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HŠóõK 16&28 2014 Ï-.10

õN裆® ñ£î‹ Þ¼º¬ø

TNPSC GROUP-II A «î˜¾ M‡íŠH‚è ªó®ò£?

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Aó£ñ G˜õ£è‹ Mù£&M¬ì

H÷v 2 Mù£ˆ ªî£°Š¹ (Under Section 3 of UGC Act 1956)

¸¬ö¾ˆ«î˜¾ ñ£FK Mù£&M¬ì

TNPSC Group II A

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M‡íŠH‚è ªó®ò£?

I›ï£´ Üó²Š ðEò£÷˜ «î˜õ£¬íò‹ «ïó® Gòñùñ£è î¬ô¬ñ„ ªêòôè‹ ñŸÁ‹ ê†ìŠ «ðó¬õŠ ðEJ™ ð˜êù™ A÷£˜‚, îI›ï£´ ܬñ„²Š ðEJ™ ð™«õÁ ¶¬øèO™ àîMò£÷˜èœ, «ô£ò˜ ®Mû¡ A÷£˜‚ âù 2269 ðEJìƒèÀ‚è£ù Combined Civil Services Examination II (Group II A Services)

ÜPMŠ¬ð ªõOJ†´œ÷¶. ®.â¡.H.âv.C. Þ¬íòî÷ˆF™ Ý¡¬ô¡ Íô‹ õ¼A¡ø 5.3.2014 õ¬ó Þ‰îˆ «î˜¾‚° M‡íŠH‚èô£‹. Þ‰îˆ «î˜M¬ù ⿶õîŸè£ù ªð£¶Š HKMù¼‚è£ù à„ê õò¶ õó‹¹ 30. Þîó HKMù¼‚° à„ê õò¶ õó‹¹ Þ™¬ô. Þîó HKMù˜èœ â¡ð¶ â‹.H.C., H.C., âv.C., âv.®. ÝA«ò£¬ó‚ °P‚°‹. ܬùˆ¶ HKMù¼‚°ñ£ù °¬ø‰îð†ê õò¶ õó‹¹ 18. «î˜¾ 18.5.2014 Ü¡Á îI›ï£†®¡ ܬùˆ¶ ñ£õ†ìƒèO½‹ àœ÷ «î˜¾ ¬ñòƒèO™ ï¬ìªðø àœ÷¶. ãŸèù«õ ®.â¡.H.âv.C. ܆ìõ¬íJ™ ªõOJìŠð†ì è£LŠ ðEJìƒè¬÷ Mì ÞŠ«ð£¶ ðEJìƒèO¡ â‡E‚¬è ÜFèKˆF¼Šð¶ °PŠHìˆî‚è¶. «ï˜ºèˆ «î˜¾ Ü™ô£î å«ó å¼ â¿ˆ¶ˆ «î˜M¡ Íô‹ Þ‰î «õ¬ô¬ò cƒèœ õêŠð´ˆîô£‹. ÜPM‚èŠð†´œ÷ «ïó® àîMò£÷˜ ðEJìƒèœ Iè âO¬ñò£ù «î˜¾ Íô‹ GóŠðŠð쾜÷ Iè ï™ô ðEè÷£°‹. Þ‰îˆ «î˜¾ ⿶õîŸè£ù è™Mˆî°F, ã«î‹ å¼ Þ÷G¬ôŠ ð†ì‹. Cô °PŠH†ì ðîMèÀ‚° õEèMò™, ªð£¼÷£î£ó‹

Ü™ô¶ ¹œOJò™ ¶¬øJ™ ð†ì‹ ªðŸP¼‚è «õ‡´‹ âù Gð‰î¬ù MF‚èŠð†´œ÷¶. «î˜¾ ªêŒòŠð´‹ º¬ø: ⿈¶ˆ «î˜M™ ªðÁ‹ ñFŠªð‡èœ Ü®Šð¬ìJ™ î°Fò£ùõ˜èœ «î˜¾ ªêŒòŠð´õ£˜èœ. ®AK îóˆFô£ù ªð£¶ ÜP¾ˆ  塬ø»‹ ªð£¶ˆîI› Ü™ô¶ ªð£¶ ݃Aô‹  塬ø»‹ â¿î «õ‡´‹. Þó‡´‚°‹ îô£ 150 ñFŠªð‡èœ. «î˜¾‚ è†ìí‹: ªð£¶ ñŸÁ‹ æHC HKMù¼‚° Ï.125. ñŸø HKMù˜èÀ‚° M‡íŠð‚ è†ìí‹ Ï.50 ñ†´‹ ªê½ˆFù£™ «ð£¶ñ£ù¶.

M‡íŠH‚°‹ º¬ø: www.tnpsc.gov.in, www.tnpscexams.net â¡ø Þ¬íòî÷ƒèO¡ Íô‹ Ý¡¬ôQ™ ñ†´«ñ M‡íŠH‚è «õ‡´‹. Þîó º¬øèO™ õ¼‹ M‡íŠðƒèœ ãŸèŠðìñ£†ì£¶. Ý¡¬ôQ™ M‡íŠHŠðîŸè£ù è¬ìC «îF: 05.03.2014 õƒAèœ ñŸÁ‹ Ü…ê™ G¬ôò‹ Íô‹ «î˜¾‚ è†ìí‹ ªê½ˆ¶õîŸè£ù è¬ìC «îF: 07.03.2014 ⿈¶ˆ «î˜¾ ï¬ìªðÁ‹ «îF: 18.05.2014. 裬ô 10 ñE ºî™ ñFò‹ 1 ñE õ¬ó. «ñ½‹ MKõ£ù è™Mˆî°F, õò¶ õó‹¹ ê½¬èèœ, ðEòñ˜ˆîŠð´‹ ¶¬ø àœO†ì º¿¬ñò£ù MõóƒèÀ‚°: www.tnpsc.gov.in, www.tnpscexams.net â¡ø Þ¬íòî÷ƒè¬÷Š 𣘂辋.

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Dispute Resolution 𮊹. ÞF™ º¶-G¬ô ®Š-÷«ñ£

𮊬ð, ICADR â‹ ܬñŠ-¹‹ äî-ó£-𣈠ï™-꣘ ê†-ìŠ ð™-è- ô‚-èö - è - º - ‹ ެ퉶 õöƒ-°A - ¡-øù. ÞŠ-ð® - Š-H™ «ê˜‰¶ ð®‚è M¼‹-¹A - ø - õ - ˜-èœ Ì˜ˆF ªêŒ-òŠð†ì M‡-íŠ-ðˆ¬î HŠ-óõ - K 21 õ¬ó êñ˜Š-H‚-èô - £‹. M‡-íŠ-ðƒ-èÀ‚°‹ «ñ½‹ Mð-óƒ-èÀ‚-°‹, icadr.ap.nic.in

Ü‡í£ ð™-è¬ô 辡-C-Lƒ º¡-Æ-®«ò ¶õ‚-è‹ ‘‘ º¿-õ¶ - ‹, H.Þ ºî-ô£‹ ݇´ õ°Š¹, Ýèv´ 1™ ¶õƒè «õ‡-´‹’’ âù ñˆ-Fò Üó² ªîK-Mˆ¶ àœ-÷¶. âù-«õ-, â…-CQ - ò - K - ƒ 辡-CL - ƒ-°‚-è£è èì‰î ݇´ «ñ 4 ºî™ 20 õ¬ó M‡-íŠ-ð‹ õöƒ-Aò Ü‡í£ ð™-è¬ô, ü¨¡ ÞÁ-FJ - ™ 辡-CL - ƒ¬è ¶õ‚A, ü¨¬ô ÞÁF õ¬ó ïìˆ-Fò - ¶. ÝJ-‹ ñ£í-õ˜-èÀ‚°, 辡-CL - ƒ º®‰-îH - ¡, è™-ÖK J - ™ «êó «î¬õ-ò£ù ãŸ-ð£-´è - - ÷„ ªêŒ-ò‚-Ãì è£ô Üõ-è£-ê‹ Þ¼Š-ðF - ™¬ô. ‘‘èì‰î ݇´ H÷v 2 «î˜¾ º®-¾è - œ «ñ 9™ ªõO-ò£-Aù. Þ‰î ݇´ ܶ å¼ õ£ó‹ º¡-ùî - £è ªõO-ò£-ù£™ Ãì Üˆ î°‰--«ð£™, H.Þ è¾¡-CL - ƒ-°‹ ü¨¬ô 20‹ «îF‚-°œ º®-»‹ õ¬è-J™ ܆-ìõ¬í îò£-K‚-èŠ-ð´ - ‹’’ âù ð™-è- ô‚-èö - è õ†-ì£-óƒ-èœ ªîK-M‚-A¡-øù.

¶¬í ó£µõ ió˜ «î˜¾ º¬ø-J™ ñ£Ÿ-ø‹ ó£µ-õˆ-FŸ° Þ¬í-ò£è, ¶¬í ó£µ-õˆ-Fù - ¼ - ‚-°‹ ê‹-ð÷ - ‹ ñŸ-Á‹ Þîó ê½-¬è-èœ õöƒ-èŠ-ð´ - A - ¡-øù. âù«õ, ñˆ-Fò Kꘚ «ð£hv ð¬ì, ♬ô ð£¶-裊-¹Š ð¬ì, Þ‰«î£ Fªðˆ ♬ô «ð£hv ð¬ì, ‘êûvˆó Yñ£ ð™’ «ð£¡ø ¶¬í ó£µ-õŠ ð¬ìèÀ‚° ió˜-èœ ñŸ-Á‹ ÜF-è£-Kè - œ «î˜-M™ ïiù º¬ø-è- ÷Š H¡ðŸø, àœ-¶¬ø ܬñ„-êè - ‹ àˆ-îó- M - †-´œ-÷¶. Üî¡-𮠫 º¬ø º¿-õ¶ - ‹ è‡-è£-EŠ¹ «èñó£ Íô‹ è‡è£-E‚-èŠ-ð´ - ‹. Mù£ˆ--èœ, è‹Š-Ά-ì˜ Íô‹ ñFŠ-d´ ªêŒ-»‹ õ¬è-J™, ‘ÝŠ-®‚-è™ ñ£˜‚ g옒 ñŸ-Á‹ ‘ÝŠ-®‚-è™ «èó‚-ì˜ ªó肬ù-ꘒ ªî£N™-¸†-ðƒ-èœ H¡-ðŸ-øŠ-ðì àœ-÷ù. «ñ½‹, ‘«ó®«ò£ çŠ-g‚-õ¡C äì¡-®ç - H - « - è-û¡’ º¬ø-J™ Mù£ˆ- ñŸ-Á‹ M¬ìˆî£œ åš-ªõ£¡-Á‹ åš-ªõ£¼ è†-ìˆ-F½ - ‹ è‡è£-E‚-èŠ-ð´ - ‹ âù àœ-¶¬ø õ†-ì£-óƒ-èœ ªîK-Mˆ-îù. 

HŠóõK 16 & 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

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õù «ñô£‡¬ñ GÁõùˆF™ Hâ„.® 𮊹 «ð£ð£L™ àœ÷ Þ‰Fò õù «ñô£‡¬ñ è™M GÁ õùˆF™ Fellow Programme in Management (Doctoral Level) Communication and Extension Management, Ecosystem and Environment Management, Financial Management, Human Resource Mangement

àœO†ì HK¾èO™ Ý󣌄 CŠ ð®Š¹èœ õöƒèŠ ð´A¡øù. ÞF™ «êó, ê‹ð‰îŠð†ì ð£ìŠHKM™ 55 êîiî ñFŠªð‡èÀì¡ º¶è¬ô ð†ìŠð®Š¹ º®ˆF¼‚è «õ‡´‹. CAT/GMAT, JRF/NET, GATE Ü™ô¶ ICAR NET «î˜¾èO™ ªðŸø ñFŠªð‡èœ Ü®Šð¬ìJ™ î°Fò£ùõ˜èœ «î˜‰ªî´‚èŠð´õ˜. Ü´ˆî è†ìñ£è °¿ Mõ£î‹ ñŸÁ‹ «ï˜ºèˆ«î˜¾, «ð£ð£L™ àœ÷ IIFM õ÷£èˆF™ õ¼‹ ãŠó™ / «ñ ñ£îƒèO™ ï¬ìªðÁ‹. «ñ½‹ MõóƒèÀ‚°: www.iifm.ac.in

«õ¬ô-J™ô£ Þ¬÷-ë˜-èÀ‚° àî-Mˆ-ªî£¬è 2013 ®ê‹-ð˜ 31&‹ «îF Gô-õó- Š-ð®, «õ¬ô õ£ŒŠ¹ ܽ-õô - è - ƒ-èO™ ðF¾ ªêŒ¶ 5 ݇-´-èÀ‚° «ñô£-A-»‹ «õ¬ô õ£ŒŠ-H¡P Þ¼‚-°‹ Þ¬÷-ë˜-èÀ‚° Üó² ꣘-H™ àî-Mˆ-ªî£¬è õöƒ-èŠ-ð-´-A-ø¶. Þ °´‹-ðˆ-F¡ ݇´ õ¼-ñ£-ù‹ Ï.50 ÝJ-óˆ-¶‚° Iè£-ñ™ Þ¼‚è «õ‡´‹. ‘ðˆ- õ°Š¹, H÷v 2, ð†-ìŠ-ð® - Š¹ º®ˆî î°-Fò - £ù ðF-¾î - £-ó˜-èœ ê£‰-«î£‹ ñ£õ†ì «õ¬ô-õ£ŒŠ¹ ܽ-õô - è - ˆ¬î Üµè «õ‡-´‹. ðˆ- õ°Š-H™ «î£™-M-ò-¬ì‰î ðF-¾-î£-ó˜-èœ ï‰-î-ùˆ-F™ àœ÷ ªî£N™ Fø- ù Ÿ- « ø£- ¼ ‚- è £ù «õ¬ô õ£ŒŠ¹ ܽ-õ-ô-般î ܵ-è-ô£‹’ âù ªê¡¬ù ñ£õ†ì ݆-Cò - ˜ ªîK-Mˆ-¶œ-÷£˜. ñ£Ÿ-Áˆ-Fø - ù - £-Oè - - ÷Š ªð£Áˆ-îõ - ¬ó ðF¾ ªêŒ¶ æ󣇴 G¬ø-õ¬ì‰-îõ - ˜-èœ A‡-®J - ™ àœ÷ ñ£Ÿ-Áˆ Fø-ù£-O-èÀ‚-è£ù CøŠ¹ «õ¬ô-õ£ŒŠ¹ ܽ-õ-ô-般î ܵ-è-ô£‹. Üõ˜-èÀ‚° è™-Mˆ î°F ñŸ-Á‹ °´‹ð ݇´ õ¼-ñ£ù à„ê õó‹¹ Þ™¬ô.

âv.C., âv.®., ñ£í-õ˜-èÀ‚° àî-Mˆ-ªî£¬è àò˜ Ý󣌄-CŠ 𮊹 àî-Mˆ-ªî£¬è ªðÁ-õî- Ÿ° ˆ-îŠ-ð†ì ñŸ-Á‹ ðöƒ-°®- J - ù ñ£íõ˜-èO-ì-I-¼‰¶ ð™-è-¬ô‚-è-öè ñ£Q-ò‚ °¿ (».T.C) M‡-íŠ-ðƒ-è¬÷ õó-«õŸ-Áœ-÷¶. Þ¶õ¬ó 䉶 õ¼-ìƒ-èÀ‚° ñ£î‹ 16 ÝJ-ó‹ â¡-P-¼‰î àî-Mˆ ªî£¬è¬ò õ¼‹ ݇´ ºî™ ñ£î‹ 30 ÝJó‹ õ¬ó àò˜ˆF õöƒè àœ-÷¶ ».T.C. Ý󣌄-CŠ 𮊬𠺮ˆ¶ Ü«î ¶¬ø-J™ àò˜ Ý󣌄CŠ 𮊬ð «ñŸªè£œ÷ M¼‹-¹‹ ñ£í-õ˜-èœ Þ M‡-íŠH‚-èô - £‹. î°-F» - œ÷ 100 «ð¼‚° Þ‰î àî-Mˆªî£¬è õöƒ- è Š- ð - ´ ‹. G¹- í ˜ °¿ Íô‹ î°-Fò - £-ùõ - ˜-èœ «î˜‰-ªî-´‚-èŠ-ð´ - õ - ˜ âù »TC ªîK-Mˆ-¶œ-÷¶. Þ Ý¡-¬ô¡ Íô‹ ñ†´«ñ M‡-íŠ-H‚è «õ‡-´‹. M‡-íŠ-H‚è è¬ìC , HŠ-óõ - K 21. «ñ½‹ Mõ-óƒ-èÀ‚°: www.ugc.ac.in

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è™M&«õ¬ô õN裆®

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+2 º®ˆîõ˜èÀ‚° «ð£hv «õ¬ô

â‹.C.ã, â‹.ªì‚ º®ˆîõ˜èÀ‚° Üó² «õ¬ô

GÁõù‹: C.ݘ.H.âçŠ âùŠð´‹ ñˆFò ªî£NŸê£¬ô ð£¶è£Š¹Š ð¬ì «õ¬ô: vªì«ù£ (ÜCvªì¡† êŠ Þ¡vªð‚ì˜ ðîM‚è£ù «õ¬ô. ݇/ªð‡ Þ¼ ê£ó£¼‹ «ð£†®Jìô£‹) è£LJìƒèœ: 271. è™Mˆ î°F: +2 (ޫ, àòó‹, ñ£˜ð÷¾, â¬ì «ð£¡øõŸP™ °PŠH†ì Ü÷¾ î°F»¬ìòõó£è Þ¼ˆî™ «õ‡´‹) õò¶ õó‹¹: 18 ºî™ 25 õ¬ó «î˜¾ º¬ø: Fø¡ «î˜¾ ÞF™ º‚Aòñ£ù¶. ðˆ¶ GIìˆF™ 80 õ£˜ˆ¬îè¬÷ î†ì„² ªêŒò¾‹, 苊ΆìK™ ðˆFè¬÷ â¿î¾‹ ªîK‰F¼ˆî™ «õ‡´‹. ޫ ⿈¶ˆ «î˜¾, àì™ î°FèÀ‚è£ù «î˜¾, ñ¼ˆ¶õ «ê£î¬ùèÀ‹ à‡´. ÞÁFò£ù¶ «ï˜ºèˆ «î˜¾.

M‡íŠH‚è è¬ìCˆ «îF: 22.2.14 M‡íŠH‚°‹ º¬ø ñŸÁ‹ «ñôFè îèõ™èÀ‚°: www.crpf.gov.in

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HŠóõK 16 & 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

GÁõù‹: ñˆFò ÜóC¡ ªî£Nô£÷˜ ܬñ„êèˆF¡ W› õ¼‹ â‹Š÷£fv Šó£M졆 çð‡† Ý˜è¬ù«êû¡ (Þ.H.âçŠ) «õ¬ô: Þò‚°ù˜, ªì¹® Þò‚°ù˜, àîM Þò‚°ù˜, àîM Ý󣌄C ÜFè£K è£LJìƒèœ: 41. (ÞF™ ªì¹® Þò‚°ù˜ ðîM‚° 10 «ð¼‹, àîM Þò‚°ù˜ ðîM‚° 17 «ð¼‹ «î˜¾ ªêŒòŠð´õ£˜èœ) è™M: â‹.C.ã ñŸÁ‹ â‹. ªì‚ (C.ã) 𮊹èÀì¡ ÜÂðõº‹ «è†èŠð†´œ÷¶.

M‡íŠH‚è «õ‡®ò è¬ìCˆ «îF: 17.2.14 M‡íŠH‚°‹ º¬ø ñŸÁ‹ «ñôFè îèõ™èÀ‚°: www.

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epfindia.nic.in

Kꘚ õƒAJ™ «õ¬ô

Üó² ñ¼ˆ¶õñ¬ùèO™ «õ¬ô GÁõù‹: Þ.âv.ä.C âùŠð´‹ â‹Š÷£Jv v«ì† Þ¡Åó¡v 裘Šð«óû¡. Üó²ˆ ¶¬øò£ù Þî¡W› ð™«õÁ ñ£GôƒèO½‹ ñ¼ˆ¶õñ¬ùèœ, ñ¼ˆ¶õ‚ è™ÖKèœ ªêò™ð´A¡øù. «è£¬õ à†ðì ªñ£ˆî‹ 6 ñ¼ˆ¶õ‚ è™ÖKèÀ‚è£ù è£LJìƒè¬÷ GóŠ¹õîŸè£ù ÜPMŠ¹ Þ¶. «õ¬ô: «ðó£CKò˜, Þ¬íŠ «ðó£CKò˜, àîMŠ «ðó£CKò˜ âù ð™«õÁ ñ¼ˆ¶õŠ HK¾èO™ «õ¬ô. è£LJìƒèœ: 248 (ÞF™ «è£¬õJ™ ñ†´‹: 38) è™Mˆ î°F: °PŠH†ì HK¾èO™ º¶G¬ôŠ ð†ì‹ º®ˆîõ˜èœ M‡íŠH‚èô£‹.

M‡íŠH‚è è¬ìCˆ «îF: 17.2.14 M‡íŠH‚°‹ º¬ø ñŸÁ‹ «ñôFè îèõ™èÀ‚°: www.esic.nic.in

ó£µõ ªî£NŸê£¬ôJ™ «õ¬ô GÁõù‹: F¼„C ó£µõ ªî£NŸê£¬ô «õ¬ô: °ÏŠ C ðEJìƒèœ è£LJìƒèœ: 30 (êÍèŠ HK¾èÀ‚° ãŸð Þì 嶂W´ à‡´) è™Mˆ î°F: ðˆî£‹ õ°Š¹ «î˜„C M‡íŠH‚è è¬ìCˆ «îF: 21.2.14 M‡íŠH‚°‹ º¬ø ñŸÁ‹ «ñôFè îèõ™èÀ‚°: www.oftdr.com

GÁõù‹: Kꘚ õƒA «õ¬ô: ÝŒ¾ ÜFè£K, àîM «ñô£÷˜ (ªñ£N), «ñô£÷˜ (ªì‚Q‚è™ Ü‡† CM™) è£LJìƒèœ: 24. è™Mˆ î°F: º¶G¬ôJ™ ªð£¼÷£î£ó‹, èEî‹, ¹œOJò™ ñŸÁ‹ ܶ ꣘‰î 𮊹èO™ «î˜„Cò£ùõ˜èÀ‹, º¶è¬ô Þ‰F, Þ÷ƒè¬ô â…CQòKƒ ð†ì‹ ªðŸøõ˜èÀ‹ M‡íŠH‚èô£‹. õò¶ õó‹¹: «ñô£÷˜ ðE‚° 35 õò¶ Iè£ñ½‹ ñŸø «õ¬ôèÀ‚° 30 õò¶ Iè£ñ½‹ Þ¼ˆî™ «õ‡´‹.

M‡íŠH‚è è¬ìCˆ «îF: 17.2.14 M‡íŠH‚°‹ º¬øèœ ñŸÁ‹ «ñôFè îèõ™èÀ‚°: www.rbi.org.in

ð†ìî£KèÀ‚° ÝCKò˜ «õ¬ô

ðˆî£‹ õ°Š¹ ð®ˆîõ˜èÀ‚° ð™è¬ô‚èöè ðE GÁõù‹: ñˆFò Üó² è™M GÁõùñ£ù ªì™L ð™è¬ô‚èöèˆF¡ W› õ¼‹ ‘«ô® Þ˜M¡ è™ÖK’. «õ¬ô: ܽõôèŠ ðEèœ ñŸÁ‹ «ðó£CKò˜ ðEèœ è£LJìƒèœ: ܽõôèŠ ðE & 24, «ðó£CKò˜ ðE & 41 è™Mˆ î°F: ð™«õÁ ܽõôèŠ ðEèÀ‚° ãŸð ðˆî£‹ õ°Š¹, +2, â‹. âvC & è‹ŠÎ†ì˜ êJ¡v, â‹.C.ã ð®Š¹èœ âF˜ð£˜‚èŠð´A¡øù. «ðó£CKò˜ ðE‚° º¶G¬ô»ì¡ ªï† «î˜M™ «î˜„C»‹ ÜõCò‹.

M‡íŠH‚è è¬ìCˆ «îF: 26.2.14 M‡íŠH‚°‹ º¬ø ñŸÁ‹ «ñôFè îèõ™èÀ‚°: www.ladyirwin.edu.in

GÁõù‹: ñˆFò ÜóC¡ ñQîõ÷ ܬñ„êè‹ ñŸÁ‹ è™Mˆ ¶¬øJ¡ W›,  º¿õ¶‹ Þòƒ°‹ üõý˜ Mˆò£ôò£ ðœOè¬÷ G˜õ£A‚°‹ ï«õ£îò£ Mˆò£ôò£ êIF. «õ¬ô: ðò£ôT, è£ñ˜v, èEî‹, ªèIv†K «ð£¡ø ð™«õÁ ð£ìŠ HK¾èÀ‚° «î¬õò£ù º¶G¬ô ñŸÁ‹ Þ÷G¬ôŠ ð†ìî£K ÝCKò˜ «õ¬ô è£LJìƒèœ: ªñ£ˆî‹ 937. ÞF™ º¶G¬ôŠ ð†ìî£K ÝCKò˜èÀ‚° 514 ÞìƒèÀ‹ Þ÷G¬ô ð†ìî£K ÝCKò˜èÀ‚° 423 ÞìƒèÀ‹ è£Lò£è àœ÷ù. è™Mˆ î°F: º¶G¬ô ÝCKò˜è÷£è M¼‹¹«õ£˜, °PŠH†ì ð£ìŠHK¾èO™ º¶G¬ôŠ 𮊹‹; Þ÷G¬ô ÝCKòó£è M¼‹¹«õ£˜, °PŠH†ì ð£ìŠ HK¾èO™ Þ÷G¬ôŠ 𮊹‹ ð®ˆF¼ˆî™ «õ‡´‹.

M‡íŠH‚è è¬ìCˆ «îF: 28.2.14 M‡íŠH‚°‹ º¬ø ñŸÁ‹ «ñôFè îèõ™èÀ‚°: www.navodaya.nic.in.

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è™M&«õ¬ô õN裆®

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HŠóõK 16 & 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

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4 ñ£î‹

3. ð¬ù æ¬ô-J™ ¬èM-¬ùŠ ªð£¼†-èœ 2 ñ£î‹ 4. «ð‚-èK ªð£¼†-èœ îò£-KŠ¹

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5 -èœ

2. «ð£†«ì£ «ôI-«ù-û¡

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3. Ü®Š-ð¬ì Üö-°‚-è¬ô

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4. àò˜-G¬ô Üö-°‚-è¬ô

15 -èœ

5. èõ-Kƒ ï¬è-èœ ªêŒ-»‹ ðJŸC

15 -èœ

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5 -èœ

8. «ê£Š ÝJ™, ð£ˆFó‹ 迾‹ ð¾ì˜ 5 -èœ îò£KŠ¹ 9. ªñ¿°õˆF ñŸÁ‹ è‹ŠÎ†ì˜ ê£‹Hó£E îò£KŠ¹

5 -èœ

10. ê£Q†ìK A¡ îò£KŠ¹

5 -èœ

«ñ½‹ îè-õ™-èÀ‚°: èî˜ ñŸ-Á‹ Aó£-ñˆ ªî£N™-èœ Ý¬í-ò‹, ñ£î-õó- ‹ 𣙠ð‡¬í è£ôQ, ªê¡¬ù& 600 051, ªî£¬ô-«ðC: 044&2555 5402

ªð‡-èœ «ð£¡-øõ - ˜-èœ F†ì ñFŠ-d†-®™ 䉶 êî-iî - ‹ ñ†-´‹ ºî-h´ ªêò- «ð£¶‹. Üî£-õ¶ ªî£N™ ªî£ìƒè å¼ ô†ê Ï𣌠ñFŠ-d´ â¡-ø£™, «ñŸ-Ãø - Š-ð†ì HK-Mù - ˜ ä‰-î£-Jó- ‹ Ï𣌠ºî-h´ ªêŒ- «ð£¶‹. eî‹ àœ÷ 95,000 èì-ù£è A¬ì‚è õN-õ¬è ªêŒ-òŠ-ð´ - ‹. ªð£¶Š HKM-ù˜ ðˆ¶ êî-iî - ‹ ºî-h´ ªêŒò «õ‡-®J - ¼ - ‚-°‹. àŸ-ðˆF ꣘‰î ªî£N-ô£è Þ¼‰- Ï.25 ô†-ê‹ õ¬ó èì¡ A¬ì‚-°‹. «ê¬õ-èœ ê£˜‰î ªî£N-ô£è Þ¼‰- Ï.10 ô†-ê‹ õ¬ó èì¡ A¬ì‚-°‹. Þƒ° ðJŸC «ñŸªè£‡´ A¬ì‚-°‹ ꣡-Pî - › ñˆ-Fò Üó² ꣡-Pî - › â¡ð- èì-Âî - M ªðÁ-õF - ™ Có-ñ‹ Þ¼‚-裶’’ â¡-ø£˜ Üõ˜ èQ«õ£´. ð¬ù ñóˆ¬î ðí ñó-ñ£‚è cƒ-èœ îò£ó£?

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GÁõù„ ªêòô£÷˜ +2 Ü®Šð¬ìˆ «î˜¾ ‚è

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Áõùƒè¬÷ ªõŸPèóñ£è õNï숶‹ MîˆF™ Fø¡ õ£Œ‰î ªêòô£÷˜è¬÷ à¼õ£‚辋, Üõ˜èO¡ î°F¬ò 心°ð´ˆî¾‹ The Institute of Company Secretaries of India (ICSI) GÁõùˆî£™ ‘苪ðQ ªêèó†ìKSŠÕ 𮊹 õöƒèŠð´Aø¶. FòK, Hó£‚®è™ Þ¬í‰î Þ‰îŠ ð®Š¹, I°‰î «õ¬ôõ£ŒŠ¹è¬÷‚ ªè£‡ì¶. Þ‰îŠ ð®ŠH™ «êó Company Secretary Foundation Programme â¡ø «î˜¬õ â¿î «õ‡´‹. Þ¶ðŸP M÷‚°Aø£˜ è™M Ý«ô£êè˜ ó£üó£ü¡.

The Institute of Company Secretaries of India (ICSI) GÁõù‹, ¹¶ ªì™L¬ò î¬ô¬ñJìñ£è‚

ªè£‡´ ªêò™ð´Aø¶. Þ ¹¶ªì™L, ªè£™èˆî£, ªê¡¬ù, º‹¬ð ïèóƒèO™ ñ‡ìô ܽõôèƒèÀ‹, ¶ð£Œ àœO†ì 70 ÞìƒèO™ A¬÷ ܽõôèƒèÀ‹ à‡´.

C.S. Foundation Programme «î˜¬õ

ò£ªó™ô£‹ â¿îô£‹?

+2M™ â‰îŠ HK¬õŠ 𮈶 «î˜„C ªðŸøõ˜èÀ‹ Þ‰îˆ «î˜¬õ â¿îô£‹. Þ‰î ݇´ +2 ªð£¶ˆ«î˜¬õ 

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â¿îM¼‚°‹ ñ£íõ˜èÀ‹ Þˆ«î˜¬õ â¿îô£‹. âèù£I‚v, è£ñ˜v, ܂辡ì¡C HK¾è¬÷Š ð®ˆîõ˜èÀ‚° Þ‰îŠ ð®Š¹ I辋 ªð£¼ˆîñ£ù¶. °¬ø‰îð†ê ñFŠªð‡ â¡Á ⶾ‹ °PŠHìŠðìM™¬ô. +2 «î˜„C ªðŸø£«ô «ð£¶ñ£ù¶. Þ÷G¬ô, º¶G¬ôŠ ð†ìî£Kèœ, Institute of Cost Accounts of India GÁõù‹ ï숶‹ ICAI 𮊹‚è£ù ç𾇫ìû¡ «î˜M™ «î˜„C ªðŸøõ˜èœ, Institute of Chartered Accountants of India ï숶‹ CPT «î˜M™ «î˜„C ªðŸøõ˜èœ, Þ‰î C.S. Foundation Programme «î˜¬õ â¿î£ñ«ô«ò

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«ïó®ò£è GÁõù„ ªêòô£÷˜ ð®ŠH¡ Þó‡ì£‹ G¬ôò£ù Executive Programme&™ «êóô£‹. Fine Arts ð†ìî£KèÀ‚° ñ†´‹ ÞF™ MFMô‚°. Üõ˜èœ Foundation Programme º®ˆî Hø«è «ê󺮻‹. «î˜¾ ⊫ð£¶? «î˜¾‚ è†ìí‹ âšõ÷¾? 嚪õ£¼ ݇´‹ ®ê‹ð˜ ñŸÁ‹ ü¨¡ ñ£îƒèO™ Þ‰îˆ «î˜¾ ï¬ìªðÁ‹. «î˜¾‚è£ù è†ìí‹ Ï.1200. ü¨¡ ñ£îˆF™ «î˜¾ â¿î M¼‹¹«õ£˜ ñ£˜„ 25‹ «îF‚°œ M‡íŠH‚è «õ‡´‹. (î£ñî‚ è†ìí‹ 250 Ï𣌠ªê½ˆF ãŠó™ 9‹ «îF õ¬ó M‡íŠ H‚èô£‹). ®ê‹ðK™ «î˜¾ â¿î M¼‹¹ðõ˜èœ ªêŠì‹ð˜ 25‹ «îF‚°œ (î£ñî‚ è†ìí‹ 250 Ï𣌠ªê½ˆF Ü‚«ì£ð˜ 10‹ «îF õ¬ó M‡íŠH‚èô£‹) M‡íŠH‚è «õ‡´‹.

ªêŒ¶ ªè£œ÷ô£‹. ä.® 裘¬ì ðFMø‚è‹ ªêŒîH¡ ÜF™, The Institute of Company Secretaries of India GÁõùˆF¡ àÁŠHù˜èœ Ü™ô¶ ñˆFò ñ£Gô Üó²èO™ ðEò£ŸÁ‹ ªèêì† ÜFè£Kèœ, ðœO Ü™ô¶ è™ÖK ºî™õ˜èœ ò£«ó‹ å¼õK¡ ¬èªò£Šðˆ¬î ªðŸÁ‚ªè£œ÷ «õ‡´‹.

â‰î Ü®Šð¬ìJ™ «î˜¾ ï¬ìªðÁ‹?

Business Environment and Entrepreneurship, Business Management Ethics and Communication, Business Economics, Foundations of Accounting and Auditing ÝAò ° ð£ìƒèOL¼‰¶

«èœMèœ «è†èŠð´‹. ÞîŸè£ù ¹ˆîèƒèœ ICSI GÁõùˆî£™ õöƒèŠð´‹. «ïó®Š ðJŸC

õ°Š¹èÀ‹ à‡´. « î ˜ M ™ Business Environment and Entrepreneurship, Business Management Ethics and Communication, Business Economics, Foundations of Accounting and Auditing Ý A ò ï £ ¡ °

𮊹‚è£ù ªêô¾? ܆Iû¡ è†ìí‹ Ï.1500. è™M‚ è†ìí‹ Ï.3000. «ê¼‹«ð£«î ªñ£ˆî ðíº‹ ªê½ˆî «õ‡´‹. è†ìí‹ ªê½ˆFò ï£OL¼‰¶ 8 ñ£îƒèÀ‚°œ ç𾇫ìû¡ ¹«ó£Aó£‹ «î˜¬õ â¿F º®‚è «õ‡´‹. Þ‰îˆ «î˜M™ «î˜„C ªðŸÁ Í¡Á õ¼ìƒèÀ‚°œ GÁõù„ ªêòô£÷˜ ð®ŠH¡ ÞÁFˆ «î˜¬õ â¿F º®ˆî£è «õ‡´‹.

SC/ST ñ£íõ˜èœ «î˜¾ ñŸÁ‹ 𮊹‚è£ù è†ìíˆF™ 50% ªê½ˆFù£™ «ð£¶‹. ñ£ŸÁˆ Føù£OèÀ‚° ðF¾‚ è†ìí‹ Ï.1500. «î˜¾‚ è†ìíˆF™ 25% ªê½ˆFù£™ «ð£¶‹.

ð°FèOL¼‰¶‹ îô£ 50 Mù£‚èœ «è†èŠð´‹. å¼ «èœM‚° 2 ñFŠªð‡èœ. ºî™ Þó‡´ ð£ìƒèÀ‚è£ù «î˜¾ 裬ô 10 ñEJL¼‰¶ 11.30 õ¬ó»‹, Ü´ˆî Þó‡´ ð£ìƒèÀ‚è£ù «î˜¾ HŸðè™ 1.30 ºî™ 3 ñE õ¬óJ½‹ ïì‚°‹. êKò£ù M¬ì¬òˆ «î˜¾ªêŒ»‹ Ü®Šð¬ìJô£ù «î˜¾ Þ¶. îQˆîQ ð£ìƒèO™ 40 M¿‚裴‹, ªñ£ˆî‹ 50 M¿‚裴‹ «î˜„C‚è£ù Ü®Šð¬ìò£°‹.

CøŠð£è ð®Šðõ˜èÀ‚° àîMˆªî£¬è, ðK²èÀ‹ õöƒèŠð´‹.

âŠð® M‡íŠHŠð¶? Ý¡¬ô ¡ Íôñ£è¾‹, Ü…ê™ Íôñ£è¾‹ M‡íŠ H‚èô£‹. Ý¡¬ô¡ Íôñ£è M‡íŠHŠðõ˜èœ, www.icsi.edu â¡ ø õ¬ôˆî÷‹ Íô‹ M‡íŠH‚è «õ‡´‹. ñø‚è£ñ™ ÞªñJ™ ä.®., ªñ£¬ð™ ï‹ð¬ó‚ °PŠHì «õ‡´‹. è†ìíˆ¬î ªìH† 裘´, Aªó®† 裘´, ªï† «ðƒAƒ õNò£è ªê½ˆîô£‹. Ü…êL™ M‡íŠHŠðõ˜èœ, î¬ô¬ñòè‹, ñ‡ìô ܽõôèƒèO™ M‡íŠðƒè¬÷Š ªðŸÁ M‡íŠðˆ¬î ̘ˆF ªêŒ¶ «ïó®ò£è«õ£, Ü…êL«ô£ ÜŠðô£‹. è†ìíˆ¬î «îCòñòñ£‚èŠð†ì õƒAèO™ ®.®ò£è â´ˆ¶‚ ªè£´‚è «õ‡´‹.

M‡íŠHˆî H¡ 嚪õ£¼ ñ£íõ ¼‚°‹ email Ü™ô¶ SMS õNò£è ðF¾ ⇠õöƒèŠð´‹. ä.® 裘¬ì»‹ õ¬ôî÷ˆFL¼‰¶ ðFMø‚è‹

GÁõù„ ªêòô£÷˜ 𮊹, Üî¡ âF˜è£ô‹ ðŸP? C.S. Foundation Programme º®ˆîH¡ Executive Programme, Professional Programme

º®‚è «õ‡´‹. ފ𮊬𠺮ˆîõ˜èœ GÁõùƒèO™ ê†ì Ý«ô£êè˜, 裘Šð«ó† H÷£Qƒ ÜFè£K, ê†ì Ý«ô£êè˜ «ð£¡ø àò˜ ðEèO™ Üñóô£‹. ²ò «õ¬ôõ£ŒŠ¹è¬÷»‹ ܬñˆ¶‚ ªè£œ÷ô£‹.

Ã´î™ MðóƒèÀ‚°: CSI SIRC House, No.9, Wheat Crofts Road Nungambakkam, CHENNAI - 600034 Ph : 04428279898 / 28222212 Fax No.: 044 - 28268685, Email: siro@icsi.edu, icsisirc@md3.vsnl.net.in

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& ªõ.côè‡ì¡ è™M&«õ¬ô õN裆®

àJKMù£ˆ &- î£õóMò™ ªî£°Š¹ S. ð£ô£T, M.Sc., M.Ed., M.Phil.

R. è‡íHó£¡ M.Sc., M.Phil., B.Ed.

å¼ ñFŠªð‡ Mù£‚èœ 1. ÞùŠªð¼‚è õ¬èŠð£´ âù ܬö‚ èŠð´õ¶.

M¬ì : ªêòŸ¬è º¬ø õ¬èŠð£´. ðK«ê£î¬ù õ¬èŠð£†¬ì ÜPºèŠ 2. ð´ˆFòõ˜èœ M¬ì :«è‹Š ñŸÁ‹ A™L. 3. Þ¼ ªê£™ ªðòK´ º¬ø¬ò ÜPºèŠð´ˆFòõ˜ M¬ì : èv𘴠ð£U¡ 4. ªð‰î‹ & ý¨‚è˜ õ¬èŠð£†®™ îŸè£ô ¶¬øèœ Þšõ£Á ܬö‚èŠð†ìù.

M¬ì : «è£ý£˜†´èœ.

5. Þ¼MˆF¬ôˆ î£õóƒèO™ ªî£¡ ¬ñò£ù î£õóƒèœ ªè£‡ì ¶¬ø M¬ì : ó£«ù™v.

6. Åôè W› ñô˜èœ ªè£‡ì î£õóƒèœ àœ÷ õK¬ê M¬ì : Þ¡çªð«ó 7. ¹øŠ¹™L õ†ì‹ Þ™ô£î ñ£™«õC °´‹ðˆ î£õó‹.

M¬ì : ܹ†®ô£¡ Þ‡®è‹.

8. ãªð™ñ£vèv âv°ªô¡ìv î£õóˆ F™ è£íŠð´‹ èQ M¬ì : Åôè ܬø ªõ®èQ 9. ï´ ïó‹¹ ñŸÁ‹ ð‚è ïó‹¹èO™ ñ… êœ Gø º†è¬÷‚ ªè£‡ì î£õó‹ M¬ì : ªê£ô£ù‹ ꣉«î£è£˜Šð‹.

10. Åôè‹ «ï˜‚«è£†®™ ܬñò£ñ™ êŸÁ ꣌õ£è ܬñ‰¶œ÷ °´‹ð‹ M¬ì : ªê£ô£«ùC. 11. ܆«ó£ç𣠪ð™ô«ì£ù£ î£õó «õKL¼‰¶ ªðøŠð´‹ Ý™èô£Œ´ M¬ì : ܆«ó£çH¡ 12. Îç«ð£˜H«òC °´‹ðˆF™ è£íŠ ð´‹ «ðKùƒèO¡ â‡E‚¬è M¬ì : 300.

13. Îç«ð£˜H«òC °´‹ðˆF™ è£íŠð´‹ CøŠ¹ õ¬è ñ…êK M¬ì : ¬êò£ˆFò‹.

14. A÷£«ì£´‚° â´ˆ¶‚裆´ M¬ì : Îç«ð£˜Hò£ F¼‚èœO. 15. 𣋹‚讂°‹, ªî£¿«ï£Œ‚°‹ ñ¼‰ î£èŠ ðò¡ð´‹ î£õó‹ M¬ì : ü†«ó£çð£ è£OŠHç«ð£Lò£.

16. qMò£ H«óCLò¡Cv î£õóˆF¡ Þ¬ôèœ 

HŠóõK 16 & 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

M¬ì : Í¡Á CŸP¬ôèœ à¬ìò Æ®¬ô.

17. ó£õªùô£M™ è£íŠð´‹ ñ…êK M¬ì : Æ´ ¬ê‹ ó£õªùô£M™ è£íŠð´‹ õ÷ñ£ù 18. ñèó‰îˆ èO¡ â‡E‚¬è M¬ì : ÝÁ.

19. ðø¬õèO¡ ªê£˜‚è ñô˜ âùŠð´‹ î£õó‹ M¬ì : vªìKL†Cò£ ªóT«ù.

20. ñEô£ ï£KL¼‰¶ ªïŒòŠð´‹ ¶E M¬ì : Üð£è£ ¶E. 21. î£õóˆF¡ ܬùˆ¶ ð£èƒèO½‹ è£íŠð´‹ F² M¬ì : ð£ó¡¬èñ£.

22. õ£¬ö, è™õ£¬öˆ î£õóƒèO¡ Þ¬ô‚裋H™ è£íŠð´‹ ï†êˆFó õ®õ ð£ó¡¬èñ£ M¬ì : vªì™«ô† ð£ó¡¬èñ£.

23. õ£v°ô£˜ «è‹Hò‹, 裘‚ «è‹Hò‹ ÝAò¬õ âšõ¬è Ý‚°ˆF²?

M¬ì : ð‚è Ý‚°ˆF².

24. ð†ì£EJ¡ M¬î à¬øèO™ è£íŠ ð´‹ vAO¬ó´èœ M¬ì : Ýv®«ò£ vAO¬ó´èœ.

25. Þ¬ìªõO «è£ô¡¬èñ£ è£íŠð´‹ î£õó‹ M¬ì : ä«ð£Iò£.

26. T‹«ù£vªð˜‹èO½‹, ªìK«ì£ ç¬ð†´èO½‹ c¬ó‚ è숶‹ º‚Aò ÃÁèœ M¬ì : ®ó‚A´èœ. 埬øˆ¶¬÷ˆî†´ à¬ìò ¬êô‹ 27. °ö£Œ è£íŠð´‹ î£õó‹ M¬ì : ñ£…Cçªðó£.

28. ¬êô‹ °ö£Œèœ è£íŠð´‹ T‹ «ù£vªð˜‹ î£õó‹ M¬ì : c†ì‹.

29. ê™ô¬ìˆ èO™ àœ÷ ¶¬÷è¬÷ ܬ산‹ ªð£¼œ M¬ì : «è«ô£v.

30. 繫÷£ò‹ ð£ó¡¬èñ£ Þ™ô£î î£õóƒèœ M¬ì : å¼MˆF¬ôˆ î£õóƒèœ.

31. «õ˜ˆÉMèœ âFL¼‰¶ à¼õ£°‹?

M¬ì : ®¬ó‚«è£H÷£v†´èœ.

32. Þ¼ð‚è 弃è¬ñ‰î õ£v°ô£˜

16

蟬øèœ è£íŠð´‹ î£õó‚ °´‹ð‹ M¬ì : °‚è˜H†«ìC. 33. ¹øEJ¡ è¬ìC Ü´‚° M¬ì : Ü舫 (⇫죪ì˜Iv) ¹«ó£†«ì£¬êô Þ¬ìªõO àœ÷ 34. õ£v°ô£˜ 蟬øè¬÷ ªè£‡´œ÷ ¬õ M¬ì : å¼ MˆF¬ôˆ î£õóˆ .

35. Þ¬ôJ¡ «ñŸ¹ø, W›Š¹øˆ «î£™ èÀ‚° Þ¬ì«ò àœ÷ F² M¬ì : Þ¬ôJ¬ìˆF² (e«ê£çH™) 36. °«ó£ñ«ê£‹ â¡ø ªðò¬ó ÜPºèŠ ð´ˆFòõ˜ M¬ì : õ£™«ìò˜. p¡èœ °«ó£ñ«ê£‹èO™ ܬñ‰ 37. ¶œ÷ù âù‚ ÃPòõ˜ M¬ì : HK†üv.

38. ¹ŸÁ ªê™èO™ è£íŠð´‹ G¬ô òŸø °«ó£ñ«ê£‹ «ð£¡ø ܬñŠ¹ èO¡ ªðò˜ M¬ì : 친IQ†v.

39. d®™ ñŸÁ‹ ì£†ì‹ àJ˜«õF ÝŒ¾ èœ «ñŸªè£‡ì Ì…¬ê M¬ì : GΫó£v«ð£ó£.

40. ñQîQ™ è£íŠð´‹ p¡èO¡ «î£ó£ò â‡E‚¬è M¬ì : 30,000 & 40,000.

41. ÞQŠ¹Š ð†ì£EJ™ Môè™ «ê£î ¬ù‚èôŠ¹ MAî‹.

M“ : 1 : 7 : 7: 1.

42. ñó¹ õ¬óðìˆF¡ Üô° M¬ì : ñ£˜è¡ (Ü) ªê¡® ñ£˜è¡.

43.

U»«è£ ®šKv â¡ðõó£™ F¯˜ ñ£Ÿø‹ è‡ìPòŠð†ì î£õó‹ M¬ì : ß«ù£Fó£ ôñ£˜‚Aò£ù£. àJ˜«õF F¯˜ ñ£Ÿøƒè÷£™ Cô 44. ÜI«ù£ ÜIôƒè¬÷ àŸðˆF ªêŒò º®ò£î Ì…¬ê M¬ì : GΫó£v«ð£ó£.

45. °¡ø™ ð°ŠH¡ ¹«ó£«ðv I&¡ â‰î G¬ôJ™ °Á‚«èŸø‹ Gè¿‹?

M¬ì : ð£‚A†¯¡.

46. ï™L«ê£I Þšõ£Á °PŠHìŠð´Aø¶.

M“ : 2 n -2.

47. °«ó£ñ«ê£‹ â‡E‚¬è¬ò Þ¼ñìƒ è£‚°‹ «õFŠ ªð£¼œ M¬ì : 裙CC¡.

48. ®K†®è‹ ñŸÁ‹ Y«è™ î£õóƒèO¡ èôŠð£™ ªðøŠð†ì ªý‚ê£H÷£Œ´ èôŠ¹JK M¬ì : ®K†®«è™.

49. DNA Íô‚ÃP¡ M†ì‹.

M“ : 20A 50.

DNA M¡ ÜFè„ ²¼¬÷ˆ î÷˜ˆ ¶‹ ªï£F O

M¬ì : «ì£«ð£ ä«ê£ªñ«óv.

51. DNA ¶‡´è¬÷ ެ킰‹ ªï£F M¬ì : DNA ¬ô«èv.

52. àJ¼œ÷ â‰îªõ£¼ î£õó ªê™½‹ º¿ˆ î£õóñ£è õ÷˜õ ÞòŸ ¬èò£è ܬñ‰î Fø¡.

M¬ì : º¿ˆFø¡ ªðŸÁœ÷ù.

53. ªðŸ«ø£˜ ¹«ó£†«ì£H÷£êƒè¬÷ ެ킰‹ è£óE M¬ì : ð£L âˆFh¡ A¬÷‚裙.

54. è£ôv &™ Þ¼‰¶ «õ˜ à¼õ£õ¶ M¬ì : ¬ó«ê£ªüQRv. ªóv†K‚û¡ ªï£Fè¬÷ à¼õ£‚° 55. õ¶ M¬ì : 𣂯Kò£.

56. p¡è¬÷ ªê™LÂœ ªê½ˆîŠ ðò¡ ð´‹ º¬ø M¬ì : I¡¶¬÷ò£‚è‹.

57. è„ê£ â‡ªí¬ò C¬î‚°‹ ñó¹ ñ£Ÿø‹ ªêŒòŠð†ì 𣂯Kò£ M¬ì : ū죫ñ£ù£v Ì®ì£.

58. àìô èôŠHùƒè¬÷ à¼õ£‚è ðò¡ð´‹ º¬ø M¬ì : ¹«ó£†«ì£ŠH÷£ê Þ¬í¾.

59. ñ°ì èö¬ô «ï£¬òˆ «î£ŸÁM‚°‹ 𣂯Kò£ M¬ì : Ü‚«ó£ð£‚¯Kò‹ ÇI«ðCò¡v.

60. ñ£¡ªì‚ì£ ªê‚vì£ â¡ø Ì„C °‹ î£õó‹ M¬ì : ¹¬èJ¬ô. ãø‚°¬øò Þ¡¬øò G¬ôJ™ 61. è£íŠð´‹ Üò™ p¬ùŠ ªðŸø î£õóƒèO¡ â‡E‚¬è M¬ì : ä‹ð¶.

62. ¬ê†«ì£¬èQQ¡ ðE Þ¬î ÜFèKŠ ð¶ M¬ì : ªê™ 𰊹.

63.

H¡õ¼‹ å¡Á îQ„ªê™ ¹óî àJKùñ£°‹ M¬ì : v¬ð¼Lù£.

64. ªê™èÀ‚° ¬õóvè¬÷ âF˜‚°‹ Fø¬ù ÜOŠð¶ M¬ì : Þ¡ì˜çªðó£¡èœ.

65.

F² õ÷˜ŠH¡ Íô‹ ªðøŠð´‹ º‚AòŠ ªð£¼œ M¬ì : ªêòŸ¬è M¬îèœ.

66. A¬÷‚裬ôCv ï¬ìªðÁ‹ Þì‹ M¬ì : ¬ê†«ì£ŠH÷£ê‹.

67. ²öŸC âô‚†ó£¡ èìˆîL¡«ð£¶ à¼õ£õ¶ M¬ì : ATP ñ†´‹.

68. ªïŸðJK™ H‚裫ù «ï£¬ò ãŸð´ˆ ¶õ¶ M¬ì : TŠóL‚ ÜIô‹.

17

è™M&«õ¬ô õN裆®

69. ñ‚裄 «ê£÷ˆF™ è£íŠð´‹ ¬ê† «ì£¬èQ¡ M¬ì : Rò£†®¡.

70. ð°F 冴‡E‚° â´ˆ¶‚裆´ M¬ì : Mvè‹.

71. º¬ù ÝF‚è‹ Þîù£™ ãŸð´Aø¶ M¬ì : Ý‚R¡.

72. º¿¬ñò£ù Ý‚Cü«ùŸø‹ ܬ컋 °À‚«è£R™ Þ¼‰¶ A¬ìŠð¶ M¬ì : 38 ATP 73. Þ¬ôˆ¶¬÷ Í´õ¶ Þîù£™ Gè› Aø¶ M¬ì : ÜŠCC‚ ÜIô‹. åO„«ê˜‚¬è¬ò I辋 Fø‹ðì 74. ɇì õ™ô ܬô c÷‹.

M¬ì : 400 & 700 nm 75. ð„¬êò àŸðˆF‚° «î¬õŠð´‹ º‚AòŠ ªð£¼œ M¬ì : Mg 76. cœ ðè™ î£õóˆFŸ° àî£óí‹ M¬ì : «è£¶¬ñ.

H2 S-ä Ý‚nèóí‹ Ü¬ìò„ ªêŒ¶ 77. c¬ó»‹, è‰î般 à¼õ£‚°õ¶ M¬ì : ªð‚Aò«ì£õ£. å¼ Íô‚ÃÁ °À‚«è£v º¿ 78. ¬ñò£ù Ý‚Cü«ùŸøˆF¡«ð£¶ ªõOŠð´ˆ¶‹ ÝŸøL¡ Ü÷¾ M¬ì : 200 KJ 79. î£õóƒèœ º¶¬ñ ܬìõ¬î î£ñîŠ ð´ˆ¶‹ ý£˜«ñ£¡ M¬ì : ¬ê†«ì£¬èQ¡.

80.

GôˆF™ àœ÷ è¬÷è¬÷ c‚AìŠ ðò¡ð´õ¶ M¬ì : 2, 4 - D 81. õ£» G¬ôJ™ àœ÷ ý£˜«ñ£¡ â¶?

M¬ì : âˆFh¡.

82. «ñL‚ ÜIôˆF¡ ²õ£ê ß¾ M¬ì : 1. 33.

83. ATP&J™ è£íŠð´‹ I¬è ÝŸø™ H¬íŠ¹èO¡ â‡E‚¬è M¬ì : Þó‡´.

ATP 84. âô‚†ó£¡ è숶 êƒALJ™ à¼õ£õ¶.

M¬ì : Ý‚Cü«ùŸø ð£vðKèóí‹.

85. °O˜ðîùˆî£™ ãŸð´‹ M¬÷¬õ c‚A ð¬öò G¬ô‚°‚ ªè£‡´ õ¼‹ G蛄C. M¬ì : °O˜ðîù c‚è‹.

86.

Gô‚èì¬ôJ™ Þ¬ôŠ¹œO «ï£Œ Þîù£™ ãŸð´Aø¶.

M¬ì : ªê˜«è£v«ð£ó£ ªð˜«ê£«ù†ì£.

87. üŠð£Q™ ÜKC¬ò ªï£F‚è ¬õˆ¶ ªðøŠð´‹ ñ¶ð£ù‹ M¬ì : ꣫è. 

HŠóõK 16& 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

88. ð£ŠH„ ªê®JL¼‰¶ ªðøŠð´‹ õLc‚A ñ¼‰¶ M¬ì : ñ£˜çH¡.

89. Þ‰Fò ªï™ õò™èO™ ÜFèñ£èŠ ðò¡ð´ˆîŠð´‹ ªõŸPèóñ£ù àJK àó‹ M¬ì : ܫ꣙ô£ H¡«ù†ì£.

90. M™õ‹ î£õóˆF¡ Þ¼ªê£™ ªðò˜ M¬ì : ãA™ ñ£˜Iô£v.

91. ý£†ü˜ Ü™ô¶ ⽋¹ Þ¬íM â¡ø ªðò˜ ªè£‡ì î£õó‹ M¬ì : Cêv °õ£†ó£ƒ°ô£Kv. ¹ŸÁ«ï£¬ò‚ °íŠð´ˆ¶‹ ñ¼‰ 92. ¶èœ ªè£‡ì î£õó‹ M¬ì : «èîó£¡îv «ó£Còv. °«÷£«ó£¬ñC®¡ â¡ø ¸‡µJ˜ 93. ñ¼‰¶ °íŠð´ˆ¶õ¶ M¬ì : ¬ìç𣌴.

94. ¬ðKˆó‹ â¡ø àJK Ì„C‚ªè£™L ªðøŠð´‹ î£õó‹ M¬ì : A¬ó꣉Fñ‹.

95. Ì„C ñŸÁ‹ àõ˜î¡¬ñ¬ò °‹ ÜKC óè‹ M¬ì : ܆ì£I†ì£ &2 96. °J¬ù¡ âFL¼‰¶ ªðøŠð´Aø¶?

M¬ì : C¡«è£ù£ ÜHSù£Lv. 97. Üè£L¬ð¡ ÞFL¼‰¶ ªðøŠð´Aø¶.

M¬ì : Üè£Lð£ Þ‡®è£.

98. «î‚A¡ Þ¼ªê£™ ªðò˜ M¬ì : ªì‚«ì£ù£ A󣇮v.

99. ñó¹ ñ£ŸøŠð†ì â.«è£¬ô 𣂯Kòˆî£™ àŸðˆF ªêŒòŠð†ì Þ¡²L¡ M¬ì : U»ºL¡.

100. «îc¼‚° ñ£Ÿø£èŠ ðò¡ð´‹ î£õó‹ M¬ì : äô‚v ðó£°ªõ¡Cv.

3 ñFŠªð‡ Mù£‚èœ 1. õ¬è ñ£FK â¡ø£™ â¡ù?

2. ªóRùv è‹ÎQv ªð‡ ñôK¡ õ¬óðì‹ õ¬óè 3. Îç«ð£˜H«òC î£õóƒèO™ è£íŠð´‹ ã«î‹ Í¡Á õ¬èò£ù ñƒêK¬è â´ˆ¶‚裆´èÀì¡ °PŠH´è.

4. ༬÷‚Aöƒ° °´‹ðˆF¡ õ¬èŠ 𣆴 G¬ô¬ò ⿶è.

5. î£õó õ¬èŠð£†®¡ «ï£‚èƒèœ ò£¬õ?

6. ñ¡ Ý‹H°õ‹ â¡ð¬î õ¬óòÁ 7. ܆«ó£çH¡ â¡ø£™ â¡ù?

8. ªð‰î‹/ý¨‚è˜ õ¬èŠð£†®¡ G¬ø èœ ã«î‹ Í¡Á ⿶è?

9. 죆«ì£Qò‹ & õ¬óòÁ. â.è£ î¼è 10. IΫêR °´‹ðˆF¡ õ¬èŠð£†´ G¬ô¬ò ⿶è.

11. M¬îˆ î£õóƒèO¡ Í¡Á õ°Š¹ èœ ò£¬õ?

18

12. W›‚è‡ì î£õóƒèO¡ î£õóMò™ ªðò˜è¬÷ ⿶: ñóõœO, «õŠðñó‹ 13. ñ£™«õR ñŸÁ‹ ªê£ô£«ùR ñèó‰ îˆî£œ õ†ìˆF¡ «õÁð£´èœ ã«î‹ Í¡Á ÃÁè?

14. ªð‰î‹ ñŸÁ‹ ý¨‚è˜ õ¬èŠð£†®¡ Þó‡´ G¬øèœ ñŸÁ‹ å¼ °¬ø J¬ù ⿶è.

15. Þ¼ªê£Ÿ ªðòK´ º¬ø â¡ø£™ â¡ù? æ˜ â´ˆ¶‚裆´ î¼è 16. ‘ÝCKò˜’ ªðò˜ °Pˆî™ â¡ø£™ â¡ù? æ˜ â´ˆ¶‚裆´ î¼è 17. ªê£ô£«ùR °´‹ðˆF¡ ñ¼ˆ¶õ °íº¬ìò Í¡Á î£õóƒèO¡ Þ¼ ªê£ŸªðòK¬ù ⿶è.

18. ðK«ê£î¬ù õ¬èŠð£†®¡ «ï£‚èƒèœ ò£¬õ?

19. ñ£™«õC °´‹ð ˆ î£õóƒèœ ðŸP °PŠ¹ ⿶è.

20. ñ£™«õCJ¡ õ¬èŠð£†´ G¬ô¬ò ⿶è.

21. A÷£«ì£´ â¡ø£™ â¡ù? æ˜ àî£ó í‹ î¼è.

22. ¹¬èJ¬ôJ™ è£íŠð´‹ Ý™èô£Œ´ èœ ò£¬õ?

23. ñ£«ù£ 裘ŠH‚ ð™ô£‡´ î£õó‹ â¡ø£™ â¡ù? â´ˆ¶‚裆´ î¼è?

24. H«ó£‚A vAk¬ó´èœ â¡ø£™ â¡ù? àî£óí‹ ªè£´?

25. Þ¼ð‚è 弃è¬ñ‰î õ£v°ô£˜ 蟬ø¬ò â´ˆ¶‚裆´ì¡ M÷‚°è?

26. Þ¬ìªõO‚ «è£ô¡¬èñ£M¡ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒè¬÷‚ °P. 27. “«è£í‚ «è£ô¡¬èñ£”M¡ ðì‹ õ¬ó‰¶, ð£èƒè¬÷‚ °P. 28. «ñ™ W› «õÁð£´èœ ªè£‡ì Þ¬ô è¬÷ â´ˆ¶‚裆´ ªè£´ˆ¶ MõK 29. ã«î‹ 3 ®ó‚W´èO™ è£íŠð´‹ Þó‡ì£‹ ªê™ ²õ˜ ¹è¬÷ õ¬ó ò¾‹?

30. Þ¼MˆF¬ôˆ î£õó Þ¬ôJ¡ Þ¬ô J¬ìˆF² °Pˆ¶ Í¡Á õ£‚Aòƒèœ ⿶è.

31. Ý‚°ˆF²M¡ ã«î‹ Í¡Á ð‡¹ è¬÷ˆ î¼è?

32. Þ¼ð‚è 弃è¬ñ‰î õ£v°ô£˜ 蟬øJ¡ ðì‹ õ¬ó‰¶, ð£èƒè¬÷‚ °P‚è 33. 蟬ø à¬ø â¡ø£™ â¡ù?

34. ªõO«ï£‚° ¬êô‹, àœ«ï£‚° ¬êô‹& â´ˆ¶‚裆´ì¡ M÷‚°è?

35. ÅKò裉F ¡ °Á‚° ªõ†´ «î£ŸøˆF¡ Ü®Šð¬ìŠðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒèœ °P. 36. Îv¯™ â¡ð¬î õ¬óòÁ.

37. H«ó‚A vAk¬ó´èO¡ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒè¬÷‚ °P. 38. Fø‰î õ£v°ô£˜ 蟬øJ¡ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒè¬÷‚ °P‚辋.

39. õN„ªê™èœ â¡ø£™ â¡ù?

40. ¹«ó£†ì£ ¬êô Þ¬ìªõO â¡ø£™ â¡ù? å¼ àî£óí‹ ªè£´.

41. vAk¬ó´è¬÷ èOL¼‰¶ «õÁ 𴈶è.

42. Þ¼MˆF¬ôˆ î£õó «õK¡ Ü®Šð¬ìŠ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒè¬÷‚°P. 43. å¼ MˆF¬ôˆ î£õóˆî‡´ ñŸÁ‹ Þ¼MˆF¬ôˆ î£õóˆî‡®¡ õ£v° ô£˜ 蟬øèÀ‚A¬ì«òò£ù ã«î‹ Í¡Á «õÁ𣆮¬ùˆ î¼è?

44. «è£ô¡¬èñ£M¡ ã«î‹ Þó‡´ õ¬èJ¬ù MõK. 45. ð£ó¡¬èñ£ F²M¡ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒèœ °-P. 46. Þ¼MˆF¬ôˆ î£õó «õ¼‚°‹, å¼ MˆF¬ôˆ î£õó «õ¼‚°‹ Þ¬ì«ò àœ÷ àœ÷¬ñŠHò™ «õÁð£´èœ ã«î‹ Í¡¬ø ⿶è.

47. ð£L«ê† ð£ó¡¬èñ£ ñŸÁ‹ vð£…C ð£ó¡¬èñ£MŸ° Þ¬ì«òò£ù Í¡Á «õÁð£´è¬÷ ⿶è.

48. ð‚è Ý‚°ˆ F²‚èœ â¡ø£™ â¡ù?

49. M÷‚° ÉK¬è °«ó£«ñ£«ê£I¡ ðì‹ õ¬ó‰¶, ð£èƒè¬÷‚ °P‚è?

50. tRNA-M¡ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒè¬÷‚ °P. 51. Ý‚«ó£ªê¡†K‚ °«ó£«ñ£«ê£I¡ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èˆ¬î‚ °P‚辋 52. ° õ¬èò£ù °«ó£«ñ£«ê£‹èO¡ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒè¬÷‚ °P? 53. °«ó£«ñ£«ê£I¡ ܬñŠ¹ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒè¬÷‚ °P. ð£L¯¡ °«ó£«ñ£«ê£I¡ ðì‹ 54. õ¬ó‰¶ ð£èƒè¬÷‚ °P‚辋.

55. 𣂯Kòƒèœ ¬õóvèO¡ °îL L¼‰¶ ñ âšõ£Á ð£¶è£ˆ¶‚ ªè£œA¡øù? à¼õ£‚°õF™ ß´ð´‹ 56. DNA-¬õ ªï£Fèœ ò£¬õ?

57. îQ ªê™ ¹óî àŸðˆF‚° ðò¡ð´‹ ã«î‹ Í¡Á ݙ裂è¬÷ °PŠH´ 58. p¡ ñ£Ÿøˆî£™ à¼õ£Aò ªð£¼œ èœ ã«î‹ Í¡¬ø»‹, ÜõŸP¡ ðò¡è¬÷»‹ ⿶è.

59. à†ªê½ˆ¶î™ â¡ø£™ â¡ù?

60. Íô‚ÃÁ å†´î™ â¡ø£™ â¡ù?

61. Üò™ p¬ùŠ ªðŸø î£õóƒèœ â¡ø£™ â¡ù? ã«î‹ Þó‡´ àî£óíƒèœ ªè£´.

19

è™M&«õ¬ô õN裆®

62. àJ˜ ªî£N™¸†ðMòL™ âvªúK Cò£ «è£¬ôJ¡ º‚Aòˆ¶õ‹ ò£¶?

63. PEG â¡ø£™ â¡ù? Üî¡ ªêò™ 𣆮¬ùˆ î¼è?

64. îQªê™ ¹óî‹& õ¬óòÁ? å¼ â´ˆ¶‚ 裆´ î¼è? â¡ø£™ â¡ù?

65. ¹øˆ«î£Ÿøñ£‚è‹ õ¬èè¬÷ MõK? 66. àJKò Yó¬ñŠð£‚è‹ (Bio remediation) â¡ø£™ â¡ù?

67. º¿ˆFø¡ ªðŸÁœ÷¬ñ â¡ð¬î õ¬óòÁ.

68. ²õ£ê ß¾ â¡ø£™ â¡ù?

69. ‘cœðè™ î£õóƒèœ’, ‘°Á‹ðè™ î£õ óƒèœ’ & â´ˆ¶‚裆´ì¡ MõK‚辋 70. 裘«ð£¬ý†«ó†®¡ ²õ£ê ß¾ å¡Á. âšõ£Á?

71. TŠóL¡èO¡ õ£›Mò™ M¬÷¾èœ ã«î‹ Í¡P¬ù ⿶è?

72. ¬ê†«ì£¬èQ¡ õ£›Mò™ M¬÷¾ èO™ ã«î‹ Í¡P¬ù ⿶è?

73. Ì„C¬ò à‡µ‹ î£õóƒèœ â¡ø£™ â¡ù? æ˜ â´ˆ¶‚裆´ î¼è 74. °À‚«è£R¡ 裟P™ô£ ÅöL™ ²õ£ê ß¾ º®õŸø¶. è£óíƒè¬÷ˆ î¼è.

75. åO ð£vðKèóí‹ â¡ø£™ â¡ù?

76. ATP J¡ ܬñŠ¬ðŠ ðŸP ⿶è?

77. Þ¼õ®õŠ ð²ƒèEèƒèœ (Dimorphic Chloroplasts) â¡ø£™ â¡ù?

78. °O˜ðîù‹ â¡ø£™ â¡ù?

79. åO„«ê˜‚¬è GøIèœ ò£¬õ?

80. âô‚†ó£¡ è숶 ܬñŠH½œ÷ âô‚ †ó£¡ ãŸHè¬÷ õK¬êŠð´ˆ¶è 81. ªï£Fˆî¬ô õ¬óò¬ø ªêŒè 82. º¿ 冴‡Eˆ î£õóˆ¬î â´ˆ¶‚ 裆´ì¡ MõK‚辋.

83. AóŠ ²öŸCJ™ Ü«è£Q«ìv â¡ø ªï£FJ¡ ðƒA¬ù ⿶è?

84. C2 ²öŸC â¡ø£™ â¡ù?

85. C‚ñ£Œ´ õ¬÷M¡ Í¡Á G¬ôèœ ò£¬õ?

86. ²ö™ åO ð£vð£Kèóí‹ â‰î Å› G¬ôèO™ ï¬ìªðÁAø¶?

87. K„ñ£‡† ô£ƒ M¬÷¾ â¡ø£™ â¡ù?

88. åO„²õ£ê‹, Þ¼œ ²õ£ê‹ Þ¬ì«ò àœ÷ «õÁð£´è¬÷ ܆ìõ¬íŠ 𴈶.

89. åO„«ê˜‚¬èJ¡ 冴ªñ£ˆî êñ¡ 𣆬ì ⿶è?

90. õ÷˜„C Üì‚Aèœ â¡ø£™ â¡ù? æ˜ â´ˆ¶‚裆´ î¼è?

91. c˜ åOŠH÷ˆî™ â¡ø£™ â¡ù?

92. «ð£™®ƒ â¡ø£™ â¡ù? 

HŠóõK 16& 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

93. ²õ£CˆîL™ W›‚裵‹ ªï£FèO¡ ªêò™ð£†®¬ù ⿶è?

94. ÜŠCC‚ ÜIôˆF¡ ã«î‹ Þ¼ õ£›Mò™ M¬÷¾è¬÷ˆ î¼è?

95. «õF„ «ê˜‚¬è â¡ø£™ â¡ù?

96. ªê™L¡ ÝŸø™ ï£íò‹ âùŠð´õ¶ â¶? Üšõ£Á ܬö‚èŠð´õ«î¡?

97. C3 ñŸÁ‹ C4 õNˆîìƒèÀ‚A¬ì«ò àœ÷ «õÁð£´èœ Í¡P¬ùˆ î¼è?

98. º¬ù ÝF‚è‹ â¡ø£™ â¡ù?

99. ªð¡«ì£v ð£v«ð† õNˆîìˆF¡ º‚Aòˆ¶õƒèO™ ã«î‹ Í¡P¬ù ⿶è?

100. àJK 裊¹K¬ñJ¡ º‚Aòñ£ù Þ¼ Ü‹êƒèœ ò£¬õ?

101. à ‡ í ˆ î ‚ è Þ ¡ ì ˜ ç ª ð ó £ ¡ è œ â¡ø£™ â¡ù?

102. Éò õNˆ «î˜¾ º¬ø â¡ð¬î M÷‚°?

103. ñ‡ Y˜F¼ˆî‹ â¡ø£™ â¡ù?

104. °«÷£¡ «î˜¾ º¬ø â¡ø£™ â¡ù?

105. àJK ñ¼‰¶èœ â¡ø£™ â¡ù?

106. îM†´ ñ¼‰¶èœ â¡ø£™ â¡ù?

107. ªý†®«ó£Cv â¡ø£™ â¡ù?

108. U»ºL¡ â¡ø£™ â¡ù?

109. àJKŠ ªð£¼œ ªè£œ¬÷ â¡ø£™ â¡ù?

110. àJK Ì„C‚ªè£™L â¡ø£™ â¡ù?

5 ñFŠªð‡ Mù£‚èœ 1.

2.

ñó¹ õN õ¬èŠð£†®¬ù ⿶è? ªð‰î‹ ñŸÁ‹ ý¨‚è˜ õ¬èŠð£†®¡ G¬øè¬÷ ⿶è.

3. ªð‰î‹ ñŸÁ‹ ý¨‚èK¡ õ¬èŠð£†´ ܆ìõ¬í¬ò ñ†´‹ ⿶è.

4. ñ£™«õC °´‹ðˆ î£õóˆF¡ ªð£¼÷£î£ó º‚Aòˆ¶õˆF¬ù ªî£°ˆªî¿¶è.

5. Îç«ð£˜«ðC °´‹ðˆF¡ ªð£¼÷£î£ó º‚Aòˆ¶õˆ¬î ⿶è.

6. ªý˜«ðKòˆF¡ º‚Aòˆ¶õˆ¬î ⿶è.

7. ÜAô àôè î£õóMò™ ªðò˜ ņ´„ ê†ìˆF¡ ã«î‹ 䉶 º‚Aò Ü‹êƒè¬÷‚ °PŠH´è.

IΫêC °´‹ðˆ î£õóƒèO¡ 8. ªð£¼÷£î£ó º‚Aòˆ¶õˆ¬î ⿶è?

9. ð²ƒèEèˆF¡ ܬñŠ¬ð MõK? 10. î°‰î â´ˆ¶‚裆´èÀì¡ Å›‰î ¬ñ‰î õ£v°ô£˜ 蟬øèO¡ ܬñŠ¬ð MõK? 11. î‚è â´ˆ¶‚裆´èÀì¡ ã«î‹ Þ¼ õ¬èò£ù «è£ô¡¬èñ£¬õ ðìˆ¶ì¡ MõK. 12. Ý‚°ˆF²‚èœ & ܬõ ܬñ‰¶œ÷

20

ÞìƒèO¡ Ü®Šð¬ìJ™ ܬõè¬÷ MõK. î‚è ðì‹ õ¬óò¾‹.

13. ¬êô‹ °ö£Œèœ ðŸP CÁ°PŠ¹ õ¬óè.

14. Þ¼MˆF¬ôˆ î£õó «õ¼‚°‹, å¼ MˆF¬ôˆ î£õó «õ¼‚°‹ Þ¬ì«ò àœ÷ àœ÷¬ñŠHò™ «õÁð£´è¬÷ ⿶è.

15. å¼ MˆF¬ôˆ î£õóˆ ¡ õ£v °ô£˜ 蟬øJ¡ ܬñŠ¬ð MõK? 16. ê™ô¬ì‚ °ö£Œ ÃÁèœ ðŸP CÁ °PŠ¹ õ¬óè.

17. å¼ MˆFôˆ î£õó «õK¡ °Á‚° ªõ†´ˆ «î£Ÿøˆ¬î ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒèœ °P‚辋.

18. Þ¼ MˆF¬ôˆ î£õóˆî‡®¡ õ£v °ô£˜ 蟬ø¬ò MõK? 19. ®ó‚W´èœ ðŸP CÁ °PŠ¹ õ¬óè.

20. H÷£Œ®J¡ ã«î‹ 䉶 º‚Aòˆ¶ õƒè¬÷ ⿶ 21. p¡ F¯˜ ñ£Ÿøˆ¬îŠ ðŸP CÁ °PŠ¹ õ¬óè. õ®õ‹ ñŸÁ‹ ªê¡®«ó£IòK¡ 22. ܬñMìˆF¡ Ü®Šð¬ìJ™ °«ó£«ñ£ «ê£‹èO¡ õ¬èè¬÷ ðìˆ¶ì¡ MõK‚辋.

23. F¯˜ ñ£Ÿø‚ è£óEèœ ðŸP °PŠ ªð¿¶è.

24. Ü™«ô£ð£LH÷£Œ®¬ò æ˜ â´ˆ¶‚ 裆´ì¡ M÷‚°è.

25. F¯˜ ñ£ŸøˆF¡ º‚Aòˆ¶õˆF¬ù ⿶è?

26. ®Š«÷£è£‚èv G«ñ£Q«òM™ HóìK‚ AKçHˆF¡ «ê£î¬ù¬ò MõK 27. °«ó£«ñ£«ê£‹ ܬñŠ¬ð ²¼‚èñ£è MõK? 28. CøŠ¹ õ¬è °«ó£«ñ£«ê£‹è¬÷ MõK? 29. tRNA-J¡ ܬñŠ¬ð MõK? 30. DNA-¾‚°‹ RNA¾‚°‹ àœ÷ «õÁ ð£´èœ ò£¬õ?

31. ªóv†K‚û¡ ªï£FèO¡ ªêò™ð£† ®¬ù ðìˆ¶ì¡ MõK? 32. î£õóˆF² õ÷˜ŠH¡ ðò¡èœ ã«î‹ ä‰F¬ù ⿶è?

33. î£õó ªê™èO™ Üò™p¡èœ (Üò™ DNA) âšõ£Á ¸¬ö‚èŠð´A¡øù?

34. F² õ÷˜Š¹ º¬øJ¡ «î£Ÿøˆ F¬ù ⿶è?

35. 𣂯Kò ªê™LL¼‰¶ ñQî Þ¡²L¡ àŸðˆFJ¡ G¬ôè¬÷ ðìˆ¶ì¡ M÷‚°è 36. ªï£Fèœ º¬øJ™ ¹«ó£†«ì£ H÷£êˆ¬îŠ HKˆªî´‚°‹ º¬øJ¬ù MõK. 37. I¡¶¬÷ò£‚è‹ ñŸÁ‹ p¡

¶Šð£‚A ÝAò º¬øèO¡ Íô‹ âšõ£Á Üò™ -p¡èœ î£õóˆF™ ¹°ˆîŠð´A¡øù?

38. SCP&ä ªî£°ˆ¶ ⿶è.

39. î£õóˆ F² õ÷˜ŠH¡ Ü®Šð¬ì‚ 輈¶-è¬÷ ²¼‚èñ£è‚ °PŠH´è.

40. DNA ñÁ«ê˜‚¬è ªî£NŸ¸†ðˆF¡ G蛾è¬÷ MõK? 41. SCP& õ¬óòÁ. îQªê™ ¹óîˆF¡ ðò¡è¬÷ˆ î¼è?

42. îQ ªê™ ¹óî‹ â¡ø£™ â¡ù? îQ ªê™ ¹óîˆF¡ ðò¡è¬÷‚ °PŠH´è?

43. åO„ªêòL¡«ð£¶ ²öŸC ð£vðK èóí‹ âšõ£Á ï¬ìªðÁAø¶ â¡ð¬î M÷‚° 44. ²õ£ê ß¾ â¡ð¬î MõK? 45. °O˜ðîù‹ ðŸP CÁ °PŠ¹ õ¬óè.

46. C3 ñŸÁ‹ C4 õNˆîìƒèÀ‚A¬ì«ò àœ÷ «õÁð£´èœ ò£¬õ?

47. C4 ²öŸC õ†ìˆ¬î M÷‚è‹ Þ™ô£ñ™ î¼è?

48. åO„«ê˜‚¬èJ¡ º‚Aòˆ¶õƒèO™ ã«î‹ ä‰F¬ù °PŠH´è?

49. å¼ î£õóˆF¡ ªêƒ°ˆ¶ õ÷˜„C¬ò æ˜ ÝŒM¡ Íô‹ âšõ£Á èí‚Aìô£‹ â¡ð¬î M÷‚°è?

50. á °ì¬õ ªï£Fˆî™ ÝŒ¬õ ðìˆ¶ì¡ MõK? 51. ¬ê†«ì£¬èQQ¡ õ£›Mò™ M¬÷¾ è¬÷ ⿶è?

52. ð²ƒèEèˆF¡ ܬñŠH¬ù ðìˆ ¶ì¡ MõK‚辋.

