CALVIN C CLAWSON - H μαγεία των μαθηματικών

K E º A § A I O

1

¶ÚÒÈÌË Ì¤ÙÚËÛË

T

· Ì·ıËÌ·ÙÈο ÍÂΛÓËÛ·Ó Ì ÙËÓ Î·Ù·Ì¤ÙÚËÛË Î·È ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. °È· Ó· ηٷÓÔ‹ÛÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ ÙȘ Ú›˙˜ ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Ú¤ÂÈ Ó· ¿Ì ÛÙÔ ·ÚÂÏıfiÓ, ÙfiÙ Ô˘ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËÎ·Ó ÁÈ· ÚÒÙË ÊÔÚ¿ – Ú¿ÁÌ· Ô˘ ·ÔÙÂÏ› ‰‡ÛÎÔÏÔ ÂÁ¯Â›ÚËÌ·. EÈϤÔÓ ÙÔ Ù·Í›‰È ·˘Ùfi ı· Ì·˜ ‚ÔËı‹ÛÂÈ Ó· ·Ó·Î·Ï‡„Ô˘Ì ·Ó Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο Â›Ó·È ‰Â˘ÙÂÚ‡ÔÓ ·ÓıÚÒÈÓÔ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi, ‰ËÏ·‰‹ οÙÈ Ô˘ ÂÈÓÔ‹Û·ÌÂ Ù˘¯·›·, ‹ ·Ó ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Ú¿ÁÌ·ÙÈ ‚·ÛÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ù˘ ʇÛ˘ Ì·˜. AÓ Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο Â›Ó·È ıÂÌÂÏÈ҉˜ ̤ÚÔ˜ Ù˘ ·ÓıÚÒÈÓ˘ ʇÛ˘ Ì·˜, ÂÓ‰˘Ó·ÌÒÓÂÙ·È Ë ÂÔ›ıËÛ‹ Ì·˜ fiÙÈ Ú¤ÂÈ Î·È ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Â›Ó·È ·fiÏ·˘ÛË ÁÈ· ÌÂÁ¿ÏÔ Ê¿ÛÌ· Ù˘ ÎÔÈÓˆÓ›·˜ Ì·˜, Î·È fi¯È ÌfiÓÔ ÁÈ· ÌÂÚÈÎÔ‡˜ «ÁÂÓÂÈÔÊfiÚÔ˘˜ ÁËÚ·ÈÔ‡˜ ΢ڛԢ˜».

H ηٷÓfiËÛË ÙˆÓ ËÁÒÓ Ù˘ ·Ú›ıÌËÛ˘ ı· Ì·˜ ‰È¢ÎÔχÓÂÈ Ó· ηٷÓÔ‹ÛÔ˘Ì ÙË Ê‡ÛË ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È ı· Ì·˜ ‚ÔËı‹ÛÂÈ Ó· ÂÓÙÔ›ÛÔ˘Ì ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÂΛӘ Ô˘ ÚÔοÏÂÛ·Ó ÙË ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›· ÙÔ˘˜. TÔ ÚÒÙÔ Î›ÓËÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘ ÁÈ· ÙË ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›· ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È Ë ·Ó¿ÁÎË ÙÔ˘ Ó· ÁÓˆÚ›˙ÂÈ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÌÈ·˜ ÔÌ¿‰·˜ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ӈÓ. M ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, Ó· ÁÓˆÚ›˙ÂÈ fiÛ· ·˘Á¿ ¿È·˜ Ú¤ÂÈ Ó· ÌÔÈÚ·ÛÙÔ‡Ó Û οı ̤ÏÔ˜ Ù˘ ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ·˜ ‹ ·ÎfiÌ· fiÛ˜ ̤Ú˜ Ú¤ÂÈ Ó· ÂÚ¿ÛÔ˘Ó Ì¤¯ÚÈ Ó·

25

H MA°EIA TøN MA£HMATIKøN

26

ÊÙ¿ÛÂÈ Ë Ê˘Ï‹ ÛÙÔÓ ÂfiÌÂÓÔ ÓÂÚfiÏ·ÎÎÔ. ¶fiÛ˜ ̤Ú˜ ̤ÓÔ˘Ó Ì¤¯ÚÈ Ó· ÌÂÁ·ÏÒÛÂÈ Ë Ë̤ڷ Î·È Ó· ÌÈÎÚ‡ÓÂÈ Ë Ó‡¯Ù·; ¶fiÛ˜ ÎÂʷϤ˜ ·fi ‚¤ÏË Ó· ·ÓÙ·ÏϿ͈ Ì ·˘Ùfi ÙÔ Î·Ófi; H ÁÓÒÛË ÙÔ˘ ÙÚfiÔ˘ Ó· ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÌÈ·˜ ÔÌ¿‰·˜ ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ ı· ‹Ù·Ó Û›ÁÔ˘Ú· ÌÂÁ¿ÏË ‚Ô‹ıÂÈ· Û fiϘ ÙȘ ÂÚÈÔ¯¤˜ Ù˘ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘. °È· Ó· ÙÔ ÂÈÙ‡¯Ô˘Ì ·˘Ùfi ··ÈÙÂ›Ù·È Ë ‰È·‰Èηۛ· Ù˘ ηٷ̤ÙÚËÛ˘, ·˘Ùfi Ô˘ ÔÈ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ› ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ó ·ÌÊÈÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙË ·ÂÈÎfiÓÈÛË (‹ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ¤Ó· ÚÔ˜ ¤Ó·). ŸÙ·Ó οÓÔ˘Ì ηٷ̤ÙÚËÛË Ì ٷ ‰¿¯Ù˘Ï·, ·ÓÙÈÛÙÔȯԇÌ ¤Ó·Ó ÌÔÓ·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi Û οıÂ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ‰¿¯Ù˘ÏÔ. ÕÚ·, fiÙ·Ó ÙÂÏÂÈÒÛÔ˘ÌÂ, ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÚÒÙ˜ ‰¤Î· ·ÚÈıÌÔϤÍÂȘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ‰¤Î· Ì·˜ ‰¿¯Ù˘Ï·. H ÛÂÈÚ¿ Ô˘ ÙËÚԇ̠¤¯ÂÈ ÌÂÁ¿ÏË ÛËÌ·Û›·, ÁÈ·Ù› ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙ÂÈ fiÙÈ Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·ÚÈıÌÔϤÍË Ô˘ ÂÎʈÓԇ̠·ÔÙÂÏ› ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘. H ηٷ̤ÙÚËÛË ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ ·ÔÙÂÏ› ̤ÙÚÔ ÙÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÙÔ˘. ŸÙ·Ó ηٷÌÂÙÚԇ̠ÌÂ Ê˘ÛÈÎfi ÙÚfiÔ Ù· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ ‹ ÌÈ·˜ ÔÌ¿‰·˜ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ӈÓ, Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈԇ̠ÙËÓ ›‰È· ·ÂÈÎfiÓÈÛË. ¢Â›¯ÓÔ˘Ì Ì ÙÔ ‰¿¯Ù˘Ïfi Ì·˜ ¤Ó· ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ Î·È Ï¤Ì ÙËÓ Î·Ù¿ÏÏËÏË ·ÚÈıÌÔϤÍË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙÔ ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ ÛÙËÓ ·ÎÔÏÔ˘ı›· ·ÚÈıÌÔϤ͈Ó. ŸÙ·Ó ÙÂÏÂÈÒÛÔ˘ÌÂ, Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·ÚÈıÌÔϤÍË Ô˘ ϤÌ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙË ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Î·Ù·Ì¤ÙÚËÛË ÙÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÙˆÓ ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘. Afi ·˘Ù‹ ÙË ı·˘Ì¿ÛÈ· ‰È·‰Èηۛ· ηٷ̤ÙÚËÛ˘ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: 1, 2, 3, 4, 5, ... OÈ ÙÚÂȘ ÙÂÏ›˜ (...) ÌÂÙ¿ ÙÔ 5 ϤÁÔÓÙ·È «·Ú¿ÏÂÈ„Ë» Î·È ‰Â›¯ÓÔ˘Ó fiÙÈ, ‰˘ÓËÙÈο, Ë Î·Ù·Ì¤ÙÚËÛË ÌÔÚ› Ó· Û˘Ó¯ÈÛÙ› ÛÙÔ ¿ÂÈÚÔ.

H ·Ú¯·ÈfiÙÂÚË ¿ÌÂÛË ¤Ó‰ÂÈÍË ··Ú›ıÌËÛ˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ‰˘Ô ÎfiηϷ ˙ÒˆÓ Ô˘ ʤÚÔ˘Ó Û·Ê‹ ›¯ÓË ÔÌ·‰ÔÔÈËÌ¤ÓˆÓ ÂÁÎÔÒÓ. TÔ ¤Ó· Â›Ó·È ÌËÚÈ·›Ô ÔÛÙfi ‚·‚Ô˘›ÓÔ˘ ËÏÈΛ·˜ ÂÚ›Ô˘ 35.000 ¯ÚfiÓˆÓ ·fi Ù· fiÚË §ÂÌ¤ÌÔ Ù˘ AÊÚÈ΋˜ Î·È ÙÔ ¿ÏÏÔ Â›Ó·È ÎfiηÏÔ ·fi χÎÔ ËÏÈΛ·˜ ÂÚ›Ô˘ 33.000 ¯ÚfiÓˆÓ ·fi ÙËÓ TÛ¯›· (EÈÎfiÓ· 1). TÔ ÎfiηÏÔ ÙÔ˘ χÎÔ˘, Ô˘ ‚Ú¤ıËΠ۠¤Ó·Ó ·Ú¯·›Ô ·ÓıÚÒÈÓÔ ÔÈÎÈÛÌfi, ¤¯ÂÈ È‰È·›ÙÂÚÔ ÂӉȷʤÚÔÓ. Œ¯ÂÈ ¯·Ú·Á̤ӷ ÂÓ‹ÓÙ· ¤ÓÙ ÛËÌ¿‰È·, ÔÌ·‰ÔÔÈË̤ӷ Û ۇÓÔÏ· ÙˆÓ ¤ÓÙ ÛËÌ·‰ÈÒÓ. MÔÏÔÓfiÙÈ ÌÈ· ÂÔ¯‹ ÚÈÓ 33.000 ¯ÚfiÓÈ· Â›Ó·È ÌÈ· ÂÔ¯‹ Ôχ ÚÈÓ ÙÔ ÍÂΛÓËÌ· Ù˘ ÁˆÚÁ›·˜ (ÚÈÓ 10.000 ¯Úfi-

¶PøIMH METPH™H

18 cm 5

10

15

20

25

5

10 15

20

25

30

EIKONA 1. ™Î›ÙÛÔ ÙÔ˘ ÔÛÙÔ‡ χÎÔ˘, ËÏÈΛ·˜ 33.000 ÂÙÒÓ, Ô˘ ·Ó·Î·Ï‡ÊıËΠÛÙËÓ ÙfiÙ ∆Û¯ÔÛÏÔ‚·Î›· ÙÔ 1937 ·fi ÙÔÓ ¢fiÎÙÔÚ· K·ÚÏ ÕÌÛÔÏÔÓ. √È 55 ÂÁÎÔ¤˜ ‰Â›¯ÓÔ˘Ó fiÙÈ Ë Î·Ù·Ì¤ÙÚËÛË Û˘ÌÂÚÈÏ·Ì‚·ÓfiÙ·Ó ÛÙȘ ‰ÂÍÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ηٷÛ΢·ÛÙ‹ ÙÔ˘. ™Î›ÙÛÔ ÚÔÂÚ¯fiÌÂÓÔ ·fi ʈÙÔÁÚ·Ê›· ÙˆÓ §Ô‡ÎÔ˘˜ MÂÓÙ, º›ÏÈ T˙fiÔ˘Ó˜ Î·È T˙·Î M¤ÓÙÈÂÓÙ, The Historical Roots of Elementary Mathematics (IÛÙÔÚÈΤ˜ Ú›˙˜ ÙˆÓ ‚·ÛÈÎÒÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ), N¤· YfiÚÎË, ÂΉ. Dover, ÛÂÏ. 2.

ÓÈ·) Î·È ÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË fiψÓ, ·Ú¿ Ù·‡Ù·, ‰ÂÓ ·‡ÂÈ Ó· ·ÔÙÂÏ› ÂÔ¯‹ ÙÔ˘ ¿ÌÂÛÔ˘ ÚÔÁfiÓÔ˘ Ì·˜ ÙÔ˘ Homo sapiens sapiens, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ˘ Û‡Á¯ÚÔÓÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘. A˘Ù¿ Ù· ‰‡Ô ÔÛÙ¿ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ó fiÙÈ ÔÈ Î˘ÓËÁÔ›ÙÚÔÊÔÛ˘ÏϤÎÙ˜ ÚfiÁÔÓÔ› Ì·˜ ‹ÍÂÚ·Ó Ó· ÌÂÙÚÔ‡Ó.

