Metody skalowania wielowymiarowego by Konrad Wojciechowski

AKADEMIA EKONOMICZNA im. Oskara Langego we Wrocławiu WYDZIAŁ ZARZĄDZANIA I INFORMATYKI

Raport z prezentacji: Metody skalowania wielowymiarowego

Autorzy: Grzegorz Pelczarski Piotr Majeranek Konrad Wojciechowski

Grupa 9 AD, rok IV

Spis treści 1. Cel SWW ............................................................................................................................ 3 2. Metody skalowania wielowymiarowego .................................................................... 3 3. Problem liczby wymiarów .............................................................................................. 3 3. Podejście obliczeniowe ................................................................................................... 4 4. Przykład nr. 1 skalowania wielowymiarowego - dane metryczne ....................... 6 5. Zastosowania.................................................................................................................... 16 6. Przykład nr. 2 skalowania wielowymiarowego – dane niemetryczne............... 17 7. Skalowanie wielowymiarowe a analiza czynnikowa............................................. 31 8. Literatura ........................................................................................................................... 32

1. Cel SWW Ogólnie, celem tej analizy jest wykrycie sensownych ukrytych wymiarów, które pozwalają badaczowi wyjaśnić obserwowane podobieństwa lub odmienności (odległości) między badanymi obiektami. Skalowanie wielowymiarowe (SWW) moŜe być rozwaŜane jako alternatywa analizy czynnikowej. Metoda skalowania wielowymiarowego na podstawie wyników oceny bliskości między obiektami lub zmiennymi poszukuje ich przestrzennej reprezentacji. Jest ona pewną techniką redukcji danych, gdyŜ jej celem jest znalezienie takiego zbioru punktów w przestrzeni o niewielkiej liczbie wymiarów, na ogół w przestrzeni dwu lub trójwymiarowej, który dobrze reprezentuje konfigurację badanych obiektów lub zmiennych w przestrzeni wielowymiarowej.

2. Metody skalowania wielowymiarowego SWW dzieli się na: - metryczne - niemetryczne W metodach metrycznych zakłada się, Ŝe odległości w nowej przestrzeni, o mniejszej liczbie wymiarów, są liniowymi funkcjami ocen bliskości, natomiast w metodach niemetrycznych – Ŝe odległości te są monotonicznymi funkcjami ocen bliskości. Iteracyjne procedury estymacyjne, wykorzystywane do wyznaczania ostatecznej konfiguracji punktów w nowej przestrzeni, są w obu typach metod bardzo podobne. Głównymi problemami praktycznymi, które pojawiają się w zastosowaniach skalowania wielowymiarowego, są: a) moŜliwość, Ŝe iteracyjna procedura estymacyjna zakończy się po osiągnięciu minimum lokalnego, a nie minimum globalnego, b) decyzja, jaka jest właściwa liczba wymiarów poszukiwanego rozwiązania c) właściwa interpretacja uzyskanego rozwiązania.

3. Problem liczby wymiarów Test osypiska Prosty sposób rozstrzygnięcia tego, ile zastosować wymiarów polega na wykreśleniu wartości stressu względem róŜnych liczb wymiarów. Test ten został najpierw zaproponowany przez Cattella (1966) w kontekście problemu liczby czynników w analizie czynnikowej. Kruskal i Wish (1978; str. 53-60) rozwaŜali zastosowanie tego wykresu w SWW. Cattell sugerował znajdywanie na wykresie miejsca, w którym wartości stressów (wartości własne w analizie czynnikowej) przestają wyraźnie maleć i formują linię zbliŜoną do poziomej. Na prawo od tego punktu odnajdujemy przypuszczalnie tylko "osypisko 3

czynnikowe" -- "osypisko" jest terminem geograficznym odnoszącym się do gruzu, który zbiera się w dolnej części urwiska skalnego. Rys. 1. Przykładowy wykres osypiska. Wykres osypiska 40 35 30

Stres

25 20 15 10 5 0 0

Wym iar

(Źródło: Wykonanie własne) MoŜliwość interpretacji konfiguracji Drugim kryterium pomagającym zdecydować, ile wymiarów naleŜy poddać interpretacji, jest przejrzystość ostatecznej konfiguracji. Czasami, tak jak w naszym przykładzie, odległości między miastami, otrzymane wymiary są łatwe do interpretacji. Kiedy indziej natomiast, punkty na wykresie tworzą rodzaj "losowej chmury" i nie ma oczywistego i prostego sposobu zinterpretowania wymiarów. W tym drugim przypadku naleŜy uwzględnić więcej lub mniej wymiarów i badać otrzymane końcowe konfiguracje. Często wyłaniają się rozwiązania łatwiejsze do interpretacji. Jeśli jednak punkty danych na wykresie nie formują Ŝadnego czytelnego wzoru, a na wykresie stressu nie widać Ŝadnego czytelnego "załamania", to dane stanowią najprawdopodobniej przypadkowy "szum".

3. Podejście obliczeniowe Skalowanie wielowymiarowe jest nie tyle ścisłą procedurą, ile raczej sposobem "zmiany rozmieszczenia" obiektów w sposób na tyle efektywny, aby otrzymać konfigurację, która jest najlepszym przybliŜeniem obserwowanych odległości. Program faktycznie przemieszcza obiekty w przestrzeni zdefiniowanej przez poŜądaną liczbę wymiarów i sprawdza, na ile ta nowa konfiguracja odtwarza odległości między obiektami. Mówiąc językiem technicznym, program stosuje algorytm minimalizacji funkcji, który ocenia róŜne konfiguracje, zmierzając do maksymalizacji dobroci dopasowania (lub minimalizacji "braku dopasowania").

Miary dobroci dopasowania: Stress Najpowszechniejszą miarą stosowaną do szacowania, na ile dobrze (lub źle) dana konfiguracja odtwarza obserwowaną macierz odległości jest stress. Surową wartość stressu Phi dla danej konfiguracji definiuje się jako:

Phi = Σ[dij - f (δij)]2 We wzorze tym: dij oznacza odtworzone odległości przy danej liczbie wymiarów δij (deltaij) oznacza dane wejściowe (tzn. odległości obserwowane) f(δij ) wyraŜenie to wskazuje na niemetryczną transformację monotoniczną obserwowanych danych wejściowych (odległości) Zatem program będzie zmierzał do odtworzenia ogólnego porządku rangowego odległości między analizowanymi obiektami. Istnieje kilka podobnych pokrewnych miar, które są powszechnie stosowane; jednak większość z nich sprowadza się do obliczenia sumy kwadratów odchyleń obserwowanych odległości (lub pewnej transformacji monotonicznej tych odległości) od odległości odtworzonych. Zatem im mniejsza wartość stressu, tym lepsze dopasowanie macierzy odległości odtworzonych do macierzy odległości obserwowanych. Diagram Sheparda MoŜna wykreślić odtworzone odległości dla danej liczby wymiarów względem obserwowanych danych wejściowych (odległości). Taki wykres rozrzutu jest znany jako diagram Sheparda. Wykres ten przedstawia odtworzone odległości wykreślone na osi pionowej (Y) względem pierwotnych podobieństw wykreślonych na osi poziomej (X) (stąd, generalnie ujemne nachylenie). Wykres pokazuje takŜe funkcję krokową. Linia ta przedstawia tak zwane wartości D z daszkiem, to znaczy wynik transformacji monotonicznej f(δij ) danych wejściowych. Jeśli wszystkie odtworzone odległości znajdowałyby się na linii krokowej, to porządek rangowy odległości (lub podobieństw) byłby dokładnie odtworzony przez odpowiednie rozwiązanie (model wymiarowy). Odchylenia od linii krokowej wskazują na brak dopasowania.

Rys. 2. Przykładowy diagram Sheparda.

(Źródło: Wykonanie własne) 4. Przykład nr. 1 skalowania wielowymiarowego - dane metryczne Ogólnie, im więcej wymiarów zastosujemy do odtworzenia macierzy odległości, tym lepsze będzie dopasowanie odtworzonej macierzy do macierzy obserwowanej (tzn. mniejszy będzie stress). Faktycznie, jeśli zastosujemy tyle wymiarów, ile jest zmiennych, to będziemy mogli dokładnie odtworzyć macierz wartości obserwowanych. Oczywiście naszym celem jest redukcja obserwowanej złoŜoności, to znaczy wyjaśnienie macierzy odległości przy pomocy mniejszej liczby ukrytych wymiarów. Wracając do przykładu odległości między miastami, mając dwuwymiarową mapę łatwiej nam przedstawić połoŜenie i łatwiej poruszać się między miastami, niŜ gdybyśmy polegali tylko na macierzy odległości. Rysunek 3 przedstawia tabelę odległości pomiędzy większymi miastami w Polsce. Następnie na jej podstawie tworzymy macierz odmienności (tabela 1). Do obliczeń wykorzystujemy program statystyczny Statistica, dlatego teŜ w naszej macierzy musieliśmy utworzyć wiersze o nazwach Means – średnia, Std.Dev – odchylenie standardowe, No.Cases liczba przypadków, Matrix – macierz, gdzie rozróŜniamy następujące rodzaje: 1 – korelacja, 2 – podobieństwa, 3 – odmienności, 4 – kowariancja. W przypadku macierzy odmienności lub podobieństw dopuszczalne jest pozostawienie wierszy Means i Std.Dev pustymi.

Rys. 3. Odległości między miastami.

(Źródło: http://www.pkscargo.ru/pl/inforastpl.html)

Tabela 1. Macierz odległości między miastami. Bezledy Bialystok Bydgoszcz Cieszyn Gdansk Katowice Kielce Kolbaskowo Krakow Lublin Lodz Medyka Olsztyn Opole Poznan Rzeszow Szczecin Swiecko Terespol Torun Warszawa Wroclaw Zgorzelec

Bezledy

Bialystok

Bydgoszcz

Cieszyn

Gdansk

Katowice

Kielce

Kolbaskowo

Krakow

Lublin

Lodz

Medyka

Olsztyn

Opole

Poznan

Rzeszow

Szczecin

Swiecko

Terespol

225

290

740

190

565

485

555

620

435

365

715

565

225

400

560

395

490

365

665

445

255

225

485

235

290

400

480

170

405

345

265

475

420

205

605

200

740

560

480

670

285

620

120

375

275

385

190

395

170

670

530

505

370

610

515

340

565

490

405

530

210

575

330

485

365

345

285

505

210

575

135

180

555

665

265

620

370

575

695

620

445

475

120

610

135

695

435

255

420

375

515

330

180

685

365

225

205

275

340

205

135

455

715

485

605

385

765

335

260

235

200

520

160

480

395

565

505

340

155

515

110

405

485

130

415

330

610

430

525

290

685

540

660

260

615

685

655

305

420

195

455

255

350

310

Torun

Warszawa

Wroclaw

Zgorzelec

405

610

540

685

420

255

310

565

655

505

485

430

660

655

340

130

525

260

305

195

350

190

535

700

455

255

275

520

155

415

290

615

365

485

535

435

370

240

765

160

515

330

685

365

400

405

525

180

350

485

530

205

335

480

110

360

240

570

440

500

365

300

195

360

135

260

395

230

330

180

570

515

305

295

175

300

460

685

455

850

465

460

245

755

205

720

310

520

375

325

255

275

265

530

185

440

170

690

560

415

480

315

270

430

255

250

230

385

405

445

175

680

655

160

375

170

415

575

275

250

400

275

200

210

320

450

395

335

160

135

225

385

850

265

230

400

605

450

610

845

780

390

555

405

535

695

465

530

385

275

605

475

330

525

460

495

365

165

220

475

565

230

460

185

405

200

450

475

255

350

455

330

515

335

315

245

360

330

245

440

445

210

610

330

255

510

240

185

505

145

305

170

235

240

180

755

170

175

320

525

350

510

750

725

335

475

310

435

600

365

570

690

680

450

845

460

455

240

750

200

715

305

515

370

320

485

405

440

515

205

560

655

395

780

495

330

185

725

200

690

330

485

245

160

535

525

500

305

720

415

160

335

390

365

515

505

335

715

690

410

200

545

695

435

180

365

295

310

480

375

160

555

165

335

145

475

305

330

410

205

290

385

190

255

370

350

300

175

520

315

170

135

405

220

315

305

310

515

485

200

205

345

510

565

535

275

240

485

195

300

375

270

415

225

535

475

170

435

370

245

545

290

345

160

655

700

365

400

530

360

460

325

430

575

385

695

565

245

235

600

320

160

695

385

510

160

Means Std.Dev No.Cases Matrix

23 3

(Źródło: Opracowanie własne) Means – średnia Std.Dev – odchylenie standardowe No.Cases- liczba przypadków Matrix – macierz (typ; 1 – korelacja, 2 – podobieństwa, 3 – odmienności, 4 – kowariancja) 8

Aby odpowiedzieć na pytanie: w ilu wymiarach mamy zaprezentować wyniki naleŜy utworzyć wykres osypiska (Rys.4) bazując na tabeli 2. Zawiera ona wartości stresu dla wymiarów od 1 do 7 obliczone w programie Statistica. W naszym przypadku sprawa jest oczywista – moŜna zauwaŜyć, Ŝe od wymiaru 2 linia jest prawie pozioma, więc najlepszym wymiarem do prezentacji danych jest wymiar 2.

Tabela 2. Wartości stressu dla róŜnych wymiarów (przykład nr.1). Wymiar

Stres 1 70,352800 2 0,980352 3 0,536703 4 0,402881 5 0,305994 6 0,179482 7 0,132447

(Źródło: Obliczenia własne)

Rys. 4. Wykres osypiska dla przykładu nr. 1. Wykres osypiska

80 70 60

Stres

50 40 30 20 10 0 0

Wym iar

(Źródło: Wykonanie własne)

Rys. 5. Wykres rozrzutu 2W dla przykładu nr. 1. Wykres rozrzutu 2W Konfiguracja końcowa, wymiar 1 wzgl. wymiaru 2 1,2 Zgorzelec

1,0 0,8

WroclawOpole KatowiceKrakow

Swiecko

0,6

Cieszyn

Wymiar

0,4 0,2

RzeszowMedyka Poznan

Kolbaskowo Szczecin

Kielce Lodz

0,0 Bydgoszcz Torun

-0,2

Lublin Warszawa

-0,4 -0,6 Gdansk

-0,8

Terespol

Olsztyn Bialystok

-1,0 Bezledy

-1,2 -1,4 -2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0 Wymiar

0,5

1,0

1,5

2,0

(Źródło: Wykonanie własne)

Tworzymy zatem wykres rozrzutu 2W (rys. 5). Wykres przypomina mapę Polski. Oczywiście musielibyśmy ją odpowiednio odwrócić tj. zmienić orientację osi. MoŜemy to zrobić, poniewaŜ odległości między miastami pozostaną takie same. Tak jak w analizie czynnikowej, rzeczywista orientacja osi ostatecznego rozwiązania jest arbitralna. Zatem ostateczna orientacja osi na płaszczyźnie lub w przestrzeni jest przede wszystkim wynikiem subiektywnej decyzji badacza, który wybierze taką orientację, która moŜe być najłatwiej wyjaśniona. Odpowiednie dopasowanie danych potwierdza poniŜszy diagram Sheparda (Rys. 6).

Rys. 6. Diagram Sheparda dla przykładu nr. 1. Diagram Sheparda Odległości i D^ wzgl. danych 3,5 3,0

Odległości/D^

2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 -0,5 -100

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Dane

(Źródło: Wykonanie własne) Na podstawie wzrokowej analizy diagramu moŜemy uznać dopasowanie za wystarczające. PoniŜsza tabela przedstawia trzy rodzaje odległości pomiędzy wszystkimi parami miast: odległość pierwotną, odległość przetworzoną D* oraz odległość przetworzoną D^.

Tabela 3. Dane do rys. 7 i 8. Odleg.

D(18, 8) 0,607935 0,719392 0,679049

D(17, 8) 0,032202 0,032202 0,032202

D(11, 3) 0,715247 0,731508 0,679049

D(20, 3) 0,184479 0,184479 0,184479

D(21,20) 0,685387 0,731561 0,679049

D( 9, 6) 0,338470 0,289683 0,308242

D(15,11) 0,731577 0,731577 0,679049

D( 6, 4) 0,289683 0,296574 0,308242

D( 7, 6) 0,566267 0,733820 0,679049

D(22,14) 0,296574 0,335800 0,308242

.D(21,13) 0,738115 0,738115 0,738115

D(13, 1) 0,394833 0,338470 0,365317

D( 2, 1) 0,783928 0,743863 0,783928

D(16,12) 0,335800 0,381023 0,365317

D(11, 2) 1,021983 0,779692 0,817803

D(14, 6) 0,381023 0,384540 0,381023

D(22,11) 0,779692 0,783928 0,817803

D( 9, 4) 0,393416 0,393416 0,393416

D(12,10) 0,814452 0,784865 0,817803

D(15, 3) 0,420341 0,394833 0,420341

D(14, 7) 0,794521 0,794521 0,817803

D(11, 7) 0,471120 0,420341 0,427830

D(23,15) 0,801813 0,797575 0,817803

D(21,11) 0,384540 0,471120 0,427830

D(13, 2) 0,733820 0,801813 0,817803

D( 9, 7) 0,547935 0,477001 0,519181

D(22, 4) 0,807962 0,807962 0,817803

D(20,15) 0,490428 0,481349 0,519181

D(17,15) 0,811543 0,810303 0,817803

D(14, 4) 0,520618 0,488500 0,520618

D(16, 6) 0,842159 0,811543 0,817803

D(23,22) 0,548484 0,490428 0,525011

D(22,18) 0,810303 0,814452 0,817803

D(20,11) 0,555041 0,507572 0,525011

D(15, 8) 0,830747 0,818237 0,817803

D(19,10) 0,507572 0,520618 0,525011

D(23,14) 0,797575 0,823509 0,817803

D(13, 5) 0,536960 0,536960 0,525011

D(11,10) 0,784865 0,828933 0,817803

D(23,18) 0,477001 0,540206 0,525011

D(15,14) 0,828933 0,830747 0,828933

D(20,13) 0,576634 0,547334 0,566274

D(20, 1) 0,962925 0,833391 0,888555

D(21,10) 0,565505 0,547935 0,566274

D(10, 9) 0,903190 0,842159 0,888555

D( 5, 3) 0,613106 0,548484 0,566274

D(10, 2) 0,818237 0,869866 0,888555

D(16, 9) 0,547334 0,555041 0,566274

D(21, 3) 0,869866 0,898516 0,888555

D(22,15) 0,600336 0,565505 0,566274

D(12, 7) 0,935357 0,903190 0,894972

D(16,10) 0,605722 0,566267 0,566274

D(17, 3) 0,916167 0,910539 0,894972

D(21, 7) 0,540206 0,576634 0,566274

D(12, 9) 0,833391 0,916167 0,894972

D(10, 7) 0,481349 0,600336 0,566274

D( 8, 3) 0,944975 0,935357 0,940513

D(16, 7) 0,608455 0,605722 0,608455

D(22, 9) 1,009460 0,938133 0,940513

D(20, 5) 0,685424 0,607935 0,647486

D(13,11) 0,898516 0,944975 0,940513

D(14, 9) 0,719392 0,608455 0,647486

D(11, 4) 1,032481 0,947214 0,940513

D(18,15) 0,663106 0,613106 0,647486

D(11, 9) 0,910539 0,948919 0,940513

D( 5, 1) 0,658870 0,616856 0,647486

D(22, 3) 0,966491 0,962925 0,940513

D(21, 2) 0,645355 0,645355 0,647486

D( 7, 4) 0,823509 0,966491 0,940513

D(22, 6) 0,671752 0,658870 0,647486

D(16, 4) 0,938133 0,990135 0,940513

D(19, 2) 0,488500 0,660288 0,647486

D(22,20) 0,947214 1,007051 0,947214

D(14,11) 0,731561 0,663106 0,679049

D( 3, 1) 1,019689 1,009460 1,000712

D(13, 3) 0,660288 0,671752 0,679049

D(20, 7) 1,021821 1,016850 1,000712

D(21,19) 0,731508 0,685387 0,679049

D(21, 6) 1,022998 1,019689 1,000712

D(18,17) 0,616856 0,685424 0,679049

D(22, 7) 0,990135 1,021821 1,000712

D(11, 6) 0,743863 0,715247 0,679049

D(19, 7) 0,948919 1,021983 1,000712

D(20,17) 1,094248 1,022998 1,049059

D(23,20) 1,279420 1,259453 1,247986

D(18, 3) 1,016850 1,028274 1,049059

D(23,11) 1,286740 1,266710 1,247986

D(21,15) 1,036078 1,032481 1,049059

D(12, 4) 1,204191 1,270365 1,247986

D(21,16) 1,054868 1,036078 1,053324

D(19,12) 1,177086 1,271224 1,247986

D(21, 1) 1,051781 1,051781 1,053324

D(13, 7) 1,259453 1,274772 1,259453

D(20, 8) 1,122321 1,054868 1,074917

D(18,11) 1,348825 1,275078 1,300088

D(21, 9) 1,084412 1,059504 1,074917

D( 5, 2) 1,266710 1,279280 1,300088

D(21,14) 1,095963 1,064392 1,074917

D(12,11) 1,403021 1,279420 1,300088

D(23,17) 1,086290 1,065642 1,074917

D( 3, 2) 1,257205 1,286740 1,300088

D(16,11) 1,079285 1,079285 1,074917

D(23, 4) 1,224679 1,308025 1,300088

D(23, 8) 1,080275 1,080275 1,074917

D(15, 1) 1,433672 1,334614 1,370563

D(10, 6) 1,028274 1,084412 1,074917

D(18, 5) 1,475521 1,336568 1,370563

D(18,14) 1,105798 1,086290 1,074917

D(21,12) 1,334614 1,339232 1,370563

D(15,13) 1,059504 1,089707 1,074917

D( 6, 3) 1,336568 1,348825 1,370563

D(15, 5) 1,007051 1,094248 1,074917

D(14,10) 1,275078 1,375544 1,370563

D(15, 7) 1,159693 1,095963 1,111657

D(20,19) 1,375544 1,403021 1,370563

D(20,18) 1,136702 1,098691 1,111657

D(19, 9) 1,410572 1,410572 1,370563

D(20,14) 1,065642 1,101096 1,111657

D(15, 4) 1,339232 1,421781 1,370563

D(19,11) 1,089707 1,105798 1,111657

D(22,10) 1,454466 1,421985 1,370563

D(12, 6) 1,153808 1,113226 1,111657

D(19, 1) 1,270365 1,423957 1,370563

D(19,16) 1,064392 1,121430 1,111657

D(10, 3) 1,421985 1,433672 1,421985

D(14, 3) 1,130552 1,122321 1,130552

