Tema i aplicaciones de la derivada matematica i uney by Ιούλιος Καίσαρας Μπαρέτο Γκαρσία

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL TEMA I: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

RECTA TANGENTE Y NORMAL

EJEMPLO: Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( x)  x en el punto 4,2 .

En primer lugar hallemos la pendiente de la recta tangente usando límites:

m  lim

h 0

xh  x ( x  h  x )( x  h  x ) ( x  h)  x  lim  lim h 0 h 0 h h( x  h  x ) h( x  h  x )

h 1 1 1 1  lim    h 0 h( x  h  x ) h 0 ( x  h  x ) 2 x 2 4 4

m  lim

Ahora hallemos la ecuación de la recta con la expresión: y  m( x  x0 )  y0

y

1 1 1 ( x  4)  2  x  1  2  x  1 4 4 4

PROFESOR: JULIO BARRETO

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TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA

La normal a una curva en un punto P es la perpendicular a la recta tangente en dicho punto. Si la pendiente de la tangente es mt  f ' (a), la pendiente de la normal será mN  

1 f ' (a)

y la ecuación de la normal nos viene dada por:

y  f (a)  

1  ( x  a) f ' (a)

Así, en el ejercicio anterior la pendiente de la normal será m N  

1  4. Y la 1 4

ecuación de la normal nos viene dada por:

y  2  4  ( x  2)  y  4 x  8  2  y  4 x  10

Grafique esta recta como ejercicio. EJERCICIO: Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por f ( x)  x 3 en el punto de abscisa x = 2. Ecuación de la recta tangente: y  2 x  16 Ecuación de la recta normal:

y

x 49  12 6

INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA PRIMERA DERIVADA

PUNTO CRÍTICO

DEFINICIÓN: Un número c para el cual una función f está definida y para el cual f c   0 o f c  no existe, se llama un NÚMERO CRÍTICO para f .

EJEMPLO: La función f está definida por la ecuación f x   xe - 2 x . ¿Cuáles son los puntos críticos de f ? 2

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TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA

Para empezar, debemos determinar el dominio de f x   xe - 2 x . 2

Domf  R. Tenemos que encontrar la derivada de f x   xe - 2 x para determinar los puntos 2

críticos. Por la regla del producto y la regla de la cadena,

 





2 2  2 2 2 2  f x   x   e - 2 x  x  e - 2 x  1 e - 2 x  x  4 xe - 2 x  e - 2 x  4 x 2 e - 2 x

Igualamos esta expresión a 0 y resolvemos la ecuación resultante.





e-2 x  4 x 2e-2 x  0  e-2 x 1  4 x 2  0 2

Como e - 2 x  0 para toda x , se sigue que 2

1  4 x   0  1  2 x 1+2 x =0  x   12 2

Así,

x

1 son los ceros de f ′. Esto significa que los puntos críticos 2

1 1 y  . Ahora bien, observa la gráfica siguiente y ten en cuenta la relación entre 2 2 derivada en un punto y la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

son

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RELACIÓN ENTRE CRECIMIENTO Y DERIVADA



f derivable y creciente en x0  f ( x0 )  0 .



f derivable y decreciente en x0  f ( x0 )  0 .

EJEMPLO: f x   x 3 es derivable en todo R y su derivada es f x   3x 2 . La gráfica es:

Se observa que la función es creciente en todo su dominio que es R , veamos que la derivada es positiva en todo punto del dominio. Efectivamente f ( x)  3x 2  0 para todo x  R . CRITERIO PARA IDENTIFICAR INTERVALOS CRECIENTES O DECRECIENTES 

f ( x)  0  f es creciente.



f ( x)  0  f es decreciente.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

 La función f presenta un máximo relativo en x0 , cuando existe un entorno E  x0  tal que: f x   f x0  x  E x0 , x  x0 .

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TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA  La función f presenta un mínimo relativo en x0 , cuando existe un entorno E  x0  tal que: f x   f x0  x  E x0 , x  x0 .

