«Методи спектрального аналізу сигналів в інформаційних системах» by Margo Tolmach

МІНІСТЕРСТВО КУЛЬТУРИ УКРАЇНИ КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ КУЛЬТУРИ І МИСТЕЦТВ

МЕТОДИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛІЗУ СИГНАЛІВ В ІНФОРМАЦІЙНИХ СИСТЕМАХ Робоча навчальна програма для студентів напрямів підготовки 7.050101 «Інформаційні управляючі системи та технології» 8.05010101 «Інформаційні управляючі системи та технології»

КИЇВ – 2012

Укладач: Зєлик Я. І., доктор технічних наук, старший науковий співробітник Затверджено на засіданні кафедри комп’ютерних наук Протокол № 1 від 29 серпня 2011 р. Рекомендовано до видання Головною вченою радою університету Протокол № 1 від 15 вересня 2011 р.

ВСТУП Опис дисципліни та її предмета. «Методи спектрального аналізу сигналів в інформаційних системах» належить до циклу професійно орієнтованих дисциплін напряму підготовки «Інформаційні управляючі системи та технології». Викладається в обсязі 108 год. (3 кредитів), підсумковим контролем знань є іспит. Спеціалістам та магістрам необхідні знання та вміння з сучасних методів цифрового спектрального аналізу сигналів в інформаційних системах. Такі інформаційні системи можуть мати найрізноманітніше застосування та призначені для моніторингу різнорідних процесів з проведенням аналізу спостережуваних сигналів. Це – процеси різноманітної фізичної природи; технологічні процеси на виробництві; вібраційні процеси від роботи різних установок, зокрема, на транспорті, мультимедійні процеси, зокрема, акустичні: звуковий шум машин та механізмів, технологічних процесів, великих груп людей, зокрема, на стадіонах, у біологічних системах, і, зокрема, в організмі людини – пульс, ритм серця і пов’язана з їх моніторингом діагностика; метеорологічні явища на Землі і світовому океані; процеси в астрономії та астрофізиці: на Сонці – циклічний характер сонячної активності, у зорях та ін. Спільним при моніторингу такого роду різнорідних процесів є те, що для визначення стану систем, у яких вони виникають, та можливого прогнозування цього стану у подальшому, необхідно проаналізувати спектри відповідних спостережуваних сигналів за допомогою інформаційних систем моніторингу та візуалізувати їх у вигляді графіків чи двовимірних образів: спектрограм, вейвлет представлень. На сьогодні результати такого роду досліджень мають значне поширення у найрізноманітніших галузях в усьому світі. Мета курсу полягає у засвоєнні студентами теоретичних положень, пов’язаних з класифікацією детермінованих і випадкових процесів, їх типами і представленням у часовій та частотній областях; визначенням статистичних характеристик стаціонарних випадкових процесів; цифровими методами оцінювання спектральної густини; непараметричними методами спектрального аналізу та методами частотно-часового аналізу на основі перетворення Фур’є (з побудовою образів спектрограм); методами вейвлет-аналізу. Завдання курсу – опанування студентами обсягу базових теоретичних знань про класи детермінованих і випадкових процесів і представлення їх у часовій та спектральній областях; про статистичні характеристики стаціонарних випадкових процесів: середнє значення, дисперсію, коваріаційну функцію (взаємну та власну), спектральну густину (взаємну та власну); про цифрові методи оцінювання спектральної густини (непараметричні та параметричні); про непараметричні методи спектрального аналізу (періодограм, модифікованих періодограм, Велча, багатовіконний метод) та метод частотно-часового аналізу на основі перетворення Фур’є (з побудовою образів спектрограм); про методи вейвлет-аналізу). У результаті вивчення курсу студенти повинні знати: - класи та ознаки класифікації детермінованих і випадкових процесів, їх представленням у часовій та частотній областях; 3

- статистичні характеристики стаціонарних випадкових процесів: середнє значення, дисперсію, коваріаційну функцію (взаємну та власну), спектральну густину (взаємну та власну); - непараметричні та параметричні цифрові методи оцінювання спектральної густини; - непараметричні методи спектрального аналізу періодограм, модифікованих періодограм, Велча, багатовіконний метод; - метод частотно-часового аналізу на основі перетворення Фур’є з побудовою образів спектрограм; - методи вейвлет-аналізу; На основі отриманих знань студенти повинні вміти: - використовувати систему науково-технічних обчислень MATLAB та пакет її розширення Signal Processing Toolbox для моделювання, аналізу та оброблення сигналів; - знаходити середнє значення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, коваріційну та взаємну коваріаційну функцію стаціонарних випадкових процесів різного ступеня взаємної залежності; - знаходити пряме та зворотне швидке перетворення Фур’є; - оцінювати спектральну густину потужності та взаємну спектральну густину випадкових процесів; - використовувати функції часового згладжування вихідних випадкових процесів при реалізації оцінювання спектральної густини потужності з метою підвищення точності та частотного розрізнення; - реалізувати в MATLAB метод Уелча для зменшення дисперсії оцінки спектральної густини потужності; - реалізувати в MATLAB метод частотно-часового аналізу квазістаціонарних сигналів з побудовою спектрограм на основі віконного перетворення Фур’є; - використовувати графічний інтерфейс користувача sptool пакету Signal Processing Toolbox в MATLAB для генерування та візуалізації сигналів та аналізу спектральної густини потужності; - реалізувати в MATLAB непевне вейвлет-перетворення, зокрема, стосовно аналізу кардіологічного сигналу.

СИСТЕМА ОЦІНЮВАННЯ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ Навчальна дисципліна «Методи спектрального аналізу сигналів в інформаційних системах» оцінюється за модульно-рейтинговою системою. Вона складається з 3-х модулів. Результати навчальної діяльності студентів оцінюються за 100-бальною шкалою за накопичувальною системою. Форми поточного контролю: - конспект лекційного заняття; - виконання практичного завдання; - виконання завдань самостійної роботи. Модульний контроль: результат вивчення кожного модуля складає підсумок всіх форм поточного контролю та виконання модульної контрольної роботи. Підсумковий контроль знань: іспит - проводиться у формі усної відповіді на теоретичні питання та виконання практичного завдання на комп’ютері. Умови допуску студента до іспиту: - відсутність заборгованостей з лабораторних занять; - відсутність заборгованостей з модульних контрольних робіт; - позитивні рейтингові бали за кожний модуль. Підсумкова оцінка За результатами вивчення курсу студент отримує підсумкову оцінку за 100бальною системою, яка розраховується як сума оцінок з 3-х модулів (стартовий рейтинг) та оцінки за екзамен за такою шкалою оцінювання:

Максимальна оцінка в балах

Модуль 1 (М1)

Модуль 2 (М2)

Модуль 3 (М3)

Іспит (КІ)

Разом (підсумкова оцінка - ПО)

100

Максимальна кількість балів за 1- 3 модулі (стартовий рейтинг) – 70 балів. Розрахунок підсумкової оцінки: ПО = М1 + М2 + М3+КІ Студент має можливість накопичити максимальну кількість балів у межах кожного модуля, використовуючи різні способи набуття знань.

Бальна система оцінювання різних форм навчання студента у межах кожного модуля № з/п 1. 2.

Назви виду роботи, способи набуття знань

Бали за 1 заняття

Лекційні заняття: - відвідування, конспектування лекцій Практичні заняття: - виконання практичного завдання Самостійна робота: - виконання практичного завдання Модульна контрольна робота Всього за модуль Іспит Разом з дисципліни

Бали за всі заняття (максимальні) Модуль 1 Модуль 2 Модуль 3

до 1

1х4=4

1х2=2

1х3=3

до 3 до 2

3х3=9 -

2х3=6

3х5=15 -

до 3 до 2

3х2=6 -

2х2=4

3х2=6 -

до 5

5х1=5 24

до 30

5х1=5 17 30 24+17+29+30 = 100 балів

5х1=5 29

Трансформація рейтингової оцінки Сума набраних рейтингових балів при семестровому контролі переводиться в оцінки системи оцінювання ECTS. Система передбачає семибальну шкалу (A, B, C, D, E, FX, F) та подвійне (описове та статистичне) визначення цих оцінок. Підсумковий рейтинговий бал 91 – 100 84 – 90 76 – 83 66 – 75 61 – 65 21 – 60 0 – 20

Підсумкова оцінка за шкалою ECTS A – відмінно B – дуже добре C – добре D – задовільно E – достатньо (задовольняє мінімальні критерії) FХ – незадовільно F – незадовільно (потрібна додаткова робота)

Традиційна екзаменаційна оцінка відмінно

Традиційна залікова оцінка

добре зараховано задовільно незадовільно

не зараховано

не допущено

ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН для студентів денної форми навчання Види занять і розподіл годин Форми Назви тем Всього Самост. контролю Лекц. Практ. МК робота МОДУЛЬ 1. КЛАСИФІКАЦІЯ ДЕТЕРМІНОВАНИХ ТА ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ ТА ВИЗНАЧЕННЯ ЇХ СТАТИСТИЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК Конспект, Класифікація детермінованих і опитування, випадкових процесів, їх типи і 1.1. 14 4 2 8 перевірка представлення у часовій та практичної частотній областях роботи Конспект, Визначення статистичних опитування, 1.2. характеристик стаціонарних 20 4 4 12 перевірка випадкових процесів практичної роботи Модульна контрольна робота 2 2 МКР №1 Всього Модульний 36 8 6 20 2 контроль МОДУЛЬ 2. ЗНАХОДЖЕННЯ КОВАРІАЦІЙНОЇ ФУНКЦІЇ ТА СПЕКТРАЛЬНОЇ ГУСТИНИ ДЛЯ РІЗНИХ КЛАСІВ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ ТА ЦИФРОВІ МЕТОДИ ОЦІНЮВАННЯ СПЕКТРАЛЬНОЇ ГУСТИНИ ЗА РЯДАМИ РЕАЛЬНИХ ДАНИХ Конспект, Коваріаційна функція і опитування, 2.1. спектральна густина для різних 10 2 4 4 перевірка класів випадкових процесів практичної роботи Конспект, опитування, Цифрові методи оцінювання 2.2. 6 2 2 2 перевірка спектральної густини практичної роботи Модульна контрольна робота 2 2 МКР №2 Всього Модульний 18 4 6 6 2 контроль Разом за семестр 54 12 12 26 4 МОДУЛЬ 3. НЕПАРАМЕТРИЧНІ МЕТОДИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛІЗУ, МЕТОДИ ЧАСТОТНО-ЧАСОВОГО АНАЛІЗУ ТА ВЕЙВЛЕТ АНАЛІЗУ КВАЗІСТАЦІОНАНИХ ПРОЦЕСІВ Непараметричні методи Конспект, спектрального аналізу та опитування, 3.1. методи частотно-часового 28 2 6 20 перевірка аналізу на основі перетворення практичної Фур’є роботи Конспект, опитування, 3.2. Методи вейвлет-аналізу 24 4 4 16 перевірка практичної роботи Модульна контрольна робота МКР 2 2 №3 № з/п

Всього Разом з дисципліни

108

Модульний контроль ІСПИТ

ЗМІСТ ДИСЦИПЛІНИ ЗА МОДУЛЯМИ МОДУЛЬ 1. КЛАСИФІКАЦІЯ ДЕТЕРМІНОВАНИХ ТА ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ ТА ВИЗНАЧЕННЯ ЇХ СТАТИСТИЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕМА 1.1. КЛАСИФІКАЦІЯ ДЕТЕРМІНОВАНИХ І ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ, ЇХ ТИПИ І ПРЕДСТАВЛЕННЯ У ЧАСОВІЙ ТА ЧАСТОТНІЙ ОБЛАСТЯХ Лекція 1 Поняття детермінованих та випадкових процесів. Класифікація детермінованих процесів. Гармонічний (синусоїдальний періодичний) процес, його часова реалізація і частотний спектр. Полігармонічні процеси та їх представлення за допомогою ряду Фур’є. Майже періодичні процеси та їх спектр. Перехідні неперіодичні процеси їх представлення інтегралом Фур’є, типи та їх представлення у часовій та частотній областях. Лекція 2 Класифікація випадкових процесів. Вибіркова функція або реалізація випадкового процесу та ансамбль реалізацій. Стаціонарні випадкові процеси. Поняття слабко стаціонарного або стаціонарного у широкому сенсі випадкового процесу. Поняття строго стаціонарного або стаціонарного у вузькому сенсі випадкового процесу. Поняття ергодичного стаціонарного процесу. Використання властивості ергодичності для оцінювання статистичних характеристик стаціонарних випадкових процесів. Метод перевірки припущення про стаціонарність та ергодичність випадкового процесу в цілому за єдиною реалізацією з генерального ансамблю. Поняття нестаціонарних випадкових процесів. Практичне заняття Ознайомлення з системою науково-технічних розрахунків MATLAB та пакету її розширення Signal Processing Toolbox для моделювання, аналізу та оброблення сигналів Мета: оволодіти початковими навиками роботи з системою науковотехнічних обчислень MATLAB та пакета її розширення Signal Processing Toolbox для моделювання, аналізу та оброблення сигналів. 1. 2. 3. 4.

Завдання Робота в системі MATLAB у режимі командного вікна. Задання в MATLAB векторів та матриць, функцій часу, що моделюють сигнали. Робота з функціями виведення у вікно та оформлення графіків функцій. Генерування в MATLAB у режимі командного вікна і графічне відображення різних типів детермінованих і випадкових сигналів та їх суперпозиції. Створення в MATLAB інтерпретованого скрипта – M-файла з генерування та відображення різних типів детермінованих і випадкових сигналів та його відлагодження. 9

Завдання для самостійної роботи 1. Опрацювати та засвоїти класи детермінованих процесів. Повторити матеріал з курсу вищої математики щодо аналізу використання апарату рядів Фур’є для представлення у спектральній області детермінованих періодичних процесів та апарату прямого та зворотного перетворення Фур’є для представлення у спектральній та у часовій областях детермінованих перехідних процесів. 2. Опрацювати та вивчити класи випадкових процесів, поняття стаціонарності та ергодичності та їх використання для оцінювання статистичних характеристик випадкових процесів. Запитання для самоперевірки 1. Які процеси називаються детермінованими? 2. Що таке періодичні і неперіодичні детерміновані процеси? 3. Як представляється гармонічний процес у часовій області? 4. Як зображується часова реалізація і спектр гармонічного процесу? 5. Що таке полігармонічний детермінований процес? 6. Як представляється полігармонічний детермінований процес за допомогою ряду Фур’є? 7. Який вигляд має спектр полігармонічного детермінованого процесу? 8. Що таке майже періодичний процес і як представляється його часова реалізація та спектр? 9. Які процеси називається перехідними неперіодичними та який вигляд має їх спектральне представлення за допомогою перетворення Фур’є? 10. Які існують типи перехідних неперіодичних процесів і як вони відображаються на графіках у часовій і спектральних областях? 11. Які процеси називаються випадковими? Навести приклади. 12. Що таке вибіркова функція або реалізація випадкового процесу і представлення випадкового процесу за допомогою ансамблю його реалізацій з наведенням графічної інтерпретації? 13. Як визначається середнє значення і коваріаційна функція випадкового процесу за ансамблем реалізацій? 14. Що таке слабко стаціонарний процес або стаціонарний у широкому сенсі випадковий процес? 15. Що таке строго стаціонарний або стаціонарний у вузькому сенсі випадковий процес? 16. Який стаціонарний процес називається ергодичним і як властивість ергодичності використовується для оцінювання статистичних характеристик стаціонарних випадкових процесів? 17. Як можна на основі властивості ергодичності випадкового процесу можна судити про стаціонарність цього процесу у цілому? 18. Які випадкові процеси називаються нестаціонарними? Література: 1 - 16.

ТЕМА 1.2. ВИЗНАЧЕННЯ СТАТИСТИЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК СТАЦІОНАРНИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ Лекція 1 Основні статистичні характеристики випадкових процесів. Визначення середнього значення, середнього квадратичного значення (середнього квадрату) та дисперсії за ансамблем реалізацій. Визначення середнього значення, середнього квадратичного значення (середнього квадрату) для стаціонарного ергодичного процесу за однією реалізацією шляхом усереднення за часом. Поняття кореляції та ілюстративні приклади для різного ступеня взаємної залежності двох випадкових величин. Коефіцієнт кореляції та міра корельованості двох випадкових величин. Взаємна кореляційна функція та взаємна коваріаційна функція двох випадкових стаціонарних ергодичних процесів. Кореляційна функція та коваріаційна функція одного випадкового стаціонарного ергодичного процесу. Лекція 2 Поняття взаємної спектральної густини двох випадкових стаціонарних ергодичних процесів та спектральної густини (спектральної густини потужності) одного випадкового стаціонарного ергодичного процесу. Визначення взаємної спектральної густини та спектральної густини потужності через взаємну та власну коваріаційні функції відповідно. Властивості двосторонніх спектральних густин. Поняття односторонніх спектральних густин (для додатних значень частоти). Взаємозв’язок між односторонньою спектральною густиною і власною коваріаційною функцією випадкового процесу через пряме і зворотне перетворення Фур’є. Представлення взаємної спектральної густини у формі комплекснозначної функції частоти через модуль та фазовий кут. Практичне заняття 1 Визначення середнього значення, дисперсії, середнього квадратичного відхилення, кореляційної і коваріаційної функції та взаємної коваріаційної функції стаціонарних випадкових процесів Мета: оволодіти навиками знаходження середнього значення, дисперсії, середнього квадратичного відхилення, кореляційної і коваріційної та взаємної коваріаційної функції стаціонарних випадкових процесів різного ступеня взаємної залежності. Завдання 1. Знаходження середнього значення, дисперсії, середнього квадратичного відхилення за допомогою функцій MATLAB і Signal Processing Toolbox для заданих реалізаціями випадкових процесів. 2. Знаходження кореляційної, коваріаційної та взаємної коваріаційної функцій заданих стаціонарних випадкових процесів різного ступеня взаємної залежності.

Практичне заняття 2 Знаходження швидкого прямого та зворотного швидкого перетворення Фур’є. Оволодіння основами практичного цифрового спектрального аналізу на основі перетворення Фур’є Мета: оволодіти навиками знаходження прямого та зворотного швидкого перетворення Фур’є; основами практичного цифрового спектрального аналізу на основі перетворення Фур’є; набути навиків оцінювання спектральної густини потужності та взаємної спектральної густини випадкових процесів. 1. 2.

4. 5.

Завдання Обчислення прямого швидкого перетворення Фур’є за допомогою функції Signal Processing Toolbox для різних типів генерованих сигналів та побудова графіків частотних залежностей амплітуди і фази коефіцієнтів Фур’є. Відновлення заданих векторів часових реалізацій невеликої розмірності за допомого застосування функції зворотного швидкого перетворення Фур’є до коефіцієнтів Фур’є, отриманих з цих векторів з використанням прямого швидкого перетворення Фур’є. Ознайомлення з параметрами функцій цифрового спектрального аналізу сигналів в Signal Processing Toolbox та використання їх при оцінюванні двосторонніх та односторонніх спектральної густини потужності та взаємної спектральної густини. Оцінювання односторонньої незгладженої спектральної густини потужності як квадрату модуля коефіцієнтів Фур’є для різних типів сигналів, заданих векторами дискретних вибірок. Оцінювання методом Уелча взаємної спектральної густини двох сигналів, заданих векторами дискретних вибірок, та графічне представлення частотної залежності її модуля.

Завдання для самостійної роботи 1. Повторити матеріал з курсу математичної статистики, пов’язаний з знаходженням середнього значення, дисперсії, середнього квадратичного значення випадкових величин та опрацювати і вивчити поданий аналогічний матеріал стосовно випадкових процесів. 2. Опрацювати і вивчити матеріал із швидкого прямого і зворотного перетворення Фур’є, що застосовується на практичних заняттях з цифрового спектрального аналізу. 3. Опрацювати і вивчити матеріал з методів оцінювання спектральної густини потужності та взаємної спектральної густини випадкових процесів. Запитання для самоперевірки 1. Який вигляд мають формули для визначення середнього значення, середнього квадратичного значення (середнього квадрату) та дисперсії у момент часу t1 за ансамблем N реалізацій? 2. Який вигляд мають формули для визначення середнього значення, середнього квадратичного значення (середнього квадрату) для стаціонарного ергодичного процесу за однією реалізацією шляхом усереднення за часом? 12

3. Що таке кореляція та, які існують ілюстративні приклади точної лінійної кореляції, помірної лінійної кореляції, нелінійної кореляції та відсутності кореляції між множинами результатів вимірювання двох випадкових величин? 4. Який вигляд мають формули для коефіцієнта кореляції та міри корельованості двох випадкових величин х та y? 5. Які існують формули для взаємної коваріаційної функцій двох випадкових стаціонарних ергодичних процесів та коваріаційної функції одного випадкового стаціонарного ергодичного процесу та властивості коваріаційної функції? 6. Який вигляд мають формули для взаємної спектральної густини двох випадкових стаціонарних ергодичних процесів та спектральної густини потужності одного випадкового стаціонарного ергодичного процесу і властивості двосторонніх спектральних густин? 7. Який вигляд мають формули для односторонніх (для додатних значень частоти) взаємної спектральної густини двох процесів та спектральної густини потужності одного стаціонарного випадкового процесу? 8. Який вигляд має представлення взаємної спектральної густини двох стаціонарних випадкових процесів у формі комплекснозначної функції частоти через модуль та фазовий кут (зсув фаз)? Література: 1 - 16. МОДУЛЬНА КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 1 Дати розгорнуті письмові відповіді на сформульовані нижче питання з наведенням схем, графічних представлень, формул і пояснень до них 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Варіант 1 Схема класифікації детермінованих процесів та її пояснення. Полігармонічний процес. Представлення полігармонічного процесу за допомогою ряду Фур’є. Перехідні неперіодичні процеси. Приклади перехідних неперіодичних процесів та їх спектри. Стаціонарні випадкові процеси. Середнє значення та коваріаційна функція стаціонарного випадкового процесу. Означення ергодичного стаціонарного процесу. Формули для визначення середнього значення, середнього квадратичного значення (середнього квадрату) та дисперсії у момент часу t1 за ансамблем N реалізацій. Поняття кореляції та ілюстративні приклади точної лінійної кореляції, помірної лінійної кореляції, нелінійної кореляції та відсутності кореляції між множинами результатів вимірювання двох випадкових величин х та y. Формули для кореляційної функції та коваріаційної функції одного випадкового стаціонарного ергодичного процесу та властивості коваріаційної функції. Формули для взаємної спектральної густини двох випадкових стаціонарних ергодичних процесів та спектральної густини (спектральної густини 13

потужності) одного випадкового стаціонарного ергодичного процесу та властивості двосторонніх спектральних густин. 10. Представлення взаємної спектральної густини у формі комплекснозначної функції частоти через модуль та фазовий кут (зсув фаз). Варіант 2 1. Схема класифікації випадкових процесів та її пояснення. 2. Полігармонічний процес. Cпектр полігармонічного процесу. 3. Перехідні неперіодичні процеси. Перетворення Фур’є перехідних неперіодичних процесів. 4. Стаціонарні випадкові процеси. Означення слабко стаціонарного (стаціонарного у широкому сенсі) випадкового процесу. 5. Характерна властивість ергодичного стаціонарного процесу та її використання для визначення його середнього значення та коваріаційної функції. 6. Формули для визначення середнього значення, середнього квадратичного значення (середнього квадрату) для стаціонарного ергодичного процесу за однією реалізацією шляхом усереднення за часом. 7. Формула для коефіцієнта кореляції та міри корельованості двох випадкових величин х та y. Умова, якій задовольняє міра корельованості. 8. Формули для взаємної коваріаційної функцій двох випадкових стаціонарних ергодичних процесів та коваріаційної функції одного випадкового стаціонарного ергодичного процесу та властивості коваріаційної функції. 9. Формули для взаємної спектральної густини двох випадкових стаціонарних ергодичних процесів та спектральної густини (спектральної густини потужності) одного випадкового стаціонарного ергодичного процесу та властивості двосторонніх спектральних густин. 10.Формули для односторонніх спектральних густин (для додатних значень частоти). МОДУЛЬ 2. ЗНАХОДЖЕННЯ КОВАРІАЦІЙНОЇ ФУНКЦІЇ ТА СПЕКТРАЛЬНОЇ ГУСТИНИ ДЛЯ РІЗНИХ КЛАСІВ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ ТА ЦИФРОВІ МЕТОДИ ОЦІНЮВАННЯ СПЕКТРАЛЬНОЇ ГУСТИНИ ЗА РЯДАМИ РЕАЛЬНИХ ДАНИХ ТЕМА 2.1. КОВАРІАЦІЙНА ФУНКЦІЯ І СПЕКТРАЛЬНА ГУСТИНА ДЛЯ РІЗНИХ КЛАСІВ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ Лекція Гармонічний процес, його коваріаційна функція і спектральна густина з аналітичними і графічними представленнями у часовій та частотній областях. Широкосмуговий випадковий шум його коваріаційна функція і спектральна густина з аналітичними і графічними представленнями у часовій та частотній областях. Вузькосмуговий випадковий шум, його коваріаційна функція і спектральна густина з аналітичними і графічними представленнями у часовій та частотній областях. Гармонічний процес у широкосмуговому випадковому 14

шумі, його коваріаційна функція і спектральна густина з аналітичними та графічними представленнями у часовій та частотній областях. Дискретизація неперервного випадкового процесу. Співвідношення, яким повинні задовольняти довжину часової реалізації, крок дискретизації за часом і частота Найквіста (максимальна частота у спектрі, яка може бути виділена при дискретизації з вибраним кроком), щоб дискретизована часова реалізація несла адекватну інформацію про вихідний неперервний процес. Фінітне неперервне перетворення Фур’є. Дискретне перетворення Фур’є. Практичне заняття 1 Написання і відлагодження програми у формі M-файла для знаходження спектральної густини випадкового процесу часової залежності рівня сонячної активності за останні 300 років Мета: оволодіти навиками оцінювання спектральної густини потужності процесу часової залежності рівня сонячної активності, її візуалізації і визначення за піками на графіку періодів, що відповідають сонячним циклам. 1.

Завдання Введення з файлу даних про сонячну активність у двовимірний масив стовпцями якого є значення року і значення параметра сонячної активності відповідно, побудова часового ряду та графічне відображення часової залежності сонячної активності. Здійснення швидкого перетворення Фур’є часового ряду, видалення з отриманого масиву коефіцієнтів Фур’є першого елемента, що відповідає постійній складовій процесу, визначення зменшеної розмірності масиву коефіцієнтів Фур’є. Знаходження модуля та незгладженої оцінки спектральної густини як квадрата модуля першої половини елементів цього масиву. Задання параметрів спектрального аналізу: кроку часової дискретизації, частоти відліків, частоти Найквіста, масиву частот у діапазоні від 0 до частоти Найквіста. Графічне відображення частотної залежності незгладженої оцінки спектральної густини процесу в діапазоні від 0 до частоти Найквіста. Знаходження масиву значень періоду, що відповідають масиву значень частоти у діапазоні від 0 до частоти Найквіста. Графічне відображення залежності незгладженої оцінки спектральної густини процесу від періоду у діапазоні періодів, що відповідає діапазону частот від 0 до частоти Найквіста. Зуммування графіка та знаходження періоду циклічностей сонячної активності, що відповідають пікам на графіку спектральної густини.

Практичне заняття 2 Використання функцій роботи з об’єктами у графічних вікнах та програмного знаходження значень періоду циклічностей, що відповідають пікам спектральної густини, для модифікації створеної програми аналізу рівня сонячної активності 15

Мета: оволодіти навиками роботи з об’єктами у графічних вікнах за допомогою функцій MATLAB та програмного знаходження максимуму функції і відповідного їй значення аргументу на прикладі оцінки значень періоду циклічностей, що відповідають пікам спектральної густини процесу змін сонячної активності. Завдання 1. Модифікація M-файла програми для знаходження спектральної густини випадкового процесу часової залежності рівня сонячної активності шляхом використання функції axis масштабування шкал вздовж осей абсцис і ординат графіка та побудови графіків на ділянках інтересу в заданому діапазоні періодів. 2. Програмне знаходження піків спектральної густини потужності та відповідних їм значень періодів. 3. Видача в одне графічне вікно одразу кількох графіків функцій. Виведення на графік спектральної густини в заданому діапазоні періодів маркерів, з заданими характеристиками: типом маркера, розміром, кольором ліній і маркера, кольором межі маркера. 4. Видача у графічне вікно напису відповідного змісту біля точки, позначеної маркером. Завдання для самостійної роботи Опрацювати і вивчити матеріал з оцінювання, використання функцій Signal Processing Toolbox для здійснення цифрового спектрального аналізу стаціонарних випадкових процесів на практичних заняттях, використавши матеріал, викладений на лекційних заняттях. Запитання для самоперевірки 1. Як відображається гармонічний процес, його коваріаційна функція і спектральна густина у часовій та частотній областях? 2. Як відображається широкосмуговий випадковий шум, його коваріаційна функція і спектральна густина у часовій та частотній областях? 3. Як відображається вузькосмуговий випадковий шум, його коваріаційна функція і спектральна густина у часовій та частотній областях? 4. Як відображається гармонічний процес у широкосмуговому випадковому шумі, його коваріаційна функція і спектральна густина у часовій та частотній областях? 5. Яким співвідношенням повинні задовольняти довжина часової реалізації, крок дискретизації за часом і частота Найквіста, щоб дискретизована часова реалізація несла адекватну інформацію про вихідний неперервний процес? 6. Що таке неперервне фінітне перетворення Фур’є, за яким співвідношенням воно обчислюється? Література: 1 - 16. ТЕМА 2.2. ЦИФРОВІ МЕТОДИ ОЦІНЮВАННЯ СПЕКТРАЛЬНОЇ ГУСТИНИ Лекція Заміна оцінювання спектральної густини за ансамблем реалізацій наближеним оцінюванням незгладженої спектральної густини за однією 16

достатньо довгою реалізацією основи неперервного фінітного перетворення Фур’є. Метод модифікованих періодограм – оцінювання спектральної густини потужності на основі швидкого перетворення Фур’є. Використання часових вікон згладжування вихідних часових реалізацій випадкових процесів для підвищення точності оцінювання спектральної густини потужності та покращення частотного розрізнення її особливостей. Практичне заняття Реалізація в MATLAB методу періодограм для підвищення точності оцінювання спектральної густини потужності та частотного розрізнення внаслідок використання функцій віконного часового згладжування Мета: оволодіти навиками роботи з функціями часового згладжування вихідних випадкових процесів та використання їх при реалізації оцінювання спектральної густини потужності за методом періодограм з метою підвищення точності та частотного розрізнення. Завдання 1. Ознайомлення з функціями часового згладжування вихідних часових ряді та порівняння результатів їх використання стосовно одного й того ж процесу у різних класах процесів. 2. Реалізація методу періодограм для оцінювання спектральної густини з використанням різних вікон згладжування та порівняння отриманих результатів. 3. Порівняння результатів оцінювання спектральної густини потужності модифікованим методом періодограм та звичайним методом визначення незгладженої спектральної густини як квадрата модуля коефіцієнтів Фур’є. Завдання для самостійної роботи 1. Опрацювати і засвоїти матеріал, поданий на практичних заняттях про підвищення точності оцінювання спектральної густини потужності та покращення частотного розрізнення її піків за рахунок реалізації методу модифікованих періодограм з використанням часових вікон згладжування. 1. 2. 3. 4. 5.

Запитання для самоперевірки Що таке дискретне перетворення Фур’є, за яким співвідношенням воно обчислюється, який алгоритм при цьому найчастіше використовується? За яким співвідношенням оцінюється спектральна густина потужності за ансамблем реалізацій випадкового процесу? За яким співвідношенням оцінюється незгладжена спектральна густина потужності за однією достатньо довгою реалізацією ергодичного стаціонарного процесу? У чому суть методу модифікованих періодограм – оцінювання спектральної густини потужності на основі швидкого перетворення Фур’є? У чому ідея використання часових вікон згладжування вихідних часових реалізацій випадкових процесів для підвищення точності оцінювання 17

спектральної густини потужності та покращення частотного розрізнення її особливостей? Література: 1 - 16. МОДУЛЬНА КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 2 Дати розгорнуті письмові відповіді на сформульовані нижче питання з наведенням графічних представлень, формул і пояснень до них 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Варіант 1 Приклад реалізації гармонічного процесу і його коваріаційної функції (з наведенням формул і зображенням графіків). Приклад реалізації вузькосмугового випадкового шуму та його коваріаційної функції (з наведенням формул і зображенням графіків). Приклад реалізації гармонічного процесу і його спектральної густини (з наведенням формул і зображенням графіків). Приклад реалізації вузькосмугового випадкового шуму та його спектральної густини (з наведенням формул і зображенням графіків). Суть дискретизації неперервних процесів та співвідношення, яким повинні задовольняти довжина часової реалізації, крок дискретизації за часом і частота Найквіста. Звичайне і фінітне перетворення Фур’є. Оцінка спектральної густини за допомогою фінітного перетворення Фур’є для неперервних процесів. Суть використання часових вікон згладжування вихідних часових реалізацій випадкових процесів для підвищення точності оцінювання спектральної густини потужності та покращення частотного розрізнення її максимумів та мінімумів. Варіант 2 Приклад реалізації широкосмугового випадкового шуму та його коваріаційної функції (з наведенням формул і зображенням графіків). Приклад реалізації суми гармонічного процесу і випадкового шуму та коваріаційної функції цієї суми (з наведенням формул і зображенням графіків). Приклад реалізації широкосмугового випадкового шуму та його спектральної густини (з наведенням формул і зображенням графіків). Приклад реалізації суми гармонічного процесу і випадкового шуму та спектральної густини цієї суми (з наведенням формул і зображенням графіків). Суть дискретизації неперервних процесів та співвідношення, яким повинні задовольняти довжина часової реалізації, крок дискретизації за часом і частота Найквіста. Пряме та зворотне дискретне перетворення Фур’є. Суть методу періодограм для оцінювання спектральної густини потужності. Суть використання часових вікон згладжування вихідних часових реалізацій випадкових процесів для підвищення точності оцінювання спектральної 18

густини потужності та покращення частотного розрізнення її максимумів та мінімумів. МОДУЛЬ 3. НЕПАРАМЕТРИЧНІ МЕТОДИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛІЗУ, МЕТОДИ ЧАСТОТНО-ЧАСОВОГО АНАЛІЗУ ТА ВЕЙВЛЕТ АНАЛІЗУ КВАЗІСТАЦІОНАНИХ ПРОЦЕСІВ ТЕМА 3.1. НЕПАРАМЕТРИЧНІ МЕТОДИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛІЗУ ТА МЕТОДИ ЧАСТОТНО-ЧАСОВОГО АНАЛІЗУ НА ОСНОВІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР’Є Лекція Усунення головного недоліку методу періодограм – надмірної порізаності періодограм при довгих часових реалізаціях у методі Уелча. Метод Уелча – розрахунок спектральної густини стаціонарного ергодичного випадкового процесу на основі швидкого перетворення Фур’є на окремих суміжних відрізках розбиття вихідної часової реалізації з подальшим усередненням результату за ансамблем відрізків реалізації. Забезпечення компромісу між вимогами високого розрізнення і низької дисперсії оцінки спектральної густини за рахунок використання багатовіконного методу. Багатовіконний метод оцінювання спектральної густини, що дає оцінку як результат усереднення за послідовності періодограм, кожна з яких оцінена за своєю послідовністю базисних функцій, відмінних від базису Фур’є. Метод частотно-часового аналізу квазістаціонарних сигналів з побудовою спектрограм та алгоритм його реалізації. Розбиття вихідної реалізації процесу на блоки, що перетинаються. Здійснення у кожному блоці швидкого перетворення Фур’є з подальшим скануванням всієї реалізації процесу. Відображення результатів частотно-часового аналізу у вигляді образу. Практичне заняття 1 Реалізація в MATLAB методу Уелча спектрального аналізу для усунення надмірної порізаності періодограм при довгих часових реалізаціях Мета: оволодіти навиками роботи з функцією реалізації методу Уелча для зменшення дисперсії оцінки спектральної густини потужності. Завдання 1. Ознайомлення з функцією реалізації методу Уелча спектрального аналізу з пакету Signal Processing Toolbox. 2. Реалізація спектрального аналізу методом Уелча з використанням різних вікон часового згладжування і вибір оптимального вікна стосовно аналізу конкретного випадкового процесу. 3. Порівняння результатів оцінювання спектральної густини потужності методом Уелча та модифікованим методом періодограм. 19

Практичне заняття 2 Реалізація в MATLAB багатовіконного методу спектрального аналізу для забезпечення компромісу між вимогами високого розрізнення і низької дисперсії оцінки спектральної густини Мета: оволодіти навиками роботи з функцією реалізації багатовіконного методу для забезпечення компромісу між вимогами високого розрізнення і низької дисперсії оцінки спектральної густини. 1. 2. 3. 4.

Завдання Ознайомлення з функцією реалізації багатовіконного методу спектрального аналізу з пакету Signal Processing Toolbox. Реалізація спектрального аналізу багатовіконним методом з використанням різної кількості дискретних сфероїдальних послідовностей базисних функцій. Отримання довірчих інтервалів для оцінювання спектральної густини потужності багатовіконним методом. Порівняння результатів оцінювання спектральної густини потужності багатовіконним методом, методом Уелча та модифікованим методом періодограм.

Практичне заняття 3 Реалізація в MATLAB методу частотно-часового аналізу квазістаціонарних сигналів з побудовою спектрограм на основі віконного перетворення Фур’є Мета: оволодіти навиками реалізації в MATLAB методу частотночасового аналізу квазістаціонарних сигналів з побудовою спектрограм на основі віконного перетворення Фур’є. Завдання 1. Ознайомлення з функцією реалізації методу частотно-часового аналізу квазістаціонарних сигналів з побудовою спектрограм на основі віконного перетворення Фур’є. 2. Розбиття вихідної реалізації процесу на блоки, що перетинаються, та застосування різних вікон часового згладжування у функції побудови спектрограм. 3. Відображення результатів частотно-часового аналізу на основі віконного перетворення Фур’є у вигляді образу спектрограми. Завдання для самостійної роботи 1. Опрацювати теоретичний матеріал з реалізації методів спектрального аналізу Уелча, багатовіконного методу та розібрати приклади їх реалізації в Signal Processing MATLAB Toolbox. 2. Опрацювати теоретичний матеріал з реалізації методу частотно-часового аналізу квазістаціонарних сигналів з побудовою спектрограм та його алгоритму і розібрати відповідні приклади в Signal Processing MATLAB Toolbox. 20

1. 2. 3. 4.

Запитання для самоперевірки У чому суть методу Уелча і за яким співвідношенням він реалізується? Які переваги методу Уелча над методом періодограм? У чому суть багатовіконного методу оцінювання спектральної густини та які його основні переваги? Як реалізується метод частотно-часового аналізу на основі віконного скануючого перетворення Фур’є з побудовою спектрограм?

Література: 1 - 16. ТЕМА 3.2. МЕТОДИ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛІЗУ Лекція 1 Використання графічного інтерфейсу користувача sptool пакету Signal Processing Toolbox для генерування та візуалізації сигналів, проектування та візуалізації цифрових фільтрів сигналів, аналізу різними методами спектральної густини потужності, представлення та аналізу її графіків. Загальне поняття про методи вейвлет-аналізу квазістаціонарних процесів. Обмеження та недоліки перетворення Фур’є. Скануюче (віконне) перетворення Фур’є. Особливості базисних функцій вейвлетів. Вейвлет – як представлення сигналу сукупністю хвильових пакетів, утворених на основі материнського вейвлета, що є різною у різних частинах часового інтервалу і представляє сигнал на цьому інтервалі з різним ступенем детальності. Число використовуваних при розкладі сигналу – рівень декомпозиції сигналу. Практичне заняття 1 Реалізація в MATLAB графічного інтерфейсу користувача sptool пакета Signal Processing Toolbox для генерування і візуалізації сигналів та аналізу спектральної густини потужності Мета: оволодіти навиками використання графічного інтерфейсу користувача sptool пакета Signal Processing Toolbox в MATLAB для генерування та візуалізації сигналів та аналізу спектральної густини потужності. Завдання 1. Використання браузера сигналів графічного інтерфейсу користувача sptool пакета Signal Processing Toolbox для генерування та візуалізації сигналів. 2. Використання браузера спектрів графічного інтерфейсу користувача sptool пакета Signal Processing Toolbox для реалізації різних методів спектрального аналізу та візуалізації спектральної густини потужності. Лекція 2 Характеристики вейвлетів: короткі локалізовані у часі пакети з нульовим значенням інтеграла вейвлет-функції; можливість зсуву за віссю часу; здатність до масштабування; обмежений частотний спектр. Деталізуюча компонента вейвлета (псі-функція). Апроксимуюча (масштабуюча) компонента (фіфункція). Неперевне вейвлет-перетворення на основі тільки деталізуючої (псіфункції) та відображення його результатів за допомогою вейвлет-спектрограм. Порівняння форм представлення сигналів у різних областях: часовій – за 21

Шенноном; частотній - перетворення Фур’є; частотно-часовій - віконне скануюче перетворення Фур’є; масштабно-часовій – вейвлет-перетворення. Практичне заняття 2 Використання непевного вейвлет-перетворення для аналізу в MATLAB кардіологічного сигналу Мета: оволодіти навиками реалізації в MATLAB непевного вейвлетперетворення стосовно аналізу кардіологічного сигналу. 1. 2. 3. 4.

Завдання Ознайомлення з функцією неперервного вейвлет-перетворення в Wavelet MATLAB Toolbox. Вибір масштабів і часового інтервалу реалізації кардіосигналу. Вибір найбільш придатного материнського вейвлету для здійснення неперервного вейвлет-перетворення кардіологічного сигналу. Графічне відображення часової реалізації та вейвлет-спектрограми кардіосигналу та перехід від шкали масштабів до шкали частот кардіосигналу і висновок про характерні особливості кардіосигналу на основі проведеного вейвлет-аналізу.

Завдання для самостійної роботи 1. Виконати задані завдання з використанням графічного інтерфейсу користувача sptool пакета Signal Processing Toolbox для генерування та візуалізації сигналів, аналізу різними методами спектральної густини потужності, представлення її графіків. 2. Опрацювати теоретичний матеріал з неперервного вейвлет-перетворення на основі тільки деталізуючої (псі-функції) та розібрати приклади у Wavelet MATLAB Toolbox з неперервного вейвлет-перетворення сигналів та відображення його результатів за допомогою вейвлет-спектрограм. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Запитання для самоперевірки Як використовується графічний інтерфейс користувача sptool пакета Signal Processing Toolbox для генерування та візуалізації сигналів? Як використовується графічний інтерфейс користувача sptool пакета Signal Processing Toolbox для аналізу різними методами спектральної густини потужності, представлення та аналізу її графіків? Які обмеження та недоліки перетворення Фур’є? Що таке вейвлет як функція представлення сигналу? Що таке материнський вейвлет та які його часові, масштабні та частотні властивості? У чому зміст деталізуючої (псі-функції) та апроксимуючої (масштабуючої) (фі-функції) компонент вейвлета? Що таке неперервне вейвлет-перетворення на основі тільки деталізуючої (псі-функції) та за якими співвідношеннями воно реалізується? Як відображаються результати неперервного вейвлет-перетворення сигналів за допомогою вейвлет-спектрограм? 22

9. Як виглядають схеми представлення сигналів у різних областях: часовій; частотній; частотно-часовій; масштабно-часовій? Література: 12 – 14, 17 – 22. МОДУЛЬНА КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 3 Дати розгорнуті письмові відповіді на сформульовані нижче питання з наведенням формул, схем та поясненнями до них 1. 2. 3. 4. 5.

1. 2. 3. 4. 5.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Варіант 1 Суть методу Уелча та його переваги над методом періодограм. Призначення графічного інтерфейсу користувача sptool пакета Signal Processing Toolbox та його браузер для генерування та візуалізації сигналів. Загальне поняття про методи вейвлет-аналізу квазістаціонарних процесів і обмеження та недоліки перетворення Фур’є. Зміст деталізуючої (псі-функції) та апроксимуючої (масштабуючої) (фіфункції) компонент вейвлета. Пояснення спектрограми у вигляді образу для відображення коефіцієнтів неперервного вейвлет-перетворення сигналів. Варіант 2 Суть частотно-часового методу аналізу на основі віконного скануючого перетворення Фур’є з побудовою спектрограм. Призначення графічного інтерфейсу користувача sptool пакета Signal Processing Toolbox та його браузер для аналізу різними методами спектральної густини потужності, представлення та аналізу її графіків. Материнський вейвлет та його часові, масштабні та частотні властивості. Співвідношення, за якими реалізується неперервне вейвлет-перетворення, та його зміст. Схеми представлення сигналів у різних областях: часовій; частотній; частотно-часовій; масштабно-часовій. ПИТАННЯ ДО ІСПИТУ Схема класифікації детермінованих процесів та її пояснення. Синусоїдальний періодичний (гармонічний) процес. Його часова реалізація та спектр. Полігармонічний процес. Представлення полігармонічного процесу за допомогою ряду Фур’є. Спектр полігармонічного процесу. Майже періодичні процеси. Їх часове представлення та спектр. Перехідні неперіодичні процеси. Їх представлення за допомогою перетворення Фур’є. Характерні типи перехідних процесів. Їх часове представлення і спектр. Поняття випадкового процесу. Вибіркова функція (часова реалізація) випадкового процесу. Ансамбль часових реалізацій випадкового процесу. Схема класифікації випадкових процесів та її пояснення. 23

8. Визначення середнього значення і коваріаційної функції за ансамблем реалізацій, функція випадкового процесу за ансамблем реалізацій. 9. Поняття стаціонарності випадкового процесу. Слабко стаціонарний процес або стаціонарний у широкому сенсі випадковий процес. Поняття про нестаціонарні процеси. 10. Поняття ергодичності стаціонарного процесу і визначення середнього значення і коваріаційної функції за однією достатньо довгою часовою реалізацією процесу. 11. Формули для визначення середнього значення, середнього квадратичного значення (середнього квадрату) та дисперсії у момент часу t1 за ансамблем N реалізацій. 12. Формули для визначення середнього значення, середнього квадратичного значення (середнього квадрату) для стаціонарного ергодичного процесу за однією реалізацією шляхом усереднення за часом. 13. Поняття кореляції та ілюстративні приклади точної лінійної кореляції, помірної лінійної кореляції, нелінійної кореляції та відсутності кореляції між множинами результатів вимірювання двох випадкових величин. 14. Формули для коефіцієнта кореляції та міри корельованості двох випадкових величин х та y. Умова, якій задовольняє міра корельованості. 15. Формули для взаємної коваріаційної функцій двох випадкових стаціонарних ергодичних процесів та коваріаційної функції одного випадкового стаціонарного ергодичного процесу та властивості коваріаційної функції. 16. Формули для взаємної спектральної густини двох випадкових стаціонарних ергодичних процесів та спектральної густини потужності одного випадкового стаціонарного ергодичного процесу і властивості двосторонніх спектральних густин. 17. Формули для односторонніх (для додатних значень частоти) взаємної спектральної густини двох процесів та спектральної густини потужності одного стаціонарного випадкового процесу. 7. Представлення взаємної спектральної густини двох стаціонарних випадкових процесів у формі комплекснозначної функції частоти через модуль та фазовий кут (зсув фаз). 8. Відображення гармонічного процесу, його коваріаційної функції і спектральна густини потужності у часовій та частотній областях. 9. Відображення широкосмугового випадковий шуму, його коваріаційної функції і спектральної густини потужності у часовій та частотній областях. 10. Відображення вузькосмугового випадкового шуму, його коваріаційної функції і спектральної густини потужності у часовій та частотній областях. 11. Відображення гармонічного процесу у широкосмуговому випадковому шумі, його коваріаційна функція і спектральна густина потужності у часовій та частотній областях. 12. Співвідношення, яким повинні задовольняти довжина часової реалізації, крок дискретизації за часом і частота Найквіста, щоб дискретизована часова реалізація несла адекватну інформацію про вихідний неперервний процес. 13. Неперервне фінітне перетворення Фур’є і співвідношення, за яким воно обчислюється. 24

14. Дискретне перетворення Фур’є, співвідношення, за яким воно обчислюється і поняття про алгоритм, який при цьому найчастіше використовується. 15. Співвідношення, за яким оцінюється спектральна густина потужності за ансамблем реалізацій випадкового процесу. 16. Співвідношення, за яким оцінюється незгладжена спектральна густина потужності за однією достатньо довгою реалізацією ергодичного стаціонарного процесу. 17. Суть методу модифікованих періодограм – оцінювання спектральної густини потужності на основі швидкого перетворення Фур’є. 18. Ідея використання часових вікон згладжування вихідних часових реалізацій випадкових процесів для підвищення точності оцінювання спектральної густини потужності та покращення частотного розрізнення її особливостей. 19. Суть методу Уелча (спектрального аналізу), співвідношення, за яким він реалізується, та його переваги над методом модифікованих періодограм. 20. Реалізація методу частотно-часового аналізу на основі віконного скануючого перетворення Фур’є з побудовою спектрограм. 21. Використання графічного інтерфейсу користувача sptool пакета Signal Processing Toolbox для генерування та візуалізації сигналів. 22. Використання графічного інтерфейсу користувача sptool пакета Signal Processing Toolbox для аналізу різними методами спектральної густини потужності, представлення та аналізу її графіків. 23. Обмеження та недоліки перетворення Фур’є та їх усунення у методах вейвлет-аналізу. 24. Поняття вейвлету і представлення сигналів за його допомогою. 25. Материнський вейвлет і його часові, масштабні та частотні властивості. 26. Зміст деталізуючої (псі-функції) та апроксимуючої (масштабуючої) (фіфункції) компонент вейвлета. 27. Неперервне вейвлет-перетворення на основі тільки деталізуючої (псіфункції) та співвідношення, за якими воно реалізується. Образ вейвлетспектрограми. 28. Відображення результатів неперервного вейвлет-перетворення сигналів за допомогою вейвлет-спектрограми. 29. Схеми представлення сигналів у різних областях: часовій; частотній; частотно-часовій; масштабно-часовій. ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ ДО ІСПИТУ Зразок 1. Створити в MATLAB інтерпретований скрипт – M-файл з генерування та відображення різних типів детермінованих і випадкових сигналів та його відлагодження. 2. Графічно відобразити часову реалізацію та вейвлет-спектрограми кардіосигналу та здійснити перехід від шкали масштабів до шкали частот кардіосигналу.

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ ПРАКТИЧНОЇ РОБОТИ Практичне заняття розраховане на розв’язання студентами певних задач за розробленими алгоритмом із складанням відповідних програм та відлагодженням їх на комп’ютері, відображенням результатів та оформленням їх дома у формі звіту на папері. Завдання видаються студентами за різними варіантами у паперовому чи електронному вигляді на поточному занятті і виконуються протягом аудиторного заняття. Викладач виставляє кожному студентові попередні бали за практичну роботу на аудиторному занятті. Результати практичної роботи на аудиторному занятті оформлюються дома на папері як звіт за поточне практичне заняття. На підсумковому, згідно з відповідним модулем, аудиторному практичному занятті студенти захищають звіти з виконаних практичних робіт у межах поточного модуля. Після захисту звітів викладач виставляє кожному студентові остаточну кількість балів за відповідні практичні заняття та виводить сумарну оцінку в балах за всі практичні заняття у межах конкретного модуля. Для самостійного опанування тем предмета студенти можуть використовувати не тільки зазначений список основної літератури, а також інші джерела інформації, можливості Internet та додаткову літературу. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ Самостійна робота є однією із складових навчального процесу, на яку припадає значний обсяг навчального часу. При цьому студент є активним учасником навчального процесу, набуває навичок самоорганізації, самостійного пошуку інформації, прийняття рішень і т.ін. Правильна організація самостійної роботи дозволяє максимально індивідуалізувати навчання, підвищити ефективність навчального процесу в цілому. Одним із видів самостійної роботи є опрацювання лекційного матеріалу, визначення головного у змісті лекції, засвоєння її основних моментів. При цьому не слід дослівно записувати за лектором, а своїми словами фіксувати найсуттєвіше: тему, її основні питання та положення. Записувати слід акуратно і чітко, краще у зошиті в клітинку (через клітинку). На сторінках конспекту залишати широкі поля для додаткових поміток під час самостійної роботи над літературою. Щоб зрозуміти і добре засвоїти лекційний матеріал, до кожної наступної теми слід ретельно готуватись: систематично опрацьовувати матеріал попередньої лекції, і, якщо це необхідно, опрацювати рекомендовану літературу, повторювати пройдений матеріал, на який лектор посилається при викладанні нового, якщо з певних причин лекція пропущена, її необхідно законспектувати і опрацювати самостійно, незрозумілі питання з’ясувати на консультації. Для ґрунтовного засвоєння першоджерел необхідно вдумливо конспектувати їх, вдаючись до різних видів запису (витяги, тези, цитати і т.ін.). Доцільно підготувати власні спостереження та висновки, обґрунтовуючи їх теоретичними положеннями та рекомендаціями. Професійному розвитку студентів сприяє самостійне виконання практичних завдань, різноманітні форми пошукової, дослідної роботи. 26

Виконання завдань для самостійної роботи передбачає набуття навичок опрацювання студентом першоджерел, аналізу певних явищ та концепцій, визначення характерних ознак та особливостей, складання схем та переліків. Результати слід оформити у вигляді письмових звітів та систематично здавати на перевірку викладачу. Викладач систематично контролює самостійну роботу студентів: перевіряє конспекти першоджерел, виконання завдань, надає необхідну допомогу для активізації навчальної діяльності студентів. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ МОДУЛЬНОЇ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ Модульна контрольна робота є рубіжним контролем, що виявляє рівень засвоєння студентами обсягу знань та набутих навиків з використання опанованих методів аналізу сигналів в інформаційних системах. Головні завдання модульної контрольної роботи: - перевірка засвоєного студентами обсягу знань про класи детермінованих і випадкових процесів в інформаційних системах і методи їх спектрального і частотно-часового аналізу; - перевірка набутих студентами навиків з вміння використовувати опановані методи спектрального і частотно-часового аналізу сигналів в інформаційних системах. Загальні вимоги Завдання до модульної контрольної роботи видається за варіантами у формі письмових питань. На підставі перевірки письмових відповідей на поставлені питання у межах модульної контроль студентам виставляються бали за виконання модульної контрольної роботи.

ЛІТЕРАТУРА 1. Бендат Дж. Прикладной анализ случайных данных / Дж. Бендат, А. Пирсол. – М.: Мир, 1989. – 540 с. 2. Бендат Дж. Применения корреляционного и спектрального анализа / Дж. Бендат, А. Пирсол. – М.: Мир, 1983. – 312 с. 3. Отнес Р. Прикладной анализ временних рядов. Основые методы / Р. Отнес, Л. Эноксон. – М.: Мир, 1982 – 428 с. 4. Дженкинс Г. Спектральный анализ и его приложения, вып.1 / Г. Дженкинс, Д. Ваттс. – М: Мир, 1971. – 316 с. 5. Hayes, M. H. Statistical Digital Signal Processing and Modeling. New York: John Wiley & Sons, 1996. 6. Оппенгейм А. В. Цифровая обработка сигналов / А. В. Оппенгейм, Р. В. Шафер. – М.: Связь, 1979. 7. Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / С. Л. Марпл-мл., пер. с англ. – М.: Мир, 1990. 8. Welch, P. D. «The Use of Fast Fourier Transform for the Estimation of Power Spectra: A Method Based on Time Averaging Over Short, Modified Periodograms.» IEEE Trans. Audio Electroacoust. Vol. AU-15 (June 1967). Pgs. 70–73. 9. Percival, D. B., and A. T. Walden. Spectral Analysis for Physical Applications: Multitaper and Conventional Univariate Techniques. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. 10. Зелык Я. И. О применении аппарата анализа временных рядов для оценивания вращения солнечных структур в верхней хромосфере // Международный научно-технический журнал Проблемы управления и информатики / Я. И. Зелык, Н. Н. Степанян, О. А. Андреева. – 2006. – № 3. – С. 102 – 115. 11. Зелык Я. И. Спектральные методы анализа вращения солнечных структур / Я. И. Зелык, Н. Н. Степанян, О. А. Андреева. // Известия Крымской астрофизической обсерватории. Сборник научных трудов. – 2007. – Т. 103. – № 1. – С. 56.– 69. 12. Дьяконов В. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник / В. Дьяконов, И. Абраменкова. – СПб..: Питер, 2002. – 608 с. 13. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5 SP1/7.0 Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров / В. Дьяконов. – М: Солон-Пресс. – 2009 – 577 с. 14. Сергиенко А. Б. «Цифровая обработка сигналов» / А. Б.Сергиенко. – СПб : Питер, 2002. – 608 с. 15. Потемкин В.Г. Инструментальные средства Matlab 5.x. Диалог-МИФИ / В. Г. Потемкин. – 2000. 16. Потемкин В. Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.х (в 2х томах) / В. Г. Потемкин. – М: Диалог-МИФИ. 1999. – Т1 – 366 с., Т2 – 304 с. 17. Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н. М. Астафьева // Успехи физических наук. – 1996. – Т. 11. С. 1145 – 1170. 28

18. Смоленцев Н. К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB / Н. К. Смоленцев. – М.: ДМК Пресс. – 2005. – 304 с. 19. Воробьев В. И., Грибунин В. Г. Теория и практика вейвлет-преобразования / В. И. Воробьев, В. Г. Грибунин. – СПб: Изд-во ВУС, 1999. 20. Дремин И. М. Вейвлеты и их использование / И. М. Дремин, О. В. Иванов, В. А. Нечитайло // УФН. – 2001. – Т. 171. – № 5. – С. 465–501. 21. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. – М.: Ижевск: РХД, 2001. 22. Новиков Л. П. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учебное пособие / Л. П. Новиков. – СПб.: Изд-во ООО «МОДУС +», 1999.