E›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ë ·Ú›ıÌËÛË Ó· Â›Ó·È ·ÎfiÌ· ·Ï·ÈfiÙÂÚË; T· ·ÓıÚˆÔÂȉ‹ Ô˘ ˙Ô‡Û·Ó ÛÙËÓ E˘ÚÒË Î·È ÙË M¤ÛË AÓ·ÙÔÏ‹ ÚÈÓ ·fi ÙÔ˘˜ Û‡Á¯ÚÔÓÔ˘˜ ·ÓıÚÒÔ˘˜, ̤¯ÚÈ Î·È ÚÈÓ ·fi 130.000 ¯ÚfiÓÈ· ·fi Û‹ÌÂÚ·, ‹Ù·Ó ÔÈ N·ÓÙÂÚÙ¿ÏÈÔÈ. ™›ÁÔ˘Ú· ‰ÂÓ ‹Ù·Ó Û‡Á¯ÚÔÓÔÈ ¿ÓıÚˆÔÈ, ·ÏÏ¿ Ô ÂÁΤʷÏfi˜ ÙÔ˘˜ ‹Ù·Ó ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ·˘ÙfiÓ ÙÔ˘ Homo sapiens.

O ̤ÛÔ˜ fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ÂÁÎÂÊ¿ÏÔ˘ ÙˆÓ ÂÓ‹ÏÈÎˆÓ N·ÓÙÂÚÙ¿ÏÈˆÓ ‹Ù·Ó ÂÚ›Ô˘ 1.500 cm3 (ÂÚ›Ô˘ 1.350 ÁÚ·ÌÌ¿ÚÈ·), Û ۇÁÎÚÈÛË Ì ÙÔÓ ‰ÈÎfi Ì·˜ ÙˆÓ 1.300 cm3 (900 ÁÚ.). ¢ÂÓ ¤¯Ô˘Ì ¿ÌÂÛ˜ ·ԉ›ÍÂȘ fiÙÈ ÌÔÚÔ‡Û·Ó Ó· ÌÂÙÚÔ‡Ó, ·ÏÏ¿ ¤¯Ô˘Ì ·ÌÊÈÛ‚ËÙÔ‡ÌÂÓ˜ ÂӉ›ÍÂȘ fiÙÈ ›Ûˆ˜ Î·È Ó· ÌÔÚÔ‡Û·Ó. ◊Ù·Ó ·ÚÎÂÙ¿ Â˘Ê˘Â›˜ ÒÛÙ ӷ ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ó Î·Ù·Ê‡ÁÈ·, Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÙË ÊˆÙÈ¿, Ó· ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ó Û‡ÓıÂÙ· ÂÚÁ·Ï›· Î·È Ó· ı¿‚Ô˘Ó ÙÔ˘˜ ÓÂÎÚÔ‡˜ ÙÔ˘˜ Ì ÏÔ˘ÏÔ‡‰È·. ¶Èı·Ófiٷٷ Û˘ÌÌÂÙ›¯·Ó Û ıÚËÛ΢ÙÈΤ˜ ÙÂÏÂÙ¤˜.

TÔÓ AÚ›ÏÈÔ ÙÔ˘ 1996, Ô ŸÛÎ·Ú TfiÓÙÎÔÊ ·fi ÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘ X›ÓÙÂÓÌÂÚÁÎ ·Ó·Î¿Ï˘„ ¤Ó·Ó ¯·˘ÏÈfi‰ÔÓÙ· Ì·ÛÙfi‰ÔÓÙÔ˘ ËÏÈΛ·˜ 50.000

27

H MA°EIA TøN MA£HMATIKøN

¯ÚfiÓˆÓ, ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ›¯·Ó ¯·Ú·¯Ù› 16 ¢ı˘ÁÚ·ÌÌÈṲ̂Ó˜ Ô¤˜.1 O ›‰ÈÔ˜ ÈÛÙ‡ÂÈ fiÙÈ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÌÔ˘ÛÈÎfi fiÚÁ·ÓÔ. TÔ Î·Ù·Û··ÛÌ· ·˘Ùfi ÚÔËÁÂ›Ù·È Ù˘ ÂÌÊ¿ÓÈÛ˘ ÙÔ˘ Û‡Á¯ÚÔÓÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘ ÛÙËÓ E˘ÚÒË, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ô Ù¯ӛÙ˘ ‹Ù·Ó N·ÓÙÂÚÙ¿ÏÈÔ˜. ™Â ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔ N·ÓÙÂÚÙ¿ÏÈÔ ÔÈÎÈÛÌfi, ÔÈ ·Ú¯·ÈÔÏfiÁÔÈ ‚Ú‹Î·Ó ¤Ó· ÎÔ‡ÊÈÔ ÎfiηÏÔ ‰È¿ÙÚËÙÔ Ì¤¯ÚÈ ÙÔ Ì‰ԇÏÈ Ì Ô¤˜ Ô˘ ›¯·Ó Á›ÓÂÈ ÛÎfiÈÌ·. ÿÛˆ˜ Ó· ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ·˘Ïfi ÙˆÓ N·ÓÙÂÚÙ¿ÏȈÓ. A˘Ù¿ Ù· ÎfiηϷ Ê·›ÓÂÙ·È Ó· ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ó fiÙÈ ÔÈ N·ÓÙÂÚÙ¿ÏÈÔÈ Â›¯·Ó ÁÓÒÛÂȘ ÌÔ˘ÛÈ΋˜ – Ë ÔÔ›· ·ÔÙÂÏ› ·fiÏ˘Ù· ·ÓıÚÒÈÓÔ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi. MÔÚÔ‡Û·Ó Ó· ÌÂÙÚÔ‡Ó; ¢ÂÓ ÁÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ, Ú¿ÁÌ· Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ú¤ÂÈ Ó· ÂÚÈ̤ÓÔ˘Ì ̤¯ÚȘ fiÙÔ˘ οÔÈÔ˜ Ù˘¯ÂÚfi˜ ·Ú¯·ÈÔÏfiÁÔ˜ ·Ó·Î·Ï‡„ÂÈ ÌÈ· ¿ÌÂÛË ·fi‰ÂÈÍË.

AÓ ÔÈ N·ÓÙÂÚÙ¿ÏÈÔÈ Ú¿ÁÌ·ÙÈ Î·Ù·ÌÂÙÚÔ‡Û·Ó, Ë ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ηٷ̤ÙÚËÛ˘ ÌÔÚ› Ó· ÌÂÙ·ÙÔÈÛÙ› 130.000 ¯ÚfiÓÈ· ÛÙÔ ·ÚÂÏıfiÓ. E›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· Â›Ó·È ·ÎfiÌ· ·Ú¯·ÈfiÙÂÚË; ŒÓ·˜ ·ÓıÚˆÔÂȉ‹˜, ÛËÌ·ÓÙÈο ·Ï·ÈfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ˘˜ N·ÓÙÂÚÙ¿ÏÈÔ˘˜, ‹Ù·Ó Ô Homo erectus Ô˘ ·Ó·Ù‡¯ıËΠÛÙËÓ ÂÚ›Ô‰Ô ·fi 1,5 ÂηÙÔÌ̇ÚÈ· ¯ÚfiÓÈ· ̤¯ÚÈ, ÂÚ›Ô˘, 300.000 ¯ÚfiÓÈ· ÚÈÓ ·fi Û‹ÌÂÚ·. O HomÔ erectus Â›Ó·È ›Ûˆ˜ Ô ·Ú¯·ÈfiÙÂÚfi˜ Ì·˜ ÚfiÁÔÓÔ˜. ¢ÂÓ Â›¯Â ÙËÓ ÂÁÎÂÊ·ÏÈ΋ ÈÛ¯‡ Ô‡Ù ÙÔ˘ Û‡Á¯ÚÔÓÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘, Ô‡ÙÂ ÙˆÓ N·ÓÙÂÚÙ¿ÏȈÓ, ‰ÈfiÙÈ Ë ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÎÚ·Ó›Ô˘ ÙÔ˘ Î˘Ì·ÈÓfiÙ·Ó ·fi 900 cm3 (910 ÁÚ.) ̤¯ÚÈ 1.100 cm3 (1.100 ÁÚ.), ‰ËÏ·‰‹, ÂÚ›Ô˘, ÛÙÔ Ì¤ÛÔ ÙˆÓ ¯ˆÚËÙÈÎÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ ÎÚ·Ó›ˆÓ ÙÔ˘ ¯ÈÌ·Ù˙‹ (450 cm3) Î·È ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘. ◊Ù·Ó fï˜ ÛËÌ·ÓÙÈο Â˘Ê˘Â›˜, fiˆ˜ ‰Â›¯ÓÔ˘Ó ÔÈ ÔÈΛϘ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ¤˜ ÙÔ˘˜. XÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ÙË ÊˆÙÈ¿ Î·È ÌÂÙ·Ó¿ÛÙÂ˘Û·Ó ·fi ÙËÓ AÊÚÈ΋ ÛÙËÓ E˘ÚÒË (Î·È ÛÙËÓ AÛ›·). K·Ù·Û··˙·Ó ÂÚ›Ù¯ӷ ÂÚÁ·Ï›· Î·È ¤¯ÙÈ˙·Ó ηٷʇÁÈ·. °ÓÒÚÈ˙·Ó Ó· ηٷÌÂÙÚÔ‡Ó; K·È ¿ÏÈ ‰ÂÓ ÁÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ Î·È Â·ÊÈfiÌ·ÛÙ ÛÙÔ˘˜ ·Ú¯·ÈÔÏfiÁÔ˘˜ ÁÈ· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·ԉ›ÍÂȘ. NÔÌ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È Èı·ÓfiÓ Ó· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÂӉ›ÍÂȘ Ô˘ Ó· ÌÂÙ·ı¤ÙÔ˘Ó ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ·Ú›ıÌËÛ˘ ·ÎfiÌ· ·Ï·ÈfiÙÂÚ·. ¢ÂÓ Â›Ó·È ·Ú·ÙÚ·‚ËÁ̤ÓË ˘fiıÂÛË Ó· ÈÛÙ‡ԢÌ fiÙÈ Èı·ÓfiÓ Ó· ÂÌÊ·ÓÈÛÙÔ‡Ó ·Ï·ÈÔÓÙÔÏÔÁÈΤ˜ ·ԉ›ÍÂȘ ÔÈ Ôԛ˜ ı· ÌÂÙ·-

28

1. Discover: «Human origins: And a One and a... Uh, Uh...» ∞Ú›ÏÈÔ˜ 1997, ÛÂÏ. 19.

¶PøIMH METPH™H

ı¤ÛÔ˘Ó ÙËÓ ÂÌÊ¿ÓÈÛË Ù˘ ηٷ̤ÙÚËÛ˘ ÚÔ˜ Ù· ›Ûˆ ÛÙÔ ¯ÚfiÓÔ. N¤Â˜ ·Ó·Î·Ï‡„ÂȘ Ì¿˜ ·Ó·Áο˙Ô˘Ó Û˘Ó¯Ҙ Ó· ·Ó·ıˆڋÛÔ˘Ì ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ ÙȘ ÂÎÙÈÌ‹ÛÂȘ Ì·˜ ÁÈ· ÙËÓ Â˘Ê˘˝· Î·È ÙËÓ ÂȉÂÍÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÚÔÁfiÓˆÓ Ì·˜. OÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ ÙÔ˘ Homo erectus ÙÔÓ ‰Â›¯ÓÔ˘Ó Û·Ó Î·ÌÔ˘ÚÈ·Ṳ̂ÓÔ, Ì·ÏÏÈ·Úfi ÎÙ‹ÓÔ˜, Ô˘ ¯Ù˘¿ÂÈ ÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ Ì ¤Ó· Úfi·ÏÔ ‹ ÌÈ· ¤ÙÚ·. TÔ 1994 fï˜, Ô X¿ÚÙÌÔ˘Ù £›Ì ·fi ÙÔ IÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ IÛÙÔÚÈ΋˜ KÏËÚÔÓÔÌÈ¿˜ ÙÔ˘ AÓfi‚ÂÚÔ˘ Ù˘ °ÂÚÌ·Ó›·˜ ·Ó·Î¿Ï˘„ ¤Ó·Ó ıËÛ·˘Úfi ·fi ‰fiÚ·Ù·, ËÏÈΛ·˜ 400.000 ÂÙÒÓ, Û ¤Ó· ·ÏÈfi ·ÓıÚ·ÎˆÚ˘¯Â›Ô ‰˘ÙÈο ÙÔ˘ AÓfi‚ÂÚÔ˘.2 T· ηÏÔÊÙÈ·Á̤ӷ, ηÏÔ˙˘ÁÈ·Ṳ̂ӷ ‰fiÚ·Ù· ›¯·Ó ηٷÛ΢·ÛÙ›, Ì¿ÏÏÔÓ, ·fi HÔmo erectus Ù˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›·˜ ÂÚÈfi‰Ô˘. H ·ÚÔ˘Û›· ÙÔ˘˜ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ fiÙÈ ·˘Ù¿ Ù· ¿ÙÔÌ· ‰ÂÓ ‹Ù·Ó ¿ÏÔÁ· ÎÙ‹ÓË, ·ÏÏ¿ Âȉ¤ÍÈÔÈ Î·È ÚÔÈÎÈṲ̂ÓÔÈ Î˘ÓËÁÔ›.

