Tema 5: Probabilidad

Tema 5: Probabilidad

Laura Mora Javier Mรกrquez 2ยบA.

1. Experimentos aleatorios Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir su resultado, es decir, que depende de la suerte o azar.

Cuando se realiza un experimento puede ser de dos clases: -Determinista: un experimento que siempre que se repita con las mismas condiciones iniciales se obtiene igual resultado.

-Aleatorio: cuando al repetirse con las mismas condiciones iniciales, no se puede predecir el resultado.

(Ejemplo: lanzar un dado 贸 extraer una carta).

1. Experimentos aleatorios Los fen贸menos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cu谩l de estos va a ser observado en la realizaci贸n del experimento a pesar de haberlo realizado en similares condiciones.

A la colecci贸n de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.

2. Sucesos. Tipos de sucesos.

Suceso de un fen贸meno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E . Para designar cualquier suceso, tambien llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras may煤sculas.

Al conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimento aleatorio se le llama espacio de sucesos y se designa por S .

2. Sucesos. Tipos de sucesos.

-Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado del experimento; es decir, están formados por un sólo elemento del espacio muestral, por ejemplo, al lanzar un dado que ocurra el suceso "sacar nº 3" {3} -Suceso seguro es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral.

-Suceso imposible es aquel suceso que nunca se cumple cuando se realiza el experimento. Se representa por Ø.

3. Ă lgebra de sucesos. Operaciones con sucesos

El ĂĄlgebra de sucesos S es una familia de sucesos definida mediante los siguientes Axiomas: - Axioma 1 eS - Axioma 2 Si A;B e S entonces _ AUBeS - Axioma 3 SiA e S entonces A e S

3. ร lgebra de sucesos. Operaciones con sucesos 3.1 Uniรณn de sucesos. Sucesos compatibles Dados los sucesos, A y B, de un mismo experimento aleatorio, se llama suceso uniรณn de A y B el que se produce cuando se realiza A o B, es decir, alguno de los dos. Se designa por A U B. Si A y B son dos sucesos compatibles de un mismo experimento aleatorio, se verifica que la probabilidad de la uniรณn de A y B es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos menos la probabilidad del suceso intersecciรณn de A y B:

3. Álgebra de sucesos. Operaciones con sucesos 3.2 Intersección de sucesos Dados los sucesos A y B, de un mismo experimento aleatorio, se llama suceso intersección de A y B el que se produce cuando se realizan simultáneamente los sucesos A y B: Si A y B son sucesos del mismo experimento aleatorio, se tiene que: - Si = ø son incompatibles.

-Si no es = ø son compatibles.

3. Ă lgebra de sucesos. Operaciones con sucesos 3.3 Diferencia de sucesos.

Dados los sucesos, A y B, de un mismo experimento aleatorio, se llama suceso diferencia de A y B y se produce cuando se realiza el suceso A, pero no se realiza el B. Se designa por:

3. Álgebra de sucesos. Operaciones con sucesos 3.4 Leyes de Morgan.

1.ª El contrario de la unión es la intersección de los contrarios.

2.ª El contrario de la intersección es la unión de los contrarios.

4. Definición axiomática de probabilidad Para hacer una definición rigurosa de la probabilidad, necesitamos precisar ciertas leyes que deba cumplir una función de probabilidad. Intuitivamente estos axiomas deberían implicar, entre otras, las siguientes cuestiones, que nos parecen lógicas en términos de lo que se puede esperar de una función de probabilidad: * La probabilidad sólo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1(no puede haber sucesos cuya probabilidad de ocurrir sea del 200% ni del -5%); * La probabilidad del suceso seguro es 1, es decir, el 100%; * La probabilidad del suceso imposible debe ser 0. * La probabilidad de la intersección de dos sucesos debe ser menor o igual que la probabilidad de cada uno de los sucesos por separado

5. Regla de Laplace Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:

6. Probabilidad condicionada Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B. No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

6.1. Sucesos dependientes o independientes El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica la probabilidad del otro, decimos que son independientes y, si se modifica, decimos que son dependientes entre sí.

- Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A ) = P( B ) ó P( A/B ) = P( A ) - Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A ) P( B ) ó P( A/B ) P( A )

7. Teorema de la Probabilidad total El teorema de la probabilidad total afirma que A 1, A 2 ,... , A n son: - Sucesos incompatibles 2 a 2.

- Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E).

- Y B es otro suceso.

Resulta que:

p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )

8. Teorema de Bayes Sea A1, A2, … AN un sistema completi de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta a cero, y sea B un suceso cualquiera para que las probabilidades P(A¡/B). El teorema de Bayes establece que las probabilidades P(A¡/B) vienen dadas por la siguiente expresión:

Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori.

Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori.

Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.