Hoja de actividades de Polinomios Curso 4º ESO Opción B
Ficha II
Ejercicio nº 1. Dados los polinomios A = 5x 4 − 3x + 6 , B = 2x 3 + 3x 2 + 1 y C = 4x 2 + 5x , calcula: 2 a) B – C b) A + B c) A · C d) C Solución
a) B − C = 2x 3 − x 2 − 5x + 1 b) A + B = 5x 4 + 2x 3 + 3x 2 − 3x + 7 c) A ⋅ C = 20x 6 + 25x 5 − 12x 3 + 9x 2 + 30x d) C ⋅ C = C2 = 16x 4 + 40x 3 + 25x 2
Ejercicio nº 2.
Dados los polinomios A = 3x 4 + 2x 2 − 3x + 5 , B = −2x 4 + x 3 − 4x 2 + 7x , C = x 2 − 5x + 1 , calcula : a) A + B − C b) A ⋅ C c)B ⋅ C d)C2 Solución
a) A + B − C = x 4 + x3 − 3x 2 + 9x + 4 b) A ⋅ C = 3x 6 − 15x 5 + 5x 4 − 13x 3 + 22x 2 − 28x + 5 c)B ⋅ C = − 2x 6 + 11x 5 − 11x 4 + 28x3 − 39x 2 + 7x d)C2 = x 4 − 10x 3 + 27x 2 − 10x + 1 Ejercicio nº 3.
1 2 1 5 7 7 x + y , B = x − y 2 , C = z 4 , calcula: 2 3 4 3 5 d)B3 e)(A + C)2
Dados los polinomios A =
a) A 2
b) A 3
c)B 2
Solución
1 1 1 a) A 2 = x 4 + x 2 y + y 2 4 3 9 1 1 1 1 3 b) A 3 = x 6 + x 4 y + x 2 y 2 + y 8 4 6 27 25 2 35 2 49 4 c)B2 = x − xy + y 16 6 9 125 3 175 2 2 245 4 343 6 d)B3 = x − x y + xy − y 64 16 12 27 1 1 49 8 1 2 7 14 4 e)(A + C)2 = x 4 + y 2 + z + x y + x2 z4 + yz 4 9 25 3 5 15
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Ejercicio nº 4. 3
2
2
Calcula el cociente: (5x – 3x + 2x + 1) : (x + 3)
3
2
2
3
2
+5x –3x +2x +1 x +3 3 –5x –15x 5x –3 2 –3x –13x 2 +3x +9 –13x +10
Solución El cociente es: 5x – 3
Ejercicio nº 5. 5
3
2
Calcula el cociente: (x + x + x + 1) : (x + x + 1)
5
x +x +x +1 x +x +1 5 4 3 3 2 –x –x –x x –x +x 4 –x 4 3 2 +x +x +x +x 3 2 +x –x +x 3 2 –x –x –x +1
Solución El cociente es: x 3 − x 2 + x El resto es: 1
Ejercicio nº 6. Calcula el cociente entre P(x) y Q(x), si: 2 P(x) = x 4 − 8x 3 + 12x 2 − 5x + 3 5 2 Q(x)= x + 4
–
Solución El cociente es:
2 4 x –8x3 +12x2 –5x 5
2 2 52 x − 8x + 5 5
2 4 x 5
–
193 El resto es: 27x − 5
8 2 x 5
x
2
+4
2 2 52 x –8x + 5 5
52 2 x –5x 5
3 –8x +
+8x
+3
3
+32x +
52 2 x +27x 5
–
52 2 x 5
+3 –
208 5
+27x –
193 5
Ejercicio nº 7. Calcula el cociente entre P(x) y Q(x), si: 1 3 2 P(x) = x - x + x + 8 2 Q(x)= x - 3
55 El resto es: 2
2
3
–x +3x
+
1 x 2
+8
2
2
Solución El cociente es: x 2 + 2x +
3
+x –x
x –3 2
x +2x +
13 2
1 x 2 +6x
+2x +
13 2
–2x
2
+
13 x +8 2
–
13 39 x+ 2 2 +
55 2
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Ficha II
Ejercicio nº 8. Calcula el cociente entre P(x) y Q(x), si: 6 3 2 P(x) = 6x - 12x + 8x + 4x 2 Q(x)= x + x - 1 Solución
6
4
3
2
El cociente es: 6x - 6x + 12x – 30x + 50 El resto es: –76x + 50
3
6x –12x 6 5 4 –6x –6x +6x 5 4 3 –6x +6x –12x 5 4 3 +6x +6x –6x 4 3 +12x –18x 4 3 –12x –12x 3 –30x 3 +30x
Ejercicio nº 9.
+8x
2
+4x
2
x +x –1 4 3 2 6x –6x +12x –30x +50
2
+8x 2 +12x 2 +20x +4x 2 +30x –30x 2 +50x –26x 2 –50x –50x +50 –76x +50
Factoriza los siguientes polinomios calculando por tanteo algunas de sus raíces enteras: 3 2 a) x + 9x + 27x + 27 3 2 b) x + 3x – 13x - 15 Solución 3
2
a) x + 9x + 27x + 27 = (x + 3) (x + 3) (x + 3) = (x + 3) 3 2 b) x + 3x – 13x – 15 = (x + 5) (x – 3) (x + 1)
3
Ejercicio nº 10. Comprueba si los siguientes polinomios tienen por factores los que se indican: 20 a) -x + 3 tiene por factor x + 1 4 2 b) x – 2x - 8 tiene por factor x - 2 Solución 20
a) P(x) = -x + 3 ; P(-1) = 2 ⇒ x + 1 no es factor de P(x). 4 2 b) P(x) = x – 2x - 8; P(2) = 0 ⇒ x – 2 es factor de P(x).
Ejercicio nº 11. 4 3 2 Dado el polinomio P(x) = x + 3x – x – 3x. ¿Cuáles son las raíces enteras? Solución x = –3; x = –1; x = 0 y x = 1
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Ejercicio nº 12. Comprueba si son exactas o no las siguientes divisiones: 1 a) 2x 4 − 3x 2 + : ( x + 3 ) 2 1 b) x 5 + x + 1 : ( x − 1 ) 2 Solución
1 271 ; P( −3) = es el resto. División no exacta. 2 2 1 5 b) P(x) = x 5 + x + 1; P(1) = es el resto. División no exacta. 2 2
a) P(x) = 2x 4 − 3x 2 +
Ejercicio nº 13.
3 1 1 Halla el resto de la división: x 3 + x 2 − x + 3 : x − 3 2 2 Solución
P(x) =
1 3 3 2 1 93 31 x + x − x + 3; → P = = es el resto 3 2 2 24 12
Ejercicio nº 14. Calcula un polinomio cuyas raíces sean 1, 4, -4 y 5. Solución 4
3
2
P(x) = (x – 1) (x – 4) (x + 4) (x – 5) = x – 6x – 11x + 96x – 80
Ejercicio nº 15. Comprueba si los siguientes polinomios tienen por factores los que se indican: 20 a) -x + 3 tiene por factor x + 1 4 2 b) x – 2x - 8 tiene por factor x - 2 Solución 20
a) P(x) = -x + 3; P (-1) = 2 ⇒ x + 1 no es factor de P(x). 4 2 b) P(x) = x – 2x - 8; P (2) = 0 ⇒ x – 2 es factor de P(x).
Ejercicio nº 16. Calcula m: 4 3 2 2 P(x) = x + mx – 15x = (x + 5). (x – 3). x Solución Operando e igualando polinomios m = 2
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