y = 11 x 2 − y 2 = 24 Solución: Despejando y en la primera ecuación: y = 11 – 2x Sustituyendo en la segunda: x2 − (11 – 2x)2 = 24 Operando: x2 − 121 − 4x2 + 44x = 24 −3x2 + 44x – 145 = 0 Resolviendo: x = 5, x = 29/3 Sustituyendo x en y = 11 – 2x y = 1, y = −25/3 29 25 Soluciones: x = 5 e y = 1 ó x = − e y=− 3 3
7
Ejercicio nº23 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x − 2y = 2 x 2 + y 2 = 17 Solución: Despejando x en la primera ecuación: x = 2 + 2y Sustituyendo en la segunda: (2 + 2y)2 + y2 = 17 Operando: 4 + 4y2 + 8y + y2 = 17 5y2 + 8y − 13 = 0 Resolviendo: y = 1, y = −13/5 Sustituyendo y en x = 2 + 2y x = 4, x = −16/5 16 13 Soluciones: x = 4 e y = 1 ó x = − e y=− 5 5
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