Appendice E Metodo di riduzione modale di craig-bampton

Dato un sistema la cui equazione del moto è data da:

Per esprimere i GdL della sottostruttura, modellata ad esempio agli elementi finiti, attraverso un insieme di coordinate generalizzate, si procede distinguendo i GdL fisici come segue:

in cui ui raccoglie i GdL interni (internal) e ub quelli di interfaccia (boundary). L’equazione del moto di un sistema non smorzato, pertanto, può essere anch’essa partizionata come segue:

dove le forze (esterne o di reazione con le altre parti del sistema) agiscono solo in corrispondenza dei nodi di interfaccia. Trascurando inizialmente la componente delle forze di inerzia si possono esprimere i gradi di libertà interni in funzione dei gradi di libertà di interfaccia utilizzando la seconda riga dell’equazione precedente:

Per tener conto degli aspetti dinamici, invece si risolve il problema agli autovalori della sottostruttura con i gradi di libertà di interfaccia ub bloccati:

da cui si ottiene la matrice degli autovettori Ψ che rappresentano i modi di vibrazione della sottostruttura con i gradi di libertà di interfaccia ub bloccati. Per rappresentare il comportamento dinamico di una sottostruttura in una determinata banda di frequenza non sono necessari tutti i modi di vibrazione. Pertanto, i GdL fisici della sottostruttura possono essere approssimati come:

In cui qm è un sottoinsieme dei GdL modali e Ψ m la matrice degli autovettori corrispondenti. La matrice di trasformazione Γ permette di ridurre le matrici di massa e rigidezza del sottosistema: