Різні технології навчання учнів розв’язувати текстові задачі by Валентина Судець (kpschool1)

УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ КАМ’ЯНЕЦЬ-ПОДІЛЬСЬКОЇ МІСЬКОЇ РАДИ НАУКОВО-МЕТОДИЧНИЙ ЦЕНТР СПЕЦІАЛІЗОВАНА ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА І-ІІІ СТУПЕНІВ №1 З ПОГЛИБЛЕНИМ ВИВЧЕННЯМ НІМЕЦЬКОЇ МОВИ ХМЕЛЬНИЦЬКОЇ ОБЛАСТІ

Павлуцький Микола Леонідович вчитель математики

Різні технології навчання учнів розв’язувати текстові задачі (Посібник)

2015 рік

Рецензенти: Теличко І.І.- вчитель математики Кам’янець-Подільської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №1 з поглибленим вивченням

німецької мови

Хмельницької області

Павлуцький М.Л. Різні технології навчання учнів розв’язувати текстові задачі. – Кам’янець-Подільський: Спеціалізована загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №1 з поглибленим вивченням німецької мови, 2015. – 31 с.

Посібник містить різні технології, оволодіння яким дасть змогу навчити учнів розв’язувати текстові задачі з математики. Посібник

рекомендовано

навчальних закладів.

вчителям

математики

загальноосвітніх

Зміст Передмова...................................................................................................................4 Розділ І. Пропедевтика алгебраїчного методу розв’язування текстових задач..............................................................................................................................5 Розділ

ІІ.

Значення

арифметичного

розв’язування

задач........................................9 2.1 Місце і значення арифметичного розв’язування задач у середній школі...........................................................................................................................10 Розділ

ІІІ.

Різні

технології

розв’язування

текстових

задач

математики….…...13 3.1 Алгебраїчне розв’язування задач методом послідовного позначення величин........................................................................................................................13 3.2

Застосування

«методу

обернених

задач»

до

розв’язування

текстових задач............................................................................................................................16 3.3 Застосування повної системи рівнянь до розв’язування алгебраїчних текстових задач........................................................................................................19 Післямова……………..............................................................................................26 Література.................................................................................................................27

Передмова Вміння

розв’язувати

задачі

основним

показником

хороших

математичних знань. Щоб навчитися розв’язувати задачі, необхідно зрозуміти відповідну теорію, а глибоко зрозуміти суть теорії допомагає розв’язування достатньої кількості задач. Характерно, що багато учнів, виявляючи зовнішньо благополучні знання теорії, слабо розв’язують задачі. Навпаки, як правило не буває. У шкільному курсі алгебри тема «Розв'язування задач за допомогою рівнянь» є однією з найважливіших. Однак доводиться спостерігати, як учні розв'язують алгебраїчну текстову задачу з недостатнім або зайвим числом даних елементів і щиро дивуються, чому задача «не розв'язується». Це пояснюється тим, що учні не розуміють логіки і схеми «утворення» задачі, які тісно зв'язані з процесом її розв'язування: свідоме і цілеспрямоване складання задачі є процес, обернений до процесу свідомого і цілеспрямованого її розв'язування. Несвідоме ставлення до задач викликається не лише тим, що учні не володіють «механізмом» їх складання, а й тим, що в підручниках і збірниках задач приділяється увага лише визначеним задачам, що наша методика визнає лише визначені текстові задачі та ще й, здебільшого, з «круглою» відповіддю. Практика показує, що коли поряд з визначеними пропонувати учням для розв'язування задачі невизначені і особливо неозначені, то усвідомлення і якість розв'язування ними задач значно підвищується. Однією з причин тих труднощів, які відчувають учні при розв'язуванні задач, труднощів, які відчувають учителі при навчанні, є також недооцінка ролі і значення для розвитку логічного мислення арифметичного розв'язування задач. Тому, виходячи з важливості названої проблеми, враховуючи її недостатню теоретичну розробку, а також проблеми практики в застосуванні текстових задач з математики, було складено посібник: „Різні технології навчання учнів розв’язувати текстові задачі.”

Розділ І. Пропедевтика алгебраїчного методу розв’язування текстових задач. Розв’язування текстових задач сприяє розвитку мислення учнів, глибшому засвоєнню ідеї функціональної залежності, підвищує розрахункову культуру. В процесі розв’язування текстових задач у учнів формуються уміння і навички моделювання реальних об’єктів і явищ. В курсі математики IV—VIII класів розглядаються два основних способи рішення текстових задач: арифметичний і алгебраїчний. Арифметичний спосіб полягає в знаходженні значень невідомої величини за допомогою складання числового

вираження

(

числові

формули)

підрахунку

результату.

Алгебраїчний спосіб заснований на використанні рівнянь і систем рівнянь, які складаються при розв’язуванні задач. Зупинимося на деяких основних питаннях пропедевтичної роботи по складанню рівнянь при рішенні текстових задач. Така робота в основному здійснюється в IV—V класах, хоча прості завдання вже розв'язувалися цим методом в І—III класах. Тут можна виділити два основних етапи. На першому, завдання вчителя полягає в тому, щоб систематично і цілеспрямовано формувати у учнів деякі важливі загально навчальні і математичні навики. На другому етапі основна увага повинна бути приділена виявленню залежностей між величинами, які входять в текст завдання, і навчанню перекладу цих залежностей на математичну мову. Зупинимося на кожному етапі докладніше. Перший етап. До найбільш важливих умінь, які необхідно сформувати в учнів при розв’язуванні текстових задач, відносяться:  уміння уважно читати текст задачі;  уміння проводити первинний аналіз тексту завдання — виділяти умову і питання задачі;  уміння оформляти короткий запис тексту задачі;  уміння виконувати креслення (малюнки) по тексту задачі.

