Ecuaciones de la recta by Juanjo Expósito

Ecuaciones de la recta Ecuación vectorial de la recta Tenemos un punto A (a,b) y un vector u = ( u1,u2 ) . Vamos a calcular la ecuación de la recta que pasa por A y tiene la dirección del vector u . (Este vector se conoce como vector director de la recta) El vector director no es único. Cualquier vector de la misma dirección que u , es un vector director de la recta. El vector u multiplicado por cualquier número, sería otro vector director de la recta. y X(x,y)

4 3

ū=(u1,u2 ) A(a,b)

→ AX

→

→ 1

ū=(u1,u2)

-6

-4

-2

x 4

-1 -2 -3 -4

Si recordamos la suma de vectores nos encontramos con la siguiente ecuación: OX = OA + AX pero AX = t ⋅ u entonces OX = OA + t ⋅ u Si lo expresamos en función de las coordenadas, tenemos: ( x,y ) = ( a,b ) + t ⋅ (u1,u2 ) → Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta Si operamos la ecuación vectorial de la recta, tenemos: ( x,y ) = ( a,b ) + t ⋅ (u1,u2 ) = ( a,b ) + ( tu1,tu2 ) = ( a + tu1,b + tu2 ) Para que dos vectores sean iguales tienen que serlo sus componentes:  x = a + tu1 → Ecuaciones paramétricas de la recta   y = b + tu2 Ecuación continua de la recta Despejamos t de las ecuaciones paramétricas y obtenemos: x−a y −b t= y t= u1 u2 Igualando tenemos: x −a y −b = → Ecuación continua de la recta u1 u2 Ecuación general de la recta (Ecuación implícita) Operamos la ecuación continua y tenemos: ( x − a ) ⋅ u2 = ( y − b ) ⋅ u1

xu2 − yu1 + bu1 − au2 = 0 u2 = A   −u1 = B  Ax + By + C = 0 → Ecuación general de la recta bu1 − au2 = C  Ecuación explícita de la recta Despejamos la y : A C y =− x− B B A  − = m  B  y = mx + n → Ecuación explícita de la recta C − =n  B

u = ( −B,A )

m→ pendiente de la recta n→ ordenada en el origen

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Ejemplo nº 1: Tenemos un punto A (−2,1) y un vector u = ( 2,1) . Vamos a calcular las ecuaciones de la recta que pasa por A y tiene la dirección del vector u . (Este vector se conoce como vector director de la recta) y X(x,y)

4 3

ū=(2,1) A(-2,1)

→ AX

→

→ 1 OA ū=(2,1)

-6

-4

-2

x 4

-1 -2 -3 -4

( x,y ) = ( −2,1) + t ⋅ ( 2,1) → Ecuación vectorial de la recta Despejando las coordenadas por separado  x = −2 + 2t → Ecuaciones paramétricas de la recta  y = 1 + t Despejando la t, tenemos: x + 2 y −1 = → Ecuación continua de la recta 2 1 Operando la ecuación: x + 2 = 2y − 2

x − 2y + 4 = 0 → Ecuación general de la recta Despejando la y : −x 4 y= − −2 −2 1 y = x + 2 → Ecuación explícita de la recta 2 Ejemplo nº 2: Halla las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A ( −3,2 ) y B (1,4 ) . Hallamos un vector director de la recta v = AB = OB − OA = (1,4 ) − ( −3,2 ) = ( 4,2 ) . Tenemos el punto A ( −3,2 ) y el vector v = ( 4,2 ) . Ahora de la misma forma que el ejemplo anterior:

( x, y ) = ( −3,2 ) + t ⋅ ( 4,2 ) → Ecuación vectorial de la recta

Despejando las coordenadas por separado  x = −3 + 4t → Ecuaciones paramétricas de la recta   y = 2 + 2t Despejando la t, tenemos: x+3 y−2 = → Ecuación continua de la recta 4 2 Operando la ecuación: 2x + 6 = 4y − 8