CONDICIÓN NECESARIA DE MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO

es derivable en x0 y

tiene un máximo o un mínimo en

 f ( x0 )  0 .

Sin embargo no es una condición suficiente, porque puede ocurrir que la derivada en un punto valga 0 y que no haya máximo ni mínimo, como en x0  0 en el ejemplo y  x 3 .

REGLA PARA SABER SI UN PUNTO SINGULAR ES MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO

Para saber si un punto singular (puntos que anulan la derivada) es máximo o mínimo relativo de una función estudiaremos el signo de la derivada primera de la función.

EJEMPLO: Sea f x   x 3  27 x cuya grafica es:

SOLUCIÓN:

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Si calculamos su derivada y estudiamos el signo se tiene, 2 2 f x   3x  27  3  x  9  3  x  3  x  3. Luego podríamos decir que la función de acuerdo con este estudio:

 

(   , -3)

(-3,3)

(3,  )

 x  3

 x  3

Signo f 

Crece en  ,3  3,   Decrece en  3,3 Así como crece en  ,3 y decrece en  3,3 entonces hay un máximo relativo en

 3, f (3)  que en este caso será un MÁXIMO ABSOLUTO y como decrece en  3,3 y crece en 3,   entonces hay un mínimo relativo en 3, f (3)  que en este caso será un MÍNIMO ABSOLUTO cómo se observaba en la gráfica.

INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA SEGUNDA DERIVADA

Una función es cóncava en un intervalo si las rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es convexa en un intervalo si las rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima. La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedades. Los puntos donde la función cambia de curvatura se llaman PUNTOS DE INFLEXIÓN. PROFESOR: JULIO BARRETO

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RELACIÓN DE LA CURVATURA CON LA SEGUNDA DERIVADA

Si observamos la gráfica siguiente veremos que cuando la función es cóncava las pendientes de las rectas tangentes (las derivadas) tienen un valor cada vez más grande, y cuando es convexa cada vez menor.

CRITERIOS DE CONCAVIDAD O CONVEXIDAD 

Por la derivada primera: a. Si una función es cóncava las pendientes de las tangentes aumentan ( f  es creciente). b. Si una función es convexa las pendientes de las tangentes disminuyen ( f  es decreciente).



Por la derivada segunda:

Si f es cóncava hacia arriba  entonces f  creciente, por lo tanto f   0. Si f es cóncava hacia abajo  entonces f  decreciente, por lo tanto f   0.

f es derivable en x0 y tiene un PUNTO DE INFLEXIÓN en x0  f x0   0

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CRITERIO PARA IDENTIFICAR INTERVALOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS

Si una función es derivable dos veces, se tiene

 f ( x)  0  f es cóncava.  f ( x)  0  f es convexa.

EJEMPLO: Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los extremos de la función indicada: f x = x3  6 x 2  15 x

SOLUCIÓN: Tenemos que que su dominio es: Domf=R. Además: f x = 3x 2  12 x  15  0  PUNTOS CRÍTICOS:

x1 =  1 y x2 =5.

f  x = 6 x  12  0  f  1=  18  0  En x1 = -1 se tiene un MÁXIMO de f .  f 5= 18  0  En x2 =5 se tiene in MÍNIMO de f .

EJEMPLO: Sea la función f  x =xe x . Hallar el punto de inflexión y donde la función es cóncava y convexa. SOLUCIÓN: Notemos que su dominio es: Domf=R.

Ahora bien hallando la primera derivada:

  f x =x   e x  x  e x  1  e x  x  e x  e x  xe x  1  x e x .

 

Y la segunda derivada es: PROFESOR: JULIO BARRETO

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    f x = e x  xe x  e x  x   e x  x  e x  e x  e x  xe x  2e x  xe x  2  x e x

   

 

El punto de inflexión es: f x =0  2  x e x  0

Y como e x  0 para todo x, entonces 2  x  0  x  2. Y el PUNTO DE 2  INFLEXIÓN es   2, 2 . e  

El signo de f  es f  3  2  3e 3  e 3  0 y f  1  2  1e 1  e 1  0.

