Циліндр. Розв’язування задач

Циліндр Розв’язування задач

Геометрія

11 клас

Загальне визначення циліндричного тіла

α1

m

α

Похилий круговий циліндр круг

Н

α

Прямий круговий циліндр основа О1

бічна поверхня

твірна О

вісь циліндра

Розгортка циліндра С = 2πR R

О 1

О1

H

So = π ⋅ R

2

S б = 2πR ⋅ H

О

S п = 2πR ⋅ H + 2πR = 2πR ⋅ ( H + R ) 2

О

R

Перетин циліндра площиною, паралельною його осі О1

Перетин циліндрандра площиною, перпендикулярною його осі О1

А 1

О2

О

О А

Циліндрична гастрономія

Циліндрична архітектура

Осьовий перетин циліндра – квадрат, діагональ якого дорівнює 20 см. Знайдіть: а) висоту циліндра; б) So циліндра Розв’язання B

C

20

45 °

1. Проведемо діагональ АС перетину АВСD. 2. ∆ADC – рівнобедрений, прямокутний, АD=DC, h = 2r, ⇒ ∠CAD = ∠ACD=45°, тоді

2 h = AC ⋅ cos 45° = 20 ⋅ = 10 2 .

2 A

45 °

3. Знайдемо радіус основи D

4.Знайдемо площу основи Відповідь:

а )10 2 ;

б )50π .

h 10 2 r= = = 5 2.

2 2

(

)

2

S o = π ⋅ r = π ⋅ 5 2 = 50π .

2

Площа осьового перетину циліндра дорівнює 10 м2, а площа основи – 5 м2. Знайдіть висоту циліндра.

C

Розв’зання.

1. Площина основи – круг,

B

So = π ×r 2 , тоді

r=

S 5 = . π π

2. Площина перетину – прямокутник,

S c = AB ⋅ BC = h ⋅ 2r , D

A

r

h=

тоді

Sc 5 π = 10 ÷ 2 = 5⋅ = 5π .

2r π 5

Відповідь:

5π .

Через твірну АА1 циліндра проведено дві площини, одна з яких проходить через вісь циліндра. Знайдіть відношення площ перетину, якщо кут між ними дорівнює ϕ. В A

ϕ

Розв’язання.

1) Побудуємо площини АА1В1В та АА1С1С.

2) Складемо відношенння площ AA1 ⋅ AB AB перетину S ABB1 A1

C

S ACC1 A1

=

AA1 ⋅ AC

=

AC

.

3) Побудуємо площину ВВ1С1С. В 1 А 1

4) АВ діаметр основи циліндра, отже ∠АСВ=90°, тоді

AC = AB ⋅ cos ϕ .

C1

5) Тому,

1 Відповідь: . cos ϕ

S ABB1 A1

S ACC1 A1

=

AB AB 1 = = .

AC AB ⋅ cos ϕ cos ϕ