PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
TEMA II SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ANTECEDENTES HISTÓRICOS En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo1. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
a1 x b1 y c1 z d1 a 2 x b2 y c 2 z d 2 a x b y c z d 3 3 3 3 Este es un sistema con 3 ecuaciones lineales y 3 incógnitas, donde x, y, z son las incógnitas y los números ai , bi , ci con i 13 son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo de números reales. El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x, y y z que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo R, es decir, los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las ecuaciones son números reales. 1
A A,
En álgebra abstracta, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto
y
dos operaciones, llamadas usualmente suma y producto A, , , de modo que es un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), y el producto es asociativo y tiene la propiedad distributiva respecto de la suma. Si el producto es conmutativo hablaremos de un anillo conmutativo y si el anillo posee un elemento neutro para el producto, lo llamaremos anillo con unidad (a la que designaremos 1) o anillo unitario. El ejemplo más intuitivo de un anillo es el conjunto de los números enteros.
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TEMA II: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TIPOS DE SISTEMAS
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos: Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre: a) Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución. b) Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones. Sistema incompatible si no tiene solución. Quedando así la clasificación: Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor.
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TÉCNICAS DE RESOLUCIÓN 1) RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN: Se efectúan los siguientes pasos: a) Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. b) Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. c) Se resuelve la ecuación. d) El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. e) Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Vamos a explicarlo a través de un ejemplo: Tenemos que resolver el sistema:
4 x 3 y 22 2 x 5 y 18 Esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales se conoce su ecuación. Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema equivalente (en este caso elegimos y ):
22 4 x y 3 18 2 x y 5 Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundos también lo son, por lo tanto:
22 4 x 18 2 x 3 5 Luego: 5 22 4 x 3 18 2 x
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Esto es:
110 20 x 54 6 x 20 x 6 x 54 110 14 x 56 x
56 14
x4 Reemplazamos el valor de segunda):
x
obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la
y Operamos para hallar el valor de
18 24 5
y: 18 8 5 10 y 5 y2 y
Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente x, y 4,2 :
44 32 16 6 22 24 52 8 10 18 Ahora sí, podemos asegurar que:
x 4 e y 2.
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EJERCICIO: Realice este mismo reemplazando en las dos ecuaciones.
ejemplo
despejando
x
al
comienzo
y
2) RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN:
Se efectúan los siguientes pasos:
a) Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. b) Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita. c) Se resuelve la ecuación. d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. e) Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Vamos a explicarlo a través del mismo ejemplo: Tenemos que resolver el sistema:
4 x 3 y 22 2 x 5 y 18 Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primera ecuación):
y
22 4 x 3
Y la reemplazamos en la otra ecuación:
22 4 x 2 x 5 18 3 Operamos para despejar la única variable existente ahora:
2x
110 20 x 18 3
Esto es:
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110 20 x 18 3 3 20 x 110 2x 18 3 3 6 x 20 x 54 110 3 3 14 x 56
2x
56 14 x4 x
Reemplazamos el valor de arbitrariamente la primera):
x
obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos
44 3 y 22 16 3 y 22 3 y 22 16 3y 6 6 3 y2 y
Hallamos la respuesta x 4, y 2, obviamente igual que en el caso anterior. NOTA: No verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta. EJERCICIO: Realice este mismo ejemplo despejando
x
al comienzo.
3) RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN: Se efectúan los siguientes pasos: a) b) c) d) e)
Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. Se resuelve la ecuación resultante. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
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Vamos a explicarlo a través del mismo ejemplo: Tenemos que resolver el sistema:
4 x 3 y 22 2 x 5 y 18 El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas aditivas, sabiendo que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número. NOTA: También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad. Si se quiere eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación, para que al sumarla a la primera se obtenga cero? La respuesta es -2. Veamos:
4 x 3 y 22 2 x 5 y 18 Por 2 Con lo que obtenemos:
4 x 3 y 22 4 x 10 y 36 -7 y -14 Y la sumamos la primera obteniéndose:
14 7 y2 y
Reemplazar el valor obtenido de
y
en la primera ecuación:
4 x 32 22 Y finalmente hallar el valor de
x:
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4 x 6 22 4 x 22 6 4 x 16 16 4 x4 x
Hallamos la respuesta x 4, y 2, obviamente igual que en el caso anterior. Y no verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta. EJERCICIO: Realice este mismo ejemplo pero eliminando
y.