53. åO„«ê˜‚¬èJ¡«ð£¶ O2 ªõOŠð´ Aø¶ â¡ð¬î ÝŒ¾‚°ö™ ñŸÁ‹ ¹ù™ «ê£î¬ù Íô‹ MõK. 54. õ÷˜„CJ¡ ðô G¬ôè¬÷, C‚ñ£Œ´ õ¬÷¾ ðìˆ¶ì¡ MõK? 55. Ý‚R¬ìò õ£›Mò™ M¬÷¾è¬÷ ⿶è.

56. «èù£ƒA¡ åOˆF¬ó ÝŒM¬ù ðìˆ¶ì¡ MõK? 57. ²öŸC ñŸÁ‹ ²öŸCJô£ åO ð£vðK èóíƒèÀ‚° Þ¬ì«ò àœ÷ «õÁ ð£´è¬÷ ⿶è?

58. TŠóL¡èO¡ õ£›Mò™ M¬÷¾èœ ã«î‹ 䉶 ⿶è?

59. ªð¡«ì£v&ð£v«ð† õNˆîìˆF¡ º‚Aòˆ¶õˆ¬î ⿶è?

60. âˆFLQ¡ ã«î‹ 䉶 õ£›Mò™ M¬÷¾è¬÷ MõK? 61. àJªóF˜Š ªð£¼œ â¡ø£™ â¡ù? ã«î‹ Þó‡´ àJªóF˜Šªð£¼† èO¡ ªðò˜è¬÷»‹ ðò¡è¬÷»‹ ⿶è.

21

è™M&«õ¬ô õN裆®

62. î£õó ÜPºè‹ ðŸP CÁ°PŠ¹ õ¬óè.

63. Gô‚èì¬ôJ™ ®‚è£ «ï£J¬ùŠ ðŸP ªî£°ˆªî¿¶è.

64. àJK 裊¹Kñ‹ ðŸP ⿶è.

65. ñ¼ˆ¶õˆF™ ¸‡µJKèœ ðƒA¬ù MõK. 66. ð¼ˆFJ¡ ªð£¼÷£î£ó º‚Aòˆ¶ õƒèœ ã«î‹ ä‰F¬ù ⿶è.

67. î£õóŠ ðJ˜ ªð¼‚èˆF¡ ã«î‹ 䉶 °P‚«è£œèœ ò£¬õ?

68. Gô‚èì¬ôJ¡ ªð£¼÷£î£óŠ ðò¡èœ ðŸP ²¼‚èñ£è ªî£°ˆªî¿¶è.

69. àJK àóƒèO¡ ñèœ ã«î‹ ä‰F¬ù ⿶è.

70. ªï™L¡ ªð£¼÷£î£óŠ ðò¡èœ ã«î‹ ä‰F¬ù ⿶è.

71. «î‚A¡ ªð£¼÷£î£ó º‚Aòˆ¶õˆ¬î ⿶è.

72. â½I„¬ê è£¡è˜ «ï£Œ ðŸP CÁ °PŠ¹ õ¬óè.

10. ñFŠªð‡ Mù£‚èœ 1. ¬ýHvèv «ó£ê£ ¬êªù¡Rv î£õóˆF¡ ñô˜Šð‡¹è¬÷ è¬ô„ ªê£Ÿè÷£™ MõK‚辋. ñô˜ õ¬óðì‹ õ¬ó‰¶, ñô˜ õ£Œð£-´ ⿶è.

2. õ¬óðìˆF¡ àîM ªè£‡´ ªð‰î‹ ý¨‚è˜ î£õó õ¬èŠð£†®¬ù MõK. 3. 죆Çó£ ªñ†ì™ î£õóˆF¬ù è¬ô„ªê£Ÿè÷£™ MõK. ñôK¡ õ¬óðì‹ õ¬óè. ñôK¡ õ£Œð£´ ⿶è.

4. IÎú£ ð£ó£®Rò£è£M¬ù è¬ô„ ªê£Ÿè÷£™ MõK. 5. KCùv è‹ÎQv î£õóˆF¬ù è¬ô„ªê£Ÿè÷£™ MõK. ñôK¡ õ¬óðì‹ õ¬ó‰-¶ ñôK¡ õ£Œð£´ ⿶è.

6. ¬êô‹ F²‚èœ ðŸP å¼ è†´¬ó ⿶è.

7. å¼ MˆF¬ôˆ î£õó «õK¡ àœ÷¬ñŠ¬ð ðìˆ¶ì¡ MõK. 8. vAOó¡¬èñ£ F² ðŸP ðìˆ¶ì¡ MõK-.

9. 繫÷£òˆF¡ ° õ¬è ªê™è¬÷ MõK‚辋.

10. å¼ MˆF¬ôˆ î£õóˆ ¡ ºî™ G¬ô ܬñŠ¬ð MõK. 11. õ£v°ô£˜ ªî£°Š¹ ðŸP ðìƒèÀì¡ MõK. 12. Þ¼MˆF¬ôˆ î£õóˆ Ÿ°‹, 

HŠóõK 16& 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

å¼ MˆF¬ôˆ î£õóˆ Ÿ°‹ Þ¬ì«ò àœ÷ àœ÷¬ñŠHò™ «õÁð£´è¬÷ ⿶è.

13. Þ¼ MˆF¬ôˆ î£õóˆ ¡ ºî¡¬ñ àœ÷¬ñŠ¬ð ðìˆ¶ì¡ MõK. Þ¼MˆF¬ôˆ î£õó Þ¬ôJ¡ 14. àœ÷¬ñŠ¬ð MõK. 15. Ü) Ý‚èˆF² ªê™èO¡ ð‡¹è¬÷ ⿶è. Ý) ¹øˆ«î£™ F²ˆ ªî£°ŠH¡ ðEè¬÷ ⿶è.

16. Þ¼ MˆF¬ôˆ î£õó «õK¡ ºî™ G¬ô ܬñŠ¬ð MõK. 17. îQ ªê™ ¹óî‹ ðŸP ªî£°ˆ¶ ⿶è.

18. Üò™ p¬ùŠ ªðŸø î£õóƒè¬÷Š ðŸP 膴¬ó ⿶è.

19. î£õóƒèO™ ¹«ó£†«ì£H÷£ê Þ¬í¾ Íô‹ âšõ£Á àì™ èôŠHùñ£‚è‹ Gè›Aø¶ â¡ð¬î MõK. 20. Ü) î£õóƒèO™ Ì„Cè¬÷‚ 膴Šð´ˆ ¶õF™ Bt 죂RQ¡ ðƒA¬ù MõK. Ý) î£õóˆF² õ÷˜ŠH¡ ã«î‹ 䉶 ðò¡è¬÷‚ °PŠH´è.

21. DNA ñÁ«ê˜‚¬è ¸†ðMò™ ðŸP å¼ è†´¬ó ⿶. õ÷˜Š¹ â¡ð¬î õ¬óòÁ.

22. F² î£õó õ÷˜ŠH¡ Ü®Šð¬ì ªêò™ ¸†ðƒè¬÷ MõK. 23. î£õóˆ F² õ÷˜ŠH¡ ðò¡èœ ò£¬õ?

24. Ü) Ý‚C¡ ý£˜«ñ£Q¡ ã«î‹ 䉶 õ£›Mò™ M¬÷¾è¬÷ ⿶è. Ý) Ý…C«ò£vªð˜‹ î£õóƒèO¡ ã«î‹ Þó‡´ Hø á†ìº¬øè¬÷ â´ˆ¶‚裆´èÀì¡ MõK. 25. åO„«ê˜‚¬èJ¡ åO ñÁM¬ùè¬÷ MõK. 26. åO„²õ£ê‹ (Ü™ô¶) C2 ²öŸC ðŸP å¼ è†´¬ó ⿶è.

27. ªð¡«ì£v ð£v«ð† õNˆîì‹ ðŸP MõK. 28. C4 ²öŸCJ¡ õ¬óðì‹ î¼è.

29. Ü) ªð¡«ì£v ð£v«ð† õNˆîìˆF¡ º‚Aòˆ¶õˆ¬î ⿶è.

Ý) Ì„C¬ò à‡µ‹ î£õó‹ ðŸP °PŠ¹ õ¬óè.

30. A¬÷‚è£LCv ð®G¬ôè¬÷ MõK. 31. AóŠ ²öŸC¬ò MõK. 32. 裙M¡ ²öŸCJ¬ù MõK.

22

ñ£íõ˜èO¡ ñèˆî£ù 致H®Š¹

- -

ï

L‰¶ õ¼‹ Mõ-ê£-òˆ-¬î‚ 裊-ð£Ÿø Þ¡-‹ Þ¡-‹ G¬øò ïiù è¼-M-èœ «î¬õ. ÜF-C‚-è-ù-ñ£è ܉-î‚ è¼-M-èœ ðô-ù-O‚è «õ‡-®-ò-¶‹ Iè º‚-A-ò‹. Þ¬î-ªò™-ô£‹ àˆ-«î-Cˆ-¶-ˆî£¡ ÅKò åO Íô‹ Þòƒ-°‹ è¬÷-ªò-´Š¹ è¼M 塬ø à¼-õ£‚-A-J-¼‚-A-ø£˜ å¡-ð- õ°Š¹ ñ£í-õ-ó£ù º«èw ï£ó£-ò-í¡. 裬ó‚-裙 ݈-ñ£-ôò£ ðœ-O-J™ å¡ð- î £‹ õ°Š¹ ð®‚- ° ‹ º«èw ï£ó£- ò í-‚° ÞŠ-ð-®-ªò£¼ ªðKò Šó£-ªü‚†-®™ Þøƒè «õ‡-´‹ â¡Á â‰î Üõ-C-ò-º‹

Þ™¬ô. ²‹ñ£ ªî˜-ñ-«è£¬ô ªõ†® èô-ó-®ˆ¶ i´ ªêŒ-F-¼‚-è-ô£‹. Ýù£-½‹ ã«î£ å¼ Ý˜õ‹... î¡ ðœO Šó£-ªü‚†-´‚-è£è 18 ÝJ-ó‹ Ï𣌠õ¬ó ªêô¾ ªêŒò ¬õˆ- F - ¼ ‚- A - ø ¶. Ýù£™, ÅKò åO-J™ Þòƒ-°‹ å¼ Mõ-ê£-ò‚ è¼-M-¬ò‚ è†-ì-¬ñ‚è ªõÁ‹ 18 ÝJ-ó‹- ªêô¾ â¡-ð¶ Iè Iè‚ °¬ø¾! ‘‘âƒè ᘠފ-ð-¾‹ Aó£-ñŠ ð°-F- ꣘. ܃è è¬÷ â´‚è ¯ê™ô Þòƒ-°ø è¼-M-¬òŠ ðò¡-ð-´ˆ-¶-õ£ƒè. ¯ê™ M¬ô àò˜¾, ÜF-L¼‰¶ õ˜ø ¹¬è-ò£ô 裟Á ñ£²-ð-´-ø-¶¡Â ܶô G¬øò Hó„- ¬ ù- è œ. Üî- ù £- ô - î £¡ vÙô Šó£-ªü‚† ªêŒ-ò„ ªê£¡-ù-¶‹ â¡ ñù-²‚° è¬÷ â´‚-°‹ Þò‰-F-ó‹ õ‰¶ G¡Â„². ÞŠð  à¼-õ£‚-A-J-¼‚-°ø «ê£ô£˜ è¬÷ â´‚-°‹ Þò‰-F-óˆ- ªðKò ªêô¾ Þ¼‚-裶, ²Ÿ-Á„-Å-ö™ ð£FŠ-¹‹ A¬ì-ò£¶. Þ‰-î‚ è¼-M-Jô 30 õ£†v «ê£ô£˜ «ðù™ ðò¡-ð´ - ˆ-FJ - ¼ - ‚-«è¡. 250 õ£†v ýŠ «ñ£†-죘, â‹.H.H.® «ê£ô£˜ ꣘-ü˜, 12 «õ£™† «ð†-ìK ͵... ÞŠ-ð® âªô‚†-K-è™ ð£èƒ-è¬÷ ðò¡ -ð-´ˆ-F-J-¼‚-«è¡. çŠg i™, Ý‚-Rô«ó†-ì˜, «è£«ù£ iì˜, ®™-Lƒ H«÷†Â è¬÷ â´‚-°ø Þò‰-F-óˆ-¶ô õ˜ø ñŸø â™ô£ ð£èƒ-èÀ‹ ÜŠð-®-«ò-. ÅKò åO «ê£ô£˜ «ðù™ õNò£, â‹.H.H.® ꣘-ü˜ Íô‹ «ð†-ì-K-Jô ®.C èó¡†ì£ «êI‚èŠ-ð-´¶. «ð†-ì-K-«ò£ì Ý‚-Rô«ó†-ì˜, 衆«ó£- ô ˜ ñŸ- Á ‹ ýŠ «ñ£†- ì £¬ó õò˜ Íô‹ Þ¬í„-C¼ - ‚-«è¡. ýŠ «ñ£†-죬ó çŠg&i«ô£´ êƒ-AL Íô‹ Þ¬í„-C-¼‚-«è¡. Þ‰-î‚ è¼M¬ò Ý¡ ªêŒ¶ Ý‚-R-ô«ó†-ì-¬ó‚ ªè£´ˆ- î £™ «ð£¶‹... ®™- ô ˜ Þò‚- è Š- ð †´ Gôˆ-F™ àœ÷ è¬÷ â´‚-èŠ-ð´ - ‹’’ â¡Á  õ®-õ-¬ñˆî è¼-M-J¡ ªêò™-𣆬ì M÷‚-°A-ø£˜ º«èw. ‘‘ªõÁ‹ 18000 Ï𣌠ªêô-M™ à¼-õ£‚-èŠð†ì Þ‰î Þò‰-F-ó‹ õ˜ˆ-îè gFò£ îò£-K‚-èŠð†ì£, Mõ-ê£-J-èÀ‚° IèŠ ªðKò àî-Mò£ Þ¼‚-°‹!’’ â¡-ð¶ Þõ-ó¶ ã‚-è‹.

Mõ- ê £- J - è O¡ ñù- F ™ àœ÷ ‘«ê£è‚ -è-¬÷¬ò’ c‚-°ñ£ Þ‰-î‚ è¼M? & â‹.ï£è-ñE ðì‹: ã.®.îI›-õ£-í¡

23

è™M&«õ¬ô õN裆®

TNPSC

M.ã.æ. «î˜¾

ñ£FK Mù£ &- M¬ì ì£‚ì˜ Ýî¬ôΘ ÅKò°ñ£˜

Aó£ñ G˜õ£è‹ ªê¡ø Þî› ªî£ì˜„C...

M.A., M.A., M.Phil., M.Ed., Ph.D.

1. ‘¹ö™’ áó£†C å¡Pò‹ ܬñ‰¶œ÷ ñ£õ†ì‹ A) ªê¡¬ù B) 装C¹ó‹ C) F¼õœÙ˜ D) M¿Š¹ó‹ 2. W›‚è‡ì áó£†C å¡Pòƒè¬÷ ÜõŸP¡ ñ£õ†ìˆ«î£´ ªð£¼ˆ¶è a) Üó‚«è£í‹ & 1. F¼ªï™«õL

b ) ð™ôì‹ & 2. Ɉ¶‚°® c) «è£M™ð†® & 3. F¼ŠÌ˜ d) êƒèó¡«è£M™ & 4. «õÖ˜

(a) (b) (c) (d)

ð®õƒèœ D) ÞøŠ¹„ ꣡Á õöƒ°‹ ð®õƒèœ

6. W›‚è‡ì ð®õƒè¬÷»‹, ÜõŸP¡ Þùƒè¬÷»‹ ªð£¼ˆ¶è a) ð®õ‹ 7 & 1 . ñ ¼ ˆ ¶ õ ñ ¬ ù J ™ G蛉î ÞøŠ¹èœ b) ð®õ‹ 8 & 2. HøŠ¹Š ðF«õ´ c) ð®õ‹ 3 & 3. ÞøŠ¹Š ðF«õ´ d) ð®õ‹ 4 & 4. àJóŸø HøŠ¹èœ

(a) (b) (c) (d)

(A) 2 3 4 1

(A) 4 3 2 1

(B) 2 4 1 3

(B) 1 2 3 4

(C) 2 4 1 3

(C) 3 4 1 2

(D) 2 3 1 4

(D) 4 2 1 3

7. á ó £ † C å ¡ P ò Ü ÷ M ™ « ð K ì ˜ «ñô£‡¬ñ‚ °¿M¡ î¬ôõ˜ ò£˜?

A) Aó£ñ G˜õ£è B) ð … ê £ ò ˆ ¶ ܽõô˜ î¬ôõ˜ C) Aó£ñ 죇¬ñ D) õ¼õ£Œ ÝŒ õ£÷˜

3. ð°F «ïó Aó£ñ ܽõô˜èœ åNŠ¹„ê†ì‹ â‰î ݇´ ÞòŸøŠð†ì¶?

A) 1981

B) 1982

C) 1983 D) 1984

4. Aó£ñ G˜õ£è ܽõô˜ Íô‹ 𣶠âˆî¬ù õ¬èò£ù ꣡Áèœ õöƒèŠð†´ õ¼A¡øù?

A) 10

B) 11

C) 12

D) 14

5. HøŠ¹, ÞøŠ¹ Gè›¾èœ MF 5 (3) HK¾ 8&¡ð® Aó£ñ G˜õ£è ܽõô˜ ðò¡ð´ˆ¶‹ ð®õ‹&1 °PŠð¶ A) HøŠ¹ ÜP‚¬è ªêŒ»‹ ð®õƒèœ B) ÞøŠ¹ ÜP‚¬è ªêŒ»‹ ð®õƒèœ C) H ø Š ¹ „ ê £ ¡ Á õ ö ƒ ° ‹ 

HŠóõK 16& 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

8. ñ£õ†ì Ü÷M™ «ðKì˜ «ñô£‡¬ñ‚ °¿M¡ î¬ôõ˜ ò£˜?

A) ñ£õ†ì áó£†Cˆ B) ñ£õ†ì ݆Cò˜ î¬ôõ˜ C) õ¼õ£Œ ñ£õ†ì D ) ð £ ó £ À ñ ¡ ø ܽõô˜ ªî£°F àÁŠHù˜ 9. îI›ï£†®™ ªñ£ˆî‹ âˆî¬ù ¹ò™ ð£¶è£Š¹ ¬ñòƒèœ àœ÷ù?

A) 80

24

B) 96

C) 112

D) 124

10. W›‚è‡ì â‰î õ¬è Gôƒèœ °ˆî¬è õöƒè î¬ì ªêŒòŠð†´œ÷ù?

A) ñ‰¬îªõO B) c˜ G¬ôèœ C) ¹ø‹«ð£‚° D) Þ¬õ ܬùˆ¶‹ Gôƒèœ 11. GôñŸø Mõê£JèÀ‚° Mõê£ò Gô åŠð¬ìŠ¹ õöƒ°‹ õ¼õ£Œ G˜õ£è ݬí ⇠(GO.NO) â¡ù?

A) 15

B) 16

C) 18

D) 22

12. Gô‹ åŠð¬ì ªðŸøõ˜èœ îƒèœ GôˆF™ °¬ø‰î¶ âˆî¬ù ñóƒèœ ïì «õ‡´‹?

A) 10

B) 100

C) 150

D) 1000

13. i†´ñ¬ù åŠð¬ì ªðŸøõ˜èœ °¬ø‰î¶ âˆî¬ù ñ£îˆFŸ°œ i´ è†ì «õ‡´‹?

A) 6

B) 3

C) 12

D) 24

14. W›‚è‡ì â‰î å¡P¡ «ðK™ ¹ô¡èO™ ðF¾ ñ£Áî™ ªêŒò Þòô£¶?

A) àK¬ñ¬ò B) åŠð¬ì M†´M´î™ C) ð†ì£ ñ£Áî™ D) ° ˆ î ¬ è ‚ ° M´î™ 15. å¼ «ð£è êŒJ™ ðJKìŠð†ì ðJ˜èœ ð£F‚èŠð†´ âˆî¬ù ͆¬ìèÀ‚° W› M¬÷„ê™ Þ¼‚°‹«ð£¶ îóˆb˜¬õ º¿¬ñò£è ªêŒòŠð´Aø¶?

A) 50 ͆¬ìèÀ‚° B) 25 ͆¬ìèÀ‚° W› W› C) 100 ͆¬ìèÀ‚° D) 40 ͆¬ìèÀ‚° W› W› 16. 5 & II â¡ð¶ âšõ¬è b˜¬õ îœÀð®?

A) Üê£î£óí G¬ô Mõê£ò ð£FŠ¹èœ B) ð¼õG¬ô ð£FŠ¹èœ C) G¬ôò£ù Gó‰îó îœÀð®èœ D) Mõê£ò GôƒèÀ‚° Þø¬õ Íô‹ î‡a˜ â´‚èŠð†ì£™ õöƒèŠð´‹ îœÀð® 17. Aó£ñƒèO™ A¬ì‚°‹ èQñƒè¬÷Š ðŸP â‰î ‚ è í ‚ ° Š ðF « õ† ®™ °P ‚è «õ‡´‹?

A) èí‚° â‡.24 B) èí‚° â‡.23 C) èí‚° â‡.22 D) èí‚° â‡.21 18. ñ¬ö‚ è킬è ðF¾ ªêŒ»‹ ðF«õ´ â¶?

A) èí‚° â‡.19 B) èí‚° â‡.20 C) èí‚° â‡.21 D) èí‚° â‡.22 19. ñ £ ù £ õ £ K G ô ƒ è O ™ Ü ® Š ð ¬ ì ˆ îóˆb˜¬õ â‰î ݇´ îœÀð® ªêŒòŠð†ì¶?

A) 1955

B) 1954

C) 1971 D) 1972

F†ì‹’ °¬ø‰îð†ê‹ âˆî¬ù èÀè° «õ¬ô õöƒè õN õ°‚Aø¶?

A) 80

21. Aó£ñƒèO™ Ýó‹ð ð£ì꣬ô ܬñ‚è «î¬õŠð´‹ °¬ø‰î ð†ê ñ‚蜪è

A) 300

B) 500

C) 1000 D) 2700

22. â‰î ä‰î£‡´ F†ì‹ ºîL™ õÁ¬ñ åNŠ¬ð õL»ÁˆFò¶?

A) 5õ¶

B) ºîô£õ¶ C) 7õ¶ D) 10õ¶

23. ê†ìƒè¬÷»‹ ܬõ HøŠH‚èŠð†ì õ¼ìƒè¬÷»‹ ªð£¼ˆ¶è a) õEè‚ èŠð™ ê†ì‹ & 1. 1951

b ) F¼ïƒ¬èò˜ ê†ì‹ & 2. 1948 c) ªî£NŸê£¬ô ê†ì‹ & 3. 1970 d) «î£†ìˆªî£Nô£÷˜ & 4. 1950 ê†ì‹

(a)

(b)

(c)

(d)

(A) 4 3 2 1

(B) 4 2 3 1

(C) 4 1 2 3

(D) 4 1 3 2

24. îIöèˆF™ ºîL™ â‰î ñ£õ†ì‹ F¼ïƒ¬èò¼‚° ñÁõ£›¾ ÜO‚°‹ °®J¼Š¹ F†ìˆ¬î ªè£‡´ õ‰î¶?

A) «è£¬õ B) ªðó‹ðÖ˜ C) èìÖ˜ D) «êô‹ 25. îèõ™ ÜP»‹ àK¬ñ„ê†ì‹ ªè£‡´ õóŠð†ì  A) Ü‚«ì£ð˜ 21, 2005 B) Ü‚«ì£ð˜ 12, 2005 C) Ü‚«ì£ð˜ 24, 2005 D) Ü‚«ì£ð˜ 02, 2005 26. à Š « ð P Š ð ø ¬ õ ê ó í £ ô ò ‹ â ‰ î ñ£õ†ìˆF™ ܬñ‰¶œ÷¶?

A) ªê¡¬ù B) 装C¹ó‹ C) F¼õœÙ˜ D) M¿Š¹ó‹ 27. ’MK…C¹ó‹’ Mõê£ò Ý󣌄C G¬ôò‹ ܬñ‰¶œ÷ ñ£õ†ì‹ A) î…ê£×˜ B) F¼õ£Ï˜ C) «õÖ˜ D) ï£èŠð†®ù‹ 28. W›‚è‡ì â‰î å¡Á côAK ñ£õ†ìˆ¬î„ «ê˜‰î¶ Ü™ô?

A) ¶Šð£‚A B) ªî£†ìªð†ì£ ªî£NŸê£¬ô C) àJKò™ Ìƒè£ D) ÜI˜î‚裴 29. W › ‚ è ‡ ì ï è ó ƒ è O ™ Ü õ Ÿ P ¡ CøŠ¹è«÷£´ êKò£èŠ ªð£¼‰î£î¶ â¶?

A) ݬùñ¬ô & õùMôƒ° êóí£ ôò‹ B) õ£™ð£¬ø & ñ¬ôèO¡ Þ÷õóC C) C¡ù£÷Šð†® &

25

20. ‘Aó£ñŠ¹ø «õ¬ôõ£ŒŠ¹ àˆîóõ£îˆ

B) 100 C) 120 D) 150

è™M&«õ¬ô õN裆®

²ƒ°®Š ¹ì¬õèœ & «ð¼‰¶ ð£èƒèœ

D) ªð£¡ñ¬ô

30. F‡´‚è™ «è£†¬ì ò£ó£™ è†ìŠð†ì¶?

A) FŠ¹²™î£¡ B) ¬ýî˜ ÜL C) A¼wíó£ü D) ªõ™ªôvL Hó¹ à¬ìò£˜ 31. W › ‚ è ‡ ì Ý Á è ¬ ÷ Ü ¬ õ ð £ » ‹ ñ£õ†ìƒè«÷£´ ªð£¼ˆ¶è a) ªõœ÷£Á & 1. Cõ胬è

b ) ð£IQò£Á & 2. F¼õ£Ï˜ c) æì‹«ð£‚A & 3. î…ê£×˜ d) ð‹ð£Á & 4. ªðó‹ðÖ˜

(a)

(b)

(c)

(d)

(A) 4 3 2 1

(B) 1 2 3 4

(C) 2 1 3 4

(D) 3 2 4 1

32. ‘ F ¼ ï £ « è v õ ó ‹ ’ â ¡ ø F ¼ ˆ î ô ‹ ܬñ‰¶œ÷ ñ£õ†ì‹?

A) Þó£ñï£î¹ó‹ B) Cõ胬è C) ¹¶‚«è£†¬ì D) î…ê£×˜ 33. êÍè ï™Lí‚è ñ£õ†ì‹ â¡ø ªð¼¬ñ ªðŸø ñ£õ†ì‹?

A) ªê¡¬ù B) «è£ò‹¹ˆÉ˜ C) ñ¶¬ó D) ï£èŠð†®ù‹ 34. cF‚è†CJ¡ î¬ôõ˜èÀœ å¼õó£ù H.®.ð¡m˜ªê™õ‹ â‰î ñ£õ†ìˆ¬î„ «ê˜‰îõ˜?

A) F¼õ£Ï˜ B) F¼„Có£ŠðœO C) M¼¶ïè˜ D) F‡´‚è™ 35. Þ¬ì‚裆ǘ «îõ£ôò‹ â‰î ñ£õ†ìˆF™ àœ÷¶?

A) Þó£ñï£î¹ó‹ B) Cõ胬è C) ¹¶‚«è£†¬ì D) ï£ñ‚è™ 36. ñ ¶ ¬ ó J ™ è £ í Š ð ´ ‹ i F è O ™ ªð£¼‰î£î¶ â¶?

A) Ãô iF & î£Qò‚ è¬ì B) ÜÁ¬õ iF & ñ¡ù˜èœ õ£¿‹ ð°F C) ñ¬øòõ˜ iF & ܉îí˜ iF D) ªð£¡ iF & ªð£Ÿè¬ìèœ 37. « î Q ñ £ õ † ì ‹ ð Ÿ P ò W › ‚ è ‡ ì îèõ™èO™ ⶠîõø£ù¶?

A) °„êÛ˜ êQðèõ£¡ «è£J™ àœ÷¶ B) C ¡ ù ñ Û ˜ ª ê Š « ð ´ è œ è £ í Š ð´A¡øù C) ñ ¶ ¬ ó ‚ ° c ˜ õ ö ƒ ° ‹ ¬ õ ¬ è ܬí è†ìŠð†´œ÷¶ D) ¬õíõŠ¹ôõ˜ ݇죜 Hø‰î ñ£õ†ì‹ 

HŠóõK 16& 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

38. ð£‹ð¡ ð£ôˆF¡ c÷‹ âšõ÷¾?

B) 1.5 A.e.

D) 2.8 A.e.

A) 1 A.e.

C) 2.2 A.e.

39. W›‚è‡ì ꣡«ø£˜èO™ ò£˜ F¼ªï™«õL ñ£õ†ìˆ¬î„ «ê˜‰îõ˜ Þ™¬ô?

A) óCèñE B) ¹¶¬ñŠHˆî¡ C) õ£…Cï£î¡ D) ºˆ¶ó£ñLƒèˆ«îõ˜ 40. îI›ï£†®™ ÞòŸ¬è óŠð˜ àŸðˆF ªêŒ»‹ å«ó ñ£õ†ì‹ A) Ɉ¶‚°® B) F¼ªï™«õL C) è¡Qò£°ñK D) côAK 41. W›‚è‡ì ñ£õ†ìƒèÀì¡ ÜõŸP¡ CøŠ¹è¬÷Š ªð£¼ˆ¶è a) è¡Qò£°ñK & 1. èƒ¬è ªè£‡ì «ê£ö¹ó‹ b) èìÖ˜ & 2. ð £ ó £ ñ è £ ™ «è£†¬ì c) A¼wíAK & 3. º‰FK d) ÜKòÖ˜ & 4. FŸðóŠ¹ Ü¼M

(a) (b) (c) (d)

(A) 4 3 2 1

(B) 4 2 1 3

(C) 4 1 3 2

(D) 4 1 2 3

42. ó£pš 裉F °ö‰¬îèœ è£ŠðèˆF†ì‹ â‰î ݇´ ÜPºèŠð´ˆîŠð†ì¶?

A) 2005

B) 2006

C) 1985 D) 1991

43. ªð‡èO¡ M´î¬ô ðŸP ÃÁ‹ ÜóCò™ ܬñŠ¹„ ê†ìŠ HK¾èœ

A) 23 , 24

B) 11, 12 C) 56, 57

D) 72, 74

44. Aó£ñŠ¹ø ñ‚èÀ‚° Aó£ñŠ ð…ê£òˆF¡ Íô‹ GF àîM õöƒA Üõ˜èO¡ ï™õ£›MŸ° õN ªêŒî F†ì‹ A) Hóîñ ñ‰FK «ó£xè˜ «ò£üù£ B) üõý˜ «ó£xè˜ «ò£üù£ C) «õ¬ô õ£ŒŠ¹ àÁFòOŠ¹ˆ F†ì‹ D) ó£w†gò ñˆòI˜ ÜHò£¡ 45. àí¾ àŸðˆFJ™ ²ò ꣘¬ð õL»ÁˆFò ä‰î£‡´ˆ F†ì‹ â¶?

A) 2&õ¶ B) 3&õ¶ C) 7&õ¶ D) 10&õ¶

46. ªê¡¬ù¬òŠðŸPò W›‚è‡ì îèõ™èO™ ⶠîõø£ù¶?

A) 1640&™ ¹Qî ü£˜x «è£†¬ì è†ìŠð†ì¶ B) 1 6 3 9 & ™ ê ‰ F ó A K Ü ó ê K ì I ¼ ‰ ¶ ñîó£êŠð†®ù‹ õ£ƒèŠð†ì¶ C) 1540&™ ªê¡¬ù ïèó£†Cò£‚èŠð†ì¶

26

D) 1688&™ ªê¡¬ù ñ£ïèó£†Cò£‚èŠð†ì¶

A) º¿ˆîóˆb˜¬õ îœÀð® ªêŒò

47. ãKèO¡ ñ£õ†ì‹ â¡Á ܬö‚èŠð´õ¶ A) ªê¡¬ù B) 装C¹ó‹ C) F¼õœÙ˜ D) «õÖ˜

B) îóˆb˜¬õJ™ 50% îœÀð® ªêŒò

48. Ü‹ðˆÉ˜ ªî£NŸ«ð†¬ì àœ÷ ñ£õ†ì‹ A) F¼õœÙ˜ B) ªê¡¬ù C) 装C¹ó‹ D) ªðó‹ðÖ˜ 49. W›‚è‡ì â‰î ñ£õ†ìˆF™ ªêŒò£Á ð£ŒAø¶?

A) F¼õ‡í£ñ¬ô B) ï£èŠð†®ù‹ C) «è£ò‹¹ˆÉ˜ D) ñ¶¬ó 50. õ£¬öŠðöˆFŸ° ªðò˜ ªðŸø CÁñ¬ô ܬñ‰¶œ÷ ñ£õ†ì‹ A) F‡´‚è™ B) ï£ñ‚è™ C) «êô‹ D) ß«ó£´ 51. Aó£ñ G˜õ£èˆF™ ðò¡ð´ˆ¶‹ CøŠ¹„ ªê£ŸèO™ îõø£ù Þ¬í¬ò‚ 致H® A) Mvbóí‹ & Üðó£îˆ ªî£¬è B) ¹ô ⇠& Gô Ü÷¬õ ⇠C) ²õ£bù‹ & G ô ˆ F ¡ e î £ ù àK¬ñ D) Aóò‹ & Gôˆ¬î å¼õ¼‚° MŸð¬ù ªêŒõ¶

«õ‡´‹ «õ‡´‹

C) Þó‡ì£‹ «ð£èˆFŸè£ù î‡a˜

«î¬õ ñ†´‹ îœÀð® ªêŒò «õ‡´‹

D) îóˆb˜¬õJ™ 25 % ñ†´‹ îœÀð®

ªêŒò «õ‡´‹ 57. A ó £ ñ ˆ F ¡ è ™ ð F « õ ´ â ˆ î ¬ ù õ¬èŠð´‹?

A) 2

B) 4

C) 6

58. Aó£ñˆF¡ üùˆªî£¬è, ðóŠð÷¾, ꣰ð® ðóŠð÷¾, b˜¬õ, «ñ™õKèœ ÝAò Mðóƒè¬÷ ðó£ñK‚°‹ ðF«õ´ A) ¹œO MõóŠ ðF«õ´ B) è™ ðF«õ´ C) Aó£ñ‚ èí‚° â‡.11 D) Aó£ñ‚ èí‚° ðF«õ´ â‡.9 59. W›‚è‡ì â‰î ðF«õ´è¬÷ Aó£ñ G˜õ£è ܽõô˜ ðó£ñKŠðF™¬ô?

A) ÜèFèœ ðF«õ´ B) ñó‹ ï´‹ ðF«õ´ C) ðœOèœ ðŸPò ðF«õ´ D) e¡õ÷Š ðF«õ´ 60. Mõê£òˆFŸ° Gô‹ åŠð¬ì ªêŒõ õ¼õ£Œˆ¶¬ø ê†ì‹ ⇠â¡ù?

52. «ðKì˜ «ñô£‡¬ñJ™ H¡ðŸø «õ‡®ò ð®G¬ôèœ âˆî¬ù?

A) 60/1999 B) 70/2001

C) 72/2001 D) 48/1971

A) 5

B) 8

C) 10

D) 15

53. 1961&‹ ݇´ îI›ï£´ Gô„ Y˜F¼ˆî„ ê†ìˆF¡ð®, Üøè¢ è †ì¬÷èœ ðŸPò W›‚è‡ì îèõ™èO™ ⶠêKò£ù¶?

A) 1972 õ¬ó ðF¾ ªêŒî Üø‚è†ì¬÷èœ ÜFèð†êñ£è 5 ã‚è˜ M¬÷Gôƒèœ ¬õˆF¼‚èô£‹ B) 1972 &‚°Š Hø° ðF¾ ªêŒî Üø‚ è†ì¬÷èœ 10 ã‚è˜ õ¬ó M¬÷ Gôƒè¬÷ õ£ƒèô£‹ C) 1972&‚°Š Hø° Üø‚è†ì¬÷èœ ðF¾ ªêŒò Þòô£¶ D) 1972&‹ ݇®Ÿ°Š Hø° ðF¾ ªêŒî Ü ø ‚ è † ì ¬ ÷ è œ â ‰ î M î ñ £ ù ªê£ˆ¶‚è¬÷»‹ õ£ƒè º®ò£¶ 54. °ˆî¬è‚° ªè£´‚èŠð†ì Gôƒè¬÷Š ðŸPò ðF«õ´ âˆî¬ù ð°Fè÷£èŠ ðó£ñK‚èŠð´Aø¶?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 10

D) 8

M¬ìèœ 1. C

2. A 3. A

4. C

5. A

6.A

7. B

9.D

10.D

8.B

11. A 12. A 13. C 14. D 15. B 16. D 17. A 18. B

19. D 20. B

21. A 22. A 23. A 24.C

25. B

26. C

30. B

27. C

28. D 29.D

31. A 32. D 33. D 34. A 35. B 36.B

37.D

38. C 39. D

40.C

55. °ÁAò è£ô °ˆî¬è â¡ð¶ âˆî¬ù ݇´ °ˆî¬è¬ò‚ °P‚°‹?

41.A 42.B 43.A 44.B 45.C

46.C

47.B

48.A

49.A

51.A

52.C

53.A

54.B 55.A

56.C 57.A

58.A

59.C 60.A

A) 5

B) 10

C) 12

D) 4

56. å¼ «ð£è ï¡ªêŒ GôˆF™ Þó‡ì£‹ «ð£è‹ ðJKìŠð†´ M¬÷„ê™ Þ™ô£î ÅöL™

27

50.A

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+2

BIO-BOTANY Question Bank

S. Balaji, M.Sc., M.Ed., M.Phil.

R. Kannabiran M.Sc., M.Phil., B.Ed.

ONE MARK QUESTIONS AND ANSWERS 1. Sexual system of classification refers to Ans : Artificial system 2. The term ‘Biosystematics’ was coined by Ans : Camp and Gily 3. Binomial system was introduced by Ans : Gaspard Bauhin 4. In Bentham and Hooker classification the present day ‘orders’ were referred as Ans : Cohorts 5. The order which consists primitive Angiosperms Ans : Ranales 6. The series which includes the epigynous flowers Ans : Inferae

7. The plant without epicalyx in malvaceae Ans : Abutilon indicum 8. The fruit found in Abelmoschus esculentus Ans : Loculicidal capsule 9. In which plant the midrib and veins are found with yellowish spines?

Ans : Solanum xanthocarpum 10. The carpels are obliquely placed in the members of Ans : Solanaceae 11. The roots of Atropa belladona yields the Alkaloid

Ans : Atropine 12. Number of genera found in the family Euphorbiaceae

Ans : 300 13. The special type inflorescence found in Euphorbiaceae Ans : Cyathium 14. An example for cladode Ans : Euphorbia tirucalli 15. The plant which is used in the treatment of leprosy and snakebite Ans : Jatropha gossypitolia 16. In henea brasiliensis the leaves are Ans : Trifoliately compound 17. The inflorescence present in Ravenala madagascariensis Ans : Compound cyme 18. The Number of fertile stamens in Ravenala madagascariensis Ans : Six 19. The “Birds of paradise flower” refers to Ans : Strelitzia reginae 20. The fibres from manila hemp is used to weave Ans : Abaca cloath 

HŠóõK 16& 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

21. The tissue generally present in all organs of plant

Ans : parenchyma 22. The tissue present in the petioles of banana and canna Ans : Stellate parenchyma 23. Vascular cambium and cork cambium are examples for Ans : Lateral meristem 24. The sclereides present in the seed coat of pisum Ans : Osteo Sclereides 25. The Lacunate collenchyma is seen in the hypodermis of Ans : Ipomea 26. The chief water conducting elements in Gymnosperms and Pteridophytes are Ans : Tracheids 27. Example for simple perforation plate Ans : Mangifera 28. In which Gymnosperms the vessels occur?

Ans : Gnetum 29. The pores in the sieve plate are blocked by the substance called Ans : callose 30. Phloem parenchyma is absent in Ans : Monocots 31. Root hairs originate from Ans : Trichoblasts 32. Bicollateral vascular bundles are seen in Ans : Cucurbitaceae 33. The innermost layer of cortex is Ans : Endodermis 34. Protoxylem lacuna is present in Ans : Monocot stem 35. The tissue present in between the upper and lower epidermis is called Ans : Mesophyll 36. The term chromosome was introduced by Ans : Waldayer 37. Who had proved that the genes are carried by the Chromosomes? Ans : Bridges 38. Unstable chromosome like structures found in cancer cells are called Ans : Double minutes 39. Beadle and Tatum conducted biochemical research on the fungus Ans : Neurospora 40. Number of approximate genes present in homo sapiens Ans : 30,000 - 40,000 41. Test cross ration for Repulsion in lathyrus odoratus Ans : 1:7:7:1 42. The unit of genetic map is Ans : Morgan or centimorgan

28

43. Hugo de Vries first observed the mutation in Ans : Oenothera 44. The fungi which is unable to produce certain amino acids Ans : Neurospora 45. Crossing over takes place in... stage of prophase I of meiosis Ans : Pachytene Ans : Zn-z 46. Nullisomy is represented by 47. The chromosome number can be doubled using the chemical Ans : Colchicine 48. The Hexaploid hybrid produced by Triticum and Secale is Ans : Triticale 49. The width of the DNA molecule is Ans : 20Å 50. The enzyme which can release the super coils of DNA Ans:Topoisomerase 51. The enzyme which joins the DNA fragments Ans : DNA - Ligase 52. Inherent ability of a plant cell to develop into a whole plant is called Ans : Totipotency 53. The two protoplast are fused with a fusagen called Ans : Poly ethylene glycol 54. Formation of root from the callus is called

Ans : Rhizogenesis 55. Restriction enzymes are synthesized by Ans : Bacteria 56. Method employed to introduce foreign gene into a cell Ans : Electro poration 57. The engineered bacteria that can digest crude oil Ans : Psudomonas putida 58. Somatic hybrids are produced through Ans : Protoplasmic Fusion 59. Crown gall disease is caused by Ans : Agrobacterium Tamefaciens 60. Monducta sexta is the pest of Ans : Tobacco 61. The number of transgenic plants available today are approximately

Ans : Fifty 62. The function of cytoklinin is to increase Ans : Cell division 63. One of the following organism is SCP Ans : Spirulina 64. Substance which helps the cell to resist virus Ans : Interferon 65. Important material produced by tissue culture Ans : Artificial seeds 66. Glycolysis occur in Ans : Cytoplasm 67. During cyclic electron transport, which one of the following is produced? Ans : ATP only 68. Bakanae disease in paddy is caused by Ans : Gibberellic acid 69. The cytokinin found in the zea mays is called Ans : Zeatin 70. Example for partial parasite is Ans : Viscum

71. Apical dominance is due to Ans : Auxins 72. Complete oxidation of one molecule of glucose yields Ans : 38 ATP 73. Closure of stomata is caused by Ans : Abscisic acid 74. Most effective light for photosynthesis is between the wave length of Ans : 400 - 700nm 75. The essential element for the formation of chlorophyll

Ans : Mg 76. Example for long day plant Ans : Wheat 77. H2S is oxidized to sulphur by Ans : Beggiatoa 78. Total amount of energy released from one molecule of glucose on oxidation is about Ans : 2900 KJ 79. Which of the following hormones delays ageing in plants Ans : Cytokinins 80. he chemical used in the field to eradicate weeds

Ans : 2,4 - D 81. Example for gaseous hormone Ans : Ethylene 82. Respiratory quotient of malic acid is Ans : 1.33 83. The number of high energy terminal bonds present in ATP is

Ans : Two 84. Formation of ATP during Electron Transport chain is known as Ans : oxidative phosphorylation 85. Reversal of the effect of vernalization is called Ans : Devernalization 86. ‘Tikka’ disease of groundnut is caused by Ans : Cercospora personata 87. The alcoholic beverage prepared by the fermentation of rice in Japan is called Ans : Sake 88. Strongest painkiller obtained from opium poppy is Ans : Morphine 89. Which of the following is widely employed as successful bio fertilizer in Indian rice fields Ans : Azolla pinnata 90. Binomial of ‘Vilvam’is Ans :Aegle marmelos 91. ‘Hadjor’ or bone joiner is the trade name of Ans : Cissus quadrangularis 92. The plant which possesess anti cancerous properties is Ans : Catharanthus roseus 93. The chloromycetin is used to cure Ans : Typhoid 94. The bio control agent ‘pyrethrum’ is extracted from Ans : Chrysanthemum 95. Rice with saline tolerance and pest resistance Ans : Atomita - 2 96. Quinine is derived from Ans : Cinchona officinalis

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97. Acalyphine is extracted form Ans : Acalypha indica 98. Binomial for teak Ans : Tectona grandis 99. The human insulin produced by articulated E.coli is Ans : Humulin 100. The plant used as substitute for tea Ans : Ibex paraguensis 3 Mark Questions 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

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24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32. 

What is a type specimen?

Draw floral diagram for female flower of Ricinus communis?

With examples, write any three types of inflorescence seen in the plants of Euphorbiaceae.

Write the systematic position of potato family Write the objectives of classification of plants Define Nomen ambiguum What is atropine?

Write any three merits of Bentham and Hooker’s classification?

Define tautonym. Give an example.

Write the systematic position of Musaceae What are the three classes of seeded plants?

Write the botanical names of (a) Tapioca and (b) Castor Write any three points comparing the androecium of Malvaceae and Solanaceae Write any two merits and one demerit of Bentham and Hooker’s classification What is Binomial nomenclature? Give an example What is called author citation? Give an example Write the binomials of any three medicinally useful plants in Solanaceae What are the aims of biosystematics?

Mention the fibre yielding plants of Malvaceae Mention the systernatic position of Malvaceae What is cladode? Give an example What are the alkaloids found in tobacco?

What is monocarpic perennial? Give an example?

What are brachysclereids? Give example Explain bicollateral vascular bundle with example?

Draw diagram for Lacunate collenchymas and label its parts Draw diagram for angular collenchymas and label its parts Explain dorsiventral leaves with example Draw any three types of secondary wall thickenings in tracheids?

Write in three sentences about the mesophyll of dicot leaf Bring out any three characteristics of meristematic cells?

Draw and label the structure of

HŠóõK 16& 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

bicollateral vascular bundle 33. Define bundle sheath 34. Explain exarch and endarch xylem with examples 35. Draw the ground plan for T.S. of sunflower stem and label the parts 36. Define Eustele?

37. Draw and label Brachysclereid 38. Draw and label the parts of open vascular bundle?

39. What are called passage cells?

40. What is protoxylem lacuna? Give an example 41. Differentiate Sclereids from fibres.

42. Draw and label the ground plan of T.S. of Dicot root 43. Write any three differences between the vascular bundles of dicot stem and monocot stem?

44. Describe any two types of collenchyms 45. Draw the structure of parenchyma and label the parts?

46. Write any three anatomical differences between monocot root and dicot root?

47. Write three differences between the Palisade and Spongy parenchyms.

48. What are lateral meristems?

49. Draw and label the lampbrush chromosome 50. Draw diagram for tRNA and label the parts?

51. Draw and label the parts of acrocentric chromosome?

52. Draw and label four morphogenic types of chromosomes?

53. Draw and label the structure of chromosome 54. Draw and label the polytene chromosome?

55. How do bacteria protect themselves from the attack of viruses?

56. Name the enzymes involved in the making of a DNA hybrid 57. Mention the names of any three algae used for SCP production 58. List down any three genetically engineered products and their functions. Is it possible to shorten the time of crop maturity? Support your answer?

59. What is inoculation?

60. What is splicing?

61. What are transgenic plants? Give any two examples 62. What is the importance of Escherichia coli in bio-technology?

63. What is PeG? Write its role 64. Define SCP. Give an example?

65. What is morphogenesis? Describe the types 66. What is meant by bio-remediation?

67. Define totipotency 68. Define respiratory quotient?

69. Explain long day plants and short day plants with examples

30

70. The respiratory quotient of a carbohydrate molecule is one. How? 71. Write any three physiological effects of Gibberellin 72. Mention any three physiological effects of cytokinin 73. What are insectivorus plants? Give an example?

74. Respiratory quotient of glucose in anaerobic respiration is infinity. Give reasons?

75. What is photophosphorylation?

76. Write about the structure of ATP? 77. What are dimorphic chloroplasts?

78. What is vernalization?

79. List the photosynthetic pigments 80. Write the chain of electron carriers in electron transport system 81. Define fermentation 82. Explain total parasite plant with an example 83. Write the role of aconitase in Kreb’s cycle 84. What is C2 Cycle?

85. What are the three stages of sigmoid curve?

86. State the conditions under which cyclic photophosphorylation occurs.

87. What is Richmond Lang effect?

88. W r i t e t h r e e d i f f e r e n c e s b e t w e e n photorespiration and dark respiration?

89. Write the overall equation of photosynthesis 90. What is a growth inhibitor? Give an example?

91. What is photolysis of water?

92. What is bolting?

93. Write the role of following enzymes in respiration: 94. Write two physiological effects of Abscisic acid?

95. Define chemosynthesis 96. What is an energy currency of a cell? Why is it called so?

97. Write three differences between C3 and C4 pathway?

98. What is apical dominance?

99. Write any three significances of pentose phosphate pathway?

100. Mention any two unique facets of Biopatency?

101. What are edible interferons?

102. Write about pure line selection?

103. What is soil reclamation?

104. Define clonal selection?

105. What is Bio-medicine?

106. What is rice bran oil? Write any two uses of it?

107. Define Heterosis?

108. What is humulin?

109. What is bio-piracy? Give one example?

110. What are biopesticides?

5 Mark Questions 1.

Give an account of phylogenetic system of classification 2. Bring out the merits of Bentham and Hooker’s classification 3. Draw the outline of Bentham and Hooker’s classification of plants only 4. Give an account of economic importance of Malvaceae members 5. Write the economic importance of the family Euphorbiaceae 6. Bring out the significance of Herbarium 7. Write any five salient features of ICBN 8. Give an account of the economic importance of the family Musaceae.

9. Draw and label the parts of the transverse section of a dicot leaf.

10. With examples, explain the structure of concentric vascular bundles 11. With examples, explain any two types of collenchymas with diagram.

12. Explain different types of meristerms based on their positions. Draw diagram 13. Write short notes on vessels 14. Distinguish the anatomy of dicot roots from monocot roots 15. Describe the structure of vascular bundles in monocot stem 16. Write short notes on sieve elements 17. Draw and label the parts of the transverse section of a monocot root 18. Write short notes on the vascular bundles of the dicot stem 19. Write short notes on Tracheids.

20. Write any 5 significances of ploidy 21. Write short notes on gene mutation 22. Explain the types of chromosomes on the basis of shape and position of centromere with diagram.

23. Give an account of mutagenic agents.

24. Explain allopolyploidy with an example 25. Write the significances of mutation 26. Explain Frederick Griffith experiment in Diplococcus pneumoniae.

27. Write short notes on structure of chromosome 28. Describe the special types of chromosomes 29. Describe the structure of tRNA 30. Write the difference between DNA and RNA 31. Describe with diagrams the action of restriction enzyme 32. Write any 5 outcomes of application of plant tissue culture 33. How are foreign genes introduced into plants?

34. Explain the steps involved in the production of human insulin by a bacterial cell with diagram 35. Explain the enzymatic method of isolation of protoplast.

31

è™M&«õ¬ô õN裆®

36. Write about the electroporation and gene gun method of introducing foreign genes into plants.

37. Give an account of an SCP? 38. Briefly mention the basic concept involved in plant tissue culture?

39. Write the basic techniques involved in genetic engineering.

40. How is DNA cut?

41. Define SCP . Write its uses.

42. What is single cell protein? Mention the uses of single cell protein.

43. Explain the cyclic photo phosphorylation 44. Explain respiratory quotient 45. Write a short note on vernalization 46. What are the differences between C3 and C4 pathways?

47. Draw C4 cycle without explanation 48. Bring out any 5 significances of photosynthesis 49. Explain the experiment to measure growth in length of a plant 50. Explain Ganong’s respiroscope experiment with diagram?

51. Bring out the physiological effects of cytokinin.

52. Explain the structure of chloroplast with diagram 53. Explain the test tube funnel experiment to demonstrate that oxygen is evolved during photosynthesis.

54. Describe Kuhne’s fermentation experiment with the diagram 55. Explain the different phases of growth with sigmoid curve.

56. Bring about the physiological effects of auxin.

57. Write the differences between cyclic and non-cyclic photophosphorylation 58. Write any 5 physiological effects of gibberellin 59. Write the significance of pentose phosphate pathway.

60. Bring out any 5 physiological effects of Ethylene 61. What is antibiotic ? Write any 2 names of antibiotics . State their uses.

62. Write a note on plant introduction.

63. Give a brief account on Tikka disease of groundnut.

64. Write a short note on bio-patent 65. Write about microbes in medicine.

66. Write any 5 economic importances of cotton 67. Write any 5 aims of plant breeding 68. Bring out the economic importance of groundnut.

69. Write any 5 benefits from bio fertilizers.

70. Write any 5 economic importance of rice 71. Bring out the economic importance of teak 72. Write short note on Citrus Canker.

10 Mark Questions 1. Explain the floral characters of 

HŠóõK 16& 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

Hibiscus rosasinensis with botanical terms.

Draw the floral diagram and write the floral formula 2. With the help of flowchart, discuss Bentham and Hooker’s classification of plants 3. Describe Datura metal in technical terms.

Draw floral diagram and write the floral formula.

4. Describe Musa paradisiaca in technical terms 5. Describe Ricinus communis in botanical terms. Draw its floral diagram and write the floral formula.

6. write about the importance of Herbarium 7. Write an essay on xylem tissues 8. Discuss the anatomy of monocot root with diagram 9. Write an account of sclerenchyma with diagram 10. Descirbe the four types of cells found in phloem tissues.

11. Explain vascular tissue system with diagrams.

12. Write anatomical differences between dicot stem and monocot stem 13. Describe the primary structure of dicot stem with diagram 14. Descirbe the internal structure of dicot leaf.

15. a) Bring out the characters of meristematic cells. b) Write the functions of epidermal tissue system.

16. Describe the primary structure of a dicot root.

17. Give an account of Single Cell Protein 18. Write an essay on transgenic plants 19. With the help of diagrams describe the process of protoplasmic fusion.

20. A) What is the role of Bt-toxin in crop protection against pest?

B) Write any five applications of plant tissue culture 21. Write an essay on DNA recombinant technology 22. Define tissue culture? Describe the basic techniques of tissue culture 23. What are the outcomes of application of plant tissue culture?

24. a)Write any physiological effects of Auxin

b)Describe with examples any two types of heterotrophic mutation in angiosperms.

25. Describe the light reactions of photosynthesis 26. Write any essay on photo respiration or C2 cycle.

27. Explain Pentose Phosphate Pathway.

28. Draw C4 cycle without explanation 29. a) Write the significance of pentose phosphate pathway

b) Write a short note on insectivorous plants.

30. Write an account on glycolysis 31. Describe Kreb’s cycle 32. Write an account on Calvin’s cycle.

32

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33

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HŠóõK 16 -& 28, 2014 CI›&712 ñ£îI¼º¬ø KAL ðŠO«èû¡v (H) LIªì†®Ÿè£è ªê¡¬ù&600096, ªð¼ƒ°®, «ï¼ ïè˜, ºî™ Hóî£ù ꣬ô, H÷£† â‡.170, â‡.10, Fùèó¡ Ü„êèˆF™ Ü„C†´ ªõOJ´ðõ˜ ñŸÁ‹

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ÝCKò˜ HK¾ ºèõK:

229, è„«êK «ó£´, ñJô£ŠÌ˜, ªê¡¬ù&600 004. ªî£¬ô«ðC: 42209191 ªî£¬ôïè™: 42209110 I¡ù…ê™ : editor@kungumam. co.in

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+2

MATHEMATICS

2 1 5 0 21. If A = � � then (adj A) A = ANSWER: � � 3 4 0 5 2 1 5 0 2 1 5 0 21. (adjthe A)system A = ANSWER: � then � Incon � 0= � ≠p(A, 22.�If5IfAp(A) B) then is ANSWER: 21. If A = � (adj A)�2A =1�ANSWER: � then � A = ANSWER: � 3 4 0 5 then (adj A) 21.

If A = ďż˝ 3 4 0 5 3 4 0 5 +2 2Maths= one marks 3 2the system is ANSWER: In If p(A)Inconsistent. ≠p(A,−1 1 the system 5B) then 0 22.then If p(A) then isA)22.

ANSWER: ANSWER: Inconsistent.

22. If p(A) ≠p(A, B) the≠system 23.

IfANSWER: the2matrix then ANSW �� 1 đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ďż˝ −3ďż˝ has an inverse A = 21.

Ifp(A, A =B) ďż˝ then (adj ďż˝ is 1 5 0 21. If A = 2 ďż˝ 1 ďż˝ then (adj 5A) A = ANSWER: ďż˝ ďż˝ 3 34DETERMINANTS −1 0 5ďż˝5 0ďż˝ 1. APPLICATIONS−1 OF MATRICES AND 1(adj43 A) A5 2 = ANSWER: 21. If A = ďż˝ 3 4ďż˝ then0 −1 2 3 2 4 0 5 then A 23.

IfIfthen the3the matrix an inverse 1k ≠đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜-4. −3ďż˝ ishas 2 ďż˝ 1123. If 0 an the matrix has inverse ANSWER: 22. p(A) ≠p(A, B)ďż˝matrix then the system ďż˝1≠�5then đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜p(A, −3ďż˝B) 22. then the system is-4.

ANSWER: Inconsistent. unit of order n,ANSWER: where kInconsistent. ≠0 is a con the inverse ďż˝Ifhas n-124. If Ikis≠−3 (adj A) Ap(A) = an ANSWER: Ifmatrix A = ďż˝matrix ďż˝ then ďż˝ ANSWER: 2 5 0 22.

1.23.

If AIfis21. a square of1đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜order n, then [adj A] is Answer: [A] 2 1 5 0 S. Balaji , M.Sc., M.Ed., M.Phil.

ANSWER: Inconsist If p(A) ≠p(A, B) then the system is +2 Maths= one marks 3 4 then (adj A) A = ANSWER: 21.

If A = +2 Maths= one marks 0 5 ďż˝ ďż˝ ďż˝ ďż˝ 1 4 5 21. If A = ďż˝ then13(adj24 A) A =5ANSWER: ďż˝ ďż˝ ďż˝ −1 2 1 5 0 4 5 -1 Tďż˝ 03 5 2 25. If A = [2 3 0 4 1] then rank of AAT is ANSWER: 0 5 21. If A T= -1 ANSWER: ďż˝ ďż˝ then (adj A)13A = 4 ďż˝ −1 1. k ≠2 1 2 1 5 0 5 0 23.

If the matrix has an inverse then ANSWER: ďż˝ ďż˝ 1 đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ −3 0 5 n-1 2. (A ) 322. is 4equal to = ANSWER: (A ) If p(A) ≠p(A, the system 3then 2A) 24.B) matrix of order n, Inconsistent. where ≠IfIfI0Ais is adj(kI) =isANSWER: K 21.

IfIfAIthen =isB) then (adj A) A =is ANSWER: ďż˝ the ďż˝unit ďż˝ 24. ďż˝k22. then (adjthe Aorder = ANSWER: 21. =5 the ďż˝âˆ’1 ďż˝ainverse ďż˝ Inconsistent.

If unit ofsystem n, where k �≠(Adj 0 isI)a 2 is 1 ANSWER: 0≠constant ANSWER: p(A) p(A, B)matrix then n-1 ANSWER: Inconsistent.

22. unit If p(A) ≠p(A, then the system 23.

If the matrix has an then ANSWER: k ≠-4. � � 1.

APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS 3 4 1.

APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS 0 5 1 đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ −3 21.

If A = then (adj A) A = ANSWER: 24.

If I is the matrix of order n, where k ≠0 is a constant then adj(kI) = � ANSWER: K (Adj I) � � � 1 4 5 3 4 0 5 22. If p(A) ≠p(A, B) then the system is ANSWER: Inconsistent.

23.26.

If the matrix inverse ANSWER ďż˝ has an đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ −3 In the system with unknowns, p( 3 x+y-2z=n, 4 02 +homogeneous 51n =ďż˝ 01 5three 0 then T such −1 3 2 3. If the equations -2x+y+z=l, x-2y+z=m, and are that l + m 21.

If A = then (adj A) A = ANSWER: ďż˝ ďż˝ ďż˝ ďż˝ T is ANSWER: 1.

25.IfIfp(A) A−1 = ≠[2p(A, 0 B) 1] then 19.

I Inconsistent. fIfIfIfpn-1 (isA )[2 ≠pmatrix (1] A , then B h en, nsystem t h eAAsis sist05eANSWER: ma iconstant s Inconsis 1.APPLICATIONS OF MATRICES −1 3 2tthe ANSWER: 22. therank system is 4 1of AA 525.

24.

IA the unit of )order where ky ≠ANSWER: is then 1. = 0 rank of 3 2 Tthen 22. p(A) ≠p(A, B) then 3 4 0 n-1 1 4 5 −1 3 2 ANSWER: Inconsistent.

22.

If p(A) ≠p(A, B) then the system is 1.

If A is a square matrix of order n, then [adj A] is Answer: [A] hasn, inverse is0matrix a 1] square [adj then A] is Answer:23.

[A]kANSWER: � 1matrix �AA isanthen ANSWER: 1.ANSWER: 25. If 23.

A1.= IfIf[2Athe then rank oforder đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ of −3 If ≠the-4. matrix an inverse then ANSWER: k ≠� 1 only ďż˝ has đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ Inconsistent. −3 has trivial solution.

ANSWER: matrix an inverse then ANSWER: ≠-4. ďż˝the 1 đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ Ithen −3 ANSWER: solutions. the system has −1 3has 2many AND DETERMINANTS 23. Ifthen the matrix an inverse ANSWER: kone ≠-4. ďż˝23. ďż˝ has 1 Ifđ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜the −3 26. homogeneous system with = number ofT n, unknowns, then the system 22.

IfIf ≠k p(A, B) then system ANSWER: Inconsistent. isis ANSWER: 1.

25.

A =the [2 0 p(A) 1] of AA Maths= marks 24. is+2-1�the unit matrix ofthree order n, where kthen 0rank is 5order a2system constant then adj(kI) = AN 24.

Ifunknowns, I p(A) is unit matrix where kthree ≠0 is a consta 1In 4 5If Infinitely −1 3of 1≠4the TT -1 -1 -1 TT Maths= −1 3one 2marks +2 26.

In the homogeneous with unknown 2.

(A ) is equal to = ANSWER: (A ) 2.

(A ) is equal to = ANSWER: (A ) 23.

If the matrix has an inverse then ANSWER: k ≠-4. ďż˝ ďż˝ 1 đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜ −3 1 4 5 1 4 5 20.

If I is the unit matrix of order n, where k ≠0 is a 26.

In the homogeneous system with three unknowns, p(A) = number of unknowns, then the system 1 −1 2 23.

If the matrix has an inverse then ANSWER: k ≠-4. � � 23.

If the matrix has an inverse then ANSWE ďż˝ ďż˝ 1.

If A is a square matrix of order n, then [adj A] is 1kconsistent. đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜solution. −3 −1matrix 13ANSWER: đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜2of order −3with 26.

InIf the homogeneous system three unknowns, p(A) = num n-1 ANSWER: is always 4. Every24. homogeneous system 24.

I is the unit n, where k ≠0 is a constant th T ANSWER: has only trivial T If I is the unit matrix of order n, where ≠0 is a constant then adj(kI) = K (Adj I) 1 4 5 APPLICATIONS OF MATRICES isK−2 ANSWER: 1.

25.

IfIfAA AThe =that [2 of AA n-1 constant then adj(kI) n-1 n-1 unit 27. rank of the A =an is ANSWER: �2 is 25.

A0order =isAND [2 0DETERMINANTS 1] then of 24. If I is the1. unit matrix order n, where kIf≠x-2y+z=m, a AND constant then =a23.

ANSWER: K I) 4�I) 1.

APPLICATIONS OF MATRICES DETERMINANTS the matrix inverse then ANSWER: k≠�1] � has 24.

I of is[A] the matrix of n, where ≠0 isare constant then =rank ANSWER: (Adj 1 x+y-2z=n, 4 k adj(kI) 5 rank 1+has 3.

IfIfAnswer: the -2x+y+z=l, and such lANSWER: n1nđ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜đ?‘˜==matrix 0−3 3. theIfequations equations -2x+y+z=l, x-2y+z=m, and x+y-2z=n, are such that l0+(Adj +m madj(kI) +then 0 ANSWER: only trivial 41.

5 T solution. n-1(Adj I) 1.

ANSWER: has only trivial solution.

ANSWER: has only trivial solution.

T of order n, where n-1 is ANSWER: 25.

If A = [2 0 1] then rank of AA 24.

If I is the unit matrix k ≠0 is a constant then adj(kI) = ANSWER: K 5.IfCramer’s rule applicable only (with three unknowns) then ANSWER: ∆0≠đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ža(Adj 1of 1. −1n-1= 2ANSWER: T of 1 I) 4 5then adj(kI) 4 = ANSWER: −4 8unknowns, isunit ANSWER: [2 0 matrix 1]AAthen rank of AA n-1(Adj I) 1.0If If AA isthen a=issquare order n,If then [adj A] Answer: [A] Kisn-1 24.

I then is the order n, where constant T ismatrix -1 [adj is ANSWER: 1.of 25.

A = [225.

1] of 26.

In Ifthe with three p(A) 1.then If AT)is-1 aisArank square matrix of order n,the A]isisANSWER: Answer: [A] 24.

Ikis≠homogeneous the unit matrixsystem of order n,12where k ≠K0 of is aunkno consta 2. (A equal to =has ANSWER: (A )TAA 1.

25.

Ifthe =system [2 0The 1] then rank ANSWER: Infinitely many solutions. the system ANSWER: Infinitely many solutions. then has homogeneous system with unknowns, p(A) =k ≠number −1 1n, −1 three 27. rank matrix isIf In ANSWER: 1. ďż˝1.26. −2 424. thethree homogeneous system with unknowns, p(A) then = nu 25.

If A = 26.

[2 0In 1] then rank2 of AAA=T �is2ANSWER: T -1 -1of T the I In isechelon unit matrix of order where 0 is a2 constant T28.

T form, which of the following is incorrect?

1 −1 2.

(A ) is equal to = ANSWER: (A ) T -1 -1 T 6.InIfthe P(A) =2.P(A, B)ishomogeneous =equal thetonumber of unknowns, then therank system is27. isIfANSWER: 1.of 25.unknowns, If )A with = [2 three 0 1] =then of unknowns, AA 21.

A = [2 0 1] then rank of AA is ANSWER: 1.

26.

In the system unknowns, p(A) = number unknowns, then the 26. homogeneous system with three p(A) number of then the system T 4system The rank of the matrix A = is ANSWER: 1.

(A ) = ANSWER: (A ďż˝ ďż˝ 2 −2 ANSWER: has only trivial solution.

27.

The rank of the matrix A is ANSWE 3.

If the equations -2x+y+z=l, x-2y+z=m, and x+y-2z=n, ďż˝ ďż˝ 2 −2 4 4 −4 8 is ANSWER: 1.

25.

If A = [2 0 1] then rank of AA ANSWER: is always consistent.

4.

Every homogeneous system 26.

In the homogeneous system with three unknowns, p(A) = number of unknowns, then the system ANSWER: is always consistent.

4.

Every homogeneous system T = ANSWER: only trivial solution.

In the A homogeneous system three unknowns, p(A) unknowns, then the system 27. The rank of the26. matrix = ďż˝ANSWER: iswith ANSWER: 2 the−2 4ďż˝has is ANSWER: 1.

25.

If +An = =[2 1]has thenof rank of AA only solution.

3. If the only equations -2x+y+z=l, and x+y-2z=n, are suchtrivial that l 1. + three m 0 =0number −4 ANSWER:(every has all itsthe entries occ 26. homogeneous system p(A) =row unknowns, then system 22. rank Anumber = of4A1ofwhich ANSWER: trivial solution. are that l-2x+y+z=l, + m +ax-2y+z=m, nunique = In 0form, then the system has 3.has IfANSWER: thesuch equations x-2y+z=m, and x+y-2z=n, are such with that The l is +m +unknowns, n =of 0 the matrix ANSWER: consistent and has solution. has only trivial solution.

48 three −4 8 28.

In echelon which of the following incorrect? −1 2incorrect?

26.

In the homogeneous system with unknowns, p(A) 4 −4 8 ANSWER: has only trivial solution.

1 −1 2 5.

Cramer’s rule is applicable only (with three unknowns) then ANSWER: ∆ ≠đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž 5.then Cramer’s rule is applicable only (with three unknowns) then ANSWER: ∆ ≠đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž ANSWER: has only trivial solution.

28.

In echelon form, which of the following is 26.

In the homogeneous system with three unknowns, p(A) = numb ANSWER: Infinitely many solutions. the system has ANSWER: Infinitely many solutions.

1 −1 2 1 −1 2 ANSWER: has only trivial solution.

ANSWER: Infinitely many solutions. then the system has 27.

The rank of the matrix A = is ANSWER: 1.

2 −2 −2 4following which has aAevery non-zero 27.

The rankoccurs of the matrix = ��2of 1. ďż˝4isďż˝ ANSWER: 1 1 −1 2 28.

InANSWER: echelon form, which the is incorre row ofconsistent.

A incorrect? all its entries below rowallentry.)

1 −1 2 has In 4. echelon form, of following is only trivial solution.

27. 28.

The rank ofEvery the matrix A = B) is ANSWER: 1.−1 ďż˝which ďż˝ the ANSWER:(every of A which 2 ANSWER:(every −2 4number 1 always 2which ANSWER: is unknowns, always homogeneous only trivial solution.

6.

P(A) =homogeneous the number of then the 6.

P(A) = P(A, P(A, B) =matrix the of unknowns, then the system Tsystem 27. rank of matrix Asystem = �2ANSWER: isrow ANSWER: 1.

Every isisconsistent. always −4 8its 8 entries occurs below −2 has 4ďż˝has 44 has −4 ANSWER: is Every homogeneous system 1ANSWER: −1 2 isis rank of27. the AThe = ďż˝ANSWER: ANSWER: 1.

7. If A = 27. then the rank of=system AA is ANSWER: 1. ��the ďż˝4. ďż˝4.IfIfThe 2 −2 4 2 The rank of the matrix A = is 1. ďż˝ 2 −2 4 4of −4 8 27. The rank the only matrix A three = has isAANSWER: 1. ďż˝2of 4ďż˝ then ANSWER:(every Aentry.) which has all its entries The the matrix =ANSWER: ANSWER: 1.which ďż˝228. ďż˝ đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žis−4 −228.

4echelon consistent. −1 2−1 is which a−2 non-zero 5.

Cramer’s rule is applicable (with unknowns) ≠In has arow non-zero 1following 2 incorrect? which of1of the following −4 8solution.

8form, 3 5.

ANSWER: consistent has a4a rank unique ANSWER: consistent and has unique solution.

In∆4 form, of the is incorrect?

ANSWER:(every ofand A27. which has its entries occurs every row Cramer’s isrow applicable only (with threeall unknowns) then ANSWER: ∆below ≠echelon đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž which 4 8−4 8entry.)

28. In echelon form, whichrule of the following is incorrect?

4 −4 27.

The rank of the matrix A = ďż˝A 1. ďż˝ is ANSWER: 4 −4 8 2 −2 4 27.

The rank of the matrix = is ANSWER: 1. ďż˝ ďż˝ 2 −2 4 6. If P(A) =any P(A,rule B)28. =ismatrices the numbersuch of unknowns, then system 5.

Cramer’s only (with three unknowns) 28. echelon form, which of the following isand incorrect?

ANSWER:(every row of a A4which has allentry.) its entries occurs belo Inthe echelon form, which the following isnon incorrect? is ANSWER: 1. which 8. If A and BIn two that ABof =form, 0the A is is singular, then 6.

Ifare P(A) P(A, B) =applicable number of unknowns, then the system is has non-zero 28.

In echelon which of the following is row incorrect?

11=echelon −4 ANSWER:(every of A which 28. echelon form, which of therow following is incorrect?

28.

In form, which of theoccurs following is incorrect?

ANSWER:(every row of A has which has all itsInentries below every 4 8has −4 all8 its entries occur which a non-zero entry.)

T T then ANSWER: ∆ ≠0 andrank has aof unique 7.

IfIfANSWER:(every AA == ��22consistent then issolution.

1. �� consistent 7.ANSWER: then the the rank AA is ANSWER: ANSWER: 1. which hasrow aofnon-zero entry.)

ANSWER:(every row of A all which has all its entries occurs below every ANSWER: and has unique solution.

28. Inbelow echelon form, which the following is incorrect? row ofofAaAA which has its entries every row ANSWER: B=0.

28.

In which of the row following incorrect?

ANSWER:(every row of which has all echelon its entries occurs below every which has which has a non-zero entry.)

ANSWER:(every row ofoccurs A2. which allform, its entries occurs belowis every row 28.

In ech 2.has VECTOR ALGEBRA row of A whichthen has all itsAentries occurs below every row VECTOR ALGEBRA 3= 3a non-zero entry.)

1ANSWER:(every 6.

If P(A) of unknowns, the system 1 P(A, B) = the number Twhich has a non-zero entry.)

ANSWER:(every row of A which has all its entries occurs below Ifp[A, A = ANSWER: the rank of a AAnon-zero is 1. Consistent. ďż˝=B] which has entry.)

2�� then T ANSWER: ANSWER: 9. If p(A)7. = then the system is which has a non-zero entry.)

2.

VECTOR ALGEBRA is consistent and has a unique solution.

ANSWER:(every row of A which has all its entries occur 7.

If A then the rank of AA is ANSWER: 1. ďż˝ 2 8.

If A and B are any two matrices such that AB = 0 and A is non singular, then 8. If A and B are any twohas matrices suchwhich that AB = 0aand A is non singular, then a ALGEBRA non-zero entry.) has non-zero 3 x đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?ďż˝âƒ—which , đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?ďż˝âƒ— x has đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?⃗, đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?⃗axnon-zero đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žâƒ— ]= 64entry.) then [đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žâƒ— , đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?ďż˝âƒ— , đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?⃗] is ANSWER 2. which VECTOR 1. 1.IfIf [ đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žâƒ—entry.)

31 ďż˝â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 8 10. In a homogeneous system p(A) <<such (the number of unknowns) a non-zero entry.)

1.then If then [ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;the x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;,system đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; 8 xwhich đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; is x has đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; ]= 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

8. IfANSWER: A and B 2 any two matrices AB = 0 and A is non singular, B=0.

B=0.

T that ANSWER: 8.ANSWER: If A A and B are any two matrices such that AB = 0 and A is non singular, then 7.

If = are then the rank is ANSWER: 1. ďż˝â&#x192;&#x2014;of ďż˝â&#x192;&#x2014;AA ďż˝â&#x192;&#x2014; 2.

The work done by the force đ??šđ??šđ??šđ??šâ&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; acting on a p 1.

If [ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; ]= 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 8 3 2.

VECTOR ALGEBRA ANSWER: B=0. â&#x192;&#x2014; 2.

VECTOR ALGEBRA trivial and infinitely many non-trivial solutions.

2. 2.The actingon onaaparticle , ANSWER: 9.

IfIfIfANSWER: p(A) ==solution p[A, isisthat Thework workdone doneby by the theforce force đ??šđ??šđ??šđ??š = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; acting ANSWER: Consistent.

9.ALGEBRA p(A) B] then then the system system B=0.

2. VECTOR 8.

A and Bp[A, areB] any two the matrices such AB = 0 Consistent. and 2.ANSWER: VECTOR ALGEBRA 2.

VECTOR ALGEBRA if the particle is displaced from A(3, 3,the 3) to point 2.

VECTOR ALGEBRA ANSWER: Consistent.

9. If A p(A) = p[A, B] then the system is particle , if the particle is displaced from 3, 3) to the ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; A(3, ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 1.

If [ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; ]= 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 2.

The work done by the force đ??šđ??šđ??šđ??š = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; acting on a particle , is non singular, then ANSWER: B=0.

ANSWER: Consistent.

9.

If p(A) = p[A, B] then the system is if the particle is displaced from A(3, 3, 3) to B(4,84, 4 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

3 1 2.

VECTOR ALGEBRA 10.

In <<ďż˝<< (the then isis Inđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;aax homogeneous homogeneous p(A) (the8number number of of unknowns) unknowns) then the system ďż˝â&#x192;&#x2014;, the ďż˝â&#x192;&#x2014;4,xsystem ďż˝â&#x192;&#x2014;point 1. 11.

If [ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;Inverse x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;,2. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;10. xVECTOR đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; ]=ďż˝ 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; system ,system đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; ,ďż˝đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] isp(A) ANSWER: of isALGEBRA ANSWER: 1.

If [ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; ]= 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;] is ANSW the point B(4, 4) is ANSWER: 3 units. ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 10.

In a homogeneous system p(A) << (the number of unknowns) then the system is đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019; 2.

VECTOR ALGEBRA â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 5đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?aVECTOR 1. If [ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;9. â&#x192;&#x2014; x10.If đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?2. ,p(A) x2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?=â&#x192;&#x2014;, p[A, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;1.xIfifđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;[â&#x192;&#x2014;B] 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , then đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;]of is[đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 8to đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;3 ALGEBRA đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;]= xthen đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;particle , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; the xp(A) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, system đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;<<x(the đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; ]=,ďż˝â&#x192;&#x2014;number 64ANSWER: â&#x192;&#x2014;ANSWER: , A(3, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] 3, isthen ANSWER: In homogeneous system unknowns) the is â&#x192;&#x2014;the is ďż˝â&#x192;&#x2014;is,8point ďż˝â&#x192;&#x2014;lines 2.[The The work the force = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; lines +[đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +, đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? acting ,8 ANSWER: 3 units. the displaced 3) the is đ??šđ??šđ??šđ??šthen 3. distance between the =a particle = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 1.

Ifsolutions. â&#x192;&#x2014; , xsystem đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: xdone đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,B(4, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;byx 8 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;4, ]=4) 64 , =đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] ison 3. shortest distance between =ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ANSWER: trivial and non-trivial ANSWER: trivial solution and many non-trivial solutions.

1.

If [ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;isinfinitely xinfinitely đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?, ađ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? particle x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,many đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; xfrom đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; ]= 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;The ,The đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;]shortest ďż˝â&#x192;&#x2014;infinitely â&#x192;&#x2014; = solution 2 3 2 4 3 34 2. The work done by the force đ??šđ??šđ??šđ??š đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; acting on , 3.

shortest distance between the lines ANSWER: trivial solution and many non-trivial solutions. đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;]=and â&#x2C6;&#x2019;1 0 [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; VECTOR ALGEBRA ďż˝â&#x192;&#x2014;point ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019;5 1. If Consistent.

[ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;trivial xďż˝â&#x192;&#x2014;2.đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,The đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; xwork đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;2.

64 then â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;ALGEBRA ,đ??šđ??šđ??šđ??šâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] is+ ANSWER: 8 [VECTOR solution infinitely many non-trivial solutions. ďż˝â&#x192;&#x2014; acting 1.2.đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; the xwork đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;,particle đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; xdone đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;isxdisplaced đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;by ]= đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;A(3, â&#x192;&#x2014; , đ??šđ??šđ??šđ??š đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ,=đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;]3) is+to ANSWER: 8B(4, 2.

The the force đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; acting on if from 3, the 4, done by the force = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; on a particle , đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

1.displaced If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x3by đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?from đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,force đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; x2. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;The 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;by , 4, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] isANSWER: ANSWER: 8acting The work done đ??šđ??šđ??šđ??što đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;1 +point + B(4, đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; acting on a2. , done ďż˝â&#x192;&#x2014;=1. ďż˝â&#x192;&#x2014;-ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

3,13đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?the 1x1 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER: 12.

In the11. rank of[the matrix is 2, then đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;isthe is ďż˝is ďż˝đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?done work đ??šđ??šđ??šđ??šâ&#x192;&#x2014;lines = particle đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;4. + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;The + work đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; on aby particle , = đ??šđ??šđ??šđ??šâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;== 3.

The shortest between =between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; is đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;]=đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?=distance The the force đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +is acting 3 units. if2. the particle is A(3, 3) the 4. angle the the vectors -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; isđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ANSWER: â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? and -on đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; ais part ANS Inverse of ANSWER: ��the4)force ďż˝ANSWER: 11.

Inverse is03, ANSWER: ďż˝ is 10.

Inverse ANSWER: đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ��â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

2The angle 3 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;between 4 3 â&#x192;&#x2014;vectors 4 5ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 11.

Inverse ofof ďż˝is displaced ďż˝ ďż˝of ďż˝3ďż˝ ďż˝if1isthe đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; ďż˝â&#x192;&#x2014; , =đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?3, ANSWER: ANSWER: particle A(3, 3,on 3)atoparticle the point 4) isis ďż˝đ??šđ??šđ??šđ??šâ&#x192;&#x2014; = đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; ďż˝22isthe đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; 2. work by the đ??šđ??šđ??šđ??š64 =3 đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;units. +from đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +lines đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x192;&#x2014;acting on particle , p 5 ďż˝ 525 by 1.The If3,The [3) xparticle đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?done , 4, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;,â&#x192;&#x2014;] đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?B(4, â&#x192;&#x2014;is xforce đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;4, ]=4) then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;] isa3) ANSWER: 2. 11.

TheInverse work of done force +đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?displaced acting ,đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; B(4, ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x2C6;&#x2019;3+from ďż˝â&#x192;&#x2014;point 3. shortest between the = to the đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019;1 0â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; if the displaced A(3, đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§A(3, â&#x2C6;&#x2019;5 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?x,distance 1.

If [ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , x â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; ]= 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; , ANSWER: 8 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; 5 2 ANSWER: 3 units. if the particle is from to the is ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 2 3 the 4 2. The between work done by from the force đ??šđ??šđ??šđ??š = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; acting on a particle , ANSWER: 3 units. if the particle is displaced A(3, 3, 3) to the point B(4, 4, 4) is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ďż˝â&#x192;&#x2014; if the particle is displaced from A(3, 3, 3) to point B( 3. The shortest distance the lines = = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; = = is ANSWER: ANSWER: 5.

The centre ad radius of the sphere | đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )| = 5 are ďż˝â&#x192;&#x2014;centre đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; 2between â&#x2C6;&#x2019;1đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; 3 0â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§- â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;5 4 4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 55.

0 â&#x2C6;&#x2019;1 0 the3unknowns, ďż˝â&#x192;&#x2014; ) â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; 4.

The angle vectors đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;point - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;the đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; isisđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 ANSWER: ad radius ofunits. the sphere |đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;the â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014; - ďż˝â&#x192;&#x2014;(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 -B(4, đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? +4, 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ifThe particle is displaced 3, 3) to point 4) đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;distance â&#x2C6;&#x2019;1A(3, 0 the 13. In the11. system of three linear with three theparticle rank of the matrix shortest = B(4, = 4, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;3from is A(3, ANSWER: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§=â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;4 ANSWER: ifInIfthe isThe displaced from 3) tođ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; the 4) ANSWER: 1.3The 12. the rank of3. the matrix 2, then islines ďż˝equations ďż˝đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;is3, 2.

The done bythe the force đ??šđ??šđ??šđ??šâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;== -đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;5 +and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;isâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; +ANSWER: on ađ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 partđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

0ďż˝ The đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;00 â&#x2C6;&#x2019;1between 2 4.

4work 3= 5vectors 4.

The angle between the đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; isis ANSWER: 3. shortest distance between lines =|đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;=between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; =3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;3 ANSWER: 1.

12. rank the isđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

2, then �3, ANSWER: 1.

12.

In rank ofthe the matrix is3) then đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;3. is ďż˝by â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;the â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;5 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?-acting is angle vectors â&#x2C6;&#x2019;1 ANSWER: 1.

12.In Inthe the rank ofof matrix is 2, then đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;2, is ďż˝A(3, ANSWER: units. ifthe the particle is-matrix displaced to the point B(4, 4) is-distance ďż˝â&#x192;&#x2014; 0đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; ��-work đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;from â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;4, ďż˝â&#x192;&#x2014;| 4then The shortest between the lines = ďż˝â&#x192;&#x2014; 6.

If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; is perpendicular to đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

2.

The done the force đ??šđ??šđ??šđ??š = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; acting on a particle , 2 3 4 3 4 5 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 4. The angle between the vectors đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is ANSWER: 3.

The shortest distance between the lines = = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019;1 0 theđ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; lines 3. ifThe distance between = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 =|đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; =inconsistent. =5đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;between is ANSWER: ANSWER: is 2,one then Îť 4. is

ANSWER: đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; The shortest distance the linesđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?(2, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;=-1, = and ďż˝â&#x192;&#x2014;=đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?)| ďż˝â&#x192;&#x2014;4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 32 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019;1ad 0 đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;0vectors â&#x2C6;&#x2020; 3. = shortest 0 and of â&#x2C6;&#x2020; ,The â&#x2C6;&#x2020;y angle or â&#x2C6;&#x2020; is non-zero, then is â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;the â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 5. centre radius of -đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;6.(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;ANSWER: -â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +particle +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? =đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§displaced are ANSWER: 5 433B( ANSWER: If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; |đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;4 |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;4=â&#x192;&#x2014;isđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;4 -â&#x2C6;&#x2019;5 |is is23 4), perpendicular xThe xbetween 2 the 31.

3 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; the0 đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;sphere -đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;system and=đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; -43. isANSWER: 2 3, đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?3) 4 ďż˝â&#x192;&#x2014; point ifâ&#x2C6;&#x2019;3 the from A(3, to the đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? shortest distance between the lines = = ANSWER: đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§5then â&#x2C6;&#x2019;5 5.

The centre ad radius of the sphere | đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )| = 5 ar ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 13.The In3.the system of three linear equations with three unknowns, ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 4. The angle ďż˝â&#x192;&#x2014;between vectors - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;If â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;3â&#x192;&#x2014; x- đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ANSWER: 2 the 3 = 4đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; = 4 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?= 7. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; A(3, =4), đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? xis â&#x192;&#x2014;) + to đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?5 x=the (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; xđ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;point đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;)is+ANSWER: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; xB(4, (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?4, ) then ANSWER: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? =0 The shortest distance between the lines đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 13.In Inthe thesystem system of three unknowns, 5. The centre12. ad radius of the sphere | linear đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; linear -if (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;equations - equations đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;equations + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;with )| =three 5 are ANSWER: (2, -1, the particle is displaced from 3, 3) isrđ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;eANSWER of three with three 13.

In the system of three linear with three unknowns, 13.

In the system of three linear equations with three unknowns, 2 35.

4h 4d 7.

T eangle cđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? eand nďż˝â&#x192;&#x2014;between t3are r5 ađ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;) rđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;vectors a 5xthe dvectors i(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?uâ&#x192;&#x2014; svectors o-4), fđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;+and t-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;hđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;xeđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;and sâ&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;p4) 4.

The angle between â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;hisđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;is -ANSW đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;3 is đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 4. â&#x2C6;&#x2019;1 4.

The the -â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; ďż˝â&#x192;&#x2014;of|đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;then ďż˝â&#x192;&#x2014;|+the ďż˝â&#x192;&#x2014;e|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;xâ&#x192;&#x2014;distance ďż˝â&#x192;&#x2014;e-)ANSWER: 6.

If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; +y â&#x2C6;&#x2020;or đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;|or |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;non-zero, -â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; to đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

5.

The radius the sphere |ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; â&#x17D;¤-is(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;is -is đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;The â&#x192;&#x2014; perpendicular +The )| ANSWER: (2, -1, and 5perpendicular ifunknowns, â&#x2C6;&#x2020; =between 0 and one of= â&#x2C6;&#x2020;0xâ&#x192;&#x2014;centre ,and â&#x2C6;&#x2020;vectors â&#x2C6;&#x2020;ad is non-zero, then the system isANSWER: ANSWER: inconsistent.

If4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;angle =shortest đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;+=â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?5 xbetween (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? xđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; xđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 then ANSW ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

4. The4.angle the and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; x= 3. between the lines = = 6.

If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; | = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? then ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; is to đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x17D;Ą ďż˝â&#x192;&#x2014; if â&#x2C6;&#x2020; one of â&#x2C6;&#x2020; , or â&#x2C6;&#x2020; is non-zero, ďż˝â&#x192;&#x2014; ������â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; , â&#x2C6;&#x2020; is then the system ANSWER: inconsistent. if â&#x2C6;&#x2020; = 0 and one of â&#x2C6;&#x2020; x y5. x angle between the vectors đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; to and đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;theis sphere ANSWER: aare unit vector area 8.|The Projection of đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; The centre radius đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; - (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; )| = on 5đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 are ANSWER: (2,equals -1, 4), and đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;- đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?+ 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 thrice 35the đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ 4â&#x2C6;&#x2019;5 ANSWER: (2, -1, 4), ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; -of x đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; y - ad 2is 6. If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;| = The |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; 4. |==then ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; perpendicular đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;4 ifif- â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2020; and one of â&#x2C6;&#x2020;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2020;xis â&#x2C6;&#x2020; non-zero, then the system isisđ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;â&#x192;&#x2014;ANSWER: inconsistent. and one of3. â&#x2C6;&#x2020;yâ&#x17D;˘y or or â&#x2C6;&#x2020;xx is non-zero, then the system ANSWER: inconsistent.

The between the vectors đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;x distance - đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x17D;Ľ-between đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; is ANSWER: x,, â&#x2C6;&#x2020; ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; )|+=4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; the00angle system inconsistent. lines =đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; =đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; =5-thrice 5.

The centre of the sphere | sphere đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; - â&#x192;&#x2014;|(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+ = 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;are đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

6.

IfIfis |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; ANSWER: + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;| xThe = (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x17D;Ąxâ&#x2C6;&#x2019;1 -shortest đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;) | then is perpendicular to3. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;xad ďż˝â&#x192;&#x2014;radius ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; xANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;The ďż˝0the â&#x192;&#x2014;of 5.

The centre ad radius of sphere đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;-)-(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; -ANSWER: )| and 5the ������â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019;1 14. The rankthen of the diagonal matrix is(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?2radius â&#x17D;¤+đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

7.

If đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;) + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x x then ďż˝â&#x192;&#x2014;+A == 0 5. centre ad the | (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 7. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;) â&#x192;&#x2014; x â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ) then ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014; = .

-1 on a unit vector đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; equals 8.

The Projection of 3 4 3 4 5đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x17D;˘ â&#x17D;Ľ ďż˝â&#x192;&#x2014; 6.

If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? | = |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? | then ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; is perpendicular to đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x17D;Ą â&#x17D;¤ tan ďż˝ ďż˝ (2,the 2|â&#x2C6;&#x2019;1 4.=ANSWER: The angle between - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; and ďż˝â&#x192;&#x2014; The ďż˝â&#x192;&#x2014;ad(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?radius ďż˝-â&#x192;&#x2014;â&#x17D;Ľ.đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + centre the + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; =55are are ANSWER: (2,vectors -1,and 4),đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;5and 5 đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is ANSW ďż˝â&#x192;&#x2014; )|)| 7. If5. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; =The đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x5. (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;) +centre â&#x192;&#x2014; ad x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;)radius + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;ofx (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; xthe đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;sphere ) then ANSWER: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;= -0 of |đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;of đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;-order -(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ANSWER: -1, 4), â&#x17D;˘sphere 20 â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 13.

If5.AThe isđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? axscalar matrix with scalar k â&#x2030; 3 then â&#x17D;˘ â&#x17D;Ľ ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019;4 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x17D;˘ â&#x17D;Ľ 14. The rank of the diagonal matrix is ANSWER: 3. ďż˝â&#x192;&#x2014; xofđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;) ďż˝-â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?of 6. |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;3. =+ Projection đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;=ANSWER: |ďż˝â&#x192;&#x2014;then then ANSWER: perpendicular to the đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? are centre -đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;)â&#x192;&#x2014; 6. +������â&#x192;&#x2014; 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )| 5 are (2,unit -1,đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 4), 5đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? â&#x17D;¤If ANSWER: ađ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; isand perpendicular â&#x17D;Ąâ&#x17D;Ą(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; 0x 0đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;)|+đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;-x(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x17D;¤If8.

If ad đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; =1radius đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; sphere x�����â&#x192;&#x2014; then ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 0 â&#x17D;˘ the â&#x17D;Ľ(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; xis �����â&#x192;&#x2014; ������â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 ďż˝â&#x192;&#x2014;||thrice 14. The rank of7. the diagonal matrix The on vector đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; thrice -1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1 |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;two |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; -the đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;=ďż˝|-đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; isequals perpendicular toS -1 �����â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;between 2a2+area â&#x17D;Ľxâ&#x17D;Ś đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;)ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;. ANSWER: unit equals area parallelogram Then 8.

The Projection ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 7.

Ifâ&#x17D;Łequals đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; =â&#x17D;˘ of đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; xđ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; xon đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;)â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? +6. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; â&#x192;&#x2014; 9. â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; xâ&#x192;&#x2014;OPRQ. )đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

ANSWER: =đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§aof 0 ������â&#x192;&#x2014; ANSWER: tan ďż˝đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is+ ANSWER: 4.1ANSWER: The the vectors -đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;=lines đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;|Then and -then is â&#x17D;˘ angle â&#x17D;Ľ â&#x192;&#x2014;vector 6.

If(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; +then =â&#x192;&#x2014;ad |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;|POQ |ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ďż˝â&#x192;&#x2014;=then ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;OPRQ. â&#x192;&#x2014; are is perpendic 8. The Projection of unit vector đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; parallelogram and = | đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;=â&#x192;&#x2014; - (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ANSWER: The ďż˝â&#x192;&#x2014; |PO â&#x17D;˘â&#x17D;˘(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x17D;Ľxto â&#x17D;Ľto ďż˝â&#x192;&#x2014;The ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;the ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: 5.

The centre â&#x17D;˘ thrice â&#x2C6;&#x2019;4 00â&#x17D;Śof0â&#x17D;Ľďż˝ďż˝ďż˝ďż˝ďż˝ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;â&#x2C6;&#x2019;1is of |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;| đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;on |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; -then đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;diagonal |Kthen ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;isthe isperpendicular perpendicular to đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

2radius 1 the sphere 3 â&#x2C6;&#x2019;5 2 â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )| 6. If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;6.14. +If A đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? =rank |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;| =a-of đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? | đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;.

The matrix is ANSWER: 3.

14. rank of the diagonal matrix is 3. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? â&#x17D;Ł �����â&#x192;&#x2014; 7.

If đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;) + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;) + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ) then ANSWER: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; = 0 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; -1 0perpendicular 8.| The Projection ofâ&#x17D;ŁANSWER: đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? on a unitđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;�����â&#x192;&#x2014; vector đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; equals thrice the đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?area ofďż˝parallelogram OPRQ. Then |POQ is â&#x17D;˘ â&#x17D;Ľ â&#x17D;˘ â&#x17D;Ľ 6.

If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? | then is to đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x17D;Ś ANSWER: tan ďż˝ 0 ������â&#x192;&#x2014; -1 In of with three linear non-homogeneous 0unit 8. The of đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; on=aâ&#x2C6;&#x2019;4 vector đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; ofđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;)parallelogram |POQ -1 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

7.

Ifâ&#x17D;ĽANSWER: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;The =đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;equals x ďż˝â&#x192;&#x2014;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; xIthrice đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;)of+đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; -xđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;area (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; xZ-axis x đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;OPRQ. ) 0.then ANSWER đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ + isđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; ANSWER: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Then â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;the 10. projection on is7. 9.

15.

If A is14. a scalar matrix scalar k â&#x2030; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?Projection 0 ďż˝of order 3â&#x2C6;&#x2020; then A-1 7. â&#x17D;˘ â&#x17D;Ľ ANSWER: tan ďż˝ â&#x17D;˘ ANSWER: tan ďż˝aďż˝system -1â&#x2C6;&#x2019;4 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; = = and = = are AN The two lines ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 6.

If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? | = |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? | then ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; is perpendicular to ďż˝ â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

If đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;Projection =ďż˝â&#x192;&#x2014;I= đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;I0=â&#x192;&#x2014; .|xďż˝0â&#x192;&#x2014;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;.đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?-ofx(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;)â&#x192;&#x2014;2 on +-đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x+đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;1x )| đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;)������â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?equals â&#x192;&#x2014; are x (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;ANSWER: x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?)2the then is isâ&#x2C6;&#x2020; scalar â&#x2030; 0đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;â&#x192;&#x2014; of order 3 A of �����â&#x192;&#x2014; -1 ANSWER: If đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;xAIf=đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;aisxxscalar (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x+matrix đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;) (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;tan x =-1đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;ad xđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? )then then 5.

The radius sphere đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;aâ&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019;1 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; =+5 (2 8.â&#x17D;Śâ&#x17D;ŚThe đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; unit vector thrice areaAN o ďż˝â&#x192;&#x2014;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 0, â&#x2030; 0đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?with đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;1 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 isthe ANSWER: Aďż˝â&#x192;&#x2014; a= scalar â&#x2030; then ANSWER: 7. If đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; 7.15. = 15. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;Ifand â&#x192;&#x2014;) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;matrix (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;xwith đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) +đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ďż˝kâ&#x192;&#x2014;0centre đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?+ďż˝kâ&#x192;&#x2014;then xâ&#x192;&#x2014;)â&#x17D;Ł0x(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;the then ANSWER: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ â&#x17D;Ł+of đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?)â&#x192;&#x2014;3 ďż˝â&#x192;&#x2014; +xxđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 ďż˝â&#x192;&#x2014;hasAANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 0 -1 0 y(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

7. ďż˝â&#x192;&#x2014;xđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 =đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?scalar đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§xâ&#x2C6;&#x2020; â&#x192;&#x2014;)and +xđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2020; xzANSWER: (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;xorder xsystem ANSWER: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; =normal 0 đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152; two = on to = the andplane = đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; are ANSWER: 9. The The lines đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1If đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ â&#x2C6;&#x2019;1 tan ďż˝ x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) then �����â&#x192;&#x2014; ������â&#x192;&#x2014; 11. unit - y= +equals ANSWE đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 ďż˝â&#x2C6;&#x2020; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2020; 8. đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2030; â&#x2C6;&#x2019;1 The Projection of đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; vector thrice th 2vectors â&#x2C6;&#x2019;1 a 1unit 3 2xâ&#x2C6;&#x2019;5 22z= 5 are đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;= đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§0 = 0, â&#x2C6;&#x2020; 0 and â&#x2C6;&#x2020; = 0 a system of linear non-homogeneous = 0 and ANSWER: no solution. = three =of9. and = = are ANSWER: Skew.

9. 16.

TheIntwo lines đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? = 0, â&#x2C6;&#x2020; â&#x2030; 0 and â&#x2C6;&#x2020; = 0 16. In a system three linear non-homogeneous â&#x2C6;&#x2020; and â&#x2C6;&#x2020; x y z -1 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; x y z đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? = = and = = are ANSWER: Skew.

The two lines đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? then uof = 0. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§8. â&#x2C6;&#x2019;1 ������â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; 7. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;isANSWER: =ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;projection â&#x192;&#x2014;of (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? xďż˝ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;) xonđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; +Then đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; xvector (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?)đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; thenequals ANSWER 10.

The đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;xâ&#x192;&#x2014; -(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?on đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;OPRQ. Z-axis isâ&#x192;&#x2014;|POQ ANSWER: 0.

2 Projection â&#x2C6;&#x2019;1 1 of 3 linear â&#x2C6;&#x2019;5anon-homogeneous 2 vector -1 ������â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; -10 ==then 0, â&#x2C6;&#x2020;the and â&#x2C6;&#x2020;x 0 Skew.

16. ais system three â&#x2C6;&#x2020;of â&#x2C6;&#x2020;3x then ANSWER: unit đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; equals thrice area parallelogram is 8.

The đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; yA z tan aâ&#x192;&#x2014;)OPRQ. unit th The â&#x2C6;&#x2019;1 1 3 â&#x2C6;&#x2019;5 2Projection is I+of 15.

If AA aaProjection scalar matrix with kk= 0 of order ANSWER: I đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; 15.

IfIn is scalar matrix with scalar â&#x2030; 1đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 0 order Aâ&#x2030; If =2unit =â&#x2030; and =equals are ANSWER: 9.of The two lines đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; �����â&#x192;&#x2014; ������â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;1 6.on If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;scalar +two đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;1|lines â&#x192;&#x2014;with -==đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;30three |and then ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;=â&#x192;&#x2014;of isof perpendicular đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;Then ������â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; 10.

The projection Z-axis is ANSWER: 0.

8. The Projection of đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; on ađ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; unit đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; equals thrice the area parallelogram Then |POQ on aequations vector thrice parallelogram OPRQ. |POQ is is 8.

The of 2vector 212. đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;,ofđ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; ďż˝â&#x192;&#x2014;to �����â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; =- đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; on �����â&#x192;&#x2014; = â&#x2C6;&#x2019;5 and =If the ==area 9.

The -1+ANSWER: ANSWER: nosolution. solution. the has 15.

In the system ofhas three linear đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +are đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;(OP) +Skew.

3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; +đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , then the area of the quadri 10. Thethen projection of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;the - system đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; has on Z-axis isANSWER: ANSWER: 0.

ANSWER: no thethen system 8.

The Projection of on a unit vector (OQ) equals 2 â&#x2C6;&#x2019;1 1 3ANSWER: â&#x2C6;&#x2019;5 2 â&#x192;&#x2014;tan no solution. then system ďż˝ ďż˝ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? �����â&#x192;&#x2014; ������â&#x192;&#x2014; -1 The projection of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 10. â&#x192;&#x2014;on - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;Z-axis on p(A) Z-axis is0ANSWER: 0.

8.0.

The Projection đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; a unit equals th normal vectors to the plane - ANSWER: y + thrice 2z= 5Sk a đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2020; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;of =-1 vectors = onand =vector = đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; are 9.11.

The lines 10. of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; -with đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;system, is ANSWER: ANSWER: tan ďż˝The ďż˝ -1projection unknowns, in the non homogeneous = ==Z-axis đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

11.

The unit to the 2x -2|POQ y2x 0, 0 and â&#x2C6;&#x2020; 16.

In aa system three linear non-homogeneous â&#x2C6;&#x2020;â&#x2C6;&#x2020; â&#x2C6;&#x2020; =two 0,unit â&#x2C6;&#x2020;yyâ&#x2030; 02parallelogram 16.

Inthe system of three linear non-homogeneous 0 and and â&#x2C6;&#x2020;xThe đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?ofof â&#x2C6;&#x2019;1 3 plane â&#x2C6;&#x2019;5Then 17.

In system three linear non system, x= đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?in thrice the of OPRQ. is5 are ANSW tan ďż˝system, ďż˝zzďż˝â&#x192;&#x2014;==100ANSWER: -1 to ďż˝â&#x192;&#x2014;three ďż˝â&#x192;&#x2014;and ďż˝â&#x192;&#x2014;+.đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§2z= đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;three 10.

The projection of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;+unknowns, - đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;on 0.normal ďż˝â&#x192;&#x2014;homogeneous ďż˝7.linear ďż˝equations 17. In ANSWER: the oftan with non Ifequations đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; xwith xthree đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;)unknowns, xÂą(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;xinthe đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;isin â&#x192;&#x2014;) +2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; xđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2020;area â&#x192;&#x2014;â&#x2030; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? then đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 0 11.

TheIn unit vectors plane 2x -equations y=+ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2z= 5(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? are ANSWER: â&#x192;&#x2014; 13.

-the đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ANSWER: +ANSWER: )â&#x192;&#x2014;=homogeneous ďż˝â&#x192;&#x2014;)and ďż˝â&#x192;&#x2014; then 17. thenormal system ofsystem three linear three unknowns, the non homogeneous system, ANSWER: tan ďż˝then ďż˝the đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

-(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; +xđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; a=unit vector perpend đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; p(A, B) = 2 the system -1 ďż˝â&#x192;&#x2014;0. đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;= đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 ďż˝â&#x192;&#x2014;)đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; and =) the are ANSW The lines The projection of ďż˝ANSWER: đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;=-ďż˝ đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; onâ&#x192;&#x2014; =-Z-axis 11.

The unit normal vectors - Ify5Iftwo +are 2z= 5â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;tan are Âą â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; -=ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; ,+â&#x2C6;&#x2019;5 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 11. unit normal vectors tođ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 thetoplane 2x - 9. y 10. +2x 2z= ANSWER: 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§the â&#x2C6;&#x2019;1 plane p(A) = p(A, B) 2The then the system ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: ANSWER: no solution. then the system ANSWER: no solution. then system has �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;+ �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; plane ANSWER: 12.

2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; +â&#x192;&#x2014; Âą+đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§is 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x192;&#x2014;ANSWER: then of t đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;,â&#x2C6;&#x2019;1 3,â&#x192;&#x2014; then 2 ofarea ďż˝â&#x192;&#x2014;) area đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 12. đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; ++â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;5 â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+are đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;Âą,đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;=đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+1+đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; the the quad p(A) =the p(A, B) = 2 then the system 11.

The unit normal to the 2xđ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; -Skew. y =+ 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 2z= (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; =has =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 and =the =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 are ANSWER: 9. +p(A, The two đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 vectors đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;1 ďż˝â&#x192;&#x2014;two �����â&#x192;&#x2014;= lines �����â&#x192;&#x2014; p(A) 2 the system đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 12. If đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; = 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;=ANSWER: đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;9. + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;B) , đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; =reduces đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; then + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;2+đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ,â&#x2C6;&#x2019;1 then theProjection quadrilateral PQRS isThe ANSWER: 5 intersection 1 3of â&#x2C6;&#x2019;5 2many reduces to and has infinitely �����â&#x192;&#x2014; ������â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;=) + t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§=equations đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1 =area and =ofđ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; = on are ANSWER: Skew.

The two lines = = and = ar 9. two lines 14.

The point of of the lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x192;&#x2014; 8.

The a unit vector đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; equals thrice the area of parallelog ANSWER: to two equations and has infinitely solutions.. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 11.

The unit normal vectors toon the plane 2xANSWER: -5y3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 + 2z= 5â&#x2C6;&#x2019;1 are ANSWER â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 2 â&#x2C6;&#x2019;1 1 3 â&#x2C6;&#x2019;5 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; = = and = = are ANSWER: Skew.

9. The17. two lines 9.

The projection of i j on Z-axis is ANSWER: 0.

ANSWER: reduces to two equations and has infinitely many solutions..

2 â&#x2C6;&#x2019;1 1 â&#x2C6;&#x2019;5 2 In the system of three linear equations with three unknowns, in the non homogeneous system, 17.

In the system of three linear equations with three unknowns, in the non homogeneous system, 10.

The projection of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; Z-axis is 0.

12.

If đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; = 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , then the area of the quadrilateral PQRS is ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; =112. â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 12.two Ifâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; â&#x192;&#x2014; If+Z-axis đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; and +3=đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ,ishas 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;2â&#x192;&#x2014;=+0.

2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; area of 5perpe many solutions.. =đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; =ďż˝â&#x192;&#x2014;=3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +and =isďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: = vector ANSW 9.ďż˝â&#x192;&#x2014;13.

The two ďż˝â&#x192;&#x2014;quadrilateral ďż˝â&#x192;&#x2014; then đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?ANSWER: 2to â&#x2C6;&#x2019;5 �����â&#x192;&#x2014; Ifđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;the = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;area --lines 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;the +of 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;PQRS +PQRS 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; athen unit đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; â&#x192;&#x2014;0đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; +ANSWER: đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; =infinitely + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;,+�����â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;many + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;,â&#x192;&#x2014; then + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , the then the is 5are 10. The projection of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;- đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; on ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;quadrilateral đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER: reduces solutions..

2 â&#x2C6;&#x2019;1 1 3 â&#x2C6;&#x2019;5 2 0 0 0 13.

If = 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; a unit vecto ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 12 equations đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;unit =( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +vectors 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;) + s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;plane + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )2x ANSWER: (1,are 1, 2) đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

13. If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - 18.

2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +If10.

3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;B) â&#x192;&#x2014; + A=đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +212 vector to0. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;12. and is=projection ANSWER: The projection ofthen đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;the - ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; unit on is ANSWER: 0 12 ďż˝0 perpendicular 0đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?p(A, A =and ANSWER: ďż˝ Z-axis ďż˝=0then �����â&#x192;&#x2014; 10.

The normal - ythe +2x 2z= 12 10. ofto -3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;to is ANSWER: 0.đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; IfThe đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;normal + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;, �����â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; = to đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;+the â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+on 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;,Z-axis then area the quadrila then system p(A) B)Ifđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;=đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;-â&#x192;&#x2014;AA2is=đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then the system â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 18.

If A ďż˝=0==ďż˝ p(A, then ďż˝â&#x192;&#x2014; +-1đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;ďż˝ ďż˝ then 0 ďż˝is5đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

5 of ANSWER: 16.

Ifp(A) is 123đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ďż˝â&#x192;&#x2014; 0.

11.

The unit vectors the plane -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;5 yđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;of +ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 2z= are đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

10. The projection on ANSWER: đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;is -ANSWER: 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;Z-axis + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; 0 and â&#x192;&#x2014; +đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;ďż˝2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then ďż˝â&#x192;&#x2014;a unit vector perpendicular đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;Z-axis islines ANSWER: đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; 0 ďż˝â&#x192;&#x2014;0 5=tan 0 normal 513.

10.

The projection ofđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?-perpendicular đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;+-đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;and isand ANSWER: 0.ďż˝â&#x192;&#x2014;)ďż˝â&#x192;&#x2014;5+ đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; ďż˝â&#x192;&#x2014;on 0 0 ďż˝â&#x192;&#x2014;= and ďż˝â&#x192;&#x2014;3 đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;2z= ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 14.

The point of intersection of the đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; t(â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 11.

The unit to the plane 2x y + 5 are Âą (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; ) 12 If vectors ANSWER: 13.

If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then a unit vector to đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ANSWER: 13. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then a unit vector perpendicular to đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ANSWER: 15.

The distance from the origin to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;.( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) = 7 is 19.

IfANSWER: A is a matrix ofthe order 3, then det (kA) =3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ANSWER: k+infinitely det(A) ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 18.

A = then A is ANSWER: ďż˝ ďż˝ đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; ďż˝of ďż˝ 3y â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;ďż˝â&#x192;&#x2014; 14.

TheIf point intersection of lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + ) + t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) and 11.

The unit normal vectors to the plane 2x + 2z= 5 are ANSWER: Âą (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) 14.

The point of intersection of the lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 12 reduces to two equations and has many solutions..

ANSWER: reduces to two equations and has infinitely many solutions..

19. If5 A is a matrix ofANSWER: order 3, then det (kA) = ANSWER: k det(A)13. If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 0 5 0 đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then a unit vector perpendi đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

11.

The unit normal vectors to the plane 2x y + 2z= đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§11. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;1 ďż˝â&#x192;&#x2014;vectors ďż˝â&#x192;&#x2014;5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; The point ofthe intersection ofx+y+cz=0 the lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; =(a 5 -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; +are 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;Ifâ&#x192;&#x2014; +đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +, ďż˝â&#x192;&#x2014;(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ďż˝â&#x192;&#x2014;plane 11. the 12. â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;=2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ++normal đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;+â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014;++3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; =- are 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;+the +)3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ,â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;then then the area of5 the The unit 2x - area y(1, + 1, 2z= are đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;solution. â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;)==(-đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ))t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +â&#x192;&#x2014;and s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +++to 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;ANSWER: )ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: 2) 11. The normal vectors to plane 2x y + 2z= ANSWER: Âą 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 20.unit The system of14. equations ax+y+z=0, x+by+z=0, has non-trivial ďż˝â&#x192;&#x2014; = = and = Skew.

9.

The two lines ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; 2 �����â&#x192;&#x2014; 14.

The point of intersection of the lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( â&#x192;&#x2014; + â&#x192;&#x2014; ) + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) and 3 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; 20. of ax+y+z=0, x+by+z=0, has non-trivial solution.

12. đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; =+�����â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;order +0+14. đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;+â&#x192;&#x2014;equations , đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; =3, đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;det +of3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;(kA) â&#x192;&#x2014;intersection +(1, 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then the area ofa the quadrilateral +a 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;If +The 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;is )system s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;3, 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )point 2) â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 00ďż˝â&#x192;&#x2014;, x+y+cz=0 0 02đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 0matrix of lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;1â&#x192;&#x2014; of =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;+=( 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; +â&#x192;&#x2014; +3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )PQRS t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +iss(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ANSWER: đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; )â&#x192;&#x2014;and 17.

If of order then (kA) ďż˝â&#x192;&#x2014;2is ďż˝â&#x192;&#x2014;) 5ANSWER: 12 20 ďż˝the 3 â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019;5 12 19.đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; =( If A2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;is =1,,+ANSWER: kâ&#x2C6;&#x2019;1 det(A) ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: �����â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; ++đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;PQRS 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) â&#x192;&#x2014;+ANSWER: â&#x192;&#x2014;+ANSWER: +lines +đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;53đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 1,+ of the quadrilateral 12. =10ďż˝2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;then +1The â&#x192;&#x2014;A +then đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;det then area14. the quadrilateral PQRS is ďż˝â&#x192;&#x2014;) + (1, 18.

If AA =If=1ďż˝ađ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; ANSWER: 18.matrix IfA A2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ďż˝of ďż˝ then ďż˝â&#x192;&#x2014;+) +3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; The point of intersection of the =(đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; +đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +â&#x192;&#x2014; 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 12 12 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;=( â&#x192;&#x2014; ,+isis 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;ANSWER: += 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x192;&#x2014; ďż˝+ďż˝2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x192;&#x2014; 35 + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝) the ANSWER: (1, 1, 2) ďż˝â&#x192;&#x2014;) =â&#x192;&#x2014; 7 1= ANSWER: Then 1.

15.

The distance from the origin to+â&#x192;&#x2014; the plane â&#x20AC;&#x201C;area đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;the + 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 00+ďż˝â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 010+ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

551+ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

5det(A) ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022; If �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 12. đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; = 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ,đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; then area đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; ) + s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) ANSWER: (1, 1, 2) 12.

If đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , then the of thep Then + + = ANSWER: 1.

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; = ANSWER: k ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;5 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;3k) �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; 13.

If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then a unit vector 15.

TheThe distance from the origin to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(â&#x192;&#x2014;+x+by+z=0, 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x20AC;&#x201C;ďż˝â&#x192;&#x2014;,đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;)â&#x192;&#x2014;then +ďż˝â&#x192;&#x2014;+5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )â&#x192;&#x2014;x+y+cz=0 =+ 7 is ANSWER: 10.

The projection of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; on Z-axis is ANSWER: 0. ďż˝â&#x192;&#x2014; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

12.

If 13. đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; = 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; the area of the quadrilateral PQRS is ANSWER: 20. system of equations ax+y+z=0, has a non-trivial solution.

12.

The point of intersection of the lines r =( -i + 2j + ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; + s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) ANSWER: (1, 1, 2) 3 3perpendicular to ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; a-a matrix 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;15. + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;of and =3, 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;ďż˝â&#x192;&#x2014;from â&#x192;&#x2014;then + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; the +det 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;(kA) then aANSWER: unit vector đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;origin is+ ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;from đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;2) đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;1, distance to the đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;The 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;+) =3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;7+is5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+and s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;the 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;is ) ANSWER: (1, 19. ==then det(A) 19.IfIf Ifđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;AA=is order 3, ANSWER: k15. det(A) distance the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(k 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;=(+perpendicular 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?and ďż˝â&#x192;&#x2014;to đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022; plane â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 2 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 13.

Ifis đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; =matrix đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;The â&#x192;&#x2014; of + order 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?then = 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;det + origin đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +(kA) a unit vector â&#x192;&#x2014;+7and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;+ 5 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 0 +â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C;t(-2i + j +2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;kâ&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C;) and rďż˝â&#x192;&#x2014;to =( 2i +isâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; 3j 5k ANSWER: ) + s(i + 2j + 3k 15. plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + ďż˝â&#x192;&#x2014; 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) =đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ANSWER: (adj A) AA) =The ANSWER: ďż˝ the origin to the â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

18. 121.

If AIf 1A= = ďż˝23 141ďż˝ then then (adj A distance = ANSWER: 2 ďż˝ from đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022; then ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; -+v ďż˝â&#x192;&#x2014;(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 13.

If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; a unit ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 0 5 â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; Then20. + + = ANSWER: 1.

14.

The point of intersection of the lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 1 -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; vectors If2đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;adistance â&#x192;&#x2014; )5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +and and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?to5đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?=ďż˝â&#x192;&#x2014;the 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +ANSWER: đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then aďż˝â&#x192;&#x2014;+vector unit normal to the 2x -3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; y2) 2z= are The distance from plane 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x20AC;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;- +đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; +đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )to = +đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 7 is ANSWER: system of ax+y+z=0, x+by+z=0, x+y+cz=0 solution.

The of equations equations x+by+z=0, x+y+cz=0 has aplane non-trivial solution.

15.

The from the 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +Âą 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;unit = 7â&#x192;&#x2014;)is ANSWER: 1, ďż˝â&#x192;&#x2014;13. ďż˝â&#x192;&#x2014;(1, ďż˝â&#x192;&#x2014;15. ďż˝â&#x192;&#x2014;the 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

The point of intersection of lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; origin =( +to2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;the + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) +has t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;=non-trivial 5- 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; 0â&#x192;&#x2014;system If 14. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;20. = 22. đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;ďż˝The 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;11. =the 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;The +ax+y+z=0, đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;the + is2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then a1đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; unit vector perpendicular â&#x192;&#x2014;origin and isâ&#x192;&#x2014;plane ANSWER: đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 2 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; A) A = 13.

ANSWER: ďż˝+ â&#x2030; p(A) p(A, B) systemof ANSWER: 14.If The point of then intersection the lines Inconsistent. =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) + t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) and â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 0 5 11 ++ 11 ++ 11 == ANSWER: to theđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;plane 2â&#x192;&#x2014;r.( =( 13.

2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;point â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;The +23đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;distance 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) +from s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +the2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; the + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;lines ) ANSWER: (1, 14.đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; The of+ intersection oforigin =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; +1, 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;2) )+ Then ďż˝â&#x192;&#x2014;1.

312.

2â&#x192;&#x2014;ANSWER: đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;Then =( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? +â&#x2C6;&#x2019;1 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? )1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; + đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +=3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )â&#x192;&#x2014;1.ANSWER: (1,=1,đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;14.

2) ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; The point of intersection of the lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;PQRS + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

If 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , then the area of the quadrilateral ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) + s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) ANSWER: (1, 1, 2) 14.

The point of intersection of the lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) + t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) and the system is ANSWER: 23. If the Inconsistent. matrix ďż˝ 1 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;3ďż˝ has an inverse then ANSWER: k â&#x2030; -4.

1 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; distance =( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;from â&#x192;&#x2014; + 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;the )đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;+ origin s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;to â&#x192;&#x2014; +the 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;)plane ANSWER: 2)ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;(1, â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;1, + 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 1 4the 5origin to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;15.

15. The distance from + 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;The ) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;=â&#x192;&#x2014; 7 ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;) + đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) ANSWER: (1 =( â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014; +is 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; +n-15đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝â&#x192;&#x2014;)is=2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 2 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; 15. from the origin to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;.( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 7 ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;)matrix ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; =( 24.

2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;+ +distance 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; + s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) ANSWER: (1, 1, 2) If The I3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; isâ&#x192;&#x2014;the unit of order n, where k â&#x2030; 0 is a constant then adj(kI) = ANSWER: K (Adj I) 13. If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and 11đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then a unit origin vector perpendicular 2tođ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;a 15. The distance from the â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C; +5 â&#x2C6;&#x2019;3ďż˝ has an inverse then ANSWER: k â&#x2030; -4. T 2 25. If A = [2 0 1] then rank of AA is ANSWER: 1.

2 ďż˝â&#x192;&#x2014;The distance from the đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022; origin to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C; 15.

5 15. The distance from the origin to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( p(A) 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C;= number đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +of5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;the ) = lines 7 is ANSWER: The of intersection đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;then =( the -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +system 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) + t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;)2 and 26. In the homogeneous14. system withpoint three unknowns, of unknowns, f order n, where k â&#x2030; 0 is a constant then adj(kI) = ANSWER: Kn-1(Adj I)

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40

41. The shortest distance of the point (2, 10, 1) from the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) = 2â&#x2C6;&#x161;26 ANSWER: 2. đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; 42. The projection of 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; on 4đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; is ANSWER: 40. The vector equation of a plane passing through a point â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?whose position vector is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; and

perpendicular to a verctor isďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; = q is connected 43. The angle between the line đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; +đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; tđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? and the đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.plane

7

shortest distance of theďż˝â&#x192;&#x2014; point (2, 10, 1) from the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;vector ) = 2â&#x2C6;&#x161;26 2.

2i â&#x20AC;&#x201C; j + 5k) =41.

7 isThe ANSWER: a point whose position is aANSWER: and perpendicular đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? .đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; by the ANSWER: sinof đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝ a=â&#x2C6;&#x161;30 đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; 40.relation The vector equation plane passing through a point whose position vector is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; and ďż˝â&#x192;&#x2014;on to a verctor n is ANSWER: r . n = a . n ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;|4đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ďż˝|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 42.

The projection of 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is ANSWER: 16. If a, b, c are three mutually perpendicular unit vectors â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ďż˝â&#x192;&#x2014;|= aâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;verctor đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; =shortest đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; distance of the point (2, 10, 1) from the then 39. đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.The lar unit vectors â&#x192;&#x2014;|= unit vectors then â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;|= ANSWER: â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 44.

Ifthen [|a|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+b+c +|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ,perpendicular đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ANSWER: +The đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,ANSWER: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;between ] to = 8, then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;,=is đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; ,ANSWER: ANSWER: 4.

43. angle the line +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] tđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; is and the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; = q is connected plane r (3i - j + 4k) = 2â&#x2C6;&#x161;26 ANSWER: 2.

17. The non parametric vector equation ofof a plane passing a plane passing through three points, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; the plane passing through points, The shortest distance the (2,vectors 10, from the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; -of đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +intersection 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) = 2â&#x2C6;&#x161;26ofANSWER: 2.

16.

If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;equation ,41. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; three are three mutually perpendicular unit then â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;|= the ANSWER: 45.The of the plane passing through point1)(2, 1,|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; -1) and line â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; by the relation ANSWER: sin đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝point =are ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;| through three points, whose position vectors a , 40.

The projection of 3i + j - k on 4i - j+ 2k is ďż˝đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ďż˝â&#x192;&#x2014; nit vectors then |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;|= ANSWER: â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; NSWER: [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;The đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;]â&#x192;&#x2014;,â&#x192;&#x2014;projection ] [r =0 ďż˝â&#x192;&#x2014; isANSWER: 17. non parametric plane passing through three ,the câ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;isđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019; ANSWER: -avector bďż˝â&#x192;&#x2014;-a -a 0đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;of ANSWER: WER: [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; â&#x192;&#x2014;,bThe â&#x192;&#x2014;, â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019; â&#x192;&#x2014;,đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;),-=đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;,2=0 42. â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+, ]]đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;= -8, on 4đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; + ANSWER: planes =â&#x192;&#x2014;,, cequation 0 â&#x192;&#x2014;then +a2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; + 9ypoints, + 11z = 0 44.

If=[+0 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; + â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;-, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?of đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +and =đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;]2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is is ANSWER: 4. x â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ane passing through three points, The vector equation of a plane passing through a point whose position vector is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; and 40. The vector equation of a plane passing through a point whose position vector 18.

The shortest distance of the point (2, 10, 1) from the ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 41.

If [ a + b, b + c , c + a ] = 8, then [a , b , c] is ANSWER: 4. ďż˝â&#x192;&#x2014;4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 10, from the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +equation )the = are 2â&#x2C6;&#x161;26 isđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?,ANSWER: 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; ifďż˝â&#x192;&#x2014; [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 45.The of the plane passing the and ofđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? intersection of đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; is ANSWER: â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019;xpoint đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;, â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, â&#x192;&#x2014;is â&#x2C6;&#x2019;ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;,= ]qthe =is0line whose position vectors 1) 1) from the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;The - â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;-+angle ) =between 2â&#x2C6;&#x161;26 isđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;,vectors ANSWER: 2through ďż˝â&#x192;&#x2014;| đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?=(2, 46.

The angle đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; and .1,đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?-1) 43. the + tđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; and the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; connected -â&#x192;&#x2014;, j +]between 2â&#x2C6;&#x161;26 istwo ANSWER: ER: [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019;perpendicular đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;plane â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;(3i â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 0) = đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; perpendicular to đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, a rverctor ďż˝â&#x192;&#x2014;=verctor is ANSWER: đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;= đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;line â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.2đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;= =đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;. to ađ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;4k đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; is ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 42. The angle between the two a and b if |a x b | = thethe planes đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;the + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;+- đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) =đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 0 and8 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + from 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;) = the 2=0 plane is ANSWER: + ďż˝â&#x192;&#x2014;11z 0vectors ďż˝â&#x192;&#x2014;(2, (- đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;-) đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;+) t(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; + 19. t(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +The â&#x192;&#x2014;7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +ďż˝â&#x192;&#x2014;7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) intersection and plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 18. shortest distance of đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;x- +đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;9y + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) = =2â&#x2C6;&#x161;26 is ANSWER: 2 â&#x192;&#x2014; +â&#x192;&#x2014;The 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; +point ) ďż˝â&#x192;&#x2014;of and the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +â&#x192;&#x2014;line đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;point â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;r-)=( =)i8=-10, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; of the kisđ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝ )is+1) t(3i ďż˝â&#x192;&#x2014; ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + .with b 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; isďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: Ď&#x20AC;/4 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - 6đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; 47.

The work done in moving a particle from the point A position vector â&#x192;&#x2014; + 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝â&#x192;&#x2014; by the relation ANSWER: sin = ďż˝â&#x192;&#x2014; ) from the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) = 2â&#x2C6;&#x161;26 is ANSWER: 2 The shortest distance of the point (2, 10, 1) from the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; ) = 2 ANSWER: 2. â&#x2C6;&#x161;26 ďż˝â&#x192;&#x2014;plane ďż˝â&#x192;&#x2014;| = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 41. The +shortest of the point 1) from the â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; -. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;) = 2â&#x2C6;&#x161;26 ANSWER: to2.the point B ďż˝â&#x192;&#x2014;| đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? angle the two đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;ďż˝đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;and if |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; is ANSWER: ďż˝|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2j + 7k) distance and46.theThe plane r (ibetween + j - k )(2, = 810, is vectors đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; 19. The point of intersection of the ďż˝â&#x192;&#x2014;line đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; =( đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; -đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;) + t(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; +The 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;)done and in the plane â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; -from đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) =the 8 is 43. work moving ađ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; particle point A đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; by8ďż˝â&#x192;&#x2014;aaisparticle force from đ??šđ??šđ??šđ??š = ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;the + point 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; is ANSWER: 28.2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - 6đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; to the point B with vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; --moving 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝â&#x192;&#x2014;)â&#x192;&#x2014; +position ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;in đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;lly) perpendicular +projection t(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;The + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; +of 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and the plane â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +-4đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; unit vectors |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;ANSWER: (-8, -6, The 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; then -of đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;[3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; on â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; The done A with position vector 42. projection +đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?ďż˝â&#x192;&#x2014;4đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;-22) â&#x192;&#x2014;work on â&#x192;&#x2014;ANSWER: ANSWER: 44.

If47. â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;|= ,--đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;ANSWER: ++ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; is +- â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; â&#x192;&#x2014;)+]= =2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 8,isthen [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 4. with position vector 2i 6j + 7k to the point B with đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? a = unit vector if ANSWER: (-8, -6, -22) athrough =ďż˝â&#x192;&#x2014; |đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;||đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;|three points, nitequation vectorofifaANSWER: or plane passing position j -and 5k the by through aline force F the = i +point 3j - kđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;is+ofđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; is pendicular unit vectors then |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;|= ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;vector 20.

If aIf isthe a45.The non-zero vector andâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; m isplane aâ&#x192;&#x2014;a- unit if đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +đ??šđ??šđ??šđ??šâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;=ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; the 48. magnitude of moment about the of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + 1, ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;3i â&#x192;&#x2014;-1) -- đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;28. acting bypoint a force + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;a â&#x192;&#x2014; point -force đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; is vector ANSWER: with position vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; -passing 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; the (2, of intersection đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?vectors ďż˝â&#x192;&#x2014; and The angle between the line đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;equation â&#x192;&#x2014;the = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;vector + tđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;ofand the ďż˝â&#x192;&#x2014; plane = through q ismutually connected 43.

The angle between line = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; + tđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; if= ANSWER: qperpendicular is connected đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?the are three unit then |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;|= ANSWER: â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 16.

ANSWER: ANSWER: a28. = |đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;| 20.passing If when đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; is a ANSWER: and m isIfplane đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;, is aâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; unit vector ation three is ANSWER: [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;through â&#x192;&#x2014;ANSWER: â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;non-zero â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; points, â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;,a=4, ] b=4, = 0b=4, re đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;erpendicular â&#x192;&#x2014;, of đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, ađ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; plane re c=5. erpendicular when a=4, c=5. ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 48.

If the of magnitude of moment the pointďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; of a force đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; acting through the point đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; is value a.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; is 2.about =the vector if ANSWER: â&#x2C6;&#x161;8 thea the non parametric equation a plane of passing three planes +ANSWER: 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;ck â&#x192;&#x2014; 17.

-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014; The ) perpendicular =0 and đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + vector 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) =If 2=0 isofANSWER: x +through 9y about + 11z =points, 0 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 44. the magnitude moment the point j + k of a 21.

The vectors 2i+ +â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;bj , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;the is ANSWER: [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;ANSWER: â&#x2C6;&#x2019;relation đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; the â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;,plane đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?|đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;| â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;3j+ â&#x192;&#x2014;,đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ]đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝=4k đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;he point (2, 10, 1) from â&#x192;&#x2014;=0- đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;,ai +sin 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝=+= 2â&#x2C6;&#x161;26are is ANSWER: 2 by relation sin by the ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; the the value of a is ANSWER: 2. , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 4. â&#x2C6;&#x161;8 21.

The vectors 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; +a=4, 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ďż˝đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?+b=4, 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +passing cđ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; are erpendicular when ANSWER: a=4, b=4, c=5. ďż˝â&#x192;&#x2014;| , đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +ďż˝đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;bđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ďż˝|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 4. ANSWER: ďż˝|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;|whose force i + aj k acting through the point i + j is ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

49.

The vector equation of a plane through the line of intersection the planes đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; when c=5. , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; is ANSWER: [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;, ] = position vectors are đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

10= q1 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; pendicular when ANSWER: a=4, b=4, c=5.

46.

The angle between the two vectors đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? if |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? | = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; nt the (2, line 10, đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;1) plane â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; -The đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;)+and 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )the = 2â&#x2C6;&#x161;26 isđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ANSWER: of â&#x192;&#x2014; =(from đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;the ) + t(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; +â&#x192;&#x2014; 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; plane â&#x192;&#x2014; +ofđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;a- plane đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;) =2 8 passing is 49. vector equation through the line of intersection the planes đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;1 = q1 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;8 the the value of a is ANSWER: 2. ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; 44. ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? on đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;[â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;are then angle between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? isđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;2 of fof[ of +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?on đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?are +â&#x192;&#x2014;b, =2ďż˝â&#x192;&#x2014;cđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?=,8, â&#x192;&#x2014;8,between ,] then đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?=[a ,8,đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?,â&#x192;&#x2014;]bthen is ANSWER: ađ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?[â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;equal, +,đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; b+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?]+ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?,â&#x192;&#x2014;, c+q++then 8, ,18. isThe ANSWER: 4.â&#x192;&#x2014;.ANSWER: 22.

If+[and +â&#x192;&#x2014;then đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?the â&#x192;&#x2014;,a] đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;=] ANSWER: + ,qđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?1and â&#x192;&#x2014;]ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;4. is 4. (2, 10, 1) from the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) = 2â&#x2C6;&#x161;26 is ANSWER: 2 distance the point â&#x192;&#x2014;Ifđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;the đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;is â&#x192;&#x2014;angle =[đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;c] ,â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?shortest â&#x192;&#x2014;] is đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; on đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;,â&#x192;&#x2014;If22. equal, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;,â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;[đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ),đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ANSWER: (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; - q4.

2 the 1 -is 2) = 0 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; =( đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) + 4. t(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.+ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ) and đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; -(đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;.) =đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 8 ďż˝â&#x192;&#x2014; to the point B islineANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;1 - q1) +from đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;the ) = 0 A with position vector 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - 6đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.plane đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;done 2 = q2 isinANSWER: 2 - q2 47.7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;The work moving a(đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.bparticle point 45.

If a+b +đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;of c=( =0 |b|=4 |c|=5 the 23.

If the projection of a on b and projection of on a are đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

19.

The point of intersection of the line đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - line đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;,the )|a|=3; + t(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;of â&#x192;&#x2014;between + and 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) and the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;angle +ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;is - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) = 8 is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?then he equation ofIfthe plane passing through the point the (2, of 1, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;-1) and the line intersection ďż˝â&#x192;&#x2014; and equation the passing through point (2, -1) and the of the projection of on|đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? and projection on đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; 1, are equal, then angle đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ďż˝â&#x192;&#x2014;of ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;,|=4 ďż˝â&#x192;&#x2014;isâ&#x192;&#x2014;intersection đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? of ďż˝â&#x192;&#x2014;Ifplane ANSWER: aâ&#x192;&#x2014;|=3; =ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;|đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;| and m45.The is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; is 23. a50. unit vector ifđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;=0 , |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; and |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;|=5 then the angle between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝ between a and b is ANSWER: 50. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;=0 |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;|=3; |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? |=4 and |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;|=5 then the angle between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;(-8, equal,then then the angle between a +b and a -b is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; on đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; are equal, the angle between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

-6, -22) by a force đ??šđ??šđ??šđ??š = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is ANSWER: 28. with position vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? aâ&#x192;&#x2014;and =ANSWER: isâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+planes vector if3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;)đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;is) ANSWER: 3 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 13ďż˝â&#x192;&#x2014;b=4, he đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;are â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;erpendicular â&#x192;&#x2014; -đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;4 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;are )â&#x192;&#x2014; +when = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; 0 â&#x192;&#x2014;+ )1=, â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;2ďż˝ 2=0 x 46. + 9yIf +a x11z 0++11z the â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; - đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; =ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x2C6;&#x2019; 0 and + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; =x2.

2=0 is =ANSWER: x (b + 9y =0 ďż˝â&#x192;&#x2014;+ANSWER: bđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;-â&#x192;&#x2014;aâ&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;unit a=4, c=5. ďż˝â&#x192;&#x2014; planes x= c) (c (b đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śxâ&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? are a)đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014;=parallel x x yparallel then + â&#x192;&#x2014;is(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; -cđ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +51.

4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )| ďż˝â&#x192;&#x2014;,đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ďż˝0 ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;x x(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ďż˝â&#x192;&#x2014;and +đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )| =4 2. ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; or ďż˝+â&#x192;&#x2014; cor â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? xâ&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;) (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? +x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?aâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;= xđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;)xvector x đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014;and then 0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; xand đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?ANSWER: If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;= are x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x51. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;)If+|đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;| (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x2 ,+đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;2â&#x192;&#x2014;) + 20. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; xxand â&#x192;&#x2014;) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; then ANSWER: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; vector =b= x orifđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śxâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x192;&#x2014;=a=0ďż˝â&#x192;&#x2014;) or 0 are 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?, â&#x2C6;&#x2019;2ďż˝ 2x ađ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; =and If (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; is non-zero m ANSWER: is ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; is a unit |đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;|ythrough 48.

If the magnitude of moment about the point đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; of a force đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +yANSWER: đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;1xacting the point đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER: x = 0 or =ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;0-3or and are parallel đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;8,+ then cđ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;angle are when ANSWER: a=4, b=4, c=5.đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ďż˝â&#x192;&#x2014; ifđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;|2r ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;|-if=j +|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;is|ďż˝â&#x192;&#x2014;=ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;erpendicular ,24. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?between , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 4. radius ďż˝â&#x192;&#x2014; The the two vectors đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

The centre and of the sphere + (3i 4k)| ďż˝â&#x192;&#x2014; 46.

The angle between the two vectors â&#x192;&#x2014; and â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;)| = 4 đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;are â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ -ďż˝â&#x192;&#x2014;is đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +-5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; isďż˝â&#x192;&#x2014;4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ANSWER: -đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ANSWER: 52.

The projection of +đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;.

2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;.- + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;|2đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; ďż˝â&#x192;&#x2014;24.

The centre and radius of â&#x192;&#x2014;��â&#x192;&#x2014;. +is đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+ +4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝â&#x2C6;&#x2019; ,ANSWER: , â&#x2C6;&#x2019;2ďż˝ and 2. + +đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; ďż˝0â&#x192;&#x2014;= .0 . |đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ Ifďż˝â&#x192;&#x2014;|=3, |đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;|=3, |đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;|=4, |đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;|=5 ďż˝â&#x192;&#x2014;. +on đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; +on ďż˝â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ��â&#x192;&#x2014;+ ďż˝â&#x192;&#x2014;=đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ If52. |đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014;|=4, |đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;|=5 then ďż˝â&#x192;&#x2014;.the â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;sphere ��â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;+2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 1đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 21.

The vectors â&#x192;&#x2014; +â&#x192;&#x2014;is 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ANSWER: , đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;The + bđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;projection +-cđ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; are erpendicular when a=4, b=4, c=5.

2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; The projection of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +3then -đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 2 2i 2 - j + 5k is 47. of iđ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;+ 2j - 2k on ANSWER: = and 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;and â&#x192;&#x2014;[đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;- , đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;projection 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;is)| 4 aređ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;ANSWER: ANSWER: ďż˝â&#x2C6;&#x2019; ,2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;, â&#x2C6;&#x2019;2ďż˝ 2.â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;-and the the of aand is ANSWER: â&#x2C6;&#x161;8 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? +, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] ANSWER: 4.are â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;n of 4 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; are on equal, then thevalue angle between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;2. â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; is2.

2 2 10 ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 53.The vector (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?the ) x22. (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; Ifx [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)â&#x192;&#x2014; the is ANSWER: perpendicular to the line of intersection of the The work done in moving a particle from point A with position vector 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 6đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; to the point B ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 47. The work done in moving a particle from point A with position vector 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 6đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; to the point ďż˝ â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; ] = 8, then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 4. đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;the beďż˝â&#x192;&#x2014;angle vectors such that ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ��â&#x192;&#x2014;|u= 0 . If |đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;|=3, |đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;|=4, |đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;|=5 then đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;.Bđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; is 25.

Let u,đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ďż˝â&#x192;&#x2014;,vequal, and w be vectors such u+ va+plane wďż˝â&#x192;&#x2014;+=isđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł0â&#x192;&#x2014; passing .+perpendicular Ifđ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: â&#x192;&#x2014;) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;is projection of25. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;53.The onLet đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; are then between â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ â&#x2C6;&#x161;30 vector (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; vector x then đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) x equation (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łxâ&#x192;&#x2014; +đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;that tothe theline lineofofintersection intersectionthe of planes the đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;1 = q1 49.

The of through đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; = ďż˝0â&#x192;&#x2014; . If |đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;|=3, |đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014;|=4, |đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;|=5 đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; is ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 48.

The vector (a xb) x (cx d) is ANSWER: perpendicular plane containing đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? and the plane containing đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; |=3, |v |=4, |w |=5 then u. v + v. w + w . u is ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 23.

If the projection of đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; on đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? and projection of đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? on đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; are equal, then the angle between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; is â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; by a force đ??šđ??šđ??šđ??š = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is ANSWER: 28. with position vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝â&#x192;&#x2014; eir magnitudes are 2 and then đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ANSWER: -â&#x2C6;&#x161;3 â&#x2C6;&#x161;3 3 1 ANSWER: -25 by ,a , force đ??šđ??šđ??šđ??š 2.= đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is ANSWER: 28. with position 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;ANSWER: -đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?- is 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ANSWER: magnitudes -â&#x2C6;&#x161;3 ďż˝â&#x192;&#x2014;vector the sphere |2đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; + are (3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; -2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +and 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )|â&#x2C6;&#x161;3 = 4then are ďż˝â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2ďż˝ and ďż˝â&#x192;&#x2014; ANSWER: â&#x192;&#x2014; q2 isđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? containing q ) + đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; q ) = 0 and đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;= and to the line of intersection of the plane containing a 11 2 2 plane containing and the plane đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 2 and [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;] = [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;] then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 2.

54.

If đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§+3 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; are3 non-coplanar ANSWER: -25đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§+3 ANSWER: 6 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+4đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+4đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+1đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+2 1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+1 o ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ďż˝â&#x192;&#x2014; b+2and plane containing ďż˝â&#x192;&#x2014;are the magnitude moment the +ďż˝â&#x192;&#x2014;and of â&#x192;&#x2014; -and đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;acting through đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +c and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;point is d -â&#x2C6;&#x161;3 = |2đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; is ANSWER: -4) â&#x192;&#x2014; +=If (3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;and -đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;and +magnitude =. If4=đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

ANSWER: ďż˝â&#x2C6;&#x2019; , point , â&#x2C6;&#x2019;2ďż˝ and 26. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;of and include angle 120 are thenthe đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;point isďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: 48. of=|đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łabout moment about the point +ismagnitudes đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ofđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +a ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; force ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;and â&#x192;&#x2014; -the đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x161;3 acting through the đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; is ďż˝â&#x192;&#x2014;= =6sfhere is+an ANSWER: 0, -4) such that đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;8 +the +If đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; =ďż˝â&#x192;&#x2014;)| 0 |đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;|=3, â&#x192;&#x2014;|=4, |đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;|=5 ďż˝â&#x192;&#x2014;.(0, đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +(0, đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł2. â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;0, +their đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;.ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;force 2, then 2 â&#x192;&#x2014;|=3; o đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝ â&#x192;&#x2014; 4= 250.

4=đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019;2 3 1 If â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;=0 |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? |=4 |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? the angle đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;)|and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?are isâ&#x192;&#x2014;,ANSWER: ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;|2đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;between ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] isďż˝â&#x2C6;&#x2019; ďż˝â&#x192;&#x2014; 4 â&#x2C6;&#x2019;8 2 4 â&#x2C6;&#x2019;2 ďż˝â&#x192;&#x2014; 26.

If a and b include an angle 120 and their magnitudes COMPLEX NUMBERS đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; are non-coplanar and [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;-â&#x2C6;&#x161;3 â&#x192;&#x2014; xcentre đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;and , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;and x3.â&#x192;&#x2014;|=5 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,radius đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; then x 49. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;]the =If [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;] then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

ANSWER: â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?,â&#x2C6;&#x161;3 magnitudes 54. are If 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;and then đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ANSWER: 24. The of sphere + (3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; = 4 a, b , c are non-coplanar and [a x b , b x c,2cđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?, 2x, â&#x2C6;&#x2019;2ďż˝ a =and2.2. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;6 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+4 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§+3 ďż˝ â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;5 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;3 that đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; = 0 .

If |đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;|=3, |đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014;|=4, |đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;|=5 then đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; is đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;5 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ of â&#x2C6;&#x2019;3 the 8 the the value of a is ANSWER: 2. are 2 and â&#x2C6;&#x161;3 then a , b is ANSWER: -â&#x2C6;&#x161;3 the the value of a is ANSWER: 2. = = and = = is ANSWER: (0, 0, -4) 27.

The point of intersection lines â&#x2C6;&#x161;8 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? allel lines = = and = = ANSWER: 3.

25 3 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§+3 el+4lines = = and = = ANSWER: 3. [a + b, b + c, c + a] then [a, b, c] is ANSWER: 2. â&#x2C6;&#x2019;6 4 â&#x2C6;&#x2019;8 2 4 â&#x2C6;&#x2019;2 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝ ďż˝ â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 1.

The polar form of the complex number (i ) is ANSWER: Cos i sin ďż˝ â&#x192;&#x2014; 4 2 2= â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;3=If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 4ANSWER: đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; be vectors đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; = 0đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?. Ifđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014;|đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;|=3, |đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;|=4, ��â&#x192;&#x2014;|=5 đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014;+ đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; +parallel đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; is 25. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;,3.

51. â&#x192;&#x2014;2 4xand x2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;)2 +đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;.â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;xâ&#x2C6;&#x2019;3 (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; 0, xLet đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) +đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;-â&#x2C6;&#x161;3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;and x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; such x đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014; that thenđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ďż˝â&#x192;&#x2014; +ANSWER: = 0 or đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014; =|đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ 0 or then đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; and are COMPLEX NUMBERS = o and4and is(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

(0, -4) theirThe magnitudes is ANSWER: â&#x2C6;&#x161;3 then 4e 120 â&#x2C6;&#x2019;8 27.

2 point 4 â&#x2C6;&#x2019;2 intersection of the lines đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3of đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 The vector equation ofof aare plane through the line-25 ofthe intersection theđ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;5 planes đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. planes đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;1 =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 q1NUMBERS 49.

The vector equation ofpassing a plane passing through line intersection the đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;=â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;3 q1 1 = ANSWER: 3.

COMPLEX ďż˝â&#x192;&#x2014; ANSWER: 22a 23the 24 25 is if 28.

The shortest distance between parallel lines = = and = 3. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; the angle between them, then (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ) is unit vector đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;6 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+4 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§+3 2.

The value of i + i + i + i + i ANSWER: i. oe angle between them, then (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ) is a unit vector if đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;5 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 ďż˝â&#x192;&#x2014; is2ANSWER: 252đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; 3 - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +45đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

4 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 2 â&#x2C6;&#x2019;3 and are 2 and isâ&#x2C6;&#x2019;3 ANSWER: â&#x2C6;&#x161;3=projection and =đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;.=đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§complex (0, 0,ďż˝â&#x192;&#x2014; -4) of thetheir linesmagnitudes on 52.

The ofANSWER: đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;-â&#x2C6;&#x161;3 - 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; (0, 0, ines =â&#x2C6;&#x2019;6q1.=isThe = = polar and =then ANSWER: form of (i0 )-4) is ANSWER: Cos - i- sin 2 (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 4ďż˝â&#x192;&#x2014; the â&#x2C6;&#x2019;2 ) + đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;2đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 4 o đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;number q )3. and đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;64đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;2 =and 2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;3 4 â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§+3 2 - q1(đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? magnitudes =â&#x2C6;&#x2019;8qđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+1 ANSWER: â&#x192;&#x2014;.root đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;1 (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; -ofâ&#x192;&#x2014;. qunity )If2 +-đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; then đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;and â&#x192;&#x2014;.=đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;the đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;include - q2)anof=angle 0 - đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;120 â&#x192;&#x2014;.4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: 1 2(đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 2 4 their 2 2 is 3.

1 2 value 26. and are 2 and â&#x2C6;&#x161;3-16. then đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; is ANSWER: -â&#x2C6;&#x161;3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+4 2 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+2 ) + (1 + đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; ) is ANSWER: If đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; is a cube (1 + đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;5 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;3 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; = = and = = is ANSWER: (0, 0, -4) lines 1.

The polar form of the complex 29.The Iflines đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;shortest and2= đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? are two vector and đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝ is the then (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) is a unitnumber vector if(i25)3 is ween â&#x2C6;&#x2019;6 the parallel = units = parallel ANSWER: 3. angle between them, 4 â&#x2C6;&#x2019;8 4= â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019;2and 28. between the lines ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;6 to đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+4the đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;4line of đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+1intersection đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§+3 453.The 2 distance 4is 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ďż˝â&#x192;&#x2014; 22 23 24 25 vector (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x ) x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ) is ANSWER: perpendicular of the angle between them, then (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ) a unit vector if ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; The value + + i(8and + i -+â&#x192;&#x2014;|=5 i -The isangle i. between =ďż˝â&#x192;&#x2014; is are = ANSWER: = is ANSWER: (0, 0, -4) 27. point of angle intersection the lines ďż˝â&#x192;&#x2014;ib ďż˝|đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;,đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;5 f đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; +50. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + Ifđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;=0 |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; |=4 |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;|=5 the between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;ofand đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? bis ANSWER: -and i sin2 =15, 4.

Ifiand ađ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? +i|đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 -then (2i 7)ANSWER: then the values aofand -8. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;2. â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;,+đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;|=3; + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;=0 |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;of â&#x192;&#x2014;|=3; |=4 then the đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;respectively â&#x192;&#x2014; ANSWER: and đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ 6i) â&#x2C6;&#x2019;3 |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019;6 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?Cos 4 ANSWER: â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;8 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 4 the parallel =through = a point =whose =â&#x192;&#x2014;position 3. isifđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; lines and đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝ is thethrough them, then +â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;position )ANSWER: is a unit vector aunits plane passing point vector is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; and ANSWER: đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝and = 4whose plane passing vector â&#x192;&#x2014; and 4angle 2between â&#x2C6;&#x2019;3 a 2 (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;3 22 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3 234 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;124 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;525 ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 2 4 2 đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; plane containing đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? and the plane containing đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; The value i lines + i-then +ďż˝4â&#x192;&#x2014; iđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + ilocus isp ANSWER: 28. The shortest distance between the = + iofand = = i. ANSWER: 3.

5. If root p represents thethen variable complex number zđ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;and if |2z -parallel 1| =+2|z| is -16. đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; )â&#x192;&#x2014;=the is ANSWER: 3. Ifđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;x is cube unity the value of (1 -đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014;2. ďż˝â&#x192;&#x2014;of ďż˝0â&#x192;&#x2014;0 2 â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019;3 ďż˝â&#x192;&#x2014;of fand đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝x51. (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; 0 xIf đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?angle â&#x192;&#x2014;) â&#x192;&#x2014; ax+them, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;xx(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014; xxvector đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) then = +ďż˝0â&#x192;&#x2014;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;or)đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014;+==(1 or are parallel đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; +xANSWER: (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; 3. x+then (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?isâ&#x192;&#x2014; ax=unit (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? =if đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; ANSWER: x đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014; then ANSWER: orđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014; and =0 or đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; and â&#x192;&#x2014; are4 parallel between â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) + xđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;+)đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł] đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł] = is0=the 30. The non parametric vector a plane passing through a point whose position vector is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; and đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? equation of ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 3.

If Ď&#x2030; is a cube root of unity then the value ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 29.

If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? are two vector units and đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝ is the angle between them, then (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ) is a unit vector if ANSWER: x non-coplanar =- 7) then and [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; xof , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?and x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,bđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;respectively x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;] = [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ANSWER: + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;] 15, then-8. [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] isofANSWER: 2.

54.

If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?, ađ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;point đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?a Ifaaand +b ib =point (8 -vector 6i) -are (2i the are ane passing whose đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; isand đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; ďż˝â&#x192;&#x2014; 29.

If are two and θposition is angle or equation of 4. athrough plane through vector đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;-and ďż˝â&#x192;&#x2014;isvalues ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;whose on â&#x192;&#x2014;units -position +on 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; isvector ANSWER: The projection of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;passing +đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;a 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;-of 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; -â&#x192;&#x2014;the đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+[đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; +â&#x192;&#x2014;4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ANSWER: - (1 - Ď&#x2030; + Ď&#x2030; 2)4 + (1 + Ď&#x2030;- Ď&#x2030; 2)4 is ANSWER: -16.

The projection đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;and +side 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;-vector 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝â&#x192;&#x2014;isbetween ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? and a side vector đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is iagonal vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł is ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł] = 0 parallel to đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; and a đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; is onal52. vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER:= đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝ = them, then (a + b) is a unit vector if th ANSWER: đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;3. argument of ncomplex roots by1| ANSWER: SWER: - đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, 5. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;,passing đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł] ] = 0of [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;aâ&#x192;&#x2014; plane ation through6.aThe point whose position vectorofis anumber đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; complex and COMPLEX NUMBERS If =p0represents the variable znumber and ifdiffer |2z =(82|z| then locus p is of a and b đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?

4.

If a +- ib = - 6i) -the (2i -the 7) theofvalues ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;parallelogram â&#x192;&#x2014;) ishaving he vector (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; vector xThe đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;)area xarea (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ofxaof ANSWER: perpendicular to thevector line intersection of 53.The (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; )đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;aâ&#x192;&#x2014; xis â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ANSWER: perpendicular toofthe of intersection ofthen the 30.

The a non parametric vector equation plane through 30. a- diagonal vector a passing side vector đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; a- point 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + whose 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; is position vector is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; and 31. parallelogram having 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; +line đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;- of đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; aand ďż˝â&#x192;&#x2014;diagonal ďż˝â&#x192;&#x2014;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?and đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; having - đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł] = 0The a side vector đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is am a diagonal vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?15, -8. are ANSWER: 25 3 respectively 7.

Ifpolar zđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?1vector =vector 4form + 5ii -and z24k +ďż˝â&#x192;&#x2014; 2i is ANSWER: - i and axside side đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;3j - +3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;=+-3 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is thennumber nal vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; 3i +ANSWER: đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+-j-đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;k1. andThe a is of the complex ) is Cos i sin đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? and đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; is(iANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; = [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł] = 0 parallel to đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; 3â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? tually perpendicular of magnitude ciscontaining then theđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; plane containing đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;vectors and the đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;the and ANSWER: ally of a, b, c4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;then and amagnitude side vector đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;containing - 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;a, â&#x192;&#x2014;plane + b, ving aperpendicular diagonal vector â&#x192;&#x2014;and +vectors đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? plane containing đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;plane and the 5. The argument of nth roots of a complex number differ ANSWER: 3â&#x2C6;&#x161;30 8. The value of â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Ě&#x2026; is ANSWER: |z| 31.

The area of a parallelogram having a diagonal vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; and a side vector đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; is 22 23 24 25 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? th 2. The value + iaa,ďż˝â&#x192;&#x2014;complex + ďż˝â&#x192;&#x2014;ic then + i the is ANSWER: i.by ANSWER: perpendicular of magnitude ďż˝â&#x192;&#x2014;i ,+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;i [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014;,perpendicular ďż˝â&#x192;&#x2014; [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 6.non-coplanar argument of nâ&#x192;&#x2014; of roots number ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;]a,isb,ANSWER: 32.

If, a, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;,, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?câ&#x192;&#x2014;non-coplanar are aavectors right of vectors of c2.then the2. , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?of â&#x192;&#x2014; are and [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; xhanded đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? xof đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?triad â&#x192;&#x2014;,triad đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?,xb,đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;of â&#x192;&#x2014;]xmutually =đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?mutually [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? +differ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,+ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;by +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;]+ANSWER: then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;then ,đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?magnitude đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] is[đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;,ANSWER: fedđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;,triad đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;54. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;,are and â&#x192;&#x2014; x â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x = â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; + â&#x192;&#x2014;] đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

Ifmutually đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;The 31.

If b are right handed 9. Ifmagnitude a = 3 + i anda,z b, = 2c- then 3iANSWER: then the points 3â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; on the Argand diagram representing az, 3az and -az are yd of perpendicular vectorsvectors of the 4 2 4 |Z| mutually perpendicular ofa magnitude a, b, cunity then the 6.of The value of2)â&#x2C6;&#x161;zz is ANSWER: ER: abc. + (1 + đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; ) is ANSWER: -16.

3.

If đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; is cube root of then the value (1 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; + đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; perpendicular vectors of magnitude a, b, c then the 4 xoy plane. đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; ďż˝â&#x192;&#x2014; y plane. 7. Ifvalue đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] isz ANSWER: abc. of +[đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;5iđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?and 3. COMPLEX 3.

NUMBERS IfCOMPLEX đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;,NUMBERS đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; are a right handed triad z1 = 4 then is ANSWER: - iof mutually perpendicular vectors of magnitude a, b, c then the 2 = -3 + 2i 32. of ANSWER: xoy plane. bc. đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;If ađ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 7. = 3 + i and z = 2 3i then the points on the Argand value of [a b c] is ANSWER: abc.

4.

Ifâ&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; isa ++4đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ibâ&#x192;&#x2014;+12đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; = ďż˝â&#x192;&#x2014;(8 6i) (2i -value 7) then values of đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?a and b respectively are ANSWER: 15, -8. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? he origin to the đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;tđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;the =ďż˝â&#x192;&#x2014; 26 is ANSWER: 2.đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;]plane.

33. đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; plane = sđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +complex equation of xoy đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? is ANSWER: abc. of [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 25 origin toform the plane +4đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;+12đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) ďż˝â&#x192;&#x2014;=-)26 is- 3ANSWER: 2.â&#x192;&#x2014;2.đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;the diagram representing az, 3az and -az are SWER: xoy plane. he polar of number (iCollinear Cos - i sin dicular thepolar plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; +4đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+12đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) =)26isisANSWER: ANSWER: 1.from The form complex number (i25xoy )3 isplane.

ANSWER: Cos - i sin ANSWER: plane.

32. = sithe +to tjthe is of the equation of ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

8.rorigin The value ofthe đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Ě&#x2026; is ANSWER: |z| â&#x2C6;&#x161; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

33.â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; =đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;sđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;complex + tđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; is the equation ofzANSWER: xoy -plane.

5. Ifofpof represents the variable number and ifâ&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; |2z 1| = 2|z| then the locus of p is ude đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; magnitude then the magnitude of đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;)ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;) =(n, ANSWER: eors đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; of then the magnitude đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+12đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;ifâ&#x192;&#x2014;-of ANSWER: đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;from 34. length the perpendicular the to origin to the â&#x192;&#x2014;i(3n +4đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; 26 thenplane the magnitude đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;â&#x192;&#x2014;26 ANSWER: đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; 2.complex â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;the from the origin tođ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;The the đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+4đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; (m --=5) + is i(nANSWER: +â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; is conjugate ofplane (2m + đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 3) +Collinear -â&#x192;&#x2014;+12đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 2) then m) is areANSWER: 2.

33. length of perpendicular thepoints origin the 22the 23ďż˝â&#x192;&#x2014; 24 + i25 is from he value of ivalue +The i22a+ i23 +++4đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ii24 +10. i25 is ANSWER: i.4) 2.

The of i + i ANSWER: i. igin to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014;+12đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) = 26 is ANSWER: 2.

9.

If = 3 and z = 2 3i then the on the Argand diagram representing az, 3az andďż˝â&#x192;&#x2014; -az are 2 2 2 2 2 34.

The length of the perpendicular from the origin to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +4đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+12đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is ANSWER: 2. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? given ++yplane + 8y -r-6x +ANSWER: 10z +0 0 the +2 y+sphere 6x +the 10z 1 are given by đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;x-35. then đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;=-are đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;â&#x192;&#x2014;1 đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;by â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 8. The equation 4 - 3i andâ&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 4 +đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; 3i )as= 26 roots is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? of +4j )ANSWER: =x=given 26 isďż˝â&#x2C6;&#x2019;ANSWER: 2. đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; then the ymagnitude z+2 z- 6x 8y -magnitude 10z +8y 1đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?+â&#x192;&#x2014;-of =++12k 0 by = are If đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?zâ&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;â&#x192;&#x2014;.(3i and vectors magnitude magnitude of having đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;â&#x192;&#x2014; ANSWER: ANSWER: , â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?ďż˝ 2 4 2 4 4 đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; 2 4 2 4 2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

35. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, of đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;â&#x192;&#x2014;+ and aređ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; of )magnitude đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;) then the magnitude of đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;â&#x192;&#x2014; ANSWER: â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; 2 a cube )đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;- +đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; +đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;â&#x192;&#x2014; (1 +vectors đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; + - ANSWER: đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; is ANSWER: -16. đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; is x3. a2 the root of unity then the value of (1 -If đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; then of đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E; â&#x192;&#x2014; ANSWER: đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; x 8x + 25 = 0 ) (1 + đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; is ANSWER: -16.

Ify234. đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;+magnitude root of unity then the value (1 + +cube zis 6x + 8y 10z + 1 = 0 are given by here 2 the 2 p, q centre and p +and q areradius vectors magnitude then + yand 6x + 8y - 10z +x221+- 8x =2 0+6x are given by 36.IfThe ofof the xÎť2and 11. The equation having 4 - centre 4 ++radius 3iz as- roots ANSWER: 25 =8y 0đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? th sphere - 10z + 1 = 0 are given by 36. of theissphere x2 +by 2 io z -io argument ofbynthe roots of3ibof a respectively complex number differ magnitude of pthen - with qare-ANSWER: â&#x2C6;&#x161;3 ÎťThe sphere -6i) (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; -(8 đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - 6.

6đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )The == co-ordinate ofof Avalues 9.

The value ofyANSWER: eANSWER: - e- -8. is +ANSWER: 2i sinθ - =6x -=â&#x192;&#x2014;10z +ďż˝â&#x192;&#x2014;-6i) 17) 0(2i given â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? a+f the +z ib4.

-â&#x192;&#x2014;8y (2i the values a and are ANSWER: 15, If(8 a+ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;+ ib 7) then a and b respectively are 15, đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;? -8. ďż˝â&#x192;&#x2014; io -io đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; - â&#x192;&#x2014;(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 6đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) = with co-ordinate of A â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER: (3, -4, 5), 7 12. The value is ANSWER: (3, 2i -4,sin 5),đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;7 - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; -is6đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? with co-ordinate ofofAe - e 2ANSWER: ANSWER: 0, and -10) nate of đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;B 35. of the x + y2 + z2 - 6x sphere â&#x192;&#x2014; - (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; - The đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - 6đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;centre ) (1, = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? with radius co-ordinate of sphere A 10.

The modulus đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? + â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;and amplitude of the complex number p represents the-10) variable complex znumber and if |2z - a1| 2|z| then the locus ofđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;p-locus is of pwith 5. (1, If p(1, represents variable complex z and if=is|2z -ofďż˝â&#x192;&#x2014;1| = sphere is 7.

If =z10 = 4 given + 5inumber and -3 + 2i then ANSWER: i the đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

2 =37.

- ithen pi/4 i2|z| pi/4 NSWER: 0, Chord AB, đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;-â&#x192;&#x2014; respectively -]đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; -respectively 6đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) =ANSWER: â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

8y -0,2.

10z + 1the byofzthe WER: 0, -10) đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;diameter are e9 - of A The modulus and amplitude number [e]3đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; [e=3 -â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? are 37.

Chord AB, is 13. aare diameter sphere đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;of â&#x192;&#x2014; is-the (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - 6đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )the with co-ordinate ofANSWER: A co-ordinate đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?complex (1, -10) f đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;B +isđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;ANSWER: ] is ANSWER: đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; ďż˝â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - 6đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;) =ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? with đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?co-ordinate of A as (3, 2, -2). The co-ordinate of B is ANSWER: (1, 0, -10) p/q p/q (3, -4, 5), 7 NSWER: x = ďż˝â&#x192;&#x2014; 11.

The number of values of (cos θ + i sin θ ) where 14.

The number of values of (cosđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; + i sinđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;) where p and q are non-zero integers prime to each other, is p ANSWER: x = ] for is ANSWER: 2.

SWER: 2. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;ER: non-coplanar vectors đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; ANSWER: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; is parallel to đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; ANSWER: (1, 0, -10) as (3, 2, -2).

The co-ordinate of B is 8. đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;The value of â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Ě&#x2026; is ANSWER: |z| 2. đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; ER: (1, 0, -10) 38. The value of [ đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;and + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; ]qisare ANSWER: 2. integers prime to each other, is non-zero 36.

The value of [ i+ j, j + k, k + i ] is ANSWER: 2. ďż˝â&#x192;&#x2014; ANSWER: q. on-coplanar vectors đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; ANSWER: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; is parallel to đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? diagram representing az, 3az and -az are ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;,The anar vectors đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;value ANSWER: 3roots 9. of If of a th=[aroots -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 3i theANSWER: points the Argand 38. ++đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;parallel â&#x192;&#x2014;,iisand đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;parallel +ađ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;znumber , =to đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; 2+to ]â&#x192;&#x2014; differ isthen ANSWER: 2.ďż˝â&#x192;&#x2014; on ar vectors đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?of , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;n â&#x192;&#x2014;,thANSWER: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?3 â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;complex is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;39. he argument by 6.

The complex If number đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;vectors x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;)differ = (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?by ) x ANSWER: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; for non-coplanar đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?ANSWER: q.vectors đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; ANSWER: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; is parallel to đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; 37. argument If a x (b x c) =n(a15. x Ifb đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; ) xof cis afor non-coplanar R: 2.

2 root of the equation ax + bx + 1 = 0 where a, b 4 đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?are real, then (a, b) is ANSWER: (0, 1) 3 ďż˝â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;) = (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?+đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; ďż˝â&#x192;&#x2014;) x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; for ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; ANSWER: 1 n 39.

If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? non-coplanar vectors đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; is parallel to đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

3 =a4, bz+2,5i c= ANSWER: c+is2iparallel đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?to a 3đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;5i zvectors -3 + 2i isthen ANSWER: - i 1 - i 12. If x = cosθ+ 3i sinθ the value of x + n 7.+If and z2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;16. =then istheANSWER: 1 = 4 â&#x192;&#x2014;,z1đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;and , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; ANSWER: is-3 parallel to+ iđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;sinđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; ofđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;xn +đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; If xđ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;=đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? cosđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; value ANSWER: 2cos nđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; x đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;

he

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

38. The vector equation of a plane passing through

41 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

3

is ANSWER: 2cos n

If -i + 2 is|z| one root of the equation ax2 - bx + c = 0 then the other root is ANSWER: 2 + i value of â&#x2C6;&#x161;value đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Ě&#x2026; is of ANSWER: |z| 8. The đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Ě&#x2026; is 17.

ANSWER:

3

â&#x2C6;&#x161;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

èâ&#x201E;˘M&þô ĂľNè£â&#x20AC; ÂŽ

18. If Zn = cos + isin then z1, z2...z6 is ANSWER: -1.

3 onpoints a = 39.+ Ifi and - 3i zthen theđ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; Argand az, 3az and a = 3z += 2 i and = 2 -the 3i points then the on thediagram Argand representing diagram representing az, -az 3azare and -az are 19. If |z - z1| = |z - z2| then4the locus of 4 Z is ANSWER: a perpendicular bisector of line joining Z1 and Z2.

20. If z is a complex number, then arg(z) + arg(đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Ě&#x2026;) is ANSWER: 0.

21. If -i + 3 is a root of x2 - 6x + k = 0 then the value of k is ANSWER: 10.

q. e đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; + tđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; and the plane ANSWER: đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; = q is connected

sin đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝ =

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;|

15. If

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?+đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;

2 hyperbola 2 23. The angle between the asymptotes to the

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

17. The length of major and minor axes of 4x + 3y = 12 are A is a root of the equation ax2 + bx + 1 = 0 where a, b are real, then (a, b) is ANSWER: 16 (

The tangents at the end of anyoffocal to the parabola 24. The 18. length of the latus rectum thechord rectangular hype 1 , then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 16. If x =4.cosđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; + i sinđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; the value of xn + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; is ANSWER: 2cos nđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ANSWER: x + 3 = 0 passing through the point (2, 1, -1) and the line of intersection of 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 2

13. If17.

-i +If2 is root the equation bx + The c = 0 then x + 3the = 0+ other foci the =1 are -i one +2 isofone root of ax the-25. equation ax -ofbxANSWER: + c ellipse = 0 then root is ANSWER: ANSWER: 2 (0, +i Âą đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 4 19. The tangent at any point P9 on the ellipse 6 + 3 = 1 whose 16.

The tangent at any point P on the ellipse đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? z1, zThe is ANSWER: -1. center C meets the major axis Then at T at and 2...z6 point 14. 18. If Zn = cos 3 + isin đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? then26. ofwhose intersection tangents tPN and t2= 1=t is is the perpendicular toof thethe major axis.

CN.CT= ANSWE o vectors đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; if |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;| = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; is ANSWER: đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; the perpendicular to the major axis. Then CN.CT= ANS WER: -1.

2 19. If |z - position z1| = |z vector - z2| then the locus of Zpoint is ANSWER: a perpendicular bisector of line joining Z1 a ANSWER: of6.the hyperbola with asymptotes x+2y-5=0 ANSWER: (6t , 8t) a particle from the 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; -arg(z) 6đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; to the20.

15. point If z isA awith complex number, then +ďż˝â&#x192;&#x2014;arg(z ) is TheBeccentricity 17. The eccentricity of the hyperbola with asymptotes ANSWER: zďż˝â&#x192;&#x2014; is is 0. aANSWER: complex28. number, then arg(z) arg(đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Ě&#x2026; ) is ANSWER: 0. of contact of tangents from the p the chord 221.+The 2 equation + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;If- đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; - 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; by a force đ??šđ??šđ??šđ??šâ&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; 20.

2x-y+5=0 is=ANSWER: â&#x2C6;&#x161;2 27.

16x 3y - x+2y-5=0, 32x - of12y - 44 0 represents ANSWER: 2 16. If -i + 3 is a root of x - 6x + k = 02then the value of k is 4x+y+12=0 18.

The equation the chord of contact 21.

If a-i force + 10.

3 isđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +a ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; root x - through 6x + k =the 0 point then ANSWER: of k isofANSWER: 10. of tangents from nt about the point đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +ANSWER: đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; of â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; of acting đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;the + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; value is 28. The angle between the tangents from the p the point (-3, 1) totwo the parabola y2=8xdrawn is 22.

The length of the latus rectum of the parabola whose verte 17. If22. is Ď&#x2030;The a complex cube root of unity then the value of SWER: 2. cube roots of unity are ANSWER: in G.P. with common ratio đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;.

ANSWER: 4x+y+12=0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 (1-Ď&#x2030;)(1- Ď&#x2030; 2)(1- Ď&#x2030; 4)(1- Ď&#x2030; 8) is ANSWER: 9.

23.of The angle betweencircle the asymptotes to the 9x hyperbola 29. radius the director of the conic + 16y ANSWER: 8.

16 lane passing through the line of intersection the planes đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;The = q 2 4 8 1 19. length theđ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;)(1latus rectum of the đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;nth is root a complex cube root of 1unity theThe value ofof(1đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D; )(1đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D; parabola )(1- đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D; )whose is ANSWER 18. If23. Ď&#x2030; isIfthe of unity then ANSWER: Ď&#x2030;n = 1then đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 vertex is (2, -3) and the directrix đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; x=4 is -1 2 24. The length of the latus rectum rectangular hyper -angle = to 1between isthe ANSWER: 2tan ( ) of theto hyperbola (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.23. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;1 -The q1) +angle đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;between - q2) = 0the asymptotes to the30.

23. the asymptotes the6 hyperbo theThe normal rectangular hyperbola xy=c and t1 16 9 đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; 19. 2The of [7] (Z9,following +9) is ANSWER: 9.If 24.order Which ofinthe is incorrect?

ANSWER: Re(z) â&#x2030;Ľ8. |z| ANSWER: 2 2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś ďż˝â&#x192;&#x2014; and |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;|=5 then the angle between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ANSWER: The foci ofisthe ellipse + = 1 are ANSWER: (0, Âąâ&#x2C6;&#x161; 20. If amplitude of a complex number is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ANSWER: thenhyperbola the 25.

24. The length ofthe the latus rectum of the rectangular xy =length 4 16.

9 of 20. -1.

The ofANSWER: the latus rectum rectangular đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?+đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;+đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 24.

The length of32xthe latus rectum ofthe the rectangular 2 number is2ANSWER: Purely Imaginary.

25.

If x + y = 1 then the value of is ANSWER: + iy hyperbola xy = 32 is ANSWER: 16. đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;+đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; ďż˝ ďż˝ â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 2 2 26.

The point of intersection of the tangents at t1=t and t2= + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014; then ANSWER: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x192;&#x2014; = 0 or đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x192;&#x2014; = 0 or đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x192;&#x2014; are parallel đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 25. The foci21. of If the +is9 = 1 are ANSWER: (0,straight Âąâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;) line z =ellipse 0 then arg(z) 31. The 2x - y2+ c =đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 20 isđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2a tangent to the ellip th 4 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; 25. regarding The foci the ellipse + 9 = 1 are are ANSWER: ( 21. The of the ellipse ANSWER: 26. Which of the following is incorrect noffoci roots of unity? product of the root ANSWER: (6t , 8t) 4ANSWER: đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; on 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; is ANSWER: ANSWER:- â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; Indeterminate.

2 Âąâ&#x2C6;&#x161;5) 26. The point of intersection of the tangents at t1=t and t2=3t to(0, the parabola y =8x is 2 27.

-point 3y2 - 32x 12y - 44 = 0 represents ANSWER: a and the ofintersection the roots 32. is The locuspoint of16x the of -intersection of perpendicular is ANSWER: perpendicular the sum line of of Âą1. the 4.đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?to ANALYTICAL GEOMETRY 22.

The point of intersection of the at t1=tat andt1=t an 26. The of intersection of thetangents tangents 2 2 = 16 is ANSWER: ANSWER: (6t x = ,Âą8t) t2=3tangle to the parabola =8xtwo is tangents drawn from the p 28. The between2ythe â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; nd the plane containing đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;The and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 is ANSWER: 27.sum equation whose roots are Âąiâ&#x2C6;&#x161;7 x +7=0 1. The ofquadratic the distances of any point on the ellipse 2 ANSWER: + (6t y2 =2,78t) ANSWER: 2 xThe ANSWER: (6tthe , 8t)director circle of the conic 9x2 + 16y2 2 2from 27.of 16x -hyperbola 3y2 -4x32x -2 12y -- 44 =20=0)represents ANSWER: a 29. hyperbola. radius of + 9y = 36 (â&#x2C6;&#x161;5, and (-â&#x2C6;&#x161;5, 0) is axes the 144x 25y 3600 respectively are and [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; x28. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;] =Which [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;,of đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; +the đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?following â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;] thenstatement [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 2.ANSWER: 2 2 is correct?

Negative numbers exists.

- 12y - 44 =complex 0 represents ANSWER: 223. 16x 2 - 3y - 32x 2 2 + 3y ANSWER: 6. point 33.

The equations of the minor axes 4x 27.the 16x - 3y -4) 32x -2to 12y -and 44 = 0 hyperbola represents ANSW 30.

If the normal the is rectangular xy=c and t1 28. The angle between the two tangents drawn from (-4, to ymajor =16x ANSWER: 90o of a hyperbola.

3. COMPLEX NUMBERS 2 ANSWER: 6. theEquation 29.

Polynomial = 0 admits roots only if the coefficient 2. The directrix of hyperbolaP(x) x2 - 4(y-3) = 16 isconjugate pairs of imaginary 2 two tangents drawn from the 2 24.

The angle between ANSWER: -1. the 8 34.9xThe axis2 =angle of the parabola ythe -two 2y +tangents 8x - 23drawn = 0 is ANSW 29. of the director + 16y 144 isbetween ANSWER: 5.

28.

The from ANSWER: xđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?=đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?+ circle 2 The radius đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?of the conic 25 ANSWER: 3 2 = 16(iis 2 2 (y-3) xANSWER: =Âą â&#x2C6;&#x161;5 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?of -real. point (-4, 4)Âątođ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?y2=16x is ANSWER: 90o ex number is 2.

ANSWER: Cos i sin 2 8x at) The directrix the hyperbola x 4(y-3) = 16 is ANSWER: x = ola y = the point ďż˝ , â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;ďż˝ ANSWER: â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

- 4(y-3) = 16 is 3.

ANSWER: x = Âą of transverse â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

31.

The straight line 2x y + c = 0 is a tangent to the ellips The equations and conjugate axes of the 2 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; 2 30. If the normal to the rectangular hyperbola xy=c and t1 meets the curve again atcircle t2 then tconic = 9xconic 25. radius ofperpendicular the director offrom the + 16y2 9x 1tthe 2 the 2 35.

The locus ofThe foot focus to2 a+ 2 2 2 29.

The radius ofof the director of 2 2 circle 144x 25y = 3600 respectively are axes of the hyperbola 144x 25y = 3600 respectively are +jugate i25 is ANSWER: i. 3.hyperbola 2 2 2 2 The equations of transverse and conjugate axes of the hyperbola 144x 25y = 3600 respectively are â&#x2C6;&#x2019;1+đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 3 â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 3 â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; 100 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś conjugate axes of the30. hyperbola 144x = 144locus is -1.

ANSWER: 5. of intersection of perpendicular t value of + respectively is ANSWER: �3600 � 2 �100 are 32. The of the point d F2 are the fociANSWER: of theThe ellipse + -�25y =2 1=then ANSWER: -1.

2 2 8+ x=0. + y=0; (1x=0. đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; -4đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;2)4 is ANSWER: 30.

-16. hen the value of (1 - đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; + đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;2)4y=0; ANSWER: ANSWER: xThe+straight y to= line 252xrectangular - y + c = 0 is a tangent to the ellipse If the26. normal the hyperbola xy=c2 a n 2 2 4. The line 2xis+ 3y + 9nth= 0root touches the parabola y2 = 8x ANSWER: x2 if + cy2is=ANSWER: 7 2 2 = 32, 4x + 8y Âą6.

31.

If đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D; the of unity then ANSWER: đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D; = 1 đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; 31. straight line 2x -ANSWER: y ++3y c =+ are 0 is0a toparabola the ellipse 4xat+the 8ypoint = 32, if c is ANSWER: Âą6. đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; tangent 2 then theThe values of a4. and bpoint respectively 15, -8. the The 2x 9 = ANSWER: = 8xfoci ANSWER: ďż˝ , â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;ďż˝hyperbola xy = 18 parabola y2 y=2 8x atat the point ANSWER: ��đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;touches , â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;ďż˝ the ofy the of the is -1. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? the parabola = 8x at theline point ANSWER: 27. The locus of therectangular point of major intersection of perpendicular đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? , â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;ďż˝ 36. One ANSWER: 33.

The equations of the and minor axes of 4x2 + 3y 2 The ofof[7] inthe (Zaxis is pANSWER: 9, +9 us rectum is equal toifand half of conjugate đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 5.

If32.

B B`- order are ends the minor axis F)is and Fis2 are the 9. tangents to the hyperbola complex number z and |2z 1| its = 2|z| then locus of 2 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1 is 1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 2 32. The locus of point of intersection of perpendicular tangents to the hyperbola = 1 is- 23 = 0 is ANSWE 2 - then đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2of đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 minor and Fof theThe foci axis of the + 4 16 Ifthe Bof and B` ellipse are ends the axisthe F1 area 2 are34. of ellipse the 2parabola 2y 9 is+a8xtangent đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

F are the5.foci foci the == 1 then saxis F1 Fand the then 31.

The straight line -= y78is + c y== 1-0 tointhe fociof ofthe theellipse ellipse 88 ++ of 1 then 1 and2 F2 are the ANSWER: x22x + y tangents 37.

The chord of contact of from any point the 44 a 33.

If amplitude complex number is then the number ANSWER: Purely Imaginary.

2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER: xF21the + 2yarea =is 7 of F1BF2Bâ&#x20AC;&#x2122; is8.ANSWER: 8.

BF Bâ&#x20AC;&#x2122; ANSWER: 35.

The locus of foot of perpendicular from the focus 28. The equations of the major and minor axes of to a t 8.

2 2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

34.

Ifeccentricity z =ANSWER: 0 then arg(z) is ANSWER: Indeterminate. + 3ythe 12xpoint x=0; 32. of 2are 2 of intersection 6. 6.The eccentricity of the hyperbola whose latus rectum through its12 ANSWER: 2 The 2 locus a 33. complex number differ by The ofand the hyperbola whose latus rectum is4x equal to= half of its conjugate axisy=0. is of perpendic ANSWER: +focus. yANSWER: =x=0; 25 y=0.

The equations of the major minor axes of 4x + 3y = are ANSWER: đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?conjugate whose latus rectum is equal to half of its axis is latus isisequal to halfofthe ofitsits conjugate is 1ose and therectum ordinate at P meets asymptotes equal to half conjugate axis axis isat Q 2 29. The axis of the parabola y - 2y + 8x - 23 = 0 is theisother root is ANSWER: 2 +=i 0 and đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) = 2=0 ANSWER: x + 9y + 11z

đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 2 of the ANALYTICAL 36. One rectangular hyperbola 18 2is= distance o the ellipse 9x2xy+= 5y i then is ANSWER: - i â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; y2 - 2y + 8x - 2338.

ANSWER: ANSWER: xof2 the +GEOMETRY yfoci =1.7 foci ANSWER: y =the 34.đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?The axis of ANSWER: the parabola = 0 The is4.

ANSWER: y between = 1. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

7. The equation thedistances major andofminor 2 2 rectangular 2 2axes of 30. ellipse One of the foci of the hyperbola xypoint =(-â&#x2C6;&#x161;5, 18 0) 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľany đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś point 37.

The chord of+ contact of2 tangents from the 1.The sum ofofthe on the 4xof 9y = 36 0) and locus of perpendicular from the focus a tangent of the 16x +from 25y =at 400 isaxes 2 P is 2of 39. point of of tangents tQ1 any and t2 ofin to4x th2i R:đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 35. |z|22 The 7.

Iffoot any point on the hyperbola - 4The = 1toThe and the ordinate at Pcurve meets the asymptotes at 33. equations the major and(â&#x2C6;&#x161;5, minor 2 isintersection ANSWER: (6, 6) + x + y = 1 respectively are ANSWER: 36at Q y=0; x=0 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2-đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 1 and the ordinate at P meets the asymptotes 9 4 at Pare of + and = the 1 respectively ANSWER: y=0; x=0 -36 9=4 1 ordinate meets the asymptotes at Q 2 through its between ANSWER: 2 2 4 on the 4 2 n the points Argand az, 3az are 31. The 2 ANSWER: xand + line yQâ&#x20AC;&#x2122;2diagram =then 22 ofđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śthe theyđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľfocus. foci + 5y QP.Oâ&#x20AC;&#x2122;P 4.

8. If the 5x25 - 2y +representing 4k =is0 ANSWER: is a tangent to 4xand - y2-az =The 36 34. axis ofdistance parabola -+ 2y +=ellipse 8xand -9x23 =2 auxilla 0 is2 A 5the 4.

40.

The area between the ellipse 1 its 4 = 180 is ANSWER: 8. then k is ANSWER: 9/4 đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; 38. between the 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 fociđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2o the ellipse 9x + 5y = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľis đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 The distance 4x236.

- y2One = 36of2 then kThe is of ANSWER: the28.foci the rectangular hyperbola xy = 18 ANSWER: (6, 6) equation of the and minor axes of + 32.=The 1 respectively are ANSWER: y=0; x=0 đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; major đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś The eccentricity hyperbola with x=0 asymptotes point of intersection of tangents at tfrom and t the to thefocus 9 4 35. The locus of foot of perpendicular 2 1 at t 2 and nor axes ofđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 9 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+9. = 1 respectively of aretheANSWER: y=0; point of tangents t2 to 1 41.

If the line39.

4xThe + 2y =2of c intersection is isaANSWER: tangent to the parabola y2the =1 4= x 2 2 rmptotes axes of x9 ++2y 1 respectively are ANSWER: y=0; x=0 + 2y 5 = 0, 2x y + 5 = 0 ANSWER: 3. parabola y =4ax (a(t +t đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 1 2), at1t2) đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 5 = 0, 2x y + 5 = 0 ANSWER: 3.

4 9. the line 5x - 2y + 4kđ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; =from 0 is aany tangent to in 4xthe - y directrix = 36 thenofk2the is ANSWER: 37. The2 chord ofIfcontact of tangents point hyperbola 2 2 - đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ22 = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś12 passes 2 đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; 210. The point of contact of the đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ANSWER: x +between y = 25 = 4ax and the ngent to 4x - y = 36 then k is ANSWER: đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; parabola y42.

40.

The area between theellipse ellipse12y +2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2- =4x 1 2and its 33. The area the and its auxillar of the hyperbola - 24x +4 đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?The eccentricity ent 4x2the - y2tangent = 3610. then is= ANSWER: The the 2y - 5 = 0, 2x - y + 5 = 0 ANSWER: 3. ymx mx +ccisis of ANSWER: 4axtoand y =keccentricity +focus.

ANSWER: ďż˝ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?with , ďż˝asymptotes x +auxillary đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; hyperbola through itstangent ANSWER: circle is ANSWER: Ď&#x20AC;a(a-b) đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;3. a with asymptotes x + 2y - 5 = 0, 2x - y + 5 = 0 ANSWER: 41.

If thefoci line 4x 2y =rectangular c is a tangent to the parabola 36.

One of the of +the hyperbola xyy2==11 2 2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

11. The radius of the director of the conic 2 + 16y 2 from (5, 43. 9x The equation ofline chord of contact ofthetangents with asymptotes 2yThe - 5 point = 0, 2x - y + 5circle =0 ANSWER: 23.

2 and34.

If the 4x + 2y = c is a tangent to parabola y =16x 2 2 x + 11. of contact of the parabola y = 4ax the tangent y = mx + c is ANSWER: ďż˝ , ďż˝ distance between the foci 9x đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?+ 5y = 180 is ANSWER: 8.

2 nic 38.

9x The + 16y = 144 isisANSWER: 5. o the ellipse đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 2đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D; = 144 ANSWER: 42. The of the bola y2 = 4ax and the tangent y = mx + 5. c is ANSWER: ďż˝ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? , ďż˝ then ceccentricity is ANSWER: -4. hyperbola 12y - 4x - 24x + 48 đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

2 2 2 2 2 2 12.

The radius ofof the 9x 16y = of 144 is ANSWER: 5.

37. of tangents from any point in a y39. = 4ax the tangent y = mx +the c director isconic ANSWER: ďż˝- the , conic 10x-9y-12=0 12. of The eccentricity 9xcircle 54xANSWER: - ďż˝40yThe + +chord đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?tangents 2 tangents Theand point of at+ 5y t1ofand parabola ycontact =4ax ANSWER: (a(t ), 2at The eccentricity equation ofis of contact of from đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? tđ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D; 2 to the 43.

1+t 1 t2 ) 35. The ofchord the hyperbola 12y -24x - 24x + (5, 3 2 2 is ANSWER: 4xthe - 40y 116 =116 0intersection 1/35. of conic+9x + 16y == 144 is ANSWER: 0 is ANSWER: đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

2 2 - =127 is ANSWER: 2.

2 The eccentricity of the 2 5. conic 2 13.

9x + 5y - 54x - 40y + 48y 116 0 is= 0 ANSWER: the conic 9x2 + 13.

16y = 144 is ANSWER: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 ANSWER: 10x-9y-12=0 đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; through its ANSWER: focus. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = of The of theđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ vertices rectangular area ellipse 1 the and its auxillary circle ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?a(a-b) 44.

The equation ofisequation the latus rectum of 16 + 9 = 1 is angular hyperbola xycoordinates == 16 ANSWER: (-4, -4) + 40.

5y2 -The 54x - 40ybetween + 116 0the is are ANSWER: 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 (4,4); 36.

The of the latus rectum is ANSW đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; hyperbola xy = 16 areofANSWER: (4,4); (-4,rectangular -4) 2 2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; vertices 14.

The coordinates the of the hyperbola xy = 16 are ANSWER: (4,4); 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(-4, đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś-4) ANSWER: y=Âąâ&#x2C6;&#x161;7.

5y - 54x - 40y + 116 = 0 is ANSWER: 2 44. The equation of the latusfoci rectum of 16ellipse + 9 = 1 9x is ANSW 2 2y đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;2 toaxes distance o the +5 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2and đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śminor of the 16 are ANSWER: 41.rectangular If the line 4x + length 2y =xycof=ismajor a tangent the(4,4); =16x then c isbetween ANSWER:the -4.

14.hyperbola The ofparabola 4x2(-4, +38.

3y-4) =The đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 2 s of any point on15. theThe hyperbola = 1 is 24 and the 37.

The directrix of the parabola y = x + 4 is ANSWER: 2 2 45.

The length of the semi major and the length of semi m difference the focal distances of any point on the hyperbola = 1 is 24 and the đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;between đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?4 12 are ANSWER: 2â&#x2C6;&#x161;3, 2 2 he rectangular hyperbola xy = 16 are ANSWER: (4,4); (-4, -4) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 2 45.

The length the semi major and the length semi x = of -17/4 42. Theofeccentricity thehyperbola hyperbola 24x 48ypoint - 127 =0 is of ANSWER: 2.tangents 39.the+The intersection of at t1 of and t2mt al distances any onofthe -12y = 1-chord is4x24-to and 2 2 2 2 2 2 15. point The tangents at the end of any focal đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 the đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 equation of the hyperbola ANSWER: - 432 = 112. eccentricity Then 38.

The length of the semi traverse axis of the ANSWER: 1intersect hyperbola 2 is=2. respectively ANSWER: 13, 2 theon parabola y432 =12x line istances of any point the -hyperbola - đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2on =the 1 is 24 from and the respectively 12.

144ANSWER: 2 contact 144 43. The equation of chord tangents (5, 3) to the hyperbola 4x2-6y13, =24 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľof đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 of đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2is đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 ANSWER: = 1 ion of the hyperbola 40. The 2area the ellipse ď ŹHŠóþK 16 & 28,2014 °Ć&#x2019;°ùâ&#x20AC;&#x17E; 144ofď Źthe 432 latus CIâ&#x20AC;ş The - 4x +between 4y + 8 = 0 ANSWER: 4. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 = 1 and its au abola y2ANSWER: - 4x + 4y16. +8 = length 0 ANSWER: 4. rectum of the parabola y 46. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 The product of the perpendiculars drawn fromthe the poin poin 10x-9y-12=0 ANSWER: = 1 4. nf of hyperbola 46.

The product of the perpendiculars drawn from thethe parabola y2 - 4x + 4y + 8 144 = 0-ANSWER: 432 2 2 17.

The length of major and minor axes of 4x + 3y = 12 are ANSWER: 2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;, 4 2 41. If the line 4x + 2y = c is a tangent to the parabola đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022; 2 2 3y2 =2 12y2are ANSWER: 4 is ANSWER: he+44. parabola 4y +ANSWER: 8 latus = 2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;, 0 ANSWER: 4.đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 1 is ANSWER: asymptotes, 2 axes of 4x 3y2- =4x18.

12+ are 2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;, 4 of The+equation of the rectum y=Âąâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;. đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022; on the đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; line The tangents at the end of16any 9focal chord to the parabola y =12x intersect asymptotes, is ANSWER:

42

2

ds of to 4x the yare =12x intersect on the line 2 parabola focal chord to 2the parabola y2=12x + 3y = 12 ANSWER: ANSWER: x intersect +2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;, 3 = 04 on the line

42. The eccentricity of theđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; hyperbola 12y2 - 4x2 - 24x 2 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś

7

WER: x = -

đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;

ANSWER: ďż˝ , đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?ďż˝

tangular hyperbola xy = 8 ANSWER: 4. and the ellipse

25. The rate of change of area A of a circle of radius r is ANSWER: 2đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?r

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;

đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;

26.

C of Lagrangeâ&#x20AC;&#x2122;s Mean Value, theorem for the function f(x)=x2+2x-1 a=0, b=1 is ANSWER: 1/2. + The ďż˝ 2 = 1 is ANSWER: ďż˝â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;

27. The statement: â&#x20AC;&#x153;If f has a local extremum (minimum or maximum) at c and is fâ&#x20AC;&#x2122;(c) exists then f`(c)=0â&#x20AC;?

rectangular hyperbola xyhyperbola = 8 ANSWER: 4. and strainght line when at a distance t at any point on the rectangular xy=72 is ANSWER: Fermatâ&#x20AC;&#x2122;s Theorem. x from the origin is given by a+bn2=x2 where a and 39. The 2locus2 of point of intersection of perpendicular y x arewhen constants.

Then the acceleration 2 2 v of a x particle at a distance x from the originisis given 2 +28. =The 1 isvelocity ANSWER: +y2=amoving +b2 along a strainghtbline b2 a ANSWER: x đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 2 22 2 2 2 by5. a+bn =x where a and b are constants. Then the acceleration isbANSWER: ular 2 + 2 = 1 is ANSWER: x +y =a +b DIFFERENTIAL đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

23. The function f(x)=x2 is decreasing in ANSWER: 2 29. The function f(x)=x is decreasing 0) 0) CALCULUS - APPLICATIONS - Iin ANSWER: (-â&#x2C6;&#x17E;, (-â&#x2C6;&#x17E;, LCULUS - APPLICATIONS I

30.of One the conditions of Rolleâ&#x20AC;&#x2122;s is ANSWER: f(a) f(b) 24. One of=the conditions of Rolleâ&#x20AC;&#x2122;s theorem is ANSWER: 1. The slope theofnormal to the curve y=3x2theorem at the point đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? f(a) = f(b) he point whose x-cordinate isis2, is-xANSWER: ANSWER: 31.

The curve y=-e is ANSWER: Everywhere concave downward. whose x-cordinate 2, is --đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

-x curve y=-e 2. The off Chas in aRolleâ&#x20AC;&#x2122;s Theorematfor the iffunction 32. If local extremum a and f`(a) exists 25. thenThe ANSWER: fâ&#x20AC;&#x2122;(a) =is0.ANSWER: Everywhere concave đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; value on f(x) = cosf(x)on [đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;, 3đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;] is ANSWER: 2đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; x downward. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? = cos on [Ď&#x20AC;, 3Ď&#x20AC;] is ANSWER: 2Ď&#x20AC; 33. 2 S spherical snowball is melting in such a way that its volume is decreasing at a rate of 1 cm3/min.

3.

In a given semi 4cmrectangle a rectangle is 26. If f has a local extremum at a and if f`(a) exists then gle is to be inscribed.

The circle area of ofdiameter the largest The rate at which the diameter is decreasing when the diameter isfâ&#x20AC;&#x2122;(a) 10cms, ANSWER: = 0. is to be inscribed. The area of the largest rectangle is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER:ANSWER: 4.

27. The value of C of Lagrangeâ&#x20AC;&#x2122;s Mean Value theorem cm/minute đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; for f(x)=â&#x2C6;&#x161;x when a=1 and b=4 is ANSWER: 9/4.

4. The curve y=ax3+bx2+cx+d has a point đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ofđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? inflexion đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

2 34. The value of C of Lagrangeâ&#x20AC;&#x2122;s Mean +dy =1 to cut orthogonally is that ANSWER: - =Value - theorem for f(x)=â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ when a=1 and b=42 is ANSWER: 9/4. at x=1 then ANSWER: 3a + b = 0 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E; đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; 28. The point on the curve y=2x -6x-4 at which the tangent đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022; 2 35. Thearea point y=2xthe -6x-4 at which is parallel to x-axis is ANSWER: ďż˝ , â&#x2C6;&#x2019; ďż˝ is parallel to x-axis is ANSWER: TheANSWER: surface when volume is the tangent on at x=15. then 3aof +onsphere bthe = 0curve đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? x -x increasing at the same rate as its radius is ANSWER:1. 29. -xThe valueorthogonally of a so that the curves y=3e 36. The value of a so that the curves y=3ex and y=a/3e intersect is ANSWER: 1. and y=a/3e increasing at the same rate as its radius is 1.

2 ANSWER: 2 intersect orthogonally is ANSWER: 1.

6. The angle between the parabolas y =x and x =y at the 2 37. The function đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? Ď&#x20AC; f(x)=x -8x+4 is increasing in ANSWER: (4, â&#x2C6;&#x17E;) origin is ANSWER: 30. The function f(x)=x 2 -8x+4 is increasing in at the origin is ANSWER: 2 đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;+đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

Hospitalâ&#x20AC;&#x2122;s rule cannot be applied to as xď&#x192; 0 because f(x)=x+1 ANSWER: (4,and â&#x2C6;&#x17E;)g(x)=x+3 are ANSWER: not 7. If s = t338.

-4t2L+7 the velocity when the acceleration is đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;+đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; - 16 zero is ANSWER: n is zero is ANSWER: in the form as xď&#x192; 0.

3 đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; intermediate 6. DIFFERENTIAL CALCULUS APPLICATIONS- II 8. Which ofx the following functions is increasing in 39.

In the velocity of a particle moving along a strainght line is directly proportional to the square of its x (0, đ?&#x203A;źđ?&#x203A;źđ?&#x203A;źđ?&#x203A;ź) ANSWER: e (0, Îą) ANSWER: e 1. The percentage error in the 11th root of the number s3. the percentage distance from a fixed point on the line, then its acceleration is proportional______ to ANSWER: 28 is approximately times 9.

The percentage error in the 11th root of the number NSWER: 0. errorAPPLICATIONSin 28. ANSWER: II1/11.

28 is approximately ____ times percentage error 6.the DIFFERENTIAL CALCULUS 1 times the percentage umber 28 isinapproximately 28. ANSWER :____ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ symmetrical about 2. The curve 9y2 2 = x2(4đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ - x2) is 1. The percentage approximately ______ x đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘+times y đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ is ANSWER: 0.

3. If28 u =is logďż˝ 28 error in the 11th root of the number 2 +đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śďż˝2 then đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; both the axes.

10. The slope of the tangent to the curve y=3x2 +3sin x at 3. IfANSWER: u = logďż˝ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś ďż˝ then xđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; + yđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; is ANSWER: 0.

ANSWER: 1/11. the percentage error in 28 x=0 is ANSWER: 3.

3. An Anasymptotes asymptotes to + 2x) = x=2(3a - x) -isx) is ANSWER: 4. to the thecurve curvey2y(a2(a + 2x) x2(3a 2 2 -a 3sin x at11. x=0F is 3.9y 2. The curve = x2(4 defined - x2) is symmetrical about both the axes.

ANSWER: x = /2 4. An asymptotes to the curve y (a + 2x) = x2(3a - x) is ANSWE is aANSWER: differentiable function in an interval I ANSWER: 2 2 2 2 2 5.

The curve a y = x (a x ), a > 0 is symmetrical about ANSWER with positive derivative. Then f is ANSWER: 4. The curve a2 y2 = x2(a2 - x2), a > 0 is symmetrical about e of 2 cm/sec and its altitude is decreasing at the rate 5. The curve a2 y2 = x22(a2 - x2), a > 0 is symmetrical about ANS đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ and about the ori.

9 ANSWER: both axes Strictly increasing on I. 6. If u = y sin x then is equal to ANSWER: cos x x2 and the altitude is 5cm is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; hen the radius is 3cm đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022; 2 đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 12. lim xâ&#x2020;&#x2019;Îą ex is ANSWER: 0.

5. If Ifuu== yy sin equal to to ANSWER: cos x 6. sin2xxthen then isisequal 2 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;2 two loops between x=-a 13. The least possible perimeter of a rectangle of area 100 7. The curvs a y = x (a -x ) has ANSWER: ANSWER: cos x 2 2 2 2 2 7. The curvs a y = x (a -x ) has ANSWER: two loops between x m2 is ANSWER: 40.

1 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 2 2 2 2 2đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 6.

The curve a y = x (a -x ) has ANSWER: two loops 8. If u= 2 2 then x + y is equal to ANSWER: -u. rval I with positive derivative. Then f is ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 14. Equation of the tangent to the curve y=x3 at (1, 1) is between 1 x=-a and x=a đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 8. If u= 2 2 then x + y is equal to ANSWER: -u.

2 2 normal is drawn ANSWER: y=3x-2is ANSWER: -cot đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 2 ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śayay= x 9.

- x)-đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;cuts the y-axis at ANSWER: x=0 7.The Thecurve curve = (3a x (3a x) cuts the y-axis at 2 2 ANSWER: x=0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ22 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 15. If a normal makes 1 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? an angle θ with positive x-axis thenđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 9. The 1 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ curveďż˝â&#x2C6;&#x2019;1, ay â&#x2C6;&#x2019; = xďż˝(3a - x) cuts the y-axis at ANSWER: x=0 ďż˝â&#x2C6;&#x2019;1, ANSWER: 20.

The equation ofisthe tangent to thethe curve y= 5 at is ANSWER: 5y-3x=2 d= 58 at - 8the = 1point is ANSWER: 10.the If upoint = xy then is equal to ANSWER: yxy-1 the slope of â&#x2C6;&#x2019; the ďż˝curve at the point,5y-3x=2 where 5 equal to ANSWER: yxy-1 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; is 8. If u = xy then â&#x2C6;&#x201A;u normal is drawn is5 ANSWER: -cot đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ dx normaly=-x is is ANSWER: -cotisθ concave down?10.

2 If u = xđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śy then 2 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ is equal to ANSWER: yxy-1 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 21. Which ofdrawn the following curves own? ANSWER: 9.ANSWER: IfIf u = f(1 ) y=-x equal toto ANSWER: 0.

11. then đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; x + y isis equal đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 20. The equation of the tangent to the curve y= at the point ďż˝â&#x2C6;&#x2019;1, â&#x2C6;&#x2019; ďż˝ is ANSWER: 5y-3x=2 16. The equation of the tangent to the curve 5 at the 5 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 1 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ANSWER: 0.

2 point is 40.

ANSWER: 5y-3x=2 11.InIfofwhich ulim = f( region ) thendoes x +the y curve is equal 0. not lie? AN ve y= at22. the ďż˝â&#x2C6;&#x2019;1, â&#x2C6;&#x2019; fâ&#x20AC;&#x2122;(a)=1, ďż˝ is ANSWER: 5y-3x=2 f(a) = 2, g(a)=-1, gâ&#x20AC;&#x2122;(a)=2 then he value of lim is ANSWER: 5. the value 12. y2(a +tox)ANSWER: = x5.2(3a - x) 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; area mIf is ANSWER: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 5100 5 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; is2 ANSWER: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;curves is concave down? ANSWER: 21.

Which of the following y=-x 2 10.

In which region does the curve y (a + x) = x (3a x) Whichy=-x of 2the following curves is concave down? ve down? 17.

ANSWER: đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;x > 3a2 lie?

ANSWER: xâ&#x2030;¤ -a and 1, is 23.

ANSWER: 12.Ifnot Inxđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) which curve y inflexion (a + x)cos = point. xđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;2(3a - x) not lie xthen = x xisy=3x-2 even order for the equation then xregion = xy0 =isrdoes a/ anthe ANSWER: ion1)fâ&#x20AC;&#x2122;(x)=0 = ax0root is a/ofan ANSWER: inflexion point. fâ&#x20AC;&#x2122;(x)=0 13. = r cos q, then ANSWER: y=-x2 22. If f(a)ANSWER: = 2,0fâ&#x20AC;&#x2122;(a)=1, g(a)=-1, gâ&#x20AC;&#x2122;(a)=2 then the value of lim issinđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 5. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x201A;r đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; )â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ANSWER: cos θ en the value ofFor limwhat israte ANSWER: 5. of x3 - 2x2 + 3 11.If2x = r cos q, y2= r sinθ then 2the đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;increase 18. ofthe xofthe increase 2 dx đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; axis slope the curve theof point, what values xat the rate of where increase -13.

2xThe 8yisq, twice rate of an x? f x3 then - 2x24. + For 3x +đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 8ofisvalues twice rate of increase of the x?of x 14. (x (1 +then x) of has ANSWER: par curve If=+xx3x =isr+a/ cos y- 2)=x = r the sinđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; ANSWER: cosasymptotes đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; 2 ANSWER: 2 inflexion 23. x = x03x is +a8root of even order for the of equation fâ&#x20AC;&#x2122;(x)=0 then xThe an point.

0curve đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; is twice the rate of increase x?

12. y (x 2)=x (1 + x) has ANSWER: uation fâ&#x20AC;&#x2122;(x)=0 then x = x0 is a/ an ANSWER: inflexion point.

8 2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? asymptotes y-axis.

2 + x)to 3 2 15. = increase x22(1 defined for ANSWER: -1 < x â&#x2030;¤ ANSWER: ANSWER: of ďż˝ , đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?ďż˝ (x - 2)=x (1 -+x) x)ofishas ANSWER: an asymptotes 14.The Thecurve curveyparallel y(1 therate rate increase x? e of24. x3 -For 2x2what + 3x +values 8 is twiceđ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;xthe of of increase of x?of x - 2x + 3x + 8 is twice 2the rate of 2 13.

The curve y (1 + x) = x (1 x) is defined for ANSWER: 19. The rateđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?of change of area A of a circle of radius r is 2 AND ITS-1A< đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; INTEGRAL 15.r -1 The +7. x) = x2(1 - x) is CALCULUS defined for ANSWER: đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; <ANSWER: xcurve â&#x2030;¤ x y (1 ďż˝ , đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?ďż˝ The rate change of area A of a circle of radius is 2đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?r ANSWER: radius ANSWER: r25. is ANSWER: đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; of2đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?r đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;

2

2

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ AND đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 7. INTEGRAL CALCULUS ITS đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; 20.

The C of Lagrangeâ&#x20AC;&#x2122;s Mean Value theorem for the 1. The area đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; 1CALCULUS and its auxiliary circleITS (a INTEGRAL 2 the7.

2 of area A 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?is 2 = of 25. radius r israte ANSWER: 2đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?r of change of a circle oftheorem radius1r1/2. is ANSWER: 2đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?rbetween 26.

The Cf(x)=x off(x)=x Lagrangeâ&#x20AC;&#x2122;s Mean for the function f(x)=x +2x-1ellipse a=0, ANSWER: 1/2. AND đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;b=1 2 for theThe function +2x-1 b=1 ANSWER: đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; function +2x-1a=0, a=0, b=1Value isisANSWER: /2.

APPLICATIONS đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 22 from x=0 to x=4 is rotated 2 em for function f(x)=x2+2x-1 is ANSWER: 1/2.

2. volume when y=â&#x2C6;&#x161;3 26.the The CThe of Lagrangeâ&#x20AC;&#x2122;s theorem for the function f(x)=x +2x-1 a=0, the b=1 isand ANSWER: 27. statement: â&#x20AC;&#x153;If f b=1 has local extremum (minimum or maximum) atthe ccurve is fâ&#x20AC;&#x2122;(c) exists thenits f`(c)=0â&#x20AC;?

21.

The statement: â&#x20AC;&#x153;If fa=0, aValue local extremum (minimum 1.The The area between ellipse = 1 and auxiliary circ x + y1/2. (minimum or maximum) atMean chas and isafâ&#x20AC;&#x2122;(c) exists then f`(c)=0â&#x20AC;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 = 1 and its 1.

The area between the ellipse b a andisiffâ&#x20AC;&#x2122;(c) fâ&#x20AC;&#x2122;(c)exists existsthen thenf`(c)=0â&#x20AC;? f`(c)=0â&#x20AC;? um (minimum or or maximum) maximum) atatccand 2 2 27. The statement: â&#x20AC;&#x153;If f has a local extremum (minimum or maximum) at c and is fâ&#x20AC;&#x2122;(c) exists then f`(c)=0â&#x20AC;?

3. The auxiliary area of the curve - 5) (x - 6)2Ď&#x20AC;a(a-b) between x=5 and x=6 is circle (a > yb)=(x is ANSWER: ANSWER: Fermatâ&#x20AC;&#x2122;s Fermatâ&#x20AC;&#x2122;sTheorem.

Theorem. is ANSWER: is 2. The volume when the curve y=â&#x2C6;&#x161;3 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 from x=0 to x=4 is rot 2 1 2.

The volume when the curve y=â&#x2C6;&#x161;(3+x ) ANSWER: Fermatâ&#x20AC;&#x2122;s is28.

22.

The velocity v vofofaTheorem. particle moving alongalong a The velocity a particle moving a strainght when aâ&#x2C6;&#x2019; distance x from the origin 4. The line value of â&#x2C6;Ť0 at đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)4 dx 1/30. is given distance x from the isorigin 2 is ANSWER: 2 ngstrainght a strainghtline line when when atata a distance x from the origin given is given 3. The area of the curve yèâ&#x201E;˘M&þô =(x - 5) (x ĂľNè£â&#x20AC; ÂŽ - 6) between x=5 and x=6 28. The velocity v2of 2a particle moving along a strainght line when at a distance x from the origin is given đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; by a+bn =x where ađ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;andđ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; b are constants. Then5.the Theacceleration area f the region bounded by the graph of y=sinx and y=cosx nts.

Then theacceleration acceleration is is ANSWER: 1 is ANSWER: Then the ANSWER: đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192; 4. The value of â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(1đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)4 dx isđ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192; ANSWER: 1/30. đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192; 2 2 by a+bn =x where a and 2b are constants. Then the acceleration is ANSWER: â&#x2C6;&#x17E; 5 â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192; NSWER: 29.

(-â&#x2C6;&#x17E;, The 0) (-â&#x2C6;&#x17E;, đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; = ANSWER: â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0) WER: (-â&#x2C6;&#x17E;, 0) function 2f(x)=x is decreasing in ANSWER: 6. đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; 5.

The area f the region bounded by the graph of y=sinx and y= The function f(x)=x is decreasing in ANSWER: (-â&#x2C6;&#x17E;, 0) m is29.

ANSWER: f(a) = f(b) 30. One of the conditions of Rolleâ&#x20AC;&#x2122;s theorem is ANSWER: f(a) = f(b) 2

2

43

2

2

2 2 đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

The x=5 and x=6 isintegral ANSWER: 6. 2 - 4D + 4)y = e2x is ANSWER: ANSWER: 3. cos đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; area of the curve y =(x2 - 5) (x - 6) between7.

A particular of (D đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 2x (2v + v )dx = 0 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? orderintegral and degree differential equationey`+(y 7.8.A The particular of (D2 -of 4Dthe + 4)y = e2x is ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

1 4 2 4. The value of â&#x2C6;Ť0 parallel đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) is ANSWER: 1/30. 8. The order and degreeđ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?of the differential equation y`+(y``) has ANSWER: an asymptotes to dx y-axis.

2x order and degree of equation y`+(y``)2=x(x +=y 7. A particular integral (D2 2 - 4D + 4)y8.9. =The eThe is differential ANSWER: equation e2x the differential obtained by eliminating a and 2 of đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 ) is defined ANSWER: -1 x â&#x2030;¤ +x v )dx = 0ellipse 5.

The area fbetween the<(2v region bounded by the graph y=sinx and y=cosx between x=0 ANSWER: â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?-12đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?a(a-b 1.for The area the + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2the =of 1 its auxiliary circle (a+and > b)x=is ANSWER: 2 đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;1by 9.and The9. differential equation eliminating a and b2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 area ANSWER: 8. The order and degree differential equation y`+(y``) =x(xobtained y``)2 respectively đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 of The differential equation obtained by eliminating and b from yf 10.

Integrating factor of + y = is ANSWER: log đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 2x 2 2 2x â&#x2C6;&#x17E; 5AND đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ RAL CALCULUS APPLICATIONS 7.

A particular integral of (D 4D + 4)y = e is ANSWER: e â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ITS 6. â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; = ANSWER: đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 11 3x 2 2-3x đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; 9. The differential equation eliminating a factor and bof from isANSWER: ANSWER: -x9y 10.

Integrating yequation is is log xlog 10. by Integrating factor of ++ y=ae y+==be ANSWER: 2. The volume when curve y=â&#x2C6;&#x161;3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 from x=0 tofinding isthe rotated about x-axis is2. ANSWER from x=0 to x=4 isthe rotated about x-axis is+ obtained 7.

Integrating factor isANSWER: 2 x=4 2 In differential corresponding đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? to y đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľare 8. The order and degree of the differential equation11. y`+(y``) =x(x + y``) respectively ANSWER: 2, đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 = 1 and its auxiliary circle (a > b) is ANSWER: 2đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?a(a-b) log x 100 Ď&#x20AC; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 1the area 2 of the ellipse ANSWER: volume 7. The of the obtained by revolving + = 1equation about its major andto y=emx wher m 2 3x đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;` In finding the corresponding đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 3 solids 2 2 10.

Integrating factor of + eliminating y =In 11. is ANSWER: log x +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2be-3xequation đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;differential 11. differential corresponding 2finding ANSWER: The differential equation obtained a In and bthe from y=ae isequation ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; - by đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D; between đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ8.

3. The3. area of9.of the curve 6) x=5 and x=6 is ANSWER: 6.- 9y = 0 to to y=e finding the differential corresponding đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; 2y =(x 2- 5) (x đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 2 The area the curve y =(x 5) (x 6) between x=5 to x=4 is rotated about x-axis ANSWER: â&#x2C6;&#x161;3 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ from x=0 mx đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;` minor axes are in11. the ration (a >isb) y=e where is the mx arbitrary constant, then m is đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;b : a đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;` tomy=e đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ANSWER: 1 2 ANSWER: corresponding where m is the arbitrary constant, the and x=610. is ANSWER: 6. the ANSWER: đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; Integrating factor of differential + y =equation is ANSWER: log x 1 In finding 1/3 4 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; y` 1 ) (x - 6) between x=5 and x=6 is ANSWER: 6.

4. 8.The value of đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) dx is ANSWER: 1/30. ďż˝1is+ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;

ANSWER: /y â&#x2C6;Ť 12. The degree of0) theand differential equation = The generated by4 dx rotating at (0, 0), (3, (3, 3) about x-axis 1/30. with vertices đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;` the triangle 4. volume The value of0â&#x2C6;Ť0 x(1-x) is ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; mx đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

1/3 ANSWER: 11. In finding the differential equation corresponding to y=e where m is the arbitrary constant, then đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; m isđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; ďż˝1 +equation đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 1/3 isđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;ANSW 9.

The order and degree of the differential 12.

The degree of the differential equation = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER: 1/30.ANSWER: 5. The area9fđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?the region bounded by the graph of y=sin đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? (1is ďż˝1đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;+ equation The degree between ofequation the 12. The degree differential 2of the đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;` (1 + y`)order =and y`2 and are ANSWER: 1, 1.differential 5. The area the graph of13. y=sinx y=cosx x=0 and x= đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?AN đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; x and fy=the cosANSWER: xregion betweenđ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;bounded x=0 and x=Ď&#x20AC;by /4đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 1/3 đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; 13.

The order and degree of the differential equation (1 + y`)2đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;= y`2 ďż˝ 12.

The degree of the differential equation 1 + = is ANSWER: 6. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? by the graph of y=sinx and y=cosx between x=0 and x= ANSWER: â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?-110.

If If coscos xand integrating factorfactor of the differential â&#x2C6;&#x161;2-1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;is đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; of the đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;xan 14. an of the differential 13.is The order equation (1 +equ y`) ďż˝isdegree 1/3 ANSWER: ďż˝ đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;thendifferential 9. â&#x2C6;&#x17E; The arcâ&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ length of the curve y=f(x) đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ++ďż˝integrating đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; fromđ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; x=a to x=b đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; â&#x2C6;Ťđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? dy equation /dx Py Pof the differential equation đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;6. ďż˝1 + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; -4x 12. degree of the differential equation = is ANSWER: 2 = Qfactor 2 6. â&#x2C6;Ť0 6.đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5 â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x17E;0 x5 xđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ANSWER: 14.

If cos x is an integrating đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? dx=The =13.

ANSWER: The order and equation (1 + y`) = y` are ANSWER: 1, 1. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; degree of the differential =xANSWER: -tan xequation 15.

The differential of with centre at t 14.

If cos is an integrating factor of all thecircles differential 10. 7.

The surface area of the solid of revolution of the region bounded x=0 and x=2 x-axis is equation The volume of the solids obtained theequation 13.

The order and degree ofby therevolving differential (1 +differential y`)2 =by y`2 y=2x, are ANSWER: 1,circles 1. 2 about đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; of all 15.differential The equation with centre at at the origin 2 2 2 11.

The differential equation of all circles with centre 14.

If cos x is an integrating factor of the equation + Py = Q then P= ANSWER: -tan xi đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś area ellipse =11 about about its major and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ellipse if f`(x) = â&#x2C6;&#x161;equation đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ and = 2 then f(x) is ANSWER: (x â&#x2C6;&#x161;ođ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; ed by revolving the areaof ofthe the ellipse + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 =obtained itsby major and The16. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 7. The volume of the solids revolving the area of thef(1) 1đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? about its 15. differential at đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;the the origin is+ANSWER: dxANSWER: +circles yđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;dy = with 0đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?-tan 2 + 2 =xcentre ANSWER: 4â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; 14.

If đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? cos x isđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2an integrating factor of the differential equation Py = Q thenofxP=all 16.with if f`(x) = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ at andthe f(1) = 2 then f(x) is ANSWER: 2) â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; =+ 0 15. differential equation ofb all centre origin is ANSWER: x dx + đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;y(xdy : a circles minor axes are in The the ratio (a > b) ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

12. if f`(x) = â&#x2C6;&#x161;x and f(1) = 2 then f(x) is > b) ANSWER: b : a đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?Ď&#x20AC; differential đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?circles with centre đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; 15.

The equation of all at the origin is ANSWER: x dx + y dy = 0 16. if f`(x) and f(1) = 2 then ANSWER:equation (xâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; + 2 11.

The value đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;4the đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; dx đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;ration isANSWER: ANSWER: 17. and degree off(x) the is differential â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;Ť ANSWER: b :=The aâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľorder minor axes are in (a > b) đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 8.

The valueofof sin x is đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; 016. đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; if f`(x) = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ and f(1) = 2 then f(x) isANSWER: ANSWER: (xâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;degree + 2) of the differential equation 17. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? The orderđ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;and ing the triangle with vertices16. at ifđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?(0, 0),=3 â&#x2C6;&#x161;(3, 0) and (3, 3) about x-axis is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? - y + ďż˝đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; Ď&#x20AC;/4 f`(x) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ and f(1) = 2 then f(x) is ANSWER: (x + 2) đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x161; 9. The value of â&#x2C6;Ť0 cos 2x dx is ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?1/3 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 18.

The differential of the family of lines yđ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;= ab mx đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;3) đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;/đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 0) equation 8. 12.

TheThe volume rotating đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;the triangle with vertices atequation 0), (3, and (3, 13.

The order and degree of differential equation value ofgenerated is ANSWER: đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; â&#x2C6;Ťđ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;by 17. The order and degree of(0, thethe differential đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; equation đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; 18.

The differential family of lines y = mx is ANSWE đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? - y đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;/đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;of the đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 17. The order of the differentialđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;equation + đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; ďż˝ = 0 are ANSWER: 3, 3 10. The area bounded by the line yand = x,degree the x-axis and the đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;- đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;y + ďż˝ đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 17. The order and degree of the - y amount + ďż˝ đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; + present ďż˝ đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; = 0inare ANSWER: 3, element 3.

19.

The a radioactive disinteg ANSWER: 3, 3.

are 3/2differential equation đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; ordinate x=1 and x=2 is ANSWER: 19.differential The amount present in aof radioactive element disintegrates at A a ANSWER: 9 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?18.

18.family The equation theydx family of=lines y = mx is đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192; The differential đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? equation of the of lines y = mx is ANSWER: + xdy 0. Ď&#x20AC;/4differential ďż˝đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? + ďż˝ ďż˝equation of =the the family of lines14. y =The mx differential is ANSWER:equation ydx + xdy 0.family of lines y = mx đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; (x) from x=a to x=b is ANSWER: 11. The value18. of The â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;Ť-Ď&#x20AC;/2 x) dx isofANSWER: 0. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? (sinx/2+cos The differential equation corresponding to the above đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 10 is ANSWER: ydx + xdy =rate 0. of proportional The differential equation to the above statemen amount present in aatradioactive element disintegrate 2 19. The 19.amount The amount in xa2 +radioactive element disintegrates acorresponding to its amoun yelement 19.ofThe present in a radioactive disintegrates at a rate of proportional to itsđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; amount đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? (p).

12. region The volume the solid obtained bypresent revolving đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192; = 1 is15. of revolution of the bounded by y=2x, x=0 and x=2 about x-axis đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 9 16 ďż˝ Solution of dx/dy ++mx =â&#x2C6;Ť 0=where m <ďż˝0mis<ANSWER: ANSWER: ďż˝ đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 9. The arc length of the curve y=f(x) from x=a to x=b is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? + mx 0 where 0 is ANSWER: x= 20. solution of đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; about the minor axis is ANSWER: 64Ď&#x20AC; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? is (k -myof +isđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; mx where mANSWER: <is0negative) isđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; ANSWER: = ce-my stat 20.

The differential corresponding to the The differential equationequation corresponding to the above statement (k is= 0 negative) = đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;xabove The differential corresponding to the above statement ANSWER: xsolution = ce đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;equation

đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;

7. INTEGRAL CALCULUS AND ITS APPLICATIONS

13. The area bounded by the parabola y2=x and its latus

NSWER:

ANSWER:

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

2/3 đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; of the curve X2/3+Y 14. The length of đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; the arc = 4 is 2 2

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;

11.

12.

-my

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 17. The integrating factor of the differential equation

y=

2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 21.

If = đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; then đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;ANSWER: x -y -2xy =2 c 2 22.dyThe the differential equation 0 y integrating tan x = cos x factor is ofANSWER: cos x đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; ANSWER: 4â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? factor theofdifferential 0 y tanđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; x= 21.

If đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;+đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; = then ANSWER: x21.

-y -2xy ANSWER: 48 đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; If 22.=The =cdx integrating then ANSWER: x2-y2-2xy =equation c

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;+đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;+đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 2the general solution of the differential Ď&#x20AC; 18. y =y0cx - c2-2 xis 2 23. =ycx is the solution of the differential e 22. integrating of the differential equation =the cosgeneral x isgeneral ANSWER: costhe x differential 15. The value ofThe â&#x2C6;Ť0đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?sin x đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; cos3 xfactor dx is ANSWER: 0. đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

23. yđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;= cx -tan c iscđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; solution of equation AN equation ANSWER: 22.

The integrating factor of the differential equation 0 y tan(y`) x =2-xy`+y=0 cos x is ANSWER: cos xđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; The value of đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; is ANSWER: â&#x2C6;Ťđ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 22.

The integrating factor of the differential equation 0 y t 2a 2 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 16. â&#x2C6;Ť0 f(x) dx= ANSWER: f(2a-x) =solution -f(x) of the đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?differential đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 23. y0 =if cx - c is the general equation ANSWER:factor (y`)đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;-xy`+y=0 24.

The integrating =ANSWER: e4x is ANSWER: x 24.

The integrating factor of of + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;= +e4x2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľis xx22 đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 19.

The integrating factor is 10 2 2ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 23. c b is the general solution of the differential equation ANSWER: (y`) -xy`+y=0 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? y = cx -â&#x2C6;Ť 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś ANSWER: f(a+b-x) 17. â&#x2C6;Ťab f(x) dx = cxThe -x2ccomplementary is the generalfunction solutionofof the equat 2 2x đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? y 20. a 24.=The integrating factor of dx + 2 = e4x 23. is ANSWER: 2differential đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; + 1)y =iseANSWER: đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 25.The The complementary function of (D =ise2x is ANS 25. complementary function of (D2(D + 1)y = +e2x1)y Ac The value of đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; is ANSWER: Ď&#x20AC; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 4x 4 đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;0 sin 18. The value of â&#x2C6;Ť x dx is ANSWER: 24.

The integrating factor3 of 2 + 2 đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; = e2x isANSWER: ANSWER: A x2cos x + Bđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;sin x đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 4x 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = e is ANSWER: A cos x + B sin x 25. The complementary function16 of (Dđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; + 1)y 24.

The integrating factor of + 2 = e is ANSWER: x 26. differential equation formedformed A and B from y 26.The The differential equation by eliminating A and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ by eliminating â&#x2C6;&#x17E; -mx 7 2x 7 by eliminating x The by eliminating A and 25. of (D221. + A1)y is ANSWER: x x) + Bis sin x 19. The value ofThe â&#x2C6;Ť e The x complementary dx is ANSWER:function 26. and=differential Be from y=eequation (A cos xAformed +cos B sin 0 differential equation formed 2 2x x 7(m+1) 25. The complementary ANSWER: +2y 0c o =s 0 B f r o m yy2-2y =ye21-2y ( A1=+2y + B s i n= xe ) is i sANSWE ANSWER: function ofx (D + 1)y x 20. The area bounded by the parabola y02=x and its latus by eliminating ANSWER: y2-2y 26. The differential formed A andyB-2y from is 1+2y = equation ANSWER: +2yy=e = 0(A cos x + B sin x) 10 2 2 1 27.

The differential equation corresponding to xy = ctowhere an 8 27.

The differential equation corresponding xy = c2isBwh rectum is27.

ANSWER: 26.

The formed byANSWER:xy`+y=0 eliminating A and f 2 The differential corresponding to xy = cdifferential where c is anequation arbitrary constant, is 2 3 equation ANSWER: y2-2y1+2y =0 22.

The differential equation corresponding to xy = c x 2 2 21. If In = â&#x2C6;Ťsin dx then In = đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; w h exy r edifferential c2 where i s+2y a nc=equation a0ran bďż˝đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; i tarbitrary y 1/3c=ox5y niss1/3 tANSWER: a=nxt ,is sof order 1 ANSWER: y=2c-2y 28.

The differential equation ďż˝r a+ r5y đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 2 1/3 28. is iANSWER:x ANSWER: 27.

The n-1 differential toThe is đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 28. The equationequation ďż˝ ďż˝ + 5ycorresponding = x is ANSWER: of order 11 and degree 2. ďż˝đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;ďż˝ +constant, 1 differential đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; sin x cos -x n-1 In-2 ANSWER: ANSWER: xy +y = 0 2 2 y n n 27. differential equation xy 2 2The -y is=ANSWER: 2c wheree 29.

The integrating factor ofcorresponding dx of + xdx dy += xe-ydy secto y edy 29. The integrating factor ofequation dx + x dyďż˝=đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;eďż˝-ysec y 1/3 dy isx ANSWER: ey of 29.

The integrating factor = sec y dy is AN 28.

The differential + 5y = is ANSWER: order 1 and degree 2. dx / dy ) 2+ 5y 1/3= x is 8. DIFFERENTIAL EQUATIONS đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 23. The differential equation ( đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 2 2 đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; 2 2x đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; equation ďż˝ethe + 5y1/3 of đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; o đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 2 đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; y ďż˝degree ANSWER: ofďż˝degree order 1ofand 2.= x is ANSWER: + Doffactor - the 14)y = 13e 1. The particular integral of (3D 29.

The and integrating of dx +28. xisequation dyThe =30. e-ydifferential sec y dy is ANSWER: The order and differential đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; + ďż˝ 30. The order degree differential = are ANSWER: 2, 4 equation đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? = ďż˝đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; +đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;ďż˝đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; ďż˝đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; ďż˝ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;The đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; and degree of the differential equation 2x đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 30. order đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER: xe đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 24. integrating The integrating factor dx+2 +xđ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; xdy dy==ee-y-ysec sec22yy dy dy is 29. The factor ofof dx is ANSWE đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; y 2. The particular integral of the differential equation 30. The order and degree of the differentialANSWER: equation eđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? = ďż˝đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; + ďż˝ ďż˝ ďż˝ are ANSWER: 2, 4 đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; f(D)y=eax where f(D)=(D - a) g(D), g(a) â&#x2030; 0, is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

129. DISCRETE MATHEMATICS, GROUPS ax 12 đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? = ďż˝đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; xe 30.

The order and degree of the differential equation ANSWER: a đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 12 (g( )) 3. The order and degree of the differential equation 1. `+` is not a binary operation on 12 Q-{0} ANSWER: sin x (dx + dy) = cos x(dx - dy) are ANSWER: 1, 1.

4. If y=ke Îťx then its differential equation is 2. The conditional statement pâ&#x2020;&#x2019;q is equivalent to y 12 ANSWER: {~P} V q ANSWER: d = Îťy dx 5. A particular integral of (D2 - 4D + 4)y = e2x is 3. The value of [3] + 11([5]+11[6]) is ANSWER: [3] đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

2x - 4D + 4)y = e isANSWER: ANSWER: e2x 4. The number of rows in the truth table of ~[p Î&#x203A; (~q)] đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? is ANSWER: 4.

6. The order and 2 degree of 2the differential equation he differential equation y`+(y``) =x(x+ +y``) y``) 2 respectively areare ANSWER: 2, 2.

2 y`+(y``) =x(x respectively 5. In a multiplicative group of nth roots of unity, ANSWER: 2, 2. đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 3x -3x the inverse of Ď&#x2030;k where k < n is ANSWER: Ď&#x2030;n-k obtained by eliminating a and b from y=ae + be is ANSWER: - 9y = 0 đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 2x2-y 2 2-2xy = c đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 16.

21. = then then ANSWER: đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 2 2x 10. The rectum surface area of solid of =revolution of region bounded y=2x, x=0 a ANSWER: = c and xx=2 =0 < 0 is ANSWER: x If=đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;ce solution of 2the đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

IfANSWER: = đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;+đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; ANSWER: xby -ym-2xy =isc ANSWER: đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; is20.

ANSWER: /3 +ofmx + where mx 0mwhere m< 021. isthe =then ce 20. solution đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; =-my 0 where <-y0 -2xy = ce-m 20. solution đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;of đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;+đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; +xmx đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;

ď Ź

HŠóþK 16 & 28,2014ď ŹÂ°Ć&#x2019;°ùâ&#x20AC;&#x17E; CIâ&#x20AC;ş

is ANSWER: log x

44

equation corresponding to y=emx where m is the arbitrary constant, then m is

6. Given E(X + C) = 8 and E(X - C) = 12 then the value of C is ANSWER: -2.

mean Îź, then â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x17E;-â&#x2C6;&#x17E; f(x)dx is ANSWER: 1.

7. The order of [7] in (Z9, +9) is ANSWER: 9.

8. If X is a discrete random variable then P(X â&#x2030;Ľ a) is equal to ANSWER: 1 â&#x20AC;&#x201C; P(X < a)

8. Let p be â&#x20AC;&#x2DC;Kamala is going to schoolâ&#x20AC;&#x2122; and q be â&#x20AC;&#x2DC;there are twenty students in the classâ&#x20AC;&#x2122;.

9. In a poisson distribution if P(X = 0) = k then the variance is ANSWER: log 1/k

â&#x20AC;&#x2DC;Kamala is not going to school or there are twenty students in the class stands for ANSWER: ~p V q

10. In a binomial distribution if n=5, P(X = 3) = 2P(X = 2) then ANSWER: p = 2q.

9. p â&#x2020;&#x201D; q is equivalent to ANSWER: (p â&#x2020;&#x2019; q) Î&#x203A; (q â&#x2020;&#x2019; p)

11. Variance of the random variable X is 4, its mean is 2. Then E(X2) is ANSWER: 8.

10. In the set of integers under the operation * defined by a*b=a+bâ&#x20AC;&#x201C;1 the identity element is ANSWER:1.

11. If p is true and q is unknown then ANSWER: p V q is true.

12. In a set of real numbers R an operation * is defined by a * b = â&#x2C6;&#x161;(a2+b2) then the value of (3*4) * 5 is ANSWER: 5â&#x2C6;&#x161;2 13. In the group (Z4, +4) 0 ([3]) is ANSWER: 4.

14. A monoid becomes a group if it also satisfies the ANSWER: Inverse Axiom.

15. In the group (G, *), G = {1, -1, I, -i}. order of -1 is ANSWER: 2.

16. If a compound statement is made up of three simple statement then the number of rows in the truth table is ANSWER: 8.

12. In 16 throws of a die getting an even number is considered a success. Then the variance of the successes is ANSWER: 4.

13. For a standard normal distribution the means and variance are ANSWER: 0, 1.

14. Given E(X + C) = 8 and E(X - C) = 12 then the value of C is ANSWER: -2.

15. The distribution function F(X) of a random variable X is ANSWER: a non-decreasing function.

16. If a random variable x follows Poisson distribution such that E(X 2)=30 then the variance of the distribution is ANSWER: 5.

17. X is a random variable taking the values 3, 4 and 12 with probabilities 1/3, 1/4 and 5/12 respectively.

Then E(X) is ANSWER: 7.

17. In (N, *), x * y = (x, y) x, y â&#x2C6;&#x2C6; N then (N, *) is ANSWER: Only a semi group.

18. Îź2=20, Îź2`=276 for a discrete random X. Then the mean of the random variable is ANSWER: 16.

18. In congruence modulo 5, {x â&#x2C6;&#x2C6; z/x = 5k + 2, k â&#x2C6;&#x2C6;z} represents ANSWER: [5]

19. For a Poisson distribution with parameter Îť=0.25, the value of the second moment about the origin is ANSWER: 0.3125.

19. In (S, *) * is defined by x * y = x where x, y â&#x2C6;&#x2C6; S then * is ANSWER: only associative.

20. A discrete random variable X has probability mass

function p(x) then ANSWER: O â&#x2030;¤p(x) â&#x2030;¤1 10. PROBABILITY DISTRIBUTIONS 10. PROBABILITY DISTRIBUTIONS

21. A bag contains 6 red and 4 white balls. If 3 balls đ??´đ??´đ??´đ??´ 1 1. If f(x)= , -â&#x2C6;&#x17E;<x<â&#x2C6;&#x17E; isisaap.d.f. ofofa continuous random variable X, then the value2of A is ANSW are drawn at random, the probability of getting 2 1. p.d.f. a đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; 16+ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ white balls, without replacement is ANSWER: continuous random variable X, then the value of A 3/10 2. isVar (4x + 3) ANSWER: 4. is ANSWER: 16 Var(X)

22. If the mean and standard deviation of a binomial 2.3. Var + 3) is ANSWER: 16 Var(X) In a(4xpoisson distribution, if P(X = 2) = P(X = distribution 3) then the value of its parameter đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; is ANSWER: are 12 and 2 respectively, then the 3. In a poisson distribution, if P(X = 2) = P(X = 3) value of its parameter p is ANSWER: 2/3 -x2+3x 4. then Forthe thevalue p.d.f. ofparameter the normal distribution ; -â&#x2C6;&#x17E; < x <â&#x2C6;&#x17E; the mean đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x153;&#x2021;= ANSWE of its Îť is ANSWER: 3. function f(x) = Ce 23. The mean of a binomial distribution is 5, and its 4. For the p.d.f. of the normal distribution function deviation is 2. Then the values of n and 5. f(x) For= aCebinomial distribution with mean 2 andstandard variance 4/3 p is equal to ANSWER: 1/3.

-x2+3x; -â&#x2C6;&#x17E; < x <â&#x2C6;&#x17E; the mean Îź= ANSWER: p are ANSWER: (25,1 ) 3/2 5 6. The random variable X follows a normal 24. distribution whose probability function is given by For a Poisson distribution with parameter Îť=0.25 5. For a binomial distribution with mean 2 and the value of the 2nd moment about the origin is 1 variance 4/3 â&#x2C6;&#x2019; p is(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;100) equal to2 ANSWER: 1/3. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? f(x) = ce 2 the value of C is ANSWER: ANSWER: 25 đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 0.25 6. In 5 throws of a die, getting 1 or 2 is a success. The ANSWER: successes 7. mean In 5 number throwsofof a die, isgetting 1 or5/3.

2 is a success. The mean number of successes is ANSWER: 7. If f(x) is a p.d.f. of a normal distribution with

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â&#x2C6;&#x17E;

8. If f(x) is a p.d.f. of a normal distribution with mean đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x153;&#x2021;, then â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; is ANSWER: 1. èâ&#x201E;˘M&þô ĂľNè£â&#x20AC; ÂŽ

9. If X is a discrete random variable then P(X â&#x2030;Ľ a) is equal to ANSWER: 1 â&#x20AC;&#x201C; P(X < a)

10. In a poisson distribution if P(X = 0) = k then the variance is ANSWER: log

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;

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HŠóõK 16 & 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

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Women Cry, The Definitive Book of Body Language, Body Language in the Workplace âù 18-&‚° «ñŸ-ð†ì ÅŠ-ð˜

U† ¹ˆ-îè - ƒ-è¬÷ â¿-Fò - õ - ˜-èœ Þõ˜èœ. ݇ & ªð‡ à÷-Mò - L - ™ â‰-îŠ ð‚-èº - ‹ ê£ó£-ñ™ ÝŒ-¾è - œ ªêŒ¶ ¶E„-êô - £ù Cô 輈-¶è - ¬÷ Þõ˜-è÷ - £™ ªê£™ô º®-Aø - ¶. Þ¡-¬øò «îF‚° àô-A¡ º¡-ùE ð˜-êù - £-L†® ªìõ-ôŠ-ªñ¡† G¹-í˜-èO™ Ýv-F« - ó-Lò£-¬õ„ «ê˜‰î Þ‰î Þó†-¬ì-ò¼ - ‚° º‚-Aò - ñ - £ù Þì-º‡´. Þõ˜-èO¡ 輈-¶è - œ õN«ò Þ‰î Þî-N½ - ‹  ݇ & ªð‡ à÷-Mò - ¬ô Üô-²« - õ£‹.

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HŠóõK 16 & 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

èœ. ²‹-ñ£õ£? «è£®‚-èí - ‚-è£ù õ¼-ìƒè-÷£è æ˜ Cø‰î ݵ‚-°K - ò ܬùˆ¶ Þô‚-è-íƒ-è-¬÷-»‹ ðK-Y-Lˆ¶, ‘Þõ¡ «îÁ-õ£ù£... Þ™-¬ôò£...’ âù Cô M-èO™ ªê£™ô «õ‡-ì£ñ£? êK, ÞŠ-ð® - ª - ò™-ô£‹ Üb-îñ - £è C‰-Fˆ¶ ªð‡-èœ îƒ-èO¡ Þ¬í¬ò ñ†-´‹- «î˜‰-ªî-´‚-Aø - £˜-è÷£? Þ™¬ô. ݇ â¡ð-õ¬ù ªð‡ 𣘂-°‹ «è£í«ñ ޶. å¼ Ý¬íŠ ðŸP å¼ ªð‡ ñùF™ å¼ è¼ˆ¶ æì «õ‡-´-ªñ¡-ø£™, «ñŸ-ªê£¡ù ܬùˆ-¶‚ èí‚-°è - - ÷-»‹ èEŠ- ª ð£- P - è œ «î£Ÿ- ° ‹ «õèˆ- F ™ ªð‡-E¡ ͬ÷ «ð£†-´Š 𣘂-°‹. î¡-Â- ìò -¬è‰¶ ñè¡-èO™ å¼õ¬ù ñ†-´‹ å¼ î£Œ ÜF-è‹ ï‹-¹õ - F - ™ Ãì Üõ-ù¶ Fø¬ñ, ió‹, Üõ¡ îó‚Ã-®ò ð£¶-裊¹ «ð£¡-ø¬õ ðƒ° õA‚A-ø¶. ÜP-ò£î, ªîK-ò£î ݇-è- ÷Š ðŸP å¼ º®-¾‚° õ¼-õî - Ÿ-°‹ ªð‡-èO-ì‹ vªð-û™ ¹ô¡-èœ à‡´. Ø-¬ñ-ò£ù è‡ ð£˜¬õ, ¶™-Lò - ñ - £ù ï£C, ¸†-ðñ - £ù ÜP¾ «ð£¡-ø¬õ Þ‰î Mîˆ-F™ ªð‡èO¡ Š÷v. å¼ ªð‡ ñE‚-èí - ‚-A™ î¡-Qì - ‹ «ðC‚ ªè£‡-®¼ - ‰-î£-½‹ ÜF™ ð£F-¬òˆ- å¼ Ý‡ èõ-Qˆ-F¼ - Š-ð£¡. Ýù£™, å¼ Ý‡ «ð²‹ õ£˜ˆ-¬î-èÀ‚A-¬ì«ò àœ÷ ªñ÷ù Þ¬ì-ªõO-è- ÷-»‹ ºè‚-°P - Š-¹è - - ÷-»‹ Ãì ¹K‰-¶ª - 補-÷ˆ ªîK‰-îõ - ˜-èœ ªð‡-èœ. ù ÜP-ò£ñ- « ô«ò Þ¬î Üõ˜- è œ ªêŒ- õ £˜- è œ. ¹F-î£è ÜP-ºè - ñ - £-°‹ å¼ ïð-K¡ «èó‚ì¬ó ªõ° Y‚-Aó - ˆ-F™ Ièˆ ¶™-Lò - ñ - £è å¼ ªð‡-í£™ èEˆ-¶-Mì º®-»‹. è£ó-í‹ ªê£™-ôˆ ªîK-ò£-M†-ì£-½‹, ªð‡-èœ å¼ ñQ-î- óŠ ðŸP ªê£™-½‹ ºî™ 輈-¶è - œ ªð¼‹-ð£-½‹ êK-ò£-ùî - £è«õ Þ¼‚-°‹. Ýè, àœ-Àí - ˜¾ â¡ø ô-î™ ¹ô-¬ù»‹ ªè£‡-´î - £¡ ªð‡-èœ Ý‡-è- ÷Š 𣘂-Aø - £˜-èœ. å¼ GÁ-õù - ˆ-F¡ ꣘-ð£è î°-Fò - £ù & Fø-¬ñ-ò£ù ðE-ò£-÷- ùˆ «î˜‰-ªî-´‚-°‹ ªð£ÁŠ¬ð å¼ ªð‡E-ì‹ åŠ-ð- ì‚-°‹-«ð£¶, Þ‰-îŠ ¹ô-‹ ܉-G-Á-õ-ùˆ-¶‚° ô-î™ H÷v-. Ýè... àœ-À-혾 à‰-Fˆ îœ÷, ªð‡ ÜF-è£K å¼ Ýµ‚° 10 ñ£˜‚ ÜF-è‹ «ð£ì-ô£‹. ÜîŸ-°Š ªðò˜ êð-ô‹ Ü™ô... Üõ«÷ ÜP-ò£-ñ™ ïì‰-«î-PM - ´ - ‹ æ˜ ÜF¸†ð «î˜¾ º®¾. Þ‰-îˆ ªîO¾ ïñ‚° Þ¼‰-¶M - †-죙 «ð£¶‹... ªð‡ ðŸ-Pò ð£˜-¬õ-J½ - ‹ ¹K-îL - ½ - ‹ àœ÷ îõ-Áî - ™èœ Üè- ½ ‹. Üõ˜- è O- ì ‹ ô- î ™ 10 ñ£˜‚¬è & Üè, àœ-Àí - ˜¾ ñ£˜‚¬è & âŠ-ð® - Š ªðÁ-õ¶ â¡Á ÜP‰-¶ª - 補÷ ÜŠ-«ð£-¶î - £¡  îò£-ó£-«õ£‹. â¡ù... îò£˜-ù?

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Kunguma Chimizh Fortnightly Registered with the Registrar of Newspaper for India under No.R.N.42528/83. Price Rs.10.00. Day of Publishing: 1st & 15th of every month

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ÜPMŠ¬ð ªõOJ†´œ÷¶. ®.â¡.H.âv.C. Þ¬íòî÷ˆF™ Ý¡¬ô¡ Íô‹ õ¼A¡ø 5.3.2014 õ¬ó Þ‰îˆ «î˜¾‚° M‡íŠH‚èô£‹. Þ‰îˆ «î˜M¬ù ⿶õîŸè£ù ªð£¶Š HKMù¼‚è£ù à„ê õò¶ õó‹¹ 30. Þîó HKMù¼‚° à„ê õò¶ õó‹¹ Þ™¬ô. Þîó HKMù˜èœ â¡ð¶ â‹.H.C., H.C., âv.C., âv.®. ÝA«ò£¬ó‚ °P‚°‹. ܬùˆ¶ HKMù¼‚°ñ£ù °¬ø‰îð†ê õò¶ õó‹¹ 18. «î˜¾ 18.5.2014 Ü¡Á îI›ï£†®¡ ܬùˆ¶ ñ£õ†ìƒèO½‹ àœ÷ «î˜¾ ¬ñòƒèO™ ï¬ìªðø àœ÷¶. ãŸèù«õ ®.â¡.H.âv.C. ܆ìõ¬íJ™ ªõOJìŠð†ì è£LŠ ðEJìƒè¬÷ Mì ÞŠ«ð£¶ ðEJìƒèO¡ â‡E‚¬è ÜFèKˆF¼Šð¶ °PŠHìˆî‚è¶. «ï˜ºèˆ «î˜¾ Ü™ô£î å«ó å¼ â¿ˆ¶ˆ «î˜M¡ Íô‹ Þ‰î «õ¬ô¬ò cƒèœ õêŠð´ˆîô£‹. ÜPM‚èŠð†´œ÷ «ïó® àîMò£÷˜ ðEJìƒèœ Iè âO¬ñò£ù «î˜¾ Íô‹ GóŠðŠð쾜÷ Iè ï™ô ðEè÷£°‹. Þ‰îˆ «î˜¾ ⿶õîŸè£ù è™Mˆî°F, ã«î‹ å¼ Þ÷G¬ôŠ ð†ì‹. Cô °PŠH†ì ðîMèÀ‚° õEèMò™, ªð£¼÷£î£ó‹

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M‡íŠH‚°‹ º¬ø: www.tnpsc.gov.in, www.tnpscexams.net â¡ø Þ¬íòî÷ƒèO¡ Íô‹ Ý¡¬ôQ™ ñ†´«ñ M‡íŠH‚è «õ‡´‹. Þîó º¬øèO™ õ¼‹ M‡íŠðƒèœ ãŸèŠðìñ£†ì£¶. Ý¡¬ôQ™ M‡íŠHŠðîŸè£ù è¬ìC «îF: 05.03.2014 õƒAèœ ñŸÁ‹ Ü…ê™ G¬ôò‹ Íô‹ «î˜¾‚ è†ìí‹ ªê½ˆ¶õîŸè£ù è¬ìC «îF: 07.03.2014 ⿈¶ˆ «î˜¾ ï¬ìªðÁ‹ «îF: 18.05.2014. 裬ô 10 ñE ºî™ ñFò‹ 1 ñE õ¬ó. «ñ½‹ MKõ£ù è™Mˆî°F, õò¶ õó‹¹ ê½¬èèœ, ðEòñ˜ˆîŠð´‹ ¶¬ø àœO†ì º¿¬ñò£ù MõóƒèÀ‚°: www.tnpsc.gov.in, www.tnpscexams.net â¡ø Þ¬íòî÷ƒè¬÷Š 𣘂辋.

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¶¬í ó£µõ ió˜ «î˜¾ º¬ø-J™ ñ£Ÿ-ø‹ ó£µ-õˆ-FŸ° Þ¬í-ò£è, ¶¬í ó£µ-õˆ-Fù - ¼ - ‚-°‹ ê‹-ð÷ - ‹ ñŸ-Á‹ Þîó ê½-¬è-èœ õöƒ-èŠ-ð´ - A - ¡-øù. âù«õ, ñˆ-Fò Kꘚ «ð£hv ð¬ì, ♬ô ð£¶-裊-¹Š ð¬ì, Þ‰«î£ Fªðˆ ♬ô «ð£hv ð¬ì, ‘êûvˆó Yñ£ ð™’ «ð£¡ø ¶¬í ó£µ-õŠ ð¬ìèÀ‚° ió˜-èœ ñŸ-Á‹ ÜF-è£-Kè - œ «î˜-M™ ïiù º¬ø-è- ÷Š H¡ðŸø, àœ-¶¬ø ܬñ„-êè - ‹ àˆ-îó- M - †-´œ-÷¶. Üî¡-𮠫 º¬ø º¿-õ¶ - ‹ è‡-è£-EŠ¹ «èñó£ Íô‹ è‡è£-E‚-èŠ-ð´ - ‹. Mù£ˆ--èœ, è‹Š-Ά-ì˜ Íô‹ ñFŠ-d´ ªêŒ-»‹ õ¬è-J™, ‘ÝŠ-®‚-è™ ñ£˜‚ g옒 ñŸ-Á‹ ‘ÝŠ-®‚-è™ «èó‚-ì˜ ªó肬ù-ꘒ ªî£N™-¸†-ðƒ-èœ H¡-ðŸ-øŠ-ðì àœ-÷ù. «ñ½‹, ‘«ó®«ò£ çŠ-g‚-õ¡C äì¡-®ç - H - « - è-û¡’ º¬ø-J™ Mù£ˆ- ñŸ-Á‹ M¬ìˆî£œ åš-ªõ£¡-Á‹ åš-ªõ£¼ è†-ìˆ-F½ - ‹ è‡è£-E‚-èŠ-ð´ - ‹ âù àœ-¶¬ø õ†-ì£-óƒ-èœ ªîK-Mˆ-îù. 

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õù «ñô£‡¬ñ GÁõùˆF™ Hâ„.® 𮊹 «ð£ð£L™ àœ÷ Þ‰Fò õù «ñô£‡¬ñ è™M GÁ õùˆF™ Fellow Programme in Management (Doctoral Level) Communication and Extension Management, Ecosystem and Environment Management, Financial Management, Human Resource Mangement

àœO†ì HK¾èO™ Ý󣌄 CŠ ð®Š¹èœ õöƒèŠ ð´A¡øù. ÞF™ «êó, ê‹ð‰îŠð†ì ð£ìŠHKM™ 55 êîiî ñFŠªð‡èÀì¡ º¶è¬ô ð†ìŠð®Š¹ º®ˆF¼‚è «õ‡´‹. CAT/GMAT, JRF/NET, GATE Ü™ô¶ ICAR NET «î˜¾èO™ ªðŸø ñFŠªð‡èœ Ü®Šð¬ìJ™ î°Fò£ùõ˜èœ «î˜‰ªî´‚èŠð´õ˜. Ü´ˆî è†ìñ£è °¿ Mõ£î‹ ñŸÁ‹ «ï˜ºèˆ«î˜¾, «ð£ð£L™ àœ÷ IIFM õ÷£èˆF™ õ¼‹ ãŠó™ / «ñ ñ£îƒèO™ ï¬ìªðÁ‹. «ñ½‹ MõóƒèÀ‚°: www.iifm.ac.in

«õ¬ô-J™ô£ Þ¬÷-ë˜-èÀ‚° àî-Mˆ-ªî£¬è 2013 ®ê‹-ð˜ 31&‹ «îF Gô-õó- Š-ð®, «õ¬ô õ£ŒŠ¹ ܽ-õô - è - ƒ-èO™ ðF¾ ªêŒ¶ 5 ݇-´-èÀ‚° «ñô£-A-»‹ «õ¬ô õ£ŒŠ-H¡P Þ¼‚-°‹ Þ¬÷-ë˜-èÀ‚° Üó² ꣘-H™ àî-Mˆ-ªî£¬è õöƒ-èŠ-ð-´-A-ø¶. Þ °´‹-ðˆ-F¡ ݇´ õ¼-ñ£-ù‹ Ï.50 ÝJ-óˆ-¶‚° Iè£-ñ™ Þ¼‚è «õ‡´‹. ‘ðˆ- õ°Š¹, H÷v 2, ð†-ìŠ-ð® - Š¹ º®ˆî î°-Fò - £ù ðF-¾î - £-ó˜-èœ ê£‰-«î£‹ ñ£õ†ì «õ¬ô-õ£ŒŠ¹ ܽ-õô - è - ˆ¬î Üµè «õ‡-´‹. ðˆ- õ°Š-H™ «î£™-M-ò-¬ì‰î ðF-¾-î£-ó˜-èœ ï‰-î-ùˆ-F™ àœ÷ ªî£N™ Fø- ù Ÿ- « ø£- ¼ ‚- è £ù «õ¬ô õ£ŒŠ¹ ܽ-õ-ô-般î ܵ-è-ô£‹’ âù ªê¡¬ù ñ£õ†ì ݆-Cò - ˜ ªîK-Mˆ-¶œ-÷£˜. ñ£Ÿ-Áˆ-Fø - ù - £-Oè - - ÷Š ªð£Áˆ-îõ - ¬ó ðF¾ ªêŒ¶ æ󣇴 G¬ø-õ¬ì‰-îõ - ˜-èœ A‡-®J - ™ àœ÷ ñ£Ÿ-Áˆ Fø-ù£-O-èÀ‚-è£ù CøŠ¹ «õ¬ô-õ£ŒŠ¹ ܽ-õ-ô-般î ܵ-è-ô£‹. Üõ˜-èÀ‚° è™-Mˆ î°F ñŸ-Á‹ °´‹ð ݇´ õ¼-ñ£ù à„ê õó‹¹ Þ™¬ô.

âv.C., âv.®., ñ£í-õ˜-èÀ‚° àî-Mˆ-ªî£¬è àò˜ Ý󣌄-CŠ 𮊹 àî-Mˆ-ªî£¬è ªðÁ-õî- Ÿ° ˆ-îŠ-ð†ì ñŸ-Á‹ ðöƒ-°®- J - ù ñ£íõ˜-èO-ì-I-¼‰¶ ð™-è-¬ô‚-è-öè ñ£Q-ò‚ °¿ (».T.C) M‡-íŠ-ðƒ-è¬÷ õó-«õŸ-Áœ-÷¶. Þ¶õ¬ó 䉶 õ¼-ìƒ-èÀ‚° ñ£î‹ 16 ÝJ-ó‹ â¡-P-¼‰î àî-Mˆ ªî£¬è¬ò õ¼‹ ݇´ ºî™ ñ£î‹ 30 ÝJó‹ õ¬ó àò˜ˆF õöƒè àœ-÷¶ ».T.C. Ý󣌄-CŠ 𮊬𠺮ˆ¶ Ü«î ¶¬ø-J™ àò˜ Ý󣌄CŠ 𮊬ð «ñŸªè£œ÷ M¼‹-¹‹ ñ£í-õ˜-èœ Þ M‡-íŠH‚-èô - £‹. î°-F» - œ÷ 100 «ð¼‚° Þ‰î àî-Mˆªî£¬è õöƒ- è Š- ð - ´ ‹. G¹- í ˜ °¿ Íô‹ î°-Fò - £-ùõ - ˜-èœ «î˜‰-ªî-´‚-èŠ-ð´ - õ - ˜ âù »TC ªîK-Mˆ-¶œ-÷¶. Þ Ý¡-¬ô¡ Íô‹ ñ†´«ñ M‡-íŠ-H‚è «õ‡-´‹. M‡-íŠ-H‚è è¬ìC , HŠ-óõ - K 21. «ñ½‹ Mõ-óƒ-èÀ‚°: www.ugc.ac.in

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è™M&«õ¬ô õN裆®

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+2 º®ˆîõ˜èÀ‚° «ð£hv «õ¬ô

â‹.C.ã, â‹.ªì‚ º®ˆîõ˜èÀ‚° Üó² «õ¬ô

GÁõù‹: C.ݘ.H.âçŠ âùŠð´‹ ñˆFò ªî£NŸê£¬ô ð£¶è£Š¹Š ð¬ì «õ¬ô: vªì«ù£ (ÜCvªì¡† êŠ Þ¡vªð‚ì˜ ðîM‚è£ù «õ¬ô. ݇/ªð‡ Þ¼ ê£ó£¼‹ «ð£†®Jìô£‹) è£LJìƒèœ: 271. è™Mˆ î°F: +2 (ޫ, àòó‹, ñ£˜ð÷¾, â¬ì «ð£¡øõŸP™ °PŠH†ì Ü÷¾ î°F»¬ìòõó£è Þ¼ˆî™ «õ‡´‹) õò¶ õó‹¹: 18 ºî™ 25 õ¬ó «î˜¾ º¬ø: Fø¡ «î˜¾ ÞF™ º‚Aòñ£ù¶. ðˆ¶ GIìˆF™ 80 õ£˜ˆ¬îè¬÷ î†ì„² ªêŒò¾‹, 苊ΆìK™ ðˆFè¬÷ â¿î¾‹ ªîK‰F¼ˆî™ «õ‡´‹. ޫ ⿈¶ˆ «î˜¾, àì™ î°FèÀ‚è£ù «î˜¾, ñ¼ˆ¶õ «ê£î¬ùèÀ‹ à‡´. ÞÁFò£ù¶ «ï˜ºèˆ «î˜¾.

M‡íŠH‚è è¬ìCˆ «îF: 22.2.14 M‡íŠH‚°‹ º¬ø ñŸÁ‹ «ñôFè îèõ™èÀ‚°: www.crpf.gov.in

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GÁõù‹: ñˆFò ÜóC¡ ªî£Nô£÷˜ ܬñ„êèˆF¡ W› õ¼‹ â‹Š÷£fv Šó£M졆 çð‡† Ý˜è¬ù«êû¡ (Þ.H.âçŠ) «õ¬ô: Þò‚°ù˜, ªì¹® Þò‚°ù˜, àîM Þò‚°ù˜, àîM Ý󣌄C ÜFè£K è£LJìƒèœ: 41. (ÞF™ ªì¹® Þò‚°ù˜ ðîM‚° 10 «ð¼‹, àîM Þò‚°ù˜ ðîM‚° 17 «ð¼‹ «î˜¾ ªêŒòŠð´õ£˜èœ) è™M: â‹.C.ã ñŸÁ‹ â‹. ªì‚ (C.ã) 𮊹èÀì¡ ÜÂðõº‹ «è†èŠð†´œ÷¶.

M‡íŠH‚è «õ‡®ò è¬ìCˆ «îF: 17.2.14 M‡íŠH‚°‹ º¬ø ñŸÁ‹ «ñôFè îèõ™èÀ‚°: www.

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epfindia.nic.in

Kꘚ õƒAJ™ «õ¬ô

Üó² ñ¼ˆ¶õñ¬ùèO™ «õ¬ô GÁõù‹: Þ.âv.ä.C âùŠð´‹ â‹Š÷£Jv v«ì† Þ¡Åó¡v 裘Šð«óû¡. Üó²ˆ ¶¬øò£ù Þî¡W› ð™«õÁ ñ£GôƒèO½‹ ñ¼ˆ¶õñ¬ùèœ, ñ¼ˆ¶õ‚ è™ÖKèœ ªêò™ð´A¡øù. «è£¬õ à†ðì ªñ£ˆî‹ 6 ñ¼ˆ¶õ‚ è™ÖKèÀ‚è£ù è£LJìƒè¬÷ GóŠ¹õîŸè£ù ÜPMŠ¹ Þ¶. «õ¬ô: «ðó£CKò˜, Þ¬íŠ «ðó£CKò˜, àîMŠ «ðó£CKò˜ âù ð™«õÁ ñ¼ˆ¶õŠ HK¾èO™ «õ¬ô. è£LJìƒèœ: 248 (ÞF™ «è£¬õJ™ ñ†´‹: 38) è™Mˆ î°F: °PŠH†ì HK¾èO™ º¶G¬ôŠ ð†ì‹ º®ˆîõ˜èœ M‡íŠH‚èô£‹.

M‡íŠH‚è è¬ìCˆ «îF: 17.2.14 M‡íŠH‚°‹ º¬ø ñŸÁ‹ «ñôFè îèõ™èÀ‚°: www.esic.nic.in

ó£µõ ªî£NŸê£¬ôJ™ «õ¬ô GÁõù‹: F¼„C ó£µõ ªî£NŸê£¬ô «õ¬ô: °ÏŠ C ðEJìƒèœ è£LJìƒèœ: 30 (êÍèŠ HK¾èÀ‚° ãŸð Þì 嶂W´ à‡´) è™Mˆ î°F: ðˆî£‹ õ°Š¹ «î˜„C M‡íŠH‚è è¬ìCˆ «îF: 21.2.14 M‡íŠH‚°‹ º¬ø ñŸÁ‹ «ñôFè îèõ™èÀ‚°: www.oftdr.com

GÁõù‹: Kꘚ õƒA «õ¬ô: ÝŒ¾ ÜFè£K, àîM «ñô£÷˜ (ªñ£N), «ñô£÷˜ (ªì‚Q‚è™ Ü‡† CM™) è£LJìƒèœ: 24. è™Mˆ î°F: º¶G¬ôJ™ ªð£¼÷£î£ó‹, èEî‹, ¹œOJò™ ñŸÁ‹ ܶ ꣘‰î 𮊹èO™ «î˜„Cò£ùõ˜èÀ‹, º¶è¬ô Þ‰F, Þ÷ƒè¬ô â…CQòKƒ ð†ì‹ ªðŸøõ˜èÀ‹ M‡íŠH‚èô£‹. õò¶ õó‹¹: «ñô£÷˜ ðE‚° 35 õò¶ Iè£ñ½‹ ñŸø «õ¬ôèÀ‚° 30 õò¶ Iè£ñ½‹ Þ¼ˆî™ «õ‡´‹.

M‡íŠH‚è è¬ìCˆ «îF: 17.2.14 M‡íŠH‚°‹ º¬øèœ ñŸÁ‹ «ñôFè îèõ™èÀ‚°: www.rbi.org.in

ð†ìî£KèÀ‚° ÝCKò˜ «õ¬ô

ðˆî£‹ õ°Š¹ ð®ˆîõ˜èÀ‚° ð™è¬ô‚èöè ðE GÁõù‹: ñˆFò Üó² è™M GÁõùñ£ù ªì™L ð™è¬ô‚èöèˆF¡ W› õ¼‹ ‘«ô® Þ˜M¡ è™ÖK’. «õ¬ô: ܽõôèŠ ðEèœ ñŸÁ‹ «ðó£CKò˜ ðEèœ è£LJìƒèœ: ܽõôèŠ ðE & 24, «ðó£CKò˜ ðE & 41 è™Mˆ î°F: ð™«õÁ ܽõôèŠ ðEèÀ‚° ãŸð ðˆî£‹ õ°Š¹, +2, â‹. âvC & è‹ŠÎ†ì˜ êJ¡v, â‹.C.ã ð®Š¹èœ âF˜ð£˜‚èŠð´A¡øù. «ðó£CKò˜ ðE‚° º¶G¬ô»ì¡ ªï† «î˜M™ «î˜„C»‹ ÜõCò‹.

M‡íŠH‚è è¬ìCˆ «îF: 26.2.14 M‡íŠH‚°‹ º¬ø ñŸÁ‹ «ñôFè îèõ™èÀ‚°: www.ladyirwin.edu.in

GÁõù‹: ñˆFò ÜóC¡ ñQîõ÷ ܬñ„êè‹ ñŸÁ‹ è™Mˆ ¶¬øJ¡ W›,  º¿õ¶‹ Þòƒ°‹ üõý˜ Mˆò£ôò£ ðœOè¬÷ G˜õ£A‚°‹ ï«õ£îò£ Mˆò£ôò£ êIF. «õ¬ô: ðò£ôT, è£ñ˜v, èEî‹, ªèIv†K «ð£¡ø ð™«õÁ ð£ìŠ HK¾èÀ‚° «î¬õò£ù º¶G¬ô ñŸÁ‹ Þ÷G¬ôŠ ð†ìî£K ÝCKò˜ «õ¬ô è£LJìƒèœ: ªñ£ˆî‹ 937. ÞF™ º¶G¬ôŠ ð†ìî£K ÝCKò˜èÀ‚° 514 ÞìƒèÀ‹ Þ÷G¬ô ð†ìî£K ÝCKò˜èÀ‚° 423 ÞìƒèÀ‹ è£Lò£è àœ÷ù. è™Mˆ î°F: º¶G¬ô ÝCKò˜è÷£è M¼‹¹«õ£˜, °PŠH†ì ð£ìŠHK¾èO™ º¶G¬ôŠ 𮊹‹; Þ÷G¬ô ÝCKòó£è M¼‹¹«õ£˜, °PŠH†ì ð£ìŠ HK¾èO™ Þ÷G¬ôŠ 𮊹‹ ð®ˆF¼ˆî™ «õ‡´‹.

M‡íŠH‚è è¬ìCˆ «îF: 28.2.14 M‡íŠH‚°‹ º¬ø ñŸÁ‹ «ñôFè îèõ™èÀ‚°: www.navodaya.nic.in.

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è™M&«õ¬ô õN裆®

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è™M&«õ¬ô õN裆®

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HŠóõK 16 & 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

ð¬ù ñóˆ-F™ ðí‹ ð£˜‚-è-ô£‹!

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Þƒ° àî-Mˆ-ªî£-¬è-»ì - ¡ õöƒ-èŠ-ð´ - ‹ ðJŸ-Cè - œ: 1. ð¬ùˆ-ªî£-N™ ðJŸC

4 ñ£î‹

2. ð¬ùˆ-¶‹¹ Hów îò£-Kˆ-î™

4 ñ£î‹

3. ð¬ù æ¬ô-J™ ¬èM-¬ùŠ ªð£¼†-èœ 2 ñ£î‹ 4. «ð‚-èK ªð£¼†-èœ îò£-KŠ¹

2 ñ£î‹

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5 -èœ

2. «ð£†«ì£ «ôI-«ù-û¡

5 -èœ

3. Ü®Š-ð¬ì Üö-°‚-è¬ô

5 -èœ

4. àò˜-G¬ô Üö-°‚-è¬ô

15 -èœ

5. èõ-Kƒ ï¬è-èœ ªêŒ-»‹ ðJŸC

15 -èœ

6. è£÷£¡ õ÷˜Š¹

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7. ꣂªô† îò£KŠ¹

5 -èœ

8. «ê£Š ÝJ™, ð£ˆFó‹ 迾‹ ð¾ì˜ 5 -èœ îò£KŠ¹ 9. ªñ¿°õˆF ñŸÁ‹ è‹ŠÎ†ì˜ ê£‹Hó£E îò£KŠ¹

5 -èœ

10. ê£Q†ìK A¡ îò£KŠ¹

5 -èœ

«ñ½‹ îè-õ™-èÀ‚°: èî˜ ñŸ-Á‹ Aó£-ñˆ ªî£N™-èœ Ý¬í-ò‹, ñ£î-õó- ‹ 𣙠ð‡¬í è£ôQ, ªê¡¬ù& 600 051, ªî£¬ô-«ðC: 044&2555 5402

ªð‡-èœ «ð£¡-øõ - ˜-èœ F†ì ñFŠ-d†-®™ 䉶 êî-iî - ‹ ñ†-´‹ ºî-h´ ªêò- «ð£¶‹. Üî£-õ¶ ªî£N™ ªî£ìƒè å¼ ô†ê Ï𣌠ñFŠ-d´ â¡-ø£™, «ñŸ-Ãø - Š-ð†ì HK-Mù - ˜ ä‰-î£-Jó- ‹ Ï𣌠ºî-h´ ªêŒ- «ð£¶‹. eî‹ àœ÷ 95,000 èì-ù£è A¬ì‚è õN-õ¬è ªêŒ-òŠ-ð´ - ‹. ªð£¶Š HKM-ù˜ ðˆ¶ êî-iî - ‹ ºî-h´ ªêŒò «õ‡-®J - ¼ - ‚-°‹. àŸ-ðˆF ꣘‰î ªî£N-ô£è Þ¼‰- Ï.25 ô†-ê‹ õ¬ó èì¡ A¬ì‚-°‹. «ê¬õ-èœ ê£˜‰î ªî£N-ô£è Þ¼‰- Ï.10 ô†-ê‹ õ¬ó èì¡ A¬ì‚-°‹. Þƒ° ðJŸC «ñŸªè£‡´ A¬ì‚-°‹ ꣡-Pî - › ñˆ-Fò Üó² ꣡-Pî - › â¡ð- èì-Âî - M ªðÁ-õF - ™ Có-ñ‹ Þ¼‚-裶’’ â¡-ø£˜ Üõ˜ èQ«õ£´. ð¬ù ñóˆ¬î ðí ñó-ñ£‚è cƒ-èœ îò£ó£?

13

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GÁõù„ ªêòô£÷˜ +2 Ü®Šð¬ìˆ «î˜¾ ‚è

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Áõùƒè¬÷ ªõŸPèóñ£è õNï숶‹ MîˆF™ Fø¡ õ£Œ‰î ªêòô£÷˜è¬÷ à¼õ£‚辋, Üõ˜èO¡ î°F¬ò 心°ð´ˆî¾‹ The Institute of Company Secretaries of India (ICSI) GÁõùˆî£™ ‘苪ðQ ªêèó†ìKSŠÕ 𮊹 õöƒèŠð´Aø¶. FòK, Hó£‚®è™ Þ¬í‰î Þ‰îŠ ð®Š¹, I°‰î «õ¬ôõ£ŒŠ¹è¬÷‚ ªè£‡ì¶. Þ‰îŠ ð®ŠH™ «êó Company Secretary Foundation Programme â¡ø «î˜¬õ â¿î «õ‡´‹. Þ¶ðŸP M÷‚°Aø£˜ è™M Ý«ô£êè˜ ó£üó£ü¡.

The Institute of Company Secretaries of India (ICSI) GÁõù‹, ¹¶ ªì™L¬ò î¬ô¬ñJìñ£è‚

ªè£‡´ ªêò™ð´Aø¶. Þ ¹¶ªì™L, ªè£™èˆî£, ªê¡¬ù, º‹¬ð ïèóƒèO™ ñ‡ìô ܽõôèƒèÀ‹, ¶ð£Œ àœO†ì 70 ÞìƒèO™ A¬÷ ܽõôèƒèÀ‹ à‡´.

C.S. Foundation Programme «î˜¬õ

ò£ªó™ô£‹ â¿îô£‹?

+2M™ â‰îŠ HK¬õŠ 𮈶 «î˜„C ªðŸøõ˜èÀ‹ Þ‰îˆ «î˜¬õ â¿îô£‹. Þ‰î ݇´ +2 ªð£¶ˆ«î˜¬õ 

HŠóõK 16 & 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

â¿îM¼‚°‹ ñ£íõ˜èÀ‹ Þˆ«î˜¬õ â¿îô£‹. âèù£I‚v, è£ñ˜v, ܂辡ì¡C HK¾è¬÷Š ð®ˆîõ˜èÀ‚° Þ‰îŠ ð®Š¹ I辋 ªð£¼ˆîñ£ù¶. °¬ø‰îð†ê ñFŠªð‡ â¡Á ⶾ‹ °PŠHìŠðìM™¬ô. +2 «î˜„C ªðŸø£«ô «ð£¶ñ£ù¶. Þ÷G¬ô, º¶G¬ôŠ ð†ìî£Kèœ, Institute of Cost Accounts of India GÁõù‹ ï숶‹ ICAI 𮊹‚è£ù ç𾇫ìû¡ «î˜M™ «î˜„C ªðŸøõ˜èœ, Institute of Chartered Accountants of India ï숶‹ CPT «î˜M™ «î˜„C ªðŸøõ˜èœ, Þ‰î C.S. Foundation Programme «î˜¬õ â¿î£ñ«ô«ò

14

«ïó®ò£è GÁõù„ ªêòô£÷˜ ð®ŠH¡ Þó‡ì£‹ G¬ôò£ù Executive Programme&™ «êóô£‹. Fine Arts ð†ìî£KèÀ‚° ñ†´‹ ÞF™ MFMô‚°. Üõ˜èœ Foundation Programme º®ˆî Hø«è «ê󺮻‹. «î˜¾ ⊫ð£¶? «î˜¾‚ è†ìí‹ âšõ÷¾? 嚪õ£¼ ݇´‹ ®ê‹ð˜ ñŸÁ‹ ü¨¡ ñ£îƒèO™ Þ‰îˆ «î˜¾ ï¬ìªðÁ‹. «î˜¾‚è£ù è†ìí‹ Ï.1200. ü¨¡ ñ£îˆF™ «î˜¾ â¿î M¼‹¹«õ£˜ ñ£˜„ 25‹ «îF‚°œ M‡íŠH‚è «õ‡´‹. (î£ñî‚ è†ìí‹ 250 Ï𣌠ªê½ˆF ãŠó™ 9‹ «îF õ¬ó M‡íŠ H‚èô£‹). ®ê‹ðK™ «î˜¾ â¿î M¼‹¹ðõ˜èœ ªêŠì‹ð˜ 25‹ «îF‚°œ (î£ñî‚ è†ìí‹ 250 Ï𣌠ªê½ˆF Ü‚«ì£ð˜ 10‹ «îF õ¬ó M‡íŠH‚èô£‹) M‡íŠH‚è «õ‡´‹.

ªêŒ¶ ªè£œ÷ô£‹. ä.® 裘¬ì ðFMø‚è‹ ªêŒîH¡ ÜF™, The Institute of Company Secretaries of India GÁõùˆF¡ àÁŠHù˜èœ Ü™ô¶ ñˆFò ñ£Gô Üó²èO™ ðEò£ŸÁ‹ ªèêì† ÜFè£Kèœ, ðœO Ü™ô¶ è™ÖK ºî™õ˜èœ ò£«ó‹ å¼õK¡ ¬èªò£Šðˆ¬î ªðŸÁ‚ªè£œ÷ «õ‡´‹.

â‰î Ü®Šð¬ìJ™ «î˜¾ ï¬ìªðÁ‹?

Business Environment and Entrepreneurship, Business Management Ethics and Communication, Business Economics, Foundations of Accounting and Auditing ÝAò ° ð£ìƒèOL¼‰¶

«èœMèœ «è†èŠð´‹. ÞîŸè£ù ¹ˆîèƒèœ ICSI GÁõùˆî£™ õöƒèŠð´‹. «ïó®Š ðJŸC

õ°Š¹èÀ‹ à‡´. « î ˜ M ™ Business Environment and Entrepreneurship, Business Management Ethics and Communication, Business Economics, Foundations of Accounting and Auditing Ý A ò ï £ ¡ °

𮊹‚è£ù ªêô¾? ܆Iû¡ è†ìí‹ Ï.1500. è™M‚ è†ìí‹ Ï.3000. «ê¼‹«ð£«î ªñ£ˆî ðíº‹ ªê½ˆî «õ‡´‹. è†ìí‹ ªê½ˆFò ï£OL¼‰¶ 8 ñ£îƒèÀ‚°œ ç𾇫ìû¡ ¹«ó£Aó£‹ «î˜¬õ â¿F º®‚è «õ‡´‹. Þ‰îˆ «î˜M™ «î˜„C ªðŸÁ Í¡Á õ¼ìƒèÀ‚°œ GÁõù„ ªêòô£÷˜ ð®ŠH¡ ÞÁFˆ «î˜¬õ â¿F º®ˆî£è «õ‡´‹.

SC/ST ñ£íõ˜èœ «î˜¾ ñŸÁ‹ 𮊹‚è£ù è†ìíˆF™ 50% ªê½ˆFù£™ «ð£¶‹. ñ£ŸÁˆ Føù£OèÀ‚° ðF¾‚ è†ìí‹ Ï.1500. «î˜¾‚ è†ìíˆF™ 25% ªê½ˆFù£™ «ð£¶‹.

ð°FèOL¼‰¶‹ îô£ 50 Mù£‚èœ «è†èŠð´‹. å¼ «èœM‚° 2 ñFŠªð‡èœ. ºî™ Þó‡´ ð£ìƒèÀ‚è£ù «î˜¾ 裬ô 10 ñEJL¼‰¶ 11.30 õ¬ó»‹, Ü´ˆî Þó‡´ ð£ìƒèÀ‚è£ù «î˜¾ HŸðè™ 1.30 ºî™ 3 ñE õ¬óJ½‹ ïì‚°‹. êKò£ù M¬ì¬òˆ «î˜¾ªêŒ»‹ Ü®Šð¬ìJô£ù «î˜¾ Þ¶. îQˆîQ ð£ìƒèO™ 40 M¿‚裴‹, ªñ£ˆî‹ 50 M¿‚裴‹ «î˜„C‚è£ù Ü®Šð¬ìò£°‹.

CøŠð£è ð®Šðõ˜èÀ‚° àîMˆªî£¬è, ðK²èÀ‹ õöƒèŠð´‹.

âŠð® M‡íŠHŠð¶? Ý¡¬ô ¡ Íôñ£è¾‹, Ü…ê™ Íôñ£è¾‹ M‡íŠ H‚èô£‹. Ý¡¬ô¡ Íôñ£è M‡íŠHŠðõ˜èœ, www.icsi.edu â¡ ø õ¬ôˆî÷‹ Íô‹ M‡íŠH‚è «õ‡´‹. ñø‚è£ñ™ ÞªñJ™ ä.®., ªñ£¬ð™ ï‹ð¬ó‚ °PŠHì «õ‡´‹. è†ìíˆ¬î ªìH† 裘´, Aªó®† 裘´, ªï† «ðƒAƒ õNò£è ªê½ˆîô£‹. Ü…êL™ M‡íŠHŠðõ˜èœ, î¬ô¬ñòè‹, ñ‡ìô ܽõôèƒèO™ M‡íŠðƒè¬÷Š ªðŸÁ M‡íŠðˆ¬î ̘ˆF ªêŒ¶ «ïó®ò£è«õ£, Ü…êL«ô£ ÜŠðô£‹. è†ìíˆ¬î «îCòñòñ£‚èŠð†ì õƒAèO™ ®.®ò£è â´ˆ¶‚ ªè£´‚è «õ‡´‹.

M‡íŠHˆî H¡ 嚪õ£¼ ñ£íõ ¼‚°‹ email Ü™ô¶ SMS õNò£è ðF¾ ⇠õöƒèŠð´‹. ä.® 裘¬ì»‹ õ¬ôî÷ˆFL¼‰¶ ðFMø‚è‹

GÁõù„ ªêòô£÷˜ 𮊹, Üî¡ âF˜è£ô‹ ðŸP? C.S. Foundation Programme º®ˆîH¡ Executive Programme, Professional Programme

º®‚è «õ‡´‹. ފ𮊬𠺮ˆîõ˜èœ GÁõùƒèO™ ê†ì Ý«ô£êè˜, 裘Šð«ó† H÷£Qƒ ÜFè£K, ê†ì Ý«ô£êè˜ «ð£¡ø àò˜ ðEèO™ Üñóô£‹. ²ò «õ¬ôõ£ŒŠ¹è¬÷»‹ ܬñˆ¶‚ ªè£œ÷ô£‹.

Ã´î™ MðóƒèÀ‚°: CSI SIRC House, No.9, Wheat Crofts Road Nungambakkam, CHENNAI - 600034 Ph : 04428279898 / 28222212 Fax No.: 044 - 28268685, Email: siro@icsi.edu, icsisirc@md3.vsnl.net.in

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& ªõ.côè‡ì¡ è™M&«õ¬ô õN裆®

àJKMù£ˆ &- î£õóMò™ ªî£°Š¹ S. ð£ô£T, M.Sc., M.Ed., M.Phil.

R. è‡íHó£¡ M.Sc., M.Phil., B.Ed.

å¼ ñFŠªð‡ Mù£‚èœ 1. ÞùŠªð¼‚è õ¬èŠð£´ âù ܬö‚ èŠð´õ¶.

M¬ì : ªêòŸ¬è º¬ø õ¬èŠð£´. ðK«ê£î¬ù õ¬èŠð£†¬ì ÜPºèŠ 2. ð´ˆFòõ˜èœ M¬ì :«è‹Š ñŸÁ‹ A™L. 3. Þ¼ ªê£™ ªðòK´ º¬ø¬ò ÜPºèŠð´ˆFòõ˜ M¬ì : èv𘴠ð£U¡ 4. ªð‰î‹ & ý¨‚è˜ õ¬èŠð£†®™ îŸè£ô ¶¬øèœ Þšõ£Á ܬö‚èŠð†ìù.

M¬ì : «è£ý£˜†´èœ.

5. Þ¼MˆF¬ôˆ î£õóƒèO™ ªî£¡ ¬ñò£ù î£õóƒèœ ªè£‡ì ¶¬ø M¬ì : ó£«ù™v.

6. Åôè W› ñô˜èœ ªè£‡ì î£õóƒèœ àœ÷ õK¬ê M¬ì : Þ¡çªð«ó 7. ¹øŠ¹™L õ†ì‹ Þ™ô£î ñ£™«õC °´‹ðˆ î£õó‹.

M¬ì : ܹ†®ô£¡ Þ‡®è‹.

8. ãªð™ñ£vèv âv°ªô¡ìv î£õóˆ F™ è£íŠð´‹ èQ M¬ì : Åôè ܬø ªõ®èQ 9. ï´ ïó‹¹ ñŸÁ‹ ð‚è ïó‹¹èO™ ñ… êœ Gø º†è¬÷‚ ªè£‡ì î£õó‹ M¬ì : ªê£ô£ù‹ ꣉«î£è£˜Šð‹.

10. Åôè‹ «ï˜‚«è£†®™ ܬñò£ñ™ êŸÁ ꣌õ£è ܬñ‰¶œ÷ °´‹ð‹ M¬ì : ªê£ô£«ùC. 11. ܆«ó£ç𣠪ð™ô«ì£ù£ î£õó «õKL¼‰¶ ªðøŠð´‹ Ý™èô£Œ´ M¬ì : ܆«ó£çH¡ 12. Îç«ð£˜H«òC °´‹ðˆF™ è£íŠ ð´‹ «ðKùƒèO¡ â‡E‚¬è M¬ì : 300.

13. Îç«ð£˜H«òC °´‹ðˆF™ è£íŠð´‹ CøŠ¹ õ¬è ñ…êK M¬ì : ¬êò£ˆFò‹.

14. A÷£«ì£´‚° â´ˆ¶‚裆´ M¬ì : Îç«ð£˜Hò£ F¼‚èœO. 15. 𣋹‚讂°‹, ªî£¿«ï£Œ‚°‹ ñ¼‰ î£èŠ ðò¡ð´‹ î£õó‹ M¬ì : ü†«ó£çð£ è£OŠHç«ð£Lò£.

16. qMò£ H«óCLò¡Cv î£õóˆF¡ Þ¬ôèœ 

HŠóõK 16 & 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

M¬ì : Í¡Á CŸP¬ôèœ à¬ìò Æ®¬ô.

17. ó£õªùô£M™ è£íŠð´‹ ñ…êK M¬ì : Æ´ ¬ê‹ ó£õªùô£M™ è£íŠð´‹ õ÷ñ£ù 18. ñèó‰îˆ èO¡ â‡E‚¬è M¬ì : ÝÁ.

19. ðø¬õèO¡ ªê£˜‚è ñô˜ âùŠð´‹ î£õó‹ M¬ì : vªìKL†Cò£ ªóT«ù.

20. ñEô£ ï£KL¼‰¶ ªïŒòŠð´‹ ¶E M¬ì : Üð£è£ ¶E. 21. î£õóˆF¡ ܬùˆ¶ ð£èƒèO½‹ è£íŠð´‹ F² M¬ì : ð£ó¡¬èñ£.

22. õ£¬ö, è™õ£¬öˆ î£õóƒèO¡ Þ¬ô‚裋H™ è£íŠð´‹ ï†êˆFó õ®õ ð£ó¡¬èñ£ M¬ì : vªì™«ô† ð£ó¡¬èñ£.

23. õ£v°ô£˜ «è‹Hò‹, 裘‚ «è‹Hò‹ ÝAò¬õ âšõ¬è Ý‚°ˆF²?

M¬ì : ð‚è Ý‚°ˆF².

24. ð†ì£EJ¡ M¬î à¬øèO™ è£íŠ ð´‹ vAO¬ó´èœ M¬ì : Ýv®«ò£ vAO¬ó´èœ.

25. Þ¬ìªõO «è£ô¡¬èñ£ è£íŠð´‹ î£õó‹ M¬ì : ä«ð£Iò£.

26. T‹«ù£vªð˜‹èO½‹, ªìK«ì£ ç¬ð†´èO½‹ c¬ó‚ è숶‹ º‚Aò ÃÁèœ M¬ì : ®ó‚A´èœ. 埬øˆ¶¬÷ˆî†´ à¬ìò ¬êô‹ 27. °ö£Œ è£íŠð´‹ î£õó‹ M¬ì : ñ£…Cçªðó£.

28. ¬êô‹ °ö£Œèœ è£íŠð´‹ T‹ «ù£vªð˜‹ î£õó‹ M¬ì : c†ì‹.

29. ê™ô¬ìˆ èO™ àœ÷ ¶¬÷è¬÷ ܬ산‹ ªð£¼œ M¬ì : «è«ô£v.

30. 繫÷£ò‹ ð£ó¡¬èñ£ Þ™ô£î î£õóƒèœ M¬ì : å¼MˆF¬ôˆ î£õóƒèœ.

31. «õ˜ˆÉMèœ âFL¼‰¶ à¼õ£°‹?

M¬ì : ®¬ó‚«è£H÷£v†´èœ.

32. Þ¼ð‚è 弃è¬ñ‰î õ£v°ô£˜

16

蟬øèœ è£íŠð´‹ î£õó‚ °´‹ð‹ M¬ì : °‚è˜H†«ìC. 33. ¹øEJ¡ è¬ìC Ü´‚° M¬ì : Ü舫 (⇫죪ì˜Iv) ¹«ó£†«ì£¬êô Þ¬ìªõO àœ÷ 34. õ£v°ô£˜ 蟬øè¬÷ ªè£‡´œ÷ ¬õ M¬ì : å¼ MˆF¬ôˆ î£õóˆ .

35. Þ¬ôJ¡ «ñŸ¹ø, W›Š¹øˆ «î£™ èÀ‚° Þ¬ì«ò àœ÷ F² M¬ì : Þ¬ôJ¬ìˆF² (e«ê£çH™) 36. °«ó£ñ«ê£‹ â¡ø ªðò¬ó ÜPºèŠ ð´ˆFòõ˜ M¬ì : õ£™«ìò˜. p¡èœ °«ó£ñ«ê£‹èO™ ܬñ‰ 37. ¶œ÷ù âù‚ ÃPòõ˜ M¬ì : HK†üv.

38. ¹ŸÁ ªê™èO™ è£íŠð´‹ G¬ô òŸø °«ó£ñ«ê£‹ «ð£¡ø ܬñŠ¹ èO¡ ªðò˜ M¬ì : 친IQ†v.

39. d®™ ñŸÁ‹ ì£†ì‹ àJ˜«õF ÝŒ¾ èœ «ñŸªè£‡ì Ì…¬ê M¬ì : GΫó£v«ð£ó£.

40. ñQîQ™ è£íŠð´‹ p¡èO¡ «î£ó£ò â‡E‚¬è M¬ì : 30,000 & 40,000.

41. ÞQŠ¹Š ð†ì£EJ™ Môè™ «ê£î ¬ù‚èôŠ¹ MAî‹.

M“ : 1 : 7 : 7: 1.

42. ñó¹ õ¬óðìˆF¡ Üô° M¬ì : ñ£˜è¡ (Ü) ªê¡® ñ£˜è¡.

43.

U»«è£ ®šKv â¡ðõó£™ F¯˜ ñ£Ÿø‹ è‡ìPòŠð†ì î£õó‹ M¬ì : ß«ù£Fó£ ôñ£˜‚Aò£ù£. àJ˜«õF F¯˜ ñ£Ÿøƒè÷£™ Cô 44. ÜI«ù£ ÜIôƒè¬÷ àŸðˆF ªêŒò º®ò£î Ì…¬ê M¬ì : GΫó£v«ð£ó£.

45. °¡ø™ ð°ŠH¡ ¹«ó£«ðv I&¡ â‰î G¬ôJ™ °Á‚«èŸø‹ Gè¿‹?

M¬ì : ð£‚A†¯¡.

46. ï™L«ê£I Þšõ£Á °PŠHìŠð´Aø¶.

M“ : 2 n -2.

47. °«ó£ñ«ê£‹ â‡E‚¬è¬ò Þ¼ñìƒ è£‚°‹ «õFŠ ªð£¼œ M¬ì : 裙CC¡.

48. ®K†®è‹ ñŸÁ‹ Y«è™ î£õóƒèO¡ èôŠð£™ ªðøŠð†ì ªý‚ê£H÷£Œ´ èôŠ¹JK M¬ì : ®K†®«è™.

49. DNA Íô‚ÃP¡ M†ì‹.

M“ : 20A 50.

DNA M¡ ÜFè„ ²¼¬÷ˆ î÷˜ˆ ¶‹ ªï£F O

M¬ì : «ì£«ð£ ä«ê£ªñ«óv.

51. DNA ¶‡´è¬÷ ެ킰‹ ªï£F M¬ì : DNA ¬ô«èv.

52. àJ¼œ÷ â‰îªõ£¼ î£õó ªê™½‹ º¿ˆ î£õóñ£è õ÷˜õ ÞòŸ ¬èò£è ܬñ‰î Fø¡.

M¬ì : º¿ˆFø¡ ªðŸÁœ÷ù.

53. ªðŸ«ø£˜ ¹«ó£†«ì£H÷£êƒè¬÷ ެ킰‹ è£óE M¬ì : ð£L âˆFh¡ A¬÷‚裙.

54. è£ôv &™ Þ¼‰¶ «õ˜ à¼õ£õ¶ M¬ì : ¬ó«ê£ªüQRv. ªóv†K‚û¡ ªï£Fè¬÷ à¼õ£‚° 55. õ¶ M¬ì : 𣂯Kò£.

56. p¡è¬÷ ªê™LÂœ ªê½ˆîŠ ðò¡ ð´‹ º¬ø M¬ì : I¡¶¬÷ò£‚è‹.

57. è„ê£ â‡ªí¬ò C¬î‚°‹ ñó¹ ñ£Ÿø‹ ªêŒòŠð†ì 𣂯Kò£ M¬ì : ū죫ñ£ù£v Ì®ì£.

58. àìô èôŠHùƒè¬÷ à¼õ£‚è ðò¡ð´‹ º¬ø M¬ì : ¹«ó£†«ì£ŠH÷£ê Þ¬í¾.

59. ñ°ì èö¬ô «ï£¬òˆ «î£ŸÁM‚°‹ 𣂯Kò£ M¬ì : Ü‚«ó£ð£‚¯Kò‹ ÇI«ðCò¡v.

60. ñ£¡ªì‚ì£ ªê‚vì£ â¡ø Ì„C °‹ î£õó‹ M¬ì : ¹¬èJ¬ô. ãø‚°¬øò Þ¡¬øò G¬ôJ™ 61. è£íŠð´‹ Üò™ p¬ùŠ ªðŸø î£õóƒèO¡ â‡E‚¬è M¬ì : ä‹ð¶.

62. ¬ê†«ì£¬èQQ¡ ðE Þ¬î ÜFèKŠ ð¶ M¬ì : ªê™ 𰊹.

63.

H¡õ¼‹ å¡Á îQ„ªê™ ¹óî àJKùñ£°‹ M¬ì : v¬ð¼Lù£.

64. ªê™èÀ‚° ¬õóvè¬÷ âF˜‚°‹ Fø¬ù ÜOŠð¶ M¬ì : Þ¡ì˜çªðó£¡èœ.

65.

F² õ÷˜ŠH¡ Íô‹ ªðøŠð´‹ º‚AòŠ ªð£¼œ M¬ì : ªêòŸ¬è M¬îèœ.

66. A¬÷‚裬ôCv ï¬ìªðÁ‹ Þì‹ M¬ì : ¬ê†«ì£ŠH÷£ê‹.

67. ²öŸC âô‚†ó£¡ èìˆîL¡«ð£¶ à¼õ£õ¶ M¬ì : ATP ñ†´‹.

68. ªïŸðJK™ H‚裫ù «ï£¬ò ãŸð´ˆ ¶õ¶ M¬ì : TŠóL‚ ÜIô‹.

17

è™M&«õ¬ô õN裆®

69. ñ‚裄 «ê£÷ˆF™ è£íŠð´‹ ¬ê† «ì£¬èQ¡ M¬ì : Rò£†®¡.

70. ð°F 冴‡E‚° â´ˆ¶‚裆´ M¬ì : Mvè‹.

71. º¬ù ÝF‚è‹ Þîù£™ ãŸð´Aø¶ M¬ì : Ý‚R¡.

72. º¿¬ñò£ù Ý‚Cü«ùŸø‹ ܬ컋 °À‚«è£R™ Þ¼‰¶ A¬ìŠð¶ M¬ì : 38 ATP 73. Þ¬ôˆ¶¬÷ Í´õ¶ Þîù£™ Gè› Aø¶ M¬ì : ÜŠCC‚ ÜIô‹. åO„«ê˜‚¬è¬ò I辋 Fø‹ðì 74. ɇì õ™ô ܬô c÷‹.

M¬ì : 400 & 700 nm 75. ð„¬êò àŸðˆF‚° «î¬õŠð´‹ º‚AòŠ ªð£¼œ M¬ì : Mg 76. cœ ðè™ î£õóˆFŸ° àî£óí‹ M¬ì : «è£¶¬ñ.

H2 S-ä Ý‚nèóí‹ Ü¬ìò„ ªêŒ¶ 77. c¬ó»‹, è‰î般 à¼õ£‚°õ¶ M¬ì : ªð‚Aò«ì£õ£. å¼ Íô‚ÃÁ °À‚«è£v º¿ 78. ¬ñò£ù Ý‚Cü«ùŸøˆF¡«ð£¶ ªõOŠð´ˆ¶‹ ÝŸøL¡ Ü÷¾ M¬ì : 200 KJ 79. î£õóƒèœ º¶¬ñ ܬìõ¬î î£ñîŠ ð´ˆ¶‹ ý£˜«ñ£¡ M¬ì : ¬ê†«ì£¬èQ¡.

80.

GôˆF™ àœ÷ è¬÷è¬÷ c‚AìŠ ðò¡ð´õ¶ M¬ì : 2, 4 - D 81. õ£» G¬ôJ™ àœ÷ ý£˜«ñ£¡ â¶?

M¬ì : âˆFh¡.

82. «ñL‚ ÜIôˆF¡ ²õ£ê ß¾ M¬ì : 1. 33.

83. ATP&J™ è£íŠð´‹ I¬è ÝŸø™ H¬íŠ¹èO¡ â‡E‚¬è M¬ì : Þó‡´.

ATP 84. âô‚†ó£¡ è숶 êƒALJ™ à¼õ£õ¶.

M¬ì : Ý‚Cü«ùŸø ð£vðKèóí‹.

85. °O˜ðîùˆî£™ ãŸð´‹ M¬÷¬õ c‚A ð¬öò G¬ô‚°‚ ªè£‡´ õ¼‹ G蛄C. M¬ì : °O˜ðîù c‚è‹.

86.

Gô‚èì¬ôJ™ Þ¬ôŠ¹œO «ï£Œ Þîù£™ ãŸð´Aø¶.

M¬ì : ªê˜«è£v«ð£ó£ ªð˜«ê£«ù†ì£.

87. üŠð£Q™ ÜKC¬ò ªï£F‚è ¬õˆ¶ ªðøŠð´‹ ñ¶ð£ù‹ M¬ì : ꣫è. 

HŠóõK 16& 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

88. ð£ŠH„ ªê®JL¼‰¶ ªðøŠð´‹ õLc‚A ñ¼‰¶ M¬ì : ñ£˜çH¡.

89. Þ‰Fò ªï™ õò™èO™ ÜFèñ£èŠ ðò¡ð´ˆîŠð´‹ ªõŸPèóñ£ù àJK àó‹ M¬ì : ܫ꣙ô£ H¡«ù†ì£.

90. M™õ‹ î£õóˆF¡ Þ¼ªê£™ ªðò˜ M¬ì : ãA™ ñ£˜Iô£v.

91. ý£†ü˜ Ü™ô¶ ⽋¹ Þ¬íM â¡ø ªðò˜ ªè£‡ì î£õó‹ M¬ì : Cêv °õ£†ó£ƒ°ô£Kv. ¹ŸÁ«ï£¬ò‚ °íŠð´ˆ¶‹ ñ¼‰ 92. ¶èœ ªè£‡ì î£õó‹ M¬ì : «èîó£¡îv «ó£Còv. °«÷£«ó£¬ñC®¡ â¡ø ¸‡µJ˜ 93. ñ¼‰¶ °íŠð´ˆ¶õ¶ M¬ì : ¬ìç𣌴.

94. ¬ðKˆó‹ â¡ø àJK Ì„C‚ªè£™L ªðøŠð´‹ î£õó‹ M¬ì : A¬ó꣉Fñ‹.

95. Ì„C ñŸÁ‹ àõ˜î¡¬ñ¬ò °‹ ÜKC óè‹ M¬ì : ܆ì£I†ì£ &2 96. °J¬ù¡ âFL¼‰¶ ªðøŠð´Aø¶?

M¬ì : C¡«è£ù£ ÜHSù£Lv. 97. Üè£L¬ð¡ ÞFL¼‰¶ ªðøŠð´Aø¶.

M¬ì : Üè£Lð£ Þ‡®è£.

98. «î‚A¡ Þ¼ªê£™ ªðò˜ M¬ì : ªì‚«ì£ù£ A󣇮v.

99. ñó¹ ñ£ŸøŠð†ì â.«è£¬ô 𣂯Kòˆî£™ àŸðˆF ªêŒòŠð†ì Þ¡²L¡ M¬ì : U»ºL¡.

100. «îc¼‚° ñ£Ÿø£èŠ ðò¡ð´‹ î£õó‹ M¬ì : äô‚v ðó£°ªõ¡Cv.

3 ñFŠªð‡ Mù£‚èœ 1. õ¬è ñ£FK â¡ø£™ â¡ù?

2. ªóRùv è‹ÎQv ªð‡ ñôK¡ õ¬óðì‹ õ¬óè 3. Îç«ð£˜H«òC î£õóƒèO™ è£íŠð´‹ ã«î‹ Í¡Á õ¬èò£ù ñƒêK¬è â´ˆ¶‚裆´èÀì¡ °PŠH´è.

4. ༬÷‚Aöƒ° °´‹ðˆF¡ õ¬èŠ 𣆴 G¬ô¬ò ⿶è.

5. î£õó õ¬èŠð£†®¡ «ï£‚èƒèœ ò£¬õ?

6. ñ¡ Ý‹H°õ‹ â¡ð¬î õ¬óòÁ 7. ܆«ó£çH¡ â¡ø£™ â¡ù?

8. ªð‰î‹/ý¨‚è˜ õ¬èŠð£†®¡ G¬ø èœ ã«î‹ Í¡Á ⿶è?

9. 죆«ì£Qò‹ & õ¬óòÁ. â.è£ î¼è 10. IΫêR °´‹ðˆF¡ õ¬èŠð£†´ G¬ô¬ò ⿶è.

11. M¬îˆ î£õóƒèO¡ Í¡Á õ°Š¹ èœ ò£¬õ?

18

12. W›‚è‡ì î£õóƒèO¡ î£õóMò™ ªðò˜è¬÷ ⿶: ñóõœO, «õŠðñó‹ 13. ñ£™«õR ñŸÁ‹ ªê£ô£«ùR ñèó‰ îˆî£œ õ†ìˆF¡ «õÁð£´èœ ã«î‹ Í¡Á ÃÁè?

14. ªð‰î‹ ñŸÁ‹ ý¨‚è˜ õ¬èŠð£†®¡ Þó‡´ G¬øèœ ñŸÁ‹ å¼ °¬ø J¬ù ⿶è.

15. Þ¼ªê£Ÿ ªðòK´ º¬ø â¡ø£™ â¡ù? æ˜ â´ˆ¶‚裆´ î¼è 16. ‘ÝCKò˜’ ªðò˜ °Pˆî™ â¡ø£™ â¡ù? æ˜ â´ˆ¶‚裆´ î¼è 17. ªê£ô£«ùR °´‹ðˆF¡ ñ¼ˆ¶õ °íº¬ìò Í¡Á î£õóƒèO¡ Þ¼ ªê£ŸªðòK¬ù ⿶è.

18. ðK«ê£î¬ù õ¬èŠð£†®¡ «ï£‚èƒèœ ò£¬õ?

19. ñ£™«õC °´‹ð ˆ î£õóƒèœ ðŸP °PŠ¹ ⿶è.

20. ñ£™«õCJ¡ õ¬èŠð£†´ G¬ô¬ò ⿶è.

21. A÷£«ì£´ â¡ø£™ â¡ù? æ˜ àî£ó í‹ î¼è.

22. ¹¬èJ¬ôJ™ è£íŠð´‹ Ý™èô£Œ´ èœ ò£¬õ?

23. ñ£«ù£ 裘ŠH‚ ð™ô£‡´ î£õó‹ â¡ø£™ â¡ù? â´ˆ¶‚裆´ î¼è?

24. H«ó£‚A vAk¬ó´èœ â¡ø£™ â¡ù? àî£óí‹ ªè£´?

25. Þ¼ð‚è 弃è¬ñ‰î õ£v°ô£˜ 蟬ø¬ò â´ˆ¶‚裆´ì¡ M÷‚°è?

26. Þ¬ìªõO‚ «è£ô¡¬èñ£M¡ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒè¬÷‚ °P. 27. “«è£í‚ «è£ô¡¬èñ£”M¡ ðì‹ õ¬ó‰¶, ð£èƒè¬÷‚ °P. 28. «ñ™ W› «õÁð£´èœ ªè£‡ì Þ¬ô è¬÷ â´ˆ¶‚裆´ ªè£´ˆ¶ MõK 29. ã«î‹ 3 ®ó‚W´èO™ è£íŠð´‹ Þó‡ì£‹ ªê™ ²õ˜ ¹è¬÷ õ¬ó ò¾‹?

30. Þ¼MˆF¬ôˆ î£õó Þ¬ôJ¡ Þ¬ô J¬ìˆF² °Pˆ¶ Í¡Á õ£‚Aòƒèœ ⿶è.

31. Ý‚°ˆF²M¡ ã«î‹ Í¡Á ð‡¹ è¬÷ˆ î¼è?

32. Þ¼ð‚è 弃è¬ñ‰î õ£v°ô£˜ 蟬øJ¡ ðì‹ õ¬ó‰¶, ð£èƒè¬÷‚ °P‚è 33. 蟬ø à¬ø â¡ø£™ â¡ù?

34. ªõO«ï£‚° ¬êô‹, àœ«ï£‚° ¬êô‹& â´ˆ¶‚裆´ì¡ M÷‚°è?

35. ÅKò裉F ¡ °Á‚° ªõ†´ «î£ŸøˆF¡ Ü®Šð¬ìŠðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒèœ °P. 36. Îv¯™ â¡ð¬î õ¬óòÁ.

37. H«ó‚A vAk¬ó´èO¡ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒè¬÷‚ °P. 38. Fø‰î õ£v°ô£˜ 蟬øJ¡ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒè¬÷‚ °P‚辋.

39. õN„ªê™èœ â¡ø£™ â¡ù?

40. ¹«ó£†ì£ ¬êô Þ¬ìªõO â¡ø£™ â¡ù? å¼ àî£óí‹ ªè£´.

41. vAk¬ó´è¬÷ èOL¼‰¶ «õÁ 𴈶è.

42. Þ¼MˆF¬ôˆ î£õó «õK¡ Ü®Šð¬ìŠ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒè¬÷‚°P. 43. å¼ MˆF¬ôˆ î£õóˆî‡´ ñŸÁ‹ Þ¼MˆF¬ôˆ î£õóˆî‡®¡ õ£v° ô£˜ 蟬øèÀ‚A¬ì«òò£ù ã«î‹ Í¡Á «õÁ𣆮¬ùˆ î¼è?

44. «è£ô¡¬èñ£M¡ ã«î‹ Þó‡´ õ¬èJ¬ù MõK. 45. ð£ó¡¬èñ£ F²M¡ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒèœ °-P. 46. Þ¼MˆF¬ôˆ î£õó «õ¼‚°‹, å¼ MˆF¬ôˆ î£õó «õ¼‚°‹ Þ¬ì«ò àœ÷ àœ÷¬ñŠHò™ «õÁð£´èœ ã«î‹ Í¡¬ø ⿶è.

47. ð£L«ê† ð£ó¡¬èñ£ ñŸÁ‹ vð£…C ð£ó¡¬èñ£MŸ° Þ¬ì«òò£ù Í¡Á «õÁð£´è¬÷ ⿶è.

48. ð‚è Ý‚°ˆ F²‚èœ â¡ø£™ â¡ù?

49. M÷‚° ÉK¬è °«ó£«ñ£«ê£I¡ ðì‹ õ¬ó‰¶, ð£èƒè¬÷‚ °P‚è?

50. tRNA-M¡ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒè¬÷‚ °P. 51. Ý‚«ó£ªê¡†K‚ °«ó£«ñ£«ê£I¡ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èˆ¬î‚ °P‚辋 52. ° õ¬èò£ù °«ó£«ñ£«ê£‹èO¡ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒè¬÷‚ °P? 53. °«ó£«ñ£«ê£I¡ ܬñŠ¹ ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒè¬÷‚ °P. ð£L¯¡ °«ó£«ñ£«ê£I¡ ðì‹ 54. õ¬ó‰¶ ð£èƒè¬÷‚ °P‚辋.

55. 𣂯Kòƒèœ ¬õóvèO¡ °îL L¼‰¶ ñ âšõ£Á ð£¶è£ˆ¶‚ ªè£œA¡øù? à¼õ£‚°õF™ ß´ð´‹ 56. DNA-¬õ ªï£Fèœ ò£¬õ?

57. îQ ªê™ ¹óî àŸðˆF‚° ðò¡ð´‹ ã«î‹ Í¡Á ݙ裂è¬÷ °PŠH´ 58. p¡ ñ£Ÿøˆî£™ à¼õ£Aò ªð£¼œ èœ ã«î‹ Í¡¬ø»‹, ÜõŸP¡ ðò¡è¬÷»‹ ⿶è.

59. à†ªê½ˆ¶î™ â¡ø£™ â¡ù?

60. Íô‚ÃÁ å†´î™ â¡ø£™ â¡ù?

61. Üò™ p¬ùŠ ªðŸø î£õóƒèœ â¡ø£™ â¡ù? ã«î‹ Þó‡´ àî£óíƒèœ ªè£´.

19

è™M&«õ¬ô õN裆®

62. àJ˜ ªî£N™¸†ðMòL™ âvªúK Cò£ «è£¬ôJ¡ º‚Aòˆ¶õ‹ ò£¶?

63. PEG â¡ø£™ â¡ù? Üî¡ ªêò™ 𣆮¬ùˆ î¼è?

64. îQªê™ ¹óî‹& õ¬óòÁ? å¼ â´ˆ¶‚ 裆´ î¼è? â¡ø£™ â¡ù?

65. ¹øˆ«î£Ÿøñ£‚è‹ õ¬èè¬÷ MõK? 66. àJKò Yó¬ñŠð£‚è‹ (Bio remediation) â¡ø£™ â¡ù?

67. º¿ˆFø¡ ªðŸÁœ÷¬ñ â¡ð¬î õ¬óòÁ.

68. ²õ£ê ß¾ â¡ø£™ â¡ù?

69. ‘cœðè™ î£õóƒèœ’, ‘°Á‹ðè™ î£õ óƒèœ’ & â´ˆ¶‚裆´ì¡ MõK‚辋 70. 裘«ð£¬ý†«ó†®¡ ²õ£ê ß¾ å¡Á. âšõ£Á?

71. TŠóL¡èO¡ õ£›Mò™ M¬÷¾èœ ã«î‹ Í¡P¬ù ⿶è?

72. ¬ê†«ì£¬èQ¡ õ£›Mò™ M¬÷¾ èO™ ã«î‹ Í¡P¬ù ⿶è?

73. Ì„C¬ò à‡µ‹ î£õóƒèœ â¡ø£™ â¡ù? æ˜ â´ˆ¶‚裆´ î¼è 74. °À‚«è£R¡ 裟P™ô£ ÅöL™ ²õ£ê ß¾ º®õŸø¶. è£óíƒè¬÷ˆ î¼è.

75. åO ð£vðKèóí‹ â¡ø£™ â¡ù?

76. ATP J¡ ܬñŠ¬ðŠ ðŸP ⿶è?

77. Þ¼õ®õŠ ð²ƒèEèƒèœ (Dimorphic Chloroplasts) â¡ø£™ â¡ù?

78. °O˜ðîù‹ â¡ø£™ â¡ù?

79. åO„«ê˜‚¬è GøIèœ ò£¬õ?

80. âô‚†ó£¡ è숶 ܬñŠH½œ÷ âô‚ †ó£¡ ãŸHè¬÷ õK¬êŠð´ˆ¶è 81. ªï£Fˆî¬ô õ¬óò¬ø ªêŒè 82. º¿ 冴‡Eˆ î£õóˆ¬î â´ˆ¶‚ 裆´ì¡ MõK‚辋.

83. AóŠ ²öŸCJ™ Ü«è£Q«ìv â¡ø ªï£FJ¡ ðƒA¬ù ⿶è?

84. C2 ²öŸC â¡ø£™ â¡ù?

85. C‚ñ£Œ´ õ¬÷M¡ Í¡Á G¬ôèœ ò£¬õ?

86. ²ö™ åO ð£vð£Kèóí‹ â‰î Å› G¬ôèO™ ï¬ìªðÁAø¶?

87. K„ñ£‡† ô£ƒ M¬÷¾ â¡ø£™ â¡ù?

88. åO„²õ£ê‹, Þ¼œ ²õ£ê‹ Þ¬ì«ò àœ÷ «õÁð£´è¬÷ ܆ìõ¬íŠ 𴈶.

89. åO„«ê˜‚¬èJ¡ 冴ªñ£ˆî êñ¡ 𣆬ì ⿶è?

90. õ÷˜„C Üì‚Aèœ â¡ø£™ â¡ù? æ˜ â´ˆ¶‚裆´ î¼è?

91. c˜ åOŠH÷ˆî™ â¡ø£™ â¡ù?

92. «ð£™®ƒ â¡ø£™ â¡ù? 

HŠóõK 16& 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

93. ²õ£CˆîL™ W›‚裵‹ ªï£FèO¡ ªêò™ð£†®¬ù ⿶è?

94. ÜŠCC‚ ÜIôˆF¡ ã«î‹ Þ¼ õ£›Mò™ M¬÷¾è¬÷ˆ î¼è?

95. «õF„ «ê˜‚¬è â¡ø£™ â¡ù?

96. ªê™L¡ ÝŸø™ ï£íò‹ âùŠð´õ¶ â¶? Üšõ£Á ܬö‚èŠð´õ«î¡?

97. C3 ñŸÁ‹ C4 õNˆîìƒèÀ‚A¬ì«ò àœ÷ «õÁð£´èœ Í¡P¬ùˆ î¼è?

98. º¬ù ÝF‚è‹ â¡ø£™ â¡ù?

99. ªð¡«ì£v ð£v«ð† õNˆîìˆF¡ º‚Aòˆ¶õƒèO™ ã«î‹ Í¡P¬ù ⿶è?

100. àJK 裊¹K¬ñJ¡ º‚Aòñ£ù Þ¼ Ü‹êƒèœ ò£¬õ?

101. à ‡ í ˆ î ‚ è Þ ¡ ì ˜ ç ª ð ó £ ¡ è œ â¡ø£™ â¡ù?

102. Éò õNˆ «î˜¾ º¬ø â¡ð¬î M÷‚°?

103. ñ‡ Y˜F¼ˆî‹ â¡ø£™ â¡ù?

104. °«÷£¡ «î˜¾ º¬ø â¡ø£™ â¡ù?

105. àJK ñ¼‰¶èœ â¡ø£™ â¡ù?

106. îM†´ ñ¼‰¶èœ â¡ø£™ â¡ù?

107. ªý†®«ó£Cv â¡ø£™ â¡ù?

108. U»ºL¡ â¡ø£™ â¡ù?

109. àJKŠ ªð£¼œ ªè£œ¬÷ â¡ø£™ â¡ù?

110. àJK Ì„C‚ªè£™L â¡ø£™ â¡ù?

5 ñFŠªð‡ Mù£‚èœ 1.

2.

ñó¹ õN õ¬èŠð£†®¬ù ⿶è? ªð‰î‹ ñŸÁ‹ ý¨‚è˜ õ¬èŠð£†®¡ G¬øè¬÷ ⿶è.

3. ªð‰î‹ ñŸÁ‹ ý¨‚èK¡ õ¬èŠð£†´ ܆ìõ¬í¬ò ñ†´‹ ⿶è.

4. ñ£™«õC °´‹ðˆ î£õóˆF¡ ªð£¼÷£î£ó º‚Aòˆ¶õˆF¬ù ªî£°ˆªî¿¶è.

5. Îç«ð£˜«ðC °´‹ðˆF¡ ªð£¼÷£î£ó º‚Aòˆ¶õˆ¬î ⿶è.

6. ªý˜«ðKòˆF¡ º‚Aòˆ¶õˆ¬î ⿶è.

7. ÜAô àôè î£õóMò™ ªðò˜ ņ´„ ê†ìˆF¡ ã«î‹ 䉶 º‚Aò Ü‹êƒè¬÷‚ °PŠH´è.

IΫêC °´‹ðˆ î£õóƒèO¡ 8. ªð£¼÷£î£ó º‚Aòˆ¶õˆ¬î ⿶è?

9. ð²ƒèEèˆF¡ ܬñŠ¬ð MõK? 10. î°‰î â´ˆ¶‚裆´èÀì¡ Å›‰î ¬ñ‰î õ£v°ô£˜ 蟬øèO¡ ܬñŠ¬ð MõK? 11. î‚è â´ˆ¶‚裆´èÀì¡ ã«î‹ Þ¼ õ¬èò£ù «è£ô¡¬èñ£¬õ ðìˆ¶ì¡ MõK. 12. Ý‚°ˆF²‚èœ & ܬõ ܬñ‰¶œ÷

20

ÞìƒèO¡ Ü®Šð¬ìJ™ ܬõè¬÷ MõK. î‚è ðì‹ õ¬óò¾‹.

13. ¬êô‹ °ö£Œèœ ðŸP CÁ°PŠ¹ õ¬óè.

14. Þ¼MˆF¬ôˆ î£õó «õ¼‚°‹, å¼ MˆF¬ôˆ î£õó «õ¼‚°‹ Þ¬ì«ò àœ÷ àœ÷¬ñŠHò™ «õÁð£´è¬÷ ⿶è.

15. å¼ MˆF¬ôˆ î£õóˆ ¡ õ£v °ô£˜ 蟬øJ¡ ܬñŠ¬ð MõK? 16. ê™ô¬ì‚ °ö£Œ ÃÁèœ ðŸP CÁ °PŠ¹ õ¬óè.

17. å¼ MˆFôˆ î£õó «õK¡ °Á‚° ªõ†´ˆ «î£Ÿøˆ¬î ðì‹ õ¬ó‰¶ ð£èƒèœ °P‚辋.

18. Þ¼ MˆF¬ôˆ î£õóˆî‡®¡ õ£v °ô£˜ 蟬ø¬ò MõK? 19. ®ó‚W´èœ ðŸP CÁ °PŠ¹ õ¬óè.

20. H÷£Œ®J¡ ã«î‹ 䉶 º‚Aòˆ¶ õƒè¬÷ ⿶ 21. p¡ F¯˜ ñ£Ÿøˆ¬îŠ ðŸP CÁ °PŠ¹ õ¬óè. õ®õ‹ ñŸÁ‹ ªê¡®«ó£IòK¡ 22. ܬñMìˆF¡ Ü®Šð¬ìJ™ °«ó£«ñ£ «ê£‹èO¡ õ¬èè¬÷ ðìˆ¶ì¡ MõK‚辋.

23. F¯˜ ñ£Ÿø‚ è£óEèœ ðŸP °PŠ ªð¿¶è.

24. Ü™«ô£ð£LH÷£Œ®¬ò æ˜ â´ˆ¶‚ 裆´ì¡ M÷‚°è.

25. F¯˜ ñ£ŸøˆF¡ º‚Aòˆ¶õˆF¬ù ⿶è?

26. ®Š«÷£è£‚èv G«ñ£Q«òM™ HóìK‚ AKçHˆF¡ «ê£î¬ù¬ò MõK 27. °«ó£«ñ£«ê£‹ ܬñŠ¬ð ²¼‚èñ£è MõK? 28. CøŠ¹ õ¬è °«ó£«ñ£«ê£‹è¬÷ MõK? 29. tRNA-J¡ ܬñŠ¬ð MõK? 30. DNA-¾‚°‹ RNA¾‚°‹ àœ÷ «õÁ ð£´èœ ò£¬õ?

31. ªóv†K‚û¡ ªï£FèO¡ ªêò™ð£† ®¬ù ðìˆ¶ì¡ MõK? 32. î£õóˆF² õ÷˜ŠH¡ ðò¡èœ ã«î‹ ä‰F¬ù ⿶è?

33. î£õó ªê™èO™ Üò™p¡èœ (Üò™ DNA) âšõ£Á ¸¬ö‚èŠð´A¡øù?

34. F² õ÷˜Š¹ º¬øJ¡ «î£Ÿøˆ F¬ù ⿶è?

35. 𣂯Kò ªê™LL¼‰¶ ñQî Þ¡²L¡ àŸðˆFJ¡ G¬ôè¬÷ ðìˆ¶ì¡ M÷‚°è 36. ªï£Fèœ º¬øJ™ ¹«ó£†«ì£ H÷£êˆ¬îŠ HKˆªî´‚°‹ º¬øJ¬ù MõK. 37. I¡¶¬÷ò£‚è‹ ñŸÁ‹ p¡

¶Šð£‚A ÝAò º¬øèO¡ Íô‹ âšõ£Á Üò™ -p¡èœ î£õóˆF™ ¹°ˆîŠð´A¡øù?

38. SCP&ä ªî£°ˆ¶ ⿶è.

39. î£õóˆ F² õ÷˜ŠH¡ Ü®Šð¬ì‚ 輈¶-è¬÷ ²¼‚èñ£è‚ °PŠH´è.

40. DNA ñÁ«ê˜‚¬è ªî£NŸ¸†ðˆF¡ G蛾è¬÷ MõK? 41. SCP& õ¬óòÁ. îQªê™ ¹óîˆF¡ ðò¡è¬÷ˆ î¼è?

42. îQ ªê™ ¹óî‹ â¡ø£™ â¡ù? îQ ªê™ ¹óîˆF¡ ðò¡è¬÷‚ °PŠH´è?

43. åO„ªêòL¡«ð£¶ ²öŸC ð£vðK èóí‹ âšõ£Á ï¬ìªðÁAø¶ â¡ð¬î M÷‚° 44. ²õ£ê ß¾ â¡ð¬î MõK? 45. °O˜ðîù‹ ðŸP CÁ °PŠ¹ õ¬óè.

46. C3 ñŸÁ‹ C4 õNˆîìƒèÀ‚A¬ì«ò àœ÷ «õÁð£´èœ ò£¬õ?

47. C4 ²öŸC õ†ìˆ¬î M÷‚è‹ Þ™ô£ñ™ î¼è?

48. åO„«ê˜‚¬èJ¡ º‚Aòˆ¶õƒèO™ ã«î‹ ä‰F¬ù °PŠH´è?

49. å¼ î£õóˆF¡ ªêƒ°ˆ¶ õ÷˜„C¬ò æ˜ ÝŒM¡ Íô‹ âšõ£Á èí‚Aìô£‹ â¡ð¬î M÷‚°è?

50. á °ì¬õ ªï£Fˆî™ ÝŒ¬õ ðìˆ¶ì¡ MõK? 51. ¬ê†«ì£¬èQQ¡ õ£›Mò™ M¬÷¾ è¬÷ ⿶è?

52. ð²ƒèEèˆF¡ ܬñŠH¬ù ðìˆ ¶ì¡ MõK‚辋.

53. åO„«ê˜‚¬èJ¡«ð£¶ O2 ªõOŠð´ Aø¶ â¡ð¬î ÝŒ¾‚°ö™ ñŸÁ‹ ¹ù™ «ê£î¬ù Íô‹ MõK. 54. õ÷˜„CJ¡ ðô G¬ôè¬÷, C‚ñ£Œ´ õ¬÷¾ ðìˆ¶ì¡ MõK? 55. Ý‚R¬ìò õ£›Mò™ M¬÷¾è¬÷ ⿶è.

56. «èù£ƒA¡ åOˆF¬ó ÝŒM¬ù ðìˆ¶ì¡ MõK? 57. ²öŸC ñŸÁ‹ ²öŸCJô£ åO ð£vðK èóíƒèÀ‚° Þ¬ì«ò àœ÷ «õÁ ð£´è¬÷ ⿶è?

58. TŠóL¡èO¡ õ£›Mò™ M¬÷¾èœ ã«î‹ 䉶 ⿶è?

59. ªð¡«ì£v&ð£v«ð† õNˆîìˆF¡ º‚Aòˆ¶õˆ¬î ⿶è?

60. âˆFLQ¡ ã«î‹ 䉶 õ£›Mò™ M¬÷¾è¬÷ MõK? 61. àJªóF˜Š ªð£¼œ â¡ø£™ â¡ù? ã«î‹ Þó‡´ àJªóF˜Šªð£¼† èO¡ ªðò˜è¬÷»‹ ðò¡è¬÷»‹ ⿶è.

21

è™M&«õ¬ô õN裆®

62. î£õó ÜPºè‹ ðŸP CÁ°PŠ¹ õ¬óè.

63. Gô‚èì¬ôJ™ ®‚è£ «ï£J¬ùŠ ðŸP ªî£°ˆªî¿¶è.

64. àJK 裊¹Kñ‹ ðŸP ⿶è.

65. ñ¼ˆ¶õˆF™ ¸‡µJKèœ ðƒA¬ù MõK. 66. ð¼ˆFJ¡ ªð£¼÷£î£ó º‚Aòˆ¶ õƒèœ ã«î‹ ä‰F¬ù ⿶è.

67. î£õóŠ ðJ˜ ªð¼‚èˆF¡ ã«î‹ 䉶 °P‚«è£œèœ ò£¬õ?

68. Gô‚èì¬ôJ¡ ªð£¼÷£î£óŠ ðò¡èœ ðŸP ²¼‚èñ£è ªî£°ˆªî¿¶è.

69. àJK àóƒèO¡ ñèœ ã«î‹ ä‰F¬ù ⿶è.

70. ªï™L¡ ªð£¼÷£î£óŠ ðò¡èœ ã«î‹ ä‰F¬ù ⿶è.

71. «î‚A¡ ªð£¼÷£î£ó º‚Aòˆ¶õˆ¬î ⿶è.

72. â½I„¬ê è£¡è˜ «ï£Œ ðŸP CÁ °PŠ¹ õ¬óè.

10. ñFŠªð‡ Mù£‚èœ 1. ¬ýHvèv «ó£ê£ ¬êªù¡Rv î£õóˆF¡ ñô˜Šð‡¹è¬÷ è¬ô„ ªê£Ÿè÷£™ MõK‚辋. ñô˜ õ¬óðì‹ õ¬ó‰¶, ñô˜ õ£Œð£-´ ⿶è.

2. õ¬óðìˆF¡ àîM ªè£‡´ ªð‰î‹ ý¨‚è˜ î£õó õ¬èŠð£†®¬ù MõK. 3. 죆Çó£ ªñ†ì™ î£õóˆF¬ù è¬ô„ªê£Ÿè÷£™ MõK. ñôK¡ õ¬óðì‹ õ¬óè. ñôK¡ õ£Œð£´ ⿶è.

4. IÎú£ ð£ó£®Rò£è£M¬ù è¬ô„ ªê£Ÿè÷£™ MõK. 5. KCùv è‹ÎQv î£õóˆF¬ù è¬ô„ªê£Ÿè÷£™ MõK. ñôK¡ õ¬óðì‹ õ¬ó‰-¶ ñôK¡ õ£Œð£´ ⿶è.

6. ¬êô‹ F²‚èœ ðŸP å¼ è†´¬ó ⿶è.

7. å¼ MˆF¬ôˆ î£õó «õK¡ àœ÷¬ñŠ¬ð ðìˆ¶ì¡ MõK. 8. vAOó¡¬èñ£ F² ðŸP ðìˆ¶ì¡ MõK-.

9. 繫÷£òˆF¡ ° õ¬è ªê™è¬÷ MõK‚辋.

10. å¼ MˆF¬ôˆ î£õóˆ ¡ ºî™ G¬ô ܬñŠ¬ð MõK. 11. õ£v°ô£˜ ªî£°Š¹ ðŸP ðìƒèÀì¡ MõK. 12. Þ¼MˆF¬ôˆ î£õóˆ Ÿ°‹, 

HŠóõK 16& 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

å¼ MˆF¬ôˆ î£õóˆ Ÿ°‹ Þ¬ì«ò àœ÷ àœ÷¬ñŠHò™ «õÁð£´è¬÷ ⿶è.

13. Þ¼ MˆF¬ôˆ î£õóˆ ¡ ºî¡¬ñ àœ÷¬ñŠ¬ð ðìˆ¶ì¡ MõK. Þ¼MˆF¬ôˆ î£õó Þ¬ôJ¡ 14. àœ÷¬ñŠ¬ð MõK. 15. Ü) Ý‚èˆF² ªê™èO¡ ð‡¹è¬÷ ⿶è. Ý) ¹øˆ«î£™ F²ˆ ªî£°ŠH¡ ðEè¬÷ ⿶è.

16. Þ¼ MˆF¬ôˆ î£õó «õK¡ ºî™ G¬ô ܬñŠ¬ð MõK. 17. îQ ªê™ ¹óî‹ ðŸP ªî£°ˆ¶ ⿶è.

18. Üò™ p¬ùŠ ªðŸø î£õóƒè¬÷Š ðŸP 膴¬ó ⿶è.

19. î£õóƒèO™ ¹«ó£†«ì£H÷£ê Þ¬í¾ Íô‹ âšõ£Á àì™ èôŠHùñ£‚è‹ Gè›Aø¶ â¡ð¬î MõK. 20. Ü) î£õóƒèO™ Ì„Cè¬÷‚ 膴Šð´ˆ ¶õF™ Bt 죂RQ¡ ðƒA¬ù MõK. Ý) î£õóˆF² õ÷˜ŠH¡ ã«î‹ 䉶 ðò¡è¬÷‚ °PŠH´è.

21. DNA ñÁ«ê˜‚¬è ¸†ðMò™ ðŸP å¼ è†´¬ó ⿶. õ÷˜Š¹ â¡ð¬î õ¬óòÁ.

22. F² î£õó õ÷˜ŠH¡ Ü®Šð¬ì ªêò™ ¸†ðƒè¬÷ MõK. 23. î£õóˆ F² õ÷˜ŠH¡ ðò¡èœ ò£¬õ?

24. Ü) Ý‚C¡ ý£˜«ñ£Q¡ ã«î‹ 䉶 õ£›Mò™ M¬÷¾è¬÷ ⿶è. Ý) Ý…C«ò£vªð˜‹ î£õóƒèO¡ ã«î‹ Þó‡´ Hø á†ìº¬øè¬÷ â´ˆ¶‚裆´èÀì¡ MõK. 25. åO„«ê˜‚¬èJ¡ åO ñÁM¬ùè¬÷ MõK. 26. åO„²õ£ê‹ (Ü™ô¶) C2 ²öŸC ðŸP å¼ è†´¬ó ⿶è.

27. ªð¡«ì£v ð£v«ð† õNˆîì‹ ðŸP MõK. 28. C4 ²öŸCJ¡ õ¬óðì‹ î¼è.

29. Ü) ªð¡«ì£v ð£v«ð† õNˆîìˆF¡ º‚Aòˆ¶õˆ¬î ⿶è.

Ý) Ì„C¬ò à‡µ‹ î£õó‹ ðŸP °PŠ¹ õ¬óè.

30. A¬÷‚è£LCv ð®G¬ôè¬÷ MõK. 31. AóŠ ²öŸC¬ò MõK. 32. 裙M¡ ²öŸCJ¬ù MõK.

22

ñ£íõ˜èO¡ ñèˆî£ù 致H®Š¹

- -

ï

L‰¶ õ¼‹ Mõ-ê£-òˆ-¬î‚ 裊-ð£Ÿø Þ¡-‹ Þ¡-‹ G¬øò ïiù è¼-M-èœ «î¬õ. ÜF-C‚-è-ù-ñ£è ܉-î‚ è¼-M-èœ ðô-ù-O‚è «õ‡-®-ò-¶‹ Iè º‚-A-ò‹. Þ¬î-ªò™-ô£‹ àˆ-«î-Cˆ-¶-ˆî£¡ ÅKò åO Íô‹ Þòƒ-°‹ è¬÷-ªò-´Š¹ è¼M 塬ø à¼-õ£‚-A-J-¼‚-A-ø£˜ å¡-ð- õ°Š¹ ñ£í-õ-ó£ù º«èw ï£ó£-ò-í¡. 裬ó‚-裙 ݈-ñ£-ôò£ ðœ-O-J™ å¡ð- î £‹ õ°Š¹ ð®‚- ° ‹ º«èw ï£ó£- ò í-‚° ÞŠ-ð-®-ªò£¼ ªðKò Šó£-ªü‚†-®™ Þøƒè «õ‡-´‹ â¡Á â‰î Üõ-C-ò-º‹

Þ™¬ô. ²‹ñ£ ªî˜-ñ-«è£¬ô ªõ†® èô-ó-®ˆ¶ i´ ªêŒ-F-¼‚-è-ô£‹. Ýù£-½‹ ã«î£ å¼ Ý˜õ‹... î¡ ðœO Šó£-ªü‚†-´‚-è£è 18 ÝJ-ó‹ Ï𣌠õ¬ó ªêô¾ ªêŒò ¬õˆ- F - ¼ ‚- A - ø ¶. Ýù£™, ÅKò åO-J™ Þòƒ-°‹ å¼ Mõ-ê£-ò‚ è¼-M-¬ò‚ è†-ì-¬ñ‚è ªõÁ‹ 18 ÝJ-ó‹- ªêô¾ â¡-ð¶ Iè Iè‚ °¬ø¾! ‘‘âƒè ᘠފ-ð-¾‹ Aó£-ñŠ ð°-F- ꣘. ܃è è¬÷ â´‚è ¯ê™ô Þòƒ-°ø è¼-M-¬òŠ ðò¡-ð-´ˆ-¶-õ£ƒè. ¯ê™ M¬ô àò˜¾, ÜF-L¼‰¶ õ˜ø ¹¬è-ò£ô 裟Á ñ£²-ð-´-ø-¶¡Â ܶô G¬øò Hó„- ¬ ù- è œ. Üî- ù £- ô - î £¡ vÙô Šó£-ªü‚† ªêŒ-ò„ ªê£¡-ù-¶‹ â¡ ñù-²‚° è¬÷ â´‚-°‹ Þò‰-F-ó‹ õ‰¶ G¡Â„². ÞŠð  à¼-õ£‚-A-J-¼‚-°ø «ê£ô£˜ è¬÷ â´‚-°‹ Þò‰-F-óˆ- ªðKò ªêô¾ Þ¼‚-裶, ²Ÿ-Á„-Å-ö™ ð£FŠ-¹‹ A¬ì-ò£¶. Þ‰-î‚ è¼-M-Jô 30 õ£†v «ê£ô£˜ «ðù™ ðò¡-ð´ - ˆ-FJ - ¼ - ‚-«è¡. 250 õ£†v ýŠ «ñ£†-죘, â‹.H.H.® «ê£ô£˜ ꣘-ü˜, 12 «õ£™† «ð†-ìK ͵... ÞŠ-ð® âªô‚†-K-è™ ð£èƒ-è¬÷ ðò¡ -ð-´ˆ-F-J-¼‚-«è¡. çŠg i™, Ý‚-Rô«ó†-ì˜, «è£«ù£ iì˜, ®™-Lƒ H«÷†Â è¬÷ â´‚-°ø Þò‰-F-óˆ-¶ô õ˜ø ñŸø â™ô£ ð£èƒ-èÀ‹ ÜŠð-®-«ò-. ÅKò åO «ê£ô£˜ «ðù™ õNò£, â‹.H.H.® ꣘-ü˜ Íô‹ «ð†-ì-K-Jô ®.C èó¡†ì£ «êI‚èŠ-ð-´¶. «ð†-ì-K-«ò£ì Ý‚-Rô«ó†-ì˜, 衆«ó£- ô ˜ ñŸ- Á ‹ ýŠ «ñ£†- ì £¬ó õò˜ Íô‹ Þ¬í„-C¼ - ‚-«è¡. ýŠ «ñ£†-죬ó çŠg&i«ô£´ êƒ-AL Íô‹ Þ¬í„-C-¼‚-«è¡. Þ‰-î‚ è¼M¬ò Ý¡ ªêŒ¶ Ý‚-R-ô«ó†-ì-¬ó‚ ªè£´ˆ- î £™ «ð£¶‹... ®™- ô ˜ Þò‚- è Š- ð †´ Gôˆ-F™ àœ÷ è¬÷ â´‚-èŠ-ð´ - ‹’’ â¡Á  õ®-õ-¬ñˆî è¼-M-J¡ ªêò™-𣆬ì M÷‚-°A-ø£˜ º«èw. ‘‘ªõÁ‹ 18000 Ï𣌠ªêô-M™ à¼-õ£‚-èŠð†ì Þ‰î Þò‰-F-ó‹ õ˜ˆ-îè gFò£ îò£-K‚-èŠð†ì£, Mõ-ê£-J-èÀ‚° IèŠ ªðKò àî-Mò£ Þ¼‚-°‹!’’ â¡-ð¶ Þõ-ó¶ ã‚-è‹.

Mõ- ê £- J - è O¡ ñù- F ™ àœ÷ ‘«ê£è‚ -è-¬÷¬ò’ c‚-°ñ£ Þ‰-î‚ è¼M? & â‹.ï£è-ñE ðì‹: ã.®.îI›-õ£-í¡

23

è™M&«õ¬ô õN裆®

TNPSC

M.ã.æ. «î˜¾

ñ£FK Mù£ &- M¬ì ì£‚ì˜ Ýî¬ôΘ ÅKò°ñ£˜

Aó£ñ G˜õ£è‹ ªê¡ø Þî› ªî£ì˜„C...

M.A., M.A., M.Phil., M.Ed., Ph.D.

1. ‘¹ö™’ áó£†C å¡Pò‹ ܬñ‰¶œ÷ ñ£õ†ì‹ A) ªê¡¬ù B) 装C¹ó‹ C) F¼õœÙ˜ D) M¿Š¹ó‹ 2. W›‚è‡ì áó£†C å¡Pòƒè¬÷ ÜõŸP¡ ñ£õ†ìˆ«î£´ ªð£¼ˆ¶è a) Üó‚«è£í‹ & 1. F¼ªï™«õL

b ) ð™ôì‹ & 2. Ɉ¶‚°® c) «è£M™ð†® & 3. F¼ŠÌ˜ d) êƒèó¡«è£M™ & 4. «õÖ˜

(a) (b) (c) (d)

ð®õƒèœ D) ÞøŠ¹„ ꣡Á õöƒ°‹ ð®õƒèœ

6. W›‚è‡ì ð®õƒè¬÷»‹, ÜõŸP¡ Þùƒè¬÷»‹ ªð£¼ˆ¶è a) ð®õ‹ 7 & 1 . ñ ¼ ˆ ¶ õ ñ ¬ ù J ™ G蛉î ÞøŠ¹èœ b) ð®õ‹ 8 & 2. HøŠ¹Š ðF«õ´ c) ð®õ‹ 3 & 3. ÞøŠ¹Š ðF«õ´ d) ð®õ‹ 4 & 4. àJóŸø HøŠ¹èœ

(a) (b) (c) (d)

(A) 2 3 4 1

(A) 4 3 2 1

(B) 2 4 1 3

(B) 1 2 3 4

(C) 2 4 1 3

(C) 3 4 1 2

(D) 2 3 1 4

(D) 4 2 1 3

7. á ó £ † C å ¡ P ò Ü ÷ M ™ « ð K ì ˜ «ñô£‡¬ñ‚ °¿M¡ î¬ôõ˜ ò£˜?

A) Aó£ñ G˜õ£è B) ð … ê £ ò ˆ ¶ ܽõô˜ î¬ôõ˜ C) Aó£ñ 죇¬ñ D) õ¼õ£Œ ÝŒ õ£÷˜

3. ð°F «ïó Aó£ñ ܽõô˜èœ åNŠ¹„ê†ì‹ â‰î ݇´ ÞòŸøŠð†ì¶?

A) 1981

B) 1982

C) 1983 D) 1984

4. Aó£ñ G˜õ£è ܽõô˜ Íô‹ 𣶠âˆî¬ù õ¬èò£ù ꣡Áèœ õöƒèŠð†´ õ¼A¡øù?

A) 10

B) 11

C) 12

D) 14

5. HøŠ¹, ÞøŠ¹ Gè›¾èœ MF 5 (3) HK¾ 8&¡ð® Aó£ñ G˜õ£è ܽõô˜ ðò¡ð´ˆ¶‹ ð®õ‹&1 °PŠð¶ A) HøŠ¹ ÜP‚¬è ªêŒ»‹ ð®õƒèœ B) ÞøŠ¹ ÜP‚¬è ªêŒ»‹ ð®õƒèœ C) H ø Š ¹ „ ê £ ¡ Á õ ö ƒ ° ‹ 

HŠóõK 16& 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

8. ñ£õ†ì Ü÷M™ «ðKì˜ «ñô£‡¬ñ‚ °¿M¡ î¬ôõ˜ ò£˜?

A) ñ£õ†ì áó£†Cˆ B) ñ£õ†ì ݆Cò˜ î¬ôõ˜ C) õ¼õ£Œ ñ£õ†ì D ) ð £ ó £ À ñ ¡ ø ܽõô˜ ªî£°F àÁŠHù˜ 9. îI›ï£†®™ ªñ£ˆî‹ âˆî¬ù ¹ò™ ð£¶è£Š¹ ¬ñòƒèœ àœ÷ù?

A) 80

24

B) 96

C) 112

D) 124

10. W›‚è‡ì â‰î õ¬è Gôƒèœ °ˆî¬è õöƒè î¬ì ªêŒòŠð†´œ÷ù?

A) ñ‰¬îªõO B) c˜ G¬ôèœ C) ¹ø‹«ð£‚° D) Þ¬õ ܬùˆ¶‹ Gôƒèœ 11. GôñŸø Mõê£JèÀ‚° Mõê£ò Gô åŠð¬ìŠ¹ õöƒ°‹ õ¼õ£Œ G˜õ£è ݬí ⇠(GO.NO) â¡ù?

A) 15

B) 16

C) 18

D) 22

12. Gô‹ åŠð¬ì ªðŸøõ˜èœ îƒèœ GôˆF™ °¬ø‰î¶ âˆî¬ù ñóƒèœ ïì «õ‡´‹?

A) 10

B) 100

C) 150

D) 1000

13. i†´ñ¬ù åŠð¬ì ªðŸøõ˜èœ °¬ø‰î¶ âˆî¬ù ñ£îˆFŸ°œ i´ è†ì «õ‡´‹?

A) 6

B) 3

C) 12

D) 24

14. W›‚è‡ì â‰î å¡P¡ «ðK™ ¹ô¡èO™ ðF¾ ñ£Áî™ ªêŒò Þòô£¶?

A) àK¬ñ¬ò B) åŠð¬ì M†´M´î™ C) ð†ì£ ñ£Áî™ D) ° ˆ î ¬ è ‚ ° M´î™ 15. å¼ «ð£è êŒJ™ ðJKìŠð†ì ðJ˜èœ ð£F‚èŠð†´ âˆî¬ù ͆¬ìèÀ‚° W› M¬÷„ê™ Þ¼‚°‹«ð£¶ îóˆb˜¬õ º¿¬ñò£è ªêŒòŠð´Aø¶?

A) 50 ͆¬ìèÀ‚° B) 25 ͆¬ìèÀ‚° W› W› C) 100 ͆¬ìèÀ‚° D) 40 ͆¬ìèÀ‚° W› W› 16. 5 & II â¡ð¶ âšõ¬è b˜¬õ îœÀð®?

A) Üê£î£óí G¬ô Mõê£ò ð£FŠ¹èœ B) ð¼õG¬ô ð£FŠ¹èœ C) G¬ôò£ù Gó‰îó îœÀð®èœ D) Mõê£ò GôƒèÀ‚° Þø¬õ Íô‹ î‡a˜ â´‚èŠð†ì£™ õöƒèŠð´‹ îœÀð® 17. Aó£ñƒèO™ A¬ì‚°‹ èQñƒè¬÷Š ðŸP â‰î ‚ è í ‚ ° Š ðF « õ† ®™ °P ‚è «õ‡´‹?

A) èí‚° â‡.24 B) èí‚° â‡.23 C) èí‚° â‡.22 D) èí‚° â‡.21 18. ñ¬ö‚ è킬è ðF¾ ªêŒ»‹ ðF«õ´ â¶?

A) èí‚° â‡.19 B) èí‚° â‡.20 C) èí‚° â‡.21 D) èí‚° â‡.22 19. ñ £ ù £ õ £ K G ô ƒ è O ™ Ü ® Š ð ¬ ì ˆ îóˆb˜¬õ â‰î ݇´ îœÀð® ªêŒòŠð†ì¶?

A) 1955

B) 1954

C) 1971 D) 1972

F†ì‹’ °¬ø‰îð†ê‹ âˆî¬ù èÀè° «õ¬ô õöƒè õN õ°‚Aø¶?

A) 80

21. Aó£ñƒèO™ Ýó‹ð ð£ì꣬ô ܬñ‚è «î¬õŠð´‹ °¬ø‰î ð†ê ñ‚蜪è

A) 300

B) 500

C) 1000 D) 2700

22. â‰î ä‰î£‡´ F†ì‹ ºîL™ õÁ¬ñ åNŠ¬ð õL»ÁˆFò¶?

A) 5õ¶

B) ºîô£õ¶ C) 7õ¶ D) 10õ¶

23. ê†ìƒè¬÷»‹ ܬõ HøŠH‚èŠð†ì õ¼ìƒè¬÷»‹ ªð£¼ˆ¶è a) õEè‚ èŠð™ ê†ì‹ & 1. 1951

b ) F¼ïƒ¬èò˜ ê†ì‹ & 2. 1948 c) ªî£NŸê£¬ô ê†ì‹ & 3. 1970 d) «î£†ìˆªî£Nô£÷˜ & 4. 1950 ê†ì‹

(a)

(b)

(c)

(d)

(A) 4 3 2 1

(B) 4 2 3 1

(C) 4 1 2 3

(D) 4 1 3 2

24. îIöèˆF™ ºîL™ â‰î ñ£õ†ì‹ F¼ïƒ¬èò¼‚° ñÁõ£›¾ ÜO‚°‹ °®J¼Š¹ F†ìˆ¬î ªè£‡´ õ‰î¶?

A) «è£¬õ B) ªðó‹ðÖ˜ C) èìÖ˜ D) «êô‹ 25. îèõ™ ÜP»‹ àK¬ñ„ê†ì‹ ªè£‡´ õóŠð†ì  A) Ü‚«ì£ð˜ 21, 2005 B) Ü‚«ì£ð˜ 12, 2005 C) Ü‚«ì£ð˜ 24, 2005 D) Ü‚«ì£ð˜ 02, 2005 26. à Š « ð P Š ð ø ¬ õ ê ó í £ ô ò ‹ â ‰ î ñ£õ†ìˆF™ ܬñ‰¶œ÷¶?

A) ªê¡¬ù B) 装C¹ó‹ C) F¼õœÙ˜ D) M¿Š¹ó‹ 27. ’MK…C¹ó‹’ Mõê£ò Ý󣌄C G¬ôò‹ ܬñ‰¶œ÷ ñ£õ†ì‹ A) î…ê£×˜ B) F¼õ£Ï˜ C) «õÖ˜ D) ï£èŠð†®ù‹ 28. W›‚è‡ì â‰î å¡Á côAK ñ£õ†ìˆ¬î„ «ê˜‰î¶ Ü™ô?

A) ¶Šð£‚A B) ªî£†ìªð†ì£ ªî£NŸê£¬ô C) àJKò™ Ìƒè£ D) ÜI˜î‚裴 29. W › ‚ è ‡ ì ï è ó ƒ è O ™ Ü õ Ÿ P ¡ CøŠ¹è«÷£´ êKò£èŠ ªð£¼‰î£î¶ â¶?

A) ݬùñ¬ô & õùMôƒ° êóí£ ôò‹ B) õ£™ð£¬ø & ñ¬ôèO¡ Þ÷õóC C) C¡ù£÷Šð†® &

25

20. ‘Aó£ñŠ¹ø «õ¬ôõ£ŒŠ¹ àˆîóõ£îˆ

B) 100 C) 120 D) 150

è™M&«õ¬ô õN裆®

²ƒ°®Š ¹ì¬õèœ & «ð¼‰¶ ð£èƒèœ

D) ªð£¡ñ¬ô

30. F‡´‚è™ «è£†¬ì ò£ó£™ è†ìŠð†ì¶?

A) FŠ¹²™î£¡ B) ¬ýî˜ ÜL C) A¼wíó£ü D) ªõ™ªôvL Hó¹ à¬ìò£˜ 31. W › ‚ è ‡ ì Ý Á è ¬ ÷ Ü ¬ õ ð £ » ‹ ñ£õ†ìƒè«÷£´ ªð£¼ˆ¶è a) ªõœ÷£Á & 1. Cõ胬è

b ) ð£IQò£Á & 2. F¼õ£Ï˜ c) æì‹«ð£‚A & 3. î…ê£×˜ d) ð‹ð£Á & 4. ªðó‹ðÖ˜

(a)

(b)

(c)

(d)

(A) 4 3 2 1

(B) 1 2 3 4

(C) 2 1 3 4

(D) 3 2 4 1

32. ‘ F ¼ ï £ « è v õ ó ‹ ’ â ¡ ø F ¼ ˆ î ô ‹ ܬñ‰¶œ÷ ñ£õ†ì‹?

A) Þó£ñï£î¹ó‹ B) Cõ胬è C) ¹¶‚«è£†¬ì D) î…ê£×˜ 33. êÍè ï™Lí‚è ñ£õ†ì‹ â¡ø ªð¼¬ñ ªðŸø ñ£õ†ì‹?

A) ªê¡¬ù B) «è£ò‹¹ˆÉ˜ C) ñ¶¬ó D) ï£èŠð†®ù‹ 34. cF‚è†CJ¡ î¬ôõ˜èÀœ å¼õó£ù H.®.ð¡m˜ªê™õ‹ â‰î ñ£õ†ìˆ¬î„ «ê˜‰îõ˜?

A) F¼õ£Ï˜ B) F¼„Có£ŠðœO C) M¼¶ïè˜ D) F‡´‚è™ 35. Þ¬ì‚裆ǘ «îõ£ôò‹ â‰î ñ£õ†ìˆF™ àœ÷¶?

A) Þó£ñï£î¹ó‹ B) Cõ胬è C) ¹¶‚«è£†¬ì D) ï£ñ‚è™ 36. ñ ¶ ¬ ó J ™ è £ í Š ð ´ ‹ i F è O ™ ªð£¼‰î£î¶ â¶?

A) Ãô iF & î£Qò‚ è¬ì B) ÜÁ¬õ iF & ñ¡ù˜èœ õ£¿‹ ð°F C) ñ¬øòõ˜ iF & ܉îí˜ iF D) ªð£¡ iF & ªð£Ÿè¬ìèœ 37. « î Q ñ £ õ † ì ‹ ð Ÿ P ò W › ‚ è ‡ ì îèõ™èO™ ⶠîõø£ù¶?

A) °„êÛ˜ êQðèõ£¡ «è£J™ àœ÷¶ B) C ¡ ù ñ Û ˜ ª ê Š « ð ´ è œ è £ í Š ð´A¡øù C) ñ ¶ ¬ ó ‚ ° c ˜ õ ö ƒ ° ‹ ¬ õ ¬ è ܬí è†ìŠð†´œ÷¶ D) ¬õíõŠ¹ôõ˜ ݇죜 Hø‰î ñ£õ†ì‹ 

HŠóõK 16& 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

38. ð£‹ð¡ ð£ôˆF¡ c÷‹ âšõ÷¾?

B) 1.5 A.e.

D) 2.8 A.e.

A) 1 A.e.

C) 2.2 A.e.

39. W›‚è‡ì ꣡«ø£˜èO™ ò£˜ F¼ªï™«õL ñ£õ†ìˆ¬î„ «ê˜‰îõ˜ Þ™¬ô?

A) óCèñE B) ¹¶¬ñŠHˆî¡ C) õ£…Cï£î¡ D) ºˆ¶ó£ñLƒèˆ«îõ˜ 40. îI›ï£†®™ ÞòŸ¬è óŠð˜ àŸðˆF ªêŒ»‹ å«ó ñ£õ†ì‹ A) Ɉ¶‚°® B) F¼ªï™«õL C) è¡Qò£°ñK D) côAK 41. W›‚è‡ì ñ£õ†ìƒèÀì¡ ÜõŸP¡ CøŠ¹è¬÷Š ªð£¼ˆ¶è a) è¡Qò£°ñK & 1. èƒ¬è ªè£‡ì «ê£ö¹ó‹ b) èìÖ˜ & 2. ð £ ó £ ñ è £ ™ «è£†¬ì c) A¼wíAK & 3. º‰FK d) ÜKòÖ˜ & 4. FŸðóŠ¹ Ü¼M

(a) (b) (c) (d)

(A) 4 3 2 1

(B) 4 2 1 3

(C) 4 1 3 2

(D) 4 1 2 3

42. ó£pš 裉F °ö‰¬îèœ è£ŠðèˆF†ì‹ â‰î ݇´ ÜPºèŠð´ˆîŠð†ì¶?

A) 2005

B) 2006

C) 1985 D) 1991

43. ªð‡èO¡ M´î¬ô ðŸP ÃÁ‹ ÜóCò™ ܬñŠ¹„ ê†ìŠ HK¾èœ

A) 23 , 24

B) 11, 12 C) 56, 57

D) 72, 74

44. Aó£ñŠ¹ø ñ‚èÀ‚° Aó£ñŠ ð…ê£òˆF¡ Íô‹ GF àîM õöƒA Üõ˜èO¡ ï™õ£›MŸ° õN ªêŒî F†ì‹ A) Hóîñ ñ‰FK «ó£xè˜ «ò£üù£ B) üõý˜ «ó£xè˜ «ò£üù£ C) «õ¬ô õ£ŒŠ¹ àÁFòOŠ¹ˆ F†ì‹ D) ó£w†gò ñˆòI˜ ÜHò£¡ 45. àí¾ àŸðˆFJ™ ²ò ꣘¬ð õL»ÁˆFò ä‰î£‡´ˆ F†ì‹ â¶?

A) 2&õ¶ B) 3&õ¶ C) 7&õ¶ D) 10&õ¶

46. ªê¡¬ù¬òŠðŸPò W›‚è‡ì îèõ™èO™ ⶠîõø£ù¶?

A) 1640&™ ¹Qî ü£˜x «è£†¬ì è†ìŠð†ì¶ B) 1 6 3 9 & ™ ê ‰ F ó A K Ü ó ê K ì I ¼ ‰ ¶ ñîó£êŠð†®ù‹ õ£ƒèŠð†ì¶ C) 1540&™ ªê¡¬ù ïèó£†Cò£‚èŠð†ì¶

26

D) 1688&™ ªê¡¬ù ñ£ïèó£†Cò£‚èŠð†ì¶

A) º¿ˆîóˆb˜¬õ îœÀð® ªêŒò

47. ãKèO¡ ñ£õ†ì‹ â¡Á ܬö‚èŠð´õ¶ A) ªê¡¬ù B) 装C¹ó‹ C) F¼õœÙ˜ D) «õÖ˜

B) îóˆb˜¬õJ™ 50% îœÀð® ªêŒò

48. Ü‹ðˆÉ˜ ªî£NŸ«ð†¬ì àœ÷ ñ£õ†ì‹ A) F¼õœÙ˜ B) ªê¡¬ù C) 装C¹ó‹ D) ªðó‹ðÖ˜ 49. W›‚è‡ì â‰î ñ£õ†ìˆF™ ªêŒò£Á ð£ŒAø¶?

A) F¼õ‡í£ñ¬ô B) ï£èŠð†®ù‹ C) «è£ò‹¹ˆÉ˜ D) ñ¶¬ó 50. õ£¬öŠðöˆFŸ° ªðò˜ ªðŸø CÁñ¬ô ܬñ‰¶œ÷ ñ£õ†ì‹ A) F‡´‚è™ B) ï£ñ‚è™ C) «êô‹ D) ß«ó£´ 51. Aó£ñ G˜õ£èˆF™ ðò¡ð´ˆ¶‹ CøŠ¹„ ªê£ŸèO™ îõø£ù Þ¬í¬ò‚ 致H® A) Mvbóí‹ & Üðó£îˆ ªî£¬è B) ¹ô ⇠& Gô Ü÷¬õ ⇠C) ²õ£bù‹ & G ô ˆ F ¡ e î £ ù àK¬ñ D) Aóò‹ & Gôˆ¬î å¼õ¼‚° MŸð¬ù ªêŒõ¶

«õ‡´‹ «õ‡´‹

C) Þó‡ì£‹ «ð£èˆFŸè£ù î‡a˜

«î¬õ ñ†´‹ îœÀð® ªêŒò «õ‡´‹

D) îóˆb˜¬õJ™ 25 % ñ†´‹ îœÀð®

ªêŒò «õ‡´‹ 57. A ó £ ñ ˆ F ¡ è ™ ð F « õ ´ â ˆ î ¬ ù õ¬èŠð´‹?

A) 2

B) 4

C) 6

58. Aó£ñˆF¡ üùˆªî£¬è, ðóŠð÷¾, ꣰ð® ðóŠð÷¾, b˜¬õ, «ñ™õKèœ ÝAò Mðóƒè¬÷ ðó£ñK‚°‹ ðF«õ´ A) ¹œO MõóŠ ðF«õ´ B) è™ ðF«õ´ C) Aó£ñ‚ èí‚° â‡.11 D) Aó£ñ‚ èí‚° ðF«õ´ â‡.9 59. W›‚è‡ì â‰î ðF«õ´è¬÷ Aó£ñ G˜õ£è ܽõô˜ ðó£ñKŠðF™¬ô?

A) ÜèFèœ ðF«õ´ B) ñó‹ ï´‹ ðF«õ´ C) ðœOèœ ðŸPò ðF«õ´ D) e¡õ÷Š ðF«õ´ 60. Mõê£òˆFŸ° Gô‹ åŠð¬ì ªêŒõ õ¼õ£Œˆ¶¬ø ê†ì‹ ⇠â¡ù?

52. «ðKì˜ «ñô£‡¬ñJ™ H¡ðŸø «õ‡®ò ð®G¬ôèœ âˆî¬ù?

A) 60/1999 B) 70/2001

C) 72/2001 D) 48/1971

A) 5

B) 8

C) 10

D) 15

53. 1961&‹ ݇´ îI›ï£´ Gô„ Y˜F¼ˆî„ ê†ìˆF¡ð®, Üøè¢ è †ì¬÷èœ ðŸPò W›‚è‡ì îèõ™èO™ ⶠêKò£ù¶?

A) 1972 õ¬ó ðF¾ ªêŒî Üø‚è†ì¬÷èœ ÜFèð†êñ£è 5 ã‚è˜ M¬÷Gôƒèœ ¬õˆF¼‚èô£‹ B) 1972 &‚°Š Hø° ðF¾ ªêŒî Üø‚ è†ì¬÷èœ 10 ã‚è˜ õ¬ó M¬÷ Gôƒè¬÷ õ£ƒèô£‹ C) 1972&‚°Š Hø° Üø‚è†ì¬÷èœ ðF¾ ªêŒò Þòô£¶ D) 1972&‹ ݇®Ÿ°Š Hø° ðF¾ ªêŒî Ü ø ‚ è † ì ¬ ÷ è œ â ‰ î M î ñ £ ù ªê£ˆ¶‚è¬÷»‹ õ£ƒè º®ò£¶ 54. °ˆî¬è‚° ªè£´‚èŠð†ì Gôƒè¬÷Š ðŸPò ðF«õ´ âˆî¬ù ð°Fè÷£èŠ ðó£ñK‚èŠð´Aø¶?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 10

D) 8

M¬ìèœ 1. C

2. A 3. A

4. C

5. A

6.A

7. B

9.D

10.D

8.B

11. A 12. A 13. C 14. D 15. B 16. D 17. A 18. B

19. D 20. B

21. A 22. A 23. A 24.C

25. B

26. C

30. B

27. C

28. D 29.D

31. A 32. D 33. D 34. A 35. B 36.B

37.D

38. C 39. D

40.C

55. °ÁAò è£ô °ˆî¬è â¡ð¶ âˆî¬ù ݇´ °ˆî¬è¬ò‚ °P‚°‹?

41.A 42.B 43.A 44.B 45.C

46.C

47.B

48.A

49.A

51.A

52.C

53.A

54.B 55.A

56.C 57.A

58.A

59.C 60.A

A) 5

B) 10

C) 12

D) 4

56. å¼ «ð£è ï¡ªêŒ GôˆF™ Þó‡ì£‹ «ð£è‹ ðJKìŠð†´ M¬÷„ê™ Þ™ô£î ÅöL™

27

50.A

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+2

BIO-BOTANY Question Bank

S. Balaji, M.Sc., M.Ed., M.Phil.

R. Kannabiran M.Sc., M.Phil., B.Ed.

ONE MARK QUESTIONS AND ANSWERS 1. Sexual system of classification refers to Ans : Artificial system 2. The term ‘Biosystematics’ was coined by Ans : Camp and Gily 3. Binomial system was introduced by Ans : Gaspard Bauhin 4. In Bentham and Hooker classification the present day ‘orders’ were referred as Ans : Cohorts 5. The order which consists primitive Angiosperms Ans : Ranales 6. The series which includes the epigynous flowers Ans : Inferae

7. The plant without epicalyx in malvaceae Ans : Abutilon indicum 8. The fruit found in Abelmoschus esculentus Ans : Loculicidal capsule 9. In which plant the midrib and veins are found with yellowish spines?

Ans : Solanum xanthocarpum 10. The carpels are obliquely placed in the members of Ans : Solanaceae 11. The roots of Atropa belladona yields the Alkaloid

Ans : Atropine 12. Number of genera found in the family Euphorbiaceae

Ans : 300 13. The special type inflorescence found in Euphorbiaceae Ans : Cyathium 14. An example for cladode Ans : Euphorbia tirucalli 15. The plant which is used in the treatment of leprosy and snakebite Ans : Jatropha gossypitolia 16. In henea brasiliensis the leaves are Ans : Trifoliately compound 17. The inflorescence present in Ravenala madagascariensis Ans : Compound cyme 18. The Number of fertile stamens in Ravenala madagascariensis Ans : Six 19. The “Birds of paradise flower” refers to Ans : Strelitzia reginae 20. The fibres from manila hemp is used to weave Ans : Abaca cloath 

HŠóõK 16& 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

21. The tissue generally present in all organs of plant

Ans : parenchyma 22. The tissue present in the petioles of banana and canna Ans : Stellate parenchyma 23. Vascular cambium and cork cambium are examples for Ans : Lateral meristem 24. The sclereides present in the seed coat of pisum Ans : Osteo Sclereides 25. The Lacunate collenchyma is seen in the hypodermis of Ans : Ipomea 26. The chief water conducting elements in Gymnosperms and Pteridophytes are Ans : Tracheids 27. Example for simple perforation plate Ans : Mangifera 28. In which Gymnosperms the vessels occur?

Ans : Gnetum 29. The pores in the sieve plate are blocked by the substance called Ans : callose 30. Phloem parenchyma is absent in Ans : Monocots 31. Root hairs originate from Ans : Trichoblasts 32. Bicollateral vascular bundles are seen in Ans : Cucurbitaceae 33. The innermost layer of cortex is Ans : Endodermis 34. Protoxylem lacuna is present in Ans : Monocot stem 35. The tissue present in between the upper and lower epidermis is called Ans : Mesophyll 36. The term chromosome was introduced by Ans : Waldayer 37. Who had proved that the genes are carried by the Chromosomes? Ans : Bridges 38. Unstable chromosome like structures found in cancer cells are called Ans : Double minutes 39. Beadle and Tatum conducted biochemical research on the fungus Ans : Neurospora 40. Number of approximate genes present in homo sapiens Ans : 30,000 - 40,000 41. Test cross ration for Repulsion in lathyrus odoratus Ans : 1:7:7:1 42. The unit of genetic map is Ans : Morgan or centimorgan

28

43. Hugo de Vries first observed the mutation in Ans : Oenothera 44. The fungi which is unable to produce certain amino acids Ans : Neurospora 45. Crossing over takes place in... stage of prophase I of meiosis Ans : Pachytene Ans : Zn-z 46. Nullisomy is represented by 47. The chromosome number can be doubled using the chemical Ans : Colchicine 48. The Hexaploid hybrid produced by Triticum and Secale is Ans : Triticale 49. The width of the DNA molecule is Ans : 20Å 50. The enzyme which can release the super coils of DNA Ans:Topoisomerase 51. The enzyme which joins the DNA fragments Ans : DNA - Ligase 52. Inherent ability of a plant cell to develop into a whole plant is called Ans : Totipotency 53. The two protoplast are fused with a fusagen called Ans : Poly ethylene glycol 54. Formation of root from the callus is called

Ans : Rhizogenesis 55. Restriction enzymes are synthesized by Ans : Bacteria 56. Method employed to introduce foreign gene into a cell Ans : Electro poration 57. The engineered bacteria that can digest crude oil Ans : Psudomonas putida 58. Somatic hybrids are produced through Ans : Protoplasmic Fusion 59. Crown gall disease is caused by Ans : Agrobacterium Tamefaciens 60. Monducta sexta is the pest of Ans : Tobacco 61. The number of transgenic plants available today are approximately

Ans : Fifty 62. The function of cytoklinin is to increase Ans : Cell division 63. One of the following organism is SCP Ans : Spirulina 64. Substance which helps the cell to resist virus Ans : Interferon 65. Important material produced by tissue culture Ans : Artificial seeds 66. Glycolysis occur in Ans : Cytoplasm 67. During cyclic electron transport, which one of the following is produced? Ans : ATP only 68. Bakanae disease in paddy is caused by Ans : Gibberellic acid 69. The cytokinin found in the zea mays is called Ans : Zeatin 70. Example for partial parasite is Ans : Viscum

71. Apical dominance is due to Ans : Auxins 72. Complete oxidation of one molecule of glucose yields Ans : 38 ATP 73. Closure of stomata is caused by Ans : Abscisic acid 74. Most effective light for photosynthesis is between the wave length of Ans : 400 - 700nm 75. The essential element for the formation of chlorophyll

Ans : Mg 76. Example for long day plant Ans : Wheat 77. H2S is oxidized to sulphur by Ans : Beggiatoa 78. Total amount of energy released from one molecule of glucose on oxidation is about Ans : 2900 KJ 79. Which of the following hormones delays ageing in plants Ans : Cytokinins 80. he chemical used in the field to eradicate weeds

Ans : 2,4 - D 81. Example for gaseous hormone Ans : Ethylene 82. Respiratory quotient of malic acid is Ans : 1.33 83. The number of high energy terminal bonds present in ATP is

Ans : Two 84. Formation of ATP during Electron Transport chain is known as Ans : oxidative phosphorylation 85. Reversal of the effect of vernalization is called Ans : Devernalization 86. ‘Tikka’ disease of groundnut is caused by Ans : Cercospora personata 87. The alcoholic beverage prepared by the fermentation of rice in Japan is called Ans : Sake 88. Strongest painkiller obtained from opium poppy is Ans : Morphine 89. Which of the following is widely employed as successful bio fertilizer in Indian rice fields Ans : Azolla pinnata 90. Binomial of ‘Vilvam’is Ans :Aegle marmelos 91. ‘Hadjor’ or bone joiner is the trade name of Ans : Cissus quadrangularis 92. The plant which possesess anti cancerous properties is Ans : Catharanthus roseus 93. The chloromycetin is used to cure Ans : Typhoid 94. The bio control agent ‘pyrethrum’ is extracted from Ans : Chrysanthemum 95. Rice with saline tolerance and pest resistance Ans : Atomita - 2 96. Quinine is derived from Ans : Cinchona officinalis

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97. Acalyphine is extracted form Ans : Acalypha indica 98. Binomial for teak Ans : Tectona grandis 99. The human insulin produced by articulated E.coli is Ans : Humulin 100. The plant used as substitute for tea Ans : Ibex paraguensis 3 Mark Questions 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

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24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32. 

What is a type specimen?

Draw floral diagram for female flower of Ricinus communis?

With examples, write any three types of inflorescence seen in the plants of Euphorbiaceae.

Write the systematic position of potato family Write the objectives of classification of plants Define Nomen ambiguum What is atropine?

Write any three merits of Bentham and Hooker’s classification?

Define tautonym. Give an example.

Write the systematic position of Musaceae What are the three classes of seeded plants?

Write the botanical names of (a) Tapioca and (b) Castor Write any three points comparing the androecium of Malvaceae and Solanaceae Write any two merits and one demerit of Bentham and Hooker’s classification What is Binomial nomenclature? Give an example What is called author citation? Give an example Write the binomials of any three medicinally useful plants in Solanaceae What are the aims of biosystematics?

Mention the fibre yielding plants of Malvaceae Mention the systernatic position of Malvaceae What is cladode? Give an example What are the alkaloids found in tobacco?

What is monocarpic perennial? Give an example?

What are brachysclereids? Give example Explain bicollateral vascular bundle with example?

Draw diagram for Lacunate collenchymas and label its parts Draw diagram for angular collenchymas and label its parts Explain dorsiventral leaves with example Draw any three types of secondary wall thickenings in tracheids?

Write in three sentences about the mesophyll of dicot leaf Bring out any three characteristics of meristematic cells?

Draw and label the structure of

HŠóõK 16& 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

bicollateral vascular bundle 33. Define bundle sheath 34. Explain exarch and endarch xylem with examples 35. Draw the ground plan for T.S. of sunflower stem and label the parts 36. Define Eustele?

37. Draw and label Brachysclereid 38. Draw and label the parts of open vascular bundle?

39. What are called passage cells?

40. What is protoxylem lacuna? Give an example 41. Differentiate Sclereids from fibres.

42. Draw and label the ground plan of T.S. of Dicot root 43. Write any three differences between the vascular bundles of dicot stem and monocot stem?

44. Describe any two types of collenchyms 45. Draw the structure of parenchyma and label the parts?

46. Write any three anatomical differences between monocot root and dicot root?

47. Write three differences between the Palisade and Spongy parenchyms.

48. What are lateral meristems?

49. Draw and label the lampbrush chromosome 50. Draw diagram for tRNA and label the parts?

51. Draw and label the parts of acrocentric chromosome?

52. Draw and label four morphogenic types of chromosomes?

53. Draw and label the structure of chromosome 54. Draw and label the polytene chromosome?

55. How do bacteria protect themselves from the attack of viruses?

56. Name the enzymes involved in the making of a DNA hybrid 57. Mention the names of any three algae used for SCP production 58. List down any three genetically engineered products and their functions. Is it possible to shorten the time of crop maturity? Support your answer?

59. What is inoculation?

60. What is splicing?

61. What are transgenic plants? Give any two examples 62. What is the importance of Escherichia coli in bio-technology?

63. What is PeG? Write its role 64. Define SCP. Give an example?

65. What is morphogenesis? Describe the types 66. What is meant by bio-remediation?

67. Define totipotency 68. Define respiratory quotient?

69. Explain long day plants and short day plants with examples

30

70. The respiratory quotient of a carbohydrate molecule is one. How? 71. Write any three physiological effects of Gibberellin 72. Mention any three physiological effects of cytokinin 73. What are insectivorus plants? Give an example?

74. Respiratory quotient of glucose in anaerobic respiration is infinity. Give reasons?

75. What is photophosphorylation?

76. Write about the structure of ATP? 77. What are dimorphic chloroplasts?

78. What is vernalization?

79. List the photosynthetic pigments 80. Write the chain of electron carriers in electron transport system 81. Define fermentation 82. Explain total parasite plant with an example 83. Write the role of aconitase in Kreb’s cycle 84. What is C2 Cycle?

85. What are the three stages of sigmoid curve?

86. State the conditions under which cyclic photophosphorylation occurs.

87. What is Richmond Lang effect?

88. W r i t e t h r e e d i f f e r e n c e s b e t w e e n photorespiration and dark respiration?

89. Write the overall equation of photosynthesis 90. What is a growth inhibitor? Give an example?

91. What is photolysis of water?

92. What is bolting?

93. Write the role of following enzymes in respiration: 94. Write two physiological effects of Abscisic acid?

95. Define chemosynthesis 96. What is an energy currency of a cell? Why is it called so?

97. Write three differences between C3 and C4 pathway?

98. What is apical dominance?

99. Write any three significances of pentose phosphate pathway?

100. Mention any two unique facets of Biopatency?

101. What are edible interferons?

102. Write about pure line selection?

103. What is soil reclamation?

104. Define clonal selection?

105. What is Bio-medicine?

106. What is rice bran oil? Write any two uses of it?

107. Define Heterosis?

108. What is humulin?

109. What is bio-piracy? Give one example?

110. What are biopesticides?

5 Mark Questions 1.

Give an account of phylogenetic system of classification 2. Bring out the merits of Bentham and Hooker’s classification 3. Draw the outline of Bentham and Hooker’s classification of plants only 4. Give an account of economic importance of Malvaceae members 5. Write the economic importance of the family Euphorbiaceae 6. Bring out the significance of Herbarium 7. Write any five salient features of ICBN 8. Give an account of the economic importance of the family Musaceae.

9. Draw and label the parts of the transverse section of a dicot leaf.

10. With examples, explain the structure of concentric vascular bundles 11. With examples, explain any two types of collenchymas with diagram.

12. Explain different types of meristerms based on their positions. Draw diagram 13. Write short notes on vessels 14. Distinguish the anatomy of dicot roots from monocot roots 15. Describe the structure of vascular bundles in monocot stem 16. Write short notes on sieve elements 17. Draw and label the parts of the transverse section of a monocot root 18. Write short notes on the vascular bundles of the dicot stem 19. Write short notes on Tracheids.

20. Write any 5 significances of ploidy 21. Write short notes on gene mutation 22. Explain the types of chromosomes on the basis of shape and position of centromere with diagram.

23. Give an account of mutagenic agents.

24. Explain allopolyploidy with an example 25. Write the significances of mutation 26. Explain Frederick Griffith experiment in Diplococcus pneumoniae.

27. Write short notes on structure of chromosome 28. Describe the special types of chromosomes 29. Describe the structure of tRNA 30. Write the difference between DNA and RNA 31. Describe with diagrams the action of restriction enzyme 32. Write any 5 outcomes of application of plant tissue culture 33. How are foreign genes introduced into plants?

34. Explain the steps involved in the production of human insulin by a bacterial cell with diagram 35. Explain the enzymatic method of isolation of protoplast.

31

è™M&«õ¬ô õN裆®

36. Write about the electroporation and gene gun method of introducing foreign genes into plants.

37. Give an account of an SCP? 38. Briefly mention the basic concept involved in plant tissue culture?

39. Write the basic techniques involved in genetic engineering.

40. How is DNA cut?

41. Define SCP . Write its uses.

42. What is single cell protein? Mention the uses of single cell protein.

43. Explain the cyclic photo phosphorylation 44. Explain respiratory quotient 45. Write a short note on vernalization 46. What are the differences between C3 and C4 pathways?

47. Draw C4 cycle without explanation 48. Bring out any 5 significances of photosynthesis 49. Explain the experiment to measure growth in length of a plant 50. Explain Ganong’s respiroscope experiment with diagram?

51. Bring out the physiological effects of cytokinin.

52. Explain the structure of chloroplast with diagram 53. Explain the test tube funnel experiment to demonstrate that oxygen is evolved during photosynthesis.

54. Describe Kuhne’s fermentation experiment with the diagram 55. Explain the different phases of growth with sigmoid curve.

56. Bring about the physiological effects of auxin.

57. Write the differences between cyclic and non-cyclic photophosphorylation 58. Write any 5 physiological effects of gibberellin 59. Write the significance of pentose phosphate pathway.

60. Bring out any 5 physiological effects of Ethylene 61. What is antibiotic ? Write any 2 names of antibiotics . State their uses.

62. Write a note on plant introduction.

63. Give a brief account on Tikka disease of groundnut.

64. Write a short note on bio-patent 65. Write about microbes in medicine.

66. Write any 5 economic importances of cotton 67. Write any 5 aims of plant breeding 68. Bring out the economic importance of groundnut.

69. Write any 5 benefits from bio fertilizers.

70. Write any 5 economic importance of rice 71. Bring out the economic importance of teak 72. Write short note on Citrus Canker.

10 Mark Questions 1. Explain the floral characters of 

HŠóõK 16& 28,2014°ƒ°ñ„ CI›

Hibiscus rosasinensis with botanical terms.

Draw the floral diagram and write the floral formula 2. With the help of flowchart, discuss Bentham and Hooker’s classification of plants 3. Describe Datura metal in technical terms.

Draw floral diagram and write the floral formula.

4. Describe Musa paradisiaca in technical terms 5. Describe Ricinus communis in botanical terms. Draw its floral diagram and write the floral formula.

6. write about the importance of Herbarium 7. Write an essay on xylem tissues 8. Discuss the anatomy of monocot root with diagram 9. Write an account of sclerenchyma with diagram 10. Descirbe the four types of cells found in phloem tissues.

11. Explain vascular tissue system with diagrams.

12. Write anatomical differences between dicot stem and monocot stem 13. Describe the primary structure of dicot stem with diagram 14. Descirbe the internal structure of dicot leaf.

15. a) Bring out the characters of meristematic cells. b) Write the functions of epidermal tissue system.

16. Describe the primary structure of a dicot root.

17. Give an account of Single Cell Protein 18. Write an essay on transgenic plants 19. With the help of diagrams describe the process of protoplasmic fusion.

20. A) What is the role of Bt-toxin in crop protection against pest?

B) Write any five applications of plant tissue culture 21. Write an essay on DNA recombinant technology 22. Define tissue culture? Describe the basic techniques of tissue culture 23. What are the outcomes of application of plant tissue culture?

24. a)Write any physiological effects of Auxin

b)Describe with examples any two types of heterotrophic mutation in angiosperms.

25. Describe the light reactions of photosynthesis 26. Write any essay on photo respiration or C2 cycle.

27. Explain Pentose Phosphate Pathway.

28. Draw C4 cycle without explanation 29. a) Write the significance of pentose phosphate pathway

b) Write a short note on insectivorous plants.

30. Write an account on glycolysis 31. Describe Kreb’s cycle 32. Write an account on Calvin’s cycle.

32

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HŠóõK 16 -& 28, 2014 CI›&712 ñ£îI¼º¬ø KAL ðŠO«èû¡v (H) LIªì†®Ÿè£è ªê¡¬ù&600096, ªð¼ƒ°®, «ï¼ ïè˜, ºî™ Hóî£ù ꣬ô, H÷£† â‡.170, â‡.10, Fùèó¡ Ü„êèˆF™ Ü„C†´ ªõOJ´ðõ˜ ñŸÁ‹

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ÝCKò˜ HK¾ ºèõK:

229, è„«êK «ó£´, ñJô£ŠÌ˜, ªê¡¬ù&600 004. ªî£¬ô«ðC: 42209191 ªî£¬ôïè™: 42209110 I¡ù…ê™ : editor@kungumam. co.in

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+2

MATHEMATICS

2 1 5 0 21. If A = ďż˝ ďż˝ then (adj A) A = ANSWER: ďż˝ ďż˝ 3 4 0 5 2 1 5 0 2 1 5 0 21. (adjthe A)system A = ANSWER: ďż˝ then ďż˝ Incon ďż˝ 0= ďż˝ â&#x2030; p(A, 22.ďż˝If5IfAp(A) B) then is ANSWER: 21. If A = ďż˝ (adj A)ďż˝2A =1ďż˝ANSWER: ďż˝ then ďż˝ A = ANSWER: ďż˝ 3 4 0 5 then (adj A) 21.

If A = ďż˝ 3 4 0 5 3 4 0 5 +2 2Maths= one marks 3 2the system is ANSWER: In If p(A)Inconsistent. â&#x2030; p(A,â&#x2C6;&#x2019;1 1 the system 5B) then 0 22.then If p(A) then isA)22.

ANSWER: ANSWER: Inconsistent.

22. If p(A) â&#x2030; p(A, B) theâ&#x2030; system 23.

IfANSWER: the2matrix then ANSW �� 1 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝ â&#x2C6;&#x2019;3ďż˝ has an inverse A = 21.

Ifp(A, A =B) ďż˝ then (adj ďż˝ is 1 5 0 21. If A = 2 ďż˝ 1 ďż˝ then (adj 5A) A = ANSWER: ďż˝ ďż˝ 3 34DETERMINANTS â&#x2C6;&#x2019;1 0 5ďż˝5 0ďż˝ 1. APPLICATIONSâ&#x2C6;&#x2019;1 OF MATRICES AND 1(adj43 A) A5 2 = ANSWER: 21. If A = ďż˝ 3 4ďż˝ then0 â&#x2C6;&#x2019;1 2 3 2 4 0 5 then A 23.

IfIfthen the3the matrix an inverse 1k â&#x2030; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;-4. â&#x2C6;&#x2019;3ďż˝ ishas 2 ďż˝ 1123. If 0 an the matrix has inverse ANSWER: 22. p(A) â&#x2030; p(A, B)ďż˝matrix then the system ďż˝1â&#x2030; ďż˝5then đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;p(A, â&#x2C6;&#x2019;3ďż˝B) 22. then the system is-4.

ANSWER: Inconsistent. unit of order n,ANSWER: where kInconsistent. â&#x2030; 0 is a con the inverse ďż˝Ifhas n-124. If Ikisâ&#x2030; â&#x2C6;&#x2019;3 (adj A) Ap(A) = an ANSWER: Ifmatrix A = ďż˝matrix ďż˝ then ďż˝ ANSWER: 2 5 0 22.

1.23.

If AIfis21. a square of1đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;order n, then [adj A] is Answer: [A] 2 1 5 0 S. Balaji , M.Sc., M.Ed., M.Phil.

ANSWER: Inconsist If p(A) â&#x2030; p(A, B) then the system is +2 Maths= one marks 3 4 then (adj A) A = ANSWER: 21.

If A = +2 Maths= one marks 0 5 ďż˝ ďż˝ ďż˝ ďż˝ 1 4 5 21. If A = ďż˝ then13(adj24 A) A =5ANSWER: ďż˝ ďż˝ ďż˝ â&#x2C6;&#x2019;1 2 1 5 0 4 5 -1 Tďż˝ 03 5 2 25. If A = [2 3 0 4 1] then rank of AAT is ANSWER: 0 5 21. If A T= -1 ANSWER: ďż˝ ďż˝ then (adj A)13A = 4 ďż˝ â&#x2C6;&#x2019;1 1. k â&#x2030; 2 1 2 1 5 0 5 0 23.

If the matrix has an inverse then ANSWER: ďż˝ ďż˝ 1 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;3 0 5 n-1 2. (A ) 322. is 4equal to = ANSWER: (A ) If p(A) â&#x2030; p(A, the system 3then 2A) 24.B) matrix of order n, Inconsistent. where â&#x2030; IfIfI0Ais is adj(kI) =isANSWER: K 21.

IfIfAIthen =isB) then (adj A) A =is ANSWER: ďż˝ the ďż˝unit ďż˝ 24. ďż˝k22. then (adjthe Aorder = ANSWER: 21. =5 the ďż˝â&#x2C6;&#x2019;1 ďż˝ainverse ďż˝ Inconsistent.

If unit ofsystem n, where k ďż˝â&#x2030; (Adj 0 isI)a 2 is 1 ANSWER: 0â&#x2030; constant ANSWER: p(A) p(A, B)matrix then n-1 ANSWER: Inconsistent.

22. unit If p(A) â&#x2030; p(A, then the system 23.

If the matrix has an then ANSWER: k â&#x2030; -4. ďż˝ ďż˝ 1.

APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS 3 4 1.

APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS 0 5 1 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;3 21.

If A = then (adj A) A = ANSWER: 24.

If I is the matrix of order n, where k â&#x2030; 0 is a constant then adj(kI) = ďż˝ ANSWER: K (Adj I) ďż˝ ďż˝ ďż˝ 1 4 5 3 4 0 5 22. If p(A) â&#x2030; p(A, B) then the system is ANSWER: Inconsistent.

23.26.

If the matrix inverse ANSWER ďż˝ has an đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;3 In the system with unknowns, p( 3 x+y-2z=n, 4 02 +homogeneous 51n =ďż˝ 01 5three 0 then T such â&#x2C6;&#x2019;1 3 2 3. If the equations -2x+y+z=l, x-2y+z=m, and are that l + m 21.

If A = then (adj A) A = ANSWER: ďż˝ ďż˝ ďż˝ ďż˝ T is ANSWER: 1.

25.IfIfp(A) Aâ&#x2C6;&#x2019;1 = â&#x2030; [2p(A, 0 B) 1] then 19.

I Inconsistent. fIfIfIfpn-1 (isA )[2 â&#x2030; pmatrix (1] A , then B h en, nsystem t h eAAsis sist05eANSWER: ma iconstant s Inconsis 1.APPLICATIONS OF MATRICES â&#x2C6;&#x2019;1 3 2tthe ANSWER: 22. therank system is 4 1of AA 525.

24.

IA the unit of )order where ky â&#x2030; ANSWER: is then 1. = 0 rank of 3 2 Tthen 22. p(A) â&#x2030; p(A, B) then 3 4 0 n-1 1 4 5 â&#x2C6;&#x2019;1 3 2 ANSWER: Inconsistent.

22.

If p(A) â&#x2030; p(A, B) then the system is 1.

If A is a square matrix of order n, then [adj A] is Answer: [A] hasn, inverse is0matrix a 1] square [adj then A] is Answer:23.

[A]kANSWER: � 1matrix �AA isanthen ANSWER: 1.ANSWER: 25. If 23.

A1.= IfIf[2Athe then rank oforder đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; of â&#x2C6;&#x2019;3 If â&#x2030; the-4. matrix an inverse then ANSWER: k â&#x2030; ďż˝ 1 only ďż˝ has đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; Inconsistent. â&#x2C6;&#x2019;3 has trivial solution.

ANSWER: matrix an inverse then ANSWER: â&#x2030; -4. ďż˝the 1 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; Ithen â&#x2C6;&#x2019;3 ANSWER: solutions. the system has â&#x2C6;&#x2019;1 3has 2many AND DETERMINANTS 23. Ifthen the matrix an inverse ANSWER: kone â&#x2030; -4. ďż˝23. ďż˝ has 1 Ifđ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;the â&#x2C6;&#x2019;3 26. homogeneous system with = number ofT n, unknowns, then the system 22.

IfIf â&#x2030; k p(A, B) then system ANSWER: Inconsistent. isis ANSWER: 1.

25.

A =the [2 0 p(A) 1] of AA Maths= marks 24. is+2-1�the unit matrix ofthree order n, where kthen 0rank is 5order a2system constant then adj(kI) = AN 24.

Ifunknowns, I p(A) is unit matrix where kthree â&#x2030; 0 is a consta 1In 4 5If Infinitely â&#x2C6;&#x2019;1 3of 1â&#x2030; 4the TT -1 -1 -1 TT Maths= â&#x2C6;&#x2019;1 3one 2marks +2 26.

In the homogeneous with unknown 2.

(A ) is equal to = ANSWER: (A ) 2.

(A ) is equal to = ANSWER: (A ) 23.

If the matrix has an inverse then ANSWER: k â&#x2030; -4. ďż˝ ďż˝ 1 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;3 1 4 5 1 4 5 20.

If I is the unit matrix of order n, where k â&#x2030; 0 is a 26.

In the homogeneous system with three unknowns, p(A) = number of unknowns, then the system 1 â&#x2C6;&#x2019;1 2 23.

If the matrix has an inverse then ANSWER: k â&#x2030; -4. ďż˝ ďż˝ 23.

If the matrix has an inverse then ANSWE ďż˝ ďż˝ 1.

If A is a square matrix of order n, then [adj A] is 1kconsistent. đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;solution. â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;1matrix 13ANSWER: đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;2of order â&#x2C6;&#x2019;3with 26.

InIf the homogeneous system three unknowns, p(A) = num n-1 ANSWER: is always 4. Every24. homogeneous system 24.

I is the unit n, where k â&#x2030; 0 is a constant th T ANSWER: has only trivial T If I is the unit matrix of order n, where â&#x2030; 0 is a constant then adj(kI) = K (Adj I) 1 4 5 APPLICATIONS OF MATRICES isKâ&#x2C6;&#x2019;2 ANSWER: 1.

25.

IfIfAA AThe =that [2 of AA n-1 constant then adj(kI) n-1 n-1 unit 27. rank of the A =an is ANSWER: �2 is 25.

A0order =isAND [2 0DETERMINANTS 1] then of 24. If I is the1. unit matrix order n, where kIfâ&#x2030; x-2y+z=m, a AND constant then =a23.

ANSWER: K I) 4�I) 1.

APPLICATIONS OF MATRICES DETERMINANTS the matrix inverse then ANSWER: kâ&#x2030; ďż˝1] ďż˝ has 24.

I of is[A] the matrix of n, where â&#x2030; 0 isare constant then =rank ANSWER: (Adj 1 x+y-2z=n, 4 k adj(kI) 5 rank 1+has 3.

IfIfAnswer: the -2x+y+z=l, and such lANSWER: n1nđ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;==matrix 0â&#x2C6;&#x2019;3 3. theIfequations equations -2x+y+z=l, x-2y+z=m, and x+y-2z=n, are such that l0+(Adj +m madj(kI) +then 0 ANSWER: only trivial 41.

5 T solution. n-1(Adj I) 1.

ANSWER: has only trivial solution.

ANSWER: has only trivial solution.

T of order n, where n-1 is ANSWER: 25.

If A = [2 0 1] then rank of AA 24.

If I is the unit matrix k â&#x2030; 0 is a constant then adj(kI) = ANSWER: K 5.IfCramerâ&#x20AC;&#x2122;s rule applicable only (with three unknowns) then ANSWER: â&#x2C6;&#x2020;0â&#x2030; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;a(Adj 1of 1. â&#x2C6;&#x2019;1n-1= 2ANSWER: T of 1 I) 4 5then adj(kI) 4 = ANSWER: â&#x2C6;&#x2019;4 8unknowns, isunit ANSWER: [2 0 matrix 1]AAthen rank of AA n-1(Adj I) 1.0If If AA isthen a=issquare order n,If then [adj A] Answer: [A] Kisn-1 24.

I then is the order n, where constant T ismatrix -1 [adj is ANSWER: 1.of 25.

A = [225.

1] of 26.

In Ifthe with three p(A) 1.then If AT)is-1 aisArank square matrix of order n,the A]isisANSWER: Answer: [A] 24.

Ikisâ&#x2030; homogeneous the unit matrixsystem of order n,12where k â&#x2030; K0 of is aunkno consta 2. (A equal to =has ANSWER: (A )TAA 1.

25.

Ifthe =system [2 0The 1] then rank ANSWER: Infinitely many solutions. the system ANSWER: Infinitely many solutions. then has homogeneous system with unknowns, p(A) =k â&#x2030; number â&#x2C6;&#x2019;1 1n, â&#x2C6;&#x2019;1 three 27. rank matrix isIf In ANSWER: 1. ďż˝1.26. â&#x2C6;&#x2019;2 424. thethree homogeneous system with unknowns, p(A) then = nu 25.

If A = 26.

[2 0In 1] then rank2 of AAA=T �is2ANSWER: T -1 -1of T the I In isechelon unit matrix of order where 0 is a2 constant T28.

T form, which of the following is incorrect?

1 â&#x2C6;&#x2019;1 2.

(A ) is equal to = ANSWER: (A ) T -1 -1 T 6.InIfthe P(A) =2.P(A, B)ishomogeneous =equal thetonumber of unknowns, then therank system is27. isIfANSWER: 1.of 25.unknowns, If )A with = [2 three 0 1] =then of unknowns, AA 21.

A = [2 0 1] then rank of AA is ANSWER: 1.

26.

In the system unknowns, p(A) = number unknowns, then the 26. homogeneous system with three p(A) number of then the system T 4system The rank of the matrix A = is ANSWER: 1.

(A ) = ANSWER: (A ďż˝ ďż˝ 2 â&#x2C6;&#x2019;2 ANSWER: has only trivial solution.

27.

The rank of the matrix A is ANSWE 3.

If the equations -2x+y+z=l, x-2y+z=m, and x+y-2z=n, ďż˝ ďż˝ 2 â&#x2C6;&#x2019;2 4 4 â&#x2C6;&#x2019;4 8 is ANSWER: 1.

25.

If A = [2 0 1] then rank of AA ANSWER: is always consistent.

4.

Every homogeneous system 26.

In the homogeneous system with three unknowns, p(A) = number of unknowns, then the system ANSWER: is always consistent.

4.

Every homogeneous system T = ANSWER: only trivial solution.

In the A homogeneous system three unknowns, p(A) unknowns, then the system 27. The rank of the26. matrix = ďż˝ANSWER: iswith ANSWER: 2 theâ&#x2C6;&#x2019;2 4ďż˝has is ANSWER: 1.

25.

If +An = =[2 1]has thenof rank of AA only solution.

3. If the only equations -2x+y+z=l, and x+y-2z=n, are suchtrivial that l 1. + three m 0 =0number â&#x2C6;&#x2019;4 ANSWER:(every has all itsthe entries occ 26. homogeneous system p(A) =row unknowns, then system 22. rank Anumber = of4A1ofwhich ANSWER: trivial solution. are that l-2x+y+z=l, + m +ax-2y+z=m, nunique = In 0form, then the system has 3.has IfANSWER: thesuch equations x-2y+z=m, and x+y-2z=n, are such with that The l is +m +unknowns, n =of 0 the matrix ANSWER: consistent and has solution. has only trivial solution.

48 three â&#x2C6;&#x2019;4 8 28.

In echelon which of the following incorrect? â&#x2C6;&#x2019;1 2incorrect?

26.

In the homogeneous system with unknowns, p(A) 4 â&#x2C6;&#x2019;4 8 ANSWER: has only trivial solution.

1 â&#x2C6;&#x2019;1 2 5.

Cramerâ&#x20AC;&#x2122;s rule is applicable only (with three unknowns) then ANSWER: â&#x2C6;&#x2020; â&#x2030; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; 5.then Cramerâ&#x20AC;&#x2122;s rule is applicable only (with three unknowns) then ANSWER: â&#x2C6;&#x2020; â&#x2030; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ANSWER: has only trivial solution.

28.

In echelon form, which of the following is 26.

In the homogeneous system with three unknowns, p(A) = numb ANSWER: Infinitely many solutions. the system has ANSWER: Infinitely many solutions.

1 â&#x2C6;&#x2019;1 2 1 â&#x2C6;&#x2019;1 2 ANSWER: has only trivial solution.

ANSWER: Infinitely many solutions. then the system has 27.

The rank of the matrix A = is ANSWER: 1.

2 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;2 4following which has aAevery non-zero 27.

The rankoccurs of the matrix = ��2of 1. ďż˝4isďż˝ ANSWER: 1 1 â&#x2C6;&#x2019;1 2 28.

InANSWER: echelon form, which the is incorre row ofconsistent.

A incorrect? all its entries below rowallentry.)

1 â&#x2C6;&#x2019;1 2 has In 4. echelon form, of following is only trivial solution.

27. 28.

The rank ofEvery the matrix A = B) is ANSWER: 1.â&#x2C6;&#x2019;1 ďż˝which ďż˝ the ANSWER:(every of A which 2 ANSWER:(every â&#x2C6;&#x2019;2 4number 1 always 2which ANSWER: is unknowns, always homogeneous only trivial solution.

6.

P(A) =homogeneous the number of then the 6.

P(A) = P(A, P(A, B) =matrix the of unknowns, then the system Tsystem 27. rank of matrix Asystem = �2ANSWER: isrow ANSWER: 1.

Every isisconsistent. always â&#x2C6;&#x2019;4 8its 8 entries occurs below â&#x2C6;&#x2019;2 has 4ďż˝has 44 has â&#x2C6;&#x2019;4 ANSWER: is Every homogeneous system 1ANSWER: â&#x2C6;&#x2019;1 2 isis rank of27. the AThe = ďż˝ANSWER: ANSWER: 1.

7. If A = 27. then the rank of=system AA is ANSWER: 1. ��the ďż˝4. ďż˝4.IfIfThe 2 â&#x2C6;&#x2019;2 4 2 The rank of the matrix A = is 1. ďż˝ 2 â&#x2C6;&#x2019;2 4 4of â&#x2C6;&#x2019;4 8 27. The rank the only matrix A three = has isAANSWER: 1. ďż˝2of 4ďż˝ then ANSWER:(every Aentry.) which has all its entries The the matrix =ANSWER: ANSWER: 1.which ďż˝228. ďż˝ đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;isâ&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;228.

4echelon consistent. â&#x2C6;&#x2019;1 2â&#x2C6;&#x2019;1 is which aâ&#x2C6;&#x2019;2 non-zero 5.

Cramerâ&#x20AC;&#x2122;s rule is applicable (with unknowns) â&#x2030; In has arow non-zero 1following 2 incorrect? which of1of the following â&#x2C6;&#x2019;4 8solution.

8form, 3 5.

ANSWER: consistent has a4a rank unique ANSWER: consistent and has unique solution.

Inâ&#x2C6;&#x2020;4 form, of the is incorrect?

ANSWER:(every ofand A27. which has its entries occurs every row Cramerâ&#x20AC;&#x2122;s isrow applicable only (with threeall unknowns) then ANSWER: â&#x2C6;&#x2020;below â&#x2030; echelon đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; which 4 8â&#x2C6;&#x2019;4 8entry.)

28. In echelon form, whichrule of the following is incorrect?

4 â&#x2C6;&#x2019;4 27.

The rank of the matrix A = ďż˝A 1. ďż˝ is ANSWER: 4 â&#x2C6;&#x2019;4 8 2 â&#x2C6;&#x2019;2 4 27.

The rank of the matrix = is ANSWER: 1. ďż˝ ďż˝ 2 â&#x2C6;&#x2019;2 4 6. If P(A) =any P(A,rule B)28. =ismatrices the numbersuch of unknowns, then system 5.

Cramerâ&#x20AC;&#x2122;s only (with three unknowns) 28. echelon form, which of the following isand incorrect?

ANSWER:(every row of a A4which has allentry.) its entries occurs belo Inthe echelon form, which the following isnon incorrect? is ANSWER: 1. which 8. If A and BIn two that ABof =form, 0the A is is singular, then 6.

Ifare P(A) P(A, B) =applicable number of unknowns, then the system is has non-zero 28.

In echelon which of the following is row incorrect?

11=echelon â&#x2C6;&#x2019;4 ANSWER:(every of A which 28. echelon form, which of therow following is incorrect?

28.

In form, which of theoccurs following is incorrect?

ANSWER:(every row of A has which has all itsInentries below every 4 8has â&#x2C6;&#x2019;4 all8 its entries occur which a non-zero entry.)

T T then ANSWER: â&#x2C6;&#x2020; â&#x2030; 0 andrank has aof unique 7.

IfIfANSWER:(every AA == ��22consistent then issolution.

1. �� consistent 7.ANSWER: then the the rank AA is ANSWER: ANSWER: 1. which hasrow aofnon-zero entry.)

ANSWER:(every row of A all which has all its entries occurs below every ANSWER: and has unique solution.

28. Inbelow echelon form, which the following is incorrect? row ofofAaAA which has its entries every row ANSWER: B=0.

28.

In which of the row following incorrect?

ANSWER:(every row of which has all echelon its entries occurs below every which has which has a non-zero entry.)

ANSWER:(every row ofoccurs A2. which allform, its entries occurs belowis every row 28.

In ech 2.has VECTOR ALGEBRA row of A whichthen has all itsAentries occurs below every row VECTOR ALGEBRA 3= 3a non-zero entry.)

1ANSWER:(every 6.

If P(A) of unknowns, the system 1 P(A, B) = the number Twhich has a non-zero entry.)

ANSWER:(every row of A which has all its entries occurs below Ifp[A, A = ANSWER: the rank of a AAnon-zero is 1. Consistent. ďż˝=B] which has entry.)

2�� then T ANSWER: ANSWER: 9. If p(A)7. = then the system is which has a non-zero entry.)

2.

VECTOR ALGEBRA is consistent and has a unique solution.

ANSWER:(every row of A which has all its entries occur 7.

If A then the rank of AA is ANSWER: 1. ďż˝ 2 8.

If A and B are any two matrices such that AB = 0 and A is non singular, then 8. If A and B are any twohas matrices suchwhich that AB = 0aand A is non singular, then a ALGEBRA non-zero entry.) has non-zero 3 x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;which , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; x has đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;axnon-zero đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; ]= 64entry.) then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] is ANSWER 2. which VECTOR 1. 1.IfIf [ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;entry.)

31 ďż˝â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 8 10. In a homogeneous system p(A) <<such (the number of unknowns) a non-zero entry.)

1.then If then [ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;the x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;,system đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; 8 xwhich đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; is x has đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; ]= 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

8. IfANSWER: A and B 2 any two matrices AB = 0 and A is non singular, B=0.

B=0.

T that ANSWER: 8.ANSWER: If A A and B are any two matrices such that AB = 0 and A is non singular, then 7.

If = are then the rank is ANSWER: 1. ďż˝â&#x192;&#x2014;of ďż˝â&#x192;&#x2014;AA ďż˝â&#x192;&#x2014; 2.

The work done by the force đ??šđ??šđ??šđ??šâ&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; acting on a p 1.

If [ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; ]= 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 8 3 2.

VECTOR ALGEBRA ANSWER: B=0. â&#x192;&#x2014; 2.

VECTOR ALGEBRA trivial and infinitely many non-trivial solutions.

2. 2.The actingon onaaparticle , ANSWER: 9.

IfIfIfANSWER: p(A) ==solution p[A, isisthat Thework workdone doneby by the theforce force đ??šđ??šđ??šđ??š = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; acting ANSWER: Consistent.

9.ALGEBRA p(A) B] then then the system system B=0.

2. VECTOR 8.

A and Bp[A, areB] any two the matrices such AB = 0 Consistent. and 2.ANSWER: VECTOR ALGEBRA 2.

VECTOR ALGEBRA if the particle is displaced from A(3, 3,the 3) to point 2.

VECTOR ALGEBRA ANSWER: Consistent.

9. If A p(A) = p[A, B] then the system is particle , if the particle is displaced from 3, 3) to the ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; A(3, ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 1.

If [ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; ]= 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 2.

The work done by the force đ??šđ??šđ??šđ??š = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; acting on a particle , is non singular, then ANSWER: B=0.

ANSWER: Consistent.

9.

If p(A) = p[A, B] then the system is if the particle is displaced from A(3, 3, 3) to B(4,84, 4 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

3 1 2.

VECTOR ALGEBRA 10.

In <<ďż˝<< (the then isis Inđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;aax homogeneous homogeneous p(A) (the8number number of of unknowns) unknowns) then the system ďż˝â&#x192;&#x2014;, the ďż˝â&#x192;&#x2014;4,xsystem ďż˝â&#x192;&#x2014;point 1. 11.

If [ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;Inverse x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;,2. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;10. xVECTOR đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; ]=ďż˝ 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; system ,system đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; ,ďż˝đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] isp(A) ANSWER: of isALGEBRA ANSWER: 1.

If [ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; ]= 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;] is ANSW the point B(4, 4) is ANSWER: 3 units. ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 10.

In a homogeneous system p(A) << (the number of unknowns) then the system is đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019; 2.

VECTOR ALGEBRA â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 5đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?aVECTOR 1. If [ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;9. â&#x192;&#x2014; x10.If đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?2. ,p(A) x2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?=â&#x192;&#x2014;, p[A, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;1.xIfifđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;[â&#x192;&#x2014;B] 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , then đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;]of is[đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 8to đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;3 ALGEBRA đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;]= xthen đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;particle , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; the xp(A) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, system đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;<<x(the đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; ]=,ďż˝â&#x192;&#x2014;number 64ANSWER: â&#x192;&#x2014;ANSWER: , A(3, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] 3, isthen ANSWER: In homogeneous system unknowns) the is â&#x192;&#x2014;the is ďż˝â&#x192;&#x2014;is,8point ďż˝â&#x192;&#x2014;lines 2.[The The work the force = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; lines +[đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +, đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? acting ,8 ANSWER: 3 units. the displaced 3) the is đ??šđ??šđ??šđ??šthen 3. distance between the =a particle = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 1.

Ifsolutions. â&#x192;&#x2014; , xsystem đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: xdone đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,B(4, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;byx 8 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;4, ]=4) 64 , =đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] ison 3. shortest distance between =ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ANSWER: trivial and non-trivial ANSWER: trivial solution and many non-trivial solutions.

1.

If [ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;isinfinitely xinfinitely đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?, ađ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? particle x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,many đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; xfrom đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; ]= 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;The ,The đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;]shortest ďż˝â&#x192;&#x2014;infinitely â&#x192;&#x2014; = solution 2 3 2 4 3 34 2. The work done by the force đ??šđ??šđ??šđ??š đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; acting on , 3.

shortest distance between the lines ANSWER: trivial solution and many non-trivial solutions. đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;]=and â&#x2C6;&#x2019;1 0 [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; VECTOR ALGEBRA ďż˝â&#x192;&#x2014;point ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019;5 1. If Consistent.

[ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;trivial xďż˝â&#x192;&#x2014;2.đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,The đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; xwork đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;2.

64 then â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;ALGEBRA ,đ??šđ??šđ??šđ??šâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] is+ ANSWER: 8 [VECTOR solution infinitely many non-trivial solutions. ďż˝â&#x192;&#x2014; acting 1.2.đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; the xwork đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;,particle đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; xdone đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;isxdisplaced đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;by ]= đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;A(3, â&#x192;&#x2014; , đ??šđ??šđ??šđ??š đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ,=đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;]3) is+to ANSWER: 8B(4, 2.

The the force đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; acting on if from 3, the 4, done by the force = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; on a particle , đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

1.displaced If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x3by đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?from đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,force đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; x2. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;The 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;by , 4, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] isANSWER: ANSWER: 8acting The work done đ??šđ??šđ??šđ??što đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;1 +point + B(4, đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; acting on a2. , done ďż˝â&#x192;&#x2014;=1. ďż˝â&#x192;&#x2014;-ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

3,13đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?the 1x1 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER: 12.

In the11. rank of[the matrix is 2, then đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;isthe is ďż˝is ďż˝đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?done work đ??šđ??šđ??šđ??šâ&#x192;&#x2014;lines = particle đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;4. + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;The + work đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; on aby particle , = đ??šđ??šđ??šđ??šâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;== 3.

The shortest between =between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; is đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;]=đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?=distance The the force đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +is acting 3 units. if2. the particle is A(3, 3) the 4. angle the the vectors -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; isđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ANSWER: â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? and -on đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; ais part ANS Inverse of ANSWER: ��the4)force ďż˝ANSWER: 11.

Inverse is03, ANSWER: ďż˝ is 10.

Inverse ANSWER: đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ��â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

2The angle 3 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;between 4 3 â&#x192;&#x2014;vectors 4 5ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 11.

Inverse ofof ďż˝is displaced ďż˝ ďż˝of ďż˝3ďż˝ ďż˝if1isthe đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; ďż˝â&#x192;&#x2014; , =đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?3, ANSWER: ANSWER: particle A(3, 3,on 3)atoparticle the point 4) isis ďż˝đ??šđ??šđ??šđ??šâ&#x192;&#x2014; = đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; ďż˝22isthe đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; 2. work by the đ??šđ??šđ??šđ??š64 =3 đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;units. +from đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +lines đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x192;&#x2014;acting on particle , p 5 ďż˝ 525 by 1.The If3,The [3) xparticle đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?done , 4, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;,â&#x192;&#x2014;] đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?B(4, â&#x192;&#x2014;is xforce đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;4, ]=4) then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;] isa3) ANSWER: 2. 11.

TheInverse work of done force +đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?displaced acting ,đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; B(4, ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x2C6;&#x2019;3+from ďż˝â&#x192;&#x2014;point 3. shortest between the = to the đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019;1 0â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; if the displaced A(3, đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§A(3, â&#x2C6;&#x2019;5 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?x,distance 1.

If [ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , x â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; ]= 64 then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; , ANSWER: 8 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; 5 2 ANSWER: 3 units. if the particle is from to the is ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 2 3 the 4 2. The between work done by from the force đ??šđ??šđ??šđ??š = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; acting on a particle , ANSWER: 3 units. if the particle is displaced A(3, 3, 3) to the point B(4, 4, 4) is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ďż˝â&#x192;&#x2014; if the particle is displaced from A(3, 3, 3) to point B( 3. The shortest distance the lines = = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; = = is ANSWER: ANSWER: 5.

The centre ad radius of the sphere | đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )| = 5 are ďż˝â&#x192;&#x2014;centre đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; 2between â&#x2C6;&#x2019;1đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; 3 0â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§- â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;5 4 4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 55.

0 â&#x2C6;&#x2019;1 0 the3unknowns, ďż˝â&#x192;&#x2014; ) â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; 4.

The angle vectors đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;point - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;the đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; isisđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 ANSWER: ad radius ofunits. the sphere |đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;the â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014; - ďż˝â&#x192;&#x2014;(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 -B(4, đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? +4, 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ifThe particle is displaced 3, 3) to point 4) đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;distance â&#x2C6;&#x2019;1A(3, 0 the 13. In the11. system of three linear with three theparticle rank of the matrix shortest = B(4, = 4, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;3from is A(3, ANSWER: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§=â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;4 ANSWER: ifInIfthe isThe displaced from 3) tođ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; the 4) ANSWER: 1.3The 12. the rank of3. the matrix 2, then islines ďż˝equations ďż˝đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;is3, 2.

The done bythe the force đ??šđ??šđ??šđ??šâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;== -đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;5 +and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;isâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; +ANSWER: on ađ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 partđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

0ďż˝ The đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;00 â&#x2C6;&#x2019;1between 2 4.

4work 3= 5vectors 4.

The angle between the đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; isis ANSWER: 3. shortest distance between lines =|đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;=between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; =3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;3 ANSWER: 1.

12. rank the isđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

2, then �3, ANSWER: 1.

12.

In rank ofthe the matrix is3) then đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;3. is ďż˝by â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;the â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;5 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?-acting is angle vectors â&#x2C6;&#x2019;1 ANSWER: 1.

12.In Inthe the rank ofof matrix is 2, then đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;2, is ďż˝A(3, ANSWER: units. ifthe the particle is-matrix displaced to the point B(4, 4) is-distance ďż˝â&#x192;&#x2014; 0đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; ��-work đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;from â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;4, ďż˝â&#x192;&#x2014;| 4then The shortest between the lines = ďż˝â&#x192;&#x2014; 6.

If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; is perpendicular to đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

2.

The done the force đ??šđ??šđ??šđ??š = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; acting on a particle , 2 3 4 3 4 5 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 4. The angle between the vectors đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is ANSWER: 3.

The shortest distance between the lines = = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019;1 0 theđ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; lines 3. ifThe distance between = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 =|đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; =inconsistent. =5đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;between is ANSWER: ANSWER: is 2,one then Îť 4. is

ANSWER: đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; The shortest distance the linesđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?(2, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;=-1, = and ďż˝â&#x192;&#x2014;=đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?)| ďż˝â&#x192;&#x2014;4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 32 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019;1ad 0 đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;0vectors â&#x2C6;&#x2020; 3. = shortest 0 and of â&#x2C6;&#x2020; ,The â&#x2C6;&#x2020;y angle or â&#x2C6;&#x2020; is non-zero, then is â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;the â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 5. centre radius of -đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;6.(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;ANSWER: -â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +particle +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? =đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§displaced are ANSWER: 5 433B( ANSWER: If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; |đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;4 |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;4=â&#x192;&#x2014;isđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;4 -â&#x2C6;&#x2019;5 |is is23 4), perpendicular xThe xbetween 2 the 31.

3 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; the0 đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;sphere -đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;system and=đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; -43. isANSWER: 2 3, đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?3) 4 ďż˝â&#x192;&#x2014; point ifâ&#x2C6;&#x2019;3 the from A(3, to the đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? shortest distance between the lines = = ANSWER: đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§5then â&#x2C6;&#x2019;5 5.

The centre ad radius of the sphere | đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )| = 5 ar ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 13.The In3.the system of three linear equations with three unknowns, ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 4. The angle ďż˝â&#x192;&#x2014;between vectors - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;If â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;3â&#x192;&#x2014; x- đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ANSWER: 2 the 3 = 4đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; = 4 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?= 7. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; A(3, =4), đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? xis â&#x192;&#x2014;) + to đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?5 x=the (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; xđ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;point đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;)is+ANSWER: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; xB(4, (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?4, ) then ANSWER: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? =0 The shortest distance between the lines đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 13.In Inthe thesystem system of three unknowns, 5. The centre12. ad radius of the sphere | linear đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; linear -if (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;equations - equations đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;equations + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;with )| =three 5 are ANSWER: (2, -1, the particle is displaced from 3, 3) isrđ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;eANSWER of three with three 13.

In the system of three linear with three unknowns, 13.

In the system of three linear equations with three unknowns, 2 35.

4h 4d 7.

T eangle cđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? eand nďż˝â&#x192;&#x2014;between t3are r5 ađ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;) rđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;vectors a 5xthe dvectors i(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?uâ&#x192;&#x2014; svectors o-4), fđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;+and t-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;hđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;xeđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;and sâ&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;p4) 4.

The angle between â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;hisđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;is -ANSW đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;3 is đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 4. â&#x2C6;&#x2019;1 4.

The the -â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; ďż˝â&#x192;&#x2014;of|đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;then ďż˝â&#x192;&#x2014;|+the ďż˝â&#x192;&#x2014;e|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;xâ&#x192;&#x2014;distance ďż˝â&#x192;&#x2014;e-)ANSWER: 6.

If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; +y â&#x2C6;&#x2020;or đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;|or |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;non-zero, -â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; to đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

5.

The radius the sphere |ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; â&#x17D;¤-is(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;is -is đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;The â&#x192;&#x2014; perpendicular +The )| ANSWER: (2, -1, and 5perpendicular ifunknowns, â&#x2C6;&#x2020; =between 0 and one of= â&#x2C6;&#x2020;0xâ&#x192;&#x2014;centre ,and â&#x2C6;&#x2020;vectors â&#x2C6;&#x2020;ad is non-zero, then the system isANSWER: ANSWER: inconsistent.

If4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;angle =shortest đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;+=â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?5 xbetween (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? xđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; xđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 then ANSW ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

4. The4.angle the and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; x= 3. between the lines = = 6.

If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; | = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? then ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; is to đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x17D;Ą ďż˝â&#x192;&#x2014; if â&#x2C6;&#x2020; one of â&#x2C6;&#x2020; , or â&#x2C6;&#x2020; is non-zero, ďż˝â&#x192;&#x2014; ������â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; , â&#x2C6;&#x2020; is then the system ANSWER: inconsistent. if â&#x2C6;&#x2020; = 0 and one of â&#x2C6;&#x2020; x y5. x angle between the vectors đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; to and đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;theis sphere ANSWER: aare unit vector area 8.|The Projection of đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; The centre radius đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; - (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; )| = on 5đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 are ANSWER: (2,equals -1, 4), and đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;- đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?+ 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 thrice 35the đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ 4â&#x2C6;&#x2019;5 ANSWER: (2, -1, 4), ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; -of x đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; y - ad 2is 6. If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;| = The |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; 4. |==then ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; perpendicular đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;4 ifif- â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2020; and one of â&#x2C6;&#x2020;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2020;xis â&#x2C6;&#x2020; non-zero, then the system isisđ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;â&#x192;&#x2014;ANSWER: inconsistent. and one of3. â&#x2C6;&#x2020;yâ&#x17D;˘y or or â&#x2C6;&#x2020;xx is non-zero, then the system ANSWER: inconsistent.

The between the vectors đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;x distance - đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x17D;Ľ-between đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; is ANSWER: x,, â&#x2C6;&#x2020; ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; )|+=4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; the00angle system inconsistent. lines =đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; =đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; =5-thrice 5.

The centre of the sphere | sphere đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; - â&#x192;&#x2014;|(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+ = 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;are đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

6.

IfIfis |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; ANSWER: + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;| xThe = (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x17D;Ąxâ&#x2C6;&#x2019;1 -shortest đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;) | then is perpendicular to3. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;xad ďż˝â&#x192;&#x2014;radius ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; xANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;The ďż˝0the â&#x192;&#x2014;of 5.

The centre ad radius of sphere đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;-)-(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; -ANSWER: )| and 5the ������â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019;1 14. The rankthen of the diagonal matrix is(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?2radius â&#x17D;¤+đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

7.

If đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;) + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x x then ďż˝â&#x192;&#x2014;+A == 0 5. centre ad the | (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 7. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;) â&#x192;&#x2014; x â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ) then ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014; = .

-1 on a unit vector đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; equals 8.

The Projection of 3 4 3 4 5đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x17D;˘ â&#x17D;Ľ ďż˝â&#x192;&#x2014; 6.

If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? | = |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? | then ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; is perpendicular to đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x17D;Ą â&#x17D;¤ tan ďż˝ ďż˝ (2,the 2|â&#x2C6;&#x2019;1 4.=ANSWER: The angle between - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; and ďż˝â&#x192;&#x2014; The ďż˝â&#x192;&#x2014;ad(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?radius ďż˝-â&#x192;&#x2014;â&#x17D;Ľ.đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + centre the + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; =55are are ANSWER: (2,vectors -1,and 4),đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;5and 5 đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is ANSW ďż˝â&#x192;&#x2014; )|)| 7. If5. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; =The đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x5. (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;) +centre â&#x192;&#x2014; ad x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;)radius + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;ofx (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; xthe đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;sphere ) then ANSWER: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;= -0 of |đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;of đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;-order -(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ANSWER: -1, 4), â&#x17D;˘sphere 20 â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 13.

If5.AThe isđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? axscalar matrix with scalar k â&#x2030; 3 then â&#x17D;˘ â&#x17D;Ľ ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019;4 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x17D;˘ â&#x17D;Ľ 14. The rank of the diagonal matrix is ANSWER: 3. ďż˝â&#x192;&#x2014; xofđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;) ďż˝-â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?of 6. |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;3. =+ Projection đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;=ANSWER: |ďż˝â&#x192;&#x2014;then then ANSWER: perpendicular to the đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? are centre -đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;)â&#x192;&#x2014; 6. +������â&#x192;&#x2014; 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )| 5 are (2,unit -1,đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 4), 5đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? â&#x17D;¤If ANSWER: ađ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; isand perpendicular â&#x17D;Ąâ&#x17D;Ą(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; 0x 0đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;)|+đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;-x(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x17D;¤If8.

If ad đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; =1radius đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; sphere x�����â&#x192;&#x2014; then ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 0 â&#x17D;˘ the â&#x17D;Ľ(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; xis �����â&#x192;&#x2014; ������â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 ďż˝â&#x192;&#x2014;||thrice 14. The rank of7. the diagonal matrix The on vector đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; thrice -1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1 |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;two |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; -the đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;=ďż˝|-đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; isequals perpendicular toS -1 �����â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;between 2a2+area â&#x17D;Ľxâ&#x17D;Ś đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;)ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;. ANSWER: unit equals area parallelogram Then 8.

The Projection ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 7.

Ifâ&#x17D;Łequals đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; =â&#x17D;˘ of đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; xđ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; xon đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;)â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? +6. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; â&#x192;&#x2014; 9. â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; xâ&#x192;&#x2014;OPRQ. )đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

ANSWER: =đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§aof 0 ������â&#x192;&#x2014; ANSWER: tan ďż˝đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is+ ANSWER: 4.1ANSWER: The the vectors -đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;=lines đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;|Then and -then is â&#x17D;˘ angle â&#x17D;Ľ â&#x192;&#x2014;vector 6.

If(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; +then =â&#x192;&#x2014;ad |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;|POQ |ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ďż˝â&#x192;&#x2014;=then ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;OPRQ. â&#x192;&#x2014; are is perpendic 8. The Projection of unit vector đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; parallelogram and = | đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;=â&#x192;&#x2014; - (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ANSWER: The ďż˝â&#x192;&#x2014; |PO â&#x17D;˘â&#x17D;˘(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x17D;Ľxto â&#x17D;Ľto ďż˝â&#x192;&#x2014;The ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;the ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: 5.

The centre â&#x17D;˘ thrice â&#x2C6;&#x2019;4 00â&#x17D;Śof0â&#x17D;Ľďż˝ďż˝ďż˝ďż˝ďż˝ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;â&#x2C6;&#x2019;1is of |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;| đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;on |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; -then đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;diagonal |Kthen ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;isthe isperpendicular perpendicular to đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

2radius 1 the sphere 3 â&#x2C6;&#x2019;5 2 â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )| 6. If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;6.14. +If A đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? =rank |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;| =a-of đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? | đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;.

The matrix is ANSWER: 3.

14. rank of the diagonal matrix is 3. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? â&#x17D;Ł �����â&#x192;&#x2014; 7.

If đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;) + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;) + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ) then ANSWER: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; = 0 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; -1 0perpendicular 8.| The Projection ofâ&#x17D;ŁANSWER: đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? on a unitđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;�����â&#x192;&#x2014; vector đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; equals thrice the đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?area ofďż˝parallelogram OPRQ. Then |POQ is â&#x17D;˘ â&#x17D;Ľ â&#x17D;˘ â&#x17D;Ľ 6.

If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? | then is to đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x17D;Ś ANSWER: tan ďż˝ 0 ������â&#x192;&#x2014; -1 In of with three linear non-homogeneous 0unit 8. The of đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; on=aâ&#x2C6;&#x2019;4 vector đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; ofđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;)parallelogram |POQ -1 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

7.

Ifâ&#x17D;ĽANSWER: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;The =đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;equals x ďż˝â&#x192;&#x2014;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; xIthrice đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;)of+đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; -xđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;area (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; xZ-axis x đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;OPRQ. ) 0.then ANSWER đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ + isđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; ANSWER: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Then â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;the 10. projection on is7. 9.

15.

If A is14. a scalar matrix scalar k â&#x2030; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?Projection 0 ďż˝of order 3â&#x2C6;&#x2020; then A-1 7. â&#x17D;˘ â&#x17D;Ľ ANSWER: tan ďż˝ â&#x17D;˘ ANSWER: tan ďż˝aďż˝system -1â&#x2C6;&#x2019;4 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; = = and = = are AN The two lines ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 6.

If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? | = |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? | then ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; is perpendicular to ďż˝ â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

If đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;Projection =ďż˝â&#x192;&#x2014;I= đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;I0=â&#x192;&#x2014; .|xďż˝0â&#x192;&#x2014;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;.đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?-ofx(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;)â&#x192;&#x2014;2 on +-đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x+đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;1x )| đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;)������â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?equals â&#x192;&#x2014; are x (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;ANSWER: x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?)2the then is isâ&#x2C6;&#x2020; scalar â&#x2030; 0đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;â&#x192;&#x2014; of order 3 A of �����â&#x192;&#x2014; -1 ANSWER: If đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;xAIf=đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;aisxxscalar (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x+matrix đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;) (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;tan x =-1đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;ad xđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? )then then 5.

The radius sphere đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;aâ&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019;1 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; =+5 (2 8.â&#x17D;Śâ&#x17D;ŚThe đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; unit vector thrice areaAN o ďż˝â&#x192;&#x2014;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 0, â&#x2030; 0đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?with đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;1 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 isthe ANSWER: Aďż˝â&#x192;&#x2014; a= scalar â&#x2030; then ANSWER: 7. If đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; 7.15. = 15. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;Ifand â&#x192;&#x2014;) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;matrix (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;xwith đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) +đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ďż˝kâ&#x192;&#x2014;0centre đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?+ďż˝kâ&#x192;&#x2014;then xâ&#x192;&#x2014;)â&#x17D;Ł0x(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;the then ANSWER: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ â&#x17D;Ł+of đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?)â&#x192;&#x2014;3 ďż˝â&#x192;&#x2014; +xxđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 ďż˝â&#x192;&#x2014;hasAANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 0 -1 0 y(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

7. ďż˝â&#x192;&#x2014;xđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 =đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?scalar đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§xâ&#x2C6;&#x2020; â&#x192;&#x2014;)and +xđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2020; xzANSWER: (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;xorder xsystem ANSWER: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; =normal 0 đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152; two = on to = the andplane = đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; are ANSWER: 9. The The lines đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1If đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ â&#x2C6;&#x2019;1 tan ďż˝ x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) then �����â&#x192;&#x2014; ������â&#x192;&#x2014; 11. unit - y= +equals ANSWE đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 ďż˝â&#x2C6;&#x2020; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2020; 8. đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2030; â&#x2C6;&#x2019;1 The Projection of đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; vector thrice th 2vectors â&#x2C6;&#x2019;1 a 1unit 3 2xâ&#x2C6;&#x2019;5 22z= 5 are đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;= đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§0 = 0, â&#x2C6;&#x2020; 0 and â&#x2C6;&#x2020; = 0 a system of linear non-homogeneous = 0 and ANSWER: no solution. = three =of9. and = = are ANSWER: Skew.

9. 16.

TheIntwo lines đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? = 0, â&#x2C6;&#x2020; â&#x2030; 0 and â&#x2C6;&#x2020; = 0 16. In a system three linear non-homogeneous â&#x2C6;&#x2020; and â&#x2C6;&#x2020; x y z -1 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; x y z đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? = = and = = are ANSWER: Skew.

The two lines đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? then uof = 0. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§8. â&#x2C6;&#x2019;1 ������â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; 7. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;isANSWER: =ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;projection â&#x192;&#x2014;of (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? xďż˝ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;) xonđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; +Then đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; xvector (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?)đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; thenequals ANSWER 10.

The đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;xâ&#x192;&#x2014; -(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?on đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;OPRQ. Z-axis isâ&#x192;&#x2014;|POQ ANSWER: 0.

2 Projection â&#x2C6;&#x2019;1 1 of 3 linear â&#x2C6;&#x2019;5anon-homogeneous 2 vector -1 ������â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; -10 ==then 0, â&#x2C6;&#x2020;the and â&#x2C6;&#x2020;x 0 Skew.

16. ais system three â&#x2C6;&#x2020;of â&#x2C6;&#x2020;3x then ANSWER: unit đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; equals thrice area parallelogram is 8.

The đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; yA z tan aâ&#x192;&#x2014;)OPRQ. unit th The â&#x2C6;&#x2019;1 1 3 â&#x2C6;&#x2019;5 2Projection is I+of 15.

If AA aaProjection scalar matrix with kk= 0 of order ANSWER: I đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; 15.

IfIn is scalar matrix with scalar â&#x2030; 1đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 0 order Aâ&#x2030; If =2unit =â&#x2030; and =equals are ANSWER: 9.of The two lines đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; �����â&#x192;&#x2014; ������â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;1 6.on If |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;scalar +two đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;1|lines â&#x192;&#x2014;with -==đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;30three |and then ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;=â&#x192;&#x2014;of isof perpendicular đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;Then ������â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; 10.

The projection Z-axis is ANSWER: 0.

8. The Projection of đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; on ađ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; unit đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; equals thrice the area parallelogram Then |POQ on aequations vector thrice parallelogram OPRQ. |POQ is is 8.

The of 2vector 212. đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;,ofđ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; ďż˝â&#x192;&#x2014;to �����â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; =- đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; on �����â&#x192;&#x2014; = â&#x2C6;&#x2019;5 and =If the ==area 9.

The -1+ANSWER: ANSWER: nosolution. solution. the has 15.

In the system ofhas three linear đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +are đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;(OP) +Skew.

3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; +đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , then the area of the quadri 10. Thethen projection of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;the - system đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; has on Z-axis isANSWER: ANSWER: 0.

ANSWER: no thethen system 8.

The Projection of on a unit vector (OQ) equals 2 â&#x2C6;&#x2019;1 1 3ANSWER: â&#x2C6;&#x2019;5 2 â&#x192;&#x2014;tan no solution. then system ďż˝ ďż˝ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? �����â&#x192;&#x2014; ������â&#x192;&#x2014; -1 The projection of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 10. â&#x192;&#x2014;on - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;Z-axis on p(A) Z-axis is0ANSWER: 0.

8.0.

The Projection đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; a unit equals th normal vectors to the plane - ANSWER: y + thrice 2z= 5Sk a đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2020; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;of =-1 vectors = onand =vector = đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; are 9.11.

The lines 10. of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; -with đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;system, is ANSWER: ANSWER: tan ďż˝The ďż˝ -1projection unknowns, in the non homogeneous = ==Z-axis đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

11.

The unit to the 2x -2|POQ y2x 0, 0 and â&#x2C6;&#x2020; 16.

In aa system three linear non-homogeneous â&#x2C6;&#x2020;â&#x2C6;&#x2020; â&#x2C6;&#x2020; =two 0,unit â&#x2C6;&#x2020;yyâ&#x2030; 02parallelogram 16.

Inthe system of three linear non-homogeneous 0 and and â&#x2C6;&#x2020;xThe đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?ofof â&#x2C6;&#x2019;1 3 plane â&#x2C6;&#x2019;5Then 17.

In system three linear non system, x= đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?in thrice the of OPRQ. is5 are ANSW tan ďż˝system, ďż˝zzďż˝â&#x192;&#x2014;==100ANSWER: -1 to ďż˝â&#x192;&#x2014;three ďż˝â&#x192;&#x2014;and ďż˝â&#x192;&#x2014;+.đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§2z= đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;three 10.

The projection of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;+unknowns, - đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;on 0.normal ďż˝â&#x192;&#x2014;homogeneous ďż˝7.linear ďż˝equations 17. In ANSWER: the oftan with non Ifequations đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; xwith xthree đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;)unknowns, xÂą(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;xinthe đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;isin â&#x192;&#x2014;) +2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; xđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2020;area â&#x192;&#x2014;â&#x2030; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? then đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 0 11.

TheIn unit vectors plane 2x -equations y=+ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2z= 5(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? are ANSWER: â&#x192;&#x2014; 13.

-the đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ANSWER: +ANSWER: )â&#x192;&#x2014;=homogeneous ďż˝â&#x192;&#x2014;)and ďż˝â&#x192;&#x2014; then 17. thenormal system ofsystem three linear three unknowns, the non homogeneous system, ANSWER: tan ďż˝then ďż˝the đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

-(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; +xđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; a=unit vector perpend đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; p(A, B) = 2 the system -1 ďż˝â&#x192;&#x2014;0. đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;= đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 ďż˝â&#x192;&#x2014;)đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; and =) the are ANSW The lines The projection of ďż˝ANSWER: đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;=-ďż˝ đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; onâ&#x192;&#x2014; =-Z-axis 11.

The unit normal vectors - Ify5Iftwo +are 2z= 5â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;tan are Âą â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; -=ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; ,+â&#x2C6;&#x2019;5 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 11. unit normal vectors tođ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 thetoplane 2x - 9. y 10. +2x 2z= ANSWER: 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§the â&#x2C6;&#x2019;1 plane p(A) = p(A, B) 2The then the system ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: ANSWER: no solution. then the system ANSWER: no solution. then system has �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;+ �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; plane ANSWER: 12.

2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; +â&#x192;&#x2014; Âą+đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§is 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x192;&#x2014;ANSWER: then of t đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;,â&#x2C6;&#x2019;1 3,â&#x192;&#x2014; then 2 ofarea ďż˝â&#x192;&#x2014;) area đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 12. đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; ++â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;5 â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+are đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;Âą,đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;=đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+1+đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; the the quad p(A) =the p(A, B) = 2 then the system 11.

The unit normal to the 2xđ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; -Skew. y =+ 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 2z= (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; =has =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 and =the =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 are ANSWER: 9. +p(A, The two đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 vectors đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;1 ďż˝â&#x192;&#x2014;two �����â&#x192;&#x2014;= lines �����â&#x192;&#x2014; p(A) 2 the system đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 12. If đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; = 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;=ANSWER: đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;9. + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;B) , đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; =reduces đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; then + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;2+đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ,â&#x2C6;&#x2019;1 then theProjection quadrilateral PQRS isThe ANSWER: 5 intersection 1 3of â&#x2C6;&#x2019;5 2many reduces to and has infinitely �����â&#x192;&#x2014; ������â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;=) + t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§=equations đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1 =area and =ofđ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; = on are ANSWER: Skew.

The two lines = = and = ar 9. two lines 14.

The point of of the lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x192;&#x2014; 8.

The a unit vector đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A; equals thrice the area of parallelog ANSWER: to two equations and has infinitely solutions.. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 11.

The unit normal vectors toon the plane 2xANSWER: -5y3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 + 2z= 5â&#x2C6;&#x2019;1 are ANSWER â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 2 â&#x2C6;&#x2019;1 1 3 â&#x2C6;&#x2019;5 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; = = and = = are ANSWER: Skew.

9. The17. two lines 9.

The projection of i j on Z-axis is ANSWER: 0.

ANSWER: reduces to two equations and has infinitely many solutions..

2 â&#x2C6;&#x2019;1 1 â&#x2C6;&#x2019;5 2 In the system of three linear equations with three unknowns, in the non homogeneous system, 17.

In the system of three linear equations with three unknowns, in the non homogeneous system, 10.

The projection of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; Z-axis is 0.

12.

If đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; = 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , then the area of the quadrilateral PQRS is ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; =112. â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 12.two Ifâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; â&#x192;&#x2014; If+Z-axis đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; and +3=đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ,ishas 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;2â&#x192;&#x2014;=+0.

2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; area of 5perpe many solutions.. =đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; =ďż˝â&#x192;&#x2014;=3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +and =isďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: = vector ANSW 9.ďż˝â&#x192;&#x2014;13.

The two ďż˝â&#x192;&#x2014;quadrilateral ďż˝â&#x192;&#x2014; then đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?ANSWER: 2to â&#x2C6;&#x2019;5 �����â&#x192;&#x2014; Ifđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;the = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;area --lines 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;the +of 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;PQRS +PQRS 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; athen unit đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; â&#x192;&#x2014;0đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; +ANSWER: đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; =infinitely + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;,+�����â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;many + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;,â&#x192;&#x2014; then + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , the then the is 5are 10. The projection of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;- đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; on ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;quadrilateral đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER: reduces solutions..

2 â&#x2C6;&#x2019;1 1 3 â&#x2C6;&#x2019;5 2 0 0 0 13.

If = 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; a unit vecto ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 12 equations đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;unit =( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +vectors 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;) + s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;plane + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )2x ANSWER: (1,are 1, 2) đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

13. If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - 18.

2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +If10.

3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;B) â&#x192;&#x2014; + A=đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +212 vector to0. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;12. and is=projection ANSWER: The projection ofthen đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;the - ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; unit on is ANSWER: 0 12 ďż˝0 perpendicular 0đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?p(A, A =and ANSWER: ďż˝ Z-axis ďż˝=0then �����â&#x192;&#x2014; 10.

The normal - ythe +2x 2z= 12 10. ofto -3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;to is ANSWER: 0.đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; IfThe đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;normal + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;, �����â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; = to đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;+the â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+on 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;,Z-axis then area the quadrila then system p(A) B)Ifđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;=đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;-â&#x192;&#x2014;AA2is=đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then the system â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 18.

If A ďż˝=0==ďż˝ p(A, then ďż˝â&#x192;&#x2014; +-1đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;ďż˝ ďż˝ then 0 ďż˝is5đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

5 of ANSWER: 16.

Ifp(A) is 123đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ďż˝â&#x192;&#x2014; 0.

11.

The unit vectors the plane -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;5 yđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;of +ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 2z= are đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

10. The projection on ANSWER: đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;is -ANSWER: 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;Z-axis + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; 0 and â&#x192;&#x2014; +đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;ďż˝2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then ďż˝â&#x192;&#x2014;a unit vector perpendicular đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;Z-axis islines ANSWER: đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; 0 ďż˝â&#x192;&#x2014;0 5=tan 0 normal 513.

10.

The projection ofđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?-perpendicular đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;+-đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;and isand ANSWER: 0.ďż˝â&#x192;&#x2014;)ďż˝â&#x192;&#x2014;5+ đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; ďż˝â&#x192;&#x2014;on 0 0 ďż˝â&#x192;&#x2014;= and ďż˝â&#x192;&#x2014;3 đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;2z= ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 14.

The point of intersection of the đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; t(â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 11.

The unit to the plane 2x y + 5 are Âą (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; ) 12 If vectors ANSWER: 13.

If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then a unit vector to đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ANSWER: 13. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then a unit vector perpendicular to đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ANSWER: 15.

The distance from the origin to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;.( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) = 7 is 19.

IfANSWER: A is a matrix ofthe order 3, then det (kA) =3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ANSWER: k+infinitely det(A) ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 18.

A = then A is ANSWER: ďż˝ ďż˝ đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; ďż˝of ďż˝ 3y â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;ďż˝â&#x192;&#x2014; 14.

TheIf point intersection of lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + ) + t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) and 11.

The unit normal vectors to the plane 2x + 2z= 5 are ANSWER: Âą (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) 14.

The point of intersection of the lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 12 reduces to two equations and has many solutions..

ANSWER: reduces to two equations and has infinitely many solutions..

19. If5 A is a matrix ofANSWER: order 3, then det (kA) = ANSWER: k det(A)13. If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 0 5 0 đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then a unit vector perpendi đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

11.

The unit normal vectors to the plane 2x y + 2z= đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§11. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;1 ďż˝â&#x192;&#x2014;vectors ďż˝â&#x192;&#x2014;5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; The point ofthe intersection ofx+y+cz=0 the lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; =(a 5 -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; +are 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;Ifâ&#x192;&#x2014; +đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +, ďż˝â&#x192;&#x2014;(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ďż˝â&#x192;&#x2014;plane 11. the 12. â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;=2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ++normal đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;+â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014;++3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; =- are 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;+the +)3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ,â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;then then the area of5 the The unit 2x - area y(1, + 1, 2z= are đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;solution. â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;)==(-đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ))t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +â&#x192;&#x2014;and s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +++to 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;ANSWER: )ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: 2) 11. The normal vectors to plane 2x y + 2z= ANSWER: Âą 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 20.unit The system of14. equations ax+y+z=0, x+by+z=0, has non-trivial ďż˝â&#x192;&#x2014; = = and = Skew.

9.

The two lines ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; 2 �����â&#x192;&#x2014; 14.

The point of intersection of the lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( â&#x192;&#x2014; + â&#x192;&#x2014; ) + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) and 3 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; 20. of ax+y+z=0, x+by+z=0, has non-trivial solution.

12. đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; =+�����â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;order +0+14. đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;+â&#x192;&#x2014;equations , đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; =3, đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;det +of3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;(kA) â&#x192;&#x2014;intersection +(1, 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then the area ofa the quadrilateral +a 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;If +The 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;is )system s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;3, 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )point 2) â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 00ďż˝â&#x192;&#x2014;, x+y+cz=0 0 02đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 0matrix of lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;1â&#x192;&#x2014; of =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;+=( 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; +â&#x192;&#x2014; +3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )PQRS t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +iss(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ANSWER: đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; )â&#x192;&#x2014;and 17.

If of order then (kA) ďż˝â&#x192;&#x2014;2is ďż˝â&#x192;&#x2014;) 5ANSWER: 12 20 ďż˝the 3 â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019;5 12 19.đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; =( If A2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;is =1,,+ANSWER: kâ&#x2C6;&#x2019;1 det(A) ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: �����â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; ++đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;PQRS 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) â&#x192;&#x2014;+ANSWER: â&#x192;&#x2014;+ANSWER: +lines +đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;53đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 1,+ of the quadrilateral 12. =10ďż˝2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;then +1The â&#x192;&#x2014;A +then đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;det then area14. the quadrilateral PQRS is ďż˝â&#x192;&#x2014;) + (1, 18.

If AA =If=1ďż˝ađ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; ANSWER: 18.matrix IfA A2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ďż˝of ďż˝ then ďż˝â&#x192;&#x2014;+) +3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; The point of intersection of the =(đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; +đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +â&#x192;&#x2014; 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 12 12 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;=( â&#x192;&#x2014; ,+isis 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;ANSWER: += 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x192;&#x2014; ďż˝+ďż˝2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x192;&#x2014; 35 + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝) the ANSWER: (1, 1, 2) ďż˝â&#x192;&#x2014;) =â&#x192;&#x2014; 7 1= ANSWER: Then 1.

15.

The distance from the origin to+â&#x192;&#x2014; the plane â&#x20AC;&#x201C;area đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;the + 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 00+ďż˝â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 010+ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

551+ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

5det(A) ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022; If �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 12. đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; = 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ,đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; then area đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; ) + s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) ANSWER: (1, 1, 2) 12.

If đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , then the of thep Then + + = ANSWER: 1.

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; = ANSWER: k ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;5 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;3k) �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; 13.

If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then a unit vector 15.

TheThe distance from the origin to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(â&#x192;&#x2014;+x+by+z=0, 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x20AC;&#x201C;ďż˝â&#x192;&#x2014;,đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;)â&#x192;&#x2014;then +ďż˝â&#x192;&#x2014;+5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )â&#x192;&#x2014;x+y+cz=0 =+ 7 is ANSWER: 10.

The projection of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; on Z-axis is ANSWER: 0. ďż˝â&#x192;&#x2014; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

12.

If 13. đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; = 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; the area of the quadrilateral PQRS is ANSWER: 20. system of equations ax+y+z=0, has a non-trivial solution.

12.

The point of intersection of the lines r =( -i + 2j + ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; + s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) ANSWER: (1, 1, 2) 3 3perpendicular to ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; a-a matrix 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;15. + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;of and =3, 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;ďż˝â&#x192;&#x2014;from â&#x192;&#x2014;then + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; the +det 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;(kA) then aANSWER: unit vector đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;origin is+ ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;from đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;2) đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;1, distance to the đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;The 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;+) =3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;7+is5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+and s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;the 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;is ) ANSWER: (1, 19. ==then det(A) 19.IfIf Ifđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;AA=is order 3, ANSWER: k15. det(A) distance the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(k 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;=(+perpendicular 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?and ďż˝â&#x192;&#x2014;to đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022; plane â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 2 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 13.

Ifis đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; =matrix đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;The â&#x192;&#x2014; of + order 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?then = 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;det + origin đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +(kA) a unit vector â&#x192;&#x2014;+7and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;+ 5 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 0 +â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C;t(-2i + j +2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;kâ&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C;) and rďż˝â&#x192;&#x2014;to =( 2i +isâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; 3j 5k ANSWER: ) + s(i + 2j + 3k 15. plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + ďż˝â&#x192;&#x2014; 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) =đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ANSWER: (adj A) AA) =The ANSWER: ďż˝ the origin to the â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

18. 121.

If AIf 1A= = ďż˝23 141ďż˝ then then (adj A distance = ANSWER: 2 ďż˝ from đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022; then ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; -+v ďż˝â&#x192;&#x2014;(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 13.

If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; a unit ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 0 5 â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; Then20. + + = ANSWER: 1.

14.

The point of intersection of the lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 1 -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; vectors If2đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;adistance â&#x192;&#x2014; )5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +and and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?to5đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?=ďż˝â&#x192;&#x2014;the 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +ANSWER: đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then aďż˝â&#x192;&#x2014;+vector unit normal to the 2x -3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; y2) 2z= are The distance from plane 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;â&#x20AC;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;- +đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; +đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )to = +đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 7 is ANSWER: system of ax+y+z=0, x+by+z=0, x+y+cz=0 solution.

The of equations equations x+by+z=0, x+y+cz=0 has aplane non-trivial solution.

15.

The from the 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +Âą 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;unit = 7â&#x192;&#x2014;)is ANSWER: 1, ďż˝â&#x192;&#x2014;13. ďż˝â&#x192;&#x2014;(1, ďż˝â&#x192;&#x2014;15. ďż˝â&#x192;&#x2014;the 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

The point of intersection of lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; origin =( +to2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;the + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) +has t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;=non-trivial 5- 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; 0â&#x192;&#x2014;system If 14. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;20. = 22. đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;ďż˝The 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;11. =the 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;The +ax+y+z=0, đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;the + is2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then a1đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; unit vector perpendicular â&#x192;&#x2014;origin and isâ&#x192;&#x2014;plane ANSWER: đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 2 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; A) A = 13.

ANSWER: ďż˝+ â&#x2030; p(A) p(A, B) systemof ANSWER: 14.If The point of then intersection the lines Inconsistent. =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) + t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) and â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 0 5 11 ++ 11 ++ 11 == ANSWER: to theđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;plane 2â&#x192;&#x2014;r.( =( 13.

2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;point â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;The +23đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;distance 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) +from s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +the2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; the + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;lines ) ANSWER: (1, 14.đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; The of+ intersection oforigin =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; +1, 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;2) )+ Then ďż˝â&#x192;&#x2014;1.

312.

2â&#x192;&#x2014;ANSWER: đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;Then =( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? +â&#x2C6;&#x2019;1 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? )1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; + đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +=3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )â&#x192;&#x2014;1.ANSWER: (1,=1,đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;14.

2) ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E; �����â&#x192;&#x2014; �����â&#x192;&#x2014; The point of intersection of the lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;PQRS + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

If 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; , then the area of the quadrilateral ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) + s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) ANSWER: (1, 1, 2) 14.

The point of intersection of the lines đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; =( -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) + t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) and the system is ANSWER: 23. If the Inconsistent. matrix ďż˝ 1 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;3ďż˝ has an inverse then ANSWER: k â&#x2030; -4.

1 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; distance =( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;from â&#x192;&#x2014; + 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;the )đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;+ origin s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;to â&#x192;&#x2014; +the 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;)plane ANSWER: 2)ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;(1, â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;1, + 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 1 4the 5origin to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;15.

15. The distance from + 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;The ) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;=â&#x192;&#x2014; 7 ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;) + đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) ANSWER: (1 =( â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014; +is 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; +n-15đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝â&#x192;&#x2014;)is=2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 2 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; 15. from the origin to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;.( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 7 ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;)matrix ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; =( 24.

2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;+ +distance 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; + s(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) ANSWER: (1, 1, 2) If The I3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; isâ&#x192;&#x2014;the unit of order n, where k â&#x2030; 0 is a constant then adj(kI) = ANSWER: K (Adj I) 13. If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and 11đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; then a unit origin vector perpendicular 2tođ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;a 15. The distance from the â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C; +5 â&#x2C6;&#x2019;3ďż˝ has an inverse then ANSWER: k â&#x2030; -4. T 2 25. If A = [2 0 1] then rank of AA is ANSWER: 1.

2 ďż˝â&#x192;&#x2014;The distance from the đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022; origin to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C; 15.

5 15. The distance from the origin to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.( p(A) 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C;= number đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +of5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;the ) = lines 7 is ANSWER: The of intersection đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;then =( the -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +system 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) + t(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;)2 and 26. In the homogeneous14. system withpoint three unknowns, of unknowns, f order n, where k â&#x2030; 0 is a constant then adj(kI) = ANSWER: Kn-1(Adj I)

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40

41. The shortest distance of the point (2, 10, 1) from the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) = 2â&#x2C6;&#x161;26 ANSWER: 2. đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; 42. The projection of 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; on 4đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; is ANSWER: 40. The vector equation of a plane passing through a point â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?whose position vector is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; and

perpendicular to a verctor isďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; = q is connected 43. The angle between the line đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; +đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; tđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? and the đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.plane

7

shortest distance of theďż˝â&#x192;&#x2014; point (2, 10, 1) from the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;vector ) = 2â&#x2C6;&#x161;26 2.

2i â&#x20AC;&#x201C; j + 5k) =41.

7 isThe ANSWER: a point whose position is aANSWER: and perpendicular đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? .đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; by the ANSWER: sinof đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝ a=â&#x2C6;&#x161;30 đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; 40.relation The vector equation plane passing through a point whose position vector is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; and ďż˝â&#x192;&#x2014;on to a verctor n is ANSWER: r . n = a . n ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;|4đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ďż˝|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 42.

The projection of 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is ANSWER: 16. If a, b, c are three mutually perpendicular unit vectors â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ďż˝â&#x192;&#x2014;|= aâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;verctor đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; =shortest đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; distance of the point (2, 10, 1) from the then 39. đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.The lar unit vectors â&#x192;&#x2014;|= unit vectors then â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;|= ANSWER: â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 44.

Ifthen [|a|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+b+c +|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ,perpendicular đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ANSWER: +The đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,ANSWER: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;between ] to = 8, then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;,=is đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; ,ANSWER: ANSWER: 4.

43. angle the line +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] tđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; is and the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; = q is connected plane r (3i - j + 4k) = 2â&#x2C6;&#x161;26 ANSWER: 2.

17. The non parametric vector equation ofof a plane passing a plane passing through three points, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; the plane passing through points, The shortest distance the (2,vectors 10, from the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; -of đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +intersection 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) = 2â&#x2C6;&#x161;26ofANSWER: 2.

16.

If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;equation ,41. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; three are three mutually perpendicular unit then â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;|= the ANSWER: 45.The of the plane passing through point1)(2, 1,|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; -1) and line â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; by the relation ANSWER: sin đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝point =are ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;| through three points, whose position vectors a , 40.

The projection of 3i + j - k on 4i - j+ 2k is ďż˝đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ďż˝â&#x192;&#x2014; nit vectors then |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;|= ANSWER: â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; NSWER: [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;The đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;]â&#x192;&#x2014;,â&#x192;&#x2014;projection ] [r =0 ďż˝â&#x192;&#x2014; isANSWER: 17. non parametric plane passing through three ,the câ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;isđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019; ANSWER: -avector bďż˝â&#x192;&#x2014;-a -a 0đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;of ANSWER: WER: [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; â&#x192;&#x2014;,bThe â&#x192;&#x2014;, â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019; â&#x192;&#x2014;,đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;),-=đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;,2=0 42. â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+, ]]đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;= -8, on 4đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; + ANSWER: planes =â&#x192;&#x2014;,, cequation 0 â&#x192;&#x2014;then +a2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; + 9ypoints, + 11z = 0 44.

If=[+0 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; + â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;-, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?of đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +and =đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;]2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is is ANSWER: 4. x â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ane passing through three points, The vector equation of a plane passing through a point whose position vector is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; and 40. The vector equation of a plane passing through a point whose position vector 18.

The shortest distance of the point (2, 10, 1) from the ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 41.

If [ a + b, b + c , c + a ] = 8, then [a , b , c] is ANSWER: 4. ďż˝â&#x192;&#x2014;4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 10, from the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +equation )the = are 2â&#x2C6;&#x161;26 isđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?,ANSWER: 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; ifďż˝â&#x192;&#x2014; [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 45.The of the plane passing the and ofđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? intersection of đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; is ANSWER: â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019;xpoint đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;, â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, â&#x192;&#x2014;is â&#x2C6;&#x2019;ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;,= ]qthe =is0line whose position vectors 1) 1) from the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;The - â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;-+angle ) =between 2â&#x2C6;&#x161;26 isđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;,vectors ANSWER: 2through ďż˝â&#x192;&#x2014;| đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?=(2, 46.

The angle đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; and .1,đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?-1) 43. the + tđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; and the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; connected -â&#x192;&#x2014;, j +]between 2â&#x2C6;&#x161;26 istwo ANSWER: ER: [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019;perpendicular đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;plane â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;(3i â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 0) = đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; perpendicular to đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, a rverctor ďż˝â&#x192;&#x2014;=verctor is ANSWER: đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;= đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;line â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.2đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;= =đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;. to ađ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;4k đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; is ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 42. The angle between the two a and b if |a x b | = thethe planes đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;the + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;+- đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) =đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 0 and8 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + from 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;) = the 2=0 plane is ANSWER: + ďż˝â&#x192;&#x2014;11z 0vectors ďż˝â&#x192;&#x2014;(2, (- đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;-) đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;+) t(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; + 19. t(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +The â&#x192;&#x2014;7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +ďż˝â&#x192;&#x2014;7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) intersection and plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 18. shortest distance of đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;x- +đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;9y + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) = =2â&#x2C6;&#x161;26 is ANSWER: 2 â&#x192;&#x2014; +â&#x192;&#x2014;The 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; +point ) ďż˝â&#x192;&#x2014;of and the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +â&#x192;&#x2014;line đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;point â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;r-)=( =)i8=-10, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; of the kisđ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝ )is+1) t(3i ďż˝â&#x192;&#x2014; ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + .with b 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; isďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: Ď&#x20AC;/4 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - 6đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; 47.

The work done in moving a particle from the point A position vector â&#x192;&#x2014; + 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝â&#x192;&#x2014; by the relation ANSWER: sin = ďż˝â&#x192;&#x2014; ) from the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) = 2â&#x2C6;&#x161;26 is ANSWER: 2 The shortest distance of the point (2, 10, 1) from the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; ) = 2 ANSWER: 2. â&#x2C6;&#x161;26 ďż˝â&#x192;&#x2014;plane ďż˝â&#x192;&#x2014;| = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 41. The +shortest of the point 1) from the â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; -. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;) = 2â&#x2C6;&#x161;26 ANSWER: to2.the point B ďż˝â&#x192;&#x2014;| đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? angle the two đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;ďż˝đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;and if |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; is ANSWER: ďż˝|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2j + 7k) distance and46.theThe plane r (ibetween + j - k )(2, = 810, is vectors đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; 19. The point of intersection of the ďż˝â&#x192;&#x2014;line đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; =( đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; -đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;) + t(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; +The 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;)done and in the plane â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; -from đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) =the 8 is 43. work moving ađ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; particle point A đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; by8ďż˝â&#x192;&#x2014;aaisparticle force from đ??šđ??šđ??šđ??š = ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;the + point 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; is ANSWER: 28.2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - 6đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; to the point B with vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; --moving 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝â&#x192;&#x2014;)â&#x192;&#x2014; +position ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;in đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;lly) perpendicular +projection t(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;The + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; +of 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and the plane â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +-4đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; unit vectors |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;ANSWER: (-8, -6, The 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; then -of đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;[3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; on â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; The done A with position vector 42. projection +đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?ďż˝â&#x192;&#x2014;4đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;-22) â&#x192;&#x2014;work on â&#x192;&#x2014;ANSWER: ANSWER: 44.

If47. â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;|= ,--đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;ANSWER: ++ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; is +- â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; â&#x192;&#x2014;)+]= =2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 8,isthen [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 4. with position vector 2i 6j + 7k to the point B with đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? a = unit vector if ANSWER: (-8, -6, -22) athrough =ďż˝â&#x192;&#x2014; |đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;||đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;|three points, nitequation vectorofifaANSWER: or plane passing position j -and 5k the by through aline force F the = i +point 3j - kđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;is+ofđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; is pendicular unit vectors then |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;|= ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;vector 20.

If aIf isthe a45.The non-zero vector andâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; m isplane aâ&#x192;&#x2014;a- unit if đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +đ??šđ??šđ??šđ??šâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;=ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; the 48. magnitude of moment about the of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + 1, ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;3i â&#x192;&#x2014;-1) -- đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;28. acting bypoint a force + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;a â&#x192;&#x2014; point -force đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; is vector ANSWER: with position vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; -passing 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; the (2, of intersection đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?vectors ďż˝â&#x192;&#x2014; and The angle between the line đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;equation â&#x192;&#x2014;the = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;vector + tđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;ofand the ďż˝â&#x192;&#x2014; plane = through q ismutually connected 43.

The angle between line = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; + tđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; if= ANSWER: qperpendicular is connected đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?the are three unit then |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;|= ANSWER: â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 16.

ANSWER: ANSWER: a28. = |đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;| 20.passing If when đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; is a ANSWER: and m isIfplane đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;, is aâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; unit vector ation three is ANSWER: [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;through â&#x192;&#x2014;ANSWER: â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;non-zero â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; points, â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;,a=4, ] b=4, = 0b=4, re đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;erpendicular â&#x192;&#x2014;, of đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, ađ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; plane re c=5. erpendicular when a=4, c=5. ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 48.

If the of magnitude of moment the pointďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; of a force đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; acting through the point đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; is value a.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; is 2.about =the vector if ANSWER: â&#x2C6;&#x161;8 thea the non parametric equation a plane of passing three planes +ANSWER: 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;ck â&#x192;&#x2014; 17.

-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014; The ) perpendicular =0 and đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + vector 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) =If 2=0 isofANSWER: x +through 9y about + 11z =points, 0 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 44. the magnitude moment the point j + k of a 21.

The vectors 2i+ +â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;bj , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;the is ANSWER: [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;ANSWER: â&#x2C6;&#x2019;relation đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; the â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;,plane đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?|đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;| â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;3j+ â&#x192;&#x2014;,đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ]đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝=4k đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;he point (2, 10, 1) from â&#x192;&#x2014;=0- đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;,ai +sin 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝=+= 2â&#x2C6;&#x161;26are is ANSWER: 2 by relation sin by the ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; the the value of a is ANSWER: 2. , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 4. â&#x2C6;&#x161;8 21.

The vectors 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; +a=4, 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ďż˝đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?+b=4, 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +passing cđ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; are erpendicular when ANSWER: a=4, b=4, c=5. ďż˝â&#x192;&#x2014;| , đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +ďż˝đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;bđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ďż˝|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 4. ANSWER: ďż˝|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;|whose force i + aj k acting through the point i + j is ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

49.

The vector equation of a plane through the line of intersection the planes đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; when c=5. , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; is ANSWER: [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;, ] = position vectors are đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

10= q1 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; pendicular when ANSWER: a=4, b=4, c=5.

46.

The angle between the two vectors đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? if |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? | = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; nt the (2, line 10, đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;1) plane â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; -The đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;)+and 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )the = 2â&#x2C6;&#x161;26 isđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ANSWER: of â&#x192;&#x2014; =(from đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;the ) + t(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; +â&#x192;&#x2014; 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; plane â&#x192;&#x2014; +ofđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;a- plane đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;) =2 8 passing is 49. vector equation through the line of intersection the planes đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;1 = q1 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;8 the the value of a is ANSWER: 2. ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; 44. ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? on đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;[â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;are then angle between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? isđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;2 of fof[ of +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?on đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?are +â&#x192;&#x2014;b, =2ďż˝â&#x192;&#x2014;cđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?=,8, â&#x192;&#x2014;8,between ,] then đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?=[a ,8,đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?,â&#x192;&#x2014;]bthen is ANSWER: ađ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?[â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;equal, +,đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; b+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?]+ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?,â&#x192;&#x2014;, c+q++then 8, ,18. isThe ANSWER: 4.â&#x192;&#x2014;.ANSWER: 22.

If+[and +â&#x192;&#x2014;then đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?the â&#x192;&#x2014;,a] đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;=] ANSWER: + ,qđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?1and â&#x192;&#x2014;]ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;4. is 4. (2, 10, 1) from the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) = 2â&#x2C6;&#x161;26 is ANSWER: 2 distance the point â&#x192;&#x2014;Ifđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;the đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;is â&#x192;&#x2014;angle =[đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;c] ,â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?shortest â&#x192;&#x2014;] is đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; on đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;,â&#x192;&#x2014;If22. equal, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;,â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;[đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ),đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ANSWER: (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; - q4.

2 the 1 -is 2) = 0 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; =( đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) + 4. t(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.+ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ) and đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; -(đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;.) =đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 8 ďż˝â&#x192;&#x2014; to the point B islineANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;1 - q1) +from đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;the ) = 0 A with position vector 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - 6đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; and đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.plane đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;done 2 = q2 isinANSWER: 2 - q2 47.7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;The work moving a(đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.bparticle point 45.

If a+b +đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;of c=( =0 |b|=4 |c|=5 the 23.

If the projection of a on b and projection of on a are đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

19.

The point of intersection of the line đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - line đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;,the )|a|=3; + t(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;of â&#x192;&#x2014;between + and 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) and the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;angle +ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;is - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) = 8 is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?then he equation ofIfthe plane passing through the point the (2, of 1, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;-1) and the line intersection ďż˝â&#x192;&#x2014; and equation the passing through point (2, -1) and the of the projection of on|đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? and projection on đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; 1, are equal, then angle đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ďż˝â&#x192;&#x2014;of ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;,|=4 ďż˝â&#x192;&#x2014;isâ&#x192;&#x2014;intersection đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? of ďż˝â&#x192;&#x2014;Ifplane ANSWER: aâ&#x192;&#x2014;|=3; =ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;|đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;| and m45.The is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; is 23. a50. unit vector ifđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;=0 , |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; and |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;|=5 then the angle between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝ between a and b is ANSWER: 50. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;=0 |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;|=3; |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? |=4 and |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;|=5 then the angle between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;(-8, equal,then then the angle between a +b and a -b is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; on đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; are equal, the angle between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

-6, -22) by a force đ??šđ??šđ??šđ??š = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is ANSWER: 28. with position vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? aâ&#x192;&#x2014;and =ANSWER: isâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+planes vector if3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;)đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;is) ANSWER: 3 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 13ďż˝â&#x192;&#x2014;b=4, he đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;are â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;erpendicular â&#x192;&#x2014; -đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;4 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;are )â&#x192;&#x2014; +when = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; 0 â&#x192;&#x2014;+ )1=, â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;2ďż˝ 2=0 x 46. + 9yIf +a x11z 0++11z the â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; - đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; =ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x2C6;&#x2019; 0 and + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; =x2.

2=0 is =ANSWER: x (b + 9y =0 ďż˝â&#x192;&#x2014;+ANSWER: bđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;-â&#x192;&#x2014;aâ&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;unit a=4, c=5. ďż˝â&#x192;&#x2014; planes x= c) (c (b đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śxâ&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? are a)đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014;=parallel x x yparallel then + â&#x192;&#x2014;is(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; -cđ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +51.

4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )| ďż˝â&#x192;&#x2014;,đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ďż˝0 ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;x x(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ďż˝â&#x192;&#x2014;and +đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )| =4 2. ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; or ďż˝+â&#x192;&#x2014; cor â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? xâ&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;) (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? +x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?aâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;= xđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;)xvector x đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014;and then 0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; xand đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?ANSWER: If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;= are x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x51. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;)If+|đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;| (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x2 ,+đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;2â&#x192;&#x2014;) + 20. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; xxand â&#x192;&#x2014;) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; then ANSWER: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; vector =b= x orifđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śxâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x192;&#x2014;=a=0ďż˝â&#x192;&#x2014;) or 0 are 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?, â&#x2C6;&#x2019;2ďż˝ 2x ađ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; =and If (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; is non-zero m ANSWER: is ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; is a unit |đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;|ythrough 48.

If the magnitude of moment about the point đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; of a force đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +yANSWER: đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;1xacting the point đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER: x = 0 or =ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;0-3or and are parallel đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;8,+ then cđ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;angle are when ANSWER: a=4, b=4, c=5.đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ďż˝â&#x192;&#x2014; ifđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;|2r ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;|-if=j +|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;is|ďż˝â&#x192;&#x2014;=ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;erpendicular ,24. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?between , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 4. radius ďż˝â&#x192;&#x2014; The the two vectors đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

The centre and of the sphere + (3i 4k)| ďż˝â&#x192;&#x2014; 46.

The angle between the two vectors â&#x192;&#x2014; and â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;)| = 4 đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;are â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ -ďż˝â&#x192;&#x2014;is đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +-5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; isďż˝â&#x192;&#x2014;4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ANSWER: -đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ANSWER: 52.

The projection of +đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;.

2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;.- + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;|2đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; ďż˝â&#x192;&#x2014;24.

The centre and radius of â&#x192;&#x2014;��â&#x192;&#x2014;. +is đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+ +4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝â&#x2C6;&#x2019; ,ANSWER: , â&#x2C6;&#x2019;2ďż˝ and 2. + +đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; ďż˝0â&#x192;&#x2014;= .0 . |đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ Ifďż˝â&#x192;&#x2014;|=3, |đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;|=3, |đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;|=4, |đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;|=5 ďż˝â&#x192;&#x2014;. +on đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; +on ďż˝â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; ��â&#x192;&#x2014;+ ďż˝â&#x192;&#x2014;=đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ If52. |đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014;|=4, |đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;|=5 then ďż˝â&#x192;&#x2014;.the â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; +đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;sphere ��â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;+2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 1đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 21.

The vectors â&#x192;&#x2014; +â&#x192;&#x2014;is 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ANSWER: , đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;The + bđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;projection +-cđ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; are erpendicular when a=4, b=4, c=5.

2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; The projection of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +3then -đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 2 2i 2 - j + 5k is 47. of iđ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;+ 2j - 2k on ANSWER: = and 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;and â&#x192;&#x2014;[đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;- , đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;projection 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;is)| 4 aređ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;ANSWER: ANSWER: ďż˝â&#x2C6;&#x2019; ,2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;, â&#x2C6;&#x2019;2ďż˝ 2.â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;-and the the of aand is ANSWER: â&#x2C6;&#x161;8 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? +, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] ANSWER: 4.are â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;n of 4 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; are on equal, then thevalue angle between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;2. â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; is2.

2 2 10 ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 53.The vector (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?the ) x22. (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; Ifx [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)â&#x192;&#x2014; the is ANSWER: perpendicular to the line of intersection of the The work done in moving a particle from point A with position vector 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 6đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; to the point B ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 47. The work done in moving a particle from point A with position vector 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 6đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; to the point ďż˝ â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; ] = 8, then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 4. đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;the beďż˝â&#x192;&#x2014;angle vectors such that ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ��â&#x192;&#x2014;|u= 0 . If |đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;|=3, |đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;|=4, |đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;|=5 then đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;.Bđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; is 25.

Let u,đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ďż˝â&#x192;&#x2014;,vequal, and w be vectors such u+ va+plane wďż˝â&#x192;&#x2014;+=isđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł0â&#x192;&#x2014; passing .+perpendicular Ifđ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: â&#x192;&#x2014;) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;is projection of25. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;53.The onLet đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; are then between â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ â&#x2C6;&#x161;30 vector (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; vector x then đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) x equation (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łxâ&#x192;&#x2014; +đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;that tothe theline lineofofintersection intersectionthe of planes the đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;1 = q1 49.

The of through đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; = ďż˝0â&#x192;&#x2014; . If |đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;|=3, |đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014;|=4, |đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;|=5 đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; is ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 48.

The vector (a xb) x (cx d) is ANSWER: perpendicular plane containing đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? and the plane containing đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; |=3, |v |=4, |w |=5 then u. v + v. w + w . u is ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 23.

If the projection of đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; on đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? and projection of đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? on đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; are equal, then the angle between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; is â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; by a force đ??šđ??šđ??šđ??š = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is ANSWER: 28. with position vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝â&#x192;&#x2014; eir magnitudes are 2 and then đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ANSWER: -â&#x2C6;&#x161;3 â&#x2C6;&#x161;3 3 1 ANSWER: -25 by ,a , force đ??šđ??šđ??šđ??š 2.= đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is ANSWER: 28. with position 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;ANSWER: -đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?- is 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ANSWER: magnitudes -â&#x2C6;&#x161;3 ďż˝â&#x192;&#x2014;vector the sphere |2đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; + are (3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; -2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +and 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )|â&#x2C6;&#x161;3 = 4then are ďż˝â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2ďż˝ and ďż˝â&#x192;&#x2014; ANSWER: â&#x192;&#x2014; q2 isđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? containing q ) + đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; q ) = 0 and đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;= and to the line of intersection of the plane containing a 11 2 2 plane containing and the plane đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 2 and [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;] = [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;] then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 2.

54.

If đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§+3 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; are3 non-coplanar ANSWER: -25đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§+3 ANSWER: 6 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+4đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+4đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+1đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+2 1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+1 o ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ďż˝â&#x192;&#x2014; b+2and plane containing ďż˝â&#x192;&#x2014;are the magnitude moment the +ďż˝â&#x192;&#x2014;and of â&#x192;&#x2014; -and đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;acting through đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +c and đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;point is d -â&#x2C6;&#x161;3 = |2đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; is ANSWER: -4) â&#x192;&#x2014; +=If (3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;and -đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;and +magnitude =. If4=đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

ANSWER: ďż˝â&#x2C6;&#x2019; , point , â&#x2C6;&#x2019;2ďż˝ and 26. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;of and include angle 120 are thenthe đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;point isďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: 48. of=|đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łabout moment about the point +ismagnitudes đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ofđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +a ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; force ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;and â&#x192;&#x2014; -the đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x161;3 acting through the đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; is ďż˝â&#x192;&#x2014;= =6sfhere is+an ANSWER: 0, -4) such that đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;8 +the +If đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; =ďż˝â&#x192;&#x2014;)| 0 |đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;|=3, â&#x192;&#x2014;|=4, |đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;|=5 ďż˝â&#x192;&#x2014;.(0, đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +(0, đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł2. â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;0, +their đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;.ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;force 2, then 2 â&#x192;&#x2014;|=3; o đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝ â&#x192;&#x2014; 4= 250.

4=đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019;2 3 1 If â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;=0 |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? |=4 |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? the angle đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;)|and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?are isâ&#x192;&#x2014;,ANSWER: ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;|2đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;between ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] isďż˝â&#x2C6;&#x2019; ďż˝â&#x192;&#x2014; 4 â&#x2C6;&#x2019;8 2 4 â&#x2C6;&#x2019;2 ďż˝â&#x192;&#x2014; 26.

If a and b include an angle 120 and their magnitudes COMPLEX NUMBERS đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; are non-coplanar and [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;-â&#x2C6;&#x161;3 â&#x192;&#x2014; xcentre đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;and , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;and x3.â&#x192;&#x2014;|=5 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,radius đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; then x 49. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;]the =If [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;] then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

ANSWER: â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?,â&#x2C6;&#x161;3 magnitudes 54. are If 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;and then đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ANSWER: 24. The of sphere + (3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; = 4 a, b , c are non-coplanar and [a x b , b x c,2cđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?, 2x, â&#x2C6;&#x2019;2ďż˝ a =and2.2. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;6 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+4 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§+3 ďż˝ â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;5 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;3 that đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; = 0 .

If |đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;|=3, |đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014;|=4, |đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;|=5 then đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; is đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;5 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ of â&#x2C6;&#x2019;3 the 8 the the value of a is ANSWER: 2. are 2 and â&#x2C6;&#x161;3 then a , b is ANSWER: -â&#x2C6;&#x161;3 the the value of a is ANSWER: 2. = = and = = is ANSWER: (0, 0, -4) 27.

The point of intersection lines â&#x2C6;&#x161;8 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? allel lines = = and = = ANSWER: 3.

25 3 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§+3 el+4lines = = and = = ANSWER: 3. [a + b, b + c, c + a] then [a, b, c] is ANSWER: 2. â&#x2C6;&#x2019;6 4 â&#x2C6;&#x2019;8 2 4 â&#x2C6;&#x2019;2 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝ ďż˝ â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 1.

The polar form of the complex number (i ) is ANSWER: Cos i sin ďż˝ â&#x192;&#x2014; 4 2 2= â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;3=If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 4ANSWER: đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; be vectors đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; = 0đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?. Ifđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014;|đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;|=3, |đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;|=4, ��â&#x192;&#x2014;|=5 đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014;+ đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014; +parallel đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ ��â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; is 25. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;,3.

51. â&#x192;&#x2014;2 4xand x2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;)2 +đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;.â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;xâ&#x2C6;&#x2019;3 (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; 0, xLet đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) +đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;-â&#x2C6;&#x161;3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;and x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; such x đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014; that thenđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ďż˝â&#x192;&#x2014; +ANSWER: = 0 or đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014; =|đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;¤ 0 or then đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; and are COMPLEX NUMBERS = o and4and is(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

(0, -4) theirThe magnitudes is ANSWER: â&#x2C6;&#x161;3 then 4e 120 â&#x2C6;&#x2019;8 27.

2 point 4 â&#x2C6;&#x2019;2 intersection of the lines đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3of đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 The vector equation ofof aare plane through the line-25 ofthe intersection theđ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;5 planes đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. planes đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;1 =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 q1NUMBERS 49.

The vector equation ofpassing a plane passing through line intersection the đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;=â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;3 q1 1 = ANSWER: 3.

COMPLEX ďż˝â&#x192;&#x2014; ANSWER: 22a 23the 24 25 is if 28.

The shortest distance between parallel lines = = and = 3. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014; the angle between them, then (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ) is unit vector đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;6 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+4 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§+3 2.

The value of i + i + i + i + i ANSWER: i. oe angle between them, then (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ) is a unit vector if đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;5 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 ďż˝â&#x192;&#x2014; is2ANSWER: 252đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; 3 - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +45đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

4 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 2 â&#x2C6;&#x2019;3 and are 2 and isâ&#x2C6;&#x2019;3 ANSWER: â&#x2C6;&#x161;3=projection and =đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;.=đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§complex (0, 0,ďż˝â&#x192;&#x2014; -4) of thetheir linesmagnitudes on 52.

The ofANSWER: đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;-â&#x2C6;&#x161;3 - 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; (0, 0, ines =â&#x2C6;&#x2019;6q1.=isThe = = polar and =then ANSWER: form of (i0 )-4) is ANSWER: Cos - i- sin 2 (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 4ďż˝â&#x192;&#x2014; the â&#x2C6;&#x2019;2 ) + đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;2đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 4 o đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;number q )3. and đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;64đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;2 =and 2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;3 4 â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§+3 2 - q1(đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? magnitudes =â&#x2C6;&#x2019;8qđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+1 ANSWER: â&#x192;&#x2014;.root đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;1 (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; -ofâ&#x192;&#x2014;. qunity )If2 +-đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; then đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;and â&#x192;&#x2014;.=đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;the đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;include - q2)anof=angle 0 - đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;120 â&#x192;&#x2014;.4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;ANSWER: 1 2(đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 2 4 their 2 2 is 3.

1 2 value 26. and are 2 and â&#x2C6;&#x161;3-16. then đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; is ANSWER: -â&#x2C6;&#x161;3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+4 2 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+2 ) + (1 + đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; ) is ANSWER: If đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; is a cube (1 + đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;5 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;3 ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; = = and = = is ANSWER: (0, 0, -4) lines 1.

The polar form of the complex 29.The Iflines đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;shortest and2= đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? are two vector and đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝ is the then (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) is a unitnumber vector if(i25)3 is ween â&#x2C6;&#x2019;6 the parallel = units = parallel ANSWER: 3. angle between them, 4 â&#x2C6;&#x2019;8 4= â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019;2and 28. between the lines ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;6 to đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+4the đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;4line of đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+1intersection đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§+3 453.The 2 distance 4is 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ďż˝â&#x192;&#x2014; 22 23 24 25 vector (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x ) x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ) is ANSWER: perpendicular of the angle between them, then (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ) a unit vector if ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; The value + + i(8and + i -+â&#x192;&#x2014;|=5 i -The isangle i. between =ďż˝â&#x192;&#x2014; is are = ANSWER: = is ANSWER: (0, 0, -4) 27. point of angle intersection the lines ďż˝â&#x192;&#x2014;ib ďż˝|đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;,đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;5 f đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; +50. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + Ifđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;=0 |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; |=4 |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;|=5 the between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;ofand đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? bis ANSWER: -and i sin2 =15, 4.

Ifiand ađ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? +i|đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 -then (2i 7)ANSWER: then the values aofand -8. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;2. â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;,+đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;|=3; + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;=0 |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;of â&#x192;&#x2014;|=3; |=4 then the đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;respectively â&#x192;&#x2014; ANSWER: and đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ 6i) â&#x2C6;&#x2019;3 |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019;6 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?Cos 4 ANSWER: â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;8 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 4 the parallel =through = a point =whose =â&#x192;&#x2014;position 3. isifđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; lines and đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝ is thethrough them, then +â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;position )ANSWER: is a unit vector aunits plane passing point vector is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; and ANSWER: đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝and = 4whose plane passing vector â&#x192;&#x2014; and 4angle 2between â&#x2C6;&#x2019;3 a 2 (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019;3 22 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3 234 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;124 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;525 ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 2 4 2 đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; plane containing đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? and the plane containing đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; The value i lines + i-then +ďż˝4â&#x192;&#x2014; iđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + ilocus isp ANSWER: 28. The shortest distance between the = + iofand = = i. ANSWER: 3.

5. If root p represents thethen variable complex number zđ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;and if |2z -parallel 1| =+2|z| is -16. đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; )â&#x192;&#x2014;=the is ANSWER: 3. Ifđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;x is cube unity the value of (1 -đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014;2. ďż˝â&#x192;&#x2014;of ďż˝0â&#x192;&#x2014;0 2 â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019;3 ďż˝â&#x192;&#x2014;of fand đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝x51. (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; 0 xIf đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?angle â&#x192;&#x2014;) â&#x192;&#x2014; ax+them, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;xx(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014; xxvector đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) then = +ďż˝0â&#x192;&#x2014;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;or)đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014;+==(1 or are parallel đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; +xANSWER: (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; 3. x+then (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?isâ&#x192;&#x2014; ax=unit (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? =if đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; ANSWER: x đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014; then ANSWER: orđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014; and =0 or đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; and â&#x192;&#x2014; are4 parallel between â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) + xđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;+)đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł] đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł] = is0=the 30. The non parametric vector a plane passing through a point whose position vector is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; and đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? equation of ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 3.

If Ď&#x2030; is a cube root of unity then the value ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014; 29.

If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? are two vector units and đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝ is the angle between them, then (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ) is a unit vector if ANSWER: x non-coplanar =- 7) then and [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; xof , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?and x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,bđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;respectively x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;] = [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ANSWER: + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;] 15, then-8. [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] isofANSWER: 2.

54.

If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?, ađ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;point đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?a Ifaaand +b ib =point (8 -vector 6i) -are (2i the are ane passing whose đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; isand đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; ďż˝â&#x192;&#x2014; 29.

If are two and θposition is angle or equation of 4. athrough plane through vector đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;-and ďż˝â&#x192;&#x2014;isvalues ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;whose on â&#x192;&#x2014;units -position +on 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; isvector ANSWER: The projection of đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;passing +đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;a 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;-of 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; -â&#x192;&#x2014;the đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+[đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; +â&#x192;&#x2014;4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ANSWER: - (1 - Ď&#x2030; + Ď&#x2030; 2)4 + (1 + Ď&#x2030;- Ď&#x2030; 2)4 is ANSWER: -16.

The projection đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;and +side 2đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;-vector 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ďż˝â&#x192;&#x2014;isbetween ďż˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? and a side vector đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is iagonal vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł is ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł] = 0 parallel to đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; and a đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; is onal52. vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER:= đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝ = them, then (a + b) is a unit vector if th ANSWER: đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;3. argument of ncomplex roots by1| ANSWER: SWER: - đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, 5. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;,passing đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł] ] = 0of [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;aâ&#x192;&#x2014; plane ation through6.aThe point whose position vectorofis anumber đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; complex and COMPLEX NUMBERS If =p0represents the variable znumber and ifdiffer |2z =(82|z| then locus p is of a and b đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?

4.

If a +- ib = - 6i) -the (2i -the 7) theofvalues ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;parallelogram â&#x192;&#x2014;) ishaving he vector (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; vector xThe đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;)area xarea (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;ofxaof ANSWER: perpendicular to thevector line intersection of 53.The (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; )đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;aâ&#x192;&#x2014; xis â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ANSWER: perpendicular toofthe of intersection ofthen the 30.

The a non parametric vector equation plane through 30. a- diagonal vector a passing side vector đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; a- point 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + whose 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; is position vector is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; and 31. parallelogram having 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; +line đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;- of đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; aand ďż˝â&#x192;&#x2014;diagonal ďż˝â&#x192;&#x2014;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?and đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; having - đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł] = 0The a side vector đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is am a diagonal vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?15, -8. are ANSWER: 25 3 respectively 7.

Ifpolar zđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?1vector =vector 4form + 5ii -and z24k +ďż˝â&#x192;&#x2014; 2i is ANSWER: - i and axside side đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;3j - +3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;=+-3 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is thennumber nal vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; 3i +ANSWER: đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+-j-đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;k1. andThe a is of the complex ) is Cos i sin đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? and đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; is(iANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; = [đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł] = 0 parallel to đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; 3â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? tually perpendicular of magnitude ciscontaining then theđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; plane containing đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;vectors and the đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;the and ANSWER: ally of a, b, c4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;then and amagnitude side vector đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;containing - 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;a, â&#x192;&#x2014;plane + b, ving aperpendicular diagonal vector â&#x192;&#x2014;and +vectors đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? plane containing đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;plane and the 5. The argument of nth roots of a complex number differ ANSWER: 3â&#x2C6;&#x161;30 8. The value of â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Ě&#x2026; is ANSWER: |z| 31.

The area of a parallelogram having a diagonal vector 3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; and a side vector đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 4đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; is 22 23 24 25 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? th 2. The value + iaa,ďż˝â&#x192;&#x2014;complex + ďż˝â&#x192;&#x2014;ic then + i the is ANSWER: i.by ANSWER: perpendicular of magnitude ďż˝â&#x192;&#x2014;i ,+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;i [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝â&#x192;&#x2014;,perpendicular ďż˝â&#x192;&#x2014; [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 6.non-coplanar argument of nâ&#x192;&#x2014; of roots number ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;]a,isb,ANSWER: 32.

If, a, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;,, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?câ&#x192;&#x2014;non-coplanar are aavectors right of vectors of c2.then the2. , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?of â&#x192;&#x2014; are and [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; xhanded đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? xof đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?triad â&#x192;&#x2014;,triad đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?,xb,đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;of â&#x192;&#x2014;]xmutually =đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?mutually [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? +differ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;,+ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;by +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;]+ANSWER: then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;then ,đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?magnitude đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] is[đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;,ANSWER: fedđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;,triad đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;54. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;,are and â&#x192;&#x2014; x â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; x = â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; + â&#x192;&#x2014;] đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

Ifmutually đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;The 31.

If b are right handed 9. Ifmagnitude a = 3 + i anda,z b, = 2c- then 3iANSWER: then the points 3â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; on the Argand diagram representing az, 3az and -az are yd of perpendicular vectorsvectors of the 4 2 4 |Z| mutually perpendicular ofa magnitude a, b, cunity then the 6.of The value of2)â&#x2C6;&#x161;zz is ANSWER: ER: abc. + (1 + đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; ) is ANSWER: -16.

3.

If đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; is cube root of then the value (1 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; + đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; perpendicular vectors of magnitude a, b, c then the 4 xoy plane. đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; ďż˝â&#x192;&#x2014; y plane. 7. Ifvalue đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] isz ANSWER: abc. of +[đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;5iđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?and 3. COMPLEX 3.

NUMBERS IfCOMPLEX đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;,NUMBERS đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; are a right handed triad z1 = 4 then is ANSWER: - iof mutually perpendicular vectors of magnitude a, b, c then the 2 = -3 + 2i 32. of ANSWER: xoy plane. bc. đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;If ađ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 7. = 3 + i and z = 2 3i then the points on the Argand value of [a b c] is ANSWER: abc.

4.

Ifâ&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; isa ++4đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ibâ&#x192;&#x2014;+12đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; = ďż˝â&#x192;&#x2014;(8 6i) (2i -value 7) then values of đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?a and b respectively are ANSWER: 15, -8. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? he origin to the đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;tđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;the =ďż˝â&#x192;&#x2014; 26 is ANSWER: 2.đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;]plane.

33. đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; plane = sđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +complex equation of xoy đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? is ANSWER: abc. of [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 25 origin toform the plane +4đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014;+12đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) ďż˝â&#x192;&#x2014;=-)26 is- 3ANSWER: 2.â&#x192;&#x2014;2.đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;the diagram representing az, 3az and -az are SWER: xoy plane. he polar of number (iCollinear Cos - i sin dicular thepolar plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; +4đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+12đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) =)26isisANSWER: ANSWER: 1.from The form complex number (i25xoy )3 isplane.

ANSWER: Cos - i sin ANSWER: plane.

32. = sithe +to tjthe is of the equation of ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

8.rorigin The value ofthe đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Ě&#x2026; is ANSWER: |z| â&#x2C6;&#x161; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

33.â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; =đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;sđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;complex + tđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; is the equation ofzANSWER: xoy -plane.

5. Ifofpof represents the variable number and ifâ&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; |2z 1| = 2|z| then the locus of p is ude đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; magnitude then the magnitude of đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;â&#x192;&#x2014;ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;)ANSWER: ďż˝â&#x192;&#x2014;) =(n, ANSWER: eors đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; of then the magnitude đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

-đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+12đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;ifâ&#x192;&#x2014;-of ANSWER: đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;from 34. length the perpendicular the to origin to the â&#x192;&#x2014;i(3n +4đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; 26 thenplane the magnitude đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;â&#x192;&#x2014;26 ANSWER: đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; 2.complex â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;the from the origin tođ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;The the đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+4đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; (m --=5) + is i(nANSWER: +â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; is conjugate ofplane (2m + đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 3) +Collinear -â&#x192;&#x2014;+12đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 2) then m) is areANSWER: 2.

33. length of perpendicular thepoints origin the 22the 23ďż˝â&#x192;&#x2014; 24 + i25 is from he value of ivalue +The i22a+ i23 +++4đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ii24 +10. i25 is ANSWER: i.4) 2.

The of i + i ANSWER: i. igin to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014;+12đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) = 26 is ANSWER: 2.

9.

If = 3 and z = 2 3i then the on the Argand diagram representing az, 3az andďż˝â&#x192;&#x2014; -az are 2 2 2 2 2 34.

The length of the perpendicular from the origin to the plane đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x192;&#x2014;.(3đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; +4đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;+12đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; is ANSWER: 2. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? given ++yplane + 8y -r-6x +ANSWER: 10z +0 0 the +2 y+sphere 6x +the 10z 1 are given by đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;x-35. then đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;=-are đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;â&#x192;&#x2014;1 đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;by â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 8. The equation 4 - 3i andâ&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 4 +đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; 3i )as= 26 roots is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? of +4j )ANSWER: =x=given 26 isďż˝â&#x2C6;&#x2019;ANSWER: 2. đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; then the ymagnitude z+2 z- 6x 8y -magnitude 10z +8y 1đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?+â&#x192;&#x2014;-of =++12k 0 by = are If đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?zâ&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;â&#x192;&#x2014;.(3i and vectors magnitude magnitude of having đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;â&#x192;&#x2014; ANSWER: ANSWER: , â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?ďż˝ 2 4 2 4 4 đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; 2 4 2 4 2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

35. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, of đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;â&#x192;&#x2014;+ and aređ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; of )magnitude đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;) then the magnitude of đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;â&#x192;&#x2014; ANSWER: â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; 2 a cube )đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;- +đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; +đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;â&#x192;&#x2014; (1 +vectors đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; + - ANSWER: đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; is ANSWER: -16. đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; is x3. a2 the root of unity then the value of (1 -If đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; then of đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E; â&#x192;&#x2014; ANSWER: đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; x 8x + 25 = 0 ) (1 + đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; is ANSWER: -16.

Ify234. đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;+magnitude root of unity then the value (1 + +cube zis 6x + 8y 10z + 1 = 0 are given by here 2 the 2 p, q centre and p +and q areradius vectors magnitude then + yand 6x + 8y - 10z +x221+- 8x =2 0+6x are given by 36.IfThe ofof the xÎť2and 11. The equation having 4 - centre 4 ++radius 3iz as- roots ANSWER: 25 =8y 0đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? th sphere - 10z + 1 = 0 are given by 36. of theissphere x2 +by 2 io z -io argument ofbynthe roots of3ibof a respectively complex number differ magnitude of pthen - with qare-ANSWER: â&#x2C6;&#x161;3 ÎťThe sphere -6i) (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; -(8 đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - 6.

6đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )The == co-ordinate ofof Avalues 9.

The value ofyANSWER: eANSWER: - e- -8. is +ANSWER: 2i sinθ - =6x -=â&#x192;&#x2014;10z +ďż˝â&#x192;&#x2014;-6i) 17) 0(2i given â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? a+f the +z ib4.

-â&#x192;&#x2014;8y (2i the values a and are ANSWER: 15, If(8 a+ďż˝â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;+ ib 7) then a and b respectively are 15, đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;? -8. ďż˝â&#x192;&#x2014; io -io đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; - â&#x192;&#x2014;(2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 6đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) = with co-ordinate of A â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER: (3, -4, 5), 7 12. The value is ANSWER: (3, 2i -4,sin 5),đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;7 - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; -is6đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ) = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? with co-ordinate ofofAe - e 2ANSWER: ANSWER: 0, and -10) nate of đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;B 35. of the x + y2 + z2 - 6x sphere â&#x192;&#x2014; - (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; - The đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - 6đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;centre ) (1, = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? with radius co-ordinate of sphere A 10.

The modulus đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? + â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;and amplitude of the complex number p represents the-10) variable complex znumber and if |2z - a1| 2|z| then the locus ofđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;p-locus is of pwith 5. (1, If p(1, represents variable complex z and if=is|2z -ofďż˝â&#x192;&#x2014;1| = sphere is 7.

If =z10 = 4 given + 5inumber and -3 + 2i then ANSWER: i the đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

2 =37.

- ithen pi/4 i2|z| pi/4 NSWER: 0, Chord AB, đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;-â&#x192;&#x2014; respectively -]đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; -respectively 6đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) =ANSWER: â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

8y -0,2.

10z + 1the byofzthe WER: 0, -10) đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;diameter are e9 - of A The modulus and amplitude number [e]3đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; [e=3 -â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? are 37.

Chord AB, is 13. aare diameter sphere đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;of â&#x192;&#x2014; is-the (2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - 6đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; )the with co-ordinate ofANSWER: A co-ordinate đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?complex (1, -10) f đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;B +isđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;ANSWER: ] is ANSWER: đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; ďż˝â&#x192;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; - 6đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;) =ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? with đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?co-ordinate of A as (3, 2, -2). The co-ordinate of B is ANSWER: (1, 0, -10) p/q p/q (3, -4, 5), 7 NSWER: x = ďż˝â&#x192;&#x2014; 11.

The number of values of (cos θ + i sin θ ) where 14.

The number of values of (cosđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; + i sinđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;) where p and q are non-zero integers prime to each other, is p ANSWER: x = ] for is ANSWER: 2.

SWER: 2. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;ER: non-coplanar vectors đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; ANSWER: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014; is parallel to đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; ANSWER: (1, 0, -10) as (3, 2, -2).

The co-ordinate of B is 8. đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;The value of â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Ě&#x2026; is ANSWER: |z| 2. đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; ER: (1, 0, -10) 38. The value of [ đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;and + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; ]qisare ANSWER: 2. integers prime to each other, is non-zero 36.

The value of [ i+ j, j + k, k + i ] is ANSWER: 2. ďż˝â&#x192;&#x2014; ANSWER: q. on-coplanar vectors đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; ANSWER: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; is parallel to đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? diagram representing az, 3az and -az are ďż˝â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;,The anar vectors đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;value ANSWER: 3roots 9. of If of a th=[aroots -đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 3i theANSWER: points the Argand 38. ++đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;parallel â&#x192;&#x2014;,iisand đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;parallel +ađ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;znumber , =to đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; 2+to ]â&#x192;&#x2014; differ isthen ANSWER: 2.ďż˝â&#x192;&#x2014; on ar vectors đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?of , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;n â&#x192;&#x2014;,thANSWER: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?3 â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;complex is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;39. he argument by 6.

The complex If number đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;vectors x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;)differ = (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?by ) x ANSWER: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; for non-coplanar đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?ANSWER: q.vectors đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; ANSWER: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; is parallel to đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; 37. argument If a x (b x c) =n(a15. x Ifb đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; ) xof cis afor non-coplanar R: 2.

2 root of the equation ax + bx + 1 = 0 where a, b 4 đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?are real, then (a, b) is ANSWER: (0, 1) 3 ďż˝â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;) = (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?+đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; ďż˝â&#x192;&#x2014;) x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; for ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; ANSWER: 1 n 39.

If đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? non-coplanar vectors đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; is parallel to đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

3 =a4, bz+2,5i c= ANSWER: c+is2iparallel đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?to a 3đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;5i zvectors -3 + 2i isthen ANSWER: - i 1 - i 12. If x = cosθ+ 3i sinθ the value of x + n 7.+If and z2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;16. =then istheANSWER: 1 = 4 â&#x192;&#x2014;,z1đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;and , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; ANSWER: is-3 parallel to+ iđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;sinđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; ofđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;xn +đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; If xđ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;=đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? cosđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; value ANSWER: 2cos nđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; x đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;

he

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

38. The vector equation of a plane passing through

41 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

3

is ANSWER: 2cos n

If -i + 2 is|z| one root of the equation ax2 - bx + c = 0 then the other root is ANSWER: 2 + i value of â&#x2C6;&#x161;value đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Ě&#x2026; is of ANSWER: |z| 8. The đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Ě&#x2026; is 17.

ANSWER:

3

â&#x2C6;&#x161;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

èâ&#x201E;˘M&þô ĂľNè£â&#x20AC; ÂŽ

18. If Zn = cos + isin then z1, z2...z6 is ANSWER: -1.

3 onpoints a = 39.+ Ifi and - 3i zthen theđ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; Argand az, 3az and a = 3z += 2 i and = 2 -the 3i points then the on thediagram Argand representing diagram representing az, -az 3azare and -az are 19. If |z - z1| = |z - z2| then4the locus of 4 Z is ANSWER: a perpendicular bisector of line joining Z1 and Z2.

20. If z is a complex number, then arg(z) + arg(đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Ě&#x2026;) is ANSWER: 0.

21. If -i + 3 is a root of x2 - 6x + k = 0 then the value of k is ANSWER: 10.

q. e đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; + tđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; and the plane ANSWER: đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; = q is connected

sin đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝đ?&#x153;˝ =

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;.đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014; ďż˝đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;ďż˝|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;|

15. If

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?+đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;

2 hyperbola 2 23. The angle between the asymptotes to the

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

17. The length of major and minor axes of 4x + 3y = 12 are A is a root of the equation ax2 + bx + 1 = 0 where a, b are real, then (a, b) is ANSWER: 16 (

The tangents at the end of anyoffocal to the parabola 24. The 18. length of the latus rectum thechord rectangular hype 1 , then [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 16. If x =4.cosđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; + i sinđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; the value of xn + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; is ANSWER: 2cos nđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ANSWER: x + 3 = 0 passing through the point (2, 1, -1) and the line of intersection of 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 2

13. If17.

-i +If2 is root the equation bx + The c = 0 then x + 3the = 0+ other foci the =1 are -i one +2 isofone root of ax the-25. equation ax -ofbxANSWER: + c ellipse = 0 then root is ANSWER: ANSWER: 2 (0, +i Âą đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 4 19. The tangent at any point P9 on the ellipse 6 + 3 = 1 whose 16.

The tangent at any point P on the ellipse đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? z1, zThe is ANSWER: -1. center C meets the major axis Then at T at and 2...z6 point 14. 18. If Zn = cos 3 + isin đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? then26. ofwhose intersection tangents tPN and t2= 1=t is is the perpendicular toof thethe major axis.

CN.CT= ANSWE o vectors đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; if |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;| = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; is ANSWER: đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; the perpendicular to the major axis. Then CN.CT= ANS WER: -1.

2 19. If |z - position z1| = |z vector - z2| then the locus of Zpoint is ANSWER: a perpendicular bisector of line joining Z1 a ANSWER: of6.the hyperbola with asymptotes x+2y-5=0 ANSWER: (6t , 8t) a particle from the 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; -arg(z) 6đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 7đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; to the20.

15. point If z isA awith complex number, then +ďż˝â&#x192;&#x2014;arg(z ) is TheBeccentricity 17. The eccentricity of the hyperbola with asymptotes ANSWER: zďż˝â&#x192;&#x2014; is is 0. aANSWER: complex28. number, then arg(z) arg(đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Ě&#x2026; ) is ANSWER: 0. of contact of tangents from the p the chord 221.+The 2 equation + 3đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;If- đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; - 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; by a force đ??šđ??šđ??šđ??šâ&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; 20.

2x-y+5=0 is=ANSWER: â&#x2C6;&#x161;2 27.

16x 3y - x+2y-5=0, 32x - of12y - 44 0 represents ANSWER: 2 16. If -i + 3 is a root of x - 6x + k = 02then the value of k is 4x+y+12=0 18.

The equation the chord of contact 21.

If a-i force + 10.

3 isđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; +a ađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; root x - through 6x + k =the 0 point then ANSWER: of k isofANSWER: 10. of tangents from nt about the point đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; +ANSWER: đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; of â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; of acting đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014;the + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; value is 28. The angle between the tangents from the p the point (-3, 1) totwo the parabola y2=8xdrawn is 22.

The length of the latus rectum of the parabola whose verte 17. If22. is Ď&#x2030;The a complex cube root of unity then the value of SWER: 2. cube roots of unity are ANSWER: in G.P. with common ratio đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;.

ANSWER: 4x+y+12=0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 (1-Ď&#x2030;)(1- Ď&#x2030; 2)(1- Ď&#x2030; 4)(1- Ď&#x2030; 8) is ANSWER: 9.

23.of The angle betweencircle the asymptotes to the 9x hyperbola 29. radius the director of the conic + 16y ANSWER: 8.

16 lane passing through the line of intersection the planes đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;The = q 2 4 8 1 19. length theđ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;)(1latus rectum of the đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;nth is root a complex cube root of 1unity theThe value ofof(1đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D; )(1đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D; parabola )(1- đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D; )whose is ANSWER 18. If23. Ď&#x2030; isIfthe of unity then ANSWER: Ď&#x2030;n = 1then đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 vertex is (2, -3) and the directrix đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; x=4 is -1 2 24. The length of the latus rectum rectangular hyper -angle = to 1between isthe ANSWER: 2tan ( ) of theto hyperbola (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.23. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;1 -The q1) +angle đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ďż˝â&#x192;&#x2014;between - q2) = 0the asymptotes to the30.

23. the asymptotes the6 hyperbo theThe normal rectangular hyperbola xy=c and t1 16 9 đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; 19. 2The of [7] (Z9,following +9) is ANSWER: 9.If 24.order Which ofinthe is incorrect?

ANSWER: Re(z) â&#x2030;Ľ8. |z| ANSWER: 2 2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś ďż˝â&#x192;&#x2014; and |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x192;&#x2014;|=5 then the angle between đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? is ANSWER: The foci ofisthe ellipse + = 1 are ANSWER: (0, Âąâ&#x2C6;&#x161; 20. If amplitude of a complex number is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ANSWER: thenhyperbola the 25.

24. The length ofthe the latus rectum of the rectangular xy =length 4 16.

9 of 20. -1.

The ofANSWER: the latus rectum rectangular đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?+đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;+đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 24.

The length of32xthe latus rectum ofthe the rectangular 2 number is2ANSWER: Purely Imaginary.

25.

If x + y = 1 then the value of is ANSWER: + iy hyperbola xy = 32 is ANSWER: 16. đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;+đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; ďż˝ ďż˝ â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; 2 2 26.

The point of intersection of the tangents at t1=t and t2= + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; x (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x192;&#x2014; then ANSWER: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x192;&#x2014; = 0 or đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x192;&#x2014; = 0 or đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x192;&#x2014; and đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x192;&#x2014; are parallel đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 25. The foci21. of If the +is9 = 1 are ANSWER: (0,straight Âąâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;) line z =ellipse 0 then arg(z) 31. The 2x - y2+ c =đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 20 isđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2a tangent to the ellip th 4 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; 25. regarding The foci the ellipse + 9 = 1 are are ANSWER: ( 21. The of the ellipse ANSWER: 26. Which of the following is incorrect noffoci roots of unity? product of the root ANSWER: (6t , 8t) 4ANSWER: đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; on 2đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; - đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 5đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014; is ANSWER: ANSWER:- â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; Indeterminate.

2 Âąâ&#x2C6;&#x161;5) 26. The point of intersection of the tangents at t1=t and t2=3t to(0, the parabola y =8x is 2 27.

-point 3y2 - 32x 12y - 44 = 0 represents ANSWER: a and the ofintersection the roots 32. is The locuspoint of16x the of -intersection of perpendicular is ANSWER: perpendicular the sum line of of Âą1. the 4.đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?to ANALYTICAL GEOMETRY 22.

The point of intersection of the at t1=tat andt1=t an 26. The of intersection of thetangents tangents 2 2 = 16 is ANSWER: ANSWER: (6t x = ,Âą8t) t2=3tangle to the parabola =8xtwo is tangents drawn from the p 28. The between2ythe â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; nd the plane containing đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;The and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 is ANSWER: 27.sum equation whose roots are Âąiâ&#x2C6;&#x161;7 x +7=0 1. The ofquadratic the distances of any point on the ellipse 2 ANSWER: + (6t y2 =2,78t) ANSWER: 2 xThe ANSWER: (6tthe , 8t)director circle of the conic 9x2 + 16y2 2 2from 27.of 16x -hyperbola 3y2 -4x32x -2 12y -- 44 =20=0)represents ANSWER: a 29. hyperbola. radius of + 9y = 36 (â&#x2C6;&#x161;5, and (-â&#x2C6;&#x161;5, 0) is axes the 144x 25y 3600 respectively are and [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; x đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014; x28. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;] =Which [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;,of đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014; +the đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?following â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;] thenstatement [đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝â&#x192;&#x2014;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x192;&#x2014;] is ANSWER: 2.ANSWER: 2 2 is correct?

Negative numbers exists.

- 12y - 44 =complex 0 represents ANSWER: 223. 16x 2 - 3y - 32x 2 2 + 3y ANSWER: 6. point 33.

The equations of the minor axes 4x 27.the 16x - 3y -4) 32x -2to 12y -and 44 = 0 hyperbola represents ANSW 30.

If the normal the is rectangular xy=c and t1 28. The angle between the two tangents drawn from (-4, to ymajor =16x ANSWER: 90o of a hyperbola.

3. COMPLEX NUMBERS 2 ANSWER: 6. theEquation 29.

Polynomial = 0 admits roots only if the coefficient 2. The directrix of hyperbolaP(x) x2 - 4(y-3) = 16 isconjugate pairs of imaginary 2 two tangents drawn from the 2 24.

The angle between ANSWER: -1. the 8 34.9xThe axis2 =angle of the parabola ythe -two 2y +tangents 8x - 23drawn = 0 is ANSW 29. of the director + 16y 144 isbetween ANSWER: 5.

28.

The from ANSWER: xđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?=đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?+ circle 2 The radius đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?of the conic 25 ANSWER: 3 2 = 16(iis 2 2 (y-3) xANSWER: =Âą â&#x2C6;&#x161;5 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?of -real. point (-4, 4)Âątođ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?y2=16x is ANSWER: 90o ex number is 2.

ANSWER: Cos i sin 2 8x at) The directrix the hyperbola x 4(y-3) = 16 is ANSWER: x = ola y = the point ďż˝ , â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;ďż˝ ANSWER: â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

- 4(y-3) = 16 is 3.

ANSWER: x = Âą of transverse â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

31.

The straight line 2x y + c = 0 is a tangent to the ellips The equations and conjugate axes of the 2 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; 2 30. If the normal to the rectangular hyperbola xy=c and t1 meets the curve again atcircle t2 then tconic = 9xconic 25. radius ofperpendicular the director offrom the + 16y2 9x 1tthe 2 the 2 35.

The locus ofThe foot focus to2 a+ 2 2 2 29.

The radius ofof the director of 2 2 circle 144x 25y = 3600 respectively are axes of the hyperbola 144x 25y = 3600 respectively are +jugate i25 is ANSWER: i. 3.hyperbola 2 2 2 2 The equations of transverse and conjugate axes of the hyperbola 144x 25y = 3600 respectively are â&#x2C6;&#x2019;1+đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 3 â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; 3 â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; 100 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś conjugate axes of the30. hyperbola 144x = 144locus is -1.

ANSWER: 5. of intersection of perpendicular t value of + respectively is ANSWER: �3600 � 2 �100 are 32. The of the point d F2 are the fociANSWER: of theThe ellipse + -�25y =2 1=then ANSWER: -1.

2 2 8+ x=0. + y=0; (1x=0. đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; -4đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;2)4 is ANSWER: 30.

-16. hen the value of (1 - đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D; + đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x153;&#x201D;2)4y=0; ANSWER: ANSWER: xThe+straight y to= line 252xrectangular - y + c = 0 is a tangent to the ellipse If the26. normal the hyperbola xy=c2 a n 2 2 4. The line 2xis+ 3y + 9nth= 0root touches the parabola y2 = 8x ANSWER: x2 if + cy2is=ANSWER: 7 2 2 = 32, 4x + 8y Âą6.

31.

If đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D; the of unity then ANSWER: đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D;đ??&#x17D; = 1 đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; 31. straight line 2x -ANSWER: y ++3y c =+ are 0 is0a toparabola the ellipse 4xat+the 8ypoint = 32, if c is ANSWER: Âą6. đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; tangent 2 then theThe values of a4. and bpoint respectively 15, -8. the The 2x 9 = ANSWER: = 8xfoci ANSWER: ďż˝ , â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;ďż˝hyperbola xy = 18 parabola y2 y=2 8x atat the point ANSWER: ��đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;touches , â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;ďż˝ the ofy the of the is -1. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? the parabola = 8x at theline point ANSWER: 27. The locus of therectangular point of major intersection of perpendicular đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? , â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;ďż˝ 36. One ANSWER: 33.

The equations of the and minor axes of 4x2 + 3y 2 The ofof[7] inthe (Zaxis is pANSWER: 9, +9 us rectum is equal toifand half of conjugate đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 5.

If32.

B B`- order are ends the minor axis F)is and Fis2 are the 9. tangents to the hyperbola complex number z and |2z 1| its = 2|z| then locus of 2 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1 is 1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 2 32. The locus of point of intersection of perpendicular tangents to the hyperbola = 1 is- 23 = 0 is ANSWE 2 - then đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2of đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 minor and Fof theThe foci axis of the + 4 16 Ifthe Bof and B` ellipse are ends the axisthe F1 area 2 are34. of ellipse the 2parabola 2y 9 is+a8xtangent đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

F are the5.foci foci the == 1 then saxis F1 Fand the then 31.

The straight line -= y78is + c y== 1-0 tointhe fociof ofthe theellipse ellipse 88 ++ of 1 then 1 and2 F2 are the ANSWER: x22x + y tangents 37.

The chord of contact of from any point the 44 a 33.

If amplitude complex number is then the number ANSWER: Purely Imaginary.

2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER: xF21the + 2yarea =is 7 of F1BF2Bâ&#x20AC;&#x2122; is8.ANSWER: 8.

BF Bâ&#x20AC;&#x2122; ANSWER: 35.

The locus of foot of perpendicular from the focus 28. The equations of the major and minor axes of to a t 8.

2 2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

34.

Ifeccentricity z =ANSWER: 0 then arg(z) is ANSWER: Indeterminate. + 3ythe 12xpoint x=0; 32. of 2are 2 of intersection 6. 6.The eccentricity of the hyperbola whose latus rectum through its12 ANSWER: 2 The 2 locus a 33. complex number differ by The ofand the hyperbola whose latus rectum is4x equal to= half of its conjugate axisy=0. is of perpendic ANSWER: +focus. yANSWER: =x=0; 25 y=0.

The equations of the major minor axes of 4x + 3y = are ANSWER: đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?conjugate whose latus rectum is equal to half of its axis is latus isisequal to halfofthe ofitsits conjugate is 1ose and therectum ordinate at P meets asymptotes equal to half conjugate axis axis isat Q 2 29. The axis of the parabola y - 2y + 8x - 23 = 0 is theisother root is ANSWER: 2 +=i 0 and đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;â&#x192;&#x2014;.(đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;ďż˝â&#x192;&#x2014;) = 2=0 ANSWER: x + 9y + 11z

đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 2 of the ANALYTICAL 36. One rectangular hyperbola 18 2is= distance o the ellipse 9x2xy+= 5y i then is ANSWER: - i â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; y2 - 2y + 8x - 2338.

ANSWER: ANSWER: xof2 the +GEOMETRY yfoci =1.7 foci ANSWER: y =the 34.đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?The axis of ANSWER: the parabola = 0 The is4.

ANSWER: y between = 1. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

7. The equation thedistances major andofminor 2 2 rectangular 2 2axes of 30. ellipse One of the foci of the hyperbola xypoint =(-â&#x2C6;&#x161;5, 18 0) 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľany đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś point 37.

The chord of+ contact of2 tangents from the 1.The sum ofofthe on the 4xof 9y = 36 0) and locus of perpendicular from the focus a tangent of the 16x +from 25y =at 400 isaxes 2 P is 2of 39. point of of tangents tQ1 any and t2 ofin to4x th2i R:đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 35. |z|22 The 7.

Iffoot any point on the hyperbola - 4The = 1toThe and the ordinate at Pcurve meets the asymptotes at 33. equations the major and(â&#x2C6;&#x161;5, minor 2 isintersection ANSWER: (6, 6) + x + y = 1 respectively are ANSWER: 36at Q y=0; x=0 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2-đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 1 and the ordinate at P meets the asymptotes 9 4 at Pare of + and = the 1 respectively ANSWER: y=0; x=0 -36 9=4 1 ordinate meets the asymptotes at Q 2 through its between ANSWER: 2 2 4 on the 4 2 n the points Argand az, 3az are 31. The 2 ANSWER: xand + line yQâ&#x20AC;&#x2122;2diagram =then 22 ofđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śthe theyđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľfocus. foci + 5y QP.Oâ&#x20AC;&#x2122;P 4.

8. If the 5x25 - 2y +representing 4k =is0 ANSWER: is a tangent to 4xand - y2-az =The 36 34. axis ofdistance parabola -+ 2y +=ellipse 8xand -9x23 =2 auxilla 0 is2 A 5the 4.

40.

The area between the ellipse 1 its 4 = 180 is ANSWER: 8. then k is ANSWER: 9/4 đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; 38. between the 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 fociđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2o the ellipse 9x + 5y = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľis đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 The distance 4x236.

- y2One = 36of2 then kThe is of ANSWER: the28.foci the rectangular hyperbola xy = 18 ANSWER: (6, 6) equation of the and minor axes of + 32.=The 1 respectively are ANSWER: y=0; x=0 đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; major đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś The eccentricity hyperbola with x=0 asymptotes point of intersection of tangents at tfrom and t the to thefocus 9 4 35. The locus of foot of perpendicular 2 1 at t 2 and nor axes ofđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 9 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+9. = 1 respectively of aretheANSWER: y=0; point of tangents t2 to 1 41.

If the line39.

4xThe + 2y =2of c intersection is isaANSWER: tangent to the parabola y2the =1 4= x 2 2 rmptotes axes of x9 ++2y 1 respectively are ANSWER: y=0; x=0 + 2y 5 = 0, 2x y + 5 = 0 ANSWER: 3. parabola y =4ax (a(t +t đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 1 2), at1t2) đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 5 = 0, 2x y + 5 = 0 ANSWER: 3.

4 9. the line 5x - 2y + 4kđ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; =from 0 is aany tangent to in 4xthe - y directrix = 36 thenofk2the is ANSWER: 37. The2 chord ofIfcontact of tangents point hyperbola 2 2 - đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ22 = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś12 passes 2 đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; 210. The point of contact of the đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ANSWER: x +between y = 25 = 4ax and the ngent to 4x - y = 36 then k is ANSWER: đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2014; parabola y42.

40.

The area between theellipse ellipse12y +2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2- =4x 1 2and its 33. The area the and its auxillar of the hyperbola - 24x +4 đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?The eccentricity ent 4x2the - y2tangent = 3610. then is= ANSWER: The the 2y - 5 = 0, 2x - y + 5 = 0 ANSWER: 3. ymx mx +ccisis of ANSWER: 4axtoand y =keccentricity +focus.

ANSWER: ďż˝ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?with , ďż˝asymptotes x +auxillary đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; hyperbola through itstangent ANSWER: circle is ANSWER: Ď&#x20AC;a(a-b) đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;3. a with asymptotes x + 2y - 5 = 0, 2x - y + 5 = 0 ANSWER: 41.

If thefoci line 4x 2y =rectangular c is a tangent to the parabola 36.

One of the of +the hyperbola xyy2==11 2 2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

11. The radius of the director of the conic 2 + 16y 2 from (5, 43. 9x The equation ofline chord of contact ofthetangents with asymptotes 2yThe - 5 point = 0, 2x - y + 5circle =0 ANSWER: 23.

2 and34.

If the 4x + 2y = c is a tangent to parabola y =16x 2 2 x + 11. of contact of the parabola y = 4ax the tangent y = mx + c is ANSWER: ďż˝ , ďż˝ distance between the foci 9x đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?+ 5y = 180 is ANSWER: 8.

2 nic 38.

9x The + 16y = 144 isisANSWER: 5. o the ellipse đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 2đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D; = 144 ANSWER: 42. The of the bola y2 = 4ax and the tangent y = mx + 5. c is ANSWER: ďż˝ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? , ďż˝ then ceccentricity is ANSWER: -4. hyperbola 12y - 4x - 24x + 48 đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

2 2 2 2 2 2 12.

The radius ofof the 9x 16y = of 144 is ANSWER: 5.

37. of tangents from any point in a y39. = 4ax the tangent y = mx +the c director isconic ANSWER: ďż˝- the , conic 10x-9y-12=0 12. of The eccentricity 9xcircle 54xANSWER: - ďż˝40yThe + +chord đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?tangents 2 tangents Theand point of at+ 5y t1ofand parabola ycontact =4ax ANSWER: (a(t ), 2at The eccentricity equation ofis of contact of from đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? tđ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D; 2 to the 43.

1+t 1 t2 ) 35. The ofchord the hyperbola 12y -24x - 24x + (5, 3 2 2 is ANSWER: 4xthe - 40y 116 =116 0intersection 1/35. of conic+9x + 16y == 144 is ANSWER: 0 is ANSWER: đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

2 2 - =127 is ANSWER: 2.

2 The eccentricity of the 2 5. conic 2 13.

9x + 5y - 54x - 40y + 48y 116 0 is= 0 ANSWER: the conic 9x2 + 13.

16y = 144 is ANSWER: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 ANSWER: 10x-9y-12=0 đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; through its ANSWER: focus. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = of The of theđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ vertices rectangular area ellipse 1 the and its auxillary circle ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?a(a-b) 44.

The equation ofisequation the latus rectum of 16 + 9 = 1 is angular hyperbola xycoordinates == 16 ANSWER: (-4, -4) + 40.

5y2 -The 54x - 40ybetween + 116 0the is are ANSWER: 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 (4,4); 36.

The of the latus rectum is ANSW đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; hyperbola xy = 16 areofANSWER: (4,4); (-4,rectangular -4) 2 2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; vertices 14.

The coordinates the of the hyperbola xy = 16 are ANSWER: (4,4); 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(-4, đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś-4) ANSWER: y=Âąâ&#x2C6;&#x161;7.

5y - 54x - 40y + 116 = 0 is ANSWER: 2 44. The equation of the latusfoci rectum of 16ellipse + 9 = 1 9x is ANSW 2 2y đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;2 toaxes distance o the +5 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2and đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śminor of the 16 are ANSWER: 41.rectangular If the line 4x + length 2y =xycof=ismajor a tangent the(4,4); =16x then c isbetween ANSWER:the -4.

14.hyperbola The ofparabola 4x2(-4, +38.

3y-4) =The đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 2 s of any point on15. theThe hyperbola = 1 is 24 and the 37.

The directrix of the parabola y = x + 4 is ANSWER: 2 2 45.

The length of the semi major and the length of semi m difference the focal distances of any point on the hyperbola = 1 is 24 and the đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;between đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?4 12 are ANSWER: 2â&#x2C6;&#x161;3, 2 2 he rectangular hyperbola xy = 16 are ANSWER: (4,4); (-4, -4) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 2 45.

The length the semi major and the length semi x = of -17/4 42. Theofeccentricity thehyperbola hyperbola 24x 48ypoint - 127 =0 is of ANSWER: 2.tangents 39.the+The intersection of at t1 of and t2mt al distances any onofthe -12y = 1-chord is4x24-to and 2 2 2 2 2 2 15. point The tangents at the end of any focal đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 the đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 equation of the hyperbola ANSWER: - 432 = 112. eccentricity Then 38.

The length of the semi traverse axis of the ANSWER: 1intersect hyperbola 2 is=2. respectively ANSWER: 13, 2 theon parabola y432 =12x line istances of any point the -hyperbola - đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2on =the 1 is 24 from and the respectively 12.

144ANSWER: 2 contact 144 43. The equation of chord tangents (5, 3) to the hyperbola 4x2-6y13, =24 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľof đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 of đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2is đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 ANSWER: = 1 ion of the hyperbola 40. The 2area the ellipse ď ŹHŠóþK 16 & 28,2014 °Ć&#x2019;°ùâ&#x20AC;&#x17E; 144ofď Źthe 432 latus CIâ&#x20AC;ş The - 4x +between 4y + 8 = 0 ANSWER: 4. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 = 1 and its au abola y2ANSWER: - 4x + 4y16. +8 = length 0 ANSWER: 4. rectum of the parabola y 46. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 The product of the perpendiculars drawn fromthe the poin poin 10x-9y-12=0 ANSWER: = 1 4. nf of hyperbola 46.

The product of the perpendiculars drawn from thethe parabola y2 - 4x + 4y + 8 144 = 0-ANSWER: 432 2 2 17.

The length of major and minor axes of 4x + 3y = 12 are ANSWER: 2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;, 4 2 41. If the line 4x + 2y = c is a tangent to the parabola đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022; 2 2 3y2 =2 12y2are ANSWER: 4 is ANSWER: he+44. parabola 4y +ANSWER: 8 latus = 2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;, 0 ANSWER: 4.đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 1 is ANSWER: asymptotes, 2 axes of 4x 3y2- =4x18.

12+ are 2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;, 4 of The+equation of the rectum y=Âąâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;. đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022; on the đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; line The tangents at the end of16any 9focal chord to the parabola y =12x intersect asymptotes, is ANSWER:

42

2

ds of to 4x the yare =12x intersect on the line 2 parabola focal chord to 2the parabola y2=12x + 3y = 12 ANSWER: ANSWER: x intersect +2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;, 3 = 04 on the line

42. The eccentricity of theđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; hyperbola 12y2 - 4x2 - 24x 2 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś

7

WER: x = -

đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;

ANSWER: ďż˝ , đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?ďż˝

tangular hyperbola xy = 8 ANSWER: 4. and the ellipse

25. The rate of change of area A of a circle of radius r is ANSWER: 2đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?r

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;

đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;

26.

C of Lagrangeâ&#x20AC;&#x2122;s Mean Value, theorem for the function f(x)=x2+2x-1 a=0, b=1 is ANSWER: 1/2. + The ďż˝ 2 = 1 is ANSWER: ďż˝â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;

27. The statement: â&#x20AC;&#x153;If f has a local extremum (minimum or maximum) at c and is fâ&#x20AC;&#x2122;(c) exists then f`(c)=0â&#x20AC;?

rectangular hyperbola xyhyperbola = 8 ANSWER: 4. and strainght line when at a distance t at any point on the rectangular xy=72 is ANSWER: Fermatâ&#x20AC;&#x2122;s Theorem. x from the origin is given by a+bn2=x2 where a and 39. The 2locus2 of point of intersection of perpendicular y x arewhen constants.

Then the acceleration 2 2 v of a x particle at a distance x from the originisis given 2 +28. =The 1 isvelocity ANSWER: +y2=amoving +b2 along a strainghtbline b2 a ANSWER: x đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 2 22 2 2 2 by5. a+bn =x where a and b are constants. Then the acceleration isbANSWER: ular 2 + 2 = 1 is ANSWER: x +y =a +b DIFFERENTIAL đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

23. The function f(x)=x2 is decreasing in ANSWER: 2 29. The function f(x)=x is decreasing 0) 0) CALCULUS - APPLICATIONS - Iin ANSWER: (-â&#x2C6;&#x17E;, (-â&#x2C6;&#x17E;, LCULUS - APPLICATIONS I

30.of One the conditions of Rolleâ&#x20AC;&#x2122;s is ANSWER: f(a) f(b) 24. One of=the conditions of Rolleâ&#x20AC;&#x2122;s theorem is ANSWER: 1. The slope theofnormal to the curve y=3x2theorem at the point đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? f(a) = f(b) he point whose x-cordinate isis2, is-xANSWER: ANSWER: 31.

The curve y=-e is ANSWER: Everywhere concave downward. whose x-cordinate 2, is --đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

-x curve y=-e 2. The off Chas in aRolleâ&#x20AC;&#x2122;s Theorematfor the iffunction 32. If local extremum a and f`(a) exists 25. thenThe ANSWER: fâ&#x20AC;&#x2122;(a) =is0.ANSWER: Everywhere concave đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; value on f(x) = cosf(x)on [đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;, 3đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;] is ANSWER: 2đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; x downward. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? = cos on [Ď&#x20AC;, 3Ď&#x20AC;] is ANSWER: 2Ď&#x20AC; 33. 2 S spherical snowball is melting in such a way that its volume is decreasing at a rate of 1 cm3/min.

3.

In a given semi 4cmrectangle a rectangle is 26. If f has a local extremum at a and if f`(a) exists then gle is to be inscribed.

The circle area of ofdiameter the largest The rate at which the diameter is decreasing when the diameter isfâ&#x20AC;&#x2122;(a) 10cms, ANSWER: = 0. is to be inscribed. The area of the largest rectangle is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER:ANSWER: 4.

27. The value of C of Lagrangeâ&#x20AC;&#x2122;s Mean Value theorem cm/minute đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; for f(x)=â&#x2C6;&#x161;x when a=1 and b=4 is ANSWER: 9/4.

4. The curve y=ax3+bx2+cx+d has a point đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ofđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? inflexion đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

2 34. The value of C of Lagrangeâ&#x20AC;&#x2122;s Mean +dy =1 to cut orthogonally is that ANSWER: - =Value - theorem for f(x)=â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ when a=1 and b=42 is ANSWER: 9/4. at x=1 then ANSWER: 3a + b = 0 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E; đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; 28. The point on the curve y=2x -6x-4 at which the tangent đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2022; 2 35. Thearea point y=2xthe -6x-4 at which is parallel to x-axis is ANSWER: ďż˝ , â&#x2C6;&#x2019; ďż˝ is parallel to x-axis is ANSWER: TheANSWER: surface when volume is the tangent on at x=15. then 3aof +onsphere bthe = 0curve đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? x -x increasing at the same rate as its radius is ANSWER:1. 29. -xThe valueorthogonally of a so that the curves y=3e 36. The value of a so that the curves y=3ex and y=a/3e intersect is ANSWER: 1. and y=a/3e increasing at the same rate as its radius is 1.

2 ANSWER: 2 intersect orthogonally is ANSWER: 1.

6. The angle between the parabolas y =x and x =y at the 2 37. The function đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? Ď&#x20AC; f(x)=x -8x+4 is increasing in ANSWER: (4, â&#x2C6;&#x17E;) origin is ANSWER: 30. The function f(x)=x 2 -8x+4 is increasing in at the origin is ANSWER: 2 đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;+đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

Hospitalâ&#x20AC;&#x2122;s rule cannot be applied to as xď&#x192; 0 because f(x)=x+1 ANSWER: (4,and â&#x2C6;&#x17E;)g(x)=x+3 are ANSWER: not 7. If s = t338.

-4t2L+7 the velocity when the acceleration is đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;+đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; - 16 zero is ANSWER: n is zero is ANSWER: in the form as xď&#x192; 0.

3 đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; intermediate 6. DIFFERENTIAL CALCULUS APPLICATIONS- II 8. Which ofx the following functions is increasing in 39.

In the velocity of a particle moving along a strainght line is directly proportional to the square of its x (0, đ?&#x203A;źđ?&#x203A;źđ?&#x203A;źđ?&#x203A;ź) ANSWER: e (0, Îą) ANSWER: e 1. The percentage error in the 11th root of the number s3. the percentage distance from a fixed point on the line, then its acceleration is proportional______ to ANSWER: 28 is approximately times 9.

The percentage error in the 11th root of the number NSWER: 0. errorAPPLICATIONSin 28. ANSWER: II1/11.

28 is approximately ____ times percentage error 6.the DIFFERENTIAL CALCULUS 1 times the percentage umber 28 isinapproximately 28. ANSWER :____ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ symmetrical about 2. The curve 9y2 2 = x2(4đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ - x2) is 1. The percentage approximately ______ x đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘+times y đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ is ANSWER: 0.

3. If28 u =is logďż˝ 28 error in the 11th root of the number 2 +đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śďż˝2 then đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; both the axes.

10. The slope of the tangent to the curve y=3x2 +3sin x at 3. IfANSWER: u = logďż˝ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś ďż˝ then xđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; + yđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; is ANSWER: 0.

ANSWER: 1/11. the percentage error in 28 x=0 is ANSWER: 3.

3. An Anasymptotes asymptotes to + 2x) = x=2(3a - x) -isx) is ANSWER: 4. to the thecurve curvey2y(a2(a + 2x) x2(3a 2 2 -a 3sin x at11. x=0F is 3.9y 2. The curve = x2(4 defined - x2) is symmetrical about both the axes.

ANSWER: x = /2 4. An asymptotes to the curve y (a + 2x) = x2(3a - x) is ANSWE is aANSWER: differentiable function in an interval I ANSWER: 2 2 2 2 2 5.

The curve a y = x (a x ), a > 0 is symmetrical about ANSWER with positive derivative. Then f is ANSWER: 4. The curve a2 y2 = x2(a2 - x2), a > 0 is symmetrical about e of 2 cm/sec and its altitude is decreasing at the rate 5. The curve a2 y2 = x22(a2 - x2), a > 0 is symmetrical about ANS đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ and about the ori.

9 ANSWER: both axes Strictly increasing on I. 6. If u = y sin x then is equal to ANSWER: cos x x2 and the altitude is 5cm is đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; hen the radius is 3cm đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022; 2 đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 12. lim xâ&#x2020;&#x2019;Îą ex is ANSWER: 0.

5. If Ifuu== yy sin equal to to ANSWER: cos x 6. sin2xxthen then isisequal 2 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;2 two loops between x=-a 13. The least possible perimeter of a rectangle of area 100 7. The curvs a y = x (a -x ) has ANSWER: ANSWER: cos x 2 2 2 2 2 7. The curvs a y = x (a -x ) has ANSWER: two loops between x m2 is ANSWER: 40.

1 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 2 2 2 2 2đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 6.

The curve a y = x (a -x ) has ANSWER: two loops 8. If u= 2 2 then x + y is equal to ANSWER: -u. rval I with positive derivative. Then f is ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 14. Equation of the tangent to the curve y=x3 at (1, 1) is between 1 x=-a and x=a đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 8. If u= 2 2 then x + y is equal to ANSWER: -u.

2 2 normal is drawn ANSWER: y=3x-2is ANSWER: -cot đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 2 ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śayay= x 9.

- x)-đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;cuts the y-axis at ANSWER: x=0 7.The Thecurve curve = (3a x (3a x) cuts the y-axis at 2 2 ANSWER: x=0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ22 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 15. If a normal makes 1 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? an angle θ with positive x-axis thenđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 9. The 1 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ curveďż˝â&#x2C6;&#x2019;1, ay â&#x2C6;&#x2019; = xďż˝(3a - x) cuts the y-axis at ANSWER: x=0 ďż˝â&#x2C6;&#x2019;1, ANSWER: 20.

The equation ofisthe tangent to thethe curve y= 5 at is ANSWER: 5y-3x=2 d= 58 at - 8the = 1point is ANSWER: 10.the If upoint = xy then is equal to ANSWER: yxy-1 the slope of â&#x2C6;&#x2019; the ďż˝curve at the point,5y-3x=2 where 5 equal to ANSWER: yxy-1 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; is 8. If u = xy then â&#x2C6;&#x201A;u normal is drawn is5 ANSWER: -cot đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ dx normaly=-x is is ANSWER: -cotisθ concave down?10.

2 If u = xđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śy then 2 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ is equal to ANSWER: yxy-1 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 21. Which ofdrawn the following curves own? ANSWER: 9.ANSWER: IfIf u = f(1 ) y=-x equal toto ANSWER: 0.

11. then đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; x + y isis equal đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 20. The equation of the tangent to the curve y= at the point ďż˝â&#x2C6;&#x2019;1, â&#x2C6;&#x2019; ďż˝ is ANSWER: 5y-3x=2 16. The equation of the tangent to the curve 5 at the 5 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 1 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ANSWER: 0.

2 point is 40.

ANSWER: 5y-3x=2 11.InIfofwhich ulim = f( region ) thendoes x +the y curve is equal 0. not lie? AN ve y= at22. the ďż˝â&#x2C6;&#x2019;1, â&#x2C6;&#x2019; fâ&#x20AC;&#x2122;(a)=1, ďż˝ is ANSWER: 5y-3x=2 f(a) = 2, g(a)=-1, gâ&#x20AC;&#x2122;(a)=2 then he value of lim is ANSWER: 5. the value 12. y2(a +tox)ANSWER: = x5.2(3a - x) 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; area mIf is ANSWER: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 5100 5 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; is2 ANSWER: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;curves is concave down? ANSWER: 21.

Which of the following y=-x 2 10.

In which region does the curve y (a + x) = x (3a x) Whichy=-x of 2the following curves is concave down? ve down? 17.

ANSWER: đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;x > 3a2 lie?

ANSWER: xâ&#x2030;¤ -a and 1, is 23.

ANSWER: 12.Ifnot Inxđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) which curve y inflexion (a + x)cos = point. xđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;2(3a - x) not lie xthen = x xisy=3x-2 even order for the equation then xregion = xy0 =isrdoes a/ anthe ANSWER: ion1)fâ&#x20AC;&#x2122;(x)=0 = ax0root is a/ofan ANSWER: inflexion point. fâ&#x20AC;&#x2122;(x)=0 13. = r cos q, then ANSWER: y=-x2 22. If f(a)ANSWER: = 2,0fâ&#x20AC;&#x2122;(a)=1, g(a)=-1, gâ&#x20AC;&#x2122;(a)=2 then the value of lim issinđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 5. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x201A;r đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; )â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ANSWER: cos θ en the value ofFor limwhat israte ANSWER: 5. of x3 - 2x2 + 3 11.If2x = r cos q, y2= r sinθ then 2the đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;increase 18. ofthe xofthe increase 2 dx đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; axis slope the curve theof point, what values xat the rate of where increase -13.

2xThe 8yisq, twice rate of an x? f x3 then - 2x24. + For 3x +đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 8ofisvalues twice rate of increase of the x?of x 14. (x (1 +then x) of has ANSWER: par curve If=+xx3x =isr+a/ cos y- 2)=x = r the sinđ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; ANSWER: cosasymptotes đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; 2 ANSWER: 2 inflexion 23. x = x03x is +a8root of even order for the of equation fâ&#x20AC;&#x2122;(x)=0 then xThe an point.

0curve đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; is twice the rate of increase x?

12. y (x 2)=x (1 + x) has ANSWER: uation fâ&#x20AC;&#x2122;(x)=0 then x = x0 is a/ an ANSWER: inflexion point.

8 2 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? asymptotes y-axis.

2 + x)to 3 2 15. = increase x22(1 defined for ANSWER: -1 < x â&#x2030;¤ ANSWER: ANSWER: of ďż˝ , đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?ďż˝ (x - 2)=x (1 -+x) x)ofishas ANSWER: an asymptotes 14.The Thecurve curveyparallel y(1 therate rate increase x? e of24. x3 -For 2x2what + 3x +values 8 is twiceđ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;xthe of of increase of x?of x - 2x + 3x + 8 is twice 2the rate of 2 13.

The curve y (1 + x) = x (1 x) is defined for ANSWER: 19. The rateđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?of change of area A of a circle of radius r is 2 AND ITS-1A< đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; INTEGRAL 15.r -1 The +7. x) = x2(1 - x) is CALCULUS defined for ANSWER: đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; <ANSWER: xcurve â&#x2030;¤ x y (1 ďż˝ , đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?ďż˝ The rate change of area A of a circle of radius is 2đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?r ANSWER: radius ANSWER: r25. is ANSWER: đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; of2đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?r đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;

2

2

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ AND đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 7. INTEGRAL CALCULUS ITS đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; 20.

The C of Lagrangeâ&#x20AC;&#x2122;s Mean Value theorem for the 1. The area đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; 1CALCULUS and its auxiliary circleITS (a INTEGRAL 2 the7.

2 of area A 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?is 2 = of 25. radius r israte ANSWER: 2đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?r of change of a circle oftheorem radius1r1/2. is ANSWER: 2đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?rbetween 26.

The Cf(x)=x off(x)=x Lagrangeâ&#x20AC;&#x2122;s Mean for the function f(x)=x +2x-1ellipse a=0, ANSWER: 1/2. AND đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;b=1 2 for theThe function +2x-1 b=1 ANSWER: đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; function +2x-1a=0, a=0, b=1Value isisANSWER: /2.

APPLICATIONS đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 22 from x=0 to x=4 is rotated 2 em for function f(x)=x2+2x-1 is ANSWER: 1/2.

2. volume when y=â&#x2C6;&#x161;3 26.the The CThe of Lagrangeâ&#x20AC;&#x2122;s theorem for the function f(x)=x +2x-1 a=0, the b=1 isand ANSWER: 27. statement: â&#x20AC;&#x153;If f b=1 has local extremum (minimum or maximum) atthe ccurve is fâ&#x20AC;&#x2122;(c) exists thenits f`(c)=0â&#x20AC;?

21.

The statement: â&#x20AC;&#x153;If fa=0, aValue local extremum (minimum 1.The The area between ellipse = 1 and auxiliary circ x + y1/2. (minimum or maximum) atMean chas and isafâ&#x20AC;&#x2122;(c) exists then f`(c)=0â&#x20AC;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 = 1 and its 1.

The area between the ellipse b a andisiffâ&#x20AC;&#x2122;(c) fâ&#x20AC;&#x2122;(c)exists existsthen thenf`(c)=0â&#x20AC;? f`(c)=0â&#x20AC;? um (minimum or or maximum) maximum) atatccand 2 2 27. The statement: â&#x20AC;&#x153;If f has a local extremum (minimum or maximum) at c and is fâ&#x20AC;&#x2122;(c) exists then f`(c)=0â&#x20AC;?

3. The auxiliary area of the curve - 5) (x - 6)2Ď&#x20AC;a(a-b) between x=5 and x=6 is circle (a > yb)=(x is ANSWER: ANSWER: Fermatâ&#x20AC;&#x2122;s Fermatâ&#x20AC;&#x2122;sTheorem.

Theorem. is ANSWER: is 2. The volume when the curve y=â&#x2C6;&#x161;3 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 from x=0 to x=4 is rot 2 1 2.

The volume when the curve y=â&#x2C6;&#x161;(3+x ) ANSWER: Fermatâ&#x20AC;&#x2122;s is28.

22.

The velocity v vofofaTheorem. particle moving alongalong a The velocity a particle moving a strainght when aâ&#x2C6;&#x2019; distance x from the origin 4. The line value of â&#x2C6;Ť0 at đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)4 dx 1/30. is given distance x from the isorigin 2 is ANSWER: 2 ngstrainght a strainghtline line when when atata a distance x from the origin given is given 3. The area of the curve yèâ&#x201E;˘M&þô =(x - 5) (x ĂľNè£â&#x20AC; ÂŽ - 6) between x=5 and x=6 28. The velocity v2of 2a particle moving along a strainght line when at a distance x from the origin is given đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; by a+bn =x where ađ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;andđ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; b are constants. Then5.the Theacceleration area f the region bounded by the graph of y=sinx and y=cosx nts.

Then theacceleration acceleration is is ANSWER: 1 is ANSWER: Then the ANSWER: đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192; 4. The value of â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(1đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)4 dx isđ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192; ANSWER: 1/30. đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192; 2 2 by a+bn =x where a and 2b are constants. Then the acceleration is ANSWER: â&#x2C6;&#x17E; 5 â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192; NSWER: 29.

(-â&#x2C6;&#x17E;, The 0) (-â&#x2C6;&#x17E;, đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; = ANSWER: â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0) WER: (-â&#x2C6;&#x17E;, 0) function 2f(x)=x is decreasing in ANSWER: 6. đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; 5.

The area f the region bounded by the graph of y=sinx and y= The function f(x)=x is decreasing in ANSWER: (-â&#x2C6;&#x17E;, 0) m is29.

ANSWER: f(a) = f(b) 30. One of the conditions of Rolleâ&#x20AC;&#x2122;s theorem is ANSWER: f(a) = f(b) 2

2

43

2

2

2 2 đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

The x=5 and x=6 isintegral ANSWER: 6. 2 - 4D + 4)y = e2x is ANSWER: ANSWER: 3. cos đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; area of the curve y =(x2 - 5) (x - 6) between7.

A particular of (D đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 2x (2v + v )dx = 0 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? orderintegral and degree differential equationey`+(y 7.8.A The particular of (D2 -of 4Dthe + 4)y = e2x is ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

1 4 2 4. The value of â&#x2C6;Ť0 parallel đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) is ANSWER: 1/30. 8. The order and degreeđ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?of the differential equation y`+(y``) has ANSWER: an asymptotes to dx y-axis.

2x order and degree of equation y`+(y``)2=x(x +=y 7. A particular integral (D2 2 - 4D + 4)y8.9. =The eThe is differential ANSWER: equation e2x the differential obtained by eliminating a and 2 of đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 ) is defined ANSWER: -1 x â&#x2030;¤ +x v )dx = 0ellipse 5.

The area fbetween the<(2v region bounded by the graph y=sinx and y=cosx between x=0 ANSWER: â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?-12đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?a(a-b 1.for The area the + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2the =of 1 its auxiliary circle (a+and > b)x=is ANSWER: 2 đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;1by 9.and The9. differential equation eliminating a and b2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 area ANSWER: 8. The order and degree differential equation y`+(y``) =x(xobtained y``)2 respectively đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2 of The differential equation obtained by eliminating and b from yf 10.

Integrating factor of + y = is ANSWER: log đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 2x 2 2 2x â&#x2C6;&#x17E; 5AND đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ RAL CALCULUS APPLICATIONS 7.

A particular integral of (D 4D + 4)y = e is ANSWER: e â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ITS 6. â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; = ANSWER: đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 11 3x 2 2-3x đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; 9. The differential equation eliminating a factor and bof from isANSWER: ANSWER: -x9y 10.

Integrating yequation is is log xlog 10. by Integrating factor of ++ y=ae y+==be ANSWER: 2. The volume when curve y=â&#x2C6;&#x161;3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 from x=0 tofinding isthe rotated about x-axis is2. ANSWER from x=0 to x=4 isthe rotated about x-axis is+ obtained 7.

Integrating factor isANSWER: 2 x=4 2 In differential corresponding đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? to y đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľare 8. The order and degree of the differential equation11. y`+(y``) =x(x + y``) respectively ANSWER: 2, đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 = 1 and its auxiliary circle (a > b) is ANSWER: 2đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?a(a-b) log x 100 Ď&#x20AC; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 1the area 2 of the ellipse ANSWER: volume 7. The of the obtained by revolving + = 1equation about its major andto y=emx wher m 2 3x đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;` In finding the corresponding đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 3 solids 2 2 10.

Integrating factor of + eliminating y =In 11. is ANSWER: log x +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2be-3xequation đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;differential 11. differential corresponding 2finding ANSWER: The differential equation obtained a In and bthe from y=ae isequation ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; - by đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D; between đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ8.

3. The3. area of9.of the curve 6) x=5 and x=6 is ANSWER: 6.- 9y = 0 to to y=e finding the differential corresponding đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; 2y =(x 2- 5) (x đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 2 The area the curve y =(x 5) (x 6) between x=5 to x=4 is rotated about x-axis ANSWER: â&#x2C6;&#x161;3 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ from x=0 mx đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;` minor axes are in11. the ration (a >isb) y=e where is the mx arbitrary constant, then m is đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;b : a đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;` tomy=e đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ANSWER: 1 2 ANSWER: corresponding where m is the arbitrary constant, the and x=610. is ANSWER: 6. the ANSWER: đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; Integrating factor of differential + y =equation is ANSWER: log x 1 In finding 1/3 4 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; y` 1 ) (x - 6) between x=5 and x=6 is ANSWER: 6.

4. 8.The value of đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) dx is ANSWER: 1/30. ďż˝1is+ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;

ANSWER: /y â&#x2C6;Ť 12. The degree of0) theand differential equation = The generated by4 dx rotating at (0, 0), (3, (3, 3) about x-axis 1/30. with vertices đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;` the triangle 4. volume The value of0â&#x2C6;Ť0 x(1-x) is ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; mx đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

1/3 ANSWER: 11. In finding the differential equation corresponding to y=e where m is the arbitrary constant, then đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; m isđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; ďż˝1 +equation đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 1/3 isđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;ANSW 9.

The order and degree of the differential 12.

The degree of the differential equation = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER: 1/30.ANSWER: 5. The area9fđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?the region bounded by the graph of y=sin đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? (1is ďż˝1đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;+ equation The degree between ofequation the 12. The degree differential 2of the đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;` (1 + y`)order =and y`2 and are ANSWER: 1, 1.differential 5. The area the graph of13. y=sinx y=cosx x=0 and x= đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?AN đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; x and fy=the cosANSWER: xregion betweenđ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;bounded x=0 and x=Ď&#x20AC;by /4đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 1/3 đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; 13.

The order and degree of the differential equation (1 + y`)2đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;= y`2 ďż˝ 12.

The degree of the differential equation 1 + = is ANSWER: 6. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? by the graph of y=sinx and y=cosx between x=0 and x= ANSWER: â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?-110.

If If coscos xand integrating factorfactor of the differential â&#x2C6;&#x161;2-1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;is đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; of the đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;xan 14. an of the differential 13.is The order equation (1 +equ y`) ďż˝isdegree 1/3 ANSWER: ďż˝ đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;thendifferential 9. â&#x2C6;&#x17E; The arcâ&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ length of the curve y=f(x) đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ++ďż˝integrating đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; fromđ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; x=a to x=b đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; â&#x2C6;Ťđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? dy equation /dx Py Pof the differential equation đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;6. ďż˝1 + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; -4x 12. degree of the differential equation = is ANSWER: 2 = Qfactor 2 6. â&#x2C6;Ť0 6.đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5 â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x17E;0 x5 xđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ANSWER: 14.

If cos x is an integrating đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? dx=The =13.

ANSWER: The order and equation (1 + y`) = y` are ANSWER: 1, 1. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; degree of the differential =xANSWER: -tan xequation 15.

The differential of with centre at t 14.

If cos is an integrating factor of all thecircles differential 10. 7.

The surface area of the solid of revolution of the region bounded x=0 and x=2 x-axis is equation The volume of the solids obtained theequation 13.

The order and degree ofby therevolving differential (1 +differential y`)2 =by y`2 y=2x, are ANSWER: 1,circles 1. 2 about đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; of all 15.differential The equation with centre at at the origin 2 2 2 11.

The differential equation of all circles with centre 14.

If cos x is an integrating factor of the equation + Py = Q then P= ANSWER: -tan xi đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś area ellipse =11 about about its major and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;ellipse if f`(x) = â&#x2C6;&#x161;equation đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ and = 2 then f(x) is ANSWER: (x â&#x2C6;&#x161;ođ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; ed by revolving the areaof ofthe the ellipse + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 =obtained itsby major and The16. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 7. The volume of the solids revolving the area of thef(1) 1đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? about its 15. differential at đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;the the origin is+ANSWER: dxANSWER: +circles yđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;dy = with 0đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?-tan 2 + 2 =xcentre ANSWER: 4â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; 14.

If đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? cos x isđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; 2an integrating factor of the differential equation Py = Q thenofxP=all 16.with if f`(x) = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ at andthe f(1) = 2 then f(x) is ANSWER: 2) â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; =+ 0 15. differential equation ofb all centre origin is ANSWER: x dx + đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;y(xdy : a circles minor axes are in The the ratio (a > b) ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

12. if f`(x) = â&#x2C6;&#x161;x and f(1) = 2 then f(x) is > b) ANSWER: b : a đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?Ď&#x20AC; differential đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?circles with centre đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; 15.

The equation of all at the origin is ANSWER: x dx + y dy = 0 16. if f`(x) and f(1) = 2 then ANSWER:equation (xâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; + 2 11.

The value đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;4the đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; dx đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;ration isANSWER: ANSWER: 17. and degree off(x) the is differential â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;Ť ANSWER: b :=The aâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľorder minor axes are in (a > b) đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 8.

The valueofof sin x is đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; 016. đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; if f`(x) = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ and f(1) = 2 then f(x) isANSWER: ANSWER: (xâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;degree + 2) of the differential equation 17. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? The orderđ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;and ing the triangle with vertices16. at ifđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?(0, 0),=3 â&#x2C6;&#x161;(3, 0) and (3, 3) about x-axis is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? - y + ďż˝đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; Ď&#x20AC;/4 f`(x) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ and f(1) = 2 then f(x) is ANSWER: (x + 2) đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x161; 9. The value of â&#x2C6;Ť0 cos 2x dx is ANSWER: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?1/3 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; 18.

The differential of the family of lines yđ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;= ab mx đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;3) đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;/đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 0) equation 8. 12.

TheThe volume rotating đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;the triangle with vertices atequation 0), (3, and (3, 13.

The order and degree of differential equation value ofgenerated is ANSWER: đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; â&#x2C6;Ťđ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;by 17. The order and degree of(0, thethe differential đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; equation đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; 18.

The differential family of lines y = mx is ANSWE đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? - y đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;/đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;of the đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 17. The order of the differentialđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;equation + đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; ďż˝ = 0 are ANSWER: 3, 3 10. The area bounded by the line yand = x,degree the x-axis and the đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;- đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;y + ďż˝ đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 17. The order and degree of the - y amount + ďż˝ đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; + present ďż˝ đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; = 0inare ANSWER: 3, element 3.

19.

The a radioactive disinteg ANSWER: 3, 3.

are 3/2differential equation đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; ordinate x=1 and x=2 is ANSWER: 19.differential The amount present in aof radioactive element disintegrates at A a ANSWER: 9 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?18.

18.family The equation theydx family of=lines y = mx is đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192; The differential đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? equation of the of lines y = mx is ANSWER: + xdy 0. Ď&#x20AC;/4differential ďż˝đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? + ďż˝ ďż˝equation of =the the family of lines14. y =The mx differential is ANSWER:equation ydx + xdy 0.family of lines y = mx đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; (x) from x=a to x=b is ANSWER: 11. The value18. of The â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;Ť-Ď&#x20AC;/2 x) dx isofANSWER: 0. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? (sinx/2+cos The differential equation corresponding to the above đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 10 is ANSWER: ydx + xdy =rate 0. of proportional The differential equation to the above statemen amount present in aatradioactive element disintegrate 2 19. The 19.amount The amount in xa2 +radioactive element disintegrates acorresponding to its amoun yelement 19.ofThe present in a radioactive disintegrates at a rate of proportional to itsđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; amount đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? (p).

12. region The volume the solid obtained bypresent revolving đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x192; = 1 is15. of revolution of the bounded by y=2x, x=0 and x=2 about x-axis đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 9 16 ďż˝ Solution of dx/dy ++mx =â&#x2C6;Ť 0=where m <ďż˝0mis<ANSWER: ANSWER: ďż˝ đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 9. The arc length of the curve y=f(x) from x=a to x=b is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? + mx 0 where 0 is ANSWER: x= 20. solution of đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; about the minor axis is ANSWER: 64Ď&#x20AC; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? is (k -myof +isđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; mx where mANSWER: <is0negative) isđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; ANSWER: = ce-my stat 20.

The differential corresponding to the The differential equationequation corresponding to the above statement (k is= 0 negative) = đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;xabove The differential corresponding to the above statement ANSWER: xsolution = ce đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;equation

đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;

7. INTEGRAL CALCULUS AND ITS APPLICATIONS

13. The area bounded by the parabola y2=x and its latus

NSWER:

ANSWER:

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

2/3 đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; of the curve X2/3+Y 14. The length of đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; the arc = 4 is 2 2

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;

11.

12.

-my

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 17. The integrating factor of the differential equation

y=

2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 21.

If = đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; then đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;ANSWER: x -y -2xy =2 c 2 22.dyThe the differential equation 0 y integrating tan x = cos x factor is ofANSWER: cos x đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; ANSWER: 4â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? factor theofdifferential 0 y tanđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; x= 21.

If đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;+đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; = then ANSWER: x21.

-y -2xy ANSWER: 48 đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; If 22.=The =cdx integrating then ANSWER: x2-y2-2xy =equation c

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;+đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;+đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 2the general solution of the differential Ď&#x20AC; 18. y =y0cx - c2-2 xis 2 23. =ycx is the solution of the differential e 22. integrating of the differential equation =the cosgeneral x isgeneral ANSWER: costhe x differential 15. The value ofThe â&#x2C6;Ť0đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?sin x đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; cos3 xfactor dx is ANSWER: 0. đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

23. yđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;= cx -tan c iscđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; solution of equation AN equation ANSWER: 22.

The integrating factor of the differential equation 0 y tan(y`) x =2-xy`+y=0 cos x is ANSWER: cos xđ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; The value of đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; is ANSWER: â&#x2C6;Ťđ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 22.

The integrating factor of the differential equation 0 y t 2a 2 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 16. â&#x2C6;Ť0 f(x) dx= ANSWER: f(2a-x) =solution -f(x) of the đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?differential đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 23. y0 =if cx - c is the general equation ANSWER:factor (y`)đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;-xy`+y=0 24.

The integrating =ANSWER: e4x is ANSWER: x 24.

The integrating factor of of + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;= +e4x2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľis xx22 đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 19.

The integrating factor is 10 2 2ANSWER: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 23. c b is the general solution of the differential equation ANSWER: (y`) -xy`+y=0 đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? y = cx -â&#x2C6;Ť 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś ANSWER: f(a+b-x) 17. â&#x2C6;Ťab f(x) dx = cxThe -x2ccomplementary is the generalfunction solutionofof the equat 2 2x đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? y 20. a 24.=The integrating factor of dx + 2 = e4x 23. is ANSWER: 2differential đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; + 1)y =iseANSWER: đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 25.The The complementary function of (D =ise2x is ANS 25. complementary function of (D2(D + 1)y = +e2x1)y Ac The value of đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; is ANSWER: Ď&#x20AC; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 4x 4 đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;0 sin 18. The value of â&#x2C6;Ť x dx is ANSWER: 24.

The integrating factor3 of 2 + 2 đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; = e2x isANSWER: ANSWER: A x2cos x + Bđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;sin x đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 4x 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = e is ANSWER: A cos x + B sin x 25. The complementary function16 of (Dđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; + 1)y 24.

The integrating factor of + 2 = e is ANSWER: x 26. differential equation formedformed A and B from y 26.The The differential equation by eliminating A and đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ by eliminating â&#x2C6;&#x17E; -mx 7 2x 7 by eliminating x The by eliminating A and 25. of (D221. + A1)y is ANSWER: x x) + Bis sin x 19. The value ofThe â&#x2C6;Ť e The x complementary dx is ANSWER:function 26. and=differential Be from y=eequation (A cos xAformed +cos B sin 0 differential equation formed 2 2x x 7(m+1) 25. The complementary ANSWER: +2y 0c o =s 0 B f r o m yy2-2y =ye21-2y ( A1=+2y + B s i n= xe ) is i sANSWE ANSWER: function ofx (D + 1)y x 20. The area bounded by the parabola y02=x and its latus by eliminating ANSWER: y2-2y 26. The differential formed A andyB-2y from is 1+2y = equation ANSWER: +2yy=e = 0(A cos x + B sin x) 10 2 2 1 27.

The differential equation corresponding to xy = ctowhere an 8 27.

The differential equation corresponding xy = c2isBwh rectum is27.

ANSWER: 26.

The formed byANSWER:xy`+y=0 eliminating A and f 2 The differential corresponding to xy = cdifferential where c is anequation arbitrary constant, is 2 3 equation ANSWER: y2-2y1+2y =0 22.

The differential equation corresponding to xy = c x 2 2 21. If In = â&#x2C6;Ťsin dx then In = đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; w h exy r edifferential c2 where i s+2y a nc=equation a0ran bďż˝đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; i tarbitrary y 1/3c=ox5y niss1/3 tANSWER: a=nxt ,is sof order 1 ANSWER: y=2c-2y 28.

The differential equation ďż˝r a+ r5y đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 2 1/3 28. is iANSWER:x ANSWER: 27.

The n-1 differential toThe is đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 28. The equationequation ďż˝ ďż˝ + 5ycorresponding = x is ANSWER: of order 11 and degree 2. ďż˝đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;ďż˝ +constant, 1 differential đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; sin x cos -x n-1 In-2 ANSWER: ANSWER: xy +y = 0 2 2 y n n 27. differential equation xy 2 2The -y is=ANSWER: 2c wheree 29.

The integrating factor ofcorresponding dx of + xdx dy += xe-ydy secto y edy 29. The integrating factor ofequation dx + x dyďż˝=đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;eďż˝-ysec y 1/3 dy isx ANSWER: ey of 29.

The integrating factor = sec y dy is AN 28.

The differential + 5y = is ANSWER: order 1 and degree 2. dx / dy ) 2+ 5y 1/3= x is 8. DIFFERENTIAL EQUATIONS đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 23. The differential equation ( đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 2 2 đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; 2 2x đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; equation ďż˝ethe + 5y1/3 of đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; o đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 2 đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; y ďż˝degree ANSWER: ofďż˝degree order 1ofand 2.= x is ANSWER: + Doffactor - the 14)y = 13e 1. The particular integral of (3D 29.

The and integrating of dx +28. xisequation dyThe =30. e-ydifferential sec y dy is ANSWER: The order and differential đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; + ďż˝ 30. The order degree differential = are ANSWER: 2, 4 equation đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? = ďż˝đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; +đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;ďż˝đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; ďż˝đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; ďż˝ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;The đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; and degree of the differential equation 2x đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 30. order đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

ANSWER: xe đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 24. integrating The integrating factor dx+2 +xđ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; xdy dy==ee-y-ysec sec22yy dy dy is 29. The factor ofof dx is ANSWE đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; y 2. The particular integral of the differential equation 30. The order and degree of the differentialANSWER: equation eđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? = ďż˝đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; + ďż˝ ďż˝ ďż˝ are ANSWER: 2, 4 đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; f(D)y=eax where f(D)=(D - a) g(D), g(a) â&#x2030; 0, is đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

129. DISCRETE MATHEMATICS, GROUPS ax 12 đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? = ďż˝đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; xe 30.

The order and degree of the differential equation ANSWER: a đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 12 (g( )) 3. The order and degree of the differential equation 1. `+` is not a binary operation on 12 Q-{0} ANSWER: sin x (dx + dy) = cos x(dx - dy) are ANSWER: 1, 1.

4. If y=ke Îťx then its differential equation is 2. The conditional statement pâ&#x2020;&#x2019;q is equivalent to y 12 ANSWER: {~P} V q ANSWER: d = Îťy dx 5. A particular integral of (D2 - 4D + 4)y = e2x is 3. The value of [3] + 11([5]+11[6]) is ANSWER: [3] đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

2x - 4D + 4)y = e isANSWER: ANSWER: e2x 4. The number of rows in the truth table of ~[p Î&#x203A; (~q)] đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? is ANSWER: 4.

6. The order and 2 degree of 2the differential equation he differential equation y`+(y``) =x(x+ +y``) y``) 2 respectively areare ANSWER: 2, 2.

2 y`+(y``) =x(x respectively 5. In a multiplicative group of nth roots of unity, ANSWER: 2, 2. đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 3x -3x the inverse of Ď&#x2030;k where k < n is ANSWER: Ď&#x2030;n-k obtained by eliminating a and b from y=ae + be is ANSWER: - 9y = 0 đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 2x2-y 2 2-2xy = c đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; 16.

21. = then then ANSWER: đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 2 2x 10. The rectum surface area of solid of =revolution of region bounded y=2x, x=0 a ANSWER: = c and xx=2 =0 < 0 is ANSWER: x If=đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;ce solution of 2the đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

IfANSWER: = đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;+đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; ANSWER: xby -ym-2xy =isc ANSWER: đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; is20.

ANSWER: /3 +ofmx + where mx 0mwhere m< 021. isthe =then ce 20. solution đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; =-my 0 where <-y0 -2xy = ce-m 20. solution đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;of đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;+đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160; +xmx đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x160;

ď Ź

HŠóþK 16 & 28,2014ď ŹÂ°Ć&#x2019;°ùâ&#x20AC;&#x17E; CIâ&#x20AC;ş

is ANSWER: log x

44

equation corresponding to y=emx where m is the arbitrary constant, then m is

6. Given E(X + C) = 8 and E(X - C) = 12 then the value of C is ANSWER: -2.

mean Îź, then â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x17E;-â&#x2C6;&#x17E; f(x)dx is ANSWER: 1.

7. The order of [7] in (Z9, +9) is ANSWER: 9.

8. If X is a discrete random variable then P(X â&#x2030;Ľ a) is equal to ANSWER: 1 â&#x20AC;&#x201C; P(X < a)

8. Let p be â&#x20AC;&#x2DC;Kamala is going to schoolâ&#x20AC;&#x2122; and q be â&#x20AC;&#x2DC;there are twenty students in the classâ&#x20AC;&#x2122;.

9. In a poisson distribution if P(X = 0) = k then the variance is ANSWER: log 1/k

â&#x20AC;&#x2DC;Kamala is not going to school or there are twenty students in the class stands for ANSWER: ~p V q

10. In a binomial distribution if n=5, P(X = 3) = 2P(X = 2) then ANSWER: p = 2q.

9. p â&#x2020;&#x201D; q is equivalent to ANSWER: (p â&#x2020;&#x2019; q) Î&#x203A; (q â&#x2020;&#x2019; p)

11. Variance of the random variable X is 4, its mean is 2. Then E(X2) is ANSWER: 8.

10. In the set of integers under the operation * defined by a*b=a+bâ&#x20AC;&#x201C;1 the identity element is ANSWER:1.

11. If p is true and q is unknown then ANSWER: p V q is true.

12. In a set of real numbers R an operation * is defined by a * b = â&#x2C6;&#x161;(a2+b2) then the value of (3*4) * 5 is ANSWER: 5â&#x2C6;&#x161;2 13. In the group (Z4, +4) 0 ([3]) is ANSWER: 4.

14. A monoid becomes a group if it also satisfies the ANSWER: Inverse Axiom.

15. In the group (G, *), G = {1, -1, I, -i}. order of -1 is ANSWER: 2.

16. If a compound statement is made up of three simple statement then the number of rows in the truth table is ANSWER: 8.

12. In 16 throws of a die getting an even number is considered a success. Then the variance of the successes is ANSWER: 4.

13. For a standard normal distribution the means and variance are ANSWER: 0, 1.

14. Given E(X + C) = 8 and E(X - C) = 12 then the value of C is ANSWER: -2.

15. The distribution function F(X) of a random variable X is ANSWER: a non-decreasing function.

16. If a random variable x follows Poisson distribution such that E(X 2)=30 then the variance of the distribution is ANSWER: 5.

17. X is a random variable taking the values 3, 4 and 12 with probabilities 1/3, 1/4 and 5/12 respectively.

Then E(X) is ANSWER: 7.

17. In (N, *), x * y = (x, y) x, y â&#x2C6;&#x2C6; N then (N, *) is ANSWER: Only a semi group.

18. Îź2=20, Îź2`=276 for a discrete random X. Then the mean of the random variable is ANSWER: 16.

18. In congruence modulo 5, {x â&#x2C6;&#x2C6; z/x = 5k + 2, k â&#x2C6;&#x2C6;z} represents ANSWER: [5]

19. For a Poisson distribution with parameter Îť=0.25, the value of the second moment about the origin is ANSWER: 0.3125.

19. In (S, *) * is defined by x * y = x where x, y â&#x2C6;&#x2C6; S then * is ANSWER: only associative.

20. A discrete random variable X has probability mass

function p(x) then ANSWER: O â&#x2030;¤p(x) â&#x2030;¤1 10. PROBABILITY DISTRIBUTIONS 10. PROBABILITY DISTRIBUTIONS

21. A bag contains 6 red and 4 white balls. If 3 balls đ??´đ??´đ??´đ??´ 1 1. If f(x)= , -â&#x2C6;&#x17E;<x<â&#x2C6;&#x17E; isisaap.d.f. ofofa continuous random variable X, then the value2of A is ANSW are drawn at random, the probability of getting 2 1. p.d.f. a đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; 16+ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ white balls, without replacement is ANSWER: continuous random variable X, then the value of A 3/10 2. isVar (4x + 3) ANSWER: 4. is ANSWER: 16 Var(X)

22. If the mean and standard deviation of a binomial 2.3. Var + 3) is ANSWER: 16 Var(X) In a(4xpoisson distribution, if P(X = 2) = P(X = distribution 3) then the value of its parameter đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; is ANSWER: are 12 and 2 respectively, then the 3. In a poisson distribution, if P(X = 2) = P(X = 3) value of its parameter p is ANSWER: 2/3 -x2+3x 4. then Forthe thevalue p.d.f. ofparameter the normal distribution ; -â&#x2C6;&#x17E; < x <â&#x2C6;&#x17E; the mean đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x153;&#x2021;= ANSWE of its Îť is ANSWER: 3. function f(x) = Ce 23. The mean of a binomial distribution is 5, and its 4. For the p.d.f. of the normal distribution function deviation is 2. Then the values of n and 5. f(x) For= aCebinomial distribution with mean 2 andstandard variance 4/3 p is equal to ANSWER: 1/3.

-x2+3x; -â&#x2C6;&#x17E; < x <â&#x2C6;&#x17E; the mean Îź= ANSWER: p are ANSWER: (25,1 ) 3/2 5 6. The random variable X follows a normal 24. distribution whose probability function is given by For a Poisson distribution with parameter Îť=0.25 5. For a binomial distribution with mean 2 and the value of the 2nd moment about the origin is 1 variance 4/3 â&#x2C6;&#x2019; p is(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;100) equal to2 ANSWER: 1/3. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? f(x) = ce 2 the value of C is ANSWER: ANSWER: 25 đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? 0.25 6. In 5 throws of a die, getting 1 or 2 is a success. The ANSWER: successes 7. mean In 5 number throwsofof a die, isgetting 1 or5/3.

2 is a success. The mean number of successes is ANSWER: 7. If f(x) is a p.d.f. of a normal distribution with

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â&#x2C6;&#x17E;

8. If f(x) is a p.d.f. of a normal distribution with mean đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x153;&#x2021;, then â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; is ANSWER: 1. èâ&#x201E;˘M&þô ĂľNè£â&#x20AC; ÂŽ

9. If X is a discrete random variable then P(X â&#x2030;Ľ a) is equal to ANSWER: 1 â&#x20AC;&#x201C; P(X < a)

10. In a poisson distribution if P(X = 0) = k then the variance is ANSWER: log

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x152;

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Women Cry, The Definitive Book of Body Language, Body Language in the Workplace âù 18-&‚° «ñŸ-ð†ì ÅŠ-ð˜

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