У методиці навчання математиці розроблено відповідні методи роботи вчителя по формуванню виділених умінь (3. П. Матушкина). Прийоми, що формують уміння читати текст задачі: — показ зразків правильного читання задачі; — проведення спеціальної робот над текстом задачі по засвоєнню її змісту. Мова йде про три форми поставлення задачі:  текстом,  коротким записом тексту,  малюнком. Сюди включаються також прийоми роботи над засвоєнням змісту задачі:  зміна числових даних задачі;  зміна сюжету задачі;  зміна сюжету і числових даних задачі. Прийоми, що формують уміння виділяти умову і питання задачі: — виявлення ролі питання в знаходженні способу розв’язування задачі; звернення

уваги

на точність, ясність формулювання

питання

задачі;

переосмислення питання задачі. Цей прийом направлений на виховання у учнів потреб виділяти умову і питання задачі; — формулювання одного або декількох питань до умови задачі; — знаходження необхідних даних для відповіді на питання задачі; — складання задачі з питання; формулювання однієї або декількох задач з даного питання. Прийоми навчання оформленню короткого запису тексту задачі: — оформлення короткого запису у вигляді таблиці, схеми; — оформлення короткого запису в рядок (стовпець); — читання короткого запису задачі; — складання задачі по її короткому запису. Прийоми навчання виконанню креслень (малюнків) по тексту задачі. Основні з них наступні: — подача змісту задачі, що вимагає лише виконання малюнка; — читання малюнка, виконаного по тексту задачі:

— складання задачі по малюнку або кресленню. Зробимо деякі пояснення до прийомів оформлення креслень по тексту задачі.

Виконане

креслення

(малюнок)

по

тексту

задачі дозволяє

фіксувати хід загальних підходів до розв’язку задачі. Тому до виконаних креслень ставляться вимоги:  вони повинні бути наглядними, чіткими, відповідати тексту задачі;  на них повинні бути відбиті по можливості всі дані, що входять в умову задачі;  виділені на них дані і шукані величини повинні відповідати умові задачі і загальноприйнятим позначенням. Формування уміння виконувати креслення задачі буде успішним, якщо учні умітимуть читати відповідне креслення. У зв'язку із цим важним моментом є складання тексту завдання по кресленню, малюнку. В результаті виконання таких вправ формуються навички перекладу графічних даних на словесний текст. Другий етап. Важливим моментом тут є навчання розумінню навчаючими способів словесного вираження зміни величин і фіксація їх у вигляді математичних виражень або рівнянь. Досягається це за допомогою відповідних вправ. Наприклад, при вивченні дій множення натуральних чисел в IV класі учні розглядають одне із застосувань множення — збільшення числа у декілька разів. Тут для досягнення вказаної мети можливі наступні вправи: 1) Батько старше за сина в 4 рази. Скільки років батькові, якщо сину m років? (4 m.) 2) На перших двох полицях стоїть по п книг на кожній, а на третій— m книг. Скільки книг на трьох полицях? (2 п + m.) 3) Порівняйте а і с, якщо а = 5с. (а більше с в 5 разів або с менше а в 5 разів.) 4) Складіть рівність, виходячи з умови: х більше у в п раз. (х=пу.) 5) Складіть задачу по рівнянню 2х = 28. (Наприклад: «У корзині було декілька грибів. Після того, як в неї додали стільки ж, в ній стало 28 грибів.

Скільки грибів було в корзині?») Аналогічні вправи можуть бути запропоновані учням також при вивченні інших арифметичних дій. Складність подібних вправ повинна бути посильною, для учнів, а число їх — достатнім для формування відповідних умінь і навиків. У методиці навчання рішенню задач пропонуються також інші системи вправ для досягнення поставленої мети. Наприклад, розглядається конкретна текстова задача і після прочитання її тексту учням пропонується відповісти на ряд питань. Наприклад: «1) Назвіть величини, які зв’язані залежностями: а) одна більше іншої в 5 разів; б) одна менше іншої в 5 разів. 2) Якщо катер проходить х км/ч, то як можна пояснити вираз: 5х; 5х + х? Значення якої з представлених тут величин відоме по умові завдання?» Викладена

система

пропедевтичної

роботи

вчителя

по

навчанню

розв’язування текстових задач показує, що ці завдання виступають не тільки як мета і засіб, але і як предмет вивчення. Це відповідає тій важливій ролі, яка відводиться їм в курсі математики. У IV—V класах учні розв’язують також текстові задачі на всі дії з натуральними і дробовими числами, на залежність між компонентами і результатами дій. Ці завдання і методи їх розв’язування мають важливе методичне

значення.

Міцне

засвоєння

методів

розв’язування

«чисто

арифметичних» задач дозволяє підготувати учнів розв’язувати текстові задачі, методом складання рівнянь. Тим самим, цей вид завдань можна розглядати у зв'язку з прикладною спрямованістю курсу шкільної математики.

