Циліндр Розв’язування задач
Геометрія
11 клас
Загальне визначення циліндричного тіла
α1
m
α
Похилий круговий циліндр круг
Н
α
Прямий круговий циліндр основа О1
бічна поверхня
твірна О
вісь циліндра
Розгортка циліндра С = 2πR R
О 1
О1
H
So = π ⋅ R
2
S б = 2πR ⋅ H
О
S п = 2πR ⋅ H + 2πR = 2πR ⋅ ( H + R ) 2
О
R
Перетин циліндра площиною, паралельною його осі О1
Перетин циліндрандра площиною, перпендикулярною його осі О1
А 1
О2
О
О А
Циліндрична гастрономія
Циліндрична архітектура
Осьовий перетин циліндра – квадрат, діагональ якого дорівнює 20 см. Знайдіть: а) висоту циліндра; б) So циліндра Розв’язання B
C
20
45 °
1. Проведемо діагональ АС перетину АВСD. 2. ∆ADC – рівнобедрений, прямокутний, АD=DC, h = 2r, ⇒ ∠CAD = ∠ACD=45°, тоді
2 h = AC ⋅ cos 45° = 20 ⋅ = 10 2 . 2 A
45 °
3. Знайдемо радіус основи D
4.Знайдемо площу основи Відповідь:
а )10 2 ;
б )50π .
h 10 2 r= = = 5 2. 2 2
(
)
2
S o = π ⋅ r = π ⋅ 5 2 = 50π . 2
Площа осьового перетину циліндра дорівнює 10 м2, а площа основи – 5 м2. Знайдіть висоту циліндра. C
Розв’зання. 1. Площина основи – круг,
B
So = π ×r 2 , тоді
r=
S 5 = . π π
2. Площина перетину – прямокутник,
S c = AB ⋅ BC = h ⋅ 2r , D
A
r
h=
тоді
Sc 5 π = 10 ÷ 2 = 5⋅ = 5π . 2r π 5
Відповідь:
5π .
Через твірну АА1 циліндра проведено дві площини, одна з яких проходить через вісь циліндра. Знайдіть відношення площ перетину, якщо кут між ними дорівнює ϕ. В A
ϕ
Розв’язання. 1) Побудуємо площини АА1В1В та АА1С1С. 2) Складемо відношенння площ AA1 ⋅ AB AB перетину S ABB1 A1
C
S ACC1 A1
=
AA1 ⋅ AC
=
AC
.
3) Побудуємо площину ВВ1С1С. В 1 А 1
4) АВ діаметр основи циліндра, отже ∠АСВ=90°, тоді
AC = AB ⋅ cos ϕ .
C1
5) Тому,
1 Відповідь: . cos ϕ
S ABB1 A1
S ACC1 A1
=
AB AB 1 = = . AC AB ⋅ cos ϕ cos ϕ