Tema ii integrales uney by Ιούλιος Καίσαρας Μπαρέτο Γκαρσία

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

TEMA II: INTEGRALES (INTEGRAL INDEFINIDA) ANTECEDENTES HISTÓRICOS Hay, primordialmente, dos matemáticos coetáneos íntimamente ligados a los inicios del cálculo infinitesimal, el inglés Newton (1642-1727) y el alemán Leibniz (1646-1716), si bien, hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron en ello, como Kepler, Fermat (1601-1665), Cavalieri (1598-1647), incluso Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213 a.C.), que utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al cálculo integral. Newton y Leibniz (Newton unos años antes) sientan las bases del análisis infinitesimal aunque por vías distintas, quedando fuera de toda sospecha que alguno se aprovechase de los hallazgos del otro. Aunque en los inicios se comunicaban los progresos que hacía cada uno, llegaron a surgir comentarios de matemáticos ajenos a todo ello que, en ocasiones, calificaban la obra de Newton como plagio de la de Leibniz; en otras ocasiones era a la inversa, y esto provocó la enemistad de ambos. Todo esto hizo que Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos años antes, ordenara suprimir un comentario de su obra «Principia» en el que se citaba a su otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo. Leibniz es, además, el responsable de la actual simbología del cálculo infinitesimal, y no sólo eso; fue el primer matemático que utilizó el · para expresar una multiplicación y ÷ para denotar un cociente, entre otras muchas más aportaciones. FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado a,b, se llama función primitiva de f x  a otra función F x  cuya derivada sea f x  en dicho intervalo. Es decir, F x   f x  para todo x de a,b. Así, por ejemplo:

  La función senx  es una primitiva de cosx  puesto que senx   cosx . 1  1  La función ln x es una primitiva de puesto que ln x   . x x   x3  1 x3 x3 2 2    La derivada de es     3x  x , por lo cual es una primitiva de x 2 . 3 3  3 3 PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCION PRIMERA PROPIEDAD: Si F x  es una primitiva de f x  y C una constante cualquiera (un número), la función F x  + C es otra primitiva de f x  . PROFESOR: JULIO BARRETO

MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA II: INTEGRALES DEMOSTRACIÓN: Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero. F x  C   F x  C  f x  0  f x. EJERCICIO: Encontrar tres primitivas de la función cosx  . RESOLUCIÓN: Se sabe que senx  es una primitiva de cosx  . Luego, tres primitivas de cosx  son, por ejemplo, senx   3, senx   ln 2, sen x  

 3

SEGUNDA PROPIEDAD: Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas. DEMOSTRACIÓN: Si F x  es una primitiva de f x  , para cualquier constante C, F x   C es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar a C. TERCERA PROPIEDAD: Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, F x  y Gx  son primitivas de la función f x  , entonces F x   Gx   C  cte. DEMOSTRACIÓN: Hay que recordar que si una función f x  definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función f x  es constante. Es decir, si f x  0 , entonces f x   C. Pues bien, si F x  es una primitiva de f x  , F x   f x ; y si Gx  es otra primitiva de f x  , entonces también Gx   f x ; luego, restando miembro a miembro, F x  Gx  F x  Gx  f x  f x  0, de donde se deduce que F x  Gx  C. LA INTEGRAL INDEFINIDA

DEFINICIÓN: Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I, si

d F ( x)  f ( x) en I, es decir, si F x   f x  para toda x en I, esto es: dx

 f ( x)dx  F ( x)  c

PROFESOR: JULIO BARRETO

sí y sólo si F ' ( x)  f ( x)

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TEMA II: INTEGRALES En donde:

Signo de Integral Primitiva o Antideriva da 



 f ( x)dx  F ( x)  c  Constante de Integració n Integrando   Variable de Integració n

NOTA: Esta definición se puede interpretar de la siguiente manera: Al integrar una función f x  obtenemos como resultado F x  ; si este resultado se deriva obtendremos como resultado al integrando y además nos sirve como comprobación. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRAL INDEFINIDA Observa las siguientes propiedades, las cuales debemos tomar en cuenta para el cálculo de integrales indefinidas. 