Así la función es convexa en  ,2  y cóncava en  2,  . Veamos:

APLICACIONES A RAZONES DE CAMBIO

Según lo dicho anteriormente, el concepto de razón de cambio está presente en la vida diaria, muchas veces manejado sin darle un nombre específico o sin reflexionar sobre las acciones realizadas. Ya que vivimos en un mundo físico, social, político, económico, biológico, resulta importante poder describir y medir estos cambios a través de modelos matemáticos. Por ejemplo, una planta crece a medida que el tiempo transcurre, puede detener su crecimiento en algún instante, para luego volver a crecer, o permanecer estacionaria. También la población de un país varía con el correr del tiempo y la variación depende básicamente de la cantidad de nacimientos y de muertes. Es importante medir estas variaciones y expresarlas en números pues estos nos permitirán extraer conclusiones. Esto nos permite saber, por ejemplo, en el caso de consumo de energía eléctrica como función del tiempo, cuándo se produce un aumento PROFESOR: JULIO BARRETO

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repentino, lo que indica la necesidad de aumentar la capacidad eléctrica; si estamos analizando la evolución de una enfermedad a través del tiempo podremos saber cuándo se está propagando con mayor rapidez y así reforzar las medidas sanitarias necesarias. Analizaremos a través de ejemplos, cómo medir los cambios. EJEMPLO 1: Un pedazo de alambre de 20 cm de largo se corta en dos partes; una parte se dobla para formar un cuadrado y con la otra se forma una circunferencia. ¿Dónde se deberá hacer el corte para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea un mínimo? SOLUCIÓN:

Con el primer segmento se construye el cuadrado cuyo lado medirá que su dominio x , con el resto se construye la circunferencia en que el radio medirá que su dominio es: 4 Lx 2r  L  x  r  . Las áreas, por lo tanto, medirán: 2

es:

A cuadrado

1 2 y = x 16

A círculo =

L  x 2 4

El área total será:

1 2 L  x  = x  16 4

A T otal = A cuadrado  A círculo

La primera derivada del área total respecto de x , resulta:

dA 1 1 L  x   x  dx 8 2

Igualando a 0 y despejando el valor de x , queda:

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x

16 L 2 2   8

d2A 1 1 La segunda derivada del área total respecto de x queda:    0 lo 2 8 2 dx que nos indica que es positiva x, en consecuencia, el valor del área es un mínimo. Reemplazando en x el valor de la longitud del alambre: 20 cm tenemos que x = 11,2 cm.

EJEMPLO 2: A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 m de radio y 16 m de altura entra agua a una razón de 50 cm3/s. ¿A qué velocidad está subiendo el nivel del agua cuando este se encuentra a 4 m. de altura? ¿A qué velocidad está cambiando el radio en ese mismo instante? SOLUCIÓN En la figura aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en cualquier instante t .

Desígnese por: 

V : volumen (en cm3) de agua en el tanque en el instante t (s).

 

x : Radio (en cm) de la sección del cono al nivel del líquido en el instante t . y : Altura del agua (en cm) en el instante t .

Datos:

 cm 3  dV   50 dt  seg 

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El volumen del agua en el instante t viene dado por:

1

1 V  x 2 y 3

De la semejanza de los triángulos ODE y OBC, se deduce que:

2 3

y  4x  16 y  y   x  4 x  4  Puede formularse la pregunta así:

dy  ? cuando y = 4 m = 400 cm. dt dy consiste en expresar V en 1 en términos dt únicamente de la variable y (usando 3 ) y derivando en ambos lados con respecto a t. Así,

Una manera simple de calcular

1 1  y  3 V  x 2 y    y  y 3 3 4 48 2

dV  dy y 2 dy   3y 2    dt 48 dt 16 dt

De donde dy  dt

dV dt y 2

16 

De acuerdo a las condiciones del problema: cm 3 dy s  1  cm     dt 400 cm 2 200   s  16  50