Y¿Ú¯Ô˘Ó, Â›Û˘, ·Ó·ÙÔÌÈΤ˜ ÂӉ›ÍÂȘ Ô˘ ˘Ô‰ËÏÒÓÔ˘Ó fiÙÈ Ë ·Ú›ıÌËÛË Â›Ó·È Ôχ ·Ú¯·›· ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·. N¢ÚÔÏfiÁÔÈ ·ÔÎ¿Ï˘„·Ó fiÙÈ ÔÚÈṲ̂Ó˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ÌÂ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ̤ÚË ÙÔ˘ ÂÁÎÂÊ¿ÏÔ˘. ™‡Ìʈӷ Ì ·˘Ù‹ ÙË ‰È·›ÛÙˆÛË, Ë ÔÌÈÏ›· Û˘Ó‰¤ÂÙ·È ÁÂÓÈο Ì ÙÔ ·ÚÈÛÙÂÚfi ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂÁÎÂÊ¿ÏÔ˘, Ô˘ Â›Ó·È Â›Û˘ ÂÛÙ›· ¿ÏÏˆÓ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁÈÒÓ, fiˆ˜ Ô ÚÔÁÚ·ÌÌ·ÙÈÛÌfi˜ Î·È Ë ÂÎÙ¤ÏÂÛË Û˘Ó¯fiÌÂÓˆÓ ‰Ú¿ÛˆÓ. ŒÓ· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÙÌ‹Ì· ÛÙÔ ›Ûˆ ·ÚÈÛÙÂÚfi ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂÁÎÂÊ¿ÏÔ˘ Â›Ó·È Ë ÂÚÈÔ¯‹ °Î¤ÚÛÙÌ·Ó, Ô˘ Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· ·Ó·ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ٷ ‰¿¯Ù˘Ï¿ Ì·˜ Î·È Ó· οÓÔ˘Ì ·ÏÔ‡˜ ·ÚÈıÌËÙÈÎÔ‡˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜. TÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë ·Ó·ÁÓÒÚÈÛË ÙˆÓ ‰·¯Ù‡ÏˆÓ Û˘Ó‰¤ÂÙ·È Ì ‰ÂÍÈfiÙËÙ˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ‰ÂÓ ı· ’ÚÂ ӷ Ì·˜ ÂÎÏ‹ÛÛÂÈ, ‰Â‰Ô̤ÓÔ˘ fiÙÈ fiÙ·Ó Â›Ì·ÛÙ ·È‰È¿ Ô ÚÒÙÔ˜ ÙÚfiÔ˜ Ô˘ Ì·ı·›ÓÔ˘Ì ӷ ÌÂÙÚ¿ÌÂ Â›Ó·È Ë ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛË ÙˆÓ ‰·¯Ù‡ÏˆÓ Û ·ÚÈıÌÔ‡˜. TÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Î·È ÔÈ ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ ·Ô‰›‰ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ ÂÁÎÂÊ¿ÏÔ˘ ˘Ô‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ, ÁÈ· ÌÂÁ¿ÏÔ ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ·, ÌÂÙÚÔ‡Û·Ì Ì ٷ ‰¿¯Ù˘Ï¿ Ì·˜.

AÓ Ë ·Ú›ıÌËÛË ÂÎÙ›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ·ÚÂÏıfiÓ ÁÈ· ÔÏϤ˜ ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜ ¯ÈÏÈÂÙËÚ›‰Â˜ Î·È ·Ó ›ӷÈ, ηٿ οÔÈÔ ÙÚfiÔ, ÂÁÁÂÁÚ·Ì̤ÓË ÛÙÔ ÏÔÁÈÛÌÈÎfi ÙˆÓ ÂÁÎÂÊ¿ÏˆÓ Ì·˜, ÙfiÙÂ Ë ·Ú›ıÌËÛË Î·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙÌ‹2. Ÿ.., πÔ‡ÓÈÔ˜ 1997, ÛÂÏ. 14.

29

H MA°EIA TøN MA£HMATIKøN

Ì· ·˘Ù‹˜ Ù˘ ›‰È·˜ Ù˘ ʇÛ˘ Ì·˜. TÔ Ó· Â›Û·È ¿ÓıÚˆÔ˜ ÛËÌ·›ÓÂÈ Ó· ͤÚÂȘ Ó· ÌÂÙÚ¿˜ Î·È Ó· ÁÓˆÚ›˙ÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. H ȉ¤· ·˘Ù‹ ÂÓÈÛ¯‡ÂÙ·È fiÙ·Ó ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ì fiÛË Â˘¯·Ú›ÛÙËÛË ·ÓÙÏÔ‡Ó ÔÈ ¿ÓıÚˆÔÈ ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ·ÎfiÌ· Î·È ·˘ÙÔ› Ô˘ ÈÛ¯˘Ú›˙ÔÓÙ·È fiÙÈ ·¯ı¿ÓÔÓÙ·È Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο. ¶ÔÏÏ¿ ·fi Ù· ·È¯Ó›‰È· Ì·˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ·ÚÈıÌÔ‡˜. TÔ Ù˘¯ÂÚfi ·È¯Ó›‰È «21», Û ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·Ó¿Ï˘ÛË, Â›Ó·È ·È¯Ó›‰È Ì ·ÚÈıÌÔ‡˜: ÌÔÚÒ Ó· ÚÔÛı¤Ûˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙˆÓ ¯·ÚÙÈÒÓ ÌÔ˘ Î·È Ó· ÏËÛÈ¿Ûˆ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 21, ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ·fi ÙË «Ì¿Ó·», ¯ˆÚ›˜ Ó· ÙÔÓ ˘ÂÚ‚Ò; TÔ Ì·ÚÌÔ‡ÙÈ Â›Ó·È, Â›Û˘, ¤Ó· ·È¯Ó›‰È Ì ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ÔÈ ·›ÎÙ˜, fiÙ·Ó ÛÙÔȯËÌ·Ù›˙Ô˘Ó, Ú¤ÂÈ Ó· οÓÔ˘Ó ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ Ì ÔχÏÔΘ Èı·ÓfiÙËÙ˜. MÔÚ› Ó· ¤¯ÂÙ ·Ú¢ÚÂı› Û ÈÔ‰ÚÔÌ›· Î·È Ó· ·Ú·ÙËÚ‹Û·Ù ·˘ÙÔ‡˜ Ô˘ ÚÔÛ·ıÔ‡Ó Ó· ÚԂϤ„Ô˘Ó Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ÌÈ·˜ ÎÔ‡ÚÛ·˜ Ó· „¿¯ÓÔ˘Ó Ì ̷ӛ· ÙÔ˘˜ ηٷÏfiÁÔ˘˜ ÁÈ· Ó· ÚԂϤ„Ô˘Ó ÙÔ ÓÈÎËÙ‹ Ù˘ ÂfiÌÂÓ˘ ÎÔ‡ÚÛ·˜. ™ÙË ÌÔ˘ÛÈ΋ Ì·˜ Â›Û˘ ÂÓۈ̷ÙÒÓÔ˘Ì ·ÚÈıÌÔ‡˜. TÔ˘˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÁÈ· Ó· ·Ó·ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ٷ Û›ÙÈ· Î·È ÙÔ˘˜ ÙËÏÂʈÓÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì·˜. OÈ ¿ÓıÚˆÔÈ ÌÂÏÂÙÔ‡Ó fiÏ· Ù· ›‰Ë ÔχÏÔÎˆÓ ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ ‰ÂÈÎÙÒÓ ÁÈ· Ó· ·Ú·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ÙËÓ ÔÚ›· ÙÔ˘ ¯ÚËÌ·ÙÈÛÙËÚ›Ô˘. H ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, Ù˘ ηٷ̤ÙÚËÛ˘ Î·È Ù˘ ·Ï‹˜ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·ÓÙÔ‡. AÓ Ô ¿ÓıÚˆÔ˜ ÌÔÚ› Ó· ÂÚÈÁÚ·Ê› Û·Ó ›ıËÎÔ˜ Ô˘ ηٷÛ΢¿˙ÂÈ ÂÚÁ·Ï›· ‹ Û·Ó ›ıËÎÔ˜ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ÙË ÊˆÙÈ¿, ÙfiÙÂ Ë ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÙÔ˘ ˆ˜ Èı‹ÎÔ˘ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ÌÂÙÚ¿, Â›Ó·È ÂÍ›ÛÔ˘ ÂÈÙ˘¯Ë̤ÓË.

AÊËÚË̤ÓÔÈ ·ÚÈıÌÔ›

30

¶ÚÈÓ ·fi ÂÚ›Ô˘ 10.000 ¯ÚfiÓÈ·, Á‡Úˆ ÛÙ· 8000 .X., Û˘Ó¤‚Ë Î¿ÙÈ Ôχ Û˘ÁÎÏÔÓÈÛÙÈÎfi ÛÙ· ·ÓıÚÒÈÓ· fiÓÙ· ÙÔ˘ Ï·Ó‹ÙË. ™ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ Ô˘ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜ «E‡ÊÔÚË HÌÈÛ¤ÏËÓÔ˜» Î·È Ë ÔÔ›· ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ÙÌ‹Ì·Ù· ÙÔ˘ IÛÚ·‹Ï, Ù˘ NfiÙÈ·˜ TÔ˘ÚΛ·˜ Î·È ÙËÓ ÎÔÈÏ¿‰· ÙˆÓ ÔÙ·ÌÒÓ T›ÁÚË Î·È E˘ÊÚ¿ÙË ÙÔ˘ IÚ¿Î, Ô ¿ÓıÚˆÔ˜ ÂÁη٤ÏÂÈ„Â Ù· ΢ÓËÁÂÙÈο ÙÔ˘ Û‡ÓÂÚÁ· Î·È ¿Ú¯ÈÛ ÙËÓ Î·ÏÏȤÚÁÂÈ· Ù˘ Á˘. H ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ ÁˆÚÁ›·˜ ¤‰ˆÛ ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· ·Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó ÔÈÎÈÛÌÔ› Î·È ·ÛÙÈΤ˜ Â-