HOMOGENEIDAD (PRODUCTO POR UN ESCALAR): Sí f es integrable y k es un número real cualquiera, entonces kf es integrable:

 k f ( x) dx  k  f ( x) dx 

ADITIVIDAD (SUMA O DIFERENCIA): Sean integrables, entonces:

y g son dos funciones

  f ( x)  g ( x) dx   f ( x) dx   g ( x) dx ii )   f ( x)  g ( x) dx   f ( x) dx   g ( x) dx i)



Un factor constante k puede escribirse antes del signo de integral, donde c es la constante de integración.

 k dx  k  dx  k x  c PROFESOR: JULIO BARRETO

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TEMA II: INTEGRALES REGLA DE LAS POTENCIAS PARA INTEGRALES INDEFINIDAS.

x

 1  n1 dx    x  c donde el exponente n es un número racional y n  -1  n  1 INTEGRALES DE FUNCIONES TRASCENDENTES

En las FUNCIONES TRASCENDENTES se encuentran las TRIGONOMÉTRICAS, LAS EXPONENCIALES Y LAS LOGARÍTMICAS. Para calcular este tipo de integrales se usan las siguientes fórmulas de integración.

 csc u du  ln csc u  cot u  c  sec u du  tan u  c  csc u du   cot u  c  e du  e  c

 sen u du   cos u  c  cos u du  sen u  c  tan u du  ln sec u  c  sec u tan u du  sec u  c  csc u cot u du   csc u  c  cot u du  ln sen u  c  sec u du  ln sec u  tan u  c

du  ln u  c u au u a du  c  ln a



APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO

Observa en los siguientes ejemplos cómo se aplican las propiedades de la integral indefinida. Vamos unos ejemplos: 1. Calcular la siguiente integral indefinida  5 x 3 dx PASO 1: El 5 es una constante que se puede escribir fuera de la integral.

5 x

dx  5  x 3 dx

PASO 2: Para encontrar una antiderivada de x3 (o sea la primitiva) aplicamos la fórmula siguiente:

x PROFESOR: JULIO BARRETO

 1  n1 dx   x c  n  1

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TEMA II: INTEGRALES O sea que:

 1  31 5  x 3 dx  5  x c  3  1 PASO 3: Se realizan las operaciones indicadas y se obtiene finalmente el resultado.

5 x

dx 

5 4 x c 4

Para realizar la comprobación de la integral, se deriva el resultado, esto es:

d 5 4 dc  5 41  x  c   4 x  dx  4 dx  4 Recuerda que la derivada de una constante es igual a cero. Al simplificar se obtiene al integrando.

d 5 4  3  x  c   5x dx  4  NOTA: Recuerda que al hacer mención de la antiderivada o primitiva nos estamos refiriendo a la integral indefinida. Ahora veamos la aplicación de estas propiedades en una función polinomial.

2. Calcula la integral indefinida

 3x



 4 x 3  5x  2 dx y realiza la comprobación.

PASO 1: Se escribe la integral, recordando que la suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de las integrales, esto es:

 3x



 4 x 3  5x  2 dx   3 x 5 dx   4 x 3 dx   5 x dx   2 dx

PASO 2: Los factores constantes se escriben fuera de la integral y se aplica la fórmula de una potencia, como se muestra a continuación:

 3x



 4 x 3  5x  2 dx  3 x 5 dx  4 x 3 dx  5 x dx  2 dx

PASO 3: Se integra cada una de éstas.

 1  51 3 x 5 dx  3   x  c1  5 1 PROFESOR: JULIO BARRETO

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TEMA II: INTEGRALES

 1  31 4 x 3 dx  4   x  c2  3 1  1  11 5 x dx  5   x  c3  11 2 dx  2 x  c4 PASO 4: Se sustituyen los valores, tomando en cuenta que c  c1  c2  c3  c4 .

 3x



 4 x 3  5 x  2 dx 

3 6 4 4 5 2 x  x  x  2x  c 6 4 2

PASO 5: Finalmente se simplifica el resultado.

 3x



 4 x 3  5 x  2 dx 

1 6 5 x  x 4  x 2  2x  c 2 2

Para verificar el resultado, se deriva el polinomio y se obtiene el integrando.

d 1 6 5 2 5  1 4 5 3  x  x  x  2 x  c   6x  4 x  (2) x  2  0 dx  2 2 2  2 Simplificando se obtiene:

d 1 6 5 2  4 5 3  x  x  x  2 x  c   3x  4 x  5 x  2 dx  2 2  Analiza los siguientes procedimientos para calcular integrales indefinidas trascendentes. 3. Calcula la integral indefinida  sen x dx y realiza la comprobación. PASO 1: Este tipo de integrales se resuelven de forma inmediata, por lo tanto:

 sen x dx  cos x  c PASO 2: Se realiza la comprobación derivando el resultado.

d d d (cos x  c)  cos x  c  sen x  0  sen x dx dx dx Ahora resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las propiedades de la integral indefinida. PROFESOR: JULIO BARRETO

MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA II: INTEGRALES 4. Calcula la integral indefinida  3x dx PASO 1: Este tipo de integrales se resuelven de forma inmediata, perteneciente al caso en el que a  3. Por tanto:  3x dx 

3x C ln 3

PASO 2: Realiza la comprobación derivando el resultado. 5. Probar la certeza de la igualdad

 1 x



1 1 x ln C 2 1 x

Para lo cual basta demostrar que la derivada de la función

1 1 1 x . ln  C es 1 x2 2 1 x

EJERCICIOS:

 9x  3x  8x  4 dx y realiza la comprobación. Calcula la integral  cos x dx y realiza la comprobación. 3

a) Calcula la integral b)

c) Analiza con atención cada uno de las siguientes expresiones y calcula las integrales aplicando el método de integración respectivo. 1.

 x



 2 x 3  x 2  x  7 dx

 3 6 2    2 x  5 x  8x  dx 1 3 2 3.   x 2  x   dx 4 2 3 4.  x 3  4 x 2  30 dx 2.





 2x

 x 2 dx

3

7. 8. 9.

  x  2x  1dx  x  13x  2 dx  x  6x  9 dx 3

d) Analiza las siguientes expresiones y aplicando el procedimiento adecuado, calcula las integrales trascendentes. 10.  (e x  2 x) dx 11.

 x dx

12.  2 sec 2 x dx

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13.

 5 cos x dx

14.



15.

sen x dx 3 8  3x dx

MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA II: INTEGRALES TABLA DE COMPROBACIÓN Número de pregunta 1.

Respuesta correcta

 x



 2 x 3  x 2  x  7 dx 



  2 x

6 1 2   x 2  8x dx  x 4  x 3  4 x 2  c 5 2 5 

2

  3 x

 (x



1 3 2 1 3 x  dx  x 3  x 2  x  c 4 2 9 8 2

 4 x 2  30)dx 

 2x

dx   x 2  c 5

2  x dx  5 x 2  c

 x



10.

3

1 4 4 3 x  x  30 x  c 4 3

3 2

1 5 1 4 1 3 1 2 x  x  x  x  7x  c 5 2 3 2



1 5 x  2x 3  9x  c 5



2 2 x  x2  x  c 3

 6 x 2  9 dx 

x  2 x  1 dx 

 x  13x  2dx  x

 e



1 2 x  2x  c 2



 2 x dx  e x  x 2  c 1

 x dx  ln x  c

11. 12.

 2 sec

13.

 5 cos x dx  5 sen x  c

14.



15.

PROFESOR: JULIO BARRETO

x dx  2 tan x  c

sen x 1 dx   cos x  c 3 3 8 8  3x dx  3 ln x  c

MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA II: INTEGRALES La utilización de estas dos propiedades constituye el llamado MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN en el que como principio conviene descomponer el integrando lo más posible, aplicando las propiedades anteriores; a veces, conviene hacer un hábil manejo de constantes, sumar y restar una misma cantidad ó multiplicar y dividir por un mismo número. EJEMPLO: Justificar cada paso.

x3  7x 7 1 1 1 2  x 2 dx   xdx   x dx  2   2xdx  7   x dx  2  x  7  ln x  K 3.- CUADRO DE INTEGRALES INMEDIATAS. FORMAS

TIPOS

SIMPLES

COMPUESTAS n 1  x  a K  x  a  dx 

n 1

x K 1. Potencial (n-1)  x dx  n 1 1 2. Logarítmico  x dx  ln x  K

 e dx  e x

3. Exponencial

x  a dx 

n 1

 ax  b dx 

K

ax K ln a

9. Cosecante

 sen x dx   cos x  K  cos x dx  sen x  K  tanxdx  ln sec x  K  cot anxdx  ln sen x  K  sec x dx  tanx  K  cosec x dx   cot an x  K

10. Arco seno



4. Seno 5. Coseno 6. Tangente 7. Cotangente 8. Secante

11. Arco tangente 12. Arco secante

dx  arc sen x  K 1 x2 1  1  x 2 dx  arc tan x  K 1  x  x 2  1 dx  arc sec x  K

PROFESOR: JULIO BARRETO

MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA II: INTEGRALES Aunque no son inmediatas, hay algunas que aparecen con mucha frecuencia y conviene saber. Son las siguientes:

a

1 dx ,  x2

 ax

1 dx  bx  c

 ax

mx  n dx 2  bx  c

EJEMPLOS: Justificar cada paso.

1 1 1 1  1 1 1  x 2 dx   4 2 dx   2 2 2 dx    dx   atan   K . 1)  2 2 2 2 4 x 4 x 2  x  x 1   1   4 2 2

 4x

1 1 1 dx   2 dx   dx   4x  3 4x  4x  1  2 (2 x  1) 2  2 1 2 1 1  2x  1    dx    arctan  K 2 2 (2 x  1)  2 2 2  2 

x

2x  5 2x  3  8 2x  3 8 dx   2 dx   2 dx   2 dx   3x  1 x  3x  1 x  3x  1 x  3x  1

 tipo neperiano  tipo arco tangente EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE Consiste en sustituir la variable “ x ” por una nueva variable; veamos el siguiente: TEOREMA: Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada

de f . Entonces haciendo el cambio de variable u  g x, tenemos que:

 f g ( x)g ' ( x)dx   f (u)du  F (u)  c  F ( g ( x))  c Observa el siguiente ejemplo donde se aplica este método.

EJEMPLO: Evalúa la siguiente integral:

PROFESOR: JULIO BARRETO

 x



x 2  4 dx

MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA II: INTEGRALES PASO 1: Se hace el cambio de variable, tomando u  x 2  4 , entonces la derivada de

u es:

du  2 x dx PASO 2: Se sustituyen estos valores en la integral, esto es:

 x



du 2

x 2  4 dx   u 2

Observa que du  2 x dx y en el integrando sólo se tiene x dx , entonces

du  x dx . 2

1 se escribe fuera de la 2

PASO 3: Se aplican las propiedades de la integral; esto es, integral por ser una constante:





1 x x  4 dx   u 2 du 2 2

PASO 4: Se realiza la integral, obteniendo lo siguiente:

 3  1 1  2   1  u 2 1 1 u u du   c  2 3 2 2 1  1   2  2  1 2

 3 3   c  2u2  c  1u2  c  6 3  

PASO 5: Se hace el cambio de variable de u  x 2  4 y se sustituye en el resultado:

 x



x 2  4 dx 





3 1 1 2 x 4 2 c  3 3

x



4 c

Más adelante desarrollaremos otros ejemplos donde se aplique este método. EJERCICIOS: Lee con atención los siguientes reactivos y resuelve lo que se pide. I.- Aplica el método de sustitución y evalúa las siguientes integrales, escribe tu desarrollo y la solución. 5 4 4. x 2 x 3  5 dx  1.  x  1 dx  2. 3.