2x − 4y + 14 = 0 → se puede simplificar → x − 2y + 7 = 0 → Ecuación general de la recta Despejando la y : −x 7 y= − −2 −2 1 7 y = x + → Ecuación explícita de la recta 2 2 Comprueba que si tomamos el punto B (1,4 ) , en lugar del A, y como vector director tomamos v = ( 4,2 ) , pero simplificado u = ( 2,1) , obtenemos la misma ecuación general y la misma explícita. Aunque la vectorial, paramétricas y continua sean diferentes, la implícita y la explícita coinciden. Juan José Expósito Jubete Página 2 de 5

Ecuación general de la recta (Ecuación implícita) Tenemos la ecuación de una recta en forma general: Ax + By + C = 0

u2 = A   −u1 = B  de aquí se deduce que u = ( u1,u2 ) = ( −B,A ) bu1 − au2 = C  Hallamos un punto dando un valor cualquiera a la x y despejando la y. Ejemplo nº 3: Sea una recta de ecuación 2x − 3y − 6 = 0 . Halla un vector director y un punto de la recta.

Un vector director de la recta será v = ( −B, A ) = ( 3,2 ) Vamos a hallar un punto de la recta, para ello damos x = 0 →

2 ⋅ 0 − 3y − 6 = 0

→

−3y = 6

→

y = −2

El punto será P ( 0, −2 ) Con un punto y un vector, ya podemos hallar todas las ecuaciones vistas hasta ahora. Ecuación explícita de la recta Tenemos la ecuación de una recta en forma explícita: y = mx + n Habíamos obtenido la ecuación explícita a partir de la general Ax + By + C = 0

A C x− B B A  − = m  B  y = mx + n → Ecuación explícita de la recta C − =n  B Vamos a estudiar el significado de la “pendiente” m y=−

m→ pendiente de la recta n→ ordenada en el origen

u2 = A  u2 u2 A A , pero en el estudio de la ecuación general vimos =  sustituyendo nos queda m = − = − −u1 = B  B B −u1 u1 Veamos la interpretación geométrica de m. m=−

ū=(u1,u2) u2 α u1

tan α =

u2 u1

y=n α -4

x -2

x=0

cateto opuesto u2 = = m . Por tanto m es la tangente del ángulo que la recta forma cateto contiguo u1 con el eje X, y se conoce como pendiente de la recta.

Si hallamos tanα, tenemos: tan α =

Veamos ahora el significado de n. Partimos de la ecuación explícita y = mx + n . Hallamos el valor de y para x=0 → y = m ⋅ 0 + n → y = n de ahí que n se conoce como la “ordenada en el origen”, ya que es el valor de la ordenada y, cuando la abscisa vale 0. Ejemplo nº 4: Halla la ecuación explícita de recta que pasa por el punto A ( 0, −3 ) y forma un ángulo de 45º con el eje de abscisas. Sabemos que m = tan α y que α = 45º por tanto m = tan α = tan 45º = 1 → m = 1 También sabemos que pasa por A ( 0, −3 ) , o sea para x=0, y = −3 lo que significa que n = −3 La ecuación y = mx + n , queda de la forma y = x − 3 → ecuación explícita

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Ecuación punto-pendiente de la recta Vamos a hallar la ecuación de una recta conocidos un punto P ( x1,y1 ) y la pendiente m de la misma. Tenemos la ecuación explícita: Como P es un punto de la recta debe de verificarla: Si restamos las dos igualdades, tenemos:

y = mx + n

y1 = mx1 + n y − y1 = mx − mx1 + n − n

y − y1 = m ( x − x1 ) → ecuación punto-pendiente

Sacando factor común m, nos queda:

Ejemplo nº 5: Halla la ecuación de la recta que tiene por pendiente m=3 y pasa por el punto A ( −2,5 )

Sustituimos los datos en la ecuación punto-pendiente: y − y1 = m ( x − x1 ) y − 5 = 3 ( x + 2 ) → ecuación punto-pendiente

y − 5 = 3x + 6 → y − 5 = 3x + 6 → 3x − y + 11 = 0 → ecuación general

y − 5 = 3x + 6 →

y = 3x + 11 → ecuación explícita

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Vamos a hallar la ecuación de una recta conocidos dos puntos P ( x1,y1 ) y Q ( x 2 ,y 2 ) . Hallamos el vector PQ = ( x 2 ,y 2 ) − ( x1, y1 ) = ( x 2 − x1,y 2 − y1 ) → vector director de la recta Hallamos la pendiente de la recta m =

u 2 y 2 − y1 = u1 x 2 − x1

Tomamos la ecuación punto-pendiente y − y1 = m ( x − x1 ) y sustituimos la pendiente en función de los puntos y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

→

y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x 1

→ ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Ejemplo nº 6: Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A ( −4,1) y B ( −1,3 ) . Sustituimos los puntos en la ecuación:

y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x 1

y −1 x + 4 y −1 x + 4 → = → 3 ( y − 1) = 2 ( x + 4 ) → 3y − 3 = 2x + 8 → 2x − 3y + 11 = 0 → ecuación general = 2 3 3 − 1 −1 + 4

Vamos a llegar a la misma ecuación por otro camino. Hallamos el vector u = AB = ( −1,3 ) − ( −4,1) = ( 3,2 ) Ahora tenemos un punto A ( −4,1) y un vector director u = ( 3,2 ) . Vamos directamente a la ecuación continua: x −a y −b x + 4 y −1 = → = → 2x + 8 = 3y − 3 → 2x − 3y + 11 = 0 → ecuación general u1 u2 3 2 Hay distintos caminos para llegar a obtener la ecuación de una recta. Recuerda que hay distintas ecuaciones vectoriales, paramétricas y continuas, según el punto y el vector que elijamos, sin embargo la general y la explícita son únicas, salvo equivalentes, o sea la misma multiplicada o dividida por un número.

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Rectas paralelas Trazamos varias rectas paralelas. Todas ellas forman el mismo ángulo con el eje de abscisas, α. Por tanto todas tendrán la misma pendiente m. y 8

m2=tan α m1=tan α

α u2 u1

m3=tan α

α -8

-6

α -4

α x=0

-2

-4

Observando la gráfica, vemos que m1 = m2 = m3 . Las ecuaciones explícitas correspondientes a rectas paralelas, serán de la forma: y = mx + n1 y = mx + n2 y = mx + n3 , todas tienen la misma pendiente y sólo se diferencian en la ordenada en el origen n. Si tenemos dos rectas paralelas, en su forma general: A1x + B1y + C1 = 0 y A 2 x + B2 y + C2 = 0

A1 A A A A1 B1 y m2 = − 2 , por tanto − 1 = − 2 = B1 B2 B1 B2 A 2 B2 Dos rectas paralelas en forma general tienen los coeficientes de x y de y, proporcionales. Sabemos que m1=m2, pero m1 = −

Ejemplo nº 7: Halla la ecuación de la recta paralela a y = 3x + 4 , que pase por el punto A ( −1,6 ) La recta paralela tendrá por ecuación y = 3x + n , ya que tendrá la misma pendiente que su paralela. Si A es un punto de la recta, debe cumplir la ecuación: 6 = 3 ⋅ ( −1) + n

n = −2

Finalmente la ecuación quedará: y = 3x − 2 Rectas perpendiculares Tenemos un vector u = ( 3,2 ) , los vectores v y w , son vectores que forman 90º con u , por tanto v y w son perpendiculares a u .

Cualquiera de esos dos vectores, es un vector director de la recta perpendicular a la recta r. Con un punto por donde pase y con el vector podemos hallar la ecuación de la recta perpendicular a r.

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