Geométricamente ocurre que:
4) RESOLUCIÓN GRÁFICA: Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos: Se despeja la incógnita ( y ) en ambas ecuaciones. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
En este último paso hay tres posibilidades:
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a) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas
x, y . "Sistema compatible determinado".
b) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. "Sistema compatible indeterminado". c) Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. "Sistema incompatible". EJEMPLO: Entre Adriana y Carlos tienen 600 Bs, pero Carlos tiene el doble de Bs que Adriana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? SOLUCIÓN: Llamemos "
x " al número de Bs de Adriana y " y " al de Carlos.
Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 lempiras, esto nos proporciona la ecuación x y 600. Si Carlos tiene el doble de lempiras que Adriana, tendremos que y 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:
x y 600 2x y 0 Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:
y x 600 y 2x Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores: x
200
600
x
100
200
y x 600
400
0
y 2x
200
400
Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes “X” y "Y", podemos ya representar gráficamente:
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DESCRIPCIÓN DE LA GRAFICA: Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x 200 e y 400. La respuesta del problema planteado es que: x 200 (Adriana) y 400 (Carlos) . EJERCICIO PROPUESTO: Resuelve por los cuatro métodos anteriores:
3 1 x y 4 2 4 4 x 8 y 40 5) MÉTODO DE GAUSS: Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente. 1. Ponemos como primera ecuación la que tenga como coeficiente de x : 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas. 2. Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación. 3. Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x. 4. Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y. 5. Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
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6. Encontrar las soluciones. EJEMPLO:
3x 2 y z 1 5 x 3 y 4 z 2 x y z 1 1. Ponemos como primera ecuación la que tenga como coeficiente de x : 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z , cambiando el orden de las incógnitas.
x y z 1 3x 2 y z 1 5 x 3 y 4 z 2 2. Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
E'2 = E 2 - 3E1 3x 2 y z 1 3 x 3 y 3 z 3 y 4 z 2 3. Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en
x.
E'3 = E3 - 5E1 5x 3 y 4 z 2 5 x 5 y 5 z 5 2 y 9 z 3 Quedándonos:
x y z 1 y 4 z 2 2 y 9 z 3
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4. Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.
E' '3 = E'3 - 2E' 2 2 y 9 z 3 2 y 8z 4 z 1 5. Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
x y z 1 y 4 z 2 z 1 6. Encontrar las soluciones. En la 3ª ecuación tenemos que: z 1 Sustituyendo este valor en la 2ª ecuación:
- y + 4 ·1 = -2 -y 4 =-2 y 2 4 y 6 y6 Y ahora, sustituyendo estos valores en la 1ª ecuación:
x + 6 -1 = 1 x 5 1 x 1-5 x = -4 La solución viene dada por: z 1, y 6 e x 4. OBSERVACIÓN: Comúnmente el método es llamado Gauss Simple. 6) RESOLUCIÓN POR DETERMINANTE:
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REGLA DE CRAMER La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729). La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD. Ahora, definamos un determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:
O tomemos en cuenta que sea una matriz A aij n n . n
Si n 1, definimos det A a11. Si n 2, definimos det A 1
1 j
j 1
Es decir, sabemos que un determinante se representa como: siguiente manera:
a
b
c
d
a1 j detA1 j .
se calcula de la
ad bc
a1 x b1 c1 Sea el sistema: a 2 x b2 c2
El valor de x e y están dados por: x
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c1
b1
c2 a1
b2 b1
a2
b2
13
e
y
a1
c1
a2 a1
c2 b1
a2
b2
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4 x 3 y 22 2 x 5 y 18
Resolvamos el sistema:
Luego, de acuerdo con lo anterior tenemos que:
x
c1
b1
c2 a1
b2 18 5 110 54 56 4 b1 4 3 20 6 14 b2 2 5
a2
y
22 3
a1
c1
a2 a1
c2 2 18 72 44 28 2 b1 4 3 20 6 14 b2 2 5
a2
4 22
El punto de intersección de las rectas dadas es {(4, 2)} n
Y de manera general de la forma det A 1
i j
j 1
aij detAij .
Es decir, también podemos resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas usando generalizando la RESOLUCIÓN POR DETERMINANTE. La regla para un sistema de 3x3, con una división de determinantes:
ax by cz j dx ey fz k gx hy iz l Luego,
x, y , z
pueden ser encontradas como sigue:
x
j b
c
a
j
c
a
b
k
f
d
k
f
d
e k
l h a b
i g , y c a
l b
i g h l z c e a b c
d
e
f
d
e
f
d
e
f
g
h
i
g
h
i
g
h
i
e
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j
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3x 2 y z 1 2x z 2 EJEMPLO: Dado el sistema de ecuaciones lineales: x y 2 z 4 Los valores de
x, y e z serían los que nos den al resolver:
x
1 2 1
3
1 1
3
2 1
2 0 1
2
2 1
2
0 2
1 4 2 1 4 1 2 , y z 3 2 1 3 2 1 e 3 2 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2 1
1 4 2 1 0 1 1 2
EJERCICIO: Realizar los cálculos anteriores.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Resuelve los siguientes sistemas usando los métodos de igualación, sustitución, reducción y grafico:
a)
x y 8
4 x 3 y 10
3 x 4 y 6 2 x 4 y 16
b)
3 19 2 5 x 4 y 10 c) 3 4 41 x y 5 35 7
d) La suma de las edades de 2 niños es 8 años, el triple de uno más el doble del otro es 23 años” Hacer el sistema y encontrar las edades de los niños. 1. Resuelve los siguientes usando los métodos de Gauss Simple y la regla de Cramer :
2,5 x 0,5 y 1,5 z 3 5x 3 y z 1 2x y 2z 6 a) x 4 y 6 z 1 b) 3 x 2 y z 4 c) 3,5 x 1,5 y 0,5 z 6 0,75 x 3,5 y 0,75 z 7 2 x 3 y 4 z 9 4 x 3 y 3 z 1 d) Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo,
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sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche. e) Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que: El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las películas. El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del total de las películas. Hay 100 películas más del oeste que de infantiles. Halla el número de películas de cada tipo. f) Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada vértice se dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de los radios de las circunferencias. ANEXO I: SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos: 1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado. 2. Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.
x 2 y 2 25 EJEMPLO: Resuelve el sistema x y 7 SOLUCIÓN: 1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado: y 7 x 2. Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación: x 7 x 25 3. Se resuelve la ecuación resultante. 2
2
x 2 + 49 - 14 x + x2 = 25 o equivalentemente x 2 - 7 x + 12 = 0 Luego, usando la resolvente de la ecuación de segundo grado:
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x
b b2 4 a c 2a
Tomando a 1, b 7, c 12, tenemos que:
x
7
72 4 1 12 2 1
De aquí obtenemos: x1
7 49 48 7 1 7 1 2 2 2
7 1 8 7 1 6 4 y x2 3 2 2 2 2
4. Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.
x=3 x=4
y= 7 - 3 y =7 - 4
y=4 y =3
EJERCICIOS: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
x y 8 a) x y 12
x 2 y 2 169 b) x y 17
1 1 y2 2y 1 x x 2 y 2 13 c) d) x y5 1 1 x
y
1
e) El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números? f) Halla una fracción equivalente a
5 cuyos términos elevados al cuadrado sumen 7
1184 g) El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números? ANEXO II: APLICACIONES EN FÍSICA: LEYES DE KIRCHOFF LEY DE LOS NUDOS: La suma algebraica de las intensidades que concurren en un nudo de una red es igual a 0.
I
i
I1 I 2 I n 0.
