Libro proposiciones

AUTORES:    

KEVIN TOMALÁ.

ANDRES ABRIL. JHON VANEGAS. MARIA FERNANDA CHONG.

Índice.

1.

Lógica Matemática. ........................................................................................................1 1.1

Tabla de verdad......................................................................................................1

1.2

Operadores lógicos. ................................................................................................2

1.2.2 Conjunción. ........................................................................................................2 1.2.3 Disyunción Inclusiva. ...........................................................................................3 1.2.4 Disyunción Exclusiva ...........................................................................................3 1.2.5 Condicional. .......................................................................................................3 1.2.6 Bicondicional. .....................................................................................................4 1.2.7 Material de apoyo. ..............................................................................................4 1.2.8 Formas proposicionales ..........................................................................................4 1.2.9 Implicación lógica................................................................................................4 1.2.10

Equivalencia lógica ..........................................................................................5

1.2.11

Propiedades de los Operadores lógicos .............................................................5

1.2.12

Leyes de los Operadores fundamentales Conjunción y Disyunción .......................6

1.2.13

Leyes de Implicaciones Lógicas. ........................................................................7

1.2.14 1.2.15

Razonamientos. ..................................................................................................7 Material de Apoyo...........................................................................................8

Bibliografía....................................................................................................................8

1. LĂłgica MatemĂĄtica.

Texto. Un significado matemĂĄtico; que tiene un valor de cero o uno.

PreposiciĂłn. Es una unidad semĂĄntica que o solo es verdadera o solo es falsa.

Ejemplo:   

5 es un nĂşmero primo. Verdadero.

Vicente Rocafuerte fue presidente del Ecuador. Verdadero.

Todos los nĂşmeros enteros son negativos. Falso.

Las proposiciones se representan con letras minĂşsculas.

ProposiciĂłn.

Valor de verdad .

đ?’‘: 5 es un nĂşmero primo.

1

đ?’’: Vicente Rocafuerte fue presidente de Ecuador.

1

đ?’“: Todos los nĂşmeros enteros son negativos.

0

1.1 Tabla de verdad.

Una tabla de verdad es una representaciĂłn de los posibles valores de verdad que podrĂ­a tomar una preposiciĂłn. đ?’‘ 0 1

đ?’‘ 0 0 1 1

đ?’’ 0 1 0 1

đ?’‘ 0 0 0 0 1 1 1 1

đ?’’ 0 0 1 1 0 0 1 1

đ?’“ 0 1 0 1 0 1 0 1

Nota: El nĂşmero de combinaciones posibles es denotado por đ?&#x;?đ?’? donde n es el nĂşmero de proposiciones.

1

1.2 Operadores lĂłgicos.

1.2.1

NegaciĂłn. (ÂŹ)

Sus expresiones gramaticales son: “No�, “No es cierto que�, “No es verdad que�, “Ni�.

Sean đ?‘? y đ?‘ž proposiciones, su negaciĂłn se representa en las siguientes tablas de verdad: Ejemplos: đ?’‘: 5 es un nĂşmero primo. 1 ÂŹđ?’‘: 5 no es un nĂşmero primo. 0

đ?’’: No quiero hacer el viaje. ÂŹđ?’’: Quiero hacer el viaje.

1.2.2

đ?’‘ 0 1

ÂŹđ?’‘ 1 0

đ?’’ 0 1

ÂŹđ?’’ 1 0

ConjunciĂłn. (∧)

Sus expresiones gramaticales son: “yâ€?, “peroâ€?, “masâ€?, y signos de puntuaciĂłn como: “.â€?, “,â€?, “;â€?.

Sean đ?‘? y đ?‘ž proposiciones, la conjunciĂłn entre đ?‘? y đ?‘ž, representada por đ?‘? ∧ đ?‘ž, es una nueva proposiciĂłn cuyo valor estĂĄ dado por la siguiente tabla de verdad:

đ?’‘ 0 0 1 1

đ?’’ 0 1 0 1

đ?’‘ ∧đ?’’ 0 0 0 1

Ejemplos: �: Obtengo buenas notas. �: Gano una beca.   



đ?‘? ∧ đ?‘ž Obtengo buenas notas y gano una beca. ÂŹđ?‘? ∧ đ?‘ž No obtengo buenas notas pero obtengo una beca. đ?‘? ∧ ÂŹđ?‘ž Obtengo buenas notas mas no gano una beca. ÂŹđ?‘? ∧ ÂŹđ?‘ž No obtengo buenas notas, ni obtengo mi beca.

2

1.2.3

DisyunciĂłn Inclusiva. (∨)

Su expresiĂłn gramatical es: “oâ€?.

Sean đ?‘? y đ?‘ž proposiciones, la disyunciĂłn entre đ?‘? y đ?‘ž, representado por đ?‘? ∨ đ?‘ž, es una nueva proposiciĂłn cuyo valor estĂĄ dado por la siguiente tabla de verdad: đ?’‘: Tengo un libro de fĂ­sica.

đ?’‘

đ?’’

đ?’‘∨đ?’’

đ?’’: Tengo un libro de Ă lgebra.

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

đ?’‘ ∨ đ?’’: Tengo un libro de fĂ­sica o tengo una Ă lgebra.

1.2.4

Disyunción Exclusiva ( ⊝)

Sus expresiones gramaticales son: “O soloâ€?, “O solamenteâ€?, “O‌ oâ€?, “oâ€?.

Sean đ?‘? y đ?‘ž proposiciones, la disyunciĂłn exclusiva entre đ?‘? y đ?‘ž, representado por đ?‘? ⊝ đ?‘ž, es una nueva proposiciĂłn cuyo valor estĂĄ dado por la siguiente tabla de verdad: đ?’‘: Estoy en Quito. đ?’’: Estoy en Guayaquil. đ?’‘ ⊝ đ??Ş: O estoy en Quito o estoy en Guayaquil.

1.2.5

đ?’‘

đ?’’

�⊝�

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

Condicional. (→)

Sus expresiones gramaticales son: “Si đ?‘?‌ entonces đ?‘žâ€Śâ€?, “đ?‘? solo si đ?‘žâ€?, “đ?‘? solamente si đ?‘žâ€?, “đ?‘ž si đ?‘?â€?, “Si đ?‘?, đ?‘žâ€?, “đ?‘ž con la condiciĂłn de que đ?‘?â€?, “cuando đ?‘?, đ?‘žâ€?, “đ?‘ž cuando đ?‘?â€?, “đ?‘ž siempre que đ?‘?â€?, “đ?‘ž cada vez que đ?‘?â€?, “đ?‘ž ya que đ?‘?â€?, “đ?‘? implica đ?‘žâ€?, “đ?‘ž puesto que đ?‘?â€?, “đ?‘ž porque đ?‘?â€?, “Se tiene đ?‘ž, si se tiene đ?‘?â€?, “SĂłlo si đ?‘ž, đ?‘?â€?, “đ?‘ž pues đ?‘?â€?. đ?’‘: Juan estĂĄ durmiendo. đ?’’: Juan estĂĄ soĂąando. đ?’‘ → đ??Ş: Si Juan estĂĄ durmiendo entonces estĂĄ soĂąando.

đ?’‘ 0 0 1 1

đ?’’ 0 1 0 1

� →� 1 1 0 1

Inversa � → � Recíproca � → � Contrarecíproca � → �

3

Bicondicional. (↔)

1.2.6

Sean p y q proposiciones, la bicondicional entre đ?‘? y đ?‘ž, representada simbĂłlicamente por đ?‘? ↔ đ?‘ž, es una nueva proposiciĂłn, cuyo valor de verdad estĂĄ dado por la siguiente tabla de verdad:

đ?’‘ 0 0 1 1

đ?’’ 0 1 0 1

�↔� 1 0 0 1

Material de apoyo.

1.2.7

Operadores lĂłgicos. https://youtu.be/z8lmWke5gro Ejercicios resueltos. https://www.zweigmedia.com/MundoReal/logic/logicex1.html

Formas proposicionales.

1.2.8

Es una proposiciĂłn compuesta: [( đ?‘? → đ?‘ž) ∧ đ?‘? ] → đ?‘? đ?’‘

đ?’’

(� → �)

[(đ?’‘ → đ?’’) ∧ đ?’‘]

[( đ?’‘ → đ?’’) ∧ đ?’‘ ] → đ?’‘

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

  

TautologĂ­a: Cuando todas las respuestas son verdaderas.

ContradicciĂłn: Cundo todas sus respuestas son falsas.

Contingencia: Cuando hay respuestas verdaderas y respuestas falsas.

ImplicaciĂłn lĂłgica.

Sean đ??´ y đ??ľ 2 formas proposicionales se dice que đ??´ implica lĂłgicamente a đ??ľ,

1.2.9

denotada por đ??´ ⇛ đ??ľ si y solo si đ??´ → đ??ľ es tautologĂ­a.

Verificar si đ??´ ⇛ đ??ľ siendo [(đ?‘? → đ?‘ž) ∧ (đ?‘ž → đ?‘&#x;)] ⇒ (đ?‘? → đ?‘&#x;) 4

đ?’‘

đ?’’

đ?’“

�→�

�→ �

� →�

(đ?’‘ → đ?’’) ∧ (đ?’’ → đ?’“)

[(đ?’‘ → đ?’’) ∧ (đ?’’ → đ?’“)] → (đ?’‘ → đ?’“)

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1.2.10 Equivalencia lĂłgica Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A equivale lĂłgicamente a B, denotado po r A si y solo si đ??´ ↔ đ??ľ es una tautologĂ­a đ??´ = đ??ľ (đ?‘? → đ?‘ž) ⇔ (ÂŹđ?‘ž → ÂŹđ?‘?) đ?’‘

đ?’’

ÂŹđ?’‘

ÂŹđ?’’

�→�

� → �

(� → �) ↔ (� → �)

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1.2.11 Propiedades de los Operadores lĂłgicos CONJUNCIĂ“N (đ?’‘ ∧ đ?’’) ≥ (đ?’’ ∧ đ?’‘) [(đ?’‘ ∧ đ?’’) ∧ đ?’“] ≥ [đ?’‘ ∧ (đ?’’ ∧ đ?’“)] (đ?’‘ ∧ đ?’‘) ≥ đ?’‘ (đ?’‘ ∧ đ?&#x;?) ≥ đ?’‘ (đ?’‘ ∧ đ?&#x;Ž) ≥ đ?&#x;Ž

Conmutativa Asociativa Idempotencia Identidad AbsorciĂłn

DISYUNCIĂ“N (đ?‘? ∨ đ?‘ž) ≥ (đ?‘ž ∨ đ?‘?) [(đ?‘? ∨ đ?‘ž) ∨ đ?‘&#x;] ≥ [đ?‘? ∨ (đ?‘ž ∨ đ?‘&#x;)] (đ?‘? ∨ đ?‘?) ≥ đ?‘? (đ?‘? ∨ 0) ≥ đ?‘? (đ?‘? ∨ 1) ≥ 1 5

1.2.12 Leyes de los Operadores fundamentales Conjunciรณn y Disyunciรณn

ยฌ๐ โ ก ๐ ยฌ๐ โ ก ๐

Negaciรณn

ยฌ(ยฌ๐ ) โ ก ๐ ๐ โ จ (๐ โ ง ๐ ) โ ก (๐ โ จ ๐ ) โ ง (๐ โ จ ๐ ) ๐ โ ง (๐ โ จ ๐ ) โ ก (๐ โ ง ๐ ) โ จ (๐ โ ง ๐ )

Doble Negaciรณn o Involutiva Distributivas

ยฌ(๐ โ ง ๐ ) โ ก (ยฌ๐ โ จ ยฌ๐ ) ยฌ(๐ โ จ ๐ ) โ ก (ยฌ๐ โ ง ยฌ๐ )

De Morgan

(๐ โ จ ยฌ๐ ) โ ก ๐

Tercero Excluido

(๐ โ ง ยฌ๐ ) โ ก ๐

Contradicciรณn

(๐ โ ๐ ) โ ก (ยฌ๐ โ ยฌ๐ )

Contrapositiva o Contrarrecรญproca Implicaciรณn

(๐ โ ๐ ) โ ก (ยฌ๐ โ จ ๐ ) (ยฌ๐ โ ๐ ) โ ก (๐ โ จ ๐ ) ยฌ(๐ โ ยฌ๐ ) โ ก (๐ โ ง ๐ ) [(๐ โ ๐ ) โ ง (๐ โ ๐ )] โ ก [(๐ โ จ ๐ ) โ ๐ ] [(๐ โ ๐ ) โ ง (๐ โ ๐ )] โ ก [๐ โ (๐ โ ง ๐ )] [(๐ โ ง ๐ ) โ ๐ ] โ ก [๐ โ (๐ โ ๐ )]

Exportaciรณn

(๐ โ ๐ ) โ ก [(๐ โ ง ยฌ๐ ) โ ๐ ]

Reducciรณn al Absurdo

(๐ โ ๐ ) โ ก [(๐ โ ๐ ) โ ง (๐ โ ๐ )] (๐ โ ๐ ) โ ก (๐ โ ๐ )

Equivalencia

6

1.2.13 Leyes de Implicaciones LĂłgicas.

FORMA SIMBÓLICA �⇒�

TAUTOLOGĂ?A Trivial

đ?’‘ ⇒ (đ?’‘ ∨ đ?’’)

AdiciĂłn

(đ?’‘ ∧ đ?’’) ⇒ đ?’‘

SimplificaciĂłn

[(đ?’‘ → đ?’’) ∧ đ?’‘] ⇒ đ?’’

Modus Ponendo Ponens SuposiciĂłn del Antecedente

[(đ?’‘ → đ?’’) ∧ ÂŹđ?’’] ⇒ ÂŹđ?’‘

Modus Tolendo Tollens NegaciĂłn del Consecuente

[(đ?’‘ ∨ đ?’’) ∧ (ÂŹđ?’‘)] ⇒ đ?’’

Silogismo Disyuntivo

[(đ?’‘ → đ?’’) ∧ (đ?’“ → đ?’”)] ⇒ [(đ?’‘ ∧ đ?’“) → (đ?’’ ∧ đ?’”)] [(đ?’‘ → đ?’’) ∧ (đ?’“ → đ?’”)] ⇒ [(đ?’‘ ∨ đ?’“) → (đ?’’ ∨ đ?’”)]

Dilemas Constructivos

[(đ?’‘ → đ?’’) ∧ (đ?’’ → đ?’“)] ⇒ (đ?’‘ → đ?’“) [(đ?’‘ ↔ đ?’’) ∧ (đ?’’ ↔ đ?’“)] ⇒ (đ?’‘ ↔ đ?’“)

Transitividad o Silogismo HipotĂŠtico

1.2.14 Razonamientos.

[đ??ť1 ∧ đ??ť2 ∧ đ??ť3 . . .∧ đ??ťđ?‘›]

→

CONDICIONAL OPERADOR LĂ“GICO

ANTECEDENTE

đ??ś

CONCLUCION

Un razonamiento es vĂĄlido cuando la forma proposicional que representa su estructura lĂłgica es una tautologĂ­a.

Si trabajo arduamente gano un buen sueldo, pero no gano un buen sueldo. Por lo tanto, no trabajo arduamente. đ?‘?: Trabajo arduamente.

[(đ?‘? → đ?‘ž) ∧ ÂŹđ?‘ž] → ÂŹđ?‘?

đ?‘ž: Gano un buen sueldo.

đ?’‘ 0 0 1 1

đ?’’ 0 1 0 1

ÂŹđ?’’ 1 0 1 0

�→� 1 1 0 1

(đ?’‘ → đ?’’) ∧ ÂŹđ?’’ 1 0 0 0

(đ?’‘ → đ?’’) ∧ ÂŹđ?’’ → ÂŹđ?’‘ 1 1 1 1

7

1.2.15 Material de Apoyo.

Ejercicio de Razonamiento resueltos.

https://youtu.be/AfgW-N9p1-4 http://matematica1.com/logica-proposicional-ejercicios-resueltos-de-nivelpreuniversitario-pdf/

Bibliografía 1, M. (27 de Julio de 2006). Matematica 1. Obtenido de http://matematica1.com/logicaproposicional-ejercicios-resueltos-de-nivel-preuniversitario-pdf/ Arevalo, A. (24 de Junio de 2014). Profe Alexz. Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=AfgW-N9p1-4 Costenoble, S. W. (Diciembre de 2012). Introducción a la Lógica. Obtenido de www.zweigmedia.com: https://www.zweigmedia.com/MundoReal/logic/logicex1.html Ing. Baquerizo, G., Ing. Ramos, M., & Ing. Solís, S. (2006). Fundamentos de Matemáticas.

Guayaquil .

Vera, J. C. (10 de Agosto de 2014). Jean Carlos Palma Vera. Obtenido de Youtube : https://www.youtube.com/watch?v=z8lmWke5gro

8