Розділ ІІ .Значення арифметичного розв’язування задач. Арифметичним розв'язуванням текстової задачі умовимось називати розв'язування з безпосереднім застосуванням лише чотирьох

арифметичних

дій над даними в умові величинами; при алгебраїчному розв'язуванні нерідко доводиться виконувати над даними і шуканими величинами поряд з основними чотирма діями також і інші дії, наприклад добування квадратного кореня. Арифметичне розв'язування задачі може бути замінене алгебраїчним. Але не всяке алгебраїчне розв'язування можна замінити арифметичним, бо арифметичне обмежується застосуванням лише чотирьох основних дій. Наприклад, не може бути мови про арифметичне розв'язування тих текстових задач, які зводяться до квадратних рівнянь або рівнянь вищих степенів, ірраціональних та ін. Тому одну й ту саму задачу називають арифметичною або алгебраїчною залежно від того, яке її розв'язування ми маємо на увазі. Всі текстові задачі, що зводяться до лінійних рівнянь, можна розв'язати арифметично, бо в процесі розв'язування лінійних систем рівнянь доводиться виконувати лише чотири основні дії над даними величинами.

2.1. Місце і значення арифметичного розв'язування текстових задач у середній школі. 1. Арифметичне розв'язування задач — важливий спосіб початкового розвитку логічного мислення. Логіка арифметичного розв'язування задач доступніша для осмислення, для усвідомлення математичної суті процесів та явищ. По-справжньому глибоко й свідомо засвоюють програму з математики лише ті учні, які в свій час достатньо тренували своє мислення за допомогою арифметичного розв'язування задач. Арифметичне розв'язування задач — інтелектуальна і психологічна база для вивчення дальшого курсу математики та інших дисциплін. 2. Вивчення математики в школі не може не починатися з арифметики і арифметичного розв'язування задач. З точки зору математики як науки вивчення операцій над величинами, вираженими буквами, не може передувати вивченню операцій над числами, бо буква є результатом узагальнення числа, під буквою розуміють величину, що вимірюється числом. Для засвоєння понять і дій з початкового курсу алгебри потрібна числова основа. Таку мінімальну числову основу і дає програма з арифметики для І— IV класів. Елементи алгебри у вигляді арифметичного розв'язування задач з буквеними

даними

дальшим

записом формули розв'язування і

обчисленням за виведеною формулою доступні учням III—IV Елементи алгебри у початковій школі

повинні

включати:

класів.

буквений запис

законів і властивостей дій, загальних правил (наприклад, формули площі прямокутника,

об'єму

прямокутного

паралелепіпеда),

застосування

натуральних коефіцієнтів і показників степенів. Вказані елементи алгебри дають можливість просто і доступно формулювати і записувати загальні правила, загальні закони

арифметичних дій. Правило або закон, записаний

за допомогою букв, набуває дуже виразного вигляду.

3. Не можна вважати, що алгебраїчне розв'язування задачі завжди природніше і легше від арифметичного. Багато задач з числа тих, що зводяться до лінійних рівнянь, арифметично розв'язуються природніше, простіше. Досить згадати відому задачу Л. М. Толстого про косарів та багато інших. Розглянемо таку задачу. «Четверо товаришів купили човна. Перший вніс суми, внесеної рештою; другий

1 2

1 1 суми, внесеної рештою, третій — 3 4

суми, внесеної рештою, а четвертий вніс 130 крб. Скільки коштує човен і скільки вніс кожний?». Арифметичне

розв'язування

цієї

задачі

природніше

алгебраїчного. Досить зміркувати, що перший вніс аналогічно другий вніс

1 1 , третій і всі 5 4

човна. Четвертий вніс 1 

простіше

1 1  вартості човна, 2 1 3

троє внесли

1 1 1 47 + + = вартості 3 4 5 60

47 13 вартості човна, що становить 130 крб.  60 60

Алгебраїчне розв'язування теж мало б дуже простий вигляд, якби йому передувало наведене вище арифметичне розв'язування. Але чи варто було б (після того як ми знайшли, що перший вніс

1 1 1 , другий , третій вартості 3 5 4

човна) застосував алгебру? Чисто алгебраїчне розв’язування:   y

y  z  130 , 2

x  z  130 x  y  130 , z зв’язане громіздкими аналітичними викладками, але 3 4

воно майже усуває потребу думати. Однак, чи дало б це виграш? І в чому? Корисно відзначити, що якби задача вимагала знайти лише вартість човна, то неможливо було б скласти рівняння з одним лише невідомим

х без

наведеного вище арифметичного розв'язування. Довелося б вводити три допоміжних невідомих (суми, внесені кожним з трьох товаришів). Аналогічних прикладів можна навести багато. 4. Я вже відмічав, що арифметичне розв'язування задач можна успішно використовувати для роз'яснення суті й змісту багатьох теоретичних і практичних питань шкільного курсу математики. При вивченні теоретичного

курсу алгебри ми часто користуємося числовими (арифметичними) аналогіями для

індуктивного

евристичного

засвоєння

різноманітних

правил,

властивостей, законів. Арифметичне розв'язування задач різними, в тому числі й деякими штучними, методами приносить учням велику користь. Доцільно арифметично розв'язувати такі задачі, зокрема типові, які сприяють не лише розвитку логічного мислення, а й більш глибокому засвоєнню теоретичного матеріалу, підготовці учнів до успішного засвоєння алгебраїчних методів розв'язування задач. Правильно роблять ті вчителі, які в старших класах періодично розв'язують з учнями арифметичні задачі. Навчальний

ефект

штучного

надто

громіздкого

арифметичного

розв'язування задач незначний. Всю різноманітність математичної фабули арифметичних задач, які доцільно вивчати в школі, можна вкласти в 10—15 «типів» таких задач. Кожна така задача може бути сформульована за допомогою ланцюга нескладних арифметичних задач так, щоб вона стала самонавчаючою, щоб учень, розв'язуючи послідовно кожну задачу ланцюга, сам «відкрив» розв'язання даної типової задачі. 5.Процес алгебраїчного розв'язування задач (процес складання рівнянь) являє собою послідовне арифметичне розв'язування задач з буквеними даними. Отже, арифметичні розв'язування підготовляють учнів до алгебраїчних. Крім того, арифметичне розв'язування задачі в загальному вигляді (буквене арифметичне розв'язування) має велике практичне значення, бо вказує шлях раціонального розв'язування відповідних числових практичних задач.

