Autores: Kevin Tomalá, María Fernanda Chong, Jhon Vanegas, Andrés Abril.
Índice. 1.
Trigonometría................................................................................................................1 1.1
Ángulos y sus medidas. ...........................................................................................1
1.1.1 Semirrecta .........................................................................................................1 1.1.2 Ángulo...............................................................................................................1 1.1.3 Signos de las Medidas de los Ángulos. ...................................................................1 1.2
Clases de ángulos. ..................................................................................................2
1.2.1 Coterminales. .....................................................................................................2 1.2.2 Consecutivos. .....................................................................................................2 1.2.3 Adyacentes ........................................................................................................2 1.2.4 Complementarios. ..............................................................................................3 1.2.5
Suplementarios...............................................................................................3
1.2.6 Opuestos por el vértice........................................................................................3 1.3
Triángulos. .............................................................................................................3
1.3.1 Clasificación de triángulos por la longitud de sus lados............................................3 1.3.2 Clasificación de triángulos por la medida de sus ángulos. ........................................4 1.3.3 Propiedades. ......................................................................................................5 1.4
Teorema de Thales. ................................................................................................5
1.5
Congruencia y semejanza de Triángulos. ...................................................................5
1.6
Ángulo de elevación y ángulo de depresión. ..............................................................7
1.7
Resolución de triángulos. ........................................................................................8
1.7.1 Triángulos rectángulos.........................................................................................8 1.7.2 Triángulos no rectángulos. ...................................................................................9 1.8
Superficie y área. .................................................................................................. 10
1.9
Volúmenes de cuerpos en el espacio. ..................................................................... 11
Bibliografía ......................................................................................................................... 12
1. TrigonometrĂa. LĂnea recta.
Paralelas .
Perpendiculares . đ??´
đ??ś
Oblicuas
đ??ˇ
đ?›˝
đ??ľ
1.1 Ă ngulos y sus medidas. 1.1.1
Semirrecta
Una semirrecta es la parte de una recta que estĂĄ a un lado de la misma, desde un punto fijo llamado extremo y se extiende indefinidamente en una sola direcciĂłn. 1.1.2
Ă ngulo
Es la uniĂłn de dos semirrectas que se intersecan en sus extremos. đ??ś
âˆĄđ??´đ??ľđ??ś = âˆĄ đ??ľ đ??ľ
1.1.3
đ??´
Signos de las Medidas de los Ă ngulos.
Positivos: Se miden en sentido anti-horario. Negativo: Se miden en sentido horario.
1
1.2 Clases de ĂĄngulos. 1.2.1
Coterminales.
Son aquellos ångulos que tienen los mismos lados inicial y terminal. Sean � =
đ?œ‹ 3
đ?‘Śđ?›˝ =−
5đ?œ‹ 3
. Graficando se observa que los ĂĄngulos son coterminales.
đ?‘Ś −
5đ?œ‹ 3 đ?œ‹ 3
�
đ?›˝ đ?‘Ľ
1.2.2
Consecutivos.
Dos ĂĄngulos de un mismo plano son consecutivos cuando sĂłlo tienen un lado en comĂşn.
đ?›˝
1.2.3
�
Adyacentes
Dos ĂĄngulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes son semirrectas en la misma direcciĂłn, pero en sentido contrario. La suma de las medidas de estos ĂĄngulos es 180Âş.
� �
2
1.2.4
Complementarios.
Dos ångulos son complementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de un ångulo recto: � + � = 90º.
� � 1.2.5
Suplementarios
Dos ångulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de dos ångulos rectos: � + � = 180º.
� �
1.2.6
Opuestos por el vĂŠrtice.
Dos ångulos se dicen opuestos por el vÊrtice cuando los lados de uno de ellos son semirrectas opuestas a los lados del otro, verificåndose que � = �.
đ?›˝
�
1.3 TriĂĄngulos.
Un triĂĄngulo es un polĂgono de tres lados. Dados tres puntos no colineales đ??´, đ??ľ y đ??ś, ĂŠstos determinan el triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś. 1.3.1
ClasificaciĂłn de triĂĄngulos por la longitud de sus lados.
Escaleno: Es un triĂĄngulo que no tiene lados congruentes. IsĂłsceles: Es un triĂĄngulo que tiene dos lados congruentes. 3
EquilĂĄtero: Es un triĂĄngulo que tiene sus tres lados congruentes .
đ??ś
đ?‘Ž
đ?‘?
đ??´
đ??ś
đ??ś
đ??ľ đ?‘? Triangulo Escaleno.
1.3.2
đ?‘Ž
đ?‘?
đ??´
đ?‘? Triangulo EquilĂĄtero.
đ?‘Ž
đ?‘? đ??´
đ??ľ
đ?‘? Triangulo IsĂłsceles.
đ??ľ
ClasificaciĂłn de triĂĄngulos por la medida de sus ĂĄngulos.
EquiĂĄngulo: Es un triĂĄngulo que tiene sus tres ĂĄngulos congruentes. RectĂĄngulo: Es un triĂĄngulo que tiene un ĂĄngulo recto. AcutĂĄngulo: Es un triĂĄngulo que tiene tres ĂĄngulos agudos. ObtusĂĄngulo: Es un triĂĄngulo que tiene un ĂĄngulo obtuso.
Triangulo RectĂĄngulo.
Triangulo EquiĂĄngulo.
Triangulo Agudo.
Triangulo Obtuso.
4
1.3.3 Propiedades.  La suma de las medidas de los ångulos interiores en todo triångulo es 180º.  La suma de las medidas de los ångulos agudos de un triångulo rectångulo, es igual a 90º.  Los ångulos interiores de un triångulo equilåtero miden 60º.  En todo triångulo, la medida de un ångulo exterior es la suma de las medidas de los ångulos interiores no contiguos.  En todo triångulo, la medida de un ångulo exterior es mayor que cualquier ångulo interior no adyacente.  La suma de las medidas de los ångulos exteriores de cualquier triångulo es igual a la medida de cuatro ångulos rectos (360º).  Todo triångulo equiångulo es equilåtero, y viceversa, todo triångulo equilåtero es equiångulo.
1.4 Teorema de Thales. Dado un conjunto de al menos tres rectas paralelas, intersecadas por dos transversales, las rectas paralelas determinan en las rectas secantes segmentos correspondientes proporcionales. đ??´â€˛
đ??´
đ??ľâ€˛
đ??ľ
đ??śâ€˛
đ??ś
đ??ˇâ€˛
đ??ˇ
1.5 Congruencia y semejanza de TriĂĄngulos. En la prĂĄctica, es muy Ăştil poder determinar con rapidez la congruencia de triĂĄngulos. Para ello existen los siguientes criterios: đ?‘ƒ
đ??´
đ??ś
đ??ľ
�
đ?‘„
Criterio LAL (LADO-Ă NGULO-LADO): Dos triĂĄngulos son congruentes si tienen un ĂĄngulo de igual medida, formado por lados de longitudes iguales. 5
đ?‘ƒ
đ??´
đ??ľ
đ??ś
�
đ?‘„
Criterio ALA (Ă NGULO-LADO-Ă NGULO): Dos triĂĄngulos son congruentes si tienen un lado de igual longitud y los ĂĄngulos adyacentes a ese lado son correspondientemente de igual medida.
đ??´
đ??ľ
đ?‘ƒ
đ??ś
đ?‘„
S
Criterio LLL (LADO-LADO-LADO): Dos triĂĄngulos son congruentes si tienen sus lados de longitudes respectivamente iguales.
đ??´ đ?‘ƒ
đ??ľ
đ??ś
�
đ?‘„
Criterio AA (Ă NGULO-Ă NGULO): Dos triĂĄngulos son semejantes si tienen dos ĂĄngulos respectivamente de igual medida
6
đ??´ đ?‘ƒ
đ??ľ
đ?‘„
�
đ??ś
Criterio ALL (Ă NGULO-LADO-LADO): Dos triĂĄngulos son semejantes si tienen un ĂĄngulo con igual medida y las longitudes de los lados de ese đ??ľđ??ś đ??´đ??ś ĂĄngulo son proporcionales; esto es, = = đ?‘˜; y, ademĂĄs đ?‘š( âˆĄđ??ś) = đ?‘†đ?‘„
đ?‘ƒđ?‘„
đ?‘š(âˆĄ đ?‘„)
đ??´ đ?‘ƒ
đ??ľ
đ??ś
đ?‘„
�
Criterio LLL (LADO-LADO-LADO): Dos triĂĄngulos son semejantes si las đ??´đ??ľ đ??´đ??ś đ??ľđ??ś longitudes de sus tres lados son proporcionales: = = =đ?‘˜ đ?‘ƒđ?‘†
đ?‘ƒđ?‘„
��
1.6 Ă ngulo de elevaciĂłn y ĂĄngulo de depresiĂłn. Si una persona estĂĄ mirando hacia arriba un objeto, el ĂĄngulo agudo medido desde la horizontal a la lĂnea de visiĂłn del objeto se denomina ĂĄngulo de elevaciĂłn. Por otro lado, si la persona estĂĄ mirando hacia abajo un objeto, el ĂĄngulo agudo medido desde la lĂnea de observaciĂłn del objeto y la horizontal, se denomina ĂĄngulo de depresiĂłn. LĂnea de vista. đ?›˝
�
Es Angulo � de elevación. � Es Angulo de depresión. 7
1.7 Resolución de triángulos. 1.7.1
Triángulos rectángulos.
1.7.1.1 Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.
𝛾 = 90º =
𝛼
𝑐
𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 2
𝑏 Teorema de Pitágoras. 𝛾
𝛽
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
𝑎 1.7.1.2 Funciones trigonométricas.
𝐬𝐢𝐧 𝜶 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝐜𝐨𝐬 𝜶 =
𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒕𝒂𝒏 𝜶 = 𝐜𝐬𝐜 𝜶 =
=
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
=
𝒃
=
𝒂
=
𝐜𝐨𝐭 𝜶 =
𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
=
=
𝒃 𝒂
𝐬𝐢𝐧 𝜷 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝐜𝐨𝐬 𝜷 =
𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒕𝒂𝒏 𝜷 =
𝒃
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝒄
𝒄
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝐬𝐞𝐜 𝜶 =
𝒂
𝒄 𝒃
𝒄 𝒂
𝐜𝐬𝐜 𝜷 =
=
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
=
𝒂
=
𝒃 𝒂
=
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝐜𝐨𝐭 𝜷 =
𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
=
=
𝒄
𝒄
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝐬𝐞𝐜 𝜷 =
𝒃
𝒄 𝒃
𝒄 𝒂
𝒂 𝒃
8
1.7.2
TriĂĄngulos no rectĂĄngulos.
1.7.2.1 Ley de los senos. La ley de los senos es la relaciĂłn entre los lados y ĂĄngulos de triĂĄngulos no rectĂĄngulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relaciĂłn de la longitud de un lado de un triĂĄngulo al seno del ĂĄngulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ĂĄngulos en un triĂĄngulo dado. En ∆đ??´đ??ľđ??ś es un triĂĄngulo oblicuo con lados a, b y c, entonces:
�
đ?‘?
�
đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘Ž đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘? đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘? = = sin đ?›ź sin đ?›˝ sin đ?›ž
đ?‘?
đ?›˝
đ?‘Ž 1.7.2.2 Ley de los Cosenos. La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triĂĄngulo oblicuo (no rectĂĄngulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ĂĄngulo incluido son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. La ley de los cosenos establece:
�
đ?‘Ž 2 = đ?‘? 2 + đ?‘? 2 − 2đ?‘?đ?‘? cos đ?›ź
đ?‘?
đ?‘?
đ?‘? 2 = đ?‘Ž 2 + đ?‘? 2 − 2đ?‘Žđ?‘? cos đ?›˝ đ?‘? 2 = đ?‘Ž 2 + đ?‘? 2 − 2đ?‘Žđ?‘? cos đ?›ž
�
đ?›˝ đ?‘Ž
9
1.8 Superficie y área. Figura Geométrica Cuadrado 𝑎: 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑: 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙
Rectángulo 𝑎, 𝑏: 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
Triángulo 𝑎, 𝑏, 𝑐: 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 ℎ 𝑐 : 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑎 𝑐
Paralelogramo 𝑎, 𝑏: 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 ℎ: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 Rombo 𝑎: 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝐷, 𝑑: 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑦 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 Trapecio 𝑎, 𝑐: 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠 𝑏, 𝑑: 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 ℎ: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
Representación
Perímetro 𝑃𝑒𝑟 = 4𝑎
Área 𝐴 = 𝑎2 𝐴 =
𝑃𝑒𝑟 = 2(𝑎 + 𝑏)
𝑃𝑒𝑟 = 𝑎 + 𝑏+ 𝑐
2
𝐴 = 𝑎𝑏
𝐴 =
𝑃𝑒𝑟 = 2(𝑎 + 𝑏)
𝑐 ∙ ℎ𝑐 2
𝐴 = 𝑎ℎ
𝑃𝑒𝑟 = 4𝑎
𝑃𝑒𝑟 = 𝑎 +𝑏 +𝑐 + 𝑑
𝑑2
𝐴 =
𝑑𝐷 2
𝐴
𝑎 +𝑐 )ℎ =( 2
10
1.9 VolĂşmenes de cuerpos en el espacio. Nombre Cubo
Dibujo
Volumen đ?‘˝ = đ?’‚đ?&#x;‘
ParalelepĂpedo
đ?‘˝= đ?’‚∙ đ?’ƒâˆ™ đ?’„
Prisma
đ?‘˝ = đ?‘¨đ?‘Š ∙ đ?‘Ż
Cilindro
đ?‘˝ = đ?‘¨đ?‘Š ∙ đ?‘Ż
PirĂĄmide
đ?‘˝=
đ?&#x;? đ?‘¨ ∙đ?‘Ż đ?&#x;‘ đ?‘Š
Cono
đ?‘˝=
đ?&#x;? đ?‘¨ ∙đ?‘Ż đ?&#x;‘ đ?‘Š
Esfera
đ?‘˝=
đ?&#x;’ đ??…đ?‘šđ?&#x;‘ đ?&#x;‘
11
1.10
Material de apoyo.
.http://www.vadenumeros.es/cuarto/triangulos-rectangulos.htm http://ficus.pntic.mec.es/dbab0005/triangulos/Geometria/tema5/tema5.html
Bibliografía ficus. (17 de julio de 2014). ficus. Obtenido de Triángulos No Rectángulos: http://ficus.pntic.mec.es/dbab0005/triangulos/Geometria/tema5/tema5.html Ing. Baquerizo, G., Ing. Ramos, M., & Ing. Solís, S. (2006). Fundamentos de Matemáticas. Guayaquil . Tutors, V. (25 de julio de 2015). Varsity tutors. Obtenido de Ley de los cosenos: https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/law-of-cosines Tutors, V. (27 de julio de 2015). Varsity Tutors. Obtenido de Ley de los Senos: https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/law-of-sines vadenumeros.es. (24 de Agosto de 2017). vadenumeros.es. Obtenido de Problemas trigonometría, triángulo rectángulo, aplicaciones: http://www.vadenumeros.es/cuarto/triangulos-rectangulos.htm
12