¶PøIMH METPH™H

ÚÈÔ¯¤˜, ‰ÈfiÙÈ ÙÒÚ· ÔÈ ¿ÓıÚˆÔÈ ÌÔÚÔ‡Û·Ó Ó· ˙‹ÛÔ˘Ó ÛÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÁÈ· fiÏÔ ÙÔ ¯ÚfiÓÔ. ¢ÂÓ ˘‹Ú¯Â È· ·Ó¿ÁÎË Ó· ÌÂÙ·Ó·ÛÙÂ‡Ô˘Ó Î˘ÓËÁÒÓÙ·˜ ·Á¤Ï˜ ˙ÒˆÓ-ıËÚ·Ì¿ÙˆÓ, fiˆ˜ Û˘Ó‹ıÈ˙·Ó Ó· οÓÔ˘Ó Ù· Í·‰¤ÏÊÈ· ÙÔ˘˜, ÔÈ Î˘ÓËÁÔ›. AÓ·ÁοÛÙËηÓ, fï˜, Ó· ÂÈÙÂϤÛÔ˘Ó ÚfiÛıÂÙ· ÔχÏÔη ηı‹ÎÔÓÙ·, Ô˘ ‹Ù·Ó ¿ÁÓˆÛÙ· ÛÙÔ˘˜ ΢ÓËÁÔ‡˜. XÚÂÈ¿ÛÙËΠӷ ÚÔÁÚ·ÌÌ·Ù›˙Ô˘Ó fiÛÔ˘˜ ÛfiÚÔ˘˜ ¤ÚÂ ӷ Û›ÚÔ˘Ó Î·È fiÛÔ˘˜ Ó· ·ÔıË·ÛÔ˘Ó ÁÈ· Ó· Û›ÚÔ˘Ó ÙËÓ ÂfiÌÂÓË ÂÚ›Ô‰Ô ÛÔÚ¿˜. XÚÂÈ¿ÛÙËΠӷ ÚÔÛٷهÛÔ˘Ó Ù· ¯ˆÚ¿ÊÈ· ÙÔ˘˜, Ó· ·ÔıËÎÂ‡Ô˘Ó ÙÔÓ Î·Úfi ÙÔ˘˜, Ó· ‰È·ÌÔÈÚ¿˙Ô˘Ó ÙËÓ ÙÚÔÊ‹. M ÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË ÙˆÓ fiψÓ, ¤ÚÂ ӷ ÚÔÛٷهÔÓÙ·È ·fi ¿Ú·Á˜ Ô˘ ı· ÌÔÚÔ‡Û·Ó Ó· ÎϤ„Ô˘Ó ÙÔ˘˜ ηÚÔ‡˜ ÙˆÓ ÎfiˆÓ ÙÔ˘˜. °È· Ó· ÔÚÁ·ÓˆıÔ‡Ó ÛÙÚ·ÙÔ› Î·È Ó· ¯ÙÈÛÙÔ‡Ó Ô¯˘Ú¿, ¯ÚÂÈ¿ÛÙËΠӷ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁËıÔ‡Ó Î˘‚ÂÚÓ‹ÛÂȘ. °È· Ù· ¤ÍÔ‰· Û˘ÓÙ‹ÚËÛ˘ ÙÔ˘ ÛÙÚ·ÙÔ‡ Î·È ÁÈ· ÙÔ ¯Ù›ÛÈÌÔ Ô¯˘ÚÒÓ, Ë Î˘‚¤ÚÓËÛË ¯ÚÂÈ·˙fiÙ·Ó ÊfiÚÔ˘˜! ŸÏ˜ ·˘Ù¤˜ ÔÈ Î·ÈÓÔÙƠ̂˜ ·ÛÎÔ‡Û·Ó ›ÂÛË ÛÙȘ Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ÈηÓfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÚÔÁfiÓˆÓ Ì·˜, ÌÈ· Ô˘ ‰ÂÓ ·ÚÎÔ‡Û È· Ó· ÌÔÚÔ‡Ó ·ÏÒ˜ Ó· ηٷÌÂÙÚÔ‡Ó ·ÓÙÈΛÌÂÓ·. ŒÁÈÓ ·Ó·Áη›Ô Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ó, Ó· ·Ê·ÈÚÔ‡Ó, Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ó Î·È Ó· ‰È·ÈÚÔ‡Ó: ÔÈ Ù¤ÛÛÂÚȘ ‚·ÛÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ Ù˘ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜ ¤ÁÈÓ·Ó ÙÒÚ· ··Ú·›ÙËÙ˜. TÈ ·ԉ›ÍÂȘ ‰È·ı¤ÙÔ˘Ì ÁÈ· ÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ Ô˘ ÁÓÒÚÈ˙·Ó ÂΛÓË ÙËÓ ÂÔ¯‹; ¢ÂÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÁÚ·Ù¿ ÓÙÔÎÔ˘Ì¤ÓÙ·, ‰Â‰Ô̤ÓÔ˘ fiÙÈ Ë ÁÚ·Ê‹ ‰ÂÓ ÂÈÓÔ‹ıËΠ·Ú¿ ÌfiÓÔ Á‡Úˆ ÛÙÔ 3100 .X. A˘Ù‹ Ë ¤ÏÏÂÈ„Ë ÁÚ·ÙÒÓ ËÁÒÓ Ì¿˜ ·Ê‹ÓÂÈ Ó· ·Ó·ÚˆÙÈfiÌ·ÛÙ ÙÈ Û˘Ó¤‚Ë ÛÙ· ¤ÓÙ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ ¯ÚfiÓÈ· Ô˘ ÌÂÛÔÏ¿‚ËÛ·Ó ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙÔ 8000 .X. Î·È ÙËÓ ·Ú¯‹ Ù˘ ÁÚ·Ù‹˜ ÈÛÙÔÚ›·˜. °È· ÔÏÏ¿ ¯ÚfiÓÈ· ÔÈ ·ÓıÚˆÔÏfiÁÔÈ ¤‚ÚÈÛÎ·Ó ÌÈÎÚ¿ ÂÚ›ÂÚÁ· ‹ÏÈÓ· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· ÛÙÔ˘˜ ·Ú¯·›Ô˘˜ ÔÈÎÈÛÌÔ‡˜ Ù˘ ¢˘ÙÈ΋˜ AÛ›·˜, ÂΛ Ô˘ ÁÂÓÓ‹ıËÎÂ Ë ÚÒÈÌË ÁˆÚÁ›·. ¶Ò˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·Ó ·˘Ù¿ Ù· ·ÓÙÈΛÌÂÓ·; K¿ÔȘ ·˘ıÂÓٛ˜ ÈÛ¯˘Ú›ÛÙËÎ·Ó fiÙÈ ›Ûˆ˜ Ó· ‹Ù·Ó οÔÈ· ÌÔÚÊ‹ ·Ú¯¤ÁÔÓÔ˘ ÛηÎÈÔ‡, ‹ ۇ̂ÔÏ· ¢ÊÔÚ›·˜. BÚ¤ıËÎ·Ó fï˜ ‰Âο‰Â˜ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ Ù¤ÙÔÈ· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Î·È ÔÏÏ¿ ·fi ·˘Ù¿ Û ·Ϥ˜ ηÙÔÈ˘. ¶·›˙ÔÓÙ·Ó ÙfiÛ· ÔÏÏ¿ ·È¯Ó›‰È· ÚˆÙfiÁÔÓÔ˘ ÛηÎÈÔ‡ ÙfiÛÔ ·ÏÈ¿; ™ÙË ‰ÂηÂÙ›· ÙÔ˘ 1970 Ë NÙÂÓ›˙ ™Ì·ÓÙ-M¤ÛÂÚ·Ù, ·fi ÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ ÙÔ˘

31

H MA°EIA TøN MA£HMATIKøN

T¤Í·˜, ‚ڋΠÙËÓ ·¿ÓÙËÛË. AÊÔ‡ η٤ÁÚ·„ ¿Óˆ ·fi 8.000 Ù¤ÙÔÈ· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· ·fi 116 ÂÚÈÔ¯¤˜ ÛÙÔ IÚ¿Ó, ÛÙÔ IÚ¿Î Î·È ÛÙËÓ TÔ˘ÚΛ·, ·ÔÊ¿ÛÈÛ fiÙÈ ‹Ù·Ó ÌÂÙÚÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜.3 OÈ ·ÁÚfiÙ˜ Î·È ÔÈ ¿ÏÏÔÈ ¯ˆÚÈÎÔ› ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ÌÈÎÚ¿ „Ë̤ӷ ‹ÏÈÓ· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· ÁÈ· Ó· ÎÚ·ÙÔ‡Ó ·Ú¯Â›· ÙˆÓ ·Á·ıÒÓ ÙÔ˘˜. MÂÚÈΤ˜ ·fi ·˘Ù¤˜ ÙȘ ÌÂÙÚÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓÙ·Ó Ì ̷ϷÎfi ËÏfi Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· „‹ÓÔÓÙ·Ó ÛÙ· Ù˙¿ÎÈ·, Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ¤Ó· ÛÎÏËÚfi ÂÚÈÙ‡ÏÈÁÌ· Ô˘ ·Ú›¯Â ¤Ó· ›‰Ô˜ ÛÊÚ·ÁÈṲ̂ÓÔ˘ ·Ú¯Â›Ô˘ ÌÈ·˜ ̤ÙÚËÛ˘. K·È ÂÓÒ ÙÔ Û¯‹Ì· οÔÈˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ ¤‰ÂȯÓ ¤Ó·Ó Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ·ÚÈıÌfi, οÔÈ· ¿ÏÏ· ·ÂÈÎfiÓÈ˙·Ó ηٷÁÚ·Ê‹ Û˘ÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ӈÓ, fiˆ˜ Úfi‚·Ù· ‹ ‚¿˙· Ì ÎÚ·Û›.

T· ÂÚÈÙ˘Ï›ÁÌ·Ù·, Ì ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜ ÛÊÚ·ÁÈṲ̂Ó˜ Ì ·ÛÊ¿ÏÂÈ· ̤۷ ÙÔ˘˜, ÌÔÚÔ‡Û·Ó Ó· ÌÂÙ·ÊÂÚıÔ‡Ó Ì ·ÔÛÙÔϤ˜ ÊÔÚÙ›ˆÓ ·Á·ıÒÓ Î·È Ó· ¯ÚËÛÈ̇ÛÔ˘Ó Û·Ó Â›ÛËÌË ·fi‰ÂÈÍË ‡·Ú͢ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ·Á·ıÒÓ. ¶·Ú¿ Ù·‡Ù·, Û οÔȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ, ‹Ù·Ó ·Ó·Áη›Ô Ó· Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi˜ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·Ó Ì¤Û· ÛÙÔ ÂÚÈÙ‡ÏÈÁÌ· ¯ˆÚ›˜ Ó· ¯ÚÂÈ·ÛÙ› Ó· ÙÔ Û¿ÛÔ˘Ó ÁÈ· Ó· ÙÔ ·ÓÔ›ÍÔ˘Ó. K¿ÙÈ Ù¤ÙÔÈÔ ı· Û˘Ó¤‚·ÈÓ fiÙ·Ó Ù· ·Á·ı¿ ÌÂٷʤÚÔÓÙ·Ó ·fi ¤Ó· Ó·˘ÏˆÙ‹ Û ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔ. OÈ ¯Ú‹ÛÙ˜ ÏÔÈfiÓ ·¤ÎÙËÛ·Ó ÙË Û˘Ó‹ıÂÈ· Ó· ¯·Ú¿ÛÛÔ˘Ó, ÚÈÓ ·fi ÙÔ „‹ÛÈÌÔ, ÛÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂÚÈ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ÙË ÌÔÚÊ‹ ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ. ŸÙ·Ó ÙÔ „‹ÛÈÌÔ ÔÏÔÎÏËÚˆÓfiÙ·Ó, ÌÔÚÔ‡Û ÔÔÈÔÛ‰‹ÔÙ ӷ «‰È·‚¿ÛÂÈ», Ì ‚¿ÛË ·˘Ù¿ Ô˘ ‹Ù·Ó Ù˘ˆÌ¤Ó· ÛÙÔ ÂÚ›‚ÏËÌ·, fiÛ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·Ó ÛÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ÂÚÈ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ηÈ, ·Ó ‹Ù·Ó ·Ó·Áη›Ô, Ó· Û¿ÛÂÈ Î·È Ó· ·ÓÔ›ÍÂÈ ÙÔ ÂÚ›‚ÏËÌ· Î·È Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÈ ÙËÓ ·Ú›ıÌËÛË Ì ÙÔÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi ÌÔÓ¿‰ˆÓ.

MÂÙ¿ ·fi ÌÂÚÈΤ˜ ¯ÈÏÈÂÙËÚ›‰Â˜ οÔÈÔ Â˘Ê˘¤˜ ¿ÙÔÌÔ ‰È·›ÛÙˆÛ fiÙÈ fiÏË ·˘Ù‹ Ë ‰Ô˘ÏÂÈ¿ ‹Ù·Ó ÂÚÈÙÙ‹ ÁÈ· ÙË ÌÂÙ·ÊÔÚ¿ ÂÓfi˜ ·ÏÔ‡ ÊÔÚÙ›Ô˘. °È·Ù› Ó· ÌËÓ ¿ÚÔ˘Ó ·ÏÒ˜ ¤Ó·Ó ÌÈÎÚfi ‰›ÛÎÔ ËÏÔ‡, Ó· Ù˘ÒÛÔ˘Ó ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ¿ ÙÔ˘ ÙÔ Û¯‹Ì· ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ Î·È Ó· ÙÔÓ „‹ÛÔ˘Ó; Afi ·˘Ù‹ ÙËÓ È‰¤· ÚԤ΢„·Ó ÔÈ ·Ú¯·ÈfiÙÂÚÔÈ ‰›ÛÎÔÈ ·fi ÙËÓ ·Ú¯·›· ™Ô˘ÌÂÚ›·, ÙÔÓ

32

3. Denise Schmandt-Besserat, Before writing, ÙfiÌÔ˜ 1 (University of Texas Press, 1992).

¶PøIMH METPH™H

ÙfiÔ Á¤ÓÓËÛ˘ Ù˘ ÁÚ·Ê‹˜ ÛÙË ‰˘ÙÈ΋ AÛ›·. H ™Ô˘ÌÂÚ›· ‹Ù·Ó ‚·Û›ÏÂÈÔ ÛÙÔ ÓfiÙÈÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ ÛËÌÂÚÈÓÔ‡ IÚ¿Î Î·È ÂÚÈÂÏ¿Ì‚·Ó ÙȘ ·Ú¯·›Â˜ fiÏÂȘ O˘Ú, §¿ÚÛ·, O˘ÚÔ‡Î Î·È EÚÈÓÙÔ‡. O ¤ÏÂÁ¯Ô˜ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ‡ÊÔÚ˘ ·ÁÚÔÙÈ΋˜ ‰ȿ‰·˜, ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙÔ˘˜ ÔÙ·ÌÔ‡˜ T›ÁÚË Î·È E˘ÊÚ¿ÙË, ÌÂÙ·ÙÔÈ˙fiÙ·Ó Û˘Ó¯Ҙ ·Ó¿ÌÂÛ· Û ·˘Ù¤˜ ÙȘ fiÏÂȘ. EÈϤÔÓ, ·˘Ù‹ Ë ‰ȿ‰· Â›Ó·È Ô ÙfiÔ˜ ·fi ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÍÂΛÓËÛÂ Ë ÁÚ·Ê‹. °È· ÔÏÏÔ‡˜ ·ÈÒÓ˜ ÔÈ ÂȉÈÎÔ› ‰ÂÓ ‹Ù·Ó Û›ÁÔ˘ÚÔÈ Ò˜ ÍÂΛÓËÛÂ Ë ÁÚ·Ê‹. MÂÚÈÎÔ› ˘¤ıÂÙ·Ó fiÙÈ ¿Ú¯ÈÛ ·fi ıÚËÛ΢ÙÈΤ˜ ÙÂÏÂÙ¤˜, ‹ fiÙÈ ÙËÓ ÂÈÓfiËÛ·Ó ÔÈ ÈÂÚ›˜ ÛÙÔÓ ÂχıÂÚÔ ¯ÚfiÓÔ ÙÔ˘˜. ¶ÔÏÏÔ› ̇ıÔÈ ÈÛ¯˘Ú›˙ÔÓÙ·È fiÙÈ ÔÈ ıÂÔ›, ‹ Ô £Âfi˜, ÙËÓ ¤‰ˆÛ·Ó ÛÙÔ˘˜ ·ÓıÚÒÔ˘˜ ˆ˜ ‰ÒÚÔ. ™‹ÌÂÚ· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë ÁÚ·Ê‹ ÛÙË ‰˘ÙÈ΋ AÛ›· ÍÂΛÓËÛ ·fi ÙËÓ ·Ó¿ÁÎË Î·Ù·ÁÚ·Ê‹˜ Î·È ·Ú·ÎÔÏÔ‡ıËÛ˘ ÙˆÓ ÔÈÎÔÓÔÌÈÎÒÓ Û˘Ó·ÏÏ·ÁÒÓ. OÈ ·Ï·ÈfiÙÂÚÔÈ ‹ÏÈÓÔÈ ‰›ÛÎÔÈ, Ô˘ ¯ÚÔÓÔÏÔÁÔ‡ÓÙ·È ÚÈÓ ·fi ÙÔ 3100 .X. Î·È ÚÔ¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi fiÏÂȘ Ù˘ ™Ô˘ÌÂÚ›·˜, ‰Â›¯ÓÔ˘Ó ·ÔÙ˘ÒÌ·Ù· ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ Ô˘ ·ÂÈÎÔÓ›˙Ô˘Ó ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ÂÈϤÔÓ Û¯¤‰È· ‹ ÈÎÙÔÁÚ¿ÌÌ·Ù· ·Á·ıÒÓ, fiˆ˜ ÎÔ¿‰È· ‹ Ìfi‰È· ÛfiÚˆÓ. A˘Ùfi ·ÔÙ¤ÏÂÛ ÙÔ ÚÒÙÔ ‰Â›ÁÌ· ÁÚ·Ê‹˜. E›Ó·È ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ÙÔ fiÙÈ Ë ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›· Ù˘ ÁÚ·Ê‹˜ ‹Ù·Ó ÙfiÛÔ ÛÙÂÓ¿ Û˘Ó‰Â‰Â̤ÓË Ì ÙËÓ ·Ó¿ÁÎË ·ÔÁÚ·Ê‹˜ ÙˆÓ Î·Ù·ÌÂÙÚ‹ÛÂˆÓ Î·È Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ™‡ÓÙÔÌ· ÂÌÊ·Ó›ÛÙËÎ·Ó Û‡Ì‚ÔÏ· ÛÙË ı¤ÛË ÙˆÓ Î·ÓÔÓÈÎÒÓ ÔÓÔÌ¿ÙˆÓ (ÁÈ· Ó· Ù·˘ÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ó ÙÔÓ È‰ÈÔÎÙ‹ÙË ÙˆÓ ·Á·ıÒÓ), Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÂÈÓÔ‹ıËÎ·Ó Ú‹Ì·Ù· ÁÈ· Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘Ó ÙȘ ‰È¿ÊÔÚ˜ Ú¿ÍÂȘ. OÈ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔÈ ·fi ÙÔ 3100 .X. ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ÔÏÔÎÏËڈ̤ÓË ÁÏÒÛÛ· ÁÚ·Ê‹˜ ÁÈ· Ó· ηٷÁÚ¿„Ô˘Ó ÙËÓ ÈÛÙÔÚ›· ÙÔ˘˜, ÙËÓ ÔÔ›· ηٷ¯ÒÚÈÛ·Ó Ì ÛÊËÓÔÂȉ‹ ÁÚ·Ê‹ Û ÌÂÁ¿Ï˜ ‹ÏÈÓ˜ ϿΘ. M·˙› Ì ÙË ÁÚ·Ê‹ ‹ÚıÂ Î·È Ë ·Ó¿Ù˘ÍË ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ.

Y¿Ú¯Ô˘Ó ÈÛ¯˘Ú¤˜ ÂӉ›ÍÂȘ fiÙÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ›, fiÙ·Ó ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËÎ·Ó ÁÈ· ÚÒÙË ÊÔÚ¿, ‰ÂÓ ·ÔÙÂÏÔ‡Û·Ó ÔÈ ›‰ÈÔÈ ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤Ó· ·ÓÙÈΛÌÂÓ·, ·ÏÏ¿ ·ÓÙ›ıÂÙ· ıˆÚÔ‡ÓÙ·Ó ˆ˜ Â›ıÂÙ· Ô˘ ÂÚȤÁÚ·Ê·Ó ‰È¿ÊÔÚ· Û‡ÓÔÏ·. ™Â ÔÏϤ˜ ÚˆÙfiÁÔÓ˜ ÁÏÒÛÛ˜, ˘‹Ú¯·Ó ‰È¿ÊÔÚ˜ ·ÚÈıÌÔϤÍÂȘ ÁÈ· ‰È¿ÊÔÚ· ·ÓÙÈΛÌÂÓ·. YÔÏ›ÌÌ·Ù· ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ‚ϤÔ˘Ì ·ÎfiÌ· ÛÙ· ·ÁÁÏÈο fiÙ·Ó ÌÈÏ¿Ì ÁÈ· «˙˘Áfi» ‚Ô‰ÈÒÓ ‹ ˙¢Á¿ÚÈ Á¿ÓÙÈ·. ™ÙȘ ÚˆÙfiÁÔÓ˜ ÎÔÈӈӛ˜, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·ÚÈı-

33

H MA°EIA TøN MA£HMATIKøN

ÌÔϤÍÂȘ ÁÈ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ·ÓÙÈΛÌÂÓ·. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÛÙ· ÓËÛÈ¿ º›Ù˙È, ÔÈ Èı·ÁÂÓ›˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÙË Ï¤ÍË «ÌfiÏ·» ÁÈ· ‰¤Î· ‚¿ÚΘ, ·ÏÏ¿ ÙË Ï¤ÍË «ÎfiÚÔ» ÁÈ· ‰¤Î· ηڇ‰Â˜.4 OÈ ·ÚÈıÌÔ› ‰ÂÓ ıˆÚÔ‡ÓÙ·Ó ·˘ı‡·ÚÎÙ· ·ÓÙÈΛÌÂÓ·, ·ÏÏ¿ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο ÔÌ¿‰ˆÓ Û˘ÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ӈÓ. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Û·Ó Ó· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¯ˆÚ›˜ ÙËÓ ‡·ÚÍË ÌÈ·˜ ÔÌ¿‰·˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ӈÓ, ÙËÓ ÔÔ›· ·ÚÈıÌÔ‡Û·Ó. H NÙÂÓ›˙ ™Ì·ÓÙ-M¤ÛÂÚ·Ù ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ ηٷ̤ÙÚËÛ˘ Û ÙÚ›· ÛÙ¿‰È·: ·ÌÊÈÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙË Î·Ù·Ì¤ÙÚËÛË, ÙËÓ ÔÔ›· οÓÔ˘Ì fiÙ·Ó Î·Ù·ÌÂÙÚԇ̠̠ٷ ‰¿¯Ù˘Ï¿ Ì·˜, Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË Î·Ù·Ì¤ÙÚËÛË ÛÙËÓ ÔÔ›· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙Ô˘Ì ÌÈ· ÌÔÓ·‰È΋ ·ÚÈıÌÔϤÍË Û ¤Ó· ÂȉÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ Î·È ·ÊËÚË̤ÓË Î·Ù·Ì¤ÙÚËÛË, fiÙ·Ó ÂÈÙÚ¤Ô˘Ì ÛÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ó· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·Ê’ ·˘ÙÒÓ ˆ˜ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ÓÔÂÚ¿ ·ÓÙÈΛÌÂÓ·. K·È Û˘Ó¯›˙ÂÈ Ï¤ÁÔÓÙ·˜: ™ÙËÓ EÁÁ‡˜ AÓ·ÙÔÏ‹, Ë ·ÊËÚË̤ÓË ·Ú›ıÌËÛË Èı·ÓfiÓ Ó· ‹Ù·Ó ÌÂÙ·ÁÂÓ¤ÛÙÂÚË ·fi ¤Ó· ·Ú¯·˚Îfi Û‡ÛÙËÌ· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˘ ·Ú›ıÌËÛ˘, Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·ÚÈıÌ‹ÛÂȘ ÁÈ· Ó· ηٷÌÂÙÚ‹ÛÂÈ ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ·ÓÙÈΛÌÂÓ·). T· ΛÌÂÓ· ÛÊËÓÔÂȉԇ˜ ÁÚ·Ê‹˜ Ù˘ ÙÚ›Ù˘ ¯ÈÏÈÂÙËÚ›‰·˜ ‰ÂÓ ·Ê‹ÓÔ˘Ó ·ÌÊÈ‚ÔÏ›· ÁÈ· ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÔÈ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔÈ Â›¯·Ó ·Ó·Ù‡ÍÂÈ ¤Ó· ÔχÏÔÎÔ ÂÍËÎÔÓÙ·‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘. ¢ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Â›Û˘ ·ÌÊÈ5 ‚ÔÏ›· fiÙÈ Ë ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÔ˘˜ ‚·ÛÈ˙fiÙ·Ó ÛÙËÓ ·ÊËÚË̤ÓË ·Ú›ıÌËÛË.

OÈ ·Ú¯·ÈfiÙÂÚ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËÎ·Ó ÁÈ· Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘Ó ÔÛfiÙËÙ˜ ÂȉÈÎÒÓ ÚÔ˚fiÓÙˆÓ. øÔÂȉ‹ ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·Ó ÁÈ· Ó· ÌÂÙÚËıÔ‡Ó ÛÙ¿ÌÓ˜ Ï·‰ÈÔ‡, ÛÊ·ÈÚÈο ÁÈ· Ó· ÌÂÙÚËıÔ‡Ó ÛfiÚÔÈ ‰ËÌËÙÚÈ·ÎÒÓ. A˘Ùfi ÌÔÈ¿˙ÂÈ Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ÂȉÈÎÒÓ ÔÓÔÌ¿ÙˆÓ ÔÌ¿‰ˆÓ, fiˆ˜ Ô ˙˘Áfi˜ ‚Ô‰ÈÒÓ Î·È ÙÔ ˙¢Á¿ÚÈ Á·ÓÙÈÒÓ. °È· ¤Ó·Ó ·Ú¯·›Ô ™Ô˘Ì¤ÚÈÔ ı· ‹Ù·Ó ÙfiÛÔ ·Ú¿ÍÂÓÔ Ó· ηٷÌÂÙÚ‹ÛÂÈ ÛÙ¿ÌÓ˜ Ï·‰ÈÔ‡ Ì ÛÊ·›Ú˜, fiÛÔ ı· ‹Ù·Ó ÁÈ· Ì·˜ Ó· ÌÈÏ‹ÛÔ˘Ì ÁÈ· «˙˘Áfi» Á·ÓÙÈÒÓ. H ·fi‰ÔÛË ÂȉÈÎÒÓ ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ Û˘Ì‚fiÏˆÓ Û ÂȉÈο ·ÓÙÈΛÌÂÓ· ·ÔÙÂÏ› Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË

34

4. Karl Menninger, Number Words and Number Symbols (Dover Publications, 1969), ÛÂÏ. 11.

5. Schmandt-Besserat, ÛÂÏ. 188.

¶PøIMH METPH™H

·Ú›ıÌËÛË, ‰ÈfiÙÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ¿ÓÙ· ÛÂ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ Ú¿ÁÌ·Ù·. ŸÙ·Ó ÚÔ¯ˆÚ¿Ì ÛÙËÓ ·ÊËÚË̤ÓË ·Ú›ıÌËÛË, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠¤Ó· ÌfiÓÔ Û‡ÓÔÏÔ ·ÚÈıÌÔϤÍÂˆÓ ‹ Û˘Ì‚fiÏˆÓ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÔÌ¿‰· ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ ‹ Ó· ÙÔ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÁÈ· Ó· ÂÚÈÁÚ¿„Ô˘Ì ۯ¤ÛÂȘ ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙ· ۇ̂ÔÏ· (·ÚÈıÌËÙÈο Â›ıÂÙ·).