Розділ ІІІ. Різні технології розв’язування текстових задач з математики. 3.1 Алгебраїчне розв'язування задач

методом послідовного

позначення величин. Сучасна методика математики заперечує існування загального способу алгебраїчного розв'язування задач, загального «підходу» до процесу складання рівнянь. Така думка правильна, якщо мати на увазі всю різноманітність текстових задач на складання рівнянь. Вона правильна щодо різноманітних арифметичних задач. Але щодо алгебраїчних текстових задач, які звичайно розглядаються в середній школі, така думка неправильна. Коли вважати, що загального «рецепта» для складання рівнянь не існує, то цим ніби підкреслюють, що той навчиться добре розв'язувати задачі, хто більше їх розв'язуватиме. Заперечити проти цієї рекомендації не можна. Треба тільки сказати, що нелегко навчитися розв'язувати задачі лише практичним застосуванням різноманітних штучних і нецілеспрямованих прийомів. При складанні рівнянь до текстової задачі користуються здебільшого так званим методом послідовного позначення величин, суть якого полягає в тому, що всі величини шляхом «проб» і здогадів виражають через дані і шукані. При цьому виникають труднощі, зв'язані з «виявленням» в умові задачі величин, які безпосередньо не вказуються. Наприклад, якщо в умові задачі сказано, що поїзд прибуває з пункту А в пункт В з запізненням на 20 хв, то тут виступають дві величини: час, який повинен затратити поїзд на шлях АВ за графіком, і час, який витрачає поїзд на шлях АВ. У процесі «перекладу» умови задачі

на мову алгебри ми поступово

«використовуємо» дані елементи; вираження останнього «невикористаного»

елемента через решту елементів дає нам необхідне рівняння (якщо рівняння з одним невідомим). Не можна сказати, що такий план складання рівнянь відзначається

якоюсь

осмислюється

певною

послідовністю,

планомірністю і

глибоко

учнями. Учень, який розв'язує задачу цим способом,

переконаний, що «переклад» обов'язково повинен привести до необхідного рівняння. Коли ж замість рівняння виходить тотожність, він шукає інший варіант «перекладу», поки не натрапить на потрібний. Не можна також не брати до уваги і внутрішній протест, який виникає в зв'язку з таким сумнівом: а може

існує

ще

якийсь

«переклад», який приведе нас до зовсім нової

відповіді? Для

порівняння

задач, про які мова

іншими

буде

далі,

методами

алгебраїчного розв'язування

наведу приклад розв'язування задачі цим

способом. Розглянемо задачу. 1. «Велосипедист прибув з пункту А в пункт В в призначений строк, рухаючись з певною швидкістю. Якби він збільшив цю швидкість на 3 км/год, то прибув би на годину раніше строку, а якби проїжджав за годину на 2 км менше, то запізнився б на годину. Визначити відстань між пунктами А і В, швидкість велосипедиста і час його руху» [6] Позначимо шукану відстань через х км, а швидкість руху — через у км/год (невдалий вибір шуканих елементів! Але як знати, який вибір буде вдалим?). На весь шлях

км велосипедист повинен

був

витратити

часу

x год y

(чому, для якої мети ми зацікавились цим часом? Чи бачили ми перспективу його

використання?).

витрачено

При швидкості, на 3 км/год

більшій, часу

було б

x x x год. За умовою задачі  1 y3 y3 y

Аналогічно дістанемо друге рівняння:

x x  1 y2 y

Це зразок цілком правильного розв'язування задачі також тут вказано на ті внутрішні сумніви, якими воно може супроводжуватись. Але ми нічого не сказали про ті труднощі, ті сумніви, які виникають в учня в процесі пошуків

розв'язування. А вони, як відомо, великі, бо учень не має загального «підходу» до складання рівняння, виконуючи той чи інший крок, він не бачить перспективи його використання. Учня «заспокоюють», скажімо, такі моменти: 1) під час складання системи рівнянь «використано» всі числові дані. Але існують задачі з зайвим числом даних елементів, при розв'язуванні яких не використовуються всі дані елементи. В таких випадках учень нерідко вважає розв'язування

помилковим

вперто

шукає

інших

способів

—

аби

«використати» всі дані елементи (він не бачить внутрішню структуру задачі, процес її складання, а тому не може її проаналізувати з точки зору визначеності); 2) складені рівності не є тотожностями; 3) задача розв'язалась за відповіддю. Орієнтування

учня в такому

напрямі

свідчить

про відсутність ясної

мети, перспективи. Отже, розглянутий спосіб складання рівнянь до текстових задач — малоефективний. Основний його недолік — «сліпі» шукання, спроби, «гадання». Тих самих успіхів можна досягти швидше, раціональніше за допомогою інших методів, які відзначаються загальністю, цілеспрямованістю і плановістю.

3.2. Застосування «методу обернених задач» до розв'язування текстових задач. Дані та шукані елементи (величини) всякої текстової задачі зв'язані між собою деякими незалежними рівняннями. Ці рівняння можуть легко розв'язуватися відносно одних параметрів і дуже складно відносно інших. Це саме можна сказати про розв'язування задач, які відповідають тому чи іншому вибору невідомих. Нехай a, Ь, с — дані елементи задачі, а х, у — її шукані елементи. Якщо задача має скінченне число розв'язків, то всі елементи a, b, с, х, у зв'язані двома незалежними рівняннями, які можна розв'язати відносно всяких двох елементів. Цілеспрямований шлях складання цих двох рівнянь полягає в складанні і розв'язуванні простішої (арифметичної) задачі на знаходження двох елементів за рештою трьома елементами. Якщо елементи a, b, c «фіксують» елементи х, у, то, взагалі кажучи, всякі три елементи «фіксують» решту два. Але якщо арифметично розв'язувати задачу на знаходження х, у за даними a, b, c дуже важко або неможливо, то, «перефіксувавши» її, ми завжди можемо прийти до нескладної арифметичної задачі (оберненої даній). Наприклад, елементи а, х, у можуть «фіксувати» решту елементів b, c так, що задача про «знаходження» b, c за «даними» а, х, у виявиться нескладною арифметичною задачею. Розв'язавши цю арифметичну

задачу, ми «знайдемо» елементи Ь, с, і дістанемо шукану систему рівнянь, яка зв'язує всі елементи: b  f (a, x, y ),  c   (a, x, y ).

Наприклад: «У двох класах навчається 80 учнів, при чому в першому на 2 учні більше, ніж у другому. Скільки учнів у кожному класі?» Рівняння до задачі учні VI класу дуже легко складають, розв'язуючи обернену задачу: «У другому класі навчається х учнів, а в першому — на

два

учні

більше.

Скільки

всього

учнів

навчається

обох класах?» Для початкового ознайомлення учнів із застосуванням «методу обернених задач» до складання системи рівнянь розв'язуємо таку обернену задачу: «У першому класі навчається х учнів, а в другому — у учнів. На скільки більше учнів у першому класі? (Перше рівняння). Скільки учнів навчається в обох класах разом? (Друге рівняння)». За допомогою таких нескладних задач учні швидко і легко суть «методу

обернених

засвоюють

задач» і далі ефективно застосовують його при

розв'язуванні складніших задач. Але при розв'язуванні складних задач доводиться вводити більше невідомих, складати більше число рівнянь. У цьому разі обернена задача розпадається на кілька (відповідно до числа невідомих) обернених задач (більш легких порівняно з прямою). Коли шукані елементи задачі складні, то доцільно вводити допоміжні невідомі елементи, функціями від яких легко виражаються шукані елементи. Дуже корисно перед розв'язуванням «важкої» задачі хоча б усно розв'язати з учнями відповідну обернену арифметичну задачу. Наприклад: «З посудини місткістю 20 л, яка наповнена спиртом, відлили деяку кількість спирту і долили посудину водою; потім відлили таку саму кількість

суміші і знову долили водою. Тоді в посудині залишилось 5 л чистого спирту. По скільки літрів рідини відливали кожного разу?» [6]. Цю задачу учні вважають «важкою». Причиною «труднощів» можуть бути лише недостатні навички розв'язування арифметичних задач. Перед розв'язуванням цієї задачі досить розв'язати усно або намітити шлях розв'язування такої арифметичної задачі: «З посудини місткістю 50 л відлили 10 л спирту і долили її водою; потім відлили 10 л суміші і знову долили водою. Скільки чистого спирту залишилось у посудині?» Після цього учні цілком самостійно і без «труднощів» розв'язують задачу, в якій за даними 20 л і х л (шукана кількість рідини) треба знайти елемент 5л: 20  x 

(20  x) x  5, 20

(20 - х) 2 =100,

20 - х=10,

х = 10 л.

У деяких випадках при складанні рівнянь «методом обернених задач» шуканий елемент може виконувати подвійну роль: роль даного і роль шуканого елемента. Якщо в задачі мова йде про ті чи інші операції над величинами і вказується різницеве або кратне відношення результатів, то знаходимо це відношення як функцію від даних і шуканих елементів і тим самим дістаємо потрібні рівняння. Зокрема, якщо ці результати однакові (різницеве відношення дорівнює нулю або кратне відношення дорівнює одиниці), то простіше їх виразити через шукані і дані елементи і потім прирівняти за умовою. Для ефективного засвоєння «методу обернених задач» корисно розв'язувати задачі кількома способами. Варто тренувати учнів у складанні до даної задачі обернених і в аналізі ступеня їх трудності та можливих шляхів їх арифметичного розв'язування. У процесі складання рівнянь «методом обернених задач» ця робота ще більш удосконалюється і учні вже після 3-ї, 4-ї задачі свідомо і впевнено застосовують цей метод при розв'язуванні найрізноманітніших задач. Цей метод має загальний характер, його можна застосувати для розв'язування будь-якої текстової задачі шкільного курсу математики. Він тісно пов'язаний з ідеєю «префіксації» задачі, яка успішно застосовується також

при

розв'язуванні

геометричних

задач

із

застосуванням

алгебри

тригонометрії. Загальність «методу обернених задач» пояснюється тим, що всяка текстова задача