5

Indicando con esto que la altura crece a esa velocidad. b. Puede formularse la pregunta así:

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dx  ? cuando y = 4 m. = 400 cm.  x = 100 cm. dt

Una manera sencilla de encontrar la solución, consiste en derivar ambos miembros de

3 con respecto a t. . Así,

dx 1 dy 1  1  cm  1  cm         dt 4 dt 4  200   s  800   s 

6

Indicando con esto que el radio crece a esta velocidad. Otra manera de obtener la solución, consiste en expresar V en 1 en términos únicamente de la variable x (usando 2  ) y derivar en ambos lados con respecto a t .(¡VERIFIQUE!) EJEMPLO 3: Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?

SOLUCIÓN:

Sea x : Longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas a según la figura de abajo en la parte (a)), donde 0  x  . 2

(a)

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(b)

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Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en la figura de arriba en la parte (b). Ahora, volumen de la caja = área de la base x altura. Esto es, V x   a  2 x   x  4 x 3  4ax 2  a 2 x; 0  x  2

a 2

1

Puesto que V  x  (FUNCIÓN A MAXIMIZAR) es una función continua en el  a intervalo 0, , entonces V  x  alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho  2 intervalo. Al derivar V  x  en 1 e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto: V x   12 x 2  8ax  a 2  2 x-a 6 x-a   0

De acá:  2 x  a  0  x   ó  6 x  a  0  x   

a 2 a 6

Son los puntos críticos Para analizar la naturaleza de los puntos críticos, se usa el criterio de la segunda derivada. Así, V  x   24 x  8a

Luego: 24a 24a  16a 8a a a V    24   8a   8a    4a  0 2 2 2 2 2

Lo cual indica que

x

a 2

corresponde a un mínimo relativo. (Interprete

geométricamente el resultado).

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TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA 24a 24a  48a  24a a a V    24   8a   8a    4a  0 6 6 6 6 6

Lo cual indica que x 

a corresponde a un máximo relativo. 6

En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la a cartulina cuadrados de lado y se obtiene de esta forma una caja cuyo volumen viene 6 dado por:

a a  a   a   3a  a   a   2a   a   4a 2  a  2a 3 a     V   a  2     a             6 6  3   6   3   6   3   6   9  6  27 6  2

EJERCICIOS: 1. Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los extremos de las funciones indicadas: a)

f x =2 x 2  3 x+7

SOLUCIÓN:

 3  47 f  4 8

f x =x  1

c) f x =x 

1 x

MÍNIMO. b) No existen extremos. c)

f 1  2

MÍNIMO; f  1  2 MÁXIMO.

2. ¿Cuáles son las dimensiones de un campo rectangular de área dada que requiere la menor cantidad de cercado? SOLUCIÓN: Un cuadrado

3. Encuentre el volumen de la mayor caja que se puede construir de un cuadrado de cartón de 20 cm de lado cortando cuadros iguales en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. SOLUCIÓN:

V = 592 16 cm2 27

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APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA FÍSICA

VELOCIDAD Y ACELERACION: v(t) 

ds , dt

dv d 2 s a t    dt dt 2

EJEMPLO: Un punto se mueve a lo largo de un eje coordenado horizontal de tal manera que su posición en el instante t está especificado por: s  t 3  6t 2  36t-30, s se mide en pies y t en segundos. a) ¿Cuándo la velocidad es cero? b) ¿Cuándo la velocidad es positiva? c) Cuándo el punto se está moviendo hacia la izquierda (es decir, en la dirección negativa). d) ¿Cuando la aceleración es positiva? SOLUCIÓN: a) b)

v

ds  3t 2  12t  36  3t  2t  6. Así v  0 en t  2 y t  6. dt

t  2t  6  0.  ,2  6,   .

v  0, cuando

intervalo

La soluciones t  2 o t  6, en notación de

c) El punto está moviéndose hacia la izquierda cuando v  0, esto es cuando

t  2t  6  0. Esta desigualdad tiene como solución el intervalo 2,6 . d)

a

dv  6t  24  6t  4. Por tanto a  0 cuando t  4. dt

EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA FÍSICA 1. Un objeto que se lanza directamente hacia arriba está a una altura s  16t 2  48t  256 pies después de t segundos: a. ¿Cuál es su velocidad inicial? b. ¿Cuándo alcanza su altura máxima? c. ¿Cuál es su altura máxima? d. ¿Cuándo llega al suelo? PROFESOR: JULIO BARRETO

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e. ¿Con qué rapidez llega al suelo? 2. Un objeto lanzado directamente hacia arriba desde el nivel del piso con una velocidad de 48 pies por segundos, está aproximadamente a s  16t 2  48t pies de altura al final de t segundos. a. ¿Cuál es la altura máxima? b. Al final de un segundo, ¿Qué tan rápido se está moviendo el objeto, y en qué dirección? c. ¿Cuánto tarda en regresar a su posición original? 3. Un proyectil se dispara directamente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de v0 pies por segundos. Su altura a los t segundos está dada por s  v0t  16t 2 pies. ¿Cuál debe ser su velocidad inicial para que el proyectil alcance una altura máxima de 1 milla? 4. Se lanza verticalmente una pelota hacia arriba con una velocidad inicial v0=30 metros gt 2 m por segundo. si la ecuación del movimiento es s t   v0 t  con g  10 2 ; hallar. 2 s a. La velocidad de la pelota en un tiempo t . b. La velocidad en t = 1 s, t =3s. c. El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima. d. La altura máxima de la pelota. e. La velocidad que lleva la pelota al llegar de nuevo al suelo.

ANEXO I. APLICACIÓN DE LA DERIVADA AL CÁLCULO DE LÍMITES

Los límites de formas indeterminadas que no pueden resolverse mediante la factorización, generalmente se resuelven por la conocida en la matemática como Regla de L´Hôpital, que contiene en su estructura el concepto de derivada.

TEOREMA DE L´HÔPITAL Supongamos que las funciones f y g están definidas y son derivables en cierto entorno de a . Si lim f ( x)  lim g ( x)  0 , y g ( x)  0 en cierto entorno de a , entonces, si xa

xa

f ( x) f ( x) existe lim (finito o infinito), existe también lim , y se cumple que: x a g ( x ) x  a g ( x )

lim

x a

f ( x) f ( x) = lim . g ( x ) xa g ( x)

La Regla de L´Hôpital también es válida en el caso que las funciones f y g no están definidas en a , pero lim f ( x)  0 y lim g ( x)  0 . xa

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xa

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Si f (a)  g (a)  0 , y f (x) y g (x) satisfacen las condiciones puestas sobre las f (c) funciones f y g , podemos aplicar la Regla de L´Hôpital a , y obtenemos: g (c) f ( x) f ( x) lim = lim ; aplicar sucesivamente. x  a g ( x ) x  a g ( x ) x 2  1  ln x EJEMPLO 1: Calcular: lim x 1 ex  e

SOLUCIÓN:

este

caso

estamos

ante

indeterminación

0 , 0

pues

lim ( x 2  1  ln x)  12  1  0  0 , y lim (e x  e)  e1  e  0 x 1

x 1

Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital:

x 2  1  ln x ( x 2  1  ln x) lim  lim  lim x 1 x 1 x 1 ex  e ( e x  e) 

CÁLCULO DE LÍMITES DE LA FORMA

1 x 3 x e e

2x 

 

