Libro proposiciones

AUTORES:    

KEVIN TOMALÁ.

ANDRES ABRIL. JHON VANEGAS. MARIA FERNANDA CHONG.

Índice.

1. Lógica Matemática...................................................................................................1 1.1

Tabla de verdad..................................................................................................1

1.2

Operadores lógicos..........................................................................................2

1.2.2 Conjunción.........................................................................................................2 1.2.3 Disyunción Inclusiva....................................................................................3 1.2.4 Disyunción Exclusiva ..................................................................................3 1.2.5 Condicional.......................................................................................................3 1.2.6 Bicondicional....................................................................................................4 1.2.7 Material de apoyo.........................................................................................4 1.2.8 Formas proposicionales..................................................................................4 1.2.9 Implicación lógica..........................................................................................5 1.2.10 Equivalencia lógica...................................................................................5 1.2.11 Propiedades de los Operadores lógicos.......................................6 1.2.12 Leyes de los Operadores fundamentales Conjunción y Disyunción.....................................................................................................................6 1.2.13 Leyes de Implicaciones Lógicas........................................................7 1.2.14 Razonamientos...............................................................................................7 1.2.15 Material de Apoyo.....................................................................................8 Bibliografía....................................................................................................................8

1. Lógica Matemática.

Texto. Un significado matemático; que tiene un valor de cero o uno.

Preposición. Es una unidad semántica que o solo es verdadera o solo es falsa.

Ejemplo:   

5 es un número primo. Verdadero.

Vicente Rocafuerte fue presidente del Ecuador. Verdadero.

Todos los números enteros son negativos. Falso.

Las proposiciones se representan con letras minúsculas.

Proposición.

Valor de verdad.

p : 5 es un número primo.

1

q : Vicente Rocafuerte fue presidente de

1

Ecuador.

r : Todos los números enteros son

0

negativos.

1.1

Tabla de verdad.

Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una preposición. p

0 1

p

0 0 1 1

q

0 1 0 1

p

0 0 0 0 1 1 1 1

q

r

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

Nota: El número de combinaciones posibles es denotado n por 2 donde n es el número proposiciones.

de

1

1.2

Operadores lógicos.

1.2.1 Negación. ( ¬ ) Sus expresiones gramaticales son: “No”, “No es cierto que”, “No es verdad que”, “Ni”.

Sean

p y q proposiciones, su negación se representa en las siguientes tablas de

verdad:

Ejemplos: p : 5 es un número primo. 1 ¬ p : 5 no es un número primo. 0

p 0 1

q : No quiero hacer el viaje. ¬q : Quiero hacer el viaje.

¬p 1 0

q

¬q

0 1

1 0

1.2.2 Conjunción. ( ∧ ) Sus expresiones gramaticales son: “y”, “pero”, “mas”, y signos de puntuación como: “ .”, “,”, “;”.

Sean

p y q proposiciones, la conjunción entre

p y q , representada por

p∧ q , es una nueva proposición cuyo valor está dado por la siguiente tabla de verdad: p 0 0 1 1

q

p∧ q

0 1 0 1

0 0 0 1

Ejemplos: p : Obtengo buenas notas. q : Gano una beca.  

p∧ q Obtengo buenas notas y gano una beca. ¬ p ∧q No obtengo buenas notas pero obtengo una beca.

2





p∧ ¬q Obtengo buenas notas mas no gano una beca. ¬ p ∧¬ q No obtengo buenas notas, ni obtengo mi beca.

1.2.3 Disyunción Inclusiva. ( ∨ ) Su expresión gramatical es: “o”.

Sean

p y q proposiciones, la disyunción entre

p y q , representado por

p∨ q , es una nueva proposición cuyo valor está dado por la siguiente tabla de verdad: p : Tengo un libro de física.

p

q

q : Tengo un libro de Álgebra.

0 0 1 1

0 1 0 1

p∨ q : Tengo un libro de física o tengo una Álgebra.

p∨ q 0 1 1 1

1.2.4 Disyunción Exclusiva ( ⊻ ) Sus expresiones gramaticales son: “O solo”, “O solamente”, “O… o”, “o”.

Sean

p y q proposiciones, la disyunción exclusiva entre

representado por

p y q ,

p ⊻ q , es una nueva proposición cuyo valor está dado por la siguiente

tabla de verdad:

p : Estoy en Quito. q : Estoy en Guayaquil. p ⊻ q : O estoy en Quito o estoy en Guayaquil.

p

q

p⊻q

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1.2.5 Condicional. ( → ) Sus expresiones gramaticales son: “Si solamente si

q ”, “ q si

p ”, “Si

p … entonces q …”, “ p solo si q ”, “ p

p , q ”, “ q con la condición de que

p ”, 3

“cuando

p , q ”, “ q cuando

p ”, “ q ya que

p ”, “ q siempre que

p ”, “ p implica q ”, “ q puesto que

p ”, “Se tiene q , si se tiene

p ”, “Sólo si q ,

p ”, “ q porque

p ”, “ q pues

p : Juan está durmiendo. q : Juan está soñando. p→ q : Si Juan está durmiendo entonces está soñando.

Inversa

p ”, “ q cada vez que p ”.

p

q

p→ q

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 0 1

p

q

p↔ q

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 0 1

¬ p →¬ q

Recíproca

q→ p

Contrarecíproca ¬q → ¬ a

1.2.6 Bicondicional.

(↔)

Sean p y q proposiciones, la bicondicional entre , representada simbólicamente por

p y q

p↔ q , es una nueva

proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

1.2.7 Material de apoyo.

Operadores lógicos. https://youtu.be/z8lmWke5gro Ejercicios resueltos. https://www.zweigmedia.com/MundoReal/logic/logicex1.html

1.2.8 Formas proposicionales.

4

Es una proposición compuesta: [( p→ q)∧ p]→ p

p

q

( p →q)

[( p→ q)∧ p]

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

  

[( p→ q)∧ p]→ p

Tautología: Cuando todas las respuestas son verdaderas.

Contradicción: Cundo todas sus respuestas son falsas.

Contingencia: Cuando hay respuestas verdaderas y respuestas falsas.

1.2.9 Implicación lógica.

Sean A y B 2 formas proposicionales se dice que lógicamente a B , denotada por

A ⇛B

si y solo si

A

implica

A →B

es

tautología.

Verificar si A ⇛ B siendo [( p→ q) ∧(q → r)]⇒ (p → r )

p q 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

r 0 1 0 1 0 1 0 1

p→ q 1 1 1 1 0 0 1 1

q→r 1 1 0 1 1 1 0 1

p→ r

( p →q)∧(q → r)

1 1 1 1 0 1 0 1

1 1 0 1 0 0 0 1

[( p→ q) ∧(q → r)]→( p →r ) 1 1 1 1 1 1 1 1

1.2.10 Equivalencia lógica

5

Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A equivale lógicamente a B, denotado por A si y solo si

A ↔ B es una tautología

A=B

( p →q)⇔ (¬q → ¬ p) p

q

¬p

¬q

p→ q

¬q → ¬ p

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

1

( p →q)↔(¬ q →¬ p)

1.2.11 Propiedades de los Operadores lógicos CONJUNCIÓN

DISYUNCIÓN

( p ∧q) ≡( q ∧ p)

Conmutativa

( p ∨q) ≡(q ∨ p)

[( p∧ q) ∧r ]≡[ p ∧(q ∧ r)]

Asociativa

[( p∨ q)∨r ]≡[ p ∨(q ∨ r)]

( p ∧ p)≡ p

Idempotencia

( p ∨ p)≡ p

( p ∧1) ≡ p

Identidad

( p ∨0)≡ p

( p ∧0)≡ 0

Absorción

( p ∨1)≡1

1.2.12 Leyes de los Operadores fundamentales Conjunción y Disyunción

¬0 ≡1 ¬1 ≡ 0 ¬(¬ p)≡ p

p∨(q ∧ r )≡( p ∨q)∧( p ∨ r) p∧(q ∨ r )≡( p ∧q)∨( p ∧ r) ¬( p ∧ q)≡(¬ p ∨ ¬q)¬( p ∨ q)≡(¬ p ∧ ¬q)