або сама є нескладною арифметичною задачею, або ж такою є

принаймні одна з обернених задач. Складання до даної текстової задачі обернених арифметичних, задач — це робота осмислена, планомірна, цілеспрямована. Легко бачити, що ідея «префіксації», тобто складання обернених задач, може бути успішно використана для складання різноманітних текстових задач, зокрема таких, які

зводяться до квадратних рівнянь і рівнянь вищих

степенів. Відомо, що розв'язування оберненої задачі є одним із способів перевірки правильності розв'язування прямої, користуючись цим способом перевірки, треба мати на увазі, що обернена задача може виявитися складнішою від прямої 3.3 Застосування повної системи рівнянь до розв'язування алгебраїчних текстових задач. Звичайний спосіб складання рівнянь до текстових задач (спосіб послідовного позначення величин) має, як вже було зазначено, штучний і безплановий характер. Вибравши невідомі і виконавши ті чи інші дії над даними і невідомими величинами, учень не бачить досить чітко перспективу дальшого використання цих дій, їх результату. Тому в методиці математики існують етапи розв’язування текстових задач на складання рівнянь, де прийняті наступні поділи процесу розв’язування задач:  аналіз тексту завдання;  пошук способу розв’язку задачі і складання плану розв’язання;  здійснення знайденого плану;  вивчення (аналіз) знайденого розв’язання. Виділені

етапи

представляють

норму

діяльності

людини

по

розв’язуванню задач. Проте в реальному процесі розв’язування необов’язково явним чином проходити через всі вказані етапи. Це залежить від того,

наскільки учневі відомий спосіб розв’язку задачі. Все ж таки слід мати на увазі, що виділені етапи процесу розв’язку задачі

служать тією орієнтовною

основою, спираючись на яку вчитель управляє діями учнів по формуванню способів розв’язку задачі. Кожний етап має свої ознаки (орієнтири), керуючись якими вчитель формує у учнів компоненти загального уміння розв'язувати задачі. На першому етапі (аналіз тексту завдання) вчитель повинен домогтися того, щоб учні «прийняли» задачу, тобто зрозуміли її суть, зробивши метою своєї діяльності. У цьому випадку задача стає об’єктом мислення. Тому засвоєння тексту задачі учнями буде першою важливою метою вчителя. Вихідним тут є виділення умови в задачі, тобто даних і зв’язків між ними, і

завдань задачі, тобто шуканого (шуканих) і зв’язків між ними.

Подальше співвідношення умови і вимоги дозволяє виявити в задачі основне відношення, що направляє процес пошуку її розв’язку. Як правило, це відношення має вид функціональної залежності розглядуваних типів. Важливе значення мають короткий запис тексту завдання, складання схем, малюнків. Схеми і малюнки виступають в ролі наочного представлення змісту задачі і залежностей величин, що входять в неї. Ще більшого значення набуває схема в ролі моделі, яка виявляє приховані залежності між величинами. Тому, складанню коротких записів і схем по тексту задачі необхідно спеціально навчати. Зіставлення умови і вимог задачі дозволяє вияснити, чи досить даних для відповіді на питання задачі, чи немає серед них даних, що перечать умові задачі або зайвих даних. На першому етапі розв’язування необхідно також актуалізувати «базис» рішення задачі, тобто теоретичну і практичну основу, необхідну для обґрунтування розв’язку. Тут виявляється також, чи не належить задача до відомого типу задач. На другому етапі процесу розв’язування задачі важливим моментом є вияснення стратегії рішення задачі: 1) встановлюється, чи буде невідомою, відносно якої складається рівняння,

шукана величина або ж проміжну величина. Якщо ухвалено рішення знайти спочатку проміжну величину, то шукана величина виражається через неї; 2) по якому компоненту основного відношення буде складене рівняння або його буде складено з використанням всіх його компонентів (іншими словами, для яких величин відповідні вирази будуть прирівнюватися). Далі здійснюється пошук способу рішення задачі на основі побудови моделі

пошуку.

Аналітико-синтетичний

пошук

розв’язку

закінчується

отриманням рівняння. Відповідний план розв’язку обговорюється з учнями, при цьому використовується табличний запис пошуку розв’язку задачі. У разі необхідності план як спосіб розв’язку задачі оформляється письмово. У цьому він виконує роль орієнтовної основи діяльності учня. На третьому етапі процесу розв’язку задачі здійснюється найдений план розв’язку, виконується перевірка розв’язку і записується отримана відповідь. Четвертій етап — вивчення (аналіз) знайденого розв’язку задачі. Тут аналіз має на своїй меті виділення головної ідеї розв’язку, існуючих його моментів, узагальнення розв’язку задач даного типу. Виясняються недоліки розв’язку

проводиться

пошук

іншого,

раціональнішого

розв’язку,

виявляються і закріплюються в пам'яті учнів прийоми, які були використані в процесі розв’язку задачі. У психолого-дидактичних дослідженнях висвітлена думка, що здійснення цього етапу сприятиме перенесенню знань і служити засобом більш ефективного навчання розв’язку задач. Методика навчання розв’язку текстових задач на конкретному прикладі. З а д а ч а . «За планом бригада повинна була виконати замовлення за 10 днів. Але фактично вона перевиконала норму на 27 деталей в день і за 7 днів роботи не тільки виконала передбачене планом завдання, але і виготовила понад план 54 деталі. Скільки деталей в день повинна була виготовити бригада за планом? А н а л і з т е к с т у з а в д а н н я . Після прочитання тексту завдання аналіз може бути проведений за допомогою розгляду наступних питань (самими учнями або з допомогою вчителя):

