PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL I.-TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
II.- PROPIEDADES INDEFINIDA
a du a u c u 2. u du c n 1 du 3. u ln u c a 4. a du c ln a 5. e du e c 6. sen u du cos u c 7. cos u du sen u c 8. tan u du ln (cos u) c 9. cot u du ln sen u c 10. sec u du ln(sec u tan u) c 11. csc u du ln(csc u cot u) c 12. sec u du tan u c 13. csc u du cot u c 14. sec u tan u du sec u c 15. csc u cot u du csc u c du u 16. a u arc sen a c 1.
1.
n 1
n
DE
LA
INTEGRAL
La integral indefinida de la suma o resta de dos o más funciones es igual a la suma o resta de sus integrales.
f ( x) g( x) dx f ( x) dx g( x) dx
u
u
u
2. El factor constante se puede sacar del signo de la integral.
c f ( x) dx c f ( x) dx
u
III.- INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE En algunos casos, para obtener integrales que no se pueden calcular en forma inmediata, se arregla el integrando mediante un cambio de variable de tal manera que tome la forma de una integral inmediata. Esto es, si la integral existe en la forma:
f ( x) dx f ( g ( x))
2
u 18. u 17.
2
2
23.
2
a u
du
1
2
u a u
2
2
2 2
u a
2
du
1 2
2
2
f
1
g dx f g dx ,
1
1 2
u dv uv v du
c 2
a arc sen
2
u u a
o
La integración se hace aplicando la fórmula de integración por partes:
2
2
f g dx
ua
1
2
2
Cuando la integral no es inmediata, pero el integrando es igual al producto o al cociente de dos funciones; es decir, de la forma:
du
2
2
22.
IV.- INTEGRACION POR PARTES
1 u arc tan c a a a du 1 u arc sec c 2 2 a a u a 2
u a 2a ln u a c du 1 au 20. a u 2a ln a u c du 21. u a ln u u a
19.
f ( x) dx f (u) du
2
du 2
Derivada de la funcion int erna
Haciendo el cambio de variable: u g x y por tanto du gx dx, se facilita la integración:
2
2
Funcion int erna
Inte gra l no inmediata
g ' ( x) dx
2
u
Donde se debe: 1) Identificar a las funciones u y dv. 2) Determinar du diferenciando, y v integrando. 3) Sustituir el resultado de du y v en la fórmula de integración por partes y calcular la integral
c
a 2
a ln u u a
2
,
c
v du PROFESOR: JULIO BARRETO
1
MATERIA: MATEMÁTICA IV
FORMULARIO DE INTEGRALES INDEFINIDAS V.INTEGRACION TRIGONOMETRICA
POR
SUSTITUCION
3. El denominador Q(x) tiene factores cuadráticos con raíces complejas que no se repiten. Para cada factor cuadrático ax2 + bx + c existe la fracción parcial:
Si el integrando contiene una expresión de la forma:
a u 2
2
,
u a 2
2
o
a u 2
Ax B
2
a x 2 bx c 4. El denominador Q(x) contiene factores cuadráticos con raíces complejas que se repiten. A cada factor cuadrático (ax2 + bx + c)n le corresponde la suma de n fracciones parciales:
elevada a cualquier exponente, la integración se realiza mediante una sustitución trigonométrica, de acuerdo con la siguiente tabla: FORMA DEL RADICAL
TRIANGULO RECTANGULO
SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
a 2 u2
A1 x B1 ax bx c 2
sen = u / a a sen = u a cos d = du
a 2 u2
A2 x B2
ax
2
bx c
2
sec = u / a a sec = u a sec tan d = du
FRACCIONES
La integración por el método de fracciones parciales consiste en descomponer una fracción propia de la forma P x en una suma de dos o más fracciones parciales. , Q x Los denominadores de las fracciones parciales se obtienen mediante la factorización de Qx en factores lineales y cuadráticos. Se tienen así los siguientes casos:
sec
csc
7.
n
n
cos
x dx
1
n 1
x sen
n
8.
sen
m
x cos
n 1
cot x csc
x dx
cos
n
n 1
n
n2
m1
n2
x
sec
n 1
x
x sen
n2
n 1
m1 mn
x dx
sen
n2
csc
n 1
mn
P( x) A B C D Q( x) x a x b x c x d
n2
1
x dx
m
tan x sec
1.- Los factores de Qx son todos lineales y ninguno se repite, es decir, el denominador se descompone en raíces reales de primer grado y diferentes. La descomposición se da en la forma:
x
x dx
n2
x dx
cosm 2 x senn x dx m1
x cos
n 1
mn m1 mn
sen
m 2
x
x cos
n
x dx
xn sen x dx xn cos x n xn 1 cos x dx 10. x n cos x dx x n sen x n x n 1 sen x dx 11. x n e x dx x n e x x n 1 e x dx 9.
2. Los factores de Q(x) son todos lineales y algunos se repiten; es decir, las raíces del denominador son números reales, repitiéndose algunos de ellos. A cada factor de Q(x) de la forma (ax + b)n le corresponde una suma de n fracciones parciales :
VIII. SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO: Si f es una función continua en [a ,b y F (x) una función primitiva de f, entonces:
A1 A2 A3 An 2 3 ax b ax b ax b ax b n
b
a
PROFESOR: JULIO BARRETO
bx c
n 2 sen x dx n n 1 n 1 n 2 2. cos n x dx cos n 1 x sen x cos x dx n n 1 n 1 3. tan n x dx tan x tan n2 x dx n 1 1 n 1 4. cot n x dx cot x cot n2 x dx n 1 5. 6.
1. sen n x dx sen n 1 x cos x 1
DE
2
Las fórmulas de reducción se obtienen integrando por partes, y entre las más comunes se encuentran las siguientes:
a tan = u a sec2 d = du
VI.- INTEGRACION PARCIALES
ax
VII.- FORMULAS DE REDUCCION
tan = u / a
u2 a 2
An x Bn
2
f ( x ) dx F ( x) a F (b) F (a) b
MATERIA: MATEMÁTICA