Adoptaremos el siguiente criterio de signos: - Intensidades entrantes al nudo: Signo +
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- Intensidades salientes del nudo: Signo – OBSERVACIÓN: La ley se basa en el principio de la conservación de la carga donde la carga en coulombs es el producto de la corriente en amperios y el tiempo en segundos. Por ejemplo: Dado el siguiente nudo de una red, halla la intensidad que circula por el cable I 4 . I4
2A
1A
3A
LEY DE LAS MALLAS: La suma algebraica de las caídas de potencial a lo largo de una malla es igual a la suma algebraica de las fuerzas electromotrices y contraelectromotrices que en ella se encuentran.
I .R i
i
i
EJERCICIO: Considere el circuito de la figura:
Verifique que aplicando la ley de Kirchhoff que para la malla de la izquierda obtenemos que 9 i1 – 3i2 = 42 y para la malla derecha -3 i1 + 7 i2 = 10.Y concluya que la solución de este sistema de ecuaciones es: i1 = 6 A, i2 = 4 A EJERCICIO: Encontrar i1 e i2 en el circuito:
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ANEXO III: APLICACIÓN EN QUÍMICA (BALANCEO) BALANCEO DE UNA ECUACIÓN QUÍMICA
Balancear una ecuación significa que debe de existir una equivalencia entre el número de los reactivos y el número de los productos en una ecuación. Lo cual, existen distintos métodos, como los que veremos a continuación: Para que un balanceo sea correcto: “La suma de la masa de las sustancias reaccionantes debe ser igual a la suma de las Masas de los productos”. Esta es la Ley de la conservación de las masas. EJEMPLO: Balancear H 2 SO4 CaOH 2 CaSO4 H 2O consiste en hallar
los valores de x, y, z , u tal que: xH 2 SO4 yCaOH 2 zCaSO4 uH 2O . Quede balanceada analíticamente y no por simple tanteo.
SOLUCIÓN: Se trata de balancear la ecuación por métodos matemáticos, luego por la ley de conservación de la masa, tenemos que: Para el hidrógeno: 2 x 2 y 2u Para el azufre: x z Para el oxígeno: 4 x 2 y 4 z u Para el calcio: y z Lo que nos plantea el siguiente sistema homogéneo:
2 x 2 y 2u 0 o mejor : x y u 0 xz0 4x 2 y 4z u 0 yz0 PROFESOR: JULIO C BARRETO G
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Hallando el determinante en la segunda columna de la matriz de los coeficientes, teniendo en cuenta que allí es donde hay mayor cantidad de ceros (0) que pueden hacernos reducir las cuentas, tenemos que de acuerdo con su determinante es 0. Así, tenemos que el sistema tiene solución no trivial de acuerdo con el LEMA. Ahora, calculemos por Gauss según el sistema de ecuaciones:
x y 0 z w 0 E1 x 0 y z 0w 0 E 2 0 x y z 0 w 0 E 3 Luego nos queda:
tH 2 SO4 tCaOH 2 tCaSO4 2tH 2O . Haciendo
t 1, queda: H 2 SO4 CaOH 2 CaSO4 2 H 2O EJERCICIOS:
1. Balancee: NH 3 O2 H 2O NO usando sistemas de ecuaciones. 2. Balancee usando sistemas de ecuaciones:
K 2Cr2O7 H 2 S H 2 SO4 K 2 SO4 Cr2 SO4 3 S H 2O REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Anton, H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Tercera Edición. Editorial Limusa, S. A de C. V. Noriega Editores. México. Barreto J. (2016). Álgebra Lineal (Aplicaciones a las Ciencias y a la Ingeniería). Autores Editores. Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos eléctricos, al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones y la programación lineal. Colección de Universitaria. (1). https://www.createspace.com/5230822 Grossman S. Stanley I. (2008). Álgebra Lineal. The McGraw-Hill Companies, Inc. Sexta Edición. México D. F Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera reimpresión 2007. Caracas, Venezuela. Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial Reverté. Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F
“El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia ignorancia” Siddhartha
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