За скільки днів бригада повинна виконати замовлення за планом? За скільки днів бригада фактично виконала замовлення? Чому бригада виконала замовлення раніше наміченого терміну? Скільки деталей виготовила бригада понад план? Які величини містяться в задачі? Як зв’язані між собою продуктивність праці, час і об’єм виконаної роботи? (Вчитель може конкретизувати це питання, виходячи з можливостей учнів.) Скільки різноманітних ситуацій можна виділити в задачі? Які величини, що входять в умову і питання задачі, невідомі? Яка величина в задачі є шуканою? Чи розв'язувалася раніше задача схожа на цю? У результаті першого етапу роботи над задачею з урахуванням основного відношення виконується запис тексту завдання. Таблична форма запису на перших етапах навчання розв’язку текстових задач найбільш ефективна, тому що уміння учня оформити відповідну таблицю говорить про те, прийняв він задачу чи ні. Відмічу, що існують і інші форми запису. Для вияснення зв'язку між значеннями однієї і тієї ж величини перед учнями

ставляться

відповідні

питання,

наприклад:

якому

випадку

продуктивність праці бригади була вище? На скільки деталей в день бригада перевиконала норму? Їхні відповіді заносяться до таблиці. П о ш у к с п о с о б у р і ш е н н я з а д а ч і . На цьому етапі обговорюється стратегія розв’язку задачі. Потім вводиться позначення шуканої або іншої невідомої величини залежно від вибраної вчителем спільно з учнями стратегії. Далі,

користуючись

встановленими

залежностями

між

значеннями

однойменних величин і основним відношенням, реалізованими в задачі (тобто залежністю між величинами), на основі табличного запису тексту задачі заповнюється таблиця пошуку розв’язку задачі: Виходячи з моделі пошуку розв’язку, виписуємо нерівність: 10 х < (х + 27) ·7 на 54, за допомогою якого складається рівняння: 10 х + 54 = ( х + 27) ·7

або рівняння 10х = (х + 27) · 7 —54.

З д і й с н е н н я п л а н у р і ш е н н я з а д а ч і . Звідси природно витікає план розв’язку задачі, який включає в себе пошук розв’язку (спосіб отримання рівняння) і розв’язку отриманого рівняння. Відмічу, що таблична форма запису діяльності учнів по складанню рівняння не вимагає повторного її описання. Тому на третьому етапі процесу розв’язку текстової задачі залишається розв’язати одержане рівняння, виконати перевірку розв’язку і записати відповідь. Маємо рівняння: 10x + 54 = (x + 27) ·7 Розв’яжемо його: 10х + 54 = 7х+189 3х =135, х = 45. Дане рівняння має один корінь — число 45. Проте розв’язок задачі не може закінчуватися розв’язком рівняння: необхідно перевірити, чи задовольняє отриманий корінь рівняння умову і вимогу задачі. У зв'язку із цим необхідно зробити перевірку кореня рівняння по суті задачі. Тут можливі два способи письмового оформлення перевірки кореня рівняння. Перший спосіб полягає в тому, що по знайденому значенню х по порядку вираховуються значення величин, які входять в задачу. При цьому перевіряється, чи задовольняють ці величини смисл обмеження. Якщо всі знайдені значення величин, задовольняють, то корінь рівняння дає розв’язок задачі. Із цією метою скористаємося моделлю пошуку розв’язку задачі. По змісту даної задачі всі величини, які входять в її умову повинні приймати позитивне значення. Перевіримо, чи виконується це для знайденого значення х = 45: х = 45

Позитивне число.

х + 27 = 45 + 27 = 72 Позитивне число. (х + 27) · 7= 72·7 = 504 Позитивне число. 10х= 10·45 = 450 504 — 450 = 54

Позитивне число. Позитивне число, являється даним.

Отже, значення х = 45 задовольняє умову задачі, тобто є її розв’язком. В і д п о в і д ь : бригада повинна виготовити в день за планом 45 деталей.

Другий спосіб письмового оформлення перевірки кореня рівняння по змісту задачі можливий після вивчення теми «Нерівності з однією змінною». Суть перевірки залишається. Вивчення

(аналіз)

знайденого

рішення.

Перед

учнями відповідно до змісту цього етапу процесу розв’язку задачі ставляться питання наступного типу: Яка головна ідея рішення даної задачі? Чи не можна вказати інші способи рішення даної задачі? Чому спосіб розв’язку, який розглядали є раціональним? Для даної задачі всі можливі шляхи пошуку її розв’язку не виявляють іншого способу, тобто ця задача має постійну структуру. Отже, повна система рівнянь дає можливість оглянути весь математичний зміст задачі (що описується саме повною системою рівнянь); складання повної системи рівнянь здійснюється більш планомірно і цілеспрямовано, ніж неповної. Тому скласти повну систему, як правило, легше, ніж неповну Наприклад: «Велосипедист прибув з пункту А в пункт В в призначений строк, рухаючись з певною швидкістю. Якби він збільшив цю швидкість на 3 км/год, то прибув би на годину раніше строку, а якби проїжджав за годину на 2 км менше, то запізнився б на годину. Визначити відстань між пунктами А і В, швидкість велосипедиста і час його руху» Система рівнянь: x x x x   1;  1 y3 y y2 y

зводиться до неповного квадратного

рівняння

розв'язується

складно: 2   xy  xy  3x  y  3 y  2   xy  xy  2 x  y  2 y.

2  3x  y  3 y  2  2 x  y  2 y.