El teorema anterior es válido si se sustituye la exigencia de lim f ( x)  lim g ( x) = 0 xa

x a

por lim f ( x)  lim g ( x) =  , y se llama, por extensión, Regla de L´Hôpital. xa

x a

EJEMPLO 2: Hallar: lim x 0

ln x 1 x

SOLUCIÓN: En este caso estamos ante la indeterminación lim

x 0

 , pues, 

lim ln x   , y

x 0 

1   . Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital: x

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lim

x 0 

ln x  = lim 1    x



x 0 

1 2 x  lim  x  0 x 0  1 x  2 x

Existen otras formas indeterminadas, 0.  e    , que pueden transformarse en las 0  formas ó , y aplicar la Regla de L´Hôpital. 0  Si queremos calcular lim f ( x).g ( x) y, lim f ( x)  0 y lim g ( x)   , entonces, x a

x a

f ( x).g ( x) =

x a

0 f ( x) f ( x) , y por tanto, lim f ( x).g ( x) = lim , y ahora es de la forma . x a x a 1 1 0 g ( x) g ( x)

Además, f ( x).g ( x) =

 g ( x) , y es un límite de la forma . 1  f ( x)

En dependencia del límite que se esté calculando, se hará una u otra de las transformaciones anteriores, siguiendo el criterio que la aplicación de la Regla de L´Hôpital simplifique el proceso de determinación del límite.

EJEMPLO 3: Calcular: lim x 2 ln x 2 x0

SOLUCIÓN: Observemos

que

lim x 2  0 , x 0

lim ln x 2   Luego,

x 0

estamos

ante

una

indeterminación del tipo 0.  . Transformando,

2x 2 2  2 ln x ln x  lim lim x 2 ln x 2 = lim  lim x  lim  x 2  0 x 0  x0 x 0 x 0 1 2 x x0  1   4 2  2 x x x 



PROFESOR: JULIO BARRETO



MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA

x2 , pero esta transformación es menos x 0 x0 1 ln x 2 1 recomendable en este caso en particular, pues la derivada de es mucho más compleja ln x 2 que, simplemente, la derivada de ln x 2 .

Observe que

lim x 2 ln x 2 = lim

EJERCICIOS: CALCULAR x  sen x 1. lim x 0 x3 2.

4. 5.

SOLUCIÓN (JUSTIFICA LOS PASOS)  ( sen x) 1 sen x 1 1  cos x lim  lim  lim  2 x 0 x 0 6x 6 x 0 x 6 3x 3x 2  6 x 3  6 3 lim 2   x 1 3 x  8 x 38 5 4 4 lim (cos )  4.1  4 x  x

x 3  3x 2  2 lim 3 x 1 x  4 x 2  3 4 sen x lim x  1 x x2 lim x x  e 1   1 lim    x 1 x  1 ln x  

lim

x  

2x 2  lim x  0 x x    e e

1    1    ln x  x  1  x =  = lim  lim  x 1 ( x  1) ln x   x1  1. ln x  ( x  1). 1    x  1    1   2    2  1  1  x   lim  lim  x  lim    . x  1 x 1  1 x  1 x  ( x  1)  2  x 1   x  1     2  2 x x   x 

TEOREMA DE ROLLE Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO

TEOREMA DE ROLLE: Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades: i.

f es continua en el intervalo cerrado a ,b .

ii. iii.

f es derivable en el intervalo abierto a,b . f a   f b   0.

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MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA Entonces, existe por lo menos un punto c  a, b  tal que: f c   0. El siguiente teorema que se enuncia y se demuestra a continuación, es una generalización del teorema de Rolle y se conoce con el nombre del teorema del valor medio para derivadas. TEOREMA DEL VALOR MEDIO: Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:

f es continua en el intervalo cerrado a ,b .

ii.

f es derivable en el intervalo abierto a,b .

Entonces, existe por lo menos un punto c  a, b  tal que: f c  

f b   f a  . ba

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Larson, Hostetler, Edwards: Cálculo. Volumen 1 y 2. Editorial McGraw-Hill. 6ta. Ed. Leithold. L: El Cálculo. Oxford University Press. 7ma. Ed. Purcell, E: Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Prentice-Hall-Hispanoamericana. 8va. Ed. Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición. Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela. Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial Reverté. "Si he llegado a ver más lejos que otros, es porque me subí a hombros de gigantes" Sir. Isaac Newton

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