D(16, 2) 1,423957 1,447912 1,423957

D(11, 5) 1,210319 1,130552 1,164844

D(23, 9) 1,508319 1,454466 1,479053

D(22,21) 1,164218 1,136702 1,164844

D(20, 4) 1,498078 1,469967 1,479053

D( 7, 3) 1,186147 1,145233 1,164844

D(10, 1) 1,494561 1,475521 1,479053

D(20, 2) 1,098691 1,153808 1,164844

D(22,16) 1,469967 1,481608 1,479053

D(16,14) 1,205266 1,159693 1,172145

D(18, 6) 1,481608 1,488199 1,479053

D(21, 5) 1,189740 1,162947 1,172145

D(15, 9) 1,421781 1,494561 1,479053

D(15, 6) 1,121430 1,164218 1,172145

D(15,10) 1,515763 1,498078 1,515763

D(23, 6) 1,173541 1,173541 1,173541

D( 9, 2) 1,637501 1,503109 1,545645

D(11, 1) 1,274772 1,177086 1,175625

D(17,11) 1,522749 1,508319 1,545645

D(17, 5) 1,113226 1,186147 1,175625

D(14,12) 1,526365 1,513656 1,545645

D(20, 6) 1,226082 1,189740 1,175625

D(17,14) 1,556513 1,515763 1,545645

D( 7, 2) 1,101096 1,204191 1,175625

D(11, 8) 1,545508 1,519848 1,545645

D(19,13) 1,162947 1,205266 1,175625

D(19, 3) 1,554972 1,522749 1,545645

D(23, 3) 1,221098 1,210319 1,221098

D(23, 7) 1,538514 1,526365 1,545645

D(22,17) 1,271224 1,221098 1,240821

D(14, 8) 1,566277 1,538514 1,545645

D(21, 4) 1,308025 1,224679 1,240821

D(17,13) 1,488199 1,545508 1,545645

D( 8, 5) 1,145233 1,226082 1,240821

D(13, 8) 1,519848 1,554972 1,545645

D(20,10) 1,238801 1,238801 1,240821

D(14,13) 1,572870 1,556513 1,546520

D(10, 4) 1,253921 1,253921 1,247986

D(20,16) 1,626180 1,559252 1,546520

D(22, 8) 1,279280 1,255262 1,247986

D( 9, 3) 1,582532 1,566277 1,546520

D(13,10) 1,255262 1,257205 1,247986

D(22,13) 1,503109 1,572870 1,546520

D(20, 9) 1,447912 1,578739 1,546520

D(17, 7) 1,968249 1,965051 1,961779

D(13, 6) 1,642349 1,582532 1,595847

D(17, 6) 1,897518 1,968249 1,961779

D( 4, 3) 1,596216 1,590976 1,595847

D(23,10) 1,999579 1,988875 1,966220

D(12, 2) 1,603237 1,596216 1,595847

D( 8, 7) 1,988875 1,999579 1,966220

D( 7, 1) 1,590976 1,600163 1,595847

D( 8, 6) 1,910204 2,002048 1,966220

D(22, 5) 1,578739 1,603237 1,595847

D(23,16) 2,002048 2,016299 2,002048

D(18, 4) 1,600163 1,626180 1,595847

D(13,12) 2,058861 2,021908 2,058861

D(15, 2) 1,559252 1,637501 1,595847

D(12, 3) 2,113749 2,058861 2,092332

D(21,18) 1,687129 1,642349 1,630029

D(16, 1) 2,072978 2,072978 2,092332

D( 6, 2) 1,642518 1,642518 1,630029

D( 9, 5) 2,119411 2,076343 2,092332

D(18,13) 1,676813 1,650204 1,630029

D(15,12) 2,085970 2,085542 2,092332

D(19, 6) 1,513656 1,665456 1,630029

D(17, 4) 2,076343 2,085970 2,092332

D(14, 2) 1,741308 1,676813 1,705837

D( 8, 4) 2,085542 2,113749 2,092332

D(19,15) 1,766382 1,687129 1,705837

D( 9, 1) 2,129475 2,119411 2,129475

D( 7, 5) 1,650204 1,698377 1,705837

D(23, 1) 2,234588 2,125241 2,179313

D(23,21) 1,665456 1,712269 1,705837

D(18,10) 2,125241 2,129475 2,179313

D(16,15) 1,751499 1,714568 1,733033

D(18, 2) 2,221679 2,161816 2,179313

D(19,14) 1,714568 1,737969 1,733033

D(17, 2) 2,161816 2,183401 2,179313

D(21,17) 1,767325 1,741308 1,739187

D( 8, 2) 2,192093 2,192093 2,179313

D(14, 5) 1,737969 1,744202 1,739187

D( 5, 4) 2,183401 2,215204 2,179313

D(18, 7) 1,712269 1,751467 1,739187

D(17,10) 2,293779 2,221679 2,179313

D(10, 5) 1,744202 1,751499 1,744202

D(18, 1) 2,021908 2,229519 2,179313

D(13, 4) 1,930604 1,754138 1,795610

D(10, 8) 2,318194 2,230325 2,254575

D(21, 8) 1,793774 1,766382 1,795610

D(16, 5) 2,230325 2,234588 2,254575

D(16, 3) 1,793604 1,767325 1,795610

D(17, 9) 2,215204 2,253533 2,254575

D(19, 5) 1,698377 1,779715 1,795610

D(19,18) 2,418532 2,272042 2,321031

D(16,13) 1,791412 1,781782 1,795610

D( 9, 8) 2,229519 2,293779 2,321031

D(13, 9) 1,781782 1,783669 1,795610

D(23,19) 2,373308 2,305799 2,321031

D(23, 5) 1,779715 1,791412 1,795610

D(23,12) 2,323881 2,308907 2,321031

D( 6, 5) 1,910896 1,793604 1,802288

D(23, 2) 2,272042 2,318194 2,321031

D(19, 4) 1,754138 1,793774 1,802288

D(12, 1) 2,308907 2,323881 2,321031

D(22, 2) 1,796689 1,796689 1,802288

D(19,17) 2,469770 2,373308 2,381739

D(22,12) 1,798249 1,798249 1,802288

D(19, 8) 2,497854 2,418532 2,381739

D(17, 1) 1,751467 1,818433 1,802288

D(18,16) 2,253533 2,469770 2,381739

D(22,19) 1,847280 1,847280 1,847280

D( 4, 1) 2,305799 2,497854 2,381739

D(20,12) 1,942127 1,855376 1,848076

D(17,16) 2,562998 2,522838 2,555993

D( 8, 1) 1,783669 1,897414 1,848076

D(16, 8) 2,582145 2,562998 2,555993

D(18, 9) 1,818433 1,897518 1,848076

D(12, 5) 2,522838 2,582145 2,555993

D( 4, 2) 1,917815 1,910204 1,886595

D(18,12) 2,587183 2,587183 2,587183

D(23,13) 1,855376 1,910896 1,886595

D(17,12) 2,897280 2,897280 2,897280

D(22, 1) 1,897414 1,917815 1,897414

D(12, 8) 2,916713 2,916713 2,916713

D(14, 1) 1,965051 1,930604 1,961779

(Źródło: Obliczenia własne)

D( 6, 1) 2,016299 1,942127 1,961779

Dla pewności moŜemy przeanalizować stworzone na podstawie powyŜszej tabeli wykresy dopasowania odpowiednio D^ i D* względem odległości pierwotnych. Rys. 7. Wykres dopasowania Odległości i D^ 3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

-0,5 -0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

2,5

3,0

3,5

Odległ.

(Źródło: Wykonanie własne) Rys. 8. Odległości i D* 3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

-0,5 -0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Odległ.

(Źródło: Wykonanie własne) 15

Dopasowanie wygląda na dokładne, czyli wykres rozrzutu 2W jest najlepszym sposobem prezentacji. 5. Zastosowania Badania naukowe z dziedziny psychologii dowiodły, Ŝe ludzie w codziennym Ŝyciu operują skalami wielowymiarowymi, choć robią to nieświadomie. Na ogół nie potrafią, jednak odtworzyć przestrzeni psychologicznej, na której te skale są oparte, czyli odnosić względem siebie wielu wymiarów łącznie. Za pomocą SWW dąŜymy do rekonstrukcji przestrzeni psychologicznej i przedstawienia jej w moŜliwie najbardziej zrozumiały i sensowny sposób redukując wymiarowość zwykle do jednego, dwóch lub trzech wymiarów. Zaleta skalowania wielowymiarowego polega na tym, Ŝe moŜemy analizować dowolny rodzaj macierzy odległości lub podobieństwa. Podobieństwa te mogą reprezentować oceny: - podobieństwa obiektów dokonane przez respondentów, - procentową zgodność między sędziami, - liczbę przypadków, gdy badany nie umiał rozróŜnić bodźców itd. Największe zastosowanie dla Skalowanie Wielowymiarowego: Badania psychologiczne - Badania nad ludzką percepcją zapachu, smaku, bólu i cierpienia, podobieństwa barw i głosek, itp., Badania socjologiczne - Badania nad postrzeganiem własnych grup społecznych oraz grup zewnętrznych, postrzeganiem postaw, stosunku do religii, czy teŜ zwyczajów, Badania marketingowe - Ocena podobieństwa i porównanie marek lub produktów oraz znajdywanie ukrytych wymiarów kryjących się za ich postrzeganiem, Ekonometria - Konstrukcja skali oceny przedsiębiorstwa. Mówiąc ogólnie, metody SWW pozwalają badaczowi zadawać względnie neutralne pytania (np. "na ile marka A jest podobna do marki B") i wyprowadzać z tych pytań podstawowe wymiary bez zdradzania respondentom rzeczywistych intencji badacza. Najczęściej w SWW analizowane są: podobieństwa obiektów dokonane przez respondentów, procentowa zgodność między sędziami, liczba przypadków, gdy badany nie potrafił rozróŜnić bodźców Ten ostatni przypadek chcielibyśmy przedstawić na konkretnym przykładzie. Do eksperymentu wykorzystamy podobnie jak w przykładzie pierwszym oprogramowanie Statistica.

6. Przykład nr. 2 skalowania wielowymiarowego – dane niemetryczne W tym eksperymencie posłuŜymy się danymi z (1). W literaturze eksperyment ten został przeprowadzony przy pomocy innego oprogramowania komputerowego, natomiast my posłuŜymy się znaną nam juŜ Statisticą. Dane przedstawiają błędne odpowiedzi na zadane pytanie. Tu pytaniem był dźwięk przedstawiający jedną z głosek języka angielskiego, podczas gdy respondenci mieli za zadanie zanotować jaką głoskę usłyszeli. W ten sposób zbudowano macierz pomyłek popełnionych przez respondentów, tzn. im więcej pomyłek dla danej pary głosek zanotowano, tym bardziej są one postrzegane jako podobne, zatem ilość pomyłek jest tu miarą podobieństwa.

Tabela 4. Macierz pomyłek.

p p t k f θ r s b d g v δ z ξ m n Means Std.Dev No.Cases Matrix

0 229 432 101 124 52 38 22 25 13 16 28 25 19 25 17

t 229 0 241 57 79 50 50 13 22 16 22 16 23 17 22 18

k 432 241 0 77 84 63 47 18 20 30 20 18 25 19 21 20

f 101 57 77 0 423 66 30 46 25 15 35 32 18 7 16 12

θ 124 79 84 423 0 157 48 45 41 39 40 31 33 17 19 18

r 52 50 63 66 157 0 115 24 31 33 23 26 35 22 17 13

s 38 50 47 30 48 115 0 12 33 21 20 18 17 12 12 11

b 22 13 18 46 45 24 12 0 58 69 210 145 55 27 36 24

d 25 22 20 25 41 31 33 58 0 342 59 94 106 89 24 32

g 13 16 30 15 39 33 21 69 342 0 54 120 139 125 32 30

v 16 22 20 35 40 23 20 210 59 54 0 338 80 29 30 22

δ 28 16 18 32 31 26 18 145 94 120 338 0 161 33 34 28

z 25 23 25 18 33 35 17 55 106 139 80 161 0 136 21 16

ξ 19 17 19 7 17 22 12 27 89 125 29 33 136 0 16 30

m 25 22 21 16 19 17 12 36 24 32 30 34 21 16 0 151

16 2

(Źródło: Obliczenia własne)

n 17 18 20 12 18 13 11 24 32 30 22 28 16 30 151 0

SWW jako graficzna metoda redukcji wymiarów nie odpowiada wprost na pytanie dla ilu wymiarów mamy zaprezentować wyniki. Odpowiedzi szukamy np. korzystając z metody głównych składowych badając wartość Stressu dla róŜnej ilości wymiarów. Tabela 5. Wartości Stressu dla róŜnych wymiarów (przykład nr.2) Wymiar 1 2 3 4 5 6 7

Stress 47,367740 6,080462 1,709983 0,723261 0,264883 0,088126 0,039980

(Źródło: Obliczenia własne)

Rys. 9. Wykres osypiska dla przykładu nr. 2. Wykres osypiska 50 45 40 35

Stres

30 25 20 15 10 5 0 0

Wym iar

(Źródło: Wykonanie własne)

Z wykresu osypiska stworzonego na podstawie Tabeli 5 moŜna zakładać, w zaleŜności od zastosowanej metody interpretacji tego typu wykresów oraz zakładanej dokładności wyników, Ŝe za pomocą dwóch lub trzech wymiarów moŜemy zaobserwować w wystarczający sposób zmienność badanego zjawiska. Warto wziąć pod uwagę takŜe alternatywne dla wykresu osypiska rozwiązanie problemu docelowej liczby wymiarów. OtóŜ w skalowaniu wielowymiarowym warto wziąć pod uwagę sensowność i interpretowalność róŜnej liczby wymiarów, co zaleŜy juŜ od konkretnego przykładu. W przykładzie pierwszym miało to szczególne znaczenie gdyŜ otrzymanie jedno lub trójwymiarowej „mapy Polski” nie miałoby dla nas sensu i nie byłoby moŜliwe sensowne zinterpretowanie wyników. W omawianym właśnie przykładzie 2 wyniki nie są jeszcze dla nas tak oczywiste, dlatego sprawdzimy obydwa przypadki, których sens zastosowania wynikałby z wykresu osypiska.

Na początek dla dwóch wymiarów:

Wybieramy metodę (domyślnie Guttmana-Lingoesa), epsilon, oraz ograniczenia co do ilości wykonanych iteracji.

Po wykonaniu alogorytmu, Statistica zwraca okno wyników, z których najbardziej istotne są dla nas Alienacja = 0,1538208 oraz Stress = 0,1224407

Dla rozwiązania dwuwymiarowego otrzymujemy następujący wykres:

Rys. 10. Wykres rozrzutu 2W dla przykładu nr. 2. Wykres rozrzutu 2W Konfiguracja końcowa, wymiar 1 wzgl. wymiaru 2 1,2

1,0 0,8 0,6

0,4

2 Wymiar

-0,2

0,2 0,0

k t

v b

p f

-0,4 -0,6 -0,8 -1,0 -1,2

-1,4 -1,6 -1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2 Wymiar

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

(Źródło: Wykonanie własne)

Na powyŜszym wykresie moŜemy zauwaŜyć, Ŝe takie głoski jak „m i „n”, czy „t” i „k”, które najbardziej wydają się nam podobne w wydźwięku, leŜą bardzo blisko siebie. NaleŜy jednak pamiętać, iŜ badanie przeprowadzono dla głosek w języku angielskim, dlatego „g” i „z” łączy nieduŜa odległość, podczas gdy w języku polskim głoski te wydają się zdecydowanie inne. PowyŜsze dopasowanie potwierdzamy budując diagram Sheparda.

Rys. 11. Diagram Sheparda dla przykładu nr. 2 dla 2W. Diagram Sheparda Odległości i D^ wzgl. danych 2,8 2,6 2,4 2,2 2,0

Odległości/D^

1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -50

100

150

200

250

300

350

400

450

Dane

(Źródło: Wykonanie własne)

Na podstawie wzrokowej analizy diagramu moŜemy uznać dopasowanie za wystarczające. PoniŜsza tabela przedstawia trzy rodzaje odległości pomiędzy wszystkimi parami głosek: odległość pierwotną, odległość przetworzoną D* oraz odległość przetworzoną D^.

Tabela 6. Dane do rys. 12 i 13. Odleg.

D(11, 5) 1,543449 1,149874 1,450527

D( 3, 1) 0,191668 0,065265 0,158570

D(10, 5) 1,524427 1,264701 1,450527

D( 5, 4) 0,415042 0,074571 0,158570

D( 7, 1) 1,149874 1,274497 1,450527

D(10, 9) 0,129743 0,087154 0,158570

D(15, 8) 1,274497 1,328881 1,450527

D(12,11) 0,087154 0,103211 0,158570

D(11, 4) 1,728973 1,336653 1,451741

D( 3, 2) 0,065265 0,106110 0,158570

D(13, 6) 1,541418 1,344626 1,451741

D( 2, 1) 0,146548 0,129743 0,158570

D(15,12) 1,388034 1,385800 1,451741

D(11, 8) 0,074571 0,135245 0,158570

D( 9, 7) 1,645329 1,388034 1,451741

D(13,12) 0,433154 0,146548 0,214480

D(14,12) 0,954950 1,401752 1,451741

D( 6, 5) 0,279075 0,150851 0,214480

D(10, 6) 1,559903 1,431499 1,530324

D(16,15) 0,106110 0,188801 0,214480

D(13, 5) 1,524518 1,485734 1,530324

D(12, 8) 0,150851 0,191668 0,214480

D(12, 4) 1,687567 1,524427 1,530324

D(13,10) 0,103211 0,279075 0,214480

D(16, 9) 1,702754 1,524518 1,530324

D(14,13) 0,521999 0,281511 0,393613

D(15,10) 1,707437 1,525709 1,530324

D(14,10) 0,622751 0,296987 0,393613

D(12, 5) 1,485734 1,541418 1,530324

D( 5, 1) 0,296987 0,313585 0,393613

D( 9, 6) 1,431499 1,543449 1,530324

D(12,10) 0,332575 0,331246 0,393613

D(15,11) 1,344626 1,545636 1,530324

D( 7, 6) 0,682671 0,332575 0,393613

D( 7, 4) 1,328881 1,559903 1,530324

D(13, 9) 0,135245 0,360930 0,393613

D(16,10) 1,710827 1,579896 1,579524

D( 4, 1) 0,188801 0,367877 0,393613

D(16,14) 2,319268 1,624053 1,579524

D(12, 9) 0,367877 0,380416 0,393613

D(10, 3) 1,803783 1,628380 1,579524

D(14, 9) 0,616787 0,402792 0,419547

D(14,11) 1,024715 1,645329 1,579524

D( 5, 3) 0,281511 0,415042 0,419547

D(12, 1) 1,713515 1,647667 1,579524

D(13,11) 0,505435 0,423891 0,419547

D(16,12) 1,385800 1,661742 1,579524

D( 5, 2) 0,313585 0,433154 0,419547

D(14, 8) 1,098760 1,667293 1,579524

D( 4, 3) 0,380416 0,450761 0,419547

D(12, 6) 1,579896 1,672221 1,579896

D(10, 8) 0,476422 0,476422 0,466279

D(13, 3) 1,801170 1,680129 1,649115

D( 6, 4) 0,659591 0,495765 0,466279

D( 9, 4) 1,682383 1,682383 1,649115

D( 6, 3) 0,360930 0,505435 0,466279

D(15, 1) 1,684897 1,684256 1,649115

D(11, 9) 0,450761 0,518724 0,466279

D(13, 1) 1,794245 1,684897 1,649115

D( 9, 8) 0,518724 0,521999 0,466279

D( 9, 1) 1,667293 1,687567 1,649115

D( 4, 2) 0,331246 0,578746 0,466279

D(16, 8) 1,264701 1,691335 1,649115

D(13, 8) 0,578746 0,616787 0,475299

D( 8, 6) 1,661742 1,702754 1,661742

D(11,10) 0,402792 0,622751 0,475299

D(15, 9) 1,691335 1,707437 1,669501

D( 6, 1) 0,495765 0,659591 0,475299

D(11, 6) 1,647667 1,710827 1,669501

D( 6, 2) 0,423891 0,682671 0,475299

D(13, 2) 1,838088 1,713515 1,686201

D( 7, 2) 1,038438 0,954950 0,991241

D( 8, 1) 1,755884 1,713847 1,686201

D( 7, 5) 0,960632 0,960632 0,991241

D(15, 2) 1,828160 1,714056 1,686201

D( 7, 3) 0,974653 0,974653 0,991241

D(14, 6) 1,672221 1,715237 1,686201

D( 8, 4) 1,714056 1,024715 1,450527

D(16,11) 1,336653 1,728973 1,686201

D( 8, 5) 1,545636 1,038438 1,450527

D( 9, 2) 1,715237 1,739908 1,715237

D( 9, 5) 1,401752 1,098760 1,450527

D(11, 2) 1,843762 1,755884 1,816870

D(15, 3) 1,855096 1,762963 1,816870

D(15, 6) 1,942858 1,841666 1,831662

D(10, 7) 1,770532 1,766386 1,816870

D(16, 1) 1,780550 1,843762 1,831662

D(15,13) 1,798092 1,770532 1,816870

D(10, 2) 1,837592 1,855096 1,831662

D(16, 3) 1,948342 1,770641 1,825451

D(15, 4) 1,525709 1,909465 1,831662

D(11, 7) 1,991526 1,780550 1,825451

D(12, 2) 1,789435 1,922964 1,831662

D( 9, 3) 1,680129 1,785872 1,825451

D(16,13) 1,804296 1,942858 1,831662

D(11, 3) 1,823001 1,789435 1,825451

D(11, 1) 1,762963 1,948342 1,831662

D(15, 5) 1,684256 1,794245 1,825451

D(15,14) 2,307952 1,991526 1,858274

D(14, 3) 1,992071 1,794539 1,831662

D(10, 4) 1,794539 1,992071 1,858274

D(14, 1) 2,032886 1,798092 1,831662

D( 8, 2) 1,841666 2,025453 1,858274

D(13, 4) 1,813629 1,801170 1,831662

D(16, 6) 2,025453 2,027994 1,858274

D(12, 3) 1,766386 1,803783 1,831662

D(10, 1) 1,785872 2,032886 1,858274

D(12, 7) 1,909465 1,804296 1,831662

D(14, 7) 1,628380 2,041286 1,858274

D(16, 2) 1,922964 1,813629 1,831662

D(16, 4) 1,624053 2,095459 1,858274

D( 8, 3) 1,823439 1,823001 1,831662

D( 8, 7) 2,027994 2,307952 2,027994

D(16, 5) 1,770641 1,823439 1,831662

D(15, 7) 2,571679 2,319268 2,437583

D(14, 2) 2,041286 1,828160 1,831662

D(16, 7) 2,645612 2,571679 2,437583

D(14, 5) 1,739908 1,837592 1,831662

D(14, 4) 2,095459 2,645612 2,437583

D(13, 7) 1,713847 1,838088 1,831662

(Źródło: Obliczenia własne)

Dla pewności moŜemy przeanalizować stworzone na podstawie powyŜszej tabeli wykresy dopasowania odpowiednio D^ i D* względem odległości pierwotnych Rys. 12. Odległości i D^ 2,8 2,6 2,4 2,2 2,0 1,8

1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

Odległ.

(Źródło: Wykonanie własne)

Rys. 13. Odległości i D* 2,8 2,6 2,4 2,2 2,0 1,8

1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

Odległ.

(Źródło: Wykonanie własne)

Dopasowanie, choć nie wygląda na zbyt dokładne, to jednak wyniki w przestrzeni 2W mogą być dla nas wygodniejsze do interpretacji. Aby się upewnić zbadajmy wykres 3W stworzony w analogiczny sposób tyle, Ŝe dla trzech wymiarów. Okno wyników przedstawia się następująco:

ZauwaŜamy, Ŝe Alienacja i Stress są dla tego wariantu o rząd mniejsze, co wynika z lepszego dopasowania odległości względem danych pierwotnych. Rys. 16. Wykres 3W dla przykładu nr. 2.

(Źródło: Wykonanie własne) 26

Znaczną poprawę dopasowania widać takŜe na diagramie Shepparda. Rys. 17. Diagram Sheparda dla przykładu nr. 2 dla 3W. Diagram Sheparda Odległości i

D^ wzgl. danych

2,6 2,4 2,2 2,0

Odległości/D^

1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -50

100

150

200

250

300

350

400

450

Dane

(Źródło: Wykonanie własne) Tabela 7. Dane do rys. 18 i 19 Odleg.

D(13, 9) 0,373932 0,632976 0,644768

D( 3, 1) 0,162190 0,128219 0,162190

D( 4, 1) 0,689861 0,670649 0,660305

D( 5, 4) 0,349479 0,162190 0,217446

D(12, 9) 0,697240 0,689861 0,660305

D(10, 9) 0,171761 0,171761 0,217446

D(14, 9) 0,632976 0,697240 0,660305

D(12,11) 0,220324 0,204810 0,217446

D( 5, 3) 0,621142 0,708494 0,660305

D( 3, 2) 0,128219 0,220324 0,217446

D(13,11) 0,708494 0,714748 0,708494

D( 2, 1) 0,259836 0,259836 0,232323

D( 5, 2) 0,734887 0,724035 0,734887

D(11, 8) 0,204810 0,341380 0,232323

D( 4, 3) 0,769462 0,734887 0,769462

D(13,12) 0,504374 0,349479 0,439054

D(10, 8) 0,875158 0,762880 0,782955

D( 6, 5) 0,487045 0,373932 0,439054

D( 6, 4) 0,803057 0,769462 0,782955

D(16,15) 0,471475 0,390997 0,439054

D( 6, 3) 0,670649 0,803057 0,782955

D(12, 8) 0,341380 0,471475 0,439054

D(11, 9) 0,905655 0,828351 0,847685

D(13,10) 0,390997 0,487045 0,439054

D( 9, 8) 0,974176 0,841254 0,847685

D(14,13) 0,935299 0,504374 0,644768

D( 4, 2) 0,897445 0,875158 0,847685

D(14,10) 0,714748 0,600402 0,644768

D(13, 8) 0,841254 0,897445 0,847685

D( 5, 1) 0,600402 0,616755 0,644768

D(11,10) 0,828351 0,905655 0,847685

D(12,10) 0,616755 0,621142 0,644768

D( 6, 1) 0,762880 0,935299 0,847685

D( 7, 6) 0,627476 0,627476 0,644768

D( 6, 2) 0,724035 0,974176 0,847685

D( 7, 2) 1,153040 1,111049 1,132045

D(15, 2) 1,698220 1,709422 1,723531

D( 7, 5) 1,111049 1,153040 1,132045

D(14, 6) 1,698898 1,710138 1,723531

D( 7, 3) 1,156251 1,156251 1,156251

D(16,11) 1,728929 1,717638 1,723531

D( 8, 4) 1,477871 1,292770 1,402001

D( 9, 2) 1,659011 1,723563 1,723531

D( 8, 5) 1,379950 1,320894 1,402001

D(11, 2) 1,855671 1,728929 1,748487

D( 9, 5) 1,445787 1,337243 1,402001

D(15, 3) 1,684377 1,729041 1,748487

D(11, 5) 1,337243 1,362090 1,402001

D(10, 7) 1,730682 1,730682 1,748487

D(10, 5) 1,518299 1,367853 1,402001

D(15,13) 1,742665 1,732646 1,748487

D( 7, 1) 1,292770 1,379950 1,402001

D(16, 3) 1,729041 1,732743 1,748487

D(15, 8) 1,362090 1,391993 1,402001

D(11, 7) 1,928882 1,732859 1,772380

D(11, 4) 1,461513 1,406496 1,445819

D( 9, 3) 1,645439 1,739238 1,772380

D(13, 6) 1,430124 1,412383 1,445819

D(11, 3) 1,782454 1,741011 1,772380

D(15,12) 1,508540 1,430124 1,455963

D(15, 5) 1,732743 1,741777 1,772380

D( 9, 7) 1,574269 1,445548 1,455963

D(14, 3) 1,894129 1,742665 1,799740

D(14,12) 1,320894 1,445787 1,455963

D(14, 1) 1,951147 1,751075 1,799740

D(10, 6) 1,511426 1,460749 1,455963

D(13, 4) 1,717638 1,759441 1,799740

D(13, 5) 1,460749 1,461513 1,455963

D(12, 3) 1,768690 1,768690 1,799740

D(12, 4) 1,538012 1,465706 1,455963

D(12, 7) 1,850540 1,773685 1,799740

D(16, 9) 1,465706 1,477871 1,455963

D(16, 2) 1,709422 1,781711 1,799740

D(15,10) 1,445548 1,505709 1,455963

D( 8, 3) 1,790853 1,782454 1,799740

D(12, 5) 1,367853 1,508540 1,455963

D(16, 5) 1,880943 1,786885 1,799740

D( 9, 6) 1,391993 1,511426 1,455963

D(14, 2) 1,865059 1,787890 1,799740

D(15,11) 1,523658 1,518299 1,455963

D(14, 5) 1,869430 1,790853 1,799740

D( 7, 4) 1,412383 1,523658 1,455963

D(13, 7) 1,610793 1,805111 1,799740

D(16,10) 1,406496 1,525971 1,455963

D(15, 6) 1,992600 1,823267 1,799740

D(16,14) 1,548740 1,533029 1,548740

D(16, 1) 1,672232 1,829284 1,799740

D(10, 3) 1,732646 1,536029 1,625354

D(10, 2) 1,751075 1,850540 1,799740

D(14,11) 1,533029 1,538012 1,625354

D(15, 4) 1,786885 1,855671 1,799740

D(12, 1) 1,741011 1,548740 1,625354

D(12, 2) 1,829284 1,863321 1,799740

D(16,12) 1,655367 1,574269 1,625354

D(16,13) 1,759441 1,865059 1,799740

D(14, 8) 1,584363 1,584363 1,625354

D(11, 1) 1,739238 1,869430 1,799740

D(12, 6) 1,505709 1,591050 1,625354

D(15,14) 1,781711 1,880943 1,799740

D(13, 3) 1,787890 1,599303 1,650862

D(10, 4) 1,773685 1,894129 1,799740

D( 9, 4) 1,723563 1,610793 1,650862

D( 8, 2) 1,863321 1,928882 1,837942

D(15, 1) 1,591050 1,620020 1,650862

D(16, 6) 2,036532 1,951147 1,837942

D(13, 1) 1,805111 1,645439 1,650862

D(10, 1) 1,741777 1,992600 1,837942

D( 9, 1) 1,668820 1,655367 1,650862

D(14, 7) 1,710138 2,003681 1,837942

D(16, 8) 1,599303 1,659011 1,650862

D(16, 4) 2,003681 2,036532 2,003681

D( 8, 6) 1,620020 1,668820 1,650862

D( 8, 7) 2,049883 2,049883 2,049883

D(15, 9) 1,525971 1,672232 1,650862

D(15, 7) 2,475052 2,180336 2,361518

D(11, 6) 1,536029 1,684377 1,650862

D(16, 7) 2,429167 2,429167 2,361518

D(13, 2) 1,823267 1,698220 1,723531

D(14, 4) 2,180336 2,475052 2,361518

D( 8, 1) 1,732859 1,698898 1,723531

(Źródło: Obliczenia własne)

TakŜe wykresy D^ i D* wskazują na lepsze dopasowanie.

Rys. 18. Odległości i D^ 2,6 2,4 2,2 2,0 1,8

1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

Odległ.

(Źródło: Wykonanie własne)

Rys. 19. Odległości i D* 2,6 2,4 2,2 2,0 1,8

1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

Odległ.

(Źródło: Wykonanie własne) Podsumowując, pomimo znacznie lepszego dopasowania modelu 3W jest on duŜo trudniejszy w interpretacji pamiętając, Ŝe w wyniku ostatecznym waŜne są dla nas nie tylko odległości, ale takŜe ukryte wymiary, które pragniemy nazwać i zbadać. W naszym przykładzie wydaje się to jednak trudne, gdyŜ moŜe wymagać większej wiedzy o języku angielskim i jego fonetyce.

7. Skalowanie wielowymiarowe a analiza czynnikowa ChociaŜ istnieją podobieństwa w problemach badawczych, do których mogą być stosowane obie te procedury, SWW i analiza czynnikowa to zasadniczo róŜne metody. Analiza czynnikowa - wymaga, aby dane miały wielowymiarowy rozkład normalny, a związki były liniowe - zmierza do wyodrębnienia większej liczby czynników (wymiarów) niŜ SWW - wymaga, abyśmy najpierw obliczyli macierz korelacji - wymaga, aby osobnicy ocenili te bodźce przy pomocy pewnej listy atrybutów (dla których wykonuje się analizę czynnikową)

Skalowanie wielowymiarowe - nie narzuca takich ograniczeń - moŜe być stosowane pod warunkiem, Ŝe porządek rangowy odległości (lub podobieństw) w macierzy jest sensowny - często dostarcza bardziej czytelnych, łatwiejszych do interpretacji rozwiązań - moŜe być stosowane do dowolnego typu odległości lub podobieństw - moŜe być oparte na bezpośrednim oszacowaniu przez osobników podobieństw między bodźcami

Podsumowując, skalowanie wielowymiarowe moŜe być stosowane w przypadku wielu róŜnych projektów badawczych, poniewaŜ istnieje wiele sposobów otrzymania miar odległości.

8. Literatura (1) - Adam Biela „Skalowanie wielowymiarowe jako metoda badań naukowych”, Towarzystwo naukowe Katolickiego Uniwersytetu Lubelskiego, Lublin 1992; (2) - Grzegorz Lisowski, Zakład Statystyki, Demografii i Socjologii Matematycznej Uniwersytetu Warszawskiego – wykłady ze statystyki; (3) - Alvin C. Rencher „Methods of Multivariate Analysis”, A. John Wiley & Sons, Inc. Publication, Canada 2002; (4) - Wolfgang Hardle, Leopold Simar „Applied Multivariate Statistical Analysis”, Method and Data Technologies, Germany 2003; (5) - http://www.statsoft.pl/textbook/stathome.html - internetowy podręcznik Statystyki; (6) - Janusz Dutkowski „Eksploracyjna analiza danych. Metody rzutowania: analiza składowych głównych oraz skalowanie wielowymiarowe” - praca naukowa; (7) - Paweł Rydzewski „Postawy wobec rozwodów w Polsce w latach 1990”, WyŜsza Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie.