MEDIDAS DE DISPERSIÓN O DE VARIABILIDAD ING. M.A. KARLA QUEMÉ
DESVIACIÓN ESTÁNDAR O TÍPICA “σ o s”
La desviación estándar, típica o desviación cuadrática media, es la media cuadrática de las desviaciones con respecto al promedio aritmético, también la podemos definir como la raíz cuadrada de la media de las desviaciones de la media de una distribución elevada al cuadrado. La desviación estándar representa la “variabilidad promedio” de una distribución, porque mide el promedio de las desviaciones de la media. Debemos tomar en cuenta, que mientras mayor sea la dispersión alrededor de la media en una distribución, mayor será la desviación estándar.
EN UNA SERIE DE DATOS SIMPLE PRIMER PROCEDIMIENTO: LA FÓRMULA QUE UTILIZAREMOS SERÁ:
S=
Ó S= N
N
Ejemplo: Calcular la desviación estándar o típica del conjunto de datos: 8, 12, 20, 24, 28, 36, 40, 45, y 48
1. Calculamos la media
X = 8+12+20+24+28+36+40+45+48 = 29 9
2. Le restamos la media a cada puntaje para obtener la desviación X
d = x - x¯
8
-21
12
-17
20
-9
24
-5
28
-1
36
7
40
11
45
16
48
19
3 . Elevamos cada ecuación al cuadrado y después sumamos las desviaciones elevadas al cuadrado, obteniendo la ∑ d^2 X
d = x - X¯
d^2 = (x-¬X)^2
8
-21
441
12
-17
289
20
-9
81
24
-5
25
28
-1
1
36
7
49
40
11
121
45
16
256
48
19
361
N=9
∑ d^2 = 1624
4. Dividimos la suma entre N y encontramos la raíz cuadrada del resultado S=
9 S= s= 13.43
EJERCICIO Calcular
la desviación estándar
de 3 4 5 6 4 7 8 5 1 3 9
EN UNA SERIE DE DATOS AGRUPADOS EN UNA DISTRIBUCIÒN DE FRECUENCIAS SIMPLES
La desviación estándar se calculará con la fórmula
S=
N
EJEMPLO: Calcular la desviación estándar de la tabla :
x
f
fx
65
3
195
66
4
264
67
2
134
68
4
272
69
3
207
70
2
140
71
5
355
72
6
432
73
4
292
74
3
222
75
2
150
76
2
152
77
3
231
78
1
78
79
2
158
80
5
400
N=51
∑fx =3682
1. Elevamos cada puntaje al cuadrado X
f
fx
x^2
65
3
195
4225
66
4
264
4356
67
2
134
4489
68
4
272
4624
69
3
207
4761
70
2
140
4900
71
5
355
5041
72
6
432
5184
73
4
292
5329
74
3
222
5476
75
2
150
5625
76
2
152
5776
77
3
231
5929
78
1
78
6084
79
2
158
6241
80
5
400
6400
X
f
fx
x^2
fx^2
65
3
195
4225
12675
66
4
264
4356
17424
67
2
134
4489
8978
68
4
272
4624
18496
69
3
207
4761
14283
70
2
140
4900
9800
71
5
355
5041
25205
72
6
432
5184
31104
73
4
292
5329
21316
74
3
222
5476
16428
75
2
150
5625
11250
76
2
152
5776
11552
77
3
231
5929
17787
78
1
78
6084
6084
79
2
158
6241
12482
80
5
400
6400
32000
∑N=51
∑fx =3682
∑fx^2 = 266864
2. Multiplicamos la frecuencia absoluta por cada puntaje elevado al cuadrado, antes de sumar los productos obtenidos
3. Se calcula la media de distribución, pero en este caso podemos observar que la media es 72.20, Luego la elevamos al cuadrado
X
= 3682 = 72.19 51 72.19^2 = 5211.39
4. Sustituimos los valores de la fórmula: S=
N
S= 51
S=
S=
S=
4.60
EJEMPLO: Calcular la desviación estándar de la tabla :
x
f
fx
65
3
195
66
4
264
67
2
134
68
4
272
69
3
207
70
2
140
71
5
355
72
6
432
DESVIACIÓN ESTÁNDAR EN UNA SERIE DE DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS
La desviación estándar se calculará con la fórmula s=
2 √∑(xs – X ) ó N
√∑fd2 N
En donde xs es el punto medio de cada intervalo, X la media de la distribución, f = frecuencia de cada intervalo N = Número de datos
EJEMPLO: Según las últimas estadísticas en el Hogar para Ancianos “Los Geranios”, están dentro de él personas de 60 a 119 años, según la siguiente tabla
x
xs
f
fxs
60-69
64.5
5
322.5
70-79
74.5
6
447.0
80-89
84.5
14
1183.0
90-99
94.5
8
756.0
100-109
104.5
1
104.5
110.119
114.5
1
114.5
N= 35
∑fxs = 2927.5
PASO 1: Calculamos la media de la distribución x = 2927.5 = 35
83.64
x
xs
f
fxs
d = xs - X
60-69
64.5
5
322.5
-19.14
70-79
74.5
6
447.0
-9.14
80-89
84.5
14
1183.0
0.86
90-99
94.5
8
756.0
10.86
100-109
104.5
1
104.5
20.86
110.119
114.5
1
114.5
30.86
N= 35
∑fxs = 2927.5
PASO 2: Le restamos la media a cada punto medio de cada intervalo para obtener así la desviación, ejemplo: d = xs - X 64.5- 83.64 =
x
xs
f
60-69
64.5
5
322.5
-19.14
366.33
1831.65
70-79
74.5
6
447.0
-9.14
83.53
501.18
80-89
84.5
14
1183.0
0.86
0.73
10.22
90-99
94.5
8
756.0
10.86
117.93
943.44
100-109
104.5
1
104.5
20.86
435.13
435.13
110.119
114.5
1
114.5
30.86
952.33
952.33
N= 35
fxs
∑fxs = 2927.5
d = xs - X d2 = (xs - X) 2
f*d2
∑fd2
=
4673.95
PASO 3 y 4: Elevamos cada desviación al cuadrado, después multiplicamos cada desviación elevada al cuadrado por la frecuencia absoluta del intervalo y a continuación sumamos este producto, obteniendo así ∑fd2
PASO 5: Dividimos la suma entre N y encontramos la raíz cuadrada del resultado, obteniendo así la desviación estándar √∑(xs – X )2 N √∑fd2 = √4673.95 N 35
ó
= √133.54
= 11.55