х = 5у; 10у = у 2 - 2у, у = 12, х = 60. Розв'яжемо тепер задачу за допомогою повної системи рівнянь.

досить

Насамперед пишемо рівняння процесу, про який говориться в умові задачі (рух велосипедиста); z — ху, де z — шлях,

х — швидкість,

у — час

руху

велосипедиста. З цього ми бачимо, що процес (рух велосипедиста) визначається двома елементами — двома рівняннями, і саме в цьому полягає перспектива осмисленості і цілеспрямованості всієї дальшої роботи. Потрібні рівняння легко скласти: адже весь текст задачі присвячений фіксації відомого нам процесу. У такому разі залишається внести в основне рівняння (рівняння процесу, або базис задачі) змінені умовою задачі значення основних елементів. Текст нашої задачі двічі змінює значення основних елементів z, х, у: z = (х + 3) (у - 1); z = (х — 2) (у + 1); z = ху. Складена система розв'язується простіше від попередньої:  xy  xy  x  3 y  3   xy  xy  x  2 y  2,

3 y  x  3  2 y  x  2,

у = 5, х = 12. У процесі такого розв'язування учень виявляє структуру задачі, що дає йому можливість бачити зайві елементи, бачити, які елементи (поряд з вказаними в умові задачі) можуть бути знайдені, бачити, чи задача визначена відносно шуканих елементів, та ін. Надзвичайно важлива та обставина, що розв'язування задачі і її дослідження (з погляду визначеності) проводяться з допомогою

повної

системи рівнянь одночасно. Ця методика навчання розв’язку текстових задач на процеси ефективна також і у випадку розв’язування задач, які приводять до розв’язку рівнянь складнішого вигляду, ніж лінійні, наприклад квадратних. Природно, що при послідовному формуванні умінь вирішувати текстові задачі методика навчання зазнає певні зміни: відпаде необхідність застосовувати табличну форму запису тексту завдання і пошуку її розв’язку, зменшиться число виявлених етапів процесу її розв’язку, сам цей процес стане більш згорнутим.

Післямова. Вивчення досвіду навчання математики учнів середньої школи дає підставу зробити висновок про далеко ще не використані можливості підвищення ефективності навчального процесу. Ці можливості зв’язані переважно з удосконаленням методики навчання, формуванням і підтримкою учнів інтересу до вивчення технологій розв’язку текстових задач. Отже можна сказати, що всяке алгебраїчне розв'язування текстової задачі являє собою процес послідовного розв'язування арифметичних задач. Отже, арифметичні розв'язування є основою для алгебраїчних; арифметичні задачі не лише сприяють розвитку логічного мислення, — вони є також важливим знаряддям логічної підготовки учнів до засвоєння дальшого курсу математики і інших дисциплін. За допомогою «методу обернених задач» можна процес складання рівнянь звести до розв'язування порівняно нескладних арифметичних задач з буквеними даними1, тому нема потреби захоплюватися штучним і громіздким арифметичним розв'язуванням задач. Розв'язування арифметичних задач з буквеними даними підготовляє до складання рівнянь, тому до них слід вдаватися, починаючи з III класу. Наявність глибокого зв'язку між розв'язуванням задач і їх складанням, між арифметичним і алгебраїчним розв'язуванням текстових задач дає нам змогу ефективно

використати

загальний

принцип

підходу

до

алгебраїчного

розв'язування задач, тобто складання і розв'язування обернених задач. Цей принцип можна і слід свідомо використовувати при навчанні алгебраїчно розв'язувати задачі. Щоб успішно навчати розв'язувати алгебраїчні текстові задачі, потрібна підготовча робота з учнями з арифметичного розв'язування задач з буквеними даними, із складання задач, обернених даній. Поряд з цим дуже корисно перед складанням рівнянь до текстових задач кілька разів використати відповідні ланцюги навчаючих задач і вправ.

Література. 1. Виноградова Л.П. Навчання рішенню завдань / / Фестиваль педагогічних ідей «Відкритий урок». - М.: Перше вересня, 2004. - 540 с. 2. Єпішева О.Б. Загальна методика викладання математики в середній школі: Курс лекцій. - Тобольськ: Вид. ТГПІ ім. Д. І. Менделєєва, 1997. - 338 с. 3. Паламарчук В.Ф. Школа вчить мислити. - М.: Просвещение, 1987. - 264 с. 4. Фрідман Л.М., Турецький Є.М. Як навчитися вирішувати завдання. - М.: Просвещение, 1984. - 250 с. 5. Хеннер Є.К., Шестаков А.П. Математичне моделювання. Посібник для вчителя. - Перм, 1995. - 158 с. 6. Лебедєв В. Аналіз та вирішення текстових завдань / / Математика в школі. - 2002. - № 11. - С. 8. 7. Левітас Г.Г. Про алгебраїчному вирішення текстових завдань / / Математика в школі. - 2000. - № 8. - С. 13. 8. Мордкович А.Г. Алгебра. Підручник для 7 класу загальноосвітньої школи. - М.: Мнемозина, 1997. - 284 с. 9. Пєтухова Л.І. Про рішення текстових завдань з математики / / Фестиваль педагогічних ідей «Відкритий урок». - М.: Перше вересня, 2004. - 540 с. 10. Фоміних Ю. Одну задачу кількома методами / / Математика в школі. 2004. - № 20. - С. 17. 11. Чаплигін В.Ф. Деякі методичні міркування за рішенням текстових завдань / / Математика в школі. - 2000. - № 4. - С.28.