    3x  9 dx  6

x

ex  1  2e x dx 

PROFESOR: JULIO BARRETO

 sen

x cos x dx 

3x dx  9

MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA II: INTEGRALES TABLA DE COMPROBACIÓN Número de pregunta

Respuesta correcta du u  x 3  5 du  3x 2 dx  x 2 dx 3 4 5 1 3 2 3  x x  5 dx  15 x  5  c du u  3x  9 du  3dx  dx 3 1 6 7  3x  9 dx  21 3x  9  c du u  1  2e x du  2e x dx  e x dx 2 ex 1 x  1  2e x dx  2 ln 1  2e  c u  x  1 du  dx 1 5 6  x  1 dx  6 x  1  c









u  sen x

du  cos x dx 1 3 4  sen x dx  4 sen x  c du u  x 2  9 du  2 x dx  x dx 2 3x 3 2  x 2  9 dx  2 ln x  9  c

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES El método de integración por partes se basa en la integración de la fórmula derivada del producto de dos funciones. Veamos el siguiente procedimiento para obtener la fórmula de integración por partes: Sea u  ux  y v  vx , entonces:

Dx u( x)v( x)  u( x)v' ( x)  v( x)u' ( x) Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la siguiente expresión:

u( x)v( x)   u( x)v' ( x) dx   v( x)u' ( x) dx Despejando la primera integral tenemos:

 u( x)v' ( x) dx  u( x)v( x)   v( x)u' ( x) dx PROFESOR: JULIO BARRETO

MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA II: INTEGRALES Sí dv  v' ( x) dx y du  u ' ( x) dx , entonces la ecuación anterior se puede escribir de la forma siguiente:

 u dv  u v   v du La cual es la fórmula para integrar por partes. El éxito de éste método, depende de la elección apropiada de u y dv , lo cual se consigue solamente con la práctica. EJEMPLO: Para aplicar este método, vamos a evaluar la siguiente integral:

 x cos x dx PASO 1: Se escribe x cos x dx como el integrando de esta integral es u dv ; entonces:

u  x y du  dx PASO 2: Si dv  cos x dx , entonces, para encontrar v se integran ambos lados, obteniendo:

 dv   cos x dx , entonces v  sen x  c PASO 3: Los valores de u, du, dv y v se sustituyen en la fórmula, quedando de la siguiente manera:

 x cos x dx  x sen x   sen x dx La integral de

 sen x dx   cos x  c ,

sustituyendo este resultado en la integral

anterior, se obtiene el resultado.

 x cos x dx  x sen x  cos x  c Recuerda que las constantes de integración están incluidas en “c”. EJERCICIOS: Aplica el método de integración por partes y calcula las siguientes integrales.

1. 2.

 x sen x dx   ln x dx 

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3. 4.

 x e dx   4x cos x dx  2 x

MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA II: INTEGRALES TABLA DE COMPROBACIÓN Número de pregunta

Respuesta correcta u  x du  dx dv  sen x dx v   cos x  x sen x dx   x cos x  cos x  c

u  ln x 2

u  x2

1 dx dv  dx x  ln x dx  x ln x  x  c du 

du  2 xdx

dv  e x dx

 x e dx  x e   e 2

vx

v  ex

2 x dx

La integral del lado derecho se realiza otra vez por partes, esto es: u1  2x du1  2dx dv1  e x v1  e x

 x e dx  e x 2

u  4x



 2x  2  c

du  4dx dv  cos x dx v  sen x  4x cos x dx  4x sen x  4 cos x  c

INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA Si a 2  u2 ,

el u2  a 2

integrando o

contiene

una

expresión

forma:

a 2  u 2 Elevada a cualquier exponente, la integración se realiza

mediante una sustitución trigonométrica, de acuerdo con la siguiente tabla:

EJEMPLO: Resuelve la siguiente integral: I   PROFESOR: JULIO BARRETO

25  x 2 dx MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA II: INTEGRALES SOLUCIÓN: El cambio a realizar en este tipo de integrales es x  5 sen t

dx  5 cost.dt;

25  x 2  25  (5sent ) 2  25(1  sen 2t )  5 cost

Entonces: I 

 5 cos t.5 cos t.dt  25 cos tdt. (*)

Hacemos I 1 

 cos

cos t  u;

I 1  sen t. cos t 

tdt y la resolvemos por partes:

cos t.dt  dv ;

 sen

t.dt  sen t. cos t 

 sen t.dt  du;

 (1  cos

 cos t.dt  sen t

t )dt  sen t. cos t 

Es decir, I1  set.cost  t  I1 ; y por tanto, I 1  Resultado que llevado a (*) nos da I 

v

t.dt

sen t. cos t  t 2

25 ( sent. cost  t ) . Si deshacemos el cambio de 2

x 5

variable: sen t  ; y de la relación sen 2 t  cos 2 t  1, sale que cos t  Finalmente queda: I 

 dt   cos

25  x 2 5

1 25 x x 25  x 2  arcsen  C 2 2 5

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Halla el valor de la siguiente integral: I 

2. Resuelve: I 



7  6x  x 2



3. Demostrar que 4. Resuelve 

2 x 4 2

1 x a 2



a a  x2 2

dx  ln x  x 2  a  C

dx 

PROFESOR: JULIO BARRETO

MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA II: INTEGRALES

5. Resuelve:

x

dx   8 x  20 TABLA DE COMPROBACIÓN

Número de pregunta

Respuesta correcta

x Buscando el arco seno resulta: I  a. arcsen  C a

b Eliminamos el término en x haciendo el cambio x  t  . 2 Después buscamos el arco seno y se obtiene I  arcsen

Hágase el cambio

x 3 C 4

x2  a  t  x

2 ln x  x 2  4  C

1 x4 arctg 2 2

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

P( x) donde P(x) y Q(x) son Q( x) funciones polinómicas y están definidas en todos los puntos de R menos en aquellos donde se anula el denominador. Las funciones racionales son de la forma f ( x) 

NOTA IMPORTANTE: Las integrales de muchas funciones racionales pueden calcularse directamente; por eso, hay que comprobar primero si el integrando pertenece a alguno de estos tipos: a) b) c) d)

Forma potencial Forma neperiana Forma arco tangente Forma neperiano-arco tangente

Vistos con anterioridad. Si no corresponde a ninguno de estos tipos, lo que haremos será transformar nuestra función racional en una suma de fracciones que tienen por denominador polinomios de primer o segundo grado irreducibles (descomposición en fracciones simples). PROFESOR: JULIO BARRETO

MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA II: INTEGRALES Estudiaremos solamente el caso en el que todas las raíces del denominador sean reales puesto que es el único caso que exigen en Selectividad. El esquema de descomposición en fracciones simples es el siguiente:

P( x) A B C     ....................( factores lineales simples) Q( x ) x  a x  b x  c M N    ........................( factor lineal doble) 2 ( x  m) xm P Q R    ........................( factor lineal triple) 3 2 ( x  p) ( x  p) x p  ......................................................................... Para la determinación de las constantes A, B, C,....,M, N,.....,P, Q,.... se hace lo siguiente: a) Se multiplica la igualdad anterior por Q (x ), obteniéndose la igualdad polinómica P(x)   b) Se dan valores numéricos en ambos miembros, tantos como constantes haya que determinar. Por comodidad se utilizan las raíces obteniéndose un sistema de ecuaciones. c) Se resuelve el sistema y las soluciones obtenidas se sustituyen en las fracciones simples. EJEMPLOS:

a) Calcular:

x

dx 4

SOLUCIÓN: Notemos que:

Px   1  2 Qx   x  4  x  2x  2 Ya que las raíces simple son: Qx   2,2

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MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA II: INTEGRALES La descomposición en fracciones simples, en este caso, es de la forma:

1 A B   x 4 x2 x2 2

Para determinar el valor de “ A ” y de “ B ” operamos las fracciones:

1  Ax  2  Bx  2 Dando a “ x ” los valores de las distintas raíces, en la igualdad anterior obtenemos los valores de los coeficientes: “ A ” y “ B ”.

x  2  1  A2  2  B2  2  1  4 A  A 

1 4

x  2  1  A 2  2  B 2  2  1  4 B  B 

1 4

Ahora ya podemos escribir la igualdad:

1 1 1 4 4   2 x 4 x2 x2 Por tanto la integral pedida se puede calcular como suma de dos inmediatas: 1 1 dx 1 dx 1 dx 1 1 4 dx    x 2  4  x  2  x 42 dx  4  x  2  4  x  2 dx  4 ln x  2  4 ln x  2  k

b) Calcular:

x

3x  5 dx  x2  x 1

SOLUCIÓN: Vamos a descomponer en fracciones simples la función racional:

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MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA II: INTEGRALES

f ( x) 

El denominador descomponer como:

f ( x) 

descompone

3x  5 x  x2  x 1 3

como

x  1x  12 ,

entonces

podremos

3x  5 A B C    2 2 x 1 x  x  x  1 x  1 ( x  1) 3

Multiplicando la igualdad anterior por x  1x  1 resulta: 2

3x+5=Ax-1 +Bx+1+Cx+1x-1 2

Dando valores:  Para x  1, tenemos 8=2 B  B=4.

1  Para x  1, tenemos 2=4 A  A= . 2  Para x  0, (por ejemplo) tenemos:

5=A+B-C  5 

1 9 9 1  4-C  5  -C  C   5  C=- . 2 2 2 2

Entonces tenemos que:

1 1 3x  5 2  4  2.  x 3  x 2  x  1 x  1 ( x  1) 2 x  1 Los factores simples así obtenidos son fácilmente integrables, pues serán de la forma potencial ó neperiana. En nuestro caso:

1 1 3x  5 4 2 dx  dx  dx   x 3  x 2  x  1  x  1  ( x 1) 2  x 21dx 1 4 1   ln x  1    ln x  1  K 2 x 1 2 PROFESOR: JULIO BARRETO

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TEMA II: INTEGRALES

EJERCICIOS: Resolver los siguientes integrales racionales:

x

2x 2  3 2

 5x

.dx

ii)

x

x 4  3x 3  5 2

 3x  2

.dx

iii )



x 4  2x  1 .dx x2

EJERCICIOS SOBRE FORMULAS DE RECURRENCIA

 sen x  cos xdx. 3

y calcular

 sen x  cos xdx

y calcular

 sen x  cos xdx.

x

 e x dx y calcular

4. Hallar la formula de recurrencia para calcular 3

 cosx dx.

5. Hallar la formula de recurrencia para calcular

x

2 n1

3. Hallar la formula de recurrencia para calcular

x

2. Hallar la formula de recurrencia para calcular 4

 sen x  cos xdx 2 m1

1. Hallar la formula de recurrencia para calcular

 senx dx.

x x

x

 e x dx

 cosx dx y calcular

 senx dx y calcular

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS  González, J., Ortiz, J., Acosta, A., Azocar, A. (1995). MATEMÁTICA I. Estudios Generales. Tomo II. Sexta Edición. UNA. Caracas, Venezuela.  Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición, Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.  Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición. Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela. Revisar en línea: https://es.khanacademy.org/search?page_search_query=integrales http://fooplot.com/?lang=es#W3sidHlwZSI6MCwiZXEiOiJ4XjIiLCJjb2xvciI6IiMwMDA wMDAifSx7InR5cGUiOjEwMDB9XQ-“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar.” Hipatia de Alejandría. PROFESOR: JULIO BARRETO

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