Negación Doble Negación o Involutiva Distributivas De Morgan

6

( p ∨¬ p)≡ 1

Tercero Excluido

( p ∧¬ p)≡ 0

Contradicción Contrapositiva o Contrarrecíproca Implicación

( p →q) ≡(¬q → ¬ p)

( p →q) ≡(¬ p ∨q)(¬ p → q) ≡(p ∨ q)¬( p →¬ q) ≡( p ∧ q) [( p→ r )∧(q → r )]≡[(p ∨ q)→ r ] [( p→ q) ∧( p → r )]≡[ p →(q ∧r )]

[( p∧ q) →r ]≡[ p →(q →r )]

Exportación

( p →q) ≡[( p ∧¬q )→ 0]

Reducción al Absurdo

( p ↔q) ≡[( p →q)∧(q → p)]( p ↔ q)≡( q ↔ p)

Equivalencia

1.2.13 Leyes de Implicaciones Lógicas.

FORMA SIMBÓLICA

p⇒ p

TAUTOLOGÍA Trivial

p⇒ ( p ∨q)

Adición

( p ∧q)⇒ p

Simplificación

[( p→ q) ∧ p]⇒q

Modus Ponendo Ponens Suposición del Antecedente

[( p→ q) ∧¬ q]⇒¬ p

Modus Tolendo Tollens Negación del Consecuente

[( p∨ q) ∧(¬ p)]⇒ q

Silogismo Disyuntivo 7

[( p→ q) ∧(r → s)]⇒[( p ∧r )→(q ∧ s)]

Dilemas Constructivos

[( p→ q) ∧(r → s)]⇒[( p ∨r )→(q ∨ s)] [( p→ q) ∧(q → r)]⇒ (p → r )

Transitividad o Silogismo Hipotético

[( p↔ q) ∧(q ↔ r)]⇒ (p ↔ r ) 1.2.14 Razonamientos.

[H 1 ∧ H 2 ∧ H 3 ...∧ Hn]→C

CONDICIONAL OPERADOR LÓGICO

ANTECEDENTE

CONCLUCION

Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que representa su estructura lógica es una tautología.

Si trabajo arduamente gano un buen sueldo, pero no gano un buen sueldo. Por lo tanto, no trabajo arduamente.

[ ( p → q ) ∧¬ q ] →¬ p

p : Trabajo arduamente.

q : Gano un buen sueldo. p

q

0 0 1 1

0 1 0 1

¬q 1 0 1 0

p→ q

( p →q)∧¬ q

1 1 0 1

1 0 0 0

( p →q) ∧¬ q →¬ p 1 1 1 1

1.2.15 Material de Apoyo.

Ejercicio de Razonamiento resueltos.

https://youtu.be/AfgW-N9p1-4 http://matematica1.com/logica-proposicional-ejercicios-resueltos-denivel-preuniversitario-pdf/

8

Bibliografía 1, M. (27 de Julio de 2006). Matematica 1. Obtenido de http://matematica1.com/logicaproposicional-ejercicios-resueltos-de-nivel-preuniversitario-pdf/ Arevalo, A. (24 de Junio de 2014). Profe Alexz. Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=AfgW-N9p1-4 Costenoble, S. W. (Diciembre de 2012). Introducción a la Lógica. Obtenido de www.zweigmedia.com: https://www.zweigmedia.com/MundoReal/logic/logicex1.html Ing. Baquerizo, G., Ing. Ramos, M., & Ing. Solís, S. (2006). Fundamentos de Matemáticas.

Guayaquil .

Vera, J. C. (10 de Agosto de 2014). Jean Carlos Palma Vera. Obtenido de Youtube : https://www.youtube.com/watch?v=z8lmWke5gro

9