Libro 2 conjuntos grupo 3

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AUTORES: KEVIN TOMALÁ, ANDRES ABRIL, JHON VANEGAS, MARIA FERNANDA CHONG.

Índice. 1.

Conjuntos......................................................................................................................1 1.2

Definición ..............................................................................................................1

1.3

Ejemplos ...............................................................................................................1

1.4

Descripción de conjuntos. .......................................................................................1

1.5

Definición de Cardinalidad. ......................................................................................1

1.6

Cuantificadores. .....................................................................................................2

1.6.1 Subconjunto ..........................................................................................................2 1.6.2 Conjunto Potencia. .................................................................................................2 1.6.3 Relaciones entre conjuntos. ........................................................................................2 1.6.3.1

Igualdad entre conjuntos .....................................................................................2

1.6.3.2

Conjuntos disjuntos e intersecantes......................................................................2

1.7

Operaciones entre conjuntos.......................................................................................3

1.7.1 Unión entre conjuntos. ...........................................................................................3 1.8

Intersección entre conjuntos ...................................................................................3

1.8.1 Diferencia entre conjuntos ......................................................................................3 1.8.2 Diferencia simétrica entre conjuntos ........................................................................4 1.8.3 Complementación de conjuntos...............................................................................4 1.8.4 Material de Apoyo. .................................................................................................4 1.9

Propiedades de las Operaciones entre Conjuntos. .........................................................5

1.10

Leyes de las Operaciones Fundamentales Unión e Intersección ......................................5

1.11

Predicados.................................................................................................................6

1.12

Conjunto de verdad de un predicado. .......................................................................6

1.13

Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores ...............................................6

1.14

Material de Apoyo. .................................................................................................6

Bibliografía ...........................................................................................................................7

1. Conjuntos. 1.2 DefiniciĂłn Un conjunto es una colecciĂłn, reuniĂłn o agrupaciĂłn de objetos que poseen una caracterĂ­stica o propiedad comĂşn bien definida. 1.3 Ejemplos Algunas agrupaciones que representan conjuntos son:

  

Los nĂşmeros enteros. Los habitantes de la Luna. Los animales en extinciĂłn.

1.4 Descripción de conjuntos.       

Por COMPRENSIĂ“N, para referirnos a alguna caracterĂ­stica de los elementos. A = {x/x es consonante de la palabra amistad. Por EXTENSIĂ“N o TABULACIĂ“N, cuando se listan todos los elementos. A = {d, m, s, t} Por medio de DIAGRAMAS DE VENN, cuando se desea representarlo grĂĄficamente:

 đ??´ đ?‘Ą

đ?‘‘

đ?‘š

đ?‘

1.5 DefiniciĂłn de Cardinalidad. Es la cantidad de elementos de un conjunto A. Se denota por el sĂ­mbolo N(A). Conjuntos relevantes Sea đ??´ un conjunto, se pueden dar los siguientes casos:     

đ??´ es VACĂ?O si no tiene elementos. El sĂ­mbolo que se utiliza para representar al conjunto vacĂ­o es: ∅. đ?‘ (đ??´) = 0 A es UNITARIO si tiene un Ăşnico elemento. đ?‘ (đ??´) = 1 A es FINITO si tiene una cantidad finita de elementos. A es INFINITO si no tiene una cantidad finita de elementos. A es REFERENCIAL o UNIVERSO cuando contiene todos los elementos que deseen considerarse en un problema, discurso o tema, sin pretender contener 1

todo lo que no interesa al problema. El sĂ­mbolo que se utiliza para representar a este conjunto es đ?‘…đ?‘’ o đ?‘ˆ

1.6 Cuantificadores. 



Cuantificador Universal: Cualquier expresiĂłn de la forma: “para todoâ€?, “todoâ€?, “para cadaâ€?, “cadaâ€?, constituye en el lenguaje formal un cuantificador universal y se simboliza por medio de ∀. Cuantificador Existencial: Cualquier expresiĂłn de la forma: “existeâ€?, “algĂşnâ€?, “algunosâ€?, “por lo menos unoâ€?, “basta que unoâ€?, constituye en el lenguaje formal un cuantificador existencial y se simboliza por medio de ∃. 1.6.1 Subconjunto