H NÙÂÓ›˙ ™Ì·ÓÙ-M¤ÛÂÚ·Ù ·Ô‰›‰ÂÈ Î·È ·˘Ù‹ ÙËÓ ÂͤÏÈÍË ·fi ÙÔ˘˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÛÙÔ˘˜ ·ÊËÚË̤ÓÔ˘˜, Ô˘ ¤ÁÈÓ Á‡Úˆ ÛÙÔ 3100 .X., Û ÌÈ· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË fiÏË: ÙËÓ O˘ÚÔ‡Î, Ô˘ ‚ÚÈÛÎfiÙ·Ó ‚ÔÚÂÈÔ‰˘ÙÈο Ù˘ Û˘Ì‚ÔÏ‹˜ ÙˆÓ ÔÙ·ÌÒÓ T›ÁÚË Î·È E˘ÊÚ¿ÙË, ÛÙÔ ÓfiÙÈÔ IÚ¿Î.6 H ÂÌÊ¿ÓÈÛË ÙÔ˘ ·ÚÈıÌËÙÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÙˆÓ ™Ô˘ÌÂÚ›ˆÓ, Ô˘ ¿Ú¯ÈÛ Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ‹ÏÈÓˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ ̤ÙÚËÛ˘ Î·È Ù¤ÏÂȈÛ Ì ¤Ó· ÔχÏÔÎÔ Û‡ÛÙËÌ· ÁÚ·Ê‹˜ ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·ÊËÚË̤ÓÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÛËÌ·ÙÔ‰ÔÙÔ‡Ó ÙȘ ‰‡Ô ·fi ÙȘ ÙÚÂȘ ÎÈÓËÙ‹ÚȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ô˘ ÚÔÒıËÛ·Ó Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο. ¶ÚÒÙ· ›¯·Ì ÙË ÁÂӛ΢ÛË, ‰ËÏ·‰‹ ÙËÓ ·fi‰ÔÛË ·ÊËÚË̤Ó˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ ÛÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ‰ÂÓ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·Ó È· ÛÂ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ Ê˘ÛÈο ·ÓÙÈΛÌÂÓ· ·ÏÏ¿ ¿Ú¯ÈÛ·Ó Ó· ¤¯Ô˘Ó, ·fi ÌfiÓÔÈ ÙÔ˘˜, ‰È΋ ÙÔ˘˜ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙË ÔÓÙfiÙËÙ·. °È· Ó· ·ÂÈÎÔÓÈÛÙ› ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ۇÓÔÏÔ ·fi ‰‡Ô ·ÓÙÈΛÌÂÓ· ··ÈÙÔ‡ÓÙ·Ó ¤Ó·˜ ÌfiÓÔ ·ÚÈıÌfi˜, ÙÔ «‰‡Ô», ¯ˆÚ›˜ Ó· ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È ϤÔÓ ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÔÓfiÌ·Ù· ÁÈ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο Û‡ÓÔÏ· Ô˘ ÂÚÈ›¯·Ó ‰‡Ô ÛÙÔȯ›·. H ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ ‰ÂÓ Ê·›ÓÂÙ·È Ó· Û˘Ó¤‚Ë Í·ÊÓÈο – Ì¿ÏÏÔÓ ‰È‹ÚÎÂÛ ÔÏÏ¿ ¯ÚfiÓÈ·. MÔÏÔÓfiÙÈ ·˘Ùfi ÌÔÚ› Ó· Ê·›ÓÂÙ·È ·Ïfi Â›Ù¢ÁÌ·, ·Ú¿ Ù·‡Ù· ·ÔÙÂÏ› Ï·ÌÚfi ¿ÏÌ· ÓÂ˘Ì·ÙÈ΋˜ ‰ÂÍÈÔÙ¯ӛ·˜. ŸÙ·Ó ÔÈ ÁˆÚÁÔ› Ù˘ ‰˘ÙÈ΋˜ AÛ›·˜ ¤·„·Ó Ó· ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È Ó¤· Û‡ÓÔÏ· Û˘Ì‚fiÏˆÓ Î·È ÔÓÔÌ¿ÙˆÓ ÁÈ· οı ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ·Ó ÌfiÓÔ ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ Û˘Ì‚fiψÓ, ·‡ÍËÛ·Ó ÂÍ·ÈÚÂÙÈο ÙËÓ ÈηÓfiÙËÙ¿ ÙÔ˘˜ Ó· ÌÔÓÙÂÏÔÔÈÔ‡Ó Î·È Ó· ηٷÓÔÔ‡Ó ÙÔÓ ÎfiÛÌÔ Ô˘ ˙Ô‡Û·Ó. ¶ÚÔÛı¤ÙÔÓÙ·˜ ‰‡Ô ηڇ‰Â˜ Î·È ÙÚÂȘ ηڇ‰Â˜ ¤¯Ô˘Ì ¤ÓÙ ηڇ‰Â˜. AÓ Î¿ÓÔ˘Ì ÙËÓ ›‰È· ÚfiÛıÂÛË Ì Ì·Ó¿Ó˜, ·›ÚÓÔ˘Ì ¤ÓÙ Ì·Ó¿Ó˜; EÌ›˜ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë ·¿ÓÙËÛË Â›Ó·È Ó·È, ·ÊÔ‡ ÁÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ, Â›Û˘, fiÙÈ ¿ÓÙ·, Û οıÂ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ, ÈÛ¯‡ÂÈ 2 + 3 = 5. ÕÚ·, ÁÂÓÈ·6. Ÿ.., ÛÂÏ. 192.

35

H MA°EIA TøN MA£HMATIKøN

ÔÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÛËÌ·ÓÙÈο ÙËÓ ÈÛ¯‡ ÙÔ˘˜. H ÈηÓfiÙËÙ· Ó· ÁÂÓÈ·ԢÌ ·˘Ùfi Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÒıËÛ ٷ Ì·ıËÌ·ÙÈο Û Ӥ˜ Î·È Û˘Ó·Ú·ÛÙÈΤ˜ ÂÚÈÔ¯¤˜, fiˆ˜ ı· ‰Ô‡Ì ÛÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ ÛÂÏ›‰Â˜.

H ‰Â‡ÙÂÚË ÌÂÁ¿ÏË ÎÈÓËÙ‹ÚÈ· ‰‡Ó·ÌË Ô˘ ¤‰ˆÛ ÒıËÛË ÛÙ· Ì·ıËÌ·ÙÈο ‹Ù·Ó Ë ·Ó¿Ù˘ÍË ÂÓfi˜ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡ Ô˘ Ó· Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ηٷÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ Î·È Ó· ¯ÂÈÚÈ˙fiÌ·ÛÙ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. •ÂΛÓËÛÂ Î·È ·˘Ùfi ·fi ÙÔ˘˜ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔ˘˜, fiÙ·Ó ¿Ú¯ÈÛ·Ó Ó· ·ÔÙ˘ÒÓÔ˘Ó ÙÔ Û¯‹Ì· ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ ÙÔ˘˜ Û ̷ϷΤ˜ ‹ÏÈΘ ÈӷΛ‰Â˜ ÚÈÓ ÙȘ „‹ÛÔ˘Ó. ø˜ ÂÎ

¶ÚˆÙÔ™Ô˘Ì¤ÚÈÔÈ

36

B·‚˘ÏÒÓÈÔÈ

¶ÚˆÙÔ™Ô˘Ì¤ÚÈÔÈ

1

10

2

11

3

12

4

20

5

30

6

40

7

50

8

60

9

600

B·‚˘ÏÒÓÈÔÈ

EIKONA 2. ∞ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÚˆÙÔ-ÛÔ˘ÌÂÚÈ΋˜ ÂÚÈfi‰Ô˘ Î·È ÙˆÓ µ·‚˘ÏˆÓ›ˆÓ.

¶PøIMH METPH™H

ÙÔ‡ÙÔ˘, ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÌÔÚÔ‡Û·Ó, ϤÔÓ, Ó· ·ÂÈÎÔÓÈÛÙÔ‡Ó Ì ÁÚ·Ù¿ ۇ̂ÔÏ·. ™ÙËÓ ·Ú¯‹, Ë ‰È·‰Èηۛ· ·˘Ù‹ ‹Ù·Ó ¤Ó·˜ ·ÌÊÈÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙÔ˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˜ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜, ·ÏÏ¿ ÙÂÏÈο ÚԤ΢„·Ó ۇ̂ÔÏ· Ô˘ ·ÓÙÈÚÔÛÒ¢·Ó ÔÌ¿‰Â˜ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ӈÓ. ™ÙËÓ ÂÈÎfiÓ· 2 ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È Ù· ÁÚ·Ù¿ ·ÚÈıÌËÙÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· Ô˘ ·Ó·Ù‡¯ıËÎ·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔ˘˜ Î·È ·ÚÁfiÙÂÚ· ·fi ÙÔ˘˜ B·‚˘ÏÒÓÈÔ˘˜, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ Î·Ù¤ÎÙËÛ·Ó ÙÔ˘˜ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔ˘˜. ™ËÌÂÈÒÛÙ fiÙÈ Î·È ÛÙ· ‰‡Ô Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·, Ù· ۇ̂ÔÏ· ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·fi ÙÔ 1 ˆ˜ ÙÔ 9 ¤¯Ô˘Ó ·ÌÊÈÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙË Û¯¤ÛË Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ¢ËÏ·‰‹, οı ÊÔÚ¿ Ô˘ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ, ·ÏÒ˜ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ¤Ó· ·ÎfiÌ· ۇ̂ÔÏÔ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜. ŸÙ·Ó fï˜ ·˘Ùfi Á›ÓÂÙ·È Ôχ ¿‚ÔÏÔ, ‰ËÏ·‰‹ ·fi ÙÔ ‰¤Î· Î·È ¿Óˆ, ÂÁηٷÏ›ÂÙ·È Ë ·ÌÊÈÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙË ·ÂÈÎfiÓÈÛË Î·È ÂÈÛ¿ÁÂÙ·È ¤Ó· Ó¤Ô Û‡Ì‚ÔÏÔ ÁÈ· ÙÔ 10. MÂÙ¿ ÙÔ 10 Â·ÓÂÚ¯fiÌ·ÛÙ Û ·ÌÊÈÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙË ·ÂÈÎfiÓÈÛË Ì¤¯ÚÈ Ó· ÊÙ¿ÛÔ˘Ì ÛÙÔ 60, fiÔ˘ ÁÈ· ÙÔ 60 ÂÈÛ¿ÁÂÙ·È ¿ÏÈ ¤Ó· Ó¤Ô Û‡Ì‚ÔÏÔ. E›Ó·È ÛËÌ·ÓÙÈÎfi Ó· ԇ̠fiÙÈ ·˘Ù¿ Ù· Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó fi¯È ÌfiÓÔ ·ÚÈıÌËÙÈο Â›ıÂÙ· ·ÏÏ¿ Î·È ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ‰ÂÓ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ϤÔÓ ÂȉÈο ·ÓÙÈΛÌÂÓ· ·ÏÏ¿ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÁÈ· οı ‰È·ÎÚÈÙfi Û‡ÓÔÏÔ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ӈÓ. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ·Ó ÌÔÚ¤ÛÔ˘Ì ӷ ¯ÂÈÚÈÛÙԇ̠·˘Ù¿ Ù· ۇ̂ÔÏ· ÁÈ· Ó· ·Ó·Î·Ï‡„Ô˘Ì ÌÈ· Û¯¤ÛË ÌÂٷ͇ ·˘ÙÒÓ, ·˘Ù‹ Ë Û¯¤ÛË ı· ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· Ì‹Ï·, Ì·Ó¿Ó˜, Û›ÙÈ·, ¿ÏÔÁ· ÎÙÏ.

Y¿Ú¯ÂÈ Î·È ÌÈ· ÙÚ›ÙË ÎÈÓËÙ‹ÚÈ· ‰‡Ó·ÌË Ô˘ ÂÂÎÙ›ÓÂÈ Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο, ÙËÓ ÔÔ›· ‰ÂÓ Û˘Ó·ÓÙ¿Ì ÛÙÔ˘˜ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔ˘˜. A˘Ù‹ Ë ÙÚ›ÙË ‰‡Ó·ÌË Â›Ó·È Ë Â¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ·Ú›ıÌËÛ˘ ·fi ÙÔ ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ Û‡ÓÔÏÔ Û ¤Ó· ·ÂÈÚÔÛ‡ÓÔÏÔ. AÓ Î·È ÔÈ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔÈ Â›¯·Ó ÌÈ· ȉ¤· ÂÚ› ·›ÚÔ˘, ·˘Ùfi ‰ÂÓ ÙÔ ‚ϤÔ˘Ì ÛÙ· Ì·ıËÌ·ÙÈο ÙÔ˘˜.

OÈ Î·Ù·ÏËÎÙÈÎÔ› AÈÁ‡ÙÈÔÈ ™ÙÔÓ ·Ú¯·›Ô ÎfiÛÌÔ ‰ÂÓ ˘‹ÚÍ ·˘ÙÔÎÚ·ÙÔÚ›· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ·˘Ù‹ ÙˆÓ AÈÁ˘Ù›ˆÓ. K·È ÌfiÓÔ ÛÙË Ì·ÎÚÔ‚ÈfiÙËÙ¿ Ù˘, ÍÂ¤Ú·Û fiϘ ÙȘ ¿ÏϘ. °È· ÔÏϤ˜ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ ¯ÚfiÓÈ· ηٿ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÔÙ·ÌÔ‡ N›ÏÔ˘, ÛÙË ‚fiÚÂÈ· AÊÚÈ΋, ˙Ô‡Û·Ó ¿ÓıÚˆÔÈ, Ô˘ ÛÙËÓ EÔ¯‹ ÙÔ˘ X·ÏÎÔ‡ (4000

37

H MA°EIA TøN MA£HMATIKøN

.X.) ¿Ú¯ÈÛ·Ó Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÔ‡Ó ÌfiÓÈÌÔ˘˜ ·ÁÚÔÙÈÎÔ‡˜ ÔÈÎÈÛÌÔ‡˜. OÈ ÔÈÎÈÛÌÔ› ·˘ÙÔ› ÂÂÎÙ¿ıËÎ·Ó Î·È ‰È·¯ˆÚ›ÛÙËÎ·Ó Û ÕÓˆ A›Á˘ÙÔ Î·È K¿Ùˆ A›Á˘ÙÔ. TÔ 3100 .X., Ô M¤Ó˜, Ô ‚·ÛÈÏÈ¿˜ Ù˘ ÕÓˆ AÈÁ‡ÙÔ˘, ¤ÓˆÛ ٷ ‰˘Ô ‚·Û›ÏÂÈ· Î·È ¿Ú¯ÈÛÂ Ë ÌÂÁ¿ÏË ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ º·Ú·Ò. KÔÓÙ¿ ÛÙÔ 2900 .X. ÔÈ AÈÁ‡ÙÈÔÈ ¿Ú¯ÈÛ·Ó Ó· ¯Ù›˙Ô˘Ó ˘Ú·Ì›‰Â˜ Î·È ÙÔ 2560 Ô K¯Ô‡ÊÔ˘ (X¤Ô·˜) ¤¯ÙÈ˙ ÙË MÂÁ¿ÏË ¶˘Ú·Ì›‰· ÙÔ˘. TÔ ‚·Û›ÏÂÈfi ÙÔ˘˜ Û˘Ó¯›ÛÙËÎÂ, ۯ‰fiÓ ¯ˆÚ›˜ ‰È·ÎÔ‹, ̤¯ÚÈ ÙÔ 525 .X., fiÙ·Ó Ô ‚·ÛÈÏÈ¿˜ Ù˘ ¶ÂÚÛ›·˜, K·Ì‚‡Û˘ Ô Bã, ÁÈÔ˜ ÙÔ˘ K‡ÚÔ˘ ÙÔ˘ MÂÁ¿ÏÔ˘, ηٷÙÚfiˆÛ ÙÔÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô AÈÁ‡ÙÈÔ º·Ú·Ò. TÂÏ›ˆÛ ¤ÙÛÈ ÌÈ· ÈÛ¯˘Ú‹ ·˘ÙÔÎÚ·ÙÔÚ›· Ô˘ ‰È·ÙËÚ‹ıËΠÂÚ›Ô˘ ÁÈ· Ù· ÚÒÙ· 2.600 ¯ÚfiÓÈ· ηٷÁÂÁÚ·Ì̤Ó˘ ÈÛÙÔÚ›·˜ ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÈÓÔ˘ ›‰Ô˘˜.

