Matemáticas I (Álgebra) Manual de bachillerato Erika Alejandra López Estrada Compiladora
Matemáticas I (Álgebra) Manual de bachillerato Primera Edición, 2009 Dirección de educación a distancia Eduardo Franco Padilla Coordinador editorial Alan Santacruz Farfán Revisión Héctor Alejandro Vázquez Zúñiga Asesoría Pedagógica Erika Alejandra López Estrada Diseño Gráfico de forros para la presente edición Diana Leticia Rebollo Jiménez Formación Daniela Alanis Barrón Universidad La Concordia Dirección de Educación a Distancia, Av Tecnológico 109 Col. Ejido de Ojocaliente, CP 20198, Aguascalientes, Ags. ISBN pendiente Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra – incluido el diseño– por cualquier medio, electrónico o mecánico, sin el consentimiento por escrito del editor.
PRESENTACIÓN
El propósito fundamental de este libro es que el alumno adquiera y construya con habilidad y destreza los diversos métodos para analizar, relacionar, comparar, diferenciar, sintetizar y valorar expresiones algebraicas por medio de teorías que dan respuesta a problemas clásicos de las matemáticas, los cuales favorecerán su desarrollo intelectual, además de su pensamiento organizado y sistemático para cursos posteriores de matemáticas, así como en las demás materias relacionadas con ella. A la par de esta enseñanza se incorporan los objetos de aprendizaje con el fin de ofrecer a los alumnos amplias gamas de aprendizaje significativo, esta práctica educativa requiere una evaluación cuidadosa de sus objetivos: en matemáticas se deben guiar procesos que apunten hacia formas de razonamiento, también se debe tener presente que el álgebra se ocupa, en su aspecto elemental, de la resolución de ecuaciones que surgen del quehacer de la actividad científica para la resolución de problemas. Se pretende desarrollar una enseñanza que logre encontrar en los aspectos específicos de la estructura cognoscitiva y las dimensiones abstractas del alumno, el establecimiento de vínculos entre lo particular y lo abstracto, debido a que las matemáticas son ciencias de lo abstracto. El contenido de este libro busca establecer una relación entre las matemáticas y el mundo material y social del alumno, ya que es realmente importante destacar que las formas de razonamiento y de creación intelectual del alumno, se mantienen estrechamente asociadas a otras partes del razonamiento humano. En la unidad I conocerá los signos del álgebra por medio de la identificación de elementos en expresiones y términos algebraicos, para que de esta manera el alumno desarrolle la notación algebraica, también identificará polinomios a través de ejercicios de suma, resta y multiplicación de polinomios con la finalidad de usar ejemplos para la resolución de expresiones algebraicas, y utilizará el concepto de álgebra por medio de ejemplos demostrativos de variables y constantes, con el fin de que traduzca expresiones del lenguaje común algebraico. En la unidad II realizará la factorización de diversas expresiones algebraicas por medio del uso y la propiedad distributiva para reducir expresiones en sus partes constituyentes, así como también establecerá el factor común de polinomios, binomios o trinomios, a través de métodos de factorización para fines de disminución de expresiones algebraicas. En la unidad III resolverá problemas que impliquen fracciones racionales a través de la utilización de reglas de simplificación, suma, resta, multiplicación y división, para presentar solución a diversas expresiones. En la unidad IV analizará problemas en donde se utilicen ecuaciones de primer grado con una, dos y tres incógnitas, mediante métodos algebraicos y su interpretación gráfica, a fin de emplear principios de solución a dichas ecuaciones. En la unidad V analizará situaciones en las que se apliquen ecuaciones de segundo grado, por medio de métodos algebraicos a fin de encontrar su solución e interpretación. En la unidad VI examinará problemas en donde intervengan desigualdades e inecuaciones, por medio de sus propiedades para encontrar solución a dichos problemas ayudándose de gráficas, valores absolutos y planos de coordenadas.
UNIDAD I EXPRESIONES ALGEBRAICAS Objetivos Al finalizar la unidad, el alumno: • Conocerá los signos del álgebra por medio de la identificación de elementos en expresiones y términos algebraicos, para que de esta manera desarrolle la notación algebraica. • Identificará polinomios a través de ejercicios de suma, resta y multiplicación de polinomios con la finalidad de usar ejemplos para la resolución de expresiones algebraicas. • Utilizará el concepto de álgebra por medio de ejemplos demostrativos de variables y constantes, con el fin de que traduzca expresiones del lenguaje común algebraico. Introducción El concepto de la cantidad en álgebra es mucho más amplio que en aritmética. En aritmética las cantidades se representan por números y estos expresan valores determinados. Mientras que en álgebra se utilizan, además de números concretos, las letras del alfabeto para representar cantidades (números) conocidas o desconocidas; es decir, los símbolos que se utilizan en el álgebra para representar cantidades son los números concretos y las letras del alfabeto. Entonces podríamos decir que el álgebra presenta una estructura con las siguientes características: • • •
Consta de un conjunto de símbolos que expresan números más complejos. Consta de las operaciones algebraicas (operaciones de adición (+), sustracción (-), multiplicación (x), división (÷), potenciación y radicación (√) Las propiedades de las operaciones.
1. Notación algebraica Álgebra: Es una rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos para efectuar cálculos y resolver problemas. Fórmulas algebraicas: Es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general. Son una consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras.
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Así la geometría enseña que el área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura, luego llamando al: Con estas letras A= área del rectángulo equivale a formar la b= base A=bxh siguiente fórmula h= altura
Haciendo alusión a la anterior formula se puede resolver el siguiente rectángulo aplicando la fórmula anterior.
altura: h=2
Esto representará de un modo general el área de cualquier rectángulo, pues el área de un rectángulo dado se obtendrá con solo sustituir b y h en la formula anterior por sus valores en el caso dado.
base: b=3 Aplicación de la fórmula anterior: A= b x h = 3m x 2m = 6m En álgebra se trata de establecer un principio que generalizado puede aplicarse en otros problemas semejantes. Signos del álgebra
• • •
Signos de operación Signos de relación Signos de agrupamiento
Signos de operación: Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación se efectuarán en forma similar que en la aritmética; dichas operaciones las expresan los siguientes signos: a) El signo de la adición es: (+). 6a + b
b) El signo de sustracción es: (-). c-d
c) El signo de multiplicación es: (x), ejemplo a x b; también se usa “un punto” entre los factores. a . (k) (l)
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e) El signo de la potenciación es el “exponente”, que es un número que se escribe en la parte superior derecha de una literal, número o expresión, indicando el número de veces que la literal, número de expresión que se denomina base, se toma como factor.
m4= (m) (m) (m) (m)
2 3= (2) (2) (2)
(3 xy) 2= (3 xy) (3 xy)= 9 x2y2
Se sobreentiende que su exponente es la unidad.
a – b1
3 = 31
5 xy = 51 x1 y1
f) El signo de radicación es: (√ ) llamado radical, dentro de este signo se coloca la expresión a la cual se le va a extraer la raíz. √ 2 a
Extraer la raíz cuadrada de 2a
3 √ 8 x2 y
Extraer la raíz cúbica de 8 x2 y
Signos de relación: Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son:
= que se lee igual a
a = b se lee “a igual a b”
> que se lee mayor que
x + y > m se lee “x + y es mayor que m”
< que se lee menor que
a < b + c se lee “a menor que b + c”
Signos de Agrupación: Son los siguientes: ( ) Pérentesis
Corchetes
Llaves
Coeficiente: Es el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor. Así en el siguiente producto: 3a el factor 3 es coeficiente del factor e indica que el factor a se toma como sumando tres veces, o sea como sigue:
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3a= a + a +a
Estos son coeficientes numéricos
5b= b + b+ b + b + b
En el producto ab, el factor a es el coeficiente del factor b, e indica que el factor b se toma como sumando a veces, o sea;
Estos son coeficientes literales
ab= b + b+ b + b … a veces
Ejercicio 1. Desarrolle los siguientes coeficientes
8a= 6c= 9 b= 1.1 Cómo escribir expresiones algebraicas Para hacer más visual la escritura vamos a suponer que una barra de chocolate cuesta 5 pesos. Entonces 5 x 2 es el costo de dos barras de chocolate, 5 x 3 es el costo de tres y así sucesivamente. En general, para calcular el costo de cualquier cantidad de barras de chocolate se multiplica por 5 pesos por el número de barras de chocolate. Podemos representar esta situación con una expresión algebraica.
5
x
Número de barras de chocolate
5
x
n
La letra n representa un número desconocido, en este caso las barras de chocolate. La incógnita n se denomina variable porque su valor varía. Una expresión algebraica contiene al menos una variable y al menos una operación matemática, como se muestra en los siguientes ejemplos:
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h ÷ 3 5n + 1
r – 1 t
xy
4xa
Una expresión numérica contiene sólo números y operaciones matemáticas. Por ejemplo 9 + 1 ÷ 2 es una expresión numérica. En una expresión en donde haya una multiplicación, las cantidades que se multiplican se llaman factores y el resultado es el producto.
9 x 3 x 7 = 189
producto
factores
Para escribir una expresión de multiplicación, como 7 x b, se puede usar un punto o un paréntesis; mientras que para expresar una división se puede utilizar una línea. 7•b 7 (b) (7) (b) 7b
7xb
t 2
significa
t÷2
El resultado de una expresión de división se llama cociente. Para resolver problemas en matemáticas es importante que aprenda a convertir las palabras en expresiones algebraicas. El siguiente cuadro presenta algunas de las palabras y frases que se usan para indicar operaciones matemáticas.
Suma División Más la suma de Dividido entre el cociente aumentado en más que de la razón de por sumado a el total de Álgebra Resta Resta Diferencia de disminuido Diferencia de disminuido en restado de menor que en restado de menor que sustraído de sustraído de
1
La suma de k y 18 m + 18
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2
a dividido entre b a ÷b o a b
Ejercicio 2. Escribe la expresión algebraica para cada expresión verbal.
a. b. c. d.
26 disminuido en w 4 más 8 por y La suma de a y b z dividido entre y
Una ecuación es un enunciado matemático que contiene un signo de igual (=). Algunas palabras que se emplean para indicar los signos de igual son: igualdad Es igual a Es lo mismo que Es como Es idéntico a
Igual a Es Es equivalente a
Una ecuación puede incluir números, variables o expresiones algebraicas. 1.2 Orden de las operaciones Algunas expresiones tienen más de una operación. El valor de la expresión depende del orden en el que se evalúan las operaciones ¿Cuál es el valor de 8 • 4 + 3? Método 1
Método 2
8 • 4 +3 = 32 + 3 = 35
8 • 4 + 3 = 8 • 7 Sumar 4 y 3 = 56 Multiplicar 8 y 7
¿La respuesta correcta es 35 y 56? Los valores son diferentes porque se multiplicó y se sumó en diferente orden. Para determinar el valor correcto de la expresión debe seguir el orden de la operación. Orden de las operaciones
Encuentra los valores de las expresiones que estén dentro de los símbolos de agrupación; por ejemplo, paréntesis ( ), corchetes [ ] y las que estén indicadas en barras de cociente Resuelve todas las multiplicaciones o divisiones de izquierda a derecha.
Resuelve todas las sumas o restas de izquierda a derecha
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