El conjunto đ??´ es subconjunto de đ??ľ si y sĂłlo si los elementos de đ??´ estĂĄn contenidos en đ??ľ. SimbĂłlicamente, este concepto se representa por: (đ??´ ⊆ đ??ľ) ⇔ ∀đ?‘Ľ[(đ?‘Ľ ∈ đ??´) → (đ?‘Ľ ∈ đ??ľ)] Si đ??´ es subconjunto de đ??ľ (đ??´ ⊆ đ??ľ) pero đ??ľ no es subconjunto de đ??´ (đ??ľ ⊈ đ??´), se dice que đ??´ es SUBCONJUNTO PROPIO de đ??ľ, lo cual se representa por: (đ??´ ⊂ đ??ľ ) ⇔ [(đ??´ ⊆ đ??ľ ) ∧ ÂŹ(đ??´ = đ??ľ )] 1.6.2 Conjunto Potencia. Dado un conjunto đ??´, su conjunto potencia es aquel que estĂĄ formado por todos los subconjuntos posibles de đ??´. El sĂ­mbolo que se utiliza para este conjunto es đ?‘ƒ(đ??´) . đ?‘ƒ(đ??´) = {đ??ľ/đ??ľ ⊆ đ??´} La cardinalidad del conjunto potencia de đ??´ se denota como đ?‘ (đ?‘ƒ(đ??´)) y es igual a 2đ?‘ (đ??´). 1.6.3 Relaciones entre conjuntos. 1.6.3.1 Igualdad entre conjuntos Dos conjuntos đ??´ y đ??ľ son iguales si y sĂłlo si tienen los mismos elementos. Es decir, ambos conjuntos se contienen mutuamente. SimbĂłlicamente, este concepto se representa por: (đ??´ = đ??ľ ) ⇔ [(đ??´ ⊆ đ??ľ ) ∧ (đ??ľ ⊆ đ??´)] 1.6.3.2 Conjuntos disjuntos e intersecantes. Los conjuntos đ??´ y đ??ľ son DISJUNTOS si y sĂłlo si đ??´ y đ??ľ no tienen elementos en comĂşn. Los conjuntos đ??´ y đ??ľ son INTERSECANTES si y sĂłlo si đ??´ y đ??ľ tienen al menos un elemento comĂşn. 2

1.7 Operaciones entre conjuntos. 1.7.1 UniĂłn entre conjuntos. La uniĂłn entre los conjuntos đ??´ y đ??ľ es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto đ??´ o al conjunto đ??ľ. Se denota por đ??´ âˆŞ đ??ľ y se define como: đ??´ âˆŞ đ??ľ = {đ?‘Ľ/(đ?‘Ľ ∈ đ??´) ∨ (đ?‘Ľ ∈ đ??ľ)}

1.8 IntersecciĂłn entre conjuntos La intersecciĂłn entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. Se denota por A∊B y se define como: đ??´ ∊ đ??ľ = {đ?‘Ľ/(đ?‘Ľ ∈ đ??´) ∧ (đ?‘Ľ ∈ đ??ľ)}

1.8.1 Diferencia entre conjuntos

La diferencia entre conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero que no pertenecen al conjunto B. Se denota por AB y se define como: đ??´ − đ??ľ = {đ?‘Ľ/đ?‘Ľ ∊ đ??´) ∧ â”?(đ?‘Ľ ∊ đ??ľ)}

3

1.8.2 Diferencia simĂŠtrica entre conjuntos La diferencia simĂŠtrica entre los conjuntos đ??´ y đ??ľ es un nuevo conjunto formado pĂłr los elementos que pertenecen o al conjunto A o al conjunto B. Se denota por đ??´âˆ†đ??ľ = (đ??´ − đ??ľ)đ?‘ˆ(đ??ľ − đ??´).

1.8.3 ComplementaciĂłn de conjuntos La complementaciĂłn de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A. Se denota por AC y se define como: đ??´đ?‘? = {đ?‘Ľ/(đ?‘Ľ ∈ đ?‘…đ?‘’) ∧ ÂŹ(đ?‘Ľ ∈ đ??´)}

đ??´đ?‘?

1.8.4 Material de Apoyo. https://www.youtube.com/watch?v=i-rTQFUKzmo https://www.youtube.com/watch?v=KK8r3WOOBdk

4

1.9 Propiedades de las Operaciones entre Conjuntos.

UNIĂ“N đ??€âˆŞ đ?? = đ?? âˆŞđ??€ ( đ??€ âˆŞ đ?? ) âˆŞ đ??‚ = đ??€ âˆŞ (đ?? âˆŞ đ??‚) đ??€ âˆŞđ??€ = đ??€ đ??€âˆŞâˆ… = đ??€ đ??€ âˆŞ đ??‘đ??ž = đ??‘đ??ž

1.10

Conmutativa Asociativa Idempotencia Identidad AbsorciĂłn

INTERSECCIĂ“N A∊ B = B∊A ( đ??€ ∊ đ?? ) ∊ đ??‚ = đ??€ ∊ (đ?? ∊ đ??‚) đ??€ ∊đ??€ = đ??€ đ??€ ∊ Re = đ??€ đ??€âˆŠ ∅= ∅

Leyes de las Operaciones Fundamentales UniĂłn e IntersecciĂłn

∅đ?‘Ş = đ?‘šđ?’† (đ?‘šđ?’†) đ?‘Ş = ∅

ComplementaciĂłn

(đ??€đ?‘Ş ) đ?‘Ş = đ?‘¨

Doble ComplementaciĂłn o Involutiva

đ?‘¨ âˆŞ (đ?‘Š ∊ đ?‘Ş) = (đ?‘¨ âˆŞ đ?‘Š) ∊ (đ?‘¨ âˆŞ đ?‘Ş) đ?‘¨ ∊ (đ?‘Š âˆŞ đ?‘Ş) = (đ?‘¨ ∊ đ?‘Š) âˆŞ (đ?‘¨ ∊ đ?‘Ş)

Distributivas

(đ?‘¨ ∊ đ?‘Š) đ?‘Ş = đ?‘¨đ?‘Ş âˆŞ đ?‘Šđ?‘Ş (đ?‘¨ âˆŞ đ?‘Š)đ?‘Ş = đ?‘¨đ?‘Ş âˆŠ đ?‘Šđ?‘Ş

De Morgan

đ?‘¨ âˆŞ đ?‘¨đ?‘Ş = đ?‘šđ?’† đ??€ ∊ đ??€đ??‚ đ?‘Ş = ∅

[(A⊆C) Ë„(A⊆C)]⇔[(AâˆŞB) ⊆C] [(A⊆C) Ë„(A⊆C)]⇔[(A⊆B) ∊C] (A=B) ⇔[(A⊆B) Ë„(B⊆A)] (đ??€ = đ?? ) ⇔ (đ?? = đ??€)

Transitividad ReducciĂłn al absurdo Equivalencia

đ??€ ∊ đ?? ≠∅ â&#x;š (đ??€ ≠∅)Ë„(đ?? ≠∅) đ??€ âˆŞ đ?? = ∅ ⇔ (đ??€ = ∅)Ë„(đ?? = ∅) (đ??€ ∊ đ?? = đ??‘đ??ž) ⇔ (đ??€ = đ??‘đ??ž)Ë„(đ?? = đ??‘đ??ž) đ??€ − (đ?? âˆŞ đ??‚) = (đ??€ − đ?? ) ∊ (đ??€ − đ??‚) 5

đ??€ − (đ?? ∊ đ??‚) = (đ??€ − đ?? ) âˆŞ (đ??€ − đ??‚) ∅⊆đ??€ đ??€âŠ†đ??€ [(đ??€ ⊆ đ?? )Ë„(đ?? ⊆ đ??‚)] â&#x;š (đ??€ ⊆ đ??‚) [(đ??€ ⊆ đ?? )Ë„(đ??‚ ⊆ đ??ƒ)] â&#x;š [(đ??€ ∊ đ??‚) ⊆ (đ?? ∊ đ??ƒ)]

Transitividad

[(đ??€ ⊆ đ?? )Ë„(đ??‚ ⊆ đ??ƒ)] â&#x;š [(đ??€ ∊ đ??‚) ⊆ (đ?? ∊ đ??ƒ)] ComplementaciĂłn Doble ComplementaciĂłn o Involutiva đ?‘¨ âˆŞ (đ?‘Š ∊ đ?‘Ş) = (đ?‘¨ âˆŞ đ?‘Š) ∊ (đ?‘¨ âˆŞ đ?‘Ş) đ?‘¨ ∊ (đ?‘Š âˆŞ đ?‘Ş) = (đ?‘¨ ∊ đ?‘Š) âˆŞ (đ?‘¨ ∊ đ?‘Ş)

Distributivas De Morgan

1.11

Predicados.

Son expresiones en tĂŠrminos de una variable que al ser reemplazadas por los elementos de un conjunto referencial, se convierten en proposiciones. Si đ?‘Ľ representa a cualquier elemento de đ?‘…đ?‘’, entonces la expresiĂłn đ?‘?(đ?‘Ľ) se definirĂĄ como predicado. La notaciĂłn para los predicados serĂĄ: p(x), q(x), r(x), etc. 1.12

Conjunto de verdad de un predicado.

Es el conjunto formado por todos los elementos de Re para los cuales el predicado se convierte en una proposiciĂłn verdadera. La notaciĂłn a utilizar para este conjunto es đ??´đ?‘?(đ?‘Ľ), y se define como: đ??´đ?‘?(đ?‘Ľ) = {đ?‘Ľ/(đ?‘Ľ ∈ đ?‘…đ?‘’) ∧ (đ?‘?(đ?‘Ľ) ⇔ 1)} 1.13

Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores

Una proposiciĂłn que contiene un cuantificador universal es verdadera si y sĂłlo si el conjunto de verdad del predicado es igual al conjunto referencial de la expresiĂłn abierta. ∀đ?‘Ľđ?‘?(đ?‘Ľ) ⇔ (đ??´đ?‘?(đ?‘Ľ) = đ?‘…đ?‘’) Una proposiciĂłn con un cuantificador existencial es verdadera si y sĂłlo si el conjunto de verdad del predicado no es vacĂ­o. ∃đ?‘Ľđ?‘?(đ?‘Ľ) ⇔ ÂŹ(đ??´đ?‘?(đ?‘Ľ) = ∅) ObsĂŠrvese que si a ∈ đ?‘…đ?‘’, los siguientes enunciados hipotĂŠticos: ∀đ?‘Ľđ?‘?(đ?‘Ľ) ⇒ đ?‘?(đ?‘Ž) đ?‘?(đ?‘Ž) ⇒ ∃đ?‘Ľđ?‘?(đ?‘Ľ) 1.14

Material de Apoyo.

https://www.youtube.com/watch?v=_ycfej1OUMs https://www.google.com.ec/amp/s/www.lifeder.com/clases-de-conjuntos/amp/

6

Bibliografía Alex. (13 de Marzo de 2012). Problemas conjuntos 201. Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=i-rTQFUKzmo Cruz, L. (15 de Febrero de 2016). www.lifeder.com. Obtenido de 13 Clases de Conjuntos y Ejemplos: https://www.lifeder.com/clases-de-conjuntos/ Ing. Baquerizo, G., Ing. Ramos, M., & Ing. Solís, S. (2006). Fundamentos de Matemáticas. Guayaquil . TEORIA DE CONJUNTOS.EJERCICIO(10 DE 15). (28 de Octubre de 2014). Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=_ycfej1OUMs Usando las leyes del álgebra de conjuntos simplificar. (9 de Enero de 2015). Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=KK8r3WOOBdk

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