H ÂÌÊ¿ÓÈÛË Ù˘ ÁÚ·Ê‹˜ ÛÙËÓ A›Á˘ÙÔ ‹Ù·Ó ۯ‰fiÓ Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓË Ì ÙËÓ ÂÌÊ¿ÓÈÛË Ù˘ ÁÚ·Ê‹˜ ÙˆÓ ™Ô˘ÌÂÚ›ˆÓ, ·ÏÏ¿ ÔÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ ÂȉÈÎÔ› ıˆÚÔ‡Ó ÙËÓ ÂÌÊ¿ÓÈÛË Ù˘ ÁÚ·Ê‹˜ ÛÙËÓ A›Á˘ÙÔ ˘ÛÙÂÚfiÙÂÚË, ›Ûˆ˜

IÂÚÔÁÏ˘ÊÈο

38

IÂÚ·ÙÈο

IÂÚÔÁÏ˘ÊÈο

1

100

2

1.000

3

10.000

4

100.000

5

1.000.000

6

1/2

7

1/3

8

2/3

9

1/4

10

1/5

IÂÚ·ÙÈο

EIKONA 3. ∞ÚÈıÌÔ› Ù˘ ·Ú¯·›·˜ ·ÈÁ˘Ùȷ΋˜ ÈÂÚÔÁÏ˘ÊÈ΋˜ Î·È ÈÂÚ·ÙÈ΋˜ ÁÚ·Ê‹˜.

¶PøIMH METPH™H

ÂËÚ·Ṳ̂ÓÔÈ ·fi Ù· ÁÚ·Ù¿ ÙˆÓ ™Ô˘ÌÂÚ›ˆÓ. OÈ AÈÁ‡ÙÈÔÈ ·Ó¤Ù˘Í·Ó ‰˘Ô ›‰Ë Û˘Ì‚fiÏˆÓ ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙÔ˘˜ (EÈÎfiÓ· 3). TÔ ¤Ó· ‹Ù·Ó Ë Â›ÛËÌË ÁÚ·Ù‹ ÁÏÒÛÛ· ÙˆÓ ÈÂÚÔÁÏ˘ÊÈÎÒÓ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·Ó ÛÙ· ÌÓËÌ›· Î·È ÛÙ· ‰ËÌfiÛÈ· ÎÙ›ÚÈ·, ÂÓÒ Ë ¿ÏÏË ‹Ù·Ó Ë ÈÂÚ·ÙÈ΋ ÁÚ·Ù‹ ÁÏÒÛÛ· Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·Ó ÛÙȘ ηıËÌÂÚÈÓ¤˜ ÂÌÔÚÈΤ˜ Û˘Ó·ÏÏ·Á¤˜. ™ËÌÂÈÒÛÙ fiÙÈ ÔÈ ÚÒÙÔÈ ÂÓÓ¤· ·ÚÈıÌÔ› ÛÙ· ÈÂÚÔÁÏ˘ÊÈο ÂÌÊ·Ó›˙Ô˘Ó ÙÔ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi Ù˘ ·ÌÊÈÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙ˘ ·ÂÈÎfiÓÈÛ˘. °È· ÙÔ 10 ÂÈÛ¿ÁÂÙ·È Ó¤Ô Û‡Ì‚ÔÏÔ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó¤· ۇ̂ÔÏ· ÂÈÛ¿ÁÔÓÙ·È ÁÈ· ̤¯ÚÈ Î·È ÙÔ ¤Ó· ÂηÙÔÌ̇ÚÈÔ. Afi Ù· ηٷÛ΢·ÛÙÈο ÙÔ˘˜ ÂÈÙ‡ÁÌ·Ù·, Û˘ÌÂÚÈÏ·Ì‚·ÓÔÌ¤ÓˆÓ Î·È ÙˆÓ ˘Ú·Ì›‰ˆÓ Î·È ÙˆÓ Ó·ÒÓ Ï·ÙÚ›·˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ AÈÁ‡ÙÈÔÈ ·Ó¤Ù˘Í·Ó Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο ÙÔ˘˜ ÛÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ÌÈÛÔ‡ Ù˘ ÙÚ›Ù˘ ¯ÈÏÈÂÙ›·˜ ÚÔ XÚÈÛÙÔ‡.

TÔ ·Ú¯·ÈfiÙÂÚÔ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi ΛÌÂÓÔ Â›Ó·È Ô ÏÂÁfiÌÂÓÔ˜ ¶¿˘ÚÔ˜ Ù˘ MfiÛ¯·˜, Ô˘ ¯ÚÔÓÔÏÔÁÂ›Ù·È ÂÚ›Ô˘ ÛÙ· 1890 .X. ŒÓ·˜ ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ÂÚ›ÊËÌÔ˜ ¿˘ÚÔ˜, ÁÚ·Ì̤ÓÔ˜ Á‡Úˆ ÛÙ· 1650 .X., ›Ûˆ˜ Ó· Â›Ó·È ·ÓÙ›ÁÚ·ÊÔ ¿ÏÏÔ˘ ·Ï·ÈfiÙÂÚÔ˘, Ô˘ ¯ÚÔÓÔÏÔÁÂ›Ù·È ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ·fi ÙÔ 2000 ̤¯ÚÈ ÙÔ 1800 .X. TÔ fiÙÈ ÔÈ AÈÁ‡ÙÈÔÈ ÂÎÙÂÏÔ‡Û·Ó ÔχÏÔΘ Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ ÔÏϤ˜ ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜ ¯ÚfiÓÈ· ÚÈÓ ·fi ·˘Ùfi, Â›Ó·È ‚¤‚·ÈÔ ·fi ÙËÓ ÂͤٷÛË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ Ù˘ MÂÁ¿Ï˘ ¶˘Ú·Ì›‰·˜, ÔÈ Ôԛ˜ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ·ÎÚ›‚ÂÈ· ÛÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘˜ Ù˘ ٿ͈˜ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ÂηÙÔÛÙÔ‡ (1/14.000 ÙÔ˘ Û˘ÓÔÏÈÎÔ‡ ÙÔ˘˜ Ì‹ÎÔ˘˜) Î·È ·fi ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ Ù˘ MÂÁ¿Ï˘ ¶˘Ú·Ì›‰·˜, Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ÛÊ¿ÏÌ· ÙÔ Ôχ ̤¯ÚÈ 12 ‰Â‡ÙÂÚ· ÏÂÙ¿ Ù˘ ÌÔ›Ú·˜ (1/27.000 ÙˆÓ 90 ÌÔÈÚÒÓ).7 °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÔÈ AÈÁ‡ÙÈÔÈ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ·ÏÏ¿ ÌfiÓÔ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÌÔÓ¿‰·˜, fiÔ˘ Ô ·ÚÈıÌËÙ‹˜ Â›Ó·È ÙÔ 1 Î·È Ô ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÔÔÈÔÛ‰‹ÔÙ ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÁÈ· Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘Ó ÔÈ AÈÁ‡ÙÈÔÈ ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· 3/7 ÙÔ ¤ÁÚ·Ê·Ó Û·Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÌÔÓ·‰È·›ˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ 1/3 + 1/11 + 1/231. H ÌÂÁ¿ÏË ‰˘ÛÎÔÏ›· ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÂÌÊ·Ó‹˜, ·ÊÔ‡ ÌfiÓÔ ÁÈ· ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Î·È ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË ·ÏÒÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ Ú¤ÂÈ Ó· οÓÔ˘Ì ‰‡ÛÎÔÏÔ˘˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜. °È· Ó· ‰È¢ÎÔχÓÔ˘Ó ÙË ‰Ô˘ÏÂÈ¿ ÙÔ˘˜, ÔÈ AÈÁ‡ÙÈÔÈ 7. David Eugene Smith, History of Mathematics (Dover, 1951), ÛÂÏ. 43.

39

H MA°EIA TøN MA£HMATIKøN

fiÙ·Ó ¤ÚÂ ӷ οÓÔ˘Ó ÎÏ·ÛÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ÂÎÙÂÓ›˜ ›Ó·Î˜ ÌÔÓ·‰È·›ˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ.

OÈ AÈÁ‡ÙÈÔÈ ‰ÂÓ ·Ó¤Ù˘Í·Ó ¤Ó· ÈÔ ·Ô‰ÔÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ηٷÁÚ·Ê‹˜ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ÂÍ·ÈÙ›·˜ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÙˆÓ Û˘Ì‚fiÏˆÓ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó. °È· Ó· ·ÂÈÎÔÓ›ÛÔ˘Ó ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ ۯ‰›·˙·Ó ¤Ó· ÌÈÎÚfi Ô‚¿Ï ‹ ÌÈ· ÙÂÏ›· ¿Óˆ ·fi ÙÔÓ ·Î¤Ú·ÈÔ Ô˘ ·ÂÈÎfiÓÈ˙ ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜. A˘Ùfi ¤Î·Ó ‡ÎÔÏË ÙË ÁÚ·Ê‹ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ ·ÏÏ¿ ·‰‡Ó·ÙË ÙË ÁÚ·Ê‹ ÂÓfi˜ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ·ÚÈıÌËÙ‹ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙË ÌÔÓ¿‰·, ÂÎÙfi˜ ·Ó ÂÈÓÔÔ‡Û·Ó Î¿ÔÈÔ ÂȉÈÎfi ۇ̂ÔÏÔ.

K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ÂΛÓÔ Ô˘ ÂÌfi‰È˙ ÙÔ˘˜ AÈÁ‡ÙÈÔ˘˜ Ó· ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ó ÙË ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ Û ÌÈ· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ¯Ú‹ÛÈÌË ÌÔÚÊ‹, ‹Ù·Ó Ô Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ ÙÔ˘˜.

OÈ AÈÁ‡ÙÈÔÈ, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙËÓ ÈηÓfiÙËÙ¿ ÙÔ˘˜ Ó· ÂÎÙÂÏÔ‡Ó ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘, Ù˘ ·Ê·›ÚÂÛ˘, ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ Î·È Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ Ì ÌÂÁ¿ÏË ·ÎÚ›‚ÂÈ·, ÌÔÚÔ‡Û·Ó Ó· ÂÈÏ‡Ô˘Ó ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ô˘˜ ¿ÏÁ‚ڷ˜: ˘ÔÏfiÁÈ˙·Ó ÂÌ‚·‰¿ ηÓÔÓÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, fiˆ˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Î·È ÙÚ·Â˙›ˆÓ, ηıÒ˜ Î·È ÙÔ˘˜ fiÁÎÔ˘˜ Î˘Ï›Ó‰ÚˆÓ Î·È ˘Ú·Ì›‰ˆÓ.

™Ô˘Ì¤ÚÈÔÈ Î·È B·‚˘ÏÒÓÈÔÈ

40

K·Ù¿ ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· Ù˘ ÙÚ›Ù˘ ¯ÈÏÈÂÙ›·˜ .X., Î·È ÂÓÒ ÔÈ AÈÁ‡ÙÈÔÈ Îˆ‰ÈÎÔÔÈÔ‡Û·Ó Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο ÙÔ˘˜ Î·È ¤¯ÙÈ˙·Ó Ó·Ô‡˜ Î·È ˘Ú·Ì›‰Â˜, ÔÈ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔÈ ·Ó¤Ù˘ÛÛ·Ó Â›Û˘ Ù· ‰Èο ÙÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈο. TÔ Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘ ÙˆÓ ™Ô˘ÌÂÚ›ˆÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÛÂ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi Û˘Ì‚fiÏˆÓ ÁÈ· ÙÔ 10 Î·È ÙÔ 60, Î·È Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi ˆ˜ ÂÍËÎÔÓÙ·‰ÈÎfi. Afi ÙÔ 2400 .X. ›¯·Ó ·Ú¯›ÛÂÈ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÎÏ¿ÛÌ·Ù·. M ÙÔ ÂÍËÎÔÓÙ·‰ÈÎfi ÙÔ˘˜ Û‡ÛÙËÌ· ÌÔÚÔ‡Û·Ó Ó· ÁÚ¿ÊÔ˘Ó Ôχ ÌÂÁ¿ÏÔ˘˜ ·ÏÏ¿ Î·È Ôχ ÌÈÎÚÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. K·È ÂÓÒ ÔÈ AÈÁ‡ÙÈÔÈ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ÌfiÓÔ Ù· ÌÔÓ·‰È·›· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ÔÈ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔÈ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ n/60 ‹ n/602. A˘Ùfi ÙÔ ÂÙ‡¯·ÈÓ·Ó ÁÚ¿ÊÔÓÙ·˜ ·ÏÒ˜ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi n Î·È ÂÚÈ̤ÓÔÓÙ·˜ ·fi ÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË Ó· ηٷϿ‚ÂÈ ·Ó Ô ·ÚÈıÌfi˜ ¤ÚÂ ӷ ›ӷÈ

¶PøIMH METPH™H

Ô n ‹ Ô n/60. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÙÔ 30 ÁÚ·ÊfiÙ·Ó <<<, fiÔ˘ οı < ·ÂÈÎÔÓ›˙ÂÈ ÙÔ 10. TÔ ÎÏ¿ÛÌ· 1/2 ÁÚ·ÊfiÙ·Ó Â›Û˘ <<<, Ô˘ Û‹Ì·ÈÓ 30/60 ‹ 1/2. TÔ ÏÂÔÓ¤ÎÙËÌ· ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÙˆÓ ™Ô˘ÌÂÚ›ˆÓ ‹Ù·Ó fiÙÈ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÌÔÚÔ‡Û·Ó Ó· ÁÚ·ÊÙÔ‡Ó Î·È Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó Â‡ÎÔÏ·. TÔ ÌÂÈÔÓ¤ÎÙËÌ· ‹Ù·Ó fiÙÈ Ô ·Ó·ÁÓÒÛÙ˘ ¤ÚÂ ӷ ηٷϷ‚·›ÓÂÈ ·fi ÙÔ Î›ÌÂÓÔ ·Ó ÂÚfiÎÂÈÙÔ ÁÈ· ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ‹ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·.

H ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ÙfiÛÔ ·fi ÙÔ˘˜ AÈÁ‡ÙÈÔ˘˜ fiÛÔ Î·È ·fi ÙÔ˘˜ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔ˘˜ Â›Ó·È ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ÁÈ·Ù› ÛËÌ·ÙÔ‰ÔÙ› ÙËÓ ÚÒÙË ÌÂÁ¿ÏË Â¤ÎÙ·ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·Ú›ıÌËÛ˘ – ‰ËÏ·‰‹ ÙËÓ Â¤ÎÙ·ÛË ·fi ÙÔ˘˜ ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ (·ÚÈıÌÔ‡˜ ·Ú›ıÌËÛ˘) Û ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·˘ÍË̤ÓÔ˘˜ ηٿ ̤ÚË ·ÎÂÚ·›ˆÓ (ÎÏ¿ÛÌ·Ù·). Afi ÙËÓ ¿Ô„Ë ÙÔ˘ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡, ϤÌ fiÙÈ ÎÏ¿ÛÌ· Â›Ó·È Î¿ı ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÁÚ¿ÊÂÙ·È Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ p/q, fiÔ˘ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› p Î·È q Â›Ó·È ıÂÙÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ. TÔ Û‡ÛÙËÌ· ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ, ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÂÊfiÛÔÓ Î¿ı ·Î¤Ú·ÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ n ÌÔÚ› Ó· ÁÚ·Ê›, ˆ˜ ÎÏ¿ÛÌ·, Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ n/1. A˘Ùfi ·ÔÙÂÏ› ¤Ó· ¿ÏÏÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ù˘ ÈÛ¯‡Ô˜ Ù˘ ÁÂÓ›Î¢Û˘, ÙËÓ ÔÔ›· ·Ó·Ê¤Ú·Ì ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜. OÈ ·Ú¯·›ÔÈ, ÁÂÓÈ·ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡, Ì ÙÚfiÔ Ô˘ Ó· ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ÙÔ˘˜ ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ Î·È Ù· ıÂÙÈο ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ·‡ÍËÛ·Ó ÛËÌ·ÓÙÈο ÙË ‰‡Ó·ÌË ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Ó· ·ÂÈÎÔÓ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ Ê˘ÛÈÎfi ÎfiÛÌÔ. °È· Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Û ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ, ÙÔ ÌfiÓÔ Ô˘ ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙÂ Â›Ó·È ÔÈ ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›, ·ÏÏ¿ fiÙ·Ó Ú¤ÂÈ Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì οÙÈ Û ̤ÚË, ÙfiÙ ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ ٷ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·. K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Á›ÓÔÓÙ·È ··Ú·›ÙËÙ· ÛÙȘ ηٷÛ΢¤˜ ÎÙÈÚ›ˆÓ, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÌÂÙÚËıÔ‡Ó Ì‹ÎË. ™ÙË Û˘Ì‚ÔÏÈ΋ ÁÚ·Ê‹, ÔÈ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔÈ ÍÂ¤Ú·Û·Ó ÙÔ˘˜ AÈÁ‡ÙÈÔ˘˜, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ·Ú¤ÌÂÈÓ·Ó ÚÔÛÎÔÏÏË̤ÓÔÈ ÛÙ· ÌÔÓ·‰È·›· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·. M ÙÔ ÂÍËÎÔÓÙ·‰ÈÎfi ÙÔ˘˜ Û‡ÛÙËÌ·, ÔÈ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔÈ ÌÔÚÔ‡Û·Ó Ó· ÚÔÛÂÁÁ›ÛÔ˘Ó Î¿ı ÎÏ¿ÛÌ·.

H ÔÏÈÙÈ΋ ÈÛ¯‡˜ ÙˆÓ ™Ô˘ÌÂÚ›ˆÓ ÌÂÙ·ÙÔÈ˙fiÙ·Ó ·Ó¿ÌÂÛ· Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ fiÏÂȘ ̤¯ÚÈ ÙÔ 1763 .X., fiÙ·Ó Ô X·ÌÔ˘Ú·Ì›, ‚·ÛÈÏÈ¿˜ ÙˆÓ B·‚˘ÏˆÓ›ˆÓ, Ó›ÎËÛ ÙÔÓ P·Ì-™ÈÓ, ‚·ÛÈÏÈ¿ Ù˘ §¿ÚÛ·, Ù˘ ÈÛ¯˘ÚfiÙÂÚ˘ fiÏ˘. ŒÙÛÈ ÙÂÏ›ˆÛÂ Ë ·˘ÙÔÎÚ·ÙÔÚ›· ÙˆÓ ™Ô˘ÌÂÚ›ˆÓ Î·È ¿Ú¯ÈÛ Ë, ‰È¿ÚÎÂÈ·˜ 1.200 ÂÙÒÓ, ÈÛÙÔÚ›· Ù˘ B·‚˘ÏÒÓ·˜, Ô˘ ˘‹ÚÍÂ Ë ‰Â‡ÙÂÚË

41

H MA°EIA TøN MA£HMATIKøN

42

ÌÂÁ¿ÏË ·˘ÙÔÎÚ·ÙÔÚ›· ÛÙËÓ ·Ú¯·›· ‰˘ÙÈ΋ AÛ›·. O ¶¤ÚÛ˘ ‚·ÛÈÏÈ¿˜ K‡ÚÔ˜ Ô M¤Á·˜, ·Ù¤Ú·˜ ÙÔ˘ K·Ì‚‡ÛË ÙÔ˘ Bã, Ô˘ Î·Ù¤Ï˘Û ÙËÓ ·˘ÙÔÎÚ·ÙÔÚ›· Ù˘ AÈÁ‡ÙÔ˘, ‹Ù·Ó ·˘Ùfi˜ Ô˘ Ó›ÎËÛ ÙÔ˘˜ B·‚˘ÏÒÓÈÔ˘˜ ÙÔ 539 .X. Î·È ¤‚·Ï ٤ÏÔ˜ ÛÙÔ ‚·Û›ÏÂÈfi ÙÔ˘˜.

OÈ B·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ˘ÈÔı¤ÙËÛ·Ó ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ÁÚ·Ê‹˜ Î·È Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο ÙˆÓ ™Ô˘ÌÂÚ›ˆÓ ηÈ, ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ·Ó¤Ù˘Í·Ó ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ Î·È Ù· ‰‡Ô. OÈ B·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ÌÔÚÔ‡Û·Ó Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ó ÙȘ ıÂÙÈΤ˜ Ú›˙˜ ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈˆÓ ÂÍÈÛÒÛˆÓ, Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ax2 + bx + c = 0, fiÔ˘ a, b Î·È c ÛÙ·ıÂÚ¤˜.

OÈ ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÔ˘Ó ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¤Ó·Ó fiÚÔ ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô Ë ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ Â›Ó·È ˘„ˆÌ¤ÓË ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ. MÔÚÔ‡Û·Ó, Èı·ÓfiÓ, Ó· χÛÔ˘Ó Î·È ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÙÚÈÙÔ‚¿ıÌȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ, ax3 + bx2 + cx + d = 0, ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ Â›¯·Ó ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÈ ÁÂÓÈ΋ χÛË ÁÈ· Ù¤ÙÔȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ. XÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ›Ó·Î˜ ÁÈ· Ó· ‚ÚÔ˘Ó ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ·Ó·ÙÔÎÈÛÌÒÓ Î·È Â›¯·Ó οÔÈ· ȉ¤· ÁÈ· ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ £ÂÒÚËÌ·, Ô˘ ϤÂÈ fiÙÈ Û οı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ÙˆÓ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ù˘ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·˜. ŒÎ·Ó·Ó Â›Û˘ ·ÚÎÂÙ¿ ηϤ˜ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂȘ ÁÈ· ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ 2 .

TÔ ÂÍËÎÔÓÙ·‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ ™Ô˘ÌÂÚ›ˆÓ Î·È ÙˆÓ B·‚˘ÏˆÓ›ˆÓ ¤ÊÙ·Û ̤¯ÚÈ ÙȘ ̤Ú˜ Ì·˜. EΛÓÔÈ ‰È·›ÚÂÛ·Ó ÙËÓ Ë̤ڷ Û 24 ÒÚ˜, ÙËÓ ÒÚ· Û 60 ÏÂÙ¿ Î·È ÙÔ ÏÂÙfi Û 60 ‰Â˘ÙÂÚfiÏÂÙ·. Afi ÙÔ 2000 .X. ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ËÌÂÚÔÏfiÁÈÔ 360 ËÌÂÚÒÓ, ‰È·ÈÚÂ̤ÓÔ Û 12 Ì‹Ó˜ ÙˆÓ 30 ËÌÂÚÒÓ. °È· Ó· ‰ÈÔÚıÒÛÔ˘Ó ÙÔ Ï¿ıÔ˜ ÙˆÓ 5 ÂÚ›Ô˘ ËÌÂÚÒÓ ·Ó¿ ¤ÙÔ˜, ÚfiÛıÂÙ·Ó ¤Ó·Ó ÂÌ‚fiÏÈÌÔ Ì‹Ó· οı ¤ÍÈ ¯ÚfiÓÈ·. E›Û˘, ‰È·›ÚÂÛ·Ó ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Û 360 ÌÔ›Ú˜, Èı·ÓfiÓ ÂÍ·ÈÙ›·˜ ÙˆÓ 360 ËÌÂÚÒÓ ÙÔ˘ ¤ÙÔ˘˜ ÙÔ˘˜. ¢ÂÓ Ú¤ÂÈ Ó· ÍÂÁÂÏ·ÛÙÔ‡ÌÂ Î·È Ó· ÈÛÙ¤„Ô˘Ì fiÙÈ ÔÈ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔÈ, ÔÈ B·‚˘ÏÒÓÈÔÈ Î·È ÔÈ AÈÁ‡ÙÈÔÈ ‹Ù·Ó ÔÈ ÌÔÓ·‰ÈÎÔ› ÂÊ¢ڤÙ˜ ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. ™ÙËÓ K›Ó·, ÛÙËÓ IÓ‰›· Î·È ÛÙËÓ KÂÓÙÚÈ΋ AÌÂÚÈ΋ Û˘Ó¤‚ËÛ·Ó ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ˜ ÂÍÂÏ›ÍÂȘ. ¶·Ú¿ Ù·‡Ù·, Û‹ÌÂÚ· ·Ó·ÁÓˆÚ›˙ÂÙ·È fiÙÈ ÔÈ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔÈ Î·È ÔÈ AÈÁ‡ÙÈÔÈ ˘‹ÚÍ·Ó ÔÈ ÚˆÙÔfiÚÔÈ. H ÂfiÌÂÓË Ì·ÙÈ¿ Ì·˜ ı· Â›Ó·È ÚÔ˜ ÙËÓ Î·Ù‡ı˘ÓÛË ÙˆÓ ·Ú¯·›ˆÓ EÏÏ‹ÓˆÓ Î·È ÛÙÔÓ ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô ¿ÏÏ·Í·Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ ÚfiÛˆÔ ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ.