Continuidad de funciones
Curso 4ยบ ESO
Definición de continuidad La idea de continuidad, que todos tenemos, es la idea de todo seguido, sin interrupciones. Una función como la representada por la gráfica de la figura, se puede dibujar de un solo trazo. Es una función continua en todos sus puntos. ¿Cuándo se dice que una función es continua en un punto? Una función es continua en un punto si existe valor del límite en dicho punto, si existe valor de la función en dicho punto y además ambos coinciden. y
Existe
lim f ( x ) = b
Existe
f(a) = b
x →a
Siendo además
lim f ( x ) = f (a )
a
x →a
b
Una función es continua, cuando lo es en todos los puntos de su dominio de definición.
x
Estudio de la continuidad en un punto 7 6 5 4 3 2 1
Veamos el ejemplo de la figura. Estudiemos la continuidad en el punto x=2 Calculamos los límites laterales en x=2 Para hallar el límite por la izquierda nos acercamos a x=2 por la recta morada. Para hallar el límite por la derecha nos acercamos a x=2 por la recta verde.
lim− f ( x ) = 3
-4
∃ lim f ( x ) = 3
x →2
lim+ f ( x ) = 3
x →2
x →2
Cuando los dos límites laterales existen y coinciden, entonces existe límite de la función en dicho punto que será el mismo que los laterales
-3
-2
-1
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
y
x 1
2
3
4
5
6
Calculamos el valor de la función en x=2 Para hallar el valor de la función en x=2 tenemos que fijarnos en donde toma valor, en el punto azul.
f(2)=3 Como podemos observar el valor del límite y el valor de la función coinciden, por tanto f(x) es continua en el punto de abscisa x=2.
Discontinuidad evitable Vamos a estudiar la continuidad de la función representada por la gráfica de la figura:
x2 − 4 La función representada es: f ( x ) = x −2
El punto objeto de estudio sería en x=2, en los demás es evidente que la función es y continua. 8 Calculamos: lim− f ( x ) = 4
x →2
lim+ f ( x ) = 4
6
∃ lim f ( x ) = 4
4
x →2
2
x →2
x
Si hallamos el valor de la función en x=2, nos encontramos:
22 − 4 0 f (2 ) = = 2−2 0
No existe f(2)
Esta discontinuidad se conoce como discontinuidad evitable.
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-2 -4 -6 -8
Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto, siempre que exista límite y no exista función en dicho punto, o si existe no coincide con el límite.
Discontinuidad de tipo salto finito Vamos a estudiar la continuidad de la función representada por la gráfica de la figura:
2x + 8 si x ≤ −1 La función representada es: f ( x ) = 2 x − 6 si x > −1 El punto objeto de estudio sería en x=−1, en los demás es evidente que la función es y continua. 8 Calculamos el límite en x=−1 : lim− f ( x ) = 6
x →−1
lim+ f ( x ) = −5
6
∃ lim f ( x )
4
x →−1
2
x →−1
Calculamos el valor de la función en x=−1 : 2 f ( −1) = ( −1) + 8 = 6
x -5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-2 -4 -6
Podemos observar que coincide con -8 el valor que se muestra en la gráfica. Una función presenta una discontinuidad de tipo salto finito en un punto, siempre que existan los dos límites laterales, ambos sean finitos, pero sean distintos. Independientemente de que exista valor de la función o no, en dicho punto.
Discontinuidad de tipo salto infinito Vamos a estudiar la continuidad de la función representada por la gráfica de la figura:
2 si x < 0 La función representada es: f ( x ) = x x + 3 si x ≥ 0 El punto objeto de estudio sería en x=0, en los demás es evidente que la función es y continua. 12 10 Calculamos el límite en x=0 0: lim− f ( x ) = −∞
x →0
lim+ f ( x ) = 3
8 6
∃ lim f ( x )
4 2
x →0
x →0
Calculamos el valor de la función en x=0 : f (0) = 3
-5
-4
-3
-2
-1
-2
x 1
2
3
4
5
-4 -6 -8 -10 -12
Una función presenta una discontinuidad de tipo salto infinito en un punto, siempre que uno de los dos límites laterales sea infinito, o ambos. Independientemente de que exista valor de la función o no, en dicho punto.